— ee —— * *—— 12 J.. Heel. ualem,, Hou ar Nei. 3. 5 L„ 7 Hindi. 2 Hage AN 4 8 * 25 4————— 3*———* * 4 G HRISTO PHY CLAVII BAM BERGENSIS E SOCIETATE IES v. ASTROLABIVM 8 unt un jd. cum. gen bal, Sg. C VMM PRT ‚ ˖ A RO M AE, Impenſis Bartholomæi Qraßſi. Ex Ty pographia Gabiana. M. D. X CIII. S PERIO RTM PEAMISV. Nee, fel ο r e 2 *. — SERENISS. PRINCIPI . ee e ee D. FR ANC. MARIAE II. RN 5 Sea CHRISTOPH ORYYN CLAYIYS eFHoscietate Ieſis J. P. D. ATHEMATTICARVM diſciplinarum, qudad te non fugit, PRINCEPHS SERE· NISS IME, tam immenſa copia, atque vbertas eſt, vt cum quis omnia ferè ipſarum arcana ſe animo,& cogitatione 9884 comprehendiſſe exiſtimat, tunc quaſi — Uuouum, ac rudem intelligat ad ea ſcrutanda penitus accedere, cum ex vnius perceptione rei altera identitem emergat: vt è multis tanquam nodis ac nexibus catena ſeſe implicante, noua quædam incipiat occupatio, vbi deſitura eſſet. Atq; ego huius rei ſi non iudex, certe teſtis eſſe poſſum. Cum enim eorum iuſſu, quibus mę regendum permiſi, in præſtantiſſimis hiſce ſtudijs, ſcituq́; digniſſimis vel publicè profitendis, vel, quantum res 755 tuK It lit, illuſtrandis vario commentariorum genere, iamdiu verſer, videor mihi pœne adhuc hærere in veſtibulo,& eius ſcientiæ, quam ſuſpicaretur aliquis perductam eſſe ad faſtigium, vix iacta fuiſſe fundamenta: ita alia atq; alia ſubindeinquirenda occurrunt, vt, quod ait alicubi Sophocles, labor labori laborem tuliſſe videatur. Id cum ſæpe alias, tum in egregio illo,& quod maius videtur, quàm vt ab homine extiterit, Claudij Ptolemæi inuento, quod Planiſphærium ab ipſo, Aſtrolabium vulgo, dicitur, ſum proxime expertus. ad cuius explicationem etſi non ſolum Federicus Commandinus tuæ olim Amplitudinis ditioni ſubiectus,& Mathematicus excellenti doctrina Commentarios ſeripſit perelegantes, ſed& Franciſcus Maurolycus Siculus Abbas noſtrę ætatis inter Mathematicos facile princeps breuiſſimas demonſtrationes edidit eiuſdem argumentiʒ videntur tamen ſupereſſe non pauca in hac globoſæ ſphęrę proiectione in planum ſpeculantibus proponenda. Nam ex ijs, quæ demonſtrarunt ipſi, nihil ferè efficitur, niſi vt conficiendi Aſtrolabii ratio diſcatur; cuius vſus perexiguus eſt,& incertus: quando nec deſcribere in eo omnes circulos licet, quos in primo mobili complectimur mente, nec qui deſcribuntur, tot eſſe poſſunt, vt per omnes gradus,& minuta traijciantur: quod ſane erat neceſſe, vt perfectus huius inſtrumenti vſus perciperetur. Quæ cum viderem, taleq; inſtrumentum, quòd certiſſimis demonſtrationibus nitatur, præponendum eſſe omnibus intelligerem eius rationem augere,& quoad ſciui, potuiq;, perpolire,& perficere conatus ſum: vtinam euenta conatui reſponderint. Et quidem(liceat liberè, ac ſine arrogantia loqui) Dei ope, qui adiuuat laborantes, quædam commentatus videor, quæ antea mihi non dico ſperare, ſed cupere furor fuiſſet. Primum enim Geometricè oſtendo, qua ratione in plano, in quo datus ſit circulus quantælibet magnitudinis, referens Aequatorem; aut maximum quemlibet alium ſphæræ circulum, de ſcribatur quiuis cæleſtis circulus, quem quem in cælo cognitum eſſe contigerit. Trado deinde, in eodem plano quot& quilibet circuli, lineæùe ponantur, quos in cælo circulos, aut lineas referant, qua Geometrica arte perſpicuum fiat. Tum(quod meo iudicio plurimi faciendum eſt, cum fons ſit omnium,& caput) doceo multipliciter, quo modo quemlibet circulum in Aſtrolabio effictum diuidere oporteat in gradus ſuos, quaque demonſtratione inueſtigare punctum, vt cuilibet puncto eiuſdem circuli, quem in cælo poſueris, reſpondeat: etiamſi omnes in cælo gradus æquales ſint in eodem circulo,& in Aſtrolabio propter inæqualem ab oculo diſtantiam inæquales appareant. Poſtre mo explico ſine adminiculo Aſtrolabij, modo duorum triumùe circulorum ſpecies in pagellam conijciatur, qui habeatur qualiſcunque Aſtrolabij vſus, etſi per inſtrumentum talem vſum parare non poſſis: atque hoc ipſum(quod auget pretium) multo exploratius, quàm ipſius inſtrumenti ope;(quanquam ſit etiam vtile ipſum:) dum regula diligenter,& circino vtaris. His addo triangulorum ſphæricorum ſcientiam omnem: vt triangulum quodcunq; ſphæricum efformare liceat in plano, ſingulaq; eius latera, & angulos inſpicere ea prorſus ratione; qua inſpicerentur, ſi globum haberemus tornatum omni ex parte, vt nihil eo rotundius, in quem omnia triangula poteſtas eſſet imprimere noſtro arbitratu. Et vero hæc pars tam longè, lateque patet, vt nulla ſit quæſtio(ſunt autem quæſtiones infinitæ) ex triangulis ſphæricis per ſinus, ac numeros explicabilis, quam non commode peranguſto ſpatio per tres arcus explicemus ſine auxilio numerorum. Quæ cum ita ſe habeant, (timide dico, ſed veritas me audaciorem facit) apertè profiteor, hoc noſtro commentario omnem doctrinam primi mobilis contineri: cum in eo nihil poſſimus informare cogitatione, ſiue ſint circuli rectæ lineæ, anguli, vnius ad alium circulum inclinationes, triangula, quod non hic in plano facillimè deprehendatur. quod ipſum tentare ad hoc vſque que tempus, quod ego ſciam, nemini Mathematicorum venit in mentem: vt nec ſuum ipſe partum agnoſceret Claudius, ſi reuiuiſceret. Hunc ego laborem, cuicuimodi ſit, (etſſ multa eſſe non ignoro non ſatis explicata, nec ſuis poſita locis, vt quæ ſe, dum ipſum opus typis mandaretur. P P 9 5 offerrent) Sereniſſime Princeps, Ampliſſimo tuo nomini do, dono, dicoque. atque id optimo conſilio. Cum enim (vt non modo teſtatur Illuſtriſsimus D. Guidus Vbaldus è Marchionibus Montis, Mathematicarum peritiſſimus artium, quod eius indicant pulcherrima volumina edita in lucem, ſed clamat celeberrima fama, quæ totum occupauit orbem terrarum) inſtructus ſis ſcientia rerum omnium, ac Mathematicarum præcipuè, quæ vt ſunt nobiliſſimæ, ſic nobiliſſimum quemque Heroa maxime decent, cui deſtinare iuſtius poteram hæc rerum fermè nouarum omnium inuenta, quàm tibi, qui earum cognitione præter cæteros excellis Quod ſi mos Archimedi fuit, Apollonio, illis Geometrarum luminibus,& priſcis item alijs viris ſummis, res à ſe excogitatas proferre ſub aliorum Mathematicorum nomine, qui eadem conditione vitæ ijſdem ſtudijs de lectarentur vt de ijs intelligerent, ac iudicarent: quanto æquius, meliuſqͥue offerri debuit à me hoc Amplitudini tuæ? Nihil enim eſt hodie magis cognitum, aut illuſtre, quàm eſſe te, vt modo attigi,(quod in Principe viro hoc præclarius, quo rarius exemplum) in omni parte diſciplinarum Mathematicarum egregiè peritum, eumque rerum gerendarum conſilio maximum, itaq ue belli gloria, ac virtute præſtantem, vt nulla ſit laus, quæ non tibi meritiſſimo debeatur. quas etiam ob cauſas ardebam cupiditate incredibili, vt perleui aliquo indicio oſtenderem, me iam diu eſſe addictiſſimum Celſitudini tuæ. At tu accipe meum hoc commentationum volumen ea, quam parem habes benignitate ſummis virtutibus tuis,& meum hoc munuſculum, quo accedat etiam ei dignitas à loco, eſſe patere in illuſtriſſima tua illa, optiMD e rr optimisqͥue libris inſtructiſfima bibliotheca: vt& præſens ſeculum,&, ſi modo hic labor te auctore tranſibit in ſecula, etiam poſtera cognoſcant, me, ac res meas omnes fuiſſe in ære tuo. quam meam mentem, non mortalibus tantum; ſed, vt ita dixerim, immortalibus, cæleſtibus nempe orbibus, quorum metiendoi um; inſpiciendorum; cognoſcendorum hic modus quidam traditur, hoc veluti ſigno teſtatam eſſe voluimus. Vale. ROMAE III. NON. SEPTEMB. MD XCIII. QVAE IN ALIORVM AS TROLABIIS non traduntur, ſed in hoc nunc primum inuenta ſunt, ac demonſtrata. J. C Viuſuis circuli ſiue maximi, ſiue non maximi, prolettio in planum, ſi modo eius ſitus in ſphara cognitus ſit. IA. Cuiuſuis eirculi ſiue maximi, ſiue non maximi, in planin Proiecti diuiſio in 360. partes inæquales, qua gradibus 3 b0. æqualibus eiuſdem circuli in ſphara reſßondeant. 5 111. cuilibet puncto, vel arcui in calo, vel ſp hæra dato, reſpondens punum, vel arcum in plano. Aſtrolabij alignare: Et contra, dato quolibet pundto, vel arcu in plano Aſtrolabij, quod punctum, vel arcum in cælo, ſeu ſphæra referat, inuenire. III. Circulo vtcunque deſeripto in Aftrolabij plano, vel recta vtcunque du: cta, quem circulum, aut rectam in cælo, ſeu ſphæra repræſentet, ex· Plorare. %. Vſus Aflrolabij, iq; ampliſſimuis, ſolius circini, ac reguls beneficio, ſine auxil io Aſtrolabij materialis. I. Omnium triangulorum ſp hæricorum deſeriptio in plano,& angulorum, laterumq́;; eorundem inuentio ſine ope numerorum. VII. Omnium quæſtionum, quæ per triangula ſphæiica adiumento numerorum enodantur, ſolius beneficio circini, ac regulæ, explicatio. VAI. Jus Sinuum, Tangentium, atque Secantium per ſolam profi hapæreſim, hoc eſt, per additionem, ſubtractionemq; ſolam, ſine multiplicatione, ac diuiſione numerorum: Acceſſit cumpendium mirificum omnium triangulorum;& tabula Sinuum emendata, cum modo par tis proportionalis eruendæ. X. Demonſtratio, non dari circulos maximos horarum inæqualium, contra omnes fere horologiorum ſcriptores. X. Varia determinationes magnitudinis angulorum in triangulis ſpharicis, d nemine hactenus animaduerſe. RAE T ER bac, innumerabilia alia varijs in locis diſperſa occurrent, quæ non paſſim is aliorum ſeriptis re perias. diIuſun 140. un 2 er · 70. 2 tiPd tra cis, . IN AS TROLABTIVNM P R AE FP A T I O. N T ER omnia inſtrumenta, quibus ea, quæ primi mobilis motum ab ortu in occaſum conſequũ tur, vel ad eum aliquo modo pertinent, explicari, atque inueſtigariĩ ſolent, ab Aſtronomis magna ſo lertia excogitata, nullum mihi vnquam viſum eſt præſtantius eo, quod Claudius Ptolemæus Planiſphærium inſcripſit: vulgo Aſtrolabium dixere. in quo nimirum omnes circuli cæleſtes primi mobilis rationibus Geo metricis ita in planum proijciuntur, vt ſingula eorũ puncta,& arcus dimetiri non minus accurate,& exquiſitè liceat, quam in globo aliquo perfecte rotundo, qui primum mobile referat. Quamuis enim pheærra ſolida, ſiue globus, de quo proximè diximus, omnibus inſti u mentis, quæ extrui, aut informari cogitatione poſſunt, iure antecellat, quod ſit perfectiſs ima totius cæli imago& effigies: quia tamen ob exquiſitiſsimam rotunditatem, quam habere debet,& difficillima eius conſtructio redditur, vt vix quiſquam perfectum ſe globum aliquando conſecuturum ſperet,& conſeruari diu ſine damno vetuſtatis difficile poteſt: idcirco Aſtronomi induſtria ſane admirabili conati ſunt globum, ſeu ſphæram in planam ſuperficiem traducere, yt commodius, faciliuſque ea omnia obtinerent, quæ per globum, ſiue ſphæram adipiſci poterant. Eſt enim inſtrumentum planum, iter facientibus commodiſsimum, quippe quod& ſine labore ex no in alium locum transferri,& facile illæ ſum cuſtodiri queat. Adde, fieri non poſſe, vt in globo vel diligentiſsime elaborato, omnes neceſſarij circuli, omniaque puncta diſtincte ponantur; quæ res non parum negotij ſtudioſo faceſſere poſsit. Quæ difficultas in plano locum non habet, cum in quauis plana ſuperficie, etiam in charta per exigua, tres quatuorue circuli facile deſcribantur, qui nobis maxime ſunt vſui tunc futuri, omiſsis aliis, quibus in præſenti non indigemus: Deinde, vt omnis confuſio vitetur, reiecta hac charta, ali a aſſumi poteſt, in qua alii circuli alium in vſum efformentur. a Neque Globi impetſs ct ones Aſtrolabii pra fi tia. . 2 Scbpue præei · puus hnias ope · is. Aſtrelabii materialis imperſe · Go. Attrelabii vſus ampliſsimus ſine inſtramento. J)) Neque enim neceſſe eſt, vt is, qui rationem tenet deſcribengorum in plano omnium circulorum, ſemper Aſtrolabii inſtrumentum in manibus habeat, ſed ſatis eſt, paucos quoſdam circulos in modico aliquo ſpatio, vel certe in chatta aliquà non admodum magna deſcribere, eoſque in gradus diſtribuere, vt ex ijs ea eliciat, atque eruat, quæ inquirit. 2 85 N AT QV. E hic mihi præcipue eſt ſcopus propoſitus, vt do. ceam, qua ratione in ſola vna chartula, aut in exiguo ſpatio plano inueſtigentur ea omnia, immo multe pluraquã alij per inſttumentum Aſtrolabij yenantur, ita vt vſum Aſtrolabii adipiſci perfectiſ ſime quis poſsit, etiamiſi factum inſtrumentum nunquam viderit quod Aſtronomiæ ſtudioſis gratiſsimum fore cõfido, cum multi eo careant,& vix vllum reperiatur tanto ſtudio, ac diligentia conſtru. tum, vt omnis in eo perficiendo error artificem effugerit. Immo etiamſi Aſtrolabium quis habeat(quod vel rato, vel nunquam acci det) ſumma arte, diligentiaque fabrefactumz tamen quia in eo non ſolum nonomnes circuli maximi, ſed neque paralleli omnes vnius ſolius circuli maximi, neque maximi omnes circuli in eiſdem duobus punctis ſe interſecantes, cuiuſmodi ſunt omnes circuli Verticales, vel circuli poſitionum, per ſingulos nimirum gradus, ac minuta deſcribi poſſunt, quod tamen requiritur, ſi exquiſite omnia re perienda ſint; neceſſe eſt, vſum ipſius plerumque eſſe incertum;, atque impeditum: ita vt ſæpenumero coniectura potius aſſequi; quod quæritur, quam certa aliqua demonſtratione, cogamur Quin etiam, quoniam in inſtrumento illorum tantum circulorum vſus percipi poteſt, qui in eo pauci deſcripti cernuntur, fit vt Aſtrolabij materialis vſus paucarnm rerum terminis circumſeriptus ſit. Nos autem ſine auxilio inſtrumenti vſum trademus omnium circulorum, qui innumerabiles propemodum in primo mobili concipi poſſunt, vniuerſamque doctrinam primi mobilis, quæ eſt ampliſsima complectemur; vt ne doctrina quidem triangulorum ſphæricorum ab eius regulis excludatur, ſed tota mira facilitate explicari poſsit. Nam inter cætera, quæ vulgaribus Aſtrolabij vſibus hoe noſtro adiecimus, qua ratione in ipſis triangulis ſphæricis(quod mirum cuipiã videatur) ex lateribus anguli,& late ra viciſsim ex angulis exquiſitiſsime explorentur, ſine vllo numerorũ, ſiue ſinuum adiumento dlariſsime docebimus: quo item pacto in clinationes circulorum variorum ſphæræ inter ſe, atque interſectio nes,& alia id genus ſexcenta nullo fere negotio perueſtigentur: quo etiam loco omnia illa problemata complectemur, quæ per ſinuum rum tum moina tque ö do. ano, nentil it ti eo ſtru. Imo acci non nius luoer timiia re im, qui, ur. cu. tur, umnus imo lis; lanr fatro. ulis late eroo in ctio Ur: r ſin Pp N XE KF TIARHT I O. nuum numeros in noſtra Gnomonica olim, præſertim libro primo, & alibi abſoluimus,& ab alijs auctoribus varijs in locis proponi,& inquiri ſolent. TOT V M autem opus Aſtrolabii in tres libros tribuimus. In primo v. theoremata, ac pr e mus, quæ omnia Lẽmatũ nomine complexi ſumus, quippe juæ ad demonſtrationes eorum, quæ ad circulorum proiectiones in plagum,& ad nouum Aſtrolabij vſum pertinent, ſuis locis aſſumantur In ſecundo libro non tantum omnes circulos, qui in primo mobili concipi poſſunt, verum etiam omnes lineas rectas, ac puncta in Aſtrolabii plano deſcribemus, circulumque quemlibet deſcri ptum in ſuos partiemur gradus, hoc eſt, in certas quaſinter ſe inæquales,(omnium enim circulotum cæleſtiu æquales in partes inæquales proiiciuntur in Aſtrolabij planum, Aequatore, eiuſque parallelis exceptis, quorum partes æquales in partes æquales proi jciuntur, vt ſuo loco perſpicuum fiet) quæ gradibus eorum æqualibus in cælo reſpondent: quod ad hanc vſque diem neminem abſolute perfeciſſe comperio. Quicunque enim de Aſtrolabij conſtructione ſcripſerunt, płæter Aequatorem, Eclipticam, Horizontem, corumque parallelos, nullum circulum in Aſtrolabio in gradus diſtribuunt j& Horizontem quidem cum ſuis parallelis, atque parallelos Eclipticæ, ſolum per circulos maximos, qui per eorum polos ducuntur in ſphæra: quæ res difficilis admodum eſt,& immenſi pene laboris. Solus Andreas Schonerus in libro de compoſitione Aſtrolabij Horizontem, Eclipticamque cum corum parallelis, alia quadam ratione in gradus partitur, ſed illius nullam nobis demonſtrationem affert, vt merito quis de eius veritate poſsit dubitare. At nos quemcunque maximum eirculum in Aſtrolabio deſcriptum, eiuſque parallelos, non vna, ſed pluribus viis, ijſque facillimis, quæ omnes ſuas habent demonſtrationes, in gradus diuidemus; vbi etiam modum Schoneri Geometricè comprobabimus,& ad omnes circulos maximos, eorumque parallelos accommodabimus: quod ipſe non docuit. In tertio denique libro Canones proponemus, quibus multiplex A ſtrol. vſus explicetur per ſolum circinum& regulam in qualibet propoſita charta, vel plano, vt paulo ante diximus; extendentes hac tione Aſtrolabij vſum ad longe plura problemata, lum materiale inſtrumentum fieri poſsit: quod Lectoris iu linquo. IIla porro problemata, quæ in communibus& tis Aſtrol abijs explicari ſolent, ſoluemus nos etiam per ipſum 157 1298 4 2 ſtruweni roblemata demonſtrabi* H NE AF IAA M 05. ſtrumentumyyt& vſum Aſtrolabij peruulgatũ non omnino neglige re videamur,& ijs hac in parte conſulamus, qui Aſtrolabium materiale habent,& mediocritate quadam contenti ſunt, aut in ducen dis lineis non valde exercitati: Sed antequam ad primum librum me conferam, operæpretium me facturum puto, ſi quaſi prolegomenorum loco pauca quædam de variis circulis ſphæræ tam maximis, quam non maximis, de ijs pręſertim, qui in Aſtrolabio deſcribendi ſunt, in medium afferam, vel potius in memoriam reducam, vt eorum politionem ac ſitum in cælo, cum ijs vtendum erit, plane perſpectum, ac veluti in promptu habeamus. B primi Mobilis. de dnegr eiaſf, EQ AT OR, ſiuè circulus æquinoctialis, eft circulus maximus, en Paralleli, quid, 8 5— 1 5— 22 7— 1 80 quod it cord ius poli iſdem ſunt, qui totius mundi ſiue primi mobilis. Huic cõcipien olscium 2 di ſunt circuli non maximi æquidiſtautes ex vtraque parte per ſingula cæli puncta deſcripti: quorum officium eſt indicare, quænam Fella, vel buncta cæleſtia eandem ab Aequatore declinationem habeant, quæ maiorem minoremue. Item quꝭ in codem Horixontis puncto oriantur, aut occidant,& quorum ortus, occaſuſue magis in Borcam, vel. Auſtrum vergat. Omnia enim aftra, atquè cali puncta in codem parallelo Aequatori s exiKentia, eandem habent declinationem, idemque punctum ortus& occaſus; illud vero, quod parallelum obtinet minorem, qui videlicet magis ab Aequatore diſtat, declinationem habet maiorem, punctumque ortus& ocTreftent con. caſus ab æquinoctiali ortu, occaſuque remotius. Præcipui autem parallecri,& Capricora citecler ar li. Aequatoris, qui inſphæra conſiderantur, quatuor ſunt; I ropicus S, troAdee da.. pics V, circuluis arcticus,& circulus antarcticus, quorum ſitus ac poſitio Ini ſphæra, ab Eclipticæ, eiuſque polorum ſitu petenda eſt, vt mox dicemus. ral, ds, 2014 CV, Eeclipticauè; birculus maximus eſt, cuius poli d polis eden fr. inumdi, ſiue Aequatoris recedunt grad. 23.&ſemis ferme hot tempore: ex quo fit, Eclipticam interſecare Aequatorem obliquè, ita vt ad eum ſit inclinata, vnaque eius medictas vergat ad ſeptentrionem,& dd auſtrum altera: Pun cum medium autem vtriuſſſue medietatis tanto interuallo ab Aequatore ab ſit, quanto poli Zodiact d mundi polis recedunt. Duo quoſue puncta, quibus ſe mutuo interſecant Ecliptica&. Aequator, dicuntur quinoctialia, quod in illis exiftens gol æquinoctium vbiquè efficiat; quonum illud, quod principium dat ſemicircillo Ecliptica boreali; ab occaſu in ortu m progrediendo, Vernum dicitur, alterum vcro Autiumnale. Duo vero puncta lige malucen brum legoHaxlſcrimam, lane 1„c iien L cc. punnaiot ocgat. exioccagis ab N ocralletrooſitio as. polis gore: im ſit trum lo ab quountur quoaſu in ver 2 4 DR AER FEH ANT I G. Punta Eclipticæ maxime ab 4e quatore diſtantia, appellantur ſolſtitialia, AMuia ſolftitium vbiuis locorum fit, cum primum ad vtrumuis eorum Sol per henerit. Borcale quidem, dicitur ſolftitium æſtinum, ſiue primum punctum Cancri, per quod videlicet parallelus. Aequatoris, quẽ Tropicum S dicunt, deſcribitur; Auſtrale verò punctum, ſolftitium hybernum, ſeu p imum pun Aum Capricorni vocatur, per quod nimirũ. A equatoris parallelus, quem tro picũ V, nominant, tranſit. Polus denique Eclipticæ boreus parallelum-A 6 Juatoris, quem arcticum circulum appellauimus, ad motum primi mobilis deſcribit; auſtralis vero polus eiuſdlem Eclipticæ alterum. Aequatoris paral lelum deſignat, qui antarcticus circulus dicitur. Huic etiam Eclipticæſunt in elligendi circuli non maximi æquidiſtantes, qui per ſingula cœli puncta leſcribantur: quorum oſſicium eſt indicare, qua nam ſlellæ eandem latitudinem, id et, eandem diſtantiam ab Ecliptica habeant,& qua maiorem, minoremue. Nam f̃lellæ in eodem parallelo Eclipticæ exiftentes eandem latitudinem obtinent; quæ vero in minori parallelo reperiuntur ſcilicet qui longius ab Ecliptica diſtat, maiorem habent latitudinem. COL Rl ſunt duo circuli maximi ſeſe in polis mundi ad angulos reFos interſecantes, quorum alter per duo pundta Eclipticæ æquinoctialia ducitur p atque Colurus æquinoctiorum appellatur; alter vero per duo puncta olſtitiorum trauſit, diciturque Colurus ſolſtitiorum Atqus omnes hi cir uli, quos hactenus deſcripſimus, mobiles ſunt, quippe qui perpetuo ad mor tim primi mobilis circumferantur. Alij omnes circuli, qui ſequuntur, immobiles ſunt concipiendi in calo, ita vt nunq uam ſitum mutent, aut poſitionem. ME RI DI ANV eſt circulus maximus per polos mundi,& vertick m loci, id eſt, per illud punctum in cœlo ducitur, quod directe illi loco ſuPrapoſitum eſt, quale eſt illud, ad quod pertingeret cacumen alicuius tursi ad cælum vſque extenderetim. Quod quidem punctum Arabes Zeuith appellant, oppoſitum vero punctum per diametrum, Nadir, ad quod videlicet eadem turris pertingeret, ſi per terræ centrum ad alteram pa tem li excurreret. Habet etiam Meridianus inſfinitos circulos non naximos Parallelos ex vtraque parte per ſinꝑula cli puicta deſcriptos: qui indicant, zuænam gtellæ equalem diſtantiam d Neridiano habeant,& quæ maiorem, vel minorem. HO RNZ ON maximus circulus eſt, cuius poli ſunt vertex capitis, pun Humque oppoſitum, Zenith nimirum,& Nadir: qui videlicet hemiſphaærium viſum, ſeu apparens, ab occulto, ſeu non viſo ſe parat. Huic deſcribuntur innumerahiles paralleli circuli non maximi ex ciſlem folis per omnia celi puncta, vt monſtrent, quenam fell eandem diſtantiam ab Horigonte habe ant, O. ſuæ maiorem aut minoreme qu quidem diſtantia in ſupero hemiſphærio, altitudo Solis, ſtellarumque ſupra Hori Vontem, in infero, depreſſio ſuh coluri qu. iacus, eluſparalleli, & quodnã ſit illotem Aciu m. Horir en& eius parallel de 8 cium qued fa. 77 D R AEF FT AAM 1 6 ſio ſub eodem appellatur. Inſi vero paralleli Horixontis apud Arabes, Al. mucantarath vocantur. Wg.. V ERTIC ATE cimuli, quos. Arabes Azimuth nominant, ſunt 9 max imi, qui per polos Forigontis, hoc eſt, per Zenith, atque Nadir, d ucun. tur per ſin gula H oixontis puncta: ſuormm is, qui per interſectiones Ae. e uatoris cum H o ronte tranſit, Verticalis Primarius, ſiue Proprie dictus, zus quid. aut erticalis regionis, appellari conſueuis. Inter hos autem annumeerati quoquce Meridianus, cum&. ipſe per verticem loci ducatur. Oficium houm, quod non vil gare eſt, multis in locis ex vſu. A Herolabij cognoſcetur. bee ORA RII circuli: ſi quidem horas cquales d meridic& inedia no vel oec. Ce, quæ Aſtronomicæ dicuntur, indicent, ſunt maxim per polos mundi tranſeuntes, Aequatoremque& omnes eius parallelas in 24. horas quales di. Hribuentes quorum vnus eli ipſe Meridianus, a quo initium huiuſinodi horarum ſumitur: Si vero horas ab ortu vel occaſis ſegnificent, ſunt maximi tang entes duos parallelos Aequatoris, quorum vnus eſt ſemper apparen. tium maximus,& alter maximus ſemper latentium, in illis punctis, in quibus d circulis horarum Aſtronomicarum ſecantur; inter qu conumerandus quoque ett Ho ri on, à quo eiiſmodi horæ incipiunt: Si d enique ad horas inaquales pertintant, deſniuntur maximi diuidentes omnes arc us aral lelorum Aequatoris tam diurnos, quam nocturnos, in 1 2. FPartes æquales. De bis omnibus circulis horarijs plurd ſeripſimus libro. Cnomonices, propoſ. ce ve Y. N Lo. quamuis, vt verum fat ear, circuli horarum inæqual ium nulli ſint, Me. r infa lib. T. Lemmate 39. demonftrabimus: quod multis incredibile videri poſsit. DECTLINATIONVN circuli ſunt maximi per mundi polos, ( Juemadmodum& circuli horarum d meridie ac media nocte dictinctores) Declaaie fel.&. ſingula puncta. A equatoris ducti ita dicti, quia declinationcmcuiuslibet e puncti, vel ſtellæ ab. Acquatore metiumtur. Efl enim declinatio elle, vel pũ ci cli, arcus circuli maximi Per mundi polos,& flellam, vel punctum cli tranſeuntis, inter fellam, punctumue cæli,& Aequatorꝭ᷑ interceptus. Inter enn. hos circulos ponendi quo que ſunt cireuli horarum d meridie& media noct᷑t. ie u, LAT ITV Dl NVA circuli ſunt maximi per Eclipticæ folos,& dude gelle ſingula eius pundta deſcripti, ſic nominati, quod latitudincm, hac eſt, diſtantiam cuinſuis ſlellæ, vel pumdcti cali ab Ecliptica metiantur. Nam latitudo Hella, vel puncti cali, eſſ arcus circuli inaximi Per polos Eclipticæ,& ſtellamm ſeu punctum cli tranſeuntis, inter flellam, punctumue cœli,& Ecl iptidunn chu! g ut cum incluſus. DON M caleſtium circuli ſunt maximi numero ſex, diuidentes totimm cœlum in duodecim domicilia, ducunturque ornnes per interſcctiones Meridiani cum Horizonte,& ex ſententia quidem Ioannis Reg iomontani, f her duo „Aſunt ucun. AeAus, n hoFran2 Hoaren. quierand Hoparal g. De 0h0ſ. int, e vilos, res libet l pũ cli Inter oct. 5 antudo ſtelAtes ones ani, PF R 1 90. per duodecimas partes Aequatoris, vt autem Campano placet, per partes Modlecimas Verticalis pri narij cuiuſque loci. f* 5 pOSTITTONV N circuli ſunt maximi per interſectianes Meridid. bogissne rni cum Harizonte,(quem. dmodum& circuli domiciliorum caleſtium) ali lui. ſingela puncta cli tranſeuntes: ĩta appellati, quod poſitionem cuiuſuisſtelletapectu domorium cæleſtium indicent, vtruim uiirum propoſita dielſaſit in principio fine, medio, aut alia parte hulus, vel illius domus cœleſtis. Atlle ex horum numero ſunt quoque illi ſex domorum cæleſtium. f RAE T E R bos omnes circulos maximos, us ene rauimus, cum Inf nieos alien ais parallelis,(Oumem enim marimum circulum haberè infinitos quidi- mate ee. antes, ſeu parall elos non maximus, intelligendum eſt vt de Aequatore, Ecli lo ege cencipi os Picea, Meridiano, atque Horizonte dictum eſt.) conſiderari poſſunt in cælo 755 numerabiles propemodum alif ab omnibus illir differentes. Per quælibet namque duo puncta in ſuperficie conueæa ſphæræ caleſtis aſignata deſcribi poteſi circulus maximus, vt Theodoſius lib. 1 Elementorum ¶phæricorum poV 20. demonſtrauit, qui quidem inſinitos non maximos ibi equidictantes ac parallelos habere poteſt circa eoſlem cum illis polos deſcriptos. Atque omnes hos circulos tam maximos, quam non maximos, ui d nobis declarati ſunt, in plano Aßtrolabij Geometricis, hoc eft. firmis atque euidentibus rationibus deſcribemus ſecundo libro, eoſdemque in ſuos gra dus partiemur, ſeu potius in quolibet eorum propoſitum gradum aßignabimus, cum vſus id exiget, atque neceſsitas. Sequitur iam index locupletißimus omnium problematum, atque theorematum, qu toto hoc A ſtrolabio de monſtrantur 80 7 2 N 2 S 78 2. 2 o 5 W 80 9 27 * 8— Ego Claudius Aquauiua Focietatis Ieſus Pra poſitus ¶eneralis opus Allirolabij Patri, Chriſtophori C lau in tres Libros Aiſtinctum, à trilus Focietatis noſira Theolous, ac Mathematicarum peritis reco gnoſci, atque approbari curaui. Quod propterra etiam approlo, vs imprimi pofſit, ſt ita placuerit Reuerendiß. D. Vicegerenti, ac Reuerendiſß. Patri Mazgiſtro Facri Palatij. Dat. Remæ. Die 2c. Auguſti 179 Claudius Aquauiua. Pya Iris finloed IN D E X LEMMAT VM PRIMI L VB R. Q AE alio charactere ſunt impreſſa, ad Scholia,& Corollaria pertinent 1 N 4ATAM lineam rectam, vel circularem, in quotuis partes æquales, etiam minu tiſimas, diuidere beneficio eireini, cu ius pedes diſtantiam inter ſe ha beant data linea maiorem. pag. 2 „ VA DRANTE M, vel cirgulum datum in gradus dictribuere bensFeio circini, cuius pedum interuallum plu res gra dus, quà m duos, tresue complectaur. 4. 3E X data circumſerentia arcum Juboeliber gradus integros, vel quotlibet Fra dus, ac minuta complectentom abſcindere: Et contra, quot gradus ac minuta in uus arcu datæ circitferentia continean tur cognoſcere, eti amſi data circumſeren tia in gradus ac minuta diuiſa non ſit. 5 . PER datum punqtum datæ rectæ linea parallelam lineam ducere. 11 „ NAM proportionẽ habæt ſinus koti, Hos eſt, ſemidiametri quorumlibet cir enlorum, eandem habent ſinus tam recti, 4 ven arcuũ ſimilium. Et contra, arcus guorum ſinus tam recti, quàm verſi, eanLem proportionem habent, quam ſinus toki ſimiles ſunt. 12 , Si ſegmentis ſimilibus circulorum inagqualium ſimilia ſegmenta adijctatur, vel à ſimilibus ſimilia demantur; tota gudgue, vel reliqua ſegmenta ſimilia erunt. 73 S duo quadrantes inæ quales ſimi Mien ſecstur, vel in partes a quales,& per Ain ſionum puncta vni ſemidiametro pavallelæ agantur, ſius ad alteram ſemidia motrum perpendiculares; erunt ſegmenta emidiametri in vno quadrante à parallelis vel perpendicularibus facta, ſegmen ti ſemidiametri à parallelis, ſiue perpenlicularibus in altero quadrante factis pro portionalia: Ef contra, ſi ſegmenta ſemidiametrorum ſint proportionalia, quadræ tes ſimiliter. ſecti erunt. 15 J. DATA M üredam lineam ita ſe care, vt ſemidiameter alicuius quadràtis ſecta eſt à perpendicularibus, qua à quibuſuis punſdtis quadratis ad ipſam demit tuntur. 14 9. S duo, pluresie circuli intus, vel duo extra ſe mutuo c ontingant, recta linea per contactum ductæ, ſimiles circumfe rentias abſcindunt: Et rect coniungentes bina puncta, in quibus dua rectæ circulos ſecant, parallel ſunt. IDE M contingit in duobus circulis ſe mutuo non tangentibus, ſi pro contactu ſumatur punctum in recta eo rũ centra coniungente, per quod tran ſit recta cõnectens puncta alterna extrema diametrorum ad priorem rectã perpendicularium. Sed quando circuli intus non ſe contingunt, ſimiles arcus ſunt alterni, non autem eodem ordine ſumpti, vt in illis. 20 10. S duo, pluresite circuli ſe mutuo ſecent; rectæ linea per ſectionis pundtum ductæ, qua vel ipſos ſecent, vel veraq; ſit ta gens, vel earum altera; intercipiunt cir cumſerstias ſimiles inchoatos ab vna earum rectarum,& verſus eandem partem, atque ad punctum ſectionis, vel contactus alterius rectæ progredientes. Si autem ex eodem ſectionis puncto circulus quicunq: deſcribatur, erit eius circumferentia inter duas eaſclem rect as comprehenſa, ſamiſſis illius arcus in eodè circulo ex ſectionis pun co deſcripto, qui arcui cuiuis priorum circulorum inter eaſdem rectas intercepto ſimilis eit. 44 4 11. RE IND E X 1. RE CTA M lineam breuiſſimã in continuum eætendere, vel(quod idem et) per duo puncta parum inter ſe diſt antia lineam rectam quantumlibet producere. 30 12. DAT IS duabus rectis tertià, & tribus quartam proportionalem inusnire. 34 13. DAT IS duabus rectis ad inuicem inclinatis, inuenire pundtum, in quo cdueniant, etiamſi neutra producatur. 40 I. INSTRYMENTYM côſtruere, uo per data tria pundta, etiamſt ſæcundũ lineam fermè rectam conttituta ſint, arcus circuli poſſit deſcribi, ſine auxilio circini. 4 15. CY RVA linea, cui ſubtenſa ſit recta linea, c quadrata omnium perpendicularium ex punctis lin eæ curuæ ad ſubtenſam rectam demiſſurum æqualia ſint rectangulis contentis ſub ſægmèéntis eiuſde ſubtenſe factis à perpendicularibus, hoc eit, omnes porpendiculares ſint mediæ proportionales inter ſigmenta ſibtenſa ab ipſis facta, ſemicirculus eſt, eiusqʒ diameter recta ill ſubtenſa, hoc eſt, ſemicirculus circa illam rectam ſubtenſam deſeriptus curua data lineg congruet, ſiue( quod idem eſt) per extrema puncta omnium perpendicularium tranſibit. 45 10. S conus ſecetur plano, quod baſi coni aquidiſtet, ſectio in conica ſuperficie acta, circumferentia circuli eſt, centrum in axe coni habens 40 17. S conus ſcalenus ſecetur pla0 per axem, quod ad baſem rectum ſit, ſeceturque altero pla no ad triangulum per ax em à priore plano factum recto, quod triangulum eæ triangulo per axem abſcin datſimile quidem hi triagulo per axem, ſubcontrarie vero poſitum: Sectio circulus t, cuius dia meter eſt cu munis ſectio triaguli per axem, cy plani, quod ipſam ſectio vemn in conica ſuperficie eſtecit. Huiuſimodi autem ſectio uocetur ſubcontraria. 4 DPIAMET RVM ſubcontrariæ ſectionis di ametro baſis con equalem poſſe eſſe,& in æqualem. 50 DIAMET RVM ſubcontrarlæ ſectionis,& dia metrum baſis coni nun quam ſe mutuo bifariam ſecare. 51 DIAMET KVM ſubcontrari ſectionis,& diametrum baſis coni qui do æquales ſunt, neutram diuidi bifa. riam. ibidem QVAN PD O diameter ſectionis ſubcõtrarię inæqualis eſt dia metro ba ſis coni,& altera earum ſecatur bifa. riam, alteram maiorem eſſe. ibidem. QVAN D O diameter ſubcontra riæ ſectionis inę qualis eſt diametro ba ſis coni,& minor diuiditur bifariam, maiorẽ partem maioris vergere ad mi norem angulum trianguli per axem, quem illa diameter cum latere eiuſdẽ trianguli facit.* 53 18. M proportionem habet finus totus ad ſinum ma ximę declinationii Ecliptica ab Aequatore, eandem habes ſinus rectus arcus Eclipticæ inter quoduis eius punctil,& proximum punctum aqu inoctiale interiectus ad ſinum rectum declinationis eiuſdem illius puncti Ecliptica ab Aequatore. Ibid. 19. ANALEMMA ad datam poli altitudins quamcunq; deſcribere. 54 DECLINATIONEsS omniũ punctorum Eclipticæ,& cuiuſuis dati pũcti, quo pacto Geometricè reperian tur. 5. F.& 59 20. S duo plana ſe mutuò ſecent,& in uno eorum ad duo puncta communis ſe ctionis dua recta cum ea internos duos angulos qualeſcunque conſtuuant æquales, E in altero ad eadem duo pucta dus a lis redta cum eadem ſectione communi efficiant quoque internos duos angulos a quales qualeſcunque: conſtiluent dus h poferiores recta cum duabus prioribus duots angulos aquales. 960 21. S in diametrit circulorũ æqualium puncta ſumantur æqualiter à cetris remot a, ab eiſque recta egrediantur vſq ad circumferentias conſtituentes cum diametris ad eaſalem partes æqualis angulos rectæ illa& æquales erunt,& arcus abſcindent æquales. Et ſi lines ſint æqualeꝶ coſtituent rectæ illa cum diametris aqua. les l 8. 8 liur er is cen rec dia qi les eaſ ang 8 cta cul ace tri. cir vt les rec cis re ſiu cen Au git lis in lo. 4 L 17 TGS 8 oni nun 10 atrarig 1 qui di bifa. ibiden ctioni: tro ba ur bifa. bidem. contra etro ba ariam, e ad mi axem, eiuſdẽ abet ſi. zationis Habe uoduis n eꝗquium decliptica Ibid. d atam re. 54 omniũ is dati peri an .& 59 rent,&& unis ſo us anuales, 1 alis ani effiiu h pous dur 600 aqua · Z ce tri ur vſqi m dia-. ingulosz cus abZuales 4 4 αν⏑t let nal. I angulos ad enſdem partes, alſcindontue rurſuus aquales arcus. Si deniq; arcus Aauales abſcindantur ad eaſdem partes, enunt quoq; rectæ illa aquales, conſtitus igu cum diametris ad p artes eaſdem angulos aquales. 92 81 in diametris eirculorum inę qua um puncta ſumantur ſimiliter à cenꝙ tis remota, ita vt eorum diſtantiæ 4 centris eandem proportionẽ habeant, quam ſemidiametri,& ab eis punctis rectæ egrediantur conſtituentes cum diamet fis ad eaſdem partes angulos qua les; abſcindẽtur ab eis arcus ſimi les. Et ſi arcus abſciſs i ſint ſimiles ad eaſdem par tes, cõſti tuent rectę abſcin dentes cum diametris ad partes eaſdẽ angulos æquales. 60 5 ex er centris in eadem reca exiſtentibus deſcribantur duo cireuli ea conditione, vt extra vtrumque accipi poſsit punctum ſimiliter à centris diſtans: Recta linea tangens vnum eirculorum, tãget& alterumz Et recta vtrumque ſecans abſcindet arcus ſuni les. 97 22.& in plano ſubiecto inter duas yvectas cadat tranſuerſa recta line a faciès cum illis angulos internos en vtraq; parte inter ſe aquales, ſiue omnes recti ſint, ſiue duo obtuſi,& duo acuti; in rectis augem illis duabus plano ſubiecto inſiſtant duo plana ad angulos rectos: Planum per tranſuerſum lineam ductum vtcunq; faeier cum planis rectis communes ſectiones, line as rectas, qua cum datis duabus rectis in plano fubiecto angulos eontinebunt azuales. 6 23. PLANVYM in ſphara per alters utrum polorum mundi,& alterutrum polorum circuli cuiuſuis obliqui maxi mi, vel ad Aeguatorem recti, vtcunque ductum, abſcindit tam ex Aequatore et circulo illo ma ximo obli uo, vel recto, quà m ex quolibet parallelo Aequatoris,& parallelo cir ceuli illiua maximi obliqui, vel recti,(qui tamen equalis ſit parallelo Aequatoris, qui tato interuallo ab aſſumpto ſuo pulo abſis, quanto parallelus Aequatoris ab aſſumpto mundi polo diſtat) duds arcus aquales, inter pl anum ſecans,& cirtulum maximum per aſſumptos dubs polos deſcriptum inter cep tos. 70 24. S in cphæra ſit circulus obliquus ſuue maximus, ſiue nen maximus,& per quoduis punctum diametri ipſius; quam eirculus maximus per eius polos,& polos mundi ductus facit, ad ipſam diametrum perpendicularis linea ducatur: Planum per utrumuis polorum mundi,& illã perpediculare m dudtum faciet in plano Aequatoris cõmunem ſectionem; rectam lineam perpe dicularem ad Aequatoris diametrum, quam idè ille circulus maximus per dictos polos ductus facit. SA 25. SL in ſphara per polos mundi,& polos cuiuſuis circuli obliqui maximi, eiuſ que parallelorum, maximus circulus ducatur, in quo ex alterutro midi polo agatur diametro circuli obliqui parallela,& per hanc, planum vrcunque entendatur: Erunt duo arcus tam circuli maximi obliqui, quam cuiuslibet parallelorum it ſius, inter circulum maximum per polos miindi,& circuli obliqui ductum,& planum ſecans intercepti æquales inter ſe. 49 20. SI circulus in ſphæra per Alterutrum polorum mundi tranſeat, erit eius diameter ex illo polo ducta, perpendicularis ad communem ſectionem plani eius cir culi,& plani Aequatoris. 90 27. IN cono re cto omnes rectę à vertice ad circumſerentiam baſis ductaæ ſtint inter ſe aquales: In ſcaleno vero cono inaquales, minima quidem, quæ ad extremum baſis trianguli per axem, quod ad baſem coni rectum eſt, ducitur ev parte an guli inclinationis axis, maxima autem, uæ ad alterum extremum baſis eiuſdlem triangu. per axem ducitur: Et qua propin quior eſt minima, remotiore ſemper minor eſt. Dua vero tantum aquales erunt ad vtramque partem minimæ, vel maxi4. 97 29. S I in cono ſit circulus baſi aquidi ſtaus, rectalinea em vertice in ſuperſitie conica ducta auferent ex baſe,& circulo aquidiſtante arcus ſimilei. 33 2 29 81 29. S dus rect lineæ ſe mutus con · ting ant in vno puncto, à quouit puncto extra ipſas in eodem plano plures rectæ du cantur, quæ eas ſecent; habebunt ſegmenta remotioris linea ab aſſumpto puncto, verſus punctum ſectionis linearum propoſit arum progrediendo, maiorem proportionem. guà m ſegmenta linea propioris. 24 30 S duo triangula Iſoſcelia baſes hHabeant æquales, latera verò unius majora ſint lateribus alterius: minora latera znaiorem angulum còtinebunt. Et ſi vnius latera lateribus alterius maiora ſint, angulumque contineant maiorem: illius baſis baſe huius maior erit. 95 31. SI in cono ſcaleno circulus ſit baſi ſubcontrariò poſitus, rectæ lines ex vertice in ſuperſicie conica duct, quarum vna ſit latus trianguli per axem ad baſem reti, auferent ex baſe,& circulo illo arcus diſſimiles. Et ſi in uno aufferatur duo arcus oppoſiti æquales, auſerentur in altero duo arcus inæquales, maior quidem ver ſus an gulum minorem trianguli per axem, mivor vero verſus angulum maiorem. g 32, Sin diametro circuli, prater cen trum, pundtum quodpiam ſumatur,& en eo rectæ educantur, quæ in circumferentia circuli duos arcus aquales intercipiant: Erunt anguli ab ipſis comprehenſi inaqualer, maiorqus erit ille, cuius linèæ à centro longius abſunt. Et ſi rectæ ducta contineãt angulos æquales, erunt arcus intercepti inAquales, maiorque erit ille, cuius linea cc tro propinquiores ſunt. 107 33.& in circulis ſe mutuo ſecatibus, vel non ſecantibus, diuerſa tamen centra habentibut, punctum gquodpiam in commu ni eorum diametro per utrumque centrũ duct a, prater centra, ſumatur, quod& inter vtrumue centrum,& intra vtrumq; eirculum exiſtat. Rectæ linea ab eo pun to educt᷑ æ ſecantes vtriuslibet circulorum eirc umferentiam in areus æquales, ſecabunt alteriu: circumſerentiam in arcus ina quales, maiorque ſemper erit ille, cuius lines centro propinꝗ iores ſunt: Arcus its quilibet illius circuli cuius centrũ eſt inter aſſumptum punctum, einſque circum. ferentiam, interceptus inter communen diametrum,& quamlibet rectam ex eo. dem puncto eductam, ſi minor eſt ſemicir. culo, maior eſt, quàm vt ſimilis ſic arcui alterius circuli inter eaſcdlem rectas inter. cepto. 104 34. S eirculus circulum biſariâ ſea cet, vel nö bifariam, aut nullo modo ſecet, & per centra ad recsam ber eadem centra eiectam ducantur duæ diametri perpendi culares: Redtæ duæ linea egredientes eu buncto rectæ per centra eiecta, per quod tranſit recta, quæ extrema duarum diametrorum dudtarum coniungit,& quod in vtroque circulo exiſtit, facientesqʒ cum recta utrigue diametro æ quidiſtante ex vtraq; parte, uel cum recta per centra trã ſeunte, angulos equales, intercipient in vrroque circulo arcus ſimiles: Ipſa quoque recta vtriq; diametro æquidiſtds ex vtroque circulo alternos arcus ſimiles abſeindet. Et conera ſi duæ recta arcus ſimiles intercipiant, conſtituent cum eadem recta aquidiſtante ad vtraſque partes angulos aquales. 106 35. S in circulo dua diametri ſeſe ad angulos rectos ſecent, c in eodem recta ducatur ad vtramque diametrum inclinata, vel vni earum parallela; ab uno an tem extremo alterutrius diametrorum per extrema rectælinea inclinata, vel ab extremo diametri illius, cui recta æquidiſtãs et, extendantur duæ recta trianguli conctituentes, cuius baſis eſt recta inclinata, vel illa parallela: Altera diameter abſcis det ex huius trianguli lateribus triangulum ſimile, ſed ſubcontrariè poſitum. Ei ſi recta inclinata per centrum tranſeat, reta ex code diametri extremo ad cam ducta perpendicularis baſem trianguli ab al vera illa diametro abſciſſi bifariam ſecabit. ipſaque perpendicularis ſemiſſii eiuſde baſis æqualis erit. Si verò recta per centrũ nõ tranſeat, ſius inclinata ſit, ſiue uni dia metrorumparallela,& ad eam ducatur diameter perpendicularis, at que per pun ctum, vbi rectam illam ſecat, ex eodem illo extremo diametri recta ducatur 97735 ad circumſerentiam, ac tandem arcui inter munen Nn ex eo. ſemicir. ſit arcui s inter104 do ſecet, a centra rpendiantes em er quod am dia& quod 9% cum ante ex tra trã ut in vjñuoqut * vt roabſcinſimiles m rect a angulos 106 tri ſeſẽ n recta n incliuno au rum per ab exidiſtãli conlinata. abſciꝝ iangum. Et ſi bat, ream duli ab al n ſecai eiuſdẽ centrũ vni dia lacatur er pun eodem 1＋ 9775 cui inter ten hoe punctum eircum ferentia,& diametrum perpendicularẽ poſtremo loco dus Gam arcus ex altera parte æqualis abſeindatur: Recta ex dictoillo extremo dia meiri ad terminum huius arcus ducta, ſecabit quoque baſem trianguli ab altera Ila dia metro ab ſciſſi bifariam. 111 51 in circulo duæ diametri ſeſe ad rectos angulos ſecantes ducãtur; recta linea, quæ ad aliquam aliam diametrũ obliquam perpendicularis ducitur ab extremo vtriuſuis diametrorum ſeſe ad angulos tectos ſecantium, diuidit bifariam ſegmentũ cuiuſuis lineæ recke alteri diametro æquid iſtãtis interterceptum inter rectas ex eodem illo puncto extremo per terminos diameir obliquæ eductos. 113 36. S in circulo du diametri ſeſeè ad reckos angulos ſecent, c in eodem alię dua Aiametri ad illas inclinata ducantur, ab uno autem extremo alterutrius diamet rorum priorum ber extrema poſteriorum bina rectæ extendantur. Erunt rectæ ex altera priorum diametrorum à binis recti: Heils maiores diametro circuli, ipſaque imer ſe erunt quoque inaquales, maior viAelicet Ila, cisius diameter inclinata matorem angulum cum altera illa diametro rum priorum conſtituit. 114 „ CIRCYILI poſitionum in ſpha va obliqua boreali ſecantes arcum ſemiHiurnum Aequatoris in partes æquales, ſecam arcus ſemidiurnos parallelorum in partes inaquales: Et in parallelis quidem auſtralibus quælibet pars inter Meridianum, c quemlibet circulum goſſtionis minon eſt reſpectu proprij arcus ſemi diurni, uam eadem bars in Aequatore reſpectu Arens ſemidiurni Aequatoris; in borealiIus verò maior. Iidem tamen circuli poſi. liomum parallelos Horixontem tangentes ſecant quoque in partes aquales. 117 34. LN Shara obliqua boreali circu Aer horas inaguales A Juutorit,& cuduſfeis paralleli tranſcuntes, ſæcan: Meriia nu m ex parte auſtrali inſra Horixongen, iter eundem ti orixontem, c polum Aſtralems ex parte aerò boreali ſupra Ho rixontem, inter eundem Horixontem,& polum Septentrionalem. 120 39. CIRCVYILI maximi tranſeun tes per horas inæquales Aequatoris, et duo rum parallelorum op poſitorum, non neceſ ſario per horas inæquales parallelorum intermediorum tranſeunt in Sꝙphæra obli4¹. 121 NON dari circulos maximos, qui per horas inæquales omnium paralleIorum tranſeant: contra pleroſque ho rologiorum ſeriptores. 122 LINAE horarum inæqualium in horologijs quid referant. ibidem. 470. SI intriangulo parallela uni lateri agatur, vel ſi productis duobus lateris bus verſus angulum ab eis comtreheſum, tertio lareri ducatur parallela, vt duo fiat triangula: Circuli circum ea deſcripti ſo mutuo in angulo, vel puncto communi tan unt. 123 DV O circuli, qui ex duobus centris in eadem recta exiſtentibus per idẽ punctum deſeribũtur, ſe mutuo in eo puncto tangunt exterius. 124 41. PER data duo puncta circulum deſcribere, qui datum circulum tangat. 125 42. DAT TS duobus circulis, per pid dtum in vnius circumferentia datum deſcribere circulum, qui vtrumque datum tangat. 135 4. Sin Sp hæra circulus duos maxi mos circulos ad eaſdem partes inter pundtum ſectionis, c circulum maximum per eoris polos ductum tangat; arcus duorum illorum circulorum max imorum inter pun ta contadtuum,& interſectionem circulorum, vel circulum ma ximis m per eor um Folos ductum intercepti, aquales ſunt. 137 gf. S in ſphæra circulus duos circulos non max imos aquales tangat, arcus duorum illorum circulorum non maximorum inter puncta contactuum,& circuli maximum per eorum polos ductum,; vel functum ſectionis(uando ſe interſecant) interiecti, ſunt æquales. 73 4. S in ſthæra circulus dus circulos parallelos ad eaſdem partes circuli makimi IN ximi per eorum polos ducti tangat; arc us eorum inter puncta contadiuum,& cirtulum quemlibet maximum per eorum polos ductum intercepti, ſimiles ſunt. 14 46. S in ſphara duo circuli ſo mutuò ſecent; maximus circulus ſecans bifariam vntus ſegmentum, incedensque per eius cir culi polos, tranſit quoque per alterius circuli polos. 3 2 4. SI in ſphæra per polum cuiuſitis circuli maximi ducantur tres maximi cir culi conſtituꝭtes duos angulos in polo æqua les; circulus quicunque ex quolibet puncto medlij circuli, vt polo, deſcriptus abſcindit tam ex alijs duobus circulis maximis, 4 ex duobus circulis ſiue maximis, ſiue non maximis æqualibus, qui polos habent in rimo circulo maximo à inedio illo circu4o maximo æqualibus interuallis diſtantes, arcus æquales ad eaſdem partes ab eodem primo circulo maximo inchoatos, in circulis tamen maximis, vel non maximis aqualibus polos in primo illo circulo maimo habentibus, à punctis, qua citra, vel ultra polos eorum exiſtunt. 143 48. S ex eodè centro duo circuli deſcripti ſint,& ex quotlibet punctis cirtum Ferentiè interioris ad exterioris circumferentiam rectæ æquales ducantur; vna autem earum interiorem circulum rangere ponatur, tangent eundem& reliqua. Et ſi flures linea interiorem circulum tangentes verſus eandem partem ducantur, verſus ſiniſtram videlicet, aut deætram, ipſa inter ſe aquales,& arcus inter binas comprehenſiaſimiles erunt. 74 49%½ PAY CA quadam de declinationibus, latitudinibus ortiuis, aſcenſioniBusq; rectis,& obliguis demonſirare. 149 P ARALLELVS quilibet per duo puncda ab alterutto puncto tropico æqualiter diſtantia tranſit. ibid. DV O paralleli per duo pũcta Ecli pticæ e qualiter ab en puncto æquinoctiali, vel à duobus, aut etiam à duo bus punctis tropicis diſtãtia ducti, declinationes habent æquales. 150 DV O ijdem paralleli habent latitudines oxtiuas æquales. ibid. 3 IIDEM duo paralleli ęquales sũt. 5 QVATERNA puncta Eclipti. cæ æquales ha bent declinationes,& latitudines or tiuas. ibid. SAT IS eſſe, vt declinationes, la. titudinesq; ortiuę omnium punctorum vnius quadrantis Eclipticæ inueniantur. ibid. Q arcus Eclipticæ dicantur op poſiti,& qui ęqualiter diſtantes ab all. quo puncto Eclipticæ. ibid. QVATERKNOs arcus Eclipti cæ ęqua les habent rectas aſcenſiones, & deicenſiones. 171 SAT IS eſſe, vt aſcenſiones rectæ omnium arcuum primi quadrãtis Ecli pticæ reperiantur. 153 QI arcus Eclipticæ maiores ſint ſuis aſcenſionibus rectis,& qui minores. Ibid. ASCENSI O recta cuiuſuis arcus, vel puncti, æqualis eſt deſcenſioni rectę eiuſdem arcus, vel puncti. Ibid. CIRCVLVS maximus ex polo mundi per interſectionem paralleli cu iuslibet puncti Eclipticę cum Horizon te obliquo ductus, intereipit cum Horixonte in Aequatore arcum differentiæ aſcenſionalis illius puncti Eclipticæ: cum circulo vero alio maximo pet illud punctum Eclipticę ducto, aſcenſionem obliquam arcus Eclipticę intet illud punctũ,& Horizontẽ poſiti. 134 DVO Eclipticę arcus ęquales ab alterutro puncto ęquinoctiali inchoa · ti, vel ęqualiter diſtantes, deſcenſiones obliquas habent equales. 155 DVO arcus Eclipticæ æquales ab eodem tropico puncto equaliter remo ti, item duo oppoſiti, habent ſuas aſct ſiones obliquas ſimul ſumptas aſcẽſio. nib. ſuis rectis ſimul sũptis æquales 156 ARCVs Eclipticę ab Ariete inchoati;& ſemicirculo minores, maiores ſunt ſuis aſcenſionibus in obliqus ſphęraʒ inchoati verò à Libra, minores. 157 AR CVS Ecliptic e ab Ariete inchoati habẽt aſcẽfiones obliquas tãto rectis it. ipti · 8 ibid. , la· brum gian ibid. 11 op o aliibid. plipti nes, 477 rectæ Ecli 153 s ſint inoIbid. s arſioni Ibid. polo eli cu rizon Hoeren; lipti0 pet ſcen intet 134 es ab choaones 157 les ab remo s aſcẽ cẽſioes. 156 te inmaiodliqus mino157 te instãto ctis LI kebtis aſcẽſionibus minores, quanto ma ſores rectis ſunt aſcẽſiones obliquę arcus æqualiũ a Libra inchoatorũ. 158 PVNCTA Eclipticę oppoſita difſerentias aſc enſionales habent inter ſe uales. Ibid. DPVORVM arcuũ Eclipticæ ęquaum ab eodem puncto tropico equaliter diſtantium, vel oppoſitorum vnius aſcenſio obliqua tãto minor eſt, quàm recta, quanto alterius maior eſt. Ibid. DVO arcus Eclipticę æquales ab eodem pũcto tropico, vel ęquinoctiaIU equaliter diſtantes, aut oppoſiti, ean de habent differentiã aſcẽſionalẽ. 159 AR CVS Eclipticę quicunque ab cod puncto tropico bifariam diuiſus, habet vbiuis locorũ aſcẽſionẽ obliquã qualẽ a ſcenſioni eiuſdem rectę. Ibid. DPESCENSIO cuiuſuis arcus Eelipticæ ęqualis eſt aſcenſioni arcus oppoſiti. Ibid. SAT Is eſſe, ſi ſupputentur aſcen Rones obliquę arcuum quadrantis primi Ecli pticę, vt tota tabula obliquarũ aſcenſionum condatur. 160 DIFFERENT IA aſcenſionaUs cuiuslibet puncti Kclipticę, eſt etiã differentia inter arcum ſemidiurnum eluſde m punct i,& ar cum ſemidiut num Aequatoris, qui sẽ per quadro eſt. ibid. ARCVs ſemidiuraus cuiuſuis pũ u Eclipticę, quo modo ex diſferentia aſcenſionali eiuſdẽ puncti eliciat. 161 DIFFERENT IA aſcenſi Iis quando addenda, vel auſerenda, vt habeatur arcus ſemidiurnus, vel aſcen io obliqua dati puncti, vel ſtellę. Ibid. QVATERNA puncta Ecliptiet hahere eandem diffetrentia q aſcenRonalem. Ibid. SIN Vs totus ad ſinũ complemen declinationis cuiuſuis puncti Ecliprice eandẽ proportionem habet, quã Ecans arcus inter illud punctũ,& puncum equinoctiale proximum ad ſecan i aſcenſionis rect eiuſdẽ arcus. Ibid. SIN Vs totus ad tangentem altidadinis poli eandem propor tionem ha R I I. bet, quam tangens declinationis dati puncti Eclipticæ ad ſinum differentis aſcenßonalis eiuſdem punti. 102 DIFFERENT IA inter longif ſimum, vel breuiſsimũ arcum ſe midiur nũ;& arcũ ſemidiurnum Aequatoris, quo pacto in quauis eleuatione poli fupputetur. 70. SIN Vs totus ita ſe habet ad ſinũ aſcenſionis rectæ cuiuſuis puncti Eeliptict, vt ſinus differentiæ aſcenſionalis initij Cancri, vel Capricorni ad ſinum differẽtię aſcẽſionalis eiuſdẽ pũcẽt i. 65 SINVS complementi declinationis cuiuslibet puucti Eclipticæ ad ſinũ declinationis eiuſdẽ puncti eſt, vt ſinus totus ad ſinũ differentiæ aſcenſionalis eiuſdẽ pücti, i latitudine grad. 45. ibid. ARCVS tangenti declinationis cuiuslibet puncti, tanquam ſtnui, congruẽs, eſt differentia aſcenſionalis eiuſ dem puncti in latitudine grad. 45. 166 SI NVS complementi altitudinis poli datę ad ſinũ altitndinis poli ita ſe habet, vt nus differéëtię aſcenſionalis cuiufuis puncti Eclipticę in latitudine grad. 45 ad ſinum differentię aſcenſionalis eiuſdem puncti in priori altitudine poli data. Ibid. SINVs totus ad tangentẽ altitu dinis poli da tæ ita ſe habet, vt ſinus dif ſerentiæ aſcenſionalis cuiuslibet pũcti Eclipticę in latitudine grad. 45. ad ſinũ diffe rentię aſcẽſionalis eiuſdem puncti in data altitudine poli. Ibid. 30. DAT IS duobus axibus Ellipſis ſeſe ad angulbs rectos ſacatibus, ſi er quo libet pi cto minoris axis, etiam producti, ſi opis eſt, rect a dimidio maioris axis qualis educatur ſecans ipſum axem maiorè, ita vt ſegmentũ eius vltra eundèꝰ axẽ ma iorem dimidio minor 16 Ats æquale ſit, ca4 t eius extremũ in Ellipſim. Et ſi ex quolibet puncto Ellipſis recta dimidio maioris axis agualis ducatur, uſq; ad minorem arem, etiã product ii, ſi opus eſt, ſecds tame inſum maiorem axem, erit eius ſegmentũ int er datum pundtum,( axem maiorem, dimidio minoris axis aquale. 167 D A DAT IS axibus, Ellipſim deſeribere. 168 DAT O alterutro axium,& puncto in Ellipſi circa eum axem deſeri. benda, alterum axem reperire. 169 DAT IS duobus axibus Ellipſis, & quolibet puncto, an datum hoc pun ctum in Ellipſi exiſtat, an extra, vel intra, cognoſcere. ibid. DAT IS duabus rectis inæquali bus,& puncto quolibet, deſcribere Ellipſim per datum hoc punctum, cuius centrum ſit quoque datum,& axes datis rectis æquales. 170 51. SI circa axes Ellipſis circuli deſcribantur,& ad eoſcdem ordinatim recta applicentur uſque ad Ellipſis,& circulorum peripheriasʒ erunt applicata vſque ad Ellipſim, applicatis vſque ad circulũ pro. prium, ad cuius videlicat diametrum applicatæ ſunt, proportionales. 171 OR DIN AT IM zpplicatę proportionaliter ſecã tur ab Ellipſi,& eit culis circa axes de ſer iptis. 17¹ 52. DAT IS axibus alicuius Elli. pſis ſæſe ad angulos rectos ſecantibus; ij data recta qualibet puncta reperire, pu 4 Ellipſis, ſi deſer ibatur, tranſire di. 5t. 173 53. VAE STIONE S onnes u per ſinus, tangentes, atq; ſecantes ab. lui ſolene, per ſolam pro ſibaphæ reſimiii eſt, per ſolam additionem, ſiabtractionemꝗ ſine laborioſa numerorum multiplicati. ne, diuiſioneq; expedire. 17¹ TAB VLA ſinuum cum numeri ad partem proporti onalem eliciẽdan inſertis. 196 P A RS proportionalis Sinuum,& arcuum, quo pacto inueniatur. 228 T RIANGVLOR VM ſphæricorum, ac rectilineorum multipler calculus. 4231 ——— —————————.———— D B X P ROBLEMATVM AC THEOREMAT VM. Quæ in propoſitionibus ſecundi Libri, earumque Scholijs demonſtrantur. Qui pra ponuntur numeri, ſignificant eos, qui propoſſtionibus, earumq; Scholiſs, varijs in locis inſerti ſunt. IN PROOEMIO. 1 Pheram varijs modis poſſe 5 2 in plano deſcribi. Pag. 209 2 Aſtrolabii Catholic Gem ma Frisj; vt deſcribatur, vbi oculus collocandus ſit in ſnhara. ibid. 3. Planiſpharium Vniuerſale Loan. do Roias quo funda mento deſcribatur. 270 4. Aſtrolabium, ſiue Planiſpharii Pto lemai, vt ad datam poli altitudinem deſeribatur, vbi oculus in ſphara conſtituendus ſit. ibid. 4. ordanus in eodem Actrolabio, ſiue Planiſphario Ptolemæi conſtruendo, qual. Planum aſſumat. ibid. 5. In Aſtrolab io quæ potiſſimum diſcribantur. ibid. 5. Partes inter puncta, line as,& circi los ſphara comprehenſas non egerè peculia. ri deſcriptione in Actrolabio. ibid. 5. Aſtrolabij partes ſingula quibus ci: li partibus reſpondeant. bil 6. Sphera pùct um quodlibet vbi app reat in Aſtrolabio. 271 7. Redta linea in ſphara quando apbareat pundtum in Aſtrolabio,& quando li nea recta. ibid. 8 Cir1· Arol 7 co plani tem il. tes in dio vi, vremot. 4 eo27: F. tentri idem. 1 5 cula. in ar les. 4. I les, Alior 1. clt17¹ Eli. 3 per de. 173 nnen ab. i emg atib171 ner dau 190 n,& 228 ohæ · plex 230 I zual. ibid. „ deibid. circi ulia· ibid. 1s c101. ap 271 abb. 14o liLI 3 KE 17111. 0 . Aſtrolabis dyſcribere quid ſit. bid. 9. Aſtrolabium, ſiue Planiſpharium Jud ſit. 273 IN PROP OS. 1. 1 lreulum quemlibet p hæra per polum auſtralem duct um, proijci in Aſtrolabium per lineam rectam inſinita. aus communis ſectio eſt ipſius circuli,& plani AHtrola bij, Aequatorisu e: Partes au tem illius recta arcubus æqualibus reſpon tes inaquales eſſe, eoque maiores, quò à ra io viſuali per circuli centrum ducto ſunt emol iores: binas tamen partes hinc inde ab eodem radio æqualiter diſtantes, aquaUbusq; arcubiss reſpondontes æqu ales eſſ. 57; 4. Polum borealem, arem mundi, c centrum ſphara, ſiue mundi, in Aſtrolabio idem eſſe, quod centrum Aſtrolabij. 275 4. Circulos omnes maximos per polos mundi ductos proifci in rectas lineas ſeſe in centro Aſtrolabij interſecantes. Ibid. Circuli per mundi polos ducti, quo pa co in Aſtrolabhio, vbi rectæ lines ſunt, in gradus diſtribuantur. bid. 6. Arcus, vel gradus quilibet circuli per mundi polos duct i, quo pacto reperiatur in recta circulum illum referente in Aſtro labio: Et quot gradus in dato ſegmento eitaſdlem recta continentur, quo pacto cogno ſcatur. 276 ———— IN PROPOS. 2. 1. Aequatorem, omnesque eius parallelos, in Aſtrolabium proici in formas circulares. 275 3. Arcus eorundem circulorum proij ci in arcus ſimiles, atq; adeo æquales in aqua les. 274 4. Aequatorem, eiusque parallelos in Arolabio diuidendos eſſe in partes aqua les, vt corum gradus habeantur, ad inſtar aliorum circulorum in ſphara. Tbid. 5. Paralleles Aequatoric auſtrales in Agrolabio eſſe maiores Aequatore,& 2 reales, minores. Ibid. 6. Aquatorem, eiusqus paralleles in Aſtrolabio idem cum Aſtrol abio centrum Habere. Ib id. ——— IN PROPOs. z. 1. Circulum quemlibet ſphara ad Aequatorem obliquum. vel etiam rectil non maximum, in Aftrolabium proijci in cir cularem figuruam. 279 2. Arcus eiuſdem circuli, a certo quo. dam puncto incipiẽtes profi in arcuis diſſi miles, atque adeo aquales, in inæquales. 281 4. Circulum quò ui: obliquum ad A euatorem, vel etiam rectum non maximũ, in Aſtrolabio habere centri à cetro Aſere labij diuerſum. bid, INSCHOLIOPROP OS. 3. 1. Circulum quemuis obliquum ma ximum, eiusqʒ parallelos, vel etiam cir culum non maximum ad Aequatorem rectum, ex polo auſtrali inſpici debere in communi ſectione Aequatoris, vel plani Aſtrolabij,& circuli maximi per polos mundi,& polos circuli obliqui, vel recti, ducti, tum vt in formam circu larem proijciãtur, tum vt maximæ eorum diametri viſę habeantur. 24 2 1. Diametros circulorum obliquorum quorumlibet, vel etiam rectorum non maximorum in Aſtrolabio, viſas in commun ſectione Aequatoris, vel plani Aſtrolabij,& circuli maximi per polos mundi,& polos obliquorum circulorum, vel etiam rectorum, ducti, eſſe omnium maximas. 282.& 283 4. Centra obliquorum eirculorum quorumlibet, vel etiam rectorum non maximorum in Aſtrolabio, ſumenda eſ ſe in commun ſectione plani Aſtrolabij, Aequatorisde,& circuli maximi per polos mundi,& polos. c obli IINI D E IX obliquorum, vel rectorum, ducti. 284 4. Rectam lineam per centrũ Aſtro labij,& cẽtrũ cuiuſuis circuli in Aſtro labio deſcripti ductam, eſſe communẽ ſectionem plani Aſtrolabi j, Aequatoriſue,& circuli maximi, qui per polos mundi,& polos deſcripti circuli ducitur. Ibid. 6. Iordani demonſtratio, circulos obliquos, vel etiã rectos non maximos, proijei in figuras circulares. 284.& 285 IN PROPOsS. 4. 1. Aequatorem, eiuſque] parallelos in Aſtrolabio ex Analemmate deſcrißere, ſi magnitudo Aequatoris data ſit. 287 1. Meridianus, atque Horizon rectus, per quas lineas rectas repraſententur in Aſtrolabio. 249 2. Aequatorem, eiuſque parallelos diuidendos eſſe in partes aquales, vt eorum gradus habeantur. bid. 2. Rectas lineas per centrum AſtrolaEij traiectas, diuidentesque quemlibet circulum ex eodem centro dæſcriptum in 3 Go. partes æquales, repraſentare circulos maxi mos pharæ per polos mii di,( ſingulos gradus Aequatoris ductos. ITbid. 3. Parallelum quemlibet Aequatoris, cuius declinatio data ſit, in Aſtrolabio ex Analemmate deſcribere. Ibid. 4. Paralleli cuiuslibet Aequatoris in Aſtrolabio deſcripti declinationè ex Analemmate cognoſcere,& utrum ea borealis ſit, an auſtralis. Ibid. . Aequatorem, eiusque parallelos in Aſtrolabio ſine conſtructione Anale mma tis deſcribere, ſi data ſit A equatoris magnitudo. 290 6 arallelum quemlibet Aequatoris, cuius declinatio data ſit, in Aſtrolabio ſine conſtructione Anale matis deſcribere. 291 0. Ex vno arcu declinationis in Aeguatore, deſcribere tam auſtralem, quòù m dee harallelum illius declinationis. IJbid. 7. Paralleli cuiuslibet Aequatorit in Aſtrolabio deſcripti dealinationem ſine con ſtructione Analemmatis cognoſcere,& utrum ea horealis ſit, an auſtralis. I bid. F. Semidiametros parallelorii Aequa. toris, prę ſertim auſtralium, accuratius, at. que exquiſitus inuenire. I bid. 11. Semidiametrum Aequatoris inter ſemidiametros duorii parallelorum Aequa toris oppoſitorum in Aſtrolabio deſcriptorum eſſe medio loco proportionalem, et qui proportionem habeant. 293 12. Semidiametrum cuiuſuis paralleli Aequatoris auſtralis ex ſemidiametro pa. ralleli borealis oppoſiti eruere in Aſtrolabio. 294 73. Polum mundi auſtralem ſolum en omnibus punctis ſphæræ in Aſtrolabiũi non Poſſe proſ ci. 295 13. Non omnia puncta ſphæra auſtra · lia(etiam polo auſtrali excluſo) commodè poſſe proij ci in Aſtrolabium—. Ibid. — IN SCHOLIOPROP Os. 4. 1. Aequatorem, eiuſque parallelos in Aſtrolabio deſcribere, ſi tropici v, magnitudo data ſit. Van dg 2. Aequatorem, eiuſque parallelo: in Aſtrolabio deſeribere, ſi tropiei. magnitudo data ſit. 290 3. Aequatorem, eiuſque parallelos in Aſtrolabio deſcribere, ex data cuiuſ uis paralleli Aequatoris magnitudine. 297 4. Nullum parallelum Aequatorit in Aſtrolabio deſeribi poſſe ex data pꝛ ralleli oppoſiti magnitudine, niſi prius Aequator deſcribatur. Ibid. LN. TROPOS, sa. 1. Horixontem quemlibet obliquum, Verticalem eius primarium, Eclipticam, & quemcunque alium circulum maximũ obliquum, qui ad Moridianum tamen reHus ſis, inclinationemque ad Aequatarem hHabeat notam, in Aſtrolabio ea conſtructione Hione . 1 Sie! 1 ealen lerne. obliga, chu fi Habe a con *. bid. 1. at. bid. nter 44 pro4 293 leli pa. ola. 294 n ex non 295 tra · 20d bid. elos v, 295 elos . 290 elos uiuſ line. ori EI 125 rius bid. un, Ain, eimũ eru n LI B AN HII. lone Analemmatis deſcribere. 299 1. Quor parallelos Ecliptica, Herixon, Agne Ferticalis tangani. bid. 2. Horixontem qub uis obliquum, VerMea lem eius primarium, Eclipticam. e Mencumque alium circulum maximum liguum, qui ad Meridianum tamen recus fr, inclinationemquęad Aequatorem IAbeat notam, in Aſtrolabio ſine conſtruGione Analemmatis deſcribere. 307 . Centrum Horixontis in Aſtrolabio umenire, etiamſi diameter eius viſa inuen t non ſit. 30 3 3. Rectam ex polo auſtrali ad diamekum maximi cirtuli obliqui in Aequatode ſcriptam, all an gulos rectos duct am; Are in centrum eiuſdem circuli obliqui n AAroiabio. Ibid. . Centrum cuitaſiuis circuli maximi ohligui in Afirolabio inuenire, etiamſi dia erer eius viſa inuenta non ſit. Tbid. . Centrum cuiuſuis circuli maximi egi in Aſtrolubio à centro Aſtrolabij Anerſum eſſe. Ibid. 7. Eclipticam ſemper apparer? circulu in Aſtrnlabio, einſdlemque magnitudinis, erlamſi ad motum diurnum in fhara con tinud circumferatur. 30% Diameter uera dati circuli maximi obliqui, ꝙ ad Meridianum recti, qua ranone in Aegquatore Aſtrolabij ducenda ſit, 1 her eam circulus ipſe obliquus in Aſtrolaho deſcribatur. 305 J. Extremum punctum diametri vieirculi maximi obliqui, quod à centro Aſtrolabij remotius eſt, accuratius inuenire. Ibid. 0. Circulum maximum obliquum in A ſrolabio deſcribere, etiamſi eius diameder viſa inuenta non ſit. Tbid. 11. Semidiametrum cuiuſuis paralleli Aequatoris auſtralis alio modo, quàm ſis pra,& valde exquiſitè inuenire. 30% 12. Poli cuiuſuis circuli maximi obli2 in Aſtrolabio, per quas lineus rectas inAicentur in linea meridiana · Ibid. 12. Radius ex polo auſtrali per polum kirculi obliqui maximi remotiorem ductus Auos angulos ſecet bi fariam. Ibid. 13. Polum cuiuſuis cireuli obliqui in Aſtrolabio à centro Aſtrolabij diuerſum ee. Ibid. 1. Centrum circuli maxi mi obliqui aliter reperire in Aſtrola bio. I bid. 14. Radius ex polo auſtrali ad folum cr culi obliqui ductus abſcindie ex meridia na linea,& vera diametro circuli obliqui, rect as aquales. 3109 15. Polum circuli maximi obliqui ab eius centro differre in Atrolabio. Ibid. 17. Horizont em obliquum in Aſtrolabio ex eius polo ſuperiore in gradus Aiſtribuere. 310 17. Obliquus circulus maximus, quan do eius polus ſuperior parum abeſt à circũferentia Aeqguatoris, quo pacto equiſitius in gradus diſtribuatur. 211 18. Gradum quemlibet propo ſitum in t perioIbid. Horixonte Actrolabij ex eius polo. re inuenire. 18. Pars orientalis, occidenta 2 is,& auſtralis in Horixonte Ali. qu. 76 2 18. Datum artum maximi obliqui in Aſtrolabio din idere bifariam. 212 19. Quot gradus in dato arcu Horixon tis Aſtrolabij contineantur, ex eius folo ſiaſcere. 162d. zuum in Aſtrola7 ore in gradus di ſtriol abi periore cogn 7 20. Horixonte Bio ex eius polo in buere. Ibid. 21. Eclipticam, Ferticalem primariii, et quemuis alium circulum maximum obliquum Jui ad Meridianum rectus ſit, in Aſtrolabio ex vtrouis eius polo in gradus partiri. 314 23. Circulum gquemlibet maximũ 0. liquum, qui ad Meridianum rectus non ek, ex vtrouis eius polo in gradus diſtribue re in Aſtrolabio. Tbid. 23. Regula facilis pro initic,s arcuum abſciſſorum deter minandis in diuiſionibus cireulorum maximorum in gradus, per reGas ex alterutro polorum cuiuſuis circuli obliqui emiſſas. 210 23. Regula Jacilis ad cognoſcendum, vtrum punctorum Aequatoris in calo ſit ſis perius, vel inſerius: Et vtrum pus ddorum 4 2 circuli 1 ö IN DEI circuli maximi obliqui ſis boreale, vel aurale. Ibid. 23. Regula facilior pro initijs arcuum praſiniendis. 377 24. Circulum guemuis maximum oba liquum, qui ad Meridianum rectus eit, in Aſſtrolabio diuidere in gradus ex centro al terius circuli maximi, ui reſpectu illius eit inſtar Perticalis primarij. Ibid. 29. Gradum quemlibet propoſſtum in circulo obliquo maximo ad Meridianum recto in Adrolabio reperire ex centro al. rerius circuli maximi Jui reſprctu illius eſt inſtar Verticalis primarij. 219 26. Quoc gradus in arcu dato circuli maxim i obliqui ad Meridianum recti con tineantur, ex centro alterius circuli maximi, qui reſpectu illius eſi inſtar Verticalis rimarij, cognoſcere. Ibid. 27. Circulum quemuis obliquum maaimum, qui ad Meridianum rectus no ſic, Aiuidere in gradus ex centro alterius circu li maximi, qui reſpeciu illius eſt inſtar V er ticalis primarij. Ibid. 28. Qu linea circulum maxim ji obliquum tangant in Alfrolabio. 320 29. Tineas quaſdam in A ſtrola bio cõe enben repraſentare in celo lineas paral lelas,& non concurrentes. 3217 30. Circulum qublibet maximum obliguum, qui ad Meridianum rectus ſie, in gradus diſtribuere ex polo auſtrali Analemmatis. 323 37. Gradum quemliliet propoſſum in eirculo maximo obliquo ad Meridianum recto inuenire ex polo auſtrali Analemma tis. Ibid. 32. Quot gradus in arcu dato circuli maximi obliqui ad Meridianum recti con tineantur, ex polo auſtrali Analemmatis cognoſcere. 324 33 · Circulum quemuis maximum obliquum in Aſtrolabio, aui ad Meridianũ rectus non ſit, partiri in gradus ex polo auAtrali Analemmatis. Tbid. 34. Circulum quemuis maximum obliquum in A ſerola bio dliſtribuere in gradus e proprio centro„& centro Acre olabq, ſiue Aegqustoris. 326 34. Circulum qusui: maximi Afro. labij partiri in gradus per alium circulum maximum diuiſium. 327 5 Pato arcui in circulo quouit ma. ximo abſcindere arcum æqualem, quod ad numerum graduum attinet, ex quouis ali circulo maximo. bid. 30. Circulum maximum obliquum ſe care multipliciter in gradus, per c irculu varios per terna punct a deſcriptos, vt propo... Num. 3 c. docebitur. Tbid. 36. Circulum maximum obliqun mul ripliciter in gradus partiri per varias rectas lineas. 324 30. Ex quolibet puncto meridian g lineæ circuli obliqui rectas educere ſecantet circulum ipſum obliquum in gradus. 329 30. Dato puncto in circulo maximo ob liguo, punctum reſßondens in Aequatora reperire. bid. 30%. Dato quouis puncko in plano alicu ius circuli maæ imi in Shara, etiam extra circulum, inuenire eius ſitum in A ſerolaBio. Ibid. 36. Que puncta vera in Plano dati cir culi obliqui in Shaæra non habeant reſpondentia pundta in Aſtrolabio. 332 3%. Dato quouis puncto in A ſtrolabio, inlienire eius ſitum in plano cuiuſuis circuli maximi in ꝙhara, bid. 30. Qu puncta viſa Aſitrol abij non habeant vera reſpondentia in Plano dati circuli obliqui in ſphera. Ibid. 36. Ex guolibet puncio extra meridia. nam lineam dato in A ſtrolabio, datii circulum maximum in gradus diſtribuere. 333 36. Oirculum quslibet maximum obligui in gradus diuidere alijs tribus vißs, vt in propoſis. Num. 3 3.& 3 8. ITbid. — IN SCHOLIOPROPOS. 5 r. Circuli maximi obliqui, ad Me ridianum tamen recti, per quæ puncta Aequatoris ducã tur in Aſtrolabio. 333 2. Circulum maximum quemlibet obliquum in Aſtrolabio eſſe maiorem Aequaqua to: 130 in Aſt Kequdeo Ibid. 3. gujuſ Ta, P Aſtro 4. maxi tuo ſ * ja. 95 uli! ſint i 6 quou tur i bus Ibid 7. ſiue aliqi Tam ca ralle 8. te ſt faris 9 quat ra c bifa mun 10 Aſtr uis diar dian 1 obli dine 1 2 L Aequatore. 335 3. Circuli maximi obliqui ad MeNdianum non recti, per quę puncta Asqua toris in Aſtrolabio ducantur. Ibid. 3. Quemlibet circulum maximum in Aſtrolabio tranſire per duo puncta Aequatoris per diametrum oppoſita, deoque Aequatorem ſecare bifariam. Ibid. 3. Communis ſectio Aequatoris,& gujuſuis circuli maximi obliqui ĩ ſphæ ra, per quam rectam repræſentetur in Aſtrolabio. Ibid. 4. Aequator,& quilibet circulus maximus obliquus in Aſtrolabio ſe mu tuo ſecant bifariam, licet ſegmenta cir gulli obliqui inter ſe valde ſint inæqualia. Ibid. 5. Semicirculi cuiuſuis obliqui cireuli maximi, ab Aequatore facti, cur ſint inęquales in Aſtrolabio. 336 6. Aequator in Aſtrolabio eur à quouis circulo maximo obliquo ſecetur ĩ duos ſemicirculos ęquales in duobus punctis per diametrum oppoſitis. Ipid. 7. Quilibet circulus ſiue maximus, fue non maximus, diuidess in ſpbæra aliquem Aequatoris patalle lum bifaria m, tranſit in Aſtrolabio per duo pun ta per diametrum oppoſita in eo parallelo. Ibid. 8. Circulus non maximus non poteſt Aequatorem Aſtrolabij ſecare bi fariam. Ibid. 9. Circulus in Aſtrolabio ſecãs Aequatorẽ bifariam, repræſentat in ſphæ ra circulum maximum: qui vero non bifarlam diuidit, refert non maximum. Ibid. . Recta linea quælibet per centrũ Aſtrolabij ducta indicat ĩ circulo quouis maximo obliquo duo puncta per diametrum oppoſita, ita vt vices gerat diametri cuiuſdam. 5 339 12 Arcus æquales circuli maximi obliqui proljci in arcus inæquales, ordine ine continuato. 341 Eier ae 7* 16 13. Fieri poteſt, vt arcus quiſpiam R I II. vnus ma ximi circuli obliqui in ſphæra proijciatur in Aſtrolabium in arc limilem. 343 14 Propfietates variæ circulorum maximorum obliquorum in Aſtrolabio. Ibid. 14. Circulũ in Aſtrolabio per duo puncta per diametrum oppoſita deſcriptum, eſſe maximum. Ibid. 14. Qui arcus maximi circuli obliqui in Aſtrolabio æqualis ſit, quod ad numerum graduum attinet, arcui Acequatoris altitudinem poli ſupra eundem circulum obliquum metienti;& qui complemento eiuſdem altitudinis non ſolum æqualis ſit in nume ro graduum, verum etiam ſimilis. 345 15. Quæ rectæ Aequatorem,& circulum maximum obliquum in Aequatore tangant,& vbi. Ibid. 19. Recta ex polo inſeriore circuli maximi obliqui ducta, ſi tangat Aequa torem, tanget& eirculum obliquum: Et ſi tangat circulum obliquum, tãget & Aequatorem. 347 16. Recta ad meridianam lineam in polo circuli maximi obliqui perpendicularis, quos arcus ſimiles abſcindat ex Aequatore,& circulo maximo obliquo. Ibid. 18. Quss arcus ſimiles ex Aequato re,& circulo maximo obliquo auferãt rectæ ex polis eiuſdem circuli obliqui 19. Aequatorem in Aſtrolabio ex circulo maximo obliquo, qui ad Meridianum rectus ſit, inc linationemque ad Aequatorem habeat notam, deſcribere. 50 20. Quæ pundcta in Aſtrolabio repræſentent in ſphæra duo puncta per dia me trum oppoſita. 351 21. Altitudinem poli ſupra eirculũ maximum obliquum in Aſtrolabio, qui ad Meridianum rectus ſit,& eius inclinationem ad Aequatorem, ſitumque in ſphæra cognoſcere. 372 IN ö IND IN PROP Os. 6. 1. Horixontis, c cuiuſuis alterius cir euli maxi mi obliqui, ad A eridianum taen recti parallelos in Aſtrol abio ex Ana lemmate deſcribere. 353 2. Parallelos eoſdem beneſßcio Aequatoris, etiamſi Analemma ſeorſum conſtrudum non ſit, deſcribere. bid. 2. Paralleli Horixontis, Jui in phara inter polum auſtralem„Zenith, Meri. dianum interſocant, ambiun- ipſum Ze. nith in Aſtrolab io. 355 3. Farallelus Norixontis, qui in SH. ra per polum auſtralem ducitur, proijcitur in Aſtrolabio in rectam linoam 5 u, meridianam lineam perpendicularis eſt in centro Ferticalis primar. Tbid. 4. Haralleli Horixontis, qui in ꝓꝓhæra inter polum auſtralem, c Nadir Ar eridia num interſecant, ambiunt ipſum Nadir in Aſtrolabio. Ibid. , Communist ſectio Aequatoris,& pa. ralleli Horixontis quæ ſit in Adrolabio. 357 4. Meridianus, et linea meridiana cuiuſuis circuli obliqui, in A Herolabio quo mo do intelligantur. Tbid. 5. Semitirculi, c quadrantes Horixon vit, eiuſque parallelorum, 4 Ferticali primario, ac Meridiano ab ſeiſſi in A Erolabio, qui. Tbid. 6. Diametros apparentes parallelorum Horixontis, vnà cum corundem centris, per ißſummet Horixontem in Agrolabio reperire. 358 7. Circulum per extrema punct a dia metri viſa cuiuſutis paralleli E orixontis, c Per polum auſtralem deſcriprum, tangere Horixontem in polo auſirali. 35 7. Redtum lineam ex meridiana abſeindere, qua ſit diameter uiſa paralleli cuiuſpium Horixontis. 361 7. Dato uno extramo diumetri viſæ cu iuslibet pParalleli R rixoutis, rum extremum, beneficio cirti. tem tangentis. bid. 7. Diamelros viſas parallehrum Horid ontis beneficio cerculi Ro- VUntem in po eri re altei HorixonE X lo auſtrali langentis, reperire. 363 7. Rectas ex centro erticalis primar ad interſeckionos Parallelorum H ori x ontis cum eodem Ferticali ductas rtangeré ibi. dem parallelos. 305 7. Dato vno extremo diametri Hoi. vontis, vel eius paralleli, inuenire alierum rena per tertiam quandam proportionalem. bid. 7. Semidiametrum Perticali: primai medio loco proportionalem e int er recam, qui inter centrum Verticalis, c al. erutrum extremorum diametri Horlxæbnis, vel eius paralleli, in: erijfcitur, c ret inter idem centrum Verticalis,& alterum etremum diametri Horixontis, vel eius paralleli poſitam. Ibid. 8. Diametros viſas Parallelorum Horixontis, beneficio arcus cuiuſuis magnitudinis ex polo auſtrali deſcripti, reperire. bid. 9. Centra parullelorum per rectas ex polo auſtrali emiſſas reperirèe. 367 10. Semidiamotrum, Y tentrum cuiuſilis paralleli Horixonti- per vnam ſolam lineam, quæ Ferticalem primarium tangat, inuenire. 369 I. Praxis facilis ad plures lincas dul cendas, quæꝛ datum circulum iin datis puncis tangant. 371 11. Centrum cuiuſuis paralleli Horirontis ab eius polo diuerſum eſſe. bid. 12. Ex quouis parallelo Horixentis in Aſcrolabio deſeripto, parallelum oppoſitum deſeribere, etia mii eius diameter inuenta von ſis. 373 13. Dato puncto in A ſtrolabio p ctum ber diametrum ſplaræ oppoſttum reperire. bid. 16. Punctii in barallelo A eguatoris au Nrali dato inuenire, in uo A parallelo Hoicontis infra Horixstem propoſito ſecetur, guando ſecatur, etiamſi deſcriptus non ſir. 374 17. Parallelum HForixontis in ꝶfDBhæra datum, in Aſtrolabio deſcribere. 37 14. Dato parallelo Horixôtis in A ſire labio, quanta ſit eius ab Horixonte diſtanria, cognoſcere. 370 19. Quo 3 2 cui Aiut non im gu cire 4¹ 19 7 * N 2899 LI B 19. Quo pacto omnia, quæ de paralleHorixontis deſcribendis dicta ſunt, ad Meribendos paralle los aliorum circulorum Ngximorum obliquorum, ſiue ad Meridia Hann recti ſint, ſiue nõ, accomodentur. I bid. 21. Parallelos cuiuſuis circuli maxini obliqui in gradus diſtribuere eæ eorum pole ſuper iore. 378 1. Parallelum Aequatoris auſtralem in Aſtrolabio deſcribere ex parallelo æqua I eirculi maximi obliqui circa eius polum al auſtrali polo remotiorem Aeſcripto. Ibid. 1. Initium arcuum reſpondentium in Parallelis unde ſumendum in hoc modo diHide di parallelos obliquos in gradus ex eovum polo ſuperiore. 379 21. Regula facilis ad cognoſcendum, Vrum punctorum paralleli Aequatoris in Arolabio, dicatur ſuperius in calo, in feriusite, reſpedtu dati circuli maximi obliu. Item utrum punctorum paralleli oblii boreale ſit, vel auſtrale. 38 22. Gradum quemlibet propoſitum in Parallelo Horiqontis eæ eius polo ſuperiore un enire in Aſtrolabio. 382 1 Quot gradus in dato arcu paralleli He dontis contineantur in Agtrolabios ex polo eius ſuperiore caguaſcere. bid. 2. Parallelos cuiuſuis circuli maximi ohligui in gra dus diſtribuere ex eorum polo inferiore. Ibid. 2. Initium arcuum reſpondentium in Narallelis unde ſume dum in hoc modo diHide di parallelos obliquos in gradus ex eohum polo inferiore. bid. 23 Vo pacto omnia, qua de diuiſione Farallelorum Herizontis, ex eius polis, diHa ſunt, ad alios parallelos obliquos accũ modentur. 39 1 7 17 25. Farallelum obliquum per circuli elliuſcais magnitudinis in gradus aqualer Aiuiſum, in gradus diſtribuerez ita vt abus non ſit deſcribere parallelum auralem modicæ quatitatis, aut boreal em perexi gua magnitudinis. Lid. 25. Radius ex polo 41 7 57 7 u ductus l/ ana lnea,& vera diametero circuli obect at æqua es. 385 K H. 25. Maximum circul gradus partiri per circulum Aequatore maiorem cuiuſuis magnitudinis 25. Circulum maximum quemuis viſum in gradus apparentes diuidere beneſicio graduũi aqualium eiuſdem circuli maximi viſi. 386 25. Parallelum quemuis obliquum vi ſum in gradus apparentes diſtribuere bene ficio graduum aqualium eiuſdem paralleli. 288 27. Quot gradus in dato arcu circuli obliqui contineanturi ſacillima rationè cognoſcere. bid. 26. Arcum datum circuli obliqui in quotuis partes æquales viſas facillima rarione ſecare. 389 20. Parallelos cuiuſttis maximi circuli obliqui in gradus diſtribuere, ex centro cir culi maximi, qui inſtar eſt Ferticalis ip. ſorum primarij. 392 27. Gradum quemlibet propoſitum in parallælo obliquo Aftrolabij reperire ex centro maximi circuli, qui illius eſt veluti Verticalis primarius. 395 28. Quot gra dus in arcu dato paralleli obliqui contineatur, ex centro maximi cir culi, qui illius eſt veluti Ferticalis prima rius, cagnoſcere. Tbid. 29. Quo pacto omnia, qua de diuiſione parallelorum Horixontis, ex centro Ferticalis dicta ſunt, ad alios parallelos obliguos accommodentur. Tbid. 30. Rect ac ex centro cuiuſuis circuli maximi in Aſtrolabio ductas ad interſectiones eius cum parallelis alterius circuli maximi, qui illius ſic veluti Hori don, parallelos ibidem tangere. Ibid. 30. Semidiametrum Perticalis medio loco eſſe proportionalem inter rectam, que ex centro eiuſdem ſecat Horixontis parallelum quemcunque, eius ſegmentum exterius. 397 30. Dato vno extremo diametri viſa alicuius paralleli obliqui, inuenirè alterũ elremum per tertiam quandam proportionalem. TBid. Parallelos obliquos Afrolabij in Aribuere, em polo auſtrali Analemma ö ö ö — IN lemmatis. Zbbid. 32. Gradum quemlibet propoſſtum in parallelo obliquo reperire, ex polo auſtrali Analemmatis. 394 33. Nuor gradus in arcu dato parali obliqui cõtineꝭtur, ex polo auſtrali Ana lemmatis cognoſcere. bid. 34. Quo pacto omnia, que de diuidendis parallelis Norixontis, ex polo auſtrali Analemmatis dicta ſunt, ad alios paral. lelos obliquos accommodentur. Tbid. 35. Parallelum quemuis obliqus A ſtro labij in gradus diſtribuere, ex proprio centro,& centro Aſteolabij. Ib'id. 35. Omnem lineam rectam in A ſtrola bio repraſentare poſſe circulum per polum auſtralem mundi ductum. 40¹ 35. Parallelum quemuis obliquum in gradus diſtribuere, ex eius circulo maximo, cui aquidiſtat, v el eꝶ alio parallelo in gradus diuiſo. 4703 35. Quid obſeruandum, ut circulus per alium circulum diuiſum in gradus diſtri. Buatur 404 36. Circulos maximos obliquos, eorum 4ue parallelos diuidere in gradus per circulos varios per terna pundta deſeriptos. Tbid. 36. Praſtantiſſima via ad inueniendum datum punctum in circulo quoxis obbiquo, per parallelum in ſphara recta. 407 37. Alia via pulcherrima diuidendi gquemuis parallelum in gradus, per varias rectas lineas. bid. 37. Qu puncta paralleli veri quibus punctis paralleli viſi reſpondeant. 408 37. Pato puncto in parallelo obliquo vi ſo punct um reſpondens in parallelo obliquo vero inueſtigare. 409 37. Dato puncto in plano cuiuſuis paralleli obliqui in ¶phara, eius ſitũ in Aſbrolabio inquirere. Ibid. 37. Qus pundta vera in plano circuli obliqui in ſphara, non habeant reſpondenria puncta in A ſerqlabio. Ibid. 37. Circulum obli quum in A ſtrolabio in gradus partiri per lineas parallelas. 470 37. Circulos obliquos tam maximos, E UX um eorum parallelos, in gradus diſi. buere lineis rectis per eorum centra via ductis. 411 38. Alia via commodiſſima diuidendi circulos obliguos tam maæimos„ quam non maximos in gradus, ex quolib et pundio in communi ſoctione circuli obliqui,& pla ni Aflrolabij extra meridianam lincam dato. 714 39. Dato puncto in circulo obliquo viſo, reſpondens punctum in circulo obliqus vero inuenire. 415 3. Dato puncto vero in plano circuli obliqui in ſphara, pundtum reſpondens viſum in Aſtrolbbio reperire,& contra. 414 38. Nusa ratio diuide di circulos Aſtro labij in gradus ſit omnium eæpeditiſſima. 1bid. KT IN SCH OLIOPROP OS. 6. 1. Arcus æqua les paralleli euiuſuis obliqui proijei in arcus inæquales ordi ne continuato. 41 2. Proprietates variæ parallelorum obliquorum in Aſtrolabio. 478 2. Semidiametrum viſam paralleli Aequatoris ita diuidi in polo circuli obliqui, vt ſemidiameter vera paralleli obliqui æqualis ſectateſt à radio ex polo auſtrali per eundem polum obliqui circuli ducta. Ibid. 5. Arcum vnum que mpiam paralleli obliqui in ſphæra proijci poſſe in Aſtrolabio in arcum ſimilem. 427 6. Parallelos eiuſdem circuli obliqui maximi diuerſa centra habere in Aſtrolabio. Ibid. 7. Parallglum quemuis Aequatoris in Aſtrolabio diuidi à quolibet paralle lo obliquo in partes ſimiles illis, in quas ab eodem in ſphæra diuiditur. 28 1 9. Circulus in Aſtrolabio non maxi mus, an includat portionem ſphæræ hemiſphærio minorem, maioremũue, cognoſcere. 732 IN N 1„ Aiſtri. via 411 idenum undo 50 neam 414 0 viliqus 27 yculi vi44 I ſtro ma. ſuis ordi 415 rum 18 leli culi leli n ui 10. Jein 27 liin id. ris *. 3 IXI AE I. IN PROP Os. 7. 7. Parallelos cuiiiſuis circuli ma ximi mundi polos ducti, in Aſcrolabio deſcri 2. Cœtra parallelorum circuli maximi her mundi polos ducti, in Afrolabio facilè heberire. 435 . Parallelos eoſdem aliter, per rect as gangentes deſcribere. Tbid. . Parallelum datum Horixontis recti in Afirolabio deſcribere. 437 . Parallelus Horixctis recti in Aſtro labio deſcriptus, quantum ab Horidonte recko aiſtes in ſohara, cognoſcere. Ibid. g. Kadios longius excurrentes acturakia ducere. I bid. J. Circulum maximum per polos mun Ali ductum in gradus diſtriluere. Ibid. F. Paralleloscirculi maximi per mun AA poles aucli, in gradus dittribuere, ex eonum polis. 4 3 10. Paralleles circuli maximi per mun A polos ducti, in gradus diſtribuere, ex cen er Aſtrolabij. 439 11. Paralleles circuli maximi per mii di polos ducti, in gradus diſtribuere eæ polo Atrali Analemmatis. ITbid. 12. Parallelos circuli maximi per mu di polos ducti alis vis in gradus diliribuere. 750 IN PROP Os. 8. 1. Verticales circulos in Aſerolabio deferibere. 453 1. Orientalis pars,& occidentalis in Aſtrolabio qua. 454 2. Centra omnium Perticalium existe hein linea recta, qua per centrum FerticaIs primarij ad meridianam lineam ducigur perpendicularis. 45 , Centra omnium Verticalium ſecatium Heri donſem in 30 o. gradus, per ſemi ir culum que dam in 1 fo. gradus diuiſum heperire. 450 . Plura puncta in Horizonte, eiuſque 5 5 1 Narallelis, per qua Verticales deſcrubendi ſunt, inuenire. id. 5. FVerticales parum à Mferidiano diantes, per puncta, ſine circinc, deſcribere. 457 8. Polos cuiuſuis Verticalis inuenire in Aſtrolabio. 459 8. Verticales circuli Hor Nontem, eiii f ue farallelos diſtrituunt in gradus. 9. Ferticalem quem cunque in Actrolabio dictriluere in gradus. Ibid. 10. Verticalem quemlibet prope ſitum in Mh era, deſcribere in Aſorolabib. Ibid. 10. Centrum Verticalis dato Verticali in t hera reſſondentis reperire in Aſerolabio. Ibid. 11. Inclinationem cuiuslibet Verticalis in Aſtrolabio ad primarium Verticalem cognoſcere. 40 11. Quam in partem datus Perticalis in Aſtrolabio detect at à Verticali trimario, cegnoſcere. 463 11. Inclinationem cuiiſuis Nerticalis ad quemlilet Verticalem in Aſirela bio cognoſcere. 40 12. Circules maximos per polos cuiis f uis alteriuscirculi maximi, fanquam Per ticales, deſcribere in Aſtrolabio. Iid. 13. Rectas ex centro cuiuſais Perticalis ad interſectionem eius cum HForixonte eductas, HoriN ontem tangere, c. bid. 13. Rectas ex centro cuiuſuis Ferticalis ad eius interſectionim cum quolibet pa rallelo HoriNontis emiſſas, farallelum HoriTontis tangere. 406 14. Puncta reperireè in communi ſectioue cuiuſiis Verticalis cum Htrig bite per qua ſi recta ducantur ex contro illius Verticalis, Hor Yhn in gradus Aiſtriluatur. 5768 15. Pundta reperire in communi ſectione cuiuiſuis Verticalis cum quolibet parallelo HoriNontis, per q ff rect a ducantur ex centro illius Verticalis parallelus in gra dus diſtribuatur. 470 16. Verticalis quilibet, aui quiuis alius circulus mauimus in A ſerelabio ſecar A eZuators in quobus punctis per diametrum oppoſetis. 47 16. Diametrum veram cuiuſitis cir4 culi IL N D AEITx tuli in Altrolabio deſeripti, ſuue maximi, ſiue non maximi, inuenire. 472 17. Polos cuiuſque Verticalis, vel al. terius circuli ſiue maximi, ſiue non maximi, in Aſtrolabio deſcripti, inuenirt. 473 18. Reclam, que interſectiones quor u. libet duorum circulorum mai morum in Aſerolabio coniungit, per centrum ſerola 6, tranſire. 475 19. Parallelos cuiuslibet PVerticalis, aut alterius circuli maximi obliqui, in A Hrolabio deſcribere. I bid. 19. Centrum Aſtrolabij, centrum circuli obliqui maximi, eiuſque parallelorum centra,& eiuſdem polos, in vna recta linea exiſtere in Aſtrolabio. 476 20. Parallelos cuiuſuis circuli maximi obliqui boreales ab auſtralibus ſecernere. 477 21. Parallelus cuiuſuis circuli maxi. mi obliqui in Aſtrolab io deſcriptus, quantum ab ipſo maximo circulo diſtet,& qua in partem verg at, cognoſcere. 1 bid. 22. Altitudins poli ſupra quemuis circulum maximum obliquum, eiuſdemque circuli inclinationem ad Aeguatorem, exPlorare. bid. 3. Aequatorem ex quouis circulo, qui maximum aliguem ſohara circulum nolum dicatur repraſentare in Aſtrolabio 5 deſcribere. 475 — 1. Circulos horarum à mer.& med. rire. 452 5. Circulos horarum ab ortu,& bocca. ſie in Aſtrolabio deſcribere. 483 5. Circulos horarum aò ortu,& occaſi in Astrolabio eſſe æquales. Tbid. 0. Hora ab or.& oc. quo pacto in aul. garibus Aſſtrolabijs deſeribi ſoleant, 2 quem ordinem teneant. a 6. Per quæ puncta Aequatoris verè ar cus Horarum ab ortu,& per quæ arcus ho. Varum ab occ. deſcribendi ſinte hoc eſt, qua hora à mer. vel med. noc. in A equatore per tineant ad horas, ab or. c ua a horas ab occ. bid. 7. Circulum propoſit a horæ ab or. vel occ. in Aſtrolabio deſcribere. ITbid. 7. Qui ſemicirculi horarum ab or. vel oec. ad horas ab ortu,& qui ad horas ab occaſu pertineant, cognoſcere. I bid. Per datum punctum inter duos parallelos Horixontem tangentes, tam ſemicirculum, qui ad aliquam Horaim al ortu, quam ſemicirculum, qui ad horam aliqua ab occaſu Sectet, in Aſtrolabio deſcribes re. 44 8. Semicirculus quilibet hora alicuius ab or. vel occ. deſcriptus, ad quotam horam ab or. vel occ. hertineat, eognoſcere. 488 9. Fandem eſſe alritudinem poli ſupræ omnes circulos horarum ab or. vel occ. 22 eſt ſu pra Horixontem. bid. — IN PROPOsS. 10. Rare 7 1 2 g noc. in Aſtrolabio deſcribere. 479. Domos caleſtes, vt Ioan. Regiomi 11 3. Declinationum circulos in Aſirola- conſtituuntur„ in Aſtrolabio deſeribere. 0 bio deſeribere 4 N f bid. 388. e 0 4. Circulos Hhorarum inæqualium ſecun 1. Centra domorum caleſtium reperif d auctores Aſtrolabij deſcribere in 4 tro re. labio bid. 4. Circulos Horarum inæqualium communiter deſcriptos, non indicare verè horas in quales i0to ann tempore. 76d. 4. Horas inæquales verius her partes duodecimas plurium arcuum diurnorum — 4 85 Ibid. . Per datum quoduis pittum A equatoris circulum poſitionis deſtribere. 490 3. Domos caleſtes, vt ea: Campanus imaginatur, in Aſtrolabio deſcribere. 491 4. Domos cæleſtes, vt en- Campanus conſtituit, deſcribi in Aſtrolabio, inſtar Ver ——— Ibid. ricalium ipſſus Verricalis primarij, tanquũ 0 6. Centra Horarum iniqualium repe- HoriNontis cuiuſpiam. 214i. 1 5. Cir om e. eri · hid. ua90 nus 91 nus Ver 1 2 LII B R III. 5. Circulum poſitionis per quemuis ra dum Ferticalis datum deſcribere. 493 6. Per quoduis punctũ datum in Aſtro labio extra Aequatoris,& Verticalis circumferentiam, circulum poſitionis deſcrihere. Ibid. 9. Quantum quilibet circulus poſitiovis ab Horionte ſiue in Aequatore, ſiue in herticali dictet, cognoſcere. bid. 7. Crepuſculinam lineam in Acttrolabio deſcribere. Ibid. 7. Centrum linea crepuſculina inuenire. 454 7. Error Loan. Stoflerini in linea crepuſculina deſcribenda. 495 IN PRO POS. N. . Rete Affrolabij conſtruere. 495 . Centrum,& polos Ecliptica inuenire. Iuöbid. 7. Eclipticam in 1 2. ſigna, c in grad. 360. diſtribuere. 49 3. Stellas fixas reti Aſtrolabij per earum longitudines, latitudineſque imponere. Tbid. 2. Figuram praparare, per quam facile quilibet parallelus Eclipticæ in Aſtrolabio Aeſcribatur. Ibid. 3. Parallelum Aequatoris ex parallelo Belipticæ aquali,& viciſſim hunc ex illo deſcribere. 499 3. Inuentio facillima puncti longituAinis data ſtella. 507 5. Stellas fixas reti Attrolabij per earum declinationes, aſcenſiones rect ac„& tali mediationes imponere. 50 INSCHOLIO PRO POS. 11. 1. Vſus præcipuus ſtellarũ in Aſtro labijs vulgaribus quis. 703 4. Quid in hoc Aſtrolabio de ſtellis xis tradatur. 504 2. Loca ſtellarum fixarum in Zodia do ex eatrum longitudinibus reperite. 305 2. Præceſsionẽ veram æqufnoctiorum ex tabella ad plurimos annos elicere. Ibid. IN P ROP OS. 12. 1. Circulum maximum per duo puncta, quorum vnum in Horixonte,& alterum in Meridiano datum ſit, vel per gradus en preſſum, in Aſtrol abio deſcribere. 5 oy 1. Per duo puncta, quorum vnum in quouis circulo maximo Aftrolabij,& alterum in alio quolibet max imo cireulo datum ſit, vel per gradus expreſſum, circulum maximum in Agtrolabio deſcribere. Ibid. 2. Circulum maximum, cuius declina tio A Ferticali,& inclinatio ad HoriNontem notu ſit, in Aſrolabio beneficio Verticalis eius inclinationem metientis deſcribere. Tbid. 2. Ferticalem, qui propoſiti circuli ina elinationem ad HorNNontem metitur, in Aſtrolabio deſcribere. 08 2. Arcum dat inclinationis ex Ferticali inclinationem propoſiti circuli metiente abſcindere. 5 2. Circulum eundem maximum, ciius declinatio à Perticali,& inclinatio ad Ho riNontem data ſit, in Aſtrolabio beneficio paralleli Hori Nontis, ſine H erticali inclina tionem metiente, deſcribere. Tbid. 2. Commoditas poſteriorit huius deſcri prionis. TBid. 2. Circulum eundem maximum facil lima praxi deſcribere. T Bid. 2. Omnes circulos in Aſtrolabio per duo puncta per diametrum oppoſita deſcriptos ſecare Aequatorem bifariam. bid. 3. Diametrum ueram eirculi maximi deſcripti, eiuſdemque polos,& altitudinem poli ſupra eundem, inuenire. 510 3. Parallelos deſcripti circuli maximi in Añrolabio deſeribere. Ibid. 4. Verticales circulos eiuſdem circuli maximi deſcripti, tanquam Horixòtis cuiuſpiam, deſcribere. 511 4. Vtilitas hiius propoſitionit. Ibid. 9 2 IN IN D EX IN SCHOTLO ROD Os. 2. 1. Si circulum datum alius circulus bifariam, hoc eſt, in punctis oppoſitis ſecet,& in hoc recta vtcunque accommodetur per centrum dati cireuli tran liens, ſecabunt omnes circuli per extr ema puncta huius rectæ deſcripti datum cundem circulum quoque bifariam. 511 2. Omnes circulos in Aſtrolabio ma ximos diuidere Acquatorem bifariam. 513 — IN PRO POS, 13. 1. Per duo functa guomodocunque in Altrol abio data maximum circulum deſcribere. 8 513 2. Per duo puncta, quori vnum in A equatoris circumſerentia datum ſit, circulum marimum deſcribere. Ibid. 3. Per duo pundta, qua ſun in eadem recta per centrum Aſtrolalij ducta, circulum maximum deſcribere. 14. 4. Per duo pundta in circumferentia Aequatoris data circulum maximum deſeribere. Ib id. J Per datum quoduis punct i in Aſiro labio quotuis circulos maximos deſcribe7. IBid. 6. Per dus pun da per diametrum oppo ſeta quotuis circulos maximos deſcribere. 515 —ꝓ—————jB ᷓ IN PROSP OS. 14 7. Datis duobus půctis quadrante ma ximi circuli inter ſi diſtantibus, per alterutrum eorum maximum circulum deſcribere, cuius alterum pundtum ſit polus. 575 3. Circulum maximum deſcriberes cu. ius polus ſit datum pundtum in Aſtrola6¹⁰. 5 517 4. Circulum non maximum deſcribece. cuius polus ſit datum ſundtum in A ſtro labio. Lbid. IN PROP OS. 76. 7. Anguli Qharici in circumferemiis Aeguatoris conſſituti quatitatem, hoc eſ, inclinationem duorum circulorum inaximorum, quorum uel unus ſit Aequator, vl ambo in Aequatoris circumfirentia ſe in. terſecent, inueſtigare. 515 2. Anguli ſohh arici extra peripherian Aequatoris conſtituti quatitatem, hoc aſ, inclinationem duorum circulorum maxi. morum ſaſe eætra A equatoris peripherii ſecantium, inneſti gare. 51 3. Quando alter circulorum per pol mundi ducitur, idem inueſtigare. 5 10 IN SCH OLIOꝶHROPDOs. 15 1. Pluribus circulis maximis per es. dem puncta oppoſita ductis, quis eorun ſit magis, aut minus inelinatus ad aliũ maximum circulum,& qui æqualitet inclinati ſint. 5 20 1. Verticalem primarium inter omnes Verticales,& Horzõtem inter om nes circulos poſitionum, ad Aequatorem maximè inclinari. 521 2. Praxis pulcherrima pertinenbad pr opoſ. 12. pro inueniendo tertio puncto eirculi maximi dati deſcribendiʒex eius inelinatione ad Horizontem data, ſine Verticali,& ſine parallelo Horizontis. Thid. — IN PROP OS. 16. 1. Dato angulo ſpharico in Aſtrolalis zqualem angulum ſpharicum cum dat arcu birtuli maximi in dato puncto con. ſtituere. 521 J. In dato puncto cum dato arcu ani lum Shericum quotuis graduum in Af Jabio conctituere. N 20 2, Quado duo circuli maximi n Aſn labio angulum rectum continent recta li nea ex centro Aſtrolabij per cent i vniu ducla ſecat alterum in polo illius priui circura Ki 1 1 .. NS. r r ea. rum aliũ liter 5 20 Om r om ato· 52¹ ad pun · li ex da: Ho · hd. — abis at. con. 521 angi 11. 541 n 4 li. niui ori LAI B creuli bid. Duorum cirtulorum maximorum rel angulum contincntium polos intlenire. 5 24 Datum angulii pᷣharicum in Aſſtro labib bifariam ſecare. bid. IN PRO POS. 17. . FVariorum' cireulorum in Aſtrolabio gaomodocunq; deſcriptorum ſitum in. ſphe va egplorare. 525 In euplorando ſitu deſcripti circuli in Aſtrolabio quid obſeruandum. 528 . Recte cuiuſuis in Aſtrolabio ducta tum in ſphaera explorare. Ibid. L. Data recta finita, quanti arcus ma Kimi circuli chordu ſit, inquirers. 530 Redtam per centrum Aſtrolabij duHam varia poſſe repraſentare. 331 IN PROPOsS. 18. 1. Per datum punctum in recta per cen trum Aſtrolabij,& centrum maximi alicuiuus eirculi ducta, parallelum illius circult maximi deſcribere. 732 2. Per datum punctum in Ferticali pri mario alicuius circuli maxi mi, parallelum illing maximi circuli deſcribere. 533 Per datum pundtum extra riqtam den centrum dati circuli maximi,& centrum Aſtrolabij ductam,& extra Vertialem, parallelum illius circuli maximi deſcribere. Tbid. „ Expeditiſſima via ad inueniendam a in meridiana linea diametrum paralleli per datum punctum deſcribendi. 535 . Niantum arcum maximi circuli Aata rect a ſubtendat, inuenire, etiamſt cir chlus ille maxi mus non deſcribatur. 330 :. Alia deſcriptio paralleli obliqus per datum pundtum, beneficio linea cuiuſclam gertia propartiona lis 537 3. Mando functum datum eſt in cirferentia Aequatoris. 538 6. Per pundtum utcunque datum; paN 1411. vallelum Aequatoris deſcribers I bid. 4. Alia deſtriptio paralleli obliqui per datum pundtum, beneficio paralleli Aequæ toris. Ibid. 5. Per datum punctum deſcribere parallelum maximi circuli per mundi polos ducti. bid. 5. Qua ratione eirculi maxi mi obliquis eorumque paralleli, per parallelos maximi circuli per mundi polos ducti,; in gradus diſtribuantur. 340 5. Demonſtratio alia facilis primi modi dinidendi circulos obliquos in gradus, qui ex Lemmate 23. pendebat. Ibid. 6. Circa datum polum deſcribere circulum, ſiue punctum detur, per quod tranſire debeat, ſiue nen. 541 7, Dato puncto in quouis parallelo, oppoſitum punctum per dia mei rum viſan— eiuſdem paralleli reperire, etiamſi parallelus deſcriptus non ſir. 542 — 19. IN DROP O8. 1. Per datum punctum in circulo non mavimo, circulum maximũ, qui eum tan gat, deſtribere. 543 2. Quando datum punctum eſt in recta per centrum circuli ati,& centrum A ſtro labij ducta, idem eſficere. 544 3. Quando datum punctum eſt in circumferentia paralleli Aequatoris, idem exequi. Ibid. — IN PROP OS. 20. 1. Per datum punctum extra cirtumferentiam circuli non maximi, inter ipſum tamen circulum,& eius ohe ſitum parallelum, ita vt recta coniungens datum pundium,& centrum Afirolabij tranſeai per dati cirtuli cẽtrum, circulum maximum, qui eum tangat, de ſcribere. 545 3. Per datum pundtum extra circumferentiam circuli non maximi, inter ipſum tamen circulum,& eius oppoſituim parallelum; ita vt recta coniungens datum punctum, IN Aum, e centrum Aſtrolabij non tranſeat per dati circuli centrum, circulum maximum, qui eum tangat, deſcribere. 346 INł SCH OLIO PROPOS. 20. 1. Materia Aſtrolabij quæ eſſe de · beat. 550 7. Facies,& Mater Aſtrolabij quæ. 551 1. Dorſum Aſtrolabij quod. Ibid. 2. Faciei Aſtrolabii conſtructio in ſphæra obliqua. Ibid. 2. Limbi in facie Aſtrolabij conſtru Ctio. Ibid. 3. Tympanorum in facie Aſtrolabij conſtructio. Ibid. 3. Armillæ ſuſpenſoriæ,& Oſtenſo ris conſtructio. 353 4. Dorſi Aſtrolabij cõſtructio. Ibid. 4. Limbi in dorſo Aſtrolabij conſtructio. Ibid. 5. Menſiũ ac dierum in dorſo Aſtro labij per cireulos concentricos deſeri ptio. 154 6. Menſium ac dierum in dorſo Aſtrolabij per circulos eccentricos deſcriptio. 555 7. Scalæ altimetrę in dorſo Aſtrolabij compoſitio. Ibid. 8. Horarum inæqualium in dorſo Aſtrolabij deſeriptio. 556 9. Mediclinij, vel Dioptræ in dorſo Aſtrolabii conſtructio. Ibid. 10. Que in Aſtrolabio communia ſint tam ſphæræ cuiuis obliquæ, quàm rectæ,& obliquiſsimæ ſub polo. Ibid. 17. Aſtrolabii in ſphæra recta conſtructio. 557 11. In ſphæra recta iidem circuli maximi indicant tam horas à mer.& med. noc. quàm horas ab or.& occ. atque horas in æquales. 5 12. Aſtrolabii in ſphæra obliquiſa ſima conſtructio. 739 12. In ſphæra obliquiſsima nö eſſe propriè horas à mer. vel med. noc. aut ab or. vel occ. aut inæquales. Ibid. 12. In ſphæra obliquiſsima nullos eſſe propriè circulos domorum cęleſtium. Ibid. 13 Aſtrolabium ſphæræ obliquiſſimæ borealis, quo pacto obliquiſsimæ ſphæræ auſtrali accommodetur. 56 14. Aſtrolabium ſphæræ cuiuſuis obliquæ borealis, quo pacto obliquæ ſphæræ auſtrali oppoſitæ accommodetur. Ibid. 15. Aſtrolabii deſcriptio in plano cuiuſuis circuli maximi obliqui. 561 190. Terræ deſeriptio in forma Aſtrolabii. Ibid. IZ N— DME EO WA. VaR IN QVOEIBET c ANo Nx Tertij Libri, eiusq; Scholio explicantur. IN CANONE r. 1 N Ericudinè biderii per AſiroA labij dorſum explorare. 464 2 58 Quadrans commodius inſtrument um ad altitudines ſiderum captandas, quàm dorſum Aſtrolabij, & eius uſits. Ibid. 3. Pinnacidia quo modo conſitruenda, vr facilè per ca Nella,& alia res videri beſſinr. 565 4. Num aſtrum ſit ante Meridianum, vel poſt, vel in ipſo exiſtat, cognoſcere. bid. INS CHOTLCILOCANONISI. 1. Quo pacto in altitudine ſiderum præter gradus, Minuta accipiãtur- 36 5 Quatra g tur, um ex d. min. 0g. 1 lab. dem rere AA LI I MIA. 2. Qua drantem conſtruere, quo vltra gradus, Minuta quoque diſcernantur. cum eius vſu. Ibid. 5. Eiuſdem quadrantis beneficio ar cum quotlibet graduum ac minutorum e dato circulo auferre:& quot gradus, minutaque in dato arcu contineantur, gognoſcere. 569 IN CANONE 2. 1. Locum Solis quolibet die per Aſtrolabiuum explorare. 56⁰ . Ingreſſum Solis in 12. ſigna,& eiuſdem locum quolibet die memoriter perquirere. 157d. — — IN SCHOLIOCANONIS 2. . Locum Solis exquiſitius ex tabel lis quibuſdam reperire. 571 . Vtrum annuus datus ſit biſſextilis, an primus, ſecũdus, vel tertius poſt biſ ſextum cognoſcere. Ibid. ——— IN CAN ONE z. 1. Declinationem gradus Ecliptica pro Poſſri. uel ſtella cuiuslibet, per Aſtrolabium inuenire. 50 . Qua puncta in Aftrolabio habeanb feclinationem bor᷑ alem,& quæ auſiraEn Ibid. 3. Ex data declinatione arcum, ſeu pundtum Ecliptica reſpondens inuoſligure in Arolabio. Jb. 4. Declinationem gradus Eclipticæ pro Poſii, vel cuiuslibet ſtella, ſine inſtrumento EAſtrolabij certius inuenireg. 587 6. Præceptum generale ad inuaniendam declinationè cuiuſuis pundti in Aſtro labio aſſignati. 142 6. Declimationes pi ctorum vnius qua. drantis Eclipticæ declinationibus punctorũ aliorum quadrantum æ quales eſſen. 383 7. Ex data declinatione punctum, vel arcum Ecliptics reſpondentem ſine inſtrumenio elicere. Ibid. g. Altitudinem meridianam Solis, vel Hella cuiuſuis, eæ eius declinatione deprehendere. Ibid. ——— IN SCHOILIO CANONIS;. 1. Declinationem dati cuiuſuis pun cti Eclipticæ ex Analemmate inueſtigare. 1 584 3. Ex data declinatione punctũ Ecll pticæ, vel arcum reſpondentem elicere beneficio Analemmatis. 345 4. Declinationẽ cuiuſuis ſtellæ per Analem ma indagare. Ivid. 5. Semiſſem rectæ diametro circuli æquidiſtantis ſecare, vt ſemidiameter ſecta eſt. 86 6. Semidiametrum circuli ſecare 5 vt ſemiſsis eius parallele ſedta eſt. Ibid. 10. Declinationem cuiuſuis puncti Eclipticę per numeros inueſtigare. 84 10. Ex data declinatione punctum Eclipticæ reſpondens reperire per numeros. 5 Ibid. 10. Declinationem cuiuslibet ſtelle per numeros indagare. Ibid. 10. Vtrum ſtellæ declinatio borealis ſit, an auſtralis, cognoſcere- 594 INCANONE 4. 1. Aſcenſionè rectam dati puncti Ecli prica; aut ſtellæ, ex Arolabio cognoſcere. 393 1. Qui gradus Ecliptica cum data ſtel la oriatur in ſohara recta, aut mediet calun. I bid. 2. Deſcenſionem rect dati pucti Ecli pticæ, aut fella, ex Aſtrolabio cognoſce7e. Ibid. 2. Qui gradus Eclipticæ cum data ſtel la occidat in hæra recta. 597 3. Aſcenſioni redta cognita, deſcenſionine, arcum Ecliptica reſßondentem inuenire en Aſtrolabio. Ibid. 4. Aſcen. 11ND 4. Aſcenſionem rectam, deſcenſionb q; euinſuis arcus Eclipticæ non ab Ariete inchoati, e Aſcrolabio reperire. bid. 5. Aſcenſionem rectam, deſcenſionemq; cuiuſtuis uncti Ecliptica, vel ſtella, ſineAſtrolabio materiali inquirere. Tbid. 6. Aſcenſionem rectam, deſcenſionemq; ruiulſuis artus Eclipticæ · non ab Ariete inchoati, ſine Aſtrolabio deprehe dere. 5 95 g. Figuram aſcenſionum rect arum umnium Eclipticæ arcuum conſtruere. Ibid. 8. Ex data aſcenſione, deſcenſionelbe recta arcum Ecliptica reſpondentem ſine Aſtrolabio eruere. 596 9. Aſcenſionem, deſcenſionemque recta ſtella euiuſuis ſine Actrolabio explorare, vnd cum puncto Ecliptica, quod ſimul ori. tur, uel occidit. Ibid. INSCHOLIOCANONIS 4. 1. Aſcenſionem, deſcẽſionemùe recam dati puncti Eclipticæ ex Analem mate adipiſci. 2. Aſcenſionem rectam ſtellę cuiuſ. uis, vel deſcenſionem, ex Analemmate reperire. 598 3. Aſcenſionem rectam, de ſcenſionemue dati arcus Eclipticę nõ ab Arie te inchoati, ex Analemmate reperire. 599 4. Ex data aſcenſione, deſeẽ ioneũe recta, arcum Eclipticæ reſpondentem per Analemma exquirere. Ibid. 7. Aſcenſionem rectam, deſcenſionemũd'e dati punti Eclipticæ, beneficio numecorum ſupputare. 601 7. Ex data recta aſcenſione, deſcenſionede, arcum Eclipticæ reſpondentẽ per numeros inuenite. 9602 7. Aſcenſionem rectam, deſcenſionemqʒ cuiuslibet ſtellę per numeros ve nari. 603 7. Punctum Eclipticæ, cum quo ſtel la in Horizonte recto oritur, cælumque mediat; per numeros ſupputare. 607 X IN CAN ONE 5. 7. Stella quæuis ci eodem pundio E cli. pricæ mediat calum in ſſhara obliqua, ci quo in rectas, Go 1. Aſtenſionem ebliguam dati pundli Eclipticæ, aut ſtellæ, per inſtirumentum re. perireO. I bid. 1. Qui gradus Ecliptica cum data ſiil la oriatur in ſphera obliqua. 90 2. Deſcenſionem obliquam dati punti Eclipticæ, ſeu itella, per inſtrumentum inuenire g. 1 bid. 2. Qui gradus Eclipties cum data ſtel la occidat in ſphæra obliqua. bid. 3. Aſcenſioni, deſcenſionilie obliquà da ta coorientem arcum Eclipticæ per inſtrumentum reperireO. Ibid. 3. Differentia aſcenſionalis quo paclo reperiatur en Aſcrolabis. Ibid. 4. Aſcenſionem, deſcenſionem ite obliquam dati arcus Ecliptica non ab Ariete inchoati, ex Aſtrolabio inueſtigare. Ibid. 5. Aſcenſionem, deſtenſionemque obliquam dati puncti Eclipticæ, vel ſtellæ, ſine inſtrumento Atrolabij iuueſtigareu. dog 5. Quo pacto Horixon obliquus deſcribendus ſit pro aſcenſionibus obliquis. Ibid. 5. Qui gradus Eclipticæ cum data ſtel la oriatur in ſphara obliqua. Ibid. 5. Quo pacto Horixon obliquus deſcribendus ſit pro deſcenſionibus obliquis. Ibid. 5. Qui gradus Eclipticæ cum data ſtel la occidat in ſp Hera obliqua-. 610 C. Diſferentia aſcenſionalis, deſcenſio. nalislie quo pacto reperiatur ſine inſirumento Aſtrolabij. ITbidd. 7. Aſcenſio nem, deſcenſionemqus obliqud cuiuſuis arcus Eclipticę non ab Arien te inchoati, ſine in ſtrumento deprehendere. I bid. J. Aſcenſioni obliqua, vel deſcenſioni datæ, arcum Eclipticæ ſimul orientem vel occidentè: ſine inſtrumento aſſignare. I bid. 9. Alia ratio duplex inueniendi aſcenſiones, deſcenſionesque obliquas ſine inſtrumento. 611 10. Figuram conſtruere continentem omnium punctorum Ecliptica aſcenſiones rect as, 4 LI B NR II. Has, c obliguat. 613 1. Aſcenſionem rect am,& obliquam eli ſuis puncti Ecliptica,& ex alterutra l alieram, vnd cum puncto Ecliptica riondente, ex fgura conſtructa reperire· 617 12. Deſcenſionem cbliquam ex figura gonfrructa elicere. Ibid. 13. Quatornos ar cus Eclipticæ aquales, à unctis aquinoctialibus, vel tropicis agnaliter diſtantes, habere aſcenſiones reSas aquales. Ibid. 14. Arcus Eclipticæ æquales ab alternr functorum æquinoctialium æqualiter Aiſtantium, habere aſcenſiones obliquas aguales. 9618 Arcus Eclipticæ in ſemicirculo atendente tanto minores habere aſcenſiones ohligu as rectis ebrundem aſcenſionibus, Aunhto maiores rectis ſunt aſcenſiones obliJus arcuum aqualium of peſitorum, vel ci Aab eodem tropico puncto æqualiter difantium,& in ſeamicirculo deſcendenteexiſtentium.. bid. 16. Aſcenſione obliquas duorum arcum Ecliptica æqualiu m oppoſitorum. vel Agualicer ab eodem puncto tropico diſt antium, ſimul ſumptas æ quales eſſe rectis eorundem aſcenſionibus ſimul ſumptis. Ibid. INSCEHOTLIO CANONIS 5. A ſcenſiones, de ſcenſionesque obliquas ex Analemmate elicere. 619 1. Inuentio differentiæ aſcenſionaUs dati puncti Eclipticæ, vel ſtellæ, ex Analemmate. Ibid. 2. In qua cæli parte initium Arietis eriſtat, ex cognita aſcenſione obliqua gognoſcere. 620 Z. Sitũ puncti Eclipticæ tam in Meridiano ſupra Horizontem, quàm in Horixonte orientali, ex ſitu principij Arietis cognoſcere. Ibid. 3. Aſcenſioni obliquæ datæ arcum Eclipticę reſpõdentem, beneficio Analemmatis exhibere. 921 4 Aſcenſionem obliquam dati ꝑun ti Eclipticæ, aut ſtellæ, pet numerot inquirere. 623 4. Differentiæ aſcenſionalis inuentio per numeros. Ibid. 4. Inuentio differẽtiæ deſcenſionalis per numeros. 624 4. Aſcenſio obliqua quo pacto ex differentia aſcẽſionali eliciatur. Ibid. 4 Deſcenſio obliqua quo pacto ex differentia deſcenſionali eruatur. Ibid. 4. Ex data aſcenſione, aut deſcenſione obliqua, arcum Eclipticæ reſpon dentem, per numeros explorare. 625 3. Quodnam punctum Eclipticæ cũ data ſtella orĩatur, aut occidat, per numeros cognoſcere. 626 4. Declinatio ſtellæ quo pacto per eius altitudinem meridianam inueniatur. Ibid. 4. Cum quo puncto Ec lipticę ſtella data cælum mediet, etiamſi eius locus ignoretur iZ odiaco. cognoſcere. Ibid. 4. Iauentio latitudinis ſtellæ,& loci veri, ex eius declinatione,& mediati one cæli. Ibid. 4. Inuentio ueri loci ſtellæ in Zodia co, ex eius declinatione,& latitudine. 9629 IN CANONE s. 1. Tatitudo ortiua, vel occidua: Item Zenith ortus, vel occaſus Solis, aut ſtella, quid. 630 1. Latitudinem ortiuam occiduamie, beneſicio Aſtrolabij inueſtigare. Jbid. t. Latitudinem ortiuam occiduæ æqua lem eſſe. Tbid. 3. Ex latitudine ortiua, occiduale cognita punctum Eclipticæ reſpondens, per Afllrolabium reperire. 631 . Latitudinem ortiuam ſine inſtrumen ro inquirere. Ibid. 5. Ex cognita latitudine ortiua, occiduale punctum Ecliptica congruens, ſine znſtrumenio exquirereg. 932 0 IN — —— IAN D EIN TN SCE OTTO CANONIS 6. 1. Latitudinem ortiuam cuiuslibet puncti Eclipticæ, vel ſtellæ, ex Analem mate deprehendere. 922 2. Data latitudine ortiua, congruẽs punctum Eclipticæ, per Analemma indagare. 633 3. Alia in uentio latitudinum ortiuarum ex Analemmate. 634 4. Latitudinem ortiuam per numeros inueſtigare. 635 4. Data latitudine ortiua, punctum Eclipticæ reſpondens inuenirè per numeros. Ibid. —— IN CANONE 7. 1. Arcum ſamidiurnum, vel ſaminoSurnum cuiuslibet gradus Ecliptica, ſeu ſtella per inſtrumentum indagare. 3 2. Ex dato arcu ſomidiurno, vel ſeminoch urno punctum Eclipticę reſp̃ondens inueſtigarè in Aſtrolabio. b Tbid. g · Arcum ſemidiurnum, vel ſeminocturnum dati puncti, aut ſtella ſine inſtrumento inuenire. 63 3. Eæ dato arc ſemidiurno, ſemino᷑urnolle, punctum Ecliprica reſpondens, ſine inſtrumento perſcrutari. 48 IN SCE OTLIOCANONIS z. 1. Arcum ſemidiurnum, aut ſemino cturnum dati puncti Eelipticę, vel ſtelle, ex Analemmate perdiſcere. 639 2. Ex arcu ſe midiurno, vel ſeminocturno dato punctum Eclipticæ, cui cõ gruit, per Analemma venari. Ibid. 3. Arcum ſemidiurnum,& ſeminocurnum dati puncti Eclipticæ, vel ſtelle. per numeros inquirere. 641 3 · Dato arcu ſemidiurno, aut ſeminocturno, punctum Eclipticæ reſpondens, per numeros inueſtigare. 642 IN CANONE qs. 1. Horam& mer. vel med. noc. interdin Per Aſtrolabium venari. 0 2. Horam à mer. vel med. noct. per Aftrolabium noctis inquirere. ITbid. 3. Horam ab or. vel occ. per Arola. bium cognoſcere. Tbid. F. Horam inæqualem per Aſtrolabium inquirere. GA. 5. Vando altitudo Solis, vel ſtella non habet parallelum Horixbtis reſpondentem 4 Pacto inter proximè minorem,& proximè maiorem parallelum loca dus ſis Sol, vel ſtella, vt propriam habeat altitudinem. Tbid. . Horam ſine materiali inſtrumento inneſtigare. 645 IN SCH OCILOCANONIS g. 1. Horam à mer. vel med. noct. interdiu ex Analemmate perſcrutari. 6 r. Horam ab or. vel occ. interdiu ex Analem mate cognoſcere. 648 r. Horam inæqualem interdiu per Analemma venari. Ibid. 2. Horam quamcunque noctu per Analemma explorare. Ibid. 2. Diſtantiam ſtellæ à Meridiano ſu pero ortum verſus ſumendam eſfe ad horam inueſtigandam. Ibid. 2. Diſtantia Solis à ſtella ab oc. in or. quo pacto inueſtigetur ex diſtantia ſtellæ à Meridiano ſupero ortum verſus numerata. 649 2. Diſtantiam Solis à Meridiano ſu pero ortum verſus, ex diſtantia ſtellæ ab eodem Meridiano,& ex diſtãtia Solis à ſtella eodem ordine inuenta, colligere. a Ibid. 2. Diſtantia Solis à ſtella verſus oc ca ſum quo pacto inquiratur. 650 2. Horam, qua ſtella ad Meridianũ peruenit, cognoſcere. Ibid3. Reductio hor. à mer. vel med. noc. ad hor. ab ortu Solis. 654 „ 3. Re dia 2 per Bid. ola. Eid. ium 22 non em pro. 90/, diBid. n 55 ri. ex 748 per did. Per id. c. 31 LIEB I III. 3. Reductio hor. à merid. vel med. Hoc. ad hor. ab occaſu Solis. Ibid. 3. Reductio hor. ab ortu ad hor. à mer. vel med. noc. Ibid. 3. Reductio hor. ab occ. ad hor. à Mer. vel med. noc. 652 3. Reductio hor. ab or. ad hor. ab occ. Ibid. . Reductio hor. ab occ. ad hor. ab or. 653 4 Horæ inæqualis magnitudinem tam per inſtrumẽtum, quàm ſine inſtru mento cognoſcere. Ibid. 4 Reductio horæ inæqualis ad æqualem. Ibid. . Reductio horæ æqualis ad inæqualem. Ibid. Horam ęqualem per numeros inBeſtigare. Ibid. ———— IN CAN ONE 9. 1. Horam ortus occa ſusque Solis, vel elle cuiuſuis per Afrolabium inueſtiga7 655 2. Horam, qua ſtella cclum mediat, ex Aſtrolabio cognoſcere. Ibid. „2 dies, ac noctes inter ſe ſint equa les, ex Aſtrolabio A ſcere. f Ibid. Nui dies habeant arcus diurnos, noHurnoſque alternatim aquales, in AftroJabio conſiderare. Ibid. . Hbram ortus, oecaſiisq; Solis, vel ſtel g, Ec. ſine inſtrumento indagare. Tbid. — IN SsCHOLIOCANONIS g. 1. Horam ortus, occaſusque Solis, vel ſtellæ, per Analemma inueſtigare. 657 2. Horam ortus, occaſusque Solis, vel ſtellæ, per numeros inquirere. Ibid. — — IN CANONE ꝛ0. ˖. Crepuſculum mat utinum, ac veſper tinum, quamdiu duret, c qua hora incipiat,& finiatur, ex inſtrumento cognoſcere. 657 2. Alia crepuſculi inuentio certior. Tbid. 2. Quo pacto ex vno erepuſculo eruatur initium,& finis alterius crepuſculi eiuſ dem diei. 658 2. Quantum A principio, aut ſine crepuſculi diſtemus, cognoſcere. Ibid. 3. Crepuſculum vtrum que ne Atrolabio materiali inueſtigare. Tbid. e. Crepuſcula inuenire aliter ſine A. ſtrolabio materiali. 49 4. Quid obſrruandum in crepuſculi cuiuſuis initio, ac ſine determinando. 660 INSGHOLITIO CANONIS I. 1. Crepuſcula ex Analemmate inquirere. 661 2. Sinum verſum arcus ſemidiurni, ideoque& ipſum arcum ſemidiurnum per numeros explorare. 662 2 Crepuſcula per numeros indagare. Ibid. IN CANONE 1. t. Per Aſtrolabium materiale pundta Eeliprica inueſtigare, qua in quolibet circulo Eclipticam ſecante exiſtunt, 603 2. Qua hora quiuis gradus, aut ſignum Eclipticæ ori atur, cognoſcere. Ibid. 3. Sine Aſtrolabio materiali puncta Eclipticæ inueſtigare, quę in quouis circulo Eclipticam ſecante exiſtunt. bid. 3. Qua hora quodlibet pundtum Eclipticæ oriatur, vbicunque Sol exiſtats, ſine inqtrumento perquirere. 06. 6. Qua in domo caleſti ſtella data, vel punctum Eclipticæ, Bora obſeruutionis exi fat, cognoſcere n. C0 IN SCHOLIO cANONIS 1. 1. Puncta Eclipticæ in Meridiano? 4 Ho ö 1 IL NS WIX Hotlxonte,& quouis circulo horario 2 mer. vel med. noc. exiſtentia, per aſcẽ ſiones rectas,& obliquas inueſtigare. 666 2. Accuratior inuentio puncti Eeli pticæ in dato circulo horario exiſtentis, quolibet ſigno oriente, quando arcus ſemidiurnus non habetur in grad. & min. vel in hor. min& ſec. 668 3. Horæ, qua quoduis Eclipticæ punctum oriatur, vbicunque Sol exiſtat, inuentio per aſcenſiones obliquas. Ibid. IN CANONE 12. 1. Meridianam lineam, c puncqta veri ortus, atque occaſius per Aftrolabium mai reriale inuegtig are. 669 2. Meridianam lineam ſine Aſerolabio material i certius inuenire. Ibid. 3. Meridianam lineam ſine inſtrumen 70 Aftrolabij, ex declinatione Solis, c altitudine poli cognitis, per vnicam obſeruationem inueſtigare. 670 4. Meridianam lineam ſine A firolabio materiali, ex ſola declinatione Solis cognita: per duas obſeruationes indagare. 671 5. Meridianam lineam ſine Aſtrolabio materiali, per tres obſeruatienes, etiãſi declinatio Solis,& altitudo poli ignorenzur, inquirere. Ibid. INSCEHOTLIO CANONIS 12. 1. Meridianæ lineæ inuẽtio ex Ana lemmate per declinationem Solis& altitudinem poli cognitas. 672 2. Meridianæ lineæ inuentio in plano horizontali per tres obſeruationes, etiamſi declinatio Solis,& altitudo po li, cognitæ non ſint. Ibid. 5. Inſtrumenti conſtructio,& vſus, quo ſimul vmbra,& altitudo Solis dePre henditur. 674 IN CANONE z. 1. Altitudinem poli ſupra Horixontem reper ire per nam ob ſæruationem, quando declinatio Solis,& ſitus linea meridians dantur. 676 2. Altitudinem poli, c lineam mri. dianam per duas obſeruationes, ex ſola declinatione Solis cognita inucſtigare. 677 3. Allitudinem poli, lineam meridianam, e declinationem Solis, per tres obſer uationes exquirere. Tbid. 4. Logitudines locorum per eclipſes Tunares, quo padio eæplorentur. 678 IN SCH OLIO CANONIS 13. 1. Altitudinis poli inuẽtio ex Analemmate per duas obſeruationes, etiãſi declinatio Solis ignoretur, dummodo ſitus lineæ meridianæ detur. 679 2. Altitudinem poli, Iineamque me ridianam per tres obſeruationes cognoſcere, licet declinatio Solis ſit igno ta. Ibid. 3. An ver tex loci ſit inter polum ar cticum,& Solem, vel ſtellam in Meridia no poſitam, an vero Sol vel ſtella in Meridiano poſita ſit inter polum arcticum,& verticem loci, quo pacto cogno ſcatur. 64⁰ 4. Altitudo poli quo pacto ex decli natione Solis vel ſtellæ, altitudineque meridiana venanda ſit. Ibid. 5. Vbi ſit pars ſeptentrionalis,& au ſtralis, quo pacto deprehendatur. 681 6. Aliter ac facilius, ſi conſtet, polum arcticum eleuari ſupra Horizontem. Ibid. — IN CANONE. 14. 7. In quanam Zona datus locus collocetur, cognoſcere. 682 2. In quonam climate datus locus collocatus ſit, percipere. Ibid. IN auir 2 nis. 3 180 5 tud ue 7 4 tur 7¹¹⁰ ren vun ter pe natiãſi odo 679 me 210 bid. n ar idia in ctigno 6 4 eeli que bid. au 681 poondid. Ho. 582 50¹. hid. L IB IN CANONE 15. . Duorum locor in terra ſub Aequa tons poſitorum diſtantiam itinerariam exMirere. 683 Duorum locorum eiuſdem longitunis diſtantiam metiri. Ibid. Duorumm locorum longitudinb grad. 180. Habentium diſtantiam reperire. Ibid. . Duorum locorum diuer ſarum longitualinum, latitudinumque diſtantiam inueſtigare. bid. 7. Diſtantia inter locum borealem,& Anſtralem, quo paclo commodius reperiatur. 64 7, Diſtantia inter duo loca auſtralia, ue pace ex oppoſitis locis borealibus inqui rends ſit. 68 g. Diffatiam duarum ſtellarum quarumlibet inueſtigareh. bid. IN SCEOLIOCANONIS IB. . Diſtantiam duorum locorum in terra ex Analemmate perſcrutari. 687 2 Alia ratione diſtantiam locorum ex Analemmate inquirere. 689 3. Alia ratio inueniendæ diſtantiæ duorum loc orum. 691 Alia ratio inueſtigãdæ diſtãtię inter duo loca boreal. vel auſtralia. ibid. 6. Locorum diſtãtiam per numeros exquirere. 692 6. Alia inuentio diſtantiæ locorum per numeros. 694 6. Errores quorundam in diſtantia locorum inueſtiganda. 995 6. Modus Verneri in diſtantia locorum exquirenda. 696 g. Modus Petri Nonij facilior modo Verneri. Ibid. 6. Reductio circumferentiæ paralleli ad gradus circuli maximi. 697 6. Reductio chordæ arcus paralleli ad ꝑtes diametri oi culi maximi. Ibid. 6. Declinatio ſtellæ quo pacto aliter inueniatur per numeros; quàm in Fholio Can. 3 dict um eſt. Ibid. R I III. IN CANON E 16. 1. Diſtantia Solis Horixontalis in quouis circulo maximo quid. 694 1. Aleitudo Solis ad datam horam ſua pra quemuis circulum maximum, quo paAo inueniatur ſine Aſtrolabio mateſtali. 69 7. Diſtantia horixontalis ad datam hHoram ſupra quemuis maximum circulum, quo pacto cognoſcatur ſine Aſc rol abio materiali. bid. —* N IN SCH OTLIO CANONIS 10. 1. Cireumferentia de ſcenſiua,& ho rizontalis, quæ. 702 3. Altitudinem Solis ſupra quem uis circulum maximum obliquum per numeros qualibet hora efficere notam. 703 3. Diſtantiam horizontalẽ ſupra quꝰ· uis circulum maximum obliquum fer numeros ſcrutari. Ibid. 3. Inuẽtio alia altitudinis Solis per numeros. 705 3. Horam ex altitudine Solis per numeros obſeruare. 70 3. Altitudinem ſtellæ ex eius diſtan tia à Meridiano: Et viciſs im diſtantiam eius à Meridiano, ex eius altitudine perſcrutari per numeros. Ibid. ————Ü—œũ INCANONE 17. 1. Arcum eirculi cuiuſuis maximi inter proprium Meridianum,& Meridian regionis data inueſtigare. 20% 2. Iuclinationèꝰ Meridiani circuli cuiuſuis maximi obliqui ad Meridianum Horizontis inuenii. Ibid. IN SCHOTLIOCANONIS 1. 1. Quo pacto circuli maximi, quibus horologia æquidiſtant, deſcribantur in Aſtrolabio. 709 f IN 5 1 IN DE X IN CANONE 18. 7. Inclinatio dati circuli maximi ſita habentis notum in ſpᷣhæra ad Meridiann, qua ratione cognoſcatur. 708 2. Inclinatio circuli obliqui maximi; cuius ſitus in Sphæra cognitùs ſie, ad AeZuatorem, quo pacto reperiatur. 79 ———— IN CANONE 19. t. Arcum Meridiani inter datum circi lum maximum obliquum, cuius ſitus iu. hhara cognitus ſit, c tam Horixontem, quam polum mundi,& polum Horixontis, inquirereg. 709 IN CANONE zo. 1. Altitudinem poli ſiapra datum circulum maximum, cuius poſitio in ſphara ſit cognita, inquirere. 710 IN SCHOLIO CANONIS 20. 1. Arcum circuli maximĩ obliqui ſitum in ſphæ ra habentis notum, inter maximum circulum, qui per eius polos,& polos Horizõtis ducitur,& tam Meridianum proprium, quàm Meridia num Horizontis poſitum inuenire. 210 2. Arcus maximi circuli per polos Horizontis,& polos dati circuli maximi obliqui tranſeuntis, inter Horizon tẽ,& circulum horę 6. à mer. vel med. noc. poſitus, qua ratione cognoſcatur. Ibid. 3. Quot hore,& quę exiſtant ſopra vtramque faciem circuli maximi obliliqui,& qua hora illuminari incipiat. Denique quos arcus parallelorum cir. III culus ille maximus abſeindat. Ibl 4. Angulos, quos Ecliptica cum i ridiano, Horizonte,& Verticali pn Solem qualibet hora ducto conſtitui: inuenire. 7 IN CANONE 21. 1. Arcus Horarius in quouis circulo ni ximo quid. 71¹ 1. Arcuum horariorum in quouis cim lo maximo inuentio. Idi INSCHOILIO cANONIS 1 1. Horarum deſeriptio in quoul plano, beneficio arcuum horariorun 713 4. Arcus horarios pro horis à me& med. noc. ſupputare. 7¹0 r IN CANON E 22. Omnia 22. Problemata triangulois ſphaæricorum, de quibus in Lemmate 53 ib. I. abſque numerorum auxilib, in plan mira facilitate conſtruuntur, atque expl. cantur. 71 — IN SCHOTLIO CANONIS 2. OCT O theorematibus variæ determinationes magnitudinis angulorum in triangulis ſphęricis demonſtrantur. 740 DEIN E pręcipui canones ſupra expoſiti, rurſus facilius explican· tur per quædã quęſita, beneficio triangulorum ſphęricorum in plano deſctiptorum. 75⁰ 1. N e Ibit um df ali pt ſtituit culo n 71 is cim Idi S 41 quous iorum. à mes 714 ulorun ate 53. n plan expli. 71 — 8 44. æ de · gulomon · 740 es ſulicantrianeſcri70 oO RNEM. V T Hhomines ſumus, vitari errata omnia non potuere. pleraq; in indicantibus ſi gummmoliteris contigerunt. Ea ad finem volumils poſita ſunt; qua vt ante conſulas, emen. Aen. quam ad libri lectionem accedas, amice . magnopere ad rem pſam pertinere arNor. 8 3 e c r KS FROEABII LIBER PRIMVS. r GHRISTOPHORO N B S E SOOGCIET ATE IES v. ccd oN INE T primus hic libe problemata vaSpharica,& pai tim Conica, quæ on Lemmata appellare libuit, propterea quod ſi firmata demouſtrationibiis a ac hreuius ea, qua de multiplic 5— Ctione in plauum,& de corun titione libroſecundo prac epturi ſumus, poſſint demonſi rari. N ſinm en in vno libro demonſtrarentur, cogeremur proprias Aſtrola rationes longiores, quam par eſt, ac proinde ohſcuriores, ef altera cauſa, cur omnia hc theoremata, problemabs J. vnun ab officio menda, vt faci ircnlorum proieparcongeſta: quia videlicet non rarò vnum atq. idem Lemma ad fione sdemonſtrandas adhibendom eſt. Ne igitur eius deino Aus in locis fßtuſtra inculcaretur, ſed doctrinæ ſuus ſeruaretur hel ſe fuit illud ſeparatim Geometrica demonftratione conſirina a multis Lemmatibus communis eſt. His adde, quod cum Huiuſino anon ſolum in Aflrolabio vſum neceſſurium habeant, verumetiam eorum Nerag. ad alias res Mathematicas non paucas magnum emolumentum aff Mant, ratio ia poſtulare videbatur, vt proprio libro explicarentur, vt facilius„ expeditius, quando ijs Geometra in ſuis demondtrationibus indigebit, point reperiri. A LEMMA 2„ LEMMA PRIMVM. DAT AM lineam rectam, vel circu larem, in quotui partes æquales, etiam minutiſſimas, diuidere benefici circini, euius pedes diſtantiam inter ſe habeant data li nea maiorem. 81 T linea recta, vel circularis AB, diuidenda in q uotuis partes æquales. l 2 linea produ cta accipiu tur date ling AB„ tot J ner qual bene fic io ci. cini, in linea AB, d. uidenda eſt quales ſun BC, CD, Dl EF, FG. H tota linea AG, in tot æquales partes diſtribuatur beneficio etiam circini (Vel ſi linea quidem AG. recta eſt, ex ſcholio propoſ. 40. lib. 1 Euel. vel ex ſcho lio propoſ. 10. lib. 6 ciuſdemisi vero circularis, beneficio quadratricis, per ea; quæ ad finem lib. 6. Eucl. ſcripſimus.) in quot lineam AB, partiri jubemur, en iuſmodi ſunt GH, HI, IK, KL, LA: continebit autem quælibet harum partius datam lineam AB, ſemel,& inſuper vnam earum partium, in quas AB, diuiden da proponitur. Quoniam enim eſt, vt AG, ad AL, ita AE, ad AB, quod vtrobiq ſit, ex conſtructione, eadem proportio multiplex. Toties enim AL, in AG, con tinetur, quoties AB, in AF: Erit permutando, vt AG, ad AF, ita AL, ad AB. Co. tinet autem AG, ipſam AE, ſemel,& inſuper FG, vnam partem ex ijs, in qui AE, ſecta eſt, quæ quidem ſunt AB, BC, CD, DE, EE, tot, in quot linea AB, diu denda proponitur. Igitur& AL, ipſam AB, ſemel continebit,& inſuper vnan earum partium, iu quas AB, diuidenda eſt. Eſt ergo BL, earum partium vna. Quocirea ſicut interuallum GH, quod maius eſt data linea AB, dat nobis vnan partem FH, ita idem tranſlatum ex du obus punctis PE, H, dabit duas partes EI, & ex tribus punctis prope E, tranſlatum exhibebit tres partes DK,& tranſlati ex quatuor punctis prope D, dabit quatuor partes CL,& ita deinceps vna ſemper parte amplius, ita vt tandem ſpatium GH, in ipſam AB, tranſlatum exbibeat tot partes, in qu ot ſecanda eſt AB, hoe eſt, quot ſunt partes AB, BC, CO. DE, EE, atque adeo tunc Ag, diuiſa ſit in partes propoſitas æquales. AT QE hic modus diuidendi vtiliſsimus eſt, quando linea A B, in patticulas adeo minutas ſecanda eſt, vt egre beneficio circini continuari poſsin ſine exrore. IAM, fi linea AG, ſecanda ſit, v. g. in 30. partes æquales, diuidenda pri erit in quotuis partes æ qua les, pauciores quam zo. ita tamen, vt earum nume! rus ſit pars aliquota numeri 30 partium, vt in exemplo diuiſa eſt in ſex partes quarum ſingulæ quinas partes continent, Diuiſa deindè prima parte AB, in quit que quot u pa da ip Ins c Unctc 10 ir 20 ticula & ha! ſupra diuidægre le, v. poſit: uiden A de ſir ropt 4855 parte rus ptotan uot Habe mend conti ſingu te s, Poſt. culat paul. data abije num nea, cont ſuat — decii parti tem enim u 1 s parti tes ſ bebi parti larur LI W N I. 3 aus partes, vt dictum eſt, interuallo AL, vel GH, quo linea AG, ex ſex partiBus ipſi AB, æqualibus conſtans in quinque æquales partes diuiſa eſt; Si pes ſtatuatur,(interuallo AL, non mutato- deinde in prox imo jeinceps, ſecta erit altero pede tota linea g circini in A, quenti at. ita d Pankcro, deinde in ſe in zo. partes equales. 50588 T quoque recta AG, ſecari prius in 5. partes, vt ſingule ſenas parteulas ex zo. continerent: Sed tunc ſingulæ rurſus diuidendæ eſſent bifariam, rum ſemiſsium prima in tres æquales partes digtribuenda eo modo, quo ſupra eſt traditum; ac tandem tota AG, beneficio harum tertiarum parti um diuidenda intr ta partes. Quod ſi quintæ partes adeo exiguæ ſint, vt gte circino poſsint bifariam diuidi, ſecandæ eſſent in ſenas partes ſingut initio docuimus; vel certe linea ex tribus quintis illis partibus compolita, ſecanda bitariam. Ita enim eodem hoc interuallo omnes bifariam diUgeptur, ac tandem quælibet ſemiſsis in tres partes, vt prius. CID nonnunquam, vt in linea datæ magnitudinis„ accipiend ſint ordine plurimę darticulæ, ſub determinato tamen numero, quæ ægre Propter carum paruitatem circino ſine ertore ſumi poſſunt. Hoc ergo tun Aike ium adhibebimus. Si numerus particularum diuidi poteſt in plures Partes, accipiemus circino in data linea tot partes æquales in quot numeus particularun diuidi poteſt, ita tamen, vt ee partes ſimul fere exhauriant en datam lineam. Nam ſi prima harum partium ſecetur in tot particulas, quot ex pro poſito numero in ea continentur, idemq. fiat in reliquis partibus, Habebimus datum particularum numerum: Vt ſi linea proponatur, in qua ſuwende ſint ordine 84. particulæ, ſecabimus eam primum in duas, vt quelibet dont cat 42. Rurſus ſingulas in duas, vt habeantut quatuor partes, quarum zulas in tres partiemur ParUingule contincant 21. particulas H arum item ſing rum quælibet 7. pa rticulas contineat. te st habeamus duodecim partes, qua lüſtribuemus. Si vero numerus partiPoſtremo fi: du As harum it 7. particulasc cularum propoſitus d li nequeat 1 plus es partes, accipiendus erit numerus paul maior minor e, qui in pures poſs it pal tes diuidi, atque tot particulè in Si namq. ſuperflue particulę ſine, vt proxi me diximus bimus propoſit um particularũ data linca ſumen le O1 Abijelsntur, ve leæ, quę deſi nt, ad numerum. Vt ſi ordine abſcindendę ſint 74 part iculæ ex aliqua data recta li nea, Prop. nobis So. particulas. Nam fi datam linea m ſecemus bifariam continebit vtrag. ſemitsis 4 o. particulas. Vtraq. rurſus ſecta bifariam dabit guath or partes 20. p articularum. Singulę vero harum bifariam diui ſæ afferẽt Ses partes 10. particula: ur, quarũ ſingulę quoqʒ bifari am ſectæ dabunt ſexparticule exiſtent. Si ergo ſingulæ in quinas einn partes,& in ſingulis quinqz as diſtribuantur, ut docuimus, habebimus 80. particulas: reiectis aujantur, h partic dend ex re t 7g. propoſitæ* el proponemus nobis 72. particulas. Si Shim or diamus z4, partes equales, ita vt fere datam lineam exhauriant ue 24 part beb ata linea, vel eius ſegmentum paulo minus ba! nes vtrag. pars rurfum bifariam,& harum parti. bifariam,; ac tandem ſingu harum partium internas par es ſece& partes in tres particulas diuidantur, vt traditum eſt, habebi ü 72. particulas quibus Hadijclantur duæ ticulæ, exurget numerus 74. Particularum propohtus s quomodo in quolibet alio particuA 2 LEMMA 1215 DF QVADRANTE M, vel circulum datum in gra. das diſtribuere beneficio circini, cuius pedum interual lum plures gradus, quam duos, tresue complectatur. I. I 1 K 81 T quadrans AB, cuius centrum O. Interuallo ſemidiametri AC; quadrans ertptuseſt bſcinda tur duo arcus AD, BE, quorum vter coroll. propoſ. 15. lib. 4. Et ta pars erit eirculi, continens gra. din. vterque reliquo* Us GO. ac let, totiden nqʒ ideirco g 5480 J lius arcus DE, exiſtet, adeo) ans iam in tres partes æ diuif en nee AC, in mnino, ideoqu Vet ubtenderit. D FP b A sarcubus AE, ED, D 5 engel ocireini, vel quadratricis „. e æquales,(e f 1 . xi antecedentis lemmatis, ſi quim 4 hœ partes fuerint nimis exiguæ.) 5 libet 6 jus contineat, totul quadrans in 15. partes diuiſ emma edens in ſenas partes 1 in ternas. Vtroque enim modo quadransi præc: vel cert zer c dandus ſit. partiemur eum prius in qi t inte in centro ad angulos rectos intetſecantes: Deind ademque opera in 90. gradus diſt emus, vt di eodem interuallo cireini partes ea 4 4 ITAQVE cum tota diff diuidendi circulum, quadrantemue gradus, e ſtat ins na fe peratione, qua arcus æquales in ſingulos gts 0 liſtribuen quòd propter graduum paruitatem vix circinus reperit t werit ope 0 u diuiſione ad tam exiguos a perues»gre cini in minutiores particulas ſecentus be is doctri bræce tis lemmatis, qua nimirum particulas etiat utitsimas malore interualle lum circini reperimus. M A arcum quo ac minute III. 719 1 tlibet gra adus omplectẽ * nti: 1 10 gradus, s inte tem abꝰ ſcinde ibita iq ZUu& 1 8 diu S ine Intectte 18 ces c 1 ce tis in ſtrun quet« Sed q drant tiant velir 7 — ui N 3 Aus) f 2 1 Sn f 8 1— 0 1 5— 1 6 eee ene. tri quantitatem arcus ex G, deſcriptus eſt, interuallum 35. graduum transfers. tur in reſpondente m arcum ex K, in L, vel ex M; in N, vel ex O, in Pz atque et G. per L., vel N. vel P, recta educatur, ſecabitur, data circumferentia in Larcuſh HI, gradus 35. continebit, cum ſimilis ſit tam arcui KL, quam MAN, vel Op, et cholio propoſ. 22. lib 3. Eucl. N eee 0 5%% 424 S circumferentia propoſita, verbi gratia K L, habeat ſemidiametrum qua lem prorſus ſemidiametro alicuius quadrantis in inſtrumento, qualis hic eſt quadrans maior AB, tunc ſi arcus graduum propoſitorum transferatur in datam circumferentiam KL, habebitur propoſitum, vt perſpicuum eſt. QV OD ſi quando abſeindendus ſit areus continens quotuis gradus,& inſu per aliquot minuta, accipienda erunt illa minuta per æſtimationem, nimirum ſemiſsis gradus vnius pro 30. minutis, tertia autein pars pro 20& due tertiæ partes pro 40.& tres quartæ partes pro 45.& paulo plus quàm quarta pars, pro 16. vel 15. minutis,& ſic de cæteris. Sed certius,& quidem Geometrice, docebimus minuta quotlibet ex quolibet gradu abſcindere, paulo inferius in hoc eodẽ lemmate, etiamſi gradus in minuta diuiſus non ſit. RVRSVS ſit ad punctum G, cum recta GH, conſtituendus angulus comple ctens gradus 52. min. 2 l. Deſcripto arcu x L, ex G, ad interuallum femidiametri quadrantis A B,(vel alterius cuiuſpiam minoris, ſi ſpatium fuerit anguſtum) transferatur interuallum huius quadrantis continens gradus 57.& paulo amplius quam tertiam partem vnius gradus, ex K, vſque ad S. Ducta namque recta O8, conſtituet angulum quæſitum K G8. VICISSIM deſideret quis ſcire, quot gradus, ac minuta arcus HI, ex G, deſcriptus contineat. Hoc aſſequetur, ſi ex C, delineet arcum, cuius ſemidiameter ſemidia metro alicuius quadrantis in noſtro inſtrumento æqualis ſit. Si enim recta ex G, per I, educatur, abſcindet ea ex arcu deſcripto arcum ſimilem arcui HI, ex ſcholio propoſ. 22. lib. 3 Eucl. Si igitur arcus ille abſciſſus transferatut in quadrantem reſpondentem, illico apparebit, quot gradus contineat, ac minu ta, ſumendo zo. minuta pro ſemiſſe gradusʒ 40 pro duabus tertijs partibus,& ſic de cæteris, prout maior pars vnius gradus offeretur. Ita inuenimus in arcu H contineri gradus 3 5. quòd totidem gradus contineat arcus XL, in quadrante AB, vel arcus MN, in quadtante EF, vel arcus Ob, in quadrante CD. At in arcu HT, A e ans feta. atque er Harcuſc OP. er nequa 8 1 hic eſt datam & inſu mi rum tertiæ rs, pro 14 ocebic eodẽ omple metri iſtum) O Amrecta ex G, ia meminu & 1 Ene. 7 H, reperimus ferme gradus 57.& minuta 21. quia totidem gradus ac minuta rens Ks, in quadrante AB, vel arcus MV, in quadrante EF, vel arcus Ox, in gusdrante CD„ includit. 0 5 2 0 8 x his manifeſtum eſt, ſatis eſſe ad problema hoc effic iendum, ſi a 11 ta guadrans adſit cuiuſuis magnitudinis exquiſite in gradus diuiſuc: 1 10 17 Aigvando planum propoſitum tantum non eſt, vt in eo arcus deſcribi poſsit a iter uallum ſemidiametri quadrantis. Quod cum accidet, deſeribenda erit da4% eircumferentia, vna cum illo arcu, in alia charta ſeorſum,&c. Quae ommodius crit inſtrumentum, ſi plures in eo quadrantes inæquales contineantur. PRAE FER O autem vſum vnius quadrantis, vel plurium illi inſtrume to, qu tio noſtræ Gnomonices conſtruximus, quia magis æquales ſunt men: N 1—— 2—* 1180 0 p gradus ibet quadrante ſeorſum diuiſo, quam gradus, quos rectæ ex centro Iæx exhibent in alio quadrante ex codem centro deferipto, quòd perchicticile ſit illas rectas proportionalibus inter ſe ſpatiis ſemper diſtantes educere. IAM verò, ſi huiuſmodi inſtrumentum præ manibus non habeatur, commo de quoque ita agemus. Qua lrans eius circuli, in cuius circumferentia gradus propoſiti abſcindendi ſunt, diuidatur in tres partes,& quælibet tertia pars iteradus contineant. Poſtremò dun in tres, vt habeantur 9. quarum ſingulæ 10. f Meida pars ſola in 10. jus diſtribuatur. Nam beneficio huius partis diuiſæ, & Allarum partium non diuiſarum, arcum quotcumque graduum accipiemus, hoe odo. Si graduum numerus non excedat to. facilè in»ltima parte 10. graduum gradu propoſitus ſumetur,. Si vero numerus graduum maĩor ſit, quam 10, verbi gratia 57. ſtatuemus vnum pedem circini in gradu ſeptimo partis diul in ro. gradus, numerando hos 3. gradus non ab extremo exteriore, ſed inte riore, alterum verò circini pedem extendemus vſque ad talem partem quadrantis, vt at nter pedes circini complectatur gradus 57. Vel certe duabus operat ionil m exequet umen lo primum inter partes quadrantis non diuiAs, gragus datos à ro. numeratos,& deinde reliquos gradus in exrrema parte in 10. gradus d ſa propoſito exemplo, primum ſumemus 5. partes non diuiſas quæ continent gradus go. deinde accipiemus 7. gradus in parte diuiſa, atque ita habebimus 57. gradus. Eademque ratio eſt de cæte is. Itaque ſatis foret, in inſtrumento ſinguli quadrantes in 9. partes ſecarentur,& vltima deinde ſo Ia pars in ro. gradus diſtribueretur. AVIA vero, quando propoſitus arcus præter grac quot minuta, perfici atque abſolui hoc le mat 1 i in dendu g eomprel us continet etiam alia nequit, niſi plus minus per eſtima doceamus, qua ratione Geometricè ab* radus, quotcumquèe etiam minuta propoſiantur: Et viciſsim, quo pacto cognoſcendum, quot minuta in m COt iecturam, vt d reus, in quo præter quauis la vn gradus contineantur. Quamuis enim hoc ipſum ad finem libelli de fabrica& vſu inſtrumenti horologiorum docuimus, quia ta1 11 m zllum nan ſemper dr 8 1 1 11 5 . ibellum illum non ſemper in promptu habemus, libuit idem hoc loco uiter repetere, ptæſertim cum maximus eius rei vſus in Aſtrolabio repeNatur. ARCVS Ii tes æquales. Sex poſitum. Vt ſi er CD, minuta 53. diuidemus arcum 53. graduum; vel potius ei æqualem FG, in ciritur tot graduum, quot minuta de ſiderantur, ſecetur in Go. parmqʒ particula continebit minutorum numerum prof 5 tur in aliquo gradu quadrantis AB, cuius ſemidiame K 1 ere 8 III. in circumferentia EE, quæ ſemidiametrum ęqualem habeat ſemidiametro C), Po artes æqua les 8 0 diuidendo cum primum in quia. ade vnamqua rum in tres partes; vel prius in tre que in e& harum igel erde ac deinde ſinguvt contuſio e zue partes 3 deinde vnamqua ne 4 3 1 1 1 N 9 1 erer 7 las harum rurſus bifariam. Sed ſatis eſt, ſi vna tantum particula ſemper ſubdiu. datur. Nam in poſtrema ſubdiuiſione habebiti ir ſexageſima particula. Ita fa ctum hic vid uinta enim pars arcus EG, eſt FH,& huius tertia pars eſt H. Hec autem bi bi t EK, ſexageſimam particulam totius arcus FG.) Sexageſima enim paxticula EK, con prehendet 53. minuta. Itaqu ſi quis velit arci f dus erit arcus EK, arcui grad. 4% Ita enim conficiet arcum BL, complectentem grad. 45. min. 53. Quod auten arcus F K, contineat 53 minuta zita demon ſtro. Que oniam eſt, vt arcus 60. f 4 duum ad arcum 1. gradus, ita FG, arcus 33. graduum ad arcum EK, cum vtrobique ſit proportio eadem, quæ 60 ad 1. ex conſtructioneʒ erit permutando ˖ arcus 60. ae ad arcum 53. graduum, ita arcus 1. gradus ad arcum FK, conuertendo, vt arcus 53. graduum ad arcum 60. graduum, ita arcus FK, ade cum 1 gra dus. Cum ergo arcus 5g. graduum contineat 53 ſexageſimas parte arcus GO. graduum, continebit q ſuoque arcus FK, 53. ſexageſimas partes arci 1. gradus, hoc eſt, 3. minuta nius gradus. kademque ratio eſt d de cœteris. QVO D ſi quis velit habere minuta ac ſecunda vnius gradus, ſatis erit pro ſecundis pluribus quam 30. adijciatur minutis vnum minutum,& arcus quiratur, qui omnia illa minuta contineat. Vt ſi quis optet 53. minuta,& 45 ſecunda, inueſtigandus erit arcus min m grad 4. min 53. adij 1 ttorum 54. Si vero ſecunda paucio, ra ſint quam zo. negligendaſſunt: ſi quis tamen ſecunda omnino rec quirat, legs libellum noſtrum de! abel„& vſu inſtrumenti horologiorum capite vltimo H AE C res, vt facilis eſt ita incommodus eius vſus elt in paruo aliquo quadrante, præſertim quando pauca minuta, vt 2. vel 3. vel 5. deſiderantur. enim in eo 9 ute gradus perpuſilli ſunt, non arcus tot graduum, quot minuta deſiderantur Qui facilius, quando arcus in Go. pa dus erit arcus duplus, vel quad poſsi t in so. partes æ le diuidetur in 60. re vt negotium hoc reddatut es diſtribuen is valde exiguus eſt, uplus,&c. vt co . J 1 1 1 1 N e ſubdiuiIta fa im v ndo, L E MM A III. 9 Ui ut quater, aut octies,&c. ¶prout arcus ſumptus eſt duplus, vel quadi uplus, octuj e) tot minuta, quot inquiruntur Quare quando ar cus duplus N partie! la illa ſexageſima ſecetur bifariam:& hæc, ſi areus quadruplus diuiſ iterum bifariam:& hæc, quando octuplus ateus diuiſus eſt rurſus bilatiam, continebit vna particula vltimæ diuiſionis minuta quæſita, Liquido gutem conſtare arbitror, faciliorem eſſe diuiſionem paruuli cuiuſpiam us in duas partes æquales, cum hoc æſtimatione, vel coniectura ſine errore poſsit Heyl guam arc us non ſatis magni in 60 partes æquales. IAM contrario ſi ex aliquo gradu abſcindatur particula quæpiam,& noſſe guis cupiat, quot minuta& ſecunda complectatur, ſumenda eſt ea particuIa bege cio circini exquiſitiſsime ſexagies ordine continuato, a principio quaArantis facto initio. Nam quot gradus integri in arcu illo, qui datæ particulæ continentur, tot minuta particula data complectetur. Hac raticula, quam vltra 45. gradus continere diximus minuta 53. circiordine continuo repetatur, initio facto a puncto B, incidemus præeie in gradum 53. finitum. Quare particula illa minuta 53. continebit Demon atio huiuſce tet hæc eſt. Sit arcus FG, ſexagecuplus particulæ datæ, cui ęquaIs it particula FK. Quia igitur eſt, vt arcus graduum 60. ad gradum 1. ita areus N, ad arcum ER, erit permutando quoque, vt arcus 60. graduum ad arcum Ota arc. adus ad arcũ EK,& conuertendo, vt arẽus EG, ad arcum 60. graquum, ita arcus! K, ad arcum x. gradus. Quot ergo ſexageſimæ partes arcus Go, graduum, hoc eſt, quot gradus in arcu FG, continentur, tot ſexageſimæ par tes ius gradus, hoc eſt, tot minuta, in arcu EK, continebuntur. I in arcu illo ſexagecuplo continentur aliquot gradus,& in ſuper aliqua partieula vnius gradus, indicabunr quidem gradus integri in eo arcu contenti mightorum numerum, ſed cum particula illa inueſtigabuntur etiam ſecũda eodem modo. Nam ea ſexagies ſumpta dabit arcum tot graduum, quot ſecundis 7 il let. Eodemque modo ſi in hoc arcu ſexagecuplo particu2 quæpia uerit, inuenientur Tertia,&c. Sed ſatis eſt, meo iu licio, ſi minute giligenter inquirantur. Et ſi quidem pat ticula remanens maior fuerit Aumichtaro gradu, minutis inuentis adijciatur adhuc vnum minutumz ſi vero ſemiſſe gradus fuetit mino nihil addatur. HN res ſelicius quoque in magnis quadrantibus ſuccedet, quam in par 18 1. uĩs, quo ilius circino comprehendi poſsint particulæ maiorum graduum, quam minorum, ſine errore. Quare ſi gradus ſint per li.& data particula dimidiato gra ion maĩor, accipiemus arcum ex pa- ticula data,& proximo gra du com poſitum ſexagies,& ex hoc arcu ſexagecuplo abijciemus grad. 6. qui Hic rum ſexagies vna cum data particula ſumpti fuerunt. Nam reliquus nume tus graduum dabit numerum minutorum, vt prius. Si vero data particula ſe miſ e ius ſit maior, inueſtigabimus eodem modo minuta reliqux minoris Particule, udo videlicet atcum eompoſitum ex reliqua illa particula minote& vno g ſexagies,&c. quia ſi maiorem particulam acciperemus, fieger arcus ſcxagecuplus maior quadtante: Inuenta inde minuta minoris illius Rarkiculæ reliquæ ex Go. detrahe 1s, vt reliqua fiant minuta maioris particulæ Hate Hac ratione, ſi particulam reliquam datæ ſuperioris particulæ, cui æquaI eſt EK, quoniam ſemiſſe vnius gradus maior eſt, cum vno gra du accipiamus Magies, conflabimus arcum conſtã tem ex 67 gradibus. Ahiectis autem 60. ro1 Manent y. Tot ergo minuta in minore illa particula reliqua exiſtunt: quę ex to. d 1 5 1 1* dewpta relinquumt minuta 53. pro data particula maiore. B QA —— lio propoſ. 22. lib. 3. Eucl. 10 II Rn. QVIA vero& moleſtum eſt, huſuſmodi arcum ſexagies beneficio cireiu repetere,& facile in ea multiplicatione error committi poteſt, vtendum eri loc compendio. Arcus ex particula,& vno gradu compoſitus duplicetur, hit duplus iterum duplicetur, vt habeatur quadruplus areus. Hic rurſum duplice. tur, vt habeatur octuplus, atque hic iterum duplicetur, vt habeatur arcus ſede, cuplus,& hic bis adhuc duplicetur, vt habeatur ille arcus ſexagies,& quaterzin vt in vniuerſum ſex fiant duplicationes. Ex arcu autem hoc reliciantur gradu 60.& inſuper quadruplum arcus ex vno gradu,& particula minore compoſiti quia ſumptus eſt ſexagies& quater, cum fumi debuiſſet tantum modo ſexagies Reliqui enim gradus oſtendent numerum minutoꝛ um, quibus particula illa mi nor æquiualet. Hoc modo, ſi eandem particulam minorem, de qua ſupra, cun vno gradu ſexies duplicemus, conficiemus arcum grad. 7 r.& amplius, ex quo reijc iamus grad. 60.& adhuc areum ex particula& gradu compoſitum, quatt ſumptum, relinquentur gradus 7. Continet er go particula illa minor minutaideoque maior data habebit minuta 53. Quòd fi bparticula data ſine gradu ft. xies duplicaretur, vt habeantur 64. particulæ in arcu compoſito, abijclenda ef ſet tantummodo particula illa quater ſumpta ex eo arcu, qui datam particulan continet quater& ſexagies. Sed alio quoque modo per inſtrumentum in ſcholio Canonis 1. Iib. 3. inueſtigabimus arcum quotlibet graduum, ac minuto. rum:& viciſsim, quot gradus, ac minuta in dato arcu contineantur, depre hendemus. SED quoniam grandior a quis quadrans facilius in gt dus diſtribuitur, quàm paruug abſolui poterit problema hot per vnicum quadrantem tattæ magnitudinis, vt commoc eum in go. gradus partiri que: mus, hoc modo. Sit portio qudrantis in go. gradus diuiſi Ah & arcui AB, quotlibet graduun ac minutorum ex propoſito alle circulo arcus ſimilis abſcindendus. Si ergo circulus propoſitu maiorẽ fuerit ſortitus ſemidit metrum ſemidiametro circul AB, deſcribatur ex eius centio * circulus ad interuallum ſemi N diametri circuli AB, in quem 75 V/ beneficio circini transfer tu U . datus arcus AB. Si enim ex cet 2 tro per extrema puncta arcu translati duæ rectæ ducantun intercipient eæ arcum ſimilen in circulo dato maiore ex ſcho . — S Iverò propoſitus circulus minorem ſemidiametrum habuerit ſemidiametro elrculi AB, ſi quidem in plano, in quo datus circulus eſt, ex centro dati 77 culi ad interuallum ſemidiametri circuli AB, circulus deſcribi poteſt, deſeribitur,& LEM MA III. ET IIII. 11 re in tur& in eum arcus AB, transferatur. Rectæ enim ex centro per extrema puncta n exit ens translati emiſſæ auferent ex dato circulo minore arcum ſimilem, ex eohit dem ſcholio propoſ. 22. lib. 3 Bucl. f lice. I planum, in quo circulus proponitur, tantũ non eſt, vt ex centro circuſede. Ius pf AB. æqualis deſeribi poſsit, ita agemus. cẽtro cireuli dati deſeribatur eingulus ad interuallum ſemiſsis ſemidiametri circuli A B, vel chordæ grad. 60. in que m trans feratur ſemiſsis chordæ arcus dati AB. Arcus enim abſciſſus ſimiilli eſt arcui AB. Quare ſi ex centro rectæ duæ educantur per extrema puncta Rulus arcus abſciſsi, auferetur quoque ex circulo dato arcus ſimilis. Hoc autem ie dewonſtrabimus. Sit circuli AB, ſemidiameter A C, ſecta b ifariam in P,& per H. ex C, deſcriptus arcus DE, in quem transferatur chorda DE, ſemiſsi chor d AB, ni n ipſi AF. æqualis. Dico arcum DE, arcui AB, ſimilem eſſe. DuEa ep im ſemidiametro CB, ſecante arcum DE, in E, nectatur recta DE. Quonam igitur AC, BC, ſectæ ſunt proportionaliter, hoc eſt, in partes æquales; ert AB, DE. rectæ parallelæ, ideoque per coroll. propoſ. 4. lib. 6. Eucl. trian 4 2. ſexti. gula CAB, CDE, ſimilia eruntzatque erit, vt Ca, ad AB, ita CD, ad DE: Et peruta ndo, vt CA, ad CP, ita AB. ad DE. Cum ergo CA, ipſius CD, dupla ſit, erit h ipſius DE, dupla. Quare ſemiſsis AF, ipſius AB, trans lata ex D, in circulum DE, cadet in E:ac propterea cum arcus DE, arcui AB, ſimilis ſit, ex ſchoO propoſ. 22. lib. 3. Eucl. auferet ſemiſs is chordæ AB, arcum ſimilem. quod pr opoſitum,. op ſ circulus DE, interuallo ſemiſsis chordæ Eo graduum areus AB, deer iptus nimis magnus ſit, ita vt in plano dati circuli deſcribi nequeat, deſcribatur interuallo tertiæ partis chordæ 6o. graduum arcus AB, circulus GH. Nam s Al. tertia pars chordæ AB, transfe ratur ex C, in H, erit rurſum arcus tat- GHarcui AB, fi nilis. quod eo lem modo demonſtrabitur. Eadem ratione denok ſexibz poterit circulus interuallo quartæ partis, vel quintæ,&c. pro commodilues tate pla iin quo datus circulus eſt. que N AND O interuallo ſemiſsis chñordæ 6. graduum circulus deſcriptus Af eſhaffeguc mur propuſitu cto ter è citius, beneficio circini, cuius crura ſe intet ſeca cita v rum interualtlum duplum ſen per ſit interualli minorum. unn * Nam b longioribus ct uribus ar cus datorum graduum AB, accipiatur, abſcinlen dent breuiora crura arcum ſimilem DE. den; 9—— 1 2 5 SaAEIER VN ſi eiuſmodi circinus in promptu non ſit, accipiemus dictæ 00 chord AB. ſemiſſem, vel tertiam partem, quartamue,&c. ſi ducamus plures pa. allelas, æqualibus interuallis ijsque exiguis, inter ſe diſtantes. Nam ſi chorda 15 beneſiciocircin 5 tur, ludat du, vel quatuor, aut ſex ſpaia, Ji 0 inea media. Sic ſi transferatur in eaſdẽ, vt includat vel ſex, aut not n partes æquales à duabus lineis inte lijs abe iſtantibus. Et ſic de cæteris. Hoc autem demon propoſ. 40 lib. 1. Eucl. in vltimo modo diuiIII. g 5 e e eee ee, we PE R datum punctum datæ rectæ lineæ parallelam 1 Nneam ducere. ib · 3 39 2 QVYAM ö 4 232. frimi. CD Cum ergo& anguli recti&, H, æquales ſint;- equi angula erunt triang 12 L RN Nr. QVAMVIS problema hoc Eue lides lib. 1. propoſ. 3 f. confecerit,& no ibidem eiuſdem rei varias praxes tradiderimus, occurr it tamen nunc alia praxi meo judicio longe facil ior, ſiue punctum datum ſit propi nquum datæ rectæ, ſiut non, quam hoc loco inſerendam eſſe cenſui propter frequentem eius vſum tun in Aſtrola bio, tum imaliis rebus Geomet ri cis. Sit ergo datæ rectæ AB, per pui ctum C, ducenda parallela. Ex quolibet puncto acepto D, quod a C, diſtans ſi ſue intra datam lineam, ſiuè extra, vt centro; deſeribatur per datum pundtun C, cir culus ſecans datam rectam in punctis A, B; Non eſt autem neceffe, vt to. tus circulus deſc ribatur, ſed ſatis eſt, ſi duo eius arcus rectam datam ſecante delindentur, ita tamen vt oculorum iudicio arcus BE, arcu AC, minor non ſit ve luti in figura 2 paret) a rcui C qua lis be neficio c ireini abſcincn tur arc BE. Recta nam que di. cta peil C, E, parallela erit rectæ AB, vt ex iis conſtat, quæ in ſchol. propoſ. 27. lib. 3 Eucl. demonſtrauimus, propter arcus AC, BE, æquales. Commodius autem 1 peragetur, ſi punctum D, non in linea, ſed extra fſumatur, ita tamen, vt fere me. dium locum occupet inter datam lineam,& parallelam ducendam; quod ſol vſtimati one, plus minus, accipiendum eſt. Ita enim fiet, vt areus deſcripti ni nus oblique datam rectam,& parallelam ductam interſecent. In figura arcu AFC, BGE, ex centro D; remotiſsimo à linea data AB, deſeripti ſunt: arcu vero AHC, BIE, ex eentro D, in data linea aſſumpto: arcus denique ARC BLE, ex centro D, in medio fermè duarum linearum exiſtente, quod omniun ad problema efficiendum eſt aptiſsimum. L E M M A V. VAM proportionem habent ſinus toti, hoc eſt, ſe midiametri quorumlibet circulorum, eandem habent ſnus tam recti, quam verſi arcuũ ſimilium. Et contra, arcus quorum ſinus tam recti, quam verſi, eandem proportionem habent, quam ſinus toti, ſimiles ſunt. 8 INI arcus AB, CD, circulorum, quorum ſemidiametri AE, CF, ſimiles & eorum finus recti 36, DH; verſi autem GA, HC. Dio eſſe, vt AE, ad CF,* tam 5G ad DH, quam GA, ad HC. Iunctis enim ſemidiametris EB, FD, e run ex ſcholio propot. 22. Ii b. 3. Eucl. anguli E, E, æquales, ob arcus ſimiles A5 g 1 BEG, DFH. Igitur exit, vt EB, hoc eſt, yt EA, ſinus totus, ad BG, ſinum rect ita FD, L EMMA V. ET VI. 13 rb, hoc eſt, ita EC, ſinus totus, ad DH, ſinum rectumz& permutando, vt EA, e. ita BG, ad DH. a RVRSVS a quia ob ſimilitudinem triangulorum eſt, vt EB, hoc eſt, vt ad EG, ita FD, hoc eſt, ita FC, ad FHz erit per conuerſionem zationĩis, vt baus totus ad GA, ſinum verſum, ita FC, ſinus totus ad C, finum verſum: Et nutando, vt EA, ad EC, ita GA, ad HC. it, vt baus kotus ad CF. tot, ica tam ee 6, ad ſi A D Map ver * GA, ad v dico arcus A B, CD, ſimiles eſſe. Ductis enim rurſum ſemidiametris EB, uogiam eſt. Vt AE, hoc eſt, vt EB, ad CF, hoc eſt, ad ED, ita BG, ad DH: fermutando, vt EB, ad BG, ita FD, ad PH; Sunt autem& alij anguli recti G. Mwvales,s proinde re liq iorum angulorum E, E, vterque minor recto, ex oroll.. 17. lib. t. Eucl. b E tri a BEG, DEH, æquiangula, æqua lesq; nt ang los E, F. Qu g x ſchol. propoſ. 22. lib. 3. Eucl. arus B. CD, gmiles 2 KV. RSVS w eſt, vt AE, ad CF, ita GA, ad HC;& permutando, vt AE, ad G, ta CE, ad HC, exit per conuerſionem ra tionis, vt AE, hoc eſt, vt EB, ad EGiita Cl! eſt. ita ED, ad FH. Cũ ergo& alij anguli recti G,, ſint equa les, ac] orũ angulorũ B, D, vterq; recto minor, ex coroll. 1* ſ. J 5 1. propoſ. 17 lib. c etũt tri BEG, DFH, æquiapgula, angulosqᷓ; æquales habe bunt! uocixca ex ſchol. propoſ. 22. lib. 3. Eucl. arcus AB, CD, ſimiles ſunt. L E MM M A VI. 5 ſegmentis ſimilibus circulorum inęqualium ſimiNia ſegmenta adijciantur, vela ſimilibus ſimilia demanur; tota quoque, vel reliqua ſegmenta ſimilia er unt. W 4 KC. ſexti b. ſexti. e. ſeuti 224. tertij. 14 LTI BRAUN AN ABC, DEF, ſiue ſemicirculi ſint, ſiue non, eiſqͥue ſimiles arcus OCG, EH, adijciat tur. Dico totos quoque arcus ABG DFH, ſimiles eſſe. Sum tis enim in reliqus 355 5 5 J ſeg mentis AIG, DK H, duobus punctis I, K, vtcunque, iungantur rectæ Al, CI 8 5 40 2 a l 4 9 8* 8. 1 U GI, DK, EK, HK. Quia igitur ſimiles ſunt arcus ABC, DEF, erunt, ex ſcholio propoſ. 22. lib. 3. Eucl. anguli AI C, DKE, æquales: Eademque ratione æqus. les erunt anguli CIG, ER H, ob ſimiles arcus CG FH. Tot i ergo anguli AIG, 8 l 5 80 ang DKH, æquales erunt; ideoque ex eodem ſcholio, arcus ACG, DFI, quibus pſi ſtunt, ſimiles erunt quod eſt propoſitum S ED iam ex ſim ilibu arcubꝰ ABC, DEE, ſiue ſe. micirculiſint ſiue non, aufe rantur arcu ſimiles A B, DE. Dico re. liquos quoq 9 5 2 arcus BC, Eb, 5 ſimiles eſſe. 5 N 7 Sumptisenin rur ſum duobus punctis I, K, v tounque in peripheriis extra datos arcus, nectantur rectæ AI, BI, CI: Dk, EK, FE Quoniam igitur totus arcus ABC, toti arcui DEE, ſimilis eſt; erit ex ſcholio pi Opoſ. 22. lib. 3. Eucl. totus angulus AIC, toti angulo DKE, æqualis: Eademque ratione ablatus angulus AIR, ablato angulo DE, æqualis eri t, ob arcus ſimiles AB, PE. Igitur& reliquus angulus BIC, re. liquo angulo EKF, æqualis erit, ideoque ex eodem ſcholio, arcus BC, EF, ſimiles erunt. quod eſt propoſitum. IAM ſi ex totis circulis tollantur ſimi les areus IAC, X DF, oſtendemus reliquos CG, EH K, ſimiles quoque eſſe, vt in prædicto ſcholio, hac ſcilicet ratione. Sumptis ſingulis punctis A, G; D. H, in ſingulis arcubus, iũgantur rectz IA, CA; IG, CG; xD, Fl D; KH, FH. Quia igitur ſegmenta IA C, K DE, ſimilia ſunt, erunt ex de fin. ſegmentorum ſimilium, anguli IA“ K DF, æquales. Cum ergo tam duo anguli ppoſiti A, G, quam D,, æquales int duobus rectis, erunt quoque duo anguli IGC, KHE, qualesz atque idcirco, ex eadem defin. arcus IGC, XH, ſimiles erunt. quod eſt propoſitum, K i SI duo quadrantes inæquales ſimiliter ſecentur, vel in partes æquales,& per diuiſionum puncta vni ſemidiametto parallelæ agantur, ſiue ad alteram ſemidiametrum perpendiculares; erunt ſegmenta ſemidiametri in vno quadrante a parallelis, vel perpendicularibus facta, ſegmentis ſemidiametri à parallelis, ſiue perpendicularibus in alte9 „adijciat n reliqui e Al 1 5 X ſcholio ne qua. uli AIG. L. quibus E D iam ſim ilibu bo ABC. ſiue ſeculiſint, ion, aufe ir arcu 18 A B, Dico te. s quoq BC, Ef, sg eſſe, t isenin nectanti arcui C, toti angulo 31 C, re. F, ſiminus re. Cet raIre ctæ ſimilia „vel diarum vno ſegLE MAM A VII. 15 in altero quadrante factis proportionalia: Et contra, ſi ſegmenta ſemidiametrorum ſint proportionalia, quadran tes ſimiliter ſecti erunt. Yo quadrantes inæquales AB, CD. quorum centra E, F,& ſemidiameAE, EB, CF, FD, ſecentur primum in binas partes ſimiles in punctis G, H, a ganturq. ſemidiametris AE. CF. parallelæ Gl, HK, ac proinde ad ſemidia- 29. primi. metres EB. PD, perpendiculares. Dico ſegmenta ſemidiametri EB„ ſegmentis ſemicdiametri FD, eſſe proportionalia, hoc eſt, eſſe vt EI, ad IB, ita ER, ad KD. oniam enim EI, FK, ſinus ſunt arcuum ſimilium AG, CH, b quod æquales b 3. primi. int per pendicularibus ex G. H. ad A E, CF, ductis, quæ quidem ſinus ſunt arcuũ eklzerit ex lemmate g. vt ER, ſinus totus ad PD, ſinum totum, ita ſinus EI, ad Hum FR: E dermutan Jo, vt EB, ſinus totus, ad ſinum EI, ita PD, ſinus totus ad num FR: Et diuidendo, vt IB, ad EI, ita KD, ad FK, conuertendoqᷓ. vt Ed IB, ita FK, ad KD. 5 N D E ijdem quadrantes ſecentur in ternas partes ſimi les in punctis ** 3 rene v AE, CF, parallelæ GI, LN, HK, 21 O. DiDlegmenta EI. IN, NB. eaſdem proportiones habere, quas ſegmenta FK, KO, O, habent. Erunt enim ex lemmate præcedente, toti quoque arcus AL, CM, miles, quorum ſinus ſunt EN, FO. Igitur per lemma 5̃. erit, vt EB, ſinus totus rb, ſinun i, ita tam ſinus El, ad ſinum K, quam ſinus EN, ad ſinum 2 c proinde erit 5 1 7 8 tota EN, ad totam FO, ita ablata EI, ad abla- 77. quinti. . eoq. reliqua IN, ad reliquam KO, vt tota EN, ad totam FO, vel 19. quinti. ta EI, 95 ablatam FK. Quia igitur eſt, vt vt EI, ad FK, ita N„ ad K O, 8 permutando quoque vt EI, ad IN, ita FX, ad KO ʒ atque ita ſegmenta El, N, ſegmentis FE, K O, proportionalia ſunt. Rurſus quia eſt, vt tota EB ad tam 12 1 2 adal 1 11 2 tam! D. ita ablata EN, ad ablatam FO, ex lemmate 5j. vt dictum eſt„e erit reliqua N;, ad reliquam O D, ut tota EB, ad totam ED vel vt ablata blatam FO. Erat autem, vt EN, ad FO, ita IN, ad xo vt paulo ante eſt. Igitur exit etiam, vt IN, ad K O, ita NB, ad OD„& permutando, VS 19. quinti. 1 1 16 L INR. vt IN, ad NR, ita XO, ad OD. Tria ergo ſegmenta ET, IN, NB, tribus ſegmt. tis FR„KO., OD, proportionalia ſunt. PK AE TE KEA jjdem quadrantes ſecti ſint in quaternos arcus ſimiles in punctis G, P, IL, H. Q, M,& ſemidiametris AE, CE, parallelæ agantur Gl, PR, LN, HR, Qs, MO. Dico rurſus, quatuor ſegmenta EIL, IR, RN, NB, quatuor ſegmentis EK, k 8, SO, OD, Proportionalia eſſe. Erunt enim ex lemmate Præcedente tam toti arcus A P, C quam toti A L, CM, ſimiles quoque, quorũ ſinus ſunt E KR, EN, FS, FO. Igitur per lemma 5. erit, vt EB, ſinus totus, ad F D, ſinum totum, ita finus EI, ad ſinum ER,& ſinus ER, ad ſinum ES,& ſinus EN, 2 J. quinti. ad ſinum FO, atque adeo erit EI,ad F K, vt E R, ad ES,& vt EN, ad F O. Quia b Io. quinti. 1. uinti, 41. quinti. 5. vt oſtendimus; d eri qucque rel igitur eſt, vt tota ER, ad totam Eo, ita ablata EL, ad ablatam FK, b erit& reli. qua Nad rcliquam KS, vt tota ER, ad totam FS, vel vt ablata Ex, ad ablatan FK. Eandeme Y proportionem habet Ei, ad FK, quam IR, ad KS. Et permutäR, quam FK, ad KS; ac proinde duo ſegmenta EI, R, duo,, proportionalia ſunt. Rurſus quia eſt, vt tota EN, ad totam FO, ita ablata ER, ad ablatam PS. vt diximuszʒ e erit etiam reliqua RN, ad reliquam SO, vt tota EN, ad totam EO, vel vt ablata ER, ad ablatam ES. Exat autem vt ER, ad ES&, ita IR. ad KS, vt oſtendimus. Ergo erit quoq. vt IR, ad KS, ita RN, ad SO; Et permutando, vt IR, ad RN, ita KS, ad SO. Atque ita tria ſegmenta ET, IR, Ns tribus ſegmentis F X, K 8, SO, proportionalia ſunt. Poſtremo quia eſt, vt tota EB ad totam FD, ita ablata EN ad ablatam EO, ex lemmate iqua NB, ad reliquam OD, vt tota Eb, ad totam FD, vel vt ablata EN, ad ablatam FO. Erat autem, vt paulo ante demonſtra tum eſt, vt EN, ad FO, ita RN, ad SO. Igitur exit quoque vt NB, ad OD, ita RN, ad SO, hoc eſt, vt RN, ad SO, ita NB, ad OD: Et permutando ut RN, ad NB, ita SO, ad O]). Quatuor ergo ſegmenta EI, IR, RN, NB, quatuor ſegmentis F K, KS SO, OD proportionalia ſunt. Eademque ratio eſt de pluribus. E RSPICVVM autem eſt, demonſtrationem hanc concludere, etiamſi quadrantes in partes equa les ſint diuiſi. N am ſi diuidatur uterque quadrans in ſex partes æqua les, ut AB, in AG, GP, PL, LT, TV, vB,& CP, in CH, HQ, SM. MX, XX, XD, erunt ſex priores poſterioribus ſex ſimiles, cum quilibet priopri ſegmẽ. s ſimile; ur Gl, B, quae mmate „ quorũ ad FD, us EN, DJ. Qula & reli blatam rmutãx, duo · ad toV, ad Erat d RS, a ſeg· oſtremate d tonſtra „ ita J, ad meniamſi ns in Q. libet 0 LIE NM VII. 17 Prio n ſit ſuĩ quadrantis ea dem pars, quæ ſui quadrantis eſt quili bet poſte-· Horum. Quare, vt oſtenſum eſt, ſegmenta ſemidiametrorum proportionaſunt. f INI ſegmenta ſemidiametrorum ptoport ionalia. Dico arcus a perper J ſciſlos ſimiles eſſe. Ponantur enim pr imum duo ſegmenta EIL, I auobus ſegmentis EK, KP, proportionalia, id eſt, ſit ut EL,ad IB, ita FK, ad . Eritigit r permutando, vt EI, ad EK, ita IB, ad K D. a Ergo Vt EI, vna ad . vnar 4. erunt EL, IB, ſimul, nimirum ſinus totus EB, ad FK, Kl D, ſimul, nirum ad ſinum totum FD. Cum ergo EI, FK, ſint ſinus ar cuum 1 Hz; grünt per lemma g. arcus AG, CH, ſimilesz; ideoq;& reliqui GB, HD, miles srupt. ex præcedente lemmate, cum etiam toti arcus AB, C] D ſimiles ſint, vtpote qua drantes. PEIN D E ponantur tria ſegmenta, EI, IR, RC, tribus ſegmentis FK, KS, 5 proportionalia. Erit rurſus permutando, EJ, ad FK, ita IR, ad&, RB, ad SD. Ergo vt El, vna ad vnam EE, ita erunt omnes EI, IR, RB, id eſt, us totus EB, ad omnes ER; xS, SD, id eſt, ad ſinum totum FD. Cum ergo EI, R ſinus ſint arcuum AG, CHz erunt ex lemmate 5. arcus AG, CI, ſimiles. Nyrſus cum ſit, vt EI, ad EK, ita IR, ad KS erit vt El, ad FK, ita EI, IR, ſimul, Hoc eſt, tota ER, ad FK, KS, ſimul, hoc eſt, ad totam FES. Erat autem, vt EI, ad R. ita EB, ad PDO. Ergo erit quoque vt ER, ad ES, ita ſinus totus EB, ad ſinum totum FD. Quocirca cum ER, ES, ſinus ſint arcuum A eu ex lem Mate 5. arcus A b. CQ, ſimileszac proin deper antecedens lemma,& reliquie areus OB, QD, ſimiles erunt. E t quia oſtenſ li ſunt ſimiles arcus AG, CA, ſi hi ex ſimilibus AP, Q de mantur, erunt etiam reliqui arcus G, HQ ſimiles, ex eodẽ ante cedente lemmate. Omnes ergo tres arcus AG, GP, PB, omnibus tribus arcu bus H. HQ. QO, ſimiles ſunt. RVRSVS ſint q atuor ſegmenta EI, IR, RN, NB, quatuor ſegmentis EK, 8.50. OD, proportionalia: Exitq. permutando, e L, ad F X, ita IR, ad KS N, ad SO,& NI. ad OD. Ergo, vt E L, ad FX, itz ſinus totus EB. ad num totum FD; Ac prop 2 cum El, EK, ſinus ſint arcuum AG, CH; erunt en ſemmate F. arcus AG, CI, les. Rurſus e aal elt, vt EI, ad FK, ita IK, ad Ks; erit vt EI, ad 8 E.„, ad totam FS. Vt autem EI ad FK. ita erat ſinus totus EB, ad ſinum totum Fl D. Igitur er 1 que, vt ER, ſinus 125 cus A 1„ad FS,. arcus C Qrit a ſinus totus E 5. ad ſinum totum ED. Noinde ex lemmate 5. ſimiles erunt arcus AP, C Q demptisque ſimilibus 1 HH. reliqui GP, EQ. Zane uoque erunt, ex antec dente lemmate Præterea ci—* vt EI, ad Ek, ita IR, ad K&,& RN, ad 5035“ erit, vt EI, ad EK, ita tota EN, ad totam FO. eres! m, vt ET, ad EK, ita EB, ad FD. Igi tur erit guoque, vt EN, ſinus arcus AL, ad FO, ſinum arcus CM, ita ſinus totus EB, n totum 5 D, atque ideirco per lem ama 5. arcus AL, CM, ſimiles erunt; Aae jue per antecedens lemma,& 8 arcus LB, MD, Ai erunt. Et quia Amiles oſtenſi ſunt arcus AP, Cʒ ſi tollantur ex ſimilibus AL, CM, reliqui iam arcus PL, QA, ſimiles erunt. Omnes ergo qu uatuor arcus AG, Sl ↄmnibus quatuor arcubus CH, HQ M, MD, ſimiles ſunt. Eademque 55 pluribus eſt ratio. O LEMMA b 12. quinti. I. quinti. 412. quinti. I. quinte. 12. quinti. 3 4 44. primi. d 3. primi. 30. primi. 4. primi. 18 DIII CN. „ EB NM M VIII. DATA M rectam lineam ita ſecare, vt ſemidiametet alicuius quadrantis ſecta eſt a perpendicularibus, quæa quibuſuis punctis quadrantis ad ipſam demittuntur. QVAM VIS hoc efffci poſsit ex propoſ. 10. lib. 6. Eucl. tamen quia huiuſmodi d uiſione in variis lineis frequen ter in Aſtrolabio indigemus conſtruemus hoc loco üguram quandam, per quam multo faci lius idem con ſequamur. Aſſumatur ergo figura altera parte longior quæcunque ABCD.& producto latere DA, deſeriban tur ex A, D, ad interuallun AB, vel DC, duo quadrantes æquales EB, PC, quibus diuiſi in gradus,(Nos ob paruitaten tiguræ in 6. partiti ſumus, it ſingulæ quindenos complectan tur gradus) ducantur per bins puncta a latere AD, æqualitet remota rectæ ſecantes ſemidia metros AB. DC, quæ omnes l teri AD,& inter ſe parallela erupt. Si namque ex duobus F quibuſuis punctis æqualiter: latere AD, remotis ad AD, excitentur per pẽdiculares; a erũt hæ inter ſe parallele: ſed& æquales, cum ſinus ſint æqua— VFC ˙² — X — — N 171 lium arcuum. 5 Igitur& rect connectens duo illa Puncta ipſ AD, parallela erit. A tque hac 5 ratione omnes ille lineæ lateri 2 AD, æquidiſtabunt; ideoque g& inter ſe parallelæ erunt; 4 ac proinde ad vtra mque ſemidiametrum AB, DC, perpendiculares. Diuiſa ergo eſt vtraque ſemidiameter AB. DO, a perpendicul aribus quadrantum demiſsis. Vt autem aliam qua mcumque rectam li neam ſiue maiorem, ſiue minorem ſe midiametro AB, ſimiliter ſeces, ac ſi ſemidiameter eſſet alicuius quadrantis, diuiſaq́; a perpendicularibus.&c. conſtruatur ſuper AB, triangulum æquilaterum ABG; cadetqͥ; punctum G 255 rer um —— 2——— L —— 2 ＋ PPP ã ͤ d ðͤb — 2— ä—ap.—⁵ĩ˙—ui·̃ͤxꝛ[——ñ—6 — 179 K 1 K» H W meter quæa e effici lib. 6. modi d frequen ge muß iguram to faci Aſſua parte CD,& ſcriban uallum drantes diuiſis itatem aus, vt plectan er bins ualitet emidia nnes l ra llelx luobus liter: D, exà erũt ſed& æquarecta ta ipſi ue hac lateri eoque tz Hac nidiaAB, imque ces, ac , Con7 graum L E M M A VIII. 19 gun zo. quadrantis, numeratione ab E, incepta, eum BG, ſextam partem circuſubtendens, æqualis ſit ſemidiametro AB, ex coroll. propoſ. 15. lib. 4. Eucl. Boſtremo ex G, ad puncta ſectionum ſemidiame tri AB, rectæ deducantur, conHructaq́; erit figura, quam deſideramus. 5 4 1 51 igitur recta H, ſecanda in partes proportionales partibus ſemidiametri AB, malor fuerit ſemidiametro AB,(ſi æqualis foret, trans ferẽda eſſent ſegmen ta ſemidiametri AB, in eam, vt ſimiliter ſecaretur)transferatur beueficio cireini h ouis puncto lateris AD, ad latus AB, qualis eſt IK, quæ ſecabitur a paralleAa yxt ſecta eſt AB, ex demonſtratione propoſ. ro. lib. 6. Eucl. cum XI, BA. produ As conuenirent, triangulumq́; cõſtituerent, cuius baſis BK,&c. Quare ſi ſegmen ta tectæ Ik, transferantur in datam rectam H, erit recta H, ſecta, vt AB., ſecta eſt, ac ſi a perpendicularibus ex gradibus quadrantis, cuius ſemidia meter H, demiſach uideretur:propterea quod hæ per pendiculares ipſam H, ſecarent, ex lemmate præcedenti, in partes proportionales partibus rectæ AB. AO D ſdetur recta L, ita longa, vt in parallelas tranſlata nimis oblique ipſas interſecet, ac proinde puncta inter ſectionum non facile diſcerni qucant, aps ferenda eſt eius ſemiſsis LM, qualis eſt NO. Nam ſi huius ſegmenta dupligata transferantur in datam rectam L, diuiſa erit quoque recta L, vt ipſa AB, vel No; cum ſegmenta rectę NO, eaſdem proportiones habeant, quas eorum dup. Immo ſi ſemiſsis datæ rectæ adhuc nimis longa eſſet, transferenda eſſet eius qa rta pars, vel octaua,& ſegmenta inter parallelas quadruplicata, vel octupligata in datam rectam transferenda. 8 vero data recta P, minor fuerit ſemidiametro AB, transferenda erit in krfängulum æquilaterũ GBA, ita vt ipſi A B. æquidiſtet: quod fiet, ſi ipſi P, aufere mus cquales GQ. GR. Pucta enim recta,& parallela erit ipſi AB,& æqualis ipſi P. ſiue vtrique GO, GR, cum ex coroll. propoſ. 4. Iib. 6. Eucl. triangulum GR, tr iangulo GBA, ſimile ſit, ac proinde& æquilaterum, Segmenta ergo rectæ. in datam re am P, tranſlata ſecabunt eam, vt QR, hoc eſt, vt A e cta eſtʒ quòd ex ſcholio propoſ. 4. lib. 6. Eucl. rectæ BA, QR, ſimiliter ſecentur a rectis ex G, emiſsis. Quin etiam ſi quando ſemiſsis, vel quarta pars vel oct aua datæ rectæ in figuram transferenda ſit, vt ſupra diximus, eaque minor u quam AB, trar sſerenda erit in triangulum GBA. Ita vides ST, ſemiſſe m datæ rectæ 8, tranſlatam eſſe in triangulum, cuiuſmodi eſt QR. Segenim lu ea F 7 2 9 im l uius rectæ QR, duplicata ſecabunt datam rectam S, vt ſecta e AB. 8 E D quonĩam non ſemper opus habemus omnibus partibus rectæ eo modo uiſe, qu nir nirum reſpondent omnibus gradibus quadrantis ex ea recta deFripti; ſed ſolum interdum indigemus in data recta vno puncto, quod propoto g. 1 relareui re ſpondeat, hoc eſt, in quod caderet perpendicularis ex dagradu, vel arcu demiſſa, inueniemus ex eadem figura hoc loco conſtructa il lud punctum hoc modo. Sit inueniend N m in rectis eiſdem datis punctum reſpon dens gt adui 72. numeratione a puncto E. 5 incepta Sumantur ex lemmate 3 du arcus EV, EX, graduum 52.& recta iungatur VX, ſecans rectas I K No, in V. Recta autem ex G, ducta ad punctum„ vbi VX, rectam A B, l gat, ioterſecet quoque rectam QR, in V. Punctum enim V, in reſpondentem kectam tranſl yt ſupra dictum eſt de aliis ſegmentis, dabit in recta punvtaris„ non erit opus circa datam rectam quadrantem gradus diuiſo, ex punctis diuiſionum perpendiculares de8 mittere 2 JJ. quinti. b 2. ſexti. 20 n. mittere, vt datam rectam in partes optatas diſtribuas: quæ res quantam habeat vtilitatem, ex noſtro Aſtrolabio cognoſces. LI EM N IX. S] duo, pluresue circuli intus, vel duo extra ſe mutuo contingant, rectæ lineæ Per contactum ductæ, ſimiles circumferentias abſcindunt: Et rectæ coniungentes bina Puncta, in quibus duę rectę circulos ſecant, parallele ſunt. 10 EA contingit in duobus circulis ſe mutuo non kangentibus, 5 Pro contact ſumatur punſtum in recta eorum centra coniungente„ prr uod tranſit recta conne tens Puncta alterna extrema diametrorum 40 Ppriorem rectam Herpendicularium. Fed quando circuli intus ſe non contingunt, ſimiles arcus ſunt alterni, non autem eodem ordine ſjumpti, 77 in illis. HOC theorema, quod ad circulos intus ſe tangentes attinet, in ſcholio propoſ. 22. lib. 3. Eucl. demonſtrauimusz quia tamen eo in ſis, quæ ſequuntut, indligemus, placuit idem hoc loco paulo aliter demonſtrare Nin dig U 5 5 5 5 Auldem genera— lius extendentes illud ad circulos extra ſeſe tangentes,& ad irculos non ſe tangentes, qua etiam re in demonſtrationibus ſequentibus vtemur. r er W SIN ergo primũ duo cCirculi rum centra H, I, ſe mutuo tangena tes in A, ſiue intus, ſiue 5 5 1 N extra: ducãN 1 r turq́; per A, N 7. NN cõtactum te N 1 5 7* 8 8 1 57. ö 1 ctæ vtcunq; 2 5 Ae a 8 G 5 N A vtrumqʒ eorum ſecanP Deere tes. Dico tã arcus ABC. AER ſimiles eſſe, quam arcus A B, AE,& BC. EE,&c. Per centra enim H, I. recta H darul» quæ per contactum A. tranſibitz& ex C,& F, ad eadem centra rectæ e gantur CE, FI. Quoniam igitur in triangulis Ac 1 AFLangulus A, communts eſt, quando circuli intus ſe contingunt, vel quando contactus habeat utuo S cirbina ſunt. 45„% 5 Per in ad 2 con2 holio intur, eraon ſe LEM Y X. 21 eon Aus eſt exterior, 2 anguli A, ad verticem ęquale: a gos angulos H, L, proportionalia: quippe quæ proporttonem aquahtatis he beant.& reliquor C, F 5 vterque tes met Bars eſt, acutus, ex corel.;. 8 17 quod vterque ſit ſupra ba ſem Iloſcelisz erunt ipſa tri equalesqʒ! t angulos ad centra H, L. Quod ee h. loc etiam modo demonſtrari poteſt. Quoniam in circulis ſeſe tangentibus int gulus AEI, ACH, angulo FAL, æqu lalis eſt; at in circuUs exterius 1 elt an gulo F AL, hic autem angulo CAH: gu, FI. ACH gentibus 1 CI, FI. 1 in tus ſe tangunt circuli Vroque mo lo oſtenſi ſi AF, quibus inſiſtunt, ex tot 1 ADC, A centre ant us,& internus, in circulis intus ſe tantibus ſe exterius. f Parallelæ ergo ſunt int, internus& externus, quando ndo extra ſe 3 t. Igitur cum unt ſegmenta ABC, ho io propoc 5 Ai. Eucl. Quibus dem 9 5 ſcholio, vel ex lemma te 6.& reliqua ſegm ione ſimilia erunt ſegmienta AB. AE, iiliter oſtendentur parallelæ,&c)& eireulis!: 8.& arcus BC,. EF, inter duas rectas com prehe n et, propter eundem angulum BAC, i eglis intus ſe tangentibi za 1 3 35 itias conſtitutũ, at in circulis ext Wsgent propter at gule's BAC, EAF. ad verticem æqua aa c rentlas conſtitutos. Qi atur alius circulus AKL, ex centro* tangens a ue abimus eodem modo, d a KM, arcus AK. tam are m 1 AE, ſimiles eſſe, Kc. IVXNGAN“/ dtæ BC. EF, o eſſe parallelas Quonam enim arcus AB lib 3. E 3 leszerunt ex ſcl 785 nt ſimileszerui 0lio di to propoſ. 2 ad circumferentias inſiſtentes(internus& 2 exteigus in ci sintus ſe tangentibus, vel alter ni in cireulis extra ſe tangen bos inter et 0 Igit BC, EI paral t, quod eſt propoſitum. D E D 1 t circuli AB, D560 quorum centra E, E, non ſe tangentes, ſed vel! ter ſecantes, vel non interſecantes. ſiue vnus ſit totus extra alterum, ue intra poſitus. Ductarecta EE, per eorum centra, excitentur ad eã diametri perpe. E, CF. Iuncta a G5 re. tei e H, KL, tri. Hr, ICO, qua weren H 118 0 5 i,&t e ter ſe c der t vt GE, a GE, nidiametrum FC. Rurſus quia mt H. Cl. ad verticem æquales ſi X late ra f 1 0 eſt. * * K. 5 niſen erunt; qu bus dempt is 0,6 reliqui quoc le arcus APn, IOO, miles erunt At tque hoc quiR t os circulis de n unt: Latera autem cir- 4 275. prim. b. ſext& g. primꝭꝭ 1 primi. em æqualesz erunt propterea& anIS. primi. 25. vel 29 primi. 8 29. Prigzi. h 2f. vel a primi. 1 29. primi. 13 2. 4 ſexti. m 25. priqni. 5. Primi. 22 Et. 1. frimi. dem in 1. ac 3. fgura. At vero in 2. figura ꝛerit angulus SHE, angulo Eng, in Iſoſcele EHn,& angulus GIF, angulo FOl, in Iſoſcele FIO, æqualis. Quare, It Prius, erunt duo EHn, En H, duobus FIO, FOl, æqua les,& reliquus En, rel quo HO. acproinde& arcus i An, ICO,& ex circulis totis reliqui EPn, IOO ümiles erunt. ———— . E SSE quoque arcus EK. L. quas rectæ HI, KL, abſcindunt ſimiles, ſie de1. primi. monſtrabitur. Junctis rectis K E, LF. quoniam in triangulis SEK, GFL.„ angu li EGK, FEGL, ad verticem æquales ſunt,& latera circa angulos E, E, proportionalia, vt oſtenſum eſt; reliquorum autem angulorum K, L., vterque recto miner eſt, in 1.& 3. figura quide m, propterea quod. ſi jungantur rectæ BA. 2 A DL, e J I. tert. dL, e anguli ad A,& L, recti fiunt in ſemicirculis, quorum illi partes ſunt; In 2. autem figura, eò quòd ſunt ſupra baſes Iſoſcelium o ſi iungantur rectæ Ea, Em, ad puncta, vbi eircumferentiæ à recta KL, ſecantur;(quæ ratio locum etiam ha . ſexti. bet in aliis duabus ſiguris.) 4 erunt anguli GEK, GPL, æquales. Cum ergo& anguli toti GEH, GF, oſtenſi lint æqualeszerunt etiam reliqui, EEK, IFL, equa leszac propterea ex ſchol. Propoſ. 22. lib. 4. Eucl. arcus EK, IL, ſimiles erunt. NON ſecus oſtendemus, rectas Zd, H, intercipere arcus alternos ſimiles H, Id,& HB, D. Quoniam enim anguli GEH, GFI, oſtenſi ſunt æqualeszʒ erũt ex duobus rectis reliqui AEZ, I Fd, æquales, ideoque ex prædicto ſcholio arcus HZ, Id, ſimiles erunt: Et ex eodem ſcholio, ſimiles erunt HB, ID, propter æquales angulos DEH, DEl. P ARI ratione demonſtrabimus, rectam AC, auferre arcus alternos ABe, 29. primi. bDC, ſimiles. Iunctis enim rectis Ed, e quoniam anguli altern i EAe, FCb, f. primi. æquales ſunt,& EAe, ipſi Ee A,& FCb, ipſi EbC, æquales eſtzerunt EAe, Ee A, ip ſis Cb, FbC. vquales: ideoque& reliquus A Ee, reliquo C Fb, æqua lis erit. Quocirca ex ſchol. Propoſ. 22. lib. 3. Eucl. arcus A Be. b BC, ſmiles erunt, In ſecunda tamen figura colliguntur arcus Ae, bC, ſimiles, quibus ſublatis ex totis circulis, re liqui Ahe, bDC, ſimiles quoque ſunt. S1 C etiam vt alterum adhuc exemplum Ponamus, demonſtrabimus, rectam RS, au 20H, uare, reli 0 LE MM A IX. ET X. 23 Rauferre arcus alternos ſimiles RBV, SDT. Lunctis enim rectis RE, VEzʒ 8E. IF. quoniam in triangulis GER, GFS, anguli EGR, FOS, ad verticem æquales unt,& latera circa angulos E, F, proportionalia, vt möſtratum eſt:celiquorum autem angulorum R, S, vterq; minor eſt recto, propterea quòd ſupra baſes trigogulorum I ſoſcelium E RV, FS F, exiſtunt; b erunt quoque anguli ERG, FSG, æquales. e Eſt autem ille angulo EVG,& hic angulo. 1G. æqualis. Igitur duo R, V, duobus 8, T, æquales eruntzac proinde& reliqui REV, SFT, in krlangulis ERV, FST, æquales eruntzideoque ex ſeholio propoſ. 22. lib 3 Eucl. in 1.& 3. gur arcus RBV, ST D, ſimiles eruntz in 2. vero figura arcus RV, ST, miles erunt,&c. EO DEM modo erectæ 2d, RV, intercipient alternos arcus ſimiles RB. SD, R, Sd. Quoniam enim in triangulis EGR, FOS, anguli R, S, oſtenſi ſunt ęqua lesz a& ſunt quoque anguli ad verticem G, ęqualeszerunt reliqui anguli æquales REB, SFB. Igitur ex eodem ſcholio prædicto, ſimiles erunt arcus RB, SDʒac proinde& ex ſemicirculis reliqui RZ, Sd. Eademq;ʒ; ratio eſt de omni recta, quę rectam Zd. per centra eiectam interſecat. DENIQVE ex omnibus his infertur, duas rectas quomodocumque ſe in GOinterſecantes intercipere arcus ſimiles ad contrarias partes. Vt ſi interſecent ſeſe in G. rectæ EI, xLʒdico tam arcus HK, I L, quam Kn, LO, ſimiles eſſe. De Prioribus quidem iam paulo ante demonſtratum eſt, de poſterioribus vero ita Probatur. Quoniam KB, ipſi LD.& Bn, ipſi Do, ſimi lis eſt, vt proxime oſtendiMus de rectis ipſam d, interſecantibuszerũt per lemma 6. etiam arcus Kn, LO, miles. Eadem ratione arcus IR, I8, ſimiles erunt, propter rectas HI, RS, ſe inteyſecantes,&c. QVOD ͤ jꝗ per&, ducatur recta GM, tangens in M, circulum AB, in 2. figu ra: tanget ea producta circulum quoque CD, in N, eruntq́; rurſum areus abſciſi BN. DN, ſimiles. Ducta enim N, tangente circulum CD, in N, iunctiſq; rectis EM. FEN; e erunt anguli M, N, recti. Cum ergo& latera circa angulos E, E, in triangulis GEM, GFN, ſint proportionalia,& reliquorum angulorum ad G, vterque ſit minor recto, ex coroll I. propoſ. 17. lib. 1. Eucl. Erunt quoque tam anguli EF, quam anguli ad G, æquales. Igitur ex ijs, quæ ad propoſ. 15. Iib. T. Euel. ex Proclo demonſtrauimus, rectæ MG, NG, vnam rectam conſtituent 5 ac einde tangens GM, producta tanget etiam circulum CD, in M, DN, ex ſcholio propoſ.22 lib. 3. Eucl. ſimiles crunt. IVNGANT VR denique rectæ HK, IL, areubus ſimilibus a rectis HI, RL, abſciſsis. Dico eas eſſe parallelas. Quoniam enim tam arcus An, 100, quam Hx,IL, oſtenſi ſunt ſimileszerunt quoqʒ per lemma 6. reliqui arcus XAn, ECO, bmiſes. Igitur ex ſcholio Propoſ 22. lib 3. Euch anguli Xn, LI O llis in Iſtentes ad citcùmferentias æqua les erunt: qui cum ſint alterniʒe erunt HK, IL, Parallelæ. quod eſt propoſitum. E E M M A 8. SI duo, pluresue circuli ſe mutuo ſecentzrectæ lineæ per ſectionis punctum ductæ, quæ vel ipſos ſecent; vel vtraque ſit tangens, vel earum altera, intercipiunt circumferentias ſimiles inchoatas ab vna earum rectarum, & verN zatque arcus 2 II. primi b. ſexti. 4. primi. 4 15. primii e 1 F. tertij. f. ſexti. 2 27. primi. 24 LE 1 r. & verſus eandem partem, atque ad punctum ſectionis vel contactus alterius rectæ progredientes. Si autem ex eodem ſectionis puncto circulus quicunque deſcribatut erit eius circumferentia inter duas eaſdem rectas com. prehenſa, ſemiſsis illius arcus in eodem circulo ex ſecdionis puncto deſcripto, quiarcui cuiuis priorum circulorum inter eaſdem rectas intercepto ſimilis eſt. IN puncto A, ſe mutuo ſecent eirculi ABCDE, Ar HTR, ALMNOp, dueanturq; primum duæ rectæ ipſos ſecantes vtcunque AB, AC, quæ intercipiant arcus LIE MTM XIX. 25 j e ſimi ni ilibet ill orum in GY, M, quos omnes lico eſſe ſimiles. Cum enim cuilibet n 1 K 1222 15 is communis MAN, ad circumferentiam ſui circuli in puncto A, g nifeſtum eſt ex ſchol. pi Meta recta AH, omnes tres c(ec n 1 NO. proptet angulum communem NA H, cuilibet il orum eee Funnferentiam proprij circuliin puncto A. Idem 1. d AD, de arcubus CP, Fd, D, ob communem ulum DAM: atq. Aleus quicung. it ter duas rectas ſecantes interiecti, ſimiles dem 9 8 95 5 8 . 2 2, lib. 3. Euel. ipſos ſimi les eſſe. E ulos ſec ſimiles oſtendentur, arcus B dem uod etiam in præcededti lemmate demonſtratum eſt de arcubus inter A guod et n in præcede 0 0 5 rekkas ex puncto contactus duorum circulorum intus ſe tangentium emiſſas intekceptis. DEIN DE recta AP, tangat eirculum ABC DE, in A, ac proinde alios ſeget in P, I, cum circuli in A, ſe interſecare ponantur, non autem t- re;(ſolum enim cum plures circuli ſe intus tangunt, uel duo exterius, una ademque tta omnes illas in eodem puncto contactus contingere poteſt) recta autem N, omnes tres ſecet in B, G, N. Dico ſimiles quoque eſſe arcus BA, GI. P, quorum prior a puncto ſectionis B, usque ad punctum contactus A, ProgreAtur, poſteriores uero duo a punctis ſectionum&, N, uſque ad alla puncta ekt onum 7, P. De duobus quidem hiſce poſterioribus GI, NP, inter duas rektas ſecantes poſitis liquet ex ſcho lio propoſition. 22, lib. 3. Euc lid. eos ſimiles eſſe, propter angulum communem NA, ad eorum circumferentias: atuero omnes tres BA, GI, NP, ſimiles effe, ita oſtendemus. Ducta diametro AK D, in circulo AB CDE, quem recta A P, tangit, ſecante alios duos circuJes in D, d, iungantur rectæ Dp, dL. à Et quoniam angulus DAI, rectus eſt, cadent, ex corollar. propoſition. 53. lib. 4. Euclid centra circulorum ALMNNO P, AFGEI K, in rectas D d, ideoque ſemicirculi erunt DM, d FI, ac proinde ſemicirculo DCA, ſimiles. Cum ergo& areus abla ti DB. DN, d G. inter rectas ſecantes 4 D, 40„ poſiti, ſimiles ſint, vt proxime oſtenſum eſtꝭ erũt& reliqui arcus BA, Gr, VP, ſimiles, ex 6. le mma te. Eademque ratione, ducta recta ſecante A E, arcus CA. EI, Mp, ſimiles erunt,& ie de cæteris RVRSVS recta AE, tangat circulum ALMNOp, in A, alioſque proinde cet in E, K, recta autem A N, omnes ſecet. Dico adhuc ſimiles eſſe arcus NA. B D E, GA X, quo rum primus NLA, inter N, punctum ſectionis,& Fpunctum contactus, poſitus eſt,& ſecundus B D E, inter puncta ſectio num B, E, uerſus eandem partem arcus N L A, iacet,& GAK, tertius a Functo ſectionis G, ad eaſdem partes priorum duorum uſque ad punctum ſeHonis X, ultra A, computatur. Nequę enim recta AE, circulum 4FGH IR, tra puactum A, ſecat, vt alios. Hoc autem ſic demonſtrabimus. Ducta metro Ae M, in circulo ALMNOE¹, quem recta A E, tangit, ſecante duos alios circulos in C,& z iungantur rectæ CE, Fx. b Et quia tam angulus MAE, rectus eſt, quam MA K, cadent, ex corollar. propoſit. 5. lib. 4. EuAd. centra circulorum A5 CDE, AFGHT K, in rectas C E, FK, ideoque ſemicirculi erunt EDC, X AE, ſemicirculoque ADM, ſimiles. Cum ergo& Arcus MN, CB, E d, inter rectas ſecantes AF, 4G, iacentes, ſint ſimiles, ut ſupra monſtra tum eſtʒ erunt toti quoque arcus NLA, BDE, GAK, n lemmate 6. ſimiles. pari ratione Amiles erunt arcus DL A, Db E, 0 AK, quorum primus DL 4, inter punctum ſectionis D,& punctum conta4A, ſecundus uero Db E inter puncta ſecti onum D, E„ uexſus eandem partem 4 1K. ter ti. b IS. tertij. 26 I.. partem arcus DL A; Tertius denique dA R, inter punctum ſectionis d, citta A,& punctum ſectionis K, vltra A, exiſtit. Ducta enim rurſus diametro Ae lf, in circulo ALM NOF, quẽ recta AE, tangit, ſecante alios duos circulos in C,& F, iũctisqͥ; rectis CE, EK, oſtẽdemus, vt proxime factũ eſt, EDC, K AF, ſemicircu los eſſe, ſemicirculoqʒ A DM, ſimiles. Cũ ergo& arcus ablati DM, DC, dF, ſimiles ſint, inter ſecantes rectas A D, A, vt initio huius lẽ matis demõſtrauimus: erunt reliqui quoque arcus DL A, DbE, dA E, ſimiles ex 6. lemmate. Non aliter probʒ bimus, arcus NPA, GI K, BAE, eſſe ſimiles, quorum primus inter punctum ſectionis N,& punctum contactus A; ſecundus vero inter duo ſectionum puncta G, K, ad caſdem partes primi arcus intercipiturz tertius denique verſus eanden hartem a puncto ſectionis B, vſque ad alteram ſectionem E, vltra A, numeratuf: Facta namque cadem conſtructione, oſtendemus, vt proxime 1 NI. rr JJ. pf, eee, ee W — LIE Au A xX. 27 f IF, EAC, ſemicirculoque AM, ſimiles. Quare cum& ablati 4 MN 5. Ch, inter rectas ſecantes AF, AG, ſimiles ſint, vt oſten ſum eſt ad initium huus lemmatis, erunt reliqui quoque arcus NPA, GIK, BAE, per 6. lemma, 1 ſi 8 E 1„Gre; lioſque 5 P RAE TER E A recta A L, tangat circulum A 61 1 N 25 N e 5 N Propterea ſecet in b, L, at recta AN, omnes ſecet. Dico rurſum ſimiles eſſe ar1 cus GFA, BDb, NDL, quorum primus inter G, punctum ſectionis& 2 e gontactus, ſecundus vero inter ſectionum puncta B, b,& denique tertius inter 4 Ationum pundcta N, L, poſitus eſt. Ducta namque diametro Aff, in circulo 1 AFCGUIK, quem recta AL, tangit, ſecante alios duos in Q; O, fun nenr ee 1 b, OL. Et quia angulus HALL, rectus eſt, cadent, ex coroll. propoſ. 57 lib. 4. 2 1. teres. Hucl. centra circulorum ABC DER, ALMN Od, in gectas b, Lon ac proinde kunt bDq, LMO, ſe mic irculi, ideoque ſemicirculo AF H, ſimiles. Sunt autem arcus GH, BQ, NO, ſimiles inter rectas ſecantes AH, AN, vt ſupra oſtenſum . gitur reliqui quoque arcus GFA, B Db, NDL, ex 6. lemmate ſimiles erunt. Nec eti am ducta per A, recta Alm, erunt arcus Ek, Al, Km, ſimiles. Cum enim NE, circulum A LMVNOp, tangat, erit, vt ſæpius jam demonſtratum eſt, arcus Al. inter punctum A, contactus,& punctum l, ſectionis, ſimilis arcui Km, inter quo ſectionum puncta&, m, ex eadem parte arcus Al. Arcui autem Km, arcus k. ex ſcholio propoſ. 22. lib. 3. Eucl. ſimilis eſt, ob angulos ad verticem æquaEe k Am, EAk illis inſiſtentes. Igitur omnes tres arcus Ek, Al, Km, ſimiles unt. AD hæc, recta AE, tangat circulum ALNANOp, in A, aliosq̃ue ſecet in E, K: Item recta AL, tangat circulum AF GHI R, in A, aliosque ſecet in b, L: Denique AI. tangat in A, circulum ABCD E, ſece tque alios in P, I. Dico ſimiles Mo que eſſe tam arcus bE, LA, A K, quàm arcus EDA, ADP, KA Fl, quam arug bDA, LMP, AFI. Nam quia AE, circulum ALMNOp, tangit, erit, vt iam pridem monſtratum eſt, arcus LA, inter L, punctum ſectionis& contactum A, Hmilis arcui b, E, inter ſectionum puncta b, E, ex eadem parte arcus LA. Eſt au. tem arcui bE, ſimilis arcus A R.(Quoniam enim hA, tangit circulum AF GH IX mA,& XA, eundem ſecat, b erit angulus hA R, hoce ſt, bA E, qui ei ad verticem b glalis eſt, angulo A E, in alterno ſeguento æqualis: ac proinde arcus AK, quibus ad circum ferentias in ſiſtunt„ſimiles erunt.) Igitur omnes tres bE, E, Ax. ſimiles erunt. Deinde ducta in circulo ABCDEzdiametro 4D„iuncta⸗ e recta DP, erit DNP, ſemicirculus, ob angulum rectum DAP, ideoque ſemicirculo PCA, ſimilis. Sunt autem& arcus DLA, DE, ſimiles, vt iam non ſewel eſt monſti atum, quòd AE, circulum ALMNOę., tangat,&c. Igitur toti ar tus EDA, AD, ſimiles quoque erunt: Sed arcus ADP, arcui x A Fl, ſimilis eſt. 32. tertij. Nam ducta diametro AM, in circulo ALMVNOp, ſecante circulum A FGH IK n F, iunctaque recta RE, erit XA, ſemicirculus, ob rectũ angulum FAR, ideo Me ſemicirculo ADM, ſimilis. Cum ergo& arcus F, MP, ſimiles ſint, ob anguEm communem FAI, illis ad circumferentias inſiſtentem; erunt toti arcus KAP, A DP, ſimiles.) Omnes ergo tres EDA, ADP, KAFf, ſimiles erunt. po. ſtremo ducta diametro Al, in circulo AFGH R, ſecante circulũ ALMNOp, in„ iunctaque recta LO, erit LMO, propter angulum rectum LAO, ſemicircu lus ſemicirculo bDo. ſimilis. Sunt autem& arcus Ob. QA, ſimiles, cum AP, circulum ABCDE, tangat,&c Igitur toti arcus bDA, LM, ſmiles erunt: Sed arcus bDA, arcui A F/ ſimi lis eſt. ¶ Ducta enim diametro AH„in circulo Ar GHR, ſecante circulum ABCD E, in Qiuactaque recta b, erit bC, ſe· 2 2 micir 28 L IIe zt. mic irculus, ob angulum rectum ba,& ſemicirculo A5 H, ſimilis & arcus QA., ſimiles ſint, quòd AT, circulum ABC DE etunt quoque toti arcus bD A, AFI, ſimiles. Quamobrem om bDA, LM, AFI, ſimiles erunt. PROPOSVI autem tot caſus, ac tam va uis in omnibus eadem fere ſit demonſtrandi ra aliis caſibus te gerere debeas. CAE T ERVM aliter,& paulo facilius oſtendemus, arcu culi inter duas tectas comprehenſum, ſecat, ſimilem eſſe arcui cuiuſuis alteri Cum ergo tangat,&c. nes tres arcus rios huius propoſitionis, quam. tio, vt intelligas, quo pacto in m cuiuſlibet cirquarum na circulum tangit,& altera us circuli per contactum deſeripti, inter eaſdem duas rectas incluſo, quarum vel vtraque circulum ſecat, vel vna tangit, & altera ſecat. Nam quia 4 Fs circulum ABCDE, tangit,& 40, eundem ſecat, & vtra C. Us N. in a er L. M MAX. 29 Syttaque alios duos circulos ſecat; a erit angulus 4b in n eee bft io à recta ſecante 4 S æqualis angulo PAH Er RO en 210 Prof 15 25 lib. 3. Eucl. arcus AQ, inter duas rectas AP. Acgcompichen tus Wee 5 angulus Abęnſimilis eſt arcubus 20, H, inter eaſdem nv dal Peseenn me 9 bus communis angulus 4A, inſiſtit, qui angulo 4 bQ, oſtenſus ol ane 4 RKVRSVS quia E, c irculum ALMNObetangit, eundemd: 45 ſecat,& Vergqʒ circulos AB5CDE, AF GHIK, ſecat in E, D,& K. d, oſtendemus arcus , ED, K Ad, limiles etiam eſſe. b Quia enim angulus EAD, angulo APD, in alter no ſef mento æqualis eſtʒerunt ex ſchol. propoſ. 22 lib. 3 Eucl. arcu ED. ALP, quibus inſiſtunt, ſimiles. Eis autem ſimilem quoque eſle arcum K Ad f ita perſpicuum fiet. Tangat recta A L, circulum AFGHIX ſecetque circulum ABCD, in b. luncta ergo recta dE, e erit angulus bAD, angulo Ad, in ſegmento alterno æqualis,& angulus hA K, angulo AE K, in alterno ſegmento. Cum ergo angulus h AR, angulo b E, ad verticem æqualis ſitz erit quoq; angulus b E, angulo AFK, æqualis, ac proinde, cum oſtenſus ſit angulus b B, an gulo AFD æqualis, erit totus angulus EAD, toti angulo dE, æqualis. Atque Neirco ex ſcholio propoſ. 22. b. 3. Eucl. arcus ED, X Ad, ſimiles erunt. Nuo Ar ea cum ED, oſtenſus ſit ſimilis arcui A LDʒerunt omnes tres ALD, ED, X Ad, ſiMiles, inter rectas AE, AD, comprehenſi. P RAE TERRE A eum Ab, tangat circulum AFGHIX,& Ad, eundem ſegetz atque vtraque duos alios circulos ſecet; c erit angulo 41d, in alterno ſegmento æqualis angulus bA D. Igitur ex ſcholio propof- 22. lib. 3 Eucl. arcus Ad, inter d ectas Ab, Ad, cui angulus Ad, inſiſtit, ſimilis eſt arcubus bD, LD, intex eaſdem rect as, quibus angulus communis b D. angulo Ald, æqua lis oſtenſus inſiſ AMD LIVS quia AK, circulum ALMNOp, tangit, alioſque ſecat in K, EItem Ai, circulum ABCDE tangit, aliosq; ſecat in B, I, erit angulo AD, in alterno ſegmento æqualis angulus KAP, ac proinde& angulus ad verticem IAEEus Sed hie ęqualis quoque eſt angulo 4 CE . in ſe nto alter no. r tres anguli 4 CE, A4 DP, KA], æquales ſunt. ac proinde ex ſcholio propoſ. 22. lib 3. Kue l. tres arcus AE, A, K, quibus inſiſtunt, æquales ſunt, inter rectas AK, Ai 7 1 1 1 5 5 2 comprehenſi. E NIQVE quia AP, circulum ABC DE, ta ioſque ſecat in tem AE, circulum ALMN Op, tangit, alioſque ſecat in E, xʒiuncta recta EE erit tam angulo AkE, in alterno ſegmento angulus PAE, quàm angulo b,(iuncta recta Ię,) in alterno ſegmẽtò idem angulus EA v, æqualis. Deinde quia iunctis rectis Km. m. tam duo anguli Km XA, quã duo Ak E, ACE dup dus rectis æquales ſunt, ł eſtque angulo ACE ACE, ip alterno ſegmento æqualis * 1 1* 1 2 10 1* 4 1 1 ＋ Angulus 1A E, hoc eſt, K Al, ad verticem, erit quoqʒ reliquus& m, reliquo Ak E Sqhualis. Igitur omnes tres anguli Ak E, AIP, Kmi, æquales ſunt; ideoque ex holio propoſ. 22. lib. 3. Euel. tres arcus ACE, ADP, X Al, ſimiles erunt. Et ſic de cæteris. DIFFEE RT autem prima hæc pars lemmatis à prima parte lemmatis ane cedentis, quòd hic ſolum demonſtrantur illi arcus ſimiles, qui inter duas reCas lineas, ſiue vtraque ſit tangens, ſiue altera tantum, ſiue neutra, inte rijciuntur, nou autem illi, quos recta aliqua abſcind it: neque enim ſimiles ſunt arus 4 APO, AKH, quos recta AH, aufert. At vero in priori parte ſemMatis antecedentis ſimiles etiam oſtenduntur arcus à Aolciſsi. quacunque Inca rxrecta 2 o 32. ferlij. 32. tertj. IS. primi. 32. rertij. 32. tertij. 22. fertij. 32. tertij. 27. tertij. 20. terti. 30 L G n 1. IAM verò ex ſectionis puncto A, circuſus quilibet deſcribatur STV, ad qu vſque rectæ ex A, prodeuntès extendantur ſecantes eum in 8. T. V, X. T. Z, a. Di co arcum, verbi Statia, S T, ſemiſſem eſſe arcus, qui ſimilis ſit in eodem circulo, arcui Eb: adeo vt numerus graduum in arcu ST»comprehenſorum dimidlatz Pars ſit numeri graduum in arcu Eb contentorum. Sumatur enim arcui 81, qualis arcus Tg, ductaque recta g, ducantur ex S. gad quodlibet punctum X, in eircumferentia STVXV2, duæ recta SX. gX. Quia igitur arcus ST, 1g, æqua les ſunt, æquales dio que erunt anguli SAT, TAg, in centro A, ac proinde angulus 87 granguli SAT, duplus erit, b Eſt autem idem angulus S Ag, ad centrum A, duplus quoque anguli SXIg, ad circumſe rent iam. Igitur auguli SAT Sg. æquales erunt ideoque ex ſcholio Propoſ. 22. lib. 3. Eucl. arcus Eb, Sg, ſimi. les eruntzac proinde arcus 8 T, ſemiſsis erit arcus Sg, qui arcui xb„ ſimilis eſt. Eademque ratio eſt de cæteris. quod conſtat etiam in arcubus Va, DA 2, DCA. dy, quorum Prior Va, quadrans eſt continens gradus 90 Propter angulun rectum VA a, poſteriores vero tres ſemicirculi t i continentes linguli gradus 180. exiſtunt. LRC M NM A X. I. RE CTA M lineam breuiſſimam in cõtinuum extendere, vel(quod idem eſt) per duo puncta parum inter ſe diſtantia lineam rectam quantumlibet producere. ACCIDIT frequenter, vt vel linea recta breuiſsima, qualis eſt AB, exten denda ſit, vel(quod idem eſt) per duo puncta, quorum alterum ab altero propè abeſt, cuiuſmodi ſunt duo puncta A, B, recta linea quantumlibet extendendaJuæ res non paruam habet diffcultatem, propterea quod regula, qua linea ducenda eſt, facile in hanc, illamue partem flecti poteſt: adeo vt quò longius produ cenda eſt Iinea, eò maior admitti poſsit error. Ne ergo in ea linea ducenda erremus, „ qus . Di ulo, liata 87, Tum 7g, proad AT mi. eſt. um jus ſe LE M MA dus, vtendum erit hoc artiſicio. Ex A, per B, arcus ci ib Afciſsis æqualibus arcubus BC, BD,(qui quo maiores erunt, co fe liciu 0 g ribantur ex C, D, duo arcus tanto interuallo, vt commode ſe inte. ſe in E, hoc eſt, vt non admodum obliqua fiat ſectio, quia tunc non fa ni poſſet inter ſectionis punctum. Deinde ex A, per 1„iterum arcus deibatur, in quo abſciſsis duobus arcubus æqualibus EF, EG, deſc ntur ex que interuallo duo arcus, vt commodè ſe interſecai queant in A, per H, arcus deſeribatur, in quo abſciſsis duobus arcubus æqua bus HI, EIK, deſcribantur quoque ex l, K, tanto interuallo duo at cus, vt comoſoint interſecare in L: atque in hunc modum progredi licebit, quanit Dico rectam AB, productam tranſire per puncta E, H, L,&c. adeo Wapplicata regula ad puncta A, L, recta linea ducatur per puncta A, B, exquiſiAihzime, quippe cum iunctæ A B, AE, AH, AL, omnes vnam conficiant rectam lieam. Ductis enim rectis AC, AD, AF, AG, AI, AK, CE, DE, FH, G, L,KLz es luce quc latera AC, AE, lateribus AD, AE, æqualia ſunt,& baſis quoque CE, Bali DE, æqualis, ex conſtructione, ob æqualia ſumpta interualla ex C, D, vſque Ez crit angulus CAE, angulo DAE, equalis, hoc eſt, recta EA, angulum 2. primi. A, ſecabit bifariam: ſed& recta BA; eundem angulum CAD, bifariam diuiAit, que nguli B AC, BAP, æquales ſint propter æquales arcus BC, BO. Igi-* 27. tertj. tur recta EA, per B, tranſit, ne duæ rectæ dicantur eundem angulum CA, bifa Nam partiri. Kurſus quia latera AF, AH, lateribus 4, AH, æqualia ſunt,& ba EI, baſi GE, eadem de cauſa; erunt quoque anguli FA H, GAH, æquales, id. primi. elt. recta II A, angulum FAG, bifariam ſecabit. Cum ergo& eundem angulum bi fariam ſecet recta EA, quòd anguli EAE, EAG, ob æqua les arcus EE, EG, 4 25. ert. gquales ſiut; tranſibit recta HA per E: ac proinde& per B, cum recta EA, tranſi- 1 re oſtenſa ſit per B. Non aliter demonſtrabimus„ rectam LA, tranſire per H, ide oque& per E, B,&c. H AE& praxis hoc etiam modo inſtitui poteſt. Ex punctis A, B, datis, vel ex*—!:!—— tremis datæ lineæ 4B, ad quoduis interuallum, quod paulo maius ſit n recdz ABbini arcus hinc inde deſcribantur ſecantes ſeſe in C, D. Et ex C, Dr alij duo ar cus tãto interuallo, vt commode ſe interſecent in E. Rurſus ex B. E, bini alij arcus vtrinque ſecantes ſeſe in E, G. Et ex F. E, duo alij arcus ſe interſectt in H. * Item 32 L Ii MN. Itẽ ex E, H, vtrinque ſe interſecent bini alij arcus in J. K. Atque exl, K, alij dub arcus ſeſe interſecent in L Atque hoc modo, quantum libuerit, procedatur. Di. co omnia puncta A, B, E. E. L. in vna recta iacere linea. Nam ex Ijs, quæ in prau propoſ. II. lib. 1. Eucl diximus, recta A;, rectam iũctam CD, diuidit ad angulos rectos,& bifariam ip M: item recta iuncta EM, ad eandem CD, perpendicularh eſt, ac proinde rectæ BM, copgruit, hoc eſt, per punctum B, tranſit, ita vt vna fe. cta ſit A E. Rurſus eodem modo H, per E. tranſibit, vt vna recta ſit AH, qudd tam recta B E, rectam ꝶG, ſecet bifariam& ad angulos rectos, quam recta HN, ad eandem PEG, perpendicularis ſit. Non aliter oſtendes LO, per H, tranſire, ideoque ABNEOHL, eſſe vnam rectam lineam, propterea quòd recta EH, re. ctam R, ſecat bifariam,& ad rectos angulos,& recta juncta LO, ad eandem II, perpendicularis eſt. ALIT ER Per extremum A. educatur recta vteunque ACE, faciens cum AB, angulum, nec valde magnum, nec valde acutum. Deinde per alterum extremum, ducta vtcunque alia recta BD, ſecante AR, in C, ita tamen, vt AB,& Al non valde oblique ſecentur, ſed ita, vt inter ſectionum puncta C, B, commode di. ſcerni poſsint, abſcindantur ipſi AC, beneficio circini quotcunque rectæ æqui les CE, Ex, FG, GHz ex C.& vltimo puncto H, interuallis æqualibus CI, HK, arcus deſcribantur 1D, RLzſumptoquèe arcu KL, æquali arcui JD, inter rectas G OD, intercepto, ducatur recta H L, ex qua vſque ad O, accipiantur tot partes æqua les ipſi CB, quot partes æquales ipſi 4 C, ſunt in AH. Nam recta AB producta cadet in O, vel recta A0, per B. tranſibit. Quoniam enim arcus ID, 1. teriij. KL, æquales ſuntzerunt anguli etiam CD, KHL, internus& externus, æqua 5. primi. les, b ac proinde CB, EO, parallelæ erunt. Cum ergo ſit, vt AC, ad A H, ita CB. — ad HO, quòd totiec contineatur AC, in AH. quoties CB, in HO ex conſtructioneʒ tranſibit ex ſcholio Propoſ. 4. lib. 6. Eucl. recta 40, per B,& recta AB, per O. Quòd ſi ex G, alius arcus deſcribatur MN, ad idem interuallum C I, vel EH K, ſumaturque arcus MN, eidem arcui ID, æqualisz erit eodem argumentò du eta GN, ipſi CD, parallela. Si igitur in GN, accipiantur rurſus tot partes* 4 Ege 2 tr I cum tre· AK di qui IK, ctas ar · „ L. E M M IAI NI 33 N P, ipſi CB, æquales, quot partes ipſi AC, equales ſunt in Artranfbit eadem rect A0, per punctum etiam P: quòd eadem ſit proportio 4, ad 4A Juæ Gp, ad HO, ꝓropte rea quòd multitudo partium ipſius 4 eſt æqualis multitu dini partium GP:& multitudo partium ipſius A H, æqualis multitudini partium Ihus HO,&c. Atque hac ratione plura puncta inuenientur, per quæ recta AB, extenſa tranſibit, ſi nimirum ex aliis partibus ipſius AH, parallelæ ipſi CB, agan Fur,&c. OT Es quoque, ſi placet, antequam rectam CD, per B, ducas, ſumere in & quotcunque partes æquales ad libitum AC, CE,&c.& per C, rectam ducere, guæ rectam A B, ductam in puncto aliquo ſecet. Vt ſi puncta data eſſent A, Q ducta eſſet per C, recta CP, ſecans AQ. in B. Nam ſi reliqua fiant, quæ prius, abſolucmus id, quod propoſitum eſt, eodem modo. Atque hac poſteriori via non opus eſt circino partem AC, accipere,(quæ ſi nõ exquiſite accipiatur, neceſſario elgeitur, vt eius multiplex AH, vel AG, ſit vel nimis magna, vel nimis paruaʒqui error vitatur, ſi ante ductum lineæ CD, ſumantur, vt dictum eſt, quotuis partes qua les AC CE,&c.) ſed ſatis eſt, ſi C B, circino accipiatur,& in rectas EL, G, toties tiansferatur, quoties AC, in AH, AG, exiſtit. LIBE T hoc idem tertia adhue ratione facillima abſoluere,& quidem ſi lu bet, vnico circini interuallo. Sint enim rurſus data duo puncta A, B, vel recta A, producẽ da. Ex B, per A, arcus deſcribatur AC, ex quo ad idem interuallum I ͤͤ A——́. AB, tres æquales arcus abſcindantur AD, DE. EC. Rurſus ex C, ad idem interum de ſeribatur arcus BE, qui per B, centrum prioris tranſibit, cum eius ſeMfdia meter hiuius ſemidiametro Ponatur æqualis. Abſciſsis autem eodem inter Allo tribus arcubus æqualibus BE, EG, GE;(cadetq̃ue punctum E, ip punctum Heer ſectionis arcuum AC, BE, ob ſemidiametrorum æqualitatem deſcribatur Hoque ex E, arcus CH, ad idem interuallum qui cadem de cauſa per C, cenum: d j i 8 i i Hum antecedentis arcus incedet Sumptis eodem interuallo tribus arcubus equa bus CG. G7 5 bus CG, G LZ,(cadetque eadem ratione punctum G, in ſectionem arcuum E BF. 34 K Ia. BE, CH)deſcribatur rurſum der F, eodem interuallo ex H, arcus FK, in quo ite. rum ſumantur eodem interuallo tres æquales arcus I. ZL, LK, atque in hunt modum conſtructio eadem continuetur, quantum libuerit, aut opus fuerit. Di. co rectam AB, extenſam tranſire per omnia puncta inuenta C, F, H, K. Quo. niam enim ex coroll. propoſ. 15. lib. 4. Eucl.arcus AD, DE, E tes circuli ſunt; erit A DEC, ſemicirculus, ideoque diameter A, per centrun B, tranſibit. Eadem ratione tranſibit B E, per C,& C E, per E,& EK, pet A,;&. QVAN PDO data linea AB, eſt perexigua, ne euadat, inuento puncto C extenſaque recta AB, v lum rectæ CA, arcus deſeribatur AH C, tres ſextæ parpraxis longior, quàm par eſl ſque ad C, ſi ex C, ad interuil „ in eoque aceipiantur eodem interuallo CA, tres arcus æquales A M. MN, MH, inuentum erit punctum H: Ex quo ſi ad idem interuallum per C, arcus deſcribatur, reperietur eodem modo punctũ O: ſi ex hoc ad idem interuallum O, arcus deſcribatur, inuenietur cadem ra tione punctum Q,& ſic deinceps. Immo in uento puncto H, ſi ex eo arcus A Q, ad interuallum HA, deſcribatur, reperies ſimiliter punctum Qʒatque ex inuento puncto O, ſi arcus per A, deſeribatur A8, inuenies punctum 8. Denique in ſinitis modi Praxin mutare poteris in arcubus deſcribendis,&c. N DAT Is duabus rectis tertiam„& tribus quartam proportiona lem inuenire. HIC ſolum propoſitionem 11.& 12. lib. 6. Euc l. ad faciliorem praxim reus cabimus. Huic autẽ negotio aptiſsimum eſt rectangulum qualecunqʒ ABCD. In hoc enim nullo labore id, quod propoſitum eſt, exequemur. Sit ergo duabus tectis E, E, reperienda tertia proportionalis: Primæ E, abſcindantur æquales BG, A, in lateribus rectanguli oppoſitis,& iuncta recta GH, abſcindatur Gl, equs lis ſecundæ E, connectaturq̃ue recta BI,& vlterius protẽdatur; ſi opus fuerit. Deinde etiã ſecundæ E, vel Gl, æquales auferantur BK, AL., iungaturque K L, ſecis 233. primi. B, in M. Dico K NA, tertiam elle proportionalem duabus E, E, vel 6, 1. Quo 5 30. primi. niam enim GA, KL. ipſi AB; paralle N unt, atque adeo& inter ſez erit vt 5⁰ e ſexti. ad Gl, ita BK, ad K UA. Cum ergo 5G, ipſ E,& G7, B X, ipſi E. æquales ſint, etit quoque yt E, ad F, ita E, ad KM adeo vt ſi ſumatur N, ipſi KM. æqualis, ha bean tur tres line continue Proportionales E, E, N. SIT rurſus tribus rectis datis BG, GI, BO, inuenienda quarta proportiona· lis. Prima ac tertia collocentur in latere BC. i nitio facto à B, eiſque in latere o poſito equales abſcindantur A H, AP: I unctis autem rectis GH, Op,& d termiſciſſa GI, æqua li ipſi ſecundæ, ducatur xecta BL, quæ producta ſecet 4 4. ſexti. O Nene Dico O eſſe quartam proportionalem guæſitam 4 Erit enimit a ad G, ſecundam, quemadmodum BO, tertia ad OO, quartaa, bus rectis 50, OQ, 5, reperietur quarta proportionalis G. f VERVM vt omnia hæc flant quàm exquiſitiſsime, diligenter hæ cautionei adhibendæ ſunt, Primum quando duabus rectis tertia inuenienda eſt proportio. nalis, ſi quidem prima qualis eſt, yel malor quam ſecunda, cuiuſmodi 271 ur 1 r IL E M M AI XII. 35 qu E, F, quibus æquales abſeiſſę ſunt 50, GI, nihil in præcepto dato immutan um eſt, eo quod tunc recta BI, non admodum oblique rectas GI, x M, ſecatzex quo fit punctum interſectionis M, commode diſcerni poſſe, quod ſecus accideec Gl, obliquius ſecaretur. S JI vero prima fuerit minor quãm ſe cunda, vt ſi datæ ſint duæ BG 588, Moniam tunc ducta recta B&,& oblique valde ipſam G8, interſecat,& longius Produci debet, vt cum IV,(ſumpta B L.erqua li ipſi ſecundæ G8) conueniat, ſetabimus ſecundã G8, bifariam in R,& GR, rurſus bifariam, atque ita deinceps, dgnec in partem incidamus, quæ vel æqualis ſit primæ BG, vel minor, qualis hic el. quarta pars ſecundæ. Et quia ducta recta BI, licet non nimis obliq jue Ip„%„„„„4„%%„„„„ 1 —ç — — — 2 2 „„„„ 6 „nr * IL. ſecetztamen quia longius producidebet, ecerimus, ſi in latere BC, ſumamus aliq vt interſecet ipſam TVʒrectius luot partes primæ lineæ B G, æquales, donec inueniamus rectam BO, ipſius BG, multipli i — 1 5 plicem, quæ vel æqualis ſit rectæ 2 T. vel malor,(In exemplo eſt BO, primę BG, tripla)atque in Perilis OP, acE 2 cipiamus 36 EI A u 1 cipiamus OO, ita multiplicem ipſius Gl, vt eſt BO, ipſius BG, multiplex. Nam ducta recta BO(quæ omnino per I, tranſibit, ex ſcholio propoſ. 4. lib. 6. Eucli. dis, cum ſit, vt BG, ad BO, ita GI, ad O; ex conſt ructione) ſecabit Parallelam IV, in X, eritque TX,(quarta proportionalis ipſis BG, GI. BT,) quarta pars ter tiæ proportionalis quæſitæ, eadem nimirum Pars, quæ eſt Gi, ſecũdæ lineæ G8, adeo vt X, quater ſumpta conficiat totam tertiam proportionalem. Cum enim ſit, vt BG, prima ad GI, ita BT, ſecunda ad JIzerit quoque ex ſcholio Propoſ 22. lib.. Eucl. vt BG, prima ad quadruplam ipſius G, hoc eſt, ad G8, ſecundam, ita BT, ſecunda ad quadruplam ipſius IX., atque idcirco quadrupla ip ſius TX, erit tertia Proportionalis quæſita. u 4. ſerti. —— 2————1—ỹ—ͤ 2 2„5„„„„ * 2„„ 22 4 4 1 1„„ „4 QVOꝰ ſi prima, vel ſecunda linea data fuerit longior, quàm rectangulum, quod quidem vel propter ſpatij anguſtiam produci nequit, vel producere non li bet, ſumendæ erunt earum ſemiſſes,& harum ſemiſsium iterum dimidiatæ partes,& ſie deinceps, donec partes habeantur rectangulo breuiores. Inuenta namque 2——. 2 — K— 1 ee le e e 1 LIE M MI A II. 37 ge tertia proportionali hiſce partibus, ſi ea toties um ſicietur tertia prop e partes in totis lineis continentur, conficietur tertia ro] 6 1970 Ita, quòd partes cum pariter Aigner eandem habe propor nem f DEIN D E quando tribus rec enda eſt quarta pr li qu prima eſt omnium maxima, ſeruandum eſt præceptum ſupra tradiuw.„ficut p atuit in rectis BO, OQO, BG, qui bus c quarta proportionalis i ta eſt Gl. 1e ima non ſit maxima, maior tamen quàm ſecui vt ſi datæ ſint tres rc 5 licanda erit pr ma BG, in reſta BE, 1 ia 15 vel æqualis: Et in ducta] parallel tux 50. cand: dd„toties, quoties prima 565.5 Sata! 0 ripla funt ipfar ũ BG, G I. Duc ta enim tekka 50 zucl. per I, tranſ tj ſecante paralle- a Av, larta broportie onalis TX. b F. ſexti. K 1 l it, ſed minor quid em quàm ſecun da, maior augquaq tertia, vt ſi t es rectæ BG, G8, BK, ſumenda erit ſec pars dimidi ita, vel quart taua,&c donec pars oc currat, cuiutg eguarta] IL minor quàm prima linea BG. Nam ducta recta BL ſecante pa Mclam KL. in M, erit K quarta pars quartæ ren lis quæſitæ, cadem Pts videlicet, quæ eſt GI, ſecundæ G8. Cum enim fit, vt BG, Nima ad GIL ita. f. ſexti. Btertia a F jue ex ſcholio propoſ. 22. lib. 5. Euc lid. vt Be 1, prima g guadruplam iplius Shoe eſt, ad ſecui a Ra B N der a ad quadruPiüpr if KM deo jue quadrupla ipſius XM, erit quarta prop. 91 znqu: Itur. 1 C etiam, ſi prima non ſit maxima, ſed minor, quàm ſecunda& tertia, vt ß tres rectæ datæ ſint BG, GR, BT, accipienda erit ſecundæ G K, dimidiata parks, vel quarta,& c. quæ videlicet mivor ſit, quàm prima BG, qualis eſt GI, ſemitsis ſecundæ GR. Quo facto, prima BG,& ſecundæ accepta pars GIL, æqualiter n licandæ in BC OP, donec BO, inueniatur maior, vel æqualis tertiæ Bt in dato cxemplo BO, OQu triplæ ſi nt ipſarum BG, Gl. Ducta enim recta 50 ommino per I, tranſibit, ex ſcholio propoſ. 4. lib 6. Euclid.) ſedane parallelam IV, in X, erit IX, talis pa: s quartæ proportionalis inuenien d qualis eſt Gl, ſecundæ lineæ R, nimirum in dato exe plo pars dimidia. Quia enim eſt, vt BO, prima ad G1, ita BT, tertia ad 1 Xserit etiam, ex 4. ſexii. holio propoſ 22. lib. 5. Eucl lid. vt BG prima ad duplam ipſius Gl, id eſt, ad ſecundam GR, ita BT, tertia ad 9 am i ph ius TX, ac proinde dupla ipſius TX, Marta proportionalis erit tribus datis BS, GR, 57T. QO D ͤſſ prima, ac tertia long iores ſint rectangulo, ſecanc de erunt a mbæ Pifaria n, vel in quatuor parte es qual es,&c. ſecunda intacta relicta. Nam ita Skit pars primæ ad ſecundam, vt ea dem pars tertiæ ad quartam inuentam. Si autem ſola prima ſit lon gior, d iuidendæ erunt pariter prima& ſecunda, tertia intacta relicta: quia ita erit prima ad ſecundam 5 hoc eſt, vt pars primæ 21 eangem parten ſecyndz vt tertia ad quartam enfant: Si denic ertia Iongior fuerit. ea ſola diuidenda erit. Ita nam que erit prima ad Neuf am, vt pers tertiæ ad eandem partem quartæ inuentam. Si ergo toties ſumatur pars Martæ inuenta quoties accepta pars ter tiæ in tertia con inetur, conflabitur to te quarta propor tionalis, quæ quæritur. SCH O 38 LM A1 l. R. S Fiie F. pri um au SE D tot Matuor plerisque aljjs ſertim quando duabus rectis tertia prop 7Ces in tionalis adi aitur. Sit di grectis a, b, adiungenda tertia propof. Io propo/ rionalis. In 2 Jẽ ig C D, ſumatur primæ a, aqualis CV,& per E, ducta ad CD, 4 L 7 erpendiculari Hd, ſumantur EF, EG, ſecunda b, equales: Et her tria puncta F, C, G,„ circulus deſcribatur ex centro H. ſecans C D, in D. Dico E D, tertiam eſſe proportio- I veci. nalem ad duas C E, E F, hoc ett, ad duas à, b. uoniam enim em ſcholio prop, 3.l0. 2 6. Euclid. EF, mellia probortionalis eſt inter CE, E D; erit vt CE, ad EF, ita EP, al en ED. Sumpta igitur d, ipſi ED, æquali, erit quoque vt a, ad b, ita b, ad ds ac proinde i porti as b, tertia proportionalis eſf. quod eſt propoſitum. Centrum autem H, inuenietul 2 5% ſiex C F, ad idem interuallum ex vtraque parte quatuor arcus deſcribantur inter ſi I cantes ſeſe in I. K; Et ex C, G, ali quatuor ſecantes ſeſe in L, M. Nam recta IK, LI, NN. ve 81¹ ie„ , C, 4 Prun esu e e inne ni Ar tionali. rect an . A, circu Sab circa . ſe interſecabunt in H, centro, quod in ſcholio propoſ 25. lib. 3. Euclid.demonſtrauimuli l eritque centrum H. in recta CD, ex coroll propoſ. I. lib. 3. Euclid. Quod etiam inuenieNIL, r; 1 ircule tur, ſi ductis rectis CF. CG, angulis FCE, G E, æquales fiant CFH, CœE. Reds namque E H, GH, ſocabunt CD, in N, centro: propterea quod tres rectæ EN F. HC, Ho, 4. frimi. aquales ſunt. Nam HF, HG, aquales ſunt, propter duo latera EF, EH, æqualia dul. 9 bus lateribus EG, EH,& angulos rectos ad E. b At vtrauis E F, E G, ipſi NC, aquali art. * C. primi. 5„* 0 eit, ob angulos æquales ad C, F, vel C, G. Pe mu A A4 11 5 IT rurſum tribus rectis a, b, dzreperienda quarta proportionalis. In qualibet ri. ta CD, abſcindantur ſecundæ b,& tertiæ d. æ zuales C E, ED,& per E, ducta recti FH, vtcunque, ſiue per pendiculari ad CD, ſiue non, ſumatur primæ a„ aqualis EF. tem, Ee per cria puncta F, C, D, circulus deſeribatur e centro G, ſecans EH in H. Dil 4 qjL EH, eſſe ipſis a, b, d. hoc eſt, ipſis EF, Ec, ED, quartam proportionalem: adeo vt e, ill EA „EH, aqualis, ſit quæſita quurta proportionalis.e Quoniam enim rectangulum ſiib EF. 11. Jexti. prima,& EA, quaria, rectangulo ſub EC, ſecunda,& ED, tertia, aquale eſt; d erit ut EF, prima 435. tertij. cans l ale circu E n t n n ö i 7 en Er. brima ad EC, ſecundà, ita ED, tertia ad EH, quartam. quod eſt propoſitum. Ces 7— 2 7 0 5 5 4 um ante G, reperietur quoque hic, ſi ex F, D, ad idem interial m er b, que parte 1 75 4 ſe nor arcus deſcribantur ſe interſecantes in J, K: Et ex C, F, alij tatuor ſeſe inter nes in L, M. Recta namqué IK, LM, in centro G, ſe mutuo diuident, vt in dicto ſcho Io propoſi.a S. lib. 3. demonſtratum eſt àᷣ nobis. ALIT ER adhut, ſi placet, totum Lem a expediemus hoc modo. Sit duaA. B, inuenienda tertia proportionaliss ſitque primum A, prima maior. 2 2 5 1—* 2 3 2* EE, ipſi A, æ qu. li, deſcribatur circa eam ex melio puncto G, circulus ERF, ucetur recta EK, ipſi B, æqualis, eidemque aqualis abſcindatur E H circa I, circulus deſcribatur E LH, ſecans EX, in L Dico EL, tertiam ni am enim iuncta rect a FK, HL, per 9. ant in E, ex ſcholio propoſi n g. lib. ma parallela erunttriangu * iangula. I gitur erit, vt EF, hoc eſt, vt A, ad EK, id eſt, ad B, ia deinde duabus rectis D, C, inuenienda tertia proportionalis, ſitqi D, prima e mniori C, æquali, deſcribatur circa eam eæ puncto 7 icetur recta EL, primæ D, æqualis, ex qua product a 4l 1e C, aqualis, anguloq; K EH, æqu alis fiat EKG, bi 2 2. Deſcripto autem ex G, circulo per E, K, ſecante am proportionalem. e Erit enim vt prius, ita udam, vt EK, vel C, ſecunda, ad EF. Mi rectis A, , C, quarum ima maior it quam cun da 1 inmenienda Ar roporais. Circa reien EF, pri A, eguνjé eres deſcri EKF. E n rectam NH. ſcunda B NA., le ſ⸗ riba n; appliceNrq́; in priori KHrculo rect a E K, tertia Cr aqualus ſecans poſles iorem circulum in L. Dico EL, eſſe art am proportionalem. Erit enim ut prius, ita EF, ad EK, vr EH, ad EL. Igitur Fer, do, vt EF, vel A, prima ad EH, vel au B, ſecundam, ita ERñ vel C, terN A4 EL. TEM tribus rectis C, D, A, quarum prima maior ſit, tem, quam ſi cunda, minor au1 e ca rectam EH, prima C, lem deſcribat a LH. i. 7 1 rib atur circulus ELA, ia cundæ D, æqualis. Et ex e ducta, ab. EF, tertia 2 1 ſeribatur circa cam circulus EK E, ſecans EL, productam in K. Dico EK, eſſe zuartam proportionalem. e Exit ei prius, 75 uaàm tertia, ſit inuenten49 b G. primi. c. ſexti. 4 4. Vexii. im vt e 4. ſexti. K. ſexti. 56. primiʒ e f. primi. 4 24. primi. A. tertij. 24. primi. gni æquales in punctis R, T, X. Ductæ enim rectæ AR, G0 LAI U MIA U prius, ita EH, vel C, prima, ad EE, vel ad D, ſecundam, vt E F, vel tertia 4, ad EK. p RAE TE RE A tribus rectis B, A, D, quarum prima minor ſit, quàm ſe. cunda, maior autem quæ m tertia, inuenienda quarta proportionalis. Circa EH, prime B, equalem deſcrib atur circulus E LH, in quo applicetur EL, tertia D, æꝗuali Sumbtaque in EH, producta, recta EF, ſecundæ A, aquali, deſcribatur circa eam cin. culus E K F, ſecans EE, productam in K. Dico EK, eſſe quartam proportionalem. Exit enim vt prius, ita EH, ad EL, vt EF, ad ERK. Igitur permutando, vt Eli, hoc eſt, vt B, prima; ad EF, vel ad A, ſecundam, ita EL, vel D, tertia. 4 ERK. DE NI AV E trilus rectis D, C, B, quarum prima ſit minor, quàn ſecunda c tertia, inuenienda quarta proportionalis. Circa E H, ſecundæ C, æqualem deſcribatur circulus E LH, in quo applicetur E L, prime D, aquali, ex qua producta abſcindatur E K, tertia B, aqualis, anguloque K E H, quali flat E K G b ita vt recta G E, GK, æquales ſint. Deſcripto autem ex G, pu 0 E, K, circulo ſecante EH, productam in F; dico EF, eſſe quartam proportiona. lem. e Erit enim vt prius, ita EL, vel prima D, ad E H, vel ad ſecundan Cr vt EK, vel tertia B, ad EF. EKM. MA XIII. D ATIs duabus rectis ad inuicem inclinatis, inuenire punctum, in quo conueniant, etiamſi neutra producatur. MA GN Vs eſt vſus huius lemmatis in Aſtrolabio, cum non raro du lineæ longius producendæ ſint, vt punctum, ſin quo coeunt, habeatur, quod quidem propter obliquam earum interſectionem vix ſine errore diſcerni poteſ. Quare hoc vtemur artificio. Sint duæ rectę AB, CD, quæ productæ coeant vere in f, puncto, quod tamen nos inueſtigabimus, etiamſi rectæ AB, CD, non producantur. Si datæ rectæ ſint nimis breues, vt ſi datæ eſſent 48, CN, producantut per lemma II. quantumlibet vſque ad B, D,& inter eas ducantur duæ vel tres, vel etiam plures parallelæ AF, GKN. quo enim fuerint plures, eo certius pun ctum f, reperietur. Hæ para llelæ nullo negocio ducentur, ſi ex diuerſis centris A. G, X, in recta AB, aſſumptis eodem interuallo quolibet arcus deſeribantut EE, H, LM. Ex his enim ſi æquales arcus abſcindantur in punctis E, I. M.(Nos eodem interuallo, quo deſcripti ſunt, eos abſcidimus, ac ſi conſtitui deberent æquilatera triangula AEF, GH, KLM, quod tams neceſſarium nõ eſt) d erũt di ctæ AE, GI, XM, ex cẽtris parallelæ, ꝙ anguli ad A, G, K, æquales ſint, ob æqus les arcus EE, HI, LMI ſecabũtꝗͥ; rectã CD, in N, O, P. Rurſus per A, G, K, paral lelæ ducantur acutos angulos cum AB, efficientes, quæ facile etiam ducentut hoc modo. Deſcriptis ex A, G, K, arcubus QR. S T, VX, jeodem interuallo quantocunque, quo autem fuerit maius, eo melius) reſecentur arcus non valde ma35 KX, parallel erunt, s quòd anguli æqualibus arcubus QR, ST, VX, inſiſtentes in centris A, G, K, ſint æquales In his autem parallelis AR, GT, XX, aceipiantur partes tectis ctis nim nis f tur alia tran nite ſi vi (Cu deb. que duct lelæ que iden ertia A, Am ſi. H z priquali. am ctirnalem. vt EH, Tertia, n nd C, quali quali G„ ortions. undan nue Produe li od quipoteſ. nt vere producantut el tres, ius pun centris antut, (Nos berent rũt du b æqui 15 par a¹ L E M M A XIII. 41 AN, G0, Kp, æquales numero quotl ibet vſque ad J Z a. Recta etenim per hec puncta ducta ſecabit vtramque A B, CD, productam in ſectionis puncto f: at que ita ſi alterutra earum, vel vtraque pro lucatur, h abebitur pünctum f, ſatis exquiſite, etiamſi oblique ſeſe inter ſece r er alia 1 incta bad, e, terminantia alias partes numero& ales du tra heb it ca per idem punctum f, atque ita magis exquiſit tun interſectionis f; Immo hac ratione punctum f, habe nire gebent datæ rectæ A B, CD, etiamſi pre duct non Rh v. 2, a, ſumantur aliæ partes i AN, GO, KP, Gugzdaum autem eſt, vt tot numero æquales accipiantur, quot fat debunkur. vt per extremitates ducta linea; non admodum oblique ſecet vtramque B, CD; velalteram earum) dabit re duct idem punctum f In ſigura ducte ſunt alię duę recte! dels propinquiores ipſi A B, per arcus æquales abſciſſos Oge Vh,& in traque unn pt æ ſunt AN, x P, quinquies vſque ad man. ita enim recta mu, in idem punctum f, incidet. 4 1274 ere eatum extrema puncta ma Kn inter ſe paral NV A MLIB E T autem r 1 re. in puno. it W 9— pe muket 40 Bread Gf, ita AN, „Vt autem AN, ad GO, ita quoque eſt AN, a, quòd hæ ſint illarum ul en 15 1 auc 1 Ga vf, per Z, tranſibitʒidcoque V, producta 5 demque ratio eſt de a lijs. F 2 vOD 2. fe b II. un. 2., feuti. *. ſexti, 42 Fr QYOD ſi quando contingat, rectas datas eſſe tam parum inter ſe diſtantes vt parallelo inter ipſas ſint nimis paruę, ac propterea incommode id, quod proponitur, effici poſsit, cuiuſmodi ſunt duæ AG, pE, ducenda erit vteunque recta Ap, eaque producta aliquoties ſumẽ da, vt V. g. ter vſꝗq; ad N, ac per N, ipſ PE, parallela ducenda NO, inueniendumque punctum ff, in quo conueniunt 46. NO, productę. Nam ſi; qualis pars eſt Ap, ipſius AN, talem partem ex Af, abſcin das AE, conuenient AG, pE, in Eza propterea quòd parallela pE, proportiotaliter ſecare debet latera AN, Af,&c. A LITER. Ducta recta AN, vtcunque ab extremo A, quæ ipſan CD, non valde oblique ſecet, ducatur ex quouis puncto E, rectæ A B, ipſi CD; parallela ſecans AN, in p: quæ facile hoc modo ducetur. Ducatut E et, vtcunque ſecans CD, in,& interuallo E, ex C, arcus deſcribatur, quem in q; ſecet alius arcus ex E, ad interuallum C, deſeriptus. Nam rect E q, ſecans AN, in p, parallela erit ipſi C D; quòd quadrilaterum EAC ſit ex ſcholio propòſ. 34. lib. T. Euclid. parallelogrammum, ob latera oppoſita æqualia. b Quia igitur eſt, vt p A, ad A E, ita NA, ad Af, ſi tribus p 2. ſexti. AE, NA, inueniatur, per lemma præcedens, quarta proportionalis 4 eiquequalis ex AB, abſcindatur, initio facto à puncto A, incidemus in punctum f. Ve ſic. e Quoniam eſt vt Ap, ad pN, ita AE, ad Ef, ſi tribus Ap. pN, AE, quarta ig ueniatur proportionalis Ef, dabit ea idem punctum f, translata in rectam Ah. initio facto à puncto E. LEMMA 3 que Vel ia15, L EM IMA AA RIIII. 43 EE M M AN XIII. INSTRVMENT VM conſtruere, quo per data tria puncta, etiamſi ſecundum lineam ferme rectam gonſtituta ſint, arcus circuli poſſit deſcribi, ſiue auxiNo circini. IN Aſtrolabij conſtructione accidit nonnunquam, vt per tria puncta iu rectam ſerme lineam conſtituta arcus circuli deſcribendus ſit, quod circino Vix, aut gte fieri poteſt, propterea quod centrum eius circuli nimis procul 4 datis punctis abeſt,(quando enim centrum commode haberi poteſt, docuimus in ſcholio propoſ. 25. lib. 3.& in ſcholio propoſ. 5. lib. 4. Eucl. qua id ratione muc um ſit) ideireo hoc loco ſtructuram docebimus cuiuſdam inſtrumengi, quo vel cum arcum deſcribamus, vel certe inter data tria puncta reperiamus quotuis alia puncta, per quæ ille areus tranſire debet. Conſtruxit quidem ſimile inſtrumentum magua induſtria Guidus Vbaldus è Marchionibus Montis in pla Bisphæriorum vniuerſalium theorica, ſed nos aliud aliquanto ſimplicius olim xcogitaueramus, quod hic deſcribendum cenſeo: Duæ ergo regulæ eiuſdem& latitudinis& craſsitiei ABCD, AEEFG„ quæ ſint tante longitudinis ‚quantam fere diſtantiam inter ſe habegt duo extrema puncta, per quæ arcus eſt deſcriben dus, ita per circellum compingantur, vt latera AB, AE, producta per centrum tranſeant, ipſæque regulæ circa idem centrum, tanquam cardinem, moueri que ant, vt videlicet modo magis, modo minus dilatari poſsint, aut conſtringi, Prout angulus BAE, debet eſſe magis aut minus obtuſus: cuius rei cauſa reſecan dam propè centrum A, vt nimirum anguli fiant acuti ili prope A, effent recti, conficerent latera AB, AE, regulæ ipſæ conſtringi non poſſent, vt continerent anm. BAE. Non eſt autem neceſſe, vt conſtringi poſsint ad angum elficiendum: quia quando rectæ proxima bina puncta connecten 5 tes am rectam& ute ec de e err 34 A BA NAT N 1. tes conſtituunt acutum angulum, facilius per ſcholium pr opoſ. 2 5. lib. z. vel et ſcholium pre opoſ. q. lib. 4. Euclid. quàm beneficio huius in ſtrun 565 i, arcus c culi per ea pr uncta deſcrib itur. In centro autem A, promineat deorſua ſtylus quidam perexiguus& acutus ad arcus delineandos. Deinde in a liquo pu 8 gua HI, ita yt circa H, cit. poſsit. Poſtremo in puncto alterius regulæ AC. quod conſtitutis late. lineam rectam, tantun m abſit 2 pune cto H, quanta eſt longituZatur 190 tanz gulum 9 uod plam ſolidum 1895 aruum æneum 01 5 poſsi sti n circumuolui,& regula H, i tra h. lun n rectang 1 mitti queat,& cochleola aliqua N, ita aft ringi* a duæ AC, AE Wer ant, hoc eſt, angulum BAE, do muten* DESGRI PT itur hoc inſtrumento arcum per data tria pun A, E, im lam H, in rectangulum KL,& ſtylum ex centro i eee, A, ſtatuat, lateraque regularum AB, ab, gatur, vt omnino per reliqua duo pune ta B, E;tranſeant: qu. onſtitutis, cochleola N, cõſtringat regulam HI, vt regulæ AC, AF, an. gulum BAE, mutare nequeant. Nam fi inſtrumentum ſic paratum circumdu-· cto H, regulæ AE f G, affigatur regula quæda m ex cumuert 2 gu egu 21. tertqj. catur, vt latera AB, AE, ſemper per puncta B, E, tranſeant,(quod fiet, ſi in ipſis punctis B, E, firmentur anguli duorum triangulorum 10d e æneorum deſcribet ſty lus ex A, centro prominens arcum BAE; aut certe, ſi inſtrumentum mutet ſepius s ſitum, ita tamen vt latera tranſeant per puncta B, E, ſty lus idem im primet inter A,& B,& inter A,& E, varia puncta, quæ 1& congrue conefficient BAE. Quòd autem bee ne motum inſtrumenti ſtyſus ex A brenthens“ deſcribat arcum cir cult, e ex eo liquet, quod in eo arcu perpetuo idem angulus BAE, exiſtat: quod quidem erkenn eſt ſegmenti cuiuſuis circuli, a vt Et uclides demonſtrauit. am ſi, verbi gratia, inſtrumento eum habente ſitum, vt ſty lus in O, 1 tur,& latera ſint GB„OE, dicat quis, arcum circuli per tria pun incta B, A, E, deſcriptum( poſſe enim per quęuis tria puncta arcum de ſcribi, d demonſtratum eſt 55 Euclide, dumm do ea in recta 1 non iaceant, ſed rectæ ea co dniungentes triangulum conſtituant t) non tranſire ber punctum O, ſecabit is neceſſario rectam EO, vel vltra O, productam vel eitrà O. ſecet eam vltra O, in P, iungaturqͥue recta BP. Erit ergo angulus n AE. 11 ros L E MM A XIIII. ET XV. 45 vel pel BAB, qualis, cum ambo ſint in eodem circuli ſegmento cer puncta BSH cus cir. geleripto, Cum ergo& angu ulus BOE, eidem ang ulo BAE 2 lit, im i verſusß idem omnino, cum ſolum ſitum mutarit; erunt 8 n W 30 E, BP E, 65 cternus& internus, quod eſt abſurdum a cum I. primi. iter no maior. Non ergo arcus ſecat EO, proc gam neque eitra O; ſecabit. Quocirca arcus per tria pur ongitu.. per O, tre Büdr⸗ atque eadem de cauſa per omnia à alia puncta; quer R Lait Per 1 ſtrumentum inueniuntur, tranſibit. K tra p16 Er„ NT A KV. CVRVA linea, cui ſubtenſa ſit recta linea,& quadata omnium perpendicularium ex punctis 955& curg ad ſubtenſam rectam demiſſarum æqualia ſint rectangulis contentis ſub ſegmentis eiuſ- dem ſubter 112 factis perpendicularibus, hoc eſt, omnes perpendiculares int mediæ proportionales inter eme ſnbtenſæ ab ih factæ, ſemicirculus eſt, einſque diameter recta illa ſubtenſa, hoc eſt, ſemicirculus circa illam rectam ſubtenſam deſcriptus curuæ datæ lineæ congruet, ſiue(quod idem eſt) per extrema puncta omnium perpendicularium tranhbit. T curua qunępiam linea A Ae. cui ſubtendatur recta A4 C, ad quam ex quotuis un 1 B, F, H, dedu Santur perper n EA IG, fi. a dratum ex PB, rectang 3 D, DC, ægquale, e e 5 quam q. iadratum ex E. rectangulo 1 35* in ipſis fuß AE, EC, 8 quad lratum ex GH,* E Pes n de- rehkangulo ſub AG, G0,& 2 entum omni us 0„ qu od juot perpendiem im culaxes ducantur: hoc eſt, cuiuſuis e con- Perpenc lienlerig quadratum æquale us ex It ke ctangulo ſub ſegmentis recta petuo AC, 3 ier 85 11155 is cir- Hegg uod ide s perpendilaben- chlares ſint Ji Nen circu- Mer ſegu rect. A, ab ipſis fa 8 atem s quia hac ratione etrunt earum 4 Heæli. on ia- 1 u r e e e 1 pun- qu J le ic 1 3117 f del e eus puncto medio 2; delcriptum tranfire per AE. omnia 1g. ſecundi. „ fx. primi. . ſexti. 46 LE IIR X NI. omnia puncta extrema perpendicularium, ita vt a curua linea ABO, non diffe. rat. Ductis enim rettis IB, IE, IH, ex l, puncto medio ad extrema puncta omnium perpendicularium; quoniam rectanę lum ſub AD, DC, vna cum quadra to ex Dl, æquale eſt quadrato ex AI& ponit i 5 tum ex Uh; erunt quoque duo qua oEſt autem eiſdem quadratis æc IB, æqualia, ideoque& rectæ IA, L i rect lo æquale quadracqualia quadrato ex Al. quadratum ex IB. Igitur quadrata ex IA, „æquales crunt. Eade u ratione demonſtra buntur& I, ZH,& aliæ rectæ omnes ex medio puncto J, ad extremitates perpendicularium omnium du ctæ eidem Al, ac proinde& inter erit AB C, eiuſque diameter AC, ex definitione circuli; hoc eſt, ſemicit culus diametri AC, per omnia puncta extrema perpendicularium tran ſibit,& à curua linea data non differet. ALIT ER. Si ſemicirculus circa AC, ex eius medio puncto I, deſcriptus dicatur non tranſire, ver bi gratia, per punctum B, ſecabit is perpendicularem DB, vel in fra B, vel ſupra, vt in Kzeritqque proptetea ex ſcholio propoſ. 13. lib. G. Euc lid. DX, media proportionalis inter AD, DC, eideoque quadratum ex D, rectangulo ſub AD, DC, æqua le erit: Ponitur autem eidem rectangulo equale quadratum ex DB. Quadrata igitur ex DK, DB, æqualia, ideoque& rectę ipſæ DK, DB, ęquales erunt, totum& pars. quod eſt abſurdum. Tranſit ergo ſemicirculus diametri A C, per punctum B;. eademque ratione per puncta F, H,& alia aliarum perpendicularium tranſibit. n N. — EF NN S] vonus ſecetur plano, quod baſi conĩ æquidiſtet, ſectio in conica ſuperficie facta, circumferentia circuli eſt, centrum in axe coni habens. O MN Es circulos ſphęre; qui per polum mundi auſtralem non ducuntuf, in Aſtrolabium proijci forma circulari, ex duabus propohtionibus lib. I. Apollonij Pergæi, videlicet g.&; demonſtratur, vt ſuo loco dicemus. Quia vero non omnes in Apollonij demonſtrationibus exereitati ſunt, libet vtramque illam propoſitionem hic inſerere, præſertim quòd earum demonſtrationęs clariſsmæ ſunt, ne cogatur ſtudioſus lector Apollonium ipſum, qui obſcuriſsimus auctor eſt, propter duas tantummodo propoſitiones, eaſque faciles, adire. Nam propoſitio 1.& 3. eiuſdem primi libri, quæ ad illas duas aſſumuntur demonſtrandas, ex ĩpſa ex ip. Emus frenct . 0 Acta dem oni, AA oni bus! Ca, v Ki, uo 135 xi! 8 lenu guiu E. c plan de i 5G! ue i Dic ren pur can Ax c lun pla m. b. tic cut ret rec in! mib Qu 0 tri gu ne ita er 10 & LEM A NVI. jeceriptione, quam ad defin. 20 lib. 1 1. Euclid. ex Apollonio attuex ipſa conic 5 a e. iguntur. Nimirum(Rectas lineas qua à vertice con, 4 Emus, nullo negotio coll f Nunctu, qua in ſup er ſcie conica ſunt, ducuntur, in ige ſuperfictie coni exiſtere,) Item ö Pi conus plano per ver ticem ſecetur, ſectionem triangulum eſſe.) Quia 8 linca gecta à vertice ad circumferentiam baſis coni ducta, ſi circumferentiam eiuſdem baſis percurrat; vertice coni manente immoto, deſeribit ex defin. ſuperficiẽ gonicam, ita vt omnia eius puncta tangat, per ſpicuum eſt; omnes rectas à vertice g I queælibet puncta in ſuperfic ie ductas eſſe in ipſa ſuperficie, cum partes aliquan a do hant eius rectæ, quæ circa circumferentiam baſis circumducitur in conicæ 0 f K perficieidefcriptione. Atque hin alterum ſequitur. Nam cum planum per 3 3. vndecim 1 i coni verticem ductum a ſecet baſem coni per lineam rectam, ſi ab extremitati- 1 bus hulus. rect æ ad verticem ducantur duꝶ rectæ, exiſtent he in ſuperſicie coni- 1 Fa, vt diximus, èruntque propterea communes ſectiones plani per verticem du- ö n cti,& couicæ ſuperficiei Quare triangulum cum illa recta in baſi conſtituent, 1 a aer nimirum à plano ſecante efficitur. Quòd ſi planum ſecans per axem con 9 1 utatut,appellatur trjiangulum ud factum, triangulum per axem. His poſitis, l faxile lemma ptopoſitum de monſtrabitur. 1 5 81 ͤconus ſiue rectus ſiue ſca lenus, cuius vertex A,& baſis cir5 euius BCD,& axis AE, cadens in f E, centrum baſis. Secetur conus lano, quod baſi ęquidiſtet, faclen 1 Plano, qued bah ed f 75 te in conica ſuperficie lincam 1 5H ſiue hoc fiat ſupra baſim, ſi ue infra, cono videlicet producto. Pico lincam FGH, eſſe circumferentiam circuli, cuius centrum 5 punctum J, in axe, vbi à plano ſe5 cante diuiditur. Ducto enim per 5 aem NE, plano faciente triangu N lum per axem ABD; ſecanteque Planum ſecans per rectam FH. ſu wa tur in linea facta GHH, quodAbet punctum&, per quod ex ver tice A, recta ducatur 4G, quæ cum ſit in ſuperficie coni, occurret baſi in C. Duca tur rurſus per 5 rectas AL, AC, planumb faciens in baſi BCD,& linea EGH, communes ſectiones rectas E C5 IG. Quoniam igitur plana paralle la . BCD, FGH,ſecantur tam plano b. Vndecim trianguli ABL am pla Brian . D, quàm plano trlan xxx n guli AEC z e erunt tam commu- 0 n nes ſectiones factæ BD, FH, quàm EC, IG, parallele. A Igitur erit, vt RE, ad EB 10 * ita AL, ad IF;& permutan do, vt AE, ad AL, ita ERB, ad TF. E 85 00 or erit, vt AE, ad AI, ita ED, ad IH,& EC,ad 0. Lac pro. LA 171 guinti 2 105 tribus EB, ED, EC, proporti- na! 0 EB 01 I. 45 72 0 95& EC, ad I6ñ&& permutando vt EB,ad EDlit a 48 L. R NMRMIT 2 1. tres! 8. Cum ergo tres EB, ED, EC, è centro E, ſint æquales; erunt quoi „16, IH, x quales; atque eadem tatione omnes rectæ ex I. ad lineam FCB, ductæ demonſttabuntui æquales ipſis IP, 1H. Circulus igitur eſt figura xl ouus centrum I, in axe coni A E. LE N I A XVII. 5 I conus ſcalenus ſecctur plano per axem, quod ad baſem rectum ſit, ſeceturque altero plano ad trian. gulum per axcm a prior e plano factum recto, quod trian. gulum ex triangule per axem abſcindat ſimile quiden ip triangulo per axem„ſubcontrarie vero poſitum: ſe. ctio circulus eſt, cuius diameter eſt communis ſedio trianguli per axem,& plani, quod ipſam ſectionemi conica ſuperficie effeci ö 1 fecit. Huiuſmodi autem ſectio voce tur ſubcontraria- a SIT conus ſeglenus, cujus vertex A,& baſis circul 2 J. vndec. fo per axem ad baſem recto( quod fiet ,a ſi ex vertice A, ad planum baſis demitu tur perpendicularis A M. Planum enim per axem,& perpendicularem AM, d. b 1 ſ. vullec. ctum, h ad baſem rectum erit) faciente triangulum per axem A B„ Secetir quoque idem conus altero plano ad tria ngulum per axem recto, faciente in co. hica ſuperficje lineam EEG, abſcinda tqͥue ex triangulo per axem triangulun gi ſimile A EG,& ſubcontrarie poſitum, ſiue hoc fiat ſupra baſem, ſiue infa, bot oſt, angulus K EO, ęqualis ſit angulo ADB,& angulus AGE, angulo ABD. Di to lineam EEG, circulum eſſe, eiusque diametrum EG, communem videlicet 1. vndec. ſectionem trianguli per axem,& plani facientis ſectionem EFG. egi namqut e punctis C, E, in circumferentia BCD,& linea EFG, ſumpti b axem ABD, perpendiculàres CH, Fl, demittätur; cadett A quæ communes ſectiones ſunt trianguli per axem,& pla: FEC,ad idem tlia ngulum rectorum ve atque inter ſe parallele ipſi BD parallela; quoniam duæ ret ntes in I, duabus rectis C! 5 BD, in H, conuenientibus ſunt h n per FI, XL, ductuni plano per CH, BD, ducto id roinde ex præcedente lemmate, in ſuperfic ie coll dunctum F, tranſibit, cum tranſirc ponatur pere 11 ſuperl ie exiſtat, eiuſque cireuli diameter en planum AKL, recta poſita eſt; erit ec us BOD, ſe ceturque pl. per I, recta KL, 40 11 iber I. Euclid. ade ret tam hetpendicularis, ideoque media propel f 77 zenta KL, IL, ex ſcholio Propoſitionis 13. lib. 6. Euc lie 29. Prim. uadratum ex E, rect angulo ſub KA, IL, equale exit. l Quobia! gulusE X L, ar lis eſt, eidemque angulo ABD, æqualis IF. pri angulus LG erunt inter ſes zales anguli EKI,LGl: Sed& anguli ad bet cem G. 11 e rr— L E M M A XVII. 49 nt quoq: Sei Bequales ſunt. Aequiangula ergo ſunt triangula EKI, LGIz a atque ideir-. 4. ſexti. am FOh, co eit vt KI. prima ad E, ſecundam, ita GI, tertia ad IL, quartamz batque ob b 20. ſexti. ira FOH, igeengulum ſub KI, IL, prima&-quarta, rectangulo ſub IE, GI, ſecuni tertia, æquale erit Oſtenſum eſt autem rectangulo ſub KI, IL, quaAratud cx EL, æquale. Igitur& rectangu lo ſub IE, GI, idem quadratum ex Fl, gase crit Similiter demonſtrabimus, quadrata omnium perpendicularium A Pugekis lineæ EE O, in EG, cadentium æqualia eſſe rectangulis ſub ſegmentis rei EG. a 8 i quod auh tact trial. 4 ma i tiemi ttian. eireulus eri uiden cu diameter EG: M: fe. Bade que ra ſecio tete ſewicie culus demon semi ſtrabitur ali 0 8 e VoOce- Ars lectionis 2 ENO Tot W 8 ergo ſe ctic 1174 EFEN, circu 5 lus est, cuius 158 diameter EG 8 AM, d. 5. Pes— Secetur 7 PERSDtte in co: CVI auté ngulun eſt, ſectionen fra, hoc EFEN, circu D, D lum eſſe, etiã ide licet eius dia me namqu: ter balis diaſumpti metrü ſecet. cadent Ve ß coni ba& pl ſtatuatur eircule KFL. fſectio ſit FG. Eadem iw omnino grit demonb ratio, niſi ter ert quòd quãdo ee ee eſt in communi ſectione circumferentiæ K EL, ne HE. quale eſt F, non eſt ducendum aliud planum baſi æquidiſta 0 fat circulus. Et tunc, quia vtru 1* b 7 . nc, quia vtrumque planum KFL, EEG, ad triangulum AKL. kettum eſt, e ſi ex E, vbi baſis circumf. ia li 8 10 l V dleulati. 5 15 erentia lineam EEG, ſecat, ad ipſum per- II. vndec. idicu 4 cadet hæc in vtramque ſectio f 9 nem communem XL, 434. vndec. 8 EGzatque — „ L I RR N. EGzatque adeo in punctum I, vbi communes eæ ſectiones ſe mutuo ſecant. Exit que, vt prius, quadratum ex El, rectangulo ſub EI, IG, æquale,&c. QVYOꝰ in linea facta EEG, accipiatur punctum quodlibet O, prate commune punctum ſectionis x, demittenda exit perpendicular is OP ac pg P, ducenda, parallela ipſi K L, baſi trianguli per axem,& denique per Ob, 1g. vndec. QR. quæ ipſis FI, KL, æquidiſtant, ducendum planum, quod parallelum elit baſi coni K EL, ideoque circulum faciet, vt prius,&c. Ser Beg ＋ nn 3 DGN M autem obſeruatione est, diametrum ſisbeontrariæ ſectionis piſi — 10 8 equalem eſſe diametro baſis coni,& inaqualem; aqualem quidem, quando vnum li lectionis diame- fuis tranguli her ax em ad baſem recti aquale elt vnt lateri trianguli ſubcontraris fit n dung. bi, u αονμii angul o opponitur: inæqualem vero, quando eiuſmmodli ſlatera inaqlal quale. funt, C ctiius latus mails ect, illius diametrum e maiorem: nunquam tamen li ſce diametros ſe mutiio poſſe diuidere bifariam. Sit enim in cono ſcaleno trianguli per axem ad baſem rectum ABC, ſitque latus A B, latere AC, inaius, v ideoqus d * 17 primi. angulus A CB, maior angulo ABC. Sit autem triangulum ADE, triangulo AI ſimile, ſed ſubcontrarie poſitum, c latus A D, lIateri AC, æ quale pos, tur, quæ quidem æqualibus agil AED, ABC, opponuntur. Dico di metros BC, DE, eſſe æquales. EE iam enim in triangulo AC B, 4 angu li A, AC B, duobus angulis A E, in triangulo ADE, agua ſunt, qui qudem æqualibus lateni AC, AD. adiacent; e erunt quiqi tam latera AB, A E, quam BC. D. æqualia. quod eſt propoſttum. E ad ratione, ſi ponantur æqualia lam AB, AE, oſtendemus tam late AAC, AD, quam BC, DE, asus lia eſſe. SIT rurſus triangulo per avi AGH, ſimile,& fubcontrarie polis ADE;& latus AG, maius lat AE, vel A H. maius q àm AD. Pico diamerrum G H, maiorem eſe diametro Dl, Sumpta enim recta AB, æquali 15% AE, vel AC, æquali ipſi AD, ductaque BC. 1 4 4. ſexti. O, ihſi OH, parallela: erunt diametri BC, DE, æquales, vt demonſtratum eſt- a 5 If. quinti Jia eit, vt AG, ad G H,, ita A B, ad BC; eſtque A G, maior quam A Bs e erit quoi H, maior quàm B, hoc eſt, quàm DE, quæ ottenſſa eſi æqualis ipſi BC. Fodem cto v ſi triangulo per axem ABC, ſimile ſit,& ſabconcrarie boſgtum AIK,& latus 4 maius latere 40, vel A R, maius quàù m AB; oſtendemus diametrum I K, mains elſe dia metro BC. Nam ſiumpta recta AD, æquali ipſt A C, vel AE, æquali 15/ 455 auctaque DE vel E D, ipſi I K, parallela; erunt diametri BC, DE, agu, 7798 renſfum eſt. ¶ Ef quia eſt, vt A, ad IK, ita AD, ad DE; eſtque Al, 24 quali 40 1 N rimi. 2 6 ＋ 4. ſexti. 414. Zuinti. e ½%% Ar erit quoque I K, maior quàm DE, hoc eſt, quam BC, quam ihſi Pb Mendinius æqualem DC SNN NDS 82828 en eres. ern — L E M M A XVII. Exit. DIC o fraterea, diametros BC, DE ſiue equal les ſint, ſiute. 255 e ut are bi arian ſed vel vtramque ſecari non 22 ariam altera e. 5 disse dame ri 3 eram non bifariam 5 cari. Secent enim ſeſe primum de eg ac pet 49 a tri BC, DE. E: gauoni am tam AB, AE, q n A. 1. 4, e 1155 bilatiam lecate. J 0b, uin non eſſent e 2 5 BC, DE 2, U demonſtrauimus 8 uνπν,eiiu¹jẽꝗqꝗque reliqi 4% B n ern 2 A 4 ſi neutra itſarum BC, DE, bi am ſecettir, pes picuum eſt„ EA ſe n. 3 4 triam non ſecare: Si vero altera earum, nimirum BC, dicatur ſecari binem, fe. abitur altera DE, non bifariam. ume enim triangula B DF, ECF, gala ſunt, ꝗquòd anguli ad verticem F, equal. 6„ anguli B, E. e Ns ur, ol ubcontrariam ſectionem, ac proinde& reliqui D, C, ſint æqul ales; Exit 0 8 5 pft ,a, ita CE, ad EE. Cum ergo BD, i- EC„ oſtenſa ſit æqualisʒ e erit& 14. guinti. me„% EF, aqualiszatque idcirco& reliqua CF, rel 40% DF, æqualis erit. Et a d 19. rim. ie f. be, naior quam DF„ quo 4. ingulus B DF, angulo DBE, maior ſit, e qi. e IC. primi. ,, DEF, aqualis, maior eſt angulo ABC nus interno. Igitur& EF, iß 55 .agulig, maior erit, quàm DF. Non ergo BE, n F, biſariam, ecatur. Eudem 2205 4 atur DE, ſec 1a biſari am in F, oſtendemus BO, ſacari non biſariam in F. f Erit.. ſeæti. CE, ad EF, ita DB, ad BF. Cum ergo CE, ſit itſi DB, equalicz ꝭ erit quon 21 4. guinti. EF, t BF, æqualis, ac— 2 F. D, reliquæ FC. aqualis erit. h Eſi aus„ 1h, trimi. rem 175 zior quam F 9a& an gulu EC 20 CEF, maior eſt, 5 1 16. frimi. „%% ECF, aqualis maior ſit angudo A 45 D, extern us interno. I giti ualis, maior erit quàm CF. Non ergo BC, in F. ſecatur bifariam. IN DE faut ineſu- ales diametri GN, DE, ſiique GH, maior. Si igitur neugrearum ſecetur bifariam, liquet eas ſe mutuso: bon biſari, am ſecare. Si vero altera m, nimirum GH, ſecta ſit biſari zm in L, ſecta erit altera DE, non biſariam. Qui. enim GH. maior ponitur quam D E, erit quogue AG, maior qua m AE, 2 air guàm AD, I cum ſit, vt GH, ad AG, ita DE, ad AE; G rurſi vt GH, ue DE, aA D. Cum ergo cx maiere AG, auferatur minor A D, e ers E. maẽ˖r Al crit reliqua Do, maier quam re liqu HE. 1 Et quonia m eit vr ou HE, ad ELze mus vt DG, ad D, ita HE, ad HL: Eſt aut? DG. „ Lu 1 Wie en LE, feala e DE, in ran L er ce 1 7 & int erit quoqʒ Gier qu EL, c, maior quà m LH, hoc n IA. quinti uur ιν DL, major ſit quà m GL, ei Gl, m LH. Non ers btfartami a e H. ero pratercundum eſt, quando tri aquales ſunt, cuiuſmodi ponun Quando diame2 L utram earum diuid: poſſe in ariam. Cum enim oſtenſum ſit, tunc 5 115 7 1—— b /e quem, ſi vtrauis rectarum BC, DE, Aae ſecta o baßs 2 8 Hr 1 1 8 con at di partes B F, EF, CF, F D, æquales. Vtraque ergo di ae bif nHrauimus. nus, nimirum quando vna diumetro- Quando diameleram vero maiorem. Secta enim ſit I K,— 1 9 2 952 m IK. Si namque mai non ett, erit vel lis en dian tro T equalis. Ergo vt proxime demonttraui- bali coni,& * arid. Sit deinds ſi ſteri poteſt G H, minor quàm IK., Et eſte maiorem. h Gad GA, ua K, ad AK; IE t GH, ad AH, ita IK, ad AI; Et GH, t. ſexti. 9 Fo tur 52 EEITI RN. 1. Juinti. ponitur minor quùm I K, i erit quoque A G, minor quam A R,& AH, mino- 2 o F. ſeti. AI. Quare cum er minore 4G, auſeratur maior AI,& ex maiore AK, minor Al erit reliqua GI, minor quòùm reliqua HK. b Quoniam vero eſt, vt Gl, ad IN, ita Hl ad HN: Item ut Gad GN. ita RK, ad K Ni& GI, minor eſe fenſa, quam lil Ig. quinti. e erit quoque IN, minor quam HN, GN, minor q uùm XN. Itaque quia GN, n. nor eſt quàm XN, hoc eſt, quam IN,& IN, minor quam H N, erit multo minor G, 4. primi. quàm N H. d Er quia angulus G N, aior eit angulo AK, hoc ect, angulo Ic; . primi. f 4. ſexti. 3 F. primi. eſt aqualis. ę Ergo angulus GIN, minor erit angulo IGN. h Sed externus anpil *. primi. 2 F. ſerti. ATA. quinti. 1 4. ſexti. F. primi. I. primi. 4. ſexti. r IH. quinti. e erit GN maior quam IN. Ergo NH, quæ maior octen/ 42 e quà m GN, multo main erit quam N K, quæ ipſi IN, egualis poniturs atque idcirco tota GH, Maior crit qui IK. Poſita autem ect ab aduerſario G H, minor quam IK Minor ergo eſt n GH, quam I K, quoll eit abſurdum. Eſf igitur GH, maior quam I K. V bi vidi. dam G H, hoc ipſo, quòd minor ponitur quam IK, demon trari maigrem IX quod argument andi genus etiam adhibuit Euc lid. propoſ. 1 2. lib. 9. Propoſ. 1 2. lib. 1 E L peſquam prob atum ct, reliqam GI, reliqua N K, minorem eſſe, ita p eedemus. Quoniam eſt vt Gad GN, ita HR, ad K Nʒ eſſ autem GI, oitenſa mim 2m H K, erit quoque G N, minor quùm K N, hoc, quùm IN, qu ipſi KN, pf 4 GIN, maior eſt interno oſ paſeto AA, Hoc eſt, angulo GN. Idem ergo als lus GIN minor,& maier eſtis dem angulo IN quod eſt alſo dum. Non erga minor ett G U qu] I K: ſed neque aqualiiſ oſtenſa.· Igitur maior. quod eſt ni ſitum. 8 EO DEM paclo, ſi GI, dis tur bi fariam ſecia eſſe in N, demi ſtrabimus IK, eſſe maiorem: Si em maior non eſt, erit uel aqualis, vuln nor. Sit primum, ſi ſier y IR.. GH, qua an de monſirauimus, neutra diametims GH, IK. bi 5. Ergo, vt pauib Ze ien 0 m gltitditur q t abſurdum. Honitur enim G 5 t potet, 1 K, minor ian 7 1 N* 1* 7 Quia igitur ett, vt i N, ad A R, ita GH, ad A Gʒũ Item vt i K, ad Al, AH: Poniur autem IK, minor quam GH; rit quoque A R, minor quam A650 AL. minor quam AH. Quocirca cum ex hre AK, detrabatur maior A H, U maiore AG, minor A Tzerit reliqua ¶ R. minor quam religua GI 18 f e, vt HRK, ad HN, ita GT, ad IN, citquè HK, minor ſa quam G zer: AN, Hoc eit, GN, minor quam I Nu Igitur angulus GIN, minor erit a hoc ett, angulo E KN, externus iuterno opoſito. quod eſt abſis 8 nus interno ohpoſito maior. Non ergo minor est I K, quam G H;, ostenſa. ergo maior est. quod et propoſitum. VE L ſic. Quo nia il K, minor es ogtenſa quam G13; 0 1 ZG, ad GN, y erit quoquè RN, minor quam GN. Igitur quia x N, mind Nac eue A Nn& AN, minor eſi auàm IN, ve paulo ante oſt en. 1 N 1 f 1 g L EMMA XVII. ET VIII. 3 7 quan i io uinor quàm IN. Et quuoninor An 10 40 Hz hoc et, angtulo H KN ze erit K N hj˖n J. 5 n 70 Hoc eſt, quam GN. Told tgitir 2m HN. C ergo IN; indior ita HX ie„am N Rzerit IN; multo matior 4 am Hl er u tera GH. Poſita eſt auto I b aduerſario minor qua ainor 0 o IK, minor GNy m. g 8 nor G er ge N malor e aon poteſt. Non csi 4. 6H. 4. 0 1 vides eun 77 limus 591. 18, vt 0 7 1 7 9 L g Arg 9 vſas eſt Eu 11d. prof 1 1 4 N diametri tur, nt, diuidi pot 1 7 ENI AVE J —— riam 1 N ſola ere ad eam 5 artem, vbi cum latere tri iam in N, acf im G 2 60 105* 4 gecetur enim I K, bifa orem eſſe parte NH. e Exit en aan„ en C.„ ſit qua mn IK; d erit qm AG, maior qαν ARK. E Eo. n Al. Quocirca cum ex maiore AG,. Aetre 2 Hatur minor AI, D eri ex Az exit reliqua GI, maior quæm re K. e K H, 2 H. NS n e * HN, N, maior quàm KN, n ergo GI.. i quam HK, Heriſ quo due i N, maior IN. Quamol rem cum GN, maior ſit quam IN,& IN, maior quòà m NH; rute maior N, quam NH. ariam in Ni; erit, vt osten 8 7 icatur G H, ſecta 1 eius pars N K, quam IN. quod eodem modo demonqtrabili i, K. aA Ak, ita GH, ad AG: Item vt IK, ad Al, ita GH, ex, maior ſit quàm GH; d evit quoque AK, maior quam AG l ergo e mai re AK, d 4H,& ex minore 46. reliqu HK. NAior 91 rel am vero eſt, vt HK, ad HN, ita GI, ad er au KN, ita G61, ad N: Eſt autem HK, mai K ert aunque In HNior quam IN.& KN, maior gu am MN, hoc ect, quà m; cum KN, sor it quam N H.eNH, nir quam INñ erii muto mate V. Pean v. 1 tiorem barten mars hametrt v ger. ſemper orem, rA QVAM proportionem habet ſinus totus ad ſinum Maxime 8 nis Eclipticæ ab 3 ee habet ſinus rectus arcus Eclipticæ i 17 um,& proximũ punctum g num rectum declinationis eiuſdem illius pun l ticæ ab Ae quatore. uod vis eius pu 1 9 11 nteriectu 2d 814 5 3 11 ſegme is AB,& Budigel c ö 8 4 N 1 10 L..—— . AC ecans illud Aequatoris in A, v lit Aus a de 5 KN. 110 8 am angulus externus K HN, maior est interno 2 Quando diame trariæ i Kk I. quinti. 14 LAN ANI ipticæ ab Aequatore, quem videlicet metitur arcus Coluri ſolſlitio. ex polo A, deſeripti iuterceptus inter primum punctum Canci ih ve! Capri. rni,& Aequatorem. Per quodeunque autem punctum Eclipticæ C, intelligs tur deſcendere ex polo mundi ſiue Acquatoris, circulus maximus declinationis ſecaus Aequatorem in Bꝛeritque augulus B, rectus, ex propoſ. 15. lib. 1. Theod. ac propterea arcus CB, dec linationem puncti C, ab Aequatore metie. tur. Dico ergo, vt eſt ſinus totus ad ſinum anguli A, maximæ declibn. tionis Eclipticæ, ita eſſe ſinum arcus Ecliptic AC, inter aſſumptum punctum Eclipticæ C,& punctum æquinoctiale A, proximum interie. cti, ad ſinum arcus CB, qui arcus eſt declinationis puncti C, ab Aequatore. Quoniam enim ex propoſitione 41. noſtrorum triangulorum — ſpbæricorum eſt, vt ſinus arcus . AC, ad ſinum anguli recti oppoſiti B, hoc eſt, ad ſinum totum(re. cto enim angulo debetur quadrans, vt ad defin. 16. noſtrorum triangulorum ſphæricorum diximus, ac proinde eius ſinus erit ſinus toti quadranti reſpondens) ita ſinus arcus CB, ad ſinum anguli oppoſiti A; erit conuertendo, vt ſinus totus ad ſinum arcus A C, ita ſinus anguli A, ad ſinum arcus CB. Et permutando, vt ſinus totus ad ſinum anguli A, maximæ declinationis, its ſinus arcus 40, Eclipticæ ad ſinum arcus& B, declinationis puncti C. quod eſt propoſitum. LR M M A XIX. ANAL EMMA ad datam poli altitudinem quamcunque deſcribere. ES J Analemma figura quædam circularis, quæ circa centrum mundi intel ligitur deſeripta in plano Meridiani, vel cuiuſuis alterius circuli maximi per mundi polos ducti, continens communes ſectiones, quas plana aliorum eirculorum ſphæræ( præcipue vero Aequatoris, eiuſque Parallelorum, Eclipticæ, Horizontis, Verticalis,& paralleli cuiuſque eorum,&c.) in Meridiano, vel alio illo circulo max imo faciunt. Huius autem conſtructionem, quau in Gnomonica propoſ. i. lib. 1. tradidimus, libenter hoc loco repetimus, ob inſignem eius vtilitatem in circulis ſphæræ in Aſtrolabio deſcribendis: Præſertim quòd deſeriptionem parallelorum Aequatoris per Eelipticæ puncta ductorũ longe faci lius hic ex præcedenti lemmate demonſtrabimus, ea videlicet ratione, quam in ſcholio propoſ. r. lib. r. Gnomonices inſinuauimus. 81 ergo in plano Meridiani circulus ABCD, circa centrum mundi E, deſcriptus ctio per ö f quo com TIZC dia L F M NM A XIX. 55 ſeript us, cuius& Horizontis ſectio communi is ſit recta BD. Supput ata autem IAtitudine poli illius loci, pro quo Analemma conſtruitur, à punctis D,& B, in Auerſas partes vſque ad F„G, ducatur diameter! G, quæ axis mundi erit, cum 2 Sulus! DEE, in centro ſit angulus altitudinis poli, quem axis cum Horizonte gonſtitu Deiade dutgten ameter AC, ad Horizontem BD, perpendiculaMeAs, que communis ſectio exit Meridiani, ac Verticalis primarij. Auia enim e nr 2 rr Ne r 2 dbb nus, Verticali isque ad Horizontem r ſunt; erit eorum communis ſe — und 1 8 te 0 0 1 E f 2 1 3 perper dicularis aC propt erea 2 definiti- E 3 lib 4 Euclid 15 undes J — f 1„ II. EUCIId. J. 1Aicularis nung ue eri a0 lid alm Horize alert BD. in centro E De x 8 t 2 ern 4 ntro E, per * 9 108 hi c circu f maximi ducun ur. Igitur AC 1d 4 D, nd lari 2 5 1 1 1 7 540 1 Perp Ddicutaris 0 ect 2e Me ridiani ac Ve erticalis A, 42 1 5 5 f alis,& verte e 2 ſiue polus Ho P* atque C, olus eiuſd lem inferus Rur ſu duca Ur ad Axe! t erus P f. 1 108 ICat ac m dia n net er p 1 er pendicularis HIz zquod ſiet, i arc cubus DF, B38 æquales ſur P„& ales tut 4 C. undec. 56 Ia AH, CT: Ita enim, additis communibus arcubus FA, GC, erunt tot! quadrantes Da, BC, totis arcubus EH, GI, æquales; ideoque& hi arcus quadrantes etunt, ac pro inde anguli FEH, GEI, recti, ex ſcholio propoſ. 27. lib. 3. Euclid. Erit au. tem Hl, communis ſectio Meridiani& Aecquatoris. Cum enim axis FG, per polos Aequatoris E,&, incedens rectus ſit, ex Propoſ. 2c. lib. 1. Theod. ad Aequs. torem, tranſeatque per centrum ſphœræ E, erit ex definitione 3. lib. 1 I. Euclid idem axis FEG, ad communem ſectionem Meridiani& Aequatoris in centro f Perpendiculariszac proinde HL, ad FG, perpendicularis, communis erit ſec Meridiani& Aequatoris. Quod ſi per D, B, Aequatori Hm parallelas agau DK, BL,erunt hæ, communes ſectiones Meridiani,& parallelorum, qui ſunt on nium ſemper apparentium, ſemperq̃ue latentium ma ximiʒzquandoquidem 7 ridianus A equatorem,& dictos parallelos ſecans„a ſectiones communes 17 paralle las,& parallelus quidem maximus ſemper apparentium e „tanglt, antes etunt rit au. per po. dequs. zuclidh LT N MAA XIX. 37 tangit, maximus vero ſemper occultorum eundem Forizontem taucht in B neamenta Analemmatis alia atque alla fiunt in variis poli altitudi prout videlicet angulus altitudinis poli DE tur. Vr aut s, ſiue Solis, qui per initia ſignorum,& ſinbla! habita ratione declinationis cu 1. a n in re totus labor atq 1 5 11 linationes horu 1 paralleloC0 latis ponitur a Pr. Pter 5 ru pputari poſſunt ab Aequatore Hl, hine inde, ob miact da, qu linationum adhæꝛi 8 es, ſi exquiſite comput ri poſſent hinc inde à punctis H, I, nulla eſſet difficul 6 tris parallelorum ducendis) vtemur artificio à veteribus magna Mguſt xcogitato, quo ex maxima Solis, ſiue Eclipticæ declinatione cognita, um paralſelorum Solis per puncta Eclipticæ tranſeuntium diametri, 1 odeclina tiones, Geometrice,& quidem perquàm accurate inueniunquod eiuſm Ex punctis H. I, Aequatoris in vtramque partem nume uc maxima Solis, Eclipticæue deelinatio, ex doctrina lemmatis 3. vſque ad N.& O, P. Nos hic ponimus maximam hanc declinationem continere grad. mig. 30. Junctis autem rectis MN, OP, quæ ab HI, in Q. R, bifariam ſecanex ſcholio propoſ. zy. lib 3. Euclid. ob æqua les arcus HM. H N, RO, RP, debatur ex Q, circa MN, circulus MS NT. Hoc in 12. partes æquales diuiſo, Ldoctrinam lemmatis 2. ducanrur per bina puncta à punctis T, 8, æquali ter antia rectæ VX, VZ, ab och qux ex ſcholio propoſ 2. lib. 3. Euclid. paral. r erunt inter ſe,& ipſi HI, quòd æquales arcus in circulo MSNT, intercint. Magis ex quiſite he ducentur, ſi ex R,; circa Op, ſemicirculus deſcriba,& in ſex partes æquales ſecetur. Ita enim ha bebuatur pro ſingulis lineis ba puncta, bina quidem in circulo MSN„& liagula in ſemicireuls circa O, det: pto. Dico has parallelas, diametros elle parallelorum Solis, per ſigne um iaitia ductorum, hoc eſt, arcus H, Hv,&c. eſſe declinationes eorum gaduum Eclipticæ, qui tot gradibus à principio V,& A, abſunt, quot gt in arcubꝰ circuli MSN J, inter ST, diametrum,& dictas parallelas in Funtur, ita vt HV, ſit declinatio g.& Af HV,,&: HM.: Ha T AC. Ac A.&& IN, Sac proinde ductæ diametri Vd, Vb,& Gametri Ecliptica poſitis ſignorum initijs in Meridiano, quemadmodum Me, NO, eiuſdem lipticæ diametri ſunt, conſtitutis initijs D,& Z, in Meridiane Huius autem rei demonſtratio perfacilis eſt. 5 AQVONIAM kenim ex lemmate 5. eſt vt EA, ſinus totus circuli ABC D, MA, ſinum totum circuli ASN T, hoc eſt, ad ſinum maxim declinatic is, 1 ar cus eiuſdẽ circuli A BCP, qui, verbi Sratia, arcui St, circuli 1sNT, ſi. ſt. ad eQ, ſinum arcus St: Eſt autem& ex præcedente lemmate, vt ſinus Plus EM, ad ſinum maximæ deelicationis Q, ita ſinus eiuſdem illius arcus Mlipticæ ABC D, qui arcui St, ſimilis eſt(ſumi enim põt hic circulus pro Ecli Ptica, cum Meridiano ſit æqua lis) ad ſinũ declinationis eiuſdẽ arcus Eclipticæ, cui St, ſimilis eſt zerit eQ, ſinus declinationis illius arcus Eclipticæ, Nui arcui St, ſimilis eſt. Cum ergo e Q, ſinus ſit arcus Meridiani HV, erit Hy, arcus de clinationis extremi puncti illius arcus Eclipticæ ab æquinoktio inchoati, qui aicui Sf, ſimilis eſt: atque ita de cæteris. Eodem E. 1 prorſus modo demonſtrabimus, g Q, ſinum eſſe declinationĩs extremi c illius arcus Eclipticæ ab quinoctio numerati, qui arcui Sh ſimilis eſt, I VERVM Deeſinationes omnium puncta rum Eclipticæ quo pacto Geo. mecrice reperias tur. l 0 1 1 ö Me N 58 L DN A. Declinationes VERVM commadiſsime etiam e 1 8 e ſiue paralle los Solis ducemus, hac ali qu oſdem areus dec linationum inuenjemug a ratione. Sumatur circulus ABCD, pn 9 „ alit er Eclipti ca, diuidaturque in 12. figu ra æqualia in punctis i, k. I. m. n, P, p, q. r, 10. n M,. ita vt I, ſit principium Vz; k,; i, N 5 4, MM; ſ. Ibs r, 9 q, M P,& P, Syn,&; m,. De inde ductis rectis per bina pundta ab 10 M. vel P, æque rmota, quæ ex ſchol. propoſ. 27. lib. 3. Eucl. parallelæ ſunt, ſeca. Kere.— bitur diameter Eclipticæ Mp, in punctis t. u a. g per quæ ductæ ipſi HL. paralb Iæ,(quæ facile ducentur, ſi ſegmentis parallelarum kſ, i 9, inter puncta ust. diametrũ EHI, interceptis, in alijs parallelis æqualia ſegmento accipiantur, vt u g. ſi ſegmẽto us, parallelæ&, in alijs parallelis i, lr. mq. p, æqualia ſeßm acc ipiã tur, initio ſemper facto à recta HL. Ita enim plura puncta habebimusber quę parallelè ipſi HI. ducẽdę ſunt.) dabũt diametros para llelorũ Solis per ige rum initia ductorũ, veluti ptius. Quod facile demonſtrabimus in hunc modum, Er. 59 7 Q ON IAM eſtfvt EAf, ſinus totus ad MO, ſinum eee pere oita Eu, ſinus arcus Eclipticæ IR, principium 85 terminantis ad un:(ducta M. para lee ip A vel perpendiculari ad Hi, Eſt autem& ex lemmate præ dente, vt EM, ſinus totus ad MQ, ſinum maximæ declinationis, ita Eu, ſinus cus! clipticæ principium 8 terminantis ad ſinum declinationis 1 y. ſinus declina ation s principij S; ac re arcus H, cuius ſinus eſt u), nationem metietur principij 8. c. Eademque de cæteris eſt ratio. He Aut ationes inuentæ in omnibus poli eleuationibus eædem ſunt, n ꝛeqMauam mutã tur, niſi prius maxima Solis declinatio mutata inueniatur. Habita Hm que ratione maximæ Masten HM, inuentæ ſunt aliorum Eclipticæ Anctorun declinationes H. HV.&c. 2 5 f g L IQCVYVE T ex his, qua ratione inuenienda ſit declinatio cuiuſuis punM kelipticæ dati. Nam ſi datum punctum ſit inter M,& Q, numerabimus Mus diſtantiam ab V, in circulo MSNT, à puncto 8, ver ſus NI: ſi vero inter * A fuerit, numerabimus eius diſtantiam à, ex puncto T, verſus li autem inter V& Z, abd, verſus N; ſi denique inter&„ex. Nerſus N, diſtanti am eius, quam à kran puncto æquinoctij, nimirum ab habet zerabimus. Parallela enim ipſi NI, ducta ex fine numerationis, eit N 4 43* ion di aralleli illius puncti dati, fecabitque arcum N, in declinatione gur fi ta. Vt ſi detur gradus 10. G, qui 40 grac dibus ab V,. p abeſt, Fumerabimus gradus 40 à puncto 8, ver ſus M, vſque ad 9,& per g, iphi H/, pa5 lam agemus hæ, pro diametro paralleli Aequatoris, qui per 10. gradum * aß„eiuſque declinatio erit H. Hanc eandem alia ratione ſic N ee 0 do punctum datum eſt inter V/&& ſupputabimus eius diſte 5 Ham, quam ab V, habet, a puncto l, verſus M: ſi vero inter& 54 Pancto r, verſus M, diſtantiam eius, quam à, habet, numerabimus: Si autem inter„&. a puncto l, verſus P: ſi denique inter& S, a punHo r. verſus P, eius diſtantiam à proximo æquinoctij puncto, ni mirum a gumerabimus. Nã ſi à fine numetationis ipſi lr, parallela age mus, ſecabitur P, Ma meter Eclipticæ in puncto perſquod parallela ducta ip fi HI, erit diameter gralleli per punctum in Ecliptica datum tran ſeuntis,&c. Vt Iddetur idem graJ umerabimus* 40.(Tantum enim Fin datum ab M ver abeſt)a puncto l, verſus M, vſque ad u„per er, ipſi Ir, parallelam duce wus f F, quod facile f jet, i areui la„ qualem abſcinc e 9 due pt fam p fecet in p. Parallela enim ipſi Hl, per ę, ducta, erit diameter paralleli quæſiti, C veluti prius N 1 SCIEN DVM quoque eſt, ſegmentum diame tri Horizontis BD, inter O, NP, diametros parallelorum,& Z poſitum à are allelis intermediis ita diuidi, vt recta Norel Al Trab fidde m diuifa eſt. Nam ſegmentum ſemidiametri ED, inter E,& parallelam MO, ſectum eſt, vt recta E M, ſecta eſt; propterea quòd parallelæ eee ref Fare Cum ergo ob cal recta EM, ſecta ſit ut diuiſa eſt 44 Q. erit dictum ſegmie ſum, vt MQ recta diuiſa eſt. Non aliter diuiſum erit ſe me diametri EB, inter E,& parall lam NP, vt diuiſa eſt recta N. broptetea quod ſectum eſt, vt recta EN,& h ec, vt recta NQ. Igitur totun 3 8* 1ia orizontis BD, inter pat allelas R MO, NP, lectum erit 1 vt recta N, diuiſa eſt à par nel ves eſt propoſitum. LAM vero, qua ratione aliorum circulorum ſiue maximorum„ ſiue non maximorum diametri, ſiue communes cum Meridiano ſectiones in Ar 38 tri H lemmate deſcriDeclinatio cuiuſ uis puncti Ecli pticæ pt Gec quo trice EIn deſcribantur;& quomodo Analemma circulo maximo, etiam non per munc Aſtrolabij, cum id vſus poſtul pro quibuſdam circulis interdum in ali li polos ducto, conſtruatur in progreſſ auerit, Proprlis locis docebimus 1 L.% E SI duo plana ſe mutuo ſecent,& in vno eorum ad duo puncta communis ſectionis duæ rectæ cum æa inter nos duos angulos qualeſcunque conſtituant æquales, & in altero ad eadem duo puncta duæ aliæ rectæ cun cadem ſectione communi efficiant quoque internos duos angulos æquales qualeſcunque: conſtituent duꝛ hæ poſteriores rectæ cum duabus prioribus duos ang los æquales. DV O plana AB, AC, ſecent ſeſe per line im rect ctis quibuſcunque E, E, communis ſectionis æquales interni anguli GEE, EH E, qua leſcunqt 0 0 ö 5 Tam AD,& in duobus punconſtituti ſint in plano AB, duo ie, hoc eſt, ſiue acuti, ſiue rech, teruĩ qua leſcunque æquales IEE, K. E. Dico angulos GEIL, H FR, æqua les elle. 7 e, 7 1 ores In prima ſigura omnes anguli ſunt acuti; in ſecunda obtuſi in tertia pri duo On o b dus erit EI. due EG. Cui ſint, Si ct eo ſtitu ſupr late lite vte go e Ive pen ang cia LN ctas vero tuan: 26. li Perpe P op nale. recti. ſita o qu N,. 9 ris tu L M NM IXX. 61 nique priot 1 1 & duo poſtetiores acuti; in quarta cuti. In omnibus tamen hiſce caſibus tio Sint e nim æqual les inter ſe tam rec ne GH./ X, quæ ipſi EF, pa. GEF, HFE, uales ſunt, ſi vterque ſit acutus uctæ ad partes GH, conſtituentque triangulu 8H t latera proportionaliter, quod E reliquæ liaeæ vſqʒ ad cos ncurſum; erun„GI, uli G int obtuſi, conuenient rectæ GE, H, produE, E, q walls deincebs liant acuti ſupta rectam EF, coneodem modo triangulum Iſoſceles, cuius ba 5 GH. Latera enim F. æqualia erunt: Ergo additis: 8 EG, FH, fient quoque ra GH, æqualia. Cum igitur recta E 8 et ea la 85 3 ionasex vttaque partes æquales; 110 0 ele erunt EE, GH. Si denique s GE E, M E, ſit rectus, erunt rectæ EG, FH, el ner les, ferunt quoque E, GH, æquales ac parallelæ. Eadem ratioarallelas eſle; s ac proinde& GH, IK, inter ſe parſa autem E. iam in L, excitentur in planis AB, AC, ad! LM, LN, quæ ipſas G, IR, ſecabunt qu ifariam. 8 H EE, ſint acuti, ita vt EG. FH, pro e verſus G, H, fa t. Cum ergo eadem recta e Hin partes proportionales, ſecta quoque erit GN, eg g 1 GEF, FE, ſint obtuſi, ita vt GE, HF, productæ„tr: 5 Lonfin Iſoſceles, cuius baſis EE, vel GHzerit rurſus ex ſchol. propoſ. rte ane an pünctüm med 8 Gud IEE ie producta cum olio 1 id 11 rte oOportioi GEF, H EE, ſint 1 coque lat ra O PpPpOSr r 7 5 Hf, ipſi FL, æquale. Cum ergo EL, EL, ſint f Nonali nus rectam IX, * 5 1 11 uas LM. LN, ſeſe in, tangentes perpendicula1 a g 1 II 0 a 1 LM g * 1 f 181 „IN Eucl. ularis erit. . h 34. brimi. 2. ſeæti. f. primi. 31. tertij. ert. KHE, æquales ſunt in centris SEE, HE, quam duo IEE, XF E, recti ſu. ia enim tunc anguli GET, HFPK, ſum lanum AB, ex definitione 6. lib. 1 1. Euclid æquales crunt. 1 EE E MW M XXI. S in diametris circulorum æqualium puncta ſu mantur æqualiter à centris remota, ab eiſque rec egrediantur vſque ad circumferentias conſtituentes cum diametris ad eaſdem partes æquales anguloss rectæ ill & æquales erunt,& arcus abſcindent æquales. Et ſili neæ ſint æquales, conſtituent rectæ illæ cum diametii æquales angulos ad eaſdem partes, abſcindentque tus ſus æquales arcus. Si denique arcus æquales abſcin dantur ad eaſdem partes, erunt quoque rectæ illæ æqu 1 les, conſtituentque cum diamettis ad partes eaſdem an gulos æquales. HOC idem demonſtrauimus propoſitione penultima ſcholij propoſ. ij lib. 3. Euclid. quando punctum in diametro aſſumptum eſt intra circulumʒ ſi quia eo etiam indigemus in ijs, quæ ſequuntur, quando punctum eſt acceptum in diametro producta extra circulum, libuit id vniuerſaliter hoc loco cmonſtrare, Sint ergo circuli æquales ABC, DEE quorum centra G, Hzulmetri AC, DE;& ſumantur primum intra circulos puncta l, X, æqualiter diſtatia à centro, hoc eſt, rectæ GI, HR, ſint æquales ducanturque rectæ vtcunque IB, K E, facientes vel angulos CB, EK E, vel ATB„» DRE, æquales. Dio & rectas IB, XE,& tam arcus abſciſſos CB. PE, æquales eſſe, quàm arcus Al, DE. Ductis enim rectis GB, HE, ex centris, ſi quidem anguli GIB, HRE, ponantur æquales; erunt duo latera G5, GB, circa angulum 263, duobus lateribu HK„HE, circa angulum KHE, æqualia,& angulus L, angulo K, æqualis, qu quidem æqualibus lateribus GB, HE, opponuntur Eſt autem reliquorum GI, HEK, vterque recto minorʒ quòd ductæ rectę AB, CB, DE, FE, faciant angula ABC, DEE, in ſemicirculis rectos, quorum illi partes ſunt. Igitur ex ijs, quæad ſinem lib. i. Euclid. demonſtrata ſunt à nobis,& rectæ IB, RE,& anguli 165, 5 ideoque& arcus CB, EE, ac proinde& ex ſemicirculis reliqui AB, DE, æquales erunt. Si vero anguli CIB, FK E, æquales ponanturzerunt etiam reliqui GIB, HE, ex duobus rectis( Tam enim duo ang tis æquales) inter ſe æquales. Quare it oſte o ſum eſt, erunt& rectæ IB, KE,& tam arcus CB„FEE, quam arcus Ab, Kquales* DEIN DE. accipiantur puncta A, D, quibus rectæ eductæ AB, DE, an MDE. Dico rurſus rectas AB, li ad I quam duo ad k, duobus ſunt res jam in extremitatibus diametrorum 5 gulos æquales efficiant CAB„F DE, vel LAb, DE,& tam abſciſſos arcus CBñ„FE, quam afcls AB, L E M M A XXI. 63 g. DE, æquales eſſe. Si enim anguli CAB, EDE, æqua les ſint; erunt quoque 2. tert. us CB, FE ac propterea ex ſemicirculis reliqu i A5 DE. W r 5 mes ie & te AB. DE, æc juales inter ſe exrunt. Si vero anguli LAB, MDE pon antur Haales, erunt quoque ex duobus rectis reliqui C AB, EDE, æqua a iat lonſtratum eſt, erunt& tam arcus CB, PE, quam arcus AB, DE,& rectæ . k, æquales 308 E NE U O accepta ſint punc ta L, M, in diame a qualiter à centris diſtantia, ita vt rectæ GL, H, rette LN, O, facientes angulos æquales CLN. O, vel PL. N dcatesdue arcus AN, DO, vel CN, FO Dic o rectas LN. MO,& tam arcus „ DO, quam ar N, FO, rquales. Aut enim altera reom, nimirum LN, tangit circu in N, aut non tangit. Si tan, tanget& recta MO, circulum 80 m ſi mne. antur æqu nales,& MO, non lum, ducatur tan 1 iungãti it que rectæ GN, . quæ facient angulos GNL, g recdos. Quin igt duo latera N, GL, circa angulũ LGN, duo s lateribus HS, HM. circa angu us, æqualia ſunt,& lateribꝰ gwalib 8 GI., Häf, opponuntur Anga e quales NL, HSM, vtpo „ fecti, reliquorum aũt LGN; Ms, et recto minor eſt, ex Soroll r. propoſ. 17. lib. 1. Euclid. runt ex lis, quæ ad— lib. 1. oc! aſtrauimus, anguli que an* eem eidem ang o LN, per Hy pot ehm, MO. Igitur ang NM, æquales c 1„ quod eſt ab c. tertij. 41. tertij. ——— oſurdi zo rectis GN, uli GI„HMO, æquales Igitur& I. 1. prop 0032. lb. 1. Eucl. Quare cũ s lateribus HO, HN, a ua lia ſint, angulosq́; contierunt etiã ba ſes LN. Mo, æquales. Rem& K ngulos 40 IN, DH O, ad centrazideoq́;& ex ſemiequ ales er runt.“ uod ſi æquales ponantur anguli 3 qui CLN, EMO, æquales. Quare, n arcus AN, DO, quam arcus CN, FO,& rectæ er unt. VS, vel LB,. ME. faciant vel angulos CLR. FMS, ve e 1 3 VIE, vel PLB, QME, a non tangat autem LR. ve s. Ponuntur autẽ᷑& qualeserunt, ex cor 1 1 1 1 * 7. primi. 31. tertij. 4 I. primi. 64 L IAB N I. LB, circ u lum, ſed ſecet in R, vel B, ducta tangente LN, cadet LR, vel LB, citn tangent em LN, facietque angulum CLR, vel CLB, minorẽ angulo CL N. Ou Lerd du& 5* O, anguli GLN, HMO, æquales ſunt, vt proxime dem ſtratũ eſt ulus autem E S, angulo CLR, vel angulus FME, angulo CLB. go nitur æ qualis, erit quoq; angulus FMS, vel EME, minor angulo FMO, ac proin Je recka Ms vel M 1 7 2 A4 3 8 N de rec 18, vel ME, ci tangentẽ MO, cadet. Secabit ergo vtraq; LR, MS, ye rar err 3 j 7 5 65 vtraq; LB, ME, circuli oprium duobus punctis R, B.&&, E, inter quæ poſit zunt p un cta contactuũ N, O. Sumantur ergo primũ puncta R, S, citra cõtactus g 958 CK, FS, æquales eſie Iunctis enim rectis GR, HSzquonian duo latera GR, GL, circa angulũ I GR. duobus lateribus HS, H M, circa ang: 0 ü Hs, æqua lia ſunt,& angul GLR,HMs, æqualibus lateribu GR, Hs, oppoſiti, æqua les ponin tur, reliquorũ autem angulorun SRL, HSM, vterqʒ recto maiot eſt, quòd tã GRL, maior ſit u. cto angulo GNL., quàm HSM, angulo recto HOMz exũt ex ih quæ demõſtrauimus ad fine h r. Eucl.& rectę LR, MS,& angi li LGR, MHS, æquales.“ Igitu & arcus AR. DS, ideoqͥ;& exſe· micirculis reliqui CR, PS, ęqu les erũt. Quòd ii ęquales ponati anguli PLR, Oquð, erunt quoq ex duobus rectis reliqui G HMS, æquales. Quatre, vt inn eſt oſtenſum, erunt& rectæ L. MS,& tam arcus AR, DS, quin arcus CR, PS, æquales.. S VMANT VR de inde pi. cta B, E, vltra cõtactus,& angul G6 LB, EME, ponantur æquales Dico rurſus& rectas LB, ME 0& tã arcus AB, DE, quàm arch Wp re eee Cz., FE, æquales eſſe. Iũctis enim rectis GB, EE, erit vterque angulus GBL, HEM, recto minor. Deſcriptis nauq circa æquales rectas GL, HM, ſemicirculis, qui per contactus N, O, tranſibunt v ſcholio propoſ. 3 i. lib. 3. Euel. ob rectos angulos ad N, O, ſecabuntq; recti LB, ME, in T. Vz ſi jungantur rectæ GT, HV, e fient anguli GTL, HVM, in femicirculis recti. a Cũ ergo tã GTL, angulo GBL, quã HVA, angulo E EM, m ior ſit, externus internozerit tam GBC, quàm HE M, recto minor: quod etia ex eo conſtat, quòd rectæ in B. E, cum GB, ¶ E, rectos angulos conſtitucntes ci culos tangãt in B, E, ex coroll. propoſ. 16. lib. 3. Eucl. Hine enim fit, vt ſecãtes rectæ LB, Mx, cum eiſdem GB, HE, acutos angulos efficiat. Quoniam igitut duo latera GB, GL, circa angulum LGB, duobus lateribus HE, EM, circa abgulum N H E, æqualia ſunt,& anguli GLB, HE, lateribus æqualibus GB, HE, oppoſiti, ponuntur æquales, reliquorum autem angulorum 765 HEM, Nr lib Al eittz Quiz lemon LBB. po pron 18, ei Polita actus, ar cu Dnian angu · eribu ponun lorun maict ſit te. 18M. ex ih je lib equs. obati quo L t ian qui e pũ. ngul Mb, arc eni 9˙ amq. bunt L E M M A XXI. 3 erunt ex demonſtrM vterque recto minor eſt oſtenſus; ex de eee e . DE. atque idcirco& ex ſemicircuſis reliqui C5 U 8 3 21880 Fponantur æquales anguli PLB, lk, erunt etiam ex duo 00 N 3 As FMR, zquales. Quare vt e 8 eſt, erunt& rectę LB, MAE, marcus AB, DE, quàm arcus CB, EE, æquales. 5 r LINDE— ſint rectæ IB, KE, vel AB, DE, vel LN. 5 vel LR. , vel denique LB, ME. Dico& angulos ad I. K, vel ad A. P. 28 0 L M,& Marcus Ch, FE, vel CN, FO, vel CR, PS, quam arcus AB, DE, vel AN, D925 vel AE, Ds, eſſe ęquales. Quia enim duo latera G1, GB, duobus lateribus EK, N. equalia ſuat,& baſis IB, baſi XE„qualis poniturz b erunt quoquè anguli W, KHE, equales.Igitur& arcus CB. FE, ideoque& ſemicirculorum reliqui . DE, æquales erunt. Item quia duo latera 18, IB, duobus lateribus KI. KE. gualia ponun tur,& baſis GB, baſi KE, ęqualis eſt; à erunt quoque anguli GIB, A, deoque& duorum rectorum reliqui CIB, FKE, æquales erunt. Rut ſus ia rectæ AB, DE, ponuntur æquales, t erunt arcus quoque AB, DE, ac proin4 d ſemicirculorum reliqui CB, FE, equales. f Igitur& anguli CAB, FDE,& Nypterea duorum rectorum quoque reliqui LAB, MDE, æquales erunt. Denihe quia tria latera GB, GL, LB, tribus ſateribus HE, HM, ME, æqualia ſunt, hunt ex coroll. propoſ. f. lib. I. Eucl. anguli quoque GL B, BGL, angulis HME, Hv quales. g Igitur& arcus AB, DE, ob angulos equales BGL, EHM, ad Sontra æquales erunt, ac propterea rectorum quoque reliqui anguli PLB, QME, ſemicirculorum reliqui arcus CB, FR, æquales erunt. Non aliter oſtendemus angulos ad L, M,& arcus AN, DO,& CN, FO,& AR, Ds,& CR, FS,& AB, DE.& denique CB, FE, eſſe equales TER TI O fat æquales arcus CB, EE, a rectis IB, KE, abſciſsi. Pico rectas etlam B. KE,& angulos ad I, K, æquales eſſe. h Erunt enim anguli CGB, FHE, qua les, ob arcus æquales CB, EE. Quia igitur duo late ra Gl, GB, duobus latebus IK, E, ſunt æqualia, angulosque continent equalesʒ i erunt quoque baſes IB, KE, æqua les, nec non& anguli GIB, HKE; ideoque& ex duobus rectis reliqui CB. EK E. Quod ſi ęquales ſint arcus AB, DE, ab eiſdem rectis IB, KE, ablciſoi, erunt quoque ex ſemicirculis reliqui CB, FE, æquales. Ergo, vt iam eſt oenſum,& rectæ 1B, KE,& anguli ad I. K, æqua les erunt. Sint rurſus arcus quales CB. FE, à rectis AB, DE, abſciſsi. Dico rectas quoque AB, DE,& angulos ad A, D, ęquales eſſe. Erunt enim reliqui etiam arcus AB, PE, ex ſemicirulis æquales, ideoque& rectæ AB, DE, æquales erunt. Item ob arcus equales , FE, l anguli CAB, F DE, ideoque& ex duobus rectis reliqui LAB, MDE, quales etunt. Quod ſi qua les ſint arcus AB, DE, ab eiſdem rectis AB, DE, abiſei, erunt etiam ex ſemicirculis reliqui CB, E, æquales. Ergo, vt proxime deHonſtrauimus, erunt rurſus recte AB, DE,& anguli ad A, D, ęquales. Pręterea yt arcus AN, DO, æquales abſciſsi a rectis LN, MO. Dico has rectas,& anguVs ad L, M, ęquales eſſe. u Erunt enim anguli NGL, OHM, ęquales, propter e arcus AN, DO. Igitur quia duo latera GN, GL, duobus lateribus HO, M, equalia ſunt, angulosque complectũtur æquales, a erunt& baſes LN, MO, K anguli GLN, EMO, atque idcirco& ex duobus rectis reliqui PLN, QO, quales erunt. Eadem ratione oſtendes rectas LR MS, æquales eſſe,& angulos L, M, ſi æquales ſint arcus abſciſsi AR, DS,& ſic de cæteris. 2. iert. b K. primi. A2. tert. d&. primi. 24. rertij. f 27. tertij. g 2. tertij. h 2. tert. i A. primi. * 29. tertij. 1 g. tertij. m 2. tertij. n H. Primi. TAM. QO ſi in diametris circulorum inæqualium puncta ſu· mantur ſimiliter à centris remota, ita vt eorum diſtantiæ à centriz eandem proport ionem habeant, quam ſemidiametri,& ab eis pun. ctis rectæ egrediantur conſtituentes cum diametris ad eaſdem pat tes angulos æquales; abſcindentur ab eis arcus ſimiles. Et ſi arc abſciſsi ſint ſimiles ad eaſdem partes, conſtituent rectæ abſcinden. tes cum diametris ad partes eaſdem angulos æquales. I N circulis enim inæqualibus A BC, DEF, guorum centra G, H, ſumanimi diametris duo puncta I, K, ſimiliter diſtantia à centris, hoc eit, ita ſit JG, ad K HI, u GC, ad II F, c permutandb, ita J G, ad G60, r K H, ad II F; conſtituanturque ani Ii equales GiB, H KE. Dico tam arccus BC, EF, quam AB, DE, ſimiles eſſe. lu. ckis enim rectis G B, H Eziu. niam anguli I, K, equal ſunt,& laterà circa angil G, H, in triangulis Bol EH K, proportionalia,& ib quorum angulorum B, U vrerque rect o minor, qubdſn tes ſint rectorum, quo rell CB, AB; FE, DE, in ſemid culis efſiciunt; a erunt anßil BGI, EH KX, in centris aqui les. Igitur ex ſcholio proſi 22. lib. 3. Euclid. arcus Bc EF, ſimil es ſunts ideoqus d ex ſemicirculis reliqui Al DE, ſimiles erunt, en lun mate d. a 8 E A DE M xatione, ad puncta C, F, ſimiliti centris diſtantia, cum ii ſemidiametros diſtent, fu anguli aquales GCB, HFI. oſtendemus tam arcus 50 EF, quam AB, DE, ſini“ eſſe.· Junctis enim rectus Oh HE erunt rurſim in trian gulis BCG, EFH,, ibi, 5. 1. C, FE, æquales,& dati circa angulos G, H, proportionalia e Cum ergo reliquorum angulorum B, E, vterque li cto minor ſit, uòd partes ſint rectorum, quos rectæ ob,. Dee micirculis; 2 f. ſexti. S ee Tr. NCL een S e 2 00 1 n E lu · centri is pun. em pat fl aArcug inden. nantur u KH, a ue ang. e. Ii. 1 Ez aus. lis Bol 35, 1 quod hn ust rell n ſemii t agil is aqui: 0 pro cus Bc 00% N ui A5 ex len. ione, niliter i um fi 1, fam „HFI, 1 5 05 mil. 1 G55 n trian. „ Ang. Latera erque 1 nt in ſi. ulis; 67 LE M HM AA T XXI. 1 exunt anguli G, H Picirculi arcus B C, E F, ſimiles ſunt, Q c. uod breuius ſic demonſtrab Euclid itur. Quo Mam ag. unt anguli AC B, DF E, erunt ex præ dicto ſcholio, arcus A B, E, miles; ideoque& ex ſemicirculis reliqui BC, EE, per lemma C. ſimiles is NON aliter; ſi functa L, M, ſimiliter distent A ces a li G LB, HM E, demonſtrabimus ſimiles eſſe& arcus B CE 5 ec, FA.& AP, DN:. B, EN. Iunctis enim rectis G B, HE; : murſum in trlangulis B GL, EH M, anguli L, M, equales,& circa&, „ latera proportionalia. Cum ergo reliquorum angulorum B, E, verque ſit or redto;(Nam iunctis rectis& P, H erunt anguli B, P; E, Q in lib B GD, EH. aduti, ex coroll. 3. propoſ. 1. lib. 1. Euclid. b erunt r anguli G, H, quam B5, E, æqualee. Igitur ex ſcholio propoſ. 22. lib clid. arcus B C, E F, ideoque per lemma 6.& ex ſem B, D E, ſmiles erunt. Et quia anguli B, E, aquales ſoint aue P, Q in Iſoſcelilus B G E H.( um illis aquales ſint) ac proinde& reliqui anguli B G P, E H 2. æquales erunt, qui Mitis ex aqualibus B G L, EH M, reliqui etiam P G L., HIM, Merunt; ac propterea ex ſcholio propoſ. 22. lib. 3. E- clid. arcus C P, deo ber lemma J. c ex ſemicirculi reliqui A P, D. 2 Ii ſi demantur ſimiles R B, DE, reliqui B P, E Q per lemma Ao D quando contingat, reſarum angulos æquales constituentium Mam, verbi gratia, LN, circulum tangere, tanget M altera MO, circun. Nam tangente LN, circulum ABC, ſi dus iugens cirm D E F, erit angulus G LN, angulo HMO, æqualis. Iunctis enim reA NG, OH; erunt anguli N, O, recti,& æquales. Cum ergo circa angulos NGL. OHM, latera ſint proportionalia,& reliquorum angulorum L, M, vrer— e recto minor, ex coroll. 1. propoſ. 17. lib. 1. Euclid. e erunt& 11 L, M, zuales Ex quo fit, ſi L Nu gcirculum tangat, 2 , duci poſſe, prater iangentem M O, us angulum ad M, angulo ad L., us vel maior foret angulo H MO, vel N — les quoque agualem constituat, cum omnis talis a minor. E ſint iam arcus ſimiles B C, EF,& undta I, K, ſimiliter diitantia à Antris. Dico ductis rectis BI, E K, angulos I, K, æquales eſſe. Iunctis namque Mais BG, EH; erunt em ſcholio propeſi 22. lib. 3. Euclid. anguli G, E, aqualesi um ergo clatera circa eoſdem ſint proportionalia; aquiangula erunt triangula 361, EHK,& anguli 1, K, aquales. EO DEM padto æquales quoque erunt anguli O F, L, M, etiam; ſiue ſiMiles ponantur arcus BC, EF, ſiue C, F Q. quod eſt protoſitum. g. : le e e e e ee ee E X his inferre licet& hoc theorema. Si ex duobus centris A, B, in cadem recta exiflentibus deſcribantur duo circuli CDE, FOH, ea tione, vt extra vtrumque accipi poſſit punctum I, ſimlliter d cenlang, id eſt, vt eadem ſit proportio I A, ad IB, quæ ſemidiame1 tri 9 in centris aquales. Igitur en ſcholio propoſi 22. lib.. ſexti. d ITS. tertij. e 7. ſexti. 6. ſexti. B 1 tri AE, ad ſcmidiametrum BH,&. ber mutando eadem I A, ad A E, quæ Il; ad BH; Recta linea D, tangens vnn circulorum, tanget& alterum,&& reſti IK, vtrumque ſecans abſcindet arcus fi miles EK, HM, CK, EM, Oc. Quia enin circuli inæquales ſunt,& punctum I, ir ftar duorum ſimiliter d centris abeſt, ft vf ducta recta I D, tangente circulin CDE, recta JG, faciens angulum Blb æqualem angulo AID, hoc eft, eu dem, tangat quoque circulum FO, i. milesque ſint arcus DE, G H. Sic etia dudla recta I K, ſi ducatur recta IM, ficiens angulum FIM, cqualem angi. 40 CIK, hoc eſt, eundem, efficun vt arcus K E, MH, Cc. ſimiles ſut, vt in ſcholio proximo demonſtratum ef. Hoc tamen corollarium demonftrari pterit ijsdem vijs, quibus ſcholium demos. fratum eſt, vt conſtat, ſi rectæ iunganiim vt in ſigura apparet. E. R M. MA XXII. SI in plano ſubiecto inter duas rectas cadat tranſ. uerſa recta linea faciens cum illis angulos internos ex vtraque parte inter ſe æquales, ſiue omnes recti ſint, ſue duo obtuſi,& duo acuti; in rectis autem illis duabus plano ſubiecto inſiſtant duo plana ad an planum per tranſuerſam lineam ductum vtcunque faciet cum planis rectis communes ſectiones, lineas rectas, quæ cum datis duabus rectis in plano ſubiecto angulos continebunt æquales. gulos rectos: 1 f 5 5 3 IN ſubĩecto plano ſint duæ rectæ AB. CD, inter quas in tranſuerſum cada re cta EE, faciens tã internos apgulos HGB, GHD, quã internos GA, CHC, inter ſe æquales, ſiue rectos, ſiue duos obtuſos,& acutus duos. Sint autem primum — 3 e E 4„„ ee ere , IL EI MIM N XXII. 69 pn. dun Sg, GHD, obtuſi.& ER, OEC, acuti·& in rectie AB. CD) infftant a 0 a N lana recta AI, CK: Per rectam quoque EF, tra nſuer4 ¹ lanum ſubiectum duo p F. 5 5 1 5 ducatur planum EL, vtcunque inclinatum ad planum ſubiectum ſiue ad 10 artes B, D, ſiue ad partes A, C, ſecans plana recta A/, CK, per rectas G M. elt N. Dico tam angulos BGM, DHN, quàm angulos AGM, HN, inter ſe 18 f. quales eſſe Sumptis namque rectis æqualibus G0. HP, uerſus eam partem, in enim uam planum 1, 1 L, ad ſubie. Hum planum ft fe t inclinatũ, culun a tamen, vt BIC, K parte acurum angu eun⸗ 1—. rum AGH, E.. CG, abſcin can antur ante „f.. goncurſum li 5 gearum GA, Ain 50 C. vt vtro- A ci iq; eadẽ ſem faut, er ſit demon— N eſl. ratio; junK gantur rectæ N 4 7, Gp. OH. I Mon Quia igit duo ö tu Atera GH.- 5• 60 duobus—— NV,. 5 9 Pierib' 1G, FR e Sf 5 1 b, æqua- E 1 e la ſunt, angu 1.* 6 45 Josque conti- 85 an 15 P 5 7 gent æquales eee 4 anl. x hypotheſi; Zerunt triangula CIO, HG p, æqualia.» Igitur rectæ GH, OP, parallelæ ſunt.. 4. primi. 8 ex In plano. inde AI, ducatur ex O, ad AB, communem ſectionem plani AI„& b imi fl. pladi ſubiecti per pendicularis OO, quæ ex definitione 4. li b. 11. Euelid. recta. bus crit ad Planum ſuübiecumzideogte ex deſinitione 3. eiuſdem lib. angnlus G02, rectus erit. Producatut autem OQ donec in Q, ſecet GM, communem ſectiodos: nem plani EL,& plani A IL. Secabit autem eam omnino, cum in eodem plano 8 Pes. nanbed ihn um 4 1 1 8 n Hubisctum zac proinde angulus tas, 00s scutus fit. Nam ſi rectus foret e e let GQ, ex defin. 4. Iib. 11. Euclid. ad los f lanu A ü eke 57 8 e ee e EL. per recta m GQ, ductum ad. 14. vnilec. f n Fache Nhe ad p nan n recta erit,& producta cum EN, at Sm ne plani EL,& plani N, conueniet in R. Iuncta autem recta HC, W. in plano EL., in quo puncta Q, R; exiſtuntz ſi per GI, concipiatur duci pla pri- num æquidiſtans plano GR,(poteſt autem duci, cum GH, ipſi OP, oſtenfa ſit 5 parallela. 70 Nen parallela. Ita enim fit, vt planum per G H, ductum tamd iu eircumuolui poſſit circa rectam GH, donec paralle lum ſit plano OR, per rectam OP, ducto) cõmunes ſectiones GH, QR, factæ in planis illis parallelis à plano EL, per redas 1 GH, QR, ducto paralleſæ. Cum ergo eidẽ G, ſit oſtenſa parallela OP 2 e quoque Or Q, inter ſe parallelæ. b Sed& OO PR, ad planum ſubie O. Dndec. f primi. ctæ inter ſe paralſelæ ſunt. Parall F. Pini. erunt 3 erunt ctum re. elogrammum ergo eſt ORz eae proinde late. ra oppoſita OQO. PR, æqualia erunt Quoniam igitur duo latèra O6, OQ, duo. bus lateribus PH, PR, æ qualia ſunt, angulosq̃uè continent æ qua les, vtpote ted. primi. ctos; d erunt anguli quo que OG, PHR, æ qua les. quod eſſ propoſitum. IAM vero ſi quando planum EL, ad ſubiectum planum fuerit rectum cum e179. vndec. etiam plana AI, CR, ad idem recta ponanturze erunt quoque communes ſectio. nes horum& illius, nimirum rectæ GM. EN, ad ſubiectum planum per pendicu· lares, atque idcirco per defin. 3. lib. 1 7. Euclid. tam apguli GA, MG, quàm anguli NHC„NH D,; recti erunt, ac proinde omnes quatuor intet ſe æquales. 24. primi. Q OD ſi recta EE, ad duas AB„CD, fuerit CD, parallel æzac proinde ex ſcholio propoſ. 18. lib. T1. Eucl plana recta Al; 8 76. vndec. CK. pa rallella quoque erũt. Igitur ſectiones GM. HN, in illis factę à planokl, c. vndec. parallelæ erunt. h Quare anguli BGM, DEN, æquales erunt. b perpendicularisʒ t erunt A;, L E M M A XXIII. PLANVM in ſphæra per aſterutrum polorum mun di,& alterutrum polorum circuli cuiuſuis obliqui maximi, vel ad Aequatorem recti, vtcunque ductum, abſcindit tam ex Aequatore& circulo illo maximo obliquo vel recto, quàm ex quolibet parallelo Aequatoris,& parallelo circuli illius maximi obliqui, vel recti,(qui tamen æqualis ſit parallelo Aequatoris,& qui tanto interuallo ab aſſumpto ſuo polo abſit, quãto parallelus Aequatoris ab aſſumpto mundi polo diſtat)duos arcus æquales, intet planum ſecans,& circulum maximum per aſſumptos duos polos deſcriptum interceptos. E quia circulus ille maximus her mundi polos,& polos alterius circuli maximi deſcriptus binis in locis ngulos circulos ex aſſumptis duobus polis deſeriptosſecat; vt ſtiamus, d ſuibusmam duabus ſectionibus arcus æquales abſeiſſi incipiant, conſideranda hc ſunt.. Quando planum fe. cans ducitur per polum mundi auflralem,& polum circuli alterius maximi ſuperiorem,(Quia enim alter hic circulus inaximus quando obliquus ef, Pu Hor⁊onte alicuius regionis ſumi poteſi, erit eius Polus ab auſtrali polo remotior, — 2 28 9* 18 Ae e 00„e— poſsit erunt erunt m re. late. duo. te re. cum ectiodicuG5, intet AB, An EL, 116 L ET MI M A IIII. 71 remotior, ſuperior, inſtar verticis ſiue Zenith,& alter inferior, iklar 7 04. Hir, qui nimirum polo au Propior t. quando autem alter hie e ad Aequatorem rectus eſt, ita vt ſit Horizon ſuidan, rectus p alteruter poori eius accipi potect pro ſuperiore, ſiue pro Zenith. Ex quo rer f„ vr F micirculus mavimi circuli per polos mundi,& polos alterius circull tranFuntis, inter polos mundi concluſus, in 4⁰ ſuperior Polus ſie a 50 co Hnctur, dicatur ſuperior, alter vero, in quo inferior polus exiſtit, ſius Nadir, Mferior vocetur:& arcus abſeiſſus ab Aequatore, vel eius parallelo inciNe aſemicirculo ſi periore, inchoandus erit arcus illi q ualis ab ſciſſus in alte v circulo maximo, vel eius parallelo, d ſectione eius cum maximo circulo er polos ducto auſtrali: ſi vero arcus abſciſſus ab. Aequatore, vel eius paallelo, incipiat d ſemicirculo inferiore, inchoandus erit arcus illi æqila 45 ghſciſſus in altero circulo maximo, vel eius parallelo, d ſectione horeali. Quãlo autem planum ſecans ducitur per polum mundi auſlralem,& polum alteHus circuli maximi inferiorem,& arcus abſciſſus in Aequatore, vel eius pa Tallelo, incipit a ſemicirculoſuperiore, inchoandus erit arcus illi æqualis abi ſus in altero circulo maximo, vel eius parallelo, ſectione horeali: ab auHrali vero, ſi arcus Aequatoris, vel eius paralleli, incipiet à ſemicirculo inferiore. Sectio porrò horealis, auſtralisue ſumenda eft reſpectu polorum alterius circuli maximi obliqui, vel recti. . He Zenit conIN ſphæra ſit circulus maximus AB CP, per mundi polos A, C,& polos E, F, circuli maximi obliqui cuiĩuſcunque Hl, ductus, ſitque ex polo alterutro mundi deſcriptus Aequator BK, ſecans obliquum in L, eruntq̃ue quadrantes LB, LD, LG, LI. Quoniam enim circulus maximus ABCD, per polos maximorum circulorum BL D, GLI, ducitur, a tranſibit viciſsim eorum vterque per ipſius polos, ac proinde L, polus erit circuli ABCD; ideoque LB, LD, LG, LI, quadrantes erunt. Primum autem per polum auſtralem mundi C,& E, polum circuli obliqui remotiorem,(quia enim cireulus maximus GH, obliquus poni tur ad Aequatorem, non diſtabunt eius poli ab huius polis quadrante, ita vt eius poli ſint B, D: alioquin circulus obliquus trãſiret per polos Aequatoris A, Cʒ a ideoque rectus eſſet ad Aequatorem, quod pugnat cum hypotheſi. Igitur vnus polus, nimirum E, vicinior erit polo mundi C, alter vero E, remotiot)du catur planum quodpiam, efaciens in ſphęrę ſuperficie circulum CHE,& cum plano circuli maximi ABCD, communem ſectionem rectam CE: Secetq̃ue hic circulus CH E, primum Aequatorem& circulum maximum obliquum in punKis K, H, que vel exiſtant in quadrantibus LD, LI, vel in quadrantibus LB, LO, hoc eſt, arcus abſciſsi D K, IH, ſint vel quadrante minores, vel maiores. Di co arcus DK, IHʒItem BR, GE,(Nam D, in A equatore incipit à ſemicirculo iuperiore CDA,& IE, in circulo obliquo à ſectione auſtrali I: At vero BK, initium tumit in Aequatore à ſemicirculo inferiore CBA,& G, in obliquo eirdulo a ſectione boreali G.) æqua les eſſe. Ductis enim rectis CD, EI, quæ ſe inter ſecabunt in M, cum ſint in plano maximi circuli ABCD, punctumque J, inter C,& D, exiſtatzs Quoniam CD/ El, quadrantes ſunt; abla toque propterea arcu communi a ſchol, 15. f Theod. b coroll. 10. I. Tycod. e coroll. 10. 1. THeod. 41 5. I. Theo. I. I. THeod. 3. vndec. 8 coroll. 1. I. Theod. 72 E AM NW 1 a.tertij. communi D, reliqui arcus CI, ED, æqua les; erunt anguli CEJ, ECP, æqus. 1 lesz 0 ideoque& rectæ EM. CM; æquales erunt, Rurſus ducãtur in plano circul 10. 1. Theo. CHE, rectæ CK, EH, quæ æqua les erunt, cum ſint latera quadratorum in cit1 420. tertj. culis maximis deſcriptorum; a ideoque& arcus CK, EH, æquales;& ablato eon muni arcu HK, quando circulus CHE, ſecat quadrantes LD, LI, quod tunc pus cum H, ſit inter C,& Aequatorem, vel addito communi arcu H K, quando cit 1 72ͤĩð! ꝝ U. B——————— N 7E ͤͥͤ³Ü1d6gag pp culus CHE, ſecat quadrantes LB. L G, quòd tunc punctum H, ſit vltra Aequse 27. tertij. torem; æqua les fient quoque vel reliqui arcus, vel conflati CE, EK; e ac proinde& anguli CEE, ECK, æquales erunt. atque hinc rectæ CN, EN,(Nam rectæ CK. EH, neceſlario coibunt, quod vterque angulorum equa linm CE H, c C. primi. ECK, recto minor ſit, vt probabimus) f æquales etiam erunt. Rectas autem 798 EH, coire, quando circulus CHE, quadrantes LD, L, ſeeat, perſpicuume cum ſe mutuo in plano eius circuli ſecent, propterea quod pundtum, eſt 51 pund J 3 ERF 10 qua. rculi circom pun 0 Clt L E M M A XXIII. 73 Rundta C.& K: At vero eaſdem rectas CK, EH, quando circulus CHE, quaArantes LB, IG, ſecat, coire; hoc eſt, angulos æquales C Eu, ECK, eſſe minotes duobus rectis, ita manifeſtum erit. Quoniam circulus CHEO, non maxiMus eſt, cum punct 5 0* qui ſolus maximus eſt inter omnes circulos per puncta C, E, non per diameRum oppoſita deſcriptos,(Per duo namque puncta in Phrra non per diametrum oppoſita vnus tantum cicculus maximus deſcribi poteſt out ex Theodoo conſlat Vel certe ſi maximus eſſet, d ſecaret circulum ABCꝰ, biffariam in C. quod eſt abſurdum cum bifariam ſecetur in A, Cʒ eauferet vtraque re · Aa CK EH, ex circulo CE EO, maiorem arcum, quam vt ſimilis ſit arcui, quamvtraque carum ex maxi mo circulo aufert: Aufert autem vtraque ex Maximo circulo quadrantem, quod vtraque lateri quadrati in maximo eircuJo deſeripti ſit ęqualis. Igitur vterque arcus C EH. quadrante maior erit. Kurſus quia retta CE, ex circulo codem CHEO, maiorem arcum aufert, am et ſimilis ht arcui CDE, quem ex maximo circulo ABCD, eadem Fetta CE, abſcindit: Eſt autem arcus CDE, quadrante maior, quod, Gadrans ſit, Igitur arcus COE, multo maior erit quadrante, ac proin* ſi adiiciantur duo arcus CK„ EH. quadrante etiam maiores oſtenſi;; rant toti arcuf EO C EK, COE H, ſemicirculo maiores ſinguli; s atque Ideirco»terque angulus E CK CE H, cum in illis ſegmentis maiori1 Quocirca duæ rectæ Cx, EH, extra ſphæbus exiſtant, recto minor ſerit. ram coibunt in, propter duos angulos EC K, CEAH, duobus rectis Minores. IT AQVE duc is rectis MN, DR, IE; quia latera CM, CN, latetibus EM, EN, oſtenſa ſunt æqualia, baſisque communis eſt MN z erunt anguli ACN, MEN. æqua les in triangulis CMN, EAN, quæ quidem extra lana circulorum CHE, ABCD, exiſtunt. Quocirca in triangulis C D K, EIkr, quoniam latera CD, Cc, lateribus EI, EH, ſunt æqualia, quòd omna, latera ſint quadratorum in maximis circulis deſcriptorum; anguloſque quales compre hendunt DCk, IEE, vt oſtendimus;; erunt baſes quoque DX, IH, æquales; atque idcirco& arcus DK. I, ęquales erunt, ſiue ij minores ſint uadrante, ſiue maiores, hoc eſt, ſiue circulus CH E, exiſtat citra pundum L, ſiue vltra. Rel iqui igitur ex ſemicirculis BX, G, æquales quoque srunt. C AE TE RV M angulos MCN, MEN, ex quibus quidem toN uis demonſtrationis pendet, probabimus eſſe æquales, Kia 8. non con. et, rectas CH, EH, productas conuenire in puncto N, hoc modo. Quonam planum circuli CHE, planum circuli AB CD, ſecat per rectam CE, ſuntque tam in hoc æquales oſtenſi duo interni anguli C EI, ECD, quam in illo duo interni C EH, ECK: erunt per lemma 20 anguli quoque D CK, IEN, æquales. Quare, vt prius, n oſtendentur æquales baſes D, IH u ac proinde& arcus DX, IAH, ideoque& ex ſemicirculis reliqui BK, GH, æquales Hunt. E T quis oſtenſi ſunt quadrantes LD, LI, ſidemantur æquales arcus DK, Mi, vel ab his quadrantes tollantur LD, LI, erunt quoque arcus LX, L, interepti inter planum ſecans& punctum K, interſectionis Aequatoris cum circulo goliquo, æquales. QVY OD ſi circulus CH E, tranſeat per L, punctumꝭ vbi ſe interſeant Aequator& circulus obliquus G 57 1 perſpicuum eſt, arcus abſciſſos N DL, a K, H, per quæ ducitur, non ſint in circulo maximo ABCD. 425.1. Theis b 75. f. Theo. lemma. 3. Theod. 47 C. 1. T Heo. lemma. 3. Theod. f coroll. 10. J. Theod. JI. tertij. b F. primi. 116. I. Theo. * 2. primi. . terti. „ F. brini. 20. tertę. 74 E DLyIL, æquales eſſe, cum ſint oſtenſi quadrantes. Sic etiam ſi i lus CIE, tranſeat per alterum etiam polum mundi A, ö arcus DL B, IL G,& LB, LG, æquales eſſe. Erit enim tunc cir culus CHE. idem qui ABCD, maximus, ac proinde ſemicirculi erunt DLB, ILG,& LB,LCG. quadrantes. S EQAVIT VR etiam ex his, quoſcunque duos circulos per C dem cireu. liquido conſtat, E, ductos intercipere in Aequatore,& circulo maximo obliquo arcus 14 les. Cum enim quilibet abſcindat arcus æquales vſque ad puncta D, 151 vſque ad puncta;, G; ſi minores ex maioribus auferantur„reliqui 2 ter duos circulos intercepti erunt quoque æquales. Ita erunt arcus& 0 HI. H. æquales inter duos eirculos C HK E, CK HE. Nam arcus 20% B, les DK, IH, ex æqualibus DKLX,IELH, ablati relinquunt xquales 8 HL H, atque ita de eæteris. 8200 „ 9„ — 2 2 2— dircu. it,& HE, „LC. e. nein. 5 E AD E M pror ſus demonſtratio adhibebitur in alijs duobus ſemicirulis Aeguatoris,& circuli maximi obliqui, ex altera parte maximi circuAB D Nam exillis quoque pla num quodcunque per polos 8 E, duHum abſcindet arcus æquales inter planum ipſum„& circulum maximum b, vel alterum punctum ſectionis Aequatoris,& circuli obliqui in erceptos. RVRS Vs in ſphæra ſit circulus maximus ABCD, per polos mũdi A, C.& los E, F. circuli cuiuſuis maximi obliq, ductus, ſitqʒ diameter Aequatoris BDz culi obliqui, Gl, vt ſupra. Ex polis autem C, E, ſupra aſſumptis deſcribantur godem intetuallo duo circuli æquales KL, NOP, quorum ille Aequatori, 52. 2. THeo. Ne vero circulo obliquo parallelus erit: qui duo paralleli vel ſe mutuo ſecaVnt, vt in pri a ſigura, ve!— Hallomod) ſe Mterſecabũt, Mod duobus 4 1 edis fieri po i Aut enim culi ex polis 8„deFripti ſunt ci a maximos Hirculos, quibus qu 1 nt, vt in 2.[B fig ra, aut vlMa, vt in 3. fl gura. Ian. per polos C. E, du tatur planum quodpiam vtun tatic ſphæte ſuperfhcie itculü CLE, & cum plano b 1 7. Theo. circuli maxi- O mi AB CD, mem ſe em, rectam CE: Secetq̃ue hic circulus vtrumque paral lerene lum in punctis L, O, quomodocunque inclinatu ad i —— 5, 8„ quomod cut que inclinatus ſit ad maximum circulum 1 hoc eſt, ſiue angulus inclinationis verſus ſegmentum CDE. ſi it acutus, Dico N os ML, PO, quam XL, NO, eſſe ir micireu ſu per!* ſee g 1 eipit à ſemicirculo ſuperiore,& PO, a ſectione auſtrali: At rero K r e NO, a ſectione boxcali, vt in propoſitio ict um eſt, fieri debere. Ductis enin ti g 1 5 ö uctis enim rectis L, CM, EO, EP, quæ omnes c ſchho æquales ſunt ex polis ad parallelos æqual 5 3 0. ſchol. 21. m ar 3 qua les, junctisque rectis LM, Oy; erut THeod 1 rcus CM, EP, in circulo ABCD ö 5 at 1. L heod. . a ee e g arcus CL, EO, in circulo CLE, 42. tertq. ; adlatisque communibus are D ando pa 0 0 . aF 10 M1„LO, quando paralleli ſe interſePrima ngura, vel quando non ſe interſecant, ſed tamen exiſtunt vltra K circulos ectus, ſiue obtuſus. Dico tam arcus abſe æquales Nam ML, 79 EIN. circulos maximos, quibus ęquidiſtant, vt in ter tia figura: vel iiſdẽ arcubus p LO, additis, quando non ſe mutuo ſecant, ſe. d tamen exiſtunt eitra circulos MaN„Eimos, quibus ęquidiſtant, vt in ſecunda figuraʒerunt quoque tam reliqui 2. 2 Jibert d. vel conflati CB, EM, quàm CO, Ex, equales; ac proinde tam interni anguli* CEP, ECM, in plano maximi circuli AB C D, inſiſtẽte arcubus æqualibus Eb, 8 EM, quam anguli interni CEO, EC, in plano circuli CLE, illud per rectam 1e ¶ E, ſecante inſiſtentes equalibus arcubus CO, El, inter ſe æquales erunt. Ig et o ſehol. 21, 1 tur per lemma 20. anguli quoque LOM, OEpP, erunt equales: o Sunt autem& ei ThHeod. latera CZ. CM, EO, Eb, ipſos comprehendentia, æqualia: Igitur& baſes LM, a1 F. brimi. OP, æquales eruntz a ideoque& arcus ML, PO, æquales erunt, ac proinde& ex ri 24. lertj. ſemicirculis reliquĩ KL, NO. 0 e. 01 2 * ＋ 85 * 9 51 1 50 N. in 0 q 8 te te X li 0 pr. 2 2 QO ſi ſemicirculi parallelorum KEM, NOp, ſecentur bifariam in qua 25 drantes in punctis Q. R, erunt quoque arcus L. OR, inter planum ſecant* LE,& terminos quadrantum Q, R, intercepti ęquales, cum ſint complements* æqualium arcuum ML, PO, vel arcuum gqualium KL, NO. 8 P E RSPICVVM etiam eſt, ſi circulus CL E, tranſeat per alte l rum etiam mundi polum A, ita vt cum maximo circulo AB C D, coinci- g 14.1. Theo. dat, arcus abſciſſos MLK, PON, æquales eſſe;. quippe qui ſemicirculi ſint. f Sic etiam ſi idem circulus auferat ex vno parallelo quadrantem, auferet quo- 1 * ex altero quadrantem, cum neceſſario ęqualem arcum auferat, vt demon- 8 ratum eſt. Item duo quicunque circuli per C E, ducti intercipient arcus æqua 8 les parallelorum, vt paulo ante de Aequatore,& circulo maximo obliquo di- 8 ctum eſt. IDEM 8 15 naus, uli b, am & M, L EM M A XXIII. 77 IDE M prorſus eontinget in reliquis duobus ſemicirculis parallelorum ex altera parte circuli maximi ABCD. Eadem enim omnino eſt demonſtratio im il us, atque in his, vt patet. 5 5 e DEIN D E per eundem mundi polum C,& polum F„ eirculi obliqui 1 GH, propinquiorem ducatur planum aliquod,*faciens in ſuperficie ſphæ- 80 1 2 e circulum& H F,& cum plano maximi circuli A B C D, communem ſe- 3. Vue. ktionem, rectam C, ſecetque hic circulus CHF, primum Aequatorem 5& eireulum obliquum maximum in punctis K. H, vbicunque hoc contingat. Dico arcus abſeiſſos BK, IH; Item DK, GH,(Nam BK, incipit à ſemicirculo infeHore,& 1 H, à ſectione auſtrali; at vero DK, à ſemicirculo ſuperiore,& GH, à ſectione boreali, vt in propoſitione præcipitur.) eſſe æquales Ductis enim rectis CB, CK, FI, FEE, BX, IH: Quoniam CB, FEI, quadrantes ſunt, ideo- coroll. 155 que æqua les; 1. THeod. Ablato communi arcu F, reliqui arcus BE, IC æquales quo uc erunt. 4 Igitur angu Ii BCF. 1 PC, quales erũt. Rur ſus quia in circulo CEF, rectæ CK, FH, æ. quales ſunt, cum ſint latera quadratorum in ma ximis circulis B K D, GH, deſcri ptorũ;ſerũt arcus quoq: CFK, FCH, *qualeszabla toq; commu ni arcu CE, 4. tertj. 1.1. Theo. 26. tertij. reliqui arcus FR, CH, æquales etiam erunt. Igitur anguli quoq: K, Ho, Sc quia ee, circuli CAF, ſecat Planũ circuli A35CD, per Hie een hoc equales interni duo anguli BCF, TFC, quam in 12 duo interni anguli KG, HFC, æquales, vt demonſtratum eſt; erunt quoque r lemm 1 75 8 0 f B. F N OK. I¹ blequales. Quod etiã hoc modo, quãdo tã rect. IEc qu 7 e ee ee K, FE, in N oſtendes. Quia tä anguli BCE, es 9 N. g 05 s 5H e 070 lee 3. dan rectę Cr, EM. EN, duob N. inter ecquales. Ducta 1 71 recta MN, cũ duo latera CM, Fee ee be equalia ſint, baſisque MN, communis, erunt e NN, M N, ęquales. Itaque in triangulis CBK, FLH, quoniam latera g 29. tertij. h C. primi. i F. primi. 78 DB. .f. Three. latera CB, CK, lateribus FI, EH, æqualia ſunt, quod omnia ſint latera quadrz torum in maximis cireulis deſeriptorumʒanguloſque comprehendunt æquale, B CK, LEH, vt oſtendimus; erunt quoque baſes BK, IA, æquales: atque idcitco& arcus BK, IH, æquales erũtzac proinde& ex ſemicirculis reliqui DR, GH æquales erunt,&c. RVRSVS ex eiſdem polis aſſumptis C, E, vicinis deſcripti ſint vno eodem. que interuallo duo eirculi æquales x LM, NO, ſiue citra Aequatorem,& cit. culum maximum obliuum, ſue vltra: Et per eoſdem polos C, F, planum ducatut, 41. 7. TSH. faciens in ſuperficie ſphęræ circulum CLOF,& cum max imo circulo ABCb, communem ſectionem, rectam CE. Secet autem hic circulus factus eirculos ex polis C, E deſcriptos in L, O. Dico tam arcus KL, NO, quam MT, PO, æquales eſſez quorum K, incipit a ſemicirculo ſuperiore,& NO; à ſectione boreali in parallelis citra maximos circulos; ia alijs autem prior a ſemi. circulo inſeriore,& poſe rior a ſectione auſtrali in. cipit. Iten MI, incipit“ ſemicirculo inferiore;& PO, ã ſectione auſtrali, in parallelis c. tra maxim; circulos; in aliis autem i cipit MLaft periore fem“ circulo f 8. PO à ſectione borcaliʒ M in propoſtio ne pręcipitu s Ductis enin ſchol. 2 L. 1 rectis Ck, CL, N FO, e quę omnes inter ſe ęquales ſunt ex polis proprijs 10 Thecd circulos æquales: ¶Quoniam tam arcus CR, EN, in circulo AB; CD, ob red 7 44. terti. æquales CK, FN, quam arcus CZ, FO, in circulo CLOęE, ob a qua les rectas Ci; FO, æquales ſuntzaddito communi arcu CE. in vtroque ci culo, quando circul KLM. NOp, ſunt citra maximos circulos, vel quando ſunt vltra eoſdem„abb to codem arcu CF, erunt quoque tam conflati, vel reliqui arcus EK, CN, in cit. culo ABCD, quam FL, CO, in circulo CLOfk, æquales; ideoque& tam reliqu „Cx circulis totis FA K, CAN, in circulo ABCD, quàm FOL, CZO, in cirei r 27. let. CLOF, ęquales erunt. s Igitur tam interni anguli K CE, NEC, inſiſtentes“ bus æqua ſibus F AK, CAN, citculi AB Cp, quam interni LC, OC, qua libus * L E M M A XXIII. 5 10 Ke IE f On le, emma anguli quoque K CL, N FO, æquales e t. Qu 95 ſt quando tam rectæ CK. EN, quam CL. FO, ſe inte: 2 ö 1 10 5 eirculos exiſtunt. Quoniam 51. Ac juando circuli K LM, NO P, vltra maximos circulos exiſtunt. m 9 1. i xCE. NFC, quàm LCE, OFC, ſunt oſtenſi equalesz aerunt tam rectæ g. primi. em Ta, quam CR, ER, æquales inter ſe. Ducta ergo reda QR. cum duo 3 f 8 se zus lateribus EQ ER, æqualia ſint, baſisque QRcommunis, berüt e F. primi. * 5 2 7 1 8 1 8 5 100 95 c anguli ACR, Qk R, æquales. Itaque in triangulis CKL/FNO, 1270 ſchol. xl. r 0 N 5 2 7 7 1 2 7. 0. Rtera CK, CL, lateribus PEN, FO, æqualia ſunt, anguloſque continent æquales 1 heod. N 5h C No vt oſtenſum eſt; d erunt baſes etiam RI, NO, æquales. F atque id- 4. primi. lle ſirco& arcus KL, NO, abſciſsi ęquales erunt, ideoque& ex ſemicirculis reliqui 2g. ter tij. iin Mr, po, ęquales erunt,&c. 5 3 5 5E D demonſtremus iam hoc idem Temma, quando alter circulorum 105 4 Requatorem rectus eſt. Sit eirculus maximus ABCD, per A, C, polos mundi, ſiLequatoris BED,& per B, D, polos cicculi maximi AEC, ad Aequatorem re cri deſetiptus, vt in hac priori figura; ducaturque primum per polum auſtralem a pet polum circuli AEC, ſuperiorem P, planum, faciens in circulo 1 m OD.& in ſphæra circulum CFG, qui Aequatorem ſecet in F, & circulum AEC, in G. Dico arcus abſeiſſos DE, CG, vel BF, AG, æquales eſſez quorum PF, initium ſumit à ſemicirculo ſuperiore,& CG, à ſectione auſtrali: t veco B, à ſemicirculo inferiore;& AG a ſectionc boreali, vt faciendum eſcu- e in propoſ. præcepimus. Ductis enim rectis CF, DG, ED, GC, erunt CF, DG, tes equales, cum ſint latera quadratorum in circulis maximis deſeriptorũzs i C. 1. Theo. 2F. teriij. 80 LAL B ARM M. que& arcus Ct, PG, æqua les eruntzadditoque communi areu FG, vel ablato,f circulos CEGD, citra punctum E, maximos circulos lecaret; erunt quoque ar. a.terti. cus CFG. DGF, æqualesz a ac propterea& anguli DO, DCF, æquales erunt in plano circuli CFG D. Quapropter cum duo latera CB„CD, duobus lateribus Get. Theo. DG, DC.æqualia ſint,( quod CF, DG, latera ſint quadratorum in circulis ma ximis de ſcriptorum, latus autem CD. commune) angulosque contineant æqua4 4. Primi. les DC, CDG, vt demonſtratum eſtz e erunt quoque baſes DE, CG, æquales. . tert. Immo rectæ PDF. CG, ęquales ſunt, propter arcus DGF, CFG, æquales circuli J. tert. CFGD. Igitur& arcus DE in Aequatore,& CG, in circulo AEC; 20 Propterea& ex ſemicirculis reliqui BF, AG, poſitum, DVC AT VR einde per eun circuli AEC, inferiorem B, planu æquales erunt. quod eſt prodem polum auſtralem mundi C,& per polum m, faciens in circulo ABCD, xectam CB,& in ſphæra circulum CHI qui ſecet Aequatorem in H,& circulum AC Dico rurſum areus abſeiſſos BH, Cl, vel DH, AL, æqua les eſſe Aequatore incipit à ſemicirculo inferiore& CI DE. à ſemicirculo ſuperiore,& Al, a ſectione boreali, vt propoſitio præcipit. 516.3. Theo. Ductis enim rectis CH, BI, BH, CI, erunt CI, Bl equales, f cum ſint latera qua 5 4. tertij. dratorum in maximis circulis deſcriptorum. 4 Igitur arcus CH, BI, æqua les erunt; additoque communi arcu HI, vel ablato, quando nimirum eirculus CHB, c irculos ſecat citra E; toti quo que, vel reliqui arcus CH, BI, æqus4. tertij. les erunt, ac propterea& anguli CBI, BCH, ipſis inſiſtentes ad peripheriam æquales erunt in plano circuli CHIB. Quocirca cum duo latera C, 1 us in J. quorum BAH, in a ſectione auſtrali: At vero 0% fl ar · t in bus ma ua les. uli roum n L E M M A XXIII. 81 pus lateribus BJ, BC, æqualia ſint,(Nam CH, BI, latera ſunt quadratorum in circulis maximis deſcriptorum,& latus BC, commune) complectanturdz an ulos æquales BCE, CBI, vt oſtendimus, b erunt quoque baſes BH, CI. 14 3 Immo redtæ BH, CI, æquales ſunt, propter æquales arcus 5711. Sn 5 irculi CHIB. à Igitur& arcus BH, CI, in Requatore,& circulo AE 125 Aue idcirco& ex ſemicirculis reliqui DH, A L, æquales erunt. quod eſt proolltum. 8 f RVRSVS ex C, polo auſtrali,& P, polo ſuperiori alterius einne Ami, ſint deſcripti paralleli equaleg EFG, EIK, ac per eoſdem polos 19178 Rlanum faciat in circulo ABCD, rectam CD,. in ſphęra autem circulum 2 15 5 ul parallelos ſecet in F. Id vt in poſteriori figura· Dico iterum arcus ab o „KI, vel EF, Hl, eſſe æquales; quorum GF, incipit à ſuperiore ſemicirculos& K, à ſectione auſtrali: At vero EF, à ſemicirculo inferiore,& Hl, à ſectione botea li, vt vult propoſitio. Ductis enim rectis CE, CG. GF. DI, DK, KI; e CE, CG, Dl, DK, inter ſe æquales. Igitur& arcus CE, Dl, æquales erunt; 15— Aitoque communi arcu, FI, vel ablato. ſi opus ſit; arcus quoque C, DF, æquales fentz s ideoque& anguli CDI, DC, ipſis inſiſtentes equales erunt in plano eirculi C FID.. Eodem modo æquales erunt arcus CG Kʒ ac proinde& & quadrante C D, reliqui DG, C K, æquales erunt; i atque idcirco æquales etiam erunt anguli PCG, CDE, in plano circuli ABCD. Igitur per lem ma 20. anguli quoque FC G, ID K, æquales erunt: Sunt autem& latera pos comprchendentia inter ſe ęqualia obtenſa. i gitur& baſes FG IKz lac Proinde& arcus FG, IK, vna cum reſiduis EF, HI, ex ſemicirculis, æquales Frunt A extremum ex polo auſtrali C,& B, polo inferiore alterius circuli maximi ad Aequatorem recti, deſcribantur paralleli æquales LAN OPQ,& per eoſdem polos planum ductum faciat in circulo AB CP, rectam C B, in ſphera autem circulum C MB, parallelos ſecantem in M, P. Dico arcus quoque abſciſſos NH, Op, vel LM, OP, eſſe æqua les; quorum NM à ſemicirculo interiore,& QP, à ſectione auſtrali incipit: At vero LM, a ſemicirculo ſuperiore,& OP, à ſectione boreali, vti res poſtulat, quemadmodum in propoHtione dictum eſt. Ductis namque rectis CM, CN, BP, BQ, MN, PQ, u quarum priores quatuor inter ſe æquales ſuntʒ u erunt arcus CM, BP, æqua les, ablatoque communi arcu MP, vel addito, ſi quando res poſtulauerit; reliqui quoque ęquales erunt CP, BM. oIgitur æquales erunt anguli ipſis inſiſtentes CB; P, BCM, in plano circuli C PMB. v Eadem ratione æquales erunt arcus CN, 5,& ablato communi quadrante BC, vel addito, ſi opus fuerit, arcus quoque BN, CQ, æquales erunt zu ac propterea& anguli; CN, C BQ, æquales inter ſe erunt in plano circuli AB CD. Quocirca cum in planis circulorum PMB, ABC P, ſeſe in recta B C, ſecantibus duo anguli C BY CB, guobus angulis BCM, B CN, æquales exiſtant; erunt per lemma 20. quales quoque anguli BQ, MCN. Cum ergo comprehendantur lateribus Equalibus, vt oſtendimus zr erunt etiam baſes æquales MN, PQ. Igitur& Arcus MN, PQ, ideoque& ex ſemicirculis reliqui LM, OP gqua les erunt. quod eſt propoſitum. g 216.8. Theo. b. primi. 2. tertij. d 2. tertij. e ſchol. 2 f. C Theod. 2. tertij. s 27. tertij. h 2. terti. 17 7 rertij. x f. primi. 9 terti. 15 ſehol. 21. r Theod. * 2 C. tertij. 0 2. tertij. b 2. rertij. 4 27. terti. „ F. primi. 29. tertſ. Alia demonſtratio totius lemMatis. 210.1. Theo. d 25 6 f 20. frimi. ſcholio propoſ.. lib. 3. Eucl. parallela erunt CE, IDʒ b angulique propter 82 1 RI. 5 H O L. 1 NM. CAE T ERV M quia lemma boc e pracipuis vnum et, cum mirificum vſium habeat in diuidendis circulis Aſtrolabij in gradus, libet illud alia ratione demn Hrare, vt eius veritas magis perſpicua flat. Sit igitur rurſum im ſphara circulus maximus ABC D, per A, C, polos mundi, vel Aequatoris BK D,& E, F, polos cuiuſiis circuli maximi obliqui& KI, deſcriptus; Centrum ſphara,& omnium maxi morum cir. culorum H; Axis Aequatoris A C; circuli obliqui axis EF, qui axes ,a cum ad ſuu circulos recti ſint, perpendliculares erunt ex deſin. 3. lib. I r. Euclid. ad diametrus pr. priorum circuls. rum B D, G, ita vt ex ſcholi propoſ. q. lib. 3. Euclid. aua dran tes ſin: A B, Bc, CD, DA; EO, GE, FI, IE. Di ſcribantur qui. que ex polis 0 F, quatiuor para Jeli; ex ſinguli bini, LMN, O 2 RMS TPS, qui aqua les ſint.· Intel. gatur autem h zunum duci pli. num per Ct. lum A eqliatu ris,& E, polin circuli obliquiò C, remotiorem, quod facial in circulo ABC U. communem ſii f dtionem, recen GE, 1 ſuperficie autem ſpharæ cirtulum Ca HE, quando ad partes D. I, vergis, circu um Cb dv, quando vergit ad partes B. G. Prior autem circulus ſecet Aeg rem,& maximum cirtulum GK, in I e; parollelos autem LM N, TV, in g. h. A. foſt erior cirtu lus eoſclom circulos ſocet in h, doi.&. Et parallelus O, SMR, in hi5 P. 9. Pico arcus ab ſciſſos DN, Ia, c BN, Ga, æquales eſſe; guorum DN, incipit i ſe micirculo ſuperiore, M Ia, à ſectione auſtrali; At vero B N. 4 ſemi. circulo inferiore,& Ga,& ſectione horeali. Item eadem de cauſa equales e arcli Db, Id, vel B, Gd, in Aequatore, c maximo circuloobliquo. Similem ob cauſam i co in parallel is LMN, TP, æquales eſſe arcus N, V G, vel I g. Th: Itemquèe Ni, Yk: Li, Tk: Ac denique in parallelis Oh SM, artis Nr, RO, vel On, SO: Iten 2b, Ra, vel Op, Sq. Iuncia enim recta Dl, quoniam quadrantes EI, CD:; equal ſunt; dempto communi arcu Di, reliqui DE, IC, æquales quoque erunt Igitur e H XI HI. cum mon axii civfaul proculo. G I, 7 holis dran 58 E05 2, D Ju. ic C pari Null M5, agu. ell. em pri i pla. 1 50. 21 ale. polum 2 4 rem, At in 505 n ſer elan 1 5 el natd. 5 4 Item ſuales tur ex IXI. X. L E NM n R dll 3 3 a 7 ternis: æquales erunt. a Cum ergo hi æquales ſint zee C recta XH, TH, aquales eruut, lanà circuli— HZ, angulis HID, HDI, entern 17 in Jſeſeole E DIerunt quoquè 210 aquales; b dec Hoc e, puncta T, X, à centro H, æqualit a aan 91 vum Ca HE, Cbuk, in Aequatore ſoctiones, rect as Ti, Lb: in circulo& GI, redtas Xa, xd:& in parallelis LN, TP, OP, SMR, rectas eę, 5 Ik; rnb, ſeq. Faciant quoqt O TLero md pbliei; 174 E quoniam in rect as B D, G, in plano circuli ABCD, exiflentes in5 7 7* 2 8 375 7 28 tidit recta CE, faciens angulos H xY„HT X, aquales,& in redias BB, Gl, inſiſtunt Vana circu orum BK D, GK I, quæ ſuut ad plamum circuli AC D, recta: commuCah es ſectiones TZ, X a; Ib, Xd, planoris CAE, per C E, ductorum ci ni Aecquaͤ gore,& circulo maximo obliquo, facient cum diametris h D, G f¹hj,u, XM e gν Feangulos DZ, IXa; Db, IX d, ex pracedenti lemmate 22. Cum ergo puncta Y, X, C0 centro H, æqualiter diſtene, vt oſtenſum eſe, allſcindent ex lemmate a I. eden cos hHunes e ſoctiones F Tb, xd, ex circulis BK D, G RI, arcus aquales DA, Iaʒ Pd: Item BZ, Ga, Bb, Gd.. RY RSV iundta reda LT; a quoniam rect æ ex polis C, E, ad puncta LITs circnile aequaliũ aquales ſuntz eæꝗduales erunt arcus CL, EI; ac propterea ea„e! 0. prop . lib. 3. Euchid. parallela erunt T L,; C E,; f ideoque anguli Neſ, fe, e IT. TI, externi internis, æquales erunt. s Sunt autem anguli N J. TY YYY, Hales, quod arcus NT, LV, quibus inſiſtunt, æquales ſins.( Ven iam enim ar, LN, quos diametri TV, LN, circulorum æqualium ſibtendiunt, æqua A ſunt; addito communi arcu NV, toti arcus NT, LV, eq ulales fient. Igitur& Hnauli Nef, Vfe, æquales inter ſe erunt. i Praterea quia in triangulis Ef, Cme, Anguli E, C, aquales ſunt, ob Lſoſteles CH E,& angulil, m, recti,( q am es EF, CA redti ſint ad eorum circulos, idecquè& ad eorundem diametros eæ deſin. 3. lib. 17. Euclid.)& rectæ quoque El, Om, ſinus verſi arcuum ægqualium EI, CI, Aguales; vt al definitiones ſinuum demonſtrauimus; l erunt etiam HM, me, æquales; Meoque puncta i, e, à centris l, m, æqualiter dictabunt. ITA YE gquoniam in rectas LN, TV, in plano circuli ABCD, exigtentes pcidit recta C E, faciens angulos N e f, fe, aquales;& in rectis LN, TV, inf Hunt plana circulorum LM N, IPV, m gu ad planum circuli ABCD, recta ſfint: communes ſectiones eg, fo; ei, Fk, planorum Cah E, Cd, per CE, ductorum cum arallelis LMN, TPS, facient ci diametris LN, TV, in punctis e,„, angulos æquales Neg. Vfb; Nei, VF k, ex antecedente lemmate 22. C ergo puncta e, fr centris m, l. galaliter diſtent, vt oſtenſum eſt; communes ille ſectiones eg, fh ei, fk, abſcindent g circulis LEMN, TPV, aquales arcus Ng, Vhʒ Ni, VK: Item Lg. TV Li, I E, ex lem Pate 21. DE NTA V E iuncta recta QR n quoniam& toti arcus A E, FC, ob angulos AH E, FH, in centro æquales, cum ſint ad verticem, æquales ſunt, o& . FR, ablati æquales quoque, i quòꝭ d recta A, FR, ex polis A, F, ad circues æquales cadentes ad QR, ſint aquales; erunt etiam reliqui arcus E CR,. Zauales; ac propterea ex ſc holio propoſ. 27 lib. 3. Euclid. parallela erumt& E, R. Leitur red O, SR, producta, cum ſecent ipſum R; in Q, R; ſecabunt quoqtie . bparallelam CE, prolluctam in r, S; d ang 5 WM, S R angulis Or, Jr externi internis, æquales erunt r Sunt autum anguli OR, SR Q a4quales, ued arcus OR, S& quibus inſiſtunt, equales ſint.(AQuoniam enim arcus RS, O, os diametri Rs, M, æqualium circu lorum ſubtendlunt, æqualos ſunt; addito arcu cette, OS, toti artus Ok, S, æquales tent.) Igitur& anguli Oiſ, Sſr, aquales unt. Praterea quia in triangulis riC, ſu E, anguli v, ſi aquales ſunt aſtenſi,& anguli LL 2„ u, 5. primi. b. primi. 15. U. Thhco. ſchol. 21. 1 1 Heod h 2K. tertij. K.. Theo. 1 20. primi. m 15. 1. THeo. n 2. tertij. o 24. tertij. p ſchol. 21. THeod. 1 29. Pr ni. 27. tertij. 24. tertij. 2 0. 1. Theo. 20. primi. 615. I. Theo. 94 nn tu, recki,( quod axes AC, FE, recti ſint ad eorum circulos, ideoquè ad eorundem dis znetros, ex defin. g. lib. I I. Eucl.)& latera quoque Ct, Eu, æqualia;(Nam cum, al deſinitiones ſinuum demonſtrauimus, ſinus verſi At, Fu, artuum æqualium Al, aquales ſint, erunt quoque reliqua partes Ct, Eu, diamesrorii AG, FE, æquales.) b erun gquoque recta rt, fu, aquales, ideoque puncta r, ſi à centrist, u, aqualiter diln Bunt. IT A4AYE quoniam in rectas Or, Ss in plano circuli ABC D, exiſtentes inti. dit recta v, hoc elt, CE. product a, faciens angulos Orſ, Sſr, aquales;& in rectis on H, inſiſtunt plana circulorum O, SMR, eu ad pla num circuli ABC P, red: ſunt; comm. nes ſectiomm np, ſoq, Plan Cbd E, per CB, duct i cum glu. nis circulbun OP, SMA, facient, per ti cedens lemmi 22. cum din metris OH. N productis in pu tis 1/ an. los æqualeson Sg, vel Of S. Cum ai puncta r, 104 cotris t, u, eſui liter diſten i oſkendimii ii munes illi. diones rnb. abſcindent circulis OD SMR, agu arcus : R 1 Oo, Sa; Op, Sq, ex lemmate 21. oO D ſſ quando contingat, communem ſectionem rn, quam planum per CE dum cum circulo Oh facie, tangere circulum O tanget quoque altera fel communis ſo, circulum S R, vt in lemmate ar. demonſirauimus. Quocirca plamun 4 lud per ¶ E, ductum tanget vtrumque circulorum OP, SMR. Puncta autem cane Auum inuenientur, ſi circa diametros O. SR, circuli deſcribantur.& ex 7.% ddt, ducantur tangentes lines. INTETLLIOGAT YR deinde duci planum per C, polum Aequatoris,& 1 lum circuli obliqui ei propinquiorem, quod fuciat in circulo A BC D, cmmunem e nem, rectam CF, in ſuperficie autem ſphara circulum Caba c, qui Aequatorem 5 in T lʒ circulum maximum obliquum G Rl, in a, dz parallelum LM N, in fi SMA, 2 hparallelum O PQ, in i, ks parallelum denique T, in l. m. Dico arcus abſeilſac tio ſemper facto in Aequatore, eiuſ que parallelis, A ſuperiore ſumicirculo,& in mar. circulo lem dis 1 a Oord, b erunt Adiſtg. es inti. ctis O , rect ommi. edliona , laßi ber CE. m flu. ulorun SMR; per prilemmi m din is in fu alle lesom el Of um eß 75 1 Aff. ent mus l. lle.. np./ ent u O 21 IL E MM A T XXIII. 85 cirenſo obliquo, eiuſque parallelis, à ſectione boreali; Aut in illis à emicireulo inferio. re,& in his àᷣ ſectione auſtrali, veluti propo ſitio faciendum el praſcripſit.) BT. Iaʒ Bb, Idʒ DI, Ga; Db; Gd, in Aequatore,& circulo obliquo maximo GK. Item L, Rh, Ny, Sh in parallelis LM N, SR: Ac tandem Oi, ylʒOk, ym; gi, TI; Sk, Tm, in parallelis OP TPI, inter ſe eſſe æquales. Iundia enim recta BI, quoniam quadran es BC, EI,. aquales unt; dempto arcu cõ muni C E, reliqui quo ¹ Arcus BF, CI, 4quales e runt. IgI- ö e! tur ex ſcho lio propoſ. 27. lib. 3. Eucl. paral lela erunt BI, C Ez ac Fropterea re 4 H B, HI, ſecantes ihbSιỹ,Dĩ, ſecabũt quo que productæ eius pa rallela CF product am inT, X, a an guliq; ꝓpte rea HT, HI B, angulus HX, HX, externi internis, equales erunt. b Sunt autem H BI, RIB, b 3 in lfoſcele HBI, æquales. Igitur& HTX, HX T, æquales eruntz e atque idcirco** Binn, d H, H, æquales erunt, hoc eſt, puncta Y, x, à centro E, agualiter dictabunt. Fa-. e e Ae circuli Gab, in Aequatore ſoctionem communem rectam Nö in circulo GK, reſtam Xadzin parallelis LM N, SMR, redtas e, oh; 1% 7 OO TP, rectas nik, plm.. 2 e 1 4 E quoniam in rect as DT, GX, in plano circuli ABC D, exigentes inci5 8 2 ee, facit angu os æquales HX, HX: Et in rectis 8 140 Bion⸗* lani circuli Cab F, per CF, dudti cum * 1 circulorum* 95⁰ KI, facient cum diametris DB, GI, productis in punckis J 3 25 D 1 5 r lemmate 22. pracedente. Cum ergo puntia* 15 8 e eee ee eee eadem communes ſectiones . een 0 U 1 aqua es arc us Bx La; Bb, Id. Item 29. primi. df y,. Theo. KRV RS VS june 4 1 5 a und a recta LR, e quoniam recta ex polis C, F., ad puncta L. R, circit. e ſchol. 2 1. f. loruin THeod. 86 III NAT Nr. 24. tertij. lorum æqualium tadontet, ſunt aqua lic; a erunt qunque artus CL, FR, equales; din Ttoquse com muni arcu LR, reliqui CR, FL. aquales erunt. Igitur e feholio pr o 29. primi. lib.. Euclid. parallela erunt CF, REʒ b proptercaque anguli N eg, Sg angu 1 R e. tert. SRL, erternt internis, aquales erunt. e Sunt atem N LRS SRTLVEHUl. quod arm d 2. rer. NR, SE, quibus inſistunt, æqilales ſint. Cu Quoniam enim arcus NE, SR, ques diamemi NL„SR, cirsulorum æqualium ſubtendunt, eguales ſunt; ab veliqui arcus NR, SL, æqualas quoque erunt. IIgitur& anguli Neg. Sge, æquales in. eis. TB. zer ſè erunt. Præterea uia in triangulis eq C, F, anguli r, recti ſunt,( ãi ud ares CA. FE, ii 6 ſint al n. 27.1 8 ebr um cirii H.* los, ideoqus & all corn dem diam rros, ex de. finitione 3 libri 11. Euclid.)& anguli e, 5 oſtenſi 4 quales, al. que rect Cg. Fr,.. nuss tierſi a cuum aqui lium CI; FR, aqua. les quo ui vt ad dei. nitiones ſi. num de monſtraui. mus; f erunt quoqus tectæ 9g e ũuales; ideoqque pin 20 primi. * ＋—* cta e, g, A ceniris q r, æqualiter diſiabunt. IT 42 i in rectag L W. 2; 5 0 23 4 E quia in„ 1. LN, RS, in plano circuli ABC D, exiſtentes, incidem 4 les angül'e 7 n 97 5 re F, Vacie equales augiulos ge N, eg S: Et in rectis J„ inſictun plana circu. lorum LMN, RMs, qu e ad planum cirtuli A BOC Deda int: communes ſectionu 7 F 210 recta ſiut: communes foctions e 7 a„ abARgHRE, per C G, ö 1 s uus plan tis circuli Cabdæ F, per CV, ductum in plunis circulorum L M N, RMS, facit, constituent cum diametris LN, RS, in punctis e, g, angulos a qual N He e z ced: 1 8 1„ 1 7 c ee e 4 5 105 5 1 aut lemimate 22. Cum ergo puncta e, g, à centris q r, 44 1 5 1 mn 2b ſcindent eadem communes ſoctiones ef, gl, per lemma el. en 75 10 2 LMN, RM, artus æquales Lſſ. Rh Trem NV S 10 4 N 25 E iuncta recta Ol, quontam quadrantes C D, FA, æquales fi Theo arcus quoq; ablati DH, GO egualess( Nam arcus EV, JO, toti aquales 27. teriq. rectæ ex polis E, A, ad puucta V, O, circuloruim egutalium cadentes, ſiut a — 5 5 iat, . ²˙· r n e VLR, 1 Arcus anetri 1 L les in. d axis FE, ye 7 1 4⁴ „ ciyiu Aeoque eorun diame e dene 3. 11. 40 5 6. 141. „ Al. rect 7 1. 2 4% C qua · 04 ut) Aeſ8 fi. 4e aui. erunt ro. 5 590 L E M M A XXIII. 87 2; 7 1 artis ED, AG, equales, ob anguſ os EH D, GH A, qui aqualès rem anent, r 2 7 7 f 7 umuni AH E, e dubbus reſtis E HG, AHD. Igitur& reliqu. arcus A* 7 atque idcirco ex ſch o gutem 0 45 pte t 1 2 7 GO, equales erunt Derunt quoque reliqui arcus CV, FO, æquales; a 6 0 prcbo. 27. lib. 3 Euclid. parallel æ erunt CF, OHV: ac proptereaæ reel 20. TV, ſeEantesif em Oh, ſecabunt quoq ue product a eite parallelam product am CF, inn, p: 3 de angul: GV, IVO, angulis Qub, Tpn, erterni internis, equales erunt. Punt autem anguli„TY O, zquales, quòd arcus 31 O5, b inſiftunt, aqua e ſint.ſe Vohiam enim alcus L V, QO, quos diametri 7 20. circulormm 20 m ſubtenduut, Jutales ſunt; dempto communi arcs; reliqui arcus 2„103 5 uales erunt.) Igilur& anguli. Quts Tpn, eguales erunt. Praterea quia in triangu. uc, pub, anguli t. il tedti ſunt,(a quò a CA, FE. recti ſint 4 eoriim circtib, atque ideirco& ad gorundem diamei ros, ex defin. 3. lib. 11. Eucl.) e anguli u, G. Menſi æquales, at qu“ ihſub er rectæ Ct, Ea, æquales;(Nam cum, vt ad deſiniones fl uu demonſtrauimus, ſinuis verſi At, Eu, arcuum aqualium A0, ET. æqualis ſinizʒ Grant qaogue religus partes Ct; E u; diametrorum ACF E, edu ales, aun ogque resta nt, u, adualesz udeoque pundta u,,& centris t, u, equaliter diſtaunt. 5 T4 2E cum in rectas Qu, Tp, in plano circult ABCD, ex iſtentès incidens kla np, Hoc eſt, CE, producta faciat angulos Mp. Tpn, æquales: In rectis autein V, 7, inſittant plana circulorum O. TV quæ ad planum circuli ABCD. la ſune: communes ſoctiones nik; plin, quas planuim circult Cabdli F, per CE, Auum in planis circulbrum Op TF facit, conſtituent cum diametris OO, IV proMHuctis in pundtis n, b. aquales angulos nk, Ipm, e præcedente lemmate 22. Cum ergo undi a m pr centris ti u, aqualiter diſtarè ſis demonſtratumʒ abſcindent eadem commu nes ſactiones nik, plin, per lemma x ĩdex circulis OPP, arcus æquales Oi; Vlzo k, Nun; Item Qi, Ilz W, Im. O ſſ quaudo contingat, ſectionem communem Ab, quam planum per CF, daclum cum Aequatore facit, tangere Aequatorem B RD, tanget quoque altera ſectio communis Nad, circulum obliquum G KI, ut inlemmatè 21. de monſtrauimus. Quociſ en tic planum fer CF, dudtum tanget vtrumquie circulorum maximorum BK D, GK. Pundta autem contactuum reperientur; ſi cirta diametros BD, G, cireuli deſcribantur,& ad eos ex N, X, linea tangentes ducantur. Pari ratione, ſi quando communis ſcctio nik, quam idem planum per CF, ductum cum circulo G P facit, contingat it ſum circulum O V, langt quoquè altbra ſectio bommi % mn circulum T, vt in lemmate 21. ſtenſum et. Quare tun pla. vum per C F, ductum continget vtrumque circulorum O H, TY. Funfta vero contadtuum inutnientur eodem modo, ſi circa diametios 0 VT, i deſcribantur„& ex punctis n: p rect lines ducantur quæ eos fanAE Cpoſterior porrò demonſtratio facile, ſi libuerit, actomodabitur etiam culum maximum, qui ad Aequaturem rectus ſit, eiu parallelos: Sed nos brd 1 canſa 5 iore demonſtratione contenti ſimus, qua locum etiam habet in circulis d Aegnatorem rectis, vt oſtenſum eſt. LEMMA 2 29. primi. b 27. terti. 2 F. tertij. dio. t. Theo. 20. primi. 15. I. Theo. 215. i. Theo. 16.1. Theo. 88 N „„%%ͤ.. 8 in ſphæra ſit circulus obliquus ſiue maximus, ſiue non maximus,& per quoduis punctum diametri ipſius, quam circulus maximus per eius polos,& polos mundi ductus facit, ad ipſam diametrum perpendicularis linea ducatur: Planum per vtrumuis polorum mundi& illam perpendicularem ductum faciet in plano Aequatoris communem ſectionem, rectam lineam perpendicularem ad Aequatoris diametrum, quam idem ille circulus maximus per dictos polos ducus facit. IN ſphæra ABCD, euius centrum E, ſit circulus obliquus quicunque, hoe eſt, non per mundi polos ductus ſiue maximus, ſiue non maximus FG H]: Et pet A, C, polos mundi,& O, P, polos circuli obliqui, ducatur circulus maximus ABCD, quiæ quoniam obliquum cireulum ſecat bifariam,& ad angulos rectos, faciet communem ſectionem, diametrum cireuli obliqui FH, ad quam per punctum quodlibet K, perpendicularis ducatur GK: Per hanc autem,& polum mundi C, ducatur planum faciens in ſuperficie ſphæræ circulum CG], in Aequatoris vero plano B L D M, etiam producto extta ſphæram ſi opus fuerit. rectã L M, gquæ diametrum eius BD, etiam productam, ſi neceſſe ſit, ab eodꝭ᷑ cit culo maximo ABCD, factã ſecet in N. Dico BD, etiam productam, ſi fuerit opus, in N, perpendicularem.“ Quoniam enim circulus obliquus FG H], ad circulum ABC, rectus eſt; erit per qefin. 4. lib. il. Euel. recta GK, quæ ad FII, communem ſectionem horum r- ducta e perase ese L EM M A XXIV. ET XXV. 39 eſt perpendicularis, ad planum eiuſdem cii culi AßCP, per pendicularis.“ Igttur & pla num. in quo circulus CG eziſtit. per CI. ductum ad eundem circulum ABCD, rectum crit. Quoniam igitur planum Acquatoris L. DM, ad Planum circuli ABCD. rectum eſt, cum pet eius Polos ducaturz( Qusniam enim ABCD, per Aequatoris polos A. Cducitur, tranſibit viciſoim Wegustot per, Fe 8 ex ſchol. propof. 15. lib. r. Theod& eſt oſtẽ ſum quoqʒ planũ circuli CG 1 ectum ad eiuſdem circuli ABCD, planum; exit quoeque LM, communis lectio plani Acquatoris,& plani cireuli CG], ad eiuſdem circuli As 1 Plauum re ctazideoq;; ex defin. 3. lib. II. Eucl. eadẽ recta LM. ad diameti un, Aequatoris 5 etiam productam, ſi opus ſit, in N, perpendicularis exit. quod eſt propoſitum. %%%%%%%Cçöͤͤͤͤ SI in ſphæra per polos mundi& polos cuiuſuis circu i obliqui maximi, eiuſque parallelorum, maximus circu lus ducatur, in quo ex alterutro mundi polo agatur diametro circuſi obliqui parallela,& per hanc, planum vtcun que extendatur: Erunt duo arcus tam circuli maximi obliqui, quàm cuiuslibet parallelorum ipſius inter circu lum maximum per polos mundi,& circuli obliqui dutum,& planum ſecans intercepti æquales inter ſe. IN ſpheæra ſit maximus cireuIus ABCD, per mundi polos A, C, & polos E, F, circuli maximi obliqui GHIK,& eius paralleli cuiuſcunque GH IK, ductusz a ac ptoin de vtrumque bifariam ſecans, ita vt in vtroque ſemicirculus ſit SHK,& diameter GK, cui in eodem circulo ma ximo parallela per polum mundi C. agatur CL; er quam planum vtcunque duum ſt CLHI, ſecaus vel circuum maximum obliquum, vel eius Parallelum per rectam H I. Dico bam in illo, quàm in hoc„æquales e arcus GI, KI. inter planũ ſegans,& maximum circulũ ABC D, Iterceptos. Si enim per rectà CL, Fos btetur ductũ planum circulo GH IK parallelumz erũt ſectiones facte à plado CLHI, videlicet rectæ CL, HI, parallel: Ponitur autem& diameter GK, idem CL, para lle la. Igitur& GK, HI, parallelæ inter ſe crunt; ac propterea ex ſcholio propoſ. 27. lib. 3. Eucl. arcus intercepti GH, KI, æquales erunt. M EX 1 F. vndec. b 15. 2. Theo. 97. vndec. 4.1. Theo. 1. vndec, 9. vndec. 90 L tos, æqua les eſſe. Nam quodlibet abſcindit areus æqua les inter ipſum& 8 1 1 8 reliqui inter duo plana intercepti æquales erunt. E A DE M hæc demonſtratio in reliquos quoque ſemicirculos ex altera te circuli maximi ABC, quadrat, vt perſpicuum eſt. LER MM A XXVI. S circulus in ſphæra per alterutrum polorum mus di tranſeat, erit eius diameter ex illo polo ducta pet. pendicularis ad communem ſectionem plani eius circi li,& plani Aequatoris. IN ſphæra ſit Acquator AB, cuius poli C, D,& circulus quicunque CE, per polum C, ductus, cuſus planum in plano Aequatoris ſaciat communem ſectionem rectam FG,(concurret enim cum Aequa tore, cum ei non ſit parallelum)di caturque ex polo C, diameter circuli CE, occurrens communi ſectioni FG, in. Pico CF, ad FG, perpendicularem eſſe. Per polum enim H, circuli CE,& C polum Acquatoris ducatur cit. culus maximus CHEAD BH vtrumque ſecabit bifariam,& ad angulos rectos; ac proince per diametrum CE, hoc eſt, pet rectam CE, tranſibit. Vtrumque ergo plauum, tam circuli CE. quam Aequatoris, viciſsimte. ctum erit ad planum maximi ct culi CHEA DB, ac propteſet & eorum communis ſectio T0 ad idem planum perpendiculris erit, hoc eſt, ex defin. 3. lib.il Euclid. ad rectam CF. quoded propoſitum. a QVANPDPO circulus 27 polum C, ductus, eſt marimd qualis eſt ABCD, perſpicu eſt, eius diametrum CD, a Ab communem ſectionem dati circuli,& Aequatoris eſſe perpendicularem 5 17 enim diameter CD, circuli maximi per polos ducti, ſit axis 30 axis auto 16.1. Theo. Acquatorem ſit rectus, tranſeatque per centrum ſphæræ I; erit ex deen 11. Euclid. eadem diameter CD, ad AB, communem ſectionem circul O 17. M. Theo.& Aequatoris,(Hæc enim ſectio diameter eſt Aequatoris, cum circuſ m ſe wutuo bifariam ſecent) perpendicularis. 22 6. I. Theo. 57 5. 1. THeo. 19. vndec. LEMMA EX quo fit, arcus etiam inter quæcunque duo plana per CL, ducta interce. e circuum maximum ABCD, intercentos Si ergo minores ex maioribus demantut, L FMF NM M XXVII. 91 1 L. E M M A N IN cono recto om nes rectæ à vertice ad cir cumferentiam baſis ductæ ſunt᷑ inrer ſe æquales: In ſcale no vero co 0 inæquales, minima quidem, quæ ad extremum 9908 tr ian guli per axem, quod ad baſem coni rectum eſt, duci tur ex parte anguli inclinationis axis, maxima autem, quæ ad alterum extremum baſis n tri anguli per 1 . a xem ducitur: Et quæ propinquior eſt minimæ, remotio. re ſemper minor eſt. Duæ vero tantum æqual es erunt ad Vtramque partem minimæ, velmaximæ. 8 I Frimut m conus rectus ABC, 1 guius baſis circulus BDCE,& axis . Ad baſem rectus AE, in centro E; duN tanturque quotuis rectæ ex vertice 8 N, ad circumferẽtiam baſis AB, AC, i AD, A E. Dico eas omues eſſe æqua. les. Puctis enim ex E, centro rectis ö FB, EC, PD, PE; quoniam latera AE, FB, lateribus AF, PD, æ qua lia ſunt, a angulosque continent æquales, ö quod omnes anguli ad E, quos fa 9 eit axis AF, recti ſint, ex defin. 3. lib. 11. Euclid.- erunt quoque ba1. AD, æquales. Non aliter 5 J tur AD, vel AB, ipfi AC, vel J a qualis. Eademque de cæteris 5 DEIN DE ſit conus ſcalenus ABC, cuius baſis circulus BDE CEzax is AG, 0 a0. us B, ſit i l per axem Al geg ba ſend ge1 a ri AH; quæ in BC, cadet, hoc a 0 n pi a baſem. De tantur gutem à verti 1 11 juarum Ab, AC extrema B, C, diame 5 1 ini mam eſſe AB maximam AC,& AD, mi 1 notrem q is HD, HE, erunt ex defin. 3. lib. 1 f. Eucl. 9 H. cum rectis HD, HE, HC,& cum alijs f 18 rgo figura perſpicuum eſt, per pendicularem . Abl, mipimam eſſe omnium, quæ ex A, in circumferentiam h aſis 1 or ſit quam AD,& quàm AE,& quàm AC,& quàm duæui- alia, ud in rectangulis triangulis oppone acutis apf zulis, aliæ vero recto r ute m duabus figuris„a quoniam HB, minima eſt rectarum cx H, in circumfetentiam cadentium, erunt duo quadrata rectarum H, HA, mi- 2 8 nora 0 b 3 F. vndec. 19. pri mi. . vel J. ter 247. primi. 92 rr nora duobus quadratis tam rectarum HD, H, quam rectarum, HE, HA, x quam rectarum IIC, HA. Eſt autem quadratum rectæ AB, æquale duobus qu dratis rectarum HB, HA,;& quadratum rectæ AD, duobus quadratis rectarun HD. HA;& quadratum rectæ AE, duobus quadratis rectarum HE, HA;& quz. dratum rectæ A C, duobus quadratis rectarum HC, HA. Igitut& quadratum rectæ Ac, minus erit tam quadrato rectæ AD, quàm quadrato rectæ AE.& quam quadrato rectæ A Czac proinde& recta AB, minor erit qualibet rectarum Ab, AE, AC,& ſic de cæteris. Minima ergo omni um eſt AB. b IS. vel. vel A. tertij. cy. primi. * vel 7. vel F. rertij. . primi. 4 4. primi. DEIN D E, quia in omnibus figuris recta H C, eſt omnium ex H, in circun ferentiam cadentium maximaʒerunt duo quadrata rectarum NC, HA, maiors duobus quadratis tam rectarum, HE, HA, quàm rectarum HD, HA: e Eſt auti quadratum rectæ AC, duobus quadratis rectarum HC, HA,& quadratum red AE, duobus quadratis rectarum HE, HA,& quadratnm rectæ AD, duobus qusqdratis rectarum iD, HA, æquale. Igitur& quadratum rectæ AC, maius ett tam quadrato rectæ AE, quàm quadrato rectæ ADzʒac proinde& recta AC, n ior exit quàm AE,& quàm AD. Et quia maior etiam eſt, quàm AB, quod AB, oſtenſa ſit minima omnium. Igitur A C, eſt omnium maxima. RVRSVS, cum D, minor ſit quam E, erũt duo quadrata rectarũ HD, Ha, minora duobus quadratis rectarum HE, HA. Eſt autem quadratum rect AD, duobus quadratis rectarum HD, HA,& quadratum rectæ A E, duobus qusdratis rectarum HE. HA, æquale. Igitur& quadratum rectæ AD, quadrato tectæ AE, minus erit; ĩdeoque recta Ab, minimæ AB, propiuquior, minor erit temotiore AE,& ſic de cætetis. POST REM O ſumatur arcus BE, arcui BD, æqualis, junga turque rec Hk, quę rectę HD, æqualis erit; in prima quidẽ figura, ex propof. 29. lib. 3. Eucl. in 2. vero ex vltima propoſ ſcholij eiuſdem propoſ. vel ex lemmatè 2 T. ſupra de monſtratoʒin tertia denique ex eodem lemmate 2 r. Ducta ergo reſta A E, quonia latera A Hz HE, lateribus AH, HD, æqua lia ſunt, anguloſq́; continent rectos. ex de ſin. 3. lib. I l. Huel.erũt quoq; baſes AE, AD, æquales. Qd aũt nulla alia hiſce poſsit eſſe equalis, pſpicuũ eſt, cũ oĩs recta ex A, ducta inter D,& C, vel inter E, & C, maior fit quã AD, vel AFzinter B, aũt& D, vel E, minor, vt demea LEM“ qui run luz. re. dan 10, L EMMA XXVIII. ET XXIX. 33 L E M M A XXVIII. 81 in cono ſit circulus baſi æquidiſtans, rectæ lineæ ex vertice in ſuperficie conica ductæ auferent ex baſe,& circulo æquidiſtante arcus ſimiles. IN cono ABC, ſiue recto ſiue ſcaleno, circulus EF, æquidiſtet baſi BC;& ex vertice A, ducantur duæ rectæ vteunque AH, AK, ad circumferentiam bais, ſecantes cir cumferẽtiam circuli EE, in I, L. Dico arcus HK. IL, ſimiles eſſe. Ducto enim axe, AD, ſecante planum circuli EE, in puncto G, quod per lemma 16. centrum exit circuli EE, ducatur per rectas AD, AH, planum ſecans circulos BC, EF, parallelos per rectas DH, GI; Itẽ per rectas AD, AK, ducatur aliud planum ſecãs eoſdem circulos per rectas DEK, GL. Erũtq̃. recte DH, DK, rectis GI. GL, parallelæ. Igitur anguli HDK, IGL, ad centra ęqua les erũtzideoq;; ex ſcholio pro poſ. 22. lib. 3. Euclid. arcus HK, IL, ſimiles erunt. Eadem ratione ſimiles quoque erunt tam arcus BH, El, quã arcus CK, FI., quòd tam rectę DB, DH, rectis GE, Gl, quam rectæ DC, DX, reſctis GP, GL, parallelæ ſint; 4 ac proinde tã anguli B DH, EGI, quã CDK, FGL, ad centra æquales ſint. DEM ſequitur, ſi baſis coni ſtatuatur circulus EF,& infra eam circulus illi parallelus BC. vt ex demonſtratione conſtat, 8 l 1A 45 i e EE, BC, in partes æquales diuidatur, & ex vertice A, per diuiſionum 8 mi 0 r e 7 e puncta rectæ emittautur, ſecabitur alter quqhx 2 1b. vndec. Ic. vndec. ed. vndec. 4 10. vndec. E ER M M AN XXIX. SI duæ rectæ lineæ ſe mutuo contingant in vno puncto,& à quouis puncto extra ipſas in eodem plano plures 6 rectæ e ctæ ducantur, quæ eas ſecent; Habebunt ſegmenta remotioris lineæ ab aſſumpto puncto, verſus punctum ſectionis linearum propc oßhtarum pro ogrediendo, maiorem proportionem, quàm ſegmenta line propioris. 0 DV AE rectæ AB, AC, ſeſe contingãt, vel ſecent in A,& ex puncto D, quotuis rectæ ducantur, DA, DE, DF, DG, PB, vtramque ſecantes. Dico maiorem proportiob ad GF, qua CK, ad Kl. & maiorem GF, ad EE, N quàmkI, ad IH,& maio rem FE, ad EA,, quam IH, ad HA. Ducta enim per I, ipſt AB, paraſe la IM, ſecãte recdas DB, DG, in NM, N, ducaro e 2 Co 5 tur 5 ipfi De 2 parallela ML, qu A, product ſecabit in L. 2 um enim M, conueniat in A, cadet ML, pl NI, parallela extra triangulum DM N„Hun 2 2. ſexti. igitur eſt, vt BG, ad GF, ita MN, ad NI, ex ſcholi io propoſ. 4. lib. 6. E uclid.& b g. Juinti, vt MN. ad NI, ita LK, ad K Izerit quoque vt BG, ad GF, ita LK, ad KI.: b Habet autem LK, ad K 7 maiorem proportionem; quàm CR, ad XI. I gitur& 50, ad G, maiorem proportionẽ habe ebit, quam CE, ad KI. Eodem pacto, ſi per. H, ducatur ipſi AB, parallela H, ſecan D, Pk, i P, 2 ee agatur 15 Pk, darallela PO, ſecans AR K luckam in Ozerit vt GE. ad FE, ita POLad GI e io propoſ. 4. lib. 6 ice Et vt PQ ad H, ita OI ad IH. Igitur erit quo que vt G, ad EE, ita OLad IH bet Jutem Ol,ad r rtionem, qu am 1 ad Ti re o proportionem!. GF, ad egi 117 lura fue1 rA. afallelaſe 18 02. exti. AI, prod Erit enim rurſus, v EA, ita RH, ad HA. Ha f. guinti. autem RI maiorem proportione n, quam H, ad HA. 1 EA, u ſitum. n proßoftionct habebit, quam TH, ad HA, quoc 4 eſt propo m L. E. M. M C XXX. s duo triangula Iſoſcelia baſes habeant æqu ales, latera verò vnius maiora ſint lateribus alterius: minora latera maiorem angulum continebunt. Et ſi vnius latera lateribus alterius maiora ſint, angulumque contineant ma jorem: illius baſis baſe huius maior erit. DVO triangula Zſoſcelia ABC, DEE, habe ant baſes B latera DE, DF, malora ſint Ktecibs⸗ AB, AC. Dico angulum iorem eſle. Deſeribatur enim ſupra ba ſem E Pstriangulu mE GFE, trian gulo A BCesquilaterum,& æquiangulum, cadetque punctum G, intra triangulum DEE. Nam ſi extra cade rei, vel rectæ EG, FG, includerent re ctas. ED, FD; o atque ita eſſent latera GE, GE, hoc eſt, AB, AC, maiora lateribus DE, Dy, qnod eſt contra hipotheſim; vel altera ea rum ſecaret alteram ipſarum DE, DE, atque ita vnus angulorũ GEF, CPE 3 let maĩor vno angulorũ DEF, DEE,& alter minor. Cum ergo DEE DP, ſint equales; eſsẽt ang uli GEF, GEE, inæquales, quod eſt abſurdũ, a cũ inter ſe ſint æquales. I dem 1 æqual es, ſed „anus B, ma223. primi. bz I. primi. . primi. a 5. Primi. 4 punctum G, diceretur cadere in altèrxutram rectarum DE, DF. Neque vero di ci poteſt, ipſum cadere in D. Eſſent enim tunc latera DE, DE, lateribus AB, AC, æqualia, mod cum hypotheſi pugnat. Cadit ergo punctum G, intra triangulum DPETz ideoq̃ue angulus G, hoc eſt angulus A, angu10 D, maior erit, quod eſt propoſitum. SIN T rurſus Tſoſcelis ABC, duo latera AB, AC, maiofa duobus lateribus DE, DF,„ anguluſque A, major ang ulo D. Dico baſem BC, baſe EE, maiorẽ eſſe. Abſciſsis enim rectis AG, AH, æqualibus ipſis DE, DE; erit ducta GH, ipſi BC, paralle la. Ergo vt Ah. ad BC, ita AG, ad GH: Eſt autẽ AB, maior, quàm AG. ** 18 tu 1 1 r& BC, maior exit quam GH. Item cum latera AG, AH, lateribus Dx, If. quinti. DF, ſint A 21. primi. 96 RI. 42 f. primi. DF, ſint æqualia, anguluſque A, maior angulo D; erit baſis GH, malor baſt KF. Eſt autem B C, oſtenſa maior, quà m GH. Multo ergo maior erit BC, quàm Ek, quod eſt propoſitum. L E MM A XXXI. S] in cono ſcaleno circulus ſit baſi ſubcontrarie poſ tus, rectæ lineæ ex vertice in ſuperficie conica ductæ, qu rũ vna ſit latus trianguli per ax ad baſem recti, auferent ex baſe,& circulo illo arcus diſsimiles. Et ſi in vno aufer tur duo arcus oppoſiti æquales, auferentur in altero duo arcus inę quales, maior quidem verſus angulum minorem triãguli per axem, minor vero verſus angulum maiorem. IN cono ABC, ſcaleno 1 triangulum per axem ſit ABC. ad baſem BC, re. ctum,& circulus ſubcon trariæ ſectionis DE, cuius diametro DE, duiſi bifariam in FP, ducatut per F, baſi BC, paralleli GH, per quam planum ducatur ad triangulũ pet axem rect um, vel baſi co· ni parallelum, faciẽs pet lẽ ma f. circulũ GH, gqui circulum ſubcontririæ ſectionis ſecet in J, Ez; ducanturq̃ue primum du rectæ AL, All, per J. KX, cömunes ſectiones circulorum DE, GIII, ſecantes ha ſem in L, M. Dico tam arcus BL, Dl quam BAN, P,& quàm CL, El,& qua CM, EK, diſsimiles eſle. Secentenim plana circulorũ DE, 5 a G ſeſe per rectã LK, bo. vndec. Et quoniam vterque circulus ad triangulum ABC, rectus eſt; exit quoquo c munis eorum ſectio IK, ad idem triangulum recta; cadecque proptetea tam in DE, communem ſectionem circuli DIE.& trlanguli ABC, quàm in GH, com. , 4 03 8. vndec. munem ſectionem circuli GH K,& eiuſdem trianguli ABC, ac propterea pet punctum E, vbi communes hæ ſectiones ſe mutuo diuidunt tranſibit; fac ietque ex defin 3 lib. 11. Euelid. angulos DEI, GFI, rectos. Quia vero diameter Dł, ſecta eſt bifariam in E, erit diameter GH, malor, eiuſque pars maior FG, verſus mino · ,, ,,. paſe uam eno j ſit on L BMI N NN. 97 minorem angulum AGH, verget, vt in ſcholio lemmatis 27. demonſtrauimus, ue centrum circuli IHK, in recta FG, exiſtet, quod ſit N. Igitur Propterea ſegme ntum IK, maus erit ſemicirculo. Eſt autem DR, ſemicirculus, quod E, centrũ ſit circuli DIEK. Igitur tã arcus IK, IDE, quam IHK, IEK, diſsimiL. 1 les ſunt;& IE, maior, quãm vt ſimilis ſit arcui DE, at IHK, minor, quàm vt arcui IEK, ſimilis ſit. Et quia ſemicirculi DK, IER, bifariam ſecantur in D, E, quod ex penultima propoſitione ſcholij propoſ. 25. lib. 3. Euclid. ob angulos re ctos ad E tuor arcus DI, IE, EK, KD, quadrãtes ſintzltem arcus I GK, IHK, ſecti ſunt bifariam in G, H. Nam recta NE, diuidens rectam IK, ex centro N, ad angulos rectos, a ſecat candem bifariam. Igitur& arcus IIK, bifariam ſecabitur ex propoſ. vltima ſcholij propoſ. 29. lib. 3. Euelid. ac proinde& reliqui arcus Gl. GK, ex ſemicireulis æquales erunt. Igitur& arcus GI, G, ſemiſſes arcus IR, maiores ſunt, quà m vt ſimiles ſint àrcubus DI, DPR, qui ſemiſſes ſunt arcus IDKzat HI, HK, ſemiſſes arcus IK, minores, quàm vt ſimiles ſint areu us El. EK, qui ſemiſſes ſunt arcus IEK. Et quoniam arcus BL, BM, CL, CM, arcubus Gl, GR, HI, HK, ſimiles ſunt, ex lemmate 28. exunt eodem modo arcus Pl. Ebi. CLC arcubus DD K, EI. EK, diſsimiles. DVOCAT VR deinde alia recta AP, ad circumferentiam baſis ſecans ſubcontrariam ſectionem in R,& circulum GH, in T:& ex R, demittatur ad diametrum DE, perpendicularis R, quæ producta ſecet circumferenti am ex alteEa parte in 8, ducaturque ex A, per 8, recta AS, ſecans circumferentiam balis in O.& cireulum GH, in V. Dico arcus quoque BP. BO, arcubus DR, DS,& arcus OP, CO, arcubus ER. ES, diſsimiles effe. Quoniam enim RS, per defin. 4. lib. 11. Euclid. perpendicularis eſt ad triangulum ABC, quòd perpendicularis n en juoque triangulum ARS, per 8 ductum ad 1 em riangu um ABC, rectum, facietq̃ue in circulo GH, communem ſectionẽ 1* ſecãtem GH, diametrum in X. Quia ergo tam planum circuli GH, quàm trianguli Abc, rectum eſt ad triangulum ABC; c erit etiam communis eorum ſectio LXV, ad idem perpendiculariszideoque ex defin 3. lib. 11. Euclid. anguli ad X, recti eruntʒ q atque adeo ytraque RS, IV, ſecta erit bifariam in. x, proptercaq; vterque arcus RDS, TGV, ex vltima propoſ. ſcholij propoſ. 27. lib. 3. Euclid. ſectus quoque erit bifar iãʒac proinde& tam reliqui arcus ER, E&, quam 11 T. HVeex ſemicirculis æquales erunt. am vero ſi ducatur recta ex A, ad X, 5 eo gu* n,& exiſtens in triangulo quoque AIV, rectam Rõð, in eodem exiſtentẽ ſecet, ſolum vero punctum V, rectæ RS, in triangu 40 Ak C exiſtat,(quia RS, ad illud triangulum per pendicularis eſt) per punctũ * tranſibit omnino. Quare ducta recta AN, ad N, centrum circuli GH ſecante Pete DF, in i; erit ex lemmate 29. maior Proportio G, ad XN, quàm .. proportionem, quam ad XE. Igitur 1* AN, 5 i erg 1 j FC. ad ON, cut Bad NEdade nan kst ergo wertur Adt in Q, tra X. eſſet multo maior 13 ere Epe ee ine G, maior foret, quàn G1 8 ON. mi 85 N. quda Sad N; quod tune E 125 J 1 8 5 Qd minor quàm XN. Et quoniam per lemma. d 1 1. pf TV„Parallela, abſeindereDs; ideoque& ee 85. eus 2»maior, quam vt ſimilis ſit arcui DR, 58 5 ra. zilles GT, maiores ſunt, quàm vt ſimiles ſiut ſemiſsibus be deirco reliqui arcus ex ſemicirculis HT, HV, minores erunt, N quàm 50 a g. tertij. b F. vnde. c S. vndec. d 3. terti. e F. quinti. f 20. ſexti. a 1. vnde. bg. vnde. c 2. tertij. 4 C. quinti. 98 L B R Mt. quàm vt ſimiles ſint reliquis arcubus ER, ES. ex ſemicirculis. Quia vero ex lem mate 28 arcus BP, BO, CP, CO, arcubus GT, GV, HIT, HV, ſimiles ſunt zerum arcus B b, BO, CP, CO, eodẽ modo arcubus PR, DS, ER, Es, diſsimiles. Eodẽ pa cto oſtẽdemus, vbicunq; perpendicularis IV, ſemidiametrũ GN, ſecet,& perpæ. dicularis RS, rectã Di, arcũ à perpẽdiculari IV, abſciſſum eſſe ma iorẽ, quã yt ſ milis ſit arcuĩ, quẽ tũe perpẽdicularis RS, abſcindit,&c. Quòd ſi perpẽdicula. ris TV tranſeat per centrũ N. ac proinde perpẽdicularis RS, per punctũ i, mati feſtũ eſt, arcum per illã abſciſſum, maiorẽ eſſe, quàm vt ſimilis ſit arcui per hane abſciſſo, cum illa ſemicirculus ſit, hic vero ſemicirculo minor. Eademq; ratio. ne, ſi perpendicularis IV. ſecet GE, vltra N, centrũ& citta E, ac propterea pet pẽdicularis RS, ſemidiametrũ PF, vltra i,& citra E, auferetur ex circulo GH, arcus ſemieircule maior,& ex circulo DE, minor, atque idcirco ille maior erit, quàm vt huic ſimilis ſit. Contrariũ accidet, ſi ex parte alterius ſemicirculi IEE, recta quæcunque ex vertice A, ducatur Ab, ſecans circulum GH, in d,& demit. tatur bg, ad DE, perpendicularis ſecans circumferentiam ex altera parte inc, 0 puncto, per quod ex a rice A, recta e mittatur iecans circulum Hin e. Erit enim hoc triangulum Abc, rectum ad triangulum ABC, quis nimirũ ducitur per fectam bg, ad triangulun ABC, perpẽdiculatet fac ietqʒcũ circulo oH, ſectionẽ rectã die, qu ſecet GH, in f. Quiao go tam planum cireul GH, quã trianguli Abe, rectum eſt ad trianguli ABC; b erit eorum con munis ſectio d e, pep dicularis quoqʒ ad tri gulum ABC, Ideoq; ei defin. 3. lib. 11. Euclida ad rectam GH, in f. S. catur ergo vtraque bt d e, bifariam in g, Patq; idcirco ex vltima propꝰ ſitione ſcholii propoſ. 27. lib. 3. Euclid. vterq; arcus bc, dle, bifariam ſecabitur in E, H:& ducta recta Ag, tranſibit per pun dum f Eadem enim prorſus hie eſt demonſtratio, quę in triangulo ARS; qus recta Ag, exiſtens in vtroque plano tam trianguli ABC, quam trianguli Abe ſceat vtramque rectam CH. de, in illis planis exiſtentemzac propterea in earum communi ſectione f quod ſolum pundtum f, rectæ de, ad triangulum ABC, perpendicularis, ſit in triangulo ABC. Quamobrem per lemma 29. maior erit pio Portio Eg, ad gF, quãm Hf, ad ff: Sed propor tio Hf, ad ff, maior eſt, quin ad N. Igitur multo maior erit proportio Eg, ad g, quàm Hf, ad fN Lackes cixe len runt rpẽ. vt f ula. nani ane tio. per H, erit, EK, nit. in e, ver atut Jin ian n ad qui re · lun enz H, qu 3 6 cul be, uli 0l¹ 1 1 el I. de be, tc; 50 ol. 10 uli · 07 1 ET M IMA AA KRK I. 99 cireo areus bEe, maior erit, quàm vt ſimilis ſit arcui dHe; quod oſtendetur, quemadmodum probatum eſt, arcum T GV eſſe malore u. quam v fee ee ſimilis ſit, proptèerea quòd maior erat proportio GX, ad XN, q m D 5 5 2 Igitur& ſemiſſes Eb, Ec, maiores erunt, quàm vt ſimiles ſint ſemiſsibus Hd, He; ideoque reliqui arcus Db, De, ex ſemieirculis m ꝛores erunt 3 quam far ch arcubus Gd, Ge, ex ſemicirculis ſimiles ſint. Quoniam autẽ productis: ectis Ab, Ac, ad baſem, arcus Cz, Ca, Bz, Ba, arcubus Hd, He, Gd, Ge, ex lemmate 28. ſimi les ſunt; erunt illi eodem modo areubus Eb, Ec, Db, Do, diſsimiles. CAETERVM ex parte ſemicirculi IBK, à rectis ex vertice 5 educkis auferri maiotes arcus ex eo; quam vt ſimiles ſint arcubus ex baſe BC abſciſfis, hoc eſt, arcubus ex circulo GH, abſciſsis, cum bi ex lemmate 28. ſimiles ſint arcubus baſis ʒgfacile hoc etiam modo demonſtrabimus Ducta vtcunque recta be, ad diametrum DE, perpendiculari, dem ttaptur ex vertice A; rectæ 8 Ab, Ac, ſecantes citculum GH, in d, e, iungaturdue recta d e. a Et quoniam a 2. primi. IK, be, parallelæ ſunt, ob angulos rectos ad P, g ʒ duci poterunt per iplas quo Plana parallela. Intelligatur ergo per IX, d Cum plapum triangulo Abe 5 ö. Narallelum zy facietque in hiſce planis parallelis planum circuli IHK, ſe- bd. vnde. er parallelas IK, d e. Cum ergo bc, eidem IX, ſit parallela oſtenſa; g erunt c. vndec. 2 jam be, de, parallelæ. Igitur triangulum Ade, ex coroll. propoſ. 4. lib. 6. Euclid. triangulo Abe, ſimiſe exit. Quare erit vt A b, ad be, ita Ad, ad de. d 4. ſexti. Cum ergo Ab, maior ſit, quàm Adz e exit quoque be, maior quàm dee. Quocir- e It. quinti. ta cum circulus DE, minor ſit cireulo GH, quod diameter DE, minor ſit oſtena, quam diameter GH; auferet be, maiot᷑ linea ex mino re circulo PE, ma iotem arcumbEe, quam vt ſimilis ſit arcui He, que m minor linea dee, ex madoro circulo GH, aufert; ex ijs; quæ in lemmate propoſ. 6. ib. 3. Theod. demonſtrauimus. Igitur& ſemiſſes Eb, Ec, maiores erunt, quàm vt ſimiles ſint ſemiſsibus Hd, He. Vterque enim arcus be, dH, bifariam ſectus eſt in E 5 H, ex VItima propoſ. ſcholii propoſ. 27, lib. 3. Euclid. Nam diameter DE, ecat rectam be, per conſtructionem ad angulos rectos; Item diameter GH„fag, primi. ecat d e, adangulos rectos, ob parallelas IK, de, quarum I K, ad angulos rectos ſeeatur à GH, vt ſupra oſtendimus, propterea quod Ix, communis ſectio eireulorum DE, GH, ad triangulum ABC, rectorum; recta eſt ad idem triangulum z ae proinde& ad rectam GH, perpendicularis, ex defin. 3. Iib. 11. Eu elid. s ac proinde& bifariam vtraque be, de, ſecabitur. Quocirca cum arcu- 8 3. tertij. bus Hd, He, ſimiles ſint arcus Cz, Ca, ex lemmate 28. erupt quoque arcus Eb, Ec, maiores, quam vt ſimiles ſint arcubus Cz, Ca,& ex ſe circulis reliqui Db, De, minores, quàm vt ſint reliquis Bz, Ba, ex ſemicirculis ſimiles.. EX his omnibus conſtat, quemlibet arcum ytriuſuis circuli interceptum inter latus trianguli per axem longius,& rectam quamcumque ex vertice deDiſſam, maiorem eſſe, quàm vt ſimilis ſit arcul alterius circuli inter caſdem Leckas intereepto; vſque ad finem ſemieirculi. Ita enim demonſtratum eſt 5 arcus BP, BL, BZ, maiores eſſe, quàm vt arcubus DR, DI; Db, ſimiJes lint: Item arcus Eb, EI, ER, maiores, quàm yt ſimüles ſint urcubus CZ 50 CL. CP; eademque ratio eſt de cæteris. Itaque ſi ſemieireulus DE, ſecetur in ſngulos gradus, complectetur arcus ſemicirculi BL C, reſpondens vni gradui fer nicirculi DIE„plus quam vnum gradum: Et areus reſpondens duous gradibus, major erit duobus gradibus: Et arcus reſpondens tribus gradi1 naior erit trihus gradibus; atque ita deinceps vſque ad ſinem vtriuſque ſemicirculi DT E, BLC 5 initio ſemper facto à punctis. D, B, in arcubus. Sic f 2 etiam, —— f ö N 4 1 1 100 En Baan. etiam, ſi ſemicirculus CL B, in ſuos gradus ſecetur, erunt ordine ſinguli arcus ſemicirculi E? D, initio ſemper facto à punctis E, C, maiores quam 1. 2.3.4.5.6 &c. gradus. POSTREM O dnt arcus oppoſiti æquales DR, Ec, ducanturque rectz ARP, Aca, ſecantes circulum GH, in L, e. Dico arcus BP, Ca, inæquales eſſe, maiorem quidem BP, minorem vero Ca,. Sumptis enim aliis duobus arcubus Ds, Eb, æqualibus ipſis DR,. Ec, jungantur rectæ RS, be,& per 8, b, ducantut duæ rectæ AS, Ab, ſecantes baſim in O, Z,& circulum GAH, in V. d, iunganturque rectæ IV, de. Eruntque, vt paulo ante demonſtrauimus, be, d e, parallelæ. Nam cum arcus Eb, Ec, æquales ſint; erunt& reliqui bi, x, ex ſemicirculis æquales. Igitur ex ſcholio propoſ. 25. lib 3. Euclid. IK, be, parallelæ ſunt. Quocircaſ a 20. vnde. per IK, intelligatur duci planum triangulo Abe, per be, ducto parallelum, ficiet in his planis parallelis pla num eirculi G, ſectiones parallelas IK, de. Cum b. vndec. ergo be, eidem I K; oſtenſa ſit parallelaz o erunt etiam be, d e, parallelæ. Eoden e 29. tertij. d 29, rimi modo parallelæ erunt RS, IV ,ac proinde tam triangula Abe, Ade, quàm Aks, AIV, ſimilia erunt, ex coroll. propoſ. 4. Ibis. Euclid. Sunt autẽ Abe. ARS, Iſoſcelia, quod ex lemmate 2, tã Ab, Ac, æqualiter diſtante à maxima AE, quã Ah, A8, æqualiter diſtantez à minima AD, æquales ſint. Igitur& Ade, ATV, Iſoſcelia sũt. ii quoniã latera AR, A8 minora ſunt lateribu Ab, Ac, ex lemtnate 27 ebaſis autem RS, baſ be, æqualis, ob arcuss: quales RDS, bEc; eit per lemma 30. præcedens, angulus RA S5 ior angulo bac. Cun er go per lemma 27. l. tera AT, AV, maion ſint lateribus Ad, fe; erit per præcedens lem ma 30. baſis TV, baſe 55 d e, maior; ac proptetes ex ſcholio propoſ. 28. lib. 3. Eucl. arcus TGV, maior erit areu de. Quia vel IV, oſtenſa eſt parallela ipſi/ K.& GH, ſecat ipſam IK, ad angulos rectosz a ſeci bitur quoq; TV, ad angulosrectos,& bi fariã in X: ac proinde ex vltima propol ſcholij propoſ. 2. lib. 3. Eucl. arcus quoque TGV, bi fariam ſecabilur in 9 demq́; ratione& arcus die, erit in H, ſectus bifariam. Cum ergo arcus 10 0. oſtenſus ma ĩor areu dHeʒerũt& ſemiſſes GT, GV, ſemiſsibus Ed, Ee,. Sed his quatuor arcubus fimiles ſunt, ex lẽ mate 28. quatuor arcus Br, Bong, Ca. I7gitur& Bp, BO, maiores ſunt, quàm CZ, Ca. Pari. 1 a, æqua · arcuz 45.6. rectz eſſe, ubus intur rque Nam ales. rcaſſ a5 Cum dem R5, L E M MIA X XXI. ET XXXII. 1088 Ca, æquales ponantur, oſtendemus Ec, maiorem quàm DR. Nam facta eadẽ confructione, erit angulus dAe, maior angulo I AV,& baſis be, maior baſes RS,&c. IT AVE finguli ar cus ſemicirculi BLC, à B, vſque ad L, quod punctum e ſpondet puncto I, in quadrante DI, maiores ſunt ſingulis arcubus æqualibus e ſpondentibus à C, vſque ad L. Nam arcus circumferentia CL, æquales ſunt arcubus circumferentiæ CM, qui arcubus circumferentiæ BL, opponuntur, minoresque ſunt oſtenſi arcubus circumferentiæ BL. Sic etiam ſinguli arcus ſe miArculi EI D, ab E, vſque ad punctum, quod medio puncto ſemicirculi CLB, reondet, maiores ſunt ſingulis a rcubus reſpondentibus æqualibus à D, vſque ad em punctum, quod medio puncto ſemicirculi CB, reſpondet. A ee d SI in diametro circuli, præter centrum, punctum quod piam ſumatur,& ex eo rectæ educantur, quæ in circumfeLentia circuli duos arcus equales intercipiant: Erunt angu I ab ipſis comprehenſi inæquales, maiorque erit ille, cuins lineę à centro lõgius abfſunt. Et ſi rectæ ductæ cõtineãt Angulos æq uales, erunt arcus intercepti inæquales„majorque erit ille, cuius lineæ centro propinquiores ſunt. 5 IN circulo ABC, cuius centrum D in diametro AC, ex puncto E, præter ez rum tres rectæ EC, EF, EB, egrediantur intercipientes duos ar3 æquales CE, FB, ſiue eorum initium C, ſit in extremo diametri, ue non ico ans CE 8 i 8 o angulum CEE, angulo FEB, eſſe maiorem. Ducta enim chorda CB, deſcrib: f 3 tee 1 tetangulum BCE, circulus, qui circulum ABC, ſecabit „C, eum in duobus il incti e lau betta D. bus illis punctis tangere nequeat. Ducta iam recta DE & proa S. quarti. 2 b 1g. tertjj. D———— —— 0 —— 102 8 Rn. & producta. donec eirculum BC, ſecet in G; quoniam arcus BFC, eus el bifariam in E, ſecabitur quoque recta BC, bifariam, ex ſcholio propoſ. 25. lib.;. Euclid. Igitur& arcus 56C, per idem ſcholium, in G, ſectus exit bifariam. Pro ducta ergo recta EE, donec arcum 3GC, ſecet in Nzerit arcus BG, hoc eſt, CG, maior arcu BH. Multo ergo maior erit arcus CH, arcu E H. Igitur ex ſcholio propoſ. 27. lib 3. Euclid. angulus CEH, angulo BEH, maĩor erit. quod eſt propoſitum. DEIN PE quatuor rectæ EE, EG, EH, EB, intercipiant duos arcus æquales non continuos FO, HB, quorum alter totus ſit extra alterum; vt in ſecunda figura. Dico rurſus, angulum FEG, maiorem eſſe angulo H EB. Aut enim intermedius arcus GH, vtrique arcui FG, HB, commenſutabilis eſt; aut incommenſurabilis. Sit primum commenſurabilis,& ſit eorum maxima menſura con munis N, ſingulique arcus FG, GH, HB, diuidantur in partes ipſi N, æquales, nimirum FG, HB, in binas FI, IG; HK, K B:& GH, in tres GL, LM, MH. Puctis igitur rectis EI, EL, EM, EK z erit, vt iam demonſtratum eſt, angulus FEI, maior angulo IEG, quod arcus EI, IG, æquales ſint continuiʒ& eadem de cauſa angulus EG, maior quam GEL,& hic maior quàm LEM,& hic maior qui MEH,& hic maior quàm HE x,& hic maior quàm KEB,& ſic deinceps, ſi ſuerint plures arcus æquales. Multo ergo malor erit angulus FEI, apgulo HEK.& IE G, mafor quam KEB proinde& totus angulus FEG, toto angulo HEB, maior exit. quod eſt propoſitum. 5 8 E D ia m ſit arcus intermedius GH, vtrique arcui EC, BB, incommenſutibilis, vt in tertia figura. Si igitur angulus FEG, maior non eſt angulo H EB, erit vel minor, vel æqualis. Sit primum, ſi fieri poteſt, minor;& ex malore angulo HEB, aufe ratur angulus HEI, angulo EEG, equalis: atque ex lemmate 2. propoſ. S. lib. 3. Theoꝗdoſ. inueniatur arcus HK, maior qui dem quàm Hl, minot vero quàm HB,& arcui intermedio GH, commenfurabilis. Et quia arcus FG, arcui ¶ B, ponitur æqualis, erit arcus FG, maior quam IK. Abſciſſo ergo arcu 3 / 2 2 r ——＋— L BE MI AI XXXIIL. 153 GL, æquali ipſi E K, ductaque recta ELʒñ quoniam arcus LG, HK, non continui ſunt æquales,& intermedius arcus GH, eſt vtrique commenſurabilis, ex conſtru ctioneſerit, vt proxime demonſtratum eſt, angulus LEG, maior angulo EHE K. Ergo multo maior angulo HEI. Cum ergo ex conſtructione, angulus HEIL, abla tus lit angulo FEG, æqualiszer it quoqʒ angulus LEG, maior angulo FEG, pars toto. quod eſt abſurdum. Non ergo minor eſt angulus FEG, apgulo EEB. 811 deinde, ſi fieri poteſt, angulus FEG, angulo H EB, æqualis, vt in quarta heurazſectiſque arcubus FG, EB, æqualibus bi fariam in I, K, ducantur rectæ IEK Quoniam ergo tam continui arcus EK, KB, ſemiſſes ar cus HB, quàm ar tus cont inui FI, IG, ſemiſſes arcus FG, æquales ſunt; erit, vt ſupra de monſtrahimus, angulus EEK, ma ior ſemiſſe anguli EEB. Eadem ratione angulus EEI, waior erit angulo LEG, ideoque angulus IEG, minor ſemiſſe anguli FEG. Cum er go anguli FEG, EEB, ponantur æqua les; erit IEG, minor quàm EEK. quod oſt abſurdum. Cum enim arcus 16, HK, ſemiſſes arcuum æqualium FG, EB, quales ſint,& non eontinui, ſi quidem intermedius GE, eſt illis commenſurahifis, erit angulus IBG, ma ior angulo EEK, vt demonſtratum eſtzſi vero ineom Menſurabilis, non poterit angulus IEG, minor eſſe angulo EEK, vt paulo ante A monſtratum etiam eſt. Non ergo apgulus FEG, angulo HE B, æqualis eſt: ſed ne que minor eſt oſtenſus. Maior ergo eſt. quod eſt propoſitum, A extremum quatuor rectæ EF, EG, EI, EH, intercipiant arcus æquales , IH, habentes partem communem I vt in proxima quarta ig ura. Dico rur s, angulum FEG, maiotem eſſe angulo EH. Nam cum æquales ſint arcus 5, IA; ablato communi 1G, erit reliquus FI, reliquo GH, quoque æqualis. Argo vt oſtendimus, angulus FEI, angulo GEHE, maior erit: additoque communtangulo EG, totus quoque angulus FEG, toto angulo 2EH, maior erit. quod eſt propoſitum, S ED iam rectæ E C, EE, EB, conſtituant in E, angulos æquales CEE, E B, ſiue continuos, ſiue non continuos, vt in quinta figura. Dico arcum BE, maiorem eſſe arcu E C. Si enim non eſt maior, ſit primum æqualis. Ergo vt iam demonſtratum eſt, erit anguJus CEE, angulo EEB, major. quod eſt contra hy potheſim. Sit deinde, ſi fieri poteſt, arcus B E, minor arcu FC, fiatque EG, ipFC, æqualis. Igitur vt iam ſtenſum eſt, erit angulus CEE, Major angulo FEG. Multo er80 maior apgulo FEB. quod M contra hy potheſim. Cum eo arcus BF, non ſit æqua„nec minor arcu FEC; erit nino maior. quod eſt propoMum. IT AQV E theorematis Mus poſterior pars, quam proTre de Bonſtra uimus, multo vni1 elt Propofitione vltima 3 1 pro] 5 29. lib. z. Eucl. dum probatum eſt, ſi duo anguli CEE, EEB, ſint æquales; initio facto à pundo 104 Nr puncto diametri C, arcum BE, arcu EC, maiorem eſſe: quod tamen hic demon. ſtratum eſt de quotlibet angulis,& arcubus ſiue continuis; ſiue non continuis & ſiue vnus eorum init ium ſumat à diametro, ſiue non. LI NM„N RN XXII. SI in circulis ſe mutuo ſecantibus, vel non ſecan. tibus, di uerſa tamen centra habentibus, punctum quodpiam in communi eorum diametro per vtrumque centrum ducta, præter centra ſumatur, quod& inter vtrum. que centrum,& intra vtrumque circulum exiſtat: Re. ctæ lineæ ab eo puncto eductæ ſecantes vtriuslibet ci. culorum circumferentiam in arcus æquales, ſecabum alterius circumferentiam in arcus inæquales, maiorque ſemper erit ille, cuius lineæ centro propinquiores ſunt Arcus item quilibet illius circuli, cuius centrum eſt in ter aſſumptum punctum, eiuſque circumferentiam, i terceptus inter communem diametr um,& quamlibetie. ctam ex eodem puncto eductam, ſi minor eſt ſemicirculo, maĩor eſt, quàm vt ſimilis ſit arcui alterius citculi inte eaſdem rectas intercepto. DV O circuli ABC, DEF, ſe mutuo ſecent, vel ſi non ſe interſecant/ ha beant centra diuerſa,& G ſit centrum circuli AB C, at H, centrum circuli Df. Diameter communis ſit DC, per centra G, ¶, tranſiens. Ex puncto autem I. in. ter vtrumque centrum,& intra vtrumque circulum, cadant quotuis Iineæ II, IB, IL, intercipientes in circulo ABC, areus æquales KB, BL, productæ autẽ, l opus eſt, ſecent circulum PEF, in M, E. N. Dico arcus ME, EN, inæquag eſſe, maiorem quidem ME,& minorem EN. Si namque arcus ME, maios none arcu EN; erit vel æqualis, vel minor. Sit primum, 1 fler! poteſt. æqualis. Ero per lemma præcedens, angulus NIE, maior erit angulo ELN. Sed per idem lem. ma, propter arcus æquales KB, BL, angulus K IB. hoc eſt, EI M, maior eſt angule BILL, hoc eſt, angulo NIE. Idem ergo angulus NIE, maior eſt angulo 1M minor. quod eſt abſurdum. Non ergo areus M Ed arcui EN, æqualis eſt. Sit cc. inde, ſifieri poteſt, arcus ME, minor arcu EN. Abſciſſo ergo arcu EO, qui ipſi ME, ductaque recta Olʒ erit per idem lemma præcedens, angulus OIE, m. ior angulo EIM. Multo ergo maior erit angulus NIE, angulo EIM. Sed pet idem lemma, ob arcus æquales KB, BL, angulus KI B, hoc eſt, EIN, maior eſt an gulo BIL, hoc eſt, angulo NE. Idem ergo angulus NIE, maior elt.& mige. codem angulo EI M. quod eſt abſurdum. Non ergo arcus ME, arcu EN, mine elt: Sed neque æqualis, vt oſtenſum eſt. Igitur maior. EA DEN * 185 L. E M M W VXXXIII. 105 ADE M ratione, ſi æquales ponantur arcus ME, EN, erit arcus LB. maior arcu BK. Si enim non eſt maior, ſit primum, fu fteri poteſti, æqualis. Ergo per lemma præcedens, angulus K I B, hoc eſt, E IM, maior erit angulo z hoc eſt, angulo NIE. Sed per idem lemma, ob arcus æqua les ME, EN, angulus NIE, maidr eſt angulo EIM. Idem ergo angulus NIE, maior eſt.& minor; eodem angulo EIM. quod eſt abſurdum. Non ergo arcus LB, arcui BK, Sdualit exit. * 7 2 70 AL. 1 5 27 45* Sit deinde, ſi fieri poteſt, arcus BL, minor arcu BK. Abſciſſo ergo arcu BP, æqua Ii ipſi LB, ductaq́ʒ recta PIʒ erit per idem lemma pi æcedens, angulus PI 52 m or . EIM,angul voc angulo BILL. Multo ergo maior erit angulus KIE, hoc eſt,EIM, 5 N 7 2 Nr FN nne NIE eſt, angulo NIE. Sed per idem lemma, ob æquales arcus ME, ENA, angulus NIE, 11, maior eſt angulo EIM. Idem ergo angulus NIE, maior eſt,& minor eodem angu 10 EN. quod eſt abſurdum. Non ergo arcus LB, minor eſt areu BK: Sed neque qualis vt oſtendimus. Igitur maior. 1 CO rurſus arcus DPM, PE, DN, maiores eſſe, quàm vt ſimiles ſint arcubus AK, AB. AL. Item arcus CL. CB, CK, maiores, quã vt ſimiles ſint areubus FN, EE, M Ducta enim recta HN, ex centro H agatur ei parallela GQ, ex centro G. Quoniã igitur anguli DHN, AG, ad cẽtra ęquales ſunt, externus& inter Nuszerunt ex ſchol. propoſ. 2 2. lib. 3. Eucl. arcus DN, AQ, ſimiles. Maior ergo eſt NN, quàm vt ſimilis ſit arcui AL, qui pars eſt arcus ſimilis AQ. Eodemque modo oſtendes PE DM, maiores eſſe, quam vt ſimiles ſint arcubus AB, AK. K* RS VS ducta recta GL, ex centro G, agatur ei parallela HR, ex centro H.» Quia igitur anguli CGI, EHR, ad centra æquales ſunt, externus& interausze runt ex ſekolio propoſ. 22. lib. 3. Eucl. arcus, ER, ſimiles. Maior ergo eſt 2 0 quàm a 29. primi. b 29. primi. 2 3. tertij. b 24 primi. c 29. prim i. dr. primi. 0 f. ſexbi. 106 Een 1. (L, quàm vt arcui qui ipſius ER, pars eſt ſimilis ſit. Eademque ratione erunt CB. K maiores, quàm vt ipſis EE EM, ſimiles ſint. PERSPICVVMVM autem eſt, propoſitionem hanc veram eſſe, ſiue arcus in vtroque circulo continui ſint, ſiue non continui. Id quod ex antecedenti lemmate apparere poteſt. E nt. S] eiecculus circulum bifariam ſecet, vel non biff. riam, aut nullo modo ſecet,& per centra ad rectam pet eadem centta eiectam ducantur duæ diametti perpendi. culares: Rectæ duæ lineæ egredientes ex puncto recte per centra eiectæ, per quod tranſit recta, quæ extrem duarum diametrorum ductarum coniungit,& quod h vttoque circulo exiſtit, facientesque cum recta vtii que diametro æquidiſtante ex vtraque parte, vel cum recta per centra tranſeunte, angulos æquales, inter cipient in vtroque circulo arcus ſimiles: Ipſa quoqu recta vtrique diametro æquidiſtans ex vtroque citcuJo alternos arcus ſimiles abſcindet. Et contra ſi du rectæ arcus ſimiles intercipiant, conſtituent cum es dem recta æquidiſtante ad vtraſque partes angulds æquales. S ECE T circulus ABCD, circulũ EFGH, bifarid, vel non bifariã, aut nuf modo ſecetzſintque eorum ceatra I, K, per quę recta eijciatur AIK G,& per eadi ad AG, perpendiculares educanturBßID, EKH, qua rũ poſterior cadet in cõmurtes ſectiones circulorũ E, H. quãdo vnus alterũ bifariã ſecat, vt cõtingit in prima ſecũda figura, cũ hæc diameter EH, ſit oĩno ad AG. perpendicularis. Quia enig tunc recta IK, ex cẽtro l, ſecans rectã FH, in circulo ABCD, bifariã in K,(quod N, cẽtrũ ſit circuli EF GH, ſecat eandẽ ad angulos rectoszerit diameter Fin eands AG, perpendicular is. Ducta autẽ recta BH, ſecet eandem AG, in L. puntio exiſtente in vtroq; circulo, ex quo ad ea ndẽ AG, perpendicularis erigatur Il, ſec ans circulum EFGH, in N: ac tandem ad L, fant duo anguli æqualſes NO MLP. ac proinde ex rectis reliquos OLA. PI, ſecetq;; recta LO, circulü ETC in Q. recta veto LP, circulum ABCD, in R. Dico& arcus alternos CM, Este AM, GN, quos perpendicularis MN, abſcindit,& ateus OR, QE, inter dust ctas J. O. LP, eſle timiles.e Qupniam enim BD, FH, ad A G, perpendliculares ps lelv funt 36 erunt angult alterni IBL; KHL, æqua les: Sunt autem& recti. IKL. se auguli BLI. HLk, ad verticem æquales. Aequiangula igitur 0 triaugula BIL, HKL. Erit igitur vt BI, ad IL, ita Had KL. Eſt h 5 08 2 2—— 2. 2 5 — — 2 6 — 9 8 int nti L E NM M A NR NIIII. 07 ipſi BI.& NK, ipſi HK, æqualis. Igitur erit quoque vt MLad IL. ita N K, ad RL. Quoniam igitur in triangulis MIL. NKL, anguli recti ILM, KLN, 3 a5 les ſunt,& latera ciręa angulos MIL, NKL, proportionalia, vt oſtendimuszreli quotum autem angulorum M, N, vterque minor eſt recto, ex coroll I. propoſ. 17. lib. 1, Euclid. d erunt ipſa triangula æquiangula, angulosque 111. NRL,ad centra æquales habebunt. Igitur ex ſchol io propoſ. 2 2. lib. 3. Euclid. arcus CM, EN, ſimiles ſunt; ac proinde ex ſemisirculis reliqui AM, GN, ſimiles quoque erunt, ex eodem ſcholio, quod eſt ſecundum. VNGANTVRxre ctæ IO, KP, IR, KQ. Et quoniam in triangulis ILO, KLP, anguli ILO, KIP, æquales ſunt,(Cũ enim MII, MLK, recti int,& MLO, MLP, equales, ex hypotheſi; erunt etiam reliquilLO, KLP, æquales.)& latera circa angulosLIO, LRP, proportionalia,( Erat enim in triangulis MH, NKL, vt MI, ad IL, ita NK, ad KL. Cum ergo OI. ph MT,& PK, ipſ NK, ſit æqualis; etit g uoque, vt Ol, ad IL, ita PK, ad KL,) teliquorum autem angulorum IOIL, KPL, vterque recto mi7). w 5 N nor eſt, o quòd ductæ rectæ AO, CO, EP, G, in ſemicirculis faciant angulos re- b 54. rertij. tos, quorum illi partes ſunt; erunt ipſa triangula æduiang 9 2 O TKP, Ne æquales. N l e RVRS VS quia in triangulis ILR. KL anguli ILR, KLQ, æqua les ſunt (cum enim æquales poſiti ſint MLR, MLQ, additis rectis rqualibus MLI MIK, toti ILR,.KLQ, æquales fiunt.)& latera circa an gulos IIR, LK O, proportionalia,(Erat enim in triangulis MIL, NKL, vt MI, ad IL, ita NK, ad KI., Cum er80 RI, ipſi MI,& Q, ipſi NK, ſit æqualis; erit quoque vt RI, ad IL, ita QK Ad KL.) reliquorum autem angulorum IRL, KC, vterque recto mine * quod ductæ rectæ AR, CR,; EQ. GQ, faciant in ſemicirculis angulos 75803 quot illi partes ſuntʒ e erunt triãgula ipſa æquiangula, angulosque LIR LKQ quales habe bunt: Oſtenſi ſunt autem& æquales toti anguli II O, LKP.Ablacts 18itur æqualibus LIR, LK, reliqui OIR,. QE, æquales etiam erunt in centris I, Kʒzac proinde ex ſcholio propoſ. 2 2. lib. 3. Euclid. areus OR, QP, ſimiles srunt. quod eſt primum. f VERVM intercipiant iam rectę LO, LP, arcus ſimiles OR, t. Dico an1 9 gulos a 7. ſexti. c 7. ſexti. dr. terii. e. ſexti. 108 n. gulos OLM, PLM, æquales eſſe. Poductis enim OL, PL, vſque ad T, V. iungan. tur rectæ OR,. QP; 18, KTzIV, KX. Et quia triangula quatuor 109, IRV, KT, a g. primi. KP, Iſoſcelia ſunt: a erunt bini anguli in ſingulis æquales. Qugniam vero i b I. primi. triangulis OIL, TKL, b anguli ad verticem L. æquales ſunt,& latera circa angu los OIL, TKL, proportionalia,(erat enim in triangulis MIL, NK I., vt Rll„ad IL. ita NK, ad KI. Cum ergo Ol, ipſi MI,& Tk, ipſi NE, ſit æqualis j erit quoque vt O, ad II, ita TK, ad KIL) reliquorum autem angulotum IOL, KTI, vterq; minor recto eſt, quod ducte re ctæ AO, CO, ET, G Tun gulos in ſemicirculls fu ciant rectos, quo rum illi partes ſunt; dq erũt trian. gula ipſa æquiangula, æqualesque habebunt aa gulos LIO, LK T.& 10L, KTL. Erat autẽ᷑ an gulo IO L, æqualis angi jus ISL,& angulo KI., angulusK QL, ꝓptet Io ſcelia IO08, KI. Quatuor ergo anguli 100, ISL, KL, KIL, æqusles inter fe ſunt. Eaden prorſus rationè oſtendemus quatuor angulot IVL, IRL, KXIL, KPI, 8——. æquales eſſe inter ſe. eg αertj. IAM vero, e quoniam angulus PET. in centro K, yel certe fpatium ad cen ä trum K. infiſtens arcui PG T, vt in fecunda figura, duplum eſt anguli PQI, al circumfe rentiamzeſtque angulus PKT, vel ſpatium ad K„ arcui 5G T. inſiſtens 52. primi. æquale tribus angulis PLT, LPK, LTE, quòd tam PK, duobus PLK, LPK, quam Tkñ G, duobus TLK, LT K, æqua lis ſit.) erunt quo que tres hi anguli ſimul S2: primi. PLT, LPK, LTK, dupli anguli PQ. s Sed rurſus angulus PLT, æqualis el duobus LOR, LRO. Igitur quatuur anguli LON, LRO, LPK, LT K, ſimul dupl quoque erunt eiuſdem anguli PQ. Cum ergo paulo ante oſtenſus ſit angule LT K, æqualis angulus IGI erit totus angulus IOR, vna cum LRO, LPK(ſun pto IOI, pro LITK)duplus eiuſdem anguli PQ. P RAE T ERE A quoniam triangula Iſnſcelia OIR, QP, angulos babent In 32. prim.. ecquales L, K, in centris, ob poſitos ſimiles arcus OR, Q; hᷣ erunt reliqui 20 vnius æquales reliquis duobus alterius, ac ꝓpterea quatuor anguli OR, IR 1 KPO.-K OE, æquales inter ſe eruntzideoque duo OR, IKO, dupli erunt ang N KO. Quare cum tres anguli OR, LRO, LPK, proxime oſtenſi ſint dupli 550— . Ii PQ: ſint autem nunc quoque duo IOR, IR, ablati ex tribus IOR, 1 5 15. quinti. LPE, oſtẽſi dupli anguli KO, ablati ex PQTzlerunt quoqʒ reliqui IRL. LEE, mu 1. tert. d. ſexti. l 22 I EM M IRT XXII III 40 ſimul dupli reliqui K QL. Sunt autem ſupra oſtenſi æquales IRL, LPK. Igitur IPK, ſolus ipſi K QL, æqualis erit. Cum ergo ipſi K Q, æqualis ſit oſtenſus KIL, erunt quoque K＋, KTL, inter ſe æquales. A D extremum iuncta recta PT, a erunt anguli KPT; K TP, æquales. Si igitur addantur ad æquales KPL, KTL, vel certe auferantur, vt in ſecunda figura, æquales quoque erunt vel toti, vel reliqui LT, LT P; ideoque& rectæ 2 runt, ac proinde, cum duo la tera EP. LK, duobus lateribus LT, LK, int, æqualia,& baſis KP, baſi KT, æqualis; erit angulus quoque PLK, aygulo ILK, cqualis. Cum ergo angulus ILK, angulo OL, ad verticẽ æqualis ſit; æquales inter ſe erũt anguli OLI, PLR: ac cppterea& ex rectis reliqui OLM, PLM, equaleserũt. ꝙ eſt propoſitu. 8 AE ＋ E RVM non eſt prætereundum hoc loco, cum anguli OI R, QRP, ad centra I K æquales ſint, ob poſitos areus ſimiles OR, OP; vtrilibet eorum æqualem eſſe angulum OLP, quem rectæ OL, PL, arcus ſimiles abſcindentes cõſtituunt. Secent enim ſeſe PL, QK, in V. Et quoniã angulus LPK, angulo K QL. oſtenſus eſt æqualis: e ſunt autem& anguli PVYK„QL, ad verticem æquales; FFPFPPTTTTTT erunt ex coroll. 1. propoſ. 3 2. lib. r. Euclid. reliqui etiam anguli PK Q, PLO, in triangulis PKV,, æquales. Eodem modo oſtendetur idem angulus PIO angulo Ol R, æqualis. 0 a Q OCIRCA ſi vterque angulorum æqualium OLM, PLM, inſiſtat arcui ſemicsis vnius gradus in circulo, qui ex centro L. deſcribetetur, ita yt totus angulus OLP, arcui vnius gradus inſiſtat; inſiſtent quoque anguli illi æquales OlR, QK„ arcubus vnius gradus: Et ſi angulus OLP 8 inſiſfat Eee 71 bus, er unt arcus OR, Q, binorũ graduum,&c. Itaque duci poſſunt ex I. duę rectr abſciadentes arcus ſimiles OR, Qp, qui gradus cohtinkant 5 quotquot uis iuſſerit: ſi nimirum conſtitu antur anguli æquales OLM. PLM„ e. ee complectatur dimidiatummumerum graduum, qui imperantur. 5 1 555 ee vt vides, locum habet in omnibus caſibus, ſiaioxis circuli ſit intra minorem, vt in prima figura, ſiue extra, vt in a 5. primi. b C. primi. c. primi. d ig. primi e 15. prinũ, 110 LIT BERN I. vt in ſecunda,& tertia, ſiue etiam in ipſa eircumferentia minoris. Item ſtue al. tera lincarum OL. PL, cadat infra diametrum FH, vt in prima figura,& tertia, ſiue vtraque ſupra cam diametrumi vt in ſecunda ligura, dummodo ex vtraque parte perpendicularis LM, æqua les cum ea angulos conſtituant. S NH OD e A. SY EMA D MO DYAH autem recia LA. cum qualibet alia ex Z, egredier re aufert arcus iſimiles en vtroque circulo, vt in antecedente lemmate demon ſcratum eſſ, ita quoque dua rectæ quæcungue ex L. qupra perpendicularem LM, vel infa cadentes auferunt ex eiſcdle m duobus circulis arcus alſfimiles, vt facile ex his, qua hoc lemmate demonſtrata ſiant, colligi poteſt, vt in his du abus figur is apparet. Si namque dua rectæ OL, H H ſius ſupr a perpendicularem LM, ſuue in ra, abſcindere dicantur arcus ſimiles OR, O, c eadem conſtruckio ſiat 2e pritis, oſtendemus eodem prorſus mo. do, angulos OL, PL R, æquales inter ſe eſe. quod eſt abſurdum, cum vnus acultiis ſi, & alter obruſus. Solum i gitur arcus ſimiles inter duas rectas intercigi poſſtint inter dudas rectas, qua æquales angulos cum LM, vtringue ſaciunt, hoc e ſt, guarum na ſalra 4 3 2 7 7 LM, c altern infra cadil. LIE MMA XXX. SI in circulo duæ diametri ſeſe ad angulos rectos ſecent,& in eodem recta ducatur ad vtramque diametrum inclinata, r r e 9 * eee. een eee eee e W L HR MIM M NWMV. 111 inclinata, vel vni earum parallela; ab vno autem extremo alterutrius diametrorum per extrema rectæ lineæ inclinatæ vel ab extremo diametri illius, cui recta equidiſtans eſt, extendantur duæ rectæ triangulum conſtituentes, cuius baſis eſt recta inclinata, vel illa parallela: Altera diameter abſcindet ex huius trianguli lateribus triangulum ſimile, ſed ſubcontrarie poſitum. Et ſi recta inclinata per centrum tranſeat, recta ex eodem diametri extremo ad cam ducta perpendicularis baſem trianguli ab altera illa diametro abſciſsi bifariam ſecabit, ipſaque perpendicularis ſemiſsi eiuſdem baſis æqualis erit. Si vero recta per centrum non tranſeat, ſiue inelinata ſit, ſiue vni diametrorum parallela,& ad eam ducatur diameter perpendicularis, atque per punctum vbi rectam illam ſecat, ex eodem illo extremo diametri recta ducatur vſque ad circũferentiam, ac tandem arcui inter hoc punctum circumferentiæ& diametrum perpendicularem poſttemo loco du cam arcus ex altera parte æqualis abſcindatur: Recta ex dicto illo extremo diametri ad terminum huius areus ducta, ſecabit quoque baſim trianguli ab altera illa diametro abſciſsi bifariam. SEC E T ſeſe in circulo ABCD. cuius centrum E, duæ diametri AC, BD ad rectos angulos, itque ad vtramque inclinata recta EG, ſue citta centrum; vel at; vt in prima figura, ſiue per centrum tranſeat, vt in ſecunda ligura, ſiue non ſit inclinata, ſed vni diametforum, verbi Sratia, pft AC, parallela, vt in eade m ſecunda ſigura ʒ ue denique tota inclinata ſit ex vna parte dizmetri AC vt in tertia;& quarta figura: quod duobus modis fieri poteſt. Aut enim ea alte ram diamet: um BD, ſecat, vt in tertia, ↄut non ſecat, vt in quarta Higura. At2 ncto Oper extrema F, G, duæ rectæ extendantur CF, CG, conſlituen2„ D, in H, I. Dico trianguium ab— 0 le, ſe ubcontrarie politum, hoc eſt, anö vangulo CGE,& angulum CIH, angulo CFG, eſſe qua lem,&c. Du cta enim GK. dian 05D Ilel BK. O0 erppal 3 fl. 0 5 9758 eue b» Kquales, ex ſcholio 3. E Si igitur ex quadrantibus æqualibus BC, DC, demanItra diametrum BD, add CK, CG, æquiles Ideoque& an ycumterentiam æquales erunt.» Eſt aute AK, ayngulus aus cxterno, æqualis Hgzitu anguli Ci FG. eee gulus ECG 45* 118 2 angol. Waker cqusleserunt. Cu 8 1 que tcxiapgulo ſit cõmunisʒ exunt ex coroll. I. propoſ. juando G arcus, vel conflat runt quoque reliqui GK, CFG, il is inſizulo Ce 32. 10.1. bg. tertij. c 3 r. tertij. d F. ſexti. e 6. primi. fz. tertij. 112 N 1 32. lib. 1. Euclid. triangula CHI, CFG, quiangula; ac propterea latera circa æquales angulos habebunt proportionalia, ĩdeoque ſimilia erunt, ſed ſub. contrarie poſita. 2 DVCATVR iam ex eodem puncto C. ad rectam inclinatam EG, per cen trum tranſcuntem ſ vt in ſecunda lgura/ perpendicularis CL, ſecãs baſem Hl, in M, quod facile fiet hoc modo. Sumatur arcui CG, arcus GN,&qualis, ducaturque recta CN. Hæc enim ad EG, in I. perpendicularis erit. Recta vamque ELex centro ſecans arcum N, bifariam in G, ſecabit quoque ex ſcholio propoſ. 2g. lib 3. Euclid. rectam CMN, bifariam.„ Igitur& ad angulos fectos. Pico baſem H, trianguli abſciſsi CH, ſectam eſſe il M, bifarlam, rectamque CM, vtriqʒ ſemiſsi MI, MI, æqualé eſſfe.e Qaoniã enim angulus ECG, in ſemicirculo rectus eſt,& ex eo ad FG, ba ſem tria guli rectäguli CE, de miſla eſt perpendicularis CL, d erit angulus GCLangulo CEG,& angulus FCL, angulo C&, æqualis. Sed angulo CFG, angulus CIII,& apgulo CGE, angulus CHI, oſtenſus eſt æqualis. Igitur tam anguli CI, CI, quam anguli FCL, CHL,zquales erunt, e Quatre tam latus IM, lateri CM, in triangulo MCI, quà m latus Hh, eidem lateri CM. in triangulo MCH. quale eritz ac proinde& rectæ N LMH, æquales erunt,& vtrique earum æqualis CM, quod eſt propoſitum. ducatur ad FG,(in alis etiam ſiguris) non per centrum tranſeu tem diameter perpendicula ris EO, quæ i ipſam FG, bi1 fariam ſecaK—— bit iu P, punct 1 5 mferentiam in o, per quod ex eodem puncto C, recta emittatur ſecans circumferentian . 3 1 e. 1 cto C. Q,& arcui O æqualis ſumatur arcus OR, ac tandem ex codem 9 5 5 Ar „—— 29 2 irb. 22 W E 655 M A XXV. 113 8 Hl, baſem trianguli eube in S. Dico basẽ HI, in 8, nia enim triägula 8 7 15 CIIH, ſimilia oſtenſa ſunt, ſed 1 habenti a angulos æquales E, I; t aũt in lis CFP, CIS, anguli quoque ECP, ICS„ equales, ob arcus æqua les E„R ö arcu OF, G8. ex ſcholio propoſ. zy. 15.3.1 ucli quod xecta FG, ſe ariam in Pʒſi demantur 79 8 7 5 00 OR, reliqui etiam FQ, GR, æqu 3 7815 itur& nene„æqulangula erunt circa exit, vt FEG ee ite lee t EC 5 40 FP. fta Lc, ad 18. Igitu æqualitate, ita formula apparet)erit quoque, vt FG, ad FP, ita IH, autem EG, ipſius EI 5, dupla. If tur& IH, ipſius 18, dupla III, in 8, bifariam ſecabitur. quod eſt propoſitum. FEG, per centrum tranſeuntem ducatür diameerpendicularis,& arcui TA, æqualis 55 0 1 N, 0 Du CA, per E, punctum interſectionis diametri p erpendicularis ) ſecabit recta CN, baſem Hl, bifariam 1 885 in M quod eadem abitur, vt p atet, i pro A, ſumatur litera Q& O pro T,& R, pro 5& S, pro M,& P„pro E, vt in ſecunda figura apparet. Diligenter autem attenndum elta(n e confuſio fiat in triangull 5 priorui n duarũ figurarum„ quæ aſſum ütur, pro] ter eaſdẽ! iteras repetitas vtes ſe mper literæ a ccipiantur, quęs pro pris triangulis debentur. In duabusfiguris poſterioribus non eſt hoc periculum. Hoc idem, q E dixi de recta EG, per centrum ducta, nullo negotio colligi potelt* ſuperiore demonſtratione, quando probatum eſt, p pendicularé CL, bifariâ ſecare HI, in M. Quoniã enim totus arcus CDA, totius arcus DA.& ex toto CDA, ablatus AN, ex toto DA, ablati AT, 0 us eſt, ex cõſtructioneʒe erit qu- oque totius enen CN, ex toto DA, reliqui 92 8 duplus Sũ ergo Drag CG, qualis ſit;( Nam ex quadrantibus 1.0, cõmuni arcu GD, eliqui arcus DT, CG, equales erunt.)erit quoque arcus 0 N, arcus CG, duplus: ſe- 1 duando arcus CG, duplicatur vſque e ad N, rect 2 CN. ad FG, perpendicularis eſt, di uiditꝗ; HI, bifariam, vt ſupra demonſtratũ eſt. Igitur N do arcui TA, æqualis ſumitur TN, recta quoq N, bifariam ſecab. HI, M. cum ex hoc ſequatur reliquum arcum CN, ſectum eſſe bifariam in G„vt nonſtra tum eſt. 1 NDO recta inclinata FEG, per centrum tranſit, vt in ſ onſtrabimus triangulũ CHI, abſciſſum triangul O CF G5 ell , etiamſi parallela G, ducta nõ ſit h oc modo uoniã angulus irculo rectus eſt, atqʒ ex eo demiſſa per pendicularis 8 E, ad baſem 1CIHIz erit angulus HCE, angulo CIH,& angulus IC E, angulo CH, Eſt autem angulo HCE æqualis angulus CI G Ambo enim ins chunt a C qui ęquales ſunt, ptropter angulos ad verticẽ in cẽtro E, æqua E, angulus CGF, equalis, quod ambo inſiſtant arcu es ſunt, ob angulos AEG, CEE, quales ad vetticẽ E, in IH, CFEG,*& CHI, C GF, equale s erũt; eſtque angulus 7 ng 515 ſunt triã gula CHI, 5 G,& ſubc ontrarie p oſita. cum ecunda figura, mile, ſed ſub„“ centro git! FCG, cöis. quouis circulo ute ducantur, rectam lineam, 2 Pendicularis ducitur ab extremo 2 715 a 27. kertij. b F. ſexti. . Juinti. — 114 r. vtriuſiis diametrorum ſeſe ad angulos rettos ſecantium, diuidere bifarià ſe. ęmentum cuiuſuis lineæ rectæ alteri diametro æquidiflantis interceptum inter rectas ex eodem illo puncto extremo per terminos diametri obliqus edu tos. Vt ſi incirculo ABC D, ſecundæ fi guræ ductis duabus diametris ſeſe ad rectos angulos ſecantibus AC, BD, ex puncto extremo CLadiametri Ac, ad quamlibet obliquam diametrum FG, ducatur perpendicularis C Lidico eam productam ſecare bifariam in Yiſenmentum VX; cuius vis rectæ V X, alteri liametro BD, æquidiftantis, inter rectas C E, CG, intericctum. Quoniam enim ex ſcholio propoſ.. lib. 6. Euclid. eſt vt HM, ad MI, ita VV, ad TX, eftq: Hau, ipſi MI, aqualis, vt oſtenſum eftzerit quoque V, ipſi Lx, æqualis. Kademque ratio eſt de quacunque alia linea æquidiſtante ipſi BD, ſiue ea vltra BD, quantouis interuallo dibtans ducatur; ſiue citra BD. EB M ͤ S] in circulo duæ diametri ſeſe ad rectos angulos ſecent,& in eodẽ aliæ duæ diametri ad illas inclinatæducãtur, ab vno autẽ extremo alterutrius diametrorũ priorum per extrema poſteriorũ binæ rectæ extẽdantur:Erũt rectæ ex altera priorum diametrorum à binis rectis abſciſſæ ma iores diametro circuli, ipſeq; inter ſe erunt quoq; inęqua les, maior videlicet illa, cuius diameter inclinata maiorẽ angulum cum altera illa diametrorum priorum cõſtituit. IN circu lo ABCD, cuius cẽtrũ E, ſecent ſe ſe ad rectos angulos duę diametri AC, BD,& in eodẽ ſint duæ diame tri ad illas inclinatæ FG, HI, at ue ex puncto extremo C, tam per extrema f: —ů ů a G, recte ct. CG, extendantur ſecantes BD, in K, L, quam per extrema H, I. rectę CH.c ln, cantes eandem BD, in M, N. Dico vtramq; rectam abſciſam KL. Mee, mag, 8 0 2 0 0. 2 0 — W„„„ e 0 30.. eee r E M M A XXXVI. 115 eſſe diametro BD, ipſaſqʒ inter ſe inæqua les,& MN, maiorem quam KL. Iunctis enim rectis CB, CD,& ſumpta recta EO, æquali ipſi EK, lungatur recta 90 Et quoniã duo latera EB, EC, duobus lateribus ED, EC, æqualia N oſque cõtinent æqua les, vtpote rectosʒ a erunt etiã baſes Cg, CD, equ ales. adẽ 5 ne æquales erunt rectæ CK, CO, propterea quod& duo N EK, EC, duobus lateribus EO, EC, ęqualia ſunt, anguloſq; aquales cectos videlicet continent. b Quia vero in triangulo ECO, externus angulus DOC, interno recto OEC. ma ior eſt,& propterea in triãgulo COD, angulus ODC, recto minor, quod a mbo COD, ODC, duobus rectis minores ſintz a Erit recta CD, maior, quã recta C. Eademq;ratione CL, maior erit quã CDʒpropterea quod in triagulo ECD, angulus quoqʒ externus LD C, interno recto DE OC. maior eſt, ideoqʒ in triangulo CDL, angulus DLC, recto minor, cum ambo CDL. DLC, int duobus rectis minores. Abſeindatur recta CP, ipſi CO, hoc eſt, ipſi CK,& CO, ipſi CD, hoc eſt, ipſi CB, æqualis, iungaturq; recta P Woniam igitur duo latera, duo bus lateribus CK, CB, æqualia ſunt, e anguloſqʒ continent equales PC, KC B, quod æqualibus arcubus DG, BE, inſiſtant;(t Sunt enim hi arcus æquales, cum eis inſiſtant in centro anguli ad verticem æquales.) serunt triangula PC O. K CB, æqualia; ac proinde triangulum PCL, cuius triangulum PC Q pars eſt, maius erit triangulo K CB. h Eſt autem, vt triangulum DCC, ad triangulumK Cg, ita baſis BLʒad baſem BK. Igitur& baſis DL, baſe B K, maior eritſ: addita que communi recta KD, tota KL, maſor fiet, quàm tota BD. Non aliter demonſtrabimus MN, maiorem eſſe eadem BD. DEIN PDE rectæ EM, accipiatur æqualis ER, iungaturqʒ recta CR, quæ oſtendetur ipſi CM, æqualis, que madmodũ CO, ipſi CK, oſtenfa eſt æqualis. Cũ enim duo latera EC, EM, duobus lateribus EC, ER, ſint æqualia, contineantque angulos rectos æqualesz i erũt baſes CM„CR, ęqua les. x Quia vero in triã gulo ERC, angulus externus LRC, interno recto REC, maĩor eſt, ide. q; in triangu10 LRC, angulus RLC, maior recto, i cũ ambo LRC, Rl. C, duobus rectis mino res ſintz m exit recta CL, maior quàm CR. Eademq; ratione maior oſtendetur N, quàm CO. propterea quod in triangulo EOcC, externus angulus NOC, interno recto OEC, maior quoqʒ erit, ideoqʒ in triangulo CON angulus CNO, minor recto. Abſeindatur CS, ipſi CR, hoc eſt, ipſi CM,& CT, ipſi CO, hoc eſt ipſi CK æqualis, iungaturq; ST. Qupniã igitur duo latera CS, CT, duobus late ribus CM. CK, æqualia ſunt, a anguloſqʒcõtinẽt æquales SCT, MCE, cũ inſiſtãt arcubus GI, EH. qui æquales ſunt ob angulos ad verticem in centro æquales; p erunt triangula SCT, MCK, æqualia: atque idcirco triangulum LCN, cuius triangulum SCT, pars eſt, maius erit triangulo M CK. 4 Eſt autem vt trian gulum LCN, ad triangulum M CK, ita baſis LN, ad baſem KM. Igitur& baſis LN, baſe KM,. maior erit; additaque communi recta ML, tota MN, malor fiet. quã m tota KL. quod eſt propoſitum. POR RO tam rectam KL, quàm MN, maiorem eſſe diametro BD, vel FG, vel Hl-hac etiam ratione demonſtrari poterit. Concipiatur animo conus ſcale nus, cuius vertex C,& baſis circulus circa diametrum FO, ad planum trianguli CEO, rectus, quẽ conum ſecet aliud planum ad idem triangulum per axẽ CEG, rectum abſcindens triangulum KL, quod per præcedens lemma ſubcontrarie Fontum eſt, ſed ſimile triangulo per axem CFG: ac proinde hoc poſterius pla2 lemma 7. in cono circulum facjet, cuius diameter KIL. Et quia diame5 5 Odiuiſa eſt bifariam in centro Eʒerit diameter KL, maior, ſecabiturq; in Ez non bilarlam,& maior eius portio erit EL, verſus eam partem, vbi diameter 2. KL, cum 4 f. primi. b 76. primi. c. primi. d 15. primi. e 27. tertij. f 2. tert. g A. primi. h 7. ſexti. i. primi. k 7g. primi. 117. primi. mig. primi. n 27. tertij. o 20. tertij. P K. primi. q 1. ſexti. —————— 21. primi. b 7. primi. e 1e, primi. 116 r B R KIL, cum latere CG, trianguli per axem facit minorem angulum L, vt in ſcho. lio eiuſdem lemmatis 15. demonſtrauimus. Eſſe autem angulum L, minorem an gulo K, perſpicuum eſt. Quia enim angulus L, æqualis eſt angulo F,& angulus K, angulo C GF, ob ſubcontrariam ſectionemz Eſt autem angulus E, minor angulo CG, quod& latus CG, minus ſit latere CE, ex ſcholio propoſ. 29. lib. 3. Euclid. Erit quoque angulus CLK, minor angulo CK L., Eodem modo oſtendemus rectam MN, maiorem eſſe dia metro HI. —— IO OCidè le monſtrabi nus hoc mo o. Iunctæ re nia EN, maior eſt ſemidiametro ED, vel EH; e erit angulꝰ EHN, maor angulo NH. Eſtau em angulus HI, æqua is angulo NM, ob ———————— ſubcottrariä ſectionem, vt in præcedenti lemmate demonſtratum eſt. Igitur totus quoque an gulus CHN, maior erit toto angulo CNH; ac proinde latus CN, latere CH, maius erit: quæ cũin ſubcontrarijs triangulis ſimilibus CMN, CIE, opponantur æqualibus angulis CMN, CIH, vt in lemmate præcedente oſtenſum eſtzerit diameter ſubcontrariæ ſectionis MN, ma ior diametro baſis HI, coni ſcaleni ex ijs, quæ ad initium ſcholij lemmatis 25. demonſtrauimus. QY OD ͤ ſi ex maiore latere CN, minori CH, abſc inderetur recta æqualis,& per punctum ſectionis ipſi rectę PN, parallela ageretur, vt abſcinderetur aliud triangulũ ſubcontrariũ, eſſet tũ demũ baſis huius trianguli baſi HI æqualis, yt ad inĩtiũ ſcholij eiuſdẽ lẽ matis 1. demõſtrauimus: ſed tũc neq; baſis Hl, neque baſis ſubcõtrarię ſectionis bifariã diuideretur, vt ex lis, quę in ſcholio eiuſdem lẽ matis 17. demõſtra ta ſunt à nobis, liquido cõſtat. Sic etid ſi minus latus CH, producere tur donec maiori CN, quale fieret,& per extre mũ punctũ baſi Hl, parallela ageretur, quę eſſet baſis alterius coni ſcaleni, eſſet tũ Jemü etiam hęc ba lis æqualis baſi trianguli ſube õtrarij MN: ſed tũc neutra etiã baſium bifariâ diuideretur. Quæ oĩa ex iis quæ in ſcholio lẽmatis 17. demõſtrauimus, colligi poſsũt. Qugd de triãgulis ſubcõtrariis CHI, C NM, diximus, ide de ſubcõtraris triangulis CFG, CLK, in telligendũ eſt. Eadẽ enim demonſtratio adhibebiturſ recta FL, iungatur, vt manifeſtum eſt, Itaque quod lemma hoc proponit, diametrũ ſubcontrariæ ſectionis KLyYeIl MN ſemper eſſe maiorem baſe FG, vel HI, non eſt contrarium ei quod in ſcholio lemmatis 15. demonſtrauimus, nimirum fie ri poſle, vt interdũ baſes triangulorũ ſubcontrariorũ æquales ſint: quia cum hic ſeiaper baſis coni EG, vel Hl, bifariam ſecetur, fit vt baßis ſfubconttarii trian guli neceſſario maior fiat, numquam autem æqualis, vt demonſtratum 15 g a L E M mo 1s NM Nell. 17 L E M M A XXXVII. CIRCVILI poſitionum in ſphæra obliqua boreali ſecantes arcum ſemidiurnum Aequatoris in partes æquales, ſecant arcus ſemidiurnos parallelorum in partes inæquales: Et in parallelis quidem auſtralibus quæbet pars inter Meridianum& quemlibet circulum poſiHonis minor eſt reſpectu proprij arcus ſemidiurni, quam adem pars in Aequatore reſpectu arcus ſemidiurni Hequatoris; In borealibus vero maĩor. Iidem tamen cirguli poſitionum parallelos Horizontem tangentes ſecant guoque in partes æquales. IN ſpheæra ABCD, obli. qua boreali, cu Ius cẽtrum Ez; Horizon obli quus BHD; Axis mundi 5G; Aequator AH; paralle lelus borcalis KL; auſtralis MNO; Meri ian? ABCD, Per polos mun & Horizon Js ductus. Di Mo autẽ quaante Acqua Pris A H, Prientali, vel ccidentali 3 m ſex partes f Auales in P, Q*. 8 13 du 4 Mfonum pun- 75 X pun daR 5 * 4 W n Meridianus Horizontem ſecat, circuli maximi poſitioK. en W u 1 Bae dene parallelos in partes inęqua 6 arcu la l IZ, MV M CMV, minores partes eſſe reſpectu arcus MN quàm arcus AT, A8, AR, AQ, AP, reſpectu arcus ſemidiurni Aequa4 20. t. Theo. 118. Aequatoris AH: at areus Ig, If, Ie, Id, Ib, me iores reſpectu areus ſemidium IX. Sint enim BD, MO, AC, IL, communes ſectiones, Horizontis, paralleloti, 215. i. Theo. ac Meridiani. Et quoniam Meridianus Horizontem, omnesque parallelos ſe. cat bifariam; erunt BD, MO, AC, IL, Horizontis, ac parallelorum diamett, bre. i. Theo. b axisque FG, per parallelorum centra k, E, I, tranſibit, eruntque MN, AH, l, inter Meridianum& Horizontem, arcus ſemidiurni. Ductis autem ex h, E unctis, vbi parallelorum diametri Horizontis diametrũ ſecant, rectis hN, EH, iK, hV. EP, ib,& ad reliqua diuiſionum puncta;erunt hN, EH, iK, communes ſe. cr. vndec. Ctiones Horizontis ac Parallelorum ze ac proinde parallele: At vero hV, E5 „ ib, communes ſectiones circuli poſitionis BPD,& parallelorum; ideoqʒ& inte SI parallele, atque ita de cæteris dicendum eſt.e Erunt igitur tam ſex anguliat f ay. tertj. h, quàm ſex ad i, conſtituti æquales ſex ad E, conſtitutis. unt autẽ omnes ft ad E, interſ. qua les, cun in centro f, inſiſtant ſel arcubus 2. qualibꝰ Hs, PQ,&c. Ig. tur& omne anguli ta h, quam adi equaleserit ac proindt ex lemmit 32. tamareu Ma, 32,&. quàm areu qua leser minor quid Ma, qui al, & a, mini quã 2, An at vero 15 maior quuũ gf,& gf. im · ijor quam fe &c. Eſt erg Ma, minor, quàm ſexta pars arcus ſemidiurni MN, cum quælibet ſequentiun quinq; partium 42, Z V,&c. maior ſit, quàm Ma. Sic erit MZ, minor quam tetti ars eiuſdem arcus MN, quod vnaquæque duarum ZX, XN, maior ſit quam Il 5 am& tres anguli MhZ, ZhX, Xh N, x qua les ſunt, cum eorum ſemiſſes ſint equi les. Item arcus Minor exit ſemiſle eiuſdem arcus M N, cum XN, maior h quam M, propterea quod& duo anguli Mh, VhN, æquales ſunt, quippe quo, rum tertiæ partes æquales ſunt. Pari ratione arcus MX, erit minor quà m di tertiæ partes eiuſdem arcus MN, quòd XN, ſit major quam tertia pars, cin maior ſit vtroque arcuum XZ, ZM. Dei b lar que MV, minor erit quàm quinque 0. tæ partes eiuſdem arcus MN, quod NV, maior ſit quãm ſexta pats, 1 4 quo diurnl lor, os ſe. netti, A,, „Eil E, es ſe. 1 intet uliad es ſel ter ſe „ Cu 0 E, 0 t lel „„ ene 119 quòd maior eſt qualibet reliquarum quinque partium VX, XV,&c. E contrario erit Ig, maior quàm ſexta pars arcus IK, cum maior ſit qualibet ſequent ium quinque partium gf, fe,&c. Item If, maĩor erit quam tertia pars eiuſdem arcus IR, cum maĩor ſit qualibet duarum partium fd, dK. Nam& tres anguli Ilf, fid, dlK, æquales ſunt, cum eorũ ſemiſſes æquales ſint. Rur ſus Ie, erit maior quam ſemiſsis eiuſdem arcus IK, quia maĩor eſt quàm eK. quòd& duo anguli Ile, eIK, æquales ſint, cum eorum tertiæ partes ſint æquales. Præterea Id, maior erit quam duæ tertiæ partes eiuſdem arcus IK, propterea quod d K, minor eſt tertia parte, cum minor ſit vtroque arcuum df, fI. Denique Ib, erit maior quam quinque ſextæ eiuſdem arcus IK, quòd Kb, minor ſit quàm ſexta pars, quippe cum mi nor ſit qualibet aliarum quinque partium bd, de,&c. CONTRARIVM accidet in ſphæra obliqua auſtrali. Arcus enim abſciſsi à Meridiano,& circulis poſitionum, maiores erunt in parallelis auſtralibus,& in horealibus minores, reſpectu ar cuum ſemidiurnorum, quàm ijdem arcus in Aequatore, reſpectu arcus ſemidiurni Aequatoris. S ED iam iidem circuli poſitionum ſecent parallelum Dpm, qui Horizontem tangit in D,& cuius diameter Dm, in punctis n, o, p, qr. Dico arcus mn, no, pops pq; qr, D, æquales inter ſe eſſe, ſicut in Aequatore. PDuctis enim rectis Dn, Do, Pp, Dq, Dr, a que rectis ET, ES, ER, EQ, EP, parallele ſuntz b erunt rur ſus quinque anguli mn, nDo, oDp. pDq, q Br, quinqʒ angulis æqualibus AET, TES, SER, REV, QE P, æquales; ideoque& inter ſe æquales erunt:Quinque er go arcus mn, no, op, pq, qr, æquales inter ſe erunt. Et quia ducta ſemidiametro tp, dangulus mtp, in centro duplus eſt anguli mDp, in circumferentia: Eſt autem angulus mDp, æqualis angulo AER, quòd eorum tertiæ partes ſint æquales oſtenſi. Igitur angulus mtp, duplus quoque erit anguli A E R. e Cum ergo angulus A E H, duplus quoque ſit eiuſdem anguli AER, quod& arcus AH, duplus ſit arcus AR; æq uales erunt anguli mtp, AE H; ideoque arcus mp, AH, ſimiles, ex ſcholio propoſ. 22. lib. 3. Euclid. Cum ergo A, ſit quadrans, erit& mp, quadrans, ac proinde& pD, reliquus ex ſemicirculo quadrãs erit. Eſt autem arcus op, tertia pars quadrantis mp, quod tres arcus mn, no, op. oſtenſi ſint æquales. Igitur& arcus pq. ꝗr, qui illis æquales ſunt, tertiæ partes erunt quadrantis pD, ac proinde& reliquus rD, tertia pars erit eiuſdem quadrantis pD;ʒ atque idcirco omnes ſex arcus quadrantis mp, æquales inter ſe erunt. quod eſt propoſitum: N VER VM poſtquam probatum eſt, quinque arcus mu, no, op,. pq, qr, æquales ele oſtendemus etiam r, illis eſſe æqualem, hoc modo. Sit Da, communis ſectio Horizontis& paralleli mp, quæ ex defin. lib. 2. Theod. vtrumque circu lum tanget, feritque ipſi EH, parallela, s ac proinde angulus Dr, angulo HEP ideoque& reliquis ad punctum P valis rit. h Eſt aut ge 8 is angulo i 10 8 eee e e angulus Dreæquar. lüften 1. 8 Igitur idem angulus arcui e omnes en 80 70 VV„ EAD EM ratione de monſtrabim 15 ſd fit 0 opbpolitum ſemiei nſtrabimus eoſdem poſitionum eirculos productos irculum tangentem Buf, ſecare in ſex partes æquales. a 20. vndec. b io. vndec. c 2. tertij. d 20. tertij. e 33. ſexti. f. vndec. go. vndec. h 32. tert. 126. tertij. A2 0.1. Theo. bz o. 1. Theo. cso. 2. Theo. 120 LI l L RBM M A NN III. IN ſphæra obliqua boreali circuli per horas inæqui les Aequatoris,& cuiuſuis paralleli tranſcuntes, ſecant Meridianum ex parte auſtrali infra Horizontem, inte eundem Horizontem,& polum auſtralemʒex parte vero boreali ſupra Horizontem, inter eundem Horizontem, & polum Septentrionalem. 1 N Phæra obliqua boreali, cuius centrum E; Meridianus ABCD; axis mundi FO Horizon BHD, Aequator ACzʒ parallelus ſiue auſtralis ſiue borealis SKT; arcus ſemidiurni AH, SK. PDucatur per aliquam horam Requatoris inæqualem L,& reſpondentem horam inæqualem paralleli M, circulus maxi. mus LM. Dico eum ſecare Meridianum ex parte auſtrali inter B,& polum auſtralem G, infra Horizontem, nimirum in O zex parte vero boreali inter D.& polum borealem E, ſupra Horizontem, nimirum in P. b Hucatur enim per idem punctum L, Acquatoris circulus poſitionis BL D, ſecans parallelum in N,& maximus circulus per polos mundi E L G, ſecam parallelum in Q. Quoniam igitur per lemma præcedens, arci SN, in auſtrali parallelo mirot eſt reſpectu arcus ſemidiurni IN quam arcus A reſpectu arc ſemidiurni AH, hoc eſt, quam arcus SM, reſpectu arcus ſemi· qiuroi eiuſlem SK zin boreali autem parallelo maior ʒ cadet pus: ctum M, in p trau: fra N, in bote ero ſupra. 2 a1 0 Rur ſus quoniam a We de ſimiles ſunt, con horæ æquale AL: Continentur a horæ inæquales in SN. quot in AL, ſuntque horæ inæqua! li minores horis æqualibus,& in boreali maiores. Igitur ip pat ctum horæ inæqualis M, cadet ſupra punctum horæ æqua lis Q in Pore infra. Oſtenſum autem eſt idem punctum M, cadere infra N. in parall 5 Ii.& in boreali ſupra. Igitur cireulus LM, maximus horæ inæqualis, cum inte puucta N, Q, cadat, ſecabit Meridianum inter circulos BLD, EL Gzac ex parte auſtrali eundem ſecabit infra Horizontem in puncto O, inte E81 zontem& polum auſtralem G; ex parte autem boreali ſupra Horizonte puncto P, inter Horizontem& polum borealem F. Eaden ratio eſt de ai circulis horatum inæqualium. 5 im ciredIN ſpheæra obliqua auſtrali contrarium intelligas. Ibi enim lus cu: a int ter 170 m, E M N XXXIX. 121 lus cuiuſcunque horæ inæqualis ſecabit Meridianum infra Horizontem ex parte boreali, ſupra vero ex parte auſtrali, ſemper tamen inter Horizontem & polum mundi. V. CIRCVILI maximi tranſeuntes per horas inæquales Aequatoris,& duorum parallelorum oppoſitorum, non neceſſar io per horas inæquales parallelorum intermediorum tranſeunt in ſphæra obliqua. REP ET AT VR figura antecedentis lemmatis. Et quoniam circulus ma ximus LM, tranſiens per inæqualem horam eandem Aequatoris& paralleli SKT, ſecat Meridianum ex parte auſtrali B, infra Horizontem, vt in lemma te antecedente demonſtratum eſt; ſecabit idem Horizontem ex eadem parte, in quaq acus ſemidiurni vergunt, in puncto R, ante punctum B. Deſcribatur ergo parallelus auſtralis VIX, cuius arcus ſemidiurnus VI ſecet Horizontem inter B.& R,& ei æqualis oppoſitus deſcribatur VZ. Sumatur autem in arcu ſemi diurno Vi, arcus Va, tot horarum inæqualium, quot in arcubus AL, SM, continentur. Quia vero circulus maximus per puncta a, L, deſcriptus tranſit per eandem horam inæqualem in paralle lo oppoſito boreali YZ, vt in ſcholio propoſ. 10. lib. 1. Gnomon ices de monſtrauimus, non tranſibit idem circulus per eandem horam inæ qualem M, in parallelo intermedio ST, quandoquidem maximus circulus per I., M, ductus non tranſit per a, ſed Horizontem ſecat in R, nulloque modo parallelum VX, ſupra Horizontem ſecatz ac proinde à circulo per 2,& L, ducto diuerſus eſt. QYO D ͤſ deſcribantur circuli maximi per omnes ſex horas arcus ſemidiurni Aequatoris& paralleli ST, ſecabunt ijdem omnes Meridianum ex parte auſtrali B, infra Horizontem, ac proinde Horizontem citra punctum B. Si igitur parallelus auſtralis deſeribatur, cuius arcum ſemidiurnum nullus eorum cir culorum maximorum ſecet,& per ſex horas inæquales huius arcus ſemidiurni, & Hequatoris, deſeribantur maximi circuli, tranſibunt quidem ij, ex ſcholio Propoſ. 10. lib. 1. Cnomonices, per ſex horas in æquales paralleli borealis opPoſiti, ſed nullo modo intermedium parallelum S T. in horis inæquali bus interſecabunt, quippe qui differant à circulis maxim is, quos per horas inæquales Aequatoris,& paralleli ST., duci diximus, cum hi parallelum auſtralem non ſecent ſupra Horizontem ex conſtructione. 3 IDE M liquido conſtat in eleuatione poli grad. 66. I vbi tropici Horirontem tangunt,& tropicus Q; totus eſt ſupra Horizontem,& tropius; intra. Quoniam enim, vt in lemmate 37. demonſtrauimus, circuli poſitionũ tranſeunt in ea ſphæra Per horas inęquales A equatoris,& parallelorum tangẽtium, Idemque circuli poſitionum, ex eodem lemmate diuidũt aliorum paralſelorum cantium intermediorum arcus ſemidiurnos inæqualiter, perſpicuum eſt, ea in ſphæra circulos maximos tr ſeuntes per horas inæqua les Aequatoris,& vtriuſque tropici,(in vno quidem per horas diurnc,& in a]teto per nocturnas) non trauſie per loras inæquales aliorum parallelorum intermediorum; quippe cum horæ Non dati ci-cu los maxim, qu per hot as inxqua Les om rallelorum tran ſcaat. Linex horaru m inzqualium i hotologiis quid reſeraut. 122 PIR hore inæquales diuidant arcus ſemidiurnos in partes c. olunt eirculi poſitionum i parallelis intermedlijs, vt dictum eſt. RVRSVS in eadem ſphætræ obliquitate, ſi per horas inæqu ales Kequatoris.& alicuius paralleli inter Aequatorem,& tropicum S, poſiti deſcribantut circuli maximi, cadent omtes hi, ex lemmate 37. infta Horixontem, antequam Meridianum ſecent. Si igitur parallelus auſtralis inter tropicum,&&. torem deſcribatur, qui Horizontem ſecet citra omnia illa puncta, per quæ circulb illi maximi incedunt,& eius arcus ſemidiurnus in ſex partes æquales diuidatur, tranſibuat maxi mi circuli per eas partes& horas mæquales Aequatoris ductis per horas quoque inxquales oppoſiti paralleli borealis. Certum autem eſt. eoſdem npn tranſire per horas inæquales aſſumpti paralleli intermedij, cum circuli maximi per horas inæquales Aeguatoris,& aſſumpti paralleli deſeripti, ab illis omnino differant, quippe qui arcun. ſemidiurnum illius paralleli auſtralis non ſecare poſiti ſint. 1 ua les, quod non fee. dari circulos pERSPICVY VM ei er omnibiis Heis, in ſphæra obliqua no: maximos, qui ber horas inaquales omnium parallelorum tra nſz ant, hoc ec, qui ſingulorum arcus diurnos in duoclenas p artes aquales partiantur: quod tamem emnes qui de horologiori deſtribtione egerumt, pro certo accipiunt. Diuidunt enim omnes ſeriptores arcum diurnum; vel in I 2. partes aquales; aut certe inueniunt in vtroque tropico puncta horaruminequalium, per qua puncta, c per horas in æquinoctiali linea recbas ducuunt pro lineis horarum ine qunliums, perinde ac ſi huiulſinodi linea horas inequales indicarent toto anni tempore, inſtar communium ſectionum plani Horologis,& circulorum maximorum per horas inaquales omnium parallelorum tranſeuntium. Et ceree, vt verum fatear, res hac, cum eius demonſtrationem nom inuenirems non Pal gas annos acriter me torſit. rogauiſqus per literas complures Mat hematicos tam in I. lia; quam ertraItaliam, vt me docerens, quanam ratione demonſtrari poſſer, eoſclem circulos mau imos, qui per horas in aqtales Aequatoris, c vtriuſque tropici ducuntur, (¶ Hoc namque ſtieri poſſe, de monſtratum A nobis ei in ſcholio propoſ. Io. lib. 1. Gnomonices) per horas inaquales allorum parallelorum inter tropicos existentium tranſire. ſell nunquam id, quod deſiderabam, impetrare potui, qua mitis ex illis non deſtterit, qui illud ſe demonſtraturum mihi pollicetur: Verum neceſſe eſt, eum hallucinatum eſſe, quandiquidem A nobis, cum denuo eius rei damonſtrationem inquireremuis, Hoc loco demonttiratum elb, id feri nulla ratione poſſe. ITA E linea horarum inaqualium in Horologijs, qualia etiam in Gnomon ica noctra deſcripſimus, ſunt tantummode communes ſoctiones plani horologiß,,& ma. vi orum circulorum, qui per horas inæquales Aequatoris,& vtriuſque tropici; vel certe Aequatoris 5& paxalleli, cuius arcus diurnus 1 F. Horas æquales, vel C. continet. Alqus ita ſi geometrice velimus loqul, non indicabunt vere horas in equales, niſi cum Fol etiterit in Aequatore, vol im illis parallelis eætremis, quorum beneficto deſtripta ſunt. Verum ef, in ea ſphera, in qua poli altitude gradus As. non excedit, ta exiguu eſſe diſeri men inter veras horas ina qu ales. eas, quas dlictalineæ inditant inira laritudinem trapicorum, ut ea linea pro veris æſſumi poſtint ſine errors, qui ſub ſenſam cadere boſsit.· At vbi al titudo pali maior eit, quam grad. 4. non item quia ibi maus diſtrimen abparer,& quo maior ſuerit altitudo poli, eo maior Aiſferentia exiſtes Ater veras horas inaquales,& illas lincas: quemadmodum etiam eo uinor diueiſiras inter eaſclem erit, quò minor altitudo oli fuerit. Qu omnia ex ijs qua demonſtra 44 e o e ro S ooo L EMMA XXXIX. ET XXXX. 1323 trata hoc loco à nobis ſunt, colligi poſſunt. Quatropter vr verius hora ina quales in. Aicentur in horologiſs, inuenienda erunt earum puncta inpluribus parallelis inber Alsos tropicos, ea arte, qua eadem in tropico vrroquè inueſtigaui mus, eaꝗ: deinde puncta, 4ũ in linea recta non iacent; congruenter lineolis infleuis coniungenda, r in Aber Bolis,& alis ſectionibus conicis deſcribendis fieri ſolet. FN 8 in triangulo parall ela vni lateri Agatur, vel ſi productis duobus lateribus verſus angulum ab eis comprehenſum; tertio lateri ducatur parallela, vt duo fiant trian gula: Circuli circum ea deſcripti ſe mutuo in angulo, vel puncto communi tangunt. 81 T primum in triangulo ABC, recta DE, lateri BC, parallela, deſeribanturque circa triangula ABC, ADE, circuli AB C, ADE. quos dico mutuo ſe tangere in A, angulo cõmuni. Buctis enim ex centris E,&, ad baſes triãgulorum binis rectis FD, quoniã tam quàm BGC. anguli BAC, duplus eſt; erunt ipſi inter; ſe æqua les Er 30& reliqui duo F D E, FED, reliquis duobus GBC, GCB, æqua les eruntzac propterea, cum tam illi, quam hi inter ſe æquales ſint; erit quilibet illorum cuilibet Horum æqualis, ad pr Kinde angtlus EDE, angulo GBC, æqualis erit. e Eſt autẽ& totus angulus ADE, toti angulo ABC, externus interno, æqualis. Igitur& reliquus ADE, reliquo ABG, æqualis exit. 4 eſt autem Juctis rectis EA, GA,) angulo ADF, angulus DAE,& angulo ABG, angulus BAG, in Iſoſcelibus ADF, ABG, æqualis Agitür& anguli DAF BA, inter ſe æquales eruntzac propterea recta AE, eadem erit, qua Ag cũ eundem angulum faciant cum AB. Quare circuli habentes centra in eadem reëta AG,& per idem punctum A, deſeripti, ſeſe contingent in A, ex ſcholio propoſ. 1g. lib. 3. Euclid. g 9 15 Praductis lateribus 13 A l verſus angulum A, ſit recta DE, le e N ela,& circa triangula ABC, ADE, circuli deſcribantur, quos dico U F ex centris F, G, ad baſes triangulorum binis BCD, GE, e quoniam rurſum tam angulus BFC, apguli BAC, quam angulus DEE, 9 . 9 5 . angul 1„ 3 9 0 N 3 gulus DGE, anguliD AE, duplus eſtʒ ſuntque anguli BAC, OA E, ad verticem 1 5 W 1 95 zecunt quoque anguli BFC, DGE, inter ſe æquales;ac proinde& reliqui 2 duo quales a2. terti. b g. primi. c 2. primi. d g. primi. e 20. tertij. 0 Frimi. 4 F. primi. b 29. primi. c 29. primi. d 5. primi. 124 BR I duo EBC, FCB, ſimul reliquis duobus G DE, GED, ſimul æqua les erunt.: Cum ergo tam illi, quàm hi ſint inter ſe æquales; erit quilibet 1lorum cuilibet horum æqualis, ac proinde angulus EBC, angulo GOE, æqualis erit.“ Eſt autem (ductis rectis FA, GA,& angulus ABC, angulo ADE, alternus alterno, æqualis Igitur& retiquus ABE, reliquo ADG, in 1. 2.& 5. figura, vel totus totl, in 4. ſigura, æqualis erit. In 3. figura opus non eſt hoc diſcurſu, vbi rectæ FB, FC; GD, GE, angulos non conſtituunt; ſed in rectum ſunt continuatæ: anguli tamen ABE, ADG, æquales quoque erunt, cum ſint alterni inter parallelas BC, DE. Itaque cum anguli ABF, ADG, æquales ſint; 4& ille angulo BAE, hic vero angulo DAG, æqualis, erunt quoq; anguli; AF, DAG, inter ſe æquales, ac propterea cum BD, ſit linea recta ex hypotheſi, efficient quoqʒ AP, AG, lineã vnam rectam, per ea, quæ ex Proclo ad propoſ 15. lib. 1. Eucl. demonſtrauimus. Igitur circuli habentes centra in eadem recta EG,& per idem punctum A, deſeripti, ſeſe in A, cõtingent, propterea ꝙ recta per A, ducta ad EG, perpendicularis vtrumq; circulum tangit, ex coroll. propoſ. 16. lib 3. Eucl. Hinc enim fit, circulos ſe non mutuo ſecare, cum neque illam perpendicularem ſecent, ſed tangant. %%% E X his, quæ ad calcem hulus propoſ. demonftrata ſunt, colligitun, duo circulos, qui ex duobus centris in eadem recta exiſtentibus per idem puncłum deſcribuntur, ſe mutuo in eo puntto tangere exterius. Huiuſmodi ſunt duo circuli ABC ADE. EF XLI. PE R data duo puncta circulum deſcribere, qui da. tum circulum tangat. oportet autem duo puncta data ve ęxtia — „„„reer FN 125 extra circulum datum exiſtere, vel intra; aut ſi vnum eſt in circumferentia, alterum eſſe in tali ſitu extra, vel intra circulum; vt recta per vtrumque punctum extenſa tranſeat per circuli centrum. sl datus eirculus ABC,& primum extra eum data duo puncta D, E, per quę circulum oporteat deſcribere, qui circulum ABC, tangat. Iuncta recta DE, tran ſeat primum per E, centrum dati circuli, ſeceturqʒ bifariam in G, puncto,& quo petpendicularis excitetur HCI, ad DE, in qua omnino exit circuli deſcribendi centrum, ex coroll. propoſ. 1. lib. 3. Euclid. quod ſic reperiemus. Deſeripto ex G, ſemicirculo KE, ſecet eum in EK, recta FK, ex centro Fad DE, ducta perpendicularis, ductaqzex Kad alterutrũ extremorum diametri ACʒ vt ad A, recta KA. fiat angulo KAC, æqualis angulus AKL, ſecetq, KL, rectam DE, in puncto L, eritq; neceſſario EL, maior quàm FG, inter centrum,& punctum medium intercepta. Nam jũcta recta GR, cũ æqualis ſit ipſi GD, maior eſt. quam GA. Igitur in triàgulo AKG, angulus GAE, maior eſt angulo AK Gzac proinde& angulus 21. primi AKL, qui ipſi KAL, factus eſt qualis, ma lor eſt angulo AKG; ideoq; recta XL, vltra G, cadet inter G,& E, hoc eſt, EL, maior erit quã FG. Deſcripto ergo ex F, per L, arcu circuli ſecãte perpendicularẽ HI, in H,& Izerit I, cẽtrum circuli per D, E, trãſeuntis.& circulum ABC, tangentis ſupra rectam PE, at A erit centrum circuli tangentis cũdem iufra rectam DE. Ducta enim per F. I. recta BFI M, deſcribatur ex I, ad interuallum IB. circulus, qui ex ſcholio propoſ. 15. ib. 3. Euclid. circulum ABC, in B. tanget. Dico eundem per data puncta D, E, trã fre. Iunctis enim rectis ID, IE, quo niam EIL, EL, æquales ſunt; additis 5 æqualibus FB, PA, totæ æquales erunt IB. LA; deoque cn LN, ph LA, æqua is ſit. ob æqueles angulos LAK, LX Aʒerunt quoqʒrectæ LK, IB. æqua les, atque earum quadrata æqualia c Eſt autem quadratum rectæ LK, quadratis rectarum e 47. primi. FR, FL, æquale,& quadratum rectę IB, æquale rectangulo ſub BF. FM, vnà cũ d 5 ſecundi. Muadlrato tectæ EI, vel EL. Igitur& duo quadtata rectarũ FK, FL, æqualia ſunt rectangulo ſub BE. EM, vnà cum quadrato rectæ EL zablatoq; communi quadra 2 r reliquum Juadratum rectæx EK. teliquo rectangulo ſub BFE, EM, cd. Igieur& a ngul e ee e 5. um ſub BF, FM. rectangulo ſub DE, EE. æquale erit. Cũ er um ſub BE, EM vnd cum quadrato rectæ EI hoc eſt/ cum quadrauc 8 G. GI,(s cum hæc flli ſint a qua lia) æquale ſit quadrato rectæ IB; Leut quoque rectangulum ſub DF, FE, vna cum quadratis rectarum FG, GI, quab 6. primi. ff. ſecundi. g f. primi. a. ſecundi. by. primi. o f. Frimi. 4. primi. 26. primi. 126 FEB. quadrato rectæ IB, quale. Atqui rectangulum ſub DE, FE, vnaà cum quadrato rectæ FG, æquale eſt quadrato rectæ PG. Igitur& quadratum rectæ DG.(quod iam pr o rectapgulo ſub DE, FE, vnd cum quadrato rectæ EG, ſumatur,) vnd cũ quadra to rectæ Gl, hoc eſt, quadratum rectæ ID,(quod quadratis rectarum DG, GI, æqua le eſt,)quadrato rectæ IB, æquale eritzac proinde& rectæ ID, IB, æquales erunt. Cum ergo ID, IE, æquales quoque ſint; quod duo latera DG, Gl, duobus lateribus EG, GI, æqualia ſint, an guloſque contineant rectos æqua lesʒerunt tres iectæ IB, ID, IE, æqualcs. Quatre ciculus ex I, per B, deſcriptus, tangenſque circulum ABC, in B, vt dictum cſt, tranſibit per data puncta D, E, quod eſt propoſitum. Q OD ex E, adalterum extremũ C, diametri circuii dati recta ducatur RC. apguloque DC K, æqualis fat angulus CK O, ſecante recta KO, rectam DE, in Ozerit FO, ipii FL, æqualis, vt monſtrabitur, atque idcirco, deſcripto ex F, per O, circulo, ſecabitur HI, in codem centto I, atque idem propterea centrum ſeinper inuenietur, ſiue cx Kad A, ſiue ad C, recta ducatur,&c. Rectam au tem PO, ipſi IL, æqualem c ſle, ſi demonſtrabitur. Quoniam duo latera AF, EK, duobus lateribus CE, FR, æqualia ſunt. añguloſque continent æquales,& rectosʒ a erunt& baſes KA, KC,& tam an guli EAK, FCK, quam PKA, FK C, æquales. Eſt autem angulo EAK, angulus Ak L,& angulo FCK, angulus CK O, per conſttuctionem; æqualis, Igitur& anguli AK I., CEO, æquales erunt z ac demptis equalibus FK A, EK C, reliqui FRI, IKO. quales erũt. Itaq; cum duo anguli F, K. trianguli FEKL,duobus angulis F. K, tcianguli FRO, æquaes ſint, quibus cõmuse latus 1K, adiacet; erunt latèera FI., EO, æua lia. quod eſt propoſitum. EOD EM modo demonſtrabimus, circulum ex II. deſeriptum ad interuallum rectæ ductę HN, tan gere circulum datum ABC, in N, tranſireque per data puncta P. E. 5 5 J quand contingat centrum circuli dati,& punctum medium rectæ data duo puncta coniungentis, coincidere, vt i G, oſſet cẽ trum dati circuli DPEQ. a cillimo negotio deſcribemus circulum per quo puncta D, E, qui datum circulum contingat. Circulus enim per tria puncta D, P, E,(excitata prius ad DE, perpendiculati PO.) geſeriptus tanget circulum DPEQ, in P, cundemqz tan get circulus per tria puncta D, Q, E, deſcriptus: atque vtriuſque centrum in per pendiculari PQ, exiſtet, ex coroll. propoſ. I. lib. 3. Euc lid. 373 TRANS EAT deinde recta PE, non per E, centrum circuli dati ABC. ſed veleum ſecet vteunque, vt in prima ſigura, vel tangat, vt in 2. vel tota l tra, ita vt producta cum neque ſecet, neque tangat, vt in 3. 4& J. figura, Lela nique ita ſit extra, vt producta eum ſecet, aut tangat, vt in 6.& y. figura. au recta DE, ſectaquc bifariam in G, deſcribatur ex G, circa DE, circulus ſecans qa tum circulum in B, iungaturq; recta DB, quæ ex ſcholio propoſ 3 ih Euch, datum dat DE D, gu! gu! ita ctu hoc Eu Di In 8 niã ſub eri Ju me D!. au M A Inuenta auten 1 147* la Hgura extra eirculum datum Qu niam enim quad 5 4 N a— 1 H, equalè eſt; nec non& rectangulo ſub D, DH, rectangulo ſub DP, DO, ęquale. Igitur eri 8 um ergo D, maior ſit quam D, J tum 1. inter D.& O, exit. Pari ratione in ontactus K, exiſtet. Cum epii N punctum 0 (eſt namque D 3. vel DK, ad OH, ſit autem DE, r quàm DH. In tertia aũt lig quↄque 270 2 pucta: . Denigq; in In 4. idem, quod E ac proinde DB, DEE N f N 5 5 3 6.& 7. r idẽ puntũ H, eltra circulũ exiſtet: quod in 6 ita probatur e. Quo d 17. ſexti. niã quadrat rectæ PB, æauale eſt tã tectangulo ſub DE DH, qua rectangulo e 30. tertj. ſub DO, DP DIR ac proinde f ſexti. eee. . 0 erit vt DEd DOita DP, ad PH. Cũefgo PE, minor ponatur quàm DOzerit quoque DP. minor quàm DPH, ideoque H, vltra P, erit. In 3. autem hæc erit demonſtratio. Quoniam eſt vt DE,ad D, hoc eſt, ad DA,(Eſt vamque DA, ipſi DB, æqualis, ex coroll. z. propoſ: 36. lib 3 Euclid.) ita DB, vel DA, ad DH; Eſt autem DE, minor quàm DAzerit quoque DA, minor quàm DH. D EIN D E juncta recta HE, eaque ſecta bifariam in I, deſcribatur ex Icir2 F! Leirculus ſecans datum circulum in A, K, punctis, pet quæ ſi ex D, puncto dato, à quo tangens linea DB, ducta eſt, rectę ducantur PA, PK, ſecantes circũterenckam dati circuli in L. Mztãget circulus per tria puncta D, EL, deſeriptus datum circulum in L, vt in prima figura, in qua circulus DL, deſcriptus eſt, apa per tria puncta D, E Medefcriptuseundem continget in Mot — 8 n 9 50 BE Grculi rectam EL, vel FEM, per F. ecken 986 cel 50f 8 1 Na 5 terſecat. Nam er e 1 50 f 0 7 N 5 A 5 71 52* per coroll. propoſ. 1. lib. 3. Euclid perpendiculatis ba, trauſit per 2 128 En. centrum cuiuſuis eirculi per D. E, deſeripti,& in PL, neceſſario centrum cireuli tangentis circulũ datum ABC, in L, exiſtit, cum recta per duo centra circulo J. rum tangentiũ emiſſa cadat in contactum, Si na mque centrum circuli tãgentis 4 1. vel 12 rereij. circulũ ABC, in L, nõ dicaturexiſtere in recta EL, fecabit recta ex centrò illius 5 ducta per F, cẽtrum dati cireuli rectam EL, in F. Quare producta cadere nõ pote 55 rit in contactum E. quod eſt abſurdum. Si ergo circulus per tria puncta D, E.., deſcriptus tangere debet datum cireulum in 5 infra demonſtrabitur, exiſtet 95 eius centrum in recta FL. Eademqʒ ratione centrum circuli per tria puncta D, E. M, deſeripti, tangentiſq; datum circulum in M, vt in eadem prima figura ap- 4 paret, exiſtit in a, communi ſectione perpendicularis ba,& rectæ MF. Contacus porro in L. eſt interior, at in M, exterior. exceptis figuris 1.& 6. In prima i enim contactus in M, interior quoque eſt,& in 6. contactus in L. exterior. In 4 ſecunda figura autem nus tantum fit contactus, iſque interior in L: Similiterq in. ſigura vnus duntaxat contactus fit, iſq; exterior in M. Non deſcripſimus ta men omnes circulos tangentes, vt confuſio vitaretur, arbittantes,ſatis eſſe 8 5 5 N 1 exemplum in 1. figura de circulis intus ſeſe tangentibus in L.& alterum exem- 1 plum in g. figura de circulo tangente exterius. 1 C AET ER VM circulum per tria puncta D. E, L, deſeriptum tangere da- 1 b 17. ſexti. tui circulũ in L, ſic demonſtrabimus. Quoniam quadratum rectæ DB. o tam rec 36. tertj. Cangulo ſub PE, DH, e quàm rectangulo ſub DL, DA, æquale eſtzerũt hæc duo rectàgula inter ſe æqualia. Igitur ex ſcholio propoi. 36. lib. 3. Euclid. pet qua · tuor puncta A, L, E, H, circulus deſeribi poteritzac proinde, ducta recta LE. ſecã te circumfetrentiam in&(quod enim cireulum neceſſario ſecet, ad fin in ſchod 22. terti. lio demõſtrabimus) iunctaqʒ tecta AC, duo anguli oppoſiti ALE, AE, in qua S La. prami. drilatero ALEH, duobus rectis æqua les erũt in pr ioribus ttibus figuris: e Sunt N autem& duo anguli AHD. AH E, duobus rectis æquales. Igitur duo illi hiſce duobus æquales erunt, ablatoque communi A HE, reliqui ALE, AD, quaf. tert. les erunt. Eſt autẽ& angulus HAC angulo AL E, in alterno ſegmento quag lis; Nam rectæ HA. HK. circulum ABC, tangunt in A., K, ex ſcholio propoſ. 31. lib. 3. Eucl. Igitur idem angulus HAC, angulo AHD, alterno æqualis exit; ideoque EN M nN 129 ſdeoque parallelæ erunt AC. DE, Cum etgo circulus datus circa trianguſum a yprimsi. LAC deſcriptus ſit, tanget circulus circa triangulum LDE, deſcriptus dat cir culum in L, ex præcedenti lemmate. Atquæ hæc de monſtratio conuenit in prio res tres figuras. In quatta figuta hæc exit de monſtratio. Quoniam quadra tum b 3 C. tert. rectæ DB, ac proinde& quadratum rectæ DE, ipſi Db. aqua lis, æquale eſt rectãulo ſub DL, DA, ſi circa triangulum LAE, circulus deſcribatur tanget eum 7. tert. recta DE. in E, quandoquidem eundem recta DL, ſecat. Igitur angulus DEA, d 3. tertij. angulo ALE, in alteruo ſegmento æqualis erit. Cum ergo& angulus EAC, ei-( 5. tertij. dem angulo AL, in alterno ſegmento circuli dati ſit æqualis, a quales erunr alterni apguli DEA, EAC; atque idcirco DE, AC, parallelæ erunt. Quare vt fa. primi. prius, ex lemmate autec edente, circulus circa triangulum LDE, deſcriptus, circu lum AhC, datum,& eirca triangulum LAC de ſcriptum, tanget in L. In quinta ſgura demonſtratio ſic inſtituetur. Moniam quadratum rectæ DB, ʒ tam rectã- 1. ſirti. gulo ſub DE, DH, quam rectangulo ſub DA, DL, æquale eſt. erunt duo hæc fg. rertij. rectaugula inter ſe æqualia. Igitur ex ſcholio propoſ. 30. lib. 3. Euc lid. per qua · 5 tuor puncta A, L, H. E, circulus deſcribi poterit, in quo anguli L, H, ig eodem 12. tert. ſegmẽto, cuius chorda AE, æquales erunt:! Sed eſt& angulus H AC, angulo L, 8 k 32. tertij. in alterno ſegmento dati circuli æqualis. Igitur alterni anguli HAC, AHD, e equales erunt, ideoqʒ parallelæ erũt DE, AC,& e. In ſexta denique ſigura hoc l. primi. modo ĩqem concludemus. Quoniam quadratum rectæ PB, a tam rectãgulo ſub mi. ſexti. Df, DH, a quà m rectangulo ſub DL. DA, xquale eſt, erunt duo hæc rectangula n.36. ferti. æqualla inter ſe, ac proinde circa quatuor puncta E. H, A, L, per ſcholium pro- of 2. reti. o. 36. lib. z. Euc lid. eirculus poterit deſeribi. o Igitur duo anguli oppoſiti p13. frimi. AL, H EL, in quadrilatero EH AL, duobus rectis æquales ert. Cũ ergo& duo anguli HL, DEL, duobus ſint rectis cquales, erũt his duobus duo illi æqua les, ablatoque communi HEIL, reliqui HAL, DEL, æquales erunt: 9 Eſt au-. Fr e ACL, in alterno ſegmẽto dati circuli æqualis. Igi- q 32. rerti. dangulus DEL, eidem angulo ACL, alterno æqualis erit, atque idcirco 8 DE, AC, parallele erunt,&c. 1 e a 7 1 55 r 2%. frimi. R EOD EM 2 17. ſexti. b 36. teriſ. e 22 rertij. 5 7 d 19. prim. e 2. tertij. fe. primi. 4 g 27. rer tij. h% terth. J 2. primi. k 35. cereqj. 157 terlij. m 72. terti. n. 52. tertij. 7 o 22. tertij. PI. primi. 932. tertij. r 27. primi. 130 n EOD E M fere modo oſtendemus. circulũ per tria puncta D, E, V, deſcriptũ datum circulum tangete in M. In prima enim ngura, quoniam quadratum rectæ DB, tam rectangulo ſub DE. DH, quam rectangulo ſub DK, DM. æquale eſt, erunt hæe duo rectangula inter ſe æqualiaʒ ideoqʒ circa quatuor puncta 12 E, M. K, circulus poterit deſcribi. Igitur in quadrilatero HEMK ducta recta ME. ſeeapte circumferentiam in N,(quod enim neceſſario circulum ſecet. ad fi nẽ in ſcholio demonſtrabimus)iunctaqʒ tecta KN, duo anguli oppoſiti EMK. EIK, duabus rectis æquales erunt: ¶Sunt autem& duo EK. DHK, dugbus rectis æquales. Igitur hi duo duobus illis æquales erunt, demptoque communi EHK, reliqui EMK, OH, æquales erunt; Sed& angulus H&K N, eidem angulo EMA K, æqualis eſt in alterno ſegmento circuli dati Igitur alterni anguli DHK. HEN, æquales erunt z. ideoque rectę DE, KN, parallele. Circulus ergo per D. E, V deſcriptus datum circulum per K. N. M, deſeriptum tanget in M, ex præcedenti lemmate. In tertia autem figura.( Nam in ſecunda, ſicuti& in ſeptima, vnicus fit contactus in L cum recta DE, circulum datum tangatyita pro poſitum oſtendemus, Quoniam per quatuot puncta, K, E, M eirculus dętfctibi poteſt, quod probabitur, vt in prima figura; erunt in eden ſegmento cuius chorda recta MH, anguli MKEH.MklLaguales: Eſt auté angulus HRM, angulo K NE, in altero ſegmento æqualis Igitur angulialterni MEH. X NE, æquales erunt, ideoque recte PE, KN, parallelæ. Circuli igitut triangulis KMN, PME. circumſcripti ſe mutuo in M. contingent, ex lemmate præcedente. In quarta figura ſic. Quoniam quadratum rectæ DB, hoc eſt.rectæ DE, rectangulo ſub BK. DM, æquale eſt, ſi triangulo K Mk, circulus circumſcribatur, tanget eum recta DE; A ideoque angulus DEM, angulo EKM, in alterno ſegmento eiuſdem illius eirculi æqualis crit. Cum ergo augulus EKM, angule K NA. in alterno ſegmento dati eixculi ſit æqualis; exunt alte rni anguli DEM, KNM, æquales, ides que rectæ DE, KN patalſeleæ,&c. In 5.& 6. denique figuris hoc modo. Quoniam per quatuor puncta M, K. H. E, circulus deſeribi poteſt, vt in prima figura monſtratum eſt; erunt in quadrilatero MKH E, duo oppoſiti anguli K, E, duobus rectis æquales: Sunt autem& duo anguli DEM, MEH. duobus rectis æquales. Igitur illi duo his duobus æquales erunt, demptoque communi MEH, reliqui DEM, HKM, xquales erunt. At HK M, angulus angulo K N NI, in alterno ſegmento dati circuli æqualis eſt. Igitur anguli altern: DEM, KNM, æquales erunt,, ideoque rectæ DE, KN, parallelæ,&c. A M vero data ſint duo puncta D, E, intra citculum, per quæ traiiciaa tur recta quantacũque DE, ſiue ea per cẽtrum da ti circuli tranſeat, ſiue non. Tribus reDG, DH. inuents ſit quarta proportionalis DI. Et quoniam eſt, yt DE, ad—. 25 5 40 5 8 8 8&. 2 0 r ee LIE MAMA A XII. 131 PH, ad Dl ʒ eſtque DE, minor quàm DG, erit quoque DH, minor quam Dl, ac promde punctum I, extra circulum exiſtet. Ducta ex I, ad centrum F, recta IF, quando DE, extenſa non tranſit per centrum, eaque diuiſa bifariam in K, deſcribatur ex K, deſcribatur ex K, circa IF, circulus ſecans datum circulum in A,& B, iunganturque rectæ IA. IB, quæ ex ſcholio propoſ. 31. Uib. 2. Euclid. circulum datum tangent in A,& B. Si igitur ex A, per D. tecta ducatur AD, ſecans circumſerentiam in L tanget circulus per trix puncta D, E, L, deſcriptus datum circulum in L. Sicettam recta ducta BD, circumſerentiam ſecabit in M, puncto in quo circulus per tria puncta D, n, M, deſcriptus datum eirculum tanget ia M Eft autem contactus hic ſemper interior, Demonſtratio hæc eſt. Ducta recta LE, ſecante circumſferentiam in C, iungatur testa AC: Item ducta recta ME, ſecante circumſerentiam in N, iungatur recta BN. Quia igitur eſt, vt DE, ad DG, ita DH, ad DI; nerit rectangulum ſub DE, Dl, rectangulo ſub DG, DI, æquale: Sed hoc æquale eſt rectangulo ſub AO, D L. Igitur& illud. Per quatuor ergo punca A„I, L, E, circulus deſeribi poterit, ex ſcholio propoſ. 35. lib. 3. Euolid. c ac proinde anguli IAL, LEI, in eodem ſegmento illius circuli, cuius chorda recta IL, æquales erunt:“ Eſt autem IXL, æqualis angulo ACL, in alterno ſegmento dati circuli. Igltur æquales erunt anguli L EI, A C, externus& internus, e ideoque rectæ DE, AC, parallele erunt. Per lemmu ergo antecedens cireulus triangulo DEL, cc umſcriptus circulum datum triangulo ACL, circumſcriptum tanget in L, vt in priori ligura apparet; eſtque rurſus centrum in a, communi ſectione perpendicula ris ba, retam DE, bifariam ſecantis,& rectæ LF, ex puncto L. per centrum E, dati circuli ductæ. E O D E M modo oſtendemus eirculum per D, E, M deſeriptum tangere datum circulum in M. Erit enim rurſus rectangulum ſub DE, Dl, recrangulo ſub BD, DM, æquale. Igitur per quatuor puncta I, B, E, Nl, circulus deſctibi poterit; ex ſcholio propoſ. 3 5. lib. 3. Euclid. ac proinde anguli IBM, ME!, in eodem ſegmento illius circuli, cuius eborda rectæ IM, æquales erunt. Eſt autem IBM, æqualis angulo BN M, in alterno ſegmeuto dati circuli. Igitur anguli MEI, BNM, externu s& interous, æqua les erunt, ideoque rectæ DE, BN, parallelæ. Per lemma ergo præcedens, circulus triangulo BE M, circumſeriptus circulum datum tanget in M, vt in poſter iori figura vides; vbi etiam centrum eſt in a, communi ſectione perpendicularis ba,& rectæ MF. QO a puncto E, ſolutio problematis initium ſumat, inuenietur idem omnino punctum L, vel M. Nullum enim aliud abſoluere poteſt problema. Nam ſi fieri poteſt, inueniatur aliud punctum d, in poſterior i figura. Recta ergo d E, ſecabit circumferentiam infra punctum c,& recta d D, eandem ſecabit ſupta punctum A; ac proinde recta connectens puncta ſectionum ſecabit rectam AC, ideoque& eius parallelam PE, productam. Non ergo ei parallela erit. quod tamen requiritur ad problema, vt patuit,& liquido conſtat ex prædedente lemmate. Idem abſurdum conſpicietur in aliis figuris. G aliud pune vel M, dicatur inueniri, ſi puncto E, ſolutio problematis. in85. T A QE vt problema propoſitum perficiatur, neceſſe eſt a duobus is punctis duas rectas ducere ad aliquod vnum punctum circumferentiæ cir2 culi C. ſaxti. 5 21 b 35. tertq. 21. tertq;. d 34. tertij. e 2. primi. f 21. tert. h 24. primi. 132 Linn. culi dati, ita vt recta coniungens duo puncta, in quibus duæ illæ rectæ circumferentiam ſecant, parallela ſit rectæ data duo puncta connectenti. Ita enim vides, u. g. à punctis D, E, ad punctum L, duas rectas DL, EL, ductas ſecare circumferentiam in A, C, rectamque AC e rectæ DE, parallelam eſſe, Item ex P, E, per punctum M, ductas duas rectas DM, EM, ſecare circumferentiam in B, N, in poſterioribus duabus figuris proximis, in prioribus autem K, N,& tam rectã BN, quàm RN, rectæ DE, parallelam eſſe. Et quamquam punctum hoc L, vel M, inueſtiganerimus ad finem lib. 6. Euclid. ex Pappo, viſum tamẽ eſt, idem hoc loco docere, præſertim cum praxis hic tradita, quando duo puncta intra cireulum data ſunt, nonnihil diſcrepet ab illa, quam in Euclide præſcripſimus. 2 OS TRE M O ſi vnum punctum datur in circumferentia,& alterum intra, vel extra circulum, ita vt recta per vtrumque extenſa, per centrum circuli tranſeat, perſpicuum eſt, ſi ex puncto medio rectæ duo data puncta connectentis circa illa circulus deſcribatùr, eum tapgere datum circulum in dato puncto. Vt ſitin prima poſteriorum duarum figurarum detur vnum punctum H, i, n cireumferentia dati circuli ABC,& alterum D, intra cireulum, ita vt recta DH, per centrum E, tranſeat, circulus ex medio puncto rectæ DPH, per D, H, deſcriptus tanget datum circulum in H, ex ſcholio propoſ. 13. lib. 3. Euclid. Item ſi detur punctum G, in circumferena tia,& 1, extra circulum, ita vt rurſus recta 10 tranſeat per P, cen trum, circulus ex medio pũcto rectæ GI. per G, I deſcriptus tanget datum cireulum in&, ex eodem ſcholio. Denique ſi punttum H, in circumferentia datum ſit,& I, extra, ita vt recta IH, tranſeat quoque extenſa per centrum E, circulus ex medio puncto rectæ HI, per H, I, deſcriptus tanget datum circulum in H. Nam recta per H, ducta perpendicularis ad IF, vtrumque circulum tanget, ex coroll, propoſ. 16. lib. 3. Euclid. ae proinde iidem circuli in eodem puncto H, communi ſe contingent, quandoquidem neuter alterum interſecat, cum neuter rectam tangentem ſecet. S M OU LIT NM. Ar vero poftquam in prioribus. fguris ex D, per A, ducta eſt linea DA. qua neceſſario datum circulum A BC, ſecat cum HA, eundem tangat in A demonſtrabimus rettam LE, eundem circulum ſacare, hoc eſt, intra circulum ABC, cadere: quod in demonſtratione aſſumebatur, hoc modo. Quoniam ſi problematis ſolutis à puncto E, incipiat, idem prorſus pundtum L, inuenitur, vt ad calcem lemmatis oſten ſum eſt, linea autem recta à puncto aſſumpto, quod ſolutionis initium 3 ue ʒunctum L E M M A XII. 133 pundtum L, offert, datum circulum ſecat, vt proxime de reca DA, diximus; liquide conſtat, rect am L E, eundem circulum ſecare, quandoquidem ab ea non diſfert, qua ex E, duceretur, ſi ab E, operationis initiñ ſteret. Idemq; dicendum eſt de rect a ME, quia ſi ab E, initium fat, reperitur idem punctum a c. Quod tamen alio modo ita demon ſtrabimus. Ex puncto A; ipſi DE, parallela ducatur A, ſecans circumferentiam dai circuli in C. Dico rectam LE, omnino per C tranſire, proindeq; in L, c C, circulum ſecare, hoc et, intra circulum cadere. Nam quia per quatuor puncta A, L, R. N circulus deſeribi poteſt, vt oſtendimus a crunt oppoſiti duo anguli A L E, E H A, a 22. fert). in quadrilatero AL EH, aquales duobus rectis: o Sunt autem& duo EHA, AHD, bg. primi. duobus rectis aquales. Igitur hi duo duobus illis aquales erunt, demptoquè communi E HA, reliqui AL E, AHP, quales erũt: At AH D, alterno angulo HAC, C29. primi. aqualis eſi. Igitur 6 HAC, angulo AL. E, æqualis erit. a Idem autem angulus H, dz. tertij. agualis eit angulo ALC,(ducta recta CL, in alterno ſegmenio. Igitur anguli A LE, Al, aguales ſunt, ideoquè recta LE, per C, tranſit, vr eundem angulum faciat cum AL, quem CL, cum eadem efficit, c. Atque demonſtratid hac propria eit primarum trium ſigurarum. In. autem, quoniam DE, tangit circulum circa tria punct a A. L, E, deſcriptum, vt probatum eit; e erit angulus DEA, æqualis angulo AL E, in 41 rerno ſegmento illius circuli. ¶ Ef autem idem angulus D EA, alterno EAC, æqualis. Igitur erit quoque E AC, angulo ALE, equalis. ę Cum ergo idem angulus EAC, æqualis ſit angulo ALC,(ducta recta C L, in alterno ſegmentos erunt anguli ALE, Al C, aquales. Coincidunt ergo rurſum rect. LE, LC, ce. In quinta vero fi gura, quoniam, vs often ſum eſſ, circa quatuor puntt a A, L, H, E, circulus deſcribi poteſt; w erunt angu- h 22. rerti. 7 AL E, Al E, in eodem ſegmento, cuius chorda AE, ꝛquales: i Eſt autem angulo i 25. primi. An E, æqualis alternus HAC. Igitur angulus HA, angulo quoque A LE, equalis erit. l Cum ergo idem angulus HAC, equalis ſit angulo ALC,(ducta recta CL.) in ka. tertij. ſegmento alterno, æquales erũt anguli A LE, A LCz;alque ideirco recta LE, LC, ſibi mu uo congruent,&c. Deniqʒ in g. fgura,(Nam in. pundium L, non habet.) quaniam, vt monſtratum eſt, per quatuor pundta A, L, E, HN, circulus deſcribi poteſt, i erunt duo oppoſſti anguli HAL, LEH, duobus rectis equales, ideoque duobus LEH, I 22. tertij. LED v ui aquales etiam ſunt duobus rectis, æquales, demptoquè communi L E H, n 57. prim. reliqus e 33. tertij. f 29. Primi. g 32. fertig. a 32. fertqj. b primi. 134 JI N R reliqui H AE, LED, equales erunt. Est autem angulus HAL, angulu AC L, in alrerno ſegęmenrs aqualis. Igitur c angulis l. E D,ũ edem angu ACL, in eo ſigmento egunlis eris. o Cum ergo ang lu LED, aquulis quog; lit alterno angu lo, queim EIL, prouucta rum AC, facit; endet E, prollucta in C, puuctum. Nam ſi caderet inrer A, C, vel ultra C, feret ſemper eirtornus angulus interno equalis in triangulo, uod conttitiiiut à recta CL,&ſagmento recte EL product,& ſegmento recta A C. intercepto inter punct um C,& illu, in quod E L, product a incidere dicitur: quod eſi 1 primi. abſurdum. Bat enim etermus imterno oppoſto mata. Cum ergo EL, product a cadas d 22. tertij. 1. primi. f 29. primi. 8 2. tertq. h 21. fert. 132. tert. k 29. primi. 116. primi. in Cy perſpichum eſi, LE, tirculun. ſecare in L, Hoc eſt, intra circulum cadere. E ADE M ſere ratione demonſtrabitur, rectum M E, circulum ſecare in M, hoc eſt, intra circulum cadere. Ducta enim K N, pſi DE, parallela, quę ſecet datum circulum in N oſtendemus rectam Mi Ez tranſire per N, ac proinde intra cireulum cadere, eumque ſecare in M, N. Quia enim in prima ſigura per quatsuer puncta H, K, M, E, eirculus deſcribi poteſt, vt oſtenſum eſtʒ d erunt in quadrilatoro E K M E, duo anguli op poſiti E M R, KH E, duobus rectis æqualess ideoq;& duobus K ¶ E, KH D, e qui duobas etiũ rectis æquãtur aqualess ac dempto cõmuni K H E, reliqui EMK, X HD, æguales quoquè erunt. ¶ Eſi autem K N D. alterno E KN, æqualis. Ergo HRN, angulo EM K, equalis erit. s Cum ergo& angulus H KN, angulo x MN,( ducta recta N in alterno ſægmento æqualis ſit, aquales efunt anguli EMK, KM Nʒ atque idcirco re&a ME, per N, tranſibit, intraque circulum datum cadet. In 2. fgura punctum M. non habetur. In 3. figura ſic rem demonſtrabimus. Quoniam, vt oſtenſium eſt, per guatuor pundta H, E, K, M. circulus deſcrili poteſt, ł erunt anguli ¶ EM. E K M, in eodem ſegmintoillius circuli; cuius chorda ¶ M, æquales: i Et autem angulus I KM. angulo KNA, in ſagmento alterno æqualis. Igitur& angulus ¶ EM, eidem angulo XN M, æqualis exit. Cum ergo angiiſus Ii EM, angulo alterno, quem facit reqta E Nl, producta cim& N, æqualis ſies erunt aquales ang uli K NM, c angulis, q uemm EM, producta facit cum KN. Igitur EM, producta cadet in N. ſi enim caderet inter K, N, vel vlera N, fieret ſomper angulus externus interno oppeſtto aqualis in triangulo conEituto à recta MN,& ſegmento recta K M, product.& ſegmento recte K N, interceto inter N,& pun tum, in quod cadere dicitur E Ma product a, quod eit alu dm. Rææternus Dr es d LE M M A XLI. ET XLII. 133 teruil enim angullus interno ef oſito maior eit. Cadit g EM predudta in N., ideoque intra cir tulum cadit auferens arcum MN. In fgura, qui a, ut aſt ej iien tut, red OE, tangit circulum circa E, K, M., deſcriptum. crit an 4 DEA ngulo. EK A, in alter no ſegmenta a qualis: b ſed angu us E x M, ang% K, in altern b32 berg, ſeg mento cqualis eſt. Igitur& angulus DEM, angulo K π M ανονi/ets eit 10 E A C. priins. rem idem angulus DE M. equalis alterno angulo, quam cum KN fecit E product a. I gitur ægualis erit angulus x N M, angulos quem E Frede t facit cum K N ñ ac proinde, ut paulo ante aſtendimus, 7 N„ froductu um A αν,:!;. Deni. que in 5. C. C. ſigura, quonian. circulus Aeſcnibi poreſi dirsa puntelor plinata H, E, A1, R, d erunt oppoſiti duo anguli Ei EM, ¶ K AM, duobus rectisaſualis, deu Aq, d 2. tertij. 2 32. tertij. les duc his: HEM. ME D, quòd hi eriam dilol us rectis e¹νάulas flint. Dempto enco e 13. frimi. commun: 1894, reliqui HRK, MED, equaleserunt: Eſt auteit angulus NHK M,. f 32. ferrij. 1 75 2 5 an gulo K NM. inſigmentaulterno, s& angulus M E D, angula alteyno equa- g 29. primi. lis, que v EM, froducia ſacit cum KN. Igitur equalis erit angu ies KHAN, angu- 8 Jo lit alberne, atque circa, ar paulo ante monſtratum e, EAH, product cadit in pi uftium N.(c. E X lis patet, aliter demonſtrari poſſe; circulum per tria funtta D, E, E, vel D, E. 4 ſcriptum, tangere datum circulum ABC, in L, vel M. Duca enim AC, vel XN, ipſi D E, pa rallela, oſtendemiis, vt in hoc ſchelio, rectam LE, vel ME, cadere in pundtum C, vel N. Igitur per le mma præcedens, circulus per D, E, L, vel D, E, M., daſcriptus datum cirtulum ABC, t anget in L, vel M. quod eſt propoſitum. L Ei NM XLII. DAT IS duobus circulis, per punctum in vnius eircumferentia datum deſcribere circulum, qui vtrumque datum tangat. SINT 4 4. frimi. b 6. ſexti. „ eee SIN quo cireuli AB. CD. quorum eentra E, F, ſiue vnus alterum inclu · dat, ſecetue ſiue alter extra alterum totus ſit poſitus: ſitque primum per pun · ctum C. in circum ferentia CD, datum de ſeribendus circulus circulum AB, taggern quod duobus modis fieri poteſt. Primum ſic. Ex E, centro circuli, in quo atum eſt punctum, ducta ſemidiametro FC, ad punctum datum, in ea producta accipiatur CG, æqualis ſemidiametro alterius circuli, ad cuius centtum E, recta ducatur GE, quam bifariam& ad angulos rectos ſecet HI, ſecans FC, in l.& per I, ad E, centrum poſterioris circuli recta ducatur ſecans circumferentiam eiuſdem in B. Dico circulum ex I, per C, deſeriptum tranſire per B, ac proinde vtrumque circulum tangere in C, B. cum IC, IB, per eorum centra ducantur. Quoniam enim duo latera HE, Hl, duobus lateribus HG, HI, a qualia ſunt, auguſosq̃ue continent rectos æquales; erunt& baſes IE, IG,& anguli HEI, HCI. æquales. Ablat is igitur æqualibus BE, CG, et in prima,& terti⸗ ligura, vel ex æqualibug PE CE, ablatis ipſis IE, IG, ot in 3. Ke reliquæ erunt qualet IB. IC. Igitur circulus ex I, per C, deſcriptus tranſibit per B. ac proinde vel ex ſcholio propoſ. 13. lib. 3. Eucl. datos circulos ibidem tanget, ſi cum illis in ean · dem partem curuetur, vel quando in diuerſas, ex cocoll. ſuperioris lemmatis 40. Et quia oſtenſi ſunt anguli HEIL, HGLæquales, inuenietur centrum I,& punctum B, ſi ducta recta GE, angulo FG E, angulus GEl, fiat æqualis. Recta namque El, ſecabit PG, in I, centro,& circulum in B, puncto contactus. Rurſus quia ducta recta B C, triangula 1E, IBC, circa eundem, velæquales angulos ad verticem I, latera proportionalia ha bent, cum proportionem habeant qualitatis: v ipſa æquiangula erunt; æqualesque habebunt angulos IC B, IG E. e 24. vel! Rectæ ergo CB. GE, patallelæ erunt. Quapropter ii ductæ rectæ GE, per 41. primi. C, punctum datum agatur patalle la C B, reperietur quoque punctum B, contactus. DEIN D E ita, quod propoſitum eſt. abſoluetur. Ducta ſemidiametro FC, ad datum punctum, abſcindatur ex ea verſus centrum recta CK, ſemidiametro poſterioris circuli æqualis;& iuncta recta K E. ſecetur bifariam& ad angulos rectos in b, per rectam ba, ſecantem EC, in a; ac tandem per a,& E, recta ducatur 0—=. 5 1 b 0 L EMMA XEILIET XLIII. 137 catur ſecans poſteriorem circulum in A. Dico circulum ex a, per datum punCum C, deſcriptum tranſire per A, ac ptoinde datos circulos in C,& A, contin gere. Nam rurſum⸗ æquales erunt& rectæ a E, aK,& anguli aK E, AEK. Additis ergo æqualibus EA, KC, vt in prima& tert ia ſigura, vel ipſis aE, aK, ablatis ex æqualibus EA. KC, vt in ſecunda ſigura, totæ; vel reliquæ 2K, 2 0, quales quoque crunt. Igiturzvt prius, circulus ex a, per C, deſcriptus tranſibit per A, datosque circulos in A, C, continget. Idemque centrum a,& punctum contactus A, reperietur, ſi ducta recta KE, angulo FK E, æqualis fat angulns KEN. Immo& CA, ductæ rectæ KE, parallela dabit idem punctum contactus A. quod demonſtrabitur, vt prius. NO N aliter tes petagetur, ſi in eirculo AB, datum ſit punctum B, vel A. Nam ducta ſemidiametro EBù, ſumatur in ca producta recta BL, ſemidiametro alterius eirculi æqualis, ductaque recta LE, ſecetur bifariam& ad angulos rectos in M. per rectam MI, ſecantem EL, in I. Ducta enim per I,& centrum E, recta dabit C, punctum contactus,& I, erit centrum circuli de ſcribendi, vt prius. Rurſus namque“ꝰ æquales erunt& rectæ IE, IL,& anguli IEL, ILF. Ablatis ergo IF, IL, ex æqualibus CE, BL, vt in prima fgura, vel ex ipſis IE, IL, ablatis æqualibus CF, BL, vt in ſecunda figura, vel denique eiſdem IE, IL. additis ad æquales CE, BL, vt in tertia ſigura, reliquæ quoque IB, IC, vel totæ, æquales erunt,&c. 810 etiam, G ducatur ſemidiameter EA,& verſus centrum E, abſc indatur AN, ſemidiametro alterius circuli æqualis, iungaturque NF, quam ad rectos an gulos, bifariamqque ſecet in O, recta Oa, ſecaus AN, inaz erit a, centrum circuli de ſeribendi, retta autem Fa, producta dabit punctum contactus C,& c. IT AQVE problema ſoluitur, ſi ducta ſemidiametro ex dato puncto ad pro prium cent. um, abſcindatur ex ea ſiue extra, ſiue i tra circulum, recta æqualis ſemidiametro alterius circuli,& ad huius circuli centrum à ter mino rc cłæ abſciſſæ recta iungatur, quam alia recta ſecet bifariam& ad angulos rectos,&c. quamuis non idem punctum contactus reperiatur, ſed duo inter ſe diue rſa, vt ex figuris manifeſtum eſt. LIE M M A XLIII. SI in ſphæra circulus duos maximos circulos ad e aſdem partes inter punctum ſectionis,& circulum ma ximum per eorum polos ductum tangat, arcus duorum il lorum circulorum maximorum inter puncta contactuum, & interſectionem circulorum, vel circulum maximum per eorum polos ductum intercepti, æquales ſunt. D* D 8 eirculos maximos AB, AC, ſecantes ſe in A, tangat in D,&. eirculus PE, cuius polus E,& citeulug BC, per polos eir culorum AB, AC, du cus ſit Dico arcus AD, Ak, vel BD, CE, æqualcs eſſe. Ducatur enim per D,& E, circulos maximus DE, ſecans AC, in G,& per E,& Fcirculus maximus EE, ſecãs AB, in H. Quia igitur arcus FD, FEE, tranſeunt per polum circuli DE& per con8 tacus a 4. primi. b 4. primꝭ. a F. 2. Theo. big. i. Theo. 138 LET I tactus D, E; tranſibit quoque PD, per polos circuli AB.& FE, per polos eirculi Acʒ o ideoque anguli ad D. E, recti erunt: Suat autem& anguli ad verticem E, æquales, ex propoſ. 6. noſtrorum triang. ſphær. Igitur cum trianguli DFH, duo anguli D. E, duobus angulis E, F, trianguli EEG, æqua les ſint,& adiacentes arcus ED, EE, ex polo æqua les quoqueʒ erũt per propoſ. 20. noſtrorũ triang. ſphęr. & arcus FH, FG,& anguli H, G, æquales: ac ꝓpterea& toti arcus EH. DG, æqua les erunt. Quocirca cum trianguli A EH, duo anguli E, H, duobusangulis D, G, trianguli ADG, æquales ſint, areusque EH, DG, Illis adiacentes æqua les; erunt per eandem propoſ. 20. noſtrorum triang. ſphær.& arcus AE, AD, æquales. Vel quia tres anguli in triangulo AEH, tribus angulis in triangulo ADG, æquales ſunt; erunt per propoſ. 19. noſtrorum triang. ſphær. arcus etiam A E, AD, æquales: quibus ablatis ex quadrantibus AB, AC,(quoniam enim B C, per polos cireulorum AB, AC, ducitur, tranſibunt viciſsim hi per eius polos, ex ſcholio propof. 15. lib. 1. Theod. ac proinde A, polus erit circuli BC, ideoque ex coroll. propoſ. 16. lib. 1. Theod. AB, AC, quadrantes erunt) reliqui areus quoque CE, BD, æquales erunt · quod eſt propoſitum. A LI T E R. Deſcripto per D, E, eireulo maximo D E; erunt pet propoſ. 8. noſtrorum triang. iphær. anguli FD E, FED, æquales in Iſofcele DEF; quibus demptis ex rectis ADF, AEF, reliqui ADE, AED, æquales erunt. Igitur per propoſ. 9. noſtrorum triang. ſpbær. arcus quoque DA, EA, æqua les erunt,&c. 1 B M M N XLIIII: sI in ſphæra circulus duos circulos non maximos æquales tangat, arcus duorum illorum circulorum non maximorum inter puncta contactuum,& circulum maximum per eorum polos ductum, vel punctum ſectionis (quando ſe interſecant) interi ecti, ſunt æquales. VNC rA altem cont actuum vergere debent in contrarias partes, ſi circuli æquales ad idem hemiſpherium ſpectent, ad eaſdem vero, ſi ad diuerſa hemiſphrria pertincant. Ad idem autem hemiſpohrium ſpectare dico illos, qui ex polis propinquioribus citra maximos circulos ex eiſlem polis de-. ſeriptos deſcribuntur:ad diuerſa vero he miſpbhæria eos, qui ex polis remotioribus citra eoſdem circulos maximos deſcribuntur. 180 . L E M M A XILIIII. 139 IN ſphæra ABCD ſint primum ex polis vicinioribus A, B, deſcripti duo circuli æquales non maximi EF, GH, ſecantes ſeſe in I, quos tapgat circulus L, in K, L, punctis in contrarias partes vergentibus à puncto ſectionis I, cum circuli ad idem hemiſphærium ſpectent, quippe qui inter polos propinquiores „B,& maximos circulos MN, OP, interijciantur. Dico arcus IK, IL, vel FK, HL, aqua les eſſe. Per polos enim A. B. deſcripto circulo maximo ABC P, deſeribatur per A,. polum circuli EE,& Z. polum circuli tangentis KL, circulus maximus A2, ſecans maximum MN, ex eodem polo A, deſeriptum in R. qui per contactum K, tranſibit. Item per B, polum circuli GH,& Z, polum circuli tangentis geſcribatur circulus maximus BZ, ſecans maximum OP, ex eodem polo B, deſcriptum in 8, qui etiam pet contactum L, tranſibit Quia igitur& arcus Ak, BL, ex polis A, B, ad proprios circuloss æquales,& arcus ZK, ZL. ex polo Z, ad circulum proprium KE, æquales ſunt; erunt quoque reliqui arcus AZ., BZ, æquales; ac proinde per propoſ. 8. noſtrorum triang. ſphæx. anguli ZAB, ZBA, æquales erunt. Quocirca cũ lateta AN, AR, lateribus Bb, B&, qua lia ſint,( quippe quæ omnia quadtan tes ſint, ex coroll. er 16. lib. 1. 7 heod.) anguloſ que contineant æ&quales, vt oſtenſum eſt; erunt per propoſ. 7. noſtrorum triang· ſphær.& baſes NR, PS, æquales: e Eſt autem arcui NR, arcus EK, & arcui PS, arcus HL, ſimilis Igitur & arcus EK, HL, ſimi les inter ſe, ideo3 æquales erunt, cum ſimiles arcus æqualium circulorum æquales ſint: quibus e e 1 1 arcus e ſint, in ſcholio deSLIM&ILI 1 8. 5 eoſcd Gf dung 11 i Partes quoque contrarias eee e& 2 29 G 19 e eee eee eee 5&areus Ep. SpSe Ib. Ig. fle ripto enim rurſum per A, polum eirculi EF,& r, polum circuli 4 K. 2. Theo. b. 3. Thes. cio. 2. THeoꝛ tangenti Pee 3; 1 3 0 gentis pq circulo maximo Ar, ſecante maximum MN, in t, à tranſeunteque d 4. 2. Theo. er contact 3 2 1 1 lde n ctum p: Item deſcripto per B. polum circuli GH,& r, polum eirculi atis pq, maxi 8 1 8 1 8 f 5 3 maximo circulo Br, per contactum q; tranſeunte, ſecanteque N 15 am 5 in u: quoniam& arcus Ap, Bq. ex polis A, B, ad circulos æquales, 8. 8 rden polo r, ad circulum pq. æquales ſunt, erunt quoque toti ar. r, æquales. Ergo pet propoſ 8. noſtrorum triang. ſpher anguli rA, 1 e proinde& ex duobus rectis reliqui r AM, x BN, æquales erumt. Quare cũ 0 ate N 3 g. f g ua tera AM, At, duobus lateribus B50, u, æqualia ſint; angulosque compte8 e 1 8 2 hendant c A. 2. Theo. f 10 ö 4 4. 2. Theo. b f. 2. Theo. e 2. teriqj. d 9. 4. Theo, 140 EI bendant æquales, erunt per propoſ. y. noſtrorum triangulorum ſphær.& baſes Mt, Ou, æquales. Igitur, vt prius, arcus quoque tam Ep, Gq, quam Ip, Iq, æquales erunt. e ID E M coneludetur, ſi duos eirculos æquales TV, X V, ad idem hemiſphærium ſpectantes tangat circulus ab, in punctis a, b, 4 punctis T, X, in contrarias etiam partes vergentibus. Deſcriptis enim rurſum ex polis C, D. circulorum TV, XV, per f, pôlum tangentis eirculi ab, maximis circulis Of, Df, ſecantibus maximos MN, P, in d, e, 3 tranſeuntibus per contactus a, h, erunt arcus Cf, Df, æquales, quod& Ca, Pb,& fa, fb, æquales ſint. Igitur, vt ſupra,& anguli fCD, DC,& arcus Md, Oe, atque idcirco& Ta, Xb, æquales erunt,&e. SIN T iam ex po lis remotioribꝰ B, C, deſcripti duo circuli æquales GH, gh, ad diuerſa hemiſphæria ſpectantes, quos tangat circulus Lm in, in L, i, punctis ad eaſdem partes vergentibus a maximo circulo ABCD, per eorum polos ducto. Dico rurſum arcus HL, gi, æqua les eſſe. Deſcaiptis enim ex polis B, C, per k, polum circuli tapgentis Lm in, maximis circulis Bk, Ck, ſecantibus maximos . Op; MN, in 8, h, b tranſeuntibusque per contactus L, i; erunt arcus toti BR, Cxk æqua les 0 quod & BL, Ci, kL, ki, æquales ſint. Ergo per propoſ. 8. 1 triang. ſphær. anguli kB C, Kk CB. ac propterea& ex duobus rectis reliqui kB, ECM, quales erunt. Igitur, vt ſupra, arcus PS, Ml, æquales erunt, ideoque& illis ſimiles HL, gi, æquales erunt,&c. n „„ ARCV S autem IF. IH, aquales eſſe, vi in demonſtratione aſſume batur„ſic demonſtrabimus. Arcus circulorum æqualium E, GH, à ſectione J, per F, H, uſque 44 alteram ſectionem, minora ſagmenta ſiunt ipſorum c ircul orum, fegen vellgua ab I. per E, O, uſque ad alteram ſectionem, maiora, ut mox oſtendemus. e Igitur tam minora, quam maiora ſegmenta, equalia erunt, cum eandem habeant chord am ex? ad alteram ſeltionem duct am a Cum ergo ſegmenta hac bifariam ſecentur in F, H; E,&, à mam imo circulo ABG D, per eorum polos ductoʒ ernt quo que tam arcus IF, II, quam IE, G, equales. Quòd autem ſegmenta inter I, per F, H, vſque ad alteram Fectionem ſint minoras ta planum faciemus. Concipiajur diameter ſpharæ, ſeu circuli max imi LEMMA XLIIIIIET XLV. 141 Grim ABC D, dudta per fundtum, in quod calit perpendicularis ex I, in planum rirculi A h D, demiſſa, qua diameter ſecet cirtumferent iam in e.: Et per hanc diametrim, c perpe ndicula rem ex I, demiſſam intelligatur duci planum ,a qu ad cir culum A C D, recti erit, facietque in ſßhara ſemitirculum, qui per Qtranſibit. Ci enim kirtulus ABC Dʒ tranſeat per A, B, polos maximorum circulors MN, OP, trant ſebunt hi vuiciſsim per illius polos, e ſcholio propoſ. Lx. libę L. Theod. atque ideirco D illius polus eri. O Cum erg ſemicirculus ille ducatut per eiuſelem polos, tranſibit per V tolum circuli ABC D, ibique bifariam ſecabitur, cum em coroll. propoſſ. 1 6. lib. t. Tyeod. eius arcus a Q uſauè ad a, quadrans ſit: ac propterea idem ſemicircul us in I. diuidetur non beſurlani. Igitur per theor. g. fe holj propoſ. al. lib. a- ThHeod. recta du Ca les, erit omnium mini ma ex I, in circum ferentiam ABC P, cadentium, F, minor qua m IO; ac propterea ex ſehholio propoſiæ g. lib. 3. Euclid. minor erit arcus IF arcu IGzideoque totus arcus ab I, per F, uſqtie ad alteram interſectionem, minor erit to70 urch I, per Gñ vſque ad alteram illam int erſectionem i crm horum illi ſint ſer miſſes, ut oſtenſum eſi. 6 a N n S E D artus IF, IH, æquales eſſe, hut etiam ratione ont poteſt. Qudniam tfia cadentes er I, in polos A, B, æquales unt, æqualiter diſtabunt A.& B, à punctoſch, ita vt æquales ſint arcus& A,. B. N am ſi alius arcus, qu m& B, nim irum du, qualis eſſet arcti dA, eſſet quoque rect a Ig, rectæ I A, æſualis, en dicko heor. g. ſcholij hroß. zT. lil 2. THeod. quod eſt ab ſurdum. Nam per ie lud theorem IB, minor eſt, 4m Ag. ideoque minor quàm IA. Et quoniam æquales quoquse ſunt arcus A E, B H, ſi auſerantur æquales Ad, Bas reliqui& F, à H, æquales etiam erunt. Igitur per dict il theor. 3.[choliſ propoſ.æ I. lib. 2 Theod rettæ i F, IH, equales erunt, e ideoque quales quoque eruut arcus IF, IH. quod eſe pr opoſeſ um. E N EV. S] in ſphæra circulus duos circulos parallelos ad eaſdem partes circuli maximi per eorũ polos ducti tangat, arcus eorũ inter puncta contactuum,& circulũ quemlibet maximum per eorũ polos ductum intercepti, ſimiles ſunt. IN ſphæra ABCD, ſint quo circuli paralleli BD, EF, ſiue alter eorum ſit maximus, ſiue neuter,& ſue ad idem hemiſphærium pertineant, ſiue ad diuerſa, per quorum polos A, C, incedat maximus circulus ABCD,& ipſos tangat circulus GIH, in punctis G H, ex eadem parte maximi circuli ABCD. Dico tam arcus BG, EH, quàm DG, EH, eſſe ſimiles. Deſeri ba tut enim per A, polum circulorum BD, EF,& K, polum tangen? tis circuli GI, circulus maximus AK. Igitur maximus circulus AK, qui deſcriptus eſt per A, K, po los circulorum EE, GIH, ſeſe con tingen2 18. vndet. b 13. The c 2. ter. r annere 4 4.2. Theo. tingentium in H, 4 tranfibit per contactum I: dic etiam idem maximus cireuIus AK, qui per A, K, polos circulorum BD, GH, ſe mutuo ta gentium ducitur, tranſibit per contactum G. Quia vero maximi circuli AB, AG, per polos circu lotum parallelorum EE, BD, qucunturꝭ erunt arcus intercepti EH, BG, ſimiles. quod eſt propoſitum. Quod ſi para lleli ſint æquales, erunt quoqʒ arcus EH. BG, non ſolum ſimiles, verum etiam æquales, propterea quod ſimĩles arcus æqua· bg. 2. Theo. I. t. Theo. lium circulorum æquales ſunt L E M M A XLVI. 8 in ſphæra duo circuli ſe mutuo ſecent, maximus eirculus ſecans bifariam vnius ſegmentum, incedenſque per eius circuli polos: tranſit quoque per alterius cir culi polos. IN ſphæra duo circuli ABCD. EBD, ſiue maximl, aut non maxim, ſiue vnus maximus,& alter non maximus, ſe mutuo ſecent in B, D,& maximus circu jus EFGHA, tran ſiens per G, pol circuli ABCD, ſecet eius ſegmen tum BAD, bifariam in A Dico eundem eirculũ maximum tranſia re quoque per po lü circuli EBED. Si enim non tran ſit, ducatur per eius polum I,& er G, polum circuli ABCD; circulus maximus 16K. p Igitur hic cir culus ſecabit — omnia ſegmenta Jat orum circulorum bifariam, ideoque per A, tranſibit. e Cum ergo maximi eirculi ſe mutuo ſecent bifariam, erunt GHA, GK A. ſemicirculi: atque ideir co punctum A, in circumferentia, erit alter polus circuli ABCD, cum per coroll. tlieorematis 1. ſcholii propoſ. 20. lib. 1. Theod. poli eiusdem circuli per dia metrum opponantur, hoc eſt, per ſemicirculum maximi circuli diſtent inter ſe. quod eſt abſurdum. Polus enim punctum eſt intra circulum in ſuperficie ſphæræ, à quo omnes rectæ in circumferentiam cadentes, æquales ſunt. Tranſit ergo maximus circulus EFG HA, per polos circuli EBF D. quod eſt propoſitum. L E M L F n M A Ly. 143 ER M N 81 in ſphæra per polum cuiuſuis circuli maximi dui circult conſtituentes duos angulos in jus quicunque ex quolibet puncto us abſcindit tam ex alijs m ex duobus circulis ſiue qui polos habent medio illo circulo maximo arcus æquales ad eaſdem cantur tres maxim polo æquales; circu medij circuli, vt polo, deſcript duobus maximis circulis, quà maximis, ſiue non maximi in primo circulo maximo à æqualibus interuallis diſtantes, s æqualibus, A XLVII. partes ab eodem primo circulo maximo inchoatos, in cir culis tamen maximis ve in primo illo circulo maximo IN ſphæra ABC. per B, polum ma mi circuli BD, BE,. BF, facientes in B, an ex aſlumpto polo E, in medio ci GH, ſecans circulos maximos les. Quoniam enim ex coroll. propoſ. 16. lib. 1. Theod. arcus BE, BE, quadr antes ſunt, ideoque æquales; ſi demantur arcus 38, BH, qui xquales inter ſe ſunt, quod ducte chordæ BG, BH, æquales etiã hat ex defin. poli, reliqui arcus EG, FG, equales quoque erũt, quod eſt propoſitum. DEIN DE ex alio polo L, aſſampto in eodem me-* dio cireulo BD, deſeriptus ſit cireulus non maxi non maximis æqualibus polos habentibus, a punctis, quæ citra vel vltra polos eorum exiſtunt. ximi circuli ADC, ducantur tres maxigulos æquales EBD, FB D: Et primum rculo BP, de ſeriptus ſit circulus non maximus BE, BP, in G, H. Dico arcus EG, EH, eſſe æqua228. tere. mus GSH, ſecans ma ximos ir2 BE, BE, in G, H. Dico rurſum, æquales eſſe arcus EG, EH. Duckis enim ma a0 circulis 16, IH. DG, DH, deſcribatur ex D, po lo, per G, circulus GTH, ans circulum 68H, in H. puncto, quod dico eſſe illud, in quo eirculus BE, à kir 3 5 3 N 2 culo GH, ſecatur. Coneĩpiantur enim per H, punctũ interſectionis circulorum 144 MTIT NN rum GH, GTH.& per B. I. ducti circuli maximi HB, HI. Ouoniam igi tur duo latera ID, DG, duobus lateribus ID, DH, equalia ſunt,& baſis 18, baſt IH, æqua Iis;( ſuat enim tam arcus DG. DH, quam 16, IH. aquales, cum cadant ex polis ad proprios circulos, erunt anguli GLH Df, æquales, ex propoſ. ig, noſtrorum triang.ſphęt Rur ſus quia duo latera BD, DG, duobus lateribus BD, DH, æqualia ſunt. anguloſque æquales eontiuent. vt oſtendimus; erunt per propoſ. 7. noſtrorum triang. ſphær& baſes BG, BH,& anguli ad B. æqua les; ſed ex hypot he earcus BH, ductus ad inter ſectionem ipſius cum cireulo GSHEH, facit angulum H BD, angulo eidem GB, æqualem. Igitur hic arcus ab eo, qui per B.& interſectionẽ cir culorũ GSH. GTH, ducitur, non diffett, ne pars ſit æqualis tot iʒ ac proinde circuli GH, GTH, in arcu BE. ſe interſecãt. Guocitea oſtẽ demus, vt proxime factum eſt. in triangulis 10D HD, angulos IDC, IDH, æquales eſſe, cum tria latera tribus lateribus ſint æqualia; atque hinc, in triapgulis 56D, BID, baſes BG, BH, æquales eſſe ex propoſ., noſttorum triang. ſphær. Reliqui ergo arcus EG, FH, æqua les quoque erunt. quod eſt propoſitum. T ER TI O exalio polo Qaſſumpto in eodem medio circulo BD. de ſcriptus ſit circulus maximus GSH, ſecans maximos circulos BE, BE, in G, H. Dico rurſum, ar cus EG, EH, æquales eſſe. Deſcriptis enim per Q, G,& per Q,, circulis maximis Q, Q H, qui ex co roll. propoſ. 16. lib. 1. Theod. quad rã tes ſunt, erunt per propoſ. 25. noſtrorũ triãg. ſpher. anguli OGH, QH G;, recti, ideoque QGB, OHB, acuti. Et quia anguli DBE, DBF, æqua les ponuntur, erunt etiam ex duobus rectis reliqui GQ, HBO, æquales in triangulis QB, QB H. Cũ ergo& duo latera 30, Q, dudbus lateribus BQ, Q. æqualia ſint,& reliquorum angulorum B, BEN, vtetque recto minor. vt oſtenſum eſt; erunt pet propoſ. 24. noſtrorum triang. ſphær.& latera BG, BH, zdeoque& reliqui arcus EG, EH, æquales. quod eſt propoſitum. IA M vero ex polis K, L, vtcunque in maximo circuſo ADC, aſſum ptis æqualiter tamen à puncto D, diſtantibus, deſcribantur duo æquales circuli fue maximi, ſiue non maximi. MGV, NH P. Primum autem cx polO B, circulus non maximus deſcribatur GS H, hoc eſt, parallelus ctreuli maximi ADC, ſecans, vel tangens duos cireulos in G, H. Dico tam duos arcus MG, NH, quam duos VGS, PH, eſſe æquales. Deſcribatur enim ex polo D; per G, circulus GTH, ſecãs circulum G81, in H, puncto, quod dico eſſe illud, in quo 68H, ö l circulum L S MIM AIXLVII. 2 eirculum NH. ſecat. Ductis enim arcubus eirculorum maximorum DG, DH: KG, LH,& BH: quoniam duo latera DG, DB, duobus lateribus DH, DB, qua lia ſunt,& baſis BO, baſi BH, æqualis:(Nam tam DG, DH, quam BG, BH, ex polis ad circumferentias propriorum circulorum æquales ſunt) erunt per propoſ. 18. noſtrorum triang. ſphær.& anguli GDB, HDB, ac proinde& ex recdis reliqui GDK, HDL, æquales erunt. Igitur 7 8 duo latera GD, DK, duobus la„L, teribus HD, DL, æqualia ſunt, cum poli K, L, ponantur æqualiter diſtare à Dzan gulosque continent æquales, vt oſtendimus; erunt per propoſ. 7. noſtrorum triang. ſphær.& baſes KG, LH, æquales. Cum ergo KG, ſit ex polo K, ad circunferentiam VGM, erit quoque LH, ex polo L. ad circumferentiam PHN. cum hæc circunferentia illi ſit æqualisʒ ideoque punctum H, erit in circunferen tia NIIp, hoc eſt, in puncto, vbi a circulo GSH, ſecatur. Quapropter oſtendemus, vt proxime factum eſt, in triangulis BDG, B DH, angulos D, æquales eſſe, ac proinde& ex rectis reliquos GDR, HDL. Atque hinc ex propoſ. 7. noſtrorum triang ſphær.& baſes KG, LH,& angulos K, L, æquales eſſe. Quoniam igi tur, ductis maximis circulis Me&, Nt H, duo latera KG, KM, duobus lateribus LH, LN, æqualia ſunt, cum ſint ex polis ad æquales circulos; anguloſque continent æquales, vt oſtenſum eſt: erunt quoque baſes MG, NMH, æquales, ex propoſ. 3. noſtrorum triang ſphær. atque idcirco& chordæ ductæ MG, NH. æquales etunt; atque hinc& arcus MRG, NRH, æqua les erunt. Cum ergo MGV, NH P, ſemicirculi ſint, quod maximus circulus ADC, per eorum polos ductus ſecet circulos bifariamʒ erunt quoque reliqui arcus VG, PH, æquales. quod eſt propoſitum. EOD EM prorſus modo propoſitum coneludemus, ſi ex alio quouis polo I, vel Q, aſſumpto in circulo BD, circulus deſeribatur GSH, etiamſi deſcriptus ex Q, maxi mus ſit, ita vt QO, Q, quadrantes ſint. NON diuerſa ratio fere ert, ſi ex D, polo circulus quilibet deſcribatur GTH, ſecans maximos BE, BE, vel circulos ex polis K, L, deſeriptos in&, H. Deſcripto enim ex polo B, per G, circulo GSH, ſecante circulum G TH, in H, puncto, ſimiliter oſtendemus, illud eſſe inꝭ circuſo B F. Ductis namque circulis maximis DG, DH, B H, erunt duo latera BD, BG; duobus lateribus BD, BH, æqualia,& baſis DG, baſi DH. æqualis, cum BD, arcus ſit communis,& alij ex polis ad proprias circunferentias ducti. Igitur per propoſ. 18. noſtrorum triang. ſphær. anguli ad B, æquales erunt: Sed arcus BE, ex hypotheſi facit etiã angulum FEB D, angulo EBD, æqualem Igitur arcus per B,& punctum H, interlectionis circulorum GTH, GH,, ab arcu BE, non differt Ergo arcus BG, BH, ex polo ad circunferentiam GSH, æqua les erũt, quibus demptis ex quadran tibus BE, BE, reliquſ arcus EG. EH, æquales quoque erunt. quod eſt propoſitum. RVRS VS ductis maximis circulis Mt G, NtH, KG, LH;& deſcripto ex quouis polo I, in BB, aſſumpto circulo GH, per G, ſecante circulum GTH, in H, monſtrabimus, vt prius, punctum H, eſſe in circulo NP. Nã ductis maximis circulis 10, IH, duo latera ID, DG, duobus lateribus ID, DH, æqualia ſunt, & baſis IG. baſi IH, æqualis, quod ID, ſit arcus communis,& alij ex polis ad pro prias citcunſerentias ducti. Igitur per propoſ. 18. noſtrorum trang. fphær. anSuli 10G, 1D H. ideoqͥue& ex rectis reliqui GDE, LL, ęquales erunt. Sunt au tem& duo latera DG, DK, duobus lateribus DH, DL. æqualia. Nam DG, DH, arcus ſunt ex polis eirculorũ æqualiũ ad circunferentias,& DR, DL, ſunt arcus poſiti æquales, nimirũ diſtantiæ polorũ K, La pũcto D. Igitur per propoſ. 7. noſtrorũ trlang. ſphęr.& baſes KO, L H, æquales erũt. Cũ ergo RG, ducatur cx po 2 10 K, 2 29. tert. b 2. tertij. c 15. Theo. a 29. rertij. b 28. rerti. c 9. 2. Theo. 146 NIN lo K, ad ſuam cireunferentiam, ducẽtur quoque LH, ex polo L, ad ſuam eircunferentiam, cum hæc illi ſit æqualis, hoc eſt, punctum H, interſectionis circulorum GTH, GH. in circulo NH p, exiſtet. Quo poſito, proba mus ex propoſ. 18. noſtrorum triang. ſphær. angulos Dx G, DLH, æquales eſſe. quod tria latera KG, KD, DG, tribus lateribus LH, LD, DH, æqualia ſint. Quamobrem cum duo quoque latera GK, KM, duobus lateribus HL.LN, ſint æqualia circa illos angulos, cum arcus ſint ex polis K, L, ad circumferentias æqualesʒ erunt per pro poſ. 2. noſtrorum triang. ſphær.& baſes Mt. Nt H, æqual es. ideoq̃ue& duc chordæ MG, NH, æquales erunt, v ac proinde& arcus MRG, NR H, æquales erunt,&c. quod eſt propoſitum. DEMONST RATIO hæc locum habet, vt conſtat, ſiue circuli MGV. NH p, ſe mutuo ſecent, ſiue tangant in D, ſiue denique vnus totus extra alterum exiſtat. Sed quando ſe tangunt in D, tam arcus DI, NH, quam DG, MG, coin cidunt, atque ita breuior efficitur demonſtratio. QVOP ſi quando aceidat, circulum ex polo vtcun que aſſumpto in circulo BD deſeriptũ ſecare circulum ADCꝭaqualis eſt circulus VXaa Zz, ſecans ADC, in X,. æ; eruut ſemper puncta ſectionum N, ed puncto D, ęqualiter remo ta 3 proꝑpterea qq circulus maximus BD, per polos cir culorum AD C, Va Z, defcriptus ſecat eorum ſegmenta XDa, Xaa, bifariam in D,& a. Erunt autem rurſum, vt demon ſtratum eſt, tam ar cus Eb, Ed, quam arcꝰ MGV, NHZ, & VV, PZ, æquales. Itaque ſi eiuſmodi circulus po lum habẽs in BD, circulo maximo, tranſeat per alterum polorum K. vel per quodcunque punctum 2 polo K, remotum, trãſibit quoque per alterum polum e e punctum, quod tanto intetuallo abſit à polo L. quanto illud alterum à polo abeſt, ſiue ea pun da à pblis recedant verſus D, ſiue verſus A, C: qula hac ratione eiuſmodi punca à puncto D, ſemper ſunt æque remota, pate t.. VICISSITM circulus quicſiq; VaZ, ſecans ci rculum maximum ADC, in unctis X, a, æqualiter diſtantibus à puncto D, ac proinde& à po ks K, Lʒpolos abet neceſſario in maximo circulo DB, per P.& polos circuli A DC ducto. Quoniam enim eirculus maximus D B, ſecat ſegmentum X àñ bifariam in D, tranſitque per eius polos, ex hypotheſi, tranſibit idem A DB, per polos circuli I a. Z, priorem ſecantis X, 4, ex præcedenti lem * CAETE5 LE MMA XLVII. ET XLVIII. 147 9 CAE T ERV M quando circa polum B, parallelus maximi circult AbC, deſceibitur, abſcindet is. arcus æquales ex omnibus maximis circulis 0 per B, ductis, etiamſi in B, angulos non conſtituant æquales; Itemque ex omnibus non maximis ęqualibus polos habentibus in maximo circulo AD C, etiamſi poli non ęqualiter diſtent à medio circulo BD. In maximis propoſitũ facile ſie concludemus. Cum enim omnes ducãtur per polos parallelorum ADC, GSH, erunt eorum arcus inter dictos parallelos, ęquales. In non 410. z. Tei. maximis vero hæc erit demonſtratio. Si ex punctis, in quibus à paralſelo maximi circuli AD C, ſecantur, ad maximum circulum AC, perpendiculares demittantur. bcadent eę in communes eorum ſectiones cum maxi- bz. vndec. mo eirculo A D C, hoe eſt, in eorum diametros:(Cum enim maximus cir- 615.1. THE. culus ADC, per eorũ polos ductus ſecet eos bifariam, erunt illæ cõmunes ſectio nes eorum diametri.) ac proinde ſinus recti erunt arcuum abſeiſſorum. Cum ergo perpendiculares illæ omnes ſint inter ſe æquales. 4(Quoniam enim om- dg. vndeg. nes parallele ſunt, ſi per quaslibet duas planum ducatur, e fient communes eius 10. vndec. cum planis parallelis ABC, GS H, ſectiones paralleles f ac proinde in parallelo f 5. primi. grammo latera oppoſita ęqualia erunt, nimirum duę illę perpendiculares: & ſic de cęteris) erunt quoque arcus, quorum ſinus ſunt, ęquales. quippe cum in circulis ęqualibus ęquales ſinus habe ant arcus ęquales, vt in definitionibus Enuum de monſtrauimus. IL. E M M A XLVIII. 8 Jex eodem centro duo circuli deſcripti ſint,& ex quotlibet punctis circumferentiæ interioris ad exterioris circumferentiam rectæ æquales ducantur; vna autem earum interior emi circulum tangere ponatur, tangent eundem& reliquæ. Et ſi plures lineæ interiorem cir culum tangentes verſus eandem partem ducantur, verſus ſiniſtram videlicet, aut dextram, ipſæ inter ſe æquales,& arcus inter binas comprehenſi, ſimiles erunt. EN eodem centro A, deſeripti ſint duo eireuli BC DEE, GHIKL,& ex punEis G, H, I. rectę ęquales duc antur GB. NC. ID, quarum GB, circulum GIIIKI. tangere ponatur. Dico& HC, ID, eundem tangere. Iunctis enim ſemidiametris GA, HA, TA,& BA, CA, DA; quoniam duo latera B56, GA, duobus lateribus H, HA, ęqualia ſunt,& baſis BA, baſi CAzs etunt& anguli AGB, AH C, equa g f. prim. les: Eſt autem AGB, rectus. Igitur& AH C, rectus erit; ac proinde, per coroll. Rr“. tertyj. ker, 16.lib. 3. Eucl. recka HC, circulum GH, tanget in H, atque ita de e5 VC TAE lam ſint ad eaſdem partes quotuis tangentes BG, CH, DI, SM. 41 eas& ęquales eſſe,& tam arcus GH, BC, quam GI, BD,& GM, BS, miles 8 Junctis enim eiſdem ſemidiametris, ſecetur interior circulus in M, N, O, T. àſemidiametris AB, AC, AD, As. Et quoniam duo latera AB,. late. ribus 8 HAT NN. f ribus AC, AH, equalia ſuntz& anguli AGB, AC, equalibus lateribus AB, AC, 4 1 f. tertij. oppoſiti, equales, a quod recti ſintʒ reliquorum quoqʒ angulorum B, C, reliquis b r. primi. lateribus ęqualibus AG, AH, oppoſitorum vterque recto minor. quod tam duo G, B, quam duo H, C, duobus rectis ſint minores. Igitur per ea, quę ad ſinem lib. 1. Eucl. demonſtrauimus, erunt etiani latera BG, H. equalia,& anguli BAG, CAH, ęquales. Ex quo fit, arcus quoque GM, HN, equales eſſe,& ablato com muni H V. reliquos quoque GH, MN, eſſe equales: Cum ergo ex ſchol. propoſ22.-lib.; Eucl. arcus MN. arcui BC, ſimilis fitzerit quoque àrcus GH, eidemar. l r cui BC, ſimilis. Eodem pacto oſtendes arcus GM, IO, eſle equales. ideoque ad dito cõi MI, totos etiã GI, MO, quales eſſe: ac pr oinde cũ MO, ipſ BD, ſimi milis ſit, erit quoq;ʒ GILeidẽ BD, ſimilis. Nõ ſecus mõſtrabis arc? GM, MT. equa les eſſe. Cum ergo MT, ſimilis ſit ipſi BS erit quoq; GM, eidem 38, fimilis. C AE T E RVM tangentes eſſe ę qua 1 a les, ita facile etiam oſtẽde mus. Productis tãgentibus BG, Dl. ad P, Q, erunt ex ſchol. propoſ. 18. lib. 3. Eucl. ipſę inter ſe equales, bifariamq; in G, i. pũctis contactuũ ſecabuntur. Igi tur ſemifses BG, Dl, ęquales eruntz& ſic de alijs. Hinc facile coneludemus, angulos GAB. IAD, ęquales eſſe, propterea quod latera AB, AG, lateribus AD, Al, equalia ſunt,& baſis BG. baſi DI, ęqualis,&c. YO ſi puncta contactuum G. K, per diametrum opponantur, vt ſemicir lus ſit GK. erit quoque BDE, ſemicirculus, hoc eſt, ipſi GK, ſimilis. Erit enim tam BD, ipſi GL. quã DE, ipſi IK: ſimilis, vt mõſtratum eſt; ac propterea per lem ma 6.& totus BDE, toti GIK ſimilis erit. Quod tamen hac etiam ratione demonſtrare licet. Iunctis rectis AB, AE, quoniam duo latera AB, AG, duobus Iateribus AE, AK, ęqualia ſunt,& baſis BG, baſi EK, ęqualis, vt oſtenſum eſt; e g. primi. e erunt anguli BAG, EAK, equales. Igitur ex ijs, quę ex Proclo ad propoſ. 15. lib. i. Euc l. demonſtrauimus, rectę AB, AE, vnam rectam conficient; ac proinde diameter exit BE,& arcus BDE, ſemicirculus. Vel ſic. Propter angulos BAG, EAK, equales, i erunt arcus GM. KR. ęquales, additoque communi MR, toti arcus GMK, Mx R, ęquales erunt: Sed ille eſt ſemicirculus, ergo& hic 3 atque idcirco diameter erit MAR, ideoque BDE, ſemicirculus. EA PDE NM ratione, ſi puncta contactuum G, L, diſtent per arcum G KL, ſe micirculo maiĩorem; quoniam arcus KL., EE, oſtenſi ſunt ſimiles; ſi adiiciantur ſemicirculi K 1 6, EDB, erunt ꝓer lemma 6. ſimiles quoque toti arcus GEL, BDF. 20. tertij. d F. primi. f. tertj. CEO L EMMA XLVIII. ET XLIX 149 S G. f O.] Tu F M. EKF FIC ITyV R ex hoc, ſ⸗ puncta contactuum circulum interiorem in partes equales ſecent, eteriorem A tangentibus in partes quoque diſtribui æquales. Ita vides tam arcus GH, HM. MN, quam BC, CS, SY, equales eſſe. ITAAYE ſi ducendæ ſint plurimæ linea tangentes circulum GH K, in punctis ipſum in partes equales diuidentibus, ar in G, N, M, N. T, c. ducenda erit una, vt GB. Si namque ex A, quitumque circulus deſcribatur ſecans G, in B, diuidaturq; in aquales partes BC, CS, Sr,&c. inirio facto à punclo B, tranſibit tang ens in H, per Cʒ in M, per S; in N, per Vz in T, per Z, ec. ö 5 E D v habeas hina puncta in eæteriori circulo, per quæ tangentes ſunt ducenda, ducenda erit ex centro A, per vnam partium æqualium circuli GH K, vt per M, ſecundam partem; recta A M, ſecans primam tangentem in B, c per B, ex A, circulus de ſcribendus, atque in rot i dem partes æquales dictribuendus,( initin facto 2 B in quos partes cirtulus G H K, ſectus eſt, vt in propoſita figura, in 1 a. partes equales BC, CS. ST, TZ, Za, a E, EF, FP, PV, x, xb,(B. Nam cum ex ſcholio propoſ. 25. lib. 3. Eucl. recta A, ſecet arcum BX P, bifariam in X, continebuntur in toto arcu BX P, bis tot partes aquales, quot in B, hoc elt, in ſimili G M, continentur. Tangens igitur CP, duci rur per duo puncta B, Pterminantia quatuer partes æquales. Sic tangens CP, tranſibit per ſimilia duo puncta C, L, cum tot partes in arcu BX, quot in areu CBE, contineantur,& C, terminet vnam partem; quod arcus BC, GE ſimiles ſint oftenſi. I dem dicendum ei de tangentilus SX, Yb, FT, c. Itaquse ſingula tangentes per terna pundia hac ratione ducentur. Werum bina puncta cuiuſieis tangentis in exteriori circulo urcunque diſcripto inuenientur quoque, ſi ad interuallum rectæ G B, ex puncto contactus duo puncta in exteriori circulo notentur. Nam omnes tangentes æquales ſunt, vt demon ſtratum eſt. Nac ratione interuallo GB, ex puncto contactus H, reperientur duo pundta C, V,& ex M, duo puncta 8, X, c. ERB MM A XLIX. PAV CA quædam de declinationibus, latitudinibus ortiuis, aſcenſionibusq; rectis,& obliquis demonſtrare. 1. TT in prima figura Meridianus ABCD; Aequator AC; Horizon obliquus BP, ſecans Aequatorem in E:& per E, tranſeat Ecliptica 5G, vt E, ſit pr incipiũ V. vel;, S& G,: ſintque arcus Eclipticę EH, ELęquales,& per H. I, paralleli ducantur KL, MI, ſecantes Horizontem in L,& Nʒ ac deniq; per LN. H, I,& polos mundi O, P, circuli maximi declinationum ducãtur OL, PN, OH, PI ſecantes Aequatorem in Q, R, 8, T. Dico parallelũ KL tranſire per duo Ppuncta Ecliptieę eque remota à tropico puncto E. Quod idem de parallelo MI, dic endum eſt. Qugniã enim maximus circulus AB Oper polos ſecat circulos FE, KL, ſeſe in H,& in altero puncto ex alia parte Meridiani ABCD, ſecantesz s ſecabit idem eorum ſegmenta bifariam. Igitur alterum pundtũ ſectionis ex alia parte Meridiani, in quo parallelusK L. Eclipticã ſecat, tantũ abeſt à tropico pun Kto P. in Ecliptica, quantum ab eodem punctũ H, abeſt;ac proinde parallelusK“L., pꝓer duo puncta Eclipticę equaliter à tropico puncto F, remota tranſit. Eademqʒ a g ratione Parallelus quilibet per duo puncta ab alterutro puncto tropico * qualiter diſtantia tranſit. a 9.2. Theo Duo paralleli per dus punctz Ecliptiex æqua liter ab alterutro puncto æqui noctiali, vel à du obus, aut etiã à duobus puntis ttopicis diflaatia ducti declinataones habent æquales. 2 I. I. ThHeed. ThHeod. Iidem dus patal leli habent latitudines ortiuas æquales. 150 DL TIR. tatione parallelus per L.& per aliud punctum ex alia parte Meridiani tranſit; quod æqua lem cum puncto I. diſtantiam habet à puncto tropico G. 2. BEIN DE dico, duos paralle los KL, MI. abalterutro æquinoctiali uncto, vel à duobus, aut etiam à duobus punctis tropicis E, G, æqualiter diſtan tes, declinationes habere æquales HS, II. Quoniam enim in triangulis HES, IE T. anguli 8, T. recti ſunt,& anguli ad verticem E, æquales, ex propoſ. 6. no ſtrorum triang. ſphær. Ponuntur autem& arcus Eclipticæ E II, EI, rectis angulis oppoſiti. æquales: erunt per propoſ. a i. noſtrorum triang· ſphær. arcus etiã IIS, IT, declinationum pundorum H, I. æquales. Atq; ita duo puncta H, I. Ecliticæ, ab eodem Aequigoctij puncto E, æque remota, vel paralleli per ea ꝑuncta ducti KL, MI. æquales habent declinationes. Quod ſi dentur puncta H. I, æqua liter diſtantia à tropicis punctis F, G, verſus eandem ſectionem E, vernalem, vel autumna lem, diſtabunt eadem ab E, æqualiter. Igitur vt proxime oſtendimus, paralleli per ea ducti habent æquales declinationes. Si denique vnum punctum, v. g. H. ponantur diſtare à tropico puncto F, verſus autumnale punctum E, alterum vero punctum eadem diſtantia remoueri à tropico puncto G, verſus puncum vernale, ita vt priori per diametrum ſit oppoſitum, ſumemus aliud punctũ I. verſus prius pundtum E, autumnali, in eadẽ diſtantia à puncto G: habebuntque rur ſum puncta H, I, vt proxime oſtendimus, æquales declinationes HS, IT. Et quia idem parallelus trã ſit per I,& punctum reſpon dens ex altera parte datum, vt Num 1. demonſtratum eſt, habentque omnia puncta eiuſdem paralleli æquales declinationes, b quod omnes arcus maximorum circulorum per polos mundi duſtorũ, cuiuſmodi ſunt declinationum circuli, inter quemuis parallelum& Aequatorem, ſint æquales; habebũt quoque paralleli per H,& alterũ illud pũctũ Ecli pticæ pũcto I, ex altera par te re ſpondens, quod ipſi H, opponitur, declinationesæquales. 3. IERT IO dieo. eoſdẽ duos parallelos habe re latitudines ortiuas EL. EN, æquales. Quoniam enim in triangulis ELQ, ENR, anguli Q. R, recti ſunt. & anguli ad E, verticem ex propoſ. 5. noſtrorum triang. ſphęt. æqua les Item & arcus declinationum LQ, NR, angulis æqualibus add E. oppoliti oſtenſi ſunt æquales; denique arcus EL, EN, rectis angulis æqualibus Q, R, oppoſiti ſemicirculum non conficiunt, cum quilibet ſit quadrante minor, vtpote latitudo ortiua, quæ ſemper quadrante minor eſtʒ erunt per propoſ. a2. noſtrorum triang · phær. arcus quoque EL. EN, hoc eſt. latitudines ortiuæ, æquales. 4. WM AR L E M M A XLIX. 151 4. Q VAR T O dico eoſdem duos parallelos eſſe æquales. Cũ enim arcus EL, EN, inter ipſos,& Aequatorem interiecti, oſtenſi ſint æquales, erunt ipſi paralleli KL, MIL,æquales. 5. S EQAVIT VR ex his, quaterna ſemper puncta Eclipticæ, quorum bina oppoſita ſint per diametrum,& bina à duobus pũctis æquinoctialibus, aut tropicis, aut ab eodem puncto æquinoctiali.vel tropico, æqualiter diſtantia, habere æquales declinationes, latitudineſque ortiuas. Huiuſmodi puncta ſunt initium J, initium N, initium,& initium C, quorum priora duo à principio, poſteriora duo à principio. equaliter diſtant: item primum ac vltimum æquali interuallo abſunt à principio V.& intermedia duo à prin eipio. Et quoniam per priora duo idem parallelus tranſit,& per poſteriora duo vnus alius& idem parallelus, vt Num. i. eſt demonſtratum, habebunt tã illa duo, quàm hæc, declinationes, latitudineſque ortiuas æquales, vt oſtendio mus Num. 2.& 3. Sed vt ibidem demonſtratum eſt, etiam primum& vltimum declinationes, latitudineſque ortiuas æquales habent, cum æqualiter à principio V. diſtent. Igitur omnia quatuor æquales declinationes, ac latitudines ortiuas habent, quorum primum ac tertium, nec non ſecundum ac quartum, per diametrum opponuntur, cũ tam illa, quàm hæc, æquali interuallo diſtent à prin cipij& A ſecundum ſucceſsionem ſignorum. Itaque ſatis eſt, ſi inueniantur deelinationes, latitudineſque ortiuę punctorum vnius quadrantis Eclipticæ, cum hæ punctis quoque aliorum trium quadrantum conueniant, ſi puncta ſumantur, vt dictum eſt. POSSVN T omnia hæc facilius, ac breuius ex Theodoſioj demonſtrari hoc modo. Quoniam Ecliptica EF, tangit vnum parallelorum, nimirum tropicum, vel S, b erunt duo eius arcus inter Acqua torem, ac parallelũ KL, quorum vnus eſt EI, inter ſe æquales. Igitur& ex quadrantibus reliqui vſque ad Meridianum, quorum vnus eſt H F, æquales erunt: atque idcireo idem parallelus KL per duo puncta à tropico puncto F, æqualiter remota tranſibit. Ea demqʒ ratio eſt de parallelo Ml. DEIN D E quia arcus Eclipticæ EH, EI, ponuntur æquales, cum paral leli KL, MI, ab æquinoctiali puncto E, aut à duobus punctis tropicis F, G, æqualiter ponantur diſtare 3e erunt ipſi paralleli KL, ML, æquales. Igitur tam duo arcus circuli maximi per mundi polos ducti, inter Aequatorem,& dictos parallelos intercepti, qui eorum declinationes metiuntur, quàm duo arcus EL, EN, Horizontis, qui eorũdem parallelorum latitudines oxtiuas determinant, æquales inter ſe erunt. Ex quo rurſum ſequitur, quaterna Eclipticæ puncta æquales habere& declinationes,& latitudines ortiuas. 6. D1I C O ſexto, quaternos arcus Eclipticæ æquales, quorum bini per diametruum ſint oppoſiti,& bini à duobus punctis æquinoctialibus, vel tropieis aut ab eodem puncto æquinoctiali, vel tropico æqualiter remoti, æquales habere aſcenſiones in ſphæra recta. Dico aũt, duos illos arcus eſſe oppoſitos, quo rum puncta extrema per diametrum opponuntur: æqualiter vero diſtare à punctis æquinoctialibus, vel tropicis, quorum extrema puncta ab eiſdem æqualiter abſunt, ita vt propinquiora duo habeant æquales diſtantias,& remotiota item ⁊quales. Sint ergo primum duo arcus Eclipticæ EH, EI. æquales ab eodem pũ 0 æquinoctiali E, inchoati, ac proinde& reliqui HE,&, equa les à tropicis pun tis F, G, inchoat i: eruntque ES, ET, aſcenſiones rectæ arcuum EH, EI,& A8, C Taſcenſiones rectæ arcuum FH, GI: probandum autem eſt, tam ES, ET, qua A8, CT, x qua les eſſe. quod ſic fiex. Quouiam in triangulis EIS, EToe anguli 8, T. recti Tide m dus paral leli aquales süt. 1 T ged. Quaterna puncta Eclipticæ æquas les habere declinationes,& lati · tudines ortiuas; 8c quznam illa ſint. Satis eſſe, vt doclinationes, latitudrneſque ortiux omaium pun ctorũ vnius quadrantis Eelipticg inveniantur. b 73. 2. ThHeod. 9 17. 2 ThHeod. . Theod. Oui areus Ecke pticæ diccatur oppofaĩ,& qui æ qualiter diſtantes ab aliquo p cto Ecliptica. . THeod. EHE BARI XI. S, T, recti ſunt,& anguli ad verticem E, æquales, ex propoſ. t. goſtrorum triang. ſphęr. Ponũtur aũt& arcus EH, El, rectis angulis oppoſiti, ęquales, erũt per pro poſ. a i. noſtrorum triang. ſphær. areus etiam E&, ET. æquales, ideoque& ex qua drantibus reliqui A8, CT. Et quoniam vt Num, i. oſtenſum eſt, parallelus KI., tranſit ex altera parte Meridiani per aliud punctum Eclipticæ, quod æqual iter cum puncto H, à puncto tropico Ps diſtat. atque adeo tantum ab altero puncto æquinectiali, quantum I, ab E, abeſt: ſi per illud ex polo O, circulus ducatur ma ximus, abſcindetur ab Aequatore arcus omnino æqualis arcui ES; propterea quod triangulum triangulo EHS, æquale conſtltuitur. Nam angulus, quem Ecli ptica cum Aequatore in illa ſectione facit, æqualis eſt anguſo HES, cuti tam ille, quàm hic ſit angulus maximæ declinationis;& anguli ad Acquatorem, quibus arcus Eclipticæ æquales opponuntur, nimirum S,& in alio triangulo ei reſpondens, recti ſunt.. Igitur per propoſ. 21. noſtrorum triang. ſphær. arcus ES, arcui reſpondenti in 40 illo triangulo æqualis eſt; ac proinde& ex quadrantibus reliqui, videlicet A8,& ei reſpõdens ex altera parte, æquales ſunt. Eodemqʒ modo oſtendẽ tur ET, CT, æquales arcubus reſpõdentibus ex altera parte, quos idem parallelus MI, dirimit. Quocirca tam quatuor arcus EH, E,& eis re ſpondentes à duobus punctis æquinoctialibus inchoati; quorum bibi ſunt oppoſiti, (nimirum EH,& reſpondẽs arcus arcui EIL,& El, atque arcus arcui EH, reſpondẽs) & bini æqualiter à duobus punctis æquinoctialibus, vel tropicis remoti, quam quatuor arcus à punctis tropicis iachoati, nimirum EH, GI, & eis ex altera parte re ſpon dentes, quorum bini etid op oſiti ſunt,&c æquales ha25 aſcenſiones rectas. S ED ſint iam quatuor ar cus æqua les HV. IX, eiſq; ex altera parte reſpondentes duo, neqʒ à punctis æquinoctialibus neque à tropicis inchoati, ſed ab eis æqualiter remoti. Dico eorũ quoque aſcẽſiones rectas, arcus ſcilicet O8, RT,& duos, ipſis altera ex parte reſpondẽ·tes, æquales eſſe. Nam vt Proxime monſtra tum eſt, tã quatuor arcus EH, EI,& eis reſpondentes altera ex parte, ab æquinoctialibus pũctis inchoati, quam quatuor atcus NV, EX. eiſque altera ex parte reſpondentes, d punctis etiam ęquinoctialibus inchoati, aſcenſiones habente equales, arcus videlicet ES, ET, eiſque ex altera parte reſpondentes,& arcus EQ, ER, ciſq; reſpondentes alteta ex par te. Igitur& reliqui arcus quatuor 8, RI, eiſque altera ex parte reſpondentes, æquales erunt. Maniſeſtum autem eſt,& hic binos eſſe oppolitos, nimirum H V, & eum, LIF M M LI. 153 & eum, qui altera ex parte arcui IX, reſpondet; Item IX,& eum, qui altera ex parte arcui HV, reſpondet; binos autem vel à duobus punctis æquinoctialibus, & tropicis, vel ab vno eodemq; æqualiter diſtantes. Nam HV, eiqʒ reſpondens altera ex parte, æqualiter diſtant à duobus punctis æquinoctialibus. Et ab vno eodemq; puncto tropico E, vel Gʒ quod etiam de arcu IX, eiq; reſpondente ex altera parte dicendum eſt: At tam quo arcus HV, IX, quam duo eis altera ex parte reſpondẽ tes, æqualiter recedunt ab eodem puncto æquinoctiali E, vel alio op poſito.& à duobus punctis tropicis E,& G. IT AQVE ſatis eſt, ſi aſcenſiones rectæ omnium areuum primi quadrantis Eclipticæ ab M, inchoatorum inquirantur. Ex his enim tota tabula rectarum aſcenſionum conſtruetur. Nam illis inuentis, ſi maiores primum, deinde minores ex ſemicirculo auferantur, relinquentur aſcenſiones arcuum quadrante maiorum,& ab V, inchoatorum. Vt aſcenſio recta primi quadrantis ab V vſque ad Qn eſt quadrans. Et ſi aſcenſio arcus grad. 8 g. ex ſemicirculo dettahatur, reliqua fiet aſcenſio arcus grad. 91. Sic ex aſcenſione grad. 88. colligemus aſcenſionem grad. 92.&c. quĩa aſcenſio grad. 89. ab Verſus qualis eſt aſcenſioni grad. 89. 4 A, verſus, vt hic den onſtatnm eſt. Quatre ſi ex ſemicirculo tollatur, remanebit aſcenſio reliqui arcus grad gi. cum ſemieirculi aſcenſio ſit ſemicirculus. Sic aſcenſio grad. 88. ab ver ſus T cqualis eſt aſcenſioni grad. 88. a verſus,&c. Deinde ſi aſcenſiones omniũ arcuum ab M inchoatorum, vſque ad adiiciantur ſemicirculo, fient aſcenſiones omnium arcũ ſemicirculo maiorum ab V vſque ad V ſeu finem. 7. AR CVS Eeclipticæ quadrante minores ab æquinoctialibus punctis inchoati, maiores ſunt ſuis aſcenſionibus rectis, a tropicis vero punctis inchoati minores. Quoniã enim in triangulo OH, duo latera OF, OM, ſemicirculo ſunt ſimul minora, cum ſingula ſint minora quadrante, quippe cum quadrantes ſint OA, Oszerit angulus externus OH E, maior interno recto OE hoc eſt, obtuſus, ex propoſ. 14. noſtrorum triang. ſphær. ideoque ex duobus rectis reliquus EIS, acutus, minorq; recto ESH. Igitur per propof. f l. noſtrorum triang.ſpher. arcus Eclipticæ EH, ma ior erit arcu Aquatoris ES, qui eſt illius a ſcenſio recta; atque idcirco reliquus HE, ex quadrante EF, minor reliquo SA, ex quadrante EA. Conſimiliſque demonſtratio ſiet in arcubus EI, IG,& in aliis qui ab alio puncto æquinoctiali ſumunt initium, reſpondentque arcubus EH, HE, EI, IG. EX hoc colligitur, arcus Eclipticæ à principio inchoatos,& minotes quadrante, maiores eſie ſuis aſcẽſionibus rectisʒmaiores vero quadrãte,& ſemi circulo minores, minores aſcenſionibus ſuis rectis, quia aſcenſio primi quadran tis eſt quadrans, deinde vero arcus Eclipticæ adiecti vſque ad finem M, ſemper minores ſunt ſuis aſcenſionibus rectis; Arcus autem ſemicirculo malores,& tribus quadrantibus minores, rurſum maiores eſſe ſuis rectis aſcenſionibuszproPterea quod ſemicirculus ab V. vſque ad habet aſcenſionẽ ſemicirculum poſt qu iterum arcus adiecti maiores ſunt ſuis aſcenſionibus rectis: Arcus deni que tribus quadrãtibus ma iores, iterũ eſſe minores aſcenſionibus ſuis rectis, eo quod tres quadrantes Eclipticæ aſcenſionẽ habent tres quadrantes, deinde vero ar cus adiecti ſuls rectis aſcẽ ſionibus ſunt minores, quæ oĩa hic demõſttata ſunt. SED& lioc compertũ eſt, in ſphæta recta aſcenſionẽ cuiuſuis arcus, ſeu pun cti Eclipticæ eſſe æqualẽ deſcenſioni eiuſdem. Quia nimirũ deſcẽſio eſt a ſcenſio ſupra Horizontem rectũ ant ipodum, quibus tunc areus ille, vel punctum oritur, Cu ergo aſcenſiones rectæ in omni Horizõte recto eodẽ modo ſe habeãt liquet id. quod proponitut. Vel ft. Quoniã arcus oppoſiti æquales eandẽ habeut aſcen V ſionem, Satis eſſe vt aſet ſiones tectæ om nium arcuum pri mi quairantit Eclipticæ tepe riantur. Qui aicus EeliMaotes vis 2 ſceuſio nibus lecti;,& qui u. inores Aſecenſio recta en iuſuis atcus, vel puncti, æqualis eſt deſcenfioni r ctæ eiuſdem arcus. circulus maximus ex polo mũ di pe r unterſectionem paralleIi cufuslibet pun cti Eclipticæ cũ Horizonte obliquo ductus, intercipit cum Ho rizõte 0 tore different: alcenſionalem il Iius puncti Ecliptica: cum circu lo vero alio maximo per illud punctum Eclipticæ ducto, aſcẽ ſionem obliquã arcus inter illud pnnctum,& Hoiz onte mi poſiti. 154 EER. ſonem, vt Numer. 6. oſtenſum eſt, eſtqʒ eadem aſcenſio cuĩuſuis arcus, quæ deſcenſio arcus æqualis oppeſiti, cum ſemper ſemicirculus Eclipticæ ſit ſupra Horizontem: fit vt a ſcenſio& deſcenſio illius arcus, qul ar cui cuipiam oppoſitũ eſt, æquales ſint, quandoquidem æquales ſunt aſcẽ ſioni huius arcus, cui opponitur. Verbi gratia, Aſcenſioni M, æquales ſunt aſcenſio,& deſcenſio Igitur aſcenſio& deſcenſio S, æquales ſunt. Et ſic de cæteris. 8. IN omni Horizonte obliquo maximus circulus ductus ex polo mũdi per punctum Horizontis, vbià parallelo per quodlibet püctum Eclipticæ deſcripto ſecatur, intercipit cum Horizonte in Aequatore arcum differentiæ aſcenſionalis illius puncti Eclipticæ, ſiue arcus Eclipticæ ab alterutro puncto æquinoctiali ad illud punctum numerati, ſiue numeratio hęc fiat ſecundum ſueceſsionẽ ſigno rum. ſiue contra: Idem autem circulus maximus cum alio per illud punctũ Eelipticæ ducto intercipit in Aequatore aſcenſionem obliquam areus Eg lipticę inter Horizontem,& punctum illud, per quod parallelus ductus eſt, poſiti. Vt quia parallelus KL, per punctum Eclipticæ H, ductus ſecat Horizontẽ in L, erit EQ, differentia aſcenſionalis puncti H, ſiue arcus EH, à puncto æquinoctiali E, vſque ad H, contra ſucceſsionem ſi gnorum numerati. Quoniam enim poſito puncto H. in Ho rizõte, nimirum in puncto L, (cum punctum H. ad primum motum deſcribat parallelum EKL c um arcu HE, cooritur arcus HL;& ſupra quemuis Horizõtem ſimiles ar cus parallelorum cooriunturzerit arcus Aequatoris SQ, qui arcui L., ſimilis eſt, aſcen ſio obliqua arcus E. Cum ergo Es, aſcẽſio recta ſit ciuſdẽ at cus EH, qd hi arcus SE, HE, ſimul ſupra Horizontem rerum Os, aſcendantzerit EQ, differentia aſcenſionalis. Dico EQ, eſſe quoque differentiam aſcensionalẽ arcus Eli pticæ, qui ab altero puncto æquinoctiali ſecundum ſucceſsionem ſignorum vſqʒ ad ——. protẽditur. Nã col locato puncto H, in L. ſta tuetur punctum 8, in Q, quod tunc arcus O8, arcui OQ, congruat omnino, Erit ergo tunc arcus Acquatoris ab illo pũcto æquinoctiali vſqʒ ad Horizontem obliquum in puncto E,(ſecante tunc Ecliptica Horizontem in L,) aſcenſio obliqua dicti arcus Eclipticæ vſque ad H, numerati, ſeu puncti H, in L, tunc poſiti. At vero arcus Aequatoris ab eodem illo puncto æquinoctia li yfque ad punctum 8, in Q, tunc collocatũ, aſcenſio recta eſt eiuſdem arcus, ſeu puncti.Igitur EQ, diflerentia eſt aſcensionalis. Non ſolum autem Oð, aſcepſio obliqua eſt arcus HE, cuius alterum extremum eſt punctum æquinoctiale E, ve rum etiam cuiuſuis alterius arcus, nimirũ arcus Ha, ſi per L, ducatur alius HoN g 20n E NM WA XILIX. 155 ron obliquus 2 V, ſecans Eclipticam in a, extra punctum æquinoctiale E. Nam ſupra hunc Horizontem arcus paralleli HL, cooritur cum arcu Echipticæ Ha. nilis OS, aſcenſio obliqua eſt arcus Ha, Sed arcus Ef go ei ſit b, non eſt tunc dif l aſcensionalis arcus Ha, quia b, non eſt ipſius aſcenſio recta, quod pun cta a, b, non ſimul ad Horizontem rectum ex O, per a, vel b, ductum perueniant, quod tamen requiritur 3 vt bo, poſsit eſſe aſcenſio recta prædicti areus Ha Conſtat ergo eirculum maximum O Q, per L, ductum intercipère cum Horizonte obliquo BD, differentiam aſcensionalem EO. puncti E, ſiue arcus Eclipticæ à puncto æquinoctiali vſque ad H, intercepti:& eundem cum maximo circulo OS, per idem punctum H, ducti, intercipere aſcenſionem obliquam Qs, tam arcus I E, ab æquinoctiali puncto E, inchoati, reſpectu Hori20ntis BD, quam arcus Ha, non a puncto æquinoctiali E, inchoati, reſpectu Horizontis ZV. Eademqʒ; de cæteris ratio eſt. 9. I N quduis Horizonte obliquo duo Eclipricm areus æquales ab alterutro æquinoctiali puncto æqualiter diſtantes, ſiue ab eo initium ſumant, ſiue non, æquales habent aſcenſiones. Sit enim in ſecund a figura Meridiac nus ABCD; Acquator AC; Horizon obliquus BD, ſecans Aequatoremin E, & quicunque areus Eclipticæ FO, ab æquinoctiali puncto F, vſque ad Hotizentem; ita vt eius aſcenſio obliqua ſit Aequatoris arcus FEE; cum, poſito puncto F. in puncto Horizonts E,& mota ſphæra verſus A, puncta E,& G, üümulsd Horzontem perueniant. Sit quoque alius arcus Eclipticæ FH, ipfi EG, æqualis, ab eodem puncto æquinoctiali F, vſque ad Horizontem, ad partes alterius poli, ita vt eius aſcenſio obliqua ſit etiam EF; propterea quod mota ſphæra, cum primum F, ad Horizontem in E, peruenerit, ambo arcus EE, HE, perorti conſpiciuntur. Dico has aſcenſiones FE, EF, eſſe æquales. Quoniam enim in triangulis FEG, FEH, tam anguli ad verticem E, quam ad verticem P,(Arcus namque Eclipticæ FG, FH, concipiendi ſunt continuati in FE, ita vt angulos ad verticem F, conſtituant, ſicut in ſphæra; qui quidem ſunt anguli maximæ declinationis, quos Ecliptica cum Acquatore facit.) æquales ſunt;& arcus FG, FH, ægqualibus angulis ad E, oppoſiti æquales ponuntur; arcuſque GE, HE, reliquis angulls æqualibus ad F, oppoſiti ſemicirculum non conficiunt, cum minores ſiut quadrantibus ED, EB; eruut per propoſ. 22. noſtrorum triang. ſphær. arcus quoue NEF EF, æquales quod eſt propoſitum. Vel ſic. Qupniam duo anguli EFG, GEF, duobus angulis EFH, HEE, æquales ſunt vt diximus,& duo areus FG, GE, circa reliquum angulum G, æquales ſunt duobus arcubus FH, HE, circa reliquum angulum H,;(Cum enim puncta G, N, aqualiter ab eodem puncto æquinoctiali E, recedant,, habe bunt latitugines ortiuas EG, EH, æquales, yt Num. 3. oſtendimus: at EG, EH, poſiti ſunt æquales,)& in hiſce apgulis reliquis G, H, poli reliquorum arcuum FEE, EE, hoc eſt, Aequatoris, non exiſtunt, cum Aequatoris poli ſint in Meridiano; erunt per proPoſ. 23. noſtrorum triang. ſphær. reliqui arcus FE, EP, equales: Atque hæc demonſtratio vtraque propoſitum colligit, etiamſi vter que arcus PG, FH, quadrante maior ſit, ſemicirculo tamen minor. S E D ſint jam aqua les duo Eclipticæ arcus G 1 HRK, æqualiterq̃ue ab eodem puncto æquinoctiali F, diſtantes, ſed non ab eo inchoati. Dico eoum quoque aſcenfiones obliquas eſle equales. Cum enim æqualiter diſtent ad a quincætia li pupcto F, erunt quoquè tam arcus GE, HF, quam IF, KF, à puncto æquinoctiaii E; inchoati, æquales. Ergo, vt proxime monſtraui2 mus, liter diſtantes, aſcenſiones obliquas habent æquales. Duo arcus Ecli pticæ æquales ab eodem tropico puncto ęqualiter remoti, item duo oppoſiti, habent ſuas aſcenſiones obliquas fimul ſumptas, aſcẽ ſio nibus ſuis rectis fimul fumptis æquales. 156 e mus, tam illi, quam hi, æquales habebunt aſcenſiones. Ablatis igitur æqualibus aſeenſionibus arcuum æqualium FI, EK, ex aſcenſionibus æqualibus arcuum æqualium FG, EH, reliquæ fient aſcenſiones æquales æqualium arcuum IK. 10. I N Horizonte quolibet obliquo duo arcus Ecliptieæ æquales ab al terutro puncto tropico equaliter diſtantes, itẽqʒ duo arcus oppoſiti, ſiue à punctis æquinockinlibus initium ſumant, ſiue aliunde, habent aſcenſiones ſuas ſimul ſumptas aſcenſionibus ſuis in ſphæra recta ſimul ſumptis æquales. In tertia enim figura Meridianus ſit AB CD; Acquator A C; Horizon obliquus BD, Aequatorem ſecans in E: ſitque arcus Eclipticæ G, ab V, inchoatus quicumque ſemicirculo tamen minor,& ei æqualis Ha, 4 A, inchoatus: quo poſito, puncta eorum extrema æqualiter ab eodem puncto tropico diſtabunt. Ponimus enim vtrumque verſus idem punctum tropicum tendere. Collocentur autem eorum puncta extrema in Horizonte, quæ in num G, coibunt, cum habeant latitudines ortiuas æquales, vt Num. 3. demonſtrauimus. Exunt igitur eorum aſcenſiones obliquę areus Aequatoris FE, N E. Ducto autem ex mundi polo I, per G, circulo maximo IK, erunt eorundem aſcenſiones recte EK, HK; conſtat autem arcus EE, HE, ſimul ſumptos, arcubus FK, HK, ſimul ſumptis æquales eſſe. Atque hoc verum etiam eſt de æqualibus arcubus ſemicirculo maioribus. Vt ſi ſumatur arcus ab, per 2; vſque ad principium, complectens decem ſigna, eique æqualis a per, ſque ad principium A, complectens quoque de cem ſigna: quoniam ſemicirculi ab V, per, vſque ad,& à= per e uſque ad aſcenſionos obliquas habent æquales aſcenſionibus rectis, mmirum ſemicir, culos; ſi addantur aſcenſiones obliquæ arcuum à A per Z vſque ad initium v„& ab V per S vſque ad initium A, quæ ſimul ſumptæ æquales ſunt aſcenſionibus rectis eorundem arcuum, vt proxime demonſtrauimus, fient aſcẽ ſiones obliquæ arcuum ab, per Q, vſque ad principium.& A= per Y, vſque ad principium A, ſimul ſumptæ, æquales aſcenſionibus rectis arcuum eorundem.Et ſic de cæteris. S IN T deinde duo arcus æquales G L, GM, ab eodem tropico puncto æqualiter diſtantes, ſed non ab æquinoſtialibus ꝓunctis E, H, inchoati. Et quoniam æquales ſunt arcus GL, GM, æqualiterque ab eodem puncto tropico diſtant; æqualiter quoque eorum puncta extrema G. L, G, M, ab,& V, diſtabunt, ideoque æquales erũt& toti arcus GE, GH,& reliqui EL., HM. Cum ergo proxime oſtenſum ſit, aſcenſiones obliquas tam arcuum FG,HG, quàm arcuum FL, HM, ab V.,& inchoatorum ſimul ſumptas: æquales eſſe aſcen ſionibus rectis eorundẽ ſimul ſumptis, ſi poſteriores à prioribus demantur, erunt quoque reliquæ aſcenſiones obliquæ arcuum GL, GM, ſimul ſumptæ reliquis aſcenſionibus rectis eorundem arcuum ſimul ſumptis æquales. Hæc autem demonſtratio congruit quoque arcubus æqualibus ab eodem tropico puncto æqua liter diſtantibus, qui intra ſe puncta æquinoctialia contineant. Vt in eadem tertia figura, ſi ſumantur arcus æquales NI, OM, quorum exttema æqualiter ab eo dem puncto tropico abſint; æquales er unt tam areus EL, HM, quam FEN, HO, ab æquinoctialibus punctis inchoati. Igitur, vt demonſtra tum eſt, tam illi, quàm hi habent aſcenſiones ſuas obliquas ſimul ſumptas aſcenſionibus ſuis rectis ſimul ſumptis æquales, ac proinde ſi priores poſterioribus addantur; efficientur aſcenſiones obliquę ſimul ſumptę totorum arcuum NL, OM, ęquales rectis eorundem aſcenſionibus ſimul ſumptis. D ENI LI MM A NIX. 157 DEN IQ E ſi ſint duo arcus æquales oppoſiti quicunque, diſtantię eorum à punctis equinoctialibus tam ſecundum fucceſsionem ſignorum, quam cõtra, numeratę, ęquales erunt: Et ſi inter ipſos accipiatut alius arcus ęqualis, cũ altero ipſorum æqualiter ab eodem puncto æquinoctiali diſtans, diſſabit idem cum reliquo ab eodem pũcto tropico ęqualiter. Igitur cum arcus æquales ab eodem puncto æquinoctiali remoti habeant aſcenſiones æquales. vt Num.. oſtendimusʒ arcus autem æquales ab eodem puncto tropi co recedentes habeant, vt roximę demonſtrauimus, aſcenſiones ſuas obliquas ſimul ſumptas aſcenſioni5 ſus rectis ſimul ſumptis æquales; habebunt quoque arcus oppoſiti ęquales (ſumpto altero eorum pro eo, qui cum reliquo eandem diſtantiam ab eodẽ tropico puncto habet) aſcenſiones ſuas obliquas ſimul ſumptas rectis ſuis aſcenſionibus ſimul ſumptis æquales. Verbi gratia. Signa N,& MN, ſunt oppoſita:& quia s& qua liter diſtant à principio; diſtabunt quoq;&,& M, æqualiter à principio. Cum ergo,& qu, aſcenſiones ſuas obliquas ſimul ſumptas, habeant æquales aſcenſionibus ſuis rectis ſimul ſumptis, vt proxime monſtratum eſt,& eadem ſit aſcẽ ſio obliqua qu, quę M vt Num.. oſtendimusʒerunt quoque aſcẽſiones obliquæ g.& M. ſimul ſumptæ aſcenſionibus rectis eorundem ſimul ſumptis æquales. Eademque ratio eſt de alijs quibuſcunque arcubus, ſiue à. punctis æquinoctialibus initium ſumant; ſiue non. 11. IN omni regions obliqua arcus Eclipticę ab. mehoati,& ſemicirculo minores, ma iores ſunt ſuis aſcenfionibus obliquis; à, vero inchoati. minores: dummodo latitudo loci neque maior ſit complemento ma ximæ declinationis,(Nõ enim omnia ſigna oriuntur, aut occidunt in ea regione, vbi altitudo poli complementum maximę declinationis ſuperat, hoc eſt, maior eſt, quam grad. 66. neq; minor declinatione illius puncti, quod tunc in Meridiano reperitur, ſi tamen boreale eſt, quando extremum punctum propoſiti arcus in Horizonte exiſtit · Sit enim in quarta figura Meridianus ABCD; Aequator AC; Horizon obliquus BD, ſecans Ae quatorem in E; polus Horizontis, vt latitu do regionis ſit A H; arcus Eclipticæ EG, quantuſcunq; à principio V, in puncto E, inchoatus, ſed ſemicirculo minor. Item arcus Eclipticæ IK, quantuſcunqʒ à principio in I, inchoatus.& minor ſemicirculo. Dico arcum FG, maiorem eſſe ſua aſcenſione obliqua EE, at arcum IK, ſua obliqua aſcenſione IE, minorem. Ducto enim per H, polum Horizontis,& punctum&, vbi Ecliptica Horizontem ſecat, circulo maximo HG, qnoniam latitudo loci AH, non ponitur minor declinatione AL, puncti borealis L, quod tunc in Meridiano exiflit,( quod quidem ſemper boreale eſt, quando principium M, nimirum punctum E, eſt vltra punctum A, in Aequatore. Nam quando eſt citra punctum A, vt in I, punctum Eclipticæ N, in Meridiano tunc exiſtens, auſtrale eſt, ac proinde latitudo loci poteſt eſſe quantumuis parua) erit angulus HGE, vel maior, vel æqualis angulo LGE. Cum ergo HGE, rectus ſit, exit LGE, vel minor recto, vel rectus, ac proinde minor angulo A F G, qui obtuſus eſt, propter eius arcum DA, quadrante D H, maiorem. Igitur per propoſ. 11. noſtrorum triang. ſphær. arcus FG, maior exit arcu EE. Eodem modo concludemus, arcum 10, maiorem eſſe arcu IE, quod ducto circulo max imo HO, v angulus I O E, rectus ſit, ideoque 10 E, acutus,& minor obtuſo IEO,&c. RYRSVs ducto per H, K, circulo maximo HK, erit angulus HKE, vel uinor, vel equalis angulo LKE, ꝙ latitudo loci AH, ponatur non minor declipatione AL, puncti borealis L, in Meridiano tunc exiſtentis quod ſemper boreale exit, quando Arcus Ecliptieg ab Ariete inchoa ti,& ſemicireuJo minores, maio res ſunt ſuis aſet ſionibus in obliqua ſphæra s inchoati vero 2 Libra, minores. 4215.6. Theo. b. i. Tha. 47. 1. Theo. br. i. Theo. Ateus Eclipticæ ab aricte inchoa ti habent aſcenſioncs obliquas tanto rectis aſtẽfonibus minores, quanto maiores tectis ſunt aſcenſiones obliquæ arcuum ædualium à Libra inchoatorum. Puncta Ecliptica oppoſita, difleren tias habere aſcen ſionales iuter ſe quales. c 25. i. Theo. Nuorum arcuum Eclipticæ æqualium ab çodem puncto tropico æqualiter diſtantium, vel oppoſitorũ, vnius aſcen ſio obliqua tanto minor eſt, quam recta, quanto alte rius mai or eſt. 158 IAA RN NM III quando in itium, hoc eſt, punctum I. efl citra punctum A, in Aequatore. Na quando eſt vltra punctũ A, vt in E, punctum Eclipticæ N, in Meridiano tunc exi ſtens auſtrale eſt, ac ꝓinde latitudo loci quantũuis exigua eſſe poteſt. Igitur a cũ angulus HK E, rectus ſit, erit IKE, vel maior recto, vel rectus, ac ꝓinde major angulo IEK, qui acutus eſt, Propter eius arcum BA, quadrante BH, minoré. Erit ergo per propoſ. Ir. hoſtrorum triang. ſphær, arcus IK, minor arcu IE. Eaemque ratione oſtendemus arcum EM, minorem eſſe arcu PE, propterea quod, ducto cireulo maximo HM, angulus HE, rectus eſt, atque idcirco EME, obtuſus, ac maior acuto angulo EEM,&c. 12. IN omni regione obliqua, cuius latitudo maior non ſit complemento maximæ declinationis, areus Eclipticæ ab inchoati,& ſemicirculo minores, aſcenſiones obliquas habent tanto rectis aſcenſionibus minores, quanto maiores rectis ſunt aſeenſiones obliquæ arcuum oppoſitorum,& ęqualium à, inchoa torum. Ponantur enim in eadem figura quarta duo arcus FG, EM, æquales, arcus quidem EG, ab M at PM, a, inchoatus ducanturque ex mundi polo Q. per G, M, vbi dicti duo arcus Horizontem ſecant, eirculi maximi QG, QM, Aequatorem ſecautes in RI, vt rectæ aſcenſiones arcuum FG, EM, ſint FR, PI. Vbi liquido conſtat, obliquam aſcenſionem EE, arcus EG. ab V, inchoati, minot em eſſe aſcenſione recta FR„ aſcenſionem vero obliquam FE, arcus FM., à P inchoati, maiorem eſſe a ſcenſione recta EI„ differentiasque aſcenſionales illorum arcuum eſſe ER, EIʒ quas dico eſſe æquales: adeo vt tanto minor ſit aſcen ſio obliqua EE, aſcenſione recta ER, quanto obliqua aſcenſio RE, recta aſcenſione FIL, maior eſt. Quoniam enim puncta Eclipticæ G, M, per diametrum oppoſita ſunt, propter æquales arcus FG, EM, ab& M, inchoatos,& ſecundum ſucceſsionem ſignorum numeratos; erunt eorum latitudines ortjuæ EG, EM, æqua les, vt Num. 3. collegimus. Igitur cum in triangulis ESR, EMI, anguli ad verticem E, æquales ſint, ex propoſ. 6. noſtrorum triang. ſphær.& anguſi R, I, recti, quibus oppoſiti ſunt arcus oſtenſi æquales EG, EM, erunt per propoſ. 21. noſtrorum triang. ſphær. arcus ER, EL. æquales. NIHIL autem refert, quod poſuerimus oppoſitos arcus G, FEM, æquales, cum tamen aſcenſiones rectas ER, ES&, habeant anæqua les: quia idem prorſus eon cludetur, ſi, vt res Poſtulat, principium D ultra E, acciperetur, vt arcus Eclipticæ ab eo vſque ad M, fieret æqualis arcui EG, eiuſque aſcenſio recta ab eodem principio, vſque ad I, æqualis aſceuſioni rectæ ER propterea uod differentiæ aſcenſionales ER, El, eædem ſemper permanent. QVO ſi duo arcus Eelipticæ æquales ab Y.&, non incipiant, ſed tamen vel ab eodem puncto tropico æqualiter diſtent, vel nt oppoſiti, erit adhuc aſcenſio obliqua vnius tanto minor aſcenſione recta eiuſdem, quanto alterius obliqua aſcenſio maior eſt:& arcus quidem in ſemicirculoj Eelipticæ aſcendente, hoc eſt, à; per V vſque ad D, comprehenſi, minores habent aſcenſiones,& arcus in iemicirculo deſcendente, id eſt, à T. per, e ſque ad S, contẽti, maiores, vt lib. 3. Can. y. Nu. y demonſtrabituf. Ex quo fit, vt arcus ab V vſque ad, minores habeant aſcenſio nes, quam arcus à A u ſque ad :. cum arcus à, vſque ad, habeant)vt Num. monſtra tum eſt, aſcen ſiones æquales lis, quas arcusà. vſque ad S zhabent. Eadem de cauſa habebunt orcus à, vſque ad, maiores aſcenſiones, quàm arcus ab Hovſque ad S, cũ hi poſteriores arcus habeã t aſcẽſiones æquales lis, quas arcus ab v que ad Y, habent, vt ex Num. 9. liquet. Itaque arcus à S per; vſque ad . tanto minores habent aſcenſiones obliquas a ſcenſionibus rectis quanto arcus en el. 159 arcus à V per= que ad Sz illis æquales, habent maiores. Hoc autem ita oſtendi poterit. Qupniam, vt Num. 6. oſtenſum eſt, 3;&, habent aſcen ſiones rectas æquales, ſint ille aſcenſiones EK, HK, vt in tertia figura: Et quia his ſimul ſumptis æquales ſunt aſcenſiones obliquæ eor undem arcuum ſimul ſumptæ, vt Num. 10. demonſtratum eſt, eſtque aſcenſio obliqua S, minor aſcenſione obliqua; i EE, ſit aſcenſio obliqua, ac proinde reliquus arcus EH, aſcenſio obliqua A; perſpicuum eſt, arcum FE, tanto minorem eſſe arcu EK, quanto maior eſt arcus EH, arcu K H, vel eodem EK, cum vtrobique exceſſus ſit arcus EK. Atꝗ. ita de cæteris arcubus ęqualibus oppoſitis. Rut ſus quia&,& aſcenſiones rectas habent æquales, vt Num 6. dictum eſt, ſint illæ aſcenſiones FK, IK, in eadem tertia figura: Et quia his ſimul ſumptis æquales ſunt aſcenſiones obliquę eorundem arcuum ſimul ſumptæ, vt ex Num. 10. patet, ſi diuidatur FH, in arcus inęquales in E, xt EH, ſit aſcenſio obliqua,& EF, N liquido eon ſtabit, tanto maiorem eſſe arcum EH. arcu LK, quanto arcus EE, minor eſt arcu eodem FK, vel HK. Eademque ratio eſt de aliis arcubus æqualibus ab eodem puncto tropico æqualiter diſtantibus. Quod ſi aſcenſio, minor eſſet aſcenſio ne S, colligeretur eodem modo, tanto minorem eſſe illam recta aſcenſione, quanto hæc maior eſt; ita yt certiſsimum ſit, ſi accipiantur duo arcus Eclipticæ æquales vel æqualiter diſtantes ab eodem puncto tropico, vel oppoſiti, vnius aſcenſionem obliquam eſſe tanto minorem recta aſcenſione eiuſdem, quanto aſcenſio obliqua alterius maior eſt 13. IN omni regione obliqua duo atcus Eclipticæ æquales ab eodem punDuo atcus Eclipticæ æquales ab cto tropico, aut æquinoctiali, equaliter diſtantes, vel oppoſiti, eandem habent* puncto differentiam aſcenſionalem. Qupniam enim arcus æquales ęqualiter receden tes ab eodem tropico puncto, vel oppoſiti, habent aſcenſiones obliquas ſimul ſumptas æqua les aſeenſionibus rectis ſimul ſumptis, t Num. 1 o. doculmus, ſuntque aſcenſiones eorum rectæ æqua les, vt ex Num. C liquet, fit vt vnius aſcenſio obliqua ſit tanto minor, quàãm recta, quanto alterius aſcẽſio maior eſt, vt Num. 1 2. diximus. Igitur eandem habent aſcenſionalem differentiam. De arcubus autem ęqualibus ab eodem puncto ęquinoctiali ęequaliter diſtantibus res perſpicua eſt, cum æquales habeant aſcenſiones obliquas, vt Num. 9. oſtenſum eſt, ac proinde vtriuſque aſcenſio; vel eodem exceſſu ſuperet aſtenſionem rectam, vel ab ea deficiat. 14. IN omni regione obliqua arcus quilibet Eclipticg, cuius extrema pun E, C cta ab eodem puncto tropico æqualiter diſtant, cuiuſmodi ſunt areus inter prin9 5 eu cipia—＋& ql · inter initia&& MM iuter initia, inter initia „& s atque inter principia M;& A, eandem habent aſcenſionem, quam in ſphęra rectaʒquia, vt Num. ro. demonſtratum eſt, ſemiſſes illius ar cus habent aſcenſiones ſuas ſimul ſumptas, æquales aſcenſionibus rectis ſimul ſumptis. Vnde quamuis vna ſemiſsium habeat minorem aſcenſionem obliquam. 8 altera maiorem, ambæ tamen ſimul ſumptæ efficiunt aſcenſionem rectam toius arcus. EN qus eſficitur, eundem arcum predictum in omnibus regionibus, vel altitudinibus poli, eandem habere aſeenſionem, licet partes diuerſimode orian50 videlicet in omnibus eleuationibus poli aſcenſio eius æqualis eſt aſcen oni recte. DESCENS a b 10 porrò cuiuſuis arcus Eclipticæ æqualis eſt aſcenſioni eus oppoſiti; quia eodem tempore, quo arcus aliquis deſcendit, oritur eius arcus oppoſitus, vt ſemper ſemicirculus Ecliꝑticæ ſupra- Horizontem conIpiciatur pico, velæ qui noctiali æqua lites diſtantes, aut oppoſiti, eandem habent differentiã aſcenſionalt̃. Arcus Eeliętiez quicũque ab eodem puncto tropico bifatiam dt uiſus, habet vbi uls locorũ aſen ſiauem æqualem 2 nis eiu ſdẽ rectæ. Deſcenſo cnisfuis arcus hclipti cæ g qua us ſcenſioni Aus oppoſd 4 11.5. Theo. Satis eſti, ſi ſuppu tentur aſcenſio · nes obliquz arcuu m quadtantis primi Ecl ipticæ. Differentia aſcen fionalis cuiuslidet puncti ęclipticæ, eſt etiam differentia inter arcum ſemidiutnum e luſdẽ pun&i,& ar cum ſemidiurnũ Aequa tetris, qui ſemper Tuadtans ell. 160 Nene. ſpic iatur, vt ratio poſtulat, cum Horizon,& Ecliptica ſe mutuo bifariam ſecent. IT AQ ſatis eſt, vt tabula aſcenſionum obliquarum extruatur, ſi aſcenſiones obliquæ ſupputentur Pro arcubus quadrantis Eclipticæ ab V vſque ad 2. Nam, vt Num 9 demonſtrauimus, horum arcuum aſcẽſiones æquales ſunt aſcenſionibus arcuum quadrantis ab, vſque S. ſumendo ſemper binos æqua liter à principio. diſtantes: atque ita habebuntur aſcenſiones arcuum in vno ſemicirculo contentorum. Et quia, vt Num. to. oſtenſum fuit, horum a rcuum aſcenſiones,& oppoſitorũ aſcenſiones ſimul ſumptæ æquales ſunt aſcenſionibus rectis eorundẽ, habentq̃ue oppoſiti areus aſcenſiones rectas æquales, vt Num. 6. Patuitzfit, vt aſcenſiones arcuum ſemicirculi à S. vſque ad, ex aſcenſionibus re clis eorundem duplicatis ablatæ relinquant aſcenſiones obliquas oppoſitorum arcuum. EN his autem ſic tabula aſcenſionum obliquarum conſtruetur. Supputatis aſcenſionibus arcuum ab Vinchoatorum, vſque ad finem M, ſi eæ ſubtrahantur ab aſcenſionibus rectis duplicatis eorundem arcuum, reliquæ fient aſcenſiones obliquæ arcuum, a 5 inchoatorum, vſque ad finem: Et quia hæ æquales ſunt aſcenſionibus obliquis arcuum æqualjum 4 D, vſque ad initium; ſi he. initio facto à maioribus, ex ſemicirculo detrahãtur, habebuntur aſcenſiones obliquæ arcuum quadrante maiorum ab N, inchoatorum, vr que ad finem I. Quod ſi aſcenſionibus arcuum 2 , inchoatorum, vſque ad finem A, adiiciatur ſemicirculus, exurgent aſcenſiones arcuum ſemicirculo maiorum ab M, inchoatorum, vſque ad finem A. Denique quia aſcenſiones arcuum ab. vſque ad, æ quales ſunt aſcenſiombus arcuum ab Vi vſque ad S; ſi hæ, initio à maĩoribus facto, ſubtrahã tur ex integro eirculo, remanebunt aſcenſiones obliquę arcuum tribus quadrantibus maiorum, & ab M, inchoatorum, vſque ad finem 3 15. IAM vero ex ijs, quæ dicta ſunt. liquido etiam conſtare arbitror, eandem eſſe differentiam aſcenſionalem cuiuslibet puncti Eeſipticæ,& differentiam inter arcum ſemidiurnum paralleli per illud punttum deſcripti,& arcum ſemidiurnum Aequatoris, quadrantẽ ue. Nam in prima figura huius lemmatis arcus ſemidiurnus paralleli MI, borealis per punctum Eclipticæ I, deſcripti, eſt arcus MN, hoc eſt, ei ſimilis arcus Acquatoris AR, ita vt ER, diffe rentia FEI. 161 rentia ſit inter arcum ſemidiurnum AR, paralleli borealis MI, ſeu puncti borealis Eclipticæ I.& arcum ſemidiurnum Aequatoris AE. Dico ER, eſſe quoq; differentiam aſcenſionalem eiuſdem puncti Eclipticæ I. Mota enim ſphæra, donec punctum I. ad Horizontem in puncto N, perueniat, erit arcus Aequa toris à principio, vbicunquè tunc extiterit, ſecundum ſucceſsionem ſignorum vſꝗ. ad E, com putatus, aſcenſio obliqua puncti I. in N, tunc exiſtentis, cum punctum Aequatoris E, cum puncto Ecliptieæ l, in N, exiſtentis, oriatur ſupra Horizontem: Arcus vero Ac quatoris ab eodem principio A vſque ad R, computatus. aſcenſio recta erit eiuſdem puncti I, in N, tunc exiſtentis; quippe cum punctum Aequatoris R,& punctum E clipticæ N, quod tunc ab, non differt, ſimul ſupra Horizontem rectum PR, aſcendant. Eſt ergo ER, differentia aſcenſionalis. Eadem ratione erit EQ, differentia aſcenſionalis puncti auſtralis Eclipticæ H,& differentia inter arcum ſemidiurnum eiuſdem puncti H. vel paralleli KL,& arcum ſemidiurnum A equatorisʒe um aſcenſio obliqua terminetur in E.& recta in Qiatque AQ. ſit arcus ſemidiurnus punc̃ti H, hoc eſt, ſimilis arcui ſemidiurno KL,& AE, arcus ſemidiurnus Acquatoris. I6IT VR t arcus ſemidiurnus cuiuslibet puncti Eclipticæ ſupputetur, in quirenda exit differentia aſcenſionalis illius puncti. Hæc namque, ſi punctum borcale eſt, adiecta ad arcum ſemidiurnum Aequatobris, qui perpetuo Quadrans eſt, conficiet quæſitum arcum ſemidiurnum: Eadem vero ex arcu ſemidiurno Aequatoris dempta, ſi püctum Eclipticæ da tum auſtrale eſt, re linquet arcum ſemidlurvum quæſitum. 5 AI Q ex hoc maniſeſtum eſt, quando punctum boreale eſt, cuiuſmodi eſt I, differentiam aſcenſionalem ER, addendam eſſe ad ſemidiurnum arcum Aequatoris A E; hoc eſt, ad quadrantem, vt ſemidiurnus A R. puncti dati prodeatz candem vero ex aſcenſione recta in R, terminata auferendam eſſe, vt aſcenſio obliqua in E, terminata relinquatur. Contra vero, quando punctum datum H, auſtrale eſt, differentiam aſcenſionalem EQ, auferendam eſſe ex quadrante, ſiue ex arcu ſemidiurno Aequatoris AE, vt ſemidiurnus arcus AQ, dati puncti relinquaturʒ eandem vero ad rectam aſcenſionem in Q, terminatam eſſe adiicien dam, vt obliqua a ſcenſio in E, terminata conficiatur. HOC idem, quod de puncto Ecliptieæ boreali, auſtraliue dixiuus, intelligen dum quoque eſt de ſtella quauis borèali, vel auſtrali, vt patetꝰ ſi ſtella aliqua bo realis collocetur in parallelo MI,& auſtralis in parallelo KL. Erunt enim earum diſfferentiæ aſcenſionales ER, EQ,&c. QVIA vero pũcta Eclipticæ oppoſita æquales habent aſcẽſionales differentias, vt Num. 12. oſtẽdimusʒ habet autẽ quodlibet eotum cum puncto, quod ęqua lem cum eo à hroximo puncto tropico diſtantiã habet, eandem diſferentiã a ſcen ſceuſiona le, cũ per ea duo puncta idẽ parallelus tranſeat, vt Num t. demonſtra uimusʒetticitur, quaterna pũctaEclipticęg eandẽ habere differentiã aſcenſionalẽ. 16. EAN DEM habet proportio neus ſinus totus ad ſinum cõplementi declinationis dati puncti Eclipticæ, quam ſecans arcus inter datum pundtum,& Proximum punctum æquinoctiale comprehenſi ad ſecantem aſcenſtonis rectæ ciuſdem arcus, ſeu puncti dati à proximo puncto æquinoctiali numerandæ Nam in ſphætico teiangulo FGK, xectangulo, cuius angulus K, rectus, qd in tert ia pr cedente ſigura labetur, ita ſe habet ſinus totus ad ſinum cõplementi arcus GK, eclinat s puncti Eclipticę G, cicca angulum redum K, vt ſecans arcus FO, Ecliptieę inter datũ punctum G,& ptoximũ punctum æquinoctiale E, recto angu 1 r oliti, ad ſecauteni tertij arcus EK, aſcenſionis rect, qui eſt alter arcus l g X circa Quomodo en diffetentia aſcen ſionali cuiuslibet puncti Echi atcus ſem turnus eiuſdem pun cti eliciatur. Differentia aſcen fionalis quando addenda, vel 28. fer. ud i, vt habes midiurnus, vel aſct᷑ ſio obliqua dati puncti, vel ſtellæ Quaterna punda Eclipticæ habere tiam aſcenſionalem. Sinus totus ad nihum comple— menti dec natio nis c uts pun c kcliptiea ean dem pre tionem habet. quam e cans 2819 ter i lud puactũ. & pnnctam a qut prox tcant ais tectæ eiuſdem atcus. Kians totus ad tan gente m alti· tudinis poli eandem proportionem habet, quam tangens deelinati oais dati pun cti Eclipticæ ad fin u m differentię aſceufionalis eiuſ dem pancii. 162„ 1 angulum rectum K: vt propoſ. 53. noſtrorum triang. ſphær. demonſtra3 quod eſt propoſitum. Atque ita inuentis hoc modo aſcenſionibus reEAN DEM n vt ſupra Num. 6. diximus. n 1 3 Proportionem habet ſinus totus ad tangentem altitudinis polish tagen declinationis dati puncti Eclipticę ad ſinum differentię aſcen ſionalis eiuſdem puncti. In triangulo namque ſphærico rectaffgulo EGK, cuius angulus K, rectus, quod in eadem tertia figura pręcedente habeturs ita ſe habet per propoſ. 49. noſtrorum trlang. ſphær. ſinus totus ad tangentem arcus GK, declinationis puncti Eclipticæ G, circa rectum angulum K, vt tangens complementi anguli E dicto arcui GK, oppoſiti, hoc eſt, vt tangens altitudinis poli,(cum angulus E, ſit angulus complementi altitudinis polis, quem, nimimirum Aequator AC, cum Horizonte facit) ad ſinum arcus EK, differentiæ aſcen ſionalis, qui alter arcus eſt circa angulum rectum K. Igitur petmutando erit quo que, vt ſinus totus ad tangentem altitudinis poli, ita tangens declinationis dati puncti Ecliptica ad ſinum differentiæ afcenſionalis eiuſdem puncti. Sed hoc ſine triangulis ſphæric is ita quoque demonſtrabimus. 8 1 T in prima ſequente ſigura Meridianus ABCD; Horizontis dia · meter BD; Acquatoris LM]; axis mundi AC; diameter paralleli FEG, ſiue borealis, ſiue auſtralis, axem ſecans in H, ad angulos rectos,& Horizontis dia metrum in I; diameter Eclipticæ NP, ſecans FG, in O: Et demittatur ad BD, ex polo A, perpendicularis AK. Quod f circa diametros NP, EG, intelligantur ſemicirc uli earum ad Meridia num recti,& ex punctis E, O, H, J, excitatæ perpendiculares ad eundem Meridianum; 1 perpendicularis ex O, in punctum Eclipticæ datum, per quod parallelus diametri F G, tranſit, cum in extremo illjus perpendicularis in ſuperficie ſphæræ ſe interſecent Ecliptica,& parallelus. Arcus autem paralleli inter perpendiculates e O, H. erit aſcenſio recta dati puncti, cum cooriatur cum arcu Eclipticæ inter perpendiculares ex O, E, ſupra Horizontem rectum per AC, duAum, idemque arcus paralleli ſimilis erit arcui Aequatoris coorienti. cum ſemper ſimiles arcus parallelorum ecodem tempore perotiantur in omni 4 1. zonte. At arcus parallel i inter perpendiculares ex O5 IL, exit aſcenſio o 5 qua ain, qua eiuſdem arcus Eeliptieę, cum vna cum arcu Eclipticæ inter perpendicu lares ex O, E, peroriatur ſupra Horizontem obliquum per B D, ductum. Arcus denique paralleli inter perpendiculares ex H, I, differentis erit aſcen ſionalis. Rurſus H E, ſiaus eſt declinationis L F,& FH, ſinus complementi A F, eiuſdem declinationis. Iam ergo fiat, vt EH, ſinus comple menti declinatiovis ad HE, ſinum declinationis, ita FE H, ſinus totus ad aliud, inuenieturque H E, in partibus ſemidiame tri EH, ceu ſinus totius. Sed queniam per propoſ. 18. tractatus ſinuum, eſt vt FH, ſinus complementi declinationis ad H E, ſinum declinationis, ita ſinus totus ad tangentem declinationis. Igitur recta HE, nuenta in partibus ſemidiametri FH, deſt æqualis Tangenti declinationis reſpectu ſinus totius E A: hoc eſt. quot partes ſunt in HE, reſpectu ſinus totius E H, tot continentur in Tangente declinationis reſpectu ſinus totius EA; adeo,; vt idem lit accipere HE, in partibus ſinus totius EH, atque Jangentem declinationis paralleli propoſiti, reſpectu ſinus totius EA. Deinde quia triangula A ER, IE H, Kquiangula ſunt, ob angulos rectos K, H,& commmunem angulum E, vel ad verticem E, æquales z verit, vt E K, ſinus complementi altitudinis po li ad A K, ſinum altitudinis poli, ita HE, inurnta in partibus ſinus totius F H., hoc eſt, ita tangens declinationis, ad HI, ſinum differentiæ aſcenſionalis in partibus eiuſdem ſinus totius FH Eſt autem per propoſ. 18. tractatus ſinuum, vt ſinus complemen ti altitudmis poli ad ſinũ altitudinis poli ita ſinus totus ad Tangentem altitudinis poli: Igitur erit quoque. vt ſinus totus ad Tangentem altitudinis poli,(quæ Tangens in eadem regione nunquam mutatur) ita Tangens declinationis ad ſinùm differentiæ aſcenſionalis. quod eſt Propolitum. CAE TE RVM quando diximus, arcum paralleli inter perpendicularts ex O, I, erectas eſſe aſcenſionem obliquam arcus Eclipticæ, cuius ſinus eſt EO, intelligendum eſt de arcu, qui à proximo puncto æquinoctiali E, contra ſuccefsionem ſignorum numeratur Vt vergente Ecliptica EN, ad Folum borealem A, arcus numerandus eſt à D, verſus YM.& Et quiz arcus à= verſus S, habent æquales aſcenſiones cum arcubus Kqualibus, æqualiterque à principio D, verſus S, recedentibus, vt Num. 9. 0 9 oſtendi42 9. quinti. b i. ſix. Differentia inter Lor giſsimum vel breulſs:mam, arcum ſcu:idtur nu m,& arcum ſe mdlurnũ Acqua tolls, quo pacto in quauls elcua tone poll ſuppu cur. 164 Nin oſtendimusʒ inuentis illorum aſcenſionibus obliquis, repertæ quoque erunt horum aſcenſiones obliquæ; ita vt a ſcenſiones omnium arcuum in ſemictrculo deſcendente à principio N,, inchoatorum cognitę tune ſint: Vetgente autem Ecliptica EN, ad polum auſtralem, arcus idem, cuius ſinus EO numerandus eſt ab N, verſus, M,& Et quia arcus ab, verſus, habent eaſdem aſcenſiones cum arcubus ęqualibus, ęqualiterque à principio, verſus, recedentibus, vt Num. 9. oſtenſum eſt; inuentis illorum aſcenhonibus obliquis, repertæ quoque erunt horum aſcenſiones obliquæ; ita vt omnium arcuum in ſemicirculo aſcendente à principio, inchoatorum cog nitæ tunc ſint. Quo pacto autem ex hiſce aſcenſionibus cognitis cognoſcantur& aſcenſiones arcuum ab, inchoatorum;& ſecundum ſignorum ſucceſsĩonem nume ratorum, paulo ante ad finem Num. 14. declarauimus,& rurſum dicemus lib. 3. in ſcholio Canonis 5 Num. 1. QWVO D autem arcus Eclipticæ pr̃ædicti ab,&, nume randi ſint contra ſuccesionem ſignorum, ex eo liquet, quod punctum Eclipticæ parallelocommune, in quod perpendicularis ex O; erecta cadit,; Horizontem obliquum ad motum ſphæræ ſecat in puncto, in quod perpendicularis ex I, eteta incidit, ac deinde arcus päralleli inter perpendiculares ex O, I,& arcus Eclipticæ inter perpendiculares ex O, E, ab O, vſque ad æquinoctiale punctum E, ſecundum ſucceſsionem ſignorum nu meratus, ſimul peroriun tur, cum eorum extrema ſimul ad Horizontem obliuum perueniant. Idem 3 elt de aſcenſionibus rectis ſupra Horizon tem rectum per AC, ductum: ſed quia arcus ęquales ab,& Eũ verſus D, numerati habent re1 ctas aſcenſiones æquales, vt, Num 6. diximus, nihil intereſt, vtrum arcus Eclipticæ numetetur à A contra ſucceſs ionem ſignorum, an ab, ſecundum fucceſsionem ſignotum cc. ö E T quoniam'inuenta differentia aſcenſionali principij, vel 2, hoc eſt, diſferentia maximis, vel minimi arcus ſemidiurni,& ſem idiurni arcus Aequatoris, ad quamcumque altitudinem poli,(Eadem enim differentia aſcenſionalis, eſt differentia inter arcum ſemidiurnum,& arcum ſemidiurnum Aequatoris, vt Num. 15. oſtendimus) facili negot io dif· ferentiæ aſcenſionales omnium aliorum punctorum Eclipticæ reperiu. radem L E M M A XLIX. 165 eadem poli eleuatione, vt Num. 18. dicemus, inuenietur differentia aſcenſionalis principii, vel S ſi fiat, vt ſinus totus ad Tangentem altitudinis poli propoſitæ, ita Tangens maximæ declinationis, quam principium Evel E, habet(quæ Tangens eadem permanet in omnibus eleuationibus poli) ad aliud. Ita enim inuenietur differentia quæſita inter longiſsimum, vel breuiſsimum arcum ſemidiurnum,& arcum ſemidiurnum Aequatoris, vt koc loco demonſtratum eſt, ſi FG, ſit diameter paralleli, vel S.& EF ſemidia meter Eclipticæ, vt E, ſit punctum Eclipticæ datum quadrante diſtans à puncto æquinoctiali E. 18. SIN VS totus ad ſinum aſcenſionis rectæ dati puncti Eclipticæ eandẽ proportionem habet, quam ſinus difterentiæ inter longiſsimum, vel breuiſsimũ arcum ſemidiurnum,& arcum ſemidiurnum Aequatoris, hoc eſt, ſinus differentiæ aſcenſionalis principij T, vel S, ad ſinum differẽtiæ aſcenſionalis, ſeu differentiæ inter arcum ſemidiurnum eluſdem puncti dati Eclipticœ,& arcũ ſemidiurnũ Aequatoris Sit enim rursũ in ſecunda figura Meridianus ABCD, Ho rizontis diameter BD, Aequatoris LM,. axis mũdi AC; diameter paralleli borea lis FG, axem ad rectos angulos in H, ſecans,& Horizontis diametrum in Iʒdiameter paralleli, NK, ſecans axem in Q.& Horizontis diametrum in Rʒzdiameter denique Eclipticæ NP, ſecans EG, in O. Quod ſi circa diametros NP, NR EG, intelligantur ea rum ſemicirculi ad Meridianum recti,& ex punctis E, O, H, I. Q, R. excitatæ rectæ ad eundem Meridianũ perpendiculares, cadet perpendicularis ex O, in punctum Eclipticæ datũ;& arcũs paralleli inter perpendiculates ex O, H, erit aſcenſio recta dati pũcti,& OH, eius ſinuszarcus vero eiuſ dẽ paralleli inter perpẽdiculares ex O Iaſcẽſio obliqua erit, vt Num. 17, decla rauimus.& arcus inter perpẽdiculares ex H, L, differẽtia aſcẽſionalis, eiuſqʒſinus III; deniq; QR, ſinus erit differentiæ a ſcenſionalis hoc eſt, differentia inter longiſsin um arcum ſemidiurnß,&c. Et quoniã, ex ſcholio propoſ.. lib. 6. Eucl. eſt, vt NQ ſinus totus parallel., ad QR, ſinum differentiæ inter longiſsimũ arcum ſemidiurnum,& arcum ſemidiurnum Aequatoris, ita OH, ſinus aſcenſio nis rectæ dati puncti Eclipticæ ad HI, ſinum differentiæ aſcenſionalis eiuſdem puncti. exit permutando, vt ſinus totus ad ſinum aſcenſionis rectæ dati puncti, ita ſinus differentiæ aſcenſignalis Q, ad ſinum differentiæ aſcenſionalis eiuſdẽ dati puncti. quod eſt propoſitum. Quod autem hic acceperimus parallelos boreales. non refertʒ cum eæde in ſint a ſcenſiones iectæ, eædemqʒ diſterentiæ a ſcenſionales parallelorum auſtralium, quæ borealium, vt ſupra demonſtratũ eſt Num. 6.& 13. Itaque ſi ſupputata ſit in qualibet regione differentia aſcenſionalis initii, vel 2,& adlit tabula aſcenſionum rectarum, facili negotio reperientur qiſlerentiæ aſcẽ ſionales omnium aliorũ punctorũ Ellipticę in eadẽ regione. 19 In latitudine grad. 45. ita ſe habet ſiuus con plementi declinationis dati puncti Eclipt icæ ad ſinum dec linationis eiuſdem puncti, vt ſinus totus ad ſinum differentiæ aſcenſionalis eiufdem puncti. Nam in tertia figura Meridianus ſit ABCD; diameter Horizontis BD, altitudo poli DA, grad. 45.& axis mundi AC;& par alleli cuiuſuis diameter EG, ſec ans axem in H,.& diametrumi Horlzötis in 1. Et quia in triangulo HEI, omnes anguli æquales ſunt duobus rectis.& H, rectus eſt,& E, ſemirectus propter arcum DA grad. 45, erit quoque J. ſemirectus. ipſique E, æqualis; ide oque& latera HE, HI, æqualia erunt Et quonia m eſt, vt FH, ſiaus complementi qeclhinationis ad HE, ſinum declinationis, ita EH, ſinus totus ad, ſinum teſpectu ſinus totius EH, hoc eſt, ad HI, ipſi HE, æqualem z eſtque H I, ſinus diflerentiæ aſcenſionalis, vt ex preceubus Siaus totus ita le habet ad fa aeſcẽſionis recta cuĩuſuis punti Eclipticæ. vt ſinus differestiæ aſcenſionalis ini tij Cancri vel Ca pricorni ad ſinũ differentiæ aſcen fionalis eiuſdem pancti. ginus eon plemẽ ti dec linationis cuiuslibet puocti Eelipticæ ad fnum declinationis eiaſdem pun cdi eſt vt finas totus ad ſinum di fferentiæ aſcen fionalis eiuſdem puncti in latitudine grad. 45 a 32 fhumi. b G. primi. a 9. quinti. Arcus Tangenti derlinatiouis cuiuslibet puncti, tanquã finui, cog gruens, eſt diffe tentia aſcenſiona Iis eiudem pun cti in altitudine poli grad. 45. Ita ſe habet ſinus naomplementi al titudinis pol i da tæ ad ſinum alti tadinis poli, vt ſenus differentiæ aſcenſionalis cuiusuis puacti Eelipticę in alititudine poli grad. 45. ad ſinum differentiæ aſcenſio nalis eiuſdem pũ edi in ptiore alti tudine poli data b 4ſexti. Eadem eſt pro · portio ſinus to · tius ad tangeat ẽ altitudinis poli datæ, quæ fiuut differentiæ aſcen cionalis cuiuslibet puncti Eclipticæ in altitndi ne poli grad. 45. ad ſinum differẽ· tiæ aſrentionalis eiuſdem puncti ig data altitudive poli. 166 Lair ARI dentibus patuit. in partibus ſinus totius EH, liquet id, quod proponitur. VIA vero, per propoſ. 18. tractatus ſinuum, vt ſinus complementi declinationis ad ſinum declinationis, ita eſt quoque ſinus totus ad Tangentem de clinat onis; efficitur, ſinum differentiæ aſcensionalis in latitudinè grad. 35. cuiuſuis puncti Eclipticæ æqualem eſſe Langenti declinationis eiuſdem puncti: adeo vt areus Tangenti declinationis cuĩuſüis puncti Eclipticæ, tanquam ſinui, in tabula ſinuum debitus, ſit diſferentia aſcensionalis eiuſdem puncti in regionos in qua poli eleuatio grad. 4c. complectitur. Vt quia Tangens maximæ declinationis, id eſt, Tangens grad. 2 3. min. 30 eſt 4348124 cui tanquam ſinui in ſinuum tabula congruunt grad. 25. min. 46. pro differentia aſcensionali principij vel E, in latitudine grad. 45. 20. IN omni regione, quæ altitudinem poli habet maiorem, vel minorem quam grad. 45, ſinus complementi altitudinis poli ad sinum altitudinis poli eſt. vt sinus diſſerentiæ aſcensionalis cuiuslibet puncti Eelipticæ in altitudine poli grad. 45. ad sinum differentiæ aſcensionalis eiuſdem Puncti in altitudine poli Proposita. Sit enim rurſum in quarto eirculo Meridianus ABCD, Horixontis diameter BD zaltitudo poli DA, maior, vel minor, quàm grad. 45. axis mundi AcCzdiameter paralleli FG, ſecaps axem in H,& Horizontis diametrum in I demiĩtta turque ex polo A, ſinus altitudinis poli AK Et quia triangula AEK, IIIE, cum angulos habeant rectos K, H,& communem E æquiangula ſunt; b erit vt EK, ſinus complementi altitudinis poli datæ ad KA, ſinum altitudinis poli, ita HE, quæ æqualis eſt ſinui differentiæ aſcen ſiona lis in partibus ſinus totius EH, in altitudine poli grad. 45. vt in præcedenti Num patuit,(Nam ibi oſtenſum eſt, ob angulum ſemirectum E, ſinum dec li nationis HE, æqualẽ eſſe ſinui HI, dif ferentiæ aſcenſionalis.)ad Hl, ſinum dfferentię aſcenſionalis in altitudine, poli DA, data. quod eſt propoſitum. a Q Y ONIA M autem per propoſ. 18. tractatus ſinuum, eſt vt ſinus cõ plementi altitudinis poli ad ſinum altitudinis poli, ita ſinus totus ad JTangentem altitudinls poli; Exit quoque, vt ſinus totus ad Tangentem altitudinis poli propoſitæ, ita ſinus differentiæ aſcenſionalis cuiuſuis puncti Eelipticæ in altitu dine poli grad 45. ad ſinum differentiæ aſcenſionalis eiuſdem puncti in altitudi ne poli propoſita. Itaque inuentis differentiſs aſcenſionalibus omnium punctorum Eclipticæ in regione, in qua poli altitudo grad. 45 continet, quas quidem da bunt Tangentes declinationum, vt ad finem Num. 19. monſtratum eſt, reperientur earum beneficio aſcenſionales differentiæ e orundem punctorum in qua cumque alia regione. n M M DAT 15 duobus axibus Ellipſis. ſeſe ad angulos rectos ſecantibus, ſi ex quolibet puncto minoris axis, etiam producti, ſi opus eſt, recta dimidio maioris axis æqualis educatur secans ipſum axem maiorem; ita vt ſegmentum eius vltra eundem axem maiorem dimidio minoris axis æ quale ſit, cadet eius extremum in Ellipſim. Et ſi ex quolibet puncto Ellipſis recta dimidio maioris axis æqualis ducatur LIE MAMA A l. ducatur vſque ad minorem axem, etiam productam ſi opus eſt, ſecans tamen jpſum maiorem axem, erit eius ſegmentum inter datum punctum,& axem maiorem, dimidio minoris axis æquale. 167 8 ECE N I ſe mutuo ad angulos rectos in E, duo axes AC, BD, Elllpſis ABCD,& primum ex quouis puncto F, in minori axe BD, etiam producto, ſi opus eſt, ducta ſit recta FG, ipſi AE, dimidia maioris axis AC, æqualis, ſecans ma jorem axem in H, ita vt ſegmentum HG, ipſi ED, dimidio minoris axis æquale ſit. Dico extremum punctum G. in Ellipſim cadere. Deſeribatur enim ex centro E, circa maiorem axem AC, circulus Al CK, ducatutꝗʒ per G, minori axi BD, parallela GM, ſecans circulum in L,& maiori axi AC, parallela GN,& deniqʒ 12 recta nectatur EL. Et quoniam in parallelogrammo IN, latera oppoſita 237. prime. æqualia ſunt,& anguli M, N, recti, b quod tam M, MEN, quàm N, NEM, duo- b 29 Primi. bus rectis æquales ſint. Sunt autem& rectæ FG, EL, æquales, quod vtraque ipſi AE, ſit æqualis: erunt duo latera FEG, GN, duobus lateribus LE, EM, æqualia,& anguli N, M, æqualibus lateribus FG, LE, oppoſiti, æquales. Cum ergo reliquorum angulorum FE, L, e vterque recto minor ſit; erunt ex vltimo ſcholio lib. 1. Eucl.& baſes FN, LM.& tam anguli F, L, quam FON, LEM, æquales.(Igitur cum FGN, alterno GM, ſit æqualis; erunt quoque anguli GHM, LEM. æquales: eideoque parallelæ erunt FG, EL,& triangula ELM, HOM, ex coroll, propoſ. 4 lib. 6. Eucl. ſi milia. Igitur erit, vt EL, ad LM, ita HG, ad GM,(ac proinde etiam, vt quadratum ex EL, ad quadratum ex LM, ita quadratum ex HG, ad quadratum ex GM. Eſt autem quadratum ex EL. quadrato ex AE. hoc eſt, re ctangulo ſub Ag, EC, s& quadratum ex LM. rectangulo ſub AM. MC, quale, quod ex ſcho lio propof. 13. lib. 6. Euclid. LM. ſit inter AM, MC. media proportionalis; Item quadratum ex HG, quadrato ex ED, æ quale eſt, quod eorum latera ſint poſita ęqualia. Erit igitur quoque, vt rectangulum ſub AE, EC, ad rectangulum ſub AM, MC, ita quadratum ex ED, ad quadratum ex MG. Quocirea cum ED, MG, ſint ad axem AC, ordina tim applicatæ 5 tranſibit Ellipſis ABC P, per punctum G. Si enim dicatur tranſi- h t. I Apo: te per aliud punctum rectæ LM, vt per Oʒu exit quoque, vt rectangulũ ſub AE, leni. EC, ad 1. primi. d 29. primi. e 24. primi. fa. ſeæti. g 17. ſexti. 29. quimi. b. 7. Ap Loni. 9. quinti. Ditie axibut, Sllipm deſcri 168 L BMR NM A. EC, ad rectangulum ſub AM. MC, ita quadratum ex ED, ad quadratum ex MO; a ac propterea quadrata ex MG, MQ, æqualia erunt, ipſæq, rectæ æqua les, pars, & totũ. quod eſt abſurdum. Tranſibit ergo Ellipſis pet G, ideoque punctum G, in Ellipſim cadet quod eſt propoſitum. f 5 f 5 DEIN D E ex quouis puncto Ellipſis&, vſque ad minporem axem BD, ue extra pũcta B. P, ſiue intra, ap plicata ſit recta GE, a qualis ipſi AE, dimidio axis maioris. ſecans axem maiorem in H. Dico ſegmentum GH, ipſi E D, dimidio axis minoris quale eſſe. Facta namque eadẽ conſtructione oſtendemus, vt prius, triangula EL M, GM, fim ia eſſeʒ& vt quadratum ex EL, ad quadratun & LM, hoc eſt, vt rectangulun ſub AE, EC(quod quadrato ex AE, ſiue ex EL, æquale eſt) ad rectangulum ſub AM, MC, (quod quadrato ex LM, fuit æquale,) ita eſſe quadratum cx HG, ad quadratũ ex GM. v Sed eſt quoque, vt tectangulum ſub AE, EC, ad rectangulum ſub AM MC, ita quadratum ex ED, ad quadratum ex MG Igitur quadrata ex HG, ED, ad quadratum ex MG, eandent proportionem habent, e atque idcirco inter ſe æqualia, ipſæqʒ lIineæ HG, ED, inter je æquales ſunt, quod erat demonſtrandum. „%Fͤͤͤ 1 T HEOREMAT ILS buius prior pars alio modo, c quidem longiore, demonſtrata fuit ab eruditiſsimo viro Guido PGHaiαα Marchionibiis M ontis, ad finem libri 2. Planiſphæriorum vniuerſalium: cum 2 hac, que ſeguumtiurs cell genda fart. Primum, quo pacto datis duobus axibus Ellipſſi circa eas d eribenda ſit. Sint ergo duo ames AC, B D, ſeſè ad angulos rectos in E, Hecantes, ſumaturaus xh, dimiddis maæioris axis aqualit, hoc eſt. ipſt A E, vr Eh, ſit exceſſus, quo dimidium mgtoris amis dimidium mminoris R E. ſuperat. Deinde ex qubtlib e- functis q, F, g, in recta EI, leneficio cir cini ad A E, applicentur recti ab, FH, ge. exceſſui Ri equdlef c. griductis rectis ꝝ b, FH, ge, abſcindantur bd, E G, ef. ipſt BE, dimidio adi mincrf egualoes, ut recta ad, FS gſidimidio atis maioris A E, vel Bh, fin aquules. Vel alſcindeæntur a d.%. gf %% A B., uel Bb, dimidio maioris axis a guαies, ut ſaginenta b d, l, ef dinndib gi minoris R E, aquales ſint Nam ut demonſiratim eſt, puncta d. G, fin Kllioſim cadot. Quare ſi plurima puncta hoc artiſicis reberiantur, non ſolum inter A, ci H. Bert metiã aincer D,& C, atgus inter C,& B, necnon ineer B A,& er ea congrueuter linea euflera ducatur, A ſcripta csit E lligſis. N DEINVYOE LI E M M A. 169 DEIN DE qua ratione dato quolihet puncto Ellipſis nondum deſcripta, cum al rerutro auium,. alter axis inueniatur. Sit ergo primum datus axis maior A2,& fun dum G, in Ellitſi exiſtens. Dtuiſo are AC, bifariam in E, fer rectam perpendicularem H Djapplicctur beneſicio circini em dato puncto G, recta G F, vſque ad rectã B; D. aqualis igſi& E, qimedio ais maioris ſecaus AE, in H. Nam, vt demonſiratum eſt, GH, aqualis erit dimidlio ais minoris, ideoquè ſi E B, E D, ipſi GH; aquales abſcinAunt ur, krit B D, axis. Nam cum FG, hf AE,& EG, ipſi ED, æqualis ſit, cadet G, in Ellipſim axium 4 C,B D, vt demonſtrauimus. OD ſſi delur minor axis BD, cum puncto G, in Ellipſi exiſtente, reperiemus maibrem æxem hoc modo. Secto minore axe BD, biſariam in E, per lineam berpendicus larem 40, abplicetur beneſicio circini em dato puncto recta Gu, vſque ad rectam AC equalis ipſi 5 E, dimidio axis minoris, producaturque donec in F, ſecet minorem axem etiam pre dudtum; ſi opus ſit. Si namque recta G F, equales alſcindatur EA, EC, erit AC, maibr ais, vt ex is, qua demon rata ſunt, liquet. Cum enim FG, ipſi A E, ſit aqualis,& HG.%%. BE, cadet G, in Ellitſim axium AC, BD, vt demonſiraimus. T ERT IO, dacis duobus axibus Ellipſis nondum deſcriptaæ, cuin quolibet puncto oxtra it ſos, qua via cugnoſcatur, num print ui, latum exiſi at in ipſa Ellipſi, an extra, an vero intra. int ergo duo axes A C, BD ſaſe ad rectos angulos in E, ſecanres,& pundium G, datum. Applicetur circini heneß cio e dato puncto, recta GF. ad minorem axem B̊ Deetiam product um, ſi opus ſet, æqualis ipſi AE, dimidio maioris axis ſecans AE, in H. S igitur G H, dimidio minori axis ED, æqualis ſuerit, cadet punctum G, datum in Ellipſim, vt demonſtratum eſt; cum tota G, Aumidio maioris axts AE, poſit a ſit agualis. Sed ſit am dass zum k; c apflicata recta k i, aguali ipſi AE, wel Bh, ſecante A E, in e, ſitk e, maior, quam E D. Dice pundtum k, datum extra Ellipſim cadere. Quoniam enim K 1, ipſi A E, vel Bh, equalis et,& k e, maion, ua BE, erit reliqua e i; minor quàmreliqua Eh. Ducatur c k; recta Kk, ita vt interc eta I F, exceſſui Eh, aqualis ſit. Hoc enim eri poteit pen liue am cos Hoideos, quam Nicumoldes deſcritſit, vt habetur apud Papbuim lib.. propoſ. æ. Y pt Futoeium in propoſ. l. lib. a. Archimedis de ſphera, c cylindro,& quam nos etiam in lib. de Dimenſionibus m- tudinum deſcripſimis. à Er quia recta K F, maior eſt quam Kk i, 20d angulus k i F, ol euſus ſit; eſi aut em k i, poſi. pe Bh, aqualis; erit quoque l E, maior quam Bh. Ablatis ergo aqualibus F, Ehj reliqua k H, maior erit, quà m reli4 BE. Abſciſſa ergo EH O, quali ihſi B E, erit tors& F, ipſi 35, vel AE, aqualis 3 ideoqus, vt demonſtratum eſi, pundtum G in Ellitſim cadet, ac proinde datum pundum k, extra eandem cadet, cum recta FG, in G, Ellipſim ſecet. Poſtremo ſis datum punctum mm,& atblicata recta m J, aquali ipſi A E, vel BH, ſecante A E, in n, ſit m, miner qνν BE, vel ED. Dico pundtum m, datum intra Ellipſim cadere. Quia enim ml, ipſi B, aqualis eſt,& mn, minor quàm BE, erit reliqua nl, maior quà m reliqua Eh. Ducatur rurſiem beneficio linea conchoideos, ex m, recta m F, ita vt intercepta E F, exceſſui E G ſit aqualis. Et quia recta m F, minor ect, quùm ml, quod angulus nF, acutus it.& m FI, obtuſus; eſt autem ml, poſita æqualis itſi Bhiʒ erit quequè u. F, minor qua m BH. Ablatis ergo aqualibus H, Ehn reliquu m Hininor erit, gu Ain reliqua B; E. Producta igitur Em, vt HG. aqualis ſit ipſi B E, erit tota FG, itſi Bh e AE, aqualis. Igitur, vt monſiratum eſt, punct um Gin Ellipſim cadet,&idcirco m, intra eandem, quod eſt propoſitum. CAET ERV M datum punctun: k, cadere entra Ellipſim. ſi k e; maior ſit quam ED, punctil vero in, iutrasſi m um inor ſit f El hac etiam ratione, ſine auxilio li 47.8 K eres lis, cadetq;&„ultra D. . 1 42 nea conchoi dees, deindſtrabi potet. Sumatus E 2. 16 Oui on 1 0 0 15 S itt e& k, 2¹¹ ninorem ae A licata e* 275 nid. noris ax AE. a 25 115 554 Pita, alter um axe repet hie. Datis duobus axi bus Ellipfis, cum quolibet pũcto, an datum punctũ in Ellipfi, vel ex tra, vel intta exiſtat, cognoſcete. 2 79. frimi. b 1, primi. a 27. 4 A pol lonij. bay. 4. A pol lonij. Datis duabus re · ctisinæ qualibus; & puncto quoli. bet, deſcribere El lipim per datũ puncdinm, cuius centrum ſit quo · que datum,& axes datis rectis æquales. 22. primi. dz 1. tertij. 170 ER I. U lissſi E SDbſatuatur ſomiſis minoris axis, qu aqualis fuit ſumpta ibi ke, cadet k, in Elligſim per A, O, deſe riptam, vt demonſer atuim eſt. Ergo Ellipſis per A, D, C, den ſcripta citra punct i k, tranſibit; à cum hæcſillam ſolum in punctis A. C, contingal, ac proiude k, extra Ellipſim per A, D, C, deſtriptam cadet. Accipiatur rurſum E, ipſi m n, aqualis, cadetque P, citra D. Quia igitur ex m, ad minorem axem applicata eſt ml. ſemiſoi maioris axis A E, aqualisʒſi EP, qus æqualis ſumpta ſuit ipſi mn, fat ſemiſ ſis minoris axiszcadet m, in Ellipſim per A, E, C, de ſcriptam, vt monſiratum eſt. Ergo Ellipſis per A. D, C, deſcripta, vlira pundtum m, tranſibit; o cum hac illam in ſolis pi cis A. C, contingatz ac proinde datum puuctum in, intra Ellipſim per A, D, C, deſcriptam cadet. quod eſt propoſitum. L RAE TER hac colligere licebit, quo pactoidatis duabus rectis inequalibis RS, TV,& puncto G, describi peſsit Ellipſis per G, cuius centrum datum ſit E, quæ habeat axes datis rectis RS, IV, æquales, ſi id fieri poſsit. Diniſis RS, T, bi fariam in X, Ta ſis matur ipſi IT, ſemiſoi minoris, æqualis XA;& exceſſus RA, biſariam ſecetur in&. Ex dato dcinde puncto G, ad daium centrum E, ubi axes ſe ad rectos angulos ſecare debent, ducatur retta G E, qua ſi minor fuerit quam RX,& maior quam&, vel TT, abſoluetur id, quod propoſitum eſt, hac ratibne. Quoniam G E, minor ell, quàm Rx, cy maior quàm EX; erunt trium rectarum G E, xe, Ra, qualibet duæ ſimul maiores reli qua. Nam Xe, Re, maicres ſunt, quàm GEtItem Ra vel Zu,& GE, maiores quam Xa Et deniqʒ G E, Xa, maiores, quò m R, vt conſtat. Fiat ergo ex tribus rectis GE, Xa, Ras friagulum G Er, in vtra uis bartem: Et recti X, aqualis ſamatur GH,& rectæ Ra, e Gr, produdta atcipiatur æqualis F, ita ut tota G F, toti RX, æqua lis ſit. Ductis aut em per HE, per F, E, rectis, ſumatur EA, EC, 1% XR XS,& EB, E D, igſis IT, VV, æquales. Dico AC, BD, qua it ſis RS, TV, aquales ſunt, eſ ſe axes ſeſe in E, ad rectos angulos ſecantes, ita ut Ellipſis circa ipſos deſcripta tranſeat per datum punctum G. Quia enim Er, equalis eit ipſi Re, vel Z&. Hoc eſt, ipſis H, F, quæ iti R ad vel Za s æquales ſunt;(Sumpta nam que eſt v F, æqualis ipſi Ra ʒ at Gr ipſi X u, œ GH, ipſi X Are quo ſequitur reliqua E r. reliquæ 2 aqualem eſſe) trõſibit circulus ex r. per E, deſcriptus, per puncta F, H,;& ac proinde angulus EH, in ſemicirculo rectus erit, Quia igis tur ſemiſti maioris axis A E, aqualis G F, applicata eſt ad minorem auen. G ſeamentũ GH. ſemiſßi minoris axis E, vel TT, quale cadet puctum G, in Ellipſim axiũ AC, BD. vr demonſtratum eſt. i Ayo p fi duda redta GE, maior ſit quã ſemiſtit maisris axis, vel minor ſemiſſ minorin problema reddirur impoſtibilt: uia cum. ¶ E ſemiſtis maioris axis ſii in c ommnium err. n omnium rect arum ex centro E. a circumferentiam Ellipſis ductarii, vs conſtat ex circulo cirea maiorè ax AC, deſcriptos cadet neceſſario recta ex centro E, qua ſamiſſe ma i0r is ais in aior ſit, extra Ellipſim. Itè quia EP, ſemiſtis minoris axis, minima eſi omnium rectarum ex centro E, ad circumferentia Ellipſis dutt arum, vt conſtat ex circulo circa mi norem axem B O, deſcriptoſ cadet neceſſario recta ex centro E Hus ſemiſſa minoris ais minor ſit, intra Ellipſim. IAM vero, ſi quando accidat, rectam A E, ex dato puncto A, ductam ad centrum eſſe aqualem ſemiſti maioris data line a, ducenda erit ex dato puncto A, per E, cen trum recta AC Nam EA, EC, ipſts XR, XS, equales dabuut maiorem ax em, quem ſi recta B D, ad angulos rectos ſecet, dabunt EB. ED, 15.1 T, LV, æquales, ax em in inorem. Maniſeſtum autem eſt, Ellipfim circa a xes 4, B D, deſcriptam per datum punFum A, tranſire Si autem datum ſit pundtum D, e quo ad centrum E, ducta recta D E, ſemiſsi minoris datæ linea ſit equalis, ducenda erit ex dato puncto D, per centrum E, recta B D. Nam E B, E D, ipſis 11, V, quales dabunt minorem axem, quem ſi re Ba AC, al rechos angulos ſecet. dabunt EA. EC, ipſis X R, xc. equales, maiorem axb. y bi iterum liquido conſtat, Ellipſim circa ax es AC, B D, deſcriptum per datum pundum D, tranſire. LE MMA II. SI circa axes Ellipſis circuli deſcribantur,& ad eoſdem ordinatim rectæ applic entur vſque ad Ellipſis& circulorum periphæriasʒ erunt applicatæ yſque ad Ellipſim, applicatis vſque ad circulum proprium, ad cuius videlicet diametrum applicatæ ſunt, proportionales. IN figura præcedẽtis lemmatis deſcripti ſint circa axes circuli,& rectæ pq. t u, ad maloreu axem AC, ordinatim applicate ſecantes Ellipſim in ſ, g. Item rectæ Fe, l), ordinatim applicatæ ad minòorem axem BD, ſecantes circulum in 9, 0 Dico eſſe, vt p ſ.ad t E ita p q. ad t u. Item vt F e ad 1% ita Fü, ad l 0. Quo niam enim eſt, vt quadratum ex p,, ad quadratum ex t g ita rectangulum ſub Ap, pC. ad rectãgulum ſub At, t C. b Eſt autem rectã gulum ſnb Ap, pC, quadra to ex pq.& rectangulum ſub At, t C, quadrato ex t u; æquale; quod ex ſcholio propoſ. 13. lib. 6. Eucl. p q t u, mediæ ſiiet proportionales inter Ap, p C,& inter At, tCd erit quoque vt quadratum ex p, ad quadratum ex tg ita quadratum ex pq; ad quadratum ex t u. Quapropter exit quoque, vt recta p ſ. ad rectam t h ita recta p q, ad rectam t u. RVR SVS 4quia eſt, vt quadratum ex F gad quad ratum ex I), ita rectangu lum ſub DP, EB, ad rectangu lum ſub Dl. IB.“ Eſt autem rectangulo ſub DF, FB, quadratum ex Fg,& rectangulo ſub DLL, B, quadratum ex l, æquale; quod ex ſcholio propo. 13. lib. 6. Eucl. E&, Ia, ſint inter, FB,& inter Dl, IB, mediæ pro portionales j etit quoque, vt quadratum ex Fs, ad quadratum ex l V ita quadratum ex E ad quadratum ex g. Quocirca exit etiam, vt recta Fe, ad rectam 15 itarecta FG, ad rectam JJ. quod crat de monſtrandum. 3 227. T. Apol lonij. b 1. ſexti. c 22. ſexti. dal. T. Apol lonij. 1. ſexti. f 22, ſexti. im appli ortioab Ellipß,& circuIis circa gxes de ſeriptis. 2 1. quinti. b 1. quinti. c. quinti. IRI. S 0 e IT 4E tam Ellipſis rectas ad maiorem auem ordinatim applicatas,& 4d circulum vſque circa eundem maiorem ax em deſcriptum protractas, quam cirtulus circa minorem axem deſcriptus rectas ad eundem axem minorem ordinatim applicaras, proportionaliter diuidit. Cum enim ſit, vt p ſi ad t f, ita ꝑ q, ad t us erit quoque permutando, vt pi ad pq; ita tg. ad tu: Et per diuiſionem rationis contrariam, qu in ſcho io propoſit. I. lib. v. Euclid. demonirauimus, vt pſaad ſqn ita tg, ad gu. Item cum ſit, ar Fg, ad ly ita Fh, ad l. erit quoque permutando, ut Fs, ad Fh, ita Iy, ad ld; Et per diuiſionem rationis conuerſam, quam in ſchol. eodemprop. L. lib. 5. Eucl. demonſt ra ui mus, vt F,. ad Ee, ita l, ad q y quod eſt propoſitum. CONVERSV M quoque huius facile demonſtrabimus, videlicet. Si perpëdicu lares ad diametrum circuli proportionaliter ſecentur; Ellipſis cuius maior axis, diamerer circuli tranſiens per unius perpendicularis ſoctionem, tranſibit quoque per omnium aliarum sectiones. Item ſi perpendiculares ad diametrum circuli producantur, ita vt à circulo proportionaliter ſæcentur; Ellipſis, cuius minor axis diameter circuli, tranſions per vniiis perp endicularis extremum, tranſibit quoque per omnium aliarum extrema. Sint enim primum ML, EK, pã t u, ad diametrum A C, circuli ABC D, pepe diculares:& ſecta pro porbionaliter in G, D. fig. Di co Ellipſim, cuius maior axis AC, qus per G, tranſit, tranſire zuoque per D, ſi f. Si enim non tranſit per D, tranſtat per P, vel WVeritque ut demonſirauimus: vf NMG, ad Gl, ita EP, ad PK vel EN, ad R. Cum ergo ſit quo. vt MG, ad GL, ita ED, ad OR, ex Hipotheſis erit vt E al PK, ita ED, ad DK. E au tem EP, minor quam E D. Ii ur& PK, minor erit, quam DE, totum quam pars: quod est abſardum. Non ergo E llitſis tranſit per P, ſed neque per Q tranſibit. Nam eadem ratione erit, vt Ei, ita ED, ad DR. Eſt autem E Nmaior quàa ED. b Igitur c R mator erit 4 0 uam D K, pars quam totum. quod eis ahſurdi. Tranſib ergo Ellipſis ber D. Aiꝗ. eande ob cauſam per ſñ& fs traſibit. SINT deinde E u, FH. l, d diametrum BD, cixculi B A D. he. penditalar es: c product e ad C, e: y, itu vt proportionaliter A circulo ſecentur in z, O, O. Dico Ellipſim. cuius minor axis N D, qua per C vtranſit, tranſire quod ue per e,„. Si enim non tranſit ber e. r anſias per i zerit gs ut nonſtratum el, vs Eli, ad dd Fb. al O,: Sed vr Efe, 2d C, ita ponitur eſſe Fh, al h e. Igitur eris us Fh. ad ger, 1% FH, 44 96, 4g: idcirco gr, he, aquales erunt, pars& totum, quod eit al ſan dus. Tranſit ergo xl liga pers · ZTademſue de cauſa per, tranſibit. quod eit propoſitum. f El LIE MAMA AI III. 173 E E M M A IL II DAT IS axibus alicuius Ellipſis ſeſe ad angulos re ctos ſecantibus, in data recta qualibet puncta reperire, per quæ Ellipſis, ſi deſcribatur, tranſire debet. SIN T dati axes AC, BD, Ellipſis cuiuſpiam ſe in centro E, ſecantes ad an- Quando data regulos rectos, circa quos circuli deſeripti ſint; ſitque primum data recta EF, per A centrũ ducta, ſecans circulũ circa maiorẽ axem deſcriptum in F,& per F, axibus e parallelæ agantur FPO, FK. Erigatur quoq; ad minorem axem ex eius extremo, perpendicularis BG, ſecans maioris axis cireulũ in G& per G, cx E, recta ducatur ſe cã s parallelã maioris axis in H,; supta deinde in parallela minoris axis recta RL, equa Ii ipſi EH ducatur EL, ſecans maioris axis circulum in M, puncto ex vtraq; parte, ac tandem per M, minori axi parallela agatur MN„ ſecans datam rectam in I. Dico Ellipim, cuius axes AC, BD, deſcriptam a tranſire per punctum I. a. ſexti. Quoniam enim eſt. vt EG,. 5 a EH, ad EO; 1 2 „O Exit, 5 pſi KF. æqualis: quoque, vt EH KL, ad KE: er diuiſio nem rationis conuet ſam, quam in ſcholio pi opoſ. 17. lib. 5. Eucl. demonſtrauimus, vt EB, ad BP, ita KE ad FL. Eſt autem vt KF, ad EL, ita NI. ad IM. Ig itur erit quoque adlMzac proinde cx ijs, quæ in ſcl. per A, B, C, D, deſcripta, per pi bit. ALIT ER, vt in ſecunda figura, Erigantur ex B, extremo ex P, extremo ſemidiametri, ad m is avis lineam perpendicul cetque BE, datam rectam EE, i pi Bp,xqualis ſuma recta EH, ſecante maiore rculum ex etraque p d, miu oi i axi parallela IK, rectam de tam ſecans ine Iatam Q 1 P, ad PII, ita IK 0 IRE„ en„Hes 2 PH, ad EB, ita KER, ad KG erit ex& qualitate, vt „ad EB, re vt prius punctum G, ex vtt aque pa t ALITER, ut in tertia ſigura. Erigantur ad maiorẽ axem ex puncti 174 Den. perpendiculares AE, GH, ſecetqͥue A F, datam rectam in F.& ex E, demittatur ad minorem axem perpendicularis FO, ſecans GH, in H. Ducta autem EH, ſecan te minoris axis circulum ex vtraque parte in puncto I, agatur per I. maiori axi 1 f. ſexti. parallela KL, ſecans datam rectam in K. Pico K, in datã Ellipſim cadere. Quoniam enim eſt, vt OH, ad HE, hoc eſt, vt EG, ad GA, ita LI, ad IK, cadet punctum K, in vtraque parte in Ellipſim, vt in ſcholio antecedentis lemmatis demonſtratum eſt. SAT IS autem eſt, ſi vnum punctum, nimirum ſuper ius, vno horum modorum inueniatur. Nam ſi rectæ El, vel EG, vel EK, ſumatur æqualis infra cenb 30. 1. Ap- trum, erit quoque inferius punctum F. vel G, vel K, in Ellipſiz propterea quod pollonij. recta per centrum ducta in centro bifariam diuiditur in Ellipſi. Qanꝗιο lata re- D E 1 ND E data ſit 1e r 5— aa alterutri axium parallela, vt in quarta figura; & primum maiori axi paral lela FG, ſecans minorem axem in M,& eius circulum in H Si enim non ſecaret, caderet tota extra Ellipſim; ſi autem tranſiret per B, tan ge ret Ellipſim in B. Ducta autem recta EH, ſecante ma iorem circulum in I, ducatur per I, minori axi parallela IK, ſecans datam rectam FO in L. Dico L, in datam Ellipſim cadere. 5 2 d Quoniam enim eſt,; vt d 4. erti. 1 5 ad HI, hoc eſt, vt ö EB, ad BN, ita KL, ad LI; 5 vel vt EH, ad HI. hoc e f. ſexti. eſt, vt EO, ad OA, ita Mad HE, cadet I., in Ellipſim, vt in ſcholio præcedentis lemmatis de. g N e monſtratum eſt. S EC VND O minori axi parallela ſit IL, ſecaus maiorem circuIum in I. ſiue ſecet minorem, ſiue non. Bucta recta El, ſecaute minorem eirculum in H, ducatur per H, maiori axi parallela LM, ſecans datam rectam IL, in L. Di co L, in data Ellipſi exiſtere. Quod demonſtrabitur, vt prius. Iam ſi rectę ML, vel KL, ex altera parte æqualis abſc indatur ML, vel KL, ttanſibit eadem Ellipfis per punctum quoque L, inferius,& dextrumʒ propterea quod ordinatim applicatæ bifariam ã diametris diuiduntur. Onde dat re- RVRS VS ſit data recta DL, per extremum D, minoris axis incedens, vt in i per entremũ quarta figura,& ſecet primum axem maiorem intra Ellipſim in S. Ex 8, ducatur Saria air recta Sp, ad extremum diametri maioris circuli quoduxta datum extremum „ Diexiſtit, ſecans maiorem eirculum in T,& per T, minor i axi patallela agatur fe. ſerti. I V. ſecans datam rectam in L. Dico I. in Ellipſim cadere. Quoniam enim eſt, vt ED, ad DP, ita VL, ad LT; erit ex ſcholio lemmatis antecedentis puncum — 2 e WE 2 LI M M IAA. 175 etum L, in Ellipfim. Eodem modo res demonſtrabitur, ſi da ta recta D 5 per extremum D, minoris axis tranſiens ſecet maiorem axem extra. Ellipſim in Q, vt in eadem quarta ligura Nam ducta ex Q. ad P, extre mum diametri maioris circuli prope extremum D, datum, recta QP, ſecante maiorem circulum in K, ſe· cabit minori axi parallela Ra, datam rect am in b, puncto, quod exit in Ellipſiz cum ſit vt ED, ad PP, ita a b, ad bR. 8 E D tranſeat iam data recta AX, per extremum maior is axis, ſecetqͥue primum axem minorem extra Elli pſim, in X, vt in tertia ligura. Ducatut ex puncto X, ad G, extremum diametri minoris prope datum extremum A, recta XG, ſecans minorem circulum in Z,& per Z, maiori axi parallela agatur eV, ſecans datam rectam in V Dico V, in Ellipſim cadere · quod conſtat ex ſcholio præcedentis lẽmatis, b cum ſit vt EG, ad Ga, ita eZ, ad Z V. Non aliter progrediemur, ſi data recta Ag. per extremum A, maioris axis incedens, ſecet in f, minorem axem intra Ellipſim, vt in ſecunda figura. Nam ducta ex f, ad k, extremum diametri minoris circuli prope datum extremum A recta fł, ſecante minorem cixculum in i, ſecabit maiori axi parallela dg, per i, ducta datam rectam in g, pun do, quod erit in Ellipf, cum ſit, vt Ek, ad KA, ita d i, ad ig. PERSPICVVM autem eſt, in huiuſmodi linea vnum ſolum punctum re periri, quod ſit in Ellipſi; qui ppe cum Ellipſim eandem ſecet quoque in extremo D, minoris axis, vel in A, extremo axis maioris. Liquido etiam conſtat, rectam per extremum minoris axis,& per extromum axis maioris præter illa duo extrema nullum aliud punctum habere in Ellipſi. PpOSTREMO ſit data recta b, neqʒ per centrum Ellipſis, aut per extremum alterutrius axis ducta, neque vlli axi parallela, ſecetque maiorem axem in H, ſiue intra Ellipſim, vt in priori figura, ſiue extra, vt in poſteriori. Per quoduis punctum J, in data recta aſſumptum, vtrique axi parallelæ agantur IO, RN,; & ex B, extremo minoris axis erecta perpendiculari BK, circulum maiorem ſecante in K, iungatur EK, ſecans parallelam 10, in L: rectæ au tem EL, in altera parallela RN, æqualis ſumatur RN,& per H, N, recta eliciatur ſecans circulum ma jioris axis in M, ac denique per M, mi nori axi parallela agatur MQ. ſecans datam rectã in P. Dico punctum, P, in data Ellipſi exiſtere. Et ſi quidem recta HN, duobus in punctis circulum ſecet, repetientur duo puncta P, vt in priori figura, ſi vero in vno eum puncto tangat, vt in kgurs c E. ſexti. Quando data recta neque per c. trum aut per extremum alterius axis tranſit, veqʒ vili axi parallela eſt. 2 E. ſexti. b 3 4 frimi. C f. ſati. d rf. tertij. e 1. ſexti. f IS. quinti. 8. I. 4 Pollonſi. 176 EF. figura poſter iori, vnum quoque tantum punctum inuenietur P. in quo Ellipſis da tam reclam tangat. Vt autem demonſtratio reddatur magis vniuerſalis, aſſumpſimus in priori ſigura tria puncta I, in data recta,& in poſteriori duo, per quæ vtrique axi parallelæ ſunt ductæ, præſertim quia hac ratione puncto, extra El lipſim in ſes unda giguxa non indigemus, quod interdum difficultet haberi poteſt. propter obliquam intei ſectionem rectarum C, N; ſed ſatis eſt, vt per doo puncta inuenta N, recta ducatur ſecans, vel tangens circulum maioris axis. Quę omnia ſic demonſtrabimus. Quoniam eſt, vt EK, ad EB, ita EL, ad EO: Poſita autem fuit EL, ipſi RN, æqualis, b& EO, ipſi RL æqualis eſtʒ erit quoque vt EN ad EB, ita RN, ad KI. Eſt autem vt RN, ad RI. ita QM, ad QP. Igitur erit quoque, at EK, hoc eſt. vt Ea, ad AB. ite QM. ad O. Et per diuiſionem rationis conuerſam, vt EB, ad Ba, ita Q ad PMrac proinde P, in Ellipſim cadet, ex ſcholio lemmatis præcedentis. Atque hæc demonſtratio locum habet in utroque puncgo P, prioris figur, ad ſiniſtram maioris axis. RE T A M porto datam FG. Ellipfim tangere in inuento puncto P, quando recta HN, circulum tangit in M, ita per ſpicuum faciemus. Quoniam angulus H ME, rectus eſt,& MO, ad IAE, perpendicularis, erit ex coroll. propoſ. 8. lib. 6. Euclidis EM, media proportionalis inter HE, EQ Igitur quadtatum ex EM, vel EA, æquale etit rectangulo ſub HE, EQ; idcoque erit, vt HEk ad EA ü ita EA, ad EG. P nuerᷣonem ergo tationis, vt HE, ad 1 As EAuad 4 Cum ergo Cl A duple lint 1b us HE,& CQ. OA, duble ipſius AE; erit quoque, vt compoſita ex CH, HA, ad HA, ita compoſita ex CQ, Q, ad AQ: kt diuidendo, vt H, ad HA, ita CQ, ad AQ. Igitur HG. Ellipſim continget in puncto P, quod in Ellipſi demonſtrauimus exiſtere. EER. Excitata BK, ad BD, perpendiculari in B, extremo minoris axis,& juncta re cta EK, ducatur 9 a 8 ex quolibet pun cto, aſſumpto 0 22 5 e r* maiori axi paral e e 8 lela 10, 7 7650 D 1 . in vtraque figura duo puncta I. aſſumpfimus pro pter cauſam pau lo ante allatam. De inde ex I, ad datam tectam perpendicularis. erigatur 18. ipſi OL, æqualis,& per H, 8, recta eiiciztur H 8, ſecans circulum circa cherdam FG, deſcriptum in IV. punctis, e quibus ad datam rectam Perper dicolares demittantur IP, VP. Dico Punctucetrumque L, in Ellipß data exiſtere. Quod ſi recta&, tangat ci culum circa FG, deſcriptum; vt in poſteriori 1 5 gura, L E M M A III. 88 gura, repe rĩietur vnum tantum pund um P, in quo recta data Elli Quæ omnia hac ratione demonſtrabimus. Et primũ de puncto maioris axis prioris figuræ. Ducta per P, maiori axi parallel axi 1 la MPOe. za quoniam eſt, vt PT, ad 18, ita L P, ad Hz ad HI, ita QP, ad Rlzerit etiam, vt PI ad 18, jta Qꝰ Rz hoc eſt EO. Vt autem EV, ad EO ita eſt 1 OL. I8, ita XX Dad 9 Cum ergo 18, OL. per hypot heſim 1 PT, VX, æquales Q 275 o PT, ex ſcholio 1 media proporti 5 1 eſt inter FP, PG exit quadr atume ctapgulo ſub F„PG, hoc eſt e gulo ſub MP, æquale:: ideo 40& quadratum ex 1 K. Saen rectat 8 5 erit. Addito communi q: Q, hoc eſt, ex VX, EV, æqualis rec drato ex PQ: ſed quadratis ex XX, E 1 rectangulo ſub MP, Pe, vna cum Naadreto x 5 tum ex MQ. Igitur quadrata x EX, M ideoque 8 eorum latera MQ, æqu lala erunt. Cum ergo etiam E lales ſint, exit vt E ad EV, ita QM, ad QP: Vt autem EX, ad EV, ita eſt EK, hoc eſt, Ea, EB. Igitur erit quoque. vt Ea, ad E B„ita NI. ad Q. Ergo, vt prius, pus Gum P, in Ell pſim datam cadet. Quæ quidem demonſt ratio locum etiam habet in poſteriori figura. PpVNCTVM autem P, ad dextram maioris axis cader e quoque in can Ellipfim, ita planum fiet. Ducta Pb, ad MQ, 17 0 diculari, ip ſaque b li,& 12 157 recta bʒ c quoniam eſt, yt Q, ad PH, in inferiori triang ita QP, ad PH, in trian: gulo ſuperiori; Item v 5 9 5 00 9 ita ex æqualitate, vt Q. b, ad PT, hoc et t E 5 lunt ie r* P 5 id eſt, ad Pb. erunt triangula b Q, æquian Deinde quia pe e um pr opoſ. 18. 1 jonalis eſt inter FP, PG g 5 1 PG: ſed hoc æquale eſt rectang quod rectæ FG, Me, in circulo ma ĩoris axis ſe in P reef nt 15 ir quadratum ex 1 quale etiam erit rectangulo ſub MP, Pe:& ac dito commur dt 0 erubt duobus quadtatis ex bP, QP, 180 eſt, quadrato ex b, 1 s quale eſt, æquale rectangulunt ſub MP; Pe, vna cum 9 drato ex.„Ell autẽ reulo ſub Mb, Pe, vna cum quadrato ex QP,& tum ex AM. Igitur& quadrat ex bd, quadratum ex 0. qu ale erit, ideoque& rectæ q uales erunt. Quocirca cum 0 o ante, eſle vt E X, ad ad Q, er A vt EX, a 2 V. ita EK, vel Ea deirco, vt prius, punctum“. VIVE N datã 7 llipſim tangere in puncto P, inuento, quan Eſt autem, vt EK, ad EB 2 ter t Ania gun lratu elt quddrecte Pl* enſe ſint æqualesʒ quadrata ex PO, EV, flẽt duo quadrata e 1„PQ, duob us qi 5 Z æqualia: — a. primi. b Er. primi. c 47. Primi. d 36. tert. e 37. terti. 178 LI n. æqualia: Sed his æquale eſt quadratum ex Ex, hoc eſt, ex QM. Igitur& duo quadrata ex PI, PQ, quadrato ex QM, æqualia erunt: additoque communi quadrato ex Q, fient tria quadrata ex PT, PQ, Q, duobus quadratis ex Q, Au, æqualia: Sed quadratis ex PO. Q, æquale eſt quadratum ex PH. Igitur duo quadrata ex PT, PH, duobus quadratis ex QM. Q, æqualia erunt. Cum ergo illis duobus quadratũ ex HT, & his duobus qua dratum ex HM. ſit æquale; erunt quoque quadrata ex HT, HM, proindeq́;& ipſa latera wquaſia. Igitur cum quadratum ex HIT, æquale ſit rectangulo ſublIG, HE, erit eidem rectangulo ęquale etiam quadratũ ex HM, ac proinde HM, citculum PM, cõtinget in M. Quã· obrem, vt antea de monſtratumeſt, recta FEG, Ellipſim in P, continget. quod eſt propoſitum. f QVAESTIONES omnes, quæ per ſinus, Tangentẽs, atque ſecantes abſolui ſolent, per ſolam proſtha phæreſim, id eſt, per ſolam additionem, ſubtractionemque, ſine laborioſa numerorum multi plicatione, diuiſioneque expedire. E DIDI T ante tres, quatuorue annos Nicolaus Raymarus Vrſus Dithmarſus libellum quendam, in quo præter alia proponit inuentum ſane acutum,& ingenioſum, quo per ſolam proſthaphæreſim pleraque triangula ſphæ rica ſoluit. Sed quonlam id ſolum putat feri poſſe, quando ſinus in regula proportionum aſſumuntur,& ſinus totus primum locum obtinet, conabimur nos eam doctrinam magis generalem elficere, ita vt non ſolum habeat in ſinubus,& quando ſinus totus primum locum in regula proportionum obtinet, verum etiam in tapgentibus, ſecantibus, ſiaubus vetlis„& aliis numeris,& ſiue ſinus totus ſit in principio regulæ proportionum, ſiue in medio, ſiue denique nannt. 179 que pullo modo interueniat: quæ res noua omnino eſt,& iucunditatis ac voluptatis plena. 7. OYOTITESCYN NME igitur est, vt ſinus totiss ad ſinum alicuius ar- Curndo fnss to eus, ita ſinus alterius cuiuſpiam arcus ad aliud, ſæponantur duo illi arcus tanquam mum ot dati, qui ad proſt haphereſim reguirantur: Minor addatur ecmplemento maioris,& conflati arcus ſoruetur ſinus; Et ſi quidem minor arcus complemento maioris ferit agualis,(quod fes, quando duo arcus ſepoſiti ac dati quadrantem conſici- 279 ſemiſiis ſeruati ſenus exit quartus numeritis proportionalis quæſtus. Si vero mi- proſhaphæreſis. nor arcus fuerit minor complemento maioris,(quod accidet, quando duo arciss ſe poſſti ac dati ſunt ſimul quadrante mineres) detracto minore æret e complemento maioris, vt Habeatur eorum arcuum diſferentia, qui fimul additi ſuerunt, tollatur huius diſferentiaæ ſinus ex ſuperioris conflati arcus ſinu ſeruato. N uius enim relicti numeri ſemiſtis, exis quartus numerus proportionalis, qui quaritur Si denique minor arcus fuerit maior complemento maioris;( quod euenier, quando duo arcuis fen poſiti, ac dati ſunt ſimul quadrante maiores)detræcto com lemento maioris ex minore arcu, vt ecrum arcuum diſferentia habeatur, qui ſi mul additi fuerunt, adi ciatur fu. ius diſferentia ſinus ad ſinum ſeruatum ſiiperioris arcus conſlati. Nuiis enim ſumm a femiſcis, erit numerus quartus proportionalis, qui deſideratur. AT QVE hæc eſt regula ſupradicti auctoris, quæ ſic demonſtrabitur. In prima harum figurarum: eſt, vt ſinus totus EG, ad GK, ſinum arcus GD, ita à 4. ſexti. Ei, ſipus arcus ID, vel HM, ad quæſitum ſinum i L. Et quia minor arcus G D, æqualis eſt ipſi DG, complemento maioris arcus 195 vel ſi forte GD, maior eſſet,& ID, minor; minor D, æqualis eſt ipſi DI, complemento maioris ar cus GD,) fit vt PQ, e quæ ſemiſsis eſt ſinus MP, arcus MD, bz. ſexti. rin ob3 conflati ex PG, minore arcu,& GM, cõplemẽto maioris HM, e æqualis ſit ſinui e 34. primi. quarto qſito iL. Qud ſi forte arcus GD, ſit maior,& ID, minor, erit nihilominus M, ſinus arcus ME, cõflati tũc ex HM, minore,& HB, cõplemẽto maioris GD. IN ſecunda autem,& tertia figura d eſt quoque, vt ſinus totus EG, ad d 4. ſexti. Ok ſinum arcus GD, ita Ei, ſinus arcus IN, vel HM, ad quæſitum ſinum IL. Et quia in ſecunda figura minor arcus GD, minor eſt ipſo GN, comple. mento 3 4 180 n mento maioris arcus IN,(vei ſi forte GD, maior eſſet,& IN, minor; minor IN, minor eſt ipſo ID, complemento maioris arcus GD) fit, vt detracto ſinu RP, differentiæ DN, hoc eſt, dempta ME, ipſi RP, æquali, ex MP, ſinu arcus M, conflati ex DG, minore arcu,& GM, complemento maioris HM, recta PO, quꝶ ſemiſsis eſt relicti EP, a cum totius MR, tota Qk, ſemiſsis ſit, b qualis ſit ſinui quæſito i L. Quod ſi forte arcus GD, ſit maior,& IN, minor, erit nihi lominus M, fnus arcus MB, conflati ex minore tunc arcu MH,& HB, complemento maioris arcus GD. A in tertia ſi gura quia minor arcus IN, maĩor eſt ipſo ID, complemento maioris arcus GD,(vel ſi forte GD, minor foret,& IN, maior; minor GD, excedit ipſum GN, complementum maioris arcus IN,)fit, vt addito ſiuu RP, differentix DN. hoc eſt, addita ME, æquali ipſi KP, ad MP, ſinum arcus MB, conflati ex minore arcu HM,& ex HB, complemento maiorisztecta PQ, quæ ſemiſsis eſt tot ius rectæ compoſitæ EP, cum ipſius MR, ſemiſsis ſit QR, a æqualis ſit ſinui quęſito iL. Quod ſi forte arcus GD, minor ſit,& IN, maior, erit nihilominus Mp, ſinus areus MD, conflati tune ex minore arcu G,& GM, complemento maioris HM. QO ſ ſepoſiti duo arcus fuerint æqua les, accipiendum eſt alterutrius complementum;& alter pro minore aſſumendus. Onede gaaste 2, 1A M Vero obtinente ſinu toto primum locum in regula proportiomum, quando lo- alij duo numeri non ſunt ſinus, accipiendi ſitut illorum numeroril, inqtar ſinuum, arcus a ex tabula ſinuum, d ſoorſum ſeponendi. Deinde regula ſupradicta adhibenda. Idem Faciendum eſt, quando ſimis complementi alicuius arcus Vſerpatur. Tun enim non beponendus ectiille arcus, ſel loco illius aſſumendus, qui illi ſinui, quarenus rectus esto reim aj Hpondet. Deniqueè quan locun Alus numerus, ac tertius non ſunt ſinus, vel alae eorum ſinus, c alter non, ac 5 konneosgs on denst ita tamen, ur quando numerus ſinu toto maior eſt, abijciantur à parte dextra ara, quot ſutis ſunt, vr reliquus numerus minor fiat finus toto;& ad inustii quartii A per procthaphaæreſim, fue is ſinus ſit, ſiue Tangens, ſiue Sec ſiue aliquis alius numerus, adifciantur ad partem dextram tot æiphra, quot figura abiectæ ſuerunt. Nam quando vna figura abijcitur, ſumitur pars decima numeri; quando da, centeſima: atque ita inuenitur quoque ſola pars decima, aut centeſima quarti numeri. Quare leiplicanda eit pars illa inuenta per 16. vel 10. quod it per appaſitionem o. vel oo. vt totus numerus habeatur. Sed rem hanc totam nonnullis exemplis planiorem faciamus. S1 T verbi gratia, inueſtiganda declinatio grad. 17. min. 45. Quoniam eſt, vt ſinus totus ad ſinum maximæ declinationis, ita ſinus diſtantiæ dati puncti Eclipticæ à viciniori puncto æquinoctij ad ſinum declinationis eiuſdem dati pũcti. vt in lemmate 18. demõſtrauimus, ſie ſtabit exemplũ ad proſthaphæreſim. G. M. G. M. Arcus max. decl. 23. 30.] Compl. maioris 12. 18. Minor numerus maior eſt quã Diſtatiaab æquiu.. 225 Minor 23. 30. compl. ideo ſiet additio. J!... òͤ1⸗J)Jjñk ee e summa complem. c minoris. 35. 45. nus. Sa α. Diff. inter conapl.& mitorem. 11. 15. fnus. Isos — Sinn innent 3 Fodqoo. summa ſinuum geo. Reſpondet declinatio G. 22. M. 30. Semiſgis, vel ſin. declin. 3 S. )))) RVRSVS L g M M A III. 181 RVRSVS ſit inquirepda differentia aſcenſionalis grad. 6. ad altitu i grad. 42. Quoniam eſt, vt ſinus totus ad tangentem declinationis, ita tangens altitudinis poli ad ſinum differentiæ aſcenſionalis„vt in lemmate 49. Num. 17. demonſtrauimus, ita progrediemur. Declinatio grad. 6. A, eſt grad. 27. Min. 22. eius tangens 3912247. at tangens grad. Aaltitudinis polt 9004040. Priori tangenti in tabula ſinuum reſpondent grad. 23. min. 2. I oſterio ri vero grad. 64. min. 3. atque hi duo arcus pro datis accipiendi ſunt loco decli nationis,& altitudinis poll. Sic ergo ſtabit exemplum dinem pol —— NZ . 1 a G. M. Arcus 23. 2. J Combl. maioris. 25. ay. Minor numerus minor eſt complemendati G. 13. Min. 23. 2. o, ideo ſi et ſubtractio. ———————— Summa complementi& minoris. 4A. 9.] Sinus. Cos. Diff inter compl.& minorem. 2. 25. Sinus. 47978. ———— Relidum 70% A. Semiſsis, vel ſinus diff. aſcenſ. 351. Sinui inuento z 5 23 142. reſpondet differentia aſcenſionalis grad. 20. min. 38 44 7 1 5* hnc eſt, Hor. I. Min. 2;. Additis ergo horis 6. cõtinebit arcus ſemidiurnus Hor. 7. Min. 23. Et eadein differ. ex aſcenſione recta grad. 64. min. 6.(quæ gradui 6. = debetur) ablata relinquit aſcenſionem ohliquam grad. 43. min 28. 581 T rurſus inueſtiganda differ. aſcenſ. grad. 6. Æ, ad eleuationem poli grad. 60. Tangens declinationis eſt, vt prius, 3912247. cui in ſinubus reſpondẽt grad. 23. min. 2. Tangens vero grad. ö. altitudinis poli eſt 173 20508. cui in 1 8 i 8 nubus(abiecta vltima figura 8. pro qua reliquo numero addi poteſt 1. cum 13 · ſuperent 2) reſpondent grad. 9. min. 8. Sic ergo ſtabit exemplum. J——. G. M. G. M. Arcus„ Complumaioris. G. S. 1 Minor numerus minor eſt com7 N Miner 9..] plemento, ideo ſiet ſubtractio, —ͤ r*——— i Summa compl.& minoris, 70. 50. J Sinus. geæt od. Diff. inter compl.& minorem. 57. o. 1 Sinus. F g. 65(———— Relictum. 1354. Semiſcit, vel ſinus diff. aſcenſ. gls. ————— Sinui inuento 6771850.(Nam propter figuram g. abiectam addenda eſt o.) reſpondet differentia aſcenſ.grad. 42. min. 3 8. hoc eſt, Hor. z. min. 5 1. Eademq, diſt. ex Quando ſinus to tus eſt in principio regulæ aurex, ſed vel tertius, vel ſecun dus nnmerus eſt minor ſinu tot o, quo pacto aliter proſthaphæreſis bat. 182 ar diff. ex aſcenſione recta grad. 64. min. 6.(quæ gradui 6.&Æ, debetur) ablata re. linquit aſcenſionem obliquam grad. 21. min. 28. 81 T præterea explorãda altitudo Solis in principio Y. hora 4 poſt merid. vel hor. 8. poſt med. noct. ad altitudinẽ poli grad. 2. Quoniã, vt lib. 1. Gnomoni ces propoſ. 36. demonſtrauimus, eſt vt ſinus totus ad ſinũ verſum diſtantiæ Solis à mer. ita medietas rectæ conflatæ ex ſinu altitudinis mer idianæ,& ſinu depreſ ſionis meridianæ ad differentiam inter ſinum altitudinis meridianæ,& ſinum al titudinis quæſitæ, ita agemus, Sinus verſus diſtantiæ Solis à mer. eſt oo. cuĩ in ſinubus reſpondent grad. 30. min. o. Sinus altitudinis meridianæ grad. 71. min. zo. eſt 9483 237. Depreſsionis grad. 24. min. 30. ſinus eſt 414693 2. Medietas ſummæ ipſorum 681 50 84rt. cui in ſinubus reſpondent grad. 42. min. 38. Sic ergo ſtabit exemplum. —— G. M. G. M. 30. o. J Compl.maioris. y. 1. Minor numerus minor eſt comge. 5. Minor. 30. o. plemeuto, ideo ſiet ſubrractio. — Summa compl.& minoris 27. 2.] Sinus. ps oog. Diff. inter compl.& minorem 17. 2. Sinus, 29292. N Relictum 6 ys. Semiſiis, vel diſf. inter ſin. alt. mer.& ſin, alt. quaſiia. 34. Detracto numero inuento 3407864. qui eſt diff. inter ſinum altitudinis meridianæ,& ſinum quæſitæ altit. merid. 48523. relinquitur ſinus altitudinis quæſitæ 6075 3/3. cui reſpondent grad. 37. min. 25. Tauta eſt altitudo Solis. 3. AND O ſinut totus eſi ad ali quem numerũ ſinu roto minorem, vt numerus ſinu toto maior ad aliud, inſtitui quoq; potect operatio hoc modlo. Numerus hic terius maior ſinu toto diuidatur per ſinii totii„eritaue Muotiens numerus reliquus, ſi ſoptꝭ Iguræ ad dexteram abijciantur, c ſebtem ſiguræ abiectæ dabunt diuiſionis reſiduum. Fiat ergo, vt ſinus totus ad datum numerii minorem, ita reſiduum diuiſionis ad aliud: uod per proſtaphiꝛæreſim Het, ſi numeri minoris,& reſidui, tan quam ſi ſinus eſſent, arcus em tabula ſinuum accipiantur, c. Ad inuentum guartum numerumadijciatur minor datus per Quotientem ſuperioris diuiſtonis multiplicatus, vt totus quartus nume rus qulaaſitiis prodeat. EX EMPL I gratia. Sit inue nienda differentia aſcenſionalis gra. 6. MN, ad altitudinem poli grad, 50. Quonfam eſt, vt ſinus totus ad 3912247. tangentem declinationis ita 1 1917 53 7. tangens datæ altitudinis poli ad ſinum dif ferentiæ aſcenſionalis: vides ſecundum numerum minorem eſſe ſinu toto f tertium vero maiorem, quo diuiſo per t coοοοοο. ſinum totum, quotiens eſt 1. & reſiduum 19175 37. Cum mipore ergo illo numero,& hoc reſiduo. bula ſinuum excerpe bos arcus: Grad. 23. min 2.& Grad.. Min. 3, Sic ergo ſtabit exemplum. L MM M A NIX. 183 — G. M. N 3. 2. J Combpl. maioris 0G. 5. ¶ Minor numerus cõplemento minor dati 1 Minor. 17. 3. l eſt, ideo facienda erit ſubtractio. Summa combl. c minoris numeri. 74. 1. Sinus gya ol e. D. inter compl.& minorem num. 55. 5. Sinus 42 423A. Relictum. T A. Semiſſis, vel quartus numerus inuentus. agp. ————ñö——— Huic ſemiſsi ſi addatur minor numerus 3912247. ſemel, quia Quotiens ſuperior fuit. conflabitur ſinus diff. aſcenſ. 4662 l70. cui debetur arcus diff. aſcenſ. grad. 25 min. 47. hoc eſt, Hor. 1. Min. 51. Additis ergo horis 5. fiet arcus ſemidiurnus Hor. 7. Min. 51. Eadem autem diff. ex aſcenſione recta grad. 6 quæ complectitur grad. 64. min. 6. ablata relinquit aſcenſionem obliquã grad. 36. min 7. ad altitudinem poli grad. 50. HVIVs regulæ demonſtratio ex ſuperiorioribus figuris elicitur. Poſito enim ſinu toto Ei, quoniam eſt, vt Ei, ſinus totus ad i L, minorem numerum, ita EG, maior nume rus ad GKz ſi ex EG, dematur ſinus totus E i, erit quoque, vt ſinus totus E i, ad i I., ita iG, reſiduuum ad GI, numerum, ad quem ſi adiiciatur minor iL, vel IK, conflabitur totus quartus numetus quæſitus GK. Et ſi ſæpius detractus fuiſſet ſinus totus Ei, vt relinqueretur i G, minor ſinu toto, adiici debuiſſet minor i L, toties, quoties abiectus ſuiſſet ſinus totus, cum cuilibet ſinui toti reſpondeat recta æqualis ipſi i L, quemadmodum i L, ſipui toti Ei, reſpondet. EA D E M; ratio eſt, quando ſecundus numerus maĩor eſt ſinu toto,& tertius minor. Nam ſi eſt, vt ſinus totus ad numerum maiorem, ita numerus minor ad quartum quæſitum; erit qua que permutando, vt ſinus totus ad minorem, ita maior ad quartum: atque ita rurſum obtinebit maior tertium locum in regula. S E D quando vterque numerus maior eſt ſinu toto, tenenda eſt ſuperior regula Num. z. explicata, hoc eſt, abiicienda ya, aut altera figura ex vtroque ad dexteram, vt minores numeriĩ habeantur: Ad inue ntum tamen numerũ quar tum apponendę erunt tot Ziphræ, quot figuræ abiectæ ſuerunt; vt ſupra Num. 2. diximus AT QE hoc quide m modo proſthaphære ſis fit, ſinu toto primum locum in proportionum regula obtinente: doceamus iam, quo pacto eadem proſthapherelis inſtituenda ſit, quando ſinus totus in ſecundo vel tertio loco dicta regulæ collocatus eſt. Sic ergo agemus. 4. AND O ſrimus numerus maior eſt ſecundo, vel tertio, tamen minor ſinu toto, flat vt ſinus totus ad ſecantem complementi illius ar cus, qui minori numero in tabula ſinuum, tanquam ſinui reſpondet, ita minor numerus ad aliud: hoc eſt, duo arcus, qui illi ſecanti,& minori numero in ſinuuim abula debent ur, ſeponantur, tanaum dati,& cetera fiant, vt in proſthaphareſi dictumm eſt. uod ſi primus numerus ma s maior. iam ſit ſinu toto, agen lum exit, r paenů. fra Jem. dicemus. 5 2 AN O autem primus numerus minus e min otaatunc ſi quinem maion minor ett ſinu totosſiat ut ſiuus totus ad ſecani 4 Quando fi nus to tusſecund um, vel tertium locum regulæ auteæ ot cupa t, quo pacto thaphæreſis fi Quando prim numerus eſt ma ior, ſed minot fie nu toto Quando primus umerus migor ell,& m r ctiã ſiuu toto. 184 LE en cui, qui minori numero, tanqulam ſinui, in tabtil a ſenuum reſpondet, ita maior numerus ad aliud: hoc eſt. duo arcus, qui illi Setauli,& maiori numero in ſinulus reſponent, ſetonantur, ut dati;& catera fiant, qus in regula proſi haphareſis Num. I. pimus. Si vero maior numerus maior e ſenu roto, detrahatur ex eo minor alidonec numerus reliquus ſinu toto minor ſit, vel ſi mauis, detrahe minorem, quo deri poteſi: Et ſiat rurſum, vr ſinus totis ad ſecantem complementi illius arcus, 7 minori dato numero, tanquam ſinui, reſſondet, ita reliquus numerus maioris ad aliud, vs dictum eſi; inuentoque quarto numero adij ciatur ſinus totus toties, quoties minor numeruc ex maiore ablatus ect, vt totus guartus numerus qua ſitus conficlatur. 6. DVPLEN hoc præceptum ex eiſdem figuris ſuperioribus demoaſtrabitur hoc modo. Quonĩam ſi eſt, vt GEK, ad EG, ſinum totum, ita minor numerus i L, ad Ei, erit vt G, ſinus totus ad EG, ſecantem anguli G, qui complementum eſt anguli E, cuius GK, ſinus eſt,( nam poſito ſinu toto GK, exit EG, fecans anguli G,& EK, tangens, vt in tractatu Tangentium& Secantiume mus) ita i L, ad E i. Atque ita demonſtratum eſt primum pre eptum, ſi tame 3 numerus maior, minor fit ſinu toto, vt pec ipſum, veluti ſinum,) ar . 7 us E, in tabula ſinuum poſsit accipi, ac proinde eius complementum G. ha Quando primus N AM f primus ni e een, 7 70 5174 ö V nauerus eſt ma- 2 7 7 i nens, 5 7 abo, ſuerit ſinis io% AcCCipiè da erit etuα Hars de dor.& maior etià cima, vel coteſima,(c. quod ſit per ablationè vnius figura ad dexterà, vel duaris, c. inn toto. ſed ex numero inuento ſumenda de inde est pars etiam decima, vel centeſmã, c. ro 2 arte numero gute: niſſ for e cadem pars detima, vel benteſima, Gt minoris numeri accepta ſit. Tun enim numoerus inuentus eſſet quartus qua ſitus: quod ita ſe haBeat pars 7 elibe t primi numeri ad ſec, end pars tertij al guartum. Ex 4 fit, ſi tx tertio numero, hoc eſt, e minore, ſtmpta non ſit decima, vel cò teſſ numerum inuentum eſſe decies, centieſus, tc. matorem, quam eſſe debeat partem decimam, centeſimamue, cc, accipiendum 7 75 7. PEIND E ſi ſit vt iL, ad Ei, ſinum totum,(poſito ſinu toto Ei maior numerus GK, ad EGzerit vt iL, ſinus totus ad E i, ſecantem an complementum eſt anguli E, quem numerus minor L, vt ſinus, offert, ita 18 L E M M A LIE. 189 EG. Si igitur maior numerus GK, minor fuerit ſinu toto E i, vt per eum, veluti ſinum, arcus reſpondens in tabula ſinuum, aceipi poſsit, recte ſe res habet. Si autẽ GK, maior fuerit ſinu toto E i, vt in tertia figura, detrahẽdus ex eo eſt minor i L, ſemel, dis, terue,&c. donee relinquatur numerus Gl, minor ſinu toto: Et ad inuentum numerum Gi, adiiciendus eſt ſinus totus E i, toties, quoties IL, ex G, ſubtractus fuit, vt totus quartus numerus quæſitus EG, componatur. Si primus etiam numerus minor, maior ſit ſinu toto, auferendæ ſunt eæ primo,& altero aliquot gur vltima, vt numeri relinquantur ſinu roto minores: Et ſi quidem reliquus maioris numeri minor fuerit reliquo minoris primi numeri, ſeruetur regula Num. A. explicata: Si vero maior, prior pars regule Num. x. expoſita. Ad quartum deinde numerum eo modo inuentum apponantur tot xiphræ, quot ſiguræ en maiore nutmero fuerunt ablata; quia propter vnam figuram ablatam inuenitur tantum eius pars decima,& propter duas, pars centeſima, c Vnde per ap poſitionem o, vel oo.&c. wultiplucuandus erit numerus inuentus per Io. aut Io. c. vt lotus quartus numerus frodeat. Ex hoc vero ite um auferendæ erunt tot xiphræ, quot figuræ en minore nume10 qua primum loctm obtinet in regula, ſunt ablata: quia propter vnam figuram ablatam inuenitur numerus decies maior; propter duas, centies,&c. propterea quod diuiſio fit per decies, aut centies,&. minorem numerum. Quatre per ablationè o. vel oo. c. dini dus erit numerus per I o. vel i oo. c. vt verus quartus numerus habeatur. uod ſi ab inibio tot ſigura demptæ ſint ex primo minore, quot ex dato maiore, ad quar tum primo loco inuentum nequèe addendum eſt aliquid, neque ex eo aliferendum. E XE MP L I gratia. Sit inueſtiganda latitudo ortiua principij ad eleuationem poli grad. 42. Quonia m igitur eſt, vt ſinus complementi altitudinis poli 243 1448 ad ſinũ declinationis puncti Eclipticæ 3987491. ita ſinus totus ad ſinum latitudinis ortiuæ, vt lib. 1. Gnomonices propoſ. 34. demonſtrauimus, ita procedemus. Cum primus numerus ma ior ſit ſecundo, minor tamen ſinu toto, accipiemus ex tabula ſinuum arcum grad. 48. maiori numero reſpondentem, hoc eſt, ipſum complementum altitudinis poli,& ſecantem complementi huius arcus 234563 26. cui(abiecta ultima figura 6.) in tabula bnuum reſpondet arcus grad. 7. min. 44. Minori autem numero 3987491. reo ſpondet declinatio grad. 23. min. 30. Sic ergo ſtabit exemplum. G. M. G. M. 7. 4g. Cempl maioris.. 3 o. Minor numerus minor eſt com23. 30. Minor 7. fa. plemento, ideo fiet ſubtractio. Summa compl. cy minoris, 24. I, Sinus. gggαια1. Diff. inter compl.& minorem. 5d..] Sinus.& S o. Relictum. log IgA. Semiſcis, vel quartus numerus intuentus. 3G. — Huic ſemiſsi apponatur o, propter figurã abiectam ex ſecante, fiet ſinus latitudinis ortiuæ 3 3056 cui teſpondent grad. 32. min. 25. pro lattudine ortiua. Nam quarti numeri per appoſitionem ziphiæ inuenti 536569. non et acSpan pars decima, vel centeſima, quia primus numerus maior 743 7448. minor eſt ſinu toto. Aa RVRSVS Quando primus nbmierus minor mai ox eſt hᷣnu ta co. Exemplum do pri nor tamen coto. quãs inn 190 E I RVRSVs in triangulo ſphærico rectangulo, euius vnus angulorũ nõ rectoe en rum contineat grad 50.& areus oppoſitus circa angulum rectum grad. 20. inmaler ctism ds ueſtigandus ſit alter arcus eirca angulum rectum, ſi modo conſtet ſpecies altedot, ci alter mi rius anguli non recti. Quoniam per propoſ. 44. noſtrorum triang: phær. eſt, vt 11917537 · tangens anguli dati grad. 50. ad 3639702. tangẽ tem. dati arcus gcad. 200 ita ſinus totus ad ſinum alterius arcus circa rectum angulumʒ ſie agemus. Cum primus numerus ſit maior ſinu toto,& alter minor reijciemus ex illo figuram vltimam 7. vt habeamus nume rum 119775 z. ſinu toto minotem, cui reſpondet in tabula ſinuum arcus grad. 6. min. 5 1. Huius complementi ſecans, eſt 83843 09. Abiecta vltima figura 5. reliquo numero in tabula ſinuum reſpon det arcus grad. 56. min. 58. Minori numero, vt ſinui, reſpondent grad. 21. min. 2 1. Itaque duo areus proſthaphæreſis ſunt grad. 5 6. min. 5 8.& grad. 2 1. min21. Et ſicſtabit exemplum. J ͤ ͤZ—ꝛ—A—:,:—. nor. G. M. G. M. Arcus 30. 5. Compl. maioris. 33. 2. Minor ſtabtrahhi poteſt& compl. dati. 21. 21. Minor. 21. 21. ide o ſiet ſubtractio. Summa complem. c minoris. 84. 23.] Sinus. 97129314. Diff inter compl.& minorem. 11. 4. Sinus. 202. —— ———— Relidtum. 6 IO. Semiſsis, vel quartus numerus iuuentus. 30%. 1 ä ̃——((—e— ———-— Huic quarto numero adden da eſt o. propter figuram ex ſecante abiectam, vt habeatur totus quartus numerus 30521450. cuius pars decima 3052 145.erit ſinus arcus quæſiti, propter ſiguram ex primo numero abiectam. Arcus ergo quęſitus exit grad. 17. min · 4 6. paulo amplius i conſtet eum debere eſſe quadrante Exemplu m qua- minen 8 5 3 e E M in eodem triangulo, poſito angulo grad. 50.& arcu oppoſito mus aumerus,& grad. 48. inueſtigandus ſit rurlum alter arcus circa rectum angulum. Tangens ogens arcus eſt 17106124. Vbi tam prialter minor, ma · N b 5. iot eſt ian toto · anguli eſt, N 119175 32. Et ta 2 mus maior, quàm alter minor, major eſt ſinu toto. Reiecta ergo ex xtroque Itima ſigura, cum reliquo primi reperiemus ar cum grad. 6G. min. 5 1. Huius complemeuti ſecans eſt 83 843097, Abiecta vltima figura, reliquo numero, vt ſinui, debetur arcus grad. 36. min. 5 8. qui eſt vnus arcuum, qui requiruntur. Reli quo numero ſecundi minoris vt lünui, debetur arcus grad. 6. min. 23. qui eſt alter requiſitus. Sic er go ſtabit exemplum. L E M M A III. 191 G. M. G. M. Arcu. SC. F.] Combl. maioris 33. 2. Minor ſuberabi poteſt, idcirco fan dati C. 23. Minor. 6. 23. eienda eſi ſubtractio. Summa compl.& minoris. 39. 25. Sinus G4. Diff. inter compl.& minorem. 20.39. Sinus md 392. ———— Relictum. ISG. Semiſsis, ſiue quartus numerus inuentiis. 93 2. J ͤ ͤ enda eſt o. propter ſiguram ex ſecante abiectam, vt totus quartus numerus prodeat 93 208 lo. hoc eſt, ſinus quæſiti arcus. Hic enim nihil demendum eſt, cum& ex primo maiore,& ſecundo minore abiecta ſit vna figura. Igitur arcus quæſitus erit grad. 68. min. 46. fere, ſi conſtet, eum debete eſſe minorem quadrante. R VRS VS ſit inueſtigandus arcus ſemidiurnus in principio. ad eleuationem poli grad. 42. Quoniamʒ vt in ſcholio propoſ. 35. lib. 1. Gnomonices oſtendimus, ſie ſe habet medietas aggregati ex ſinu aftitudinis meridianæ,& ex ſinu depreſsionis meridianæ ad ſinum altitudinis merid. vt ſinus totus ad ſinum verſum arcus ſemidiurni. Eſt autem prædicta medietas 6815085. flnus vero altitudinis meridianæ 9483237. vb vides, primum nume eſſe minorem ſecundo,& hunc minorem ſinu toto. Minori, qui primus eſt, vt ſinui, debentur grad. 42. min. 58. ſecaus complementt huius arcus eſt 4671945. cui, abiecta vltima figura, reſpondet arcus in ſinubus grad. 8. min. 26. qui e 0 vnus ex requiſitis. Maiori numero, vt ſinui, congruit arcus grad. 7 J. min. 30. qui eſt alter requiſitus. Sic ergo ſtabit exemplum. Huic quarto numero appon ———t—————— G. M. G. M. Arcus L. 20.] Compl. maioris. I J. dati. 71.36. J Minor.. G.. Summa compl. c minoris 20.6 C. Sinus. S. Diff. inter compl. c minorem Te. f. Sinus, lar Relictum 27813590. Semiſſsie, vel quartus numerus inuentus. 13 ——— — ram ex ſecante abiectam, vt Quarto huic numero apponatur o. propter ſigu . 113. paulo amplius, hoc flat totus ſinus verſus 139, 80. cui debentur grad oſt; Hor. 7. min. 3 2. pro arcu ſemidiurvo. PR AE TE RE A in triangulo ſphærico ex lateribus circa angulum recum, quæ ſint grad. 30. ęrad. 0 ipquirendus ſit angulus poſteriori lateri oppoſitus. Quoniam enim eſt, vt oe. ſinus grad. 30. ad ſinum totum, ita 11977537. tangens grad. 50. ad tangentem qua ſiti anguli„vt in ſcholio proA4* poſ. 44. alter maior, ſed mtu or Ran coco. do pri mus rus minor nu tote maior. elt ſi· ed alter Ezemplum, quã do primus nume tus minor et, ſed ſiau toto ma zor · 192 E 1 poſ. 44. triang. ſphær. demonſtrauimus; vides primum numerum eſſe ſinu toto minorem alterum vero maiorem. Minor bis detractus ex maiore relinquit 1917537. Fiat ergo vt ſinus totus ad z0οοοοοο,ſecantem complementi anguli, qui minori numero dato, vt ſinui, congruit, ita reliquus numerus maioris ad aliud. Secanti, abiecta vltima figura, reſpondent in ſinubus grad. 17. min. 32. qui eſt vnus ex arcubus requiſitis. Reliquo numero maioris, vt ſinui, congruunt grad. I f. min. z. pro altero arcu requiſito. Sie ergo ſtabit exemplum. ————— ää—6 33333.—.—jr—ð 2—— G. M. G. M. Arcus 11. 32.] Compl. maioris. 24. 24. Minor& compl. deficit, idcirco dati 1 Minor. 11. 3. iet ſubtractio. — — Summa complementi& minoris. 9. 31. Sinus. DCA. Dijff.inter compl.& minorem. g. 25. Siuns. 923322 b. —— Relictum 70. Semiſsis, fue guarius numerus inuentus. 363214. ——¼——.—übU— ñ—¶—œ— Huic numero quarto apponatur o. propter figuram ex ſec ante abiectam,& toti numero 3832 20. addatur ſinus totus bis, quod bis minor numerus ex maiore fuerit ſubtractus. fietqʒtangens anguli quæſiti 25832120. Eſt ergo angulus grad. 6. Min. 14 paulo amplius. Si minorem numerum zo. ex maiore 1791/53. ſemel tantummodo detrax iſſes, relictus quoque fuiſſet numerus minor ſinu toto, cum quo eundem angulum reperiſſes. DE NIQ VE in triangulo ſphærico rectangulo ex arcu circa angulum rectum grad. 5 o.& arcu, qui recto angulo opponitur, grad. 60, inueſtigandus ſit angulus à dictis arcubus comprehenſus. Quoniam per propoſ. 45 triang. ſphær. ita ſe habet tangens arcus recto angulo oppoſiti, ad tangentem arcus dir ca angulum rectum, vt ſinus totus ad ſinum complementi anguli quæſiti: Et per propoſ. 18. ſinuum, ita eſt ſecans anguli quæſiti ad ſinum totum, vt ſinus totus ad ſinum complementi eiuſdem anguli; erit quoque, vt tangens arcus recto angulo oppoſiti ad tangentem arcus circa angulũ rectum, ita ſecans quæſiti anguli ad ſinum totum. Et conuertendo, 179775737. tangens arcus circa rectum angulum grad. 50. ad 173 20508. tangentem arcus angulo recto oppoſiti grad. 60. ita ſinus totus ad ſecantem anguli quęſiti. Habemus ergo primum numerum minorem quidem, ſed maiorem ſinu toto. Ablata ergo vltima figura 3. reliquo numero reſpondent in ſinubus grad. 6. min. 57. Secans complementi huius arcus eſt 83 843 oe. Abiecta vltima figura, reliquo numero, vt ſinui, debentur grad. 56. min. 5 8. qui eſt ex requiſitis vnus. Alter vero ſic reperietur. Abiecta vltima figura ex maiore numero, remanet numerus 273 205 f. minor ſinu toto, ſed maior reliquo numero minoris, ideoqʒ prior pars regulæ Num. 5. expoſitæ adhibenda. Arcus ergo alter requiſitus erit grad. 9. min. 36. congruens nu · mero 173 205 1. Sic igitur ſtabit exemplum. NM l. 193 1 N. G. 1 56. J. Combl. maioris,. 33. 2. Fieri debet ſubtractio, cum 8 Minor. 5. 4. minor detrabi peſßit à cpi. —— —— Summa compl. m minoris 423. O. fiuus. CAI. D inter compl.& minorem. 23. 4.] ſinus. 3914. ————¼—d ——ͤ——— Relictum. 2900. Semiſsis, ſiue quartus inuentus numeriis 14. 9—— ͤ—ꝗUꝗg——— Huic quarto numero apponatur o. propter figuram ex ſecante abiectam, vt totus quartus numerus fiat 14509820. Propter abiectionem vero vnius ſiguræ ex vtroque numero factam nihil fit, cum ex vtroque ablatæ ſint figuræ numero pares, nimirum vna. Secanti autem inuentæ congruunt grad. 46. min, 26. pro angu lo quæſito,& paulo plus. 5 S. AN P O ſinus totus neque in principio, neque in medio regule proportionum reperitur, reducendi erunt primi duo numeri ad alios duos per preſthaphareſim, quorum primuis ſit ſinus totus, hac ratione. Fiat, vt primus numerus ad ſinum totum, ita ſecundus ad aliud, per proſthaphæreſim Num.. 5.& C declaratam. Tunc enim erit qucque ſinus totus ad numerum inuentum, vt tertius ad inueniendum, atque it a vſurpandu erit proſthaphæreſis Num. t.& 2. explicata. CAET ER VM proſthaphæreſis, qua muis demonſtrationibusgeometricis nitatur, vt oſtendimus, accurata tamen& exquiſita eſſe non poteſt, niſi quando per ſolos ſinus operatio fit,& ſinus totus in principio regulæ ponitur, vt Num. l. expoſitum fuit. Nam quando adhibentur alij numeri præter ſinus, non paruus error committi poteſt, propterea quòd raro eiuſmodi numeri in tabula ſinuum præciſe re periuntur, vt arcus illi congruentes accipi poſsint ſine errore. Qupcirca vt exqujſſitius res per proſthaphæreſim fiat, adhibenda erit ſemper pars pro portionalis, vt in explicatione, at que vſu tabulæ ſinuum expoſuimus, hoc eſt, cum numero, qui in tabula ſinuum non paæciſe reperitur, excerpendus arcus cum gradibus, minutis,& ſecusdis: quod iet, ſi differentia capiatur inter ſinum proxime minorem dato numero,& proxime maiorem,& differentia inter eundem ſinum proxime minorem,& datum numerum, atque dicatur. Si prior differentia requirit ſecunda 6(Nam inter duò proxima minuta interiiciuntur 60. ſecunda,) poſterior quot ſecunda poſtulatꝭ atque hc ſecunda inuenta axcui, qui minori ſinui aſſumpto congruit, addenda erunt. Eodem modo, ſi cum gradibus, minutis,& ſecundis excerpendus ſit ſinus, ſumenda erit differentia inter ſinum gradibus, ac minutis reſpondentem,& ſinum proxime maiorem, atque dicendum. Si Go. ſecunda poſtulant tantam differentiam, quantam propoſita ſecunda requiruntꝰ atque differentia inuenta ſinui proxime minori aſſumpto adiicienda erit Idem faciendum eſt in tabula Tangentium, ſecantiumque, quando id res exi get. Sed facilius in ſinuum tabula pars proportionalis eruitur eo modo, quem paulo poſt explicabimus, per vuicam videlicet vel multiplicationem, vel diuinonem, eamque per exiguos numeros. Non debet autem moleſta videri partis Proportionalis inuentio in proſthaphæreſi, cum ea fiat per exiguas multiplicationes, diuiſionesqu ezyroſthaphæreſis Aute nongis ac permoleſtis multiplicationibus diuiſionibusque nos liberat. Quod ſi quis malit operari per ſinuum, sliorumq, numerorum multiplicationem, ac diuiſionem, quàm per proſthaphęrelim Quando finus to tus in regula aurea non xeperitur, quo pacto proſthaphæreſis Hat. proſthaphæreſis quando accurata fit,& quo pacte eri poſsit accuratior per partis proportienalis inuentionem. —.— Exe mplam profh p. Pali. lis cum Proportio. Nn. reſim cum parte proportionali, id ei per nos licebit. Non enim negamus, quin res interdum citius abſoluatur ſine proſthaphæreſi, propter partes proportionales, quæ opus aliquantum retardant: ſed tamen fatemur etiam, minorem eſſe moleſtiam in proſthaphæreſi, quàm in tam lõgis ac difficilibus numerorum mul tiplicationibus, diuiſionibusq; præſerttm quia in ſinuum tabula ſine vllo fere labore pars proportionalis eruitur eo modo, quem poſt tabulam ſinuum paulo poſt exponemus. Sed ponamus exemplum aliquod, vbi pr oſthaphæreſis cum propor tionali parte abſoluatur. S 1 T ergo vt in poſtremo exemplo, inueſtigandus rurſum angulus ab arcu, qui recto angulo opponitur,& ab arcu circa rectum angulùm comprehenſus, quorum ille ſit grad. o.& hic grad. 50. Et quia, vt dictum eſt, ita ſe habet 11917537. tangens arcus grad. 50, ad 173 20508. tangentem arcus gra d. Go. vt ſinus totus ad ſecantem quæſiti anguli: ſi abiiciantur Vtimæ figuræ 7.& 8. pro quibus vnitates aſſumantur, quod tam As quam 4g ſemiſſem ſuperẽt, habe buntur numeri ſinu toto minores 1191754.& 173205 N. in eadem fere pro portione. Fiat ergo, vt ſinus totus ad ſecantem complementi anguli, qui ſinui 1191754. de betur, ita ſinus 1732051. ad aliud, veluti in prima partè regulæ Num. 5. explicatæt raditum eſt. Cum priori ſinu inuenitur areus grad. 6. min. 50. Sec. 40 cuius complementi ſecans eſt 83910940. Cui, abiecta vltima figura, vt ſinui, congruit arcus grad. 57. min. 2. ſec. 48. atque hic eſt vnus ex arcubus requiſitis. Alter arcus poſteriori numero debitus eſtgrad. 9. min. 5 d, ſec 27. Sic ergo ſta bit exemplum. „ N G. L. Arcus xy. 2. 4. Compl.maioris. 3 2. f. l. Minor eſt minor quam dati„ Minor. 9. f. 27. cöõsl.ideo fiet ſubtractio. ——— ———. Summa comnpl. c minoris 2. 55. 41. ſinus Cops. Diff. inter cemil. e minorem. 22. J. 47.] ſinus zgoαꝰα,. 3 JJV ˙. ˙—Ä Relictum. 20 0 2. gemiſsis, ſiue quartus numerus. 145357. U UU—«4—„—————.———— Appoſita figura o. ad quartum numerum inuentum, propter figuram ex ſecante abiectam, fiet tota ſecans 145337 lo. cui reſpondet arcus grad. 46. min. 3 1. ꝙꝓ angulo quæſito, qui à ſuperiori minutis ferme 5 differt; vbi vides, quã ti interlit, adhibere partes ꝓportionales. In aliis exẽplis negleximus dedita opera partes proportionales, tum quia in illis tantus error non apparet, tum vero maxime, vt regulæ proſthaphæreſis clarius explicarentur Sed proponamus iam ſinuũ tabulam emendatam,(quæ enim circumferuntur, erroribus non carent) cum nu meris quibuſda m interiectis, beneficio quorum pars proportiona lis nullo fere negotio inueniri poſsit. —— TABVLA F SIN VVM Emendata, vnà cum partibus proportionalibus, quæ ſingulis ſecundis graduum congruunt. „ Sradus Quadrantis pro ſinubus äiV“———— 5 F — — ! 186158 174240, 5 177433 180341 183250 189066 697565 5 70046 703369 706270 709172 712073 191975 194883 7149754 778760 378064 380971 720777 729480 2 N e 389692 392598 395505 39812 401318 40425 732385 735282 738183 741084 745985 746886 749787 407¹31 410038 412944 3 250137 253045 5 5 258861 43038 43328 8 752688 755788 758489 761389 1 1 15 — Gradus Quadrantis pro ſinubus rectis 12 60 78 rãtis pro ſinubus tectis cõplementorũ arcuũ cĩuſd Quad 1 Minpta Gra atis Quadr c duũ 1 193 l rectis arcuum eiuſdem Quadrantis 2 r* 4 e ee a ee—— 8 5 eee ene 784%% 300 q 8 319174 264677 4% 6389 349 29 8 JJV 3 93083 267585 44200 610292 790391 280 8.85 95992 270493 444912 Sorge 79329¹ 27— ö 11 1 21. N— 2 — 371 98901 273401 447818 622099 796191 26 2 53308928. 276308 ere 2 799% 25 N . 1 2 94718 279216 453630 627905 80199 242 1 b 282124 456536 630808 804889 23 8 2 3810536 285032 49944 575 55 220 — 1 4 80 78 7— 8.9 1. Ee n 8106880(2108 5 116 5 0 3 8 . 8. 55 290847 17580 629517 813787 2008 8 410 7 293757 408159 642420 816486 198 a 8 12 1235 296063 47. 645323 979385 18, 8 5 7 2. Lalgte 473970 648226 822284 170 E 85 17 1 302478 476876 651129 825183 168 8 45 13089 305385 479781 654031 828082 11512 85146 3 3 1 1 1 75 8 2 7 a 508293 482687 656934 938“ 14 5 55 8 ee Jak 22255 6987 9338 13 2 8 N—.— 5——— 3 25 48 1 3141088. 488498] 662779 926778 122 8 4 477 317015 491403 065642 9595 11 2 3 50044439 a 75 1 1—— — Jes 6685 44 N 10 2 510148348 N 34575 E. 2 52. 6743499 849372 58.2 60 53 154165 1 577251 851271 5 4 5 54657074 en 2 0 159982 680153 6 2 8 6830575 2 8 50 4 585 83055 5 8. 62891 E 45 8 2 ee. 688859 3 2 — 3 2. 58001768708 691761 22 7 4 5 g pass:* e eee 8 7 F ss 87 D ———u————— en 22 1 1 4er 11 e complementotrum arcuum eiuſdem Quadrantis. b Sradus Quadrantis pro ſinubus C 71775 18.3 1104528 5/9 1218693] 1391737 15643 4505. O 1048178 12215 80 1394612 156721 . 2 877353 105 1971 1224467 1397492 157 e Soo — — — — snurzprnd wnnprig rinury 2 2 0 . 880250 883748 886045 888943 891840 894737 857634 900531 4 9034² 56 17 6 912119 915016 517973 9 92370 9 92660 929498 932395 105 3964 1056857 1059749 1062642 065534 1068426 1071318 107420 1077102 1079994 N 1 od 8669 1091561 1094452 100235 1103126 1106017 9377 938187 94083 1108908 1111799 1114690 2 8 1227354 1230241 1233128 1236915 1238901 1241788 1244674 1247560 1250446 1256218 1259104 5 N 1267761 12 1273532 1276417 1 1282187 1285072 8 25550 ese 40377 1403273 1406133 1409013 1411893 1414772 1417652 1420531 1423 40 1426289 1429168 143 2045 2575 1437805 1440684 1443762 1446441 1449319 1452197 145 505 1457953 146083 1 1 ———— 92 8 0 1572954 22 1578709 1581581 1584453 — baprnd ynpeig vmurfN 575757 1590197 * — 8 13 Nouu¹j,jaudgo sον, Snquuh oads 1593069 1595941 1613168 1616038 42 1678909 41 1927779 1624649 1627519 163 0389 1633259 — 9 2 943979 1 546875 2 ee 90955563 3 1463708 14665 86 1259463 1472340 11 1636129 J nde — 758 snęiprnd 2pfn * — N N 1638995 1120477 1 1296610 990 1641868 1 5 8 2 1 5 9 O0 1126252 eee. prid uopjnio unn s ενο⁰αν,n ui ond 835 1297756 1 1644738 1302378 1647607 —— 1 I. eser 8526. 22. e 1 E 80 EFFFVFFCFFCFCCCCCCCCCC 7 Gradus Quadrantis gro add. t 81 O —2—— Surg .—— — . — 22082 2 5 2 2 [ee e doo 2 —— — 47 4 4 5⁰ 51 52 53 54 55 5 3— 2 29 8 — 2 r 0 0 7 8 2 — — 8 2 2 * — 8 E 2. EN 9 2 O 2 — — 3 2 2 — O D — 0 2 2 2 0 1 — 2 2 — D 0 8 2 8 . . N rectis arcuum eiuſdem Quadrantis — . 1132032].2 13052620 5784780115 15 1308146 961354 1124922 — 8.:— 64e 967144 140002 9798039 990303 993198 99609 1163818 116670 11695 90 998987 95 1001881 1172485 11737 1004775 8 009669 7181 55 1010563 5 — 2412 J 11644 des 8 1016351 1189816 1019243 119270 102 2139 1195 1 1025032 ur 3 0 1027926 1030819 1545 5 1103 1313914 1137812 55 2 22 S * 1830. — — 1 1 22 2 7 2 3 147 8094 1480971 1483848 1484724 1316798. 0 F. G ö — 2 1526984 11 5% 1529859 9 9 0 2 —— 5 16533457 0 12 1 2 0 1656274 dẽ Quadrãtis. 12 A NN. ũ arcuũ eiul 5 2 75 5 189 2 — 2 2 O —— E 1690628 1693497 15 222 1696362 699229 1702095 5 1704982 — — 92735 1535608 1538482 1541356 1544230 155853 49 9789 11722157 ſin burt. complementor D 9— S A 02 3 710% 1713560 1716426 . 1 5202 719292. ä—— 172022 — 0 80 Minuta Graduũ Quadrãtis pro mplementorum arcuum eiuſdem Quadrant 17 8 5 B b 2 San snqnug ond smurzprnd snpr o e e we ee eee Pere ase 9e* 588281 af 3 6 b 0 5 65 1 8 .— T 2 1 T T beg 1 5 — 2 8 0 —— i 2 ＋ 3 ＋ 7 EA S8 44705 99 890A 5 rectis arcuum eilen i 8 71 ſinubus rect 2 ãtis pro 10 e — le 2 8 N eu 0 S —— nuta Graduũ Quadt snqn ond surzprne snprg Mn — —— N= Minuta Graduum Quadrantis pro! tr 2819 840 83 1 ——— 901 PP rd unnprad raum un oad snurap v sor snqn Sura prñd uopinfo unnd ——— S IN 1 79 f — 118 78 F „ V M. rectis arcuum ciuſdem Quadrantis Wee eee eee 176 complemente orum arcuum eiuſdem uadrantis. —— FCC 30 7522355571993 6797-5[21643 9651-8 2334454. e 1 21828275 555820 2167236 2337282 250651 E—— 32 82875 3 27% fene 0333 33 1830935 2002230 2172916 2342538 Ee 34833775 ſꝛ oo 17777 234576˙ e 378356574 197959 2178594 348394——47879 361839513 2010780 5 2 ese 381845231 2016478 2187111 23770 2526323 39848299 2019327 2189939 235990 529138 eee ee 97 3367 25375 401859949 2022176 2192787 2729 53 272 41¹ 1853808 2025025 2195625 3675555 2534766 42 856666 2027874 2198463 168381 7 42855 24 2030722 2201300 8 8 1 a ee ee 755 374%((843204 45 885240 2036418 2206974 2376859 2546019 46 1868094 2039266 2209811 2379684 254883. 47879956 2042114 2212648 2382509 8 e 044962 eie 2385334 2554458 491876679 047 eο“ 2218322 2388159 2557270 5011879527 2050656 e 23 5098; 258 5165882384 053524 2223994 2393808 2962494 521885241 2056350 2226830 2396632 2565706 1925 2059197 2229666 2399456 15685 17 54 1147777 2062042 2232502 2452280 2571328 1624819 64886 3573752406104 7 2—— R e J 20677350 2387 24% 7] 76970 520 3952 5 22 2070581 2241007 2410750 5 79 0 U 3————— 58 190237 2 757347 2243 842 2473773 25325701 5 156250 2076272 2246677 2416396 258530 60 1 5 5855 0 n Illi go soo. eee. 47.2 419 19 28819, 1 S 7 2 atis. 8 89818 1 001 eQuadr 0 cuũ eiuſdẽ ö lementorũ ar adrãtis pro ſinubus rectis comp NA Gradus 1s Quadlrantis pro 1 Lise 17 18 2 e ee— 0% 58819%% 7 56323%%% 292371 7% Lopereef pogo 27%, 2 55 15 85 — 15 2759169. 3985 293 1 535 59 8 8— 1 e S 22592809 2761965 22 47095702 3261182 58050 * — 3 2596618 2764761 2932061 3098468 3263931 2 2 70 8175 e eee 761 8 2 Sorte, 276755 0. 11670 726668 5. 502602236 2287¹ 232623 3103290 326943 3 ˙3 2 eres, U 7251. eg, 3106764 2272179 54* 2 7 2609953 277 594f 84183 ro 1274 2227 53 2 2 ee 2778735 ee 5 3277671 72 2 5 961340 2781529 29474. 3115058 3280423 71 8 * 1002610277 2784323 e 6117857 12877 50. 2 11261908 4 2787117 295430 z 120576 3285918 15 8 e 35„ 122621891 2789911 2957081 3123349 288665 5 2 7899 SS CA s e 9550 2842 291412 8 214402627505 2795497 2962638 3128875 155 7% 15 8. — 15 2630322 2294 90 e. 5 50 E 16 2633178 8801082 2968/94 31344⁰ 52 44 2 17 272 4 23. E ee 24529[J43 2 3 15 218 eee 780 86% 9737%%% 139624 3351400(42/8 8 19. 2976527. 307889 fü E L— 2———— 3 20 free sto 29% 314440 337063 408 S 21 6% 50% 2982091 4 3313379 39A. 5 3 eke 5 5 1 780.2 — 2212649952 2877832 2944857 3170 9 3316123 380.8 2. 23 2652757 1 2987633 6173731 3378867 378 8 15..—— 2 2246556 f= rgοοσ, 156451 5527775 360 8 22 2658366 26204 2993185 3159251 2 25 8 2 26 reeri5e 297777 75 3162011 33 340 2 27 2663 974 3 284 40735 16470 22934 235 2.28 2686775 2834574 50181 5167599 5382765 2— 2 29 26695 80 2837364 354 1284 8 538327 2 2—— 275 N N u ee eee 85. 307672383 1 17 4 BOS gogg]“— 5 FF 77 1 ————* 2 Gradus Quadrantis pro ſinubus rectis 13 1 672383 2675186 2677985 2680792 1 5 —— 82 2 8 8286355 2689199 2692001 nd umnpras em] —— 2 — 5 0 2694802 2697603 2700404 2703 205 2706005 432708805 423 2 8 8 ö d snurapr — 2 — 8 12717605 2 nun 5 2717204 27 20003 sn 1 47 nom sw 8 O DD 2 . 5 * — 1 — — — — D 0 2 2 0 — — — 2 2 2 — 3 2745186 2747983 27507 80 75357 snurprnñd mopjnio un 1 —— 2756373 N NN 1. rectis arcuum eiuſdem Quadrantis 6 47 6 e . 5 5 Fier; 2840053 46.5 3007058 2842942 3009832 2845731 3012606 14710 30153 80 851305 70e 1854096 3029925 A 528475 2859672 3026472 e— 448.4 1 2862459 3029244 12865 246 3032016 280805 ö 30347 88 28708 9 337855 e 3040330 2876391 eee 1 3045872 881963 3048643 2884 8 3051413 87533 3074183 . 3056953 2893103 305973 2895888 5 898672 3065261 901456 306 80 90 2994240 3070798 2907023 3073566 290980. 3076334 2912589 3079102 2915371 3081869 2918153 30846 36 59 2 3087403 2923717 444 15 3090170146. 199 18 4 t 7 8 517300 333806930 3175805 33401 29 3 53656 348755 28 2 3181321 33 46 294 27 5 3184079 3277 29. 3186837 351776 25 0 — 45.9 ii 3189594 115 243 5 5 3357256 23 5 355106 e 5— 3197864 3362736 218 16.— 2 5200620 3557 201 32033750 3368214 5 5 09130 4 8 188. 3208885 3373691 2— 2 a 8 3211640 e 1608 8— 5 5 8 3217150 3381905 14— 22555 1 2 E 2222656 3387377] 125 e 3390116 1118 — 3228765 3392852 1010 2er. 9 E. 32336710(3398324 80˙8 3236423——* 5 c 3453795 4 8 3247927 406530 1 3244679[409 26560 403 324% 34799 3 5 E complementorum arcuum eiuſdem Quadrantis. 10— 8 3 Minuta Gradu 583420201156 — 2 eee Gradus Quadrantis pro ſinubus rectis Sradus Quadrantis pro ſinubus ———————* Leeren e . 1—— 1 „ EA 836%% ,ετν i 9οοε˙s nue õεεανse 60 S — 13422934 3586395 bre 3909989 407 59— 8—— 1.——— 125 42 — 2 2425667 3589110 3 51460 3902666 2 8 58050 3 34˙8 o 2591 825 54160 3915343 407533 57 0—— 5— 1 58— 8 2417131133 35945 40 375685 3918020 40% 56. 253328675 3797254 375974 3920696 4080649 55 5 5. 2 ee 28 — 0 3436597 des 3762243 3923372 5 3305„542 8 73478327 3501642 37649 80 e 4085960 53 8 e 7 e 5 8044 3605395 3767633 7 4088615 52 2 8 913444791 3608108 37703 27 8 8 4091269 544 8 g 70 2 8 10 3447522 leg. 3773021 5 ee 50 7 — 1103458253 3613533 e 2995 1 5 49 8 —— 2.—— 1 80 4. 4 — 1203452583 3516245 377840 3939420 o, 4099231 20 S 2 3———ͥ 3618957 378110 394209 3ʃ˙ 1101884 47 2 3— 255 8⁴ 2 814 3458442 3521669 3583795 5 4104537 40 8 15 24611171 352430 37 964865 227439 4107199 45 2 Ste 4e 3463900 1 8800 2 5 3950112 110984 44— 2 17466629 362950. 791870 3952789 7112493 08 213% ee eee e 880340357 1 3754762% 395546 415140 22 1903472085 3 4 6 32972 53 3958128 4117795 2 2 296853474813, 56372 32%%% 396%(4104460 40. 5 21034775 70 2 3802635 3963470 1235505 29. 1— 22 4 3 5 220886 6433518385532 396614(4125746 4038 2 5 23 3482994 h 3808015 3968810 4128395 7 8 4 2 3 3 335—. 424 3485721 3648766 380 3971480 1131044 36 E 8 b bed 833% 3/474% 4½33653 5 8 26 491173 3654184 3816082 3976818 41363 34 D 275 495 899 365689. 3818771 3979487 4138989 33 2 N— 5 1 4 ee 32 E- 205 3496024 5 5 1 3982155 41637 32 7 349934 6230 e 8482 14428 5 S. 30% v ιαιοẽỹÿ. 3826834 3987491 446932 2.8 es De complementorum arcuum eiuſdem Quadrantis. Ce 83 1 Y M. 201 rectis 21 eiuſdem Quadrantis N e e e ee e ee eee 8 F 3 4 2 S 305677 ssZ ee te o 8 31079% 5s 38295210 3990159(44979 298 2 8.— 12 — 32 3507523 767942 3832208 3992826 4152226 28 G A 23 17 67313% 8348 39974 447% 27ʃ 8 717 3675835 3837587 399817 eee 6 2 8 353717694 3678541 3840267 4000825 4160163 25 U 7 277 2 3663518417 3681246 3842953 3 225 4162808 24 2 8. 2 321140 3683951 3845638 4006156 4165453 12 3 86 e eee, 25 38 7 5487 755 e 4168097 22 2 — 39.385 3689359 385 1008 4011486 4170741 218 . 417 2 5 4083529306,„e, 657 692 014150— f nnn 41733850 28 8 41¹ 3552 3694765 3856376 4016814. 3 19 — 42 5 7697468 555 4015478 4178671 18 2. — 43 374 3700170 3861743 425171 5 17 E 2 1 45 3540 190 3701872 55 5 4183955 16 8 2 4 70 3705572 8 227(44652(5 8 2 5 846953545630 1 386 4030130 8 2 K 9791 3013 4189229 14 E 47 e 3710977 3872473 2032792 e 1 2 2 28 3 8 45 1753759 1 1. 4 4194721 12 2 30 56e 7 2880578 44% 4198 6.8 75 3923 3221780 5 187 4020442 9. 8 55 1761855 3724480 3885880 40469 4205081 8.2 125 er 4563 3227179 388856 448757 4207720 2 — e e 4492 8 57 3578 372987 5891240 4014160 421039 6 55 65709 3732577 3893919][405 40 11957 2 ——— 0— 3 5 4212997 5 G 2 56 3572814 3735275 3890558 9056734 4215635 4 8 55——— eee 2 2 85—— 8. 2. 58 3578247 37 4067 3901955 4062050 4220910 9 e. 1 40647 4223547 1 1 2 473— 60583675 374ο 39073711 4[4067366 3 n 45 0 2 — a f 2 —— 1 202 e 1 Quadrantis pro ſinubus 127 26 ff 27 28 i 2!!᷑] òxVXkT FF— o04226183 5. 1 717455995507. Je 164A 8 1 4228819 N 44 46972 5 4850640 52 8 — E 2 2042314355 4388940 27498 beet, 7873184 78 2. 834234090 1391554 4547679 472419 485 57 1 5— 13˙5 8——. D 4 4394167 455% 1 1 58 . 5 4239360 93 9 4707553 860812 55 8 8 7 51 43999%(455%[71011(4863354 57 E 8 7* 44628 1402004 4578039 4272685 4965895 73— —— 8 5 3 8 2 8 rer 4404616(aS 4 J ache 52 8. 940¹² 49895 4407227 4553216 4717815 N 2 2 8 101277856 7585255 14565804 7720380 48735¹7 50 5 2 11er 4412449 4568392 4722944 4876057 49 K (127% fi 47% fes 4856 48 — 13 3 47655 273565 42801 4881135 47 7 9 8 5 3 7 14 ese, 115875 77767153 4730634 4883674 6 2 2 15 4265687 5 4422887. 4733197 4886212 45 3 2 16 4685180 4425496 4581270 777 488877 44 5 5 175220949 4428104 4583911 4738321 4891287 45 5 5 75— 2 2 25078 4273579 4430772 4586496 Gres, 4853824 42 25 S 19276209—.— 1 474443 1 4¹⁰ f 8 7 2 3 20/⁰4278838 427% 4751665 1 4898897 145 4. 8 214287467 4438534 4594249 4748564 4901433 90.2 8 22 1288575 141770„ e, 5 2908550 N 8 8 2 55——(444374 41% 475368; 490—(220 2 248935 4446372 460% Le 397 368 5 25299979(444895(4604581 475880 4971571 35 O 2 26429460 445 1562 4607163 e 497410 34 155 2 27(429½½98] 441 a4οοοαν, ⁰⁸½ονε(49166380 330 ———Ü̃pué—— 2.284859 4456771 85 17580 0 4919171 320 5 29 4302485 4459375 4614906 4769031 2255 311 8 2— 3771—* 41.% 326 2 S. 004305111 4461978 4617486 4771588 4924235 30— 2— 2 A eee eee eee Gradus Quadrantis pro ſinubus rectis g 3 E. 203 2 7 l uadrantis 58 2 2 5 8 4 555 5. 8 85 1 E — 5 2 aer ẽs 118 8 8 31 0770 64581 5 5 92557 7524235 2 . 2 44 85 56 20065 7774144 4926767 2908 8 324310361 6718 77 2 8 5 4467 184% s e 19257 F. 8 5 4312986 sss 17625225 1 8 e 977825 28 0— 2850 8225 1 2710 E 34 gere— 2 2388 6278— E 35104318234 4745 3„ 4934379 26 O35 e 22 65 sei 4636899 2. 304320858 9 725 2 — a 4477591 763 2960 86 ö 1.4— 7 4480192 est 777 10 9 4939418 24. 1 7 4* 18 8 29.——— 1 e 49h— 222— 5 44839 s 294579 47 778 3 1757„„ 3. 8 4 70 25 4797132 8 2 28 S e e%%„ 208 5 4 4356591 gz 190 N 1—„ 19 8 4339212 S 22 5478 5* 8 495788 1 3 2 180 S8.— 650995 289 755 495711 2 2 2418 2 75 9 755 3 178 45 47 Tobe re, 18 8%(58 76 8 3 2. 25 5 5 2 765 t 4809888 9 5 0— 85 46043473 4503 582 15 5—— 48 ee ee 7661293 4988 1835* 8 48 172312 4508776 5 5—.— 232 8 4% 354531 511372 7663 866 4817537 4969740 7 — 5 825 7666439 2820086 4972264 7 2 5. 49 4513968 6 5 3 63— NE 7 f 3.2 4569012 7822635 588 n 2— 4360167 0 7516563 767 8 787 518 j 4 4 2108 3. 7 7 497731— 53004 467405 4251 76 r 56% 4g. 4579834 18.2 8 544368019 25 243 29 1 8 9 72 3 57925 2 2 8— K D E 7687865 1e 127 6.85 —— 595 49 2 85 4373251 7529535„ 3 b 299 8 2 57 4375867 3532128 4688888 1 5 4989 920 4 5——. 3 4992441 J 8. 58 4578482 45 3 5 48 0—— 28 E 5 4387097 4537313 5 4847772 2 0 8 „ 47.6 3 25 75 816 885 1459744 1 Le 205 a 55 4 5 8090 8855 1 5— ö 6 e eee 52 5 a q oDοοοσ f 60 8 14 5 62. 5 . N E 181. 60 112 complementorum ar S 2 cuum eiuſdem Quadrantis. 204 ö Gradus Quadrantis pro ſinubus 11717 Oy OοοBðo)00ιτννς, os„„ 54463900 5591929/⁷ 60 2 3 1 619% 552874 5301659 64488290 5945340 59 8 — 9275 255— 225 οse 7575367 3% 125 5471268 5596751 58 9 8 305 77859 3559 64377 6599 761 8 2 7 501 0% 5168371 5 1 ves 56. 83 4, 5162843 1 73 4255 3 8603981 8 2 55 65075108 rere, 651755 546 1020 70050 54 3 — n 5167825 5316449 5463 456 9608798 53 8 D 5 rene 5 5588 31.546 5892 bree 5 2 — 9 5022656 5172 805 5321376 54683 28 5613614 51 8 25 10525171 5 1 5470763 erte 50 7 2 110527686 5177783 5326301 5473198 5618427 49 12 5000 3 bez 5475632 berge 4 2. 8 13 5032714 5182759 5331224 5478066 n 5623239 47 8 ———1 41.4 kk! ÜQé—— 40.53———— — 114 5035227„ 71333685 5480499 5625644 4e 8 2 2 15 37740 1 5336145 5 56240 12 2 816 0453 5190220 5378665 5485 364] 563045 44 5 1 12 1042765 2 534005 5487796 5632857 42 28 10 2985 5—— o. o — 18745275 1166195192 5343524 5490228 5635260 75 5 219 5047788 27 0, 5492659 563766; 41 28—.—— 15 85 012 2 50 vogoꝛα⁴ð 6200162 348441, 54 s 564 1 8. 8 21 Loses 5202646 1 8 5497520 5642468 28.2 2 22505319 5205136 6355375] 549% 5744869 39 8 2. 235057829 5207614 5355812 5502379 5647270 37 3 2 24 50605 38 521009 5358268 5504808 eee 363 75 25 5062847 2125620 5350724 5507236 5652070 25 5 r 3 3— 4 2 2605065355 5219052 5363179 570956 7 34.5 2 27 5067863 2 3&5 25129 5 1221 Een 33 2 2.28 707070 5220025 56378588 5514518 5659266 320 5 972877 222506 5370542 5516944 5661664 0 5 5 25— 8. 10753 840 uu e 8e 4192706640620 4 E M 25 ———————-—ͤ—— äĩñͥ Gradus Quadrantis pro ſinubus rectis X. 205 rectis arcuum eiuſdem Saee . 2 2 FFF 5 30 Corsage Hgssggeſ eee„0% — 31 77885 5227466 537544 7 9666459 29 8 8 32 325080 396 5229946 5377902 5524220 7 28 9 8 33 5082901] ¹7F23242 5 8354 5526645 5671232 27 8 8 8—— 8 34% 085406 5234904 5 7387806 ae ee, g E 2 35 e 523223882 8387258 494 6766 25 8 5 36 8770 5833916 3678438 2 3605 5239860 0 3877* 3 827 5052619] 4337 3989179 838339(688323 2 2 38 2 77 7792685 eee 5 22 2 8.390% 752479% 539578 55418, 685619 278 — 4005 100487 524766 555 5543603 kae 200 8 5. 41ers 2245 399555 546024 so 19 8 421705430 5254710 5402403 5548444 eps a 18 A. S 125 51075311 5257191 740485 1 5550864 5695187 5 17 2 — 75 5 8 9 8— 18 44 5110431 5259665 5407298 5553283 a 168 8.40 5412931 52621739 5409745 e 5699968 15 2 8 46 5115431 1 5264612 5412791 5558120 f 13 3 4711730 267085 5414637 5560538—— E — 110.7 ch 55 5120429 5269557 5417082 562956 5707136 12 5 5 49012297 5 1419727——„ 11 E — 5016125425 5274501 5421972 5567790 3711912 10 8 8 51 1 5276972 5424416 o 3714299 9. 5 526130419 5279443 7 5572622 7716686 8 2 2 53 112 5281913 5429302 5575037 1719072 7 8 54 555 8— U 2 545135415 5284383 7431745 5577452 5721478 6 8 3 e e 29860C 723844 98 D 56 ate 52893 21 543 6628[ 822800 15726229 9 580 57 1 5291789 439070 1584693 2 33 E= 58 9775755 5294257 3544110 F 7 7 N — 596147887 5296725 8 5589718——— 0 8 2 ee e eee Wenn e 8 8058755 56 5299192 5446390 5 5 0 8 F complementorum arcuum eiuſdem Quadrantis. —— 1— .„ ͤ T— 4 1 Cnadus Quadrant 775 ſinu bus Gradus Quadrantis pro ſinubus rectis —— ͤꝶä——— 2 H I nee ee . 0 599885 778920 5555 cose 22 7 615661 516293 2044⁵[60 2 8 91 7736147 SS so—— 6295464 59 3 2 82 574052 9156882558 602796 c 6297724 58 0 83 30 574291¹ 78849 0 5051180 6163480 62599830 92 5 95 125 2 2. 676580 6302242 56. 8 5 574767 5889613 6029760 4188070 6304501 5512 — ee N 5402 — e 589 4 032080 6170359 6 11 5402 306759 4 E 7 5772432 1 38963 4— 61 72648[ 6309015 3 2 D 8 ee, 58068, E 6174936 63112753 5218 . 19 57 zigoe 89901; sons 617754] 637 2 — ö 555 8— 12 — 114076946 5903709 6043675 15 835 49 85 —.————.—— 1— 1 — 5 75 5 e fenen Alete; 19— 5 13 57667 598403 60483 o 6186371 82147 45—1 815 5769076[ 6 ooo 6188656 6. 572 4800 4 Fe 5773827 e, 60552550 693224 6529305 55 N 5 17 5 5991787 6057570 es 5331557 432 27 180778576 40 50988 65197791 633780 45 2 8 19 ee 9922475 0h 6200074, 6336059 411 5 3 20785324, 7924820 cose! 6% 3383 408 SE 21 21785697 9271630 6066824 6204639 6340560 29 5 8 22 57789069 929505 60 9N3 6206919 654909 38. 8 23 e 0 de e eee 327 5 224. 5934189 osssge 6211479 ages, 5 2 8 25791830 36530 6s 9 6376349 3 0 26 797575 593887 6078579 6216037 635 800 67.3 Hber 5799923 Joatzi, 6080688 6218315 6354046 33 3 2.805802 54551 C. 4 376255 32 5 10 580, 5945890 6085 306 6222870 6358537 3 E 30 7 5%8228ʃ 6087614 e 536 07—⁰ 0 25 3 2 FCC 8.2 ren e 15 8 5873 Jedes es e 666 17445 8 b 1809392 75106. 7 29 5 — 6229698 636527 28 C 8 32 14270%% ee 2 19% 63675 27/2 — 62770550 5955241 609436 31973 27 2 F. 8 7096842 5 3428 43695 O26 8 5816499 595757 09 0 W* 8.74 155 285 6099147 2 167199 25 55 — 75 ö 7 6238796 ee, 24 8 365821230 5952250 1 22 S2 5525555 5964585 52777 6247069 63764 23 3 28 2 N e 22 2 — r 64334 6378722— — 38 82595 5966919 6156065 0 118 8. 39 581813 556 88363 5246140 8% 21 E — 275* 2 7 72 6247485 6383 201 200 8 40 7830687 757580 6110667 4 33 4 8 8.418% L 22 f 125 E I 4258357412 per:, 6175272 95 ii 871 180. 8 435 837772 79778300 6175 4 2 3899 17 5 8 6256966 6392153 1668 2 44 5841360, 5936915 6179873 5 5 1 4 S- 45 834249 15983246 67122173 259235 3943 90 153 4% 7844859 5985577(e124 624 sse 4 8 3 47% Se“ 879% 6 2672[(22˙[( 3988625 5 3 S 18 2 6266038 6400 0 12 es 8.48 584780 59237 422125 6205 64% 3122 8 495851937 99 25 131369 E. E——— 2 50585495 72 5 6133667 6270572 6405566 10 2 S 5105856653 997222 6135964 6272838 6407799 8. o 5258590 5999549 6738261 5 4 8 10 2 55 58613671 6001876 4 52773 5564122644 7 5 2 7 DE 7 54 5863724 6004202 61418530 4279632 6414496 6 81 god 60065 25 614514868 62871895 6416728 5 8 2 28 D 56 5868436 60088 53 6747442 2050 6418959 1.5 2 587079 66011178 6149736 628640 6421189 0 6 7 5 e 35 8 58 58 1 6615852 615 2030 62 ber 6423419. 5— 3 59 5875499 6015826 6174523 fs 3 1550 61 7 8.2 N D 7.— 7 60 7 47785 20⁹5 e815 5 erzeensl 12% 20g. 227 85 e . H b 5 rectis arcuum eiuſdem Quadrantis „ F. M compſementorum arcu um eĩuſdem. Quadrantis 20 5 A DA 0642787667. 569% sz os 681984% 46 49467584 4 5 5846— 5 1 2 6562785 6655468 66721110 6948676 1 —*— 54.8 98 5 643235 6s cds 6624237 gf 58 9 00 3 6434558 6567173 6697789 6826363 6952858 570 246436785 eee 95 eder 682848900 69494[ 6 2. 5 30 657156 670 6930614 6957035 558 2————— 2— — e 6 g ore 6832738(6959128 548 5 7 6443461 6575945 67064 6834861 86 E 2-„„ E * 8 bee 6578136 1 6836984 696 304 52 2 8. 9 64479891; 6580326 6710739 683910 6965392 11— Sie e: 6450132 f 2616 6712495 fene 8.5 7777 50 E een 6584705 e 68435 fee 49 8 8 4— 5 25 2 * 72 6454577 e 6717206 684547 5971651 48—— 941. 0 2. N 8 13 ee 658908: 5 7 bee, 4 47 5 5 6459 0 659270 2 6849711 be 46 2 8 15 tees— 62235568 1 5 45 2 J„ 35 4 5— 6 646346 6595615 672581 685394 6979588 75— E N 6597831 6797(685600 5 43 2 Ss ee, ceosore] ſcezeizsſ e ssgsis, c(45 2 * 19 6470116 6602201 6732276 6860301 6986235 41 5 2— e 1 17755. 1— 3 206472333(s6s 04386 6734427 686247 69883160 408 8 2 647455 seo 5% 6736577 eee 699 39. Sz e tee(C9,(678726 6866648 7992456 18025 2. 23 45553 6610936 6740875 68587621 e 27.8 2— 1 5 t—. n 2 246481198 6613178 6743 0² 6870876 6996634 36 2 8 75 648343 66153 o 6745172 6872989 3 5 35 G 6485628 617481] 6747319% fs 7e 340 255 e a 6749465 6877214 7002866 33 2 185 5—— 8 6 649005 5 621845 er 6879325 7 oo: 62 1 2 29492268. 651355 6881436 7009018 3100 2 15 39 35¹4 nie 81 2 re 662620 6590 6883546[7oοοοꝙ 8 9 r E i e C— 2 208 N A N NEA SGradus Quadrantis pro ſinubus Grad us Quadrantis pro ſinubus rectis * * 5 M. rectis arcuum eiuſdem Quadrantis D d 209 S 3 5 ee ee S 300[649 44803 6626 200055675 5905.7 688 e 2 35.7 354635 fo 3 8 31 5 13 6628379 675 8047 6885656 de 29 8 7*—— 35.10— 142 2 55 777 75 3057 777 6887765 7013241 28 S 225 8878 762334 6889874 015 1 5 0 .— ie 19 25 74 7015344 27 ———— A nc 4 — 3465638755 6634911 6764477 6891982 7017387 265 8 356508 6637087 6766619 16894089 7079459 25 8 O3εοον,ν ee 6768, eee 39263362[6768760 6496196 1 2 8. 24447 6641438 677% g 6898302 1 53 8 —* 2— 2 38651215“ 55—— 1 — 3 et, 6643612 6773041 6900408 1875 22 5 22 2—— 66457 86 775181 6902513 12 17— 8.(400661657% 7Pss si 67 1 eee 4 33 5 2 841065512774 65 77 60; oz9810 20 8 8* 92875 1 779459 69οοαe 7531879 19 S 5 2090 2——. 2 S 23 3 783734 96910927 7036014417 S 44 6525397 6 25 720 5 8 — 65 66 6785871 6913029 12888 16 O 5 2 4 2792 6658817 6788 6215735 een 15 3 246 65 29801 5 75 185 1 N e— 5 Y 6 60987 36.6790 143 4917232 70 1 18 8 47 3 6663156 6772278 169—¹ 9332 e 5— Ro[Üftlnß U 9794713— 14 8 17046342 At 8 49 1 6667493 0 11 7 1 7755 S 50 6538609 6669661 3.. 3 . 661 3 N 7— 2 51065408 5 67986810.%25%680 7050459 107 8. 48 6671828 600 814% 427728 8 9 9 52654300 5 8— e 5. e. — 916.6673994 680g 792972 ES 6 36. 5 2946 6929725 79054594 E 81 2 ee 6676140 6805078 6 1925 t 3715 2 8 54474 eee 55 l ö 5 3 6 7 70οοοε˙εοι 52 56%55 1804 bene 681177 ſégz S209„e 2 E. 57 A 588481“(83522 e ee 2 858 6556198 6686981 6815728 6942397 FN 2 2 5 5 65583 66891 1 357 Pos 21 8. 5689144 6817856 694449 PοοDον 2 8 1 559006[es, 30 36.[6819984 1 45 4 ies,* 58 3134 0 84 47 5 8—. 3 r complementorum arcuum eiuſdem Quadrantis. 2 ö 1 Gradus Quadrantis pro ſinubus rectis 214. Gradus Quadrantis pro ſinubus 2 E E ofs rtgiονν²9½ννeeννſeνον a 59857167 2˙ 60 8 8 105 85% 25 268595 2 8573171 25 — 2 8194855 8293628 8589873 8483562 57 74 458 G 38196522 8295253 8391456 8485 102 8576164 57 8 8 1 8 8296877 8393038 16.3 8486641 85776 0 155 2. 58998 41. 292.5 8394619 8488180 8579155 2 2— 27. o N— S 6„ Je os 8396199 8489718 85 80649 72 5 — 768203183 830 1746 8397728 8491255] 8582142 2 8 5 9 8204846 8303367 83993 57 8492791 6583635 121 8. 822 3349½% 83 53[( 3497320 3285127 5 S 8 287% s3ssοle 842513 kde 85866790,% 8 — e 8308226 840 4O— 35 378871 40 25 E. 00 5— — 12 5211491 8309844] 8405666 949897 485 59660 9 5 5(2,3114 84224 Sass 8597089 5 S4 8214810 i 8408816 se 9577 1 918 1 5 8216469 83 14696 84.0390 8503722 939402 2 S 76, 921877 1755 941196 sg es 44 — 1 5— 8317927 8713536 9706182 e 45 5 8 ale 15 0 25 18 8221440 831951 8415108 8508111 15523 165 42 2 5 19 8 8321155 8416679 8509639 HG OOO 4¹— 8 4 8 1 5 8 25 3224751 8322768 8418250 85 11167 8601492 402 5 8226405 83243800 81982 8572694 6995 398. —— 26.1— 2218 8 122 3 48325991] 8421389 557420 7604757 380A 2D. 23 8229711 A 8422957 8515745 9605959 37— ———— N 1 8 75 3— 2124/8231363 8329 2 120 842452 817% f ο,“. 360 8125 8233015 8330822 ſetees⸗ 8518794 46 OC 35 26 82346 8332431 8427657 8 85203 77 7670371 34 2 2 27 8236316 8334039 8429223 82¹ʃ839 4611460— 33* 8.128 8237965 8335646 5470788 85233610, 733. 55 8 85 29 a de 8337252 8432315. ee——55 31 S. 3010824126217. 8338878 26.8 843391 6% 85 26402 661629204630 8 * TTT 8 S J e 213 rectis arcuum eiuſdem Quadrantis VVVVVV 3 FCC 2 30 ettss 185 4338858055[K43 4915 26.0[f 2640253, 295 8 31 1 242909 4 3 40463 4435477 4527921 461776 29 8 2——— 3—— rz 2 32= 3342067 4370 3% 529440 4619243 28 8 33%%½⁰ẽ,j, 8343671 9438600 4530958 4620718 27 1 1— N— 9— — 34 9247147 83 47 2 4 94440161 56532476 garde g 26.2 8 35 1249492 9346877 9.4 41721 9533993 962366 5 25 22 3 25. 214 85 36 4251136 3348479 128 5 s z5 5094625137 24 5 2 37 925 2779 835080 944483 8 45 37024 4626608 23 8 8 1 22 85 7254427 ese eee,. 36558 5 425 3 3% 28%58⸗ 8353279 44479* N 16295490 218 8. UK er l ve— — 807 72577 8354878 4449509 1541565 erer 20 8 8˙4¹ 9289143 8356476 445 1064 8543077 8632488 188 2 4226092 83 580 745 261 75447 88 5633960 188. D 42 8 62621 83 59670 445472 546099 863 5423 171 ———— 410õ0— Ae 18 — 4 0 7264175 erde 4 7 95 ον 8636889 1668 8.4% P527 e eee e 5 5 85 0 46725756 34 55 ey ss zoſ., 45628 5 8639820 14 8 8—— 26970 33660571 4460381 We 17 0 13 2 1 3 255 2 48 e270 0 65 367644 746 F575 363 8642748 12* 4224441 85 1 463482—.—f 8644271 1118 8 50 2 5— 2 — 3 727407 f gets 746031 556668 8645673 100 8 51 9275708 83724¹9 7466558 9558160 8647137 9 S. 2 52 7277340 1 37409 4468126 9559664 5 8— E 53278972 9375699 2 4567168 865005 5 7 n 1* 111 28 2 5 54 e 377188 4471219 4562671 8651514 6 A 8 55 242234 ze 4472765 4564773 8652673 5. 2 1 Fed. 7 25.7.— D 56 42K 36l64½%%%[83K̃o3 63 4474310 767 8654431 40 E ee 8381950 475864 4567176 8655888 3053 8 58 772127%% r; eser 8657344 21 2 59 4258749 835 121 4.9 893 4570175 2657755 l. —. 1—— 4 1 960 982903760 8356706 besiegte 3158660254 0— te kee n eee 2. 45 een e —— 1 cCcomplementorum arcuum eiuſdem Quadrantis. Tn Gradus Quadrantis pro ſinubus : 122. 7660445 7662314%% 777146005 27325 7664143 120 nd unnpr ag ran ux S1u uripri —— 77%%%. 7 900665 7902485 3 un oad 7804304 7806123 ö do 789 7906 7809758 770¹.4e 7703277 7811574 „ * 7705132 7706986 — — 2 — 85 8 2 2 8 2 2 8 1 8 — — 78152 78170 7878834 7826677 7822459 W 18 8 A 7708839 e g 3 8 2 ö 7712544 7714395 — 7716248 8 80 30 snurprñd mop e ö 30.5 ae 1 F Gradus Quadrantis pro ſinubus rectis 52 7880108 7883688 7885477 7887266 7889054 7890841 e a 7894413 7896198 1 5897% oog e 7905114 7 8e 7908676 7910456 7912235 7914014 7915792 7917559 29.6 7919375 7921121 7922896 7924671 79264, 79282180 . 79299 753762 7233533 * 1 1505 7986355 3655 798985 5 759 16 7993352 7995 100 7996847 7998593 „3000329 8002084 8003828 800731 ego 810755 8912538 9014278 8016017 8017756 3 8021232 8022969 902470 89 6440 5528757 8029909 8031672 8033375 5037170 80368388 8034569 636 IN. 29. 2 En 1 1 0 W45 * 5 7e N 2 e 8093588 8095 296 900 809871 8100417 58102122 813827 81031 ũ arcuũ eiu 1 29„8107237 8 . 8110638 811233 2 1 S — ſinubus rectis cõplementor 47 8114040 8115740 8117439 8179137 8 — 85 .—— I 9 8120835 8424132 — 5 28.981242 29 8125925 15 8 rantis pro 538 37 36 55 4 33 E 31 30 3 2 ö 9137008 8132701 ua 9737353 87 369221 3 34 3 5 7737773 4139465 9141155 3 28. 2 Minuta Gr 40 1 771624603 7719096 N 7719957 7721794 9 772364 77 25490 7727337 7729183 7731028 i, 25 7e; Lao 7740244 id snuriprñd unnpras eanui nun o 17742085 243956 5 7745766 7747 606 7749445 775123 s ia 30. 6 45 47 48 4 50 15 52 775679 28 30 3 9 S NV„ u rectis arcuum eiuſdem Quadrantis e F260 200.5 792749 7829702 7431511 1 30.1 753 512 777655 7; L241 76405 47 7642352 eee 7945961 e 8 745 136K 3 745 x0 795690 745 8569 796036. 79621669 79 963 7965759 7667555 fro 776432 7765965 7767797 779 — 3 — 0 255 „ E 2 t 2 2 — 2 0 8 — . 8 75 — Q. 1 8 — 1 P 8 8 A r 12 E NA 1 32 complementorum arcuum eluſdem Quadrantis. 757714. ae eee eee 7869350 7971145 7872939 ay; 757625 31 7 Ao 1 beser; 29. 8 ! 29.5 53 803 8569 40499 12 7933533 — 539 8o4 202 8043757 7937073 793 C2 7940611 2 eee, 7945912 7045785 204721 8047935 1 0 9 737% 1 7947674 7949443 7971205 2 7974735 25797 805534 8057561 50792 o 1005 e, 8259 795825 406 4006 e 0s 8 4066166 467K 9069603 8071321 7961780 7963740 7967057 oed 1 8073038 797072 0e O46 7952877 7584604 29865574 8 lol 8191520 . 28. 81 28 23.6 1 9141155 9142 9144532 9146220 e 9149593 8164094 94169772 8771449 8173126 8174s o 8176477 8149851 35 8 bes b 30 29 7 27 26 25 24 23 ũ eiuſdẽ Quadrãtis. U arcu — plementor — 1 0 — Minuta Graduũ Quadrãtis pro ſinubus rectis com 27.9 71 3 e — C 1 5— 4 A— E 2 o 8 210 4% e O ¶Doyro68 719339867 7313537 5 1 70731256 7195418 7375521 S 200751810 reraz8%, 7317504 8 3 ge 7199457 7319486 D 5 470 7201476 73214 8 7081* 7203 494 73 234 83 3 3 45 5 9 6 7085399 25g 7327429 8 7 708545 2 72075 27 7327409 2 8 voeegee. 73293 88 8. 2 7089556 172115590 7337367 2 10% 1 73330345 — 7093658 7215588 7335322 * 8 721760 7337⁴˙οð 8 13 252 1. 7219614. — 114 7 ogod o- 7221627 ie 2 15 8 5. 7343229 2 16 710390 722565 1 757% 1 12 2 7227662 7347173 2 8— ee ee D 18 7107 7229671 1 N 19 7110 7231681 7351118 2 8 5 8 207112086 7233689 7353 5 21107114131 7235697 3776 —33.41— 5 22 rrery⸗ e 755701 2.22 11821809 e 739 ——— 21 2407720251 7241718 7360970 21 1 7% 7382539 2 2οYοπ⁰n eee, Pe D 25. 7247733 7366874 2. 28712847 747; 368841 5 29 2 7251741 a „ 55 „ 073250414 7253744073. 3 72 3VV0%wGdGCCCCCCGTVWVVVVVVVVTVTVVVVVb LAX E Gradus Quadrantis pro ſinubus rectis n 42 48 743 1448 7433394 33˙1 08 7435339 7437284 7439229 7441173 7443116 7447 o ane 745 2822 7474761 744758 Sradus Quadrantis pro ſinubus 490 ö 75 75 6699 7478637 2 οαοαε4 7462511 46 — 7468317 7470251 7472184 747798. 747912 7481842 7483771 748570 7787629 2892 4. 22•8 32. Fe 10 74663822 1 8 344 32.3 ——— EA 2 75 ονεν ö 5 5%%οοο . 22 57221 2 G 7572818 10 2 2 755724 56 Bibtze 1 85 155 7186525 77 8 — 28 7562342 95 7564240 51 8 786618 7— n 49 5 1 2 7569991 48 W 7771851 485 7573751 be 2 75755 2 2 — 7475 75775 15 55 757 944 2 9 0 2 7581343 1 7583 240 4 S 1 2 7585136 40 8. 758703 1 392 — 2802 7588925 3 7590879 32 22*— 7592713 39 „soi, 45 20 2 7596498 34.2 7598389 2508 12 7d 3220 6 ö e 31 8 76006 230— r h qnuꝝ oad snurapend munnprig rinuN nd utop e Ino umn 5 so sn 42 501 21 39855 S INV * M. 5 arcuum eiuſdem Quadrantis ö 4 4 e 34543 2 1 32 7736581 7138618 33˙ 7142697 8 EN 7144727 eee 1 2550 37 7148796 72180320 8 8 0 7152463 7154897 7156927 715895855 1 1 80 7160989 1 1 5 S 2 7165049 167 — 2 E 7169106 49 72 0 7173161 2E 7177213 7170238 33˙7 7181263 7183287 7185310 287333 78 7189355 59° 891 . N U complementorum arcuum eiuſdem Quadrantis. * 25 2 DAdã 211 8 1 f EA C ö 3* 22.1 65 1717 1 eee de οννεο 20 15 25244 J 74½ 8 76% 29& 3.3 8—— cee e 725774 776% 7434 60857 280 7259748 7378666 7495336 50 27 eee 85 7280— 34— 7261749 73 80629 7497262 7611612 26 2 2263749 JS 4998217013498 25 U 2 55 757— 7265748 7384554 7501111 dernen 24 2 7267740 7386% o„617265 12 8 * 7269744 7388475* J 22 1 72717410 23941] Z 7621037 218 7.73737 73923910 g%8801 1 20 C 727 733/, 739438 75 7s. 48.= e 33.2—ñ4.————— 0 7277˙˙8 7396311 7512642 bee 18 8 1 7479722 7358268 T e 17 8 15 75 128 7281716 5 EHinerde 1 855 8 7283710 1 7518398— 15 8 2274 7404137 19 85 763 4204 14— 2287695 24 οο 2722233 2636082 E— 7289687 7408046 7 7637960 12 7291678 1888 752665 5 118 32 3 8— 7293668 7411953 757980 7641715 10 O0 2278578 2413905 7529894 253214; 10 9. ae, 7415856 751808 7e 1 2299635 2 7533721 7647341 7 165 . e eee 28 ee 1 7649777 6.5 720385 74217 7537546 5 1088 98 7——— 1.3—— 7305597 7423657 7539457 7652961 40 2397183 60 27413/ fz; 312 730968 7427553 7543277 7656704 2 8 1 an 8 7658575 1 2 7313537[ 41448[ZF 7e, 11 0 8 nemme— Ee 8 TAI Gradus Quadrantis pro ſinubus e —————— Uä—mͤ—.——ͤ—ͤ——— 86602 54½% 87 4οτονε. 882946 re ee atis 866 fog 8747607 883084107 8911385 8989215 8663 162 9749016 8664615 8750425 8833569 8514023 8991762 e 9912704 ge 76e. 2% 8975377 8993635 3 8753240 8836295 8976659 899430 ũ eiuſdẽ Quadr D 5 8 20 8668968 8754646 care 89 179 76 N 8995578 2 8996848 def see 9757476 884037 8ʃ72.5 892060 8998117 8673314 875 C4 8841737 8921921 89993 86 1 ge fi 8843095 77 8 . 8839014 8919292 ö f —— 8 8676209 es 166; 8844452 923234 298957! 1 5 89245 4⁶ 9001921 8677655 8763067 3845 4% Fe 892585 8 003187 8679100 8764464283 8847165 12718 884 640544 965 AN 3 992479 905718 76437 Seßcc 9871255. 70 900825 8644874 2770065 3 8932406 50958 ementorũù arcu 8 S 8 5 8 5 O E 86863 16 8771462 8853936 ne, 50ονο 8667, ſgeyꝛsy 5 9 8935021 9012031 969197 89774255 8856639 8936327 70132 292 96690636 8775 650 Feste 5 ö 8692074 279547 450 8538936 707581 1 8693512 8778437 oe 89 4 0%οe 3..—— 87798 8862035 254745 9018326 8781222 8863 393 1 90195 82 1— 7 a 96697422 8742613 8864730 3 902083 4699257 97 84003 8866076 8945 446 0σσðg3 8 82 0 5 0e A 8 3 . — 9 37 1 S5 393 5 9867421 9947740 2023347 2908702124 4786782 8868765 894045 3 30 0 6763757J gesgi7i E 275 177 ——¼¼——— Gradus Quadrantis pro ſinubus rectis 887010— 9549347 202543 a — E d O 1 7 . — — — 7 2 Q. —1 9 E E — · EN 9 * O — — — 0 — O 22 — 2 9 1 2 — — 2 0 . 2 . O 2 72 5 2 — 8 — E — 1 18720710 8 50 8 55 56 — A O00 59 64055 125315 22 25 54 eee ene So geri 870 28, 2 8712138 8714992 18716478 ö. 87192 5 8720695 48722716 45723538 724960 468726371 8727801 8729221. 873 06400 87320570 873347 437 34891 3735307 873772 3739137 1 974195 5743376 744787 e eile; . 29 15 7 0 —— complementorum arcuum eiuſdem Quadrantis. I 8703557 23.8187 8788171 8789559 979% οα 8792332 8793717 8795 102 8796486 8797869 8799251 880063 8802014 880339. ö 5 o 880615. ö 31 230 eggs. 9808900 8810283 8911659 8813034 881440 8815782 8817155 881K5 27 8815898 2821264 8822634 e 79 326743 3828110 0 RNA 8429470 N Nu. rectis arcuum eiuſdem Quadrantis 8870108 8871451 224 23.3 8872793 8874134 8875475 8876815 777519594 7979 agi 2167 7753 503 K A443 76172 K 5 o 39 . v9 15o 292433 494163 8 1155 7456721 ee 4977775 4907422 908744 22. 1227 175 1555 5 —. 2. 4 0 594954% 8950642 8951939 8953235 895453 8955 ² 8957117 9958410 8950 8250994 896225 49 2 27 85 5 21.5 64 9025853 9027105 1 2058 dãtis. 21.6 30 29 28 9028356 9029606 3 90 30856 9032105 ildẽ 085 rcuũ eiu 2 * ũ 9039582 9040825 9042068 90733 10 9044551 1.4 904579 9047031 49724 2 9975151 —7³⁰ů45 497499 HS za d 96664 — 26 9048270 9049508 95 9 9053219 9074454 Ales N duũ Quadrãtis pro ſinubus rectis complementor 905756 3 9054155 90593K7 9060618 906148 uta Gra 1 — 1 EN 2 3978ʃ. D Min 14 6 E e . 4 Gradus Quadrantis pro ſinubus se e 1 1 2 f a 5—— 5 = oſſoesz 07s erf, οονν½ 92718; 6% 335864060 2 8 wege 9136634 9206185 92729328 6336846 59 !——ů 1 77285—— 1732 4 20655 75 9137820 9107321 9274017 9337887 58050 39066763 9739001 92085 6 9275105 9338928 57 18 7 10.4———— 76— 2406790 ee 92g e 9276192 9339968 50 . 582216 241 92123 272278 34100 80 8 85 6 8 5747719 25 9211895 5278363 9142845 5402 — 7 3— 4 1040 2212986 979445 934˙ 892 2 2 2 8 9072899 e 55 214117 9280532 1775 5344119 52 2 8. 90974112 9146 9275247 1 9345155 510 1 2 2 75334, ee en 216376= 5 515 50.5 2 ej 914842 f 9e 5583776 9347224 25 8 12 5 5 7 18 8 13 3 9149597 1 5 9284859 4“ 45 8 915% 9.̈ 9285939 9349289 47 81 —— 5 ö 8111 9oꝗ o N bes. 9287018 tene 46 6.8 2 15 9081432 92183115 1 3 9351352 5 4 — 2 18.7 e 5 16 9082649 54286 e 9289173 3 ½238—[(44/8 1 179063666 915452 9224259 9290250. 171 5 2 5(. 8. 8 18 Hosgo bz, 975%, 522538 52973260 33744400 422 8199086297 9157796 e 92924011 9355468 4¹⁰ el———— 15—— 5 20 9087512 9158964 1 9227625 0 9356495 40 2 — 219088726 91601311 228746 9229450 935752 392. — 55—— 12 8 12209089939 9161207 522986 92 9295623 9358546 380˙ 2. 23 9 3 9230987 9296695 ö 9359571 37 8 — 17. 2— 2 24 5092362 9763628 9232103 ee 9360595 36. 8 55 9093572 916479 9233220 9298836 N 35 8 20.1. 26094781 9165955 9234337 5299905 936260 248 D 275095990 9167717 9235453 gz oog 3 21 . 55 5— 2 8. 200 909798 2168279 8 92 9236568 93042 9374683 32 K 29%, a 8 85 303 109 9365703 51 ＋ 2 5 E 30 ogg 13—— 9238795 8 17.293667 2211730 5 —— 24 23.„% E Gradus* 12885 pro ſinubus rectis N. 219 rectis arcuum eiuſdem Quadrantis ——————1.* 0 1 E.. 5 FD — 30. οοοντνενντοοαντονον⁰νν 7950. 930417670 96672270 300 8 31019 517175 923998 930% 23677 29& * 3 L 3 7.7—— 23 D 329102024 9172920 9241020 9306307 9368758 28 G 23D n 91 740 9242131 9307371 9369775 8 27 8 7 e 1069175235 9243 242 3084344 7 26 2 2. 215] 217539 94438 3399427] 37180 25 ee e ee 23 D 0. 9177547, 9454611 631055 eee 24 3 8 37 2108038 9178702 9246569 9311620 37813 12 8 2—————— 3 EI 2 38 277, 9247 9312680 5 22 FF 254137320 37589% 218 8 70 51128340 2 9279888 51 8 1080 8 8542 9714032 9184464 67 126 97169130 937888 18. E 43229 9185 2 53200 2317955—5——— 17 8 9 44. 21556 9254303 9319024 9380906 16 8 745911762 9187912 9255405 532079 9281913 1 5 2 *h!n ge 1 22 12 eee 9256506. 21133 9382919 14 5 4285 22 2.— 9257606 232218600 238392˙ 4 U 8 8 40 9121200 67375 ieee 71 9384930 12 5 42 9* 292499 9259805 P— 2585732 1— 8 50 912358489 1936444 920903 555 25341] 9386937 10 5 2 1 9.242650„% 222000 N 22939 9. 8 55 9125965 77197971„ 9327440 9388941 a 8.2 85 53D 21 2.2209 926419209 28488% 9899 4⸗ 7 5 750 ö— 2 — 54 9128342 9798215 9265287 9329535, 194, 6 ˙ 2 85.———— 0. 539140“ 5 8 75%%1 9200496 9267474 9331628 959294 40 . 57 1819 225150 2c 238525 35288[ 38 8 0— 5 h W—-— 35800 330% fp 9269653 9333717 5 394935 2 8 8. 595134271 2 e 9334761 559931 10 3 g. 5 205 2 460973 57771. 920907 9271879] 9335807, 399 20 01 2 e CJ%S%%%%½4é⁵hC.,!..—— 55 um eiuſdem Quadrantis. complementerum arcr Ee 2 ö 939092 6 39397921 ö — O I 88 AAA — 9398915 2 pri rin 14 1585 255 13 9473724 85 8 oad nur pen umn 18944705 199415685 2 e 9417644 9418622 9419599 — 2 O 255 2 8 — 2 5 25 — 5 0 * — 25 1. . 8 115 2. 19423499 5475 4472 9425444 80 oel, 11 Surg Gradus Quadrantis pro 1 rectis 3 1 J 16.6 16.5 5 „ 16.2 RTF Cradus Quadrantis pro ſinubus 171 945778 945613 —— 94570 9458024 94, L. 242211 94604 541795 9462737 . 9er 9465555 9466493 9467430 94683 66 9452301 9470236 947 1170 9472103 9473035 9473 967 9474898 9477828 9476 4 6ũ 9478612 9775739 9480465 9487390 9482314 9783237 8 0 0 72 510565. 9511464 9112362J — 8590 9514155 N 9575944 683 9517731 e 95519574 95 20 1 9521294 9722182 9523071 9723958 9524844 5 9726615 9274S 9528382 1 9530146 9 9531907 9532786 9733664 97 α 0 9537418 236294 9525730 14.7 5 4 3269 17 15.4 1 5. 55 „9564747 5565 596 3 9565898 5566644 9567291 9568137 95 1 5 112 9569826 9571513, 9572355 9573196 9574036 9574875 29214 9576552. 5777890 5 9578225 5563048 3 9779061 9579896 9580730 9581563 9 8239˙ 50 9583226 284047 9754887 9587716 5786744 2371 — 14.6 1 9 242529 14„ . 17896 174 1 4 112 5 — 9612617 9613418 A Quadrantis. 3 ˙3 9614219 9615019 2 A 8 222 e ſd 9615818 9616616 arc uũ eiu 9617473 1 7 55&( n U . 906 ο 965 9800 * Q — 82 lementorũ 0 962059 9621387 —— — 0 — 9622179 9622971 — 9 9523762 9624572 9 9625341 15626129 95626917 962 9628490 9629275 963009 9630843 9631626 1 557 —335055 5634748 . ＋ A A Q 0 13.1 2 0 1 882 tis pro ſinubus rectis c — —— — 1 2 8 2 Quadran U A — — 8 . E ta Gradu 2 361050 1 Minu 5 1 N M. rectis arcuum eiuſdem Qua drantis FF f ieee 919588797 0 Kr E 253804 e 9728355 6. 9485082, 953897 9429327 9486003 95 2 O uadrätis. IN 1 — 5 9430293 9487 85 95 οννα 95 214595 9431260 9487842 941535 9992318 cuũ eiuſdẽ * 943 227˙[ 5488761 5 544% 84. 19433193 9489679 4327 2 95939— 0 1 9642498 9434158 9490590 9574171 959478 5 9643208 3 94915 121 9 oog 9595 1 Fe 295 14 mentotu 4004365 5944 545877 eos og;% 94s 23 81457 0 94942 547607 5598 964575 1943 8070 9494255 9547 5 2578071 9495168 9548472 9 96463 42 9439931 pod 9549330 564710816 * 5 9. 1135 9441849 979 955 1061 96501873 13.5 264863 567862 8 14 944907 94 1 2422 8 5 49402 15 — 75 D ö 9 15˙1 8 9443764 54% 21 572783 356988 9444720 95% 9553043 1 4 12 e 151 ſinubus rectis comple 5445676 950153 5550 71769 9446631 50 9555300 9652450 1 1—— 2 A 8 9447585 9503349 9504254 — 9559217 5653210 . 75399 1 00 A 0 Quadrãtis pro Page 20 44% 908, 90 fe 247544„ οναν 1 785 9055484 9451392 9500903 95599639 0 0 9640 945723 4 9507865 YO αεε 96010208 9656996 — 1 uu 7 —— 95 5775 9508766 9551347 338 8 94 4239 9509 9502197 9117815 9658505 vr: 7 — 1 2 2 0 8 1 uta — A — d 0 . 25 Q. — = 8 2 . — 20 — — 2 2 2 O 141 E — S — E — 5 — E 9 — 0 5 — — 0 2 · — . 2 8 2 . 2 8 2 . N rr 8. 5 24186 6109 ee e A 19 F 223 15 —— complementorum arcuum eiuſdem Tadrantis TM 222 Gradus Quadrantis pro ſinubus N — 111 r 179 095 9659258 D οεανν οννανοοe? s ien 98162720 60 2 2 1% ßC Cv o 9744355 9782080 98168275 59— 2c, foro; A 782684 58173810 58 50 3 ster esec, rasse sis 28% 587 52 .— 2 2 45662264 97057 974772 5 9783880 N 605 8 5 sss; 5 aD sea 981037 57 5 1—— 11..—— — 6665701 149707165 9747613 97850 9819587 5 5 E U e Ness, ee bsp, 285 5 8 966525 5708561 9748910 9786288 98206 80 72 2 2 958666001 95709258 9749557 97 80886 9821234 51 2 (OU 875„„ 5 56— 5 10 2 9709954 9750203 5787483 9821781 2 2 11 667 49 2 9750849 978807 9822327 4 5 2——— 144 8 2 1209668233 9711343 9751494 9788774 5822872 74. 211 1887 ze 9„% 2138 9789268 2823477 27 8 8 14 Ses 18„ 752781 fs 5823761 40.8 8 15 96 αο 9er αj⏑ẽj' 1973423. 288 45 8 1605671127 9714112 9754065 9791045 985 7040 44 7 — 17/67 1938 N 975 4 9791038 9825587 3 5 2———— 9970 5 2 1867(197164 9755346 572228(98271280 48 819673415 9776180 75585 97928180 982608 41 8 209674152 9716868 9750023 9753 40% 8 777% 4 G. 2 2109674888 eee eee 9827745 15 38.2 .—.:——.— 2 5 22 9675 e 97 57% 8 9794582 826282 3 2 5 225656 257 97189 26 9758533 51% 98288180 37 3 —— 855„— 3— E24 νονοι αοννανE,EGmũ f 97e 5775755 e 36. 5 2567 ½ο eο,,e/ Y, ονε, 5796337 825889 35 2 758 8 5 5—.—— 12 E 26 967556 9720977 9760435 72 0 50 342 2 275579287 972165 fJesö pe οαονε 33 2— 1—. f EN——ů—— 3 2 28068007 5722340 9701799 9798086 9831485 0 5 299680747 9723020 9762330 95798667 9832015 314 85 —— S— 9 5 1 8 „% 1450 E 1992992474. 1 2.8 0 ĩ 2 ——— Gradus Quadrantis pro ſinubus rectis —. * 1 7„ 22 rectis arcuum eluſdem Quadrantis , e e e— 1 7 L II L. 2 30 9681476 121 5 75 11.3 779 8 9832549098 3209 8 31 9682804 9724378 9763587 979982 9833079 29 87 22 1—— 3 0 r. 2— 8 32 9682531 9725056 9794217 N es 28 8 1 23 9 972733 9764845 9800984 9834136 2212 2 N———— 10.4— 726 — 34 9784385 97 20H 9765 42 9801561 9834663 E 2 35 9085108 9727085 976οοðs 92802137 9835189 25— New 8— Tr e e e n 8 36 96858322. 9727700 bez, 9802712 bse 24 8 2 37486555 49728434 970% e e 836239 23 4 5 38 9787277 9729107 976 9933851 bre 22 39 ααοοτ e.f 9768793 9804434 98372 860 2108 2 40 Hs se pere. 9805006 5532808 20 8 8.41968439 9731720 9769 6;36 85 838325 19 8 ——— 11.1—.—— 2 4290158 9731789 57515 88147 beser 18 43, ονιt 27 e. 7— ——1—— 1.2 e— 1 N— O 2 44%% 1% 775 e 9807 28 98398890 162 8 5 9% 3e 27335753%% 7855 1 8. 5 2 „ 22— e 3447%%% f= 2223844 28986 284144 13 3 85 48„4 73780 774155 1 2 2 4917 7 4; 70176 1 7 2 50/9587 35 9737116 9775387 9810680 9842985. 10 E 5 51 9.24550 19737778 9776 9817243 9843498 5 9 S. 9 52 7 9738430 977662 9811805 5 9844010 18 2 E 53 eee 97; οο 9777223 9812366 847521 7 2 2 5——ä—— 8 8.54 90% 872% 9777833 812% 3845032 65 — 15 857428 974041 9778442 9813486 9848542 568 2 56 9700135 9741070 9779050 98140 9846051 403 8 57 cose 9741733 ½796558 5814603 98465 59 3 1 1—— 1— e 8 58 9701548 574238% 9780 5275 760 9847066. 2 8 2 59% D, 7430 978 S116 5847572 1 2 . e 777 15 5 5— 5 GO ονονεεον,a A3 Zool. 5781470 or lo 16272047 f82 8078. 9 5 e e ee 4 E complementorum arcuum eiuſdem Quadrantis. 224 FE T Gradus Quadrantis pro ſinubus Gradus Quadrantis pro ſinubus rectis DPD 2 1 2// 5 3* N o 9848078 5.4 987688706 990681 f ον. οε˙εο e 6— 8 10848583 57½7338＋. 83855 99258166 9945523 598 — 1—— 7 2——„ 2 — 2 9849087 9877792 7 990348 99 2019 9945 820 58 4 2 2849520 9878245 9903 872 9926521 9940128 2 8 3 55 84 2— 2 A 98500 9878697 9904294 9920873 9940429 56 . 5 5 2 8 548905 9879148 9904695 9927224 9946729 5503 26s 10% g 587% s οοο 2757 9947028 54 2 7851593 98 80048 9905 494 9927923 9947327 5318 —5— 5— 5— 1 2 885 2092 1 9998 9928271 9 55 2 2 9585259 os O9 4928618 2 8 8 A0 n——* S 0e ſsegere 289 ee 50 3 8 11853583 881838 2784 99293110 99485133 498 2 32.. 5 5 415 5 12 9854079 9882283 990747 55 35 880 48 8 8 13058 982728 99087; 55855 3. 2 130854574 9 9905 2, οοοðõ 9940 100 47 8— 5—. 1— 8 8 8e ee E 9 oe 9e, 475 e 50 9 23 29 2 S ess; 9884057 15 2289897 993 1026 1 44 2 8 76 5384455/ 1 532% P 4 8 180% 5884538 2 9937707 055 4˙ 8 2 19857525 5885378 ee 9932046 f9%844 4 20(— 34— 3— 5 85 2 40 O 3 29/9858 885817 910610 5932374 5. 955. E 38585 Ps ses spe ee 9,2 5—— 5 4 825— 8 E 22585858“ fre 55171385 Per, 511 38 4 2.22 859475 2887128 9911771 28 99519 32 2 1 25— 2 755 1 8 1 5 5 8 2 E. 24½7259961[ 5887564] 99121560 55337786 5552277 3603 8 25%%%% o eee 462% 8557 350 2 88—.— 2 E 2609860930 9888433 9912923„ 25 19952840 3402 He 58614¹3 9898866 99133060 993477 9953122 330 . 28861895 88939736285 Fa 3 320 F 295862376 98897 29 991406 99353879 555 3118 —.— 88—— 45—— 8. 30 58672856. 5 5 993571915. 5 30 8 705 N„ — A rmufy pr. B 2 2— dot bp 6s 86866 8966 un 049966 2150966 — —— qnun oad snyaprnd —— —— —— KD 9 O 0 ao:uↄomoſduop sn 01 01 5 4 IO Undaen 7 397 . 0 14 Snhurzprud mopinfe Unndar unzomouofdmoo N eee 8 84 519666612866 6¹⁹ 19 8766 189720661, 3———— 966 516 bre 9013266 942 T 71966 or O H r66 0181066 — —— 9˙4 1— 9668766 9 So r66 o ro66 96 s 889866 8 6⁴ 48 ebe 6 g οο⁰s cov 2 6 SGE 4786686 6 C, 86Srrée Wee 1 8˙9 grpepoe Iderz66 voo66g6 9817666 5481766 883686 gr 1181266 4418686 66 60 1566 466 5 0 Ferres frglose[ fertiégé .—— 1 5 em Weedratte 648 91266„ 89 or66 s ον 196 6 6 9b 70766 2896166 9609686 449 8666 r t6166 15 4286 96 ö 488686 6 1 6 — S166 (101686 902 166 inuta Graduum 928160 67166 38 S066 0˙8 L osgs E su raprnd wepjnts umnd ie s 9 r M or snqnum̃ od snuraprñd supr ig e e eee ——— 19 c SIS R ge ggg 569666 Sececs 011166 99 88 2.5 5 660866 727*—. 0 ˙⁰0 0 288 ! 2 ö is arc uum eiuſdem Quadrantis. * S 119666 86s 1180866 It SSS ee 396696 1890856 8 tert, 2819666 1600 655 1219666 & 4886865 o rog66 9046866 2970866 ————— 1 rn r A sog 486866 800856 68800 86 666 1 76866 1066 466 „eee, g eee, Coccsee/ 5 else 8 84 9 0116666 5 08 6466 * al 17h 0 5 ..————— ij oid sn pend unpriq emu src, 1G* 864 219996 7455556 80666 66558666 6688866 8126666 1816666 e „ 21866. 1 5656 92995 66 4 ＋ 5 0 og g666 arge] 6888466 e 278667 F866 8688466 * 5 5 4818666 5206666 5 9066 O=. 1 r 2 8 5 869666 egg 55 — — S 2 2 2 — D 2 — S 2 O 2 — 720 D 668666 988666 1188666 e ee 9918666 uadranti 4˙ um Q Ind Biozu 2 3 f ————— 1 4 140 Minuta gor 665 sg. e S 1 47 88666 600666 avyg66 1 408 4 Isos 66 18629850. es 88 880 1 I 1 snquu ond snurapr mraprnd snpri9 „ o ↄꝙCVwKUUÄwÄÄ?H 7 3 2pintgd pris ru 2 S AAN N 0 9569 173 9969401 2 — 2 9969628 996985 4 2 79 7099 9970304 9970528 9970751 9970975 4 0 — 2 — 2 2 2 — 2 E 2. 2 2 O* D 2 — * A e 72921 7 2931 55 78557815 1929239 4 e 5223781 9973991 997 5708 9974615 9974822 99750 28 9975233 1997543 59 975437 1 2 — . U 3.8 S NANA. rectis arcuum eiuſdem Quadrantis 186 9981348 9981525 9981701 9981877 N 9982052 9982226 9982399 9982571 9982742 9982912 r 2.9 21 5595485 ae 9990734 9990859 — 9991106 Fee 9 2•8 9981470 9991590 9983082 69983251 60.99 75640 N 7 5983475 9983586 9983752 2 5 84081 9984245 2 5 19984570 998505 2884209 453837 7 3 5785 9991827 9951944 9992060 eee, 999 22 9992404 22 222322 Pr 1—— 9992850 92292950 9993 3 059 953775 5993284 s be. 2.0 0 9996573 2A 9996649 5 99964 9999648 9999591 abe, 7 297 8 3 58 997014„ 2557292 2597359 1.5 1 74 ＋ 9997425 9997491 9997556 9997620 6 8 * 9997927 9997986 9998944 998101 9998157 9998212 95999989 9993497 9993599 9993763 0 9998477 719998477 1. 7 9998321 9994267 99999 99990 8 D eee 1 e wee ioo E complementorum arcuum efulcſem Quadrantis. Ff e ooo. e Qadr 28 27 26 1 „25 24 2 8 S ãtis. d 1 e — — 0 — e 1 218 19 — 0 —— 81 N s compleme Oele uta( ö tis pro ſinubus recti — aduũ Quadrã 845 — 1 Min Explicatio nume rorum pro parte fi Ganum cruchdi. Innentio cti cũ pa portionali. 28 Mm DE PARTE PROPORTIONALI Sinuum,& arcuum. 7. AN TEN V AM doceamus, qua ratioue pars proportiomalis ex præcedesi tabu la Sinuum eruend a ſit, emplica dum prius erit, gquidn am bini numeri columnis Sinuum interpoſiti ſignificent,& quo ſint artificio procreati. hrior ergo continet partes diſferentis inter duos ſinus, inter quos ſcriptus eſt, congruentes uni Secundo illius arcus, quem gradus iu vertice tabula, en minutum in latere eiuſdem rabulæ exbrimit: boſterior autem numerus lecimas barticulas vnius partis diſferentia pra dictæ complectitur. Vi quoniam inter duos ſinus grad. 10. min. 12.& grad. Id. min. 13. peſeti ſunt duo hi nu. meri ad. S. kolligemus vni Secundo inter minutum 12. c 1g. gradus 16 congruere par ticulas as g. ex diſferentia z793. inter duos ſinus zg. agg. pradictorum arcuum grad. Id. min. 1a. grad. 10. min. 15. qua tota diſferentia Secundis ſ o. Hoc et, vni minuto dehetur: quod ide endum eſi le ſequentium arcuum ſinubus vſqule ad arcus grad. Id, min. 3%. C. grad. ib. min. 3; 8 inter quotum ſinuis poſiti ſunt alij hi numeri C. A. ita vt iam vni Secundo bunueniant en Aifferentia duorum proxinortm Sinuum particule tantum modo d.. C ſic de cateris. Y ROCREAT]I autem ſuint huiuſimodi numeri inter ſinus poſiti hoc moentis diſterentiſs ommium ſinuiimm, partiti umts ſingulas per 60. Fecunda, vt particulas vni Secundo debitas productremus: fractinnem autem reliquam ad decimas reduximus, multiplicantes eam per I o, vt in quegtiuncula I A cap. 10 noſtræ Ari rhmetitæ docuimus. Sic enim zuinori labore pars proportionalis erue tur, vt moæ patebit. Verbi gratia. Diſferentia prædicta 27g. ſi diuidatur per& o. fit Quotiens d. C ſis perſun: 38. qu efficiunt J. decimas& ſemis. Relicta ergo ſemiſſe,(Nam quando fra cio vnitis decimæ ſuperat A. addidimus und decimam in talula, quando autem non ſeberat A. ſed vel æqualis eſt, vel minor, eam negleximus.) ſcripſi mus in tabula Ad. 5. id ect, particulas diſferentiæ integras d. c S vnitis, qua eſſiciunt ad. decimas vnius particula, qu producuntur etiam, ſi tota diſſærentia 259g. ducatur in 1 o.& produictus numerus 259 o. per o. diuidatur. Et quia in ſequentibus diſferentijs vſque ad diſferentiam Sinuum grad. iG. min. 3 5.& grad. I Emin. 3 f. excluſiue, hac ratione reperitur idè numertis æ 5. hoc eſt, particulæ æd.& f. decimæ; inſeruiet nobis hac pars proportionalis uſque ad grad. 10. min: g. c grad. l G. min. 3 H encluſiue, vbi iam numerus reperietur minor, nimirum. c f. decimæ. Vt gquoniam diſfereutia inter Sinus 26 37.& g. grad. Id. min. 29.& grad. 1 C. min. 33. eſt. Si ea ducatur in Io.& produltus numerus 2g p o. per q o. diuidatur, fiet Deooti c ſabererunt gg · que ſuperant. Ergo habebimus iterumpartes d.&. S. decimas Arque ita de cateris. 3. BEN EF TCI O horum numerorum expedite admodum pars proportionalis, per vnicam uidelicet vel multiplicationem, vel diuiſionem reperietur. Nam ſi ſinuer rectus quærendus ſit alicuius arcus, qui prater minuta complectatur quoque Secunda, at ſpiendus erit ſinus em tabula reſpondens gradibus, ac minutis arcus propoſiti in vertico tabula poſitis& ei adijciendus numerus, qui e multiplicatione numeri interiect: proxime antecedentis in numerum Secundorum producitur. Vt gquæratur Sinus rectus grad, Ip. min 30. Sec. o. queniam hunc arcum in tabula proxime præcedunt hi numeri 5. x. Hoc eſt. sy. decima, quæ multiplicatæ in ao. Secunda producunt 1K o. decimas, id eſt, partitulas integras&. addemus 10. Cad 31 g. ſinum grad 19. min. 30. vt conſiciamus 33 5% j c. ſinum propoſiti areus grad. 19. min. 30. Sec. go .* 4— LE MM AAI LIII. 229 5e Ts SIM ſſi eu ſinu recto inguirendus ſit arcus, accipiendus erit arcus dens ſiniti proxime minori,& ei apponenda tot Secunda, quot vnibates continentur in Qusoti ente, ſi diſfrentia inter ſinum prexime minorem( appoſita pritis xiphra, ut ad partes decimas reuocetur. diuidatur per numerum decimarum in tabula inuenrum. lt ſi dates ſit ſinus 33 Bz Sd. ſumemus artum grad. Ip. min. 20. ſenui pronime minori 35 S, raſpondentem, eique adiungemus Sec. o. qui numerus gignitur e diuiſione 1049. diſfrentia inter ſinum propoſitum, ch. ſinum prouime minorem, appoſita prius xiphra o. nimirum ex diuiſione 14 2 4 o, pen sq. decimas in tabula inuentas Ita enim arcus qua ſitus erit grad. Ig. min. 36 Seco. Apponitur autem xiphra ad diſferentiam inuenta 1 Kg. quia ci diuidi ea debeat per. mul. riplicanda elt per 1.& productus numerus per s. diuidendus, ut ex noſtra Arie thmetica liquido conſtat. „ 5ũvero ſinus complementi alicuius arcus guadrante minoris ſit inueſtigandus, qui præter minuta habeat etiam Secunda, accipiendus eſt ſinus ex tabula reſpondens gradibus ac ininutis arcus propoſiti in inferiore parte tabula poſitis,& ab eo ſub trahendus numerus, qui en multiplicatione numeri interiecti ſuperioris in numerum Secundorum producitur. Vt ſi quæratur ſinus complementi grad o. min. 23. Sec. 2 0. guoniam hiuic arcui inſeruiunt hi numeri interiecti as,. Hoc eſt, g. decima, ducemus 45g. in 20. Secunda, c produſtum numerum, qui eſt 9140. decima, id ei, particulaæ integra ꝙ 1, detrahemus ex 35 hs. ſinm complementi arcus grad. Zo. nun. 2g. vt relinguatur ſinus 33 U g. complementi arcus grad. J o. min. 23. Sec. 20. . ALIIT ER,&. jortaſſe commodius, ne regula multiplicentur. Accipiatur dati arcus complementum, c ipſius ſinus rectus inueſiꝛgetur, vt Num. 3. docuimus. Vt in eodem ememplo, complementum arcus grad. q o. min, 23. Sec. 2b. est arcus grad. 19. in. 3 C. Sec. 49. cuiuss ſentss re ctiss inuenietur 335 CA. A abiss Init atibus maior 11. Io, qui alio modo pronime inuentus fuit. Hoc idcirco euenit, quia arcus propoſitus parum abeſt ab inſequenti numero interiecto minori. 2 2 IN DO arcus, cuius complementi ſinus zuæritur, quadrante maior eſt, ſed ſemicirculo minor, detrahemus ex dato arcu quadrantem, ch reliqui arcus ſinum rectum inquiremus: vs Num. g. dictum eſt. Vt ſi quaratus ſinus complementl arcus grad. log min. 3 C. Sec. o. Detracto quadrante, ſupereſt arcus grad. 1 9. min. 30. Sec. o. cui debetur ſinus 3 35 g f. 5 enti eliciendus ſit artus, ſumendus aditum eſts reſpondens ſinui dato, ue ex quadrante auferes ö datus eſi ſinus complementi ar N noris, vel ad quadruntem adiſciendus, quando nimirum datus ſinus Hondet comblemento arcus quadrante maioris. Pulehre autem ipſa operatio in triangulis ſiue ſihæricis, ſiue rectilineis docebit, num ſinus propoſitus congruat complemento al cus quadrante minoris, an vero maioris. Vt ſi prapoſitus ſis ſinus 33 5 C. complomenti arcus quadrante minoris, inuenietur, vt Num. g. dictum elt, arcus grad. iq. min, 30.8 c. go. qui detractus em quadrante relinquet arcum grad o. min. 23. Sec. 2 o. qua ſitum. Si ves o idem ſinus debeatur complemento arcus qua drate maioris, addemus eius Arcum inuentum ad quadrantem, conficiemuſq; arcum grad nog. min. 3 C Sec. to. Hu ius enim coplemento, nimiril arcui grad. to. min. 3, Sec. o. ſinus 339 Fe.(ongruit. 9. DEN E ſinus verſus arcus, qui prater gradus ac minuta, anner quoqʒ 5 2. 7 772 55 75 habet Secunda, inuenietur ſi ipſius complementi ſinus cii parte roporttanali inuentus, vr Num 8. C& y. traditum eſt. e ſi um toto auferatur aui toti adlijciatur arcus quadrante minor eſt, vel maior. Yt ſi quaratur ſiuss verſus arcus rad. 2 9 7 min. 23. Inuentie ares cum parte Pportiona li ex da to fon recto. Tnuentio flanceñ plementi eũ pat te proportion t. Iauentio cdᷣmo dior finus complementi arcus quadrante minoris, vnd cum par te proportionali. Insentio ſi aus cd plementi arens quadrante mai oris, vnà cum parte proportionali. Innẽt io arcus ex nu complemen ti dato, vnd cum parte proportis nali. Inuentio fig ver cum proportional. Ingeytis areur ex ñᷣnu verſo eũ parte ꝓtopottio Cur tabule Tan geutinm,& Scet tium emendatæ bic non nt edid. Nafis trian uli dus. 230 LD IAN. min. 23. Sec. 2b. reperiemus eius complementi, nimirum grad. i g. min. 3 C. gec. 40. fl. num 354. qui detractus ex ſinu toto foονοοο. reliquum faciet ſnum ver. ſum queſitum go. Si vero ſinus verſus deſideretur arcus grad. 0. min. 30. Sec. So. inueniemus eius complementi, videlices grad. 19. min. 3 C. Sec. o. ſinum Gz. qui ad ſinum totum toοοοσ b adlieciu⸗ conficiet ſinum verſum 733 5. zuæſitum. ze. PAR ratione ſi ex ſinu uerſo arcus inueniendus ſit, detrahemus eum ex ſinu toto, vel ſinum totum e ihſo, minorem ſcilicet ex maiorè. Tea namque reliquus fer ſenus complementi arcus zuaſici; ex quo quaſſtus arcus elicietur, vt Num. h. Aegi. nus. Vt ſi datus ſit ſinus verſus 664565. detrahemus eum ex ſinu toto l o. cum reliquo 33563 Ja. tanquam ini recto epiſtabimur arcum rad. 19. min. 3 C, Sec. go. vs Num. g. dictum eit: qui ex quadrante ablatus relinquet quaſitum arcum grad. q o. min. 23. Sec. 2 o. Si vero ſinus verſus datus ſit 13350 fe. auferemus ex co fi. num totum.& cum reliquo 335. indagabimus, vt Num. 3. tradidimu c arcim grad. Ip. min. c. Sec. o. qui adiectus ad zuadrantem cdficiet arcum qua ſitum grad. Iog.min. 36. Sec. 0. O vero hoo loco non exhibeamus etiam gabulas Tangentium, atq; Secantit emendatas, cum parte proportionali, cauſa eff, quod eas nunc per rempus corrigere non li cuerit,& quod maiorè vſum tabula ſinuum habeat in Prost haphæreſt, quam Tangentium, e Secantium. Nam vt ſicpra oſtenſum en, Tangentes,& Secantes i qua ſunt, zuarendæ ſunt in tabula ſinuum, non ſocus, ac ſi Jorent ſinus, ibigue pars Proportionalis inuenienda. Quod ſi in fine operationis cum Tangente, vel Secante accipiendus ſuerit arcus eæ propria tabula, facile quis partem Froportionalem inueſtigabit, ſi opus fuerit, eo modo, quem in uſu tabula ſinuum expoſuimus. Interim dabitur Fortaſſis occaſio vamque tabulam Tangentium, c ſecantium emendandi. E ge enim res maius ot ium 2c temps requirit. IN gratiam porro ſtudigſorum,& vt proſf haphæreſit vais planior Bat, ſubijciemus hoc loco talculum ommniusm triangulorum in noſiris triangulis,& traclatione fenuum de monſteatum, c nuuc ad commodltorem formam ac met hodum reuocatum, proponemuſe zue idem numero quaſirum pluribiis a js ſoluendum, vt quilibet eam, quæ magis placue rit, ſibi deligat. Appellabimus autem in rectangulo quouis triangulo ſiue Sherico, ſius rectilineo latus recis angulo oppoſitum, R ASEM. In non rectangulo vero, quando duo al era nominantur, tertium, ſeue maius illud ſit, ſiue non, ha ſem Aicemus. 4 5 7* TRIANGVLORVM SPHAERICORVM Rectangulorum Calculus. VYONITAM in quouis triangul o ſpharico rectangulo quæritur ex duobuss datis, vel cognitis, aut ANGyIys non rectus, aut LA TVS circa angulum reclum, aut BAs ens hoc poterit pluribiss modlis ac vije, vt ex 46, que ſequuntur, perſpicuum fiet. Semper aut brimo loco ſeonſuim proponemuts id, quod tuguiricur: Deinde duo, qua 7* 7 4 2 2 2* 2 cognita ſeint, vel data. Tertio vias vartas, ac modos, gulbus quaſitum etui poteſt, demonſtrab ius quibus etiam numeros praßigemus, ve agſci,& ab alis argumeutationibus ſecerni poſſint. Ita ergo frædicta inueniuntur. LEUN„ IIR. A N 8 . 231 V. IL Ex baſe,& latere, quod angulo quæſito opponitur. I. vt ſinus baſis Sed vt ſinus lateris 1 Vn 34 Ergo vt ſinus baſis 2. Ergo vt ſinus totus —— Vt ſinus baſis Ergo vin baſis dea vt ſenus baſis Ergo vt ſecans cd plem. lateris 3. Ergo vt ſecans compl. lateris — Sed vt ſecans cõ pl. lateris 4. Ergo vt ſinus totus —— Vt ſinus totus Sed vt ſinus totus go vt ſecans ad ſinum to tum: Ita ſecãs compl. ad ſecãtemcompl. J. ba Ergo vt ſinus toItis Sed ve ſinus totus 6. Ergo vt ſinus lateris aſis 7. Ergo vt ſinus ad tangentem cõ Ita ſinus late ris compl, ba ſis ad ſinum totum: ad ſinum anguli: ad ſinum totum: ad ſinum baſis: 2 ad ſinum totum: ad ſinum lateris: ad ſinum lateris: ad ſeca tem compl. baſis: ad ſinum totum: A2 ad ſinum totum: ad ſinum lateris: ad ſinum beſis: ad ſinum baſis: ——— Ita ſinus lateris ad ſinum angulli. 4. triang. ſpher. Ita ſecaus compl. ad ſecantem compl. 22. ſinuum. anguli lateris. Tra ſecans compl. ad ſecuntem compl. 71. guinti. anguli. lateris. Ita ſecans compl. ad ſecantem compl. Conueregdo. lateris anguli. 47. triaig. ſphær. Permuta do. 22. ſinuum. ad ſinum anguli. ad ſinum anguli. ad ſecantem compl. baſis. ad ſinum anguli. Ira ſinus lateris Ita ſinus totus Ita ſecans compl. lateris. Ita ſinus totus II. quinti. Ita ſecans compl. ad ſinum anguli. baſis Ita ſinus totus Permuta do. num lateris: ad ſinum lateris 14. ſfemum. Ita ſecans compl. ba ſis 3 Ita ſecans compl. lateris 5 ſecans compl. a fi ad ſinum anguli 28 gulli. II. quinti. ad ſecantem compl. anguli. ad ſinum totum. e. modus. 15. ſinuum. II. uinti. lateris. anguli. —————— ad ſinum baſis: ad ſecantem cõpl. lateris: ad ſecantem côpl. lateris: ad ſinum totum: ad ſinum totum: ad ſinum totum: plem. baſis: Ita ſecans compl. latæris Ita ſinus baſis ad ſecantem compl. anguli. ad ſecantem compl. anguli. ad ſinum totum. 2. modus. Permuta do. Ita ſinus lareris 11. ſnuum. Ita ſinus baſis ad ſecãtem compl. anguli. II. quinti. 47. triang. ſbhær. 1 F. ſinuum. II. quinti. Ita ſinus lateris ad ſinum anguli. Ia fenus compl. ad tangentem compl. ad ſinum anguli. Sea Ex æqual. perrurb. 22. fenuum. 14. uinti. Còuertendo. g. modus. er mut do. 2. ſinuum. 1 I. quinti. . modus. 28. ſinuum. Ex æqual. perturb. 232 Sed vt ſenus lateris 8. Ergo vt tangẽs compl. baſis Vt ſinus bnſis Sed v au totius rgo vt ſinus baſis 9. Sed vt ſinus compl. lateris Ergo vt ſinus W aſis 10. Ergo vt tangens lateris 5e N Ergo vt ſinus baſis Sed vt ſinus baſis II. Ergo vt ſecãs lateris L I B ad ſinum anguli ad tangentem còpl. 2 S. ad ſinum compl. baſis: ad ſinum totum: ad tangentem late 715: ad tangentem lateris: 1 Ita ſecans compl. 7 Ita ſecans compl. lateris Ita ſinus lateris Ita ſſnus compl. lateris Ita ſinus compl. lateris ad ſecantem comsbl. la em compl. la ad ſecantem compl. anguli. —— ad ſinum anguli. ad ſinum lateris. ad ſinum anguli. —— ad ſinum Inga ad ta agent in kre 11g 5 ad Maui baſis: Ita ſecans compl. anguli Ita ſecans compl. anguli Ita ſecans lateris ad ſecantem lateris. ad ſecantem lateris. ad ſecantem compl. anguli. ——— ad tangentemi late ris: ad ſinum compl. lateris: ad ſinum compl. la trerts: ad ſecantem cõpl. baſis: Ita ſenus compl. la 7 ＋ teris Ila tangens lateris Ita ſocans lateris Ita tangens late118 all ſinum anguli. all ſin 7 ad ſinum anguli. Vr ſinus lateris Sed vt ſinus totiis 12. Ergo vt ſinus lateris ad ſinum totum: ad e baad tapgentem ba ſis: Ita ſinuss 2 Ita ſinus compl. ba ſis Ita ſin baſis us compl. 1055 45 antem compl. . ad 1 compl. ä— T— w:—k———é—⁴ ʒ'3—— FIDES ergo duodecim modlis anguli um inueſfigari boſſe eæ da re, cui angulus 24 1¹⁸ 75 onitur, quoruin 2.& 4. in primo loco regula proportionii nullibi ſinum totum habe ut. reperiri, ſed nos breuitati conſalent re in quolibet gueſito inueniendo es tus interuenit. SC ademratioue i tenti eri 1⁰ 3 lam datis, in quibus videl data baſe, c latequi dem ſe* A4 bien uu, 2 Totuin, nimtum CY C. in/ 1 520 vuntun, poſſ e tantum modos de ions ſinus 10— L R MN X LIII. IT X N W 233 8 Ex baſe,& latere, quod angulo quæſito adiacet. —— F tangens baſis 1. Ergo vt tangẽs ba ſis Vt tangens baſis Sed vt tangens ba ſis Ergo vt rang ent compiplateris 2 Ergo vt tagens 8 gel compl. lateris — ad tangentem lareris: ad ſinum totum: ad tangentem lareris: ad tangentem late ris· ad tangents compl. ad ſinum totum: Ergo vt tangens ad tangentè compl. compl lateris Sed vt ſinus rotuis Ergo vt tangens compl. lateris Ergo vt tangens compl. baſis 3. Ergo vt tangẽs compl. baſis Ergo ve tangens compl. baſis Sed vt tangen, compl. baſis Ergo vt tangens la reris 4. Ergo vt tangẽs lateris Ve tangens baſis baſis: ad ſinum compl. an guli: ad tangentè compl. baſis: ad tangentè compl. Jateris. ad ſinum totum: ad tangentè compl. lateris: ad tangentè compl. lateris ad tangentem ba555 ad ſinum totum: ad ſinum totum: Sed ut tangens ba- ad ſinum totum: fes 5. Ergo vt ſinus ad tangentẽ cõpl. Ita tangens late- ad ſinum compl. antotus Vr tangens lateris ba ſis: ad ſinum totum: Sed vt tangensla ad ſinum totum: ber is 6. Ergo vt ſinus totus — ad tangentẽ cõpl. lateris: Ita ſinus totus Ita tangens later is. Ita ſinus totus Ita tang. compl. Ia teris g Ita ſenus totus Ita tangẽs compl. ba ſis all ſinum compl. an- s. tria ng. guli. her. 1 ad ſinum compll an- Permutæ do. guli. . ad ſinum compl. an-. triang. guli. cher. ad tangentem tompl. 21. Aan um. baſis. ad ſinum compl. ang. 11. auinti. ad ſinum compl. g Permutä do. anguli. Ita ſinus totus Ita ſecans anguli Ita ſecans anguli Ita ſinus tot us a Ita tangens cõpl. lateris ad ſinum compl. ang. P er muta do. 7 ad ſiuum totum. „ 1G. ſinuum. all ſinum totum. N22 II. quinti. ad ſecantem anguli. 8 Cõuertendo, ad ſecantem ang. 8 Permuta do. Ita ſinus totus Ita tangens lateris Ita ſinus totus Ita tangens baſis Ita tangens lateris Ita ſinus totus ris Ita tangens baſis Ita ſinus totus Ita tangens baſis 9 E d ſecantem anguli. 8 7 Sun Permutà do. ad sangentem baſis 1 27. ſenuum. ad ſecantem anguli. 1 N 11. ututt. ad ſecantem ang. 8 Permutätlo. ad ſinum compl. ang. ad tangentem compl. Laſis. I. ino dus. 15. ſinuum. guli. II. Juinti. Ji 7. modus. 1 f. ſinuum. ad ſecantem ang ad tangentem comp lateris. ad ſecantem anguli N. quinti. III. ANG V 47. triang. ſihar. 14. ſinuum. 1 R r Ex baſe,& altero angulo non recto. — 1. Vt ſinus totus Sed vt ſinus totus ad ſinum compl. baſis: ad ſinũ copl. baſis: 71. duinti.. Ergo vt ſecans ad ſinum totum: 21. ſenuum. Sed ut tang ens an ad tangentè compl. Ita tangens ang. baſis — guli dati ang. quæſiti: 11. Juinti. Ergo vs ſecans ba- ad ſinum totum: 15 Cd uertendo. 3. Ergo vt ſinus ad ſecãtem baſis: T. modus. Permutãdo. 1 F. ſiauum. 171. quinti. 3. modus. Pumutado. Ergo vt ſinus totus ad tangents compl. Ita ſecans baſis 17. ſinuum. 11 quinti. 4. modus. Permuta do. * 15. ſinuum. 717. Juinti. Co uertendo. Permutã do. totus Ve ſimis totus Ergo vt ſinus totus Sed vt ſinus totuus 4. Ergo vt tang. cõpbang. dati. ad ſenum compl. ba ſis: ad tangentem ang. dati: ad tangentem anguli dati: ad ſinum totum: — 2—Uä—-j Ita tangens angu ad tangentem cõpl. li dati anguli quæſiti. ——— ad ſinum totum. ad tangentẽ compl. anguli quæſiti. — ad tangentem compl. anguli dati. ad tangentem compl. ang. dati. ad tangentem ang. quæfiti. ————— Ita tangens anguli ad tangentem compl. dati anguli quaſiti. Ira ſinus compl. ba ad tangentem compl. ſis anguli quaſiti. Ita tangens compl. ad ſinum totum. anguli dati Ita ſinus compl. baſis Ita ſecans baſis Ita tangens angu li dati quaſcti Ita tangens anguli quaſiti Ita tang. compl. ang dati ad tang. compl. ang. quæſiti. Vt ſinus totus Sed vt ſinus tot us 5. Ergo vt tang: anguli dati — Vt tangens compl. anguli dati Ergo vt tang. col. anguli dati Sed vt ſinus totus Ergo vt tang. cöpl. anguli dati Ergo vt ſinus còpl. baſis 6. Ergo vt ſinus compl. ba ſis ad ſacantè baſis: anguli dati: ad tangeniè compl. anguli dati: ad ſinum totum: ad ſinum totum: ad ſinum compl. ba ſis: ad tangentè compl. anguli qusſiti: ad ſinum compl. ba ſis: ad tang. compl. ang. dati: ad ſinum totum: Ita tangens compl. all tang. anguli quaanguli dati ſiti. ad tangentem ang. quæſiti. Ita tangens anguli ad ſinum totum. dati Ita ſecans baſis ad tangentem ang. quæſit i. —— Ita ſinus compl. ba ad tangentem compl. ſſe ang. quaſiti. Ita ſinus totus ad tang. compl. ang. quæſiti. Itu tang. ang. qua- ad ſinum totumſiti Ita tang. ang. quaſiti Ita ſenus totus ad ſinum totum. ad tang. anguli quaſiti. ad tang. anguli qua ſiti. III I. AN Ita tang. compl. anguli dati —— LE FMN IE LIII. S VL. VS 235 Ex latere, quod angulo quæſito opponitur,& altero . angulo non recto. 5 1. Vt ſinus totus ad ſinum anguli dati: Sed vt ſinus compl. ad ſinum compl. an lat eris guli qu æſiti: Ergo vt ſinus totus ad ſinum ang · dati: 2. Ergo vt ſinus anguli dati ——— ad ſinum compl. anguli quæſiti. —————— Ita ſecans ang. ad ſecantem lateris. quaſiti Ita ſecans anguli quaſiti Ita ſinus compl. la teris ad ſecantem lateris. ad ſinum totum: Ita fecans lateris ad ſſecantem anguli quæſiti. ——— r— Vt ſinus totus ad ſinum ang · da14 ad ſinum compl. la teris: ged vt ſinus angu- ad ſinum compl. an li dati guli qu aſiti: Ergo ur ſinus totus ad ſinum compl. lateris: ad ſinum totum: Ergo vt ſinus totus 5. Ergo vt ſinus compl. lateris t ſinus totus ad ſinum ang. dati: Sed vt ſinus totus ad ſinum ang. dati: 4. Ergo vt ſecans ad ſinum totum: cõpl. ang. dati 2— ged vt ſinus compl. ad ſinum compl. latrris anguli quaſiti: Ergo vt ſecans cõpl. ad ſinum totum: anguli dati 5. Ergo vt ſinus totus yt ſinus totus anguli dati dati: Ergo vr ſinus totus ad ſinum compl. la Ita ſinus anguli da ti teris: Sed vt ſinus totus trerts: 6. Ergo vt ſecans ad ſinum totum: lateris mee een, 5 Tia ſinus anguli da Ita ſinus compl. la ad ſecantẽ compl. ad ſinum anguli Ita ſinus compl. laad ſinum compl. la- Ita ſecans lateris ad ſinum compl. ang. quæſiti. ad ſinum compl. ang. quaſiti. ad ſecantem compl. anguli dati. ad ſecantem compl. anguli dati. ad ſecantem anguli quæſiti. — Ita ſinus compbl. lateris 41 Ita ſecans anguli 4 ſiti Ira ſecanc anguli qua ſiti Ita ſecans compl. anguli dati ad ſinum compl. ang. iti. ad ſinum totum. teris Ita ſecans compl, anguli dati Ita ſinus compl. lateris ad ſinum compl. anguli quæſiti. Ita ſecans anguli ad ſecantem lateris. 4h, Ita ſecans anguli ad ſecantem lateris. qu eſiti Ita ſecans lateris ad ſecantem anguli quæſiti. ad ſinum compl. ang. qu eſiti. ad ſinum ctmpl. ang. quaſiti. ad ſinum totum. ter is ad ſinum compl. anguli quæſiti. e Ita ſinus anguli dati 68 2 42. triang. ſphar. 22. ſinuum. 41. quinti. Còõuertendo. 41. triang. ſphtr. Permuta do. 22. ſinuum. 71. quinti. Cd uertendo. 42. friang. ſphar. 1 f. ſinuum. II. quinti. 22. ſinuum. II. quinti. Còuertendo. 4. triang. ſpher. Permutaà do. 1 F. ſintuum. 17. Juinti. Nel %%%%ò 144 Ex latere, quod angulo quæſito adiacet,& altero angulo non recto: 17 Dummodo conftet, num maior ſit recto, an minor, vel an 14 baſis, aut latus alter um non datum quadrante maius ſit minuſue. 236 — . triang. Vt ſinus compl. la- ad ſinum compl. Tta ſinus totus ad ſinum ang. quaſiti ſp har. teris anguli dati Permutado. 1. Ergo vt ſinus ad ſinum totum: Ita ſinus compl. ad ſinum angull 1 compl. lateris anguli dati quæſiti. 52. triang. Vt. ſinus combl. la- ad ſenum compl. Ita ſinus totus ad ſinum ang. quaſiti. ſpher. teris anguli dati: g 10. ſinunm. Sed vt ſinus totus ad ſiuum anguli Ita ſecans compl. ad ſinum totum. quaſiti: anguli quaſiti 5 71. quinti. Ego vr ſinus copl. ad ſinum compl. Ita ſecans compl. ad ſinum totum. A. lateris anguli dati: angilli quæſiti ö Cduertendo. Erg vt ſinus copl. ad ſinum compl. la Ita ſinus tetus ad ſecantem compl. ö anguli dati teris: anguli quaſiti. 9 Permur do. 2. ErgO vt ſinus ad ſinum totum: Ita ſinus compl. ad ſecãtem compl. 1 cõpl. ang. dati lateris anguli quæſiti. 2. modus. Ve. ſinus combl. la- ad. ſinum touum: Ita ſinus compl. ad ſinum ang. quæſiti. er is anguli dati f 11. ſinuum. S ell vt ſinus compl. ad ſinum totum: ¶ Ita ſinus rotus ad ſecantem lateris. lateris a 77. quinti. 3 Ergo vt ſinus to ad ſecantem late Ita ſinus compl. ad ſinum anguli tus ris: anguli dati quæſiti, 22. ſfcnuum. Sed vt ſinus compl. ad ſinum ang. qua- Ita ſecans compl. ad ſecantem anguli ang. dati iti: anguli quaſiti dati. II. quinti. Ergo vt ſinus totus ad ſecantem late Ita ſecans compl. 4d ſecantem angu li ris: anguli quæſiti dati. Càuertendo. 4. Ergo vt ſecans ad ſinum totum: Ita ſecans anguli ad ſecantem compl. later is dati anguli quæſiti. N 42. triang. Vt ſinus compl. l a- ad ſinum compl. Ita ſinus totus ad ſinum ang. quaſiti. 0 ſphar. reris anguli dati: 9 22. ſinuum. Sed vt ſinus compl. ad ſinum compl. Ita ſecans anguli ad ſecantem lateris. 19 lateris anguli dati: dati 0 II. quinti. 275 o vſecans ang. ad ſecantè lateris: Ita ſinus totus ad ſinum ang. quaſiti. 11 Permutado. 5, Ergo vt ſecans ad ſinum totum: Ita ſecans lateris ad ſinum anguli 0 anguli dati quxſiti. JF 5 9 a. modus. V, ſinus compl. an- ad ſinum totum: Ita ſinus compl. ad ſecantem compl. 5 guli dati lateris anguli quaſiti. Sed ged ut ſinus compl. anguli dati L. EB MM A III. ad ſinum totum: ITta ſinus totus 237 ad ſecantem anguli dati. 6. Ergo vt ſinus to ad ſecantem an- Ita ſinus compl. ad ſecantem compl. tus V guli dati: I. lateris Ex vtroque latere. ———ů—ů—— 1. Vt ſinus lat. adiac. ang. quæſito ad ſinum totum: anguli quæſiti. — A N GN Gn S 1 ſinuum. 71. 4uinti. Ita tangens lat. ad tangentem angu gf. triang. oppoſ. ang. qͥſito li quæſiti. Sed vt tang. lat. op- ad tangentem an- Ita tagens compl. àd tang. compl. lat. 729. 314 fi. Poſtang. queſito Ergo vt ſinus lat. adliac. ang. qiteſito guli quaſitiall ſiuum totum: anguli quæſiti Ita tang. compl. anguli quæſiti 2. Ergo vt ſinus to ad ſinũ lat. adiac. Ita tãg. cõpl. lat. tus Vt ſinus lat. adiac. angulo quaſito Sed vt ſinus lateris adiac. ang. quæſito 3. Ergo vt ſinus to tus Vt ſinus lat. adiac. angilo quaſito Ergo vt ſinus lat. adliac. ang. quæſito Sed ut ſinus totus Ergo vt ſinus lat. aliac. ang. quaſito Ergo vt tang. lat. op foſiangulo qua ſit 4. Ergo vt tãg. lat. oppoſ. ang. qͥſito angulo quæſito: oppoſ. ang. q̃ſito ad ſinum totum: ad ſinum totum: ad ſec. compl. lat. ad ſinum totum: ad tang. lat. oppoſ. anguli quaſito: ad tangen. anguli qua ſiti: ad tang. lat. oppoſ. ang. quæſſto, ad ſinum lat. adIta tang. lat. oppoſ. angulo quæſito Tea ſinus totus Ita tang. lat. opadiac. ang. quęſito: poſ. ang. quęſito Ita tang. lateris oppoſ. angulo quæſito Ita ſinus totus Ita rang. compl. anguli quæſiti Ita rang. compl. anguli quæſiti Ira ſinus totus o iac. angulo quæſito: ad ſinum totum: Ita ſinus lat. adiac. ang. quæſito oppoſiang qua ſico. ad tang. compl. lat. oppoſe ang. qua ſito. ad tangentem cõpl. anguli quæſiti. ad tangentem anguli quaſiti ad ſecantè compl. lat. adliac. ang. quæſito. ad tangentem angu li quæſiti. ad tangentem anguli qu æſiti. ad tangentem anguli quæſiti. ad ſinum totum. ad ſinum totum. ad tangentem compl. anguli queſiti. ad tãgentem cõpl. anguli quæſiti. ———————— Vt ſenus totus Sel vt ſinus totus 5. Ergo vt ſec. cõp ad ſinum lat. adiac. ang. quaſito ad ſinum lat. adiac. ang. quaſito: l. ad ſinum totum: lat. adiac. ang. qᷓſito — Ita tag. compl. lat. oppoſang. quaſito Ita ſec. copl. lat. adiac. ang quæſito ad tangentem compl. anguli que ſiti. ad ſinum totum. Ita tãg. cõpl lat. ad tangentem cõpl. oppoſ. ang. quæſito anguli quæſiti. n Er ſphar. 21. ſinuum. 11. quinti. Còuertenda, A. triang. ſphar. 14. ſinuum. II. quinti. 4A. triang. ſphær. Permutà do. 14. ſinuum. 11. quinti. Còuertendo. Per mutã do 2. modus. . ſinuituu. Ii. quinti. Permutando. 14. ſinuum. I. zuinti. Conuertè do Permuta do. 43. triang. ſphar. Permutado 4g. triang. har. 1 C. ſinuum. II. quinti. Conuertedo Permutũ do. 45 · triang. ſbhar. 22. ſinuum. 17. quinti. Permuta do. JJCTCC00CC0C 2. modus. Vt ſinus compl. ba- ad ſinum totum: Permuta do. 22. ſinuum. 288 Ergo vt: ſec: ebpl lat. adiac. ang. ſito. gel vt ſinus totus Ergo. vt ſec. col. lat. adiac. ang. quaſito Ergo vi tag. cůpl. lat. oppoſ tang- quaſſto 6. Ergo vt tag · cõpl. ad ſinum totum: lat oppoſ. ang. ꝗͥſito —— „ e 114 1 R 1 ad tang. compl. laci Ita ſinus totus pp. ang. Illæſito: ad tangentè compl. Ita tangens anguli anguli queſiti quaſiti ad tang. compl. lat. Ita tangens ang. oppoſrang. uæſcto: quaſiti ad ſec. compl. lat. Ita ſinus totus adiaci ang quaſito:: Ita ſec. comp. lat. adlac. ang. ͥſito 1 ad tangentem compl. anguli quaſiti. ad ſinum totum., ad ſinum totum. ad tangentem anguli quæſiti. ad ſtangentem anguli quæſiti. ————0•—ääẽh Ex baſe,& altero latere. ——ͤj—— Vt ſinus compl. lateris dati 1. Ergo vt ſinus cõpl. lat. dati yt ſinus: compl. lateris dati Sed vr ſinus tot uus Ergo vr ſinus compl. Iareris dati Ergo vt ſinus combl. baſis 2. Ergo vt ſinus cõpl. baſis Vt ſinus compl. lat. dati 1 Sed vt ſinus compl. lateris dati Ergo vt ſecans baſis 3. Ergo vt ſecans alis 2 Ergo vt ſinus cöpl. baſis Sed vt ſinus compl. Laſis ad ſinum compl. ba- Ita ſinus totus ſis: ad linum totum: Ita ſinus compl. baſis — Ia. ſinus totus ad ſinum compl. baſis: ad ſinum compl. la teris quaſiti: ad ſinum compl. baſis: ad ſinum compl. la teris dati: ad ſinum totum: Ita ſecans lateris quſiti Ira ſecans Jateris 4ſeti Iea ſinus totus Ita ſinus compl. lateris dati ad ſinum comp. ba Ita ſinus totus ſis: ad ſinum compl. baſis: ad ſecantem latevis dati: ad ſinum totum: Tia ſecans baſis Ita ſinus totus Ita ſecans lateris dati — Iateris dati al ſinum compl. la Ita ſinus totus teris dati: ad ſinum cempl. la Ita ſocans lateris teris dati: dati Ita ſinus compl. „ ad ſinum compl. lateris qua ſiti. ad ſinum compl. lateris quæſiti. ad ſinum compl. lateris quaſiti. ad ſinum totum. ad ſinum totum. ad ſetantem lateris qua ſiti 8 ad ſecantem lateris quæſiti. ad ſinum compl late. rie quæſiti. ad ſecantem lateris dati. ad ſinuis compl. lateris quæſiti. ad ſinum compl. lateris queſiti. ad ſecantem lateris 41 eſiti. ad ſocaneem lateris ad ſecantem baſis. Erg L E M M A IL III. Ergo vt ſecans late ad ſecant em baſis: Ita ſinus totius ris dati 4. Ergo vt ſecans lateris dati Vt ſinus compl. late ris dati Sed vt ſinus compl. lateris dati ad ſinum totum: ad ſinum totum: ad ſinum totum: Ita ſecans baſis Ita ſinus compl. ba ſis Ita ſinus totus 5. Ergo vt ſinus to ad ſecantem late Ita ſinus compl. Vt ſinus compl. baris dati: ad ſinum totum: ba ſis Ita ſinus compl. la teris dati 15 Sed vt ſinus compl. ad ſinum totum: Ita ſinus totus baſis 6. Ergo vt ſinus to ad ſecantem ba- Ita ſinus compl. tus lateris dati 239 ad ſecantem lateris queſiti. ad ſecantem lateris quæſiti. II. uinti. Permutado, —— ad ſinum conipł. lateris quaſiti. ad ſecantem lateris dati. ad ſinum compl. lateris quæſiti. I. modus. 14. ſinuum. II. quinti. ad ſecantem lateris a. modus. quaſiti. ad ſecantem baſis: 14. ſinuum. ad ſecantem lateris quæſiti. II. quinti. 77% TT! ͤ ĩ d „ „ͤðD⁊Oê Ex baſe& angulo, qui lateri quæſito opponitur. ——— 1. Vt ſinus totus Sed vt ſinus anguli dati Ergo vt ſinus totus 2. Ergo vt ſinus ba ſis Vt ſinus totus Sed vt ſinus rotus 3. Ergo vt ſecans cõpl. baſis Sed vt ſinus anguli dati Ergo vt ſecans còpl. baſis 4. Ergo vt ſinus to tus ad ſinum baſis: ad ſinum lateris quaſiti: ad ſinum baſis: ad ſinum totum: ad ſinum baſis: ad ſinum baſis: ad ſinum totum: ad ſinum lateris quæſiti ad ſinum tot um: ad ſecantein cõpl. Ita ſecans cõpl. ad ſecantem compl. baſis: —— Ita ſinus anguli dati 33 Ita ſecans compl. lateris quæſiti Ita ſecans compl. Iateris quæſiri Ita ſecans compl. anguli dati ſinum 55 lateris A. triang. quæ It i. ſphar. ad —— al ſecantem compl. 22. ſnuum. anguli dati. ad ſecantem compl. II. quinti. anguli dati. ad ſecãtem compl. Cõuertends lateris quæſiti. Ita ſinus anguli dati Ita ſecans compl. baſis Ita ſinus angull dati Ita ſecans compl. Iateris quæſiti. Ita ſecans compl. lateris qua ſiti anguli dati ad ſinum lateris qua-&. triang. ſiti. ſphær. ad ſinum totum. 14. ſinuum. ad ſinum lateris quę 2 Juinti. ſiti. ad ſecantem compl. anguli dati. ad ſecantem compl. anguli dati. 22. ſinuum. II. quinti. 0 8 Cduertendo: lateris quæſiti. —— Vt ſinus El. triang. ſphar. Permuta do r. ſinuum. . quinti. f. modus. Permutã do. 14. ſinuum. IC. juinti. 45. triang. fphar. 10. ſinuum. 11. quinti. 27. ſinuum. . quinti. Cduertendo. 5 14. ſinuum. r. quinti. . modus. Permutàdo. 240 Vt ſinus totus Ergo vt ſinus totus Sed vt ſinus totus 5. Ergo vt ſecans compl. ang. dati Vt ſinus totus Ergo vt ſinus totus Sed vt ſinus totus 6. Ergo vt ſinus an guli dati 5 ad ſinum baſis: ad ſinum anguli dati: ad ſinum anguli dati: ad ſinum totum: R. Ita ſinus anguli dati Ita ſinus baſis Ita ſecans compl. anguli dati Ita ſinus baſis ad ſinum lateris qua25 11¹5. ad ſinum lat eris quafit. ad ſinum totum. ad ſinum lateris quæſiti. 227 ð é ad ſecatem compl. Ita ſecans compl. ad ſecantem compl. baſis: ad ſecatem compl. anguli dati: ad ſecatem compl. anguli dati: ad ſinum totum; 75 5 055 anguli dati Ita ſecans compl. ba ſis Ita ſinus anguli dati Ita ſecans compl. baſis 1 lateris quaſiti. ad ſecantem compl. lateris quæſtti. ad ſinum totum. ad ſecãtem compl. lateris quæſiti. —— Ex baſe& angulo, qui lateri quæſito adiacet. 1. Vt ſinus totus Sed vt ſinus totus 2. Ergo yt ſecans anguli dati Sed vt tangens baſis Ergo vt ſecans anguli dati — ad ſinum compl. angu li dati: ad ſinum compl. an guli dati: ad ſinum totum: ad tangentem lateris quęſiti: ad ſinum totum: Ita tangens baſis Ita ſecans anguli dati Ita tangens baſis Ita tangens compl. lateris quaæſiti Ita tangens compl. 7 5 4ateris qu aſiti 3. Ergo vt ſinus to ad ſecantem an- Ita tangens cõpl. tus Sed ut ſinus totus guli dati: æd ſecantem angu li dati: ba ſis Tea ſinus comtl. anguli dati ad tangentem lateris quæſiti. ad ſinum totum. ad ſtangentem lateris quæſiti. ad tangentem compl. baſis. ad tangentem compl. ad tangentem cõpl. lateris quæſiti. ad ſinum totum. 4. Ergo vt ſinus ad ſinum totum: Ita tangens cöpl. ad tangens compl. cõmpl. ang. dati Vt ſecans anguli dati Ergo vt ſecans anguli dati ad ſinum totum: ad tangentem baſis: baſis Ita tangens baſis Ita ſinus totus lateris quęſiti. ad tangentem lateris tæſet. 1. ad tangentem laterit quæſiti. Sed L E M M A ILIII. Sed vt ſinus totus Ergo vt ſecant anguli dati Ergo vt tangent ba ſis 3. Ergo vt tangens baſis Vt ſinus compl. anguli dati Ergo vt ſinus compl. anguli dati Sed vt ſinus totus Ergo vr ſinus compl. anguli dati Ergo ut tang. compl. baſis 6. Ergo vt tangens compl. baſis ad tangentem late ris quaſiti: ad tangentem bais: ſis: ad ſecantem angu li dati: ad ſinum totum: ad ſinum totum: ad tangen. compl. ba ſis: ad tangentè combl. lateris quæſiti: ad tang. complem. Baſis: ad ſinum compl. anguli dati: ad ſinum totum: X. PDA Ita tangens combl. lateris quæſiti Ita tang. compl. lateris quaſiti. Ita ſinus totuis Ita ſecans anguli dati Ita tangens compl. baſis Iea ſinus totus Ita tangens lat. quaſiti. Ita tangens lateris quseſiti Ita ſinus totuss Ita ſinus compl. anguli dati 8 241 ad ſinum totum. 1. ſinuum. ad ſinum totum. II. quinti. ad tangentem compl. Cd uertendo. lateris quaſiti. ad tagẽtem compl. lateris quæſiti. Permutado. ad tangetem compl. F. lateris quaſiti. 2 tangentem compl. lat eris quæſiti. ad ſinum totum. modus. Permutò do. 19. ſenuum. ad ſinum totum d 3 e II. quinti. ad tangentem lateris quæſiti. ad tangentem lateris quæſiti. Cd uer tend Permutad: Ex altero latere,& angulo, qui laterĩi quæſito adiacet; ſi modo conſtet, num quæſitumlatus ſit quadrante maius, an minus; vel an alter angulus non rectus non datus ſit acutus, obtuſusue; vel denique num baſis ſit quadrante maior, aut minor. ——— —— yt tangens anguli ad tangentem late Ita ſinus totus dati 1. Ergo vt tangens ad ſinum totum: Ita tangens late- ad anguli dati Vt tangens anguli dati Sed vt tangens anguli dati Ergo vr tagens cdpl. lateris dati 2. Ergo vt tangens compl. lat. dati ris dati: ad tangentem late ris datiad tangentem late ris dati: ad tangentem copl. anguli dati: ad ſinum totum: —— ris dati 4 triang. fpher. Permutà do. ad ſinum lateris quaſiti. ſinum lateris quę L ſiti. ————— Ita ſinus totus Tra tangens compl. lateris dati Ira ſinus totus Ita tangens cöpl. anguli dati H i. triang. ſphær. 21. ſinuum. ad ſinum lateris quęſiti. ad tangentem compl. anguli dati. ad ſinum lIateris quaſit i. ad ſinum lateris quę ſiti. II. quinti. Permuta do. Vt tan 242 LI g. triang. Vt tangens anguli ad tangentem late ſPbhar. 1. ſinuum. 11. quinti. Cõuertendo. Permutũ do. 2. modus. Permuta do. 26. ſinuum. 41. Juinti. Conuertèdo Permutando. 1. modus. . ſinuum. 71. quinti. g. modus. JF. ſinuum. II. Juinti. gf. triang. char. dati Sed vt ſinus totus Ergo vt tangens an guli dati Ergo vt tangens lateris dati 3. Ergo vt tang. la teris dati Vt tangens compl. lateris dati Ergo vt tang. comp. lateris dati Sed 1 ſinus totus Ergo vl tang. comp. lateris dati Ergo ut bang. compl. anguli dati 4. Er go vt tangens compl. ang. dati Vt tangens anguli dati Sed vt tangens anguli dati 5. Ergo vt ſinus to tus Vt tangens lateris dati Sed ut tangens lareris dati 6. Ergo vt ſinus to tus ris dati: ad ſinum lateris quæſit i: ad tangentem lateris dati: ad tang entem anguli dati: ad ſinum totum: ad ſinum totum: ad tangentè compl. angili dati: ad ſinum lateris quaſiti: ad tangentè compl. anguli dati: ad tang en. compl. lateris dati: 3 Ita ſinis totius 1. Ita ſecant compl. lateris quaſiti. Ita ſecaus compl. Iateris quæſiti Ita ſinus totus Ita tangens angu Ii dati IVa tang. combl. anguli dati Tia ſinus totus Ita ſecans compl. lateris quæſiti Ita ſecans compl. later is quæſiti Ita ſinus totuus ad ſinum lateris quaꝰ ad ſinum tot um. ad ſinum totum. ad ſecantem compl. Iateris quaſiti. ad ſecantem cõpl. lateris quæſiti. ad ſinum lateris quaſiti. all ſinum lateris quaſiti. ad ſinum totum. ad ſinum totum. ad ſecantem compl. lateris quæſiti. ad ſinum totum: Ita tang. compl. ad ſecantem compl. ad ſinum totum: ad ſinum totum: lateris dati lateris quæſiti. S ˙—T—T—T— Tia rangens late- ad ſinum lateris quaris dati Ita ſintis totus ſiti. ad tangentem compl. anguli dati. ad tang. compl. Ita tangens late ad ſinum lateris quę anguli dati: ris dati — ad ſinum totum: ad ſinum totum: Ita tangens anguli dati Tra ſinus rotus ſiti. ad ſecantem compl. lateris quæſiti. ad tangentem compl. lateris dati. ad tangen. compl. Ita tangens an- ad ſecantem compl. lateris dati: *. guli dati lateris quæſiti. — 1 Ex altero latere,& angulo, qui lateri quæſito opponitur. Sulo,q 9 PP 2. Vt ſinus totus ad ſinum lateris dati: Ita tangens afguli dati ad tangentem lateris quæſiti. Sed L E M Man LIII. Sed at tangens ang. dati Ert vt ſinus iotus 2. Ergo vt ſinus la terĩs dati Sed vt ſinus lateris dati 3. Ergo vt ſinus to tus Vt ſinus totus Sed vr ſinus totus 4. Ergo vt ſecans compl. lat. dati Vt ſinus lateris dati Ergo vt ſinus Iateris dati Sed vt ſinus totus Ergo vt ſinus lateris dati Ergo vr tang. comp. anguli dati 5. Ergo vt tangens compl. ang. dati Vt ſinus totus Ergo vt ſinus totus ſnus totus Sed vt 6. Ergo vt tang. anguli dati — 1. Vt ſinus ang. adiac. lat. quæſũto ad tangentem lateris quæſiti: ad ſinum lateris dati: ad ſinum totum: al ſinum totum: ad ſecant. compl. lateris dati: ad 57 Iateris dati ad ſinum lateris dati: ad ſinum totum: Ita tangen compl. Iateris quaſiti Ita tangens compl. lateris quaſiti Ita tang. compl. anguli dati Ira ſinus totus Ita tang. 3 anguli dati Ita tangens anguli dati Ita ſecans compl. Iateris dat; Ita tang. ang uli dati ad ſinum totum: ad tangen. compl. anguli dati ad tangen. combl. lateris quaſiti: ad tangen. compl. anguli dati: . lateris da ad Rae totum: 4 Fecantem compl. lateris dati: ad rangen. compl. anguli dati: a tangen. compl. anguli dati: ad ſinum totum: „ Ita tangeus compl. anguli dati Ita ſinus totus Zia tangens lateris quaſiti Ita tangens latei g ti Ita ſinus tot 20 Ita ſinus lateris dati Ita tangꝭs compl. anguli dati Ita ſecans compl. lateris dati Ita tangens anguli dati Ita ſecans cõpl. lateris dati E Ex vtroque angulo non recto. ad ſinum totum: Ita ſinus cõp. ang. oppoſ. lat. quæſito HS 2 243 J 21. Ainuum. ad tangentem compi. anguli dati. ad tangentem compl. anguli dati. ad tang. compl. la- Cduertendo. teris s quæſti 2 II. quinti. ad ſecantem mb. 19. ſnuum. Iateris dati. ad tangẽtem compl. lateris quæſiti. I T. quinti. ad tangentem lateris El. triang queſiti. ther. ad ſinum totum: 74. ſenuum. ad tangẽtem lateris II. Juinti. quæſiti. 2. modus ad tangentem compl.. 0 Peper quaſiti. ad tangentem compl. lateris quaſſti. ad ſinum totum. Permuta do. J. ſinuum. ad ſinum totum. II. quinti. ad tangentem lateris Conuertè di qu zſtt i. ad tangentem late- Permuta de ris quęſiti. 55 ad tangentem compl. 3. modus. Iateris quæſiti. ad tangentem compl. Permuta do. lateris que ſiti. 1. ein 7 ad ſinum totum. ad tangentẽ compl. 1 1. 2inti. lateris quæſiti. in. ad ſinum compl. Ia 22. triang. teris quæſiti. ſihar. Sed vt ſinus 1b. ſinuum. 71. Juinti. 42. lriang. ſohar. Permuta do 1H ſinuum. II. uinti. Cduertendo. Permutä do. 2. ſinuum. L. Sed vt ſinus anguli ad ſinum totum: adiac. lat. quaſito 2. Ergo vt ſinus to tus ad ſec. cõpl. ang. adiac. lat. quęſito: Vt ſinus ang. adiac. lateri quaſito Ergo vt ſinus ang. adiac. lat. quaſito Sed vt ſinus totus ad ſinum totum: ad ſinum còͤpl. ang. op lat. quaſito ad ſinum compl. la teris quaſiti: ad ſinum cõpl. ang. adiac. lat. quæſito oßppoſolat. quaſito: Ergo vt ſinus comp. ad ſinuim ang. adang. oppoſ lat. quæſito tat. lateri qutsſito: 3. Ergo vt ſinus ad ſinum totum: cõpl ang. oppol. lateri quæſito Ergo vt ſinus ang. —'—äy—— Sed vt ſinus cop. ang. ad ſinum totum: op/ lat. qua ſito R 1 Ita ſinus totus 1. ad ſec. compl. anguli adiac. lat. quæſito. Ita ſinus cõp. ang. ad ſinum compl. laoppoſ. lat. quæſito teris quæſiti. Ita ſinus cõpl. ang. oppelateri quaſito Ita ſinus totus ad ſinum compl. lat e. ris qukſiii. ad ſinum compl. late ris quaſiti. Ita ſecans lateris ad ſinum totum. quaſiti Ita ſecans lateris quæſiti Ita ſinus totus ad ſinum totum. ad ſecantem lateris quaſiti. ad ſecantem lateris q uæſiti. Ita ſinus anguli adiac. lateri quæſito — Ita ſinas totus ad ſecantem ang. oppo ſi lat. quæ ſito. . uinti. 25 7 N 1 N bie 4. Ergo vt ſinus to ad ſecantem ang. Ita ſinus anguli ad ſecantem lateris 2 triang. ſſphar. Permutâ do 22. ſinuum. 11. quinti. Permuta do. 3 modus. Permutado. 22. ſenuum. 717 quinti. Permutâ do. tus oppoſ. lateri quæſito: Vt ſinus ang. adiac. lateri quæſito zo vr ſinus ang. adiac. lat. queſito Sed vt ſinus ang. adiac. lat. quaſito Ergo vt ſecans ang. opPoſ. lat. quæſito 5. Ergo vt ſecans ang · oppoſ. late ri quæzuito ad ſinum totum: ad ſinum cõpl. ang. 0p. lat. quaſito: ad ſinum còõpl. ang. oppo¶ lat. quaſito ad ſec. compl. ang. ad ſinum totum: ye ſcuus compl. ang. ad ſinum totum: oppoſ.lar. quaſito Ergo vl ſinis compl. ad ſinum ang. adang. oppoſ. lat. quaſito iac. lar. quæſito: Sed vt ſinus compl. ad ſini ang. adiac. ang. oppoſolat. quaſito lateri gquaſito: Ergo vl ſec. compl. ad ſecantem ang. ang. adiac. lat. Iſito oppoſ: lat. uſito 6. Ergo vt ſecans ad ſinum totum: compl. ang. adiac. lateri quæſito adiac. lat. quæſito: adiac. lateri quæſito ———— Ira ſinus copl. ang. ad ſinum compl. late oppoſ lat. quæſito. ris quaſiti. Ita ſintis totus ad ſinum compl. lateris quaſiti. ad ſoc. compl. anguli oppoſilat. quæſito adiac. lat. quaſito. Tra ſinus totus ad ſinum compl. late5 ris quaſiti. Ita ſec. compl. ad ſinum compl. laang. adiac. late teris quæſiti. ri quæſito quæſiti. Ita ſecans ang. Ita ſinus ang. ad- ad ſecantem lateris jac. lateri quaſito quaſiti. Ita ſinus totus ad ſecantem lateris quaſiti. 7ta ſec. compl. ang. ad ſecantem anguli adiad. lat. quæſito oppnſ. lat. quaſito. Ita ſinus totus ad ſecantem lateris quaſiti. ad ſecantem lateris Ita ſecans ang. quæſiti 1 oppoſ. lateri quæſito ———.— XIII. BA L E M M A LIII. * 11 I. 6 A 8 I S Ex latere,& angulo ei adiacente. ä.—k—6 ü.——— 1. Vt ſinus compl. anguli dati ad ſinum totum: Ita tangens la- ad tangentem baſis. enge teris dati i.. I—TI—T——:01ẽ. ged vt ſinus compl. anguli dati 2. Ergo vt ſinus totus Sed ut tangens lat. dati Ergo vt ſinus totns 3. Ergo vt ſecans ang. dati Sed vt ſec ans ang · dati ad ſinum totum: Ita ſinus totus adſecantem angu Ita tangens lateIi dati ad tangentè baſis: ad ſecantem anguli dati: ad ſinum totum: ad ſinum totum: ris dati Ita tangens compl. ba ſis Ira tangens combl. baſis Ita tang. compl. lat. dati Ita ſinus totus 4. Ergo vt ſinus to ad ſinum compl. Ita tangẽs compl. tus Vt ſinus compl. ang. dati Ergo vt ſiaus cõpl. ang. dati Sed vt ſinus rot us Ergo vt ſinus cõpl. ang. dati Ergo vt tang. lat. dati 5. Ergo vt tangẽs lat. dati. —— Vt ſinus totus ang. dati: ad ſinum totum: ad tangentem lat. dati: ad tangentè baſis: ad tangentem lat. dati: ad ſinum compl. ang. dati: ad ſinum totum: lat. dati ad ſecantem anguli dati. ad tangentem baſis. —— ad tang. compl. lat. dati. ad tang. compl. lat. dati. ad tangentẽ compl. baſis. —— ad ſinum compl. ang. dati. ad tangentẽ compl. baſis. Ita tang. lat. dati Ita ſinus totus Ita tangens compbl. baſis Ita tangens compl. baſis Ira ſinus totus Ita ſinus compl. ang. dati ad ſecantem anguli Ita tangens lat. dati: dati Ergo vi ſinus totus ad tangentem lat. Ita ſecans anguli Sed vt ſinus totus 6. Ergo vt tang. cõpl. lat. dati. — dati. ad tangentem lat. dati: ad ſinum totum: dati Ita tang. compl. lat. dati Ita ſecaus anguli dati ——— ad tangentem baſis. ad tangentem baſis. ad ſinum totum. ad ſinum totnm. ad tangentem compl. baſis. ad tangentẽ compl. baſis. ad tangentem baſis. ad tangentem baſis. ad ſinum totum. ad tangentem baſis. 7. 15. ſenuum II. quinti. 2. ſinuum II. quinti. Cduertendo. 14. ſinuum. II. quinti. . triang. ſphar. Permutado. 2. ſinuum. II. quinti. Cd uertendo. Permuta di. 2. Modus. Permutd do. J F. finuum. 71. uinti. 10 Ar. triang. Permutä do. 2. ſinuum. IT. quinti. 41. triang. ohr. 16. ſinuum. 1 TT. quinti. Còꝭuertendo. Permuta do. 14. ſinuum. 1. quinti. 47. triang. ſphar. 2 2. fillutum. 11. Juinti. 1 Permutä do. 3. modus. Permuta do. 22. ſinuum. 246 2418 X 2 IU I M I I. B M SI 118 Ex latere,& angulo ei oppoſito: Si modo condtet, num baſis quadrante maior ſit, vel minor: Aut an alter angulus non datus ſit acutus, obtuſuſue: Aut denique num alterum latus non datum, minus ſit quarante, an maius. 1. Ergo vt ſinus anguli dati ti: ad ſinum totum: Vt ſinus ang. dati ad ſinum lateris da Ita ſinus totus Ita ſinus lat. dati — 3 ad ſinum baſis. Sed vt ſinus anguli dati 2. Ergo vt ſinus to tus 55 ad ſinum totum: Ita ſinus rotus ad ſocantem compl. anguli dati. ad ſecantẽ compl. Ita ſinus lat. dati ad ſinum baſis. ang. dati: Vt ſinus ang. dati Sed vt ſinus totus Ergo vt ſinus ang. dati Ergo vt ſinus lat. dati 3. Ergo yt ſinus lat. dati — Sed vt ſit ſenus lat. dati 4. Ergo vt ſinus to ad ſecantẽ compl. Ita tus Ve ſinus ang. dati Sed ve ſinus anguli dati Ergo vt ſecans còpl. al dati 2 5. Ergo yt ſecans ad ſinum totum: Ita ſecans compl. compl. lat. dati Ve ſinus lat. dati Ergo vt ſinus lat. dati Sed vt ſinus lat. da 71 ad ſinum lateris dati: ad ſinum baſis: ad ſinum lat. dati: ad ſinum ang. dati: ad ſinum totum: ad ſinum totum: lat. dati: ad ſinum lat. dati: ad ſinum lat. dati: all ſAg. li dati: ad ſinum totum: ad ſinum ang. dati ad ſinum anguli Ita ſecant compl. ad ſecan dati: ta ſinus totus Ita ſecans compbl. Ita ſecans compl. baſis Ita ſinus totus Ita ſinus anguli dati Ita ſinus totus ti Ita ſinus totus Ita ſecans compl. lat. dati cantem compl. Ita ſinus totus anguli dati Ita ſinus ang. dati Ita ſinus totus anguli dati ad ſinum baſis. ad ſinum totum. ad ſinum totum. ad ſecantem compl. Laſſs. ad ſecantem compl. baſis. eee ee ad ſecantem compl. lat. dati. ſinus ang. da- ad ſecanté compl. ba ſis. ad ſinum baſis. ad ſecantem compl. anguli dati. ad ſinum baſis. ad ſinum baſis. 1 ad ſetumtem compl. baſis. ad ſecantem compl. Vaſex. l em compl. Ergo ———— EE Frl. 247 Ergo vt ſecans cùpl. ad ſecantè compl. Ita ſinus totus ad ſecantem compl. ba 2. auinti. 0 anguli dati lat. dati. 2 f 6. Ergo vt ſecans ad ſinum totum: Ita ſecans compl. ad ſecantem compl. Permur ada. cõpl. ang. dati lat. dati baſis. * ———— œ̃—ñ¹¼ 2ęͤ L— k-——— V Ex vtroque latere, quorum alterutrum Ftatuatur primum, & alterum ſecundum. —— 5 ———— H————— 1. Vt ſinus totus ad ſinum compl. Ita ſinus compl. 2. ad ſinum compl. 7 triang I. lateris: lateris baſis. fphar. —ͤ————— — Sed vt ſinus totus ad ſinum compl. 1. Ita ſecans I. lateris ad ſinum tetum. cn. lateris: 513 2. Ergo vt ſecans ad ſinum totum: Ita ſinus compl. 2. ad ſinum compl. ba 3 I. ateris f lateris ſis. 5 rer ö—— Vr ſinus totus ad ſinum compl. 1. Ita ſinus compl. 2. ad ſinum compl. baſis.. tr. lateris: lat. ſpheær. 1 Ergo vt. ſinus totus ad ſinum compl. 2. Ita ſinus comp l. 1. ad ſinum compl. baſis. Permuta do. 9 lateris: lateris Sed vt ſinus totus ad ſinum compl. 2. Ita ſecans. lareris ad ſinum torum. 14. ſenuum. lateris 1 3. Ergo vt ſecans ad ſinum totum: Ita ſinus compl. 1. ad ſinum compl, ba 1. i. 2. lateris lateris lis. —— — ————— Vt ſinus totus ad ſinum compl. r. Tra ſinus compl. 2. ad ſinum compl. baſis. E triang. lateris: lateris ſphtr. Sed vt ſinus compl. ad ſinum compl. ba Ita ſecans baſis ad ſecantem 2. lat. 22. ſinuum. 2. latcris ſis: Ergo vt. ſinus tot us ne compl. 1. Ita ſecans baſis ad ſecantem 2. lat. II. quinti. ateris: 4. Ergo vt ſinus ad ſinum totum: Ita ſecans 2. lat. ad ſecantem baſis. Còuertendo. cõpl. T. lateris ———————————ů————————. Sed vt ſinus compl. ad ſinum totum: Ita ſinus totus ad ſecantem i. Iateris. 1.. ſenuum. 1. lateris 5. Ergo vt ſinus to ad ſecantem 1. la Ita ſecans 2. lat. ad ſecantem baſis. II. quinti. tus teris: — ——ͤ—ͤ—k — Vt ſinus totus ad ſinum compl. 1. Ita ſiuus compl. 2. ad ſinum compl. baſis. 43. triang. lateris: lateris ſphar. E. go vt. ſinus totus ad ſinum compl. 2. Tta ſinus com? l. T. ad ſinum combl. baſis. Permutũ de. lateris: lateris Sed 248 AI Sed vt ſiuus comp. ad ſinum combl. ba Ita ſecans baſis ad ſecautem r. lat. I. lat. ſis: Ergo vt ſinus totus ad ſinum compl. 2. Ita ſecans baſis ad ſecantem 1. lat. lateris: Ergo vt ſinus cõp. ad ſinum totum: Ita ſecaus 1. lat. ad ſecantem baſis. 2, lateris 22. ſenuum. II. quinti. Cõuertendo. F Ex vtroque angulo non recto, Quorum alteruter Natuatur primus,& alter ſecundus. ————x——.—— o. triang. 7 8 5 5 Fb,. 1. Vt ſinus totus ad tagentẽ cõpl. Ita tangens cõpl. ad ſinum cöpl. baſis. I. anguli. 2. anguli — ———— 18. ſinuum · Sed vt ſinus totus ad tang. compl. 1. Ita tangens I. ang. ad ſinum totum. 87* 8 8 7 anguli: 1. guinti. 2. Ergo vt tangẽs ad ſinum totum: Ita tangẽs compl. ad ſinum com 8 8 eee Pl. 1. anguli 2. anguli baſis. 5 8 So. trian ſphar yt ſinus totus ad tang. compl. 1. Ita tangens compl. ad ſinum compl. baſis. anguli: 2. anguli Ergo vt ſinus totus ad tang. compl. 2. Tta tangens compl. ad ſinum compl. baſis. 5 anguli: I. anguli 1 F. ſinuum. 7 7 J Sed vt ſinus totus ad tang. compl. 2. Ita tangens. ang. ad ſinum totum. 3 anguli: II. quinti Nr 7 2.. Ergo vt tangens ad ſinum totum: Ita tangens cõpl. ad ſinum compl. 2. anguli L. anguli baſis. FF.. ad ſinum compl. baſis. Permutâ do. ä——y g. modus. Vt tangens I. ang. ad ſinum totum: Ita tangens compl. 2. anguli Ergo vs tangens I. ad bang. compl. 2. Ira ſinus totus ad ſinum compl. baſis. anguli angiili: Sed vt ſinus totus ad ſinum compl. It ſecans baſis ad ſinum totum. baſis: Ergo vt tang ens 1. ad tang conpl. a. Ita ſecans baſis ad ſinum totum. anguli 8 anguli: Cauertendo. Frgo vt tang· compl. ad tangentè I. ang. Ita ſinus totus ad ſecantem baſis. 2. anguli 4. Ergo vt tangẽs ad ſinum totum: Ita tangens 1. ang. ad ſecantem baſis. cõpl. 2, anguli yt tangens 2. ang. ad ſinum totum: Ita ae compl. ad ſinnm compl. baſis. I. angii 4 Permuta do. 19. ſinuum. 71. quinti. Permutẽ'i do. — g. modus. Permutado. Ergo vt tang ens 2. ad tang. compl. 1. Tra ſinus totus ad ſinum compl. baſis. anguli anguli: Sed L. E M M A LIII. 249 gel vt ſinus totus ad ſinum compl. Ita ſecans baſes ad ſinum totum. 14. fun-. baſis: . en, 147 77 f. 1 Argo vi tangent a. ad tang. compl. 1. Ita ſecans baſis ad ſinum totum. 11. quinti. angtili: anguli. Ergo v bang. compi. ad tangentem 2. Ita ſinus totus ad ſecantem baſis. Cnuertendo. 7. auguli. anguli: 5. 0 ta a8 ad ſinum totum: Ita tangens 2. ang. ad ſecantem baſis. Pernut Ado. 85 0 J. ung. W ee eee 777 ang. cenbl. 2. ad ſinum totum: Ita tang. 1. ang. ad ſecantem baſis. 4 modus. anguli ö Sed vt tang. compl. ad ſinum totum: Ita ſinus totus ad tangentem 2. ang. I. ſinuum. g. anguli 6. Ergo vt ſinus ad tang. 2. anguli: Ita tangens 1. an ad ſecantem baſis. 17 zuinti. totus guli HIS ita demonſtratis, vt e s in triangulo ſoherico rect angiclo inienia tur, quod qua tur, C aute oculos e operati- regt 4 proſorticmum poſit 42 Ges. 207 2 2 22 Hoc loco in ordinen ecim problem ata proxime demonſtrata, ita ut zuodlibet corum ſex modis foſis 5 1111 4 9 75 n omni bes ſtnuts tojus reperitur ⁊ vel in primo loco regulæ, vel in ſecundo. Ordo ergo hic eſt. ——— — F ſphærico rectangulo hiſce oninibus modis inueltigati poteſt —— I. DV Ex baſe,& latereſ quod angulo quæſito opponitur. Vt ſinus totus ad ſinum baſis: Ita ſecans compl. la ad ſecantem compl. ö teris anguli. Vt ſinus tetus ad ſinum lateris: Ita ſecans compl. ad ſinum anguli. Vaſis Vt ſinus baſis ad ſinum totum: Ita ſinus lateris ad ſinum anguli. Vt ſecans ↄompl. la ad ſinum totum: Ita fecans compl. ad ſinum anguli. teris baſis Vt ſecans compl. ba ad ſinum totum: Ita ſecans compl. ad ſecan. compl. ang. 755 lateris Vt ſinus lateris ad ſinum tottem: Ita ſinus baſis all ſe cantem compl. anguli. ä—— t— Inuentus angulus exit acutus, ſi datum latus fuerit quadrante minus; obtuſus autem, ſi maius. II. AN —————— ͤ—¹äNJ—2kͤ—xĩů—— N a Problema. 0 77. 4 Problema. III. Problema. 250 r N A. NEVIS Ex baſe,& latere, quod angulo quæſito adiacet. . — ene be Vt ſinus totus ad tangentem cõpl. baſis: Vt ſiniss tot us ad tang entè compl. late cis: Vt tangens baſis ad ſinum totum: Ve tangens compl. ad ſinum totum: lateris Vt tangens compl. ad ſinum totum: baſis Vi tangens Iateris ad ſinum totum: — EäUͤ l — ——— Ita tangens lateris ad ſinum compl. ang. Ira tangens baſis ad ſecantem anguli. ad ſinum compl. anguli. ad ſinum compl. ang. Ita tangens lateris Ita tangens combl. baſis Ita tangens compl. lateris Ita tangens baſis ad ſecantem anguli. ad ſecantem anguli. — Inuentus angulus erit acutus, ſi tam baſis, quam latus datum quadrante majus fuerit, aut minus: obtuſus vero, ſi alterutrum datorum fuerit quadrante majus,& alterum minus. An F Ex baſe,& altero angulo non recto. Vt ſinus totus ad ſinum compl. ba is: Vt ſinus totus al ſecantem baſis: Vl ſecans baſis ad ſinum totum: Vt tang. compl. an- ad ſinum totum: guli dati Vt rang ens anguli ad ſinum totum: dati yr ſenus compl. ba ſis ad ſinum totum: 3 Ita længens anguli ad tang. compl. ang. ali quæſiti. Ita tang. compl. an ad langentem ang. guli dati qua ſiti. Ita tangens anguli ad tang. compl. ant. dati quaſiti. Tra ſinus compl. ba ad bang. compl. ang. quaſiti. 25 Ita ſecans baſis 4d lang. ang. quaſiti. 200 N Ita tang. cembl. an ad fang. anguli qua guli dati ſeti. ..——— ͤ:f Inuentus angulus erit acutus, ſi baſis fuerit minor quadrante,& datus angujus acutus; aut᷑ ſj baſis fuerit quadrante maior,& angulus datus obtuſus: Idem vero angulus exit obtuſus, ſi baſis quadrante minor fuer it,& angulus datus obtuſus, aut ſi baſis fuerit maior quadrante,& datus angulus acutus. — AI. N 8 r Ex latere, quod angulo quæſito opponitut,& altero angulo non recto. Vt ſinus totus a ſinum ang. dati: Ita ſenus compl. la- ad ſinum combl. ang. — reris guaſiti. 5 L EI M M A LI. 251 0 t ſinns totus ad ſecamtè compl. Ita ſecans Iateris ad ſecan. ang. qus ſiti. 4 anguli dati: yr ſenus ang. dati ad ſinum totum: Ita ſecan: lateris ad ſecantem anguli quæſcti. pt ſinus compl. lat. ad ſinum totum: Ita ſecans compl. ad ſec an: ang. quæſiti. anguli dati vi ſecant compl. an ad ſnum trum: Ita ſinus compl. la- ad ſinum compl. ang. guli dati reris qua ſiti. Vt ſecans lateris ad ſenum totum: Ita ſinus ang. dati ad ſinum comtl. anti i queſiti. Inuentus angulus exit acutus, ſi latus datum fuerit quadrante minus: obtuſus vero, ſi maius. FFC 7. Ex larere, quod angulo quæſito adiacet,& altero angulo non recto: Problem. dummodo conſiet, num quæſitus angulus maior ſit recto, an minor: vel an baſis, aut latus alterum non datum quadraute maius ſit, minuſue. —— Vie ſinus totus ad ſecantem lat. Ita ſinus compl. an aul ſinum ang. quæſiti. guli dati Vi ſinus totus ad ſecan. ang. dati: Ita ſinus ce ml. la ad ſecan. combl. ang. 75 reris qαſiti. Vt ſenus comp l. lat. ad ſintm totum: Ita ſinus compl. an ad ſinum ang. quæſiti. guli dati t ſenus compl. ang. ad ſinum totum: Ira ſinus compl. lat. ad ſecan. comępl. ang. dati quæſiti. Nr. ſecans lat eris ad ſinum totum: Ita ſecans anguli ad ſecan. compl.ang. dati quαſiti. Vr 4* anguli ad ſinum totum: Ita ſecans luteris ad ſinum ang. qua ii dati Inuentus angulus erit agutus,(niſi aliunde conſtet.) ſi alterum latus non datum fuerit quadrantè minus; obtuſus vero, ſi maius. Pari ratione, ſi baſis ſuerit minor quadrante,& datus angulus acutuszvel ſi baſis maior fuerit quadrante,& datus angulus obtuſus,; innentus angulus acutus grit: Si vero baſis fuerit quadrante minor,& datus angulus obtuſus; vel ſi baſis quadrante maior fuerit,& 1 1 N 1. datus angulus acutus ʒ inuentus angulus obtuſus exit.. „ i Ex vᷣtroque latere circa angulum rectum. I. 5 Problema. — — Vr ſinus tetus „ Vt ſenuis I. Problema. FIT. Problema. 25 2 Vt ſinus totus Vt ſinus lat. adiac. ang. quæſito yt tang. lat. oppoſ. ang. quaſito Vt ſecans cõbl. lat. adiac. ang. q ſito Vr tãg. cõpl. lat. opp. ad ſinum totum: ang. quaſito ad ſinum totum: ad ſinum totum: HI A 1 l ad ſec. col. lat. ad Ita tang. lat. oppoſ. ad tang· ang. quaſiti. iac. ang. quæſito: ang. quaſito Tra tang. lat. oppoſ. ad tang. ang. quaſiti. ang. qu ſito Ita ſinus lat. adiac. ang. quaſito Ita tang. cõpl. lat. ad tang. compl. anguli op p. ang. quæſito quaſiti. Tra ſec. cõpl. lat. ad ad tang. ang. quaſiti. iac. ang. quaſito ad ſinum totum: ad tang. compl. ang. quæſiti. ZK24õõ6—kl«„——— Iauentus angulus erit acutus, ſi datum latus quæſito angulo oppoſitum fuerit minus quadrante: obtuſus vero, ſi maius. VIII.“ En Rs Ex baſe,& altero latere. Vt ſinus totus a ſocantem lateris Ita ſinus compl ba ad ſinum compl. lat. dati: 15 quaſiti. ad ſecantem baſis: Ita ſinus compl. lat. ad ſecaniem luteris dati queſiti. Tra ſinus compl. ba ad ſinum compl. lat. dati is quaſiti. Vt ſinus compl. ba ad ſinum totum: Tia ſinus combl. lat. ad ſecan. lat. quaſiti. ſis dati Vt ſecans baſis ad ſinum totum: ¶ ẽI ta ſecans lat. dati ad ſinum combl. lat. quæſiti. ad ſecantem iateris quaſiti. Inuentum latus exit minus quadrante, ſi tam baſis, qua m latus datum quadrante minus fuerit: maius vero quadrante, ſi vel baſis fuerit maior,& latus da tum minus quzdrante, vel baſis minor,& datum latus quad ra nte malius. Vt ſinus totus Vt ſinus compl. lat. ad ſinum totum: Vi ſecans lat. dati ad ſinum totum: Ita ſecans baſis —— ———— U 1 EN Ex baſe,& angulo, qui lateri quæſito opponitur. ———— ů—ä—Pͤͤ—ũ-———— yt ſinus totus ad ſinum baſis: Ita ſinus anguli dati ad ſecan. compl. ba Ita ſecans compl. ſis ang. dati ad ſinum totum: Ita ſecans compl. ang · dati ad ſinum lat. quaſiti. Pt ſinus totus ad ſecan. compl. lat. quaſiti. ad ſecan. compl. lat. guaſiti. Vi. ſecans Vt ſinus baſis L E M M A IIII. 253 vi ſecans combl. ba ad ſinum torum: Ita ſinus anguli da ad ſinum lateris quaſis ti ſiti. yt ſecans compl. an ad ſinum totum: Ita ſinus baſis ad ſinum lat. quaſiti. gꝛli dati yr ſinus ang · dati ad ſinum trum: Ita ſecans compl. ad ſecan. compl. lat. baſis quæſiti. ä—. ö—äj—Eä—ͥ———— Inuentum latus quadrante erit minus, ſi datus angulus ei oppeſitus fuerit acu tus: maius vero, ſi obtuſus. ———————ʃʒ c̃ 5.0 FF 2x. Problema. Ex baſe,& angulo, qui lateri quæſito adia cet. — Vt ſinus totus ad ſinum compl. an Ita tangens baſis ad tang. lat. quaſiti. guli dati: Vt ſinus totus ad ſecantem anguli Ita rang ens compl. ad tang. compl. lat. . dati. baſis quaſiti. Vt ſecans ang. dati ad ſinum totum: Ita tangens baſis ad tangentem lateris quaæſiti. yt ſinus compl. ang. ad ſinum totum: Ita tangens comtl. ad tang. compl. lat. dati baſis quaſiti. yt tangens baſis ad ſinum totum: Ita ſecans anguli ad tang. compl. lat. dati quaſiti. yr tangens compl. ad ſinum totum: II ſenus compl. an ad tangentem lateris baſis guli dati qu eſiti. Inuentum latus quadrante minus erit, ſi baſis minor fuerit quadrante,& datus angulus acutus; aut ſi baſis fuerit quadrante maior,& datus angulus obtuſus:malus vero quadrante, ſi baſis quadrante minor fuerit,& datus angulus obtuſus; aut ſi baſis fuerit maior quadrante,& datus angulus acutus. —— E 4 Ex altero latere,& angulo, qui quæſito lateri adiacet: i modo Treblema conftet, num quæſitum latus ſit quadrante malus, an minus; vel an alter angulus non rectus non datus ſit acutus, obtuſuſueʒ vel denique num baſis ſit quadrante maior, aut minor. ——-—— Vt. ſinus totus ad tangentè compl. Ita tangenc lateris ad ſinum lat. quaſiti. ang. dati: dati Vt ſinus XI. Problema. XI. Problnma. 254 L 15 M U 1. N ſinus totus ad lang. compl. lat. Ita tangens ang. adſecantem compl. lat. dati: dati quæſiti. * tungens ang. dati ad ſinum totum: Ita tangens lateris ad ſinum, lat. quaſiti. dati Vt fang. combl. lat. ad ſinum totum Ita rang. combl. an ad ſinum lat. quaſiti. dati guli dati Vt tang. lat. dati ad ſinum totum Ita tangi ang. dati ad ſecan. compl. lat. qua ſiti. vr bang. compl. ang. ad ſinum totum: Ita tang. comęl. lat. ad ſecan. compl. lat. dati dati qua ſiti. Inuentum latus quadrante erit minus,(niſi aliunde conſtet) ſi angulus ei op oſitus,& non datus fuerit acutus; maius vero, ſi obtuſus. Pari ratione minus erit, ſi baſis minor fuerit quadrante,& latus datum minus quoque quadrantezat ſi baſis fue rit minor quadtante,& datum latus maius, inuentum latus erit quadrante maius. Denique ſi tam baſis, quam latus datum fuerit quadrante maius, erit innentum latus minus quadrantèe, maius autem, ſi baſis ma ior fuerit quadrante,& datum latus, minus. —— —— MI nn Ex altero latere,& angulo, qui lateri quæſito opponitur. ————ä———— Vt ſinns totus* lateris Ita tangens anguli 4d rang. lat. qua ſiti. alt: 12 Vt ſinus totus ad ſecan. comęl. lat. Ita tang. compl. ad tang. compl. lat. dati: 2 yt ſenus lat. dati ad ſinum totum: V ſecans compl. la d num tolum reris dati i. a Vr tang. eompl. an- ad ſenum totum: ſenu d tang. lat. quaſiti. guli dati Vr tang. ang. dati ad ſenum totum: Ita ſecans compl. ang. compl. lat. lat. dati. quæſici. eee, eee Inuentum latus erit quadrante minus, ſi datus angulus ei oppoſitus fuerit acu tus:maius vero, ſi obtuſus. — —— N L Ae es Ex vtroque angulo non recto. Vt ſinus totis al ſec. cõpl. ang. ad Ita ſinus cõpl. ang. ad ſinus iac. lat. qu æſito. lat quaſito 4˙ſcti. Ve ſinus totus 2d ſcc. ang. olg lateri Ita ſiuus ang. adia- ad.ſecantem lateris guaſico: entis lat. quaſito ra ſiti. Vt ſinus L. M M A III. 255 /I ſiuus ang. adiac? ad ſinum totum: Ita ſinus copl. ang. ad ſinum compl. lat, tis lat. quæſito oßß. lar. qu aſito qu ſiti. t ſinus compl. ang. ad ſinum totum: Ita ſinus ang. adiac. ad ſecantem lateris. pb. lat. quaſito. Iat. quaſito gueſiti. Vt ſecans ang. oppb. ad ſinum totum: Ita ſecans copl. ang · ad ſinum compl. lat. lat. quæſſito adiac. lat. quaſito queſiti a Vt ſec. copl. ang. ad ad ſinum totum: Ita ſec. ang · opp. lat. ad ſecantem lateris lac. lat. quaſito quaſit 4 eſiti. Inuentum latus erit quadrante minus, ſi datus angulus ei oppoſitus fuerit acu tus:ma ius vero, ſi obtuſus. —— —— e eee een e ee e een Ex latere& angulo ei adiacente. yt ſinus totus ad ſinum complian Ita tangens compl. ad tang. compl. ba ſis. guli dati: lat. dati Vt: ſinus totus ad ſecan. ang. dati: Ita tangens lat. ad tangentem baſis. dati N ye ſinus compl. an- ad ſinum totum. Ita tang. lat. dati ad tangentem baſis. guli dati V. ſecans ang. dati ad ſinum totum: Ita tang. compl. lat. ad tangentem compl. dati baſis. Vt tang. lat. dati ad ſinum totum: la ſinus compl. an ad tang. compl. baſis. guli dati Vt tang. compl. lat. ad ſenum rotum: Ita ſecans ang. dati ad tangentem baſis. dati Inuenta baſis minor erit quadrante, ſi datum latus fuerit quadrante minus,& angulus datus ei adiacens, acutus; vel ſi datum latus fuerit maius quadr ante,& datus angulus ei adiacens, obtuſus: maior vero quadrante, ſi datum latus fuerit maus quadrante,& datus angulus ei adiacens, acutus zvel ſi datum latus fue rit quadrante minus,& angulus datus, obtuſus. —— „ Ex latere,& angulo eĩ oppoſito: Si modo conflet, num baſis quadrante mmaior ſit, vel minor: Aut an alter angulus non datus ſit acutus, obtuſiſue: Aut denique num alterum latus non datum, minus ſit quadrante, an maius. V ſinus totus R 2 4-. ad ſinum baſis. Ve ſinus totus A fec. compl. lat 4a ſinus ang. dati ad ſecan. bompl. haſis. 7* 2 2 90 029* 7 4 Pi ſinus ang. dati ſinum totum: Ita ſinus lat. dati ad ſnum III. Problem a. Nn Problema. 1 ad ſinum totum: 256 Vr ſinus lat. dati A 1 Zia ſinus anguli dati Ila ſecans compl. I. ad ſecantam cempl. 5 aſis. ad ſinum baſis. yr ſecans compl. lat. ad ſinum totum: dati v ſecans compl. an- ad ſinum totum: guli dati Inuenta baſis quadrante minor erit( niſi aliunde conſtet) ſi vterque angulo rum non rectorum fuerit acutus, vel obtuſus;; vel ſi vtrumque laterum fuerit quadrante minus, vel maius: Eadem vero baſis inuenta maĩor exit quadrante, li alteruter angulorum non rectorum fuerit acutus,& alter obtuſus; vel alterutrũ laterum fuer ĩt quadrante minus,& alterum maiut. —— ang. dati Isa fecans compl. lat. dati ad ſican. compl. baſis. —.——— 2 . Ex vtroque latere: quorum alterutrum latuatur primum, & alterum ſecundum. Ry. Problema. ——— 175 ſenus compl. 2. al ſinum combl. baſis. Aeris Ita ſecans 2. ad ſinum compl. i. lateris: ad ſecantem 1. lateris: 2 ad ſinum totum: Vt ſinus totus Vt ſinus toſus lat. ad ſecantem baſis. Ita ad ſenum com pl. Gate. J Ita/ lateris Lia ſecans e. lateris Vt ſecans 1. lat. nus compl. 2. vt ſecans 2. lat. ad ſinum totum: ad ſinum compl. baſis. vr ſnus compl. i. ad ſinum lotum: ad ſecantem b aſis. lateris Vt ſinus compl. 1. Jateris ad ſinum totum: Ita ſecans 1. lal. ad ſocantem baſis. ———ä—U k—— Inuenta baſis erit quadrante minor, ſi vtrumque latns ſuerit quadrante minus, vel maius: maior vero; ſi alterutrum laterum fuerit minus quadrante,& alterum maius. ——.— Zä— „ F Ex vtroque angulo non recto: Quorum alteruter Statuatur primus,& alter ſecundiis. XVI. Proalema. — ad tang. compl. 1. Ita tangens compl. al g uam comp. baſis. anguli: ad tang a. anguli: Vt ſenus totus 2. anguli La tangent 1. ang ang. *r nue totirs al ſccantem baſſis. Vt tangens L M Min AT III.. 257 yr tangent t. ang. ad ſinum totum: Ita tang. compl. 2. ad ſinum compl. baſſs. anguli yr tangens 2. ang. ad ſinum totum: Ita tang. compl. 1. ad ſinum compl. baſis. anguli Vt tang. compl. 4. ad ſinum totum: Ita tang. I. anguli ad ſecantem baſis. anguli yt tang. compl. 1. ad ſinum totum: Ita tangens a. ang. ad ſecantem baſis. anguli Inuenta baſis quadrante minor erit, ſi vterque angulorum non rectorum fue rit acutus, vel obtuſus: maior vero, ſi alteruter angulorum non rectorum fuerit acutus,& alter obtuſus. — 3 TRIANGVLO RVM SPH AERICORVM obliquangulorum calculus. — xyII. 17. DAT O aggregato duorum arcuum vel angulorum, quod problema. ſemicirculo minus ſit, vna cum proportione, quam eorundem ſinus habent, yvtrumque illorum efficere notum. ——— TERM INI proportionis data: ſi ſinus non ſunt, ad ſinus reducantur per vtriuſ ue multiplicationem per 1 o. I oo. Io o M ⁊vοοοονο ita vt maior termi nus Habeat tot Igurat, quot continentur in maioribus ſinubius in tabula Sinuum.. Tta 4 7. vel 74. enim hi ſinus eandem proportionem habebunt, quam ter mini priores froportionis datæ. Jeb imi. Deinde hi termini ad ſinus reducti in vnam ſummam collig antur, eiuſque ſamiſſis, atque diſferentiæ inter eam ſemiſſem, c alterutrum terminori, arcus ex tabula ſinuum Accipiantur, non ſecus, ac ſi ſemiſeisilla, ac dilferentia: ſinus eſſent,& feorſum ambo reſeruentur: Eritque — Vt ſinus totus ad ſecan. comple- Ita diſſerẽtia præ ad quartum. 8 meẽ ti maĩoris ar dicta, hoc eſt, ſicus ſeruati, qui nus minoris arnimirũ ſemiſsi cus ſeruati. ſummę termino rum reſpõdet: Deinde. Vt ſinus totu ad tangentem ſe- Ita quartus inuen ad tangentem diffemiſsis aggrega tus rentię inter ſemiſ ti arcuum vel ſem aggregati ar angulorum: cuum, vel angulo rũ,& alterutrum arcuũ quæſitorũ. KAB A. 2 HFI tangentis inuentæ arcus ad ſemiſſem aggregati artuum, vel angtlorum additus conſicit maiorem arcum, vel angulum quaſitum: ex eadem vero faimiſſe ſub. K ductus a 15. ſinuli. rectil. XVIII. Problema. X. XI b g. triang. Problema. 258 1 1 N 1 duldus minorem arcum, vel angulum qu. eſetum relinquit. Dublici autem illæ operarione reber. 5 tangentem dict 2 4. Ferentie, ita perſpicuum ſiet. Quoniam, vt pros. triang. rectil. dæmonſtrauimus, 1 vt ſemtſcis aggegati ter minorum date proborti- onit ae reuocatoru 7 ad tagentem ſemiſsis aggregati arcuum, ita differentia inter ſmiſſem ſummæ terminorum datæ proportionis.& alterutrum terminorum, ad tangentem differentia inter ſemiſſem aggregati arcuum,& alterutrum arcuum quaſitorum; 3 erit quoq; per mutando, vr ſemiſis aggr. term. ad diſfdictam, ita tangens ſemiſeis agr. arcu um ad tang. diff. arcuum. Sed vt ſomiſeis aggr. term. ad ſinum totum, ita eſi 470. dicta ad alium quartum numerum: Et permutando, vt ſemiſiis aggr. term. ad dictam diff ita ſinus totus ad quartum illum numerum. Igitur erit etiam, vs ſinus totus ad quartum, ita rang ens femiſcis aggr. arcuum ad tang entem diff. arcuum: Et permutan 40, vt ſinus totus ad taugentem ſemiſsis aggr. arcuum, ita quartus al tangentem diff. auc. vr in ſecundo exemplo regula proportionum dicebamus. Produci autem Jar tum illum numerum eo modo, qui in primo ex emplo expreſſiss eſt, ita m anf festum exit. Wee, nm eſi, vt ſemiſis aggr. term. ad ſinum totum, ita fi fal b raliqta ad illum quar „r paulo ante diximus; 2 Ed autem ut ſemiſi Ar. term.xce nus, ad ſinum to tum, ita ſcuus totus ad ſecantem complementi arcs, qui illi semi eb debetur: id quod etiam ſupra oſtendimus in Proſthaphareſi Num.. Exit quog ue, vl ſinus tocus 7 ſecantem complementi arcus, qui ſemiſoi aggr. term. e ai,. pradidA ad quartum, vt in primo ex emplo regulæ aurea poſitum eſt. EK M tangens diff. inter ſomiſſem agg. arcuum,& Alterutrum arcuum queſi torum, inuenietur quoque per vnam ot erationem, ſine tamen ſinu toto. d Eſt enim Vt ſemiſsis aggre ad tangentẽ ſemif Ita diff. inter ſemiſ ad tangentẽ diff. ingati ter minorũ ſis aggregati ar- sé aggregati ter- ter feiſte aggre datę proporeio cuum: minorum,& al- gati arcuum,& al nis terutrum termi- terutrũ arcuum. norum ————— 18. DAT O aggregato duorum arcuum, quorum ſinguli ſemicirculo ſint minores, vel duorũ angulorũ, quod ſemicirculo maius ſit, vna cũ a cũ proportioneſinuum corumetrumque notum efficere. —— ——„ BETR NAC TO Hoc aggreg ato ex toto circulo„ ſupererit aliud aggregatum arcuũ ſemicir culo minus, cum eadem proportion, data, vt propoſ. d. triang. rectil. dictum eſt. Si igitur huius aggregati vter que arcus, vel angulus inuestigetur, vt in præcedenti problem ate 1. tradidimus,& inuentus vterque ex ſemicirculo collatur, noti relinquen zur quæſiti duo arcus, vel anguli aggregatum ſemicirculo maius datum conflantes. 8 O D ſi quan- do acci⸗ 25 datam proportionem eſſe æqualitatis, erunt quoque 455 Arcus vel anguli datum aggregatum conficientes aquales. Quare ſemiſis dati aggregati vtrumque arcum, vel angulum quaſitu. n dabit. um aggregatum ſemicirculo fuerit a quale, problema. ſolui non poterit, S I vero dat vr in ſebolio priptſic. triang. rectil. oſtendimus. 19. DAT A differentia duorum arcuum, quorum ſinguli ſe. micirculo ſint minores, vel duorum angulorum, vna cum proportione, quam eorum ſinus habent, vtrumque ſeorſum cognoſcere. —— SV BTRACT A —————— L E M M A S BTRACT A diiſſerentia da ta ex ſemi l natur reliqtius arcus, tanquam aggregatum Atorumm arcuum, c eius vte ber datam p tenem (hac enim eadlem permanet, vr in probo /:. triang. rectil lidtum ef.) ern, Blemate I. Minor enim inuentus, ſi da 7 znaioris inaqualitati nils ingioris arcus maior eſt,& minoris miner, 11, quand zmicirculo minores ſunt erit qua ſitorum minor arcus; mæion wero inttenttis cr feicirculo ſubſluctus maiorem arcum guaſtiums relinguet. bi uero data proportio eſt minoris inaqualitatis, hoc eſt, ſiſinus maioris arctis mi nor eſt ſiuu arcus minoris(quod ac dit, qaando duo artus ſemicirculum ſuberant.) minor arcs inuentus ex ſemic demptus relinquet maiorem arcum 4u eſitum; maior vero e ſcen rem artum quaſitum relinquet. 2% B f data propnrtio fuerit ægualibatis, quod qui dem cus ciis ſemicirculum couſiciunt, detrahemus diſferentiam em ſemicirc meri ſamiſiis dabit minorem arcum quaſitiim, cadem vero ſemiſois, ſi dale diſferentia adijciatur, maiorem arcum guaſitum conſicies. VAN DO datur aggregatum vel diſferentia duorum angulorum vnum angqus lum ſpharitum conſtituentium, vel in aliquo triangalo rectilines exist tium, confitiẽt arcus illorum angulorum ſemper aggregatum micirculo minis, at proinde adhibendum erit ſolum problema 1. pręcedens, vel prima par Huius problematis 1b. , tatddle nac ie, quando duo ar8 ui enim nu 7 20. DAT IS tribus angulis trianguli ſphærici obliquanguli, tria lateta inueſtigare. 3 8 T in triangulo A BC, omnes tres anguli ſunt æqualess aut duo tantum, att ones tres ins guales. Sint primum omnes tres anguli, vel duo B, C, duntaxat aquales, àeruntqus idcirco G latera AB, AC, eis of poſita æglalia. anguliqus B; C, vel acuti, a p. eriang. vel obtuſſi. Si igitur ex tertio angulo A, in latus 00 p Hhar BC, duobus ęqualibus angulis adiacenss arcus Perpendicularis intelligatur demiſſus A D, cadet is intra trian gulum, diuidetque G latus BC, c angulum BAC, biſariam. Quoniam enim triangula A5 D., ACD, redtangula habent angulos B. C, æquales;& latera AB, .. 00 Problema. b Ac, redtis angulis ad D, oppnſita, equalia; c erunt quo- 2— 1 7 3 eri que tam Jatera B D. C D, quam angali ad A, æquales: 25.* ang. D Her. ac proinde cum totus angi. Ius ad A, datus ſit, dabuntur ebiam eius ſemiſſis 5A D, CAD Nuia igicur in iti, neulo red angulo A B D, duo angu J 171 ſunt B. BA D, nota ſiet quoquse baſis AE„ Eſt enim, Ai 7 0 Wed rere f 7 W— 22 17**— 7 Vt ſinus totus ad tãgentẽ compl. Ita tangens cõpl. ad ſinum con pl. baanguli B: anguli BAD, ſis AB,&c E6ꝙ6ꝛ v H inc etiam cogu. 100%„nale: Immo& tertium ſi omnes tres a riaugul Aa N les, datum erit; quod tria latera ſi Si vero ſolum di eiſdem angulis non r — Kk 2 Vt 260 1 Vt ſinus totus ad ſecantẽ compl. Ita ſinus cõpll ang. ad ſinum comp! ang. B. lat. quęſi BAD, lat. quæſi lat. BD, quæſiti. to BD. adiac. to BD, oppoſiti&c. —— Si ergo latuus B D, duplicerur, nottim ffet totum la tus BC. SI deinde omnes tres anguli ine quales, atque adeo dito ſaltem acuti, vel ob tu ſeycilinſimodi ii. g. int B,& C. Demiſſus igitur ex tert io angulo A, in latus BC, ducbus acutis, vel obtuſis angulis adiacens, arcus perpendicularis A D, intra triangulum cadet: Eritqus, 4 c. triang 77 ſehar. a bg. triang. ſehar. ——— 2——————— Vt ſinus compl. ad ſinum compl. Ita ſinus anguli ad ſinum ang. CAD; anguli B, ang. C: BAD, —— Tgitur preport io, quam ſinus angulorum BAP, CA D, ſabent, nota erit, cuius ter“ mini erunt ſintis coſipl. angilortim B,& C. Sumatur ſemiſßis aggregati Horum ſinuum, c diſfrretia inter eam ſeimiſſeim, c alterutrum ſinuum compl. ang. B, C. Erit ergo, vt in problema I. demonſtraui mus, —————— Vt ſinus totus ad ſecan, compl. Ita prædicta diff. ad quartum aljum arcus, qui di- inter illam ſe- numerum. ctæ ſemiſsi de miſsem,& albetur, vt ſinui: terutrum ſinuũ cõpl. ang. B, C. Deinde Vt ſinus totus ad tang. ſemiſsis Ita quartus inuen ad tang. differentię anguli BAC, tã tus inter ſewi ſſem quam aggregati anguli BAC,& angulorũ BAD, alterutrum ang. CAD: BAD, CAD. Arcus igitur huius tangentis inuentæ additus ſæmiſi anguli B AC, conficiet angulii maiorem A,& ablatus ex eadem ſemiſſe relinquet minorem. Ille autem angulus A, maior exit, qui reſfondet maiori ſinui compl. ang. B, c A C: adeo vt ſi ſinus compl. ang. B, ma ior fuerit ſint col. 7 ang. C, angulus BA D, maior ſit angulo CA D, Cc. IAM ex duobus angulis non rectis A, B, fri angu li rectanguli AB D. cognitis, cognoſcetur baſis A B, ex problemate 10.& latus B D, ex problemate 12. Eadem T ratione ex angulis no rectis A, C, trianguli CA P, re1 g 5 2 3 ctanguli cagnoſcetur& baſis AC,& latus C Diſumma D autꝰ laterum B D, CD, totum latus BC, arhibebit. Atne ita nota ſacta ſunt omnia tria latera. 7 J. rl. 2. PATIS tribus lateribus trianguli ſphærici obliquanguli, rrellema. quemlibet angulorum indagare. SIT n ſuiperiore tri angulo notorum Iaterum inueſtigandus angiilus BAC, fintqʒ pri mum duo latera AB, AC, eum ambtentia, iniqualia. Ita ergo angulum BAC, inueſtigabimus. L. E M M A LIII 267 Vt ſinus totus ad ſinum maioris Ita ſinus minoris ad qua rtum felol. 3. lateris dati: lateris dati SF. triamg. Deinde ſpher. Vt quartus inuen- ad ſinum totum: Ita diff. inter ſinũ ad ſinum verſum an tus versũ arcus quæ guli quæſiti. ſito ang. oppoſ. & ſinum verſum arcus, quo duo la tera angulũ quæ ſitum ambiëtia inter ſe differũt. —— ͤ Gãꝓ— ́——ů—— 5 SINT deinde duo latera AB, AMC, quaſitum angulum ambientia, equalia. De- 1 N 5„ a 21. rriang. miſſus ergo ex angulo quæſito arcus perpendicularis A D. ſecabit& angulum queſit o ſpher & latns oppoſitum BC, biſariam, a vt inpræcedenti probleuiate oſtendimus. Et quia in 9 triangulo rect angulo BA D, baſis AB, nota eſt, cum latere B P, ¶ Eſt enim ſemiſcis lateris BC, noti. quod angulo BA D, opponitur, cognoſcetur angulus B A D, ex problemate 1. ac proinde& totus angulus quæſitus BA C, cum illius duplus ſit, cognitus erit. 22. PAT IS in rriangulo ſphærico obliquangulo duobus la- 7 1 0 teribus, cum angulo ab ipſis comprehenſo, reliquum latus cum reliquis duobus angulis, inquirere. ——— SIN T in eodem ſuperiori triangulo data duo latera A B, A C, cum angulo BAC, trimum inæqualia: ex quibus ita reliqaa venabimur. — Vt ſinus totus ad ſinum maioris Ita ſinus minoris ad quartum. ſchol. 2. lat. dati: lat. dati 5. triang. Dein le ſphar. Vt ſinus totus ad quartum: Ita ſinus verſus ad diff. inter ſinum ang. dati verſum tertii late ris quæſiti,& ſinũ ver sũ arcus, quo duo latera data inter ſe differunt. H ac diſferentia ad ſinum verſum arcus, quo duo lateræ d ata inter ſe diſferunt, adiedla, confcit ſinum verſum tertij lateris gucſiti, e quo ipſum latus tertium cognoſcerur. Atque ita cognita iam erunt ommia tria latera trianguli ABC; ideoque vterque reliquorum angulorum 5, C, notus ffet, vt in antetedente problemare traditi ef. SIN de inde duo latera AB, AC, æqualia. Demiſſiis ergo ex angulo dato BAC, arcus perpendicularis AD, ſecabit& datum angulum BAC,& gquæſitum latus B C, ki fariam, vt dictum eſt. Et quia in triangulo rectangulo BAD, baſis A B, cum angulo BAD, qui quæſito lateri B D, opponitur, Jara eſi, dabirur quo ue ex problemate&. laB D, ac proinde& totum latus BC, datum erit. Rurſus ex data baſe AB, c angulo BAD, reliquus angulus A B D, eæ prob lemate 3. notus fßet. Eolemque modo in trian-; ulo CA D, notus eſficietur angulus AC D, ex data baſe AC,&. angulo CAD. —— —— 23. DATIS XXII. Probloma. a 25. triang. ſphar. br. triang. ſphær. c 35. triang. ſfpher. d S. triang. ſphar. e 9. triang. ſphar. 262 I 23. DAT IS in triangulo Pherler obliquangulo duobus angulis, cum latere illis adiacent e reliqua duo latera, cum reliquo an gulo perueſtigare. 0:. T—[—Gt v!———.— IN triangulo A BC, dati ſint duo anguli B. BAC, cum latere A B, ſineque primum illi anguli inæquales.& latus A B. non qu adrans: Ex altero angulorum, vt e A, demittatur ad latus BC, protractum etiam, ſi opus ſit arcus perpendicularis, qui quando intra triangulum,& 4* quando extra cadre eratio. docebit. Na in triangulo rect angulo AB D, cum baſis A B, data ſit, cum angulo Bʒinusnietur per problema. latus A D, angulo B, of poſitum:& per problema g. alter angulus non rectus B C 2 B40 75 /.. nor eee angulo BAC, cadet D* arcus AD, intra triangulum ʒſi vero maætior, extra. Detradto ergo angulo BA D, ex dato angulo BAC, vel hoc ex illo, datus quoqu erit agu CAD, reliquus. IAM cum in triangulo rectangulo AB D, baſis& B, data ſit,& angulus Bʒ; dabitur quoque per proble ma q. latus BD, dato angulo B, adiacens. RyRSVS in triangulo r e e 2 cum inuentum ſitlatus A D, angulus CADzdabitur per; roblema 1 o. etia latus CD. Igitur cadente arcs A D, intra triangulum, ſumma laterum B D, CD, totum latus BC, notum eſſiciet: cadente vero extra, latus CD. ex BD al, um reliquum faciet latus BC, notum. Atque ita inuentum iam eſt alter um reliquorum laterum BC. POSTREMO quia in triangulo rectangulo CA D, datum eſt Iatus A D, cum anulo alliacente CA Dae er pr olan 15. baſis AC, qua eſt tertium latus: at per Probleme 2 f. reperietur angulus C, dato lateri A B, cgheſitus, qui in pricri caſis eſi terrius, qui quæritur: in ef. eriori autem complementum eius ad ſemicirculum dabit tertium queſuum. OD /, quando angulus CA D, innentus Aen. rectus,(angulus BAD, nunquũ erit rectus: alioquin, cum D, 1 c ſit, a eſent AB, DB. quadrantes, cum tamen AB, ponatur non quadrans.) quontam 0 D, rectus e; b eri, 1 C. 4, CD, qua, irantes: & latus AD, innentum, erit arcus anguli 2 C Lare denigue inuentum B D, cum quadrante C D, in priore caſis e torun Latus BC, norum; in poſceriore autem caſis gquadrans C Der inuento late a i relimqu⸗ ſitum latus BC. SINT l N dati at 8 r AB, qua ach ans recito angulo D, of poſitu, in. e Exit igitur ſaltem* n erid quadrans. Cum ergo A D, non poſsit eſſe qu adrans 1 175 4 nes 01 D, 4% ſent anguli B, D. recti; atque ita tri nitur) erit B D, quadr ame gue, BA D, e abt er qu rantes 8.4, 50. Ef B, polus erit arcus A D, hoc eſt 254 D, arcus erie dati anguli B. atque idcirco notus. Quibus 1 eee 2 ua, vt pr. 20 m C 115 per 1 o. froblema, c AC, per Ig.& angulus C, per. en da 0 T ERT TO v in friert, 7. e eruntque propterea latera 157555 C. perpendiculari: diuidet tam latus BC,. mils ac propterea cum in triangulo: ect. gulo Bʒreperietur per pr o%lema 13. b. problema 4. inucnietur angulus BAD, t ſibra otena: 1 ———— ũ—f.———— 24. DATIS e l n iir ds; 24. DAT IS in triang ulo ſphærico obliquangulo duobus an- xx. gulis, cum latere alteri eorum oppoſito, reliqua latera, cum reliquo Problema. angulo explorare: ſi modo conſtet ſpecies alterius lateris alteri da to angulo oppoſiti. 1————— IN triangulo ABC, dati ſint primum duo anguli B, C, inaquales, cum arcus A, non quadramte, c ſpecis arcus AJC. Ex tertio angulo A, demittatur ad BC, arcus per- g pendictlaris A D. s qui intra triangulum cadet, ſi vterque angulorum B, C, datorum a p.triang. acut us eu, autobtuſus, extra vero, ſi anus acutus eſi,& obtuſus alter. Cum ergo in triã ſphar. gulo rectangulo AB D, data ſit baſis A B, cum angulo B; dabitur per problema. Iattus AD: Ef per problema ꝙ. latus B D: Et per problema 3. angulus BAD. RyYR SVS quia in rectangulo triangulo AC P, datum eſt latus A D, cum angulo C. oppoſtee, c hecie baſis A Cʒ dabitur per problema I. baſis AC: Et per problema 1b. laties C De Et ex latere C D, dato, c angulo D, dabitur per problema æ. angulus GAD. Si igitur inuentus angulus CA D, inuento angulo BA D, addatur, vel ex eo dematur, notis ſiet angulus quaſitus BAC. Sic etiam inuentum latus CD, inuento lateri B D, additum, vel ex eo detractum, netum eſſiciet quæſitum latus BC. AVO i quando accidat, latus AC, eſſe quadrantem, erit quoqueè C D, quadrant, & angiilus CA D. rectus, tc. SIT deinde datum latus AB, quadrans,& adhuc dati duo anguli B, C, ina quaLes. Erit igiiur& B D, quadrans,& angulus BA D, rectus; ꝙ AD, arcus dati anguli B, froindeque notus, cc. DENN E in priori triangu lo ſint dati duo anguli B. Ci aquales; b eruntque pro- b y. triang. fterea c latera A B, A, equalia. Cum ergo A B, datum ſit, erit guoque AC, datum. char. Demiſſo arcu perpendiculari A D, qui latus BC,& angulum BAC, bifariam ſeca bit; cum in triangulo rectangulo AB D, detur baſis A B, cum angulo B, dabitur per pro blema p. latus B D, ideogue& eius duplum BO, quod quaritur, datum erit: Et per pro blema g. dabitur angulus BA D, ideoque& eius duplus BAC, qua ſitus. ——.— 25. DA TIS in triangulo ſphærico obliquangulo duobus la- xy. teribus, cum angulo alteri eorum oppoſito, reliquos angulos, cum problema. reliquo latere inuenire: ſi modo conſtet ſpecies alterius anguli alteri lateri oppoſiti. IN triangulo ABC, data ſint trimum duo latera inaqualia AB, AC, quorum neutrum quiadrans, cum angulo B,& ſpecie alterius anguli C. Demittatur en tertio angu1⁰ 45 arcus perpendicularis A D, e qui intra triangulum cadet, ſi uterque angulus B, c 57. triang. C eſt acutus, vel obtuſus, extra vero, ſi vnus eſt acutus,& alter obtuſus. Et quoniam ſohar. in rectangulo triangulo A B D, datur baſis A B, cum angulo B, dabitur per problema g.& latus I D, angulo dato oppoſitum: Et ex problematè ꝙ. latus B D: Et per proble ma g. angul is BAD. EKyRSVs quia in triangulo redtangulo CA D, data est baſis AC, cum latere A D, innento, dabittir per problema C. latus C D: Et per problema i. angulus C: Et per pro lema æ. angulus CAD. Si igitur arcus A D. intra triangulum exiſtit, dabunt ambo anguli BAD, CAD, inuenti totum angulum 5 AC, quæſiuium: Et ambo latera B D, D, inuentu totumlatus BC, quæſitum. Si vero arcus A D, cadit extra triangulum, i 12 angulus — 1 a F. triang. fphar., i r. triang. rectil. 2. friang. rectil. 804 LE D angulus CA D, ex angulo B A D, ſubtractus notum relinquet angulum quæſitum BAC. Et latus CDi ex latere B D, ablatum relingitet gqueſitum latus BC. DEIN DE ſit alterum datorum later quadrans. Si A A igit ur A B, quadrans eſt, erit& BD, quadrans:& angulus BA B, rectus:& AD, arcus anguli dati B, ideoꝗ: N notus, c. S vero AC, quadrans eſt, erit& CD, quadrans: & angulus CA D, redus:& AD, arcus anguli Cñ ac proinde inuentus arcus A D, notum exhibebit angulum SIN denique in priori triangulo data duo latera AB, AC, equalia, eruntque propterea& anguli B, C, æquales. Cum ergo B, datus ſie, dabitur& angulus C. Solum ergo ingquirendum erit Iatus BC, cum anguls BAC. Demiſſus arcus perpendicularis A D, diuidet& latus BC,& angulum BAC, biſariam. In triangulo autem rectangulo AB D. cum data ſit baſis A B ñ cum angulo B, dabitur per problema 9 latus B D; ideoque& eius duplum BC, quaſitum: Et per problema 3. inuenietur angulus BA D, arqueè idcirco eius duplus B AC quaſitus notus erit. FER rectilineorum rectangulorum calculus. I. PR OPORTIONES LAT E R VM ex datis omnibus angulis cuiuſuis trianguli. Singulis lateribus adſcribantur ſinus angulorum oppoſitorum. Eat era enim oaſdem proportiones habent, qua inter ſinus angulorum lateribus oppoſitis adſcriptos reperiuntur. DL ens Ex baſe,& alterutro angulorum acutorum, ac proinde& altero. — ———— Vt ſinus totus ad baſem: Ita ſinus ang. lat. ad latus quæſitum in gquæſito oppoſiti. partibus baſis. 1 1 1 Ex baſe,& altero latere. Vt baſis ad ſinum totum: Ita datum latus ad ſinum ang. dato Iateri oppoſili. Deinde, ſumpto complemento anguli inuenti pro reliquo angulo: Vt ſinus totus ad baſem: I/ ſinus anguli in- all latus queſiium in nent i, qui lateri partibus baſis,& que ſito op ponitur. alterius lateris. ITTI. IA TVS Lie NM Ma A I III. 265 IIII. ERA NIS Ex altero latere,& angulo acuto, ac proinde& altero. Vt ſinus totus ad latus datum: Ita bang. ang. qua ad latus quaſitum..„i 1 f ſeto lat. ppoſiti rechtl. e Vt ſenus anguli dato ad latus datum: Ila ſintis alterius ad latus queſctum. lat. o ppoſiti anguli ee e ee eee „ eee e ee eee Ex vno latere,& vno angulo acuto, ac proinde& altero. — Vt ſinus totus ad latus datum: Ita ſecans ang. dato ad baſem. f lat. adiacentis 7. bang. Vel rectil. Ve ſinus anguli dato ad ſinum totum: Ita latus datum ad baſem. lateri oppoſiti 1 1 Ex vtroque latere. Vr latus alterutri ad ſinum totum: Ita alterum latus all tangentem angili, tig l a 779. datum datum huic alteri lateri op egi. —Deinde, ſumpto complemento anguli inuenti pro reliquo angulo: Vt ſinus totus ad latus alterutrum Ita ſecans angiacce ad baſem. datum: o lateri oppoſiti 1 a —————ů— VIII. A NGN LI VIS EX baſe& vno latere. Ft baſis ad ſinum rotum: Italatus datum ad ſinum anguli dato 3. triaug. lateri oppoſiti. rettIl. Ype⸗ ec Complementum anguli inuenti dabit alterum angulum. ne 8 Ex vtroque lat ere. —————— ́— 2 4—— 4 V latus alterutrum ad ſinum totum. Ita aſterum latus ad tang. anguli kuic datum Aatum altert lat. oppoſiti. Complementum anguli inuenti dabit alterum angulum. TRIANGVLORVM RECTILINEORVM obliquangulorum calculus. r e à perpendiculari ſacta Ex datis tribus lateribus. Fe Tat, in node 4 fummam aliorii 7 77 diſferentia co 1 dit perpè dicularis Ausorum laterums rundem later numerum. rectil. 11 Si quartus ad quartum alium P. triang. 70. triang. rectil. 10. triang. rectil. Probl. 17. sriag. ſphar. L ABA L. Si quartus numerus inuentus minor eſt latere, in quod cadit perpendicularis, auſerendus erit ex eo latere. Semiſsis enim reliqui numeri dabit minus ſegmentum: quod ex toto latere ſubduttum relinquet ſegmentum majus. Si vero quartus numerus inuentus maior oſt latete, in quod cadit perpendicu laris, aufereudum eſt illud latus ex eo. Semiſsis enim reliqui numeri dabit ſegmẽ tum minus exterius inter perpendicularem„& angulum obtuſum: quod additum eidem lateri conflabit aliud ſegmentum maius inter perpendicularem,& angulum acutum. ——— D eee Ex tertio latere,& duobus quibuſuis angulis, ac proinde omnibus tribus, cum tertius ſit complementum aliorum ad ſemicirculum. —— 277ͤͤ;ösõw Vi ſinus anguli dato ald latus datum: Ita finus alterutrius ad latus bu, ang lateri oheſiti reli zuo ngulo rü oppoſftum. Rur ſus yt ſinus anguli dato ad latus datum: Ita ſlnus tertii ang. ad latus huic tertio Iareri oppoſiti angulo ophoſitum. IN Iſoſcele vnius tantum lateris inuentione opus eſt, cum vnum datum lit cum angulis. In æquilatero vero triangulo, ſi vnum latus datum ſit, erunt& reliqua illi æqualia, data. C ²˙ w/ ·—wXI. N nn Ex duobus lateribus,& duobus quibuſuis angulis, ac proinde omnibus tribus, cum tertius ſit eomplementum aliorum ad ſemicirculum. Vr ſinus anguli al- ad latus oppoſitum Ita ſinuus ang. quæſi ad latus quæſitum. terutri lateri da datum: to lat. oppoſiti to oppoſiti ——— XII.„ Ex duobus lateribus,& angulo ab ipſis comprehenſo. Vt ſinus totus ad ſecantem compl. Ita diſferentia inter ad quartum. arcus, qui ſemiſii eam ſemiſſem,& aggregati datorii alterutrum datolaterum ad ſinus rum laterum ad reubcatorum, vt ſinus reuocatorum ſenui, debetur: Deinde Vt ſinus totus ad tangentem ſemiſ Ita quartus inuen ad tangentem diſſ inſis ar cus, qui de- tus rer ſemiſſem eiuſdæ tracto dato ang. arcus, et alterutris er ſemicirculo re angulorum non da linqnitur: torum. Hæc L EI MI M A 1ILIII. 2675 Hæc tangens hoe etiam modo inuenietur. 5 ; 7 2 1 2 vt ſemiſis aggrega ad tangentemſemiſ Ita diſferentia in- ad tangentem differs i duorum late ſis arcus, qui detra ter ſemiſſem ag- lie inter ſemiſſem ar rum datorum cio dato ang. ex ſe gregati duorũ la ctis pri alicti,& almicirculo, relingui terum datorum, ſerutfum angulotur: D vrumlibetla rum non dalorum. terum Areus huĩus tangentis inuen tæ additus ad ſemiſſem eiuſdem arcus,( eſt autẽ hic arcus ſumma duorum angulorum non datorum, nimirum complementum dati anguli ad ſemicirculum) dabit maiorem angulum non datum, qui videlicet maiori lateri dato opponitur: ex eadem vero ſemiſſe detractus reliquum faciet winorem angulum nõ datum, qui nimirum lateri minori dato opponitur. Poſt hæc, Vt ſenus vtriuslibet ad latus oppoſitume Ita angulus datus ad latus oßpoßctum, anguli inuenti quod quaritur. SI data duo latera ſint æqualia, erunt reliqui duo anguli æqua les. Semiſsis ergo ar cus, qui detracto angulo ex ſemicitculo, relinquitur, dabit vtrum que,&c. r EX duobus lateribus,& angulo vni eorum oppoſito: ſi modo conſtet ſpecies anguli alteri dato oppoſiti, quando datus angulus acutus eſt. 3))JSJVSSVVVVVVVVV%V%SVV%Voæh)uö.,., Vt latus datum dato ad ſinum ang. dati: Ita alteruimm laius ad ſinim ang. hilic al angulo ophoſitum dat im teri lateri obpaſiti. Hic ſinus inuentus dabit angulum alteri dato lateti oppoſitum, ſi acutus fuerit:¶Erit autem ſemper acutus, quando datus angulus eſt obtuſus.) Si vero fue rit obtuſus, arcus ſinus inuenti ex ſemicirculo demptus reliquum faciet eum an gulum: propterea quando datus angulus eſt acutus, oportet dari huius alterius ſpeciem, vt ſelamus, num acutus ſit, vel obtuſus, Sum rum ex ſemic irculo ſubtracta relinquet tertium ang ſitum. Ergo, Vi. ſinus dati anguli ad datum latut ei Ita ſinus anguli in- ad latus quaſitum. oppoſitum: uenti queſito lateri oppoſiti Si duo latera data ſint æqualia: D erit angulus alteri dato lateri oppoſitus, dato angulo æqualis,&c. — ö een e Ex duobus lateribus,& angulo ab ipſis comprehenſo. aa autem horum angulom quæſito lateri oppoInuenientur ex datis duo anguli, vt in priori parte problematis 12. dictum eſt, ſi nimirum inquiratur tangens differentix inter ſemiſſem arcus, qui, detracto angulo dato ex ſemicirculo, relinquitur,& alterutrum angulorum, qui quætuntur,&c. quæ tangens duobus modis inuenta eſt in priori parte problema tis 12. in quo latus proponitur inueſtigandum ex duobus lateribus,& angulo ab ipſis comprehenſo quod vt fieret, inuenti prius fuerunt alii duo anguli qui in hoc Problemate 4. quætuntur. —— f —— A XV. ANG triang. rectil. 7. friang. rectil. a F. primi. 14. triang. rectil. 1. friang. rectil, b g. primi. 268 EIL MIN 1 A N nee e EX duobus lateribus,& angulo vni eorum oppoſito: ſi modo conſtet ſpecies anguli alteri lateri dato oppoſiti, quando datus angu lus acutus eſt. —.—— 2 7—“»˙ꝛ Hic etiam adhibenda eſt Prror operatio problematis 23. in quo latus proponitur iaquirendum ex eiſdem datis. quod vt fieret, inuenti prius fuere reli qui duo anguli, qui in hoe probl. 15. indagandi proponuntur. r d Ex tribus lateribus. 7 3 (vt nimirum II. triang... W erpendicularis ſemper intra triangulum cadat) inueniantur per problema egwenta duo maximi lateris facta a perpendiculati. einde, Vt minimum latus ad ſinum totum: I ta minus ſegmen- ad ſinum complemen tum manimi la ri anguli medio la teris teri oppoſiti. Rurſus. Vt mellium latus ad ſinum totum: Ita maius ſagmenad ſiuum compl. antum maximi la guli minimo late reris ri ogpoſſti. Inuentis duobus angulis ad max imum latus, qui medio lateri;& minimo opponuntur, ſi eorum ſumma ex ſemicirculo dematur, reliquus liet tertius angulus t eri maximo oppoſitus. rumequaliumducta perpendiculari ad baſem, quam bifariam ſecabit, i IN Iſoſcele, 4 ſinum totum: Ita ſemiſiis baſis ad finum compl. vnius V altertitrum late angulorum æquj lium ad baſam. Summa duorum angulorum æqunalium inuentorum ex ſemicirculo detracta, reliquum faclet tertium angulum. IINræquilatero dabuntur anguli, etiamſi latera non dentur, cum quilibet gradus 60. tertiam videlicet partem duorum rectorum, vel duas tertias partes vnius recti, complectatùt. FFT N. TIISAI LL BI RIP RIM. I. 4 one oN t von pauei numexi in tabula Sinnum male ſunt expreſsb, vt vix internoſei queant, pr ti illi interiecti pro parte proportionali eruenda, cortigentla erit tabula hoc modo. G vel ilteta non eſſ es ga, ſumatut vel, proxi me antecedentium duorum, vel ſequen um; vel à ptexime tium ſin num accepta ſuit. Ica enim prodibit ſin f gura verſus dexte ram non cegnofeitut. Qua ergo aifferentia ſequentium duoud οαοο 5 1s. ell 2595.· i ea ex proxime ſequeuti uu 2775 f ſubtrahat ur, reliquus fiet ſinns 2767556. antecedentiu m, vel In ſinu grad. 16. Mit n interiecti numeri fceile eortigentur, cum continue quo q d eeteſcant à 53. eiuſmodi numeri mntan nnarum rep ſunt vt plurim a column nas poſiti, vt fa 1 uis interdum etiam i bi mutatio fiat: daod qaauds fiat, eæ pro at 5.& lc gut utibas num colligenduaꝛs erit. AST ROLAPBII iores continue deereſcant per vnitatem à 48. 269 ROL A BEI EIER SECVNNDVS. TOA E CHRISTOPHORO CLAVIO n E SO CIETATE IE S v. d Cc 0 PERI O RE libro ea demonſtrauimus, quæ ad Planiſphærij, ſiue. Aſtrolabij conſtruFionem, hoc ett, a0 cteet ener fire in pla uum demongtrandam neceſſaria eſſe iudicauimus: Nun ad rem ipſam aggrediamur. She ra igitur cæleſtis multis modlis in Planum Proii ci poteſ„pro arbhitrio ac voluntate eius, qui cam in plano deſcribere conatur, prout vidclicet hac vel illa ſigura cam exprimere deſiderat. oniam enim fieri non poteft, bonn af ne, one circuli, qui 1 e 2 a e d beſeribantur in plano, vt eundem ſitum, eaſdemꝗ: 5 ria cileſifef bie ua, conuc xaue ins lineamenta, ac partes ca 2 bie ac eee ſuperſiciem proijcere, qua in ea apparent oculo in certo ali- men deruit contlituto, vel quam perpendi culares ex omxib 10 circulorum punctis in eam de miſſa eſßclunt: quod tribus potiſſimum vij factum ab iplis eſſe obſeruauimis. 2. I DAM eniu, inter 3 J Erlernte us non igucbilis ſori sphrxram varlis modis poſſe in plano deſeribi. ptori. Arolabio ſſio vntuerſali, quod Catholicum appellat, oci alum collo-. cant in commu uſcctione. 2A 97a i atque 0 c 0. 20 0 e cireu 70 enn 4 U leftes in plano Coluri ſolſtitiorum, qui alum refert, ea forunt, qua eos oculus i 3. 9945 vero non conſlleuuut ocult uiquo& certo loco, ſed CHν&e 5 planfpherlu u vn: loan. de qua fun damento deſcrib tur. Aſtrolabium ad datam poli altitu dine m quo ſunda mento à Ptolemæo deſcribatur. Lordanus qua in re a Ptolemæo in Aſtrolabii deſcri ptione differat. qr potiſsimũ in Adrolabio de ſcxidautur. partes inter pun ce, lineas eulos egẽt pecul ſexiptione in Aſtrolabio. , non ſecus atqus in ipſa ſphæra continpit. Nam, vt nnum ſpoudcaut. 270 in omnes ſpheræ circulos ea figura in Coluri ſolſtitiorum, ſiue Mcridiani plano deſignant, quam perpendiculares lineæ ex omnibus punctis circunferentiæ cuiuſiiis circuli ad planum Coluri ſolſtitiorum, vel Meridiani circuli demiſſa eſficiunt: qua ratione fit, vt omnes circuli, qui neque Aequatori equidiſtant, neque ad Colurum ſolſliriotum recti ſuut, effciant in plano illius Coluri Ellipſes; Aequator vero cum ſuis parallelis omnibus,& alij circuli ad eundem Colurum recti, proiſciantur in eius planum per lineas recls. Atque hanc rationem ſecutus ett Joannes de Roias in Planiſphærio ſuio vniuerſali. Vtriuſque autem Planiſphærij conſtructionem, tam Gemmæ Friſij, quam Ioannis de Roiææ, acute eleganterque Guidus V haldus e Marchionibus Montis, vir in rebus Mathe maticis eruditiſsimus, demonſtrauit. 4. PTOLEMAEVS denique Aftronomorum princeps conſlituit oculum in polo auſtrali, circuloſi ue omnes primi Mobilis, lineas, ac puncta in plano Aequatoris in inſinitum extenſo ea figura depin git, qua ex polo auſtrali eo in plano cernuntur. Atque hac ratione Aſtrolabia vulgaria, quæ ad datam poli altitudinem conſlruumtur, ab artiſicibus deſcribi ſalent. Iordanus tamen, quem ſecutus eſt Franciſtits Maurolycus Abbas Siculus celeberrimus Mathematicus in doctiſſ ma ſua Abtrolabij theoria& fabrica pro Aequatoris plano aliud aſſimit illi quidiſtans,& quod ſphæram in oppoſito polo boreali tan git: quia ſub ijſdem fi guris in eb apparent omnes circuli ac lineù, ſub quibus in Aequatoris plano conſpiciuntur. Sed nos Ptolemęum potius, quam Iordanum, in. A. ſtrolabij, ſiue Planiſpherij conſtructione imitabimur: ſuia cum Aequator in Ptolemæi ratione eandem retincat magnitudinem, qua Analemma, ex quo tota. Aſtrolabij ſtru Jura pende t, deſcribitur; fit vt pleraque multo facilius in. Actrolabio delineentur, quam ſi planum Acquatori æquidiſtans pharamque in oppoſito polo boreali tan gens aſſumatur, vt ex je, quæ ſequuntur, manifedtum erit. 5. OMNIA porro, qua in ſphira culeſti exiſtunt,& in. Aflrolabio potiſiimum dtſcribi ſolent, vel ſuuut puncta, vel lineꝶ rectæ, vel circuli, quorum circumferentiæ in couuexa ſuperſit ie ſphr conſiderantur. CV Omnia enim alia, cuiuſmodi ſunt portiones ipſius ſuperficiei ſohæricæ, figuræ rectilinea tam planæ in circulis, quam ſolida iu ſphæra deſeri ptæ,&. id genus alia; peculiari ac prupria in. Aflrolabij plamo deſcriptione non in digeut, cum inter puncta, lineus,& circulos Aſtrolabij contiucautur, 7 re ice rei exeiuplum preferamus, ea pars ſpharæ cælefii li borcalis ab Aajuatore abſcinditur, hoc eit, totum * lin 1 le, repræſentatur in plauo. Aequatoris, vel. Aſtrolabij, per eam ſuperficiem Planam, quæ inter circumferentiam Aequatoris,& polum borealem, ſeue centrum. Aſtrolabij quaqua verſus iucluditur: Reliqua vero. Aſtrolahij por tio extra Aequatorem verſus tropicum Capricorni in inſinitum extenſa per tinet ad hemiſpharium auſtrale, quod Aequator inſphæra calefti verſus polum auſtralem aufert. Sic etiam hemiſphęrium, quod Ecliptica in cælo verſus polum borealem ahſcindit, ect in plano Aſtrolabij pars illa, quæ inter Eclipticam,& eundem polum borcalem, ſiue centrum vndiqueè intercipitur: Pars vero reliqua Aſtrolabij extra Eclipticam infinite excurrens illi parti ſphæræ cœleſtis reſpondet, quam verſus polum auftralem Ecliptica abſcindit. Pari ratione pars illa. Aftrolabij, qua inter duos tropicos exittit, exprimit Zonam torridam, id eft, ſuperficiem illam ſphærę cœleſtis, quam duo tropici includunt: Pars vero extra tropicum Capricorni in. Aſtrolabio in infinitum extenſo, refert illam cæli partem, quam tropicus Capricorni verſus auſtrum dirimit; quæ antem intra tropicum Cancri iacet, eſt illa, quæ in cælo inter polum arcticum,& tropicum Can. cri exiſtit. Denique quilibet circulus in Aſtrolabio deſcriptus,& centrum ambiens, includit eam cali partem, quę in calo intra eius circuli circumferentiam verſus polum arcticum continetur: Portio autem reliqua cæli continetur extra illum circulum in. Aſtrolabio. Ratio huiuſce rei eſt, quia omnia puncta illius partis cli, quam verſus polum arcticum circuluue quiuis alterutrum polorum ambiens abſcindit, proijciuntur in planum eiuſdem circuli in Astrolabio deſcripti, puncta vero omnia reliqua partiscali extra planum illius circuli cadunt, vt ex ijs, quæ ſequunt ur, perſpicuum fiet. 6. PV NCT VM quodlibet ſphæræ cæleſtis per lineam rectam videtur, apparetque in eo puncto. Aftrolabij, ſiue plani Aequatoris, per quod recta linea ex polo auſtrali per ipſum punctum aſſumptum ducta incedit. 7. LINEA autem quis recta, ſi quidem per polum auſtralem ducitur, apparet tota in vno puncto Aſtrolabij, in eo ſcilicet, per quod extenſa tranſit; propterea quod omnia eius puncta in eo ſolo puncto cernuntur, cum vnicus radius viſualis per omnia illius puncta frratur: Si vcro per polum auftralem non traijcitur, aſpicitur per triangulum, cuius vertex eſt in oculo, ſiue polo aułlrali, baſis autem eft ipſametlinea viſa, ita vt radij viſuales, qui per omnia illius puncta feruntur, iaceant omnes in plano illius trianguli: Ex quo fit, vt quælibet recta linea per polum auſtralem non tranſiens proijciatur in Actrolabium per lineam rectam, quæ communis ſectio eſt. plani. Aſtrolabij Aequatorisue,& dicti trianguli, ſi tamen eius latera intelligantur eſie producta, vt Allrolabij planum ſecar epoſ int, Punctam quod bet ſpheræ vbi appaeat in A. flrolabio. Recta linea in, ſphata,, quando appareat punctũ in Alrolabio,& quando recta liuc a. Circulus quiuis ſphææ quo modo inſpiciatur zin A ftrol. big: Aſtrolabium de · 272 LI Min ſint, quando rc Ha linea viſa vel tota eſt citra planum Aequatoris, aut Aſirclal ij, vel ters cis citra,& pars vltra: quia videlicet radij viſuales per oninia puncta line rectæ viſa circumducti à commun illa ſectione Plant A flrolabij,& didti trian guli non recedunt. Itaque ommnès diameii maximormm circulortm ſphæræ proijcientur per centrum Aſirolabij in linens rectas; quippt cum omnes per centrum P bæra, quod a centro Aſtrolalij non differt, vt infra patebit, traiſcianturĩ adeo vt recta linea 4 quo ui puntto circumferentiè alicuius circuli maximi in Aſtrolabio deſeripti per centrum ducta, referat illius circuli maximi diametrum, quæ in calo ducitur per punctum illud, quod aſſumpto puncto in Aflrolabio reſpondet: Diameti vero circulorum in ſß bra non maximorum proiſcientur quidem in Afirclabium per lines rectus, ſed non per centrum, cum ne que in ſp ra per centrum ducatur. 8. CIRCVILV S denique quicunqueè, cuius circumferentia in ſuperficie ſohaerit æxiſlit, ſi quidem per auſtralem polum deſeriptus eſt, inſpicitur per ra dios viſuales, qui per ommia puncta eius circumferentiæ circumlati ab eius plano non recedunt, ac pruindè omnes in cõmuni ſectione plani circuli& pla ni Aſtrolabij ſiue Aequatoris terminantur, vt infia demonſtrabitur propoſ. 1. Nuun. I. adeo xt omnia illius puncta in recta linea, id eſt, in communi ila ſectione appareant: Si vero per polum auftralem non ducitur, ſiue Ae quatori æquidiflet, ſiue non,&. ſiue maximus ſit, ſiue nun maximus cernitur perconum, cuius vertex eſt oculus ipſe, ſiue polus australis, baſis vero ipſe circulus viſus, vt ex definitionibus Apollonij patet, ſi radius viſualis ex polo auſtrali per quodlibet punctum circumferentiæ circuli ductus, intelligatur circa circumferentiam circumduci, vt conum deſcribat, per quem circulus inſpicitur ex polo eodem auſtr Ali, cum radius ille viſualis cum oimnibus alijs radijs ex polo auctrali emiſſis coniungatur in illa circumlatione: Ex quo fit, vt circulus quilibetſphara, qui per polum auſtralem non ducitur in Aſtrolabium proiſctatur eu ſurma; ac ſigura, quam communis ſectio lani Acquatoris, Actrolabiſue,& didi coni eſicit, dummodo conus ille intelligatur eſſe productus, vt a plano Aftrolabij ſecari poſſit, quando cire culus viſus vel totus eſt citra planum Aequatoris vel partim citra, partim vltra exiſtit. Hæc autem commuuis ſectio coni& plani cuiuſpians, quamuis poſſit eſſe circulus, Parabola, Hyperbola, vel Ellipſis, vt A pollonius demonſtrat, tamen in Aſtrolabij plano, ſiue Atquatoris; ſemper circulus eſt, vt ſuo loco demonſtrabimus. 9. EX his liquet, uihil aliud eſſe Aftrolabium, ſiue Planisphærium dawere qu c con ruere, hoc eſt, ſpharams, ſeu Primum mobile in piano deſcribere, quam ſingula illius puncta, lineas, ac circulos in plano Aequatoris ſiue Aſtrolabii, 17 N 60. A II. 273 eo ſitu diſponere, quo ab oculo in polo auſtrali conttituto in eo plano conſpiciuntur: Adeo vt Aftrolabium, Planiſphæriumue ſit figiira plana continens omnes ſectiones plani AEquatoris, Aftrolabiſue in infinitum extenſi,& tam rectarum ex auftrali polo emiſſarum, quam triangulorum, conorumque, quorum vertices in polo australi exiſtunt, baſes vero ſunt rectæ lineæ,& circuli ſphæræ, qui in Aſtrolabio deſcribuntur. Quod qua ratioue fiat, ordine per ſequentes propoſitiones demonHrabimus, THEOREMA I. PROPOSITIO I. CIRCVLVS qguilibet ſphæræ per polum auſtralem ductus proĩicitur cum omnibus punctis,& lineis in eo ductis, in Aſtrolabiũ per lineam rectam infinitam, quæ. communis ſectio eſt ipſius circuli,& plani Aſtrolabij, Aequatorisue: Partes autem illius rectæ arcubus æqualibus reſpondentes inæquales ſunt, eoque maiores, quo à radio viſuali per circuli centrum ducto ſunt remotiores: binæ tamen partes hine inde ab eodem radio æqualiter diſtantes, æqualibusque arcubus reſpondentes, æquales ſunt. 1. DVC TVS ſit circulus A BCD, per polum auſtralem A, ſecans Ae quatoris planum per rectam HL, quæ vel per centrum E, circuli propoſiti tranſibit, quando nimirum circulus AB CP, eſt maximus;(Cum enim Acquator& circulus maximus ABCD, ſe mutuo ſecent bifariam, tranſibit eorum com munis ſectio HL, per vtriuſque centrum, ac propterea& per centrum E, circuli maximi propoſiti)vel vltra centrum E, exiſtet, quãdo videlicet circulus ABCD, non eſt maximus. Tunc enim eius centrum neceſſario citra Aequatoris planum erit, cum eius ſemidia meter AE, minor ſit ſemidiametro ſphæræ, quæ omnium rectarum ex polo auſtrali A, in planum Acquatoris cadentium eſt minima; v quippe quæ in centrum Acquatoris cadens ſit ad eius planum perpendicularis. Atque hæc recta HL, vel circulum AB CD, ſecabit, vel tota vltra eum erit, prout videlicet circulus ipſe Aequatorem ſecat, vel totus citra ipſum exiſtit. Dico hunc circulũ totũ ABCD, cum obus punctis,& lineis in eo ductis, proiici in lineam rectam HL, in infinitum extenſum,& c. Quoniam enim radius viſualis ex polo A, per omnia puncta circum ferentiæ circuli ABCD,& per omnia puncta in eius planb exiſtentia circumductus, à plano ipſius circuli non receditʒ cadet neceſſario in communcm ſectionem HL. Omnia ergo puncta circuli in eadem recta H L., appatebunt. Et quia ra ij viſuales, quo obliquius rectam HL, ſecant, co lengius excurrunt; adeo vt radius A, vel AZ, cirMm culum Circulus per polu lem di 8 J in partes rectx liner inæquaies. a 71. t. Tho. b ſchol. F. 1. Theod. L t. culum tangens in A, in infinitum extenſus cum ea non conueniat,, ſed ei æquidiſtet, b cum angulus YAE, rectus ſit,& angulus AE H, quoque rectus, ex lemmate 26. fit vt ſi omnia puncta circuli(polo A, excepto, qui ſolus, vt propoſ. 4. oſtende mus, in planum proijei non poteſt, ob radium YZ, rectæ HL. parallelum) in planum Aſtrolabij proijcienda ſint, totus in rectam quodammodo infinitam proiiciatur: propterea quod puncta prope punctum Au exiſtentia, pr oijc ĩantur per rectas iph HL, ferme paralleſas, ac proinde infinito quodammodo interuallo cum eadem recta HL, concurrentes 2. DIVIS O iam circulo ABCD, in partes quotlibet æquales AO, OR, PB,&c. emiſsisque per diuiſionum puncta radiis AOF, APG, AB,&c. reſpondedunt arcus æquales proiectis rectis EI, IH, HB, BG,&c. cum in has rectas cadant a. primi. b 2H. tertij. omnes radij viſuales ex A. per omnia puncta arcuum re ſpondentium emiſsi. Dl co rectas EI. IH,&c. inæquales eſſe, maĩoremqͥue IH. quam EIL,& HB, maiorem uam IH.&c. Quoniam enim diameter AC, ex lemmate 26. ad HL, communem ſectione m Aequatoris& circuli ABCD. perpendicularis eſt, erunt anguli ad E, rectizac propterea, ex corol. 1. propoſ. 13. lib 1. Euclid. anguli G, B. H, I, K, L, P, e 19. primi. M, vergentes ad E, acuti, ideoꝗ̃. reliqui ex duobus rectis obtuſi.e Igitur recta Al, maiot crit quam AE,& All, maior quam AI,& AB, maior quam AH,&c. hoc eſt, quælibet rectarum ex A, egredientium remotior propinquiore maior erit. Et 7. rertj. quid arcus CR, RQ, æquales ſunt, d eruat etiam anguli CAR, RA Q, æquales, ſexti. hoc eſt, angulus EA H, in triangulo AE, ſectus erit bifariam. eIgitur erit vt H, 2 2 3 3 „FCC ³˙ 275 AH, ad AE, ita HI, ad IE. Cum ergo AH, maior ſit oſtenſa, quã AE erit quoqs HI, maior, quam IE. Eademqz ratione maior erit BH, quã HI,& ſic de cæteris. 3. POS IL REM O quia in triangulis AI, AEK, anguli ad E, recti ſunt, ideoque æquales, ex lemmate 28.& a anguli quoque EAI, E AK, arcubus æquali bus CR, Cð, inſiſtentes, æqua les, latusquè illis adiacens AE, commune; b erunt latera quoque EI, EK, æqualia, quæ quidem à radio AE, per centrum ducto æqua liter diſtant. Item quia in triangulis AEH. AEL, apguli ad E, recti ſunt, idcoque æqua les, vt dictum eſt,& anguli quoque EAH, EAL, æqualibus arcubus CQ, CT, inſiſtentes, æqua les, latusque illis adiacẽs AE, cõmunc; à erunt etiam latera EH, EL, ab eodẽ radio AE, æqualiter diſtantia, æqua lia. Ablatis ergo cqualibus EI, EK, ab æqualibus EH, EL, reliquæ quoque rectæ IH, KL, ab eodem radio AE, æqualiter remote, reſpontesqͥue arcubus æqualibus RQ, ST, æquales erunt. Eodem modo oſtendemus tectas EB, ED, æquales eſſe, ideoque, ablatis ęqualibus EH. EL,& reliquas II B. LD. Atque ita de cæteris rectis à radio AE, æqualiter diſtantibus, reſpondentibusque arcubus æqualibus à puncto E, æqualiter remotis. quod erat demonſttandum. QVYONIAM vero& polus borealis,& totus axis mundanus apparet ex polo auſtrali in centro Aſtroſabij, ſiue A equatoris, ſeu ſphæræʒquò d axis, qui & recta eſt ex polo auſtrali ad borealem polum ducta, e Aequatorem in centro ſphæræ, vel Aequatoris, ſecet, adeo vt centrum Aſtrolabij repræſentet& certrum ſphęrę.& polum mundi ſeptentrionalem,& axem mũdi: fit, vt Meridianus, Horizon rectus, duo Coluri, circuli declinationum, circuli horarum à meridie ac media nocte, omnes denique circuli maximi ſphere per mundi polos ducti, proliciantur in Aſtrolabium per lineas rectas ſeſe in centro Aſtrolabij inter ſecantes, quandoquidem& axis mundi,& polus borcalis, vbi omnes illi circuli max imi ſe interſecant, in centro Aſtrolabij. vel Aequatoris ex polo auſtrali inſpectus apparet, vt diximus. Neceſſe enim eſt, vt in Aſtrolabio eiuſmodi circuli ma ximĩ teſe interſecent in eo puncto, quod repreſentat punctũ illud in ſphæra, vel lineam rectam, vbi omnes ſeſe interſecant. Nam quemadmodum in cœlo om nes illi circuli trap ſeunt per aliquod enum punctum, vel Hneam rectam, ita ijdẽ conſpiciuntur in Aſtrolabio tranſire per punctum, quod illud iu ſphęrę repræſentat, vel per rectam lip eam, in quam illa proficitur. 5. COLLIGIIT VR quoque ex his, qua ratione circulus qui libet per po lũ auſtralẽ ductus, qui quidem in Aſtrolabio eſt linea recta, vt demõſtratum eſt, in gradus ſit diuidendus,& quo pacto propoſitum punctum eiuſmodi circuli in li nea illa recta, quæ eum circulum repræſentat, exhiberi poſsit in Aſtrolabio. Nã cognito, quantum recta HL, quæ cõmunis ſectio eſt Aequatoris, vel plani Aſtro labij,& dati circuli, à polo auſtrali abeſt, i per centrum E, non tranſeat,(quo pa cto autem diſtantia hec cognoſcatur, ſuo loco dicemus, quã do diuiſione eiuſmo di circulorũ indigebimus, cuius quĩdẽ rei exẽplũ clariſsimum ponemus propoſ. 8. Num. 2.)ſi rectę ex A, per ſinguſos gradus circuli ABCD, ducantur, ſecabitur recta HL, in partes inæquales, xt oſtenſum eſt, quę ſingulos gradus circuli referunt. Vt quia recta A E, communis ſectio eſt eirculi ABCD.& circuli maximi per polos mundi;& ipſius circuli inſtar proprij cuiuſdam Meridiani, tranſeuntis, fit, vt que madmodum tam Q, quam T, eſt gradus ſexageſimus circuli ABCD, initio numerationis facto à puncto C, illius Meridianiz ita in Aſtrolabio punctum tam I, quam L, referat gradum Go. ab codem Meridiano numerandum. Pari ratione puncta I, K, reſetent liinc inde gradum zo,& puncta B, D, gradum 90.& puncta G, l, gradum 120.& ſie de cæteris. Mm 2 6. ITAa 27. tertij. b 20. primi. c 27. tertij. d 26. prim i polus boreali,& axis mundi idem eſt in Aſtrolabio, quod eius centrum, vel centrũ ſpbætæ. c 15.. Theo. Omnes cixculi Circuli pet᷑ polã mundi auſtraſein tranſcuntes, quo pacto in Aſtrolado, vbi rectæ lineæ ſunt, in gta dus diuidant ur. Oradus quilibet quo pacto reperiatur in cad 275 L 1 B RAI K in 6. IT AQ E ſſ in recta HL, ſiue verſus H, ſiue verſus L, inueſtigandus ſit quilibet arcus, vel gradus propoſitus, ſupputandus erit arcus vel gradus ille in circulo à puncto C, verſus illam partem, in qua arcus, vel gradus propoſitus deſideratur. Nam per rectas ex A, per extrema puncta illius areus ductas, vel per re dctam per gradum illum ductam, exhibebitur in recta HL, arcus, vel gradus propoſitus. Vt ſi ex vtraque parte deſideretur gradus 70. accipiendus erit vtrinquęe arcus Cd, graduum 70. vt in lemmate 3. docuimus. Recta enim ex A, per d, eiecta, ſcatur. Rectæ ex A, per gradus circuli quo pacto accatatius ducautur. dabitin recta HL, punctum e, quod gradibus 20. vtrinque à puncto E, abeſt. Ea · qemque eſt ratio de cæteris gradibus. Quod ſi proponatur gradus cum quotlibet minutis, accipiendus erit ſecundum doctrinam lemmatis 3. arcus continens tot gradus, ac minuta, quot proponuntur Sic è contrario, ſi ſcire quis cupiat, quot gradibus datum quoduis ſegmentum eiuſdem rectæ reſpondeat, ducendæ ſunt à duobus eius extremis duæ rectæ ad centrum. Hæ etenim( productæ tam ſi opus fuerit)in dato circulo, quem recta illa repręſentat, intercipient gradus, quibus ſegmentum propoſitum reſpondet. Vt ſi datum ſit ſegmẽtum GH, ducende ſunt duæ rectæ GA, HA, ſecantes circulum in P, Q. Nam quot gradus in arcu PQ, continentur, tot in ſegmento dato GH, includi dicentur. atque ita de cæteris. 7. VERVM vt accuratius rectæ ex A, per ſingula puncta circuli ABCD, du cantur, præſertim per ea, quæ non procul abſunt à puncto A, vbi facile regula ã recto ſitu deflectere poteſt, proptet puſillum illud ſpacium inter A,& illud punctum, vtemur hoc artificio. Ex A, deſcribatur ſemicirculus YbZ, ad quoduis interuallum one. 277 teruallum, diuldaturque in 360, partes æquales, vterque videlicet quadrantũ b V, b Z, in 1 80. ita vt quælibet particula ſemiſſem vnius gradus complectatur. Nam xectæ ex A, per has graduum ſemiſſes in ſemicirculo Y bZ, emiſſæ tranſeunt per integros gradus circuli AB CD, cum ex lemmate 10. quælibet particu la ſit ſemiſsis eius arcus in eodem ſemicireulo Vb Z, qui ſimilis eſt arcui in circulo ABCD, qui inter duas rectas particulam illam ex ſemicirculo auferentes includitur. g. IT AQ E ſi quicunque gradus in recta HL, deſideretur, hoc eſt, punctũ complectens quoteunque gradus ac minuta, initio numerationis facto à puncto Eaccipiendus eſt in ſemicireulo à puncto a, arcus continens dimidia tum nume rum graduum, vel certe tot ſemigradus, quot gradus proponuntur. Vt ſi inueniẽ dum lit punctum in recta HIL, grad. y. aceipiemus arcum grad. 3 5. vel ſemigraduum 7. Recta namq; Ae d, ex A, per terminum eius arcus ducta dabit in recta HL, punctum e, quod queritur. Sic ſi quæratur punctum grad. 25. min. 40. ſumemus in ſemicirculo arcum grad. i 2. min. yo. vel areum ſemigraduum 25.& ſemĩminutorum 401 atqʒ ita de cæteris. Vel certe per lemma 3. accipiemus arcum grad. 25 min. 40. Eius enim dimidium dabit arcum ſimilem ſemiſsi artus grad. 25. min. 40. in circulo ABCD. Atque ĩta ſemper numerari poterit in ſemicircuJo Va Z, totus arcus propoſitus, deinde eius ſemiſsis accipi, præſertim ſi minuta gradibus adbæreant, ne cogamur& gradus& minuta partiri bifariam, quod mo leſtum eſt, quando numerus graduum ac minutorum eſt impar. 9. ID EM efficiemus hoc modo. Ex quolibet pũcto b, in recta AE, producta deſeribatur per A, alius circulus A g hi, tangens rectã YZ, vel circulũ ABCD, in A, diuidaturq; in gradus. Nam rectæ ex A, per gradus huius circuli emiſſę trã ſeunt quoq; per gradus ſingulos circuli ABCD, eo quod per lẽma ꝗ. rectę ex pun cto cõtactus egredientes abſcindũt arcus ſimiles ex circulis ſeſetẽgentibus,&c. 10. AVT certe ſine circulis idem aſſequemur per lemma 11. li rectam ug. O, in continuum producamus, vt in eo lemmate præcepimus, eodemque pacto alias rectas, quarum extrema puncta parum inter ſe diſtant, per idem lemma, in re tum& continuum producamus. 11. QVIN etiam, vt pũcta, in quibus rectæ ex A, emiſſæ nimis oblique rectã HL, ſecant, qualia ſunt puncta G,& M, magis exquiſite habeamus, adhibendum erit documentum le mmatis 13. vbi docuimus; quapam arte inueniri poſsit punctum, in quo duæ rectæ conuenire debeant, ſi producantur. „% l. AEQVYAT OR, omneſque eius paralleli in Aſtrola bium proliciuntur in formas circulares,& arcus eorum in arcus ſimiles, atque adeo æquales in æquales;& paralleli quidem auſtrales in circulos Aequatore maiores, bo reales vero in minores proiiciuntur. Omnes tamen vnum & idem centrum cum Aſtrolabio habent. 1. AE VAT OREM proiici in ſormam circular, perſpicuum eſt. Cum enim inſpiciatur ex polo auſtrali per conũ, cuius balis eſt ipſemet Acequator in plano Aſtrolabij; ita vt Aequator ſit cõis ſectio eius coni,& plani Aſtrola 0 1 quod Gradus quilibet quo pacto accuratius inu niatur in eade m recta, quæ citculũ per mundi polos du · ctum xeſerat. Qua do gtadibas minuta adhærent quid a gendum in hac ſecunda via. Ae quator eus ſuis parallelis pro citut in formam circular, & partes æquales in partes quales,&c. Aequstor, eiuſqi paralleli in Aſtro labio diuidendi ſunt in 360 partes æquales, vt es rum gradus habeantur, inſtar cir culorum in ſphæ Ta. paralleli auſlrales in Aſtrolabio lunt malores Aequatore,& borea les, minores. Aequator, eiuſq; paralleli in Aſtco labio idem cum A trolabio cen teu m habent. 278 LA R. quod ab Aequatoris plano non differt, liquido conſtat, eum in Aſtrolabii plano eandem for mam circularem retinere, quam in eo cono habet: quandoquidem omnes radij viſuales ex polo auſtrali per omnia puncta circumferentiæ Aequatoris egredientes in Aſtrolabio terminentur in eadem eius circumſerentia, nimir um in baſe coni. 2. PARALLEL OS vero Aequatoris forma quoque circulari in Aſtrolabium proiici, hoc modo demonſtrabimus. Quoniã quilibet par allelus Aequatoris, cum circulus ſit. per conum inſpicitur, cuius vertex polus auſtralis eſt,& balis parallelus ipſe; faciet planum Aequatoris vel Aſtrolabii baſi illius coni æquidiſtans in es cono, quando eius baſis eſt vltra Acquatorem, aut in eo produ cto, quando eius baſis citta Acquatorem exiſtit, ſectionem circulum, cuĩus centrum eſt in axe coni, vt in lemmate 16. demonſtratum eſt. 3. QVIA vero radii omnes viſuales per lemma 28. auferunt ex quouis pa rallelo, cum baſis ſit coni,& ex eirculo, quem in cono illo pianum Aequatoris vel Aſtrolabii facit, arcus ſimiles; efficitur, vt arcus cuiuslibet paralleli proiiciantur in arcus ſimiles, atque adeo æquales in æqualcs, cum ſoli arcus æquales vnius circuli arcubus æqualibus alterius eirculi poſsint eſſe ſimiles. Nam ſi v. g. duo arcus vnius circuli ſint ſimiles duobus arcubus æqualibus alterius circuli, erunt iidem illi duo ſimiles vni& eidem ex his. Quare duo illi æquales erunt: Alias duo arcus inæquales eiuſdem citeuli eſſent ſimiles vni& eideim arcui alterius circuli. quod eſt abſurdum. 4. IT AQ E quadrantes proſicientur ip quadrantes gradus in gradus. minuta in minuta,&c. hoc eſt, ſicut quadrans cuiusuis paralleli in cœlo eſt quar ta pars ſui circuli,& gradus pars trecenteſima ſexageſima, ita quoque arcus in lano Aſtroiabij reſpondens illi quadranti, quarta pars eſt totius cireuli,& pars reſpondens vni gradui„pars eſt trecenteſima ſexagelima eiuſdem circuli,& ſic de cæteris. Ex quo fit. vt quemad modum in cælo Aequator,& quilibet parallelus in 360. gradus diuiditur æquales, ita quoque Aequator.& circulus in Aſtro labio eum parallelum referens, diuidendus ſit in 360. pattes æ qua les, vt eius gra dus habeantur. 3. DEIN DE ſit Anale ma, in quo Meridianus ABCD; Aequator BFDT, eiuſque diameter BD; parallelus quicunque cuſtralis GHEIV, eiuſque dia meter Gl parallelus borealis quilibet KLM, eiuſque diameter KM,& axis mundi AC. Quia igitur radij uiſuales AG, AI, per extrema pundcta diametri paralleli auſtralis ducti, cadunt in planum Acquatoris productum extra ſphæram in puncca N, PD, communis ſectionis plani Acqua toris,& Meridiani,(cum ſphæram ſecent in G. I) radii vero viſuales AK. AM,. per puncta extrema diametriparalleli borealis ducti, occurrunt eidem plano Acquatoris intra ſphæram in punctis Q. 8, eiuſdem communis ſectionis plaui Acquatoris ac Meridiani, idemque con tingit in radiis per extrema puncta aliarum diametrorum vtriuſque para lleli emiſsis, liquido cõſtat, paralle lum auſtralem in circulum proiici maiorem Aequatore, borealem veto in minorem: quippe cum illius diameter viſa NP, maior ſit diame tro BD, Acquatoris, buius vero diameter viſa QS, minor, ac proinde& illius circuluggiſus NOPV, maior, huius vero circulus viſus QR, minor circulo Acquatòtris BEDT. Eademque ratio eſt de aliis parallelis auſtralibus, ac bores libus. 6. POSTRE NM O quia ex lemmate 16. eirculi, quos plana baſibus conorum parallela abſcindunt, centra habent in axe, axis autẽ mundanus AC, proijciturin centrum Aſtrolabij ſiue Acquatoris E, vt ſupra dictum oſtʒ pe* eſt N p R OP o 8. II. ET III. 279 ...— — eſt, omnes circulos in Aſtrolabio, in quos Aequator, eiuſque paralleli proiiciuntur, eſſe concentricos, idem. cum Aſtrolabio centrum habere. Quod erat demonſtrandum. RO d CIRCVLVsð quilibet ſphære ad Aequatorè obliquus, vel etiam rectus non maximus, in Aſtrolabiũ proijcitur in circularem figuraàm; ſed arcus eius à certo quodam puncto inchoati in arcus diſsimiles, atq; adeo æqua les in inæquales proĩiciuntur: centrum denique eius in Aſtrolabio à centro Aſtrolabij diuerſum eſt. 1. IN ſphera AB CD. cuius centrum E,& poli mundi A, C, ſit circulus tam maximus, cuius diameter EG, quàm non maximus, cuius diameter HI, vel KI., ad Aequatorem obliquus, hoc eſt, cuius poli M, N, à polis mundi C, A, diuerſi ſint. Vel etiam e non maximus ad Aequatorem rectus, cuius dia meter p rehoc eſt, per cuius polos Aequator incedat, Dieo eum in Aſtrolabium proiici in figuram c ircularem,& c. Deferibatur enim per eius polos,& polos mundi cir culus maximus ABC, ſitqʒ ipſius& Aequatoris commmunis ſectio recta BD, in infinitum extenſa;& ex A, polo auſtrali per extremitates diametrorum extendantur radii viſuales ſecantes rectam BD. per quam planum Aſtrolabij, AequatoObliquus cireslus quicunque vel eaiam ad 4 quatorem rectus non maximus„ prolicitur in for mam circulart᷑̃, & partes æquales in partes ina quales,&c. 280 AIIDLA GR A geo. Aequatoriſue duc itur, ad quod circulus ABCD, rectus eſt in punctis O, P; Q., 8, T, t, u. Et quoniam coni ſcaleni, quorum vertex A,& baſes circuli dia motror G. HIL EL, pr, ſecantur plano circuli ABCD, ad baſes recto, facienteque triangula per axom AFS, AHL. AKL, A p:( Axes enim horum corum in plano circuli ABC, ſunt, cum baſium centra, ad quæ axes ducuntur, in eodem plano ſint, quippe cum eas eirculus bifariam, hoc eſt, per centra ſecet) ſecantur autem& alio plano per rectam B D, ducto, nimirũ plano Aequatoris vel Aſtrolabij, quod ad triangula per axem, hoc eſt, ad planum circuli ABCD, rectum eſt, e quod hie circulus per polos Ac quatoris ductus eum ad angulos rectos ſecetzatq; hoc planum BO, ductum abſeindit triangulum AO, triapgulo AFG,& triangulum AQ triangulo AHI,& triangulum AST, triar gulo AKL,& triangulum At u, triangulo Ap r, ſimile,& ſubconttarie poſitum, vt in lemmate 35. demonſtrauimus, quemeunque ſitum habeat diameter circuli inclinati, faciet per lemma 17. idem hoc planum per BD, ductum, hoc eſt, planũ Aſtrolabij, Aequatoriſue, in conis prædictis ſcalenis ſectiones, circulos, quo rum diametri Op, QR, ST. t u. Eſſe autem conos iſtos ſcalenos. hac ratione de e 10. i. Theo. monſtrabitur. Ducto axe baſium priorum trium conorum M N, e tranſibit is cg. i. Theo. dig. 1. Theo. per E, X, V, centra circulorum, qui baſes ſunt, rectuſqʒ ad ipſos cireulos erit. f. i. Theo. Cum ergo ex pundtis E, X, V, ad eoſdẽ circulos nõ poſsint educi aliæ line æ per pendiculares, erunt axes conorum AE, AX, AV, ad eos cireulos, hoc eſt, ad baſes conorum obliqui, ideoque conl ſcaleni erunt In cono autem poſteriore, cũ BD. axis circuli, cuius diameter pr, rectus etiam ſit ad pr,& per eius centrum k, tranſeat, liquet axem eius coni A k, obliquum eſſe ad baſem coni, ac proinde conum quoque, cuius balis eſt circulus diametri pr, ſcalenum eſſe. 2. DEIN DE arcus circulorum, quorum diametri FG I, KL, pr, ſi à certo quodam puncto incipiant omnes, proiici in arcus diſsimiles, atque adeo arcus ee S. III. 1281 arcus in circulis diametrorũ OP, QR, ST, t u, reſpõdentes æqualibus arcubus in circulis diametrorum FG, HI, KL, pr, eſſe inæquales; maniſeſtũ eſt ex lemmate 3 1. vbi de monſtratum eſt, ſi in circulo diametri FEG, ſumantur duo arcus oppoſiti inæquales incipientes à punctis F, G, arcus in circulo dia metri OP, reſpondentes, quos videlicet in cono, cuius baſis eſt circulus diametri FG, edem rectæ lineæ ex A, egredientes auferunt, inæquales eſſe, maiorem quidem eum, qui prope minorem angulum P, exiſtit, minorem vero eum, qui eſt prope majotrem angulum O. Eſſe autem angulum O, maiorem in triangulo AO,& P, minorem. liquet, cum ille ſit æqualis angulo, G,& hic angulo F, in triangulo AEG, ob ſubcontrariã ſectionem. Conſſat autem angulum G, maiorem eſſe angulo E, quod& latus AE, latere AG, ma ius ſit, quippe cũ illud maius ſit latere quadrati AB,& hoc minus latere quadrati AD, ſi ea latera ducerẽtur, vt conſtat ex ſcholio propoſ. 29. lib. 3. Euclid. Eade m ratione arcubus æqualibus in eirculis diametrorum HI, KL, p r, incipientibus a punctis H. I, K, L, p. r, reſpondebunt arcus inæquales in circulis diametrorum Q, ST, t u. Arcus ergo eirculorum, quorum diametri FG, HI, KL, p r, in arcus diſsimiles proiiciuntur, & æquales in inæquales, ſi ab iis punctis, quæ diximus, initium ſumant. 3. IN eodem lemmate 3 1. demonſtratum eſt, ſi ĩn cono, cuius baſis eſt circulus diametri FG, educantur rectæ ex vertice A, arcus in circulo diametri OP, inter P,& illas rectas interceptos, maiores eſſe, quam vt ſimiles ſint arcubus reſpondentibus in circulo diametri FG, quos videlicet eædem rectæ abſcindunt, & c. Cõſtat ergo rurſus, arcus circuli diametri BG, proiici in arcus diſsimiles in eirculo diametri OP, ũ à puncto P, incipiant. Idemqʒ dicendũ eſt de arcubus cir eulorum, quorũ diametri HI. KL, p r. Hi enim ex eodem lemmate proiicientur in arcus diſsimiles circulis diametrorũ QR, ST, t u. At vero arcus æquales cireulorum maximorum obliquorumiproiici in arcus inæquales ordine cõtinuato, euidenter demonſtrabimus in ſcholio propoſ. 5. Num. 12& ſcquentibus. Idemqʒ deinde in ſcholijs propoſ. 6.& 7. de circulis obliquis non maxi mis demonſtra bi mus. Ita vt veriſsimum fit, arcus æquales cuiuſuis circuli obliqui, non ſolum proijei in arcus diſsimi les, ſi à certo quodam puncto omnes initium ſumant, verum etiam in inæquales, vt in theore mate propoſitum fnit. Ex quo fit, vt circulus obliquus ſiue maximus, ſiue non maximus, in A ſtrolabio diuidendus non ſit in partes æquales, vtj eius gradus habeantur reſpondentes gradibus ciuſdem eirculi in ſphæra, ſed in partes inæquales. vt propoſ. 5. 6.&. trademus. 4. DENIQVE centrum culuſuis circuli obliqui in Aſtrolebio differre ab Aſtrolabii centro, hoc eſt, diametros viſas OP, QR. ST, t u, non diuidi bifariam in E, centro ſphæræ, quod& Aſtrolahii vẽtrum eſt, vt diximus, facile oſtẽ demus hoc modo. Quoniam EB, ED, æquales ſunt, erit ED, maior quàm BO. Multo ergo maior erit EP, quàm EO. Non ergo diameier OP, in E, diuiditur bifariam. Quod in circulo maximo patet etlam ex lemmate 35. vbi oſtenſum eſt. perpenpicularem AV, ad diametrum FG, diuidere bifariam diametrum Op, in Z. Non igitur in E, bifariã ſecatur. Rurſus ductis Ia, L b, ipſi BD, parallelis ſecantibus axẽ mundi AC,& rectas AH, AK, inc, d, e, f; quoniam ex ſcholio propoſ.. lib. 6. Euclid. eſt vt It, ad e d, ita KE. ad EQʒ& vt Le, ad ef, ita T E, ad ES: Eſt autem Io, maior quam ed,& Le, maior quam ef, b quod Ja, Lb, bifariam ſecentur in c, e, cum anguli ad c, e, recti ſint, ob parallelas BD, a Ib L. Igitur& RE, maior eſt quam EQ,& TE, maior quam ES, Neque ergo diameter QR, neque eiameter ST, in E, ſecatur bifariamz ac proinde cum centrum diuidat diame trum bifariam, non er it E, centrum Nn diametrorum a 14. primi. Cir culum obli. Aſtrobabete c u trum diuerſum a centro Aſtrola. bii. b g. tert. 29. Frimi. cireuli obliqui in quo circulo maxtmo inſpiciendi int, vt hadeantur eorum diametti maximæ. 415. i, Theo. Circulorum obli quoru in, vel etiã rectorum nõ ma ximorum, diame tros viſas in cõ· muni ſectione Aequatoris airculi maximi per polos mundi & polos obliquo tum circulorum, vel ie ctotum du · &i, eſſe omnium mazimzs. 19 E 8 dia metrorum OP, QR, ST. Denique diametrum quoque viſam tu, non diuidi bifariam in centro E, luce clarius eſt, cum tota ea vltra centrum E, exiſtat, vt perſpicuum eſt, propter radios Ap. Ar. JVC J. O PORT ET autem quemuis circulum obliquum maximum, eiuſque parallelos, vel circulum non maximum ad Aequatorem rectum, ex polo auſtrali inſpicere in communi ſectione Aequatoris vel plani Aſtrolabij, c circuli maximi per polos mum di, c polos circuli obliqui, vel recti, ducti, tum vt demonſtremus, eos proifci in ſormam circularem, tum vt max imas eorum diametros viſas, circa quas deſcribendi ſuns, habeamus. Nam vt in cono ſcaleno ſub contraria ſectio ſit circulus, neceſſe eſt, triangu lum per arem ad baſem coni eſſe rectum, ut ex lemmate I. conſtat: Huiuſimodi autem ett triangulum per axem in plano circuli maximi per polos mundi,& polos circu li obliqui, vel recti, tranſeuntis, cum hic circulus ad baſem coni, hoc eſt, ad circulum obliquum, vel rectum, per cuius polos ducitur, rectus ſie,& aliorum nullus, qui per eius polos non incedit. Deinde quia circulus hic maximus metitur maximam Jeclinationè maximi eirtuli obliqui ab Aequatore. cum eius arcus inter maxim circulum obliquum.& A. quatorem, ſit arcs anguli, quem obliquus circulus cum Ae quatore ſacit, ex dn. 6, noſtrorum triang. ſpharic. conſtisteet diameter maximi eirculi obliqui, qua communis ſectio eſt ipſius,& illius circuli maximi,( gualis in pr acedenti figura eſt diameter G,) cam diametro Aequatoriss 2 eiuſdlem circuli marimi,& Aequatoris communis ſoctio et. ¶ cuiuſinodi eſi in aadem figura dia neter B D,) maiorem angulum, quam vlla alia eius diameter qua communis ſetrio ſit circuli obliqui:& alterius maximi circuli per polos mundi ſid non per polos obli2 B Ar ingo s: 1 55 gui circuli, incedentis, cum hic circulus non metiatur maximam declinationem circuli obliqui ab Aequatore: ac proinde omnes alia diametri circuli maæimi obliqui inter puncta B.& F. atque D,& G, cadent. Igitur per lemma 3d. diameter OP, viſa eſt omnium maxima,& B D, omnium minima, propterea quod rectæ per eætrema puncba aliarum diametrorum minores angulos, cum B D, in centro E, conſtituentium ducke aliſcindunt minores rectas ex B D, recta OP, ꝙ maiores quà m BD, vt ibi demonſtrauimus. 0 2. QM oO autem diameter viſa ST, circuli obliqui non maximi, cuius diameter KL, communis ſactio ipſius,:& circuli maximi ABCD, per ipſius polos.& polot mundi ducti, ſit quoque omnium maxima, ita conſirmabimus. Duc atut ex An ad, centrum obligui circuli in cono, cuius ipſe circulus eſi baſis, axis A, ſecant rectam BD, in g. Omnes ergo diametri circuli obliqui in ſphara per centrum, tranſeuntes, conſpicientur in Aſtrolabij plano per rectam BB D, duſto tranſire per punctum g. Pudta quoque 8 hj, ipſi K L., parallela, qus ſecet axem coni A V, in iserit ex ſcholio propo /. 4. lib. C. Euclid. vt hi; adi S, ita LV, ad yx. Eſt autem per lemma 29. maior proportio T g, ad g S, quàm LV, ad K. Cum ergo LV, V K, ſint aquales, inequales erun: I g. g S, maiorque Tg. quà mg 8, ac proinde centrum circuli diametri ST, diuidens diametrum ST, biſariam, exiſtet in recta T g. Recta ergo ST., per centrum illius circuli ducta, qui guidem refert circulum obliquum diametri K L. vr demonſtaui mus, maior eſt omnibùs alijs rectis per g, ductis in eodem circulo, qua guidem ſunt diametri viſa circuli obliqui, vt dictum eſt. Eodem modo otendemus dia metrum viſam QR, circuli obliqui non maximi dia metri E I, qua communis etiam ſectio eſt ipſius,& circuli maximi A B C D, per ipſius polus,& polos mundi ti anſcuntis, eſſe omnium maximam. Ducto enim ex A, ad X, centrum obliqui circuli in cono, cuius ipſo circulus eſt baſis, axe A X, qui produdius ſecet rectam 5 D, in n, conſpicientur omnes diametri circuli obliqui in ſphera per centrum X, dude tranſire in plano Aſirolabij per rectam B D, ducto per pundtum n. Er gquia ducta 2. 4% HI, parallela, que anem coni productum ſecet in m; eſt vt m, 4d m ita IX, ad x H, ex ſcholio propoſ. 4, lib. C. Euclid. Eſt autem per lemma 29. maior proportio Rn, ad n Q quàm lm, alm V eriti quoque maior proporbio Ru, u. quam IX, adl X H. Cum ergo I X, X H, quales ſint, inaquales erunt Nn, n Qumaiorque Rn, quam n Qi ac proinde centrum circuli diametri QR, qui refert obliguum circulum diametri H I, vt demonſtrauimus, dittidens diametrum QR, bifariam, in recta Rn, exiſtet. b Recta igitur M, per centrum illius circuli duct, maior eſt omnibus alis rectis per n, ducdis in codem circulo, qua quidem ſunt dia merri viſa circuli obliqui diametri HI, vt diximus. Denique non aliter probabimus diametrum viſam tu, circuli ad Aequatorem recti, cu ius diameter pr, eſſe omnium maximam. Ducto enim axe Ak, in cono, cuius baſis eſt circulus diametri pr, agatur per t, ipſi py, parallela t, ſecans Ak, in . Exit igitur ex ſcholio propoſ. 4. lib. C. Euclid. vt us, ad et, ita rk, ad k. At per lemma 20. mator eſt proportio u k, adk t, quàm a e, ad Et. Igitur maior quoque erit proportio u K, ad k t, quà m r k, ad k p. Cum ergo agquales ſint r k. k p, inquales erunt u k, k t, maiorquse erit ii kN ac proinde centrum circuli diametri t u, in recta u Kk, exiſter. Ergo recta u t, per illud centrum ducta erit maior omnibus alijs redis per k, ductis in eodem circulo, quæ guidem ſuint diametri viſa circuli, cuius diamen rer p r, in ſphtra. quoll eſt propoſitum. 3. IMMO& hec demonſtratio in circulos max imos conuenit. Quoniam enim in eade pracedenti ſigura omnes diametri circuli maximi obligui, cuius diameter E G. communis ſectio ipſius,& circuli maxæimi A BC O, ter ipſius pelos,& polos mid. lucti, n 2 con/ pibi. tertij. Centra obliquorum circulorum u!, etiam recto rum non maxtmorum in Aſtro labio ſumenda eſ ſe in cõi ſectio ne plan i Aſtrola bii Aequate riſue & circuli maximi per polos mũ di,& polos circu lorum obliquorum, vel rectorũ ducti. Rectam lineam per centrũ. Aſtro Iabii,& centrum cuiuſuis circuli in Aſtrolabio de ſeripti ductam, eſſe cammunem ſectionem plani Attrolabii, Aeq uatorisue,& cir cult maxi mi, qui per pol os mundi & polos deſcripti circuli ducitur. 2 15. 1. Theo. Tordani demon · Kratio, circulos obliquos, vel etiam tectos non muximos proiioil in ſiguras cir enlares. 284 1 1 a 161 ronſpi ciuntur tranſire per E, centrum, ſphara, vel Actrolabij, eſtque centrum diametr viſe OP euius circulus circulum maximum obliquum diametri F, in Afirolabio ro praſentat, vt demonfiratum eſt in recta P E, quod hac maior ſit, quàm O, vt ſubra oſtendemusʒ erit recta OP, per centrum illius circuli ducta, maior omnibus alis rectis per E, eductis, qua quide, vt dictii eſt, ſunt diametri viſa circuli obliqui diametri F G. 4. E X his perſpicuum eſt, centrum cuiuſ ue circuli obliqui ſiue maximi ſiue non maximi, uel etiam recti non maximi, in Aftrolabio ſumendum eſſe in communi ſoctione plani Aſtrolabij Aequatoriſue,& circuli maximi per polos mu di,& polos circuli obli qui, vel recti, tranſeuntis, quandoquidem, vi demonſtratum eſt, in hac comuni ſectione apparet eius diameter ma xima, atq; adeo circulus ipſe obliquus, vel rectus, deſcribitur circa eam diametrum ea magnitudine, qua cernitur, cum in eo omnes diametri viſæ, beiam maxima, includantur. Quod ſi ſocundum diumetrum aliquam minorem viſam deſertberetur, minor fieret in Aſtrolabio; quam apparet, cum maxima eius diameter viſa eum · excederet. quod eſt ab ſurdum E X quo illud etia eſficitur, rectam per cent Aſtrolabij,& centrum cuiiſqʒ cir culi obliqui tam max imi, quàm non maximi, vel etiam recti non maximi, tralecta, eſ 2 communem ſectionè plani Aſtrolabij Aequatoriſue,& circuli marimi, qui per polus mundi,& polos obliqui circuli, vel recti, intedit in ſphara Nam ſi alia quæauis linea reca diceretur eſſe hæc communis ſectio, appareret in ea maxima diameter viſa, atqus adeo in eadem centrum obliqui cirtuli, vel recti: deſcribendi exiſteret, vt diximus. guod eſt ab ſurdum, cum eius centium in priori illa recta linea poſitum ſit. 5. TITAN E Horixon obliquus, Ecliptica,(poſitis princieis,& S, in Me ridiano) c Verticalis primarius, inſpiciendi ſunt in communi ſoctione Meridiani,& Aequatoris ſiue Aſtrolabiſ, vt eorum diametiri viſæ habeantur maxima, atque in eadem ſockione eorum centra exiſtunt: quia nimirum Meridianus per illorum circulorum polos ductus a ad eoſcdem rectus eſt. 6. TOR DANS in ſuio planiſphario, quod et inſtar commentarioli cuiusdam in planiſpharium Pfolemai, alia demonſtratione, què ex conis non pendet, concludit cir culos obliquos ommnes proijci in figuram circularem, hoc eſt, omnia puncta circumferentia cuiuſuis circuli obliqui per radios ex bolo auſtrali emiſſis cadere in circuli cir cumferentiam, quam demonſtrationem, quod acuta it& elegans, hic cenſui aponendam Sit ergo primum circulus ma ximus obliquus, cuius,& circuli maximi ABC D, per eius, c mun di polos ducti, communis ſectio ſis FG, cuius extrema puncta per radios 4 F, AG, appareant in; D, cb muni ſectione eiuſalè circuli maximi ABC D,& Aequatoris, Aſtrolabijle, in punctis N, I, ita ut Hs ſit diameter viſa ommii maxi ma, ut demonſtratii eſt Num. 1. 2. . ii circulus maximiis obliquus dia metri KG, viſus in AHrola bis 2 obrineat circular ſigurã. Deinde ecipiatur alius circulus maximus pen polos quidè mundi A, Caſed non per polos cireuli obliqui diametri FG, deſcriptus, ſecas circulũ obliqni propoſitii non iam per diametri FG, ſid per aliã, per cuius extrema punct a emiſoi radij viſtales AK, A L, abscindat ex cb ſectione poſterioris huius circuli max imi per polos A. C, ducti,& plani„ be Aſtrela——— . P s S. Ain Aſtrolabijue, ad quod circulus A BC P, rectus ei diametrum viſam Le Dico a g. i. Theo. qu atuor f undta I, I, K, L, in plano Aequatoris eu A trol ali 3 cadere in circeili ci 5 cumſerentiam. Quoniam enim angulus FAG, in emicirculo rect us es, rectanguli b 37. tertj. erit triangulum AH, ad cuius baſem HI demiſſa eſt perpendicularis 4„ ni mirum axis ipſe mundanus, e qui per ſphæræ centrum E, tranſit rectusque eſt ad Aequato- c 10. 1. The. rem, cuius axis eſt, ideoque& ex defin. g. lib. 11. Euclid. ad rect am B in Aquaroris plano ex iſtentem perpendicularis. Igitur erit per coroll. propoſ.&. lib. 6. Euclid. AE, media proportionalis inter E E, EI. 4 Igitur rectangulum ſub E, EI, qua- 4 17. fenti. drato recta AE, quale erit. Rurſiis quia angulus K AL, rectus eſt, cum etiam in ſe— micirculo exiſtat, nimirum in eo, quem ex max imo circulo ber Polos mundi, ſed non er polos obliqui circuli, ducto au fert diameter circuli obliqui, per cuius eætrema punda radij viſuales emiſſi abſcindunt diametrum viſam KL; erit triangulm A K L, reGangull, ad cuius baſem K L, demiſſa eſt perpendicularis A E, axis videlicet ipſe mun danus, e qui per ſphæræ centrum E, tranſit, rectusque eſi ad Aequatorem, cuius 25 e e. I. The. axis, ideoque& per deſin. 3. lib. 11. Euclid. ad rectam K L, in plano Aequatoris exiſtentem perpendicularis. Igitur per coroll. prepoſſ&. lib. g. Euclid. A E, media erit proportionalis inter K E, EL.:(ac proinde rectangulum quoquè ſitb K E, EL, quadra- f. ſexti 70 redta A E, equale erit. Quocirca reqtangula ſubò N E, El„O ſulb KE, EL, æqualia inter ſe erunt, cum mrumqu quadrato recta A E, ofenſum ſit æquale: ac propterea ex Icholto propoſ-; 5. lib. 3. Euclid circulus circa diametrum Hl, deſcriptus per puncta K, L, incedet. Non aliter oſtendemus, eundem tranſire per entrema puncta aliarum dia metrorum viſarum, ſi nimirum cůõcipiantur alij circuli maximi per polos mundi, ſed non per polos circuli obliqui diametri FG, deſcribi, facientes in circulo obliquo diametros, per quarum extrema puncta radij viſuales ex A, procidentes abſcindant in plano Aequatoris alias diametros viſas& diametro viſa K L, diſferentes. Circulus ergo obliquus marimuss cuius diameter F G, in ſormam circularem proiſcitur. quod erat demonſtrandum. 7. DEIN DE ſſit circulus obliquus, vel etiam rectus non maximus FK GTL, eu ius,& circuli maximi ABC D, per eius, e mundi polos ducti, communis ſectio ſit FG, cuius extrema puncta per radios AF, AG, appareant in BD, communi ſections eiilſclem circuli maxim ABC D, e Aequatoris vel Aſtrolabij, in punctis H, I, ita vt H, ſit diameter viſa omnium maxima, vt demonſtra tum et Num. 1. 2.& g. ſi circulus obliquus I K GE, viſus in Aſlrolabio circularem fguram obtineat. Per quodlibet punqtum O, diametri G, ducatur planum Aequatori parallelum, hoc eſt, ad circulum ABO DP, rectum cum hie tirculus Aequatorem, eiuſqué parullelos ſecet per polos A, C, s idoque ad angulos rectos, w faciens in circulo ABC D, ſectionem M N, ipſi B D, 815. i. Thea. parallelam,& inſpharæ ſuperficie circulum KML; ſitgue K OL, communis ſoctio 76. vndee. circulorum FK GL, NK ML, k qua al circulum AB; C D, recta erit, quod vterque cir- 11 L. Theo. eulus ad eundem ſit rectus; ac proinde ex deſin. 3. lib. 1 1. Eucl. ad FG, rectam perpen-* 9. vndec. dicularis, ideoque diameter FG, ſecans K L, ad angulos rectos, eandem biſariam in I terti. O, ſecabit. Extenſa autem ex A, per O, recta AO, ſecet EHI, in R, c per R, in plano triaguli AK L, ſductis rectis A K, A L, recta XL, parallela agatur PR, occurrens ra dis viſualibus A K, AL, in P, Q. u qus etiam ad planum euuſdlem circuli A BC D, m. vndee. rectà erit, ac proinde in plano Acquatoris per Hl, ducto, et ad eundemdcirculu ABC D, recto exiſtet. Puncta igitur K, L, circuli K Gl, in planb Aequatoris, Attrolabiſue, apparebum in punctis P, Q.& recta K L, in recta P Q. Dico quatuor punct a H, I, P, Qs in circumferentiam circuli cadere in plano Aſtrolabiß ſiue Aequatoris. Iungatur enim reda G0,& recta MN, ſecet radium viſialem A F, in&,& axem AC, in V, eadem- ur. ferthj. que recta NM, exendatur uſq: ad T. niâigitur angulus AGC i rectus eſt, o nec o 29. primi. nen& L. 1 d b. 0 ö non& ungulus AVT ob parallelas B D NM: Habent autem e triangula Ad, A. angulum A, commun mserit her coroll. f. pros oſ. 32. lib. Euclid. reli uus angu 4 21. terti. us Ad reliquo angulo ATH aqualis: a Edt autem eidem angulo ACG, angulus b IS. primi. AFG, aqualis Igitur& anguli J, E, in triaugulis G07, SO E, equales erunt. o Cum ergo& anguli ad uerticem O, ſiut æquales, aquiangula erunt triangula G07, SOF. ö c f. ſexti. eIgicur erit t GO, ad Or ira SO, ad OF. d ac proinde rectangulum ſub G0, OF. re1 d 16. ſexti. Aangulo ſilb TO, Os, aquale erit. Eſt autem rectangulum ſub G0, Of, aquale ree 35. tert. dangulo ſub KO, OL. Igitur& rectangulũ ſub T0, OS, cidem rectangulo ſub KO, OE, aquale erit, hoc eſt, quadrato rectæ K 0. quod KO, OTL, aqua les ſint oHenſæ: t atq; idcirco tres TO, xo, OS, conti nue ſunt proportionales. Quia ve4 ro, cum ö triangulum TOA. triangulo I R A, ſis ſemile, c triangulum AOK. triangulo AR P. 8 f. feli. ex coroll. Frotoſc 4. lib. 6. Euclid.& elt vs IO, ad A R, ad R A.& ur OA, ad * KO, ita RA; ad PR; erit ex æquo, vt TO, ad KO, ita IR, ad PR. Rurſus quoniam eſt ex ſcholio propoſ: 4. lib. 6. Euclid. ut S0, ad CST, ita R, ad R/: Oftenſium autem eit fromime, eſſe vt O, ad O Rx ita RI, ad 1. ſeuti. ö O. IX. RP; erit quoque e aquo, vt SO, æd OK, ita HRʒ, ad RP: Et conuer ö OA. BRA. tendo, vr OR, ad SO, ita R P, ad HR. Quocirca cum fit, ut TO, ad XO. FR. OK, ita IR, ad R,& tO K, ad OS, ita R, ad HR ʒ ſint autem tres TO, OK., Os, aſtenſæ cõtintie proportiona less erunt quoque tres h 1x. ſerti.—— R, Ry, HR, continue proportionales. Iguur rectangulum ſub 9 IR, RH, qua drato recta R, aquale erit, Hoc eib, rectangulo ſiab 1 S0. ER. Pk, Rg, cum he rectæ aquales ſint, quippe que ex ſcholio propoſ.æ. e e e e. Jib. 6. Euclid. eamdem preportienem ab ent, quam aquales rect æ N OK. RP. k, LO. Igitur per ſchbolium propoſi3 S. lib. g. Euclid. circulus circa diametrum Hl, deſcriptaus, per pundia P, Q. tranſibit. Non aliter 1 oltendemus, cuudem tranſire per alia puncta, in qua cadunt in 0 pl ano Aſtrolabij Aequatoriue, recia ex polo auſtrali As per alia puncta circuli obl qui ö FK GL, emiſſæ, ſi ni mirum per alia punl a diameeri FG, ducantur plana Aequatori parallel a, cc. Circulus igitur obliquus vol eciam redius non maximus FK GL, in cireularem figur am preꝗ cit. quud erat demonſit audum. p RI 10 e. 11. PROBLEMA I. PRO POSL IIII. AEQVATOREM,& quemlibet eius parallelum, cuius datus ſit a rcus declinationis, in planum Aſtrolabij proiicere, atque in gradus diſtribuere. 1. DESCRIB AT VR Analemma, vt lemmate 19. traditum eſt, cuius Meridianus ABCD, ex centro E, deſcriptus ſit æqualis Aequatori in futuro Aſtrolabio, ſaccipi enim poteſt magnitudo Aequatoris ad cuiuſque arbitrium) axis mundi ACzʒ polus auſtralis A,& borealis Cʒ Diameter Aequatoris BD; Tro pici. FG; tropici, Hl, ita vt arcus BE, BH, DG, DI, metiãtur maxim 8 lis, vel Eclipticæ, declinationem; atque inter has diametros FG, HI, diametri aliorum parallelorum per ſignorum initia ductorum contineantur, vt in Analemmate lemmatis 19.& extra eaſdem, diametri circulorum arctici& antarctici hp, VZ; Diameter Horizontis ad eleuationem poli grad. 42. fg; eius axis; ſiue diameter Verticalis OR; Diameter Eclipticæ GH. Si igitur ex auſtrali polo A, per exttema diametrorum puncta emittantur radij viſuales, ſecabunt ij diametrum Aequatoris BD, in infinitum exten ſam( per quam quidem ducitur planum Aequatoris vel Aſtrolabij.? ad quod Meridianus faciens in eo ſectionem BD, rectus eſt.) in punctis, in quibus extrema illa puncta apparent, ac proinde ex eadem recta BD, diametros viſas abſcindent; eritque diameter viſa Aequatoris BD/eadem quæ Analemmatisztropici, KL; tropici MN. Et quoniam per propoſ. 2 Aequator, eiuſque paralleli omnes in ſiguras circulares proiiciun tur, centrum commune habentes E, in axe conorum, exrupt omnes aliæ dia metri parallelorum viſeæ æquales diametris BD,KL. MN, cum omnes per E tranſeant, ter minenturque in circumferentiis circulorum ex E, ad interualla EB EK, EM, deſeriAequatorit, purallelorumque iy ſius in Aftrolabio deſeriptio ex Analemmate, f mag nitudo Ae quatoris daca it. 4 15. 1. The. 288 L I F NAI 1 deſeriptorum. Qugcirea ſi in plano in quo Aſtrolabium conſtruendum eſt, ex aſſumpto quouis centro E, ad interualla ſemidiametrorum EB, EK, EM, circuli deſcribantur, erit ABCD, Aequator; EK GL, tropicus C z H MIN, tropicus . Eodem prorſus modo alij paralleli per ſignorum initia incedentes deſcridentur,& alij etiam paralleli tam intra tropicos, quam extra, ſi eorum declinationes, ſiue diſtantiæ à punctis B, D, cognitæ fuerint. In propoſito Analemmate radij viſuales AV, AZ, per puncta extrema diametri circuli antarctici VZ, emiſ ſi, tam procul cum recta BD, concurrunt, vt eius diameter viſa in plano notari non potue rit. In eodem Analemmate, ſi ducatur diameter O pa ralleli borealis gradibus 42. ab Aequatore recedentis, atque per verticem, ſiue polum Horizꝛ0ntis Romani tranſeuntis,& alia diameter paralleli auſtralis oppoſiti QR, per Nadir, ſuue alterum polum eiuſdem Horizontis incedentis, emittantur que per puncta FP oo d III. 289 pundta extrema radij viſuales, reperientur eorum parallelorum diamet ri apparentes in plano Aſtrolabij ST, VX. Satis autem eſt, vt vides, ſi ex vna tantum par a te axis AC, dextra, vel ſiniſtra, inuenjantur ſemidiametri appatentes ES, EK, vr inuerlantuc EB, EDI, EV, vel ET, EL, ED, EN, EX,&c. Polus quoqʒ arcticus C, apparet in pla no Aequatoris vel Aſtrolabij per rectam BD, ducti,& ad Meridianum ABCD, 3 recti in ipſo centro E, Aſtrolabii, vel Aequatoris. Immo& totus axis AC, in brtätur ie Agro centro E, cõſpicitur, adeo vt E, centrũ Altrolabij,& paralle lorũ, repręſentet& labio per certrꝭ. polũ borealem,& axẽ mundanum. ꝙ ſupra quoqʒ propoſ. 1. num. 4. monuimus. nas,& Quemadmodũ denique, deſeriptis parallelis in plano Aſtrolabii, vt diximus, dia Honzon redus meter, vel recta MN, eſt cõis ſectio plani Aſtrolabii vel Aequatoris,& Meridia ia Alrolabis dai ni circuli, reptęſentans in Aſtrolabio ipſum citculum Meridianum, ita diameter. vel recta Hl, illam ſecans ad angulos rectos, eſt ſectio cõmunis eiuſdem plani Aſtrolabii, Aequatorisue,& Horizontis recti, ſiue Coluri Ae quinoctiorum. con gruente Solſtitiorum Coluro cum Meridiano. Cum enim Meridianus,& Horizon rectus, per propoſ. 1. Num. 4. proiic iantur in lineas rectas per centrum E, tranſeuntes, ſitque tam Horizon rectus, quàm Aequator, ad Mieridianum rectus, erit quoqʒ eorum communis ſectio ad eundem recta, ac proinde ex defin. 3 lib. 4 9. vndes. 11 Eucl. cum MN, in Meridiano exiſtente rectos angulos conſtituet. Quare HI. ad MN, perpendicularis communis ſectio erit Ho rizontis recti,& Acquatoris, i MN. ſtatuatur eiuſdem Aequatoris,& Meridiani ſectio communis. 2. IAM vero quia per propꝰſ. 2. Num. 4. Aequator in Aſtrolabio, eiuſq; paral piaif paeallebe leli, diuidendi ſunt in partes 360. æqual es, vt eorũ gradus habeã tur; facile cuiuſ Nr ulis paralleli gradus habebũtur, ſi is in 360. partes æquales ſecetur. Ex quo fit, re cad wat, ctas per centrum E, traiectas, ſecantesq̃; circulos ex E. de ſer iptos in 360. partes 8 æqua les, cões ſectiones eſſe plani Aſtrolabij Acquatorisue,& maximorũ circu- fagelos Aeg. lorum per mundi polos,& ſingulos gradus Aequatoris ductorum, c hi in ſphæ- ae ace AfHrolabio teptæ tatis ed, ff mira Oẽs parallelos partiantur in gradus, b in partes videlicet ſimiles partibus Ae ſectaſi per huecas tas per cenquaris. proiiciantur que per propoſ. r. Num. 1. in lincas re ctas in Aſtrolabium. Lare 3. IT AQVE vt quilibet parallelus propoſitus per quemeunq; gradũ Me- d, a diani, ſiue Coluri ſolſtitiorum tranſiens, in Aſtrolabio deſcribatur, numeranda geen en 8 a 5 1 5 0 u m ex eſt in Anale mmate eius dec linatio, ſeu diſtantia ab Aequatore, ex puncto B, ver- dem cento ſus po lũ arcticumC, aut verſus antarcticũ A, prout datus parallelus dorealis eſt, 17055 n in; aut auſtralis. Recta enim per finem numerationĩs ex A, ducta abſeinde tex EV, ſe midiametrum, ad cuius interuallum datus parallelus ex centro E, in Aſtrolabio deſcribendus eſt. Vt ſi deſet ibendus ſit parallelus ab Aequatore gradibus 60. in He g Boream declinans, numerabimus à B, verſus C, grad. Go. vſque punctum a. Nã 2% olg recta Aa, auleret eius ſemidiametrum apparentem Eb. Sic etiam, ſi deſcriben- bia ex Au emdus ſit parallelus in auſtrum ab Aequatore declinans grad. 30. numerabimus à wan B, verſus An grad. 3 o. vſque ad punctum d. Recta nam que Ad, producta abſcindet eius ſemidiametrum viſam Eezatque ita de cæter is. 4. VICISSIM deſeripto quouis parallelo ex centro E, in Aſlrolabio, co- pasalleli cuiusſi gnoſcemus eius declinationem ab Aequatore ſiue ii boream, ſiue in auſtrũ, hac ratione. Eius diameter in Aſtrolabio ſumpta transferatur in rectam EV, ex E, in e 11% Analemmate. Ex termino enim ipſius recta ad A, ducta tranſibit in Meridiano eee ABO, per punctũ, per quod paralle lus datus in ſpha ra ducitur. Et ſi quidem re e e cta illa ſecet quadrantẽ BA, parallelus auſtralis erit, borealis vero, ſi quadran- bock bs. Alian af tem BC ſecet. Vt ſi cognoſcere velis, num parallelus MIN, in Aſtrolabio ſit 221 5 auſtralis, borealisue,& quantam habeat declinationem, transfer eius ſemidiame uumE M. beneſicio circini in Analẽma ex E, in M. Et quia recta ducta A M, ſecat OO quadra qua drantem BA, in H, pũcto, quod à B, abeſt gr. 23. m. 30. erit parallelus HMIN. auſtralis, ac proi ade tropicus. Sic diameter EK, parallelli PK GL, dabit in Analemmate ar cum declinationis borealis BE, grad. 23. min. zo. ideoque parallelus er it tropicus S. Quia denique ſemidiameter EB, paralleli ACD, in ere Analemmate coincidit cum ſemidiametro EB, erit ipſe parallelus in Aſtrolabio que parallelos in Aequator. Et ſic de cæteris. e er 5. CAE T ERVM eoſdem parallelos Aequatoris in plano Aſtrolabii, vnd lem matis delen- cum Aequatore deſcribemus, ettamſi Analemma ſeor ſum non ſit conſtructum, 3 hoc modo. Deſcripto Aequatore cuiuſuis magnitudinis ABCD, in plano Aſtro gnitudo. labii ex E, centro Huius enim circuli magnitudo arbitrio cuiuſque deter minari poteſt.) ductisqͥue duabus diametris AC, BD, ſeſe ad angulos rectos in centro ſecantibus, ſumatur circulus hic AB CP, pro Meridiano Ana lemmatis, quandoquidem p WO N G& IIII. 22 quidem Aequator Aſtrolabii,& Meridiapus Analemmatis æquales ſunt, vt di cum eſtʒ& AC, pro axe mundizatque A, ſit polus auſtralis,& C, borealis; deni ue BD, in vtram que partem ex tenſa aceipiatur pro communi ſectione Aequa toris, ac Meridian, vt in Analemmate, perinde ac ſi ſemicitculus BAD, ad rectos angulos in ſiſtat plano Aequatoris, vel Aſtrolabii, in recta BD& alter ſemicirculus BCD. eide m plano ex altera parte inſiſtat ad rectos apgulos, ita vt totus circulus ABCD, ſitum Meridiani obtineat. Itaque ſi a puncto B, ſupputetur uerſus C, dec linatio borealis paralleli dati, declinatio vero paralleli auſtralis uerſus A,& ex A, per finem ſupputationis recta egrediatur, ſecabitur recta EB, in puncto, per quod parallelus datæ declina tionis ex E, centro deſeribendus eſt. In ſiſdem enim punctis rectæ ex A, egredienptes rectam B D, in infinitum productam ſecabunt, in quibus eandem ſecarent, ſi circulus ABCD, ad rectos anguJos plano Aſtrolabii inſiſteret in recta BD, vt perſpicuum ęſt. Ita vides ſupputa tas eſſe ex vtraque parte maximas Solis declinationes BP, BO, grad. 23. min. 30. rectas que A Pb, AO, rectam EB, ſecare in K, M, punctis, per quæ tropicus,& tropicus Z, deſeripti ſunt. 6. ATV E eadem arte quemcunque pa rallelum datæ declinationis de ſeribemus, ſl eius declinationem à puncto B, numeremus verſus C fes fue rit borcalis, verſus A, vero, ſi Auſtralis, Ratio hic eadem eſt, quæ in Analemmate. Nam per fines, verbi gratia, declinationum P, O, ducende ſunt diametri parallelorum illarum declipationum in Analemmate. Igitur earum extrema puncta P. Oß apparebunt in K, M, ac proinde ſemidiametri eorum apparentes erunt EK EM,.&c. CAE TER VM ſatis eſt, ſi deelinatio data ex B, in vnam partem numotetur vt ex ca deſcribamus parallelum“ tam borealem, quam auſtralem illius declinationis. Nam ſi declinatio ſit BO, abfeindet radius AO, ex A, polo prop e C, lie„& 7. E conttrario declinationem cuiuslibet paralleli in Aſtrolabio deſeripti cognoſcemus, ſi exp uncto, vbi rectam EB, ſecat, ad A, rectà ducamus. Hæc namemicirculum ABV, in puncto declinationis ſecabit.& ſi quidem ſecet qua3 C declinatio erit borealis, ſi vero quadrantem BA, auſtralis. Vt ducta at in quadrante BC, declinationem borealem B P, recta vero AM, dęclinationem BO, auſtralem in quadrante BA. g. QVONIX NM vero cum declinatio auſtralis dati paralleli, qualis eſt declinatio BQ, tãta eſt, vt puncta&, Q, parum inter ſe diſtent, difficile admodum radius viſualis AQ. citra errorem producitur, propterea quod ob propinquitatem punctorum A. Q, regula, qua in lineis rectis ducendis vtimur, facillime à proprio ſitu hinc inde dimoueri poteſt, ideoq; punctum, quod in re ta EB, ſemidiametrum paralleli apparentem terminat, exquiſite inueniri ne quit; vſurpan dum tunc erit ſemma 11. Vbi docuimus per duo puncta parum inter ſe diſtantia, cuiuſmiodt ſunt A. Q in dato exemplo. linea m rectam quantumlibet producere. Et ſi forte recta hæc tam oblique rectam EB, interſecatet, vt vix punctum interſectionis ſine errote poſsit diſcerni, adhibendum quoque exit lemma 13. vbi pun ctum illud, quantumuis oblique ſeſe rectæ AO, EB, interſecent, docuimus inueo nire exquiſitiſsime. 9. EAN D E M redtam AQ. in contipuum producemus valde accurate hoe modo Ex A, deſcripto arcu RS, ad quoduis interuallum AR, quam in 8, ſecet nr recta ziore emillus ſemidiametrum EM, paralleli auſtralis: at radius CO, odo cemotiore ductus auferet ſemidiametrum EK, paralleli boreaY ſine cou ſteu e Anulemdeſcribeie. Ex vno arcu de1 e ftius inuenire. 292 L 0 recta AS, ad AR, perpendicularis, vt ſit quadrans RS, ex ſcholio propoſ. 27. lib. 3. Euclid. ſumatur arcus ST. dimidio arcus AQ. ſimilis, hoc eſt, qui dimidiatum numerum graduum arcus AQ, contineat.(Hoc autem fiet. ſi per lemma 3 arcus ſumatur Sq, arcui AQ, ſimilis, bifariamque ſecetur in T. Nan ST, ſimilis erit ſemiſsi arcus AQ.) Recta enim AT, per punctum. tranſibit, cum per lemma 10. rectæ A8, AQ, arcum auferant ex circulo Rð, qui ſimilis ſit dimidio arcus AQ. cuiuſmodi eſt ſumptus arcus ST. Quod ſi perpendicularis A8, arcum Rs, in plano non ſecet, ducenda erit ex A, per B, recta ſecans arcum Rs in V,& accipiendus arcus VT, ſimilis ſemiſsi arcus BQ. Recta enim AT rurſus per Q, tranſibit, cum per lemma 10. rettæ AV, AI, auferant arcum VT, ſimilem ſemiſsi arcus BQ Eſt autem arcus RV, quadrantis ſemiſsis, cum ei inſiſtat in centro A, angulus ſemirectus BAE, vt patet. Sed commodiſsime ita quoque* EE, g g eſcripto p or IIII. 293 deſcripto arcu XV, cuius ſemidiameter EX, ſemidiametro AR, æqualis ſit, diuiſoqʒ arcu CQ, bifariam in Z, ducemus rectam EZ,(ſumpto prius arcu Da, arcul BZ, æquali, vt accuratius per tria puncta a, E, Z, recta ducatur) que arcum N ſecet in V:eritqʒ arcus XV, arcui CZ, id eſt ſemiſsi arcus COQ, dmilis. ex ſcholio propoſ. 22. lib. 3. vel propoſ. 33 lib. 6. Eucl. Si igitur arcui XV,, beneficio circinl æqualem arcum reſecemus RT,(cum hi circufi ſint æquales) erit quoque arcus RT, arcui CZ, ſimilis, ac proinde rurſum ducta recta AT, per Q, tranſibit. Quin etiam, quoniã rectæ EZ V, AOT, parallelæ ſunt, quod angulus externusX EX, in centro æqualis ſit interno angulo RAT, in centro, ob æquales circulos RS, XVzſt rectæ a EZ, per A, parallelam agamus AT, ex lemmate 4 tranſibit ea omnino per Q. Immo rectas aEZ, Ads eſſe parallelas, demonſtrabimus etiam hoc modo, etiamſi circuli RS, XV, deſẽripti non ſint.e Quoniam arcus Aa, CZ, equales ſunt, ob angulos in centro æquales ad verticem Aa, CE; eſtque arcus CZ, arcui Z Q, æqualis; erit quoque arcus A a, arcui z Q, æqualis, atue idcirco ex ſchol. propoſ. 25. lib. 3. Eucl. rectæ aEZ, AQ, parallelæ erunt. 10. POT Es quoque, ſi placet, ex quouis puncto d, in recta AC, accepto per A, deſeribere circulum Abe, qui circulum ABCD, tangat in A Nam diuiſo eius quadrante Ae, in grad. Ho. ſi ſumatur arcus Ab, arcui AQ, ſimilis, tranſibit recta Ab. per Q, cuu ex lemmate 9. quælibet recta ex A, ducta abſcindat ex circulis AB, Ae, tangentibus arcus limiles. Has ergo cautiones, ac remedia, ſi adhibeas, fieri vix poteſt, vt error in ducendis radiis viſualibus per declinationes au ſtrales, quamuis maxi mas, committatur. Quod ſi quadrans RS, ſecetur in partes 180. ęqua les, vt ſingulæ ſingulis gradibus ſemicirculiCh̊ A, reſpondeant, ac proinde ipſe inſtar graduum haberi poſsintzſi ex V, puncto medio quadrãtis RS, ver ſus R, ſupputentur declina tiones boreales,& verſus 8. auſtrales, ſumendo V. g. pro maxima declinatione Solis particalas 234. ex 180. in quas diuiſus fuit qua drans RS, ac ſi forent gradus 23. min. 30.& pro declinatione grad. 48. min. 3 6. ſumendo particulas 45.& min. 36. vnius par ticulæ,(quæ quanam ratione accipi poſsint, in lẽmate 8. traditũ eſt)& ſic de cæteris, reperientur parallelorum ſemi diametri in recta EB, per rectas ex A, ad quadrantem RS, ductas, multo accura tius, quàm ſi eædem declinationes in ſemicirculo ABC, ex puncto B, vtrinque * ſupputentur: propterea quod rectæ ex A, ad puncta quadrantis RS, magis exquiſite ducuntur, quàm per puncta ſemicirculi AB C, cum illa ſint his remotiora à puncto A. 11. NON eſt autem prætereundum hoc loco, ſemidiametrũ Aequatoris in Aſtrolabio eſſe medio loco proportionalem inter ſemidiametros duorũ paralle lorum æqualium& oppoſitorũ. Sint enim duo paralleli in Aſtrolabio EKG, HIN, reſpõdentes quibuſcunq; duobus parallelis in ſphæra æqualibus inter ſe.& oppoſitis. Dico EB, ſemidiametrum Aequatoris eſſe mediam proportionalẽ inter eorũ ſemidiamettros EK, EM, hoc eſt, ita eſſe EK, ad EB, vt EB, ad EM, vel ita eſſe EM, ad EB, vt EB, ad EK. Ductis enim rectis AK, AM, ſecabitur ſemicir culus ABC, in punctis declinationum P, O, vt demonſtratum eſt Num. 4.& 7. eruntque arcus declinationũ BP, BO, æquales, cum parallelis oppoſitis& æqua libus debeantur; ide oque& eorum complementa CP, AO, æqualia erunt; c ac proinde anguliPAC, OC A,(ducta prius recta CO,) equales erunt. Cum ergo& angulus COA, e qui in ſemicirculo rectus eſt, æqualis ſit angulo recto AEK; erunt triangula COA, AEK, æquiangula. Eademque de cauſa æquiangula erſit triangula COA, MEA, cum rectus angulus COA, recto angulo MEA, æqualis ſit,& angulus EAM, communis. Igitur erit, vt CO, ad OA, ita M E, ad E Az atque a 2. primi. b g. tertij. c 26. tertij. parall quatotis alia ratione,& egquiß ſemidiametros duorum paralelo rum Acquatoris oppoßhtorum in Akcola. bio def. ſexti. 294 E EM N 10. H. atque ita EA, ad ERK: a atque idcirco erit, vt ME, ad EA, hoc eſt, ad EB, ita oc eſt, EB. ad EK: ac proinde& conuertendo, vt EK, ad EB, ita EB, adENM, quod eſt propoſitum. Et quoniam arcus CO, conflatus eſt ex quadrante CB,& arcu declinationis BO, ipſe notus erit;& eſt quoque arcus AO, notus, cum ſit complementum declinationis. Igitur& chordæ CO, OA, notæ erunt, ideoque & ca rum proportio erit nota. Cum ergo ſemidiametri EM, EB, EK, proPortionales ſint, continue in proportione CO, ad OA, vt demonſtrauimus, erit quoque proportio ſemidiametrorum continua, nota. Nam ſemper earum proportio, maioris ad minorem, eſt eadem, que chordæ arcus ex quadrante,& declinatione conflati, ad chordam complementi declinatiouis, nimi rum CO, ad OA. 12. MA cum ita ſint, ſatis erit in recta EB. per rectas ex A, per puncta decli nationum in quadrante BC, emiſſas inuenire ſemidia metros apparentes parallelotrum borealium; quod difficile non eſt, cum radii viſuales& A, per̃ puncta quadrantis borealis BC, ducti non admodum oblique ſemidiametrum EB, inter ſecent. Si enim per lemma 12. ſemidiametto apparenti cuiuſuis paralleli borealis,& ſemidiametro Aequatoris, reperiatur tertia proportionalis, erit hæc ſemidiameter apparens oppoſiti paralleli auſtralis Adhibenda tamen hic omnino eſt cautio, quã eo in lemmate pro tertia proportionali inuenienda præſeri pſimus: Hoc eſt, quando ſemidiameter paralleli borealis multo minor eſt ſemidiametro Aequatoris, diuidenda eſt hæc continue bifariam, donec vltima particulaſquæ velerit ſemiſsis, vel quarta pars, vel octauaʒ vel ſextadecima,&c. pro grediendo ſemper per proportionem duplam) inueniatur, quæ ſit vel æqualis, vol minor ſemidiametro paralleli borealis. Per hanc enim inuenſetur quarta quædam proportionalis ad ſemidiamettum paralleli borealis, particulamivltimam ſemidiametri Aequatoris,& ſemidiametrum Aequatoris, quæ talis pars orit tertiæ proportionalis, hoc eſt, ſemidia metri patalleli auſtralis, quæ deſideratur, qua lis eſt particu la illa vltima ſemidiametri Aequatoris. Quare ea duplicata, vel quadruplicata, vel octuplicata,& dabit ſemidiametrum auſtralis paralleli quæſitam. Atque hac ratione vitab: tur omnis linearum rectarum obliqua ſectio, ac proinde valde exquiſite ſemidiametri parallelorum auſtralium inuenientur. Exempli cauſa. Inuenta ſemidiametro EK, tropici e ſiex ea reperire velimus ſemidiametrum tropici S ſecabimus ſemidiametrum Aequatoris EB, in gʒbifariam. Et quia ſemiſsis Eg, minor iam eſt ſemidia metro EK, inueniemus ipſis EK, Eg, EB, quartam proportionalem. quæʒ vt in lemmate 12 diximus, longel accuratius iam inuenietur, cum prima linea, qualis hic eſt EK, maior ſit quam ſecunda EB. Erit enim hæc quar ta proportionalis, ſemiſsis quoque ſemidiametri paralleli auſtralis. Qare ea duplicata dabit ſemidiametrum quæſitam. Rurſus ſi inuenienda ſit ſemidiameter paralleli auſtralis gradibus 41. min. 30. ab Aequatore in auſtrum tecedentis, accipiemus in quadrante BC, borcaliarcum Bh, grad. 4. min. zo rectamque ducemus Ah quæ auferat Ei, ſemidiametrum pa ralleli borealis grad. 47. min 30. Et quia Eg. ſemiſsis ſemidiametri Aequatoris EB, maior eſt, quamEi, ſubdiuidemus Eg, bifa riam in l. Cum ergo iam El, quarta pars ſemidiametri Acquatoris E B.minor ſit quam E i, inueniemus tribus E i, El. EB, quartam propor tionalem Em, cui alias tres æquales accipiemus mnzn o, op. vt tota Ep. quadrupla ſit inuentæ Em. quemadmodum EB, quadrupla fuit ipſius El. Na qi Ep, erit ſemidiameter paralleli auſtralis grad gr. min. 30. ab Aequa tore recedentis in auſtrum. VERV M facilius iaueniemus tertiam proporzionalem duplici ea ratione, quam n. 295 quam ad finem lemmatis 12. attulimus. Nam ſi ſemidiameter paralleli borealis accipiatur verſus D, vſque ad L,& per tria puncta A, L, C, circulus deſcribatur, ſecabit is rectam BD, in M, eritque EM, tertia proportionalis ipſis EL, EB, vt ibi demonſtratum eſt,& c. Eademque ratio in cæteris teneatur. Aliam quoque rationem inueniendi ſemidiametrum paralleli oppoſiti inuenies in ſequenti propoſ. Num tl. 13. AD extremum, ex his, quæ diximus, facile etiam demonſtrabimus, ex omnibus punctis ſphætæ ſolum polum auſtralem, vbi oculus conſtituitur, in planum Aſtrolabij proiici non poſſe, id quod ad propoſ. I. innuimus. Quoniam enim E, polum boreum repræſentat,& recta EB, in infinitum extenſa Meridianum cir culum, ita vt EB, ED, referant duos eius quadrantes boreales inter polum& Aequatorem,& tota BD, totum ſemicirculum eius borea lem; reliquæ vero partes à B, ver ſus M.& D, verſus N, excurrentes ad reliquum ſemicirculum Meridiani auſtralem, in quo polus auſtralis continetur, pertineant; ſi polus auſtralis in plano Aſtrolabii extare poſſet, tranſiret vtraque BM, DN. per eum polum, ac proinde in eodem coirent. quod eſt abſurdum. Rur ſus ſi polus auſtralis in Aſtrolabio contineretur, proiiceretur per rectam AS, quæ Meridianum tangit in A, polo auſtrali;( Nam aliæ rectæ ex A, egredientes, ſecanteſque circulũ ABCD, proiiciunt in planum Aſtrolabij illa puncta, per quæ ducuntur, vt ex demonſtra tis liquet.) ac proinde recta AS, cum recta EB, conueniret, quod eſt abſurdum; cum ſint paralleſæ, ob rectos angulos E, A. Angulus enim EAS, rectus eſt à tangente A8, conſtitutus,& E, rectus eſt, ex conſtructione. Denique ſi polus antarcticus in Aſtrolabio locum haberet, cum rectę AC, BD,& omnes aliæ per cen trum E, traiectæ, referant circulos maximos, qui per polos mundi ducuntur, quorum arcticus eſt E, vt diximus, tranſirent omnes illæ rectæ neceſſario quoque per polum antarcticum, ſicuti per arcticum E, tranſeũt. Quare omnes in po lo antarctico conuenirent. quod fieri non poteſt. Non ergo polus autarcticus in Aſtroiabium proiici poteſt. Immo neque alia omnia puntta ſemicirculi Meridia ni auſtralis BAD,(excluſo etiam polo auſtrali A,) in Aſtrolabium commode poſſunt proiici, propterea quod rectæ ex A, per puncta proxima eductæ in infini tum quodammodo excurrunt, antequam rectam BD, ſecare poſsint. . 1. RATIO deſeribendi Aequatorem cum ſiiis parallelis in plano A ſtrolabij, guam hactenus explicauimus, ponit Aequatorem certam, ac determinatam habere guantitatem. Cum ergo Aſtrolabia vulgaria, atque vſitata, maximum circulum habeant tropicum S: non abs re erit, ſi breuiter cum alijs Aſtronomis doceamus, quo paeto e tropico S, dato, in Actrolabij plano Aequator,& tropicus 5, cum reliquis pa rallelis deſcribendus ſit. Sit igitur tropicus S, datus ABC D, pro magnitudine tabula rum Aſtrolabij, cuius centrum E; linea Meridiana reſerens Meridianum circulum BD, quam ad angulos rectos ſecet AC. Sumpta igitur maxima declinatione Solis B F, ducatur retta A F. ſecans EB, in G, puncto, per quod ex E, circulus deſcribatur GI: In ub ſumpta quoque Solis maxima declinatione GA, ¶ quam dabit recta ducta E F, cum arcus BF, G H: ſimiles ſint, ex ſcholio propoſ. 2 2. lib. 3. Euclid.) ducatur recta JH fecans E, in K, puncto, per quod ea E, circulus quoque deſcribatur K L. Dico G1, eſſe Aequatorem,( K L, tropicum WQ, ſi ABCD, eſt tropicus S. Ductis enim rectis AB, GI, qus parallela ſunt, cum latera EA, EB, ſecta ſint proportionaliter in I, G, quippe cum e æqualibus aqualia ablata ſint. d Igitur alterni anguli BAF, 180, aquales Polum mundi 28 ſtralem ſolum ex omnibus punctis ræ in Atlabinm non poſſe proijci. a 2 F. primi. b F. tertij. Non omnia pun cta ſphæræ anſtralia(etiam po 10 auſtrali excluſo)cem mode po f ſe proiici in Aflrolabium. Aequatorem, einſque parallelos in Aſtiolabio deſcribete, f tropici Capricor ai magnitado da ta ſit. c 2. ſexti. d 29 primi. Ae quatorem, eiuſque perallelos 296 N A o equales ſunt: ideoquè ex ſcholio pro poſ. 22. lib. 3. Euclid. arcus BF, 10, ſimiles eunt. Cum ergo BE, ſit maxima Solis declinatio, etiam IO, maxima Sclis declinatio erit. Si igitur Gli ſiatuatur Aequator, atque idcirco Meridiano Analematis æqualis, r Polit auflralis G, auferet redia GO, ex polo G, per maximam declinationem Folis ducta ſomi diametrum EA, tropici S, ita vt circulus ABC D, referat eum in ſphara, qui per ma x imam declinationem Solis ab Aequatore in auſtrum abet, ut de monſtratum eſt. Poſito igitur ABC P, tropico S; erit GI, Aequator, cum ille ab hoc per maximam Solic declinationem verſus auſtrum diſtet, vt diximus,& res poſtulat. Recte ergo ex tropic S. Aequator inuentus eſt, qua dogaids idè Aequator inuentus exhibet nobis eundem rropi cum S propoſit ii. Hinc perſpicuii eſt, EK, eſſe ſemidiametrum tropici, cum per Aequatorem Gl, inuenta ſit, vr ſupra docuimus, per rect am videlicet IH, ex Is polo aa ſtrali per maximam declinationem Solis GH, ductam. Atque eadè ratione, inusto Ae Juatore GI, alios oòs parallelos ipſius deſcribemus in Afiolabio, ut ſupra traditum ett. 2. S E D quid oberit, ſi hoc loco etiam doteamus, qua ratione ex trotico, dein ftolabie de ſcripto in Aſtrolabio, Aequator cum trotico S,& reliquis parallelis deſcribatur? Sit ſctibere, ſi tropici Cancei magui tado data ſit. igitur tropicus A. datus XL. cuiuſcunque magnitudinis circa centrum Eʒzlinea Meridiana referens Meridianum circulum BD, quam ad angulos rectot ſecet AC. Sum pta ergo maxi ma Solis decli natione LM, ducatur recta K M, ſecans EA, in I, puncto, per quod ex E, circulus deſcribatur IG. Atque in hoc ſumpta quoqué. mnmacima decli natione Solis IO,(auam da bit recta ducta EM, quod arcus LM, 10, 2 bla ali ſimiles 80 2 ſint, ex ſcholio propcſ. 22. lib. . Euclid.)duratur rea GO, ſocans EA, in A, functo, per quod er E, circulus quoqus deſcribaiur ABCD, Dico GI, Aequatorem eſſe,& ABC P, tropic i K Lʒꝭ eſt tropicus L. Producta enim IK,. ad H, quoniam arcus LM. 10 ſimiles ſunt„ ſi addantur ſimiles guadrantes LM. IP, erunt per lemma d. toti quoquè arcus N M,&ο ſimiles. Igitur ex „ ſcholio prepoſ 2 4. lib. 3. Euclid. anguli N K M. O. equales etuntz sac propterea recta 3— r 2 2. primi. H GO, parallela erunt; ideoquę ex ſchaolio propcſi ac. eiuſdem lib. 3. arcus 10, GH. agquales iI III. 297 Aquales erunt. Cum ergo IO, ſit manima Solis declinatio, erit quoquée maxima declis natio Solis& H. Si igitur G, Hatuatur Aequntor, ideoque Mu es diano Analemmat is agtsalis,& polus auſtralis I, aufaret recta I H, ex polo I, per mauimam declinationem Solis duct ſemidiametrum E K, tropici T, ita vt circulus K L, reſerat eum in ſpha ra, qui per maximam Solis declinationem ab Aequatore in boream diſter, ve diximus, & res poſtulat. Recte ergo ex tropico T, Aequator inuentiss eſtz quandoquidem idem Zeqzualor inuentus enhibet nobis cumdem tropicum D, Prapaſitum. Hint liquido conſtat, E A, eſſe ſemidiametrum tropici S. cum per Aequatorem Gl, inuenta ſit, ur ſteFra docuimuus, nimirum per rectam GO, ex polo australi per maximam declinationem Solis IO, dudtam. Eademquse ratione, inuento Aequatore GI, alios omnes eius farallelos in Aſtrolabio deſcribemus, vt ſupra traditumm eſi. 3. O D autem de tropico tam S, quam, dixi mus, intellig endum quoq; eit de quocij que parallelo alio ſiue ateſtrali, ſius horsali. Nam ſi in Aſtrolabio deſcriptus ſit quicunqus parallelus, ſi in eo numeretur eius declinatio ab Aequatore, loco mauimæ declinationis Solis BF. vel LM, reperietur eæ eo Aegtuator, at qu ei hoc omnes ali paralleli. Eadem enim demonttrat ib in eo erit, qua in tropico S,& tropieo. 4. W AM]“ autem per datum Aequaiorem in plano Aſtrolabiſ omnes eius paralleli tam boreales, quam autrales,& per quemuisparallelum in eoilem plano deſcriptums Aequator, atque per hc deinde omnes alij quoque paralleli deſeribi poſſiue, It in hac fropoſi eiuſaque ſcholio demonſtrauimus: per nullum tamen paralleium Altis e poſitus d ſcribi poi at, etiamſi in illo ſuspuretur diſtantia vntus ab altero, niſi prius Aequator deſcribatur:quod opera fracium fuerit aduertere, ne quis hac in re hallucinetur. Sint enim u. g. ties paralleli diſeripis in proxima ſigura, tropicus&. A BCD; Aequator GI P, tropicus. XLN. Ef quia ſi datus ſit tropicus S, ABCD, inuenitur ſemidiameter Aequatoris E G, ſi ſumatur maxima declinatio Solis B F, quam ab Aequatore tropicus. habet,& recta dueatur AP, vt demonſtratis est: Dico hoc mo do reperiri non poſſè ſemidiametril E R, tropic: fi nimirum à B., numerestun duplicara maxima Solis declinatio,& a ſinem en A, recta ducatur. Na recta Has ud tranJibit per punctii K, ſad vel ſupra, vel infa. Quoil in unc modii demon trabi mies. Sit, 2 fieri poteſt, arcus B Auplicatæ maximꝰæ Solis declinationi æqualis, hoc eſis F Daſit ma xima declinatio, cum B F. ſit altera maxima declinatio, e qua ſemidiameter Aequato ri EG, inuenta eſt,& recta Aber punctum K, tranſeat. Ducta ergo recta K L, qu oniam& eſt maxima declinatio, ut vult aduurſarius, eſt autem e LM, maxima eclinatio, vt ſipra patuit, quando ex irobico, ſemidiametrum Aequatoris E, in uenimus; ertint ar cus FHL A, ſimiles, ac proinde ex ſcholio propos. 22. lib. 3. Euclid. anguli F IRL, aquales erunt:a ted d totus angulus BA Ss toli angulo& RE, egualis eſt alternus alterno, b ννον, KL, parallel ſint, prepterea quod latera EA, EB, in L. K, praportionaliter ſacta ſunt; quippe ci æqualia ex æqualibus abſciſſa ſint. Igi tur demptis lis religui BAH AX I. aquales quoquse erunt. e Sed BA E, angulo Al, aqualis est, alternus alterno, d quod etiam A B, GI, parallelæ ſint, protrerea quod latea EB, EA, propertionaliter ſecta ſunt in G, I; vpe ci ab qu alibus ablata ſint g lia, e c angulus A RI, angulo G A K, æqualis eſ, alternus alterno, quod c AG, IK, parallela ſint, prapteroa quod angulus E KI, ænęu EGA, externus interno, æqualis et, ex ſcholio probcſi 22. lib. 3. Euclid. cum inſiſtant arcubis MN, OP, qui ſimiles Junt. Na cum ſimiles ſint areus LM, IO, quod vterq: ſit maxima declinatio Solis, ut ſus tra patuit, additis ſimilibus quadrantibius LN, Ii teti quoque arcis MN, OP, ex lemmate C. ſimiles ſient. Igitur& anguli A 81, QA K, æquales inter ſe erunt; s ideoque rectæ GR, AR, aguales erunt. Rur ſus quia anguli AE, GR, I. 4 AK, 40, guales ſint, alterni alternis, i inter ſe æqualis eruntiz ac proP p tterea Ae quztefem, eluſque parallelos is Alholadio deſe ribere, ex data cuinſuis pa ralleli ſmagnitudine. Nullum paralleIum Ae gu- totis in Aſtrolabio denif paius Ae qua ter deſcribatut. 4 29. primi. b 2. ſexti. c 29. primi. d. ſexti. e 29. Primi. f 2. primi. g g. primi. h 29. pri mi. i 6. primi. a 4. primi. b g. primi. 298 EE N pterea recta quoque IR, XR, equales erunt. Quoni am igitur duo latera GR, R K, duo bus lateribus AR, RI, aqualia ſunt, continenique angulos ad verticem R, aquales, a 6 runt anguli K GR. IAR, ſupra baſes G K, Al, c laterilus aqualibus K R, IR, ofpoſiri qua les. Fuerunt autem& anguli A0, GAK, qu ales. Igitur toti quoque anguli EGA. EAG, aquales erunt; b ideoque& latera EG, EA, aquslia erunt. Cum erg E G, ipſi Els a qualis ſit, erunt quoque EI, EA, aguales, pars] quod eil alſurarcus B n eſt duplicata Solis declinatio maxima: ac proinde ci recta Aber K, franſe at, non tranſibit recta ex A ad inem maxima Solis de clinationis dus plicatæ ducta per punctum K, ſed vel ſuspra, vel infra. quod erat demiſtrandum. Ex quibus om nibus liquet, ex Aequatore gui dem in pla u Aſtrolabij dato, deſcribi poſſe quemcun que parallelũ, ex ſquonis parallelo Aequatorem. ſed ex nullo parallelo eius parallelum oppoſitum repe iri poſſe, niſiprius Aequator inuentus ſit. oer 0s. V. HORIZON TEM quemlibet obliquum, Verticalem eius primarium, Eclipticam,& quemcunque alium circulum maximum obliquum, qui ad Meridianum tamen rectus ſit, inclinationemque ad Aequatorem habeat notam, in Aſtrolabio deſeribere, atque in gradus, hoc eſt, in partes inæquales, quæ eorum gradibus in ſphęra æquaà libus reſpondent, diſtribuere. 1. 8 „ 289 1. 81 in Analemmate ad initium propo ſ. 3. deſcripto ex recta n&diame Heiz5 opfiques tri viſæ Horizontis, Verticalis primarii,& Eelipticæ, nimirum nm, SN quas radij viſuales ex A, per extrema puncta diametrorum fg OR, GH, torundem circulorum in Analẽmate emiſsi abſcindunt,& quæ omnium maximæ ſunt, vt in ſcholio propoſ. 3. oſtendimus, cum Meridianus in cuius co mmuni fectione cum Aequatore apparent, ad hos circulos rectus ſit: ſi in- e, quam, hæ diametri viſæ ex recta n X, in Aſtrolabium in rectam BD, quæ rectæ bio er dd n X, in Analemmate reſpondet, transferantur eo ordine ac ſitu, quem in Ana- mate deferibäkar lemmate ha bent,& circa eas ex medijs earum pundtis circuli deſcribantur, deſeripti exunt in Aſtrolabio prædicti circuli maximi. Vt quoniam diameter viſa Horizontis eſtn m, in Analemmate, transferemus partem eius maiorem En, in Aſtrolabium ex E, centro vſque ad E;& partem minorem E mꝭ, vſque ad G, recta que EG, diuiſa bifariam in H, deſcribemus ex H, ad interua llum HF, vel HG, Horizontem ACF. Sic etiam diametri apparentes vel viſæ Verticalis SX, partem minorem ES, transferemus ex Analemmate in Aſtrolabium ex E, vfque ad,& malorem partem EX, vſque ad K, diuiſaque recta IK, bifariam in L, deſcribemus ex L, per L.& K, Verticalem primarium AIC K. Rurſus ex Analemmate apparentis diametri Eclipticæ ML, maiorem partem EM, transferemus in Aſtrolabium ex E, vſque ad M,& minorem partem EL, vſque ad N, ſectaque diametro MN, bifariam in O, deſcribe mus ex O, per M,& N. Eclipticam ACN, quæ tropſgum tanget in N,& tropicum S, in M. uod ſi in Analemmate ducꝭ tur fig K, ipfi BD, parallele, nimirum diame- gnes paralleles tri parallelorum, quorum ille ci ſemper deliteſcentium, hic vero ſemper appa-, e rentium maximus,& per eorum ſemidiametros viſas En, Em, deſcribantur ex ungut. eentro Aſtrolabij E, circuli per F.& G, incedentes, tãget eos Horizon, eritqʒ is. qui per E, tranſit, ſemper latentiũ maximus, qui vero per G, tranſit, ſemper appa rentiũ maximus erit Pari ratione, ſin eodẽ A nalẽmate ducãtur OP, QR. eidem BD, parallele, diametri videlicet parallelorũ, quos Verxticalisprimarius tangit, 5 p 2& vnus 2 — cri 2 — — & vnus quidem per O, polum Horizontis ſiue Zenith, alter vero per R, alterum olum Horizontis, ſiue Nadir, ducitur,& per eorum ſemidiametros apparentes ES. Ex, deſcribantur ex E, centro Aſtroladij circuli per I. K, tanget eos Vertica lis primarius AI CK,& is, qui per I, tranſit, referet cum, qui in ſphęra per ſupe riorem polum Horizontis. qui ve ro per K, incedit, eum, qui per inferiorem polum Horizontis ducitur., Omnis enim circulus maximus obliquus ad Aequatorem tangit duos parallelos Aequatoris ęquales. Eadem prorſus ratione quilibet circulus maximus obliquus, qui ad Meridianum rectus ſit, notamqʒ habeat incli nationem ad Aequatorem, in Aſtrolabiò deſeribetur, qua prædicti tres maxim i ei reuli deſcripti ſunt. Vt ſi deſcribẽdus ſit maximus circulus ꝓ polos Zodiacidu ctus,& ad Meridianum rectus, qualis eſt ille, qui etiam per communes ſectiones Aequatoris& Horizõtis ducitur, poſito principio O, in Meridiano,& ad Aequatorẽ inclinatus eſt grad. 66. min. zo. ducemus in Ana lẽ mate eius dia metrum HZ,(Hane, vt cõfuſio vitaretur, nõ duximus) per puncta h, Z, quæ ab Aequatoris dia metro BD. grad. 6 6. min 30. abſunt,& beneficio radiorũ viſualium ex A, per extrema puncta h. Z, ductorũ diametrum apparentem in recta BD, inueſtigabimus,& c Ita vides in Aſtrolabio dictũ circulum deſeriptũ eſſe ex P, centro( quod qua ratione inquirendum ſit, etiamſi totã diametrum viſam non habeamus, pau Jo infra Num. 4. docebimus) per punctum Q, quod in Analemmate reſpõdet pun cio p, per quod radius viſualis Ah, ducitur. Eademque ratio eſt in cæteris. Omnes autem eiuſmodi eirculi maximi ohiqui per puncta A, C, neceſſario tranſibunt, vt infra in ſcholio hu ius propoſi. Num. 1. demonſtrabimus. 2. EOS DEM circulos maximos obliquos in Aſtrolabio deſcribemus, etiamſi Analemma ſeorſum non ſit cõſtructum, hoc modo. Deſeripto Aequatore cum vtroqʒ tropico, vti ſupra, deſcribatur ex A, ad quodlibet interuallum arcus eirculi SRT, quẽ in S, Ti ſecet recta SI, ducta per A, ad AC, perpendicularis, vel ipſi BD, vtrinque productæ parallela, vt duo quadrantes fiant RS, RT, ex ſcholio propof 27. lib. 3. Euclid. ob rectos angulòs ad A. Beneficio enim huius arcus SKT, magis exquiſite puncta in Aſtrolabio inueniemus, quàm ſine illo. Deinde à polis A, C,(Aequator enim ABCD, cum Meridiano Analemmatis ſit æqualis, accipi poteſt pro Meridiano,& A, pro polo auſtrali,& C, pro borea Ii,& recta BD, in vtramque partem extenſa pro communi ſectione plani, in quo Aequator,& alterius plani, in quo Meridianus ABCD, vt in propoſ. 4. Num. 5. di ctum eſtʒ perinde ac ſi circulos ABCD, inſtar Meridianii plano Aſtrolabij inſiſteret ad angulos rectos in recta B D.) numeretur in diuerfas partes latitudo loci, pro quo Aſtrolabium conſtruitur, ſiue(quod idem eſt)altitudo poli vſ. que ad V,&&, ducaturque diameter Horixontis VX. Ductis deinde rectis ex A, per B.& D, ſecabuntur quadrantes RS, RI. in Z, a, bifariam, ſi erratum non eſt. Cum enim angulus AEB, rectus ſit,„& anguli EAB, EBA, æquales, erit vterque ſemirectusza quòd omnes tres duobus rectis ſint æquales Igitur& reliquus angulus SAZ, ex recto ſemirectus erit, ideoqͥue 9 0 75 RAZ, ſemirecto æqualis; Nac proinde arcus ZR. ZS, quibus inſiſtunt, æquales erunt. Eodemque modo oſtendes, æquales eſſe arcus a R, aT. Diuiſo quoque vtroque quadrante RS, RT, in 180. partes æquales, numeretur in eis, ac ſi eſſent gradus, ex, & R, verſus R,& T, altitudo poli, vel(quod idem eſt) ex Z,& a, verſus 8,& R, complementum altitudinis poli, vſque ad V,& b: vel certe per lemma z. accipiantur arcus d V, Rb, ſemiſsi arcus AV, vel CX, altitudinis poIi ſimiles; vel arcus Z, 2 b, ſemiſsi complementi altitudinis poli, hoc eſt, ſemiſsi arcus BV, vel D X, ſimiles. Nam radij viſuales A, A b, auferent diame1 a f. 2. Then Horizostẽ qusuĩs obliquũ, verticalem eius primarium, Eclipti cam,& quemcun que alium circulum maximum obliquum, qui ad Metidiaaum tamen rectus ſit, in clinationemqꝗ; ad Aeſquatorem ha beat notam, in Aſlrolabio fins conſtructione Analem malis di ſeribere. b 5. primi. c 32. primi. d 26. tert. 2 — 8 2 — — .].: ————5riw — 2 R O nN.. 303 diametrum Horizontis viſam PG, quippe qui tranſeant per extrema puncta V, X, diametri Horizontis, propterea quod per lemma ro. tam rectæ AS, AV,& AR, Ab, auferunt ex citculo SR, arcus ſemiſsibus arcuum AV, CX, altitudinis poli ſimiles quales ex conſt ructione ſunt arcus SV, Rb, quàm rectæ AZ, AV,& Aa, a b, ex eodem circulo SRT, intercipiunt arcus ſemiſsibus arcuum BV, DX, complementi altitudinis poli ſimiles, quales accepti ſunt arcus Z V. a b. Si igitur diameter inuenta E, ſecetut bifariam in H, deſeribetur ex H, per E,&&, Horizon ACG. Recte autem inuentam eſſe viſam diametrum FG, ex eo patet, quòd radij AV, AX, in iiſdem prorſus punctis rectam B D, ſecant, in quibus eandem ſecarent, ſi circulus AB CD, plano Aſtrolabij, vel Aequatoris, ad rectos inſiſteret angulos in recta B D, ita vt ſitum Meridiani obtineret, vt conſtat. Vides igitur, arcum S RT, ſolum eſſe deſcriptum, vt radij ex A, per puncta circuli ABCD,(quæ alioquin ſufficerent) rectius poſsint educi. 3. CEN T RVM autem Horizontis apparentis, id eſt, punctum H,; ſecans diametrum viſam EG, bifariã, facile hoc modo inuenietur, etiamſi neutrum pun ctorum extremotum F, G. inuẽ tum foret. Ducatur ex A, ad VX, diametrũ Horizontis perpendicularis Ac e. Hæc enim, vt in lemmate 35. demonſtratum eſt, bilariam ſecabit baſem EG, trianguli AFG, à radijs AV, Ax, emiſsis abſciſsi: adeo vt recta ex polo guſtrali ad diametrum circuli maximi obliqui in Aequatore Aſtrolabij deſcriptam perpendicularis ducta cadat in centrum eiuſdem circuli obliqui. Ita vero perpendicularis Ace, facile ducetur. Arcus AV, quo Horizon in ſphæra à polo auſtrali abeſt, hoc eſt, altitudo poli, duplicetut vſque ad e; Et vt res ſit magis accurata, arcui quoque SV, qui ſemiſsi arcus AV, ſimilis eſt, ęqua lis ſumatur Ve. Nam red Aſc e, perpendicularis erit ad diametrum Horizontis VX, in ſphæra. Cum enim areus Ac, ſecetur bifariam in V, ſecabitur quoque ex ſcholio propoſ. 27. lib. 3. Eucl. recta Ac, bifariam in dz ac proinde& ad angulos rectos. quod eſt propoſitum. Iam vero ſi ducatur axis Horizontis fg, ad VX, diametrum Horizontis perpendicularis, erit Cf, arcui VB. hoc eſt, comple mento ar cus AV, æqualis. Cum enim quadrantes æquales ſint CB, V, ablato communi arcu fB, reliqui arcus Cf, BV. æquales erunt. Ergo AV, Cf, quadraptem conflabuntzac proinde& arcus Ve, fe, reliquum quadrantem ſemicirculi ABC, conficient. Quatre& arcus fe, complementum exit arcus eV, hoc eſt, arcus AV, ideoque ipſi Cf. æqualis Quamobrem ſi complementum arcus AV, diſtantiæ Horizontis à polo, hoc eſt, ſi arcus VB, vel Cf, duplicetur ex altero polo C, inuenietur idem punctum c, per quod eiecta recta Ac, in H, centrum Hoxizontis apparentis cadit. Hoc autem poſterius alio quoque modo demonſtrauimus in lemmate 35. 4. HA C eadem ratione centrum cuiuſuis circuli maximi obliqui in Aſtro labio reperietur, ſi nimirum ex polo auſtrali A. ad eius diametrum perpendicularis linea ducatur: quod quidem fiet, ſi eius diſtantia à polo ex polo auſtrali A, vel complementum eius diſtantiæ ex polo boreali C, duplicetur,&. vt in Horizonte factum eſt. 5. EX bis conſtat, centtum obliqui circuli max imi in Aſtrolabio à centro centtum Horizontis in Aftrolabio inuesire, etiamſi dis meter eius viſa inuenta non ſit. Re dam ex polo auſtrali ad diame trum circuli ma ximi obliqui in Aequatore deſcriptam, ad angu los rectos ducta, cadere in centtũ eiuſdem cixculi obliqui in Aſtrolabio. 2 3. tertij. Cent m cufa f. uis circuli maxĩ mi obliqui in ſtrolabio inuenire, etia mſi eius diamęter viſa inuenta non fit. Centrum cuin. Aſtrolabij diuerſum eſſe: quod& propoſ. 3. Num. q. demonſtratum eſtʒ quia cum perpendicularis ex A, ad diametrum cireuli obliqui ducta cadat in centrum eiuſ dem circuli obliqui apparentis, vt oſtendimus, non tranfibit ea perpendicularis per E, centrum Aſtrolabij, cum Ak, rectos apgulos faciens cum BD, oblique ſeget diametrum eirculi obliqui, non autem ad angulos rectos. Idem hac ratione per lum elle · 304 I. i l per ſpicuum iet. Quontiam circulus maximus obliquus ſecat Aequatorem la duobus punctis, cum vnum extremum eius diametri ſit intra Aequatorem, & alterum extra; vt patet ex inuentione eius diametri, perſpicuumque eſt in diametro FG, exit eius centrum omnino diuerſum ab E, centro Aequa2 f. terij. toris, cum duo cireuli ſe mutuo ſecantes non poſsint idem centrum habere. 6. NON aliter alios circulos maximos obliqugs ad Meridianum rectos deſeribemus. Sit enim diameter Verticalis primar ij fg ſecans Horizontis diametrum VX, ad angulos rectos, tranſiensque per f, g, poſos Horizontis. Stigitur ex A. per f, g, radij viſuales ducantur, ſecabunt ij rectam BD in], K polis Horiꝛontis, per quos ex L, puncto medio diametri viſæ IK, Verticalis primarius Al CE, deſcribendus eſt. Sed vt extrema puncta diametri viſæ IK. magis exquiſite reperiantur, præſertim remotius K,. accipiendus eſt at eus Zh, f milis ſemiſsi arcus Bf, vel arcus Rh, ſimilis ſemiſsi arcus Cf. Item arcus ai, ſmilis ſemilsi arcus Dg vel arcus Ti, ſimilis ſemiſsi arcus Ag. Centrum quoque L, inuentum eſt per rectam Ak, ad dia metrum fg, perpendieularem, quæ videlicet ducitur per I. terminum arcus Al, qui duplus eſt arcus Ag, nee non per k, terminum arcus Tk, qui arcus Ii, duplus eſt,&c. 7. SIT rurſus diameter Eclipticæ men, diſtans à BD, diametro Aequatorie per maximam declinationem Solis. Si igitur ex A, per man, radij viſuales ducantur ſecantes BD. in M, N, erit MN, diameter Eclipticæ appatrenszquæ accuratius inuenietur, ſi ſemiſsibus arcuum Bm, Dn, ſimiles arcus ſumantur Z o, a p. Centrum etiam O, repertum eſt per rectam Ar, ad m n, perpendicularem, quæ nimirum ducitur per q; terminum arcus A q, qui duplus eſt arcus Am, complementi maximæ declinationis, nec non per r, terminum arcus Sr, qui duplus eſt arcus So: quæ puncta qr, habentur etiam per arcus C q, KT. quorum ille maximæ declinationis duplus eſt, hic vero ſemiſsi arcus C q ſimilis. Beliptieam ſem- QVYAMVIS autem Ecliptica vna cum Coluris in ſphæra motu diurto cir belenin dre. cumferatur. non tamen idcirco in Aſtrolabio eius cireularis figura impeditur. labio, ei aſdemq; Nam quemcunqʒ; ſitum Colurus Solſtitiorum occupet, ſemper rectus eſt ad Ecli celan ad mot Pticam, ac proinde in eius communi ſectione cum plano Aequatoris ſiue Aſtrodiarnusm in ſpnz labij,(quæ ad motum diurnum cum omnibus rectis per centrum Aſtrolabii du ra continuo cir· ctis congruit) diameter viſa Eclipticæ ſemper mazima erit, ſemperque planum cu mſerat ur- d Aſtrolabij Aequaturisue, in cono, cuius baſis eſt Ecliptica, ſubbontrariam ſectionem faciet, hoc eſt, circulum, vt demonſtratum eſt propoſ. 3. Ex quo fit, Ecli pticam ſemper proiici in circulum eiuſdeni magnituditidis in Aſtrolabium,. quemcunque illa ſitum in ſphæra obtineat. 8. SIT denique diameter ft, circuli cuiuſuĩs obliqui, ad Meridianum tamen recti, nimirum eius, qui per polos Zodiaci ſ. t, ducitur,& per communes ſectiones Aequatoris& Horizontis, conſtitutis eiſdem polis in Meridiano. Si igitur ex A, per ſ, t, ducantur radij viſuales, ſecabit A ſji tectam BD, in Q. polo Eclipticæ, per quem propoſitus circulus deſcribendus eſt. Sed vt exquiſitius hi radij educantur, accipiendi ſunt arcus Ru, La, ſemiſsibus atcuum Of. At, ſimiles. Et quia radius Aa, nimis procul cum BD, concurrit, ita vt alter polus Eclipticæ in plano ægre haberi poſsit, deſeripta eſt circuli propoſiti portio tantummodo AQC, ex centro P., quod inuenitur per rectam A, ad diametrum p t, perpendicularem, ductam videlicet pęſ Jatet minum arcus 4 J qui ar cus At, duplus eſt,& per ę:terminum Tg. qui accus Ta duplus quoque eſt. 1 YO r r . Av. 305 W O modo autem maximus c ireulus obliquus ad Meridianum non rectus, ſed rectus quidem ad Horizontem, in Aſtrolabio deſeribendus ſit, docebimus propoſ. g. rectus vero ad Verticalem primarium, propoſe 10. neque rectus deniqʒ ad Horizontem, aut Verticalem, propoſ. 12. 9. VT autem ſciamus, quam in partem diameter cuiuſuis circuli obliqui, ſed ad Meridianum recti, ducenda ſit, diligenter obſeruanda eſt eius inter ſectio cum Meridiano in ſphæra. Eodem enim modo eius diameter ſecare debet citculum ABCD, in Aſtrolabio, qui pro Meridiano ſumitur, ita vt A, ſit polus auſtra lis; C, borealisz& B, interſectio eius cum Aequatore in ſupero hemiſphærio. Itaque quoniam Horizon ſecat in ſphæra Meridianum inter Aequatorem in ſupero hemiſphærio& polum antarcticum, ducenda eſt eius diameter inter B,& A; ualis eſt diameter VX. Quia vero Verticalis primarius in ſupero hemiſphærio ſecat Meridianum inter Aequatorem,& polum arcticum, ducenda eſt eius diameter inter B,& C, vt factum eſt in diametro Verticalis fg, ſic etiam quoniam Ecliptica( poſito principio S in Meridiano ſuperi hemiſphærij) ſecat Merinum inter Aequatorem,& polum antarcticum, ducenda eſt eius diameter mn, inter B,& A, veluti Horizontis diameter. Denique quia circulus maximus per polos Eclipticæ in eo ſitu,& polos Mer idiani ductus, ſecat Meridianum inter Aequatorem,& polum arcticum, ducenda eſt eius dia meter ſt, inter B,& C, que madmodum diameter Verticalis. Atque ita de cæteris, habita ſemper ratione diſtantiæ circuli obliqui à polo A, vel polo C, aut certe ab Aequatoris inter ſectione B. 10. POR R O,: quoniam quilibet eirculus maximus obliquus tangit duos paralle los Aequatoris æqua les& oppoſitos, inuento puncto illo extremo diametri viſæ cuiuſcunque circuli maximi obliqui, quod à centro Aſtrolabij E, pro pius abeſt.(quod quidem commode haberi poteſt, cum radius viſualis illud exhibens ſecet ſemper diametrum BD, intra Aequatorem) reperietur aliud extremum punctum remotius longe accuratius, ſi duabus rectis, quarum vna eſt portio rectæ BD, inter E, centrum Aſtrolabij,& extremum punctum propinquius, (hoc eſt, ſemidiameter paralleli borealis, quem maximus circulus obliquus eo in extremo tangit.) altera vero ſemidiameter Aequatoris, tertia proportionalis inueniatur, vt in lemmate 12. docuimus Hæc enim dabit alterum extremum diametri viſæ propoſiti circuli maximi obliqui, cum ſit ſemidiameter paralleIi auſtralis, quem idem circulus maximus tangit, vt propoſ. 4. Num. If. demonſtrauimus. Vt in Horizonte, inuento puncto G, ſi duabus EG, EB, inuenia tur tertia proportionalis EE, inuentum erit alterum punctum extremum FE. Sic in Verticali, poſtquam inuentum fuerit punctum I, f duabus EI, EB, adiungatur tertia proportionalis EK, habebitur extremum alterum K. Item in Ecliptica, inuento puncto N, ſi duabus EN, EB, tertia proportionalis adiun— gatur EM, datum erit alterum extremum M. Denique in circulo AQC, inuento puncto Q, ſi duabus EQ, EB, reperiatur tertia pi oportionalis, offeret ea alterum punctum extremũ remotius diametri viſæ eiuſdem circuli. Et ſic de cęteris. Verum inuentio huius puncti extremi remotioris non eſt oĩno neceſſaria. Nam ſi exquiſite centrum dati cireuli obliqui reperiatur per lineam ex auſtrali polo A, ad eius diametrũ in Meridiano Analẽmatis(qui in Aſtrolabio eſt ipſe Aequator.) perpendiculatẽ, vt ſupra Num. z. diximus, deſcribetur circulus obliquus in Aſtrolabio ex eo centro, ad interuallũ ſem idiametri inter centrum,& punctun extremũ propinquius inuentum intercepto; exhibebitqͥ;; ſimul alter extremum remotius: Immo neque vicinius extremum erit neceſſarium omnino. Nam, vt g in ſchoDiameter dati cir euli maximi ohli qui,& ad Meri lianũ recti, qaa ratione in Kequa tore Aſtrolabij ducẽda ſit, vt per eã ciiculus obliquus deſeribatur in Adtolabia. a f. 1. Theo. Extremum punctum diametti xi ſæ circuli maximi obliqui, quod à centro Allie l bii remotius 060. accuratius inue nite. ſcribere, e ei“ dia mete iguenta non fc. PN ON O F. IV. 307 in ſcholio Num. 1. oſtendemus, cireulus obliquus per punctum A, neceſſario tran ſit Si ergo ex centro inuento per A, circulus de ſeribatur; erit is maximus quæſitus.& limul vtrumque extremum̃ exhibebit. 1 11. IMM O eadem hac arte ſemidiametrum cuiuſuis paralleli Aequatoris fung. auſtralis nullo fere negotio etuemus. Nam ſi V. g. ſemidiameter paralleli, cufus de dete ria he declinatio auſtralis ſit B V,, deſideretur, ducemus diamettum circuli maximi 4% e VEX& ad eam ducemus perpendicularem Ad. quę rectam DB, productam ſecet& 3 in I Si namque rectam IG, inter H,& punctum G, terminans ſemidiametrum issue. aralleli borealis oppoſiti,(quod per rectam AX, indicatur, cum declinatio barealis DX, declinationi auſtrali BV, æqualis ſit) transferemus vſque ad FE. erit Ek, ſemidia meter quæſita:propterea quò dH, eſt centrum circuli maximi tapgen tis in G.& E, duos pa rallelos oppoſitos& æquales, quorum declinationes ſunt DX, BV, vt ex dictis patet. 12 PO LVs quoque circuli cuiuſuis max imi obliqui ad Meridianum recti, bon cue ai eit qui in ſphæra à polo auſtrali remotior eſt indica in BD, linea meridiana Aſtro. labij per radium viſualem, qui ex A, ad medium punctum illius ſemicirculi du- he Per dass tecitur, quem eius circuli diameter aufert, ſiue( quod idem eſt) qui tam cum angu- W lum, quem radij per extrema puncta dia metri ipſius circuli ducti, quàm cum, a. g quem radij per centrum Aſtrolabij, hoc eſt. centrum circuli obliqui in ſphæra, & centrum eiuſdem in Aſtrolabio ducti comprehendunt, bi fariam diuidit. Verbi gratia radius Af, cadens in f, punctum medium ſemicirculi Vf&, quem diameter Horizontis VX, abſcindit, vel diuidens tam angulum VAX, quàm HA E, bifariam, exhibet I, polum Horizontis reſpondentem in ſphæra polo f, qui à polo auſtrali A, longius abeſt. Nam f, punctum æqualiter diſtans ab Horizonte per VX, ducto polus eſt Horizontis, ac propterea in I apparebit. Re- Nds en ele ctam autem Af, diuidere bifariam tam angulum VAX, coptentum ſuberadiis austali ee, bol AV AN, per extrema puncta diametri VX. ductis, quàm angulum HAE, quem 38 e radu AE, A H, per centrum Aſtrolabij, vel Horizontis in ſphæia E& centrum e Horizontis H. in Aſtrolabio ducti conſtituunt, ita oſtendemus. Quoniam arcus 2. e e V, f X, aquales ſunt, a æquales quoque erunt anguli fA V, AX. Deinde, à 2. f reh, v quĩa arcus CX, arcui AV, æqualis eſt, ob angulos in centro ad verticem b 26. 17 æquales,& cidem arcui AV, ſumptus fuit æqualis arcus Vc; erunt quoque ar- 7 cus CX. Ve, æquales: quibus demptis ex quadrantibus fX. V, reliqui arcus[Cie, equales etiam eruntz e ac proinde anguli EA f. H A f, illis arcubus inſiſtentes, 4 æ quales erunt. Et quoniam poli per diametrum ſunt oppoſiti in ſphæra, cadet Nen recta ducta f E, in alterum polum ꝑʒac proinde radius Ag, ad Af, per pendicularis (quod angulus fAg, in ſemicirculo fAg, rectus ſit,) indicabit in Aſtrolabio al- d 37. tert te rum polum, reſpondentem in ſphæra polo g. qui à polo auſtrali A, propius 5 77 abeſt. Eodemque ratio omuino eſt in aliis circulis obliquis maximis Nam G, F, ſunt poli Verticalis: Q, Eclipticæ, alter vero per radium Atæ, indicaretur, ſi id plani anguſtia permitteret,& N, M, circuli AQC. 13. EX hisliquet, in Aſtrolabio polum cuiuslibet cireuli obliqui maximi à Pelam celui centro Aſtrolabij diuer ſum eſſe. Nam cum radius ex polo auſtrali per polum cir el culi obliqui ductus non trau ſeat per centrum Aſtrolabij, quod C, polus mundi tte Atelab d non poſsit elle polus cireuli obliqui, perſpicuum eſt. polum circuli obliqui appa. rere extra centrum Aſtrolabij, ac proinde ab eo diuer ſum eſſe. 14. IT AQV E qucto radio ex A, per f. polum Horizontis, ſecan- centtam eireali maximi obliqus e arcum R 8, in h, ſi arcui Rh, ſuwatur æqualis arcus he, vel arcul ae. reperire in Cf, æqualis arcus fe, cadet recta Ace; in H, centrum Horizontis in Aſtro- Adrolabio. Q 2 labio: * ü a 1. 7 W 7.. f ö 5 N 25 0 N — — 7 — 0 0 * 2 Y. 21 ** N 8 3 3—— 8 8 *„.. —* N Prin d r.. 309 labio:. propterea quod anguli Rh, e Ah, ſiunt æquales; ac proinde angulus RA e, comprehenſus duabus rectis, quarum A R, per E, centrum Aſtroſabij. vel centrum Horizontis in ſphæra, at vero Ae, per H, centrum Horizontis in Aſtrolabio ducitur, bifariam ſecatur. Idemque contingit in aliis circulis maximis obliquis 5 ES T quoqʒ obiter hic notandum, radiũ Af, ex polo auſtrali in polum circu Ii obliqui maximi cadẽtem, abſcindere ex linea meridiana,& diametro eiuſdem circuli maximi obliqui, duas lineas ęquales vſq; ad E, centrum Aſtrolabii; hoe elt, rectam EI, vſqʒ ad I, polum viſum, æqualem eſſe ſegmentò rectę EV, vſq; ad radium Af: Eademq; ratione rectam EK, vſqʒ ad alterum polum viſum K, æ qualem eſſe ſegmento rectæ EV, productæ vſqʒ ad radium viſualem KA, verſus A, productum. Quoniam enim tres anguli in triangulo A El, æquales ſunt tribus angulis tr ianguli à rectis Ef, fA, EV, conſtituti vſqͥz ad interſectionem rectarum f, EV; ſuntq; tam ablati anguli recti AEI, f E V, æquales„ quàm anguli EAf, EfA, in Iſoſcele AkEf: erit quoque reliquus EIA, trianguli AEl, reliquo in alio triangulo, quem rectæ EV. A, in communi earum ſectione conſtituunt, ęqualis. Igitur recta El. æqualis eſt ſegmẽto rectæ EV, vſq; ad radium Af. Rurſus quia tres anguli in triãguloRA EK, ęquales ſunt tribus angulis triãguli à rectis Eg, gA, EV. cõſtituti vſqʒ ad interſectionem rectarum gA, EV; ſuntqʒ tam ablati anguli recti AEK. gEV, æquales, quam anguli EAg, Ag E, in Iſoſcele AEg:erit quoqʒ reliquus EKA, trianguli AEK, reliquo in alio triangulo, quem rectæ gA, EV. in earum concurſu effieĩunt, æqualis. s Igitur recta ER. æqualis eſt ſegmento rectæ EV. productæ vſque ad radium gA, productum verſus A. quod eſt propoſitum. 15. EX his etiã conſtat, polum cuiuſuis circuli obliqui in Aſtrolabio à ſuo centro eſſe diuerſum. Id quod in datis exẽplis vel facile videri poteſt. Quod tamẽ breuiter ſic demõſtrari poterit. Sit ſ. polus V. g. Eclipticę, apparens per radiũ Aſ. in Q. Dico Q, non eſſe centrũ Eclipticę. Quoniã enim centrum indicatur per ra dium per pendicularẽ ad diametrum Eclipt ic, vt Num 3. demonſtratũ eſtzſi Q. dicatur eſſe centrũ Eclipticæ, erunt anguli ad h, recti,& æquales: Sunt autem& anguli mA, nA, æquales, ꝙ radius Ab, per polum ductus ſecet angulum mAn, bifariä, vt Num. 12. oſtenſum eſt. Igitur duo anguli mA, mA, trianguli Ahm, æquales ſunt duobus angulis nA, nA, trianguli Ahn. Cum ergo illis adiaceat latus commune Ah h erunt quoque latera mb, nd, æqualiazac proinde cum ng, recta maior ſit, quàm nE, hoc eſt, quàm mE, erit quoque mh, maior quàmmęE, pars quàm totum. quod eſt abſurdum. Non ergo Q, polus Eclipticæ centrum eſt eiuſdem. Pari ratione ſit O, centrum Eclipticę, quod exhibet A, ad mn, perpendicularis. Dico O, non eſſe polum Eclipticæ. Quoniam enim polus indicatur per radium, qui angulum mAn, diuidit bifariam, vt Num. 12. oſtendimus; ſi O, dicatur eſſe polus Eclipticæ, erunt anguli m, AA, æquales: ſunt autem& anguli ad A, quales, quia red i. Igitur duo anguli mE, mA n trianguli A um, duobus angulis A, A trianguli A un, æquales ſupt. Cum er2 27. eertij. Quss reclas gun les abſcindat radius ex polo au ſtrali ad polum maximi cixeuli obliqui ductus.7 b 32. primi. c 5. pri ni. d 6. primi. 03. primi. f S. primi. g 6. frimi. Polom circuli maxlwi obliqui ab eius centro di ferre in Afrolabio. h 26. frimi. go illis adiaceat latus commune Ai erunt quoque rectæ m n, æ qua leszac i proinde cum n, maior ſit, quam nE, hoc eſt, quam m, erit quoque m, pars maior, quã totum mE. quod eſt abſurdum. Nõ ergo O. centrum Eclipticæ, polus eſt eiuſdẽ. Eadẽqͥ; ratio eſt in aliis circulis maximis. Quod tamẽ ita quoqʒ poteſt cofirmari. Quoniã demonſtratum ſupra eſt Nu. 12. radiũ per polum ductũ focare bifariã angulum contentũ radijs duobus per centrũ Aſtrolabij& centrũ circuli obliqui quctis, neceſſariò differct radius per polũ ductus à radio per centtũ cir culi obliquĩ ducto, ideoq́; duo hi radij diuerſa puntta in Aſtrolabio ir dicabunt. 16. SED Adrolabio ex edes pole ſuperio te in gradus di2 1. 1. Theo. 30 L 21 0 R 1 N15 16. SED iam; quomodo quilibet cireulus maximus obliquus in Aſtrolabio deſcriptus in gradus diſtr ibuatur, doceamus. Quoniam enim eorum arcus non ſemper in arcus ſimiles proiic iuntur, vt propoſ 3. Num. 2.& 3. demonſtrauimus, non erunt corum arcus ſingulis gradibus eorundem in ſphæra reſpondentes, inter ſe æquales: alias ſimiles eſſent arcus in Aſtrolabium proiecti arcubus in ſphæra, qui proiiciuntur. Aliam ergo viam ac rationem inire oportet, qua gradus circulorum maxim orum obliquorum in Aſtrolabio deſeriptorum habere pofsimus. Quamuis autẽ in gradus diuidi poſsint per circulos maximos, qui per eorum polos ducuntur, vt Horizon per circulos Verticales,& Ecliptica er maximos circulos, qui per eius polos ducunturꝰ& circuli latitudinum dici ſolent.& ſic de enteris: quia tamen nondũ docuimus, qua ratione huiuſmodi circuli maximi deſcribantur in Aſtrolabio,& eorum nonnulli in immenſam fer me quantitatem excreſcunt, vt vix ſine errore delineari poſsint, diuidemus eoſ dem cõmodiſsime per lineas rectas, idq pluribus viis, quarum prima omnũũ eſt pulcherrima ac facillima, ac proinde eã inter alias eligendã cenſeo, cuius prior pars(quoniam duas continet, hoc eſt, duobus modis fieri poteſt,) ſic ſe habet. ly. INVENT O polo Horizontis, vel cuiuſuis circuli obliqui maximi, (Eadem enim in omnibus eſt ratio, vt Num. 23. dicetur,)qui intra Acquatorem exſtit,(qui quidem eũ exprimit, qui in ſphæra a polo auſtrali remotior eſt/) ſi ex eo per ſingulos gradus Aequatoris rectęlineæ ducantur vſq. ad circulũ obliquũ, diſtributus erit abliquus circulus in gradus, hoc eſt. in arcus, qui quamuis inter ſe inæquales ſint, reſpõdent tamen gradibus æqualibus illorum circulorum ma ximorum obliquorum, quos in ſphæra referunt. Verbi gratia, ſi ex I polo Horizontis per quodcunque punctum, Acqua toris recta ducatur 16,5 ſecans Horizontem in Yreſpondebit arcus E, tot gradibus Horizontis in ſphæi a, quot gradus in arcu Acquatoris B, continentur, hoc eſt, arcus„rrepreſentabit arcum Horizontis in ſphæra arcui Aeguatoris , æqua lem adeo vt ſi B&, arcus fuerit grad. r. etiam arcus B. ſit grad. i. ſi arcus B, fuerit 2. gradi etiam arcus FY ſit 2 grad&c. Quod ſic demonſtrabimus. Planum, quod in ſphæra per polum antarcticum,& polum Horizontis ab eo temotiorem, pimirum per Zenith, ducitur, abſcindit ex Aequatore:& Horizonte arcus æquales, initio ſacto in Aequatore quidẽ à ſemicirculo Meridiani ſuperiore, in quo Zenith exiſtit, in Horizonte vero a ſectione auſtrali; quam cum Meridiano facitz vel in Aequa tore a Meridiani ſemicirculo inſeriori in Horizonte vero à ſectione boreali, vt in lemmare 23. demonſtrauimus. Igitur illud idẽ planum(- quod quidẽ in ſpbęra circulũ facit) in Aſtrolabiũ proiectũ auferre conſpicietur ex polo auſtrali coſ dẽ illos arcus æquales ex Acquatore,& Horizõte in Aſtrolabio cõſpectis, illos videlicet, qui abſciſsis arcubus in ſphęra reſpondent. Cũ ergo planũ ſcu potius circulus, quẽ in ſphęra efficit. per polũ auſtralẽ trãſiens faciat in Aſtrolabio per propoſ. 1. Num. /. lineam rectam per polum I. tranſeuntem, referet tecta Io, cicculum illum per polum Horizontis I.& punctum Acquatoris c, ductä. Hæc igitur producta ſecabit Horizontem in puncto, quodl illi in ſpbæra reſpõdet, per quod circulus ille dueitur; adeo vt in puncto, circulus ille Horiz ontem lecare conſpiciatur ex polo auſtrali, Aequatotem vero in puncto a cũ radius viſualis in illius circuli plano per omnia puncta circumductus ab eo non recedat, ideoque in I, communi eius ſectione cum plano Aſtrolabii ſemper exiſtat. Arcus ergo Horizontis E, illum in ſphæra repreſentat, qui ai cui Acquatoris B g, æqualis eſt. Idem dicendum eſt de omnibus aliis rectis lineis ex Horizontis polo I, egredientibus,& tam Ae quatorem, quam Horizontem ſecontibus. 1 Nam PEN G N& V. 311 Nam& recta Ife, aufert ex Horizonte arcuum Es, tot graduum, quot in arcu Aequatoris B f, continentur;& recta IA, abſcindit arcum Horizontis FA, tot gra duum, quot quadrans Aequatoris BA, complectitur, nimirum o. ita vt FA. referat quadrantem Horizontis in ſphæra. Denique quælibet recta ex I, polo Horizontis educta,& meridiana linea BD, in vtramque partem extenſa, ſi opus ſit, intereipient ſemper in Aequatore& Horizonte duos arcus æquales, hoc eſt, qui gradus numero æquales complectantur; initio ſemper ſumpto vel a duobus punctis B, E, vel a duobus D, G, quorum priorum duorum punctum B, in Aequatore eſt ſuperius,& E, in Horizonte auſtrale poſteriorum vero duorum punctum D, in Aequatore eſt inferius,& G, in Horizonte boreale. Id quod ſeruandum eſſe in maximis circulis præcepimus in lemmate 23. quando polus Horizontis a polo auſtrali remotior aſſumitur, qualis eſt polus aſſumptus I. Eadem que ratione duæ quælibet rectæ ex I, emiſſæ includant in Acquatore, Horizonteque duos arcus æquales, cuiufmodi ſunt duo areus 55 4 f, inter duas fectas 15, IE Item duo arcus 7 C, C, inter duas rectas I,& IC,(ſi duceretur) interiecti. Itaque ſi ex I, per ſingulos gradus Aequatoris rectæ lineæ ducerentur, diſtribueretur Horizon in 360. arcus, qui ſingulis gradibus Horizontis in ſphæ ra reſponderent. 8 ED quoniam accidit interdum, polum I, eſſe valde propinquum puncto B, ac proinde vix poſſe ex eo per gradus Aequatoris prope B, rectas ſine errore educi, quæ gradus in circulo obliquo nobis exhibeant; afferemus huic incommodo remedium facillimum propoſ. 6. ad finem Num. 21. vbi docebimus, quo pacto alius circulus cuiuſuis magnitudinis ex certo quodam centro deſeribi Poſsit, ita vt rectæ ex I, per eius gradus emiſſæ indicent gradus reſpondentes in circulo obliquo, non ſecus ac rectæ ex I, per gradus Aequatoris egredientes, vt de monſtra tum eſt. 18. IT AQV E ſi deſideretur in Horizonte gradus quicunque, hoc eſt, arcus quotuis graduum, cuius initium ſit vel in altera ſectionum eius cum Meridia no, vt in F, vel G, vel in altera eius interſectione cum Aequatore, vt in A, vel C, numerandi ſunt illi gradus a puncto Aequatoris correſpondente, nimirum à B, vel D, aut ab A, vel C, in illam partem, in qua arcus abſcindẽdus eſt. Recta enim ex I, polo Horizontis per finem numerationis in Aequatore emiſſa ſecabit Ho rizontem in gradu, qui deſideratur. Vt ſi quis cupiat arcum grad. 25. ivitium ſumentem ah interſectione Horizontis cũ Aequatore orientali, qualis in Aſtrolabio ſolet eſſe punctuq C.(quamquam& A, accipi poſsit pro orientali.& C, pro occidentali.)& tendentem verſus boream, ſupputandi ſunt gradus 25. 4 C, verſus D, in Aequatore.(Punctum enim G, Horizontis eſt boreale, cum referat extremum punctum X, diametri Horizontis, quod remotius eſt a polo auſtrali A: at punctum F, auſtrale eſt, cum reſpondeat puncto extremo V, eiuſdem diametri, quod propius ab eodem polo auſtrali abeſt.) Recta namque ex I, per nem grad. 25. ducta offeret ꝑunctum in Horizonte gradui 25. reſpondens, atque ita de cæteris. Sic etiam, ſi quis velit in Horizontè arcum grad. 15. cuius principiũ ſit in quadrante orientaſi auſtrali,& in grad. 22. ab eus interſectione auſtrali cum Meridianoʒznumerandi ſunt primum grad. 22. à B, vſque ad e, ducendaque recta Io, ſecans Horixontem in, puncto, quod gradibus 22 ab auſtrali ſectione F., diſtat. Deinde à puncto o, numerandi ſunt propoſiti grad. 15. vel verſus B. vel verſus C, prout arcus Horizontis abſcindendus vergere debet in auſtrum, vel in boream. Nam recta ex I, per ſinem grad. f 5. ducta tranſibit in Horizonte per grad. 15.&c. IMMO Quo pacto exquĩ ſuus obliquus eit culus in gradus diſtribnatur, quã do polus I. valde propin quus elt Kequaroris cited ſerentiæ. Gradus quilibet propoſitus quo pacto in Horiz5 te ex eius polo ſuperiore inueniatur in Afro labio. Pars orientalis occidentalis, borealis,& auflralis in Horizonte 4 ſtrolabii quæ. Datom fte ma peitote eognozcete. Horiz ontem Aſtrolabio ex ei“ in polo iaſeriore in gcadus diflu . ue · Ne. 1 O eadem prorſus ratione datum quemcunque areum eireuli maximi obliqul bifariä ſecabimus, Sir enim datus arcus, verbi gratia Horizontis 4 66, 312 „ diuidendus bifariam. Ductis cx e ius polo I, tectis L, Lee,, ſecantibus Aequa5 5 22* torem in V, m, par temur arcum V m. bifariam in tt. Nam recta I tt, ſecabit ar cum datum in 9%, biſariam, id eſt, arcus à 4 U U, 0 6e, continebunt gradus numero æquales. Id quod ex demonſtratis liquet. cum hi areus arcubus æqualibus ut t. t t m, in equatore reſpondeant. Idem eſſici poterit alis viis, quibus circu los maximos obliquos in gradus partiri in iis, quæ ſequuntur, docebimus, quod mel monuiſle ſatis ſit. 19. VICIS SIM. ſcire quis cupiat, quot gradus in quolibet arcu, Horiꝛontis propo ſito contineantur; ducendæ ſunt ab extrem is punctis dati arcus quæ rectæ ad I, polum Horizontis, ſecantes Acquatorem verſus eandem par tem Horizontis, in qua datus arcus exiſtit. Hæ etenim in Aequatoxe intercipient tot gradus, quot in dato arcu contigentur. Si ergo per lemma 3 inquiratur, quot gradus in illo arcu Aequatorts includantur, numerus graduum in dato arcu Ho rizontis contentorum ignorari non poterit. Poſterior autem pars huius primæ viæ hæc eſt. 20. INVEN T O altero polo circuli obliqui extra Aequatorem;(qui nimirum il lum in ſphæra repreſentat, qui a polo auſtrali propius abeſt.) ſi ex eo per ſingulos gradus Aequatoris rectæ lineæ ducantur, ſecantes circulum obliquum, erit iterum obliquus circulus in gradus diſtinctus: ſed ordo gra duum in Acquatore,& circula obliquo aliter nunc ſumendus eſt, quâu prius. Nam ſi in Aequatore inciplunt a puncto ſuperiore B, iidem in Horizonte inchoandi ſunt a puncto boreali G: ſi vero in Aequatore incipiunt ab inferiore puncto D, inchoandi ſunt in Horizonte a ſectione eius auſtrali& cum Meridiano, vt in lem mate 23. lac iendum eſſe monuimus. Exempli cauſa, ſi ex K, polo Horizontis extra Aequatorem exiſtente per quodc unque punctum b b, quadrantis Aequatoris DC, recta K b b, ducatur, abſcindet ea ex Horizonte arcum F, a puncto F, inchoatum tot graduum, quot in arcu Acquatoris inter unc um D,& punctum b b, aſſump tum, per quod linea recta K b b. ducta eſt, cõtinentur: quia punctum D. Aequatoris in Meridiano eſt inferius,& punctum E, Horizontis auſtrale. Sic etiam arcus Horizontis à puncto G, boreali per C, vſque ad punctum aa, vbi a dicta recta K bb, ſecatur, æqualis eſt( quod ad numetum graduum attinet) arcui Aequatoris a pũcto, ſuperiore Aequatoris vſq ad punctũ ꝙ, in quadrante CB. per quod recta linea A b b, ducta ſuit. Quod ſi arcus æquales abſciſi incipere debeant a puncto A, vel C, ſumendi ſemper erunt in contrarias partes, ita vt arcus Aequatoris à C, verſus B. æqualis ſit arcui Horizontis à C, verſus G ſi vterque inter eandem rectam ex K, emiſſam,& punctum C, intercipiatur. Nam hac ratione arcus ex Aequatore abſciſſus tendit verſus punctum ſupe rius B, arcus vero ex Horonte abſciſſus ver ſus punctum boreale G. Sic etiam eadem recta abſcindet duos arcus æquales a puncto A, vel C, inchoatos, quorum s, qui in Aequatore ſumitur, verſus P. punctum inferius; qui vero in Horizonte verſus E, punctum auſtrale tendit, vt ratio poſtulat. Sed quoniam eadem recta cadens extra puncta A, C, ſecat tam Acquatorem, quam Horizontem in duobus punctis,(niſi quando vtrumque circulum tangit, vt in ſcholio Num. 15. 7.& 17. dicetur) reſpondebunt inter ſeſe illa puncta, quæ ſunt puncto A, vel C, propinquiota, vel remotiora ab eodem. Hæc autem omnia ex codem lemmate 23. demonſtrabuntur hoc modo. Planũ in ſphæra per polum antarcticum,& polum Horizontis ei propinquiorem, qualis eſt, quem refert polus K, dudtum abſcindit ex 8 I. clipticà, Ver ticalem piimarum,& que nuss alium circulum maemum obbequum, qus ad Me ridia aum rectus fit, ia Aolab.o ex vrrouis eius polo in gradus partiri Oireulum qutlivet maxim obli qu 1. qui ad Metri lianũ rectus non t ſt, ex vtto · ais eius polo in gradus diſtribue · re iu t ſtrolabio. 314 E dit ex Aeguatore.& Horizonte arcus æquales inchoatos a punctis prædictis, ni mirum in Acquatore à ſuperiore, in Horizonte vero a botealizvel in Aequatore ab in feriore,& in Horizonte ab auſtrali, vt ibi de monſtratum eſt. Igitur illud idem planum in Aſtrolabio de ſeriptum eoſdẽ arcus auferet, illos videlicet, qui arcubus abſciſsis in ſphæra reſpõdent. Cũ ergo per propoſ. 7. Num. I. planũi illud per polum auſtralem tranſiens in Aſtrolabium proiiclatur in lineam rectam per polum K, tranſeuntẽ, referet quælibet recta ex polo K, egrediẽs planũ illud. ac propterea æquales arcus abſeindet ex Aequatore,& Horizöte, vt diximus. IT AQVE quemadmodum recta Io, dedit punctum, in Horizonte, ita te Ca ex polo K, educta per terminum arcus Aequatoris a puncto D, inchoati, qui arcui Ba, æqualis ſit, exhibebit neceſſario idem punctum Horizontis., ſi circuIi rette deſcripti ſint. Atque ita idem ſemper punctum optatum in Horizonte reperire licebit per duas rectas, quarum vna ex polo I, altera vero ex polo K, egreditur. ſi modo ea obſeruentur, quæ de initiis arcuum abſciflorum ex Aequa tore,& Horizonte conſideranda præcepimus. 5 21. OMNIA bee intelligenda etiã ſunt in Ecliptica AM GN. Verticali AI CK,& circulo A, cũ cadẽ in his cixeulis demõſtratio ſit; quę in Horizon te. Nã recta Qt, e polo Eclipticę Qiatra Aequatorem ewiſſa aufert ateũ Ecli ptice Myzar cui Aequatoris Be, æqualé. Idemq. punctũ Ar eperietur, ſi ex altero polo Eelipticę(nimirum ex puncto illo rectæ ER, in quod cadit recta Ata, vel in quo à eirculo AQ, ſecatur)recta ducatur per terminũ arcus Acquatoris Pce, a P, inchoati, qui arcui BE, æqualis ſit, vel per terminum arcus Acquatoris Becʒã B, inchoati, qui arcui Dę, æqualis fit: qui poſteriori hac ratione abſcindetur ar cus Eclipticę N, reſpondens areui Aequatoris Bec. Pari ratione recta Gæ ex polo Verticalis G. iatra Aequatorẽ aufert arcũ Verticalis Ip, æqualẽ arcui Aequatoris Bæzquia ſi Verticalis cõcipiatur eſſe Horizõ, ſupra quẽ polus botcealis attollitur, punctũ Aequator is B, eſt inferius,& punctũ I. Verticalis boreale: At punctũ D, Aequatoris eſt ſuper ius, hoc eſt, in ſemicirculo Meridiani ſuperiore, in quo videlicet exiſtit polus Verticalis G.ã polo auſtrali remotior; qui nimirũ intra Aeq̃uatorẽ᷑ exiſtit,& punctũ K, Verticalis eſt auſtrale. Idemqʒ punctũ p, inuenietur per rectã ex F, altero polo Verticalis ductã per terminũ arcus Aequato ris Ddd, d pũcto D, ſuperiore inchoati, qui arcui Bæ, ſit æqualis, vel per terminũ arcus Aequatoris Bdd, à puncto B, in feriore inchoati: qui arcui Dæ, æqualis ſit: quia hac poſteriori via abſeindetur arcus Verticalis Kb, a puncto auſtrali N, in · choatus, re ſpõdens ar cui Acquatoris Bdd. Peniꝗ; recta quoqʒ No, ex N, polo circuli AQ, intra Aequatorẽ abſcindit arcũ Qp/equalẽ arcui Aequatoris Da; Idemque punctum e; habebitur, ſi ex M. altero polo circuli AQC, recta ducatur per terminum arcus Aequatoris à D, inchoati, qui arcui Bo, ſit æqualis,&c. 22. ECLIPTICA igitur in gradus diſtribuetur per rectas ex eius polo Qʒ Ver ticalis veto per rectas ex eius polo G& circulus AQ. per rectas ex eius polo N, per ſingulos Aequatoris gradus eductas, quemadmodum de Horizonte di ximus. 23. EO DE M prorſus modo quilibet alius circulus maximus obliquus in in Aſtrolabio deſcriptus, qui ad Meridianum rectus non eſt, in gradus diſtribuetur, ſi eius poli reperiantur, ſed loco meridianæ lineæ BD, accipienda eſt linea alia recta, quæ per centrum circuli obliquĩ,& centrum Aſtroͤlabii ducitur, communiſque ſectio eſt Aequatoris, vel plani Aſtrolabii,& circuli maximi per polos mundi,& polos circuli obliqui tranſeuntis, inſtar proprii cuiuſdam Meridia ni propoſiti circuli obliqui. Quo pacto autem poli cuiuſuis circuli obliqui in Aſtro1 5 N —.. Ke gala facilis Pro inttiis arcud apſciſſorum determiaãdis in di uiſoatbut circu loram maximo rum in gradus, per rectas ex alterutro poloram cufuſuis circall Sblidai em fas. Regula ſaciljs ad cognoſcendum vtrum punctorũ Aequatoris in exlo ſic ſuperius, vel ipſerius: Et vtrum puactorũ circuli maximi obl qui fit borele, vel auſtrale. 316 LA DN 5 Aſtrolabio inueniantur, infra propoſ. 8. Num. 17. oſtendemus. PORR O in maximis circulis in gradus diſtribuendis, non eſt, quod ſolliciti ſimus,& anxii, vtrum punctorũ in Aequatore ſuperius ſit, inferiuſue,& vtr a ſectionũ circuli ma ximi obliqui auſtralis ſit vel borealis. Nã quoniã polus cireu li obliqui intra Aequatorẽ ex iſtens, eſt quoquc intra ipſum circulum maximum obliquum; ſi ex eo polo inſtituatur diuiſio, initium ſument arcus in Aequatore, & circulo obiiquo, a rectis ex eo polo eductis abſciſsi, a punctis ad caſdem partes ipſius poli aſſumpti in Aſtrolabio exi ſtentibus, hoc eſt, ſuperioribus inferioribuſue; vel certe ab alterutro punctorum, in quibus Aequator,& circulus maximus obliquus ſe interſecant. Ita vides faclum eſſe in ſuperioribus circulis ma ximis diuidendis in gradu:. Nam arcus Aequatoris,& Horizontis a rectis ex po lo L. emiſsis abſciſsi, initium ſumpſerunt à punctis B, E, vel D, G, vel certe a pun cto C, vel A. Sic et iã, vt Verticalis diuideretur, aſſumpta ſunt p ro initiis arcuũ puncta B, I, vel P, K, vel certe alterum ipſorum A, C, quãdo diuiſio facta eſt per rectas ex G. polo Verticalis intra vtrumq; cireulum exiſtente emiſſas.Eodẽ mo do, cum diuideretur Ecliptica per rectas ex eius polo Qʒ eductas, arcus abſciſsi initium habuerunt a punctis B, M, vel D, N, vel certe a C, vel A; Denique i n diuiſione circuli AQ ex eius polo N. initium faciendum eſt a punctis B, Q. vel a puncto D,& altero, in quo idem circulus rectam BD.extenſam ſecaret, vel certe abalterutro punctorum A, C. QYAN PDO autem diuiſiↄ per rectas ex altero polo, qui extra vtrumq; cir culũ exiſtit; egredientes faciẽda eſt, danda eſt opera, vt initiſ ſumatur a duobus punctis ad diuerſas partes alter ius poli in Aſtrolabio exiſtentibus, ita vt quã do punctum Aequatoris ſuperius aflumitur, accipiatur in circulo maximo obliquo inferius,& cõtra; vel ſi ab alterutro punctorum A. C, libeat incipere, vt arcus in diuerſas partes tendãt. Appello aũt hic punctũ inferius,& ſuperius Aequatoris, ac circuli maximi obliqui ilud, quod in figura ſuperiorẽ, vel inferiorẽ locũ occupat reſpectu centri Aſtrolabii, non autem illud, quod in cælo ſuper ius eſt. aut inferius. Hac ratione in Aequatore, Horizonte, Verticali, Ecliptica,& circulo AQdC, ſuperiora puncta ſunt B., E, I, M. Q, inferiora vero D, G, K, N,& alterum, in quo circulus AQ, totus deſeriptus rectam BD. extenſam ſecaret. VT tamen facile cognoſcamus, vtrum punctorum Aequatoris vere dici poſ ſit ſuperius, inferiuſue in cælo, hoc eſt, ad Meridiani ſemic irculum ſuperiorem ſpectet, vel inferiorem; Item ytrum punctorum cireuli maximi obliqui, in quibus a recta per centrum Aſtrolabij.& centrum circuli ob liqui, ducta ſecatur, ſit boreale, vel auſtrale, hæc regula tenenda eſt. In Aequatore punctum illud, quod polo circuli obliqui intra Aequa torẽ exiſtenti ꝓropinquius eſt, hoc eſt, per quod recta ex centro Aſtrolabii per dictum polum ducta tranſit, ſuperius dicitur, quia vere in ſemicirculo Meridiani ſuperiori exiſtit, ſi circulus obliquus pro Horizonte ſumatur, ſupra quem polus arłticus eleuetur: alterum vero punctum ab codem polo magis diſtans, hoc eſt, per quod recta ex centro Aſttolabii per alterum polum extra Aequatorem ducta tranſit, appellatur inferius, ob contrariam cauſam. Itaque reſpectu Horizontis,& Eclipticæ, in ſuperiori ſigura, punctum Aequatoris B, ſuperius eſt,& D, inferius; reſpectu vero Verticalis,& circuli ACC, punctum D, ſuperius eſt,& B, inferius. Item in circulo obliquo punctum centro Aſtrolabii propinquius, eſt boreale, remotius autem, auſtrale. Quæ res ſi attepte conſideretur, nulla difficultas erit in arcuum initiis præfigendis, ex vtroſpolorum circuli obliqui diuiſio inſtituatur, dummodo ſeruentur ea, quæ in lemm. 2 3. de eiſdem initiis præſeripſimus. ET ae.. 317 E T quoniam in diuiſione cireuli obl iqui per rectas ex polo int ra Aequa to Regula faeilie: rẽ exiſtente nulla eſt omnino difficultas, cũ quæli bet hu iu ſmodi re ctarũ abſcin n dat ex Acquatore,& circulo ohliquo arcus reſpõdẽ tes, qui initiũ ſumũt vel a cõi ſect ione Aequatoris cũ circulo obliquo, vt a pũcto C, vel A: vel a duobus pũctis proximis, in quibus recta per centrũ Aſtrolabii,& centrũ obliqui cireuli ducta, Aequatorẽ circulũqʒ obliquũ inter ſecat, vt a pũctis B,& F, vel D.& G, vt ex is, 4 diximus, liquet: facili negotio intellige mus, qnonã modo gerere nos debeamus in diuiſione ꝑ rectas ex altero polo egredi entes, cũ arcus in Aequatore incipere debeat vel ab oppoſito pũcto rectæ per cẽtra ductæ, ita vt, ſi prius incipiebat à ſu periori pũcto, nũc ab inferiori incipiat, verſus eandẽ tamen ſectionẽ circulorum progrediẽdo,& cõtraʒvel ab eadẽ interſectione circulorũ in cõtrarias partes, ita vt, ſi in Aequatore arcus ab ea ſectione deſcendat, in circulo obliquo aſcẽdat,& cõtraʒ Quæ oĩa obſeruata eſſe vides in ſuperiori figura,& in ſe uẽ ti. Nãrecta IN in ſequẽti figura aufert arcus æqualiũ numero graduũ Cp. CN ab eadẽ ſectione C, inchoatos, verſus eãdẽ partẽ, vel arcus BP, FN, a ꝓximis püctis BE, inchoatos: At vero recta KN, abſcindit arcus ęqualiũ num. graduũ DQ, FN, a püctis D, E, in choatos, quorũ illud in in æquatore infer ius eſt,& hoc in Horizõte ſuperius, vel arcus CQ, N, ab eadẽ ſectione C, inchoa tos, tẽdẽ tes tamẽ in partes cõtrarias. 24. ALI ERA via, qua circulus quilibet obliquus maximus in Aſtrolabio de- Ciienlum qufais ſeriptus in gradus diſtribuatur, eſt eiuſmodi. Sit Aequator ABCD, circa centrũ r E, Horizon obliquus AEC G, vel quiuis alius circulus maximus obliquus, ſed ad gi, Sede Meridian rectus, hioc eſt, habẽs tãcentrũ, quã polos I, K, in linea meridiana BD, EN vtrinq. extẽ ſa Deinde ſemidiameter EC, per lem. 8. ſecetur in partes inæquales, dus ex centro al quas efliciũt perpendiculares ex ſingulis gradibus quadrãtis BC, ad CE, demiſ- Sat,—＋ lx. Inuento autẽ L, cẽtro circuli maximi, qui in ſphæra per polos eirculi obliqui uit ef is, ACG,& communes ſectiones Aequatoris cum circulo obliquo ducitur,(qua- far dettiealis prꝭ lis eſt Verticalis primarius, ſi circulus obliquus AFCG, ſit Horizonzaut maxi-. mus circulus per polos Zodiaci,& communes ſectiones Eelipticę cum Aequato re ductus, poſitis principijs S,& S, in Meridiano, ſi circuſus obliquus AFC ſit Ecliptica.) quod inuenitur per lineam Ad, ad eius diametrum a b, perpendicu larem, vel diametro YZ, circuli obliqui dati in ſphæra, quem circulus AFCG, repręſentat, parallelam: Inuento, inquam, centro hoe L, ſi ex eo per omnia puncta ſemidiametri EC, rectæ ducantur, ſecabunt ſingulæ obliquum circulum in bi nis punctis, quæ reſpondent illis gradibus citculi obliqui, quibus puncta ſemidia metri EC, reſpondent, ita vt partes areus CNE, reſpondeant gradibus quadrantis CB, partes vero arcus COG, gradibus quadrantis CD. Singula enim puncta ſemidiametri EC, binis gradibus debentur, illis vide licet, in quos perpendicula res pet dicta puncta eductæ cadunt. V. g. Si ex L, per pun ctum M, quod gradui 60. à C, in vtramq. partem numerato vſqus ad P, Q, reſpondet, recta ducatur LM, ſe cans circulum obliquum in N, O, exit vterque arcus N, CO. graduum Eo.& ſic de cæteris. Quoniam vero rectę ex L, per A. C, emiſſæ circulum A ECG, tangunt in A, C, vt paulo inferius Num. 28. probabitur, inſtitui poterit hæc diuiſio commodius, præfertim quando recta EC, cxigua eſt, vt non facile admittat tot puncta diuiſionum, hac ratione. Agatur kl, ipſi AC, parallela, ſecans LA LC, in I. k,& a recta AC, quantumlibet diſtans, vt kl, fiat multo maior, quam AC. Nam ſi vtraque ſemisſis eius t k, t l, ſecetur, vt in lemmate 8. traditum eſt,(quod etiam ſiet, ſi circa diametrum kl, circulus deſeribatur,& ab eius gradibus ad kl, perpen diculares demit tantur, vt in lemmate 7, factum eſt habebuntur in kl, puncta, per quæ ſi tectæ emittantur ex L, ſecabitur circulus AFC G, vt prius, per rectas ex I. Per 318 L u W N er puncta rectæ AC, emiſſas. Nam per lemma 7. rectæ AC. kl, ſimiliter ſecantur lis punctis. Cum ergo& rectæ ex L, ſimiliter ſecent rectas eaſdem AC, kl, ex ſcholio propoſ. 4 lib. 6. Eucl. fit, vt ex xecta ex L, per quodlibet puuctum vnius earum ducta tranſeat per punctum reſpondens,& ſimile alterius. Ita vides rectã LN, tranſire per puncta reſpondentia M, i; cum eadem ſit proportio CM, ad Mx quæ k iʒ ad i t, ex prædicto ſcholio propoſ. 4. lib. G. Eucl. Idem hoc remedium adhi bendum erit in diuiſionibus parallelorum in gr adus, vt propoſ. 6. Numer. 26. dicetur. 2 RE CI E autem hoc modo cireulum obliquum diſtribui in gradus, ſic demonſtrabitur. Per lemma 25. planum in ſphæra per rectam AL, ductum vtcunq. aufert ex circulo obliquo diametri VZ, cui AL, æquidiſtat, dus arcus quales punctis V. Z, inchoatos. Igitur idem illud planum in Aflrolabium proſectum E A V. 319 abiemndere conſpicietur ex polo auſtrali eoſdem illos arcus æquales ex Horizõte in Aſtrolabium prolecto, illos videlicet, qui abſciſſis arcubus in ſphæra reſpõ dent. Cum ergo planum illud per polum auſtralem incedens faciat, per propoſ. I. in Aſtrolabio fectam lineam per centrum L. tran ſeuntem; recta linea I. M. du. cta per centrum L,& punctum M. diametri AC,(quæ communis ſectio eſt cireu li obliqui,& Aequatoris, vt conſtat, ſi Meridianus ABCD, concipiatur circa 3D ver ti. donec rectus ſit ad Aequatorem, ſeu planum Aſtrolabij. Erit enim tunc,& Aequa tor,& circulus obliquus ad Meridianum rectus, ideoꝗ.& eorum commu nis ſectio ad eundem recta erit, ac proinde& ad rectam B D, in Meridiano eiſtentem perpendicularis erit in centro ſphæræ E. Cum ergo AC, ad BD, ſit perpendicuſaris, erit ipſa AC, communis ſectio circuli obliqui,& Aequatoris, ſiue plani Aſtrolabij)referet plauum illud per eadem pundta, L, M, ductum: ideoque producta ſecabit obliquum circulum in punctis N, O, quæ illis reſpondent, 2 a plano illo ex circulo obliquo in ſphæra abſcinduntur;zadeo vt planum il lud ex polo auſtrali conſpiciatur ſecare circulum obliquum in punctis N, O, cum radius viſualis per omnia pundta illius plani circumductus ab eo non recedat; ac proptetea perpetuo in LN, communi eius ſectione cum plano Aſtrolabij Aequatoriſue, exiſtat. Arcus ergo eirculi obliqui N, illum in ſphæra repreſentat qui arcui A equatoris CP, arcus vero CO illum, qui arcui CQ, æqualis eſt,& reliqui arcus FN, GO, religuis arcubus BP, DQ, æquales ſunt. Eademqͥ. eſt ratio de omnibus alijs rectis ex L emiſsis. Quælibet enim duos arcus ex circulo obliquo abſeindit; quorum is, qui a C, verſus E, tendit, tot gradus complectitur, quot ſunt in arcu Aequatoris à C, uerſus B. vſque ad perpendicularem per punctum diametti AC. ductamzille autem qui à C, ver ſus G, uergit, tot continet gradus, quot in arcu Acquatoris à C, verſus D, vſque ad eandem perpendicularem continentur: adeo vt ſi ex ſingulis gradibus Acquatoris ad diametrum AC, perpen diculates ducantur,& per earum puncta ex L, tectæ traijciantur, totus circulus obliquus in ſingulos gradus diſtributus ſit. Sed ſatis eſt vnum ſemicirculum hoc modo diuidere. Puncta enim diuiſionum in alterum ſemicirculum trans lata dabunt gradus in altero illo ſemicirculo. 25. IT AQVE ſi abſcipdendus ſit ex circulo obliquo arcus ab E, verſus. vel A, aut à G, verſus C, vel Azaut à C, verſus E, vel G, aut denique ab A, verſus F, vel G, quotquot graduum, numerandi ſunt illi gradus a B, verſus C, vel A,lin Aequatore; aut a D, verſus C, vel Azaut à C, uerſus B. vel H; aut denique ab A, verſus B, vel D;& à termino numerationis ad A C, perpendicularis ducenda. Nam recta ex L, per punctun: huius perpendicularis in AC, eiecta dabit arcum qui quæritur. 26. E CONTRA RIO ſ de propoſito arcu circuli obliqui, quot contineat gradus, quæratur, ducendæ ſunt ex terminis eius ad L, duæ rectæ,& ex pũctis, vbi diametrum AC, ſecant, ad AQ, dux perpendiculares excitandæ. Arcus namque Aequatoris inter eas perpendiculares dabit graduum numerum, qui deſideratur.. 8 27. H AE C eadem intelligenda etiam ſunt de quouis circulo obliquo, qui ad Meridianum non ſit rectus, ſi pro meridiana linea B D, accipiatur recta per eius centrum,& centrum Aſtrolabij ducta.& pro centro L, centrum alterius cir culi maximi, qui ſit inſtar Verticalis circuli primarij reſpectu circuli obliqui tamquam Horizontis cuiuſdam obliqui,&c. VID E auten in figura pulchram conuenientiam& quaſi conſenſum huius modi cum altero illo priore: Que madmodum enim recta LM, in hoc modo exhibet a I. vndec. Gradus quilibet propoſitus, quo pacto iu circulo obliquo maximo inue niatur in Aſtrolabio ex cẽtro alte ins circuli maximi, qui to · ſpectu illius eſt inſtar vertiealis primarij Quot gradus in arcu dato circuli maxi mi obli qu in Aſtrolabio cõ tineantut, ex cen tro alterius citeu li maximi, qui re ſpectu ilhius eſt inſtar Verticalis primatij cognos ſcere. Circulñ que mais obliquũ maximũ q ad Metid rect nõ hoe, d uidere in gradus ex centre alteriꝰ ciyc, max. q reſpectu illius eſt inſtar Verticalis pri marij. d A cesteaſa, ſecus· hibet nobis in eirculo obliquo arcus EN, GO, reſpondentes arcubus Aequato„ ris BP, PQ, ita eoſdem nobis prœæbent rectæ IP, IO, ex polo I, per eoſdem grabags. cum dus Aequatoris ductæ, vt prior pars Prime viæ præcepit: Item eoſdem omnino * ſubminiſtrant rectæ KQ, KP, cx altero polo K, per eoſdem Aequatoris gradus contrario modo emiſſæ, vt primæ viæ pars poſterior exigit. der late fies 28. NE QE vero ſtudioſum lectorem latere volo, rectas ex L, per A,& C, e emiſſas tangere circulum obliquum in punctis A, C. Quoniam enim planum per ia alrel he. ALtranſiens& circumductum per omnia puncta diamettri AC,(poſito circulo AB CD,ad planum Aſtrolabiß, Acquatarisue. recto.) quæ communis ſectio eſt circuli obliqui,& Aequatoris, ſecat ſemper circulum obliquum per lineas ad dia metrum AC perpendiculares, quæ vtrinqʒà punctis A,& C, arcus æquales abſcindunt, .. 321 ſeindunt, vt conſtat ex lemmate 25. fit, vt cum primum ad puncta A,& C, peruenerit, non amplius ſecet circuſum obliquum, ſed in illis punctis illum contingat, quod tamen Geometrice: etiam mex probabitur. Cum ergo recta IL. A. ve] LC, communis ſectio ſit eiuſdem plani cum plano Aſtrolabij, ac proinde ab eo numquam recedat, ſed perpetuo in illo exiſtat, efficitur, vt eadem recta L C, vel LA eundem circulum obliquum in Aſtrolabio tangat in puncto C, vel A. Si enim ſecaret, ſecaret quoque planum illud per eam ductum, circulum obliquum in ſphæta in duobus punctis, quæ illis, in quibus à recta LC, vel LA, ſecaretur, re ſpondẽt. quod eſt abſurdum cum ipſum contingat tantummodo in C, vel A, vt diximus,& quod Geometricè ita quoq. demõſtrabimus. Poſito circulo ABCD, ad planum Aſtrolabij Aequatoriſue, recto, vt diameter VZ, ſit Meridiani,& circuli obliqui communis edi per AC, in Aſtrolabio iacentem concipiatur cir culus maximus duci ad circulum obliquum diametri VZ, in proprio ſitu rectus; aerit idem ad Meridianum rectus, cum tranſeat per A, C, polos Meridiani, hoc eſt, per inter ſectiones Aequatoris cum circulo obliquo in ſphæra. Igitur cum& Meridianus,& cir culus obliquus ad illum maximum circulum per AC, ductum rectus ſit, o erit quoque eorum comn unis ſectio VZ, ad eundem rectus, eac proinde& AL. in plano Meridiani exiſtens,& ipſi VZ, parallela, ad eundem cireulũ maximum recta erit; i Igitur planum per Al, in eodem Meridiani plano exiſtẽtem,& per punctum C, vel A, in ſphæra exiſtens ductum, hoc eſt, circulus ab eo in ſphæra factus, cum oodem circulo maximo rectos faciet angulos. Quocirca cũ & hic circulus per AL,& punctum C, vel A, ductus,& circulus obliquus per AC ductus,(ſi omnia in proprio ſitu concipiantur in ſphæra. ad circulum iſlum ma ximum rectus ſitʒe erit quoque communis eorum ſectio ad eundem rectazac pro inde& ad diametrum AC, circuli obliqui,& ad diametrum circuli per AL.& C, vel A, ducti, quam circulus ille maximus facit.(Quoniam enim maximus ille cir culus ſecans circulum per AL,& C, vel A, ductum ad angulos rectos, vt probatũ eſt, ſ ſecat eum bifariam,& per polos; tranſibit per eius centrum,& in eo diametrum efficiet.)perpendicuſaris erit cum vtraq. diameter in eo maximo circu 10 exiſtat. Igitur eadem illa communis ſectio circuli obliqui,& circuli per AL,, & per C, vel A, ducti, vtrumq. circulum continget in C, vel A, ex coroll. prop. 76. lib. 3. Eucl. atque idcireo ijdem duo ci reuli in C, vel A, ſe mutuo tapgent,& nullo modo ſecabunt, ex definitione lib. z. Theodoſij. f 29. VER VM rectas ex L, per A,& C, ductas tangere circulũ obliquũ AFCG facilius ſie probabimus. Quoniam ducta recta An, ad VZ, diametrum circuli obliqui in ſphæra perpendicularis cadit in H. centrum circuli obliqui in Aſtrolabio, vt ſupra demonſtratum eſt Num. 3. is propoſitionis, eſtq. AL, ipſi rallela; S erit angulus LAH, rectus Igitur ex coroll. propoſ. 10. lib 3. Eucl. recta LA, circulum AFC G, in A, continget,&c. SD ſoluenda videtur hoc loco difficultas quædam; quæ alicuĩ negocium poſſet faceſlere. Cum enim rectę FG, NO, auferant ex Horizonte arcus FN, G0 æquales, quod ad numerum graduum ſpectat, hoc eſt, reſerant in Horizôte ſphę ræ duas paral lelas, quarum vna eſt communis ſectio Horizontis, ac Meridiani, altera vero communĩs ſectio eiuſdem Horizontis„& plani ducti per polum auſtralem,& punctum L,(quod nimirum circumduei diximus cirèa rectam AL, Horizont! Parallelam in proprio ſitu, per omnes lineas, quæ in Horizonte meridianæ lineæ fucuntur parallelæ)mirum alicui videri poſsit, rectas FG, NO, coire in L, cu tamen parallelæ illæ, quas referunt, non coe ant, Hinc. n. ſequi videtur vt qutadmodum ſingula Ppuncta rectarũ FG, NO, reſpõdent certis qui8 buſa 15.1. Tg. bf. vndec. cg. unde c. dig. vnlec. e 19. vnda. ee 322 L I R. buſd am punctis earum pꝛrallelarum, ita quoque punctum L, reſpondeat vni pun co communi in vtrag. parallela, quod tamen habere non poſſunt', cum numquã concurrant. Huic dubio occurrendum e ſt, oĩa puncta rectarũ FL, NL, ſupra pũctum L. reſpondere punctis illarum paralle larum, ſed ipſum punctũ L, null ũ in illis reſpondens habere. Nã quia AL, inter polum auſtralẽ& punctũ L, in plano Aſtrolabij Aequatoriſue, æquidiſtat plano Horizontis, in quo ſunt illæ parallern læ, non poterit vnquã radius Aletiam in infinitum productus, cum illis conue nire, ac proinde nullum earum punctum in L,apparebit. At vero, quia radius ex polo auſtrali per quodcunq. punctũ vel rectæ EL. vel rectę NI., quantũlibet pro pinquũ ipſiL, ſecat parallela in Horizöte exiſtentè, cũ eius æquidiſtã tẽ AL, ſecet in A, exiſtatq. in plano per AL,& illä parallela ducto, fit, vt quodlibet punctum ſuptaL,habeat punctum reſpondens in parallel, illud nimirũ, in quod radius ex au PIR G 6 S8. V. 323 auſtrali polo per illud punctũ rectæ FL. vel NL, tranſiens cadit. Itaq. fi circulus ABCD, intelligatur eſſe Horizon in proprig ſitu, vergẽte pũctoh, in auſtrũ,& D in ſeptẽtrionẽ, Q. in ortũ& A, in occasd ora pũcta parallelarũ BO, PO, qu ę cõ tinẽ tur in ſemiſſibus borealibus ED. MQ, habebũt reſpõdentia pũtta in rectisEL ML. vſq. ad punctũ I., excluſiue, cõprebenſa vero in ſemiſsibus auftrelibus EB, Mp, habebũt pũcta reſpõdentia in rectis E F, M. in infnitũ extenſis, vt inſphæ ramateriali perſpicuũ eſt. Nõ eſt ergo mirum, rectas EL, NO, ë ſitparallelas re preſentent, concurrere in L, quia non ſolũ illas parallelas referunt, ſed tota etiã plana, quæ per AL, in proprio ſitu,& per parallelas illas ducuntur, repręſentant. Sicut igitur parallelæ illæ non exiſtunt in omnibus partibus illorũ plenorum, ita neque omnia puncta rectarũ EL, NL, plana illa repręſentantium reſpondere poſſunt aliquibus punctis parallelarum. ſed pundcta illa, quæ repreſentant partes planorum exiſtentes extra parallelas, neceſſario extra parallelas apparebunt in Aſtrolabio, ita vt ad illas nullo modo pertineant 30. TERTIA via circulũ quemlibet maximũ obliquũ in gradus par tiemur in Aſtrolabio hac ratione. Vtraq ſemidiameter ci rcul i obliqui in ſphæra EI,EZ, ſecetut, per lem. 8 in partes inaquales, quas efficiuat perpẽdiculaxes ex Hagulis ra dibus quadrantũ 2 V, Z, ad VZ. demiſſæ. Satis aũt eſt vnam diuidere, cũ puncca illius in altera translata eã eodem modo diuidant. Deinde ex A, polo auſtra li per omaia puncta ſectionum diametri VZ, rectæ ducantur ſecantes diametrũ FEG, citeuli dati obliqui in punctis per quæ ſi ad candẽ diametrum FG perpendi culares excitẽtur, diuiſus erit circulus obliquus ACG, in gradus. Exẽ pli cauſa. Si ex A. per punctum R, quod gradui 30. ab V. in vtramq; partem numeratovſq. ad e, f, reſpondet, recta ducatur AR, ſecans FG. in S& per S, ad FG, perpendicularis excitetut NT, continebit vterq. arcus FN, FT. gr. 3. hoc eſt, referet ar cũ illum eirculi obliqui in ſphæra, qui vtriq. arcui Ve, Vf. æqualis eſt,.& ita de cæter is Demonſtratio hulus rei hæc eſt. Poſito circulo AB; CD, ad pla num Aſtrola bij recto, vt VZ, diameter circuli obliquĩ c munis ſectio ſit Meridian,& circu li obliqul, circulutꝗͥ. tune per VZ,& AC, duca tur: quonſam planũ in ſphæta per auſtralem polum A, in eo ſitu circuli ABCD,& per rectam, auæ per R, ad diame trũ V2. in plano circuli obliqui perpendicularis eſt, ductũ occurrit plano Aſtro labij in S. facitqͥ per lem. a4. rectam ad EG,(quæ cõmunis ſectio eſt Meridiani, ſiue circuli per polos Mundi,& polos circuli obliqui incedentis)perpendicularẽ tranſibit idem illud planum per rectam NT, conſpicieturqͥ. in A ſtrolabio eoſdẽ gradus abſcindere ex circulo obliquo AFC, quos in ſphæta ex eodẽ abſeindit cum radius viſualis per omnia puncta illius plani circumductus ab eo non receqat, ac propterea perpendicularem per R. ductã, auſerentemꝗͥ hine inde gr. 30. ab V, incipieado, in rectam NT, proijciat in Aſtrolabium. Arcus igitur circ uli obliqui EN, FT. repræſentant in ſphæra illos, qui arcubus Ve, Vf, æquales ſuntz at uero arcus CN, AT, illos, qui æquales ſunt arcubus ae, bf.& ſic de alijs rectis ex A. emiſeis: Ita vt ſi ex ſingulis gradibus Aequatoris ad diametrum YZ pete pendiculares demittantur,& per carum puncta ex A, rectę egrediãtur, recta E ſecta conſpiciatur in punctis, per quæ perpendiculares ad FEG, ductæ dabunt ſin gulos gradus circuli obliqui 3 r. IT AQ E ſiex circulo obliquo abſe indendus ſit arcus quotlibet graduum ab E, incipiendo, vel a Gz numerandi ſunt gradus propoſiti ab V, vel Z, in ytramq.partem. vg vſg. ade, vel gh.& recta ducenda ef ſecans E V, in R, vel gh, ſecans EZ, in V. Recta enim AR, vel AV, occurret recteæ FG, in 8, vel X, puncto, per quod per pendicularis ad FG, ductaN e ret vttumq arœũ 2 FEN, Ci rcuſo m quem li bet maximum ob!„qui od Merid um te · Aus grad di ſtribuere tx h lo uſtrali Auslemmatis. Gtadumqutlibet maeime quo 48 4 rrcto ſuvenſre ex polo auttrali Aua lemmatis. . — 324 E EN, FT, vel GG, Gm, continentem da tum numerum graduum, qui in arcu 8 Ve, Vt, vel Zg, Zh, continentur. meint biet 32. CON RA ſi ſci re quis velit, quot gradus in dato arcu circuli obliqui „ beta contineantur, ducendę ſunt ex terminis illius ad EG, duæ nerpendiculares,& ex babes pelo gu. earum punctis, vbi FG, ſecatur, ad A, duæ rectæ ducendæ, quæ ſecent I, in duo Auen. bus punctis, atque ex ijs ad IZ, duæ perpendiculares erigendæ. Arcus. n. Ae qua marts cogublce15 to rs inter illas perpendiculares indicabit nu merum graduum, qui quæritur. P... c . „ RN i che pr Circhum quemuit maxim obli.. daun in Ar- 33. PERSPICVVM autem eſt, rationem hanc quadrare etiam in omnem Jabio, qui adac- 5.* N 1 2 21 zdlecum 10 u àlium circulum obliquum, qui ad Meridianum rectus non ſit, ſi pro meridi ana 3 linea BD, accipiatur recta per eius centrum,& centrum Aſtrolabii ducta, quæ ni I Walt zs lem mirum communis ſectio ſit plani Aſtrolabii Acquatoriſue,& circuli maximi N per mundi polos,& polos circuli obliqui ducti,&. 33 V. HIC etiam videre licet conuenientiam huius tertiæ viæ cum prioribus dua- conſenſas tertis bus. Nam iidem prorſus arcus FN, GO, vel CN, CO, per hanc inuenti ſunt, quos 2. 3 per illas inuenimus. Hliquos, cd pri34. LIBE hoc loco explicare aliam adhuec viam diſtribuendi maximũ quẽ- uit dab. uis circulum obliquum in gradus, quæ licet vſum videatur habere aliquanto ma gis impeditũ, quã aliæ, quas explicauimus, præſertim ſi totus eirculus in gradus it diſtribuẽdus, cõmodiſsima tamen eſt, ſi vnus interdũ, aut alter gradus dunta xat inueſtigãdus ſit: quia in ea neqʒ poli circuli obliqui requirũtur, vt in primo 5 modo, quẽ Num. iy.& 20. explicauimusʒ neque centrum maximi circuli, qui inſtar eſt Verticalis primarij reſpectu dati circuli obliquſ, vna cũ ſectionibus diametri AC, vt in ſecunda ratione Num. 24. explicata; neq; deniqʒ diameter cireull obli qui diuiſa in Analẽmate, vt tertius medus poſtulabat; ſed ſolũ per rectas lineas ex cẽtro Aequatoris,& proprio centro eductas perficitur, hoc videlicet modo. Sit Eiteulum quemuis maximũ abli quu m in Aſtrolz bio diſtribuege in gradus ex pr ptio ceutro,& cẽ tro Adtrolabij. 326 t. 1 f K 1 Sit Aequator ABO, cuius centrum E,& circulus obliquus quicunque ACG, cuius centrum K; ſitqʒ gradui Aequatoris H, inueniendum punctum te pon. dens in circulo obliquo Ducatur ex E, centro Aequatoris per H, punctum datum recta EH, in qua producta ſumatur HI, æqualis ſemidiametro circuli obliqui, in quo punctum reſpondens inueniendum eſt,(quando totus eirculus in gradus diuidendus ſit, vel plura puncta inuenienda, expedit, vt ſumpta recta BL, æ quali ſemidiametro FK, cx E, per L, circulus LI, deſcribatur. Ita enim om7575 „ * * D ** * * 4 — ** eee * 1 7·—2 5 1 * 7. 40 6** . 7 este iefαιαεεαννjꝗ˙ nes rectæ ex E, eductæ vſque ad cirœulum iſtum habebunt inter eundem',& Aequatorem adiectas portiones ſemidiametro F K., æquales. Cum eim tam EL, EI, ex centro, quam EB, EH, æquales ſint, erunt quoque reliquæ BL, HI, æquales.& ſic de cæteris.)& iungatur ad centrum K. eirculi diuidendi recta IK, quam bifariam,& ad anguluis rectos ſecet NO, ſecãs EI, in O, puncto, per quod ex K, centro recta ducatur KO, ſccans 3 70 dendu PR G b 5 S. v. 327 dendum in P. Dico punctum P, puncto dato H, reſpondere, hoc eſt, areus BH, PP, æquales eſſe in numero graduum. Quoniam enim duo latera KN, NO, duobus lateribus IN, NO, æqua lia ſunt, angulosq; continent æquales rectosz a erunt & baſes Ok, Ol, æquales. Sunt autẽ& KP, IH, æquales, quod illa ſit ſemidiameter obliqui circuli: hæc vero eidem ſemidiametro ponatur æqualis. Ablatis igitur æqualibus ex æqualibus, teliquæ OP, OH, æquales quoquè erunt. Quocir ca circulus ex Oper H, P, deſcriptus vtrumque circulum tanget,(eo quod rectæ OH, Op, ad centra E, K, pertineant,) vt in lemmate 42. oſtendimus, circulumq; ſphæræ referet eoſdem tangentem in punctis, quæ punctis J, P, reſpondẽt: ac proinde per lemma 43 arcus BH, FP, æquales numero gradus complectentur. Punctum porro P, inuenietur quoque per rectam KP, conſtituentem in centro K, angulum angulo I, æqualem b Nam ſic rurſum æquales erunt rectæ OK Ol, &c. Immo ſi per punctum H, datum in Aequatore agatur HP, parallela rectæ KI, inuentum erit idem punctum P. Quia enim Iſoſcelia ſunt triangula IOK, HOP, an guloſque ad O, habent æqualeszerunt reliqui reliquis æquales. Cum ergo tã I, K, quam H., P, inter ſe æquales ſint, erunt quoque OI K, OHP, æquales 5 ac proinde IK, HP, parallele erunt. R VRS Vs puncto P, circuli obliqui reperiendum ſit punctum in Aequatore re ſpondens. Ducta ex, centro obliqui circuli per datũ in eo punctũ P, recta, accipiatur PR. æqualis ſemidiametro Aequatoris, in quo punctum reſpondens inueniendum eſt:( Hic quoque, ſi plura puncta inuenienda ſint, de ſeribendus erit circulus ex K. per R, vt omnes re ctæ ex K, ad eum circulum eductæ habeant ſegmenta inter eundem,& circulum obliquum ſemidiametro PR, æqualia.) Ducta autem ex R, ad E, centrũ Aequatoris recta RE, ſecetur bifariam,& ad angulos te ctos per rectam SO, quæ ſecet KR, in O. Nam rurſus recta ex E, centro per O, ducta dabit in Aequatore punctum H, quæſitum. Nam rurſum tam OE, OR. quam H, PR, aqua les ſunt. Igitur æqualibus demptis exæqualibus, reliquæ OH, OP. æquales erunt. Quapropter citculus ex O, per H. P, deſcriptus vtrumque circulum tanget,&c. eo quod rectę OH, OP, ad centra E, K, pertineant. Idem quoque punctum H, reperietur, ſi in E, centro fiat angulo R, æqualis angulus E: vel ſi ex dato puncto P, in obliquo circulo parallela ducatur ipſi RE,&c. AT QE hæc ratio in omnes circulos maximos quadrat, etiam ſi neuter duorum circulorum ſit Aequator. 35. IT AQVE datis duobus circulis maximis in Aſtrolabio, ſi in vno eorum detur arcus quantuſcunque à commun eorum ſectione inchoatus, facili ne gotio ei æqualem in numero graduum ex altero reſecabimus. Nam ſi datus ſit ar cus CP, in circulo AE CG, ſecantibus ſeſe duobus maximis circulis ABCD, AF CG, in A,& C.) ſi ex eius centro K, ducatur per punctum extremum P. recta, & in ea producta ſumatur PR. ſemidiametro alterius circuli æqualis, ducaturqʒ ex R. ad eiuſdem centrum E, recta, quam ad angulos rectos,& bitfariã ſecet 80, ſecans KR, in O, dabit recta ex O, ad centrum E, eiuſdem circuli arcum CH, ar cui CP, æqualem,& ſic de cæteris. Poteſt quidem,& hoc fieri per primum modũ diuidendi circulos obliquos in gradus, ſed opus eſt prius inueniſſe datorum eir culorum polos. Nam ſi ex termino dati arcus ad eius polum recta ducatur, abſeindetur ex Aequatore arcus æqualis: Per cuius terminum ſi ex polo alterius circuli recta ducatur, abſciſſus erit ex co arcus æqualis queſitus. Sed ratio hoc loco explicata commodior videtur, cum polis circulorum non indigeat. 36. ALIVM quoque modum diſtribuendi maximos circulos in gradus per facilem, atque iucundum repeties in ſequenti propoſ. Num. 30. Hic autem negotium b. p rimi. c 175. primi. d g. primi. ey. vel 26. frimi. Circuſum quem uis maximum Ai partiii 115 Era 5 2 aud circulum maximum diuiſum. Dato arcui in cir culo quouis max mo ab arcum& in numero duum ex quouis alio citeulo maximo. 328 LI S A T tium hoc coneludemus alio quoda m mo j i n hoc coneludemus alio quoda m mode pulcherrimo per lineas rectas: quipN vnum idemque punctum in citculo maximo inueniri poſsit per plurimas rectas lineas. Eſtautem eiuſmodi. 1 12 5 ee ABCD, cuius centrum E; circulus maximus obliquus quie eee 1 1 5& diameter vera i kr recta DF, per eius cenArp 2e rc ducta, refer ens circulum maximum per polos munf. ipfius ductum, inftar Meridiani cuiuſdam propriizpolus eluſdem obli ee 1885 qula recta AC, communem ſectionem Aequatoris& dati circu ee ebene 1 lentar vt in ſcholio ſequenti Num. 7. demonſtrabi58. e in puncta communis ihus ſectionis in ſphæra exiſtentis, in mmuni ſectione AC, quæ in Aſtrolabio apparet, in eiſdem prorſus diſtantiis,& ſitu, quem in ſphætra obtinent, cum eadẽ ſint puncta vera in ſphæra,& viſa in Aſtrolabio; propterea quod radii vi ſuales ex polo auſtra li procidentes in iiſdem punKis ter minantur,& non vlte rius protenduntur: quippe cu communis illa ſectio ſit eadẽ proꝛ ſus, quæ viſa. Concipiatur circulus ABCD, circa BB, moueri, donec rectus ſit ad Aequatorem,& i K diameter circuli obliqui proprium ſitum habeat, vergente ſemicirculo BAD, verſus auſtr um infra planum Aſtro la bii, hoc eſt, a tergo ipſius, & ſemicirculo BCD, boreã verfus ſupra planum Aſtrolabii: quo poſito, prolicienur omnia puncta diametri i k, in lineam PD, per radios vifuales ex A, emiflos, cum tres rectæ A C, ik, FD, in 5 g f ca poſitione ſint in eodem circulo ad obliquum circulum redto, qui videlicet intar Meridianiſt circuli 1 obliqui per diametrum i k, ducti. Quoniam vero planum, in quo obliquus circu1 Berl f f 3 Ius maximus diametti i k, exiſtit, circa AC, circumductun gruet aliqu cum Aequatore, ft vt rectæ ex quolibet puncto Aſti olabii in recta FD, vel extra ipſam poſito, per gra dus circumferentiæ A B CD, cmiſtæ AC, in eiſdem punciis, in quibus eandem ſecarent; ſi ex rei Plaui in quo ci culus obliquus diametri ik, Propfftum tum h gradus circuli obliqui educerentur. Verbi gratia. Recta h 8, per Punctun S, arcus CS.grad. 30. ducta ſecat A C, in Ta puncto, in quo e unde ie: t recta ex puncto i, prop ium tum habente, quod puncto B, reſpondet,(cum am bo puntta æqualiter abſint a centro E,& in eoden leridiano dat! circull 97 5 5 Io duct 7 or- 4 3 1 4 2 exiſtant) educta per grad. 30. circ uli obliqui a puncto C nume atũ: proptelca quod 0 . V. 329 quod, vt dictum eſt, cireulus obliquus diametri i k, circa AOC, circumuolutus cõ gruitneceſſario cum Aequatore; vel plano Aſtrolabii,& viciſsim planũ A equa toriszvel Aſtrolabii circa AC, circumuolutum neceſſario cum circulo obliquo proprium ſitum habente congruit;& punctum i, cum B;& K, cum D. Couſtat autem rectam Bs, ib eodem ſe mper puncto T, ſecate rectam C quantumuis planum circuli ABCD, circa AC, circuaiducatur. Eadem de cauſa recta, quæ ex E, in plano circuli obliqui proprium ſitum habente duceretus per punctum pun cto Q, reſpondens, ſecaret eandem AC, in R, vbi a recta DQ ſecatur. Sic recta IS, eandem ſecat in e, puncto, in quo a recta ſecaretur quæ ex puncto e, æqualem cum puncto I, diſtantiam habente in diametro i k, à centro E, duceretut in plano circuli obliqui proprium ſitum habente, ad punctum reſpondens puncto S. Et ſic de cæteris. HIS poſitis, ſi arcui AM,. æqualis arcus abſcindendus ſit, ducemus ex aliquo puncto rectæ FED, vt ex B, per M, rectam, quæ ipſam AC, ſecet in N. Et quia punctũ i, circuli obliqui, quod reſpõdet puncto B. apparet ex polo auſtrali in E, apparebit tota recta BN, trãſire per duo puncta F, Nzquandoquidẽ eius pũctum B, vel i, conſpicitur in Eʒ& N, in N. Pucta ergo recta FN, ſecabit obliquũ circulum in puncto O, quod puncto M, reſpondebit, propterea quod punctum M,. eirculi obliqui ABC propriam poſitionem habentis apparet in O, puncto, per quod recta BN per datum punctum M, tranſiens, conſpicitur trãſire, vt dictum eſt. Eodem pacto ducta recta BS, ſecãte AC, in T, cadet ducta recta FT, in V. pũ ctum reſpondens puncto S. Rurſus quia punctum k, quod reſpondet puncto D, apparet in Gʒ ſi ducatur recta DQ, ſecans AC, in R, cadet ducta recta GR, in punctum X, ipſi Qreſpondens. SED quoniam rectæ ex punctis B,& D, per propinqua puncta circumferentiæ ABCD, eductæ ſecant rectam AC, Peach m extra circulum valde obliqueʒ vt omuia puncta intra cireulum habeamus, ducemus per puncta ſemicircu Ii AB C, rectas ex D. Nam rectæ ex G, per interſectionum puncta in recta AC, dabunt in ſemicitculo obliquo AFC, puncta teſpondentia. Per puncta autem ſemicirculi ADC, ducemus rectas ex B. Rectæ enim ex F, per puncta inter ſectionum in recta AC, indicabunt in ſemicirculo obliquo AC, puncta reſpondentia. Atque per hæc duo puncta E, G, binis punctis B, D. reſpondentia commodiſ ſime totus circulus in gradus diſtribuetur. HA C eadem ratione ex quolibet puncto rectæ BD. præter cẽtrum Aſtrola bii E.(ſi tamen radius ex A, ad illud emiſſus, dia metrum ik etiam producta m, ſi opus ſit, cõmodè ſecet)rectas educere poterimus, ſecantes obliquum circulum in graduszſi nimirum ex A, ad illud punctũ radiũ emittamus,& punctum interſectionis illius cum dia metro ik, in rectam ED, ex E, trausferamus. Nam ſi ex hoc puncto in lineam FD, translato per quẽ libet gradum circuli ABCD. rectã ducamus ſecantẽ AC, cadet recta ex aſſumpto puncto per punctũ interſectionis in recta AC, emiſſa in gradum circuli obliqui propoſitũ Verbi gratia, Si ex H, centro obliqui circuli ducenda ſit recta cadens in grad. 30. à pancto C, verſus G, numeratum, ducemus radium AH. ſecantem ik, in c, puncto, in quo centrum H, apparet& rectæ Ec, æqualem abſcindemus EI vt punctum translatum habeamus I. Deinde ex I. puncto transla to ad S, punctum terminans grad. 30. rectam emittemus ſecantem AC, in e. Recta enim ex H. per e, eiecta cadet in W. grad. 30. quæſitũʒ cum recta 18, proiiciatur in rectam He; quandoquidem eius punctum c, cui reſpondet punctum I, apparet in H.& recta Ie, per punctum e, tranſire conſpicitur. Quemadmodum autem recta 8, producta ſecat Aequato5 4 rem Bina pur da ob liquĩ c irculi ad diuiß onem aptiſ fm quæ fn. Ex quo ibet pun do mei idianæ li neæ circuſi obliqui tectas educe re ſecantes cireu lum maximum in gradus. — — 330 L n. rem altera ex parte int, ita recta H e, producta exhibet in circulo obliquo aliud punctum ſ. puncto t, reſpondens, ita vt arcus Bt, E f, æquales ſint: propterea quod recta tS, in circulo obliquo vero exiſtens(poſito circulo ABCD, in proprio ſitu, hoc eſt, eircumuoluto circa AC, donec diameter BD, diametro ik, in proprio Meridiano poſitæ congtuat, atque ideirco& punctæm I, puncto c. proii citur, vt dictum eſt, in rectam f V; quandoquidem tranſire conſpicitur per punca H, cʒzpunctum quidem e, vel I, per Hʒ& e, per ipſummet punctum e, quod eſt in commun ſectione plani Aequatoris,& circuli obliqui. RVRSVS ſi ex puncto h, in linea meridiana dato extra datũ circulũ maximũ obliquum ducenda ſit recta, quę abſcindat ex quadrante AG, arcum arcui AV, æqualem, ducemus radium Ah, ſecantem ki, protractam in ga& punctum g. transferemus ex E. in u, vt punctum u, translatum habeamus. Deinde ex u, ad V, rectam iungemus ſecantem AC, in Z. Recta namque h, offeret punctum b. pun cto v. reſpondens. Punctum autem interſectionis rectæ h cum circulo obliquo prope E, reſpondebit puncto interſectionis rectæ u V, cum circulo A BCD, prope B. QO ſi quando accidat, rectam ex aliquo puncto translato extra circulum ABCD, vt ex u, quod ipſi g, reſpondet, per datum punctũ, nimirũ per p. du ctã circulũ ABCD, tangere in dato puncto p z ducenda erit ex h, puncto viſo, recta hq, tangens obliquum cireu lum. Punctum enim contactus q. reſpondebit dato pũco contactus p. Nam ſicut up, tangit circulum obliquum in ſphæra, ita conſpicietur tangere in Aſtrolabio eundẽ circulum viſum. Cum ergo punctum g. cui reſpondet u, appareat in h, proiicietur tangens u p; in tangentem hq. 81 O etiam, ſi quando contingat, rectã ex aliquo puneto trãslato intra circulum AC, vt ex H, quod puncto f. reſpondet, ductam per datum punctum, nimirum per P, efficere cũ reota FD, angulum rectum, ducenda erit per punctum n, in quo apparet punctum f, perpendi cularis m n l. Punctum enim l, reſpondebit dato puneto P,& punctum m, alter i 8 quo recta PH, producta circulum AB CD, ſecat. Id quod ſupra um. 30. demonſtrauimus: propterea quod recta Hp, reſpondet rectæ, quæ per , in circulo obliquo duceretur in ſphæra perpendicularis ad diametrum ĩ k, au ſerretque arcus æquales arcui BP,&c. POS TREMO ſiex K, polo viſo circuli obliqui diuiſio facienda ſit, hoe eſt, abſcin V. 331 eſt, abſcindendus, v. g. ex obliquo circulo arcus arcui BQ, æqualis, trans feremus punctum a, in rectam FD, vſque ad K, quod rectæ E 2, EK, æqua les ſint vt ſupra Num. 14. demonſtrauimus,(quod tamen clarius demonſtratum reperles circa finem Num. 2 f. propoſ. g.)ita vt punctum translatum a viſo non differat: De inde ex K, puncto translato, quod puncto a, reſpondet, per Q. rectam traiiciemus ſecantem AC, in r. Nam recta ex K, puncto viſo, in quo videlicet apparet punctum a, per punctum ſectionis r, ducta, quæ à priori non differt, propter cadem puncta Kr, indicabit punctum X, puncto Q, reſpondens,& producta dabit alterum pun ctu d æ, puncto g. reſpondens. Ex quo liquido etiam conſtat, rectam ex polo viſo per quodcunque punctum Aequatoris ductam offerre in citeulo obliquo pun ctum illi puncto reſpondens: id quod ſupra Num. 2. ex lemmate 23. lib. 1. oſtendimus. A D maiorem euidentiam huius modi, inuenimus eadem puncta O, V, b, f, q. I, X,. æ, punctis M. S, V. t, p, P. Q., reſpondentia per rectas ex viſo polo K; emit ſas, vt Num, I. traditum eſt. NON erit autem difficile, viciſstm ex dato puncto in circulo obliquo inueſtigare punctum reſpondens in Aequatore, vel citculo obliquo in ſphæra, cuius vices Aequator gerit. Sit enim datum punctum O. Ex puncto E, quod reſpondet puncto B, per O, rectam emittemus ſecantem AC, in N. Recta namque BN, ſeca bit Aequatorem in puncto M, quod dato puncto O, reſpõdet, vt ex dictis liquet. Idem efficiemus ex quocunquè alio puncto in meridiana linea dato, vt ex H. Du cto enim radio AH, ſegante diametrum i k, in e, tranferatur punctum c, in rectam PD, vſque ad I: ſitque propoſitum inueſtigare punctum Aequatoris reſpondens puncto V. Ducta recta NV, ſecante AC, in e, cadet recta Ie, ex translato puncto I, egrediens in quæſitum punctum S.& ſic de cæteris. IAM ſi ex centro cireuli, qui inſtar proprii Verticalis eſt dati cireuli obliqui, quale eſt punctum L, in ſuperiori figura Num. 24. diuiſio inſtituenda ſit, quo niam illud non habet punctum verum reſpondens in dia metro V, quod tranſferri poſsit in rectam FD; quod recta AL, cadens in dictum centrum L, parallela ſit diametro YZ, ac proinde tota extra planum dati circuli obliqui, vt ex Num. 4. patet, ducenda erit per datum in Aequatore punctum ipſi FD, parallela,& per punctum ſectionis in AC, ex eo centto recta ducenda,&c, vt Num. 24. traditum eſt. IAM vero per ea, quæ hoc loco declarata ſunt, reperiemus cuiuſcunque puncti in dato circulo quouis maximo, vel in eius plano producto, extra ipſum Date puncto ſa circulo maximo obliquo, punctũ reſpondens in Aae quatore teperito. Dato queuis pi cto in plano alicuius citculi m circulum aſsignato, ſitum in Aſtrolabio, hoc eſt, loc um, vbi in eodem plano circuli viſi appareat ex polo auſtrali inſpectum. Sit enim datum punctum e, quod ſi fuerit in Aequatore, eius ſitus erit in ꝭ, cũ in s, appareat: Si vero inrelligatur eſſe in quouis circulo maximo, vt in eo, quẽ refert circulus AEC G, ita vt in eo talẽ ſitum ac poſitionem habeat, qualem in Aequatore Aſtrolabii, inueniemus eius lo cum viſum hoc modo. Ducta ex quouis puncto rectæ FD, nimirum ex B, recta Be, ſecante AC, in), ducatur ex puncto E, quod ipſi B, reſpondet, recta F/, apparebitque punctum e, in recta FY, cum tota 3, in rectam E, proiiciatur, yt ex dictis liquet. Ducta rurſum ex quolibet alio puncto D, recta Da, ſecã te AC, in T, ducatur ex puncto G, quod ipti D, reſpondet, recta G Tzapparebitque rurſus idem punctum, in recta G, cum tota D, in rectam G, proiiciatur, vt ex ĩis, quæ dicta ſunt, perſpicuũ eſt. Erit ergo punctum q, vbi coeunt rectæ F, GT, ſitus punctis s. Quod ſi altera rectarum ex B,& D, per aſsignatum punctũ , ductarum nimis procul,& oblique ſecet rectam ACaccipi poteſt pro eo pun 1 cto, a Are itum in& · ſtrolabio. ste quouis pun cto in Alrolabio, inuenite eias ſitum in plano cuiu ſuis circu Ii maxim! x pundda viſa A tro be ant vera reſſ Arntia in plano dati circuli obli. Aui in ſphæra. 332 L F W N 10 N. cto, a quo red per e, ducta extra circulum ABCD, cadit,(cuiuſmodi eſt punctum B.) quodcunque aliud punctum Q. Ducta enim recta Qe, ſecante AC, in&. ſi inuenfatur punctkum X, in eirculo obliquo reſpondens a ſſumpto puncto Q„& ducatur X, ſecabitur GT, in eodem puncto q, quæſito Immo inuenta vna duntaxat linearum E/, GT, XA, in qua punctum datum e, apparet. ſi ex K, polo viſo circuli obliqui per e, recta ducatur, ſecabit ea illam rectam in eodem puncto q, quæſito. Nam cum polo viſo K, reſpondeat in diame tro ĩ k, punctum 45 ſintque æquales Ea, EK, non differet punctum translatum a viſo. Quare in eadem recta K e, exiſtet idem punctum q, apparens; quemadmodum in K Q., producta exiſtit punctum viſum X, puncto Q. reſpondens, quod linea KQ, a linear K, non differat, vt ſupra dictum eſt. Si punctum datum ſit in recta ED, hoc eſt, in diametro circuli obliqui, cui recta FD,(circumducto circa AC, plano Aſtrolabii) congruit, vt v. g. punctum I, abſcindemus rectæ El, æqualem Ec ex diametro i k, vt habeamus punctum verum c. Nam radius Ac, indicabit punctum c, viſum in H. 1 EX CIPIEN D A autem ſunt pundta in communi ſectione cuiuſuis circuli obliqui in ſphæra,& pla ni, quod per polum auſtra · lem Aequatori ducitur parallelum, exiſtentia. Hæe enim nulla habent puncta viſa xeſpondentia in Aſtrolabio; cum tota illa commu nis ſect io in Aſtrolabio euaneſcat,& nullum eius punctum in Aſtrolabio appareat: quippe cum omnes radii viſuales in illo plano parallelo exiſtentes, plano Requatoris, Aſtrolabiiue æquidiſtent. Qua de re plura ſcribemus propoſ. C. Num. 37. VICIS SIM dato quouis puncto, viſo in Aſtrolabio, inueniemus eius ſitum verum in ſphæra, hoc eſt, in circulo illo ſphæræ, quem circulus Aſtrolabii, in quo punctum J, viſum intelligitur, repręſentat. Ductis enim ex E, G, punctis circuli obliqui per datum punctum ꝙ, rectis ſe cantibus AC, in, T, ducantur ex q, T, ad puncta B, D, punctis E, G. reſpondentia rectæ interſecantes ſeſe in 4, puncto, 18 quod erit quæſitum; cum rectæ 59% DT, proiiciantur in rectas E, GT,&c. Eodem modo ſi per J, ducatur alia recta X, ſecans AC, in A,& puncto X, reſpona 5 dens p punctum Qu re periatur, tranſibit ducta recta, per idem punctum ę. S OLV M pundctis, quæ in recta ad FD, perpendiculari ducta per centrum circuli, qui inſtar eſt proprii Verticalis dati circuli obliqui, cuiuſmodi eſt punctum L, in ſuperiori figura Num. 24. aſsignari non poſſunt vera puncta reſpondentia N innen;: V, 333 dentia in plano cireuli obliqui. Cum enim ea recta referat planum, quod per po lum auſtra lem ducitur, circulo obliquo in ſphæra paralleium, vt prop g. Num. 3. oſtendemus, exiſtent vera puncta, quæ punctis in dicta recta cxiſtentibus re. ſpondent, in illo plano parallelo, non autem in 11lo circulo obliquo. Quod ſi quis eo modo, quem explicauimus; tentet inuenite in Horizonte verum puntum reſpondens puncto viſo L, in ſigura Num. 24. ducendo videlicet rectas ex L, per duo apparentia puncta in Horizontis circumferentia, teperiet duas tecas, quæ per ſectionum puncta rectæ AC, cum illis duabus rectis,& per puncta circuli ABCD, apparentibus illis punctis Horizuntis re ſpondentia ducuntur, parallelas eſſe rectæ ED, non autem ſeſe interſecare. Siautem cuiuis alij puncto rædictæ rectæ perpendicularis ad FD, per L, ductæ reſpondens verum punctum in eodem Horizonte vero inuenire velit, reperiet duas rectas etiam inter ſe parallelas per interſectionum puncta in recta AC, ductas, quamuis ipſi TD, non equidiſtent,&c. N EX hoc colligitur, ex quocunque puncto in Aſtrolabio extra meridianam li neam,& rectã A C, dato, maximũ circulũ poſſe diuidi. Na ſi ex puncto, inueniẽ dũ ſit u. g punctũ reſpondẽs dato puncto Q. inueſtigandũ prius exit, yt proxime oſtẽ ſum eſt. punctũ verũ e, puncto ꝙ, reſpondens. Deinde per s, punctũ verũ inuẽ tum ad Q, ducenda recta ſecans AC, in. Recta. n. ex, per A, ducta cadet in X, punctum pundꝗo dato Q, reſpondens, quod tota recta Qua, in rectam X, proijciatur, vt ex dictis conſtat: quandoquidẽ e, punctum verũ eſt in circulo ABC, quem obliquus AF CG, repræſentat, quod quidem apparet in,&c. Hic etiam excipienda ſunt puncta in recta ad F D, ducta perpendiculari per centrum proprii Verticalis dati cireuli obliqui. Cum enim, vt dictum eſt, illa puncta non habeant vera puncta reſpondentia in circulo illo obliquo in ſphæra, non poterit ex illis punctis viſus circulus in gradus diſtribui eo modo, quem explicauimus. QVO autem pacto diuiſio fieri poſsit,& quidem per lineas parallelas ex pũ cco illo, quod in ſphæra reſpondet puncto, in quo diametrum ꝶ i, circuli obliqui productam ſecat recta ad AC, perpendicularis in A, polo auſtrali, trademus, pro poſ. g. Num. 3y. Vbi etiam alium modum reperies, quo cicculus obliquus viſus 00 rectas per centrum E, Aſtrolabii emiſſas in gradus diſtribuatur, ita vt quæliet recta offerat duo puncta per diametrum oppoſita. Poſtremo ibidem Num. 3 8. eoſdem circulos tam maximos, quam non maximos in gradus partiemur cõ modiſsime ex quolibet puncto dato in communi ſectione plani Aſtrolabii,& circuli propoſiti in ſphęra. Hos enim tres modos eum in locum diſtulimus, ne figura hic propoſita nimis tanta linearum multitudine conſunderetur. r 7. IAM vero quilibet circulus maximus obliquus, qui ad Meridian rectus ſit, ac proinde centrt in linea meridiana Aſtrolabij habeat, neceſſaurio in A Hrolabio, ſi erratii uon ſit, per functa A,& C, ubi Aequator ab Horixòte recto Ad, ſecatur, träſibit. Quio ni enim puncta A, C, ſunt illa, in quibus Horixon; Ferticalis primarius, Ecliptica,(po ſitis princibijs S,&, in Meridiano,)c quicunq; alius circulus maximus polos ha bens in Meridiano, a ac proinde ad ei rectus exiſtens, Aequators interſecats propterea guod recta AC, reſert Horixonte recti, vel Colurum æquinoctiori, congrubte ſolſtitiori Coluro ci Meridiano, ut prop.. Num. I. demonrauimus: fit vt in plano A rolabij circulus huiuſimodi maximus obliquus comſpiciatur neceſſario tra ſire per duo illa picta A, C, quandoquidem per ca repraſantantur illa puncta ſphara, per qua idem ille circulus ducitur, Ex quolibet pan cto extra meridianam lineã dato in Aſtrolabio, datum circulum maxia In gra dus diſtribuere. Aliæ' tres viæ dt. ſtribuendi circulos obliquos in gradus tum per Ineas meridianæ lineæ patallelas. tum ex centro Aſti olabii, tum de · quolibet to in cõmu„& plant oris, vel js extra mexidia-· nam date. Cirenli maxi ui obliqui,& ad ue ridiagum recti, per quæ puncta Aequatoris ducantur in Aſtro · labio. a 15. 1. Ts. 4 31. primi. b f. primi. 6 F. primi. d 4. brimi. ent lus dutitur, adeo vt recta AC, illam dia metrum obliqui circuli er hibeat in A roLabio, qua in ſphara communis ſectio eſt ipſius ci Aequatore. Neceſſe enim eſt, vt in A ſtro labio circuli per eandem lineam,& per eadè illa puncta conſpiciantur incedere, per quæ in ſphera ducuntur. Quod ta men Geometrice etiam ex ipſa proiectione eiuſmodi circulorum maxi morum obliquorum in plauum Aſtrolabij facile demonſtrabimus hoc modo. Sie Aeguator ABC D, cuius centrii Ez linea meridiana, hoc eft, communis ſectio Meri diani,& plani Aequatoris, Actrolabijue B; D, quam ad rectos angulos ſecet AC; diameter circuli obliqui ad Aequatorem, e ad Meridianum recti FG, ita ut arcus 4 F, ſſt altitudo poli ſupra illum circulum obliquum. Sumitur enim, vt dictum eſi ſupra in hac propoſ. Num. 2.& in propoſeæ. Num. g. circulus A BO D, pro Meridiano Analem. matis. Ex radijs viſualibis A G, A E, inuenta ſit diameter viſa HI, qua diuiſa bifariam in R, per rectam A K, ad F G, in V, perpendicularem, vt demonthratim eſt, deſeribatur ex K, per H, I, circulus. Dico eum tranſire per A,& C. a Quoniamm enim anIA. 8 gulus FAG, in ſemicirculo rectus ef, erit triangulum H Al, rectangulum. Cum ergo latus Hl, recto angulo oppoſitum biſari am ſectum ſit in X, tranſibit neceſſurio, ex ſcholio prop. 3 1. lib. 3. Eucl. circulus ex K, per H, I, deſcriptus, per angulum rectum A. Eadæ de cauſa per punctam C, tranſibit. Nam ductis rectis CH, CI, angulus HCI, eſt etiam rectus. quod ſic probatur. 0 niam duolatera EH, EA, duobus lateribus EH, EC, equalia ſunt, anguloſque con tinent æquales, nimirũ rectus; b erunt baſes AH, CH, aquales. Non ali ter oſtendes, æ quales eſſe GA ſes IAI, in rriagulis A EI, CE. Quia igi rur duo Latera AH, Al, duobus lateribus CH, CI, qgu,F; lia ſunt, c baſis HI, commu nis ʒ c æquales erunt anguli HAI, HCI, ideoque cum HAI, rectus e,& HCI, re ctiis erit; ac proinde circulus circa HI, deſcriprus per C, tranſibit, ex eodem ſcholio propoſ. 3. lib. 3. Ruclid. Y OD tamen facilius ita poteſt oſtendi. Ducta recta C K, cum duo latera EK, EA, duobus lateribus E K, EO, æqualia ſint, anguloſgue complect antur æquales, nimirum rectos; d erunt quoquo baſes K A, XC, æquales. Igitur circ ulus E MI, ex cen tro K 5 RFR GC N G 8. IV. 333 tro R, per A. deſcriptus, per pundtum C, tranſibit. quod eſt propoſitum. a 2. HIN C etiam liquet, circulum quemlibet maximum in Aſtrolabio deſcri ptum maiorem eſſè Æquatore. Ductis enim ex centro K, obliqui circuli maximi, (quod diuerſum eſſe ab E, centro AArolabij, ſupra Num. I. huius propoſi demonitraui muc) duabus ſemidiametris K A, KC, erunt ea toti diametro HI, æqualesſimul ſum74. Cum ergo maiores ſint, quam AC; erit quoque diameter Ei I, maior diametro AC, ideoque& circulus obliquus AH CI, maior eri: Æquatore ABC Dead que rario eſt de cæteris. 3. EAD E M prorſus ratione, deſcripto quouis alio cirtulo maximo obliquo in Aſtrolabio, qui ad Meridianum rectus non ſit, ſi per eius centrum, c centrum Aſtrola bij recta ducatur,(communis videlicet ſectio plani Aſtrolabij Aequaloriſue,& circuli maximi per polos mundi,& polos circuli obliqui ducti, bac proinde ad eundè rectizin quam nimirum, maximam circuli obliqui diametrum viſam proijci demonſirauimus in ſcholio propoſ. 3. Num. I.& 3.) quam ad rectos angulos diameter Aequatoris ſecet, demonttrabimus, circulum illum obliquum tranſire per extremæ pundta huius diametri, qua quidem communem ſoctionem cirtuli obliqui,& Aequatoris in ſphara repraſentat, vt mox oſtendemus. Vt ſi circulus ACI, in Aſtrolabio ponatur maximus qui cunque obliquus ad Aequatorem,& Meridianum,& per eius centrum X, S centrum Aſtrolabij E, recta ducatur HI, quæ communis ſectio eſi plani Aſtrolabij, vel Aequato ris,& circuli maximi per polos mundi,& polos circuli obliqui tranſeuntis, cum in ea ſe ciane centrum circuli obliqui in Aſtrolabio exiſtat, vt in ſcholio propoſ.. Num.. demonſtratum eſt, quipbe cum in ea eiſtat naxima eius diameter apparens,& ud HI, ducatur diameter Aequatoris AC, perpenilicularis, demonſtrabimus, eum neceſſario tranſire per pundta A, C, quemadmodum oſtendimus, eundem, quando ad Meridians rectus eſt, cuiuſmmodi eſt Horixon, Ferticalis pri marius, Eeliptica,(poſito principio n. in Meridiano) c alij. per punct a A, C, tranſire. Id guod etiam de Ferticalibus demon Hrabitur propoſ. 8. Num. 10. Ex quo ſit, quemlibet circulum maximum in Afftrolabio diuidere Aequatorem biſſariam, cum tranſcat per dio eius pu cta pen diametrum oppoſita. Recta quoque AC, reſeret communè ſectionem Aequlatoris,& illius cir culi obliqui in ſphara: quod non ſecus oſlendemus, ac monſtratum eſi, eandem A C, com munem ſectionem referre Aequatoris,& Horixontis, vel Verticalis primari, vel Eclipticæ: ſi circulus AH CI, ex his circulis nus ſtatuatur. e uonid enim Y Aequator, & circulus obliquus ad mamimum circulum per mů di polos, c polos obliqui circuli du dtum, rectus eſt; d erit ad eundem communis corum ſectio recta; ac proinde eadem ad HI, in illo circulo maximo exiſtentem perpendicularis erit in centro Aeg uatoris, ex deVn.. lib. II. Eucl. Ergo AC, ad HI, perpendisularis, communis illa ſectio erit. 4. IT AQ/ E quemadmodum in ſphæra quilibet circulus maximus Aequato rem diuidit biſariam, ita quoque in Aſtrolabio Aequator a quolibet circulo max imo obliquo, ſiue is ad Meridianum rectus ſit, ſiue non, bifariam ſecatur, cum ab eo ſecetur in extremis punctis diametri AC, quæ ad Hi, communem ſectionem plani Aſtrolabij.& maximi circuli per mundi polos,& polos circuli obliqui tranſeuntis, inſt ar pro prij cuiuſdam Meridiani, perpendicularis eſi, at demonſtrauimus. Et quoniam Aequa tor viciſiim in ſphara quemuis circulum maximum bifariam diuidit, e( quod circuli maximi omnes in ſphara ſe mutuo ſecent bifariam) fit vt in A ſtrolabio quoque cernatur diuidere quemlibet circulum maximum obliquum bi fariam, adeo vt arcus ARC, vnum ſemicirculum,& Qarcus AI C, alterum repræſentet, licet hi arcus valde inter ſe inaquales ſint. Hoc enim neceſſario in Aftrolabio ita contingere, ratio euidens demonctrat. 5. MIA enim cuiuſuis circuli maximiobliqui vnus ſomicirculorum, quos communis cirenlum ma wmum obliquum quemlibet in Aſtrolabio eſſe ma iorem Acquatere. 4 20. primi. Circuli maximi obliqui,& ade ridian nõ recti, per quæ pũcta Atequatoris in Aſtrolabio du cantur. Quemlibet cireu lum maximũ in A ſtrolabi o diuiAe quatorẽ iam, hoc eſt, traufire per eius duo puncta per diametrum opa. unis ſectio Aequatotis,& cu iuſuis circuli ma ximi obliqui in ſphæra, per quã rectam repręſen tetur in Aſtrola bio. c 15. I. The. d ig. vndee. Ae quator,& qui libet circulus ma ximus obliquus in Aſtrolabio ſe mutuo ſecant bi fariam, licet ſegmẽta circuli obli qui inter ſe val · de ſint in quaLia. e. I. The. 338. gemicireuli ca- communis eius ſectio cum Aequatore facit, ab Aequatore ver ie polum auſtralem,& 1 ward Alter verſus boreals leclinat, apparebit is, qui propiuis ab oeulo, vel polo auſtrali abeſt, 2% e lualore la fnalor, quam ille, qui longius abeſt, vt ex Perſpectiuis liquet. Item quia omnis circu 8 e jus maximus obliquus tangit duos parallelos oppo ſit os,& aꝗu les, lorealem vnum, c 13bio alteruim auſtralem; auſtralis autem proijcitur in circulum Aequatore maicrem,& bo 2, 8.3. The. realis in minorem, ex propoſ. 2. proijcietur neceſſario ſemicirculus loren is circuli oblii intra Aequatorem, qualis eſt A. C, auſtralis vero extra Aequauoreims qualis es AH C ac proinde hic illo maior erit, cum long ius excurrat ſemicirculus AC, a red ta AC, quam ſemicirculus AIC.. 1 e eee ee gquoniam vterque ſemicirculus Aequatoris, quomodocunque ſecetur aquouis cireulo per diametrum, aqualit er abeſt ab oculo, vel polo auſtrali, æquales ambo apparebun 1: quo ſecetuc in 5 4 2 5 2 ＋ duos ſemicircu- felos ip ſius ita in Actrolabium proij ci, vt arcus eorum aquales in arcus æquales proijctã 10 aqusles in tur. Hinc enim duobus punctis 2 fie, vt ſemicirper diauct- um oppoltis. culi æquales pro ijciantur in ſemicirculos à2quales: ac propterea quilibet circulus obliuus maximus, cum Aequatorem bifariam in ſohæra diuidat, neceſſario in Aſtrolabio per duo puncta per diametrum oppoſita tranſibit, vt duos en eo ſemicirculos aquales auferat, quos ex eoQullibes cireu · dem in ſphara Ins da, maximus, ſiue non abſe indit. maximus, dtui- 7. S dens in ſphæra f 17 aliquem Kequa- rationequilibet torls parallelam circulus ſiue ma de ponts ber maximus, diui dens aliquem ex parallelis Aequatoris in ſuhæra hiſariam, neceſſaris dis wetrum op- per duo puncta per diametrum oppoſita in parallelo illo deſcripto in Alflirolabio tranſi„ita an co pA 8 55* Tallel i bit, vt illum biſari am quoque ſecet. Ctculue nõ ma F. NV LILGVS autem circulus non maximus in Aſtrola bio per duo puncta per 5 e diametrum oppoſita in Aequatore diſcribetur, cum eum in ſphara bifariam diuidere elsbio ſccare nequeat. Eſſet enim maximus, quippe qui per diametrum Aequatoris, ideoque& per 7 dre centrum ſphera, ſius Acquatoris tranſiret. quod cum hy potheſi ugnat. lebio ſecads de 9. Ex his manifeſtum etiam relinquitur, circulis in Aſtrolabio, qui Aequatorem tote bifarià 2 i*: core bilaid duobus in punckis per diametrum of poſitis ſecat, repraſentare circulum maxim 25 ſohara: PN NS. IVV. 337 ſphera: quandoquidem non maximus Acquatorem bifariam ſecare non poteff, ut pro- 4 æime dictum eſi; qui vero Aequatorem in duobus punctis non per diametrum oppoſccis ſec at, referre circulum non maximum. Nam ſi mamimum re ſerret, diuideret Aeguato rem bi fariam, vt monſiratum eſt. quod non ponitur. g HOC ipſum Geomerrice quoqs hac ratione demonttrabimus. dit Aequator ABC D, cuius centrum E, eum; bifariam ſocet circulus FC G A, in punctis A, C, per diametrũ Spoſitis. Dico ei repra ſentare circulũ maximũ in ſpbbæra. Ducta enim diametro AC, ducatur per E, centrum Aequatoris,& centrum tirculi ECGA, recta FD, q A repræſentat ia mattmam. AC, quam biſariam in centro E, diuidits, a perpendicularis erit, reſeretque maximum a 3. tertij. 7 n Arculum per polas mundis,& polos cirtuli FC OA, Andi, vt in ſcholio propc ſi 3. Num. r. demonſtratum eſt; ideoque recta A E, perpendicularis, axis mundi eri„& A. C. poli mundi,(ii circulus A BC zintellgatur eſſe rectus ad Aequatorem, ue planii Aſtrol abij. cum quadrante alſint ab Aequatore per Bñ D, qucto. Egrediant ur id radi Vu AF, 48, 2 J. terij. 338 LA d K d 1. Ar, A, per exirema max imæ diametri viſa ſecantes Aequatorem in H. I, iungaurque HI, quæ diameter erit eius circuli, q uem repreſentat FC A, quandoquidè eius extrema atparent in E, G, extremis diametri maxima uiſe FG. Et quoniam angu Jus FA, hoc ei, HAL, rectus eſtzerit ex ſcholio propeſig 1. lib. 3. Eucl. ¶ A Ieſemicirculus,& propterea Hl, per centrum E, tranſibit, diameterque erit maxi mi circuli quem guidem FC GA. reſert. DEIN DE circulus KLM N, ſecet Aequatorem in L, N, non biſuriam inſtia puncta A. C, ita vt Aucta rectal N, per centrum E, non rranſeat. Dico emm referre circulum non inaximum. Dudta enim rurſis KM, per centrum eius,& centrum E, A ſtrolabij, pro communi ſectione A AHrolabij, e cirtuli maximi per polos mundi,& poLos circuli KLM N ducti, ducatur ad eam her eudicularis A Cs pro axe midi, vt prius. Enittantur deinde ex N, per extrema diametri viſæ K M, rectæ N K, NAH, ſecantes Aequatorem in O, P. iungaturqtt OP. b Et quia angulus K NM. Hoc eſt, ON P, rect eſt z erit, ex ſcholio proof. 3 1. lib. 3. Eucl. ON ſemicirculus, eiuſdue diameter OP. Vare e.. 339 are cum radij ex polo A, emiſii ad eadem extrema K, M, diamciri viſa KM, ſecent Aequatorem citra puncta O, P, in 2 R;(nam A K, eſt citra KN, AM, ſecat NM, in M. Jerit QAR, ſegmentum ſemictrculo minus; ac proinde iundta recta QR, qua diameter eſt circuli, quem K LM N, repreſentat, per centrum non tranſibit, diameterd; idcirco erit circuli non maximi. POSTREMO circulus SI V, Aequatorem ſocet in T, X, non biſariam ſupra pun & A, C, ita vt ducta recta IP, ber centrum E, non tranſeat. Dico eum reſerre quoq; circulum non maximum. Ducta enim rurſus recta S V, per eius centrum,& E centri Aſt rolabij, pro communi ſectione A ſtrolabij,& cirtuli maximi per polos mundi,& polos circuli STV&, ducti,& ad eam perpendiculari AC, pro axe mundi; educantur reca XS, XV per extrema diametri viſæ SV, ſecantes Aequatorem in NA, ſiue I, ſit ſupra X, ſiue infra,( ſieri enim poteſt, vt quando&, procul ditt at, recta X&, ſecet Aequatorem infra X. iungatur recta Z. Et quia angulus SXV, hoc eſt. LX Z, rectus eſt, erit ex ſcholio propoſ.g I. lib. 3. Eucl. LX, ſemicirculus, eiuſqus diameter TZ. Quare cum radij ex A. polo emiſsi per eadem extrema&, V, diametri viſa SV, ſecent A equatorem in a. b, vltra puncta V, Z. ¶N am As, cadit infra XS,& Ahiſecat XV, in V.) erit AA b, ſegmentum ſemicirculo maius: ac propterea iuncta recta a b, qua diameter elt cir culi, quem SIX, repreſentat, per centrum non tranſibit, diameterque idcirco erit eir culi non maxi mi. quod erat demonſtrandum. 15 1%. RVR SVS quoniam omnes diametri cuiuslibet circuli maximi obliqui in fphæra per cen- 5 trum ſphæræ du cuntur, ac per idem in Aire labio tranſire conſpiciuntur 3 fir, vt om nis linea recta per centrum A ſtro labij ducta in vtramque parrem ad circuli obliqui circũ Jerentiam vſq; cæßprimat illam d iametrum cir culi obliqui in ſphæra, quæ per illa puncta dueit ur, qua repre ſentantur per il la in circulo oliquo Aſtrola 6%, ad quæ extenditur recta illa per centri Aſtrolabij traiecta: adio vi quelibet linea eiuſinodi iu Aſtrolabio ſet inſtar alicuius diametri circuli obligus incedens per duo puncta, que duo referũt in ſphæra per diametrii hit. Eerbi gratia. in ſigura prim I uius ſcholij recta LM„her E, centrum Afrol aN bij etecta a 3. terig. Oomnem lineam redtam per centrum oppofita, jta vt ip ſa vices gerat diametri cu iuſdam. a 3. tertij. c 4. 2. Theo 340 n. bij eiecta reſert in ſphera diametrum illam birculi obliqui; quem AH repreſentat, que tot gradibus a communi ſectione circuli obliqui cum Ae quatore in auſtri recedit. quot gradus exhibet arcus C M, in Achrolabio;( quo vero pacto cagnoſcatur, quot gradus contineantur in arcu C M, in hac propoſi. s. Num. 19. traditum eſchita vt punqta L, M, erprimant duo puncta in ſphera per diametrum op poſita. 11. Qyob autem quelibet linea per centrum Atlrolabij ertenſa, videl icet LM. repreſentet, vt diximus, diametrum aliquam cirtuli maximi obliqui,(lic et eum in par res inaquales ſoret, indicetq; in circulo obliquo duo puncta L, M, per diametrum oppoſi ta, non ſeciss, ac rect linea AC, quam oſtendimus referre communem ſectionem circuIi obliqui,& Aeguatoris in ſphara, hac alia ratione cum Ptolemæo G eom etrice demonerabimus. Repetita prima figura hitius ſcholij, exritetur in E ad LA perpenpendicularu EN, producaturqʒ vſque ad T. Producta quoqus MIL, uſque ad P, iungantur recta MN, ON, LN, PN. ſeceturq; Aeguator a5 MN, LN, in R, S. Quia igitur in circulo AHCI, duæ ra de AC, LM, ſe interſecat in Ez a erit reſtan gulum ſub LE, E Mʒrectangulo ſub A E, EC, aquale, hoc eſt, quadrato recta AE, ac proinde & quadrato re d EN, vel ET. b Igitur vtraque EN,ñ ET, media proportionalis eſt inter EM, EL; ideoq; circulus circa diametrũ LM, deſcriptus ꝙ piicta N, T, tranſibit. Nam ſi vltra punti N. verbi gratia, tranſiret, vel citra N, ab ſcinderet en per pendiculari E N. vel maiorem lineam, vel minorem linea E N, qua ex ſcholio propoſ. 13. lib. C. Euclid. media quoque proportionalis eſſet inter eadem ſegmenta LE, EM ae proinde aquales forent abſciſſa illa linea, EN, pars,& totum. quod eſt abſurdum. Auod etiam ex lemmatsi g. demonſtrari poteſt. Tranſibit ergo circulus ille per N, ac proinde& per I, ęandem ob cauſam; ideoque circulum aliquem maximum in ſthæra repraſentabit, vt paulo ante Num. G.& H. oſtendimus, quandoquide m Aequatorem biariam diuidit in N, T. Et quonid circulus maximus obliquus tangit dutos paralleles oho ſitos,& aqualeszerit circuli, qui ex E, centfo, c interuallo ſemidiametrorum EL., EAI, deſcriberentur, circulumque illum, cutus diameter LI, ex el olio propaſx- 5 11 3 . Eucl. a e or S. v. 341 Eucl. tangerent in L, M, duo pardlleli oppoſſti, c equales. Quocirca, cum puncta con 4 Coro. c. r aliuum per diametrum oßponantur in ſphara, repræſontaluunt L,& AM, duo pauncta in 2. Theod. ſbhæra per dia metrum oppoſita, ac propterea retta EM, diametrum aliquam circuli maximi obliqui referet. quod eſt propoſſum. Vt autem intellgamus, quænam pundta ſpheræ à punctis E, M, repreſententur,& quam diametrum recta LM, referat, ita 5 grediemur. Quoniam circulus circa diamètrum LA„deſcriptus, tranſit per N, vt demõ 5 1 ſerauimus, o erit angulus ANL, in ſemicirculo rectus, atque idcirco angulo ON H, b T. eri). 4 in ſemicirculo ON P, rectus etiam eſt, æqualis 3 c ideoque arcus RTS, OTP. Aq 4 Lebertg. les erunt. Cum ergo OT P, ſit ſemitcirculus, quod recta L M, per E, centrum tranſire poi 20 tert. re ſie, erit& RIS, ſemicirculus q Ac proinde recta ducta RS, diameter erit circuli ABCD. amobrem ſi circulus ABC D, concipiatur eſſe maximus per polos mundi,& diametrum Rd ductus, faciens in Plano Aſtrolabqj, Aequatoriſue ſectionem PI. EOM. (Jui quidem ad circulum diametri FG zin ſphæra, qu in Aſtrolabio circulus HC refert, obliquus crit, cum Per eius polos non tranſeat; quod maximus circulus per mundi polo, c per polos circuli obliqui diametri FG, ductus faciat in Aſtrolabio ſtue Aequarore, ſectionem D E H, non aut E V Herunt N, T, foli mundi,& NT, axis, quando ui Adem in circulo maximo A BC P, per mundi polos ducio pundta N, T, quadrante ab ſunt ab Aequatore per rectam O P, ducto. Baſſto ergo polo antarctito N, apparebunt puncta etrema N,, diametri R, in plano Aſi rolalij in punctis M, L. per radios uiſuales NR. Ns, ex polo auſtrali N, inſpecha. Igitur puncta M, Lʒ refrrunt functa R,&, in ſphara per diametrum oppoſita,& zuorum diſtantiæ à polis mundi ſunt arcus NR, TS; recta aurem ML. diametrum RS, repreſentabit, ue communis ſectio eſtcirculi obligui, quem in ſphæra euprimit circulus AHCI,&& circuli maximi A BCD, per mundi polos ducti, & qui ad circulum obliquim tundem obliquus eſt. Quod ſi in ſpbæra per dia metrum RS, concipiatur duci circulus maximus ad circulumi ABC D, rectus in eo ſitu, quem eum diximus habere, erit AL, maxima diameter viſa circuli illius per RS, ducli, ac criptus repra ſentabit circulumm illum per Ro, ductum,& proindse circulus circa ML, de qui ad circulum ABC D, rectus eſt. Et vt res vfota fiat adbhuc planior, ponamus circulum AHCI, eſſe Horixontem aliquem obliquum. Ci igitur Colurus u g. ſolſtitiorum cir cumducatur in ſohæra, donec eius ſegmentum inter folum auſtralem,& Horixontem ſimile ſit arcui NR, ſegmentum vero eiuſdem inter polum borealem,& Horixontem ſimile arcui J Szreſeret circulus ABO, Colurum ſolſtitiorum in eo ſiuu,& RS, erit dia meter H orixontis, qua communis ſectio eſt Ooluri ſolſtitiorum in eo fitu, atque Horixon tis, proijciturquè in rectam ML, in communi ſectione Aſtrolabij Aequatorisue,& eiuſdem Coluri in eodem illo ſitu, quam dioimus eſe rectam PLEOM. Denique paralleli Aequatoris oppoſiti, c equales, quos corculus circa M, deſcriptus tangit, vt atxiimus, ſunt illi, quorum declinationes ab Aequators ſunt arcus OR, PS: qu res intelledi diſ Hcilis non eſtʒ ſi ſohæra materialis adhibeatur; eademque ad alios circulos maximos obli 2s non diſſiculter transferri poteſt. 12. WIA vero hpropoſ. 3 Num. Pollicitus ſum, me hoc loco demonſtraturuim, arcus æquales circulorum obliquorum proiſci in Aſt tinuato, demonſtrandum id erit hoc mollo trum Ezeirculus obliquus maximus A F g Arens 2 qusles rolabii in arcus inæquales ordine cò cirenli mam! Sil Aequator Aſtrolabij A BC D, cuius cen. 2 155. 5 CG, cuius centrim H, c nus polorum J,& ness ordiae contialter T. Sumptis autem in Aequatore arcubus e uaůGes BK, XL. ducantur ex Ii nusto. polo rectæ I K, IE, ſecanres obliquum circitlum in Al V. Reſtondebunt arcus E M, MP, arcubus circuli obliqui in ſphæra eq libus, qi arcubus; K, KL., equales ſunt, cum(vt in hac propoſ. Num. y. d monttratum eit, n primo modo dliuidendi circulos obliquos in gradus,)uot gradus complectan ur, quot in arcul tis B K, XL, continentur. Et quoniam per lemma; 3. FM, maior et, quam A Pʒ& M P, i aior, quam arctis in 7 uνν, Pp N Ip O.d N 343 ſequenc, qui areui Aequatoris reſpondet, qui æqualis ſit arcui K L,& ita deinceps, vſq ad ſinem ſemicirculi FC G ʒperſpicui eſt, arcus aquales circuli maximi obliqui projci in arcus inæquales ordine continuato, cum is, qui puncto F, propinquior eſt, ſit ſemper reme tiore maior, ſi æqualibus arcubus Aequatoris reſpondeât, vt lemmate 33. demonſtrat eſt. Itagus ſi circulus obliquus A FC, in 3 Co. gradus diſtribuatur, vt ſupra docuimus. decreſcent ij gradus continue ab F, aſgue ad&, in utroqʒſemicirculo F CG, FA Gzita vt gradus ſintmaximi probe punct i F; at iuxta pundtum G, minimi. Em quo Hie, partes cireuli obliqui in Aſtrolabio non eſſe ſimiles partibis reſpondotibus eiuſdẽ circuli in ſphara. 73. FI ER I nihilominus poteſt, vt vna aliqu a pars quotuis graduum, pauciorum tamen, quam 1H o. ſimilis ſit vni parti: quod alicui fortaſeis incredibils videri poſsit. Du cba namque ex I, polo ad FG, perpendiculari I Taſi ad vtramque eius partem conſtituã tur duo anguli TIM, TI Q equales, erunt per lemma 3 4. arcus 2 KO, ſimiles. Et quoniam, vt in eodem lemmate demonſtrauimus totus angulus Mi vtrique angus Lorum IA K NO, egualis eſt, ſi tatus angulus MI,, ex duobius equalibus TIM, TI tenſtans, inſiſtat arcii grad. i. vel 2. vel 3. vel. vel a o. vel Io o.&. in circulo, qui ex I, deſcriberetur, inſiſtent quoque anguli M HSK EO, arcubus MK, rotide graduum in proprijs circulisz quod H illis ſimiles ſint, ex ſchol io propoſ. 2. lib. 3. Eucl. Eæ quo eſfgcitur, arcum quotlibet ęraduum in circulb obliquo maxima quocunque in ar cum ſimilem, totidem videlicet graduum, proijci poſſe, illum nimorum, qui arcui N. reſpondet. Nam ille arcus in ſphæra, æqualis erit arcui KO, quem ſimilem oſtendimus arcui M, quotcunque tandem graduum fuerit aſſumptus. Quoniam enim ex lemmate 23. plana per polum auſtralem,& rectas IK, IO, dudta auſerunt ex Horixonte ſphæra arcum arcui KO, aqualemzeſt autem arcus KO, oſtenſus ſimilis arcui ¶orixon 10 M Nin Aſtrolabio:erit quoque arcus ille Horixontis in ſphara, qui quidem proiſcitur in arcum Nl Mer duo illa plana per rectas I K, IO,& polum auſtralem ducta: ſimi lis arcui eidem MQ. Atque eollem modo quæcunque aliæ duæ recta ex I, egredientes, conſtituenteſque angulum vel maiorem, vel morem angulo M Q, diuiſum à recta IF, hi fariam, abſcindent ex circulo obliquo,& Hequatore arcus ſimilest nunquam tamen dabuntur duo arcus, aut plures; in circulo obliguo, quorum vnus ſit rotus extra alium, qui ſimiles ſin: duobiis arcubuis, aut pluribus, in Aequatorr, quoriꝭ vnus ſit etiam rotus extra alium, ſed ſolum plures pluribus ſimiles eſſe poſfunt, ſinguli ſingulis, quando vnus intra alium includitur: prepterea quod recta auferentes arcus ſimiles debent cum T, angulos æquales ex vtraque parte conſtituere, vt dictum eſt. Nunquà ergo duo, vel plures æquales arcus circuli obliqui in ſphara in duos, aut plures arcus aquales in Astro labium proifci poſfunt:quæ omnia in lemmate 3 4. demonſtrata ſunt. 74. SED libet hoc loco ad maiorem dloctrind nonnulla alia, qua ad circulbs maxi mos obliquos in Afirolabium proiectos pertinent, nequè iniucunda, neque inutilia demonſtrare. Primum ergo per I, T, polos circuli obliqui A HCG, deſcripto circulo Her, circa diametrum IT, qui maximus erit, cum per puncta I, T, in ſphara per diametrum oppoſita deſcribatur, reſeretque eum in. ſphęra, qui per polas circuli obliqui, qus A FCG, repræſentat, ducitur, ad eum; rectus eſt, inſtar Verticalis primarij reſpettu Horixontis, vrt ex I, qua in hac propoſitione dict a ſunt, perſpicuuum eſi. Nam ſi puncta I. T, per diatrum ſunt oppaſita, erunt duo paralleli A equatoris ex E, per T,& T, deſcripti quales& oppoſiti, tangentqus circulum ACT, in J,& T, ex. ſcholio propoſ. 1 3. lib. 3. Eticlid. a Cum ergo maximus circulus in ſphæra tangat duos parallelos Hor os G aquales; referet circulus AC, illum maximum tangentem. Igitur ma imuis ci culus AI CV, per puncta A, C, tranſibit, vt demonſtrauimms: ductaqus per H, centrum obliqui cirtuli ad Y G, diameiro perpendiculari PS; iacebunt tam tria puncta A. Z. P, quam tria C, I,&, in vna linea recta, hoc eit, recta per quæ cunque duo ducta tranſibit Areum vntf gut piam maximi cir culi obliqui ig ſphæra ꝓiici Po f ſe in Aſtrolabiã in atcum ſimilt. Proprietates variæ cireulorũ ma ximorum obliquorũ in Altolabie. Citeulam in 4 ſtolabio per duo pũcta per diame tium oppofita de ſeriptum, eſſe ma ximum. 4 F. 2. Theo. re n 345 tranſibit etiam per reliquum: quod idem dicendum eſt tam de tribus fundtis h, C, 7, quam de tribus 8, A, T. Sit enim a, diameter circuli obliqui in ſſhæra, per cuius extrema Z a, radij viſuales dudti AA, Aa, diametrum eius viſam abſcindunt E G:Item diameter Lb, diametrum Za, ad angulos redes ſecet, ut L, C, poli ſine kirculi diametri Z as ac proindo radij viſuales AL, A b, in polos I, T, cadät, alſcindantqs viſam diames trum IT, circuli diametri Lb. Quoni ans igitur per lemma Io. rectæa ALL, Aua, auferunt ex circulis A BCD, AFC, arcus ſimiles; Est autem abſciſſus arctis Læ, quadrans; ex ſcholio propoſi a. lib. 3. Eucl. ob angulum redum LEa. Igitur product A L, erit quo qu ex circulo AFC G, arcus abſciſſus quadrans. Cum ergo arcus PG, ex eodem ſc holio quadrans ſit, ob angulum rectun PH G, tranſibit AL, per pundtum P, vt quadrantem G P, auferre poſſit. Et quia duo latera EI, EC, duobus lateribus EI, EA, æqualia ſunt, anguloſque continent rectos æquales, a erunt quoque anguli IC E, LA E, qua- 4 4 iini. les z b ac proindè arcus; cui angulus IC E, inſiſtit in circulo& H CG, arcui CP, cui ang b 20. lus IA E, in eodem inſiftit, æqualis erit. Cum ergo, ea ſcholio profoſi aq. lib. 3. Eucl. arcus C PVAs, inter parallelas AC, Ps, æquales ſint, cadet recta CI, producta in punctum 8, vt arcum arcui C P, auforre poſtit æqualem. Tam ergo tria pundta A,, P, quam tria C, I, S, in recta linea iaceut. Rurſus iunitis rectis C P, CT, e quonid anguli PCS, TCS, C31. tertij. tertij. in ſemicirculis pCS, ICT, recti ſunt; d erung rectæ P, CI, in continuum c direct um d Ia. primi · coniun demque dicendum eſt de rectis AS, A. Iacent ergo tam tria puncta P, C, %&, A, T. in linea recta. Eæ quo pt, radium A b, ad inueniendum alterum i poſſe per tria puncta S, A,&; quandoquidem tam recta& A, quam recta Cg produdta in polum Y, cadit, vt oſtendimus. ESL autem obſeruatione quoque dignum, quadrantem cuiuſiuis circuli obliqui in Aſtrolabio auſtralem, quem eius linea meridiana, c perpendicularis diameter ad ean dem lineam meridianam includunt, æqualem eſſe, quod ad numerum graduuim attinet, arcui altitudinis poli mundani ſiipra illum circulum in ſohæra; arcum vero eiuſ dem inter diametrum perpendicularem ad eius lineam propriam meridianam, C interſeclionem ipſius cum Aequatore, non ſolum æqualem eſſe, quod ſpectat ad numerum graduum, complemento altitudinis poli mundi ſupra circilum illum in ſpheræ, verum etiam ſimilem omnino. Nam quadrans FP, tot gradus continet, quot tn arcu BL, continentur, ut conſtat ex ij, qua in hac propoſ 5. Num 13. demonſtrata ſunt; cum recta AI, cadat in O, ut demonſtratum et. Perſpicuum autem eſi, arcum BL, aqualem eſſe arcui AZ, altitudinis poli ſupra circulum maximum, quem circulus AFC G, teſert,& cuius diameter vera eſt a A, propter quadrantes æqu ales /, BA,& arcum communem BA. Ex quo ſequitur, reliquum arcum LC,& e complemento altitudinis poli aqua lem, quem reprgſentat arcus PC, vt em eadem hac protoſ. Num. 1g. liquet: c proinde aquales eſſe abcus PC, LC, quod ad numerum graduum atlinet. Eoſdem autè eſſe 40 que ſimiles, manifeſtum eſt ex lemmate Ic. ubi demonſtratum eſt, rectas A P, AC, ab ſecindere ſimiles arcus PC, VC. Suod etiam conſtat ex lemmate 34. Cum enim an- e 5. primi. guli 10A, IA, æquales ſint; i ſit autem ICE, alterno CIT,& IAE, externo PIT, f 29. primi. equalis:erunt quoque anguli CIT, PIT, æqualesideoque arcus PC, LC, ſimiles, vt in dicio lemmate q; æ. demonſtratum est. Qu rectæ Ae15 DEIN DE quia in poſteriori parte primi modi diuidendi circuli obliquum sus mat gg maximum AFC G, in gradus, recta quelibet e V, emiſſa reſecat a circulo obliguo ar- obliqunm in Acum inter F,& Qrectam illam comprehenſum tot gradibus reſpondentem, quot in arcu g ff 8 Aequateris inter D,& eandem illam rectam incluſo continentur; ſit, vt recta ex Y, Recta ex polo in egrediens, c unum circulorum tangens, tang at& alterum, vt videlicet arcus inter E, e & pundiim contactus poſitus reſpondeat arcui inter D,& punctum contactus com- da, ſ tangat Aceprehenſo. quod tamen Geometrice demonſtrabimus,&.ſimul puncia cont actuum inue- N deslum obi * nie mus, —— P R OTP DU RB. AN 347 niemus, hoc modo. Secta recta EVT, biſariam, deſcribatur ex puncto diuiſionis per E, c dauum: Et AU gat circulu oblꝭ T ſemieirculus ſecans A equatorem in d. Dico recham I d, tangere A equatorem in n eandemque productam tangere obliquum circulum in I, puncto, in quod cadit recta Aedustorem. IT, dudla ex I, polo circuli obliqui ad FG, perpendicularis. Tuncta enim recta E d, erit angulus E A T, in ſemicirculo E d T, rectus; ac proinde, ex coroll. propoſ. 4. lib. 251. tertſj. 3. Euclid. recta J d, ad ſemidiametrum d E, perpendicularis tanget Aequatorem in d. 16. VT autem demonttremus, candem product am tangere circulum obliquum in Recta ad meridia nam Iiueam ex T. oſtendendum prius eſt, perpe ndicularem II, au Ferre arcum Aequatoris e B, ſimi. polo cireali malem arcui circuli obliqui TG,& quamcumque aliam rect am eꝶ polo I, educta m, qualis eſt I g; abſtinderè arcum F B, arcui g G, diſſimilem: quorum vtrumqęus ita conficiemus. Iunctis rectis E e, HT; quoniam triangula PHI, AEI, æquiangula ſunt, cum anguli ad N, E, recti ſint, b& anguli ad verticem I, æquales;( Nam recta Al. xi mi obliqu pet pediculaiſs, quos arcus ſi miles abſcindat ex Hequatote,& circulo maximo obliproducta cadit in P, vt demonſtrauimus,) e nec non& alterni P, A; d erit vt P H, Hoc uo. eſt, vt TH, ad H, ita A E, hoc eſt. ita, e E, ad EI. Igitur cum in triangulis IH E J, anguli recti ad I, aquales ſint,& latera circa angules H, E, preportionalia, vt oſten dimus, ac reliquotum angulorum T, e, vterque minor ſit rect;( ſquod re4 EP, GP; Be, De, in ſemicirculis rectos angulos effici ant, quorum illi partes ſunt.) ferunt triangula T HI. e EL, equiangula, anguloſque TH e E I, habebunt eguales in centris N, Ee ac propterea, ex ſcholio ropeſ. 22. lib. 3. Eucl. arcus, e B, I G, ſimiles erunt. quod eſt primum. Quod autem alia recta quatunque 15, auferat arcus non 2 miles f B, g G. ſic concludemus. Si Ig, cadat ſupra perpendicularem T, erit arcus FB, minor, quam e B, ac proinde minor, quam vr ſimilis ſit arcui IG cum buic ſimilis oenſus ſit arcus B. Multo ergo minor erit arcus f B, quam vt. ſimilis ſit arcui ꝙ G, cum hic maior ſit quam TG. Si vero Ig, cadai infra perpendicmlarem II, erit 47 cus FB, iaior quam e Bz; ac proinde maior, quam vr ſimilis ſit arcui I G cui ſimilis oſtenſus eſt e B. Multo ergo maior erit arcus ſg, quam vr ſſimilis ſis arcui g G. ui minor ett, quàm TG, ac proinde ſola perpendicularis IT, arcus ſimiles abſcindit Be, 7G. 0 17. HIS demonſtratis, facile oſtendemus rectam J d, productam tangere obli. quumcirculum in T. Nam ducta recta H, ipſi E d, parall ela; probabimus reltam YA, product am tangere obliquum circulum in T,& perpendicularem ad FG, ex I,. eductam cadere in T, punctum contactus, ac proinde eandem d, product am tangere circulum obliquum in T, puncto extremo perpenditularis IT. s Quoniam enim parallela ſunt PH, CE, ob rectos angulos ad N, E, rectaque YC, product a cadit in P, vt oſtendimus; æquiangula eritt ex coroll propoſi. lib. 6. Eucl. triãgula YP, TEC. h Igi tur erit, vt TH, ad HP, ita TE, ad EC;& permutando, vt TH. ad LE, ita N P, Hoc eſt. HT, ad EC, hoc eſi ad Ed. Ci ergo HT, Ed, parallele ſint, tranſibit recta Vd, producta per T, ex ſcholio prop. ę. lib. G. Eucl. i Et quia angulus Td E, in ſemicirculo rectus eſt, *& angulo TT H, equalis, externus interno; erit quoque IH, rectus, ac proinde TT. circulum AFC G, in T, continget. Iuncta autem recta IT, ſecante Aequatorem in e, gquoniam pundum T, inuenitur quoque per rectam ex altero polo T, emiſſam, qus abſeindat ex Aequatore artum& D, inchoatum equalem arcui ̃ e, vt patet ex primo mo do dliuidendi cirtulum obliquum in gradus erit arcus Dad, arcui Be, aqualis. Ita enim vtraque recta I e, V d, abſcindet arcum eundem FI, tot graduum, quot in arcu B e, vel Dad, continentur. Edt aueem arcus D d, arcui JG, ſimilis, ex ſcholio propoſ. 22. lib. 3. Eucl. ob angulos D Ed, GT, in centro, l qui aquales ſunt, externus,& internus, in parallelis Ed, AT. Igitur c arcus B e, eidem arcui I G, ſimilis erit. Cum ergo ſola perpendicularis ex I, ad F, educta abſcindat arcum a B. inchoatum, ſimilè arcui à P, X* inchoato, b. primi. C 29. primi. d. ſexti. e erth. f.. ſexti. g 2. frimi. h. ſexti. 131. tertij. k 29. primi. 129. primi. V. 349 inchoato, ut demonſtratum eſtʒ erit IG, ad FG, perpendicularisz atque idcirco recta Id. product a tangit obliquum circulum in puncto T, in quod perpendicularis ex I, ad FG, excitata cadlit. quod eſt propoſitum. 19. T E RTI O ducta ex T, vtcunque recta M, ſecante Aequatorem in V. N, (caſus autem factum eſt. vt punctum V, cum puncto Ls coincidat in f gura.) c circulum obliquum in M, Qaluctiſque rectis IA./ Qſecantibus Aequatorem in K. Os erunt ar cus CN, MC; Item BV, FM,& GN, ſimiles: Arcus item CN, K CO, æquaJes:ac tandem anguli MI F, OI D, æquales quoquse erunt. Iunctis enimrectis HM, HEP, EN. a quoniam eſt, vt TH, ad I P, ita TE, ad ECseſtque N N, ipſi N P, EN, ip EC, æqualisz erit quoque vt TH, ad ¶ ita TE, ad Quare triangula THEN, angulum F, habent communem& latera circa an los I, E, proportionalia. Cum ergo reliquorum angulorum Q. N, vterque ſit recto maior;(o Nam tam angulus M. maior eſt recto angulo NT, quam angulus ENT, angulo recto EdT.) c erunt triangula THEN, aquiangula; equaleſque habebunt angulos ad EH, E. ITgitur ex ſcholio propoſ. 2 2. lib. 9. Eucl. arcus G22 DN, ſimiles ſunt. Eodè modo, d quoniam eſt, vt LA, ad I b, hoc et, ad N M, ita TE, ad EC, hoc eſt, ad E, habe bunt tri gula HM, TE, angulum T, communem, c latera circa angulos H, E, proportionaJia. Cum ergo reliquorum angulorum M, V, vterque minor ſit recto,( quia cum ambo a circumferentias inſiſtan. tantummodo ſemidiametris HE N, acuti ſiant. e Recti enim ſierent, ſi ſamidiametris Q, NE. productis, ad earum eætrema puncta ex M, V, recæ ducerentur.) t erunt triangula THM, TEV, æquiangula, anguloſque æquales habebunt THM, TEP; ac proinde& ex duobus rectis religui æquales erunt FHM, BEV. Igitur ex ſcholio propoſ. 2 2. lib. 3. Eucl. arcus FM, BV, ſimiles ſunt: ac proinde, ex eodem ſeholio, vel ex lemmate d.& ex ſemicirculis reliqui Y D, MG, ſimiles erunt: Fuerunt autem DN, G Qu ſimiles. Igitur ex lemmate.& reliqui arcus N, M, ſimiles erunt. Conſtat ergo. rectam NM, vndique arcus ſimiles auferre, nimirum tam ſuperiores FM, BV, quam inferiores, G DN, tam ad ſiniſtram poſitos VN, quam ad deuteram MA VAN, reliquos villelicet ex totis circulis, ſi ſimiles A VN, tollantur. Deinde quia idem punctum M, reperitur per rectas IK, XN] erunt arcus B; K, DN, æquales, vt conſtat ex primo modo diuidendi circulum obliguum in gradus: Irem quia idem punctum Q inuenitur per rectas 10, LV; erunt eandem o b cauſuam arcus DO, BV. aquales. Tgitur erunt arcus BK, DO, ſimul duobus arcubus DN, BV, ſmul aquales: ac proinde& ex ſemicirculis reliqui K O, VN, æquales exit. Ei quia VN, ſimilis fuit arcui Merit idem arcui M ſimilis etiam arcus KO. Igitur& recte IM, IQ. duct per pundta circuli obliqui, in quibus a recta TM, ſecatur, abſcindunt ex Aequatore arcum KO, arcui Meꝛeſimilem. Ex quo deni que ſoquitur ex lemmate 34. angulos MIT, OIT, atque idcirco& ex duobus rectis reliquos ME, OI D, equales eſſe. Quod ſine lemmate ga. ita quoque oſtendi poteſt. Quontam elt vt PH, ad Hl, ita A E, ad El. ob triangula PHI, A EI, æquiangulazerit quoque vt MH, ad HI, ita OE, ad EI. Et quia anguli hisce lateribus contenti MH, OET, æquales ſunt, quod ex duobus rectis reliqui M H F, OE P, æquales quoque ſint, ex ſeholio propoſ. 2 2. lib. 3. Eucl. ob arcus I MH, DO, qui ſimiles ſunt. ¶ Cum enim ſimiles ſint oſtenſi FM, BV, erit quoque DO, ipſi BC, equalis, eidem FM, ſimilis.) b erunt triangula MHI, OEI, æquiangula, equaleſque habebunt angulos MI E. OI D. quod eſt propoſitil. Vbi etiam obiter notandum videtur, rectas KO, VN, ſeſe mutuo interſecare in diametro Aequatoris AC, in puncto X, hoc eſt, diametrum AC, per earum interſeckionem X, tranſire. Ducta enim recta C Hiquontam tam arcus B K, DN, quam arcus BV, DO; equales ſunt, vt didtum eit; erunt zguoque tam reliqui CK, CN, quam reliqui Quos arcus mles ex Aequatore.& cireulo ma · ximo obliqdo au ferãt rectæ ex po lis eiuſdem circu li obliqui eductæ a f. ſexti. b 21. primi. c. ſexti. d. ſexti. e 3. ſexti. f. ſexti. g. ſexti. h C. ſexti. CV, CO, aquales, i ac proinde tam anguli CO RK, CN, inſiſteutes arcubus aquali- i 27. tertj. 6¹¹. 6 29. tert. b 20. primi. gequstorem in Aſtrolabio ex cit eulo maximo obliquo, qui ad Meridianum ſe ctus ſit. ĩnelinatio nem que ad Ae · quatorem h. beat notam, deſeribe· re. 350 LI K M bus CR, CN, quũ anguli ACO, Ac, inſiſtentes arcubus æqualibus AO, A K.(Nam i aqualibus arculus DO, BV, equales quadrantes A D, A B, adijcianur, toti arcus AO. AK, aquales fiunt) inter ſe etiam æqualis. Itaque cum in triangulis COX, CV X. guæ a recta AC, abſcinduntur, ſquamuis nondum conſtet, eam per idem fund um X, tranſire duo anguli COX. OC X, duobus angulis Cy x, VC x, equales ſine,: ſint autem& latera adiacentia CO, Cl, æqualia, ob aquales arcus CO, CV; b erunt quoqu latera CX. CX, æqualia, hoc eſt, ſegmenta rectæ AC, inter C,& rectas KO, VN. Tran ſit ergo AC, per X. Nam ſi duobus in pundtis ſecaret rect as KO, VN, eſſet vnum ſegmentum altero maius, propterea quod vnum punctii propinquius foret puncto C, quam alterum. Denigus er is, quæ dicta ſunt, inferre quoque licebit; ſi ad polum J, circuli obliqui conſtituantiiſ iluo anguli aquales MI E., OI P, rectam per pundia M, Q vbi rectæ IM, IO, obliquum circulum ſecant, traiectam cadere in alterum polum Y, hoc eſt, tria puncta M, Q, iacere in vna linea recta. Nam ſi duda recta M, non dicatur tranſire per punctiim Qs ſed ſecare obliquum circulum in alio puncto, conſtituet rect a ex hoc puncto ad I, ducta cum ID, angulum æqualem angulo MILF, vt paulo ante demonſtraui mus; ac proinde e angulo CID; atque ita pars ac totum æqualia erunt. quod eſt ab ſurdum. Tranſit ergo recta M, per punctil Q quod eſi propoſitum. Atque hac de proprietatibus varijs circulorum obliquorum maximorum dicta ſint, nunc ad inſtitutum reuertamur. 19. CV M in ſcholio prop. 4. Num. I.& g. ex dato tropico S; vel D, in plano Aſtro 5 labij Aequatorem deſcripſeri intis, doceamiis qucq. Hoc loco, qua ratiene ex dato qucuis circulo obliquo ma xm, ꝗ ad Meri dianũ rectus ſit, (qualis eſt Hori xon, Verticalis Primarius; Ecliplica, poſito prin cipio D. in Mo ridiano;* deni que omnis circu lus maximusper polos Meridiaui, hoc est, per cd munes ſectiones Aequatoris, Ho rixontisque dus cus. Ninclinatio nemque ad Aegquaborò habeat norm, Aequaterem in plano Aſtrolabij deſcribere liceat. Nam non raro res hac mapnã afßort com moditatem, cii qui libet circulus obliquus in Aſtrolabio maior ſet, quam Aequator, vt ſupra Num. a demon Hrauimus, rer ene. rauimus, acturatiuſque ex maiore circulo minor deſcribatur, quam maior ex minore. Sit ergo in Aſtrolabij plano daius circulus maximus obliquus A PCG,& ad Meridianum rectus, cuius inclinatio ad Aequatorem contineat gradus 3 o. hoc eſt, altitudo poli Borealis ſupra illum circulum, ſiue complementum inclinationis eius ad Aequatorem, complectatur grad. o. oporteatque in eodem plano Aequatorem deſcribere. Ducta diametro circuli FG, per eius centrum K, numeretur a puncto G, in vtramque partem com plementum inclinationis, ſiue altitudo poli, hoc eſt, in dato exemplo grad. Go. vſque ad A,& C, ducaturque recta AC, qua in E, ſecabitur b fariâ, ex ſc holio propoſ. 2. lib. 3. Eucl. propterea quod diameter FG, arcum AG, biſariam diuidit: ac tandem ea E. per A,& C, circulus deſcribatur ABCD. Dico hunc eſſe Aequatorem. Data enim recta AG, ſacante circulum ABC P, in H. erunt ex lemmate 1 o. arcus CG. C H. ſimiles. Cum ergo GG, metiatur altitudinem poli ſupra datum circulum maximum obliquum, metietur eande m arcus CH. Ducta igitur recta ex H, per centrum E, diameter erit cireuli maximi, cuius complementum inclinationis, vel altiiudo poli ſit CH. Et quia ducta recta A I, angulus HA, rectus eit in ſemicirculo, cadet ea producta in punctum F. Si enim citra F, vel vltra caderet, eſſiceret ducta recta FA, in ſemicirculo FA G, allerum angulum redtum EA G, priori aqualem, atque ita part & totum aqualia ſorent. quod eſt abſurdum. Iraque ſi A B C D, ffatuatur Aegquator, deſeribetur circulus data inclinationit A FC G, cum radij viſuales A H, AI, per extrema puncta eius diametri ducantur, abſcindantque diametrum apparentem FG, vt exijs, qus in hac propoſ. Num. 2. demonſtrata ſunt, perſpicuum et. Est enim I I, diameter eius circuli in ſphara, cum arcus C H, AI, metianrur altitudinem poli ſupra ipſum. vt diximus. Viciſiim ergo, poſito A F C G, circulo obliquo, qui altitudinem poli habeat A L, vel CH, erit ABCD, Aequater: quandoquidem ex hoc Aequatore ille deſcribitur, veluti demonſtrauimus. Quod fi maior pars obliqui circuli dati vergere debeat in partem inferiorem, vt contingit in Ferticali primario, numerandum erit coniplementum eius inclinationis ad Aequatorem, vel altitudo poli ab F, in utramque partem,&c. Nam eius diamerer cadere debrt inter B, c C, vt ex ijs patet, quæ in hac propoſſtione Num. 9. ſcripſimus, quando declarauimus, quam in partem ducenda ſit diameter cuiuſuis circuli obliqui, qui tamen ad Meridianum rectus ſit. Nac eadem ratione ex quouis alio circulo maximo, qui ad Meridianum rectus non ſit, Aequatorem deſcribrmus in Affrolabio, ve fropoſ. H. Num. I. ſcribemus. 20 CO NST AT ex hit ſi in quouis pundio A, circumſerentia Aequatoris angulus rectus conſtituatur FA, a quo per centrum E, recta ducatur AC,& ad hane in codem centro E, berpendicularis excitetur IO, ſecans rectas A F, A O, angulum redtum conſtituentes in F, G; puncta E, G, repræſentare duo puncta in ſphara per diametrum oppoſit a, hoc eſt, rectam interceptam FG, eſſe diametrum maæimi circuli. Quia enim ex ſeholio propoſi 3 i. lib. 3. Eucl. IAH, ſemicirculus eſt, abſcindent radij AI. AH. per ex tremitates diametri NIL, educti, diametrum viſam FEG, circuli maximi, cuius diameter EI. per ea, quæ Num. 2. hitius propoſ. de monſtrata ſunt; ac proinde funct a F, G, per diametrum ſunt oppoſita in circulo maximo circa diametrũ viſam FG, aeſcripto, cum puncta I, I, per diametrum oppoſita referant. 21. DENN E deſeripto quolis ciceulo obliquo maximo in Aſtrolabio, qui ramen a d Meridianum rectus ſit, hoc eſt, per puncta A, C, tranſcat, cognoſcemus eius in clinationem ad Aequatorem, altitudinem poli ſupra ipſum,& ſitum eiuſdem in ſphtra, Hac ratione. Ex A, polo auſtrali per&, pundtum, ubi circulus obliquus AFC G, meridianam lineam B D, interſecat, centro Aſtrolabij E, propinq uius, recta ducatur A G, ſecans Aeduatorem in H. Nam CA, erit arcus altitudinis poli,& eius complementum D H, inclia 31. tert, Que und 18 Aſſrolabio ꝓ diametrũ opp Ontur. Altitudinem po li ſupra circulã maximum obliquum in Aſtrolabio, qui ad Meridianum rectus ft& eius inclinationem ad Ae quatorẽ, ſi: um qꝛ in fphæta, coguo cers. 352 LS Rn DE, inclinatio al Aequatoremz tropterea quod reſta AH, cadi⸗ in H, extremum diametri circuli obliqui, cum radius A H, indicet extremum G, diametri viſa, vt ex ijs, 4 dicta ſu nt, perſpicuũ eilt. Ratio altera huius operationis perſpicua hac eſt. Quoniam arcus circuli maximi per mundi polos,& polos obliqui circuli maximi in ſphara ducti, inter polum mundi,& circulum obliquum poſiteis, metitur altitudinem poli ſupra ipſum circulum obliquum, arcus vero inter eundemobliquum circulum,& Aequatorem interceptus meti tur eiuſdem inclinationem ad Acquatorè, fit, vt cũ recta B D, referat illum cin culũi maximil: vt prop. 1. Num. 1. ofenſum eſt, portio EG, inter E, polum mundi, & circulum obli quum interiecta repreſentet arei altitudinis poi e portio G D. fl ter eundem obligquum circulum, GM Aequatorem, exfrimat arcum inclinationiseiuſ dem circuli obli— qui ad Aequato rem. Quocirca cum portio EG, arcum CH, tortio G D, arcii H D, referat, vt propoſ. 5. Num g. oſtendimus, erit CH, aecus altitudinis poli, at vero E D, arcs inclinationis ad A equatoremm. Viol ſi punctum G, ie centro Aſirolabij, fuerit infta rectam AC, ſecabit in ſphara circulus maxi mus, quem AC, repren ſentat, M eridianum inter A, polum atſtralem,& B, frnctum Aeqttatoris in ſupero he miſphario: ſi vero punctum G foret ſupra roctam AC, ſecaret clrculus obliquus Meri dianum inter C, polum Lore alem,& B, punctum Aequatoris in eodem hemiſphario. Aique hac eadem ratio quadrat quoque in guemuis circulum maximum oblaquum. gui ad Meridianum rectus non ſit, vt propoſ.&. Num. a a. dicemus. PRGORGEFE MA Ard HORIZONTIS cuiuslibet obliqui, Verticalis eius primarij, Eclipticæ,& cuiuſcunque alterius circuli maximi obliqui, ſiue is ad Meridianum rectus ſit, inclinat io nemquè „„ 353 nationemque ad Aequ atorem habeat notam, ſiue non rectus, in Aſtrolabio tamen deſcriptus, Parallelos in Aſtrolabio deſcribere, atque in gradus, hoc eſt, in partes inæquales, quæ eorum gradibus in ſphęra æqualibus reſpondent, diſtribuere. 1. PRI M O loco de parallelis illorũ circulorum maximorum obliquorum agemus, qui ad Meridianum recti ſunt; quamuis eadem ſit ratio in illis, qui ad Meridianum recti non ſunt, vt Num. 25. dicemus. Si igitur diametris horum circulorum in Analemmate ad initium propoſ.. deſeripto ducantur parallelæ rectę per ſingulos gradus circuli Analemmatis, erunt eæ diametri parallelorum per ſingulos gradus ductorum. Quare ſi ex polo auſtrali A, per extrema puncta harum diametrorum radij viſuales emittantur, abſcindentur ex recta nX, diametri apparentes, ſeu viſæ parallelorum: quæ ſi transferantur in lineam meridianam Aſtrolabij BO, eo ordine ac ſitu, quem in Analemmate habent,& circasas ex medijs earum pundtis circuli deſe ribantur, deſeripti erunt paralleli circuli Horizontis,& aliorum circulorum maxi morum, quos in prooſ. nominauimus. 2. EOS DEM parallelos cõmodiſsimè in Aſtrolabio deſeribe mus, etiamſi ſeorſum Analemma conſtructum non ſit, ſi diametris dictorum circulorum maximorumin Acquatore Aſtrolabij inuentis, vt in præcedenti propoſ. traditum eſt, parallelæ rectæ per ſingulos gradus Aequatoris agantur. Hæ namque eruat rurſus diametri parallelorum. Quamobrem fi per earum puncta extrema ex A, polo auſtrali radij viſuales emittantur; abſcindentur ab ijs in meridiana linea BD, vtrinque producta diametri parallellorum apparentes maximæ, vt in ſcholio propoſ. 3 oſtenſum eſt, quippe cum Meridianus, in cuius communi ſectione cum Aequatore apparent, ad hoſce parallelos rectus ſit.. Si igitur ex medijs punctis diametrorum viſarum circa eaſdem circuli deſeribantur, de ſeri pti erunt prædicti paralleli in Aſtrolabio. Quod vt planius fiat, ſit exempli gra tia, in Aſtrolabio Acquator A B C D; centrum E; diameter Horizontis HI 3 Verticalis primarij KL; Horizon AFC Gz Verticalis primarius Ai C kʒeentrum Horizontis O; Verticalis P, Polus Horizontis ſuperior, hoc eſt, vertex capitis, ſiue Zenith, punctum iz Polus inferior, ſiue Nadir, punctum k. Si ero paralleli ug. Horizontis, quos Almucantarath Arabes dicunt, deſeribendi 41 diuidendus erit Acquator, initio ſumpto ab Horizontis diametro Hl, in 360. gradus, ſi paralleli omnes Horizontis, per ſingulos nimirum gradus Verticalis primarij tranſeuntes, deſidetrentur. Nos ad vita ndam conſuſionem contenti fuimus diuiſione in 12. partes æquales, ita vt ſingulæ tricenos gradus com plectantur. Deinde quælibet bina puncta à punctis H, I, æqualiter diſtantia lineis rectis iungenda, quæ ex ſcholio propol. 27. lib. 3. Eucl. ipſi H J, parallelæ erunt, cuiuſmodi ſunt rectæ ST, VX, VZ, a b, ac proinde diametri erunt parallelorum Horizontis per tricenos gradus ductorum, hoc eſt, communes ſectiones Meridiani,(pro quo nunc circulus AB CP, ſumitur)& parallelorum Horizontis, cum omnes hæ ſectiones inter ſe parallelæ ſint, factæ videlicet à plano Meridiani in planis parallelis. Igitur ſi ex A, polo auſtrali per 8, T, radij emittantur, abſeindetür paralleli ST, diameter viſa ed, qua bifariam diuiſa in e, deſcribatur ex e, eirculus per c, d, qui parallelum Horizontis, cuius 1 5 diameter Horizontis,& cu iu ſuis alterius cir culi maximui obI. qui, ad Mexidia uu m tamt᷑ recti, parallelos in Aſtrolabio ex Analt mate deſctibere · Horizontis,& cuiuſuis alterius circuli maximi obliqui, ad Meridianum tamen recti, patallelos in Aſiolabio per Aequatorẽ, etlamſi Aualemma ſcorſum con ſtructum nõ ſit, de ſeribete. a IC. vndec. 5 N IE N 0 e 5 moren. v. 355 diameter ST, repræſentabit. Pari ratione radij AV, Ax, abſeindent diametrum viſam fg. paralleli Horizontis, cuius in ſphæra diameter VX. Sic extre- ö mum, diame tri VZ, apparebit per radium AZ, in puncto, altetum autem extremum I, cernetur per radium AV, in concurfu huius radij cum meridia na linea DBE, qui in puncto admodum procul diſtante contingit, vt in plano notari non poſsit. Quare vt portio eius paralleli per, tranſeuntis deſeribi queat, inueniendum eſt eius centrum, etiamſi alterum extremum non habeatur, vt paulo infra Num. 9. docebimus. Atque omnes hi paralleli, quorum 1 diametros in Aequatore Aſtrolabij recta AK, ex polo auſtrali A, ad polum Ho e riontis K, educta inter ſecat, hoc eſt, qui in ſphæra inter polum auſtralem,& har later pozenith Meridianum inter ſecant, habent ſua centra in Aſtrolabio ſupra Zenith 4 Z i, verſus E, deſcribunturque circa i, Zenith, ſiue polũ Horizontis ſuperiorẽ. diaaum interſg3. AJ parallelus Horizontis, cuius diameter per polum A, auſtraſem tran ee ſit, qualis eſt recta Abp, ad axem Horizontis KL, perpendicularis, cadens in zend. 8 P, centrum Verticalis, vt ſupra demonſtratum eſt propoſ 5. Num. 3. proijci- eee tur in lineam rectam PQ, ad BD, perpendicularem in P. Quò d. n. neam te- phate per polã ctam eſffciat in Aſtrolabio, conſtat ex propoſ. t. Num. 1. cum per polum au- 8 ſtralem ducatur. Quod autem faciat rectam PO, ad BD, perpendicularem in P. ſabio in lincem ſic probatur. Quonĩam tam planum Aequatoris, Aſtrolabijue, quam planum. paralleli diametri AP, ad Meridianum rectum eſt(Meridianus enim per ip- pendeularis t ſo rum polos ductus ad vtrumque rectus eſt, ac proinde viciſsim ipſa plana ad„ Meridianum recta erunt.) b exit& eorum communis ſectio ad eunde m recta 9 5 atque ide irco ex defin. 3. lib. 11. Eucl.& ad rectam BD, in Meridian o exiſten b. 19.* tem perpendicularis erit in puncto P, vbi plano Aſtrolabij parallelus occurrit. Igitur perpendicularis PQ, erit communis illa ſectio referens parallelum Horizontis per A, polum auſtralem ductum. Parallelos Roi 4. AL II denique paralleli; quorum dia metros in Aequatote Aſtrolabij zðtis, qui in ſphæ recta AK, ex polo auſtrali A, ad K, polum Horizontis ductum non ſecat,; hoc Kalk r 1 eſt, qui in ſphæra inter polum auſtralem,& Nadir Meridianum interſecant„ Ateridiznum ins centra ſua habent in Aſtrolabio infra Nadir k, deſcribunturque circa idem Na e eee dir k, ita vt eorum circũferentiæ à recta PO, deorſum verſus curuentur, quem a. 8 admodum pr iorum circumferentię ab eadem recta PQ, ſurſum verſus tendũt. Ita vides radium Ab, per b, extremum diamcetri ab, indicare vnum punctum extremum illius paralleli viſum Iz alterum vero extremum indicabitur per radium Aae; qui per alterum extremum a, ducitur, infra Nadir k in concurſu 14. ſi in plano notari poſſet; ita vt tota diameter viſa in fra rectani PQ, exiſtat, inter cuius extrema ipſum Nadir k, reperitur. Sed quia hocaltetrum extte mum nimis procul excurrit, præſtat inuenite centrum paralleli, quod eſt punctum 12.(quod paulo poſt Num. 9. inuenire docebimus) licet alterum extremum diametri viſæ non habeatur. Circulus igitur J 60. ex centro 12. deſcriPtus circa Nadir x, repreſentabit paralle lum diametri ab A tque hoc eodem ö artificio omnes paralleli Horizontis deſetibentur, tam ij, qui ſunt in ſupero hemiſphærio ſupra Horizontem, quos illi repræſentant, qui intra Horizontem deſoripti ſunt, quàm illi, qui infra Horizontem exiſtunt, quòos videlicet refe- 17 runt ij, qui extra Horizontem deſignantur. Maior tamen vſus illorum, 1 quàm horum eſt in rebus Aſtronomicis: Ex quo factum eſt, vt in Aſtrolabijs. extra Horizontem nullus parallelus ipſius deſeribi ſoleat. præter eũ, qui grad. 18. infra Horizontem exiſtit, diciturque hne a crepuſculina, de qua propoſ. 10. 0 agemus. 1 2 MTT. ———U— oro II. 357 OMITTENDVM etiam non eſt hoc loco, quando parallelus aliquis circuli maximi obliqui Aequatorem interſecat, quod contingit, cum eius dia meter meridianam lineam intra Aequatorem ſecat, cuiuſmodieſt diameter ST.) duo puncta interſectionum Aequatoris cum parallelo;& punctum interſe ctionis line meridianæ cum eiuſdem paralleli diametro, in vna recta iacere linea, nimirum in communiiſectione plani Aequatoris,& plani paralleli in ſphæ ra, quæ ad lineam meridianam perpendicularis eſt in Aſtrolabio. Ouoniam n, t am parallelus diametri ST, in propria poſitione, quam Aequator ad Meridia num rectus eſtʒ a erit 3 communis eorum ſectio ad eundem Meridianum recta, ideoque& ad meridianam lineam BD, ex defin. 3. lib. 1 T. Eucl. perpendicularis. Si ergo per punctum interſectionis diametri 8ST, eum meridiana linea, ad eandem lineam meridianam perpe ndicularis ducatur, erit ea, communis ſectio paralleli,& Aequatoris. Cum ergo ex polo auſtrali conſpiciatur parallelus per illam commune m ſectionem tranſire, ſecabit neceſſario parallelus viſus in Aſtrolabio deſeriptus Acquatorem in punctis extremis illius communis ſectionis: ac proinde quo puncta ſectionum Aequatoris,& paralleli,& punctũ inter ſectionis diametri ST, cum linea meridiana iacebunt in vna linea recta, in communi vide licet ſectione paralleli,& Aequatoris. Hac ratione experieris, interſectiones duas paralleli e 30 d, cum Aequatore,& inter ſectionem diametri ST, cum meridiana linea, in vna jacere linea recta: quod etiam de duabus interſectionibus paralleli BB% 3, cum Aequatore,& interſectione diametri VZ, cum linea meridiana dicendum eſt. Voco autem Meridianum cu iuſuis obliqui eirculi maximi, eiusque parallelorum, circulum maximum, qui per polos mundi,& polos circuli obſiqui ducitur;& meridianam lineam, communem ſectionem plani Aſtrolabij,& illius circuli maximi per polos mundi,& circuli obliqui trapſeuntis. A DVERTEN DVM quomque eſt, parallelum obliquum per E, centrum Aſtrolabij tranſeuntem, æqualem eſſe parallelo obliquo, qui in ſphæra per po lum auſtralem ducitur, prolieiturque in Aſtrolabio in rectam PQʒquia vterque in ſphæra æqualiter à proprio polo diſtat, ille quidem à ſuperiore, hic vero ab inferioreʒ cum vtriuſque diſtantiam metiatur arcus Meridiani proprii inter po lum mundi,& proprium polum interiectus: Vtrique vero æqualem eſſe tam parallelum Aequatoris per i, polum circuli obliqui, quam parallelum Aequatoris per k, alterum polum obliqui cireuli deſcriptum: quia horum vterque recedit in ſphæra à polo undi per arcum inter polum mundi,& polum circuli obliui interiectum; quemadmodum& vterque illorum à proprio polo per eun25 arcum diſtat. 5. QVEM ADMO DVM autem in ſphæra verticalis cireulus prima. rius per polos Horizontis, eiusque parallelorum ductus, ſecat omnes paralJelos, ipſumque Horizontem bifariam, ita quoque in Aſtrolabio idem fieri neceſſe eſt: adeo vt quemadmodum in Horizonte arcus AFC, AGC, referunt duos ſemicirculos ipſius, vt ſupra in ſcholio præcedentis propoſ. Num. 4. dixi mus, ita quoque in parallelis Horizõtis arcus, quos Verticalis primarius Ai Ck, abſcindit, ſemicireulos repræſentent. Rurſus quemadmodum Verticalis, ac Meridianus diuidunt eoſdem parallelos Horizontis, atque ipſum etiam Horizontem in ſphæra, in quadrantes, ita quoque in Aſtrolabio arcus Horizontis, eiuſque parallelorum inter Verticalem,& Meridianum, quem recta BD, in vtramque partem extenſa exprimit, comprehenſi referunt eorum quadrantes: cuiuſmo di ſunt arcus Horizontis AF, IC, CG, GA,& parallelorum arcus 30, 3zod; gectiovem communem Ac quatoris,& paralleli obliqui eſſe ad meridianam lineam in Aſtrol a. bio perpendicula rem · a Tg. vndee. Meridianus,& linea meridiana cu iuſuis circuli obliqai, que mode intelligatur. b 75. I. T. sc micirculi,& duadrantes Nori zontis, ciuſgue parallelorum, à Verticali ptimario, ac Meridiano effecti in 4. ſtrolabio, quſ. ——— — 2—.— — ———— biametros ap parentes parallelorum Horlzötis. vna cum corundem centris, per ipſumimet Horizontem inueaire ig Aſtrolablo. 358 IM. E BORG IOI. go 30 df Go. og: w 305 CO.&c. Immo& diameter Verticalis primarii ſecan: in P, ad rectos angulos meridianam lineam BD, exhibet ſemicirculum paralleli, cuius diameter in ſphæra eſt A bp quem per rectam PQ repræſentari diximuszſemidiametri autem P xk, P mm,, eiuſdem paralleli quadrantes referunt; ſemicirculum, inquam,& quadrantes eiuſdem, qui à polo auſtrali A, longius abſunt. f. 6. ATL. IO modo& fortaſſe accuratius reperiemus in meridiana linea BD, vtrinque extenſa diametros apparentes parallelorum Horizontis, eorumque centra ſimul, hoc eſt, diametrorum puncta media, ſi Horizõte deſcripto AFC G, per eius centrum Q, diameter MN, ducatur ad FG, perpendicularis, ipſeque Horizon in 360. gradus diſtribuatur, facto principio à puncto E, vel G, ſi omnes paralleli deſiderentur,(Nos confuſionis euitandæ cauſa eum in 12. partes ęquales, quat um ſingulæ tricenos gradus complectuntur, partiti ſumus) ac tandem per bina quæuis puncta à dia metro EG, æquè remota rectæ occultæ ducantur ſecantes diametrum, MN, in u, e, 6, Y, quæ omnes ex ſcholio propoſ. 27. lib. z. Eucl. ipſi FG,& inter ſe parallelæ erunt, diuidenturque omnes bitariam à diametro MN, ex eodem ſcholio propoſ. 29. lib. 3. Eucl. His namque peractis radii ex A, per extrema puncta cuiuſuis parallelæ emiſſi abſcindent ex EG, diametrum viſam illius paralleli, qui in ſphæra tot gradibus ab Horizonte diſtat, quot gradibus ipſa paralle la à diametto IG, remouetur, atque parallelus ipſe ſupra quidem orizontem exiſtet, ſi pagallela verſus pun ctum M,, vergat, infra vero eundem, ſi ver ſus punctum N, tendat, ita yt ſemi, circulus FC, ad parallelos ſupra Horizontem,& ſemicirculus EAG, ad pꝛrallelos infra Horizontem pertineat. Recta verò ex A, per punctum, in quo diameter MN, à parallela ſecatur, emiſſa indieabit in recta FG, centrum eiuſdem paralleli, id eſt, diametrum eius viſam diuidet bifariam. Verbi gratia, quo niam paralle la I p. recedit à diametto FO, verſus M, grad. 30. abſcindent radii Al, Ap, diametrum apparentem cd, paralleli, qui ab Horizonte verſus Zenith totidem ꝑradibus abeſtʒ recta vero Au, diamettum cd, ſecabit bifariam in eʒ centro paralleli c 30 d. quod hunc in modum demonſtrabimus. Quoniam rectæ AE, Al, per 10. lemma, in circulis ABCD, Ak CG, intercipiunt arcus ſimiles, tranſitque Ag, per punctum H, extremum diametri Horizontis, qu od per radium AH, inuentum ſit punctum E, extremum diametri viſæ Horizontis; tranſibit Al, per 8, quòd arcus Fl, Is, ſimiles ſint. Que madmodum ergo radius, As, exhibuit punctum c, ita idem punctum c, per radium Al, indicabitur. Rurſus quia per idem lemma fo. rectæ AG, Ap, in eiſdem circulis arcus ſimiles intercipiunt, rectaque AG, tranſit per I, tranſibit Ap, per T, quòd arcus Gp, IT, ſimiles ſint. Igitur punctum d, reperietur per radium Ap, ſicut i per radium AT, inuentum eſt. Et quia ex ſcholio propoſ. 4. lib. 6. Eucl. eſt, vt lu, ad up, ita ce, ad edz eſtque lu, ipſi up, ęqualisz erit quoque ce, ipſi ed, æqualis. Eſt er go e, centrum parallelli circa cd, deſcripti inuentum per rectam Au. Eadem ratione radii Am, An, auferent viſam diametrum fg, eamque bifariam ſecabit recta Au: quia ex eodem lemmate 10. tam rectæ AF, Am, quam rectæ AG, A n, ſimiles arcus intercipiunt in circulis eiſdem. Cum ergo arcus IV, arcui Em,& arcus IX, arcui Gn, per conſtructionem ſimilis ſit, tranſibit recta Am, per V.& An, per X,&c. Sic etiam radij At, A q; per V. Z, tranſibunt,& recta Ag, in centrum paralleli per, deſeripti incidet; cumex eodem lemmate r. arcus ſimiles intercipiant in eiſdem circulis rectæ AE, A t,&c. Denique radii quoque A ſ. Ar, per puncta a, b, tranſibunt. Quoniam enim rectæ AN, A f. ver ſus A, ptoducta ö 1 P HN O P U S. I vI. 359 0 qductæ intereipiunt, ex eodem lemmate 1b, ſimiles arcus, propter æquales angu-— los ad verticem A; tranſit autem NA, per L;; Nam vt in ſcholio præcedentis Ppropoſ. Num.. oſtendimus, quatuor puncta N, A, L, k, in vna recta linea iacent. Igitur S A, producta tranſibit per a, cum arcus Ni, La, ſimiles ſint. Rurſus rectæ AN, Ar, productæ verſus A, ex eodem lemmate 10. ſimiles arcus abſcindunt. Cum ergo NA, tranſeat per IL, vt dictum eſt, arcuſque L b, arcui N x, ſimilis ſit, 1 tranſibit r A, producta per b. Recta quoque Aq, verxſus A, producta cadet in pun 1 cum 12. quod centrum erit paralleli circa diamettũ viſam Iq. deſcripti. Nam rurſus recta ſr,& diameter viſa A 14. ſecantur proportionaliter in, 12. cum parallelæ ſint ſr, I 14. hoc eſt, ita ſe habet ad vt Iz. ad 12 14 ſumendo 14. Pro concurſu rectarũ BD, Aa.) quod eodem modo demonſtrabitur, quo ſcholium propoſ.. lib. 6. Euel. probatum fuit. Cum ergo ir, in, ſecta ſit bifariam, ſecabitur quoque IIA. in 12. bifariam. 7. AC CIDI T autem in vtroque modo expoſito, parallelas in Aequato- Dianerri paralle re,& Horizonte ductas, eiuſdem ordinis ſeſe interſecare in diametro AC, vel in 22 ca producta. Ita vides parallelas ST, Ip, ſeſe interſecare in puncto tt, diametri duatere,& HoriAC. Item parallelas VX, mn, productas ſecare AC productam in vno eodemq:— 1 puncto aαtparallelas vero MZ, tq in puncto ee& parallelas denique a b, ſr, productas conuenire in eodem puncto pe, rectæ CA, productæ. Ratio huius rei hæc eſt. Quoniam recta AO, cadens ex A, polo auſtrali in O, centrum Horizontis, ad HI, diametrum Horizontis eſt perpendicularis,(ſ enim non credatur eſſe perpendiculatis, ſi ex A, duceretur perpendicularis, caderet ea, vt demonſtratum eſt in præcedenti pcopoſ. Num. z. in centrum Horizontis atque ĩta haberet Horizon duo centra. quod eſt abſurdum) a erunt AO, KL, parallelæ,„ ideo- a2 2. primi. que angulus externus cc E tt, interno OAE, æqualis. Cum ergo& recti E ce tt, b 29. primi. AEO, æquales ſintzæquiangula erunt triangula AEO, E ce tt. e Igitur erit, vt c E. ſexti. AE, ſemidiameter Acquatoris ad AO, ſemidiametrum Horizontis, ita cc E, ſi- a nus arcus HS, ad E tt. Sed per lemma 5̃. ſemidiametri eandem proportionem ha bent. quam ſinus arcuum ſimilium. Igitur erit E tt, ſinus arcus, qui ſimilis ſit arcui Hd, hoc eſt, ſinus arcus Fl, qui oſtenſus eſt limilis arcuĩ HS: ac proinde recta Ip, abſcindens ex EC, ſinum arcus Fl, cadet in punctum tt, vbi recta ST„rectam EC, ſecat. Eadem quoque in cęteris demonſtratio eſt 1„cum triangulum E bb aas triangulo AEO, ſit æquiangulum: nec non& triangula E oo 46, Enn ppeidem triangulo AEO, æquiangula, propter alternos angulos EAO, nn EA, æquales,&c. QVONIAM vero ratio hæc ſecunda inueniẽdi diametros parallelorum Horizontis percommoda eſt, ac facilis, libet in ea paulo diutius inſiſtere, varias proprietates, quæ illam conſequuntur, demonſtrando. Quod vt commodius,& line confuſione linearum fiat, deſcribemus figurã ſeorſum, in qua rut ſum Aequa tor ſit ABCD, cuius centrum E: Horizon ACG, cuius centrum H. Paralleli Horizontis cum eorum diametris in ipſo Horizonte, vt ſupra, niſi quod arcus, chreulum per en Fl, Im, mM,&c. hic non ſunt æquales, vt ibi. Primum igitur circulus circa tria de 1 puncta, quorum vnum eſt polus auſtralis A, è quo omnes radii exeunt, alla vero e ee duo in extremitatibus diame tri viſæ cuiuſuis paralleli exiſtunt, tangit Hori- zones,& per rontem in auſtrali polo A. Ita vides circulum Acd, Horizontem contingere in deſeriptam, tan. A. Cum enim diameter viſa ed, reperiatur per radios ex A, ad extremitates re- ere kſcfix ontem ctæ Ip, ipſi FG, parallelæ eductos, vt hic oſtenſum eſt Num. 6. erit in triangulo Pee ar Alp, ba ſi Ip, parallela r ecta cd. Igitur per lem ma 40. circuli AfCG, Acd, deſcripti circa triangula Alp, Acd, mutuò ſe tangent in A:& I, centrum circuli Acd polum aàuſtralem * Mooren ol. N A cd, exiſtet in recta AH, ex A, per centrum Horizonti ere od inuenitur per rectam dl, facientem cum rad lio Ad, per ch extre i viſæ aralleli què co angulum dA, angulo Ad, æqual les tint, ac proine de circulus N per A, d ö tus tranſeat per d; per c, cum per duo puncta 50 d, vnus tan sdeſ m AFHCG, tangen 2 * e 2 eee Kit recta AE quod eſt abſurdu que in d. Eadem que ratione, fi conſtituatur angulus angulo c AT, æqualis, cad ens in I, centrum. Idem con tingit in paralle e infra 8, centrum Verticalis exif rizontis k, deſcribuntur 1„diameter viſa, qus 5 0„ j 1 e Pelle 1 1 circulum quoque circa tria puncta 1 1 4 tantem in A. Quia na ue in triangulis A PQ, AL K, latera 5 1 rculi AFC G, AK L, circa ea triangula de er lemma 40. in A, continę gent: atque R, centrum circu＋ 5** Hunt,& circa alterum — ſeripti, ſe mutu per li AKL, in recta HA, extenfa reperistur per tectam L R, quæ a 1355 um ALR, angulo LAR, vel per rectam KR, quæ angulum AK R, a1 gulo KAR, æqualem conſtituit. Denique ſi ex polis Horizontis i, k, ad rectam!. 1 een 9 tur perpendiculares iV, KX, erunt etiam VX, centra circulorum Pet tranſeuntium, Horizonten que tangentium in A. b Nam rectæ iV, KX, erunt b 2. fyinrt. 0 r 1„ob apgulos rectos ad H, i, k, ideoque tam triat Sula A HM, 8 AH J, AXK,. erunt. eIgitur erit, an d HM, ita A*„ad d e vt AH, ad HN, ita Ax, ad xk.. m ergo metri AH, HM. HN, ſin nt æquales, Kü gg tam VA Vi, q Xk, æquales Circull igitur ex 138 Xz per i, k, de lcriptit libunt p 0 1 tum, in eoque Horizontem tangent. VI bi etiam vides, rectas i V. EX, facientes angulos Vi A, XKk A, angulis VAi, XAk, equales, cadere in centra V, X. 7 2 am tam nene 1 80 9 5. ee 17575 non determin n eius d duftant tiam ab Reiten e, 155 ab ei tius fieri poſſe, ſi a quouis Puncto I, in recta AH, aſſum pto, ctæ IA, bee circini 1 3 2 ucta c, viſa alicuius paralleli, illi Ad, determinant in punct 11815 p. Cu im enim circulus ber se d. rizontem in A, tangat, erunt pe letma 9. rectæ cd Ip, para! ſupra Num. 6. oſtenſum eſt, recta ze, diameter etit viſa Horizonte per arcum Ei ve! Gp. 8 ic etiam ſi ex aſſumpto punct uallum a A, duo p uncta b, q, abſcindantur, it 9 diameter v cuius diſtantia ab Horizonte eſt a arcus Fr, del pto ad interuallum RA, abſcindantur duo aralleli, cuius diſtantia ab A onte rur ſus facillin iſæ cuiuslibet paralleli! antur, Nat n mo dis In ct 8 eri Ict a K, L., Crit arcus F 7 vel 8 a via elicitur, qua ex dato vno extremo diametri 3 alter um extremum eruatur: que res maupra centrum Horizontis long gius 1 1 1 pur Sand is 7 quod ibi radij valdte oblique m eridianam I. neam ui ſe care bi 7 far ia m/ — 4. inter S. v. inter ſecent. Ita ergo facie mus. Sit data diſtantia paralleli ſub Horizonte ar cus Er, vel Gf, cuius vi ſa diameter inueſtiganda eſt. Bucto radio Af, ſecante meridianam lineam in q;(omnes autem ha ſectiones inter i, polum& 8, centrũ Verticalis minus obliquæ ſunt, ac proinde magis commodæ,)fiat angulus A q a, angulo q A a, æqualis, ſecetque recta q a, rectam AH, in a; ac tandem ex a, ad interuallum aA, vel a ꝗ, ſumatur in linea meridiana punctum b. quod dico eſſe alterum extremũ diametri viſæ, in quod ſeilicet radius Ar, incurrit: propteres quod circulus ex a, per A, q b, deſcriptus Horizontem tangit in A; ac proinde, vt demonſtrauimus, reſecat diametrum paralleli Horizontis. Cum ergo q; ſit vnum extremorumz erit b, alterum. Qudd ſi forte recta q a, nimis oblique rectã AH, ſecet, vte mur hoc artificio. Ex quolibet puncto rectæ q a, facientis angulum a q A, angulo q A a, æqualem, deſcribemus per A, arcũ circuli Ac, ſecantem rectam a q. producta m in in ęʒ& arcui ę A, arcum, æqua lem ſumemus. Si namqʒ ducta recta AJ, angulo HAI, æqualis fiat angulus Aa, cadet rurſum re cta. a, in a, ſectioque eius cum AH, minus erit obliqua. Quod aũt ꝙ a, incidat in a, V bi A a, q a, conueniunt, conſtat. Pucta enim ex a, recta a; quoniam latera Io, o a, lateribus Ac,& a, æqualia ſunt, anguloſque cõtinent ad a, rectos;(Nam recta q a, tranſiens per centrum arcus a, ſecanſque eum bifariam in, ſecat quoque ex ſcholio propoſ. 27. lib. 3. Eucl. rectam A I, bifariam, à ideoq; ad angu los rectos.) b erunt& baſes a A, ad,& anguli a A J., a A, ęquales: ac proinde re cta faciens in q, cum recta A, angulum angulo HA, æqualem cadet in a. Sic etiam, ſi diametri KI, extremum E, inuentum ſit per radium QgK,(quod facilius reperitur, quam alterum L, proptert ſectionẽ obliquiorem)& angulo RAK, æqualis fiat angulus RK A; ac tandem ex R, vbi recta K R, rectã H AR, ſecat. ad interuallum RK, meridiana linea ſecetur in Lerit L, alterum extremum. Inuento hac ratione altero extremo, dabit ducta perpendicularis ad lineam meridianam ex puncto rectæ AH, ex quo illud extremum inuentum eſt, centrum paralleli, hoc eſt, ſecabit diametrum viſam bifariam. Ita vides perpendicularem Ie, cadere in centrum e, paralleli edʒ& perpendicularem at, in centrum t, paralleli bq;& perpendicularem RT, in centrum T, paralleli KL. Quia enim rectæ N. æquales ſunt, cum ex R, ad interuallum RK„ ſumptum ſit punctum Lz e erunt anguli K, L, æquales: Ponuntur autem& anguli T, recti. Igitur cum latera RK, RL, illis oppoſira, ſint æqualia 34 erunt& latera KT, I. T, æqualia. Eademque ratio eſt in aliis, cum& 1d, Le„& aq a b, ſint æquales,&c. 0 QVY OD ſi Forizon tante interdum magnitudinis exiſtat, vt vix in eo ob anguſtiam plani parallelæ lp. mn,&c. duci queant. vti poterimus commodiſsime quouis circulo A gd, ex aliquo puncto rectæ AH, per A deſcripto, ideoq; Horizontem tangente in A. Nam ſi ducamus diametrum gx, diametro MN, vel: AC, paralle lam, eamq. ad angulos rectos ſecemus alia diametro„ accipiendi ſunt arcus Ye, ch ddg, 50, h, Oe, ep, ercubus Horizontis Fl, linz Gp, pnzFr, P; Gf, Q; ſi miles; hoc eſt, citculus 49, diuidendus, vt Horizon diuidebatur,& rectæ ducendæ cd, AE, e, p,& c. quia radii A, Ac, Au,&c. cadunt in F, I, m,&c. propterea quod per lemma g. ſimiles arcus intercipiunt e, El, ch, Im,&c. Vr igitur in Horizonte, ſic in hoc circulo radii A, Ag, dabünt diametrum apparentem paralleli fg,& radius Ay, in centrũ h, incidet,&c. Itaque ſi circulus A in partes æquales diuida tur,(quod in figura factum non eſt,) deſeribẽtur ijdem Prorſus paralleli, qui ſupra Num. g. per Horizontem deſcripti ſunt. an ee quoque ex his demonſtrabimus, rectas ex S, centro Verticalis 2 ad in3. tertij. neprimi. 5. primi. d 26. Primi. 2—— — P ˙ VA . 8 * 7 90 0 8 — * —— FR G o l 365 ad interſectiones eiuſdem Verticalis cum parallel is ductas, parallelos ibidem Reass en cent. tangerez quales ſunt See, Sce. Iuncta. n. recta SA, tanget Horizontem in A,„ vt propoſ. 5. Num. 28. oſtendimus. Si igitur deſeribatur circulus Acd, Horizontem tangens in A, tranſiensque per ed, extrema puncta diametri paralleli, e e vt paulo ante monſtratum eſt, tanget eadem recta Sa, hun circulum in A. e e , Qua propter rectangulum ſub 8, Sd, quadrato rectæ Sa, vel See,(quæ ipſi Sg, ineildem inter æqualis eſt)æ quale eritzo ac proinde recta See, parallelum ceed, tanget in ee,&. ſic de cæteris parallelis circa Zenithi„ deſcriptis. Neque diuerſa ratio eſt in 55 g 3 parallelis circa Nadir K, deſeriptis. Nam deſcripto circulo AKL, Horizon- 37. 7˙ tem tangente in A, tranſeunteq̃ue per K, L, extrema puncta diametti paralleli EKL, tanget SA, hunc circulum in A cum perpendicularis ſit ad H AR. 4 Igitur S 15. tertij rectangulum ſub LS, SK, æquale erit quadrato rectæ S A, hoc eſt, quadrato re- d 30. rerti dæ ex 8, ad interſectionem Verticalis cum parallelo KL, ductæ, e ac proinde E37. tert wc recta parallelum in eadem interſectione tanget. Eademque ratio eſt de cæ teris parallelis circa Nadir k, deſcriptis. A T QVE ͤ ex hoc rurſus infertur, ſi inuentum fuerit vnum extremorum diametri Horizontis, vel eius paralleli,& duabus rectis, quarum prima eſt inter centrum Verticalis 8,& extre mum inuentum, ſecunda verò diameter Ver ticalis, inueniatur tertia propoxtionalis, extremum huius punctum eſſe alterum extremum diametri. Quia enim SA, tangit Horizontem, ferit rectangu⸗ 8 2 1 mo diamttri Horallelorum Ho um ſub 88, SE, quadrato rectæ SA, ęquale.sIgitur erit, vt S0, ad SA, ita SA, regt, vel guad SF. Eadem ratione, quia See, tangit parallelum cd, in ee; h erit eius quadia- Perllel' innenre alterum extretum rectangulo ſub Sd, Sc, æquale. i Igitur erit, vt Sd, ad See, ita See, ad Sc. mam, per tenif Quamobrem inuento extremo d, inuenietur alterum c, ſi duabus Sd, See, inue- 1823 tloualem niatur tertia proportionalis Sc.& ſic de cæteris. eee e 8. EORVN DEM parallelorum Horizontis diametros viſas„ etiamſi& cenrrum Veiti neque in Aequatore, neque in Horizonte diametri eorum ductę ſint, reperie- 3—95 mus hoc etiam tertio modo. Ex puncto A, in priori figura, deſeripto circulo cli cuiuſcunque magnitudinis„R900, ductaque 79e 9, ad AR, perpendiculari, f 30. tert. vt quadrantes flant K R 005 ſit arcus Re, ſemiſsis complementi altitudi- 5 10. ſerti. nis poli, hoc eſt, ſemiſsis illius arcus, qui arcui CK, ſimilis ſit, tranſibitque h 3 C. terci. ducta recta A e, per K, cum per lemma 10. rectæ AR, AK, auferant areum Re, 11. ſexti. ſemiſſem arcus, qui arcui CK, ſim ilis ſit. Eadem de cauſa, ſi arcus S%, eh, ſint dri a quadrantum ſemiſſes, tranſibunt ductæ rectæ A, Ah, per H. I, quòd K H, KI, loc Propertiena quadrantes ſint. Diuiſo iam quadrante H, qui ſemicirculo HKI, reſpondet, in 180. partes æquales, hoc eſt, vtroque arcu e, 20, in 90. ſi omnes Almucantarath deſiderentur,( Nos vtrumque in tres partes diſtribuſmus, vt ſingulæ trice- 48 nas partes contineant, hoc eſt, quindenos gradus) abſcindent quilibet duo radij ex A, per duo puncta æqualiter diſtantia à puncto a, quod vertici can reſpondet, emiſsi, ex BD, diame trum apparentem illius paralleli Horizontis, n qui tot gradibus à Zenith in ſphæra abeſt, quot ſemigradibus puncta illa du puncto, diſtant, vel qui tot gradibus ab Horizonte diſtat, quot ſemiſsibu: graduum duo Illa puncta à punctis 9, abſunt verſus Zenith, ſi puncta aſſumpta ſint in quadrante 0, aut verſus Nadir, quando puncta aſſumpta ſi unctis ꝙ% verſus,& 00. Ita vt quadrans 40, reſponde 1elis 20ntis ſupra Horizontem, partes vero à 9,& 0, verſus fra Horizontem. Verbi gratia. Radii Ax, Ae, abſcindent leli, qui 60. grad. Zenith diſtat: quia cum rectæ Ae, cipiant Go. ſemigradus, auferent eædem ex Aequatore vel eiu Aralle d. Co, per Lemma 10. ac pro bp R G Y 367 ac proinde radius Ax, per 8, tranſibit; eademque ratione radius Ag, per T,. tranſibit: Ideoque ambo per puncta c, d, quemadmodum prius radii AS, AT, tranſibunt. Simili modo radii A, Ay, per V, X, tranſibunt, diametrumque vi ſam ſg. abſeindent, Atque hi quidem radii inter s,& puncta 9,6, ex iſtentes auferent diametros parallelorum ſupra Horizontem. Alii vero radii vltra pũ cta Y, 9, diametros parallelorum infra Horizontem abſcindent. Vt radii A 6. A, dabunt diametrum viſam paralleli, qui per c, infra Horizontem deſcribi tur. Ambo tamen radii à puncto e, æqualiter diſtantes, vel à punctis. 05 ſi rectam BD, ſecent infra punctum P, exhibebunt diametrum pa ralleli infra polum antarcticum exiſtentis, quique in Aſtrolabio infra rectam PQ, circa Nadir k, deſcribitur. Huiuſmodi ſunt radii Au, A p, abſcindentes diametrum viſam J. 14. Itaque i omnes tres modi, quos tradidimus, adhibeantur, exquĩſitiſsimè inuenientur diametri viſæ parallelorum Horizontis, cum pro ſingulis radiis ex A, ducendis habeantur præter punctum A, terna alia puncta, per quæ duci debeant, vnum videlicet in Aequatore, alterum in Horizonte,& tertium in circulo R 90, vt ex dictis perſpicuum eſt. 9. CAE TERVM quemadmodum ſi angulo CAK, quem cum radio AK, in Zenith cadente, recta AC, per E. punctum, vbi axem Horizontis KL, diameter Horizontis HI, ſecat, emiſſa conſtituit, fiat ex altera parte eius radij angulus æqualis OAK, hoc eſt, ſi arcui CK, ſumatur à K, verſus B, arcus æqua lis,& per finem recta AO, ducatur; recta AO, in centrum Horizontis in Aſtrolabio cadit, id eſt, diametrũviſam Horizontis EG. diuidit bifariamʒ vt in præcedenti propoſ. Num. 3. oſtendimusa ita quoque, ſi ductaex A, recta A 2. per pun ctum cc. vbi ST, diameter paralleli Horizontis eundem axem KL, ſecat, angulo 2 AK, fiat æqualis angulus 5 AK, hoc eſt, ſi arcui 2 K, æqualis arcus K, ſuma tur; recta ducta Ag incidet in e, centrum paralleli in Aſtrolabio, cuius diame ter in ſphæra eſt S T. hoc eſt, viſam diametrum cd, eiuſdem paralleli bifariam diuidet, per ea, quæ à nobis in lemmate 35 demonſtrata ſunt. a Nam axis KL, ad diametrum ST, perpendicularis eſt, cum perpendicularis ſit ad Horizontis diametrum HI, cui 8ST, æquidiſtat Pari ratione, ſi ex A, per punGum bb, vbi diameter VX, eundem axem KL., interſecat, recta duca tur Abb G,& arcui K%, æqualis accipiatur K 15, cadet dugta recta Aly, in h, centrum paralleli, cuius diameter VX. Item ſi ex A, per punctum oo, vbi diameter VZ, axem eundem KL, diuidit, ducatur recta Aooff,& arcui K ff, ſumatur Kgg. æqualis, vel(quod idem eſt) arcui Lff, ſumatur æqualis, Lgg, cadet ducta recta Agg, in centrum paralleli; cuius diameter VZ. Denique eandem ob cauſam, ſi ex A, per punctum nn, vbi diameter ab, eundem axem Kl., ſecat, ducatur Anndd, recta,& arcui L dd, æqualis ſumatur Lee, cadet recta producta Ace, in 12, centrum paralleli, cuius diameter ab,&c. Eadem enim in omnibus eſt demonſtra tio. Idem hoe quadrat etiam in circulum R690. Nam ſi, verbi gratia, recta A cc, produceretur ſecans circulum Ra, in puncto aliquo,& arcui inter hoc punctum,& punctum 2, æqualis abſcinderetur, caderet recta per ter minum huius arcus ducta in e, centrum paralleli, cuius diameter 8ST. Nam propter arcus æquales ad vtramque par tem puncti e, o fierent anguli ad A, centrum illis infiſtentes æqualesze ac propterea inſiſterẽt quoq; in circulo ABCD, arcubus æqualibus KZ, K5g. Quare, vt de monſtratum eſt, recta Ay, caderet in centrum e,&. 10. PR AE IT E R tres modos expoſitos excogitauimus quarta m adhuc ra tionem pulcherrimam, atque facillimam deſcribendi parallelos Horizontis in 5 AſtroQu liner ex pe 10 auſtrali emiſſæ ſecẽt diametros vi ſas parallelorum Hocizötis in pri · mo& tertio modo inut̃tas bifariã, hoc eſt, in et᷑· tra parallelorum cadant. b 27. tere. c 26. terti. Semthamgtrum, & centrum cnint ſolam ltneam„ qu verticalem tangat, inuenine, Er 1. RER. II. 369 Aſtrolabio, qua videlicet per vnam ſolam rectam lineam, quæ Verticalem ta ngatzinuenitutr ſemidiameter paralleli deſeribendi, eiuſque centrum. Ea autem ell eiuſmodi. Deſeripto Verticali primario Ai CK, diuidatur eius quadrans i C, in go. gradus, ſi omnes paralleli ſupra Horizontem deſcribendi ſint, ſimiliterqͥue quadrans Cx, ſi omnes paralleli infra Horizontem deſiderentur. Nos vtrumque quadrantem in ternas partes partiti ſumus, vt ſingulæ tricenis gradibus reſpondeant: quæ diuiſio exijs„ quæ tradita ſunt, difficilis non eſt. Nam ſi vterque quadrans Aequatoris CB, OD, in tot partes æquales ſecetur, in quot uadrantes Verticalis diuidendi ſunt,& ex G, polo Verticalis(quemadmodum. n. K. L, poli veri ſunt Horizontis, ita H, poli veri ſunt Verticalis, qui in unctis E,& G, apparent.) per diuiſionũ puncta in Acquatore rectæ occultæ du cantur, diuide tur vterque quadrans Verticalis Ci, Ck, in punctis 30. 60 quæ illis in Acqua tore reſpondent, vt in præcedenti propoſ. Num. 17. demonſtratum eſt in primo modo diſtribuendi circulos maximos obliquos in gradus, exẽplumque poſuimus hic in recta Gʒo. quæ per II. gradum 30. Aequatoris à C, verſus D, numeratum tranſiens aufert arcum C30. graduum zo, ex Verticgli circulo. Deinde per puncta diuiſionum vtriuſque quadrantis in Verticali ducantur rectę tangentes Verticalem. Hæ namque in meridiana linea BD, indicabunt centra parallelotum per eadem illa puncta Verticalis defcribendorum, ita vt portiones tangentium inter puncta contactuum,& rectam BD, ſint parallelorum ſemidiametri. Exempli gratia. Per C, ſi ducatur recta CO. tangens Verticalem in C, cadet ea in O. centrum Horizontis, qui eſt omniumiillorum parallelorum maximus, ſemidiameter autem erit OC. Igitur circuſus ex O. per C, deſcriptus dabit Horizontem. Sie recta 3zo e. tangens Vertica lem in puncto zo. quadrantis C i, cadet im e, punctum, ex quo per punctum 1 lud zo. circulus deſeriptus dabit parallelum Horizontis, qui 30. gradibus ab eo verſus Zenith diſtat: Recta autem 6 hꝗ tangens Verticalem in puncto 60. eiuſdem quadrantls Ci, præbebit h, centrum pafalleli per punctum 60. deſcri bendi, qui 60. grad. ab Horizonte verſus Zenith diſtat, Simili modo recta 309 13. Verticalem tangens in puncto 30. quadrantis Cx, ſecabit PB, protra ctam in centro paralleli per punctum 30. eiuſdem quadrantis Ck, deſcribendi, qui 30. gradus ſub Horizonte latet. Denique recta 60 12. tangens Verticalem in puncto 60 eiuſdem quadrantis Ck, tranſibit per 12. centrum paralleli per il lud punctum Go. deſcribendi, qui 60. gradibus ab Horizonte verſus Nadit recedit. Eademque ratio eſt de cæteris. Demonſtratio huius deſeriptionis, quæ inter omnes magis mihi placet, hæc eſt. Paralleli tranſeunt neceſſat io per cta in Verticali hoc modo inuenta, cum hæe referant illa puncta Vertic marij in ſphæra, per quæ paralleli, quos hi in Aſtrolabio deſcripti referun ducuntur. Quoniam vero, vt ſupra Num. 3. demonſtrauimus, rectæ lineæ ex P, centro Verticalis ad puncta, vbi Verticalis parallelos ſecat, emiſſæ tangunt paralle los in eiſdem illis punctis, a erunt rectæ ex illis punctis ad centra parallelorum ductæ, perpendiculares ad prædictas rectas cx P, centro Verticalis ad puncta inter ſectionum Verticalis cum parallelis ductas. Igitur eædem illæ rectæ ex centtis patallelorum ductæ, cum ſint ad ſemidiamettos Verticalis, hoc eſt, ad rectas ex centro P, eductas, perpendiculates, Verticalem ijſdem in punctis tangent ex cotoll. propoſ. 16. IIb, 3. Eucl. Quare lineę rectæ Vierticalem tangentes per centra pe rallelorum tranfibunt, quandoquidem rectæ ex his centris ad puncta zectionum Verticalis ductæ, Verticalem tangunt, vt oſtendimus alioquin duæ rectæ Verticalem in eodem puncto tangerent, illa A aa videlicet, 2 1K. tert. R O PDO N I. 371 vldelicet, quæ ex puncto ſectionis ducitur tangens Verricalem,& illa, quæ ex centro paralleli ad idem ſectionis punctum ducitur. quod eſt abſurdum. 11. HOC autem artificio, fi plures paralleli proponantur deſeribendi, lineas Verticalem tangentes ſine magno labore duce mus. Deſcripto ex P, centro circuli Verticalis, circulo cùiuſcunque magnitudinis, occulto tamen“, nc confuſio gignatur, qualis eſt Q43 9. ducatur ex il, ad ik, perpendicularis 13. ſecans cixculum de ſeriptum in 3. Nam ſi beneficio circini interuallum i 3. a cceptum transferas ex quolibet puncto circuli Verticalis in circumferentiam Q43. ex P, deſeriptam, ſiue in etramque partem, ſiue in alteram tantum, recta linea ex inuento puncto in dicta circumferentia deſcripta, per illud punctum Verticalis ducta tanget Verticalem in eodem illo puncto. Vt quia ad interuallum i 3. ex puncto Verticalis 6 o. in quadrante i C, circinus ſecat vtrinque circumferentiam in punctis 4. 4. tanget recta 4 60 4. Verticalem in puncto 60. Eadem ratione, quia circinus eode ni interuallo ex puncte 30. eiuſdem quadrantis ſecat circumferentiam vtrinque in punctis 7. 7. tanget recta 7 30 7. Verticalem in 30. Rurſus idem interuallum ex C, dat vtrinque in circumferentia puncta 8. 8. Igitur recta 8 Cg tanget Verticalem in C. Item quia interuallum idem ex puncto zo. quadrantis Cłk, ſecat circumferentiam ex vtraque parte in 9. 9. tanget recta 9 30 9. Verticalem in 30. Denique quoniam idem interuallum exhibet vtrinque in circumferentia puncta 10. 10. ex puncto 60. eiuſde m quadrantis; recta 10 60 ro, Verticalem in 60. continget. Atque ita de cæteris. Ratio huius operationis eſt, quod omnes tangentes inter Verticalem iC k,& eirculum 3 47. æquales ſunt per lemma 48. Quin etiam quia, vt in eodem lemmate demonſtratum eſt, arcus inter binas tangentes poſiti, ſimiles ſunt; ſi arcui i 60. ſimilis accipiatur 3 43& arcui i zo. arcus 373& arcui i C, arcus3 8;& arcui i C go. arcus 393& arcui i C So. arcus gj fo.(quod facile ſiet, ſi ex P, centro Verticalis per puncta Verticalis i, 60. 30. C,&c. rectæ emittantur. Hæ namque ex circulo deſcripto 3 47. arcus ſimiles abſcindent, qui ex puncto 3. in circumfſerentiam 3 4 7. transferendi ſunt.)habebuntur eadem puncta 4.7. 8. 9. 40. per quæ tangentes lineæ ducendæ ſunt. EX his omnibus facile colligere licebit, nullum parallelum Horizontis, quamuis minimum, centrum habere in ipſo polo i. Quia enim recta Ai, per polum i, extenſa cadit in M, extremum punctum diametri Horizontis, vt in ſcholio præcedentis propoſitionis Num. 4. monſtratum eſt, recta autem ex A, per centrum cuiuſuis paralleli ducta cadit in aliquod punctum interius eiuſdem diametri Horizontis MN, in illud videlicet, per quod tranſit recta ipſi FG, æquidiſtans, reſpondenſque diametro paralleli in Aequatore, vt paulo ante Num. 6. oſtendimus, perſpicuum eſt, centrum cuiuſuis paralleli a poloi, eſſe diuerſum, quandoquidem rectæ ex A, per centrum,& polum i, emiſſæ inter ſe differunt. Quod etiam probari poteſt ex iis, quæ Num. 9. demonſtrauimus. Nam cum centrum feperiatur per rectam ex A, eductam ad puncum Aequatoris tanto ſpatio diſtans a polo K, verſus B, quanto ab eodem polo K, recta ex A, per interſectionem diametri paralleli cum axe K L, emifſa abeſt verſus C, vt ibi oſtendimus; manifeſtum eſt, rectam ex A, per centrum ductam a recta A K, diuerſam eſle. Idem denique ex lis etiam conſtat, quæ Numero 10. demonſtrata ſunt: quia nimirum recta tangens Verticalem in punco, vbi à parallelo ſecatut, cadit in centrum paralleli; quæ quidem tangens nul lo modo in punctum i, cadere poteſt, cum recta abi interſectione paralleli cum 0 Aa a 2 Verti. Praxis facilis a4 plures lineae ducendas, quæ datu cicculum in dtis punctic tangaut, Centrum cujufuis patalleli Nerizontis ab eins polo dinerlam et ſe. a 2. tertij. 1 0 —— PRO V 373 verticali ad i, ducta, intra Verticalem cadat, non autem tangat. 12. NON eſt autem prætereundum ex quolibet paralle lo Horizontis deſeripto in Aſtrolabio de ſeribi po ſſe parallelum oppoſitum, etiamſi eius diame ter apparens non ſit inuẽta. Quoniam enim per quodlibet punctum circuli nõ maximi in ſphæra circulus maximus eum tang ens diſcribi poteſt,& tanget circulus ille maximus alium non maximum priori æqualem ac parallelum. Cum ergo per Coroll. propoſ. 6. lib. 2 Theod. puncta contactuum per diamet rum ſpheræ ſint oppolita, erit cuilibet puncto aſsignato in quouis parallelo Horizontis aliud per diametrum ſpheræ oppoſitum in para llelo oppoſito, illud nimirum, in quo circulus maximus priorem parallelum tangens in aſsignato pun cto, poſleriorem parallelum oppoſitum tangit. Quamobrem ſi tribus punctis quibusuis in deſetipto parallelo aſſignatis inueniantur tria puncta per ſphæræ diametrum oppoſita, vt mox docebimus,& per hæc circulus deſcribatur, deſcriptus erit parallelus oppoſitus. Deſeribetur autem per tria illa puncta circulus, ſi centrum inueniatur ex ſcholio propoſ. 5. lib. 4. Eucl.(quod tamen lic facile inuenietur, cum ſemper exiſtat in meridiana linea BD,) vel quando centrum nimis procul diſtat, per inſtrumentum, quod in lemmate 14 conſtruximus. 13. CAE TERVM hac arte cuilibet puncto in Aſtrolabio dato oppoſitum punctum per diametrum reperietur. Ducta ex dato puncto recta linea per centrum Aſtrolabij, inueniatur per Lemma 12. duabus lineis, quarum prior ſit recta inter datum punctumn,& centrum Aſtrolabij interiecta, poſterior vero Aequatoris ſemidiameter; tertia proportionalis„cui æqualis abſcindatur ex illa recta per centrum Aſtrolabij ducta, initio facto ab eodem centro. Nam ter minus erit punctum oppoſitum. Quoniam enim, vt ſupra oſtendimus propoſ. 4 Num. II. ſemidiameter Aequatoris medio loco proportionalis eſt inter duas ſemidiametros parallelorum Aęequatoris oppoſitorum, fit, vt poſita linea inter centrum Aſtrolabii,& datum punctum ſemidiametro vnius paralleli Aequatoris, altera linea inter idem, centrum Aſtrolabij,& inuentum punctum, ſit ſemidiameter paralleli A equatoris oppoſito, ac proinde inuentum punctum dato puncto ſit oppoſitum per diametrum. Inuenietur autem tertia proportionalis facili negocio ea ratione, quam ad finem Lemmatis Iz. explicauimus. Nam ſi ad rectam ex dato puncto per centtum Aſtrolabij eiectam excitetur diameter Aequatoris ad angulos roctos,& per extrema puncta huius diametri,& punAum datum circulus deſcribatur, abſeindet is tertiam proportionalem, vt ibi demonſtrauimus,&. FPACILIVsS inueniemus cuiuis puncto dato punctum oppoſitum hac ratione. Detur in ſuperiori figura punctum E, extra Aequatotem, à quo per centrum E, ducta recta FG, excitetur ad eam in E, perpendicularis EA,& ad iunctam Af, perpendicularis erigatur AG, ſecans EG, in G: quod fiet, ſi arcui Aequatoris BI, æqualis ſumatur oppoſitus DI Nam recta AI, ad AF, perpen dicularis erit, hoc eſt, angulus HAI, in ſemicirculo HAI, rectus erit: Nam punctum G, per diametrum erit puncto E, oppoſitum, per ea, quæ in ſcholio prop. 5. Num. 20. demonſtrata ſunt. Rur ſus detur punctum i, intra Aequato. rem, à quo per centrum E, ducta recta i k, excitetur ad eam in E, per pendicularis EA,& ad jiunctam i A, perpendicularis erigatur Ak; eritque rurſum k, punctum per diametrum puncto i, oppoſitum. Quod ſi quando contingat, perpendicularem Ak, valde oblique ſecate rectam ik. commode ita agemus. Pro ducta A E, vſque ad C, deſcribemus per tria Ppuncta A, i, C, 3 ſecabit 2. 2. Tb. b 6. 2. The. Ex quouis paral lelo Horixontis in Aſtrolabio des ſcripto, parallelã oppoſitum deſeri bere, etiamſi eius diameter iuuenta non ſit. Dato puncto in Adrolabio punctu m per diametrum ſphæræ op poſitũ reperire. c 31. teriij. — 2 374 F ſecabit i k, in k, puncto per diametrum puncto i, oppoſito, cum angulus f Ak, in ſemicirculo rectus ſit. Quo pacto autem dato puncto paralleli inueniatur pũ Cum in eodem per eius diametrum oppoſitum, docebimus propoſ. 14. Num. 4. Quando datum punctum fuerit in circumferentia alicuius maximi circuli, dabit recta ex eo per centrum Aſtrolabij ducta, in circumferentia eiuſdem circuli punctum per diametrum oppoſitum. 14. QVIA vero, vt in ſcholio antecedentis propoſ. Num. 10. demonſtra uimus, quælibet recta linea per centrum Aſtrolabij traiecta indicat in quouis eirculo maximo obliquo duo puncta per dia metrum oppoſita, fit, vt rectæ lineæ ex punctis, in quibus Verticalis datum parallelum ſecat, per centrum Aſtrolabij extenſæ, indicent in eodem Verticali duo puncta illis oppoſita. Verbi gratia. Deſeripto parallelo Horizontis c 30 d, ſi ex puncto 30. vbi à Verticali ſecatur, per E, centrum Aſtrolabij ducatur recta linea, ſecabitur Vertica lis in BB, puncto oppoſito: Eademq̃ue ratione recta ex altera inter ſectione Verticalis,& prædicti paralleli, per E, ducta exhibebit in Verticali punctum quoque oppoſitum 30. Quòd ſi duabus rectis Ec, EB, reperiatur tertia proportionalis E,(quod facile fiet, ſi per tria puncta A, e, C circulus deſcribatur. Hic enim abſcindet tertiam proportionalem E, vt ad finem Lemmatis 12. oſtenſum eſt.) erit punctum e, puncto, oppoſitum. Per tria ergo puncta 30., BB, paralleius ipſi c 30 d, oppoſitus deſeribendus eſt. Et ſi pluribus punctis paralleli c 30 d, parum inter ſe diſtantibus oppoſita puncta reperiantur, deſcribetur oppoſitus parallelus per plura illa puncta,(ſi nimirum puncta illa coniungantur per lineam curuam) etiamſi centrum non inueniatur, neque per inſtrumentum Lemmatis 14. deſcriptio fiat. Rurſus ſi ex punctis duobus: vbi Verticalis parallelum f 6o g, interſecat, per centrum E, rectæ emittantur, ſecabitur verticalis in punctis AA, 60. quæ illis opponuntur. Et ſi fiat, vt Ef, ad EB. ita EB, ad aliud, inuenietur punctum, puncto f, oppoſitum( Id quod facile etiam ſiet, ſi per tria puncta A, f, G circulus deſcribatur. Hic enim abſcin det tertiam proportionalem E, vt ad finem Lemmatis 12. de monſtra tuin eſt.) ac propterea parallelus ipſi f 6 g, oppoſitus, per puncta 60. A, AA, deſcribendus erit. 5 15. QM Ob ſi cuicunq; alij puncto, nimirum puncto&, in recta MN, inueniendum ſit punctum oppoſitum, ducenda erit recta ex, per E. Nam ſi fia t, vt Eu, ad E B, ita EB, ad aliud, inuenietur tertia linea, cuius terminus à puncto E, incipiendo eſt punctum ipſi&, oppoſitum. Et ſie de cæteris: quæ quidem tertia 1 85 reperietur ſacili negotio, per ea, quæ ad finem Num. 13. paulo ante ſcripſimus. 16. EX hoc rurſum inueniemus in dato parallelo Aequatoris quocunque punctum, in quo ſecetur à parallelo Horizontis, qui quotlibet gradibus ab Horizonte diſtet verſus Nadir, etiamſi parallelus hic nõ deſcribatur: quæ res compun dium iu pa · modiſsima eſt. quando parallelus parum à recta P Q, diſtat, hoc eſt, cuius difl agel dies ſtantia ab Horizonte termè æqualis eſt altitudini poli AH huiuſmodi enim kanesire, is quo Paralleli deſeriptio difficillima eſt, quòd eius centrum nimis procul diſtet,& pa ee rallelus ipſe in Aſtrolabio recta quali linea exiſtat. Ita ergo progrediemur. dit kironem propo V. g. inueſtigandum punctum, in quo parallelus Horizontis diſtans ab ipſo Ho goes, ten Liz Onte verſus Nadir grad. 40. parallelum Aequatoris, cuius declinatio auſtra d dect ptse non lis ſit grad. 20, interſecet. Deſcripto parallelo Aequatoris oppoſito, cuius ſcilir. cet declinatio borealis ſit grad. 20.& inſuper parallelo Horizontis oppoſito, qui 4 3 1. fert. 8 0 8 5——— b I G St v 375 qui videlicet grad. 40. ab Horizonte verſus Zenith recedat; ſi à punctis, vbi hi duo paralleli ſe interſecant; per centrum E, rectæ ducantur, ſecabitur datus parallelus Aequatoris in duobus punctis, quæ illis duobus oppoſita ſunt; ac proinde in quibus parallelus Horizontis propoſitus parallelum Aequatoris datum ſecaret, ſi deſeriptus eſſet, propterea quòd oppoſiti paralleliĩ ducuntur per oppoſita puncta in ſphæra. Quòd ſi quando contingat parallelum borealem Acquatoris dato parallelo auſtrali oppoſitum à deſc ripto parallelo Ho rizontis non ſecari, argumento eſt, neque auſtralem propoſitum à nominato parallelo Horizontis ſecari poſſe. Sed vt res planior fiat; ſit inueſtigandum punctum, in quo parallelus Horizontis grad. 30. ſub Horizonte Aequatorem diuidat. Deſcripto ergo parallelo Horizontis grad. zo. ſupra Horizontem circa diametrum ed, qui Aequatorem ſecet in H, ¶Aequator enim, cum ſit circulus maximus, oppoſitum parallelum non habet, qui deſcribatur) ducatur ex H, per Erecta HE, ſecans Aequatorem in I; eritque I, punctum oppoſitum puncto H. Cum ergo parallelus Horizontis grad. 30. ſub Horizonte, qui videlicet parallelo diametti cd opponitur. tranſeat neceſſario 8 punctum puncto H, oppoſitum, ſecabit omnino Aequatorem in puncto I, quod punto I. opponitur. atque ita inuentum eſt punctum I, etiamſi parallelus Horizontis BB G 30. deſcriptus non eſſet. Sumpſimus pro exemplo puncta H, I. extcema diametri Horizontis, quia licet non omnino in his prædicti paralleli Horizonte m interſecent, non procul tamen ab illis inter ſectiones fiunt, vt ſa tis aptè per illa res explicetur, ne aliam lineam cogamur ducere, waiorq̃ue con fuſio in figura oriatur. Quòd ſi quis peteret punctum, in quo parallelus Horizontis grad. 60. ſub Horizonte Aequatorem ſecet; deſcribendus foret parallelus Horizontis grad. 60. ſupra Horizontem; circa diametrum g. Sed quia hic Aequatorem non ſecat; ſed totus intra ipſum exiſtit, dicemus parallelum Horizontis grad. 60. infra Horizontem nullo modo Acquatorem ſecare. Id quod perſpicuum eſt in parallelo A A N 60. Et ſic de cæteris. 5 17. EX his, quæ dicta ſunt, nullo negotio quemcunque parallelum Horizontis, cuius ab Horizonte diſtantia data ſit., 1505 verſus Zenith, ſiue verſus Nadir, deſeribemus. Sit enim deſcribendus v, g, parallelus Horizontis grad. 30. verſus Zenith. In primo modo, numerabimus in Aequatore à diametro vera Horizontis HI, verſus Zenith K, grad. 30. vſque ad 8, T, vt habeaPatallelum Horizontis in ſphæ ra datũ, in Aſtro labie delcribere, tur eius diameter in ſphæra 8 T, Radij, enim AS, AT, reſecabunt diametrum viſam cd, propoſiti paralleli. In ſecundo autem modo, eoſdem 30. grad. ſupputabimus à diametro viſa Horizontis FG, verſus M, vſque ad i, p. Nam radii Al, Ap, eandem viſam diametrum cd, dati paralleli abſcindent. At in tertio modo, in circulo 5 K 00, numerabimus à punctis q, 9, verſus , partes 30. ex ijs 90. in quas vterque arcus s Ye diuiſus eſt, vſque ad A. g. Radi. n. An, AE, eandem diametrum viſam ed, exhibebunt. Denique in 4 modo, in Aequatore à puncto C, verſus B, Sumemus arcum grad. 30.& per eius terminum ex G, polo Verticalis rectam ducemus, quæ Verticalem ſecet in 30. Nam recta tangens Verticalem in 30. offeret e, centrum dati paralleli per punctum 30. deſcribendi,&c. Quod ſi deſeribendus ſit parallelus Horizontis grad. 30. verſus Nadir, numeratio ab eiſdem terminis inſtituenda eſt in contrarias partes: vt in primo modo, à diametro HI, verſus L ʒ In ſecundo à diametro FG, verſus N; In tertio a puactis,, verſus 77& 376 L. IA BO RA 10 FI. 7%& 0j In quarto denique, a puncto C, in Aequatore verſus D,&c. 18. VI CIS SIM cognoſcemus, quantum quilibet parallelus Horizontis Due e in Aſtrolabio deſcriptus ab Horizonte abſit ſiue verſus Zenith, ſiue verſus Na 1 5 dir, hoc modo. Sit deſcriptus parallelus Horizontis ſecans meridianam lineã Hort. BD, in c, d, punctis, a quibus ad A, polum auſtralem rectæ ducantur cA, dA, Aegquatorem fecantes in 8 T. Vterq. enim arcus HS. IT, complectitur diſtantiam deſeripti paralleli ab Horizonte, verſus K, Zenith. Neceſle eſt autem, ſi error commiſſus non ſit, duttam rectam SD, parallelam eſle diametro Horizontis III, hoc eſt, arcus H, IT, eſſe æquales Sit rurſus deſcriptus parallelus Hor izontis AA A so, ſecans lincam mer idianam 5D, in puncto, quod ſatis eſt, licet alterum punctum ſectlonis, propter nimis magnam diſtantiam, nequeat haberi, ducaturq. recta ¶ A. ſecans Acquatorem in b. Nam arcus Ib, metitur diſtantiam eius paralleli ab Horizonte verſus L, Nadir,& ſic de cæteris. IDE M aſſequemur hoc ẽt modo. Ex G, polo Verticalis ducatur per punctũ ſectionis paralleli dati cum Verticali recta linea ſecans Acquatorem- Nam arcus Aequatoris inter hanc rectam,& punctum B., indicabit diſtantiam paralle li a Zenitl i; ac proinde eius complementum exit diſtantia eiuſdem ab Horizonte. Vt recta G zo. per ſectionem paralleli 30 BB, cum Verticali ſecat Aequatorem in II. Igitur 5 II, arcus eſt diſtantia paralleli a Zenith i; arcus vero D ll, monſtrat diflantiam eiuſdem a Nadir k. Denique C ILL arcus eſt. d. ſtantiæ eiuſdem infra Hor izontem. Atque ita de cæteris Ratio eſt, quia rectæ ex G, po 10 Verticalis emiſſæ auferunt ex Acquatore,& Verticali arcus aqualium numero gra duum, vt in præcedenti propoſitione Num. 17. demonſtratum eſt. Quando tamen non conſtat, ptopoH tum circulum eſſe vnum ex parallel is Hori 2z0ntis, vtendum eſt priori ratione. Nam per eam ſimul cognoſcimus, num datus circulus ſit vnus ex parallelis Horizontis, necne, prout ſctlicet inuenta fuerit eius diameter diametto Horizontis paralle la, aut non. Quem autem circulum in ſphæra referat, quando eius diameter inuenta non æquidiſtat diame tro Horizontis, propoſ. 17. explicabimus. 5 Oepsdd omi 19. OMNIA, quæ de parallelis Horizontis in Aſtrolabio deſeribendis dus de parallelis præcepimus, nullo negotio ad alios circulos obliquos, qui ad Metidianum recti ee ee ſunt transferentur, ſi in primo modo deſcriptionis parallelorum, diametro cir 4d de ſeribeudes culi maximi obliqui, cui circuli deſcribendi æquidiſtant, parallelæ tectæ ducan Paralleles lid tur in Aequatore per gradus eiuſdem Acquatoris, quemadmodum Horizontis circulorum. maxi 2* 12 5 merum obhquo diametro III, parallelæ ductæ ſuerunt ST, VX,&c. In ſecundo autem modo, rum ad dende, pro Horizonte AFCœ.accipiatur proprius circulus maximus obliquus atque num tamen recto 3 7 Dei 7 42 2 8 1 rum accemoen- in gradus diſtribuatur, facto initio a meridiana linea Aſtrolabij BD,&c. Vt ſi tur. paralleli Verticalis primarij deſcribendi ſorent, ducendæ eſſent in pt imo modo, diametro KL, parallelęez& in ſecundo, Verticalis Ai Cx, in gradus diſtribuen dus, principio ſumpto a punctis i,& k. In tertio vero modo pro puncto e, quod ipſi Zenith, ſiue polo Horizontis ſuperiori! eſpõdet, aſſumatur in eodem circu lo ex A, deſcripto punttum reſpondens alterutri polorum circuli maximi, cui aralleli deſer ibendi æquidiſtant in ſphæra,& pro punctis, quæ extremis punctis diametri Hor izontis HI, re ſpondent, recipiantur puncta extremis Pun ctis diametri aſlumpti circuli maximi obliqui reſpondentia: Vt in parallelis Ver ticalis circuli deſcribendis accipiendum eſt pro s, alterutrum punctorum 9, 4 Hæc emm polis Verticals reſpondent: Deinde puncta 2, v, pro punctis ,, accipienda&c: In quarto denique modo pro Verticali primariꝰ ad Meridianum recto,& per polos Horizontis ducto, adhibeatur, circulus maximus ad Meridia num 378 L L BOR AI in num rectus,& per polos circuli maximiĩ aſſumpti ductus; pro polo autem Verticalis G, ſumatur polus circuli maximi, qui vices Verticalis gerit. Vt in ei. dem parallelis Verticalis deſcribendis, adhibendus eſt Horizon; eiuſque polus i,&c. N 20. IMMO eiſdem pror ſus viis parallelos cuiuſuis cireuli maximi obliqui in Aſtrolabio deſcripti, qui ad Meridianum rectus non ſit, deſcribere licebit 5 ſi pro meridiana linea B D, accipiatur recta per centrum circuli obliqui,& centrum Aſtrolabii extenſa, id eſt, communis ſectio Aequatoris, ſiue plani Aſtrolabii,& circulſ maximi per polos mundi,& polos propoſiti circuli obliqui ducti, inſtar proprii Meridjani eiuſdem circuli obliqui. Exemplum huius rei inueniès propoſit. 8. Num. 19. 21. IAM vero parallelos cujuſuis eirculi maximi obliqui in gradus diſtri1 paralelos culuf. buemus, hoc eſt, in partes inæquales, in quas gradus eorum in ſphæra proijciuntur in Aſtrolabium, iiſdem modis, quibus in antecedenti propoſ à Num. 1. vſque ad finem circulos maximos obliquos in gradus partiti ſumus. In prio re ergo parte primi modi ita rem exequemur. Sit Aequator Aſtrolabii ABCD, cuius centrum E; circuli maximi cuiusuisobliqui, u, g. Horizontis, diameter El; diameter cuiuslibet eius paralleli X V,& parallelus idem in Aſtrolabio de1 no pacto om21 KIL 3j ſcriptus E G H qʒ Verticalis primarii diameter m n,& Verticalis ipſe deſcriptus AKN, cuius centrum Lz K, polus Horizontis ſuperior; N inferior; M, polus Verticalis à polo auſtrali in ſphæra remotior, hoc eſt, punctum interſectionis Meridiani& Horizontis ex parte boreali, per quod videlicet Horizon deſeriptus tranſiret. Et quia Horizontis parallelus EG H q, in priore hac parte primi modi diſtribuendus eſt in gradus ex K, polo Horizontis intra Aequatorem reperto, quique in ſphæra à polo auſtrali remotior eſt, deſcribendus erit parallelus Aequatoris OP QR, tanto interuallo diſtans à polo auſtrali; quan to datus parallelus Horizontis à polo m, qui remotior eſt in ſphæra à polo auſtrali, abeſt, ita vtarcus A&, metiens diſtantiam paralleli Aequatoris à polo auſtrali A, æqualis ſit arcui m X, qui diſtantiam paralleli Horizontis à polo remotiore m, metitur; adeo vt quando diameter paralleli Horizontis XV recedit à diametro Horizontis kl, ver ſus m, polum eius à polo auſtrali remotiorem, diameter paralleli Aequatoris recedat à diametro Aequatoris BD, verſus polum auſtralem A, hoc eſt, parallelus Acquatoris fit auſtralis: quando vero illa diameter ab Horizontis diametro verſus polum Horizötis n, polo auſtra li propinquiorem vergit, bæc àdiametro Acquatoris vergat verſus borealem polum C, id eſt, parallelus Acquatoris ſit borealis: qui quidem parallelus Ae19 d d 5 quatoris ex E, deſcribi poteſt, etiamſi eius diameter viſa inuenta non ſit, per g 6 ö A 2 punctum Q, vbi recta KG, ex polo circuli obliqui K, per G, interſectionem 1 ö lclo quali cen pa ralleli obliqui cum circulo maximò AK CN, ducta diametrum Aequato1 1 Gaim! oh. fis A C, interſecat. Nam vt mox oſtendemus, ſicut PG. repræſentat quadran · 0 2 tem paralleli, ita recta K G, auferre debet ex parallelo Aequatoris; quadrant. 100 45 5855 de- Deſcripto autem hoc parallelo Aequatoris, eodemque per duas dia metros 8 OO DR, perpendiculares in quatuor quadrantes diuiſo, ſi ex K, polo Hori1 zontis per ſingulos gradus paralleli Op Q, rectæ lit eæ ducantur, ſectus erit pa 10 ö rallelus Horizontis EG H, in gradus, hoc eſt, in arcus quidem inæquales 5 ſed 0 qui repræſentent gradus æquales eiuſdem paralleli in ſphæra. Exempli gratia, ſi 1 ex K, recta ducatur KS, abſcindens arcum PS, grad. Go. aufer et eadem ex pa0 rallelo Horizontis ar cum ET; reſpondentem arcui grad. 60. eiuſde m paralleli 6 in phæra. Sic ſi re ta KV, reſecet arcum RV, grad. 60. abſcindetur quaqus ex paral P N O N e 379 ex parallelo Horizontis arcus Hb, grad. Co. Denique recta K, auferens qua drantem PQ, auferet quoque quadrantem FG, ex parallelo Horizontis, hoc eſt, tranſibit per G, punctum, vbi Verticalis parallelum Horizontis interſecat. Nam quemadmodum in ſphæra Meridianus ac Verticalis diuidunt ipſum Horizontem eiusꝗue parallelos in quadrantes, ita quoque in Aſtrolabio contingat neceſſe eſt, adeo vt arcus EG, GI, H qm, q F, referant quadrantes eiuſdem paral leli in ſphæra: id quod ſupra Num. 5. huius propoſ. declarauimus Sumendum ö autem eſt initium arcuum in vtt᷑que parallelo, à duobus punctis eiuſdem ordi nis, hoc eſt, vel à ſuperioribus P, E, vel inferioribus K, H,& verſus eandem pardendo in vtroque parallelo, vel aſcendeneſt in ſemicirculo Meridiani ſuperiore 33 17 „ paralleli He punctum P. nimirum Ze 380 L. F BR 16 M. riore,& punctum H, paralleli Horizontis eſt boreale. Quare per ea. quæ in Lem mate 23. dicta ſunt, recte initium ſumendum eſſe diximus, vel a punctis P, F, ſupe rioribus, vel ab inferioribus R, H. Appello autem hic puncta ſuperiora illa, quæ ſuperiorem locum in figura tenent reſpectu partium Aſttolabii, inferiota vero, quæ inferiorem; non autẽ illa, quæ in cælo fuperiora ſunt, vel inferiora. Idem initium ſumi poteſt a recta KO quæ ex parallelis quadrantes abſeindit, vt a pũ ctis Q;&, verſus eandem ſempet̃ partem progrediendo: quia hac ratione ſemper tenditur verſus puncta, a quibus incipfendum eſſe diximus. Ita vides arcus reſpòdentes PS, E T. ineipere à ſuperioribus pũdtis P,,& deſcẽdere verſus eãdem par tem ſiniſtrãʒarcus vero reſpondentes RV, Hb, incipere a punctis inferioribus R, H.& ver ſus eãdem partem aſcendere,& c. Hoc autem intelligendum eſt. quando polus circuli obliqui intra Aequatorem exiſtens, reperitur quoque intra paralle lum obliquum. Nam quando extra ipſum eſt, vt contingit in parallelo 150 poum 1 1 Nene. 381 lum auſtralem ducto,& in aliis parallelis in fra eum exiſtentibus, quorum circumferentiæ in Aſtrola bio in contrarias partes de ſeribuntur, gon autem verſus maxim um circulum obliquum, non poſſunt hoc modo ſumi puncta ſupe riora,& inferiora. Quare ſeruanda tune ſunt ea, quæ in Lemmate 23. de initiis arcuum abſciſsorum ſcripſimus.. VT autem in Aſtrolabio facile cognoſcamus, vtrum punctorum paralleli Aequatoris ſit in cælo ſuperius, vel inferius, hoc eſt, contineatur in Meridiani ſemicirculo ſuperiore. vel inferiore, ſi circulus maximus obliquus, cui paralleli obliqui æquidiſtant, pro Horizonte ſumatur. ſupra quem eleuetur polus arcticusʒ Item vtrum punctorum paralleli obliqui ſit boreale, auſtraleue, hæc regula tenenda eſt. Punctum paralleli Aequatoris, quod polo circuli obliqui intra Aequatorem contento propinquius eſt, lioc eſt, per quod recta ex centro Aſtrola bii per dictum polum ducta tranſit, repræſentat in cælo punctum ſuperius, alterum vero, quod ab eodem polo magis diſtat, hoc eſt, per quod recta ex centro Aſtrolabij per alterum polum eiecta tranſit, inferius eſt. Item punctum paralleli obliqui centro Aſtrolabii(quod quidem a polo boreali non differt) propinquius, boreale eſt remotius vero auſtrale. Quæ res ſi vna cum iis„ quæ in Lemmate 23. de initiis arcuum præfigendis ſeripſimus, attente conſidegetur, nullus erit labor in princi piis arcuum abſeiſſorum præfiniendis, ſiue ex polo circuli obliqui intra Aequatorem exiſtente diuiſio paralleli facienda ſit, ſiue ex altero polo. HVI VS autem diuiſionis parallelorum obliquorum in gradus hanc aecipe demonſtrationem. Planum, quod in ſphæra per polum antarcticum,& polum Hornontis ab eo remotiorem ducitur, abſeindit per Lemma 23. ex parallelo Acquatoris,& ex parallelo Horizontis æquali,(ita vt ille tanto ſpatio abſit a polo auſtrali, quanto hic a polo ſuo, qui a polo auſtrali remotior eſt,) arcus æquales, initio facto a punctis, quæ diximus Igitur idem planum, quod in ſphæra circulum efficit, in Aſtrolabium proiectum conſpicietur ex polo auſtrali auferre coſdem illos arcus æquales ex duobus illis parallelis in Aſtrolabio deſcriptis. Cnm ergo planum illud, vel potius circulus, quem in ſphæra per polum auſtralem tranſiens efficit, faciat per propoſ. 1, Num. 1. in Aſtrolabio lineam rectam per polum K, tranſeuntem, referet recta K 8% circulũ illũ per polũ Horizontis K,& punctum paralleli Aequatoris S, ductum. Hæc ergo ſecabit parallelũ Horizontis in T, puncto, quod illi in ſphæra reſpondet, per quod circulus ille ducitur: adeo vt circulus ille parallelum Hori zontis ex polo auſtrali conſpiciatur ſecare in T, Aequatoris vero parallelum in S, propterea quod radius viſualis in illius circuli plano per omnia eius puncta circumductus ab eo nuſquam recedit, ſed ſemper in K S, communi eius ſectione cum plano Aſtrolabii exiſtit. Arcus igitur FT, paralleli Horizontis repræſentat illum in ſphæra, qui arcui P S, paralleli Aequatoris æqualis eſt. Idemque dicendum eſt de recta KV,& omnibus aliis, quæ ex K, poo Horizontis egredientes vtrumque parallelum ſecant. Quapropter ſi ex K, per ſingulos gradus paralleli Aequatoris rectæ ducantur, ſecabitur parallelus Horizontis in 360. arcus, qui gradibus 360. eiuſdem paralleli in ſphæra reſpondent: ita vt quælibet duæ rectæ ex K, emiſſæ intercipiant in duobus Illis parallelis duos arcus æquales, quod ad numerum graduum attinet, hoc eſt, duos arcus, qui in ſphæra duobus arcubus omnino æqua lihus in eiſdem parallelis reſpondent. Huiuſmodi ſunt duo atcus SQ, TG. Item duo SV, Tb z& Mb,& c. „ Regula facilis ad coguoſcendum vtrum punctorũ parallel Aequa toris in Aſtrola bio, dicatur ſuperins in cælo, inſe riuſue, reſpedu dati circuli maxig mi obliqul. Item vtri pd ctoũ paral leli obliqui boreale fit, vel aue ſtrale, a 1. 1. Theos Gradum quemſi bet propaſtd in parallel Hori⁊õ tis ex eius polo a croreinuentre iu Aſtrolabio. got gradas in dato arcu patalle Ii Horizontis cõ tineantur in Afrolabie, ex polo eius ſupetiore co guoſcere. Parallelos culuſuis cireuli maximi obliquiin gra dus diſtribuete ex eorum polo iufeti ote. Toitium arcuum reſpõdentium in parallelis, vnde lumẽdum in hoc modo diuidendi paralielos obliquos in gradus er eorum polo in feriore. 382 L. BZN 10. 22. EX his colligitur modus inueniendi quemeumque gradum propoſitum in parallelo Horizontis, cuius videlicet diſtantiat ſumatur vel ab alterutra ſectionum E, H, paralleli cum Meridiano, vel ab alterutra ſectionum G, Q, eiuſdem paralleli Horizontis cum Vorticali circulo primario. Si enim gradus propoſitus numetetur in parallelo Acqua toris ab aliquo quatuor punctorũ P, Q, R. O, quatuor punctis FP, G, H, q. eanellelt Horizontis reſpondentium,& per ſinem numera tionis ex K, recta ducatur, ſecabit ea parallelum in gradu propoſito. Vt ſi a puncto E, verſus G, abſcindendus ſit arcus grad. So. vel a G, verſus F, arcus grad. 30. numerabimus aP, verſus Q, grad. Go. vel a Q. verſus P, grad. 30. vſque ad S. Nam recta KS, ſecabit parallelum Horizontis in T, gradu 6o. ab F. vel gradu 30. à G; atque ita de cæteris. Punctum porro E, ſpectat ad meridiem; H, ad ſeptentrionem; G, ad ortum,& ꝗ. ad occaſum, quemadmodum de Horizonte diximus. 23. E CONTRA RIO facile etiam cognoſcemus, quot gradibus quilibet arcus in dato Horizontis parallelo propoſitus reſpondeat, ſi ab extremis duobus punctis dati arcus ad K. polum Horizontis, eiuſque parallelorum rectæ line ducantur. Arcus namque paralleli Aequatoris inter eas comprehenſus tot gradus complectetur, quot in dato arcu continentur, vt ex iis, quæ dicta ſünt, perſpicuum eſt. Igitur ſi per Lemma 3. inquiratur, quot gradus in illo arcu paralleli Aequatoris contineantur, cognitus ſiet numerus graduum in propoſi to arcu paralleli Horizontis contentorum. Exempli cauſa. Si datusgſit arcus T, in parallelo Horizontis, ductis ex K, rectis KY, K T. ſecantibus parallelum Aequatoris in gh, S, erunt tot gradus in arcu T, quot in arcu 68, continentur. 24. IN poſteriore autem parte eiuſdem primi modi ita agendum erit Deſcri batur parallelus Aequatorisuret, æqualis quoque parallelo dato Horizontis FGHqꝗ, ſed priori parallelo Acquatoris OR, oppoſitus, hoc eſt, tanto interuallo a polo auſtrali diſtans, quanto datus parallelus Horizontis a ſuo polo n. qui polo auſtrali propior eſt, recedit, ita vt arcus An X, qui parallelorum dictas diſtantias chetiuntur, æquales ſint, ſiue, quod idem eſt, diameter paralleli Horizontis à diametro Horizontis k,& diameter paralleli Aequatoris a diametro Acquatoris verſus candem partẽ vergant, non verſus oppoſitas, vt Prius. Deſcripto namque hoc parallelo Acquatoris, eoque in quadrantes diuiſo a diametris r t, e u, ſeſe ad rectos angulos lecantibus, ſi ex N, altero polo Horizontis, qui extra Aequatorem exiſtit, propinquiorque eſt in ſphæra polo auſtrali, er omnes gradus ipſius rectę lineæ ducantur, ſecabitur parallelus Horizontis in ſuos gra dus vt prius: ſed ordo graduum in vtroque parallelo ſumendus non eſt a duobus punctis eiuſdem ordinis, nimirum a ſuperioribus r, E, vel inkferiori. bus t, H, ſed à contrariis, hoc eſt, a ſuperiore vnius,& inferiore alterius, ita vt in vnõ fiat de ſcenſus,& in altero aſcenſus, verſus eandem tamen partem ſiniſtram, vel dextram. Idemque initium fieri poteſt a recta NG, quę ex parallelis quadrantes abſeindit, vt a pupctis e, G, in diuerſas tamen partes progrediendo, ita vt in vno parallelo gat aſcenſus,& in altero deſcenſus. Sed quoniam non ſemper diſcerni queunt duo puncta ſuperiora, vel inſeriora, in figura, propter parallelos obliquos, quorum circumferentiæ non vergunt ad partes maximi circuli obliqui, cui æquidiſtant ſed in contrarias; præſtat ordinem graduum prœfinire ex ijs, quæ in Lemmate 235 ſcripſimus, nimirum vt ia parallelo Aequatoris ſumatur punctum ſuperius,& in parallelo obliquo punctum boreale, vel in illo punctum inferius,& in hoc auſtrale. Qug modo autem punctum ſuperius, aut inferius in parallelo Acquatoris,& boreale; auſtraleue in parallelo obliquo are it re .... Pp RO ROSS. 1. 383 ſit reſpectu partiũ cæli, paulo ante in priore parte huius primi modi diuidẽ di parallelos in gradus Num. ar. explicatũ eſt. Exẽpli gratia, ſi ex N, ducatur recta N;, abſcindens arcum t J, grad. 60. auferet eadẽ ex parallelo Horizontis arcũ FT, re ſpondentem arcui grad. Go. eiuſdẽ paralleli in fphæra. Sic ſi recta Na, auferat ar cum ra, grad. 60. abſcindetur quoque ex Horizontis parallelo arcus Hb, grad. 60. Denique recta Ne, auferens quadrantem t e, reſecabit etiam ex parallelo Ho rizontis quadrantem EG, hoc eſt, tranſibit per G, punctum ſectionis Vertica lis primarii cum parallelo Horizontis. Nam vt ſupra dictum eſt, arcus FG, GH, Hqꝗ, qE, quadrantes ſunt. Vbi vides, initium arcuum æqualium, quod ad nume rum graduum attinet, fieri ſemper a punctis conttrariis, vt expoſitum eſt. Hoc au tem demonſtrabitur hoe modo. Planum in ſphæra ductum per polum antarcticum,& polum Horizontis ei propinquiorem, quem refert polus N, abſcindit, per Lemma 23. ex parallelo Aequatoris,& ex parallelo Horizontis æquali, (ita tamen, vt ille tanto interuallo abſit a polo auſtrali, quanto hic a ſuo polo, qui a polo auſtrali propius abeſt.)arcus æqua les, initio facto a punctis, a quibus initium faciendum eſſe, paulo ante,& in dicto Lemmate præcepimus, qualia ſunt pundta r, H: Itẽ t, F. Igitur idem illud planum in Aſtrolabio deſeriptum eoſdem arcus auferre conſpicietur, illos videlicet, qui in ſphæra arcubus abſciſsis reſpõ dent. Cum ergo propoſ. 1. Num. 1. planum illud per auſtralem polum tranſiens in Aſtrolabio efficiat lineam recta m per polum N, tranſeuntem, referet quælibet recta ex polo N, emiſſa planũ il lud, ac propterea ex vtroque parallelo æquales arcus abſcindet, vt dictum eſt. IT AQ E eadem puncta T, b, G, inuenta ſunt per rectas linea sex vtroque polo K, N egredientes, ſingula ſcilicet per binas. Atque eadem arte quodlibet punctum in Horizontis parallelo reperite licebit per duas rectas, quarum vna ex polo K.& altera ex polo N, egreditur, ſi modo poſterior hæc per arcum paralleleli Aequatoris ducatur, quf initium ſumat à puncto meridianæ linpeæ B D, contrario illi, a quo arcus paralleli Horizontis incipit, vt expoſitum eſt. EX ijs autem, quæ dicta ſunt, facile intelliges, quid ag ere debeas, vt arcum ex parallelo Horizontis abſcindas quotlibet graduum,& vt cognoſcas, quot gradus in propoſito arcu contineantur. 25. EOD EM prorſus modo parallelus cuiuſcunque alterius maximi cireu li obliqui in gradus diſtribuetur, ſi eius poli reperiantur,& quando obliquus cir culus ad Meridianum rectus non eſt, pro meridiana linea BD, accipiatur communis ſectio Aequatoris, planiue Aſtrolabij,& maximi circuli pet mundi polos, & polos circuli obliqui tranſeuntis, hoc eſt, recta linea per centrum Aſtrolabii, & centrum eirculi obliqui traiecta. S ED quoniam quando parallelus obliquus prope abeſt a polo ſuperiore m, parallelus Aequatoris auſtralis ei æqualis deſcribendus in immenſam propemo dum magaitudinem excreſcit: contra vero, cum ille non procul diſtat a polo inferiore n, parallelus Aequatoris borealis ei æqualis deſcribendus valde exiuus eſt; ſit, vt non facile parallelus obliquus hoc modo in gradus beneficio pa ralleli Aequatoris diſtribui poſsit: idcirco adhibendum erit ſequens artificium, quo quidem ſine parallelo Aequatoris parallelum obliquum per circulum cuiuſuis magnitudinis in gradus diſtribuemus, hoc modò. Sit Aequator ABCD, cuius centrum Eʒſemidia meter maximi cireuli obliqui Et,& eius axis HX; diameter paralle li obliqui EG, ſecans eius axem in f; radius AH, exhibens K, polum obliqui circuli viſum, ſecet EG, in ez radii AF, AG, abſcindentes diametrum parallel obliqui viſam Nꝗq, circa quam deſeriptus ſit ipſe paralle lus viſus 5 Nia q k. —. Quo pacto om · nia, quæ de qiuiſione parallelorũ Horizontis dicta ſunt, ad alios pa rallelos obliquos accommodentur. Paralſe lum obiiquum per cicen · lum cuiuſuis ma nis in gra 8 nales dini ſum, in gtadus di ſtribus re, a ut opus non ſit deſeti bere parallelum auſtia immo; dicæ quantitat„ aut borealẽ per ekiguæ magaitudinis. 4 lo. ſexti. 384 F nen. Nia q k. Producta recta Et, ſi ex H, per F, recta emittatur ſecans Et, in L, erit EL, ſemidiameter paralleli Aequatoris auſtralis, cuius diameter in ſphæ ra diametro PG, æqualis eſt. Nã ſi concipiatur H, polus mundi auſtralis,& axis mundi Hx, referet EL, lineam meridianam, id eſt, communem ſectionem plani Aſtro labii, vel Aequatoris, ac Meridiani. Igitur radius E, abſcindet ſemidiametrum viſam EL, paralleli, cuius dia meter FG, vt exiis conſtat. quæ propoſ. a. Num. 5. demõ ſtrata ſunt. Si igitur ex E, per L, commode in plano Aſtrolabii parallelus deſcribi poterit Ldm QR, partiemur eius beneficio parallelũ obli quum Nia q ł, vt dictũ eſt, duc endo ex K, rectas per om nes gradus paralleli Ld m. Si vero propter immodicam quantitatem dictus parallelus deſcribi nequeat, perficie mus eandem diuiſionem per circulum cuiuſuis magnitudinis, qui commode deſcribi poſsit,& in gradus æqua les diuidi, hoc modo. Sit data circuli diameter gh, beneficio cuius parallelus obliquus in gradus eſt diſtribuẽdus. a Secetur gh, in r, vt f. ſemidiameter vera paralleli obliqui ſecta eſt in e, a radio AH, vel vt Ed, ſemidiameter paralleli Aequatoris(quando ea commode haberi poteſt)ſecta eſt in K, polo viſo eirculi obliqui Nam vt mox oſtende mus, ita ſeca tur Ed, in K, vt f E, in e Iã vero ſumpta recta KI, æquali ipſi gr, deſcribatur ex I, ad datũ interuallũ gh, circulus bIPSMn. Dico rectas ex polo K, per gradus huius circuli emiſſas ſecare parallelum Nia q k, in gradus; ita vtu g arcus N k, tot gradibus reſpõdeat, quot in atcu bn, cõtinẽ tur,& in Ni, tot, quot in bl.& in q a, tot, quot in SP. Quoniam enim eſt, ex conſtructione, vt d K, ad. K E, ita bK, ad EKIz; erit quoque componendo, vt d E, ad KE, ita bl, ad Kl: Et permutando, vt d E, ſemidiameter ad bl. ſemidia metrum, ita KE, ad Kl. Similitet ergo punctum K,(quod inſtar duorum eſt) a centris B, I remotum eſt. Igitur ex ſcholio Lemmatis 21. rectæ ox puncto K, egredientes( quarum ſingulæ inſtar binarum ſunt angulos æqua les ad K, conſtituentium, ſi circuli Lam R, blPS Mn, ſeorſum de ſeripti eſſent)ex circulis Ldm R, blPS Mu, arcus ſimiles abſcindent; ita vt tam arcus dm, bl. quam d f, b n.& R Q,, ſimiles ſint. Cum ergo, vt paulo ante in in hoc Num. 2“ ex lemmate 2g. demonſtraui mus, recta Kſ, auferat arcum N k, arcui d ſ, æqualem, quod ad numerum graduum ſpectat, auſetet quoque recta En,(ſumpto arcu b n, ſimili arcui dſ,) eundem arcum Nx. quandoquidem in ſ. cadit; quippe quæ arcus ſimiles abſcindat bu, dſ. vt demonſtratum eſt. Eadem de cauſa continebit arcus N i, tot gradus, quot in arcu bl coutinentur: eodemnodo PR GN A 8. VI. 385 P, ſimilis erit in numero graduum. trum E dʒ ita ſectam in K, polo, vt f E, ſecta eſt in e, acile oſtendemus. Quoniam enim ex ſcholiop roqe, ita Eu ad ul.: Eſt autem Eu, ipſi EK, æqualis, 14 (Nam cum triangula AEK, H Eu, rectangula. habeant angulos EAK, EHu, in 2 5. primi. Icoſcele A EH, æqua leszerunt& reliqui anguli EKA, EuH, æqua les; o ideoque b g. primi. e ita ſemper radius ex polo auſtrali ad po daa teclssaqua 16 que modo arcus q a, arcui 8 E SS E autem ſem, diame uod vt verum aſſumpſimus, f b. 6. Eucl. eſt vt fe, a & latera EK, Eu, æqualia erunt. At qu lum circuli obliqui ductus abſcindet ex culi maximi rectas v ſque ad centrum ſtrolabii bauimus propoſ. j. ad finem Num. 14.)& EL, pf EK, ad Kd, QO ſiex quolibet puncto ſemidiam la agatur OV, ſecans AH, in e,& HL. in V 6. Eucl. recta OV, ſecta in e, vt ſecta eſt f E, in e tur KI,& ex IL, ad interuallum Ov, circulus deſeribatur bl S Mn, reperiemus in dato parallelo gradus reſpondentes gradibus huius circuli. NON dilsimilis ratio erit, quando parallelus obliquus juxta polum infe- Onde peralleriorem exiſtit, ac proinde pa rallelus Aeq diameter paralleli obliqui ſit oc? abſcindet paralleli Aequatoris vifam E;: Eritq; rur ſemidiameter E;, ſecta in u, puncto, quod polo viſo K, reſpondet, propter qualitatem rectarum E u, EK, vt ſecta eſt ſemidiameter o, in 4. Si igitur data ſemidiameter gh, ſecetur in ec, vt t, ſecta eſt in 4. vel Ez, in u;& rectæ ccg, æqualis abſcindatur K, erit. centrum circuli interuallo gh, deſcribendi, beneficio cuius parallelus obliquus diametri e, in Aſtrolabio deſeriptus in gradus diſtribuetur. Rurſus ſi diameter paralleli obliqui ſit IZ. abſcindet radius HZ, ex Et, ſemidiametrum paralleli Aequatoris viſam Ep: Eritqʒ rurſum ex ſcholio pro · poſ. 4. lib. 6. Eucl. vt ſemidiameter Ep, ad Eu, ita ſemidiameter VZ, ad V. Si igitur data ſit ſemidiameter YZ, abſcindenda eſt Kg, æqualis ipſi V,& ex 8. interuallo VE, circulus deſcribendus,& c. Quod ſi alia ſemidiameter detur, adiungenda erit ei recta. ita vt eam proportionem habeat data illa ſemidiameter ad adiunctam, quam VZ, ad Z u, vel Ep, ad p u,& c. Atque in hoc caſu, quando diameter paralleli obliqui tota eſt infra AC, quallis eſt TZ, erit polus viſus K, extra parallelum equatoris ſemidiametri Ep,& extra circulum ex puncto& deſcriptum. IA M vero vt facilius centrum,& ſemidiameter circuli deſeribendi, ex quo vinueniatur, poterit ſegmentum fe, bis, ter, qua ter; aut quinquies,&c. ſumptum ex K, qdeorſum transfer ri in rectam KD,& termino huius translatæ lineꝶ circulus deſcribi ad interuallum, quod ſemidiametri f, duplum quoque ſit, triplum, quadrupl ID EM prorſus artific f idiana li diat b ci 0 meridiana linea,& diametro obliqui cir du in pelam cie æquales: quod ſupra etiam pro caebliga ca. etti EH, vt ex O, rectæ EL, paralle zerit quoque ex ſcholio propoſ. 4. lib. Auare ſi rectæ O, æqualis ſuma quatoris borealis deſcribendus eſt. Vt ſi lus obliquus ius radius Hg, ex Et, ſemidiametrum rem eit us ex ſcholio propoſ. 4. lib. C. Eucl. parallelus diuidendus eſt, ad libitur um, vel quintuplum,&c. n in cireulis maximis obliquis diuidendis adhibendum exit, quando eius polus ſuperior parũ abeſt ab Ae quatoris circumferentia. naximusobliquus 7 C, diuidẽdus it in gradus beneſicio circuli maioris Acquatore, accipiẽ da eſt ſemidiameter cuiuſt 8 da, vt BR, ſemidiameter Acquatoris diuiſa eſt in K;& eius ſegmentum ſegmen- nis. to KE, reſpondens ex K, deorſum transferendum, vt centrum habeatur circuli ſeribendi. Nos in figura ſegmentum KE, o, quod duplum etiam eſt ſemi interuallo aſſumptæ ſemidiametr duplicauimus vſque ad 5& ex, interua diametri EB, Ita enim erit vt BK, ad KE, ita K les abſcindat radens. Ed, erit quoque vt ſe, ad eE, ita bliqu ta polum inferio Maximum eiteun Aecqua2 1*— alotem en s magnitudinis& diuidé iatais magvicudi „ad K),) eirculum p, deCee ſcripſimus: vat m Hd cer en yolo inlertete. 386 L 1 dus ſecetur, diuident rectæ ex K emiſſe circulum obliqu e sin g gradus.: propterea quod pu 8 ter abeſt a centro Aequatoris E,&, centro illius. proin de rectæ ex K.egredientes Aequ latorem,& eincm 4 N. in arcus ſii mac partiuntur vt 80 zolio lemmatis 21. demonſtratum eſt. Ita vides rectam K, 2 cum, reſpdne lentem arcui g, vel arcui Acquatoris Do, qui eſt. Sic etiam recta K A, auferet arcum o, arcui 975. red 5 arc 69. arcui pn, aalen ad numerum graduum attinet Idẽ fieret, ſ recta K E, triplicaretur, aretur,&c atq; ex termino rectæ KE, triplicatæ, Vel geadrupliea lũ ipſius! EB, triplũ, vel quadrupl ü,&c. circulusdeſeriberet,&c. 15 Sege hr iſtophorus Gr uendergetus Mathematicarum ſtro Collegio Romano Profe ſſor, in nouis demonſtrationibus „ cuius opera, ac diligentia non pauca huic meo tit circulos obliquos tꝭ maximos, quam non maxi zgradibus rqualibus eorund an et cir 87 per alterutrum rum ductas in gradus apparentes diuidi poſſe. Quæ res q egreg 31a elt atqʒ pr a, licet forte ſſe incred ibiispfobtdse uipia e oſsit, nullo modo 0 vtermittenda hoc loco videtur. Ita ergo agẽdum erit. Repetatur ligura in ſcholio propoſ 3. Num. 12. deſcripta, in qua Aequator ABC, cuius centrum Eʒeirculus maximus o püüquag ACG, cuius cen 1 H,& Fell erer tes I. Vz diametri Aequatoris,& cis culi obliqui AC, Ps, ſecates FG, ad angulos ſeripſimus:: qui i ſi in 36 eindete arſtmilis mos per rectos. in eodẽ ſcholio Num. 14. demöfirauimt„ta tria pũtte A. L, P quam tri n vna iacere linea recta, ita vt vtraq; re- AP, Cs, per 18 0 tranſea O bliqu: ducatur recta. MIb, ſecans equatorem,& circulum n Kriterit 70 ber lemma 9. tam arcus B K, Aequatoris arcui Gi, circuli iam arcus Db Aequatotis arcui FM, circuli obliqui ſimilis. Igitur ſi a puncto F, verſus C, abſcindendus ſit arcus quotuise graduum, numerandi erunt il li gradus in par te oppoſita c circuli obliqui à puncto& vſque ad i. Recta enim ex l, per IL, ei cindet arcum FM, tot gradibus teſpondegtẽ, quot in arcu Gi, continent Gun 1 enin n arcus Gi, arcui BK, ſit ſimilis; auferat autem recta IX. Ar raduum, quot in arcu BK, continenturzvt propoſ. 5. Num. ry. de feret eadem recta iK, eundẽ arcũ FM, tot graduum, quo in ar monſtr cu Gi, co r. Eadẽ ratione recta Ml, auferet ex circulo bl. quo arcũ Gi, tot au dibus in ce 10 relpendedtet duet vere in arcu EM, cõtinentur Itẽ ducta recta indet arcũ EC, tot gradibus in c 1208 e juot re ipfa in arcu G8, irũ 90. Et viciſsim eadẽ re eret a 38, t adibus reſpõ ot in arcu Warpe ein 17 5 qui quid plures ſunt. quã 20.5 5 7 O a * 8* 8 588 l. arcũ admodũ e de ceteris. gradus a 1 0 Itur, Jau erit ci W 8 E, vt aller emen appar vero em duas rectas incluſo, iate cõtinetur. quia in pr e ep epo 5. Num. 1 nſtrauimus, catur ex* polo eriore recta vtcunque YM g tam arcum Aequatoris 5 obliqui EM, quam arcum Aequatoris DN, arcui obliqui circuli 160 ſimilem eſſe: ſi à puncto F, verſus C, abſcindendus ſit arcus quotuis gradibus reſpon dens, numerandi erunt gradus propoſiti i in eodem ſemicirculo ex x puncto G, oppoſito vſque ad Q. Nam recta ex T, polo inferiors 5³ 4 2 L 9. 5 f ö 388 Lilian inferiore per Q, emiſſa abſe indet arc um F M. tot gradibus in cælo re ſpondentem, quot vere in arcu GQ, continentur. Cum enim arcus GQ arcui PN, ſimilis ſit, auferat autem recta Y N, arcum FM, tot graduum, quot in arcu DN, continentur, vt propoſ. 5. Num. 20. oſten ſum eſt; auferet eadem recta NQ eundem arcum EM, tot graduum, quot continentur in areu G Q. Eadẽ fatione e contrario recta Y M, abſcindet arcum GQutot gradibus viſis reſpõ dentem, quot. re i pſa in arcu EM, continentur. Sic recta V C aufere t arcum PP, tot gradibus reſpondentem, quot in arcu G C, continentur: Et viciſsim eadem recta YP, auferet arcum FC, quadranti GP, reſpondentem. Rurſus eadem recta YP, auferet arcum FC, quadranti GP, reſponde ntem. Denique tangens recta Y T, abſcindet arcum FT, tot gradibus reſpondentem, quot in arcu G T, continentur: Item arcum GJ, tot gradibus reſpondenParallelum quum que 1 viſum in gradus apparcnte 3diſtri buere bent ficio graduum æqaa Iiam e uſdem pa ralleli, ex eius po Jo ſupcrioce. Ide m efgcere ex polo inleriore Quot gradus in dat o a cu cirenli obliqui cõttnean t ur, ſacillima ta tem, quot in arcu FT, continentur. Itaque ſi ex Y, per omnes gradus circuli AF CG, rectæ ducantur, ſectus erit ipſe circulus in omnes gradus apparentes, ita tamen, vt cuilibet gradui æquali reſpondeat gradus apparens e& eadem parte inter eaſdem duas lineas ex V, egredientes. S IT rurſum parallelus obliquus K LC, cuius centrum O,& poli viſi P Q; parallelus Aequatoris auſtralis illi æqualis V XV,& borealis bk e, ducaturque per E, diameter XE, ad V V, perpendicularis. Et quoniam, vt infra in fcholiothuius propoſ. Num,. demonſtrabimus, recta ex X, per P, ducta cadit in extremum diametri paralleli obliqui per O, ductæ ad VV, perpendicularis 3 ſi per P, ducatur recta vytcunque ꝶ A, ſecans parallelum obliquum in ſ, C; Erit per lemma 9. arcus Ve, arcui LC,& arcus YA„ arcui K, ſimilis. Igitur ſi a puncto K, verſus n, abſcindendus ſit arcus quotuis graduum, numerandi erunt gradus illi a puncto L, oppoſito in contrariam Fartem vſque ad C. Recta namque ex C, per P, educta abſcindet arcum quæo litum K, cum producta auferat arcum Ve, arcui LC, ſimilem, vt dietum eſt; demonſtratum autem ſupra ſit Num. 21. rectam Pe, auferre arcum K f, arcui Ve, reſpondentem. Slmili modo eadem recta reſecabit arcum LC, tot gradibus in cælo reſpondentem, quot in arcu K f, vere includuntur. Et ſie de cæteris. Itaqʒ ſi totus parallelus in gradus apparentes ſit diſtribuendus, diuidẽ dus prius erit in 360. gradus æquales. Rectæ enim ex hiſce gradibus per P, traie ctæ indicabunt gradus oppoſites apparentes, vt de circulomaximo dictum eſt. D E LN D E quia in ſcholio huius propoſ. Num. 5̃. demonſtrabimus, ſi ducatur ex Q, polo inferiore vtcunque recta Q, tam arcum K f, arcui bg, quam arcum L, arcui e æ, ſimilem eſſe: ſi à puncto K, verſus n, auferendus ſit arcus quotuis graduum, numerandi erunt dati gradus à puncto L, oppoſito in eandem partem vſque ad y. Nam recta ex Q, inferiore polo per, traiecta abſcindet arcum K f, quæſitum, qui videlicet in cælo tot gradibus reſpondet, uot in arcu L, comprehenduntur. Cum enim arcus L Y, arcui e&, ſimilis lit, recta autem Qæ, per /, tranſiens auferat arcum K. tot graduum apparentium, quot æquales in areu e a continentur, vt ſupra Num. 24. oſtenſum eſt; auferet eadem recta Qyper&, incedens eundem arcum K ſ. Viciſsim eadem recta Q, auferet arcum L, tot gradibus reſpondentem, quot in arcu K f. continentur. Ita que ſi totum parallelum in gradus apparentes partiri iubeamur, diſtribuemus eum in 360. gradus æquales. Rectæ namque ex hiſee gradibus per Q, tranſeuntes monſtrabunt arcus apparentes, vt de eirculo maximo dictum eſt. HIN C facillimo negotio intelligemus, quotnam gradus quilibet arcus circuli obliqui in Aſtrolabio ſiue maximi, ue non maximi complectatur. Nam tions cognoſcers. dus ae. I. 389 duæ rectæ à ter minis dati arcus per vtrumlibet polorum apparentium eductæ; abſeindunt ex altera parte circuli arcum tot graduum æqualium, quot gradibus datus arcus reſpondet. Vt ſi in circulo KnL, ſiue maximus is ſit, ſiue non, detur arcus K,, includent tam rectæ KP, P, arcum LC, quam rectæ K Q Q, arcum Ly, tot graduum æqualium circuli eiuſdem KulL, quot ęgradibus datus arcus X f, æquiualet, vt ex iis, quæ demonſtrata ſunt hoc loco, perſpicuum eft. Sic ſi datus ſit arcus L), aufe rent rectæ QL, Qq, arcum K ſ, verum, cui apparens Ly, æquiualet. Et ſi recta YP, produceretur, auferret ea eodem modo arcum vſque ad K, cui arcus datus Lyyreſpondet. 1T A etiam, ſ datus arcus K f, circuli obliqui diuidendus ſit in duas, vel plures partes æquales, fiet id, ſi ductis rectis KP,[P, vel K, Q arcus LC, vel Ly. in duas partes æquales, vel in plures ſece tur,& per P, vel Q ex hiſce partibus re ctæ traiiciantur,&c. VERVM Arcum datum ci culi obliqui in qustnis partes æ · quales ſacillima rationt ſecare. a 4. ſexti. b 4. ſexti. 390„ VE RVM præclaram hanc,& inſignem rationẽ diſtribuendi eireulos obliquos in gradus apparentes per rectas lineas ex eorundẽ gradibus æqualibus per Proprios polos viſos traĩectas, ſacile quoqʒ demonſtrabimus ex iis, quæ paulo an te ſcripſimus quaſi ad initium huius Num. 25. in artificio, quo obliqui circuli in gradus diſtribuuntur per alios eirculos, quã per Aequatorem, eiuſq; parallelos Quoniam. n. in ſuperiori figura ſeholii Propoſ. 5. Num. I 2. quæ eſt ſecſida huius Nu. 25. eſt yt Ak, ſemidiameter Aequatoris ad El, ita PH, ſemidia meter circuli maximi obliqui ad HI, Demonſtratũ. n eſt in eodẽ ſcholio Num. 74. tria puncta A, I, P, iacere in vna linea recta.diſtabit ſuperior polus I, ſimiliter à cẽtris E, H. Igitur quælibet recta Mb, ex ILegrediens auferet ex Aequatore,& circulo obliquo, per ſcholiũ lemmatis 21. arcus ſimiles Pb, EM, propter angulos DIb, FIM, æquales verſus propria cẽtra conſtitutos. Cũ. n. centra E, H, in diuerſas partes à puncto I, recedãt, abſcindẽ tur arcus ſimiles in oppoſitis partibus, quẽadmodũ in figura Corollarii lẽmatis 27. quia cẽtra A, B., à puncto I. verſus eandẽ partẽ rece dunt, abſcindũtur arcus ſimiles CK, FM, vel EL, HN, ad eaſdẽ partes. quod etiã in figura prima huius Num. 25, obſeruatũ eſt. Quia n. cẽtra E, Y, à polo I, verſus eandẽ partẽ recedũt, abſeiſei ſunt à recta Kg, arcus ſimiles Dq, ag, ad ea ſdẽ partes: Et ſi cẽtrũ, ſumptũ fuiſſet à polo I. ſurſum verſus, hoc eſt, nö ad eandẽ par tẽ cũ cẽtro E, ſed ad diuerſam, abſtuliſſet eadẽ recta Kg, arcus fimiles ad oppoſitas partes. Igitur cũ arcus Db, FM, in figura ſcholii prop. q. Num. 12, quæ eſt ſeeunda huius Num. 25. ſimiles ſintz recta aũt Ib, reſecet arcum G i, tot graduum apparentiũ, quot gradus æquales in arcu Pb, cõtinentur, vt propoſ. 3. Num. 17. oſtendimus: reſecabit eadem recta bIM, eundẽ arcum Gi, tot graduũ apparentiũ, quot gradus ęquales in arcu FEM, meluduntur. Atqʒ hæc eſt cauſa, cur, ſi diui ſio circuli maximi obliqui inſtituenda ſit ex polo I, ſuperiore, numerandi ſint gradus æqua les in parte, quæ oppoſita eſt gradibus apparentibus abſcindendis. E A D E M ratio eſt in parallelis. Nam, vt in figura prima ſcholii huius propoſ. Num. 2. apparet, v eſt yt XE, ſemidiameter paralleli Aequatoris ad EP, ita NO, ſemidiameter paralleli obliqui ad Op. Vt enim in eodem ſcholio Num. 3 · demonſtrabimus, tria puncta X, P, N, in vna linea recta iacent. Igitur polus P, ſuperior proportionaliter à centris E„O, diſtat. Cum ergo centra E, O, à punco P, in diuerſas partes recedant, liquet id, quod propoſitum eſt. R VRS VS quia eſt in prædicta figura Num. La. ſcholii propoſ. s. hoc eſt, in ſe cunda figura huius Num. 25. vt CE, ſemidiameter Aequatoris ad EX, ita PH, ſemidiameter circuli maximi obliqui ad H Y;(demõſtratũ. n. eſt in prędicto ſcho lio Num. 14. tria puncta V. C, P., in vna linea recta eſſe collocata. diſtabit polus V inferior ſimiliter à centris E. H. Igitur ex ſeholio lem matis 21.(cum centra in eandem partem à puncto V, recedant.) quælidet recta VM, ex V, educta abſcin det tam arcus FM, BL, quam arcus GQ, DN, ex eadem parte ſimiles. Quare cum recta VN, auferat arcum FM, tot graduum apparentium, quot gradus æquales in arcu DN, continentur, vt propoſ.. Num. 20. de monſtrauĩimus; abſcindet eadem recta Q. per N, incedens eundem areum EM, tot graduum apparentium, quot gradus æquales in arcu G, continentur. Itaque quando diuiſio circuli maximi obliqui ex polo V, inferi ore inſtituenda eſt, numerandi ſunt gradus æquales ex eadem parteNON alia ratio eſt in parallelis. Nam vt in figura prima ſcholli huius prop. Num. z. manifeſtum eſt, ita ſe habet d e, ſemidiame ter patalleli Aequatoris ad EQ, vt O, ſemidiameter paralleli obliqui ad O. Vt enim in eodem ſcholio Num. 4. demonſtrabitur, tria puncta Q, d, M, in vna fecta linea iacent. Igitur po lus Q, ee 5„„ 397 5 jus Q inferior proportionaliter à centris E, O, abeſt, centraque E, O, à puncte Q, ver ſus eandem partem recedunt,&c. VID ES ergo circulum ipſum obliquum eſſe vnum exillis, quos paulo ante deſcribendos eſſe diximus, vt per illos ipſe obliquus ſiue maximus, ſiue non maximus, diuidatur, quandoquidem eadem eſt proportio ſemidiametri circuli obliqui ad rectam inter eiuſdem centrum,& alterutrum polorum, quæ ſemidiametri Aequatoris, vel eius paralleli, ad rectam inter centrum AſtrolaUte fuodem polum obliqui ci uli. Solum hoe intereſt, quod centrum obliqui eirculi a polo fuperiore non tendit verſus centrum Aſtrolabii, ſed in diuerſam e— ir* 4 10 1 merar 1 3 7 0 5 8 bartem, ac proinde gradus æquales numerandi ſunt in contratiam partem, non autem in eandem, ex qua gradus apparentes abſcindendi ſunt. Id quod etiam in prima figura huius Num. 23. faciendum eſſet, ſi centra I,& V ſupra polum K, transferrentur,& en illis circuli ad interualla ſemidiamètrorum I b, vp: deſcriberentur. Denique quando polus obliqui circuli e quo facienda eſt diuiſio Parallelos cuiuſuis maximi circu Ii obliqui iu gra dus diſtribuere, ex centro cireuli maximi, qui in · far eſt verticalis ip ſorũ primarii. 382* 1.5 R df 1K diu iſio circuli obliqui, exiſtit inter centrum Aſtrolabii,& centrũ circuli deſerſ pti, per cuius gradus lineꝶ ducendæ ſunt, quæ obliquum circulum diuidant, gra dus æquales nume randi ſunt in contrariam partem apparentium graduum, quę illis reſpondent: in eandem vero partem, quando inter duo illa centra idem polus non reperitur. Semper autem rectæ lineæ per gradus æquales ineedentes ſecant obliquum circulum in gradus apparentes, vt dictum eſt. Ex qua aute ni parte gradus apparentes numerandi ſint, quando diuiſio fit per circulum à circulo obliquo diuerſum, facile intelligi poteſt ex ſcholio Lemmatis 21. aut ex ĩis, quæ hoc loco ſeripſimus, colligendum erit. 26. SECVN D A via partiemur parallelum circuli obliqui maximi ia gra dus hoc pacto. Quoniam Verticalis primarius, cum per polos parallelorum Ho 1 ilariã in G. q. erit recta q, repræ ſectionemVerticalis,& paralleli in ſphęra. rizontis ducatur, diuidit pa rallelum FG, b ſentans diametrum paralleli, id eſt, commune 1 FCC 393 in ſphæra. Secetur ergo per Lemma 8. ſemidiameter G, in partes inæquzles, quas efficiunt perpendiculares ex ſingulis gradibus quadrantis circuli circa G ꝗ, deſeripti ad&, demiſſæ: Atque ex L, centro Verticalis primarii, quod reperitur per rectam ex A, ad mn, diametrum Verticalis perpendicularem eductam, vt ſupra propoſ. 5. Num 3. oſtendimug per omnia puncta ſemidiametri ę G, rectæ lineæ ducantursſingulæ enim parallelum in binis punctis ſecabunt, quæ reſpondent illis punctis paralleli Horizontis, quibus puncta ſemidiametri G, reſpõdent. Singula enim puncta ſemidiametri e, binis punctis cit culi circa Gq;; deſeripti reſpondent. Quocirca ſi vtraque ſemidia meter G, aq, ſe cetur in punctis, quæ omnibus gradibus eius circuli circa Gꝗ, deſcripti reſpoudeant, ſecabitur parallelus in omnes 360. grad Sed ſatis eſt, ſi hoc modo ſemicirculus BGH, in 180. gradus diſtribuatur. Huius enim gradus in alterum ſemic irculum EqH, translati exhibebunt gradus alterius illius ſemic irculi. Verbi gratia, ſi ex L, centro Verticalis per punctum a. quod gradui 60. à meridiana linea vtrinque in circulo cirea Gꝗ. deſcripto: numerato reſpondet, recta traiiciatur L a, ſecabitur parallelus Horizontis in T, b, punctis, quæ Fo. grad. à punctis E. H, abſunt: quæ ſi transferantur in alterum ſemicirculum FqH, vſque ad l. g, di ſtabunt quoque puncta L, g. grad. Go. ab eiſdem punctis E, H. Hic etiam quoniam rectæ Lq, LG, parallelũ tangũt, vt Num. i. huius prop. oſtendimus,& infra Num. 30. iterum demõſtrabitur, ſi producantur,& inter eas ducatur ipſi q, parallela, habebitur maior linea, quã q, quæ ſimiliter ſe canda eſt, vt diuiſa eſtq ʒquẽadmodum in ſuperiori propoſ. de circulo maximo obliquo Num. 24. dictum eſt. RE CI E autem hoc modo diuidi parallelos in gradus, demonſtrabitur hac ratione. Quoniam recta AL, in circulo maximo Ah CD, per polos mundi,& po los Horizontis ducto, ſumimus enim nune circulum ABCD, pro Meridiano) æquidiſtat diametro Horizontis xlʒ ſi per AL. intelligantur duci plana, auferent ſingula per Lemma 25. ex parallelo diametri XV, binos arcus æquales à punctis X, V. inchoatos in ſphæra. Igitur eadem illa plana cernentut quoque ex polo au ſtrali abſcindere eoſdem arcus æquales ex paralle lo eodẽ Horizontis in Aſtrolabium proiecto. Cum ergo illa planaper polum auſtralé ducta faciant per propoſ. I. Num. 1. Iineas rectas in Aſtrolabio per centrum L, Verticalis circuli, obi omnia plana illa conueniunt, tranſeuntes, neceſſario rectæ lineæ in Aſtiolahio er L. ductæ plana illa referent. Quia vero eadem plana in ſphœra per ſingulos 1 paralleli Horizontis ducta diuidunt vtramque ſemidiametrum eiuſdẽ, noc eſt, communem ſectionem Verticalis& paralleli, vt diuidi ſolet euluſuis quadrantis ſemidia meter à perpendicular ibus ad ipſam ex lingulis gradibus qua drantis demiſsis, quod communes ſectiones ipſorum cum parallelo ſint parallelæ communi ſectioni Meridiani cum eodẽ parallelo, vt ex demonſtratione Lem matis 25. liquido conſtat, ac proinde ad vᷣtramque ſemidiametrum patalle li prædictam perpendiculares, quemadmodum ad cundem perpendicularis eſt com munis ſectio Meridiani,& eiuſdem paralleli;( Cum enim tam Meridianus, quam parallelus ad Verticalem rectus ſit, erit quoque eorum ſectio communis ad cundem recta; ac proinde& ad communẽ ſectionem Verticalis,& paralleli perpendicularis erit, ex defin. 3. lib. 1 t. Eucl) diuiditurque diameter viſa Gq, eodem modo, vt vera paralleli diameter, vt mox demonſtrabitur, perſpicue conſtat, rectas ex L, centro Verticalis per dicta ſectionũ puncta ſemidiametri viſæ 26„(fi diuidatur, vt diximus.) ductas tranſire per puncta paralleli, quæ gradibus eiuſdẽ paralleli in ſphæra reſpõdentz quando quidẽ hæ rectæ in Aſtroſabio tepręſen tat illa plana per ſingulos gradus paralleli in ſphæra tranſcuntia, vt dictum eſt. d d Quod a 2. pr imi. bie. vn 1 daes. 3— . 394 L. N f uod autem viſa diameter G ꝗ, a planis illis ſecetur, vt vera diameter paralleli in ſphæra ab eiſdem diuiditur, hunc in modum demonſtrabimus. Quoniã vera paralleli diameter(veram diametrum paralleli voc commune m ſectionem paralleli,& Verticalls in ſphæra) aſpicitur ex polo auſtrali per triangulum, cuius baſis eſt ipſa diameter vera,& vertex in oculo, ita vt diameter viſa Gq;, ſit coma 9. vndec. munis ſectio plani Aſtrolabii, Aequatoriſue, ac trianguli prædicti; eſtque diameter viſa diametro verę parallela, quod vtraque communi ſectioni Verticalis, equatoriſque,& Horizontis parallela ſit: ¶ Diameter enim vera paralleli,& communis illa ſectio Verticalis atque Horizontis, cum ſint ſectiones in planis d 76. vndec. parallelis à plano Verticalis, effectæ, v parallelæ inter ſe ſunt. Quod ſi per eandem illam ſectionem Verticalis, Horizontiſqʒ intelligatur duci planum triangu c 1. vndec. lo prædicto, quod per veram diametrum ducitur, parallelumz e erunt quoque eadem cõmunis illa ſectio,& viſa diameter parallelæ, cum ſint communes ſectio· nes in p R G A 395 nes in planis parallelis à plano Aequatoris factæ.(ſecabũtur ex ſcholio propoſ. 4. lib 6. Euclid. diameter vera,& viſa proportionaliter ab illis planis per rectam AL,& ſingulos gradus paralleli in ſphæra ductis, hoc eſt, a radiis viſualibus, qui communes ſectiones ſunt illorum planorum,& prædicti trianguli. Cum ergo ve ra diameter ab ipſis planis ſecetur, vt ſemidiameter cuiufuis quadrantis a perpendicularibus ad ipſam ex gradibus demiſsis diuiditur, vt oſtenſum eſt, diuidetur eode m modo diameter viſa. quod eſt propoſitum. 5 27. 1681 TVR ſi quis u, g. deſideret grad. 30. in parallelo FGHq, initio fa · cto a puncto G,& ſiue verſus E, ſiue verſus H, progrediendos, ducenda exit recta ex L. per a, punctum diametri viſæ G qm, quod feſpondet gradui 30. circuli circa Gq, deſcripti, hoc eſt, per quod perpendicularis ex grad. 30. eius circuli demiſſa tranſit, initio etiam facto in eo circulo a puncto G. 28. CONTRA quoque cognoſcemus, quot gradus quilibet arcus paralleli Horizontis complectatur, ſi initium habeat a puncto G, vel q. Ducta enim ex termino T, arcus dati GT, recta ad L, ſecante Gq, in a, abſe indet per pendicularis per a, ad Gq, educta ex circulo circa q; deſeripto, arcumtot graduum, quot in GT, comprehenduntur. Si vero arcus à G, vel q, non incipiat, aſſequemur propoſitum, vt Num. 26. propoſ. y. ſeripſimus. 5 29 NON diſsimilis ratio eſt in paralle lo cuiuſuis alterius circuli maximi obliqui in gradus diſtribuendoſi pro L, ace ipiatur centrum illius circuli maximi, qui inſlar Verticalis primatii eſt reſpectu eirculi maximi, cui parallelus æqui diſtat, ae proinde per polos paralleli ducitur,&c. 30. EX his, quæ diximus; nullo fere negotio colligi poterit, rectas ex L, centro ad G.& q, ductas tangere parallelum in G5,& q,(in figura recta tangens ducta eſt Lq.) quod etiam ſupra Num. 7. demonſtrauimus. Cum ea im rectæ illæ referant in Aſtrolabio plana, quæ per AL,& extrema puncta veræ diametri paralleli ducuntur, plana autem illa verum parallelum in ſphæra nullo modo ſecent, ſed in illis ꝑunctis extremis ſolum attingant, vt mox oſtendemus; efficitur, vt rectæ illæ contingant quoque parallelum in punctis G, q, quæ repræſentant pundta illa extre ma diametri veræ. Si enim ſecarent, ſecarent quoque plana per eas ducta parallelum verum in ſphæra in binis punctis, quæ illis reſpondent in quibus à rectis LG, Lꝗ. ſecaretur. quod eſt abſurdum, cum plaua illa tangant pa rallelum verum in ſphæra in punctis extremis diametri. quod ſic probatur. Qugniam planum per AL, tranſiens,& per omnia puncta diametri veræ parallelicir circumductum ſecat ſemper parallelum per lineas ad ipſum diamet rum perpendiculares, vel cõmuni ſecti oni paralleli,& circuli maximi per eius polos,& mun di polos ducti parallelas, vt ex Lemmate 25. conſtat, fit, vt cum primum ad extrema puncta peruenerit, non ampiius ſecet parallelum, ſed in illis punctis extremis eum contingat. quod etiam aliter,& Geometrice ita demonſtrari poterit. Poſito circulo ABCD, ad planum Aſtrolabii; Acquatoriſue recto, vt kl, ſit communis ſectio cireuli maximi obliqui,& eius circuli maximi, qui per eius polos,& polos mundi, inſtar proprii Meridiani, ducitur, ſi per rectam AC, in plano Aequatoris, Aſtrolabiiue, concipiatur duci maximus circulus ad obliquum maximum circulum diametri kl. rectus,(cuiuſmodi eſt. Verticalis primarius reſpe du Horizontis, teſpectu vero cuiuſcunque alter ius circuli obliqui maximi, circulus maximus per eius polos, communeſque ſectiones eiuſdem cum Aequatore ductus ja erit idem ad maximum circulum ABC, in eo ſitu, quem diximus, recus, cũ tranſeat per A, C, polos circuli maximi ABCD, hoc eſt, per cõmunes ſeciones obliqui circuli,& Aequatoris; in his enim poli ſunt circuli ABCD, dia ctum Gtadum quemlibet propoſſtũ in parallelo obli. quo Aſttolabii re petite ex centro maximi citculi, qubillius eſt velu ti Verticalis primarin Quot gradus in ar cu dato paralle Ii obhqui contin eantur, ex cen · tro maximi circu I qui illius eſt veluti Verticalis primarius. Quo pasto omna, quæ de diui fo ne parallelorũ Horizontis, ex centro verticalis di cta ſunt, ad a lios parallelos o. bliqu os accom modentur. Rectas ex centro cuinſuis circuli maximi in 4A ſtro labio ductas ad interſectiones eius enm paralle lis alte rius maxi mi cixculi, qui ad illum ſe habet, vt Horizon ad Verticalem, paralle los ibi tangere. a 15. l. Theo. 4 12.1. The · br. vndec. e J. vndec. 396 D e k. ctum ſitum habentis.: ¶Nã cum circulus maximus ABCD, rectus ſit ad circulum obliquum,& Aequatorem a tranſibit per eorum polos; ac propterea ij viciſsim per eius polos tranſibunt, ex ſcholio propoſ. if. lib. 1. Jheod. deoq́; communes eorũ ſectiones, poli erũt circuli ABC. Igitur cũ& circulus maximus ABCD, & circulus obliquus diametri kl, ad illum circulum maximum per AC, ductum, & rectum ad obliquum, rectus ſit b erit quoque eorum communis ſectio kl, ad eundem illum circulum maximum per AC, ductum recta; sac proinde& AL. * d 18. vndec. ipſi kl, parallela ad eundẽ cireulum maximum redta erit. d Igitur planũ per AL, & alterutrum extremorum punctorum diam etri paralleli, qu communis ſectio eſt eiuſdem circuli maximi ac paralleli, ductum, hoc eſt, circulus ab eo in ſphæra factus, cum eodem circulo maximo per AC, ducto rectos angulos efficiet. Quocirca cum& hic circulus per AL,& aſſumptum extremum punctum diametri paralleli in ſphæra ductus,& parallelus ipſe ad circulum illum maximũ per AC, 4 ductum; p RI 0 D o. I XI. 397 ductum, rectus ſit za erit quoque eorum planorum communis ſect io ad eundem rectazʒac proinde& ad dia metrum paralleli, quæ communis ſectio eſt paralleli,& illius circuli maximi per AC, ducti,& ad dia metrum circuli per AL,& aſſumptũ extremum punctum diametri pa ralleli tranſeuntis, quam in hoc circulo maximus ille circulus per AC, ductus facit,(quoniam enim maximus ille circulus ſecans circulum per AL,& aſſumptum extremum punctum diametri paralleli ductum ad apgulos rectos, vt oſtendimus, b ſecat eum bifariam, ac per polosztranſi bit per eius centrum, ideoque in eo diame trum efficiet.) perpendicularis erit in extremis earum punctis„cum vtraque hæc diameter in eo maximo eirculo exiſtat. Igitur eadem illa communis ſectio paralleli,& circuli per AL, aſſumptumq. extremum punctum diametri paralleli tranſeuntis, vtrumque circulum, tam parallelum, quam circulum per AL,& extremum punctum diametri paralleli ductũ, continget in aſſumpto extremo puncto diametri paralleli, ex coroll.propoſ. 16. lib. 3. Euc lid. Ex quo ſequitur ex defin. lib. 1. Theod. hoſce duos circulog in extremo puncto diametri paralleli ſe mutuo tã gere,& nullo modo ſecare. quod eſt propoſitum. Verum rectas ex L, per G,& q: ductas tangereparallelum FGHq. aliter adhue in ſeholio ſequenti Num. 3. demonſtrabimus: ſed faciliorleſt demonſtratio, quam in hac propoſ. Num. 7. attulimus. E X hoc infertur, quamlibet rectam ex centro Verticalis ductam vſque ad concauã circumferentiam paralleli ita à parallelo diuidi, vt ſemidiameter Verticalis ſit medio loco proportionalis inter totam illam rectam,& eius ſetßmentum exterius. Vt ſi ducatur ex L, centro Verticalis recta LT, ſecans parallelum GH q, in b: Dico ſemidiametrum LK, vel Lq. medio loco proportionalem eſſe ioter LIT,& Lb. Quoniam enim ſemidiameter Lq, tangit patallelums vt oſtenſum eſt, eerit quadratum rectæ Lq, æquale rectangulo ſub LT, Lb. 41Igitur exit vt LT, ad Lq; ita Lq; ad Lb. quod eſt propoſitum. Eadem ratio eſt de alijs omnibus rectis ex L, ductis. HIN C etiam elicitur ratio inueniendę alterius extremitatis diametri paralleli viſæ ex vna extremitate cognita. Si enim rectæ inter centtun Verticalis primarij,& extremitatem cognitam interceptæ,& ſemidiametro Verticalis primarij reperiatur tertia proportionalis, cul æqualis abſcindatur, initio facto ab eodem centro, inuentum exit alterum extremum. Vt ſi cognitum ſit extremum F, paralleli FGHꝗ, ſi duabus rectis LF, LA, abſcindatur tertia proporrionalis LH, erit H, alterum extremum diametri viſæ FH. Sie ſi detur extremum H,& duabus rectis LH, LA, abſcindatur tertia proportlonalis LF, erit F, alterum ex tremum,& c Atque hoc demonſtrauimus etiam Num.. huius propoſ. 31. T ERTIO modo parallelum cuiuſuis circuli maximi obliqui in gradus diuidemus hac ratione. Vtraque ſemidiame ter paralleli in ſphæra px, pY, ſe cetur per Lemma g. in partes inæquales, quas perpendiculares ex gradibus eircu li circa XV, deſcripti demiſſæ efſiciunt. Satis autem eſt, ſi vna eo modo diuidatur, cum puncta eius in alteram translatæ eam ſimili modo diuidant. Deinde ex A, polo auſtrali per omnia puncta ſectionum diametri XV,. rectæ ducantur ſecan tes paraſleli diametrum EH, in punctis, per quæ ſi ad eandem diametrũ FH, perpendiculares excitentur, diuiſus erit parallelus FOH, in gradus. V. g. Si ex A, per punctum 2, quod gradui 6o. ab X, numerato in circulo circa XV, deſeripto re põdet, recta ducatur AZ, ſecãs EH, in d,& per d, ad EH, perpẽdicularis educatur TI, cõplectetur arcus vterq. ET, FI, grad. 60. hoceſſ. repræſentabit arcũ paralleli grad. Go. apucto auſtrali numeratũ in vtramq. part tã orientalẽ, quã occidẽtalẽ. quod ad hunc modũ demõſtrabimus. Poſito cireulo ABC, ad planũ Aſtrolabij recto, a 1. vndeci b 13.1. The. Semidiametrum verticalis eſſe me dio loco propor tionalem later re ctam, quæ ex cẽtro eiu dem ſecat Horizõtis pa rallelũ quemcũ que,& eius ſeg · mentũ exterias. 3G. tertij. d /. ſeæti. Pato vno exttemo diamettri viſe alicuius parab leli obliqui, inue nite alterum extre mum per tertiam quandã pro portionalem. Paralleſos obliquos Aſtrolabij in gradus diſtriduete, e ralf polo Analemma tis. Gradum quemlibet propoſitum in parallelo obli quo reperite 5 ER polo auſtrali Ana lemmatis. Quot gradus in arcu dato paralle Ii obliqui conti neantur, ex Polo auſtrali Analem matis cognoſce re. Quo pacto omnia, qu de diuidendis tparallelis Horizötis, ex po 10 anſtrali Analemmatis dicta ſunt, ad alios parallelos obliquos accommodentur. Parallelum quẽ uis obliquum Aſtrolabii in gradus diſttibuere, ex proprio centro,& centro Aſlrolabii. 398 IN recto, vt XV, diameter paralleli, ſit cõis ſectio ipſius,& circuli maximi ABCD. per polos mũdi,& per polos paralleli trãſeũtis: quoniã planũ in ſphæra per polũ auſtralẽ A, ſiue rectam A, in eo ſitu circuli ABCD,& per rectã, que dia metrum XV, ad angulos rectos ſecet in plano paralleli, ductũ occurrit plano Aſtrolabii in d, facitq. per Lemma 24. rectam ad EH, quæ cõmunis ſectio eſt circuli maxi mi per polos mundi,& per polos paralleli tranſeuntis,& ipſius paralleli, per pen dicularemztranſibit illud idem planum per rectam. TI, perpendieulatem ad EH. conſpicieturqʒ in Aſtrolabio eoſdẽ gradus abſcludere ex parallelo FG Hq, quos in ſphæra ex eodem parallelo abſcindit, cum radius viſualis per omnia puncta illius plani circumductus ab eo non recedat, ac propterea perpendicularem per Z, ductam, auferentemqʒ hinc inde grad. Go. ab X, incipiendo, proiiciat in Aſttolabium in rectam II. Arcus igitur ET, EI, repræſentant in ſphæra illos, qui in parallelo ſphæræ grad. Go. complectuntur, initio facto a puncto X. Atque ita de cæteris. 33. SI igitur ex parallelo dato abſcindendus ſit arcus quotlibet graduum, à puncto E, vel H, incipiendo, numerandi ſunt gradus propoſiti in circulo circa XV, deſcripto, initio facto ab K, vel V,& a termino numerationis ad XV, perpen dicularis demittenda ſecans XV, in aliquo puncto. Si namquè per hoc punctum ex A. recta ducatur ſecans EH, in alio puncto, dabit per hoc punctum ducta perpendicularis ad FH, vtrinque ar cum ab E, vel H, inchoatum, qui pi opoſitum nu merum graduum contineat. 33. CONTRA ſi inquirendum ſit: quot gradus in dato arcu paralleli cõ tineã tur, ducẽdæ ſunt ex illius terminis ad EH. duę perpendiculares ſecantes eã in duobus punctis, e quibus ad A, polum auſtralem duæ rectæ ducẽdæ ſunt, ſecan tes XV, diametrum paralleli in aliis duobus punctis. Nam ſi ab his educantur ad XV, duæ perpendiculares, inzercipient hæ in circulo circa XV, deſcripto arcum tot graduuu, quot in propoſito arcu continentur. 34. QVADRA I tertia hæc tatio diſtribuendi para llelos in gradus, in parallelum cuiuſuis circuli maximi obliquſ, ſi; quando ad Meridianum rectus nõ eſt, pto linea meridiana BD, accipiatur linea recta per eius centrum,& centrum Aſtrolabii ducta, communis ſcilicet ſectio plani Aſtrolabii, Aequatoxiſue,& cir culi maxi mi, qui per mundi polos,& polos obliqui circuli ducitur, inſtar proprii Meridiani]. 35. ADD AM VS ſi placet. quartam adhue rationem diſtribuendi quemcunque parallelum obliquum in gradus, ſimilem illi, quam Num. 24. pręcedentis propoſſattulimus: Erit namque& hæc ſæpenumero percõmoda ad certos quoſ dam gradus inucſtigandos, qui non facile alis viis inueniri poſſunt. Sit ergo parallelus datus obliquus Kl, cuius centrum b. Deſcribatur parallelus Aequato ris RV, dato parallelo ęqualis, hoc eſt, cuius diameter in Analè mate ABCD, ( Nam ſumi poſſe Aequatorem Aſtrolabii pro Meridiano Analemmatis, propoſ. 4. Num. r.& alibi dictum eſt) æqualis ſit diametro dati paralleli in eodem, ita ta men, vt borealis ſit, quando datus parallelus eſt in hemiſphærio ſuperiore, auſtralis vero, quando in inferiore. Appellamus autem hemiſphærium ſuperius, & infèrius, reſpectu poli ſuperioris, inferioriſue circuli obliqui, inſtar Horizontis cuiuſpiam, cui datus parailelus æquidiſtat: Polus porro ſuperior, in feriorque, quo pacto ſumendus ſit, declarauimus Lemmate 23. Atque in hoc parallelo Aequatoris puncto cuipiam 8, inueniendum ſit in obliquo parallelo punctum reſp ondens M, hoc eſt, vt arcus RS&, NM. contineant æquales numero gradus.(Nam quando parallelus Aequatoris,& obliquus ſunt æquales,& verſus eandem pH G Y G 8. WI. 395 dem partem ſphæræ tendunt, initium graduum ſumitur in parallelo Aequa5 585 R. luperiore,& in obliquo à boreali N, vel in illo puncto V, inferiore,& in hoc ab auſtrali I, vt in Lemmate 23. expoſitum eſt,) quod ſic fiet. — —— wr Ex E, centro paralleli, in quo punctum datum eſt, ducta ad datum punctum 8, ſemidlametro ES, abſcindatur ex ea verſus centrum producta, ſi opus ſit, recta Sd, ſemi 40⁰⁰ IVL d N o Fl. Sd, ſemidiametro alterius paralleli æqualis, ductaq; recta db, ad centrum paralleli huius alterius, in quo punctum inue niendum eſt, ſecetur in e, bifariam,& ad angules rectos per rectam e f, ſecantem Es, in f,& per f.& centrum b, ducaur recta bf. ſecans parallelum datum in M. Dico punctum M, puncto 8, reſpondete. lioc eſt, arcus RS, MN, vel ES, 5 M, æquales eſle in ſphæra. Quoniam enim 7 77 5 5% Noe WI. 401 be, e f, lateribus des e f. æqualia ſunt, anguloſq; continent rectos; erunt& baſes bf, df, æquales: Sunt autem& bM, d 8, æqua les, ex conſtructione. Igitur& reliquæ f M, fS. æquales erunt: ac proinde, vt in Lemmate 42. oſtendimus, circu: lus ex f, per M,&, deſcriptus vtrumque parallelum tanget, repræſentabitq; propterea circulum in ſphæra eoſdem tangentem. Quamobrẽ per Lemma 44. arcus NM, RS, æquales erunt in ſphęra. Cæterum idem punctum M, reperietur, fi in b. flat angulo bdS, æqualis angulus db M, vel rectæ bd, paralle la agatur SDI, vt Nu. 34. præcedentis propoſ. monſtrauimus. etiamſi recta bd, nõ ſecetur bifariam.&c. RVRSVS puncto V, paralleli Aequatoris dandum ſit reſpondens in para! lelo obliquo, hoc eſt, inueniendus arcus IO, arcui VV, vel arcus O, arcui p. æqualis. Ducta ſemidiametro E, abſcindatur Vg, æqualis ſemidiametro paralleli: Et ducta recta gb, ſecetut in i, bifariam,& ad rectos angulos per rectam ih, ſecantem EV, productam in h, iungaturqʒ recta hb, ſecans parallelum in O. Dico unctum 8 quęritur. o Erunt enim rurſum bh, gh, æquales. Cũ ergo& g.O b, e qua les ſint, etunt& reliquę hV, hO, ęquales. Igitur eirculus ex h, per O. V, deſcriptus vtrumq; parallelũ tanget, ac proinde per Lẽma 44. in ſphæra at cus O. V æquales erũt.&c. Idemq; punctum O, habebitur, ſi fiat angulus gbO, angulo bg V, æqualis, vel ſi per V, ipſi bg, parallela agatur 10, etiamſi recta bg. non ſecetur bifariam,&c. QvOꝰ ͤſiaccidat dari punctum k, in tali loco, vt ducta ſemidiametro Ek, ſumptaqʒ ke. ſemidiametro paralleli dati æquali, iuncta recta eb. faciat angulum rectum, ac proinde recta ſecans rectam be, bifariam,& ad angulos rectos, ſit ipſi kc, paralle la, duc enda erit bl, ipſi ck, parallela, vt punctũ h reſpondens habeatur. Tune enim, ſi ducatur recta kl, cum parallelæ ſint,& æquales ck, bl, erunt quoqʒ be, lk, parallelæ, ideoq; parallelogrammũ exit el;& anguli k, l, recti erunt, atq; ideirco recta kl, vtrũq; parallelũ tanget: quæ quid recta kl. tangẽs teſeret eircu lũ per auſtralẽ polum ductũ, qui vtruaiq; parallelũ tangit in k, I Omnis n. recta linea in Aſtrolabio repræſentare poreſt in inſinitũ extenſa circulum per polum auſtralem ductum, illum nimirum, qui a plano efficitur, quod per illam rectam,& polum auſtralem in ſphæra ducitur. Quocirca quemadmodum recta xl, vtrumꝗ parallelum tangit, ita quoque circulus per auſtralem polum ductus, quem reptæ ſentat, eoſdem parallelos tanget in k, l. ideoque arcus Sk, zl, auferet æquaies, ex Lemmate 44. Cæterum arcus k, El, eſſe æqua les, ita quoque oſtendemus. Recta kl; tangens producta cadit in polum infe riorem circuli maximi, cui parallelus IKl, æquidiſtat, ſi hic parallelus ad eius poluin ſuperiorem ſpectet, vel contra, ſi parallelus ad inferiorem polum ſpectet. tangens kl. in po lum ſuperiorem cadet. Nam, vt in ſcholio ſequenti ad finem Num. 4 monſtrabimus, tecta ex alterutto polorum circuli obliqui ducta, ſi ynum parallelum tangat, tanget& alterum. Cum ergo vna ſola recta vtrumque ex eadem parte tangete poſsit, vt conſtat, (Si namque tangeret v. g. paralle lum Rx V, intra k. illo producta caderet tota extra parallelum IKlzſi autem illum tangeret ſupra k, ſecaret producta parallelum Al, vt perſpicuum eſt.) cadet omnino tangens Ik, in polum e irculi obliqui. Cum ergo, vt Num 21.& 24. demonſtratum eſt, recta ex polo abſeindat ex parallelis arcus æquales, æquales erunt ablati arcus Rx, N]: Sunt autem eandem od cauſam& ablati arcus RE, NE, æquales. Nam& recta ex polo paralleli obliqui ad S ducta areus ę quales abſcindit. Igitur& reliqui atcus Sk. El, equales ſunt. quod elt propoſitum. 51 prætetea datum in Aequatoris parallelo pundum X, reperienduſq ſit at cus p Qʒ arcui X vel arcus IQ, arcui VX, gqualis. Ducta ſemidiametro EX, abEee ciq; a ę frimi. b 4. Frimi. c 33. primi. d 34. primi · Omucpi line am re ctam ix Atte labio lepraienta re poſſe ciccalũ er plum auſtralem ductum. 402 L N PD. 4 ſciſſaq; xt, æquali ſemidiametro dati paralleli, iungatur tb, quà bifariã,& ad an gulos rectos ſecet uL, ſecans Xt, verſus t, protractã in L,(Hæe namqʒ; perpẽdicu faris ſecabit ſemidlametrũ paralleli, in quo punctum datum eſt, vel vetſus datũ punctum, etiam protractam, quando opus eſt, vel nõ ſecat vllo modo, vel deniq rotractam in partem contrariam, prout angulus in extremo rectę, que abſciſſa eſt ſemidiametro alterius paralleli æqualis, fuerit acutus, rectuſue, aut obtuſus) ac tan p R OP O s. VI. 403 ac tandem recta ex L, per centrum b, ducatur ſecans parallelum in Q. Dico areũ IQ, arcui VX, æqua lem eſſe in ſphæra. Nam rur ſum baſes tL, L, æquales ſunt. Cum ergo& tx, b, ſint ee poſitæ; erunt totæ LX, LQ, æquales. Igitur per Lemma 42. circulus ex L, per Q X, deſcriptus parallelos tanget; ac proinde per Lemma 44 IQ, VX, vel Q, X Idem æqua les erunt in ſphæra arcus quoque punttum Q, reperietur per rectam LQ, facientem angulum tb, angulo btL, æqualem; vel etiam per rectam X, rectæ bt, parallelam, vt ſupra demonſtratum eſt, etiamſi bt, non ſecetur bifariam,&c. DES CRIB AT VK quoque parallelus Aequatoris e pt ior ĩ æqua lis, & oppoſitus, per quem idem parallelus obliquus IKL, diuidendus ſit. Et quia paralleli hex, IKL, æquales funt,& ad diuerſas partes ſphæræ, incipient in eis partes æquales reſpondentes ex eadem parte,& verſus eandem progredientur, a 4. primi. vt in Lemmate 23. dictum eſt, nimirum à punctis ę, L verſus.*, L, aut à A, N, ver-. ſus x, L,&c. Sumatur ergo arcus T, ſimilis arcui RS, ex quo inuentus fuit arcus NM, arcui RS, æqualis, inuenienduſq. ſit ex arcu L, idem arcus NM. Ducta ſemidiametro ET, ahſcindatur ex ea producta, recta Tm, ſemidiametro alterius paralleli æqualis: Iuncta autem recta nb, eaq. ſecta bifariam in n,& ad angulos rectos per tectã n o, ſecantẽ E T, in o, connectatur o b, ſecans parallelum in M. Dico arcũ NM, arcui T, hoc eſt, arcui RS, æqualem eſſe; ac proinde punctum M. eſſe idem, quodſ ante per arcum RS, inuentum ſuit. Quonjam enim om, o b, æquales ſunt in triangulis mn o, bn o, ſi demantur æquales Tm, Mb, reliquæ oT, Mzæquales erunt. Igitur circulus ex o, per T, M, deſcriptus parallelos tanget in T, M, vi in Lemmate 42. oſtenſum eſt: atque idcireo per Lemma 44. arcus T, NM, æquales erunt in ſphæra. Quod ſi angulo Em b, fiat æqualis angulus mbo, vel ſi TM, ipſi mb, parallela agatur, reperietur idem punctum M,, etiamſi mb, non ſecetu r bifariam,& ad rectos angulos. SIT rurſum arcui dato sp, abſeindendus æqualis IK. Ducta Ep, ſumatur in ea extta parallelum recta pq, ſemidiametro paralleli IKl, æqualis. Iuncta autem recta qb, eaq. ſecta bifariam,& ad angulos rectos in r, per rectam ſecantem Eq, in ſ, cõnectatur recta ſb, ſecans parallelum in K, eritq. arcus IK, arcui ap, æqualis in ſphæra. quod demonſtrabitur, vt de areu NM, dictum eſt. SILIMIILI ratione, ſi detur in maximo quouis circulo obliquo AFC G, punctũ . inueniemus in eius parallelo quolibet IK l, punctum reſpondens P. Idemque fiet, ſi dicti duo circuli ſint paralleli, licet neuter eorum ſit maximus. Nã ex centro H, illius, in quo punctum datur, ducta ſemidiametro Hæ,& extra parallelũ ſumpta recta g, æquali ſemidiametro alterius paralleli, jungemus gb, quam ſecet in 5ibifariam,& ad angulos rectos recta 5%, ſecans Ig, in&. Iuncta enim gb, ſecabit parallelum in P, puncto quæſito. quod etiam reperietur, ſi fiat angulus Gb, angulo bg H, æqualis, vel per a, ipſi gb, parallela agatur aP. Quod demonſtrabitur. vt proxime dictum eſt. Nam rurſum ęquales erunt, J b, in triã gulis by, 49, a quibus ſi tollantur æquales Pb, ag, reliquæ JP, Ju, æquales erunt,&c. VICISSINM ex dato puncto P. reperietur reſpondens punctũ&, in alio paralle lo. Ducta enim ſemidiametro bb, abſcindatur extra parallelũ recta P, ſemidiametro alterius paralleli AFC G, æqualis. Iuncta autem AH,, reliqua perficientur yt prius. HAC ratione accedente Lemmate 45. ex quouis puncto Horizontis; aut alicuius paralleli eius, inueniri potetit punctum reſpondens in quoui⸗ parallelo alio ipſius,& contra. Eee 2 VI b 4. primi. Porallelnm qu uis obliquum in gradus diſtribuere, ex eius cireulo maximo, cui „ quidiſſaut, vel ec al io parallelo in gaadus diuiſo. cꝗ4. primi. Quid obſerunndam, vt circulus per alium circuJem diuiſum dinidatur in gradus Circalos maximos obliquos, eotum que paralelos diuidere in gradas per cireu los varios per ter n puncta deſeri ꝓtos. 404 ne. VID Es ergo, quando areus æquales in duobus eirculis progrediuntur esdem ordine, ſurſum verſus, vel deorſum, vt fit in parallelis quibufcunque, vel in duobus circulis vergentibus ad diuerſas partes in ſphæra, adiie jendam eſſe ſemidiametro vnius diametrum alteriuszquando autem in vno deſcendendum eſt, & in altero aſcendendum in arcubus, qui æqualibus arcubus in ſphæta reſpondent, ex ſemidiametro vnius auferendam eſſe verſus centrum ſemidiametrum alterius. quod quidem fit, quando duo cireuli æquales vergunt ad eandem ſphæ ræ partem, vt in exemplis monſtratum eſt. 36. NEQVE vero prætermittenda eſt alia via perfacilis,& iucunda diſtri buendi tam maximos, quam non maximos circulos in gradus, vel potius inueſtigandi quemcunq; gradum in circulo ſiue maximo, ſiue non maximoʒquæ eſt eiuf modi. Sit Aequator ABCD, cuius centrũ E; cireulus maximus obliquus AFC, cuius polus R· Sumantur duo puncta in meridiana linea FD, ęqualitet᷑ diſtãtia ab E, polo Aequatoris,& R, polo circuli obliqui, verſus D,& F, nõ autẽ in ſegmen to ER, ne nimĩs propinquum vnum alteri fiat: Huiuſmodi ſuat puncta P,& F, cũ ſegmenta ED, RF, quadrantes repræſentẽt inter polum mundi E,& Aequatorẽ, & inter polũ R, circuli obliqui,& ipſum cireulum, interiectos. Diuiſa autẽ recta FP, inter aſſumpta puncta bifariã in a, dueatur per a, ad FD, perpendicularis a T, in vtramque partẽ in infinitum. Iam dato puncto q, in ſe micirculo Aequatoris ABC, quod grad. 60. a puncto B, diſtat, reperiemus in ſemicirculo circuli obliqui maximi AG, punctũ reſpondens r ſi per tria puncta E, q. D, ex cen tro T,(quod per coroll. propoſ. f. lib. 3. Eucl. in perpendi culari a T, exiſtit)circulus de ſeribatur FqD, ſecans circu lum obliquum in r Quoniam enim eirculus FꝗqD, repræſen tat illũ in ſphęra, qui per tria puncta tribus punctis E, q. D, reſpandent ia dueitur, diſtant autẽ F, D, a polis R, E, in ſphe ra æqualiterzerit polus huius circuli in circulo maximo; qui per polũ Meridiani ED, & punctum medii arcus eiuſdem per rectam FD, repræſen tati ducitur, vt ad ſinem Lem matis 4. oſtendimus. Igitur per idem Lẽma dictus circulus FqD, ex Aequatore, & circulo maximo AFC G, arcus æquales abſcindet, quibus reſpondent arcus Bq, Gr. Quod ſi per eadẽ duo puncta, E, D,& punctũ Aequatoris b, grad. 30. a puncto B, diſtans de ſcribatur eirculus Fb, centrum habens in eadẽ perpendiculari T, ſecabitur maximus circulus AFC G, in f, puncto grad. 30. diſtante a puncto G. ID EM punctum f, reperietur hoc modo. Recta VX, ſecet DG, bi fariã,& ad angulos rectos,& per puncta D, G,& g· diſtans grad. 30. a puncto D, deſcribatur ex centro X, circulus Gg. Hic enim ſecabit AG C, in f. Nam rurſum, vt ad finem W 0 I. 405 nem Lemmatis 47. monſtratum eſt, circulus Gg. polos habet in circulo, qui ar cum DG, in ſphæra diui dit bifa riã,& ad angulos rectos. Igitur per idem Lemö ma auferet ex DC, GC, arcus æquales Pg, Gf. 5 RVRSVS idẽ pũctũ f, inueniemus hac ratione. Sumã tur duo arcus CI, Sp, qua ö les, ducãturqʒ radij Al, Ap, vt habeã tur puncta n. m, æqua liter diſtãtia à polis E, R. cũ ſegmenta En, Rm, arcubus æ qualibus Cl, Sp, reſpõdebant. Si. n. accipiatur arcus Bb, grad. zo. in Acqua tore,& per tria pũcta m. b. n, circulus mbn, deſcriba. tur habens centrũ t, in retta k. Z, ſecante mn, bifariã,& ad angulos rectos, ſecabi tur C&, in f. puncto, quod ipſi b. reſpondebit, vt ex Lemmate 4. per ſpicuum eſt, PRAETEREA ſi per tria puncta B, b, G, circulus BbG, deſcribatur centrum u, habens in perpendiculari i V, ſecante BG, bifariam, ſecabitur CG in eodem puncto f: propterea quod puncta quoque B, G, æqualiter a polis R, E, diſtant. C enim EB, RG, quadrantes ſint ex polis ad circulos max imos ductizablato communi arcu RE, reliqui arcus RB, EG, æquales erunt. AT QE in hunc modum, ſi alia, atque alia puncta ſumantur a polis R, E, æque remota,& per bina, atque punctum b, datum circuli deſcribantur, reperie tur idem punctum f. plurĩbus vijs. Poſſunt quoque aſſumi ipſimet poli R,. E, pro punctis. ſi eorum diſtantia non ſit nimis exigua. S1 C etiam, ſi per puncta F, B,& punctũ b. diſtans grad. 30. a puncto B, circujus deſcribatur Bb, centrũ habens P, in recta QP, perpendiculari ad FB, ſecante ipſam FB, bifaria, reperietur punctum N. puncto b. reſpondens. Nam vt ad finem Lemmatis 37. monſtratum eſt, circulus FEBbN, polos habet in maximo circulo, qui arcum FB, in ſphæra diuidit bifariam,& ad angulos rectos, ac proinde per C,& A, polos circuli EBD, tranſit Igitur ex eodem Lemmate auferet circulus Fb, ex circulis BC, FC, arcus æquales Bb, EN. ITAQVE ut per duo puncta a polis R, E, æqualiter remota inueniatur in ſe micitculo AG, punctũ quotcumq; gradibus a puncto G. diſtans, ſumendum eſt in Aequatoris ſemicitculo ABC, punctum re ſpondens: at vero in ſemieireulo ADC, punctũ dandũ eſt, vt punctũ reſpõdens in ſemicirculo AFC, reperiatur. Si autẽ per duo pũcta D, G. inueniẽ dũ ſit quodlibet punctũ in ſemicirculo AG, accipiendũ eſt punctũ re ſpõdens in ſemicirculo Acquatoris ADC. Si deniq, per duo puncta, E, B, reperiendum lit punctũ in ſemicirculo AFC, ſumendum eſt pun ctum reſpondens in ſemicirculo ABC. Quæ omnia ex Lemmate 4. eliciunturꝭ& obſeruata ſunt hic in punctis inueſtigandis. Nã ex pũcto g.& punctis n, m, æqua liter ab E,& R, diſtantibus inueſtigatum eſt punctum N, per circulum gu m. Itẽ ex puncto b,& punctis E, B, per circulum FB;bN, idem punctũ N, jinuentũ eſt. E A D E M ratio ſeruanda eſt in circulis non maximis, ſi dato circulo non maximo deſcribatur parallelus Aequatoris equalis, tantum a polo boreali diſtans, quantum ille a ſuo polo ſuperiore recedit, qui iutra Aequatorem exiſtit. Vt ſi lit HIK L, parallelus obliquus, cuius polus R,& parallelus Aequatoris borealis illi æqualis a e MO: inuenietur puncto M, reſpondens punctum I, per cireulum FM P, vel per circulum Mn mi, ex centro h, vehM G BI, ex centro QVYVOꝰ ſi circulus non maximus obliquus propius abſit a polo ſuo inſerio W a ſuperiore, ſiquidem per eius polum ſuperiorem diuidens circulus deſeribendus ſit,& per polum borealem, deſcribendus erit parallelus Aequatoris auſtralis illi æqualis;(quia hac ratione ambo cieculi a ſuis polis, per quos circu lus diuidens deſeribendus eſt, æquales habebunt diſtantias) ac recta inter polum borealem,& polum ſuperiorem obliqui circuli, vel recta inter duo pundcta qualiter ab illis diſtantia, diuidenda bifariams, vt in per pendiculari ex eo puncto medio ELA medio ducta centrum inueniatur circuli per duos illos polos, vel duo illa pun406 cta, deſcribendi,&c. Si vero polus circuli obliqui in fer ior aſſumatur; deſcribendus exit parallelus- Acquatoris borealis illi æqualis;(quia hoc poſito, ambo circuli a ſuis polis, per quos eirculus diuidens deſcribendus eſt, æqualiter diſta- 6 bunt)& recta inter polum borealem,& polum inferiorem circuli obliqui, velre- g — 0 cta inter duo puncta ab illis æqualiter diſtantia, ſecanda bifariam,&c. Et fi in f ö maximis circulis recta inter polum boreum,& inferiorem circuli obliqui ſece- b tur bifariam, abſeindentur ex Aequatore,& obliquo circulo partes aqua les eo a ordine, quem ſeruandum eſle diximus, quando primo modo ex polo ſuperio- ä re diuiſio circuli obliqui inſtituitur, non autem eo, quem in Lemmate 47. præ- ö ſeripſimus, hoc eſt, a punctis E, B, vel D, G, initium ſumere debent arcus abſciſsi a in Aequatore,& maximo circulo obliquo, non autem a punctis E, D, vel B, G. Eodem pacto in non maximis, quando parallelus obliquus polum inferiorem a ambit, arcus abſciſsi inchoandi ſunt in eo,& in parallelo Aequatoris auſtrali& 5 æ quali, a punctis ſuperioribus, inferioribusue,& circulus deferibendus per po- a lum ſuperiorem,& borealem, ita vt curuaturæ arcuum abſciſſorum eodem or- N dine ptogrediantur, hoc eſt, vel ſurſum, vel deorſum tendant. V autem experimento quoque diſcas, recte hoc modo puncta propoſita in circulis obliquis reperiri, inuenimus pupctum N, ex polo ſuperiore per rectam RN& punctum f, per rectam Rfgʒ& punctum r, per rectam Rrſ. f IAM vero quoniam C, A5 poli ſunt circuli maximi per polos mundi,& per polos cir culorũ obliquorũAFCG, H IKL, ducti, quẽ recta FD, repræſentatz ſi circa alterum ipſorum, vt circa C, deſeriba tur per datum punctum b, in Acquatore parallelus circuli FEED, vt propoſitione 18. Num. 5. docebitur, cuius cen trũ eſt in recta AC, vt ex pro poſ. i. patebit, ſecabitur obli quus circulus AEC G, in N, puncto, quod puncto b, reſpõdet, vt ex eodem Lemmate 47. perſpicuũ eſt. Si vero eirca polum A, per datum punctum M. in para llelo Aequatoris eodem modo parallelus deſcribatur, ſecabitur parallelus obliquus in reſpondente puncto I. Immo ſi arcus FB, bifariam ſecetur in a, vt propoſ. 5. Num. 18. traditum eſt,& per A,, C, circulus maximus deſcribatur Ax C,& circa quodlibet eius pũ ctum g. vel V, per datum punctum b, vel g. in Aequatore parallelus deſcribatur illius circuli maximi, cuius g, vel, polus eſt, vt in propoſ.i 8. Nun. 6. præcipiemus, ſecabit prior parallelus circulum maximum obliquum in N; poſterior Nee d i. 407 tor vero eundem in ff, ſecabit, vt ex eodem Lemmate 47, liquet. Sic et iam ſi ar cus ER, inter polum paralleli Aequatoris,& polum paralleli obliqui poſitus ſecetur bifariam in e, per ea, quæ propoſ.5. Num. 1 8. ſcripſimus,& per Aße, C, mavimus circulus deſcribaturzac circa quodlibet eius punctum per doctrinam propoſi. I 8. per datum punctum M, in parallelo Aequatoris parallelus deſeribatur, ſecabitur parallelus obliquus in I. puncto, quod ipſi M, reſpondet. Sed prior via per parallelos circa polos O, A, deſcriptos. præſtantior eſt, tum quia paralleli circa illos per datum punctum facilius deſeribuntur, eum int paralleli ſphæræ rectæ, quam circa alios polos, vt propoſ. g. Num. 5. tradetur, tum et iam quia pa ralleli, quorum poli ſunt A,& C. reſecant binos arcus ex maximo quouis circulo obliquo, eiuſqʒ parallelis reſpondentes arcui dato in Aequatore, vel eius parallelo. Vt parallelus per punctum b, deſcriptus ſecabit obliquum circulum maximum in N,& f, eruntqʒ; arcus FEN, Gf, arcui Bb, vel Dg. æquales. Exemplum huius rei reperies propoſ. 8. Num. f. Huc accedit, quod in hac ratione non eſt neceſſe, vt eirculi non maximi habeant polos in elrculo maximo ED, æqualiter a circulo maximo medio, vt in Lemmate 47. dictum eſt, diſtantes, aut in determinatis locis, ſed ſatis eſt, vt reſpondeant in ſphæra circulis æqualibus, ſiue parallelus Aequatoris auſtralis ſit, ſiue borealis, vbicunque circulus non maximus obliquus polos in cireulo PD, habeat: ita vt in figura Lemmatis 47. parallelus circa polum B, deſcriptus tam ex infinitis cireulis maximis per B, ductis, quam ex infinitis circulis non maximis æqualibus polos in circulo maximo ADC, ha bentibus areus æquales ſimul abſcindat. Idem continget in figura paulo ante propoſita. Nam ſi circa C, vel A, paralle lus maximi circuli FED, deſcribatur, vt propoſ. i 8. Num. 5. docebimus, abſcindet is ex circulis, quorum centra in recta FED, exiſtunt, ac proinde& qui polos in eadem recta habẽt, ſiue maximi illi ſint, ſiue non maximi, binos arcus æquales, reſpondentes illi arcui Aequatoris, vel pa ralleli Aequatoris. per cuius extremum parallelus circa polum C, vel A, de ſcriptus eſt, dummodo parallelus Aequatoris æqualis ſit circulo non maximo, ex quo abſcindendi arcus proponuntur, non ſecus, ac in ſphæra contingit. Atque hæc ratio ſolum incommoda eſt, quando punctum datum in Aequatore, vel eius parallelo parum diſtat a recta FED, quod tunc parallelus per illud de ſcribendus, ſit nimis amplus, ita vt ægre eius centrum in recta AC, haberi poſsit. 7. AD extremum licebit nobis quemlibet parallelum abliquum partir in gradus modo illo pulcherrimo, quem in præcedenti propoſ. Num. 36. in circulis maximis expoſuimus. Sit enim Aequator ABCD, circa centrum E, circulus maximus A FCG, cuius diameter vera ik,& axis Lęs eiuſdem parallelus in Aſtrolabio Pg, cuius diameter vera IN, occurrens meridianæ lineæ in S, puncto, per quod ducatur Sp, ad ED, perpendicularis, quæ cõmunis ſectio erit plani Aequatoris,& plani paralleli in ſphære. Quoniam enim tam Aequator, quam pa rallelus ad proprium Meridianum rectus eſt. quod Meridianus per vtriuſque po los tranſeat: berit quoque eorum communis ſectio ad eundem recta, ac proinde ex defin. 3. lib. I. Eucl id. ad rectam FED, in Meridiano exiſtentem, perpendicularis in puncto 8, vbi parallelus plano Aequatoris occurrit. Perpendicularis ergo Sp, communis ſectio eſt paralleli,& Aequatoris. Rectæ deinde SM, abſeindatur æqualis S T, ſiue deor ſum, ſiue ſurſum verſus,& ex T, circulus deſeribatur VXZ V, ad interuallũ ſemidiametri paralleli MN, vel MI, qui parallelo in ſphæra æqualis erit: atque adeo ſi circulus ABCD, pro Meridiano proprio paralleli accipiatur, concipiaturque ad Aequatorem, ſiue ad planum Aſtrolabij rectus, ae denique planum, in quo circulus VXZ V, circa Sp, circumducatur, congruet hic Præ ſlantiſsiĩma via ad inueniendum datum pun ctum iu circulo quouis obliquo per parallelum in ſphæra rect a Alia ratio pulcherrima diuidẽ di quemuis paral lelum in gradus. a 1. 1. Theo. b. vndec. 9 Que puncta paralleli veti quibus punctis paralleli vifiſe parant. Bima puncta pacalleli obliquiad diuiſtonem aptiſ ſima, quæ ſint.· 408 E N 5 hic circulus cum parallelo in ſphæra Si igitur ex punctis VX, Z, V, atque etiam ex centto T, aut ex quocunque alio puncto plani, in quo ipſe circulus exiſtit, li neæ rectæ per quæcumque puncta circumferentiæ educantur, ſecabitur 9 nis ſect io Sp, in eiſdem punctis, in quibus ſeca retur, ſi ex reſpondentibus b is paralleli in propria poſitione emitterentur rectæ per eadem puncts circum 1 tiæ paralleli. Reſpondet autem punctum X. puncto P, in diameti o viſa(quæ 2 betut, ſi ex i, centro Verticalis proprij, quod exhibe tur per rectam A. ad S. pe rpendicularem in a, Verticalis pet polum K. deſeribatur ſecans baralle lum in P, Q, Recta enim PQ, erit diameter viſa,& R.centrum 1 8 nitur per radium Mad N, centrum verum ductum.)& V, ipſi Qz& V, puns og. & Z, ipſi a. nimirum ſiniſtrum ſiniſtro. dexttum dextro, remotius à communi ſectione Sp. remotiori, propinquius propinquiori,& 7 0 f EX quolibet ergo horum punctorum paralleli 1 Tine 7 elum e dus partiemur, ſi ex pundo reſpondente in paralle n 1 1 in circumferentia rectam ducamus,& der eius dec 5 ee dente puncto in parallelo viſo rectam emittamus. 5 5* 8 puacto V, per datum punctũ n, recta ducatur, ſecans Sp, in u, dabit recta gj u, punctum r, quæſitum, quod puncto n, reſpondet: proptetea quod recta Vnu, proijcitur in rectam gru, cum purctum V, in g,& u. in u, appareat. Sic ſi ex pun cto Z. per n, recta ducatur ſecans Sp, in, dabit recta. idem punctum r. Rurſus ducta ex X, per n, recta ſecante Sp. in p, tranſibit per idẽ punctũ r, recta Pp. Itẽ ducta recta Va, ſecante Sp, in t, reperietur idem punctum r, per Qt, rectam. Sed commodiſsime res peragetur per rectas ex punctis V,& Z, emiſſas, ex V. quidem per gradus ſemicirculi XZ V, at vero ex Z, per gradus ſemicirculi XV V: Ita enim puncta inter ſectionum in recta Sp, non procul aberunt a puncto 8: Et per rectas ex V, emiſſas reperientur puncta in arcu PO. pun ctis ſemicirculi XZ V, reſpondentia, ſi ex g, rectæ egrediantur per inter ſectionum puncta in recta Sp, a rectis ex V, emiſsis factazper rectas vero ex Z. egredien tes, inuenientur puncta in arcu PSO, punctis ſemic icculi XV X, reſpondentia, i ex, per interſectiones in recta Sp, à rectis ex Z, eductis factas rectæ 01 clan kur 5 SI recta ex centro I, per datum punctum n, educta commode nectam Sp, interſe care poteſt, qualis eſt recta Tn, ſecans Sp. in q. ollende mus ber recta m Na. ex centro viſo eiectam per q. bina puncta r, e, quorum illud puncto n ede ero punct VI. 409 ro puncto 3. per diametrum oppoſito reſpondet. VICISSI M ex dato quolibet puncto in parallelo viſo, reperiemus in vero gradum, cui reſpondet, ſi ex æliquo punctorũ, P, f, Q, R, in parallelo viſo per datum punctum rectam ducamus ſecantem Sp, in aliquo puncto. Recta enim ex puncto paralleli veri, quod aſſumpto puncto reſpondet, ad punctum ſcctionis emiſſa, tranſibit per verum punctum reſpondens. Vt quia recta q r, ſecat Sp, in u, dabit recta Vu, punctum n, reſpondens, ita ut arcus& r, Zn, æquales numero gradus complectantur. NON diſsimili ratione, ſi detur in plano cuiuſuis paralleli obliqui pũctum, reperiemus eius fitum in Aſtrolabio, id eſt, locum, vbi in eodem parallelo viſo appareat ex auſtrali polo conſpectum. Sit namque datum punctum bb, quod ſeilicet concipiatur in ſphæra talem poſitionem habere in plano paralleli diametri LN, qualem reſpectu circuli VXZ V, obtinet, hoc eſt, exiſtat iuxta quadrantem oriẽtalem, atque àuſtralem, extra circulum. Nam ſi parallelus VXZ V,. habeat proprium ſitum; quadrans XZ, orientalis eſt,& auſtralis,& XV, orientalis, borealisque,& c, Ductis ergo ex quibuſcunque duobus punctis, vt ex T, V, per datum punctum bb, rectis ſecantibus communem ſectionem in punctis 3. 7 ducantur ad z, 7, ex reſpondentibus punctis R, g, rectæ R 7. vbi enim hæ ſe interſecant in puncto 2, ibmerit viſus locus dati puncti bb: propterea quod rectæ T3, V/, per datum punctum bb, tranſeuntes proijciuntut in rectas R;, g, vt ex ijs, quæ diximus, perſpicuum eſt. EX CIPIEN D A autem ſunt puncta in communi ſectione paralleli obliqui,& plani, quod per polum auſtralem Aequatori ducitur parallelum, exiſtentia. Hęc etenim nulla poſſunt habe re puncta viſa re ſpondentia in Aſtrolabio; cum tota illa communis ſectio in Aſtrolabio euaneſcat, nullu eius pun92 95 ctum in Aſtrolabij plano appareat: quippe cum omnes radij viſuales in plano illo parallelo exiſtentes,& per puncta dictæ ſectionis communis traiecti plano Aſtrolabij, Aequatorisve æquidiſtent. Exempli cauſa. Si ducatur ex A, polo au ſtrali recta Al, ad AC, perpendicularis, vel plano Aequatoris parallela; occurret planum per Al, ductum Aequatori parallelum plano paralleli per Il, ducti in l. facietq; communem ſectionem per I, ad Il, perpendicularem. Siigitur rectæ Sl, a quæ ſemper ſemidiametro Verticalis Af, æqualis eſt, ob parallelogram— mum As, abſcindatur æqualis SG,(abſeindenda autem eſt infra S, f parallelus verus eſt ſupra 8, ſupra verò, ſi infra. Ita enim punctum G, puncto l, reſpondens, veram diſtantiam a vero parallelo habebit, vt conſtat, ſi ſitus paralleli veri recte concipiatur,& planum Aſtrolabij circa Sp, circumducatut᷑, donec cum recta Il, in plano proprij Meridiani exiſtente congruat) ducenda erit dicta communis ſectio per G,(caſu verò accidit, vt recta 58„ rectæ Sl, ſit æ. qualis) ad FG, perpendicularis Itaque ſi quis tentet puncto G, reperite pundum viſum reſpondens, ducendo ex G, ad punctum n, rectam ſecantem 8p„in , inueniet rectam ex f. per punctum r, reſpondens puncto n, ductam, par lam eſſe rectæ EG: idemqʒ experietur in alijs rectis; ita vt rectę per inter ſectionum puncta in Sp, inuenta ductæ ad puncta viſa reſpondentia punctis veris, ad quæ ex G, rectæ ductæ ſunt, nullo modo ſeſe interſecent, vt punctum viſum in earum interſectione haberi poſsit. Eodem modo, ſi quꝭs velit cuiuis alij puncto in recta perpendiculari ad FG, per. G, ducta, inueſtigare punctum viſum reſpondens, reperiet alias rectas inter ſe parallelas per inter ſectionum puncta in recta Sp, ductas, licet ipſi EG, non æqui diſtent,&c. ID EM cernere licet in maximis circulis obliquis, vt in pręcedenti propoſ. F ff Num. 30. U bli vero ſuucfi-; labio inquitere. Qu puncta veo paral a 34 Primi. 234. frimi. ex punctz veta in ocir culo ſphæræ beant puncta vifa reſpondentiain Aſtrolabio. b vundec. 410 ETF Num. 36. dictum eſt. Nam cum planum Aequatori parallelum per recta m Al, du ctum occurrat plano circuli maximi in m, ſi rectæ Em,( quæ pei petuo etiam ſemidirmetro Verticalis Ah, æqualis eſt ob parallelogrammum Ak,)æqualis ab ſeindatur E b, ducenda erit prædicta communis ſectio plani eirculi obliqui,& plani illius paralleli per b. Si igitur quis velit puncto b, exhibere punctum viſum reſpondens, ducendo ex b, per aliquod punctum obliqui circuli veri, vt pet O, rectam, quæ ſecet AC, in ez erit recta per e, ad e, punctum reſpondens in viſo circulo nbliquo ducta, parallela ipſi EG. Atqʒ ita aliæ quoqʒ rectæ parallelæ inuenientur eidẽ EG. Quare hæ lineę apparentes nullo modo ſeſe interſecabũt, vt punctum viſum habeatur. Ex alijs punctis communis ſectionis prædictæ per b, du ctæ inuenientur aliæ rect inter ſe parallelæ, quauis ipſi EG, nõ æquidiſtent. Ve1 rectas ex punctis huiuſce cõis ſectionis ad quæuis puncta circuli obliqui veri ductas proiici in Iineas parallelas, planius fiet ex iis, quæ mox de monſtrabimus. 81 T ergo propoſitum ci culum maximum obliquũ in gradus partiri ex vero puncto d, quod ipſi m, re ſpondet,& parallelum obliquum ex vero puncto G, quod ipſi!, reſpondet: quod quidem fiet per lineas parallelas hoc modo. Ex b, per datũ quodcunq. pũctũ O, in circulo vero obliquo ducatur recta ſecans AC, cõmunem ſectionem obliqui cir culi,& plani Aſtrolabij, Ae quatoriſue, in e,& per e, ipſi FG, parallela agatur e c, ſecans obliquum circulum visũ in c, pũcto, quod dico puncto dato O, reſpondere. Nam ſi per rectam Al, in plano, quod Aequatori æquidiſtat, exiſten tem,& per b, tranſeuntem in proprio ſitu, planum eircumducatur, v faciet illud in plano Aequatoris, Aſtrolabijue, rectas ipſi Al, parallelas, ita vtplanũ illud cireumductũ proijeia tur in lineas ipſi Al. atq. ideo& inter ſe parallelas. Igitur cum planũ per Al.,& bO, ductũ occurrat ipſi AC, cõmuni ſectioni Aequatoris,& circuli obliqui in e apparebit tranſ re per parallelã ec, ac proinde eum duc atur per O. apparebit punctũ O, in c. cd in illa parallela appareat. Vbi vides rectã ex polo K, per O, ductam cadere in idẽ pũctum c, vt res poſtulat, quemadmodũ propoſ. 5. Num. 17. demonſtratum eſt. Ea dem autem parallela e c, indicat alia ex parte aliud punctum f, quod puncto 7 0 reſpondet, quod etiam indicatur per rectam Kd. Rur ſus ſi ex b, per L, polum verum obliqui circuli recta ducatur ſecans AC, in g. dabit parallela g h punctum h, ipſi L, reſpondens, in quod etiam cadit recta KL: eſtq. punctum ꝑ, in extremo diametri Horizontis h A, ad FG, perpendicularis: ita vt arcus hC, arcuilC, re ſpondeat: quod etiã in ſe hol. prop. 5. ad finẽ Nu. I 4. de monſtrauimus. Recta pot 0 bL, tangit circulum ABCD, in polo L, aufertꝗ rectam Eg, ſemidiametro Ho rixontis — S. rirontis apparentis æqualem. Quoniam enim duo latera bE, EL, trianguli bEL, duobus lateribus mE, EA, trianguli mA, æqualia ſunt, anguloſq continent a 27. tertij. æquales, quod arcus Ai, BL, metientes altitudinem poli ſupra circulũ obliquũ æquales ſintʒb erunt quoq. anguli bLE, mAE, æqua les. Cũ ergo mE, ſit rectus, b 4. prim. f erit quoq. b LE, rectus, ideoq. ex coroll. prop. 16. lib. 3. Eucl bL, c irculũ tanget in L. Aufefti autẽ rectã Eg, æqualem ſemidiametri Horizontis Hh, per ſpicuum c 34. Primi. eſt, pꝛopter parallelogrammum gIH. v1 411 SIT rurſus puncto n, vero paralleli aſsignandũ punctũ viſum. Ducatur ex G, parallelum ebli puncto vero, quod ipſi V reſpõdet, recta Gn, ſecãs cõmunẽ ſectionẽ Sp, in ſ. Nã 1 recta fr, ipſi EC, parallela offeret punctũ re ſpondẽs r, quod eodẽ modo demonſtrabitur. Nã ſi per rectã Al in plano, quod Aequatori æquidiſtat,& in polo au flrali A, ſphærã tãgit exiſtẽtẽ,& per G tranſeuntem in proprio ſitu planũ circuũ ducatur, i faciet illud in plano Aſtrolabij, Aequatoriſue rectas ipſi Al. paralle- dt. vndec. las, in quas planum illud circumductum proijeitur. Cum ergo planum pes Al,& Gn, ductum occurrat ipſi Sp, communi ſectioni plani Aequatoris,& paralleli in f, conſpicietur tranſire per parallelam ſrʒ ac proinde cum ducatur per n, apparebit punctum n in t, cum im illa parallela, in quã recta Gn, proijcitur apparat. DENIQVE quemuis maximũ circulũ obliquũ, eiuſq. parallelos diſtribuemus cirenlo bl. in gradus per lineas rectas, quæ per corũ centra viſa tranſeunt, quarum ſingulæ„ exhibeant bina pũcta oppoſita per diametrũ, hoc modo. Sumatur arcui Ag, æ- paralleles in 678 qualis arcus g, ducaturq. recta Ax, ſecãs ED, in j, cẽtro Verticalis primarij. vt 33 Prop. 5. Nu. 3.& 4 oſtẽdimuszatq. per 9, extẽdatur 0, ad FD, perpẽdicularis re- um centra vil ferens para llelũ maximi circuli obliqui dati, qui per polũ auſtralem ducitur, vt dds. ſupta Nu g. demõſtr. Dcſeripto aũt ex K. polo viſo, circulo cuiuſuis magnitudinis q Nos Aequatori æqualẽ deſcripſimus, vt facilius Acquatoris gradus im il lu poſsint trãsferri)ducãtur per eius gradus ex K, rectæ ſecãtes rectã 9, in pun ctis. Si. n. per hæc ſectionũ pũcta,& tã per cẽ trũ visũ maximi circuli, hoc eſt, per E, quã per Rcenttũ paralleli visũ rectæ ducantur, diuiſus erit v terq. circulus in gradus. V. g. ſi arcui IO inueniẽdus ſit reſpondens arcus in circulo ↄbliquo viſo ſiue maximo, ſiue nõ maximo, ſed eius parallelo, acci piatur ar cui BO, ſi in eo ſe micirculo datur, in quo polus K, exiſtit, in parte oppoſita ſimilis arcus, vel æqualis. ſi eirculus 4s deſeriptus eſt æqualis Aequatori( qñ arcus Aequatoris da tus eſt in altero ſemicirculo, in quo polꝰ K, nõ eſt, accipiẽdus eſt arcus ſimilis, vel æqualis in deſcripto circulo Oe, ex eadẽ parte) ducaturꝗ. recta Ke, ſecans hn, in 9 Recta n. NE, per E, cẽtrũ Aſtrolabli, ꝙ ẽt apparens eſt, ſeu visũ oim circulorũ ma ximorũ, emifla abſcindet duos arcus oppolitos, ipſi BO, æquales in nu. grad. quorũ vnus eſt Fe. Similiter recta ex A, per R, centtũ visũ paralleli 2 PQ, tra 8 iecta auferet duos arcus oppoſitos tot graduũ, quot in BO, cõprehẽdũ tur. Idẽꝗ. efficiet recta ex A, per cẽtrũ visũ cuiuſuis alterius paralleli, cuius polus Kemi ſa. Quod in hũc modũ demõſtrabimus. Cũ K, ipſi Aq, ſit æqualis, ꝙ ambæ ſint ſemidiametri Verticalis primarij obliqui circuli, ſi triãgulũ AE), cõcipiatur mo ueri circa Eh, deorsũ, verſus polũ auſtralẽ, donee ad planũ Aſtrolabii rectũ ſit, hoc eſt, ad Meridianũ propriũ perueniat, ac proinde punctũ A polo auſtrali con gruatz intelligatur autem circa rectã A, moueri quoque deor sum recta KH, cũ plano circuli q e, donec ad rectã Ad, per polum auſtralem trãſeũtem perue niat, cadet K, in polũ A,& plauum circuli ꝙ e, parallelum erit circulo obliquo. Quia uero duo plana per rectas K 9, KN, in plano illo paralleſo,& per E, centrum mundi ducta,. fac iunt in circulo obliquo ſphæræ rectas ipſis K., K, paralle las zu erit angulus, quem he parallele in centro ob liquo circuli faciunt, æqualis f. o. xudec. angulo KA, g ac pr opterea arcus obliqui circuli abſciſſus ſimilis erit areus dg. 8 2% tertij. ie 2 Cum e. vndec. Alit via commo diſsima di cice ve extra diana m dato. me liueam 472 L I Cum ergo plana illa per propoſ. 1. proi jciantur in rectas EY, Ex, quod ambo per E, tranſeant,& per puncta h, à; intercipient rectæ EY, EN, arcus viſos re · ſpondentes arcui circuli obliqui, qui arcui, ſimilis eſt. Eademq; demonſtratio in parallelis adhibenda eſt, dummodo plana per rectas K%, K, ducta intelligantur tranſire per centra parallelorum in ſphæra,&c. AT QE hæc via præſtantiſsima eſt, quando plures pa ralleli obliqui in gradus diuidendi ſunt; cum per eam ex vno eodemq; puncto rectæ N, inuento, in omnibus parallelis bina puncta oppoſita reperiantur, ſi ex illo puncto inuento rectæ per centra viſa ducantur, vt dictum eſt. Solum ineommoda eſt, quando puncta in recta qu, nimis procul à puncto gj, abſunt: quia tune rectæ ex K. emiſle, nimis obliquè rectam h, interſecant, vt vix ea pundta ſine errore poſſint in ueniri. Quare tune alijs vijs vtendum erit, quæ videlicet eommodiores vide buntur. 38. NOL O etiam hoc loco præterire aliam quandam rationem quæ poſt omnes modos explicatos mihi occurrit, atque inter cæteras commodiſsima vide tur: quippe quæ ex quolibet puncto in communi ſectione circuli obliqui,& plani Aſtrolabij, Aequatoris ve extra meridianam lineam aſſumpto quodlibet punctum propoſitum in circulo exhibeat, ita vt pro ar bitrio accipere quis poſsit punctum, ex quo recta ad punctum datum in Aequato re, ſi de maximis circulis agatur, vel in parallelo vero, ſi in paralle lo obliquo punctum ſit inueniendum, emiſſa, commodiſsime propria meridianam lineam interſe cet. Sit igitur rurſum Aequator ABCD, cuius centrum E; obliquus circulus maximus AFC G, cuius vera diameter HI,& polus vi ſus i; diameter vera Verticalis proprij circuli obliqui gh; diameter vera paralleli eiuſdẽ circuli obliqui CK. & parallelus viſus Lt Eʒ parallelus deniqueiverus upſ, cum communi ſectione SX, vt in præcedenti ratione . Num. 3. dictum eſt. Sit au tem datum puactum K, primum in Aequatore, hoc eſt, in maximo circulo vero, cui reſpondens in obliquo circulo maximo inueſtigandum ſit. Ex quolibet puncto N. aſſumpto in com muni ſect ione AC, plani Aſtrolabij,& circuli obliqui in ſphæra,(commodiſsime autem aſſumetur in parte oppoſita dato puncto, vt in recta EA, etiam producta, quando datum punctum eſt in ſemicirculo BOP; at verò in recta EC, etiam producta, quando punctum in ſemicirculo BAD, datum eſt) ducatur ad datum punctum K, recta ſecans lineam meridianam in 1 . VI. 413 nam in aliquo puncto, quod nunc fit inter B,& L:& rectæ inter E,& punctum illud ſectionis abſeindatur ex vera diametro HI, recta æqualis Ec;& ex A, polo auſtrali radius per e, emiſſus ſecet EB, in M. Recta namque NM, cadet in punctum O, in quod nimirum recta ex i, polo per K, emiſſa cadit. Nam ſi citculus ABCD, cogitetur circa AC, circumduci, donec ad diametrum HI, in Meridiano proprio exiſtentem, conſtituto A, in polo auſtrali, perueniat, congruet punctum interſectionis rectæ NK,& rectæ EE, cum puncto c; adeo vt in ſphœra recta NK, ad punctum datum K, educta, ſecet diametrum in c, puncto, quod per radium AC, ex polo auſtrali A, inſpectum apparet in M. Recta ergo NK, proijeietur in rectam NM, ideoq́; incidet in O, punctum, dato puncto K, reſpondens, quemadmodum N, in datum punctum K, incidit. SIT eidem puncto K, inquirendum idem punctum reſpondens O, ex buncto A, aſſumpto in interſectione circumferentiæ Aequatoris cũ circumferentia circuli maximi obliqui. Ducta recta AK, ſecante EB, in L, ſumatur ipſi EL, æqualis Ed, vt d, punctum ſit in diametro vera, in quo recta AK, eam interſecat, ſi circuli in propria poſitione concipiantur. Apparebit punctum d, in P, per radium Adzac proinde eadem recta AP, in quæſitum punctum O, cadet. PR AE T E RE A idem punctum O, reperiendum ſit ex pũcto R. Ducta re cta RK, ſecante rectam EB, inter B,& V„ accipiatur recta inter hoc punctum ſe ctionis,& centrũ E, æqualis recta Eef eritq. e, punctum, in quo recta RK, veram diametrum Hl, ſecat, ſi circuli proprium ſitum habete intelligantur. Apparedit autem punctum e, per radium A e, in Q Recta ergo RQ, rectam RK, referet, ideoque per quęſitum punctum O, tranſibit. DENIQVE puncto Z, ex puncto V, inquirendum ſit punctum reſpondens q. Iuncta recta VZ, ſecante ED, in m, abſcindatur rectæ Em, æqualis Er, vt r, punctum habea tur, in quo recta VZ, diametrum H, ſecat; ſi omnia proprium habeant ſitum. Ducto autem radio Ar, apparebit punctum r. in o. Recta igitur Vo, punctum q, quæſitum indicabit, in quod etiam cadit recta i Z. DEIN E ſit datum punctum p, in parallelo vero, cui reſpondens inueniẽdum ſit in viſo. Ex quolibet puncto S. communis ſectionis S, aſſumpto(commo diſsimum quoque erit punctum in oppoſita parte acceptum) ducatur ad datum punctum p, recta ſecans EE, in b.& rectę Vb, æqualis abſcindatur Va„ex vera diametro: Ducto autem radio Aa, ſecante EB, in f, cadet iuncta St, in k, punctum reſpondens dato puncto p. Nam fi concipiatur eirculus up, circa SX, circumuer ti, donec ad diametrum Ve, proprium ſitum in Meridiano proprio habentem peruenlat, congruet punctum interſectionis b. puncto a; adeo vt in ſphæra, recta Spyad datum punctum p, ducta ſecet dia metrum paralleli in a, puncto. quod per radium Aa, inſpectum apparet in f. Recta ergo Sp, in rectam St, proijcietur,&c. Quod ſi daretur punctum ſ. inueniretur eodem modo reſpondens punctum t. S ED idem punctum k, reſpondens dato puncto p. inueniendum ſit ex aſſumto puncto X. Ducta recta Xp, ſecante Eꝶ, in Q, ſumatur recta VQ. æqualis VT; eritq. T, punctum, in quo recta xp, veram diametrum in propria poſitione ſecat, quod per radium A T, apparebit in n Recta igitur Xn, per quæſitum puntum k, tranſibit. Et ſi datum eſſet punctum u, reperiretur eodem modo puctum L reſpondens. CON VERS O ordine inueſtigabimus dato puucto in cireulo obliquo vi ſo reſpondens punctum in circulo vero. Nam ſi ex dato v. g. puncto q. in cireulo maximo ad quoduis punctum V, communis ſectionis recta ducatur ſecans pndum in eir. ED, in o,& radius iungatur Ao, ſecans veram diamettum in r, ſumemus rectæ cle obliqus weEr, æquaDato pan do in circulo ob! quo viſo reſpon dens co lauenme; Arens zqusbes pa 414 ILEů 1 Er, æqualem Em. Recta enim Vm, in quęſitum punctum Z, cadet. RVRSVS ſu ex dato puncto k, in parallelo ad quodlibet punctum 8, communis ſectionis recta ducatur ſecans EB, in f.& radius iungatur Af, ſecans ve ram diametrum in a, ſumemus rectæ Va, ęqualem Vb. Recta namque Sb, quæſi um punctum p, indicabit. NON aliter dato puncto in plano eirculi obliqui extra circum ferentiam; reſpondens punctum in Aſtrolabio reperiemus ex duobus punctis vtcumque in commun ſectione aſſumptis. Vt ſi punctum p, cogitetur eſſe in plano paralleli in ſphæra extra eius circumferentiam, ducemus ex duobus punctis 8, X, vtcumque aſſumptis per punctum p-. rectas ſecantes EF, in b, Q, rectiſque Vb, VQ. æquales abſcindemus Va, VT,& radios jungemus Aa, ſecantes EE, inf, n. Rectę enim Sf, Xn, per quæſi tum punctum x, tranſibunt. Viciſsim ſi in Aſtrolabio de ·tur pũctum k, extra circumferentiam paralleli viſi, inue niemus in plano paralleli ve ri punctum reſpondens p. ſi ex k, ad duo puncta 8, Xx, communis ſectionis duas rectas ducamus ſecantes EF, in f. n,& per f, n, radios emittamus ex A, ſecantes veram diametrum in a, T. Nã ſi rectis Va, VT. æqualet abſcindamus Vb, VQ, ſecabũt rectæ 8 b, X Q, ſe mutuo in vero puncto p, reſpondẽte. INTER omnes autem rationes diſtribuendi circulos Aſtrolabij tam maximos, quam eorum parallelos 4 in gradus expeditiſsima eſt prima, quam propoſ. 5. Num. 17.& hac propoſ. Num. 21. expoſurmus, quæ nimirum per lineas rectas ex polo circuli obliqui eductas perficitur: præſerrim ſi pro Aequatore, vel eius parallelo ipſemet circulus obliquus accipiatur, velalius circulus ex alio centro deſcribatur, vt Num. 25. huius propoſitionis traditum eſt. Immo ſi plures eiuſmodi circuli deſcribantur ſecundum aliam atque aliam proortionem,& ſinguli in gradus diſtribuantur, tranſibunt ſingulæ lineæ ex po5 circuli obliqui per plura puncta; ita vt in eis ducendis error committi non poſſe videatur. JCCJTVTTTVVT 7. EX priori porro parte primi modi, quo parallcli circulbrum obliguorum in gradus aiſtribuuntur, Jacile colligitur, arcus aquales cuiuslibet paralleli obliqui proij ci in arc P. Po dl. 415 in arcus inæquales, continuato ordine, initio ſacto a rectalinea, qua per centrum paralleli dutitur; quem admodum in cireulis etiam maximis obliquis contingere demonſtraui mus in ſcholio propoſitionis præcedentis Num. 12. Id quod demonſtraturos nos hoc loco recepimus propoſ. 3. Num. 3. In tertia ergo figura huius propo ſ. ſint tres arcus P, 68, SS aquales in parallelo Aequatoris O PSR,& ex K, polo paralleli obligui FG H, iutra Aequatorem content Aucantur tres recta K E, K 5, 1 x Q. ſecantes parallelum in. T, G. Reſfendebunt arcus F T. TG arcubus Pg, G8, S hoc eſt, tot gradus im illis, quot in his, continebintur, vt in hac propoſirione Num. 2 1. demonſir aui mas Qua vero per Lemma 33. arcus F, mair eſt arcu/ T,& hic maior are TG, alque ita deinceps, vſque ad ſinem ſemicirculi F H; liquido conſtat, arcus equales paralleli obliqui in ſphara proſci in aro eus inaguales in Aſtrolabium oradline continuato, cum is, Jui pundio F, propinquior 1 et zſem· 416 LI eſt, ſemper ſit remotiore maior, ſi æqualibus arcubus paralleli Aequatoris re11 ffondeant, vt in Lemmate 33. demonſtratum et. Itaque ſi parallelus obliquus 1 FOH, in g e. gr adus diſtribuatur, ut ſupra docuimus, decreſcent hi gradus continuo ab F, vſque ad I, in vtroque ſamicirculo FG H, Pal, ita vt gradus ſint maximi probe F, at iuxta H, minimi. Ex quo ft, arcus paralleli obliqui in Aſtrolabio non eſſe ſimi les arcubus reſpondentibus eiuſdlem paralleli in ſphara. 2. AD maiorem autem doctrinam libet hoc loco nonnulla alia demonſtrare, qua ad parallelos obliquos in Aſtrolabium proiectos ſpect ant, non inutilia,& qua ſtudioſis non ingrata fore confidimus. Ex his enim prater cætera, colligere licebit, quo pacto per datum punctum in Aſtrolabio deſcribi poſcit parallelus cuiuſcumqus circuli maximi obliqui, vt ex propoſ. v g. patebit. Item fieri poſſe, vt arcus aliquis paralleli obliqui quotuis graduum, qui pauciores ſint, quam 180. in Aſtrolabio ſimilis ſit alicui arcui eiuſß 8 o. 417 dem paralloli in ſphara reſpondenti: quod non facile quiſpiam fortaſſe crediderit, vt ad nem Num. g. dicemus. Id quod etiam de circulis maximis obliquis in ſcholio antete— 2 2— 7 2 dent is prop oſ. Num. 13. demonſtrauimus. Sit ergo Aequator A BCD, cuius centrum E, Aiuiſus à duabus diametris AC, BD, ad inui cem perpendicularibus in quatior qua— 0 7* 5 5 1 1 ＋ drantes; diam eter cuiuſuis paralleli obliqui F&, cuius poli H, I. aqualiter ab F,& G. diſtantes, c axis Izdiameter paralleli uiſa KT, inuenta per radios A F, A Gʒ parallelusin Aſtrolabio K MIN, ex cen tro O, eſcri ptusz eius diameter MN, ſecans KL, 7 ＋ 2 2 allangulos rectos; poli eiuſdem paralleli in A ſtrolabio, P, Q: reperti per radios AH, — 2— 0 0— 5 5 4% ber 60s eirculus maxim ii deſeriptus A rectus ad maximum circulum per Polos mundi,& polos circuli oli qui ductum, ſacientemq; in Aſtrolabio ſectionem BD, tranſiens per A, O, vt in ſcholio precedentis propoſ. Num. 1. demonſtrauimus; Diameter auſtralis paralleli Aequatoris ST, ſecan AC, inl,& diametro paralleli obliqiti FO, equalis, ita vt diſtantia A„EF, A polis A, Ha ſint æquales parallelus AequatoG g ric ipſe es va · orum obliqaotam Akrolabie. 2 27. tertij. c TA. tertij. d 10.. The. m 1 a ra · dem polam ducta. elt oris ita di 418 7 ris itſein Adrolabio deſcriptus VX, cuius ſemidiametrum EV, enhibet radius ATT. diameter borealis parallel: Aequatoris priori aqualis& A,& farallelus ipſe deſcri— ptus bde. Primum ergo demonſtrabimus, ita eſſe E, ſemidiametrum paralleli auſtralis ad E P, reqtam inter centrum eiuſdem paralleli,& polum circuli obliqui. vt eſt KO, a ſemidiameter paralleli obliqui ad OP, rectam inter eius centrum,& polum eue parallelus obliquus ambiat polum ſuperiorem, vt in prima figura huius Num. 2. ſiue ineriorem, vt in ſecunda fgura. Ducta enim recta AR, ad interſectionem diametri paralleli obliqui FG, cum eius axe H, fat angulo RAP. egutalis angulus PAO; 5 5 caderq; A0, in centrum paralleli O, fer ea, qua in hac propoſ. Num.. demonſtrare ſant. Ducta quoq; recta A H, ſecet FG, in j, S, in g. Nioniam igitun triangula AFG, AKL.„ſimilia ſent, ſed ſubconirariò poſita, vt proboſ 3. Num. de297 Kralum eſt; erit angulus AGE, angulo A K L, egualis: a Sunt autem& anguli us arcubus EG,; H, inſitentes, æquales. Igitur in trianGAP, KAP, qual gulis A G, AK Py reliqui etiam anguli 476, AK, equales erunt. Rurſus e aqualibus angulis G Ap, KAP, ablatis æqualibus RAP, OA, reliqui GAA, K AO, aquales ſunt: Cum ergo& anguli G, K, equales ſint g genſi, erunt in trianulis G AR, KA O, reliqui anguli quoque ARG, A0K. æguales. Item quia in triangulis AR, APO, tam anguli AFK, APO, vt ej adimus, aqitales ſunt, quam anguli RAF, OA, e congructione; erunt quoque re 24 anguli AIRV, AOP, aquales: quod etiam eæꝶ eo probari poteſt, quod eu duobus rectis reliqui ARG, AOK, oſtenſi ſint aquales. His demonſtratis, h; erit ut GR, ad RA, ita KO 4d4OA: Et v: 1— NA, ad Ry, ita OA, ad OP, Igitur ex aqualitate erit vt GR, ad ö Ry ita XO, ad OP. e Iam vero quoniam FG, ST, æquales, aquali, 8R, K O, ter à centro E, diſtant; æquales erunt per endiculares ER, ElRA, OA,(A axes enim EH, EA, ad parallelos diametrorum FG, ST. recti [R f, OP. unt, ac proinde& ad ipſass diametros perpendlicuil ares, e deſtn. 3. Jb. 11. Eucl.) quibus ſublatis ex ſemidiametris EH, EA, reliqu v — rede HR, Al. æquales erunt· quibus cum in triangulis HRV, Alg. adiaceant anguli æquales,(ſunt enim anguli ad R, I, recti,& angnli EH A, EAN, in lſoſcele A EH, aquales) f erunt quoque rectæ RH lg. æquales: Sunt autem c GR. Tl ſemiſſes æqualium FG, ST, æquales. Igitur erit, vt CR, ad Ry, hoc est, ut KO. ad OP,(Proxime enim oſtenſtam eſt, eſſe vt GR, ad Rfi ita KO, ad OP.) ita Tl. ad g. Cum ergo ex ſcholio hropoſ.. lib. C. Euel. ſit, vt Tl. ad Igsita I E, ad EP; eri quoque, vt KO, ad OP, ita TE, ad E P. quod erat demonſtradum. Atque Hec demonctratio cum ſequentibus locum habet, ſiue parallelus obliquus am biat polum ſuperiorem, vt in prima ſigura, ſiue inſeriorem, vt in ſecunda, vt perſpicuum eſt in ſiguris. E x hac demonſtrationè colligitur, ſemidiametrum VE, paralleli Aequatoris viſam ita ſecari a polo circuli obliqui P, viſo, ut ſamidia meter R, vera paralleli obliqui lis ſecta eſi in fi radio APH, ad H, polum verum obliqui circuli ducto: quia vi delicet oſtenſum eit, eſſe vt G R, hoc eſt, vt RF, ad Ry, ita KO, ad OP: Et vt KO,. 424 OP, ita I E, hoc eit, ita h E, ad E P,&c. Eademq; ratio eſt in alijs. 3 DN D E octendemus, rectam X P, productam cadere in N extremum dia metri M N, hoc eſt, tria puncta X, P, N, iacere in vna recta linea: quod etiam de tribus punctis q, P, M, Aicendum eſt. Item rect am Q b. ex polo oppoſito Q. per h. interſectionem circuli maximi APC. cum parallelo obliquo K M LN, ductam cadere in M, extremum alterum diametri MN: eodemque modo rectam Ar, productam cadere in N. Denique rectam ib, en in, centro maxim circuli APC Sad. interſectionem eiuſcdlem circuli mauimi cum parallelo obliquo eductam, tangere Parallelum obliguum in puncto h. Atque hoc poſtremum ſapra quogue in hac tropoſ. Num. 7.& g e. aliterauù 4 2. tertj. b e. ſexti. e g. Juinti. d 31. rertqj. e g I. tertij. f. primi. 8 29. primi. h F. primi. 40 E e 4uum hic, oſtendimus. Productam enim X P, ſecet MN, in N. Dico N, eſſe extremum fundtum diametri MN. Nam quia triangula E PX, ON, æquiangula ſunt, cum angulos ad E, O, habeant rectos,& angulos ad verticem P, equales; a ac tandem etiam angulos alternos X, N, æquales; b erit vt XE, hoc eſt, vt N E, ad E P, ita NO, ad OP: Vt autem VE, ad EP, ita oſtenſum eſt Num. teſſe KO, ad OP. Igitur erit ut N O, ad OP, ita KO, ad OP,; ac proinde NO, KO, æquales erunt, ideoque NO„ ſemidiamerer erit paralleli. Cadit ergo X P, in N, extremum diametri MN, hoc eſi, tria pundta X. Pd N, in vna recta linea iacent: Idemq; trobabitur de tribus punctis ꝗᷓ. P, M. quod eſt primum. AVIA vero, vt in Hac proßoſe6. Num. l. oſtenſum eit, recta PX, auferent ex parallelo Aequatoris quadrantem VX, aufert quoque em parallelo obliquo gquadrantem: auſert autem& circulus maximus A POD vna cum eo, quem repraſentat recta V. guadrantem, ita vt K h, GL, quadrantibus reſpondeant; tranſibit omnino N&, per punctum h, interſectionis maximi circuli AC ucum parallelo obliquo. Igitun angulus Ph in ſemicirculo rectus erit, ac proinde producta Q, ad M. angulus quoqus NM, rectus erit.e Cum ergo angulus maioris ſegmenti contentus arcis Kh,& recta HN, ſit recto maior, cadet M, producta intra circulum KL; ac proinde arcus, in quo rectus angulus NM, exiſtit, ſomicirculus erit, e ſcholio propoſ. 3. lib. 3. Euclid. Ideoꝗʒ cum ML N, ſemicirculus ſit, ſecabit Qh, producta circulum in M, puncto extremo diametri MN, vr rectus ille angulus in ſemicirculo exiſtere sit. Eadem ratione Vs pro ducta cadet in N. quod eſt ſecundum. DE NIE iundta recta Obs ¶ quonid anguli ON, ON, aquales ſunt: 5 Ei autem angulo ON h, æqualis quoque alternus angulus P E,& huic æqualis eſt angu lus Pg;(Nam cum triangula x E, PS, habeant angulum P, commuuem: N acagulos ad E,, rectos, vt oſtendimus, habebunt quoque angulos reliquos X. Q aqua les. erit quo que angulus P, eidem angulo ON, aqualis; ac proinde anguli ON. PO, inter ſe quoque æquales erunt. b Atꝗqui angulo BS, æqualis eſt angulus mh: in Lſoſcele hm Q. Igitur& anguli ON mh duales erunt ʒ addit oq communi an gulo ih N, toti anguli ſient aquales O m, NY Sed N nhoc ett, P Q. proxime oſtenſus eſt rectus. Igitur Ohm, rectus erit; ac propterea recta mh, parallelum obliquũ tanget, excoroll. pr op. 16 lib. 2. Euclid in h, interſectione maximi circuli APC cum parallelo obliquo K LN. Non aliter oſtendemus. ductam rectam mr, tangere eun dem parallelum in r. quod eſi tertium. 4. TE RTI O loco demonſtranda ſunt nonnulla de arcubus ſimilibus in vtroque par allelo KMLN, VxTr. Ducta igitur en polo P, ad K L, ferpendiculari Pn, ſecante pa rallelos in n, p. Dico arcum K n, arcui Lps ſimilem eſſe,& arcum Ex, arcui Up. 0 niam enim, vt Num. 2. oſtenſum eſizita est K O, ad OP, ur TE, ad EP; erit conuerte ny do, vt OP, ad K O, ita EP, ad YE;& componendo, vt KP. ad KO, ita TP, ad YE;& permutando, vt RP, ſenus verſiis arcus Kn, ad YP, ſinum verſum arcus YP, ita K O. aus ſottis ad M E, ſinum totum. Igitur per lemma x. arcus Kn, Tp. ſimiles ſunt: atqus I dcirco e ſæmicirculis reliqui Eu, Vp, per lemma 6. ſimiles quoque erunt. Hinc mani. feſtum est, nullam aliam rectam ex P, emiſſam prater perpendicularem Pnp, auſerre eodem ordine arcus ſtimiles. Nam ſi cadat in alterutram partè perpendicularis Pn, qus lis eſt Ph, ec ans parallelum Aequatoris in X, erit arcus K h, maior, quam vt ſimilis ſit arcui Ip, cum arcus Kn. oſtenſas ſit ſimilis arcui Tp. Multo ergo maior erit ar cus quam ut ſimilis ſit arcui TN, qui minor es arcu Fp. Quod ſi recta ex P, ducta calar in alteram partem perpendicularis Pn, oftendemus eodem modo, arcum parallel XML N, abſciſſum, eſſe minorem, quam vt ſemilis ſit arcui abſciſſo ex parallelo pH aum ille minor ncceſſario ſit, quam Kn, hic vero maior, quaus Ip. qui 1½%½ Kn, oſtenſus eſt ſimilis 422 LI XR A 1. ein ſimilic. Recta ergo ex P, educta auferens eo modo arcus ſimiles ex vtroque para llelo, ad K ZT, perpendicularis erit. NV RSV S deſertbatur parallelus Aequatoris b d e, priori Y, oppeſſtus& aqua lis ſecans A, in d. Dico rectam Q, quam productam oſtendimus tranſire per M, iran ſire quoque per punctii d, aut ¶ quod idem eſi)rectam l productam tranſire per h. Na v in hac propof. Num. 24. demotrauimus, recta Qds ex oppeſito polo paralleli obliqui aulfert ex parallelo obliquo arcum à puncto K, inchoatum, æqualem arcui o d, quod 7 7 5 7 ad numerum graduum attinet. Cum ergo e d, quadrans ſit, erit& ille quadrans. Quare com K h, quadr anti reſpondeat, vt paulo ante Num. g. ftendimus, incidet omnino re 1 2 7 2* 2 5* ct QA, in b, ut quadrantem h, auferat;&producta vlrerius, in punctum etiam 5 AA, cadet, in quod ostendimus cadere productam /. Itaque quatuor punctia Q 4,%, M, 10 vna rectalinea iacebunt: quod de quatuor etiam functis Qu hr, N, di guduum eſt. 2 0 DE ee l. 423 DESCRIPTO quoque circa rectam QE, f micirculo ſecante farallelum bde, in k, jungatur recta Ek, cui parallela agatur On, ſecans paral elum obliqutim in n. Dico rectam A, productam tranſire ßer n, tangereq; vtrumque parallelum in k,. enim oſtenſum ett paulo ante, rectam Qd, productam cadere in M; erit vt& a OM, Hoc eſt. ad On, ita QE, ad Ed, hoc eſt, ad Ek;& permutando, vt QO, ad On, ad Ek. Per ſcholium ergo propoſi. lib.. Eucl. recta Qk, per u, tranſibit; o eri an gulus M E, angulo Qn o, externus interno, equalis: e Cum ergo lle in ſemicirculo ren clus ſit; erit& hic rectus, ac propterea, e coroll. propoſii. lib. 3. Eucl. recta kn. vtrumque circulum tanget in k, n. quod eſt propoſitum. ER IT autem neceſſario fundium contacius n, illud, per quod tra nſit perpendictu laris P n p, hoc eſt, recta n b, ex puncto contactus ad polum P, ducta erit ad K L, perfendicularis. Producta enim Pn, uſque ad p,& Ek, uſq ue ad u; quoniam punct um uz Hoc eſt, arcus K n, inuenitur per rectam Pp, ex arcu V, paralleli Xx,& per reel am Vr, ex arc e k, paralleli b d e, vt in hac propoſid. Num 21.& 24. lemonſtratum eſt 3 erit arcus Vp, ſimilis arcui e k, cum vterque tot gradus continere debeat, in arcu Xx, continentur. Eſt autem arecui e k, ſimilis arcus I, ex ſeholio propoſ. 22. lib. 3. Euelid. Igitur& arcus Vp, arcui Tu, ſimilis erit, atque adeo æqualis, cums vterque in eodem exiſtat circulo. Addito ergo communi arcu p u, erit totus arcus V u, toti arcitii Ip, æqualis. Eſt autem ex ſcholio propoſ. 2. lib. 3. Euclid. arcus I, ar cui Xx, ſemilis, rerea quod propt er parallelas E u, O n, anguli ad centra K On, YE ernus& internus, æquales ſunt. Igitur c arcus Vp, eidè arcui Kn, ſimilis erit. C ergo adi n huius Num.. demonſtra tum ſit, ſolam perpendicularem eæ P, ad KL, ductam au ferre poſſe ſimiles arcus eo ordine ex vtroqus parallelozerit neceſſario Pnp, dictos ſimiles ar 0115 abſcindens, ad K L, perpendicularis, hoc eſt, recta O n, cadens in u, fungtues conta tus, cadit in extremum functum perpendicularis ꝓn, vſque ad paralli lumebliquum ductæʒ; atque adeo recta Ek, tangens parallelum Aequatoris b d e, in k, ranget frodudta parallelum obliquum in perpendiculari Pu. Hiuc it, rectmam er Q ductam, qua angat alterutrum parallelorum, tangere quoque alterum: quia a mn ef, rectam S, que ſola parallelum b de, tangit, cadere in u, ibiquè parallelum KML. tangere, c. 5. MART O loco oſtendendum eſt, rectam quamcumquè en Qs polo appoſito eductama ſiue ea tangat parallelos h d e, K M LN, ſiue ſecet, intercipere cum recta K, arcus ſimiles verſus enſdem partes, c. Deſcribantur enim ſcorſum(vt confuſio euitetur) paralleli cum polis,& centris parallelorum, vt in præcedenti prima figura, ducaturque primum recta Qkn, vtrumque parallelum tangens in k, n. Dito tam arcus e k, In, quam bk, Kn, ſimiles eſſe Ducta enim ex polo P, per n, recta pn, ſetante alterum Tarallelum in p, qua, vt proxime demonftrauimus Num. ꝶ. ad KL, perpenditularis eſtʒ erit arciis Pp, arcui Ln,& arcus Vp, arcii K u, ſimilis, per æa, quæ Num. i. demon rata ſunt: Eſt autem arcus Vp, artui ek, ſimilis, cum tor gradus in uno, quot in altero centineantur; quippe cum idem arcus K n, paralleli obliqui inueniatur per ipſos, beneficio rectarum Pp, Hk, vr in hac propoſ.. Num. 2 I.& E. ſtenſum eſt. Igitur c arcus ek, arcui Ln ſimilis erit ʒ ideoque& ex ſemicirculis reliqui arciis Wk, Rx, ſimiles erunt. JD EM hoc etiam modo confirmabitur. Quoniam Qu, vtrumęue paxalleſum tangit, e erung anguli QR E, QO, recti. Cum ergo angulus B Qu, communis ſit, crunt eli anguli E, O. in triangulis QE, QuoO, equales in centrisʒ atque idcirco, ex ſchho 10 prop. lib. 3. Euclid. arcus ek, Ln ſimiles erunt,&dc. DV CAT y R deinde recta/ ſecans parallelum obliquum in S,,& paralam Aequatoris b ke, in&,. Dico tam arcus KV, quam Lſie f,& quam Le c quam K, be,& quam ſy, gu, fimiles quoꝗue eſſe. Iunctis namque rectis Oi O2, EB. 4 prof S, teiig. d ag. rimi. 14. tertęt 424 E 1 5. tertij. 9 55 e gege quogtoe O, KE, a qua ad tangentem Qs perpendiculares ert, 1 7 mi. bac baren 8 2 a ef. atque ideirco triangula Qn, k, æquiangula eruni, 2 0. brimi. ci. gtili un 6 2. 75 1 5 0 29. primi. cum ang i 3 ba C O, E, internus,& externus, æquales, Q. communis. . ſexti. d 8 8 OO, ad On, hoc est, ad Oꝙy, ita QE, ad Ek, Hoc elt, ad Ex. Triangula 27 2 C 7 . 1* 8 ON. habent communem,& latera circa angulos O, E, 27. primi. proportionalia. Cum ergo reli: ö j ö Fro go vterquè reliquorum angulorum O E maior ſit recto . ſerti. angulo; ¶ Ille enim maior eſt recto n, hic vero maior redto k. Ig erunt 1h tria r ngula 7410 7 5n.„ æqualeſque abe bunt angulbs O, E, ad centra. Igitur en ſcholio propoſ. 22. nicirculis reliqui K. angi= 8 aquiangula, lib. 3. Euclid. arcus L e„ ſimiles erunt, ac proinde& eæ ſes ber, ſimiles erunt, ex lemmate C. Pari ratione, quoniam triangiil lum O ſehabent communem,& latera circa angulos O, E, proportion lia,& vtrumqʒ; ortm f recto zuinorem, ex coroll. 3 propo/. 7 7. lib. 7. Euclid. propterea 4 reliquorum angul pers, i 5d fur a baſes Iſeſtelium O Eger exiſtunt; a erunt quoque iſſatriangula aquian. feat. 8 æula, aqualeſque habebunt angulos QO. NEH; aeτ˙ue talcirco& en ducbus re9 dis reliquos OK, EC. Igitur e ſeholio propoſ. 22. lib. 3. Eucl. arcus K ſ Ig, ſimiles ſunt: quibus demptis t ex Rx, b, quos proxime ſimiles etiam oſtendimts, quam ex ſemicirculis KL, lgezerunt per lemma 6.& reliqui y. E,& Lſſe eg. ſimiles quod M propoſitum. OST REMO dudtis Oſ. Oꝙ, ex polo P, per ſiq ſecantibuss parallelum Aequavis i e, G. Dice arcus quoque e ꝙ f ſimiles eſſe, anguloſque a Pp. O Pp, aquales. Quia enim idem arcus K ij abſcinditur per rectam Pe,& per rectam Qa, erunt arcus I e, e c. ſimiles, ex his, qua in hac propoſ.6. Num. 21. aA. demonſtrata ſunt. Eodemqs modo 0 ſimiles erunt arcus T, Y, propterea quod idem arcus L, abſcinditur per rect as Pd, 25. Igitur ſi ex ſemicirculis VT, KL, demantur ſimiles arcus I e, e c, erunt reH 5h liqui 426 L. IBR 11. Liqui 1. ab, quoque ſamiles, ex Temmate 6. Ex quibus ſi rurſus ſimiles arcus Tdd, bg, gollantur; erunt eodem modo s, ger, ſemiles: Fuit autem arcui g, paulo aute in hob Nui. f. ſimilis etiam oſtenſus artus ſ. Igitur& arcus e, ſy, ſimiles erunt. quod eſt propoſittm. T AA E quia arcus T, bg, ſimiles ſunt modo oſtenſi, e pauilo ante arcui 585 oſtenſus ſuit ſimilis arcus R erunt arcus quoque 19%, K, ſimiles, idsoq; per ſcholium propoſ.2 2. lib. 3. Euclid. anguli ſo x, ꝙ Ex. ad centra æquales erunt; ac proinde e * * —— 0 1 5 ..= Auobus rectis reliqui ſi P, Q P, æquales erunt. Quia igitur triangula ſo P, NE P, angulos O, E, habent equales,& latera circa ies proportionalia,(oftenſum enim eſt ſ pra Num. 2 ita eſſe TE, hoc en, E, ad EP, vt KO, hoc eſt:.O, ad OP, aihſa æquiangu4 C ſtrti. Ia efunt, agualeſ; habebunt angulos bK, E, ac proinde& eæ rectis reliqui Ir. Pp, aquales erunt. E X 5 b„ O ο VI 427 niſtram, Vt in Nʒ ducta recta hy came Parallelun uutris in 0, bro huts Nu. arcus 94„N imi! les quoque; ac proind le e q. meml I 9 D Num. S. anguli h Pp, Pp, agquales eruut; 4e propteres 1 anguli Pp, b 2 X. Bis viciſsim eſſicitur, ſi ex p, emittantur dus rect æ PE, Pꝙ, conſtisuentes cum N perpendiculari Pp, vel cum reſta RI, angilos æqu- ales, arcus ab illis interceptas 2d„% 0 5 7 iles eſſe. Nam ducta recta N. cadet in ſi vt probabitu e de, 4 tuulo ante in z membro huiis Num z. arcus eq„e 17 e t. quhE:ů g N 9 Quo ſi dicatur rectam Q 2., productam caderè non in ſeſed vel ad d N ö 0 er ſe 5 erunt„bare Y totum: quod eſt ab ſurdum. Facilius ts Himdos, arcus ed, 1 ſimilis eſſe i duo anguli e Pp, d Pp, 44 zuales ſi PK, q P, hoc mo lo. Quoniam„%t ſitra in Hoc ſehhol 10 Num 555 7 endimus, fundium P, et lu„er quod tranſit recla connectens extremitates diametrorum, in paralle is XT, ul., a4 rect am 5 e ee ium, propterea i 1 6 in 2.&. z. 45 rA F. 0 g 5 1 rectæ X I product cadit in N, vt ibi de mos firatum e, el; erunt per lemma q; 4. arcus 20% n les. E X quo ud etiam eſficitur, recta per quæuis duo ducta 3 21 t. oper ber, 5 ſint: N aun v. g. recta 2. von tranſit per 2 2 ae e N: O4 vt prius,( arci 9457 5 enn 2 eſſe,& 4. gulos PR(„ 7 L, æquales. Igitu, N angu 1% PX* K, inter ſeaquales erunt, totum& pars. guet alſutννẽ“—. 1* ergo 8 293 700, Eademq. Jer Y, tranſire. 1 LIVE ex bis on nebus, eri poſſe, vt arciis aligis paralleli oblig n tur in Fe ſimilem in Aſltrolabio, ille, videlicet, qui arcus ed, werbt gratia, in ſphæra. aqualis est. Voniam enim ex I. mn auſtralen„0 rect as P 55.* 8 Pꝗ, duct a uferunt em parallelo obliquo in ſphera arcmm arcui ed;& gu lem, hoc eh, cum ſimilem. * 1 7 duo anguli P K, J P. ends erg 7 0 0 aſtend nes, 7101 treijcianate 259 plana er hol: arcui parallel Aequatoris, qui ipſi sq, ſimilis eſt; Eſi autem arcus S eren milis arcui paralleli obliqut Vin 46 rolabio: exit 9675 arcus ille paralloli oc n ſeha ra, qui quidem Fe cicge in arcum y. per dus illa plana per redtas P e, E4,& folum auſtralem ducta. ſemilis eidem arcui ſ y,& i ali arcus paralleli obliqui in diſtimiles arcus proijciantur,&c. Atque hac de proprigtatibus f arallelorum olliquorum, vnc, gamus. 6. PERSPICVYVV M el ex ijs, qua in hac prop 45 1150 ipſin A e in ſe- Parallelos eiu fd undo, c quarto modo deſcribendi par allelos obliquos 6 a 5 mi obliqui diuerſa centra ſorriri in A ſtrolabio, Nm: lineæ ex A, polo auſtrali per puncta diametri MN, circi o liqui diderſa Honis modo vectæ u rect an B, Auolabio. ad angulos rectos ſecantis, in qua perpendiculares eꝶ grad. circuli obliqui demiſſa caduut, educta, qualis in p- ima iura huius prop Ad, Au. c. indicat in recta B D/, cenera parallelbrum. Cum ergo he recta diuerſæ ſintydiuies ũ“e ſint Gæ linea tirculum maxi1 BD, exhibent Necirca er ſa centra men r. bunt. Iden taem modo r centra ab eis ace neceſſe eſt. In quarto as mum A C k, tangentes eadem contra parallelorum in rect. eum ha tangentes inter ſe dilſſerant, neceſsario men Geometrica ratione Ptolemaus in ſus plan Za eſt, ac 4 cilisbreuiori nos demon sit Aequaror ABC D, cuttu centrum E 57 pol os parallelorum ob liquorum dudto ſumas tur,& ſit axis AC, licti circuli maxi mi,& Aeq i atoris, in 4 185 etri 25 farentesf bm, t in ſeholio prop. Num. 1 85 2.00 rallelorum cbliquorum ad are, 570 rum dian 4 NAA„AS AK, AT, al, bias diuidat ur; MN, Cf rt in ad u,, 1 ſit c H hh 2 P. aralleli rio demonſtrat, qua aciliori em eficiemus, hoc modo. atione, C pro cirtulo m eee„ communis ſeciio 1 %% e 428 E II 11. paralleli diametri FG, circa MN, deſcribendi. Dico à, non eſſe centrum paralleli diametri EI. circa OP, deſcribendi, hoc eſt, O P, non diuidi biſariã in a. Quoniam n. diametri parallelorum obliqus ſecant axem, non aqualiter diſtabunt earũ extrem à polo undi C, eil C, non ſit corum parallelorũ polus. Diſtent ergo puncta F, H, magis à C, quam puncta G, I, hoc eſt, arcus CF, CH, ſint maiores arcubus CG, CI; ac proinde& anguli C AF, CA H, maiores angulis C AG, CAI, ex ſcholio propoſ. 2 7. lib. 3. Euclid. Qoniam igitur tres anguli in triangulo A ME, aquales ſunt tribus angulis trianguli AN E, ex coroll. l. propoſ- g 2. lib. I. Euclid. Sunt autem anguli recti ad E, æqualis,& angulus EA M, mator angulo EAN, vt oſtendimus; erit reliquus angulus M, reliquo a 19. primi. angulo N, minor; a ideoque recta A M,. maior, quam recta AN. Non aliter oſtende. mus, AO, maiorem eſſe recta AP: atque ita deinceps, quandocunquè diameter paralleli axem ſecat, demonſtrabimus, radium vor ſiis B, vſque ad rectam BD. maiorem e ſſe radio altero v. ſus D, vſdu e ad eandem B D. Quod ſi diameter aliqua, vt K L, axem b. primi. non ſe cet, erit: ihilominus radius A Q, maior radio AR b quia cum angulus AR Q. maior ſit angulo recto A E externus interno, ipſe obtuſus erit, ac proinde AV, acutus in triangulo A. e Igitur recta A Q maior erit, quam AR. Abſcindatur AS, 1% AN, c ATN A P,& AV, ipſi AR, equalis, iunganturqᷓ; recta ST, TV. Et quia duo latera AS, AT; duobus lateribas ANA, aqualia ſunt, à anguloſque continent æquales inſiſtentes arcubus FH, G1. qui ex ſcholio propoſ. 27. lib. 3. Eucl. aqualet ſunt, ob parallelas FG, HI ñ c erunt rriangula AST, AN P, aqualia: atue idcireo triangulum AM O, trian gulo AN P, maius erit. Et autem, vl triangulum AMoO, ad triangulum INP. ita baſis MO, ad baſem NP. Igitur& baſis MO, baſe NP, maior crit. Cum ergo Ma, ipſi Na, ſit qualis erit reliqua O a. minor quã P as re liqua. Nom igitur O P. ſect a eſt in a, biſariam. Quod ſi OP, ſecetur biſayiam in b, ofĩendemus eodem prorſcas modo, rectam M non diuidi bifariam in b. Nam rurſus erit triangulum A Vyriangulo APR, eguale, ideoque 40, maius, quam APR; ac proinde 2 O maior, quam PRequilus demptis ex æqualibus O b, P b, reliqua Al. mines ers Zu am reliqua Rb. Medium ergo pundtum 4, diametri M, cadet infræ 5. atque tt tres paralleli diametrorum FC, EI, K, in Aftrolabio centra habene diucrſa a, b, d. Eademque ratio eſt de cateris. virallelam qe. 7. NIA vero propcſ. 2. Num.. concluſimus, Aequat 1 N in Actrolabio deſcript os diuiden dos eſſe in gradus æquales, non ſecus atque in ſp her fie v puel ri ſolet, demonſtræt Ptolemæus: ſabtili ratiocinationè quemlibet circulum ohliqui Aero 3 labij ſecare gquemmuis parallelum Aequateris in partes ſimiles illis, in quas alem paraloc lelus Aequatoris ab illo circulo obliquo in ſphæra diuiditur, quamuis circulus ipſe oblin n di quug in Aſtrolabio a parallelo Aequatoris non ſecetur in partes ſimiles illis, in quas in bara ab codem parallelo Aequatoris diuiditur: quia nimirum non om 1 obligui t 19. Primi. d 2. tertj. 0 4. primi. . ſexti. orem, eiu ſaue parallelor ditur. r 222 R e 429 obliqui circuli à polo auſtrali, ex quo eum intuemur, æqualiter diſtant; hinc enim ſit, vt pars remotior, minor appareat, quam propinquior, ut A Perſpectiuis demonſtratur. Id uod de parallelo Aequatoris dici non poteſt; quippe cum omnes eius arcus æqualet aqualiter à polo auſtrali abſint, ac proinde æquales etiam appureant. In hunc ergo modum ferme, Ptole maus id, quod propoſitum eſt, domonttrat. Sit Aequator ABCD, cuius centrum E, qui pro circulo maximo per polos mundi,& polus obliqui parallel: ducto accipiatur, ſique A Ci axis mundanus,& B D, communis ſectio eius circuli maximi,& Aegnatorisz A, polus auſtralis; FC, diameter paralleli Aeguatoris, HI, diaeter paralleli obliqui ſecans E, in S. Emiſtis autem radis ex A, per extrema vtriuſqse dia. metri, vt diametri viſa habeantur KL, MN, deſcribantur circa eas paralleli K Q. M Nie interſecantes in Q T. Dico arcus X QL, Kr. TZ, fimiles eſſe arcubtis, in quos in ſohara parallelus diametri FO, A parallelo obliquo diametri H, dimiditur. Deſeripto enim ex O, circa FG, ſemicirculo FG, qui ſemicirculo paralleli A equataris iu M 1 2 5 equalis erit, cum cire ꝛrecta autem AN, ö m FG, HI, ad 5 ns ad illos rectus ex&, ducati 22 e. guns di tem redta OP, fiat angulo 7 lano Aſtrolabi,, rect aq; E 2 3 70 10 7— 1* recta AS. qua producta ſecet RL, in 1 ang 0 AH. 429 erea, cum duo hi anguli habeant ba ſom commun pbtexit ex ſchhol rep 21.lib. 3. el. circa quatuor 8 4 1 5„ Ius ibi, in quo ſe mutuo ſecant fecta HI, TX in e 5. terti 2 u Auæ red 2 νj⁊L; N n ecundam, ita Fs. i RR, ad RN eh JK, RN,. 11 quale erit ne ctan 16lo ſi 3 cunda b* eſt, vt LE EA, ita 60, EL, 400 EE vr A 4 e 8 05 14 te, vt LE, hoc eſt, vt QE, ad ER, ita GO, hoc 8 OA, a Os Cum ergo anguli ad E,, in tria gulis ESM„(Po, ex con S. ſtructione e ales; Habeantque circa ipſes latera I roporsioqual. ſau E 7 8 2 R, Sʒ a i le cum hie re Ig itur e fechalio propoſ. 18. 4b 6. Nſit, m vterque per 2 tranſeat, ſe: a pe⸗ ſeholium prop. 42. lib. 3. Eucl ac proinde ex 4 allelii Aequatoris X L, A f reulus, in quos ab codè in ſi herd. atio adhibebitur ex altera parte, qe ET, parallelo KTL, oc 0 aſtendet ur, punctii T. eſſe quoque in parallelo ol 20 EM prorſus contingit, ſi parallelus obliquus per polum auſtrale 4 54 4¹ MTL. n A, incédat. e 431 dat. Maneat enim Aequator cum ſuo parallelu,& ſemirirculo FG. circa diam enn F, deſcritto, ut prius, fed diameter paralleli cuiuſpiam obliqui per polum 4 e n Ai di ſit Aa, per polum A, tranſions, ſecanſae diametrum FG, in g. Et. Num. 1. parallelus diametri AA, in plano Aequatoris, A, N* 115 15 cit inſinitam per R, tranſcuntem, ubi diameter plano Actrolabij occurrit, ſi recta MT, communis nimirum ſoctio par 6 75 ani Aequatoris, vel Aol gans parallelum Aequatoris in Q Quoniam autè c parallelus obliquus,& Acqua 416. 1. 73 EER i 0 1 1 1 1 5 7 P tor ad circulum maximum ABC D, per eorum polos ductum rectus eſt, v erit quoque b 15. vndec. eorum ſectio communis MV, ad eundem recta, ac proinde ad LM, communem ſectioacm Aequatoris Acgrolabjue& circuli maximi ABC D, ad planum A ee vel Aequatoris recti, perpendicularis, ex deſin. 3, lib. IT. Euclid hoc eſt, anguli ad R, re. cti erunt. Duct a quoque S P, ad FG, p erpendiculari, qua communis eckioe erit parallolos rum, vr. ſupra probatum eis Num. y, iungautur recta EO. Auoniam igitur eu ſcho bio 4 7. ſexti. Circulus in Afrolabio non ma remut, cognoſce ac. 432 L FB R 1 I. Iio propcſi g. lib. C, Euel. eſt vt LR, ad ER, ita Gs, 4d OS, erit componendo quoque vs 5 500 ſt, vr R, ad Ek, ita G0, id est, BO, ad OS. Quare cum triangula ER, , Habeant angullos R, S, rectos æquales,& latera circa angulos E, O, proportionalia, v rumd; ang elorum Qs P. vtrumque recto minorem ex coroll. 1 propoſe 1 7. lib. J. Eucl. a ip ſa aquiangula erun, anguloſque æquales habebun: LEH, GOP. Igitur ex ſcholio propoſſ 2 a. lib. 3. Eucl. arcus L. P, ſimiles ſunt, ideoque& ex ſemicirculis PP, ſimiles erunt. Liquet erges parallelum obliquum, quem repræſentat reAſtrolabio parallelum Aequatoris X T, in arcus ſimiles arcubus. r phæra diuiditur. quod eſt propoſitum. Eadem.n. ratione demonſtrabi mus, arcii ci G P, ſimilem eſſe, ac propterea e ei, quem PS hroduct a em altero ſemicirculo abſcindit, cum ille æqualis ſit arcui GP, ex ſcholio propoſ. 25. lib. 3. Eucl. quem adm n ex eodem ſcholio c arcus LT, arcui LQ, æqualis est. Eademque eſt ratio in omnibos alis barallelis, vno obliquo,& altero Aequatori æquidiſtante, ſe muruo in cher a, atque idcirco& in Atrolabio ſe interſecantibus, ſiue obliquus per polum allſcralem incedat, ſiue non. 9. AO extremum, ſi cagnoſcere quis cupiat, vtrum circulus non maximus in Aſtrolabio deſcriptus, qui nimirum Aequatorem bifariam non ſecat, intra ſe centineat portion em ſpharæ hemiſphærio minorem, maioremus, conſeguetur id facili negetis hac ratione Quando circulus totus eſt intra Aequatorem, vel totus extra, eum tamen non ambiens, vel quando ſacat Aequatorem non bifariam, minuſque Aequatoris ſegmentum intra circulum ſecantem exiſtit, bortioſpheræ intra circulum incluſa eſt hemiſphario minor: quando vero circulus totum Acquatorem ambit, vel eum non bifariam ſecat, maiuſque Aequatoris ſagmentum intra circulum exiſtit, portin ſphæræ intra circu lum incluſa hemiſpherio mai or et. Nam quando totus circulus eſt intra Aequatorem, minorem portionem ſpharæ includit, quam Aequator. Cum ergo Aequator hemiſibberium ab ſcindat, rauquam circulus maximus, includet circulus ille portionem heiaispherio minorem. Sic etiam quando circulus Aequatorem bifariam non ſecat, miniiſque eius ſegmentum comprehendit, qualis eſt in prima figura huius propaſ. occircu Ius c 3 o diſi per eius cenirum,& centrum E, Aſtrolabij recta duc atur c E, quam ad reClos angtilos ſecet diameter Aequatoris AC, poterit per eius puuctum cs extra Aequaloem, c duo puncta A, C, circulus maximus deſcribi, qui totum circulum c g o Ai includet, quod eum in ſolo puncto c, rang at ex ſcholio propoſa r. lib. 3. Euel. Cum ergo maximusille circulus includat hemiſßharium, erit portio intra circulum ce A, hemiſphærio miner. Denique quando circulus totus eſt extra Aequatorè, eumque non ambit, qua lis gſt in eadem ſigura priore huius propoſ.6. circulus AA., ſi rurſum per eius centrum, ntrii Aſcrolabij recta ducatur ¶ E, quam ad rectos angulos ſecet diameter Aequa toris A C, foterit per eius pundtum ab A equatore remotius in recta E,& duo pun · cta A, C, circulus maximus doſcribi, qui cum intra ſe continea: hemiſphærium, ambiatque totum priorem circulum, erit portio intra eum exiſtens hemiſphario minor. Al vero quando circulus Aequatorem totum ambit, comprehendet maiorem portionem, qua m Aequator. Cum ergo hic hemiſphærium auferat, abſcindet ille portionem hemiſpherio maiorem. Sic etiam, quando circulus non quidem ambit Aequatorem, ſed eum ſecat non bifariam, maiuſque Aeguatoris ſagmentum in eo exittit, cuiuſmodi in ealem priore figura huius propoſceſt circulus B B l ſi per eius centrum,& centrum Aſtrolabij ducatur recta, qua ad rectos angulos ſacet diameter Aequatoris AC, poterit per eius punctum c, C duo puncta A, C, circulus maximus deſcribis, qui cotus intra circulum BB, centinebitur, cum eum in ſolo puncto c, concingat, er ſcholio propoſi 18. lib. 3. Eucl. Viare cum circulus hie mamimus lemiſpharium includat, comprehendet circulat Bů B, pori ionem hemiſphario maiorem. quod eſt propoſitum. 3 PROBL. IIII. PROPOS. vII. 433 Parallelos cuiuſuis circuli maximi, qui per mundi polos ducitur, in Aſtrolabio deſcribere, atque in gradus diſtribuere. QVAMVIs eiuſmodi paralleli per doctrinam præcedentis prop. 6 deſeri bi poſsint, tamen quia in ſphæra recta deſcriptio eorum quibuſdam in rebus a deſcriptione eorundem parallelorum in ſphæra obliqua differt, libuit propria propoſitione parallelos circuli maximi per mundi po los ducti deſcriberc. T QVYONIAM igitur omnes circuli maximi per mundi polos ducti in Aſtrolabium proijciuntur per lineas rectas ſeſe in centro Aſtrolabij interſecan tes, vt propoſ. r. Num.. demonſtratum eſt, reptæſentet recta AC, per E, centrum Aſtrolabij, in quo Aequator ABCD, ducta vnum aliquem ex eiufmodi circulis, cuius paralleli in eodem Aſtrolabio deſcribendi ſint: intelligaturque ABCD, circulus per polos mundi ductus ad datum eirculum, quem recta A C, repræſentat, rectus, qua lis eſt Meridianus, ſi recta AC, referat Horizontem rectum, vel eir culum horæ 6. a meridie,& media nocte: aut circulus horæ 6. a mer.& med. noct. ſi eadem recta A C, repræſentet Meridianum circulum; qui circulus in Aſtrolabio faciat rectam BD, in vtramque pattem extenſam in infinitum; quæ ad AC, perpendicularis erit. Quoniã enim tam hic circulus, quam Aequator, qui a plano Aſtrolabij non differt, ad propoſitum circulum rectus eſt, a erit eorum communis ſectio BD, ad eundem recta, ideoque der defin. 3. lib. 11. Eucl. ad rectam quoque AC, perpendicularis erit in centro E. Et quoniam hic circulus AB OP, ad datum circulũ rectus, b ſecat omnes eius parallelos bifariam,& per polos B, D,(Nã B, D, poli ſunt circuli maximi AC, eiuſq. parallelorum.) ſi per Angulos gradus circuli ABOD, para llelæ ipſi AC, agantur, erunt eæ diametri parallelorum circuli propoſiti. Nos ex vtraque parte binas duximus EG, HI; KL. MN, per tricenos gradus, ne multitudo linearum confuſionem pariat. Con ſtituto ergo A, polo Auſtrali,(Circulus enim propoſitus, quem fecta AC, repræſentat, per vtrumque polum duci ponitur) ſi ex eo per extrema puncta diametrorum radij viſuales emittantur, abſeindent ij ex B, protracta diamettos viſas, ſiue apparentes, parallelorum. Nam vt in ſcholio propoſ. 3. Num. 1.& 2. demonſtratum eſt, in recta;D, communi ſectione plani Aſtrolabij,& circuli maxi mi per mundi polos ducti,& ad propoſitum maximum circulum, eiuſque parallelos, recti, inſpiciendi ſunt ex polo auſtraliʒ cum ea recta abſcindat tum triangu la ſubcontraria, tum maximas diametros viſas, vt ibidem oſtendimus. Vt extre ma puncta diametri FO, apparebunt in O, P, vt tota diameter viſa ſit Op. Puneta vero extrema diametri H i, cernentur in Q, R,& ſic de cæteris. Igitur diuiis bifariam diametris viſis, ſi circa eas eirculi deſer ibantur, deſerĩipti erunt paralleli propoſiti. cum per propoſ: 3. in forma circular i appareant ex polo auſtra li inſpecti. Tranſibunt autem omnes per extrema diametrorum in Aequatore ABCD, qui eſt Verticalis primarius Horizontis recti A C, quemadmodum in ſphæra per eadem incedũt. Quod tamen Geometrice ita quoque concludemus. Iuncta recta CO, erunt duo latera CE, EO, duobus lateribus AE, EO, æqualia. Cũ ergo& angulos æqua les, nimirum rectos, complectantur, e erunt etiã angu li ECO, EAG, æqua les inter ſe: i ac propterea æqualibus inſiſtent periphæ. 1ijs. Quocirca cum arcus CE, AG, æquales ſint, inſiſtatque angulus CAF, arcui C F, inſiſtet angulus ACG, arcui AG, hoc eſt, recta CO, producta in punctum G, eadet. e Et quia angulus AG C, in ſemicirculo rectus N quoqʒ ei 8 11 5 1. Patalleſes eufutuis circuli maximi per mundi pe los ducti, in Aſtrolabio deſcribete. a. vndec. b 13.1. The. c 24. primi. d 26. tertij. e 31. tertij. — N RN co. VII. 435 GO. rectus Igitur ex ſcholio propoſ. 3 i. lib. 3. Euel. circulus circa OP, deſer i. ptus tranſibit per G. Eademque ratione per E, incedet, atque ita de cæteris. Sed uoniam radij ex A. puncto quadrãtis AB, vel AD, nimium excurrunt, ſatis erit. ben 8d, trium punctorum E, O, G, inueniatur in recta BD, producta. Item centrum T, trium punctorum H, Q, I,& ſic de cæteris: quand oquidem per tria hæc puncta parallelus tranſire debet, vt oſtendimus. Ita enim mais esqunts pa rallelus EOG P, deſeribetur, quam ſi extremum alterum punctum P. reperiatur. quod propter obliquam interſectionem rectæ AG, cum PBP, vix ſine exrore poteſt deprehendi. 5 ö CAET ERV M quemlibet parallelum tranſire per tria pundta inuenta, vt GPFO, per P, O. G, hinc etiam colligi poteſt. Cũ enim parallelus Horizontis re cti,& Horizon rectus abſcindant ex Verticalibus eſuidẽ Horizontis recti equales arcus per propoſ ro. lib. Theod. Sint autem eiuſmodi Verticales Requator ABCD,& Meridianus DEB; referatque EO, arcum CF, ex propoſ. i. erunt tres arcus æquales CF, EO, AG. Igitur parallelus G PFO, cum per O; tranſire conſpiciatur, tranſibit quoque per puncta E,& Eadem de cauſa parallelus IRHQ, per tria puncta H, Q., tranſibit Et ſic de cæteris.. 2. IT A autem centra parallelorum facile inueniemus. Ex A, per* vbi diameter EG, rectam BD, ſecat, emittatur recta AV, ſecans Ae quatorem in Z. Si namque arcui BZ, æqualis abſcindatur B a, cadet recta Aa, in S, centrum qux ſitum, vt in Lemmate 35. demonſtratum eſt Sic etiam ducta recta Abd, ſi arcui Bd. æqualis ſumatur Be, incidet recta A e, in T, centrum paralleli per H, D. 1. deſcripti. Item ducta recta Afg, ſi arcui Dg, accipiatur æqualis Dh, dabit reeta An. centrum V, paralleli per K, L, deſeripti. Denique dudta recta Aik„ ſi arcui Dł æqualis Dl, ſumatur, tranſibit recta Al, per X, centrum paralleli per M, N, deſcripti. Satis autem eſt, ſi centra 8, T, reperiantur pro parallelis ſemicirculi AB C. Nam ſi rectis ES, ET, æquales fiant EV, EX, erunt V, centra oppoſitorum parallelorum circa puncta K, L,& M, N, de ſcribendorum. Oppoſiti enim paralleli in Horizonte recto æquales omnino ſunt in Aſtrolabio, ſicut in ſphæra. g N 3. ALIO modo deſcribemus eoſdem parallelos, etiamſi neque eorum dia metri in circulo ABCD, ductæ ſint, neque rad ii ex A, emittantur, Quoniã enim, vt paulo inferius oſtende mus Num. 10. recta quæcumque, vt EK; ex centro ad Aequatorem educta tangit in K, parallelum per K, deſeriptumz s fit vt KRV, du da ad EK, perpendicularis, vel e, tangens, cadat in Vecentrum paralleli per K, deſcribendi. Qupcirca ſi ad omnia puncta Aequatoris, qui Verticalis prima rius eſt in ſphæra recta; ex centro E, ducantur rectæ lineæ,& per earum extrema puncta ducantur ad eaſdem line perpendiculares, quæ quidem ex coroll. propoſ. 16. lib. 3. Eucl. Acquatorem in eiſdem punctis tangent, inuenta erũt centra omnium parallelorum, ſemidiameter autem cuiuſque exit ipſa linea tangens a centro inuento vſque ad punctum contactus. Vt in dato exemplo, ſemidiameter paralleli KL, eſt VK. Ducemus autem facili negotio per ſingula puncta Aequatoris tangentes rectas, ſiue perpendiculares ad eius ſemidiametros hac ratione. Educta ex B, ad BD, perpendiculari Bu 1 quantacunque, deſcribatur ox E. per u, circulus occultus,& recta Bu, beneficio cireini transteratut ex punctis Aequatoris H, E, K, M, in circumfetentiam occultam ex vtraque parte. vt ex H, vſque ad m, nz& ex F, vſque ad o pᷣ& ex K, vſque ad q. r;& e x N,„ e t. Rectæ namque mn, op. qr, ſt, Aequatorem tangent in H, F. K, M. hoc eſt, perhendiculares erunt ad ſemidiametros, ſi ducãtura EH, EF, EK, EM. Iunctis enim 1 reckis Cent ra parallelo rum citculi maxiai per mundi polos ducti, in Aſtrol abio rege xite. Paralleles tefdf per rectas tangẽ tes de ſcribere. 2 19. tert. rettis Eu. Eq. erunt duo latera EBñ. Bu, duobus lateribus EK, Kq, æqualia. Cum ergo& baſis Eu, baſi Eq, ſit æqualis,- erit angulus rectus EBu, angulo EKq, æqualis, ac proinde hic quoque rectus erit, ideoque Aequatorem in K, continget. Eademque de cæteris ratio eſt. 4. NON erit difficile ex ijs, quæ dicta ſunt, deſer ibere parallelum quot cunque gradibus ab Horizonte recto A OC, diſtantem, ſi diſtantiam data m a puncto C, vel A, numeremus verſus B, ſi parallelus deſeribendus ſit ſupra Hori: zontem, aut verſus D, ſi infra Horizontem,& per terminum numerationis paral jelum deſcribamus, vt traditum eſt. 5. E CONTRARIO, ſi deſeriptus ſit quilibet parallelus, cognoſcetur eius diſtantia ab Horizonte recto per arcum Aequatoris inter C, vel A, & punctum interſectionis paralleli eum eodem Aequatore. Vel ſi per interſectiones paralleli eum linea meridiana rectæ educantur, ſecabitur Aequator in duobus punctis eiuſdem diſtantiæ: Atq; hæ rectæ neceſlario per interſectiones paralleli cum Aequatore tranſibunt: Alioquin circulus datus non repræſentaret aliquem parallelum Horizontis recti? Quare quando non conſtat, propoſitum circulum eſſe vnum ex parallelis recti Horizontis, adhibenda exit poſterior ratio, vt ſimul agnoſcamus, nos non fruſtra, ac temere diſtantiam dati paralleli ab Horizonte recto inquirere. Nam ſi rectæ ex A, per interſectiones propoſiti circyli cum meridiana linea ductæ tranſeunt per interſectiones eiuſdem circuli cum Aequatore, certum eſt, eum eſſe Horizonti parallelum, cuius diameter eſt recta duas has interſectiones coniungens: alias non exit Horizonti parallelus, ſed aliquem alium circulum repræſentabit, vt propoſ. 1. dicemus. 6. PO RR O vt radij ex A, emiſsi,& longius excurrentes, exquiſitius ducantur, deſeribendus exit ex A, ad quoduis Interuallum circulus æ g, vt in antecedentibus etiam propoſitionibus factum eſt. Nam ſi v. g. accipiatur arcus 4 ſiʒ ſimilis ſemiſs iarcus C BG, tranſibit radius A, per g; quia nimirum per Lemma 10. rectæ Aa, Ag, intercipiunt duos arcus, quorum is, qui in circulo ex A, deſcripto exiſtit, ſimilis eſt ſemiſsi arcus in circulo per A, tranſeunte. Ita quoqꝗiſi ſumantur arcus&), Ad, ſimiles ſemiſsibus arcuum C Ba, CBI, tran ſibunt radij A, A, per a, L,&c. 7. IAM ü verò circulus maximus, quem recta A C refert,& eius paralleli ijſdem prorſus modis in gradus diſtribuentur, quibus ſuperiores circulos partiti ſumus. Nam eireulus maximus per rectam A C; in infinitum extenfam repræſentatus, diuidetur per tectas ex B, polo ſuperiori per gradus Aequatoris emiſſas eo ordine; quem in lemmate 23. pręſcripſimus: Nimirum arcui abſciſſo DP, inchoato à puncto inferiori D, reſpondet arcus EO, ſectione boreali inchoatus: Ita quoque arcui DQ, reſpondet arcus ER: Item arcui D G, reſpondet areus EL, ita vt quemadmodum arcus BG, incipit à puncto ſuperiore, ita ei reſpondeat arcus à ſectione auſtrali inchoatus(ſi polus auſtralis deſignari poſſet) vſque ad L. Itaqʒ ſi PQ, fuerit quadrans, erit quoque OR, quadrans. Rurſus idem circulus maximus AC, diuidetur per rectas ex inferiori polo D, emiſſas, ita tamen, vt arcus à ſuperiori puncto B, inchoati habeant reſpondentes in AC a ſectione boreali E, inchoatos,&c. vt in eodem Lemmate 23. dictum eſt. Ita vides arcui BG, reſpondere arcum EX, quorum ille à puncto ſuperiori, hic vero à ſectione boreali initium ſumit,&. 8. 8S1T quoque parallelus aliquis maximi circuli AC, nimirum FG HI, diuidendus in gradus per rectas ex polo ſuperiori B, eductas.. pa. rallelus 2 J. primꝭ patallelum datd Horizontis re l ia Ad, elabie 0 ſcribers. Parallelas Netlxontis recti is Aſtrolabio deſcri ptus, quautu ab Horizonte tedo ditt ia ſyba ra, cogceſcsrs. Nadies ſesgieg excurtentes ace tatiat ducgtee. Cirenlum maximum per polos mundi dactum. in gradus di * 4e; Paralſelos eite. li maximi pet mundi poles 48 cti, ia gtadus digribaeta, e tels. 438 L 12 B R 10 115 rallelus A equatoris KLM N, tanto interuallo à polo auſtrali A, diſtans, quanto paralleſus EGH I, à polo ſuperiori B, abeſt, ita vt arcus BG, Am, dictas diſtantias metientes ſint æquales. Si igitur arcus ſumatur KS, in parallelo Aequa toris quot libet graduum, dabit recta BS, in dato parallelo arcum FT, totigem graduum, quia Ks, incipit à puncto ſuperiore K,& FT, à ſectione auſtra · 1 F. Hadem ratione tot erunt gradus in arcu MLS, inchoato à puncto M, E 1 7 5 14% 1 41644664444 1 0 in feriore, quot in arcu HGT, à ſectione boreali H, inchoato continentur. Et quia FG, GH, HI. IF, reſpondent quadrantibus dati paralleli in ſphæra; quod Acquator ABO, hoc eſt, Verticalis primarius ſpheræ rectæ,& Meridianus FD, ſecent Horizontem, eiusq̃; para llelos in quadrantes; neceſſe eſt, vt recta BL, tranſeat per punctum G, vt auſerat arcum FG, quadranti KL, reſpondentem,&c. 0 9. Q VOD P N Ol FN S. WII. 439 9. vod f idem parallelus FG, per rectas ex inferioti polo D egredientes diuidẽdus ſit in gradus, deſcribendus erit parallelus Acquatoris V VZ, parallelo KL MN, oppoſitus, qui videlicet tanto inter uallo à polo auſtrali A, abſit, quanto parallelus EGHIL, à polo inferiori D, diſtat, ita vt arcus DCG, An, dictarum diſtantiarum æquales ſint. Nam ſi arcui KS, inchoato àpuncto ſuperiori ſumatur ſimilis arcus Va,(qui in ſphæra ipſi KS, æqualis eſt, cum paralleli æqua les ſint.)à puncto inferiori inchoatus, dabit recta Da, pi oduda arcum paralleli FT, eundem à ſectione auſtrali inchoatum. Item abſcindet arcui Vxa, à puncto ſuperiori, V, Inchoato arcum HGT, à ſectione boreali H, inchoatum. Eodem modo Dx, abſeindet duos quadrantes IX, FG, vt ex Lemmate 23. perſpicuum eſt. 10, ALI O modo eundem parallelum ita in gradus partiemur. Deſcripto circa GI, cireulo pGql, ſumantur arcus pb, qd, inter ſe æquales, iunctaq́; recta bd, ſecet Gl, in e. Nam recta Ee, ſecabit parallelum in duobus punctis T,. f, continebitq́; vterq; arcus FT, Hf, tot gradus, quot in arcu pb, continentur. Item vterque arcus GT, Gf, tot complectetur gradus, quot In arcu Gb, reperiuntur: adeo vt ſi arcus KS, p b, ſimiles fuerint, recte Ee, BS, In idem punctum T, incidant. Eſt autem hæc ratio eadem omnino, quæ illa, qua propoſ. antecedenti Num. 26. parallelos cireulorum obliquorum in gradus diſtribuimus; propterea quòd E, ſit centrum Verticalis primarij, ſicut ibi punctum L. Ex quo fit. rectas EG, EI, parallelum tangete in G, I, extremis punctis diametri viſæ Gl, quemadmodũ ibi rectæ Lq. LG, paralle lũ contingete oſtendimus. 11. TER T IO eundem parallelum,& alios quoque hac ratione diſtribue mus in gradus. In circulo circa GIL, veram diametrum paralleli deſcripto accipiantur duo arcus æquales Ig, Ih, Iunctaque recta gh, ſecante GI, in i ducatur ex A, polo auſtrali per i, recta Ai, donec EB, producta m ſecet in k. Nam recta Tl, per k, ad BE, ducta perpendicularis abſeindet duos arcus ET, EL, quo rum vterque continet tot gradus, quot in arcu Ig, includuntur, vel duos GT, IL, totidem graduum, quot complectitur arcus pg; adeo vt ſi arcus Ig, ſimilis fuerit arcui KS, vel æqualis arcui pb, perpendicularis k I, in ipſum punctum T, quod per rectas BS, Ee, monſtratum eſt, incidat. Atque hæc ratio à tertio modo diuidendi parallelos obliquos, quem in præcedenti propoſ. Num. 3 f. expoſuimus, non differt. 12. NON aliter paralleli infra Horizontem rectum AC, diuidentur In ſuos gradus. Sit enim parallelus r ſt, ſub Horizonte æqualis omnino paralle10 FGHI, hoc eſt, diſtantia vtriuſq;ʒ ab Horizonte in contrarias partes ſit eadem. Ergo exipolo ſuperiori diſtribuetur beneficio paralleli Aequatoris VXVZ, qui tanto ſpatio abeſt à polo auſtrali, quanto parallelus rſt, à Zenith B, diſtat: ita vt rectæ ex B, cadentes, auferentesque arcus à puncto V. ſuperiori inchoatos abſcindãt ex parallelo arcus reſpondentes a ſectione auſtrali inchoa tos, quæ infra punctum M exiſtit: Rectæ vero abſeindentes ex parallelo Aequatoris arcus a puncto inferiori V, inchoatos, auferant arcus reſpondentes in dato parallelo f ft, incipientes a ſectione boreali r, veluti prius. At ex polo inferiori D, ſecabitur idem parallelus r ſt, beneficio paralleli Aequatoris KLMN, cum hic tanto ſpatio remoueatur à polo auſtrali, quanto r ft, a Nadir, vel polo Horizontis inferiori recedit: ita vt rectæ ex D, egredientes, quæ auferunt areus paralleli Aequatoris incipientes a K, puncto ſuperiori, reſecent ex parallelo rf t, arcus reſpondentes initium ſumentes a ſectione boreali r: Rectæ vero auferentes ex KLM N, arcus, quorum initium eſt in M, puncto infexiori 9 inant Patalſelas eiten: li maximi per mundi polos ducti, in gradus diſtribue re, ex cen · tto Aftrolabij. Parallelos eiteuli maximi per mundi polos du cti, in gradus diſtribuere, ex po · Jo auſtrali Ans. lem matie. 45⁰ Ern. dant ex r ſtʒ teſpondentes arcus à ſectione auſtrali infra punctum M, exiſtente ig choatos, vt prius. Quæ omnia li quido conſtant ex iis, quæ in Lemmate 23. ſeriplimus. 1. 1 PARALLELI iidem diuidi quoqʒpoterũt in gradus, ſi placet, ex centris pro prijs,& eentro Aſtrolabii, eo modo, quem in antecedenti propoſ. 6. Num. 3 5. expoſuimus: quæ res, quoniam facilis eſt, longiori declaratione non indiget. 2 D b eee ee. eee e eee DENIQVE huc etiam facile accomodabuntur omnia ea, quæ Num. 36. & 37. propoſ. 6. ſcripſimus, vt perſpicuum eſt. S E D ante omnia huc transferantur ea, quæ propoſ. 6. Num. 25. ſcripſimus. boc eſt, ſi à puncto E, verſus G, abſcindendus ſit ex parallelo arcus quotuis graduũ apparentiũ, numerentur ex puncto oppoſito H, in eandem partem ver ſus G, tot idem gradus æquales vſque ad:. Recta enim ex D, polo inferiore per s, eiscta abſcin p R. 0 H G S. VII. 451 Aa abſeindet arcum FT, quęſitum, continentem videlieet tot g radus viſos, quot æquales in arcu I e, conti nentur. Quod ſi iidem gradus æquales numerentur ex H, in oppoſitam partem verſus I, dabit recta ex fe numerationis per B, polum ſuperiorem ducta eundem arcum ET. Viciſsim ſi ex F, vſque ad T, numeren tur quotuis gradus æquales, abſcindet recta ID, ad po lum inferiorem D, ducta ex eadem parte arcum Ha, totidem graduum viſorum: recta autem ex T, per B, polum ſuper ioaem extenſa auferet ex parte oppoſita arcum totidem graduum apparentium. DEIN PE quia V, centrum circuli pGql,& E, centrum paralleli Aequa · toris KL MN, ſimiliter diſtant à B, polo ſuperiore,(a cum ſit, vt GV, hoc eſt, vt pv, ſemidiameter ad VB, ita LE, hoc eſt, ita KE, ſemidiameter ad EB.) fiet diui· ſio paralleli FG HI, per circulum pG ql, ſicuti per parallelum KLMN, ex polo ſuperiori B. Ita vides rectam Bb,(ſumpto arcu pb, ſimi li ipſi KS.) tranſire per 8, indicareque idem punctum T. Rurſus quia eadem centra V. E. ſimiliter diſtant à polo D, inferiore, ſumpto E, pro centro paralleli A equatoris VXVZ,(b cum ſit. vt GV, hoc eſt, vt pV, ſemidiameter ad V, ita XE, hoc eſt, ita VE, ſemidiater ad ED) fiet eadem diuiſio paralleli FOH, per eundem circulum pGꝗqL, ex polo D, inſeriore. Ita vides rectam Od,(ſumpto arcu qd, ſimili ipſi Va,)tranſire per a, monſtrareque idem punctum T. Atque in hunc modum ſi pro parallelis Aequatoris KLMN, VXVZ, alii circuli deſcribantur, quorum centra ſimiliter abſint à polo B, ſuperiore cum E, centro paralleli KL MN, vel à polo D, inferiore ſimiliter cum E, centro paralleli VX VZ, habebuntur ali citculi, per quorum gradus rectæ ex polo B, vel D, extenſæ partientur parallelum FG HI, in gradus, vt propoſ. g. Num. 25. demonſtr suimus. 73. AD exttemum omnia illa hic vera ſunt, quæ in ſcholio antecedentis propoſ. Num. 2. 3..& g. demonſtrata ſunt: hoc eſt, ducta recta Bug, ad BD, perpendiculari ex B, polo parallelorum Horiaontis recti ſuperiore, rectam Du, ex inferiore polo D. ductam tangere para lle los in u,&& arcum Fu, arcui Mg,& arcum Hu, arcui K g. ſimilem eſſe. Item arcus Ves, Hu,& Va, Fu, quos tangens recta Du, ex inferiore polo D, educta abſcindit, ſimiles eſſe. Rur ſus ſi ex eodem e inferiore D. ducatur vtcumque recta DT, tam arcus ET, V9, quam He. 2,& quam Te, ha, ſimiles eſſo. Præterea ductis rectis BT, Be, ſecantibus parallelum Aequatoris KLMN, in S, /;& arcus S, Te. ſimiles,& angulos TBE. BM, vel Bg. VBR, æquales eſſe. Denique ſi fiant æquales anguli IBF, IBM. ita vyrectæ BT. By, parallelos ſecent in I. 2, S, Y, viciſsim arcus 8, Te, ſimiles fore: atque adeo rectam ductam DI, tranſire per punctum, vbi recta B, eundem patellelum Horizontis ſecat: Et rectam ductam De, tranſire per punctum T. vbi idem parallelus à recta BT, ſecatur; hoc eſt, tria puncta D, e, T, in vna re dla linea ſita eſſe. Eadem enim omnino demonſtratio; quæ in dicto ſcholio fa &a eſt, locum hic habet, vt liquet. PROBL. V. PROPOS. VIII. VERTICALEs circulos, qui per polos Horizontis ducuntur,& quos Azimuth Arabes appellant,& alios circulos max imos, qui per polos cuiuſuis circuli maxiN K kk mi in 2 4. ſexti. b 4. ſexti. PN Opp OAS. UI. 455 mi in Aſtrolabio deſcripti incedunt, in Aſtrolabio de ſcribere, eoſque in gradus diſtribuere. r. PROPOSITIONE quinta Verticalem primarium, Horizontem, Eclipticam,& alios circulos maximos ad Meridianum quidem rectos, ad Aequa torem vero inclinatos, quorum inelinatio nota ſit, deſcripſimus: Alii autem Ver ticales ad Meridianum inclinati, quos Ara bes appellant Azimuth, quoniam in Analemmate eandem diametrum habent cum Vexticali primario, nim irum axẽ Horizontis, cum omnes per Horizontis polos incedant, ea ratione deſcribi nequeunt, quod Meridianus ad illos rectus non ſit, ac proinde in recta BD, commu ni ſectione Meridiani,& plani Aſtrola bii, Aequatoriſue, eorum diametri non maximæ appareant,(quippe cum ſolum maximæ cernantur in communibus ſectionibus plani Aequatoris, vel Aſtrolabii,& maximorum circulorum per eorũ polos,& polos mundi ductorum, vt in ſcholio ptopoſ. 3. Num.. demonſtrauimus) ſed omnes conſpiciantur habere eandem diametrum viſam cum Verticali primario, qualis eſt HI, in hac propoſita ſigura. Quamobrem eos hac ratione in Aſtrolabium proiiciemus. Verticalis primarius AH C, diuidatur in partes ęqua les per tot diametros, quot Verticales in Aſtrolabio deſcribendi ſnnt, ducta prius per eius centrum K, ad I, perpendiculari PQ, indefinitæ magnitudinis: Vt in partes 360. per 180, diametros,( quælibet enim diameter per duo puncta oppoſita ducitur ινπνο.Verticales deſiderẽtur, diuidentes Horizontem, eiuſqʒ parallelos in 300. gradus: Vel in partes 180. per go. dia metros, ſi go. Verticales deſcribendi ſint, Horizontẽ in 10. partes diuidentes, ita vt inter binos bini gra dus intercipiantur Vel in partes 120. per geo. diametros, vt ſingulæ partes ternos gradus complectantut: Vel in partes 7. per 36. diametros, vt lingulæ partes contineant quinos gradus: Vel in partes go. per zo. diametios, vt inter binas proximas feni gradus includantus: Vel in partes 40. per 20 diametros, vt inter quaslibet duas nouem gradus intercipiãtur: Vel in partes 36 per 14. diametros, vt ſingulæ partes contineant denos gradus: Vel in partes 24. per 12. diametros, vt ſingulæ partes quindenos complectantur gradus: Vel in partes 20. per 10. diametros, vt partes ſingulæ octodenos gradus comprehendant: Vel denique in partes 12 per g. diametros, vt ſingulæ partes tricenos gradus complectantur, vt in noſtro exemplo factum eſt. In eo enim deſeripti ſunt 6. Vexticales;& inter quoslibet duos proximos, zo. gradus interci piunt ur,& Horizon cum ſuis parallelis ab eiſdem in 12. partes diſtribuiturDEIN PDE ex alterutro polorum Horizontis H, I, verbi gratia, ex I, per omnia extrema diametrorum radii emittantur ſecantes rectam P Q, in punctis, quæ& diametros,& centra Verticalium circuloruim exhibebunt hoc ordine: Radii per extrema cuiuslibet diametri emiſsi abſcindunt ex PQdiametrum illius Verticalis, qui tot gradibus in ſphęra à Verticali primar io diſtat ab ortu in auſtrum, quot gradibus diameter aſſumpta in Vexticali primario à puncto T, orienta li ver ſus I, auſtrale recedit: Vel qui tot gradibus a Vexticali primario in ſphæra diſtat ab occaſu in boream, quot gradibus eadem diameter aſſumpta in Primario Verticali à puncto V, occidentali verſus H, boreale remouetur: Aut qui tot gradibus in ſphœra à Verticali primario recedit ab ortu in boream, quot gradibus aſſumpta diameter in Verticali primario abeſt a puncto T, orientali verſus H, punctum boreale: Vel denique qui tot gradibus a primario Verticali in ſphæra ab occaſu in auſtrum diſtat, quot gradibus eadem diameter aſſumpta NB a puncto verticales eite · los in Aſtrolahie deſcribere. orlentalis pars, & oceidẽtalis in Akrelabio dux. 8 10. 2. The. 454 IE I. B ORAL O M. 4 puncto occidentali V, verſus punctum auſtrale I, abeſt. Eſt enim recta PO in Aſtrolabio itu concipienda, vt nobis in polo auſtrali exiſtentibus pars KP, ſit ad dexteram,& KO ad ſiniſtram. Nam cum nobis conuerſis ad faciem Aſtrolabii(quod in plano Aequatoris exiſtit)pars eius orientalis(vt ab auctoribus in vſu aceipitur) ſita ſit ad finiſtram, qualis eſt pars a meridiana linea FI, ad ſiniſtram porrectaʒ occidentalis vero ad dexteram, cuiuſmodi eſt portio ab eadem meridiana FI. dextram verſus extenſa: fit, vt exiſtentibus nobis in polo antarctico, pars orientalis Aſtrolabii exiſtentis in plano Aequatoris ſtatuatur ad dexte ram, occidentalis autem ad ſiniſtram: adeo vt polus auſtralis concipiendus ſit a tergo plani Aſtrolabii. Quæ ies attente conſiderata plurimum confert ad concipiendos ſitus omnium centrorum Verticalium in recta PQ, in infinitum producta. Omnes enim ſeriptores accipiunt in vſu Aſtrolabii partem, quæ nobis ad Aſtrolabium conuerſis ad ſiniſtram poſita eſt, pro orientali,& quæ ad dexteram pro occideatali, at Orieus conſtitutis nobis in polo auſtrali,& ad Aequa torem conuerſis, exiſtit ad dexteram,& occidens ad ſiniſtam. Quod ſi quis malit partem KP, rectæ PO, in infinitum extenſę apparere nobis ex polo auſtrali ad ſiniſtram,& partem K Quad dexteram,(quod vt fiat, nihil prohibet) ſumenda erit pars dextra Aſtrolabii pro orientali,& ſiniſtra pro occidentali. Sed priot conſideratio magis eſt in vſu apud Aſtronomos. Itaque hequatore dirimente partem eæli boreale m ab auſtrali in ſphæra, erit punctum T, Verticalis primarii ia Aſtrolabio orientale; V, oceidentaleʒ H, borealez& I, auſtrale. RAD IVS deinde per punctum Verticalis primarii eiectus, cuius diſtantis a puucto I, dupla eſt diſtantię, quam aſſumpta diameter ab eodem puncto I, habet, cadit in centrum Verticalis deſcribendi, hoc eſt, ſecat abſciſſam diametrum bifariam. Exempli cauſa. Quoniam diameter LO, recedit à T, pnncto orientali verſus auſtrale I, ſiue à puncto occidentali V. verſus boreale H, grad. 30. idcirco radij IL. IO, intercipiunt diametrum Ps, Verticalis PIs, qui a puncto oris tali Horizontis C,(in Horizonte Aſtrolabii punctum C, orienrale eſt; A, occidenta le; G, borealez& F. auſtrale, prout Verticalis primarius in ſphæra partem borealem ab auſtrali ſeparat) verſus auſtrale, totidem gradibus diſtat; vel a puncto occidentali A, verſus boreale G. Centrum autem eius eſt punctum R, in uod cadit radius IM, ductus ex I, ad punctum NM, cuius diſtantia IM, dupla eſt eee IL. Sic etiam radii IX, Id, intercipient diametrum Verticalis Ha I, re cedentis a puncto Horizontis orientali C, in auſtrum, ve la puncto occidentall A, in boream, grad. o Centrum autem eius erit P. Rurſus radij IV, Ib, abſcin dent diametrum Verticalis HZ, qui a puncto occidentali Horizontis A, in auſtrum. vel a puncto orientali C, in boream diſtat grad. o. centrum autem ipſius erit Q Denique radii IN, IM, exhibebunt diametrum QR, Verticalis QHRI, qui a puncto occidentali Horizontis A, in auſtrum, vel à C, puncto orientali in boream recedit grad. 30. Centrum autem eiuſdem erit S. 2. RE CT E autem hac ratione Verticales circulos deſeribi, in hune modum de monſtrabimus. Recta PQ, ad BD, perpendicularis refert parallelum Horizontis, qui per polum auſtrale m A, ducitur in ſphæra, vt propoſ. g. Num 3. demonſtrauimus. Cum ergo Verticales circuli Hormontem, eiuſque parallelos ſecent in partes ſimiles in ſphæra, neceſſario idem in Aſtrolabio continget, adeo vt Verticalis tranſiturus v. g. in Aſtrolabio per grad. 30. Horizontis à puncto C. orientali verſus auſtrum E, deſeribendus ſit per grad 30 paralleli Horizontis, quem recta PO, refert, numeratum ab eius puncto orientali T, yſque ad P, verſus auſtralem partem, quæ verſus P, tendit. Et quia idem Verticalis ſecat He xizontem, Ni pee VIII. 135 rontem,& parallelum PQ, in pũctis oppoſitis, neceſſe eſt eum tranſire etiã per grad. 30. eiuſdem paralleli a puncto V, occidentali ver ſus boreale penctum K, vſque ad 8, numeratum. Nam in parallelo PQ, ſyt obiter etiam hoc explicemus) orientale punctum eſt Tʒoceidentale Vzboreale K,auſtrale vero notaii non poteſt. cum recta PO in infinitum excurrat, partes tamen eius auſtrales ſunt ſegmẽ ta à punctis T. V, orientali, atque occidentali, ver ſus P.& Q, tendentia. Quoniã vero idem parallelus, quem recta PO in Aſtrolabio exprimit, diſtat a polo auſtra li A, per rectam AK, hoc eſt, per rectam IK, ipſi AK, æqualem, cum vtraque ſit eiuſdem circuli ſemidiameter, ſecabitur parallelus PQ, in gradus ſingulos per rectas ex l, pũ cto per ſingulos gradus circuli HT IV. per I. deſcripti,& cuius dia meter IH, ad PQ, perpendicularis eſt, emiſſas, vt conſtat ex iis, quæ propoſ. 1. Num. g. demonſtrata ſunt a nobis: adeo vt portio TP, reſpondeat arcui 1 1 5 grad. 30. ab ortu in auſtrum computato; portio vero Võ, arcui VO, grad. 3 0. ab occaſu in ſeptentrionem numerato QVIN etiam parallelum Horizontis PQ, in gradus diſtribui per rectas ex alterutro polorum Horizontis H, I, emiſſas per gradus Verticalis HTIV, vel cuiuſuis circuli Verticalem in H, vel I, tangentis, qualis eſt in figura circulus 4Le,(Nam per 9. Lẽ ma rectæ ex I, eiectę auferunt ex circulo HTIV.& cn Las illum tangente in Larcus ſimiles 3 ac proinde exdem rectæ tranſeunt per gradus vtriuſque circuli. Quod etiam de rectis ex H, egrediẽtibus dicendum eſt, ſi circulus deſcribatur Verticalem tangens in H.) hac etiam alia ratione poteſt de · monſtrari. Quoniam parallelus Horizontis per polum auſtralem ductus, quem in Aſtrolabio recta PO, exprimit, diuiditur in gradus per rectas ex polo Hori20ntis H, ductas per gradus paralleli Acquatoris, qui ex E, centro per H, deſerlbitur, vt propoſ, b. Num. 2 1. ex Lemmate 23. demouſtrauimus, cum hic paralle lus Aequatoris tantum abſit à polo auſtrali. quantum ille Horizontis 4 Zenith, ſeu polo Horizontis boreali, cum vtrobique diſtantia ſit arcus Meridiani inter pol um auſtralem,& polum Horizontis botealem interiectus, quòd vnus ducatur per Zenith,& alter per polum auſtralẽ in ſphæra: fit, vt rectæ ex H, emiſſæ per gradus Verticalis, vel circuli cuiuſque eum in d, tangentis, ſecent quoque parallelum illum Horizontis per rectam PQ repræſentatum, in gradus; quandoquidem rectæ illæ Verticalem,& circulum quemlibet tangentem,& parallelum Aequatoris ex E, per H, deſcriptum, illoſque in H, tangente m, in arcus ſimi les partiuntur, ex Lemmate 9. Eademque prorſus ratio eſt de rectis ex I, emiſsis, eum hæ ita diuidant rectam PQ quemadmodum a rectis ex H. eductis ſecatur, ptopter æqualem diſtantiam vtriuſque puncti H, I, a recta PO. H AE C cum ita ſint, Verticalis circulus diſtans a primar io Verticali grad. zo. ab ortu in auſtrum,& ab occaſu in boream, ſecabit parallelum PO in iiſdẽ gradibus, nimirum in punctis P, S. Pari ratione Verticalis diſtans grad. Go. a primario Verticali ab ortu in auſtrũ,& ab occaſu in boream, tranſibit per punctũ paralleli PQ, in 16 5 incidit radius IX, ductus per grad. Go. à T,. orientali buncto verſus auſtrale I. vſque ad X, numeratum,& per punctum a, quod reſpondet grad. 60. à puncto occidentali V. verſus boreale H, vſque ad d, computato. Atque ita de cæteris dicendum eſt. Et quia omnes Verticales per polos Horizontis H, I, tranſeunt, perſpicuum eſt, ex coroll. propoſ i lib. z. Rucl. in recta PQ, ſecan te rectam Hl. in omnibus Verticalibus exiſtentem bifariam in K,& ad angulos rectos centra omnium Verticalium exiſtere. Igitur media puncta diametrorum in recta PO, inuentarum centra erunt Verticalium, in quę videlicet incidunt're ttæ ex I. ad diametros circuli H ITIV, perpendiculares, vt in Lemmate 35. oſten dimut, Centra veria· lium exiſtere ia linea recta, quæ Per centrum Vet ticalis prtimarij ad meridianam la neã ducitur pes. dendiculatie. e 37. ferti. Centra omnium lin m ſecã Horizoutẽ in 360. g 5 ſemicirculum in 280. gradus diuikum inuenire, prara puncta in Marulfe, 456 L UN 107 dimus, quales ſunt rectæ ex I, per ea puncta ductæ, quorum diſtantiæ ab I, duplæ ſunt diſtantiarum, quas dictæ diametri circuli HTIV, ab eodem puncto I, habent. ⸗Hæ namque rectæ ad dictas diametros perpendiculares ſunt, eum ex ſcho lio propoſ. 27. lib 3. Euel. a diametris bifar iam ſecentur, que madmodum& arcus. Verbi gratia, quia diameter dx, ſecat arcum IL, bifariam in X, ſecabit eadem tectam IL, bifariam in fʒ b ac proinde& ad angulos rectos. Eademqʒ ratione IM, perpendicularis erit in e, ad LO,& IN, ad Yb, in h;& IO, ad NM, in g. Quæ cum ita ſint, recte Verticalis PH SI ex centro R, deſcriptus eſt;& Vertica lis Hal, ex centro Pʒ& RH Ol, ex Sz& HI, ex Q. 5 3. CIRCVL Os porro ex qictis centris in PQ, inuentis eirea diametros in cadem PQ, repertas deſeriptos, tranſire neceſſario per H, I, polos Horizontis, vt ratio poſtulat, cum per eos polos in ſphæra omnes Verticales incedapt 5 ac proinde vere eoſdem illos circul os repræſentare Verticales cum tranſeant etiam per puncta paralleli PQ, per quæ eos deſeribendos eſſe oſtendimus, breuiter hac ratione demonſtrabimus. e Quoniam v. g. angulus LIO, in ſemicirculo rectus eſt, hoc eſt. angulus PIlSʒ tranſibit neceſſario eirculus ex R, puncto medio rectæ Pð, circa PS, deſeriptus. per punctum I, ex ſcholio propoſ.3 1. lib. 3. Euel. Eademque ratio eſt de aliis. Solent autem ſegmenta tantum Verticalium inter Horizontem,& tropicum S; comprehenſa in Aſtrolabiis deſcribi, quamuis nos eoſdem integros deſeripſerimus, vt ratio deſcriptionis planior fleret. 4. VI quoque radii ex puncto I, Iongius excurrentes facilius ſine errore du ei poſsint, deſcripſimus ex centro I, circulum AußE, cuiuſcunque magnitudinis. Quo autem maior fuerit eo exquiſitius id, quod propoſitum eſt, exequemur. Nam, vt in Lemmate io. monſtratum eſt, ſi ſemiſsi arcus HX, ſimilis arcus 67 ſumatur, vel(ducta diametro Hf, ad HI, perpendiculari.)ſi ſemiſsi arcus IX, ac . cipiatur ſimilis arcus HN, tranſibit radius IX, per. Hanc ob cauſam ſumptus eſt quoq; arcus Eꝗ, ſimilis ſemiſsi arcus IV,& arcus Ae, Eh, ſemiſsibus arcud IL, IN, ſimiles,&c. Itaqʒ ſi ſemicirculus, in 280. partes equales diſtribuatur, dabunt rectæ ex I, per illas partes emiſſæ in recta PO, centra omnium 180. Verticalium Horizontem in 360 gradus diuidentium: quandoquidem rectæ ex I, per 1 So. partes totius circuli IT, quarũ ſemiſsibus illę ſimiles ſunt, emiſſæ exhibent eadem centra omnium 180. Verticalium. Nam recta IL, cadens in centrum P, Verticalis H a I, aufert ex circulo ILHV, arcum IL, grad. go. ex ſemicirculo vero H, arcum ne, grad. 30. qui ſemiſsi illius ſimilis eſt,&c. Si autem idem ſemicirculus zg, in H. partes ſecetur, inuenientur eodem modo centra 90. Verticalium Horizontem in partes 180. binorum graduum partientium,& ſic de cætet is. Quod ſi ex N, non autem ex I, rectæ eductæ centra exhiberent in recta PO, deſcribendus eſſet circulus ex H, ad quodlibet interuallum, loco circuIi,&c. g. RVRS V vt quoad eius fieri poteſt, exquiſitiſsimè Vertcales deſeribantur, inuenienda ſunt in Horizonte, per ea, quæ propoſ.. Num. TS.& 25. ſcripſimus, puncta, per quæ tranſire debent: nimirum grad. 30.& 60. tam à puncto orientali C quam occidentali A, verſus auſtrum,& Boream. non ſolum per rectas ex polo Horizontis, duct as, cuiuſmodi ſunt Hkll, Hmkk, Hip, Hhhq, HHppr., Hoof, Hunn, Haimm; verum etiam per rectas ex K, centro Verticalis per puncta rectæ AC, ſic diuiſæ, vt in Lemmate 8. traditum eſt, emiſſas, qualia ſunt Puncta i,, p, t, quæ per rectas mp, q, ei, vs, inueniuntur; Vi in figura apparet: vel(quod magis Probo) per ea, quæ propoſ. 6. Num. 25. ſcripſimus, eiuſmodi puncta exquirenda ſunt. Ita enim ſinguli Verticales ſena puncta op s VIII. 457 p uncta habent per quæ deſeribendi ſunt, vt fieri non poſsit, quin centrum cujuſque, ac diameter rectè inuenta ſint; ſi ipſe deſeriptus per omnia ſex pußeta inc edat. Quòd ſi deſeribatur aliquot paralleli Horizontis, reperiti in ſinzulis poterunt bina alia puncta pro ſingulis Verticalibus deſeribendi, ſi lubegt. Sed in Horizonte ſatis eſtzſi pro quolibet Verticali vnum punctũ reperiatur, quia recta linea ex eo per centrum Aſtrolabij ducta dabit aliud in eodem Hgrizonte, quòd quilibet Verticalis Hor izontem in duobus punctis per diamet rum oppoſitis ſecet, cuiuſmodi ſunt duo puncta Horizontis, quæ per rectam per centrum traiectam indicantur, in ſcholio propoſ. 5. Num. 10. demonſtratum eſt. IMO quando Verticalis deſeribendus parum à Meridiano diſtat, eiuſq; proinde centrum in recta PQ longiſsimè à, puncto K, abeſt, ipſeqʒ Verticalis prppe meridianam lineam BD, paruma recta linea differt, operæ pretium fueritʒ in pluribus parallelis Horizontis puncta inquirere, in quibus ille Verticalis eos ſecat. Nam ſi ea puncta congruenter connectantur per lineam inflexamn, quæ nullibi angulos faclat, deſcriptus erit dictus Verticalis in Aſtrola bio in ka portione, quæ inter tropicum S,& Horizontem continetur, in qua quidem portione deſeribi diximus Num 3. Vertica les in aſtrolabio. J. FACILIVS fortaſſe percipietur. Verticales circulos per puncta inuenta in tfecta PQ, duci debere, hoc modo. Concipiatur circulus H IIV, Horizonti æqui diſtare, punctumq; I, in polo auſtrali exiſtere, ita vt planum eius circuli ſitillud, in qup parallelus Horizontis per polum auſtralem ductus exiſtit, punctumqͥʒ eius, in oõrtum,& x, in occaſum vergat;& in eodem plano circa diametrum Iæ, diametro Aff, paralleli Horizontis per A, polum auſtralem ducti equalem, parallelus ipſe Horizont is deſcribatur æπu ex centro dd, cuius, & Hequatoris, ſiue plani Aſtrolabij communis ſectio ſit recta P; eundem ipſum pa rallelum repræſentans in Aſtrolabio, vt dictum eſt, cum ᷑ius diſtantia KL, à puncto I, æqualis ſit, per defin. circuli, rectæ AK, quæ in ſphæra diſtantiã eiuſdem rectæ PQ. à polo auſtrali metitur. a Et quoniam Verticales circuli ſeiczles parã idiano dis per puxC ne circix9 delc there. cant Horizontem,& paralle lum i, in ſphæra in arcus ſimiles, facient ſex 4 10.2. The. illi Verticales in Aſtrolabio deſeripti, ſex diametros in eodem parallelo tricenis gradibus inter ſe diſtantes, ita vt Verticalis pri mar ius efficiat diametrum %; Verticalis gradibus 30. recedens ab eo verfus auſtrum ex parte orientis diametrum 5„&c. Igitur puncta Verticalium, in quibus parallelum a Io, ſecant, apparebunt ex I, polo auſtrali in illis punctis rectæ PO, in quæ ineidunt radij ex I, per extremitates diametrorum eiuſdem paralleli emiſsi. Cum ergo pet Lemma 9. dicti radij abſcindant ex circulo HTIV, qui circulum; in l, tangit, arcus ſimiles arcubus circuli alu ſint autem ex conſtructione arcus IX, XL, LT,&c. arcubus 16, 6p, p,&c. ſimiles, cum tam illi, quam hi tricenos gradus complectanturʒ tranſibunt ijdem radij per extremitates diametrorum circuli HIV: ac proinde per ea puncta rectæ PO, in quibus à dictis radijs ſecatur, Verticales tranſire conſpicientur ex aũſtrali polo. quod erat oſtendendum. Itaqʒ quoniam centra Verticalium in recta PQ, exiſtunt, fit, vt port io ipſius inter duos radios ex I, per extremitates diametri cuiuslibet in eit culo lo, ductos interepta, æqualis ſit maximæ diametro viſæ. Verticalis per illam diametrum incedentis. Vt portio PS, æqualis eſt diametro viſæ maximæ illius Verticalis, qui à Verticali primario gradibus 30. abeſt, tranſitqͥ: per diametrũ paa,& ſic de cæteris. Cadit autem hic etiam recta ducta ex I, ad quamlibet diametrum- circuli a L. 3 perpendicularis, in centrum Matten hot eit, dia W 5 * — e 1 0 N N P ROHS III. 459 eſt, diametrum in recta PO, inuentam bifariam diuidit, vt ex coroll. Lemmatis 35 manifeſtum eſt. Ita vides Icc, ad paa, perpendicularem occurrere rectæ PQ, in R. puncto medio diametri inuentæ PS: eſtque eadem hæc Ic, ad LO, quoque erpendicularis in eʒ a propterea quod paa, LO, parallelæ ſunt, ob angulos ddl, a 24. primi. Kl, qui æquales ſunt, ex ſcholio propoſ. 22. lib. 3. Eucl. propter arcus ſimiles Ie, ILL. Eademque ratio eſt de cæteris. 7. QVONIAM vero in ſcholio propoſ. 3. Num. 1. demonſtrauimus, maximam diametrum viſam cuiuſque eirculi maximi obliqui,& cuiuslibet pa rallelorum ipſius, inſpici debere in communi ſectione plani Aequatoris Aſtrolabiiue,& maximi circuli, qui per polos mundi,& polos ipſius circuli obliqui ducitur in ſphærazatque ibidem Num. 4. oſtendimus, rectam per centrum Aſtro labii,& centrũ circuli obliqui traiectã, eſſe cõmunem illam ſectionem plani Aſtro labii Aequatoriſue,& eireuli maximi per mundi polos,& polos circuli obliqui trã ſeuntis: inquiramus, num recta ggee, per R, centrũ Verticalis PSI, inuentũ, & E, centrum Aſtrolabii traiecta, ſit communis illa ſectio; vt vel hinc etiam appareat, recte a nobis Verticales deſcriptos eſſe. Quoniam igitur Verticalis in ſphera, quem in Aſtrolabio cireulus PH SI, repræſentat, vt diximus, facit in cir culo elo, diametrum paa, d eſtque ad ipſum circulum a lo, rectus; erit ex dec big. i Then. fin. 4. lib. f I. Eucl. recta Iec, quæ ad aa, communem ſectionem Verticalis,& circuli dicti perpendicularis eſt, ad planum eiuſdem Verticalis recta. e Igitur cir- c vndec. culus maximus per polum auſtralẽ I,& per rectã Iec, ac ſphęræ centrũ E, ductus, ad eundẽ Verticalem circulum rectus erit; ideoque per eĩuſdẽ polos incedet. d 13.1. Thes. Cũ ergo in Aſtrolabii plano ſectionẽ faciat rectam gg ee, propterea ꝙ eius planũ per rectam Icc R, extenſum occurrit pl ano Aſtrolabii in R, centro dicti Ver 0 ticalis,& præterea per E, centrum Aequatoris tranſire ponitur, quemadmodũ & recta ggee, per R,& E, ducta eſt, liquet, rectam gg ee, communem ſectionem eſ ſe plani Aſtrolabii, Aequatoriſue,& circuli maximi, qui per polos mundi,& polos eius Verticalis ducitur in ſphæra. Et quia communis ſectio dicti Vertica lis, & dicti circuli maximi per polos ducti, in ſphæra per punctum cc, tranſit, eſtque Tec, oſtenſa ad Verticalem recta; erit eadem Iec, ad dictam ſectionem, hoc eſt, ad diametrum Verticalis, perpendicularis in ec, ex defin. 3. lib. 11. Eucl. ac propterea hic quoque recta ex polo auſtrali I, ad dia metrum circuli obliqui maximi(quæ communis ſectio eſt ipſius cum maximo circulo per polos mundi,& per eius polos ducto.) perpendicularis educta, qualis eſt Icc, vt oſtenſum eſt, in R, centtum obliqui circuli maximi cadit: quod quidem omnino eſſe neceſſar iumꝭ, propoſ.). Num. 3.& 4. demonſtrauimus. Non ſecus oſtendemus, rectas per centra aliorum Verticalium,& centrum Aſtrolabii traiectas, eſſe communes ſectiones plani Aſtrolabii,& maximorum circulorum, qui per eorum polos,& polos mundi ducuntur. 8. PR AE T E RE A cum omnes Verticales per polos Horizontis ducantur, tranſibit viciſsim Horizon per eorum polos, ex theor. 1. ſcholij propoſ. 15. lib. r. Theod. ac proinde, quoniam ex coroll. propoſ. 16. lib. 1. Ted. polus cuzuſque circuli maximi ab eo abeſt quadrante circuli maximi, hoc eſt, grad. go, tacili negocio cuiuſque Verticalis poli reperientur, ſi ab vtrolibet punctorum, weisen eng in quibus Horizontem ſecat, in vtramque partem nume rentur grad.. in ipſo v 10 Arelie, Horizonte. Itaque puncta hh, mm, poli erunt Verticalis PH SI, quia inter vtrũli bet eorum,& alterutrum punctorum KK, oo, vbi is Verticalis Horizontem interſecat, interiiciuntur grad. yo. hoc eſt, tres arcus Horizontis, quorum ſinguli tricenos gradus complectuntur. Vb vides rectam gg ee, in qua centrum eius 1.11 Verticalis, 1. Verticalis,& centrum Aſtrolabii exiſtit, per vtrumque polum hh, mm, vt res po ſtulat, cum ea recta( vt oſtenſum eſt/ſit communis ſectio plani Aſtrolabii,& irculi maximi per polos mundi,& polos dicti Verticalis ducti, hoc eſt, referat eum circulum maximum per nominatos polos ductum. Sic etiam puncta ii, an, poli erunt Verticalis IIHppl,& c. Hac autem ratione facile punctum in Horizonte inueniemus, quod quadrante a dato Verticali abſit. Sit datus Verticalis i Hnn, ſecans Horizontem in punctis ii, nn,& ad ytrumuis eorum ex H, polo Horizon tis recta ducatur H ii, vel Hun, ſecans Aequatorem in p, vel u. Si igitur ex p, vel u, in vtramque partem accipiantur duo quadrantes Aequatoris pł, pr, vel uk, ur, ducanturque rectæ Hk, Hr, ſecabitur Horizon in polis Il, pp, dati Vertica li s ii H nn, cum arcus ii Il, i i p p, vel nn Il, nn pp · quadrantibus Acquatoris p k, pr, vel u k, ur, reſpoadeant, vt ex iis manifeſtum eſt, quæ propoſ, J. Num. 17. 38. & 19. de monſtrata ſunt a nobis. Porro quemadmodum in ſphæra Verticales circuli Horizontem, eiuſque parallelos diuidunt in gradus: ita quoque Verticales in Aſtrola bio eoſdem circulos in gradus diſtribuunt. 9. IGITVRK fies alteruttro polorum cuiuſuis Verticalis(eum cenſeo eliin g i gendum, qui intra Aequatorem, hoc eſt, in ſemicirculo Horizontis AGC, exittribuere. ſtit) per ſingulos gradus Aequatoris rectæ ducantur, diſtributus erit Verticalis ipſe in gradus, vt propoſ. 3. Num. 17.& 20. demonſtrauimus, ſi ordo, quem ibi * 460 II FN 4 d dem præſcripſimus, ſeruetur, additis etiam iis; quæ Num, 23. eiuſde m propoſ. ſeruanda eſſe monuimus,&. 1 47 55 5 8 3 22 rebel 10. IA M vero erticalem quemcumque propoſi tum in Aſtrolabio, ex ĩis. phæ quę dicta ſunt, nullo ferme negotio deſcribemus. N am ſi deflectat à primario * cum uc 1 a8 b Verticali ab ortu in auſtrum, vel ab occaſu in ſeptentt ionẽ quotlibet gradibus, krolable. verbi gratia, 30. numerabimus illos 30. gradus à puncto T, verſus I, vſque ad L, & arcui IL, æqua lem ſumemus LM. Recta enim IM, ſecabit redam PQ, in R, 9 centro Verticalis propoſiti per puncta H,& I, deſeribendi. Si vero a Ver ticali primario deflectat ab or tu in ſeptentrionem, vel ab occaſu in auſtrum, verbi ö grat ia. grad. zo numetabimus gradus 30. à puncto V, verſus I, vſque ad N,& ar9 cui IN, æqualem abſcindemus NO. Nam recta IO, rectam PQ, ſecabit in S, cen · tro propoſiti V orticalis per puncta H.& I. deſeribendi. Vt autem exquiſitius datus Verticalis deſeribatur, ducenda erit ex puncto extremo numerationis L, vel N, diameter LO, vel NM,& per radios emiſſos ex I, per terminos diametri; abſeindenda ex PO, diameter viſa propoſiti Verticalis PS, vel QR, vt quatuot 1 üctahabeätur P, H., S, I, vel Q. H, R, I, per quæ datus Verticalis de ſcribẽdus eſt. i a ID E M centrum Verticalis propoſiti inuenietur, ſi declinatio dati Verticaf N Centtu m Vertiea lis duplicata numeretur ex H, ver ſus T, quãdo datus Verticalis a primario deeli 44. nat ab ortu in auſtrum, vel ab occaſu in Septentrionem; aut ex H, verſus V, ſpondentis nepe- quando Verticalis datus a primario ab ortu in ſeptentrionem declinat, vel ab „ AAlrola. O cafu in auſtrum, hoc eſt, f exiſtente v. g. declinatione grad. zo. ſumatur arcus grad. Go. vſque ad M, vel O. Nam rurſus rect a IM, vel 10, dabit centrum R, vel S, quod quæritur. Quia enim declinatio, verbi gratia, Hb, ęqualis eſt declinatioö ni TLʒaddito cõi atcu b, erit arcus bL. quadranti HT, æqualiszac proinde an 1 gulus bK L, rectus erit ex ſcholio propoſ. 25. lib. 3. Euel. hoc eſt, diameter by, ad diametrum LO, perpendicularis erit. Igitur ex iis, quæ in Lemmate 3 5. demonſtrauimus, ſi arcui! Ib, æqualis accipiatut b, diuidet recta IM, ſegmẽtum PS, a radiis IL, IO, abſciſſum bifariam in R. atque ita de cæteris. Ali i ad inueniendum centrum cuiuſque Verticalis in recta. Q, numerant eius declinationem duplicatam ex I, verſus T, vel V.& per finem numerationis ex H. rectam emit oe. VIII. 46 emittunt, quæ rectam PQ, ſecet in centro dati Vertiealis: quę ratio a voſtra non differt Nam ſi arcus HM, IL, æquales ſint, abſcindent rectæ IM, HL, eandem rectam KR, ex PO. Eiunt enim duo triangula inter ſe æquilatera cum angulos ad K, habeant rectos, o& angulos ad I, H, æquales æqualibus arcubus HM, IL, inſiſtentes, necnon& latera adiacentia IK, HK, æqualia,&c. 3 RVRSVS idem centrum in PQ, reperietur, ſi declinatio dati Verticalis nu meretur à puncto g, in ſemicirculo A, verſus, ſi Verticalis ab ortu in auſt: u, vel ab occaſu in boream deflectat; aut à f, ver ſus E 5 ſi ab occaſu in auſtrum, vel ab ortu in boream Verticalis deflectat. Recta namque ex I Per finem numerationĩs educta dabit in PQ, centrum quæſitum: quia videlicet eiuſmodi declinatio à puncto gj, numerata ſimilis eſt eidem declinationi, hoc eſt, ſemiſsi duplicatæ declinationis a puncto H, numeratæ. Igitur per Lemma Io. re · cta ex I, qucta ad ſinem declinationis in ſemicirculo g, tranſibit per finem du plicatæ declinationis in circulo HTV. Quare cum recta ad duplicatam declinationem ducta in circulo HIV cadat in centrum quæſitum, vt oſtenſum eſt. eadet quoque recta ad declinationem in ſemicirculo Ag; ducta in idem centrum Ita vides rectam Ie, ex I, ductam ptr finem arcus g, grad. 6. cadere in P, centrum Verticalis Hal, qui ab ortu in auſtrum grad. Go. cotidemque ab occaſu in boream deflectit,&c. IMMO ſi ex Horizonte abſcindatur arcus declinationis dati Verticalis, loitio facto à C, vel A, verſus E, vel G. prout datus Verticalis a primario de flekit ab ortu vel occaſu in auſtrum, ſiue boream, habebuntur tria puncta, per quæ ex ſcholio propoſ. 5. lib. 3. Euel. datus Verticalis deſeribendus eſt, quorum duo in quolibet Verticali ſunt H. I tertium vero eſt illud, quod per declinationem Verticalis inuentum eſt in Horizonte: atque per punctum oppoſitum per diametrum in Horizonte, quod indicat recta ex inuento puncto per centrum Aſtro labii ducta, neceſſario etiam datus Verticalis tranſibit, ſi in deſcriptione error eommiſſus non fuerĩt. Sed conſultius feceris, ſi centrum priori ratione inueſtiges in recta PQ, vna cum extremis punctis diametri, quia tunc plura puncta habentur, per quæ deſcribendus eſt Verticalis. 11. VI CISSIM deſeripto quouis Verticali in Aſtrolahio, cognoſcemus gradus declinationis ipſius à Verticali primario,& quamnam in partem deflectat. hac ratione. Ex H, polo ſuperiore Horizontis, ad punctum interſectionis dati Verticalis cum Horizonte recta ducatur, punctumque ſectionis huius rectæ cũ Aequatore notetur. Arcus enim Ae quatoris inter hoc punctum,& alterutrum dunctorum A, C, quod videlicet minus diſtat, metietur declinationem dati Verticalis a primario Verticali, ab ortu quidem verſus auſtrum, ſi arcus Aequatotis ĩnuentus tendit a C, verſus B, vel in ſeptenttionem, ſi dictus arcus a C, in D, vergit: As vero ab occaſu in auſtrum deflectet, ſi repertus arcus Aequato ris vergit: At vero ab occaſu in auſtrum deflectet, ſi repertus arcus Aequatoris vergit ab A, verſus B; vel in borcam ſi dictus arcus ab A, recedit in D. Exempli gratia, ſi datus ſit Verticalis IIH ppl, ducemus rectam Hll, quæ Aequatorem ſecet in k. Nam arcus Aequatoris Ck, metietur ine linationem dati Verticalis ad primarium ab ortu in auſtrum. Quod ſi ducatur recta Hpp, Aequatorem ſecans in r, metietur arcus Ar, eandem inclinationem ab qccaſu in boream. Nam idem Verticalis ex vna parte à primario deflectit in auſtrum,& ex altera in ſeptentriodem,& vtraque inclinatio eundem graduum numerum complectitur. EAD E M ‚inclinatio reperietur hoc modo. Ex ad alterutrum punctorum, in quibus datus Verticalis rectam PQ, ſecat, recta ducatur, punctumque interſeLI ctionis Inclinationt en iuslibet verticalis in Aſtrolabie ad ptmariũ Ve tiealem cognoſos re. vonn 46; ionis huĩus rectæ cum Verticali primario notetur. Nam arcus inter hoc punctum,& alterutrum punctorum T, V, quod videlicet propius abeſt, metietur inclinationem dati Verticalis ad Verticalem primarium, ab ortu quidèm in auſtrum, ſi inuentus arcus à T, vergat verſus Iʒ vel ab occaſu in ſeptentrionem, ſi idem arcus ab V, in H, tendat: At vero datus Verticalis de flectet ab ortu in ſeptentrionem, vel ab occaſu in auſtrum, ſi arcus inuentus vergat à T, verſus H, vel ab V, verſus I. Vt ſi datus ſit Verticalis PIISI, ducemus rectam IP, vel IS, quæ Verticalem primarium ſecet in L. vel O. Arcus enim TL, vel VO. dabit inclinationem quæſita m, prior quidem ab ortu in auſtrum, poſterior vero ab occaſu in boream. Alii eandem inclinationem hac ratione inueſtigant. vel H. per centrum dati Verticalis in recta PO. exiſtens rectam traſiciunt vſque ad Verticalem primarium. Semiſsis namque arcus i plius inter dictam rectam,& diametrum III, interiecti, dabit inclinationem quæſitam. Vt ſi ex I, per R, centrum Verticaljs PHSI, ducatur recta IR, vſque ad M, er it Hb, ſemiſsis arcus HM, inter rectas IM, IH, poſiti arcus inelinationis. Et ſi quidem centrum fuerit ad ſiniſtram rectæ IH, deflectet datus Verticalis ab ortu in auſtrum,& ab occaſu in boreamzſi vero ad dextram, ab occaſu in auſttum, vel ab ortu in ſeptentrionem. Sed quoniam non ſemper Verticales integri deſeripti ſunt, non ſemper habe bimus pundcta interſectionũ in recta PQ, aut centra; ideirco prior ratio huie poſteriori præferenda videtur. 8 ED fortaſſe facilius eandem inclinationem nanciſcemur, ſi ex I, per ceutrum dati Verticalis rectam ducamus vſque ad ſemicirculum g. Arcus enim à g. vſque ad illam rectam dabit inclinationem quæſitam, ab ort quide m in auſtrum, vel ab occaſu in boream, ſi centrum à K, verſus P, tendatz ab occaſu vero in auſtrum, vel ab ortu in boream, ſi centrum à K, verſus O, repertum fuerit. Ita vides rectam Ih, per Q, centrum Verticalis HZI, ductam offerre arcum g, grad. 60. quibus ille Verticalis ab ortu in boream,& ab occa ſui in auſtrum à prima rio Verticali recedit. Prior tamen ratio, qua inelinatio in Horizonte reperitur, ma gis placet, propterea quod centra Verticalium modico interuallo a Meridiano diſtantium nimis longe à puncto K, diſtant. COMM ODI SSIME autem eandem inclinationem eonſequemur, quã uis longiſsime Verticalium centra à puncto K, abſint, hoc modo. Quoniam quilibet Verticalis rectam PQ, duobus in punctis ſecat, vno intra Verticalem primarium inter puncta L, V,& altero extra eundem, ducemus ex II per eius interſectionem cum recta TV, intra primarium Verticalem, rectam lipeam, donec Verticalem primarium, vel ſemicirculum, ſecet. Arcus enim Vexticalis pririi inter T, vel V,& illam rectam, metietur inelinationem dati Verticalis ad pri marium Vertica lem, vt ex iis conſtat, quæ paulo ante Num. a. oſteudimus. Nam vt ibi demonſtrauimus, portiones rectæ PO, parallelum Horizontis per polum auſtralem ductum referentis teſpondent arcubus circuli HTIV, inter eaſdem re ctas ex I, emiſſas, quod ad numerum graduum attinet. Cum ergo portiones rectæ PO, contineant gradus, quibus Verticales inter ſe diſtant, vt ibi demonſtratum eſt, continebunt etiam arcus circuli HT IV, eoſdem gradus, quibus inter ſe diſtant Verticales. Et quia eadem recta cum recta IBb, verbi gratia, vel IDd, aufert ex ſemicirculo a, ſemiſſem arcus Verticalis per Lemma lo. dabit arcus il Iius ſemicirculi inter Bb, vel Dd,& rectam illam comptehenſus ſemiſſem eĩuſdem inclinationis, ac proinde duplicatus totam inclinationem exhibebit, ab or tu quidem in boream,& ab occaſu in auſtrum, quando datus Verticalis portionem K T, interſecat, vel arcum Horizontis CG; at ab occaſu in boream,& ab Ritio pulcherrima inueſtigandæ iaclinationis dati Verticzlis ad primaxium Vesti calem. en la pe datus Vertiealis in Afolabio da llectat a verticali ptimario, cog ue ſcete. N 8 ö 8 2 7 5 1 5 8 2 8 8 5— — 5 1 7 4 2— 7 05 . 7 8 7 * 2 5 8 5 5 2— * 2 — 4*. *—* 8.* * 2.— — 7 5 2 J 2 5 12 2 5 — 18* 7 — 4 8 — 2 5 8 7.—. — 8 5 8 ＋ 1* 8 7 2 5* 8 7 7 5.* 45 N · —* 5 2 5 5— 0 2 7 3 2„ 6 7 5 2 8 * t 5 2 N * 5. 2 ö 2 5 D p ortu in auſtrum, quando intetſectio fit in portione K V, vel arcu Horizontis AG. Vt recta IR, ducta ex I. per R, interſectionem Vèrticalis HRIQ, cum recta KT, aufert ex Verticali primario arcum TM,. grad. 30,& ex ſemicirculo A arcum Bb Aa, grad. 15. Igitur dictus Verticalis a primario Ver ticali deflectet ab ortu in boream,& ab occaſu in auſtrum, grad. 30. EA DE M ö prorſus ratione inclinationem quorumlibet duorum VerticaIium inueſtigabimus, ſi per eorum interſectiones cum tecta K T, vel KV. ex IL, rectas emittamus,&c. Verbi gratia, rectæ IR. IZ, intercipiunt Mb, arcum inclinationis Verticalis H RI ad Verticalem HZI, in primario Verticali, vel in ſemicir culo ,, ſemiſſem eiuſdem inelinationis Aa ii,& ſie de cæteris. 12. NON liter deſeribentur circuli latitudinum ſtellarum per polos Eclipticæ tranſeuntes, qui videlicet per longitudines ſtellarum incedentès earum la titudines metiuntur. Nam ſi Ecliptica in eo ſitu, quo propoſ.5 Num. 2. deſcripta eſt, pro Horizonte aliquo ſumatur, erit circulus maximus per eius polos,& inter ſectiones Eclipt ic cum Coluro æquinoctiorum in Aequatore Aſtrolabii ductus, quem repræſentat circulus AC, in figura propoſ. 5. Num.. ex centro P, deſcriptus, inſtar Verticalis primarii. Quare alii deſeribentur, licut alii Verticales a primar io deflectentes, ſi eorum centra in recta, quæ per centrum P, ad ad meridianam lineam PQ, ad angulos rectos ducitur, inueniantur. Sed quia polus inferior nimis procul diſtat, commodius eorum centra,& diametri in illa re cta inuenientur per rectas ex polo propinquiore, vt ex puncto Q, figuræ propoſ. 5. eductas per partes æquales circuli A QC, vel potius(quia is nimis mag nus eſt) per partes æquales cuiuſuis circuli, quamuis exigui, qui eirculum AQ, in Q. attingat. Nam rectæ hæ auferent cx circulo A, arcus ſimiles, ex Lemmate g. quemadmodum etiam in figura huius propoſ. rectæ ex I, per arcus circuli N Lo, eductæ tranſeunt per arcus ſimiles Verticalis primarii A TIV. Aut denique ſi ex Q, ad quodlibet interuallum ſemicirculus deſeribatur, dabunt rectæ ex Q, per gradus illius ſemicirculi emiſſæ centra in eadem illa perpendiculari per P, traiecta, quemadmodum de ſemicirculo EE, Paulo ante Numero 4. dictum eſt. DENIQVE eadem ratione circulos maximos per polos cuiuſuis circuli maximi dati ducemus, ſi prius primarium circulum, inſtar Verticalis primarii, deſci ibamus per eoſdem polos, qui videlicet ſuos quoque polos,& centrum in eadem recta linea habeat, in qua dati circuli maximi centrum,& poli exiſtunt, tranſeatque per interſectiones eiuſdem cum Aequatore, quemadmodum Verticalis Horizontis primarius polos, ac centrum habet in meridiana linea, in qua poli,& centrum Horizontis exiſtunt, inceditque per communes ſectiones Horizontis cum Aequatore,&c. 13. QVEMADMOPDVM autem rectæ lineæ ex K, centro Verticalis primarii per puncta A, C, vbi Horizon, Verticaliſque primarius ſe mutuo ſe cant, traiectæ tangunt Horizontem in A,& C,& rectæ ex B, centro Horizontis ad eadem puncta emiſſ tangunt ibidem Verticalem primarium, vt ex propoſ. 5. Num. 24.& 29. oſtenſum eſt: ita quoque in aliis Verticalibus contingit. Nam & recta Pll, ducta ex P, centro Verticalis IH pp, per punctum Il, vbi Horizontem ſecat, tangit ibi Horizontem,& viciſsim recta Bll, ex B, centro Horizontis ad idem punctum inter ſectionis ducta tangit ibidem dictum Verticalem. Sic etiam recta Ppp, ducta tangeret Horizontem in pp,& ibidem recta Bpp, Ver ticalem prædictum contingeret. Rurſus rectæ Rx, Roo, emiſle, Horizontem tangerent in Ek, oo,& rectæ Bx, Boo, viciſsim ibidem Verticalem PHIL, tan gerent Citenlos max ĩmos olosca uU us cir cui i mi in o ſtrolabio deſeti bere. Rectas ex centto cuiuſuis Vertiealis ad interſectio nem eius cd Horizõte ductas, He rizonte m tango te,& c. Lectas es centro verticalis euiuſs eius interſedionem cum Auolibet paralle 10 Horizontis du Aas, parallelum Horizontis tange ver Kc. A 79. tertij. . uvndec. 466 L 1 gerent,& ſie de cæteris. Præterea recta quælibet ex eentro P, Verticalis IHpp, auſert ad vtramque partem puncti contactus II, ex Horizonte arcus æquales, quod ad numerum graduumattinet. Ita vides rectam Pk k E, auferre duos arcus IIlck, IE, grad. 30. Simili modo recta PC, producta caderet in punctum mm, vt auferret duos arcus IIC, IImm, grad. g. Et recta PG, producta tranſiret per oo, vt ex vtraque parte puncti contactus pp, abſcinderet duos arcus ppG, ppoo, grad. 30. Atque ita de cæteris. PA RI ratione ſi ex centro e e, deſeriptus. ſit parallelus Horizontis 90% quicunque ſecans Verticales IIHpp, PH SI, in 0, Y tanget recta Pꝙ /, paral le lum in q y recta autem ee 4%, Verticalem Il Hpp, in eodem puncto q., Item reca R)), eundem parallelum tangeret in 9%, at vero recta 22, Verticalem PHsSI. in 5), viciſsim tangeret.& ſic de cœteris. Præterea quæ libet recta ex P, centro Verticalis IH pp, ducta aufert ad vtramq; partem puncti contactus% ex parallelo Horizontis arcus æquales, quod ad numerum graduum attinet; adeo vt recta P, producta caderet in 90, cum quilibet arcuum qq J. N grad. o. complectatur. Et ſie de cæteris. Itaque ſi inuentum ſit B, centrum Horizontis in Aſtrolabio deſcripti,& ab eo educta quæuis recta Bll, ad circumferentiam vſque, a cadet I P, ad BUI, perpendicularis, in P, centrum Verticalis per Ul, deſcribendi: propterea quod B; II, eum Verticalem in Il, tangit, vt dictum oſt. Viciſsim ſi ex P, centro deſcriptus ſit Verticalis IH, ſecans Horizontem in II& ad ductã rectam Pll, excitetur perpendicularis IB, cadet hæc in B, centrum Horizntis: quod& Pll, in II, Horizontem tangat. Rur ſus ſi ex P, centro Verticalis IH, ad ꝓꝙ, vbi is Verticalis parallelum Horizontis ſecat, recta ducatur tangens, vt dictum eſt, parallelum in ꝙ, cadet J e, ad Pod, perpendicularis, in se, centrum paralleli. Et e contrario, ſi ex es, centro paralleli ad, vbi Ver ticalis IH, parallelum ſecat, recta emittatur, cadet d, ad ed, perpendicuIaris, in P, centrum dicti Verticalis. Idemque de omnibus aliis Verticalibus, paralleliſque,& eoru m centris dicendum eſt. H AE C autem omnia ita demonſtrabimus. Concipiatur parallelus ae,; Horizontis per polum auſtralem I, ductus propr ium habere ſitum in ſphæra, ita vt exiſtente circulo ABCD, qui nunc pro Meridiano Horizontis ſumatur, ipſi plano Aſtrolabii ad angulos rectos, punctum I, cum polo auſtrali A, congruat. Et quia in tali ſitu recta paa, communis ſectio eſt dicti paralleli a,& Verticalis circuli 30. gradibus ab ortu in auſtrum à primario Verticali deffectentis, quem in Aſtrolabio circulus PISI, refert;(quæ res facile intelligetur, ſi polus abſtralis a tergo Aſtrolabii cogitetur eſſe collocatus, vt ſupra Num. 1. huius propoſ. diximus.) circulus autem maximus per polos mundi,& polos dicti Verticalis ductus, qui nimirum ad eum inſtar proprii Meridiani, rectus ſit, per rectam IccR, ducitur, facitque in Aſtrolabio ſectionem gg ee,& communis ſectio eiuſdem huius circuli maximi,& dicti Verticalis per punctum ce, tranſit, ita vt Ice, ex polo auſtrali I, in eo ſitu educta ad eam communem ſectionem, hoc eſt, ad veram diam etrum dicti Verticalis ſit perpendicularis, cadatque in R, centrum eiuſdemVerticalis in Aſtrolabio, quæ omnia paulo ante Num. 7. demonſtrata ſunt: fit, vt planum per rectam IecR, in eodem illo ſitu ductum,& circa candem rectam circumuolutum o rectum ſemper ſit ad prædictum Verticalem, efficiatque in Horizonte communes ſectiones inter ſe parallelas, quæ æquales arcus hine inde à communi ſectione Horizontis cum eodem Verticali abſcindant, vt in Lemmate 25. demonſtratum eſt, niſi quando plauum illud per rectam JccR, ductum ad extremitates communis ſectionis Horizontis cum dicto 2 Call Nor. 1 — — — — — * 4607 Punta re perire in corimuni ſectione cuiuſuis verticalis cũ Ho ri zonte, per quæ n rectæ ducantur ex cent ro illius Verticalis, Hori ⁊on in ꝑradus di Rribuatur. 415.1. The. 468 L r W N01. cali peruenerit. Tunc enim ceſſat oinnis ſectio,& planum ipſum in iis extremitatibus vtrumque circulum, hoc eſt, tam Horizontem, quam dictum Verticalem continget; non ſecus ac de plano per rectam IK, vel AK, ducto ſupra dictum eſt propoſ. 5. Num. 24.& 28. Quare cum planum illud in Aſtrolabii plano faclat rectas per R, centrum tranſeuntes, ex propoſ.. Num. 1. repræſetabunt rectæ ex R, eductæ planum illud circumuolutum, ſecabuntque Horizontem in iiſdem punctis, in quibus ab eo plano ſecatur; ac proinde ex vtraque parte Verticalis kx H oo, æquales arcus ex Horizonte abſcindent; eundemque in punctis kk, oo, contingent, vt etiam propoſ. 5. Num. 28. diximus. Quamuis autem planum prædictum circa rectam IR, circumductum diuidat communem ſectionem Horizontis,& dicti Verticalis in ſphæra, in punctis, per quæ ducuntur rectæ ex ſingulis gradibus Horizontis ad am ſectionem perpendiculares, non tamen propterea in Aſtrolabio eorundem circulorum communis ſectio viſa kxoo, ſimiliter diuidi poteſt, cum hæc ab illa in ſphæra differat, eidemque non ſit parallela: Quod ideirco dixerim, ne putes, Horizontem in gradus poſſe diſtribui per rectas ex centro R, per puncta rectæ ductæ kk OO, diuiſæ ea ratione, quam in Lemmate 8. tradidimus, emiſſas. 14. QVOꝰ ſi puncta rectæ kkoo, inuenire quis cupiat, per quæ rectæ ex centro R, eductæ Horizontem in gradus diſtribuant, initio facto a punctis contactuum kk, oo, producenda erit recta kkoo, per centrum E, quæ communis ſectio exit plani Aſtrolabii, Aequatoriſue,& circuli maximi per polos mundi,& communes ſectiones Horizontis,& prædicti Verticalis ducti, a& qui rectus eſt ad Verticalem hh Hmm, per polos Verticalis dicti kx H oo ductum; cum& ipſe circulus per kkoo, ductus tranſeat per kk,& oo, polos Verticalis nh H mm. Nam cum hic tianſeat per polos illius, tranſibit ille viciſsim per huius polos, ex ſcholio propoſ. 15. lib. 1. Theod. qui quidem omnes ſunt in Horizonte. Deinde ad kk OOo, excitanda per E, centrum perpendicularis cb Z, quæ axem mundi referet, ſi circulus ABCD, pro circulo illo maximo ſumatur, qui per polos mundi ductus ſectionem in plano Aequatoris facit rectam kk oo. Poſtremo ſi ex polo eb, per puncta extrema kk, oo, diametri Verticalis viſæ radii ducantur, ſecabitur circulus ABC D, in punctis cd, ef, per quæ vera diameter Horizontis(quæ videlicet communis ſectio eſt ipſius,& prædicti Verticalis Kl H oo, in ſphæra) ducenda 550 cdef,& quæ ita diuiditur à plano illo per rectam IR, ducto,& per ſiogulos gradus Horizontis circumuoluto, vt diuiſa eſt linea in Lemmate 8. Quapropter ſi diameter hæc cdef, ea ratione diuidatur,& per puncta diuiſionum ex polo eb, rectæ emittantur, ſecabitur diameter uiſa xkOO, in punctis, per quæ ſi rectæ traiiciantur ex centro R, Horizon in gradus diſtribuetur. Huius diuiſſonis exemplum nullum attulimus, ne nimis magna confuſio punctorum,& linearum in fgura oriretur, præſertim vero, quia& longior eſt,& nullus fere eius vſus exiſtit, niſi quis eam adhibere velit, vt experiatur, num cum prioribus diuiſionibus conſentiat, necne. 15. EAD EM prorſus ratione planum illud per rectam IR, ductum,& circumuolutum ſecabit paralle los Horizontis in gradus, eoſque tanget in punctis, vbi Verticalis dictus eoſdem ſecat, idemquè prorſus efficient rectæ ex centro R, emiſſæ, quippe quæ planum illud circumductum repræſentent vt dictum eſt: Sed hic difficilior eſt inuentio punctorum in diametro viſa cuiuſque paralleli Horizontis, per quæ rectæ ex centro R, ducendæ ſunt, vt ipſe e in gradus 8 2 8— D ＋— 2 VIII. ER O0 D 6 8. e 1.. The. non productam duca tur diat ret) quæ cixculum maximum ref 0 polum 1 ra„ qucitur sac pro nde Ctionem 3 er 42 Nam g 8 1 15 f 4 dem ynetneit lam cuc circulus ille maximus ad hunc nor N b 0 1 1 IF, in illo circulo maximo exiſtens tranſeat per eius centrum, pro —— ad Aequatorem rectus ſit, erunt vièifsim H duo ad i ommunise n YYY, ad cundem perpendicularis eritzIdeo4 nem ſectionem eiuſdem cum Aequatore, ſiue cum Aſtrolabſi n. 3. Iib. I T. Eucl. ac proinde recta EE,ad y//yn, perpendicularis, erit comA 8 munis ſect! 0 pla vi Aſtrola N bi,& dicticirculi maximi. PDeitide àd EG, excitetur diameter perpendiculaxis EI, quæ axem mundi referet, ſi circulus AB CD, intelligatur eſſe rectus ad planum Aſtrolabii, vel Ae quatoris,&, polus erit au ſtralis: ex quo ſi per E, traliciatur recta IFO, erit ea. diameter circuli illius non maximi per polum auſtralem L.& dia metrum veram paralleli dati in ſphæra du cri, facientiſque in Aſtrola bio diametrũ viſam 5yn, eiuſdem paralleliʒ cum ille citculus occurrat plano Aſtrolabii in EAHinc enim fit vt cum circulus illè ſe cetur bifariam à circulo mo per eius polos du cto;& faciente ſectidnem in Aſtrolabio EEG, recta oterea quod eiuſdem ö 4 5 FFF Tb tam IE; ac propterea tota I O, ſit meter. Poſt hæc, ſumpta in EG, producta, recta EI 5ipſi EI quali, abſcinda IC NP tur LS, diametro inuentæ IO, æqualis,& circa eam circulus LmSp, deſcribatur, 1 qui erit ille nor nus per polum auſtralem ductus,& per commune m ec 0 7 7.* 1 4 4 42— 2 nem Verticalis,& para! jropoliti in ſph ra, vt conſtat, ſi conc U Vn, deorſum moueri verſus auſtrum,(manente Aequatore ABCD, iatur circa in pi rio ad occidens, ntu, ita vt ſupcrficies, in qua deſcriptus eſt, in boream vergat,& ad o & C, ad oriens ſpectet.)donec Lacum polo auſtrali coniungatur. Tunc enim cir une culos R GC H G. VIII. eulus dictus per polum auſtralem tranſibit. rectuſqueterit ad maximum eit ulum per polos mundi,& per eius polos ductum, fat ientemqʒ ſectionem GE; eum ducatur per πm, quam perpendicularem oſtendimus ad circulum maximum er EG, ductum. Cum ergo habeat diamettum ſuam propriam LS, liquet: eum eſſe illum circulum, quem diximus. Vt ergo in hoe eirculo inueniamus diametrum veram paralleli dati, hoc eſt, communem.ſectionem eius cum dato parallelo,& Verticali, ducendi ſunt radii LY. Ln, ſecantes circulum dictum in m. p. Nam recta mp, exit ea diameter, cum radii per eius xtræma ducti exhibcagg diametrum viſam„Y Hæc igitur diameter mp, lano ſupradicto per polum au ſtralem L, ductum diuiditur, vt in Lemmate 8. dictum eſt. Qua re ſi eo modo diui da tur,& per ſectionum puncta ex L, pol auſtrali rectæ egrediantur ſecabitur diameter viſa Vn, in punctis, per quæ tectæ ex centro Ryiemiſſæ ſecabunt parallelum 00%%, in gradus, cum repræſentent planum illud per ſingulos gradus eius paralleli in ſphæra circumductum. Porto diameter inuenta mp, ſi erratum non eſt, æqualis eſſe debet diametro ST, eiuſdem paralleli in ſgura prima propoſ. S. ſi tamen Aequator illius ſiguræ Atquatori huius figuræ ABCD, æqualis ſit. Eate mque ratio eſt de aliis parallelis. YO autem dictum eſt de Vertigali PHSIL,& de rectis ex eius centro R, eductis, intelligendum quoque eſt de aliis Verticalibus, ac rectis ex eorum centris egredientibus: Immo idem facile ad alios etiam t irculos maximos transſerri poterit, nimirum ad Eclipticam,& circulos maximos, qui per eius polos ducuntur,&c. Nam ibi etiam rectæ ex centro cuiuſque eirculi maxim̃i per polos Eclipticæ ducti emiſſæ tangent Eclipticam, eiuſque parallelum quemcumque in punctis, in quibus à dicto circulo maximo fecantur,&c. 5 16. QVIA vero quilibet cireulus maximus in Aſtrolabio deſeriptus diuidere debet Acquatorẽ in duos ſemicitculos equales, vt in ſeholio prop. 4 Num. 6. oſtẽ ſum eſt, demonſtrandũ eſt, hoc ide fa core circulos Verticalès hoc loco in Aſtrolabio deſcriptos, adeo vt linea recta cõiungẽs duas iter ſectiones cuiuſqʒ; Verticalis cũ Aequatore ſit diameter Aequatoris, ac ꝓinde Verticalis ipſe per duo pũcta Aequatoris per diametrũ oppoſita incedat. Sit igitur exẽpli cauſa, ex priore figura huius prop. deſcriptus ſeorsũ Verticalis PH Sl, grad. zo. deflectens à Verticali primario abortu in auſtrũ, cuius centrũ R, in linea recta PS, quę ex K, cẽtro primarii Verticalis ad meridianã lineã BD, perpendicularis duciturz Aequator ABCD; Horizon AFCG, eiuſqʒ poli H, I. Ducatur per R. centrũ Ver ticalis dati,& E, centrũ Aſtrolabii recta ggmm, ſecans Vertical in ee, quæ cõmu a IF. vndec. Verticalem qutli bet, aut quemuis aſium circulum max mum ſecare Ae quatorem n Aftrolabio in duobus punctis Per diamettä op nis ſegtio eſt plani Aequatoris, ſiue Aſtrolabii,& circuli maximi ducti per po ß; los mundi,& polos dicti Verticalis, vt in ſcholio propoſ.3. Num. 4. oſtendimusg & ad eam excitetur ad angulos rectos diameter Acquatoris LM. Dico Verticalem PISI, tranſire per puncta L, M. Quoniã enim, ſi eirculus ABCD, in recta gee, rectus ſtatuatur ad planum Acquatoris, vel Aſtrolabij, v ac proinde jn eo b 13.1. Me. ſitu per polos Aequatoris, ſiue mundi ducatur; recta LM„axis mundi eſt, cum perpendicularis ſit ad rectam ggee, in plano Aèquatoris, Aſtrolabiiue exiſtentem, vt ratio poſtulatʒ e ¶ Cum enim axis rectus ſit ad A equatorem, tranſeatquè c 15.1. The. ber centrum ſphæræ E, erit idem ad rectam ggee, perpendicularis, ex defin. 3 lib. II. Euel.) fit, vt radii ex polo M, per ee, gg. extremitates diametri viſe emiſsi ea dãt in N, O, extremitates veræ diametri Verticalis prædicti; adeo vt recta NO, Per E, centrum tranſeat, cum diameter ſit maximi circuli, quem in Aſtrolabio refert circulus PH Sl. Si en im alia recta pręter NO. diceretur eſſe diameter prędicti Verticalis, cuius diameter viſa eſt eegg, abſcinderent radii ex polo M. 8 5 emiſsi W — 472 nk emiſsi per illius diametri extrema puncta, aliam diametrum viſam ex redta g mm. quod eſt abſurdum. Eademque ratione diametrum veram cuiuſuis circu Lianen, 1 Ii ſiue maximi, ſiue non maximi, in Aſtrolabio deſcripti reperiemus, ſi pet eius a8 ehe de. centrum,& centrum Aſtrolabij rectam ducamus,& ad eam in centro Aſtroberge bue wari labii perpendicularem excitemus. Nam radlii cadentes ex alterutro extremorũi mi. fue non gae. huius perpendiculatis per extrema diametri viſæ dati circuli,(quam ipſe cireu — lus ex recta per vtrumque centrũ ducta abſcindit.)tranſeunt in eirculo ABCD, per extremitates diametri veræ, vt factum eſt in Verticali PH SI, exemplumque aliud habes in circulo a CbO, non maximo. Si eni ni per eius centrum h,& centrum E, Aſtrolabij, rectam eductam hE, diameter Aequatoris LM, ad rectos angulos ſecet,& ex M,(quod pro polo auſtrali ſumatut) per a, b, extrema 2. viſæ R NMIOH PRONS III. 473 viſæ a b, radii emittantur, ſecabitur Aequator in V, Z. Recta ergo VZ, erit vera diameter circuli non maximi aCbO. Eademque eſt in cæteris ratio. Cogitetur iam circulus ABCD, cum ſuis lineis iterum jacere in plano Aſtrolabii; s eritqʒ angulus NMO, in ſemicirculo, hoc eſt, angulus ee M gg, rectus. Igitur cireulus circa diametrum ee gg, deſcriptus, per punctum M, tranſibit, ex ſcholio prooſ. 31. lib. 3. Eucl. Ducantur ex L, M, ad centrum R, rectæ LR, MR. Et quoniam 5 latera ER, EM, duobus lateribus ER, EL, aqualia ſunt, anguloſque continent æquales, vtpote rectos; o erunt quoque baſes RM, RL, æquales. Cum ergo RM, ſit ſemidiameter Verticalis, cum oſtenſum ſit, eum tranſire per M; erit etiam RL, ſemidiameter eiuſdem, ac proinde idem Verticalis per L, incedet. Tranßit igitur Verticalis PH SI, per puncta L, M, ac proinde Aequatorem in eiſdem duobus punctis per diametrum oppoſitis diuidit. quod eſt propoſitum. Idemque de omnibus allis Verticalibus, immo de quocunque circulo maximo deſcripto in Aſtrolabio, demonſtrabitur: id quod etiam in ſcholio propoſ. 5. Num, g. monuimus. Et quoniam maximi circuli in ſphæra ſe mutuo ſecant bifariam, continget idem in circulis Aſtrolabii circulos maximos repręſentantibus, ac propterea arcus Lee M, Lgg M. ſemicirculos propoſiti Verticalis referent, in quos nimirum ab Aequatote diuiditur. 17. ET quoniam poli cuiuſuis circuli maximi quadrante ab eo abſunt, ex coroll. propoſ. 16. lib. i. Theod. ſi circulus ABCD, intelligatur in ſphęra rectus ad Verticalem, quem circulus PH SI, repræſentat; ae proinde per eius polos tranſeat; puncta Q, T, diuidentia ſemicirculos NQO, NTO,(quos vera diameter NO, Num. 16 inuenta abſcindit.) bifariam in binos quadrantes, poli erũt eiuſdem Verticalis, apparebuntque in Aſtrolabio per radios MQ, MT, in punctis hh, mm, quæ puncta in Horizonte exiſtent. Cum enim quilibet Verticalis per polos Horizontis tranſeat, tranſibit viciſs im Horizon per illius polos, ex ſcholio propoſ. 15. lib. r. Theod. ac proinde poli hh. mm, in Horizonte exiſtent, & in eiſdem Horizontem interſecabit Verticalis Z Hmm, gradibus go. à Verticali PS HI, diſtans, vel grad. 60. a primario Verticali in boream, ab ortu recedens, vt in prima figura huius propoſ. apparet. NON aliter polos cuiuſuis alterius Verticalis, vel cuiuslibet circuli maximi in Aſtrolabio deſeripti, vel non maximi, inueniemus, ſi ſegmenta Aequatoris, quæ a vera diametro circuli inuenta, vt Num. 16. docuimus, abſeinduntur, ſecemus bifariam. Hæc namque puncta ſectionum, veri poli erunt dati circuli, ad quos ſi ex polo auſtrali, ex quo inuenta fuit diameter vera, radii emittantur, ſecabitur recta per centtũ circuli,& centrũ Aſtrolabii educta, in polis eiuſdem circuli apparentibus: Vt factũ eſt in Verticali PHS, exemplumque aliud habes in circulo aCbO, non maximo. Nam punctaQ, T, diuidentia arcus QZ, XITZ, à vera diametro VZ, Num. 16. inuenta abſciſſos bifariam, erunt poli veri, radii autem MQ, MT, polos apparentes, ſeu viſos hh, mm, indicabunt in recta h E, per centrum h, ipſius circuli non maximi,& per E, centrum Aſtrolabii extenſa. Eademque ratio eſt in omnibus aliis circulis tam maximis; quam noa ma ximis. QVObD fialter polorum duntaxat deſideretur, verbi gratia, ſuperior, qui nimi rum intra Aequatorem cadit,(qui plerumque ſolus requiritur in vſu Aſtro labil.) inuenietur is nullo fere negotio in maximo eirculo, etiamſi neque totus eirculus deſcriptus ſit, neque eius diameter vera inuenta, hoc modo. Sit datus 15 tantum arcus HS, ſecans Aequatorem in M.(Nam ſi nom ſecet, producendus erit, donec eum ſecet. Ducatur ex èius centro R,. per E, centrum Aſtrolabii re. 5 cta RE, a 31. eri. b 4. primi. 213. 1. The. Polos euiuſgus Verticalis, vel alte jus eirculi ſiue maxi mi, ſiue non maximi, in Aftro labio deſeriti inuenire. Polos euiaſals circuli maximi, eciamſi not ſit to tus deſeriptus in aſtrolabio reperi 474 1 NOR AI 01 ca RE, ſecans areum datum in ee:( quod ſi non ſecet, producendus erit, dones ſecet.)& per ee, ex M, puncto, vbi datus arcus Aequatorem ſecat, aut in quod cadit diameter Aequatoris LM, ad Rec, perpendicularis, ducta recta Mee, ſecante Aequatorem in N, ſumatur ar cus NQ. quadranti Acquatoris AB, æqualis, ita ut recta ducta MQ, rectam R ee, intra Aequatorem ſecet in hh. Nam hoc punctum ſectionis hh, polus erit dati circuli maximi. Quoniam enim recta R ee, communis ſectio eſt plani Aſtrolabii,& circuli maximi per mundi polos,& dati circuli polos ducti, vt propoſ. 3. Num à. oſtendimus, ſumi poterit M, pro polo auſtrali, ſi circulus ABCD, rectus intelligatur ad planum Aſtrolabii, Aequatoriſue, ac proinde radius M ee, in N, extremum veræ dia metri cadet. Cum ergo polus ab ea abſit quadrante circuli, erit Q, polus,&c. Si ſumatur* NY. ex altera P. R O FH Q S. VII. 475 ex altera parte, dabit radius MT, polum alterum mm, inferiorem ſcilicet, qui extra Aequatorem cadit. 18. PRA ETER E A cum omnes circuli maximi in ſphæra ſe mutuo bifariam ſecent, neceſſe eſt, idem contingere in Aſtrolabio: adeo vt, duobus circulis in Aſtrolabio, qui maximos eirculos repræſentent ſe mutuo ſecantibus, recta linea eor um interſectiones coniungens, diametrum corum communem referat, tranſeatque propte rea pef centrum Aſtrolabii, cum omnes diametri cireulorum maximorum per centrum ſphæræ, quod à centro Aſtrolabil, vt propoſ J. Num.. oſtenſum eſt, non differt, tranſeant. Ita vides in ſuperiori proxima figura duos circulos maximos ACG, PH SI, ſe mutuo ſecare per rectam VX, per centrum Aſtrolabii E, traiectam. Quod omnino neceſſarium eſſe, ita Geometrice demonſtrabimus. Quoniam vterque circulus maximus eſt, ſecabit vterque Aequatorem bifariam in binis punctis per diametrum oppoſitis, vt paulo ante in hac eadem propoſ. Num. 16.& in ſcholio propoſ. 5 Num. 6. oſtendimus, tranſibitq. propterea vtraq. recta AC, LM, coniungens eorum cum Aequatore interſectiones, per E, centrum Aſtrolabii. Dico igitur rectam quoque VX, quæ eorum interſectiones connectit, per idem centrum E, tranſire, hoc eſt, rectam VE, productam cadere in alteram interſectionem X. Secet enim recta VE, producta alterum eorum, v. g. circulum ACG, in X. Dico alterum circulum PHsl, per idem punctum X, tranſire, ideoque bidem ambos ſe mutuo interſecare, hoc eſt, rectam VE, productam in interſectionem communem X, cadere. Nam cum rectæ VX, AC, in circulo AFC, ſe interſecent in E; Herit rectangulum ſub VE, EX, rectangulo ſub AE, EC, æquale; ſed huic poſteriori, eandem ob cauſam, a quale eſt tectangulum ſub LE, EM, quod rcctæ AC, M. in circulo ABCD, ſe quoque inter ſecent in E.Igitur& rectangulum ſub VE, EX, rectangulo ſub LE. EM æquale erit; ac proinde ex ſcholio propoſ. 35. lib. 3. Eucl. circulus PHS. per tria pũcta V, L, M, deſcriptus, trãſibit neceſſat io per quartũpũctũ X; ideoque punctum X, in etroquè circu Jo AFCG, PH SI, exiſtet. Recta ergo VE, producta in X, communem illorum circulorum interſectionem cadit quod erat demonſtrandum. 19. PO RR O vt videas, quo pacto cuius tibet circuli maximi obliqui in Aſtrolabio deſcripti, parallelos deſeribaptur, vt propoſ 6. Num. 20. monuimus, non abs re erit, id vno aliquo exemplo declarare. Sit ergo deſcribendus paral- mas lelus cuiuſcunque circuli maximi obliqui, verbi gratia„Verticalis PSI, qui grad zo. ab eo recedat ver ſus polum hh. Et quia quatuor vis id fieri poteſt, prima via ita agemus. Inuenta diametro vera NO, circuli obliqui maximi PISI, vt Num. 1. tradi tum eſt, numerabimus ab ea verſus Q, ex vtroque extremo grad. 30. vſque ad V, Z, vt duci poſsit diameter paralleli propoſiti XZ. Nam fi ex M, polo auſtrali radii ducantur per V, Z, abſcindetur viſa diameter paralleli a b, qua diuiſa bifariam in h, deſeribetur ex h, per a, b, parallelus propoſitus, vt in figura Pr oxima apparet. ALT EKA via ſic rem expediemus. Pucta diametro circuli maximi obli qui cd, ad rectã ee, gg, perpendiculari, numerabimus à punctis ce, ggg. 30. vſq. ad f, e,& ret e f. ducemus ſecantem cd, in g. Nã radii M e, Mf. abſeindent can dem diametrum viſam a b, recta autem Mg, centrum b, exhibebit,&c. TER TIA via idem parallelus deſeribetur, ſi ex polo auftrali M, circulus euiuſuis magnitudinis deſcribatur,& reliqua fiant, quæ propoſ. 6. Num. 8. præcepimus. VARTA vis eundem delineabimus, ſi prius per polos hh, mm, circulł a Nnn maximi a 11.1. Thea. Redm, que int rſectioaes, q rumlibet d circulo um n morum in Aſtrolab o e 4 Krolabii tr cent b 35. ecrtij. Paralle los euiuſlibet verticalis, eriꝰcirculi obliqui, Volabio de 476 E. maxim obliqui circa diametrum hh mm. circulus maximus deſeribatur, qui inſtar erit Verticalis primarii dati circuli obliqui. Nam ſi in eius quadrante inter hh.& L, intercepto ſumatur gradus 30. à puncto hh, incipiendo, vt propoſ. 5. Num 18. docuimus,& per eum gradum lineam, quæ illum circulum tangat, duca mus, cadet ea in h, centrum paralleli,&e. 5 N 8 cent in. OB IT ER quoque animaduertendum eſt, omnia hæc puncta, cegtrum eite ger ce Aſtrolabij, vel mundi; centrum circuli obliqui ce, e etiam 0 en 1eul d juſdem polos, i ue recta linea exiſtekimi, eiaſque pa- para lleli cuiuslibet;& duos eiuſdem polos, in vna eademq ö 0 rauen, ein- re: adeo vt recta per duo eiuſmodi puncta eiecta tranſeat omnino per 7 5 t& eĩuſdẽ po-*. 0 1 5 5 1„ 8 ro 7 ben 4 dug puncta. Ita vides in proxima figura in recta gg mm, exiſtere E. centrũ lives exiſtete in a 1 juſdem Vertiiz nt yerticalis PH MIzh, centrum paralleli aCbO, eiuſdem e labiiʒ R, centrum Verti zh, P deal: NN II 477 ticalis;& duos eiuſdem polos hh, mm. Ratio eſt, quia recta per centrum Aſtrola bil, aut cen trum circuli obliqui ducta, repraſentat communem ſectionem plani Aſtrolabii, Aequatoriſue,& circuli maximi, qui per polos mundi,& polos deſeripti cireuli obliqui, inſtar proprij Meridiani, ducitur, vt in ſcholio propoſ. 3. Num. z. oſtendimus. 20. P ARAL L ELI autem cujuslibet circuli maximi obliqui, quorum beaſtetes cutufdiametri viſæ intra ipſum circulum obliquum continentur in eius diamètro vi- u ſa ee gg. ſpectãt ad boream, propter polũ borealem E. qui intra eundẽ circulum d exiſtit. Hinc enim fit, vt tota hac ſacies circuli obliqui, borealis dicatur: Pa- Cee. ralleli autem extra circulum maximum obliquum qdeſeripti, ad auſtrum pertinent, ob contrariam cauſa m. Ex quo rur ſum efficitur, diametros paralleſorum in ſemicirculo NO, ſpectare ad parallelos borcales, in ſemicirculo autem NTO, ad auſtraleszquia illæ proliciuntur in diamettum vifam ee gg, ita vt ſingul æ, partes ſint diametri ee gg.& ipſi paralleli intra eirculum maximum cbliquum deſcribã tur; hæ vero vel ptoiiciuntur in diametros maiores, quam ee gg, ta vt earum circuli deſeripti circulum obliquum ambiant, quales ſunt dia metri parallelorum, quorum diſtantia à diametro NO, minor eſt arcu OM vel in diametros, quæ totæ extra circulum obliquum in recta ee gg, producta verſus auſtrum ad partes mm, reperiuntur, cuiuſmodi ſunt diamettri Parallelorum, quarum diſtantia à dia metro NO, maior eſt areu OM, 21. E CONTRA RIO ff parallelus aliquis circuli obliqui in Aſtro- 2 3 labio deſcriptus ſit, facili negotio cognoſcemus, quanto interuallo ab ipſo eircu mi obliqi in A. lo maximo in ſphæra vel verſus boream, vel auſttum ver ſus abſit. Sit enim de- eee ſcriptus parallelus aCbO, circuli obliqui PHS, ex centro h. Per h,& centrum% 0 Aſtrolabii E, traiecta recta h E, excitetur ad eam perpendicularis diameter Acquatoris LM, quæ axem mundanum referet, vt ſupra Num. 16. dictum eſt. Deinde ex M, polo auſtra li per a, b. extrema puncta dia me tri viſæ paralleli rectæ emittantur Ma, Mb, ſecantes Aequatorem in V, Z. Nam recta V,(quæ omni— no parallela erit ipſi NO, ſi erratum non ſit.)erit diameter dati paralleli in ſphę ra, eiuſque diſtantiam à diametro NO, cireuli maximi, arcus NV, OZ, metientur, vel verſus boream, vel auſtrum verſus, prout arcus dicti verfus Q, vel T. reperti fuerint. 22. AMPLIVS ducta recta RE, per centrum circuli maximi obliqui in Atitndinem pe Aſtrolabio deſcripti,& per centrum Aſtrolabii, ſi ad cam erigatur diameter. Acquatoris ad angulos rectos LM, ac per radios Mee, M geg; reperiatur dia meter vera NO, circuli dati obliqui in ſphæra; erit OM, vel NL, arcus altitudinis poli ſupra eundem circulum maximum obliquum. Nam ſi circulus ABCD„W. 2d ae matur pro circulo Analemmatis per polos muudi,& po los circuli obliqui per ploraré. eirculum PH SI repræſentati ducto, poli mundi ſunt L,& M, vt Num. 1. dictum eſt,& NO, communis ſectio eluſdem circuli obliqui,& circuli Analemmatis ABCD, vt ibidem oſtendimus. Inclinatio autem eiuſdem circuli obliqui ad Acqua torem erit arcus dk, pimirum complementum altitudinis poli LN; cum complementum altitudinis poli ſupra quemcunque circulum maximum, ſit inelinatio eiuſdem ad Aequatorem, vt conſtat. S ED breuius& altitudinem poli ſupra quemlibet maximum eirculum obliquum,& eius inclinationem ad Aequatorem inueſtiga bimus, etiamſi vera eius diameter inuenta non lit; hoc modo. Ducta per eius centrum,& centrum Aſtro abii, recta RE,& ad eam in centro E, excitata perpendiculari LM, ducemus aden her ee, interſectionem dati circuli cum recta RE, rectam Mee, ſecantem Aequas ate N n n 2 torem quatorem* A ——— 478 L f F Fl. torem in N. Arcus enim Nł, inter pundtum hoc N,& interſectionem rectæ RE cum Acquatore, erit inclinatio dati circuli ad Aequatorein, cum ei reſpondeat portio ee k, vt propoſ. i. Num. 5. oſtendimus, quæ quidem arcum circuli maximi refert, qui per polos mundi,& polos dati cireuli ducitur,& quẽ recta gg mm, exprimit: Conſtat autem, arcum huius circuli maximi inter Aequatorem„& datum cireulum, interiectum, nimirum ee k, inclinationẽ dati circuli ad Aequa · torem metiri. Ex quo fit,& arcum Nk, qui æqualis eſt areui ee k, eandem inclinationem metiri. Altitudo autem poli ſupra eundem circulum datum, exit arcus NL, complementum arcus Nk. A tque hac eadem ratione altitudinem poli ſura quemcumque circulum maximum obliquum in Aſtrolabio deſcriptum; 1 eiuſdemque inclinationem ad Aequatorem reperiemus. PND as., IX. 479 23. P08 TRE MO, dato quouis eirculo max imo tam ad Aequatorem, quam ad Meridianum obliquo, ſiue is Verticalium a liquis ſit, ſiue non, deſcribe mus ex eo Aequatorem Aſtrolabii, ſi tamen altitudo poli ſupra ipſum, vel incli natio eius ad Aequatorem cognita fuerit, hoc modo. Sit datus eirculus maximus quicunque obliquus Lee M gg, euius centrum R. per quod ducta ſit vteunque diameter ggee. Si igitus ex ee, in vtramque partem numeretur altitudo poli ſupra dictum circulum, ſiue complementum inclinationis ipſius ad Aequatorem, vſque ad L, M, junga turque recta LM. quæ in E, bifaeiam ſecabitur, ex cholio prop. 27. lib. 3. Eucl. eritque diameter Aequatoris quæſiti, adeo vt circulus ABCD, ex E, circa LM, deſcriptus, ſit Aequator in Aſtrolabio, ſi datus eirculus Lee M gg, ponatur aliquis circulorum ma ximorum obliquorum. Demonſtratio facilis eſt. Quoniam enim ducta recta Mee N, arcus ce L,& NL, per Lemma 10. ſimiles ſunt; metietur quoque arcus NL, altitudinem poli ſupra datum circulum; ideoque eius complementum N kx, inclinationem eiuſdem ad Aequatorem metietur. Cum ergo, poſito Aequatore ABCD, arcus NL, altitudinem poli ſupra datum circulum Lee Mgg,& arcus Nx, inclinationem eiuſdem ad Acquatorem metiatur, vt Num. 22. demonſtratum eſt, liquido conſtat, recte inuentum eſſe Aequatorem ex data altitudine poli ce“. IT AQVE hoc artificio, ſi offeratur quilibet circulus in plano, qui debeat eſſe determinatus aliquis circulus maximus in Aſtrolabio, inueniemus per eum, ipſum Aequatorem in eodem Aſtrolabio. PROQ BFV PROF. IX. Circulos horarios,& declinationum in Aſtrolabio deſcribere. 1. QVAT VOR ſunt horarum genera. Aequa les à meridie, vel media nocte exordium ſumentes, more Aſtronomorum, quos Germani, Hiſpani,& Galli imitantur: Inæquales, diuidentes quemlibet diem, vel noctem in 12. partes æqua les, quæ apud Hebræos,& apud antiquos fere omnes in vſu fuerunt: Acquales, quarum initium ab ortu Solis ſumitur, quibus Baby lonii xtebantur: A equales denique ab occaſu Solis inchoatæ, quarum vſus olim fuit apud Athenienſes, ho die vero apud Italos remanſit. CIRCVLI horarum à mer. vel med. noct. cæptarum, ita in Aſtrolabio deſeribentur. Aequator vel quiuis eius parallelus in 24. partes æquales diuidatur, & per centrum Aſtrolabii,& pũcta diuiſionũ rette lineæ educantur. Hæ namq. circulos illos repræſentabunt in Aſtrolabio. Cum enim, vt in noſtra Gnomonica lib. 1. propoſ.. oſtendimus, huiuſmodi circuli per polos mundi incedant, ſecentque& Ae quatorem,& eius parallelos in 24. partes æquales, pioiicientur per propoſ. I. Num. I.