La Identidad Termodin�mica

La identidad termodin�mica es una f�rmula resumen �til, que usa la fuerza del c�lculo y particularmente las derivadas parciales. Se puede aplicar para examinar procesos, en los cuales se mantienen constantes una o mas variables de estado, como por ejemplo volumen constante, presi�n constante, etc. La identidad termodin�mica se mantiene v�lida para cualquier cambio infinitesimal en un sistema, tanto tiempo como la presi�n y la temperatura esten bien definidas. Se supone que el n�mero de part�culas es constante (o sea, estamos tratando con el mismo sistema antes y despu�s del cambio).

Temperatura por la Identidad Termodin�mica

A menudo, la definici�n de temperatura se hace en funci�n de la energ�a cin�tica traslacional media de las part�culas; a esta se le llama temperatura cin�tica. Se puede hacer una definici�n alternativa de la temperatura desde la identidad termodin�mica:

Si mantenemos el volumen constante, esto nos lleva a la expresi�n de la temperatura como la derivada parcial de la entrop�a respecto a la energ�a interna.

Mayor Detalle

Esta definici�n presupone que al tomar la derivada, se est�n manteniendo constantes tanto el volumen como el n�mero de part�culas. Esto se puede aplicar a la expresi�n de la entrop�a de un gas ideal monoat�mico:

Tomar la derivada parcial de esta expresi�n respecto de U para obtener la temperatura, necesita de un poco de gimnasia con los logaritmos. El uso de la regla para el logaritmo del producto nos permite expresar el logaritmo como ln(U^3/2) solo, mas otros t�rminos logar�tmicos que no contienen U y por tanto desaparecer�n cuando se tome la derivada. Luego recordar que ln(U)^3/2=3/2ln(U) y que la derivada de ln(U) es exactamente 1/U. Esto nos da finalmente:

Esta f�rmula de la energ�a interna, es exactamente la que se obtiene de la equipartici�n de energ�a. Puesto que la energ�a interna de un gas monoat�mico es exactamente la energ�a cin�tica traslacional de las mol�culas, esto est� de acuerdo con la temperatura cin�tica que se mencion� anteriormente, por lo que en este caso las dos definiciones de temperatura son equivalentes.