HM Lf-r ^ --' « - i? . '^ / ? ' t>> F« ! s > «i « L X'' Die Principien der Hydrostatik und Hydraulik. Von H. Scheffler. Erster Dand. Mit über S«0 in den Text eingedruckten Holzschnitte«. Braunschweig, Verlag der Hofbuchhandlung von Eduard Leibrock. Die Herzoglich Draunschweig - Füneburgische Man-Direktion, unter Deren hohen Auspizien ich das Glück hatte, meinen Eintritt in das Gebiet der Technik überwacht und geleitet und meine Bestrebungen nach Erkenntniß der in der Technik lebenden wissenschaftlichen Wahrheit auf ein edeles Ziel gelenkt zu sehen, wolle in der ehrfurchtsvollen Dedikation dieser Schrift hochgeneigtest den Dank genehmigen, zu welchem das bisherige Wohlwollen des hohen Kollegiums aus immer verpflichtet den Verfasser. Vorrede. Nachdem durch die fleißigen Beobachtungen neuerer Experimentatoren manche öde Stelle im Felde der praktischen Hydraulik urbar gemacht ist, und die Keime zu einer späteren reichhaltigeren Ernte gelegt sind, möchte es zeitgemäß erscheinen, das erweiterte Feld dieser Wissenschaft in ihrem heutigen Zustande nochmals am Stäbe der theoretischen Betrachtung zu durchwandern, um hie und da zerstreuctes Unkraut auszurotten und an anderen Orten Stützen auszurichten oder zu befestigen, an denen die grünende Saat sicherer emporzuranken vermag. In den nachfolgenden Prinzipien der Hydrostatik und Hydraulik wolle der geneigte Leser einen Versuch dieser Art freundlichst entgegennehmen. Es versteht sich von selbst, daß in einer solchen Arbeit, deren verschiedenen Zweigen seit Jahrtausenden die größten Talente ihre Kräfte gewidmet haben, nicht Alles neu sein kaun. Eine Wahrheit, welche aus richtigen Voraussetzungen geflossen ist, II wird ewig dieselbe bleiben, und kann höchstens in einer anderen Form reprodnzirt werden. Irrthümer dagegen, welchen der Mangel einer unhaltbaren Hypothese im Ausgangspunkte anhaftet, obgleich sie sonst bei ihrer folgerichtigen Entwickelung den Schein des Wahren angenommen haben, dürfen in überwiegender Zahl in einer Wissenschaft des neunzehnten Jahrhunderts ebenfalls nicht erwartet werden, um ihrer Widerlegung entgegenzuharren. Die neuen Entdeckungen in den verschiedenen Abtheilungen dieses Gebietes endlich, obgleich dasselbe bei weitem noch nicht erschöpft ist, können doch nur vereinzelt ans Licht treten, nachdem so langjährige Forschungen vorangegangen sind; es bleibt in dieser Beziehung nicht viel mehr übrig, als die zerstreneten Resultate der theoretischen und praktischen Untersuchungen auf Einem Punkte zu konzentriren. Das Vorstehende möchte bei der Beurtheilung der gegenwärtigen Schrift nicht ohne Berücksichtigung bleiben dürfen. Dabei ist der Maaßstab für den Werth des Buches noch den Motiven zu akkommodiren, unter welchen dasselbe verfaßt worden ist. In dieser Hinsicht habe ich zu bemerken, daß es vorzugsweise das Bedürfniß meiner Kameraden, der Techniker, war, welches ich bei der Ausarbeitung der nachfolgenden Abhandlung ins Auge gefaßt habe. Demzufolge konnte ich mich hauptsächlich nur aus die Erörterung derjenigen Lehren der Hydrostatik und Hydraulik einlassen, welche für die Fragen des praktischen Lebens III den Schlüssel liefern, ohne weit in Spekulationen über rein wissenschaftliche Zweige oder in die Untersuchung von Erscheinungen abzuschweifen, welche nur für das höhere Studium der physikalischen Natnrerkenntniß von Interesse sind. Dabei habe ich jedoch keineswegs auf die Hülfe der höheren Analysis verzichtet, und mich nicht begnügt, die auf die Praxis unmittelbar Anwendung findenden Resultate auf elementarem Wege wie vereinzelt dastehende Lehrsätze ohne inneren Zusammenhang zu entwickeln. Zch glaube, daß bei dem Aufschwünge, welchen in gegenwärtiger Zeit der Bildungsgang der Technik nimmt, ein so ängstliches Vermeiden aller wahren Wiffenschaftlichkeit vor einem sehr großen Theile der Techniker nicht zu rechtfertigen steht. Wer lediglich die Endresultate einer Untersuchung bchuf praktischer Verwendung zu kennen wünscht, wird dieselben aus den mechanischen Httlfsbüchern und tabellarischen Zusammenstellungen ohne Weiteres entnehmen können. Wer mehr will, als Dies, wem es an der Kenntniß der mechanischen Gründe gelegen ist, welche irgend eine Erscheinung hervorrufen, der würde zwar in einem Lehrbuche, wo nur elementare Mathematik benutzt ist, für jeden speziellen Fall, sofern derselbe zu den einfacheren gehört, Ausschluß erhalten; aber gleichwol würde er weit davon entfernt bleiben, die höheren Gesetze zu durchschauen, welche allen ähnlichen Erscheinungen gemeinschaftlich zu Grunde liegen. Er würde seinem Gedacht- IV Nisse nur eine Vielheit isolirter Sätze einprägen können, von denen ein jeder in eigenthümlicher Weise den Zusammenhang einer besonderen Erscheinung mit der Nächstliegenden Ursache anschaulich macht. Hieraus würde aber noch kein allgemeiner Gesichtskreis gewönnen, noch kein sicherer Wegweiser entdeckt, welcher von den höchsten und einfachsten Prinzipien der Mechanik zu den unendlich mannichsaltigen Phänomenen der Hydrostatik und Hydraulik führt. Das Letztere leistet allein die Behandlung der hierin Rede stehenden Wissenschaft vermittelst des Beistandes der höheren Analysis, weil sich der Charakter dieses Zweiges der reinen Mathematik eben in der Darstellung allgemeinster Gesetze aus spricht. Wenn demnach in einem elementaren Lehrbuche der Mechanik, um dasselbe vollständig zu machen, wo möglich alle denkbaren Fälle der Wirklichkeit ausgeführt und besonders abgeleitet werden müßten; so braucht ein Lehrbuch, welches sich am Leitfaden der höheren Analysis hinzieht, nur die allgemeinsten Prinzipien und die daraus fließenden obersten Kathegorieen von Erscheinungen zu erörtern, um den aufmerksamen Leser in den Stand zu setzen, für jeden neuen Fall die Regel selbst zu finden. Aus solchen Rücksichten habe ich denn der Difserenzial- und Integralrechnung in gegenwärtiger Schrift das ihr gebührende Recht eingeräumt. Im klebrigen findet auch der mit diesen Theilen der Mathematik weniger vertraute V Leser in dem Finale eines jeden Satzes dasjenige Resultat, dessen Kenntniß für eine unmittelbare Anwendung aus die Praxis wünschenswert!) ist. Da das Studium eines wissenschaftlichen Werkes bei sehr vielen Lesern gewiß nicht allein in der Absicht unternommen wird, nur die nackten Ergebnisse einer mathematischen Rechnung zu erfahren, sondern Viele auch den Zweck vor Augen haben, bei der schrittweisen Erkennung der Wahrheit, bei der systematischen Verfolgung der hierzu führenden Konsequenzen ihren Verstand zu bilden, ein solcher Zweck aber gänzlich vereitelt wird, sobald die Deduktionen zu einer handwerksmäßigen Formelnschmiederei ausarten, bei welcher es dem Leser überlassen bleibt, mühsam die Elemente zusammen zu tragen, welche den Ausgangspunkt und die Grundlage der Rechnung bilden, während diese Rechnung selbst in wenig motivirten Kreuz- und Querzügen plötzlich bei einem Resultate anhält, welches der überraschte Lehrer für das gesuchte zu erkennen und nach Belieben auszudeuten hat; so wird man es gewiß gerechtfertigt finden, daß ich an vielen Stellen, namentlich, wo es aus die Feststellung der Grundideen ankam, zur Erleichterung des Verständnisses und zur Veranschau- lichung der leitenden Prinzipien etwas ausführlicher verfahren bin, als es für den geübteren Leser nothwendig gewesen sein möchte. Im klebrigen bin ich bei der Reihenfolge der Materien in dem der Hydraulik gewidmeten Abschnitte größten- VI theils dem Vorgänge Naviers in dessen kssums äes le^ons sur l'u-ppliention äs In rassani^us, sseonäs Partie gefolgt, welcher bereits die Billigung verschiedener anderer Schriftsteller gesunden hat, da derselbe in einem natürlichen Entwickelungsgänge der hierher gehörigen Erscheinungen begründet ist. Manches Einzelne, welches aus Naviers vortrefflichen Schriften in die gegenwärtige übergegangen ist, würde der kundige Leser selbst dann erkennen, wenn dasselbe auch nicht mit dem Namen dieses ausgezeichneten Mannes eingeleitet wäre. Braunschweig, im Januar 1847. Der Verfasser. N S Inhalt -es ersten Theiles. K'ller Mbschnitt. Die Prinzipien der Hydrostatik. I. Die Fundamentalgleichungen der Hydrostatik. tz. Seite I. 2. Allgemeine Begriffe. 1 Allgemeine Beziehungen zwischen den auf eine Flüssigkeit angebrachten Kräften, dem in irgend einem Punkte der Flüssigkeit stattfindenden Drucke und den Gestalten der Flächen von gleichem Niveau. 3. Hülfssatz. 5 4. Bestimmung des Druckes, welcher in irgend einer Flüssigkeit stattfindet 6 5. Fortpflanzung des Druckes durch eine Flüssigkeit, und allgemeine Bedingungen für die Natur der Kräfte, welche eine Flüssigkeit im Gleichgewichte zu erhalten vermögen. 12 6. Bestimmung der Richtungslinie der sollizitirenden Kraft und der Flächen von gleichem Niveau in einer Flüssigkeit.18 7. Dichtigkeit einer Flüssigkeit in den verschiedenen Flächen von gleichem Niveau.23 8. Einfluß der Temperatur auf den Gleichgewichtszustand einer Flüssigkeit 25 1l. Das Gleichgewicht der schweren unpreßbaren Flüssigkeiten. eziehungen zwischen den auf eine unprcßbare Flüssigkeit irkenden Kräften, den inneren Pressungen und den Flächen von gleichem Niveau. 9. Bestimmung des Druckes in irgend einem Punkte einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit.26 10. Die Flächen von gleichem Niveau in einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit . 28 11. Fall, wo die Flüssigkeit eine nicht zusammenhängende freie Oberfläche bildet, auf deren getrennte Theile verschiedene äußere Druckkräfte wirken.- - - 2!) 12. Fall, wo sich in demselben Gefäße mehrere unpreßbare Flüssigkeiten von verschiedenen Tüchtigkeiten befinden.32 Bestimmung des Druckes einer schweren unpreßbaren Flüssig' keit gegen gegebene Theile der Gefäßwände. 13. 14. Größe des Druckes auf ein bestimmtes Stück einer Fläche, gegen welche sich die Flüssigkeit stützt. 36 VIII Z. Seite 15. Richtung des Druckes einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit gegen ein bestimmtes Stück irgend einer Fläche .41 16. Druck gegen einen bestimmten Theil der Gefäßwand, wenn dabei der atmosphärische Druck auf die freie Oberfläche der Flüssigkeit berücksichtigt wird.45 17. Druck einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit gegen irgend eine ebene Figur. — Mittelpunkt des Druckes.47 18. Druck einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit auf ein vertikales Rechteck 51 19. Druck einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit auf ein vertikales Dreieck mit horizontaler Basis.52 20. Druck einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit auf einen vertikalen Kreis 55 21. Die vorstehenden Resultate der W. 13 bis 20 beziehen sich nicht bloß auf den Fall, wo die mit der Flüssigkeit in Berührung befindliche Fläche absolut glatt ist, sondern auch auf den, wo dieselbe die unvollkommen geglättete Oberfläche eines physischen Körpers bildet. 57 Gleichgewicht der auf der Oberfläche schwerer unpreßbarer Flüssigkeiten schwimmenden Körper. 22. Allgemeine Bedingungen des Schwimmens.59 23. Bcrhalten der in unpreßbare Flüssigkeiten getauchten Körper unter besonderen Umständen.63 24. Tiefe der Einsenkung eines an der Oberfläche einer unpreßbaren Flüssigkeit schwimmenden Körpers. . . 64 25. Tiefe der Einsenkung eines nach Art der Pontons gebaueten Körpers 66 26. Tiefe der Einsenkung eines der Länge nach auf der Flüssigkeit schwimmenden Zylinders. 59 27. Tiefe der Einsenkung einer Kugel. 7 g 28. Senkung eines schwimmenden Körpers in Beziehung zu dem Gefäße, in welchem die Flüssigkeit enthalten ist. 71 29. Fall, wo sowol das Gefäß, wie der schwimmende Körper gerade und vertikal stehende Prismen sind. 74 30. Fall, wo sowol das Gefäß, wie der schwimmende Körper ein vertikal stehendes Umwälzungsparaboloid bildet.75 31. Bestimmung der Gleichgewichtslagen eines schwimmenden Körpers . . 77 32. Gleichgewichtslagen eines schwimmenden Körpers, welcher sich unten in ein gerades dreiseitiges Prisma endigt, wenn nur Eine Kante unter den Spiegel der Flüssigkeit getaucht ist.82 33. Gleichgewichtslagen eines schwimmenden Körpers, welcher sich unten in ein gerades Prisma mit gleichschenkligem dreieckigen Querschnitte endigt, wenn die Basis dieses gleichschenkligen Dreiecks mit den beiden anliegenden Ecken unter den Spiegel der Flüssigkeit getaucht ist. 86 Stabilität schwimmender Körper. 34. Allgemeine Bedingungen für die Stabilität eines schwimmenden Körpers. — Metazentrum ..91 35. Bewegungen eines aus seiner Gleichgewichtslage gebrachten schwimmenden Körpers .94 36. Stabilität eines schwimmenden parallelepipedischen Körpers .... 104 37. Stabilität einer schwimmenden Kugel.108 lX III. Das Gleichgewicht einer mit gleichförmiger Geschwindigkeit um eine Are rotirenden, der Gravitation unterworfenen unpreßbaren Flüssigkeit. ?. Seite 38- Gestalten der freien Oberfläche und der Flächen von gleichem Niveau 110 39. Bestimmung des in irgend einem Punkte der obigen Flüssigkeit herrschenden Druckes.113 IV. Das Gleichgewicht der schweren elastischen Flüssigkeiten. Beziehungen zwischen den auf eine elastische Flüssigkeit wirkenden Kräften, den inneren Pressungen und den Flächen von gleichem Niveau. 40. Allgemeine Beziehung zwischen dem Volum einer gegebenen Quantität einer elastischen Flüssigkeit und der in derselben herrschenden Spannung. — Mariottesches Gesetz. .117 41. Allgemeine Beziehung zwischen dem Volum einer gegebenen Quantität einer elastischen Flüssigkeit von bestimmter Spannung und der darin herrschenden Temperatur. — Gay-Luffacsches Gesetz . . 121 42. Beziehung zwischen dem Volum, der Dichtigkeit, der Spannung und der Temperatur einer elastischen Flüssigkeit.122 43. Bestimmung des Druckes in irgend einem Punkte einer schweren elastischen Flüssigkeit.126 44. Bestimmung des Druckes in irgend einem Punkte eines Gemisches von mehreren schweren elastischen Flüssigkeiten.130 Gleichgewicht einer atmosphärischen Luftsäule. — Barometermessungen. 45. Allgemeine Gleichung für den in einem Punkte der atmosphärischen Luft stattfindenden Druck.131 46. Veränderlichkeit der Schwere.132 47. Veränderlichkeit der Dichtigkeit der atmosphärischen Luft mit dem Drucke, der Temperatur und dem Gehalte an Wafserdampf .... 133 48. Gleichung für den in einem Punkte der atmosphärischen Luft herrschenden Druck..134 49. Bestimmung des Höhenunterschiedes zweier Örter mit Hülfe des Barometers .137 50. Beispiele.141 51. Korrektion bei Ablesung der Barometerstände wegen der Ausdehnbarkeit der Skale und der Depression der Quecksilbersäule . . . 142 52. Praktische Regeln für das bei den barometrischen Höhenmessungen zu beobachtende Verfahren.144 Aiveiker Mbschnill. Die Prinzipien der Hydraulik. I. Die Fundamentalgleichungen der Hydraulik. 53. Gegenstand der Hydraulik .. . - 147 54. Kurze Wiederholung einiger wichtigen Lehrsätze der Mechanik . . > 147 X 55. Allgemeine Gleichungen für die Bewegung einer Flüssigkeit in einem röhrenförmigen Gefäße. 157 56. Bestimmung des hydraulischen Druckes einer in einer Röhre sich bewegenden Flüssigkeit in irgend einem Punkte.172 II. Die Bewegung der schweren unpreßbaren Flüssigkeiten. 57. Transformation der allgemeinen Gleichungen (234) und (235) für den - Fall, daß die in einer engen Röhre sich bewegende Flüssigkeit schwer und unpreßbar sei.175 Bewegung einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit in einer Röhre, deren Querschnitte sich nur allmählig ändern. 58. Allgemeine Gleichungen für diesen Fall, wenn sich eine bestimmte Quantitat der Flüssigkeit in einer Röhre fortbewegt, ohne aus der Röhre herauszufließen. 17 g 59. Fall, wo der Querschnitt der Röhre in allen Punkten konstant ist . 180 60. Fall, wo bei konstantem Querschnitte der Röhre die Axe derselben eine gerade Linie ist. 181 61. Bewegung einer Flüssigkeit in einer Röhre, wenn der obere Spiegel stets auf konstanter Höhe erhalten wird, und die Flüssigkeit sich in der Röhre fortbewegt, ohne aus derselben herauszufließen 182 62. Ausfluß einer Flüssigkeit aus einer Röhre, wenn der obere Spiegel auf konstanter Höhe erhallen wird.183 63. Fall, wo der obere Querschnitt der Röhre kleiner, als die Ausfluß- 4* öffnung ist.185 64. Fall, wo der obere Querschnitt der Röhre der Ausflußöffnung gleich ist 185 65. Fall, wo der obere Querschnitt der Röhre größer, als die Ausflußöffnung ist.186 66. Beharrungszustand einer aus einer Röhre sich ergießenden Flüssigkeit . 188 67. Beharrungszustand einer aus einer Röhre sich ergießenden Flüssigkeit unter der Bedingung, daß in jeder Zeiteinheit eine bestimmte Quantität der Flüssigkeit in die Röhre geführt werde .... 197 68. Ausfluß einer Flüssigkeit aus einer Röhre, wenn der obere Spiegel allmählig herabsinkt. 198 69. Besonderer Fall, wo die Ausflußöffnung ungemein klein ist gegen alle übrigen Querschnitte der Röhre, und wo die Letztere ein vertikal stehendes prismatisches Gefäß bildet.199 70. Fall, wo die Form der vertikal stehenden Röhre die Bedingung erfüllen soll, daß sich beim Ausflüsse der Flüssigkeit der obere Spiegel in gleichen Zeiten um gleich viel Herabsenke.202 Bewegung einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit in einem < Gefäße von beliebiger Gestalt, dessen Querschnitte sich nur allmählig ändern. 71. Bewegung einer solchen Flüssigkeit in einem Gefäße mit vertikaler Axe, dessen Ausflußöffnung sich nach innen dergestalt erweitert, daß alle Theilchen der Flüssigkeit parallel zur Axe austreten können 203 XI z. Seite 72. Bewegung einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit in einem Gefäße von beliebiger Gestalt, dessen Querschnitte sich allmählig ändern, und dessen Ausflußöffnung nach innen dergestalt erweitert ist, daß alle Theilchen der Flüssigkeit parallel zur Normalen auf dieser Öffnung auftreten können.204 73. Beharrungszustand einer aus einem beständig voll erhaltenen Gefäße von beliebiger Form und den oben erwähnten Eigenschaften sich ergießenden Flüssigkeit.205 74. Ausfluß einer Flüssigkeit aus einem Gefäße von beliebiger Gestalt, wenn der obere Spiegel allmählig herabsinkt, unter der Voraussetzung, daß die Ausflußöffnung gegen alle übrigen Querschnitte der Röhre ungemein klein sei.207 Mittlere A usflußgesch windigkeit und mittlere Druckhöhe einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit, wenn die vertikalen Dimensionen der Ausflußöffnung im Vergleich zu der Druckhöhe bedeutend sind. 75. Allgemeiner Ausdruck für die mittlere Ausflußgeschwindigkeit und die mittlere Druckhöhe.. . 76. Mittlere Ausflußgeschwindigkeit in einer Öffnung, welche ein Parallel- trapez bildet, dessen parallele Seiten horizontal sind .... 77. Mittlere Ausflußgeschwindigkeit in einer Öffnung, welche ein Rechteck mit zwei horizontal liegenden Seiten bildet. 78. Mittlere Ausflußgeschwindigkeit in einer Öffnung, welche ein Dreieck H» mit horizontaler Basis bildet, wenn die Spitze des Dreiecks nach oben und die Basis nach unten gekehrt ist. 79. Mittlere Ausflußgeschwindigkeit in einer Öffnung, welche ein Dreieck mit horizontaler Basis bildet, wenn die Spitze des Dreiecks nach unten und die Basis nach oben gekehrt ist. 80. Mittlere Ausflußgeschwindigkeit in einer Öffnung, deren vertikale Projektion ein Kreis ist . .. Ausfluß einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit aus einer Öffnung, welche nach innen dergestalt allmählig erweitert ist, daß sämmtliche Theilchen der Flüssigkeit parallel zu einer gemeinschaftlichen Are austreten können. — Kontr aktion des flüssigen Strahles. 81. Kontraktion des flüssigen Strahles .221 82. Versuche, die Größe der vollkommenen Kontraktion aus theoretischen Betrachtungen abzuleiten.224 83. Formeln für den Ausfluß einer Flüssigkeit aus einem Gefäße unter Berücksichtigung der Kontraktion des Strahles ...... 231 K 84. Praktische Erfahrungen, über die Größe und Wirkung der vollständigen Kontraktion bei Öffnungen in sehr dünnen Wänden und bei verschiedenen Druckhöhen.234 85. Verschiedene Fälle der unvollkommenen Kontraktion ...... 239 86. Erfahrungen über den Ausfluß des Wassers aus rechtwinkligen Öffnungen in dünnen Wänden, wenn sich an diese Öffnungen Gerinne oder Kanäle anschließen.242 209 2l3 217 218 219 219 Xll §. Seite 87. Einfluß der Widerstände, gegen welche der Strahl bei seinem Heraustreten trifft, auf die Ausflußmenge.243 Figur des aus einem Gefäße in die Luft springenden flüssigen Strahles. 88. Fall, wo der Strahl vertikal nach unten ausfließt ...... 244 89. Fall, wo der Strahl vertikal nach oben ausfließt.245 90. Fall, wo der Strahl in horizontaler Richtung austritt.247 91. Inversion oder Verdrehung des Strahles bei nichtkreisförmigen Öffnungen .249 Ausfluß einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit aus einem Überfalle. 92. Ausfluß aus einem Überfalle, wenn die Wände desselben nach innen gehörig erweitert und abgerundet sind, sodaß keine Kontraktion stattfindet.25 l 93. Erfahrungen über den Ausfluß des Wassers aus einer Überfallöffnung in einer dünnen vertikalen Wand.256 94. Beobachtete Höhe des aus Überfallöffnungen in dünnen Wanden hervortretenden Wasserstrahles.257 95. Erfahrungen über den Ausfluß des Wassers aus einer Uberfallöffnung mit einem Gerinne . . . . ,.259 96. Ausfluß aus einem mit einer Überfallöffnung versehenen Behälter, welcher sich leert ..259 Bewegung einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit in einem Gefäße, in welchem sich an mehreren Stellen der Querschnitt plötzlich um eine endliche Größe ändert. 97. Bewegung einer Flüssigkeit unter den vorstehenden Voraussetzungen in einer engen Röhre.261 98. Gleichförmiger Ausfluß einer Flüssigkeit aus der obigen mit Scheidewänden versehenen Röhre, wenn der obere Spiegel der Flüssigkeit auf konstanter Höhe erhalten wird.266 99. Gleichförmiger Ausfluß aus einer Röhre mit Scheidewänden und plötzlichen Erweiterungen und Verengungen.270 100. Ausfluß aus einer Röhre mit Scheidewänden, in welcher der Spiegel der Flüssigkeit allmählig hcrabsinkt . . -.273 101. Ausfluß aus einem mit Zwischenwänden oder sonstigen plötzlichen Erweiterungen oder Verengungen versehenen Gefäße von beliebiger Gestalt .274 102. Veränderung der Höhe eines aus einem Gefäße mit Zwischenwänden vertikal hervorspringenden Strahles, wenn das Gefäß sich allmählig leert.276 Beharrlicher Ausfluß einer Flüssigkeit aus einem mit einer kurzen Ansatzröhr versehenen Gefäße. 103. Formeln für den Ausfluß durch eine zylindrische oder prismatische Ansatzröhre. 278 XUI z. Seite 104. Erfahrungen über den Ausfluß des Wassers aus kurzen zylindrischen oder prismatischen Ansatzröhren.285 105. Erfahrungen über den Ausfluß des Wassers aus konischen Ansatzröhren 289 Ausfluß einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit aus einem Gefäße, welches unter dem Spiegel eines mit gleicher Flüssigkeit gefüllten zweiten Gefäßes ausmündet. 106. Beharrlicher Ausfluß aus einem Gefäße, dessen Ausflußöffnung unter dem Spiegel eines zweiten Gefäßes liegt.291 107. Fall, wo der Spiegel des ersten Gefäßes auf konstanter Höhe gehalten wird, während der Spiegel des zweiten Gefäßes sich hebt . 296 108. Fall, wo der Spiegel des zweiten Gefäßes auf konstanter Höhe erhalten wird, während der Spiegel des ersten Gefäßes sich senkt 299 109. Fall, wo sich der Spiegel im ersten Gefäße senkt, während sich der Spiegel im zweiten Gefäße hebt.300 110. Beharrlicher .Ausfluß aus einem Gefäße, dessen Querschnitte sich an manchen Stellen plötzlich ändern, wenn dasselbe unter dem Spiegel eines zweiten Gefäßes ausmündet.302 111. Ausfluß aus einem Gefäße, wenn die Ausflußöffnung nur zum Theil von dem Spiegel eines zweiten Gefäßes bedeckt ist .... 304 Durchfluß einer schweren unpreßbaaren Flüssigkeit durch mehrere oben offene Gefäße. 112. Allgemeiner Fall des Durchflusses durch zwei oben offene Gefäße . 305 113. Fall, wo das obere Gefäß keine Flüssigkeit empfängt, während das - untere die Flüssigkeit entläßt.307 114. Fall, wo das obere Gefäß keine Flüssigkeit empfängt und das untere keine entläßt.307 115. Fall, wo der Spiegel des oberen Gefäßes stets auf konstanter Höhe erhalten wird, während das untere Gefäß die Flüssigkeit entläßt 308 116 Fall, wo der Spiegel des oberen Gefäßes stets auf konstanter Höhe erhalten wird, während das untere Gefäß keine Flüssigkeit entläßt 309 117. Durchfluß einer Flüssigkeit durch drei oben offene Gefäße im Beharrungszustande .309 118. Durchfluß einer Flüssigkeit durch mehrere oben offene Gefäße, wenn diese Gefäße plötzliche Änderungen des Querschnittes enthalten . 311 Oszillationen einer Säule von einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit. 1>9. Oszillationen einer Flüssigkeit, welche i» einer aus zwei vertikalen Schenkeln bestehenden Röhre enthalten ist.313 120. Oszillationen einer Flüssigkeit in einer vertikalen Röhre, welche in ein Gefäß von ungemein großer Oberfläche ausmündet . . . 319 Bon dem Gesammtdrucke, welchen ein Gefäß, in dem sich eine schwere unprcßbare Flüssigkeit bewegt, auszuhalten hat. 121. Allgemeine Betrachtungen über diesen Druck.326 XIV tz. Seite 122. Bestimmung des Gesammtdruckes einer in Bewegung begriffenen Flüssigkeit gegen eine Röhre von sehr kleinen Querschnitten, in welcher dieselbe enthalten ist. 33 t 123. Gesammtdruck einer Flüssigkeit gegen eine Röhre, wenn die Letztere stets voll erhalten wird, und die Flüssigkeit aus derselben entströmt 337 124. Gesammtdruck einer aus einem Gefäße von beliebiger Gestalt entströmenden Flüssigkeit gegen dieses Gefäß.340 Gleichgewicht und Bewegung einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit in einem bewegten Gefäße. 125. Gestalt der freien Oberfläche und Druck einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit, welche sich in einem Gefäße befindet, das mit veränderlicher Geschwindigkeit in irgend einer geradlinigen Richtung fortbewegt wird . . .. 345 126. Ausfluß aus einem Gefäße, welches mit veränderlicher Geschwindigkeit in einer geraden Linie bewegt wird.353 127. Gestalt der freien Oberfläche und Druck einer Flüssigkeit in einem Gefäße, welches mit gleichförmiger Winkelgeschwindigkeit um eine vertikale Are gedrehet wird ..356 128. Ausfluß einer Flüssigkeit aus einem Gefäße, welches mit gleichförmiger Winkelgeschwindigkeit um eine vertikale Are gedrehet wird . 358 129. Gleichgewicht einer Flüssigkeit in einem Gefäße, welches mit gleichförmiger Winkelgeschwindigkeit um eine horizontale Axe gedrehet wird.364 Druckfehler. Seite 178, Zeile 2 von oben lies -—^ statt ^ Vk-l cr-2/ V^L rc>2/ 196, » 4 » » - 31,7 Fuß statt 31,7. 209, » 1 u.2 » » unterdrücke die Worte: die Zeit, in welcher sich das eben betrachtete Gefäß leert, doppelt so groß ist, als. 291, » 21 » » lies unpreßbaren statt elastischen. 7^77) -I Ä ' ^ . »r7-. Erster Abschnitt. Die Prinzipien -er Hydrostatik. I. Die Fundamentalgleichungen der Hydrostatik. 8. 1. Allgemeine Begriffe. Eine vollkommene Flüssigkeit ist ein Körper, dessen kleinste Massentheilchen sich ohne den mindesten Neibungswider- stand aneinander verschieben lassen, wie groß auch der Grad ihres Zusammenhanges oder ihrer Kvhästvn, d. h. ihr Widerstand gegen eine vollkommene Trennung sein mag. In der Natur gibt es dergleichen Körper im vollsten Sinne der vorstehenden Definition nicht: alle irdischen Flüssigkeiten besitzen einen gewissen Grad von Adhäsion, Reibung oder Klcbrigkeit, demzufolge sie nur Näherungsweise dem obigen Begriffe untergeordnet werden können; sie setzen der Verschiebung ihrer kleinsten Theile aneinander einen im Allgemeinen nur schwachen, aber je nach ihrer besonderen Natur verschiedenen Widerstand entgegen — man nennt sie daher unvollkommene Flüssigkeiten. Eine bestimmte Quantität irgend einer flüssigen Masse kann wegen der vollkommenen Beweglichkeit aller ihrer Theile offenbar in eine jede beliebige Form gebracht werden, deren Rauminhalt dem Volum jener Quantität entspricht. Denkt man sich die flüssige Masse von einer solchen Beschaffenheit, daß die obige abgemessene Quantität derselben immer nur eine Form annehmen kann, deren körperlicher Inhalt dem anfänglichen Volum genau 2 h. 1. Allgemeine Begriffe. gleich ist; so heißt sie eine unpreßbare oder tropfbare Flüssigkeit. Die erstere Bezeichnung hat ihren Grund darin, daß eine solche flüssige Masse durch keine Gewalt auf ein kleineres Volum zusammengedrückt werden kann; die letztere hat ihn darin, daß wenn man versuchen wollte, das Volum jener bestimmten Menge von Flüssigkeit durch mechanische Ausdehnung zu vergrößern, man den Zusammenhang zwischen den einzelnen Theilen derselben aufheben und dieselbe in Tropfen auflösen würde, deren Gesammtinhalt jedoch dem obigen Volum vollkommen gleich bliebe. Zu den bekannten Flüssigkeiten, welche die vorstehenden Eigenschaften zwar nicht im vollkommenen Grade, aber doch nähe- rungswcisc, besitzen, gehört unter vielen andern das Wasser und das Quecksilber. Die Vorstellung einer Flüssigkeit, welche, durch innere Rc- pulsionskräfte getrieben, ein Bestreben besitzt, einen jeden nochso großen Raum zu erfüllen, und welche durch angemessene, auf ihren Umgränzungsflächen angebrachte Kräfte auf einen jeden nochso kleinen Raum zusammengedrückt werden kann, erweckt den Begriff einer elastischen oder erpansibelen Flüssigkeit. Es leuchtet ein, daß eine bestimmte Menge einer solchen Flüssigkeit einen jeden beliebigen Raum erfüllen kann, und auf die Wände des Gefäßes, in welchem sie enthalten ist, stets einen gewissen Druck ausüben wird. Bei vollkommen elastischen Flüssigkeiten muß zwischen einer gegebenen Masse derselben, dem körperlichen Volum, welches sie erfüllt, und dem Drucke, welchen diese Masse auf die umschließenden Gefäßwände ausübt, eine in der Folge näher zu erörternde Beziehung stattfinden; außerdem muß eine solche Masse fähig gedacht werden, sich durch eine unendliche Vermehrung der komprimircnden Kräfte auf ein unendlich kleines Raumelcment reduziren zu lassen, während sie sich bei gänzlicher Hinwegnahme aller äußeren Druckkräfte oder bei der Öffnung des umschließenden Gefäßes ins Unendliche ausdehnen würde. Atmosphärische Lust und alle Arten von Gasen und Dämpfen sind elastische Flüssigkeiten, welchen die eben erwähnten Eigenschaften in ziemlich hohem Grade, wenn auch nicht in aller Strenge zukommen. Die Hydrostatik handelt vom Gleichgewichte der Flüssigkeiten. Sie lehrt die Beziehungen kennen, welche zwischen den ver- ). 2. Allgemeine Sätze der Mechanik. 3 schicdenen Kräften obwalte» müssen, damit sie im Stande seien, eine gegebene flüssige Masse im Zustande der Ruhe oder überhaupt im Bcharrungöznstande einer allen Theilen gemeinschaftlichen gleichförmigen Bewegung zu erhalten, und erklärt die Erscheinungen, welche diesen Zustand unter mancherlei Umständen begleiten. Im engeren Sinne des Wortes versteht man unter Hydrostatik die Statik der unpr eßbaren Flüssigkeiten, und bezeichnet alsdann die Lehre vom Gleichgewichte der elastischen Flüssigkeiten mit dem Namen der Aerostatik. 8. 2. Aus der Mechanik werden hier noch folgende allgemeine Sätze, welche sich nicht bloß auf starre, sondern auch auf alle Arten von flüssigen Körpern beziehen, zur Erinnerung gebracht. Wenn L das körperliche Volum irgend eines Körpers, M die darin enthaltene Masse oder die Quantität seiner Materie, die in der Volumeinheit enthaltene Masse oder die Dichtigkeit des Körpers bezeichnet; so hat man ^ .... ct) Wird nun ein jedes Massentheilchen dieses Körpers von einer gleichen und einer gemeinsamen Richtung parallelen Kraft solli- zitirt; so sei der Gesammtdruck, welchen der Körper in Folge der Einwirkung der erwähnten Kräfte auf eine feste Widerlage ausüben würde, gleich ?. Setzt man ferner die Geschwindigkeit, welche die in dem Körper wirkende Kraft der Materie in jeder Zeiteinheit mitzutheilen im Stande wäre, sobald sich der Bewegung des Körper gar kein Widerstand entgegensetzte, gleich /; so hat man. l oder -- ! ^ wegen Gleichung (1) aber auch l-Lss — k> .... (3) Bezeichnet man die Wirkung jener Kraft in die Volumein- heit mit jsi, sodaß man 4 2. Allgemeine Sähe der Mechanik. Gl. IN. -- K ^ p hat; so folgt auch AI/^pk . . . . (D und auch ^ .... ( 5 ) Wenn die in Rede stehende Kraft die Schwere ist, welche den Körpern an der Oberfläche der Eöde bei Berlin in der Sekunde die Geschwindigkeit §—31,2644 Fuß rheinl. mittheilt; so stellt p das Gewicht der Masse oder des Volums X dar. Setzt man dieses Gewicht — 4V und das Gewicht der Volumeinheit — w; so bat man wegen der Gleichungen (4) und (5) I! oder XV AI — s und ro oder II (6) . . . (7) Sobald es sich also um einen schweren Körper an der Oberfläche der Erde handelt, auf dessen Massentheilchen noch die Kraft ? gleichmäßig vertheilt wäre; so kann man statt der Formeln (2), (3) und (5) auch die folgenden II .... (8) .... (9) —/ — p . . . . (10) einführen. Aus der Gleichung (5) erkennt man, daß die Größe welche die Geschwindigkeit bezeichnet, die dem Körper von der darauf angebrachten Kraft in der Zeiteinheit mitgetheilt werden würde, auch den Druck darstellen kann, welchen eine jede 3. HülfSsntz. 5 Masseneinheit des von dieser Kraft ergriffenen Körpers gegen eine feste Widerlage ausüben würde. Da Ebendasselbe auch von der Größe § (Gl. 7) gilt; so kann man sagen, die den schweren Körpern von der Schwerkraft in der Sekunde mitgetheilte Geschwindigkeit sei A —31,2644 rheml. Fuß, oder auch, das Gewicht der Masseneinheit aller ponderabelen Materie betrage 31,2644 Gewichtseinheiten. Allgemeine Beziehungen zwischen den auf eine Flüssigkeit angebrachten Kräften, dem in irgend einem Punkte der Flüssigkeit stattfindenden Drucke und den Gestalten der Fläche» von gleichem Nivean. 8. 3. Hülfssatz. — Wenn sich zwei im Gleichgewichte befindliche Körper, auf welche beliebige Kräfte wirken, mit ihren absolut glatten Oberflächen berühren, und demgemäß einen Druck aufeinander ausüben; so wird die Resultante aller auf den Einen Körper angebrachten Kräfte der Resultante aller auf den anderen Körper angebrachten Kräfte nicht bloß gleich und direkt entgegengesetzt sein, sondern dieselbe wird auch in dem Punkte, wo sie die gemein- schaft liche Berührungsfläche beider Körperdurch schneidet, auf dieser perpcndikular stehen. Denn angenommen, die erwähnte Resultante schlösse mit der Normalen auf der Berührungsfläche irgend einen Winkel ein; so könnte man dieselbe in zwei andere Kräfte zerlegen, von denen die Eine mit der Richtung der Normalen und die andere mit der Richtung der Tangente an jener Berührungsfläche zusammenfiele. Mit der Kraft der ersteren Komponente würden alsdann beide Körper perpcndikular gegeneinander gepreßt werden, und vermöge der zweiten Komponente würden sie ein Bestreben äußern, aufeinander fortzugleiten. Da ein solches Gleiten nur durch etwaige Erhabenheiten auf den beiderseitigen Oberflächen, nicht aber bei absolut glatten Flächen, wie sie hier vorausgesetzt sind, verhindert, und die Körper in Ruhe gehalten werden könnten; so folgt, daß unter den gegebenen Bedingungen der Gleichgewichtszustand nur dann stattfinden kann, wenn die letztere k §. 4. Bestimmung dcS Druckes Komponente in tangentialcr Richtung zu der Berührungsfläche gleich null, oder wenn die Richtung des Druckes, den beide Körper aufeinander ausüben, mit der Normalen auf jener Fläche zusammenfällt. s> ck. Bestimmung des Druckes, welcher in irgend einem Punkte einer Flüssigkeit stattfindet. Auf die Massentheilchen einer bestimmten zum Theil von Gefäßwänden umschlossenen Flüssigkeit seien beliebige Kräfte angebracht, außerdem wirke auf die freie Oberfläche der Flüssigkeit überall in normaler Richtung eine Kraft, deren Betrag für die Flächeneinheit in allen Punkten sich gleich bleibe. Die Flüssigkeit sei im Gleichgewichte, und der Spiegel derselben bilde die krumme Fläche ^V6L. Denkt man sich einen Theil dieser Flüssigkeit, welcher ein Prisma 6666 von unendlich kleinem Querschnitte bildet, dessen obere als eben anzusehende Be- gränzungsfläche der Theil 60 der freien Oberfläche ist und dessen untere Bcgränzungsfläche 66 in der Ebene eines beliebigen Querschnittes der Flüssigkeit liegt; so sei der konstante unendlich kleine Querschnitt des Prismas 66, §, der Abstand 66 der Mittelpunkte der beiden Endflächen 66 und 66 des Prismas, « der Neigungswinkel 66ck der oberen Erdfläche und der Neigungswinkel 666 der unteren Erdfläche gegen eine auf der Are 66 des Prismas normal stehende Ebene 6.l oder 66, welcher in irgend einem Punkte einer Flüssigkeit stattfindet. 7 s der Abstand 6N eines normalen Querschnittes des Prismas vom Punkte 6 der freien Oberfläche, «Q« das Bolum eines Massentheilchens der Flüssigkeit bei N vom Querschnitte a und von der sehr kleinen Höhe /X«, die Dichtigkeit oder die in der Volumeinheit enthaltene Masse der Flüssigkeit im Punkte sodaß die Masse m des oben erwähnten Theilchcns m —ist, der in normaler Richtung gegen die freie Oberfläche der Flüssigkeit auf jede Flächeneinheit angebrachte Druck, ^ die Geschwindigkeit, welche die in das Thcilchen beil^ wirkende Kraft in der Zeiteinheit der Materie mitzutheilen im Stande ist, sodaß der Druck 6 dieser Kraft auf eine Quantität der Flüssigkeit von der Masse N oder von dem Volum L im Punkte N ist, S der Winkel 8N6, welchen die Richtung dieser Kraft mit der Are 68 des Prismas bildet, - der Druck der Flüssigkeit im Punkte H auf die Flächeneinheit. Betrachten wir setzt das Prisma 68 mit allen auf dasselbe wirkenden Kräften; so finden wir, daß dasselbe folgenden Kräften unterworfen ist: 1) dem in normaler Richtung 86 gegen die obere Endfläche angebrachten Drucke, 2) sämmtlichen Kräften, welche in die einzelnen Massenthcilchen jenes Prismas zwischen den Flächen 6V und 66 wirken, 3) den Pressungen der umgebenden Flüssigkeit gegen die mit der Are 6 8 parallelen Seitcnwände des Prismas rings um dasselbe herum und 4) dem Widerstände der umgebenden Flüssigkeit gegen die untere Erdfläche 66 in der Richtung 68. Sämmtliche vorbenannten Kräfte müssen unter einander im Gleichgewichte sein; es leuchtet aber auch ein, daß sich dieselben an der Flüssigkcitssäule 68 nicht wie an einem starren Stäbe, sondern wie an einem vollkommen biegsamen Faden, der nur in der Richtung seiner Länge Widerstand leisten oder Spannung ertragen kann, im Gleichgewichte erhalten müssen. Wegen der unendlich leichten Verschieblichkeit der Thcilchen jener Säule wird derselben nämlich alle Widerstandsfähigkeit gegen eine cvcn- tuclle-Biegung, wie sie ein starrer Körper besitzt, entzogen, und 8 §. 4. Bestimmung deß Druckes die fraglichen Kräfte können sich an derselben nicht wie an einem unbiegsamen Hebel, sondern nur in einer solchen Weise im Gleichgewichte erhalten, wo sie in gerader Linie gegeneinander gepreßt oder voneinander gezogen werden, (das Letztere natürlich nur in so weit, als die Flüssigkeit Kohäsion besitzt) also nur in einer Weise, welche dem Falle eines vollkommen biegsamen Fadens entspricht. Hieraus folgt, wenn man eine jede der unter der obigen Klassifikation enthaltenen Kräfte in zwei andere zerlegt, von denen die Eine parallel zur Are 08 des Prismas und die andere per- Pendikular zu dieser Are wirkt, erstens, daß sämmtliche in die Richtung 08 fallende Kräfte für sich im Gleichgewichte sein oder sich gegenseitig vernichten müssen, zweitens, daß von allen übrigen, in perpendikularer Richtung zu der Are des Prismas wirkenden Kräften sich allemal diejenigen gegenseitig aufheben müssen, welche rings um und in einem Stücke jenes Prismas liegen, das von zwei unendlich benachbarten, auf der Are 08 perpendikular stehenden Querschnitten des Prismas begränzt ist. Denn wären die letzteren Komponenten nicht in einer jeden normalen Querschicht des fraglichen Prismas für sich im Gleichgewichte; so müßte sich die Gesammtheit aller wie an einem unbiegsamen Stäbe nach der Theorie des Hebels Lm Gleichgewichte erhalten, was wegen der Verschicblichkeit der Thcilchcn der flüssigen Masse nicht möglich ist. Um nun die vorstehenden Komponenten der obigen Kräfte resp. in paralleler und perpendikularer Richtung zur Are 08 zu bestimmen; so hat man 1) für den gegen die obere Erdfläche 08— L 08 « angebrach- 8 in irgend einem Punkte einer Flüssigkeit. ten äußeren Druck, dessen Richtung auf der Ebene 01) normal steht, und dessen Betrag für die Flächeneinheit —z» ist, den Werth Die beiden Komponenten dieses Druckes in paralleler und perpcndikularer Richtung zur Are 6» sind resp. 2) hat man für die Kraft, welche in der Richtung 8iV auf das Massenelement des Prismas im Punkte N wirkt, wenn man beachtet, daß dieses Element von zwei unendlich benachbarten normalen Querschnitten eingeschlossen ist, also das Volum und die Masse besitzt, den Werth Die Komponenten dieser Kraft parallel und perpendikular zur Are 6kl sind resp. und si/ttSiind'.In den letzteren Ausdrücken sind natürlich die drei Größen zr, / und im Allgemeinen veränderlich, indem dieselben für die verschiedenen Punkte der Are 68 oder für die verschiedenen Werthe von s, welche zwischen den Gränzen s —o und s —liegen, nach gewissen Gesetzen variiren können. Die Summe aller ebengenannten Komponenten der Kräfte in paralleler Richtung zur Are 68 sei oder da der unendlich kleine Querschnitt « des Prismas überall konstant ist — Da die Höhe des Elementes bei N in der Richtung der Are 6kl unendlich klein sein soll; so wird man für dieselbe das Differenzial ck« der Höhe 6N—« setzen und aus Gründen der Analysis «» v für die Summe der obigen Komponenten zwischen den Punkten 6 und 8 nehmen können. Hierbei wird vorausgesetzt, daß eine jede der drei veränderlichen Größen und A als eine Funktion der zugehörigen Höhe s gegeben sei. 3) Sämmtliche Pressungen der umgebenden Flüssigkeit gegen die Umfangöwände des Prismas 68 müssen, weil diese Wände, sowie die der angränzendcn Flüssigkeit, als absolut glatt anzusehen sind, nach K 3 überall normal gegen jene Wände gerichtet sein. lO S. 4. Bestimmung des Druckes Die gegen die Seitenwände des Prismas wirkenden Pressungen bedürfen daher keiner weiteren Zerlegung, da ihre Richtungen in allen Punkten perpendikular auf der Are Oll des Prismas stehen. Nimmt man alle Pressungen der umgebenden Flüssigkeit gegen die Seitenwände eines zwischen zwei unendlich benachbarten Querschnitten liegenden Elementes N mit der Kraft zusammen, welche die zweite Komponente der in jenes Element wirkenden Kraft bildet; so ist schon vorhin bemerkt, daß sich diese Kräfte in allen Punkten der Linie Oll gegenseitig vernichten müssen, da sie sich an dem Prisma nicht, wie an einem starren unbiegsamen Stäbe, im Gleichgewichte erhalten können. 4) Der Widerstand der umgebenden Flüssigkeit gegen die untere Endfläche llk des Prismas nach der Linie tzll kann, wie die ebenerwähnten Pressungen, wegen Z 3, nur normal gegen jene Fläche gerichtet sein. Nimmt man an, der Druck der äußeren Flüssigkeit gegen die Fläche sei gleichförmig über die Letztere vertheilt, was offenbar zulässig ist, sobald man sich jene Fläche von unendlich kleiner Ausdehnung denkt; so wird, weil die Fläche Lk gleich ist, der gesammte Widerstand der Flüssigkeit gegen die Fläche llk oder die in der Richtung tzll wirkende Resultante aller elementaren Widerstände gegen diese Fläche — sein, sobald man mit den normalen Druck der Flüssigkeit gegen eine jede Flächeneinheit der Fläche Lk bezeichnet. Die zur Are Oll parallele und perpendikulare Komponente dieses Widerstandes ist hiernach resp. 008 /?—a- und VV8jZ' "" ^ «08 O 8IN/) —«yianZ/;. Die letztere, auf der Are Oll perpendikular stehende Komponente setzt sich mit den Pressungen ins Gleichgewicht, welche die umgebende Flüssigkeit gegen die übrigen Umfangswände der kleinen keilförmigen Masse llbll ausübt, ebenso wie sich die entsprechende Komponente des in der Richtung llO wirkenden Druckes gegen die obere Endfläche des Prismas mit den Pressungen ins Gleichgewicht setzt, welche die äußere Flüssigkeit gegen die übrigen Umfangswände der kleinen keilförmigen Masse 004 ausübt. Damit nun Gleichgewicht stattfinde zwischen den in der Linie in irgend einem Punkte einer Flüssigkeit. 11 s-ll wirkenden Kräften, von denen die beiden Kräfte und in der Richtung 6» und die Kraft a- in ent- 0 gegcngesctzter Richtung 11 O wirkt, muß man offenbar die Gleichung ap-s-cr ^^/^vvskk.ckr o oder, wenn man mit K dividirt, H —^ si/'vosO.rt« .... (11) » haben. Durch diesen Werth von ^ wird, wenn man sich den Querschnitt des Prismas 68 immer mehr und mehr verkleinert denkt, bis dasselbe im Begreffe ist, sich auf die materielle Linie OH und die Fläche 61) und 8k auf die materiellen Punkte 6 und H zu rcduziren, ganz genau der Druck dargestellt, welcher im Punkte II der Flüssigkeit sowol in der Richtung 08, wie in der entgegengesetzten Richtung 80 stattfindet. Dieser Druck ist auf die Flächeneinheit bezogen, d. h., er stellt die Resultante aller Pressungen dar, welche sich in der Ausdehnung einer Flächeneinheit äußeren würden, sobald in jedem Punkte dieser Flächeneinheit ein gleicher Druck, wie im Punkte 8, angebracht wäre. Denkt man sich das Prisma 68 um seine Are herumgedrehet, sodaß jedoch die obere Endfläche 6V immer in der Richtung der freien Oberfläche der Flüssigkeit liegen bleibt und nur die untere Endfläche 8 k ohne ihre Neigung gegen die Are oder gegen die normalen Querschnitte zu ändern, sukzessive in verschiedene Lagen kommt; so wird für alle diese Lagen die obige Gleichung (11) Gültigkeit behalten und den in normaler Richtung zu 8k stattfindenden Druck im Punkte 8 darstellen. Man erkennt auch, daß jene Gleichung vom Winkel oder von der Neigung der Fläche 8k gegen die normalen Querschnitte des Prismas unabhängig ist, daß man also in einer jeden der eben bezeichneten Lagen, in welche die Fläche 8k bei ihrer Notation um die Are 08 ge- 12 r S. Fortpflanzung des Druckes langt, annehmen könne, der Neigungswinkel —/I variire von 0 bis 90°, ohne daß dadurch der Druck der Flüssigkeit in normaler Richtung zur Fläche Lk eine Änderung erleide. Hieraus geht hervor, daß sich im Punkte 8 nach allen Richtungen des Raumes ein Druck äußere, dessen Betrag, auf die Flächeneinheit bezogen, den Werth y aus Gleichung (11) hat. Diesen Druck, welchen eine Flüssigkeit im Zustande des Gleichgewichts ausübt, nennt man den hydrostatischen Druck derselben. 8 5. Fortpflanzung des Druckes durch eine Flüssigkeit, und allgemeine Bedingungen für die Natur der Kräfte, welche eine Flüssigkeit im Gleichgewichte zu erhalten vermögen. Wenn in die einzelnen Massentheilchen der vorhin betrachteten Flüssigkeit gar keine Kräfte einwirkten, wenn also in allen Punkten o wäre; so würde sich die Gleichung (11) auf S —p reduziren, und es würde in allen Punkten der Flüssigkeit nur der Druck p stattfinden. Statt daß man im vorhergehenden Paragraphe annahm, 6 sei ein Punkt der freien Oberfläche, konnte man sich auch denken, 6 sei ein Punkt inmitten der Flüssigkeit, wo eben der Druck p herrschte. Die Gleichung (11) würde alsdann immer den in 8 stattfindenden Druck darstellen. Für den Fall, daß überall o, also die Massentheilchen der Flüssigkeit von gar keinen inneren Kräften sollizitirt wären, würde die Gleichung (11) von der Richtung der Linie 68 ganz unabhängig sein, und der im Punkte 6 stattfindende Druck würde sich von 6 aus durch die ganze Flüssigkeit .fortpflanzen. Diese Fortpflanzung kann sowol auf geradem Wege 68, wie auch auf jedem anderen gebrochenen oder krummlinigen Wege gedacht werden, da man bei einer gebrochenen Linie, zu deren allgemeinsten Falle auch die stetige Kurve gehört, von jeder geradlinien Seite Dasselbe darthun kann, was vorhin von der Linie 68 nachgewiesen ist. Die ebenerwähnte Forpflanzung eines Druckes x» von einem beliebigen gegebenen' Punkte 6 einer Flüssigkeit nach irgend einem durch eine Flüssigkeit. 13 anderen Punkte II auf geradem oder krummem Wege findet offenbar auch dann noch statt, wenn die einzelnen Massenteilchen der Flüssigkeit noch durch innere Kräfte angegriffen werden, da durch solche Kräfte nur der Werth des zweiten Gliedes auf der rechten Seite der Gleichung (ll) bestimmt, das konstante Glied aber ganz ungeändert gelassen wird. Wenn sich nun auch für den Fall, daß die Theilchen der Flüssigkeit selbst von Kräften Z' belebt sind, ein jeder im Punkte O stattfindende Druck ^ auf jedem beliebigen Wege 6 NH bis ^ zum Punkte H forzpflanzt, um daselbst einen Theil des bei II stattfindenden Druckes ? auszumachen; so geht doch aus der Natur der Gleichung (11) noch nicht hervor, ob der andere Theil des Druckes 7 stets denselben Werth annehme, gleichviel, auf welchem gebrochenen oder krummen Wege man die Fortpflanzung der Kräfte / von 6 bis H vor sich gehend annehme. Damit die Flüssigkeit im Gleichgewichte erhalten werde, ist es offenbar ein nothwendiges Erforderniß, daß jene Fortpflanzung von der Beschaffenheit des Weges 6 N» ganz unabhängig sei, und es fragt sich, ob dieses Erforderniß nicht zu einem allgemeinen Gesetze führe, welchem die in die Massentheilchen wirkenden Kräfte nothwendig unterworfen sein müssen, wenn sie überhaupt im Stande sein sollen, eine davon sollizitirte Flüssigkeit im Gleichgewichte zu erhalten. Zu diesem Ende bestimmen wir den Druck y auf die Flächeneinheit im Punkte 0, welcher sich vom Punkte k her, woselbst der Druck /, herrscht, auf dem krummlienigen Wege ORII erzeugt, indem wir ONH wie eine Flüssigkeitssäule mit krummer Are und unendlich kleinen gleichförmigem Querschnitte a betrachten, welche bei (i und II normal zu ihrer Are abgeschnitten ist. Außerdem seien ?/, r die rechtwinkligen Koordinaten irgend eines Punktes N der Are kNII, « die Länge des ArcnstückeS 14 tz. S. Fortpflanzung des Druckes cks die Höhe des zwischen zwei normalen Querschnitten der Röhre bei IV liegenden Mafsenelementes, ^ die Dichtigkeit der Flüssigkeit im Punkte IV, / die Geschwindigkeit, welche die in das Theilchen IV wirkende Kraft in der Zeiteinheit der Materie mitzutheilen im Stande ist, sodaß der Druck I? dieser Kraft auf eine Quantität der Flüssigkeit von der Masse I>I oder von dem Volum L im Punkte IV ist, /a die Komponenten der Geschwindigkeit /in parallelen Richtungen zu den drei Koordinatenaren der a:, N, auf welche die Lage der Kurve 6IVH bezogen ist, r, — Ai/, — ,-L/l die Komponenten des Druckes b nach denselben drei Richtungen. Zerlegt man alle aus die flüssige Masse 6IVII angebrachten Kräfte, sowol innere, wie äußere, wobei unter den letzteren die Pressungen der umgebenden Flüssigkeit verstanden werden, in zwei andere, von denen die Eine in die Richtung des Kurvenelementes oder der Tangente der Are OIVH in dem betreffenden Punkte fällt, die andere aber auf dieser Are normal steht; so findet man, wie im vorhergehenden Paragraphe, daß sich von den letzteren normalen Komponenten allemal diejenigen gegenseitig vernichten müssen, welche rings um einen narmalen Querschnitt der fraglichen Röhre liegen, und daß die ersteren, längs der Are OIVH gerichteten Komponenten, mit Einschluß der in den Richtungen und (ZU gegen die Endflächen der Röhre wirkenden Kräfte, für sich ein im Gleichgewichte befindliches System bilden müssen. Dies Letztere wird besonders einleuchtend, wenn man sich die Are der Rohre OIVH als ein Polygon von beliebig vielen Seiten denkt, auf dessen jede Seite sich alsdann eine Betrachtung, ähnlich der in 8 4 mit dem Prisma 6» angestellten, anwenden läßt. Die Kräfte p und - werden bei einer jeden dieser Polygvnseiten durch die Pressungen vertreten, welche sich gegen die obere und untere Endfläche des betreffenden Röhrenstückes auf die Flächeneinheit äußern. Da sich in den Ecken des fraglichen Polygons je zwei solcher Röhrenstücke in einer Ebene berühren und mit durch eine Flüssigkeit. 15 denselben Kräften gegen einander drücken; so sieht man nach § 4 ein, daß sich die längs der polygonalen Are 6M8 auf die verschiedenen Massentheilchen der Flüssigkeit wirkenden Kräfte, nebst dem Drucke ap gegen die obere Endfläche bei O, nachundnach bis zur unteren Endfläche bei II fortpflanzen, und daß daselbst die Summe aller dieser Kräfte dem Drucke a- das Gleichgewicht halten muß. Nehmen wir an, die Länge einer jeden dieser Polygonseiten sei gleich dem Längenclemente cks der krummlinigen Are 0^8; so wird ein jedes, als geradlinig anzusehendes Röhrenstück N der Flüssigkeit 0N8 ein Massenelement derselben vom Inhalte ack« und von der Masse bilden. In dieses Element wirkt in der Richtung 8K, die Kraft oder in den Richtungen der drei rechtwinkligen Koordinaten Oa:, O^, O- wirken auf dasselbe die drei Kräfte Bezeichnet man die Neigungswinkel der Are der Röhre bei N gegen jene drei Koordinatenaren resp. mit ^ 2 , so sind die Komponenten der vorstehenden drei Kräfte in paralleler Richtung zur Are der Röhre resp. zc/, cos^,, l-/2Kck«.e08'9'2,zt/g ack«. eosldg odcrdack«. 008 ^, — ckx, ck«. 008^2 — ckz/, cks.oo8lkg —ckr ist, resp. «rckn, die gcsammte in der Richtung der Röhrenare auf das Element ^ wirkende Kraft ist also z>/, -si ttckz/ -s' z'/^zK. (14) durch eine Flüssigkeit 17 a^i, ^ 2 , ?/r, r, und den übrigen in enthaltenen konstanten Größen und vorn konstanten Drucke ist, wie willkürlich auch das Gesetz der Abhängigkeit zwischen den drei allgemeinen Koordinaten - eines Punktes tV der Are 6N8 angenommen sei. Diese Forderung setzt offenbar voraus, daß die Funktion 5-(/',ckL--s-/sckr) integrabel sei, wenn man r, und r als drei voneinander ganz unabhängige Größen ansieht. Aus der Integralrechnung, insbesondere aus den Regeln für die Integration von Funktionen mit drei unabhängig veränderlichen Größen weiß man, daß die letztere Bedingung nur erfüllt werden kann, wenn zckr) das vollständige Differenzier! einer Funktion der drei unabhängig Veränderlichen er, ?/, r oder wenn klo/,) _ cklp/'r) cko/',) ^ ck (,-/») ck (,'/,) ^ ck (" ich) ckr ^ ckr/ ist. Für den Fall, daß es sich um eine gleichartige unpreßbare Flüssigkeit handelte, für welche die Dichtigkeitist allen Punkten konstant wäre, reduzirten sich die vorstehenden Bedingungen auf ck /', ck ^ ^3 ^2 — .... ( 14 ) ck U " ckL' ck- cka: ' ckr ckr, Sobald die auf die Theilchen einer Flüssigkeit angebrachten Kräfte resp. den Bedingungen (13) oder (14) ein Genüge leisten, sind sie im Stande, die Flüssigkeit im Gleichgewichte zu erhalten; entgegengesetztenfalls ist Dies unmöglich. Den Bedingungen (14) für unpeßbare Flüssikeiten wird ein Genüge geleistet, wenn die auf die Massentheilchen der Flüssigkeit wirkenden Kräfte nach festen Mittelpunkten gerichtet und Funktionen der Abstände der Theilchen von diesen Mittelpunkten sind; ferner, wenn jene Kräfte aus inneren Wirkungen hervorgehen, welche zwischen den verschiedenen Theilchen der Flüssigkeit ausgeübt werden, und Funktionen der Abstände dieser Theilchen von 2 18 st. Nicht»,iqSliiiie der svliiMircnden Krnst einander sind *). Die Wirkung der meisten Naturkräfte ist von Einer der beiden vorstehenden Arten. tz. 6. Bestimmung der Nichtungslinie der sollizi- tirenden Kraft und der Flächen von gleichem Niveau in einer Flüssigkeit. Auf das bei K befindliche Element der flüssigen Röhre Oli wirken die beiden Pressungen der Säule OK und HK resp. normal gegen den oberen und unteren Querschnitt, ferner die Kraft in der Richtung 8K; welche sich in die beiden Komponenten ,-/U und resp. in paralleler und normaler Richtung zur Are bei K zerlegen läßt, und endlich die Pressungen der umgebenden Flüssigkeit rings um die zylindrischen Umfangswände jenes Elementes in normaler Richtung zu diesen Wänden oder zu der Are bei K. Betrachten wir jetzt die normal gegen die Are bei K gerichteten Kräfte, mit Einschluß der Komponente zt/as'mA.ck«; so haben wir schon früher gesehen, daß sich dieselben für sich im Gleichgewichte erhalten müssen. Da nun zu diesem Gleichgewichte die Komponente zr/'ttsind'.cks erforderlich ist; so folgt, daß die Pressungen der umgebenden Flüssigkeit in normaler Richtung zur Are OKU im Punkte K für sich allein nicht würden im Gleichgewichte sein können, sobald man dem Elemente K nur irgend eine Ausdehnung in dieser normalen Richtung zuschriebe, oder sobald man den Querschnitt a der Röhre OKU nur von irgend einer Größe annähme, indem die Pressungen der äußeren Flüssigkeit gegen die linke Seite der zylindrischen Wand jenes Elementes (nach der obigen Zeichnung) schwächer sein müßten, als die gegen die rechte Seite. Wollte man nun die Variationen betrachten, welche der hydrostatische Druck im Inneren der *) S. K»viei'. KÄuinö äes le?o„8 ä'snal)-8e 8, ge niecaniiptt: llonnv'es ä I'llcole yntvtecbnlgiie, d>o. 337. und Flächen von gleichem Niveau. Flüssigkeit erleidet, wenn man vorn Punkte N aus in einer Fläche fortschreitet, welche auf der Are der Nähre bei N per- pendikular steht; so leuchtet ein, das man die Ausdehnung des Elementes in der Richtung jener Fläche oder den Querschnitt " der Nähre ONH zwar so klein, als es beliebt, aber doch nicht gleich null annehmen dürfe, und daß man daher bei einem Fortschritte in normaler Richtung zu der Are bei N eine Fläche erhalten würde, in welcher der Druck der Flüssigkeit links vom Punkte l>i schwächer und rechts von diesem Punkte stärker werden würde. Gäbe man nun aber der Are der Röhre 6H im Punkte N eine solche Richtung, daß sie mit der Richtung 8N der Kraft llfack« zusammenfiele, daß also S — o und 8>'n^ —o, mithin auch die Komponente ^/«sinA.ck« jener Kraft in normaler Richtung zur Are gleich null würde; so folgt, daß sich alsdann die Pressungen der umgebenden Flüssigkeit gegen die zylindrischen Wände des Elementes N (und zwar jn der unteren Kante desselben) für sich allein im Gleichgewichte erhalten werden. Zu diesem Gleichgewichte ist es erforderlich, daß alle Pressungen der umgebenden Flüssigkeit auf die verschiedenen Punkte der zylindrischen Oberfläche des Elementes in der unteren Kante einander, und außerdem dem Drucke gleich seien, welcher sich gegen die untere ebene Begränzungöfläche des unendlich kleinen Elementes N äußert. Denn aus Z. 4 geht hervor, daß der Druck in jedem Punkte einer Flüssigkeit nach allen Richtungen um denselben herum gleich groß sein müsse. Bezeichnet man nun den Druck für die Flächeneinheit auf die obere ebene Begrän- 2o i. 6. Richtmigtziinie dcr soilizitirendcn Kraft zungsfläche des Elementes N mit y'; so wird der Gesammtdruck, welchen jene Fläche in normaler Richtung empfängt, gleich ay' und der Druck in der unteren ebenen Begränzungöfläche — ay' oder für jede Flächeneinheit diese Fläche -j- sein, weil der Annahme gemäß die Are des Elementes N mit der Richtung der Kraft .u/crcks zusammenfällt. Denselben Druck l, Wasser und Quecksilber, kann das Gleichgewicht bestehen, welches auch das Gesetz sei, nach welchem die Dichtigkeit von der Einen Schicht von gleichem Niveau (in deren Punkten die Dichtigkeit überall gleich ist) zu der anderen übergeht. Man muß hierbei nur bemerken, daß das Gleichgewicht nicht stabil sein wird, wenn die Schichten der Flüssigkeit nicht so geordnet sind, daß die dichtesten den Mittelpunkten zunächst liegen, von welchen die auf die Theilchen der Flüssigkeit wirkenden Anziehungskräfte ausgehen. Bei einer homogenen elastischen Flüssigkeit, wo die Dichtigkeit mit dem Drucke proportional angenommen wird, ist daS Gesetz bestimmt, nach welchem die Dichtigkeit von der Einen Schicht von gleichem Niveau zu der anderen sich ändert, denn wenn man i^—l>i^d —y; man hat also in Gleichung (11) y für ^ zu substituiren, wodurch sich ergibt M VV8 oder da und konstante Größen sind, Z- ro eo8)- ^ ck« — p -j- rv«, oo8y .... (20) ö Legt man durch 0 eine Horizoutalcbenc, welche die Vertikale .^d in H durchschneidet, und bezeichnet den Abstand ^d dieser Ebene vom Punkte ^ mit so ist §,oo8z- —/r und der vorstehende Werth des im Punkte 0 stattfindenden Druckes für die Flächeneinheit rcduznt sich auf . . . . ( 21 ) Dieser Ausdruck, in welchem p den bei ^ stattfindenden Druck und wL das Gewicht einer Flüssigkeitssäule von Einer- Flächeneinheit Grundfläche und von einer Höhe ^.d—/r darstellt, ist von der Richtung der Linie ^0 ganz unabhängig und hängt nur von der vertikalen Tiefe ab, in welcher der Punkt 6 unter ^ liegt. Denkt man sich, um den Druck im Punkte 6, zu bestimmen, von 6 nach 6, die gerade Linie 60, gezogen und durch 0, eine Horizontalebcne gelegt, welche die Vertikale .^d in d, durchschneidet; so erhält man, wie vorhin, wenn man dd,—/r, setzt, 28 ), 10. Die Flächen von gleichem Niveau — y-s-w/r,, d. i. wegen Gleichung (21) -/«,). Denselben Werth würde man für erhalten, wenn man annähme, der Druck Pflanzte sich direkt vom Punkte bis zum Punkte 0, in der geraden Linie ^.0, fort. Hiernach kann man sich vorstellen, die Fortpflanzung des Druckes von ^ bis 6, gehe in der geraden Linie ^.6, oder in jeder anderen, Ein Mal gebrochenen Linie ^60, vor sich. Da sich hiernach auch der Druck zwischen ^ und 6 in der geraden Linie wie in jeder anderen Ein Mal gebrochenen Linie fortpflanzt, der Punkt 0 zwischen ^ und 6; aber ganz beliebig angenommen werden konnte; so folgt, daß die Fortpflanzung des Druckes zwischen ^ und 0, oder zwischen irgend zwei anderen Punkten der Flüssigkeit ganz in derselben Weise vor sich geht, man mag sich den Weg derselben nun geradlinig oder Einmal, zweimal, allgemein n mal gebrochen und von willkürlicher Lage und Form vorstellen. Man sieht, daß hierdurch die Bedingung des §s 5 erfüllt wird, unter welcher eö überhaupt nur möglich war, daß die Flüssigkeit unter der Wirkung der sie sollizitirenden Kraft, hier der Schwerkraft, im Gleichgewichte erhalten würde. Die analytischen Ausdrücke (14) für diese Bedingung würden sich hier, wenn man die Vertikale ^,11 als die Are der - und eine durch ^ gelegte Horizontalebene als Ebene der wA annimmt, auf die beiden — o und ck/s ckz, — o reduziren, da hier und ^ —o sind. Diesen Formeln wird aber in der That durch den konstanten Werth — § ein volles Genüge geleistet. 8. 10. Die Flächen von gleichem Niveau in einer schweren unpreßbarcn Flüssigkeit. Aus Gleichung (21) folgt, daß der Druck in allen Punkten der Flüssigkeit, welche in derselben vertikalen Tiefe L unter ^ liegen, konstant, und zwar gleich dem in herrschenden Drucke in einer schweren unpreßbarcn Flüssigkeit. 29 ?, plus dem Gewichte einer Flüssigkeitösäule ist, deren Grundfläche eine Flächeneinheit beträgt und deren Höhe der Tiefe L gleich kommt. Die Flächen von gleichem Niveau in einer schweren unpreßbarcn Flüssigkeit sind demnach Horizontalebenen, was auch schon aus den allgemeinen Betrachtungen des 8s 6 gefolgert werden konnte, da die Nichtungslinien der sollizitiren- den Kraft, auf welchen die Flächen von gleichem Niveau normal stehen müssen, hier lauter Vertikalen sind. Wenn das Gefäß bei ^ offen wäre; so könnte der Druck p "uf die Flächeneinheit der freien Oberfläche der Flüssigkeit durch die Spannung einer das Gefäß umgebenden elastischen Flüssigkeit hervorgebracht werden. Bei den meisten Erscheinungen in der Natur, wo fast immer die freie Oberfläche einer tropfbaren Flüssigkeit mit der atmosphärischen Luft in Berührung ist, stellt das Glied in der Gleichung (21) den atmosphärischen Druck auf die Flächeneinheit dar. Befände sich die freie Oberfläche der Flüssigkeit im luftleeren Raume; so hätte man natürlich p —o zu setzen. Die Gestalt der freien Oberfläche ist, da dieselbe zu den Flächen von gleichem Niveau gehört, ebenfalls eine Hori- zontalebene, welche sich durch die verschiedenen Abtheilungen eines Gefäßes, in welchem die Flüssigkeit durch kommunizirende Behälter mehrere Zweige oder Abtheilungen bildet, in derselben Höhe fortsetzt. Zn einem Gefäße, wo die Flüssigkeit eine freie, mit der Luft in Verbindung stehende Oberfläche bildet, ist daher der hydrostatische Druck in irgend einem Punkte gleich dem atmosphärischen Drucke, plus dem Gewichte einer Flüssigkeitssäule, welche die Flächeneinheit zur Grundfläche und den Abstand jenes Punktes von der freien Oberfläche zur Höhe hat. Der hydrostatische Druck in der freien Oberfläche der Flüssigkeit selbst ist gleich d. h. gleich dem atmosphärischen Drucke, wenn jene Fläche mit der äußeren Luft in Berührung steht. 8. 11. Fall, wo die Flüssigkeit eine nicht zusammenhängende freie Oberfläche bildet, auf deren getrennte Theile verschiedene äußere Druckkräfte wirken. Im Wesentlichen wird dieser Fall von den früher betrachteten 3 » h. II. Verhalten einer Flüssigkeit Gl. (22) nicht verschieden sein, wenn man bedenkt, daß man sich einen jeden Theil der freien Oberfläche, welcher immer eine horizontale Fläche von gleichem Niveau bilden wird, ja nur wie irgend eine andere Fläche von gleichem Niveau, oder auch wie einen Theil der Gefäßwand, in welchem derselbe Druck herrscht, vorstellen könne, um alle Ergebnisse der obigen Untersuchungen darauf anzuwenden. Bestände z. B. das Gefäß 2486V aus zwei Schenkeln, in welchen die Flüssigkeit die beiden horizontalen Oberflächen .4.8 und 6v bildete, und äußerte sich auf die Fläche (48 der Druck auf die Fläche 6V aber der kleinere Druck p,, so würde sich die Fläche 6V in dem zweiten Schenkel höher stellen, als die Fläche 248 im ersten Schenkel, und zwar um eine Höhe 8, welche sich folgendermaaßen findet. Wenn 88 die Erweiterung der Fläche .48 ist; so wird ^888 diejenige Fläche von gleichem Niveau sein, in welcher der Druck p herrscht. Da nun der vertikale Abstand VO der Flächen 6 V und 88 gleich H ist; so hat man auch für den Druck in der Fläche 88 den Werth pl-s-«,8; mithin ^ - s - «,11 oder ....( 22 ) Der Druck in irgend einem Punkte der Flüssigkeit ist stets durch die Formel (21) dargestellt. Will man darin die Höhe /r von der Oberfläche ^.8 aus messen; so ist natürlich /r negativ Gl. l24> in kommimizirenden Gefäßen 31 zu nehmen, wenn der fragliche Punkt über der Ebene H.LLk', also in der Masse Lkv O liegt. Für den Druck in einem solchen Punkte, der um L über Lk läge, würde man also 7 —— w/r «... (23) haben. Der Wechsel des Zeichens von L in der letzteren Formel erklärt sich sehr leicht, wenn man beachtet, daß bei dem Aufsteigen von irgend einem Punkte einer schweren Flüssigkeit zu einem höher belegcnen, die Schwerkraft in Beziehung zu dem eingeschlagenen Wege in einer Richtung wirkt, welche der in § 9 angenommenen direkt entgegengesetzt ist, also jetzt in demselben Maaße zur Verminderung des Druckes beiträgt, wie sie vorher zur Vermehrung desselben beitragen mußte. Wollte man jedoch die Lage irgend eines Punktes, für welchen der Druck der Flüssigkeit gesucht wird, durch die vertikale Tiefe /r, bestimmen, in welcher er unterhalb der Fläche 6 V liegt; so findet man jenen Druck nach Analogie der Formel (21) durch die Gleichung 7 —-s-wL,. Wenn der Druck auf die Fläche 66 gleich null wäre; so würde die Höhe 0 6 —H der Flüssigkeitssäule 6VH, welche in dem rechten Schenkel über dem Niveau des Spiegels im linken Schenkel steht, nach Gleichung (22) II ^ ^ .... (24) M sein. Ein solcher Fall wird offenbar hervorgebracht, wenn der rechte Schenkel des Gesäßes oben bei 4 ganz geschlossen und luftleer ist, während auf den Spiegel ^,8 der Druck p der atmosphärischen Luft wirkt. Wäre unter diesen Umständen die Flüssigkeit z. B. Quecksilber, wovon der Kubikfuß nahezu w —896 T wiegt, und betrüge der atmosphärische Druck auf den Spiegel des offenen Schenkels für den Quadratfuß x —2091 °T (oder für den Quadratzoll etwa 14,52 T), was dem mittleren Drucke der Atmosphäre in unseren Gegenden entspricht; so würde 32 z. 12. Fall, wo sich in demselben Gefäße Gl. (26) 8 -- -- 2,333 Fuß --- 28 Zoll .... (25) sein. Das ganze Gefäß stellt alsdann das bekannte Quecksilberbarometer dar. Wäre die Flüssigkeit dagegen Wasser, wovon der Kubikfuß M —66 T wiegt; so würde bei demselben atmosphärischen Drucke auf 20