& 4. in lineas rectas ſe in centro Aſtrolabli inierſecantes, atque adeo A equatorem, omne ſque eius parallelos in partes 24. æquales partien tur. non ſecus atque in ſphæta contingit, cum æquales arcus Aequatoris, eiuſqʒ parallelorum, in arcus æquales proiiciantur in Aſtrolabium, vt propoſit. 2. Num. I. 2. 3.& 4. demonſtratum eſt Quod ſi horæ ſingulæ in Aequatore, vel eius parallelis, ſecentur biſariam,& rurſum per ſectiones ducantur rectæ ex centro Aſtrolabii, deſcripti etiam erunt cireuli ſemihoras indicantes: quæ ſi rurſus bifariam Requatorem ex qabuis circulo, qui dicatur mamum aliquem circulum quum teh bio, delcłibere. Ciren lot horati mer. vel med. e in Aftola, bio delenbere. 480 L. ISB RAI AI. fa riam ſecentur,&c. habebuntur eirculi quadrantes horarum monſtrantes,& ſie deinceps, ſi minores partes horarum deſiderentur. 2. H AE autem lineæ rectæ circulos horarum à mer. vel med. noc. eæptarum referentes, in Aſtrolabiis vulgaribus duei tantummodo ſolent infra Horizontem, vt in hgura apparet; ita tamen, vt tropicum Q; non tranſcendant, ne 5 ren pars Aſtrolabii ſupra Horizontem, in qua deſcripti ſunt Verticales ee & para lleli Horizontis, nimia linearum multitudine confundatur. Ali veto de ſionant eaſdem horas inlimbo duntaxat Aſtrolabii, adſcribentes punctis, in quæ dictes rectæ cadunt, horarum numeros, initio facto à linea meridiana BD,& in ſuperiore parte verſus dexttam, in inferiore vero ſiniſtram verſus e ere 481 do. Deinde in centro Aſtrolabii affigunt regulam quandam volubilem, cuius linea altera extrema per idem centrum ttanfèeat, lincaque fiduciæ dicatur. Hæe enim regula circumducta fungitur munere omnium circulorum horariorum, de quibus nunc loquimur. Idem quoque, quod hæe regula, præſtare poteſt filum pertenue à centro Aſtrolabii egrediens,& per ſingulas horas in limbo circumducta. 3. CIRCVLI maximi declinationum, cum etiam per mundi polos ducuntur, eodem modo in Aſtrolabio deſer ibentur, ſi per centrum,& ſingulos gra dus Aequatoris rectæ linea ducantur, quæ tamen in limbo Aſtrolabij per gradus tantummodo ſolent oſtendi. Nam regula illa volubilis, vel filum ex centro pendens, ſi eircumducatur per ſingulos gradus, fungetur munere circulorum declinationum per ſingulos gradus ductorum. 4. CIRCVLI horarum inæqualium ſingulos arcus diurnos, nocturnosqin duodenas partes æquales diuidentium, ab auctoribus hoc modo in planum Aſtrolabii proiiciuntur. Diuiſis arcubus nocturnis tropici o, QRS,& Aequato ris CDA,& tropici, TVX. in 12. partes æquales,(Nam horæ inæqualès infra Horizontem duntaxat deſcribi ſolent, propter cauſam dictam in horis à mer. vel med. noc.)deſcribunt per terna puncta eidem horæ inæquali reſponden tia circulos, qui in Aequa tore per puncta per diametrum oppoſita tranſirent, ſi producerentur. Hoſce enim circulos arbitrantur horas inæquales monſtrare, vbicunque Sol in Zodiaco exiſtat. Quod omnino verum non eſt. Cum enim hi circuli repræſentent maximos circulos in ſphæra, vt in ſcholio prop. 5. Num.. demõſtrauimus, quod per duo puncta A equatoris per diametrũ oppoſita deſcribantur, nulli autem maximi circuli dari poſsint in ſphęra, qui per horas inæqua les omnium parallelorum tranſeant, hoc eſt, qui ſingulorum parallelorum arcus diurnos, nocturnoſque in duodenas partes æquales partiantur, vt in Lemmate 39. a nobis demonſtratum eſtzperſpicuum eſt, circulos illos deſcriptos non indicare vere duodecimas partes in ſingulis arcubus diurnis, nocturuiſue, tribus illis exceptis, qui in 22. partes æqua les diuiſi ſunt. Quamuis autem huĩuſmo di circuli diuidant ferme in partes 2. æquales, arcus diurnos, nocturnoſque om nium parallelorum in eo Horizonte, ſupra quem polus eleuatur non pluribus grad ibus, quam. ita vt diſcrimen aliquod vix poſsit ſenſu percipiziidem tamen in maiore obliquitate ſphæræ: ſi diui lant trium parallelorum arcus diurnos, nocturnoſue in 12. partes æquales, nunquam partientur arcus diurnos, nocturnoſue aliorum parallelorum in partes æquales, ſed ita inæquales partes etficient, vt ſenſu percipi poſsit earum diſcrimen, eoque maior inter eas reperiatur inæqualitas, quo maior altitudo poli extiterit: quemadmodum tanto minor inæqualitas inter eaſdem cernitur, quanto minor fuerit poli altitudo ſupra Ho rizontem, quam grad. 45. Itaque vt verius boræ in quales in Aſtrolabio deſcribantur, deſcribendi erunt plures paralle li inter Aequatorem,& vtrumque tropicum, eorumque arcus nocturni in 12. partes diſtribuendi, ac tandem ſingularum horarum puncta, quę in circuli circumferentia minime ſita ſunt, vt vulgo putatur, congruenter lineolis inflexis comungenda, ita vt nuſquam angulos ef. liciant, non ſecus atque in hyperbolis,& aliis ſectionibus conicis deſet ibendis ſeri ſolet. Si tamen quiſpiã velit omnino horas inæquales per circulos in Aſtro labio deſignare, pro nihilo ducendo modicum illud diſerimen, de quo diximus, vt facilius,& expeditius eiuſmodi circulos deſeribat, inuenire debet eorum cen tra im lineis rectis, quę Aequatorẽ᷑ in 24. partes ęquales ſecã t, hoc eſt, in lineis ho rarum à mer. vel med. noc. inchoatarum, ſi producantur. Nam cuiuslibet circuli centrum Beclinationam circulos in Afttro labio deſctibers. Circulos horarł inæqualium ſecundum zuctores Aſtrolabii de ſcribere in Allr labio. Circulos hort inzqualium com muuiter deſcii ptos, non indica re vere hotas inæ quales toto au; ni tempore. Horas inæquales vet ius per paatets duodecimas pla rium ↄrenũ diur norum dæſcribi. 482 L IRH 91 gectia horamm centrum exiſtit in ea linea, quæ in Aequatore diſtat 6. horis integris a duobus ee 1e illis punctis, per quæ circulus ille trãſire debet. Vt v. g. arcus, vel circulus HEP, per puncta Aequatoris E, G, deſeribendus, centrum habet in recta EM, ducta per V, punctum Aequatoris, quod 6. horis à punctis, G, abeſt. Nã cũ recta EM, à punctis F, G, diſtet æqualiter, fit, vt circulus ex quocunque eius puncto per alterutrum punctorum F., G, deſcriptus, tranſeat quoque per reliquum, quemade 5 1 modum& Horizon centrum ſuum habens in meridiana linea BD, quæ in equa tore à punctis A, C, quadrante abeſt, tranſit per vtrumque punctum A. C, vt in ſcholio propoſ 5. Num. i. oſtendimus. Quod etiam ſic demonſtrari poterit. Quo 1 niam recta E, ſecat diametrum Aequatoris EG, bifariam,& ad angulos rectoe, antibus YF 8 quod ex ſcholio propoſ. 2. lib. 3. Eucl. anguli in centro E, quadr 1 O, in 1 R me. IIX. 483 Y, inſiſtentes, recti ſintztranſibit eadem EM, per centrum cireuli per puncta E, G, deſcribendi, ex coroll. propoſ. r. lib. 3. Eucl. cuiuſmodi eſt circulus datæ horæ inæqualis. Quare ſatis erit in hac linea EVM, reperire centrum eirculi tranſeuntis per alterutrum punctorum reſpondens in tropico, vel: quod quidem facile fiet, aperiendo, vel elaudendo eireinũ magis, aut minus, prout res exigit. Geometrice tamen idem centrum reperies, ſi ex G,& H, quouis interual lo eodem hine nde binos arcus ſe mutuo in K, L, interſecantes deſeribas: Item alios ex punctis N. P, ad quoduis interuallum ſecantes ſeſe in N, O. Rectæ nam que LK, OL, per illas interſectiones traiectæ ſecabunt rectã EV M. in M, centro areus H Eb, vt ex iis conſtat, quæ in ſcholio ꝓropoſ. 25. lib. 3. Eucl. demon ſtrata ſunt a nobis. Eademque prorſus eſt ratio in centris aliorum arcuum inueniendis. 5. CIRCVL Os denique horarum ab ortu, vel occaſu Solis in Aſtrolabium proiiciemus hac ratione. Circa E, centrum Aſtrolabii per F, centrum Horizontis deſcriptus circulus FG, in 24. horas æquales diſtribuatur, quæ in ſemiſses, quadranteſque hora rum, ſi libuerit, ſubdiuidantur, atque ex punctis diui ſionum, vt centris, interuallo ſemper eodem ſemidiametri Horizontis EH, circuli deſcribantur. Dico hos circulos horas indicare ab ortu, vel occaſu Solis, hoc eſt, referre circulos maximos in ſphæra, qui omnes parallelos Aequatoris inter maximos ſemper apparentium,& latentium interiectos, in partes æquales Partiuntur, initio facto ab Horizonte. Quoniam enim per proppf. 10. lib. 1. noſtræ Gnomonicæ, huiuſmodi circuli parallelorum ſemper apparentium maximum, ac proinde& oppoſitum, nimirum ſemper latentium maximum, tangunt in punctis, in quibus à circulis horaruu ã mer.& med. noc, ſecantur, neceſſe eſt, vt lidem faciant idem in Aſtrolabio. Cum ergo circuli ex punctis diuiſionum circuli PG, ad interuallum ſemidiametri Horizontis deſeripti, tangant duos pa rallelos KL, HI, quos Horizon tangit,& quorum hic eſt ſemper apparentium, ille vero ſemper latentium maximus, in punctis, in quibus rectæ lineæꝶ per centrum Aſtrolabii tra ĩectæ, referenteſque eirculos horarum à mer. vel med. noc. vt oſtenſum eſt, eoſdem ſecant, vt monſtrabimus, liquet, circulos deſcriptos, eſſe circulos horarum ab ortu,& occaſu Solis. Ducatur enim per E, centrum Aſtrolabii,& pundum G, recta EG, ſecans parallelos' K L, HI, in L, I. Et quia tam EK, EL, inter ſe, quam EH, EI, æquales ſunt, erunt totæ KH, LI. æquales. Rurſus quia æquales ſunt EE, EG, erunt quoque rectæ BH, GI, æquales. Cum ergo FI, ſit ipſius K I, ſemiſsis, erit& GI, ſemiſsis ipſius L I. Circulus igitur LhI, ex G, ad interuallum GI, vel GL. deſcriptus ſemidiametrum habet æqualem ſemidiametro Horizontis E H, tangitque ex ſcholio propoſ. 13. lib. 3 Eucl. parallelos KL, HI, in L, L, punctis, in quibus recta LI, repræſentans vnum ex circulis horarum à mer.& med. noc. eoſdein ſecat. Ea dem ratione oſtendemus, alios circulos ex aliis punctis diuiſionum circu Ii FG, ad interuallum ſemidiametri Horizontis deſcriptos, tangere parallelos KL, HI, in punctis, in quibus a rectis per centra eiectis ſecantur, hoc eſt, eorum diametros inter vtrumque parallelum poſitas ſecari a circulo EG, bifariam, ipſoſque circulos Horizonti eſſe æquales. Et certe, circulos horarum ab ortu,& occaſu proiici in Aſtrolabium in circulos æquales, hinc etiam manifeſtum eſſe poteſt. Quoniam enim in ſphæra tangunt maximum parallelorum ſein Per apparentium,& maximum ſemper deliteſcentium, in 24. punctis dictos parallelos in 24. horas æquales ſecantibus, vt ex propoſ. o. lib. i, noſtræ Gnomonices liquet, ipſi ex ſchol io propoſ. 21. Iib. 2. Theod. ad Aequatorem æqualitet melinati erunt, ac proinde eorum poli ab eodem Aequatore æqualiter diſta8 O oo bunt: Circulos horatũ. ab ortu,& o cc ſu in Aſtro labio deſcribete. Cireulos horatd ab ortus vel occa ſu, in Aſtrolabio elle æqdales. 484 L I M MN I I. bunt rex quo fit, eos omnes, vnà cum Horizõte, æqualiter à polo antarctico abeſ ſe, ideoqʒ ex eo polo inſpectos apparere inter ſe æquales; vt vel hinc etiam conſtet, dictos circulos eſſe rede deſeriptos, cum omnes Horizonti ſint æquales. ob ſemidiametros æquales, repræſententque circulos maximos, quippe qui paduos oppoſitos KL, HI, tapgant, eos nimirum, quos Horizon tangit, a F.. Theo. perſpicuum auiem ſit, Horizontem duos parallelos oppoſitos contingere. Ex hoc inferre quoque licebit, quemlibet horum circulorum tranſire per duas ho: ras in Aequatore per diametrum oppoſitas,& quæ 6. horis, id eſt, quadrante a recta per ſuum centrum ducta abſint, quemadmodum& Horizon tranſit per horas A, C, per diame trum oppoſitas,& à recta ducta per centrum E. g. horis diſtantes. Omnis enim circulus maximus in Aſtrolabio ſecat Aequatorem bifa! riam in punctis per diametrum oppoſitis, vt in ſcholio propoſ 3. Num. 6.* 5 um 5 ein.. fum eſt,& clarius in ſcholio propoſ. iz. demonſtrabitur. Ita vides circulum ex G, deſcriptum tranſire per horas M. N, in Aequatote per diametrum oppoſitas, & quæ hõris g. a recta per centrum G, ducta abſunt. g 6. SOLENT autem circuli horarum ab ortu, vel occaſu in vulgaribus Aſtrolabiis(in quibus deſeribi ſolent. neque enim in omnibus de ſer ibuntur.)de ſcribi tantummodo infra Horizontem, ita tamen, vt tropicos non tranſgredian tur, propter cauſam paulo ante in circulis horarum. a mer.& med. noc. allatam, veluti in figura apparet, vbi exteriores numeri ad horas ab occaſu,& interiores ad horas ab ortu pertinent: quamuis hi arcus ſatis non ſint ad horas ab ortu 3 & occaſu tam diurno tempore, quam nocturno inueſtigandas, vt lib. 3. Can. 8. Num. 3. dicemus. Re ipſa tamen, ſi huiuſmodi circuli deſeribendi eſſent integri, arcus circuli per puncta O, P, ex Q, deſcripti ſupra Horizontem ex parte orientali C, ſpectaret ad horã i. ab ortu Solis, eiuſdem vero arcus in fra Horizontẽ ex parte occidentali A, ad horam 1. ab oecaſu Solis pertineret: quemadmodũ& ar eus ſub Horizonte per M, tranſiens ad horam 23. ab ortu,& arcus per N, ſupra Horizontem incedens ad horam 23. ab occaſu ſpectare deberet,& ſic de cæteris horis: quod ſuo tiam loco in vſu Aſtrolabii monebimus,& iamiam aliquo modo explicabimus. 7. SI circulus propoſitæ horę ab ortu, vel oecaſuſſiue integra ea ſit ſine mi nutis, ſiue ei aliquot minuta adhæreãt deſcribẽdus ſit, effieietur id hoc modo. Numeretur data hora(reductis horis, earumque minutis, ſi adſint, ad gradus, ac minuta graduum, tribuendo ſingulis horis quindenos gradus,& quaternis minu tis horæ ſingulos gradus,& ſingulis horæ minutis quindena minuta vnius gradus, xc)in Aequatore à puncto C, verfus B, ſi hora data ſit ab ortu, vel à puncto A, verus D, ſi hora ab occaſu ſit data. Per terminum enim numerationis deſcribendus erit eius horæ eirculus; cuius centrum ita inuenictur in parallelo FG, ex centro Aſtrolabii pet E, centrum Horizontis deſeripto. Sumpta, circini beneficio, ſemidiametro Horizontis EH, vel FK, ſtatuatur vnus eius pes in puncto Aequatoris inuento,& altero parallelus EG, duobus in locis ſecetur. Altera enim harum ſectionum centrum erit quæſitum: ſed vtra earum accipienda fit, ex his diſces. Quoniam omnes circuli horarum ab ortu, vel occaſu æquales ſunt in Aſtrolabio, tanguntqʒ duos parallelos HI, KL, in 24. punctis, in quibus 4 eirculis horarum à mer, vel med. noc ſecantur, vt ſupra Num. 5. diximus,& in iſtis punctis contactuum bifariam diuidũtur, cum in quolibet duo puncta conta ctuum ſint per diametrum oppoſita, ex coroll. propoſ. 6. lib 2. Theod. pertinebunt ad idem genus horarum ſemicirculi inter puncta contactuum comprehenſi non cohcurtentes, vel non ſe interſecantes, a cum hi ex parallelis Aequatoris arcus ſimiles abſcindant. Huiuſmodi ſunt ſemicirculi HAK, INL, RST, VMX, Va. Et quia primus HAK, cum ſit ſemicirculus Horizontis, ad partes oceidentales Aſtrola bi, ad occaſum Solis ſpectat, pertinebunt alij quatuor nom inati ſe mic irculi ad horas ab occaſu. Eodẽ modo reliqui ſemicirculi HC R N RZ. T. VNX, XSa, non concurrentes ſunt, ac proinde cum primus ſit ſemicireulus Horizontis ad orientales partes Aſtrolabii, ſpectetq; ad ortum Solis, indi cabunt alii quatuor nominati ſemicirculi horas ab ortu Solis: Vbi vides cuiusli bet circuli hora rum ab ortu; vel occaſu ynum ſemicirculum inter duo puncta contactuum interceptum ad horas ab occaſu, alterum vero ad horas ab ortu pertinete. Ex his difficile non erit iudicare, vtranam duarum ſectionum in paral lelo F G, ſumenda ſit pro centro eirculi horarii per punctum in Aequatore inuentum deſcribendi: quippe cum ea eligenda ſit, ex qua ſemicirculus horam ab Oo 2 occaſu Horæ ab ortu,& oc caſu quo pacto in vulgari bus Aſtrolabiis de ſe ribi ſoleant. & quem otdiaẽ teneant. Per qu puncta Aequatoris vete arcus horurũ ab ortu,& per qus arcus horarũ ab occaſu deſcriben di ſint: boc eſt, quæ horz à mer. vel ued. noc. in Ae quat ore perri meant ad horas ab ortu,& qu æ ad horas àb occa ſu. C irculum propo ſitæ horæ ab or213. 2. The. Qaij ſemicitculi horarum ab ortu, el occaſu, ad horas ab ortu,& qui ad hotas ab occaſu pertineãt oog nolcert. E MW MN 10 K. occaſu indicaturus, atque inter duo contactuum pundta inc luſus, deſe ribendus cum ſemicirculo Horizontis HAK, vel cum quouls alio ad horas ab occaſu ſſ pe ctante non cõcurrat. Eademque ratione ſemicirculus horam ab ortu in licaturus, ex alſumpra ſectione deſctibendus cum ſemicirculo Horizontis HCK, vel n quolibet alio ad horas ab ortu ſpect tante concurrere non debet. Exempli cauſa, ſi deſcribendus ſit ſemicirculus horæ 15. ab occaſus vel ab ortu, numeracu LI * 1 bimus in edward ex A, puncto occaſus verſus D, 15 horas vſque ad 8, velex C, puncto ortus verſus B, horas etiã 15. vſque 2 Z. Nam per 8, incedet ſenicir culus horę i. ab occa ſu.& por Z, ſemicirculus horæ 15. ab ortu. Et quia ſemidiameter Horizontis HE, vel F K, beneficio cireini accepta ex puncto tam S, quam Z, exhibe tighis i n parallele FG, duo puncta b, d, ſtatuendum erit Leb trum d, non autem bᷣ:quia neque ſemlcirculus KS T, ex 00 deſeriptus cum ſemicircule IX. 487 eirculo Horizontis N AK, neque ſemicirculus RZ T, cum Horizontis ſemicirculo HCK, concurrit: at tam ſemicirculus VSa, ex b, deſcriptus cum ſemicirculo Horizontis HAK, in puncto e, quam ſemicirculus Za, cum ſemicirculo Horizontis HCK, in puncto f, concurritzae proinde neque ille ad horam 15. ab occaſu, neque hie ad horam 1. ab ortu pertinebit, ſed ille quidem horam 3. abortu, hic vero horam 3. ab occaſu indicabit: propterea quod punctum 8, diſtat 3. horis ab ortu C, verſus B, ſemicirculuſque VYSa, cum ſemicirculo Horizontis HCK, non concurritʒ punctum item Z, abeſt 3. horis ab occaſu A, verſus D,& ſemicirculus VZa, cum Horizontis ſemicirculo HAK, non concurtit. Ean dem ob cauſam ſemicirculus horæ 11. ab occaſu per punctum M,& ſemicirculus horæ 11. ab ortu per punctum N, tranſibit, atque vtriuſque centrum erit pun ctum g, non autem G. Nam neque ſemicirculus VM x, ex g deſcriptus cum Horizontis ſemicirculo HAK, vel cum ſemicirculo RST, horæ y. ab occaſu, ne. ue ſemicirculus NX, cum ſemicirculo Horizontis HCK, vel cum ſemicircuJo RZ T, horæ 15. ab ortu concurtit: At tam ſemicirculus IML, ex G, deſeriptus ſemicirculum Horizontis HAK, inter puncta I. I, vel ſemicirculum RST, horæ 15. ab occaſu in puncto h, quam ſemicirculus INL, ſemicirculum Horizontis HCK, in puncto k, vel ſemicirculum RZ T, in puncto m, interſecat; ac proinde neque ſemic irculus IML, ad horam 11. ab occaſu, neque ſemicirculus INL, ad horam II. ar ortu pertinebit, ſed ille quidem horam 23. ab ortu, hic ve ro horam 23. ab occaſu monſtrabit. Atque ita de cæteris. FA CILIVS idem cognoſcemus hoc modo. Numerata hora ab ortu ex C, verſus B, vel hora ab occaſu ex A, verſus D, deſcribatur per finem numerationis ad interuallum ſemidiametri Horizontis ex centro in paxallelo FG, aſſumpto circulus, ita vt eius conuexo occurramus ex C, verſus B, progredientes, hoc eſt, ita vt eius conuexum vergat verſus partes Zodiaci orientales, vel poſterius orientes, ſi ad horam ab ortu ſpectet g vel ita vt eius concauo ex A, verſus D, occurra mus, ſi pertineat ad horam ab occaſu, lioc eſt, ita vt eius concauũ reſpiciat partes Zodiaci orientales, vel poſterius orientes. Vt ſi per&, deſeribẽ dus it circulus horæ 15. ab oce, ponemus pedẽ vnũ circini in S,&alterũ ad interuallum ſemidiametri FH, vel EK, extendemus vſque ad d,& ex d, per d, circulum deſcribemus R, ita vt eius concauum à puncto S, vergat verſus A, procedendo ab 8, ſiniſtram verſus, ſiue verſus ſigna orientalia ſecundum ſucceſſionem ſignorum. Si vero per idem punctum S; deſeribendus ſit circulus horæ z. ab ortu, deſcribemus prędicto interuallo eodem, ex cẽtro b, per 8, circulũ SV. ita vt eius conuexum à puncto S. tendat verſus C. progrediendo ab S, ſiniſttam verſus ſecundum ſucceſsionem ſignorum. Eodem modo ſemicirculus per M. deſcriptus ex G, pertinebit ad horam ab ortu, eo quod ex C, per B, progtedientes oc curramus eius conuexo in M: At ſemicirculusper N. ex eodem centro G, deſcriptus, ad horam ab occ. ſpectabit, quia ab A, per D, procedentes occurrimus eius concauo in N.& ſic de cæteris: ĩta vt ſemper progrediamur ab ortu 8 0 in occaſum contra ſucceſsionem ſignorum. 8 s. NON diſsimili ratione per quoduis punctum intra parallelos HI, KL, eee in Aſtrolabio datum, tam ſemicirculus ad aliquam horam ab occaſu, quam ſe- 3„ micirculus ad aliquam horam ab ortu ſpèctaps de ſeribetur. Vt ſi datum ſit. dum n, inuenientur per ſemidiametrum Horiaontis beneſicio circini ex u, duo eee centra G, b, in parallelo FG. Ex priore deſeribetur per n, ſemicireulus INI, ad er horas ab occafu pertinens, cum ex A, per D, progredientes, contra ſucceſ- ab Cecaſn pede bonem videlicet ſignorũ, occurramus eius concauo in puncto N; ex poſteriore in altolabis dg * 7- autem ſexibete. gemierreulusqni u bet horæ alicu ius ab ortu; vel occaſu deſeti ad quam h abortu, ve 4 ineat, co. n eſſe alti em poli ſntu pta omnes circu los horatum ab ortu, vel occaſu, quæ eſt ſupta Ho ti ⁊ ont em. Domes exleſtes, vt à Io. Regiom. conſtit u in Aſtrolabio deſcri bere. Ektra domorum erleſtium itcpetie. 488 LI nutem per idem punctum n, ſemicirculus YSa, ad horas ab ortu ſpectans; pro · pterea quod ex C, verſus B, progredientes, contra ſueceſsionem videlicet ſignorum, eius conuexo occurrimus in puncto S. Arcus autem Aequatoris ab ocaſu verſus D, vel ab ortu C, ver ſus B, vſque ad ſemicirculum horæ ab occaſu, vel ortu numeratus indicabit, quotam horam ab occ. vel or. deſeriptus ſemicir culus ſigni ficet. Atque hoc eodem modo cognoſcemus, ad quam horam ab ox. vel occ. deſeriptus quiuis ſe micirculus horarius ſpectet, ſi nimirum ex A, puncto occaſus verſus D, arcus Aequatoris vſque ad eum numeretur, ſi ad horas ab occ. pertineat/ vel ſi ex C, puncto ortus ver ſus B, vſque ad eum numeratio fat, ſi ad horas ab or ſpectet,&c. 9. CAE T ERV M neque hoc diſsimulandum videtur, eandem eſſe poli al titudinem ſupra omnes eireulos horarum ab or. vel occ. quæ eſt ſupra Horizon tem. Cum enim eundem parallelum HIR, tangant, cadent omnes arcus altitudinis poli ex polo ad puncta contactuum, ac proinde æquales erunt; quos in fgura repræſentant rectæ EH, EI,& aliæ ex centro Aſtrolabii vſque ad contactus eductæ, quæ quidem ſunt portiones rectarum per eorum centra ductarum, & maxi mos circulos referentium, qui per eorum polos,& polos mundi ducumtur. Cum ergo EH, altitudinem poli ſupra Horizontem metiatur, conſtat propoſitum. PRO BL. VII. PROP OS. X. CIRCVLOsS domorum cæleſtium, ſiue poſitionũ, & lineã Crepuſculi, vel auroræ in Aſtrolabio deſcribere. 1. CIRCVILI domorum cæleſtium, qui& poſitionum circuli dicuntur, tranſeuntes per communes ſectiones Horizontis, ac Meridiani, diuidenteſque, vt vult Ioan. Regiom. A equatorem in 12. partes æquales, initio facto a ſe micirculo orientali Horizontis, qui ex eotum numero vnus etiam eſt,& verſus hemiſphæriuin inferum progrediendo hoc modo in Aſtrolabio de ſctibentur. Diuiſo Aequatore in 12. partes æquales, deſcribantut per puncta ſectionum;& per puncta F„G, in quibus Horizon meridiana mlineam iaterſecat 5 circuli, inuento cẽtro pro quibuslibet tribus punctis, quorũ duo ſunt F, G,& tertium in Acquatore. Hi enim per initia domorum cæleſtium incedent, vt eas Ioan. Regiom. diſponit, tranſibitque quilibet eorum, cum ſit maximus,(quippe cum per duo puncta F, G, per diametrum in ſphæra oppoſita ducatur.) per duo puncta in Aequatore per diametrum oppoſita, vt oſtendimus in ſcholio propoſ. 5. Num. C. clariuſque in ſcholio propoſ. 12 demonſtrabimus. Ita vides eirculum FK G. domus 3.&. duci per puncta K. L. in Aequatore per diame trum oppoſita. Ex quo fit, centrum cuiuslibet circuli exiſtere in recta, quæ in 2 E, diametrum Aequatoris ſper duo illa puncta oppoſita ductam ſecat ad angulof rectos. hoc eſt, quæ ſemicirculum Aequatoris inter illa duo puncta oppoſita bi ariam ſecat. Nam perpendicularis illa, cum dictam diametrum Aequatoxis ſecet bifariam,& ad angulos rectos, tranſibit per centrum cuiuſuis cit. per teme puncta eius diametti tranſeuntis, ex coroll. propoſ 7 5 t.. eg 105 rculus domus cæleſtis propoſita. Vt centrum circuli EKG v erit in 05 N. KL, in E,& ſemicirculum KNL, diuidit bi fat iam in N Jagne ad diaC1 quæ diametrum nn is.. 489 ad diametrum KL, perpendicularis; cum omnia puncta huius rectæ æqualiter abſint à punctis K. L, per quæ circulus duei debet, vt de centris horarum inæqualium di ctum eſt in propoſ. præcedenti Num. 4. Et quia. ex eodem coroll propol. 1 lib. 3. Eucl. eadem centra exiſtunt quoque in recta OP, ſecante meridianam lineam FG, ad angulos rectos in centro Horizontis H,& bifariam, quod & huĩus rectæ omnia puncta à punctis FE, G, per quæ ci rculi domorum ducendi ſunt, æqualiter diſtent, quemadmodum propoſ.8 Num. 2. de centris Vertiealiũ in recta PQ, exiſtent um dictum eſtz fit, vt centrum circuli EK GL, ſit punctum M. vbi rectæ EN, Op, ſe interſecant: eademque ratio eſt de cæteris. Nam& alio rum eirculorum centra ſunt puncta Q. R, S, in quibus rectæ ex centro E, per hun cta diuiſionum Aequatoris ductæ rectam OP, interſecant. Itaque ſi ex E, per 400 L421 c R 1 41 T per ſingulos gradus Aequatoris rectæ educantur, ſecabitur recta Op, in centris circulorum poſiti onum per ſingulos gradus Aequatoris tranſeuntium, diuidentiumque ſingulas domos cæleſtes in tricenos gradus, quemadmodum recta EN, per N, grad 30. à puncto C ducta obtulit M, centrum eirculi EK GI qui per K, gradum 30. Aequatoris à Meridiano numeratum deſcriptus eſt. rer datam ad 2. QVO D ſi per quemcumque gradum Aequatoris à Meridiano diſtane tem circulus poſitionis deſeribendus ſit, numerabimus eundem gradum ex C, RNoſtionis deſcti· verſus B, ſi gradus Aequatoris datus fuerit ex parte occidentali, vel ſi ex parte ; orientaliextiterit, ex A. Recta namque ex E, per finem numerationis emilla dabit ir recta OP, centrum quæſiti circuli. Vt ſi deſcribendus ſit circulus poſitionis per punctum g, grad. o. diſtans à B, puncto meridiei. ad partes occidentales, r. 491 ſupputabimus ex C, grad. Go. vſque ad ẽ. Rocta enim Es, dabit centrum Q e quo circulus per punctum datũ g,& puncta E, G, deſeribẽdus eſt.& ſic de cæteris. Re cte autem deferiptos eſſe circulos domorum cæleſtium, vt eas conſtituit Ioan. Regiom. manifeſtum eſt, cum in forma circulari appareant, deſeriptique ſint per illa puncta, per quę in cælo ducuntur à Ioan. Regiom. nimirum per partes duodecimas Aequatoris,& per puncta F, G, inter ſectionum Horizontis, ac Meridiani. ö 3. CIRCVLI autem cæleſtium domorum, vt a Campano in cælo conſtituuntur, diuidentes nimirum Verticalem circulum primariũ in 12. partes æquales, t ran ſeunteſque per eadem puncta E, G, interſectionum Horizontis, ac Meridiani, eodẽ modo deſcribentur in Aſtrolabio, ſi pro duodecimis partibus Acqua toris ſumantur partes duodecimæ Verticalis primarii, non quidem duodecimæ partes æqua les ipſius, vt in Aequatore factum eſt, ſed inæquales„ quæ duodecimis partibus æqua libus Verticalis primarii in ſphæra reſpondent, reperiunturq; per rectas ex alterutro polorũ G, E, Ver ticalis p 12. partes Acqua toris eductas, vt propoſ. 5. Num. 1.& 20. traditum eſt, velaliis viis, quas partim propoſ. 5. partim propoſ.. præſertim vero propoſ. 6. Num. 2 5.explicauimus. Nam inuentis hiſce partibus duodecimis Verticalis, ſi per quodlibet illorum,& per puncta F, G, circuli deſcribantur, quorum centra in recta OP, exiſtunt. incedent ij per initia domorum cæleſt ium„vt à Campa no concipiuntur, tranſibitque quilibet eorum per duo puncta Verticalis per diametrum mundi, quæ qui dem per E, centrum Aſtrolabii ducitur, oppoſita, cum maximum circulum referat, àc proinde alios maximos circulos b it ariam ſecet. Ita vides cire ulum Fa Gb, domus 3. ac 9. ductum eſſe per puncta Verticalis a, b, quæ per diiametrum opp onuntur. 4. Hs coſdem circulos poſteriores domorum cleftium ita quoque deſcribemus. Quoniam per polos Verticalis primarii in ſphæra, hoc eſt, per inte rſectiones Horizontis, ac Meridiani dueuntur, Vert ica lemque primariũ in partes æquales diuidunt, ita ſeſe habebunt reſpectu Verticalis primarij, vt eir culi Verti cales reſpectu Horizontis tranſeuntes per polos Horizontis, hoc eſt, per interſectiones Verticalis primarij, ac Meridiani, ddiuidenteſque Horizontem in partes æquales. Quamobrem quemadmodum in propoſ. 8. Num. 1.& 2. centra Vertica lium inuenta fuere in recta PQ, quæ per centrum Verticalis primarii in prima figura illius propoſ. ad meridianam lineam perpendicularis ducitur, ita quoque hic centra eirculorum cæleſtium domorum, quas Campa nus ſibi fabricatus eſt, reperientur in recta OP, quæ per H, centrum Horizontis ad lineam meridianam perpendicularis traiicitur, eſtque communis ſectio Aequatoris, planiue Aſtrolabii,& paralleli Verticalis primarii, qui per polum antarcticum ducitur, cuius quidem diameter in figura prima propoſ. 5̃. eſt recta Aczquemadmodum& recta illa PQ, in figura prima propoſ.&. eſt communis ſetio eiuſdem Aequatoris, vel plani Aſtrolabii,& paralleli Horizontis per polum antarcticum ducti, cuius quidem diameter in eadem prima figuta propoſ. 5. eſt recta A l. Eadem namque vtrobique erit demonſtratio. Nam ſi Vexticalis primarius inte lligatur eſſe Horizon aliquis obliquus, erit Horizon eius Verticalis primarius,& puncta P, G, eiuſdem poli. Itaque quoniam per poſteriores ho ſce circulos domorum cæleſtium Verticalis primar ius, tanquam Horizon ali quis obliquus diuidendus eſt in 12. partes æquales, qui quidem ſunt numero ſex duntaxat, cum ſinguli per bina puncta Verticalis incedantzdiuidemus Horizontem AEC Gy ac ſi eſſet Verticalis prima rius ipſius Verticalis Aa Cb, tanquam Ho rixontis cuiuſpiam; in. partes inter ſe om nino æquales: Deinde ex puncto F, Pp p vel G, Damos cx leſtes, vt eas Campauus conſtituit is Aſtro labio deſeti bere. Domos cæleſtes, vt e Campaipfus Verticalis primarii, tanquã Horizontis, deſcribere. E vel G, per has ſectiones lineas rectas ducemus, ſecantes rectam Op, in punctis O, T, HV, P, quæ centrs erunt circulorum domorum cæleſtium per puncta P, G, deſcribendorum, inſtar Verticalium reſpectu Verticalis Aa Cb, tanquam Horizontis, vt propoſ 8. demonſtratum eſt. In figura priores eirculi ex ſententia Ioan. Regiom deſeripti appoſitos habent nume ros antiquos, hoc modo. J. II. IL&c. Poſteriores vero ſecundum Campanũ, vſitatos numerorum characte res habent afſixos, hoc modo, t. 2. 3. 4.&c. Atque omnes hi circuli ita ſolent deſcribi, yt tropicum, non tranſcendant: quod nos quoque obſeruauimus. Quod ſi ex E, ad quoduis interuallum circulus deſeribatur 9%,& in 3% grad. diſtribuatur, initio facto à puncto, dabunt rectæ ex F, per ſingulos gra dus illius circuli ductæ, in recta OP, centta omnium circulorum poſitionum per PIR o N G 8. IX. 493 per omdes gradus Verticalis primarii tran ſeuntium, ſingulaſque domos cceleſtes diuidẽ tium in tricenos gradus. Nam quemadmodum recta Eper punctũ u. grad. 120. à puncto G. Meridiani di ſtans cadit in O, centrum circuli poſitionis Fa, gradibus 60. ab Hôrizonte remoti, ita in idem centrum incidet recta F, ducta per punctum 4, grad. Go. à puncto, Meridiani diſtans, propterea quod ea dem recta per vtrumque punctum, tranſit exLemmate o. cum arcus V, ſemiſsi arcus G, ſimilis ſit,&c. 5 5. QVO D ſi per quemcunque gra dum Verticalis primarij ab Horizonte diſtantem circulus poſitionis deſetribendus ſit, numerabimus eundem gradum gra dum ex ꝙ, verſus I, ſi gradus Verticalis datus fuerit ex parte occidental li ex parte orientali extiterit, ver ſus 9. Recta namque ex F per finem numeratio nis emiſſa dabit in recta OP, centrum quæſiti eireuli. Vt ſi deſcribendus ſit cireulus poſitionis per punctum Verticalis, quod ab Horizonte ex parte orientali grad bo. diſtet verſus Zenith, ſumemus arcum V. grad. Go. Recta enim Fh, dabit centrum P. è quo circulus per puncta F, G, deſcriptus tranſibit per, punctum Verticalis grad. 60 à puncto Horizontis C, diſtans verſus Zenith. Si autem punctum in Verticali proponatur infra Horizontem quotcunque gradibus diſtans ab Horizonte, ſiue ad partes orlentales, ſiue oecidentales, deſeribemus per puntum oppoſitum, quod ſupra Horizontem exiſtit, ad contrarias partes cireulum poſitionis, vt dictum eſt. Hic eh im tranſibit etiam per punctum datum. Vt ſi deſeribendus proponatur circulus poſitionis per grad. 60. Verticalis infra Horizontem ex parte orientali, deſeribemusʒ vt dictum eſt, circulum per grad. Co. ſupra Horizontem ex parte occidentali, hoc eſt, numerabimus grad. Go. ex vſque ad q, ex parte orientali, vt recta F, centrum Of exhibeat,&c. Idem efficie mus, ſiue punctum datum Verticalis ſit ſupra Horizontem; ſiue infra, ſi iñuento eo puncto in Verticali, ex eius diſtantia ab Horizonte, vt propoſ. 5. Num. 18. tra ditum eſt, per ipſum,& per duo puncta E, G circulum, ex ſcholio propoſ. 5. I. 3. Eucl. deſcribamus, cuius centrum erit in recta OP. 6. IAM ſi per quoduis punctum in Aſtrolabio extra Aequatorem,& Vertiealem primarium, afsignatum deſeribẽdus ſit eirculus poſitionis, inuen ĩendum eſt in recta OP, centrum trium punctorum, quorum duo ſunt E,&,& tertium illud, quod propoſitum eſt. Areus autem Aequatoris inter punttum A, vel C,& inter ſectionem circuli deſeripti cum Aequatore metietur diſtantiam cir culi po ſitionis ab Horizonte in A equatore. Item arcus Verticalis inter A, vel C,& deſeriptum poſitionis circulum metietur eiuſdem circuli diſtantiam ab Horizonte in Verticali,, ſi prius per ea, quæ propoſ. 5. Num. 19. demonſtrauimus, inquiratur quot gradibus arcus ille Verticalis æquius leat. Atque eadem hac ratione per arcum Aequatoris, vel Verticalis inter A, vel C,& quemcumque circulum poſitionis poſitũ, cognoſcemus, quantum ille cireulus poſitionis diſtet ab Horizonte ſiue in Aequatore, ſiue in Verticali, prout vel es ſententia Ioan. Regiom. vel Campani, deſcriptus eſſe intelligitur: ac proinde intelligemus, quantam portionem ex domo cæleſti abſcindat circulus quilibet poſitionis. 7. LINEA crepuſculi, ſiue Auroræ deſcripta erit, ſi parallelus Horizontis rp, deſcribatur, diſtans ab eo grad. 18. verſus Nadir: propterea quod Sole, vbicunque in Ecliptica exiſtat, parallelum Horizontis grad. r&. ſub Horizonte exiſtentem attingente, crepuſculum matutinum incipit,& veſpertinum finitur. Ita autem per ea, quæ propoſ. i. demonſtrata ſunt, dictum parallelum rp, deſeribemus. In Acquatore ducta Horizontis diametro d e,& eius axe f g, ſuman: tur infra d e, duo areus d h, eL, grad. 18. ita vt recta ducta hL, diameter ſit paral0 PP p 2 leli el Per quoduis pun Quantum quilibet circulus ꝓbſt tionis ab Hoxiſiue in Aejuatore, ſiue in Verticali diſtet, cognoſcere. Cre puſculinam lineam in Aſtro labio deſcribere, L. MINI. eli vttumquè erepuſculum terminantis;& ex A, polo auſtrali per h, L, radij emittantur abſcindentes ex meridiana linea diametrum eiuſdem paralleli viſam. Sed quia radius Ah, nimis procul excurrit, ſatis erit inuenire punctum eius diametri extremum r, per radium AL,& centrum paralleli Horizontis perer, de ſcribendi; quod ſie fiet. Per punctum l, vbi diameter ducta hL, axe n Horizontis fg, ſecat, ducatur ex A, polo auſtrali recta ſeca ns Aequatorem in m,& centrum lire arcui mf, æqualis ſumatur fn. Nam radius A n, ſecabit meridianam lineam in . q: centro paralleli Horizontis per r, deſeribendi, hoc eſt, lineæ crepuſculinę, vt in Lemmate 35.& propoſ. 6. Num. 9. demonſtrauimus. Vel ita agemus. Sumpto arcu Aequatoris A ſ, grad. i 8. ducemus ex G, polo Verticalis per ſ, rectam quæ ſecet Vexticalem in p ex itque arcus Verticalis Ap. grad. 18. infra Horizontem, SB. K. 495 zontem ex iis, quæ propoſ.. Num 17. demonſtrata ſuntzac proinde per p, paral lelus crepuſculi ducendus eſt. Si igitur per p, educatur linea Verticalem tãgens, ſecabit ea meridianam lineam in q. centro paralleli per p, deſeribendi, per ea, quæ à nobis propoſ. 6 Num. Io. demonſtrata ſunt. Vel denique in Horizonte accipiantur duo arcus Et, Gu, grad. 18. in ſemicirculo FA, quem propoſ. g. Num. 6. ad parallelos Horizontis infra Horizontẽ ſpectare diximus;& recta iungatur t u, ſecans diametrum Horizontis in&. Nam recta ex A, per u, emilſa cadet in q. centrum paralleli grad. 18. ſub Horizonte exiſtentis, vt propoſ. c. Num. C. demonſtrauimus. Cæterum puncta h. L,. quæ diametrum paralleli crepuſculi termin ant, inueniemus ſine auxilio diametri Horizontis d e, hoc modo. Ex C, verſus D, ſupput etur arcus conflatus ex altitudine poli,& grad. 18. vſque ad L, qui in Horizonte Romano complectitur grad. go. Item ex B, verſus A, arcus numeretur conflatus ex complemento altitudinis poli,& grad. 18. vſque ad h, qui in eodem Horizonte Romano grad. G&G. complectitur. Nam ducta recta hL, diameter erit paralleli crepuſeulinizeo quod arcus CL, conflatus eſt ex Ce, arcu altitudinis poli,& e L, arcu grad. 18. at arcus Bh, ex Bd, arcu complementi altitudinis poli,& dh, arcu grad. 18 Ex quo patet, Ioannem Stoflerinum(ac proinde& alios nonnullos, qui illum ſequuntur.) errare, cum præcipit, tam ex C, verſus D, quam ex B. verius A, ſupputandam eſſe altitudinem poli, vna cum grad. 18. Hoc enim ſolum verum eſt, vbi poli altitudo continet grad. 45. Ibi enim complementum altitudinis poli B d, æquale eſt altitudini poli Ce, vel d A, vt conſtat. PRO BL. VIII. PRO POS. XI. RE TE Aſtrolabij, id eſt, figuram, in qua Ecliptica in ſigna, ac gradus diuiſa, vna cum ſtellis fixis continetur, conſtruere. 1. SIT circa E, centrum Aſtrolabii deſeriptus Aequator ABCD, cum tro picis, vt propoſ. 4. traditum eſt;& Ecliptica Af CG, tangens tropicum V, in E, & tropicum ,, in&, deſcripta, vt propoſ. g. tradidimus, circa centrum ¶, quod inuenitur per rectam ex A, polo auſtrali per finem arcus AIK qui complementi maximæ declinationisſ eſt autem maxima declinatio BI, vel CL,& eius comple mentum AI, vel BL,)duplus ſit, aut( quod idem eſt) per finem arcus CK, qui maximæ declinationis CL, du plus ſit, emiſſam, vt prop. 5. Num. 3.& 4. oſtendimus. Nã diameter Eelipticæ per J, N, ducitur, diſtatqʒ à polo auſtrali arcu Al, cuius complementum eſt maxima declinatio CL, vel BI. Et quia L, P, puncta quadran te diſtantia ab Ecliptica per I, N, ducta, poli ſunt Eclipticæ, apparebunt ii poli per radios AL, AP, in punctis M, R,. quorum auſtralis,& remotior R, accuratius ita inuenietur. Ducatur ex A, per finem arcus AO, qui duplus ſit maximæ declinationis AP, recta A O, cadens in Q, centrum cireuli maximi per polos Eclipticæ,& principia V,& ducti, inſtar Verticalis primarii, ſi Ecliptica Horizon foret. Nam ſi ex Q. per M, circulus deſcribatur trãſiens neceſſario per A. C, ſecabitur meridiana linea in R, polo Eclipticæ: Et in recta ST, quæ per Q. ad MR, ducitur perpendicularis, exiſtent omnia centta aliorũ circulorum maxi morum Error Ioan. Sto. flerini in linea ere puſculi aa deſrribend a Rete Aſtrolabii conſtruere. centrum Eclipti cæ reperite. Polos Eelipticm inuenire. Ecliptieĩ iu re. ſigna,& in 360. gradus diſtribut to. I 4 F. EK morũ lat itudinum per polos Eclipticæ M, R, ductorũzadeo vt circulo AMC R, ſecto in ſex partes æquales,& rectis ex M, per ſectionum puncta ductis, perpendicularis 8ST, ſecetur in centris eorum circulorum diuidentium Eclipticam in 1. ſigna, vt ex ijs conſtat, quæ propoſ. 8. Num. 2. de centris Verticalium demonſtrauimus. Ita vides circulum MT, ex centro S deſeriptum incedere per principia,& Hp; circulum autem MS, ex T, deſcriptum tranſire per principia m,& N Quod ſi fingulæ ſex partes circuli AM R, in tricenas partes ſecentur, dabunt rectæ ex M, per illas ſectiones emiſſæ in recta S T, centra aliorum circulorum max morum, qui ſingula 12. ſigna Eclipticæ in tricenos gra dus diſtribuant. Sed quia inferior ſemicirculus circuli AM CR,; longius excurrit,& non ſemper in propoſito plano deſcribi poteſt, inuenientur eadem centra in recta 8 T, commodius, hac ratione. Semicirculus X VV, ex M, ad quoduis interuallum deſeriptus ſecetur in g. partes æquales. Rectæ enim ex M. per ſingulas ſectiones eductæ dabunt centra binorum ſignorum, illorum videlicet, que ipſis ſectioribus aſcripta ſunt. Et ſi ſingulæ illæ partes diuidantur in tricenos gradus, inuenientur centta ſingulorum graduum,&c. ut ex ijs liquet, quæ in prædicta propoſ. 8. Num, 4. de centris Verticalium demonſtrata ſunt à nobis. Verum facilius Ecliptica in ſigna,& gradus diſtribue tur, ſi rectæ tam ex polo Eclipticæ M, quam ex altero polo K, ſi is in plano Aſtrolabij notatus ſit, per duodecimas partes Aequatoris,& ſingulos eiuſdem gradus ad Eclipticam vſq; emittantur, vt propoſ. 5. Num, 17.& 20. oſtenſum eſt, Vel ſi per duodecimas partes Aequatoris, ſingulosqͥ; eiuſdem gradus ipſi meridianæ lineæ agantur parallele rectam AC, ſecantes in punctis, per quæ ex Q, centro circuli AM CR, rectæ traijciantur,&c. vt in eadem propoſ. 5 Num 24. monſtratum eſt. Ita vides rectam Za, ipſi BD, parallelã diſtare ab A, grad. Co. ſecareque rectam AC, in b, ac denique rectam Qb, tranſire per principia & Hs⸗grad go. ab V diſtantia,&c. Huc etiam transferri poſſunt, ſi lubet, aliæ viæ diuidendi maximos circulos in gradus, quas propoſ. 3.& C. præſara tim Num. 25. propoſ. C. expoſuimus. 2. STELLAE fxæ exquiſitiſsime per earum longitudines, latitudinesque in reti Aſtrolabij reponentur, hoc modo. Deſeripto parallelo Eeliptic x per propoſitam ſtellam in ſphæra tranſeunte, habita ratione latitudinis ſtellæ ſiue borealis, ſiue auſtralis, numeretur in ed, initio facto ab eius inter ſectione oriẽ tali ad partes C, cum circulo AM CR, per principia V,&; tranſeunte; longitudo eiuſdem ſtellæ, hoc eſt, diſtantia eius à principio V, vt propoſ. c. Num. 22.& ſequentibus traditum eſt. Terminus enim numerationis exit locus ſtellæ propoſitæ. Parallelus autem quilibet Eclipticæ deſeribetur,& in gr dus diſtribuetur, eiſdem modis quibus paralleli Horizontis propoſ. 6. deſeriti ſunt,& in gradus diuiſi. Sed ot facilius res peragatur ea ratione, quam Num. 8. Illius propoſ. præſcripſimus, præparanda exit figura hoc modo. Ex A, de ſcrlpto ad quoduis interuallum circulo def, ducantur radii A L, AN, tranſeuntes per extremitates diametri viſæ Eclipticœ FG ſecantesque circulum def, in d,& f, eritque df, quadrans, cum ex Lemmate 10. ſimilis ſit ſemiſsi ſemicirculi ILN. Aequatoris, vel ſemicirculi Eelipticæ FCG. Pucatur quoque radius AL, tranſiens per L, polum Eclipticæ verum,& per M, polum viſum, ſecansque circulum def, in ez eruntque arcus de, ef, æquales, cum per idem Lemma lo. ſemiſsibus quadruntum Aequatoris IL, LH, vel Eclipticæ Fi,&, ſimiles ſint. Nam recta Ae, per polum Eclipticæ ducta tranſit per extremitatem diametri Eeliꝑticæ ik, ad FG, perpendicularis, vt in ſcholio propoſ. R 5. Num. 14. Stellas' xat ret Aſtrolabii per ea rũ longitudines„ ld; im Figuram pte prrate, per quam facile qutlibet pa rallelus Eclipticæ in Aſtrolabio de ſeribatur. 1 4 0 W* 5 1 7 I bd — A. 1 — eee Ne XI. 499 J. Num. 24. demonſtrauimus. Sumptis deinde arcubus dg, fh, arcubus de, ef, æqual ibus„ quos etiam radius A PR, tranſiens neceſſario, ex eodem ſcholio propoſitionis 5. Num. 14. per k, alteram extremitatem diametri Eclipticæ ik, abſcindit; bropterea quod tam rectæ AK, A FE, per Lemma 10. intercipiunt arcum d g, ſemiſsi quadrantis Eclipticæ EK, quam rectæ AP. AN, arcum fh, ſemiſsi quadrantis Aequatoris PN, ſimilem; diuidantur ſinguli arcus d g, d e, fh, fe, in 90. partes æquales, quæ graduum ſemiſſes erunt, initio ſemper facto à punctis q,& f. Nam per partes arcuum d ef e, inuenientur diame tri viſæ parallelorum latitudinum borealium, per partes autem arcuum d g, b, diametri parallelorum latitudinum auſtralium reperientur; ideoque illis adſcripta eſt Latitudo borea, his vero Latitudo auſtralis, vt ſtatim cognoſcatur; quam in partem latitudo propoſita numeranda ſit. Quo pacto autem ex circulo def, ita diuĩ ſo paralleli deſcribantur, prop. G. Num. 8: declaratum eſt, rurſumque ex ſequentibus exemplis intelligi poteſt. Qua item ratione huiuſmodi paralleli in gradus ſint diſtribuendi, in eade m propoſitione g. Num. 21.& ſequentibus traditum eſt. 3. SI T ergo, exempli gratia, reti imponenda Spica hy, cuius longitudo à prima ſtella V, continet grad. o. vera aũt longitudo à principio V.grad. 199. Min. 55& latitudo grad.:. verſus auſttũ. Ex d,& f, verſus g,& h, ſupputetur la titudo grad. a. hoc et, ſumã tur duæ partes ex g. in quas vterq; arcus d gf h, diu iſus fuit, ac ſi eſsẽt gradus,& ad ſines ducantur ex A, duo radii abſcindẽ tes ex BD, diametrũ viſam paralleli auſtralis Eclipticæ grad. z. qui quidem duo radii tam ex Aequatore ab I,& N, verſis A, quam ex Ecliptica ab E,& G, verſus k, 2. grad. aufe rent; propterea quod arcus circuli d e f, à radio A d,& eo, qui per latitudinem Spicæ tranſitʒz Item à radio A f,& èo, qui per latitudinem Spicæ tranſit, abſciſsi ſimiles ſunt ſemiſsibus arcuum tam ex Aequatore, quam ex Eclipti ca abſciſſorum, yt in 10. Lemmate demonſtrauimus; ac proinde cum priorum vterque complectatur duos ſemigradus, hoc eſt, i grad. qontinebit quilibet poſteriorum 2 grad. Deinde notetur interſectio diametri Eclipticæ i k, cum recta connectente duo puncta Eclipticæ duobus gradibus ab E,&&, verſus k, diſtantia, per quæ nimirum prædicti duo radij tranſeunt. Nam radius ex A, per illud Punctum interſectionis diametri i k, ductus indicabit in recta EG, centrum paralleli circa diametrum viſam abſciſſam deſeribendi, ex lis, quę propoſ. C. Num. b. demonſtrata ſunt. Deſcripto ergo hoc parallelo, numeretur in eo vera ſtellæ longitudo, hoc eſt, grad 195. min. Sg. nimirum diſtantia eius ab V, ſecundum fi gnorum ſucceſsionem. In fine namque numerationis ſtella collocanda eſt in dico parallelo. Ita autem in dicto parallelo punctum reperiemus, quod gradum longitudinis 197. min. 55g. terminet. Quoniam parallelus Eclipticæ in auſtrum recedit ab Ecliptica grad. 2. deſcribemus parallelum Aequatoris totidem gradibus ab Aequatore in boream recedentem,& in eo numerabimus ſupradictam longitudinem, initio facto ab eius interſectione orientali ad partes C, cum recta EC,, verſus D,& A, progrediendo vſque ad]: quod in dato exemplo fiet, ſi ex grad. 195. min. 5 g. ſemieirculo dempto, reliqui grad. 27. min. 5g. numerentur à recta EA, ex parte occidentali vſque ad l. Nam: recta MU, ex polo Eclipticæ dudta dabit in parallelo Eclipticæ punctum m, gradum 197. min. 55. longitudinis ter minans. EX deſcripto porro parallelo Eelipticæ parallelus Aequatoris, per quem in illo longitudo inuenienda eſt, ita facile deſcribetur, etiamſi eius dec linatio in Aequatore non ſupputetur. Ex M, polo Eclipticæ per punctum circuli AM CR, 24 vbi spicm Virginie ia reti col locate: Parallelum A4. quatotis ex paral elo Ecliptieę op p oſito;& viciſ. hm bunc ex ille deſcilbere. ttt. 501 vbi a pa rallelo latitudinis diuiditur, recta dueatur. Hæc enim ex recta EA, vel EC, ſem idiametrum paralleli Acquatoris abſcindet. Viciſsim, ſi prius parallelus Aequatoris deſcribatur, vt propoſ. Num. 6. docuimus, tot gradidus à polo auſtrali diſtans, quot gradibus parallelus Eclipticæ per ſtellam ductus à polo Eclipticæ boreali diſtat, deſeribetur parallelus Eclipticn hoc etiam modo. Duca ex M, polo Eclipticæ per punctum ſectionis paralleli Aequatoris cum recta EA, vel EC, linea recta, ſecabitur circulus Au Ci& in puncto, per quod parallelus Eclipticæ deſeribendus eſtʒ cuius centrum reperie tur, ſi per punctum illud re cta cir culum AM CR, tangens ducatur, vt propoſitione 6. Num. 10. demonſtratum eſt. EVN DEM gradum m, loyngitudinis facilius reperièmus, etiamſi neque eirculus AM CR. neque parallelus Aequatoris deſeriptus ſit, ex lis, quæ propoſ. 6. Num. 13. tradidimus. Quoniam enim longitudo continet grad. 19). min. 55 ſi eam ex tribus quadrantibus, hoc eſt, ex grad. 270. detrahamus, re manebunt grad. 72. min. 5. quibus ſtella in parallelo Eelipticæ à linea met idiana ſupra, verſus A, diſtat. Si ergo a puncto oppoſito infra&, in oppoſitam partem verſus O, numeremus grad. 72. min. 5. in parallelo eodem Eclipticæ, cacet recta ex ine numerationis per polum M, extenſa in punctum quæſitum m; propterea quod arcus paralleli prædicti inter meridianam lineam,& lineam ductam continet tot gradus apparentes, quot æquales continentur in arcu a linea meridiana infra G. verſus C, numerato, vt loco citato demonſtrauimusID EM locus ſte llę m, id eſt. grad. 1, min. 55. longitudinis, reperietur per eirculum maximum latitudinis per polos Echipticæ ductum, hoc modo. Quoniam ſtella veram longitudinem habet grad. 19%. min. 55. hoc eſt, in grad. 17. minut 55. A exiſtit, numerabimus à puncto V, principio, vet ſus min circu10 XVV, grad. 17. min 55. vſque ad g,& ex M, per b, rectam extendemus ſecantem rectam ST, in n centro circuli maximi I Mm, tranſeuntis per grad. 47. min. 5 5. Q,& V, ſecantiſque Eclipticæ paralle lum in m, puncto eiuſdem longitudinis. 4. SIT rurſus imponenda reti ſtella, quæ vocatur Hircus, in ſiniſtro humero Aurigæ ſulgens, cuius longitudo à prima ſtella V, aöõtinet grad. 48. min. 20.& vera longitudo à principio V. grad. 76. min. 5. Latitudo aũt, eaq; borealis, grad. 22. min. 30. Numerata ergo latitudine a punctis d,& f, verſus e, ductiſqʒ per fines numerationum radiis, ſecabitur FG, in extremitatibus diametti viſæ paralleli latitudinis:& ſi puncta n, o, in quibus radii illi Eclipticam ſecant, con iungantur linea recta, ſecabitur diameter ik, Eclipticæ in puncto p, ad quod radius ex A, egrediens dabit q, centrum paralleli rf, per ſtellam tranſeuntis, & cireulum AMC, in r, f, ſecantis. Deſcribatur prætefea parallelus Acquatoris ag, cuius declinatio ſit auſtralis,& æqualis latitudini boreali paralleli q r ę f, grad. 2 2. min. 30. cuius quidem ſemidiametrum E æ, abſcindit recta Mr, producta. Numera ta autẽ longitudine ſtellæ ex, vſque ad g, ſecabit tecta g parallelum latitudinis inꝙ, puncto eiuſdem longitudinis. In d, ergo locus exit ſtelle pro poſitæ: quem ita etiam reperiemus. Deſcripto circa diamettum paralleli latitudinis viſam r ſ.(quæ nimitum communem ſectionem paralleli,& circuli ma · ximi per polos Eclipticæ,& principia&&, ducti repræſentat circulo rt ſ. numeretur longitudo ſtellæ ex r, verſus vtramuis partem vſque ad t. punctum, ex quo ipſi BD, parallela acta ſecet eandem diametrum r ſ. in u. Recta enim Qu, ſecabit parallelũ latitudinis in duobus punctis ꝙ e, quorum vtrumq; à puncto , abeſt grad. 26. min. 15. vt propoſ. C. Num. 26. demonſtratũ eſt, quibus punctum 24 2 t, ab Facillima inuesgtio puncti longitudinis ſpicæ Vir g ns in paralleJo latitudi is eiuſdem. Stellam, quæ d. cicar Has, in reti diſponexe, IR d N A S. NI. t. ab eodem puncto r, diſtat. Et quia ſtella eſt in boreali medzzetate Eclipti eiüs longitudo ab V, minor ſit, quam grad. 280. erit punctum, in inferior, 5 dietate paralleli latitudinis, quæ ad boream vergit; locus ltellæ. Juoqg ft lte lla quæpiam eandem habuerit latitudinem, eandemque diſtantiam ab V, ſed contra ſignorum ſucceſsionem, ita vt eius vera longitudo gcontineat grad. 283, min. 45 erit eius locus in puncto e, ad auſtrum ſpectante. In hoc porro exe mplo laborandum non eſt, vt locus ſtellæ per circulum maximum pe: polos Eclipticæ ductum inquiratur, cum id perincommodum ſit. propterea quod eius cenrrkn ni: mis procul abeſt in recta 8 T. à puncto Q, verſus I, quippe cum ltella longitudinem habeat grad. g. min, 15. hoc eſt, in grad. i 6. min. 15. X. cxiſtat. S ED hic quoque ſine circulo AMCR.& parallelo Aequatoris 6 5 facilius reperiemus punctum, longitudinis ſtellæ grad. 29. min. 15. Cum enim hæc diſtantia ſumatur ab, verſus S diſtabit eadem ſtella à, verſus 7, grad. 13. min. 45. Si igitur ex parallel latitudinis r sf, à metidiana linea infra polum M, verſus r, abſcindatur arcus grad. 13. min. 45. terminabitur arcus ille in J, loco ſtellæ. Ita autem agemus per ea, quæ propoſ. 6. Num. 25. ſcripſimus. In dicto parallelo ref, à linea meridiana ſupra polum M numerentur verſus f, grad. 13. Min. 45. Recta enim ex fine nume rationis per polum M, extenſa ſecabit prædictum parallelum in: propterea quod, vt loco citato oſtendimus, arcus paralleli inter lineam ductam,& meridianam infra polum M tot gradus apparentes continet, quot æquales in arcu oppoſito inter eaſdem rectas ſupra polum M,. continentur. EO DEM prorſus modo quæuis alia ſtella, cuius longitudo, latitudoque notæ ſint, in Aſtrolabio deſcribetur. 5. Q VO ſi præ manibus habeantur declinationes, aſcenſiones rectæ,& mediationes cæli ſtellarũ, quæ in reti imponendę ſunt, collocabuntur in Aſtrolabio eædem ſtellæ ſine magno labore, hac ratione. Ducta ex centro Aſtrolabii per gradũ Eclipticæ, cũ quo ſtella cælum mediat, hoc eſtz cũ quo ad Meridianũ peruenit, vel per finẽ aſcenſionis eius rectæ in Aequatore linea recta; vbi eã ſecabit vel parallelus latitudinis, vel declinationis ſtellę, ibi locus erit eiuſdem in reti, vel Aſtrolabio. Sic etiam eiuſdem locus erit in puncto, vbi parallelus latitudinis parallelum declinationis interſecabit. Sed prior ratio per ſtellæ longitudinem, latitudinemque à nobis explicata certior eſt, eum raro tabulę reperiãtur, quæ ſtellarum declinationes, rectas aſcenſiones, mediationeſquè cæli ſine errore contineant, longitudines autem earundem à prima ſtella V, cum earum latitudinibus eædem ſemper permaneant; ita vt cognita diſtantia primæ ſtellæ V, a principio V, omnium aliarum diſtantiæ notæ fiant, vt mox dicemus. me. e r. ONITAM pracipuus vſus ſtellarum fix arum in Aſtrolabijs vulgaribus eſt, vr per eas nocturno tempore hora inteſtigentur, danda opera eſt, vt in toto ambitu retis aliquot ſtellæ contineantur, eæque quam paticiſiimæ, ne multitudo con fuſionem teneret; Ita tamen, vt c ircumducto reti quomodocunque, ſemper vna vel altera, cum minimum, ſupra Horixontem exiſtat: quibus reti impoſitis, excindenda ſunt partes ſuPerflues ſolumque in eo retinondæ telle,& Ecliptica in gradus diuiſa, in hunc finem, vt quilibet gradus Ecliptica,& cacumen cuiuſiis ſtella conctitui poſsit in quolibet punno plani Aſtrolalij, in quo circuli ſphara euudem ſemper ſituns obtinentes deſcripti lune. Faeillims in uen tio punct tudiuis iu lelo latitudiais eiuſdem. Stellas fixas ret Aſtrolabii per ea rum declinationes, aſcenſi ones rectas,& cæli me diationes, isi nere. vfus prreiptus ſtellarum in A1. ſtrolabiis vulgaxi bus quis. Quid in hoc A Arolabio de ſtel Is xis cradatur 504 L T N I 115 ſunt, cuiiſinodi ſuut Aequator, tropici, Verticalis, Horixon, eiuſgue paralleli, circuli Horaris,& domorum caleſtium,&c. quæ res inauſiria potius propria ad ſimiliiudinem alterius cuiuſpiam Aſtrol abi perficienda erit, quam pluribus verbis inculcanda. Sed quia uns prater fun ſtellarum uſum docebimus gquoque, quanam ratione cuiuſuis ſtel le declinatio, aſcenſio tam recta, quam obliqua,& cli mediatio, ex eius lengitudine, latitudimequ- cognitis inueniri poſoit, diligenter memoriæ mandandum eit ſußerius noſtrum præceptum de ſtellis in Aſtrolabio deſcribendis, vt locus ella cuiuslilet in plano Aſtrolabij reperiatur, quando uſus ita poſtulauerit. Nunc autem vt pro horis nodturno tempore explorandis ctella neceſſaria in Aſtrolabio poſsint reponi, praſ oſuimus hic non · nullarum ſtellarum long itudines veras, quæ& principio V. numeranmi ur, hot ef, loca in Zodiaco: Deinde earundem latitudines, declinationes, aſcenſiones rectas, medtariones denique cali, ſiue pundta Zodiaci, cum quilus ad Meridianum quemcumque perus niunt tam ſupr a NHorixontem, quam inſra: vbi littera S, latitudinem, declimationemque ſigniſicat ſeptentrionalem,& litera M, meridionalem. Denique numeri it ſis ſtellis præſixi, cuiuſnam ipſa ſint magnitudinis, denotant. Caterum longitudines ſtellarum TABELLA FI XARVM ALIVOT STELLAR VN ad annum Domini 160. completum ſupputata Accé. Decli Stellarü Latitu Stellarum no- loca in dines mina Zodiaco 1 Media— nationis natio-—ſiones tiones 2 rectæ. cæli. s latitudinis 1 — JPar eM 2 1 G MHS NM 20 Dexter humeru XI. 8 ex tabulis Prutenicis diligenter,& accurate ſupputauimus ad annmuãm td o tum. Deinde ex hiſce longitudinibus declinationes, aſtenſioues rectat, celiqus tiones venat i ſumus per doctrinam ſinuum. Modum, quem tenuimus hac in re fi 3. eum in vſis Aſtrolabij idem de rebus diſputabimus, af eriemus, vt quilibet, tum u iss rit, calculum noſtrum examinare queat. Neque enim vllis tal ulis declinaticmum. aſcenſionum, mediationum cli,& aligrum rerum, qua ex longis ſutpitatitnibis pendent, omnino fidendum puto, cum facile in iſs, nobis non animaduertentibus, error lt. guis poſtit admitti.Atquè in hoc noſtro caltulo ratio habita eſt ſemper partis proportionalis in ſinubus, e minutir, vt in uſui tabula ſinuum monui. Sed in neſtra tabella negleximus ſecunda, quando pauciora ſunt, qua 3 o.& pro pluribus quim o. vnuim ininutum adliecimus. Itaquè vt ex declinationibus ſupputentur aſcenſſones recta, nos ſun es accipiendæ, vt in tabella deſtribta ſnt, ſed prout inuenta ſunt per doctrinam ſanui vnd cum ſecundis. Lerum hat de re pluru lib 3. ſcribemus. 2. POR RO loca ſellarum in Zodiaco inueniuntur ſi longituidlinibus earum, quas in noſtris commentarijs in ſoharam ex probatis auctoribus notauimiis, adlijtiat ur vera pra ceſio aquinoctiorum, quæ em Prutenicis tabulis all annum Domini 16 aft correctionem Gregorianam completum ſupputata continet grail. 2. min g. Numerus deinde conſtatus ex gradibus per 3; o. diuidatur. Quotiès enim numerus, quot ſigna pertranſierit ſtella, indicabit, reliquus autem numeru grauum ſigni inſequontis, in quo 7 22 exiſtit, oſtendet,& ſi apponantur minuta reliqta, ſi qua ſunt, habebitur verus locus ſielIa in Zodiaco. V erbi gratia, Prima ſtella, qus eſt in cor nas præredenti,& dentro, nullam habet longitudinem in tabula ſtellarum fiæarum. quam in ſphara comment arij conſcripſimus, cum ab ea aliarum longitudines numerentur. A diecta igitur vera braceſsione aquinoctiorum grad. h. min. r. fit vera longitu do eius telle grad. aꝶ. min. Ei quia in hac longitudine nullum ſignum integrum continetur, exiſtet ſtella prima Vin grad 2 f. min.. primi ſigni, quod eſt Aries. Rurſus Spica lip, lengitudinb i ales grad. iq o. min. e. ſi ad dantur grad. a. min. g. vera præceſctonis æquimoct iorum, fies ve ra longitudo grad. i h. min. s. Diuiſis grad 118. per 3 o. it quotiens.& ſuperſunt If. Pertranſuis ergoſſtella ſex hac ſigna,, N, E, S,& hp, exifiequs in grad. 18. min. 5. proxime ſequentis ſigni. Radem ratio e de catariti rod ſi numerus conflatus ex additione vera praceſiionis aquinoctiorum maior ſuerit circulo integro grad. ago. reiciendus erit integer circulus grad. g c o. antequam ff at diuiſio, vel poſt Factam diuiſionem abijciendus integer Zodiacus I 2 fn. Verbi gratia, ſtella ſæcunde magnitudinis: qua in umbilico Pegaſi, c in capite Andromeda eiſtis, longitudinem à prima ſtella V, habet grad. 3 l. min. fo. addita vera præceſßione æꝗquinoctioru grad. 2 I. min. 5. eſſicietur ſumma grad. 309. min. 15. Abieclo integro circulo grad. 0b. relinquentur gradi g. minut. 1s primi ſigni M, pro loco ſtella. Fel diuiſa vera longitudine grad. 3 f 9. min. 1 f. per 3 o. reperientur ſiana 12. grad. q min. 15. Reieckis erge 1. ignis, reperietur idem locus ſtella in grad.. min. IJ. V. Hac autem pra ceſeio æquinoctiorum grad. 2. minut. s. retineri poteſt pro pluribis annis anuum 1600. inſequenti bus, quod propter tarditatem motus Rellarum ab occaſis in orttim non tam cito loca in Zodiaco mutare dignoſcantur. Qui tamen exquiſita carum loca deſiderat, ei vera aqui noctiorum præ ceſsis intenienda erit, cum minimum pro ſingulis z o. annis,& pro eiſa dem iterum declinationes ſtellarum, aſcenſtones rectæ, ac mediationes cali ſupfut anda. Has enim mutari neceſſe eſt, mutatis ſtellarum locis in Zodiacb. 8E D vi in hac parte ſtudioſos moleſtia calculandi ver am præceſtionem æquinotkiorum leuaremus, ſupputauimus ſequentem tabell, ex qua cuiiiſque anni à princibio Oliympiadum, quod incidit in annum 5ꝗ. ante Chriſtum Dominum, vſque ad an num g ooo. piſt Chriſtum, praceſiio vera aquinoctiori facillimo negotio eruetur. Nam ſi anna Prreeſionet vg ram æquinoctiorum ex tabelle ad pla rimos annos clicere, 506 L Ie BDU RAIN f annus propoſitus in tabel Ia reperitur, atparebit illico d regione illius vera æquinoctiorum præceſſio in gradibus, ac minutis. Poſiti ſunt autem in tabella anni centeſimi, niſi guando, ob inſignem memoriam alicuius rei, anni nonnulli inter cent eſimes interiecti Junt: Cuiuſimodi ſunt anni, quibus vel inſignes Aſtronomi floruerunt, vel à quibus, veIuei radicibus, motus caleſies A ſtronomi ſuſtutarunt: quale ett tempus Nabonnaſſari regis, qui M Nabuchodonoſor, vel Salmanaſſar, A quo Prolemaus motus ſufputalit. od ſi annus datus in tabella non reperiatur, accipienda est diſferentia inter Auas v vas praceſsiones proximorum duorum annorum, quorum vnus nior eſt anno propoſito, & alter maior, vna cum differentia horum annorum. Nam ſi ftiat, vi diſſerentia horum annorum ad diſferentiam præceſsionum, ita diſferentia inter alterum eorum annorum,& annum propoſitum, ad aliud, reperietur diſferentia præceſſionis add nada præce fs ſioni minoris anni tabella, ſi diſferentia inter illum annum,& annum propaſitum ad hihita eſiʒ vel auferenda à praceſione maioris anni, ſi accepta eit diſferentia inter illum, annum datum. H ac enim ratione erqusſitè ſatis praceſsio cuiuſquè anni inuenietur, non ſecus,; ac ſi per tabulas Prutenicas erueretur,& ſolum diſferemtia aliquando erit in paucis quibriſdam Secuindis, qua merito negligi poſſunt. V erbi gtatia. Quærenda ſit vera aquinoctiorum præceſsio ad annum& o. quo Albategnius floruis. Betra Hatur pra ceſsio anni oo. grad 1. min. 44 ex praceſsione anni go o grad. 1 8. min. 33. flat, vt loo. anni ad præceſsionum diſferentiam grad. l. min. g. ita anni 9.(Aiſfe rentia annorum 8 oo.& I o. ad aliud, reperientur que grad. I. min. ag. Si igilur adda tur grad. i min. a. ad grad. id. min. c.( praceſstionem auni 800.) ftet preceſtio grad. 15. min. 11. fere pro anno 89. Vel fiat, vt 100. anni 44 praceſsionum dilferentiam grad. I. min. gg. ita anni 20.(Aiſferentia annerum So.& Ho. jad aliuds reperieturꝗ; pars proportionalis min. æ 2. ferme congruens illo tomtere annis z. qua ablata ex grad. 18. min. 33.(præceſcione anni go o reliquam ſaciet præceſsionem anni J o, grad. 14. nin. II. vt prius. Eadem ratio eſt de cæteris. Anni autem huius tabella intelligendi funt eæpleti, atque integri tam paſt Chriſium, quam ante: Et cuiuſque præceſsio ſumi poteſt pro radice pra ceſstonis ſequentium annorum. Vt ſi quis praceſoionem ex tabulis Prutenicis vellet ſuptutare ad annum 103 f. eruere poſſet præceſaionem pro g 8. annis,& ei adijcere præ ceſtionem anni Id oo. guius tabella, tanquamradicem. —— TI BELLA PRAECESSIO! 18 A Anni ante Chriſtum[8 18 M 1 8 0 EMP VS Annipoſt Peel, Ann! 5 Ab Olympiadibus Vrbe condita N* 811 Menelai Ptolemæi Concilij Nicæni 774 77 727 Po ſt Chri- 100 128 ſtum. —— 200 30⁰ 325 9 228 0 0 54044 5514 55150 de 7 1 5 1 8 5 Alphöõſi Reg 9034(ann Aal Correctionis —— ꝙ v——— Chriftũ. G D Chriſtum 1 1600 113 1700 5 1800 134. 1900 2000 2100 18 2300 2400 Hoc 18 ö 1000120 1100 0 8 1200423 250 1251 2411 2600 015 2700 29 2402 1400026 1 1500027 904 12716 1821275757 1 0 281 29 30 344. 321¹ 35452 30 44 1 VINO CIIOGNVI. pce fl. 0 1 No P O s.] XII, 307 ah PpRo pos. XII. CIRCVLVM quemlibet maximum, cuius poſitio, ac ſitus in ſphæra non ignoretur, eiuſq; parallelos, ac Ver ticales in Aſtrolabio deſcribere. 1 51 T in Aſtrolabio, cuius centrũ E, Aequator ABCD; Horizon AFCG; & Verticalis AHCI. In ijs, quæ ſequuntur, maęꝑno vſui erit, ſi in plano aliquo vel charta, deſcripti ſint potitsimi circuli ſphæræ, tanquam in Aſtrolabio, cuiuſmodi ſunt Aequator, Ecliptica, Horizon,& Vexticalis primarius propoſitæ regionis,& duo tropici; in hunc finem, vt eotum cujuslibet magnitudinem,& ſitum in promptu habeamus.) ſitque propoſitum, vt circulus maximus deſcribatur ſecans Horizontem in puncto, quod ab oxtu æquinoctiali C, verſus auſtrum F, abſit grad. 3 c. ac proinde totidem gradibus ab ocaſu æquinoctiali A, verſus boream Gzat vero Meridianum in puncto, quod ſupra Horzontem ab Acquatore in auſtrum vergat grad. zg. quod ſic fiet Inuento puncto N, in Horizonte, quod à C. grad. 3 o. diſtet: Item puncto P, quod totidem gradibus ab A, recedat, illud in auſtrum,& hoc in boream; quæ puncta hie inuenta ſunt per rectas HM. HO, quæ auferunt ex Aequatore arcus CM, AO, grad. 30. vt propoſ: 58. Num. 17. oſtenſum eſt. Satis autem eſt, inueniſſe alterum punctorum N.& P. Nam recta ex eo per centrum E, ducta exhibebit alterum, cum illa puncta per diametrum opponãtur Deinde in meridiana linea quæra tur punctum R, diſtans à B, grad 2g. quod fiet, ſi arcus ſumatur BQ. in Aequatore grad. 24.& recta du · catur AQ, ſecans meridianam in R. Quod ſi arcui BQ, ſuma tur æqualis oppoſitus Do, dabit recta A8, in eadem meridiana punctum T, puncto R, oppoſitum, vt ex ĩis liquet quæ propoſ.. Num. 13. demonſtrauimus. Et quia circulus maximus in ſphæra tranſit per duo puncta oppoſita, habebimus quatuor puncta N, R, P, T, per quæ circulus maximus propoſitus deſetibendus eſt. Inuento ergo V centro tiium quorumlibet punctorum, quod quidem eſt in concurſu duarum perpendicularium rectas NP, RT, bifariam ſecantium, ex coroll. propoſ. 1 lib. 3. Eucl.erit circulus NRT, cx V, deſeriptus, per tria illa puncta, qui omnino& per qua rtum incedet, maximus ille, quem deicribere iuſsi ſumus, cum tranſeat per puncta Horizontis, ac Meridiani propoſita, quæ quidem per diametrum opponuntur. Atque hae rattone per duo qua cunque puncta data, vnum in vno eirculo maximo,& alterum in alio citculo maximo, circulum maximum deſeribemus, ſi eis oppoſita puncta inueſtigentut, vt quatuor puncta habeantur, per quæ deſcribendus eſt. Vt ſi in Horizonte detur ꝓunctum N, in Meridiano punctum R, inquiremus eis puncta oppolita P, T,&c. Quod ſi ea puncta non aſ ſignentur, ſed eorum gradus duntaxat exprimantur, nimirum in Horonte grad. 30 ab ortu in auſtrum,& in Meridiano grad. 24 ab Aequatore in autrum; inueſtigandi erunt illi gradus puncta videlicet N, R, vt paulo ante factum eſt. 2. QV Od ſi deſeribendus ſit circulus maximus referens planum aliquod declinans à meridie, verbi gratia in occaſum grad 30.& ad Horizontem inclidatum grad. 26. ex parte auſtrali,(quo pacto autem cuiuſque plani W Rr incliCireulum marmum pei duo 4 ta, quotum vn in RO ον te,& alterom in Aetidiano datum ſit, ve! per gradus ex pre ſſum, in Aſtro fabio deſcribeig ver duo punda, Ju otrum vnum in circule aliquoma ximo Aſtrolabsi. & alterũ in alio quopiam circulo maxi mo ſit datũ, vel per gradus ex preſſum, circulã waximum delcti bete. Firculum maxfmum, cuius decli natio à Verticali. & in ddinatio 2d Horizonte mq; nota ſit, in Alltola 508 H 1 N A 51 bie keltr weren be inclinatioque reperiatur, in Gnomonſca lib. 1. propoſ. 23. docuimus.) ſecabit neficio verticalis 5 0. 0 5 g 1 eius inclinattont rurſum ille circulus Horizontem in punctis H, P, quorum illud ab ortu in auctientis. ſtrum, hoc vero ab occaſu in boream vergit: quæ quidem reperientur, vt prius: eruntque poli Verticalis circuli per polos Horizontis,& dati circuli tranſeunis, inclinationemq; eius ad Horizontẽ metientis. Cum. n. hic Verticalisrectus 81%. 1. The. eſſe debeat& ad Horizontem,& ad circulum datum; tranſibit per vtriuſque 3 5 f polos, ac proinde viciſsim vterque per illius polos tranſibit, ex ſe holio propof. 1 5. lib. i. Theod. ideoque puncta N, P, vbi ſe interſecant, poli ipſius erunt Et ventiealem: qui quia poli quadrante maximi eirculi abſunt a maximo ſuo circulo, ex coroll. pro Echelon ed pof 16. lib. 1. Theod. ſi inueniantur in Hor izonte puncta X. Y. grad. 90. diſtanHorizontem me tia à polis J, O, vel quod idem eſt, grad. 30. à punctis G. E: quod fiet per rectas Sur, deſcübere. e II, ductas per puncta Aequatoris a, b, quæ zo. grad. à punctis D. B- ab · ſunk PO non I. 509 funt deſcribendus erit Verticalis dictus per puncta X, H, V ex centro Z, quod in recta LZ, ad meridianam lineam in L, centro primarii Verticalis perpendiculari, hoc modo reperietur. Quoniam ille Verticalis a primario ab ortu in boream, vel ab occaſu in auſtrum grad. go. recedit, ſumemus arcum de, in Verticali, grad. Co.& arcum e, duplicabimus vſque ad f: Vel ab H, ſumemus arcum grad. duplicatum vſque ad f. Nam recta I f ſecabit LZ, in Z, centro Verticalis dati, vt propoſ. 8. Num. o. traditum eſt. Idem centrum Z, exhibebit recta NP. produtta, propterea quod poli illius Verticalis,& centrum in eadem recta NP, per centrum,& polos ipſius ducta exiſtit, vt in eadem propoſ. 8. Num. 19. oſtenſum eſt. Deſcripto autem Verticali XH y, ſi ex eo abſc indatur ar cus Yk, grad. 26. vt propoſ. 5. Num. 17. traditum eſt, habebimus tria puncta N, k, P, per quæ propoſitus circulus deſcribendus eſt, qui neceſſario tranſibit per quartum punctum i, puncto k, per diametrumi Ek, oppoſitum. Sic autem arcum Yk, grad. 2 6. auferemus. Ducta ex P, polo Verticalis XIII, ad Y. recta B ſecante Aequatorem in g, accipiatur arcus gh. grad. 20. Nam recta Ph, abſeindet quæſitum arcum Yk, grad. 2. Aut ex altero polo N, ducatur recta NV, ſecans vel tangens Aequatorem in g,(In hoc exemplo tangit,& non ſecat, ac proinde& Verticale m tangit in V, vt in ſcholio propoſ. 5. Num 15. moi ſtratum eſt) ſumaturque arcus ę grad. 26. Recta enim No, dabit idem punctum k. Vbi cernis arcus Aequatoris Yg., idem punctum Y, exhibentes, eſſe æquales, ab oppoſitię Aequatoris punctis inc hoa tos: Item arcus h,.; nec non& tam arcus x gx Y Mb, E o, æquales eſſe, quorum principium in eadem ſectione x, exiſtit. ipſi autem in contrarias partes tendunt. Id, quod propoſ is. Num. 23. obſeruandum eſſe monuimus. Vel certe deſcribatur parallelus Horizontis f ke, grad. 26. ab Horizonte diſtans hoc modo. Sumptis duobus arcubus El, Gm, grad 26. ducatur recta I m, ſecans diametrum Hor izontis Kn, in n. Iunctis namque ectis Al, Am, An, ſecantibus meridianam in g, p, erit gd, diameter eius paralleli,& p. centrum, vt ex iis conſtat, quæ propoſ.. Num. g. demonſtrauimus. Parallelus ergo ex p, per, I, deſcriptus ſecabit Verticalẽ x II, in k, puncto, quod arcum Yk. grad. 26. aufert. Immo ſi deſcribatur parallelus ge, atque in co ex puncto e, numerentur grad. o. vt propoſ.. Num. zz. docuimus, vſque ad k, inuentum erit punctum E, per quod circulus maximus propoſitus tranſire debet. etiamſi Verticalis XH V, deſcriptus non ſit. Quæ quidem ratio commodiſsima eſt, quando Verticalis ille parum à Meridiano diſtat, ac proinde difficilis admodũ eius redditur deſeriptio, propter nimiã diſtantiam eius centri in recta LZ, à puncto L. Ad finem quoque ſcholii propoſ 1p. reperies facillimam, pulcherrimamque praxim, qua ſine Verticali,& parallelo Horizontis tertium punctum bb, inueniatur, per quod circulus propoſitus deſcribendus ſit Neceſſe eſt autem, ſi erratum non eſt, puncta qr, vbi circulus maximus deſcriptus Aequatorem ſe cat, per diametrum eſſe oppoſßita, hoc eſt, rectam q r per centrum E„tranſirez propterea quod maximi circuli n ſphæra ſe mutuo bifariam ſecant: quod etiã in ſcholio propoſ.y. Num 6. monusuus. Hinc enim fit, vt omnes circuli in Aſtio labio quomodocunque per dug puncta per diametrum oppoſita deſcripti, qualia ſunt in propoſito exemplo pũcta N, P,& R, T, ſecent Aequatorem bifarian, cum circulos ſphæræ maximos referant. Qua de tte plura in ſcholio huiuſce propoſitionis ſeribemus. 3. VI autem parallelos huius circuli maximi deſcripti NR PT, deſcribamus, inuenienda eſt vera eius diameter in Aequatore, tanquam Meridiano Analemmatis, vt propoſ 8. Num. 16 pręcepimus, hoc nimirum modo. Per E, centrum Rrr 2 Aſtrotiente, abiciude te. Circulum eundk maximum, cuus declinatio à verticali,& inelinaio ad Horizonte n ota ſit in Aſtrolabio deſcribere, bevefſcio prralle Ii Horizontis, fine Veiticali incli nationem metien de. Commoditas poſte rioxis huius de ſcriptionis Crrculum eundẽ maximum facilli ma praxi per doctrinam ſcholii propoſ. 15. deleti bete. 2 11. i. The. Omues circulos n Aſti olabio per duo puncta per Mametruta„ppn ca deſcriptos ecare Ae quatorem bifariam. 510 L- Ad On TG A. 2 3 fert. Aſtrolabii.& V, centrum circuli deſcripti, ducatur recta ſt, a quæ ad q r, in cirHiametrum verã cu NRPT, exiſtentem, quam in E, bifariam diuidit, e centro V, veniens per57 8; wat pendicularis erit referetque communem ſectionem Aſtrolabii, Aequatoriſue,& Meridian proprii eiuſdem circuli maximi, vt in ſcholio propoſ.3 Num 4. ditudine m 6 ctum eſt. Deinde ex r, tamquam polo auſtrali per ſ. t, extremitates diametri macundem inue 5 2 5 905 g nire. ximæ viſæ egredientes rectæ ſecent Aequatotẽ in u, æ Recta enim u, vera diameter erit dicti eirculi maximi in ſphæra, ĩta vt t u, ſit altitudo poll ſupra eundem. Et ſi ducatur alia diameter 9%„ad ug, perpendicularis, erit ea axis eiuſdem circuli,& proprii eius poli h,, quorum h, in x, apparebit, quæ omnia propoſitione 8. Num. 14.& i. demonſtrata ſunt. Vides ergo, Verticalem 1 1 N 7 J 5 Panel XIV. trã ſi e per polum eirculi NR, quemadmodum& hic per N, P, polos pu eircuh maxi- illius Verticalis ducitur, vt vult theor,. ſcholil propoſ. 15. lib. I. Theod. Itami in Aſtrolabio e ed que ſi veræ diametro u æ, patallelæ agantur per ſingulos gradus eee„ F — NIR G D O S. TxII. 51 T vel ipſi ſt, par allelæ qucantur per ſingulos gradus eirculi N RT,& ex r, per earum extrema radij eijciantut, ſecabitur recta ft, in extremis punctis diametrorum viſarum,& rect ex r, ad interſectiones parallelarum ipſius t, cum dia metro cireuli NRPT, ſecante ipſam ft. ad angulos rectos, in eadem ft, indicabunt centra parallelorum, vt propoſ 6. Num. 6. de parallelis Horizontis diximus 4. VERTICALEs denique eiuſdem huius circuli NRPT, tanquam Horizontis, non aliter deſcribentur, ac Verticales Horizontis, de quibus propoſ. 8. dictum eſt. Primarius enim erit qr, cuius centrũ p, in recta st, reperitur, ſi arcuir x, æqualis fiat M,& recta r, ducatur vel arcui qa, ſumatur quais&, vt propoſ. y. Num. 4. demonſtratum eſt. Centra autem aliorum Verticalium reperientur in recta per p, ad ſo, perpendiculari, quemadmodum proPoſ. 8. præcepimus. HABE T autem propoſitio hæc vſum eximium præter alios, in re Gnomonica. Nam per eam inuenientur altitudines Solis,& latitudines vmbra rum, ſiue circumferentiæ horizontales, atque arcus horarij, in cireulo maximo propoſito, ad ſingulss horas, in qualibet regione, vbicunqʒ Sol exiſtat in Zodiaco: ſi prius illius plani, in quo horologium deſcribendum eſt, declinatio à VerticaIi,& ad Horizontem inclinatio, inueniantur, ex propoſ 23. lib. 1. noſttæ Gno monicesʒ& in Aſtrolabio circulus maximus, per hauc propoſ. deſcribatur, referens maximum in ſphæra circulum, cui planum horologij æquidiſtatz ac tandem eiuſdem eirculi deſeribantur paralleli.& Verticales, vt hoc loco diximus. ded hæc planiora fient lib. 3. Can. 16.& 21. „% r. NON IAM&& in hac propoſi Num. 3.& propoſſ g. Num. 16.& in ſehelio propoſ.. Num. C. traditum eſt, omnes circulos mai mos in Aſerolabio diuider? Aegqualorem bifariam, placuit hoc inſum aliter,& Geometricè demonſtrare propoſeo goc Theoremate. SJ circulum datũ alius circulus bifarĩiam, hoc eſt, in punctis op poſitis ſecet,& in hoc recta vtcunque accommodetur per centrum dati circuli tranſiens: ſecabunt omnes circuli per extrema puncta huĩus rectæ deſcripti datum quoq; circulum bifariam. ST datus circulus AB C P, cuius centrum E, ſectus à̃ circulb A FC G, cuius centrum Qs bifariam in A,& C, applicerurq; per centrum E, recta quomo locnuqiie HI; in circulo AFC G, non per eius ceutrum 2 tranſieſir,& per E, I. circuli deſtri bantur, vt liber, Ei LI A, HO PV. Dico eos datum circulum A BC D, bifariam ſecare in punctis L, M.&, O, P. Sit enim primu m in recta BI, centrum K, circuli prioris HLIM,& per centrum E, ad Hl, excitetur perpendicularit LMI ſecans circulum datum in punctis L, M,. per que dico circulum H LIM, tranſire. Iunct a enim diametro dati circuli AC,( cum datus cirtulus poſitus ſit biſariam in A. O, ſecari& circulo AFCG.] quoniam rectæ Hl. AC, ſe mutuo ſecant in Ezs erit rectangulum ſasb E E, E/ rectangulo ſutb& E, EC, hoc ett, quadrato rectæ& E, vel redta LE, zuale. Cum ergo LE, ſit ad HI, perpendicularis, tranſibit per lemma. Id. ſemicirculus HLI, ber Lzatque eandem ob cauſam& per M, ſemicirculus HMI, franſibit. 8 erge circulus Vertieales eiu ſdt circuli maximi deſcripti, tanquã Horizontis cufuf piam, de ſeribero. Vtilitas buius pre propoſitionis. Si in eircalo ſb. cante datum circulum bifatiam acepᷣmodetur recta per centtum dau circuli, ſecabunt omnes circuli per exttema itlius rectæ t an ſcuntes eundem quo q; datum eir culum bifariam, a 35. term. 512 LIGA 9 circulus H LAH, datum circulum in punctis L, M, per diametrum LM, e Foſctis, 9 ideoq; bifariam. quod eſi propoſitum. 0 100 DEIN D E ſir N, centrum paſterioris circuli HOV, extra rectam applicatam EI, ducaturq; eius diameter VX, per E, centrum dati circuli, ad quam ducatur dia. 107 meter eiuſdꝰ dati circuli perpe di cularis O. Dico circuI HO, per punctæ O, P, tra ſire. Quonia enim rectæ . AC ſn circulg mutuò ſecat n Ezaerit re HGaguli ſaub HE, EI, re cagulo ſub 4E, EC 5 Hoc eſt, ua Arato rectłæ 4 E„ vel O E, æqua. le: b Sed re. dagulo ſub HE, EI, 2. quale eſt redt angulum ſub Y E, EX; q rectæ RI, VX, ſe mutuò quo 3. ſecent in E, in circulo O PV, per H I. deſcripto. Igitur& quadratum rectę OE, redtangulo ſub V E, Ex, aquale erit. Cum ergo OE, ad VX, ſit perpendicularis, tranſibis, per Lemma 16 ſe11974 micircilus Ox, per O;& eandem ob cauſam ſemicirculus Y PR, per P. Circulus 1 igitur HO, datum circulum ſecat in punctis O, P, per diametrum O P, oppoſitis, 100 adeoq; bifariam. quod eſt propoſitum. 5 yo p ſſi in circulo AFC, applicata ſit recta FG, per eius centrum& per N E, centrum dati circuli tranſiens, ac per F, G, circulus, vt libet, deſcribatur Far s, ex centro R, ſecant circulum datum in a, S. dico ruiſus, datum circulum in 45 S, diuidi biſariam. Dudia namque diametro circuli deſcripti TT, per centrum E, dati circuli,& ad eam excitata diametro dati circuli perpendiculari a&, demonſtrabimus eodem modo, circulum Fax S, tranſire per a, S. Quoniam enim recta YO, Ac, 8, 35. tertij. in circulo AE CG e mutuo ſecant in Eʒ c erit rectangulum ſub F E, E O, rectanguö 0. 35. terii. lo ſub AE, EC, hoc eſt, quadrato rectæ A E, vel a E, æquale:d Sed rectangulo ſub FE, EG, aquale eſt rectangulum ſiib I E, Ex, quòd recta F G, I, in circulo FarS; per 110 F, G, deſcripto ſe mutuo quoque ſecent in E. Igitur& quadratum recta a E; rectan0 gulo ſub I E, ET, æquale er it. Cum ergo aE, ad IT, perpendicularis ſit, tranſibit per Lemma id. ſemicirculus Ta er añ eandemq; ob cauſam ſemicirculus TSI, per S. Circulus 235. tertj. D, 25. terij. P R 0 G S. XIII. 513 Circulus igitur Fa, datum circulum ſecat in punctis a, S, per diametrum à&, eppoſitie, atquè idcirco biſariam. quod eſi propaſitum. i 2. Er guoniam omnes maximi circuli ducuntur per dito aliqus puncta per diame m 3 trum oppoſita, recta autem duo huiu ſimodi puncta connectens; diameter eſt alicuius 3 circuli maximi obliqui Aequatorem bifariam ſecantis(quemadmodum enim Hori-—* con; Verticalis, Eclipticaque Aequatorem ſecant bifariam, propterea quod funct a 1 extrema in diametro visa cuiuslibet eorum repræſentan: duo functa in ſphara per dia metrum oppoſtta, vt in ſeholio propoſitionis 8. Num. 1.&. eſcendimus:: ita quoqua circulus circa quamcunque rectam duo puncta per diametrum oppoſita iungentem em mellio eius puncto deſcriptus, eundem Aequatorem bifariam diuidit, vt in eodem ſcholio Num. 3. demonſtratum eſt.) eſſicitur ex theorematè huius ſcholi omnes maxi mos circulos in Aſtrolabio, cum per eiuſimodi duo puncta per diametrum oppoſita deſcribantur. Aequatorem biſariam ſecare, non ſecus atque in cœlo contingit. Ex quo ſequitur, omnes Pertirales, circulos poſitionum, circulos horarios,& circulos maximos, qui per polos Eclipticæ ducuntur, Aequaturem ſecare in functis per diametrum ippoſibis. Id quod ſupra proprijs in locis oſtenſum quoſue ſuit. Rose Rop os. XIII PEN data duo puncta in Aſtrolabio, vel per vnum ſolum, circulum maximum deſcribere. 1. HO C idem, quod ad duo puncta attinet, demonſtrat Theodoſius lib. 1. ce das rande propoſ. 20. differtque propoſitio hæc à præcedenti, quod in hac 13. non datur ee litus, ac poſitio circuli deſcribendi, aut duo puncta in duobus circulis maxi- e cr mis, ſicut in illa 12. ſed ſolum duo puncta aſsignantur quomodocunque. Con N eipiatut ergo in præcedentis ſcholii figura Aequator Aſtrolabii eſſe AB CP, & data puncta E, d, per quæ circulus maximus deſcribendus eſt. Inuento alteri eorum, nimirum ipſi E, puncto per diametrum oppoſito G, per ea, quę propoſ. 6. Num. 13. demonſtrauimus,(quod quidem fiet, ſi ad rectam ex E, per centrũ E, ductam erigatur perpendieularis EA, in centro E,& ad junctam rectam AE, excitetur perpendicularis AG, quæ nullo negocio ducetur, ſi arcui Be, quem recta AE, abſcindit in Aequa tore, ęqualis ſumatur oppoſitus Ob, rectaque nectatur Ab: faciens in ſemicirculo e A bʒangulum rectum ad A. Vel ſi ducta ad 2,3 T. beriß. FD, diametro perpendiculari AC, in Aequatore, circa tria puncta A, P, C, cir culus deſc ribatur, centrum Q, habens in FD, hic enim abſeindet punctum G, puncto E, oppoſitum.) deſeribatur circulus Fd G per tria puncta E, d. G, centrũ R, habens in recta QR, ad rectam FG, perpendiculari in medio puncto Q. Hie enim maximus erit, eum per puncta oppoſita E, G, tranſeat, ſecabitque Aequatorem bifariam in a, S, vt in ſcholio pręcedentis propoſ. oſtendimus. 2. Quando alterum punctorum datum fuerit in circumferentia Aequato- ber dus panctz; ris, abſoluetur problema, ſi in A equatore aceipiatur aliud punctum oppofitum, Jada eu& per tria puncta, quorum duo ſunt in Hequatore oppoſita, tertium autem dag cn e Ne tum, circulus deſeribatur. Vt ſi data ſint duo puncta Fl az ducta diametto Ace- e quatoris a 8, deſcribemus per ttia puncta F, a, 8, circulum Fas. g 92 z. QO ſ duo data pũcta iaceãt in linea recta cũ E, cẽtro Aequatoris, vt fi puncta Per duo puncta, qi æ ſunt in eadẽ recta per ceatru Aſtrola bii ducta, circulum maximum deſcribere. per due fpuncta in circum eren tia Acquatoris data, ci culũ maxi mum dsſeribeA. per datum quod uns punctum in Aro labio, quot nis ci culos ma umos deſctibere 514 AI N Hor puncta data ſint F. B. vel E, G, referet ipſa recta EB, vel EG, in infinitum extenfa maximum circulum pet polos mundi ductum, vt conſtat ex propoſ. i. Neque per duo illa puncta alius circulus maximus deſcribi poterit, niſi per diametrum ſint oppolita, qualia ſunt F, G. I unc enim non ſolum recta EG, in infinitũ extenſa maximum circulum re fetet pet ea puncta ductum, ſed etiam per eadem infiniti alli circuli maximi deletibi poterunt, cuiuſmodi ſunt FAGC,& FYGT, ex cen tris Q.. deſc ripti: quorum omnium centta erunt in recta QR, ſecante FEG, bifariam,& ad angulos rectosſ yt conſtat ex coroll. propoſ. J. lib. 3. Eucl 4. KVRSVS fi data puncta ſiut in Aequatoris circumferentia, vt B, L, erit ipſemet gequator, maximus cireulus per ea ductus,& nullus alius per eadeim illa puncta poterit deſcribi, niſi quando per dia metrum opponuntur. Vt t uata puncta ſint O. P, deſcribi poterunt per O, P, præter Aequatork, infiniti alli circuli maximi, culuſ modi eſt OHV: que madmodum paulo ante de punctis op poſitis extra circumferentiã Ke quatoris diximus. Omni um autem centra erunt in recta EN, ad OP, perpendiculari, vt conſtat ex coroll. propoſ. I. lib 2. Eucl. 5. IAM per vnum datum punctum circulus ſit deſeribendus, fiet id dicto citius, ſi per punctum datum,& quo alia quæcunque in Aequatore per diametrum oppoſita circulus deſeribatur. Ex quo etficitur per quoduis datum puncum, infinitos maximos circulos deſcr ibi poſſe, cum inſigitis modis aceipi poſſint in Aequatote duo puncta oppoſita. Ita vides per punctum H, tres maximos circulos HOP, HLM, HAC, deſcriptos eſſe, cum tam puncta O 1 3 2 rs. MI. 515 L. M.& A, C, ſint per diametrum o ppoſita in A equatore. 6. DEN IE ſi dentur duo pundta per diametrum oppoſita, deſeribi poterunt per ea intiniti circuli maximi, quorum omnium centra exiſtuut in recta rectam illa puncta con iungentem ſee ante bifariam,& ad angulos rectos. Vt in eadem figura per puncta H, I, oppoſita per dia metrum deſcripti ſunt tres cireuli maxim H CIF, H MIL, H VIO, quorum centra ſunt in recta NQ, ſecante rectam HI, bifariam,& ad angulos rectos in K, vt conſtat ex coroll. propoſ.. lib. 3. Fucl. Atque ita infiniti alii cireuli maximiper eadem puncta poter unt deſcribi ex aſſumptis alis centris in recta N. Hoc obiter etiam aſſeruimus paulo ante ad finem Num. 3.& 4. NROB L. NIL. PRO POS. XIIII. DAT IS duobus punctis in Aſtrolabio per quadrantem maximi circuli inter ſe diſtantibus, per alterutrum eorum ci reulum maximum deſcribere, cuius alterun pũctum ſit polus: Item dato quolibet puncto, maximum circulum deſcribere, cuius polus ſit datum illud punctum: Atque inſuper circulum non maximum, cuius diſtantia ab eo polo data ſit, 1. IN Aſtrolabio, cuius Aequator ABCD, eirea centrum E,& in quo duæ dia metri A C, BD, ſeſe ad rectos angulos ſecent, quarũ illa Horizontem rectum, hac vero Meridianum referat, lint data primum duo puncta E& quorum vnum ab altero abſit quadrante circuli maximi, ſitque per E, deſcribendus circulus maximus, cuius polus G. Ducatui per G, polum circuli deſcribendi,& E„cen trum Aſtrolabii recta HE, quam ad rectos angulos ſecet diameter HI, deſeribaturque per tria Puncta F. H,, ex centro K.(quod, ex coroll. propoſ. I. lib 3. Eucl necęſſario in recta GE, exiſtit, ob angulos rectos in centro E.) circulus FH, ſecans rectam GE, in Lz qui per ea, quæ in ſcholio propoſ. 4. Num. y. demon ſtrauimus, maximus eſt, cum Aequatorem in H. IL, bifariam ſecet. Dico eius p lum eſſe&, ſi verum eſt, G. ab E, a beſſe quadrante circuli maximi, ac proinde poſſe eſſe polum alicuius circuli masæimi per F, ducti, vt poſitum eſt. Qnoniam enim circuſus maximus per rectam KL, repræſentatus tranſit per G. polum alichuius ma ximi circuli per F, ducti, tranſib it viciſsim circulus ille maximus per F, ductus, cuius polus G. per polum circuli maxi mi, quem xecta K Lõrepręſentat, ex ſcholio prop. 15 lib i. Theod Cũ ergo H, ſit polus circuli KI, cum ab eoqua liter,& per quadrantes Hl, Hi, diſtet, erit EHLI, circulus ille maximus pe uctus, cuius polus G. Nam alii eirculi maximi per E, ducti,& a circulo EHI, di uerſi, non trauſeunt per H. I, polos circuli KL. quod tamen neceſſariũ eſſe diximus, ex ſcholio prop. 15. lib. I. Theod. ſi G, polus eſt alicuius eirculi per E, duct VI autem videas, quam apte hæc conſentiant iis, quæ demonſtrata ſunt, du cantur ex H, polo circuli KL, per G, L, radij HM, HN. Si enim G, po lus eſt circu li PHI, necelſſe eſt GLzeſſe circuli quadrantem, hoc eſt, Arend Aequatoris MN, 811 cui 02 2 7— Per duo pundz per 2 oppo c mos deſcxihe Datis duobus pã ctis ate 1 mie ler ſe diſtautibus, per alter utrũ corum maximum circulum deſcribere, cuſus alterũ puactum fit palus. 516 D 1* N euĩ arcus GL, reſpondet, quadrantem eſſe. Item ſi per puncta F,&. per præceden tem propoſ. maximus eirculus deſeribatur EG, quod quidem ſio fiet. Reperia tur punctum O, puncto G, oppoſitum vel per circulum HO], per tria puncta H, G. I, ex centro Q, deſeriptum, vel per angulum rectum MAHO cui ducta recta HM. ad H, conſtitutum, qui dicto citius conſtruetur, ſi diameter ducatur MP, rectaq; HP, emittatur ſecans GL, in O. Deinde per tria puncta E, G, O ex centro R, eirculus deſeribatur.)neceſſe eſt arcum EG, quadrantem eſſe. quod ſic experieris. Ducta per E centrum Aſtrolabii,& R, centrum circuli FGO, recta ER, ſecante circulum EHI, in S, erit S polus cireuli FGO Nam cum FGO, ponatur tranſire per G, polum circuli EH, tranſibit ex ſcholio propoſ. 15. lib 1. Thedd. viciſsim EH per polos cireuli EGO. Cum ergo hu us polus ſit in recta ER. v t propoſ. 8. Num. 1. oſtenſum eſt, exit 8 ‚eius polus. Igitor ſi FG, quadrans eſt, neceſſe eſt, radios Sg. SP, ex Aequatore abſcindere quadrantem IV. 2. NON eſt autem neceſſe, circulum per datum punctum E, deſcriptum ambire alterum punctum datum, quod polus eſſe debet, ita vt polus intra circulum deſcriptum, cuius eſt polus, contineatur, cum ſemper in Aſtrolabio vnus po Ius ſit intra cireulum, euius eſt polus,& alter extra, vt patet in Horizõte, eiuſqʒ Paralſelis. Nam ſi alterum punctũ datum ſit O, ducta recta OE, excitataqʒ perpendicula ri ad èam H, erit circulus EHI, maximus cuius polus eſt O. quem nõ ambit. Quoniam enim circulus maximus, quem recta OE, refert, tranſit per O. polum alicuius maximĩ circuli per E, ducti, ex hypotheſi. tranſibit ex ſcholio propoſ. 15. lib. 1. Theod. viciſsim eirculus ille maximus per E, ductus, cuius polus O, per polos circuli maximi O E, hoc eſt, per H, I. Circulus igitur FH, eſt on i.. 517 FH, eſt maximus ille, cuius polus O. Nam nullus alius per E, ductus tranſit per H, I, polos circuli O E. HIC etiam vides, radios SF, SO, ex polo 8, eirculi FGO, emiſſos auferre ex Aequatore quadrantem VX; ac proinde arcum OE. circuli FGO, trepræſentare quadrantem, vt vult hy potheſis. Ponitur enim O, ab E, diſtare quadran te circuli maximi per ea puncta ducti. Arcus autem reliquus OG F, continet tres quadrantes, quemadmodum& arcus Aequatoris XIV, cui ille reſpondet. 3. SIT deinde datum quodlibet punctũ G, deſcribendusq; ſit circulus maximus, cuius polus ſit datum punctum G. Ducta recta GE, per datum punctum, & centrum Aſtrolabii, excitabimus ad eam perpendicularem HI. Deinde ex H, polo circuli maximi GE, ducta recta HG, ſecante Aequatorem in M, accipiemus quadrantem MN, ſiue ad dextram, ſiue ad ſiniſtram,(In dato exemplo incommodum foret aceipere quadrantem MEK, verſus finiſtram, quia recta Hł,ni mis procul rectam EG, ſecatet.)recta mque ducemus HN, quæ GE, ſecet in L. Circulus na mque per tria puncta H, L, I, deſcriptus erit maximus, cum Aequatorem bifariam ſecet; eiuſque polus erit G, cum ab eo diſtet quadrante circuli maximi GL. PART ratione, ſi datum punctum ſit O, polus deſeribendi circuli maximi, du cemus quoque rectam OE,& ad eam perpendicularem erigemus HI. Deinde ex H, polo circuli maximi OE, ducta recta HO, ſecante Aequatorem in P; ſumemus quadrantem PN, rectamque emittemus HN, ſecantem OE, in L. Nam rur ſus circulusper tria puncta H, L, I, deſcriptus, erit maximus, eiuſque polus O, cum diſtet quadrante circuli maximi OL, ab eo. CENIT RVM autem circuli maximi deſcribendi ita reperietur ex jis, qua propoſ. 5. Num. 3. demonſtrauimus. Ducta recta ex H, per polum G, v O, ſecãte Aequatorem in M, vel Pʒ ſumptiſꝗ: duobus qua drantibus MN, Mk, vel PN, Pk, dabunt radii HN, Hk, in recta KO, diametrum viſam circuli maximi, quod recta ducta ł N, ſit vera eius diameter; quandoquidem eius polus eſt M. Si vero arcui Hl, æqualis abſcindatur à puncto k, verſus M, vel arcui HN, ab N, ver ſus M, cadet recta ex H, per extremum punctum arcus accepti ducta in K, centrum cir culi, diuidens diametrum abſciſſam bifariam in K. Itaque etiamſi tota diameter commodeè haberi nequeat, propterea quod aliquando alter radiorum, qualis hie eſt Hk, nimis procul excurrit, poterit tamen circulus maximus deſeribi ex centro inuento per alterum extremum diametri, quale hic eſt punctum L. 4. DENIQVE ſit deſcribendus circulus non maximus, cuius polus G a quo eius circumferentia quotuis gradibus recedat. Ducta per G,& centrum E, recta, quam Hl, ad rectos angulos ſecet, ducemus ex H, per G, rectã HG. Aequa tori occurrentem in Mʒeritqʒ M, polus circuli deſcribendi, cũ radius HM, exhibeat eius polum G, in Aſtrolabio,& ME, axis erit eiuſdem eirculi. Si igitur ab M. vtrinqʒ gradus propoſitos numeremus, vt terminos veræ diametri circuli de ſeribendi habeamus,& per ſines ex H, radii egrediantur, abſcindetur ex GE, dia diameter circuli deſcribendi, qua ſecta bifarĩiam, circulus deſcribetur. Quod ſi quando tota diameter commode haberi nõ poteſt, vt cum alterum eius extrèmũ nimis procul a G, abeſt, inueniendũ erit centrum circuli deſeribendi per ea, quę prop. C. Num. y. demonſtrauimus, hoc videlicet modo. Numeratis ab M, vtrinqʒ gradibus propoſitis, iungantur extrema puncta per rectã lineã, quæ( vt diximus) vera diameter erit circuli deſcribendi,& punctum notetur, vbi ea diameter axẽ ME, inter ſecat. Si enim per hoc punctum ex H, recta emittatur,& arcui inter M.& eam rectam intercepto æqualis abſeindatur ex altera parte, cadet recta ex 8 888 2 H, per Circulum maxt᷑ · mum deſcribere, cuias poles t datum punctum in AſtiolabioCi rculum nd ma xi mum deſcribere, cuius polus ſit datum punctum in Aſtrolabio. ——— 518 A ien H, per extremum punctum arcus abſciſsi in centrum,&c. EOD E M modo progrediemur, ſi punctum O, polus ponatur. Ducta enim recta HO, ſecante Aequatorem in Pʒzerit ducta PE, axis circuli deſeribendi,&c. Exemplum circuli non maximi deſcribendi non proponimus, ne figura nimis tanta linearum multitudine confundatur. PROBL. XII PRO POS NV ANGVII ſphærici, quem duo quilibet circuli maximi in Aſtrolabio comprehendunt, magnitudinem, ſiue (quod idem eſt) duorum circulorum in Aſtrolabio maxi- ä 1—**„* 0 1 morum inclinationem Iinuenire. 0 0 ate e 1. IN figura antecedentis propoſ. ſecet primum maximus circulus HOIG, 10 zn circumferétia Aequatorem ABCD, in H, I, punctis oppoſitis, vel duo circuli maximi HG, 1 Bet o encea. HL, ſe ſecent in circumferentia Aequatoris in punctis eiſdem H, Iʒzpropoſitumne 6 10 ö ö que ſit quantitatem anguli OH A, vel OIA, hoc eſt, inclinationem circuli maximi HOlad Aequatorem explorare,&c. Ducta diametro Aequatoris Hl, ſe6 eet eam ad angulos rectos alia diameter li, quantumlibet extenſa, ſecans Aequa r ß 1 torem,& datum circulum in i,& O: iunganturqʒ rectæ HO, Hi, ſecantes Acqua g toxem, in P, i. Dico arcum P i, metiri angulum OlHI, ſiue inclinationem circuli a maximi — s AV. 519 maxim H OI, ad Aequatorem. Quoniam enim li, rectam HI, in E, bifa ria ſecat,& ad angulos rectos, tranſibit per centrum circuli HOl, ex coroll. propoſ. I. lib. z. Euel. Ideoque& per polos circuli eiuſde m, vt propoſ. 8. Num. 19. oſtendimus. Cum ergo per propoſ. r. circulum maximum per polos mundi ductum referat, erunt ex coroll. propoſ. 1. lib. 1. Theod. arcus Hi, HO, quadrantes, atqʒ ideireo iO, arcus erit anguli OHi, velinelinationis circulorum. Quare cum per propoſitionem 1. Num. 5. ſegmentum Oi, arcui Pi, æquale ſit, quod ad numerum g aduum attinet, erit quoque Pi, arcus anguli O Hi, vel inclinationis circuli HO l, ad Aequatorem. Sic quoque:anguli GHi,(qui anguli OHi, complementum eſt ad duos rectos.) arcus eſt ſegmentum Gi, cui reſpondet arcus Mi. Item Li, vel Ni, arcus eſt anguli J. Hi:& Ll, vel NI arcus anguli L Hl. Denique GL, vel MN, arcus eſt anguli GHL, quem duo circuli maximi HG, HLI, conſtituunt, ſe mutuò ſecantes in circumferentia Aequatoris. Ex quo fit, eodem modo eius anguli magnitudinem inueſtigandum eſſe. 2. SECENT deinde ſe ſe duo maximi circuli 5G, EIN a, in punctis oppoſi tis EZ Z, extra peripheriam Aequatoris, conſtituentes adũgulum GEH, quem inueſtigare oporteat. Ducta eorum dia metro EZ, per E, centrum Aſtroladii; (Quod ſi circuli ſe ſolum in F, interſecarent, pro ducendi eſſent, donec ſe in Z, ſecarent; vel certe recta EE, producenda,& inueniendum punctum E, puncto E, oppoſitum, vt propoſ. C. Num. 13. traditum eſt). ſecet eam in a, recta aliqua bifariam,& ad angulos rectos, qualis eſt recta KR, per centra K, N, eirculorum tranſiensz vnde ſatis eſt rectam KR, per eorum circulorum centra ducere, etiamſi communis eorum ſectio FEZ, ducta non ſit. quod commodiſsimum erit, quando alterum punctorum inter ſectionis procul diſtat. Immo ſi alterum centrorum ni mis procul abſit à recta EE, ſatis eſt ex viciniore R, ad EF, perpendicularem demittere Ra. Hæc enim ſecabit rectam PE, ſi ducta eſſet, brifariam&c. Deinde ex quouis puncto m, rectæ FE, ſiue illud idem ſit, quod punctum medium a, ſiue non, deſcribatur per E, circulus Ffe: vel ex puncto E, ad quodlibet interuallum circulus gh. Poſtremo per puncta b, d, vbi circuli maximi dati rectam K R, interſecant, ex F, rectæ egrediantur ſecantes circulum fe, in f, e, vel circulum gh, in g, h. Dico ef, arcum eſſe anguli GEH, hoc eſt, inclinationis circulorum,& areum gh, eſſe ſemiſſem eiuſdem arcus. Nam ſi uncta oppoſita E, Z, ponantur poli alicuius Horizontis obliqui, erunt circuli FGZ, FLZ, duo Verticales, quorum primarius ex centro a, per E, Z, deſeribendus eſſet; recta vero KR, referet parallelum illius Horizontis per polum mundi, in quo oculus collocatur, ductum, vt propoſ. 8. Num. 2. oſtendimus. Igitur, vt in eadem propoſ. Num. k. monſtratum eſt, ſegmentum bd, rectæ KR,, tot gradibus eius paralleli reſpondet, quot in arcu ef, vel in arcu gh, duplicato continentur. Cum ergo arcus eiuſdem paralleli inter circulos FG Z, FLZ, a ſimilis ſit arcui illius Horizontis obliqui, qui quidem arcus eſt anguli GFI, liquet arcum quoque ef, eiuſde m anguli arcum eſſe,&c. Quia vero in præcedenti propoſitione circulus FH, deſeriptus fuit circa polum G, trãſibit circulus FG, per illius polos;o, ac proinde angulus GEH, rectus erit. Neceſſe eſt ergo, arcum eius ef, quadrantem eſſe circuli Ffe, arcum vero gh, ſemiſſem quadrantis circuli gh. QVIN etiam ſi per punctum F, quomodocunque eirculus deſeribatur, licet eius centrum non fit in recta FEZ, qualis etiam eſt, u. g. alteruter arcuum datum angulum continentium, vt FG, ſecans duas rectas Fb, Ed, in b, pʒ me tietur eius Arcus tra, àAequatoris per. ointtum, uach gare. a, 16. 2. Th. b. 15. I. T. Quando alter cit culorum per poJos mundi ducitur, idem inueſti· Sate. a, 3. rertij. Facilis inuentio magnitudinis an guli ſphæricu, cu ius neuter arcuũ per centrum AArolabij incedit. Alia ſolitie problematis. pluribus cireulis ais per aut mi uchnatus „ alium maxi qui à qua inc lindau bus 520 LI B RI arcus bp, propoſitum angulum GEH, cum per lemma 10. ſimilis ſit areui efʒ & hg, ſemiſsis illius arcus, qui ſimilis ſit arcui bp,&c. 3. Q Od ſi alter circulorum angulum ſphæricum conſtituentium trãſeat per centrum Aſtrolabii, hoc eſt, repræſentet circulum maximum per polos mũdi ductum, abſoluemus eodem modo problema, niſi quod tunc vna tantum recta linea ex angulo ducenda eſt. Vt ſi angulus ſphæricus contineatut maximo circulo FEZ, per rectam lineam repręſentato,& circulo maximo FG, erit en, arcus illius,& hm, eiuſdem ſemiſsis. Sic etiam anguli EHL, arcus erit IN,& ſic de cæteris. IM Mo etiamſi neque vlla recta ex angulo ducatur, neque circulus Een, aut hm, deſcribatur arcus tamen bz, angulum bPE,& arcus LI, angulum EHL, metieturʒ propterea quòd per Lemma 10. tam arcus bz, e n, quam LI, NI, ſimiles ſunt&c. Ex quo fit, quoniam arcus FbZ, HL, bifariam diuiduntur à perpendicularibus ab, EL, vt arcus quoque Eb, HL, eoſdem angulos metiantur:ita vt alterum punctum interſectionis neceſſarium non ſit. RATIO hæc accommodari etiam poterit ad angulum quëlibet, licet neu ter circulorum per centrum Aſtrolabii tranſeat. Sit enim datus angulus bZd, ita vt punctum interſectionis F, vix haberi poſsit. Ducta recta Z E, per centrum Aſtrolabii, ducatur ad eam ex R, centro circuli bz, quod vicinius eſt, perpendicularis ſecans vtrumque circulum in b, d. Quia igitur arcus bz, angulum bZa,& arcus dZ, angulum dZa, metitur; ſi arcui bz, adiiciatur arcus arcui dZ, ſimilis, conflabitur arcus totius anguli bd. Idemque habebitur, ſi ad arcum dE, adiicia tur arcus arcui bE, ſimilis. Rurſum da tus ſit angulus hL K, in figura ſequentis propoſ. Ducta recta LE, per centrum Aſtrolabii, ducatur ad eam ex alterutrius circuli centro perpendicularis ſecans vtrumque circulum in h, K. Quo peracto, metietur arcus Lh, angulum hLN,& arcus LK, angulum KLN. Si igitur ex arcu Lh, auferatur arcus arcui LK, ſimilis, reliquus fiet arcus anguli hL. K. 4. ID EM hoc problema ſoluemus, ſi per propoſ. præcedentem circa angulum datum, vt polum eirculus maximus deſcribatur. Huius enim arcus inter circumferentias angulum datum comprehendentes con eluſus ipſum angulum metietur: Rectæ autem ex angulo per extrema puncta huius arcus ductæ abſcindent ex Aequatore arcum illi æqualem, quod ad nume rum graduum atti net, vt propoſ.. Num. 17. demonſtrauimus ac proinde arcus ille Ac quatoris quãtitatem anguli dati indicabit. Ita vides in figura ex puncto H, anguli iHO, vt polo, deſcriptum eſſe maximum circulum KO, per rectam KO, repræſentaarcum iO, interceptum inter circumferentias Hi, HO, angulum conos metiri dictum angulum, cuius quidem arcus magnitudinem exhibet arus Aequatoris Pi, à rectis Hi, HO, per extremitates arcus O, ductis abſciſſus. Eademque ratio eſt de alijs. „H 2. OBI T ER autem hoc leco animaduertendu m eſt, ſi plures maximi circuli per eadem puncta oppoſita tranſeuntes ad alium gquendam circulum maximum inclineniur, vno excepto, qui ad illum rectus ſit, eum qui ad hunc rectum rectus eſt, maxime ad illum alium inclinari, aliorum vero, qui maxim inclinato propiores ſunt, ma gis inclinari, quam qui remotiores ſunt; duos deniqué equaliter dliſt antes ab eo, qui rectus eſi, ad vtramque partem, æqualiter inclinari. Dic autein illum magit incli8 8 N 35 A 12 2 2 nari ad alium, qui minorem angulum acutum cum eo conſticuit. Sit enim circuli ma ximi os xu. 521 ximi ABC D, polus E, per quem ducti ſint qubicumque maximi circuli Ax. EF. EG, EH, EI, ad maximum quendam ANC, inclinati, excepto EH, qui au un weAus ſit; ad E H, autem rectus quoque ſit A EC. Dico AEC, marimè ad ANC inclinari,& EF, magis inclinari, quam EG. Denique EF, EI, agualiter a unctis A, C, maximò inclinati A E C, diſtantes, æqualiter inclinari. Quiniam enim E, polus eſt circuli A BC D, erunt ex coroll. propoſ. 1. lib 1. Thheod. EA, EK, EIL, ED, EM, EC, quadrantes, ideoq; EF, EG, E RH, EI, quadrante minores. Igitur tam arcus EA, EF, quam EF, EG,& EG, EH, ſemicirculo minores ſunt, cum quilibet duo non æquentur duobus quadrantibus. Ber propoſ. t. ergo noſtrorum triang. ſpher. angulus externus E H C, rectus, maior erit interno opfoſito EG H: hic mator interno oppoſito EG, c hic maior interno oppoſito E AF. Eſt ergo E GH, acutus,&& fortiors magis acutus EFG,& multo acutior E AF. Quare circulus EA, maximsè eſt ad AH, inclinatus,& EF, magis, quam EG. Deiude quiæ duo latera AE, AF, duobus lateribus CE, CI. aqualia ſunt,( Sunt enim EA, EC, quadrantes,& arcus AF, CA, æquales, quod circuli EFH, EI, in circuls AH C, aqualiter ponantur abeſſe à punctis A, C.) angulosque continent aquales A, C, per propoſ. 13. noſtrorum triang. ſphar. erunt ex prop. 7. eorundem triang. anguli quoque AF E, CIE, æquales; ac proinde& ex duobus rectis reliqui E FH, EIH. aquales erunt, qui quidem ſunt anguli inclinationum. Aequaliter ergo EF, E I, ad AC, inclinati ſunt. quod eſt propaſitum. E T quia omnes Verticales ad Aequatorem inclinati ſunt, excepto Meridiano, àd quem primarius V, erticalis rectus ect, eficifur, Verticalem primarium ad Aequatorem eſſe maximè inclinatum,& alios eò magis inclinati, quò minus à primario recedunt. Sic etiam; quia omnes circuli poſitionum ad Aequatorem inclinati ſunt, Meridiano excepto, ad quem Horixon rectus ol, colligiur, Horizontem ad Aequatarem maximè inclinatum eſſe,& alios poſitionum circules eb magis inclinari, gzuò minus diſtant ab Horixonte. 2. IAM vero puleherrima,&. facillima via per han proßoſitionem 15. nobis aperitur, qua per inclinationem ad Horixontem datam in 12. prooſ. Num. 2. ter. tium punctum inueniatur: pe, quod circuſus maximus propoſitus de ſcribendus ſit. Ita ergo agemus. Quoniam circulus ibi propoſitus detlinat à merillis in occaſum, atque ita inuenta ſunt in figur a prop oſ. i 2. duo punca N, P„ in quibus circulus H orixone m ſecare debet; inclinationem verò habet ad Hcrixonsem ex parte guſtrali grad. 20. ex qua inuentum fuit pundium K, vel per Perticalem X E T. vel per parallelum Horix ontis g; k EM& Inueniemus iam ſine hiſee circulis em eadem intlinatione ternum aliud pundtum, hoc modo. Duca in figur prop ſe l a. per cc, fundtum medium recta NP, perpendiculari cc aa, q, οmi]bꝰ,˖̊er K, centrum Horixontis tranſibit, e eoroll. propoſi I. lib. 3. Eucl. cum rectam N P, in ori onte ſecet biſariam, eꝙ ad an gulos rectos. Deſcripto quoque ex N, ad quoduis interuallum arcs circuli es ii, du. ratur ex N, ad aa, punctum interſectionis redta cc aa, cum Horixonte recta ſocans arcum Verticalem pi mariũ inter om ucs Verticales, & Horizonte n inter omnes citculos poſitionũs ad eq uat orem maximè iuelins ri. Praxis puleherrima pertinens act prapoſ. 12. pro inueniende tercio pũcto eir culi maximi dati deſeriber di, ex eius inelinattone ad Horizon rem data, ſine vetticali,& ſine patallelo Horizontis. 522 I arcum deſcriptum in ee. Es ex ee, verſus centrum HoriNontis abſcindatur arcus ee ii, ſemiſſem inclinationis continens, hoc eſt, grad. 13. Vel ſi minuta adhareant inclina1 rioni, accipiatur arcus totius inclinutionis, eiusque ſemiſsis deinde ee ii. Ducta enim 11 recta Ni; ſecabit rectam cc aa, in puncto bb, per quod circulus maximus propoſitus 6 deſeribendus eſt. Nam deſcripto circulo per tria pundta N, bb, P, angulus bb Naa, cone 1 tinebit grad. ad, inclinationis data, vt in hac propoſ. Num. a. demonſtratum eit. PROBL. XII. PRO POS, XVI. AD datum arcum circuli maximi in Aſtrolabio, ad datumque in eo punctum, dato angulo quorumcunque duorum circulorum maximorum in Aſtrolabio deſcriptorum, vel cuius arcus in gradibus datus ſit, æqua lem angulum conſtituere: ſiue(quod idem eſt) per datum pun ctum circulum maximum deſcribere, qui ad datum arcum circuli maximi, in quo punctum datum eſt, inclina1 tionem habeat æqualem inclinationi quoruml ibet duorum circulorum in Aſtrolabio maximorum. Item datum angulum duorum circulorum maximorum bifariam ſecare. . ee 1. PRIMA M partem huius propoſ demonſtrauimus propoſ. 12. trianbio æqualem an gulorum ſphæricorum. Sit ergo in Aſtrolabio Aequator A B CP, circa cenann de, nen trum E,& datus angulus ſphæricus EFG. contentus cireulo maximo FE H, per in date puncto polos mundi ducto,& maximo alio circulo GH, cui æqualis conſtituendus e ſit ad arcum IKL, in puncto I. Ductis per centrum E, diametris FI, IL, vt oppoſita puncta ſint F, H.& I. Lã eisque ſectis bifariam in M, N,& ad eaſdem ductis perpendicularibus G M. K N, quæ per centra omnium circulorum per puncta, E, H,& I, L, tranſeuntium incedent, ex coroll. propoſitionis 1. lib. 3. Eucl. deſcribantur per E, I. centris aſſumptis in rectis FH, IL, tcunque circuli æquales FOP, IT RS, vel excentris E, I, eireuli æquales quanticunque XV, ab. Ductis quoquè ex F, I, per puncta G, M K, vbi perpendiculares ab atcubus interſecantur, rectis ſecantibus circulos FOP, IRS, in Q. O. d,& circulos XX, ab, in x, V, e; erit QO, arcus dati anguli EEG,& VX, ſemiſsis arcus eiuſdem anguli, vt in præcedenti problemate oſtendimus. Si igi tur arcui OQ, æqualis ſumatur dT, ſi ad ſiniſtram arcus dati IK, conſtituendus ſit angulus, vel arcus df, ſi ad dextram, aut arcui VX, ęqualis atcus eb, vel eg, ducaturq̃ue recta IT, vel Ib, aut If, vel Ig, ſecans Kin h, vel iz eff ciet tam arcus per tria puncta I. h, L, deſeriptus angulum hIK, quam arcus per tria puncta J. i. L, deſeriptus angulum iIK, angulo EFG, dato æqualem, hoe eſt, inclinatio arcuum IhL., IL, ad arcum IKL, æqualis exit nc linationi arcus FGH, ad circulum FEEH, propter æqualitatem arcuum OQ, dT, df,&c. EAD EM ratione ad circulum maximum I EL, in puncto I, 9 2 NIX, RI OP O 5. VVI. 523 NIK, angulo EFn, æqualem conſtituemus, ſi, ducta recta En, ſecante circulum per F, deſetiptum in P,& circulum deſer iptum ex E, in V, arcui OP, æqualem acęipiamus R d, vel arcui VV, æqualem Ze,& rectam ducamus Le d, ſecantem KN, in K. Nam circulus per tria puncta I, K, L, deſcriptus, angulum conſtituet cum circulo EL, ęqualem angulo EFn, vt conſtat. S detur anguli alicuius magnitudo quotuis graduum, conſtituemus eiuſmo di angulum ad arcum IK L, in puncto I, ſi ex d, numeremus propoſitos gradus vſque ad T, vel f, aut ſi ſumamus ſemiſſem arcus propoſitorum graduum eb, vele g. Ita quoque ſi aceipia mus quadrantem d S vel ſemiſſem quadrantis e a, & per S. vel a, recta ducatur ſecans KN, in k, conſtituet arcus IKL, cum IK, angulum rectum KIk. NON ſecus datum angulum conſtituemus in dato puncto Aequatoris. Vt i cõſtruendus ſit angulus in D, cũ circulo maximo PEB. grad. o. vel cũ DCB, gr ad 20· numerabimus arcũ Bl. grad. 0. vel arcũ Cl, grad. ao. rectamque ducemus Dl. ſecantem AC, in m. Circulus namque DmB, propoſitum concludet. 2. E T quia duo arcus IKL, Ik L, continent angulum rectum KIk, vt dictum eſt, trãſibit alter per altet ius polum. Cum ergo polus cuiuſque circuli maxim i ſit quoque in recta per centrum Aſtrolabii,& centrum illius ducta, vt propoſ. 8. Num 19 dictum eſt, ſecabit recta Eq, per q. centrum circuli IK, eiecta circulum Ik. in p, polo circuli IKʒ& recta E ſ, per ſ. centrum circuli Ik traĩecta ſecabit cir culum IK, in r, polo circuli Ik. Atque hac eadem ratione, duobus quibuslibet ma zimis cit culis in Aſtrolabio ſeſe ad rectos angulos ſecantibus, recta connectens i alterutrius 1* Dato angule ſphærico in gcadibus, æqu lem in dato puucte cum dato rt e ci culi mam couſlituete: Qvando duo eĩtcull maximi in Aſtrolabio angulum rectam cou tinent, recta linea ex centro Aſtrolabii per cen trum vuus du cta ſecat altetum in polo illius prieris circuli a. Teod. 524 Ile Paerumclresle Aalterutrius centrum eum centro Aſtrolabii ſecabit alter um in polo illius prion een Ex quo fit, vt facile tunc polus vtriuſque circuli inuenjatur, ſi nimirum ex continent po- centro Aſtrolabii per eorum centra rectæ ducantur. Hæ etenim ſecabunt circu10s inuenire. los in polis 8 5 3. IAM vero non diſsimili ratione angulum, quem duo cireuli maximi in Datum angulum 1 3 1 5 7 g 7 8 1.4. 4 Aſtrolabio comprehendunt, bifai iam ſecabimus Sit enim angulus bi, ſecandus grolabio bifatiã bifariã. Ducta IL, cõi ſectione arcuum Ih. Ii, per centrum A ſtrolabij tranſeun ſecare. 2 N Se 2 2 5 1 2 een te; eademque ſecta bi fariam.& ad angulos rectos in N, per rectã hkz deſcribatur ex l, arcus vtcunque a b, vel per I, circulus quomodocunque IIS, centrũ habens 1 in cõmunĩ ſectione IL, verbi gratia, Z. Ductis deinde rectis Ih, Ii, deſeriptos cir eulos ſecantibus in b. g,& T, f. ſecetur arcus g b. vel f T, bifariam in e. vel diun gaturque recta Ie, vel Id, ſecans hk, in K. Circulus enim per tria puncta I, K, L, deſcriptus(qui maximus crit, cum trapſeat per puncta oppoſita, I, L.) ſecabit datum angulum hli, bifariam, vt ex demonſtratis liquet. 10 pROBL. XIIII. PRO POS. XVII. g DESC RIP TI cuiuſuis circuli in Aſtrolabio, vel lineæ rectæ in eodem ductę, ſitum in ſphæra explotare: H AE C br& Nui. 325 HA EC propoſitio nihil aliud continet, quam ad varios cireulos Aſtrolabil applicitionem quandam eorum, quæ iampridem de, nonſtrata ſunt, præſertim propoſ. 8. Num. 16.& 17. Sit ergo in Aſtrolabio Aequator ABCD, cuius centrum E Horizon datæ regionis AfCG, cuius centrum H,& diameter vera IK, ac proinde altitudo poli ſupra eum arcus Al, vel CK. Sit autem deſcriptus primum ci rculus LMNO, ex centro ꝙ, cuius poſitio in ſphæra indaganda eſt. Per eius centrum,& E, centrum Aſtrolabii traiiciatur recta LEN, quam ad rectos angulos ſecet diameter Aequatoris OM, cadens in puncta O, M, vbi à dato circulo ſecatur. Emiſsis deinde ex O. radiis OL, ON, per extrema puncta L, N, dia metri viſæ, ſecantibus Aequatorem in P, Q, erit iuncta PQ, diameter vera cir. culi variorum circa · lorum in Aſtrola bio quomodoecunque deſcripte rum ſitũ in ſphæ ta ex p lorate. 526 Er euli propoſiti, vt ex iis conſtat, quæ propoſ. 8. Num. 16. oſtendimus. Et quia eirculus maximus eſt, quod& Aequatorem in pundctis oppoſitis O. M, ſecet,& eius diameter vera OM, per centrum tranſeat, erit poli ſupra eum altitudo areus OP, vel MQ. vt in eadem pr opoſ. 8. Num. 22. dictum eſt. Aceidit autem, altitudinem poli OP, æqualem hic eſſe altitudini poli Al, ſupra Horizontem. Ex quo fit, circulum eum eſſe vnum ex eirculis horarum ab ortu, vel occaſu, cum ſuprs omnes eiuſmodi circulos eadem ſit altitudo poli, vt propoſ.. Num. traditum eſt. Et quoniam Aequatorem ſecat in O,& M, facile cognoſcemus, ad qua mnam hor am ſpectet, vt in eadem propoſ. 9. Num.. docuimus. Rur ſus quia idem eirculus ſec at Merdianum in R, cognoſcemus, quantum diſtet punctum R, ab Horizonte, ſi quotigradus in ſegm ento FR, contineantur, neee doTrina r er e en trina propoſ. 1. Num. 6. Denique ſi per polum Horizontis,& per polum eiuſdem circuli deſcriberetur Verticalis, notus fieret arcus inclinationis eiuſdem circuli ad Horizontem, quem tamen Verticalem non deſcripſimus, vt majorem confuſionem in figura vitaremus Quin immo per propoſ. IS. inueſtigari poterit eadem inelinatio ex angulo inelinationis FT R. Sic etiam per eandem propoſ. reperies eiuſdem circuli inclinationum tam ad Meridianum ex angulo ERO, quam ad Aequatorem ex angulo NOV. Verbi gratia,(vt videas, quo pacto res per propoſ 15 perficiatur)ducta VZ, ad rectam IX, ex puncto medio X. perpendicularĩ, deſcriptoque ex I, arcu quocunque b e, ſi emittantur rectæ IZ, Ta, ad puncta inter ſectionum rectæ YZ, cum circulo Ta,& Horizonte, ſecantes arcum b e, in d, b, erit bd, ſemiſsis inclinationis,& arcus be,. ipſius b d, duplus, totam in clinationem circuli ad Horizontem dabit, vt ex demonſtratis in propoſ. 15. liquido conſtat. Recta autem NV, arcum inclinationis eiuſdem circuli ad Aequatorem, arcum videlicet Aequatoris QV, rectæ NV, reſpondentem manifeſtabit. &c. Ita que circulus LM NO, inuentus eſt eſſe maximus, ſupra quem polus eleuatur per arcum OP, abſcinditque ex Meridiano ſupra Horizontem ex parte auſtrali arcum ER; Inclinationem denique eiuſdem ad Horizontem ex parte oe caſus,& auſtri, metitur arcus be,& c. 2. DEIN D E deſcriptus ſit circulus Af Cg, ſecans Aequatorem in iiſdem punctis A, C, per quæ Horizon tranſit, ac proinde maximus exiſtens. Inuenietur eius vera diameter h i,& altitudo poli ſupra eum eirculum arcus A h: Ipſe vero circulus ad Meridianum rectus, ſicut& Horizon, quod per eius polos A, C, ducatur, auferet ex Meridiano verſus meridiem ſupta Horizõtem arcum Ff, infra vero Horizontem ad partes boreæ arcum Gg. Inelinatio denique eiuſdem ad Horizontem erit areus Ff,& ad Aequatorem arcus fBñ.&c. 3. RVRS Vs detur alius circulus kl t, cuius centrum in eadem recta, in qua centrum Horizontis,& circuli Af Cg, non maximus, cum Aequatorem in punctis oppoſitis non ſecet. Ductis radiis A k, At, Aequatorem ſecantibus in n, m, erit vera eius diameter ducta recta m n: quæ reperitur parallela diametro Ho rizontis veræ I K. Repræſentat igitur circulus Kit, parallelum Horizontis, ab Horizonte vei ſus Zenith p. diſtantem areu In, vel K m, ſecantemque Requa torem in l. à puncto Meridiani B, verſus occaſum,&c. 4. PRAE T ER E A datus ſit circulus rꝗ centrum etiam habens in eadem recta cum Horizonte,& nullo modo Acquatorem ſecans, ita vt ſit non maximus. Ductis radiis Ar, Aq; ſecantibus Aequatorem in ⁊ p, exit ducta recta pvera eius diameter: quæ cum non æquidiſtet Horizontis diametro IK, indicat, eirculum non referre parallelum Horizontis, ſed eius circuli maximi, cuius dia meter vera u ſ. per E, centrum ducta, ipſi p, æquidiſtat,& ſupra quem polus ele uatur per arcum A u, vel C ſ: Cuius quidem circuli maximi ad Meridianum recti ſitus in ſphæra cognoſcetur, ſi ipſe, inuenta eius diametro viſa per radios Au, A ſ, in recta ED, deſcribatur,&. 5. AMpLIVõò offeratur circulus ag, centrum habens in eadem recta LN, cum circulo maximo LM NO, qua m ad rectos angulos ſecat MO. Emiſsis radiis Oa, Og, qui ſe cent Aequatorem in q, erit ducta 9, diameter circuli vera non æquidiſtans veræ diametro PQ, circuli LM NO. Ex quo coniicies, circulum g, non refer re parallelum circuli maximi LMNO, ſed eius, qui habet veram diame trum per E, ductam ipſi q, parallelam,&c.. 6. AD hæc deſcriptus ſit circulus, totus extra Aequatorem, ac proipde non maximus, cuius centrum exiſtat in eadem recta cum centro Wie 6 8 15 VBuctlis unde vera ei r culi diameter innenta eſt valde exigua, quid fecieudam. In explorando ſt te deſcripti eircu Ii In Aſtrolabio quid obſeruandũ ALectæ cuinſuis 199 iu Aſtrolabio du ctæ, ficũ in ſphæ ta explorare. 41g. vndec. 0 b 1. I. Theo. cf. i. The. 528„ Ductis radiis A., Ah, ſecantibus Acqua torem in V. As erit vera eius diameter recta VV, æquidiſtans diametro Horizontis vetæ IK. Igitur circulus 50, repræſentat Horizontis parallelum infra Hor izontem circa Nadir deſcriptum, cuius diſtantia ab Horizonte verſus Nadir recedit per arcum IV, vel KA,&c. QVYAN DO diameter vera circuli inuenta eſt admodum exigua, vt non fa cile ei parallela duci queat per centrum E, qualis fuit vltima VA, partie mur arcum Vu, bifariam in&, puncto, quod erit vnus polorum eirculi, ductoque axe Ep, ducemus ad eum diametrum perpendicularem I K, pro diametro vera circuli maximi, cui datus circulus æquidiſtat. HA C ergo arte explorabis ſitum cuiuſuis alterius circuli in Aſtrolabio deſcripti,& interſectiones eius cum alijs circulis, quos ſecat,&. ſi nimirum Prius per eius centrum,& centrum Aſtrolabii rectam eduxeris pro commun ſe ctione plani Aſtrolabii,& circuli maximi, qui per eius polos,& polos mundi da citur: deinde hanc rectam per diametrum Aequatoris ad angulos rectos ſe cueris, cuius num extremum(quod videlicet polo auſtrali A, ex quo radii emiſsi ſunt in deſeriptione Aſtrolabii datæ regionis, vicinius eſt) pro polo auſtrali ſumatur, ex quo radii emittendi ſunt,&c. 8. POST REMO data ſit recta FG, explorandumq; proponatur, quid in ſphæra repræſentet. Multa enim repręſentare poteſt. Nam ſi cogitetur in infinitum extenſa referet circulum per polum auſtralem ductum, vt propoſ.. Num. . eſt, cuius ſitum in ſphæra ſic reperiemus. Ducta ex E, centro Aſtrolaij ad FG, perpendiculari EH, ſecante Aequatorem in L, ducatur ad eam ſemidiameter perpendicularis EL, iungaturque IH, ſecanus A equatorem in K. Et quo niam, ſi circulus ACP, cõcipiatur rectus ad planum Aequatoris, Aſtrolabiiue, ſuper rectam EH, ita ut I, ad auſtrum vergat, manente Aequatore in proprio ſitu, hoc eſt, A, ſpectante ad occaſum,& C, ad ortum; recta El, axem mundi refert, & l, polum auſtralemʒoccurret planum per I H. ductum,& ad circulum in eo ſitu rectum, plano Aſtrolabii in H, facietque ſectionem EH. Quoniam enim tam planum Aequatoris, quam illud planum per IH, ductum, ad circulum ABC, in eo ſitu rectum eſtʒa erit quoque eorum communis ſectio ad eundem recta; ac proinde ex defin. z. lib. I l. Euel. ad EH, in eodem circulo exiſtentẽ perpendicularis. Cum ergo FH, ad EH, ſit perpendicularis, erit EH, communis illa ſectio plani Aſtrolabij,& plani per IH, ducti. b Quocirca cum hoc planum faciat in in ſphæra circulum, cuius diameter IK, referet data recta EG, in infinitum extenſa eum circulum, qui nimirum per I, polum auſtralem tranſit, rectuſque eſſ ad circulum maximum per polos mundi ductum, inclinatumque ad Meridianum datæ regionis, qui per BD, repr æ ſentatur, tot gradibus, quot in arcu BL, continentur, in parte quidem ſuperiori Aequatoris verſus occaſum A, in inferiori vero verſus ortum C. S verg recta EG, intelligatur terminata in punctis F,&, referre poteſt chordam circuli maximi per ea puncta deſcri pti, cuiusmodi eſt BGM N: vel chordã innumerabilium eirculorum non maximorum per eadem puncta deſcriptorum; quorum ſitus, ac poſitio in ſphæra explorari poterit ex iis, quæ in hac propoſ. ſcripſimus: vel denique diametrum alicuius circuli non maximi,& alicui maximo obliquo æquidiſtantis: quem ſic inueſtigabimus. Quoniam FO, repræſentat diametrum alicuius eirculi, fecabitur is à maximo cireulo FGMN, bifariã, ac proinde hic maximus per eius polos trãſibit Quare medium punctum arcus FG, polus eius erit, qui ſic reperietur. Inuento O, polo maximi circuli FGMN, intra Aequatorem contento,( Hunc autem inueniemus, vt propoſ. 8. Num. 17. ae mus, PRO HU VII. 529 mus, hoc modo. Per eius centrum P,& centrum Aſtrolabij ducemus rectam circulo intra Aequat orem occurrentem in Q, ſecantemque diametrum iunctam MN, ad angulos rectos. Recta enim MN, dia meter erit, cum ſit communis ſectio duorum circulorum ma ximorum. Deinde ducta recta IQ, ſecante Aequatorem in R, accipiemus arcum RS, quadrapti æqualem. Recta namque Ms, ſecadit EP, in O, polo)ducantur rectæ OE, OG, ſecantes Aequatorem in IV; diuiſoque arcu IV, bifariam in X, ducatur redta Ox, ſecans arcum FG, in V. Nam MV erit punctum illius arcus medium, cum arcus F, G V, ęqualibus atcubus VX, IX, re ſpondeant, vt propoſ.; Num. t demonſtrauimus, ideoque V, polus erit eirculi, cuius dia metrum recta FG, epræſentat. Sed quãdo polus O, prope abeſt à puncto X, ac proinde vix ſine errore recta Ox, extendi poteſt, reperiemus eun de m polum J, fortaſſe accuratius hoc modo. Sumatur Ppunctum Z, puncto X, oppoſitum,& per tria puncta. Z, E, X, extenſa recta, ſumatur Xa, ſemidiametro PQ, circuli FGMN, æqualis,& iuncta recta a P, ſecetur in b, bifariam,& ad angu · los rectos per rectam b d, ſecantem E a, in d. Nam recta Pd, extenſa dabit punctum V, puncto X, reſpondens, vt propoſ. 5. Num. 3 4. de monſtra uimus. quod etiam offeret XV, ipſi a P, parallela, vel recta YP, faciens angulum Pa, angulo Pa X, æqualem, vt ibidem oſten ſum eſt. EVN D E M po lum V, commode inuenies per ea, quæ propoſ. 6. Num. 36. ſeripſimus Nam ſi per tria puncta, quorum duo ſunt illa, in quibus recta EP, Aequatorem,& circulum G VF, ſecat. tertium autem punctum X, eirculum deſcribas, cuius centrum eſt in rec ta quæ rectam inter A equatorem,& cireulum GF, bifariam,& ad angulos rectos diuidit, tranſibit is eirculus per punctum V, vt loco citato demonſtratum eſt. Vel ex ijs, quæ propof. 18. ſequenti Num. g. trademus, per punctum X, in Aequatore datum, deſeribas parallelum maximi circuli per rectam PO, repræſentati, ſecabit is cireulum FY G, in eodem polo V, vt in eadem propoſ o. Num. 30. oſtendimus AD inueniendum porro eundem polum Y, adhiberi quoque poſſunt aliæ vi a 3. tertq. Pata recta finĩta, quanti atrcus ma Almi citculi chor ds ſit inquirere. 530 IN nr. vie prop 5 expoſitæ, præſertim illa, quam prop. C. Num 25. poſuimus. Nam ſi. productis rectis FO, GO, vetſus polũ O, arcus circuli obliqui GQ. inter il las rectas interceptus è regione arcus EG, diuidendi bifariã, ſecetur bifarid, cadet recta ex medio puncto per O, polũ emiſſa in Y, punctũ mediũ apparens arcus FG. tranſibitque ideirco per punctum X, arcum Aequatoris IV, ſecans bifariam:ita vt iam tria puncta habeantur, per quæ duci debeat recta diuidens ar cum PG, bifariam, nimirum X, O,& medium illud pundtum prædicti arcus circu li obliqui EGO. e regione arcus FG, qui inter rectas PO, GO, produc tas intercipitur. Et ſi alij circuli loco Aequatoris deſcribantur, quorùum ſemidiametri in recta PQſ, in O, ita ſectæ ſint, vt in eodem puncto O, ſecta eſt ſemidiameter Aequatoris, reperientur alia puncta, per quæ eadem recta Ox, ducenda eſt, ſi vi delicet im illis circulis arcui IX, ſimiles arcus abſcindantur à recta ET v initio facto,& verſus rectam PQ, progrediendo. ARC VS porro Aequatoris TV, indi cabit, quanti arcus circuli maximi data recta FG chorda ſit, cum arcus IV, arcui FIG, quem data tecta FG, ſubtendit, æqualis ſit in numero graduum, vt propoſ. 5. Num. 1. demonſtrauimus. Atque hoc modo, propoſita qua uts rectà terminata, inueſtigabimus, quan tum arcum maxim circuli ſubtendat; ſi circa eius extrema puncta circulum ma ximum deſcribamus, & ex eius polo inuen to, vt paulo ante ſcri pſimus, ad eadem extrema emittãtur duæ rectæ. Hæ namque ex Aequatore arcum abſcindent qua lem arcui maximi circuli, quod ad numerum graduũ ſpectat, quẽ data recta ſubtẽdit. Quod ſi rectę FO, GO producã tur, in tercipient quoque in parte inferiori eiuſdẽ circuli maximi FG. arcũ tot æqua lium graduum, quot apparentes in arcu EVG, con tinentur, vt propoſ- 6. Num. 25. oſtendimus. Cæterum in ſequenti Propoſ. Num.. docebimus rurſus inueſtigare, cuiuſnam arcus circuli maximi data recta ſit chorda, etiamſi circa eius extrema circulus maximus non deſcribatur. IN VENTO ergo J, polo circuli, cuius diametrorum aliquam n 5 F OP Os. XVII. refert, ſi ducatur recta EV, exiſtet in ea& centrum eius circuli,& centrum maximi cireuli, gui æquidiſtat. vt propoſ.8 Num. 19. oſtenſum eſt. Quamobrem recta rqſ, ſecans FG, bifariam,& ad angulos rectos in q, centrum circuli EG, cadet, cuius vna diametrorum eſt FG, recta. Circulus porro maximus, cui circulus ex q. deſcriptus æquidiſtat, deſcribetur hoc modo. Ducta dia metro gl, ad Ex. perpendiculari, radius g V, ſecabit circulum ABCD, in i, polo, ac proinde iEk, axis erit quæſiti circull max imi,& Im, ad eum perpendicularis, diameter eiuſdem. Igitur gn, ad Im, perpendicularis in p: cadet in e, centrum maximi circuli hog, cui æquidiſtat circulus ex q. deſcriptus, cum eundem polum habeat V, qui maximus circulus tranſibit omnino per O, polum maximi circuli FGMN, cum hic tranſeat per V, polum illius. Alter autem polus circuli PGMN, eſt pundtum 8,& alter polus circuli goh, punctum f. Iam vero. per ea, quæ dicta ſunt ſupra, faeile explorabitur ſitus circuli maximi goh,& eius paralleleli, in quo vna diametrorum eſt data recta FG. QVO D ſi detur rectu, quæ extenſa per centrum Aſtro labii tranſeat, repræ ſentabit ea circulum maximum per polos mundi ductum: vel ſi eius puncta extrema per diametrum ſunt oppoſita, diametrum infinitorum circulorum maximorũ, qui per puncta illa extre ma de ſcribi poſſunt: velli non per diame trum opponuntur ea puncta extrema, referet aut chordam ur cireuorum non max imorum, qui per illa poſſunt deſcribi, aut diametrum viſam maximam circuli non maximi circa ipſam deſcripti. PRO BL. XV. PROP OS. XVIII. P E R datum punctum circulo max imo dato in Aſtrolabio parallelum delineare: Item circa datum polum 531 Rectam per centrum Aſtrolabii ductam vatia. poſ ſe leptæſentare. 532.es nen lum, circulum deſcribere, ſiue punctum detur, per quod tranſire debeat, ſiue non. 1. S1 T in Aſtrolabio Aequator ABCD, cuius centrum E; eirculus maximus obliquus quicunque AFC G, ſiue Horizon is ſit, ſiue non, cuius polus I; datumque primum ſit punctum L, in recta FG, per H, centrum circuli maximi„& E. centrum Aſtrolabij extenſa, per quod deſcribendus ſit parallelus dati circuli f maximi, habens centrum in eadem recta EG. Poſſunt quidem per L, ex infinitis dcentris in recta EG, aſſumptis infiniti circuli deſcribi, ſed vnus tantum referet aliquemparallelum dati circuli AFC G, quem ex dato puncto L, ſic reperiemus. Ducta diametro AEC, ad FG, perpendicula ri, quæ in inter ſectio nes Aequatoris cum dato circulo cadet, inuentaque vera diametro PQ, maximi circuli dati per radios AE, AS, Aequa torem ſecantes in P, Q; ducatur radius AL, Aequatorem ſecans in O, puncto, per quod agatur ipfi P. Q, parallela Oq, quæ diameter vera erit paralleli per L, trãſeuntis, propterea quod radiusex A, per eius extremum O, eie ctus cadit in L, extremum diametri viſæ, quandoquidem paral lelus deſcribẽdus per E, ponitur tranſire. Quod ſi detur polus I, inueniemus diametrum veram quæſiti paralleli, ſine diametro vera eirculi maximi, hoc modo. Ducto radio Al., ſecante Aequatorem in O, ducatur radius per polum J. qui in verum polum b, cadet: Sumatur ergo ar10 cui bO, arcus bq., æqualis. Nam. retta Oqꝗ̃, vera diameter erit, cum puncta O. q. 1100 polo b, æqualiter diſtent,& vera diameter per Oi tranſeat, propter radium AL, 1 ſecantem A equatorem in O. Igitur ducto radio Aq. per alterum extremum qveræ diametri, habebitur alterum extremum viſum M:: quod etiam hac ratione reperietur, etiamſi veræ dia metri ratio non habeatur. Inuento polo IL, dati cir1 culi maximi per radium A b, ductum ad b„ punctum medium ſemicirculi Pb,, em vera diameter PQ, abſcindit, hoc eſt, ad extremum punctum axis e ö culi, Per datum pun · ctũ in recta p er p RIO P O. XVIII. euli: ſumatur areui O b. æqualis arcus b ꝗ, ducaturque radius Aq, ſecans F G, in M, eruntque portiones IL, IM, circuli maximi FG, æquales, cum reſpondeant ar cubus æqualibus Ob, bq; vt conſtat ex propoſ i. Num. 5. Cum igitur FG. referat vnum ex Verticalibus dati circuli maximi, tanquam Horizontis alicuius, incedet omnino idem parallelus per puncta L, M, æqualiter à vertice I, remota. Secta ergo diametro viſa LM, bifariam in N, erit N, centrum paralleli quæſiti per datum punctum L, deſcribendi. 2 DE IT VR quoque punctum h, in Verticali primario ACK, dati circu li maximi, tanquam Horizontis. Ad rectam Rh, ex centro Verticalis ductam ex citetur perpendicalaris hᷣ N. Hæc enim in centrum N, paralleli per, deſcriben di eadet, vt ex propoſ. 6. Num. ro. conſtat, propterea quod recta hN, Verticalem tangit in h, ex coroll. propoſ.: 6. lib. 3. Eucl. Quod ſi arcui Ih, æqualis ſumatur Ik,& ex FEG. abſcindantur ſegmenta IL. IM, arcubus Ih, Ik, æqualia, quod ad numerum graduum attinet, habebimus quatuor puncta h, k, L, M, per quæ deſcribendus eſt parallelus, cuius centrum eſt in recta FG. 8 3. DEIN D E datum ſit puactum T, extra rectam FG, per centrum dati circuli maximi,& centrum Aſtrolabii ductam,& extra Verticalem primarium. Inuento alterò polo K, circuli maximi dati per radium A d, ductum per d, punctum medium alterius ſemieirculi Pd, vel accuratius per Verticalem primarium AIC K, dati circuli deſeripti ex centro R, quod radius ex A, ad punctum f, ductus indicat, exiſtente arcu Af, duplo arcus Ad; ducatur ex alte ro hoc polo K, recta K T. Ducta deinde recta TI, ad alterum priorem polum I. fiat angulo TIE, æqualis angulus Kle, ſecetque recta Ie, rectam KT. in ez tranſibitque paral lelus, qui der T, ducitur, per punctum e. Nam ſi concipiatur deſcriptus per T, pa rallelus quæſitus, ſecabit recta K T, eum parallelum in ꝑuncto e, inter ſectionis re ctæ Ie, cum parallelo, propter aqualitatẽ angulorum II, K le, vt ex ijs perſpicuum eſt. quæ in ſcholio prop˙ρν˙αãſ: e. ad finem Num. g. de monſtrauimus. Nam ſi re cta K T, ſecaret parallelum in alio puncto, quã in e, faceret recta ex eo puncto ad I. ducta cum IK, angulum æqualem angulo TIE, ac propterea& angulo eIK, vt in eodem ſcholio Num. 5. oſtendimus: Ideoque pars,& totum æqualia forent. quod eſt abſurdum. Ducta ergo recta i N, ſecans Je, bifariam,& ad angulos rectos. ttanſibit per centrum paralleli per T, e, tranſeuntis, ex coroll. propoſ 1. lib. 3 Eucl. Cum ergo centrum ſit in recta FG, erit N, centrum quæſiti pa ralleli. qui neceſſario tranſib it quoque per punctum I, ſi ducta ſit IZ, perpendi cularis ad FG,& aſſumpta Z V, ipſi TZ æqualis. QVOD i quando contingat, punctum I, datum exiſtere in tali loco, vt re cta TI, cum FG. angulum rectum efficiat, tanget recta K T, parallelum per T, deſeriptum in T. vt oſtenſum eſt in ſcholio propoſ. q. Num. 4. Igitur tune redta ex T. ad KT, perpendicularis excitata, cadet in centrum paralleli deſcribendi. RVRS Vs ſi datum punctum extiterit infra rectam RS, quæ per centrum primarij Verticalis ducitur ad EG, perpendicularis, ducenda et̃it ex polo I, per dunctum illud recta linea,& in altero polo K, duo anguli conſtituendi æquales, loco angulorum TIE, IK: quia tunc parallelus deſcribendus polum K, ambiet, ac proinde recta ex I, ducta per punctum datum, ſecabit parallelum in punctis, in quibus rectæ angulos. æquales in K, conſtituentes eundem ſecant,&c. SI denique punctuqi I, in tali extiterit loco, vt æqualiter ab vtroque polo 1,& K. diſtet,(quod facile cognoſcetur beneficio circim. Nam ſi, poſito vno pede in T.& altero in I, circinus cirxcumductus tranſeat per K, æqualiter diſtabit Vuu 2 I, a punctis Per datum pes ctu m in verticali primare alicuius circuli maxꝭ mis parallelum illius circuli ma kimi deſctibete. per datum puctũ extra rectam per centrum circnli maximi. &c ce ntrũ Aſtiolabii ductam,& extta Vertiealem parallelum illius circuli maxima deſcribere. 534 III s A 1 01. T, à punctis I.& K, alias non.)hoc eſt, ſi in recta RS, quæ per centrũ primarij Ver ticalis ducitur ad meridianam lineam perpendicularis, repertum fuerit; referet ipſimet recta RS parallelum per T, deſeriptum, hoc eſt, parallelus in ſphæra reſpõdens per polum auſtralem ducetur, idęoqʒin rectam proijcietur lineam,&c. HOC idem effici po teſt hoc modo. Ex dato puncto T, ad EH, ducta perpen diculari TZ, ſumatur ZV. ipſi Z T, xqualis, tranſibitque parallelus etiam per. Deinde ex alterutro punetorum T, V, nimirum ex Y, per alterutrum polorum I. K, nimirum per I, recta ducatur Ve, quam ſecet in e, recta TK, ex altero pun cto T, ad alterum polum K, ducta. Nam per e, quoque parallelus deſcribendus tranſibit, vt conſtat ex ijs, quæ propoſ. g. Num. 25. demonſtrauimus. Si namque parallelus per T. V, cõcipiatur eſſe deſeriptus, erunt tot gradus viſt in arcuLV, quot gradus æquales in arcu à rectis LI, VI, productis abſciſſo cõtinentur, vt ibi oſtenſum eſt. Cum ergo recta KT, auferat quoque arcũ L T, tot graduum ap · parentium, quot gra dus æqua les in arcu à rectis KL, KT, ab ſcillo includuntur; vt ibidẽ demonſtra uimuszſit aute m arcus LT, arcui LV, æqualis,(Recta. n. KF, per centrum pa ralleli ducta ſecans rectam TV, bifaria, & ad angulos rectos, ſecat quoque ex ſcholio propoſ. 27. lib. 3. Eucl. arcũ IL, bifariam.) ab ſcindetur omnino idem arcus à rectis KL, KT, qui à rectis LI, VI, ac proin de parallelus TLV, per e, punctum interſectionis rectarum VI, KT, tranſibit. alias rectæ LI, VI,& KL, KT, non abſc inderent eundẽ arcum. Circulus igi tur per tria puncta T, V, e, deſcriptus, erit parallelus quæſitus. Eademque prorſus ratio eſt, ſi datum punctum T, ſit infra rectam R&, ac proinde parallelus per T, circa polum infe riorem K, deſcribendus ſit. Vt ſi in 2. figura ſcholij propoſ. 6. in paralle lo LM, circa polum inferiorem P, deſeriptum datum ſit punetum N, ducemus cx N, ad meridianam lineam perpendicularem N O, rectamque OM, ipſi ON,. æqualem ſumemus. Nam ſi ex N, per polum P, recta ducatur, ſecabit eam in 5 puncto paralleli recta ex Mad alterum polum Q, ducta, vt ex ijs, quæ 5 0 „ da tO p R G P O S. XVIII. 535 tato, id eſt, propoſ 6. Num. 25. demonſtrata ſunt, liquet. Vterque enim arcus KN, KM, tot gradus apparentes inc ludit, quot gradus æquales inarcu Lh, con tinentur,&c. ö B n S ED via non minus expedita, qua nimirum in ipſa linea meridiana diameter paralleli deſeribendi repetitur, hæc eſt. Ductis ex puncto T, extra Verticalem AI CR, dato ad vtrumque polum I, K, rectis, ſi angulus acutus ITK, bifaria ſecetur, cadet recta eum diuidens in punctum M, extremum diametri per quod parallelus deſcribendus eſt: Et ſi ad rectam ductam MT, excitetur in T, perpen dicularis, vel( quod idem eſt)angulus obtuſus, quem recta KT, vltra T, producta cum TI. conſtituit; ſecetur bifariam, ineidet illa perpendicularis, vel hæc li nea diuidens in punctum L, alterum extremum; ita vt tota diameter ſit LM:qua diuiſa bifariam in N, erit N, centrum paralleli per T, L, M. deſcribendi. quod ſic demonſtrabitur. Concipiatur deſeriptus parallelus LTM Et quoniam, vt propoſ.. Num. 25. demonftrauimus, tot gradus appatentes ſunt in arcu LT, quot æquales tam in arcu Me, à rectis TK, LK, quam in arcuex altera parte à rectis II, LI. productis abſciſſo continẽtur; erunt arcus hi abſciſsi inter ſe æquales. 2 Igitur anguli, quos recta MT, cum rectis TK, TI, efficit, illis arcubus inſiſtentes, æquales erunt: ac propterea recta angulum T K, ſecans bifariam in punctum M, cadet.b Cum ergo angulus ad T, in ſemicirculo LTM, conſtitutus, rectus ſit, cadet perpendicularis ad ductam rectam INI, in punctum L. Rectam autem ductam JL, ſecare bifariam angulum obtuſum, quem TI, cum KT, producta conſtituit, ac proinde rectam, quæ prædictum angulum diuidit bifariam, cadere in punctum L, hoc modo oſtẽdemus. e Quoniàam recta ducta LT, cum MT. producta tectos angulos facit, hoc eſt, æquales, cum angulus LIT M, ſit in ſemicirculo: A Eſt autẽ& angulus MTI, hoc eſt, ei æqualis MTK, angulo ad verticem T, quem MT, K T, productæ efficiunt, æqualis; exit quoque reliquus angulus III, reliquo angulo, quem ducta LT, cum K T, producta efſicit, æqua lis. quod eſt propoſitum. N SIMILI modo ſi detur punctum e, intra Vertlcalem AI CK,& ductis rectis ex e, ad vtrumque polum IK, angulus acutus Le I. ſecetur bifariam, cadet recta diuidens in punctum L, extremum diametri- Et ſi ad ductam rectam e L, in e. erigatur perpendicularis, vel( quod idem eſt) angulus obtuſus Le K, bifariam ſecetur, incidet illa perpendicularis, vel linea diuidens, in punctum Ms alterum extremum. Concipiatur enim deſcriptus parallelus LTM. Et quia, vt propoſ. g. Num. 2 q. monſtratum eſt, tot gradus apparentes ſunt in arcu M e, quot æquales exiſtunt tam in arcu LT, a rectis KT, KL, quam in arcu ex altera parte à retis e I, MI, productis abſciſſo; erunt arcus hi abſeiſsi inter ſe æquales. e Igitur anguli, quos recta Le, cum rectis e T e, efficit, illis arcubus inſiſtentes æquales erunt; ide oque recta augulum Telibifariam partiens, in punctum L, cadet. Cum ergo angulus ad e, in ſemicireulo Le M, conſtitutus, rectus ſit, cadet perpendicularis ad ductam rectam e Ls in punctum M. Porro rectam eM, ductam ſecare obtuſum angulum Je K, bifariam, ac proinde rectam, quæ eum diuidit, cadere in punctum M, ita probabitur. Quoniam ducta recta Me, cum du cta Le, facit angulos æquales, nimirpm rectos, a cum angulus Lem, in ſemicircu lo rectus ſit, Eſt autem& angulus Le L hoc eſt, ei æqualis Le T, angulo ad verticem e, quem L e, I e, productæ effciunt, ęqualis zerit quoque reliquus angulus Me Lreliquo angulo Mek, æ qualis quod eſt propoſitum. EST autem via hæc commodiſsima. Nam ſi recta angulum acutum ſecans bifarlam z nimis oblique lineam meridianam inter ſecet, ſecapit altera linea an e 5 gulum Expeditiſsima via ad inuenien · dam in meridiana linea diametrum para per datum punctum deſcribea · di a 2. tertij. b 31. tertij. 31. tert) d 15. primi. e 2. tertij. f 31. tertij. g 31. tert. h 15. prims. Quantum arcum maximi circuli data recta ſubten dat, inuenire, et iã eirculus Ille maximus non de ſeribatur. a 24. tert. 536 EIEzI R W E U. gulum obtuſum bifariam ſecans, eandem minus oblique. Quare per hane inueniendum tuuc erit punctum in linea meridiana, vt v. g. punctum L. per rectam, quæ angulum obtuſum, quem recta IT, cum K T, producta e fficit, diuidit bifariam. Nam ducto radio AL, ex polo auſtrali A, ſecante Aequatorem in O, erit recta Oq; diametro PO, maximi circuli obliqui ducta parallela, dfame ter vera parallelizacproinde radius Aq; alterum extremum M, exhibebit. Vel certe ſi iun cta recta IL, ſecetur bifariam,& ad angulos rectos, reperietur per lineam diuidentem centrum N, in linea meridiana. Vt autem ea, quæ hoc loco ſunt demonſtrata, facilius intelligantur, ducendæ erunt rectæ 1, e L,& vnd cum recta K T, producendæ. Item rectæ TL, eM, iungendæ. quod in hac figura factum non eſt, vt confuſio linearum vitaretur EX his facile etiam explorabimus, quantinam arcus circuli maximi data recta terminata ſit chorda, etiamſi circulus maximus, in quo chorda eſt, non de ſeri batur, vt in antecedente propoſ. Num. g. factum eſt. Sit enim in Aſtrolabio, in quo Aequator ABO, circa centrum E, data recta II. Fingamus alterutrum extremorum, nempe I. eſſe polum, circa quem per alterum extremum J, circulus deſcribendus ſit. quod ita fiet. Ducta ex E, centro per punctum I, quod debeat eſſc polus, recta IEK, reperiatur punctum K, per dia metrum puncto I oppo ſitum, vt propoſ. 6. Num. 13. docuimus, quod erit alter polus. Ducta igitur ex altero hoc polo, K, ad alterum extremum T, recta K T, ſecetur angulus IIK, acutus bifariam per rectam, quæ fecet rectam IK, in Mz vel ſi mauis, producta recta K T. angulus obtuſus ad T, conſtitutus à recta IT,& producta K I, ſecetur biſariam per rectam ſecantem IK, in L: Eritque tam M, quam L, extremum diametri eirculi per T. deſcribendi, vt monſtratum eſt. Quoniam vero ex de fin. poli, rectæ ex polo ad circumferentiam circuli cadentes æquales ſunt 3 erunt quoque arcus circulorum maximorum inter polum& eundem circulum poſiti, quorum i llæ rectæ chordæ ſunt, æqua les. Igitur arcus Meridiani M, IL,& arcus maximi cireuli per puncta I, I., deſcripti, cuius chorda eſt recta TI, æqua les erunt. Ducta ergo ex E, ad IK, diametro perpendiculari AC, ſi ex alterutto extremorum, vt ex A, per I, M, vel I. L, radii emittantur ſecantes Acquatorem in b, q,. vel b, O, erit arcus apparens IN, vel IL, vero arcui bq, vel bO, æqualis, cum hi veri arcus proijciantur in arcus IM, IL. apparentes. Igitur IA, referet chordam arcus maximi circuli, qui arcui bq. vel bO, æqualis ſit. EO DEM modo ſi T, ſtatuatur polus, circa quem deſcribendus ſit circulus per I, ducenda erit ex T; per centrum E, recta,& in ea inueniendum punctum ipſi T. per diame trum oppoſitum, pro altero polo; deinde ex hoc polo ad I, recta ducenda, anguluſque, ſiue acutus, ſiue obtuſus, quem hæc recta cum data re cta IT, efficit, ſecandus bifariam, vt in ducta recta I E, punctum extiemum reperiatur, per quod circuluspet I, circa polum T, deſcribendus eſt. Ducta enim per E, ad iunctam rectam IE, diametro perpendiculari, ſi ex alterutro eius extremo per T,& punctum in iuncta recta IE, inuentum radli emittantur, abſcin dent ii ex Aequatore arcum æqualem ei, cuius data recta II chorda eſt,&c. C AETERVM ſi commode inueniti poſsit in recta RS, ad FG, perpendiculari in R, centro Verticalis primarii, centrum Vexticalis per T,& I. tranſeun tis, deſeribatur eiuſmodi Verticaiis TI, ex centro 8, ducaturqʒ recta SE, quæ datum cireulum maximum ſecabit in V, polo Verticalis I I. Nam cum circulus 74. tranſeat per I, polum dati circuli, tranſibit idem datus circulus per polum ipſius TI, ex ſcholio propoſ. 1g. lib.. Theod. Cum ergo polus Verticalis II, ſit in recta SE, yt propol. 8. Num. Ig. demonſtratum eſt, exit V, polus Verticalis II. Igicur R UI OH. 537 Igitur ductis rectis VI, VT, ſecantibus Aequatorem in a, X, erit a X, arcus æqualis arcui TI, quod ad numerum graduum attinet, vt liquet ex propoſ. 5. Num. 17. Huic ergo ſi æquales ercus abſciudamus IL, IM, ex circulo maximo FG, habebimus tria puncta T, L, M, per quę deſeribendus eſt parallelus quæſitus, cuius centrum eſt in recta EG. Inuenientur autem puncta L, M, hoc modo. Ducta recta AI, ſecante Aequatorem in b, ſumantur hine inde arcus bO, b q, arcui ax, æquales. Rectæ enim A O, Aq, auferent ſegmenta IL, IM, tot graduum, quot in arcubus b O, bq; ac proinde& in a X, vel T I, continentur; vt ex iis 3 quæ propoſitione 5. Num. 23.& propoſitione 1. Num. 6. demonſtrata ſunt. f ITEM fi arcuf a X, æqualis fiat a A, abſcindet ducta recta VA, ex Verticali TI, arcum Im, arcui a A, vel a X, ſeu TI. æqua lem, tranſibitque parallelus deſeribendus per m. Si igitur ducta recta Tm, ſecetur bifariam,& ad angulos rectos, cadet linea diuidens in N, centrum paralleli quæſiti, ex coroll. propoſitione i. lib. 3. Euel. cum recta Tm, ſit in eo parallelo. Eodem pacto recta ſecans iunctam rectam TL, vel TM„ bifarliam,& ad angulos rectos, in idem centrum N, cadet, in vtraque rectarum I L, IT M, in eodem parallelo exiſtat. IMM neceſſarium non eſt, vt puncta L, M, inueniantur. Si namque ex S, centro Verticalis TIm(quod inuenitur per rectam, quæ rectam T I, vel TK, ex dato puncto T, ad alterutrum polorum circuli obliqui ductam diuidit bifariam,& ad angulos rectos) ad datum punctum T, recta ducatur S, fiatque rectus angulus STN, cadet TN, in centrum N, paralleli quæſiti, vt proPoſ. 8. Num. 13. de monſtratum eſt. Quare circulus ex N, per I,, deſcriptus, erit quæſitus parallelus. 8 ED commodiſsimè hac alia ratione per datum punctum T, parallelum da ti eirculi obliqui deſeribemus. Ducta ex T puncto dato ad R, centrum Verticalis primarii recta TR, inueniatur duabus tectis I R, RI,( quar um prior eſt ducta recta, poſterior verò ſemidiameter Verticalis) tertia proportionalis, cui æqualis abſcindatur Rl. Secta deinde Tl„ bifariam in p, excitetur ad TI, perpendicularis p N. Dico circulum ex N, per T, I, deſcriptum Thb, parallelum eſſe obliqui circuli maximi AFC G. Si namque non eſt, cogitetur parallelus deſeriptus per T, ſecans rectam RT,(i pofsibile eſt) in alio puncto, quam in l, vt in r. Igitur ex iis, quæ propoſitione. Num. 30. demonſtrauimus, erit ſemidiameter Verticalis RI, medio loco proportionalis inter RT 3 & Rr. quod eſt abſurdum, cum Rl, ſit per conſtructionem inter RT,& Rl, media proportionalis. Sie etiam, ſi detur punctum Iz ducta ex R, per. recta, & ſumpta RT, tertia proportionali duabus RI, RI, deſeribendus erit parallelus per I. T, vt dictum eſt. ES autem ſciendum, quando punctum datum eſt extra Verticalem, cuiuſmodi fuit punctum T, tertiam proportional em Rl, minorem eſſe recta RTz quando autem datum punctum eſt intra Verticalem, quale eſt punctum l, tertiam proportionalem RT, maiorem eſſe recta Rl, quæ ex centro Verticalis ad datum punctum ducitur. QVYA DRA T hæc etiam ratio in punctum, quod in recta per centrum dati circuli maximi obliqui,& centrum Aſtrolabii ducta datur. Vt ſi datum ſit: punctum L, ſi duabus rectis RL, RI, inueniatur tertia proportionalis: RM., deſeribendus erit parallelus per L, M, ex medio puncto rectæ LM. Ita quoque datum ſit punctum M, inuenta duabus rectis RM, RI, tertia 9 re e ee 22 AI * * Alia deſeriptio quando punctũ. datum eſt in recta per centrum obliqui circuli. maximi dati,& centrum Aſtrolabii ducta. VF RL, deſcribendus erit ĩdem parallelus quæſitus per M, L,&c. QO ſi datum ſit punctum in circumferentia Aequatoris, ducenda erit ex eo linea perpendicularis ad lineam meridianam. Nam recta, quæ per interſectionem illius cum ineridiana linea ducetur parallela dia metro P Q, maximi ver pud Kum vt tunque datum, Para am Aequatoris deſcribe re. Alia deſeriptio parallellio per datum punctum. Per datum pun · Aum deſcribere patallelum maxi mi circuli per mundi polos du Ki. circuli, cui deſeribendus parallelus æquidiſtare debet, erit diameter quæſiti paralleli in ſphæra: ex qua parallelus deſeribetur, vt propoſ. 6. traditum eſt. Ratio huius rei eſt, quia inter ſectiones illius paralleli cum Aequatore,& punctum inter ſectionis eius diametri veræ cum linea meridiana, iacent in vna linea recta, in communi videlicet ſectione plani paralleli cum Aequatoris plano, vt propoſit ione 6. Numero quarto oſtendimus. Cum ergo pet pendicularis illa ad meridianam lineam ex dato puncto ducta, ſit communis illa ſectio, (quandoquidem, vt ibidem demonſtratum eſt, communis ſectio perpendicularis eſt ad meridianam lineam, tranſitque ex hy potheſi per punctum datum in Aequatoris circumferentia, cum per illud parallelus tranſire debeat.) erit punctum interſectionis dictæ perpendicularis cum linea metidiana illud, per quod diameter propoſiti paralleli ducenda eſt. Vt ſi data eſlet alterutra interſectionum paralleli LIT M, cum Aequatore, ſecaret recta ex eo puncto lad FG, perpendicularis ipſam FG, in puncto, per quod diameter Oꝗ, dicti paralleli ducta eſt. 4. A D extremum, ſit per datum pũctum T, vbicunque exiſtat, deſcribendus parallelus A equatoris. Piet hoc ſine vllo labore, ſi ex Ecentro A ſtrolabii per. T, circ ulus I Vg, deſcribatur, cum omnes paralleli Acquatoris, idem cum Aſtrolabio centrum poſsideant, vt propoſ. 2. Num.. demonſtrauimus. BENE FEI CIO autem huius paralleli Aequatoris per datum punctum T, deſcripti, deſeribemus alio modo per idem punctum parallelum obliquum. Si enim ex A, polo auſtrali ducatur recta ad interſectionem paralleli Aequatoris cum recta FG, ſecabit ea Aequatorem in declinatione illius paralleli, vt v. g in dato exemplo, in a, puncto, per quod ducta parallel ipſi FG, diameter erit eiuſdẽ paralleli. Deinde per datum punctum T, ducta TZ, ad FG, perpendiculari, emittatur ex Aad Z, radius viſualis. Vbi enim is diametrum paralleli Aequatoris per punctum a, in dato exemplo tranſeuntem ſeca bit, per illud punctum ſectionis ducenda eſt recta Oq; diametro PQ, maximi circuli obliqui parallela pro diametro vera paralleli obliqui geſcribendi. Quoniam enim JV, communis ſe ctio eſt paralleli Aequatoris I Ig.& paralleli obliqui per T, deſeribendi, vt ex iis, quæ propoſ.. ad finem Num.. demonſtrauimus, liquetzerit punctum Z, tam in parallelo Aequatoris, quam in parallelo obliquo. Cum ergo punctum Z, viſum reſpondeat puncto vero in Meridiano, atque adeo puncto diametri paralleIi, per quod radius AZ, eiicitur, cum hoc punctum appareat in Z; tranſibit per idem punctum in Meridiano parallelus obliquus, gc proinde per illud diam eter paralleli obliqui ducenda exit. Inuenta autem vera diametro Oq, para lleli obligui, abſcindent radii AQ, Aq, diametrum eius viſam LM, circa quam paral lelus obliquus deſcribendus erit. 5. FACILIVsõ per datum punctum deſcribetur parallelus maximi circuli per mundi polos ducti. Repręſentet enim re cta BED, circulum maximum per polos mundi ductum, quam ad rectos angulos ſecet diameter AEC, quæ referet eius Meridianum, in quo omnia centra parallelorum circuli maximi BD, exiſtent, vt ex iis, quæ propoſ.. demon ſtrauimus, conſtat. Sit ergo primum in Hequatore datum punctum F. Ducta recta DF, ſecante AC, in G, fumatur arcui BE, æqualis arcus PI. Circulus enim FOH, per tria puncta F, O, H, ex centro L, deſcriptus Feet. 539 ſeriptus parallelum maximi cireuli BD, referet, vt ex lis per ſpicuum eſt, quæ propoſ. 7. demonſtrauimus. 51 I deinde datum punctum E, intra Aequatorem. Deſcripto ex E, per K, parallelo Acquatotis KLM, deſcribatur eius oppoſitus PO. quod facile fiet, f per L, ducto radio CLN, ſecante Aequatorem in N. ducatur ex A, per N. radius A NO, ſecans DB, in O. Nam EO, erit ſemidiameter oppoſiti paralleli, vt conſtat ex ijs, quæ propoſitione 4. Num. g. de monſtrata ſunt. Nam arcus BN, æqualis eſt illi, quem radius AL, abſcinderet, ſi ductus eſſet. Ducta autem rect EK, ſec ante in P, paralle lum Od, vt arcus OP, LK, ſimiles ſint; ſi arcubus RK, SP, æquales ſumantur RM, SG erit circulus PKM, ex centro I, deſcri Ptus, patallelus, qui quæritur: propterea quod in ſphæra eiuſmocdi parallelus es oppoſitis parallelis Acquatoris æquales arcus abſciadit, quippe cum arcus abſciisi habe ant ſinus rectos æquales, nimirum perpendiculares, quæ ex inter ſectionibus il lius paralleli cũ Pat allelis Acqua toris ęqualibus, te gppoſitis, in planun circuli maxim demittũ tur: quands quidem inter plana Parallèla iat, Vt ad new LeMatis. 48 demõ ſtcau mus. Cuin ergo quatuor ar cus OP, LK, IM, V, referant arcus æqua 9 les in ſphœra, pa N. rallelus per&, deſeriptus tranlibit N e ee eee propoſitum. SIT furſus datum pundtum P, extra Aequatorem. Deſeripto ex E, per P, parallelo Acquatoris PO deſcribs tur eius oppoſitus KLM. quod fiet, ſi per O, ducto radio AO, ſecante Aequatorem in N, ducatur radius CN, ſecans BD, in L. Nam EL.„ ſemidiameter erit oppoſiti paralleli. Ducta autem recta Eb, ſecante parallelum KLM, in K; ſi arcubus OP, I. K, æquales ſumantur VQ, TM, tranſibit parallelus quæſitus per P, K. M, Q Ke. . ſi per punctum R. quadrante diſtans in paraltelo Aequstoris KLM, à maxim circulo BD, deſeribendus ſit barallelus, tranſibit is neceſſurio per punctum quoque 8, quadrante diſtans in parallelo PO, ab eodem circulo maximo BD. PDjuiſa ergo recta RS, bifariam in X, erit eirculus ex X, per R, S, deſexiptus, parallelus, qui deſideratur, tangetq̃ue duos parallelos K LM, POQ, que nad modum in ſphæra contingit Sic parallelus deſeribendus per 8, tranſibir per R,&c. 81 T datum deni que punctum G, in recta AC. Ducta recta DG, ſecante gequatorẽ in E, ſumatur arcui BF, arcus DH, æqualis. Circulus enim FG H, per 1 tria * * * — Qua ratione oĩr culi waximi- 8 parallel dul, per paralle los maximi cir enli g mund polos„ gradus diliribuan dur. Pe menbrstio a na facilis primi modi diuidendi circulos obli-quos in gradus, qui ex Lem mate 83 · pendebat. „ fun d n. er tria punſta F, G, H, deſcriptus erit parallelus qua ſitus. IA M verò vt videas, quam com mode per huiuſuodi parallalos obliqui aralleli diujdantur in gradusg vt adiſinem propoſitionis. ſeripfimus:ſit patalelus obliquvs VI, tanto ſpat io diſt aus à ſuo polo inferiore, quanto pafallejus Acquatoxis KLM, à polo boreali, vel POQ. ab auſtrali abeſt:& eſus Ver„ ticalis primarius ſit a Cb. aufetens ex co quadrantẽ Z. Vbi vides, parallelum RZ S, pet finem quadraptis LR. el Os, de ſcriptum, qui tangit vtrumque paralle lum Acqua toris, auferre eundem quadrantem YZ,& parallelum ipſum Y tangeie in Z, que madmodum in ſphæra idem parallelus RZ S, tres circulos quales KLM. PO XZ, tangit. Ita quoque cernis, rectam a R, exa, polo ſupe riore patalleli XZ. pet finem quadrantis IR. paralleli Aequatoris borealis ductain trauſire per finem eiuſdem quadrantis Y Item rectam bs, per finem quadrantis O85 paralleli Aequatoris auſtralis eductam tranſire quoque per finem eiuſdem quadrantis YZ, vt ratio poſtulat que madmodum propoſ.. Num. 21.& 24. de monſtratum eſt. Rurſus apparet, parallelum 2G, auferte ar cũ Ve, æqualeu, quod ad numerum graduum attinet, tam arcui TM, quã arcui OP; cum eundem ar cum Le, abſcindat tam recta aM, ex polo ſuperiore, qua re cta bP, ex infe riore polo educta Conſtat au tem ex ijs, quæ prop:. Num. 21.& 24 demõ ſtrata ſunt, arcum Ve, arcubus I M. OP, æqualem eſſe. E A DEM ratione idẽ parallelus PG ex circulo maximo obliquo Aa Cb, qui polos habet in recta O V, abſcindit duos arcus æqua les ad, bf. reſpondentes nimirum arcubus Aequatoris æqualibus BE, DH. Atque ita ſen per pa rallelus, cuius polus C, vel A, tam ex maximo circulo obliquo quam non ma ximo, polos habente in recta OV, abſcindet duos arcus æquales, initium ſumentes à linea OV, per centrum obliqui circuli ducta ex centro Aſtrolabij NE OQVE ver ſilentio prætereundum cenſeo, modum hune diuidendi circulos obliquos in gradus per circulos varios per terna puncta deſcriptos, quem propoſ. 0. Num. 36. explicauimus, virtute continete primum modum, quo tam maximi circuli obliqui, quam eorum paralleli in gradus diſtribuuntur per rectas lineas ex alterutro polorum cireuli obliqui propoſiti egredientes: quem propoſ. 5. Num. 17.& 20.& propoſ. 6. Num. 21.& 24. declarauimus,& qui ex Lemmate 23. demonſtratus fuit. Nadq ſi in ſphæra concipiatur ar cus 4 — * . Pp R Of P on& NVIII. 541 arcus proprij Meridiani dati circuliobliqui inter polum eiuſdem circuli obliqui ſiue ſuperiorem, ſiue inferiorem,& polum mundi auſtralem poſitus diuidi bifariam per circulum maximum ad eundem Meridianũ rectum, exiſtet in hoc maximo circulo perpendi: ulari polus cuiuſdam cireuli non maximi per aſſumptum polum circuli obliqui,& polum auſtralem mundi, ac per datum quoduis punctum in Aequatore, vel eius parallelotranſeuntis quiex makimo dato circulo obliquo, vel ex eius parallelo, qui parallelo Aequatoris æqualis ſit, vt propoſ. 6. Num. 2 l. dictum eſt, arcum æqua lem autfert ei, quem ex Aequatore, vel eius parallelo abſcindit, vt in Lemmate 4. de monſtratum eſt; cum eius polus exiſtat in circulo illo maximo perpendiculari, à quo in proprio Meridianoęqualiter abſunt polus girculi obliqui,& polus mundi auſtralis. Qvare idem hie circulus in Aſtrolabio deſeriptus idem effieiet. Cum igitur proiiciatur in lineam rectam, vt propoſitione 1. oſtendimus, quippe qui per polum auſtralem ducatur referet eum circulum linea recta per po lum circuli obliqui aſſumptum, hoc eſt, per polum ſuperiorem, infetioremvè, atque per datum punctum Aequatoris, vel eius paralleli extenſa; ac propterea ex cii culo dato maximo, vel eius parallelo, qui aſſumpto parallelo A equatoris reſpondet, arcus æquales, quod ad num erum graduum attinet, abteindet, quemadmodum in primo modo pra dicto fieri docuimus. Initia porrò arcuum abſciſſorum ſumenda ſunt, vt in Lemmate 47. ſeripſimus. Dici hæe debuiſſent prop. 6. Num. 36. ſed quia hoc primum loco occurre runt, non præmittenda cenſuimus. 6. VER VM. it iam in pr iore figula circa datum polum I,& per datum punctum T, de ſeribendus circulus,? qui parallelus erit maximi circuli, cuius polus eſt quoque I. Ducta per I.& centrum Aſtrolabij E, recta, erit in hac centrum eirculi deſcribendi, vt propoſitione 8. Num. 19. oſtendimus ʒ quam ad rectos angulos ſecet diameter AC. Inuento autem altero polo K, ſi ducatur recta TK,& ducta recta TI, fiat angulo TIE, angulus Kle. æqualis, tranſibit circulus quæſitus per e,& recta iN. diuidens Te, bifar iam,& ad angulos rectos, cadet in N, centrum, vt Num. 3. demonſtra tum eſt. Rurſus ſi, inuento centto R, circuli AI C, hoc eſt, puncto medio rectæ IK, recta ducatur IR,& duabus IR, RI, tertia proportionalis reperiatur Rl, tranſibit idem eirculus per l,& re cca pN, diuidens TI. bifariam,& ad angulos rectos, cadet in N, centrum, vt ibidem oſtendimus. SI datum punctum ſit L, per quod recta EI. extenſa tranſit, ducemus radiũ Al. cadentem in polum vetum bʒ& ducto radio AL. ſecaute Aequatorem in O, ſumemus arcui bO, areum bq. æqualem. Ducta eni ni recta Aq ſecabit EK, in M, puncto, per quod circulus quæſitus tranſibit; cum arcus IL, IM, re ſpondeant ꝛrcubus æqualibus bO, bq.&c. Punctum ergo N, medium diametri viſæ LM, erit centrum. Oh ſſidetur ſolum polus I, circa quem deſeribendus ſit eirculus quantuscunque, non dato puncto, per quod tranſite debeat; ducemus radium AI, cadentẽ in polum verum. b. Si enim accipiantur duo arcus vtcunque æquales bO, bq. dabunt tadii AO. Ag, diametrum viſam circuli deſcribendi LM.& c. Et ſi quidem ducta recta Oq;,(quæ diameter vera eſt quæſiti circuli) tranſeat per centrum E, circulus deſcriptus erit maximus, tranlibitque per A, C, cum eius diameter vera per centrum tranſeat: Si verò non tranſeat per E, exit circulus deſeriptus, non maximus. 150 0 QVANDO datus polus elt in circumferentia Aequatoris, nimirum C in ſgura poſteriore, deſeribendus etit parallelus maximi circuli BD, pet quoduis 99 ö XXX 2 pun2 2. f. The Cirea datum p lum de.qcri bere citculum, ſite punctum detur per quod tranſi te debeat. fie non. 5742 LE II NI 1 pun ctum aſſumptum P, vel E, vel K, vel G,&c. ad libitum, vt Num. g. docuimus: S forte datus ſit alter polus K, extra Aequatorem, inueſtigandus erit oppo ſitus I, intra Acquatorem,& cætera peragenda, vt dictum eſt. IN poſteriore figura res abſoluetur, vt Num. 3. diximus, cum omnes illi paralleli circa polos C, A, deſcripti ſint. Dato purcto is. IAM verò ſi dato puncto in parallelo obliquo, ſiue deſeriptus ille ſit, ſieee ue non, punctum per diametrum in eodem oppoſitum reperire quis velit,(Id . quod propoſitione g. Num. 1g. facturos nos hoc loco recepimus, efficiet)id hac Mm espeine la tione. Sit primum in parallelo deſcripto LTM, in priore figura, punctum eriamſi paralie. datum T, cui oppoſitum inueniendum eſt, hoc eſt, quod in ſphæra dato puncto lus decriptus aõ T, opponitur per diametrum. Iungatur recta hK, quæ repræſentabit illam dia. 85 metrum paralleli, quæ in ſphæra communis ſectio eſt paralleli,& Verticalis primarij. Et quia in ſphæra omnes diametri eiuſdem paralleli ſe interſecãt in Meridiani plano, cernentur omnes eius diametri tranſire per n, pun ctũ Meridiani, per quod duei eon ſpici tur h k. Quare ducta rectà Tn, cadet in punctum oppoſi tũ m, hoc eſt, Tm, repræſentabit diametrum paralleli per puncta oppoſita T, m, ductam Quod Geometricè quoque ſic demonſtrarĩ poterit. Quo niam recta RI, ſecans ar cum hIk, bi fariam in I, ſecat quoque rectam hx, bifariã in n, ex ſcho g. lio propoſ. 27. lib. 2 3. lert ee 3. Eucli a ſecabit ea dem Rl, eãdem hä, b 35. tertij. ad angulos rectos. v, Cum ergo rectangulum ſub Tn, nm, æquale ſit rectanguC 17. ſexti. lo ſub hn, nk, erit idem æquale quadrato rectæ nh: e, Eſt autem eidem quadrato æquale quoque rectangulum ſub In, nK, quod ex ſcholio propoſ. 13. Iib. 6. Eucl. rect a nh, ſit media proportionalis inter In, nK. Igitur rectangula ſub Tn, um,& ſub In, n K, æqualia ſunt zac proindè ex ſcholiò propoſitionis 35, lib. 3. Eucl. per quatuor puncta T, I, m, K, circulus deſcribi poterit T Im K, qui cum ſit Verticalis,(quippe qui per polos Horizontis I, K, ducatur.) ſecabit paral41.15. The. lelum in punctis oppoſitis, à cum eum ſecet bifariam. Igitur m, per diame O H Aix. diametrum opponitur puncto T, in parallelo. IDE M punctum oppoſitum facilius reperietur per Verticalem, qui per datum punctum deſcribitur,& per polos I, K, quando eiuſmodi Verticalis commode deſeribi poteſt. Hic enim vt proximè diximusf, ſecabit parallelum ig puncto oppoſito. 8 deinde datum punctum V, in parallelo. qui nondum ſit deſcriptus. eui oppoſitum punctum inueniendum eſt. Ducta XT, ad FG, perpendiculari, ſu matur Z T, ipſi ZV, æqualis, eritque punctum T, in eodem parallelo. Iuncta ver ò recta recta RT, ſit RI, tertia proportionalis duabus RT, Rl. Dico l, punctum opponi dato puncto V. Nam deſeripto parallelo LTM, tranſibit is ne ceſſario per l, propterea quod, vt propoſ. 6. Num. 30. monſtratum eſt, parallelus ex recta RT, abſcindit duabus RT, RI, tertiam proportionalem, qualis fuit Rl. Quia verò arcus hl, h, æquales ſunt, quod ad numerum graduum ſpectat, vt ex propoſitione 6. Num. 2. liquet,& arcus hM, hL, quadrantes referunt, erunt quoque arcus LM, TL, æquales: Sed TL, arcui XL, æqualis eſt. Igitur& IM, ipſi VL, æqualis erit, additoque commun arcu YM, toti arcus LVM, I MX, æquales erunt. Cum ergo LVM. ſemicirculus ſit, erit& MV,. ſemicirculus, ideoque punctum l puncto V per dia metrum opponitur in paral Io LTM. quod eſt propoſitum Eodem pacto, ſi detur punctum m,& ducta per pendiculari mt, ſumatur tl, ipſi tm, æqualis,& recta RI, per l, extenſa, accipiatur duabus Rl, RI, tertia proportionalis RT, erit T, punctum per diametrum puncto dato m, oppoſitum. 5 S E punctum idem oppoſitum reperietur facilius, ſi, quando commodè id fieri poteſt, Verticalis IIK, per datum punctum T,& per polos paralleli I, K, deſcribatur. Hic enim per punctum oppoſitum tranſibit. Quare ſi arcui TI, arcus æqualis abſcindatur Im, per ea, quæ propoſitione 5. Num, 18. ſcripſimus, erit m, quæſitum punctum oppoſitum PRO BL. XVI. PROROS. XIX, PE R datum punctum in circumferentia dati circuli non max imi in Aſtrolabio, circulum maximum deſcribe re, qui datum circulum tangat. 1. H AE C eſt prop. 14. lib. 2. Theod. quam in Aſtrolabio ſic abſoluemus. Sit Aequator Aſtrolabii AB O, circa centrum E,& quilibet circulus non maximus FG, cuius centrum I, da tumque in eo punctum E. Ducta per F,& per vo 5 eirculi centrum L, recta IE,& quantumlibet protracta, ducatur quoqueè per 9— E,& Aſtrolabii centrum E, alia recta EEK, in qua reperiatur pundtum K, pun- deferibere 9 cto E, oppoſitum, vt propoſ. G. Num. 13. docuimus: quod facile fiet, ſi ducta diametro AC, ad FK, perpendiculari, circa tria puncta A, E, C, eirculus deſeribatur. Hic enim ſecabit FE K, in puncto K, oppoſito. Deinde angulo KFL, æqualis fiat EKL, a eruntque rectæ FL, KL, æqua les. Peſeriptus ergo cira 2 culus ex L. per E, tranſibit per K, tangetque circulum datum in E, propterea quod recta in E, faciens cum vtraque ſemidiametro IE, LE, angulos rectos, tangit vtrumque circulum in F, ex coroll. propoſitionis 15. lib. 3, Eucl. Idem ve10 CirPer datum pu — — ————•—— ..— 5 — 8 C. primi. Quando datum punctum eſt in rect per centtũ circuli dati,& cratrum Aſtrola bii ducta, idem efficete. Quando datum punctũ eſt in cir cumferentia paralleli Ae quatotit, idem exequi. 544 E 1K 40 rò circuſus eſt quoque maximus, cum per duo puncta oppoſita F, K, deſcriptus ſit. S1 etiam, ſi detur punctum H, ducemus per illud,& per cèntrum I. re ctam HI. Item per H,& centrum E, rectam H EM, punctoque H, oppoſitum inue niemus M: quod etiam fiet, ſi ducta diametro BD, ad HM, perpendicular, per tria punda B, N, P, circulus deferibatur. Hic enim fecabit HM. in puncto M, oppolito De inde angulo HN, æqualem conſtituemus HMN, g eruntque tur ſum æqua les rectæ HN, MN. Deſeriptus ergo eirculus ex N, per H, tranſibit per M, tangetque circulum datum in H, ex ſcholio propoſ. 13. lib. 3. Eucl. Vel propterea quod recta faciens in H, cum Hl, angulos rectos, vtrumque circulum tangit, ex coroll. propoſ. 16. lib. 3. Euel. Idem vero cireulus eſt quoque maximus, cum per duo puncta H, M, oppoſita deſcriptus ſit. 2. QVO D ſſ quando accidat, datum punctum P, vel T. in tali eſſe ſitu. vt re cta per ipſum,& per centrum I, emiſſa tranſeat per centrum E, cuiuſmodi eſt recte IIPE, abſoluemus problema, ſi ducta diametro RS, ad TE, perpendiculari, per tria puncta R. P, S, eirculum deſcribamus RSO ex centro V. Hic enim ma ximus erit, ex ſcholio propoſ. 5. Num.. tangetque in P, circulum datum. Eodem modo circulus RT SV, per tria puncta R, T, S, ex centro X; deſcriptus, maximus erit, datumque circulum in T. continget. 3. DENIQVE ſi circulus datus fuertt vnus parallelorum Aequatoris, qualis eſt Id,& datum punctum V, ducemus ex V, per centrum E, rectam Y Eb, ea mqͥue io w Ss XX. 545 eamque ad angulos rectos ſecabimus per diametrum Za. Circulus enim ex centro L, pet tria puncta a V. Z deſcriptus a YAb, maximus erit, paralleluma; tanget in V ex ſcholio propoſitionis 13. lib. 3 Eucl. Sic etiam, dato parallelo Aequatoris be,& puncto b, ducemũs ex b, per centrum E, rectam bE,& ad eam exeitabimus diametrum a Z, perpendieularem. Nam rurſum circulus abz V, ex L. per tria puncta a, b, Z, deſcriptus, erit maximus, ac para llelum in b, tanget. quod eſt propoſitum: S E facilius hoc efßciemus, ſi ducta recta Vb, per centrum E, ex puncto dato V, in parallelo Vd, vel ex b, dato puncto in parallelo be; paralleſo Yd, oppoſitum parallelum be, vel parallelo be, oppoſitum parallelum Vd, deſcribamus. Secta enim recta Vb, bifariam in L, deſeriptus circulus ab Y ex L, per, I, vel b. vtrumqe parallelum continget. FPRNO BL. XVIII OS. XN PER datum punctum extra circumferentiam dati circuli non maximi, quod ſit inter ipſum,& alium circulum eidem æqualem,& parallelum, circulum maximum deſcribere, qui datum circulum tangat. 1. H AEC eſt propoſ. 1 C. lib. 2. Theod quæ ſic abſoluetur in Aſtrolabio. Sit Aequator Aſtrolabii ABCD, cuius centrum E,& circulus non maximus da tus IN, ſiue parallelus ſit Aequatoris, ſiue alterius circuli maximi,& primum portio ſphæræ intra ipſum comprehenſa ſit hemiſphærio minor:(quod tunc erit, quando circulus vel totus intra Aequatorem, vel totus extra continetut, eum tamen non ambiens, vel quando eũ non bifariam ſecat, dũ modo minor portio Aequatoris intra eundem circulum exiſtat, vt in ſcho lio prop. 6. Num. g. oſtendimus) ſitque datum extta eircumferentiam dati circuli,& ex tra ipſum cir culum, punctum E, inter datum circulum,& eius parallelum oppoſitum, per quod deſcribendus ſit cireulus maximus tangens datum circulum. Ducta ex E, per E, centrum Aſtrolabii recta FG, reperiatur ex propoſitione 6. Num. 13. punctum G, puncto E, oppoſitum, quod neceſſario extta datum circulum exiſtet, ſi E, extra eundem exiſtit,& inter eũ eiusq́; parallelum oppoſitum. Nam ſi intra ipſum eſſet; punctum F, intra parallelum oppoſitum exiſteret, non autem inter duos illos parallelos oppoſitos. quod eſt contra hypothæ fm. Si enim Gi eſſet in portione ſphæræ, hemiſphærio minore, quam videlicet circulus datus NN, abſcindit, eſſet eius punctum oppoſitum E, in oppoſita por tione ſphæ ra hemiſphærio etiam minore, quam nimirum paral le lus oppoſitus intra ſe comprehendit. Tranſeat autem primum recta EG, per centrum dati circuli; quod quidem ſemper contingit in parallelis Aequatoris, cum idem ſit centrum Aequatoris, eiusq̃ue parallelorum; in aliis autem circulis non maximis non ſemper id aceidit. Et quoniam maximus circulus per E, deſcribendus tranſit quoque per G, punctum oppofitum, deſeribemus per ea, quæ ad initium Lemmatis 41. demonſtrauimus, per duo puncta P, G, extra datum eirculum exi ſtentia, circulum tangentem, hoc ſeilicet modo. Secta recta FG bifariam in LaerigaPer datum pus cum extta citeñ ferentiam circa · li non maximi, inter ipſnm erculum,& eus oppoſitum parallelum, ita et recta coniungẽs datum punctum & cẽtrum Aſtrolabii tra ſeat per dati circuli centrum, circulum maximũ deſcribere, qui eum tangat. 5746 E 1* R 1 115 L, erigatur perpendicularis LK, ad FG, eritqͥue centrum eirculi deſeribendt in recta KL, ex coroll. propoſ. 1. lib. 3. Eucl. quod lic reperiemus. Deſcripto ſe wicirculo EBG, ex L, erige mus ad FG, in E, centro circuli dati perpendiculart EB,(tranſibitqʒneceſſa rio ſemicirculus FBG, per interſectionem tectæ EB, cum Acquatore, ex 1cnolio propoſitionis 31. lib. 3 Eucl. quod, ducta recta PB, al ter polus G, per lineam perpendic ularem ad FB, inueniatur, vt propoſ. C. Num. 13. docuimus.) ductaque recta B N, ex B, ad alter uttam extremitatem dia metri circuli dati, nimirum ad N, conſtituemus angulo GN B, æqualem angulum NB, eritque EQ, maior, quam recta EL, vt in Lemma te 41. prædicto monſtra tum eſt. Deſcripto ergo ex centro E, dati circuli per Q, arcu ci culi ſecante perpendicularem KL, in KR, P, erit KEH, ſemidianleter,& K, centrum circur—— li EEG, per E, G. tranſeuntis,& datum circulum tangentis in H, ex vna parte rectæ FG: at P, centrum erit circuli alterius datum circulum tangentis ex altera parte rectæ FG, in extremo puncto rectæ ex V, per E, vſque ad circumferentiam dati circuli ductæ, vt in Lemmate 41. prædicto demonſtratum eſt. NON aliter problema abſolue mus, ſi da tum ſit punctum G, extta dati circuli HN, circumferentiam, cum eadem conditione. Ducta enim rurſum ex G, per E. centrum Aſtrolabii recta GE, inuentoq̃ue puncto E, oppoſito, quod etiam erit extra circulum, ſi G, ſit extra eundem,& inter ipſum, eiusque parallelum oppoſitum; deſcribemus circa GE, ex eius puncto L, medio ſemiciteu lum Nosu. 747 lum GBF,& ex L, E, perpendiculares excitabimus LK, EB. Tranſeat autem rur ſum recta GE, per centrum dati circuli Ducta igitur ex B, ad extremum N, verbi gratia, recta BN, reliqua perficiemus, vt prius. 2. 81 T deinde datus eirculus non maximus MO,& portio ſphæræ intra ipſum,& polum arcticum E, bemiſphærio ma ior:( quod tunc continget quãdo circulus vel totum Aequatorem ambit vel eum non bifariam ſecat„ dummodo maior Portio Acquatoris intra eundem circulum inclu latur, vt in ſcholio propoſitionis 6. Num. 9. oſtendimus.) datum autem punctum ſit F, extra dlati circuli eircumferentiam,& intra ipſum exiſtens. Tranſeat rui ſum recta ex F, per E, centrum Aſtrolabii ducta, per centrum circuli, inue niaturque punctum G, ipſi E. oppoſitum, quod etiam intra datum eirculum erit. Si enim caderet extta, eſſet punctum F, intra parallelum oppoſitum, non autem intra datum circulum,& eius para llelum oppoſitum, cqualemque, quod eſt contra hy potheſim. Nam ſi G, eſſet extra circulum MIO, hoc eſt, in portione minote hæmiſphærio, quæ videlicet extra circulum continetur, eſſet eius punctum oppoſitum F, in oppoſita portione ſpheræ quæ ſeilicet intra parallelum oppoſitum exiſtit. Secta ergo recta EG, bitariam in L, de ſeriptoque ſe micirculo FBO, circa EG, ex L, excitentur ad FEG, perpendiculares LK, EB Ducta deinde ex B, ad extremitatem O, verbi gratia, diametti circuli dati recta B O, fat angulo BOł, æqualis angulus OBQ, eritque rurſum EQ maior quam EL, yy vt in tum punat per dati eirculi cencirculum a zum, qai a u tangat, de · ſcribere. 548 1 1.5 R410 H. 4 vt in Lemmate 41. monſtratum eſt. Deſcripto autem ex E centro dati eirculi er Q, arcu circuli ſecante perpendicularem KL., in K, P, crit K, centrum circuli FIG, datum circulum tsgentis in I, extremo puncto rectæ EK, vſque ad circumferentiam dati circuli productæ ex vna parte rectæ FG:at P, centrum erit alter ius cuiuſdam citeuli datum circulum ex altera parte rectæ FG, tangentis in puncto extremo rectæ EP, vſq; ad cireumferentiam dati circuli prodicto Lemmate 41. oſtédimus. modo proce demus, ſi datum punctum ſit G, intra datum circulum, qui portionẽ hæmiſphærio maiorem contineat. Ducta enim rurſum ex G, per E, centrum Aſtrolabii GE, inuentoque puncto oppoſito E, quod etiam intra circulum erit, ſi G, ſit inter ipſum cireulum, eiusque parallelum oppoſitum: g 5 vt prius, ſi modo recta FG, tranſeat quoque per centrum ati circuli. 3. AEF ERER ſit datus circulus non maximus IM O, includens portionẽ ſphæræ he miſphærio minorẽ, cuius cẽtrum H. Re cta autem ex E, dato puncto extra circum ſerentiam dati circu li per E, centrum Aſtrolabij educta non tranſeat per centrũ H, ſiue eadem circulum ſecet, ſiue non. Inu to ergo puncto G, quod dato pũcto F, opponitur, deſcri bẽdus erit maximus circulus per duo pũcta E, G. oppoſita, tã gens datum circulũ. quod per Lemma 41. ſic fiet. Ducta ex da to puncto Fꝶ ad centrum H, recta FH, deſcribatur ex medio eius pũcto 8, per H, arcus circuli ſecans datum circulũ in I;& ducta recta EI, inuenia tur dua · bus rectis GE, FI, ter tia proportionalis FKʒeadetque punctum Kaut citra G.aut vltra G. Vbicunque tandemexiſtat duct a recta KH. deſeribatur ex medio eius puncto L, circu lus per H, ſecans datum circulum in O. N. Si igitur ducatur ex dato puncto F, per O, punctum propinquius puncto! recta EO, vſquæ ad circumferent iam in punctum M,. circulus per tria puncta P, G, M, deſoriptus ex centro Q, quod eſt in perpendiculari QR, ſecante FG, bifariam, tanget datum circulum in M, vt in ducte vt in EOD EM RT N M Aer. 545 vt in Lemmate 41. demonſtratum eſt. Si vero ex eodem puncto E, dato ad punctum N, longius diſtans ab I, recta FEN, ducatur ſecans circumferentiam dati circuli in P, circulus per tria puncta E, G, P, deſcriptus ex centro R, quod etiam exiſtit in perpendiculari QR, ſecante F G, bifarlam, tanget eundem eitculum datum in P, vt in eodem Lemmate 41. oſtenſum eſt. 3. NON aliter per idem Lemma 41. circulum tangentem de ſeribe mus, ſi citculus datus non maximus maiorem portionem hemiſphærio includat, ac proinde, vt paulo ante Num. 2. oſtendimus, tam datum punctum, quam eius oppoſitum intra eundem circulum exiſtat; vt eo in Lemmate de monſtr atum eft, quando duo puncta intra circulum data ſuerint. Sit enim citculus datus non maximus K LM N, cuius centrum O, includens ſphæræ portionem hæmiſphærio maiorem: Et recta ex E, puncto intra circulum dato per E, centrum Aſtrolabii ducta non tranſeat rurſum per centrum O. Inuent o ergo puncto G, quod per diametrum puncto E, opponitur, erit quoque G, intra datum circulum, vt Num. 2. diximus. Deſcribendus ergo eſt circulus maximus per duo puncta F, G, per diametrum oppoſita, tangens datum circulum. quod per Lemma 41. ſic fiet. Tribus rectis FG, EH, Fe, inuenta quarta proportionali EI, cadet neceſſario punctum I, extra datum circulum, vt ibidem demonſtrau imus. Ducta ex I; ad centrum O, recta I O, eaque bifariam ſecta yy 2 in P, 550 r d n 1. in P, deſcribatur ex P, per O, circulus ſecans datum cireulum in L, M. Si igltur ex L. per F. ducatur recta ſecans datum eirculum in N. tanget circulus Per tria puncta F, G, N, deſcriptus,(cuius centrum Q, erit in recta QR, ſecante rectam FE G, bifariam,& ad angulos rectos) inter ius datum circuum in N, vt in Lemmate 41. demonſtratum eſt Pari ratione ſi ex M, per F, recta extendatur ſecans datum circulum in K, circulus per tria puncta E, G, K, ex centro R,(quod in eadem recta Q R, ſecante FG, bifariam,& adangulos rectos exiſtit.) deſcriptus, datum circulum tanget in K, vt in eodem Lemmate 41. oſtendimus. Quod eſt propoſitum. „%%% 39 7. E XPLICEMyV s iam, qua ratione inſrumentum, in qu Aſtrolabium de * 3 54 ſcriptum ſit, conſtruatur. Paretur igitur e orichalco, vel cupro q vel alia materia ſölibens. da, circulus ABC D, cuius centrum E, tanta magnitudinis, quantum inſtrumenti haBere cupimus: qui ex vna parte emcauetur circulariter, xelicbo limbo, vt in eo numtrus horarum,& graduum deſcribi poſceit, ex altera vero parte acturatiſſime complanetur. einde praparentur aliquot circulares laminæ a nes, vil cubreæ tantæ mag nitudlinte, vt 7 7 eereeb re Pig wet mag con mode intra Partem cc cauatam collocari Poſeint. tot, vt concauitatem eupleani e Hac P N Or HO K XX. 551 Hec pars excauala cum limbo,& laminis, quas tympana vocare ſolent, dicitur à ſcriptoribus Facies A ckrolabij,& eius pars concaua intra ymbum contenta, Mater: altera vero pars, Dorſum Agtrolabij appellatur. . F ACI ES ergo ſic contiruetur. Limbus quatuor circulis ex eodem centro Faciei deſeriptis diuidatur in tria ſpatia: In exteriore diuiſo in æc. partes æquales deſcribatur numerus horarum, vt in figura apparet: Patium medium ſecetur in 3 C o. gradus, nitio facto& recta BD: in tertio denique;& interior patio apponantur numeri ęraduum, quorum initium ſit in recta Bñ D, ita ve grad. go. terminetur a vtramq: partem rectæ AC.. ans 3. DEIN DE in laminis æneis ad hoc negotium praparatis deſcribantur trolicus, FGHI; Acquator K LM N& tropicus.S., ex data magni8 tudina Haeſes Atrolas bii quæ. Dorſum Aſtrols bii quod. Faciei Aſtrolabii conſttuctio. Limbi csgructie in facie AAſlrolabii. Tym panorum in fel Aſtrolabil conſruche 552 L 2 D N 10 11. rudine tropici V, vt in ſcholio propoſitionic. Num. I. docuimus: niſi prius ex data magnitudine A equatoris rropicos deſcribere vclis j atque ex deſeripto trobico V, Matris magnitudinem deſinire. 505 hac in vna la mina diſtribantur pro data altitudine foli, reliqui circuli ſphæræ; quotguot commdode deſcribi poſſiuut. Nos exempli cauſa in ſubiecta ſigura ad altitudinem poli grad. gu. qualis ferma eſt Roma; deſcripſimus Horixontem LN. cum duobus tantummodo eius parallelis yx, VZ, circa Zenith O, qui 3. gradibus imer ſe diſtant; Verticalem primarium LON cum quatuor duntax at alis N erticalibus a0, 10, do, eo, gradibus etiam 30. inter ſe diſtantibus; Ae denique infra Horixontem circulos horarum inaqualium tantum, diuidentes portiones tam ropi corum, quam Aeguatoris ſub Horixonte in 12. partes ſuales. In eadem 8 deſcribi * PND I gongSsf Ax. 553 deſcribi poterunt, ſi placet; circuli dumorum caæleſtitim vt propoſ go. traditumm eſt, & circuli horarum ab ortu, vel occaſu Solis, que hig deſeribendos eſſe non cenſcaimus, ne figuram tanta linearum multitudine conſunderemus. Quemadmodum autem in ana lamina circuli pradicti deſcripti ſun: pro data poli altitudine, vel pro data latitudine loci, ſic in alijs delineandi ij dem erunt bro alijs poli altitudinibus, qua nimitum magis vſui future craduntur. Ad extremum in una ſola, in qua Aquarer& tropies ſint tantum modo deſeripti, Eclipticam deſignalimus in ſigna, e gradus equiſitiſſimò diſtributam, vna cum ſtellis nonnullis, reſactis tamen partibus ſuPerfluis, ad inſtar retis cuiuſpiam, ita vt relinguantur tantummodo Ecliptica cum nominibus ſignorum, cn numeris graduum,& cacumina ſtellarum. Solet autem in ſingulis la minis relingui denticulus quidam prope ſuperiorem bartem F, qui in foramen limbi iuxta idem punctum F, immietatur, ne laminæ ipſe ad motum retis circumducantur, ſed eundem ſemper ſitum obtineant: Sola retis lamina hoc denticulo carebit, vt libere circa centrum E, circumuolui poſſit: in quem finem circa centrum E, excindendus eſt circulus quidam ex ig uus in omnibus laminis, vt rete circa clauũ teretem, qui foramen illud rotundum expleat, circumducatur. Quò d ſe in ſuperi ori Parte Aſtrola bi iuxta pundtum A, aſſigatur armilla, en qua Aſerolabium ſuſpenſumlibere pendeat,& in centro Aſirolabij apponatur regula quædam volubilis, cuius linea extrema altera„ quam lineam fiduciæ dicunt, ber centrum tranſeat, abſoluta erit tota ſacies Aſtrolabij. Hac autem regula dicitur oſtenſor, e vel ſolum à centro ad limbi extremitatem trotenditur, vel duplo long ior eſt, vs ſubiecta ſigura de monſtrat. Diuidi quoque ſolet hac regula à centro que ad tropicum, in gradus, Hoc modo. Primum ex centro trans feruntur ſemidiametri Aequatoris, tropici, & tropici V, vſque ad A, B, C, ex Aſtrolalio. Deinde diuiſo ſemicirtulo Aequatoris LK N, in 1 o. grad. emittuntur eæ N, ad ſingulos gradlus rectiæ ſecantes E, ſemidia metrum in gradus, qui in regulam ex centro traniferunlur, eorumęue numeri ab Aequatoris puncto A. incipiunt, e verſus vtrumque tropicorum rogrediuntur vt in figura abparet, vbi per denos gradus hragrediuntur. Officium horum graduum eſts indicare declinationes punctorum Aſerolabij 46 4 equatore, atque adeo fungi munere omnium parallelorum Aequatoris. f 4. DO RSV M autem Aſcrolabij ſie conſtruetur. Primum exterior limbus quin zue circulis in æ. ſpatia diſtribuendus eſt,& in extimo num eri graduum, in quos proxi mum ſpatium diuiſum ett, ponendi, initio ſacto& punctit B. D, verſaſque A. C, tregre diendo, ita vt in A,& C. grad. go. ſcribatur. In tertio ſpatio deſcribendi ſunt numeri graduum per 3 o procedentium pro ſignis, quorum Frincipium eſt in puncto D: Atque in ultimo ſpatio ſgna pingenda ſunt, vt in fgura vides. 5. DEIN Armillæ ſuſy en · ſoriæ,& oſterſo· ris conſtructie. Dorſf Aſtrolabi conſtructio. Limbi in dorf. calos conc oo deſeriptio. 5 554 E 1 n . DEIN DE alia tria ſpatia per&. circulos paranda ſunt pro diel us menſium in ſupremo ſpatio,& pro eorundem numero in medio, ac tandem pro menſium nom inibus in infimo collocandis. quod duo bus fteri ſolet mo dis. Na ꝗquiatuor hi circuli wel cõcen trici ſunt cum prioribus quinque, vel eccentriti. Qui eos concentricos ſaciunt, applicat re gulam centro E,& i e. gradui lineamque S K, per tria illa ſpatia duct pro initio Tanuaris, propterea quod„vt Ef hemeriaes decent, Sv primo die anni in gradu 10. „, exiſtit. Deinde e eiſdem Eplhemeridibus inueſtigant, vb Sol reperiatur die guinto anni,& ad gradum Solis aliam rectam ducuus pro die S. Ianua rij. Idemque Jaciunt pro die 10. 15. 40. Ec. donec ad ſinem anni perueniant, eſſiciantque ſpacia 73. que ſub diuiſa in s. partes æquales dabunt 305. dies totius anni. Tandem vero in terrio ſpatio inſcribunt menſum nomina, c numerum dierum ſecundim ſg norum ſucceſſſonem„ tribuendo Lanuario dies 31. Februario dies 26. Martio g 1. Aprili 3 0. & reliquis menſilus proßrios dierum numeros. Huius diuiſionis exemplum non a poſaimus, tum quia facilis eſt. tum etiam quia plerunque apud crit ores Aſtrolabiß, præſertim atud Ioannem Stophlerinum, reperitur, 6. Q vero cccentricos potius circules deſcrilunt; ne cigantur per 27 diet 9 ocuuns 8 b s, A 555 docum Solis inueſtigare, hanc tenen viam. Quærunt locum augis Solis, qua hoc Nendum ae die1 120 5 15 77 7 ru dorſe— tempore est in gradu 9. Cancri,& ab eo ſamidiametrum ducunt RE, eamque ifa- krolabi. ariam in H rur culos cccentticos riam ſerant in F,& ruiſum EF, bifariam in G,& iterum EG, bf ee ſumque EH, bifariam in I,& denique EL, biſariam in t, r Et, ſit vna particula cbnirtio. e 32. in quus tora R E, diu iſa eſt. Ita enim fit, vt pr op ortis Re, ad t E, nimirum JI. ad 1, ſit propemodum eudem, quo. ad 1.% m videlicet hoc tempore Haber ſomidiumeter Excentrici Solis ad eccentricitatem, cum eccentricitas contineat par rem 1.& min. Id. quarum do. in ſemidiamcero Eetentriti tontineatur. Re ipſa tamen paulo minor eſt proportio 3 1. ad 1. quam Go. ad iA ſed quia diſcrimen perexi guum eſi, iure accipi poteti particula Es, pro eccentricitate hoc tempore. Quando aubens rnutata reperietur quantitas eccentrieit atis, diuidendaerit recta ER, int, vt pro Portio Re, ad tE, ſit eadem, qus Go. ad ecceniricitatems, vt ſoc tempore ad partem 1.& minuta 5g. quod ita ſiet. Ducta recta E T, ſumantur beneficio circini particulæ equales If C. ab E, uſque ad a, hoc eſt, pars r.& ini n. G. quæ faciunt 116. minuta. Primum quidem ſumantur Io. Deinde hee lineola ſeviet ſumpta dabit 60. Adiodta eadem lineola quinquies, dabit 1 o.& adieſtis g. particulis eiuſadem lineola, habebuntur 118. particula. Poſt hac ſiumptis ex hiſce particulis, C o. quæ fa ciunt Partem r. accipiatur hac pars ſexagies, nimirum primuim decies, deinde hæc linea Io. Partium ſevies. Sint ergo in aT, partes C o. quarum a E, continet 1. G min. 56. ductaquè recta TR, agatur ei peærallela a t, eritque eccentricitas t E, cum ſit, vt 2. ſexti. Ta, ad E, hoc eſt, vt Gb. ad eccentricitatem, ita Re, ad E. Sed quoniam f eri von poteſt, vt recta ET, in propoſito plano tor particulas ſaſcipiat, vt nimirum Ea, contine at 116. M 4 T, 3 fo. rectius feceris, ſi in alio plano lineam ſautis longam in ear partes ſaces. Nam ſi aliquam tius partem aliquotam, vt dimidiam, vel tertiam: vel uartam, vel quintam tyc. ſumpſeris, qua commo le ex E, vſque ad T, rrausferri Poſtit,& eandem partem aliquotam illius ſegmenti, quod particulas 11 C. continet, en E, in a, traniferus,& iunctæ rect TR, parallelam duxeris à t, habebis punctum t. vr prius. Nam erit, vt rota illa linea ad ſegmentum particularum 110. ita eius b T. quinti. quinta parr u. g. ET, ad Ea, quintam partem dicti ſegmenti. Ergo diuidendo, vt maius ſegmentum viuſdem recta ad minus, hoc eſt, vt ſemidia meter Eccentrici ad ec- ö centricitatem, ita Ta, ad aE; c at proinde etiam ita Rt; a IE. Ex centro igitur e,& 2. ſexti. ad interuallum tR, deſcribunt circulum Eccentritum,& infra hunc alios tres, 222 pre mum ſpatium in dies partiuntur hoc modo. Principium Januar m R, reperiunt, vr, qui concentricos circulos deſcribunt. Deinde applicant regulam rentro E,& Zradui 4. min. 40. H; Hoc eſt, puncto, quod à 10. gradu verſus principium abeſt grad. s. min zo. notantque punctum E, in Eccentrico, quia ſpatiolum XL, reſponder diebus q E. quibus in oppoſito augis Sol conſicit grad. 5. min. 20. reliquus vero arcus XRL, reliquos 360. dies anni complectitur. Diuiſo igitur areu RL, in q o. partes aquales,& arcu L K, in s E, hoc eſt, in partes at. quarum 2. quinqus diebus debentur, reliqua quarta parti diei, diſtrilutus erit rotus Eccentricus in dies 308. G horas. C. Menſes denique inſcribuntur, ut prius. 7. A D hac erit conſtruenda ſcala altimetra hor modo. D eſcribæ ex E, eir- 1 1. culb tangente vltimum eccentricum in Y, ducantur dus ſemidiametri 2 0, EP, i0— ad grad. 45. lIimbi ſecautes eirtulum deſtriptum in O, P. Iunctaque OP, ſecan- bi compoftis, te EO, in Q abſcindantur E M, EN ipſis O Q aguales, iunganturqus rea OM, PN. Diuiſis autem rectis quatuor MO, O 2.2, PN, in 12. partes aequales ductisque ternis rectis, qu 15/1 æquidiſtent ‚contineantque tri a Hatia 0 bingautur in extimo ſpatia duodena partes ad centrum E, 8 3 in br⸗ me2 i0 356 1 11 1 lio numerũs partium reponatur, isa vt 12. occupes angulos O, P. in tertio denique patio vmbra recta,& verſa. ſcribatur, recta quidem in latere OP, verſa autem in lateribus OM, PN. e e, 7 715 55 quoque duobus quadrantibus x, X, in ſenas partes æquales, 1 7 deſcriptiſque arcubus circulbrum per centrum E,& bina puncta à diametro C D, aqua rolabii deſcri- 5 5 i 2 4 a 6 liter remota, quorum centra in diametro A C, exiſtunt,& Qvltimus circa diame trum E X, integer deſcribitur, habebuntur in dorſo 12. hora inæguales, vt in ſigura apparet. Bedicliri, vi 9. POSTRE M O in centro E, abhonitur meliclinium volubile, quod nihil et Kegels es aliu l, quam oſtenſor integer paulo ante deſcriptus, affixis tamen in extremitatibus tabellis quadratis perſoratis, quæ pinnacidia dicuntur. Atꝗque tot hoc melliclinium aß Aructio. pellari quoque ſolet Pioptra ab Aſtronomis. 1 5 „ E D v, A ſtrolabium noſtrum omnibus mundi partigus inſeruiat, 4 1 0 s cb mobi fut mut, qua ratione ipſum tam in ſohera eta, quam in obliguiſeima, vbi polus eee e af 15 vertice conſtituitur, deſeribendum ſit: quod ex iss, ue demonſtrataſuui 7 42 8 reges obliquil le non crit. In primis igitur in vsra ue ſphara limbus facit, Aequator, 8* bas, ſub pole. 4 2— JC»ͤ CC ali paralleli Aequatoris, Rete,& totum dorſum, contkituantur, vt in qualibet ſphae raobliqua. II. DEIN DE in ſphæra recta, quoniam H orix on per polos mundi tranſit, proijciturque in rectamlineam per E, centrum Aſcrolabij, quod& polus mundi eſè, traiectam, vt propeſ. 1. oſtenſum eſis ſit recta AC, Horixon rectus, cui ad angulos rectos inſaltens recta B D, Meridianum circulum referat. Ef quia in eaſphera Aequator ABC Di primarius Ferticalis eſt, erit pundtum B, gradibus go vtrinque ab Horixonto AC, recedens vertem capitis, ſiue polus Horixontis,& ofpeſitum J erticis, vel alter polus Horixontis, D. ALMVYCANTARAT E, hoc eſt, paralleli Horixontis recti, deſcribentur, v ropeſi. Num. 2.& 3. tradidimus, vt in gura deſcriptos eſſe vides duos cirea Zevith B, quorum alter ab Horixomte,& alter ab illo,&& Zenith 3 o. gradibus abeſt. Aſtrolabii infyh ra recta conte cio. 5 AZ IMT E, ſeu circuli Verticales deſcribentur, 2: in ra obligqua. Nam . Aequaton ABC D, hoc ect, W erticalis primarius, in tot partes equales ſe cetur, quot Verticales deſcribendi ſunt,& fer pundta diuiſionum em B, vel D, rect emutani ur 5 ſecabitur rect a AC, in centris Vertical um per B, D, ducendorum, ſecantiuimque Noris æontem rect um AC, in gradus, quem admodum in ſſ Hara obliqua tropoſſe 8. I erticales circuli parallelum Horixontis per rectam 5 p reprgſentatumm in gradus bartiuntur, ut ibidem demonſtratum eit. In hac figura quatuor Vercicales deſcripſimus, 3 o. gradibus inter. ſe diſt antes. N nd 222 2 H O —̃ ̃— S———— Ia ſphæra recta ijdem citcuali wa xr mi indicant tã horas à mer.& med. noc. quam ad or& occ, atq; bolas inaqualts. 558 E11 HO RAR TI cirtuli cuiuſque geueris repraſentantur hic per reclas ex centro E. per quin denos gradus Aequatoris, eiuſque parallelorum, duct as. Nam cum Horizin reAus,& circtili horarum à meridie, ac media nocte, per folos mundi ducantur i tranſizunt quoque& circuli horarum ab ortu atque occaſu,& horatum inaqualium per eoſddem poloss alli qui dem, quia nullus eli parallelus Horixontem tangens, quem it ſi tan gant, hi vero vr tam ſemicirculi parallelorum diurni, quam noc trui in 12. horas aquales diſiyibuantur; qua quidem initium habere ſoſſunt vel a zneridie,& media nocle, vel ab ortu& occaſu. Cum igitur omnes circuli maximi per poles mu ndi incedenres proijciantur in line as rectas, vi propoſ. 1. aſtenſum ect, liquido conſtat; rectas line as Alucbas vt diximus, referre circulos horarios euiuſuis generis. Nas lineas ſolum infra Horix on'em redum AC,& intra tropitos produximus, ne linearum multitudo ſupra Horixonem confuſionem nobis exhibeat. Numeri porro iuxta tropitum, deſcripti 44 Horas à meridie, d media note; iuxta Aequatorem vero: ad horas ab ortu,& occaſu iuxta bropicum S. denique ad horas inæquales pertinent. Do My S caleſtet tam ex ſententia Ioan Regiom quam fecundum Campanum, proifciuntur, ut circuli Bor arij. Tranſtunt namque c earum circuli per tolos mundi; ni. mirum per communes ſoctiones Horixontis, at Meridiani, ac proinde in rectas lineas proijciuntur:quas ber totum A ſtrolal ium eduximus; diuidentes tam Aequatorem, vt vult loan. Regiom. quam Verticalem primarium, vt Campano placet, qui ab A e4οᷣfe R pi S. xx. 559 alore hic non diſfert, in 12. partes æquales. LINE A deniqué Crepuſc uli non aliter deſcribetur, quam circuli altitudinum, ſeu paralleli Rorixontis, cum& circulus, in quo Cretuſeulum matusiuum habet ini tium,& finem veſpertinum, ſit Horixonti parallelus, diſtans ab Horixonte verſis Nadir grad. 18. Itaque ſi ex A,& C, in Aequatore ſub Horixonte ſupputentur grad. 18. vſgue ad G F,& ex A; per E, reda ducat ur ſecans meridiauam lineam in A, deſcribendus erit parallelus, ſiue linea Crepuſculi, vel Auroras per tria puncta F, E, G, centrum in meridiana linea E D, producta habens. 12. AT vero in ſohara obliquiſsima, quæ verticem capitis habet in polo arctico, deſcribendi ſunt paralleli Aequatoris vſque ad Aequatorem duntanat, hoc eſt, ſolum boreales; propterea quod, cum Aequator ibi ſit Horixon, parallel: inter Aequarorem,& tropicum, inſra Horixontem ſunt nullumque uſum habent, prater il lum, in quo crepuſculum matutinum incipit,& veſpe rtinum figitur. In figura ſequenti Aequator ent ABC Dʒ tropicus; y circulus arcticus ſunt duo circuli tun ckisinterſtincti: hoc eſt, proximus Aequatori,& protimus centro E. HORIZON, vt dictum eit, ab Aequatore non diſfurt, ideoque eius paralleli deſcribuntur, vt paralleli Aequatoris: adeo vt quadrante BC, in go. grad. diuiſo, ſi em A. per ſingulos gradus recte educant ur, ſecabitur recta B D, in punctis, per qua er centro E, Almucantarathh diſcribendi ſunt. In figura deſcripti ſunt duo tantum pa ralleli, 30.& Go. gradibus, ab Horixonte diſtantes, quorum ſemidiametros abſcindunt radi AF, AG. YERTICA LEA cirouli, cum per mundi polos incedant, nimirum per polos Horizontis, in rectas per centrum E, tranſcuntes proiciuntur, ar propoſ 1. oſtenſum eſt. Quamobrem recta per centrum E, ductæa, partientesq; Aequatorem, hoc eſt, N orixon tem Aſtrolabij, in 360. partes æquales, inſtar omnium Verticalium erunt. In fu ra deſcripſimus Verticales quindenis gradibus inter ſe diſtantes. HORAR II circuli, lines quoque rectè ſunt, diuidentes Aequatorè, eiusq; parallelos, in zg. horas aquales, cum per polos etiam mundi incedant: initiumque habere poſſunt in quocunque puncto, vt in linea recta BD quam in Aſtrolabio pro meridiana linea aſſumpſimus. Indicant autem huiuſmodi horæ partes uigeſimasquartas vnius integra reuolutionis Aequatoris ab aliquo fruncto fixo inchoats, non autem ab ortu, vel occaſu, aut àᷣ meridie, vel media note, cum perpetua ibi ſit dies, Sole exiſtente in hemiſphario ſupero, atque adeo neque ortus, vel occaſus nequè meridies, vel mædia nox poſſet aſſgnari, ſi proprie loqui velimus:. Poteſt tamen pro libito aſſumi recta BD, fro linea meridiana,& AC, pro H erticali primario, ac proinde& functum C, quodammodo pro ortu,& A, pro occaſu, Mc. CAELESTIV M domorum circuli in hoc Actrolabio inſcribi nequeune, propterea quod neque verus orius occaſuꝗque datur„ nequc Aequator diuidi porect per ciren los maximes per cemmunes ſectiones Meridiani etiam pro libeto aſſiimpti,&. Horixou115, qui idem eſt, qui Aequator, incedentes vt liquet. Quod ſi ortum,& occaſum appellemus functa C A, 0 meridianam lineam B; D, diſcribeniur, ex ſintentia Campani, domorum cœleſtium circuli, ut Herticales in ſphara recta. Nam ſi Nerticalis primarius cõcipiatur eſſe ABCD, ad planũi Aſtrolalij rectus, faciensq; in Aſtro labio rect am AC,& per 12. partes equales ipſius in eo ſitu ex B, vel D, redtæ emtantur, diuidetur Ferticalis linea A, in centris circulorum cœliſtium domorum, qui omnes per functa B,& D, tranſibunt. Sue madmodum enim in ſphara recta circuIi habentes centra in recta AC, hoc eſt, in Norixonte recto, incedentesque per tuncta B. P, zimirum per verticem capitis, pundtum que oppoſitum, diuidunt rectum Horiomen Aſtrolabii in ſphę ra obliquiſi ma conſh ucuo. In ſphæra obfi-· quiſsima nõ ſuat proprie horæ à mer. vel med. noc. aut ab ortu, vel occ. aut inquales. In ſphæta obliquiſsima nulli ſuut proprie circuli domorum ca leſtium. 560 L 1.8 N I 51. zontem in ſubs gradus, ita& hi circuli tranſeuntes per B, D, communes ſectiones Ho vixontis ABC B,& Meridiani aſſumpti, partiuntur Verticalem lineam AC,; in 12. domicilia cœleſtia, c&c. 8 DE NI AE Crepuſculi linea, cum referat parallelum Aequatoris; id elt, Horixontis obliquiſſimi, ad oppoſitum polum vergentem, diſtantemque ab Aequatore grad. 1. prbijcietur in Aſtrolabium hac ratione. Ex B, verſus polum antarcticũ A4,( duia parallelus per initium crepuſculi matutini,& ſfinem veſpertini deſcriptus, 4 auſtralis et in hat obliquiſſima ſphara.) ſuptutentur grad. 1 f. uſque ad N;& ex A, radius emittatur per H, ſecans rectam B D, in I. Nam circulus en E, centro per 1. deſcriptus dabit lineam crepuſculinam, hoc eit, parallelum 1b. gradibus inſra Horixontem depreſſum, vt ex ijs, quæ demonſtrata ſunt, perſpicuum est. e 13. POR RO idem hoc Aſtrolabium illis quoquè inſeruiet, qui ſub polo antarbotealis quo pa ·&᷑ico degunt, ſi centrum E, pro polo antarctico,& tropicus Q, bro tropico, 2 1 circulus arcticus pro ant arctico ſumatur; ſigna item Zodiaci ſingula cum oppoſitis zecommedetur- permutentur, ita vt em Vi fiat&& ex N„fat m,& P, ex Tr, G, en S:. c. Nam oculo conſtituto in polo oppoſito, nimirum in arctico,(in eo enim oculus conſtituendus eſt, vt Aſtrolabium in ſphæra auſtrali deſcribatur.) polus antarcticiis con ſpicitur in E,& tropicus V, in ea forma, in qua tropicus q, ex polo antarctiAbrelabif-lrks- 0 cerniturs che. ö rz euiuſuis obi. 1 f. EODEM modo Aſtrolabium ſphara oblique cuiuslibet accommodabitur an 1 N. tipodibus illius, quibus polus antarcticus ſupra Hori d ontem eleuatur; ſi eadem permu dus Phar au. Z atio fiat ſignorum ſeptentrionalium in auſtralia,& contra,&c. Sed ſtella aliter — accommo- ſunt collocanda in Reri, auſtrales videlicet prope centrum, hoc ef, prope polum ant ar1 cticum e. Quod etiam de Reti in Aſtrolabio ſpheræ obliquiſcimæ atſtralis dicendum eſt: quia in huiuſmodi Aſtrolabio conſtruendo oculus ſtatuitur in polo boreali, vt aus ralis in E, centro appareat, vt dictum eſt. NO noa RX. 561 b. MEMADMODyYM autem in plano Aequatoris hactenus deſcripſi · Deteriseis abe mus omnes circulos caleſtes ea forma, ac diſtantia unius ab altero, qua ex polo au- e 3 rali cernuntur: ita ijdem in plano cuiuslibet circuli maximi deſeribi poterunt ea ſor- ximi oblida. ma, diſtantiaque, qua ex inſeriori eius polo apparent, ſi circulus Analemmatis, in quo diametri circulorum continentur, ſumatur pro Meridiano proprio illius circuli marimi, hoc eſt, pro circulo per polos mundi, ac per polos illius circuli maximi du6. Exempli cauſa. Si in prima ſigura propoſ.&. recta BD, accipiatur pro dia metro Horixontis; A, pro eius polo inferiore, ſiue pro Nadir,& C, pro polo ſuperiore, ſiue tro Zenith; fg, pro diametro Aegquatoris; O, pro polo mundi boreali, quippe qui puncto verticali C, propinquior ſit,& R, pro auſtrali, cc. apparebit Horizon in quantitate circuli A BC D,& Zenith in E, centro; atque eius paralleli deſcribentur, vs Prius paralleli Aequatoris deſcribei fuere; Aeguator autem cum ſuis parallelis projeietur in planum Aſtrolabij, vi prius Horixon obliquus cum proprijs parallelis, ita vt enn, ſit diameter Aequatoris appareum, polusque horeus O, appareat in 8, c aura lis R, in X; Ferticales autem omnes proijcientur in rectas lineas per centrum E, incedentes, quemadmodum prius circuli Horarij,& circuli declinationum per poles mun di tranſeuntes,&t. Atque hac quidem ratione Aſtrolabium in plano Horixont is des ſcriptum erit, non autem in plano Aequatoris. Quæ res facile ex is, quæ demonſtras 2a ſunt, intelligi potet, e clarius percipietur lib. 3. can. 12.& in alijs nonniullis ſogquentibus, in quibus circulus ABC D, qui hactenus in Aſtrolabio fuit Aequator, Horixontem referet, c. in canone autem 15. Num, g. Aſtrolabium in plano Ecliptica deſcribemus. 16. S E D neque hoc o mittendum eſt, globum terreſtrem eum omnibus circulis, peſenptle uma & oppidis, inſtar Aſtrolabij deſcribi poſſe, ea nimirum forma, quam Num. I 2. A tro n labium in ſphæra obliquiſiima habuit, Nam Aequator erit A BC D, circuli longiſudinum, ſiue Meridiani per rectas per centrum E,; traiectas repraſentabuntur; circuli deniqus 562 L 1 88K 41 11 genique non marimi latitudinum deſcribentur, vl paralleli Aequatoris. Ttaque ſi queratur ſiuus alituius ciuitatis, ſume mus u. g. rectam E D, pro Meridiano inſulatum Feriunatatum, à̃ quo Coſinograp hi initium ſumunt longitudinum,& ab eo derrrotſem longitudinem propoſitæ eiuitatis numera bimus, ac per finem nuimerat ionis ex E, rectam ducemus pro Meridiano illius ciuitatis. Deinde parullelum Aequatoris deſcrilemus pro latitudine eiuſdem riuitatis, quam quidem, ſi borealis eſt numera.bimus A B, verſus Cʒ ſi vero auſtralis, à B, verſus A. bi enim hic parallelus Meridianum, ſiue rect am ex E, per longitudinem ciititatit ductam interſecat, ibi locus erit ciuitatis propoſita. yONIAM aut loca uuſtralioru, qua videlicet vltra tropicum Y, excurrunt, agrè in Aſtrolabio deſribi poſſunt, commode fecerimus: ſi duas mappas deſcribamus; vnam ab Aequatore verſus polum borealem E, vr hactenus diximus,& alteram ab Aezuatore verſus auſtralem polum, quem tune referat centrum E,&c. Sed hac planiora fient lib. 3. Can. 15. vbi diſtantias locorum inquiremus. a 5 FINIS SECYVN DI LI BRI. 563 1 EFEBRER FER RIVA A CFT ONE CHRISTOPHORO CLAVIO B ‚ ‚⏑—0 f»— ⁰‚». ÜF ⏑ E SO CIETATE IES v. Sec N f P ERE S tertius liber, ac poſtremus, in quo de multiplici vſu circulorum, quos ſuperiore libro in Aftrolabio deſcripſimus, agendum eſt. Qua in re omnis nobis cura atque opera ponenda erit, vt quæalij per inftrumentum materiale inue ſtigant, nos ſolo circino,& regula,& quidem longe certius, accuratiusqueè inquiramus: quam8 f quam vſum vulgarem Aſtrolabij materialis non omnino neglecturi ſumus, verum in principijs Canonum, vbi commode fiei poterit, explicaturi:( Næque enim ſem per id præflare poterimus, cum multo plura ſinè inſtrumento perſcrutaturi ſimus, quam vllius Artrolabij beneficio inueniri queant) vt s præſertim ſatisfaciamus, qui Aſtrolabium habent,& eius vſu deleclantur. Atque vt planius id, quod nobis in tertio hoc libro propoſitum ef, intelligatur,, proponatur ante oculos globus aliquis ita diligenter tornatus, vt nihil fieri poſſit rotundius. Vt igitur in eo liceret nobis dimetiri omnia interualla punctorum, arcuum magnitudines atque angulorum, circuli vnius ad alterum inclinationem,& id genus alia: ita cadem omnino conabimur in plana aliqua ſuperſicie inueſiigare; vt nihil prorſus ſit, quod in primo mobili cognoſcere quis cupiat, quod perfectiſſime in plano aſſequi noſtris præceptis nen poſſit: ade vt quæcunque etiam ex doctrina triangulorum ſphœricorum, quæ immenſa eſt,& propemodum infinita, moleſtiſſimis numerorum multiplicationibus, diuiſionibus que Aſtronomi mirabili ſanò artiſicio, atque induſtria cruunt, non Aaa a minus Aęumertrm tertij lidri. 564 i minus exploratè in plano aliquo ſpatio, circulorum beneficio, qui in prace· denti libro deſcripti ſunt, eruere, indagare, atque ſcrutari nobis liceat. Qu res vt magis abſoluta perfectaque reddatur, adiungemus plerisque in locis vſum etiam. Analemmatis, quo non pauca problemata Aſtronomica mira interdum facilitatè, ac iucunditate ſoluuntur. Neque vero prætermittemms, quin eorum, quæ propoſita nobis ſunt, nonnulla per ſinuum quoque doctrinam perquirere doceamus. Sed qua noſtro hoc nouo. Actrolabij vſa acquiri poſſunt, lunge clarius Canones, qui ſequuntur, docebunt, gqudm multè verborum ambages explicare queant. Quamobrem ad Canones. ſtatim ipſos aggrediamur. G A N AN T. ALTITVDINEMsolis, aliarumq; ſtellarum quolibet momento temporis deprehendere. Atitudo ſiderũ 550 2 erplo 1. SVSPENDAT VR Aſtrolabium ex armilla, vt liberè pendeat, pun N Auro&umque B, verſus Solem', aut ſtellam dirigatur,& mediclinium dorſi A5 ſtrolabij ſurſum ac deorſum tamdiu circa centrum E, conuertatut, donec pet reſpondentia foramina pinnacidiorum radius Solis tranſeat; vel donec oculus per eadem foramina ſtellam, aut etiam Solem interdum, quando nubibus contectus eſt, aſpiciat, medicliniumque ſitum v. g. obtineat rectæ FG. Dico gradus in arcu BE, contentos indicare altitudinem Solis, vel ſtellæ, hoc eſt, quot gradus in arcu B F, includuntur, totidem intercipi inter Solem, ſtellam ve, atque Horizontem in Verticali circulo per Solem, vel ſtellam tempore obſeruationis ducto. Quoniam enim, vt in ſphæra demonſtrauimus, terra, ſi cum cælo conferatur, inſtar puncti eſt, erit E, centrum Aſtrolabii idem, quod centrum terræ, ſeu cœli, ipſumque inſtrumentum idcirco in plano Verticalis, qui per Solem tunc, aut ſtellam ducitur, circa idem centrum exit collocatum. Cum ergo recta BD, Horizonti æquidiſtet,& lineæ rectæ ex circulis concentrieis fimiles arcus abſcindant, vt in ſcholio propoſ. 22. Iib. 3. Eucl. oſtendimus, intercipient rectæ E B, EF, ad cœlum vſque protractæ tot gradus in Verticali per Solem aut ſtellam ducto, quot in arcu BF, continentur. Quamobrem cum EE, ad Solem, velſtellam pertingat, indicabit arcus BF, gradus inter ee aſtrum,& Horizontem in dicto Verticali interceptos.. r ee M vero moleſtum eſt toties mediclinium eleuare ac deprian altiendine f. mere, donec per pinnacidiorum fora mina radius Solis penetret, aut oculus — 4 At els, aſtrum aſpiciat, commodius, aptiusque inſtrumentum ad ſiderum altitudines dium. captandas erit Quadrans circuli EHG, in cuius latere EG, affixa ſint duo pinnacidia, numerusque yo. graduum incipiat ab H, verſus G, progrediendo, ac tandem ex centro E, filum cum perpendiculo pendeat. Nam ſi huiuſmodi Quadrantis latus EH, verſus Solem, vel ſtellam dirigatur-& ipſe Quadrans, radente eius planam ſuperficiem filo perpendiculi eleuetur, ac deprimatur circa centrum E, tanquam cardinem, donec radius Solis per foramina pinnacidiorum NI. 565 eidiorum ingrediatur, vel radius viſualis per eadem foramina ſtellam W (quod quidem facilius, atque expeditius in Quadrante fit, quàm in 1 vt experientia docet) abſcindet filum perpendiculi arcũ C, altitudinis 5 tri. Quia enim radius GE, productus pertingit ad alt um, oſtendet arcus BE, altitudine m ipſius, vt demonſtratum eſt. Cum ergo RE, HC, æqua les int, quod& Qua drantes toti EH, BC, æquales ſint,& arcus BH, ablatus, communis; erit quoque HC, arcus altitudinis aſtri. Eſt& alia cauſa, cur in hoc negotio Quadrantem Aſtrolabio præferam: quia nimirum, vt per Aſtrolabium altitudo deprehendatur, neceſſe eſt, ipſum vniformem habere grauitatem, adeo vt, quemcunque ſitum habeat mediclinium, re cta A C, in centrum mundi omnino vergat, quod plerũque non fit, cum facile inſtru mentũ plus ponderis in vna, quam in alia parte poſsit habere. 3. Q VAN PDO porro per radium viſualem altitudo ſtellæ inueſtiganda eſt, conſtrui debent duo pinnaci dia hoc modo. In tabella qua drata I K, fiat foramen magnum rotundum, in cuius me dio relinquatur foramẽ perexiguum L, quod ſuſtineatur à diame tro quadam tenuiʒ& circa I, circumuer tatur alia tabel la quadrata priori ęqua lis, in culus medio ſit perexiguum foramen M, reſpondens foramini L. Huiuſmodi duo pinnacidia ſi fiant, dici vix poteſt, quam expedite quamcunque ſtellam, aut aliam quamlibet rem contueri liceat. Nam pinnaeidium, quod ab oculo propius abeſt, claudendum eſt tabella illa quadrata, aliud autem aperiendum. Sic enim fet, vt radius viſualis per foramen M. prope oculum immiſſus, illico conſpiciat Per illud foramen L, in pinnacidio remotiore, ſtellam vel aliam rem propoſitam: quia foramen illud magnum apertum facile rem ipſam intueri,& ſine l10 negotio foramen exiguum L. in ipſam rem dirigere nos ſinit. 4. VT autem ſcias, quando ſtella prope Meridianum exiſtit, num ante ipſum, an poſt, an vero in ipſo Meridiano reperiatur; accipienda eſt ſtellæ altitu do bis, terue, modico temporis ſpatio inter duas proximas obſeruationes interlecto. Si namque poſterior altitudo deprehendatur priore maior, ſtellam nondum attigiſſe Meridianum ſciaszſi vero minor, Meridianum pertranſiiſſe,& quã do maximam deprehenſa eſt habuiſſe altitudinem, in ipſo Meridiano extitiſſe. Sed quanta ſit altitudo Meridiana Solis quolibet die,& ſtellarum in quouis elimate, infra Canone 3. Num. 8. docebimus. Aaaa 2 SCH OPinnacidia qua pacto conſtruea · da. Num ſlella ſit aute Metidianũ', vel poſt, vel in ipſo exiſtat co · guoſcere. Quo pacto in al titudine rum Pitcer adus lan tur. Quadrantis con ſtructio, quo vltra gradus Minu ta quoque diſcer ventur. 566 LI 8 N F S ‚ H F 1. CV M in Quadrante, vel Afrolab io graſlus tantum integri deſcripti ſint, fit vr allitudo gellarum ad unguem tunc ſolum deprehemdatur, quando fllum perpendiculi, aut linea fiducia Mediclini,, in gradum aliquem integrum cadit. Nam cadente filo, aut linea ſiducià, in partem alicuius gradus, addenda erunt gradibus integris alti— rudinis ot Minuta, quot aſtimatione, plus minus, iudicari poterunt eſſe abſciſſa àᷣ filo, vel linea ſiduciæ: adeo vr, ſi dimidiatus gradlus videatur ab ſcindi, adi ciantur 30. Mu. ſe tertia pars, Minuta 2 o t. Aut certe beneficio particula abſciſſa eruendus erit per circinum Minutorum numerus, vt in Lemmate 3.& ultimo capite libelli de Fabri ca& uſis inſtrumenti ad horologiorum deſci iptionem peropportuni, docui mis. 2. IN codem libello& capite deſcripſimus& Quadrantem plures quadrantes complectentem,& Nuadratum cum j lurimis lineis parallelis, ad cognoſcendum, quot Minuta in arcu; qui vno integro gradu minor ſit,& quem perpendiculi filum abſcindit, contineantur! qu duo inſtrumentæ illuſtris& excellens Dominus Jacobus Curtius à Senſſtenau in omni doctrinarum genere exercitatiſsimus, tunc Cæſareus ad Sum mum Pontificem Legatus, nunt autem S. R. Imperij Procancellarius, A ſe primum inuenta, Romæ humaniſiimè mecum communicauit, Idem vero non ita multo poſt ex Germania mihi tranſmiſit alterius cuiuſdlam Quadrantis conſtructionem nouam, ex quo facilius Minuta diſcernuntur, cuius compoſitionem non grauabor Hoc loco explicare, vt quilibet ſibi ſimilem conſtiruere paſciti ſi libuerit. Sit igitur quadrans BC diuiſus in pe. gradus, quorum initium progrediatur& C, verſus B,& pinnacidia in latere AB. collocentur. Nos eum, ob ſpatij anguſtiam, in quinos gradus partiti ſumus. Intra hunc em codem centro A, leſcribantur alij 5 O. quadrantes, qui diuidantur in gradus hot modo. In primo, qui proximus eſt quadranti BC, in grad. vo. diuiſo, arcus continens grad. C r. ſecetur in partes ſ o. æquales, vel arcus graduum 3 o. nimirum ſemiſcis ipſius, in partes 3 o. aquales, quarum zuælibet continebit grad. 1. Min. J. hoc eſt, Minuta d r. 1 Nam A N HOUNI I. 567 Nam eadem proportio eſt partium do. in quas arcus graduum d i. diuiſus eſt, ad gra 2 19. ſept. dus G I. hoc eit, ad Minuta 3d. qua partis iiad Min.&. Idem enim numerus prodiucitur ex o. primo numero, in 6 l. quartum nume rum,(produtitur aut em numerus mi nutorum 3 0 C o.) qui ex Itertio numero in 3ud o. ſecundum numerum producitur. Aut eandem ob cauſam, ea dem eit proportio partium g; o. in quas arcus graduum 3„ Aiuiſus eſt, ad grad. o. hoc eſt, ad Minuta Iz o. que partis t. ad Min. 6. Hæc aurem diuiſio, vt confuſio punctorum in primo illo quadrante vitetur, ſacienda eſt ſcorſum in quadrante alio, qui illi æqualis eſi. Deinde vna pars continens Min, 6 f. transferatur beneficio circini in primum quadrantem prædictum, initio facto à ſemidiametro AC. Ex termino ſuius partis ad interuallum ſæmidiametri propria abſcindatur ar cus grad. q o. quo diuiſò in Go. gradus, continebit religuus arcus uſquè ad ſomidiamerrum A B, grad. 25. Min. 5. ac proinde in eum transſerendi ſunt grad. 28. ita vt ſus perſit particula Minutorum 5 9. IN ſecundo quadrante arcus graduum d 2. in Go, partes, uel arcus graduum q r. in 3o. partes æquales secetur, vt qualibes continoat grad. 1. Min. 2. IN tertio arcus graduum d. in d o. partes, vel arcus graduum g 1 in partet 30. æquales diuidatur. In quarto idem ſiat de arcu graduum d. vel 3 2.& ſic deinceps. Reliqua autem perſiciantur, vt de primo quadrante diximus. Quod vt planius fiat, ponamus ewemplum in quadrante g o. h.& j. ſiue ultimo& intimo. Itaque in quadrante vigeſimo eN, ſit arcus e D, pars ſenagefima arcus graduum Lo. ¶( nimirum tot graduum vlira Go. quotum locum ipſs quadrans occupat, ita vt comßplectatur grad 1. Min. 20. b, cum ſit, vt d o. arcus graduum go. ad grad. 80. Hoc eſt, ad min. 4800. ita I. pars ad grad 1. Min. 20. hoc eit, ad Min. 80. Vel certe arcus e D, ſit pars trigeſima arcus graduum æo. Ita enim turſus continebit gradus 7.2. Hoc et, Min. 80. Deinde ad interuallum ſemidiametri Ae, abſcindatur arcus DE, grad. go. qui proprerea in do. gradus diſtribuatur: arcus autem E F, conti neat grad. 2.& arcus FN, Min. 40. quod arcus e V, complectatur grad. 89 Min. 20. Ita vt particula F N, ſit complementum Minutorum, quæ in e D, ultra vnum gradum continentur: complementum, inquam, vſque ad Co. RV RSV S in quadrageſimo quadrante f, arcus f, ſii ſexageſima pars arcus graduum loo. vel pars trigeſima arcus graduum v0. qui illius ſemiſsis eſt; ita ve contineat grad. 1. Min. 0. Arcus vero GH, contineat grad. 60. HI, 28.& denique 10, Min. 20. nimirum complementum Minutorum 40. quæ in G vltra vnum gradum comprehenduntur. OST REMO in quadrante ph, quinguageſimo nono ſis arcus p K, ſexageſſima pars arcus graduum 119. vel pars eri geſima arcus graduum 59 qui ſemiſſis il. lius eſt; ita vt contineat grad. 1. Min. 50. Arcus autem X L, fi: graduum 60. C LM. grad. 28.& deni que P, Min. i. Ex his eæemęlis facile intell ges, quid facien dum ſit in alis quadrantibus. Semper enim in quolibet quadrante ſacandus eſt in Co. partes æquales arcus, qui tot gradus vltra 60. complectatur, quotum Iocum quadrans ipſe tenet, excluſo extremo BO. Ita enim continebit particula ipſius prote ſemidiametrum AC, ultra vnum gradum totidem Minuta, quotus ipſę quadrans eit iuter quadrantes, hoc eſt, quot gradus ultra 60. continentur in arcu ditiſo in C o. partes aquales. Vltima verò particula iuæta ſemidiametrum AB, includet reliqua Minuta ex C o. Idemque aſſequeris, ſi ſomiſſem illius arcus, quem in d o. partes ſecandum diximus, partieris in qc. æquales partes. ERACTA diuiſione omniũ quadrantum, adſcribendi ſunt eoris numeri iuxta ſæmidiametrum AC, ita vt primus gquadrans citra quadrantem BC, habeat numeri 1. fecundus 2 lertius ̃. vigeſimus ao. quadrageſimus to. quinguageſimus nonus ig. cc. 3. SYS 568 L IBR i Ar 3. VSV quadrantis hoc modo conſtructi præclarus eſt, cum eius beneficio in al. iudinibus aſtrorum cognoſcamus etiam Minuta. Nam cædente filo in aliquem gradum quadrantis BC, altitudo continebit tot gradus ſinèe Minutis, quot& filo abſcinduntur. Quundo autem ſilum non abſcindit aliquem gradum eꝶ quadrante BC, conſidera attente, ex quo quadrante partem integram abſcindat; quo fere ſemper actidet, profter parrium multitudinem. Nam altitudo tunc continebit ultra gradus ex gquadrante BC, abſciſſostot inſuper Minuta, quot vnitates adſeriptæ ſunt illi quadranti, cuius pars integra ſuit abſciſſa. Vt cadente filo vltra gradum 30. in particu lam aliquam integram quadrantis quadrageſimi, complectetur altitudo Grad. 30. Min. O. F. VERY M quia hac ratione eognoſcuntur folum Minuta ultra vnum, vel plures gradus; vt diſcernantur etiam Minuta citra vnum gradum, trans ferantur ex terminis particularum illarum primarum ſingulorum qu adrantum, de quibus diximus, verſus ſemidiametrum Ac, ſinguli gradus. Ita enim cuiuſuis quadrantis par ticula prope eandem ſemidiametrum, continebit tot Minuta, quot vnitates Sadran i adſcribta ſunt, totidem nimirum, quot prior particula ultra vum gradum conrinebat. Verbi gratia, ſi arcus Da, Gb, Kd, contineant ſinguli ſingulos gradus; complectetur artus e a, Min. 20. fb, Min. 40. pd, Min. 39. Cadente 150 Nie aliquam particulam integræ citra puncta D, G, K. continebit altitude bor Min. quot vnitates gquadranti, cuius particulam integram filum abhſcindis, adſcripta ſunt. Itaque quando filum nullui g radum integrum ex quadrante BO, al ſcindit cadiique in particulam primam integram quadtantis ver bi gratia e N, indica 8 Min. 20. quando autem abſcinilit anus vel plures gradus,& inſuper cadit in al 1 ticulam integram eiuſcdem quadrantis, feretur arcus vnius gradiis 5 vel hlriuim,& inſuper Minutorum æꝛc. Idemque dicendum eſt de alijs quadrantibus„ Habita ſemper ratione numerorum adſcriptorum: hi enim minuta numerantANI F ESTV M autem eſt, quo maior fuerit Quadrans A Cr eo man gis e guiſite omnes quadrantes in partes, quas diximmspoſſe diftribui. 15 0 SAN O N11 569 5. BENEFICIO huius quadrantit commodiſime guoque aecipi poteſn ar. eus quotcunque graduum ac Minutorum,& viciſſim cognoſci, quot gradus, ac Minu1a propoſitus arcus contineat. Nam ſi ex centro A, ber finem gradus propoſiti in extimo quadrante B C, recta ducatur, ultra quam im alio quadrante, cui adſcriptus eſt numerus Minutorum datorum, accipiatur primum punctum occurrens verſus B, conti nebit arcus illius quadrant is inter dictum punctum, C ſe midiametrum A, interieGus gradus& Minuta, qua deſiderantur. Huic ergo arcui ſimilis auſſerendus eſt ex circulo prepeſito. Viciſsim, vt cegnoſtamus, zuot gradus, at Minuta in oblato quouis arch contineantur, accipiemus ei ſimilem in ali quo quadrante intra quadrantem 50, deſcripto, vel certe in ipſo quadrante BC, Ver eius fi nem ex centro A, rectam ducemus, que fere ſemper tranſibit per aliquam particulam integram alicuius quadrantis. Ea ergo particula dabit vlira gradus ab illa recta al ſciſſos tot Minuta, quot vnitates illi quadranti adſcripte ſunt; atque gradus illi ac Minuta in propoſito arten continebuntur. VLides ergo, ſi huiuſimodi guadrans rantæ magnitudinis, quamtam diuiones ſupradicta exigunt, ſumma cura ac diligentia conſpruatur, quàm præclare cum ihſa Aſtronomia agatur, cum non minus explorate Minuta beneficio ipſius comprehen 72 zuàm per ſinuum multiplicationes, diuiſionesque: qua res non parui facienda videtur G A N ON II. SOLIS verum locum in Zodiaco inquirere. 1. IN dorſo Aſtrolabii deſtripti ſunt dies menſium cum reſpondentibus gradibus Zodiaci, in quibus Sol exiſtit illis diebus, plus minus. Si igitur linea fiduciæ Mediclinii, vel filum tenue è centro E, per diem menſis propoſitum edu catur, indicabit eadem linea fiduciæ, vel filum in circulo ſignorum ſignum; ac gradum, in quo Sol eo die exiſlit. Ita vides in dor fo Aſtiolabii quod in ſcholio vltimæ propoſ. ſuperioris lib. conſtruximus„lineam ex centro E, per diem 20. Iulii eiectam indicare gradum 27. S,& aliquot inſuper Minuta. Dicemus ergo Solem die 20. Iulii vltra gradum 2. Cancri reperiri. Viciſsim ex ꝑradu Solis cognito diem menſis addiſcemus. Eadem enim linea ex centro per gradum Solis extenſa tranſibit per diem menſis reſpondentem. Vt Sole exiſten te in gradu 25. O ſi ſcire quis velit, quo die anni illud contingat, extendat lineam ex centro per dictum gradum. hæc enim indicabit ferme diem 20. Iulii. 2. EVN DEM locum Solis in Zodiaco comperiemus memoxiter, plus minus, per hæc duo carm ina duodecim dictionum duodecim menſibus anni reſpondentiu mn N Inc) lta Laus Iuſtis Impenditur: Hæreſis Horret Garrula: Grex Gratus Fauflos Gratatur Honores. Horum ſignificatio hæc eſt, atque vſus. Prima dictio tribuitur Ianuario, ſecunda Februario, tertia Martio,& ſic deinceps ordine aliæ dictiones aliis mbus. Itaque vt ſcias, quo die Sol quolibet menſe ſignum proprium menſis (Quouis enim menſe nouum Sol ſignum ingreditur) ingrediatur,& quo in gra du quolibet die exiſtat, addiſcenda ſunt ordine omnia 12. ſigna, que madmodum in his aliis duobus verũbus poſita ſunt. N Sunt Ex quadrante zr cum qootcur que graduum ac minutorum auferre & quot gradus, minutaque in da to atcu cõti ntan dur, cogueſcete. Locum Solis que libet die A2 plorare. Ingreſſum 8. in duodecim figna,& eiuſdem locum quolibet die memorites perquirere. ———— — — 570 IAI e in Sunt Aries, Taurus, Gemini, Cancer, Leo, Virgo, Libraque, Scorpius, Arcitenens, Caper, Amphora, Piſces. Primum enim ſignum; id eſt, Arietem, ingreditur Sol menſe Martio, ſecundum menſe Aprili, atque ita deinceps, ita vt nono menſe à Martio incluſiue, qui eſt Nouember, Sol ingrediatur nonum ſignum, quod dicitur Arcitenens, hoc eſt, Sagittarius. Sic menſe decimo, id eſt. Decembri, Sol intrat decimum ſignum, quod Caper appellatur, ſiue Capricornus. Menſe autem vndecimo, vel Ianuario ingreditur vndecimum ſignum, nimirum Aquarium, qui per Amphoram expreſlus eſt in dictis verſibus. Menſe denique duodecimo, qui eſt Februarius, ingreditur ſigtum duodecimum, nimirum Piſces. COG NITO, quodnam ſignum Sol ingrediatur quolibet menſe, accipiatur priorum duorum carminum dictio dato menſi reſpondens. Quotum enim locum in alphabeto prima litera illius dictionis occupat, tot vnitates auferendæ ſunt ex 30. vt relinquatur dies, quo Sol ſignum illius mẽſis ingreditur. Exemplum. SO. ingreditur Libram, hoc eſt, ſeptimum ſignum, menſe Septembri, qui ſeptimus eſt à Mattio: Et quia Septembri reſpondet dictio pona, videlicet Gratis, quòd September ſit nonus me nſis à Ianuario; primaque litera G, ſeptima eſt in alphabeto, auferemus 7. ex 30. vt reliquantur 23. Die ergo 23, Septembris Sol Libram ingreditur. Rurſus Piſces ingreditur Sol menfe Februario, cui debetur dictio ſecunda, Laus. Et quia prima litera L, vndecima eſt in alphabeto, ſi 11. dettahantur ex 30. ſupererunt 19. Quare die 19. Februarii Sol intrat in ſignum) Et ſic de cæteris. IAM vero vt ſeias, quem gradum Eclipticæ quolibet anni die Sol teneat, adde ad diem menſis propoſitum tot vnitates, quotum locum in alphabeto prima litera dictionis pt opoſito menſi reſpondentis occupat. Et ſi quidem numerus conflatus minor fuerit, quàm 30. indicabit is gradum ſigni menſis antecedentis: ſi vero major, quàm zo. fuerit, ahiectis zo. reliquus numerus dabit gra dum ſigni menſis propoſiti: ſi denique conflatus ille nume tus fuerit 30. exiltet Sol in line ſigni præcedentis menſis,& in principio ſigni menſis propoſiti. Exemplum. SC IRE volo quem gradum Eclipticæ Sol teneat die 13. Iunii, cui menſi, quia ſextus eſt à Ianuario, debetur ſexta dictio, Horret, cuius prima litera H, octaua in alphabeto eſt. Additis igitur 8. ad 13. fiunt 21. qui numerus minor eſt, quam 30. Exiſtet ergo Sol die 3. lunii in 27. gradu r. quod ſignum Sol ingreditur menſe Maio. Rurſus ſi proponatur dies 27. Iunii, additis 8. fiunt 35. qui numerus maior᷑ eſt, quàm 30. Relectis ergo 30. remanent 3. Ergo Sol tunc occupat gradum 5. H quod ſignum menſe Iunio ingreditur. Denique ſi offeratur dies 22. Iunii, additis 8. flunt 30. Sol igitur vetſabitur tunc in fine&,& principio c. Eademque ratio eſt in cæteris. IN anñis biſſextilibus ad locum Solis inuentum adiiciendus eſt poſt feſtum S. Matthiæ vnus gradus, vt magis accurate locus Solis habeatur. Verbi gratia, Die 27. Septembris, cui debetur dictio, Gratus, cuius prima litera G, ſeptima eſt. Additis ergo 7. ad 27. fiunt 3 4. abiectisque 30. ſuperſunt 4. Erit ergo tunc Sol in 4 ENI. 571 Sol in 4. gradu& ſi annus cõmunis eſt: at ſi biſſextilis, in gradu 3. Q. Hoc etiã obſeruandũ eſt in priori ratione, qua in dor ſo Aſtrolabii locus ſolis indagatur. ETSI autem vtrouis modo non omnino verus locus ſolis cognoſci poteſt, quod Sol non prorſus vnum gradum quotidie in Zodiaco peragret, vix tamen error committetur dimidiati gradus, vel ad ſummum vnius: ita vt, plus minus, verum Solis locum aſſequa murʒtam certo videlicet, atque explorate, vt tuto eo vti poſsimus in vſu eorum horologiorum, in quibus ad horas cognoſcendas neeſſe eſt, locum Solis in Zodiaco habere perſpectum. Quod etiam ad vſum aliorum inſtrumentorum, quibus Aſtronomi vtuntur, requiritur. IN A pologia noſtra noui Calendarii, cap. penultimo lib. 3. pro dictionibus Garrula, Grex, Gratus, poſueramus has, Firmaque Facta Fides; ſed illæ accuratius locum Solis quolibet die videntur offerre, quamuis per has in Apologia po ſitas aliquanto certius Solis ingreſſus in ſigna inueniri videatur. Sed parum intereſt, vtrum his, vel illis vtaris. NO. O Lr . MONIAM perneceſſarius eſt uſais loci Solis in Zodiato,& ad plurimas obſer uationes vtilis, libet hoc loco, ut magis eæquiſite locus Solis habeatur, excenpere eæ Ephe meridibus Iban. Antonij Magini locum Folis ad quatuor annos pro ſingulis diebus anni ſußbutatum, nimirum ad annum biſſertilem,& tres communes inſequentes. In his enim quatuor annis tota varietas loci Solis in Zodiæco accidit, propter ſea horas in annis communibus neglectas Accepimus autem annum 1600. cum tribus inſequentibus, uod hi anni parum à ſempore, quo hac ſcribimus, abſint; ac propterea nulla eſſe poſa ſit diſferentia ſenſibilis inter locum Solis illorum annorum,& horum, qui nunc præſentes ſunts atque ideo erquiſitius etiam annis ſuturis reſpondeant. Pot plurimos au. rem annos elapſos, ſi hi anni non amplius vero loco Solis congruere deprehendantur, ex cerpendi erunt alij quatuor anni, biſſextilis videlicet,& tres communes, ex Ephemeridibus illius temporis. Es quia Maginus locum Solis ſupputauit etiam in Secundis, nos contenti erimus Minutis, ſumè do unum Minutum pro pluribus Setundis, quam 3 o. Ae ue ex hiſce tabellis multa certius Solis locus verus elicietur, quam ex ullo inſtrumento, i tamen is in prima tabella quaratur pro anno biſſextili, in ſecunda vero pro anno primo poſt biſſextum,& pro anno ſecundo paſt biſſextum in tertia, ac denique in quarta pro tertio anno poſt biſſextum. 2. CO GNOSOES& autem, num annus oblatus ſit biſſextilis, an vero primus, ſecundus, vel tertius poſt biſſentum, hoc modo. Reijce ab anno propoſito omnes annos milleſimos,& centeſimos, atq ex reliquis, qui pauciores ſunt, quam oo numerum 20. quot ies portes. Reliquos deinde annos, qui pauciores ſunt, quam 2c. in quatuor digitorum extremitatibus ſiniſtra manus, initio facto ab Indice, numera. Nami ſi annus datus inciderit in quartum digitum, hoc eſt, in Auricularem, biſſextilis erit: ſi in Indicem, id eſt, in primum digitum, primus poſt biſſe tum: ſi in digitum Medium, ſiue ſocundum, ſecundus:& ſi in tertium digitum, hoc eſt, in Annularem, rertius& biſexto. uod ſi poſt abtectionem numeri 20. quoties abici poteſt, nilul ſuperfuerit, datus quoue annus erit biſſextilis. Vt. ſi propeſirtus ſit annus 15 94. reiectis annis 1 500.& 20. ex reliquis ga. quolies fieri poteſt, reſiduos annos 14. fupputa in q. digitis, quos diximus, cadetque annus 14. in digitum Medium. Dices ergo annum 15 94. com munem eſſe,& ſecundum poſt biſſextum. Sed hac de re plura ſcripſimus in cap. g. lib. 3. A polo ie noui Calendari, vbi etiam docuimus, quo pacto post anni correctionem anni centeſimi biſſexciles à non biſſentilibus ſecernendi ſint. BEB FE Tocum 80 lis er quifitius ex mbellis tepetice vtrum annus 40 tus ſit biſſex ti · lis, en primus„ ſecundus vel ter tius poſt biſſextum, coguoſecte. 572 e Locus Solis in Todiaco Anno 1600. vel biſextili. 5 8 Martius Aprilis Maius Iunius N Due M N 11229 ITI Rr Z5 10172 5 109 10139 18 28 f 11 46 38 12 34 13 32 14 29 11 27 17 257 24 „ 18 19 19 17 20. 14 1 * * 2 8 D 13 47 1 712 44 5 13 42 14 40 15 38 16 30 17 34 — * 0 A E* 4 Dirt menſium 2 0 O 2 8 * 0 H 2 — N 2 E A 8 A 22. 2 A 2 ** E 22 8 —. A 2 o 0 — * 2 S oo 2 S— 9 O 32 O 00 N * N E MN I. 573 Locus Solis in Zodiaco Anno 1600. vel biſſextili. 8 ATuguſt. 1 Septẽb. Odob. f. Nouemb.]! Pecẽb. M 18 N* 6 N G MI S N M. M. 920 14929 8 p75 T S 70 1 9 56 9 50 98 9 11 15 ↄff0 54 10 48 1 1% 5 46 ) ĩ• 0 9 15 14 44 14 4 15 K 2 14 1 839 16 4016 16 38 17 3212 2 35 14 35 18 3. 35 R 20 30 420 34 21 2821 30 2 26 27 29 „ 24 2224 26 25 19 25 25 26 1726 23 22 127 22 28 13 2 2 29* 20 onp 9 1 2 3 Dies Menfum — 2 120 e o 1 2 2 *„ 11 88 n —— d e. ** 5 eee ee 8 5 3 4 4 IAN. — 0 1 59 1 37 6 J 7 J3 8 — N L IIB Mie Nl. Locus Solis in Zodiaco Anno 1601. vel primo poſt biſextui — nahum les me jjFGFFETTfTfßß0 ͤ ͤ 2 lanuar. Februar. NMartius] Aprilis Maius] Iunſus G NM O N MGM G MI GYM —— e e e a e 10 lg 10 28 108933 rorr25 111 2 13 17 f 28 2 118% i 121 460 17 6 12 28 12 12 28 13 47 1 17 13 28 13 48 8 1 1＋* 28 14 4 15 28 15 51 16 27 16 5 2 17 27 t 20 53 18 27 18 18 18119 74 19 27 19 16 11120 55 20 27 12 zT 2 131122 577 22 206 1423 58 23 20 15% 2E 390 24 20 292 90 25 25 pes een 8 E eco — 15 260 25 28 28 2E 29 23 2 „ ANA NA eee ANA — 1 O Aan II. Locus Solis in Zodiaco Anno 160* vel primo poſt biſſextum. enſium Ie— Dies M Tullvs uguſtus. Septẽ ber. October. Nouẽber Decëber — DIe Ne 2 0 N 576 EZ. Locus Solis in Zodiaco Anno 1602. vel ſecundo poſt biſsextum. Februar. Martius. Aprilis.] Maius.] Tunius. G MG N O MIO NM N 12 O ON Iz I O Joo e 12 0 11 13 11 5 8 FVV i 37 13 3 16 1 3„% 6% 15 13 1 17 9 — — — 2 —— 16 13 16 5416 1 17 33 17 —— 1 18 1218 18 19 t 1 u 20 1 2 19 19 5 21 12[ 27 48 20 6 —— 22 12 22 21—8 21 11 23 622 13 8 1— 8* 0 5 3 1 t * 22 9 7 0 2 0 — 24 17 24 44 23 51 e 24 49 26 10 26 41 25 7746 27 10 26 44 28 9 27. 42 29 9 28 70 0 8 6 297 1 oz 2 32 1 33 a N 3 123 4 26 5 23 6 21 8 E A * — 1 0 0300 ——ůů—ů——3Eͤ— unhuoN s 85 FN ö Re — 1 * ＋ ＋ 8 N 810 o o 5 0 . 6 ＋ 0 1. Zodiaco Anno 1602. A 2 A 1* A*＋ October. Nouẽber. De 21 ＋. ———— Sell 4 A 2 Sers — 185 o — 4 ocus Solis in guſtus. Septẽ ber D MN vel ſecundo poſt biſſextum. O —— 0 85 L ius Au ＋ FN N IVV. — 0 . I Locus Solis in Zodiaco Anno 1603. vel tertio poſt biſextum. „ Dies Nenſium —— Februar. Martius. Aprilis. Maius. Iunius. G MTP SG NM C M GC N 6 M 11245 9 8 10% 0„ 7 11JJJVCCCCVCCTCCTCCC C ö 8 FF 14 47 1 12 89 — 14 32 1 L L n e, VV ——— 13 47 14 44 15 44 16 39 N 119 34 93 20 29 — 15 58 16 40 15 53 16 58 1 38 16 51 17 5818 37 11 49 18 57 19 36 18 7 19,. 3 45 2 20 47 21 57 2 32[21 41 25 5 22 39 2 25 3 23 56 24 30 23 37 24 56 25 2824 34 2323ĩ.. 25 32 26 55 1 27 26 26 30 27%% ee s 1 28 a 27553 0821 22.13 o 83 1. 20 Ar 1 52 3 2 8 2 33 6 16 57 5 77 5 25 40 5 52 e 5 50 4 79 W 6 49 46 2968 42 6 47 30 9 45 7 4¹ 31010 44 23 21 24% 18 25 16 26 1; — 2945 5 9 NN. Locus Solis in Zodiaco Anno 160 7 vel tertio poſt biſſextum. 2 — 2 Dies Menſfum Iulius Auguſtus. Feptẽber October. Nouẽber. Beceber GO NMT MTC MTC HII 5 N ny m 1 388 16 8 26 9 14 9 11 2 — 8 27 9 24 20 — E —— R. 2 „ 98 —* 8 Decli natrionem Ex data decliua tione arcum ſeu punctum Eeclipti ex reſpondens in neſtigare ex AArolabio. EF IBR le Gingen e DECLINATIONEM Solis quolibet die, ſiue cuiuſuis puncti Eclipticę, ſtellarumqͥue indagare. Et viciſſim ex data declinatione Solis arcum, vel punctum Eclipticæ reſpondens explorare: Atque hinc, quanta ſit Solis, vel ſtellæ cuiuſuis altitudo meridiana, eruere. 1. SI oſten ſor in facie Aſtrolabii ingradus diuiſus ſit, vt in ſeholio propoſ. 20. libri præcedentis docuimus, inuenietur declinatio cuiuſuis puncti Eclipticæ, vel ſlellæ beneficio Aſtrolabij hoe modo. Ponatur linea fiduciæ oſtenſoris ſupra gradum Eclipticæ propoſitum, aut ſupra cacumen ſtellæ. Gradus enim oſtenſoris in eum gradum, aut ſtellam incideus illico declinationem ipſius quætam monſtrabit, borealem quidem, ſi gradus Eclipticæ, vel ſtella intra Ae · quatorem exiſtat, hoc eſt, ſi gradus oſtenſoris repertus ab Ae quatore verſus centrum Aſtrolabii vergat; auſtralem vero, ſi gradus Eclipticæ, vel ſtella exi ſtat extra Aequatorem, hoc eſt, ſi gradus oſtenſoris inuentus ab Aequatore verſus tropicum, recedat. 2. SI vero non adſit oſtenſor in gradus diſtributus, circumducatur rete, do nec gradus Eclipticæ propoſitus, aut cacumen ſtellæ in lineam meridianam incidat. Reti en im talem obtinente ſitum, circuli ipſi Almucantarath, id eſt, paralleli Horizontis inter gradum Eclipticæ, vel cacumen ſtellæ,& Aequatorem interpoſiti, numerabunt gradus declinationis, borealis quidem ab Aequatore verſus centrum Aſtrolabii, auſtralis vero ab eodem Aequatore verſus tropicum. 3 E contrario vt ex data declinatione arcum, vel punctum Eclipticæ reſpon deus inuenias, numera inter parallelos Horizontis in linea meridiana dec linationem datam ab Acquatore ſiue verſus boream, ſiue auſtrum verſus. Deinde circumduc rete, donec Ecliptica præciſe termino numerationis congruat. Gradus enim ille Eclipticæ, ſeu punctum habebit illam declinationem,& præterea tria alia puncta, quæ æqualem diſtantiam ab æquinoctiorum punctis cum illo ſortiuntur, eandem declinationem habebunt. Vt ſi inuentum fuiſſet principium N. haberet eandem declinationem principium m,& principia N& Semper enim quatuor puncta Eclipticæ, duo borealia,& duo auſtralia, eandem habent declinationem, vt in Lemmate 49. Num. 5. oſtendimus,& alio quoque modo paulo poſt Num. g. demonſtrabimus. Idem conſequeris beneficio Indicis, vel oſtenſoris in gradus diſtributi. Nam ſi eum circumducas, donec punctum declinationem terminans Eclipticam contingat, ſiue hoc verſus boream; ſiue verſus auſtrum fiat, congruet data declinatio illi puncto Eclipticæ,& ptæterea aliis tribus vt dictum eſt. 4. SED quia raro oſtenſor accurate in gradus diuiſus inuenitur, aut Aſtrolabium, in quo per ſingulos gradus paralleli Horizontis ea diligentia, qua par eſt, deſcripti ſint; neceſſe eſt, verouis modo veram declinationem non poſſe ad vngue m reperiti, ſed plus minus duntaxat, aut circiter: ideirco nos ſine inf ſtrumento in Noe III. 581 ſtrumento arcum verę declinationis ad vnguem, ſi magna cura in eirculis deſcribendis, atque diligentia adhibeatur, reperiemus hoc artificio. 8 ET Aequator Aſtrolabii ABCD, cuiuſuis magnitudinis circa centrum E, cum tropicis RT. Qsʒ Ecliptica AQCR, tangens tropicos in Q, R, cuius centrum H,& polus G. Propoſitum autem ſit, inuenire declinationem principij . Et quoniã ſignum N, auſtrale eſt, ac proinde in ſemicirculo auſtraſi AC, continetur, eiuſque principium ab V, diſtat grad. 30. numerabimus à puncto C, quod principio V, tributum eſt, verſus B, grad. 30. vſque ad a,& ex Eclipticæ polo G, per a, rectam ducemus Ga, quæ Eclipticam ſecet in I, eritque L, principium cum, vt propoſ. 5. præcgdentis libii Num. 12. demonſtrauimus, arcus CL. arcui Ca, æqualis ſit. quod ad gradus atttnet. Ducta auuem ex centto E, per J. recta ſecante Aequatorem in E, ſumemus arcui CE, æqualem arcum BK,& rectam Kl, ducemus, quæ Aequatorem ſecet in L. Dico EL, arcum eſſe declinationis puncti Eclipticæ I. Quoniam enim recta EI, cireulum declinationis per I, principium M ductum repræſentat, vt propoſ. i ſuperioris lib. Num. 4. demonſtrauimus, reſpondebit portio IE, arcui declinationis, cui quidem æqualis eſt Aequatoris arcus EL. Nam ſi cogitetur circulus ABCD, eſſe Meridianus,& inſiſtere plano Aſtrolabii in re da EL, ad angulos rectos, erit K, polus auſtralis, cum a plano Aequatoris, vel Aſtrolabii diſtet per quadrantẽ EK, propterea quod, ſi æqualibus arcubus CE, BK, addatur cõmunis arcus FB, totus arcus FK, toti quadranti CB, fit æqualis. Hinc autem ſequi tur, arcus EL, EL, eſſe ęquales, vt propoſ. 1. lib. 2. Num. 5. monſtratum eſt. S1 T rurſum inueſtiganda declinatio ſtellę, quæ Canis Maior appellatur. Inuento eius loco M, in Aſtrolabio, vt prop. 11. lib. 2. Num. 2. docuimus, per eius longitu dinem,& latitudinem, ducatur recta EM, circulum deelinationis referens, vt NM, met iatur declinationem ſtellæ auſtralem. Sumpto autem areui DN, æquali arcu AO, ducatur recta Ohl, ſecans Aequatorem in P; eritque, vt proxime demonſtratum eſt, NP, arcus declinationis quæſitæ, hoc eſt, arcus NM, NP, æquales erunt. 5 DECLINATIONE M porro tam dati puncti Ecliptica, quam ſtel læ, hoc etiam modo nanciſcemur. Per inuentum punctum I. in Ecliptica ex centro E, arcus deſcribatur I b, ſecans meridianam lineam in b.& ex A, vel C, ad b, recta extendatur ſecans Aequatorem in d. Nam Bd, eſt arcus declinationis paralleli bl, vt propoſ.. Num. 7. ſuperioris lib. oſtendimus, ac proinde& puncti S I, in Declinatĩont᷑ gra dus Eclipticæ ꝓpoſſt i, vel cuiusli bet ſtellæ ſiue Aſtrolahio cert' us inuenire. Declinatĩonẽ aliter ſine inſtrumẽ to inuenite. Præceptum gene dam dec nem cut en Aſtrolabzi. 582 1 1 eK A II I, in Ecliptica dati. quod eſt propoſitum. RVRSVS ex eodem centro E, per centrum ſtellæ M, arcus deſeribatur Me, ſecans lineam meridianam in e,& ex A, vel C, ad e, recta ducatur ſecans Aequatorem inf: eritque vt dictum eſt, Df, arcui declinationis paralleli Me, hoc elt. iſte lle M. 9. HA C eadem ratione cuiuſuis puncti in Aſtrolabio poſiti declinationem i reperiemus; ſi nimirum per illud punctum ex centro E, rectam ducamus,& à puncto, vbi Acquatorem ſecat, quadrantem in eodem Aequatore ſumamus, ex cuius termino ad punctum datum rectam ducamus. Hæc enim& prior illa per idem punctum datum emiſſa intereipient in Aequatore arcum declinationis. Ita vides rectam EM, ex centro per punctum M, ductam, cum recta OM, ex texmino O, quadrantis NO, ad idem punctum M, ductam, intercipere NP, arcum declinationis puncti M, vt oſtendimus. Quadrans autem in Aequa tore abſcindetur ſine vllo negotio, ſi ductis duabus diametris AC, BD, ſeſe ad angulos rectos ſecantibus, arcui inter vnam earum,& punctum, in quo recta ex centro E, ducta Aequatorem ſecat, intercepto, æqualem arcum, ab altera diametro facto initio, abſcindamus: quemadmodum in præcedentibus exemplis arcui DN, ſumptus eſt æqualis AO,& arcui CF, arcus BK, vt quadrantes NO, EK, haberentur. Iidem quadrantes habebuntur, ſi quadrans AD, vel AB, vel BC, vel CD, transferatur ex N,& E, vſque ad O,& K. VEL. certe cuiuſuis puncti declinationem inueniemus, ſi ex E, centro per datum pũctum paralle lum Aequatoris deſcribamus,& ad punctum, vbi lineam meridia nam B, ſecat, ex A, vel C, rectam emittamus. Hac enim ex Aequatore arcum declina tionis auferet à meridiana li nea inchoatum, vt diximus de puncto I,& ſtella M. ITAQVE ſi Ecliptica diuiſa ſit in ſigna,& gradus, non erit neceſſariũ, vt in Aequatore numeretur diſtantia dati gradus Eclipticæ, à proximo æquinoctio, vt eius ſitus in Ecliptica reperiatur per rectam ex polo G, emiſſam; quo pacto inuentus fuit ſitus I, principii, per rectã Gaz ſed ſatis eſt vt ex centro E, per gradum propoſitum re cta educatur,& ab hae incipiẽdo in Aequatore quadrãs abſcindatur,&e. Vel certe ex E, centro per propoſitum gra dum parallelus Aequatoris deſcribatur,&c. Satis etiam eſt, vt püctorum vnius is Eelipti drantis CQ. declinationes inquirantur. Hæ quadrantis Eelipticæ, v. g. quadre 8 Irallistribtf cbsdrantib r namque declinationes declinationibus punctorum in 9 quale C AN O N III. 3 æquales ſunt, quod etiamſi oſtenſum à nobis ſit in Lemmate 49. Num. 5. idem tamen hoc loco ſie demonſtrabimus. Sumatur im alio quadrante auſtrali AQ. arcus AV, æqualis arcui C I, vt V, ſit principium m, ducaturque recta EY, vt ZV, arcus lit declinationis, quem dico æqualem eſſe arcui E I. Ductis enim rectis CI, AY; erunt duo latera EC, C I, duobus lateribus EA, AV. æqua lia;(Nam EC, EA; ſemidiametri ſunt Acquatoris,& Cl, A, æquales ſunt, ob arcus æquales, quos ſubtendunt),& anguli quoque ECI, EAV inſiſtentes in circumferentia arcubus æqualibus AQ, CQ æquales. e Igitur& baſes EI, EV, æquales erunt. Demptis ergo æqualibus EE, EZ, reliquæ EIL, ZV, æquales erunt: quæ cum æqualiter à centro E, abſint, æqualibus arcubus Aequatoris reſpondebunt; ac proinde declinationes punctorum I,& V, æquales erunt. Eodem mo do oſtende mus declinationem cuiuſuis alterius puncti in qua drante CQ, æqua lem eſſe declinationi puncti in quadrante AQ, cuius diſtantia ab æquinoctio A, æqualis ſit diſtantiæ alterius puncti ab æquinoctio C. Rur ſus producta IE, vſque ad X, ſecante Eclipticam in V, repræſentabunt IV, EX,. ſemicireulos, à quod maximi circuli ſe mutuo bifariam ſecent z dempto communi arcu EV, erunt reliqul arcus declinationum EI, VX, æquales. Cum ergo puncta Eclipticæ I, V, ſint per diametrum oppoſita, vt lib: z. in ſcholio propoſ. v. Num. T7. oſtendimus, liquet, puncta Eclipticæ oppoſita æquales habere deelinationes. Eadem enim demonſtratio eſt in aliis punctis oppoſitis, quę in F, V, vti per ſpicuum eſt. 7. PORRO ex data declinatione punctum, ſeu arcum Eeliptieæ reſponden tem hac ratione eruemus. Numeretur data declinatio in Aequatore à puncto B, vſque ad d, ſiue verſus A ſiue verſus Cñ& ex A, vel C, per d, recta ducatur, ſecans meridianam lineam in b; ac tandem per b. ex E, parallelus Acquatoris deſeribatur ſecans Eclipticam in Izeritque punctum I, id quod quæritur. Quantum autem inuentum Ppunctum I, ab æquinoctiali puncto C, diſtet, indicabit recta ex polo Eclipticæ G, ad I, ducta. Hæc enim reſecabit arcum Aequa toris Ca, arcui Eclipticæ CI, æqualem, vt lib. 2. propoſ. y. Num. 15. oſtendimus. 8. EX declinatione denique Solis, vel ſtel læ cognita, hoc pacto eius altitudinem meridianam eruemus. Si declinatio borealis eſt v adiiciatur ea complemento altitudinis poliʒ ſi vero auſtralis, dematur ex eodem. Numerus enim conflatus, vel relictus, quanta ſit Solis, vel ſtellæ altitudo meridiana 18 dicabit. S ED quando ex additione declinationis borealis ad complementum altitu dinis poli maior numerus conflatur„quam grad. Ho. exiſtet Sol, vel ſtella in Meridiano inter verticem loci,& polum arcticum. Quare numetus ille conflatus ex ſemicirculo detractus altitudinem meridianam monſtrabit. Hoc autem contingit, quot ie ſcunque altitudo poli minor eſt declinatione boreali. RVRSVS quando altitudo poli maior eſt complemento declinationis borea lis, vel(quod idem eſt) quando complementum altitudinis poli minus eſt deelinatione boreali, habebit Sol, velſtella duas altitudines meridianas, maximã ſcilicet, ac minimam, ac nunquam orietur, vel occidet. Maxima reperietur, vt dictum eſt; minima vero, ſi ex altitudine poli complementum declinationis borealis tollatur, vel ſi complementum altitudinis poli ex declinatione boreali dematur. POSTREMO quando complementum altitudinis poli minus eſt declinatio ne auſtrali, Sol, vel ſtella ſemper ſub Horizonte latebit, nullamque habebit ab titudinem meridianam. Quæ omnia ex ſphæra materiali liquido conſtant. At que hæc Deelinationes pd ctorũ vnĩus quadrantis Eclipticę detlinati onibus punctorum alierum quadrautũ æquales ſant. a 29. tertij. b 27. tertij. c ę. primi. d r. t. ThHeod. Ex date declingztione punctum vel arcum Ecli pticæ reſponden · tem ſiue inſtru · mento elicere. Altttudinẽ merã dianam Solis, vel ſtellæ cuiuſuis de prehendere. Deeliuati ont da584 11 1 K H 115 que hæ c intelligenda ſunt in regione borea li: In auſtrali vero regione, quæ dicta ſunt de boreali declinatione, intelligantur de auſtrali,& contra. IN ſcholio Canonis 22. inueſtigabimus declinationem dati puncti Eclipticæʒ licet ipſa Ecliptica in Aſtrolabio deſcripta non ſit,& declinationem cuiuſlibet ſtellæ, etiamſi eius locus in Aſtrolabio inuentus non ſit: quæ res mihi ſane preclara eſſe videtur, atque egregia, cum non facilis ſit inuentio loci ſtellæ cu. iufuis in Aſtrolabio; vt ex propoſ. I L. libri 2. manifeſtuin eſt, propte rea quod nonaullarum ſtellarum paralleli Ecliptica ſunt vel nimis ampli, vel nimis anguſti. Su Cm= νννν,,A-. 1. Ex Analemmate duobus modis declinationem cuiuſuis puncti Eclipticæ inueer tigabinius. Priore ſic. Ducta recta AB, deſcri batur e A, arcus circuli C D, quonalemmate inneſti gate. libet interuallo, in quo ſumatur arcus max imæ declixationis CD, Hoc e ſt, conſtitua tur angulus CA D, maximæ declinationis. Demiſſa deinde em D, ad A B, perpendiculari DE, deſcribatur ex E, per D, quadrans circuli DB. Si igitur A puncto B, numerentur vſque ad F, gradus, quibus datum Eclipticæ pundtum& proximo æquino ij puncto abeſt, demittaturque ad D E, perpendicularis FG vel h/ BA, parallen la, ſecans artum C D, in Ez erit C H, arcus declinationis dati puncti. Cum enim in Lemmate 18. demonſtratum ſit, eſſe ſinum totum ad ſinum max ima decli nationis, vt eſt ſinus arcus à proximo aquinoctij puncto numerati ad ſinum declinationis uncti didum arcum terminantis, liquido conſtat, arcum CH, metiri declinationem puncti, quod tanto arcu Ecliptieæ à proximo æquinoctio abeſi, quantus eit arcus BF, reſpedtu ſui circuli. Nam cum ſit, vt E D, ſinus totus circuli B D, ad EG, ſinum arcus B̃ F,. eiuſdlem circuli, ita E B, ſinus maximæ declimationis circuli C D, ad EG, ſinum arcus CH, eiuſdem circuli: ſit autem ex Lemmate 5. vt ED, ſenus totus ad EG fir num arcus B F, ita ſinus totus Ecliptica ad ſinum arcus, qui arcui 5 F. ſimilis ſit; eri quoque, R N D Nl 11. 585 quoque, vl ſinuis totus Eclipticæ ad ſinum arcus, quo datum punctum à proimo æqtii noctio recedit, ita ED, ſinus maxime declinationis ad EG, ſinum declinationis CH: Et permutando, vt ſinus totus Eclipticaæ ad ſinum maxim declinationis, ila ſinus diſlantis pundli dati& proximo æ puinoctio ad ſiuum E G. Ex quo colligitur EG, eſſe ſinum declinationis dati puncti, atque idcirco arcum CH, declinationem ipſam meti ri. Hic porrò modus à priorè rationè, qu in Lemmate 19. parallelos Solis in Analemmate deſeripſimus, non diſſert, viſi quò d hic integri circuli diſcribti non ſine. Nam ſector ACD, guius figuræ re ſert ſectorem Analemmatis EH M, in Lemmate 19.& gquadrans B D, quadrantem S M. Iimmo in eodem Lemmate 19. docui mus quoque ad „nem, qua ratione ex Aualemmate declinatio cuiuſiuis puncti Eclipticæ inueſtig and a it. Quare eo Lectorem remittendum cenſeo, vt hac, qu hoc loco traduntur, pleuius intelligantur. 2, POSTERITOR E mods ſic idem aſſequemur. git Meridianus, vel Colurus Solſtitiorum ABC, circa centrum D; eius cum Aequatore ſectio AC, cum Ecliptica E Dzaxis Aequatoris DB, Eclipticæ DN. Sie autem DF, ſinus rectus arcus Eclipticæ A proæimo æquinoctio numerati:(Jui reperietur: ſi datus arcus ab N, numeretur uſcue 4d O,& ad E Dr perpendicularis demittatur O F.) Et per F, ipſi AC, parallela agatur GH. Dico AG, eſſe arcum declinationis qugſite. Deſcribatur enim circa GH, ex 1. micirculus G K H,& ad GH, perpꝰ dicularis erigatur EL. Si igitur ſemicirculus E NP, concipiatur eſſe Ee lipticæ ſemiſtit,& circa E P, moueri, donec ad Coluri planum rectus ſitserit per difin.. lib. 11. Eucl. recta O F, ad idem planum perpendicularis. Eadem ra tione, ſi circuimuertatur ſemicirculus G RH, circa GH, donec ad idem planum rectus ſit, erit recta LF, ad idem befpendicularis, ipſique O F, congruet. a Igitut planum per re a I g. vndec. cdtam GA,& per rectam O F, uel L E, in eo ſitu ductum, ad eundem Coluruim rectum erit. Cum ergo parallelus Aequatoris per datum punqtum O, ductus, rectus quoque ſit ad eundem Golurum; b Faciatque in eo ſechionem 1h AC, parallelumz erit ſemicir cu b TC. vnd. lus G K H, in oo ſitu ber OF. rrauſiens, parallelus Aequatoris ſaciens ſectionem GH, cum Coluro ipſi A C, parallel am. Vocirca 4G, arcus erit declinationis puncti propoſiri. Hic etiam modus& poſteriore, quo in Lemmate 1 g. parallelos Solis in Analemmate deſcripſimus, non diſfert. Nam& ibi ex K, puncto extremo arcus I Kk, demiſimus ad Eclipticæ diametrum MP, perpendicularem kl, at zue per u, Aequsatoris diametro H, harallelam duximus TA, pro parallelo Aequatoris per punctum Eclipticæ k, ducto. quod tamen in dicto Lemmate Ih aliter demonſtrauimiss. . LAM duobius quoque modis data declinationi arcum, puntumque Eclipricæ re. Ex dars declinaHeondens aſeignabimus. Priore ſic. In aren C D, ex A, deſcripto in i. fgura mumeretur gefie, 1 declinatio vſque ad E,& per H. ib A B, parallela agatur FG. Hec enim ex quadram- cam reſpondentẽ te B D, arcum reſecabit B F, qui quaſiti punctidiſtantiam à praximo punito æquino-— 5 c iali metitur, vt ex dictisliquet. poſteriore autem fit. Numeretur in fgura data de clinatio ex A,& C, uſque ad G, c H, duc aturque recta GA, ſecans Ecliptica diametrum in F. Perpendiculares enim DN, Fo, ad EP; erecta. intercipient arcum quæſitum NO, à proximo puncto æquinoctiali inchoatum vr perſpicuum eſt ex ij, qua dicta ſunt. f. S TELL AE autem cuiuslibet declinationem, cuius Iongitudo e latitudo pecliuationem cognitæ ſint, per Analemma ſcrutabimur hoc modo. Sit rurſum Meridianus, ſius Colu- 8 0 ee rus Solſtitiorum A BC, circa centrum D, ut in g. fgura; communis eius cia Aequate- en reſectio A Cʒ cum Ecliptica E Fʒ axis Aegquatoris DB; Ecliptica DG;& polus borealis B. Ab Ecliptica ſumantur duo arcus latitudinis ſtella EI, FH, ver ſus quidem polum boreum B, ſi latitudo eſt borealis, ſi vero auſtralis, in contrariam partem: duca54 2e recta I H, pro diameiro parallel: Eclipticæ per flellam tranſeuntis. Dein de ſit Ea, ſi semiſſem tectæ dia o circuſi zuidiſtantis, ſecare, vt ſemidiameter ſecta eſt. a 2. ſexti. gemidiametrum circuli ſecare, vt ſemiſsis eius pa · rallelæ ſecta eſtz · b 29. primi. 33. primi. d 2. ſexti. 