PV**; '- W< r*» *« ■ *A S> *£ R' ML ' J / "^W? 7LV \ / 4 Vt ^ / CsLVyfi^Ay . X S) V (L a b. V. THEORIA RADICVM IN AEQVATIONIBVS AMPLISSIMAE FAC VLTATIS PHILOSOPHICAE CONSENSV DISPVTABVNT M. ABRAHAM GOTTHELF KAESTNER lips. IVR. CAND. ET THEODOSIVS GODOFREDVS FVCHSIVS M. C. SVIDN. SILES. LIPSIAE clo. b. CC XXXIX DIE XHI MAIIT' LITTERIS BREITKOPFIANIS- Cs v * * Liti- \si r~\ - >" fi"r t -r .i ' • Vr * i.f f , .v. /» * . i ,/ Tr t n i *».? .• -Titi*" ■* 1. i L > - \„ J >_/ I *. / _ ■. i i .1 1 t V« .... > l! I L . MAGNIFICO ATQVE EXCELLENTISSIMO VIRO CHRISTIANO AVGVSTO H A V S E N M ATHEM AT VM IN ACADEMIA LIPSIENSI PROFESSORI HAS PRIMITIAS STVDII . 'i EO DVCE IN MATHESIN COLLATI , OFFERT BENEVOLENTIAE SIBI DEMONSTRATAE MEMORIAM PERPETVAM CONATVSQVE ILLA SE DIGNVM REDDENDI NON NISI CVM OMNI„ ERGA SOLIDIORES SCIENTIAS AFFECTV CESSATVROS SPONDET PRAESES. i - 1 » wMmt PROPOSITIO L ata variabili y per aliam variabilem x & tu tn — i constantes, in hunc modum x + px +qx &c. + rx + v =y datoque e incremento ipsius x, quod constans supponere licet, inuenire seriei rwv y differentias siue incrementa omnium graduum. Sol. Patet fecundum y fieri, cum in formula Prop. x fit x -f e & primum y hoc est formulam propositionis, ab hoc secundo subductum, dare quantitatem qua secundum y primum, excedit, hoc est incrementum primum y quo crescit^, tum ex x fit x -f e , sine differentiam primam. Similiter in hoc incremento primo si x mutetur & fiat x e oritur seriei dif- ferentialis primae terminus secundus, a quo si prior subducitur habetur incrementum incrementi primi hoc est, ipsius y incrementum secundum, quo augetur secundum y, vt fiat tertium^, & sic porro ex incremento secundo habetur tertium, quartum &c. Haec incrementa cum sint differentiae ipsius y, signabo /Z), zD t $D &c. ni) quae significant respectiue, incrementum vel differentiam gradus primi, secundi, tertii, «ti. Igitur pro his obtinendis fiat in formula Propos. x c x + e & reliqua perficiantur, vt schema calculi indicat; rVfllfe .uuTnV A 2 B, m m , m • X EX -f THf X - 1 , 2 + m. m-i e 1. 2 i Z 1 , *- px - -f- px + m — 1. ep x m — 2 . m — 2 II x + i x &c. X &c. m — 2 &c. + rx + re + r- , . a m . m - i ablato A. a; -p^x ...... -f- rx-f y c . n m — i' t m — 2 „ sit C- mcx f w.rn-f f a; Ac. /. 2. -s- m—i. epx m 2 Ac. Ac. + rf A manifestum est, este C— B —< A - iD. Similiter in iD scribendo x j- e vbique pro x , obtinetur secundus id & auferendo primum habetur primus A generatim in termino primo disterentialis cuiufuis nD si scribatur x -f- e in locum x A auferatur nd ex quantitate prodeunte, habetur primus n-\-i D. QF..F. A D. Schol. Sit x^ — 1 ox^ — 4X 2 S2X Scripto x + e pro x est x ^ = x^ -{■ 4 e x^ - f- 6 e 2 x 2 4. 4 x -f e ^ —> z o x - — — iox J — joex — joe x — 2 2 „ 2 —. 4x = 4X — Sex — 4S _ ablato x 4 — iox^ — ^x" + 82X + jzj- sit iD = 4 ex^ _ ^ x 2 + + e 4 ^ — $oe x — 1 oe^ 2 -Se - 4e + 82« Pona- 3 Ponatur denuo x -f- e in locum x & prodit 3 ? 2 2 ? 4 qex 0 =; 4ex J + ize x + ize J x -f- 4e^ . 2 de 2 x - de 2 2 + i2e 3 v x 1 x + de 4 - 3 oe — ßsi — doe -ßoe 3 3 4 e J + 4 « 3 + 4 e * 2 — ßoe x — - JO* * 3 - 3 oe — 8e - Fe - 8e Z e 4 e 4 — 10C 3 — 10 e 3 2 " 2 - 4 « - 4 e 4- 8 2 c + 82e ablato 4ex 3 -{-de 2 {. 4 c 3 + e 4 — $oe x — ßoe 2 x — loe 3 — Se 4- 4e z + 82e fit primus zd =: 12e Z x 2 -f- 24e 3 x -f- 2 2 — 60 e x — dae J — Se 2 & pergendo eadem methodo, habentur omnia reliqua incrementa iiue differentiae reliquae, quae hic coniunctim exhibentur. 47 2 y •=■- .v T .—- iox J —* 4X -f- 82X -J- jis id =; 4 ex 3 4- de 2 x 2 4c 3 4. e 4 2 7 — ßoe — ßoe x —- 10e* * 2 —* Se — 4« i , — 828 A a 2(1~ 4 2(1 c t2eex 2 + 2de^ X — 6oe Z ßd S 24^ X 4d x Vbi e x z fiunt id - 4^ — 24*^ — ^4* + tfp .jD = 24X — 24 2-Dt= IZX 2 ß()X /4 4 D - 24 Vbi e est elementare prodeunt incrementa elementaria omnium ordinum id est differentialia, posita dx constante dy t= 4x^dx — jox 2 dx — gxdx 4. $2 d Z yx i2x Z dx 2 -— (soxdx 2 •—» gdx 2 d^yx 24xdx^ — (fodxd d^y= 24xdx^ 2. Differentiae posito e — numero alicui determinato dant Systema arithmeticum totius variationis^ & incrementor, eius pro x variante incrementis vniformibus, prorsiun & retrorsum excurrens sine fine. suilis Systematis expandendi lex haec sit: Scribantur valores x in serie verticali vt infra x~o sequatur /, deinde 2, 3, & sic porro, supra x — o fit —z, — 2, —• 3 &c. scribantur- que y respondentes cuilibet x in eadem serie horizontali cum illo, iD vno loco inferius, 2D duobus dc sic porro. Vnde quilibet y vel D inferiores dato aliquo, respondent numeris minoribus negatiuis aut maioribus positiuis, illo cui datum y vel D respondet, omnes vero siiperiores, relpondent positiuis minoribus aut negatiuis maioribus. Hoc modo semper cogitetur Systema roov y & D expansum in sequentibus, transeunte saltim x -{- Z4 6oe^ — 8 e 2 " + 3, Corol. Si x in Propos. I. Sit x suppositionis alicuius ex qua- tuor in hac Prop. enumeratis erit primus m — 1D, qui fit ab illa x, positiuus. Namque si sit -f- p in aequatione & x numerus suppositionis 1. aut 2. huius adeoque positiuus, res demonstratione non indiget. Si vero sit —p, est per Prop. mxi> pSc eapropter inprhnonz— iD. (Cor.2.Prop.pra ec.)mxxm—i .. .. ie m " 1 •> m — 1 i pxm — 1. m—z . le vnae m.m ■—1, m — 2 . . .. m — 1 m — 1 - T--1? c x — m — i.m — 2 .... 1 p e polituram. Denique fi sit x numerus suppositionis 3 vel 4 huius erit summa radicum ne- gatiua, II KZ )o( M gatiua, e?.Pie propter in aequatione p & ob ntx c p erit m—-i . m—i — m. m -1, m —z .... e x -f. m — um — z .... e p pofitiuum. Scbol. sic in 'exemplo Prop. 1 . Schol. §. z. sit ad x=ß } jD — 192, Sin tx=(s,x--h$A^ TT -1 radices aequat, —2 zx 2 -f itiix ~3po=o Sc posito x-S atque e =i fit iB = 3x Z — ^ix + /40=4. zD—6x —$g = ^.io 2. Ceterum propositio modificationem patitur hanc: Si radices omnes aequales sint, aut reales omnes reliquae, sint aequales numero circa quem haerent imaginariae erit mx — p. Sic existentibus radicibus aequationis x^—24X 2 + ipjx —jzo, x-S, x = s+_t~—i est jxs=24 % , fit inferius positiuorum crescentium. Igitur series m~zD si termini eius negatiui supponantur, fit negatiuorum decrescentium & tandem positiuorum crescentium, & hoc quidem propter e finitum, contingit post additiones terminorum m—iDz^m—zD pro obtinendis inferioribus m — zD, finito numero repetitas. {Cor. I. Prop. III.) vnde interuallorum numerus quae interiacent inter m—2D respondentem ipsi x Prop. o ( m sibiles. Ea propter tot sunt paria radicum impossibilium ia aequatione quot in serie y sunt minima. Cor.3. Si radices aliquae iD sunt impossibiles sequitur vt totidem maxima & minima in series sint impossibilia. Nam ad quodlibet maximum aut minimum fit id~o & datur adeo radix 1D realis. Sit iam pars aliqua seriei _/ continens quatuor maxima se sequentia iateriecto inter quaelibet duo vno y^o quod sic exprimam iM U zM Ilo jM Illo 4M. & fiant duo maxima zM ScjM impoflibilia ob duas radices 1D impossibiles, euidens est postquam factum est y~ i M illud continuo crescendo aut decrescendo perrecturum esse ad 4M peritura- que duo y — o scilicet Io & Ilo quae si adesse debent requiritur vt adsint maxima zM, jM. Vnde colligitur tot radices^ esse impossibiles quot maxima seriei y sunt impoflibilia, hoc est quot radices id sunt impossibiles. Et cum demonstrationis huius vis ab eo solum pendeat quod id sit differentialis ipsius/, verum erit enun- eiatum si loco/ ponatur id&ezD in locum id, aut generatim quaelibet iD spectetur tanquam/ proxime sequentis Igitur in qualibet »D tot sunt iinpostlbiles quod sunt in n-j-iD- Quapropter si radices omnes y reales sint, erunt reales omnium D omnes radices. Sed huius adserti conuerla non valet. Duo enim casus sunt in quibus habet y impossibiles: vel si tendat ad minimum efficiatque id-o ( Cor.praec .) vbi possunt omnes radices id atque adeo omnium sequentium D esse reales , vel si continuo crescat aut decrescat vt in Cor. praes, vbi non omnes radices id possunt esse reales. Positis id elementaribus fcdxxi patet propositio quae passim ab algebraicis scriptoribus demonstratur, scilicet multiplicata quauis aequatione per seriem indicum & producto diuiso per x, omnes radices formulae quae prodit esse reales si omnes radices aequationis sint reales, non vero contra. Schol. i. Libet ad illustrationem praecedentium huc ponere duo schemata in quibus x continet radices impossibiles. 20 m ) o ( M i. — 700 + 28- 672 —* 154—126- 798 + 288+ IZ2-1- 6- 792 —264+ 24+ 156+ 162— 630 120—‘144—120+ 364- 198— 432 120— 34—144— 108+ 90— 342 &c. + 96— 48— 156— 66 — 408 4-216—168+ 12— 54— 462 + 336 + 504+ 516+ 462 o + 456 + 960+1476+1938+1938 —4 —3 •—2 II. — 1 6 -21 - 2 0 < + I Ö— I T — 1 + l 6- 6+ 4- 7 0 + 2 6+ 0+ 4 - 3 + 1 + 3 &c. + 6+10+7 + 2 + 4 + 12 + 22 + 5 + 6 + ‘8 Schern. i.qOl ad x s —x*—27 x 3 4 -ip x z 4.206x - 630—y cuius radices sunt+/, + 2+.7“—J& — 4+7" —.z.Patet hic fieri j/ duobus vicibus minimum nempe circa 26c — 4 transeunte id vtrinque in oppositum ex+ 90 in - 66 & ex —126 in +28. Sed transit etiam il) bis per zero ex + 6 in -126 & ex - 54 in + 462 ad * = - 2 & X — + 4 quod indicat ibi e sie duo maxima. Igitur in hoc casii radices omnes id sunt reales, ita comparatis imaginariis^, vt y tendat toties ad minimum quot habet paria imaginarium. Sed in Schemate 11. quod est ad x^+jx—7 —y vbi radices imaginariae siint — 0.7± K — 4.47&C- J/ non tendit ad minimum sed siipra +1 continuo crescendo pergit. Sunt enim imaginariae id siue jx*+jx + 4, x - — f + rZJ- 1. Sed^T 2 i> licet habeat imaginarias , semper debet tendere ad minimum cum m - 1D transeat neceflario in oppositum (Prop. 3. & 67 ) & hinc radix eius siue quantitas efficiens illud sit realis. Schol.2. Sitbiquadraticaaequatio x* + Ax* + Bx 2 -{.Cx4-D = o erit fluxionalis eius prima siue idtz 4X 3 4- 3 A x 2 + 2BX 4- C~o & 2Ü— i2x z + 6Ax + 2 B. Deinde cum eiusdem biquadrati- caefluxionalis obtineatur multiplicando per quamcunque leriem arithmeticam,ditiidendoque per x (Cor.4.Prop.I,J erit iD= h+4 x 3 + I24.3 Ax 2 + h-\-z Bx + h + i C -+ h l)x" ' siue ponendo ß + 4=o aut k~ — 4, —Ax z — 2Bx — jCx 0 — 4 Dx~' vel multiplicando per x, — Ax 3 - 2Bx z — jCx — 4D vnde fit ■Z-D=; —jAx 2 ~ 4BX — j€x,o atque tranlpo,nendo & diuidendo x 2 =z ) o ( ZU 21 3 ^ — - Denique sit rursus -f h-\-jAx z + h + z Bx + h + iC 4. hDx~' & posito h+3~o fit jD= x* •%■ — Bx — zC— jDx~ ' zz 0 & rursus multiplicando per quamuis serietn arithmeticam, obtinetur zD t= h+3x z H —~b + iBx° — zhCx~' — jh—iDx~ 2 - 0 vel posito h+ 3=^0, atque multiplicando per x 2 > — z Bx 2 + 6Cx -f. 1 zD -0. Harum trium zD radices sunt respectiue x = — iA + Kl.^A ? — ^B t dens est si biquadraticae radices omnes sint reales, debere esse harum omnium zD radices reales, & adeo -f-g- A z > > 2~, > ^ sine ts A z > B vel f A 2 > B atque f B 2 Cx A & f Is'C 2 > -ÖXjB vel f C 2 > O xL. Si vna harum 2-Dcontineat radices impossibiles, continebit etiam biquadratica sed si radices omnium zD sint possibiles non sequitur omnes radices biquadraticae esse possibiles (Cor.3. huius) Vnde patet pro biquadratica ratio regulae qua Nbttonvs Ar. Vn. in fine Art. de natura radicum Aequationis munerum impossibilium fere detegit. Vniuersalem demonstrationem facile ex his sibi conficiet cui volupe est. Nam post plures ab aliis traditas, illam addere, operae precium non judico. PROPOSITIO X. In aequatione qualibet gradus m inuenire, num & quot radices sint impossibiles. Sol. Formetur iD, eiusque radices substituantur in aequationem, hoc ordine, vt primo adhibeatur radix maxima positiua, deinde proxime minor & sic porro, aut si positive non adsint, sumatur primo radix minima negatiua, deinde proxime maior <5c sic porro. Scribantur eodem ordine valores qui prodeunt cum suis signis. Totque erunt radices possibiles quot in serie hac va- lorum erunt signorum alternationes, tot imaginariae quot successiones' Quia vero hoc modo deteguntur saltim radicum C 3 m—z 22 m )o{ m m —2 conditiones, reliquarum duarum altera , addatur impoßbi- libus , si valor primus qui prodit est positiuus, poßbilibus si estne- gatiuus, altera addatur impojfibilibus si valor vltimus est negatiuus atque m impar, vel positiuus atque m par, sed poßbilibus si valor vltimus est positiuus in casu m imparis, negatiuus in casu m paris. 2. Si id contineat radices imposlibiles, neglectis his scribantur ordine illi valores qui a possibilibus substitutis prodeunt & ex his secundum F. i. eruatur numerus possibilium in aequatione qui dabit impossibilium numerum. z. Si radices omnes id sint impossibiles erit radix vnica aequationis possibilis, si omnes id praeter vnam sint impossibiles, erunt tantum duae radices aequationis possibiles si haec substituta det valorem negatiuum, omnes impossibiles si det positiuum, E. g. Proponatur x* -f- z x* — z x z — 6 x — z. Posito dx= i est + 6 x z — 4* — 6 cuius radices sunt + ?, —— 4 - Iam sit in biquadratica x = i x — — i, xt= — 4 & prodeunt respe- ctiue — 7, + /, -f-xr* Vbi signorum permutatione vna, indicatur radix vna realis, successione vna, radix impossibilis. Accedit realibus vna propter primum valorem negatiuum, impossibilibus vna propter vltimnm positiuum. Igitur biquadratica continet duas reales & duas imaginarias. Dem. Quia ad illos x ad quos est y maximum aut minimum, sit id—o, lequitur vt valores qui oriuntur ab radicibus id in aequationem substitutis pro x , sint maxima aut minima seriei y, quam aequatio pertransit exsistente x variabili. Et si substitutiones fiant ordine in Prop. praescripto, erit primus valor maximum aut minimum primum quod est supra x Prop. V. valor secundus, maximum aut minimum quod est supra hoc primum, & sic porro, denique valor vltimus maximum aut minimum vlti- mum quod est infra x Prop. VI. Iam quot sunt minima in y, tot sunt paria radicum impossibilium in aequatione ( Cor. z. Prop. praec.) Quot vero sunt paria succedentium signorum in valoribus Prop. huius tot sunt minima. Quapropter quot sunt successiones signorum, tot indicantur radices impossibiles. Sed vbi primus valor est positiuus, duae radices sunt impossibiles (Prop.praec.) atque positiuus ille valor est minimum positiuum a quo rursus cre- 2Z m ) o ( m crescit y superius ad maximum aliquod. Quapropter valor secundus est etiam positiuus & inter duos hos valores succeffio signorum vna indicat vnam radicem impossibilem vnde altera addi debet. Si valor vltimus in casu m paris sit positiuus, aut in casu m imparis negatiuus, sunt duae radices impossibiles per Cor. z Prop. pracc. quarum vna indicatur per successionem duorum signorum valoris viti mi & penultimi & hinc reliqua addi debet. Illud vero demonstratione non opus habet quod valorum signa alternantia indicent radices reales, cum manifestum sit ea indicare transitum^ in oppositum. Sed si primus valor negatiuus est, y ex positiuo transiit in negatiuum, indicaturque radix realis ad quam hoc factum, nulla permutatione signorum & hinc addi debet. Si vero vltimus valor negatiuus est in casu m paris, aut positiuus in casu m imparis, y supra hunc valorem transit per o ( Prop. VI. ) & hinc datur radix quae iterum non indicatur & eapropter addenda est. 2. Per se manifestum est si i. verum supponatur, z. Radicibus id omnibus impoffibilibus, erit m impar & adeo habebit propter m — / impossibiles (Cor.3. Prop. praec.J vnicam possibilem prout ex theoria Aequat, constat. Tandem si omnes id sint impossibiles praeter vnam erit m — 1 impar & hinc m par eruntque vel duae tantum vel nullae aequationis radices possibiles. Prius est vbi radix id dat valorem negatiuum tunc enim y duobus vicibus transit in oppositum per Prop. V. & VI. Alterum si radix id det valorem pofitiuum quo casu jy plane non transit in Opposition . Igitur si procedatur secundum praescriptum regulae, in solutione datae, possunt in omnibus casibus, ex datis radicibus id inueniri conditiones possibilitatis & impossibilitatis radicum aequationis cuiusuis propositae, (s E. F. & D. Schol. Quae regulae huius vsiim minuunt haec fere sunt: Postulat vt habeantur radices iD atque adeo fi aequatio cuius radices detegi debent altioris alicuius gradus est radices aequationis multarum dimensionum haberi debent. Hae radices cum plerumque surdae sint, esset extractio earum suscipienda. Neque enim sufficit integros iis proximos adhiberi cum regula tunc fallere postit, indicando imaginarias plures quam sunt. E. g. 24 si maxima atque minima in y aliquo se sequantur Iiis signis vt si- nistimum signum pertineat ad infimum maximum in serie y. -1-f- + — + aequatione habente 6possibiles & duas imagina* rias, interiaceat maximum negatiuum quod tertium est in ordine, duabus radicibus quarum quaelibet est maior quam -f z & minor quam +j. Manstestum est tum 2 tum j in aequatione pro incognita iubstitutas dare positiuum j/. Cadet vero etiam radix aliqua iD inter eosdem 2 & 3 & patet quod adhibendo vtrumiibet ex his duobus integris pro vera radice iD , substituendoque eum in locum incognitae nacturus sim seriem valorum sequentibus signis —b + + + ~ + indicantem 4 reales & totidem imaginarias. Itaque non tuto potest haec regula ad imaginariarum numerum determinandum adhiberi nisi radices /D in rigore sumantur. Contra, licet sumamus pro radicib. iD integros iis proximos, certi este postumus tot reales radices aequationi ineste quot regula indicat. Nam licet hoc ipso non obtineamus vera maxima, obtinemus tamen semperj/, quae si signis suis alternant, manifestum est tot transitus per zero & tot reales radices este quot vicibus tales alternationes contingunt. Ceterum expedite latis haec regula potest applicari in cubicae aequationis impossibilibus detegendis vbi radices id semper in potestate sunt & possiint si surdae exsistant expressione saltim pro incognita substitui atque colligi deinde vtrum negatiua an positiua praeualeant. Vbi porro notandum est, si prodeat primus valor positiuus non neceste este vt radix id positiua minor, aut negatiua maior etiam substituatur, cum constet aequationis duas radices este impossibiles. Et idem obtinet si adhibita radice maxima negat, aut minima positiua 1D , prodeat valor negatiuus vbi non neceste est tentare alteram. Sic si detur x s ^ — 2X ~y —o formata x 1 5 fs — 2 qua posita - 0 sit x — + TT ^ substituto valore — K f prodit — f K f 2 f — S f — S- Vbi non neceste est vt tentetur etiam -f- 7 'f-. Nam si omnes radices reales sint, valor qui oritur ab — IT -§• interiacens inter duas nega tinas aut minimam positiuam atque negatiuam, este debet maximum positiuum. Cum igitur negatiuus sit, neceste est, vt duae radices sint impossibiles. Potest vero hac methodo etiam cognosci num impossibiles lateant inter positiuas an inter m ) o c m -5 inter negatiuas. Nam si radix iD quae minimum aliquod vel duas successiones efficit sit negatiua haerebunt radices impolsibiles inter negatiuas, si sit positiua inter positiuas. PROPOSITIO XI. Propositae cuiusuis aequationis inuenire limites, hoc est numeros intra quos continentur radices reales omnes aequationis propositae. Sol. Quaerantur duo numeri, negatiui si aequationis radices omnes sunt negatiuae, positiui si simt omnes positiuae, positiuus & negatiuus si sint radices negatiuae & positiuae. Quorum vnus x efficiatj' Sc omnes D affiimpto e quolibet e.g. e; 1. positiuos, reliquus alternatim positiuos & negatiuos sic vt D penultimus sit negatiuus. & erunt hi duo numeri limites intra quos continentur, omnes radices reales aequationis propositae, j Q^E. F. Sic in exemplo scholii Prop. 1 . Posito a: = -j- 10 fiunt y & iD, zD,3D respectiue -f Us , -f 132p, -f 3314 -f 192. Posito x= — + 3S4, — if3, -f- 162, — 96- Quocirca omnes radices reales continentur intra —-3 & -f- 10. Dem. Dantur x ad quos fit y cum omnibus D positiumn {Prop. F.) & alii ad quos fiunt y & omnes D alternatim positiua & negatiua. {Prop. FI.) Hinc solutio nihil impoisibile siipponit. Iam valorum x in solutione primus, ita comparatus est, vt omnes y eum inferius sequentes sint positiui, & reliquus sic, vt omnes y eo superiores sint vel tantum positiui vel tantum negatiui. {Prop. VIII) Quapropter extra hos duo valores nullumfit zero & proinde nullum x radix. Igitur omnis incidentia t 8 y in zero contingit intra illos, continenturque intra illos omnes radices reales. 