  • - die Höhen der Isten, 2ten, 3ten .... Schicht, welche diese Flüssigkeiten einnehmen, H die Höhe 1.8 von der unteren Fläche der (n— 1)stcn Schicht bis zu einem in der rrten Schicht liegenden Punkte 8, der auf die freie Oberfläche ^8 ausgeübte Druck für jede Flächeneinheit, y der im Punkte 8 stattfindende hydrostatische Druck; alsdann ist nach dem Früheren leicht einzusehen, daß y — p -s- /r, -s- »«2^2 's' r0g7rz ss- . . . -ss ro/r .... (27) ist. Wäre nun 8b die letzte Horizontalebene, nach welcher jene Schichten abgesondert wären, und befänden sich unter 88 flüssige Massen, deren Dichtigkeit in horizontaler Richtung verschieden wäre, indem zwei benachbarte z. B. durch die Flächen und begränzt wären; so leuchtet ein, daß wenn man 80 —/r setzt, die Formel (27) auch den Druck im Punkte 0 darstellen wird, sobald man darin unter rv das Gewicht einer Volumeinheit der Masse 8N8Ifl versteht. Denkt man sich jedoch die Fortpflanzung des Druckes von der Oberfläche ^8 bis zum Punkte 0 nach der Linie 880 vor sich gehend, und bezeichnet das Gewicht einer Volumeinheit der Masse 818808 mit «/; so müßte auch y —-s-U) 2 /« 2 ^«,s^s^ . . . -s-w'/r, also sein, d. h. die Dichtigkeit der beiden unmittelbar 34 j. 12. Fall, wo sich mehrere Flüssigkeiten unter 88 liegenden flüssigen Massen müßte in jeder horizontalen Linie gleich groß sein. Da man das Vorstehende von jeder vorhergehenden Schicht hätte behaupten tonnen, falls darin in horizontaler Richtung schon ein Wechsel der Dichtigkeiten stattgefunden hätte; so folgt, daß es zum Bestehen des Gleichgewichtes erforderlich ist, daß sich alle Flüssigkeiten vom Spiegel ^8 bis zum tiefsten Punkte des Gefäßbodens in horizontalen Schichten von gleichförmiger Dichtigkeit ablagern. Daß das Gleichgewicht der verschiedenen in dem Gefäße enthaltenen Flüssigkeiten nur dann stabil sein könne, wenn sich die dichtesten oder spezifisch schwersten Schichten in den tiefsten Punkten des Gefäßes abgelagert haben, erkennt man auch leicht aus dem in der Mechanik der starren Körper dargethanen Satze, daß das Gleichgewicht eines beweglichen Systemes von schweren Körpern nur dann stabil sei, wenn der Schwerpunkt dieses Systemes die möglich tiefste Lage angenommen habe. Nun leuchtet ein, daß der Schwerpunkt der in Frage stehenden Flüssigkeiten dann am tiefsten liegt, wenn sich die dichtesten Schichten resp. dem Boden des Gefäßes am nächsten befinden. Denn solange es nur noch irgend zwei solcher Schichten gibt, von denen die weniger dichte tiefer, als die dichtere liegt, kann man durch den Austausch gleicher Volumen dieser beiden Schichten den gemeinschaftlichen Schwerpunkt aller Flüssigkeiten dem Boden des Gefäßes näher bringen. Nachdem hierdurch die nothwendigen Bedingungen für das Gleichgewicht mehrerer in demselben Gefäße befindlicher Flüssigkeiten von verschiedenen spezifischen Gewichten festgestellt sind, ergibt die Formel (27) den in irgend einem Punkte der flüssigen Massen stattfindenden Druck auf die Flächeneinheit. Derselbe besteht aus zwei Theilen; nämlich aus dem Drucke p auf die Flächeneinheit der freien Oberfläche ^8 und dem Gewichte einer Flüssigkeitssäule, deren Grundfläche die Flächeneinheit, deren Höhe 68 —/r, ^ ist, und welche in derselben Weise aus verschiedenen Schichten ungleicher Flüssigkeiten zusammen gesetzt ist, wie die über dem Punkte 8 im Gefäße ^8V6 befindliche Masse. Wenn sich in einer aus zwei offenen Schenkeln bestehenden Gl. (28) von verschiedenen Dichtigkeltcn in demselben Gefäße befinden. 35 Röhre ^868 zwei Flüssigkeiten 8.4868 und 8668 von verschiedenen Dichtigkeiten befinden, und 86 die horizontale Be- rührungsebene beider ist; so sei rv und ro^ resp. das Gewicht Einer Volmneinhcit der Massen 8.4868 und 8668, und es sei 8 und 8, resp. die vertikale Höhe des Spiegels ^8 über der Trennungsfläche 86 oder über deren Erweiterung 68, und des Spiegels 6V über derselben Trennungsfläche 86, /, der aus jede Flächeneinheit der Spiegel t48 und 68 wirkende äußere Druck. Wegen der vorhergehenden Untersuchung wird der untere Theil 8 des Gefäßes von der spezifisch schwereren, also von Theilen der zuerst genannten Flüssigkeit angefüllt sein. Der in der Fläche 68 oder 86 stattfindende, durch die Flüssigkeit 8^868 hervorgebrachte Druck - ist alsdann ^ —Z» -j- r« 8. Vermöge der Flüssigkeit 8686 muß der Druck in jener Fläche 86 aber auch y—p-s-ro,8, sein. Aus den vorstehenden beiden Gleichungen folgt ro8 — oder Da zwischen den beiden Flüssigkeiten 8^68 und 8686 Gleichgewicht besteht, und die Quantität 86868 der ersteren 36 z. 13. Druck auf ein bestimmtes Stück Gl. (30) flüssigen Masse, welche durch die Theile 68 und 81? derselben Horizontalebene bcgränzt wird, für sich im Gleichgewichte ist; so halten sich auch die beiden Flüssigkeitssäulen ^686 und 6V88 für sich im Gleichgewichte, und aus Gleichung (28) folgt, daß ihre vertikalen Höhen in umgekehrtem Verhältnisse zueinander stehen, wie die Gewichte ihrer Volumeinheiten oder wie ihre spezifischen Gewichte. Bestimmung des Druckes einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit gegen gegebene Theile der Gefäßwände. § 13. Größe des Druckes auf ein bestimmtes Stück einer Fläche, gegen welche sich die Flüssigkeit stützt. Unter der horizontalen Oberfläche einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit befinde sich eine Wand, deren geometrische Lage durch ein rechtwinkliges Koordinatensystem bestimmt sei. Die Koordi- natenebene der liege in der horizontalen Oberfläche der Flüssigkeit, und die Ordinaten 2 werden vertikal von oben nach unten gerechnet. Die Gleichung der fraglichen Fläche wird alsdann von der allgemeinen Form r —8 0,^) ....(29) sein. Auf dieser Fläche ist durch eine beliebige Kurve, deren Gleichungen - — P(?/), 2 —ch(.r), U —A (a:) .... (30) seien, ein bestimmtes Stück ^ bcgränzt, und es wird verlangt, den Druck anzugeben, welchen die Flüssigkeit gegen dasselbe äußert. (Es braucht wol kaum bemerkt zu werden, daß wenn von den drei Gleichungen (30) Eine gegeben ist, die anderen beiden sich vermittelst der Gleichung (29) ableiten lassen.) Bei vorläufiger Vernachlässigung des auf die freie Oberfläche der Flüssigkeit ausgeübten Druckes sei rv das Gewicht einer Volumeinheit der Flüssigkeit, « irgend ein unendlich kleines Flächenelement der Fläche «, A resp. die Winkel, welche die Normale auf dem Elemente a mit den Axen der a?, r,, 2 einschließt, oder die Winkel, welche dieses Element selbst mit den Ebenen z,r, nr, bildet. Gl. (32) einer Fläche. 37 «iH der Druck, welchen die Flüssigkeit in normaler Richtung gegen das Element a äußert, ck17, ckV, ctXV die Komponenten dieses Druckes resp. in paralleler Richtung zu den Aren der .r, der und der r, 17, V, XV resp. der Gesammtdruck der Flüssigkeit gegen die Fläche ^ in paralleler Richtung zu den Aren der n, der U und der tz die mittlere Resultante der drei Kräste 17, V, XV, falls sich dieselben in eine einzige Kraft zusammensetzen lassen. Nach Gleichung (21) ist der hydrostatische Druck der Flüssigkeit auf die Flächeneinheit in dem Punkte, wo das Element a genommen ist, weil dessen vertikaler Abstand von der freien Oberfläche der Flüssigkeit — r ist, ror, und demnach der normale Gesammtdruck auf jenes Element ckH —rvr« .... (31) Die Komponenten dieses Druckes parallel zu den Aren der r sind resp. ck(7 — rvraoos«, ckV — roraeos/), ckXV —rvracko«)' . . . (32) »608«, K008/?, crv08^ stellen offenbar die Projektionen des Elementes a auf die Ebenen r/r, .rr und dar: die Komponenten des elementaren Druckes cktz verhalten sich also zu diesem Drucke, wie die Projektionen des Elementes « zu der Fläche dieses Elementes selbst, und sind resp. gleich dem Drucke der Flüssigkeit auf die drei Projektionen jenes Elementes, wobei bei dem Drucke auf die horizontale Projektion nur zu bemerken ist, daß dieselbe in der Tiefe r unter dem Spiegel der Flüssigkeit liegend gedacht werden muß, damit der Druck auf dieselbe gleich dem Gewichte der über derselben stehenden Flüssigkeitssäule sei. Da Dies von dem Drucke auf jedes beliebige Element der Fläche gesagt werden kann; so folgt 1) daß der Gesammtdruck 17 der Flüssigkeit gegen die Fläche ^ in paralleler Richtung zur Are der n sowol in Größe, wie in Richtung gleich sei dem Drucke, welchen dieselbe gegen die Projektion von ^ auf die Ebene ,/r ausüben würde; 2) daß der Gesammtdruck V der Flüssigkeit gegen die Fläche ^ in paralleler Richtung zur Are z, sowol in Größe, wie in Richtung gleich sei dem Drucke, welchen 38 f. 14. Druck auf ein bestimmtes aller auf den Streifen VL wirkenden Pressungen, für welche 06 —U konstant ist, r" rockz,^r« ckr- 2^ und demnach für die Summe der Momente aller auf die Fläche LVEk wirkenden Pressungen oder für das Moment 62, des Gesammtdruckes 6 auf jene Fläche in Beziehung zur Are OV 62 i—^ro/ (r"«—r'«) ckz,. r/- Hieraus folgt für den gesuchten Abstand 2, 2, — 4 L-"° —r'^) ckz, .... (40) U> Das Moment des elementaren Druckes auf das Element w in Beziehung zur Are 02 ist ror: ckz/ckr X U — «>i/r ckz/ ckr, also das Moment des Druckes auf den Streifen VL, für welchen 06 —A konstant ist, ckz/ rckr —jro^(r"2 — r^)ckr, mithin das Moment O V, des Gesammtdruckes 6 auf die Fläche LV6L in Beziehung zur Are 02 U- 6V, —U(-"^—-'^)ckN, N, und hieraus folgt für den gesuchten Abstand //2 i ( 41 ) Gl. (43) auf ein bestimmtes Flächenstück. 4S In diesem und dem vorhergehenden Integrale (40) haben r' und r" die Werthe der Funktionen (33) und es ist z/r — Ok und,/z — 0 ll. 2) In einer ganz ähnlichen Weise findet man für die Abstände der zur Are OV parallelen Komponente V von den Ebenen vx und V2 resp. 2, ^ ^ / (r"» - -'->) _(42) X, -- z (r"- -r'-) cta: .... 43) In diesen beiden Integralen haben r' und die Werthe der Funktionen (35). 3) Um endlich die Abstände der zur Are 02 parallelen Komponente oder des Schwerpunktes der über der Fläche ^ stehenden Flüssigkeitssäule von den Ebenen 2X und 2V zu bestimmen; so sei LI)6L die Projektion der Fläche V. auf die EbeneXV. Der dem Elemente N entsprechende Druck ist nach Z. 14 rvr «l.r und demnach dessen Moment in Beziehung zur Are OX, da OlX — U ist, ror ck.rciA X U — Die Summe der Momente aller ähnlichen, den verschiedenen Elementen des Streifens VL entsprechenden Pressungen, für welche 06 als eine konstante Große zu betrachten ist, ergibt sich also durch das Integral «> (l.r ^ , ?/' Hiernach hat man für die Summe der Momente aller vertikalen Pressungen, welche den verschiedenen Streifen zwischen L und 0 entsprechen, in Beziehung zur Are OX oder für das Moment VV V, 44 ). 