Ondas Electromagn�ticas en una Cavidad C�bica

Las ondas electromagn�ticas estacionarias en una cavidad que est� en equilibrio con su entorno, no pueden tomar un camino cualquiera. Deben satisfacer la ecuaci�n de ondas en tres dimensiones:

La soluci�n de la ecuaci�n de onda, debe dar una amplitud cero en las paredes, ya que un valor distinto de cero ser�a disipar energ�a, y violar�a la suposici�n de equilibrio. Para formar una onda estacionaria, la trayectoria de la reflexi�n alrededor de la cavidad, deben ser una trayectoria cerrada. Las condiciones de contorno pueden ser satisfechas con una soluci�n de la forma:

Sustituyendo esta soluci�n a la ecuaci�n de onda anterior da

que se simplifica a

�Cuantos Modos en la Cavidad?

Esquema de Rayleigh para el conteo de modos. De Richtmyer, et al.

Es necesario evaluar el n�mero de modos que pueden cumplir esta condici�n, lo que equivale a contar todas las posibles combinaciones de los valores enteros n. Se puede hacer una aproximaci�n tratando el n�mero de combinaciones como el volumen de una cuadr�cula tridimensional de los valores de n, un "espacio-n". Utilizando la f�rmula del volumen de una esfera, con los valores n especificando las coordenadas a lo largo de tres ejes "n", da

Sin embargo, esto conlleva un par de problemas. Al utilizar la esfera, se han usado valores de n tanto positivos como negativos, mientras que la soluci�n de la ecuaci�n de onda, utiliza solamente definidos valores positivos. Por lo tanto hay que tomar 1/8 del volumen anterior. Otro problema t�cnico es que se pueden tener ondas polarizadas en dos planos perpendiculares, por lo que debemos multiplicar por dos para dar cuenta de ello. Luego, se puede tomar el volumen como una medida del n�mero de modos, convirti�ndose en una muy buena aproximaci�n, cuando el tama�o de la cavidad es mucho mayor que la longitud de onda, como en el caso de ondas electromagn�ticas en una cavidad finita. Utilizando la relaci�n obtenida para los valores de n, esto se convierte en

�Cuantos Modos por Unidad de Longitud de Onda?

Despu�s de haber desarrollado una expresi�n para el n�mero de modos de ondas estacionarias en una cavidad, se podr�a conocer la distribuci�n con la longitud de onda. Esto puede obtenerse tomando la derivada de la cantidad de modos con respecto a la longitud de onda.

El signo negativo aqu�, revela que el n�mero de modos disminuye con la longitud de onda creciente. Ahora, para obtener el n�mero de modos por unidad de volumen por unidad de longitud de onda, simplemente se puede dividir por el volumen de la cavidad c�bica.

T�ngase en cuenta que esto �no implica la aproximaci�n de una esfera con un cubo! La esfera se utiliz� para calcular el n�mero de modos que hab�a en una esfera en el "espacio-n", lo que permite contar el n�mero de modos posibles. Adem�s, el uso de una cavidad c�bica en el c�lculo, permite reducir la complejidad geom�trica del desarrollo, pero el resultado final obtenido es independiente de la geometr�a de la cavidad.

�Cuanta Energ�a por Unidad de Volumen?

La asignaci�n de energ�as a las ondas estacionarias electromagn�ticos en una cavidad, se basa en el principio de equipartici�n de energ�a. Cada modo de onda estacionaria, tendr� una energ�a media kT, donde k es la constante de Boltzmann y T es la temperatura en grados Kelvin. Representando u como la densidad de energ�a:

Esta es una relaci�n importante en la teor�a cl�sica de la cavidad electromagn�tica. Tambi�n se puede expresar en t�rminos de la frecuencia ν, haciendo uso de la regla de la cadena y la relaci�n de onda:

El signo menos aqu�, s�lo recuerda que una disminuci�n de la longitud de onda implica un aumento de la frecuencia. La magnitud de la dependencia de la densidad de energ�a sobre la frecuencia, est� dada por:

T�ngase en cuenta que este es el resultado cl�sico que se utiliz� en la ley de Rayleigh-Jeans, pero que conduce a la cat�strofe ultravioleta. Produce un buen acuerdo en el l�mite de baja frecuencia, pero para las frecuencias m�s altas se debe utilizar la f�rmula de la radiaci�n de Planck.

Energ�a Radiada como Funci�n de la Longitud de Onda

Si se considera la energ�a radiada perpendicular a un peque�o incremento de �rea, entonces, hay que se�alar que si el sistema est� en equilibrio t�rmico, la mitad de la densidad de energ�a de las ondas se va hacia las paredes, y la mitad sale. La evaluaci�n de la potencia vista en un punto de observaci�n, requiere una consideraci�n de la geometr�a:

pero a un �ngulo θ, el �rea efectiva ser� Acosθ, y la velocidad efectiva ser� c cosθ, por lo que la energ�a radiada se reducir� a

Para un punto de observaci�n cerca de la superficie radiante, la potencia ser� la potencia media de todas las direcciones, y el promedio da otro factor de 1/2.

Despu�s de haber promediado sobre todos los �ngulos, la potencia radiada calculada por unidad de longitud de onda, es finalmente

Esta es la f�rmula de Rayleigh-Jeans. El hecho de que fallara en la predicci�n de la distribuci�n espectral de objetos calientes, era uno de los principales problemas no resueltos de la f�sica a principios del siglo 20.
Para expresarlo en t�rminos de la frecuencia, se realiza una aplicaci�n de la regla de la cadena como se hizo anteriormente con la densidad de energ�a, dando una potencia radiada por unidad de frecuencia: