TRIGONOMETRIE RECT1L1GNE ET SPHERIQUE» OU IL EST TRAITE ’ De la construction des Tables de Sinus, Tangentes, Sécantes & Logarithmes. De í’usage de ces Tables'pour la résolution des Triangles, avec des questions Astronomiques , & ces mêmes Tables très-exactement calculées fur un rayon de iooooooo parties. Par W L A C , corrìgêè & augmentée par M. OZANAM, de P Académie Royale des Sciences , tirée de son Cours de Mathématique A PARIS, RUE S. JACQUES, Chez Claude Jómbèrt j au-dessus de la rue des Mathurins , à limage Notre-Dame. AVEC P RA VI C L C E G £ DU ROY. AU LECTEUR. C Omme il est important d avoir des Tables très-correctes , ôc qu’il est difficile d'en avoir d’exactes fans y prendre un foin particulier ; je me fuis efforcé à vous les donner, Mon cher Lecteur , dans la derniere exactitude. Pour cette fin je les ai fait imprimer fur celles d’Ulacq , qui ont été imprimées à la Haye en Tannée 1665, Lc qui passent pour être des plus correctes : & je les ait fait corriger fur celles du môme Ulacq, imprimées à Amsterdam en Tannée ii 68z. qui passent pour être encore plus correctes que les précédentes, afîn de pouvoir connoître les fautes qui y feroient, lorfqu’i! se rencontreroit quelque différence entre les chiffres de Tune & de Tautre de ces deux différentes éditions , ce qui m’a fait découvrir des fautes qu on ne trouvera point ici. Et pour une plus grande perfection, auparavant que de faire imprimer ces Tables, j’ai prélu avec beaucoup de foin celles d’tjlacq, ayant corrigé les Sinus fur les Tables de Pitifcus in folio Z & lesLoga- ïkhmes fur ceux d'Hentî. Briggs aussi iri folio , ce qui m’a fait découvrir quelques, fautes essentielles , & plusieurs autres de moindre conséquence , qu on avoir négligées dans toutes les éditions, & qu’qn ne trouvera point dans celle-ci. Ainsi l'on peut s’assurer d’avoir ici des Tables autant exactes qu'ii est possible. TABLE DES TERMES expliquez dans la Trigonométrie,. A À Ngle Sphériques U~\ Angle droit Spheriquel page 6 ï, ibid. Angle obtus Spkerique. ibid. Angle aigu Sphérique* ibid. Arc de Cercle. 2 Ç Cercle de la Sphère. Grand Cercle de la Sphère. ibid; Petit Cercle de la Sphère. ibid. Complément Sun Arc. ? Corde ou Soutendante Sun Arc '. ibid. D Degré. 2 Diamètre de la Sphere. 61 M Mesure Sun Awgk. ^ table des termes. Mesure ou valeur dun Angle Spherique. 61 Minute . 2 Ej fole âu Cercle de la : Spherel 6 í S Sphere ou Globes. <5*0 Sinujdr.oit d un Arcl z Supplément d un Au\ ibid* y Valeur d un Arc de Cercle » A Fin de la Table des Termes, PRIVILEGE DU ROL L OUIS par t a grâce db Dieu , Roy de France êc de Navarre,» nos Amez & seaux Conseillers les Gens cenans nos Cours de Parlement, Maîtresses Requêtes ordinaires de nôtre Hôtel, Grand Conseil, Prévôt de Paris , Baillifs, Senechauz leurs Licutenans Civils , & autres nos Justiciers qu’il appartiendra. Saiut. Notre bien Amé C. A. Jombert Nous ayant fait remontrer qu’il íouhaiteroit faire imprimer & donner au Public Les Oeuvres dufeu sieur Ozanam , contenant le DiÚionnaire , le Cours, & les Récréations Mathématiques, l'Usage du Compas, un Traité de l’Arpentage, la Géométrie Pratique, les Elemens d’Euclide. S’il nous plaisoit lui accorder nos lettres de Privilège fur ce nécessaires, offrant pour cet «ftèt de les faire imprimer en bon Papier & beaux Caractères suivant la feuille imprimée & attachée pour modele fous le contre-secl des présentés. A ces causes voulant traiter favorablement ledit Exposant, Nous lui avons permis & permettons par ces présentés de faire imprimer les- dits Livres cy-dessus spécifiez, en un ou plusieurs Volumes conjointement ou séparément, & autant de fois que bon lui semblera fur papier & caractères conformes à ladite feuille imprimée & attacchée sousnotred. contre-scel, 8c de les vendre , faire vendre & débiter par tout notre Royaume pendant le temps de fût années consécutives , à compter du jour de la date desdites présentes. Faisons défenses à toutes fortes de personnes de quelque qualité 8t condition qu’elles soient, d’en introduire d’impression étrangère dans aucun lieu de notre obéissance. Comme aussi à tous Libraires Imprimeurs & autres, d’imprimer, faire imprimer, vendre, faire vendre, débiter, ni contrefaire les’its Livres cy-dessus exposez en tout, ni en partie ; ni d’en faire aucuns extraits fous quelque prétexte que ce soit d augmentation , correction, changement de titre ou autrement, sans la permission expresse & par écrit dudit Exposant ou de ceux qui auront droit de lui ; à peine de confiscation des Exemplaires contrefaits, de trois mille livresd’amende contre chacun des contre venans, dont un tiers à nous, un tiers à i’Hô- tel-Dieu de Paris, l’autre tiers audit Exposant, Sc de tous dépens, dommages & intérêts; A te,charge que ces Pré- fentes seront enregistrées tout áu îong siir le Registre Je Iá Communauté des Libraires & Imprimeurs de Paris , dans trois mois de la date d’icelles: Quci’ímpreffion de ces Livres fera faite dans notre Royaume , & non ailleurs , Sc que l'im- petrantse conformera en tout aux Reglemens de la Librairie , & notamment à celui du to. Avril 1715. Et qu’avant que de tes exposer en vente les manuscrits ou imprimez qui auront servi de copie à l’impression desdits Livres seront semis dans le même état où les approbations y auront été données ès-mains de notre trés-cher Sc féal Chevalier Garde des Sceaux de France le Sieur Chíovuik; & qu’il en fera ensuite remis deux Exemplaires de chacun dans notre Bibliothèque ptsoliqiie, ùrt dans celle de notre Château du Louvre, & un dans celle de notredit trés-cher & féal Chevalier Garde des Sceaux de France le sieur Chau- Vblin: De tout à peine de nullité des Présentés. Du contenu desqnelles vous mandons & enjoignons de faire jouir l’Expofant ou ses Ayans cáufe pleinement & paisiblement j fans souffrir qu’il leur soit fait aucun trouble ou empêchement ; Voulons que la copie desdites Présentés qui fera imprimée tout au long au commencement ou à la fin desdits Livres soit tenue pour duement signifiée Sc qu’aux copies coilationnées par l’un de nos Amez & Féaux Conseillers & Secretaires, foi soit ajoutée comme à f original. Commandons au premier notre Huissier ou Sergent de faire pour l’exécution d’icelles tous actes requis & nécessaires , fans demander autre permission , Sc nonobstant clameur de Haro, C battre Normande, Sc Lettres à ce contraire : Car. tel est notre plaisir. Donne’ à Paris le dixième jour du mois de Novembre l’an de Grâce mil íêpC cens trentc-cinq, 8t de notre Régné le vingt-uniéme. Par le Roi en son Conseil. SAINSON. Regìfirésar le Registre neuvième de la Chambre Royale det l ibraires ô" Imprimeurs de Paris N 9 zzi. Fol. 202. conformément aux anciens Reglemens confirmez par celui du 28. Fevrier 1723. A Paris le 28. Decembre 1735. G. Martin , Syndic. De l’Imprimeriede J, CHARDON; fill«iaillìhì TRAITE’ v E TRIGONOMETRIE. A Trigonométrie scion son étymologie , signifie la mesure des Triangles» auífi elle nous enseigne à résoudre par le calcul toute sorte de Triangles , tant rectilignes » que sphériques, ce qui fait qu’elle sc divise en Trigonométrie reSíiligne , Si en Trigonométriespherique. L’une & l'autre ne considéré que les angles Si les cotez d’un Triangle , fans avoir égard à fa superficie » cette considération appartenant à la Planimetrie » dont nous traiterons dans la Géométrie Pratique. Comme dans un Triangle il y a trois angles Sc trois cotez, qui dépendent les uns des autres , il est évident que trois de ces grandeurs étant connues , les autres se peuvent connoître par des rai- sonnemens que la Trigonométrie nous enseigne, pourvu que trois de ces six quantitez connues déterminent les trois autres, en forte qu’elles ne puissent être que d’une certaine grandeur , ce que feront toûjours deux angles & un côté, ou bien deux cotez Sc un angle, ou bien encore les i mÉfì 2 Traite’ d h Trigonométrie. trois cotez , mais non pas les trois angles J pour lc moins dans un Triangle rectiligne , où la feule connoissance des angles ne détermine pas la grandeur des cotez, mais seulement la proportion , étant certain que l'on peut imaginer une infinité de Triangles rectilignes équianglcs ôc semblables qui n’auront pas les cotez égaux les uns aux autres : outre qu’il ne nous est pas libre de suppo- , i'er les trois angles d’un Triangle rectiligne , tel» que l’on voudra, parce que si l’on en suppose deux, chacun d’une certaine grandeur , le troisième doit être neceísairement le reste de ces deux à 180 degrez par 32. i. ce qui fait que ces trois angles connus ne font équivalens qu’à deux choses connues, Sc que par conséquent ils ne déterminent pas suffisamment les autres parties du Triangle. II n’en est pas de même dans un Triangle Sphérique, dont les trois angles déterminent les trois cotez > comme vous verrez dans la Trigonométrie sphérique qui sera precedée de la Trigonométrie rectiligne , & celle-ci de la construction des Tables, par laquelle nous commencerons ce Traité, après avoir expliqué les DEFINITIONS. I. Arc de Cercle est une partie de’ la circonférence de ce Cercle. I I. Degré est un petit arc de Cercle, qui contient la trois cens soixantième partie de sa circonfe- ■rence. III. Minute est un petit arc de Cercle, qui contient la soixantième partie d’un degré. I V. Valeur d’un arc de Cercle est la quantité de degrez, ou de degrez Sc minutes que cet ars Contient, Définitions H V. Complemfnt d’un arc, est ce qu’il faut dé surplus â cet arc pour achever le quart de Cercle J uinsi Parc F I, est le complément de Parc B F, V I. Supplément d’un arc est ce qu’il faut de pjg. j. surplus à cet arc pour achever le demi Cercle. Ainsi l’arc FIA est le supplément de Parc FB. VII. Mesure d’un angle n’est autre chose que la quantité de degrez, ou de degrez & minutes , que l’arc embrassé par les lignes qui forment cet angle , peut contenir. Ainsi l’angle FCB est mesuré [par la quantité de degrez , ou de degrez & minutes que l’arc FB contient. VIII. Corde ou foutendante d’un arc , ou bien de l’angle dont cet arc est la mesure , n’est rien que la ligne droite tirée de Puttc des extrémités de Parc à Pautre extrémité. Ainsi la ligne droite FG est corde ou foutendante de l’arc FBG, ou de l’angle FCG, dont cet arc est là mesure. I X. Sinus droit d’un arc, ou de l’ánglé dont cet arc est la mesure , n’est que la ligne droite qui tombe de Pune des extremitez du même arc, perpendiculairement sur le diamètre qui passe à son ; , autre extrémité. Ainsi la ligne FH , qui tombe de ^ l’extremité F de l’arc FB , perpendiculairement sur le diamètre AB , qui passe à Pautre extrémité du même arc, en est le Sinus droit , on bien de l’angle FCB, dont cet arc est la mesure. De même la ligne IC est Sinus droit de l’arc IFB, ou de l’angle ICB dont cet arc est la mesure; Rema r Q.UE. Le Sinus droit d’un arc, est aussi Sinus droit de son supplément au demi Cercle ; c’est-à-dire 9 de Parc qui achevé la demie,circonférence. Ainsi A ij J 4 Traite’ de Trigonométrie la ligne droite FH qui est Sirius droit de l’arc F B , Flg. i. Test auíîì de son arc de supplément FIA , ou de sangle FC A dont cet arc est la mesure ; ce qui est évident par la définition du Sinus droit. X. S:nus verse d'un arc, ou de sangle dont cet arc est la mesure, est 1a partie du diamètre comprise entre le sinus droit, & sextremité de çet arc. Ainsi la ligne droite , ou partie du diamètre HB , est Sinus verse de sarc FB , ou de sangle FCB dont cet arc est la mesure; & la ligne LI est aussi Sinus verse de sarc FT. Remarque. Le Sinus verse d’un arc étant joint au Sinus verse de son supplément au demi Cercle, égale toujours le diamètre ; ainsi la ligne BH qui est Sinus verse de sarc BF, étant jointe à la ligne HA qui est Sinus verse du supplément FIA, égale le diamètre AB. ïig- i. XI. Tangente d’un arc , ou de sangle que cet arc mesure , est 1a ligne droite élevée perpendiculairement au bout du diamètre, lequel passe à sune des extrémités de cet arc, prolongée jusqu’à ce qu’elle rencontre le rayon du centre, qui passant par sautre extrémité du même arc, est auíîì prolongée ; ainsi la ligne BE qui est perpendiculaire à sextremité B du diamètre AB, & prolongée jusqu’à ce qu’elle rencontre le rayon CF , prolongé qui passe à sautre extrémité F du même arc, est la tangente de sarc FB, ou de sangle. FCB , dont il est la mesure. XII. Secame d'un arc ? ou de sangle que cet arc mesure , est le rayon ou demi diamètre qui passant à sune des extremitez de sarc, va étant prolongé, rencontrer la tangente. Ainsi la ligne Définitions. f bu rayon ÇE, qui passe par FextremitéF, va étant prolongée rencontrer la tangente au point E , c’est Ja sécante de FarcBF. R E M A R Q U E. Le Sinus total, ou Sinus de l’angle droit, est toûjours un demi diamètre. Ainsi le rayon IC est Sinus droit de l’angle droit ICB , ou bien dc ICA.. •«v** A iii & Traite* vr Trigonométrie PREMIERE PARTIE DE LA CONSTRUCTION DES TABLES. A Près avoir défini ce que c’est que Sinus, Tangente & Sécante : nous dirons-que les Geo- metrss, qui les premiers ont connu Futilité des Sinus , ont divisé le rayon en 6o. parties égales , Sc chaque partie en 6o. autres parties plus petites qu’ils ont appcllées minutes. C’est là dessus qu’ils ont calculé des Tables, pour íçavoir la valeur de tous les Sinus des angles depuis une minute jufi- qu’à p o. degrez, pour pouvoir connoître par exemple la valeur du Sinus d’un angle de y 4. degrez 3 o. minutes , ou de 86. degrez 1 8. minutes, en un mot toute forte d’angles. Mais les Geometres, modernes ayant reconnu que les opérations que l’on faisoit par le moyen de ces Tables, n’étoient pas assez précises , afin d’éviter ce défaut, ont calculé d’autres Tables dont le Sinus total, ou le rayon du Cercle est supposé de 100000. parties, & même de 10000000. C’est la construction de ces Tables que nous allons enseigner en peu de mots > & par les voyes les plus aisées dans la premiere & fe-? çonde partie de ce Traité. î Deïiìutions PROPOSITION I. T H E O R E M E. J_,cisoutendante d'un arc efl double duSinus délit moitié du même arc. L A ligne BC soutendante de l’arc BDC est dou- Fîg. 55 ble du Sinus de l’arc B D , qui en est la moitié; car le rayon AD divisant B C en deux également , la coupera auffi perpendiculairement ( par la 3. du 5.) donc BE sera sinus de l’arc BD> mais BC est double de BE , & l’arc BDC est double de BD ; donc BC fera double du Sinus d’un angle qui fera la moitié de celui dont elle est la fou" tendante. Corollaire. II s’ensuit de là que la soutendante d’un arc étant connue, l’on aura le Sinus d’un arc qui fera. la moitié de l’arc proposé; ainsi la soutendante d’un arc de 60. degrcz, qui est égal au rayon dia Cercle, étant donné à sçavoir iOQOQO.leSinusde trente degrçz fera 50000. A iiij- ?lg- 3 5. Traite’ db Trigonométrie, PROPO SITION II. THEOREME.. Le quarré du S inus droit d’un arc , avec le quarrê 4 h Sinus droit de fin complément , fin t égaux au quarré du rayon, A U quart dc Cercle BC, dont le rayon est A D, soit DF Sinus de l’arc DC , & DE Sinus de son complément BD , je dis que les quar- rçz de çes deux Sinus DF , DE sontégaux au quarré du rayon AD. Car puisque B C est un quart de Cercle , C A est perpendiculaire à AB ; mais DE est aussi perpendiculaire à AB , par la définition du Sinus; donc DÉ & CA sont parallèles; & par la même raison B A Sc DF sont aussi parallèles ; Sc partant FE est un parallèlegrame , dont le côté DE est égal à son opposé FA ; mais le quarré de. AD est égal aux quartez de DF L de FA , ou de son égal DE; par conséquent le quarté de DF, Sinus droit de l'arc D C, & le quarré de DE Sinus droit de son complément DB , sont égaux au quarré du rayon AD. C. Q. F. D. Corollaire. II s’ensuit de là que le Sinus droit d’un arc étant donné, l’on aura le Sinus droit de son complément au quart de Cercle ; car si l’on ôte le quarté du Sinus donné , du quarré du rayon , il restera le quarré du Sinus de son complément, dont la racine quarrée fera le Sinus cherché. Ainsi de l’arc dç 3 6. degrez le Sinus droit étant Drfinitioiïs. $ y8779.fi ì'on ôte son quarré qui est 34 J4970841. du quarré du rayon qui est 10000000000 , il restera 6545029 r 59. pour le quarré du Sinus de y4. deg. dont la racine quarrée est 80901 ; quand ce qui reste excede yoooo. on ajoûte une unité dans les Tables; c’est pourquoi l’on y trouve 80901 , pour le Sinus de 94 .deg. ' TROP OSITI ON II L THEOREME. La dijserence des Sinus des deux arcs également éloignez de 60. degrez , ejlégale au Sinus de la moitié de la dijference de ces deux arcs. J E dis que si Tare BD est de 60 degrez , & que Fl S- les deux arcs BG, BE en soient également éloignez, en sorte que l’arc ED, ou CD soit égal, soit la moitié de leur différence CE ; la différence des Sinus EG, CI, des deux arcs BC , BE, est égale au Sinus EO, ou CO , de la moitié CD, ou % DE de leur différence CE. Si l’on tire du point C la ligne CH parallèle au rayon AB , & au point F, oùle rayon ÀD se trouve coupé par le Sinus EG, la droite CF, on connoî- tra aisément que le triangle ECF est équilatéral, & que la ligne EH, ou le Sinus EO, ou CO , est la différence des Sinus EG, CI. C. Q. F. D. Corollaire I. II s’ensuit de là, premierement que si les Sinus de deux arcs également distans de la sixième partie du Cercle , font donnez , l’on trouvera ìe Sinus de la difterence de l’un de ces arcs à la sixième partie du Cercle. [ï© Traite’ dë Trigonométrie.' Par exemple, soit donné le Sinus de 40. deg.a! sçavoir 64278. & celui de 80. degrez , à sçavoir A 84S0. qui sont également distans de 60. deg. qui est la sixième partie du Cercle , l’on trouvera le Sinus de 20. deg. à sçavoir 342O2. parce que la différence du Sinus de 40. deg- à celui de 80. étant égale au Sinus de 20. deg. il est évident que si l’on soustrait le plus petit du plus grand, ce qui restera sera le Sinus cherché. C O R O L X, A I RE II. II s’ensuit encore que si le Sinus d’un arc moindre que la sixième partie du Cercle est donné , avec le Sinus de la différence de cet arc à la sixième partie du Cercle , on trouvera le Sinus d’un arc qui surpassera autant la sixième partie du Cercle, que l’autre en étoit surpassé. Ainsi le Sinus de p o. deg. à sçavoir 76604. étant donné avec lç Sinus de 1 o. deg. à sçavoir 173 64. différence de 50. deg. à la sixième partie du Cercle,, on trouvera le Sinus de 70. d. Car d’autant que la différence du Sinus de 70 deg. à celui de 70. est égale au Sinus de 10. deg. qui est le défaut de 50. d. à la sixième partie du Cercle, il est évident que si au Sinus de 70. deg. 76604. on ajoute le Sinus de 10. deg. 17367. ce qui viendra, à sçavoir 93 p 6p, sera le Sinus de 7©. deg. que l’on-demande. C0K014AISE III. De même étant donné le Sinus de 70. deg. avec celui de 10. il est évident qu’en ôtant celui-ci de pautre, il restera le Sinus de 50. deg. Définitions. Xt PROPOSITION IV. Theoreme. Le Sinus -verse d’un arc , & le Sinus droit de son complément ,sont égaux au rayon du Cercle. S Oit FGle Sinus verse de l’arc GE, Sc ED, le Sinus droit de son complément EC ; je dis que FG , ou ED , sont égaux au rayon AG. Car puisque DE est un parallelograme, ED est égale à AF, à quoi ajoutant FG vient lç rayon AG, Corollaire. II s’ensuit de là que le rayon étant donné, Sc íe Sinus droit du complément de quelque arc, le Sinus verse de cet arc sera connu ; car en ôtant du rayon le Sinus droit donné, restera le Sinus verse cherchés Ou bien le Sinus verse d'un arc étant donné avec le rayon, le Sinus droit de son complément sera connu ; car en ôtant du rayon le Sinus verse dosi- né 3 restera le Sinus droit cherché. PROPOSITION Y. THEOREME. Les Quarrez des Sinus droit & verse d’un me sont égaux au quarté de lasoutendame du même arc. D E l’arc CE le Sinus droit soit CF , & FE le Fig. H Sinus verse; je dis que leurs quarrez sont égaux au quarté de la soutendante CE. fá Traite’ de Trïgonometrie> Pour le prouver. Le triangle CFE étant rectangle ; il est évident que les quarrez de CF & de FE, font égaux au quarté de CE. Corollaire. Les Sinus droit & vefse d’un arc étant donc donnez , on connoîtra la soutendante de cet arc , & le Sinus droit de fa moitié. Soit par exemple, EF. 6 . Sc CF. 8. leurs quar- rez z 6. & 64. étant ajoutez font ioo. pour le quarté de CE , dont la racine quarrée est io. qui est ce que vaut la soutendante cherchée ; & y. est la valeur du Sinus droit du demi arc. PROPOSITION VI. THEOREME. Au quart de Cercle , le Sinus droit, d’un arc ejl moyen proportionnel entre la moitié du rayon , & le Sinus verse dun arc double. ?ìg- 7- ç Oit par exemple EC, double de l’arc ED ; je O dis que EH Sinus droit de ED, est moyen proportionnel entre la moitié du rayon AG & EF Sinus verse de l’arc double EC ; c’est-à-dire que comme la moitié du rayon AG est à EH, ainsi EH est à EF. Pour le prouver. Aux deux triangles AHE , CFE, Pangle AHE étant droit, Sc partant égal à CFE, 3 c l’angle au point E étant commun ; il s’en- fuit que ces deux triangles font équiangles, Sc qu’ils ont les cotez au tour de l’angle commun-E proportionnaux ( par la 4. du 6. ) c’est-à-dire quq comme AE est à EH, ainsi CE est a EF, ou bien. Définitions. i z fcomme la moitié de AE, sçavoir AG, est à EH , ainsi la moitié de CE , à sçavoir EH est à EF. C. Q. F. D. il cn est de même au demi Cercle. Corollaire. II s’ensuit de là que si le rayon est donné, avec le Sinus droit de quelque arc , on trouvera le Sinus verse d’un arc double ; & ensuite l’on trouvera ausiì le Sinus verse de cet arc double. Soit, par exemple , le demi rayon AG p. Sc EH Sinus droit de l’Arc ED 6. on trouvera le Sinus verse EF 4, Car puisqu’il y a même raison de AG à EH, que de EH à EF, il est évident, suivant les réglés des proportions que le quarté de EH est égal au produit de AG, EF. Si donc on divise le quarté de EH qui est 3 6 . par la valeur du demi rayon 5?. il viendra le Sinus verse cherché ; à sçavoir 4. Et pour trouver la valeur de CF Sinus droit de CE, double de ED , après avoir trouvé le Sinus verse, il faut trouver ( par la Proposition 4. ) le Sinus droit du complément de cet arc double, Si par le moyen de ce Sinus droit, trouves ( parla 2. Proposition) le Sinus droit cbercbé. Ou bien il s’ensuit qu’étant donné le Sinus verse d’un arc avec le demi rayon, on trouvera le Sinus droit d’un arc , qui fera la moitié de l’arc proposé : Car puisqu’il y a même raison du demi rayon au Sinus cherché , qu’il y a de ce même Sinus , au Sinus verse de l’arc double proposé, il est évident par les réglés des proportions , que si l’on multiplie les deux extrêmes donnez, l’un parl’autrc , le produit fera le quarté du Sinus cherché. Soit, par exemple AGp. Sc EF 4. si vous les multipliez l’un par l’autre, le produit fera 3 6 , dont la ra- Plan- che 2. Fig. JÍt i4 Traite’ dh Trigonométrie. cine quarréc 6. fera la valeur du Sinus droit cherché EH. PROPOSITION VU. THEOREME. La tangente d’un arc ejl au rayon ; comme le Sinus droit de cet arc , ejl au Sinus droit de son complément. A U quart de Cercle ADC, soit DE tangente de Tare DF, dont FG est le Sinus droit, ôc soit FB Sinus droit de son complément FC ; je dis qu’il y a même raison de la tangente DE au rayon DA , que de FG à FB, ou à G A son égale. Pour le prouver. Aux deux triangles EDA, FGA; les deux angles G, & D sont droits & égaux, & sangle A commua; partant ces deux triangles sont équiangies , & ont les cotez au tour des angles égaux G, & D , proportionnaux ; c’eft à-dire que comme ED est à DA, ainsi FG est à GA, ou à FB son égale. On peut convertir ainsi cette proposition, ea disant qu’il y a même raison de FB, Sinus d’un arc donné à FG Sinus de son complément, qu’il y a du rayon AD , à la tangente de ce même complément D E C ORoLLAIRE. Etant donc donné le Sinus droit d’un arc ; Sc celui de son complément, avec le rayon , on trouvera la tangente de ce même complément ; car puisque ces quatre choses sont proportionnelles, il est évident que les deux moyens connus étant mut* Definî’ïions. ì y tìpliez l’un par l’autre, & lc produit divisé par l’extrême connu : il viendra l’autre extrême cher- ché. Soit, par exemple AG, ou son égal FB 6. FG 8. AD io. DE sera i z. & £, ou-*. Car 8. multiplié par i o. font 8o. leíquels divisez par 6 . vient 15. *ou.j pour la tangente cherchée. PROPOSITION VIII. T HEOREME. Le rayon est moyen proportionnel entre la tangents d’un arC) & la tangente de son complément. S Oit ici la ligne DF tangente de l’arc D C , & BE tangente de son complément CB ; je dis que comme DF est au rayon AD ; ainsi le rayon AD, ou AB est à la tangente BE. Pour le prouver. Du point F , soit menée FG , paralelle à AD qui lui sera égale, puisque ce sont les cotez opposez du parallélogramme GD. Maintenant aux deux triangles ABE , AGF les deux angles G & B font droits Sc égaux, &l’anglé A commun , partant ces deux triangles font équi- stngles, Sc ont les cotez au tour des angles égaux GB , proportionnaux ; c’est-à-dire , que comme AG, ou DF son égale, est à GE, ou à son égale AD ; ainsi AB ou son égale AD, est à BE. C. Q* F. D. Corollaire. Etant donc donné la tangente d’un arc, avec son rayon on trouvera la tangente de son complément, par exemple. Soit D F 8. AD 1 o. la tangente BE sera i2ijcar Fig. ïè Traite’ de Trigonométrie; puisque DF est à AD , comme AD est à BE; si oti multiplie AD io. quarrément, & que l’on divise le produit i oo. par DF 8 . le Quotient sera 12 qui fera la tangente cherchée. PROPOSITION IX* THEOREME. Le rayon es moyen proportionnel entre le Sinus droit d’un arc > & la sécante de son complément. S Oit CB Sinus droit de l’arc GC , Sc AE sécante de son complément CD ; je dis que le rayon AC, ou AD est moyen proportionnel entre BC Sc AE ; c’est-à-dire que comme BC est à AC * ainsi AC est à AE. Pour le prouver. Aux deux triangles EAD, C AF, les deux angles F & D font droits & égaux, Sc l’angle A commun, & partant ces deux triangles font équiangles, Sc ont les cotez au tour de sangle commun, A, proportionnai»* C’est-à-dire que comme AF, ou BC son égale, est à AC ainsi AC, ou AD son égale est à AE. C. Q. F. D. Corollaire. I. Le Sinus droit d’un arc étant donné, avec le rayon, on trouvera la sécante de son complément; car puisqu’il y a même raison du Sinus droit de cet arc, au rayon, que du rayon , à la sécante de son complément ; le quarté du rayon étant divisé par le Sinus droit connu, il viendra la sécante que l’on cherche; ainsi si AF, ou BC son égale, est 6 . 6 c lc rayon AC 10. la sécante AE sera 16. j. CoRo£<- Définitions; 17 ' CoXOUAlKI II. Etant donné lc Sinus droit d’un arc, avec lé rayon -, on trouvera la sécante de cet arc ; car le Sinus droit d’un arc étant donné, on trouve le Sinus droit de son complément ( par le Corroll. de la 2. ) ensuite dequoi il ne faut quese servir du raisonnement précédent, & Rappliquer à ce Sinus ; car il y a même raison du Sinus droit du complément au rayon, que du rayon à la sécante de l’arc dofiné. i8 Traite’ de Trigonométrie.' SECONDE PART TE. De la construction des Tables des Sinus* des Tangentes , & des Sécantes. Proposition fondamentale. De la maniéré de conjlruire les Tables des Sinus . S Upposé cc qui a été démontré cn la première partie , & prenant certaines choses pour accordées , qui ont été prouvées dans lesElemens d’Eu- clide, la chose n’est pas si difficile qu’elle paroît d’abord. Le diamètre du Cercle est supposé valoir20000s parties par quelques-uns, Sc par d^autres plus ou moins s mais nous nous tenons à cette division commune , qui est de 200000. fur ce pied. Le côté de l’exagone inscrit au Cercle vaut 100000. Car il est égal au rayon du Cercle ( par la 1 y. du^. ) Le côté du triangle équilatéral inscrit au Cercle, vaut 173 2oy. Car le quarté d'un tel triangle est égal à trois fois le quarré du rayon ( par la 12. du 1 3. ) de forte que si l’on prend trois fois le quarré de IOOOOO. & que de la somme on prenne a racine quarrée , ce sera la valeur du côté de ce riangle. - Le côté du quarré inscrit au Cercle, vaut 14142 r. Car( parla 6. du 4. ) le côté du quarré inscrit au Cercle soutient un angle droit d’un triangle , dont D fit r ni ti ô m s. les deux âutres cotez sont les rayons du Cercle ; d’où résulte que le côté du quarré inscrit au Cer- clc , est la racine quarrée de deux sois le quarré du rayon. Le côté du Pentagone vaut 117557. Car ( par la 10. du r 5. ) le quarré du côté d u Pentagone est égal aux quartez des cotez de l’Exagone & du Décagone , de sorte que si l’on prend les quartez de 100000. &de 6 1804. qui sont les cotez de l’Exa- gone & du Décagone , la racine quarrée de leur somme sera le côté du Pentagone. Le côté du Décagone vaut 6r 804. d’autant que ( par la 9. du 1 3. ) le côté du Décagone est ie moindre segment d’une ligne coupée en la moyenne , & extrême raison, qui seroit composée du côté de l’Exagone , Sc du cèté du Décagone pris ensemble ; Sc par le Corollaire de la même Proposition , c’est le plus grand segment du Côté de l’Exagone ou du rayon , ainsi coupé. C’est pourquoi ( par la 11. du 1 ) si l’on ôte le demi rayon 50000. de la racine quarrée du quarré du rayon , &du quarré du demi rayon pris ensemble , il reste 6 1 8 o 5. pour côté du Décagone ; 8 c d’autant qu’il reste encore 89191. qui est plus de 5 0000. l’on ajoute une unité dans les Tables, & l’on wet d’ordinaire 61804. P our côté du Décagone. Le côté du Quindccagone vaut 41582. car ( par la 6. du 4. ) le côté du Quindëcagone est une ligne droite, comprise entre la Baie d’un triangle Equilatéral , Sc celle d’un Pentagone inscrit au Cercle , êc commençant en un même point ; telle qu’cst ici DE qui est comprise entre les Bases D H , Sc FG. Or la valeur ou la quantité dé DE se peut trouver ainsi. DH est connu étant le côté d’un triangle Equilatéral inscrit au Cercle ; EG est auffi connu étant lc côté d’un Penugone. Partant leurs moi- Plan, ì 2o Traite’ de Trigonométrie. ticz DK , £L sont aussi connues, qui sont les Si fi nus droits des arcs FD, FE ; d’où s’eiïsuit que leur diíFerence DI sera auíïï connue. De plus d’autant que EM , ou LA son égale cil le Sinus droit du complément de FE , & que DN, ou A K. son égale est le Sinus droit du complément de FD , les deux lignes AK., AL viendront connues , ( par la 2. Prop. de la i. Partie. ) Et partant leur diíFerence austì KL , ou son égale 1 E ; íì donc au triangle rectangle DIE, les deux cotez DI & IE étant connus , on prend leurs quarrez, ils composeront ensemble le quarté de DE , dont la racine quarté sera DE, côté du Quindecagone cherché. C. Q. F. D. Le côté de l’exagone contient 60. degrez Le côté du triangle encontient 120. Le côté du quarté en contient 90. Le côté du pentagone en contient 72. Le côté du décagone en contient z 6. Le coté du quindecagone en contient 24. Le côté de l’exagone qui est égal au rayon, vaut 100000. p. Le côté du triangle en vaut 173205. Le côté du quarré en vaut 141421. Le côté du pentagone en vaut 1 17777 * Le côté du décagone en vaut 61804. Le côté du quindecagone en vaut 41582. Cela supposé, pour construire les Tables des Sinus , il n’y a plus d’autre fatigue à essuyer que la longueur du travail ; car il ne faut rien supposer autre chose que ce qui est contenu dans les propositions précédentes. Les soutendantes'de soixante degrez sont 100000. parties. de 120.degrez 173205. de 90. d. 141421. 2X yoooo 86602. parties. Définitions. 6s 72. dcgrez 117 y y 7. dc 3 6. d. 61804* de 24. d. 413-82. Desquelles si l’on prend les mo^iez , on aura les Sinus. dc 30. degrez de 60. d. de 4J-. d. 70710. de 3 6. d. 5-8779. de 18 d. 30902. de 12. d. 20701. Et par le moyen de ces Sinus trouvant la corde de leurs arcs ( par la 4. & 5. Prop. de la 1. Partie., ) on aura auffi des Sinus dc la moitié de leurs arcs , Sc des moitiez de leurs moitiez ; puis des complemens de ces moitiez, Sc des moitiez de ces complemens ; & à la fin cela donnera la plus grande partie de tous les Sinus que l'on cherche , excepté seulement quelque peu que l'on trouvera ( par la z. 6c 6. de la 1 . Partie. ) PROPOSITION II. De la maniéré de conjlruìre les Tables des Tangentes ; D ’Autant que ( par la 7. Prop. de la s. Partie ) il y a même raison de la tangente d’un arc au rayon du Cercle, que du Sinus droit de cet arc, au Sinus droit dc son complément ; & d’autant auflï que les Sinus droits de tous les arcs du Cercle font connus , ( par la précédente , ) il s’ensuic que si l’on mulplie le rayon droit par le Sinus d’un arc , Sc que l’on divise le produit par le Sinus droit de son complément, il viendra la tangente de Tare proposé, Sc par ce moyen l’on pourra achever toutes les Tables des tangentes ; mais d’aur 22 Traite 5 de Trigonométrie. tant que ( par la 8. ) le rayon est moyen propor* tionnel entre la tangente d’un arc , & la tangente de son complcment, l’on abrégera de moitié les opérations d’Arithmetique ci delsus prescrites, en prenant une feule fois pour toutes le quarté dt» rayon, & le divisant successivement par les tangentes de tous les arcs moindres que 4y. deg qu’on aura déja trouvées par le premier moyen ; car ce qui viendra vous donnera les tangentes des çom-; plemens de tous ces arcs. PROPOSITION III. De la maniéré de conjlmire les Tables des Sécantes* C Omme (par la 9. de la 1. Partie) le rayon est moyen proportionnel entre le Sinus droit d’un arc, & la sécante de son complément, il «'enfuit que si l’on prend le quarté du rayon, & qu’on le divise successivement par tous les Sinus droits de tous les arcs de Gercle , que l’on fuppo- le connus { par les précédentes , ) l^on aura successivement les sécantes des complemens de tous ces, arcs , A ainsi l’on aura les Tables des Sécantes. Je croi avoir assez satisfait dans la premier© Partie , au dessein que je m’étois proposé dans Ce Traité,- c’est-à-dire, d’enfeigner en peu de mots la maniéré de construire les Tables des Sinus, > Tangentes & Sécantes , asin de donner aux Curieux le plaisir dfesçavoir comme ces Tables ont été calculées : ce qui doit suffire ; d’autant que ceux qui s’attacher't- à la Trigonométrie , doivent plûtôt «'appliquer à la théorie des triangles , & à la maniéré d’en calculer les angles & les côtés , que de perdre letems à re- hercher quantité de choses par ïapport à la çonlduCbon des Tables ; car cette ma- DeïINIT I ON í. 2z tîere a été épuisée par ceux à qui nous sommes redevables de ces Tables, qui ayant été une fois calculées, nc se calculeront peut être jamais. 11 ne nous reste plus qu’à parler des Logarithmes , qui est une autre maniéré de Tables, dont .nous allons enseigner la construction. DE LA SUPPUTATION DES LOGARITHMES. L Es Logarithmes font des nombres en proportion Arithmétique, correspondans à d’autres nombres en proportion Géométrique, desquels ils sont appeliez Logarithmes. Comme il est libre de prendre telle progression que l’on voudra, on choi- íira la plus commode, qui est de prendre la progression décimale pour la proportion Géométrique ; & la progression des nombres naturels pour l’Arith- metique , en forte pourtant que le premier nombre Arithmétique , qui répond au premier Géométrique, ou à l’unité, soit o, c’est-à-dire,que le Logarithme de l’unité soit o , pour rendre l’usage des Logarithmes , comme vous voyez dans cette Table , où le Logarithme de i. est o, de i o. est x , de i oo est 2 , de iooo est 3, &ainst ensuite ,- ôc parcs trop'. e TrigonometeiBí PROPOSITION VIII. Trouver le Logarithme d'un nombre proposé P Our trouver le Logarithme d’un nombre donné, comme de 9 , qui est entre 1 & 1 o , dont on connoît les Logarithmes o. 0000000, r. 0000000, ou o. 00000000, 1. 00000000 en les augmentant chacun d’un zéro , pour avoir plus exactement le Logarithme qu’on cherche, à cause des fractions qui restent après la derniere figure ; augmentez auífi les deux nombres 1, 10, & tous les autres de la progression Géométrique , d’autant de zéros que leurs Logarithmes en contiennent, comme ici de sept zéros, pour avoir exactement dans le même nombre de figures le Logarithme du nombre proposé 9 , qui alors vaudra autant que 9 , 0000000 , comme 1. vaut autant que 1.0000000, que nous appellerons A , & 10, autant que 10. 0000000 que nous appellerons B : & faites ainsi. Cherchez (par la 6. ) entre A & B un moyen Géométrique proportionnel C, qui est moindre que le nombre proposé 9. 0000000 ; C’est pourquoi pour approcher davantage de ce nombre 9 , il faudra chercher entre les deux plus proches B & C , un iecond moyen proportionnel D , qui étant enr core moindre que le nombre proposé, 9. 0000000, & plus proche que le nombre trouvé C , on se cherchera entre ce plus proche C , & le plus grand B, uti troisième moyen proportionnel D , qui étant encore moindre que le nombre proposé 9.0000000 on cherchera pareillement entre ce plus proche D , & le plus grand B , un quatrième moyen proportionnel E , qui est encore moindre que le proposé 6 - QOOQooo 5 c’est pourquoi on cherchera de no u» Définitions. 29 Plomb. Proport. Logarithmes °l Q p 9.0021388 9.0008737 8.9996088 0 - 9543457 ° 0.95428467 0.95422363 0 9.0008737 0.95428467 R 000241 2 0.55415415 P 8.9996088 0.95422363 R 9.0002.41 2 0.95428467 S 8.9999250 0.95421889 P 8.9996088 0.95422363 R 9.0002412 0.95428467 T 9.0000831 0.95414652 S 8.999925° 0.95423889 T 9.0000831 0.55424652 V £.0000041 0.9542427 > s 8.9990250 0.95423889 V 9.OOOOO4I 0.95414171 X 8.9999650 0.9542408c s 8.9999250 0.95423885 ~Y 9.0000041 0.95424171 Y 8.9999845 0.95414217 X 8.9999650 0.9 542408e V £.0000041 0.95414271 z 8.9999943 0.95424223 Y 8.9999845 0.95424217 V 9.0000041 0.95424271 & 8.9999992 0.95424247 Z [ 8.9999943 0.95424223 V "vo” b 0 0 0 0 4*- 0.85424171 AA9-oooooi6 '0.95424255 & 8. 9999991'°-9 5 424247 AA 9.0000016,0.9 5424259 BE 9.0000004 0.95424253 & 8.9999992 0.9542424' BB 9.9000004:0.95424253 CC 8.9999998!o.9542425c & 8.999999 2| 0 -9 5 4 24 247 BI 9.0000004Ì0.9542425 ? DE 9.0000000I0.9 542425 - CC 8 . 9999998 ìo .9 54 i 424 ° jyonw. Proport. logarithmes 0000000 1611777 0000000 0000000 «13413 1611777 00000000 50000000 00000000 0000000 1 4989421:0. 6234132 o. 00000000 75000000 50000000 00000000 87500000 75000000 0000000 ji. 6596432^. 4989411(0. 00000000 93750000 87500000 Zo 57 io 4 'o. 8596432:0. 00000000 96875000 93750000 30 5 7204',o. 9768713(0. 649 643 2:0. 96875000 95311500 93750000 30572041° 139817010 ,9768713^ , 1398170 .0579777 o. 9768913 "0579777 0173335s 9768713s >0173333! 9970796 976871330 96875000 96093750 9531250° 96093750 95703125 O.95312500 0^5703115 95507812 95312500 95507812 95410156 95312500 0 - 73333 ,°' 0072008;°- 9970796;°- . 0072008;®. . 0021388!°- 9970796 ;°- 002138N0 99960880 9970796 o 95507812 95458984' 95410156 95458984' 9543457 ° 95410156 .95434570 - 95412363 .95410156 Zó Traite’ de Trígonometrîe. Veau entre ce prochainement moindre E, & le plus grand B > un quatrième moyen proportionnel F, qui quoique moindre que 9. 0000000 , en approche plus que le précédent D ; c’est pourquoi ost cherchera entre ce prochainement moindre F , & le plus grand B , un cinquième moyen proportionnel G , qui se rencontrant ici plus grand que 9. 0000000, on doit chercher entre ce plus grand G* 6c le plus petit F, un sixième moyen proportionnel H , qui est bien moindre que 9. 0000000, mais non pas avec une si grande différence que F , ainsi entre ce prochainement moindre H, 6c le prochainement plus grand G, on doit chercher ust septième moyen proportionnel I , qui est plus grand que 9. 0000000, mais non pas avec un si grand excez que G , c’cst pourquoi entre ce prochainement plus grand I, & le prochainement moindre H, il faut chercher un huitième moyen proportionnel K, qui quoique plus grand que 9. 0000000, en approche encore davantage que le précédent I. Ainsi en continuant à chercher entre le prochainement moindre, le prochainement plus grand des moyens Géométriques proportionnels, on aura des nombres qui approcheront toûjours de plus en plus du nombre proposé 9. 0000000, lequel enfin se trouve ici le ving-sixiéme moyen Géométrique proportionnel, dont le Logarithme sera connu sans peine ; car comme entre les nombres A, B, on a trouvé un moyen proportionnel Géométrique C , fi entre les Logarithmes des mêmes nombres A , B , on cherche ( par la 7. ) un moyen proportionnel Arithmétique, on aura le Logarithme du moyen proportionnel Géométrique C„ C’est de la même façon que les Logarithmes des autres moyens Géométriques proportionnels se découvriroient, 6c par conséquent le Lo- Définitions, z r garithme du dernier p. ooooooo, ou du nombre proposé p. dont le Logarithme se trouve tel , o. 9542425 i,ou o. p5424225 en retranchant la derniere figure i, vers la droite, à cause duzéro de surplus que nous avons ajouté au commencement. On trouvera de la même façon les Logarithmes des autres nombres entre 1 , Sc 10 ,8c des nombres entre 10, & 100, & pareillement des nombres entre 1008c 1000, & ainsi de fuite. Mais cette Méthode ne se doit appliquer qu’aux nombres premiers , c’est-à-dire qu’aux nombres qui ne font pas divisibles par d’autres ; car quand ils font composez , & que l’on connoît les Logarithmes des deux nombres qui les produisent par leur multiplication , il est évident ( par la 3. ) que la somme de ces deux Logarithmes , fera le Logarithme du nombre composé. Ainsi ayant trouvé le Logarithme de p j le double de ce Logarithme, sera le Logarithme de 81 , quarré de p , 8c la moitié du même Logarithme sera le Logarithme de 3 1 racine quarrée de p , ainsi des autres. Nous allons parler plus particulièrement des Logarithmes dans l’article suivant. DEL’USAGE DES TABLES. N Ous avons ajoûté fur la fin de ce Traité , deux grandes Tables de nombre, dont la premiere contient les Sinus, les Tangentes , 8c les Sécantes, avec les Logarithmes des Sinus 8c des Tangentes de tous les degrez 8c de toutes les minutes du quart de Cercle ; qui font tellement disposées dans chaque page, que les degrez 8c les . minutes d’une page, font avec les degrez 8c les minutes correspondantes de l’autre page qui regarde la premiere , toujours 90. degrez: 8c qu’ainsi les uns font les complemens des autres. Ce qui est très-com- 32 Traite 1 de Trigonométrie. mode dans la pratique , où l’on a presque toujours besoin du complément d’un arc, ou d’un angle que l’on trouve dans l’autre page vis-à-vis des degrez 6c des minutes de cet arc , fans avoir la peihe de les ôter de 90. degrez. Ainsi l’on connoít que le eomplement d’un arc, ou d’un angle de 3 5, 1 6. est de 54. 44. 6c que le eomplement d’un angle de p o, 20 est de 4p. 40. ainsi des autres* Chaque page contient un demi degré , ou trente minutes, lesquelles font marquées à côté vers la gauche, 6c les degrez eri haut avec le Sinus, leurs Tangentes 6c leurs Sécantes , pour un Sinus iotal de 10000000. parties , que l’on peut prendre seu j lement de 100000. parties dans les petites supputations , telles que font ordinairement celles de la, Géométrie Pratique, en retranchant deux zeros ; auquel cas on doit aussi retrancher deux figures à la droite de chaque Sinus , de chaque Tangente, áfc de chaque Sécante. Lesquelles figures pour cette: fin, nous avons séparées par un point, pour faire connoître qu’il faut s’arrêter à ce point, quand on veut avoir le Sinus , la Tangente, ou la Sécante d’un arc, pour un Sinus total de iooooo* parties. Ainsi si l’on vouloir avoir le Sinus d’un angle de 20. degrez 6c 15. minutes ; il faudroit chercher prernierement dans la Table la page, où il y a marqué en haut 20. degrez, 6c puis descendre tout du long de la colomne des minutes jufqu’à ce qu’on aye rencontré 1 p. qui corresponde à 3461 i.quife trouvent dans la colomne des Sinus ; ce nombre est le Sinus qu’on cherche , c’est-à-dire de 20. degrez, 6c ip. minutes. La Tangente du même angle se trouve auíîî dans le même rang, qui est 36891. Pareillement si l’on vouloir avoir la Sécante, elle se trouve auíîî dans le même rang qui est ici de 106588. ainsi pour les autres. Quant ( D ES INITIONS. 31 Quant aux Logarithmes des Sinus Sc des Tangentes, iis font pour un Sinus total beaucoup plus grand, fçavoir de iooooooo parties > ce qui fait voir évidemment , qu’en travaillant par Logarithmes , les grands calculs font non feulement plus faciles , mais encore plus exacts. Pour trouver le Logarithme du Sinus d’un angle de 12 degrez A 44 minutes. Je cherche comme ci-devant la page où les 12 degrez font marquez , & élans descendu jufqu’aux 44 minutes Z Retrouve que le Logarithme de 12. degrez & dé 44 minutes, est £ 34323 86 la Tangente du même angle fe trouve ainsi à côté. Nous avons omis les Logarithmes des Sécantes , parce qu’on s’en peut palier dans la pratique , comme vous verrez dans les deux Livrés fuivans * où tous les cas qui fe peuvent refondre par les Sécantes , fe résoudront auffi autrement, fçavoir paC les Sinus, ou par les Tangentes. La seconde Table contient les Logarithmes des nombres naturels , depuis l’unité , jufqu’à 10000 - ce qui suffit pour les calculs de la Géométrie pratique Si il est facile par ce qui a été dit de la prolonger jufqu’au Logarithme de 10000000, fans que l’erreur soit sensible; PROBLEME I. Multiplier ensemble deux nombres entiers moindre que 10000. C Herchez dans la seconde Table les Logarithmes des deux nombres proposez , & ajoutez ensemble ces deux Logarithmes , dont la somme sera lc Logarithme du produit des deux nombres donnez ( par la Prop. 4. ) C’est pourquoi ft z 4 Traite’ be Trigonométrie. Von cherche ce Logarithme dans la derniere Table , & on l’y trouvera toujours , pourvu qu’il ne surpasse pas 4. ooooooo, qui ess le Logarithme du dernier ác plus grand nombre i oooo de la Table , on trouvera vis-à-vis le nombre auquel il appartient, pour le produit de la multiplication. Comme pour multiplier ensemble ces deux nombres 144, 64, dont les Logarithmes font 2. 1 58 3625" , 1. 8061800 , lesquels étant ajoutez ensemble on a ce Logarithme 3. 9645425 , auquel il répond dans la Table 9 2 1 6, pour le produit des deux nombres proposez 144. 64. S C O L I E. II peut arriver que la somme des deux Logarithmes fera plus grande que 4. 0000000, auquel cas on ne pourra pas la trouver dans la derniere Table , pour lors on pourra trouver à quel nombre ce Logarithme appartient ( par Prob. 11. ) PROBLEME II. Diviser un nombre entier moindre que 10000, par un autre. C Herchez dans la seconde Table les Logarithmes des deux nombres proposez , & du Logarithme du Dividende ôtez le Lo^arihme du Diviseur , & le reste sera le Logarithme du Quotient. C’est pourquoi si l’on cherche ce Logarithme dans la derniere Table , ou son plus proche , on trouvera vis-à-vis le Quotient qu’ou cherche. Comme pour diviser 9216, dont le Logarithme est 3. 964542 5 par 64, dom le Logarithme D E ¥ I N ï í ì O N Si z 9 est i . 8061800 ; en ôtant ce Logarithme d u pré* cedent, il reste cet autre Logarithme 2. 1583 625"* auquel il répond dans la seconde Table, 143. pouf le Quotient de la Division. S C O L I E. Lorsqu’il y aura au Quotient une Fraction , ce que l’on connoítra quand le Logarithme qu’otî cherche dans la Table , ne s’y trouvera pas exactement, on connoítra cette Fraction, comme il fera enseigné dans le Prob. 11. PROBLEME III. Trouver la Racine quarrée cPun nombre donné moindre que 10000. S I l’on prend la moitié du Logarithme du noiiì- bre proposé, on aura le Logarithme de la Ra-* cine qu’on cherche. Comme pour trouver la Racine quarrée de ce nombre 9216, dont le Logarithme est 3. 964y42 J ; la moitié de ce Logarithme est 1.982272,à laquelle il répond dans là seconde Table, 9 6 pour la Racine quarrée du nombre proposé 9216. PROBLEME IV. Trouves la Racine cubique d’un nombre donné moindre que 10000. S I l’on prend le tiers du Logarithme dú nottl- bre proposé , on aura le Logarithme de la Racine qu’on cherche. Comme pour trouves la Racine cubique de nombre 9261, dont le Loga- z 6 Traité’de TuisoNoMEtRìB. rithme est ;.9666779 ; le tiers 6e ce Logarith- rae 1. 3222193 , auquelil répond dans la derniere Table, 21 pour la Racine cubique du nombre proposé 9261. PROBLEME V. Trouver le Logarithme d’unnombie entier plus grand que IOQOO. N peut trouver le Logarithme d’un nombre moindre que 10000 dans la derniere Table , par le moyen de laquelle on trouvera le Logarithme d’un nombre plus grand que 10000, par cne Méthode qui n’est pas bonne dans la rigueur Géométrique, mais qui ne manque pas sensiblement pour les nombres plus grands que 10000 juqu’à 10000000 : c’est pourquoi nous nous en servirons ici. Pour donc trouver le Logarithme d’un nombrç plus grand que i OOOO, & moindre que 10000000 comme de 3 367894: parce que ce nombre surpasse le plus grand de ceux , dont les Logarithmes lont marquez dans la derniere Table , & qu’ainsi on ne peut pas l’y trouver , ni par conséquent son Logarithme ; on retranchera de ce nombre les trois figures à la droite 894 , afin que le reste 3367 se puisse trouver dans la Table, & vis-à-vis son Logarithme 3. 3323031.On en pourroit bien retrancher plus de figures , máis comme le reste seroit plus petit, Sc que les différences des Logarithmes font au commencement de la Table plus inégales entr’ellcs, cela pourroit causer quelque erreur. Ainsi afin que Terreur soit moins considérable , on doit retrancher du nombre proposé le moins de figures à la droite que l’on pourra , afin que le reste Définitions. 57 se puisse trouver autant proche qu’il sera possible de la fin de la seconde Table, où les differences de« Logarithmes croissent plus lentement, c’est-à-dire où les Logarithmes approchent plus de la progression Arithmétique simple, telle que cette Méthode la suppose, laquelle ainsi donnera un Logarithme plus exact. En se servant donc du Logarithme z 3723031 de 3 p 67, qui vaut autant que z 567000, qui est 1000 sois plus grand que 3 5 67 ; à cause que c’est comme si du nombre proposé 3 3 67894 on en avoit ôté 894 , lorsqu’on en a retranché les trois signiez 894; on ajoutera à ce Logarithme 3.7723031 , le Logarithme de 1000 , qui est 3. 0000000, ce qui se fera par abrégé en augmentant la caractéristique 3 , du Logarithme 3, 372303 1 de 3 unirez, à cause des trois figures retranchées 894, car la multiplication se fait en Logarithmes par l’addìtion des Logarithmes des nombres multiplians , comme vous avez vû au Probl. 1. & l’on aura 6. 772303 r. pour le Logarithme de 3767000,lequel Logarithme est moindre que celui du nombre Î reposé, 3 567894; pour sçavoir de combien le .logarithme est moindre, ôtez-le Logarithme 3. 532303 1 de 3767 du Logarithme 3. 7724248 du nombre immediatement suivant 3768 le reste sera 1217 pour la difference des Logarithmes des nombres 3567,3568, laquelle est aussi la disse-* rence des Logarithmes des nombres 3367000 „ 3 368000 , dont la difference est 1000 , qui répond à la difference 1 217 de leurs Logarithmes, ainsi on dira par la Règle de Trois directe, si 1000 qui estl’excez de 3 768000 fur 3 3 67000, donne 1217 pour la difference de leurs Logarithmes, çombien donnera 894 qui eiU’excez du nombre z 8 Traite 1 de Trigonométrie. proposé 3 567894 sur 3 567000 ? & l'on trouvera 1087 pour la différence de leurs Logarithmes , laquelle par conséquent étant ajoûtée au Logarithme 6. 7523031 du plus petit 3567000, on aura 6. 55241 18 pour le Logarithme du plus grand nombre, ou du nombre proposé Z 567894, PROBLEME VI. Trouver le Logarithme du Sinus droit connu d’un arc . I L est évident par ls Problème précédent, que si le Sinus droit connu d’un arç est pour un Rayon de IOOOOOOO , on pourra connoître le Logarithme de ce Sinus, comme il vient d’être enseigné Mais si ce Sinus connu est pour un Rayon de 10000000000 parties, pour lequel les Logarithmes des Sinus , des Tangentes , & des Sécantes ont été supputez dans la premiere Table , quoique ces Sinus, ces Tangentes , & ces Sécantes n’y ayent été calculez que pour le Sinus Total de 10000000 parties ; dans ce cas le Sinus proposé pourra être plus grand que 10000000, & la Méthode du Probleme précédent ne pourra plus servir, parcs que les différences des Logarithmes seront trop. inégales , pour pouvoir donner au juste le Logarithme d’un nombre si grand. Alors il est absolument; nécessaire de se servir d’une Table des Logarithmes plus ample que la seconde , où il y ait au moins les Logarithmes des nombres jus- qu’à 100000 , telle qu’on la trouve dans VArithmétique Logarithmetique d’Henrys Brigs , dont nous nous servirons en raisonnant comme dans le Problème précédent, pour trouver le Lo- Définitions. 39 garìthme du Sinus proposé d’un arc, par exemple de ce Sinus 422618261-7, qui appartient à un arc de 2 y degrez, pour un Rayon de 10000000000 parties,comme vous allez voir. Parce que le nombre proposé 42 2 618 r 61 y ne se trouve pas dans la labié des Logarithmes , on en retranchera vers la droite les cinqfigures82 617, afin que le reste 4.2261 s’y puisse trouver, & vis-à- vis son Logarithme 4. 625:9398, dont le caractéristique 4. doit être augmentée de y unirez, qui valent autant que 5.0000000, qui est le Logarithme de 100000, à cause des y. figures retranchées 82617 , qui font que le reste 42261 vaut autant que 4226100000,qui est 100000 fois plus grand que 42261 , dont le Logarithme par conséquent fera <7. 6259398^01 est moindre que le Logarithme du nombre proposé 42261 82617 :& pour sçavoir de combien il est moindre, ôtez le Logarithme 4. 6279398 de 42261 , du Logarithme 4: 6279500 du nombre immédiatement suivant 42262,1e reste sera 103 pour la difference des Logarithmes des nombres 42261,42262 , laquelle est aussi la difference des Logarithmes des nombres 4226100000 , 4226200000 , dont la difference est r00000 , qui répond à la difference 103 de leurs Logarithmes. C’est pourquoi on dira par la Réglé de Trois directe , si 100000 qui est l’excez; de 4226200000 fur4226100000 , donne 10Z pour la difference de leurs Logarithmes , combien donnera 82617 qui est l’excez du nombre proposé 42261 82617 fur 4226100000 ? Sc l’on trouvera 8 y pour la difference de leurs Logarithmes , laquelle par conséquent étant ajoutée au Logarithme 9. 62 59 398 du plus petit 4226100000, on aura 9. 6259483 pour le Logarithme du glus. 40 Traite* de Triqonometrie, grand 42261 82617, ou du Sinus proposé d’un arç op d’un angle de 25" degrez. S C O L I E. On peut se servir de la seconde Table sans qu’il soit besoin de la prolonger, parce que par le moyen du Frobl. y. on peut trouver les Logarithmes des deux nombres 42261, 42262 , 6c par conséquent ceux des deux nombres 4226100000, 4226200000 , en augmentant les caractéristiques chacune de y unitez, parce que ces deux nombres font multiples des deux précedens par ce nombre 100000 , dont le Logarithme est y. 0000000; après quoi on achevera ie reste, comme il a été enseigné dans ce Prclàlême, ou dans le précédent. PROBLEME VIL Trouver les Logarithmes des Tangentes & det Sécantes. I Es Logarithmes des Tangentes & des Sécantes - j se peuvent supputer de la même façon que les Logarithmes des Sinus : mais cela se peut faire plus facilement & plus exactement par le moyen des Logarithmes des Sinus , comme vous allez voir. Parce que la Tangente d’un arc est quatrième proportionnelle au Sinus du Complément, au Sinus droit j & au Sinus Total, il s’ení’uit que si au Logarithme du Sinus de Lire proposé on ajoûte le Logarithme du Sinus Total, & que de la somme on ôte le Logarithme du Sinus du complément, on aura le Logarithme de la Tangente du même arc. Comme si Ton propose un arc de 2 y. degrez dont le Logarithme du Sinus est 9. 625948^, & le Logarithme du Sinus de complément est 9. Définitions. 41 997275" 7. 6 l’on ôte ce Logarithme de la somme 19. 6259483 , du Logarithme9. 625948; du Sinus de 2s degrez, Sc du Logarithme 10. 0000000 du Rayon , le reste 9. 6686926 fera le Logarithme de la Tangente de l’arc proposé de 2 5 degrez, dont la Tangente du complément se trouvera par Logarithmes , en ôtant du double du Logarithme du Rayon le Logarithme de la Tangente, qui vient d’être trouvée, parce que le Rayon est moyen proportionnel entre ces deux Tangentes, ce qui fait que la somme des Logarithmes de ces deux mêmes Tangentes est double du Logarithme du Sinus Total. Pareillement parce le Rayon est moyen proportionnel entre la Sécante d’un arc & le Sinus du complément, ìls’ensuit que fi du double du Logarithme du Sinus Total on ôte le Logarithme du Sinus du complément de l’arc proposé , on aura le Logarithme de la Sécante du même arc. Comme fi l’on propose le même arc de 25" de ’ grez, dont le Logarithme du Sinus du complément est 9. 99 72797 : fi l’on ôte ce Logarithme du double 20. 0000000 du Logarithmedu Sinus Total , il restera 1 o. 0427243 pour le Logarithme de la Sécante de 25 degrez. PROBLEME VIII. Tramer le Logarithme du Sinus verse a'un arc propose. £T Parc proposé est moindre qu’un quart de Ccr- v_ 3 c!e , en ôtant son Sinus du complément du Sinus Total , on aura son Sinus verse , Sc Parc proposé est plus grand qu’un quart de Cercle, enajoû- WU le Rayon au Sinus du complément, on aura le 4a Traite’ de Trigonométrie. Sinus verse , lequel étant ainsi connu , on en pourra connottre le Logarithme pat Probl. y. Mais cela se peut faire immediatement & plus facilement en cette forte. Parce que le quarté du Sinus d'un arc est égal au produit fous le Sinus verse de cet arc & la moitié du Rayon, su le Sinus de 30 degrez, il s’enfuit que si l’on divise le quarté du Sinus de la moitié d un arc toujours parle Sinus de 30 degrez» on aura le Sinus verse du même arc. D’où il suit que si du double du Logarithme du Sinus de la moitié de l’arc proposé on ôte toujours ce nombre 9. 6989700, qui est le Logarithme du Sinus d'un arc de 3 o degrez, on aura le Logarithme du Sinus verse de l’arc proposé. Comme si l’on propose un arc de 2 y degrez , dont la moitié est 12. 30. Le Logarithme du Sinus de cette moitié est 9. ZZyZ Z 68, dont le double est 1 8. 670673 6 , duquel ôtant le Logarithme 9. 6989700, le reste 8. 971703 6 est le Logarithme du Sinus verse de l’arc proposé de 2 y PROBLEME IX. Trouver le Logarithme (Tune Fraíiionproposée.. O us avons remarquez au commencement de _ _ ce Chapitre , que le Logarithme d’une Fraction , qui est moindre que l’unité, dont ìe Logarithme est o , est un nombre nié, lequel est égal à la difference des Logarithmes du Numérateur ô; du Dénominateur de la Fraction proposée. Ainsi on connoîtra que le Logarithme de cette Fraction î — est o. 1249 3 8 8 , & que le Logarithme, de celle-ci, y est—o. 3617278. Ainsi des autres. 4 ? Definitio n s. PROBLEME X. Trouver le Logarithme d , un nombre entier avee une Fraction. P Our résoudre ce Problème, il faut du nombre entier donné avec sa Fraction, en faire une Fraction impropre, dont le Logarithme étant trouvé par Probl. 9. sera celui qu’011 cherche , mais il fera affirmé, parce que la Fraction impropre est plus grande que i’unité. Ainsi on eonnoîtra que le Logarithme de j ~ , ou de est o. 76 3 3 277 : 6c que le Logarithme de 25 -Ì , ou de-~- est 1. 4107772. Ainsi des autres. PROBLEME XI. Trouver à quel nombre appartient un Logarithme donné. P Remierement si le Logarithme donné est moindre que le dernier & plus grand 4. 0000000 de la seconde Table , qui est le Logarithme de 100 00, il fe pourra toujours trouver dans cette Table , ou pour le moins celui qui en approchera le plus , pour avoir vis-à-vis à la gauche le plus proche nombre entier, auquel le Logarithme proposé appartient. Mais pour avoir ce nombre plus exa- temer.t , lorsque le Logarithme proposé ne sç trouvera pas entierement dans la derniere Table , on fera ainsi. Pour connoítre par exemple à quel nombre appartient ce Logarithme 3.9 j 3 1 2 Jo, qui est moindre que 4 0000000, cherchez ce Logarithme dans la seconde Table , Sc par ce qu’il ne s’y trouve pas exactement, arrêtez-vous au Logarithme 3. 9X30828 , qui est moindre 6c plus proche , au- 44 Traite’ de Trigonométrie. quel il répond à la gauche ce nombre 8976, qui fait connoître que le Logarithme proposé 3.9731270 appartient à 8976,6c quelque chose de plus, qui ne sçauroient être qu’une Fraction, que l’on trouvera en cette sorte. Si vous voulez que le Dénominateur de la Fraction qu’on cherche , soit par exemple 100, en sorte que l’unité ou l’entier soit divisé en 100 parties égales , pour trouver le Numérateur , ôtez du Logarithme proposé 3. 97 3 12 5 o,le Logarithme prochainement moindre 3.9730828 de 8976,pour avoir l’excez 422 du Logarithme proposé sur le Logarithme de 8976. Otez auííì le même Logarithme moindre 5. 9 5 30828 du Logarithme immédiatement suivant Z-95ZIZI2 de 8977, pour avoir I’excez 484, qui répond à l’unité, ou à 100 parties, parce que c’est la différence des Logarithmes des nombres 8976, 8977 , c’eff pourquoi pour trouver à proportion ce que doit donner l’excez 422 du Logarithme proposé sur le Logarithme de 897 6 , on dira par la Réglé de Trois directe, si l’excez 484 donne 100 parties, combien donnera l’excez 422 ? vous trouverez 87 parties pour le Numérateur de la Fraction qu’on cherche, laquelle par conséquent sera . Ainsi on dira que le Logarithme proposé 3.95-31270 est le Logarithme de 8976 assez près. J’ai dit assez près , parce que cette Méthode n’est pas bonne dans la rigueur Géométrique , mais elle ne manquera pas sensiblement, quand le Logarithme proposé se trouvera entre ceux de 1000 & de 10000, dont les différences sont à peu près proportionnelle à celles de leurs nombres. C’est pourquoi lorsque le Logarithme proposé sera moindre que celui de 1000 , pour trouver plus exactement ( Définitions. 45 à quel tìombre U appartient, on l’augmentera du Logarithme de tel nombre qu’on voudra , pourvu que la somme se puisse trouver entre les Logarithmes de 1000 & de 10000,& ayant trouvé, comme il vient d’être enseigné, à quel nombre ce Logarithme appartient , on divisera ce nombre ainsi trouvé par celui dont le Logarithme a été ajoûté au proposé, parce que l’addition des Logarithmes est une multiplication en nombres absolus, pour avoir ainsi le nombre qu’on cherche avec sa Fraction, autant exactement qu’il est impossible. Comme pour sçavoir à quel nombre appartient ce Logarithme 1.824294,5, qui est trop petit, on lui ajoutera ce Logarithme 2.0000000, qui appartient au nombre 100 , & l’on aura cet autre Logarithme z. 8243945 , qui appartient à ce nombre 6674 , lequel étant divisé par 100, qui est le nombre dont le Logarithme a été ajoûté au Logarithme proposé, on aura 66-^-|-^ì-, pour le nombre qui appartient au Logarithme proposé 1. 8243945. Secondement si le Logarithme donné est plus grand que le dernier 4. 0000000 dc la seconde Table, comme seroit 4. 5524118 , on trouvera à quel nombre appartient ce Logarithme qui ne se peut pas trouver dans la derniere Table, pour être trop grand , en le diminuant dû Logarithme d’un nombre le plus petit que l’on pourra, en forte que le reste se puisse trouver dans la seconde Table, comme de ce Logarithme o. 6020600 , qui appartient au nombre 4, &i! restera cet autre Logarithme 3. 9503158, qui appartient au nombre 8919 -ZJL , lequel étant multiplié par le nombre 4, dont le Logarithme a été ôté du proposé, parce que la soustraction des Logarithmes est une di- 4^ -Traite’de Trigonométrie. vision en nombres vulgaires , on aura 35678 f-f- pour le nombre qui appartient au Logarithme proposé 4. 55241 1 8. PROBLEME XII. Trouver le Sinus, la Tangente , ou la Sécante T un arc ou d?un angle connu en Degrez , Minutes, & Secondes. P Our trouver par exemple le Sinus d’un arc ou d’un angle de 40 degrez, 3 2 minutes , A 22 secondes, on trouvera dans la premiere Table que le Sinus de 40 degrez & 3 2 minutes est 64989034 auquel il faut ajoûter quelque chose à raison des 22 secondes qui font du surplus : & pour trouver ce qu’il lui faut ajoûter, ôtez-le du Sinus immédiatement suivant 6501114, pour avoir leur diffe- rence 2211, qui répond à une minute , ou 60 secondes. C’est pourquoi on dira par la Réglé de Trois directe , si 60 secondes donnent 2211 pour l’excez du Sinus 40. 3 3 1 . fur le Sinus de 40. 3 2 1 . combien donneront 22 secondes ? & l’on trouvera 8 11 pour l’excez du Sinus de 40. 3 2 1 . 22 1 , fur le Sinus de 40. 32 1 , si donc on ajoute cet ex- cez ST 1 au Sinus 6498903 de 40. 3 2 1 , on aura 6499714 , pour le Sinus de Tare proposé de 40. 3 2 1 . 22. On trouvera de la même maniéré le Logarithme du Sinus d’un arc ou d’un angle proposé en de' grez ^minutes, & secondes , & il est aisé de juger que l’on peut ausiì trouver de la même façon les Tangentes & les Sécantes , soit cn nombres absolus , ou en Logarithmes, mais elles ne se trouveront pas si exactement que le Sinus, parue que leurs diíferences font plus inégales. 47 Définitions. PROBLEME XIII. Trouver les Degrez , les Minutes , & les Secondes d’un Sinus , dé une Tangente, ou d’une Sécante proposée. Our trouver à quel angle , ou à quel arc ap» p partient par exemple ce Sinus 6297824., ou cherchera ce Sinus dans la premiere Table, & comme il ne s’y trouve pas exactement, on s’arrê- tera à son plus proche & moindre 6297724 qui répond à un arc de 59 degrez & 2 minutes, ce qui tait connoître que le Sinus proposé 6297824 appartient à un arc ou à un angle de 3 9. 2 1 , Sc quelques secondes de plus, & que l’on trouvera en cette forte. Otez ce Sinus moindre 6297724 de son fui* vant 6299983 , qui appartient à un arc de 39. 3 1 , pour avoir leur difference 2 2 j 9 , qui répond à une minute , ou à 60 secondes. Ótez-le aussi du Sinus proposé 6297824, pouravoir leur difference 100, & dites par la Réglé de Trois directe; si l’çxcez 2259 du Sinus de 39. 3 1 , fur le Sinus de 39. 2*, donne 60 secondes, combien donnera l’excez 100 du Sinus proposé sur le même Sinus de 3 9. 2 1 ? Sc vous trouverez 2 secondes pour le surplus qu’on cherche ; de forte que vous prononcerez que le Sinus proposé 6297824 appartient à un arc de 39. 2 1 . 2". On trouvera de la même façon les Degrez , les Minutes, Sc les Secondes d’un Logarithme de Sinus : Sc il est facile de concevoir que cette Méthode se peut aussi appliquer aux Tangentes Sc aux Sécantes , mais elles ne donneront pas les secondes si exactement, parce que leurs differences font plus inégales. 43 Tràite’ de Trigonométrie. PROBLEME XIV. Trouver le Logarithme de la différence de deux nom~ bres quarrez donnez. P Arce que la diíFerence de deux nombres quar- rez est égale au produit fous la somme Sc la diíFerence de leurs cotez, il s’ensuit que si Fort ajoute ensemble les Logarithmes de cette somme & de cette diíFerence , on aura le Logarithme ds la diíFerence des deux quartez proposez. Comme si l’on propose ces deux nombres quar- rez 655 3 6 ,2073 6 , dont les cotez font 256, 144, desquels la somme est 400 , & la diíFerence est 112 , dont les Logarithmes font 2. 6020600, 2.0492180; la somme 4. 6512780 de ces deux Logarithmes fera le Logarithme de la diíFerence 44800 des deux quartez proposez. «f Cn est averti qn'aux Titres des pages oh ily a Définition!, il devoit y avoir de la Construffion des Tables. TROISIE’- Db Là TriGOMoM. RECTItISNE. 49 TROISIEME PARTIE. Du calcul des Triangles rectilignes. PRO POSITION. I. Si dans un Triangle rectangle , la base ejl prise pout le rayon du Cercle , les cotez seront les Sinus des angles opposez. A U Triangle rectangle ARC, si lé côté BC , ^2* est pris pour le rayon du Cercle , je dis que AB fera le 6inus de l’angle C, & que AC fera le Sinus de l’angle B. Pour le prouver. Par la définition dû Sinus, AB est le Sinus de l’arc BD , ou de l’angle C ; de même BE, ou son égal AC > est le Sinus de l’arc BF, ou de l’angle BCF, mais l’angle ABC est égal à l’angle BCF ; par conséquent le côté AC est le Sinus de l’angle ABC. C. Q. F. D. Corollaire I. Dans un Triangle rectangle la base étant connue , avec un des angles , l’on connoîtra l’autre angle & les côtez. Soit BC 3 7 .Sc l’angle ACB z 6 degrez, l’angle ABC son complément a po degrez fera de y4 de-» grez, maintenant le Sinus de 36 degrez est 58779. & le Sinus de y H. degrez est 80902 ; ensuite de quoi l’on trouvera AB 2 i. t. \ ou environ, A AC 30. t. ou environ, D Traite’ de Trigonométrie. Car comme BC , iooooo. estàBC 37. toisesi ainsiAB, 58779 est à AB 21. toises jou environ. De même , commelBC , 100000 , est à BC 3 7. toises, ainsi AC 80902 est à AC 3 o toises ou environ. Corollaire II. La base étant encore donnée avec l'un des cotez, on connoîtrales deux autres angles &l’autre côté. Soit encore la base BC 37. t ôc le côté connu AB 22 t. on trouvera sangle ACB de 3 § degrez 29 minutes. Car comme BC. 3 7. t. est à BC , 1 osooo ainsi AB 22. t. est à AB 59459. Sinus de sangle ACB qui vaut 3 6 degrez 29 minutes, &pour le côté AC , on le peut trouver, ou par le précédent Corollaire , à cause que sangle C étant connu , tous les trois le font avec la base ; ou par la 4 7. du 1. Corollaire III. Etant encore donné l’un des cotez avec les angles , on connoîtra la base & l’autre côté. Soit AC 30. t. 6c sangle ABC 55 degrez , on trouvera BC ; 6. toises. Car comme AC Sinus de sangle ABC, 8 191 5 est à AC 3 o toises, ainsi CB 100000 est à CB 3 6 toises, & pour le côté AB il se peut trouver par le 1. Corol. ou par la 47 du i. Db la Trigonom. Rsctilignï. r $ t , PROPOSITION II. Si dans un Triangle reâangle , P un des cotez ejl pris pour le rayon du Cercle , Vautre côté fera la Tangente de Vangle auquel il eft oppose , & la base en sera la Sécante. A U Triangle rectangle ABC , le côté AC'Fîg. étant pris pour le rayon du Cercle ; je dis xjue AB est la Tangente de Pangle C, Sc que CB cn est la Sécante. Car après avoir du centre C, 6cde Pintervalle CA, décrit le Cercle ADE, il est évident ( par la définition de la Tangente ) que AB perpendiculaire au rayon est la Tangente de Parc AD , ou de Pangle C. Corollaire I, Etant donc connu , Pun des cotez d’un Triangle rectangle , avec les angles, l’on connoîtra Pau- tre côté 6c la base. Ce Corollaire est une autre maniéré de trouver la même chose que ce qui a été trouvé par le Corollaire précédent. Soit AC j 3 toises, 6c Pangle C 3 4, degrez , l'on connoîtra le côté ÀB 3 6 toises. Car comme AC 100000 est à AC y 3. toises, ainsi AB Tangente de Pangle C 6yq,y 1 , est à AB 3 6 toises. De même pour la base CB , comme AC 100000 est à AC y 3 toises,ainsi CB Sécante de C, i 20622 est à CB 6 3 toises. Corollaire II. Les cotez d’un Triangle rectangle étant connus , on connoîtra les deux autres angles 6c la base. Dij fìg. n; Plan. i . Fi g. 16. Plan. r. Fi g. 18. y 2 Traite’ de Trigonométrie* Au Triangle ADC,le côté AC étant 5 3 toises» & AB 3 6. toises , l’on connoîtra pretnierement la base ( par la 47. du 1. ) puis on connoîtra l’angle C de 34. degrez 11. minutes. Car comme AC p 3. toises est à AC 100000. ainsi AB 3 6. tois. est à AB Tangente de l’angle C 67924 dont l’angle vaut 34.degrez 11. minutes. PROPOSITION III. E» tout Triangle les côtes font en même raison qitt les Sinus de leurs angles opposez. A Tant fait passer la circonférence d’un Cercle par les sommets des trois angles A , B & C , les trois cotez du Triangle feront des cordes fur lesquelles fi on abaisse du centre L, des perpendiculaires, LG, LH, & LI, elles seront chacunes partagées en deux également aux points D , E, F, auflì bien que les arcs qu’elles soutiennent. Or l’angle C a pour mesure la moitié de Tare BGA sur lequel il s’appuye ( par la 20 du 3. ) mais nous avons dit dans nos définitions, que le Sinus d’un angle étoit la moitié de la corde d’un angle double : cela étant la ligne DB fera donc le Sinus de l’arcGB, ou de l’angle C , par la même raison BE est le Sinus de sangle A, & CF de l’angle B ; mais AB » même raison à sa moitié DB , que BC à sa moitié BE ; donc en raison alterne AB est à BC, comme DB Sinus de l’angle C, est à BE Sinus de l’angle A. De même BC fera à CA , comme EC Sinus de l’angle A, esta CF Sinus de l’angle B. C. Q. F. D. Corollaire. II fuit de cette Proposition que dans un Triangle qui n’est pas rectangle, tel que EFG ; si l’on con- Boît l’angle F de 43. degrez, qui est opposé au côté Dë la Trigonom. Rectiligne. 53 EG de i 2. toises , l’on connoîtra aisément par le moyen de l’angle G de 54. le côté EF qui lui est opposé; en faisant cette analogie. Comme le Sinus 68 199 de l’angle de 43 degrez esta 12 toises côté opposé,ainsi 81915 Sinus de 54. degrez est au côté EF que je cherche , & qui se trouve ici de 14. toises , Sc près d’un tiers. II est bon de remarquer que dans les Colloraires précedens, auffi bien que dans celui-ci, lorsqu’on dit en analogie , comme le Sinus de cet angle là est à ce côté-ci, ainsi le Sinus de cet angle ci est à ce côté-là ; c’est la même chose que si l’on disoit si le Sinus de cet angle-là m’a donné tant pour son côté opposé, que donnera cet angle- ci pour son côté opposé que je cherche. Ceci est comme vous voyez l’opération de 1 % Réglé de Trois. PROPOSITION IV. La fimme des deux cotez inégaux d’un Triangle qui n efl pas équilatéral,efl à leur différence , comme la Tangente de la moitié de la somme des deux angles opposez à ces deux cotez inégaux, efl à la Tangen* te de la moitié de la différence des mêmes angles. J E dis que des deux côtez inégaux AC, BC, du pi an> a; Triangle ABC, la somme est à leur différence, Fig. 14. comme la Tangente de la moitié de la somme des angles A, B opposez à ses deux côtez , est à la Tangente de la moitié de la différence des mêmes angles AB. Décrivez de l’angle C , compris par les deux côtez AC , BC, dont il est question, parla pointe de l’un de leurs angles opposez A, B, comme par la pointe B , une circonférence de Cercle EBDH. Prolongez l’un des deux mêmes côtez AC , BC ^ Plan. : îig- H- 54 Traite’ de Trigonométrie. comme AC, de part & d’autre jusqu’àla circonférence du Cercle aux points D, E , & joignez les droites BD, BE, qui seront perpendiculaires en- tr'elles ( par la 3 1. du 3. ) Sc alors on connoîtra aisément que AD est la somme des cotez AC, BC; à cause des deux lignes égales BC, CD , &que AE est la difference des mêmes cotez AC, BC, à cause des deux lignes égales BC , CE. Tirez encore du point E , la droite EF parallèle à la droite BD , & par conséquent perpendiculaire à la ligne BE ( par la 29. du ». )laquelle ligne EF rencontre le troisième côté AB prolongé en F. Décrivez encore du point E parle point B, l'arcde Cercle BG, qui ( par la 1 6 . du 3. ) sera touché en B par la droite BD, laquelle par conséquent sera la Tangente de cet arc BG , ou de sangle BED qu’il mesure , à s égard du Sinus total EB : & du point B par le point E, Tare EI,qui ( par la 16 du. z. ) fera touchée en E , par la droite EF , laquelle par conséquent sera la Tangente de l'arc EI, ou de l’angle AEB qu’il mesure ; & alors on connoîtra ( par la 3 2. du 1. ) que sangle BCD , est la somme des deux angles A, B, &( par la 20. du 3.) que sangle BED est la moitié de cette somme ; d’où il suit que la ligne BD est la Tangente de la moitié de la somme des angles A, B, àl’égard du rayon EB, on connoîtra aussi( par la 3 2. du r. ) que sangle A surpasse sangle BED, du petit angle ABE, & que sangle B est surpassé parle même angle BED, ou BEC son égal ( par la 5. du 1.) du même petit angle ABE, ' Sc que par conséquent ce petit angle ABE est la moitié de la difference des deux angles A, B , Sc qu’ainsi la Tangente de la moitié de leur difference est EF. Je dis donc que la somme des cotez AD » est à leur difference AE, comme la Tangente BD de la moitié d# la somme des angles, est à la Tan- Dë là TriSoNom. Rectilignb. y$ gente EF de la moitié de leur difference. Farce que les deux lignes DB, EF font parallèle ( par la construction ) les deux angles alternes BDE , DEF, seront égaux ( par la 29 du 1. )& parce que les deux angles opposez au sommet BAD, EAF, sont aussi égaux entr’eux ( par la 1y. du r. ) il s’ensuit ( par la 3 2. du x. ) que les deux Triangles ABD, ABF font équiangles ; & ( par la 4. du 6- ) que les quatre lignes AD, AE, BD, EF, font proportionnelles. C. Q. F. D. Corollaire. 11 s’ensuit de là que fi deux cotez d’un Triangle scalene , sont donnez, avec sangle qui est enfermé par ses deux cotez, on trouvera les deux autres angles, & le troisième côté, par exemple. Au Triangle ABC, le côté AB étant de 4 J. Plan; u toises, AC de 30. toises ,& sangle A qui est en- Fig. ip. fermé par ses deux cotez, de 9 y. degrez, sangle C sera trouvé de 52. degrez y 3. minutes. Car en ôtant sangle A qui est connu de 180. degrez, restera 8y. degrez pour la somme des deux angles B & C. Or comme la somme des deux cotez AB , AC, 73 toises, est à leur difference xy. toises, ainíì 91633. Tangente de 42. degrez 3 o. minutes, moitié des deux angles B&C, est à 18326. Tangente d’un autre angle, dont le plus grand angle C , surpasse cette moitié ; mais par les Tables on trouve que 18 3 2 6. est la Tangente de 10. 23. minutes. Si donc son ajoute 10. deg. 2 3. min- avec 42. degrez ;o. minutes, moitié des deux angles , il viendra y2. degrez y 3. min. pour le plus grand angle C. D’où il s’ensuit que si son ôte ces 10. degrez 23. minutes, de 42. degrez 3 o. minutes , p 5 S Traite’ ce Trigonométrie, U restera ; 2. degrez 7. minutes pour sangle B, Quant au côte BC , il fera trouvé de 5 6 . toises, car comme y 3 164. Sinus de sangle B est à syn côté opposé 30. toffes, ainsi pp 61 p. Sinus de sangle A, qui est le même que celui de son complément à deux droits , ou de 8 5. degrez est à son côté op- poíé BC , 56. toises. PROPOSITION V. Si dans un Triangle qui ne soit pas équilat éral , on tire du plus grand'angle fur la base une perpendiculaire qui la Avise en deux segmens inégaux , il y aura méme taifin de cette base a la somme des deux autres cotez , que de leur difference, à la difjerence des segmens . Plan. r. Fig. 17. J E dis que si du plus grand angle C , du Triant gle ABC, dont les deux cotez AC, BC , font inégaux , on tire fur la base AB, la perpendiculaire CF qui la divisera en deux segments auffi inégaux AF , BF : il y a même raison de la base AB, à la somme des deux autres cotez AC , BC , que de leurs differenccs à la différence des segments AF, BF. Décrivez comme auparavant de sangle C,àsin- tervale de sun des deux cotez AC, BC , comme du plus grand BC , une circonférence de Cercle BEGD prolongez sautre côté AC, & la base AB 3 jusqu’à la circonférence du Cercle aux points D, E , G, & vous aurez AD pour la somme des cotez AC , BC, à cause des lignes égales BC , CD ; AE pour la différence des mêmes cotez AC, BC , à cause des lignes égales BC , CE : & AG\ pour la différence des segments AF , BF à cause 4 eslignçségales FG, FB, ( parla z. du3. ) je De la Trigonoiì. Rectiligne. j? ídis donc que la base AB est à la somme des cotez AD, comme leur différence AE, est à la différence AG, des segments. Parce que le rectangle fous les lignes AB, AG est égal au rectangle des lignes AD , AE ( par la z 5. du 3. ) il s’cnsuit ( par la 14. du 6. ) què les quatre lignes AB , AD , AE , AG font proportion-, nelles. C, Q. F. D. Corollaire» Etant donc connus les cotez d'un Triangle sea- Plan. iene , pour connoître ses angles , il faut du plus^S - '?■ grand angle abaisser une perpendiculaire fur la base , & l’on trouvera les segments de la base , & la valeur de la perpendiculaire , & ensuite les angles du Triangle. Par exemple. Au Triangle ABC , le,côté AB étant 48. toises AC 2 6 . 8 c BC 54. du plus grand A, étant abaissé la perpendiculaire AF , on trouvera FB 42. toises , 8 c FC 12. toises. Car comme BC 5-4. toises est à BA, & AC 74. toises, ainsi BG 2 2. toises ( difference des deux cotez BA , ) est à RE 30. toises & ôtant donc BE de BC : reste EC 24. toises , 8 c divisant EC çn deux également parla perpendiculaire AF, FC, vaudra 12. toises , 8 c BF 42. toises. On connoît donc les Sections BF , FC, maintenant pour trouvçr les angles ; voici comme il faut; proceder. D’autant qu’au Triangle rectangle AFB, la base AB , 8 c le côté BF sont connus , on trouvera sangle B de 28. deg. ( parles Corollaires de la 1. 8 c 2.) de même sangle C fera trouvé dans le Triangle rectangle AFC ; ce qui étant trouvé, le troisième BAC est auffi connu étant le complemenî de 180. deg, Plan. Fig. io. 2 S Traite’ de Trigônòmetkìï. Remarquez que quand le Triangle est Isocèle } íì les trois cotez font connus , pour connoître les angles, il faut du sommet de sangle enfermé des deux cotez égaux abaiílèr une perpendiculaire » qui coupera la base en deux parties égales, & partant on aura deux cotez & sangle droit connu ; & pour connoître le reste , il faudra opérer suivant le 2. Corollaire de la premiere Proposition. Après avoir donné dans les Corollaires précedens la maniéré de trouver les angles & les cotez des Triangles; par le moyen des Sinus, des Tangentes & des Sécantes, il est à propos de finir cette troisième partie, &de donner quelques Problèmes qui enseignent la maniéré de trouver les cotez Sc les angles d’un Triangle par le moyen des Logarithmes , & pour en faciliter l’usage ; d’autant que son agit bien plus brièvement par cette voye ci que par la précédente, puisqu’au lieu de multiplier Sc de diviser, il n’est besoin que d’additionner , & soustraire ; ce qui donne beaucoup de facilité dans la pratique. Probleme. *• Dans le Triangle ABC, on a sangle droit C ' de connu, & sangle aigu A avec le côté AC , on demande la valeur du côté BC , il faut procéder ainsi,comme le Sinus Total de ioooooooo est à la Tangente de sangle A de 49. deg. dont le Logarithme est de 100608 j 69. ainsi le Logarithme ducôté AC de 20. toises, qui est de 1 3010300. est au Logarithme du côté BC que je cherche. Remarquez qu’au lieu d’avoir mis simplement le côté de 20. toises , comme ci-dcvant, on a mis son Logarithme qu’on a cherché dans la seconde Table. Maintenant pour trouver ie côté BC, il faut De la Trigonom. Rectieigne. 59 additionner le second terme avec le troisième, c’est-à-dire, 100608369. avec 130010300. leur somme sera 113618669, d’où ayant soustrait le premier terme qui est 1 oooooooo, le restant ou la difference sera 13618 669. pour le Logarithme du côté BC.Si l’on cherche dans la seconde Table le nombre qui approche le plus de celui-ci, íl correspondra à un nombre qui se trouve de 23» qui est la valeur du côté BC. Si dans le même Triangle ABC, on ne connois- soit que l’angle droit C , avec les deux cotez AC Sc CB , & que l’on voulût connoître l’angle B , il taudroit chercher le Logarithme du côté BC , aussi bien que celui du côté A C , Sc puis dire ; comme le Logarithme du côté BC est au Logarithme du côté AC, ainsi le Sinus Total de 1 oooooooo est à la Tangente de l’angle B. Le Logarithme de cette Tangente étant trouvé , il faut chercher dans la premiere Table le nombre qui en approche le plus dans la colomne des Logarithmes des Tangentes , il correspondra à un angle de 41. degrez , qui est la valeur de l’angle B, 6c en même tcms le complément de sangle A. *3* So Tbaite’ de Trisoiíometrï» ïí±ï *J& - $*$>**& 4»V QUATRIEME PARTIE. DE LA RESOLUTION DES TRIANGLES SPHERI QUE S. L A Trigonométrie Sphérique enseigne la mac niere de supputer les parties d’un Triangle Sphérique , par des raisonnemens qui se tirent de» propriétés qui sont bien difFerentes de celles des Triangles rectilignes , étant d’une Théorie beaucoup plus profonde. Nous ferons ensorte néanmoins d’expliquer cette quatrième Partie le plus brièvement qu’il nous fera possible, en nous servant de la Sphere artificielle pour expliquer en peu de mots quantité de Théorèmes qui s’enten- dent, pour ainsi dire * d’eux-mêmes. On suppose pour cela, que ceux qui veulent avoir la connoif- sance des Triangles Sphériques, connoissent au moins la construction de la Sphere artificielle. Les Définitions suivantes pourront suppléer au défaut de ceux qui ne l’entendent pas comme il faut. DEFINITI O NS. I. Une Sphere , ou un Globe, est un corps compris d’une feule superficie qu’on nomme Sphérique , au dedans duquel il y a un point qu’on nomme centre , duquel toutes les lignes droites menées à cette superficie Sphérique sont égales, en-* tr’elles. sis LA Trîgoìïom. Spherique. 6 ï II. Un diamètre de la Sphcre, est une ligne droite qui passe par le centre de la Sphere , Sc qui se termine de part ôí d’autre à la superficie Sphérique. III. Un Cercle de la Sphere, est un Cercle dont la circonférence est dans la superficie de la Sphere. IV. Un grand Cercle de la Sphere, est un Cercle dont le plan passe parle centre de la Sphere. Tous les grands Cercles de la Sphere ayant pour diamètres, des diamètres de la Sphere , qui font tous égaux entr’eux, il s’ensuit que tous ces grands Cercles font aussi tous égaux entr’eux. V. Un petit Cercle de la Sphere, est un Cercle dont le plan ne passe point par le centre de la Sphere. II est évident qu’il y en peut avoir de plusieurs diverses grandeurs. VI. Les pôles d’un Cercle de la Sphere, ce font deux points de la superficie de la Sphere, chacun desquels est également éloigné de tous les points de fa circonférence. VII. Un angle Spherique, est un angle compris de deux arcs de grands Cercles qui s’entrecoupent. VIII. La mesure ou la valeur d’un angle Sphérique , c’est le nombre des degrez que cet angle comprend, d’un grand Cercle qui a la pointe de l’angle pour pôle. IX. Un Triangle Spherique , est un Triangle compris de trois arcs de trois grands Cercles qui s’entrecoupent dans la superficie de la Sphere. X. Un angle droit Spherique, est un angle qui est mesuré par un quart de Cercle. XI. Un angle obtus Spherique, est un angle qui est mesuré par plus d’un quart de Cercle. XII. Un angle aigu Spherique , est un angle qui çst mesuré par moins d’un quart de Cercle. Traits’ de Trigonométrie; Voici quelques Théorèmes principaux fur quoi les àémonfirations suivantes font appuyées. II jèroit à propos pour qu'on les entendit bien , qu'on eut en lisant ceci une Sphère artificielle à la main , puisque vous en allez voir vous même la nécessité. THEOREME I. Les grands Cercles qui s’entrecoupent dans la superficie de la Sphere, s’entrecoupent en deux également. Pour exemple de ceci, considérez la section de l’Eclyptiquc & l’Equateur qui s’entrecoupent en deux également à deux points cardinaux qui font l’Orient Sc l’Occident. THEOREME II. Si un grand Cercle paílè par le pôle d’un autre grand Cercle, il le coupe à angles droits , & au contraire s'il le coupe à angles droits, il paílè par le pôle. Prenez pour exemple un Méridien qui coupe à angles droits l’un ou l’autredes Tropiques. THEOREME. III. L’arc d’un grand Cercle qui est mené du pôle d’un autre grand Cercle, jusqu’à sa circonférence, est un quart de Cercle qui le coupe, ou plutôt qui tombe Sc s’appuye fur lui à angles droits ; âc au contraire un quart de grand Cercle qui tombe ou s’appuye fur un autre grand Cercle , est mené du pôle de ce Cercle jusqu’à sa circonférence. Prenez pour exemple un arc de Cercle renfermé entre un des pôles & un des Tropiques : cet arc Ds lA Tbigonom. Spheriqub. fera, si vous voulez, partie d’un Méridien , qui étant continué, ira tomber en angles droits fur l’E- quateur. Cet arc prolongé fera donc un quart de Cercle , puisque la distance qui est entre l’Equa- tcur & un de ses pôles , est un quart de Cercle. THEOREME IV. Si l’arc d’un grand Cercle passe par le pôle d’un autre grand Cercle , cet autre passe réciproquement par le pôle du premier. Si vous prenez pour exemple l’arc d’un grand Cercle qui fera partie d’une des colures , il passera par le pôle de l’Equateur , & pareillement f Equateur passe par le pôle de ce colure, qui est un des points cardinaux. THEOREME V. Les cotez d’un angle Spherique étant prolongez jufqu’à ce qu’ils se rencontrent, font des demi Cercles, l’angle qu’ils font en se rencontrant est égal à celui qu’ils faisoient auparavant. Prenez pour exemple l’angle que fait l’Eelypti- oue avec l'Equateur, lorsque le Zodiaque est oblique à l’horison rationnel, si l’on prend une partie de chacun de ses deux Cercles vers un des points où ils se coupent, qui est un des points cardinaux , on aura un angle Spherique, dont les cotez étant prolongez, iront se rencontrer au point cardinal opposé. Cela étant on aura deux demi Cercles, ouisqu’ils vont d’un point cardinal à l’autre, & ^ar conséquent deux angles égaux, puisque leur mesure commune se trouve sur le grand Cercle qui divise ces deux demi cy en deux également. Cc grand Cercle-ci étant, comme vous voyez, £4 Traite’ de Trigonométrie; celui sur lequel on mesure les degrez de distance de PEclyptique à l’Equateur. THEOREME VI. L’arc d’un grand Cercle tombant sur Pare d’un autre grand Cercle, sait deux angles droits , ou deux angles égaux à deux droits. Prenez encore pour exemple ^Equateur qui tombant fur un des colures, fait deux angles droits, le point angulaire etant un point cardinal, il fera deux angles droits , dis je, puisque l’un de ses angles a pour mesure lai distance qu’il y a d’un des pôles au point où il coupe le coîure, qui est un quart de Cercle ; Sc pareillement l’autre angle aura pour mesure la distance de ce même point à l’autre pôle du monde qui est aussi un quart de Cercle. De même quand PEclyptique est oblique, il fait un angle droit & un angle obtus avec l’horifon ration- nel, lesquels ont ensemble pour mesure un demi Cercle, qui est la distance d’un des pôles du monde à l’autre. THEOREME VIL Si deux arcs de grands Cercles s’entrecoupettt ; ils font les angles opposez au sommet égaux entr’eux. Cequ’on dit des arcs de Cercles, se peut dire des Cercles entiers ; ainsi considérez fur la Sphere l’Equateur & PEclyptique qui s’entrecoupant au pôle de l’horison rationnel qui est un des points cardinaux , font des angles au sommet égaux, ce qui s’entend de soi-même. Théo- Îíe r ,a Trigonom. Spherique. 6f THEOREME VIII. Si un Triangle Spherique est isocèle, il a les angles fur la baie égaux entr’eux * & au contraire s’il a les angles fur la base égaux entr’eux , il est isocèle. Ceci est trop clair pour mériter une démonstra a lion particulière. Théorème IX. Si de la pointe d’un Triangle Spherique coittmé pôle, on décrit tant que l’on voudra des Cercles inégaux , les arcs de ces Cercles seront semblables^ Considérez la Sphère celeste, où un des pôles du monde étant pris pour le point angulaire d’un angle Spherique » dont les cotez peuvent être pris fur deux méridiens, qui s’entrecouperoient à ce même pôle ; il est aisé de voir qu’un Tropique, & un Polaire peuvent être considérez comme ayant été décrits du pôle, & qu’ils font coupez par les deux parties des méridiens qui forment un angle , &que les arcs de ces Cercles qu’ils renferment font égaux* puifqu’ils renferment chacun un même nombre de degrez. THEOREME X. Chacun des deux angles obliques d’unTriangle Sphérique reóíangle ejì de même affeéíïon que son côté opposé. J E dis premierement que si le côté AC du Trian- glc Spherique ABC rectangle cn A, est moindre qu’un quart de Cercle , son angle opposé B est aigu. E Fig. r r. Plan. 5. k-Z. rz. 66 Traite’ de Trigonométrie. Si l’on prolonge le côté AC jusqu’en D, en sorte que A D soit un quart de Cercle , & que par les deux points B , D , on fasse passer l’arc du grand Cercle BD , on connoîtra que puisque l’angle A est droit, Sc AD un quart de Cercle , le point D est le pôle de l’arc AB, que par conséquent sangle ABD est droit. D’où il suit que l’angle ABC est aigu. Je dis en second lieu que si le côté AC du Triangle Spherique ABC rectangle en A, est plus grand qu’un quart de Cercle, son angle opposé B est obtus. Si l’on retranche du côté AC, le quart de Cercle AD, Sc que par les deux points B , D, on faste passer l’arc de grand Cercle BD , on connoîtra comme auparavant que le point D est le pôle de l’arc AB , & que l’angle ABD est droit. D’où il fuit que l’angle ABC est obtus, Enfin je dis que file côté AC du même Triangle ABC est un quart de Cercle, son angle opposé B sera droit, parce que dans ce cas le point C fera le pôle de l’arc AB , & l’angle B fera par con-; fequent droit. THEOREME XI. «Si les deux cotez d?un Triangle Spherique rectangle , font chacun aigu , ou chacun obtus , Phypotenuse sera moindre qù'un quart de Cercle , Ù 1 si P un efi aigu & Pautre obtus , Phypotenuse sera plus grande qtPun quart de Cercle. J E dis premierement que si chacun des deux cotez AC , BC , du Triangle Spherique ABC ectangle en B, est aigu , l'hypotenuse AC est r oindre qu’un quart de Ce cle. Prolongez le côté AB, en D, Sc le côté BC en De la Trigoncm. Seheriqub. 67 F, jufqu’à cc que les arcs AD, BF íoient chacun un quart de Cercle , & faites paíTer par les deux points O, F, l’arc de grand Cercle DEF , qui coupe ici l’hypotenufe AC prolongée au point £. Farce que l’anglc B est droit, Sc que BF est un quart de Cercle, le point F fera le pôle de Tare AB , Sc l’angle D fera aussi droit, Sc parce que AD est aussi un quart de Cercle, le point A fera lé pôle de Tare DE , Sc AE fera un quart de Cercle , Sc l’hypotenuse AC fera par conséquent moindre qu’un quart de Cercle. Je dis pareillement que si chacun des deux cotez AB , BC, du Triangle Spherique ABC rectangle en B, est obtus, l’hypotenusc AC est moindre qu’un quart de Cercle. Retranchez des deux cotez AB, BC les quarts de Cercle AD , BF, Sc faites palier par les deux points D, F, l’arc de grand Cercle DFE, qui étant prolongé rencontre ici l’hypotenufe AC,, aussi prolongée au point E. En lisant la démonstration précédente fur cette figure , on connoîtra comme auparavant, que l’arc AE est un quart de Cercle, 6c que par conséquent l’hypotenufe AC est moindre qu’un quart de Cercle. Je dis en second lieu que si le côté AB est obtus , & le côté BC aigu , du Triangle Spherique ABC rectangle en B, l’hypotenufe est plus grande qu’un quart de Cercle. Ayant retranché du côté AB , le quart de Cer- AD , Sc prolongé l’autre côté BC en F, en forte que BF soit un quart de Cercle, faites passer par les deux points D , F, Tare de grand Cercle DEF, qui coupent ici l’hypotenufe AC, au point E. En lisant pareillement la démonstration préce- Eij Plan. ft Fig. 30, Plan. 3: Fig. JiF Plan. j. k'L- 3Í- 68 Traite’ de Trigonométrie*'" dente sur cette figure , on connoîtra comme aupâ* ravant ,que l’ârc AE est un quart de Cercle , & que par conséquent l’hypotenuse AC est plus grande qu'u n quart de Cercle. Ii est évident que si chacun des deux cotez AB, BC , étoit un quart de Cercle , l’hypotenuse AC seroit aussi un quart de Cercle , parce qu’en ce cas les trois angles du Triangle ABC seroient droits ( par le Theor. i o. ) & que chacun de ces angles seroit le pôle de son côté opposé , Sc l’hypotenusc AC , par conséquent un quart de Cercle. Corollaire I. 11 suit de ce Théorème que si les deux angles obliques d'un Triangle Spherique font de même affection , l’hypotcnuse sera moindre qu’un quart de Cercle , Sc plus grande s’ils font de différents affection. (Parce que ( par le Theor. io (ces angles font de même ^affection que leurs cotez opposez. Corollaire II. 11 s’ensuit aussi que si l’hypotenuse d’un Triangle Spherique rectangle est moindre qu’un quart de Cercle, les deux cotez , ou bien les deux angles obliques , seront entr’eux de même affection, Sc de differente affection si l’hypotenuse est plus grande qu’un quart de Cercle. Parce que si dans le premier cas les cotez étoient de differente affection , l’hypotenuse seroit plus grande qu’un quart de Cercle, comme il a été démontré, ce qui est contraire à la supposition de ce premier cas; Sc que si dans le second cas les deux cotez étoient de même affection , l’hypotenuse seroit moindre qu’un quart de Cercle , comme il a été aussi démontré, Os t A TrnSoNOM. SPHERIQUE. 69 fce qui est contre la supposition de ce second cas. Çorrollaire III. II «'enfuit encore que si l’hypotenuse Sc un côté d’un Triangle Spherique rectangle font de même affectio» r l’autre côté ou bien son angle opposé sera aigu , Sc obtus s’ils font de différente affection. Parceque ( par le Corroll. 2) si l’hypotenuse & un côté sont chacun moindres qu’un quart de Cercle l’autre côté fera aussi moindre qu’un quart de Cercle ; & plus grand si l’hipotenufe & un côté font chacun plus grands qu’un quart de Cercle. Mais si l’hypotenuse Sc un côté sont de differente affection , en sorte que l’hypotenuse soit, par exemple , plus grande qu’un quart de Cercle, Sc un côté par conséquent aigu , l’autre côté sera obtus : Sc pareillement si l’hypotenuse est moindre qu’un arc de Cercle , & un côté par conséquent obtus, l’autre côté fera auísi obtus , parce que dans ce cas les. deux cotez spnt de même affection ( par le Co- ÍQll. 2 . ). THEOREME XII. Si deux angles d’ un Triangle Spherique , font de même affection, la perpendiculaire tirée du troisième angle sur son côté opposé, tombera au dedans dit Triangle ,& au dehors f les deux mêmes angles font de d.verse affection «, J E dis premierement que si les deux angles A, B, du Triangle Spherique ABC , font de même affection , par exemple chacun obtus , la perpendiculaire C D tombera au dedans du Triangle , parcs que si elle tomboit au dehors , comme dans la Eiij. Plan. fi Fig. 2?» Plan. JFig-lí- 7o Traite’ VE Trigonométrie figure , cette perpendiculaire CD étant considérée dans le Triangle rectangle ADC, est ( par le Théorème io. ) de même affection que son angle opposé A , que nous avons supposé obtus, & par conséquent plus grande qu’un quart de Cercle , Sc qu’étant considérée dans le Triangle rectangle BDG, dont l’angle B est aigu , parce que sangle ABC a été supposé obtus , elle est moindre qu’un quart de Cercle,ce qui est contradictoire, & l’on trouvera la même contradiction, en supposant que chacun des deux angles A, B , est aigu. Donc ôcc. Je dis en second lieu , que si les deux angles A, B, du Triangle Spherique ABC, font de différente affection , comme si l’angle A est aigu , Sc l’angle B obtus , la perpendiculaire CD tombera au dehors du Triangle , parce que si elle tomboit en dedans, comme dans cette, figure , cette perpendiculaire CD étant considérée dans le Triangle rectangle ADC , est ( par le Theor. 10. ) de même affection que son angle opposé A , que nous avons supposé aigu , & par conséquent moindre qu’un quart de Cercle ; Sc qu’étant considérée dans le Triangle rectangle CDB , dont l’angle B a été supposé obtus, elle est plus grande qu’un quart de Cercle , ce qui est contradictoire, & la même contradiction arrivera en supposant sangle A obtus , & l’angle B aigu. Donc &c. r De eà Trigonom. Spherique. 71' THEOREME XIII. Âux Triangles Sphériques reííangles, il y a même raison de la Tangente de P angle opposé a la perpendiculaire , à la Tangente de cette perpendiculaire qtPil y a du rayon du Cercle au Sinus de la base. C Oncevez que dans une Sphere dont le point A est le centre , les grands Cercles OGCM , P/ aa * T- OIDM «'entrecoupent dans le diamètre commun Fl S’ OAM , dcqu’ils font l’angle 106; puis pensez que l'arc d’un autre grand Cercle GIN, passe par le point N, qui est le pôle du Cercle OGCM ; d’où il suit que le plan de ce Cercle GIN, sera perpendiculaire au plan du Cercle OGCM, que Tare GI sera perpendiculaire à l’arc OG,que l’angle IGO sera droit ; Sc par Conséquent que le Triangle OGI sera rectangle ; après cela ayant pris l’arc OI qui soutient l’angle, droit, pour l’hypotenusc de ce Triangle, l’arc OG pour la base, & l’arc GI pour la perpendiculaire ; du pôle O , & de l’intervale OC ( que je suppose de 90 . degrez. ) Décrivez le Cercle CDN , cela étant l’arc CD sera la mesure de l’angle IOG ; puis dans le plan du Cercle ACN, à l’extrêmité du rayon AC, élevez la perpendiculaire C.E , jusqu’à ce qu’elle rencontre le rayon AD prolongé ; cette ligne CE sera la Tangente de l’arc CD, ou de l’angle IOG que cet arc mesure ; de même dans le plan du Cercle AGN , à l’extrêmité du rayon AG, élevez la perpendiculaire GL , jusqu’à ce qu’elle rencontre le rayon AI prolongé ; cette ligne GL sera la Tangente de la perpendiculaire Gl ; enfin du point G, abaissez la ligne GF, perpendiculaire au rayon AO , cette ligne GF sera le Sinus de la base OG; cela ainsi posé ; je dis qu’il ? } g- rs- Plan, z. %- 3 l * 72 Traite 1 be Trigonométrie;; y a même raison de CE Tangente de sangle ÎOGa GL, Tangente de la perpendiculaire GI, à laquelle il est opposé, que du rayon du Cercle AQ, à GF Sinus de la base OG. Pour le prouver. Du point F au point L , menez la ligne droite FL ; puis considérez que Içs deux lignes GE, GL » étant dans les plans des Cercles ACN , AGN , Sc perpendiculaires aux deux lignes, ou rayons A C, AG , qui font les communes sections de ces deux plans, & d’un troisième AOGGM, auquel ils font perpendiculaires , c’est une nécessité que les lignes GE, GL , soient perpendiculaires au plan du Cercle AOGÇM ; & par conséquent qu’çllcs soient parallèles entre elles. De plus , l’angle OAC , qui est soutenu par le quart du Çerc'e OC, étant droit; & sangle OFG étant aussi droit, il s’ensuit que les lignes AC, GF tont parallèles ; 6c ainsi les lignes AC , CE , étant parallèles aux lignes GF, GL, le plan qui passet par AC , CE, s’ensuit parallèle au plan qui passe par GF , GL ; & ces deux plans étant coupez par un troisième, à sçavoir OIDM, les lignes de communes sections AE, FL , font aussi parallèles. St bien que les trois cotez du Triangle rectiligne ACE, sont parallèles aux trois cotez du Triangle rectiligne t GL, par conséquent ces deux Triangles sont çquiangles ; Sc partant il y a même raison de GE à’GL, que de AC , à GF. C. Q. F. D. Corollaire. II suit de là que si dans un Triangle Sphérique, rectangle , comme ABC, dans lequel l’angle B est droit, on donne un des angles aigus, par exemple A, avec le côté opposé BC , on trouvera Parc AB. Car par la Proposition précédente comme sangle Ds là Trigonom. Sphérique.' 75 % , est à la Tangente de Tare BC , on de la perpendiculaire à laquelle il est opposé; ainsi le rayon du Cercle est au Sinus de Tare AB , ou de la base. Or par le moyen des Tables , quand on a la valeur des Sinus & des Tangentes, on a la valeur des angles Si des arcs. CoRROELAIRE II. Ou bien enfin, si dans le même Triangle , on donne l’angle A, Ale côté AB , on trouvera Parc Pian. 3; BC ; car comme le rayon du Cercle est au Sinus de Fig. zr, l’arc AB , ou de la base ; ainsi la Tangente de l’angle A , est à la Tangente de l’arc BC , ou la perpendiculaire à laquelle il est opposé 5 qui çst ce que l’on cherche. THEOREME XIV. Aux Triangles Sphériques rectangles,, il y a même raison du Sinus de l’angle oppose à la perpendicu- çulaire, au Sinus de celte perpendiculaire qu il y a du rayon du Cercle au Sinus de i’ hypoténuse, D Ans la figure précédente , conceve? que la ligne DB soit perpendiculaire au rayon AC, Plan. 3, & qu’ainsi elle soit le Sinus de l’arc CD , Sc con- Fig. r;> sequemment de sangle IOG,qui est mesuré par cet arc. De même concevez que la ligne IH soit perpendiculaire au rayon AG,& qu’ainsi soit le Sinus de l’arc , ou de la perpendiculaire GI: enfin concevez que la ligne IP , soit perpendiculaire au rayon AO , A qu’ainsi elle soit le Sinus de l’hy- potenuse 01 ; cela ainsi posé, je dis qu’il y a même raison de DB, Sinus de l’angle IOG, à IH Sinus de la perpendiculaire Gl ,4 laquelle cet an- Plan. z. Fig. z j. 74 Traite’ de Trigonométrie. gle est opposé, que du rayon du Cercle AD à IF* Sinus de l’hypotenuse 01 ; pour le prouver. p Du point P au point H, menez la ligne droits Maintenant considérez que puisque la ligne DB est dans le plan du Cercle ACN, & qu’ellc est perpendiculaire au rayon AC, qui est la communs section des plans ACN, & AOC qui s’entrecoupent à angles droits, i) s’ensuit que cette ligne DB est perpendiculaire au plan AOC ; de même puisque la ligne IH est dans le plan du Cercle AGN , Sc qu’el- le est perpendiculaire au rayon AGqui est la commune section des plans AGN, & AOC, qui s’entrecoupent auísi à angles droits ; il s’ensuit que cette ligne IH, est aussi perpendiculaire au plan AOC ; & partant que les lignes DB , & IH font parallèles entre elles ; d’ailleurs les lignes AD & IP étant perpendiculaires à la même ligne A O , font ausiì parallèles entre elles ; d’où il fuit que le plan qui passe par les lignes AD , DB, est parallèle à celui qui passe par les lignes 1P, IH, Sc ces deux plans étant coupez par un troisième, à sça- voir ÁOC, les lignes de communes sections AC , PH , font auísi parallèles ; si bien que les trois cotez du Triangle rectiligne DBA font parallèles aux trois cotez du Triangle rectiligne IHP ; par conséquent ces deux Triangles font équianglcs ; Sc partant il y a même raison de DB à IH, que de ADàlP. C.Q.F. D. Remarque. Comme le rayon du Cercle est le Sinus d’un angle droit, Sc que l’angle IGO est droit, il est évident ( par la précédente ) que comme le Sinus de l’angleIOG,est au Sinus de Tare GI qui lui est De la Tbigonom. Spheriqùe. 75 Òpposé; ainsi le Sinus de l’angle IGO, ou le rayon du Cercle , est au Sinus de l’arc OI, qui lui est opposé. De plus si l’on avoir pris GI pour la base, & OG pour la perpendiculaire; on auroit montré que le Sinus de l’angle OIG , est au Sinus de l’arc OG, qui lui est opposé, comme le Sinus de l’angle IOG, ou le rayon du Cercle, est au Sinus de l’arc OI ; Sc comme les raisons qui font semblables à une même , font semblables entr’ellcs , il s’ensuit que comme le Sinus de l’angle IOG , est au Sinus de l’arc Gí, qui lui est opposé; ainsi le Sinus de l’angle OIG, est au S;nus de l’arc OG qui lui est opposé ; & ainsi il est toujours vrai de dire , qu’aux Triangles Sphériques rectangles , il y a même raison du Sinus d’un angle , au Sinus de l’arc qui lut est opposé , que du Sinus d’un autre angle , au Sinus de l’arc qui lui est opposé. Corollaire I. II suit de là, que si dans un Triangle Sphérique rectangle, comme ABC , duquel sangle B est droit, on donne l’angle A, Sc Tare BC , on trouvera l’hypotenuse AC ; car comme le Sinus de l’angle A, est au Sinus de Parc BC qui lui est opposé; ainsi le Sinus de l’angle B , ou le rayon du Cercle , est au Sinus de l’arc AC qui lui est opposé , Sc que l’on cherche. Corollaire II. Que si dans le même Triangle ABC , on donne l’angle A, Sc l’hypotenuse AC , on trouvera l’arc BC ; car comme le Sinus de l’angle B, ou le rayon du Cercle , est au Sinus de l’arc AC , qui lui est opposé ; ainsi le Sinus de l’angle BA, est au Sinus 7 6 Traite’de Trigonometrib; dc l’arc BC, qui lui est opposé & que l'on cherche; Corollaire III. Enfin, 6 dans le même Triangle on donne l’hy- potenuse AC, Sc l’un des cotez comme BC, on trouvera sangle A, qui lui est opposé, car comme le Sinus de l’arc AC , ou de l’hypotenuse , est au rayon du Cercle, ou au Sinus de sangle B qui lui est opposé, ainsi le Sinus de l’arc CB, est au Sinus de sangle A qui lui est opposé, Sc que son cherche* Remarque. De ces Corollaires Sc de ceux de la précédente, il est évident qu’aux Triangles Sphériques rectangles trois choses étant données ( pourvu toutesfoig que ce ne soit pas simplement les trois angles ) l’on. trouvera les trois autres. THEOREME XV. En tout Triangle Spkerique , comme le Sinus cTuit angle ejl au Sinus du coté qui lui ejl opposé , ains le Sinus d'un autre angle es an Sinus du côté qui lui es opposé. Fig. 17 . & 2 , 8 . L A vérité de cette Proposition a déja été démontrée , touchant les Triangles Sphériques rectangles ; Sc ainsi il ne s’agit plus ici que de ceux qui ne le font point, comme par exemple le Triangle ABC, où l’on va faire voir d’abord que comme le Sinus de sangle A , est au Sinus du côté BC» qui lui est opposé ; ainsi le Sinus de sangle B, est au. Sinus du côté AC qui lui est opposé ( Sc ensuite son fera voir le même des autres. ) Pour le prouver » Ds LA TriGONOM. SPHERIQtTE. 77 Du Sommet de Pangle C , abaissez la perpendiculaire CD fur le côté A.B, ( prolongée s’il en est besoin. ) Cela fait, considérez que puisque le Triangle ADC est rectangle , il y a même raison dû Sinus de l’angle A , au Sinus de l’arc CD , qu’ilFig. 17 ya du Sinus del’angle ADC» ou du rayon duCer- 2 ®. cle, au Sinus de l’arc AC , & partant le rectangle compris du Sinus de l’angle A, & du Sinus de l’arc AC, qui font les deux extrêmes de quatre choses proportionnelles, est égal au rectangle compris du Sinus de l’arc CD , Sc du Sinus de l’angle ADC, ou du rayon du Cercle, qui font les moyennes. De même puisque le Triangle BDC est rectangle » il y a même raison du Sinus de l’angle CBD ( ou CBA qui est la même , ou qui est son complément à deux droits , Sc qui par conséquent a un même Sinus ) au Sinus de Tare CD , que du Sinus de l’angle BDC , ou du rayon du Cercle, au Sinus de Parc BC ; & partant le rectangle compris du Sinus de l’angle B, de quelque façon qu’on le prenne, Sc du Sinus de Parc BC , qui font les extrêmes ; est égal au rectangle compris du Sinus de l’angle BDC, ou ADC son égal ; en un mot du rayon du Cercle , Sc du Sinus de Parc CD , qui sont les moyennes. Or le rectangle compris du Sinus de l’angle A, Sc du Sinus de Parc AC, a déja été démontré lui être égal ; d’où il fuit que le rectangle compris du Sinus de l’angle A , & du Sinus de l’arc AC , est égal au rectangle compris du Sinus de l’angle B , de quelque façon qu’on le prenne, & du Sinus de l’arc BC ; & partant ces deux rectangles ont leurs cotez réciproquement proportionnaux ; c’est-à-dire, qu’il y a même raison du Sinus de l’angle A, qui est un des cotez du premier rectangle , au Sinus du côté BC qui lui 78 Traite’ de Trigonométrie. cil oposé, & qui est un des cotez du second ; qu’il y a du Sinus de l’angle B , qui est encore un des cotez du second rectangle , au Sinus du côté AC , qui lui est opposé , & qui est un des cotez du premier; C. Q. F. d’abord D. Maintenant pour achever la démonstration , 8c prouver le même à l’égard des Sinus des autres angles , & des autres cotez ; il ne faut qu’abaisser Kg- r/. & à sommet de l’angle A , la perpendiculaire AE , î7 ’ furie côté BC,prolongé s’il en est besoin; & suivant le même raisonnement que Ton vient de faire, l’on montrera que comme le Sinus de l’angle B, de quelque façon que Ton le prenne , est au Sinus du côté AC , qui lui est opposé ; ainsi le Sinus de l’angle ÂCB, est au Sinus du côté AB qui lui est opposé. D’où il suit enfin que comme le Sinus de l’angle A, est au Sinus du côté BC qui lui est opposé , ainsi le Sinus de sangle C, ou ACB est au Sinus du côté AB qui lui est opposé, puisque ces deux raisons font semblables à une même, sçavoir à celle du Sinus de l’angle B , au Sinus du côté AC : si bien qu’on peut dire généralement , qu’en tout Triangle Spherique, comme le Sinus d’un angle est a u Sinus du côté qui lui est opposé ; ainsi le Sinus d’un autre angle est au Sinus du côté qui lui est opposé. C. Q. F. D. Corollaire I. x- Si donc dans un Triangle Spherique , comme 3 ' ABC , l’on donne les deux angles A & B, avec le côté AC , opposé à l’un des deux angles donnez , l’on trouvera le côté CB opposé à 1 autre angle donné ; car comme le Sinus de l’angle B , est au Sinus dc Tare AC ; ainsi le Sinus de l’angle A , est au o.s dc Tare BC que l’on cherche. De ia Trigongm. Spherique. 79 Corollaire II. Que si dans un Triangle Spherique comme ABC, l’on donne les deux cotez AC , CB , avec l’anglc B opposé à l’un des deux côtçz donnez, l’on trouvera l’angle A opposé à l’autre côté ; car comme le Sinus de l’arc AC , est au Sinus de l’angle B , ainsi le Sinus de l’angle CB est au Sinus de sangle A que l’on cherche. REMARQUE. Après ce qui a été démontré jusqu’ici , il est aisé de conclure qu’en tout Triangle Spherique non rectangle , trois choses étant données ( pourvu toutefois que ce ne soit pas simplement les trois cotez , ou les trois angles ) l’on trouvera les trois autres ; car pour cela il ne faut que résoudre le Triangle donné en deux Triangles rectangles , par une perpendiculaire abaissée de l’un de ces angles fur le côté qui lui est opposé, en sorte que l’un des Triangles ait deux angles & un côté connus ; Sc après cela par ce qui a été dit ci-devant des Triangles rectangles , l’on trouvera les trois choses qui font inconnues. Par exemple , si dans le Triangle ABC, l’on donne les deux angles A & B avec le côté AC opposé à l’un des deux angles donnez ; pour trouver ce qui reste , à sçavoir sangle C , & les deux cotez AB , BC , il faut premierement trouver le côté BC ( par 1 c 1. Coroll. de cette Proposition ; ) puis pour trouver le côté AB , il faudra de sangle C, abaisser la perpendiculaire CD sur le côté AB, & par le 2. Coroll. du iq>. Theor. trouver l’arc CDj& ensuite par le 1. Coroll. du 13. Theor. Fig. z r. Fig- Z 5. Fig. 33 . St 34- 34 8o Thaite’ de Trigonométrie,; ttouver les deux arcs A D, DB des deux Triangles rectangles ADC & DBC ; 8 c ajoutant ces deux arcs ensemble on aura le côté AB ; après quoi l’on trouveraI’angle C,par le 2. Còroll. de ce Theòr. qui est tout ce quhl fálloit trouver. Que si dans le Triangle ABC , l’on donne les 33 * deux cotez AC, BC, avec l’angle B opposé à l’un des deux cotez donnez, pour avoir le reste , on trouvera premierement sangle A, par le 2. Coroll. de ce Theor. & ensuite son trouvera le côté ÁB t 8 c l’angle C , en abaissant, comme je viens de dire, la perpendiculaire CD,& en opérant comme dessus. Enfin si dans le Triangle ABC , l’on donne les deux cotez AC , BC, avec sangle C qu’ils enferment , pour trouver le reste , à sçavoir les deux angles A & B, avec le côté AB qui est entre deux ; il faut premierement abaisser une perpendiculaire de l’un de ces angles , fur le côté qui lui est opposé, comme est ici AD ; puis on trouvera cette perpendiculaire AD, par le 1 , Coroll. de ce Theor. Sc ensuite l’arc CD, par le 1. Coroll. du 13. Theor. puis ôtant CD de CB , restera DB. Ensuite dans le Triangle ADB , l’on trouvera sangle B , par le 2* Coroll. du 13. Theor. & le coté AB, par le 1. Coroll. du 14. Theor. après quoi dans le Triangle ABC l’on trouvera sangle A, par le 2. Coroll. de ce Theor. qui est tout cc qu’il falloir trouver. Lemme I. Aux Cercles inégaux les Sinus verses des arcs semblables, ont même raison entr’eux que les rayons de leurs Cercles ; par exemple aux deux arcs inégaux ABC , DEF , les Sinus verses GC, HF , des arcs semblables BC , EF ont même raison Flg. i é. De la Trigoííom. Spheïuq.u£.' 8i sont cntr’eux que les rayons IC , LF ; pour Ic prouver. Des centres I Sc L, menez les deux lignes droites IB, LE ; puis considérez que les deux Triangles IJ3C , LEF,font isocelles & semblables, à cause que les angles BIC , ELF, qui s’appuyent fur des arcs semblables (ont égaux ; & partant il y a même raison de IB à LE , que de BC à EF ; de plus les angles C & F étant égaux , comme l’on vient de montrer , & les angles G & H étant droits, les deux Triangles BGC , EHF font aussi l6; semblables ; ôc partant il y a -aussi même raison de GC à HF, que BC à EF ; d’où il suit que la raison des Sinus verses GC , HF est semblable à celle des rayons IB , LE , ou IC , LF , puisqu’elles font toutes deux semblables à une même , sçavoir à celle deBCàEF. C. Q. F. D. Lemme II. Le rectangle contenu du Sinus droit de la moitié de l’aggrégé de deux arcs inégaux d’un Trian- l £" ‘ gle Spherique rectangle, & du Sinus droit de la moitié de leur différence, est égal au rectangle contenu du rayon du Cercle , & de la moitié de la différence de leurs Sinus verses. Pour le prouver. Que les deux arcs inégaux soient par exemple AB , BC, leur aggrégé sera l’arc AC ; puis faisant BD égal à AB , l’arc C D sera leur différence ; ensuite ayant mené la soutendante A C , & du centre E abaissé la perpendiculaire EH , le Sinus droit de la moitié de l’aggrégé fera AH. De plus ayant aussi mené la soutendante AD , & du centre E au point B , la ligne EB , cette ligne coupant l’arc ABD en deux également, coupera aussi en deux également la soutendante AD , Sc à angles droits , 82 Traite’ de Teigovometrie: & partant FB sera le Sinus verse de l’arc AB ; puis ayant encore abaissé CG perpendiculaire sur EB, & CL perpendiculaire sur AD, la partie GB sera le Sinus verse de Tare BC 3 & FG son égal CL » sera la difference des deux Sinus verses. Maintenant ayant mené la ligne droite CD , & la ligne HI parallèle à AD , cette ligne Hl, & fa partie HM étant parallèle aux bases des deux Triangles ACD & ACL , leurs cotez AC , CD , Sc AC , CL seront coupez proportionnellement, 5c partant la raison de AH, HC sera la même que de DI, à IC, ou de LM à MC. Or est-il que AH est égale à HC. Donc DI sera ausii égale à IC, Sc LM, à MC; & partant IC sera le Sinus droit de la moitié de CD , diffèrent des deux arcs AB , BC ; Sc MC moitié de CL , ou de son égale FG, sera la moitié de la différence des Sinus verses. Ce qu’il faut donc maintenant faire voir, est que le rectangle compris de AH Sc de IC, est égal au rectangle dc EA Sc de MC. Pour le prouver. Les deux angles AEH Sc ADC font égaux,' puisque le premier qui est au centre , s’appuye suc la moitié de l’arc , sur lequel s’appuye l’autre qui est en la circonférence ; & puisque l’angle MIC est austì égal à sangle ADC, à cause que les lignes AD , HI étant parallèles , la ligne CD tombe dessus ; il /enfuit que l’angle AEH est égal à l’angle MIC. De plus les angles EHA Sc CMI étant droits , il /enfuit que les deux Triangles HAE Sc & MCI font semblables; e’est pourquoi comme AH est à EA , ainsi MC est à IC ; d’où il fuit que le rectangle contenu fous les extrêmes AH & IC est égal au rectangle des moyennes EA Sc MC. C. Q. F. D. Dd la Trigokom. Sphekique. 