0 ^ E. D. Cor. Si ponatur e dementaris atque = 1, prodeuntibus formulis Corollari Prop. F. habetur regula Niwtoni Ar. vn. articulo de limitibm aequationum secundo loco tradita absque demonstratione, differens solum in hoc a solutione Propos. X. quod N e W-. T 0 n v s non distincte explicet quid fieri debeat pro inueniendo limite radicum negatiuarum, sed quaerat illum commutando signa aequationis alterna in contraria, atque sic radices negatiuas D ist 2Ö AZ )o( M !n positiuas adhibendoque deinde eamdem regulam. Volui vero & immediatae solutioni problematis pro limite radicum nega- tiuarum, & illis casibus prolpicere, vbi omnes radices vel positi- uae sunt vel negatiuae, Schol. Consultum est non adhibere differentias quae prodeunt ab e finito 0 sed fluxionales, quia harum formatio nullis calculis opus habet. Si numerus aliquis efficiat rn~i D, aut m—t D & m~zD &c. hoc est D aliquot ex vltimis, omnes positiuos, numerus negatiuus minor eodem, aut positiuus maior, effecturus est eosdem D omnes positiuos, & adeo non opus erit, vt substituatur in illos D ad videndum num eos positiuos efficiat. Sed plura quae inpraxi methodi huius obseruari poffunt compendia, melius vsu quam praeceptis addiscuntur. PROPOSITIO XII. Propositae aequationis inuenire radices. Sol. Detur e. g. x s —5 ox —izozz 0. Expanso Schemate per omnes valores x integros qui continentur intra limites Prop. praec. vel in ipso hoc schemate ad valorem aliquem x integrum aut plures fiet y~o & illi valores x erunt radices, vel non fity=zo ÖC tunc 1. Notentur loca vbi y transit in oppositum, nam ibidem latent transitus per 0 & proinde radices. Quapropter fumatur x immediate praecedens signi y mutationem pro prima radicis figura, Sz quod super est complementum ad radicem dicatur p. E. c. in casu praesenti est x s —pox — 120 ad x ;=8774042 r 4- 24.1674 r s + r 3 vnde fit r~o. 000010344. Sic pergendo ad complementum 4 ponitur in C, r = 0. 000010334 + /& prodito. 000000000341441646. Vnde fit * - F. -- 4- 8- 4 * /> = + o.op 4- q 0 4- 0.0038 4" r s= X 0.000010334 4" f ~ 4* °- 000000000341441646 S 8-033810334741441646 4- v 2 5. In 2 $ 5- In his omnibus nihii est quod demonstrationem non fecum ferat praeter §. 3. quo numerus figurar. cuiusque complementi definitur. Eius rei haec ratio est. Quoniam in aequatione B verbi causa ponitur q 2 =o respectu q, debet eiusmodi este vt ordinum q z nullus occurrat inter ordines q. Proinde etiam altistimi ordines q 2 inferiores sunt infimis Sit prima figura ipsius quae est altistima, ordinis — n, erit altiilimus ordo q*,-211 + 1, — 2ti quidem propter quadratum, +1 vero quia quadratum figurae maioris quam 3 per duos ordines excurrit. Quare primus ordo ad quem ne altiilimus quidem q 2 pertingit est— 211+2. Ad hunc igitur ordinem inclusiue extendi potest q. Sic £111=2 q descendit ad —2,11 11=3 ad — 6+2 hoc est ad — 4, sequentibus ordinibus feruatis complemento sequenti r vtpote quod ordines q 2 ingrediuntur vt perlpicuum est. Cum igitur inter locum vni- tatum & — n intersint figurae — n+i, haec multitudo ablata ab indice infimi ordinis ipsius q, id est a — 211+2 relinquit numerum ordinum seu figurarum omnium ipsius q, aequalem — n + i. Qui cum idem sit eum numero figurarum inter locum vnitatum& primam figuram q , hoc est inter ordines 0 & — n exclusiue, patet quod femper figurae tot elici posiint quot ordines decimales praecesserunt. Ex his patet, si prima figura quae elicitur non sit maior quam 3 adeoque eius quadratum ordinis — n nec excurrat in — n -f- 1 poste elici figuras — n , vna plures quam hac regula generali. Sic in exemplo praecedente prima figura complementi r est 1 cuius quadratum ~ 10 i non excurrit in ordinem — 3. Quare habetur r quinque figuris vsque ad ordinem —- 9. 6. Inde est quod Newtonvs inuentor, iubeat in Introductione ad Methodum Fluxionum §. 