586 L 1 A 1 il Ea, ſnus verſus arcus, quo ſtella& principio& hoc eſt à ſemicirculo Coluri per p rincipium Ss tranſeunte, abeſt, ſiue ſecundum ſucceſtionem ſignorum, ſiue contra, qui ſinus verſus reperietur, ſi ab E, ea diſtantia numeretur in ſemicirculo EG,& ex termino niumerationis ad E F, perpendicularis demittatur cadens in a. Semidiameter autem IK ita ſecetur in O, vt ſecta eſt ſemidiameter ED, quando punctum a, eſt in E D; vel ſemidiameter KH, ita ſecetur, vt ſecta eſt ſemidiameter DF, quando punct um a, cadit in DF. quod facile ita fiet. 5. DycT A ſemidiametro DI, ſumatur Db, ibſi Da, aqualis, ducaturque C0, ad IK, perpendicularis: quod facile iet, ſi eæ quouis tuncio L, in IK, aſſumpto per 5, arcus deſcribatur, c arcui nb, æqualis abſcindatur nd. Recta enim d, perpendicis laris erit, ut conſtat eꝶ praxi propoſ. 12. Lib. 1. Eucl. Dico, I R, ir ſectam eſſe in O, vt ſecta eſt E D, in a. Quoniam enim eſt, vt Da. ad E, ua Db, ad I; prepter aqualitatem rectarum Da, Db,&c. t autem Db, ad bl, ita ent KO, ad Olzerit quoque KO, ad Ol, vt Da, ad aE. Atque hoc modo ſemper ſecabitur ſemiſois reAa diametro circuli aquidiſtantis, vt ſemidiameter ſecta eſt. 6. yIeISSIM quoque ſemidiametrum ED ſecabimus, ut ſemiſeis IK, eiu parallela ſecta eſt in O, hoc modo.( Hac enim re in is, qua ſequuntur, indigebimus quoque) Ducta rurſum ſemidiametro Pl, ſecet eam in h, excitata ad LK, perpenAicularis Ob ¶ qua facile dutetur, ſi rectæ XO, æqualis ſumatur De. Nam Opependicularis erit ad IK ʒ c cum t ipſi X D, parallela)& recta Pb, æqualis abſcinda tur Da. Dico ED, ita ſectam eſſe in a, vt ſecta eſt IK, in O. 4 Cum enim ſit vt KO, ad Ol, ita Db, ad bi; ſit autem vt Db, ad bf. ita Da, ad a E, propter æqualitatem rectarum Db, Da,& c. erit quoque vt KO, ad OT, ita Da, ad à E. 7. INYENTO autem puncto O,(quod reperietur quoqute, ſi ex K, circa I Hyſen micirculum Imłl, deſcribas, in eoque numeres en In diſtantiam ſtellæ A principio vſque ad m.& ex m. 4d IH. perpendicularem demittas m O. Ita enim erit quopiß 70, ſinus verſus dicta diſtantia) ducatur per O. Aequaforis diametro AC, parallela MN. Dico AM, arcum eſſe declinationisſtelle propoſitæ. Deſcribatur enim ex A2; circa KN, KN. 387 eyes MN, ſemicirculus MN,& ad MN, perpendicularis excitetur OP. Si igitur ſemicirculus Im H, concipiatur circa IAH, cirtumuerti, donec rectus ſit ad Colurii, ac proinde Eclipticæ aquidiſtet; erit per deſin. 4. lib. 17. Eucl. m O, ad eundem Colis rum perpendicularis,& in, locus erit ſtella. Eadem ratione i ſemicirculus MN, circa MN, moueatur, donet ad eundem Colurum rectus ſit, ipſigue Aequatori parallelus; erit fecta PO, ad eundem Colurum perpendicularis, ipſigue mo, congruet. Igitur planum per rect am PO, vel m O, in eo ſitu,& per rectam MN, ductum, ad eundem Colurum rectum erit. Cum ergo parallelus Aequatoris per tellam in pun go m, ductus, rectus quoque ſit ad eundem Colurum, b, faciatque in eo ſectionem ipſi AC, parallelam; erit ſemicirculus MN, in eo ſitu per PO, tranſiens, parallelus Aeguatoris, faciens ſadionem MN, in Coluro ipſi AC, parallelam. Quare A M, ar cus erit declinationis Sella. §. H AE C autem declinatio ſeptentrionalis erit, quando ſinus verſus IO, diſtan rie ſtella à principio, minor fuerit ſegmento diametri paralleli ſtella inter Colurum prope S,& ſectionem illius cum diametro Aeguatoris A C: Auſiralis v eros ſi maor: Beclinatione deniqus carebit, ſi æqualis: atque hoc ſemper verum eſt, ſiue latiudo ſtell ſit berealis, ſius auſtralis, ſiue denique latitudine careat. Itaque ſi ſtella latitudo ſit borealis EI,&. ſinus verſus diſtantia& Coluro in proprio parallelo Eclipti 2 18, nullam habebit ſtella latitudinem: Si vero ſinus verſus ſit IT, declinationem habebit auſtralem. Sic etiam ſi ſtella latitudinem habeat auſtralem EV,& ſinum verſum X, declinationem habebit borealem: Si vero ſinum verſum habeat Y R, deelinatione carebit, c. 9. RyRSVs ſſtella in Coluro ſolſtitiorum exiſtente, hoc eſt, in principia S, vel inue niet ur eius declinatio hac ratione. Quando declinatio puncti tropici, in quo eſt frella,& latitudo ſtella, ſunt eiuſdem denominationis, id eſt, borealis, vel auſtralis, addantur ſimul, conflabiturque declinatio ſtella eiuſdem denominationis cum declinatione pundti tropici, vel latitudinis. AN DO autem declinatio puncti tropici, S fellælatitudo diuerſæ ſunt denomi nationis, hoc eſt, punctum tropicum eſt boreale,&. ſtellæ latitudo auſtralis, vel contraʒ ſubtrahatur minor àᷣ maiore, relingueturque declinatio ſtella eiuſdem denomina rionis cum maiore, à qua facta eſt ſubtradtio. VAN DO ex additione ſit maior numerus, quam po. reliquus numerus ex 180. dabit declinationem telle eiuſdlem denominationis cum puncto tropico. Quando item ex detractione nihil ſupereſt, ſtella declinatione carebit. Quando denique latitudo nulla eſt, habebit ſtella eandem declinationem, quam punctum tropicum. ERB/ gratia, ſtella exiſtens in I, habebit declinationem borealem Al, conflata er declinatione& E, borea pl cti tropici E,& ex latitudine borea EI. Sic declinatio ſtiel la g, erit auſtralis conflata ex CE, declinatione auſtrali puncti tropici F,& em latitus dine auſtrali Fg. Itè ſtella exiſtens in V, habebit declinationè bored,&.ſtella exiſtens in H, auſtralem, quiailla relinquitur, detracta latitudine auſtrina EVH, ex declinatione borea AE pitcti tropici E, hc vero reliqua fit, detracta latitudine borea FH, eæ declinatione auſtrali C F, piicti tropici F. At vero ſtella in F, declinationè habe bit auſtrina ella in ſ, bored: quiæ illa relinquitur poſt detractionè declinationis borealis& E, ex latitudine auſtrali EY; hac vero poſt detractionꝭ declinationis auſtralis CF, ex latitu dine boreali F. Deinde quia ex declinatione borea A E,& latitudine borea EA, ſit maior arcus quadrante A B, dabit ex ſemicirculo reliquus CA, declinationem borealem. Praterea ſtella in A, vel C, nullam habet declinationem, cum declin atio ſit vrrobique latitudini aqualis, ac proinde poſt detractionem vnius ex altera nibil ſuberſit. Denique.ſtella in E, declinationem habebit eandem, quam fundtum tropicum D d dd E, nimia 15. vndeci b 76. vndeo. 588 E II i E, nimirum borealem; Hella vero in F, ſortietur declinationem euſtralem, eandem vi delicet cum puncto tropico F. Heelinatlonem o. P ER ſinus denique declinatio cuiuslibet puncti Eclipticæ, aut ſcella, cuius li 3 6. gitudo,& latitudo notæ ſint, ita inueſtigabitur. Quoniam in ſecunda deſeriptions vas ioueftigare./ uitus figura eſt, vt DF, ſinus totus ad DI ſinum maximæ declina: ionis,( Poſito enim 4 29. primi, ſinu toto DF, retta PI, ſinus eſi anguli DF I., qui æqualis eſt alter no angulo ADF, maxim declinationis) ita PE, ſinus arcus Eclipticæ& O, A proximo a9 uinoctio N, inchoati ad Di ſinum declinationis puncti O: id quod etid in lemmate 19. demonſtra* r 1 8 2 2 3 3 7 5 vimus, Si fiat, vt ſinus totus ad ſinum maximæ declinationis, ita ſinus diſtantiæ dati puncti Eclipticæ à proximo æquinoctio ad aliud, procreabitur ſinus deelinationis puncti propoſiti. Ex tabula ergo ſinuum declinatio ipſa fiet cognita. Er data declina- VIC ISS IM ſi fiat, vt ſinus maximæ declinationis ad ſinum totum, ita ſiDie nus declinationis datæ ad aliud, producetur ſinus arcus Eclipticæ à proximo dens repetire pet& quinoctio inchoati, cui propoſità declinatio congruit. Nam cum ſit, vt ſinus tnus. totus ad ſinum maximæ declinationis, ita ſinus arcus Ecliptica A promimo æquinoctio inchoati ad ſinum declinationis eiuſcdlem arcus, vt dictum eſtʒ erit conuertendo, vt ſinus maxim declinationis ad ſinum totum, ita ſinus declinationis data ad ſinum arcus Ecliptica, cui debetur, à proximo æquinoctio inchoati. N T autem ſtelle cuiuslibet declinatio per numeros inueniatur, ſit Colurus ſolſtitio 5 mangos in um ABC D; Aequator BD,& eius polus Fʒ Ecliptica AC, eiusque polus G; E, prin daszare. cipium V, vel Qn A, principium O, principium V locus ſtelle H; circulus maximus declinationis ſtella FH, ſecans Aequatorem in E,& Eclipticam in M; circuIus maximus latitudinis ſtella G H, ſecans Eclipticam in& Aequatorem in K; declinatio ſtella HL, eiuſque complementum FH; Iatitudo gtellæ EI, eiuſque complemenmm GH; Arcus denique Ecliptica Al, dickantię ſtella à principio c, ſiue ſecundum ſignorum ſucceſsionem, ſiue contra, numeratus: vi in Iz. circulis hoc loco deſcriptis apparet. Quoniam igitur in triangulo ſoherico GH, duo latera GF, GA, og nita ſunt, cum FG, ſit arcus maximæ declinationis,& GH, complementum latitud inis G N GN tudinis ſtella; eſt autem e angulus ab ipſis cõprehenſus FG H, notus; Na in prioribus ſcirculis in quibus latitudo ſtella borealis eſt, eius anguli arcus Al, diſtantiam ſtel. la A principio S, metiens cognitus est: in poſterioribus vero. circulis, in quibus ſtel la latitudinem habet auſtralem, arcus pradicti anguli CI, diſtantia eſt ipſiusſtella à Principio V, qui relinquitur, detracto arcu AI, diſtantiæ A principio M, ex ſemicirculo.) inuenietur per problema 2 2. triang. p har. in ultimo lemmate, tertium latus FH. Hoc eſt, complementum declinationis ftella, hac videlicet ratione. Fiat, vt ſiaus totus ad ſinum maioris lateris dati; hoc eſt, ad ſiuum maximæ declinatioDddd mis FG, 590 rr f. nis FG, vel complementi latitudinis GH, ita ſinus minoris lateris dati ad aliud: inuenieturque quartus quidam numerus. Deinde rurſum fiat, vt ſinus totus ad quartum numerum proxime inuentum, ita ſinus verſus dati anguli FOH, ad aliud: produceturqʒ diffe rentia inter ſinũ ver ſum tertij lateris EH, quod quærl tur,& ſinũ ver ſum arcus, quo duo latera data FG, GH, inter ſe differũt: quæ dif ferẽtia adiecta ad ſinũ verſum arcus, quo dicta duo latera da ta PG, GH, inter ſe differũt, ceonficiet finũ verſum quæſiti lateris EH, ex quo latus ipſum FH, id eſt, cõplementum declinationis ſtellę, cognitũ euadet. Declinatio porro ſimper eſt einſe GKN OY N IX. 591 dem nominis cii latitudine, hoc eſt, borealis, ſi latitudo horealis eſt at auſtralis: ſi auſtra eli natio borealis lic, niſi quando ſinus verſus lateris quæſiti FH, maior inuentus fuerit ſinu totos vt in&. fit n audtalüec S. circulo, ubi latus inuentum 2̃ E, non eſt complementum declinationis quaſita, Buefcere. ſed potius eius complementum E, eſt declinatio quæſita, ipſumque Iatus quadrante maius eſt. In hoc enim ſitu ſtella habet declinationem contrari am latitudini: adeo vf latitudine exiſtente boreali, declinatio ſit auſtralis, vt in G. circulo; latitudine vero exiſtente auſtrali, declinatio ſit borealis, vt in 8. circulo. 2D ſſ quando contingat, latera data F G, GH, eſſe aqualia;(quod fit, quan do latitudo ella complectitur grad. C d. min. 3 o. hoc eſi, comple mento maximæ declinationis æqualis eſt.) Fiat, vt ſinus totus ad ſinum maximæ declinationis, hoc eſt, ad ſinum lateris FG, ita ſinus ſemiſsis anguli FG H, diſtantiæ ſtellæ à principio ꝙ ſi eius latitudo borealis eſt, vel à principio V, ſi auſtralis, ad aliud: inuenieturque ſinus cuĩuſdam arcus, qui duplicatus totum latus quæſitum EH, notum efficiet; vr ad ſinem pradicti problematis a2. triang. ſpbar. diximus. Ry Rey H accidat, datum angulum FOH, redtum eſſe;(uod fir, quando di Hantia gtella à principio S, quadrans eſt, vt in q.& ꝙ. circulo.) Fiat, vt ſinus totus ad ſinum complementĩ maximæ declinationis FG, ita ſinus complementi lateris GH, hoc eſt, ita ſinus latitudinis ſtellæ„ad aliud: Inuenieturque ſinus complementi quæſiti lateris PHʒvur perſpicuum eſt ex 1. modo problematis IS. trian. ſphar. ultimi Lemmatis. EA DEM declinatio ſtelle hac alia quoqus ratione ſufputari poterit. Quando, Hella exiſtit in principio J, vel Q, Hoc et, eius diſtantia à principio ch, continet„ grad. go. vt in.& g. circulo; ſi in triangulo E H L, euiui angilus L, rectus, per bio. Arier: vel Primum modum problematis g. triang. ſphar. in ultimo Lemmate explicate, Fiat vt ſinus totus ad ſinum latitudinĩs ſtellæ IE, ita ſinus anguli H EL, comple menti max imæ declinationis ad aliud, gignetur ſinus declinationis HI., quæ ſitæ, eiuſdem nominis cum latitudine. Quando ſtella et S. IN DO autem ſiella eſt extra principia V,&. G V, vt in alis 10. 3 eirculis, dempeo 4.& 9. It per primum modum preblematis gerriang. par. in vleimo Cena 8 Len- orni. Argumentum de clinationis ſtellr. 592 rr Lemmate explicati, Flat in triangulo EIK, cuius angulus I, rectus, vt ſinus totus ad ſinum anguli IEK, maximæ declinationis, ita ſinus complementi arcus El, diſtantiam ſtellæ à proximo æquinoctio metientis ad aliud, procreabitur ſinus complementi anguli EKL, ſubtendentis arcum declinationis HL, in triangulo HKL. DEIN DE in eodem triangulo E I K, ſi per 1. modum problematis 1 f. triang. ſpher. Fiat vt ſinus totus ad ſinum arcus EL, diſtantiam ſtelle à proximo æquinoctio metientis, ita tangens anguli IEK, maximæ declinationis ad aliud, inuenietur tangens arcus IK, quo latitudo HI, differt ab areu HK, quem argumentum declinationis dicere poſſumus. Hac diſferentia I K, eſt borealis, hoc eſt, ab Aequatore verſiis ſeptentrionem porrigitur, quando gtellæ locus eſt in aliquo ſigno boreali; auſtralis vero, ſcella exiſtente in ſigno aliquo auſtrali. Itaque quando differentia I K,& latitudo ſtella HI; habent eandem denominatio nem. borealem scilicet, aut auſtralem, dabit ſumma ex ipſis confecta argumentum N K, eiuſcdem denominationis cum latitudine, vel diſferentia: quando autem differentia I K,& latitu do ſtella HI, ſunt diuerſa denominationis, hoc eſt, vnn eſt horealis,& auſtralis altera, Jetracta minore ex maiore, reliquum fniet argumentum eiuſdem nominis cum arcus d 20 fucta eſt ſubtractio. Ita vides in 1. 2.3. J.& g. circulo argumentum N K, eſſe boreale„ auſtrale vero in C. 7. Io. 11.& I2. circulo. pOSTR EMO in triangulo HLR, angulum L, rectum habente, ſi per t. modum preblematis. triang par. Eiat vt ſinus totus ad ſinum argumenti HK, proxime inuenti, ita ſinus anguli HKL, in triangulo EIK, primo loco inuenti ad aliud, roducetur ſinus declinationis HL, eiuſdem denominationis cum argumento. t autem declinatio ſtella exquiſitius reperiatur, inueniendus erit angulus EK I, per partem proportionalem accuratiſſimeʒ ac ſimiliter differentia I K, inter argumentum, O latitudinem ſtelle, vt in tertio diſcurſis deinde verior ſinus argumenti per part em Proportionalem eliciatur. Denique declinatio quoque H L, guerenda eſt ex eius ſinu fer partem proportionalem, vt poſtea in. ſcholio ſequentis Canonis magis eguiſite ſinus eius Nin. 593 eius complementi inueniri poſcit, ad rectam aſcenſſonem ſtelle ſupputandam. 4 que loc in omnibus ſupputationibus obſoruandum erit, quando ex arcu inuento, vel ex bius complemento alius arcus inquirendus eſt. Nam niſi ſinus,& urtus per partem proportionalem exquiſſtiſsimè atcipiantur, vt in vltimo Lemmate traditum eit, fßeri pot est, vt in ultimo arcu inueniendo committatur error hon leuis. AO pacto autem, ſtella exiſtente in Coluro ſolſtitiorums, eius declinatio reperiazur, paulo ante Num. p. huiulſce ſcholij docuimus,& preæcepti illius emempla habes in ſtellis N, O, P, SR. S, T, B, D, A,, primi circuli, quarum quidem ſtellarum loca or dine locis ſtellarum 1, g, V, H. T,% Z, A, C, E, F, in tertia Ac ſcriptione prima Ffgura huius ſcholij reſpondent. CA N O Ne. AS CENSIO NEM, deſcenſionemque rectam cu iuslibet puncti Eclipticæ, vel ſtellæ exquirere: Et viciſ. ſim aſcenſioni, deſcenſioniue rectæ cognitæ arcum Eclipticæ reſpondentem aſsignare: Denique punctum Eclipticę, cum quo ſtella propoſita in ſphæra recta oritur, vel occidit, aut cælum mediat, determinare. 7. CIRCVMD VCA T VR rete Aſtrolabii, donee gradus Eelipticæ, vel ſtella propoſita, in Horizonte recto, ex parte orientali, id eſt, in diametro Aſtrolabii, quæ meridianam lineam, hoc eſt, diametrum, quæ ad armillam ſuſpẽ ſor iam protenditur, ad angulos rectos ſecat, conſtituatur. Nam reti hunc obtinente ſitum, arcus Acquatoris à principio V, ſecundum ſignorum ſucceſsionem vſque ad eundem Horizontem rectum ex parte orientali, quæ ad ſiniſtrã exiſtit, computatus aſcenſionem rectam dati puncti Eclipticæ, vel ſtellæ metietur: quippe cum eiuſmodi arcus in ſphæra recta ſimul cum dato puncto, hoc eſt, cum arcu Eclipticę ab V, vſque ad illud punctum, ſtellaue ſupra rectum Horizontem aſcendat. Hunc quoque aſcenſionis arcum dabunt gradus in limbo intercepti inter Horizontem rectum,& oſtenſorem, ſiue indicem per principium V, in eo ſitu retis tranſeuntem: gradus, inquam, a linea fiducię indieis ſecundum ſucceſsionem ſiguorum, id eſt, verſus. XT, S,&c. vſque ad Horizontem rectum numerati. Poſita autem ſtella in Horizonte recto ex parte orientali, pun ctum Eclipticæ in eodem Horizonte tunc exiſtens eſt illud cum quo ſtel la ori- 1 tur, aut cælum mediat, ſiue(quod idem eſt) ad Meridianum peruenit. 2. NON aliter deſcenſionem rectam cuiuſuis puncti Eclipticæ aut ſtellæ explorabis, ſi datum punctum, vel ſtellam in Horizonte recto ex parte oceidentali colloces. Nam eum ſitum reti obtinente, arcus Aequatoris à principio V,. ſecundum ſeriem ſignorum vſque ad Horizontem rectum ex parte occidentali numeratus dabit deſcenſionem in ſphæra recta, quam etiam exhibent gra dus Jimbi inter oſtenſorem per principium V, ductum,& Horizontem rectum ex parte occidentali intercepti, ſi ſecundum ſignorum ſeriem numerentur. Sed ſatis eſt aſcenſionem rectam cuiuslibet puncti, vel ſtelle inueſtigare, cum hæc deſcenſioni Quando ſtella ef in principio can cri, vel Caprice ni. Aſcenſ onen re ctam dati puncti Eclipti cæ„ aut ſtellæ, ex Aſtrola bio cognoſcete. Qui gradus Kell pticæ cum data ella oriatur iu ſphæra recta, aut mediet cęlum Deſcenſionem re ctam dati puncti Eclipticæ, vel ſtellæ ex Allrolabio cognoſce· re. Aſcenſio recta en iu ſuis puncti deſcẽſioni eiuſdem æqualis eK. ue, auncum Eclipticæ reſpon dentem inucnite ea Aſtrolabio. Alcenſionem re ctam, deſcenſionemq; cuiuſuis arcus Eclipticæ non abriete inch oati, ex Aſtrolabio reperire. Aſcenſionem re · cta m deſcẽſionẽ᷑ · que cuiuſuis pd. &i Eclipticæ vel ſtellæ ſine Aſtrolabio inquixere. 394 E 17 K 1 Arb ſcenſioni eiuſdem in ſphæra recta ſit æqualis, vt in ſphæra dictum eſt. Poſita aũt ſtella in Horizonte recto ex parte occidentali, punctũ Eclipticæ in eodem Horizonte tunc exiſtens eſt illud, cum quo ſtella occidit. Atque hoc punctum ſem per illud idem eſt, cum quo eadem ſtella in ſphęra recta oritur,& cęlum mediat. 3. 8E ſi aſcenſio recta, aut deſcenſio alicuius puncti, vel ſtellæ cognita ſit, inueniemns arcum Eclipticę reſpondentem, hoc eſt punctum Eclipticę, quod vna cum ſtella, cuius aſcenſio, deſcenſioue data eſt, ad Horizontem peruenit, aut cui data aſcenſio, deſcenſioue congtuit, hoc modo. Circumducatur rete Aſtrolabii, donec arcus Aequatoris inter principium V,& Horizontem rectũ ex parte orientali ſecundum ſignorum ſeriem iacens æqualis ſit datæ aſcenſioni rectæ puncti Eclipticæ quæſiti, aut donec cacumen ſtellæ in Horizonte recto repetiatur ex parte orientali, quod tũc arcus Aequatoris inter principiũ V. & redum Horſfontem poſitus ex parte orientali metiatur datam aſcenſionem ſtelle. Nam obtinente reti eum ſitum, punttum Eclipticę, quod tunc in Horizon te recto ex parte orientali exiſtit, erit illud, cui data aſcenſio debetur, aut quod vna cum ſtella, cuius aſcenſio recta data eſt, lad Horizontem rectum peruenit. Idem obtinebis, ſi in limbogradus da tæ aſcenſionis rectæ contra ſucceſsionem ſignorum numerẽ tur, initio facto ab Horizonte recto ex parte orientali;& ad finem numerationis linea fiduciæ oſtenſoris applicetur. Nã circumuoluto tune reti, doneg principium, ad lineam fiduciæ perueniat, exiſtet in Horizonte recto ex parte orientali punctum illud Eclipticæ, cui data aſcenſio conuenit, aut quod vna cum ſtella, cui aſcenſio illa debetur, ſupra Horizontem aſcendit. Arcus autem Eelipticæ inter illud punctum,& principium V, poſitus, erit ille, qui quæritur;, dummodo arcus ille ab V, vſque ad inuentum punctum ſecundum ſeriem ſignorum ſumatur. Idem prorſus dicendum eſt de puncto, ſeu arcu Eclipticæ inueniendo, qui datę deſcenſioni reſpondet, ſi pro parte orientali recti Horizontis occidentalis pars accipiattur. Immo idem punctum, ſiue arcus inuentus conuenit quoque deſcenſioni æquali in ſphæra recta, cum, vt dictum eſt, aſcenſio cuiuſuis puncti in ſphœra recta deſcenſioni eiuſdem ſit æqualis. 4. EX his facile aſcenſionem, deſcenſionemque rectam cuiuſuis areus Eclipticæ non à principio V, inchoati reperiemus. Pifferentia enim inter aſcenſionem primi puncti,& aſcenſionem vltimi puncti arcus propoſiti erit aſcenſio recta dicti arcus. Vel ſie agemus. Poſito vltimo puncto dati arcus in Horizonte recto ex parte orientali, ponatur linea fiduciæ oſtenſoris ſupra primum punctum eiuſdem arcus. Arcus enim Aequatoris, vel limbi inter lineam fiduciæ,& Horizontem rectum ex parte orientali ſecundum ſignorum ſucceſsionem computatus aſcenſionem rectam dati arcus metietur. Quod idem de deſcenſione eiuſdem arcus dices. Hic non docemus inueſtigare arcum non ab V. inchoa tum, qui datæ aſcenſioni retæ reſpondeat: quia varii areus Eelipticæ ꝓquales poſſunt habere aſcenſiones, vt perſpicuum eſt in ſphæra materiali,& ad ſinem Num. 8. dicemus. 5. SINE inſtrumento eandem aſcenſionem rectam, deſcenſionemque vena bimur hac ratione. Repetatur figura antecedentis Canonis, in qua Aequator ABCD; Ecliptica AQCR; eius centrum,& polus G: propoſitumque ſit inueſtigare aſcenſionem; vel deſcenſionem rectam principii N. Inuento hoc puncto Eclipticæ, quod ſit I. per rectam Ga, ex polo G, Eclipticæ per punctum a, diſtantiam principii, ab V, terminans eductam, ducatur ex E, centro Aſtro labii ad I, recta ſecans Aequatorem in F. Dico arcum Aequatoris CDABFE, ſecun N IIII. 595 fecundum ſucceſsionem ſignorum numeratum, aſcenſionem rectam eſſe aut deſcenſionem puncti Eclipticæ I. vel arcus C RA Ql, ab V. inchoati. e niam enim El, eſt Horizon quidam rectus, cum maximum circulum per Polos mundi ductum referat, vt propoſ. 1. Num. 4. ſuperioris lib. oſtendimus, orien tur in ſphœra recta ſimul duo puncta I, E,& ſimul occident. Quo ergo temPore principium V, arcum EBADC, conficiet ad motum primi mobilis, eodẽ Felipticæ punctum I, ad Horizontem rectum perueniet, hoc eſt; totus arcus Eclipticæ CR Al, aſcendet, vel deſcendet. 8 0. EOD EM modo aſcenfionem, deſcenſionemque rectam cuiuſuis arcus Eclipticæ non ab inchoati explorabimus, ſi ex E, centro Aſtrolabij Per ex trema duo puncta arcus in Ecliptica dati duæ rectæ ducantur. Hæ etenim in Aequatore arcum aſcenſionis rectæ, vel deſcenſionis includent. Vt arcus ae quatoris BE, aſcenſio vel deſcenſio recta erit arcus Eclipticæ Ql, qui inter Prin eipiũ,& Principium N. intel cipitur. 7. IT AQYE fi Eeli. ptica AQCR. in 12. ſigna diſtribuatur, vt propoſ. 5. lib. 2. Num. 17. docuimus, & ad eorum puncta ex centro E, rectæ ducantur, conſtructa erit ligura continẽs aſcepſiones, deſcenſionesqʒ rectas omnium ſignorum. Nam arcus Aequatoris à pũ do C, verſus D, que ad ſingulas eiuſmodi lineas. dabunt aſceuſiones, deſcen. ſionesque punctorum, quæ initia, ac terminos ſignorũ defin iunt. Arcus verò eiuſ dem Aequatoris inter quaſuis duas ejuſmodi rectas cõ prehenſus, aſcenſiopem, deſcenſionemque illius arcus Eclipticę aon ab V, inchoa ti exhibebit, qui inter eaſdẽ duas rectas includitur Et ſi. ſingula ſigna in gradus ſubdiuidantur, atque ad eos ſũmiliter rectæ ex E„emittantur, habebimus quoq;: aſcenſiones, deſcenſtonesg⸗ omnium graduum Eclipti c. Ita vides in prædicta ligura, arcum CDyaſcenſionem rectãeſſe arcus CR, inter principium/& principium c, poſiti: Arcum vero CDA, aſcenſionem arcus C RA, inter principium&: Arcum item CDAB 5 aſcenſionem ar cus CRAQ, à principio V, vſque ad principium: Arcum præterea FCD 8 elle rectam aſcenſionem arcus ICR, inter principia,& S. inteſ poſiti,& ſic de cæteris. Atque huiuſmodi ſiguram refert prior figura Andreę Schoneri, qua m in Scholio propoſ.. lib. 2. Gnomonices deſeripſimus, exemplumque po nemus in Canone ſequenti; Num. 10. 225 5 5 EADEM fgura aſcenſionum rectarum conſtruetur, ſi Ecliptica diuidatur in Ee e e gradus Aſcenſionem rt. ctam deſcenfionem que euiuſuis arcus Eclipticæ non ab Ariete inchoati, ſine 2 ſtrolabio deptehendete. iguram aſcenſio num rectarũ om nium atcuum cd Hruere. Ex data aſcenſio ne, deſcenſioueue re a arcuum Eclipticæ reſpondentem eruere. Aſcenſionem, deſcen ſione m que re ctam ſtellæ cuiuſ uis ſine Aſtrolabio explerare, vnd cum puncto Eclipticæ, quod mul oritur, vel occidit. 596 L 1 gradus per lineas rectas per centrum Aſtrolabii ductas, vt lib. 2. propoſ. 6. ad finem Num. 37. docuimus: ſi nimirum puncta inueniantur in recta, quæ in centro maximi circuli inſtar Verticalis Eelipticæ(qualis eſt tecta S T, in figura pro poſ. 11. lib. 2.) ad meridianam lineam perpendicularis eſt, per quæ rectæ per cẽtrum Aſtrolabij educantur. Hæ enim rectæ& Eclipticã in gradus diſtribuunt, vt lib. 2 propoſ.. ad finem Num. 37. oſtendimus,& rectas aſcenſiones eorundem graduum indicant, vt hic oſtenſum eſt. 8. VICISSIM ex data aſcenſione, aut deſcenſione retta arcum Eclipticę reſpondentem eliciemus, ſi ex centro E, per terminum aſcenſionis, de ſcen ſioniſue recta emittatur. Hæ c enim Eclipticam ſecabit in puncto, cui aſcenſio data conue nit, arcus autem re ſpondẽs erit is, qui à principio. ſe cũdum ſucceſsionem ſigno· rum ad illud vſque punctum protenditur. Vt afcenſioni rectæ C DA B E, reſpondet arcus Eclipticæ CRAQl: atque ita de cæteris. Manifeſtum eſt autem ex ipſa figura, datæ aſcenſioni, quæ ab /, non incipiat, aſsigna ri non poſse arcum Eclipticæ re ſpondentem. Nam aſẽ ſioni BE, reſpondet tam arcus Ql, quam arcus Q, cum aſcenſio BF, aſcenſioni BZ, ſit æqualis: atque ita ſi arcui BFE, alibi in Aequatore arcus æqualis accipiatur, reſpondebit eĩ aſcenſioni alius arcus Eclipticę. 9. ASCENSIO recta, 4. de geeobe cuiuslibet ſtellæ eadem facilitate reperietur. Si namque ex centro Aſtrolabii per locum, ſeu centrum ſtellæ recta linea ducatur, arcus Aequatoris inter principium.& illam rectam ſecundum ſignorum ſeriem interceptus, aſcenſionem, deſcenſionemue rectam ſtellæ metietur. Vt aſcẽſio, vel deſcẽſio reqta Canis maioris erit arcus Aequatoris CDN. Punctum autem Eclipticæ ſimul cum ſtella propoſita cooriens ſupra Horizontem rectum EM, vel occidens, aut ad Meridianum perueniens, hoc eſt, cælum medians, erit illud, per quod eadem recta EM, in Ecliptica tranſit. Quanto au tem interuallo punctum illud à principio. abſit indicabit recta ex G, polo Eclipticæ, per ipſum punctum Eclipticæ traiecta. Tot enim gradus in areu Eclipticæ inter dictam rectam,& principium V contiĩnentur, quot in arcu Aequatoris inter eandem rectam,& principium Vp comprehenſo, vt lib. 2. propoſ. 5. Num. 17. demonſtrauimus. V. g. ſi recta EI, per alicuius ſtellæ centrum ducta eſſet, orietur ea ſtella ſupra Horixontem rectum El, vel infra eum deſcẽderet, aut cælum mediaret cum puncto Eclipticæ L, quod tot gradibus a principio GA N G NIIIII. 581 pio, verſus Z; recedit, quot in arcu Acquatoris Ca, continentur; Eiuſdem autem ſtellæ aſcenſio, deſcenſioue recta eſſet arcus CDAF. %% 7. EX Analemmate ſic aſcenſionem, deſcenſionemue rectam cuiuſuis puncti E clipticæ adipi ſcemur. Repetita figura ſcholij antecedentis Canonis, ſumatur in 2. deſcriptione arcus NO, æqualis diſtantiæ dati functi prorimo puncto equinocti,& demitratur ad E cliptica diametrum perpendicularis OE, ac per F, Aequatoris diametro barallela agatur GH, ſecans; D, in Iʒzac denique ad GH, excitetur perpendicularis E L, ſecans circulum circa G A, deſcriptum in L. Dico arcum L, eſſe aſcenſionem, deſcenſionemue rectam dati pundti O. Nam vt in ſcholio pracedentis Canonis. oſtendimus, GH, eſt diameter paralleli, quem datum puictum deſcribit, eiuſque ſemicirculus G K 2 & dati puncti declinatio AG: Et quoniam Colurus æquinoctiorum per D, initium V. ductus,& circulus declinationis, qui tunc eit Horixon rectus, ſimiles arcus en Ae: guatore c parallelo abſcinduntzerit arcus KL, ſimilis arcui aſcenſionis, vel deſcenſionis redlæ in Aequatore, quem eirculus declinationis per pumctum E, incedent abhſcindit, ranquam Horixon rectus. uod vt planius fiat, concipiantur ſemicirculi E N P G NH,(E clipticæ,& paralleliqad Colurum recti, quo poſito congrucuit ſibi mutuo punca L, O, vt in ſcholio præcedentis Canonis diximus. Cum ergo circulus declinationis inſtar recti Hori dontis rranſeat per O, punctum Eclipticæ, tranſibit idè ber punctum E. Et quia tunc punctum R, eſt in Coluro equinoctiorum, cum IX, communis ſectio ſi paralleli, c pradicti Coluri ad Colurum ſolſtitiorum perpendicularis, vr ratio poſtulat: ( Nam quia& Colurus equinoctiorum„ parallelus 4 Colurum ſolſtitiorum rectits eſtʒ b exit quoque cd munis cori ſectio ad eundem recta, ideoqʒ cad H, communem ſectionem paralleli,& Coluri ſolſtitiorum. Quare RI, cum ad GH, ſit porpendicularis Aſcenſionem, de ſcenſiont mue re · ctam dati puncti Eclipticæ ex Ana lem mate adipiſci a 10. 2. ThHeod. b. vnd. communis ſectio erit Coluri æquinoctiorum. ac paralleli) e erit arcus K L ſemilis ar- c 10. 2. cui Aeguatoris inter Colurum aquinoctiurum.& cir caulum declinationis her E x rran- Theod. Eeee 2 ſeuntem, 0 598 LI 1. ſeunten, qui quidem arcus aſtenſio recta eſt, aut doſcenſſo puncti O, ſiue arcus Eclipti. NO, quinpe qui inter Horixontem rectum, qui tunc eſt circulus declinationis& Colurum equinoct iorum, ſiue punctum æquinoctij interijciatur. 1 ITA E ſi pundtum O, datum exiſiat inter Vz aſcenſio eius recta, vel 1 deſcenſio, erit K L. minor quadrante: ſi inter M,& Q aſcenſio, deſcenſioue erit arcus conflatus ex quadrante K G,& arcu GL, quin unc aſcenſio, deſcenſioue K L, cum contra ſucceſſionem ſupputetur a Q, auferenda ec Alſemicirculo, vr aſcenſio, aut deſcenſſo ab V, inchoata relinquetur ſi inter A,, aſcenſio, vel deſbenſio erit arcus conflatus ex ſamicirculo, c arcu K E, quiæ tunc aſcenſio, deſcenſioue K L, ſumit initium à D renditque verſus V: ſi deniqus ultra H recta aſcenſio, aut deſcenſio erit arcus ex tribus quadrantibus,& arcu Gl Conflalus, quin tic aſcenſio, deſcenſioue K L, congruit reliquo arcui Ecliptica viſjue ad V ac preinde ex integro circulo auferenda, vt aſcenſio; deſconſaue ab V. inchoata relinquatur. uod ſi datum punctum ſit E, a brincibium ꝙm; erit eius aſcenſſo, vel deſcenſio quadrans: ſi principium ſemicir. culus: ſi demque principium V, arcus ex tribus guadrantibus conflatus. g 1 e er 2. STE LL AE, cuiuſuis aſcenſionem rectam vel deſcenſionem eodem modo coam ſte 1 110 ui, vel deſeen o gnoſcemus, ſi eius declinatio inueniatur, ut in ſcholio præcedentis Canonis dicmum eſt. 0 bemsen-Aualem Na in 3. deſcriptione rect a 20 erit ſinus aſcenſionis, vel de ſcenſionis rectæ in panekerenbe. fallelo MN, ita vr reha DB, producta,& perpendicularis O b, intercipiant aſcenſionem deſcenſſonemus rectam. Eadem enim ratio hie est, qua paulo ante de aſcenö ſione, deſcenſſoneque dati puncti Eclipticæ allata eſt. S igitur ſtellaæ diſtantia Im, à principio; numeretur contra ſucceſiionem ſi9 gnorum, minorque ſit quadrante, aſcenſio, vel deſcenſio eius recta erit minor quadrante, arcus videlicet ſinui 20„ debitus: ſi vero diſtantia illa contra ſignorum ordinem ſit quadrante maior, uperabit aſcenſio, vel deſcenſio recta tres quadrantes coꝶm Plemento arcus, qui ſinui Q, debetur; quia enim tunc aſcenſio deſcenſſuue inuenta initium ſumit ab M& verſus V, tendie, ſubducenda erit ex integro circulo, vt J aſcenſio, vel deſcenſio recta ab, ſecundum ſignorum ordinem numerata relinquaur: N11. 555 tur: Quod ſi diſt antia Im, à principio S numeretur ſecundum ſuiccoſcionem ſeenorum, minorque ſit quadrante, aſcenſio, aut deſcenſio recta inuenta, i uitium ſu met& 22 verſus S. tendens, ideoque ex ſemicirculo auferenda erit, vt aſcenſio, vel deſcenſio recta ſtella relinquatur ab V; inchoata: Si denique diſtantia illa ſæcundum ſucceſsionem ſignorum ſit quadrante maior, tendet aſtenſio, vel deſcenſio inuenta& . verſeis, ideoque ad ſemicirculum adijcienda, vt aſcenſio deſcenſioue flella ab V numeratà conſiciatur. Quod ſi ſcella diſtantia& S nulla ſit, continebit eius aſcenſio vel deſcenſio recta quadrantem: i quadranti æqualis ſis ſecundum ordinem ſignorum, ſemicirculum: i deniguse ſamicirculo ſiues ſecundum ſignorum ſori em, ſius contra numerata, tres quadrantes. Qua omnia in ſohœra materiali perſpicua ſunt. 3. S aſcenſio vel deſcenſio recta arcus cuinſitis Ecliptica non ab V, inchoati deſideretur, inueſtigandæ erunt aſcenſiones, vel deſcenſiones duorum extremorum pungorum dati arcus. Nam ſt minor aſcenſio, deſcenſtoue ex maiore detrahatur, reliqua iet dati arcus aſtenſio recta, aut deſcenſio. 4. AM ex data aſcenſione, aut deſtenſione recta artum Eclipticæ reſpondentem, cui videlicet aſcenſio, vel deſcenſo data conuenit, ita colligemus. Si aſcenſio, aus deſcenſio recta quadrante minor eſi, aſſumatur ea, vt propoſila eſt: Si vero maior eſt quadrante, ſad ſomicirculo minor, detrahatur ex ſomicirtulo: ſi maior ſemicirculo, ſed minor tribus quadrantibus, detrahatur ex ea ſemicirculus; ſi denique maior tribus quadrantibus, dematur ex integro circulo: hac enim ratione habebitur ſember aſcenſio, vel deſcenſio recta à proximo puncto æquinoctj nota, ac minor quadrante. Huius aſcenſionis deſtenſionisue ſumatur in 2. deſcriptione ſinus rectus B: quod facile ſiet ſi ex B, verſus A, ipſa aſcenſio, vel deſcenſio numeretur,& à̃ termiin numerationis ad A D, perpendicularis demittatur. hac enim ſinum abſcindet De. quem cupimus. Tnuenienda ergo eſi parallela GI, quæ à diametro Ec iptica DE, ſic diuidatur in F, ut eademm ſii proportio I F, ad FG qua Dad A. Tunc enim ſi circa eam ſæmicirculus deſeriberetur& K H,& perpeudicularis excitaretur FL, eſſet arcus K L, ſimilis arcui aſcenſionis, vel deſcenſionis datæ, cuuitis ſinus elt D e Lemmate F̃. ac proinde aſcenſio deſcenſioue: illa recta arcui Eclipticæ deberetur, cuius ſinus eſt BF,& vltimi puncti declinatio 48. Quo pacto autem ex invento puncto E eliciendus ſit arcus Eclipticæa, cui data aſcenſio deſcenſiuue congruat, Num. d. docebimus. SI autem parallela GI, quæ eo modo diuidatur, inuenietur. Per Lemma p l. rePeriatur in DE, punctum F, per quod tranſire debet Ellipſis, cuius maioris axis ſamiſa is D;, minoris D Recta enim per F, ducta æquidiſtans ipſi A Di erit ea, qua quaritur, cum ber Lemma 5 o. ſit, ut D225, 2d SA, ita IE, ad FG. punctum porro F, refertillud, in quod cadit perpendicularis em communi ſectione circuli declinationis, & paralleli in planum Ooluri ſolſtitiorum demiſſa, cum ab omnibus tunctis illius circuli perpendiculares demiſſæa cadant in Ellipſim, ex propoſ. 24. lib. I. noſtræ Gnomonices. Ex quo fit, circulum illum doclinationis ſecare parallelum in protrio ſitu in pun40 L, ideoque KL, arcum ſimilem eſſe arcui aſcenſionis deſtenſionitue retiæ in Aequa vore, quem idem circuluis abſcindit;& cuius ſinus eſt D, quem perpendicularis ex interſectione dicti circuli declinationis cum A equatore in Colurum ſolſtitiorum demiſo ſa reſecat. J. 1 DEM pundtum F, Eclipticæ,& declinationem AG, ſine auxilio Ellipſis vreperiemus hoc modo. G toniam per propoj. 44. noſtrorum triang. ſphœr. in triaugulo ſo harico E LM, quod in duodecim circulis ſcholij Cano nis præcedentis continetur, eſt vt Venus cotus adſius arcus aſcenſionis deſcenſſonistie retta EL ita tangens ang uli A E E. maxima declinationis ad tangentem arcus declinationis LA; erit pern utaudo, vs ſinus col lia A ſcenfonem res ctam deſcenſi o. nemue dati arcus Ecliptieæ nõ ab Ariete inchoa ti„ reperite ex Avalem mate. Ex data aſcenſio ne, deſcenſoneue recta arcum Eclipticæ reſpo dente m perlem ma exquit e. 60 EIB 0 5 nus totus ad tangentem maxima declinationis, ita ſinus aſcenſionis, deſcenſionisue re 9 die datæ ad tangentem declinationis puncti, cui aſcenſio, vel deſcenſio illa delerur. Sed 140 per propoſ. 18. tractatus noſtri ſinuum,& tangentium, eſt quoque ſinus complementi g maximæ declinationis ad ſinum maxima declinationis, vt ſinus totus ad tangentem 2,17. quinti. maximæ declinationis. a Igitur erit quoque, vt ſinus complementi maximæ declinationis ad ſinum maximæ declinationis, ita ſinus aſcenſionis, deſcenſionisue recta ad 0 rangentem declinationis puncti, cui ea aſcenſio, vel deſcenſio congruit. Sit ergo M eri1 dianus, ſiue Colurus ſolſtitioriti AN CM, cuius centrum Ds A equlatori- diameter AC; Ecliptica E Pʒaxis nu di gh. Demittatur ad AC, perpꝰdicularis EB,& ex A, ad eads AC, erigatur perpendicularis A K, qua circulũ täget, ex coroll. propoſ. 4 C. lib. 3. Eucl. N Denique De, ſit ſinus datæ aſ1 ce ſionis, deſcenſioniſue recta, ch ex e, ad AC, perpendicularis excitetur e I. b Et quoniam eit vr BD, ſinus complementi maxima declinationis AE, ad BE, ſinum eiuſcddem maxima declinationis, ita D e, ſinus aſcenſionis, deſcenſioniſue recta datæ ad e Iʒerit vt proxime de monſtrauimus, e I, tangens declinationis quaſita. Sumpta er go AK, ipſi e I, æquali, ducatur ex K, per centrum D, reda K Dr, ſecans circulum in G; eritq; A K, tlangens arcus AG, ideoq; AG, declinatio erit quæ ſita, ita vt tunc Ecliptica cum Coluro, vel Meridiano eſficiat ſectionem communem GT. Du dta autem G H, ipſi AC, paral lela ſecabit Eclipticam in F, puncto, quod quæritur. J. INVYENTO puncto F, 1 1 1 b, 4. ſexti. ducantur ex D, F, ad E P, duaæ perpendiculares Dr, Fiz eritque ri, arcus Eclipticæ inter V. vel Q,& circulum declinationis, qui vicem gerit Horixontis recti. Si igitur data aſcenſio, vel deſcenſio recta mi nor eſt quadrante, arcus ri, erit is, cui ea aſcenſio, deſcenſioue debetur. initiumque ſumet ab V. Si vero aſcenſio, aut deſcenſio data maior eſt quadrante: ſed ſemicirculo mi ö nor, tendet arcus v i, A Qvverſus. Eo ergo ablato ex ſemicirculo, reliquus ſiet quaſi100 tus artus ab M, ſumens initium. At ſi data aſcenſio, vel deſcenſio maior eſi ſemicircu0 0 1 lo, ſed tribus quadrantibus minor, verget arcus r i, A&, verſus. Quare ſi adijciatur 60 ſemicirculus, conflabitur arcus quaſitus ab V, inchoatus: Si deni que data aſcenſio, aut 100 deſcenſio maior ett triaus quadrantibus, arcus ui. porrectus erit ab V, verſus V. Eo er 1 g ex toto circulo detracto, relinquetur arcus quaſitus ab D inc hoatus. Manifeſtum au ö tem est ſi aſtenſio, vel deſtenſio recta ſit quadrans, arcum Eclipricæ reſpondentem eſſe gquadrantem ab I, inchoatum; ſi ſemicirculus, ſemicirculum; ſi denique tres quadrantes, tres qudrantes. 7. AYXILIO ſnuum omnia hac indagabimus hac ratione. N 2. circuli GN S N IIII. 60 f A ſcenſionem re. kirculi ad finem ſeholij antecedentis Canonis deſcripti, in quibus omnibus(tert io& duo dam deſcenftodecimo excepto) aſcenſio recta à proximo æquinoctij puncto computata, quæ puncto e dati 28 Eclipticæ, beEclipticæ m, congruit, eſt arcus EL, cum circulus FL, vices gerat Horixontisrecti, g f ＋ 2 ne fic o finuũ ſup putatre. guippe qui per polos mundi ductus cum Aequatore rectus angulog ad L, conſtituar. Si igitur in triangulo ſpharico rectangulo E LM, per 1. modum problematis g. triang. ſphær. vltimi Lemmatis, Fiat vt ſinus totus ad ſinum complementi an guli MEL, maximæ declinationis, ita tangẽs arcus EM, Eclipticæ à prox imo puncto ęquinoctii inchoati ad aliud, producetur tangens aſcenſionis rectæ EL, quæſitæ. Et ſi Ax data recta à Icenſione, deſcenloneue arcũ Ecli pticæ eſponden tem per nume-ros inuenire. 6 EI 5 ͤ Zi ſi punctum M, extiterit inter principium,& Nh, erit aſtenſſo recta ipſe artus inuenſus E E, quadrante minor: ſi vero inter principium S,& Q, detrahenda erit aſcenſio inuenta, qua à A, verſus S, ſutputatur, ex ſemicirculo vt aſcenſio recta 2%ſita ab N, inchoata reliqua fiaf: At ſi inter princibium.&„, adifciendus eri(ſemicirculus ad aſcenſionem inuentam, cum hac à Un, verſus, numeretur, vt aſcenſio rect quaſita, ab, inchoata conficiatur: Si denique inter,& N. aufen re na exit inuenta aſcenſio, qua ab V; verſus ,; numeratur, ex iutegro circulo, vt aſcenſio recta ab H, inchoata,& ſecundum ſucceſ ionem ſignorum ſuſputata, qua 2uritur, relinquatur. Eodem autem modo deſcenſio recta cuiuſuis puncti Ecliptica ſupputabitur, cum hac aſcenſioni recta æqualis eſt. VICISSIM eæ data aſcenſione, deſcenſioneue recta ſupputabitur arcus Ecliptic reſpondens, hoc modo. In eodem triangulo EL. M, ſi per I. modum problematis 13. triang. ſphæar. Lemmatis vlt imi, Fiat vt ſinus totus ad ſinum complementi anguli LEM, maximæ declinationis, ita tangens complementi rectæ aſcenſionis, deſcenſion isue datæ EL, ad aliud, procreabitur tangens complementi arcus EM,. quæſiti. Sed hic etiam, vt Num. r. diximus, ſi data aſcenſio, aut deſcenſio recta guadrante minor eſt, aſſumenda erit, vt proponitur:: ſi vero quadrante maior, ſad minor ſemicirculo, detrahenda erit ex ſemicirculo: ſi autem maior ſemicirculo, ſed trius quadrantibus minor, demendus erit ſemicirculus eæ ea: ſi denique tribus quadranribus maior: ſubdutenda erit ex integro circulo. Hac enim ratione habebitur ſomper aſcenſio, deſtenſioue recta quadrante minor,& A proximo puncto æquinoctij inchoata. Rurſus quando aſcenſio, vel deſcenſio recta data qalrante minor eſt, erit arcus Eclipticæ E M, is qui quæritur ab, inchoatus: ſi autem maior quadrante, ſamicirculo tamen minor, auferendus erit inuentus arcus E M, ex ſemicirculo, vt quaſitus arcus reli uus fiat ab M, numeratus: at ſi ſamicirtulo quidem maior, ſed tribus qua drantibus minor, adijciendus erit inuento arcui EM, ſemicirculus, vt quæſitus arcus ab, initium ſumens conficiatur: ſi denique tribus quadrantibus maior, inuentus arcus EM, ex integro circulo ſubtrahendus erit, vt reliquus ſit 9 uaſitus ab initio S AN ON IIII. 603 ab initio V, numeratus. Id quod in præcedenti etiam N um. J. diximus. 5 ASCENSIO redta, deſcenſioque cuiuſuis ſtella hac arte Per numeres reperiemur. gſcendenem rd. 8 5 1 cam, deſcenfioIn omnibus I x. circulis Aſcenſio, vel deſcenſio recta ſtella eſt arcus BL, A Coluri ſolſtil nemqae cuiusltber flellæ per 20 met os venatb. 2 4 8221 27 572, ttorum ſemic irculo, in 2 principium S, exiſtit, numeratus, vel arcus D, à ſemiciculo eiu ſdem Coluri, in qu principium B, eſi, cemturætus; quem en engulo BFL, vel DFL, ſic inueſtigabimus. Qioniam in triangulo ſehærito FOH, tria latera not funt, cum F G. ſit arcus maximæ declinationis& GH, complementum lari rudenis fel ac denique FH, cemtlementum declinationis eiuſdem 173 ſcholio 1 8 2 e II. u D NMI HI. lema 2 l. triang. phar. vltimi Lemmatis, Fiat „ eomplementi declinationis, ita ſinus arcut quartus quidam numexrus. DeCan. Num. lei inuentaʒ ſi per prob vt ſinus totus ad ſinum arcus FH FG, maximæ declinationis ad aliud, inuenictur roxime inuentus ad ſinum totum, ita H, latitudinem ſtellæ metientis,& ter ſe differunt, ad aliud, gigneinde ſi rurſum fiat, vt quartus numerus p differentia inter iinum verſum tertij arcus G ſinum ver ſum arcus, quo duo arcus EG, FH. in tur ſinus ver ſus anguli GFI, culus areus DL, vel BL, quxritur; hoc eſt, ſinus ver ſus aſcenſionis, deſcenſionisue rectæ quæſitæ, numerandæ quidem in Aequatore C. A NO ANT III. 605 tore à ſemieirculo Coluri ſolſtitiorum per V, ducto, ſi latitudo ſtellæ borealis eſt, vt in prioribus g. circulis; à ſemicitculo vero eiuſdem Colur i per. deſcripto, ſi latitudo eſt auſtralis, vt in poſterioribus 6. eirculis. Hef orro finus verſus inuentus indicabit, num ea aſcenſio maior ſit, vel minor quadrante, an ve ro quadrans, prout videlicet maior fueris ſinu toto, aut miner, vel aqualin. herum etiam inuenta aſcenſin, aut deſcenſibo numeranda ſit ſe cundum ſuc ceſsiomem ſegnorum, vel centra à, aut S, monſtrabis locus ſtella in Zo diaco. N am ſi ſtella exiſtat in ſemicirculo Ecliptics aſcendente;& latitudinem habeat borealem, numeranda eſt inuenta aſcenſio, aut deſcenſio à V, ſecundum ſignorum ſucceſtionems contra vero ſi in ſemicirculo deſcendinte exiſtat, latitudineque habeat borealem. Aliſt ella ex iſtente in ſemicirculo aſcendente,& latitudinem halbente auſiralem, numeranda eſt aſcenſio, deſcenſioue inuenta à M, contra ſignorum ordinemz ſecundum vero ſucceſsionem, ſte la in ſemicirculo deſcendente exiſlente, latitudinemque habente auſtralem. 7 E X his nullo negotio aſcenſionem, ſiue deſcenſionem rectam gtellf ab V, inchoatam reperiemus. Quando enim à, ſecundum ſucceſionem ſig norum numeratur, adijciendi ſunt tres quadrantes,& ex numero conflato integer circuſus abijciendus, ſi abijfci poteſt, vt aſcenſio, deſcenſioue ab V, inchoata producatur: Quando autem , contra ſignorum ordinem numeratur, auferenda ea erit ex tribus q u⁴,ẽLrantibus, vt aſceuſio, vel deſcenſio ab, inchoata relinquatur: Quando vero A&, comtutatur ſecundum ſucceſiionem ſignorum, adijciendus eſt quadrans, vt conßeiatur aſcenſio, deſcenſioue ab O; inchoata? Quando denique à S contra ſignorum ſeriem numeratur, auferenda eſt ex quadrante, adiecto prius circulo integro, quando detractio Heri nequit, vt aſcenſio, vel deſcenſio ab A, numerata remaneat. us omnia in ſphara materiali perſpicua ſunt. SOD i quando accidat, complamentum declinationis æquale eſſe maximæ declinationi, ita vl latera E G, FH, quaſitum angulum GF, ambientia ſint æqualia: ſi Fiat, vt ſinus totus ad ſemiſſem complementi latitudinis, hoc eſt, ad ſemiſsẽ lateris GHzita ſecans complementi arcus FG, maximæ declinationis ad aliud, ö iii gigne 606 IRI IS eR Au M gignetur ſinus ſemiſsis anguli GEH,&c. vr conſtat ex a. modo problem atis l. trian. pher. Lemmatis ultimi. RVR SVS i repertus fuerit angulus& FH, reclus, exiſtet vel principium, vel v in Horixontę recto, vt in 3.& 12. circulo patet. Quam ob rem aſcenſio recta, aut deſcenſio vel nihil et, vel ſemicirculb æqualis. Quando enim aſcenſio inuenta, ¶ qua tunc quadranti æquatur.) numeranda eſt a. ſecundum ſiccceſsionem ſigno* Aliter quãdo ſtel I eſt in principio Arietis, vel Libra. Quando ſtella eſt in principio Can eri, vel Capricor Arga mentum aſHonigs tectæ. rum, aut 4 S, contra ſucceſciomem, aſcenſio vel deſcenſio nibil eſt: quando vero à . contra ſucceſsionem, aut à Q, ſacundum ſucceſsionem computanda eſt, aſcenſio, deſcenſioue ſemicirculo æquatur ASGCENSTO, atque deſcenſio recta hac alia quoqus ratione ſupputari poteſi. Quando ſtella eit in principio, vel Q, vt in g.& p. circulo, ſi in triangulo K LH, habente angulum L, rectum, ber I. modum problematis p. triang. ſohær. vltimi Lemmatis, Eiat vt ſinus totus ad ſinum complementi anguli HKL, hoc eſt, ad ſinum anguli LR M, maximæ declinationis, cum hic illius ſit complementum, ita tangens latitudinis ſtellæ HK, ad aliud, procreabitur tangens aſcenſionis, vel deſcenſionis rectæ KL., à proximo æquinoctii puncto inchoatæ. Hec, ſi ftella borealis eſt, exictitque in principio, numeranda eſt ab M, contra ſucceſsionem ſigno rum, ac proinde ſiabtracta ex integro circulo aſcenſionæm relinquit a0 V, inchoatam; ſi autem borealis eſt in principio Q: exiſtens, numer anda eſt à&, ſecundum ſucceſoionem ſignorum, ideoque adiecta al ſæmicirculum conficit aſcenſionem ab I, inchoatam: At vero ſi ſtella eſt auſtralis,& in principio, exiſtit, numeranda ett ab Viſecundum ſucceſcionem ſignorumʒ ſi vero auctralis ei,& in principic Q, ſupputanda eſi à2 A contra ſign orum ſucceſsionem, adeo vt ſiabtracta ex ſemicirculo aſcenſionem ab Y,. inchoatamrelinquat. SANO autemſtella eriſtit in princiio Q, complectetur eius aſcenſio, vel 4 ſcenſio recta quadrantem; in principio vero H tres quadrantes. EXITISTENT E vero ſtella extra principium V.. G, vel v erit in omnibus circulis, bræter.& ꝙ. aſcenſio, vel deſcenſio recta EL, à proximo æquinoclij puncto combut anda, qua ſic inuenietur. In triangulo E] K, cuius angulus I, rectus, ſi per I. modum problematis t. triang. ſphbar. vltimi Lemmatis, Fiat vt ſinus totus ad ſinum complementi anguli IEK, maximæ declinationis, ita tangens complementi arcus EI, diſtantiam ſtellæ à proximo puncto ęquinoctii metientis, ad aliud, producetur tangens complementi arcus EK, quem argumentum aſcenſionis rectæ dicere poſſumus. DEIN DE in triangulo HLK, cuius angulus L, rectus, ſi per t. modib frollematis 7. triang. ſoher. ultimi Lemmatis, Fiat vt ſinus totus ad ſecantẽ declinationis HL, in ſcholio antecedẽtis Canonis inuentę ita ſinus cõplementi argumẽti declinationis HK, in code m ſcholio inuenti, ad aliud, producetur ſinus cõplementi arcus KL. qui differentia eſt inter aſcenſionem rectam EL,& eius argumentum inuentum EK. Quando gtella delinationem habes borealem,& in ſemicirculo Ecliptica Boreo exiſtit, vt in r. 2. 3.& H. circuloʒ vel auſtralem habet declinationem, c in Eclipticæ ſomicirculo atiſtrali exiſtit, vt in 6. I o. 1 1.& 12. circulo, cõferantur inter ſe argu mentum aſcenſtonis,& diſforentia inter ipſum,& aſcenſionem; ch ſi deprehenſa fuerint inequalia, minus ex maiore rollatur. Religuus enim numerus dabit quæſitam aſcenſionem rectam, vel deſcenſionem EL, à proximo æquinoctio ſuubputandam, verſus eandem quidem partem, in qua locus: ſtella reperitur, quando argumentum maius eſt differenria, ut in 1. C. 8. c I o. circuloʒ in contrariam vero partem loci ſtella, quando argumentum minus eſt diſſerentia, ut in 2. ch i I. circulo: Si vero argumentum diſferentis induentum fuerit æquale, exiſtet ſtella in Coluro aquinoctiorum, ut in 3.& 12. circula. Vare Nn Quare ſi ſtella prope V, extiterit, eius aſcenſio, deſcenſioue recta nihil erit; ſi vero probe Ds ſemicirculo erit æqualis. Quando autem declinatio ſtella borealis eſt, eiuſque locus in ſemicirculo Eclipticæ augtrali, vt in g. circuloʒ vel eius declinatio auſtralis, locus in Ecliptice ſemicirculo boreo, vt in 7. circulo; ſumma argumenti,& diſferentia dabit aſcenſionem, deſcenſionemue rectam quaſitam E I, à proximo æguinoctio venſus eandem partem computandam, in gquamſtells locus vergit. IAM vero in omnibus circulis,(prater 3.& 12. in quibus ſcella oritur ſupra Horixontem rectum, c mediat calum cum principio V, vel, prout iurta V, aut A exliterit, cum ſit tunc in Coluro equi noctiorum.) punctum M, Ecliptica, cum 7% Hella oritur in ſphara recta, calumquè mediat, hoc modo ſuppputabitur. In triangu40 EL M, cuius angulus Ts rectus: ſi per 1. modum problematis 1. riang. ſphær. vltimi TLimmatis, Fiat vt ſinus totus ad ſinum complementi anguli LEM, maximæ declinationis, ita tangens aſcenſionis rectæ EL, inuentæ,& à proximo æquinoctio numeratæ, ad allud, prodibit tangens arcus Eclipticæ EM, in eandem par tem vergens: in quam aſcenſio tendit. Punctum ergo Ecliptica M; zus ſitum ignorari non poterit. 2 D i ſtella caruerit latitudine, inuenietur eius declinatio. aſcenſioque recta, vel deſcenſio, ex eius diſtantia& proximo æquinoctios quemadmodum dati puncti REclipricæ declinatio, aſcenſioque recta ſupoutata Fuit. . ASC ENSIONEM, deſcenſſonemque obliquam cuiuslibet puncti Eclipticæ, vel ſtellæ inueſtigare: Et viciſsim datæ aſcenſioni, deſcenſionique obliquæ arcum Eclipticæ reſpondentem aſsignare: Denique punctum Eclipticæ, cum quo ſtella propoſita in ſphæra obliqua ori tur, vel occidit, determinare. 1. NON proponimus hic determinationem puncti Eclipticæ, cum quo ſtella data cælum mediat hoc eſt, ad Meridianum peruenitz quod quælibet ſtel * 2 L: 427 2 2 0 la cum eodem puncto in ſphæra obliqua Meridianum attingat, cum quo in ſphæ ra recta: quod quidem indicatur in Ecliptica per lineam fiduciæ oſten ſorĩs ſtel Iæ cacumini ſuperpoſitam; vel per rectam ex centro Aſtrolabii per ſtellam ductam, vt in præcedenti Can. Num. 9. diximus. PONAT VR datum punctum Eclipticæ, hoc eſt, vltimum punctum arcus ab, inchoati, vel cacumen ſtellæ propoſitæ, in Horizonte obliquo datæ regionis ex parte orientali. Nam reti ſic conſtituto ‚arcus Acquatoris à princi Pio, ſecundum ordinem ſignorum vſque ad Horizontem obliquum, hoc eſt, vſque ad interſectionem oxientalem Aequatoris cum Horizonte recto,& obliquo, computatus, dabit aſcenſionem obliquam, quæ inquiritur: quam etiam dabit arcus ei ſimilis in limbo inter lineam fiduciæ oſtenſoris per principium Vs tranſeuntem,& Horizontem rectum interceptus. Arcus enim ille Aequatoris peroritur ſimul cum arcu Eclipticæ ab A, vſque ad datum punctum numerato ſupra Horizontem obliquum; ide mqʒ perortus tune ieee a 0 p anctum Eelipric, cum que ſtella in Horizon te recto otitur, cælum mediat, moros ſappatare. steſla quruls e eodem p cto Equam d cti ꝑeliptiez, aut ſtellæ per mentum reg re. 608 EFI N N 9 ral ad Horizontem obliquum peruenerit vt ex inſtrumento liquido apparet · Po8 ſita 1 ſtella in Horizonte obliquo ex parte orientali„ punctum Eclipticg, au. in eodem Horizonte tunc exiſtens eſt illud. cum quo ſtella oritur. C EO DE M modo, ſi datum punctum, vel flella in eodem Horizonte obli 40 quo ex parte occidentali collocetur, dabit arcus Aequatoris à principio r ſecundum ſignorum ſucceſsionem vſque ad Horizontem obliquum„id eſt, vſque terſectionem Aequatoris cum Horizonte obliquo,& recto, computatus N em obliquam dati puncti, aut gellæ: Cui arcui ſimilis eſt arcus Limter Horizontem rectum,& lineam fiduciæ Oſtenſoris per initium A traneuntem, interpolfitus. Nam arcus ille Aequatoris totus infra Horizontem obli zum deſcendiſſe conſpicietur, cum primum ſtella, vel punctum datum ad oblijuum Horizontem peruenerit. Polita autem ſtella in Horizonte obliquo ex 2 2 N 2 3 Qui gradus Eclipticæ data 5 1 N 174 9 f; Len enn e occidentali, punctum Eclipticæ in eodem Horizonte tune exiſtens eſt ilPhra obliqus. jud, cum quo ſtella occidit. Atque hoc punctum ſemper diuerſum eſt ab eo, cum quo cadem ſtella oritur in ſphæra obliqua. ASCENSIONI, deſcenſioniue obliquæ cognitæ, ſiue ea alicuius puncti Aſcenſiont, deſcẽ᷑ Bovine obliquæ 3. 5 a aur deer enge Eclipticæ ſit, ſiue ſtellę, arcum Eclipticæ reſpondentem ſic reperies. Circumarcum Eclipticæ holuatur tete, donec arcus Acquatoris à principio Vverſus& H. tendens a vſque ad Horizontem obliquum ex parte orientali complectatur tot gradus, quot in data aſcenſione continentur. Nam punctum Eclipticæ, quod tunc Ho rizontem obliquum ex eadem parte attingit, ter minat arcum Ecl ptica que ſitum, cui nimirum data aſcenſio congruit: Et ſi aſcenſio data eſtalicuius ſtellæ, nec eſſe eſt, tunc ſtellam in eodem Morizonte reperiri. Quocirca vt habeatur punctum Eclipticæ cum ſtella coorieus, ſatis eſt, vt ſtella in Horizonte obliquo ponatur. Punctum enim Eelipticæ Horizontem eundem attingens., erit id, quod quæritur. Aſcenſionem autem facile numerabis in Limbo ab Horizonte recto ex parte orientali verſus armillam progrediendo. Si enim ad terminum applices lineam fduciæ oſtenſoris, vertendum erit rete, donec principium. pr æciſe ſub linea fiduciæ reperiatur. Tunc enim arcus Aequatoris inter Horizontem rectum, ſimilis erit ei, qui in Limbo numeratus eſt. Non aliter deſcenſioni obliquæ arcum Eclipticæ limul deſcendentem inuenies, ſi pro parte orientali occidentalem recipias. piferentia aſcen CAETERVN poſito puncto Eclipticæ dato, vel ſtella in Horizõte obliquo, 2 ee& ſuperpoſita linea fiduciæ ipſi puncto, vel ſtellæ, arcus limbi inter lineam f Aſuolab1o. duciæ,& Horizontem rectum interiectus, eſt differentia aſcenſionalis illius pũcti, vel ſtellæ, cum aſcenſio recta terminetur in linea fiduciæ, quæ inſtar eſt Ho rizontis recti, obliqua vero in Horizonte recto, vt Num. I. dictum eſt. kctubencrn 1. 4. NON difficile erit ex his aſcenſionem, deſc euſionemue obliquam cuiu* 0 weder biens libet arcus Eclipticæ non ab. inchoati coniicere. Nam diſterentia inter aſcẽ 8 N. ſionem, deſcenſionemue primi,& vltimi puncti arcus propoſiti„erit aſcenſio, 22 tee n deſcenſioue obliqua dicti arcus. Vel ita procede mus. Poſito ptimo puncto dati ur ſtigale. arcus in Horizonte obi:quo, notetur in Limbo per ligcam fiduciæ oſtenſoris per ĩde m punctum tranſeuntem gradus, in quem linea fiduciæ cadit. Deinde cir cumuoluatur rete, donee vItimum punctum eiutd dati arcus Horizontem obliquum attingat,& notetut iterum gradus in Limbo à linea fducia per primum puncum tranſeunte monſtratus. Arcus enim inte duo illa puncta poſitus, er it aſcenſio, aut de ſcenſio obliqua dati arcus prout videlicet pats orientalis, aut occidentalis Horizontis obliqui aſſumpta fuerit. 5. AS CENSIONEM, deſcenſionemque obliquam cuiuslibet puncii Eclipti . 609 Eclipticæ, ſeu ſtellæ cognoſcemus ſine inſtrumento, hac ratione. Sit Aequato eee AB CP, cuius centrum E; tropicus V, EL M; tropicus, S, ENO; Eclipti- quem dat pb ca ACG, cuius centrum H& polus I; Horizon obliquus ad datam regio- 1 72770 3 nem deſcriptus LC PAM, cuius centrum K,& polus Q: deſcribaturque per K, l centrum Horizontis, parallelus Aequatoris K IR. Sumpta ergo beneficio cir. cini ſemidliametro Horizõtis KP, ponatur vnus circini pes in dato pũcto Ecli- dns pa Herticæ, vel ia centro ſtellæ, verbi gratia, in d, ptipeipio ih, vel in centro ſtellæ 2 chen e 0 7 4 5 3 1 1 ＋ 5 1 5 cribedus fit pro & altero centrum I, ſumatur in circulo K T R, ex quo per d, vel V, Ho- aenfonibus orizon dato Horizonti ſimilis deſeribatur Vdm, ita vt eius concauum à dato bliquis. puncto reſpiciat Eclipticæ partes præcedentes, occidentalesue ſignorum, vt ex y, Leonem, ex m, Libram,&c. Arcus namque Aequatoris CDI, ab V, vſque ad dictum Horizontem erit aſcenſio obliqua puncti d, vel arcus Eolipticæ CGd,& ſtellæ V, propterea quod punctum Aequatoris i, vna cum puncto Ecli pticæ d,& ſtella Voritur ſupra Horizontem obliquum dy. Quod autem dy, Horizon ſit dato Horizonti ſimilis, hoc eſt, eiuſdem incli nationis ad Aequatorem cũ Horizõte dato APC, patet, cum ſit vnus ex circulis horarum ab ortu, vel occ. vt cõ ſtat ex ijs, quæ lib. 2. prop., Num. 5. demonſtrauimus, qui quidẽ circuli omnes eandem inclinationem cum Ho rizonte, cui æquales ſunt, ad Aequatorẽ habẽt, ex theor. ö 1. propoſ. 27. lib. 2. Theod. quippe qui eoſdem paralle- g os, quos Horizon, tangant. N Cum ergo ſigna& ſtellæ eo. ͤ 0 bbb. 1 1 dem modo oriãtur ſupra om nes Horizontes eiuſdem inelinationis, quamuis vnus ſit altero orientalior, perſpicuũ eſt, arcum Acquatoris CDi, eſſe aſcenſionem p,& ſtellæ V, in dato Horizõte, cũ aſ cẽ ſio fiat ſupra Horizõtꝭ per np. tranſeuntem,& per ſtellã V. Sie ſi per principium m, id eſt, per punctum Z, ex centro 8, Horizon deſeribatur ſecans Aequatorem in V, erit arcus Aequatoris CD, aſcenſio obli qua puncti Z, vel arcus Eclipticæ CD. Et ſic de cæteris. Gradus autem Ecli- ada, Feli pticæ d, ab Horizonte per ſtellam V, deſeripto abſciſſus eſt ille, cum quo ſtel- bell e la Oritur. ſphæra obliqua DESC ENSIO obliqua eodem modo reperi etur, ſi per datum punꝗum Nai aut ſtellam Horizon deſeribatur centrum habens in prædicto parallelo K TR, 0 per centrum Horizontis deſeripto, ita tamen, vt eius conuexum reſpiciat par- 4, 5 tes Eclipticæ præcedentes, ſiue occideatales, Vt ſi per f, principium&, vel bli quis. per ſtellam X, ex centro 8, Horizon f X, deſcribatur ſecans Aequatore m in l. erit An ęradus Ecli pticæ cum data della occidat in Phæ ta obli qua. Differentis aſcen dtonalis deſcenſio aliens quo pa ! co re periatur ſi. nc inſtrumento. Aſcenſſopem deſet᷑ſionemq; obli quã cuiaſuis arcus Eclipticæ nõ ab Ariete inchoa ei, ſine inſtrumen 0 to deprehẽ dere. Aſcenſioni obli qu, vel deſcenſionĩ datæ atcum Eclptieæ fmu! onentem vel oc eidente mi ſine in Arumẽto aſsigua 20 610 E III. erit arcus Aequatoris Cl, de ſcenſio obliqua puncti Eelipticæ f, vel areus Ct,& ſtellæ X. Gradus autem f, Eclipticæ ab Horizonte per ſtellam X. deſeripto abſciſſus eſt ille, cum quo ſtella occidit. 9. SJ ex centro E, per datum pinctum Eclipticæ, vel ſtellam, recta ducatur ſecans Aequatorem, erit arcus Acquatoris inter illam rectam,& Horizontem oo modo, quo diximus, deſeriptum differentia aſcenſionalis, vel deſcenſionais. Vt pI erit differentia aſcenſionalis primi puncti m, cum eius aſcenſio recta ſit CDp, obliqua vero CD. Sic ln, differentia aſcenſionalis erit pr imi pun cti&: Et k i, differ entia aſcenſionalis ſtellæ V. 7. OBLIQVA aſcenſio dati arcus Eclipticæ non ab V, inchoati, eſt arcus Aequatoris inter duos Horizontes per extrema puncta dati arcus deſcriPtos, ita vt concauum vtriuſque reſpiciat præcedens ſignum, quod videlicet ante datum punctum oritur. Eiuſmodi enim arcus er it differentia aſcenſionum, quæ punctis extremis dati arcus debentur. Vt aſcenſio obliqua ſigni elt AT; ligni np, A iʒarcus denique dE, inter principium ny.& figem aſcenſio obliqua eſt iA J. Non alia ratione deſcenſio obliqua dati arcus aliunde, quam ab V, in choati, erit arcus Aequatoris inter duos Horizonte per extrema dati arcus de ſeriptos, ita vt vtriuſque con uexum præcedentes partes Ecliptieæ, quæ videli · cet prius oriuntur, reſpiciat. Vt deſcenſio obliqua ſigni V,; erit Cizſigni M, Cqʒ de ſgenſio denique obliqua ar cus ſm, inter principia&,& N, poſiti, erit arcus Aequatoris Iq. 8. EN data autem aſcẽſione, deſcenſioneue obliqua alicuius arcus, vel ſtellæ, ve · niemus in cognitionem arcus Eclipticæ reſpondentis, hoc modo. In Aequatore à principio V, nimirum a pun cto C, verſus J. IT,&ce numeretur data aſcenſio obliqua,& per terminũ numerationis deſcribatur Horizon, vt Num. 5. dictum eſt, hoc eſt, vt pro aſcenſione cõcauum, & pro deſcenſione conuexũ Horizontis reſpiciat partes occidentales Eclipticæ. Nã huiuſmodi Horizon per quæ ſitum punctũ Eclipticæ tran ſibit. Vt ſi aſcenſio data alicuius puncti, aut ſtellę, ſit arcus Oiʒ erit quæſitum Eclipticæ punctum d. principium videlicet np, cui prædicta aſcenſio congruit; aſcen ſioni vero CDV, reſpondebit arcus CGZ. Ita quoque deſcenſioni CIM, reſponde bit puactum f, vel arcus Bf, Arietis: Item deſcenſioni CDRꝗ arcus CG Fm, re ſpondebit. 9. SVNT quoque aliæ duæ viæ inueſtigandi aſcenſiones, deſcenſionesque obliquas NO. 611 obliquas; ſine deſcriptione Horizontum, quarum prima hæc eſt. Ex centro E, per datum punctum, vel ſtellam, deſeribatur arcus paralleli Aequatoris con tra ſueceſsionem ſignorum vſque ad Horizontem ex parte orientali. Hic enim aſcenſionem obliquam metietur. Vt arcus a Vb, dabit aſcenſionem prineipii, ſeu arcus Eclipticæ Ga. Quon iam enim ſimiles arcus Aequatoris, eiusque parallelorum fupra Horizontem quemcunque aſcendunt, propter vniformem motum primi mobilis; aſcendit autem arcus a Vb, eo tempore, quo ad motum retis punctum a, ad Horizontem in punctum b, peruenit; quippe cum punctum a, dictum arcum ad motum primi mobilis deſcribat; liquet eum arcum ſimilem eſſe arcui Aequatoris, qui cum prædicto arcu Eclipticæ CGa, ſupra Horizontem aſcendit, metiturque eiuſdem aſcenſionem obliquam Eadem ratione erit arcus VXb, aſcenſio obliqua ſtellę V, ſimilis nimirum arcui Aequatoris Ci: Item arcus xb, aſcenſio obliqua ſtellæ X: Et arcus dfe, aſcenſio obliqua principii np, ſimilis videlicet arcui Aequatoris Ci: Et arcus fe, aſcenſio principit J. Porro arcus ſ b, differen tia eſtſaſcenſionalis pũcti a, & ſtellarum V, X, cum rectæ aſcenſiones ſint af, Vf, Xſ. Itẽ arcus e t, differẽtia aſcẽ ſionalis eſt punctorũ d, f. ꝙ rectæ eorum aſcẽ ſiones ſint dft, fet. Cõſtant hæc omnia luce clarius ex iis, quæ in Lemmate 49. Num. 8. demonſtrauimus. Nam ducta recta Eb, hoc eſt, circulo ma ximo ex mundi polo E, per b. punctũ interfectionis Ho rizontis cum parallelo per datum Eclipticæ pũctum a, deſcripto, aufert ex Aequatore different iam aſcẽſiona lem Ce, cui ſimilis eſt ſbʒzat ducto alio circulo maximo ex polo E, per datum punctũ a, nimirum recta Eazerit arcus Aequatoris Des, aſcen ſio obliqua puncti a, cui ſimi lis eſt arcus a Vb. Sic quoniã parallelus per u, principium ꝝꝝ, deſcriptus ſecaret Horizontem in b, auferent rectæ Eb, Eu, circulos maximos repræſentantes, ex Aequatore arcum f D aſcenſionem ſcilicet obliquam arcus Eclipticæ CGu. Atque ita neceſſe non eſt deſcribere parallelum per datum punctum Eclipticæ, ſed ſatis eſt in Horizonte punctum notare, vbi ab eo parallelo ſecaretur. Recta enim per hoc punctũ ducta,& recta ad datum punctum emiſſa, intercipient in Aequatore arcum obli quę aſcenſionis dati puncti, vt in dicto Lemmate 49. Num. 8. demonſtratum eſt. QvO D(ex centro R, per C, A, Horizon obliquus deſeribatur g CA. Horizonti datæ regionis obuerſus, erit atrcus ag, deſcenſio obliqua puncti aʒ f G68 88& Vg, Alia neio daplen inueniendi aſcenſiones, deſcenſioneſque obliquse ſine ſuſttumento. Alia ratio facilli at. 612 F R i& Vg, de ſcenſio obliqua ſtellæ V;& g, deſcenſio obliqua ſtellæ X. Item q fr, obliqua deſcenſio puncti Eclipticæ d,& fr, deſcenſio obliqua puncti f. Denique tr, differentia erit deſcenſionalis, punctorum Eclipticæ d, f,&c. AL TE RA autem via, quæ mihi magis probatur, propterea quod in ea neceſſe non eſt parallelum deſcribere,& ipſa ſtatim aſcenſio, deſcenſioque in Ae quatore reperitur. eſt hæc. Sit rurſum Aequator ABCD, circa centrum E; tropicus S. Geeʒ tropicus, EJ; Ecliptica AFCG, cuius polus M; Horizon obliquus AQC, cuius polus L,& centrum Kʒ ſitque inueſtiganda aſcenſio obliqua principii&. Ducta ex centro E, per u, principium N, recta EE, ſecante Aequa torem in; Item recta Em, per punctum u, vbi ex parte orientali Horizontem obliquum ſecat parallelus ex E, per datum punctum Eclipticæ, deſcriptus, ſecante Aequatorem in m, ſumatur beneficio circini arcus EC, in Aequatore, à puncto&, vſque ad principium V, contra ordinem ſignorum ſupputatus, eique æ qualis abicinda tur mq; à puncto m, contra ordinem quoque ſigno rum progrediendo. Dico arcum ꝗC, eſſe aſcenſionẽ obli · quam principii N. Si namque Ecliptica cogitetur moueri contra ordinem ſignorum, hoc eſt, ab ortu in occa ſum; done c, principium, ad u, perueniat, congruet recta Ek, rectæ Em,& C, principium /, in q, exiſtet, propter æquales arcus? Cy mq. Hinc. n. fit, vt& arcus m, Cq; æqua les ſint, ac proinde equalibus temporibus percur rantur: adeo vt promoto pun cto&, ad m, punctum C, ad q; peruenerit. Igitur arcus Ae. quatoris q C, à principio V, vfque ad Horizontem ſecun dum ſucceſsionem ſignorum computatus, aſcẽſio obliqua erit principii N, in u, puncto Horizontis orientali tũc exi ſtentis. Rurſus inquirenda ſit obliqua aſcẽſio principii. Ducta recta EE, ex centro E, ad F, principium, ſecante Aequatorem in B,& recta Ef, ad interſectionem orientalem Horizontis cum parallelo per F, deſcripto, quæ Aequatorem ſecet in t, ſumatur arcui Aequatoris BAC, contra ordinem ſignorum numerato æqualis arcus verſus eandem partem t Br. Pico arcum rA BC, obliquam eſſe aſcenſionem principii. Nam mota Ecliptica con tra ſignorum ſucceſsionem, donec E, principium, ad ſ, perueniat, congruet recta EE, rectæ Ef,& C, principium, in r. exiſtet, propter arcus æqua les BAC, tBr, Hinc enim fit, vt& arcus BACt, Ct Br, æquales ſint, ideoque codem tempore B, ad t,& C, ad r, perueniat ad motum retis. Ex quo efficitur, arcum Aequatoris ABC, à principio V. vſque ad Horizontem R ordin AN O N V. 613 ordinem ſignorum computatum, aſcenſionem eſſe obliquam prineipii V, in ſ. puncto Horizontis orientali tune exiſtentis. Denique eodem modo afcenſionẽ obliquam reperiemus ſtellæ Z. Ductis namque rectis EZ, Ed, ad ſtellam,& ad inter ſectionem eius paralleli cum Horizonte ex parte orientali, ſi arcui Aequatoris à recta EZ, vſque ad C, principium, contra ſucceſsionem ſignorum aceipiatur arcus æqualis à recta Ed, vſque ad ff, erit arcus ffB C, aſcenſio obliqua dicta ſtellæ. NON liter deſeẽſiones obliquæ inueſtigabũtur, ſi pro interſectione oriẽtali Horizõtis cũ parallelo per datum punctũ, vel ſtellã deſcripto, aſſumatur interſe ctio occidentalis. Vt ſi quæratur deſcẽſio obliqua principij N, accipiẽda erit in terſectio a,& ducenda per a, recta ex E, ſecans Aequatorem in g,& altera recta ex E, per, principium F, ſecans Aequatorem in E. Nam ſi arcui Aequatoris EC, æqualis ſumatur gyzerit arcus A, deſcenſio obliqua principii N. Nam mo ta Ecliptica ab ortu in occaſum, donec, principium N, ad a, perueniat,& re · cta Ex, rectæ Eg, cong ruat, exiſtet principium V. in%, propter æqualitatem ar cuũ gC, g/; Hinc enim fit, vt& arcus Cg. CSV. æquales ſint, atque idcirco eodem tempore F, ad g,& C, ad y, perueniat) ac proinde areus Aequatoris YA, à principio V, vſque ad Horizontem occidentalem, ſecundum ſucceſsionem ſi1 computatus, deſcenſio obliqua erit principij&, in a, puncto oecidenta Horizontis tunc exiſtentis. Sic etiam ſi deſideretur deſcenſio obliqua principii m. ducatur recta Eq, ad q, principium am, ſecans Aequatorem in i,& alia re cca Ell. ad interſectionem occidentalem Il, Horizontis cum parallelo prineipii m ·¶ Non eſt autem neceſſe, vt parallelus dictus deſcribatur, ſed ſatis eſt, ſi ad in teruallum Eq, notetur punctum Il, in Horizonte ſecans Aequatorem in oo. Nã ſi arcui Aequatoris AC, contra ſucceſsionem ſignorum vſque ad V, æqualis arcus oo Dq ſumatur, exit q DA, deſcenſio obliqua principii in, quod V, tunc In q; exiſtat,&e. ro. IAM vero figuram quandam conſtruemus,(quam ſecundo loco lib. 2. Gnomonices in ſchoſio propoſ. 9. ex Andrea Schonero etiam deſcripſimus: in qua tamen circulus ex L., deſeriptus diuidendus non eſt in 12. partes æquales, vt ibi per imprudentiam faciendum eſſe diximus, ſed in aſcenſiones rectas 12. ſignorum, vt in hac figura cireu lus ABCD, diuiſus eſt. quod ideo dixerim, vt ſtudioſus Lector illam figuram corrigere poſsit.) in qua omn ium arcuum Ecliptieæ aſcenſiones rectæ& obliquæ contineantur, ita vt dato quoliber puncto Eclipticæ eius aſcenſionem tum rectam, tum obliquam ad datam poli altitudinem, ad quam nimirum figura conſtructa eſt, facili admodum negotio exhibere poſſimus. Item ex data recta aſcenſione cuiuslibet puncti aſcenſionem eiuſdem obli quam,& contra ex obliqua aſcenſione data rectam eruere: ac deni que ex vttali bet cognita punctum Eclipticæ reſpondens aſsignare. Ex centro igitur H, eirculus quantuſcunque deſeribatur KLM N, cum duabus diametris ſeſe ad angulos rectos ſecantibus KM. LN. Sumpto autem arcu MP, duplo maximæ declina tionis, id eſt, grad. 7. ducatur recta KP, ſecans HIL, in Q. Et quia iuncta recta PH.„ angulus PHM, maximæ declinationis duplicatæ, duplus eſt anguli HRK; erit HK Q, angulus maximæ declinationis, ac proinde HK, angulus complementi maximæ declinationis. Quoniam autem eſt, vt X H, ſinus anguli HK, complementi maximæ declinationis in partibus ſinus totius KQ, ad HQ, ſinum anguli HK Q, maximæ declinationis in eiſdem partibus, ita KH, ſinus totus ad ſinum IQ. in partibus ſinus totius K H, erit ex ijs, quę in Lemma te 49. Num. 19. de monſtr aui mus, IQ, ſinus differentiæ ane principii, vel,(hoc i 6888* elt, Figur contrus. re cootiuentem omnium puncte rum Ecliptica aſcẽſiones rectas & obliquas. a 20. tert. E. I RN Ii III. eſt, puncti Eclipticæ, quod maximam declinationem habet ab Aequatore) in latitudine grad. 45. cõplectens partieulas ſinus totius KH, 4348 L. paulo amplius, vt ex dicta proportione colligitur: qui quidem ſinus, vt ibidem oſtendimus,& hic etiam apparet, ęqualis eſt Tangenti HQ, maximæ declinationis, reſpectu ſinus eiuſdem totius R H;(cum Hd, ſit tangens anguli HK, poſito ſinu toto KH,)cui Tangenti 4348 T. in tabula ſinuum inuentæ- hoc eſt, ſinui differentiæ aſcenſionalis principii g, vel Y, in latitudine grad. 45. congruunt grad. 25. min. 40. Ex quo efficitur, ſi ex K„M, numerentur gradus 25. paulo amplius, vſque ad R. a, rectam iunctam Ra, exhibere idem punctum Q, quippe quæ abſcin dat rectam H, rqualem ſinui grad. 25 paulo amplius, quanta nimirum eſt differentia aſcenſionalis principii g. vel„, in latitudine grad. 48. quam Tangens HQ, maximæ declinationis in rabula Sinuum inuenta offert,(etiamſi ſinus ipſe dictæ differentiæ aſcenſionalis non ſupputetur ex ſupradicta proportione.) nimirum gtad. 25. min. 6. vt diximus. IN VENTO puncto Q. conſtituatur angulus altitudinis poli datæ HE, quæ maior non ſit complemento maximæ declinationis; eritque QEH, angulus complementi altitudigis poli, Ex centro vero E, deſcribatur Aequator cuiuſuis magnitudinis ABCD,& ducta diametro BD, ipſi AC, ad angulos rectos, ſumantur arcus CS, ST, maximæ declinationi æquales, ſecabitque iunda recta occulta AT, ipſam BD, in O, centro Eclipticc, vt lib. 2. propoſ.. Num. 4. oſtendimus, iuncta vero recta occulta AS, eandem BD, ſecabit in I. polo Eclipticæ, vt ibidem Num. 12. demonſtrauimus. Deſcripta ergo ex O, per C.& A, Ecliptica A FCS, ſecetur in 12. ſigna per rectas ex eius 1 duo de cimas partes equales Aequatoris emiſſas, vt in figura factum eſſe vides:& ex centro E, per 12. ſigna Eclipticæ eiiciantur rectæ, quarum quælibet per duo ſigna oppoſita tranſibit. Hæ namque Aequatorem ſecant in aſcenſionibus rectis ngnorum vt in Canone 4. Num.. dictum eſt: adeo vt arcus Aequatoris inter 3 R Noe 615 C,& rectam per quodcunque punctum Eclipticę ductum poſitus(à puncto C, quod eſt principium, verſus D, progrediendo, id eſt, ſecundum ſucceſsionem ſignorum) metiatur aſcenſionem rectam illius ꝑpuncti Eclipticę: arcus vero inter quaslibet duas rectas interiectus aſcenſio recta ſit arcus Eclipticę inter eaſdem duas rectas poſiti. Eędem deinde rectę eodem modo ſecabunt circulum KLMN, initio deſeriptum, in aſcenſionibus obliquis, ita vt rectæ ex centro N, per puncta ſectionum illarum rectarum cum eirculo KL MN, emiſſæ conſtituãt in centro H, angulos aſcenſionum obliquarum. Quod hune in modum demonſtrabimus. DES CRIBAT VR ex E, circulus dg, circulo KLM N, ompino æqua lis, qui a rectis ex E, egredientibus ſecabitur quoque in aſcenſiones rectas, cum ambo circuli ABCD, dgg, ſimiliter ſecentur, ex ſcholio propoſ. 22. lib 3. Eucl. In primis igitur, Mb, eſle aſcenſionem obliquam initii, in altitudine poli aſſumpta, cuius nimirum angulus eſt HQE, ita per ſpicuum fiet. Ducta recta EY, ipſi Hb, parallela, quoniam æquales ſunt Hb, EV, cum ſemidiametri ſint æqualium cixculorum z erunt quoque HE, bV, parallelaæ& æquales. Quia vero eſt, vt QH, ſinus complementi altitudinis poli ad HE, ſinum altitudinis poli, reſpectu ſinus totius Q, ita recta QH, quam paulo ante oſtendimus eſſe finum differentiæ aſcenſionalis principii gg, in latitudine grad. 5. re ſpectu ſinus totius KH, ad HE; erit ex lis, quæ in Lemmate 49. Num. 20 demonſtrauimus 5 HE, ſinus differentiæ aſcenſionalis principii, in latitudine propoſita. Igitur& Vb, ipſi N E, oſtenſa æqualis, ſinus erit differentiæ aſcenſionalis prineipii S, in latitudine data. Cum ergo Vb, ſinus ſit arcus Vg, erit Vg, differentia aſcenſionalis principii, in data regione. Eſt autem dg, quadrans, aſcenſio recta principii. Igitur ablata differentia aſcenſionali Vg,(Nam aſcenfiones obliquæ ab V, vſque ad, minores ſunt rectis, vt in Lemmate aA. Num. 12. oſtendimus,) reliquus arcus dV, aſcenſionem obliquam initij c; dabit, o cui æqualis eſt arcus Mb, propter angulos in centris dE V, M Hb, qui æquales ſunt, propter parallelas EV, Hb. A arcum Nd e, eſſe aſcenſionem obliquam initij ꝑr, ita planum faciemus. Ducta Eu, parallela ipſi Es, a erit rurſus juncta us, æqualis,& parallela ipſi HE: Demiſsis itẽ d m, u k, ad E, perpendicularibus, erunt triangula Ed m, eu k, æquiangula, quod anguli m, k, recti ſint e& d E m, u e k, internus,& externus, æquales. Oſtenſæ enim ſunt parallelæ u e,& HE. f Igitur erit, vt Ed, ſinus totus ad d m, ſinum aſcenſionis rectæ u, initii ꝑr, ita e u, ſinus differẽtiæ aſcenſio nalis initij g, in data regione, ad uk; ac proinde, vt in Lemmate 49. Num. 1. monſtratum eſt, erit u k, ſinus differentiæ aſcenſionalis initij x, in data regione, & arcus u a differentia aſcenſionalis, ideoque d u, aſcenſio obliqua principij x. cui æqualis eſt arcus M2. l IJ EM arcum Mi, aſcenſionem obliquam eſſe initii&, ſic probabitur. Ducta Eg, ipſi Hi, parallela,, erit rut ſum iuncta gi, æqualis,& parallela ipſi HE. Demiſsis item d f, g e, ad E t, perpendieularibus, erunt triangula Edf, ige, æquiangula, ob rectos angulos f. e, i& angulos d Et, ge, internũ& externum, æqua les.* Igitur erit vt E d, ſinus totus ad d ſ, ſinum aſcenſionis rectæ d t, princi pii N, ita i g. ſinus differentiæ aſcenſionalis principii g, in data regione, ad gez atque idcirco, vt in Lemmate 49. Num. 16. oſtendimus, erit ge, ſinus diferentiæ aſcenſionalis initij&,; ideoque arcus gt, in data regione differendia aſcenſionalis,& dg, aſcenſio obliqua principii&, l cui æqua lis eſt arcus Mi. RVRa 34. primi. b 26. tert. c 20. primi. d 33. primi. e 29. primi. f. ſexti. g 26. rertij. h 53. primi. i 29. brimi. K. ſexti. 126 tertj. 616 I, . RRS Vs arcum NV, aſcenſionem eſſe obliquam prineipii y, eodem mo 233. Primi. do demonſtrabimus. Ducta enim Ep, ipſi HV, parallela, aerit, vt prius, iunctarecta Pv, ipſi HE, æqualis ac parallela. Demiſsis item d q; p niad EV, perpendiculari b 29 primi. bus, erũt triãgula Edq, Vpn, æquiãgula, quod anguli q. n, ſint recti,& dEq, pVn, c F. ſexti. 2 externus,& internus. Igitur exit. vt E q, ſinus totus ad dq; ſinũ aſcen ionis rectæ d n, principii ny, ita Vp, ſinus differentię aſcenſionalis principii n, in data regione: ad pn. Eſt ergo ex ijs, quæ in Lemmate 49. Num. 18. oſtendi. mus, p n, ſinus differentiæ aſcenſonalis principii hp, in eadem regione; ideoqʒ d 26. ertij. arcus p differentia erit aſcenſionalis;& dp, aſcenſio obliqua initii h, 4 cui æqualis eſt arcus MV. AD extremum(Nam in omnibus ſemper eadem demonſtrandi ratio vſurpabitur)arcum K, eſſe aſcenſionẽ principii m; obliquam à principio, nume 0 5 ratam, ac proinde addito ſemicirculo MN, totum arcum MK), eſſe eiuſdem principii m, obliquam aſcenſionem à principio V, numeratam, eodem pror0 33. mi. ſus modo demonſtrabimus. Ducta enim Ef, ipſi H 9, parallela, erit iterum iuncta recta 0, ipſi HE, æqualis& parallela. Demiſsis item 5 ſr, ad Eh, perendicularibus, erunt triangula ES uA fr, æquiangula, propter rectos angu5 ur,& æquales Eu, fUr, alternos. Igitur serit, vt Eg, ſinus totus ad EA, ſinum aſcenſionis rectæ q, initii m, ab initio Q, numeratæ- ita 9ſ, ſinus ditterentiæ aſcenſionalis principii S, vel V, in regione data, ad ſr, Ex ijs ergo, quæ in Lemmate 49. Num. 18. demonſtrata ſunt, erit ſr, ſinus differentiæ aſcenſionalis principii m. ab initio, numeratæ, in eadem regione; ac propterea arcus 4, differentia erit aſcenſionalis. Et quoniam, vt in Lemmate 49. Num. 12. monſtratum eſt, aſcenſiones obliquæ à, vſque ad V, maiores ſunt. quam rectæ, ſi ad rectam aſcenſionem Eq, differentia dicta q, adiiciatur, erit 1 26. tert). Ef, aſcenſio obliqua principii m, cui æqualis eſt arcus KO. 11 DEI VR iam pundtum Z, quodcunque Eclipticæ, initium, v. g. N· proa poſitumfaq. primi. g 4. ſexti. A N ON V. 617 poſitumque ſit ex ſuperiore figura eius rectam aſcenſionem inuenire. Ex E, centro gequatoris, per datum punctum Z, recta ducatur EZ, ſecans Aequatorem in X, eritque CX, aſcenſio recta dati puncti, vt Can. 4. Num. r. demonſtratum eſt. Quod ſi eiuſdem puncti aſcenſio obliqua in regione, cuius poli altitudinis angulus eſt H QE, deſideretur, ducemus rurſum ex E, centro Aequatoris per datum punctum Z, rectam. Hæc enim ex circulo K LM N, aſcenſionem obliquam abſcindet Mx, vt proxime oſtendimus. Præterea ſi ex data aſcenſione recta obliquam iubeamur eruere, numerabimus in Aequatore rectam aſcenſionem datam ex C, vſque ad X. Recta enim ex E, centro Aequatoris per X, emiſſa ex circulo KLMN, aſcenſionem obliquam abſcindet M. At vero ſi recta aſcenſio ex obliqua quæratut, numeretur data obliqua aſcenſio in circulo KLMN, ex M, vſque ad x. Nam recta Ex, auferet ex Aequatore aſcenſionem rectam CX. Poſtremo ſi data aſcenſione ſiue recta, ſiue obliqua, punctum Eclipticæ, cui congruat, inueniendum ſit, numeranda erit data aſcenſio, recta quidem in Aequatore ex C, vſque ad X, obliqua vero in circulo K LM N, ex M,. vſque ad A,& per finem numerationis,& centrum E, recta ducenda ſecans Eclipticam in Z. Nam recta ex polo Eclipticæ I, per Z, ducta abſcindet ex Aequatore arcum Cl, cui arcus Eclipticæ Cz, in ſphæra æqualis eſt, quod ad numerum graduum attinet. 12. D E deſcenſionibus porro arcuum, punctorumque Eclipticæ ex prædicta figura inquirendis nihil præcipimus. Quoniam enim, vt in Lemmate 49. Num. 14. dictum eſt, deſcenſio cuiuſuis arcus æqualis eſt aſcenſioni arcus oppoſiti, & æqualis, inquirenda erit aſcenſio arcus oppoſiti pro deſcenſione propoſiti arcus. 13. E X eadem hac figura facile demonſtrabimus, quaternos arcus Eeliptice æquales, quorum bini ab æquinoctialibus punctis, vel tropicis, æqualiter diſtant, habe re aſcenſiones rectas æquales: quod in Lemmate etiam 49. Num. G. demonſtrauimus. Quoniam enim arcus Aequatoris Cæ, Ap, continentes v. g. grad. 30. æquales ſunt, per quorum extrema puncta, p, rectæ emiſſæ ex, polo Eclipticæ(Hæ rectæ confuſionis vitandæ gratia ductæ non ſunt) exhibent 14 arcus Eclipticæ C, Ap, arcus v. g. M& z eſt autem punctum I, in diametro Aequator is BD, præter eius centrum E, eruat ex theor. 5. ſcholii 29. lib. 3. Eucl. anguli, quos rectæ illæ cum BD, conſtituerent, æquales. Igitur cum eędem illæ duæ rectæ pertingant ad%, faciantque in puncto I, præter centrum O, Eclipticæ angulos æquales, vt oſtenſum eſt; erunt per idem theorema, arcus Eclipticæ Co, Ap, æquales. Quocirca cum rectæ E-, Eę, cadentes ex E, puncto præter centrum Eclipticæ O, abſcindant arcus æ quales Co, Ag, erũt per idem theorema, anguli FE, E Ep, æquales; ideoque ex rectis reliqui IEd, YE E, æquales quoque in centro E, Aequatoris, vel circuli dg, concentrici. Quamobrem arcus dq, Sqꝙ, hoc eſt, aſcenſiones rectæ arcuum æqualium Ecli pticæ C, Ap, æquales erunt. Et quia rectæ GE, E, productę tranſeunt per puncta Eclipticæ oppoſita, hoc eſt, per principia hy,& Y, ſuntque arcus S dt, arcubus d, Ec, æquales, ob angulos ad verticem, E, equales; erunt omnes quatuor aſcenſiones rectæ d, dt, S,, quatuor æq̃ualium arcuum Ecli pticœ, nimirum quatuor ſignorum. V, Hp,& Q, æqualiter diſtantium à punctis æquinoctialibus C, A, vel tropicis F, G, æquales EAD E M prorſus ratione oſtendemus angulos EE gg FE, eſſe æquales, quibus demptis ab æqualibus BEV, FER, æquales erunt reliqui G ERπε E. Ergo, vt prius, rurſum ęqua les exunt quatuor aſcenſiones rectę quatuor arcuum Aſcenſtouem ra. ctam,& obliqua cuiuſuis punsd Eclipticæ& es alterutra data, alteram, vna ct puncto Ecliptic reſp ondents ex ſupetiore 5g ra reperize, Be ſcenßo ob. qua vt reperistur ex figuta prg cedente Quaternos zreus Ecliptieæ æqua les à punctis æqualiter diſtãtes habere aſcenſiones rectas æqus-· es. 4 20. teriq. b 206. tertij. Arens Telipticæ gquales ab alterurre ponctorum æquinoctialium æqusliter diſtantiu m habere aſcẽ fones obliquas * quales. Arcus Rclipticæ in ſemicirculo aſcendente tanto minores habere aſcenſiones obliquas rectis eorundem aſcenſio nibus, quãto ma zores tectis ſunt aſcenſiones obliquæ arcuum æqualium oppoſitorum, vel cũ illis ab eodem tro pico pũcto ęqua liter diſtantium & in ſemicirculo deſcendente exiſtercium. 4 5. primi. b 29. primi. c 26. tertj. Aſcengones obli quæ duorum arcuum Eelipticæ æqualium oppo ſterum, vel æ&· qualiter 2b eodẽ puncto tropico dittantium ſimul cumptæ æquales ſune rectis earun dt aſcenſionibus 618 FI. arcuum æqualium, ſignorum videlicet,&. Q,& m. Atque ita de cæteris. 14. INFEER IT VR ex eadem figura, aſcenſiones obliquas duorum arcuum Eclipticæ æqualium ab alterutro punctorum æquinoctialium æqualiter diſtantium, eſſe inter ſe æquales. Sint enim æquales arcus Eclipticæ Aę, Anp, à principio. æqualiter diſtantes, hoc eſt, reſpondeant arcubus in ſphœra æqualibus à principio S æqualiter diſtantibus. Dico eorum aſcenſiones obliquas KY, KV, æquales eſſe. Quoniam enim eorum aſcenſiones rectæ æqua les ſunt, vt Num, 13. oſtendimus, erunt anguli GEH, VEH, æquales. Cum ergo punctum E, ſit præter H, centrum circuli KLMN, in eius dia metro; erunt per theor. 56. ſcholii propoſ. 29. lib. 3. Eucl. arcus K KV, ęquales. Eodem argumento concludemus, aſcenſiones obliquas Kœ, KN, arcuum Eclipticæ æqualium, Aꝙ, AZ, æquales eſſe; ac proinde ablatis æqualibus K 9, RV, reliquas quoque aſcenſiones go, V qualium arcuum, ny, æquales eſſe. Et ſic de reliquis. 15. P RAE T ER EA ex eadem figura colligere licebit, arcus Eclipticæ æquales ab alterutro tropicorum punctorum æqualiter diſtantes, vel per diametrum oppoſitos, in æquales habere aſcenſiones obliquas, minores quidem in ſemicirculo aſcendente à V, per V, vſque ad g, maiores vero in ſemicirculo deſcendente à, per&, vſque ad V. Item illas tanto eſſe minores aſcenſionibus rectis eorundem arcuum, quanto hæ maiores ſunt. Sint enim duo arcus æ quales N H N à tropico puncto G, æqualit er remoti. Et quia eorum aſcenſiones rectæ æquales ſunt, vt Num. 13. oſtenſum eſt, erunt anguli tEæ, VEN, æquales. Cum ergo punctum E, ſit in diainetro circuli KLMN, præter eius centrum H, erit per Lemma 32. arcus is, minor arcu Vi. Eademque ratio ne probabitur aſcenſio obliqua cuiuſuis arcus in ſemicirculo Eeliptica ECG, aſcendente, minor arcu æquali in ſemicirculo deſcendente GAE, qui æqualiter cum illo ab eodem puncto tropico diſtet. Quia vero arcus N A. Ay Noæqua les,& æqualiter à puncto tropico G, diſtantes, æqualiter quoque à punctis æquinoctialibus C, A, diſtant; habet autem arcus hy Y, cum arcu hy, æqua li,& æqualiter ab eodem puncto æquinoctiali A, remoto, æqualem aſcenſionem obliquam, vt Num. 14. monſtratum eſt: habebit quoque arcus ꝗ&, minorem obliquam aſcenſionem arcu æquali m, qui illi oppoſitus eſt, cum æqualiter à punctis æquinoctialibus C, A, ſecundum lucceſsionem ſignorum diſtent. Eademque ratione quilibet arcus in ſemicirculo Eclipticæ ECG, minorem habebit aſcenſionem obliquam arcu æquali in ſemicirculo G A E, qui illi oppoſitus ſit. DEIN DE 2, quia in Iſoſcele iH 9, anguli i, 9, æquales ſunt, b& his æquales alterni anguli iEg, Ef, e erunt quoque differentiæ aſcenſionales gt, ſO, arcuũ oppoſitorum æqua lium C& Am, ęquales; ideoque quanto minor eſt aſcenſio obliqua dg, vel Mi, recta aſcenſione dt, tanto maior exit aſcenſio obliqua El. vel Kh, aſcenſione recta g. Cum ergo aſcenſio obliqua K. æqualis ſit oſten fa aſcenſioni obliquæ KV, erit quoque aſcenſio obliqua Mi, arcus C, tanto minor, quàm recta, quanto aſcenſio obliqua KV, Arcus Alp, æqualis,& æqua liter cum illo à tropico puncto G, recedentis, minor eſt a ſcenſione recta 2 eiuſdem arcus. Eadem pror ſus ratio eſt in cęteris ar cubus æqualibus, ſiue oppoſitis, ſiue æquali ter ab eodem puncto tropico recedentibus. 16. POST REMO ex his omnibus fequitur, aſcenſiones obliquas duorum arcuum Eclipticæ oppoſitorum, vel ab eodem tropico puncto ęqualiter di ſtantium ſimul ſumptas, æquales eſſe aſcenſionibus rectis eorundem rem fimu G NOH 619 mul ſumptis: quia nimirum quanto vnius aſcenſio minor eſt aſcenſione eiuſdem recta, tanto alterius maior eſt. o 1. PER Analemma aſcenſiones, deſcenſionesque obliquas punctorum Ecliptica, ſtellarum que hoc modo inteſtigabimus. Repetatur figura, quam in ſcholio praceden tis Canonis Num. g. deſcritſimus, in qua Meridianus AN CM, eiuſque centrum D; Aequatoris diameter AC: Eclipticæ EP, vel klzè axis mundi gh. Si igitur pundium Eclipticæ, cuius aſcenſio obliqua quæritur, fuerit in ſemicirculo deſcemdente, complemen tum eius diſtantiæ à principio Q, numeretur ab E, principio gp, vſque ad i,& ex i, ad E P, perpendlicularis demittatur i F, c per F, Aequatoris diametro AC, parallela agatur G H, quæ diameter erit paralleli per functum, in quo numeratio terminata ſuit, deſeripti; ſecet autem GH, Horixontis diametrum aA, in b,& axem mundi gh, in d. Denique ex d, per G, H, ſemicirculo paralleli deſcripto GH, ducantur ex b, F, ad GH, perpendiculares bp, Eq. Erit ergo arcus pq, aſcenſio obliqua arcus Eclipticæ à principio, verſus g, numerati, cuius nimirum ſinus est DF, qualis es artus r i, inter perpendiculares Dr, Fi, interceptus, vt lib. 1. Lemmate g. Num. 17. oſtenſum et. S i :gitur arcum pq, ex ſemicircuio detraxeris, reliqua erit aſcenſio obliqua artus à principio V, uſque ad punctum Ecliptica puncto F, reſpondens ſecundum ſignorum ſeriem un merati. Et quia eandem aſcenſionem obliquam habet arcus à principio Q, verſus v, numeratus, qui aqualis ſit arcui, cuius ſinus eſt DF, ab eodem initio Q, verſus, nu merato, vs paulo ante in hoc Canone Num. 1 4. monſtratum eſisſi aſcenſio inuemta p. ad ſemicirculum adlijciatur, prodibit aſcenſio obliqua puncto Eclipticæ, quod tanto interuallo à principio Q, verſiis recedit, quanto punctum functo F, reſpondens ab eo dem initio Q, verſus S. abeſt. SI vero punctum Ecliptice, cuius aſcenſio obliqua inuenienda eſt, in ſemicirculo aſcendente extiterit, numerandum erit eius à principio M, dictantia complementum& k. principio V, uſque ad m,& ex m, ad kl. perpendicularis ducenda mn u,& rur ſus per u, diametro Aequatoris AC, parallela extendenda NX. diameter nimirum paralleli Per punctum, in quo terminata ſuit numeratio, tranſeuntis, ſecans Horixontis diametrum in T,& arem mundi in f. Nam ſi ex fiper V, X, ſemicirculils paralleli de ſcribatur Vn R, erit, vt lib. i. Lemmate 9. Num. I j. demonſtrauimus, ipſius arciis, inter Perpendiculares Tor, n, ex Jin ad&, eductas interceptus, aſcenſio obliqua arcus Ec lipticæ à principio M, verſus, numerati, cuius ſinus eſt Du, qualis eſt arcus ſin, inter perpendiculares Dſi um, interceptus. Si igitur aſcenſio obliqua inuenta ex integro circulo detrahatur, reliqua iet aſcenſio obliqua larcus Eclipticæ à principio uſque ad punctum, quod puncto n, reſpondet, ſecundum ſucceſsionem ſignorum numerati. Et quia eandem aſcenſionem obliquam habet arcus A principio, verſiis S. numeratus, qui equalis ſit arcui,, cuius ſinus eſi D n, ab eodem initio, verſis V. numerato, vl Num. Ia. huius Canonis oſtenſum es, congruet eadem aſcenſio inuenta ſuncto Eclipticæ, quod santo interuallo& principio N, verſus S. abeſt, quanto tundum, quod ipſi n, reſßondet, ab eodem initio I, verſiis Vz remouetur. ALIT ER. Inuenta puncti Eclitticæ dati, vel ſtelle declinatione, vt Canone g. traditum eſt, numeretur ea ex A,& C quameunque in partem candem uſque 4d G, H, ducaturque diameter paralleli G H, per datum Eclipticæ punctum, vel ſtel lam tranſeuntis, ſecans axem mundi in d,& Horixontis diametrum in b. Er guniam G, eſt.ſinus verſus arcus ſemidiurni, erit dé, ſinus redtus diſferentiæ inter II h h h arcum A ſcen ſiones, deſcenſioneſqʒ obli quas ex Abalem mate elicere. ITnuentio differen tiæ aſcenßonalis dati puncti Eclipticæ, vel ſtellæ, cx Ana emmatce. 620 FFC arcum ſemidiurnum paralleli,& arcum ſemidiurnum Aequatoris, cui debetur ſia nustotus Gd. Cum ergo, vt lib. 1. Lemmate 9g. Num. IJ. oſtendimus, eadem ſit diſforentia aſcenſionalis, qua inter arcum ſemidiurnum puncti, vel ſtella,& arcum ſemidiurnum Aequatoris 3 erit quoquè d b, ſinus differentia aſcenſionalis ſtella. vel puncti Ecliptica dati. Si igitur datum punctum, vel ſtella declinet in boream, auf feratur diſferentia aſcenſionalis inuenta ex aſcenſione recta ftella eiuſdem, aut punci Canone q. inuenta, vel ſi declinet in auſtrum ſtella, vel datum punctum, adijciatur ad rectam aſcenſionem. Relinquetur enim, vel conſfabitur aſcenſio obliqua, ut ex is conſtat, qua lib. r. in Lemmate 49. Num. IS. diximus. Nihil autem interest vtram in partem, borealem, vel auſtralem, declinatio ſupputetur à punctis A, C, cum puncta oppoſita eandem haboant diſfrentiam aſc enſionalem, ut ibidem tradiun Eſt. 1a dus cli per. 2. VT autem ex cognita aſcenſione obliqua alicuius puncti Eclipticæ arcum Ecli1 te initium Alle: 1 1 5 tis exiſtat, ea co· ptica reſpondentem eruamus, Snitz aſcenfione, explicanda prius ſunt nonnul · obliqua coguoſcere. la. Primum enim ſciendum eſt, quando aſcenſio obliqua mi nor eſt quadrante, principium V, exiſtere inter orientem, ac Meridianum ſupra Hori⁊ontem: quando eſt quadrans, in ißſo Meridiano ſupra Horixontem: quando maior quadrante, ſed ſemicirculo minor, inter Meridianum ſupra Horixontem,& occidentem: quã do ſemicirculo maior, ſed minor tribus quadrantibus, inter occidentem,& Meridianum infra HN orixontem: quando tres complectitur quadrantes, in ipſo Meridiano ſub Hori conte: quando deniqus tribus quadrantibus maicr, inter Meridianum ſub Horixonte, & orientem. situm pun di E- DEIN DE non ignoclipticæ tam in randum eſt, quando inituum Meridiano ſupra 0 1 Fa 1 1 5 „, eſt inter orientem& Meridianum ſipra Horixontem, punctum Eclipticæ in MeHorizontem, dude in Herz0 vidiano exiſtens eſſe auſtrale, in Horixonte vero orientali boreale: quando in Meri, e diano ſupra Horixontem, punctum in Horixonte orientali eſſe boreale: quando inter nieti cogaoſfes. Neridianum ſupra Horixontem,& Occidentem, tam punctum in Meridiano, quam 1 in Horixonte orientali eſſe boreale: quando in occidente, punctum in Meridiano eſſe boreale: quando inter Occidentem ꝙ Meridianum ſub Horizonte, pundtum in Meridiano ſub Horixonte, pundtum in Meridiano eſſè boreale,& in Horixonie orienrali auftrale: quando in ipſo Meridiano ſub Horidonte, punctum in Horixontè orienrali eſſe auſtrale: quando deniqueé inter Meri dianum ſub Horixonte;& orienrem, tam in Meridiano, quam in Horixonte orientali, eſſe auſtrale. Qua om. nia GNA NFO F. 621 nia in ſphara materiali perſpicua ſunt. 3. HI cognitis, explorabimus arcum Eclipticæ ab M, ſecundum ſignorum ſucceſ Aeon e ſnem numeratum, qui data aſcenſioni obliquè congruat, hot modo. Si aſcenſio obliqua mnaior eit quadrante, ſd ſemicirculo minor, det rabatur e ſomicirculo; ſi maior ſemicirculos ſed minor tribus quadrantibus, detrahatur em ea ſamicirculuszſi demique maior rribus quadrantibus, dematur ex integro circulo: halt enim rationè habebimus ſemper arcum Aequatoris inter principium,& Horixontem, ſiue orientalem, ſiue occidentalem, quadrante minorem. Huius arcus relicti, vel ipſcuſinet aſcenſionis oblisus, ſi quadrante minor ef, accipiatur in diametro Aequaloris A C, ſinus rettus Da quod facile fiet, ſi ex g, verſus A, ipſa aſcenſio obliqua guadrantè minor, vel arcus relictus numeretur vſque ad g,& eæ g, ad AD perpendicularis demittatur gu. hæc enim ſinum recti Da, quem volumus, abſcindets:eritque puncium d, illi d, in quod perpendicularis eꝶ initio M, inplanum Meridiani demiſſa cadit, cum princibium, exiſtat tunc in giſi ſemicirculus AC, cogitetur eſſe rectus ad Meridiantm, hoc eſi, idem, qui ſemicirculus Aequatoris: Atque hoc quidem, quam do aſcenſio obliqua data ſomicirculo minor eſt. Næ ea exiſtente maiore, pundtum d, erit illud, in quod perpë dicularis ex principio Q, in Me ridiani planum demiſſa cadit: propterea quod quantum initium V ſub Horixonte em vna parte deprimitur, tatum ex oppoſtta parte principium ſupra eundem attollitur. H O C poſito, erit reliquus arcus g A, is, qui in Aequatore inter idem princibium V vel a,& Meridianum ſupra Horixontem interifcitur, hoc eſt, aſcenſio recta illius punti Ecliptica, quod tunc Meridian ſupra Horixontè poſsidet, cuius ſinus recius ag; aſcenſio, inquam, recta ab M, vel Qn, inchoata. Ex hac aſcenſſone redta inuenisda et 2 declinatio illius piicti, quod tunc in Meridiano reperitur.& cui 22 æſcë ſio recta cduenit, vt in ſcholio pracedentis Canonis Num. 5. traditum eſt, hac videlicet ratione. Sinui g. equalis recta accipiatur De,& u A D, perpendicularis excitur e I, cui ex tangente AK, equalis abſcindatur A K. Recta enim K D, arcum declinationis AG, qua ſitæ abſcindet, vt loco citato demonſtrauimus. Hæc declinatio erit borealis, quando data aſcenſio obli qua eſt maior quadrante,& trilus qundrantibus minor; auſtralis vero, quando obliqua aſcenſio data quadrante minor eſt, vel tribus quadrantibus maior, ut Num. z diximus,& liquido ex ſphæra materiali colligitur. Redta autè ex G, per centris D, ducta, crit tunc communis ſectio Eclipticæ, ac Meridiani. Et quoniam Ecliptica ad Meridian inclinata eſt, niſi quando alter punctorum tropicor in Meridiano exiſtit ſupra Horixontẽ,& alterum infra,(a ſunc enim Ecliptica ad Meridianum recta eſt quod Meridianus per eius polos incedat) cadent oès perpendiculares ex punctis E clipti caad planum Meridiani demiſſæ in Ellipſim, per propoſitions 2 ꝶ. lib. I. Gnomonices no tra, quori vnum est e, in quod cadit perpendicularis em principio V, vel A; demiſſa, cuius Ellipſis maior axis eſs GT, minor autè in diametro MN, ad GY. perpendliculari exiſtie, qui ſic reperietur. Interuallo DG ſemiſcis maioris axis ſmatur ben Hecio circini ex c, in MN, punctii O, cm recta ducatur d ſecas GH, maiarè auè in Q. Nam 4 Q. eſt ſemiſtis minoris axis, quæ ſi ex D, transſeratur in vtramq; partè rectæ MN, uud; ad R, S erit RS, minor axis, ex Lemmate 5 o. lib. i. Si igitur per Lemma p a. inuenian tur in Horixontis diametro Za, puncta T. t, per qua dicta Ellifſis tranſit, cadet perpendi cularis ex altero eorum ad Meridianum erecta, nimirum au l i Ecliptica ex parte au Arali Horixontem ſecat, in punctum Eclipticæ in Horixontè orientali tunc exiſtens. uod ſi ductæ recta Ter, aqualis ſumatur T,& ad Z D„Ferpendiculares excitentur Te, 90. ita vt Sh, hüt& G, æqualis ſit, erit aueta recta he, æqualis chordꝛarcus EcliPticæ inter punctum Horixontis T,& principium, vel, interiecti, cum 2 9¹,m lis ſit rectæ intercepta inter perpendiculares ex T,&, emiſſas ad planum M eridiaui, quæ quidem chorda ett dicti arcus. Atqus ita ſi bencſicio chord ha, eæ aliquo funHhhh 2 cto, 0 . 3 * 620 r inn Go, vt eæ a, abſcindatur arcus a Hi, erit hic arcul Ecliptitca prædicte æqualis, atque adeo ſi& principio V, vel,(prout videlicet pun dum d, reſpondet initio V, vel A dictus arcus numeretur, terminabitur numeratio in puncto, quod tunc in Horixonte reperitur, c ex que ſerpendicularis demiſſa in planum M eridliani in T, incidlit. Eodem pacio ſi Ecliptica e parte boreali Horixontem ſocai, reperietur pundtum Ecliptin ca ſunc in Horixonte exiſtens, pundtoque* reſpondens, ſi Aducta recta t e, æqualis recta ſumatur in Za,&c. INV ENT O puncto Eclipticæ, quod puncto T. vel t, reſpondet, hoc eſt, arcu inter principium V, vel&, Hori xont em orientalem intercepio, reperiemus arcum Ecliptic dat aſcenſioni obliqua re/ pondentem hoc modo. eando data aſcenſio obliqua minor et quadrante, reſpondebit pun dum c, initio ,. declinatio puncti in Meridiano exiſtentis erit auftralis, punctumque El lipſis boreale t, aſſumendum eit, atque arcus inuentus, qui nimirum inter perpendiculares ex t, cad planum Meridia ni emiſſas intercipitur, erit is, qui quaritur, Quando vero aſe cenſio obliqua maior eſt quadrante,& ſemicirculo minor, reſpondebit rurſum punctum , principio, ſed declinatio puncti in NMeridiano exiſtentis erit borealis, ſicut& punctum, quod in Horixonte orientali tunc reperitur, ac proinde punctum in Horixonte occidentali oxiſtens, cui printipium, vicinius eſt, erit auſtrale, ideoq; punctii Ellipſis auſtrale T, aſſumendum. Quare arcus Eclitticæ inuentus, gui nimirum inter perpendiculares ex T. cc, ad planum Meridiani emiſſas interijcitur, ex ſemicirculo detractus relinquet arcum quaſitum à principio M, fecundum ſucceſsionem ſignorum numerandum. Quando autem aſcenſio ſemicirculo maior eſt, ſed tribus gquadrantibus minor, reſpondebit punGum e, principio,& declinatio puncti in Meridiano exiſtentis eri t borealis, punHumque Ellipſis auſtrale T, aſſumendum, atque arcui Eclipticæ inuento, qui nimirum inter perpendiculares ex T, e, ad planum Meridiani emiſſas includitur, æqualisque eſt in ſigura arcui a li adijciendus ſemicirculus, vt conficiatur arcus quaſitis ab M. inchoatus. Quando denique aſcenſio tribus gquadrantibtis maior eſt, reſpondebit rurſus punctum e, princitio t, ſed declinatio ſuncti in Meridiano tunc exiſtentis erit au. ſtralis, quemadmodum& punmtum in Horixonte orientali eniſtens;, ac proinde pun · Hum in Horixonte occidentali exiſtens, cui principium Q, vicinius eſt, Boreale erit, ideoque punctum Ellipſis boreale t, aſſumendum Qubocirca arcus Eclipticæ inuentus, qui videlicet inter perpendiculares ex ta, al planum Meridiani erectas ponitur,(cui agualus eſt arcus oppoſitus inter principium V, ſub Horixonte, Horixontem orientalem KA NO N 623 ralem interielius) ex integro circulo ſubtractus relinquet arcum quaſitum à principio %, ſetundum ſig norum ſucceſßionem numerandum. 25 0 P/ aſcenſio obliqua propoſita ſit quadrans, exiſtet initium., in Meridianb ſutra H orixontem in puncto A, maiorque avis Ellipſis erit AC, minor autem, ſegmentum axis mundi gb, à diametris parallelorum,&, abſciſſum, ut ex pro70, 2c. lib. I. noſtra Gnomonices conſtat, proptere a quod inclinatio Eclipticæ ad Meridianum tun eit æqualis complemento maximæ declinationis. Inuentis ergo tusſum punctis, in quibus Ellipſis Horixontem ſecat, aſſumendum eſt boreale. Arcus enim inuentus, qui videlicet interiſcitur inter perpendicularem ex eo puncto boreæali ad Meridianum eredtam, e punctum A, erit quaſitus. Si vero aſcenſio contineat tres qua drantes, exiſcet primum pundlum, in Meridiano ſupra Horixontem, ide cio A, fetque eadem Ellipſis, quæ anteas ſed eius punctum in Nerixonte auſir mendum eſt,& arcui inuento, qui intercipitur inter perpendicularem eu eo trali ad Meridianum excitatam,& punctum A, adiciendusſamicirculus, vs quaſitus arcus prodeat ab V, numerandus. Si denique aſcenſio ſit ſomicirculus, erit que que arcus Eclipticæ ei reſpondens„ ſemicirculus. Suæ guidem omnia ex iss, quæ Num. 2. diximus,& ex ſphara materiali facile colliguntur. 4. E X dodirina ſinuum idem aſſequemur, hoc modo. Si per punctum Eclipticæ, vel centrum ſtelle, cum oritur, veloccidit circulus maximus ducatur, inſtar Horixonris cuiuſcdlam recti, erit(vt ex ſphera materiali conſtat) arcus Aequatoris inter il. lum circulum,& Horixontem poſitus, diſferentia aſcenſionalis, deſcenſionalisue, cum aſcenſio, deſcenſioue recta ab V, ſecundum ſucceſcionem ſignorum progrediendo terminetur im illo circulo ma ximo, obliqua vero in Horixontè: qus diſferentia ſuputõda exit in triangulo ſphærico rectangulo, cuius vnum latus iſt ipſa diſſærentia;& alterum, arcus pradlicti circuli maximi inter Aequatorem, functumque Eclipticæ, vel Sellam interiectus, declinationem eiuſcdlem punti, ſtellaue metiens; baſis denique arcus Horixontis inter Aequatorem, c punctum Eclipticæ, vel ſtellam incluſus, latitiudinem metiens ortiuam, aut occiduam: hoc ſcilicet modo. Repetatur J. fguræ huius Canonis, in qua aſcenſio recta primi puncti m, eſt arcus C Pp, obliqua vero CD Aiſferentia aſcenſionalis p I, atque p, declinationis arcus. Si igitur per 1. modum problematis 10. triang.(per. vltimi Lemmatis, Fiat vt ſinus totus ad tangentem com plementi anguli pV, quem Aequator cum Horizonte facit,& in propoſito caſu ſemper acutus eſt,(Cum enim omnes arcus ſint quadrantè minores, quippe cum metiantur eclinationem, diſferentiam aſcenſionalem,& latitudinem ortiuam, quæ omnes complectuntur pauciores gradus, quam g9o. erunt duo anguli J,, acuti, ex propoſ. 2 f. noſtrorum triang. ſphær.) hoc eſt, ad tangentem altitudinis poli; ita tangens declinationis pz, ad aliud, producetur ſinus differentiæ aſcenſionalis V. Hac ratione inueniri diſferentiam aſcenſionalem, demonſtrauimus etiam ſine rriangulis ſihæricis in Lemmate ag. Num. 17. Quod ſi nolueris vti tangentibus, intuenietur eadem differentia, vt in eodem Lemmate Num. 1 f. demonſtratum eſt, ſi Fiat vt ſinus totus ad ſinum aſcenſionis rectæ dati puncti Eclipticæ, ita ſinus dif ferentiæ aſcenſionalis initii q, vel V, in data regione(qui ſinus reperietur ex 1. modo problematis 10. triang. ſphær. vt dictum eſt: ita vt ſolus hic ſinus per tangentes quærendus ſit.) ad aliud. Inuenietur enim hoc modo ſiniis di ſferentiæ aſcenſionalis dati pundti Ecliptica. Eadem diſferentia reperietur vt in eodem Temmare Num. 2b. oſtendimus, hac ratione. Fiat vt ſinus totus ad tangentem altitudinis poli propoſitæ, ita ſinus differentiæ aſcenſionalis dati puncti Eelipticæ in altitudine poli grad. g. ¶ quam diſferenti am oſteret Tangens declinationis in tabu la Sinuum, vt Num. 19. in eodem Lemmate ap. probauimus) ad aliud. Quartus enim numerus exit ſinus differentiæ aſcenſionalis quęſitæ. Non Aſcenfiont᷑ obli dati puninquirete. Differentiæ aſet ſionalis ĩnuentio Alia inuentio dif ferentiæ aſcenſis nalis. Alia adhue inuéf tio differentiæ a cenſionalis. A ſcenſto obliqua quo pacto ex dif ferentia aſcenſio xali elieiatur. 624 E ON aliter ſutputabitur diſforentia aſcenſionalis cuiuslibet ſtella, vt patet in nella Ve cum rurſuis per i. modum problematis 1 b. triang. ſo har. in triangulo ſphærico K. cuius angulus k, rectus, ſit vi ſinus totus ad tangentem complementi anguli iv k, id eſis ad tangentem altitudinis poli, ita tangens declinationis KV, ad ſinum diſferentia onalis ik, c. Atque eadem ratio eſt in omnibus punctis Ecliptica,& ſlellis ſiue aufſtralems habeant declinationem, ſiue borealem. EA DEM prorſus ratio eſt in deſcenſionali diſferentia cu iuſuis puncti Eclipticæ, aut. ſtel la ſupputanda. Vt in eadò figura, deſceſio recta princibij N, 55 arcus Aequatoris Cn, obliua ue ro Cl,& diſferentia deſcenſionalis ln: Et deniq; per . mod problematis lo. triag. ſphar. eſt, vs ſinus totus ad tan gentem cõplementi anguli fin, Hot eit, ad tagenté altitudinis oli, ita tangens declinatiionis fl. ad ſinii diſteretia deſcenſionalis In,&c. Verii opus ud eſt, ut different ia deſceſionalis ſub putetur, ci ea diſferentia aſce ſionali ſit æqualis: propterea ꝙ tato minor eſt aſcsſio obliqua, quã recta, quato maior eſt deſcë ſio obliqua quà recta eiuſds pilcti, aut cõtra, ut in Lemma te 49. Num. I 2. oſtenſum eſt. NVYVENTA diſferètia aſcenſionali, deſcenſionaliue, eli ciemus aſcenſionb, aut deſcenſionb obliqud hoc modo. Si punctii Ecliptica, vel ſtella declinet in bored, detrahatur diſferòtia aſcenſionalis inuèta em aſcenſione recta eiu dem functi, aut ſtella; addatur vero ad red am aſcenſionè, ſi pundtum vel gtella declinationem habeat auſtralé. Reliquus namque numerus, aut conflabus dabit aſcenſtionè obli quam quaſitd, vt in Lemmate 49. Num. 15. traditi eſt, perſpicuequè ex propoſita figura colligitur: quia punctum, v. g. boreale d, nimirũ principii np, habet aſcenſionem olliquam CDi, minorem recta, qua terminatur vltra i, in puncto videlicet, in quod Ho rixon rectus ex E, per d, eiectus incideret; eademꝗ; ratio eſt de alijs punctis ac ſtellis bo roalib us ab Aequatore. Ex quo eſfcitur, diſferentiam aſcenſionalem ex recta aſcenſione ſubtrahendam eſſe, vt obliqua aſcenſio fiat reliqua: At vero functum auſtrale E, ni: mirum principium m, aſcenſionem obliquam habet& Y maiorem recta C Dp; eodemqʒ; pacto ſtella V, auſtralis ab Aequatore aſcenſionè habet obliquà& Di, maiorem recta C Dłk, atque ita de cateris pisctis ſtelliaque auſtralibus ab Aequatore. E quo ft, vr reddæ aſcenſioni adijcienda ſit diſferentia aſcenſionalis, vt obliqua aſcèſio cſicigtur. CONTRARIV M omnino ſaciendum est in deſcenſione obliqua inquirenda. Nam in functis Eclipticæ, ac ſtellis borealibus ab Aequatore, addenda eſi diſferentia deſcenſionalis recta deſcenſioni, in punctis vero, ſtellisg: auſiralibus ab Aequatore, ea dem diſferentia auſerenda eſt ex deſcenſione recta, vt conſletur, vel relinguatur deſcen ſeo obligua: quia pundta borealia habent maiores deſcenſiones obliquas, quam rectas: auſtralia N. 625 auſtralia vero minores. Vt in eadem ffgura, deſcenſio obliqua principi V, hoc eſt pun 6 Core alis, eit arcus Cl, maior zuam deſcenſio retta Cn: At deſcenſienem obliquam Frincipij N uod eſt auſtrale, metitur arcus CDAq, minor quam arcus rech deſcenſionis C DA: ch ſic de cæteris. LAM vero data aſcunſione, vel deſcenſione obliqua alicuius phcti Eclipticæ, vel ſtol le, inueniemus punctum Eelipeicæ reſfondens, quod videlices una cum ſtella oritur, au: occidit, vel cui data aſcenſio, deſcenſioue conuenit, hoc modo, Quando aſcenſio, vel deſcenſio obliqua ſemicirculo maior eſt, detrahatur ex ea ſemicirculus, vt ha beatur ſemPer triangulum ſphericum obliquangulum, cuius duo latera( vnũ in Aequatore, alterum in Ecliptica) à principio., vel, inc hoata in Horixonte terminantur, C terrium in ipſo Horixonte arcus eſtlatitudinis ortiuæ, vel occiduæ puncti Ecliptica, 2 Juritur. Et quia in hoc triangulo vnum latus datum eſt, arcus videlicet A equatoris aſcenſionem, vel Aeſcenſionem ab Vivel Q, inchoatam metiens, cum duobus angulis ei adiacentibus, cum vnus ſie maxima declinationis, quem A equator cum Ecliptica conſti tuit, alter vero, quem A er cum Horixonte facit: obtuſus quidem, gui relinguitur, detracto complemento altitudini: Poli ex ſemicirculo, quando aſcenſio obliqua data ab V.& deſcenſio à, incipit; acutus vero, qui complemenio altitudinis poli qualis eſt, quando aſcenſio a,& deſcenſio incipit ab Y, vt in ſphera materiali perſpicuum eſt: reperietur per problema 23. triang. ſi har. vltimi Lemmatis, arcus Eclipticæ quæſitus, ab V vel Q, inchoatus,& in Horixonte terminatius. Sud vs planius Hat, ſit eiuſmmodi rriangulum ABC, in 2 arcus Aequaroris aſcenſionem, aut deſcenſionem obliquam metiens ſit AB; arcus Eclipticaæ quæſi . BOC, ila vt angulus maximꝰæ declinationis ſit ABC; A N Horixontis arcus latitudinem ortiuam metiens AC„ BAC. angulus, quem A equator cum Horixonte eſficit. Ex Hoc angulo demittatur ad Eclipticam BC, arcus berpendicularis A D, qui vrrum intra, vel extra trian- 2 gulum ABC, cadat, mor ipſa operatio docebit. Sub- B 5 8 5 niamigitur in triangulo ſphærico A BD, angulus D, re elus et,& AB, arcus datæ aſcenſſonis, deſcenſionisue(qui angulo retio oHPonitur)dæ d, vna cum B, angulo maximæ declinationis; ſi per r. modum problematis 8. triang. p har. Fiat vt ſinus totus ad ſinum arcus AB, aſcenſionis, vel deſcenſionis obliquę, ita ſinus anguli B, maximę declinationis ad aljud, gignetur ſinus arcus AD. RYRSV S quia in eodem triagulo AB D, datus eſt arcus A B, recko angulo oppoſitus, cum aſcenſionẽ, vel deſcenſſonem obliquà dat metiatur, datusq; inſuper ett angulus B, maximæ declinationi o ſi per r. mod is froblematis 3. triang ſphar: Plat vt ſinus totus ad ſinum eõplementi areus aſcẽſionis obliquæ, deſcenſionisue datæ AC. ita tangẽs anguli B, maximæ declinationis ad aliud, producetur tãgens cõplementi anguli BAD. qui ſi deprehenſus fuerit minor angulo B AC, què Aequator,& Horixon cdtinet, cadet arcus ꝑpendicularis A D, intra triaguli, extra vero, ſi mæior. Depto erga angulo inuèto BA D, ex ang. BAC, dato, vel hoc ex illo, cognitus quoq; erit ang. CAB. DEIN DE quia in eodem triangulo AB D, datus est arcus A B, recto angulo oppoſitus, qui nimirum obliquam aſcenſionem, aui deſcenſſonem datam numerat, vna cum angulo B, maximæ declinationis, ſi per t. modum problematis 9. triang. ſphær. Fiat vt ſinus totus ad ſinum complementi anguli B, maximæ declinationis, ita tangens arcus AB, aſcenſionis, deſcenſionisue obliquæ datæ ad aliud, inuenietur tangens lateris BD zatque idcirco arcus BD, cognitus exit. FOST REMO quia in triangulo CA D, angulus D, rectus ett ſi per t. modum problematis 1 L. triang. phar. Fiat vt ſinus totus ad ſinum areus A D, in N diſcur N lan-; Ex data aſcenſto. ne, aut deſcenſioliqua, arcũ Eclipticæ reſpõdentẽ per name: ros explotare. Quodnam pundum cum data oriatur, aut oc dat. Dec linatio ſtellæ qu“ pacto per udinem me am in · neniatur. cum quo pp̃ cto Eclipticæ ſtella data cœlum mediet, etiamſi eius locus ignoretur in Zod aco coguoſcere. Inuentio latitu · dinis ſtellæx,& loci veri, ex eius declinatione,& mediatione cæli. 62 6 E 1II. ſu inuentum, ita tangens anguli CA, in ſecundo diſcurſu cogniti ad aliud, pro creabitur tangens arcus CD; ideoque notus erit arcus CD. Cadente igitur arcu pertendiculari A D, intra trianguli A BC, ſumma laterii B D, CD, cognitorũ totum 0 in Ecliptica data aſcenſioni, deſcenſioniue obliquæ debetur, not i Hciet: 0 e ya, latus C D, ex latere B D, ſublati, cognitum faciet religuũ latus BC, quaſitum. Punctũ autem extremũi C, in Ecliptica eſt illud, quod vna ci ſtella, cu ius aſcenſio obliqua, aut deſcenſio data eſt, oritur, vel occidit. Lenge facilius in ſcholio nig 22. ends arcli Eclipticaæ data aſcbſioni, vel deſcs ſoni obliqus reſbodentè injemiis, ſine numeris, cii, vt vides, ꝑ quatuor pationes nu merorii inub tus ſit Hoc loco. ERYM c iam docuerimus, quand ratione inuenienda ſit declinatio cuiuſiuis ſtel aſcenſio recta, ac mediatio cali, doceamus etia, quo artiſicio ex declinatione telle, 1 c mediatione cœli, eius latitudo, verusque Iocus in Zodiaco reperiatur: Itè qua arte en geclinatione ſtella, ac latitudine idem locus verus inueſtigetur. Declinatio namq;ʒ ſtelle, ex accepta per inſtrumentiſ eius altitudine meridiana, facili negotio cagnoſcitur. Na crciglente eius altitudine meridiana auſtrali, ſi minor deprehenſa uerit cõplemento al titudinis poli, detrahatur ea ex com. lemento altitudinis poli; ſi vero maior, tollatur e contraribo ex ea complementii altitudinis poli. Reliqua enim ſemper ſiet ſtellæ declinatio, priori quidẽ modo auſtralis, posteriori vero horealis. Exiſtente aut altitudine meridiana ſtella boreali, ſi minor fuerit altitudine poli, dematur ea ex altitudine poIiʒ ſi vero maior, detrahatur e contrario eæ ea altitudo Poli. Reliquus enim numeruis complementil declinationis ſtella indicabit, qua borealis erit. Mediatio quoq; cœli, Hoc et punctii Eclipticæ, quod una cum Fella ad Meridianum peruenit, cognita fiet, ſi exiſtenteſtella in Meridiano, quaratur hora tunc inſtans per altitudinem allerius cuiuſpi am ſtella, cuius locus in Zodiaco non ignoretur, vt Can. 8d. eiuſque ſcholio docebimus. Nam per hanc horam inuentam veniemus in cognitionem puncti Eclipticæ in Meridia no tunc temporis exiſtentis, vt Can. 11. eiuſque ſcholio demonſtrabitur. Latitudo denique ſtelle manifeſta eſt ex tabulis ſtellarum fir arum, cum hac non mutetur IAE fi in 12. circulis in fine ſcholij Can. 3. poſiris notum ſit M, tunct um me Jiationis cali nelle E, vna cum declinatione EH L Jatitudinem flella, verumqué locum ⁊ enabimur. Inu nto arcu LM, declinationis puncti A, ni ſeholio Canon 3. docuimus, SAN ON v. 627 dbeuimus, Fiat per. modum problematis 3. triang. ſphær. in triangulo ELMvt ſinus totus ad ſinum complementi arcus Eclipticæ EM, a proximo æquinoctio ad punctum mediationis cæli pumeratis ita tangens anguli LEM, maxima declinationis ad a liud, inuenieturque tangens complementi anguli EML, ui ad derticem aqualis eſt anguluis A Mlzin l. circulo, oppoſitus arcui Hl latitudinis ſtella. In 3.& 12. circulo eiuſmodi angulus latitudini ſtella Hl, oppoſitus, eff comp lonivn zum maximæ declinationis A EB, vel CE D, quod contingit, quando stella te um me. ul cumprincipio V, vel Q. Conſerantur deinde inter. ſe declingtis ella& declina 111 bio 628 D II R III. tio puncti M. mediationis cli. Et ſi ſuerint eiuſdlem denominalionis, vt in f. G. x 10. cireulo, minor ee inaiore detrabaturz ſi autem diuerſa denominationis, vt in 2. 4. 5.. . G II. circulo, in vnamſumm am colligantur, vt reliquus fiat, vel confletur arcus HM. inter ſtellam, atque Eclipticam. Quando punctum medliationis cali eſt initium 7 vel Q, vt in 3.& La. circulo, eiuſimodi arcus eſt declinationi fella NL, æqualis Dol hat in triangulo HI M, cuius angulus I, rectus, ſi per i. modum probl. G. triang. p her. Fiat vt ſinus totus ad ſinum arcus HM, proxime inuenti, ita ſinus anguli HMI, in ſuperiorę operatioꝑe inuenti ad alind, reperietur ſinus arcus Hl, latita f N f dinis G A N ON v. 829 dinis ſtellæ. Quando punctum mediationis cali eſt principium V., vel Q, vt in 3.& 12. circulo, eſt per 1. modum dicti probl. 8. vt ſinus totus ad ſinum declinationis telle HL, ita ſinus anguli HLI, qui complemento maximæ declinationis æqualis eſt, ad ſinum latitudinis telle HI. Fnuenta latitudine gtella H, ueniemus in cognitionem ve ri loci eo mo do quem iamiam ſubiungemus, qui guidem alſumit declinationem, latitudinemque ſtella notum. IT igitur nota tam declinatio nelle NL, quam latitudo HI; ac proinde& enrum complementa F H, GH. Cum ergo arcus G, maximæ decliaationis notus ſit, erunt in triangulo ſpharica FGœH, omnia tria latera nota. Igitur per problema 21. rriangſphær. angulus F GH, cognitus fiet, ideoqueè& eius arcus AI, diſtantiam ſtella principio S, metiens, quando eius latitudo boręalis eſt, vt in prioribus ſex circulis; vel arcus CI, diſtantiam ſtella à principio V, metiens, quando eius latitudo es auſtralis, a5 in poſterioribus ſex circulis. tri autem diſtantia hac à n, vel V,, numeranda ſis fecundum, an contra ſucceſsionem ſignorum, docebit punctum M, mediationis cali. Ex eo enim dliſtomus, num ſella ſit in ſemicirculbo Eclipticaæ deſcendente, an vero in aſcendente, cum illud punctum, ac ſtella in eodem ſæmicirculo Ecliptica exiſtant. Vel certe idem eognoſcetun eæ ſitu ftellæ. Si namque propinquior ſuerit principio V, quam initio v erit in ſemicirculo aſcendente, in deſcendentè vero, ſi vicinior extiterit principio Q, qu primo puncto V. Scella igitur exiſtente in ſamicirculo deſcs dente, numeratio&. Jacienda eſt ſoc undum ſignorii ſucceſcoonem; contra vero à: Stella autè exiſtentè in ſemicirculo aſtendente: ſieri debet numeratio à M, contra ſignorum ſucceſſionemʒ a V. vero ſecundum ſeriem ſignorum. Ita autem ex pradicto problemate 2 T.angulus FG H, reperietur. Fiat vt ſinus totus ad ſinum maioris lateris FG, maximæ declinationis, vel GH, complementi latitudinis, ita ſinus maioris later is ad aliud, iuuenietur que quar tus quidam numerus. Deinde rurſum fiat, vt quartus numerus inuentus ad ſinum totum, ita differentia inter ſinum verſum lateris EH, complementi declinationis ſtellæ,& ſinum verſum arcus, quo duo latera G6, EH, inter ſe differunt, ad aliud. Inuenietur enim ſinus verſus anguli FGH. Angulus igi2 5 f f 1111 2 ur, Lnuentie veri 1 ci fſtellæ ex eint declinatione,& laticudine. Latitade ertius, vel occidua, quid Latitudinem orti nam, occiduamae beneſicio A. ſtrolabii iuueſti· Gate. A 15. 3. ThHeod. Latitudinem ortiuam occidux equalem eſſe. 630 E In ui eur FOH, ideoque& eius arcus Al, vel CI, nolus erit, qui quidem diſtantiamſtelJe à principio qm, vel Y, metitur. Ao D ſſ complementum latitud nis æquale ſuerit maxim æ declinationi, hoc eſt, later s FG, GH, equalia fuerint, inuenietur facilius idem angulus FGH. Nam ſi per 2. modum ßroblematis I. triangulorum I har. Fiat vt ſinus totus ad ſinum ſemifsis lateris FH, ita fecans complementi maximæ declinationis FG, ad aliud, procres bitur ſinus ſemiſsis anguli BGH,&c. SG. RD N“. N. I. LAT IT VDINEM ortiuam, occiduamue Solis, aut puncti cuiuſuis Eclipticæ; ſiue ſtellæ; quolibet anni die explorare. Et contra dat latitudini ortiuæ, occiduę ue punctum Eclipticæ congruens inuenire. 1. APP ELL AIT VR latitudo ortiua, occiduaue Solis, vel gradus Eclipticæ, aut ſtellæ, arcus Horizontis inter Aequatorem,& Solem, gradumue Ecli pticæ, aut ſtellam, cum oritur, vel occidit; interiectus. Hanc alij Zenith ortus, ve] oecaſus Solis, gradusue Eclipticæ, aut ſtellæ vocant: alij vero amplitudinem ottiuam, vel occiduam. quam ſic explorabis. Pone gradum Eclipticæ, in quo Sol exiſtit, vel cacumen ſtellæ propoſitæ, in Horizonte, ſiue ex pat᷑te oriẽtis, ſiue ex parte occidentis. Nam Verticales circuli interiecti inter gradum. Eclipticæ, vel ſtellam,& interſectionem Horizontis cum Aequatore, vel Verticali primario, indicabunt latitudinem ortiuam, occiduamue, hoc eſt, quot gradus in arcu Horizontis, qui inter gradum Eclipticæ, vel ſtellam,& interſectionem prædictam poſitus eſt, contineantur. Et ſi quidem gradus Eclipticę, vel ſtellæ, in Horizonte extiterit inter Aequatorem, Verticalemue primarium,& lineam meridianam Aſtrolabii, latttudo erit borealis, auſtralis vero, ſi inter Ae quatorem,& Limbum extiterit. 2. ES T autèm latitudo ortiua cuiuſuis puncti latitudini oceidvæ eiuſdem æqualis. Cum enim Horizon tapgat parallelum ſemper apparentium maximũ, aerunt duo eius areus inter Aequatoreèm,& quemlibet parallelum, quem ſecat, (quorum vnus latitudinem ortiuam,& occiduam alter determinat) inter ſe æqua les. Ex quo fit, ſatis eſſe, ſi vel ortiua latitudo reperiatur, cum hæc occiduæ æqualis ſitʒvel occidua, cum hæc ortiuæ ſit æqualis, vt oſtendimus. Immo quia quaterna puncta Eclipticæ æquales habent latitudines ortiuas, vt in Lemmate 49. Num. g. oſtendimus, ſatis eſt, ſi latitudines ortiuæ graduum vnius quadrantis Eclipticæ inueniantur. QVYAN DO autem gradus Eclipticæ, vel cacumen ſtellæ non præciſe in aliquem Verticalium incideritꝭ ut plerumque contingit, non poterit latitudinis ortiuæ quantitas cognoſci, niſi per æſtimationem. plus miaus, diuidendo nimi rum cogitatione ſpatium inter duos proximos Verticales, inter quos gradus Ec lipticæ, vel ſtella exiſtit, in tot gradus, quot inter quosuis duos Verticales intercipiuntur in Aſtrolabio. 3. CONTRA ex cognita latitudine ortiua, occiduaue Solis cognoſcetur AN 6 NI VI. 631 tur gradus Eeliptieæ, cui ea conuenit, hoc modo. Cireumducatur rete, donec gradus aliquis Eclipticæ in finem cognitæ latitudinis præeiſe incidat Is etenim gra dus eſt, qui quæritur, vel cer te alter, qui æ quali ſpatio cum eo ab eodem pun cto tropico diſtat. cum duo puncta ęqualiter ab eodem tropieo puncto di ſtantia eandem habeant latitudinem ortiuam, vt in Lemmate 49. Num. z. oſte nſum eſt. Cognitã porrò latitudo ortiua ſumendaꝭ eſt in Horizonte ab Aequatote verſus Iimbum, ſi auſtralis eſt, verſus tropicum vero S. ſi borealis. 4 SINE inſtrumento eandem latitudinemi ortiuam certius cognoſcemus hoc modo. Repetatur prima figura antecedentis Canonis, in qua Aequator ABO, circa centrum Eʒtropicus Y, FL M; tropicus, NO; Ecliptica ACG, cuius centrum H,& polus I: Horizõ obliquus ad datam regionem deſcriptus L CPA M, cuius centrum K,& polus Q. Siigitur per datum punctum Eclipticæ, vel per datam ſtellam, hoe eſt, per eius locum in Aſtrolabio inuentum', vt lib. 2, Propoſ. 1 f. Num. 2.& 3. traditum eſt, parallelus Aequatoris ex centro E, deſcribatur, abſcindet is ex Horizõte arcũ latitudinis ortiuæ v que ad C,& occiduę vſque ad A, cum in eo puncto Hori z ontis, quod abſciſſum eſt, gradus ille Eclipticę, vel ſtel Ia or iatur, aut occidat. Et ſi ex Horizontis polo Q, per punctum, vbi dictus paralleIus Horizontem ſecat, recta ducatur, indicabit arcus Aequatoris inter hanc rectam, & punctum C, vel A, inter- 5 g W. ceptus quantitatem latitudinis, ita vt tot gradus latitudo d ed eo arcu Aequatoris comprebhenduntur: propterea quod areus ille Ae quatoris, & arcus Horizontis abſciſſus, continent gradus numero ęquales, vt lib. 2 pro. poſ. 5. Num. 19. demonſtrauimus. V. G. Latitudo ortiua principii eſt arcus Horizontis CN, occidua vero AO,& tra que borealis: Latitudo autem ortiua initij, eſt arcus CL,& occidua AM,& vtraque auſtralis: Latitud vero principii&, eſt arcus Cb, quę etiam ſtellę V, vel X, congruit, eſtque au. ſtralis. Et ſi ex Q, polo Horizontis ad b, recta ducatur, dabit Arcus Aequatoris inter hane rectam,& punctum C, quantitatem latitudinis Cb. Et fe de cæteris QVOD ſi nimis moleſtum videatur locum inquixere illius ſtelle, cuius latitudo deſideratur, accipe declinationem eius ex tabula alicuius Aſtronomi, in qua declinationes ſtellarum pro hoc tempore ſupputatę ſint, qualem etiam Io. Ant. Maginus in ſuis Ephemeridibus compoſuit. Nam parallelus eius declinationis Ex latitadi'ne er Cua, Occidasde 0 ca puucta E dieæ rep en dens e pete. Latdtadi nem ortiuam ſine inſtrn mente iaqulrers 632 E 1 U 1. tionis ex centro E, deſeriptus abſeindet ex Horizonte arcum latitudinis ortiue illius ſtellæ: ſed exquiſitius priori modo latitudo inuenietur, propterea quod vuix tabulæ declinationum ſtellarum ſine errore aliquo reperiuntur. l. 5. DATA autem latitudine ortiua, occiduaue, reperiemus punctum idee pundd Eclipti cæ, cui congruit, hac ratione. Numeretur latitudo propoſita in Aequa eee tore à puncto C, verſus D, ſi borealis eſt, verſus B, autem, ſi auſtralis: Per terArumente exgui minum numerationis ex Q, 2 polo Horizontis recta emite e ee tatur, quæ ex Horizonte eãdem latitudinem abſcindet, vt ex iis conſtat, quæ lib. 2. propoſ. z. Num. 18. ſeripſimus. Poſtremo ex centro E, per finem latitudinis in Horizonte inuẽ tum, parallelus Aequatoris deſcribatur. Hic enim Eclipticam duobus in punctis ſecabit, quibus propoſita latitudo congruit Quos autem gradus duo illa puncta referant, diſces ex Num. 19. propoſ. 5. lib. 2. ſi videlicet ex L, polo Eclipticæ per puncta illa rectas eieceris. Hæ namque ex Aequatore ſimiles arcus abſcin dent, quod ad numerum gra duum attinet. V. g. ſi ex boreali latitudine ortiua data, ſit in Horizonte inuentus g arcus Ce, borealis, tranſibit parallelus Aequatoris ex E, per e, deſcriptus per f, principium&.& per d, prin eipium np. Sic ſi ex data auſtrali latitudine repertus ſit in Horonte arcus auſtralis Cb, tranſibit parallelus ex E, per b, deſeriptus per a, principium P,& per u, principium x. Prior ergo latitudo principus& np, poſterior vero pri mis punctis,&, conuenit. AVANT Vs autem ſit arcus Horizontis inter C, vel A,& Verticalem, qui per centrum Solis ducitur qualibet hora diei, non ſolum autem in ortu, vel occaſu interiectus, vt hic traditum eſt, Canone 16. docebimus. rn W T autem doceamus; qua ratione ex Analemmate latitudinem ortiuam cutiuam eniuslibes ddſuis pundhi Eclipticæ, ſeu ſtells deprehendere poſſimus, deſcribatur Analemma ipſum ci Eclipticæ 5* 4 1 0 1 5 cum parallelorum per initia ſgnorum tranſeuntium diametris vt in Lemmate 19. lib. nslemmate de. I. rruditum eſt, in quo Meridianus ABC D, circa centrum Ez; axis mundi Fo; Aequaprchend ere. roris diameter EI; Horixontis B Dʒ Ferticalis ACztropici. NO; tropici V; N P; aliorum parallel orum per ſcgnorum initia tranſeuntium diametri deſcriptæ ſint benecio circuli M K N, in I 2. partes æquales diuiſi; vt in dicto Lemmate lo, ſcripſimus, ſe cantes rn. 633 kantes diamtirum Horixontis in L, R, G, T, V. T. Pico rect am inter E,& e e farallelum eſſe ſinum latitudinis ortiuæ, octidua que illius puncli: per quod parallelus il lius diametri tranſit nimirum E L, ſinum latitudinis ortius g; ER, A,& O3 ES, N, & hyʒzET, m. N; EV, ꝓ,& g ac denique ET, o zʒadeo vt rectæ ex Viſce funcis ductæ ad B P, perpendiculares intercipiant cum A P, in Meridiano arcus latitudinum ortiuarum. v. g. arcum Aq, vel Cb,(ductis b, Nd, per L. T, ad BD perpendicularibus)laritudinem eſſe ortiuam, ccciduamue,& Cd. V. Quoni am enim Hotixon, & parallelus S. ber rectas B D, MO, ducti ad Meridianum recti ſunt, a quod Meri dianus per eorum polos ductus ad ipſos rectus ſit; b erit eorum communis ſectio per L rranſiens ad eundem recta, c propteren ex deſin, 3. lib. I L. Eucl. ad; D, in plano Meridiani exiſtentem perpendicularis. si igitur circulus A BC P. concipiatur in plano H orixontis erit gb, communis ſectio Horixontis,& paralleli T. ſi recta BD ſitum meri diana linea obtineat. Eodemq. modo AC, communis ſectio erit Horizontis& Aequatoris, Ver ticalisue primarij;& Vd, communis ſectio Horixontis,& paralleli V. Igitur A, vel Cb, latitudo erit ortus, vel octaſus S Cd,. Eademquè ratio eſt de parallelis intermedijs. Nam eodem argumento oftendemus, perpediculares ad B D, per R, S, T, V, duct as eſſe communes ſectiones Horixontis, parallelorum inter mediorum. Hac ratione latitudinem ortus cuiuslibet puncti Eclipticæ ren periess ſi beneſicio circuli MN, eius puncti declinationem inuenias, hoc eſt, diametrum paralleli per illud punctum tranſeuntis ducas, vt in dicto Lemmate Ip. docuimus. Nam eiuſ modi diameter abſcindet em B D, ſinum luatitudinis quaſite, ita vt perpendicularis ad B D, excitata in extremo eius vel C, inchoatum. NON aliter latitudine greus vel occaſus ella cuiuſſuis adipiſceris, ſi p eius leclinationem vel ex Can. 3. inuentam, vel ex tabula alicuius A Atronomi deſumpeam, diametrum paralleli, quem ſtella deſcribit, in Anal mmate duxeris. Vt ſi ella quapiam habeat declinationem borealem E A ita vt diameter eius paralleli ſit MO, erit eiuſdem latitudo ortiua, occiduaue A, vel Cb, cc. 2. EX data autem latitudine ortina, occiduauę ſic punqtum Eclipticæ reſpondens Heguemur Numeretur data latitudo ab A, vel C. verſus D, ſi borealis eſt, aut 72 auſtralis, verſus B, vſque ad o,& demiſſa ex o, ad B B, perpenditulari o R, agatur Per R, Aeguatoris diametro HI, parallels Rę, ſecans circulum M K N, in o. Nam Zuot gradus in arcu Kp, continentur 5 tot gradibus punctum Eclipticæ, cui latitudo borealis 4 anus, auferat arcum latitudinis, quam qua ris, ab A 5 a IS. 1. Theod. big. vndec. Data latitudine ortina, congrut᷑s pun tum kelipei ex inne niri· 2 3. ter/ j. b. ſexti. 34. primi. 634 IR berea 10 Ad; conuenit,& principio V, vel Qs verſus M, recedit, vt ex is conſtas gquæ ad finem Lemmatis 19. lib. 1.& in ſeholio Can. 3. Num. 3. eßlicatum ct. 3. Y EMA DMO DVM autem beneſicio circuli MR N, circa maxis Solis declinationes deſcripti inueniuntur declinationes omnium punctorum Eclipti nem Lemm atis 19. lib 1.& in ſtholio Can.. Num. I. tradidimus, ita 50 alterius circuli circa latitudines ortiuas., deſcripti, omnium puncto clitticæ latitudines venabimur; hoc ſcilicet modo. Inuentis latitudinilus 5 , Cb. Cd, vt diblum eſt, nectatur recta bd, ſecans EC, in f, ſecabiturque bd, in, bifariam, ex ſcholio propoſ. 2. Jil. 3. Eucl. a ac proinde& ad angulos rectos. Deſcripto ergo ex f, per b, di circulo bpd, eoque diuiſd in 1 x. partes æquales, ſi bina puncia aunct is&„Cd, æqualiten remota rectis accultis iungantur, ſecabitur arcus Cd, in latitudines ortiuas, qua ſignorum initijs congruunt; ita vt Ch, ſit latitudo 53; Cg. T,& Ns C- N. np; Ci m. M NC.,& ar; Cd, denique V. quod ſic demonſtrabiiur. In triangulo EL/, latera E L, Eſ, v proportionaliter ſecta ſunt in S R, 9 2 30 Sunt autem ſegmeniæ E09, 96, 6%, ſegmentis Ve a, 4 M, æqualia. Igitur& ſegmen ta ES, SR, RILſegmentis e ea, a M proportionalia ſunt. Eademque ratione ſeg menta ET, TV, VT, ſegmentis Qn, ur, N, proportionalia eruntzac proptere a tota recta LV, ſecta eſt, vt tota MN. Sed per Lemmu J. lib. I. recta quoque bd, ſecta eſt, vt recta MN. Igitur & rectæ LT, bd, proportionali— cer ſectæ ſunt. a Cum ergo æqus les ſint, e erunt& ſegmenta vnius ſegmentis alterius reſpõ dentibus æqualia; atque idcirco parallels per bina puncta cir culi b pd. dulta in pundta R, S. T. V, cadent, cum h parallela equalia ſigmenta auferant ex reſtis hd, LIT; ideoque ex arrulus Cb, Od, latitudines ortiuas au ferent, quemadmodum parallelæ per puncta R. S, I, V, eaſdem abſcindunt, vt Num. 1. demonſiratum eſs. Recta porro eꝶ cenro Er ad puncta b, g. h, i, I. d, dudia dici poterunt ra di latitudinum ortiuarum, occiduarum, quemadmodum& rectæ ex E, ad extrema punct a parallelorum M O., a u,(Mc. ductæ radi ſignorum al pellantur; vt in Gnomonica diximus. 0 ITA E i cuiuilibet puncti Ecliptica dati diſtantia& prorimo puncto æquinoctiali numeretur in circulo bd, à p, in vtramlibet partem;& pen terminum nus an erationis ipſi CE, parallela ducatur, ſicabitur arcus Cb, vel Cd, in latitudine ortiua illius puncti Ecliptica. Vt ſi diſtantia ab alterutro pundto aquinoctiali ſit grad. 30.& ex p, numerentur grad. 3 o. vſque ad w parallela oh, reſecabit latuudinem ortiuam Ch, puncti, quod grad. 30. à princisio V, vel Q abeſt, cuiiiſmodi eſt principium GEM NN A N 1 635 cibium J vel N, vel ny, velm. S1 e contrario, ſi data latitudo ortus, vel occaſus numeretur a puncto C, verſus b, vel d, uſque ad h,& parallela ducatur he, dabit arcus pe, diſtantiam p uncti Eclipticæ ab V, vel qu, cui dlata latitudo conuenit. EX hoc liquet etiam, quaterna puncta Ecliptica, prater initia S- G. eandem habere latitudinem ortiuam, bina quidem borealem, bina vero auſtra lem: quemadmodum& eandem declinationem habent. Id quod in Lemmate quoque 40. lib. 1. Nam. 2.(g. demonſtrauimus. Nam du latitudines Ch, Ci, qua aquales ſunt, gquatuor punctis Erliptica congruunt, duobus nimirum borealibus,& duobus auſtraIibus, Cc. f 4. E X ſinuum calculo neperietur latitudo ortiua, ſæu occiduà cuiuslibet puncti Ecliptica, ſide ſtellæ, hoc moo. Circulus maximus declinationis per polos mundi, e dar punctii Eelipticæ, vel per centrii ſtella in Horixonte orientali ductus, cli Aequatore, atque Horizonte triangulum ſpharicii conctituit, cuius angulus, què cirrulus declinatio nis ci Aequatore ſucit, rectus eſt,& arcus declinationis puncti Ecliptice, vel ſtella no zus, vna ci angulo coplementi altitudinis poli, qus Aequator cii Horixontè conſtituit. Vt in figura Num. A. huius Canonit, ducta retia EA, ex centro per principium my reſe rentè circulit declinationis eiuſclem printipi, fit triangulil ſphæricum pYA, cuius angu lus p, rettris,( arcuslleclinationis pd, notus, vna cum angulo pA, complementi altirudinis poli. Semper enim angulus al Horixonte,& Aequatore comprthenſus acutus elt, per propoſ. z. noſtrorum triang. ſphar. cum in eo triangulo omnes arcus quadlran2c ſint minores. Si igitur per l. modum problematis IA. triang. ſſ har. vltimi Lemmai Fiat vt ſinus totus ad ſecantem eomplementi anguli p VZ, hoc eſt, ad ſecantem altitudinis poli, ita ſinus arcus declinationis pZ, ad aliud, producetur ſinus arcus latitudinis ortiuæ YZ. Vellſi ſolis ſinubus velis vti, Fiat per 3. modum eiusdem ptoblematis, vt ſinus anguli pVZ, cõplementi altitudinis poli ad ſinum totum, ita ſinus arcus declinationis p, ad aliud. Procreabitur enim rurſum ſinus arcus latitudinis ortiuæ, occiduæue VZ. Vtraque hæc operatio perſpicue etiam demonttrari poteſt in figura huius ſcholij. Nam in triangulo rectilineo rectangulo ELV, per g problema triang. rectil. altimi Lemmatis ef, vt ſinus totus Eſi ad Eſ, quatenus ſinus eſt declinationis paralleli MO, ita EE, ſecans ang uli LEſ, altitudinis poli(PoHito enim ſinu toto Ef, recta ETL, ſecans eſt anguli L E..) ad EE, quatenus ſinus eit la zitudinis ortiua, aut occiduæ. Item ita eſt ſinus anguli ELſ, complementi altitudinis poli ad ſinum totum, vt Eſ, ſinus declinationis ad EE, ſinum latitudinis ortius. E A DE M prorſus ratio eſt in latitudine ortiua, occiduaue cuiuſcunque ſtelleæ inquirenda. Ita namque vides in ſtella V, idem prorſus triangulum conſtitui ik V, cuius angulus k, rectus,& arcus declinationis kV, notus, vna cum angulo ki, complemen ri altitudinis poli,& Vi, arcus latitudinis ortiua, qui quæritur, vt patet in figura luiuſce Canonis, c. E CONTRARI O data latitudine ortiua, ſiue occiduæ alicuius puncti ptica, reperiemus punctum illud Eclipticæ, cui debetur, ſi in eodem triangulo p per 1. modum problematis 8. triang. ſohær. Fiat vt ſinus totus ad ſinum arcus VZ, latitudinis ortiux datæ, ita ſinus anguli pVYZ, complementi altitudinis poli ad aliud. Productus enim quartus numerus ſinus exit arcus declinatiouis quæſitq PZ. Igitur per ea, quæ in Canone 3; eiusque ſcholio ue, punctum Relipticæ reperietur, cui illa declinatio inuenta congruits. Sed quoniam quatuor puindta eaudem habent declinationem, neceſſe eſt, vt ſciamus, gquonam in quadrante Eclipticæ conti a neatur, vt punctum quaſilum eliciamus. Eadem bæc operatio demonſdrabitur iu triangulo rectilineo rectangulo E LEſ, figur huius ſcholij. Nam per 2. problema trids K k k k numeros. e yy 5 636 Ii n I Mi. redtil. vltimi Temmatis eſt, vt ſinus totus ad ſinum baſis EL, quatenus ſinus eſi laritudinis ortiua cognita, ita ſinus anguli EL., complementi altitudinis poli ad E, ſinum declinationis quaſita in partibus ſinus EL. G A N A NN AR CV M ſemidiurnum,& ſeminocturnum cuiuslibet puncti Eclipticæ, vel ſtellæ inueſtigare: Et viciſsim punctum Eclipticæ dato arcui ſemidiurno, ſeminocturnoue congruens inquirere. Ilcum femidin: 1. HO C nihil aliud eſt, quam moram golis in quouis Eelipticæ gradu exinum. vel feminos ſtentis, vel ſtellæ cuiuslibet, ab Horizonte oriental vſque ad Meridianum; vel eee à Meridiano vſque ad Horizontem oceidentalem exquirere, id eſt, quot gradus Pele feu fellæ Aequatoris cum quolibet gradu Eclipticæ, vel ſtella, ab Horizonte ad Meridiae e num vſque aſcendaat, vel à Meridiano vſque ad Horizontem de ſcendant,&c. g Si igitur rete Aſtrolabii circumuoluatur, donec gradus Eclipticæ, quem Sol die propoſito occupat, vel cacumen ſtellæ propoſitæ, in Horizonte orientali ſtatuatur,& linea fiduciæ oſtenſoris, vel Indicis eidẽ gradui, vel cacumini ſtellæ ſuper ponatur; erit arcus limbi inter lineam fiduciæ,& lineam meridianam ex parte ſuperiori prope armillam ſuſpenſoriam, ſemidiurnus illius gradus, vel ſtellæ: re liquus vero arcus limbi ab eadem linea fiduciæ v ſque ad meridianam lineam ex parte inferiori, ſeminocturnus erit. Et ſi tam ille, quam hic duplicetur, totus arcus diurnus, nocturnuſque prodibit. Facile autem eiuſmodi arcum inuentum ad horas reduces, ſi ſingulas horas quindenis gradi bus,& quaterna minuta horę ſingulis gradibus tribuas. Vel certe omnes gradus in arcu ſemidiurno, ſeminocturnoue, vel diurno, nocturnoue comprehenſi reducantur ad horas per tabellam, quam in cap. 2 ſphæræ ad linem explicationis Aequatoris deſcripſimus. Immo horæ in limbo deſcriptæ, quæ inter meridianam lineam,& lineam fiduciæ ſupradictum ſitum obtinentem comprehend untur, dabunt quantitatem arcus ſemidiurni, vel ſeminocturni in horis,&c. NON eſt autem neceſſe, vt omnes gradus limbi inter lineam fiduciæ,& meridianam lineam poſiti numerentur, ſed ſatis eſt, ſi pauci illi gradus, qui inter lineam ſiduciæ,& Horizont em rectum comprehenduntur: qui quidem differentiam aſcenſionalem dati puncti Eclipiicæ, vel ſtellæ, exhibent, vt Num. 3. Can. 5. diximus. Hi enim ad quadrantem, hoc eſt, ad grad. o. adietcti, ſi punctum Eclipticæ, vel ſtella ad boream vergat, vel ab eodem quadrante ſubtracti, puncto Eclipticæ, vel ſtella auſtrali exiſtente, conficient, vel relinquent arcum ſemidiur num, quo ex ſemicirculo, id eſt, ex grad. I go. ſublato, ſeminocturnus areus reliquus erit, qui etiam habebitur, ſi puncto Eclipticæ, vel ſtella exiſtente boreali, Ir date arcn fe. differentia aſcenſionalis inuenta, hoc eſt, arcus inter lineam fiducię,& Horizon eee tem rectum interiectus, ex quadrante dematur, adiiciatur vero ad quadrantem, aum kclipter quando punctum Eelipticæ, vel ſtella in auſtrum vergit. bete lg 2. DAT O verò arcui ſemidiurno, vel ſeminocturno punctum Eclipticæ Nbio. reſpondens ſic perſcrutabimur. Numeretur in limbo arcus ſemidiurnus à linea meridiana Ga N O N vII. 637 meridiana ex parte ſuperiori, ſeminocturnus vero ab eadem linea meridiana ex parte inferiori,& ad terminum numerationis linea fiduciæ oſtenſoris applicetur. Deinde circumducatur rete, donec punctum aliquod Eclipticæ in punctum interſectionis lineæ fiduciæ cum Horizonte incidat. Ei etenim puncto,& alteri, quod illi ex altera parte puncti tropici reſpondet, datus arcus ſemidiurnus, ſeminocturnuſue conuenit. 3. SINE inſtrumento ita agemus. Repetatur prior figura Can. g. deſcribaturque ex centro E, per Eclipticæ punctum datum, vel ſtellam, parallelus Ae quatoris. Nam eius arcus inter Horizontem obliquum LPM,& lineam meridianam EF, ſupra centrum E, erit ſemidiurnus quæſitus; arcus vero eiuſdem inter Horizõtem obliquum, & meridianam lineam Eq in fra centrum E, ſeminocturaus erit. Vt LE, erit arcus ſemidiurnus v;& L, ſemino cturnus. Item ſemidiurnus ar cus Aequatoris, vel principii V,& A, erit CB, ſeminocturnus vero CD. Sisſemidiurnus arcus, erit arcus NH,(ſumpto puncto H, pro interſectione tropici S, cum meridiana linea) ſeminoctur 4 nus autem NG. Rurſus arcus ſeminocturnus principii vel ge, eſt ſegmentum paralleli a Vb, inter b,& meridianã lineam Eꝙ, ſemidiurnus autem eiuſdem ſegmentum inter b,& lineam meridianã EE, ſi parallelus totus deſori ptus eſlet. Denique ſtellæ V, vel X, arcus ſeminocturnus eſt arcus eiuſdem paralleli in ter b.& rectam Eę, ſemidiurnus autem, eiuſdem arcus inter b,& rectam E E, ſi totus parallelus deſeribatur. AVT ſic. Per punctum, vbi parallelus per datum punctum Eclipticæ, vel ſtellam deſeriptus Horizontem ſecat, ex centro E, recta ducatur. Hac enim ſemicirculum Aequatoris orientalem in duos arcus ſecabit, quorum ſuperior ſemidiurnus,& inferior ſeminocturnus eſt. Vt quia parallelus pet principium ;, vel gz, aut ſtellam V, vel X, deſeriptus ſecat obliquum Horizontem in b, ſi ducatur ex E, recta Eb, ſecans Aequatorem in, erit aB, arcus ſemidiurnus principii&, vel gr, aut ſtella V, vel X:& 4D, ſeminocturnus. AL II ER. Deſcripto per datum Eclipticæ punctum, aut ſtellam, Horiꝛonte obliquo,(cuius centrum ſemper eſt in parallelo KZ R, per centrum Horizontis K, deſcripto,& ſemidiameter PK) ducatur ex E, centro ad idem pun ctum, vel ſtellam recta, quæ auferet ex Aequatore diſferentiam aſcenſionalem inter ipſam rectam,& Horizontem obliquum deſeriptum, vt in Can. 5. Num. 6. KK k K 2 dictum Areum ſemidiar num vel ſemi us cturnuũ dati puncti, aut ſtellæ, f. ne in ſtru meuts inueniie. Ex dato arcu ſe. midiurnob ſeminocturnoue punctum Eclipticæ reſpondens ſine inſtru mento pet · ſerutarii. 638 LVI A I. II dictum eſt. Hæc igitur, quando punqtum datum, vel ſtella eſt borealis, addita ad quadrantem, conficiet arcum ſemidiur num, eadem vero ex quadrante ſublata, qua ndo datum punctum, vel ſtella auſtralis eſt, arcum ſemidiurnum relinquet. Verbi gratia, ſi per principium&,& per initium m Horizon obliquus deſeribatur ſecans RAequatorem in I, Y, ducanturque rectæ E„ EZ, ad initia&&& m, ſecantes Aequatorem inn, p, erunt differentiæ aſcenſionales ln, Ip. Et quia principium N, boreale eſt, addita differentia ln, ad quadrantem, efficiet arcum ſemidiurnum primi puncti. Quia vero initium m, auſtrale eſt, differentia Vp, ex quadrante dempta arcum ſemidiurnum relinquet. Denique deſcripto Horizonte per ſtellam V, ſecante Aequatorem in i, ductaque recta EV, ſecante Aequatorem in k, erit differentia aſcenſionalis ſtellæ ik, quæ ablata ex quadrante ſemidiurnum arcum ſtellæ V, relinquet, cum ſte lla auſtralis ſit, vtpote vltra Aequatorem collocata. EAD EM differentia aſcenſionalis; quando punctum Eelipticæ boreale eſt, aut ſtella, ex quadrante detracta reliquum facit arcum ſeminocturnum, addita vero quadranti ſeminocturnum arcum conficit, quando ſtella, vel punctum Eclipticę auſtrale eſt. AR CV porro ſemidiurno, aut ſeminocturno dato, reperiemus punctum Eclipticæ, cui congruit, hoc modo. Numeretur in Aequatore datus arcus ſemidiurnus à puncto B, vel ſeminocturnus à puncto D, in vtramuis partem;& per terminum numerationis ex cen tro E, recta dueatur, donec Horlzontem ſecet. Parallelus enim Aequatoris ex E, per punctum illud ſectionis in Horizonte deſcriptus, ſecabit Eclipticam in duobus punctis æqualiter à tropico puncto diſtantibus, quibus datus arcus ſemidiurnus, vel ſeminocturnus conuenit. Vt ſi arcus ſemidiurnus ſit Ba, vel ſeminocturnus Da; ducta recta Ea, ſecabit Horizontem in b, puncto, per quod parallelus ex E, delineatus ſecat Eclipticam in principiis,& * liſce ergo punctis arcus ſemidiurnus, vel ſeminocturnus oblatus congruit. EER N DO NI VII. //„ 1. I D E Marcus ſemidiurnus, vel ſeminocturnus dati punsti Ecliptica, Areum ſemidiut aul cuiuslibet ſtella; per Analemma perueſtigabimus hac ration. Inuenta ex ſeho- gubeantf emin e lio Can. 3. declinatione propoſiti puncti, vel ſtelle, ducatur in Analemmatè diameter paralleli, quem datum punctum, aut ſtella deſcribit. Nam eius portio ſis. perior inter Meridianum, ac diam etrum Horixontis, eñi ſinus verſus arcus ſemidiurni, inferior autem portis, ſinus verſus arcus ſeminocturni quaſiti. Exempli cauſa, in Analemmate ſcholi pracedentis Canonis, declinatio principi; S, eſi E M, eiuſque paralleli diameter MO: ſecans Horixontis diametrum in L. Exit igitur M, ſinus vera Ius arcus ſemidiurni principij,& O E, ſinus verſcs ar cus ſeminocturni: adeo v deſcripto circulo MX O, circa diametrum paralleli A O,& duc diculari L X, ad M O, arcus ſemidiurnus g, ſit M X,&. ſemimotctur, Nam cum& Horixon,¶llelus M X O, in propria poſctione, ad Merid rectus ſit za eris quoque communis eorum ſectio nad eundem recta, ide„que ex den. à 19. vndac 3. lib. 17. Euclid. ad MO, in Meridiano exiſtentem perpenAMNularis. Recta ergo LX, ad MO, perpendicularis, communis ſectio erit Horixontis, ac paralleli MX O; atque idcirco MX, arcus ſamidiurnuss erit,& OX, ſeminocturnus. Eademratione erit N Z, arcus ſemidiurnus V& PA, ſeminocturnus. Et ſic de careris. Quo ſi H M, ponereur declinatio alicuius ſtella, eſſet MX, arcus eius diurnus,& O K, ſeminocturnias eiuſſlem. E S T autem tam L, guam t Y, ſinus rectus diff. rentia aſcenſionalis, adeo vt in punctis Ecliptica,&. ſtellis feptentrionalibus arcus IX, ad quadrantem adliectus conNciat arcum ſemidiurnum, arcus vero m Z, in auſtralibus ex quadrante ſubtractus arcum ſemidiurnum relinquat,&c. 2. EX cognito autem arcu ſemidiurno eliciemus fundtum Ecliptice, cui congruit, hac ratione. A punctis,&, numeretur in vtramlibet partem differentia inter datum arcum ſemidiurnum, e ſemidiurnum arcum Aequatoris, ſuue quadrantem, O recta ter minos numerationis connectenc, quę ex ſeholio propoſſ. 27. lib. 3. Eucl. axi FG, parallela erit, ob arcus numeratos æquales, ſecet Aequatoriſ dia metrum in ec. v Eee, ſinus rectus ſit dicta diſferentia. Deine crema Haa, perpendicular ad ean5 dem 4 f. ſexti. 640 IIR l dem diametrum Aequatoris, qua diame trum Ferticalis productam ſecet in aa, ſuuptaque aa bb, ipſi Eee, aquali, ducatur bb dd, ipſi EI, parallela ſecans A C, in dd: ac tandem ipſi bb dd, aqualis abſcindatur Hec. Nam recta Ecce, ducta abſcindet arcum declinationis puncti quaſiti HN M: que horealis erit, ſi datus arcus ſemidiurnus quadrante maior fuerit, auſtralis vero, ſi minor. Atque guic declinatio ni iuueutæ aſcignabitur punctum Eclipticæ reſpondens, vt in ſcholio Can. 3. Num. 3. traditum eſti. Hoc autem ſic demonſtrabitur. Quoniam, vt in Lemmate 49. lib. 1. Num. 1. demonſtrauimus, et ur ſinus totus ad tangentem altitudinis poli, ita tangens declinationis cuiuſuis puncti Ecliptica ad ſinum diſferentia aſcenſionalis; erit conuertendo, vt tangens altitudinis poli, ad ſinum totum, ita ſinus diſterentis aſcenſionalis aa tangentem declinationis. Cum ergo Haa, ſit tangens artus AH, altitudinis poli,& aa bb, ſinui diſferentia aſcenſionalis Eee, aqualis;( Eadem enim eſt diſferentia aſcenſionalis, quæ arcus ſemidiurni, c. vt in eodem Lemmate 49. Num. 1 5. dictum eſi) 25% ſitque vt aa H, tangens altitudinis poli ad N E, finum totum, ita aa bb, ſinus diſferentiæ aſcenſionalis ad dd, hoc eſt, ad Hcd, ipſi b dd, æqualem; erit Hcc, tangens declinationis quæſite, ac proinde HM, arcus erit declinationis. A LITER. Per Lem. ma g 2. lib. 1. in Horixontis diametro B D, inueniantur puncta L, T, in quibus Ellipſis circa axes FG, ee f, (Jumpta Ef, ihſi Eee, equa li) deſcripta eam interſecat. Nam ſi per L, quando arcus ſemidiurnus datus maior eit quadrante, aut per V, quando minor, diametro Aequatoris HI, parallela 5 agatur MO, vel N, erit Hat, diameter paralleli per queſitum functum deſcripti; proindeque declinationem qua ſitam er Meridiano ab ſcindet. Cum enim per Lemma I. lib. I. ſit, vt ET, ad Eee e ita ſo, ad.; vel ut EH, ad Ef, ita tN, ad r, ſintqs ex Lemmate 8. ſi nus fimilium arcuum ſinubus rotis proportionales; erit ¶ L, vel ti, ſinus diſforentia aſcenſionalis in circulo diametri MO, vel NP, guemadmodum Eee, vel Es, in circulo maximo ABCD. EEEHTP SIS porto circa ares EG, eefr, deſcripta reſert circulum declinationis, vel horarium, per mundi polos,& pundium Horixontis, in quo à parallelo dati arcus ſemidiurni ſecatur quippe cum perpendiculares eæ eius punctis in Meridianum demiſſe eam efficiant, fpunctumęueillud Horixontis in T, vel T, cadat. SE D ex dato arcus ſemidiurna cuiuſuis paralleli eliciemus quoque declinationem reſpo 2 AEN N MI. 641 reſtondentem eo modo, quem ex Schonero tradidimus in ſcholio propoſ. 3. lib. 1. Gnomgnices,& ad calcem lib. g. demonſtrauimus, eundemquèæ deniqus in libello de Fabrica& uſis inſtrumenti horologiorum cap. 1 2. repetiuimus. Nam ſi in ea figura. uam hic appoſuimus, numeretur arcus ſemidiurnus ex D; in circulo circa rectam 8 V e „%%% e P, deſcripto, diuiſoque in 24. partes æquales, vel in grad. 3 Co.& per fem numerationis radio Aequatoris A B, parallela agatur, ſacabitur C D, in puncto, per quod recta ex A, educta alſcindet ex arcu C B D, arcum declinationis quæſitæ à puncko B, inchoatum, qu auſtralis erit, ſi in areu BD, contineatur, borealis vero ſi in arcu BC c. 3. PE R ſinus denique ita agemus. Cum in Lemmate 49. Num. 15. demonſtratum ſit, eandem eſſe diſferentiam aſcenſſonalem cuiuslibet puncti Eclipticæ,& diſterent iam inter arcum ſemidiurnum paralleli per illud functum deſcripti,& arcum emidiurnum Aequatoris, qui ſamper quadrans eſt, ſatis eſt, ſi diſferentia aſcenſionalis dali puncti Eclipticæ, uel propoſiteæ fiella, inguiratur: hæc enim. ſt punctum Eclipticæ, vel ſtella in boream recedit ab Aequatore, adiecta ad quadrantem conficit arcum ſemidiurnum, ablata vero ex quad ante, ſeminocturnum arcum relinguit; Si autem punctu m, vel ſtella in auſtrumdeclinat, eadam Aiſferentia ex quadrante ſublata ar cum ſemidiurnum reliquum ſueit, adiecta vero ad quadrantem conficit arcum ſemi nocturnum. Id quod in pradicto Lemmate, e Num. 15. eodem, A nobis quoq ue 4 emonſtratum ſuit. Hac autem diſferentia aſcenſionalis ſiiputanda erit, vt in ſcho5 io CaAreum ſemidint num,& ſe minocturnum dati pũ cdi, vel ſtellæ per uus inquirere. ILE HD NIA Al. ig. Num. A. tradidimus. Poterunt etiam, ſi platet; adhiberi alia ratibæ bandi arcum ſimidiurnum, quas lib. 1. Gnomonices propoſ. 3 4.& in ſcholis „6g. demonſtrauimus, quarum unam in ſcholio Can. io. Num. 2. aſferemus. CISM dato arcu ſemidiurno, ſeminocturnoue, reperiemus pundtum Ecui congruit, hac ratione. Subducto arcu data ex quadrante, vel quadrante ferentia habeatur inter datum arcum ſemidiurnum, ſominocturnumue, & arcus idiurnum Aequatoris, qui quadrans eſtiʒ ſi quæſitum punctum concipiur conctitutum in Horixonte, per quoũ i mundi polo circulus maximus declinationis ducatur, conſtitutum erit triangulum ſphæricum recangulum, cuius angulus rectus ab illo circulo declinationis, e Aeqnutorę tomtinetun,& arcus Aequatoris inter Hoixontem,& pradictum eirculum deolinttionis, notus, cum diſſerentia ſit inter daum arcum ſemidiurnum, ſominacturnumubs& quadrantem Aequatoris; ar 5% quem Aequator cum Horixonteè efſicit, complementum est altitudinis? ui arcui declinationig, quem quarimus, in dicto triangulo opponitur. Si igitur per 1. modum problematis r. triang. ſphar. Flat vt ſinus totus ad ſin um differentiæ inarcum ſemidiurnum, aut ſeminocturnum datum,& quadrantem Acquato8* 2 1 ris, ita tangens complementialtitudinis poli, ad aliud, producetur tangens declina tionis quæſitæ. Huiuſinodi triangulum habetur in primo circulo figuræ 1. problematis 49. quam hoc loco repetiuimus. Ibi enim puncti Ecliptica borei arcus ſemidiurnus eſt MN, cui ſimilis eſt arcus Aequatoris AR; ER, diſferentia inter ſemidiurnum arcum AR, & quadrantem AE, qui arcus ſemidiurnus Aequatoris eſt ʒ triangulum denique pradi ctum eſt EN R, in quo per I. mo dum problem. 1 I. triang. ſphær. vltimi Lemmatis, et vt ſinus totus ad ſinum arcus ER, diſſe rentia prædlicta, ita tangens an guli RE complementi altitudlinis poli ad tangentem arcus declinationis NR. Simile triangulum eſt EL. quando RL, vel artus Aequatoris ſimilis A, eit arcus ſemidiur nus pundti Ecliptica auſtralis H,& c. Tnuenta hoc modo declinatione, inquirendum eſt puncium Ecliptica ei reſpondens, vt in ſeholio Can. 3. ſcritſimus: Et᷑ ſi quidem arcus ſemidiurnus datus maior eſt d. Horis, vel ſeminocturnus arcus 6. Horis minor, erunt duo pundta Eclipticaæ borealia& principio S, æqualiter remota, quibus congrititi auſtralia vero à principio V, aqualiter diſtantia, ſi 6. Horis minor eſt arcus ſemidiur nus, aut ſeminocturnus 6. Horis maior. Si tamen declinatio inuenta fuerit maxima Atſlinationi aqualis, reſpondebit arcui ſemidiurno 6. horis maiori,& ſeminocturno 6. 2 5 1 7 5 0 D l ee EN Noe Ini. Horis minori, brimum punctum Sat ſemidiurno arcui C. Horis minori,& ſiminoctunu 6. Horis maiori, primum pundtum V. congruet. ANN VIII. HO RAM interdiu ex altitudine Solis,& noctu ex altitudine cuiuſuis ſtellæ, expiſcari. 1. Q VON IAM quatuor ſunt genera hora rum, tria æqualium, nimirum. vel a meridie, aut media nocte, vel ab ortu Solis, vel a Solis occaſu initium ſumentium& vnum inæqualium, de quibus copioſe ſatis ad initium noſtræ 3 nomonices ſcripſimus: de omnibus Canon propoſitus eſt intelligendus. Diur no ergo tempore ſi horam à mer. vel med. noc, elapſam deſideras, accipe per Can. f. altitudinem Solis,& circumduerete, donec gradus Eelipticæ, in quo Sol tunc moratur, parallelum Horizontis, ſiue Almucantarath inuentæ altitu dinis attingat, ex parte quidem orientali, ſi tempus eſt antemeridianum, ſi vero pomeridianum, ex parte occidentis. Linea enim fiduciæ Oſtenſoris eidem gradui Solis ſuperpoſita, in Limbo horam à med. noc. indicabit, vel d mer. Prout tempus fuerit antemeridianum, vel pomeridianũ. Quod ſi horæ in Limbo deſeriptæ non ſint, elicienda erit hora ex arcu Limbi inter lineam fiduciæ eum ſitum habentem,& lineam meridianam intercepto, tribuendo quindenis gradibus ſingulas horas,& ſingulis gradibus quaterna horæ minuta: ita tamen, vt ante meridiem arcus ille ineipiat à linea meridiana ex parte inferiori, poſt meridiem vero ex parte ſuperiori. 2. SI vero tempore noctufno eandem horam à mer. vel med. noc. inquirere velis, obſerua per Can. 1. ſtellæ alicuius in reti deſeriptæ altitudinem,& eircumduc rete, donec cacumen eius ſtellæ parallelum Horizontis, ſiue Almucantarath altitudinis inuentæ attingat, ex parte quidem orientali, ſiue ſiniſtra, ſi ſtella ad Meridianum nondum peruenerit, ſi vero Meridianum tranſierit, ex parte dextra, ſiue occidentali. Linea enim fiduciæ gradui Solis ſuper po ſita, monſtrabit in Limbo horam à mer. vel med. noct. provt gradus Soſis extiterit uel in medietate Aſtrolabii dextra, vel ſiniſtra. Quod ſi horæ in Limbo notatæ non ſint, reducendi erunt ad horas gradus Limbi inter lineam fiduciæ,& lineam meridianam, initio facto à parte ſuperiore, ſi gradus Solis fuerit in parte Aſtrolabiij occidentali, ſiue dextra; ſi vero in parte orientali, vel ſiniſtra, à parte inferiori. Prior enim arcus dabit horas à mer.& poſterior à med. noc. elapſas. 3. HO RAM ab or. vel occ. ſic inquires. Nota punctum horæ à mer. vel med. noc. inuentæ ſiue per altitudinem Solis interdiu, ſiue noctu per altitud inem ſtellæ, vt dictum eſt. Deinde poſito gradu Solis in Horizonte orientali, ſi hora ab or. quæratur, vel occidentali i hora ab occ. deſideretur, numera arcum Limbi inter punctum, quod linea fiduciæ Oſtenſoris gradui tunc Solis ſuperpoſita indicat,& punctum horæ à mer. vel med. noc. prius notatum, progrediendo ſemper à poſteriori puncto notato cõtra ſucceſsionem ſignorum ag illud prius;(hoc eſt, ab ortu in occaſum progrediendo vſque ad punctum horæ à mer. vel med, noc. notatum) ſcilicet dextram Wen b 85 ra a Hora à mer. vel med. noc. interdiu per Afrola bium vertiHotram à mer. vel med. boc. per Aſtrolabium ne ctu in qui tere. Horam ab or. vel occ. per Aſtrolabiũ coguoſoere. 644 r ra ab oce. ex parte oceidentali verſus inferiorem pattem Aſtrolabiſ, pro hors vero ab or. ex patte orientali ver ſus ſuperiorem. Nam ſi gradus in hoc arcu limbi comprehenſi reuocentur ad horas, habebitur numerus horarum ab occ. vel ortu elapſarum. Q Op in parte inferiori Aſtrolabiſ areus horarum ab or.& oce. deſerl pti ſint, vt lib. 2 prop. 9. Num g. diximus, collocato interdiu gradu Solis ſupra circulum Almucantarath inuentæ altitudinis Solis, moto tamen reti à ſiniſtra dextram verſus, ita vt ſiniſtra ſit pars ante meridiem,& dextra poſt meridiem, indicabit gradus oppoſitus inter illos arcus horam ab oce. Poſito autem eodem gradu Solis ſupra circulũ Almucantarath altitudinis Solis inuentæ, moto tam reti à dextra ſiniſtram verſus, ita vt pars dextra ſpectet ad tempus antemeridia0 num,& ſiniſtra ad pomeridianum, indicabit idem gradus oppoſitus inter arcus eoſdem horarios horam ab or. vt numeti horarum in figura dictæ propoſ. ↄ. lib. „ 2. monſtrant. Nocturno vero tempore horæ ab occ. ex altitudine ſtellarum inueniri hac ratione non poterunt, niſi a lii arcus horarii, qui priores inter ſecẽt, deſcribantur. Ouare prior ratio expoſita magis probanda videtur. Horam inzqus- f. DENIQVE horam inæqua lem in parte inferiori Aſtrolabii oſtendet Ban interdiu gradus oppoſitus Solis, poſito ipſo gradu Solis in parallelo Horizon. tis, ſiue Almucantarath inuentè altitudinis Solis; noctu vero idem præſtabit ipſemet gradus Solis, ſi ſtella in Almucantarath ſuæ altitudiuis inuentæ colloö cata fuerit. 5 uaado altltude 5. QVA NDO paralleli Horizontis non per ſingulos gradus ducuntur, 9— 5 ſed duobus gradibus, vel tribus, aut quinque inter ſe diſtant,& altitudo Solis lelom Hos aon. vel ſtellæ inuenta non habet parallelum eſpondentem, ſed collocanda eſt induo padde iter ter duos eiuſmodi parallelos; vt accuratius in propria altitudine collocetur; Prerime mino; inuenienda erit pars proportionalis hoc modo. Collocetur gradus Solis, vel . ſtellæ cacumen, ſuper parallelum proxime minoris altitudinis, noteturque punlum locandus ſt ctum in limbo à linea fiduciæ illi gradui, vel ſtellæ ſuperpoſita oſtenſum. Deineat geber de idem gradus, vel cacumen ſtellæ moueatur vſque ad parallelum proxime ma Alclladinem, joris altitudinis vna cum linea fiduciæ, punctumque rurſus in limbo notetur, & gradus limbi inter duo illa puncta diligenter numerentur. Poſt hæc fiat, vt numerus graduum inter duos proximos parallelos in Aſtrolabio incluſorum ad numerum graduum limbi inter duo illa puncta notatum, ita numerus graduum altitudinis Solis, vel ſtellæ, ſubtracto prius numero graduum paralleli proxime minoris altitudinis, ad aliud. Inuenietur enim quartus numetus graduum, qui ſi à priore puncto notato in limbo ſupputetur verſus punctum poſterius,& ad finem ſupputationis admoueatur linea fiduciæ, collocandus erit gradus Solis, vel cacumen ſtellæ præciſe ſub linea fiduciæ eum ſitum obtinente, vt proprium ſitum ſuæ altitudinis habeat. V. g. ponamus vnum parallelum ab alio diſtare grad. 5.& altitudinem inuentam eſſe grad. 3 3. Notatis ergo punctis in limbo, quæ exhibentur à linea fiduciæ ſuper gradum Solis, vel cacumen ſtellę poſita, quando tum in parallelo grad. 30. tum in parallelo grad. 35. collocatur, fia gamus inter duo illa puncta poſitos eſſe grad. 16. Si ergo dicamus; Si differentia grad. 5. inter duos proxime parallelos requirit in limbo grad. 16. quid requiret differentia grad. 3. inter altitudinem grad. 33.& paralle lum grad. 30. 1 inueniemus grad. 9. Min. 30. quos ſi numeremus à priore puncto in limbo,& ad terminum numerationis applicemus lineam fiduciæ, ac denique ſub linea fidueiæ in eo ſitu gradum Solis, vel cacumen ſtellę ſtatuamus, collocatus erit gra dus Solis, vel cacumen ſtellæ in altitudine grad. 3 3. , 6 SINE — * — c AN ON III. 645 6. SINE inſtrumento horam perſerutabimur hac ratione. Re petatur ſeeunda figura Can. 5. in qua Aequator A B CP, circa centrum E; tropici EA. Gee; Ecliptica AFC G, cuius polus M; Horizon obliquus AQC, cuius ceutrum K,& vertex, vel polus L, per quem deſcriptus ſit Verticalis primarius ALC, cuius centrum o,& polus Q, interſectio nimirum Horizontis cum Meridiano: Denique Kg,. parallelus per K, centrum Horizontis deſeriptus, in quo centra omnium eirculorum horariorum ab or. vel occ. exiſtunt, vt lib. 2. propoſ. 9. Num. g̃. demonſtrauimus. Diurno ergo tempore horam inueſtigaturus captet altitudinem Solis. Deinde quærat inter ſectionem pa ralleli puncti illius Eclipticæ, quod Sol tunc occupat, cum parallelo Horizontis per gradum altitudinis inuentæ deſeripto. Recta enim ex centto E per punctum illud interſectionis ducta ſecabit Aequatorem in puncto diſtantiæ Solis a mer. vel med. noc. adeo vt arcus Acquatoris in ter punctum illud,& meridianam lineam inferiorem ad horas redactus det horam a med. noc. ſi tempus eſt ante meridianum, arcus vero inter idem punctum,& lineã meridianam ſuperiorem, ho ram a mer. ſi tempus pomeri dianum eſt. V. ge Sole exiſten te in principio, vel=, obſeruata ſit altitudo Solis grad. 20. ſiue ante merid. ſiue poſt. Deſcribatur per, Principium g, aut per 8, principium., parallelus Aequatoris ad. Deinde numerata in Acquatore alti tudine Solis AO, grad. 20. fue ex parte orientali, ſiue oceidentali, ducatur ex Q,; polo Verticalis per O, recta QO, ſecans Verticalem in 8, complecteturque arcus Aa, grad. 20 altitudinis Solis, vt lib.. propoſ. 5. Num. 1 41 & ſequentibus oſtenſum eſtʒzac Proinde per a, parallelus Horizontis per Solem tunc tranſiens deſcribendus erit. Ducta ergo per a, recta ab, tangente Verticalem in a, hoc eſt, perpendiculari ad a o, ſemidiametrum Verticalls ſi ducta eſy ſet, erit P, centrum eius paralleli,& Pa, ſemidiameter„ex iis, quæ propoſ., lib. 2. Num. o. demonſtrauimus: qui tamen parallelus aliis vis, quas lib. 2. pro1 6. tradidimus, deferibi etiam Poterit, ſi placet. Secet autem paxallelus hie orizontis, ex P, per a, deſcriptus(qui neceſſario per punctum R. in linea metidiana tranſibit iin quod cadit rectà ex A, ad terminum n, arcus En, grad. 20. altitudinis Solis educta, vt ex lis liquet, quæ in eadem propoſ. Nui. 2. oftenſa ſunt a nobis) parallelum Aequatoris s, in 8,& I, ducaturque ex E, centro reCa ES, vel EI, ſecans Ac quatorem iu N. Si igitur altitudo Solis accepta fuerit ii ante form fue materialiinſtrumen to inue ſlig are. 4 Nora ab or. vel doc. cẽ̃pore din rdo. Hora ab or. vel oOcc ce m pote 0 Carne. 646 171 1 A KH Aix. ante meridiem, indicabunt gradus in arcu DN, contenti horas a med. noc. ela pſas; ſi vero poſt meridiem, gradus in arcu BN, comprehenſi horas a meridie tranſactas monſtrabunt, propterea quod tune temporis punctum Eclipticæ datum vel e, in 8, vel I exiſtit,& recta ES, vel EI; lineam fiduciæ refert, non ſecus, ac ſi rete circumuolueretur. IAM üſi hora ab ortu deſideretur ante meridiem, deſeribendus eſt per 85 punctum interſectionis paralleli Solis cum parallelo Horizontis, circulus S8 V. ad interuallum ſemidiametri Horizontis K Mex centro h, in parallelo K h, aſſum pto, ita yt eius conuexum in V, puncto Aequatoris vergat verſus partes orientales, ſiue poſterius orientes, hoc eſt, ita vt eius conuexo occurramus progredientes ex C, principio V, contra ſucceſsionem ſignorum. Nam arcus CV, dabit koram ab ortu numeratam, vt ex iis conſtat, quæ lib. 2. propoſ. 9. Num.. & 8. ſeripſimus. Si vero quæ ratur ante meridié hora ab occ. deſeribendus eſt per idẽ punctum S. circulus ST, ad interuallum ſemidiametri Horizontis KQ, ex centro IL, in parallelo Kg, aſfumpto, ita vt eius concauum in T. puncto Aequatoris progtedientibus nobis ex A, contra ſucceſsionem ſignorum occurtat, hoc eſt, ver gat ad partes orientales. Nam arcus ADC, horam ab occ. indicabit, vt ibidem oſtendi mus. At ſi poſt meridiem, tam hora ab or. quam ab oc. inuenienda ſit, deſeribendi erunt per I, dicti duo circuli, quales ſunt Ib, le, quorũ centra ſunt i, g. Areus enim Cb, contra ſignorum ſeriem vſque ad conuexum circuli Ib, numeratus dabit horam ab or.& arcus ACes contra fignorum ſucceſsionem vſque ad concauum circuli le, computatus horam ab occ. exhibebit. TEMPORE autem nocturno obſeruetut altitudo alicuius ſtellæ, nimirum eius. quæ ſitum habet in Z. ponamuſque altitudinem inuentam eſſe grad. 20.& ſtellam nondum ad Meridianum perueniſſe, ac Solem in&., principio m: exiſlere: ſecent autem ſe mutuo in 8. ex parte otientali parallelus a ſtella de · ſeriptus e,& paralle lus Horizontis RS, grad. 20. Deinde ductis rectis EZ. ES. Eg, ſecantibus Aequatorem inf, N. o, arcui fi, ſeeundum ſignorum ſucceſsionem computato ſumatur* qualis Ne, a puncto N ſecundum ſeriem etiam ſignorum progrediendo& per eius termirum e, recta ducatur Ex ipſi Eq. qualis, ita vt parallelus per& principium m deſeriptus, tranſeat per X. Et quoniam motò reti, donec ſtella Z. ad 8. pe rucmat,& tecta EZ, rectæ E&, congruat. GA N ON VIII. 64 congruat, recta EY, congruit rectæ EX,& punctum q, puncto X, proptet æqua litatem arcuum fg, Ne, ht vt exiſtente ſtella Z, in 8, Sol primum punctum m, occupans exiſtat in Xʒac proinde arcus De, horam à med. noc. exhibeat. Quod ſi per X, ad interuallum ſemidiametri Horizontis K Q, ex centris H, k, in parallelo KH, aſſumptis, duo eirculi deſcribantur ſecantes Aequatorem in E, V,. dabit arcus ADę, horam ab occ.& arcus CB ADV, horam ab ortu, vt patet ex jis, quæ lib. 2. propoſ. 9. Num.& 8. ſeripſimus. Arcus porro BN, indicat diſtantiam ſtellæ a Meridiano te mpore obſeruationis. a SO E exiſtente in principio V, habenteque eandem altitudinem grad. 20. ſi ducatur recta E, ad interſectionem paralleli v, cum parallelo Horizontis grad 20. ſecans Aequatorem in; dabit arcus Bo, horam à mer. ſi tempus fue rit pomeridianum,& arcus DAo, horam a med. noc. ſi tempus antemeridianũ fuerit. Sic etiam quando Sol primum punctum S, tenet, altitudinemque habet grad. 20. ſi ducatur recta Eee, per interſectionem paralleli S, cum parallelo Horizontis grad. ao. ſecans Aequatorem in ce; dabit arcus Bee, horam a mer. tempore pomeridiano arcus vero Dec, antemeridiano tempore horam a med. noc. præbebit. Et ſi per I ee, bini circuli deſcribantur ad interuallum ſemidiametri Horizontis. KQ, quorum centta in parallelo Kg, exiſtant, reperietur quoque hora tam ab or. quam ab occ. ſicuti in præcedentibus. 7. HO RAM denique inæqualem cognoſcemus, ſi arcum ſemidiurnum, aut ſeminocturnum paralleli per datum pũctum Eelipticæ deſeripti, in ſex par tes æquales partiamur pro horis inæqualibus. Recta etenim ex centro E, ad locum Solis tempore obſeruationis, vt ad 8, vel X, ducta, indicabit, quota hota inæqualis tranſacta ſit. nne k. 1. SI Analemma ad datam poli altitudinem deſcribatur, vt in 19. Lemmate lib. 1.& in ſcholio Can 6. tradidimus, cognoſcemus horam interdiu ex altitudine Solis hoc modo. Dudta in Analemmate ſcholi Can. g. diame tro paralleli per gradum Solis tranſeuntis MO, vel NP, deſcriptoque circa eam ſemicirculo AXO, vel NZ P, erigatur ad eandem ex puncto L, vel V, vbi à diametro Horixontis ſecatur, perpendicularis LX, vel YZ, vt MX, del N, ſit arcus ſemidiurnus, c O, vel PZ, feminocturnus. Deinde ex D, B. ſupputata altitudine Solis vſque ad ꝙ,& Y. he. ctatur Q, diameter paralleli orixontis inuenta altitudinis;& ex puncto E, vel, vbi dia metrum paralleli Solis diuidit, perpendicularis ad eandem paralleli Solis diametrum excitetur E A, vel p. Nam arcus M, vel Np, horam à mer. vel med. noc. indicabit, prout tempus obſeruationis pomeridianum, aut antemeridianum fuerit; propterea quod Sol tempore obſeruntionis in puncto i, vel p. exiſtit. Cum enim parallelus Solis, cuius diameter MO, vel NP,& parallelus Horixontis, cuius diameter ad Meridianum recti ſint, i erit eorum communis quoque ſectio ad eundem recta. ideoque ex deſin. 3. lib. LI. Eucl. ad rectam MO, vel N, in plano Meridiani exiſtentem perpendicularis erit. Quapropter&&, vel p, ad MO, vel N P, perpendicularis, communis illa ſectio erit; atque idcirto cum Sol tunc in conimuni illa ſectiono exiſtat, nimirum in puncto, vbi ſe duo illi paralleli per Solem deſcripti intorfecant; eris Sol in puncto A, vel p, ac proinde arcus M, vel Ne, diſtantiam eius& Meridiano metietur AR CVS autem X 4, vel Z p, diſtantia erit Solis ab Morlxontè, cum L XA vel T2. Haram iuæqualẽ ſiue inſtrumę · to deptekendett. Horâ à mer. vel med. noc. interdiu ex Anale mmate perſerutaui 419. undes, Horam inzqualẽ interdiu per A nale mma venari. Notam qua mcũque n octe per Avalemma explore. Diflantiam ftellę 2 meridiano ſupere ottum ver dus ſumendam e ſe ad horam inue ſti gandam 648 F Ii n II. vel TZ, communis ſeckio ſii Norix intis ac paralleli Solis, vs in ſcholio pracedentis Canonis Num. I demonſtratum eſt. Ex hac diſtantia X lu, vel Z pr ita horam ab or. co. gnoſcemus. di tempus eſt ante meridiem, arcus ipſe X Añ vel Zp, horam ab or. er hibebitʒ ſi vero poꝶt meridiem, arcus conflatus ex X M,& Mu, vel em N. Np, eandem Horam manifeſtabit; quod tunc Sol motus ſit ab X, vel Z, puncto ortuus vſque ad M, vel N, punctum meridiei,& Ameridie uſque ad u, vel p. Ex eadem diſtantia XH, vel Z ps horam odd. ſic dignoſtemus. Si tempus eſt ante meridiem, arcus conflatus em x O & Oi. vel E B,& Pp, horam abb occ. indicabit, uod Sol motus tunc ſit ab X, vel 43 puncto oc caſus, vſque ad O, vel P, pundtum mellię noctis,& à media nocte vſque ad , vel p: Si vero Sol fuerit poſt meridiem, arcus conſt atus em XO,& OM, ſemicircuJo,& M, vel ex Z P,& PN, ſemicirculo, S Np, eandem hora m ab occ. notam efficiet, propterea quod Sol motus tunc erit ab X vel Z. puncto occaſus, vſque ad O, vel P, punctum media noctis,& binc uſdue ad M, vel N, punctum meridiei, ac denique hinc vſque ad u, vel p. 8 arcus ſemidiurnas x M, vel Z N, in ſex partes a quales diuidatur pro Horis inaqualibus, indicabit eadem perpendicularis S e, vel arp, horam inaqualem, Cc. 2. NOCT YR NO autem tempore ex altitudine alicuius telle hac ratione Horam uenari licebit. Diſtantia ſtella à Meridiano gu7, t de Sole diximus, per linea videlicet perpendicularẽ duct am ad diametri paralleli ſtella ex puncto, vbi ea diametrum paralleli Horixontis tran ſeuntem per inuentam ſtella al titudinem interſacat. It ſi ſtella, cuius declinatio ſit HM, borealis,& diameter eius paralleli MO, ipſe vero parallelus MX O, Habeat altitudinem Pg, vel BA, ita vt ducta re4a Hg, ſit diameter paralleli Horixontis per ſtellam ducti, ſo. cans diametrum paralleli eiuſdem ſtelle in k; aſtendet perendicularis k N, diſtantiam ſtella MY Meridiani ſemicirculo ſupero in ortum, vel occaſum, proui ſtella reperta fuerit in parte orientali, vel occidentali. Deinde vt regularum mullitudinem fugiamus in ho ra inquiſitionè ex diſtatia ſtel le A Meridiano inuenta, accipiemus ſemper eius diſtantiam A Meridiano ſupero verſus ortum, ſiue ſacundum ſucceſſionem ſignorum, ila ut ſtella exiſtente occident ali, eius diſtõ tiam inuent am ex integro cirtulo detrahamus, vt reliqua iat eiuſcdem Aſſtantia à Me ridiano ſupero ortum verſus comput ata, licet ſemicirculo maior ſit. Verbi gratia, ſi de. prehenſa fuerit diſtantia alicuius ſtellæ 2 Meridiano ſupero verſuis octaſum grad. o. derrahemus 30. ex grad. 3 60. vr relinquantur grad. ꝛ c. pro diſtantia eiuſdem 4 fl. a pero Gol VIII. 649 hero Meridiano ortum verſus computata. DEIN D E ex hac diſtantia ſzella à Meridian ſupero verſus ortum computata inueſtigetur dittantia Solis à ſtella ab occaſu quoque in ortum, hac arte. Aſcenſio recta ella ex ſcholio Can. 4. Num. 2. inuenta auferatur ex aſcenſione recta Solis ex eodꝭ ſcholio Num. I. cognita, adiecto prius integro circulo, ſi ſubtractio fieri neꝗ ueat. Numerus enim reliquus dabit diſtantiam Solis& fella ſecundum ſegnorum fucceſcionem numeratam. Vt ſi in Proximo Analemmaté circulus ABC D, cogitetur eſſe Ae2uaton, in quo dictæ diſtantie numeranda ſunt,& D, princitium, atque A, pun dum Meridiani ſuperi, ponatur autem A M, diftantia fell à Meridi ano ſupero ver ſuis ortum,& AN, diſtantia Solis, ab eodem Meridiano in ortum; ſi DM, aſcenſio re cta ſtella ex DN, aſcenſione recta Solis detrahatur, reliquus fiet arcus MN, diſtantiæ Solis A ſcella ſecundum ſignorum ordinem. R urſus ſi diſtantia ſtella à Meridiano in oc caſum ſit Aq. ita vr eiuſdlem diſtantia in ortum ſit ABC Dq,& diſtantia Solis à Me ridiano verſus eandem partem ſie ABC Dq redla autem aſcenſio tell Dq, ex Dꝙ, aſcenſione recta Solis, adiecto prius integro circulo, detrahatur,(quod fieti ſi Dq, ex roco circulo dematur,& reliquo arcui q 5D, aſcenſio recta Solis Dq adifciatur) reliquus ftet arcus BC Dq, diſtantia Solis A ſtella ſocundum ſignorum ſucceſsionem nu erat a. Feriſ cadem hac diſtatia Solis à ſtella inuenietur hoc etid modo. Qua do aſcen ſio recta Solis maior reperitur aſcenſione recta ſtella, ſubtracta hac ex illa, remanebit diſtantia Solis quaſita à ¶tella. Vt quoniam DM, aſcenſio recta ſtellæ minor eſt, quam aſcenſio recta Solis DN, ſubtracto aren DM, ex are DN relinquitur MN, diſtan 71a Solis& ſtella ab occ. in ortum. Quando autem recta aſcenſio Sole minor elt aſcenſione recta nella, ſi illa ex hac ſubtrahatur, reliquus numerus ex toto circulo, reli 2 exit diſtatia Solis queſita& ſtella. Vt poſita ſtella in M,& Solis in%% Dd;, aſcen ſio Solis recta ex DM, aſcè ſione recta telle dematur, relinquitur arcus QM, quo ſubla r ex toto circulo, reliquus ſit arcus M C/ diſtantiæ Solis à ctella ab occ. in ortum. IAM vero arcus conflatus ex diſtantia ſtella& Meridiano ſapero verſus ortum numerata,& diſtantia Solis& ſtella ſecundum ordinem quoque ſignorum computata, abiecto integro circulo, ſi conflatus arcus maior fuerit, indicabit diſtantiam Solis à Meridiano ſupero ſecundum ſignorum quoque ſucceſtionem numerandam: quæ diſtantia ex integro circulo detracta diſtantiam Solis à meridie notam relinquet: Vt in eodem Analemmate ex A M, diſtantia ſtellß A Meridiano ſupero verſus ortum,& MN, diſtantia Solis a ſtella M, verſus ortum, confcitur AN, diſtantia Solis à Me ridiano ſupero verſus ortum:qua ex circulo integro ſieblata, relinquitur ADN, diſtan ria Solus à meridie. Reducto igitur arcu A DN, ad horas, hora à meridie elapſa ignorari non poberit. Et ſi plures hora, quam 1 2. reperta fuerint, detractis 12. Horis, reli. ua erunt horæ à med. noc. Rurſus poſſta ſtella in 7.& Sole in, ſi ex arcu, qui ex ABC Z,& ABC, conflatur, integer circulus dematur, qui nimirum ex A BCꝗ, 4A, conficitur, relinquetur A BC diftantia Solis à Meridiano ſupero ortum ver ſus numerata. Sic etiam poſita ſtella in 7,& Sole in N, ſi ex arcu, qui er ABC. AN, componitur, integer circulus tollatur, qui nimirum ex ABCꝗ,& 4A, conNatur, remanebit A N, dictantia Solis à Meridiano ſupero in ortum computata. Quod ¶ forte aſcenſio recta Solis aſcenſioni recta ſtellæ deprehenſa ſuerit æqualis, Sol,& ſtel l equaliter à Meridiano diſtabunt verſus eandem partem. Quare tunc diſtantia ſtelle A Meridiano inuenta horam indicabit. Aut ſi forte diſferentia rectarum aſcenſionum Solis, ac ſtella æqualis fuerit ſemicirculo, erit diftantia ſtella à Meridiano ſuPero diſtantiæ Solis à Meridiano infero æqualis ſecundum ſucceſßionem ſignorum,& 2 contrario. Quocirca diſtantia Solis à meridie cognita erit. Que omnia ex eodem Analemmate perſpicua ſunt. Ana-. Diſtantia golis& flella ab oec. in otrtum quo 5a cto inueſtigetar ex diſtantia ſtel& à Meridiane ſupe ro ortũ ver · ſus aumertss. Diſtantiam golla à Meridiano ſupero ortum verſus, ex diſtantia ſtellæ ab eodem Meridiano,& ex diſtantia Solis à ſtella, eodem ordine inuenta, col ligete. itantia Solis a flella verſus ocea ſum quo pacto in quiratur. Hora m, qua ſtelIa ad Aeridianũ pꝓeruenit, cogno · leere. 650 ELI BRN AZLIT ER. Inuenta,; vt diximus, diſtantia ſiella& Meridiano ſiue in ortum, ſuue in occa ſum, auſeratur recta aſcenſio Solis& recta aſcenſione ſtella, adiecto prius integro circulo, quando detractio ſieri neqnit. Quod enim relinquitur, erit diſtantia Solis A ſtella verſus occaſum: Ab hac autem diſtatia auferatur diſtantia ſtella à Me ridiano inuenta, ſi ſtella fuerit orientalis, aut ad diſtantiam Solis& ſtella adifciatur diſtantia.ſtella à Meridian, ſi ſtella fuerit occidentalis. Quod enim relinguitur, vel conſlatur, erit diſtantia Solis à meridie in occaſum: ac proinde hora latere non poterie. Vt: ſi ſtella ponatur in N,& Sol ind; detracta aſcenſione recta Solis Dꝙ, ab aſcenſione recta ſtella DN, relinguetur N, diſtantia Solis ꝙ, A ſcella N, uerſass occaſum. Et quoniam ctella N, vergit.& Meridiano in ortum„i ex N, diſtantiæ Solis à ftella dematur NA, diſtantia ſtella& Meridiano, relinquetur A, diſtantia Solis à me ridie verſus occaſum. Rurſus poſita ſtella in 7.& Sole in, ſi detrahatur aſcenſio reca Solis Dꝙ, ab aſcenſione recta falla Dq, relinquitur d, diſtantia Solis 95 el2 4. verſus occa ſum. Et quoniam ſtella 2. vergit à mer. in occaſium, ſi eius diſtantia a Meridiano Aq, adijciatur ad 20%, diſtantiam Solis& ſtell a, conßtcietur A, diſtantia Solis a mer. in occaſum. Ttem poſita ſtella in H,& Sole in&, ſi aſtenſio recta Solis DA, auferatur ex DAH. aſcenſione recta ſtella, adiecto prius integro circulo, hoc ect, ſi aſcenſio recta Solis DA, dematur ex integro circulo,& reliquo arcui G D, addatur aſcenſio recta ſtells D H, prodibit HA, diſtantia Solis à ſtella ver ſus occaſum: qua ſi ſubtrahatur ¶ A, diſcantia ſtella orientalis à Meridiano, relinguetur A Dq, diſtantia Solis à mer. in occaſum. Denique conſtituta ſtella in q.& Sole in M3, DM, aſcenſio recta Solis detrahatur ex toto circulo, reliquo arcui MCD, apponatur Da, aſcenſio recta ſtella,(Hoc eſt, ſi aſcen ſio recta Solis detrahatur ex aſcenſione recta ſtella, adieCo prius integro circulo)prodibit ꝙ DM, diſtantia Solis M, A ſtella 9, verſus occaſum: ad quam ſi addatur occidentalis diſtantia ſtella à Meridiano Aq, conſlabitur A DM, diſtantia Solis a mer. in occaſum. Diſtantia porro Solis a ſtella verſus orcaſum in temtus conuerſa, indicat horam àa mer. qua ſtella ad Meridianum ſuperum peruenit: quia Poſita Hella ſub Meridiano, eadem diſtantia est tun difantia Solis à mer. in occaum. 5 COGNIT A autem ho a mer. fuel med. noc. facile horam quoque ab ortu„ vel oecaſu reperiemus. Numerata enim ea hora ꝗ mer. M, vel A med. noc. O, vue ad , brout Sol ante mediam noctem, vel poſtlinuenrus fuerit; ſi quidem nondum ad media noctem peruenerit Sol, dabit arcus con Harus ex arcubus& M, MJ, Hora ab ortu, Arcus a C AN ON VIII. 651 arcus vero V, Horam ab occa ſu: Si autem mediam noctem tranſterit, dabit arcus ex arc ubus X M., Mo, Oſss conſlatus horam ab. or. arcus Vero e arcubus XO, Oſ, cmpoſitus horam ab ocraſis indicabit. 6 VO f arcus ſeminocturnus XO, ſecetur in d. partes æquales pro horis inaqua libus, cognoſcetur quoque hora inegualis, in quam punctum /, incidit. 3. IAM vero, quando de horarum inuentione multa dixi mus, opera pretium fuse rit docere, quanam ratione ex data hora A mer. vel med. noc, eliciatur ſam hora ab ortu, quam ab occaſis; vr ciqſim quo pacto en hora datà ab or. vel occ. cognoſcatur Horn à mer. uel med. noc. Item quo pacto eæ data hora ab or inneniatur horæ ab ece. & viciſsim Hora ab or. ex hora ab oec. Hac enim ratiene ſiet, vt inuentæ hora à mer. vel med. noc.( Jua inuentio per Actrolabium, vel Analemma facillima eſHillico hora ab or. vel occ. cognoſcatur. TAE ſi artus ſominobturnus detrahiatur ab hora data à med. noc.(adiectis prius 24. Horis, ſi detractio fler nequit; Item ad horam data à mer. additis prius 12. Horis, vr diſtantiam à medl. noc. habean us dabit reliquus numerus Hhoram ab ortu Solis numeratam. Vt artis ſeminocturno continente horas quinque, ſi data ſit hora 8. A med noc. demantur 5. ex f. relinqueturque hora 3. ab ortu Solis. Si autem ſit data hora 3.& mell. noc. adijciantur 24. Hora,(quia v. e q. auferri nequeunt) c e conflato numero 25. tollantur g eritque reliqua hora 22. ab ortu Solis. Denique ſi da 7a ſit Hora. a mer. addantur 12. Hora„ vr flat hora 1 f. à med. noc.& ex numero conflato 1. ſubirahantur 5. remanebitque hora 13. ab or. Solis numerata. Ratio huius rei perſpicua eſt en proximo Analemimate. Nam /i hora lu. numeretur à puncto O. medie noctis ſi auferatur arcus ſeminocturnus O X, reliqua erit diſtantia X ii, a trn-· to ortus Xx Si vero eadem hora A, numeretur& puncio M, meridiei, ſi adiſciantur 1 2. Hora, vt habeatur dittantia à med noc. OM,& dematur arcus ſeminocturnus O, reliquaà erit diſtantia x M A. ab ortus functo X. Deniqus ſi detur Hora ſi: A med. noc. A qua auferri nequæat arcus ſaminocturnus OR, addantur 2 4. hora, ut habeatur diſtanſia q media nocte OM G,, A qua ſi tollatur arcus idem ſeminocturniis O&, reli2 flet diſtantia x Moſſi à puncto ortus X. Ai ſi eadem Hera ſſ: numerata ſit à mer. adiectis 12. Hori, habebitur diſtantia à med. noc. OM A 4 ſi dematur arcus ſeminocturnus OR, relinquetur diſtantia XM y. A puncto ortus&i vt munifeſtum eſi. SI autem arcus ſeminocturnus ad horam à med. noc. datam( addifis prius 12. horis ad horam à mer. vt diſtantia à med. noc. habeatur) adi ciatur, con flabitur Hora ab occaſii Solis inchoataʒ abiectis tamen 2. Horis, ſt abijci poſſunt. Vt fi data ſit ho ra g. à med. noc.& apponatur arcus ſeminocturnus horarum F̃. conficietur hora 13. ab occaſu. Si autem data ſit hora C. à mer. addantur 12. v fiat distantia à med. not. Horarum 1d. quibus ſi adifciatur idem arcus ſominocturnus horarum S: comtonetur ho ra 23 ab occaſu Solis. Ratio quoque huiuſce rei obſcura non eſt ex eodem Analemma te. Si namque hora, numeretur& med. noc. O. appoſito arcis ſeminocturno X O, nor fiet diſtantia ab occaſu Solis XO. Si vero eadlem hora i, à mer. fupputetur, adijciendus eſt ſemicirculus OM, 12. Horarum, vr diſtauria à med. noc. OA, abeatur, ad quam ſi addatur arcus ſominocturnus XO, cognita erit tota diſtantia ab occaſu Soli: XO M. Quod ſi hora. à mer. numeretur, appoſito ſumitirculo; vt diſtantia 2 med. noc. habeatur O MHV, ſi addatur arcus ſaminodturnus X O fet iſtantia ab oc caſ X OM, toto circulo maior. abiecto ergo integro circulo x OMX, reliqua erit hoa ab occaſu X. 8 VICISSIM i artus ſeminocturnus addatur ad horam ab ort Solis, prodibit bora à med. noc. abiectis tamen 24. fi abijci poſſunt. Et ſi numerus conſlatis maior fuerit quà m 12. abiectis 1a. manebit hora à ner. ſupputata. Vt ſi data ſit hora 4. M m mn in ab ortu; Reducti o à mer. vel noc ad bor ortu Solis. Reducti o a mer. vel noc. ad ho occaſu Sol hot med. 2 4b horæ med rã ab 2. Reductio horę ab ortu Sol. hortã à mer. med. nos. is ad vel Reductio horæ ab occaſu Solis ad horam a met. vel media nocte KNeductio horz ab ortu ad horã ab occaſu. 672 III II ab ortu, adietto arcs ſeminotturno horarum g̃· conficietur hora ꝙ. à med, noc. Item ſi ad horam 22. ab ortu apponamus arcum ſeminoctur nim Hor arm z. coſlabitur numerus 25.& abiectis a ꝶ. ſupererit hora 3. à med. noc. Deniqus ſi ad horam Io. ab Ortu addatur idem arcus ſeminocturnus horarum z. exurget Hora 15. à med. noc. Abiectis ergo 1 2. reliquaà erit hora 3. à mer. Nam in eodem Ana lemmate ſi ad X, horam ab oreu Xʒ inchoatam adlijciatur arcus ſeminoci ur nus XO, conflabitur diſiantia Ou, à med. noc. Si autem ad XM, diſtantiam ab ortu X, addatur arcus ſeminocturnus xo, eſßcietur diſtantia OM, à media nocte, maior ſemicirculo. Abiecto ergo ſemicirculo OM, reliqua erit diſtantia M, A mer. Denique ſi ad x40 di. fantiam ab oriu X ndiungatur arcus ſeminoctur nus xo, fes diſtantia OM Ol 2 med. oe e ee maior. A biecto ergo integro circulo OM O, remanebit diſtantia Oſſ a med noc. AT vero ſi arcus ſeminocturnus detrahatur ex hora ab or caſis Solis, adiectis prius 24. ſi ſubtractio ſieri nequit, re liqua ſiet hora à med. noc. Et ſi nuimerus reliquus maior ſuerit, quam 12. abiectis 12. remane Vit hora à mer. Vt ſi er hora . 1 10. ab occ. detrahamus arcum 2 g 8 ſeminocturnum horarii 5. relin guetur hora 1 1. 4 med. noc. Itẽ ſi ex hora 23. ab occ. abijcian: tur 5 reliqua erit Hora 1 f.& nec. noc. Hoc eſt,(abiectis 12.) hora 6. a mer. Denique ſi hara g. ab oec. data ſit, addemus 24. Mex aggregato 2. reiciemust g. vr reliqua fiat hora oz. 4 med. noc. Hoc eſt(abiectis 14.) hora 1 o. A mer. In eodem enim Analemmate ſi ex diſtatia ab occaſu X Oli, detrabatur ſemi nocturnus arcus XO, ſupererit diſtantia a med. noc. i O. Sic etiam ſi e diſtantia ab occaſis XxOM, dematur aeccus ſeminocturnus X O, reliqua erit difHantia A med. noc. OM . l N detracio ſamicirculo OM, reliqua erit diſtantia Miu, à mer. Deniqus ſi ex diſtantia X/, ab occaſu, addito prius integro circulo xo Mx, auferatur arcus ſeminocſurnus x0 relinquetur diſtantia à moll. noc. O Mſſa hoc eſt, dempto ſamitirculo, diſtantia à mer. Miſ. P RAE TER EA, iorus arcus nocturnus adijciatur ad horam ab ortu, prodiBit( reiectis prius a4. ſi reijti poſſunt) hora ab occaſu. Vt ſi ad or am 8. ab or. addazur arcus nocrurnus horarum To. conflabitur hora 1 G. ab oct. Item ſi ad gor am 19. ab or. apponatur idem arcus nocturnus horarum io. exurget hora 29. ab occ. hoc ell, abie is 24. hora 5. ab oct. Nam in eodem Analemmate, ſi ad horam ab or.& u, adijcia ur arcus nocturnus XO X, cd ficietur hora ab occ. x OA. Item ſi all horam ab or. x M g Adllatur arcus nocturnus x O X, conflabitur hora ab occaſu XO MG,& abiecio integro . 8 8 . NN N CN NGO N IVI. 653 integro circulo xo Mx, hora ab occ. X Gf. reliqua exit. 0 a DEN NE ſſ tetus arcus nocturnus detrahatur eu hora ab oct. adiecto prius toto circulo, ſi ſubtractio fiori nequit, reliqua erit hora ab ortu. Vi ſi ex hora 20. ab occ. dematur arcus nocturnus horarum 10. relinquetur hora lo. ab or. Item ſi ex hora 9. ab oct. hoc eſt,(adiectis ꝛ4. ex hora 33. ab oc. tollantur 10. remanebit hora 23. ab or. Ia quod ex eodem Analemmate perſpicuum eſt. Nam ſi ex Hora ab occ. XO, demas arcum nocturnum x Ox, habebis horam ab or. Xi. Item ſi ex hora ab occ. X V apo ſito prtus roto circulo, detrahatur arcus nocturnus xOx, reliqua erit hora ab or. X M. 4, CAET ERH M ut hora inæquales ad aquales roducantur,& contra, indagandaprius erit quolibet die mugnitu o inequalis hera, tam diurna, quam nocturna, 0c ſcilicet modo. Paſito gradi Ecliptica oppoſito ei, quem Sol occupat, hoc et, Nadir Solis,( Ita enim gradum Solis oppoſitum vocant) ſuper quamlibet lineam horarum inægualium, notetur in limbo pundtum a linea fiducia Oſtenſoris per gradum Solis tunc tranſeunte oſtenſum: I demque f at, poſtto eodem gradu ſuper proxime inſequentem, vel præcedentem lineam horartam. Gradus enim inter duo punct a notata intercepti quan · titatem vnius hora inæqualis diurna continebunt. Renocatis igitur illis gradibus ad tempus, cognita erit magnitudo vnius hora inequalis diurna. Quod ſi idem fiat cum gradi ipſo Solis, reperietur quantitas hora inequalis nocturnæ; quam etiam inuenies, i zuantit atem horæ diurnæ ex grad.; Oαe rab. NE inſtrumento certius idem aſſeguemur hoc modo. Diuiſo arem ſemidiurno, vel ſeminocturno(quem exhibec arcus par alleli ber gradum Solis deſcripti inter Hori⁊ontem& meridianam lintam A trolabij interceptus, vel in Analemmate arcus paralleli circa propriam diametrum deſcripti inter Meridianum, c perpendicularem, qua ad diametrum ex interſectione ipſius cum diametro Horixontis educitur, vt in Can 7. Num. 3.& in eius ſcholio Num. l. ſcripſimus) in c. partes equales, erit qualibet earum magnitudo vnius hora in equalis; diurng quidem, ſi arcus ſemidiurnus, nocturnæ vero, ſiſeminocturnus diuiſus fuit in d. partes aquales. Quot autem gradus, ac minuta in qualibet parte ſexta contineantur, ex Lemm ate 3. lib. 1. cognoſces. Hac ratione inuenies, Sole in princibio SO exiſtente, horam vnam inæqualem diurnam completi grad. 15. min. 5 o. fere, hoc eſt, vnam horam egualem cum Ig. minutis, paulo amplius,&c. b KO POST A ergo qualibet hora inaquali diurna, ſi eius numerus multiplicelui per quantitatem vnius horæ inæqualis diurnæ, procreabitur diſtantia Solis ab ortu. Si vero numerus cuiuslibet hora inequalis nocturnæ dutatur in quantitatem vnius horæ inaqualis nocturna, diſtantia Solis ab occaſis producetur. Atque hoc modo redueetur quelibet hora inagualis diurna ad horam ab orta Solis, nocturna vero ad horam 4 Solis occaſit numeratam: hinc vero her reductionem Hora ab or. vel oc. ad horam à mer. vel med. noc, cognoſcetur guoque Hora a mer. vel med. noc. datæ hora inaꝗquali reſpondent. E CONTRARIO ſ interdiu diſtantia Solis ab ortu, vel noc diſtantia ab occaſu diuidatur per quantilatem vnius Hora ine qualis diurne, vel nocturna, prodibit numerus Hera inequalis diurna, vel nocturna. Quod i data horæ a mer. vel media notie inueniendla ſit hora inaæqualis reſſondens reduconda hrius eris interdiu ad horam ab er, noctu vero ad horam ab occaſu inchoatam, c. 5. PER calculum ſinuum hoc modo Hora quoque æqualis inuenietur ex altitudins Solis interdiu, c noctil ex altitudine alicuius ſtella. Nolo aut reperere hoc loco rationer in ultima propoſclib. I. noſtra Gnomonites explicatas, quarum omnium expeditiſsie eft, qua proæixse rationem, qua per triangula ſpbarica abſoluitur, antecedit.) Rem mm 2 pet antur Reductio here ab occaſu ad hotam ab ortu. Hotæ jarqualio maguicudi ne m tã per iuſtru ment quam line inſtrumento cognoſcete. Neductie heræ ina qualis dd&. qualem. Redactio horæ æqualis ad inæJualem. Hetam æqualem Per nds inteſli · ate. 654 IVI N ö Hl. hetantur priores. circuli ex I 2. illis, quos ad calcem tholij San. 3. attulimus in qui bus ABC O, ponatur Meridianus; DE B, Horixon, eiuſque holus F; Aequator AEC, c etus, vel mundi plus Gʒ Verticalis per Solem; vel ſtellam H, dudtus FL, ita vt HL ſic eius altitudo ſabra H orixontem; Circulus horarius, vel declinationis G, ita v- 2 clinatio ſit HI, ſiue borealis, ſiue auſtralis. Quoniam igitur in triangulo ſpharico F GH. ria latera nta ſunt, cum FG, ſit complementum altitudinis poli; FH, complementum altitudinis Colis, vbi ſtella;& GH, complementum declinationis, quando declinatio borealis eſt, quando autem declinatio eit auſtralis, habebit arcus G H, eundem ſinum, guem reliquus arcus ex ſemicirculo in altero polo terminatus; qui complementum eſt dleclinationis auſtralis: cognoſcetur angulus F GH, ex problemate 2 L. triang. ſphær. vlimi Lemmatis, hoc modo. Fiat vt ſinus totus, ad ſinum arcus FEG, complementi al titudinis poli, ita ſinus arcus GH, complementi declinationis, ad aliud, produce turque quartus quidam numerus. Rur ſus fiat, vt quartus numerus inuentus ad ſinum totum, ita differentia inter ſinum verſum arcus EH, com plementi al titudinis Solis, aut ſtellæ,& ſinum ver ſum arcus, quo duo latera FEG, GI, inter. ſe differunt, ad aliud, gigneturquę ſinus verſus anguli quæſiti EGHʒ eæ quo cognita erit diſtantia aſtri Al, a Meridiano numerata; quæ uvtrum verſus ortum numeranda ſit, an verſus occaſum, ſuus ipſius aſtri docebit, prout videlicet in hemiſphærio orien tali, vel occidentali extiterit. H AE C diſtantia Solis a Meridiano inuenta horam ignorari non ſinetse& diſtanr tia vero ſtell. ab codem Meridiano hora elicienda erit, vt Num. a. docuimus. S QV A hora Sol, aut quæuis ſtella oriatur,& occidat, aut ad Meridianum perueniat: Et qui dies,& noN cos CAA N O N IX. 655 ctes æquales inter ſe ſint: Denique qui dies habeant arcus diurnos, nocturnoſque alternatim æquales, inquirere. 1. CIRCVMVOLVNT o reti, donec gradus Solis, vel cacumen ſtellæ propoſitæ in Horizonte orientali, ſiue recto, ſiue obliquo reperiatur, linea fiduciæ Oſtenſoris gradui Solis ſuperpoſita ind icabit in limbo horam, qua tune Sol vel ſtella oritur: quia gradu Solis, vel ſtella exiſtente in Horizonte hoc eſt, oriente ſupra Horizontem, ſphæra eum ſitum obtinet, quem Aſtrolabium tunc indicat. Eodem pacto horam occaſus reperies, ſi gradum Solis, aut cacumen ſtel læ in Horizonte occidentali,& lineam fiduciæ ſupra gradum Solis colloces. 2. NON aliter horam, qua propoſita ſtella cælum mediat, id eſt, ad Meri dianum peruenit,(Sol enim ſemper in meridie, hoc eſt, hora 1. in Meridiano ſu periore e xiſtit, media vero nocte in Meridiano ipferiore)inuenies, ſi eius cacumen in linea meridiana tam ſupra Horizontem„ quam infra, conſtituas,& 1 neam fiduciæ gradui Solis ſuperimponas. 3. IAM b in reti accipiantur duo quilibet gradus Eelipticg æqualiter 4 principio, vel, diſtantes,& in dor ſo Aſtrolabii reperiantur duo dies illis gradibus rẽſpondentes; habe bunt duo illi dies ar cus diurnos, nocturnoſque æquales, eandemque horam ortus, atque occa ſus. 4. SI autem in reti ſumantut quilibet duo gradus Eclipticæ a principio. vel A, æquali ter remoti,& in dorſo Aſtrolabii duo dies Illis gradibus accipian tur reſpondentes, erit arcus diurnus vnius æqualis axcui nocturno alterius,& nocturnus vnius diurno alterius, J. ABS QE inſtrumento hut in modum progredie mur. Per gradum Solis, vel per ſtellam deſcribemus ex E, centro parallelum, donec Horizontem ſecet, ac Meridianum. Arcus enim eius iuter Horizontem& Meridianum poſitus metietur diſtantiam Solis, aut ſtellæ a Mer idiano, cum oxitur: quæ diſtantia fi Solis eſt, in tempus conuerſa, indicabit quot horis ante meridiem Sol oriatur. & quot horis poſt meridiem occidat. Quate ſi dictæ horæ ex 2. auferantur, relſquæ erunt horæ poſt mediam noctem, quibus Sol exoritur. Vt Sole exiſtente in principio V. cuius parallelus Horizontem ſecat in ſ,& Meridianum ſuperig; rem in Ezarcus Fſ, eſt Solis in ſ,exiſtentis diſtantia a meridie,&c. N H OR AM autem ortus ſtellæ ſitum v. g. habentis in Z, cuius parallelus H rizontem ſecat in d,( Eius namquę diſtantia a Meridiano horam non indicat) ita venaberis. Ducta recta EZ, ad ſitum ſtellæ;recta Ed, ad inter ſectionem pa raleli ſtellæ cum Horizonte,& recta Eq, ad gradum Solis, quem nunc ponamus et ſe principium mʒaccipia tur arcui Aequatoris f h, inter rectas EZ, E, æqualis arcus a puncto inter ſectionis rectæ Ed. cum Aequatore, vſque ad punctum cd ita vt punctum cd, verſus eandem partem a puncto rectæ E d recedat, verſus quam punctum h, a puncto f, remouetur. Nam arcus BCcd, exit diſtantia Solis, vel principii m · ante meridiem, cum ſte lla in q. oritur: propterea quod: ſĩ ooncipiatur moueri rete, donec recta EZ, rectæ Ed, hoc eſt, donec ſtella Z, in d, exiHat, recta EO, ſecabit Aequatorem in cd, propter dictos duos æquales arcus acceptos,&c. NON aliter horam, qua ſtella eadem occumbit, inueſtigabis. Nam ſi arcui prædicto fg a puncto inter ſectionis Aequatoris cum recta, quæ ex E;, 8 inter ſeN ionem Horam ortus, os taſuſque golis, vel ſtellæ cuiu ſuis per Aflrolabium inueſiigare Horam, ena ſtef gnoſcere. Qui dies ae noctes inter ſe ſint æquales, ex A= ſtrelabie dilecre. Qui dies habe ãt arcns diurnos nocturnoſque alternatim æ qua les. 656 Ei n N 1 t. ctionem paralleli ſtellæ cum Horizonte oceidentali ducitur, ſecundum fueceſſionem ſignorum æqualis arcus ſumatur,(nimirum verſus eandem partem ab il Io puncto interſectionis recedendo, in quam punctum i, a puncto f. recedit) erit terminus huius arcus punctum illud, ad quod gradus Solis peruenit eo temporis momento, quo ſtella occidit. Itaque areus Aequatoris inter idem punctum,& meridianam lineam EF, diſtantia erit Solis ante meridiem, vel poſt, prout punctum illud in parte orientali Aſtrolabii exiſtet, aut occidentali. Sic etiam hora, qua ad Meridianum ſtella peruenit, inuenietur, ſi arcui f 9j. æqualis accipiatur BC. Nam cum primum recta EZ, ad rectam EB, peruenerit, congruet recta Eꝙ, rectæ EC, ac propterea arcus BC, diſtantia erit Solis ante meridiem. Quod ſi eidem arcui f. æqualis ſumatur PA, erit arcus BA, diſtantia Solis poſt meridiem, ſtella exiſtente in Meridiano infra Horizontem: propterea quod, mota re ca EZ, ad rectam ED, recta Eq, rectæ EA, congruit, ob arcus fh, BA, æquales. Denique non alia ratio eſt inueſtigandæ horæ, quando ſtella in Horizonte, vel Me ridiano exiſtit, quam quando in alio puncto cælirepe ritur. Hac enim eadem ratione ſupra in Can. 8. Num. g. ex ſitu ſtellæ Z, in puncto 8, quem ex eius altitudine, & parallelo inuenimus, teertus eſt arcus Bo, diſtantie Solisà Meridiano in prin cipio m exiſtentis; quia nimĩrum arcum Ne, arcui f 9, accepimus æqualem,&c. Ex quo perſpicuum eſt, ſi in recta EC, ſumatur recta æqua lis ſemidiametro paralleli Solis E,& per extremũ pũ ctum interuallo ſemidiametri Horizontis KQ, duo cir culi horarii, quorum centra in parallelo Kg, exiſtant, de ſeribantur, inuentam quoqʒ eſſe horam tam ab ortu, quam ab occaſu, qua ſtella Z, celum mediat. Item ſi ex recta Ecd, producta abſcindatur recta eidem Eq, æqualis,& per extremum pundum eodem modo duo circuli horarii deſcribantut, horam tam ab or. quam ab occ inuentam eſſe, qua ea dem ſte lla in d, oritur ſupra Horizontem,&c. Hac ta men conditione ſeruata, vt hora rius circulus, cuius conuexo occurrimus a pun cto C, ver ſus B, progredientes, horam ab ortu Solis indicetzeirculus vero horarius, cuius concauo occurrimus à puncto A, verſus D. procedentes, horam à Solis occaſu demonſtret: quod ex is perſpicuuum eſt, quæ lib. 2. propoſ g. Num. y. de monſtrata ſunt a nobis. a f 6. ALI A duo reperientur, vt Num. 3.& 4 dictum eſt, niſi quod dies gradibus Eclipticæ teſpondentes non ex dorſo Aſtrolabii, ſed ex tabula ſcholii Canonis 2. inquirendi ſunt. SCA O GI ATN N. 657 SH DH jametri Horixontis cum diamedicularis, auſert ex ſediſtantia Solis à mer. Vt in Analemdiſtantia eius tus vel oc caſus 1. IN Analemmate rect a, qua ex interſectione d tro paralleli Solis ad eandem hanc diametrum educitur perpen micirculo circa diametrum eiuſdemparalleli deſcripto arcum vel med. noc. arcum videlicet ſemidiurnum à ſeminocturno dirimens. mate ſuperiori ſcholij Canonis C. 7.&&. Sole exiſtente in principio c. a mer. eſt arcus MX; à med. noc. autem arcus Ox,&c. Hora vero or Helle diſſicilius per Analemma inquiritur. Primum enim inueſtiganda eſt eius diſtan ria à Meridiano, cum oritur, vel occidit, hoc eſt, eius arcus ſemidiurnus, vi in ſcholio Can. 7. Num. t. docuimus. Deinde ex hac diſtantia, inquirenda diſtantia Solis 2 Me ridiano, vt in ſcholio pra cedentis Canonis Num. æ ſcripſimus. E hac enim diſtantia nullo negotio hora colligetur, ut ibidem traditum eſt. b 2. VT autem per ſinuum doctrinam hora ortus occaſuoque Solis, vel telle eliciazur, inueſtigandus erit arcus ſemidiurnus en ijs, quæ in ſcholio Can. 7. Nui. 3. ſcripta Junt. Hic enim diſtantiam Solis, vel ſtellę à Meridiano ſupero manifeſtabit, quando oritur, vel occidit. Quocirca hora ortus, occaſusque Solis ignorari non poterit. Ex Adiſtan tia autem ſiella à Meridiano eruenda erit hora ortus ipſius atque occaſus, vt proæ ime Num. i. ſcripſimus. SA N INIT IVM, ſinem,& durationem vtriuſque crepuſculi, tam matutini, quam veſpertini, perquirere. 1. POS II O gradu Solis ſupra lineam erepuſculi ex parte orientali; notetur in limbo hora, vel horæ pars, quam linea fiduciæ Oſtenſoris gradui Solis in eo ſitu ſuperpoſita indicat. Ea enim dabit initium Crepuſculi matutini. Pro moto deinde gradu Solis vſque ad Horizontem, indicabit in limbo eadem linea ſiduciæ gradui Solis ſuperpoſita horam, vel partem horæ, qua matutinum crepuſculum finitur, vel ceſſat. Tempus autem interiectum inter initium ac finẽ, Crepuſculi totius matutini durationem determinabit. Non aliter Crepuſculi veſpertini pr ineipium, finem, ac durationem inquires. Nam poſito gradu Solis ſupra Horizontem ex parte occidentali, monſtrabit linea fiduciæ gradui Solis ſuperpoſita in horis limbĩ initium Crepuſculi veſpertini. Promoto deinde gradu Solis ad lineam Crepuſculinam vſque, oſtendet in limbo eadem linea fiducię radui Solis ſuperpoſita horam, vel partem horæ, qua veſpertinum Crepuſcu55 euaneſcit· Tempus vero interiectum inter initium, ac finem, totius veſpertini Crepuſculi magnitudinem exhibebit, quæ quidem ſemper quantitati Crepuſculi matutini æqualis deprehendetur. Gradus porro limbi inter puncta, quæ a linea fiduciæ Oſtenſoris gradui Solis tam in linea Crepuſculina, quam in Horizonte exiſtentis ſuperpoſita indicantur, in tempus conuerſi, moram quoque Crepuſculi vtriuſque exhibent. Horam ortus 66 caſus que Solis. vel ſtellæ per Analemma inusſiã gare. Hora ottus, oces ſuſq; Solis, vel ſte llæ, que pacto per Sinus inquirenda ſit. Crepuſculũ ma · tutinũ, ac reſpertinum quantum duret,& qua ho ra incipiat,& finiatur, ex inſtrumẽto cognoſcere Alia Crepuſeuli 2. SED quoniam linea Crepuſculina nõ facile ſine errore deſeribitur, Prq lauentio tert. Ptetrea * * ede padolex vno Crepuſculo eruatur initium, A finis alterius Crepuſculi eiuſue m die. Quantum a prin cip o, aut ſine Crepuſculi diſtemus. gnoſcere. Crepuſculum vtiumque ſine AKrolabio material inueſtigate. 658 AI. pterea quod eius centrum nimis procul à cẽtro Aſtrolabii excurrit, inueſtigari poterit idem Crepuſculum, etiamſi liyea Crepuſculina deſeripta non ſit, accuratius hoc modo. Ponatur gradus Eclipticæ loco Solis oppoſitus in parallelo Horizontis grad. 2 4. ex parte oecidentali( Multo enim certius parallelus Ho rizöõtis ab eo gr. 14. verſus Zenith diſtãs deſcribitur, quã eius oppoſitus recedens ab codẽ grad. 19. verſus Nadir) Et quia tunc gradus Solis neceſſario conſtituitur in puncto oppoſito, nim irum in ipſa linea Crepuſculina ex parte orientali, hoc eſt, per gradum Solis in eo ſitu linea Crepuſculina tranſire debet, monſtra vit linea fiduciæ Oſtenſoris gradui Solis ſupet poſita in limbo horam initii Cre puſculi matutini, vt prius. Promoto autem gradu Solis ad Horizontem vſque, indicabit eadem linea fiduciꝭ gtadui Solis ſuperpoſita horam finis eiuſdem Cre puſculi in limbo. Eodem modo, poſito gradu Eclipticæ, qui loco Solis opponitur, in parallelo Horizontis grad. 18. ex parte orientali, oſtendet linea fiduciæ gradui Solis incumbens, horam finis Crepuſculi veſpertini in limbo. Reſtituto vero gradu Solis ad Horizontem, dabit eadem linea fiduciæ per gradum Solis incedens principium eiuſdem Crepuſculi in limbo. Tempus porro inter principium,& finem vtriuſque Crepuſculi poſituu, durationem Crepuſculi metietur. Sed inuento alterutro Crepuſculo, habebitur etiam alterum, cũ illi ſit æquale; Et hora principii vnius ex 2. horis ſubducta relinquet horam finis alter ius: hq ra vero finis vmus ex 12. horis ſublata, horam initij alterius relinquet. IAM ſi noctu per ſtellæ alicuius altitudinẽ hora inueniatur; vt Can 8. Num. 2.& 6. præcepimus, illico cognoſces, quantum a principio, aut fine Crepuſculi tam matutini, quam veſpertini diſtesʒſi nimirum horam inuentam cum hora ini tij, aut finis Orepuſculi conferas, t perſpicuum e 3. SINE inſtrumento ita agemus. Sit Aequator ABCD, circa centrum E; tropici FH K. GRS; Horizõ obliquus KAC;& linea Crepuſculina, id eſt, parallelus Horizontis grad. 18. ab eo di ſtaas in infero hemiſphœrio Rab, cuius centrum Lʒ& denique Ecliptica AFCG, cuius polus I, diuiſa in i: ſigna per rectas ex l. per iz. partes ęqua les Aequatoris eductas in pun ctis C. c, Z, Gf, gv A, N, P, E, d. e. Si igitur per datum punctum Eclipticę parallelus Aequatoris deſeribatur, erit eius arcus inter lineam Crepuſcu linam,& Horizontem ſiue ex parte orientali, ſiue occidentali interceptus, magnitudo Cre puſculi tam matutini, quã veſpertini. Initium autem ma tutini metietur areus paralle li a linea meridiana infra AC, vſque ad lineam Crepuſculi-. nam nume ratusʒ ſinem autem arcus eiuſdem p aralleli eodem modo vſq; ad Hoxrizontem 7 PP. ˙ ,. rr A A ei AN e N. KX. 659 riaontem computatus metietur. At vero veſpertini principium metietur areus paralleli A linea meridiana ſupra AC, vſque ad Horizontem numeratus; finem autem dabit arcus eodem ordine vſque ad Crepuſculinam lineam numeratus. Exemplis cauſa. Sole cxiſtente in principio S, Crepuſculi vtriuſque magnitu do erit arcus RS,& horam initii matutini Crepuſculi dabit arcus GR,& horam finis atcus GS, a med. noc. numerandam: horam autem initii Crepuſculi veſpertini numerabit arcus S.& horam finis areus N meridie inchoatã. Rur ſus Sole in principio; exiſtente, vtriuſque Crepuſculi magnit udo erit arcus t K, tropici, inter Horizontem& lineam crepuſculinam;& arcus u t, a med. noc. ſupputatus dabit initium Crepuſculi matutini,& arcus t K, finem: at arcus EK, numeratus a meridie indicabit principium veſpertini Crepuſculi,& arcus Ft, finem. Item arcus a T, erit duratio Crepuſculi vtriuſque, Sole ſexiſtente in principio x.& N. Et arcus bV, Crepuſculum vtrumque metietur, Sole exiſten te in principio N& np. Arcus denique KC, durationem eiuſdem nume rabit, So le in punctis quinoctialibus exiſtente,& ſic de cæteris. Initium autem& finem cuiuſuis Crepuſculi determinabit arcus proprii paralleli vſque ad lineam meri dianam producti, vt expoſitum eſt. Vel ſi mauis, initium ac finis cuiuslibet Crepuſculi ſumi poſſuat in Aequatore à linea meridiana vſque ad rectas ex E, centro per terminos arcus Crepuſculi emiſſas: vt quoniam Rs, arcus eſt Crepuſculi. ſi per R.& S, ex E, rectæ emittantur ſecantes Aequatorem in h, K dabit arcus Db, initium Crepuſculi matutini,& Dł, finẽ: at arcus Bk, monſtrabit prin cipium Crepuſculi veſpertini,& Bh, finem; propterea quod arcus Dh, Dk, arcu bus GR, G8,& arcus Bk, Bh, arcubus f S, R, ſimiles ſunt, ex ſcholio propoſ. 22. lib 3. Eucl.&c. 4. QVAN P O autem linea Crepuſculina deſeripta non eſt, aut non facile deſcribi poteſt, explorabimus Crepuſculum cuiuslibet puncti Eclipticæ exquiſi tiſsime hoc alio modo. Peſeribatur ſupra Horizontem eius parallelus grad. 18. ab eo diſtans,& parallelo Crepuſcula terminant i oppoſitus HIMm. Hic enim facilius, quam parallelus Crepuſcula terminans deſeribetur, cum totus intta Horizontem contineatur, ac proinde diameter eius apparens,& centrum commode haberi poſſint. Deinde per punctum Eclipticæ oppoſitũ puncto, cuius Cre puſculum deſideratur, parallelus Aequatoris ex E, deſeribatur. Arcus namque eius inter Horizontem& eius parallelum HIMm, poſitus quãtitatem Crepuſcu li quæſiti exhibebit. cuius initium, finemque arcus Aequatoris inter meridianã lineam, ac rectas ex cẽtro E, per terminos prædicti arcus Crepuſculi emiſſas mõ ſtrabunt, vt paulo ante dictum eſt. Verbi gratia. Arcus tropici, HK, inter Horizontem& eius parallelum grad. 15. erit magnitudo Crepuſculi tam matu tini,; quam veſpertini, Sole exiſtente in principio S: Et principium matutini deter mina bitur per arcum EH,& finis per arcum FK, a med. noc. inchoatum:ve ſpertini autem initium offeret arcus uK,& finẽ arcus uli. Vel ductis rectis EH, EK, ſecantibus Aequatorem in r, mʒ principium matutini metietur afcus Br,& finem arcus Bm, vſque ad rectam EK; at vero initium veſpertini dabit atcus Dm, vſque ad rectam EK, finem autem arcus Or; quod arcus Br, arcui FH, ſimilis ſit.& Bm ipſi EK,& Dm, ipſi uk,& Dr, ipſi uH, ex ſcholio propoſ. 22. lib. 3. Eucl. Eadem ratione arcus IO, per principiùum ꝙ,& g., deſeriptus erit Crepuſculum principii.& N.& initium matutir i dignoſcetut per arcum Bn,& finis per arcum Bo; Veſpertini vero initium exhibebit arcus Do,& finem arcus Pn. Sic arcus MQ per iaitium m.&& deſeriptus erit Crepuſculum principii .& np: Et matutini principium exhibebit arcus Bp,& finem arcus Bq:veſperNnnn tini N * crepuſenla inue nire aliter fine Al rolabis meteriali — — 0 1 rid obſeruan · dum in Crepuſ. culi cuiuſuis ini ti os ac fine det minando, a 4. 3. ThHeod. 555 Theod. 660 LIS NI IH. tini autem init ium dabit arcus Dq;& finem arcus Dp. Item arcus Aequatoris Am, per principium&, deſcriptus inter Horizontem,& eius paralle lum grad. 18. erit Crepuſculum principii V: Et matutini principium dabitur per arcum Bm, vſpue ad parallelum Horizontis, finis vero per arcum BA. E contrario ar cus tropici S, SX, inter Horizontem atque eius parallelum grad 18. erit Cre puſculum principii: Arcus vero Ti, per initium,& H, deſeriptus, Crepuſculum erit principii,&: Et arcus VV, per principiũ N,& np, deſcriptus, Crepuſeulum erit principii m,& N. Arcus denique Aequatoris Cæ, per primũ punctum, deſcriptus, Crepuſculum erit primi pũcti&. Initia autem,& fines horum Crepuſculorum inuenientur, vt prius, ſi ex E, per terminos arcuum inter Horizontem,& eius parallelum grad. 1 G. poſitorum rectæ ducantur: hoc ob ſeruatoꝭ vt initiumʒ ac finis cuiuſuis Crepuſeuli matutini numerẽtur à med. noc. veſpertini autem à meridie. Item vt initiũ matutini Crepuſculi incipiat in Aequatore à puncto, per quod tranſit recta ex E, per. ter minum arcus Crepufculi in parallelo Horizöõtis educta; finis vero a puncto, per quod dueitur re cta ex E, per terminum eiufdem arcus Crepuſculi in Ho rizonte emiſſa: At vero ini tium, ac finis Crepuſculi ve ſpertini contrario modo ſumantur Denique ſi poſteriori hac via ſine linea Crepuſculina Crepuſcula inquiruntur, vt initium ac finis cuiuſuis Crepuſculi numerari incipiant a puncto B; veſpertini vero a puncto D. INVENIRILautẽ Cre puſculũ cuiuſuis puncti Eclipticæ per arcum, qui per pun ctum oppoſitum deſcribitur. ita demõſtrabimus- Quoniã per quodlibet punctum circuli non maximi in ſphœra, vt per H, circulus maximus eum tangens deſcribi poteſt, o tanget circulus ille maximus alium non maximum priori æqualem, parallelum& oppoſitum. Cum ergo HE, lit diameter illius circuli maximi, vbi ea occurrit line Crepuſculinæ in R, ibi idem circulus maximus parallelum Horizontis bat, parallelo HIMm⸗ oppoſitum tanget: ideoque cum per coroll. propoſ. 6. lib. 2. Theod. puncta cõtactuum per diametrum ſphæræ oppoſita ſint, erunt puncta H, R, per diametrum oppoſita. Igi tur exiſtente principio V, in H, exiſtet principium S. in R puncto lineæ cre· puſculinæ, atque idcireo Sole ibidem exiſtente, Crepuſculum matut irum incipiet. Quando autem raptu primi mobilis initium, ad K peruenerit, exiſtet primum punctum S, in 8, quod puncta K, 8, in Horizonte ſint etiam per diame 12 le g trum oppoſita, nimirum gecaſus.,& ortus S. Arcus ergo HK, quem eodem tempore n eee * 1 1 1 GA N 2 NIX 661 tempdre principium. percur rit. quo princ ipium g, arcum Crepuſculi RS, abſoluit,(quippe qui illi ſimilis ſit, ex ſcholio propõſ. 22. lib. 3. Eucl. ob angu los æquales HEK, RES, ad uerticem in centro) durationem Crepuſculi primi puncti S. metietur. Non aliter oſtendemus, arcum IO, ſimilem eſſe arcui Cre pu ſculi a T, propterea quod eandem ob cauſam, exiſtente principio J. vel ge, in L. principium IT. vel Q, exiſtit in a, puncto lineæ Crepuſculinæ; eodem vero principio ꝑ, vel, promoto ex I. ad O, punctum Horizontis, principium&, vel: promotum tune eſt ad punctum Horizontis ad punctum T, atque ita de cæteris. . . E X DE DIT E quoque Crepuſcula ex Analemmate cognoſcemus. Sit enim Aeridianus Analemmatis ABC Dzeirca centrum E; diameter Horixontis AC; Fer ticalis diameter BD; axis mundi EG; Aequatoris diameter H; diameter paralleli Solis ſuue borealis, ſiue auſtralis XT, circa qus ſemicirculus deſeriptus ſit K B Ls& denique a 6 diameter paralleli Horixontis grad. 1 8. in hemiſphærio infero, in quo Crepuſcula omnia ici piunt& deſinunt. Si igitur ex N, O, interſectionibus diametri X L, cum AC,& a b, ad KL, perpendiculares edicantur NB, O exit arcus Pumagnitudo Crepuſculi: quod ſi fuerit matu tinum, diſtabit eius initium a med. noc. per arcum LA Hnis per arcum Lz ſi vero veſper tinum fuerit, liſtabit eius princi pium à meridie per arcum KP, nis per arci K& propterea quod N P, communis ſectio e paralleli Solis, Y Horixontis, vt in ſcholio Can. 7. Num. I. oſtenſum eſtʒ atque eads de cau JO communis ſectio eiuſdem paralleli Folis ac paralleli Hori— 55 3 Tontis. Simili modo ducta YZ, ad Hl, perpendiculari, erit arcus GA, longitudo Cre puſculi, Sole in aquinoctijs exiſtente; ꝙ matutini quidem initium 2 meld. ae diſtabit per arcum IZ,& ſinis per arcum IG; veſpertini vero principium& meridie diſtabit per arcum HG,& finis per arcum HZ. f 2. P E K ſinus ita Crepuſcula ſupputabuntur, ſi prius ſinum verſuum arcus ſemidiurni inquiramus hoc modo. In Analemmate ex punctis extremis K, L, diametri paralleli ducantur diametro Ferticalis BD,& diametro Horixontis A, parallela rectæ XS, LS, ſecantes ſeſe in S; atque ex M, puncto medio diamerri paralleli, vbi arem mundanum interſecat, eidem diametro Herixontis AC; alia parallela agatur MR: eriique recta KS, in R, ſecta bifariam, a cum ſit, at X MA, ad M, ita K R. ad RS: Nnnn 2 150 N 5 crepuſcula ex A na lem mate inquirere. a, 2. ſexti. Sana verſum arcus ſemidiurni, ideo que& it zũ arcum ſemidiurnum per nu meros explorare erepuſcula per nu meros indiga· re. a 5 10. 2. ThHeod. 662 XII N r 18 ipſa autem K, conftata erit ex X altitudine meridiana dicti paralleli,& en TS, ſia nu depreſtionis meridians eiuſdem paralleli, qua depreſs io altitudini meridiana paralleli oppoſiti aqualis eſt. Igitur ſi fiat, vt KR, ſemiſsis rectæ K 8. conflatæ ex ſinu altitudinis meridianæ,& ex ſinu depreſsionis meridianæ, ad KT, ſinum altitudi nis meridianæ, ita KM, ſinus totus ad a liud, producetur KN, ſinus verſus arcus ſemidiurni KP. Eæ hoc ſinu verſo eruetur ipſe ſemidiurnus arcus, vt in expoſitione ta bulæ ſinuum dotuimus. IA M ſi rurſum fiat, t KR, ſemiſsis rectę KS, conflatæ ex ſinu altitudinis me ridianæ,& ſinu meridianæ depreſsionis, ad ſinum arcus grad. 18.(hoc eſt, ad ſegmen tum rectæ Kð, inter AC,& ab:) ita KM, ſinus totus ad aliud, reperietur recta NO; qu ad ſinum ver3 KN, arcus ſemidiurni adie ta conſicit K O, ſinum verſum arcus K Q ex artu ſemidiurno Kp,& arcu Crepuſculi PQ. conſlati.· Si ergo ex hoc arcu K Ar arcus ſomidiurnus ſubtra hatur, reliquus erit arcus Crepuſculi P. SE D E per triangula ſphæ rica idem Crepuſculum inueſti gari poteſt. Sit enim Horixos ABCD; MeridianusB D; Aegquator AFC; parallelus Solis gquicunque G H; polus Horixö tis E; Ferticalis primarius AE Cʒ barallelus Crepuſculoriũ X K, infra Horixontè grad. 18. ab eo dictans, ſecâs parallelum Solis in K, ita vt KG, ſit arcus Crepuſculi, Sole parallelũ IH, percurræte, a cui ſimilis eſt arcus Aequatoris NO, quem mavimi circuli MG, MK, ex M. polo mundi egredientes intercipiunt. Hunc ergo inueniemus hac ratione. Ducto per K, centrum Solis in principio matutini, aut fine veſpertini Crepuſculi, Verticali EK, ſecante Horixontem in Lʒ gquoniam in triangulo ſpharico ERM, omnia tria latera nota ſunt;(E enim EM, artus complementi altitudinis poliʒ MK, arcus complementi declinationis Solis in parallelo horeali, in auſtrali vero, arcus conflatus ex quadrante MN,& declinatione NK; arcus denique EK, conflatus ex quadrante EL,& arcu LK, grad. 18.) cognoſc etur per problema 2 T. triang. ſphar. vltimi Lemmatis, angulus EMK, ac proande eius arcus FN, hoc modo. Fiat vt ſinus totus ad ſinum lateris MK,(quod eſt vel cõplementum declinationis, vel arcus conflatus ex quadrante,& declinatio ne) ita ſinus lateris EM, complementi altitudinis poli, ad aliud, inuenieturque quartus quidam numerus. Et ſi rur ſum fiat, vt quartus numerus inuentus ad ſinum totum, ita differentia inter ſinum verſum lateris EK, compofiti ex grad. 90.& ex grad. 18.& iinum ver ſum arcus, quo duo latera ME, ME, inter ſe differunt; ad aliud, producetur ſinus verſus anguli quæſiti EMK; Aeo 5 7¹⁴ 4 r e CAN s M Ki. 663 0 que angulus ipſe, eiuſque arcus F N, notus fiet: en quo ſi dematur urcus ſemidiure uu F O, reliquus ſiet arcus Crepuſculi NO. Gun N d N I. QVAE puncta Eclipticæ in Meridiano, atque Horizonte, vel quolibet alio circulo Eclipticam ſecante exiſtant,& quanam in domo cæleſti propoſita quæuis ſtella, aut punctum Eclipticæ, quouis temporis momento reperiatur, ex plorare. 1. DIVRN O tempore capiatur altitudo Solis, eaque inter Almucantarath ex parte orientali, vel occidentali, prout tempus antemeridianum, aut pomeridianum fuerit, numeretur. Si enim gradus Solis ad Almucantarath inuen tæ altitudinis promoueatur, repræſentabĩt Ecliptica eum ſitum, quem in cælo tunc habetzac proinde puncta Eclipticæ, quæ tunc in meridiana linea, Horizon te,& in quolibet alio circulo, ſiue is Verticalis ſit, ſiue circulus poſitionum, ſiue parallelus Horizontis, ſiue alius circulus quicunque tam maximus, quam non maximus, reperiuntur, erunt ea, quæ eo tempore in dictis cireulis e xiſtunt in c 10. Immo& ſtellæ in reti deſcriptæ indicabunt ſitum, quem in cælo tunc obtinent T EMSGBORE vero nocturno altitudo alicuius ſtellæ obſeruetur, atque ca cumen ſtellæ in Almucantarath inuentæ altitudinis collocetur vel ex parte orientali. vel occidentali, prout ſtella orientalis fuerit, occidentaliſue. Nam hac ratione habebit rurſum Ecliptica eum ſitum, quem in cælo tunc habet; ac proptera non ſolum apparebit, quæ puncta Eclipticæ in quolibet ci culo exiſtant, verum etiam, in quonam circulo hæc vel illa ſtella reperiatur, aut quem ſitum habeat in cœlo. 2. SI idem ad datam quamcunque horam inueſtigandum fit, mouenda erit linea fiduciæ Oſlenſoris ad eam horam ſiue antemeridianam, ſiue pomeridianam, prout ante vel poſt meridiem data fuerit. Circumuoluto enim tune reti, do nec gradus Eclipticæ, quem Sol occupat, ſub linea fiduciæ conſtituatur, habebit rurſum Ecliptica proprium ſitum,&c.. 81 C etiam ſi ſeire quis cupiat, quænam hora ſit, cum quodlibet ſignum, aut gradus Eclipticæ.vel ſtella quæuis in Aſtrolabio deſcripta, exoritur, Sole quem cunque gradum Eclipticæ occupante, ſtatuendus eſt gradus ille, vel ſtella in Ho rizonte orientali. Linea namque fiduciæ Oſtenſoris per gradum tune Solis incedens, monſtrabit in limbo horam, ſeu diſtantiam Solis a Meridiano circulo,&. 3. A B S QE materiali Aſtrolabio idem aſſequemur hoc modo. Sit Aequa tor ABCD, circa centrum EʒEcliptica AFC G, cuius centrum 8,& polus a; Horizon AqCʒtropicus ꝙ, Gz tropicus r, FI. Sitque primum inueſtigandum, rs proponitut, Sole exiſtente in puncto Eclipticæ O, quando altitudo Solis eprehenſa eſt ante meridiem grad. 20. Deſcripto parallelo Horizontis grad. 20. Mi, N * per Aſtrolabium mate riale pũ cta Eclipticæ inucſti gare, qu æ in quo ibet circulo Eclipticam ſecane te exinunt. Qua hora quiufsine Aſlrolabio matetiali puncta Eclipticæ inueſtigare, quæ in quouis circulo Eclipticam fecan te exiſlunt. cli pticæ tur, vbicume exiſtat, ſine iii ſii mento exquitere 664 Ei d 20. 0 Mi, delineetur parallelus Aequatoris per datum punctum O, ſecans parallelum q M i; in M: ductis autem ex E, per O, M, rectis ſecantibus Aequatorem in L, N, accipiatur arcui LN, æqualis arcus BP, ducatur que recta EP, ſecans tropicum V, in Q,& tropicum . in I. Et quoniam ſi cogite tur rete circcumduci, donec datum punctum O, ad M,. per ue niat, vt datam altitudinẽ habeat ante meridiem, rectaque EL, rectæ EN, congruat, congruet recta EB, rece EP, Ob arcus æquales LN. BP, principiumque V. E, in Q, exiſtet,& principiũ cn; in I. Quocirca recta QEl, ſecante parallelum Ae quatoris 8 RQ, per 8, centrũ Eclipticæ deſcriptum in R. & parallelum abh, per a, polum eiuſdem Eclipticæ deſcriptum in b, exiſtet tunc centrum Eclipticæ in R,& polus in b. Deſcripta ergo ex R, per Q& I, Ecliptica QSRle, tangente tropicos in Q. I, habebit ea proprium tune ſitum, ſecabitque Meridianum in&, X,& Horixontem in K, c. Quæ puncta quibus gradibus Eelipticæ reſpondeant, indicabunt rectæ ex b, polo Eclipticæ ad ipſa eductæ, vt lib. 2. propoſ. 5. Num. ig. oſten di mus. Tot enim gradibus diſtabit 8, a prineipio, hoc eſt, a puncto Q, ſecundum ſucceſsionem ſignorum, quot in arcu Aequatoris PT, continentur. Punctum autem K, tot gradibus ab eodem principio V. abetit ſecundum ſucceſsionem ſignorum, quot in arcu PBV, ontinentur; vel tot gradibus ab initio S, I, contra ſignorum ordinem, quot in areu AV, reperiuntuùr. buncta denique x. c, punctis S, K, per diametrum ſunt oppoſita, quorum tamen etiam diſtantias a S.& V arcus AM, Pd, metiuntur; prior tamen ſecundum ſucceſsioaem ſignorum, poſterior vero contra ſignorum ſeriem numerandus eſt. AVO ſ data ſit hora, id eſt, diſtantia a Meridiano, qua inueſtigare debea mus eadem puncta, ducenda erit ex E, centro recta per datam horam, hoc eſt, quæ ex Acqua tore abſcindat arcum diſtantiæ Solis a Meridiano circulo, cuiuſmodi eſt recta EN, ſecans parallelum puncti O, in Ecliptica dati, in quo videlicet Sol exiſtit, in puncto M. In puncto namque M, hora propoſita Sol exiſtet, non ſecus ac ſi parallelus Solis parallelum Horizontis M, inter ſecaret. Quare reliqua peragenda erunt, vt prius. 1 A N¹ ſi, Sole exiſtente v. g. in puncto Eclipticæ 9, indaganda ſit hora, qua punctum 3̃. eiuſdem Eclipticæ exoritur, deſeribemus ex E, per 3, arcum, qui Horizontem orientalem ſeeet in K, ductiſque ex E, per 3, K, ꝙ, rectis ſecantibus Aequatorem in 4. zd e, accipiemus arcui z, æqualem arcum e: W Be. iſtantia 2 6 KANN XI. 665 diſtantia Solis a Meridiano, quando punctum 3, ſupra Horizontem aſcendit. Nam promoto puncto 3, vſque ad K, congruet recta EA 5rectæ E 2, punctumque e, ad y, promotum erit, ob æqualitatem arcuum 42, e7,&c. 4. DEIN D E eadem puncta Eclipticæ ſint inquirenda, cum ſtella Z, altitudinem pomeridianam nocturno tempore habet grad. 20. Deſeripto per Z, cen trum ſtellæ parallelo Aequatoris ſecante parallelum Horizontis grad. o. in i, ducantur red æ per Z, i, ex E, ſecantes Aequatorem in l, K,& arcui IK„ equalis arcus abſcindatur Be, ducaturque recta Ee, ſecans tropicos in H, f.& parallelos Rg, bah, in g, h. Exiſtente ergo tune ſtella Z. in i, collocabitur principium . in H,& primum punctum. in,& centrum Eclipticæ in g, polus denique in h. Deſeripta ergo ex g. per H, f, Eeliptica ſecabit Meridianum in m. r,& Horizontem in p, n, quorum punctorum qiſtantiæ a principio, H,& principio 55 f, re perientur per rectas ex polo h, emiſſas, vt prius. 5. EA D EM ratione cognoſcemus, quæ puncta Eclipticæ tempore obſeruationis in quolibet circulo ſiue maximo, ſiue non maximo, qui tamen Eclipticam ſecet, reperiantur. Ita enim vides parallelum Horizontis Mi, ab Ecliptica QS Xe, ſecari in M. Et ſi deſcribatur circulus poſitionis Jqꝗ per ,. princi pium domus 21,& per, principium domus g. ſecabitur is ab Ecliptica ACG, in ſ, t,& ab Ecliptica QS Kc, in u,&,& ab Ecliptica Hrfm, in g.&: quæ omnia puncta, quantum a v,& S, diſtent tam ſecundum ſeriem ſignorum, quam contra, indicabunt rectæ ex polis a, b, h, ad puncta ipſa emiſſæ. Non aliter habebuntur puncta, quæ in quouis circulo horario exiſtunt data hora. Vt ſi recta QA, referat aliquem circulum horæ à mer. vel med. noc. obtinente Eeliptica ſitum circuli ACG, exiſtent puncta æ, ſ, in eo circulo horario, quæ quantum abſint a principiis v,&. hoc eſt, a punctis E, G, docebunt rectæ ex a, polo ad, C, eiectæ. Ecliptica vero exiſtente QñSxc, reperientur prima puncta & ch, nimirum Q,& I, in horario circulo Q. Ecliptica denique ſitum obtinente circuli Hrfm, tranſibit idem circulus horarius per puncta Eclipticæ, & arcus Eclipticæ fo, Hę, a principiis S,& V, ſecundum ſucceſsionem ſignorum numerati cognoſcentur per ateus Aequatoris a rectis ex h, polo ad p,, ductis abſciſſos. 6. IAM ſi reti, vel Ecliptica quemcumque ſitum obtinente, ſeire quis deſideret, quanam in domo cœleſti,& qua in parte eius domus, ex ſententia Ioan. Regiom. deſcriptæ, quælibet ſtella propoſita, vel punctum Eclipticæ exiſtat, (inuento prius loco eius ſtellæ reſpectu Eelipticæ illum datum ſitum habentis, vt lib. 2. propoſ. 12. Num. 2.3.& 4.traditum eſt.) deſeribendus erit per ſtellæ centrum,& per duo puncta, in quibus Horizon meridianam lineam interſecat, circulus poſitionis, cuius centrum exiſtit in recta ad meridianam lineam in cẽtro Horizontis perpendiculari, vt lib. 2. propoſ. 10. Num 6. dictum eſt. Nam ſi ſtella, vel punctum Eclipticæ extiterit ſupra Horizontem, illico gradus Aequatoris, per quem circulus poſitionis incedit, monſtrabit diſtantiam propoſitæ ſtellæ, vel puncti a linea meridiana, hoc eſt, ab initio domus 10.& quanam in domo ſupra Horizontem reperiatur, cum triceni gradus Aequatoris ſin gulas domos cœleſtes conſtituant. Idemque dices de domibus infra Horizon tem, ſi ſtella vel punctum ſub Horizonte extiterit. Verbi gratia, ſi datum ſit bee u, Eclipticæ Q, ſupra Horizontem, deſeribatur per u, cireuus poſitionis uꝗ, ſecans Aequatorem in. Et quia arcus By, complectitur gradus zo. dicemus punctuq u, in principio domus 1. exiſtere. Punctum vero datum 4, ſub Horizonte,(ſi per illud circulus poſitionis deſcribatur aq ſecans AequatoN N 5 Qua iy letti ſtel vel puoct elipticæ hora ob ſeruationis exiflat, cog noſcete. panda Eeliptieg In Neridiano, Ho trix onte,& quo uis circuio hora tio à mer. vel med. noc exiſten tia, per aicenſio ues rectas& obli quas iuucſtigare. 666 II Al. Aequatorem in.) dicemus eſſe in principio domus 5, quod areus quoque Dꝙ, grad. 30. complectatur. Simili modo ſtellam o, pronunciabimus eſle in domo 5. tot gradibus ab eius initio diſtantem, quot in arcu q, continentur At ſtellam. I, eſſe in domo 11. tot gradibus ab eius principio diſtantem, quot in arcu o, inc luduntur. Non aliter procedemus, ſi domos cœleſtes ex ſententia Cam pani deſcribere quis malit, numerando gradus inæquales Verticalis circuli pri marcii, vt lib. 2. propoſ. 5. Num. 15. traditum eſt, pro gradibus æqualibus Acequatoris,&c. „CC 1. PYVN CTA quoque Ecliptica quauis hora in Meridiano, Horixonte,& quolibet circulo horarum, à mer. vel mod. noc. exiſtentia facillimo negotio per aſcenſiones rectas,& obliguas reperiemus, hac v idelicet ratione. Ad diſtantiam Solis à meridie verſus eccaſum progrediendo, ¶ Diſtantia hac colligitur ex hora à meridie, ſi cuililet horæ tribuantur grad 15. Ex hora autem à med. noc. eadem diſtantia cognoſcetur, ſe ad diſtanti am à med. noc. ſemicirculus adiciatur) addatur aſcenſio recta puncti Ecliptic a, quod tunc Sol occupat: qua vel ex tabula rectarum aſcenſionum ſumatur, vel ingquiratur, vt can& docuimus. Conſt atus enim numerus, abiecto prius toto circulo, ſi abici poteſt, erit aſcenſio recta puncti Ecliptice in Meridiano ſupra Horixontem tunc exiſtentis. Quare vel ex tabula aſcenſionum rect arum, vel en is, quæ in Can.. eiuſque ſcholio ſcripſimus, punctum Ecliprica in Meridiano exiſtens, quod videlicet inuont a aſ cenſioni rectæ debetur, eruendum erit; Punctum autem hiuic oppoſitum in Meridiano infra Horixontem exiſtet. Quod ſi dictæ aſcenſioni rect æ adijciatur quadr ans conflabitur, abiecto prius integro circulos ſi abijci poteſt, aſcenſio obliqua puncti Eclipticæ in Horixonte ex parte orientali exiſtentis: quod vel ex tabula. aſcenſionum obliquarum ad da tam eleuationem poli ſupputata, vel ex Can. S. eiuſque ſcholio cognuſcetur: Punctum vero huic oppoſitum exiſiet in ¶crixonte ex parte occidentali. Ratio hnuius noſtri pracepti perſpicua eſt ex ſphra materiali,& Facile hec etiam modo oſtendi poteſt. Ponatur diſtantia à meridie Bd, in fgura ſuperiori, ita ut circulus horarius per d, tranſeat, inſtar Horixontis cuiuſdam recti, in quo punctum Ecliptica, in quo eit Sol, tunc exiſtit. Si igitur A d. ſit aſcenſio recta illius puncti, hoc eſt, A, ſit principium V., conflabitur AB, aſcenſio recta Eclipticæ in Meridiano tunc exiſtentis: Et ſi addatur quadrans BC, vſque ad Horixontem obliquum, conflabitur 4 BC, aſcenſio obliqua punqti Ecliptic in Horixonte exiſtentis. Quod ſi a ſcenſio recta pundti Eclipticæ in circulo horar io per d, ducto exiſtentis ſit PBd, conflabitur arcus P B dB,& abiecto circulo integro BdP, reliqua erit aſccenſio recta h B, punti Eclipticæ in Meridiano exiſtentis,&Qc. LTrem ſi aſcenſio recta pradicti puncti Eclipticæ ſit Dd, ita vt initium Viſit in, eon flabitur/ DA, aſcenſio recta punti Eclipticæ in Meridiano exiſtentis: Et addito quadrante BC, tet aſcenſio obliqua puncti Eclipticæ in Horixonte exiſtentis DBC; & abiecto integro circulo DB, reliqua erit aſcenſio obliqua C, cc. Exempli grabia. Sole exiſtente in principio N, ad eleuationem poli grad. 42 inueſtiganda ſint qua tuor Ecliptica puncta hora 3. ante mer. hoc eſt, hora 9. A med. noc. ſiue Hor. 21. à mer. quod tempus dabit grad. 3 1. à meridie elapſos. Si igitur aſcenſionem rectam princip N. qua continet grad. 27. min. g. ad grad. 31 5. adijciamus, conſiciemus grad. 342. min. 54. pro aſcenſione recta pundii Ecliptics calum tun mediantis, cui aſcenſioni reſpondent grad. 3 Il. min 27. ferme. Gradus ergo il. min 27. N. mediat tile cœlum; ac proinde oppoſitum pundtum, nimirum grad. Il. min. 27. Ih, in eodem Meridiano infra Horixontem exiſtet.· Quod ſi aſcenſioni rectæ grad. z a. min. 5. puncti calum . G AN S N XI. 667 relum mediantit adijcialur quadrans, fet numerus grad. 3 2. min. 5 4.& abieckto to ro circulo, reliqua et aſcenſio obliqua puncti ſupra Horixontem aſcendentis,(quod Horoſcepum appellant) grad. 7a. min. S. cui in eleuatione poli grad. 44. debentur grad. 95. min. ao. paulo amplius, vt ex tabellis aſcenſinum obliquarum, vel ex 9j, qua in Can. g. eiuſque ſcholio ſcripſimus, constat. Igitur grad. j. min. ao. p ſupra Rorixon tem tunc aſcendet, ideoque punctum oßpaſitum, nimirum grad. s. min. 20. V, ſub H. rixontem deſcendere comperietur. 2. EAD E N prorſus ratione ad datam horam, hoc eſt, ad datam diſlantiam Solis a meridio, explorabimus punctum Eclipticæ in guoliber circulo Horario per polos mundi ducto exiſtens, ſi datus circulus Horarius condipiatur eſſe Meridianus aliquis, at que ex hora data inquiratur diſtantia Solis ab eolem circulo Horario dato ver ſus occaſum progrediendo: quod fiet, ſi huius circuli diſtantia à meridie, detrabatur& diſſãcia horæ data àᷣ meridie, adiecto prius integro circulo, ſi detractio fieri nequeat. Vel certe à circulo horario dato numerentur verſus occaſum progrediendo, omnes Hora 2 que ad horam datam. Horæ enim numerata dabunt eius Aiſſantiam A circulo dato horario, tanquam ab aliquo Meridiano, verſus occaſum. Verbi gratia, Sole adhuc exitente in principio N, hora 3. ante merid. Hoc eſt, hora 21. A mer. inueſtigandum ſit pi tum Eclipticæ in circulo horæ I o. min. 3 5. à mer. Detracta dittantia Buius dati ciri culi à mer. qua complectitur hor. Io. min. 35. ex data diſtantia Solis à mer. Hoc eſt, ex Hor. 21. reliqua erit diſtantia Solis ab hoc circulo, Hor. 10. min. 2 5. verſus occaſum progrediendo. Que diſtantia etiam reperietur, ſi circulo horæ 1 0. Min. 35. Percurrantur oës horæ vſque ad hor. g. ante mer. qua eſi g. poſt med. noc. Nam uſque ad Horam 11. Habentur Min. 25. Deinde ſeguuntur horæ 1 2. media noctis,& horæ 1. 2. 3.4.5. 6.7. 8.& p. à med noc. Vbi vides horam g. ante mer. vel 9. poſt med. noc. à circulo hora 10. Min. 3 5. A mer diſtare horis f o. min. 2 5. vt prius. quod tempus con tinet grad. 15 6. min. 5 5. Si igitur addatur aſcenſio rectia princibij N. Crad. 27. min. r. cenflabitur arcus grad. if. min.. pro aſcenſione recta puncti Eelipticæ in circulo bor. 1 o. min. 3 5.& mer. exiſtentis, cui debentur grad. 18 J. min. 3 L. el. 35. Gradus orgo. min. 3 l. ſec. 38. QA, exiſtet tunc in circulo dato. idem datis, pundtum Ecliptica indagandum ſit in circulo hora 11. A med. noc. Hoc eſt, horæ 23. à mer. exiſtens, auſeremus huius circuli Aiſtantiam à mer. nimirum Hor. 23. ex hor. 21. adiccto prius integro circulo horarum 24. vt ex conflato numero horarum 45. detractio fieri poſcit. Ita enim reliqus fient hora 22. quibus data hor. 2 7. A mer. A dato circulo Hor. 23. à mer. verſus occaſum recedit, qu diſtantia gradur 33%. complectitur. Rademque diſtantia obtinebitur, ſi poſt horam 23. A mer. dati cir euli percurrantur omnes hora vſque ad datam horam 21. A mer. Inuenientur enim rur ſum Hora 22. quæ ſunt he, hora 12. meridioi, deinde hora 1.2. 3. 4. 5. C. 7. 8. 9. 10. 11. 12. A mer.& inſuper Hora 1. 2. 3. 4. J. C. x..&. A med. noc. quæ omnes ſumt a2. vt prius. Addita ergo recta aſcenſione principii N, grad. 27. min. 5. Het aſcenſio recta puncti Ecliptica in circulo hor. 23. A mer. ewiſtentii, grad. 3 57. min. y q cui congruun: ferme grad. 5. min. 2. ſec. 33. Igitur grad. 25. min. S. ſec. 33. N in circulo Hor. 1 I. A med. noc. exiſtet. Arque ita de cateris. I dem hoc punctum in quolibet cirtulo Hora rio, propoſ. 9. Gnomonices inueſtigare docuimuss ſi cugnitum tamen ſit punctiiin, quod da ra hora ſupra Horixontem aſcendis, eiusque aſcenſio obliqua; vel fundtum in circulo Hor. G. A med. noc. tunc exiſtent, eiusque aſcenſio recta. Sed ratio hoc loco Fraß eſita ex Peditior eſi, cum neutro illorum punctorum indigeat, ſed ſolam aſcenſtonem re ci am pid 4. Eeliptica,(qua in omni eleuatione poli eadem ſemper eſt) reguirat, in 2 Col exi ſtit tempore obſeruationis. IM A O. ſi idem iuuettigandum ſit, poſito quocunqus 1 pundlo in Hori deno oO te rien —— or inuẽ Eclipticæ in dato cir ſtentis id figno oriẽce, quã do arcus ſemidiurnus uon habetur in grad.& vel in hotis, min.& ſec. Hora, qua qu odnis Eclipticæ pũ ctum ortiatur, vbi cunque Sol exiſtat, nucntio per aſcenſiones ohliquas. 668 In te orientali, accibiemus arcum ſomidiurnum illius punti tunc ſupra Horlxontem aſcen ie pro diſgantia horaria à Meridiano circulo,& reliqua perſiciemus, vt dictum gratia. Qiando principium Qfmſupra Horixontem latiſudinis grad. v. aſcen 191 dum ſit punctum Eclipticæ in circulo hora 5. à meridie exiſtent. Auferaec diſtantia Hor. F. eæ Hor. 10. in. 43. id eſt, ex diſtanti a primi puncti N 2 Meridiano verſüs occaſium progrediendo, cum arcus ſemidiurnus Nscomplectatur Hor. 7. min. i 7. vtrelinquatur diſtantia principi etc exorientis à circulo horæ 5. A mer. nimirum Hor. I I. min. 43. Hoc eſt, grad. 15 f. inin. 45. ad quam diſtantiam ſi adijcia tur aſcenſio recta grad. 1 22. min. 1 2. qua initio Q. debetur, conſicietur aſcenſio rectta puncti Eelipticæ in circulo Har. r. à merid. exiſtentis grad. 2 9%.min. 5̃ 1. cui congruũt grad. 295. min. 5 q. paulo amplius. Igitur grad. 25. min. 57. V, exiſtet in circulo hor. 5. A mer. ac propterea grad. 25. min. 7. Ms in circulo Hor. g. à med. nocte reperietur, um O. oritur. Veri niſi arcus ſemidiurnus ſumatur in horis, minutis,& Se1 dibus, ac minutis, in quibus per ſinus ſuit inuentus, ac ci dere poterit er aof minutis: quod propoſito proximo eæemplo declarabimus. Arcus ſemidiurN. continet grad. tog. min. 2 l. id eſt, bor. 7. min. 15. Sec. 2 f. quo debra to ex iutegro circulo 30 o. graduum, vel 2g. horarum, relinquetur diſtantia N in Horizonte orientali exiſtentis à Meridiano verſus occaſum procedendo, grad. 25 O. min 39. vel Horarum 16. min. 2. ec. 3 6. A qua ſi detrahatur dictantia hor. 5. àᷣ mer. qua complectitur grad. g. reliqua exit diſtantia, à circulo Hor. 5. à mer. verſus etiam occaſum, grad. 175. min. 39. vel hor. 1 I. min.&. ſec. 36. quibus horis c minutis debentur ij dem gradus 17 f. min. 3 9. Ad hanc diſtant iam ſi aponatur aſcenſio recta - grad. 1 22. min. I 2. conflabitur aſtenſio recta puncti Eclipticæ in circulo Hor. 5. 2 mer. exiſtentis grad. 295. min. 5 1. cui debentur grad. 295. mine T. hoc eſt, grad. 25. min. S1. V, Ita vt diſferentia inter hoc pundtum,& illud, quod prius inuentum fuit, contineat min. 6. Quod cum ita ſit, quando arcus ſemidiurnus non habetur in gradibus& minuti s, vel in Horis, minutis, ac ſecundis, exquiſitius inuenietur punctum in circulo dato hora ea ratione, quam in Gnomonica explicauimus; nimirum auſſtrendo gradus Aequatoris à ſerta hora matutina uſque ad circulum horæ date verſus occaſum numeratos, ex aſcenſione obliqua dati puncti ſupra Horixontem emergentis, adie dto prius integro circulo, ſi ſubtractio fieri nequeat. Ita enim reliqua ſiet aſcenſio recta puncti Ecliptica in circulb data hora exiſtentis. Vt in eodem exemplo, ab hora 6. matutina vue ad horam 5. à merid. numerantur horæ II. Hoc elt, grad. 165. qui ſi demantur ex aſcenſione obliqua princitij Q. grad. log. min. 5 I. hoc eſt,( adiecto toto irculo) ex grad. 42. min. 5 I. reliqui ſient grad. 299. min. 51. pro aſcenſione recta tuncti Eclipticæ in circulo Hor. 5. A nieridie exiſtentis, vt ſupra. 5 3. DENI AV E horam, qua ſig num, vel pundtum quodlibet Ecliptics exoriitur Sole quemcunque Ecliptica gradum poſiidente, hoc modo explorabimus. Aſcenſio obliqua arcus Eclipticæ inter locum Solis,& punctum aſcendens poſiti,& ſecundum ſeriem ſignorum numerati, ad horas reducta, ſubtrahatur ex arcu ſemidiurno puncti, quod Sol ob tinet; vel contra, arcus ſemidiurnus ex dicta aſcenſione obliqua ad horas reducta ſub trahatur, minor ſcilicet numerus em maiore. Priori enim mo do hora ante meridiem, poſieriori vero, hora poſt meridiem, qua pundtum Ecliptica, cuius aſcenſio obliqua accepta fuit, ſupra Horixontem emergit, remanebit. Ratio huius rei perſpicua eſt ex parallelo pundii, in quo Sol exiſtit. Nam poſito gradu Solis in Horixonte orientali,& mota ſphæra, donec eundem Horixontem attingat punctum aſcendens; arcus paralleli Solis inter locum Solis,& Horixontem metitur aſcenſionem obliquam arcus Ecliptica inter eundem locum Solis,& pundtum aſcendens intercepti, cum ille arcus paralleli cum hoc pundo Ecliptica exoriatur. Igitur dempto eo arcu paralleli ex arcu ſomidiurno, vel hoc ex ill 5 c AN ON XII. 669 io, religua erit diſtantia Solis à Meridiano vel ante meridiem, vel poſt meridiem, ve diximus. Exempli cauſa. Sole exiſtente in principio Q extloranda ſit hora, qua initium W. oritur ad latitudinem grad 42. Aſcenſio obliqua arcis inter initium.&, con tinet grad. yy. min. ꝙ. id elt, horas g. min. g quibus detractis ex horis J. min 1 7. Hoc eſt. ex arcu ſemidiurno initij Ns relinquuntur Horæ 2. min. 8. Tot ergo horis ante mer. p in cibium Qʒeoritur Rurſiss Sole in eodem principio Q. commorà te, querendum ſit, qua hora principium S, exoriatur. Aſcenſio obliqua arcus ab initio Q, vſque ad principium, ſecundum ſucceſſionem ſignorum computati complectitut grad. 3 aꝶ min. 6. Hoc eſt. Hor. 2. min. 3 6. Ex qua ſi dematur artus ſomidiuruus QsHor.. min. 17 relin. quuntur Hor. I min. 19. pot mer. hoc eſt, hor. æ. min. ip. à med. noc. quibus initium S, ſuber Horixontem emergit. Atque ita de cateris. SG AN ON XII. MERIDIANA M lineam,& proinde lineam quo que veri ortus, atque occaſus, in plano quod Horizonti æquidiſtet, inuenire. 1. IN VENTA altitudine Solis ſiue antemeridiana, ſiue pomeridiana, col locetur gradus, quem tunc Sol occupat, in parallelo Horizontis eius altitudinis,& notetur Verticalis, in quem idem gradus incidit. Quot namque gradibus Verticalis ille à primario Verticali, id eſt, ab inter ſectione Aequatoris, Horizon tis,& Verticalis primarii recedit in auſtrum, Septentrionemue,(quos quidem gradus metitur areus Horizontis inter Verticalem primarium,& Verticalem, in quem gradus Solis cadit, poſitus.) tot gradus numerandi ſunt in dorſo Aſtro labii à diametro Horizontali, quæ nimirum lineam meridianam per centrum,& armillam ſuſpenſoriam extenſam ſecat ad rectos angulos, ex parte orientis, oeeideatiſue, prout Solis altitudo reperta fuerit antemeridiana, ſiue pomeridiana, ſur ſum quidem, verſus armillam, ſi Sol inuentus fuerit in Vertica li auſtrali, deorſum vero, ſi in boreali. Nam poſita linea fiducię Mediclinii ſupra vltimum gradum numerationis, ſi tune Aſtrolabium ponatur Horizonti æquidiſtans,& tam diu hinc inde vertatur, donec vmbra vnius lateris pinnacidii per latus Medicliniiextendatur,& alterius lateris pinnacidii vmbra lineæ fiduciæ ſit parallela indicabit diameter dati dorſi Aſtrolabii per armillam tranſiens, ſitum meridianæ lineæ, ita vt eius pars verſus armillam redta in auſtrum vergat,& altera pars in boream; altera vero diameter priorem ad angulos rectos ſecans, vera puncta ortus atque occaſus monſtrabit. 2. CERT IVS autem meridianam lineam, punctaque propterea veri ottus,& occaſus inueniemus ſine materiali Aſtrolabio, ea rarione, quam in ſcho— lio propoſ. 23. lib. 1. noſtræ Gnomonices præſcripſimus, quam tepetendam hoc loco non cenſemus: ſolum hoc in ea notari velim, neceſſe non eſſe, vt Verticalis HO. per O, punctum interſectionis paralleli Solis cum pa rallelo Horizontis de ſcribatur, ad eius declinationem a primario Verticali eliciendam; ſed ſatis eſſe, ſi ex illo puncto O,& ex puncto interſectionis Verticalis primarii cum paralleJo Horizontis,(quod in figura prædicti ſcholij paulo infra punctum O, exiſtit) per H, polum Horizontis duæ rectæ extendantur. Hæ etenim vltra H, in eodem OOO 2 paralle lo 1 * N veti ortus, atque occaſus per Aſtrolab u mate riale inaecti gate. Lineam meridia nam ſine AHrola dio material cet tius inuenite. Lincam mer'dianam ſine inſtrumeuto materiali ex declivatione Solis,& altitudine poli ti per v obſerustionem indeſtigare. 670 E IB RN II. parallelo Horizontis intercipient arcum quæſitæ declinationis, qui videlicet tot gradus æquales paralleli complectatur, quos apparentes gradus inter O,& alte ram il lam inter ſectionem continentur, vt lib. a. propoſ.&. Num. 25. demonſtrauimus. 3. FORT ASS E magis commode idem aſſequemur per vnicam obſeruationẽ ex elſdem datis, nimitũ ex declinatione Solis,& altitudine poli cognitis, (quæ ibi etiam data erant) hoc alio modo. In plano, quod Horizõti æquidiſtet, deſcriptus ſit ex E, centto circulus ABCD, Horizontem referens, in cuius plano deſcribendi erunt nonnulli circuli ſphæræ, prout ex Nadir, ſiue polo eius in feriore, in eo conſpiciuntur, veluti in ſeholio pr opoſ. 20. lib. 2. Num. 15. dictum eſt Deinde qualibet hora, filo aliquo tenui, vel inſtrumento, quod initio ſcholii propoſ. 23. lib. I. Gnomonices conſtruximus, obſeruetur ymbra Solis, per cuius duo puncta extendatur recta FG, per centrum E, tranſiens, ac ſimul(nulla interpoſita mora)altitudo Solis capiatur, quam metiatur arcus EN. Vel certe inſtrumento, quod in ſequenti ſeholio Num. 3 conſtrue mus, vna eademque opera vmbra, altitudoque Solis obſeruetur. Excitata autem ad FG, diame tro perpendicu lari HL, numeretur ab L, complementum altitudinis poli vſque ad K, vel ipſa altitudo poli à G, vſque ad Kʒductoque radio HK, ſecante EG, in M, continebit ſegmentum EM. Verticalis EG, tot gradus, quot in arcu LK, continentur, vt ex lis conſtat, quæ lib. 2. propoſ. r. Num. g. oſtenſa ſunt. Nam ex Nadir H, punctum K, in M, apparebit. Quare parallelus Horizontis ex E, per M, deſeriptus tranſibit per polum mundi, cum ã Zenith E, per complementum altitudinis poli rece dat, de ſeribaturque ex puncto E, ſicut pr ius ex eodem centro paralleli Aequato ris, quando eirculus ABCD, Aequatorem repræſentabat, deſcribebantur. Vt au tem ſciamus, quodnam pũctum huius paralleli ſit polus mundi, ducemus ex H, radium ad centrum Solis in N, exiſtentis, vt conſtat, ſi circulus ABCD, conciPiatur in recta F, ad planum Horizontis rectus, hoc eſt, in ſitu Verticalis per Solem CANTON NI. 671 Solem tranſeuntis? apparebitque Sol in puncto O. Et quoniam in ſphæra circuIus ex centro Solis, vt polo, ad interuallum complementi decligationis Solis deſcriptus, quando tamen Sol auſtralis eſt, accipiendum eſt interuallum ex qua drante,& declinatione compoſitum) tranſit per eundem p olüm mundi; ſi circa O, vt polum, eirculus ille deſeribatur, ſecabit is parallelum prius deſcriptum ex parte boreali in polo: qui quidem circulus hoc modo deſctibetur 8 Ex 3 vtrinque numexretur complementum declinationis, vel ſi Sol auſtralis ele ar fut ex quadrante,& declinatione conflatus, vſque ad P, Q. Ductis namque radijs HP, HQ, abſcindetur illius circuli diameter viſa SR; qua diuiſa bifariam in T, deſcribatur circulus prædictus ſecans parallelum Horizontis duobus in pun ctis, quorum illud, quod borealius eſt, nimirum quod nobis inter Solem& centrum E, conſtitutis,& ad idem centrum conuerſis, ad dexteram exiſtit, ſi obſeruatio fit ante meridiem, ad ſiniſtram vero, ſi obſeruatio fit poſt meridiem, polus eſt, cuiuſmodi eſt punctum I. Ducta ergo recta IE, erit linea meridiana, hoc eſt, Meridianum per polum mundi,& Zenith ductum referet: quam ſi diameter AC, ad rectos interſecet angulos, erit C, veri ortus punctum,& A, pun ctum veri occaſus. 4. QVOꝰ ũ poli altitudo ignoretur, explorabimus idem ex ſola de clinatione Solis cognita, per duas obſeruationes, hac ratione. Matutino tempore efficiat ymbra Solis rectam ab, cum eius altitudo ſupra Horizontem eſt arcus a e. Ducta autem Eg, ad ab, perpendiculari, emittatur ex g, Nadir,( Si enim circa ab, circumuolui intelligatur circulus ABCD, donec rectus ſit ad Horizontem,& punctum g, deorſum vergat, erit Eg, axis Horizontis,& g,. eius polus inferior) radius ge, ſecabiturque ab, in f, puncto, in quo Sol apparet. Numerato autem ex e, vtrinque complemento declinationis Solis vſque ad n, m, egrediantur ex g. radtj gn, gm, ſecantes a b, in i, l: diuiſaque il, bifariam in k, erit circulus h i, ex k, per i, I, deſeriptus circa f, tanquam polum, repræ ſentans eum, qui in ſphœra ex centro Solis ad interuallum complemẽti declinationis, hoc eſt, per polum mundi deſeribitur: quod quidem centrũ E, reperietur ex ijs, quæ lib. 2. propoſ. 6. Num.. docuimus, etiamſi radius gm, nimis procul excur rat, ita vt eius interſectio cum a b, vix haberi queat. 0ST aliquod deinde temporis ſpatium vmbra Solis efficiat rectam FG, eiuſque altitudinem metiatur arcus EN. Ducta autem ad FG, perpendiculari EH, emittatur ex Nadir H, radius HN, ſecans FG, in o, puncto, in quo Solex Nadir apparet. Numerato quoque ex N, in vtramque par tem complemento de clinationis Solis vſque ad P. Q, egrediantur ex H, radii HP, Hs ſecantes FG, Lineam merichs bio materiali ex ſola declinati ons Solis cognita, per duas obſerua ti ones indagate. in S,. R: diuiſaque RS, bifariam in T, circulus ex T, per R. 8, deſeriptus circa O, vt polum, referet eum in ſphœra, qui circa Solem per mundi polum deſeribitur. Vbi ergo hie priorem verſus boream interſecat in I, ibi erit polus mundi apparens. Quocirca recta IE, meridiana linea erit. Et ſi, aliqua mora interiecta, fiat tertia obſeruatio,(quod tamen neceſſarium non eſt) eodemque modo tertius circulus circa Solem, vt polum, deſeribatur, tranſibit is neceſſario per idem punctum I, ſi erratum non fuerit. 5. IMMO per tres obſeruationes meridianam lineam teperiemus, etiamſineque altitudo poli, neque declinatio Solis cognita ſit: quod etiam in libello de Fabrica,& vſu inſtrumenti Horologiorum Cap. 12. eadem ferme ratione effecimus. Faciat ergo in prima obſeruatione vmbra Solis rectam ab, eiuſque altitudo ſit ae. Ducta autem ad ab, perpendiculari Eg, appare bit centrum Solis in e, conſtituti, per radium ge, inf. N 1N Meridianam 1. veam ſine Aſtrolabio materiali per tres obſe ruationes, etiamſi declinatio Solis, & altitudo pol ignorẽtur, inguirere. 672. IN ſecunda autem obſeruatione efficiat vmbra rectam FG, Solisque altitu do ſit FN. Ducta autem ad EG, perpendiculari EH, apparebit centrum Solis in N, exiſtentis, per radium HN, in O. IN tertia denique obſeruatione linea vmbræ ſit VX, altitudoque Solis VZ. Ducta autem ad VX, perpendiculari EV, apparebit Solis centrum in Z, exiſtens per radium VZ, in p, puncto. QVONIAM' igitur Sol in tribus illis obſeruationibus ponitur in eodem parallelo Aequatoris exiſtere, quod eius declinatio in eis nõ mutetur ſenſibiliter; ſi trium punctorum f, O, p, centrum t, reperiatur, erit recta t E, linea meridiana, quod centrum paralleli Solis f O p,& centrum Horizontis, in linea meridiana exiſtant, vt ex iis; quæ lib. 2. propoſ. g. demonſtrauimus, manifeſtum eſt. inn 8 Liner meridi- QA xatione linea Meridiana ex Analemmate, quando c altitudo poli,& dei clingcio Solis cognita eſt, eliciatur, tradidimus lib. 1. Gnomonices in ſcholio prop. 23.& in libello de Fabrica& uſus inqtrumenti horologiorum cap. 1 8. vt ſuperuacancum ſit eam hoc loco repetere. 5 2. S E D iucunda quoque operatione idem eſſiciemus per tres umbrarum obſerua83 tiones,& tres altitudines Solis, quarum duæ ſint ante meridiem, cy vna poſt meridiem. ne Horizontali vel du poſs, eh vna ante; etiamſi neque declinatio Solis, neque altitudo poli cognita Roger aan g de It. Circulus enim ABO D, cuius centrem E, ſit in plano 4⁰ Horixonti agtidiſtet, deelinacte elle,& ſcriptus,& matutino tamporè in diuerſis horis vmbra Solis eſſiciat rectas DE, CE, per 88 3 centrum E, extenſas,& in eiſclem horis altitudimes Solis deprehenſa Heut DF, CB. Veb 1 9555 Hpertino autem tempore umbra proij ciatur per rectam A E,& Solis altitudo ſit AI, minor quam coguitas. Nl. 673 nor quam altitudo CB, antemeridiana. Ex altitudinibus Solis ad proprias umbr arm lineas perpendiculares demittantur FG, BH, IK. Extenſu autem en H, per O, retia HG. ,at HM, ipſi FO, parallela, c ipſi E B, aqualis, iungaturque recta MF, quæ recdtam IG, in Os ſecabit. Abſciſſa namque NS, aquali ipſi G,(Eſt enim altitudo Solis DF, minor altitudine CB, quod hac meridiei vicinior ſit; ideogue& ſiaus F G, ſinu BH, minor)iunctaque recta FS, a 4 ip GH parallela erit, b erit angulus FS, angulo G M, æqualis externus interno. e Cd ergo in triangulo FS M, duo anguli S, M, ſint duobus rectis minores, erunt quoque duo anguli GH,& M, duobus rectis minores, ac propterea rect HG. MF, concurrent, hoc eſt, recta ME, produta rectam G, ſecabit in aliquo puncto, nimirum in O. Et quoniam, ſi concipiantur GE,& HM, vel B, ad planum Horixontis perpendiculares, Sol in duabus obſeruationibus extitit in F, B, punctis, tranſibit parallelus Solis per F, B, eiuſque planum per rectam MF, extenſum plano Horixoniis occurret in O. d Nam cum ſit, vt H M, ad G F, ita HO, ad 603 erit quod us vt, E M, rectos angulos cum plano Horixontis faciens ad GF, rectos item angulbs cum eodem plano Horixontis facientem, ita EO, ad GO ideoque ex ſcholis Propoſ.. lib. C. Eucl. recta ex M, in ſublimi per P, in ſublimi exten ſa cadet in punctum O; atque idcirco planum paralleli Solis per illam rectam ductum plano H orixontis in O, occurret. 