8z THEOREME XVI. Aux Triangles Sphériques , qui ont les cotez à Fcn* tour de L’angle du sommet inégaux , ces quatre choses font proportionnelles- La premiere, le r t ci angle compris des Sinus droits de ces cotez inégaux . La seconde , le quarté du rayon. La troisième , le . réel angle dont T un des cotez es le Sinus de la moi* tié de d aggregé de la base & de Pexcez de F un de ' ce s cotez- par dejs is F autre, & F autre coté es le Sinus de la moitié de la diserence de la base & de cet excez. Et le quatrième, le quarté du Sinus de la moitié de F angle du sommet , ou de la moitié de F angle oppose a la base, qui es la merne chose. C Oncevez que DRT est un grand Cercle d’u- f ne Sphere dont E est le centre. Concevez auíïi que du Triangle QRB , RB est Pun des cotez inégaux à Pentour de l’angle du sommet R , dont l’autre côté QR, Sc la baie QB sont supposez élevez en Pair, & avoir pour projections ortogra* phiques QR & QB ; & ainsi la projection orto- graphique de l’angle du sommet sera QRB. Puis ayant mené du centre E les deux lignes droites ER, EB, si par le point Q, l’on mene à chacune ds ces lignes une perpendiculaire , à sçavoir NCà ER, & pjg. z§.- AD à EB, la ligne NC sera le diamètre d’un petit Cercle, dont la circonférence passera par ce point du Triangle, dont Q est la projection, A qui aura pour pôle le point R ; d’où il suit que les arcs RN & RC qui font égaux entr’eux, font aussi égaux à ce côté duTriangle proposé, lequel côté est ici représenté par QR ; Sc partant OC sera le Sinus droit de ce même côté, & PB perpendiculaire à ER , fera le Sinus droit de l’autre côté RB , & BC fera Fij / 84 Traite’ de Trigonométrie. l'excès d’un c!es cotez pardessus l’autre, dont le Sinus droit fera CG perpendiculaire à EB. De même AD fera le diamètre d’un autre petit Cercle, dont le pôle est B , & dont la circonférence passera aussi par ce point qui est représenté par Q. D’où il fuit que les arcs égaux B A & BD font aussi égaux à cette base du Triangle proposé, laquelle est ici représentée par QB ; & partant Tare ABC est l’aggregé de la base & de l’excez d’un des cotez par dessus Pantre ; de la moitié duquel aggregé le Sinus droit est HC, - moitié de AC ; & Parc CD fera la difference de la base & de cet excez , dont la soutendante est CID. Ensuite de quoi ayant mené HI parallèle à AD , il s’enfuit que comme AH , est à HC , ain/l Fig.jí. DIest à 1C ; & d’autant que AH est égale àHC, il s’enfuit aussi que DI est égale à IC : Sc partant que IC est le Sinus droit de la moitié de la difference de la base , & de P excès de l’un des cotez pardessus l’autre. De plus ayant continué la projection Q R, jufqu’à celle d’un grand Cercle, dont R est le pôle, óc dont le diamètre & la projection tout ensemble , est YEZ ; & au point S où la rencontre se sait, ayant élevé la perpendiculaire ST , il s’en- fuit que Parc TZ fera la mesure de l’angle du sommet de notre Triangle proposé QRB. PuÌ3 ayant mené la ligne droite TZ , & du centre E abaissé la perpendiculaire EV , fa moitié VZ sera le Sinus droit de la moitié de Pangle du sommet R , duquel angle tout entier le Sinus verse fera ZS , dans un grand Cercle dont EZ est le rayon ; & CQ fera dans un petit Cercle dont OC est le rayon. Cela posé , il faut maintenant faire voir que comme le rectangle compris de PB & de OC , Sinus droits des deux cotez inégaux RB , QR est au quarté du rayon EZ ou EB ; ainíì le rectangle compris des deux Sinus HC & IC (dont l’un est / vL la TriGonom. Spheriqur. gy le Sinus dc la moitié de Paggregé de la base, & de l’excez d’un des cotez par dessus l’autre , Sc l’autre est le Sinus de la moitié de la difference de la base & de cet excez ) estau quarréde VZ, Sinus droit de la moitié de l’angle du sommet, ou de sangle opposé à la base , qui est la même chose. Pour le prouver. Abaissez premierement sur EZ la perpendiculaire VX, cette ligne coupera ZS en deux également, à cause que VX étant parallèle à TS , SX fera égale à XZ , comme TV, Test à V Z , ainsi qu’il a été démontré ci-devant ; abaissez auílï fur AD la perpendiculaire CL, cette ligne fera coupée ea deux également au point M , à cause que MI étant parallèle à LD , base du Triangle CLD , LM sera égale à MC, comme DI, l'est à IC. Ainsi qu’il a auffi été démontré. Cette préparation encore supposéte , considérez maintenant que le Triangle BPE est semblable au Triangle OK.E ; que celui-ci est semblable au Triangle FK.Q ; & que ce dernier est encore semblable au Triangle LCQ ; d’où s’ensuit du premier au dernier , que le Triangle PBE est semblable au Triangle LCQ ; & partant qu’il y a même raison de PB à BE , que de LC à CQ. Et d’autant que CQ & ZS sont les Sinus verses des deux arcs semblables de deux Cercles inégaux, il s’ensuit ( par le i. Coroll. de la précédente) que CQ Sc ZS sont entr’eux en même raison que les rayons de leurs Cercles OC Sc EZ. Cela ainsi posé, concevez maintenant ces quatre rectangles , dont le premier soit compris des deux Sinus droits PB , OC ; le second des deux rayons EB , EZ, c’est-à-dire, dont le second soit le quarté du rayon ; le troisième soit compris des deux li- Fig. 32 §6 Traite’ de Trigonométrie. gnes LC, CQ: & le quatrième des deux Sinus vestes CQ, ZS , maintenant, comme les rectangles font entr’cux en raison composée de celle de leurs cotez, c’est-à-dire, comme ils font entr’eux comme le produit de leurs cotez ; Sc que la raison du produit des cotez du premier rectangle , au produit de ceux du second , a été démontrée être la même que celle du côté des produits du troisième , au produit des cotez du quatrième, il s’ensuit que ces quatre rectangles font proportionnaux ; Sc partant qu’il y a même raison du rectangle compris dePB, OC, au quarré du rayon EB, & que du rectangle compris de LC, CQ, au rectangle compris de CQ , ZS, Mais ces deux derniers rectangles ayant CQ pour commune hauteur , ils sont entr’eux comme leurs bases LC, ZS ; ou comme leurs moitiez MC , XZ; & partant la raison du rectangle compris de PB , OC, au quarré du rayon EB, est la même que celle de MC à XZ. Mais comme MC est à XZ, ainsi le rectangle de EZ , MC , est au rectangle de EZ , XZ , à cause qu’ils ont tous deux la même hauteur EZ , d’où s’ensuit encore une fois que le rectangle de PB , OC , est au quarré du rayon EB , comme le rectangle dq EZ, MC, est au rectangle de EZ , XZ , ou ( à cause que VZ est moyenne proportionnelle entre EZ Sc XZ) au quarré de VZ. Que li au lieu du troisième rectangle compris de EZ, MC, on prend 3c rectangle de HC , IC qui lui est égal ( par ie 2 , Lemme de la précédente ) ( à cause que HC estle Sinus droit de la moitié de l’aggregé des deux arcs inégaux AB , BC , & IC le Sinus droit de la moitié de leur différence ; Sc que MC est la moitié de CL, ou de son égale GF qui est la difference des Sinus verses des deux arcs inégaux AB, BC , K EZ le rayon.) II fera vrai de dirç que comme De t a Trtôomom. Spherique. 87 le rectangle de PB , OC, est au quarré du rayon EZ, ou EB ; ainsi le rectangle de H C, IC, est au quarré de VZ. C. Q. F. D. Corollaire. II suit de là , que «Pun Triangle Sphcrique, dost les cotez font inégaux, les trois cotez étant connus, on connoîtra les trois angles ; car pour cela, il nc faut que faire une réglé de Trois , dont le premier terme soit le rectangle, ou le produit des Sinus des deux cotez tels que l’on voudra; le second soit le quarté du rayon ; le troisième soit le rectangle » ou le produit de deux autres Sinus, sçavoir du Sinus d’un arc qui fera la moitié de l’aggregé de la base, 5c de Pexcez de l’un de ces cotez par dessus l’autre, Sc du Sinus d’un autre arc qui fera la moitié de la différence de la base Sc de cet exccz; après quoi il fuit de cette Proposition , que le quatrième terme sera le quarré du Sinus de la moitié de sangle opposé à la base. Si donc on extrait la racine quarrée du quatrième terme , on aura le Sinus d’un angle , dont le double sera la valeur de l’angle que l’on cherche , ensuite de quoi il sera aisé de trouver les deux autres angles par le moyen des Corollaires de la précédente. Remarquez que si l’on veut se servir des Tables des Logarithmes ; il faudra seulement ajoûter à une somme le double du Logarithme du rayon , celui du Sinus de la moitié de l’aggregé de la base Sc de l’excez de l’un des cotez par dessus l’autre , oc le Logarithme du Sinus de la moitié de la différence de la base Sc de cet excez ; puis de cette somme ôter les Logarithmes des Sinus des deux cotez ; Sc ensin prendre la moitié du reste ; laquelle moitié sera le Logarithme du Sinus de la moitié ds sangle opposé à la base. Et ainsi on épargnera plus 83 Traite* de Trigonométrie. des trois quarts du travail qu’il faudroit prendre en se servant des Tables ordinaires des Sinus. Remarquez auífi, que si le Triangle proposé avoit deux cotez égaux, sans tant de circuit, ni de détour, il ne faudroit qu’abaissèr un arc perpendiculaire fur la base , laquelle seroit divisée en deux également, 5 c le Triangle en deux Triangles rectangles , qui auroient chacun un angle Sc deux cotez connus ; ensuite de quoi on trouvera aisément le reste par les Coroll. du i 3. Sc 14. Théorèmes. Et premierement on trouveroit l’angle opposé à la moitié de la base par le 3, Coroll. du 14. Theor. Puis l’on trouveroit la perpendiculaire que Ton aura abaissée parle 1. Coroll. du 1 3. Theor. en la prenant pour la base de son Triangle ; 5 c enfin l’on trouveroit le troisième angle par le 2. Coroll, du 13. Theor. THEOREME XVII. Si des angles d'un Triangle Spherique , comme pelés on décrit trois grands Cercles ; ils formeront en s’en~ trecoupam un autre Triangle Spherique , dont les cotez feront egaux aux supplément des angles , & réciproquement les angles aux supplément des cotez du 1 nangle proposé. ?ig* 3$. U’ABC soit le Triangle Spherique proposé, maintenant si du point A comme pôle, l’on décrit le grand Cercle LGEM , 8 c du point B le grand Cercle HDEFPQ ; Sc enfin du point C auííx comme pôle , le grand Cercle HXGFNO , il se formera le Triangle HGE ; cela étant , je dis premierement que les cotez du Triangle FIGE , font égaux aux supplémens des angles du Triangle ABC. Pour le prouver. k Dk LA TkiGONOM. SPHERIQUE. 89 Puisque l’arc AB passe par les pôles des deux Cercles GE, HE , réciproquement ces deux Cercles passeront par le pôle de Tare AB ; & partant le point E, qui est le point de leur commune section , fera le pôle de l’arc AB. De même puisque l’arc B C passe parles pôles des deux Cercles HEF, HGF, réciproquement ces deux Cercles passeront par le pôle de l’arc BC : &c par tant le point F qui est le point de leur commune section , sera le pôle de l’arc BC. Enfin puisque Tare AC passe par les pôles des deux Cercles GE, GH, réciproquement ces deux passeront par le pôle de l’arc AC ; ôc partant le point G qui est le pomt de leur commune section , sera le pôle de Tare A C. D’où il s’ensuit que les arcs AR , AM , AI, AL ; BD , BP,BQ,BZ;CX, CN, CT, CO, font des quarts de Cercles ; & de même que les arcs ER , EM, ED, EP ; FQ , FZ, FT ; FO ;GI,GE, GN, GX, sont aufiì des quarts de Cercles , qui sont égaux entr’eux & aux précedens. Puis donc que les deux quarts de Cercles GN & FO sont égaux entr’eux , si l’on en ôte la partie commune FN, restera l’arc GF égal à l’arc NO ; Mais cet arc NO est la mesure de l’angle NCO , ou de son égal ACB ; & partant l’arc GF est auíïï la mesure de l’angle ACB, & lui est égal ; mais GH est le complément au demi Cercle de l’arc GF, il fera donc aufiì le supplément de l’angle ACB. De même si des deux quarts de Cercles FQ , PE, l’on retranche la partie commune FP, restera l’arc QP , égal à l’arc FE ; mais l’arc QP est égal , ou est la mesure de l’angle QBP , ou de son égal ABC; 8c partant l’arc FE sera aussi égal à l’angle ABC; 8c par conséquent EPI complément au demi Cercle de l’arc FE, le sera aussi de sangle ABC. 9o Traite’ de Trigonométrie: Enfin si aux deux quarts de Cercles GI, EM , l’on ajoute Tare commun IE , l’arc GE fera égal 3 l’arc IM ; mais l’arc IM est égal à l’angle IAM , Éìg. 3 p. dont il est la mesure ; & partant l’arc GE est auífi égal à sangle IAM , ou au complément de l’angle BAC. C. Q. F. premiercmentD. Secondement, je dis que les angles du Triangle HGE, font égaux aux íùpplémcns des cotez du Triangle ABC; pour le prouver. Si des deux quarts de Cercles AI & CN , l’on ôte l’arc commun CI, il restera l’arc AC , égal à l’arc IN; mais l’arc IN est égal, ou est la mesure de l’angle NGI, par conséquent le côté AC est auísi égal à l’angle NGI : d’où il suit que l’angle HGE , qui est le complément à deux droits , ou au demi Cercle de l’angle NGI, est égal au complément du côté AC. De même, si des deux quarts de Cercle AR Sc BP, l’on ôte la partie commune BR , il restera l’arc AB égal à l’arc RP ; mais l’arc RP est égal , où est la mesure de l’angle PER ; par conséquent le côté AB est auísi égal à l’angle PER ; d’où il suit que le supplément de l’angle PER, à sçavoir GEH » est égal au supplément du côté AB. Enfin si des deux quarts de CerclesBZ & CO % l’on ôte la partie commune CZ , il restera l’arc BC égal à l’arc ZO ; mais l’arc ZO est égal à l’angle ZFO ; d’où il fuit auísi que le complément de l’angle ZFO , à sçavoir ZFG , ou son égal EHG, est égal au complément du côté BC. C. Q. F. D. Corollaire. U suit de cette Proposition que les trois angles, d’un Triangle Spherique étant connus, par exemple ceux du Triangle ABC, l’oa trouvera les trois cotez. De la TrigoNom. Spherique. 9 r Pûur cela , il ne faut qu’à l’entour du Triangle proposé décrire ou imaginer un autre Triangle , comme DEF, & qui donne au côté DE la quantité du supplément de l’angle C, Sc au côté EF celle du supplément de l’angle A, Sc enfin au côté DF le supplément de l’angle B ; & après cela par le Corollaire de la Proposition précédente , l’on trouvera les angles du Triangle DEF , dont les supplé* mens seront égaux aux cotez du Triangle ABC ; c’est-à-dire , que le Supplément de l’angle D, sera égal au côté BC ; le supplément de l’angle E, sera égal au côté AC ; & enfin le supplément de sangla F, sera égal au côté AB ; & ainsi les trois cotez du Triangle ABC seront trouvez. Voici qutlqaes (fuefìions Astronomiques qui peu~ •vent servir a faire voir supplication que son peut faire de la Trigonométrie Spherique à f Astronomie. Q UESTION I. Etant connue sobliquitè de sEclyptique , & la dis* tance du Soleil au plus proche équinoxe , trouver fa déclinaison . J E suppose que le colure des solstices convient . avec le Méridien, en forte que ces deux Cercles soient representez par le seul ÀEKB, pastant par les deux pôles du monde K, I ; si AB est l’horison & CD l’Equateur , Tare BK., ou l’angle BRK. sera la hauteur du pôle , Sc Tare AC , ou sangle ARC sera sélevation de l’Equateur, qui est égale au complément de sélevation du pôle. Si EF est sEclyptique , les deux points Ei F, où elle coupe le colure, seront les points soistitiaux de 03 & de par où pastent les Tropiques EH, FG, qui donnent fur l’horison AB, les plus grandes amplitudes Orientales, ou Occidentales d'EstéA d’Hyver RM* yr Traite’ de Trigoïîom^trïe; RL : & le point R où clic coupe ['Equateur CD reprcsentera les deux points équinoxiaux d’T , Sc de L. Enfin Pangle CRE qu’elle fait avec ['Equateur CD , ou Parc CE, est ce qu'on appelle plus grande obliquité de l'Eclyptique, ou plus grande déclinaison du Soleil,qui est à présent d environ2Z .29. Si l'on suppose que le Soleil soit au point Q de l'Eclyptique, en sorte que son parallèle soit TV , Sc son Cercle horaire soit KQI, sa déclinaison sera Parc CT , sçavoir la distance de son parallèle à l’Equateur, qui est aulïï mesurée par Parc SQ du Cercle horaire, terminé par le lieu du Soleil, & ['Equateur: & fa distance au plus proche équinoxe » fera QR, sçavoir Parc de l’Eclyptique , compris entre le lieu Q du Soleil, Sc le point Equinoxial R le plus proche. Parce que dans le Triangle QRS, rectangle en S, on connoît Pangle oblique QRS , ou la plus grande déclinaison du Soleil, Sc ['hypoténuse QR, ou la distance du Soleil au plus proche équinoxe , on pourra connoître fa déclinaison QS , en faisant cette Analogie. Comme le Sinus total , Au Sinus de la diflance du Soleil au plus proche équinoxe ; Ainsi le Sinus de la plus grande déclinaison du Soleil , Au Sinus de fa déclinaison particulière. QUESTION II. Etant connue Vobliquité de l’Eclyptique , <& la déclinaison du Soleil , trouver le lieu du Soleil dans le Zodiaque. S I dans le même Triangle rectangle RSQ , on connoît outre Pangle droit S , Pangle QRS , De la Trigonom. Spherique. p z ioula plus grande obliquité de l'Eclyptique , & la déclinaison du Soleil QS , on pourra trouver lc lieu du Soleil, ou fa distance QR au plus proche équinoxe , en faisant cette Analogie. Comme le Sinus de la plus grande déclinai - fondu Soleil, Au Sinus de fa déclinaison particulière ; Ainsi le Sinus total, Au Sinus de la distance du Soleil au plus proche équinoxe. QUESTION III. Etant connue la p^us grande déclinaison du Soleil, & J'a dijìance au plus proche équinoxe , trouver son ascension droite. S I dans le même Triangle rectangle QRS , on connoît outre sangle droit S , sangle QRS , ou la plus grande déclinaison du Soleil, & sa distance QR au plus proche équinoxe, on pourra con- noître son ascension droite , ou sarc RS de l’Equa- teur compris entre le Cercle horaire du Soleil, & le point équinoxial, en faisant cette Analogie. Comme le Sinus total » Au Sinus du complément de la plus grande déclinaison du Soleil ; Ainsi la Tangente de la diflance du Soleil au plus proche équinoxe , A la Tangente de Pafcenfon droite. Fig- 57 I F J g- 37- 54 Traite 5 de Trigonométrie,, QUESTION IV. Etant connue /’élévation du pôle , & la déclinaison du Soleil s trouver son amplitude Orientale , ou Occidentale . O N appelle amplitude Orientale du Soleil s Tare de l’horison RN , compris entre le point N où le Soleil se leve, & le point R du vrai Orient, ou le point équinoxial , où l’horison AB se trouve coupé par PEquateur C D vers PO- rient : & amplitude Occidentale du Soleil, Parc de Phorison compris entre le poinf où le Soleil se couche , & le point du vrai Occident, ou le point de POccident équinoxial, où Phorison se trouve coupé par PEquateur vers POccident. Pour trouver Pamplitude Orientale RN , faites passer par les pôles du monde K, I, & par le point N , du lever du Soleil, le Cercle horaire RN , qui coupera à angles droits PEquateur CD en quelque point, comme 2, de forte que Parc 2N fera la déclinaison du Soleil, comme 2RN est le complément de P élévation du pôle , on pourra connoître Pamplitude RN dans le Triangle rectangle R2N , en faisant cette Analogie. Qomme le Sinus du complément de /’élévation du pôle , Au Sinus de la déclinaison du Soleil ; Ainfi le Sinus total, Au Sinus de F amplitude Orientale. % De la Trïgonom. Spherique, 95 QUESTION V. Etant connue la déclinaison du Soleil, Ù“ Pélévation, du pôle , trouver la difference ascentionnelle. O N appelle difference ascensionnelle , Tare de -• l’Equateur entre le cercle de.