Polytope im IR ⁴ (= Polychora)

Eines der �ltesten Teilgebiete der Geometrie ist die Beschreibung der regelm��igen Polyeder im IR³. Die Wurzeln dieses Teilgebietes reichen zur�ck bis vor die Zeit um 500 vor Christus. Umfangreichere Arbeiten wurden wahrscheinlich erstmals um 400 vor Christus von Platon durchgef�hrt. Obwohl es sichere Indizien gibt, dass er viele Ideen von anderen Autoren �bernommen hatte, werden die f�nf regelm��igsten Polyeder ihm zugesprochen und zu seinem Andenken die Platonischen Polyeder oder die Platonischen K�rper genannt. Platon beschreibt Polyeder �h�chster Perfektion und Harmonie�, die nur aus gleichen Fl�chen bestehen und deren Fl�chen selber alle gleich lange Kanten und gleich gro�e Winkel haben (also selbst regelm��ig sind). Seine Arbeiten �ber diese K�rper hatten nicht nur gro�e Auswirkungen auf die Mathematik im Allgemeinen und die Geometrie im Speziellen, sondern auch auf die Philosophie, die Astronomie, die Astrologie und auf viele andere Wissensgebiete.

Weitere Arbeiten zu regelm��igen Polyedern folgten um 250 vor Christus von Archimedes. Er beschreibt dreizehn Polyeder, deren Fl�chen alle regelm��ig, aber nicht gleich sind. Auch diese Arbeiten �ber die Archimedischen Polyeder hatten einen gro�en Einfluss auf viele Wissensgebiete.

Diese und viele weitere Arbeiten, die im Mittelalter und bis hinein in die fr�he Neuzeit dar�ber verfasst wurden, bezogen sich auf greifbare Objekte im 3-dimensionalen Raum (z.B. Johannes Keplers Arbeiten �ber Polyeder). Erst in der zweiten H�lfte des 19. Jahrhunderts � mit der Weiterentwicklung der klassischen hin zur projektiven und nichteuklidischen Geometrie � tauchten erste �berlegungen zu h�herdimensionalen geometrischen Objekten auf. Schlie�lich waren es Ludwig Schl�fli und Victor Schlegel (um 1850 bzw. 1883), die sich als erste mit 4- und h�herdimensionalen K�rpern (�Polyscheme�) befassten. Aber erst im 20. Jahrhundert bildete sich der allgemeine Begriff der Polytope als Analogon zu Polyedern im n-Dimensionalen aus.

Beide, Schl�fli und Schlegel, befassten sich jedoch haupts�chlich mit regelm��igen Polytopen. Schl�fli war der erste, der zeigen konnte, dass es im 4-Dimensionalen sechs, in h�heren Dimensionen allerdings nur noch je drei regelm��ige (konvexe) Polytope gibt. Schlegel wurde bekannt durch die nach ihm benannten Diagramme von Polyedern in der Ebene und von 4-dimensionalen Polytopen im Anschauungsraum bzw. in der Ebene.

Die ersten Arbeiten zu den halbregelm��igen Polytopen waren Anfang des 20. Jahrhunderts die Untersuchungen von Thorold Gosset und Alicia Boole Stott. Allerdings wurde die Halbregelm��igkeit immer auf unterschiedliche Art definiert. F�r Gosset waren halbregelm��ige Polytope in n Dimensionen zusammengesetzt aus verschiedenen, aber selbst regelm��igen Polytopen niedrigerer Dimension. Boole Stott hingegen erlaubte schon die Archimedischen Polyeder als Teile der Polytope. Erst Harold Scott Macdonald Coxeter f�hrte die Halbregelm��igkeit genauer ein.

Sp�ter folgten umfangreichere Arbeiten von Norman Woodason Johnson, Willem Abraham Wythoff, John Horton Conway, Mike J.T. Guy und Branko Gr�nbaum, um nur einige zu nennen. Alle befassten sich unter anderem mit Teilaspekten der halbregelm��igen Polytope. Allerdings konnte keiner einen vollst�ndigen Beweis �ber die Art und Anzahl dieser Polytope in Dimensionen gr��er als 3 liefern. Lediglich Conway und Guy arbeiteten in den fr�hen 60er Jahres des letzten Jahrhunderts an einem ersten Beweis; ver�ffentlicht wurde allerdings nur eine zweiseitige Zusammenfassung.

Erst 2004 wurde der erste vollst�ndige Beweis �ber die Art und und die Anzahl der Archimedischen Polytope im IR³ ver�ffentlicht.