0 EO DEM pacto ſi ex H. per K, recta NR, extendatur,& en H, ipſi K I, paral lela agatur HN,& ipſi E B, æqualis, ſecabit iuncta recta NI, rectam N K, nimirum in puncto L, in quo idem paurallelus Solis plano Horixontis occurrit. Adiuncta ergo re ta OL, communis ſectio erit paralleli Solis, atque Horixontis. Quare recta PE, per centrum ducta ad OL, perpendicularis, meridiana linea erit, hoc eſt, communis ſectio Meridiani, atque Horixontis. Quoniam enim tam parallelus Solis, quam H orixon, ad Meridianum rectus eſti e erit eorum quoquè ſectio communis OL, ad eunds recta, ideozue ex defin. 3. lib. 11. Eucl.& cum meridiana linea in Horixonte, M Meridiano exiſtente, rectos efficiet angulosʒ ac proinde P E, ad OL, perpendicularis, meridiana linea erit. 3. SJ primi. „ primi. rimi. d ę. ſexti. eg. vndec. Laſtrumentum quo ſimul vm bra,& altitudo solis depichen · datar. 674 EIS 3. SV forte contingat, duas Solis altitudines eſſe æquales, vnam videlicet ante meridiem,& poſt meridiem alteram, vt ſi altuudines DF, AI. ſint æquales, diuidendus erit angulus DEA, bifariam. Piuidens enim linea crit linea meridianaʒ propterea uod Sol in duabus illis obſeruationibus æquales habuit A meridie diſtantias,& duo Verticales per Solem ducti aquales cum Meridiano anęulos eſſiciunt, c. 4. VOD ſ quà do omnes tres altitudines Solis obſeruatæ fort æquales, argumen 70 eſſet, parallelum Solis Horixonti æquidiſtare, ac proinde polum mundanum eſſe in polo Horixontis ſuperiore, altitudinemque eius ſupra Horixontem eſſe grad. 90. Ex quo ſequitur, nullam tunc lineam in eo plano eſſe poſſe proprie meridianam. POSSVNT quoque omnes tres obſeruationes fñieri vel ante meridiem, vel po, fed tunc duo puncta O, Es reperientur ex eadem parte parum inter ſe diſtare, vt non facile recta OL, ſene errore duci poſiit. Quâ ob rem magis equiſite res peragetur, ſi vna obſeruatio fiat poſt meridiem,& dua ante meridiem, vel una ante meridiem,& dus poſt, vt diximus. 3. VON TAM vero in qualibet obſeruatione vmbræ ſtatim accipienda eſs altitudo Solis, ne aliqua mora inter vmbra obſeruationem,& altitudinem Solis accipiendam interponatur, conſtruemus cum Petro Nonio lib. 2. de Nauigatione cap. b. inHrumentum, quo eadem opera,& umbra& altitudo Solis obſeruetur: hoc ſcilicet mo do. In quadrata aliqua tabella plana ABCD, deſcribatur quadrans B F, en E, diuidaturque in 90. gradus, initio facto à B;& per F, agatur EE, lateri quadrati G D, parallela: Et in ſemidiametro E F, ipſi quadratæ tabella inſiſtat ad angulos rectas norma, ſius triangulum roctangulum EF O, cuius duo latera E F, FG, aqualia int,& Hpothenuſa EG. Poterit autem triangulum hoc ita accommodari, an deprimi poſſit,& eleuari, ita tamen, vt eleuatum ſemper rectum ſit ad quadratum ABC D. Al que vt minus graue, aut ponderoſum fiat inſirumentum, excidends erunt partes ſuperflus intra quadrantem EBF,& extra: Item partes interiores trianguli EFG; ita ut intada relinguantur arcus BF, recta FH,& Anbot henuſæ EG. Iurta latus quoque triã guli G F, apbendi poteſt flum cum perpendiculo, vt fac ile planum. ſupra quod 1 dum e C AN O N XII. 675 dum eit inſtrumentum pro ob ſeruatione, vel certe ipſummet quadratum ABC D, Horixonti par allelum poſſit conſtitui. 7s huius inſtrumenti hic eſi. Poſito inſtrumento in plano Horixontali,(quod us iarun. rum demum factum erit, quando filum perpendiculi lateri G F, adhærebit) vergenteque triangulo EA, verſus Solem, vertatur hinc inde, donec umbra lateris TG, rectos cum quadrato ABC D, an gul os ſacientis, cadat præciſe in rect FH. Tunc enim recta iux ra latus C D, in plano, ſupra quod poſitum eſt inſtrumentum, deſcripta ipſi C D, parallela, um bram indicabit: vmbra autem E H, proiecta ab hypothenuſa EG, ab ſeindet arcum BI, altitudinis Solis ſupra Horixontem. Cum enimlatus FG, ad tabel. lam ABC D, ſit rectum, erit per defin. 3. lib. TI. Eucl. angu lus G FH, rectus. Quia igitur duo latera GF, FH, trianguli FGH, æqualia ſunt duobus lareribus EF, FH, triaguli EFH, angulosque continent rectos; qual es erunt baſes G H, EH, anguli GMF, EHF. Eſt au tem GA F, angulus altitudinis Solis ſupra Horixontem, cum rectæa N E, ¶ G, products intercipiant in Verticali per Solem ducto arcum inter Solem, atque Horixontem. Igitur& EH F, angulus erit altitudinis Solis, b cui cum ſit æqualis alter b, 2 9. primi. nus B EH, in centro, erit quoque B EH, angulus altitudinis Solis, ideoque arcus B I, eandem altitudinem metietur. quod eſt propoſitum. NON debet autem inſtrumentum eiuſmodi eſſe nimis magnum, quia extremitas vmbræ EH, ab hi pothenuſa proiecta quaſi euaneſceret in plano A BC D, ob nimia diſtantiam hpothenuſæ ab eodem plano: ſed mediocrem quandam magnitudinem habere debet, vt umbra extremum facile diſcerni queat: Id quod vſus atque eperientia te docebit. 4˙ 4 · frimi. GR N. O NNIII. ALTITVDINEM Poli cuiuſuis oppidi, lociue, hoc eſt, eius latitudinem, diſtantiamue ab Aequatore; longitudinemque, id eſt, diſtantiam ab inſulis Fortuna tis, explorare. Pp pp 1. QVAN Aßtitudinem pali reperite per vnam obſeruationem, quando de. elinatio Solis.& pus lineæ meri · dianæ dantur. 676 W RA II 1. QVAN PDO declinatio Solis eo die, quo altitudo poli inquiritur, eo. gnita eſt,& ſitus lineæ meridianæ notus, inueniemus altitudinem poli per vnam obſeruationem hoc modo. In plano Horizonti parallelo deſeriptus ſit circulus ABCD, ex centro E,& linea meridiana BD; per centrum extenſa. Obſeruata vmbra FG,& altitudine Solis EN, erigatur ad FG, perpendicularis EH, ductoque radio H N, ſecante FEG, in O, loco Solis tempore obſeruationis, numaretur complementum deelinationis, quando Sol borealis eſt, vel quando eſt auſtralis, areus ex quadrante,& declinatione conflatus, à puncto N, in vtramque partem vſque ad P, Q, ductisque radijs HP, HQ, ſecantibus FG, in 8, R, deleribatur circa RS, ex medio eius puncto T, circulus SIR, referens in ſphœra parallelum circa centrum Solis ad interuallum complementi declinationis deſeriptum, ac proinde per polum mundi incedentem- Vbi enim cireulus hic ex parte boreali meridianam lineam interſecat, vt in I, puncto, quod nobis in E, inter Solem,& centrum E, conſtitutis ad dextram iacet, ſi obſeruatio fit ante meridiem, vel ad ſiniſtram, ſi poſt meridiem obſeruatio fit, ibi polus boreus apparens exit. Ducta igitur ad meridianam lineam diametro perpendiculari AC ſi ducatur ex A, per I, polum viſum radius Alf, erit arcus Dſ, altitudo poli, cũ ei reſpondeat arcus viſus Meridiani ID, inter Horizontem ac polum z Kareus C, complementum altitudinis poli, cum ei reſpondeat arcus Meridiani EL, apparens inter verticem& polum, vt ex iis liquet, quæ lib. 2. propoſ. i. demonſtrata ſunt. 8 forte accidat, circulum eirea Solem deſeriptum ad interuallum complementi declinationis, meridianam lineam contingere, quod ſolum accidere poteſt hora C. ante, vel poſt meridiem,(vt ſi vmbra fuiſlet ab, altitudoque Solis a eʒ erecta Eg, ad a b, perpendiculari, ductoque radio ge, ſecante a b, in t, nu· merandum eſſet complementum declinationis ex e, vſque ad m, n, vt radii gm on, diametrum il, abſcinderent circuli h i, cuius centrum x, e a — angenE CANTON MAII. 677 tangentis in I.) erit ipſum punctum contactus, polus borealis: quia cum quicunque cireulus ex quolibet puncto circuli horæ 6. per polum deſcriptus Meri dianum tangat in polo; propterea quod circulus horæ 6. ad Meridianum rectus eſt; fit yt circulus ex centro Solis in circulo horæ g. exiſtente, tanquam polo, ad interuallum complementi declinationis deſcriptus, tangat Meridianum in polo, cum neceſſario per polum tranſeat, propter interuallum complementi declinationis. AC CIP I Ti interdum, quando Sol borealis eſt, eirculum circa centrum Solis, vt polum, ad interuallum complementi declinationis deſcriptum, ſecare Meridianum duobus in punctis vltra verticale punctum verſus boream. Quando igitur diſtantia Solis à Meridiano maior eſt ſex horis, erit interſectio minus borealis, polus boreusz ſi autem diſtantia minor eſt, interſectio borealior polus boreus erit: quia in priori ca ſu, circulus horarius per Solem,& polum ductus facit cum Meridiano ver fus auſtrum angulum obtuſum, qualis eſt ille, quem circulus maximus in ſphœra per Solem& inter ſectionem minus borealem duci tur; in poſteriori vero caſu, circulus horarius per Solem, ac polum ductus facit cum Meridiano verſus auſtrum angulum acutum, qualis eſt ille, quem cireulus maximus in ſphœra per Solem,& interſectionem borealiorem ducitur: propterea quod duo eirculi maximi per Solem,& duas illas ſectiones ducti effigiũt triangulum Iſoſceles, cuius duo anguli ad ba ſem acuti ſunt. quæ omnia in ſphe ra materiali perſpicua ſunt. S] vero ignoretur; num diſtantia Solis à Meridiano maior ſit ſex horis, an minor, facienda erit alia obſeruatio. Punctum enim meridianæ lineꝶ, in quo eirculus in poſtetigti obſeruatione circa Solem, vt polum, ad interuallum complementi declinationis deſeriptus, eireulum prioris obſeruationis ſecat, polus borealis erit. Poſterior enim circulus priorem neceſſario in Meridiano interſe cabit, eum vterque per polum incedat; neque vero poſterior per vtramque inter ſectionem prioris cum Meridiano tranſibit, ſed per vnam duntaxat; alias eſſent duæ lineæ rectæ in ſphæra ex centro Solis in priori obſeruatione ad duas illas inter ſectiones ductæ æquales duabus rectis ex centro Solis in poſteriore obſeruatione ad easdem duas illas interſectiones emiſſis. quod abſurdum eſt. Legatur, ſi placet, caput 13 lib. 2. Petri Nonii de Nauigatione, vbi omnes hi ca ſus fuſius demonſtrantur. 2. QVAN PDO autem ſitus lineæ meridianæ ignoratur, reperiemus poli altitudinem, lineamque meridianam ex data Solis declinatione per duas obſeruationes, hac ratione: Ex duabus vmbris a b, FG,& altitudinibus Solis a e, EN, inueniatur polus borealis I, in interſectione circulorum hil, SIR, vt in præcedente Can. Num. 4. factum eſt. Ducta enim recta IE, exit linea meridiana, ad quam ſi excitetur diameter perpendicularis AC,& ex A, radius egrediatur per polum I, erit arcus Df, altitudo poli,& arcus Cf, eiuſdem complementum; vt paulo ante dictum eſt. 3. QVAN P O denique& ſitus lineę meridianæ,& Solis declinatio ĩgno ratur, explorabimus eandem altitudinem poli, vna cum declinatione Solis, ideoque& cum eius loco in Ecliptica,& ſitu lineæ meridianæ, per tres obſeruationes, hoc modo. Ex tribus vmbris a b, FG, VX,&altitudinibus Solis a e, FN, VZ, inquiratur t, centrum circuli per tria centra Solis f. O, ps deſcripti, vt in Can. antecedente Num. g. factum eſt. Ducta namque recta tE, meridiana linea erit, ad quam ſi erigatur diameter AC, perpendicularis,& ex A, per d, u, interſectiones me ridianæ lineæ cum circulo Op, parallelum Solis repræPPP 2 ſentante, a, 7. primis. Altitudinem po li,& linea me ridianam per duas obletuationes ex ſola declinatione Solis cognita iaue ſti gare. Altitudinẽ᷑ poli, linea meridianã, & declinationem Solis per tres ob ſeruationes ex quirete. Lengitadines 10 corum per Eclip ſes lunares que pacto exploren · cur. 67³ I iin. ſentante, vt Num. g. præcedentis Can. diximus, radii emittantur, ſecabitur circulus ABCD, in q; r, extremitatibus veræ diametri paralleli Solis per viſam diametrum du, repræſentatæ, vt conſtat, ſi A, ponatur in Nadir,& circulus ABCD, ad Horizontem intelligatur rectus. Diuiſo igitur arcu qr, bifariam in ſ, erit ſ. polus mundi verus,& radius emiſſus A f, indicabit eundem polum apparentem in I. Igitur, vt prius, arcus Df, altitudinem poli,& arcus Cſ, eiuſdem complementum metietur. Arcus denique ſqꝗſ, vel ſr, erit complementum declinationis Solis, ſiue paralleli Solis, cuius diameter vera eſſet recta q r, ducta. 4. IA M vero nulla adhue certior via eſt ab Aſtronomis inuenta ad longitudines locorum explorandas, quàm per Eclipſes Lunares, quæ eiuſmodi eſt. Obſeruetur à pluribus Aſtronomis in inſulis Fortunatis, à quibus longitudines locorum incipiunt,& in aliis locis orientalioribus initium alicuius lunaris Eclipſis,& eodem temporis momento per altitudinem ſtellæ cuiuſpiam hora à mer. vel med. noc. inquiratur per ea, quæ Can. 8. ſcripſimus. Nam ſi horam, qua Eclipſis apud inſulas Fortunatas incipit, detraxeris ex hora, qua eiuſdem Eclipſis initium in quauis ciuitate orientaliori conſpectum fuit,& reliquũ numerum horarum ad gradus reduxeris, reliqui erunt gradus longitudinis illius ciuitatis orientalioris, hoc eſt, quibus illa orientalior ab inſulis Fortunatis ver ſus ortum recedit. Vt ſi u. g. in Fortunatis inſulis Eclipſis quæpiam Lunaris incipiat hora 11. min. 15. poſt meridiem,& Romæ hora r. min. 41. poſt med. noc. hoc eſt, hora 13. min.. poſt meridiem, detrahemus hor. 11. min. 15. ex hor. 13. min. 41. eruntque reliquæ horæ 2. min. 20. quæ efficiunt grad. 30. min. 3 0. Tantam ergo pronunciabimus eſſe longitudinem Romanæ vrbis. id eſt, Meridianum Romanum à Meridiano inſularum Fortunatarum orientè verſus diſtare grad. 36. min. go. qui quidem gradus inter vtrumque Meridianum in Acquatore numexantur. Sed hac de re plura in Coſmographia. SCHO S N N 8 N²⁹ 0 TT 1. IN ſcholio 2. propo/ 25. lib. I. G nomonices oſtendimus, qua ratione altitudo poli * Analemmatè per duas obſeruationes eliciatur, etiamſi declinatio Solis data non ſit, dummodo meridianæ linea ſitus non ignoretur. Quare eam hoc loco repetere neceſſè non eſt, cum ex illo ſcholio addiſti poſsit: ſed contenti erimus eandem poli altitudinem per tres obſoruationes explorare, etiamſi neque declinatio Solis, ueque lines meridiana poſitio cognita ſit. 2. P E R tres ergo umbras DE, CE, AE, in Horixonte,& tres altitudines Solis DF, CB, Al, quarum du obſeruatæ ſint ante meridiem,& tertia poſt, vel contra, vt in 1. ſgura ſcholi pracedentis Can. apparet, reperiatur O, communis ſectio plani Horixontis, at paralleli Solis, vt Num. 2. ſcholi pracedentis Can 1 2. factum eſt. Nam perbendicularis PE, dabit lineam meridianam, vel etiam quectundue alia perpendicularis N. Ei ſi agatur E R, ipſi O P, parallela, vel ad meridianam lineam perpendicularis, ipſique I B, aqualis, iungaturque recta Mzerit MH, angulus altitudinis poli. Nam ſi iriangulum Q R, cogitetur rectum ad Hori xontem ſuper rect am I S exiſtet Solis centrum in R, eo tempore, quo vmbra CE,& altitudo Solis CB, obſeruata uit. Cum ego parallelus Solis per OL, tranſeat, tranſibit quoque per rect am R: ita vt RG ſit communis ſoctio eiuſdlem paralleli ac Meridiani. Quapropter R, angulus erit complementi altitudinis poli; quem nimirim Aequatoris, eiuſque parallelorum lana cum Horixonte eiciunt; atque idcireo Q H, angulus erit altitudinis poli. E A D E M altitudo poli ſiue borealis, ſise auſtralis, ſine ulla deſcriptione ſi gu ra, interdiu ex altitudine meridianas ac declinabione cognita, nocta vero ex meridiana aleitudine cuiuslibet Nella,& declinatione percepta, Facili negotio reperiri poterit, ſi prius doceamus, quo pacto cognoſci poſtit, num vertex capitis, vel polus Horixontis ſis inter polum arcticum,& Solrmiſtellammè in A eridiano poſitam, an vero Sol ipſe, tel. laue, Alttitudinis poli innentioex Aua le mate per duat obſeruationes„ etiamſi deelina tio Solis ignore · tur, dummodo ſitus metidianæ li neæ detur. Alritudinem pe li, lineamq; meridianã per tres odſeruꝛtiones co gnoſcere, licet de clinatio Solis It igneta. An vertex loci ſit inter polam ar cticum& Solẽ ſte lla in Aepoſit am, 10 Sol, vel la iu Meridia ca ſit iner pol um arcticum& verticem ci, quo pacto cogaoſcatur. Altitude poli, quo pacto ex de · cli natione Solis, vel ſtell, altitudineque meridia ua ve nanda fit. 680 EH n W E l. laue, cum Meridianum poſcidet, iaceat inter polum arcticum,& verticem loci: quod ita planum ſtet. Quando conſtat, in quam partem Septentrid vergat, vel auſter;(quod beneſicio acus Magnete illita dicto citius cognoſci poteſt NM acile id, quod propoſitum eſt, percipietur. Nam ſi vmbræ corporum, cum Sol maximam habet altitudinem, proijciantur in Septentrionem, vel ſi nobis conuerſis in auſtrum, altitudo maxima ſtellæ obſeruanda ſit, conſtitutus erit uerteæ loci inter politi ardticum,& Solem, ſtellamue. Si autem vmbræ corporum in auſtrum proijciantur, Sele ma ximam habentè altitudinem, vel ſi altitudo maxima fell, nobis in Septentrionem conuer lis, obſeruanda ſet, Sol, vel ella inter polum arct icum, c verticem loci reperietur. At ſi ignoretur, qua ex parte ſeptentrio ſit, aut Meridies, ſi conuerſa facis ad Solem, vel Hellam, quando a vertice prope abeſt, viderimus Solem, vel Stellam cum mundo ab ortu in occaſum circumuolui à ſini Nra verſuis dextram, exiſtet verteæ loci inter polum arcticum e Solem, vel ſtellam; ſi vero a dextra verſus ſiniſtram, Sol vel gtella inter arcticum polum,& verticem loci conſtituetur. 4. ITAAY E declinatio Solis, vel telle, quando borealis eſe, dematur en quadrante inter polum arcticum,& Aeguatorem intercepto, vel quando auſtralis eſt, ad eundem quadrantem adifciatur, relinquetur, vel conflabitur diſtantia Solis, ſtellaue a polo arctico. Ob ſeruata igitur circa meridiem aliquoties altitudine Solis, aut ſtella, donec deprehendatur maxima, complementum maximæ altitudinis deprehen( AQuod ſi adſit linea meridiana, habebit Sol maximam altitudinem, ſiue meridianam, quando umbraſtyli in meridiana linea collocati in igſam lineam meridianam Proij citur: ſtella vero altitudem meridianam, vel maximam obtineb it, quando in Meridiano exiſtit; quod tum fiet, ſi planum ad Horixontem in meridiana linea redum per ſtellam tranſibit, ſi producatur) ex inuenta diſtantia Solis ſtellaue à polo ar ctico auſeratur, ſi vertex loci inter aſtrum,& polum àrdiicum extiterit. vel addatur ad eandem diſtantiam, ſi aftrum extiterit inter verticem loci, fpelum mundi arcticum. Nam relictus numerus, vel conflatus diſtantiam vertidis loci à mtendi polo arcti— co indicabit. Qu diſtantia ſi reperta fuerit æqualis quadranti, exit verticale punctii in Aeguatore, nullaquè erit poli altitudo ſupra Norixontem. Si vero minor quadran te ſuerit inuenta, detradta ea ex quadrante, religua fet altitu do poli horealis: ſi denique quadrante maior extiterit, ablato quadrante ex ca, altitudo poli auſtralis fiet reliqua, vt facile intelligetur, ſi ſphæra materialis adhibeatur. SI Sols vel ſtella reperta fuerit in vertice loci: hoc et, maxima eius altitudo depre henſu fuerit grad. 90. erit ipſamet declinatio Solis, vel ella, altitudo poli ſupra Hori rontem, borealis quidem, ſi declinatio ſuerit borealis, auſtralis vero, ſi auſtralis. RY RSV S ſi Sol, vel ttella in locis horealibus ne que oriatur, neque occidat( quod in Sole contingere poteſt, quando in ſegnis bhorealibus verſatur,& loci verrex eſt inter polum borcalem,& circulum arcticum) habebit intra ſpatium 24. horarum duas altitudines meridianas, unam maximam,& minimam alieram. Ex maxima reperietur poli arctici altitudo, ut dictum et: er minima vero hoc modo. Diſtantia Solis, ſtelleue& polo arctico inuenta, vt ad initium huius Num. 4. diximus, adijciatur ad minimam altitudinem. Conflatus enim numerus dabit altitudinem poli arctici. Eadem ratione, ſi Sol. vel. ſtella in locis auſtralibus neque oriatur, uegue occidat,(quod in Sole contingere poteſt, quando australia Ana percurrit,& verteæ loci inter polum auſiralem,& circulum antardticum exiſti) habebit intra ſpatium 2 E. horarum dual meridianas altitudines, maximam vnam, c alteram minimam. Ex maxima eruetur poli antarctici altitudo, vt initio huius Num.. pracepimus: ex minima vero hac ratione. Diſtantia Solis veliſtella à polo antarctico(qua Habetur, ſi eius diſtantia à polo arctico inuenta, vt ſupra traditum eſi, ex ſemicirculo, vel eius declinatio auſtralis c 42. GA NFO FEN AI. 681 err quadrante detrahatur) alliungatur ad mini mam altitudinem. Conflatus enim nu. merus latitudinem poli auſtralis eæſubebit. DE NIA E ſi quando acciderit, altitudinem Solis aut telle per aliquod temPoris ſpatium neque augeri, neque minui, altitudo poli grad. oo. continebit, hoc eſt, in t hpſo loci vertice polus collocatus eritʒ borealis quidem, ſi declinatio Solis, ſtelleua Juerit borealis; auctralis vero, ſi auſtralis. 5. IDE alia ratione nonnihil diuerſa aſſequemur, hac videlicet. Diſcatur primum, vbi ſit, plus minus, pars mundi ſeprentrionalis,& ubi auftiralis: quod facile nos acus Magnete illita edotet. Quo ſi eiuſmodi acu careamus, circa meridiem, Hoc eſt, quando propemodum Sol, vel ſtella maximam obtinet altitudinem, faciem no Aram ad Solem vel ſtellam conuertemus. E. ſi quidem moueri cernetur à ſiniſtra in dextram, dorſum noſtrum in partem ſeptentrionalem,& facies in auſtralem vergetz Si vero à dextra in ſiniſtram, è regione noſira ſita erit pars Septentrionalis,& auſtra lis in parte oppoſita. HO C cognito, maximam Solis, vel ſtelle altitudinem obſeruabimus. Eius comple mentum:ſi umbra corporum ad eandem partem proijcidtur, in quam aſtrum declinat, In ſtella, quoniam vmbram non proijcit, ſumemus pro vmbra radium viſualem ab oculo ad ſtellam ductum) declinationi adiectum conficiet altitudinem poli eiuſdem nominis cum declinatione, hoc eſt, arctici, ſi tam vmbra, quam declinatio ect borealis, an tarctici vero, ſi auſtralis. At ſi corporum vmbræ in cotrariam proi ciantur partem, id eſt, in ſeptentrionem, ſi declinatib eſt auſtralis, vel in austrum, ſi ſeptentrionalis 3 guidem complementum maximꝰ altitudinis declinationi deprehenſum fuerit æquale; ewiſtet vertex loci ſub Aequatore, nullamęue polus altitudinem habebit: Si vero complementum maxima altitudinis minus repertum ſuerit declinatione, detratto illo ex hac, reliqua fñiet altitudo poli eiuſdem nominis cum declinatione, hoc eſt, arctici, ſi declinatio eſi bore alis, antarctici vero, ſi auſtralis: ſi denique complementum maxim æ altitudinis declinationè extiterit maius, erit corum diſferentia altitudo poli oppoſitæ denominationis cum declinatione, nimirum antarctici, ſi declinatio eſt borealis, arctici vero, ſi auſtralis. SAND O Sol, vel gtella declinatione caret, complementum maxima altitudinis dabit altitudinem poli eiuſdem nominis cum vmbra, nimirum arctici, i vmbra eſt ſeptentrionalis, antarctici vero; ſi auctralis. AND O denique Sol, vel ſtella in vertice loci extiterit, ihſa declinatio, ſi uam habet, erit poli altitudo eiuſclem nominis cum declinatione; ardtici Melicer, ſi declinatio eſt borealis, antarctici vero, ſi auſtralis. C. AND O conſt at, polum arcticum ſupra Horixontem eleuari: ſolent Affro nomi hac facili via eius altitudinem indagare. Sole, vel ella declinattone carente, complementum altitudinis meridiana exhibet altitudinem poli arctici. Exiſtente autem declinatione boreali,& aſtro vergente à vertice in auſtrum, arcus ex declinatione,& complemento meridiana altitudinis cenflatus altitudinem arctici poli manifeflat: Declinatione vero auſtrali exiſtente, detradta ea ex complemento altitudinis me ridiana, reliquus arcus altitudinem poli borealis metitur. Quod ſi aſtrum à vertice loci tendat in boream, complementum altitudinis meridiana ex declinatione boreali detractum reliquam ſacit altitudinem poli borealis. Denique Sole, aut ſtella neque oriente, neque occidente, ita vt duas altitudines meridinas habeati ſi quidem in maxima ver gat a vertice verſus boream, ſemiſois aggregati ex utraque altitudine meridianà altitudinem poli borealis indicat: ſi vero aſtrum in maxima altitudinè a vertice in auſtrum tendat, detracta ea ex ſemicirculo, ſemiſsis aggregati ex reſiduo,& minima altitudine eſt ipſa poli arctici altitudo. NON Aliter. Vbi ſe pars ſe ptẽ tribualis,& auſtralis, quo pacto depreheadatur. Alitet&ſaeilius, i cõſtet polũ arcticũ eleuari ſu· pra Horizont. Tn quzuam Zena datus locus collocetur, cog noſcete. In quenam climate datus locus collocatus fe, percipere 682 E NON aliter agemus in regionibus auſtralibus, ſi ea, qua de declinatione,& parte boreali dicta ſunt, ad declinationem, ac partem auſtralem transſerantur.& contra. RN OM mint IN quacunque orbis parte verſemur, etiam in mari, quanam in Zona,& climate conſtituti ſimus, cognoſcere. 1. HVNC Canonem, niſi ab omnibus ſcriptoribus Aſtrolabii poſitus eſſet, nullo modo explicarem, cum nihil noui contineat, ſed ſolum requirat inuentionem poli in eo loco, in quo ſumus. Inuenta namque per Canonem 73. vel eius ſcholium, poli altitudine, ſiue latitudine loci, ſi ea minor fuerit, quam grad. 23. min. 3 o. locus in Zona torrida ſitus eritʒ& ſi latitudine careat, verticem ſub ipſo Aequatore habebit, hoc eſt, in medio Zonæ torride jacebit. Si autem latitu do contineat præciſe grad. 23. min. zo. collocabitur præciſe vel ſub tropico S, vel ſub tropico V, prout locus borealis eſt, vel auſtralis, hoc eſt, iacebit in fine torridæ Zonæ,& in principio temperatæ. At ſi latitudo maior ſit, quam grad. 23. min. 30. minor autem quam grad. G. min. 30. ſitum habebit in temperata Zona, vel boreali, vel auſtrali, prout locus in boream, vel in auſtrum declinat. Quod ſi latitudo loci præciſe complectatur grad. 40. min. 30. poſitus erit ſub eirculo arctico, vel antarctico, hoc eſt, collocabitur in fine Z onæ temperatę,& in principio frigidæ. Si denique loci latitudo maior fuerit, quam grad. 66. min. zo. ſitus eius reperietur in Zona frigida;& ſi latitudo contineat grad. 90. verticem ſub ipſo habebit polo, mediumque Zonæ frigidæ occupabit. 5 EAD EM altitudo poli inuenta docebit, quonam in climate locus, in quo ſumus, collocetur. Nam ſi inuenta altitudo poli quæratur in tabula climatum, quam ad calcem cap. 3. ſphæræ ſecundum recentiores copioſiſsimam deſcripſimuszli quidem præciſe reperiatur, illico conſtabit, in cuiuſnam climatis initio, vel medio, vel fine locus noſter ſitus ſit: Si vero præciſe non inueniatur, intelligemus ex altitudine poli in tabula deſcripta, quæ a noſtra altitudine minus differt, prope cuius elimatis principium, vel medium, finemue verſemur. Verbi gratia. Nauigans quiſpiam delatus ſit ad portum Mozambique in Africa orientali. Et quoniam deprehenditur latitudo auſtralis grad. ferme 15, dicemus eum verſari prope medium primi climatis auſtralis, cum clima 1. in medio altitudinem poli auſtralis habeat grad. Ic. min. 43. Rurſus delatus quiſpiam ſit ad inſulas Or cades vltra Scotiam. Et quia latitudo earum inſularum complectitur propemodum grad. G1. min. 50. pronunciabimus eas iacere in elimate iz. ſeptentrionali, & quidem prope eius ſinem, ac proinde iuxta principium climatis 24. cum altitu do poli in fine climatis 13.& principio 14. gradus 4 1. min. g. complectatur. „ DISTANTIAM duarum quarumlibet ciuitatum in terra, vel ſtellarum in cælo, quarum longitudines, la1 titu c AN O N xv. 683 titudinesque cognitæ ſint, dimetiri, hoc eſt, arcum circuli maximi per eas deſcripti inueſtigare. DIS TANTIA hæc ſumenda eſt penes arcum eirculi maximi inter duo loca terræ, vel duas ſtellas, interceptum, quod is minor ſit omnibus arcubus cir culorum non maxi morum per eadem loca deſcriptorum, vt in Coſmographia demonſtratum eſt. t. QVA NPO igitur duo loca ſub Aequatore ſita ſunt, hoc eſt, latitudine carent, detracta minore longitudine ex maiore, reliqua erit differentia lon gitudinis, eademque diſtantiam quæſitam metietur. 2. QVAN PDO vero duo loca eandem habent longitudinem, hoc eſt, ſub eodem ſemicirculo Meridiani inter duos mundi polos interiecto ſita ſunt,& vterque in boream, vel in auſtrum vergit; detracta minore latitudine ex maio re, reliqua exit differentia latitudinum, eademque quæſitam diſtanttam metietur. Quod ſi vnus locorum in borea m vergat,& alter in auſtrum; addita latitu dine vna ad alteram, conflabitur arcus Meridiani quæſitam diſtantiam metiés. Denique ſi vnus locorum ſit ſub Aequatore,& alter ſiue in boream, ſiue in auſtrum vergat; metietur ipſamet latitudo poſterioris loci diſtantiam, quæ deſideratur. 3. QVAN P O duo loca differentiam longitudinũ habent grad. 180. hoc eſt. ſub diuerſis ſemicirculis eiuſdẽ Meridiani locantur,& vterque in boream, vel auſtrum tendit, detracto aggregato latitudinum ex ſemicirculo, reliquus fiet arcus Meridiani diſtantiam, quam quærimus, metiens. Quod ſi locotrũ vnus in boream,& in auſtrum alter deflectat ab Acquatore; differentia latitudinum ex ſemicirculo ſubtracta relinquet arcum Meridiani, qui quæſitam diſtantiam metietur: vel arcus Meridiani ex latitudine alterutrius loci,& complemento latitudinis loci alterius, ac quadrante, qui inter polum,& Aequatorem ponitur, conflatur diſtantiam deſideratam metietur, ſi ſemicirculo minor eſt: ſi vero ſemicirculum ſuperet, detracto eo ex integro eirculo, reliquus areus met ie tur diſtantiam locorum. Denique ſi alteruter lIocorum ſub Aequatore, jaceat, latitudo alterius ex ſemicirculo detracta relinquet arcum Meridiani, qui diſtantiam, quam inquirimus, metietur. 4. QV AND O denique duo loca nullo predictorum modorum ſe habent, ſiue alteruter ſub Aequatore ſit poſitus, ſiue neuter,& ſiue eandem habeant latitudinem, ſiue non, explorabimus eorum diſtantiam hoc modo. Sit in Aſtrolabio Aequator Ah CDz;eentrum Eʒ duæ diametri ſeſe ad angulos rectos ſecantes AC, BD, quarum AC, Meridianũ referat per inſulas Fortunatas ductũ, à quibus longitudines locorum incipiunt. Propoſita aũt ſint duo loca, prioris quorũ lon gitudo ſit grad. go.& latitudo borea grad. 3 0. poſterioris aũt lõgitudo cõplecta tur grad. 150.& latitudo borea grad. co. Supputẽtur lõgitudinesab A, verſus B, hoc eſt, ab occaſu ortũyerſus, vſqʒ ad E, G, ducanturqʒ diametri EE, GE, refer tes Meridianos per data loca tranſeuntes. Rurſus numerentur latitudines à B, vſq; adl, G: Ductis autẽ radijs AL, AG, ſccantibus BE, in M, N, deſcribantur ex E, per M. N, paralleli latitudinũ ſecantes Meridianos EE, GE, in P, eritqʒ P, ſitus prioris loci,& I poſteriotis. Si igitur per propoſ. 3 lib. ⁊, circulus maximus per loca P, I, deſcribatur, metietur arcus PI, eorum diſtantiã. Inuento ergo eius circuli polo O, vt lib. 2 prop. 8. Num. 1. docuimus, abſcindent emiſſæ rectæ Op, Ol, arcum Aequatoris QR, arcui PI, æqualem. Quot ergo gradus in arcu QM. 4ꝗꝗ contiDuorum loeerũ in terra ſub Ae quatore poſ torũ diſtantiam ĩtineratiã exquirere. Duorum locorũ eiuſdem longitu dinis diſtantiam metiri. Dnorum locord differentiã long tudinum grad. 180. habentium, diſtantiam re perĩ re. Duotu m locorũ dine rſatum longitud vum, latitudinumque di ſtantiam, inueſſi gare. A K. Theod. b 3. tertij. Aliter, etiamſi per data loca cir culus maximus non deſcribatur. 684 E II M N E H continentur, tot gradibus vnus locus ab altero diſtabit. Ita autem per P. I, ein. culum maximum de ſcribemus, eiuſque polum reperiemus. Ducta recta EK, ad IE, per pendiculari.(poruiſſet quoque duei perpendicularis ad GE, ſed eligenda potius eſt recta EE, per punctum P, a centro E, remotius ducta. Ita enim punctum ipſi P, oppoſitum minus diſtabit à centro, quam punctum ipſi I, oppoſitum) duc atur ox Eper P, recta KPB, ad quam perpendicularis excitetur KD,(quod fiet, fi arcui EBʒ;arcum gD, æqua lem ſumemus,&c.)ſecans EE, productam in H: eritque punctum H, ipſi P, oppoſitum, vt ex iis liquet, quę lib. 2. propoſ.. Num. 1 gſeriplimus. Si igjtur per tria puncta P, I, H, eirculus deſcribatur ex centro N. quod erit in recta f X, ſecante PH, in f, bifariam,& ad angulos rectoszerit ille maximus, cum per puncta P, H, per diametrum oppoſita tranſeat. Iam vero ducka ex centro&, per E, recta XE, ſecante deſcriptum circulum in c, erectaque ad XE, per pendiculari, vel quod idem eſt, iuncta recta JZ,(hæe enim ad XE, perpendicularis erit: Tranſibit namque per E, centrum, cum ſit diameter circulorum maximorum, a ſeſe in V, Z, ſecantium bifariam. Quare rè cta XE, ſecabit ipſam VZ, bifariã in centro E; H ac proinde& ad rectos angulos)emit tatur ex V, per cn recta ſecãs Aequatorem in T, ſumaturque ar cus TV, quadranti æquais,(accipiendus autem eſt quadrans ITV, verſus eã partem, verſus quam ductus radius XV, rect am XE, ſecet in tra Aequatorem.) Radius enim V, ſecabit rectã XE. quę Meridianũ circuli PIH, repræſentat, in O, polo circuli PIH, vt lib 2. propoſ. 8. Num. I. demonſtrauimus. 5. EAN DE M hanc di ſtantiam breuius cognoſcemus, etiamſi circulum maximum per data loca non deſcribamus,&c. ſi, ducta recta PI, inquiramus per ea, quæ lib. 2. propoſ. 18. Num. 3. tradita ſunt à nobis, quantinam arcus circuli maximi chorda ſit. quod ſic fiet, Inuento puncto H, quod loco P, remotiori à centro E, opponitur, iungatur recta HI, anguluſque PIH, bifariam ſecetur per rectam Ja, ſecante PH, in a, puncto, per quod deſcribendus eſſet cir culus non maximus per punctum I, tranſiens, circa polum P, vt lib. z. propoſ. 1. Num. 3. oſtendimus; adeo vt arcus Pas circuli maximi PE IH, per polum E, ducti, æqualis ſit arcui circuli maximi per P. I, deſeripti inter P,. H, intercepto, cum ambo ęx polo P, in circumferentiam circuli non maximi per a, L, circa polũ P, deſeripti cadant. Excitata igitur EK, ad PH, perpendiculari, abſcindẽt radii KP, Ka, ex Aequatore arcum B58, tot graduum, quot arcus Pai ac proinde& arcus circuli maximi à recta PL ſubtenſus, comple ctitur: CIA N O N INN. 68 5 ctitur: eritque arcus hic B S, priori arcul QR, inuento æqualis, ſi erratum non ſit. 6. SIT rurſum locus, cuius longitudo grad. 150.& latitudo borea grad. bo.& alius locus, cuius longitudo grad. 24.& latitudo auſtra lis grad. 3 o. com plectatur. Numeratis longitudinibus ab A, verſus B, vſque ad G, g. erunt ductæ rectæ GE, gE, Meridiani datorum locorum. Sumpta quoque prioris loci latitudine borea BG, emiſſoque radio AG, ſecante BD, in N, deſeribatur ex E, per N, parallelus illius latitudinis ſecans Meridianum GE, in I; er itque I, ſitus prioris loci. Et ſi accipiatur loci poſterioris latitudo auſtralis Dd, emittaturque radius A d, ſecans BD, in b, ac denique ex E, per b. deſeribatur paralle lus huius latitudi nis ſecans Meridianum g E, in H, erit poſterioris loci ſitus in H. Igitur ſi per I, H, circulus maximus deſcribatur,(inuento nimirum prius puncto P, oppoſito ipſi H,&c.)eiuſque polus reperiatur O, dabunt emiſsi radii ex O, per I, H, in Aequatore arcum Re, arcui IH, diſtantiam locorum I. H. metienti æqualem. VE breuius, vt Num. r. ſic etiam agemus, ſine deſcriptione circuli per lo ca 1, H Inue nto puncto P, oppoſito ipſi H, ductisque rectis HI. Pl, ſecetur angu las PIHI, bifariam per rectam Ia, ſecantem PH, in a, puncto, per quod deſeribendus eſſet circulus non maximus per punctum I, tranſiens, circa polum H, vt lib. 2. propoſ. 18. Num. 3g. oſtendimus; adeo vt arcus Ha, Meridiani HP, æqualis ſit arcui eirculi maximi per H, I. deſcripti inter loca H, I, intercepto, cum ambo ex polo H, in ciccumferentiam circuli non maximi per a, I, circa olum H, deſeripti cadant. Erecta igitur EK, ad HP, perpendiculari, abſcindent radij KH, Ka, ex Aequatore arcum DS, tot graduum, quot in arcu Ha, ideoque& in areu maximi circuli à recta HI, ſubtenſo continentut: eritque arcus hic ſi erratum non ſit, æqualis omnino priori arcui inuento R. H A C arte diſtantiam quorumlibet duorum punctorum in ſphæra datorum, quam arcus circuli maximĩ per ea deſcripti metitur, reperies, ſiue ambo in boream vergant ab Aeqꝗuatore, ſiue in auſtrum,& ſiue vnum in boream,& alterum in auſtrum tendat:& ſiue vtrumque in eodem parallelo Aequatoris poſitũ ſit, ſiue non; ſiue denique vnum ſit in Aequatore ABCD,& alterum ab illo vel in boream, vel in auſtrum declinet. 7. QVO NTA M vero loca auſtralia minus exquiſite in Aſtrolabio deſcri buntur, quam borealia, quod parallelorum auſtralium ſemidiametri inueniantur per radios ex A, emiſſos, qui valde oblique rectam BD ſecant: quãdo vnus locorum auſtralis eſt,& alter borealis, commodiſsime res peragetur, ſi pro loco auſtrali accipiatur borealis per diametrum ei oppoſitus, quem videlicet Antipodes incolunt,& cuius latitudo borealis latitudini auſtrali alterius æqualis eſt, longitudo vero à longitudine illius ſemicireulo differt: adeo vt ſi longitudo loci auſtralis ſemicirculo minor eſt, ei addendus ſit ſemieirculus, ſi vero maior, ab ea ſemicirculus demendus, vt vel confletur, vel relinquatur longitudo loci borealis oppoſiti. Nam ſi diſtantia inter datum locum borealem,& hunc alterum borealem auſtrali oppoſitum inuenta ex ſemicirculo ſubtrahatur, reliqua ſiet diſtantia loci dati borealis ab auſtrali dato. Exempli cauſa.& detur locus borealis I, cuius longitudo continet gradus 150.& latitudo grad. 60.& lo cus auſtralis, cuius longitudo eſt grad. 240.& latitudo grad. 30. accipiemus pro hoc locum borealem P, cuius longitudo ſit grad. o.(quæ relinquitur, detracto ſemicirculo ex data longitudine grad. 240. quæ ſemicirculo maior eſt.) latitudo vero grad. 30. ſicut& auſtralis loci. Nam ſi diſtantia inter loca I, P. inuenta detrahatur ex ſemicirculo, reliqua exit diſtãtia loci I, d loco auſttali, qui Qꝗqꝗ loco Diſtantia inter locum borealem & auſtralcm, quo pacto commodius reperiatur. Diſtartia inter uo auſtralia lo ea, quo pacto ex oppoſitis locis botealibus inqui renda fit. Diſlantiam dua · rum ſtellarũ qua rumlibet inueſii · gare, 686 EI i loco P, oppoſitus eſt. Cum enim eirculus maxi mus in ſphæra per loca P, I, deſeriptus tranſeat neceſſario per loca oppoſita, diſtetque locus P, a loco oppoſito per ſemicirculumzliquido conſtat, areum illius cir culi maximi inter P.& I. poſitumſid eſt, diſtantiam inter loca P, I.) ex ſemicirculo ſublatum, relinquere arcum eiuſdem circuli maxi mi inter locum I,& locum auſtralem, qui loco P, opponitur, inter iectum, qui quidem diſtantiam loci I, ab eo loco auſtrali metitur. Ita vides in figura arcum PI, ex ſemicirculo PIH, detractum, reliquum facere ar cum IH. Quod ſi locus auſtralis datus habeat longitudinem grad. 40.& latitudinem grad. 3 o. ſumendus erit locus borealis, culus latitudo ſit etiam grad. 50. longitudo autem grad. a 20. quæ conflatur ex longitudine grad. 40. loci auſtralis.(quæ ſemicirculo minor eſt.)& ſemicirculo. SLMILI modo, ſi duorum locorum auſtralium diſtantia inueſtiganda ſit, inuenienda erit diſtantia duorum locorum borealium illis oppoſitorum, eaſdem videlicet latitudines cum illis habentium longitudines autem ab illorum longitudinibus differentes ſemicirculo; quæ quidem ob tinebuntur, ſi illis vel ſemi circulus adiiciatur,(ſi nimirum datæ longitudines ſemicirculo minores ſunt vel( ſi maiores ſunt ſemicirculo) ab eiſdem ſemicirculus ſubtrahatur, vt dictum paulo ante eſt. Hæc enim diſtantia inuenta æqualis prorſus erit diſtantiæ datorum locorum auſtraliũ. Aut certe in Aſtrola bio centrum E, accipiendum eſt pro polo auſtrali, ita vt oculus collocetur in polo boreali. Hac enim ratione Aſtrolabium inter Aequatorem& centrum re feret hemiſphærium auſtra le,& in eo omnia loca auſtralia deſeribentur, ſi eorum lõgitudines, vt a Geo graphis notatæ ſunt, numerentur ab A, verſus B, latitudines vero à B, verſus C, vt paralleli latitudinum auſtralium intra Aequatorem deſcribantur, quemadmodum prius paralleli la titudinum borealium. id quod ad finem libri 2. monuimus. a. 8. STELLARVM fixarum diſtantiæ eadem prorſus ratione inueſtigabuntur. Si namque in Aſtrolabio inueniantur loca quarumlibet duarum ſtellarum propoſitarum, vt lib.. propoſ. ii. Num. 2. 3.& 4. docuimus,& per ea loca circulus maximus deſcribatur, cognoſcemus magnitudinem arcus illius inter eadem loca interiecti, per radios ex eius polo per extrema puncta, hoc eſt, per eadem illa loca emiſſos. Vel ſi in recta, quæ a ſtella remotiore a centro Aſtrolabij per centrum ducitur, punctum reperiatur eidem ſtellæ remotiori 1 e cogno ce c AN ON Xv. 687 cognoſcemus areum; cuius chorda eſt recta inter eaſdem ſtellas collocata, vt lib. 2. propoſ. 18. Num. 3. tradidimus, atque paulo ante exemplum etiam poſitum eſt Num. i. de recta PI,& Num. g. de recta HI. Denique ſicut duorum locotum in terra, ita quoque diſtantia duarum ſtellarum in cælo, ſi eatum loca in Aſtrolabio reperiantur, vt propoſ. II. lib. 2. tradidimus, inquirenda eſt. SE D yt facilius ſitus ſtellarum reperiamus pro earum diſtantiis eruendis, ſtatuemus in figura huius Canonis circulum ABCD, non eſſe Aequatorem; ſed Eclipticam, eiuſq; polum borealẽ E; ita vt ſpherę circulos deſcribamus in plano Eclipticæ ea forma, qua ex eius polo auſtrali conſpiciuntur. Ita. n. circuli longi tudinum ſtellarum per polos Eclipticæ tranſeũtes proiicientur in rectas lineas per centrum E, ductas;& paralleli eiuſdem Eelipticæ per ſtellas ducti in Aſtrolabio ex centro E, deſeribentur, vt paralleli Acquatoris. Ex quo efficitur, locum cuiuſuis ſtellæ per eius longitudinem latitudinemque non ſecus in Aſtrolabio reperiri poſſe, ac ſupra locus quicunque terræ in eodem inuentus fuit. Nam ſi v. g. ſtella quępiam habeat longitudinem à prima ſtella Arietis grad. Ja. & latitudinem borealem grad. 30. numerabimus eius longitudinem ab A, verſus B, vſque ad E. Recta enim FE, erit eius longitudinis circulus: Deinde eiuſdem latitudinem boream ſupputabimus à B, vſque in L, vt per radium AL, reſecetur ſemidiameter EM, paralleli per ſtellam tranſeuntis. Hic enim parallelus ex E, per M, deſcriptus, ſecabit FE, in P, loco ſtellæ. Eadem ratione reperie tur I, locus ſtellæ longitudinem à prima ſtella Arietis habentis grad. 150.& la titudinem borealem grad. 60.& ſic de cæteris. 161 VR diſtantia ſtellæ P, à ſtella I, reperietur perinde, ac ſi P.& I, loca eſſent in terra deſeripta. Quod ſi duarum ſtellarum altera habeat latitudinẽ auſtralem, repe riemus diſtantiam inter eius punctum oppoſitum,& alteram ſtel lam borealem, eãque ex ſemicirculo aufere mus, vt diſtantia inter duas illas ſtel las reliqua fiat: quemadmodum ſupra de dugbus locis terræ, quorum vnus borealis ſit,& auſtralis alter, diximus. Habebit autem punctum, quod ſtellæ latitudinis auſtralis opponitur, æqualem latitudinem borealem, longitudinem autem eam, quæ confſatur vel ex additione ſemicirculi ad longitudinem auſtralis ſtellæ, vel quæ relinquitur poſt detractionem ſemicirculi, ſi detrahi poteſt vt de locis terræ Num. 7. dictum eſt. Sic etiam ſi offerantur due ſtellę latitudinũ auſtralium, indagabimus diſtantiam duorum punctorum oppoſitorum. Hæc enim æqualis erit diſtantiæ inter oblatas duas ſtellas. VER VM in ſcholio Canonis 22. diſtantiam èandem inueſtigabimus, etiãſi alter locorum, vel altera ſtellarum auſtralis fit; vbi nimirum, quo pacto ex datis duobus trianguli ſphærici lateribus, cum angulo ab eis comprehenſo, tertium latus in Aſtrolabio ſine calculo ſinuum eruatur, docebimus: ita vt neceſſe non ſit accipere locum per diametrum loco, vel ſtellæ auſtrali oppoſitum. A 1. PR AE TER modum illum Franciſci Maurolyci Abbatis, diſtantia duorum quorumlibet locorum em Analemmate inueſtigandæ, quem in cap. a. ſphæra, cum dę officis Meridiani circuli ageremus, enpoſuimus, c demonſtrationi bus conſirmaui mus Geometricis: qui quidem modus facillimus et, atque enquiſitiſsimus: afferemus Hoc loco alios duos æque fere faciles, quos Petrus Nonius lib. a. de Nauigatione cap. 20. inſinuat. Sed vt priorem demonſtremus, aſtendendumm primum eſi, ehordas arcuum duo rum Quando alter le cus, vel ſtella au ſtralis eſt, eandẽ diſtintiam inuenire, etiã ſi eius punctum eppon tum non allumæ tur. O ĩſtan tiam duo · rum locorum in terra ex Analem mate per ſetuta. 111 A 1. 2. ThHeod. b 29. primi. 27. ſertij. d 20. trimi. e 2. vndec. f IC. under. 688 EI III. rum parallelorum inter duos Meridianos parallelas eſſe, ac proinde cum chordis arculi aqualium eorundem M eridianorum, quos pradlicti paralleli abſe ut, conſtituere qua eram figuram in vno plano exiſtentem. Secent namque ſe mutuo duo Meridiani AC, ADC, in polis A, C,& recta B D, chorda ſit arcus Aequatoris inter eos Me0 sz at FG, HI, chordæ arcuum parallelorum inter eoſdem; FH, GI, chordæ lien. quos paralleli abſcindunt: Arcus enim FH, GI. æquales eſſesa perſpicuum est. Dico HI, FO, parallelas eſſe, Me. Sit enim axis AC,& centrum ſphæ r E;& ſumpto arcu BN, arcui BE, quali, iungatur recta E N;& quoniam reliqui arcus quadrantum FA, NC, equales quoque ſunt, erunt em ſcholio propoſ. æꝶ. lib. 3. Eucl. AC, FN, parallela. b Igitur, ducta ſemidiametro ſpharæ FE, anguli AEF, EFKO. duobus rectis æquales guts ideoq; AEF, EFH, duobus rectis minores. Cõcurrent ergo re a EH, FH, extra ſphæram in K. Eadem ratione ontendes, rectam GI, cum codem axe EA, producto conuenire in aliquo puncto, quod aio eſſe ids punctum K. Nam iuncta ſemidiametro ſyhæra GE, e erunt anguli AEF, AEG, ad centrum inſiſtentes arcubus æqualibus A F, AG, equales, necnon & anguli REH. EOI, ad circumferentias inſiſtentes quoq; arcubus aqualibus, qui nimir relinquuntur, ſi arcus æquuiles FH, GI, dotrabhantur ex ſe micirculis Memdianorum, quos ſemidiametri FE, G E, producłæ auſerunt Cum ergo& late ra EE, GE, illis adiacetia ſint equalia, d erunt etiam reliqua latera FK, EX, triaguli E K, aqualiakreliguis lateribus tri guli, cuius baſis G E,& latera, rectæ A puicto E, per A,& a pii 4 G ber I, vſque ad eorum cõ curſum eætenſa. Igitur EA, G1, concurrent in K, quando quidem latus E X, trianguli EF K, aquale eſt lateri alterius trianguli ab E, uſque ad concurſum rectarum EA, G1. Triangulum ergo eſt KF G, e ac proinde in vno plano: ideo que& rectæa FG, H, in vno plano erunt, nimirum in plano trianguli KFG. t Ex quo HFcitur, eaſclem rect at FG, HI, eſſe parallelas, nimirum communes ſectiones in plano E GIH, factas a planis Parallelorum Aequatoris, qua parallela ſunt. quod etiam ita oſtendetur. Quoniam trià uli XG. latera aqualia K F, KG, propertionaliter ſecta ſumt, s cum aquales ſint chorda FH, GI, at propterea c reliquæ rectaæ NK, I Kʒũ erunt FG, HI, pnrallelæ. EAD E M prorſus domonſtratio eriti ſi paralleli, quorum chhordæ E G, HI, verſus diuerſos polos vergant, dummodo non æqualiter ab Aequatore diſtent. Vt ſi paralleli v. g aultralis chorda ſit Nu,& borealis Hl, minuſque diſcet punctum N,& puncto B. quam punctum Hzſumpto arcu BF, æquali ipſi BN, erunt rurſum eur ſcholio propoſe q. ib. 3. Eucl. recta FN, AC, parallela, ob arcus aquales A F, CN. Ida ergo ſemidiame ro CG NI OH N XV. 689 ero ſphæræ NE, ert duo anguli AEN, EN, duobus rectis æquales;ʒ ac pr AEN, EN, duobus rectis minoress ideoq; concurrent EA, NH, verſiis H. Pari ra 1 I, cum EA, concurret, atque adeo in eodem puncto cum recta NH, propter trian la æqualia.% Nam& hit tam anguli AEN, A Eu, ad centrum inſiſtentes arcs aqualibus A N, Au, aquales ſunt, quam anguli EN H, Eul, inſiſtentes ad circumſeren 2 les letrabantur eæ ſerias aqualibus arcubus, qui relinquuntur, ſi artus a juales NH, 1, mitirculis Meridianorum ſemidiametris NE, uE, productis alſciſſorum, c. YO D i parallelus per Nu, ductus diſtæt magis ab Aequatore per B D, ducto, quam parallelus per HI, ductus, coibunt recta L N, Iu, cum are AC, verſus C, producto. vero paralleli per FGO, HI, ducti aqualibus ſpatijs ab Aequatore per B D, dus do ab ſint, vt in ſecunda figura, oſtendemus NFG], eſſe parallelogramnum rectan lum in vno plano exiſtens. Erunt enim tam rectæ N F, AC, parallela, ob arcus quales AH, CF, quam rectæ 10, Ad, ob equales arcus A, CG, ex ſcholio propoſ. i 3. Eucl. c atque idcirco& H F, J, inter ſe parallels erunt, atque ob id in uno p d idecque( HI, FG, in eodem cum ipſis plano; e& quidem inter ſe parallela, cum ſint communes ſectiones in plano E FG I, fadta à planis parallelis parallelorum A equatovis f vel quia coniungunt rect as N F, IO, parallelas, a qua æquales ſunt, propter æqua Litatem al cim FH, GI. Parallelogramnum ergo eſt HFG, in vno ex. lan h Et quoniam axis AC, ad plana par allelorum per FG, HI, duc rtranſitque per eorum centra, e per centrum ſpharæ n i erunt quoque ani parallela ¶Ñ E, Id, ad eadem plana perpendiculares; ideoque c ad rectas FG, Hi, in eiſdem planis eviſtentes, e dein. 3. lib. 1 f. Eucl. perpendiculares erunt. Parallelogrammum ergo HFG, rectangulum est. 2, HIS demonſtratis, hac ratione diſantiam vniiss loci ab altero inueſtigabimus. Sit Meridianus P;& PR, diameter Aequatoris axis mundi z ſintqu pri mum duo loc vel borealia, vel auſtralia,& vnius latitudo ſit P, grad. 20& alterius PV, grad. C o. Diametri guoque parallelorum per ealoca ductorum ſint TT, VZzʒ ac diſferentia longituinum P: hoc eſt, arcus PX, æqualis ſit arcui Aequatoris inter Meridianos locorum poſito, contineatque v. g. grad. 5 o. Quando hac diſſerentia ſemicirculo maior eſt, accipiendum eſt eius complementum ad integrum circulum: vt ſi contineat grad. 3 Io. accipiendi ſunt grad. vo. pro diſferentia l linum, vel porius pro arc Aequatoris inter Meridianos per data loca deſeriptos intercepto, Duca autem recta SX, deſcribatur ex centro S, ad interuallum alterutrius ſemidiametrorum GT, A, ad internallum v. g. ſemidiametri g, arcus cd, qui quoniam ſimilis eſt arcui PX, æqualis erit arcui paralleli diametri TV, inter duos Meridianos datorum locorum interiecto,& iuncta recta cd, eiuſclem arcus chorda crit. Si diſterentia longitudinum quadrante maior eſſer, nimirum arcus RX, deſcribendus tet arcns pa ralleli à ſemidiametro SR, vſque ad rectam S x, rectaque à puncto d, vſque ad interfectionem paralleli cum ſemidia metro S R, ducia, foret chorda arcus paralleli inter Me ridianos poſiti. Poſt hac per puncta T, Y, vel(vt hic factum eſt) per puncta I,, dudta recta ſecante axem S N, productum in q, deſcribatur ex Y, ad interuallum chordæ cd, arciis, quem in er, ſecet alius arcuis ex, ad interuallum T, deſcriptus, iungaturque recta c, quam dico eſſe chord am arciis diſtani iam locorum quaſitam metientis: adeo vt applicata recta Rm, aquali ipſi A, arcus Rm, didtam diſtantiam metiatur. æ Quo niam enim axis Q, rectus eſt ad planum paralleli diametri T, in eius centro, eri ex deſin. 3. lib. 1 L. Eucl. omnes anguli, quos cum ſemi dia metris facit, recti. Igitur duc latera g, E, trianguli q, æqualia ſunt duobus lateribus titanguli cuiuslibet, cuius vntem latus eſi 72& alterum ſemidiameter guæcunque parallelt ex g, egrediens. Cum r erg c g. vndec. d /. vndec. e id. vndec. f 33. primi, 8 2 h 10. 1. THeod. i 8. vndec. 22 9. Tertu. Alia ratione diſtantiam locorũ es em mate inquirere. RI THeod. 690 E 1 d i. ergo& angulos contine ant æquales, vtpote rectos, vt oſtenſum eſtʒ 2 erune quoque baſes æquales, nimirum Y,& recta ex q; ad circumſerentiam uſque paralleli educta, hoc eſis ad punctum, quod ſemidiametrum paralleli pro latere poſterioris trianguli ſum ptam terminat. Eademque ratione oſtendentur omnes recta ex q, ad eandem circumJerentiam emiſſa, eidem q,& inter ſe proinde æquales. Qubocirca ſi triangulum gat, concipiatur moueri circa q, cadet tandem pundtum aa propter equalitatem rectarum 9e, T, in circumſerentiam paralleli,& Tu, chorda erit arcum eiuſcdem paralleli inter duos Meridianos locorum propoſitum ſubtendens; propterea quod ipſi cd, ſumpta fuit aqualis: ac proinde, vertex erit loci, per qus parallelus diametri TT, ducitur. Cum ergo Z, ſit vertex alterius loci, erit u, chorda arcus diſtantiam vnius loci ab altero metientis. PAR ratione, ſi ad interuallum ſemilliametri: a L, arcus e I, deſcribatur,& ad interuallum chorda eſex Z, arcus delincetur, quem ſecet int, alius arcus ex 9 ad interuallum ꝙ Z, deſcriptus; erit ducta t Y, chorda eiuſdlem diſtantiæ; propterea quod circumducto triangulo q t Z, circa 9 Z, punctum t, in verti cem loci, per quem paralleIus diametri YA, ducitur, cadit,&. 5 4 vo D ſ locorum vnus in boream,& alter in auſtrum vergats ſi quidem latitudines inaquales ſint, inueſtigabitur eodem prorſiss modo eorum diſtantia. Nam tunc quo que recta per duo puncta inber ſectionum vntus Meridiani cum diametris parallelorum extenſa concurret cum axe producto verſus parallelumloci maioris latitudinis, vt in prima figura patuit de locis, quorum latitudines ſuerunt BH, BN,&c. S vero latitudines eorundem locori m fuerint æquales, efficient chordæ duorum Meri dianorum inter parallelos locorum cum chordis parallelorum inter eoſdem Meridianos parallelogrammum rectangis lum, vt in ſecunda figura oſtè ſum fuit. Quare ſi triangulum rectangulum conſtruatur, cuius vnum laterum circa angu lum reddum æquale ſit chorda arcus Meridiani ex duabis Iatitudinibus aqualibus conflati, alterum vero chord alterutrius parallelorum inter duos Meridianos;( qus chorda reperietur ex diſferentia longitudinum, vt chorda ę d, in tertia ſigura inucta fuit ex diſferctia longitudins Ex,) dabit latus recto angulo op poſitũ,(qualis in 2. figura eſt recta G H. chorda diſtantia quaſita in circuls marimo. D ENI NVE i duo loca verſus eundem polum vergant, eandemque habeant 4 ritudinem, erit chorda arcus paralleli inter duos Meridianos, chord quaſitæ diſtantia in maximo circulo. 3. CATE CANON. 691 3. CAETE R&S M qmuia non ſemper recta per extrema puncta diametrorum pa rallelorum, qualis fuit recta Z, commode axem productum interſecat, ſed interdum nimis procul, atque adeo nimis oblique, commedius agemus, ſi in plano quadrilaterum FOH. vel Nu H, primè vel ſecunda figur a, aut potius triangulum E EG, deſcri bemus. quod ſic fiet. Quoni am demiſois ex H. 7, 4d FG, perpendicularibus E L. I, latera oppoſita HI, EM,& HL, IM, in parallelogrammo rectangulo HM, æqualia ſunt; b ſunt autem& FH, GI, chordæ æqualium arcuum Meridianorum aquales; e ac proinde tam quadratum em FH, quadratis eꝶ HL, LF, quam quadratum ex G1, quadratis ex IM, MG, aquale: erit quoque quadratum ex L F, quadrato ex 4 5 quale, ideoque& recta FL, G M. æquales eruntz ac proinde vtraque erit ſemiſſis differentia rectarum F, HI. ee e angulus rectus, qualis elt K, in tertia Ngura,& deſcriptis e centro, arcubus cd, ehhad interuallum ſemidiametrorum BT. 4 V, ita vt rectæ cd, eſ, ſiut chordæ parallelorum inter M eridiauos, accipiatur chorda ef, agqualis eg,& reliqua gd, bifariam ſecetur in h. vt gh, vel hd, ſamiſcis ſit diffs ren ria gd, rectarun: cd, ef: ſumemuss S1, ih gh, vel hd, æqualem, atque ex i, ad interuallum TV, vel TZ, chord nimirum artus Meridiani inter duos parall elos poſiti, arcum delineabimus ſecautem Qs, in k. Nam ſi recta il, æqualis ſumatur chordæ cd, maioris paralleli, erit ducta recta kl, chorda diſtantia locorum quaſita, propterea quod trian gilum ki refert omnino triangulum N FO, cum iss ſemiſsis diſferentia chordarum pa rallelorum cd, ef, reſponileat ipſi FL, ſemiſi diſfurentia chordarum HI, Fd, in prima fgura,& recta ik, chorda FH,& perpendicularis kS, perpendiculari ¶ L: adeo ve, ſumpta in, æquali ipſi i S, erectaque perpendicular n p, ibſi Sk, aquali, iunctisque reckis l p, pl, trabexium k il p, reſpondeat trapex io EEG, in prima figura, vel trapeio t A, in tertia Hgura 8 4. POSTRE MO diſtantiam duorit locor i verſus eundè polii vergentium hoc alio modo explorare licabis. Sit in ſcquenti Meridiano ABO, cuius centrum D, primus locus ſiib vertice A,& eius Horixontis diameter BOʒ bolus mundi E, Aequatorisque diameter FG, Latitudo ſecundi loci& H, vel FI, e paralleli Aequatoris per eius verticem ducti diameter Hl, circa quam paralleli ſemicirculus deſcriptus ſit HKT. Numerata autem di ſferentia longitudinum ab I, uſque ad K, ſiue ea minor ſit quadrante, ſiue mator, ſomicirculo tamen non maior,( Quando enim diſferentia longitudi num ſemitirculo maior eſt, accipiendus erit pro ea arcus qui, detra cta longitudinum diſferentia ex integro circulo, relinquitur) damittatur ad H,, perpendicularis E. ſnus videlicet reſtus diſforentis longitudinum: ex quo ft, rectam L, eſſe ſinum verſum eiuſclem differentia. Ducta tandem per E, ipſi BC, diametro Horixontis primi loei parallela MN; dico arcum AM, vel AN, diſtantiam datorum locorum metiri. Si namque ſemicirculus H XI, concipiatur circa H, moueri, donec rectus ſit ad planum Meridiani ABC v ac proinde recta K L, ad idem planum perpendicula ris ſit, ex defin. 4. lib. 11. Eucl. cadet pundium K, in verticem ſecundi loc, cum parallelus Aequatoris HKI, per eundem verticem tranſeat in eo ſitu,& arcus I K, ſit interuallum Auorum Mer idianorum. Igitur ſi per rectas KL, MN, intelligatur duci planum, d fa ciet illud in ſphæra circulum per verticem K, ſecundi loci tranſeuntem, cuius polus A, atque adeo e ſcholio propoſ. m 8. lib. 11. Eucl. Horixonti primiloci, j citius diameter BC, parallelum, cum tam hic circulus, quam Hoxrixon dlictus ad Meridianum ABC, rectus ſit,& communes eorum cum Meridiano eodem ſectiones MN, BC, parallels. Cum ergo ex deſi nitione poli, polus A, æqualiter diſtet ab omnibus punctis cirtumſeren tiæ diametri MN, ſitque recta inter A,& K,(exiſtente KL, ad Meridianum ABC, perpendiculari) chorda diſtantia locorumz erit quoque arcus AM, vel AN, diſtantia da rorum locorum. a Rrrr E AN4 34. primi. b 29. tert. c.. primi. Alia ntio inueniendæ diſtantiæ duorũ locotum. Alia ratio insſtigandæ diſtãtia inter duo loca borealia, vel aumralia. dio. r. THeod. 2 4. primi. Auande vuus 0 eus borealis eſt, Kalter auſtralis. Locorũ di ſtantiã per ſinus ex qui · tete. 691 DI A V 1115 EAN DH M diſtantiam reperies, etiamſi parallelam MN, non ducas. Nam 7 interuallo LA, ex recta Hl, aqualem abſcindas rect am LR, verſus quas ue partem, erit ducta recta R K chorda quaſitaæ diſtantis. Si namqi ad iunctam AL, perpendicularem excites LQ, ipſi LK, æqua lem, erit recia ducta A Q chor da eius diſtantia, cum, circumducto triangulo A L Q circa AL, donec rectum ſit ad Meridianum ABC, pundtum 2 in verticem ſecundi loci cadat C ergo recta A Qpredia RK, aqualis ſit, propterea quod late ra AL, L Qs lateribus RL, LK, æqualia ſunt, angulosque continent æquales, vtpote rectos; erit quoque RK, chorda di ſtantiæ quæſita. VO ſi quando accidat, perpendicularem K L, cadere in S, interſectionem rectarũ B C, Hz erit locorum diſtantia qua dranti A B, vel AC, aqualis, propterea quod tunc parallela MN, à diametro BC, non difert. SI etiam quando duo loca propoſita eandem habens latitudinem, id eſt, quando recta Hl. in punctum A, cadits chorda diſferentis longitudinum in parallelo H K T. ſubtendet in Meridiano ABC, arcum diſt antia locorum. 5. AND O vnus locorum borealis eis,&& alter auſtralis, inquirenda erit diſtantia inter alterutrum locorum,& locum alteri per diametrum ußpoſitum, ſumendo pro longitudinum diſferentia(quando iam reducta eſt ad arcum ſomicirculo mino rem. vt Num. æ. dictum eſt.) id, quod relinquitur, detracta diſſorentia longitudinum ex ſemicirculo. Nam inuenta dliſtantia en ſemicirculo dempta, relinquet digtantiam quaſitam, vti ſupra Num. 7. huius Canonis didtum eit. 6. IAM per ſinuumm calculum prædictam locorum diſtantiam indagabimus hoc modo. Repetatur prima figura huius ſcholij; ubi in prioribus duabus deſcriptionibus pri mus locus ponatur in N, ita ut eius latitudo ſis; E,& eiuſclem complementum& H.: ecundus auteni locus ſie in&, minus borealis, quam primus, vel etiam auſtralis, vt in 2. deſcriptione;& diſferentia longitudinum ſis angulus B A D, ſiue arcus Aequatoris, aut paralleli per alterutrum locorum ducti, inter duos Meridianos A4 BC, A DC, intercept ius, ſi ſamicirculo minor eſt. Nam ſi ſemicirculum ſuperat, accibiendus eſt angulus, vel arcus, qui cum illo totum circulum complet; intelligatur autem per duo loca H, G, deſcriptus arcus maximi circuli N G, eorum diſtantiam metiens, cuius magnitudinem ſic reperiemus. In triangulo ſpharico AHG, duo latera AH, AG, data ſunt, cum ſint complementa latitudinum, quando vterque locus borealis eſt, vel auſtralis, ſummpto puncto A, pro polo arctico, quando vterquè eſt borealis, pro polo vero antarctico, quando vterque eſt auſtralis. At quando vnus locus borealis elt: nimirum H,& alter G, au Aralin c A N O N XV. 693 Nralis, erit quidem AH, complementum latitudinis loci borbalis, ſed AG, arcus erit ex quadrante A D,& latitudine auſtrali DG, cõpoſitus. Eſt inſuper angulus HA A dictis lateribus comprehen ſus, notus, cum ſit diſferentia longitudinum, vel certe 14 quod ſupereſt, detracta ea diſferentia ex toto circulo. Igitur per problama 22. rrian ſphær. vltimi Lemmatis, tertiu* Jatus HG, inueniemus hoc modo. Fi at vt ſinus totus ad ſinum complementi latitudinis loci minus borealis, ita ſinus complementi latitud inis loci borealioris ad aliud: gigne turque quartus quidam numerus. St igitur rurſum fiat. vt ſinus totus ad quartũ hũc numerum inuentum, ita ſinus ver ſus anguli HAG, differentiæ longitudinum, ad aliudz procreabitur differentia inter ſinũ verſum arcus, quo data duo latera AH, AG, inter ſe differunt,& ſinũ ver ſum ter tii arcus HG, ui quæritur. Hat diſſferentia alie cta ad ſinum verſum arcus, quo data latera inter ſo diſferunt, conſiciet ſinum verum artus HG, quæſiti. AN PO latitudines locorum æquales ſunt; ita ut g rrianguluim fat I ſoſceles A FG, vel AH Iz ſi per 1. mollis problematis F. triang. ſphar Flat vt ſinus totus ad ſinum complementi latitudinis alterutrius loci 8 Anz ſemiſsis anguli dati ad aliud: producetur ſinus ſemiſsis lateris quæſiti FG vel HI. Inuenta ergo eius ſemiſſe, totum latus cognoſcetur. 0 ALTER. Refetatur ſecunda figura huis ſcholi, in qua Meridianus ABC, birca centrum D; primi loci verteꝝ A,& Horizontis diameter BO; Polus mundi E, Aequatorisque diameter FG, Latitudo ſecunli loc G H, vel Fs,& paralleli Aequaori per eius verbicem du i diameter HI, circa quam ſomicirculus puralleli deſcripri ſit HKI. Numerata autem longitudinum di furentia ex I, T que ud K, ſi ſemicirtcu. lo minor eſt, Nam ſi maior eit ſamicirculo, numerandum eſi em. coplementum, quod relinquitur, ea detracta ex toto circulo, vt Num.. diximus.) demittatur e K, ad H/, perpendlicularis K E, ac per L, diametro Horixontis BC, prim: loc parallela agatur MN. Ef quoniam ſi ſemicirculus HK L, concipiatur moueri ciren Hf, done re clus ſit ad Meridianum, pumctum K, in vertitè ſecundi loci cadit, cum I K, Aiſferentia ſit longitudinum inter duos Meridianos; erit MN, diameter paralleli HoriNontis Primi loci, qui per verticem ſecundi loci X, ducitur. Gum ergo omnia pundts puls pa ralleli æqualiter à polo ſuuo A, abſint, erit arcus A M, vel A N, equalis artui inter duo loca A, K,( ſemicircnlo HEK I, existente recto al Meridianum) intercepiot quem Hoc modo expiſcabimur Ducta em Id ad BO, perpendiculari IO, ſecante N Nin 5 erit IO, ſiuus arcus Cl, in primo circulo, vel arcus BI, in circulo ſecum do, qui comple· RIFT. mentum 4 40. primi. bz. ſexti. lis inuentis di Aantiæ locorum ber uumeros 694 W n A I 1112 mentum eſt arcus Al, diſferentiæ latitudinum duorum locorums, cum primi loci latitudo ſit AF,& IF, ſecundi. TAE quoniam per Lemma S. eſt, vt ſinus totus Aequatoris ad ſinum totum paralleli IA, Hoc eft, ad ſinum complementi latitudinis ſecundi loci, ita ſinus verſus diſferentiæ longitudinum in Aequatore numeratæ ad IL, ſinum verſum diſfarentia earundem longitudinum iu parallelo HKI, numerataj ad IL, inquam, in eiſdem parti bus circuli maximi, in quibus ſinus totus paralleli, ſinus eſt complementi latitudinis ſecundiloci: Item per propoſ. 1. nogtrorum triang. rectil in triã gulo rectangulo I EL, eſt, vt ſinus totus recti anguli H, ad ſinum anguli L, complementi la titudinis primi loci,(complemẽ tum enim latitudinis primi los ci eſt arcus B F, a cuius angu40 BDF, æqualis eſt internus DEI,& huic ſimiliter æqualis externus IL, ita] L, in par tibus ſinus totius maximi circu Ii, ad Ib, in eiſdem partibusm cd ponetur eadem proportio ex proportionibus ſiaus totius ad ſinum complementi latitudinis ſecundi loci,& ſinus rotius ad ſinum complementi latitudinit primi loci, quæ ex proportionibus ſinus verſi diſferentiæ longitudinum ad Il,& IL, ad 7b,(ſumendo ſemper Hoſce ſi nus in parlibus ſinus totius in maximo circulo tum he comö ponentes pr oportiones illis compo nentibus ſint æquales. Componitur autem broport io ſinus verſi diſferentiæ longitudinum ad IP, ex proportioni bus eiuſclem ſinus verſi ad IL, c IL, ad IP. Igitur eadem proportio ſinus verſi diſfereniiæ longitudinum ad IB, componetur ex probertionilus ſinus totius ad ſinum complementi latitudinis ſecundi loci,& ſinus tot ius ad ſinum complemen ri latitudinis primi loci. Cum ergo e his eiſdem duabus proportionibus componatur quoque proportio quadrati ſinus totius(Hoc eſt, rectanguli ſub ſinu toto,& ſinu toto comfrehenſi) ad rectangulum ſuib ſinnbus complementorum latituuinum datorum locorum contentumzerit eadem proportis quadrari ſinus totius ad redtangulum ſaub ſinubus complementorum latitudinum locorum datorum contentum v ue ſinus verſi di erentiæ longitudinum ad I. YAMOB REM, ſi fiat, vt quadratum ſinus totius ad rectangulum ſub ſinubus complementorum latitudinum locorum propoſitorum, ita ſinus verſus differentiæ longitudinum ad aliud, procreabitur recta I P, quam argumentum diſtantiæ locorum appellabimus, cum per eam ipſa diſt antia eliciatur. Quando enim argumentum IA, inuentum fuerit æquale rectæ IO, hoc eſt, ſinui complementi differentiæ latitudinum, ita vt parallela MN, à diametro BC, non differat, complectetur diſtantia locorum quadran tem AB, vel AC. Quando autem IP.ar Nod. 695 IP argumentum depre henſum fuerit minus, quam IO, ſinus complementi differentiæ latitudinum, vt in primo eirculo; detracto illo ex hoc, reliquus iet PO, ſinus arcus C M, qui complem entum eſt diſtantiæ locorum AM. vel AN. Quando denique argumentum IP, maius fuerit inuentum, quam IO, ſinus complementi differentiæ latitudinum, vt in 2. circulo; detracto hoc ex illo, reli quus fiet Op, ſinus arcus CM, qui ad quadrantem AC, adiectus, diſtantiam loco rum AM, conficit. Atque hoc modo ſemper reperietur difi antia duor um locorum, fi vtriuſque latitudo borea eſt, vel auſtralis. AND O autem unius latitudo bor ea eſt,& alterius auſtralis, inueſtiganda eſt diſtantia inter locum borealem,& locum, qui auſtrali opponitur. ¶ ac enim ex ſemicirculo dempta reliquam ſacies dlſtantiam quaſitam, vt Num. s. dicium eſt. O D ſſi eadem fuerit vtriuſque loci latitudb, ita vt punctum I, in A, cadat, didtum iam ſupra fuit, quo pacto per triangula ſpharitæ inueniatur eorum diſtantia: qua tamen e eadem hac figura e. indagabimus hoc modo. Quoniam enim tunc ſinus verſus IL, diſserentia longitudinum in parallelo ſecundi loci numeratæ chorda eſt diſtantis, reperiemus ſinum verſum I L, in partibus ſinus totius circuli maximi hac rarione. Fiat vt ſinus totus Aequatoris ad ſinum totum paralleli HKI, id eſt, ad ſinum complementi latitudinis ſecundi, vel primi loci,(quia eadem ponitur vtriuſque loci latitudo) ita ſinus ver ſus differentiæ longitudinum in Aequatore numeratæ, ad aliud. Producetur enim IL, ſinus verſus dictæ differentiæ in par tibus linus totius circuli maxi mi: cum per Lemma ̃. eadem ſit proportio ſinus totius ad ſinum totum, quæ ſinus verſi ad ſinum verſum. PORRO argumentum Ip, cognitum iet quoque hac alia ratione. Fiat vt ſinus totus IL, ad IP, ſinum anguli IL P, complementi latitudinis primi loci, (Nam poſito ſinu toto IL, recta IP, ſinus eſt anguli II P, vt in ſinuum tractatio ne diximus.) ita IL, ſinus verſus differentiæ longitudinum, ad aliud. Produ ·ctus enim numerus dabit rectam IP, in partibus ſinus totius paralleli HK I, in quibus IL, data fuit. Rurſus fiat, vt ſinus totus paralleli HKI, ad ſeipſum, quatenus ſinus eſt complementi latitudinis ſecundi loci in circulo maximo, ita IP, cognita in partibus linus totius eiuſdem paralleli, ad aliud. Producetur enim IP, in partibus eiuſdem ſinus totius in circulo maximo, in quibus ſinus comple menti latitudinis ſecundi loci ſumptus eſt. NON minus accurate eandem locorum diſtantiam per numeros explorabimus in priori ſigura huius ſcholij, ſi prius dhios errores quorundam in hac diſtantia inueſtigan da detexero. Sunt enim nõnulli, in ter quos eſt& ppianus in ſua Coſimograſ hia.& loan. Stophlerinus in Aſtrolabio, qui, quando duo loca differunt ſola longitudine, hoc eſt, ſub eodem parallelo ſunt ſet a, docent, eorum diſtantiam inuentam eſſe, cum arcus illiur paralleli inter duos Meridianos poſitus in gradus maximi circuli conuertatur: de qua con uerſione paulo inferius dicemus. Sed hallucinautur: quia hac ratione inuenit ur diſtan. ria in arcu paralleli ad gradus maximi circuli reducto; qui arcus maior eſt artis circuli maximi per eadem loca deſcripti, vt alibi demonſtrauimus, qui quidem arcus eirculi maximi veram locorum ditt antiam metitur. Deinde ſunt ali, qui duorum locorum ſiu b diuerſis Meridianis, ac parallelis collocatorum diſtantiam inquirunt per rriangulum rectangulum, cuius vnum latus cirea angulum rectum eſt arcus Meridia ni loci horealioris inter duos parallelos poſitus; alterum vero, arcus paralleli loci minus boreulis inter duos Meridianos incluſiis;(quod tamen improprie dicitur, cum arcus pa. yallelonum nom conſtituant triangulum ſi haricum, etiamſi ad gradus maximi circuli reuocentur.) tertium denique latus, ſiue baſis, eſi arts maximi circuli per data duo loca deſeripti. Huiuſmodi trianguulum eſt in prima deſcriptiene,&. ſecunda jrimæ 1 gura Tnuentio alia e gumenti diſtanti æ locotu m. Ertores quotuadem in diſtantis locorum inueſliSanda. Modus verneri in diflaxtia loco ru m exquitenda. b 29. tertij. c. primi. d 3 f. primi. e 28. primi. 34 primi. g G. ſecundi. h Ay. primi. i 4. primi. Modus Petri No ni facilior mode Verneti. K 47. primi. 696 DN NMI r. e ſuius ſcholij, Hy O, ex tribus arcubus conſtans. Sumunt namęue hoc trianguume, derinde æc ſi rectilineum eſet, atque ita ratiocinantur. a Duo quadrata arcuum IF, FO, ac ſi rede eſſent line en ſunt mul ſiumpra quadrato arcus HG, tanquũ linea gitur ſi ſamm illorum duorum quadratorum radlix quadrata extra249 mag nitudinem arcus HG, tanquam lines rectiæ. Cæterum hoc quibarlimm inter ſè diſtantibuss præſertim iuæta Aequatorem, diſtantia citra errorem alicuius momenti inuenietur at in locis, quorum diſtantia non exigua elbe non item. Quare alia via tenenda s. , æqualia. 9 1 IO ANNE igitur Vernerus Norimbergenſis ita rem exequitur. Reductis chor. dis EHI. FG, arcuum parallelorum, diſferentiam longitudinum inetientiuim ad partes diammetri max imi circuli, vt paulo inferius docebimus, demittit ex HB I, ad rectam FG erpendiculares HL, IM. E- Juia quadrata rectarum HF, 10, 5 2 Egqualet arcus Meridianorum aquales ſunt, equalia exiſtunt; e eſtque quadratum rectæ HH, quadratis rectarum E L, LE, ch quadratum rectæ IO, quadratis rectarum IM„ NG quale; ertunt quoque illa duo quadrata his duobus a%õẽia. Ablatis ergo æqualibur quallratis rectarii HL, IM,. 4 2 equales ſunt. ob parallelogra mmum HLM I,(oſten ſum ctim eſi Num. 2. chordas HI. FG, parallelas eſſe. Oi ergo& E L. IM, parallela ſint, oa rectos angulos L, M, parallelagrammum erit H LMI.) erumt quoq; reliqua qua drata rectarum FL, G M, ac proinde& ipſa latera, aqualia. Cum ergo HL, pſi LM, equalis ſitʒ erit ſumma rectarum FL, OM, diſferentia chordarum HI, FO,& tam FL, 2 MG, ſemiſcis eiuſde m diſterentia. Ef aute ea Aiſferentia cognita, quod& chorda ſint notæ. Igitur C ſemiſſescognitæ eruntʒ ac proinde LG, ex MG, ſemiſſe diferentia,& LM. chorda minore cõflata cognita erit: Sed d HL, cognita ſtet. Ablato enim quallr. — 598 7* AA. to rect aæ FL, notæ, equadrato rectæ H F, note, religuum erit gitadfatum recta I L, norm. Si ergo quadrata rect arum H E, LO, cagnitarum in unam rediguntur ſummam, noteim ſiet quadratum rect HG, Ac propterca eius radiæ qaadrata chordam diſtania locoruniiquaſit aeæhibebit. Sed quia in hoc modo nimi: multe frunt multiplicationes, atque operatienes, progrediemur cum Petro Nonio longe facilius, he ſcili t ratione. ED CT IS chordis Hl, G, ad partes diametri circuli max imi, cogitetur diſferentia carum ſocta biſariam in partes æ L GM, iq; adiecta in rettum recta LM, vel chorda minor HI. 8 Igitur rectangulum ſtib tota EG, C adliecta LM, vel chorda minore Hl, vna cum uadrato ſamiſiis diſterentia FL. quale erit quadrato rectæ LG, rompoſitæ ex ſemiſſe altera GM,& adiecta LM. Addito ergo commmuni quadrato re6H L, erſt rectaugulum ſub F, H 2, ¶umitur iam H. pro LM.) una cum qua dra tis rectarum FL, LH. h, hoc est, vna cum quadrato recta FH, æquale quadratis rectarii G L, LH, hoc eit, quadrato rectæ HG. quale. Quocirca fi rectangulum ſub chordis HI, FG, reuocatis ad partes diametri cireuli maximi contentum,& qua dratum chordæ FH, arcum Meridiani inter duos parallelos ſubtendentis, in „nam ſummamcolligantur, exurget quadratum chordę H, diſtantiam quæſitam ſubtendentis; ideoque radix quadrata huius quadrati ipſam chordam efficiet cognitam. Arcus porro Meridiani inter duos parallolbs, quando vterque locus et bore alis. aut auſtralis, eſt diſterentia latitudinum quando vero vnus in boream,& in atiſtrum alter vergit, ex duabus latitudinibus conflatus. AND O duo loca quales habent latitudines, ſed unus in boream vergit,& alter in auſtris, vt in 2. deſcriptione huius figure, facilius diſtantia I G, reperitur. Quoalam enim, vt Num: I. demonſirauimus, parallelogrammum rectangulum eſt EH IG E, eit triangulum HFG, rectangulum, X ideogue quadratis rectarum Il F, EG, quadra tum rectiæ NG, equals erit. Cum ergo duo illa ſint cognita, quod& latera ſint nota. et enim H F, cherda arcus Meridiani inter Aduos parallelos ex duabus latitudinibus BH, BF, 29. SFA A NON X. 697 BF, æqualibus conflati: at chorda x, nota ſit per reductionem ad partes diamerri cir culi maximi erit quoqie quadratum rect H G, notum, c. AM vero arcus cuiuſſiis paralleli declinationem habentis notam, ad gradus maæimi circuli reducetur hoc modo. Quoniam diametri rirculorum, a ideoque ſemidiametri, eandem proportionem bhabent, quam corum circumſerentie, vt à pappo demonitratum eſi,&& nobis quoquè in Geometria Practica. Si fiat, vt ſinus totus Aequatoris ad ſinum complementi declinationis paralleli, hoc eſt, ad ſemidiametrum eius, ita gradus 360. Aequatoris ad aliud, producetur numerus graduum naximi circuli, quibus gradus 3 60. paralleli æquiualent. Et quia arcs ſimiles eandem habent cum totis circumferentiis proportionem; ſi fat vt ſinus totus ad ſinum complementi declinationis paralleli; ita gradus in arcu Aequatoris BD, contenti, vel etiam vnus gradus, id eſt, Go. minuta, ad aliud, gignetur numerus graduum Aequatoris, vel Minutorum, quibus arcus paralleli HI, vel vnus gradus, æquiualet. EA DEA facilitate reducetur chorda cuiuſuis arciss paralleli ad partes diametri irculi maximi. Si namque fiat, vt ſinus totus paralleli, ad ſeipſum quatenus ſinus eſt complementi declinationis, ita chorda dati arcus ad aliud, progteabitur chorda in partibus diametri maximi circuli, in quibus ſinus totus paralleli ſinus eſt complementi declinationis,&c. OS REMO fſilentio praterire nolo, quemadmodum ex ſecunda figura luius ſeho Ii diſtantia duorum locorum inuenta eſt, ita ex eadem reperiri peſſe,& quidem eodem modo, declinationem cuiuſitis ſtelle. Id quod e Petro Nonio demonſiraturos nas rece: pimus in comment arijs noſtris in ſphæram. Repetatur ergo dicta 2. figura, in qua Colu rus ſolſtitiorum ſit A BC, circa centrum Di; diameter Aequatoris BC, eiusque polus A; Eclitticæ diameter FG, ita vt E A, ſit latitudopoli mundi ab Ecliptica, tanquam primi loci: Deinde cogitentur per datam ſiellam duci duo circuli, vnus parallelus Ecli pticæ, cuius diameter Hl, Q, alter parallelus Aequatoris, cuius diameter MN; exitgut IL. ſinus verſus diſt antia ſtelle à QColuro ſolſtitiorum, em Fl, eius latitudo, tanquam ſecundi loci. Otendemus iam, vt ſira, quadratum ſinus totius ad rect a ngulum contentum ſub ſinu maxim declinationis;(ot eſt, ſul ſinu complementi Iaritudinis primiloci A. quod æquale eſti maximæ declinationi BF.) O ſub ſinu complements latitu dinis ſtella, tanquam ſecundi loci, ui ſinus eſi ſomidiameter paralleli latitudinis feel les cuius diameter fi I) eandem Haber propertionem, quam ſinus verſus diſtantiæ Hel Ia A Coluro ſolſtitiorum in Ecliptica comtutatæ habet ad rectam IP, quam iure dicere etiam poſſiumus Argumentum declinationis ella. Qua re ſi fiat, vt quadratum ſinus tot ius ad rectangulum ſub ſinu maximæ declinationis,& ſub ſinu complementi latitudinis ſtellæ contentum, ita ſinus verſus longitudipis ſtellæ à Coluro ſolſtitiorum inchoatæ ad aliud, producetur IP, argumentum declinationis. Ex hoc argumento I P, ita declinationè ſnellæ BN, inuenie mus. Quando argumentum IP, inuentum ſuerit æquale ſinui comtlementi diſfirentta inter maximam declinationem,& complementum latitudinis ellæ,(fue d ferentiæ inter comtlementum maxi ma declinationis,& Qlatitudinem ſcella. Vtraque enim al ſferentia eadem eſt, cum inter EA, maximam declinationem,& EI, complementuim Iatitudinis ſtella, diſferenria ſit AI, eadem, qua inter FA, complementum mamimæ dleclinationic, c FI, larirudinem ſtella.) hoc eſt, rect a IO, ita vt dia meter paralleli MN, à BC, non difßerat, carebit.ſtella declinatione. Quando autem minus ſucrit Aeprehenſum, detradſo eo e 0, ſinu complemmenti prædict a diſferentia, reliquus ſtet ſinus CP, declinationts ſtella, ciuſdem denominationis cum latitudine telle. Quando deniqus argumentum maius fuerit deprebenſum ſius IO, complementi diſſerentia prædicta, detracto hoc ex illo, reli 4j. a 15. quinii. Re ductio circum culi maximi. zuctio cher cus patatle Argumertum de cl IE De læ, ter nationis ſtelclinatio ſtelquo pacto ali inueniatur per numeros, 4 in 3. ſcholio Can. dictum eſt. 698 E 11 n quus erit. ſinus O P, declinationis ſtella, contrariæ denominationis cum latitudine ſtel. la. Qua de re conſule propoſ. b. libri Petri Noni de Crepuſculis, vbi 6. figuris omnem varietatem complexus eſt. LONGTT Y Do porto ſtella à Coluro ſolſftitiorum numeranda eſt à principio g. ſi latitudo.ſtella est borealis,& quidem ſecundum ſig norum ſucceſfionemi ſi crella in ſa amicirculo Ecliptics deſtendentè extiterit, contra vero, ſi in femicirculo aſcendente: Ea dem vero longitudo à principio, numeranda eſt, ſtella latitudinem habentè auſtralem,& quidem ſecundum ſucceſsionem ſegnorum. ſi ella fuerit in ſemicirculo aſcendente, contra vero, ſi in deſcendente ſemicirculo. Nac enim rattone erit ſumpta ella longitudo ſemper ſemicirculo minor. DEM argumenium declinationis Ip, ſusputabimus hac alia ratione Fiat vt Alia lauentio ar: finus totus IL, ad IP, ſinum anguli LP, maximæ declinationis, ita IL, ſinus ver zumenti latitudi fus longitudinis ſtelleæ à Coluro ſolſtitiotum, ad aliud. Productus enim nume* rus dabit rectam IP, in partibus ſinus totius para lleli HKI, in quibus IL, ſinus verſus prædictus datur. Rurſus fiat, vt ſinus totus paralleli HKI, ad ſeipſum, quatenus ſinus eſt complementi latitudinis ſlellæ in cireulo maximo numeratę, ita IP, proxime inuenta ad aliud. Gignetur enim argumentum IP, in partibus ſinus totius in circulo maximo,&c. o l ſtella careat latitudine, reperietur eius declinatib, ſi Fiat vt ſinus totus ad ſinum maximæ declinationis, ita ſinus diſtantiæ ſtellæ à prox imo puncto æquinoctii ad aliud. Procreatus enim numerus, ſinus erit declinationis quæſitæ. gquemadmodum Solis declinatio inuenitur, vt in ſcholio Can. 3. ad initium Num. Io. Fcripſimus. RON. XVI. ALTITVDINEM Solis ſupra quemlibet circulum maximum, eiuſque diſtantiam Horizontalem, ſingulis horis inueſtigare. 1 DISTANTI AM Solis Horizontalem appellamus arcum cuĩuſuis cirn euli maximi, inſtar Horizontis alicuius, interceptum inter eius Verticalem priue cigcalei u. mariumghoc eſt, inter punctum interſectionis eius cum Aequatore)& Verticaundo gad. lem eiuſdem, qui propoſita hora per centrum Solis ducitur. 1. 81 T ergo in Aſtrolabio Aequator ABCD, citca centrum E; tropicus SO, Pc eztropicus, fb Q; Horizon ACG, eiuſque centrum H; Verticalis primarius AIK, eiuſque centrum Lz& poli Horizontis I, K. Data autem hora à med, noc. numeretur à puncto D, verſus C; a meridie vero à puncto B, verſus Aʒat hora ab occaſu à puncto A, verſus D z. hora denique ab ortu à puncto C 5 verſus Bʒſitque N, terminus horæ 10. a med. noc.& horæ 16. ab occ.& horæ 4. ab or. Recta igitur EN, indicabit in omnibus parallelis Aequatoris horam 10. à med. noc. nimirum in tropico V, in puncto b.& in tropico S. in puncto c Cir culus aũt Horizõti æqualis QNP, per N, ex cẽ tro h. quod in parallelo per H, cẽ trũ Horizõtis delineato exiſtit, deſcriptus, ita vt ex A, verſus D, eius concauo occurramus, ſecabit oẽs parallelos Aequatoris in hora 16. ab occ. nimirũ tropicũ, in Q& tropicũ S, in P. Circulus deniꝗ. eidẽ Horizõti æqualis 55 Per 7 c AN ON XVI. 699 per N, ex centro i, quod in eodem parallelo per H, centrum Horizontis ducto exiſtit, deſcriptus, ita vt ex C, verſus B, eius conuexo occurramus, eoſdem parallelos Aequatoris in hora g. ab or. ſecabit, nimirum tropicum, in f.& tropicum S, in eʒyt ex iis liquet, quæ lib. 2. propoſ.. Numero. demonſtrauimus. IT AQVE ſi altitudinem Solis ſupra Horizontem, e iuſque diſtantiam ho- Altitade 8011 rizontalem inquirere velimus ad datam horam 10. à med. noc. vel 16. ab occ, vel Jud Page kan 4. ab Or. Sole exiſtente in Aequatore, deſeribemus per horam N,& polos Hori niatur ine fre zontis I, K, Verticalem NIK, ſecantem Horizontem in R, cuius centrum M, labio utteriali. in recta LM, ad meridianam lineam FG, in L, centro primarij Verticalis perpẽdiculari exiſtit. Erit namque NR, arcus altitudinis Solis ſupra Horizontem,& IN, eius complementum, at CR, erit arcus diſtantiæ horizontalis, in auſtrum vergens: quorum arcuũ ma gnitudinem ſic cognoſce. mus. Ducta ex M, centro Verticalis RIK, ad E, centrum Aſtrolabii recta ME, ſecante Horizontem, hoc eſt, circulum AEC G, ſupra quem altitudo Solis quæri tur, in mzerit mʒzpolus Ver ticalis RIK. Cum enim hic Verticalis per polos circui AFC G, tranſeat, tranſibit viciſsim hic per illius polos, ex ſcholio propoſ. 15. lib. 1. Theod.&. Ductæ ergo rectæ m N, mR; abſcindent ex Aequatore arcum Nn, arcui NR, altitudinis Solis æqualemʒ& rectæ mN, ml, intercipient in eodem Acquatore arcũ pN, complemento eiuſdem altitudinis æqualem, vt ex iis conſtat, quæ lib. 2. propoſ. 5. Num. 7. demonſtrauimus. 3 RVRSVS ductis ex I. polo Horizontis rectis IR, IC, ſecantibus Aequatorem 22 in e, C, erit arcus C, diſtantiæ horizontali CR, æqualis, vt ibidem oſten- m- quo pecbe EA DE M ratione, ſi per b, L. K, Verticalis deſcriba tur centrum habens in na. eadem recta ML, inuenietur altitudo Solis,& diſtantia horizontalis pro hora 10. à med. noc. Sole exiſtente in primo puncto. Et ſi per o, IL. K, Verticalis deſeribatur, erit eius arcus à puncto c, vſque ad Horizontem altitudo Solis,& arcus Horizontis inter C,& eundem Verticalem poſitus, diſtantia horizontalis, pro eadem hora, Sole exiſtente in principio S. Sic cadem duo, altitudo videlicet Solis, diſtantiaque horizontalis, reperiẽntur pro hora 10. ab oc. Sole oxiſtente in principio Q, ſi per P. I, K, Verticalis deſcribatur: Pro hora vero es Sr dem, So Alritudigem 80 lis, diſtantiamq: horizontale in re perire, ſine verti cali per Solt᷑ deſeripto. 700 E PBORAH IM. dem, Sole principium V, poſsidente, ſi Verticalis deſcribatur per Q, I, K, Non aliter propoſitum aſſequemur pro hora 4. ab or. tam in principio O quam in principio V, ſi tam per e, I, K, quam per f, I, K, Verticalis deſcribatur, eiusque polus inueniatur,&c. 5 5 N 2. VE RVM& altitudinem Solis ſupra datum circulum maximum„ tun quam Hofizontem quempiam,& diſtantiam horizontalem re periemus, etiam i Verticalis(qui aliquando non ſine labore deſcribitur, præſertim quando hora prope meridianam lineam exiſtit. per datam horam deſcriptus non it, hoc modo. Sit data vg. hora 16. ab occ, Sole tenente principium V, in puncto Q. Ductis ex Q, ad polos I, K, dati circuli maximi ACG, rectis Q, QR, ſecetur angulus IK, bitariam per rectam Qs, ſecantem FG, in S: eritque 8, punctum; per quod parallelus circuli ACG, per Q, deſeriptus tranſit vt lib. 2. propoſ. 18. Num. 3. oſtenſum eſt; ac proinde arcus Meridiani I8, æqualis erit arcui Verticalis per Q, deſcripti inter Verticem I,& punctum Q, in quo Sol po nitur. Rectæ ergo ex A, per JS, emiſſæ abſcindent ex Aequatore areum æquaJ lẽ arcui IS, vel illi arcui Verticalis complementum altitu dinis Solis metienti. QO ſi iuncta recta Qs, bifariam,& ad rectos angulos ſecetur per rectam ſecantem FG, in a, erit a, centrum paralleli per Q, S, deſcribendi. Deſcripto ergo exa, parallelo QTS, ſecante Verticalem in T, referet arcus TQ; arcum ſimilem horizontali diſtantiæ, quod Verticales cir culi ſecent Horizõtem, eiuſque parallelos in arcus ſimiles. Idem parallelus deſeribetur, ſi angulo FI Q, æqualis ad rectam Gl, in I, conſtituatur,&c. vt ad initium Num. 3. propoſ. 18. lib. 2 diximus. Quantitatẽ autem arcus TQ. horizontalis diſtantię cognò ſcemus, ſi ex T, Q. per I, polum Horizontis duas rectas extendamus. Hæ etenim vltra polum I, ex eodem parallelo arcum abſcindent tot graduum æqualium, quot per arcum T Q, repræſentantur, vt lib. 2. propoſ. 0. Num. 25 demonuimus 915 Qv Od de altitudine Solis ſupra Horizontem;& diſtantia eius horiꝛcntali inueſtiganda dictum eſt, intelligendum quoque eſt in aliis circulis maxi mis. Quilibet enim circulus maximus vices gerit alicuius Horizötis. Quare ſi is ex proprio ſitu in ſphæta cognito deſcribatur in Aſtrolabio, vt lib. 2. prop. 12. docuimus ſumenda erit recta per eius centrum,& centrũ Aſtrolabii ducta, pro eius linea meridiana, in qua eiuſdem poli inueſtigandi ſunt,& centrũ en Slus CAI NT OA RM. 701 eius primarii; per quod recta ad propriam meridianamꝰ perpendicularis eſt exci tanda, vt in ea centra omnium Verticalium inueniantur. Recta autem excentro cuiuſque Verticalis per centrum Aſtrolabii educta ſecabit deſeriptum circulum maximum in eiuſdem Verticalis polo,&c. 4. VER TIC ALIS primarii Al CK, meridiana linea eſt EK,& Verticalis eiuſdem primarius, Horizon AꝑCG, cum per eius polos FE, G,& per A, C, polos Meridiani incedat. Omnes autem alii Verticales ipſius circuli AI CK, tanquam Horizontis, centra habebunt in recta, quæ per H, centrum Horizontis Af CG, qui primarius Verticalis eſt circuli Verticalis AI CK, perpendicula ris ad FEG, educitur. At que ita deſcripto Verticali per E, Q, G, metietur eius arcus inter Q,& circulum AI CK, altitudinem Solis ſupra eundem circulum AI CK,& arcus eiuſdẽ circuli AI CK, inter C,& dictum Verticalem per F. Q. G. deſcriptum, erit diſtantia horizontalis. Prioris arcus magnitudo cognoſce tur per arcum Aequatoris, quem rect ex polo dicti Verticalis ad extrema pun cta illius arcus emiſſæ abſcindunt: magnitudinem vero poſterioris metietur ar cus Aequatoris abſeiſſus à rectis ex G. polo circuli AI CK, per extre ma puncta elus arcus traiectæ. Quod ſi per Q, deſcribatur parallelus circuli Al CK, referet eius arcus inter Q,& circulum AFC G, quem primarium Vertiealem ipſius Verticalis Al CK, diximus, arcum ſimilem horizontali diſtantiæ,&c. J. MERIDIANI circuli EK, meridiana linea eſt AC, referens circulum ma xi mum per polos mundi,& per A, C, polos ipſius. Meridiani ductum. Vertica lis autem eius primarius, eit Aequator ABCD, ductus per A, C, polos Meridiani FK,& per B, D, polos circuli maximi AC, qui proprius Meridianus eſt Meridiani EK;& in recta EK, ad AC, perpendiculari in E, centro Aequatoris, qui Verticalis primarius eſt Meridiani, exiſtent centra omnium Verticaliũ Me ridiani per A, C, deſeribendorum. Itaque ſi per A, QC, Verticalis deſeribatur, metietur eius arcus Qg, altitudinem Solis ſupra Meridianum hora 76. ab occ. cum principium V, Sol occupat; quem arcum cognoſcemus per arcum Aequator is abſeiſſum a rectis; quæ ex q; polo Verticalis CQ g,(Inuenietur autem polus qm, ſi ducta recta Ag, ſecante Aquatorem in V,quadrantem ſumamus VX. Recta namque AX, ſecabit EK, in quæſito polo q, quod ſegmentum gq, rectæ FK, circulum maximum per mundi polos ductum repræſentantis, quadrantem VX, referat) ad g. Q, ducuntur. Arcus autem Bg, erit diſtantia horizontalis, cui æqualem ex Aequatore abſcindent rectæ ex A, ad g, B, emiſſæ. Quod ſi per Q. Meridiano EK, parallelus deſcribatur, vt lib. 2. propoſ. 18. Num. 5. docuimus, referet eius arcus inter Q,& Aequatorem, arcum horizontali diſtantię ſimilem. Et ſi angulus comprehenſus à rectis ex Q. ad A, C, polos Meridiani ducis ſecetur bifariam per rectam, ſecabit ea rectam AC, in puncto, per quod Me ridiani parallelus per Q deſcribendus tranſit. Segmentum ergo rectæ CA, inter C,& illud punctum, referet complementum altitudinis Solis,&c. . AEQVYVATORIsS denique AB Cb, linea meridiana eſi BD,& Verticalis eius primarius recta AC, repræſentans circulum maximum per pol os mundi,& per A, O, polos Meridiani ductum. Altitudo Solis ſupra Aequatorem quolibet die in ſingulis horis æqualis eſt declinationi Solis, quam eo die habet. Diſtantia vero horizontalis eſt arcus Acquatoris inter C, vel A,& rectam linea, quæ ex centro E, per horam in quolibet parallelo datam ducitur, cum Vert icalem Aequatoris per centrum Solis ductum repræſentet. 7. II AQVE i omnium horarum tam a merid& med. noc. quam ab or.& occ. in Aſtrolabio deſcribantur, vt lib. 2. propoſ.. traditum eſt,& circulus S INI 2 maxi 70² III. maximus, ſupra quem altitudines Solis,& in quo diſtantiæ horizontales indagandæ ſunt, delineetur, vt lib. 2. propoſ 12. doculmus, illico apparebit, quibuſnam in punctis horæ cuiuſque generis parallelos Requatoris interſecent. Qua re ſi reperiatur diameter vera eirculi dati maximi, vt lib. 2. propoſ. 8. Num. 16. dictum eſt, eiuſdemque poli inueniantur, vt in eadem propoſ. Num. 17 præ cepimus, reperiemus pro qualibet hora cuiuſuis paralleli altitudinem Solis, diantiamque horizontalem, ſi per horam in dato paral le lo vel Verticalem prooſiti circuli maximi, vel parallelum eiuſdem circuli maximi deſcribamus,& c. VER VMaltitudines Solis, diſtantiasque horizontales alia ratione in ſcho lio Canonis 22. inueniemus, etiamſi nee Verticales circuli, aut paralleli maximi circuli obliqui deſcribantur. e e e eee ee e e 7. COM PLEMENTY M alliitudinis Solis ſupra datum circulum maximum, lib. C. noſtræ Gnomonices appellauimus cum Ptolemao circumferentiam deſcenſiuam; horixont alem vero diſtantiam, circumferentiam horixontalem: Et vtramque tam eim Analemmate, quam ex calculo ſinuum inueſtigauimus. Horixontales cirtumferentielatitudines vmbrarum, deſcenſiua vero circumferentiæ, vel altitudines Solis, earundem umbrarum longitudines determin ant. Ex latitudinibus porro vmbraru ms ac longitudinibus, in plano, quod circulo maximo æquidiſtat, ſupra quem altitudines Solis, Horixontaleſqus dictantia ſunt inuenta, horologia deſcribuntur, vt abunde lib. 5. Onomonices, propoſ. s.& lib. C. cap..& lo. tradidimus. Altitudinem quoque Solis, ſupra Horixontem quidem lib. 1. Gnomonices, propoſ. 3 6. ſupra quemlibet vero alium circulum mai mum, lib.. propaſ l. alijs viss, quam lib. 6. inueſtigandam propoſuimus. Perum ſi ea, qua in hoc Canone ſcripſimus, attente conſiderentur, non admodum molos illos in Gnomonica deſcriptos deſiderabimus, cum vtramque circumſerentiam, 1 eam, qua alitudinem Solis, quam eam, qua horixontalem diſtantiam metitur, dro qualibet hora, Sole quemtunque parallelum obtinente, ſine magno labore hoc Canone ina ueſtigare docuerimus in quouis circulo; adeo vt per hunc ſolum Canonem omnia reperiantur, qua all horarum determinationem in quolibet Horologio requiruntur. 2. S E D vf in planis qua neque Horixonti, aut Ferticali primario, neque Merivillitas ia hole- Aiano, vel circulo horæ 6. a mer. ac med. noc. aut Aequatori Aequidiſtant, deſcribantur 1 deſcriben. Horologia per pracepta propoſ. x. lib. S. Gnomonices, opus habebimus arcu circuli max i N mi; cui horologium æquidiſtat, interiecto inter Meridianum proprium eius circuli,& Meridianum Ciuitatis, in qua horologium deſcribitur: Item interdum indigemus in clinatione Meridiani proprij ad Meridianum Horixontis eius looi, in quo delineamus Horologium; agemus de his,& nonnullis alis problematibus, qua partim in Gnomonica explicauimus, in Canonibus, qua ſequuntur. 3. LIBE T autem prius Canonem hunc per numeros alio modo, quam in G nomonica, expedire. Repetantur ergo priores 4. circuli ex illis duodecim; quos in ſcholio Can. 3. Num. i o. deſcripſimus, in quibus Meridianus ſit ABC D; Aequator Adu polus mundi G; Horixon, uel quiuis alius circulus maximus obliquus, ciuius ſitus in ſpha ra notus ſit. B D, eiuſque polus F, c cuius Meridianus proprius ſit ABC D, per eius polum, c polum mundi ductus. Ponatur autem Sol in H, quemcunque parallelum occu. pet,& per N, ex polo mundi G, tranſeat circulus horarius GI, ita vt angulus 461, diHantiam Solis à Meridiano meriatur. Denique per H, ex vertice F, Ferticalis deſcen dat Fl, ita vt HL, ſit arcus altitudinis Solis ſupra circulum B D, quem 1 5 ce mus, Canonis huins 8 C. AN G N XVI. 703 dicemus, cum vere munere Horixontis in aliquo loco ſungatur. Quoniam igitur in rriangulo ſpharico FG H, duo latera FG, GH, nota ſunt, cum illud ſit complementum altitudinis poli ſupra datum circulum, cen Horixontem; hoc vero, complementum decli nationis, vel, ſi Sol auſtralis eſt, arcus ex declinatione,& quadrante conflatus; Ef aurem& angulus ob ipſis comprehenſus F H, diſtantiam Solis& proprio Meridiano dati Horixontis metiens, notustſi per problema 2 Z. triang ſphær. ultimi Lemmatis, Fiat vt ſinus totus ad ſinum arcus GH, complementi declinationis, vel arcus couflati ex declinatione auſtrali, ac quadrante, ita ſinus arcus FEG, complementi altitudi nis poli ad aliud, gignetur quartus quidam numerus. Et ſi ite rum fiat, vt ſinus totus ad quartum numerum proxime inuentum, ita ſinus verſus anguli FH, diſtantiæ Solis a Meridiano, ad aliud, producetur differentia inter ſinum verſum tertij lateris EH,& ſinum ver ſum arcus, quo data latera EG, GH, inter ſe differunt. Qu diſferentia addita ſinui verſo dicti arcus, quo dati arcus FG, G H, inter ſe diſferunt, conficiet ſinum verſum tertij lateris FHʒac proinde arcus ipſè Fll, complemen ei altitudinis Solis, ideoque cm arcus NL, allitudinis, cognitus pet. Quoll ſi compleseno cum altitudinis poli quale ſit complemento declinatiohicz ita vt triamgulum FG; ſit Iſoſceles, facilius inuenietur tertium latus EH, vt in collem problemate dictum eit. Si enim per I. modum problematis 8. triang. ſpher. Fiat vt ſinus totus ad ſinum complementi altitudinis poli, ita ſinus ſemiſsis anguli FEGH, diſtantiæ Solis a Meridiano, ad aliud, producetur ſinus ſemiſsis latetis FH. Cognita ergo fiet ſemiſsis la: teris EH, ideoque& totum latus, complementum ſcilicet altitudinis Solis, no? tum exit. 6 DEIN DE in eodem triangulo FH, inueniemus ungulum G F H, per problema 21. triang. ſphar. hoc modo. Fiat vt ſinus totus ad ſinum arcus?, complemenAltitudinem 80 Iis ſupta quem uis eirculum ma x mum obliqu per numeros qua libet hora eff re hotam. Res Diſtaatiam Hori zentalem qualiti altitudinis poli, ita ſinus arcus EH, complementi altitudinis Solis, ad aliud, bet hora per auvt quartus quidam numerus gignatur. Et rur ſum fiat, vt quartus numerus proxime inuentus ad ſinum totum, ita differentia inter ſinum verſum arcus G H, complemetres ſctutari. 704* A W 17 11. complementi declinationis Solis,(quando enim Sol auſtralis eſt, habet areus GH, ex arcudeclinationis:& quadrante con flatus eundem ſinum, quem arcus complementi declinationis, cum duo hi arcus ſemicirculum conficiant)& ſinum verſum areus, quo duo latera GE, RH, inter ſe differunt, ad aliud. Procrea tus enim numerus erit ſinus ver ſus anguli quæſiti GEH. Angulus ergo ipſe cogni. eus erit, ac proinde& eius arcus DI, Horixontis inter Meridianum verſus polum bo realem,& Verticalem FE, qui per Solem hora obheruuationis dugitur. Et ſi arcus D, * 2 2 1 maior fuerit quadrante, dempto quadrante e eo, reliqua ßet diſtantia Horixontalis A proprio F ertitali bprimario verſus austrum: ſi autem zuadrante minor, dempto eo ex guadrantꝭ, remanebit horixontalis diſtantia ab eodleſn Verticali verſus Septentrionem. Quod ſi complementum altitudinis poli complemento altitulinis Solis ſit æquale, ita ut tiangulis EH ſit Iſoſceles, reperietur angulus G FH, longe ſacilius, vr in eodem problematè cripimus. Nam ſi per a. modum problemalis I. triang. ſphar. Fiat vt ſinus totus ad ſinum ſemiſsis lateris GH,( quod complementum eſt declinationis, quando Sol borealia ſigna Percurrit, vel arcus ex declinatione& quadrante coagmentatus, quando auſtralia ligna Sol poſsidet) ita ſecans cõplementi arcus EG, hoc eſt, ita ſecans altitudinis Poli, ad aliud, producetur ſinus ſe miſsis anguli GEH, quæſiti,&c. ALTITTyYVDITINEM gquoque Solis ſupra Horixontem, aut quemcunqus circu lum maximum, ſupputare poſſumus cum Petro Nonio, quemadmodum in ſcholio fpræce dentis Canonis diſtantias locorum,& declinationes ſtellarum ſaißputauimuss. Repeta tur enim ſecunda ſigurà illius ſcholj,& in primo eius circulo intelligatur A BC, Meridianuss circa cenirum Dʒdiameter Horixontis BC, eiusque polus A; Aequatoris dia meter F, c polus mundi E; diameter paralleli Solis quicunque HI, circa quem parallelus deſcriptus ſit I KH, in quo locus Solis honatur in K; demiſſa autem ad IH, perpendicular XL, agatur per L, diametro Horixontis Parallela MN, quæ diameter erit paralleli Horixontis per Solem ductum, ut conſtat. ſiſomicirculus I x H, ſtatuau re 18 4 * 0 CIA N OS N XVI. 705 tur rectus ad Meridianum. Erit enim tene K L, ad cundem Meridianum perpendicu laris, em defin.. lib. 11. Eucl. a ideoquè d planum per K L, G, dudtun, ad Meridianum rectum erit. Cum ergo& HN trixon ad Meridianum rectus ſit, ſinique BC, MN, communes ſectiones Meridiani cum Horixonte, plano per K L„ NN, dudio, parallelaʒ erunt em ſeholio propoſe 18. lib. 1 1. Eucl. planum Horixontis, cy pla num per KL, MN, ductum, parallela; ac proptereꝶ circulus, ꝰ quem poſterius Plantum in char facit, parallelus erit Horixontis. Demiſſa denique ex I, ad HC. Perpen di, cularis IO, ſinus rectus erit altitudinis meridiana IC ñ„ ſinus altitudinis Solis tempore obſeruationis;& IL, ſinus verſus diſtantiæ Solis à Meridiano. Jam ſi cogitetur A, eſſe verteæ primi loci, ita vt eius latitudo ſit FA, pa rallelus autem ſecundi loci ſit H K I, ita vt eius latitudo ſit FI,& diſferstia latitudinum Als erit IO, ſinus complementi huius diſferentia. Igitur, vt in ſcholio præcedentis Canoni: Num. b. demonſtrauimus, erit vt quadratum ſinus totius ad rectangulum ſuib ſinu complementi declinationis FI,& ſinu complementi altitudinis po 1% AF, ita IL, ſinus verſus di ſtantiæ Solis A Meridiano, ad IP, diſferentiam inter 10, fl. num altitudinis meridiana, PO, ſinum altitudinis Solis tempore obſeruationis. QVOCIR CA ſi fiat, vt quadratum ſinus totius ad rectangulum ſub ſinu cõ plementi altitudinis poli ſu Pra circulum propoſitum, & ſinu complementi declina tionis, ita ſinus verſus diſtã ti Solis à Meridiano Proprio dati circuli, ad aliud, producetur numerus, qui ex ſinu altitudinis meridianæ ſubtractus reliquum faeit ſinum altitudinis Solis quæſitæ. Aique hac ratio quadrat in omnem ſirum Solis, etiamſt eius parallelus totus extet ſubra circulum maximum, ac proinde duas habe at altitudines meridianas; dummodo in calculo maior alti ud meridiana aſſuma· tur. Qua de re legatur, ſi placet, propoſ. 1 A. libri Petri Nonij de Crepuſculis. DIE FERENT ITA tamen eadem Ib, inter ſinum altiudinis meridianaæ, c ſinum altitudinis Solis hora obheruationis, ſupput abitur hac etiam rarione. iat vt ſinus to tus IL, ad IP, ſinum anguli IL, complementi altitudinis poli, ita IL, ſinus ver ſus diſtantiæ Solis a Meridiano ad aliud. Numerus enim productus dabit rectam IP, in partibus ſinus totius paralleli Solis 7 H, in quibus data eſt IL. Si igitur rur ſum Fiat, vt ſinus totus paralleli Solis ad ſeipſum, quatenus ſinus eſt complementi declinationis in circulo maximo, ita IB, cognita in partibus ſinus totius eiuſo dem paralleli, ad aliud; procreabitur IP, in partibus eiuſdem ſinus totius in ma ⁊imo circulo, in quibus ſinus complementi declinationis ſumptus ſuit VICis. a 1 f. un lec. b 1. 1. T. Inuentio alia al. titudinis golis per numero Alia innentio dif ferentiæ inter ſinum altitudinis meridianæ,& ſinum altitudinis quæſitæ. mex altitu us per nu dir metros odſerua. tiam eius 4 Meri diano, ex eius al titudine perſcrutar per unme06. 706 EIn an i: a VICITSSIM ſi fiat', vt rectangulum contentum ſub ſinu complementi altitudinis poli,& ſinu complementi deelinationis, ad quadratum ſinus totius, ita differentia inter ſinum altitudinis meridianæ,& ſinum altitudinis Solis aliunde cognitę tempore obſeruationis, ad aliudʒproducetur ſinus verſus diſtantiæ Solis à Meridiano. Ex hac diſtantia facile hora tempore obſeruationis cagnoſcetur. AyEM ſinum verſum diſtantiæ Solis à Meridiano ita quoque reperie mus. Fiat vt IP, ſinus anguli ILP, complementi altitudinis poli, ad IL, ſinum totum, ita IP, quatenus diſterentia eſt inter ſinum altitudinis meridianæ,& ſinum altitudinis Solis cognitæ, ad aliud. Numerus enim, qui gignetur, dabit rectam I L, in partibus ſinus totius in circulo maximo, in Zuibus videlicet ſinus altitudinis meridianæ datus eſt. Si igitur rurſum. Fiat, vt ſinus complementi declinationis Solis ad ſeipſum, quatenus ſinus totus eſt paralleli Solis, ita IL, nuper inuenta ad aliud, producetur eadem IL, quatenus ſinus verſus eſt diſtantiæ Solis à Meridiano in partibus ſinus totius eiuſdem paralleli. Zgitur diſtantia à Meridiano, arcus ſcilicet IK, cognitus erit,& c. OMNIA hec quadrant etiam in quamcunque ſtellam, cuius declinatio cognita ſit. Na eadem prorſus ratione, ex eius diſtantia à Meridiano inuenie tur eiu ſdem altitudo ſupra Ho rixontem;& ex altitudine cognita per aliquod inſtrumentum, diſtantia ipſius à Meridiano: ſi nimirum pro declinatione,& parallelo Solis accipia tur declinatio, c parallelus ſtel g. la, vr perſpicuum eſt. Ex di. Hantia autem ſtella à Meridiano inuenta elicietur hora, quemadmodum in ſcholio Can. 8. Num. ꝛ. docuimus. Verum horam ex altitudine Solis interdiu,& nodiu ex Altitudine alicuius ſtella ſuppur aui mus etiam ſupra, alia tamen ratione, ad calcem ſcholij Canonis b. nee DAT O circulo in ſphæra maximo ad Meridianum inclinato, quantus ſit arcus ĩpſius inter Meridianum Horizontis,& Meridianum eius proprium interiectus: quanta ſit huius Meridiani proprij ad Meridianum Hori zontis inclinatio, indagare. 1. HAEC 0 r SG ANNYNOYN XVII. 507 1. H AE C eſt propoſitio 30. lib. 1. Gnomonices, quam ibi per Sinus abſolui mus, hic autem eandem per ea, quæ hoc Aſtrolabio demonſtrata ſunt à nobis 1 (quam rationem,& in iis, quæ ſequuntur, ſeruabimus) facilius expediemus. Sit ergo in figura præcedentis Canonis maximus circulus: cuius poſitio ac ſitus in ſphæra datus ſit, deſeriptus per propoſ. 12. lib. z. in Aſtrolabio RNIO K, euius centrum M, ſecansque Meridianum Horizontis in I,& Aequatorem in N, O. Ducta ex M centro propoſiti circuli per E, centrum Aſtrolabii, recta ME, ſecante eundem datum circulum int; referet ea Meridianum proprium dati circuli, vt propoſ. 3. lib. 2. Num. 4. demonſtrauimus, ide oque It, arcus erit circuli propoſiti inter duos Meridianos EI, Et, qui quæritur. Inuento dati circuli po lo m, intra Aequatorem, per ea, quæ libro 2. propof. 8. Num.. oſtenſa ſunt,(quod fiet, ſi juncta recta NOG„ quæ er E, cẽtrum tranſibit, cum fi duorum maximorum eirculorum ſectio, perpendicu larisque erit ad Mt, cum Mt, ex M,, centro circuli NIO, ducta eam ſecet bifariam in E; ex alterutro punctorum N, O, nimirum ex N, per t, re ctam emittamus Nf,& f 5 quadrantem accipiamus. Recta namque Na, rectam Mt, in polo quæſito m, ſecabit; & c.) auferent rectæ mt, ml, ex Aequatore arcum up, quæ ſito arcui It qua lem, quod ad numerum graduum atti. net. 2. AR CVS autem Bu, metietut angulum BEu, inclinationis Meridiani MEu, ad Meridianum BED: quæ quidem inclinatio in ſupero hemiſphærio occidentalis eſt„ in infero vero orientalis. Atque ita ſemper arcus Aequatoris inter duos Meridianos poſitus inclinationem Meridianorum metietur 1 3. VAN PO circulus ad Meridianum ine linatus per polos mundiſtranſit, cuiuſmodi v. g. eſt NEO, nullus arcus ipſius inter duos Meridianos interci pietur, cum vtrumque Meridianum in ipſismet polis interſecet. ne OT E 1. IN horolagiorum deſcriptione, circulus maximus darus aut rectus eſt ad Horixontem, hoc eſt, ex Verticalilus vnus q atque ita inuenta eius declinatione, vt 1 Poſ. 23. lib. 1. Gnomonices tradidimus, deſcribemus eum Verticalem in A ſtrolabio 2 Per ea, quæ lib. ſuperiore propoſe 8. Num. 10. ſeripſimus, dummodo pro declinatione à meridis in ortum, vel à ſeptentrione in occaſum inuenta,* r tt t 14 Areum cireuli cuiuſuis maximi int ir proprił Meridianum,& Meridianum te · gienis datæ inus fugate. a 3. fert Inclinationk Me ridianj circuli cu iu ſuis obliquĩ ad Meridianum Ho rizontis inneni9 Quo pas ciren li maximi, quibus horologia æquidiflant deſcribantur in A. Arolabie. inatio dati li maxi mi firum habentis notum in ſphæra ad Meridianũ, qua ratlone co gnoſcatur 708 E I BORTI A in li Verticali primario ex parte orientali verſus boream, vel em parte occidentali ver ſuis auſtri Spro declinatione à meridie in occa ſum, vel A ſeßtentrione in ortum, ſiumat 7 M Herticali primario en parte orientali verſus auſirum, vel ex parte occid J 7 li verſus boream: Aut datus circulus maximus ad Horixontem inclinatus etiam eſſʒ atque ita, inuenta eius declinatione à Ferticali primario, inclinationeque all Horixontem, vt lib. f. Gnomonices hpropoſ. 23. declarauimus, deſcribetur is circulus in Aſtrolubio, vt lib. ſuperiore propoſ. 12. Num. 2. docuimus. e eee DAT circuli in ſphæra maximi inclinationem tum ad Meridianum, tum ad Aequatorem inueſtigare. 1. PRIOR huius Canonĩs pars per ſinus explicata eſt a nobis propoſ. 27. lib. 7. Gnomonices: eadem autem hic per Aſtrolabium ex iis, quæ lib. 2. propoſ. 8. Num. II.& propoſ. 15. ſeripſimus, abſoluetur a nobis; poſteriorem vero partem ex iis, quæ propoſ. 8. Num. 22. demonſtrauimus, expediemus. Sit enim in eadem ligura Canonis 10. maximus circulus poſitionem in ſphæra notam habens deſcriptus in Aſtrolabio RNIOK, ex centro M, ſecans Meridianum in I, K, & Aequatorem in N, O. Igitur ſi recta IK, bifariam fecetur,& ad rectos angulos per rectam ML, ſecantem da tum circulum in O,(Volo enim eãdem literam O, pertinere& ad interſectionem circulorum QM Of NO, cum Acquatore,& ad interſectionem rectæ ML, cum circulo RIK.)& ex I, vel K, per O, interſectionem rectæ ML, cum circulo RI K, recta emittatur; metietur arcus circuli Al CK, ex L, per I,. K, deſcripti, inter illam rectam,& rectam I, K, poſitus, magnitudinem anguli LIO, vel LK O, inclinationis dati circuli ad Meridianum. Aut ſi ex K yarcus circuli quolibet deſcribatur interuallo, me tietur eius arcus inter rectas ex K, per Lʒñ& O, emiſſas interceptus, ſemiſſem eiuſdem anguli LK O,&c. Idemque facient rectæ ex I, per L,& O, emiſſæ, ſi ex I, ad quodlibet interuallum arcus cireuli deſeribatur. Nam. rea& ex P FMN. 7og ctæ ex illo arcu ſemiſſem magnitudinis anguli LI O, auferent,&c. vt lib. 2. propoſ. 15. demonſtratum eſt. 5 2. DEIN DE, ſi iuncta recta NO, quam in E, ad rectos angulos, bifariam que ſecet recta ME, ſecans datum circulum in t.& Aequatorem in u, egredian tur ex N, per tzu, rectæ lineæ, abſcindent eæ ex Aequatore arcum ſu, qui magni tudinem anguli t Nu, inclinationis dati circuli ad Aequatorem, metitur. 3. QVAN D O datus circulus ad Verticalem primarium rectus eſt, hoc eſt, quando tranſit per communes ſect jones Horizontis ac Meridiani, dabit comPlementum eius inclinationis ad Horizontem, per propoſ. 23. lib. 1. Gnomonices inuentæ, inclinationem eiuſdem ad Meridianum. 4. QVAN PDO autem datus circulus declinatione caret, ac proinde per polos Meridiani incedit; rectus erit ad Meridianum, nullamque habebit ad pſum inelinationem. 3. QVAN DO denique circulus datus ad Horizontem rectus eſt, hoc eſt, vnus eſt ex Verticalibus, dabit complementum declinationis ipſius à Verticali primario per propoſ. 23. lib. 1. Gnomonices inuentæ, inelinationem eiuſdem ad Meridianum. Ne. DAO circulo maximo obliquo in ſphæra, arcum Meridiani inter ipſum,& tam Horizontem, quam polum mundi,& verticem capitis, ſiue polum Horizontis, incluſum explorare. PROBLEM A hoc ſoluimus quoque propoſ. 28. lib. 1. Gnomonices, tum beneficio Ellipſis, tum per calculum ſinuum. In eadem ergo figura Canonis 16. ſit deſcriptus circulus maximus obliquus. QlOg, indicans nimirum horam 16. ab occ. ſecanſque Meridianum in l, ʒ ita vt tam gG, quam IE, arcus ſit Meridiani inter datum circulum,& NHorizontem quadrante minore cum KG, IE, quadrantes ſint à polis Horizontis vſque ad eius circumferentiam: At IE, arcus eiuſdem Meridiani inter datum circulum,& polum mundi E, quadrante quoque minor, cum EB, quadrans ſit: Arcus denique Il, inter circulum datum,& ver ticem loci. Hi autem omnes areus cognoſcentur per arcus Aequatoris, qui inter rectas ex A, per terminos dictorum arcuum eductas inter cipiuntur; cum hi arcus Aequatoris dictis arcubus Meridiani reſpondeant, vt lib. 2. prop. 1. Num. 6. demonſtrauimus. GNR. DAT O circulo maximo obliquo in ſphæra, altitudinem poli ſupra ipſum deprehendere. Fier 2 1. SO. Inclinstio eiten Ii obliqui maxb. mi, cuius ſitus iu ſphæra cognitus ſit, ad Ac qua torem quo padte re petiatur Atcum Iteridla ni inter datum eirculum obliquum, caius ſt tus in ſphæta co gnicus fit,& cam Horizõtem, qu ã bolum Mundi& polum Horizon tis, inquirete. 710 EE. Funden e. SOL. VT VM etiam fuit hoc problema lib. i. Gnomonices pro poſ. 29. direllbn unt. tum per Ellipſim, tum per ſinuum ſupputationem. Sit igitur in eadem figuta Cadam. alas pof. nonis 16. maximus circulus obliquus, cuius ſitus cognitus ſit in ſphæra, deſcri3 ptus RNI OK, euius centrum M.& proprius Meridianus MEt diameter autem „ Aequatoris NO, ſecet Mt, ad rectos angulos in centto E, quæ omnino cadet in puncta N, O, cum circulus maximus RNIOK, per puncta extrema N, O, incedat, vt ſub initium ſcholii propoſ. i. lib. 2. demonſtrauimus. Ducto ergo radio Nt, ſecante Aequatorem in f, tranſibit vera diameter eirculi maximi obliqui, quem repræſentat RNIOKk, per ſ. Igitur O f, arcus erit altitudinis poli ſupra propoſitum circulum maximum, vt ex ijs liquet, quæ lib. 2. propoſ. 8. Num. 22. demonſtrauimus. 2. SIT rurſum deſcriptus circulus maximus obliquus AgC, cuius ſitus coꝑnitus ſit in ſphæra, nimirum ad Meridianum rectus, tranſiens per eius polos A, C,& ad Horizontem obliquus. Ducto radio A, g, ſecante Aequatorem in V. erit AV, arcus altitudinis poli ſupra ipſum, eum diameter eius vera tranſeat per Vʒ Propterea quod eius extremum V, in gꝛapparet. VCC Areũ ee n I. NON. aliter abſoluemus Pleraq; alia problemata Gnomonices. Nam primum, Ei mi obliquiſit—— 1——* 5— . ſi deſcribatur datus circulus obliquus maximus in Affrolabio ex proprio ſitu cognito, 3 ma. per eius polum,& polum Horixontis maximus circulus ducatur, tatim apparebit * mu circulum, 7 aui per eius po. Arcus dati circuli obliqui inter circulum maximum per dictos polos ductum,& tam Ie,& polos flo proprium Meridianum dati circuli, quam Meridianum Horixontis interpoſitus; Cuius 225 2 mag nitudo per arcum Aegquatoris exhibebitur, 2i per rectas ex eius polo per extrema num Piopriag? eitſcdlem puncta ductas alſcinditur. Quem etiam arcum lib. 2. Gnomonices propoſ. 3 1. 8 per ſinuum ſupputationem inueſtigauimu:. 1j z0r oſi.— tum inuenite. 2. DEIN DE mor conſpicietur arcus circuli maximi, qui per polos dati circuli Arcus manimi mi obliqui ſitum i a habentis cogni er polos Horixontis ducitu eireali per pole: N obliqui ſitum in ſphæra habentis cognitum,& per polos Horix citur, Horizoatis: She inter Horixontem& circulum Horæ 6. a mer. vel med.. noc. quem in Altrolabio repra252 dati ca Vent at recta AC, interpoſſtuss cuius Zuantilatem cognoſcemus per arcum Aequatoris a maximi o 1qui tranſcuntis inter Vectis ex polo circuli per dictos polos rranſeuntis per extrema puncta dicti arcus emiſa ikenlam hong ct. ſis abſciſfum. Hunc arcum. Iib. 1 Gnomonices propaſi 3 2. per ſinus quoque inquiſſuimus. e e, e uolibrt maximo circulo obliquo, cuius peſitio in ſphæra non ignonoc. poſtus, qua retur, deſcripto in A Hrolabio, reperiemus dicto citius arcus parallelorum Aequatoris ab ratione cognoſca 1 0 eo abſciſſos, atque ex ijs mo cognoſcemus, quot c quænam Hora cutuſusis paralleli ſau Vet bara:& pra vtramque faciem eiuſdem circuli maximi exiſtant,& denique qua hora Sol aleee a. rerutram faciem incipiat illuminare. Qua res eximium uſum habet in horologijs deziem circuli wa. ſcribendis, vt eæ Gnomonica noſtra liquet. Hanc enim ob cauſam in ſcholio propoſ 40. 8 ib. 3. Gnomonices per ſinus indagauimus, quanam hora Sol in Aequatore poſitus ad bart ineipia. De propoſitum quemcunque Verticalem berueniat, hoc eſt, quantumnam arcum AequatoN Aallelart vis datus Verticalis abſcindat: Item in ſcholio propoſi I. lib. g. eiuſdem Gnomonices tum airculus lle ma- per ſinus, tum beneficio Ellipſis, perſcrutati ſumus, guantinam arcus cuiuslibet paralles amt abitindst. Ii Aequatoris a dato circulo max imo obliquo abſcindantur.& qua hora a Sole alter utra eiuſdem circuli ſacies incipiat, aut lleſinat illuminari: Idemque repetiuimus li 4. g. cap. I o. Sed vt appareat, quam expedite hac emnia ex deſcriptione noſtri Aſirelabij cognoſcantur, ſit exempli cauſa in antecedenti A Hrolabio deſeriptus circulus horæ quar 14 ab ortu rN, qui ad Horixontem inclinatus eſt„ cum per eius polos non tranſeat, 2011. GC A NIA NM NN. 711 guippe qui Meridianum ſecet in k, inter I, polum Hort xontis,& HFHorixontem ipſum ex parte auſtrali. Secet autem dictus circulus tropicum, in f, YA equatorem in N, O5 & tropicum, in e, q. Quia igitur facies ſuperior, ac borealis circuli N, à Sole illu minatur, cum circumferentias fh Y,. NA, P, percurrit, inferiorem vero& aultra lem, dum peragrat arcus ON, ezſi paralleli ſinguli in 24. Horas diſtribuantur, initio facto ab eorum intanſectionibus cum M eridiano F K, ſi de horis A mer. ac med. noc. agitur, vel ſi horæ ab vel or. proponuntur, ab ecrundem interſectionibus cum Ho rixonte ex parte occidentali orientaliues confeftim horæ conſpicientur, qua ſupra vtraque ſaciem circuli propoſiti coneineantur,& qua Hora facies vtraque à Sole incipiat il luminari,&c. Ita vides dicti cirtuli ſaciem ſuperiorem incipere luminari hora 4. ab or.& Hora 4. ab occ ceſſare illuminari, vbicunque Sol exiſtat in Zodiaco. Tot autem boris ante meridiem incipere illuminari, Sole exiſtente in principio V, quot hora in ar cu h. continentur: eodem vero exiſtente in Aequatore, quot horæ in arcu BN, reperiun turieodem denique tropicum n. d ſcribente, quot horas arcus l e,(ſumbto puncto i, pro inter ſeckione tropici M, cum linea meridiana)complectitur, cc. cum Sol ſupra eum cir culum oriatur in punctis f. N,. e, occidat autem infra eundem in punctis Y, O,. Idem in quouis alio circulo cernerè licebit. Nam. v. g. ſupra faciem borealem Verticalis RI, exiſtunt omnes hora tropici V, reperta in arcu à puncto E, per Qprogrediente vſque ad inter ſectionem tropici V: cum dicto Verticali, qu interſectio ſit inter pundt a g, di ſupra auſtralem vero faciè horæ arcus a puncto&, per h, tendentis vſque ad eandem inter ſectionem:& Sol in Aequatore exiſtens orietur ſupra eiuſdem dati Verticalis ſaciem auſtralem in puncto N, Hora Io. a med noc.& 4. ab or.& io. ab oc. occidetque in punco O, Horæ lo. a mer.& 1. ab or.& t. ab occ. atquè in eodem puncto O, earundem 5h50 rarum ſupra ſaciem horealem orietur, occidetque in puncto N: alleo vt facies auſtralit illuſtrari incibat a Sole hora f O. a med. noc.&&. ab or.& 1c. ab occ. deſinatque illumi nari hora Io. a mer.& 16. ab or.& ſ. ab oco. Borealis autem facies illuſtretur à fine horæ Io. a mer. vſque ad ſinem horæ 1 o. a med. noc. ce. 4. POST REMO nullo fere negotio inueniemus magnitudines angulorum. guos ſingulis in punctis Ecliptica ei Meridiano, Horixonte,& cum quolibet Nerticali conſtituit: de quibus angulis multa ſcripſerunt Ptolemæus, Ioan. Regiom. Copernicus,& Geber Hiſpalenſis. Nam ſi per datum pundum Ecliptica ex centro Aſtrolabij recta ducatur Meridianum referens, conſeſtim apparebit ang ulus, quem hic Meridia nus cum Ecliptica facit, cuius magnitudo per ea, quæ lib. 2. propaſ. 15. rradita ſunt, cognoſcetur. Simili modo, ſi per gradum Solis in Ecliptita ex centro Aſcrolabij paralle lus deſcribatur ſecans Horixontem ex parte quidem orientali, ſi angulus orientalis, qu Ecliptica in eo gradu cum Horixonte ſacit, quæratur, ex parte vero occidentali, fi occidentalis: Deinde per illud punctum Hcrixontis Ecliptica deſcribatur proprium ſirum habens; habebitur angulus, quem Ecliptica in dato gradu cum Horixonte efficit. Sed quia per idem pundtum duæ Ecliptica deſcribi poſſunt, quarum quidem centra ſem per in parallelo per centrum Eclipticæ, quam lib. 2. propoſ. 5. deſcripſimus, delinea to exã Nunt; ut ea deſcribatur in proprio ſitu, conſiderandum exit, an punctum ſolſtitiale, quod A dato puncto E clipti ca propius ab eſt, pracedat ortum dati puncti, an vero ſibſequatur. Hoc enim obſeruato, facile ex duabus Eclipticis ea deſcribetur, qua proprium ſitum ha beat. Hunc autem angulum cognoſcemus etiam ex ijs; qua lib. 2. Prepoſ. 15. ſcripſimus. Denique ſi per datam Horam à mer. vel med. noc. in Aequatore ducatur ex Aſtrolabij centro recta linea, quam ſecet parallelus Aequatoris per pumqtum Ecliptica, uod Sol poſsidet, deſcriptus,& per pundum ſectionis Ecliptica delincetur in proprio ſitu, habita ratione proximi puncti tropici, ac tandem per idem ſectionis pundtum Feryicalis circulus deſcribatur, reperiemus per eandem propoſ. is. lib. a. quantitatem angu li, quem —— Angules, quer Ecliptica cũ e ridiano, Horizon te„& Verticali per Solem quali bet hora ducto, conſlĩt ait. iuuenĩ 10. Arcus hetszius rcuquid in quouis lo maxim Areuum horar io rum in us circulo maximo inuentio, 712 NANA NM NIN II. Ii, quem hic Ferticalis cum Ecliptica in eo ſitu conckituit. Atque in hunc modũ quoi libee arcus, ſiue angulos circulorum maxi morum in ſphæra inueſtigabimus: vr perſpicum fiet ex ſequenti Can. quem de arcubus horarijs in quolibet maximo circulo fropo nimus, quod horum arcuum eximius ſit uſus in Horologiorum deſcriptione. Seng N,. ARC Vs horarios in quouis circulo maximo perueſtigare. J. VOC AM VS arcum hotarium in quouis maximo circulo eum, qui inter quemcunque circulum horarium,& maximum circulum per polos mundi, & polos proprii Meridiani( inſtar circuli horæ g. à mer. ac med. noc. in Horizonte) ductum includitur. Omnes autem arcus horarios hora rum à mer.& med. noc. lib. 3. Gnomonices propoſ. 4. beneficio ſinuum explorauimus. In Aſtrolabio ergo præcedenti Canonis 10. ſit v. g. maximus circulus Horizon AFCG, quem circulus horæ 0. à mer.& med. noc. Ex, ſecet in d; circulus au tem horæ. 16. ab occ. in A,& cireulus horæ A. ab Or. in r. Et quoniam A, C, poli ſunt Meridiani, referet recta AC, circulum horæ C. à mer. ac med. noc. Igitur erit Cd, in Horizonte arcus horarius horæ 10. d mer. ac med. noc. orientalis: at C, horæ ig. ab occ, orientalis quoque: Et denique Ar, horæ 4. ab or. occidentalis: quos omnes arcus cognoſcemus per arcus A equatoris à rectis ex I, polo Horizontis per extrema puncta illorum arcuum ductis abſciſſos. Nam rectæ IC, Id, ſi ducantur, intereipient in Acquatore arcum horario arcui Cd, æqualem,&c. 2. DEIN DE quia A, C, ſunt quoque poli Meridiani ipſius Verticalis pri marii AI CK, ac proinde recta AC, refert quoque circulum horæ g. à mer ac med. noc. reſpectu Verticalis, tanquam Horizontis culuſpiamzerunt arcus ho ratii in Verticali primario intercepti inter A, vel C,& interſectiones horariorum circulorum cum eodem Verticali: quorum magnitudines cognoſcentur ſimiliter per arcus Aequatoris à rectis ex G, polo Vexticalis per extrema puncta ipſorum arcuum ductis abſciſſos. 3. RVRSVS cum recta Mu, ſit proprius Meridianus Verticalis eirculi RIK, & recta NO, circulus horæ. à mer. ac med. noc. ſi dictus Verticalis ſtatuatur Horir on aliquis, erunt arcus horarii in eo Verticali interiecti inter N vel O, & inter ſectiones circuli RIK, cum cireulis horariis quorum magnitudines determinabuntur in Aequatore per arcus, quos rectæ ex m, polo Verticalis RIK, per extremitates arcuum horariorum emiſſæ auferunt. Ita que arcus horarii ho ræ 10. à met. vel ned. noc.& horæ 16. ab occ.& 4. ab or. nihil ſunt, cum hi tres circuli horarii ſecent Verticalem RI K, in N, polo proprii ipſius Meridiani. 5 4. PR AE TER EA quoniam AC, eſt Meridianus Merid'ani EK, cum per E, polum mundi,& A, C, polos Meridiani EK, incedat, ſuntque B, D, poli ipſius circuli AC, ac denique ipſemet Meridianus eſt inſtar circuli horæ 6. à mer. & med. noc. cum à ſuo Meridiano A C, ſex horis abſit; intercipientur in Meri diano FK, arcus horarii inter B, vel D,& puncta, in quibus horarii circuli Meridianum GOIIA N O ANI XX. 713 4 ridianum EK, interſecant. Vt arcus omnium horarum à mer. vel med. noc per * quadrantem BE, repræſentabuntur, cum omnes illarum hora rum circuli Meri9 dianum EK, in E, ſecent. At vero arcus horæ 16. ab occ. erit Bl, borealis; horæ vero 4. ab or. Bk, auſtralis, quibus arcubus æquales arcus in Aequatore intercipient rectę ex A, polo Meridiani EK, per B, I,& B, k,. emiſſæ. 5. POSTREM O quia Acquatoris Meridianus eſt EK, habens polos A, C,& AC, circulum horæ 4, à mer. vel med. noc. intercipientur in Aequatore arcus horarii inter C, vel A,& ſingulas horas Aequatoris: vt CN, erit arcus horæ. 10. à mer. vel med. nocte,& horæ tam 16. ab occ. quam f. ab or. Su S Nα²⁰. O ονπαννι¹ẽ, e Uν. Moratum deſeri1. BENEFIT CIO arcuum horariorum à mer. ac med. noc. deſcribi poſſunt r horologia earundem horarum in quolibet plano propoſito, vt copioſe tractatum eſt à no- v.— a bis prop. 5. lib. s. Gnomonices, ut ſuperuacane i ſit illud hoc loco repetere. Quare hic ſolii rum. paucis monebimus, qua ratione hora ab ort& occaſis per earumdem horarum arcs h rarios deſcribeda ſint. In plano igitur horologij ex loco ſiyli circulus deſcribætur A equa rori Aſtrolabij, in quo arcus Horarij reperti ſunt, æqualis,& in ed diameter ducatur perpendicularis ad propriam lineam meridianam, hoc eſt, ad lineam ſiyli, vt communis ſectio habeatur proprij Ferticalis& plani horologi. Ab hac diametro numeratit arcubus horarijs in cam p artem, in quam reperti ſuut declinare in Aſtrolabio, ducantur per eorum extrema,& per locum Hyli rectaæ lineæ, erunt ha, parallele communibus ſectionibus circulorum horariorum,& mawimi birculis cui horologium æquidiſtat. Nam ſi per ſtylum,& has communes ſectiones duci cuncipiantur Fertitalis illius circuli maximi, a abſcindentur in circulo, quem in plano Horologij deſcripſimus, arcus ſimiles arcubus horarijs in eodem illo circulo maxima, b fientque in pradicto circulo pla ni horologijlinea parallela communibus illis ſectionibus in circulo max imo, cui Hhorologium æquidiſtat, exiſtentibus. Cum ergo per conſtructionem, in circulo, qui in plano Horologij descriptuis eſt, arcus ſumpti ſint ſimiles arcubus horarijs in max imo circulo, cui horologium equidiſtat, exiſtentibus; erunt ductè illa rottæ ex loco ſyli per arcus Ho rarios in eodem circulo horologij numeratos extenſa, parallele ille, quas Ferticales di. &i per omnes ſectiones horariorum circulorum,& circuli maximi, cui horologium æqui diſtat, tranſeuntes eſſiciunt in Horologij plano. Quoniam vero circuli horari in horo- e 1d, vndet. lebij plano,( circulo max imo, cui parallelum eſt communbs etiam ſectiones efficiunt parallrlas; ſi in plano horologij reperiantur punctà in linea æguinoctiali, vel alibis pir qu Hor ab ortu& occaſu ducenda ſunt,(hoc eſt, per que ipſi cirtuli horarij dutunzur.)& per ea puncta rectis ſuprallictis in circulo ex loco S yli deſcripto per Horarios arcus emiſsis parallela agantur; deſcripia erunt horæ ab ortu,& occaſudcum recta dg. vndec. „lla ex loco ſtyli per arcus horarios emiſſa, communibus hiſce ſectionibus, id eſt, Hora vijs lineis, parallela ſint; quandoquidem tam hæ, quam illaæ, oenſa ſunt æquidiſtare communibus ſectionibus horariorum circulorum in maximo circulo, cui horologium pa rallelum eſt, factis. In horis Aſtronomicis, quoniam omnes tranſeunt per centrum Horologij; ſatis em per centrum horologij educere lineas parallelas communibius ſectionibus circulorum horurum à mer. vel med. noc. c circuli maximi, cui horologium æqui diſtat: quales ſunt recta em centro Horologij per arcus horarios in circulo e eodem centro Horologij deſcripto emiſſa; vt fudtum a nobis eſt propoſitione 5. lib. 5; Gnomonices. 2. IT AE ſ in Actrolabio omnes circuli horarij deſcripti ſint, illico appar ebunt arcus horarij in dato circulo obliquo, quorũ omnium magnitudines æquales ſunt, (aud a 10. 1. THeod. b 10. vndec. Accus horarios pro horisà mer. 714 D IBA in uod ad numerum graduum atrinet,) arcubus Aequatoris, quos rectæ ex polo dati circuli obliqui per extrema pundta arcuum horariorum emiſſa ab ſcindunt. 3. N Canone porro diximus arcus horarios interiectos eſſe inter horarium quem cunque circulum,& circulum, qui per polos mundi,& polos proprij Meridiani, inttar circuli Hora d.& mer. vel med. noc. ducitur, non autem inter Verticalem primarium froprium, qui tamen per eoſdem polos Meridiani proprij incedit: quia in horologijs deſeribendis areus horarum à mer. vel med. noc. computantur, à communi ſectione pla ni Horologij,& illius circuli, qui vices circuli hora 6. à mer. vel med. noc. gerit in cir eulo maximo, cui horologium æquidiſtat; Arcus tamen horarum ab or.& occ. numerantur à communi ſectione plani horo logij,& Verticalis proprij& primarij. Quo ſi complementa arcuum horariorum accipiantur, numeranda ea erunt tam pro Horis ab or. vel occ. quam a mer. vel med. noc. à linea propria meridiana, in qua videlicet iy lus collocatur. . NON TAM vero lib. 5. Gnomonices propoſ. 4. duabus operationibus arbe mel. noc. ap- cus Horarios horarum A mer.& mell. noc. per ſinus ſupput auimus, reperiemus nunc eoſPutzte. dem per ſolam vnam operationem, hoc modo. Cum triangulum ſemper fiat rect angulum ex arcu Meridiani proprij altitudinem poli vicinioris ſupra datum circulum maæimum metientis,& ex arcu circuli horarij ab eodem viciniori polo vſque ad circulum datum maximum. atque ex arcu circuli dati maximi inter Meridianum proprium, & circulum Horariumz qui arcus complementum eſt arcus horarij Jubi. Si ergo per i. modum problematis I T. triang. ſpher. vltimi Lemmatis, Fiat vt ſinus totus ad ſinum arcus Meridiani altitudinis poli, ita tangens anguli, quem eireulus horarius cum Meridiano facit in polo, ad aliudzreperietur tangens arcus circuli ma ximi dati inter Meridianum,& hora rium circulum inclufi„See; Nee N A. OMNIA Problemata triangulorum ſphæricorum abſque numerorum auxilio explicare. LAT IS SIM E patet huius Canonis vſus. In eo enim angulorum, late rumque omnium triangulorum ſphœricorum magnitudines Geometrice per ar cus Aequatoris inueſtigabimus, atque adeo omnia problemata, quæ per laborioſum eiuſmodi triaagulorum calculum explicari ſolent, mira facilitate ex deſcriptione duorum, triumue duntaxat circulorum Aſtrolabii expediemus: quæ res non paucis hactenus viſa eſt incredibilis. Totum autem hoc negocium in conſtructione triangulorum ſphœricorum conſiſtit, vt apparebit. Progrediemur autem eo ordipe, quem in Lemmate 33. lib. 1. obſeruauimus. Et quamuis in prioribus 16. problematibus trianguli ſphœrici rectanguli vel ſolum an77 vel ſolum latus, vel ſola denique baſis, per ſinus, ex duobus datis ſoeat inueſtigari: nos tamen per Aſtrolabium reliqua duo, quæ non dantur, hic quoque in quolibet triangulo ſimul explorabimus. In triangulo igitur ſphœri85 rectangulo hæc, quæ ſequuntur, ex datis quibusdam à nobis inueſtigauntur. i. ANG. — . C AN ON KxII. 715 R ee C VM altero angulo,& latere, quæ non dantur. E& haſe,& latere, quod angulo quaſito opponitur. SIT in Aſtrolabio Aequator ABCD, circa centrum E, cum duabus diametris BD, AC, ſeſe ad rectos angulos ſecantibus. Numeretur latus datum a puneto B, vſque ad E;& baſis à puncto E, vſque ad G* Sumptis autem arcubus BM. CK, DN, æqualibus arcui AF, iungantur diametri FK, MN, ſeſe quoque ad angulos rectos ſecantes, cum quadrantes ſint FEM, MK, KN, NF. In eam ar Partem accipiendi ſunt arcus BM, CK, DN, in quam arcus AE, vergit, vt dicti quadrantes efficiantur. Deinde iuncta recta MG, ſecante rectam FK, in H. ſumatur arcui NG, æqualis arcus MI, ac per tria pũcta G, H, I. circulus deſcribatur, (cuius centrum erit in recta FK, extenſa, indicabiturque à rectis Aequatorem in .I. tangentibus, hoc eſt, a rectis, quæ ad iunctas ſemidiametros EG, EI, Perpen diculares ſunt, vt propoſ. y. lib. z. oſtenſum eſt] ſecans rectam BD, in L, intra AeJuatorem, qui parallelus erit maximi circuli MEN, polos habentis F, K 1 æqua liter ab hoc circulo MEN, recedat; propterea quod arcus EH, Kqualis elt arcui NG, vt ex is conſtat, quæ lib. 2. propoſ.:. Num. 5.& 6. demonſtrauimus; & arcus MI, arcui NG, ſum ptus fuit æqualis. Immo ex iis, que lib. 2. propoſ. 18. Num. 5. ſcripſimus, liquet etiam GH, paralle lum eſſe maxi mi circuli MEN. Deni que per t ria puncta F, L, K, circulus, cuius centrum f, eſt in recta MN, deſcribatur ELK, ſecans EB, productam in O. Erit igitur trian1 ſphœricum rectanguum BEL, id, quod pro ponitur, cum angulus EBL, rectus ſit,& datum latus BE, baſisque data EL quod arcus FL., FG, ex polo F, cadentes in parallelum GH I, æquales ſint: Cuius quidem angulum quæſitum FLB, cui datum la tus BE, opponitur, ſic inue ſtigabimus per ea, quæ lib. a. propoſ. 15. Num. 3. demonſtrata ſunt. Secta recta LO, bifariam,& ad angulos reCos per lineam PR, ſecante m circulum LFO, in R, metietur arcus RO, ma80 1 VVVVVVVßů' Vuuu ZnituProbl. t. Angulum ei reli quis, ex data baſe,& latere quod ang ulo quæſite Spponitut, ine, ſtigare. 23. tert. 716 l III. gnitudinem anguli quæſiti EL B. Et ſi ex angulo L, arcus quocunque interualJo deſcribatur Qs, quem recta LR, ſecet in S, metietur arcus Qs, ſemiſſem an guli eiuſdem FLB, ac proinde arcus Qs, duplicatus totum angulum metietur. Quod ſi punctum ſectionis O, nimis procul diſtet, ſatis erit ex f, centro circuli KLF, ad LB, perpendicularem ducere, ſecantem eirculum KLE, in R. Hæc enim ſecat rectam LO, bifariam. Vel ſine centrof, ſie agemus. Inuento centro P, trium punctorum A, LC, excitetur PR, ad BD, perpendicularis. Erit enim rurſus P, punctum medium rectæ LO, cum circulus maximus per A, L, C, deſcriptus tranſeat per O, punctum ipſi L, oppoſitum. Quare arcus Qs, circuli ex L, deſcripti inter rectas LQ, LR, poſitus, ſemiſſem anguli BLE, metietur. Et ſi per L, circulus, vt libet, deſcribatur, metietur eius arcus inter eaſdem rectas totum angulum. Quæ omnia demonſtrata ſunt ad finem Num. 2. propoſitionis 15. lib. 2. IMMO&jpſemet arcus LR, eundem quæſitum angulum BLE, metietur, vt Num. 3. eiuſdem prop. 15. lib. 2. demonſtrauimus. IAM vero eadem ratione alter angulus BEL, non datus inuenietur. Ducto enim radio F, ſecante Aequato rem in e, metietur arcus Me, angulum BEL, cum eius areus ſit MT, cui æqualis eſt arcus Me, vt oſtenſum eſt lib. 2. propoſ. 1 DENIQVE reliquum latus non datum BL, efficietur notum per arcum Aequatoris, quem rectæ ex A, polo circuli BED, per puncta B, L, extenſę intercipiunt, cuiuſmo di eſt arcus Bg, vt ex eadem propoſ. I. lib. 2. manifeſtum eſt. QVOꝰ ſi ducta diametro FK, ex puncto extremo la teris dati BE, quam ad rectos angulos ſecet diameter MN, eirculum maximum reterens per mundi polos ductum, cuius poli P, K, parallelus GH, maximi huius circuli MN, per extremum punctum G, baſis datæ FEG, deſcriptus non ſecet diametrum BD, intra Aequatorem, impoſsibile erit problema, quia tunc ex F, ad BD, deduci non poterit areus circuli maximi baſi FO, æqualis, qualis fuit E, arcus vſque ad parallelum GH, demiſſus, auferens latus BL, ſemicirculo minus, vt ratio poſtulat. Itaque quando latus datum BE, quadrante minus eſt, ba ſis proponi debet maĩor ipſo latere:( propterea quod per propoſ. 34. noſtrorum triang. ſphær. angulus lateri dato oppoſitus, acutus eſt, ideoque per propoſ. 11. eorundem triang. ſphær. latus datum minus eſt baſe, quæ angulo recto opponitur/ ita tamen, vt baſis cum latere ſemicirculo minorem* conituat, 0 c NN GN XIII. 7 ſtituat, qualis fuit baſis FG. Nam ſi punctum G, eſſet vltra D, parallelus GHI, rectam BD, non ſecaret: Quando autem latus datum quadra nte maius eſt, ba ſis debet proponi minor ipſo latere:( propterea quod per propoſ. 34. noſtrorum triang. ſphær. angulus lateri dato tunc oppoſitus, obtuſus eſt, ac proinde per propoſ. li. eorundem triã g. ſpb.latus datũ minus eſt baſe, quæ angulo recto opponitur: ita tamen, vt baſis maior ſit complemento lateris dati ad ſemicirculum. Vt ſi datum latus ſit BN, baſis maĩor eſſe debet arcu ND, alias parallelus maximi circuli EK, ſecantis diametrum N M, ab extremo puncto dati lateris ductam ad angulos rectos, deſcriptus per extremum punctum baſis, non ſecaret B, intra Aequatorem. Verum hac cautione opus non eſt, cum triangula ſphæ rica in operatione ponantur eiuſmodi, quæ vere,& re ipſa in ſuperfic ie ſphœri ca exiſtant. Quod etiam in problematibus, quæ ſequuntur, intelligendum eſt. Nl Cum altero angulo,& latere, quæ non ſunt data. Ex baſe,& latere, quod angulo quæſito adiacet. CON STRVAT VR ex datis triangulum ſphæricum BEL, vt in præcedente proble mate, in quo angulus BEL, cui datum latus BE, adiacet, quærendus proponitur. Quoniam arcus TK, angulum KFL, metitur, vt lib. 2. propoſ. 15. Num. 3. demonſtratum eſt; ſi angulo hnic addatur rectus angulus K FE M, notus euadet totus angulus BEL, quæſitus. Quod ſi ex E, per M, recta ducatur, donec circulum FT K, productum ſecet, dabit arcus eiuſdem circuli in ter eam rectam,& punctum T, interceptus, quantitatem totius anguli BEL, vt lib. 2. propoſ. 15. Num. 2. demonſtrauimus. At ſi ex E, circulus quolibet interuallo deſcribatur, metietur eius arcus inter rectas FT, FM, poſitus ſemiſſem eiuſdem anguli. Immo& arcus Aequatoris Me, eundem angulum metitur. A IL. T ER angulus non datus BLE, cognoſcetur, vt in præcedenti problemate, nimirum vel per arcum LR. vel per arcum Qs, duplicatum,&c. RELIQVVM autem latus BL, reperietur hic etiam per arcum Bg, quem recta AL, ex Aequatore aufert, vt in problemate antecedente. II. A N G’ NL NS. Cum duobus lateribus, quæ non dantur hoc loco. E X baſe& altero angulo non recto. NVMERA T A baſe ex B, verſus C, vſque ad g, ductoque radio viſuali Ag, ſecante BD, in L,erit BL, baſis propoſiti trianguli, cum tot gradus in arcu BE, contineantur, quot in Bg, t lib. 2. propoſ. i. demonſtratum eſt Deinde in L, conſtituatur angulus datus per propoſ. 10. lib. 2. hoc modo. In recta LB, inuen to puncto O, ipſi Lʒoppoſito, ſecetur LO, in P, bifariam,& ad rectos angulos per 5 n Vuuu 2 rectam Probl. 3. Angulum ei reliquis ex baſe da ta,& latere, quod quæſito angulo adiacet, re perita. Probl. 3. Angolum eum aliis ex data baſe. K THeod. 1. 718 rr. rectam PR. Aut ſi punctum O, nimis remotum ſit, inueniatur P, centrum trium punctorum A, L, C,(Hoc enim erit in medio duorum punctorum L, O, cum circulus per A, L, C, ex P, deſeriptus ſit maximus, ac proinde per O, punctum oppoſitum tranſeat.)& in P, ad BL, perpendicularis excitetur PR. Deſcripto autem ex L, circulo quantocunque Qs, numeretur in eo ſemiſsis dati anguli à pun cto Q, vſque ad Sʒvel certe,(ſi in eo minuta contineantur numero imparia) totus angulus numeretur,& arcus numerati ſemiſsis accipiatur QS. Ducta namque recta LS, ſecante PR, in R, ſi per tria puncta L, R. O, vel per duo L, R, ſi O, lit nimis remotum, circulus maximus deſeribatur LRO,(cum per puncta oppoita tranſeat) centrum f. habens in recta PRʒerit angulus BLE, dato angulo ęqua lis, cum arcus Qð, eius ſemiſſem metiatur, vt propoſ. 15. lib. 2. Num. 2. oſtendimus. IA NM ducta ex f,centro per E, centrum Aſtcolabij recta MN, quam diameter FK, ad rectos ſecahit angulos, ſi erratum non eſt, emittatur radius KT, ſecans Aequatorem in V,& quadrans ſumatur VX. Recta enim KX, ſecabit f E, in Y, polo circuli maximi LRO, vt lib. a. propoſ 8. Num. 15 monſtrauimus. Si igitur per tria puncta D, V, B, ex centro in recta EA, inuento circulus deſcribatur ſecans LRO, in Z, qui maximus erit, cum per puncta oppoſita D, B, ducatur, a erit angulus BL, rectus, quod circulus maximus DVB, per V, polum maximi circuli LRO, tranſeat: ac proinde triangulum rectangulum propoſitum erit BZL, cum BL, ſit baſis data oppoſita recto angulo Z,& angulus non rectus datus BLZ. Angulus ergo alter non rectus LBZ, ita inuenietur. Ducta recta Ba, per a, punctum interſectionis citculi Z BD, cum tecta AC, ſecans Aequatorem in b, erit Db, magnitudo anguli aBE, vt eonſtat ex lis, quæ propoſ. 15. lib. z. oſtendimus: qui ſi ex duobus rectis auferatur, quibus duo anguli aBE, EBZ, æquales ſunt, ex propoſ. q. noſtrorum triang. ſphær. reliquus fiet quæſitus angulus LBZ; qui totus hoc etiam modo reperietur, quando circulus DBE, commode totus deſcribi poteſt, vt rectam EA, intersecet. Pucatur recta ex B, per inter ſectionem circuli DBZ, cum recta EA. Tam enim arcus Aequatoris, quam eirculi DBZ, inter hanc rectam,& diametrum BD, verſus D, interceptus, vel etiam arcus circuli DBE, inter B,& eandem rectam poſitus, quæſitum angulum LBZ, metietur, vt ex ijs. quæ propoſ. 7. lib. z. Num. 3. demonſtrauimus, liquet. IAM vero latus LRZ, æquale erit arcui Aequatoris, quem rectæ ex Y, polo eirculi KFZ, per puncta L, Z, emiſſæ auferunt. EAD EM Q VE ratione alterum latus BZ, indicabit arcus Aequatoris a rectis ex h, polo circuli DBZ, per B. Z, eductis abſeiſſus. Polus aũt h, erit in inter ſectione circuli KEZ, cum recta AC. Cum enim maximus circulus DBZ, tranſat per Y, B, polos maximorum circulorum KFZ, CA; tranſibunt hi viciſsim per illius polos, ex ſcholio propoſ. is. lib. I. Theod. ac proinde punctum h, polus erit circuli DBZ: qui etiam reperietur, ſi radius emittatur ex B, per a, ſecans Aequatorem in b,& quadrans ſumatur b V. Radius namque BV, rectam AC, in h, polo quæſito inter ſecabit, vt propoſ. 8. Num. 15. lib. 2. oſtensum eſt. QVOD ſi detur baſis DL, quadrante minor,& eadem fiant, conſtituetur ex altera parte triangulum propoſitum DLi, cum angulus DL i, ſit æqualis angu10 BLE, ad verticem,&c. IIII. AN CN III. 719 „ e ee Cum latere, ac baſe, quę hic non dantur. EX latere, quod angulo quæſito opponitur,& altero angulo non rect. S1 latus datum BE;& in E, eũ eo eonſtituatur angulus dato angulo æqualis. per propoſ. i 6. lib. z. hoc modo. Ducta diametro EK, quam ad angulos rectos ſecet diameter MN, numerẽ tur gradus dati anguli a puncto M, vſque ad e, ductaque recta fe, ſecante MN, in I, deſeribatur per tria puncta E, T, K, ex centro f, in recta MN, exiſtente, circulus FT K, qui maximus erit, cum per oppoſita pun cta E, K, incedat. Secet autem hie circulus rectam BD, in L; eritque datus angu Ius BEL, cum eius arcus ſit Me; ac proinde triangulum ſphæricum BLE, exit id, quod quæritur, habens nimirum angulum LBE, rectum, latuſque datum BE, vna cum non recto angulo LER, dato. Angulus igitur BLE, dato lateri oppoſitus, inuenietur, vt in i. problemate. Secta namque recta LO, bifariam,& ad angu los rectos per rectam PR, metietur arcus RO, vel LR, angulum quæſitum BLF. Aut ſi ex f, centro circuli K TE, ad LB, perpendicularis excitetur,& ex L, deſcri pto circulo Qs, quantocunque, recta ducatur LR, metietur arcus Qs, ſemiſſem eiuſdem anguli,&c. L AIT VS autem BL, cognoſcetur ex Aequatoris areu B go quẽ recta AL, abſcindit. Al T vero baſem EL, exhibebit arcus Aequatoris FG, qui a recta ex V, polo circuli FELK, per L, emiſſa aufertur. „ Cum baſe,& altero latere non dato. Ex latere, quod angulo quæſito adiacet,& altero an gulo non recto: dummodo conſtet, num quæſitus angulus maior ſit recto, minorue; vel an ba ſis, aut alterum latus non datum quadrante maius ſit, minuſue. SIT rurſus Aequator ABCD, cum duabus diametris AC, BD, ſeſe in centro E, ad angulos rectos ſecantibus. Numeretur latus datum à puncto A, vſque ad E, iungaturq: recta BE, ſecans AC, in G:erit arcus AG, dato lateri AE, æquaIis, vt propoſ. I. lib. z. monſtratum eſt. Numeretur quoque dati anguli magnitudo a puncto A, vſque ad H, jungaturque recta BH, ſecans AC, in I: erit arcus AI, æqualis arcui AH, dati anguli, malorque neeeſfario quam AG, ſi datus angulus acutus ſit, vt demonſtrabitur. Deſeripto ergo circulo BID, per tria puncta B, I, D, centrum habente d, in recta AC, qui maximus eſſ, cum per puncta oppoſita B, P, tranſeatzerit angulus ABl, dato angulo æqualis, cum eum metiatur arcus Al, vel AH. Deſcribatur quoque ex E, per G, parallelus Aequatoris GK, ſecans Probl.. Angulum cum reli quis, ex dato latere, quod ci opponiĩtur,& altero angule nen recto in quirere. Probl. 5. Angulum eum reliquis, ex dato latere, qu od angulo qu æſto ad lacet,& altero angulo non tecto elicete. 720 BEI R H un ſecans circulum BID, in L,& emiſſa recta EL, ſecante A equatorem in, M, ſumatur arcui AM, æqualis arcus BN. Ducta autem dia metro NQ, ſecet eam ad rectos apgulos RS. quod fiet facile, ſi arcubus BN, DQ, æquales ſumantur arcus As, CR, quod hoc modo efficiantur quatuor quadrantes NS, SQ. QR. Deſeripto iam per tria puncta N, G, Q, circulo NOd, qui maximus eſt, cum per oppoſita puncta N, Q, tranſeat„ habetque centrum P, in recta ER, tantum diſtans ab E, quantum centrum d, circuli BID, ab eodem centro E, abeſt, propterea quod, vt infra oſtendemus, duo circuli BID, NGO eundem parallelum tanguntzerit AN, vel CGQ, triangulum propoſitum. Quoniam enim arcus AN BN, æquales ſunt; eſtque AM, per ſcholium propof 22. lib. 3. Eucl. arcui GL, ſimilis, erit quoque BN, eidem GL, ſimilis. Igitur circuli maximi BID, NO, auferentes ex parallelis GK, AB, arcus ſimiles,& per polum E, non tran ſeuntes, a tangent eundem parallelum, eum videlicet, quĩ ex E, per I, deſeribitur, cum BID, eum tangat in ex ſcholio propoſ. 13. lib. 3. Eucl. ac proinde ex ſcholio propoſ. 27. lib. 2. Theod. æqualiter ad maximum parallelorum ABCD, inclinabuntur, hoc eſt, anguli ABI, ANG, æquales erunt. quod ex eo etiam conſtat, quod eorum arcus AI, SO, æquales ſunt. Cum ergo ABI, dato angulo ſit æqualis, erit etiam ANG, dato angulo æqualis, qui quidem dato lateri K G, opponitur. Itaque ſi conſtet, quæſitum angulum ad G, eſſe acutum, accipiendum eſt triangulum ANG; ſi vero quæſitum angulum ad G, conſtet eſſe obtuſum, ſumendum eſt triangulum AG,&. Angulum vero quæſitum ita cognoſcemus, Ex P, centro circuli NGQ, ad AC, perpendicularis demittatur PT, ſecans eundem circulum in V. Arcus enim GQ, angulum CGQ, ideoque& angulum AN, trianguli AG N, metietur, vt Ib. 2. propoſ ig. Num. 3. oſten · dimus, qui angulus ex duobus rectis ſubductus angulum AG, reliquum faciet in triangulo AQ. Idem angulus CG, habebitur, ſi ex G, arcus quantuſcunque XZ, deſcribatur ſecans G C, in V. Nam arcus X Y, nee 1 t CA N N XXII. 72 GQ& duplus arcus X Z, totum angulum metietur, QVOD ſidatum latus ſit quadrante maius, ac proinde angulus oppoſitus datus obtuſus, minor tamen ipſo latere; vt demonſtrabitur, numeretur datum latus à puncto C, vſque ad E, emittaturque radius BE, ſecans AC, in G, vt latus datum ſit CG. Numeretur quoque quantitas dati anguli obtuſi à puncto C, vſque ad H,& radius emittatur BH, ſecans AC in L, vt Cl, arcus ſit dati anguli. Deſeripto igitur per tria puncta B. I, D, ex centro d. in recta Ac„exiſtente, circulo BID, erit CBI, angulus dato angulo aqualis, Hunc circulum parallelus GE, ſecet in Lʒ emiſſaque ſemidiametto EL M, accipiatur arcui AM, æqualis arcus BN, ac per tria puncta N, G, Q, circulus deſcribatur„vt ptius: eritq. rurſum angulus GNC, angulo GBC, æ qualis. quod probabitur, vt prius. Igitur ſi conſtet, angulum quæſitum ad G, adiacentem dato lateri CG, eſſe obtuſum, erit propoſitum triangulum. CN. Nam ſi acutus eſi„ oblatum triangulum erit CG Angulus porro quæſitus CG cognoſcetut per arcum GV. vt prius, quo detracto ex ſemicirculo 3 relinquetur angulus CGN.&c. EX conſtructione liquido conſtat, quando datum latus minus eſt quadrante, angulum oppoſitum datum eſſe acutum, malorem tamen ãpſo latere dato; quando autem datum latus maius eſt quadrante, angulum datum oppoſitum eſſe obtuſum, minorem tamen dato latere. Quoniam enim per theorema 4. ſcholit propoſ. 21. lib. 2. Theod. arcus GA, minor eſt atcu GN, erit per propoſ. ii. noſtrorum triang. ſphær. angulus ANG, in triangulo ACN, minor angulo recto A, hoc eſt, acutus, ideoque GNC, obtuſus. Eadẽ ratione in triangulo AGQ, erit angulus GQ, minor recto A, quod per idem theor. 4. dicti ſcholii, arcus GA, minor ſit arcu GQ,&c. Angulum autem datum lateri AG, oppoſitum, ma iorein eſſe latere A G, qualis fuit angulus ABL, liquet. Nam ſi eſſet minor, cuiuſmodi eſt angulus A Bb, cum circulus Bb, parallelum ab, tangat in b, tangeret circulus NGQ, faciens angulum ANG, ipſi A Bb, æqualem, eundem paralle lum ab; quia circuli BbD, NGN, propter æquales angulos ad B, N, æqualiter ad Aequatorem inclinati ſunt,&c. quod eſt abſurdum, cum NOGQ, parallelum ab, ſecet. Hinc efficitur, obtuſum datum angulum oppoſitum lateri dato CG, minorem eſſe ipſo latere CG, qualis fuit angulus NC. Nam ſi eſſet maior, cuiuſmodi eſt CBb, tangeret circulus NG, iterum parallelum ab, quem circulus Bb D; tangit. quod abſurdum eſt: Sed de angulis trianguli ſphiærici tam rectanguli, quam non rectanguli, plura demonſtrabimus in ſcholio huius Canonis CON STAT quoques ſi, conſtructo angulo ABl, dato angulo æquaſi, Alis folarie pre per punctum G, deſeribatur ex propoſ. 20. lib. z. maximus circulus NGQ, tau blem atis. gens eundem parallelum 10, quem circulus BID, tangit, conſtructum quoque eſſe triangulum propoſitum. Nam ex Theor 1. propoſ. al. lib. 2. Theod. circuIi BID, NGO. æqualiter inclinati exunt ad Aequatorem, hoc, eſt, anguli ABI, ANG, æquales erunt,&. FA CILIVS idem problema ſoluemus hoc modo, Sit Ab„ magnitudo raeilior ſolutie anguli dati, ductoque radio Bh, ſecante AC, in bierit Ab, arcui A h, qualis, problematis. Deſeripto ergo circulo BbD, per tria puncta.;, b. D, centrum V, habente in reca AC, erit ABb, angulus datus. Deinde ſit arcus A g. dato lateri æqualis;& primum quadrante minor,; ducaturque radius Bg, ſecads AC, io k yt Ak sit etiam acus dato lateri æqualis. Deleripto autem parallelo Acquatoris pen k, ſecante circulum BbD ini, ducatur recta Ei; ſecans Aequatorem in N: Exit a 15. 1. que triangulum Propoſitum BiN, vel Di N cum angulus ad N, ſit rectus& Theod. latus 722 LI II. latus Ni, datum,(quippe cum æquale ſit ipſi Ak, ideoque& arcui Ag.) oppoſitumque dato angulo NBi, vel NDi. Igitur ſi conſtet, quæſitum angulum i, eſſe acutum, accipiendum eſt triangulum Bi N. Cum enim omnes tres arcus ſint qua drante minores, erunt per propoſ. 28. noſtrorum triang. ſphær. duo anguli B, i. acuti: Si autem conſtet, angulum quæſitum eſſe obtuſum, ſumendum eſt triangulum Di N. Iam ſi ex V, centro circuli BbD, ad iE. protractam perpendicularis demittatur Le, ſecans circulum in f, dabit areus if, quantitatem anguli acu ti Bi N, vt lib. a. propoſ. 15. Num. 3, oſtenſum eſt; quo ablato ex ſemicirculo, obtuſus quoque Di N, notus fiet. QO ſi latus datum ſit quadrante maius, illudque numeretur ex C, vſque ad g, dabit ductus radius Bg, arcum Cł, eidem lateri æqualem. Numerato quoque angulo dato ex C, vſque ad h, ductoque radio Bh, fecante AC, in b, ſi per B, b, D, circulus deſcribatur, erit datus angulus obtuſus CBb. Deſeripto er go per k, paralle lo ſecante circulum Bbo, in i,& per i, atque E, recta extendaur EQ, erit propoſitum triangulum vel BQi, ſi nimirum quæſitus angulus eſt obtuſus, vel Di, ſi acutus: propterea quod angulus ad Q, rectus eſt,& latus Q. dato angulo i; Q. vel iDQ, oppoſitum, æquale ipſi Cx, hoc eſt, arcui Cg. Angulus ad i, inuenietur, vt prius. Ex his etiam liquet, angulum datum dato lateri oppoſitum debere eſſe maio rem ipſo latere dato,& acutum, quando latus datum quadrante minus eſt; minorem vero ipſo latere dato,& obtuſum, quando datum latus maius eſt quadrã te. Oſtenſum enim eſt angulum NBi, vel NDi, eſſe acutum, ideoque QBi, vel Oi, obtuſum. Et niſi Ab, atcus anguli dati acuti maior eſſet latere dato Ax, vel Cb, areus dati anguli obtuſi minor eſſet latere Ck, non ſecaret parallelus eirculum B b D, ac proinde problema ſolui non poſſet. RVRS VS quia parallelus ik, ſecat quoque eundem eirculum BbD, ex altera parte rectæ AC, in puncto l, ſi ex l, per E, recta extendatur, conſtituentur ea dem duo triangula, vt perſpicuum eſt. 5 141 wann,, rr, — CIA N U N Nl. 723 IAM vero baſis GN, nota fiet per arcum Aequatoris, quem rectæ ex polo eirculi NO. per puncta N, G, edudtæ abſcindunt: qui polus ita inuenietur. Du da recta NOqꝗ;, ſumatur quadrans qr. Nam recta Nr, rectam PS, in ſ,quæſito polo ſecabit. LAT Vs autem rel ĩiquum AN, per ſe notum eſt, cum ſit arcus Aequatoris. Zadem prorſus ratio eſt in allis triangulis AQ, CGN. CGQ.&c. „ Cum baſe,& altero angulo non recto, quæ data non ſunt. E x ytroque latere circa angulum rectum. IN figura primi problematis circa angulum rectum ABE, ſit vnum latus da tum BE,& alterum BL, quod reperietur, fi numexretur ex B. vſque ad g. radiusque emittatur Ag, ſecans BD, in L. Nam arcus Bg, proiicitur in arcum BL, vt Propoſ.. lib. 2. demonſtrauimus. Sumpto autem arcu DK, arcui BE, æquali, vt puncta F. K, ſint oppoſita, eſcriptoque per tria puncta F, L, K, ex centro f, in recta MN, exiſtente, circulo maximo FL K, erit arcus EL, baſis trianguli EFLypropoſiti. An gulum porro 5 F, ſie inuenie mus. Demiſſa ex f, centro ad BL, perpendiculari f P. ſecan te arcum LE, in R, metietur arcus LR angulum quæſitũ BL. E, vt lib. 2. propoſ 15. Num. 3. oſtendimus. Angulũ vero FL. reperiemus hoc mo do. Arcus FT, metitur angulum TFE,& arcus FM, angu Jum FEE. Igitur totus angu Ius BEL, notus fiet, ſi nimixũ arcui EM, addatur arcus ſimi lis arcui FT. Vel potius, ducta recta EL e, totus arcus Me, totum angulum BEL, quęſitum metietur. Quod ſi aſſumeretur latus maius Bg, & minori BE, æqualis arcus ex BR, abſcinderetur, deſcribendus eſſet circulus maximus per g, eiusque puncum oppoſitum, atque punctum extremum lateris in recta B E, abſciſsi. Ita enim idem ptorſus triangulum conſtrueretur. BAS EM autem EL, notam reddet arcus Aequatoris, quem rectæ ex V, po lo circuli FL K, per puncta F, L, extenſæ intercipiunt, cuiuſmodi eſt arcus FG. n VII. AN. Proöbl. 6. Angulum enn reliquis ex vtroque lacetre erus re. LA I III. ee e e Proòl. 7. Cum vtroque angulo non recto, quorum neuter datur. E X baſr,& altero latere. IN eadem figura ſit datum latus BE,& baſis EG. Ductis autem duabus diaen metris EK. MN, ad angulos rectos ſe ſecantibus, ducatur recta M G, ſecans Altere later ex, FK in H,& arcui NG, æqualis arcus ſumatur MI, ac per tria puncta I. H, G, Plerare. deſcribatur maximo circulo MN„ cuius polus E, parallelus GH, ſecaus BD, in L, vt in problemate 1. factum eſt. Nam ſi per tria puncta E, L, K, deſcribatur maximus circulus, erit triangulum propoſitum BEL; cum EL ba ſis æqua lis ſit aflumptæ baſi EG, ex defin. poli, angulusque rectus EBL,& datum latus BE. Quæſitum autem latus BL, erit æquale arcui Bg, quem radius AL, abſcindit, vt ex propoſ. I. lib. 2. manifeſtum eſt. AJ angulus vterque BLE, BEL, cognoſcetur, vt in præcedenti problemate. l Probl. J. Cum altero latere,& angulo non recto non datis. Ex baſe,& angulo, qui quaſiro lateri opponitur. a IN figura problematis 5. Sit Ah, areus dati anguli,& ducto radio Bh, ſecan 4 te AC, in b, deſcribatur maximus circulus per B, b, D, vt A Bb, ſit angulus daaugulo. qr dur, tus. Sumpto deinde quadrante hm, ductoque radio bm, ſecante AC, in n, polo 21 circuli BbD, vt lib. 2. propoſ. g. Num. I. monſtratum eſt, numeretur baſis data ex B, vſq; ad p, punctum, ex quo ad n, polũ circuli BbD, recta ducatur ſecans eundem cicculũ ini: eritqʒ arcus Bi, baſi Bp, æqualis, per ea, quæ lib. 2. propoſ. 5 Num. 15. demonſtrata ſunt. Ducta igitur recta Ei, ſecante Ae quatorem in N, b erit triangulum propoſitum Bi N; cum angulus N, rectus ſit,& baſis data Bi 3 5 vna cum angulo IBN, qui lateri quæſito iN, opponitur quod latus iN, cognoſcetur, ſi ex R. polo maximi circuli NEQ, per i, recta ducatur. Hæc enim abſeindet ex Acquatote arcum a puncto N, inchoatum arcui iN, æqualem: Vel fi per i, parallelus deſcribatur ſecans AE, in k. Arcus enim Ak, arcui Ni, æqualis eſt,& notus fiet per rectam Błʒ cum hæc arcum abſeindat Ag, ipſi Ak, vel Ni; æqualem, vt patet ex propoſ. 1. lib. 2. ALT ERVM porro latus B N, per ſe cognitum eſt, cum ſit areus Ae. quatoris. ANGVLVs denique reliquus Bi N, notus efficietur, ſi ex V, centro circuli BbD ad iE, perpendicularis deducatur, ſecans eundem cireulum in f. Arcus namque if, angulum eit, hoc eſt, ei ad verticem æqualem BiN, metietur, vt pro o. S. Num. 3. lib. a. monſtratum eſt. QVAMVIsS autem problema hoc ſolutum a nobis ſit, quando datus angu Jus acutus eſt,& data baſis quadrante minor, eodem tamen modo. 5 ſi N g atus G ‚ mm D NI. 725 datus angulus ſit acutus& data baſis quadrante maiorʒ vel datus angulus obtuſus,& baſis data quadrante minor, aut maior. Nam ſi dato angulo acuto fiat æqualis Abb& baſi aſſumptæ Dp, quadrante ma ori abſciodatut ex n poJo circuli BD, æqualis Di, per radium np; coaſtituet tecta Ei propoſitum tr ian ulum Di N. Eadem ratione, ſi datus obtuſus angulus numeretur à C, verſus D, vſque ad h, ducaturque radius Bh, ſecans AC, in b, conſtituet maximus eireulus BbD, angulum obtuſum CBb, datum. Si igitur numeretur etiam baſis data ex B, vſque p quadrante minor, conſtituet recta i E, extenſa per i, punctum à recta pp, ex polo n, ducta abſciſſum. propoſitum triangulum BiQ,& latus iQ, quæſitum, cui datus obtuſus angulus opponitur, cognoſcetur per arcum Aequa toris inte t Q,& rectam ex R,. polo circuli i Q. per; emiſſam. interceptũ. Denique ſi detur obtu ſus angulus Cb,& baſis quadrante maior Pp, abſeindet ei re cta np. æqualem arcum Di. Recta ergo Ei, conſtituet propoſitum triangulum Di N, cuius latus quæſitum Qi, inuenietur, vt prius. n. Cum altero latere,& angulo non recto, quæ data non ſunt. Ex baſe,& angulo, qui latteri quæſito adiacet. CON STRVAT VR in figura problematis 1. triangulum BLZ, ex data baſe BL,& angulo dato BLZ, prorſus idem, quod in problemate 3. conſtructum fuit: eritqʒ latus quæſitum L, dato angulo BLZ, adiacens; quod notum efficiet arcus equatoris à rectis ex V, polo circuli LZ, per extrema puncta L, Z, extenſis abſciſſus, vt lib. 2. propoſ. j. Num. i. oſtenſum eſt. Quod ſi baſis DI, a quadranProbl. 3. Latus eum telfquis ex baſe,& angulo, qui late · ri quæ to diacet, inueſt gate. 726 ET quadrante ſit minor,& eadem fiant, conſtruetur triangulum DLi, culus latus quæſitum Li, reperietur rurſum ber arcum Aequatoris, quem rectæ ex V, polo circuli Li, per extrema pundcta L. i, emiſſæ abſcindunt. LAT VS autem alterum B Z, exhibebitur notum per arcum Aequatoris, quem rectæ ex h, polo circuli BZ, per B, Z, emiſſæ includunt,&c. ANGVLVS verò reliquus LBZ, inuenietur, vt in 3. proble mate ſeriplimus,&c. X. F Probl. 10. Cum baſe,& altero angulo non datis. Ex altero lat ere,& angulo, qui quæſito lateri adiaceti ſi modo conſtet ſbecies lateris quæſiti, vel anguli recti non dati, vel d eniq; ipſius baſis. Litus cum rcli- HI C etiam conſtruatur in figura problematis 5. idem omnino trangulum a AN, quod in eo problemate conſtitutum eſt, ex dato nimirum latere A G 5 & dato angulo AN, qui quæſito lateri A N, adiacet. Nam quando datum latus quadrante minus eſt, fi conſtet, latus quæ ſitum eſſe minus quadrate, erit quæſitum latus AN, in triangulo AG N: ſi verò conſtet, quæſitum latus quadrãte eſſe maius, erit latus quæſitũ AQ, in triangulo AGO. At quando latus datum maĩus eſt quadrante, ſi conſtet quęſitum latus eſſe minus quadrante, erit quæſitum latus C Q, in triangulo CG: Si autem conſtet, latus quæſitũ quadrãte maius eſſe, erit quæſitũ latus C N, in triãgulo CGN,&c. Eſt autem, vt vides, latus quęſitum ſemper arcus Aequatoris, ac proinde cognitum. BAs1 8 C ARNO NA XXI. 727 BASIS autem GN, cognoſcetur ex arcu Aequatoris, quem intercipiunt rectæ ex ſ, polo circuli NO,(inuento in problemate 5. circa finem,) per puncta N, G, emiſſæ. Angulum verò reliquum AN, inueniemus, vt in eodem problemate g. traditum eſt,&c. P ‚-·—ẽ.‚‚²/-ůãRiͤ ̃/ꝓ ß Cum baſe,& altero angulo non recto non datis. E altero latere,& angilo, qui lateri quæſito opponitur. IN eadem figura problematis 5. conſtituatur datus angulus, ſi acutus eſt, ABb, vt in 8. problemate. Deinde ſumpto dato latere B N, ducatur ex N, per E, polum Aequatoris maximus circulus NE Q ſecans circulum B b D, in i, eritq; Bi N, triangulum propoſitum, cum angulus BNi, rectus ſit,& datus angulus N Bi, quæſito lateri Ni, opponatur: quod quidem notum efficietur per ar cum Acquatoris inter N,& rectam ex R, polo circuli NE Q, per i, extenſamz aut per arcum inter A,& rectam B g quæ per k, dueitur, vbi parallelus per i, deſeriptus rectam A C, interſecat, vt ex Propoſ. I. lib. ſecundi perſpicuum eſt.. BASIS verò Bi, æqualis erit arcui Aequatoris B̃ p, abſciſſo à rectis n B n p, ex polo n, circuli B b D, eductis. ALT ER autem angulus Bi N, notus efficietur vt in problemate 5̃. dictum eſt. AT QVE ita quidem res ſe habebit, quando datũ latus minus eſt quadrante,& angulus datus acutus; At ſi latus datum minus quidem eſt quadrante, ſed datus angulus obtuſus, erit quæſitum latus Qi, quadrante maius in triangulo Di Qʒ quod conſtituetur, ſi fiat datus obtuſus angulus C D b, ex eius arcu Hh,& radio Bb, ſecante A C, in b, puncto, per quod circulus B b D, deſcribitur, faciens angulum datum C Pb; deinde veròè datum latus aſſumatur DQ, ex cuius extremo recta ducatur QE i,&. QO ſi datum latus majus fuerit quadrante,& angulus datus acutus, con ſtituatur ille angulus A D b, hoc eſt, A B b, ſumpto prſus eius arcu A h, ductoqʒ radio B h, ſecante A C, in b,&. Deinde ſumpto latere dato D N, ducatur recta N E, ſecans eirculum B b D, in i. Nam propoſitum triangulũ erit Di N, cum angulus ad N, rectus ſit,& datus angulus i D N, quæſito lateri Ni, opponatur,&c. quod quidem latus Ni, reperietur, vt prius. DENIQVE ſi datum latus fuerit quadrante maius,& angulus datus obtu ſusʒconſtituatur datus angulus CBb, ex eius arcu Ch,&c. Deinde ſumpto dato latere B Q, ducatur recta, QE, ſecans circulum B b D in i, referensqʒ circulum maximum per polos Aequatoris ductum. Erit igirur triangulum propoſitum Bi Q cuius latus quæſitum eſt Qi; quod quidem cognoſcetur per arcum Aequatoris inter Q,& rectam ex R, polo eirculi NE Q, per i, extenſam,&c. * XII. ANProbl. 11. Latus eum reliquis ex altero 12 tere& an gulo, quj quæſ to lateri opponitur, per ſerut axi. 728 Fr BUN& Ar. Probl. 21.* II. EAA TI, Cum baſe,& alter o latere non datis. EA vtroque angulo non recto. Iatas enn reli- SI T iterum Aequator A BC D, eirea centrum E, cum duabus dia metris . ſeſe ad rectos angulos ſecantibus AC, B D,& proponatur primo triangulum 9 rectangulũ duorum angulorum obtuſorum. Sit vnius obtuſi anguli arcus AF. ductoq; radio BE, ſecante AC, in G, deſeribarur per B, G, D, maximus circulus. vt conſtitutus ſit datus ille angulus obtuſus ABG. Sumpto deinde quadrate F H, ductoq; radio B H, ſecabitur A C, in I, polo circuli BG, vt conſtat ex ijs, quæ lib. a. propoſ 8. Num y. demonſtrata funt. Si igitur per I, eirculus maximus deſeribatur faciens cum Aequatore angulum alterum obtuſum 415.1. Theo. datum, conſtructum erit propoſitum triangulum, cum angulus, quem idem hic circulus poſterior cum B GD, priore facit rectus ſit. Id autem ſie fiet. Sit CV, arcus alterius anguli obtuſi dati. Et quoniam, vt in ſcholio huius Ca— 1— 2 2— 3 nonis demonſtrabitur, in omni triangulo ſphærico rectangulo, vteruis angulotum non rectorum minor eſt arcu, quo complemẽ tum aſterius anguli non recti à ſemicirculo differt; eſt autem arcus AI, arcui E G, hoc eſt, complemento anguli ABG, æqualis, quod GI. EA, quadrantes fint, ex Coroll. propoſ 16. lib. 1. Theod. ac proinde A I, complementum anguli AB G, à ſemicirculo A C, differt arcu CI. erit CV, arcus alterius anguli obtuſi minor arcu CH, qui arcui CI, aqualis eſt. Ducto igitur radio BV, ſecante A C, in M. erit punctũ M. inter E,& I: ac proinde deſcripto parallelo M N, deſcribi poterit circulu 5 maximus Do r„ & A NHOENH MII. 719 maximus per I, tangens circulum MN, ut propoſ. 20, lib 2. tradidimus; quem ſic deſcribemus. Recta inter I.& alterum polum circuli BG, bifariam diuiſa in K; vel, quando alter ille polus nimis procul excurrit, inuento K, centro trium punctorum B, I, D, quod ptædictam rectambifariam ſecat, cum eirculus per B, I, D, deſeriptus per alterum polum tranſeat, propterea quod maximus eſt, per B, D. puncta oppoſita incedens; erigatur ad AC, perpendicularis KL, in qua neceſſario centrum circuli tangentis maximi exiſtet, vt ibidem demonſtrauimus. Poſt hæc rectilineo angulo B MC, fiat æqualis angulus MBO. Nam quia ſemicirculus circa rectam inter I,& alterum polum circuli BGD', Poſitam deſeriptus tranſit per punctum B, exttemum perpendicularis EB, vt loco citato demonſtratum eſtzideirco in B, ad rectam B M, angulus conſtituendus eſt æqualis angulo BMC; cadetq́; neceſſariò punctum O, vt ibidem oſtenſum eſt, vltra K. Deſeripto igitur ex E, per O, circulo, ſecabitur K L, in L. 2. punctis, quorum vtrumlibet centrum eſſe poteſt circuli maximi per I, deſcripti, circulumq; MN, tangentis, punctũ quidem L, centrum erit, ſi tangens circulus facere debeat angulum obtuſum cum Aequatore verſus angulum ABG,& puntum contactus erit N, in quod recta L E, inc idit: at ſi circulus tangens debet cũ Aequatore verſus B, conſtituere angulum acutum, erit eius centum Z. punctũqʒ contactus à ducta recta Z E, indicabitur, vt ibidem monſtratum eſt. Deſeripto ergo ex L,(qula aagulum obtuſum deſideramus) per I. circulo maximo, qui tan get circulum MN, in N, tranſibitque per alterum polum circuli BG, atque Aequatorem in punctis oppoſitis Q, S. ſecabit, ita ut recta Q, ad LN, perpendieularis ſit, ſi erratum non eſt erit propolitum triangulum BPQ: cum angulus P, rectus ſit,& angulus ABG, vnus ex datis angulis obtuſis,& BOP. reliquus, eo quod eius arcus RN, æqualis eſt arcui M, hoc eſt, arcui aſſumpto CV. Quod ſi radius emittatur SN J,& quadrans IV, accipiatur, vt radius SV, exhibeat X. polum circuli Qs;(qui neceſſario erit in communi ſectione rectæ EL, cum cir culo BG. Cum enim circulus QNsð, tranſeat per I polum circuli BG, tranſibit hic viciſsim per illius polos. Cum ergo polus cireuli QNs, ſit in recta EL, vt propoſ. f. Num. 1g. oſten ſum eſt, erit X, communis ſect io rectæ EI. cum circulo 5D. polus circuli QN S, cognoſcemus latus P, per arcum Aequatoris inter Q.& rectam ex polo, per extre mum punctum P,extenſam. Latus vero BP, per Ae quatoris arcum inter B,& rectam ex polo I per punctum extremum P, emiſ. ia m, vt lib. 2. propoſ. a. Num. 17. demonſtrauimus. PROPON AT VR deinde triangulum rectangulum duorum angulolum acutorum. Si igitur conſtruatur triangulum rectangulum duorum obtuſorum angulorum, qui datorum acutorum complementa ſint ad ſemicirculum, vel ad duos rectos, vt proxime dictum eſt, nimirum triangulum B»⁵Oʒ erit pro poſitum triangulum DPS, cum angulus P, rectus ſit,& alii acuti, quorum complementa ad duos rectos ſunt obtuli A DG, vel ABG,& RSN, vel RQN. Latus ergo DP, æquale erit arcui Aequatoris, quem rectæ ID, IP,(ſi ducantur) abſein dunt: Latus vero Ps, arcui Aequatoris, a rectis XP, XS,(ſi ductæ fuerint)abſciſ. ſo æquale erit. T ERTO triangulum propoſitum ſit rectapgulum, cuius alter reliquotum angulorum acutus ſit,& alter obtuſus. Conſtituatur ergo iterum triangulum BQ, rectangulum duos angulos habens obtuſos, quorum vnus datus ſit ABG, alter vero RN, complementum acuti dati ad duos tectos, Triangulum enim propoſitum erit DQ, habens rectum angulum P,& obtuſum datũ PpDQ, & acutum DQ, cuius complementum ad duos rectos eſt angulus conſtitutus Pb. 4 15. t. Theod. Probl. 13. Ba ſem eus reli · quis ex latete, at que anguſo ei ad jacente coguoſce te. Probl. 14. Baſem eum reli. quis ex lare re,& angulo ei oppeſi to perſcrutari. 730 E ISBN III. QB. Latus ergo PD, notum fiet per rectas ex I, polo cireuli BG, per P,& D, emiſſaszat latus PQ. per rectas ex polo X circuli Ns. per P, Q, extenſas. IN omnibus autem hiſce triangulis baſis BO. del DS, vel DQ, per ſe nota eſt, cum ſit arcus Aequatoris. R Cum altero latere, atque angulo non datis. E X latere,& angulo ei adiacente. IN feura problemalis 1. ſit datum latus BE,& ad E, conſtruatur angulus BFL, dato angulo æqualis, vt in. groblemate: quod ſiet. ſi ſumpto arcu Me, dati anguli, radius egrediatur ex E, per e, ſecãs MN, in T,(ductis pr ius duabus diametris FL, MN, ad angulos rectos ſe diuidentibus.)& per tria puncta E, T, K, oirculus ex centro fzdeſeribatur, qui maximus erit, cum per oppoſita puncta E, K, incedat. Triangulum igitur propoſitum erit BEL; cuius baſis EL, reperietur per rectas ex V, polo baſis,(qui inuenietur, ſi ducto radio KT, quadrans ſumatur VX. Nam radius RX, rectam MN, in V, polo ſecabit.)„ L, edlictas. ALTERVM latus BL, æquale erit arcui Aequatoris B g, à radio AL, abſciſſo. ö RELIQV VS vero angulus BLF, cognitus erit vel per arcum LR, vel per arcum Qs, duplicatum,&c. X ETI Lein S. 1 Cum altero latere,& angulo, non datis. E X latere& angulo ei oppoſito: ſi modo conftet, num baſis quadrante maior ſit, vel minor: Aut an alter angulus non datus ſit acutus, obtuſusue: Aut denique num alterum latus non datum, minus ſit quadrante, an maius. FIAT in figura problematis g. ex dato latere,& angulo oppoſito triangulum AN, vt in 5. problemate: quod fiet, ſi ſumpto latere dato AE,& arcu dati anguli A H, qui maior erit arcu A F, vt in g. problemate dictum eſt, atque reliqua conſtruantur, vt ibidem factum eſt. Propoſitum enim triangulum erit AN, ſi conſtet, baſem eſſe quadrante minorem;vel 4G, ſi conſtet baſem ma iorẽ eſſe quadrante Quod ſi datum latus fuerit maius quadrãte, erit vel CGN. vel CG, triangulum propoſitum, prout videlicet conſtabit, baſem minorem eſſe quadrante, vel maiorem. Baſis autem& N, vel GQ, nota fiet ex arcu Acqua toris abſciſſo per rectas per puncta G, N, vel G, Q, emiſſas ex f, polo circuli NG qui reperietur, ſi ducta recta NOq, quadrantem accipiamus ꝗr. Radius enim Nr, polum quxſitum if, in recta PS, indicabit, vt ex propoſ. 8. Num. 1. lib. 2. perſpicuum e 411k. Nenn e. 73¹ ALT ERV M latus AN, vel AQ, vel CN, vel C. per ſe notum erit, cum ſit arcus Aequatoris. l a AN SVL vs autem reliquus ad pundtum S, cognoſcetur, vt in problemate 53. dictum eſt. „ N. Probl. 15. Cum vtroque angulo non recto, quorum neuter datur. E* vtroque latere. IN figura problematis 1. ſint duo latera data BE Bg,& ipſi Bg, per radium Ag, æqualis arcus aufera. EM tur BL. Ducta deinde dia- latete venati. metro FK, quam ad rectos angulos ſecet MN, deſcribatur per trio puncta E, L, K, maximus circulus ex centro f. Quæſita enim baſis erit FL, in triangulo datorum la te rum BEL, quod in problemate 6. etiam conſtituimus. Poſſet quoque latus ma ius Bg, aſſumi,& minori BF, æqualis arcus ex recta B E, abſcindi,& c. vt in di eto problemate 6. dictum eſt. Baſis porrò FL, cogno ſcetur per arcũ Aequatoris abſciſſum per rectas emiſ. ſas per puncta F, L, ex polo V, circuli ELK, qui inuenietur in recta MN, ſi ducto radio K TV, quadrans accipiatur VX, radiuſque KX, emittatur ſecans MN,. in Y. g 8 a ANG VL Vs autem vterque BLF, BEL, cognoſcetur, vt in 2. problemate. X r A N Cum vtroque latere non dato. Probl. 16. EX vtroque angulo non recto. ; Biſe m eum reliFIA T omnino idem triangulum datorum angulorum, quod in problemate gat er vtroqus 12. conſtructum fuit, BP, vel Pps, vel DPQ, pr dut vter que angulus datus— 233 0 N 1 d 1Vyyy fuerit 732 E BMR INI. fuerit obtuſus, vel acutus, vel acutus vnus,& alter obtuſus. In his autem omni. bus baſis BQ, vel DS, vel DQ, nota eſt, cum ſit arcus Aequatoris. VTRVMQVE porrò latus notum efficietur, vt in 12. problemate docuimus. A TQVE ita omnia problemata triangulorum ſphæricorum rectangulorum expedita ſunt: ſequuntur iam triangula obliquangula, in quibus videlicet nullus angulorum rectus eſt. XVII OMNIA ELT e trianguli obliquanguli. E Xx omnibus angulis. * IN huiuſmodi triangulo quocunque erunt ſaltem duo anguli acuti, vel obculbris ad latas tuſi, ſi omnes tres acuti non ſunt, aut obtuſi. Sit igitur triangulum ſphæricũ a in digen, obliquangulum ABC, datorum angulorum, cuius duo anguli B, C, obtuſi ſint, ſpberles fact is vel acuti, intelligaturque ex reliquo angulo A, qualiſcunque ſit, ad latus B C, 3 demiſſus arcus perpendicularis A D, qui per propoſ, g. noſtrorum triang ſphæric. intra triangulum cadet. Primum ergo inueſtigare oportet duos angulos BAD, CAD, hoc modo. Sumantur in aliquo circulo arcus angulorum B, C. & eorum complementorum ſinus, qui proportionem habeant, quam recta E, ad rectam F, Deinde in circulo GHl, cuius centrum K, accipiatur GI, arcus anguli A, eiusq́; chorda GI, ſecetur in N, ex ſcholio propoſ 10. lib. 6. Euc l. ita vt ſit GN, ad NI, quemadmodum E, ad F, atque ex K, centro per N, recta ducatur K NH. Dico GH, arcum eſſe anguli BAD,& HI, arcum anguli CAD. Dutis enim ex G, I, ad K H, perpendicularibus GL, IM, hoc eſt, 9 g GN O, N XXII. 733 SH, HIʒ quoniam anguli L, M. recti ſunt, ideoque æquales, itemque& anguli ad, verticem N, æqua les; erunt triangula LN, IMN, æquiangula. a Igitur erit, vt GN, ad GL, ita I N, ad IM;&ͤ permutando vt& N, ad I N, ita GL, ad IM Eſt autem vt GN, ad NI, ita E, ad E, hoc eſt, ita ſinus com plementi anguli B, ad ſinum complementi anguli C. Igitur exit quoque, vt ſinus comple menti anguli B, ad ſinum complementi anguli C, ita GL, ad IM. Quamobrem cum per propoſ. 61. noſtrorum triang. ſphær eandem proportionem habe ant ſinus complementorum angulorum B, C, quam ſinus angulorum BAD, CAD, habentzerit quoque vt GL, ad IM, ita ſinus anguli BAD, ad ſinum anguli CAD. Cum ergo GL, IM, ſinus ſint arcuum GH, IH; erit G H, arcus anguli BAD,& IH, arcus anguli C A D, cum ſinus angulorum ijdem ſint, qui arcuum angulos metientium. Cogniti igitur erunt anguli BAD, CAD, cum eotum arcus G, IH, cogniti ſint. S E D quia contingere poteſt, vt exiſtente angulo BAC, obtuſo, arcus perpendicularis AD, facſat alterutrum angulorum BAD, CAD, rectum, propoſitio autem g. noſtrorum triangul. ſphær. demonſtrata elt per propoſ. n. eorundem, quæ locum ſolum habet in triangulo vnicum habente angulum rectum, non autem duos quales eſſe poſſunt vel BAD, ADB, vel CAD, A D C; de monſtrari poterit eadem propoſ. 61. quando alter angulorũ ad A, rectus eſt, hoc modo, Sit primũ angulus BA, rectus Cum ergo& AD z, rectus ſit, erunt AB, DB, per propoſ. 25. no ſtrorum triang. ſphær. quadrantes, ac propterea AD, arcus exit anguli B. Igitur erit„ vt ſinus anguli recti BAD, ad ſinum totum, ita ſinus complemẽ ti anguli B, ad ſinum complemẽti arcus AD, cum vtrobique ſit proportio æqualitatis. Eſt enim idem eomplemẽ tum anguli B,& arcus AD, cum AD, ar* cus ſit anguli B. Sed per pro 5— poſ. 42. noſtrorum triangu. ſphær. eſt, vt ſinus anguli DAC,(qui minor ſemper eſt recto, cum totus angulus BAC, duobus rectis ſit minor,& BAC, rectus ponatur) ad ſinum totum, ita ſinus complementi anguli C, ad ſinum cõplementi arcus AD: Et conuertendo, vt ſinus totus ad ſinũ anguli DAC, ita ſinus complementi arcus AP, ſin. angu. recti BAD. ſin. comp 5 ſinus totus. ſin. compl. arcus AD. ad ſinum complementi anguli C. 0 1 a ö 4 1 i DAC. 0 J. ang. C. Igitur erit ex æqualitate, vt ſinus lin. anguli DA lin. compl. ang.. anguli recti BA D, ad ſinum anguli DA C, ita ſinus complementi anguli B, ad ITyyy/ 2 ſinum 4 4. ſexti. Demõſtratio vn nerſalier propo it. 61. trlangul. ſphær. Tria latera ex tribus angalis eliecre 734 EI NRNr N ſinum complementi anguli C, quod in dicta propoſ. Gt. erat demonſtrandume SIT deinde angulus CAD, rectus Igitur, vt proxime demonſtrauimus, erit vt ſinus anguli recti CAD, ad ſinum anguli BAD, ita ſinus complementi anguli C, ad ſinum complementi anguli B: Et conuertendo, vt ſinus anguli BAD; ad ſinum anguli recti CAD, ita ſinus complementi anguli B, ad ſinum complementi anguli C, quod eſt propoſitum. INVENTIS arcubus angulorum BAD, CAD, quos arcus AD, ad latus BC, perpendicularis fa eit, ſit Aequator Aſtrolabij ABC,. circa centrum E, ſuperiori eir culo GH I, æqualis, vt facilius arcus angulorum inuenti in eum transferantur, ducanturque duæ diametri BD, AC, ad angulos rectos ſeſe ſecantes. Sumpto autem arcu AE, an gu Ii BAC, qui n imirum arcui GH, ſuperioris figurę ſit æqualis, vel certe ſimilis, ſi Aequator ABCD, cireulo GHl, non fuerit ęqualis deſeriptus, & ducto radio BE, ſecã te AC, in I, deſeribatur per B, I, D, maximus circulus BID, vt fiat angulus ABI, dato angulo B A C, æqualis. Deinde fſumpto arcu AG, anguli CA D, qui videlicet arcui Hl ſuperioris figuræ æqualis ſit, aut ſimilis, ductoque radio B G, ſecãte AC, in H,. deſeribatur per B, H, D, circulus maximus B H D, vt fiat angulus A B H, angulo CA D, ac proinde reliquus IB H, reliquo B AD, æqualis. Sumpto quoque quadrante GP, dabit radius B P in recta 4 e polum K. circuli B HD. Et quoniam arcus CK, æqua lis eſt arcuiE H hoc eſt, complemento anguli ABH, vel CAD, ſuperioris figuræz quod quadrã tes ſint CE, KHzdifferet complementum anguli ABH, vel CAD, ſuperioris figuræ, a ſemicirculo AC, arcu AK Si ergo accipiatur AL, arcus anguli ACD, dati in triangulo rectangulo ACO ſuperioris figuræ, ducaturque ra dius BL, ſecans AC, in M, erit punctum M, inter A,& K; propterea quod, vt in ſcholio oſtendemus, in triangulo rectangulo ACD, angulus O, minor eſt arcu AK, quo complementum anguli CAD, ſuperioris bi guræ, vel anguli AB H, in hac figura, à ſemieirculo differt.(Quod ſi angulus C, ſoret acutus, cuius videlicet arcus eſſet AN, ſi ei æqualis aceĩperetur& Mʒeaderet adhue punctum M, in ter A,& polum citculi per B, N, D, deſcripti, propterea quod, vt in eodem ſcholio huius Canonis demonſtrabitur, in omni triangulo rectangulo vteruis reliquorum angulorum, nimirum acutus C, ideoque& CM, arcus anguli eiuſdemC, maĩor eſt complemento alterius, hoc eſt arcu circuli CEA, a puncto C, vſque ad polum eirculi per B, N, D, deſeripti. Parallelus ergo ex E, per M, deſcriptus i ö NA. 735 totus inter puncta A. K, continebiturzac proinde ſi per K, circulus KS, deſeribatur parallelum MON, tangens, habebimus propoſitum triangulum BRS, datorũ angulorum, vt probabitur. Ita autem per prop. a0. lib. 2. vel per Lemma i. per K, circulum tangentem de ſcribemus. Diuiſa recta inter K,& alterum polum circuli BHP, bifariam in V, vel quando alter polus nimis procul diſtat, inuento centro V. trium punctorum B, K, D, quod dictam lineam bifariam diuidet, cum circulus per B, K, D, deſcriptus tranſeat etiam per alterum polum, erigatur ad AC, perpendicularis VV, in qua centrum circuli deſcribendi exiſtetʒquod reperietur hoc modo. Angulo rectilineo BMA, fiat æqualis MBT, cadetque neceſſa rio pũctum T, vltra V,& parallelus ex E, per T, deſcriptus, ſecabit rectam IV. in punctis V, X, quorum vtrumque centrum eſſe poteſt circuli tangentis; quæ omnia in dicta propoſitione 20. lib. 2.& Lemmate 3 f. demonſtrauimus. Punctum quidem V, erit centrum, ſi vterque angulorum C, B, datus ſit obtuſus, alias punctum X, centrum erit. Ponamus ergo, vtrumque angulum eſſe obtuſum,& ducta recta VE O, deſeribatur ex V, per K, circulus, qui; vt in dicta propoſ. 20 lib. 2. oſtendimus, eirculum MON, in O, continget, ſecabitque circulos BID, ABC, in duobus punctis, nimirum R, S. Dico BRð, eſſe triangulum propoſitum, Quoniam enim maximus circulus Z EO, tranſit per polos cireuli KOS,& Aequatoris. quod eius centrum, ac poli,& centrum Aſtrolabii, ſiue polus Aequatoris, in eadem recta ſint, vt lib. 2. propoſ. 8. Num. 19. monſtratum eſt; tranſibunt viciſsim circulus K OS,& Aequator per illius polos, ideoque S; polus exit circuli maximi ZEO, per polos mundi ductizac proinde 7 O, arcus erit anguli BSR. Quare cum arcus ZO, quadrante maior ſit,& æqualis arcui AM, anguli Cf erit anguIus BSR, obtuſus,& æqualis angulo C. Et quoniam angulus BOs, rectus eſt, ideoque recto ADC, æqualis; erunt tres anguli trianguli BQS, tribus angulis trianguli ADC, ſuperioris figuræ æqualeszatque ideirco per propoſ. 1 g. noſtro rum triang. ſphær.& latus BS, lateri AC,& latus PQ, lateri AD.& latus Qs, lateri DC, æquale erit. Rurſus quia in triangulo B. duo anguli B. Q, duobus angulis A, D, in triingulo AD, æquales ſunt, latùſque adiacens BQ, lateri ad iacenti AD, oſten ſum eſt æqualezerit per propoſ. ac. noſtrorum triang ſphær.& latus BR, lateri AB,& latus QR, lateri DB, æquale, atque angulus R. angulo B. Totum ergo triangulum BRS, toti dato triangulo ABC, æquilaterum eſt,& æquiangulum. Latus autem BS, notum eſt, tanquam pars Aequatoris; alia vero duo cognoſcentur per rectas ex eorum polis per puncta extrema emiſſas: qui po Ii ſic inuenientur. Sumpto quadrante Fa, dabit radius Ba, in AC, polum N, circuli BR. Deinde quia maximus circulus KS, ducitur per K, S, polos maximorum circulorum BH, ZO,(oſtenſum enim fuit, S, polum eſſe ipſius ZO,)tranſibunt hi viciſsim per illius polos, ideoque polus circuli KS, erit punctum b, vbi circuli 20, BQ ſe interſecant. QYOD fl anguli C, B, ponantur acuti, deſeribendus erit circulus ex X, per K. qui tanget circulum MON, in extremo puncto rectæ ex X. per E, extenſæ, facietque cum Aequatore angulum acutum angulo C, æqualem, cum eius arcus minor tune ſit quadrante,& c. XVIII. OM4 15. 9. Theo. 7s IIT ZI A 1 41 XVIIILIIOCMN ES AN. GV I I Probl. 18. j f N f trianguli obliquanguli. E X omnibus lateribus. r argulos ex IN Aequatore ABCD, cuius centrum E,& duæ diametti ſeſe ad rectos au- 4 8. gulos ſecantes AC, BD yſumantur tres arcus tribus datis lateribus æquales EF, BH, EG, Circa polum B, vel D, per propoſ. 18. lib. 2. deſcribatur maximo circulo AC, per mundi polos ducto parallelus HP, per punctum H: quod ſic fiet. Ducta recta AH, ſecante BD, in V, ſumatur arcui CH, æqualis arcus A P. Nam circulus per tria puncta H, X, P. centrum habens in recta BD, parallelus f erit maximĩ circuli A C per, deſcriptus. Rur ſus ducta diametro EL, quam ad rectos angulos ſecet MZ, deſcribatur circa polum F, vel L, maximo circulo MZ, per polos mundi ducto parallelus OIG, per pund um G, hoc modo. Ducta recta MG ſecante EL, in I, ſumatur arcui ZG, æqualis arcus MO, ac per tria pun cta O, I, G, circulus OI G, centrum habens in recta EL., deſeribatur, qui parallus erit maximi circuli MZ; qug omnia lib. 2. propoſ. 18. Num. 5. demonſtrauimus. Seca bũt autem ſe mutuo duo hi pa ralleli, ſi problema poſsibile eſt, in puncto K. Si igitur per tria puncta F, K, L, maximus circulus deſeribatur EKL,& per tria puncta B, K, D, alius BK D, erit propoſitum triangu lum BEK, cum latus BE, ſit vnum ex datis,& BK, ex definitione poli æquale alteri dato lateri BH,& FK, tertio lateri dato FG, æquale. Anguli huius trianguli ſic reperientur. Ductis radijs Fa R, B b ſ, dabit arcus MR, magnitudinem anguli BEK,& arcus A 8, quã titatem anguli FBK. Denique ducta recta K E, quã ad rectos angulos ſecet diameter NQ. ſi trium punctorum N, K, Q, centrum reperiatur T,& ad KT, perpẽdicularis excitetur TV. metietur arcus KV, angulum VK T.& arcus KX, angulum XK T, vt lib. 2. p ropoſ. 15. Num. g. monſtratum eſt. Si igitur areui KV, adijciatur arcus ſimilis arcui KX, habebitur arcus totius anguli B K F. XIX G A N ON XXII. 737 XIX. LATVS CV DVOBVS ANGVILIIS adiacentibus in triangulo obliquangulo. Ex reliquis duobus lateribus,& angulo ab ipſis comprehenſo. IN antecedentis problematis figura ſit vnum ex datis lateribus BE. Sumpto autem arcu dati anguli A8, ductoque radio B 8, ſecante AC, in b, deſcribatur per tria puncta B, b, D; circulus maximus, vt datus angulus ſir ABb. Deinde ſum pto quadrante S d, ducatur radius B d, ſecans A C, in e, polo cicculi BbD, vt ex ijs conſtat, quæ lib. 2. propoſ. I. Num. iſ. demonſtrauimus. Si igitur ac cipiatur arcus BH, alteri dato lateri æqualis,& ex e, polo recta emittatur e H, abſcin detur ex circulo BbD, arcus BK, æqualis arcui BH, hoc eſt, alteri lateri dato. Poſtremo ducta dia metro EL, quam ad angulos restos ſecet diameter M 17& per tria puncta P, K, L, deſcripto maximo circulo EKL, centrum ha bente in recta MZ, conſtructum erit propoſitum triangulum B KE, cum duo latera data ſint BE, BK, vnd cum angulo FB K, ab ipſis comprehenſo. Iã ducta recta Fa R, ſumptoque quadrante Rg, ſi ducatur recta Fg, ſecabitur MZ, in f. polo circuli FK L. Recta ergo f K, abſeindet arcũ Aequatoris FG, lateri quæſito FK, æqua · lem. Anguli autem BFK, BK, cognoſcentur, vt in præcedenti problemate. NON aliter problema ſoluetur, ſi datus angulus ſit acutus, Sit enim vnum ex datis lateribus BL,& CS, arcus dati anguli acuti. Ducto ergo radio BS, ſecante AC, in b, conſtituet circulus per tria puncta B, b D, deſctiptus angulum datum LBb, acutum. Sumpto deinde altero latère dato BH, ſi ex e, polo citeu li Bb, ducatur recta e H, abſcindetur arcus BK, huic alter dato lateri BH, æqua le. Ducta poſtremò diametro LEE, quàm ad angulos retctos ſecet MZ i per tria puncta L, K, F, circulus maximus deſcribatur, conſtructumerit triangulum propoſitum BLK, Recta autem f K ex polo f, circuli X L, emiſſa aufetet arcum LH, quæſito lateri LK, æqualem. Anguli ad L, K, inuenientur vt prius, que madmodum lib. z. propoſ. i 5. traditum eſt. Angulus enim BLK, inuento apgulo BFK, æqualis eſt: Et ſi inuentusangulus BRE, ex duobus rectistollaturf, reliquus erit quæſitus alter angulus BK L. x x. PVO LATRRA CV ANGVTO AB ipſis comprehenſo in triangulo obliquàngulo. g E& reliquo latere,& duobus angulis illi adiacentibus. IN eadem figura problematis 18. ſit datum latus B E, à cuius extremis ducteæ ſint diametri B D, EL, quas ad rectos ſecent angulos aliæ diametri AC, MZ: ſitqque A 8, arcus anguli ad B; conſtituendi;& MR, anguli conſtituendiad E. Ductis igitur radijs 58, ER. ſecantibus AC, M, in b, a, ſi tam per tria pun cta B, b, D, quam per tria F, a, L, maximus circulus deſerihatur, eõſtructum erit triangu lum propoſitum B E K, cum habeat datum latus BF, eum duobus datis angulis adiacentibus FBK, BBK. Hos etenim angulos metiuntur arcus A8, vel A b,& MR, vel Ma, vt lib. 2. propoſ. 15. oſtendimus. Inuentis autem e, f, polis circulorum BbD, FaL,(quod fiet, i ſumptis quad rantibus 8 d. Rg. 85 egrejantur Probl. 19. Latus cum adiacentibus duobus angulis, ex duobus reliquis lateribus,& anguJo com prceheuſo colligete. Probl. 20. Due latera,& angnlum ab ifisc ontentum ex reliquo latere,& angulis ei adiacentibus petacſtigate 738 E A l II. diantur B d, Fg, ſecantes AC, M, in e, f. polis, vt conſtat ex propoſ. 8. Num27. lib. z.) recta eK, abſcindet arcum BH, lateri BK,& recta f K, arcum PG, lateri EK, æqualem. Angulus vero BK E, notus fiet, vt in problemate i 8. cum arcus KV, metiatur eius partẽ VK T,& arcus KX, eius alteram partem XKV,&c. Proll. at. X X I. DVOLATERA C VM vVNO ANG vIO vni eorum oppoſito in triangulo obliquangulo. E& xeliquis duobus angulis,& reliquo latere, quod vni eorum opponitur, ſi modò conftet ſpecies lateris Juæſiti alteri angulo dato oppoſiti. S1 T Aequator ABCD. circa centrum E, cum diametris AC, BD, ſeſe ad reDuo latera,& angulum vni eo 2 tum o pp un. ctos angulos ſe cantibus. Sumpto arcu AE, alterurrius angulor um datorum, qui 8 ex duobus reli- nunc obtuſus ponatur, du-. quis angulis„& 1 5 2 5 reliquo latere ctoque radio BE, ſecãte A 0 ani eorum oppo tito, perſcruta11 in G, deſcribatur per B. G, D, circulus, vt datus angulus ſit ABG. Sumpto quoq; quadrante EH, iungatur radius BH, ſecans AC, in J, polo cir culi BG D. Sit rurſum areus BK, dato lateri æqualis, iungaturque recta IK, quæ abſcindet latus datũ BL,æquale nim irum arcu BK. Poſt hæc ſumpto arcu BV, alterius anguli dati, ductoque radio AV, ſecante BD. in Z, deſcribatur circulus per A, Z, C, vt fiat angulus BAZ, alteri huic angulo dato æqualis. Deſcripto deinde ex E, per Z parallelo ZR. extra quem neceſſario pũctum L, Exiſtet, ſi problema poſsibile eſt. Et ſi quidem datum latus BI. 3 quadrante ſit maius, ac paral lelus circulum BG, ſecet, vt in d, e, neceſſe eſt poſteriorem datum angulum obtuſum eſſe,& maiorem dato priore angulo ABG, conſtareque debet omnino ſpecies areus angulo ABG, oppoſiti: ſi vero non ſecet, poterit poſterior datus angulus eſſe vel obtuſus, vel acutus„ problemaque ſolue tur, etiamſi non conſtet ſpecies arcus oppoſiti angulo ABG. At vero ſi datum latus ſit quadrante minus, nimirum DL,& parallelus circulum B G D. ſecet, neceſſe eſt poſteriorem angulum datum eſſe acutum, debetque ſpecies conſtare arcus, qui angulo obtuſo dato ABG, opponitur. Si autem non ſecet, poterit poſterior Onſus varij pto· dlematis. 1 1 —— — * —— c N M NMI. 739 poſterior angulus datus eſſe vel acutus, vel obtuſus,& neceſſe non erit, vt ſpecies arcus angulo CDG, oppoſiti detur, QvOD ſi datus angulus primo loco conſtitutus CBG, fuerit acutus,& datum latus BL, maius quadrã te, atque parallelus circulum BG, interſecet, erit alter angulus datus obtuſus neceſſa rio, debebitq̃ue cõſtare ſpecies lateris quod dato angulo CBG, opponitur. Si verò parallelus circulum non ſecet, poterit poſterior angulus datus eſſe vel obtuſus, vel acutus.& neceſſe non erit dari ſpeciem lateris angulo dato CBG, oppoſiti. At ſi datum latus ſit minus quadrã te, nimirum DL, ſi quidem paral lelus circulum ſecet, veceſſe eſt, datum poſteriorem angulum eſſe acutum, conſta req; de bet ſpecies lateris dato anguſo CG, oppoſiti. Si verò non ſecet, poterit poſterior datus angulus obtuſus eſſe, vel aeutus, problemaque ſoluetur, licet ſpecies lateris dato angulo CDG, oppoſiti non de tur, quę omnia demõ ſtrabimus. S ECE T ergo primum parallelus per E, deſcriptus eirculum BG, eritq; tune neceſſar io datus alter angulus BAZ, obtuſusg& maior priore angulo dato ABG. Arcus enim per L, deſcriptus efficiens cum Aequato re angulum æqualem poſteriori huic dato angulo, tangere debet parallelum per Z, deſcriptum, quem etiam tangit circulus AZ C vt cõſtat ex i. theor. ſcholij propoſ. 27. lib. 2. Theod. propte rea quod hi duo circuli efficientes æqua les angulos, æqualiter inclinantur ad Aequatorem. Cum ergo per L, duo circuli maximi tangentes ele, poſsint„ vnus quidem tangens in P,& alter tangens in R, vt mox docebimus, ſecabit vterque ſemicirculum BAD, in punctis Q, S, in fra punctũ L, productusʒ eo quod ſupra punctum L, verſus B. productus 18 B 1 ange punctum B, neuter ſecare poteſt: aliàs eſſet BL, arcus ſemicirculo maioc:- dan max imi eirculi ſe mutuo bifariam ſecent. Igitur tam angulus B01 dus PSI. obtuſus erit, obtuſoque BAL, æqualis, ſed maior obtufo dato ee ABl. quod anguli BAZ, arcus BZ, maior ſit arcu A G. anguli ABL, 1& portio rectę AC, inter A,& parallelum iuxta G,(quæ ipſi BZ, æ qua lis eſſj maior eſt, quam AG. Quoniam ergo duo triangula conſtituta ſunt B QL, BS L. cuius duo anguli ad B. Q, vel ad B, S, dati ſunt, vnd cum latete BL, oppoßto angu4o Q vel 8ʒ niſi conſtet ſpecies lateris LQ, vel LS, quorum illud uadrante ma ius eſt,& hoc minus,(Nam cum angulus externus BOL, interno BSL, a qualis fit, eruat per Propoſ. 15. noſtrorum triang. ſphær. LQ LS, ſemicirculo æqualia, 2 2 2 Cum a 1.1. Theo. 740 LLM Ni. Cum ergo per Theor.. ſcholij propoſ. 21 lib. 2. Theod. arcus LE 8, minor ſit arcu LQ eò quod ex L, puncto intra peripleriam Ac quatoris ſumpto tres areus ca der tes LK, LS, LQ, inæquales ſunt, minimus quidem LK,& LS, minor 5 n Lz; erit LS, quadrante minor,& LQ, maior) incerti erimus, vtrũ triangulorum accipete gebeamus. Quoc ſi eonſtiterit latus angulo ABL, dato oppo ſitum debere eſſe quadrante maius, deſcribendus erit per I.„eirculus tangens LPO. per pun ctum P, verſus 2 zſi vero idem latus quadrante debeat eſſe minus, d eſeribendus erit eirculus tangens RLS, per punctum R, tangens ad partes e, de Ita autem vtrumque cireulum tangentem per ea, quæ lib. z propoſ. 20.& in Lemmate. demonſtrata ſunt, deſeribemus. Dudta recta ex L, per E, inuentoque in ea puncto ipſi L, oppoſito, ſecetur recta inter ea puncta oppoſita bifariam in M; vel ducatur ad EL, perpendicularis diameter Th,& trium punctorum T, L, h, centrum reperiatur M, quod dictam rectam ſecabit bifariam, cum maximus circulus per T, L, h, deſeriptus tranſeat neceſſario per punctum oppoſi tum: atque ex M, excitetur perpendicularis MN. In hac enim centrum vtriuſque circuli tangentis exiſtit, quod ſic inuenietur. Iuncta recta I X, fiat angulo TXE, æqualis angulus X TV; cadetqʒ neceſſario punctum V vltta M, vt in Lemmate 41. oſten ſum eſt Deſcripto ergo ex E, per V, parallelo ſecante MN, in N,& O. erit N, cen trum circuli per L deſcripti tangentiſqʒ parallelum E R, in P, puncto extremo junctæ rectæ NEP; at vero O, centrũ exit circuli per L deſcripti, tangentisque eundem pa rallelum ZR, in R,. pũcto extremo iunctæ rectæ OER, vt in dicto Lemmate 41. demon ſtrauimus. DEIN E in figura ſecunda problematis 17. conſtituto rurſum dato angulo obtuſo ABR,& abſeiſſo arcu BR, dato lateri æqua li, conſtructoqʒ angulo obtuſo B Ai, vel aeuto DAi, æquali alteri dato angulo, non ſecet parallelus per i deſcriptus circulum BID. Dico in hoc caſu poſteriorem datum angulum poſſe eſſe vel acutum, vel obtuſum, propterea quod duo circuli tangentes paral lelum verſus centrum E, fecaut ſemicirculum BAD,& vicinior puncto B, facit ver ſus B. angulum acutum B f R. remotior verò angulum obtuſum BSR. Itaqʒ non eſt opus dari ſpeciem lateris angulo A B R, oppoſiti. Nam f alter datus angu lus eſt obtuſus, deſeribendus erit circulus maximus tangens ROs, ſi vers datus angulus acutus eſt, cireulus tangens R d f, deſcribendus eſt. Nam tam angulus BSR, obtuſo angulo B Ai,; quam angulus Bf R, acuto angulo D 1 10 Xqualis A N O N IXAII. 741 æqualis erit, cum circuli Ai C, f Re, RO, ſimiliter ad Ae quatorem inclinentur. Neque verò alius arcus præter R, duci poterit faciens angulum obtuſum æqua lem ipſi B Ai, qui cum arcu BR, in R, angulum conſtituat verſus E. 1 angens enim circulus f Reh ſecat Aequatorem in alio ſemicirculo B CD, vt in puncto e. Ita quoque tangens eirculus SR, ſecat Aequatorem in g. Ergo quando poſterior datus angulus eſt obtuſus, triangulum propoſitum erit BRð&, ſi vero acutus, triangulum BR. LAM verò ſit datus angulus obtuſus in 1. figura huius problematis conſtru ctus ADG,& datum latus DL, quadrante minus. Si igitur eadẽ fiant, quæ prius, ſi quidem parallelus ZR, circulum BG, ſecet, exit triangulum propoſitum vel DQ, vel DLS, ſemperqʒ datus poſterior angulus LQ, vel LSD, acutus erit, & qualis dato acuto DAZ. Igitur neceſſe eſt, notam eſſe ſpeciem lateris dato obtuſo angulo ADL, oppoſiti, vt quando malus eſt quadrante, triangulum DL, ſumatur, ſt verô quadrante minus, triangulum DLS. S I vero in ſecunda ligura Proble matis ig. datꝰ angulus obtuſus cõſtructus ſit ADR, & datum latus DR, quadran te minus,& paralle lus nõ ſecet circulum BLDferit propoſitum triã gulum vel DPRf, habens angulum alterum da tũ D f R, obtuſum, vel triãgulum DRS, habens angulum DS R, acutum Vbi ęetiã neceſſe non eſt dari ſpeciem arcus dato angulo obtuſo ADR, oppoſiti S E D iã in i figura huius problematis ſit datus angulus acutus cõſtructus CBG, & datũ latus BL, malius quadrante, ſecetque parallelus citculum BG D,&. Erit ergo triangulum propoſitũ vel BLf, vel BLg, habens ſemper poſteriorem angulũ datum B fL, vel BgL, obtuſum. Niſi ergo detur ſpecies later is oppoſiti angulo acuto CRI, dato, ambigemus, an ſumẽdum ſit latus Lg, quadrante maius, an vero L f, quadrante minus,&c. At ſi eadem ponantur, ſed parallelus circulum non ſecet, vt in 2. figura problematis 17. in qua conſtitutus angulus datus acutus eſt CBI,& datum latus quadrante maius BR, poterit trianguſum propoſitum eſſe vel B; Re, habene poſteriorem datum angulum Re z acutum, vel triangulum BRg, habens datum alterum angulum BgR, obtuſum, neque opus eſt, vt ſpecies lateris Re, vel Rg. data ſit. QvVOd ain j. ſigura huius problematis detur iterũ acutus angulus CDG, ſed datum latus BL, minus quadrante,& parallelus eirculum ſecet, erit triangu 2 lum 742 E EI n A 1 in lum propoſitum PL, vel D g L, habens ſemper poſteriorem angulum datum DL, vel DgL, acutum. Conſtare ergo debet, an ſumendus ſit arcus Lg, quadrante maior, an vero L f, quadrante minor. DENIQVE ſi in 2. figura problematis 17. datus ſit angulus acutus CDI,& datũ latus DR, minus quadrante,& parallelus circulum non ſecet, erit propoſitum triangulum vel PRe, habens poſteriorem datum angulum De R, obtuſum, vel triangulum DPRg, habens po ſteriorem datum angulum DgR, acutum; neque requi ritur, vt ſpecies lateris Re, vel Rg, dato acuto angulo CDR, oppoſito detur. E X his omnibus liquet, quando vnus datorum angu lorum conſtituitur vel in B, vel in D, ſiue obtuſus, ſiue acutus, ſi quide m alterius da ti anguli cõplementum maius fuerit cõplemento prioris, vt fit in 1. figura huſus ꝓble matis, neceſſe eſſe, vt ſpe. ces lateris priori dato angu le oppoſiti detur: ſi autem minus, non eſſe neceſſe, vt in 2. figura problematis 17. per ſpieuum eſt. Nam in 1. figura huius problematis EZ. complementum poſterioris anguli dati maius eſt, quam EG, complementum prioris: In 2. autem figura problematis 17. complementum poſterioris anguli, nimirum Ei, minus eſt areu E L, qui complementum eſt prioris anguli. IN omnibus autem caſibus prædictis eſt vnum laterum quæſitorum arcus Aequatoris, ideoque cognitum, alterum vero cognoſcetur, ſi eius polus reperia tur, vt in præcedentibus dictum eſt. Tertius quoque angulus notus fiet, quemad · modum in aliis problematibus. Vt in I. figura huius problematis angulus BL Q. cognoſcetur, cum eius partem BLE, metiatur arcus La, alteram autem partem OLE, arcus Lb. ſtatuendo punctum b. in interſectione rectæ a M, cum arcu LQ. Qua re ſi arcui La adiiciatur arcus ſimilis arcui Lb, conflabitur arcus totius anguli quæſiti BL,&c. Quibus In cf dus pre n in qalbus aon. e X. X. De V π SK NG Lis bl. 22. cum vno latere vni eorum oppoſito in triangulo obliquangulo. E reliquis duobus lateribus,& reliquo angulo, qui vni æorum oppoN uit ur, C AN ON XXII. 743 nitur, ſi modo conſtet ſpecies auguli quæſiti alteri lateri dato oppaſiti. SIT Aequator ABCD, circa centrum E, vt prius: Datum autem vnum latus ſit BE. Conſtituatur ad E, angulus datus, qui primum ſit obtuſus, quod ſic fiet. Ducta diametro FG, quam ad rectos angulos ſecet HI, accipiatur arcus dati anguli obtuſi HK, ductoquè radio FK, ſecante HI in L, conſtituet circulus per tria puncta FE, L, G, deſcriptus maximus angulum datum HFL Sit quoque alterum latus datum BQ, quadrante maius,& per Q, deſcribatur maximocireulo AC, parallelus FVQ, vt lib. 2. propoſ./. ad initium Num. 5. traditum eſt; hoc videlicet pacto. Ducto radio AQ, ſecante BD, in V, ſumatur arcus AX, arcui CQ, æ qualis. Circulus enim per tria pũcta X, V, Q. deſeriptus erit dictus parallelus, qui ſecet circulum FLG, in punctis O, P. Tam ergo maximus circuIus per tria puncta B, O, D, quam per tria puncta B, P, D, deſcriptus problema perficiet. Nam in triangulo BO, data ſunt duo latera BE BO,(cum BO, arcus arcui BQ, æqualis ſit, ex defin poli.) cum angulo BFEO, dato lateri BO, oppoſito. Item in triangulo BE, data ſunt duo latera BF, BP, quòd& arcus BP, arcui BQ, ex defin. poli æqualis ſit) cum eodem angulo BFP, dato lateri BP, oppoſito. Niſi ergo conſtet ſpecies anguli alteri dato lateri BE, oppoſiti, ambigui erimus, vtrum datorum triagulorum accipere debeamus. Quoniẽ enim ęqualia sũt latera BO, BP, ex defin. poli,& quadrã te maiora, erunt per propoſ. 25. noſtrorum triang. ſphæric. duo anguli BO, BPO, obtuſi, ideoque BPRHacutus. Si igitur cõſtet, angulum da to lateri BE, oppoſitum debe re eſſe obtuſum, ſumendum erit maius triãgulum BOF, minus vero BF, ſi conſtet, eundem angulum eſſe acutũ. Quod ſi ſecundum latus datum eſſet minus quadrante, fierent duo anguli BOP, B P O, acuti, ideoque BPE, obtuſus,& c. Atqueè ita, quo quotieſcunque parallelus per extremum punctum ſecundi lateris dati deſeriPtus ſecat intra Aequatorem circulum, qui cum Aequatore datum angulum in extremo puncto primi lateris dati conſtituit, duobus in locis, a mbiguum exit problema, niſi ſpecies angull, qui primo dato lateri opponitur, cognita ſit. Si vero dictus parallelus dictũ cireulum in vno tantum puncto intra Aequatorem ſecet, vel contingat, non erit ambiguum problema, cum vn um tantum triangulum tunc conſtitui poſsit. Vt ſi primum datum latus ſit BE, yt prius,& datus angulus acutus, cui æqualis cõſtituatur B5N,(quod fet, fi fumpto HM, ar cu Duos an guſos, æ fo, inquirere. Quando problema ſit abiguz & quando nog. Quando problema ſit impoſsipile. arcu dati anguli, radius iungat ur FM, ſecans Hl, in N,& per tria pũcta E, N, G, circulus deſcribatur.) datum autem ſęecundum latus ſit BR, minus quadrante, per cuius exttemum K, maximo circulo A C, parallelus defcribatur RVZ, ſe. cans circulum ENG, intra Aequatorem in yno tantum puncto sz ac deniqʒ per tria puncta B., 8, D, eirculus maximus deſcribatur: conſtitutum exit ſolũ vnum triangulum propoſitum B ES. Nam in altero puncto ſectionis paralleli RZ, extra Aequatorem ver ſus, non conſtituetur triangulum: quia latus à puncto F, per N, vſque adillam ſectionem maius eſt ſemicirculo. Sic etiam ſi datum pri mum la tus fit BE, quadrante maius,& datus angulus obtuſus BFL datum autẽ ſe cũdũ latus ſit BR, minus quadrã te, ſecabit parallelus RVYZ, circulum ELG, in. vno tantũ pũcto T. Quare vnicum tantũ triangulũ tũe datũ cõſtituetur BFT. EOD EM modo ſi datũ latus primum ſit quadrante minus BG,& datus angulus acutus BN, datum autem latus ſecundum BZ, minus quoque quadrante; ſecabit rut ſum parallelus ZVR, circulum GNF, in vno tantum puncto S, vnicumque triãgulum propoſitum BG, conſti tuetur. At ſi primum latus BG, datum ſit winus quadrã te, ſed datus angulus obtuſus BGL& datum ſecundum latus BX, quadrante maius, ſe. cabit parallelus XV, circulum GLE, in duobus punctis O. P intra gequator, ideoque duo triangula conſtituẽ tur B60, BG. Quare niſi detur ſpecies anguli, qui dato lateri BG, opponitur, igno rabitur, vtrum triangulorum aſſumendum ſit. 81 quando contingat, paral lelum per extremum punct um ſecundi lateris deſeriptum non ſecarè circulum, qui angulum datum efficit, intra Aequatoreg y roblema impoſsibile eſt, quod nimis magnum, vel paruum acceptum ſit ſecundum latus, Vt ſi primum latus datum ſit BF,& ſecũdum Bd,& datus angulus ſiue obtuſus BEL,(ue acutus BEN, problema ſolui non poteſt; quia parallelus d a b, neutrum FLG, PNG, ſecat intra Aequatorem. Eadem de cauſa impoſsibile wa, ſi primum latus ſit datum BG, vel BE,& ſecundum Bg, ſiue angu G, vel E, conſtitutus ſit obtuſus, ſiue acutusʒquia pa rallelus g fe, culorum interſecat intra Aequatorem. QVAESTITVM reliquum latus, nimirum FE O, vel EP, in alterutro tridgulorum BFO, BEP, notum fiet, vt in præcedentibus, ſ polus inueniatur circuli cuius dictum latus portio exiſtit. Reliqui vero duo anguli cognoſcentur etiam Per ea, quæ lib. z. propoſ. ij. ſcripſimus, ſicut& in antecedentibus dictum eſt. S C A Ocirculorũ erit problelus datus in neutrum cir IA IN OH N XXII. 8 c QyONI AM anguli,& laterà triangulorum ſphæricorum debent ſabere certam quandam quantitatem, vt em illis triangulum ſphæricum conatit ui poſsit, vt e præcedentibus problematibus colligitur,(quamuis in rebus Aſtronomicis ſemper talia triangula proponantur, que re ipſa in ſphæra exiſtunt,& non finguntur ad libitum. pla cet Hoc loco pauca quædam theoremata hac de te demonſtrare, vt uadlicare voſtimus, num triangulum quodpiam propoſitum fctitium ſit an vere in natura exiſtat n hinc exer diente s. 0 b 1. IN omni triangulo ſphærico rectangulo, cuius nullus arcuum ſit quadrans: angulus lateri, quod quadrante minus eſt, oppoſitus acutus eſt,& ipſo latere maior; oppſiotus vero lateri, quod maius eſt quadr ante, obtuſus eſt,& ipſo laterè m̃inof. RE HET ATR gur problematis 4. ſintque primum duo laters 48, AN. circa angulum rectum BAE, quudrante minbra,&. ducta diametro N Q deſcribatur ber tria puncta N, G, Qñ circulus maximus, ut triangulum ſthæricum conſtituatur AN; eritque angulus ANG, lateri A oppoſitus, acutusz quod eius arcus SO, quem recta RS, ad N Qperpendicularis refert, quadranteè minor ſit: id quod etiam ex ſeholio propoſ 2 f. noſtrorum triang. ſo har. conſtat. Cum enim duo latera A, AN, quadrante int minora, erit per illud ſcholium, vterque angulbrũ& N, acutus: Dito eundem angulum, hoc eſt, eius arcum SO, maiorem eſſe latere A G. Deſgrittus namque ex E, per O, Parallelus O Iycum circulum NO, tangat in O, ex ſcholio propoſe i 3. lib. 3. Eucl. ſecabit A E, inter E, ꝙ G. Cum ergo A, it SO, equalis ſit, conſtat SO, arcum anguli ING, maiorem eſſe latere 46. K 8S1T Theote mata varia de guſtugulorum fp cotum. Theor. 1. 746 E innen 81 T deinde latis A, quadrante minus, ſed B Q. quadrante maius, tirca recti angulum DA Eʒ& ducta diametro N, deſceibatur per tria puncta 2, G, N, circulus maximus, vt ſpharicum triangulum conſtruatur 40 in quo angulus A. lateri AG, opoſitus, acutus erit, propterea quod eius areas S O, quadrante minor eſt. Oſtendemus iam, vt prius, eundem angulum, ideſt, eius arcum S8 O, maiorem eſſe latere A6. RVR SVS duo latera CG, CN, circa rectum angulum BCE, ſint quadrante maiora,& ducta diametro N Q: eadem conſtrudtur, quæ prius. Erit angulus CNG, in triangulo C GN, lateri CG, oppoſitus, obtuſus; ob eius arcum RO, quadrante maioremzʒ ſed eius arcus RO, hoc eſt, CI. minor erit Iatere CG, oppoſito. DEN IQ E latus CG, ſit maius quadrante,& CO, minus, circa rectum angulum DCE, atque eadem ian: Erit rurſum angulus C Sz lateri C G, oppoſitus, obtuſus; ob eius arcum RO, gquadrante maiorem; ſed eius arcus RO, id eſt, CI, latere CG, minor erit, Itaque ſt in triangulo aliquo ſphærico rectangulo latus vnum circa redtum angulum contineat grad o. neceſſe eſt, angulum ohhoſftttum eſſe acutum, maiorem tamen, quù m grad. ao. Et ſi angulus dicatur el grad. go. oportet latus 0/poſitum minus eſſe, quàm grad c. At ſi vnum laterum complectatur grad. 130. erit neceſſario angulus oppoſitus, obtuſus, minor tamen, uam grad. 130 E. alter angulorum non rectorum ponntur eſſe grad. Iq o. erit latus oppoſicum maius, quæàim grad. Ig o. 2. IN omni triangulo ſphęrico rectangulo omnes ttes anguli quatuor rectis ſunt maiores, hoc eſt, duo anguli non recti miuores ſunt tribus rectis, ſiue gradibus 270. IN triangulo. A BC, ſit angulus A, retus. Dico duas religuos angulos A B G, 4B, tribus rectis minores eſſe. Productis enim lateribus A B, AC, circa angulum rectum, donec concurrant in D, eſficianturquè ſomicirculi ABD, ACD, 9 20. 15 3. — CG A N ON XXII. 747 o/ 1 3. noſtrorum triang. ſphar. angulus quoque D, rectus. Cum ergo tam duo A3. DBC, quam duo ACB, DOB, per propoſis. eorundem triangulorum ſint duobus recti agquales; erunt omnes ſex anguli A, D, ABC, DBC, AcB;, Do, ſeæ rectis aquales. Igitur cum tres anguli in triangulo DBC, per propoſſ 3 1. eorundem triang. ſint duobus rectis maiores, eruntreliqui tres anguli in triangulo ABC, quatuor rectis minores; at proinde ex iſtente A, recto, reliqui duo A BC, A C B, tribus rectis, hoc eſt, gradib. 270. erunt minores. Itaqus ſi in triangulo ſphærico rectangulo vnus angulorum non rectorum ſtatuatur grad. 1 5 O. erit neceſſario alter minor, quam grad. 1 20. 3. IN triangulo ſphærico rectangulo Iſoſcele, ſi duo æquales anguli ſint acuti, erit vterque ſemirecto maior: ſi vero obtuſi, recto cum ſemiſſe minor. SIN primum in Lſoſcele DBC, cuius angulus D, rectus, duo anguli B, C, acuri. Dico vtrumque eſſe ſemirecto maiorem. Quoniam enim omnes tres ſunt duo bus rectis maiores, ex propoſiz I. triang. ¶phar. erunt duo B, C vno recto maiores. Cum ergo aquales ſint, erit vterlibet ſemiretto maior. S INT dende in I ſoſcelè A BC, cuius angulus A, rectus, duo anguli B, C, obtuſi. Dico vtrumque minorem eſſo recto cum ſemiſſe. Cum enim omnes tres ſint, per rhheor. 2. Juatuor rect is minores, c duo B, Cr tribus rectis minoreszſint autem hi duo equales, erit zuilibet minor vno recio cum ſemiſſe. Itaquęè in quolibet triangulo ſphærico Iſoſcele erit vlerque aqualium angulorum maior, quam grad. 5. ſed minor quam grad. 13 5. 4. IN omni triangulo ſphærico rectangulo vterlibet angulorum non rectorum maior eſt complemento alterius. S INT primum in triangulo D BO, cuius angulus D, rectus, duo anguli B, C, acid ri. Dico angulum B, maiorem eſſe complemenbo anguli C. Quoniam enim duo anguli B, C, maiores ſunt vno recto, cum om nes tres duobus ſint rectis maiores,& angulus C, cum ſiio complemento aquiualet iantum uni recto; perſpicuum est angulum B, maiorem eſſeè complemento anguli A O. Eademqusè de cauſa erit angulus C, ma B ior complemento anguli B. SIT deinde in triangulo DR E, angu lus D, rectus; DE, obtuſus,& DE B, acutus. Vbi liguido conſtat, obtuſum angu lum maiorem eſſe complemento acuti E, cum hoc complementum ſit angulus acutus. Dico angulum E, maiorem quoque eſſa comple mento anguli obtuſi D B E. Per polum enim arcus D, intelligatur deſcriptus ar cus maximi circuli BC, 4 eritquè angulus DBC, rectus, ideoque angulus CB E, acutus crit,& complementum obruſt anguli DBE, quo maiorem dico eſſe acutum angulum DEB. Quia enim dus anguli D, DBC, recti ſunt, erunt DOC, xc, quadrantes, per proPoſ. 5. noſtrorum triang. ſp har. ideoque arcus CE, quadrante minor, quod latus D E, Per propoſe 2. eorundem triang. ſit ſamicirculb minus. Igitur in triangulo BC E, cum larus BC, maius ſit latere C Ejerit per propoſ. 1 1. corundem rriang. angulus DEH, maior angulo CBE. g — Aaa8 2 IAM Theor.. THeor. 4. A IJ. 1. THeod. Theor. 5. 748 net III. 2AM vero ſi vterque angulorum ABC,& C B, in trrangulo A BCC, cuius angulus A, rectus, ſit obtuſus, liquet vtrumlibet maiorem eſſe alterius complemento, cum huiuſmodi complementum ſit angulus acutus. Itaque ſi in triangulo rectangulo vterque angulorum non rectorum ſit acutus,& vnus ſtatuatur grad. roi eit neceſſario alter ma ior, quam grad. 30. Si vero vnus ſit acutus,& alter obtuſus; ſi quidem acutus ponatur grad. go. erit omnino obtuſus minor, quam grad. 1 40. quia complementum grad. 140. complectitur grad. 50 quo complemento maior eſſe debet datus angulus grad. 5 o. Sic ſi obuſus angulus ponatur grad. 14 c. neceſſe et, acutum maiorem eſſe, quam grad 50. vl maior eſſe poſeit complemento anguli obtuſi. 5. IN omni triangulo ſphærico rectangulo vteruis reliquorum angulorum non rectorum minor eſt angulo quo complementum alter ius à duobus rectis, id eſt, a ſemicirculo differt. LN ̃triangulo DBC, ſit angulus D, rectus. Si igitur alter angulorum, nimirum B, acutus ſis, quicquid ſit de altero C, liquido conſtat, angulum B, minorem eſſe eo, quo complementum anguli C, a ſemicirculo diſtert. Nam cum hoc complementum ſit ua · drante zninus, erit diſferentia inter ipſum,& ſemicirculum quadrante maior. S] vero in triangulo ABC angilus A, ſurectus,& vterq: B, C, obtuſus, erit vt era que B, C, in triangulo D BOC, acutus. Et quia acutus DB C, per theor. 4. maior eſt complemento acuti D B, hoc eſt, comple8 F mento obͤ B, quod duo anguli ad C. D idem habeant complementum, eſficit que tam A Hoc complementum cum diſferentia, qua a E ſemicirculo diſfert, quam acutus angulus 2 DBC, cum obtuſo A B C, ſemicirculum, id eſt, duos rectos; ſi inde aufe ratur complementum obtuſi anguli A C B,& hinc acutus angulus DBC, qui illo complemento maior eſt: reliquus erit angulus obtuſus ABC, minor quam diſterentia, qua complementum alterius anguli obtuſi A CB, a ſemicirculo diſfert. Bademque rat ione minor oſtendetur obtuſus angulus A CB, quam diſferentia inter complementum obtuſi anguli ABC,& ſemicirculum. 8deniqut in eodem triangulo ABC, angulus B, ſit acutus, ideoque DBC, obtufas;& Cs, obtuſus, ideoque DC B, acutusziam initio huius theoremntis dictum eſt, acurum ABC, minorem eſſe diſferentia inter complementum anguli obtuſi AC B,& ſemicirculum. Eſſe autem& obtuſum AC B, minorem diſferentia inter cumplement um acuti ABC,& ſemicirculum, ſic patebit. Quoniam acutus DC B, per theorema 4. mazor eſt complemento obtuſi DBC, hoc eſt, complemento acuti ABC, qurd idem ſit complementum vtriuſque anguli ad B, eſſicitque complementum hoc cum diſferentia inter ipſum, ac ſemicirculum A BC, duos rectos, ſiue ſemicirculumz eſſiciet a cutus DC B, cum eadem diſferentia maior es duobus rectis. Cum ergo DC B, acutus cum obtuſo AO B, con fciat tantummodo duos rectos, erit obtiſſus AC B, minor, quam pradicta diſferentia in rer complomentum acuti anguli ABC, ac ſemicirculum. Itaqus ſi intriangulo rectan gulo vterque reliquorum angulo rum non rectorum ponatur obtuſus,& uns ſit grad. 30. erit neceſſario alter minor, quam grad. 140. vt ille minor eſſe poſsit, quai differentis . Gro ir rentia inter complementum huius,(quod debet eſſe minus grad. 5 o.)& ſemicirculum. Sic ſi vnus angulorum ſtatuatur grad. 140. neceſſe erit, alterum minorem eſſe, qu ans grad. 130. Nam cum huius complementum grad. 40. demptum ex ſemicirculo relin2uat grad. t go. non ſoret ille minor hac diſterontia. quod eſt ab ſurdum. Quod ſi vnus ſit acutus,& obtuſus alter, acutus autem bonatur grad. 5 o. erit neceſſario obruſus minor; quam grad. 140. alias non eſſet minor, uam diſferentia inter illius complemenrum, quod eſt grad. go.& ſemicirculum. Eadem ratione i obt uſus contincat grad. i 40. continebit acurus plures grad. quam go. 6. IN quouis triangulo ſphærico duo anguli quomodocunque ſumpti ſunt ſimul maiores differentia inter reliquum, ac ſemicirculum. i IN friangulo ABE, quocunque ſumantur, vt libet, duo anguli A, A B E. Dic eos ſimul maiores eſſe angiilo; E B, quo tertius A E„A duobus rectis diſtert. Quoniam enim duo A, ABE, cum A E B, conſtituunt plus, quò m duos recios, ex propoſ. f. noſlrorum triang ſphar.& angulus B E D, cum eode m AEB, duos ſolum rectos conNoir et, vt duo A, AB E, ſimul maæiores ſint angulo BED. EX quo colligitur, in omni triangulo ſphærico, producto vno latere externum angulum eſſe maiorem duobus internis& oppo ſitis ſimul ſumptis. ITA E fi auo anguli conſtituantur grad. a. grad. yo. neceſſe eſt, tertium eſſe maiorem qudm grad. xo. alis illi duo conſicientes grad. f Io. non eſſent maiores, zuùm grad. I Io. quibus tertius A ſemicirculo diſfert. Sic etiam ſi vnus ſtatuatur grad. Jo. neceſſe eſt, reli quos duos ſimul maiores ces 2e, grad. 12 o. quibus ille& ſemicirculo diſfert. 7. IN omni triangulo ſphærico duo anguli quomodocunq; ſumpti ſunt ſimul minòres differentia inter angulum vel arcum, quo reliquus à ſemicirculo, vel duobus rectis differt,& integrum circulum, ſiue quatuor rectos. SIT triangulum qphæricum ãꝛuodcunque ABC. Dico duos angulos B. C, fmul Me minores diſferentia inter arcum, 4 reliquus angulus A. a ſemicirculo diſſert,& rotum circulum, ſiue quatuor rectos. Productis enim arcubus AB, 4 donec ſe ſebent in D, erit per propoſ I 3. noſtrorum eri ang. oharit. angulus B DC, angulo A, aqua 115.& CDG, angulus, quo ipſe angulus B D, vel A, à duobus rectus diſfert: dierentia autem inter hunc angulum CDG,& F. rectos, vel totum circulum, complecte7% trer angulos C DB, BDF, FD. Probandum gitur eſt, duos angulos A BC. Ach, ſimul minores eſſ tribus angulis C DB, B DF, Z DG. uod ſic fiet. Quoni am per theor. 6. duo anguli DBC, DB, ſimul maiores ſunt angule D, quo reliquus angulus B DC, à duobus rectis diſfert,& tam duo anguli DC, DC 3, vnà cum duobus ABC, A CB, uam angulus C DG, cum rribiis C DB, BDF, F Do, gquatuor rectis æquales ſunt: ſi inde rollantur duo DBC, DCB,& hinc angulus C D G, qui illi nor eſt aſtenſusz reliqui erunt duo anguli ABC, Ac B, minores tribus an gulis C DB, BF. FDG, quod eſi Propoſitum. Itaqus ſi in ſuolibet triangulo n harico duo anguli ſimul honantur continere grad. 3 oo. neceſſe eſt rertium maiorem eſſe, quà m grad. 1 20. 2a tunc di ferentia inter hunc,& duos rectos erit minor, quà m grad. o. ac proinde 4442 2 diſferentia Theor, G. Coroll. Theor. y. Theor. 5. eſiti 1. Declinatio dati puncti in Ecliptiea, qus pacto nne caſculo per triangula ſphærica repeiiatur Arens Eeliptiea datæ declinatio ui reſpondens, quo pacto per triang. ſphær. fine calculo deter mieur. 750 Rn diſferentia inter differentiam& integrum circulum maior, auùm grad. 3 00. ideoque duo anguli poſiti ſimul minores erunt hac diſferentia. 8. IN quolibet triangulo ſphærico differentia inter ſummam duorum angulorum vtcunque ſumptorum,& integrum circulum, ſiue quatuor rectos, maior eſt, quàm d ifferentia inter reliquum angulum, ac ſemicirculum, ſiue duos rectos. SIT rurſus triangulum ABC. Dico differëtiam inter duos angulos ABC, AC B, & quatuor rectos maiorem eſſe diſferentia inter reliquum angulum A,& duos rectos. Fata namque eadem conſtructione, conſicient duo anguli DBC, DCB, ſimul differentiam ini er duos angulos ABC, AC B, ſimul,& ꝗ. rectos;& angulus C DG, differentia erit inter reliquum angulum A, hoc eſt, inter angulum 5; DC,(qui per propoſ. 1g. noſtrorum triang. phæric. ipſi A, aqualis eſt,)& duos rectos. Cum ergo per theor. 6. duo anguli DBC, DC, ſimul maiores ſint angulo DG, liquet id, quod proponitur. Itaque ſi in quouis triangulo Shærico duo anguli ſimul ſtatu antur conſicere grad. 3 0b. oportet neceſſario tertium angulum eſſe maiorem, quæm grad. 140. quia runc diſJerentia inter grad. 3 00.& 360. continet grad. Co. at diſferentia inter tertium ang IA, qui maior eſt, quàm grad. 120.& duos rectos, ſiue grad. i do. minor erit, grad. d o. E X his igitur facile colligemus, num ex tribus angulis pharicis in ſphæra propoſitis trlangulum in ꝙhera conſtituatur, nec ne. H I expoſitis, ac demonſtratis, vt Audioſus Lector intelligat, quàm iucundum vſum habeat doctrina triangulorum ſpharicorum in Actrolabi o deſcriptorum, libet paucis hoc loco pleraque problemata, qua in ſuberioribus Canonibus per circulos ſphara in Aſfrolabio deſeripros foluimus, per triangula ſphærica rurſum expedirèe. Hine ergo exordiamur. AE SI V l DECLINATIONEM cuiuſuis pũcti Eclipticę, vel ſtellæ, cuius longitudo, latitudoq́; nota ſit, indagare. Et viciſsim ex data declinatione punctum Eclipticæ determinare, cui congruit. ARC Vs Eelipticæ inter datum punctum,& proximum æquinoctij punctum poſitus, cum arcu declinationis,(qui portio eſt maximi circuli per polos mundi,& datum Eclipticæ pundtum ducti)& arcu Aequatoris inter idem punctum æquinoctij,& arcum declinationis intercepto, triangulum ſpheæric um conſtituit rectangulum, in quo ex baſe( hoc eſt, ex arcu Eclipticæ inter proximum quinoctij pundtum„ datum pundtium, cuius declinatio quaritur) ch angulo maxima declinationis, quem Aequator,& Ecliptica continent) latus huic angulo oppoſitum(arcus videlicet declinationis) inueſtigandum eſt. Si igitur huiuſmodi triangulum extruatur, ur in problemate 8. tra ditum eſi, inuentus erit declinationis arcus quaſitus. 0 D ſi declinatio data ſit,& arcus Eelipticæ inquirendus, cui congruas: fet id per problema 14. ubi baſis,(qua eſt arcus Ecliptica qeſitus) inquiritur ex later e dato,(cuiuſmodi eſt arcus declinationis,)& angulo ei oppoſiro,(qui hic eſt angulus ma ima declinationit) quod in dato caſus facile ſiet, cum conſtet, baſem eſſe zuadran te mi norem : DEIN. ——— eee C A NIA N XXII. 751 DEIN D E, ex polo mundi,& polo Eclipſica per centrum Hella duo circuli maximi intelligantur deſcripti, qucrum ille ſtella declinat ionem, Hic verò latitudinem metitur, conqtituitur triangulum ſphæricum, in quo duo latera not a ſunt,(arcus videlicet Coluri ſolſtitiorum inter duos polos incluſus, ac maxima declinationi equalis,& complementum latitudinis, ſius arcus circuli latitudinis inter polum Ecliptica& centum ſtella.) vnà cum angulo ab eis comprehenſo, quem cilicet metitur dictantia el la A principio S, quando latitudo eius eſt borealis, vel& principio V, quando latitudo ei auſtralis: qua quidem diſtantia à c. numeranda 010 ſecundum ſignorum facceſe ſoone m. ſi ſtella in ſomicireulo deſcendente exiſtit, contra verò, ſi in aſcendente: à autem ſecundum ſucceſſionem numeranda eſt, ſi in aſcendente ſemicirculo exiſtit, contra verò, ſi in deſcendente. Huiuſmodi triangulum eſt FG H, in 12. illis circulis, guos ad g̃nem ſeholß canbnis. deſcripſimus. Si igitur per problema 19. quaratur latus tertium in eo triangulo, quod est complementum declinationis.ſtella, ex duobuss reliquis lateribus, quorum vnum maximæ declinationi.& Qalterum complem ento latirudinis ſtellæ æquale eſt, atq; ex angulo ab ipſis comprehenſo, qui aqualis et, vt diximus, diſtantia ſcella&. vel V, complementum declinationis latere non poteris. Quando tamen tertium Iatus dicti trianguli inuentum, maius eſt guadrante, decracto quadrante, reliqua iet declinatio ſtella contrariæ denominationis cum latitudine. In alijs caſibus omnibus tertium latus complementum eſt declinationis, c eiuſdem nominis cum latitudine. n HO C gquaſitum Facilius ita abſoluetur. In figura problematis. fat angulus maxima declinationis A Bb, quem uidelicet Ab, ideoque& A. b, arcus maxima de · elinationis metiatur. Sumpta deinde quadrante h̊ m, ex hibeat radius Bm, folum un; eirculi B U D. Si igitur accipiatur arcus B p. arcui Eclipticæ dato aqualis, auferet recta nps arcum B̃ i, ei aqualoem. Ducta ergo recta Ei N, referente circulum declinationis, erit i N, arcus declinationis qua ſitus, cui æqualis eſt arcus& 4, deſcripto * ex E, Inuentio facilior declinationis da · ti puncꝭi Eclipy · ticæ. 752 LI N WI 1. ex E, per i, parallelo i k, vt æquales ſint Ni, A k, Ge. Aigus ita dato arcu Eclipticæ, inuenta eſt eius declinatio. e RV RS VS ſi data ſit declinatio A fiat iterum angulus A BB, maxim declina Zuol dier del“. rionis. Deinde ducko radio Bg, vt A k, ſit quoqueè arcus declinationis data,& deſcripto der. Pon. ex E. per k, parallelo ki, ſecantè circulum Bb D, in izerit Bi, arcus Eeliptica quaſitus. eat. 5* 8 g 2 Nam ducta recta EIN, arcus i N, ipſi Ak, vel A g aqualis, metietur declinationem puncti i. Qui arcus B̃ i, æqualis eſt arcui Aequatoris By, quem aufert recta n i, ex n, Polo circuli Bb D, ¶ qui inuenitur per quadrantem Em, vt ſupra) per i, extenſa. T... 8 eadem figura, far angulus A Bb, Aiſtantiaæ ſtella princideclinationis fel 5 Hy eius latitiido borealis ett, vel a principio ii auſtralis, ſiue ſacundum ſucceſIr. fionem ſignorum, ſiue contra, ea numeranda ſit, vt ſupra dictum eſt: deinde ſumatur ar cus B N, æqualis arcui maximꝰæ declinationis inter polum mundi,& polum Etliptica; iiem abſcindalur ex circulo Bb D, arcus equalis complemento latitudinis ſtella per redlam ex eius polo n, per extremum hpundium arcus eiuſclem complementi in A equatore ſumpti eductam; ac denique per ſinem huius arcus,& punctum N, eiuſgue opboſitum Ss eirculus deſcribatur. Nam huius circuli arcus inter N,& punctum extremum arcus complementi latitudinis ſtella a circulo BD, abſciſſi poſitus dabit complimentum declinationis ſtella: ſi arcus ille interceptus minor fuerit quadrante, vel ſi maior quadrante ſuerit, arcum compoſitum ex guadrante,& declinatione, vt ſupra divimus. Hic autem arcis cognoſcetur per rectas em eius polo emiſſas,&. Fit enim hoc modo triangulum ſimile omnino triangulo FG H, in illis 1 2. circulis ſcholij Can. 3. cum BN, reſpon deat arcui Fœ,& arcus complementi latitudinis gtellæ ex circulo BD, ab ſciſſus arcui GH,& rertius denique arcus inuentus arcui FH,& c. AND dictantia ſtellæ à S. vel ho, maior eſt quadr ante, conſtituendus exit eius angalus C Bb,& arcus RR. fumendiis v. g.aqualis declinationi naximæ„Cc. 4 Queſiti 2. Se eM I. f ASCENSIONE M, deſcenſionemque rectam dati puncti Eclipticæ, vel ſtellæ inquirere: Etviciſsim ex data recta aſcenſione, deſcenſioneue punctum Eclipticæ reſpondens cognoſcere: Ac poſtremo punctum Eclipticæ, quod cum ſtella in ſphæra recta oritur, occidit,& cælum mediat, explorare. S per problema 9. conſtituatur triangulum ſphæricum rectangulum, cuius baſis ſit eee arcus Ecliptice inter proximum punctum æquinoctiale,& punttum datum,& angueti Eclipticæ, Ius maxima dleclinationis, adiacen: quæſito lateri arcui videlicet Aequatoris rectam a1 5275 ber 4 ſcenſionem, deſcenſionemus netienti: inuentus erit hic arcus A eguatoris, vt in eo proaumetit cegno-. blemate dictum est. Nam dictus E clipticæ arcus, arcus declinationis,& arcus aſcencatur. ſionis, deſcenſionimè recta, eiuſmodi triangulum conſtituunt, cuius unus angulorum non rectus maximæ declinationis æqualis eſi. pundam Eell- 1 CSM, race aſconſoni, aut deſcenſoni data reperiendus ſi: arcus Eclipticr data aſcẽ· pticæ reſpondens, dabitur in eodem rriangulo rect angulo, de quo proxime dictum eſilaGon gate ie, rus num, nimirum arcus Aequatoris rectam aſcenſionem, deſcenſionemue meriens,& pondent, quo idem angulus maximæ declinationgs illi lateri adiatens: Ex quibus baſis, id est, arcur 5 biete. Ecliptica reſponden: inueſtigabitur, vt in problemate 13. dicum eſt. Sed ſro arcu aſcen tar kae nuneris ſionis, vel deſcenſionis accipiendus eſt ſamper areus A equatorit quadrante 72 v in ſcholio C. HK N O N XXII. 753 in ſcholio Can. 4. Num. G. factum eſt a nobis. LNTELTLIGANTyRN deinde ex polo mundi,& polo Ecliptica, per ftellam auci duo circuli maximi, vt conſtituntur triangulum FG H, in 12. illis circulis ſcholij Can. 3. Et quia in hoc triangulo duo latera ſunt cognita, nimirum arcus Coluri ſelſki tiorum inter duos polos, qui maximæ declinationi aqualis eſt;& complementum ati tudinisſtelle; vnd cum angulo ab ipſis comprehenſo, cum eum metiatur diſtantia& Principio&, vel V;% per problema 19. conſtituatur eiuſmodi triangulum, quale eſt in figura problematis 1 F. triangulum B K F, inuenietur angulus, quem cum Coluro circulus declinationis in polo mundi eſficit, nimirum angulus GEH, in pradictis 12. circulis, quem metitur aſcenſio redia à S. vel V, inchoata, cc. 1 5E D c hoc problema facilius Fortaſſè ita expediemus. In figura problematis r. N fat angulus maxima declinationis A Bb,& arcus Bi, aqualis ſit arcui Eclipticæ à roximo puncto æquinoctij numerato, qui facile alſcindetur, ſi ei equalis in Aequatore ſumatur B p.& rect a np, ex n, polo circuli Bb P, per p, aducatur, ce. Recla namque Ei, Horixontem rectum refereus abſcindet arcum B N, Aſcenſianis, deſcenſionike rectæ. SON TRA verd, ſi data aſcenſione rect a, rurſum flat angulus A Bb, maximæ declinationis,& arcus B N, aſcenſionem rectam datam metiatur; abſcindet reda E N, arcum Ecliptica Bi, reſpondentem: quem notum eficiet recta ni, ex polo n, emiſſa,&ec. 5 DEIN PE ſſi conſpituatur angulus A B i, dittantia Hella A, vel V, acciPiaturquè arqus BN, maxima declinationis,& com plemento latitudinis elle æqualis arcus abſcindatur ex circulo Bh D, her rect am ex n, eius polo emiſſam Vſque ad pun dum terminans arcum Aequatoris eidem complemento latitudini: ſtellè æqualem: ac tandem per terminum huius arcus,& per N, eiuſque punctum oppoſitum circulus deſcribatur, reſpondebit eius arcus inter N,& circulum Bib D, incluſus arcui FH, in triangulo FOE, 12. circulori ſebolij Can. 3. Angulus ergo, quem idem arcus cum Aſcenſo, vel deſcenſi o recta ſtelIæ quo pacto per triang. ſphær. ſi. ne numeris, co. Suita fiat. Inuentio facilior aſcenſionis rectaæ dati puncti Ecliptiex. Inuentio faciliot puncti Ecliptica reſpondentis datæ aſcenſioni re · ctæ. Inuentio facilior aſcenſtionĩis rectæ datæ fell æ. 754 LA B N n 111. cum arcu RN, in polo mundano, qui nunc eſt N, facit, dabit aſcenſionem rectam à S, vel, V, inchoatam. t. i forte diſtantia ſtella à q, vel v, maior fuerit quadräte, conſtituendus m cum te. 3 8 7. 2. oliens, oecidenſ. erit eius angulus C B bs recto maior,& in quadrante B C, accipiendus arcus maxim. que,& cælũ me- declinationis, cc. e P NCT M Eclipticæ, quod huic aſcenſioni rectæ congruit, erit illud, cum uo data ſtella oritur, occiditq;,& calum mediat in ſphara recta. Vaſes 3. QVAESITVM III. AS CENSIONE M, deſcenſionemq́; obliquam dati puncti Eclipticæ, vel ſtellæ inueſtigare: Et viciſsim punctum Eclipticæ datæ aſcenſioni deſcenſioniuè obliquæ congruens determinare; ac denique punctum Eclipticæ, cum quo data ſtella oritur, occiditq́; in obliqua ſphæra, inuenire. 1 AR CVS Eclipticæ& principio V, vel Q, vſque ad punctum datum orient an am dati pun- Fecundum fucceſſionem ſnorum numeratus conſtituit cum Aequatore, atque HoriAi keliptics per æonte obliquo triangulum ſpharicum obliguangulum, in quo duo anguli dati ſunt, anLe, gulus videlicet mamima declinationis, quem Ecliptica cum Aequatore eſſicit,& annelligate. gulus, quem Aequator cum Horixonte conckituit, qui guidem ab M, uſque ad Q, obtuſus ſomper eſt, vergitq;ʒ in boream, C relinquitur, ſi complementum altitudinis poli ex ſemicirculo dematur; acutus ver ò&, vſque ad V, ipſemet nimirum angulus complementi altitudinis poli, vergitgus in auſirum; d riori dato angulo oppoſcts, arcus videlicet Etlipties al V, vel, vſque 4 punctum numeratus. Si igitur pen problema 2. quaratur arcus Aeguatoris aſcenſnem obli qu metiens, em dato arcu Eclipticæ, qui vni datorum anguloris ohponitur,& duobus dictis angulis, cum conſter, tertium arcum Horixontis, qui alteri dato angulo oppoſitus eſt, eſſe quadrante minorem, nimirumlatitudini ortiua æqualem; inuenta erit aſcenſio obliqua dati pundti Eclipticæ. NON aliter deſcenſio obliqua dati puncti Eclipticæ inueſtigabitur; cum ſimile prorſus triangulum ſub Horixonte occidentali conſtituatur, niſi quod angulus, quem Aequator cum Horixonte eſicit, acutus eft ab V, uſque ad&, at verò à A, uſque ad V, obtuſus. Puncum Eelip-- Q O D obliqua aſcenſio, ſiue deſcenſio detur,; erunt in eodem triangulo, de 8—.— quo proxime dictum eſt, ij dem duo anguli dati, vnà cum arcu A equatoris illis adiadeni ebliqur cõ gente, qui aſcenſſonem, deſcenſionemite datä metitur. Igitur per problema 2 o. ex illis 8 boc nume datis cognitus ſiet arcus Eclipticæ quæſitus, cui videlicet data aſcenſio, vel deſcenſio tis altignare. cdu enit. Eſt autè aſcenſio, deſccſioue data ſumoda ſemicirculo minor; ita ut ea exiſiste maiore, ſemicirculus ſubtrahatur, ut aſcenſio, vel deſcenſio à&, inchoata habeatur. Abra de: FAC TL IV S autem fertaſſis vtrumque hac alia ratione eequemur. In fgura bonisne obliquæ problematis 5. conſlituatur angulus A B, maxim«æ declinationis, ch ex ſemicirculo dati puncti Eeli· BHD, abſcindatur arcus B i, vel BI, equalis dato arcui Ecliptica per rectam ex un, 2 polo emiſſam ad pundtum Aequatoris, quod terminat arcum æqualem à B, inchoatum. Si enim per extremum pundtum i, vel I,; deſcribatur arcus Horixontis, cuius centrum ſit in parallelo per Horixontis centrum deſcripto,& concauum vergat verſus Bz abſcindet hic arcus ex Aequatore aſcenſionem obliquam puncti i, vell, vt patet. Si autem conuerum arcus Horixontis per i, aut l, deſcripti vergat verſus B, abſcindet is ex Aequatore deſcenſionem obliquam. atulſquè inſuper eſt arcus poste datum CONTRA A iA N O KXII. 755 CONTRA verò, ſi aſcenſio, vel deſcenſio obligua numeretur in Aequarore à B.& per extremum pundtum Horixon deſcrihatur, ita vt eius Warp, reſpictas 10 res B, ſi dle aſcenſione agitur, one rum verb: ſi de deſcenſioneʒ indicabit Horizon hic in circulo B h P, prnctum Eclipticæ& principio V, aut QA, numerandum, cui data o vel deſcenſio congruit,& c. 772 5 10 2555 8 deſcenſiolbe obliqua ſtella cuiusolibet inueniatur, exploranda elt eius diſferentia aſcenſionalis, hac rationè. Arcus circuli declinationis ex folo mundi per ſtellam, cum oritur, ducti, inter gtellam& A egquatorem poſius,& arcus Horixontis latitudinem ortiuum metiens atque arcus Aequatoris meriens differen. tiam aſcenſionalem, conſtituuni triangulum ſfhæricum rectangulum, in 2ubo arcus declinationis per qu aſitum f. datus eſt, cum angulo oppoſito, zuem cum E orixonte A e quator eſſicit, hoc ect, cum angulo complementi altitudimis poli. Igitur ex fiſte datis per problema Io. eruetur arcus diſßerentia aſcenſionalis, qui dato angulo adiacet, cum conſtet, arcum hiuunc quaſitum eſſe quadrante minorem. 5 HAN C aſcenſionalem diſßerentia facilius fortaſſis ita reperiemus. In faura problematis s. fiat angulus A Bb, complementi altitudinis poli,& arcus A k, metiatur declinationem ſtella, ab ſciſſis ber radium B g, ex B, ad g, ertremum arch A, declinationis emiſſum: eritque A k, minor ares A ui complementii allitudinis poli metitur, cum hic loquamur de altitudine poli, qua maior non ſit, quam grad. co min. 30. Deſcripro ergo ex E, per k, Parallelo ſocante arcum Bb, in i; auferet recta E i, arcum B N, diſferentia aſtenſionalis uæſica: propterea quod eriangulum Bi N, eſt illud, de quo proæime dictum eſt: quippe cum i N, arcus agualis ſit arcui Ak, declinationis,& c. Declinatio autem ſella minor eſſe debet complemento altitudinis oli: alids aon oriretur, aut octideret, vel certe Horixontem angerel, atque ira non haberet diff Ferentiam aſcenſioualem, vt in ſphara docuimus. Wo padio autem per alſferentiam aſcenſionalem ha aſcenſio, vel deſcenſio ob. ligua eliciatur, in ſcholio Can. g. ad nem Num. 1. docui muss. B b bbb 81. TInnentio facilior puncti Ecliptica datæ aſcenſioni vel deſcenſioni obliquæ te ſpondentis. Differentia aſcen ſionalis ſtellæ, vel puncti dati Eclipticæ, quo racto per triãg. ſphær. ſine nume ris reperiatur Inuentio faciſiag d fkerentiæ acc alit. 756 E EI KR T A1 SITMILI prorſus modo diſferentia aſcenſionalis cuiuſuis puncti Eclipticæ inue· nietur, ſi pro ella ipſum punctum Eclipticæ in Rorixonte ponamus. Ecliptier pun- ver 3 5 g e 7. Auf en l 2 NCT M denique Ecliptica, cui congruit aſcenſis vel deſcenſio obliqua oriens, vel occi- ſtella, eſt illud, cum uo bella oritur, aut occidit in ſphara obliqua: Cum eodem autem dens in ſphæra 145 7 0 77 8 1 5 5 bla. Puncto calum mediat, cum quo in recta ſphara or itur; aut calum medtat. alas 6. We ST tt, L ATITVDINEM ortiuam, occiduamq; cuiuslibet puncti Eclipticæ, aut ſtellæ, explorare. Et è contrario, data latitudin e ortiua, aut occidua, punctum Eclipticæ reſpondens reperire. Talea u. N rrianguloſpharico rectangulo, de quo in fine pracedentis gquaſiti dictum eſt, N e inquirenda erit baſis, id ec, arcus Horixcntis j vel latitudinis ortiuæ ex art declivel delle uadaga nalionis pen quaſitum 1. cognito, C angulo complementi altitudinis poli, qui arcui deba dae nume clinationis opponitur: zuemadmodum in pro blemate 14. traditum eſt; cum conſtet, is;& conta. eam baſem eſſe minorem quadrante. E I ſſi latitudo ortiua data elt, inueſtigandus erit in bolem tyiangillo arcus declinationis ex baſes, qua eit latitudo ortiua,& angulo complementi altitu dinis poli, ui arcui quaſito opponitur, vt in problematè 8. ſcripſimus,&. rauentio fcile- V E L Facilius ſie agemus. In figura problematis i. ſiat angulus A Bb, complemen 3 orti- Aieudinis polis Sumpto autem arcu declinationis dati puncti, aut ſtella Ag, cui per i„ mi plementi altiradium Bg, equalis reſacetur A k;( erit autem A k, minor ten-, 3 zudlinis poli Ab: alias Sol, vel ſtella neque oriretur, e eee e 2 5 deferi le ante Bh D, in i, traij cia æimus.) deſrriptoque en E, per k, parallel ſecante„ a 5 cus BI, 5 5. 5 145 iangulum Bi N,& arg iʒ recta E i. Ita enim conſtitutum erit bradictum triangui latitudinem — E N O NA XXI. 757 Iatitudinem ortiuam metietur, qui per rectam m i, cagnoſcetur,&c.. YO D ſſi latitudo data ſit 5 cenſtituto angulo A B b. cemplementi altitudinis fo li, abſcindatur arcus latitudinis orgiuæ B 1 per rect amni, e polo n, emſſam 4 functum p, terminans arcum latiludinis ortiua B p. Nam ex tenſa recta en E, per i, dabit i N, arcum declinationis,&. Q VAE S ITV M V. ARC VM ſemidiurnum,& ſeminocturnum dati puncti Eclipticæ, aut ſtellæ inueſtigare. INV E NTA difßerètia aſcenſionali dati puncti Eelipcica, ſeu ſtelle, vt in quaſito 3. didtum eſt reperietur per eam arcus ſomidiurnus,& ſeminocturnus, vt in Can. y. Num. 3. tradidimus. GV AE SIT VM VI. DIS TANTTA M Solis, aut Stellæ à Meridiano per eius altitudinem exquirere. SI, vt problema ih. docnuit, conſiruatur triangulum ꝙꝓphericum ex tribus lateribus notis, quorum vnum eſt arcus complementi altitudinis poli in Meridiano inter polum mundi,& polum Horixontis poſttus; alter vero arcis circuli declinationis, vel Horarqj inter polum mundi, c centrum Solis, Helladte incluſus; qui, ſi aſtrum boreale eſt, complementum declinationis metitur, ſi autem auſtrale, eu guadrante,& declinarione conflarurs tertium denique arcus Herticalis per aſtrum ducti, metiens complementum cognita altitudinis: Si, inquam, huinſmodi triangulum conſtruatur, dabit angulus, quem Meridiani arcus,& arcus circuli declinationis comprehendunt, diſtantiam afri à Meridiano: qui angulus per propoſe is. libri 2. co gnitus fi et. VA FI. Crepuſculi magnitudinem perueſtigare. E ADE M ratione, ſi per problema 18. H haricum triangulum conſtruatur ex tribus datis lateribus, quorum vnum eſt arcus complementi altitudinis poli in Meridiano inter polum mundi, ch vertichm loci poſituss alterum verò, arcus circuli declinarionis inter polum mundi, c centrum Solis eæiſtentis in parallelo grad. 1 f. ſub Hori. ⁊onte; qui ſi Sol borealis eſt, complementum eſt declinationis, ſi verò auſtralis, ex quadrante,( decli natione conſlatur; tertium denique, arcus Verticalis per idem cen. trum Solis deſcripti, conſtans e quadrante c arcu grad. 1g. Si, inquam, hui ſmmodi Fat triagulum, dabit an gulus; quem arcus circuli declinationis cum Meridiand ici, arcum ex arcu ſemidiurno,& arcu Orepuſculi compoſitum: qui angulus per propoſ 15. lib. a. notus euadet, Si igitur em hoc artu dematur arcus ſemidiurnus reliquus erit arcus Crepuſculi. Abe QVAkQueſun 5. Areum ſemidiur vu m, ſeminoctur num. ne dati pun ci Eclipticæi aut ſtellæ ſine numeis per triangu. ſphær. definire. Su.. cd C. Diſtartiam Solis vel ſtellæ à Meridiano per trian gu. ſphær. ſine numeris ferutari Qua ſitii. f Cre puſculi maguitucinem per triang.ſphær. ne numexris explotate. Fudrum locorũ 7 5 vel ſtel in cœls ata metiQuast 9. 758 EIn SIR A 1 NAS MN Vir Diſtantiam duorum locorum in terra vel Stellarum in cælo, dimetiri. FIA per prollema ig. triangulum ſpharicum ex dluobus Laleribus notis cum angulo ab pſis comprehenſo, cuius duo latera nota, ſeent complementa latitudinum los corum, ſi vtriuſque latitudo horealis fuerit; vel arcus conflati ex quadrante, c latitudinibus, ſi latitudo vtriuſque fuerit auſtralis,&c. angulus verò ab ipſis comprehenſus datus, ect diſfærentia longitudinum, hoc eſt, determinatur ab arcu A equatoris ſemicirculo minore, inter Meridianos locorum Poſito. Nam tert ium latus, quod cognitum het per rectas ex eius polo inuento per eiuſdem extrema pundta extenſus, diſtantiam neter duo loca mani feſtabit. DEM dicendum eſt de diſsantia Stellarum, ſe pro circulis, qui latitudines locorum metiuntur, aceipiantur circuli latitudinum ſtellarum. ENEMY LI gratia. Sint duo loca borealia, h angulus, quem eorum Meridiani eſſiciun: C BS, vniuſqʒ complementum latitudinis Bd, e alterius Bo, vr in figura problematis 2, apparet. Si igi tur per G, eiusq; punctum oppoſitum F, ac per 8, maximus circulus deſcribatur, metietur arcus G 5,(quem notum reddet rectæ eæ eius polo educta, diſtantiam loci G,& loco S. Pari ratione ſi duo ſint loca auſtralia, ita vt angulo à Me ridianis conſtitutus ſit F B O, & arcus Meridianorum inter B. polum arcticum,& ipſa loca, ſint B̃ F, BO, cc. dabit ar. cus F O, locorum diſtantiam. Denique ſi unus locus ſit borealis,& auſtralis alter, ita vt Meridiani ipſorum eſſiciãt angulum GBP,& arcus Meridianorum inter ipſa loca, polum ardicum ſint BG, BB. c. erit eorum diqtatia arcu: GP. Aiq; ratio hac, vt vides, znulto eſt commodior, quam illa, quam in Can. 15. explica uimus. Nam in hac lineamenta non multum excurrunt; ſicut in illa, etiamſi vnus locorum ſit borealis,& alter auſtralis. GV AE SIT VM IX. ALTITVDINEM Solis ſupra quemlibet circulum maximum C AN O N XXI. 759 mum, eiusq́; diſtantiam horizontalem ſingulis horis inquirere. YAM ratio in Canone 16. enplicata Jacilis ſit, atque expedita; quando tamen vnius, duntaxat ant alterius horæ indaganda ſit altitudo Solis, Hor. xontaliſq; diſtantia, eſſicie mus id nullo ferò negotis, hat arte. Inuenta per Canonem 2 o. altitudi. ne poli ſupra datum circulum maximum, per Can. 1. inclinatione eius Meridiani proprij ad Meridianum Horixontis illius loci, in uo hac inueſtigantur, vi diſtantia Horarum ab eo M eridiano paſſint cognoſeiz fiat in fura eadem problematis 2 f. angudus C Bo, diſtantia date hora à proprio AMeridiano, ſirque BG, arcus proprij Meridiani inter B, polum mundi,& poſum dati cirtuli maximi G; arcus Vero BS, ſit complementum declmationis Solis, vel certe conflatus e quadrante,& declinatione, quando Solis diſtantia à polo ſupra darum cirtulum conſpicuo maior eſi, qua m grad. yo. Nam ſi per G, iuſque punctum oppoſitum F, ac per S, citculus maximus deſcribatur, erit æius arcus GS, inter polum dati circuli,& Solem, complementum altitudinis Solis quaſita. Si vero angulus diſtanti Solis à Meridiano proprio fuæit GBO,& arcus B O, inter polum conſpicuum ſupra datum circulum.& cSolem, hc. erit GO, complementum altitudinis Solis. Prior porrò caſus ſolum pro exemplo allatus eſt. Impoſſibile enim eſt, vt guando complementum declinationis eſi BS angulus diſtantiæ Solis à Meridiano proPrio poſſit eſſe G BS: quia altitudo Solis GS, eſſet quadrante maior, quod ſteri nequit. DISTANTIAM horixontalem ex hi bebit angulus B GS, vel BGO, quem metitur arcus dati circuli, tanguam I ori xoncis, EN, vel N L, à Meridiano proprio ad Partes poli conſpᷣpicui ſupra datum circulum, ſeu Horixontem, inc hoatus, c. ATE hunc in modum om nes zu aſtiones ad primum mobile Sectantes, 4 per ſinus, ac numeros, hot eſt, per triangula harica ſoluuntur, expediri poſſunt per deſcriptionem vnius aut alterius arcus in A Herolabio; Ef ſi quidem ſumma diligentia, ut par eſt, adhibeatur, tam certo, ut vix Paucorum minutorum error contingere poſſit. Qua res praclara ſand eſt,& ad hanc vſgue diem, quod ego ſciam, à nemine ſeentata aut demonſtrata. Reſtat, vt quemadmodum, qua ab Oceano fluxerunt aqua longis circuitionibus eodem reuoluuntur, ſic quoniam bonum hoc, quodcunque eſt, manauit à fonte omnium bovorum, Deo optimo Maximo, gratiæ à nobis, quantę à mortalibus e poſſunt, maximæ auctori optimo, ac donatori liberaliſſimo agantur, & habeantur. FINIS TEATII LIIBXI. . Bobbb; R RAltitudinem gadis ſu pra datum ci culam gaximum, diſtantidque hofizontzem pere tr eng. phzr. ſine numeris vendti E NX K D N Qu ſiue Correctorum aciem eſfugerunt, ſiue incuria irrepſerunt Ty pographi, anttquam legaturliber, emendanda, ne cuiſus intertumpatur legentium, hc ferè ſunt. Pag. Lin. Errata. Correctiones. Pag. Lin. Errata. Correctiones. 17 1 EI, IR. RC. EI, IR, RB. 109 6. à fl. arc? OR,. QR, arcus OR. Q, 18 19 in(. partiti ſu- in q partes partitiſu 113 35 Pparallela G, parallela GK, mus. mus 115 28 RL C, waior RLC, minor recto, 19 8 ad latus A B, ad latus B 99 70 recto, 2 10 rectæ BA, ZA, rectæ BK, ZK, 116 33 rectæ PN, rectæ MN, 22 If anguli ad A.& L, anguli ad K,& L, 119 33 quadrͤtis mp, ſemicirculi mp, 2* 21 angulos PEH, angulos BEH, DFI, 20 21 ſemidiurni IK, ſemidiurni SK, DFl, 5 126 39 puncta D, E puncta O, C, æquali170 232 9 KBV. 81 D een eee ter à G, diſtantia. 1 25 1 BCC HxI. BC, GE, NM, 126 40 puncta D, P, E, puncta O, P, E. 1 25 28 AD, ACspoſiti, AD AG, poſiti,&verſu 42 idẽ fiat, 5 29 5 angulus bB, angulus b A d, 132 17 ctum, H. i, n, ctum, II, in 1 29 16 gulo AFD, guſo Abd, 135 6 facit EN, facit E M. 5 29 29 IAE. AE. 135 8 in M, cadet. in N, cadet. 9 29. 36 ALP, A, 136 3 circulum AB, circulos AB. CP, 37 10 in recta BE, in recta B 550 136 14 æqualibus DE, æqualibus BE, CG. 1 37 27 ſecundæ GK, ſecundæ GR, e a 1 40 18 Cr, ut C, ut 136 14 ut ia 3 fgura, ut in a. figura. 9 1 44 15 conſttingatur, conſtringatue, ü a KE, a EK. N E cer puncta per puncta 145 38 arcus EG. EH, arcus EG, EH, N ö 4 39& linea BGH,& plano FGH, 146 pen. ſecantis X, à, ſecantis in X,&, 0 57 l tangit in tangit in B. 149 16 Tägés igit CP, Tangens igitur GP, 37 ig RO, Pp, 1 156 37& inchoatorũ&, inchoatorum 57 HM: Ha, g. m, HM, S: Ha, m. 157 41 angulo AG, angulo AEG, 58 3 in 12. figura in 12. ſigna 158 31 rectas ER, FS, ER, EI, 58 9 ſegmento ſegmenta 166 8 Vt quia tãgens Vt tangens 58 10 parallele KS, parallelæ k f, 167 l productam, productum, 60 14 anguli GEF, anguli G EF, HEE, 167 7 dimidia maioris dimidio maioris HP E, 168 10& L M, ex LM, 63 27 LGN, MHs, GLN, HMs, 178 4. à fi. non ſolum non ſolum locum ia d baſi HE, habeat habeat 69 37 verba hæc Cideoq; ex defin 3. eiuſdẽſ 180 3 dempta ME, dempta Me, lib. angu. GOQ, rectseritjdeleanf. 180 5 relicti EP, relicti 2 P, 23 37 rectas CH, EH, rectas CK, EII. 180 12 ME, ęquali ip- Me, æquali ipſi RP, pe 8 76& IOM, OFP. LCM, Obe, 1 KP, 29 3˙ fine At verò B, At vero B E, 180 14 compoſitę EP, compoſitæ æ P, 81 6. a fine A PMB, CPM B, 183 7. à f. qui minori qui maiori 83ͤ ä K A 228 2, fi. 188. addeme 1828. addemus 1828. 83 5 obli quo GDI. obliquo G KI, 182. 8. 83 23 ELf. Cme, Elf, Cme, 229; inter ſinum pro- Inter ſinũ ꝓpoſitũ. 84 37 Oo. 8a 3 On, So; ximè minorẽ.& ſinum proxime 86 3 à fine CD. FA, C D, PG, minorem. 90 8 à line p rectã L K, per rectam IK, 262 19 perꝙꝓblema id. per problema 11. 100 10 bi, cK, ex ſemi bl, K, ex quadran- 268 23 rum ęqualium In Iſoſcele, circulis tibus 268 24 In Iſoſcele, Vt alterutrum late405 5.à fl. MN, D N, 263 25 vt alterutrũ late- rum æqualium 277 Pag. Lin. Errata Correctiones. 275 15 à puncto E, à puncto C, 276 13 rectè ad cẽtrũ. rectæ ad polum A. 281 4 oppoſiti inæ- oppoſiti æqua les uales q LV, ad VK. quàm hi, ad i 8, hoc eſt, q LV, ad VK. 10 à fi. blaati ablati 3.à f. LM, IP, L, Ip, 22 ad finẽ Num. ad initium Num. 25. 15 283 16 296 296 311 312„ 314 6 AM GN, 314 17 AQ, A QC, 314 36 00 B c. 323 7 é ſit parallelas etiamſi parallelas 323 12 repreſentãt par repræſentant partes tes aliquas 327 9 punctis I, P, punctis H, P, 339„ fedta IV. recta TX, 343 1% M. Kq, M, kG. 345 34% VZ, BA, LZ. BA, 34 18 d EPF PH; ct ET, GT; 347 vlt. arcui à D, arcui à G, 349 1 erit 18, erit IT, 350& 3 AO, AK, AO, AV, 35% E Igitur 8 A, Igitur fA, 561 210 ARK, Ax k, 365 9 Nadir K, Nadir k, 374 28 A, f. G,. 376 8 rectam SD, rectam S T, 37%, à fine K, I. R. H, 382„ Q, eiuſdem q, eiuſdem 384 10. a fine a cẽtris B. I, a centris E, I, 390 16.& 14 a polo l, a polo K, 355 1 face( factæ) 399 2 in illo pũcto V, in illo a puncto V, 403 J per Lemma 4. per Lẽma 4. æquaIQ. VX. vel Q, les erunt in iphę x. Idem æqua- ra arcus IQ, VX, les erũt in ſphę vel OX. Idem eit. AM CN, Pag. Lin. Errata Correction cs. 47 33 verſus auſtrum verſus boream 459 za fine KK, Kk, 4705 10 A a, ii, inter rectas IR, IZ, 40 5. a fi. recta EL, recta EL, 2 943 9 LK, OL. 483 33 BH. GI, 45% za fi. IL, LH, 501 32 min. I. 501 9. à fi. recta 44: recta Mg, 508 2 in punctis N, P, in punttis N, P, 50 6 arcum 6. grad. arcum 60 grad. 511 10 fiat Me. fiat Aer, 515. 1. à fi. recta IIE, recta GE, 526 3 vera OM, vera PQ, 530 12 à rea ET, a recta OT, 53. Sa fi. in 2. figura in 3. figura 537 1j in vtraque re- cum vtraque rectactarum 5 rum 337 38 duabus RI, Rl, duabus RI, RI. og 5 arcus GH, lati- arcus GH, completudinem mentũ latitudin.s 905 27.& 28 ad ſemiſsẽ ad ſinum ſemiſsis 0% õ quæſitam EI, quæſitam EL, 610 f. a fi. arcus Bf, arcus Cf, 615 31 ipſi Es, ipſi H, 616 pen. arcus KO. arcus K“. 6718 29 cum arcu hygr, cum àrcu m. maior eſt alcenſione punctum in Meridiano ſub HoriZonte]) anguli ki V, 914 g. a ſi. minor eſt aſcenſione 620 F. fi. deleantur hæce verba 624 3 anguli i Vłk, 624 20 fl, fn, 625 37 datæ AC, datæ AB, 929 5. a fi, ita ſinus ma- ita ſinus minoris ioris 629 4. a fi. latera GG, FI, latera FG, GII, 403 ra arcus quoq; quoquèe 10.& obliquus obliquus IKl, 11 IK L., cum AD, & OE, & OK, 633 5 639 20 639 29 cum AC, & OL, & OX, 403 13.& 14 ver ſus XL, verſus Xl, 703 17 reſta nb, recta mb, 409 13 metri LN, metri IN, 43 9 per radiũ AC, per radium Ac, 410 4 Pqll, Fq, 420 29 hoc eſt, PHI Q, hoc eſt, PhQ, 430 2 AM, mT, AM. in T, 435 4& recta BM,& recta Bu, 455 30 eum in d, eum in H, 457 23 o, in ortũ,&, inlæ, in ortum,& a, in, & arcus tk,& arcus uk, ex K T,altitudi ex K T, ſinu altitudi ne meridiana nis meridianæ recta Eclipticæ recta puncti EcliPticæ min 15 borealem ductus efficitz borealiorem ductus conſtituit; N 681 659 10 662 1 60 35 667 26 677 15 miu. 55 borealem ducitur; borealiorẽ du Citurz 977 18 Pag. Lin. Erraumn Coe rectiones Pag. Lia. Errata Correctiones 6 2 latitudi- altitudinem poli 723 II. a fi. recta FLe, recta Te, nem poli 724 20. a fi radio bm, radio Bm. 683 54 fl. in Perit- in P. I, eritque P, ſi- 725 14 DIN, DIQ, que P. I. tus 740 3 cadòtes LK, cadentes L V, ſitus 2ů z quidem LK, quidem LV, 694 K. a fi. inter P, H. inter P, I, e V 694 17 DHI. Dsl, 7420 1 ſed BQ, ſed A Q, 701 pen. ſi omnium ſi cireuli omnium 740 1. CQ, CQ, 711 22& 0. ab oc.& 1. ab occ. LINE AE ET EITE RA.AE, Q AE IN quorundam exemplarium figuris deſunt. In 0 prope lineam A B, deeſt litera E, in inter ſectionibus eius cum arcubus BG,. 1 1 Deeſt recta NP, diameter tropici V. Vbi ſemicirculi MVH. DEF, ſe interſecant, ponatur O, pro C. In extremitate rectæ A C, deeſt L. In interſectione rectarum AC, Or, deeſt t. Et in interſectione rectarum EE, SR, deeſt u. In extremitate tectæ Nqe, deeſt L, in circunferentia. In 2. figuta deeſt C, in extremitate diametri A F. In ſuptema parte rectę B D, deeſt F.& in inſima parte K. In extremitate rectæ Ie, deeſt T. Et ſupra hanc in extremitate rectæ If, deeſt g. In extremitate rectæ iA, deeſt e, prope ſ. Deeſt recta Rf g. In extremitate diametri A E, deeſt C. In extremitate diametri Aequatoris A E. deeſt C. Et in exttemitate rectæ A f, deeſt g. Litera g. quæ eſt in extremitate rectæ M E, debet oſſe in extremitate diametri f E. Recta F d. producatur, donec circulum F G O, ſecet in p. In extremitate perpendicularis ad VX, ex n, eductæ deeſt g Et in extremitate perpendicularis ex 7, ductæ deeſt x. g Producatur recta VE L, donec circumferentiam ſecet prope punctum 5 6 S888 N e N 82 85 EGO Fridericus Metius legi tres libros, quos admodum Reuer. Pater Chriſtophorus Clauius Bambergenſis e Societate IE SV conſcripſit de Aſtrolabio, in quibus nihil inueni, quod pias& religioſas offendetet aures, ſed omnia ſumma doctrina, ſuo more, ſcripta reperi,& ſumma pietate coniuncta. In quorum fidem hæc ſcripſi profeſto die Aſſumptionis Glorioſæ Beatiſs. Virginis 1593. Fridericus qui ſupra manu propria. REC REST UN. ABCD EFGHIKLMNOPQORSTVX VZ. Aa Bb CeDd Ee Ff Gg Hh Ii Kk LI Mm Nn Oo PP Q Rr SFE Vu XR Ty Z. Aaa Bbb Ccc Ddd Eee Fff Ggg HhhlIii KkK LII Mmm Nun Ooo Ppp Qꝗd RrrsSſTiet Vuu Xxx N M Aa aa Bbbb Ccce Dddd Eeee Ffff ggg Hhhhliii Kkkk LIII Mmmm Nnnn OoOO Pppp Qꝗdꝗꝗ Rrrr Ss Tiett Vuuu XXX Vyyy 222 z. Aaaaa Bbbbb. Omnia ſunt folia, præter Bb b b b, folium& ſemis. ——