20. diuidi, donec prodeant tot figurae, quot sunt loca inter primam figuram prodeuntium & principalem quotum (hoc est locum unitatum) exclusiue, & idem volunt alii quando dicunt hanc methodum duplicare numerum figurarum iam inuentarum. Manifestum vero est eadem regula non poste elici p ordinis — 1 quia inter hunc ordinem & locum vnitatum nulla loca interiacent. Vnde Newtonvs postulat ibidem vt habeatur numerus disterens a vera radice minus quam parte decima. Sed si quis error hic committatur corrigitur *g } o ( §HS 29 tur ille a complemento sequente quod negatiuum fit si complementum praecedens nimis magnum adsumptum suerit. Sic ipse Newtonus in exemplo quod resoluit inuenit p = 0. 1 Sc q - — 0. 0054 quo destruitur decimalis in p & propter primam approximalionem — 2 fit radix vsque ad ordinem —j ~ 2 4- p q — z. 094. Generatim notandum est figuras vlti- mas cuiusuis complementi si non satis sint accuratae a figuris se-: quentis corrigi. 7. Si retineatur q z & ponatur tantum q 3 ~ 0 potest alti/fi« mus aliquis ordo q 3 este — 3 n -{- 2 & hinc q erui vsque ad ordinem — 3 n -f- 3 vnde semper accedunt figurae — 2 n -f- 2 duplo numero locorum — n -f- 1 quae interiacent inter locum vni- tatum & primam figuram ipsius q ordinis — n. Quare tunc figurae semper triplicantur, & series omnium complementorum haud paulo celerius conuergentes redduntur. g. Manifestum est quidem ex praecedentibus quadratum aut cubum complementi nullas habere figuras in illis ordinibus ad quos complementum eruitur, sed habere tamen possunt termini illi in quibus est quadratum aut cubus, propter eoefficientes praefixos. Sic in aequat. A. §. 2. licet p 2 non ad- scendat in ordinem — 2adscendit tamen 24p 2 — 24 x 29^ = 0,0$ Ne quis igitur dubitet num illi termini in quibus quadratum aut cubus reperitur tuto negligi postlnt, res hoc modo consideranda est r Patet e. g. in aequat A si quaeratur p ad ordinem —> 2 tuto negligi vltimum terminum p i cuius nullae figurae eousque adscendunt. Itaque omisso eodem diuidatur residuum per 24 prodeunte E. 0 = — f? + VV p + p 2 - Hic certum est tertii termini nullas figuras este in ordine — 2 & hinc p erui poste ex aequat. E vsque ad ordinem — 2. Neglecto igitur » 3 , prodit ® = — X — — vt antea §. t. 24 142 142 Quare patet statim in aequatione A negligi potuisse terminos, tertium & quartum. 9. Haec vt generalius constent, sit pro complemento quo- uis cuius alsissima figura est ordinis — n aequatio sequens F- 0 + bq + cq* + dq 3 + eq* + q s Z2 DE ) 2 ( Sc quaerantur figurae ad ordinem — jn+j In hunc ordinem, ipsius q s nullae figurae adscendunt vnde illud llatim negligi potest . Sed q* licet non possit adscendere nisi in ordinem — 4 » 4. 4 potest tamen eq* in ordinem —3»+3 & altius adscendere, si in f sint figurae ordinis -f. n +1 aut altioris. Itaque diuidatur F per t, prodeunte 4. +~ + f*. Iam patet negligi posse q*. Sed quia —Cj} posset altius adscendere quam in ordinem —3 diuidatur G per—proditque H. 0?=.—+—q 4. c dl 4. e d d 1 d 2 Hic resoluendo aequationem H omisso q 5 prodit q=-b+_ VblT-^ac 2 C Idem ac si 'statiin resoluta suisset aequatio F, neglectis omnibus ter- «ninis tertium sequentibus. Si vero velimus sola diuisione eruere q ad ordinem «- 2 n + t saltim, diuidatur H per — . il d & fit I.ozz—+—q + q 2 neglectoque q 2 habetur — ^-quod et- cc b iam obtentum fuisset neglectis in F omnibus terminis tertium sequentibus. Quae cum aequatione F facta sunt, fieri possint cum qualibet aequatione complementali ad quascunque dimensiones ad- scendat^. Vnde patet coefficientes methodi applicationi nil nocere. 9. Est & alia methodus inueniendi seriem complementorum illorum qua constat valor radicis. Sit valor x quinis vt z, & respondens valor y sit m, crescat vero 2 vniformibus incrementis vt e, & fiat z-f- ne seu ponendo ne = v fiat 2 post mutationem z 4. v. Sint etiam dm d 2 ln dhn &c, differentiae primae, secundae &c. ipsius m & ex Prop. XXIV. Flem. Aritbm. Magnis. Havsen seriei y terminus n +1 tus in quo est valor ipsius z -f ne m-\-ndm + n.n—id z m 4- n.n-i.n — z d s m c. seu propter j i. t 1. 