- six heures, * & le cercle horaire du Soleil ; quand il se leve , ou quand il se couche : comme Ra , si le Soleil s* leve , ou se couche en N, l’axe du monde IK représentant dans cette projection le cercle de six heures. Cet arc R2 sc connoîtra dans le Triangle R2N rectangle en 2, où l'on connoîtl’angle sRN, ou le complément de la hauteur du pôle , & l’arc 2N , ou la déclinaison du Soleil, sçavoir en faisant cette Analogie. Comme le Sinus total , A la Tangente de la déclinaison du Soleil » Ainsi la Tangente de Pélévation du pôle , Au Sinus de la difference .ascensionnelle. II est évident que si l’on réduit en tems la différence ascensionnelle trouvée , en prenant une heure pour 1 p . degrez, on aura le tems auquel le Soleil se leve ou se couche , & par conséquent l’heure du lever ou du coucher du Soleil, dont le dou-, ble donnera la longueur de la nuit, ou du jour. QUESTION VI. Etant connue P élévation du pôle, & Pheure du leveï ou du coucher du Soleil , trouver sa déclinaison. S I l’on ôte ou qu’on diminue de six heures, l’heure donnée du lever ou du coucher du Soleil, on aura la difference ascensionnelle R2, dont 9 6 Traite’ de Trigonométrie; le complément 2D est la difttrencc du Soleil au Méridien , qu’on appelle c >mn unément distance horaire , laquelle étant connue avec l’angle 2RN, ou le complément de l’élevation du pôle , on trouvera la déclinaison 2N, dans le Triangle rectangle R2N , en faisant cette Analogie. Comme le Sinus total , Au Sinus du complément de la dijìance horaire ; Ain fi la Tangente du complément de la hauteur du pôle , A là Tangente de la déclinaison. Cette question esttrès-utile dans la Gnomonique , où l’on a besoin de sçavoir de combien le Soleil déclincroit de l’Equateur, s’il sc levoit ou s’il se couchoit à une heure proposée , pour pouvoir tracer sur un Plan les heures Babìîoniques , & Italiques , & même celles des heures Judaïques ou antiques. F I N. w* â' íwî' JRí ^<ê ichAl? ê «KK- TáL ' 4*£ ' í#J' - ât)-^ «M> «M- TABLE DES MATIERES. PREMIERE PARTIE. De la Construction des Tables. P RopositioN I. La Soutendante d’un arc efî double du Sinus de la moitié du même arc. P. 7 Prop. II. Le quarré du Sinus droit d 1 un arc avec le quarré du Sinus droit de son complément sont égaux au quarré du Rayon. 8 Prop. III. La différence des Sinus des deux arcs également éloignez de 60 degrez, ejl égale au Sinus de la moitié de la différence de ces deux arcs . 9 Prop. IV. Le Sinus verse d?un arc , & le Sinus droit de son complément ,sont égaux au Rayon du Cercle. 11 Prop. V. Les Quarrez des Sinus droit & verse d’un arc font égaux au Quarré de la Soutendante du même arc. ibid. Prop. VI. Au Quarré du Cercle le Sinus droit dêun arc est moyen proportionnel entre la moitié du Rayon ,& le Sinus verse d’un arc double. 12 Prop. VII. La Tangente d’un arc est au Rayon £8 TABLE comme le Sinus droit de cet arc, ejì au Sinus droit deson complément. -4 Prop. VIII. Le Rayon ejl moyen proportionnel entre la Tangente d’un arc , & la Tangente de son complément. i J Prop. IX. Le Rayon ejl moyen proportionnel entre le Sinus droit d’un arc , ÎX la Sécante de Jòn com- 16 SECONDE PARTIE, Construction des Tables des Sinus, des Tangentes & des Sécantes, P ROPOSITION Fondamentale , de la maniéré de conjlruire les Tables des Sinus. 18 Peof. II. De la maniéré de conjlruire les Tables des Tangentes. 21 Prop. III. De la maniéré de conjlruire les Tables des Sécantes. 2L De la Suputation des Logarithmes. 2 Z Prop. I. De quatre quantitez en proportion Arithmétique , la somme des deux extrêmes ejl égale a la somme des deux moyennes. 24. Prop. II. De trois quantitez en proportion Arithmétique , la somme des deux extrêmes ejl égale att double de la moyenne. 24 Prop. III. La somme des Logarithmes de deux nombres entiers > efl égale au Logarithme de leur produit , lorjque le Logarithme de Vunité esta. 25 Prop. IV. La difference des Logarithmes de deux DES MATIERES. 99 nombres entiers , ejl égale au Logarithme de leur quotient, lorsque le Logarithme de l’unhé tjl o. 26 Prop. V. Le Logarithme d'un nombre, ejl la moitié du Logarithme de son quart é, le tiers du Logarithme de son cube , lorsque le Logar ithme de l’unité ejl o. ibid'. Prop VI. Trouver entre deux nombres donnez urt moyen géométrique proportionnel. 27 Prop. VU. Entre deux nombres donnez trouver un moyen proportionnel Arithmétique. ibid. Prop. VIII. Trouver le Logarithme d''un nombre proposé. 2.8 De l’usage des Tables. 3 l Probleme I, Multiplier ensemble deux nombres entiers moindres que 1 0000. 3 3 Probl, II. Diviser un nombre entier moindre que 10000 par un autre . 3 Probe. III. Trouver la racine quarrée d?un nombre donné moindre que 10000. 3 y PfioBL. IV. Trouver la racine cubique ddun nombre donné moindre que 10000, ibid. Probe. V. Trouver le Logarithme d'un nombre entier plus grand que 10000. 36 Probe. VI. Trouver le Logarithme du Sinus droit connu d’un arc. 3 g Prorl. Vil. Trouver les Logarithmes des Tangentes & des Sécantes. 4.0. Probe. VIII. Trouver le Logarithme du Sinus verse d*un arc propose. 4, p Probl. IX. Trouver le Logarithme d'une Fraéiion proposée. ^.2 Probe. X. Trouver le Logarithme csun nombre entier avec une Fraélion. 43 P obl. XI. Trouver à quel nombre appartient un- L ogarithme donné. ibid, G ij ioo TABLE Pkobl. XII. Trouver le Sinus , 1 a Tangente , ou- la Sécante d’un arc ou d’un angle connu en Degrez , Minutes , & Secondes . 46 ProiìR, XIII. Trouver les Degrez , /ex Minutes , Secondes d’un Sinus , d’une Tangente , o« íj’wwf Sécante proposée. 47 Pkobl. XIV. Trouver le Logarithme de la disse - rence de deux nombres quart ez donnez , 48 TROISIEME PARTIE, Du Calcul des^ Triangles rectilignes. P Rofosition I. §r dans un Triangle rettangle, la base es prise pour le Rayon du Cercle, les cotez seront les Sinus des Angles opposez. 49 P-Rcr. II. Si dans un Triangle reAangle , 7 un des cotez es pris pour le Rayon du Cercle , Vautre côté fera la Tangente de F Angle auquel il es op-, posé , & la Base en sera la Sécante. y r Prop. III. En tout Triangle les cotez font en même Rayon que les Sinus de leurs Angles opposez, y 2 Prop. IV. La somme des deux cotez inégaux d*un Triangle qui n’es pas équilatéral , es d leur dif- Jerence , comme la Tangente de la. moitié de la somme des deux Angles opposez à ces deux cotez inégaux % es à la Tangente de la moitié de la. dijference des mêmes Angles. y 5 Prop. V. Si dans un Triangle qui ne soit pas équi n latéral , on tire du plus grand Angle fur la base une perpendiculaire qui la divise en deux segment- inégaux , il y aura même raison de cette hast à, DES MATIERES. 10 1\ ìasomme des deux cotez , que de leur différence à la diffèrent# des fegmens, . 5 6 ;quatrie’ME partie; De la résolution des Triangles Sphériques} L Es neuf premiers Théorèmes de cette quatrième partie font fi brefs qu'ils font presque renfermez dans leurseul titre , c’efi pourquoy nous rien rapporterons point F intitulé dans cette Table, parce que (Tailleurs ils ne font point de grande conséquence ; mais voici F intitulé de ceux qui les suivent. Theoreme X. Chacun des deux Angles obliques d’un Triangle Spherique rectangle ejì de même affection que son côté opposé. 6 f Theor. XI. Si les deux cotez d''un Triangle Spherique rectangle font chacun aigu, ou chacun obtus , P hypoténuse fera moindre qu un quart de Cercle » & fi P un efi aigu , & P autre obtus , Vhypotenufe fera plus grande qu un quart de Cercle . 66 Theor. XII. Si deux Angles d’un Triangle Spherique font de même affection, la perpendiculaire tirée du troisième Angle fur son côté oppose tombera au dedans du Triangle, & au dehors fi les deux mêmes Angles fimt de diverse affeótion. 6cp Theor. Wïl.AuxTrianglesSphtrtques rectangles, il y a même raison de la Tangente dè P Angle opposé à la perpendiculaire , à la Tangente de cette perpendiculaires qiìil y a du Rayon duCercle qu Sinus de la base, 71 . *0 2r TABLE Thkgr. XIV. Aux Triangles Spheriqt{es reÛan- gles m , il y a même raison du Sinus de F Angle opposé à la perpendiculaire , au Sinus de cette per- ptndiculaire, qu’il y a du Rayon du Cercle au Sinus de Vhypoténuse. 7 5 Thçor. XV. En tout Triangle Spherique , comme le Sinus Sun Angle ejl au Sinus du côté qui lut est opposé , ains le Sinus d’un autre Angle ejl att Sinus du côté qui lui ejl opposé., 7L Theor,. XVI. Aux Triangles Sphériques qui ont les cotez a r entour de FAngle du sommet inégaux , ce s quatre choses font proportionnelles. La 1 . le Rectangle compris des Sinus droits de ces cotez inégaux. La 2. Le Quarté du Rayon. La 3, le Reélangle dont F un des côtez ejl le Sinus de la moitié de l’aggregé de la base Ù 1 de Fexcès de l'un de ces côtez pardessus F autre , Ù“ F autre côté ejl le Sinus de la moitié de la dijference de la' base if de cet excès. Et la quatrième le Quarté du Sinus de la moitié de F angle du sommet de la moitié opposée q la base , qui ejl la même chose. , . 83 Theor. XVII. Si des Angles d i un Triangle Spherique , comme Pôles , on décrit trots grands Cercles , ces trois Cercles formeront en s" 1 entrecoupant un autre Triangle Spherique, dom les côtezseront égaux aux Suplemens des Angles , & réciproquement les Angles aux Suplemens des côtez du Triangle proposé. 88 Voici quelques queflions astronomiques qui peuvent servir a faire voir F application que Fon peut faire de la Trigonométrie Spherique a FAftronomie. Question I. Etant connue Foblìquité de FEclyp- tique , & la diflance du Soleil au plus proche Equinoxe trouver fa Déclinaison^ 91 DES MATIERES. ivz QuEST. II. Etant connue P obliquité âe le lieu du que , la Déclinaison du Soleil , trouver l’Eclypti- Soleil dans le Zodiaque. Quest. III. Etant connue la plus grande déclinaison du Soleil y &sa difiance au plus proche Equinoxe , trouver son Ascension droite. i .'1 » « ’i.vnç& v.ij v .,:v-r. - '••'e v. ''.‘vi ••’ -ìs , • , Mr < r J ■'• ,*r*\iViv'-'-' • ;ú v;V;. ; Jíîú • ; > ' r c r jc E A & A D C A A Tingcmome trie Planche 2 . A G G- B ITi'igcrncrnictrie Izlanche j . Trie/citcnnetric £ Latte he 4. . AVERTISSEMENT DU LIBRAIRE. M Algré toute l’attention qu’on a prise pour rendre cette nouvelle Edition des Tables des Sinus austipar- faite qu’on pût le désirer , comme il est aisé de s’en apercevoir par la beauté du papier & la netteté des caractères, on n’a sçû empêcher qu’il ne s’y soit gliflé un ^rand nombre ds fautes, qui auroient pu devenir de conséquence dans un Livre comme celui-ci, si l’on n’avoit pris le foin de les corriger avec la derniere exactitude , comme on a fait dans YErrata suivant : oh le trouvera fans doute un peu ample j mais aussi il est si fidèle & si sincère qu’on y a marqué jus- qu’aux moindres fautes , comme des chiffres renversés & autres aussi légères, afin que ceux qui voudront se donner la peine de corriger avec foin dans ce Livre les fautes indiquées dans l’í rrata , puilìent se flatter d’avoir des Tables des Sinus plus correctes que toutes les Editions qui en ont été faites jufqu’à présent, & s’en servir avec confiance pour l’exactitude des Calculs. Au reste, il ne faut point s’étonner de cette quantité de fautes : un Livre de la nature de celui-ci n’en est jamais exemot,quelquë foin que l’on prenne pour la correction des Epreuves ; & l’on auroit tort d’en tirer des conséquences qui portent atteinte à la réputation que leLibraire s’est acquise par la façon dont il exécute ses impressions, puifqu’il avoit pris toutes les précautions possibles pour mettre ce Livre aU-dessus de la critique. Malheureusement la personne qu’il avoit chargé da soin de cette édition, quoiqu’affez au fait des Mathématiques & m me dans l’habitude de corriger des épreuves de plusieurs Livres d’Elemens , n’a point i-épandu à 1 1 confiance que l'on avoit en lui, ni a l’idée que l’on avoit de fa capacité, & soit négligence de sa part, soit distraction , il a laissé glifler dans ce Livre un grand nombre de fautes, dont la plupart n’auroitpas même échapé au Libraire, s’il avoit osé se charger de ce travail Quoiqu il en soit, cet Errata joint à la Lettre suivante adreflée au Libraire par un fameux Géomètre , feront voir aux personnes interellces à critiquer ce petit Ouvrage, qu’il íi’y a pas ant à se recrier, & même que l’on a été plus levers qu'eux dans Texamen que l’on en a fait, puifqu’ils n’ont encore pû indiquer qu’uhe douzaine de fautes dont ils ont fait beaucoup d’étalage dans quelques Journaux ou de pareilles découvertes deviennent fort indifférentes aux personnes qui s’amusent de ces sortes d’Ouvrages ; au lieu gu’on trouvera ici toutes les fautes dans le même ordre qu’elles font dans le Livre, & si exactement corrigées qut l’on défie la critique la plus rafinée de trouver à présent matière à un nouvel Errata. Lettre écrite à M. Jombert libraire a Taris , par un Mathématicien de Province , au sujet de sa nouvelle Edition des Tablet des Sinus. En parcourant, suivant ma coutume, les Journaux de cs mois, j’y ai trouvé , Monsieur, une critique assez vive de Votre nouvelle édition des Tables des Sinus, mais un peu trop partiale pour faire impression fur les personnes désintéressées , c’est pourquoi il ne faut pas beaucoup vous en inquiéter : d’ailleurs vous connoissez les Auteurs, chacun est intéressé à ne trouver rien de bon que ses propres productions ; pour les faire valoir il est obligé d’être toujours à l’affut pour découvrir des défauts dans celles des autres , il n’y a rien dans tout cela que de fort simple & de très-naturel. Mais venons au fait. Vos éditions des Tables des Sinus in-oélavo (n’en déplaise à M. D... ) m’ont toujours paru préférables aux autres pour bien des raisons. i°. A cause de leurs caractères qui ne fatiguent point la vue comme celui de sédition de M. D .. qui auroit dû le faire in-folio dès qu’il poussoir si loin ses desseins. i°. Parce qu’on n’a pas besoin de recourir à deux Tables différentes pour avoir les Logarithmes des Sinus & Tangentes. M. D.nomme ceci une confusion, & bien ' d’autres avec moi le nomment une grande commodité. 3 Parce que vos Tables ne font ordinairement accompagnées que d’unpetit Traité de Trigonométrie, que vous auriez mêmepû suprimer, ce qui auroit épargné à M. D. .„ beaucoup de travail&detems perdu àdéchirerimpitoyablement ce petit Traité, d’ailleurs très indiffèrent à ceux qui achetent vos Tables. On veut des Tables pour l’usage &non pas des Traités si étendus, encore moins des Traités étrangers à cette matière , tels que la Gnomonique ; un Livre de cette elpece ne sçauroit être trop portatif. Je conviens que les Astronomes n’iront pas chercher ces Tables chez vous, elles ne font pas faites pour eux , mais pour les Géomètres & Praticiens , & je doute fort que ces mémes Astronomes ayent recours aux Tables de M. D ... tandis qu’il en est d’autres plus étendues & plus propres à leur usage. Mais, dira-t-on , il y a beaucoup de fautes dans votre nouvelle édition : eh ! quel est l’ouvrage plein de chiffres «eaune celui-ci, qu’on en puisse garantir i Après tout, de r guelîe nature font-eïïes, ces sautes ? elles sont dansle ca*J racteristique, ou dans les deux derniers termes des Sinus , Tangentes, Sécantes, Logarithmes, &c. ou dans le corps de ces choses. Si elles font dans le caractéristique, on les reconnoít d’abord : si elles font dans les deux derniers termes , elles ne produisent aucune erreur sensible, puisqu’en calculant on suprime ordinairement ces deux caractères ; enfin si elles font dans le corps des quantités, elles font à la vérité un peu plus considérables , mais il n’est presque point d’Ecoiiers, qui en comparant ce qui précédé & ce qui fuit dans les Tables, ne soit en état de s’en apercevoir, & souvent même de les corriger. Ce n’est point que vous ne fassiez bien d’ajouter un F rrat* à votre nouvelle Edition, & même pour vous faire plaisir, en vo ci un des plus exacts que je vous envoye, je vous exhorte à le joindre à tous vos exemplaires, ne fût ce que pour épargner à M. D ... la peine de travailler aux cartons qu’ii vous offre si gratieufement. Mais à propos de carton- , je m’imagine que vous feriez en état de payer M, D... de la même politesse , si tous ceux qui découvriront des fautes dans son Ouvrage venoient vous les indiquer : en voici une entr’autres que j’ai trouvée à la premiere ouverture que j’ai faite de son Livre , page %i , Problème 4. (No 70. ) Dans cet endroit il fepropole de trouver le côté AB d’un Triangle rectangle opposé à*un Angle de ;6 degrés 1 z minutes , l’autre côté BG étant de 456 toises; & dans la solution qu’il en donne , il met pour le côté AB 687 toises au lieu de 681. Au reste ces fortes de fautes ne font pas beaucoup considérables, non plus que celles qu’il reprend dans votre Edition. Je la raporte feulement ici pour prouver à cet Auteur, qui fe croit infaillible, que malgré son exactitude & celle des personnes illustres qui ont revu son Ouvrage avec tant d’attention , il est impoG sible qu’il ne fe glisse toujours des fautes : son Livre n’en est pas exempt non plus que le vôtre , & tous les Ouvrages de cette nature nele ferontjamais quelque foin que l’on y apporte. En voilà bien assez, Monsieur, pour calmer vos inquiétudes, continuez à nous donner de belles éditions & à imprimer des Ouvrages nouveaux : l’aprobation que le Public donne à vos foins doit vous dédommager abondamment des tracasseries que celui-ci vous a occasionné. Je fuis avec bien de i’estime, Monsieur, &c. * ij E R R A T A? Us- min. — r %9 3° Log. Sin. 99999 856 lisez 9999983F ' 8 9 < 3° Log. Tang. 120551^1^ lisez 120591416 , I . 34 Log. Sin. 843 6/999 Usez 84367999 . 88 > 9 Tangentes 309/5928 lisez 30959918 . 87 - 20 Sinus 998/Ì7X lisez 9989171 87 x; Sinus 998S4.8S hsez 99884.84 » 87 ' 3 Sinus 9986fá8 lisez 9986748 — 87 12 Tangentes 20446480 lisez 20446486 • 87- 4 Tangentes X9\iSS 84 hfz 19515584 _.87 28 Sécantes 22\l4I26 lijez 22624126 - 87 rs Sécantes 22686528 lisez 22186528 ; 47 Log. Sin. 88294365 lisez 88194363 - 5 - 14 Log. Tang. 89618/59 UJez 89618*59 .5 54 Tangentes 1933400 hsez 1033400 . 8+ , I Sinus 9945>n lisez 9945511 — ?4 0 Log. Tang. 106783798 lisez 109783798 - 6, 13 Sinus i111 7/9 lisez 1111 799 . 6 . . 7 Sécantes 1005725/ lisez 10057256 r 3° Sécantes Î0064667 lisez 10064697 — 6 12 Log. Sin. 90344112 lisez 90334m — *3 45 Sinus 9950563 Us z 9940563 » 6 - 36 Sécantes I0066/5 hsez 10066715 A —* 6 35 Log. Sin. 90593671 Usez 90593672 • 6 , 5 x Log. Sin. 907/5832 Usez 90775832 -—. 6 55 Log Sin. 90707189 Usez 90807189 i 6. 4i Log Tang. 906884/ Usez 90688465 1 - Sz. 8 Log. Sin. 9996873/ Usez 99968736 . 7. 0 Tangentes 1117/X Us z 1227846 ,, /* 7 ' 28 Log. Tang. 9117471/ Usez 91174714 •• r 7. 19 Log. Tang. 9118451/ lisez 91184518 \* 7- 3° Log. Tang. 9119419/ lisez 9II9419I v— Lr 34 Sinus. 9915661 lisez 9915961 — 7 47 Log. Tang. 91357167 lisez 91357160 — 7 5o Log. Tang. 91385410 lisez 91385417 — 8 r. 6 Sinus 9904094 Usez 9905094 t 8 • 8 Sinus 14147/1 Usez 1414772 — 8x 38 Tangentes 67993563 lisez 67993565 — 8i 7 Log. Sin. 99947598 Usez 99947591 — 8x 11 Log. Tang. 108193713 lijez 108093713 Áh §oJ t . Q Q Sz 3.6974137 lis z 3.6974037 - 4 S 83 3.6074909 l.seZ ■ 3.6974909 . 5*59 3.7209037 lijez 3.7209032 — 5448 3.7362571 lijez 3.7362371 5464 3.7375007 Itjez 3.7375107 — 5965 3.7756004 lijez 3.7756104 Í043 3 7812426 lisez 3.7812526 —.. 63s; 3.8037084 lisez 3 8037984 Page suivante, en bas à la marge, au lieu de 4500 liiez 6500 — 6507 3.8133818 lisez 4 .8n?8o2 6891 3.8383822 Isez 3.8382822 7156 3.8546705 lijoz 3.8546703 - 7167 3.8563374 lijez 3.8553374 — 7298 3.8632049 lijez 3.8632039 — 7299 3.8632654 lisez 3.8632634 — 7443 3.8718747 lijez Z 871864- — 7929 3.8991184 lijez 3.8992184 — 7976 3-7017851 lisez 3.9017851 — 8053 3.9050577 lijez 3.9059577 - 8090 3.8079485 If ez 3.9079485 — 8387 3 - 4-3 6066 lisez 3.9236066 — 9028 3-9556915 lijez 3-9555915 - 9031 3.6557358 lijez 3.9557358 — 9 Z 2 I 3.9694627 lijez 3.9694625 3 9806398 lisez 3.9806396 - 9677 3-9357407 lisez 3.9857407 2 ia marge en das N n 9000. lisez 9902. - 9953 - A .2 .*. 3-9979504 lijez 3-9979540 á(AJY- 4 ^ ^ Q £>> C# «j Q*"; ^ X Cotó-. - V ^ «-ÍA ^ * ’ 31 tC'C w r*. ,7 ’.WPUÁ V «/ <3C^c^ sí. 9 '°— > __ a <^*~ /© 5 ) fl^CXt W^M.. 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