2. j n e = v & n~v , »-i = s - e, n — z - v-ie & c. _ T ~V~ ‘ T r~ fit n-bi tus i=m-b vdm -fis. v-ed z m 4- v.v-e.v-zed*m Sic. uz.e 2 1. 2. 3. e? Vel zr N } o ( ZH Vel si sit e dementaris stuatque z vniformiter, elianefcet e in numeratoribus, fietque vnitas in denominatoribus, atque erit «-f-/tus tr m -f- v d m -f- v z d 2 m -\- v 3 d* mSa. Ponatur hic v 3 =; o & resoluen- I . 1.2 1.2.} nendo aequationem v 2 d z tn -j- vdm ■{■ mtz o f\t v~ — dm -f. r (dmY — 2»i quod triplicabit figuras radicis pro quolibet v seu ( d 2 ni) J d 2 m complementoj radicis si scilicet ponatur «-f/tus r: 0 & z*j*v radix. Sunt vero propter e siippositum dementare iumendae &c. fiuxionales. Vnde conunodisiime operatio instituetur si ope harum 1) stuxionalium inuesiigetur limes radicum posifiua- rum & integer hoc limite proxime minor sumatur pro prima figura radicis siue pro z. In casu superioris exempli est z — -s- 8,m ~ — g, dm~i42, d 2 m~ 48 vnde fi tv~—/42 -f Y~142 2 4- 16 — o.ojy. 48 ~ 48 r ~48 Sed si expandatur Schema ad exemplum propositum intra limites, S uenientur adhuc duo transitus per zero vnus inter — 2, Si. — y ter inter — / & —6, duaeque radices negatiuae. Vna vero radice data, ceterae plerumque ex notis aequationum proprietatibus facilius eruuntur. ADDITIO. I n demonstratione Prop. V. pag. izlin 10. pro Qi e. 1. scribatur Q_E. d, deleanturque omnia a verbis Sit z numerus ad verba Quod erat alterum inclufiue. Debebat ibi demonstrari esse infra x omnes D posithios, sed animo distracto, aliquid ineuidens suppositum est. Ceterum pro quacunque serie y dabuntur duo valores x vnus ex quatitor Prop. V. alius ex quatuor Prop. VI. Intra hos duos valores neeeffe est vt cadant maxima & minima Prop. X. & Cor 2. ciusd. & hinc extra eos nullum y sit maximum aut minimum. Quapropter omnes y infra x Prop. V. sunt positiui versus inferiora crescentes & omnes supra x Prop. VI. sunt positiui vel negatiui versus superiora crescentes vt in Schematibus schol. Prop. 1. & schol. 1. Prop. 9. Eodem modo potest ostendi esse omnes D infra x Prop. V. posithios & supra x Prop. VI. altematim positiuos & negatiuos. Sed hic demonstrare serierinn y & D. conditiones quarum nullus vsus mihi fuit in ipsa Theoria Radicum euoluenda, nihil attinet. » * * THE- THESES, I. Quantitates negatiuae positiuis sunt homogeneae Ist proportio efi inter has quatuor -f i, — i,— i, -f. j. II. Rigorem geometricum laedunt , qui dum infinite jparua supponunt solo argumento ab vtili aut indudlione pauciffimorum e calculo fummatorio exemplorum vtuntur. III. Quantitates heterogeneae per se multiplicari pojsunt. IV. Similis aliquatenus filruclura organorum internorum in animalibus propter externam aclionum fimilitudinem recle adfe- ritur. Hoc vero argumentum non poteß transferri ad corporum coelefiium fimilitudinem cum terra nofira euincendam ex qualicunque conuenientia quae obfiruari a nobis poteft. VI. Harmoniae praestabilitae refellendae non sufficiens efi ratio quod ludens natura arteriam aliquam aut mus culum interdum duplicet, aliamue leuiffimam mutationem in ftntclura indiuidui cuiusdam efficiat. VI. Methodus sexualis non apta est botanicac addiscendae. VII. Immaterialitatem animae nostrae philosophi huc vsque cotu firmarunt argumentis maximam probabilitatis .vim habentibus, nulla vero demonstratione. VIII. Non potest exsistentia diuina ex notione entis perfiecliffimi a priori demonstrari. IX. Principium indificernibilium limites omnipotentiae diurnae non ponit. X- Sententia: in mundo creato exsistere omnia ßmplicia possibilia praeter perfcHesimilia, non demonstrata quidem est, neque tamen illi intercedit vlla cum fipinofifmo affinitas. XI- Praescriptio nec cogitari poteft sine tempore, nec est in statu naturae. Quamprimum vero homines in Rempublicam coeunt, interest Reip. ne dominia rerum fini in incerto. Aliunde praescriptio deduci nequit nisi ex hoc principio quod dudum Iuftini- anus in institutionibus tradidit. XII Iurisprudenti hodie magis prodest solida matheseos scientia, quam profunda antiquitatum Romanarum cognitio. H % 0