15. Richtung des Druckes. Gl. (45) U" VWz — Ur ckz/, mithin L'2 N X ?/2 ckr , .... ( 44 ) N' Das Moment des dem Elemente N entsprechenden Druckes in Beziehung zur Are OV ist ferner ror ckcr ckz/X-r — rvcrrckcr cÜA. Sieht man in diesem Ausdrucke 06 —cr als konstante Größe an; so ist die Summe der Momente aller Pressungen, welche dem Streifen V8 entsprechen rvcrckcrr ck r/, U' und demnach die Summe der Momente aller vertikalen Pressungen, welche der ganzen Projektion 8868 entsprechen, d. i. das Moment VVXg der Kraft VV in Beziehung zur Are OV W Xz — ro^ cr c/.r folglich ^2 N" X-, - 1/c worin r', r", U,, Uz die Werthe der gleichnamigen Größen in dem Integrale (34) haben. Ferner cr, cr, V — 4«,^(r"^ —r'^) ck.r-st/1^(-"—-')ck.r, .... (51) cr, cr, worin r", cr,, 27z die Werthe der gleichnamigen Größen in dem Integrale (36) haben. Endlich cr, U a'2 VV — Mckw ^ 2 ckU -f- p (U"—U') ckcr .... (52) -r, worin 2 , U', U", w,, wz die Werthe der gleichnamigen Größen in dem Integrale (39) haben. Aus diesen Formeln erkennt man, daß sich durch den atmosphärischen Druck die vorhin mit 17, V, VV bezeichneten Druckkräfte resp. um Größen vermehren, welche gleich sind den Produkten aus x> und den Projektionen der gegebenen Fläche ^ auf die Ebenen der U2, der W2 und der wU. Die Richtungen dieser Zuwachse der Kräfte 17, V, VV gehen offenbar durch die Schwerpunkte der Projektionen von .V, da diese Kräfte selbst gleichförmig über die Projektionen vertheilt sind. Da nun die Richtungen der früheren Kräfte 17, V, VV selbst im Allgemeinen nicht durch die Schwerpunkte der erwähnten Projektionen gehen; so folgt, daß durch den Zuwachs des atmosphärischen Druckes die Angriffspunkte der früheren Kräfte 17, V, VV verrückt werden. Wegen der geringen Wichtigkeit, welche die Ermittelung dieser Angriffspunkte im Allgemeinen hat, halten wir uns jedoch nicht weiter bei der Rektifikation der allgemeinen Formeln (40) bis (45) auf. Nach dem angeführten Prinzipe, nach welchem man für den Druck rora auf irgend ein Element von der Fläche n jetzt MT» -st pa zu setzen hat, ist jene Umformung leicht zu bewerkstelligen. Wenn man in der Praris die Werthe und Angriffspunkte der Kräfte 17, V, VV zu erfahren wünscht, um danach die erforderliche Fe- Gl. (85) j. 17. Druck gegen eine ebene Figur. 47 stigkeit der Gefäßwände zu bestimmen; so sind nur die in 8. 14 und 15 ermittelten Werthe von Wichtigkeit, weil sich ein jeder Theil des atmosphärischen Druckes, welcher durch die Flüssigkeit auf einen Theil der Gefäßwand fortgepflanzt wird, auch von außen in direkt entgegengesetzter Richtung gegen denselben Theil der Gefäßwand äußert, und demnach mit dem von innen kommenden im Gleichgewichte ist. §. 17. Druck einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit gegen irgend eine ebene Figur. — Mittelpunkt des Druckes. Wenn die Fläche gegen welche sich die Flüssigkeit stützt, eben ist; so setzen sich die elementaren Pressungen, welche einander sämmtlich parallel sind, stets zu einer einzigen auf der Ebene von ^ perpendikular stehenden Mittelkraft tz zusammen. Legt man die Koordinatenare der a? in die Durchschnittslinie der Ebene von ^ mit der horizontalen Oberfläche der Flüssigkeit, welche Letztere vorhin zur Koordinatenebene der angenommen wurde, und bezeichnet den Neigungswinkel der Ebene von gegen die Ebene der oder den Neigungswinkel der Normale auf ^ gegen die Are der - mit so wird die Gleichung der Ebene von ^ oder die Funktion (37) r —U .... (53) sein. Die Mittelkraft 17 der horizontalen, den n parallelen Pressungen ist, wie sich schon vorhersehen läßt, gleich null. Dasselbe Resultat geht aber auch aus der allgemeinen Gleichung (34) hervor: denn da sich die Projektion von auf die Ebene VL hier auf das Stück einer geraden Linie reduzirt, welche sich unter dem Winkelgegen die Are OV neigt; so hat man statt der allgemeinen Formeln (33) und auch r" —U tanA),, also und r" —o; . . ( 54 ) mithin (7-o (55) 48 z. 17. Druck gegen eine ebene Figur. Gl. (01) Für die Mittelkraft V den horizontalen, den N parallelen Pressungen erhält man durch Gleichung (36) a?2 v^zw ", worin allgemein r' — (.r) r" — (a.) ist- r'^) .... (56) . . (57) Die Abstände dieser Kraft resp. von den Ebenen der und der?/r sind nach Gl. (42) und (43) ^2 — ^ (r"' — r^)ek^ .... (58) ", 27, —r")ei" .... (59) ", Die Mittelkraft VV aller vertikalen, den - parallelen Pressungen ist nach Gl. (39), wenn man darin' N" ?/' d/rckU— —z(^"2 — ^)tan§/ setzt, !/' ?/' ^2 >v — (^"^ — .... (60) worin wegen der Gleichungen (54) und (57) r// (") .... (61) tSNA^ ist. Wegen der Gleichungen (44) und (45) sind die Abstände der Kraft >V resp. von den Ebenen der rn und Gl. (83) gegen eine ebene Figur, rv / 49 V - I _ * s — 2 ^ ( 62 ) (63) Aus den vorstehenden Gleichungen folgt, welches auch die Figur des Umfanges der ebenen Fläche -X sei, 1) wenn man die beiden Formeln (56) und (60) mit einander vergleicht, und beachtet, daß darin immer r/ — und r" —sein wird, daß lUNL (64) ist; 2) wenn man die beiden Formeln (59) und (63) mit einander vergleicht, und dabei dieselben Beziehungen zwischen den Größen r^, und r", N", sowie die vorstehende Gleichung (64) beachtet, daß (65) ist oder daß die Abstände der Kräfte V und XV von der Ebene der UL einander gleich sind, sodaß diese Kräfte immer in Ein und derselben Vertikalebene liegen, welche auf der gegebenen ebenen Fläche perpcndikular steht, und sich daher zu einer einzigen mittleren Resultante zusammensetzen lassen; 3) wenn man die beiden Formeln (58) und (62) mit einander vergleicht, daß (65°) 2,-V« tan§7 oder daß der Abstand der Kraft V von der Ebene der gleich dem Abstände der Kraft XV von der Ebene der 22 , mul- tiplizirt mit tun^^, ist. Aus dieser letzten Beziehung folgt, wegen Gl. (53), daß der Durchschnittspunkt der Richtungen der beiden Kräfte V und XV in der gegebenen ebenen Wand liegt. Diesen Punkt, welcher zugleich der Angriffspunkt der Mittelkraft von V und XV oder des gesummten auf die Fläche ^ ausgeübten 4 17. Mittelpunkt dcS Druckes. 5U Gl. (68) normalen Druckes (j ist, nennt man den Mittelpunkt des Druckes. 4) Da der gesammte auf die Fläche ^ ausgeübte Druck (j der Flüssigkeit —ist; so hat man wegen der Beziehung (64) - i 8111/ I oder auch r _ j (j — w l/lavA° ^-1-1 —- I ^ 008 / ^ Dieses Resultat kann sehr einfach drückt werden: Es sei ^ der Flächeninhalt der gegebenen Figur und L der Abstand ihres Schwerpunktes von der horizontalen Oberfläche der Flüssigkeit; alsdann ist ^8>'n/ die Projektion der Fläche ^ auf die Ebene der -r-, und /r wird ebenfalls der Abstand des Schwerpunktes dieser Projektion von dem oberen Spiegel der Flüssigkeit sein. Nach bekannten Formeln für die Bestimmung des Schwerpunktes hat man also .... (65») fvlgendermaaßen ausge- — 2") und wenn man diesen Ausdruck mit dem Werthe von V aus Gl. (56) vergleicht, V — ro/r^.8m/ .... (66) Da VV —--ist, würde man auch tan§/ ^ )V"io^^.ov8/ .... (67) und endlich tz —.... (68) haben, d. h. der normale Druck () gegen die ebene Fläche ^ ist gleich dem Gewichte einer Flüssigkeitssäule, welche zur Grundfläche die Figur ^ und zur Höhe den Abstand ä des Schwerpunktes von ^ von der freien Oberfläche der Flüssigkeit hat. Gl. (7l>) §. 18. Druck auf ein vertikales Nicchteck. St Der Ausdruck rv/rX ergibt den Werth des Druckes 0, welches auch die Neigung der oberen Wand sei. Ist dieselbe horizontal; so fällt der Mittelpunkt des Druckes mit dem Schwerpunkte der Flächezusammen. In den anderen Fällen erfährt man die Lage des Mittelpunktes des Druckes, indem man die beiden Abstände 2z und Xz desselben resp. von den Ebenen der r,/ und U- nach den Formeln (58) und (59) bestimmt. §. 18. Druck einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit auf ein vertikales Rechteck. Wenn die Fläche X in einer vertikalen Wand liegt und cin Rechteck LOVL bildet, dessen obere und untere Seite horizontal ist; so sei LO —er, Lkl—L und der Abstand kO der oberen Seite von dem horizontalen Spiegel der Flüssigkeit — o. Alsdann hat man statt der Gleichungen (57), da hier —kO und r" —III ganze Ausdehnung der Fläche X konstante, von der Abszisse Ok —.r unabhängige Größen sind, o -f- L .... (69) ferner hat man, wenn man die Are 0 2 in die Verlängerung der Seite LL legt, .-r, — o und a ?2 — 0.7 — er; demnach statt der Gleichung (56) für den normalen Druck der Flüssigkeit auf das gegebene Rechteck Die Formeln (58) und (59) ergeben für den Abstand des Angriffspunktes dieses Druckes von den Aren OX und 02 resp. 52 f. 19. Druck auf ein vertikales Dreieck Gl. (75) ab(e^ -s- öo V oder wegen Gleichung (70) » _ -s- bo -j- e-i-Lü . (70 Ferner a a «'^(--4-zS).o oder wegen Gl. (70) x2--za .... (72) Der vertikale Druck auf die Fläche (X) wird natürlich gleich null. Wenn die obere Seite L6 des Rechteckes in dem horizontalen Spiegel der Flüssigkeit läge, wenn also c—o wäre; so würde man erhalten V — .... (73) .... (74) x,-;» -(75) §. 19. Druck einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit auf ein vertikales Dreieck mit horizontaler Basis. Wenn die in einer vertikalen Wand liegende Fläche X ein Dreieck L6V ist, dessen Basis 06 horizontal, dessen Seite kv vertikal und dessen Spitze L nach oben gekehrt ist; so sei, wenn man die Are 02 in der Verlängerung von Lv annimmt, V6-a, Lv —OK--«, also für irgend eine Abszisse Or--- EI. (80) mit horizontaler Basis. ZS —-(a-27)-c-s--^-27 « « Ferner ist 27t—o und 272 — O6 — a. Statt der Gleichung (56) hat man also ( 76 ) V —^rv^^^(o-s-L)^— ^c-s--^-27^ ^ck27 o — ^ro ^^2Le-s-L2 — ?^27 — ^27^ck27, V d. i. nach gehöriger Integration und Reduktion V — ab(^o-s-^L)ro «...(77) Für den Abstand des Angriffspunktes dieses Druckes von dem horizontalen Spiegel der Flüssigkeit hat man nach Gl. (58) 2-—L-^/'^o-s-S)»— (e-i--^-27^ ^27 o 0 3L^ --27 a 3L^o a' «Lr, d. i. nach gehöriger Integration und Reduktion und wenn man für V seinen Werth aus Gl. (77) einführt, ....(78) Wenn die Spitze des Dreiecks LOV im Spiegel der Flüs« sigkeit läge, wenn also v —o wäre; so würde man V — .... (79) und L, -- .... (80) haben. 54 §. 19. Druck aus ein vertikales Dreieck Gl. (82> Man sieht leicht ein, daß die vorstehenden Ausdrücke (77) bis (80) auch dann noch Gültigkeit behalten werden, wenn das Dreieck L6I), dessen untere Basis 1)6 jedoch horizontal bleiben muß, bei v nicht rechtwinklig ist. Wäre die horizontale Basis 66 des fraglichen Dreiecks nach oben und die Spitze L nach unten gekehrt; so würde man, wenn man 1)6 — a, 66 —ö, und 06 —v setzt, -v)-^-(a—.-r) —e-lri a « / 2"--r6--rüss-»6^(c- und — v, .7-z — 66 — » haben. Hiernach würde sich auö Gl. (56) für den Druck auf das Dreieck 661! V —;ro -— (o —b)^^ck.-c d. i. nach gehöriger Integration und Reduktion V — « - (Ho — ^ -) w .... (82) ergeben. Der Abstand des Angriffspunktes dieses Druckes von dem horizontalen Spiegel der Flüssigkeit würde nach Gl. (58) o 3bc2-3ö2c^--». 3öt-2 . El. (83) mit horizontaler Basis. SS d. i. nach gehöriger Integration und Reduktion und wenn man für V seinen Werth aus Gl. (82) setzt, ""SS, sein. Wenn die horizontale Basis dieses Dreieckes in dem Spiegel der Flüssigkeit läge, wenn also c —b wäre; so würde man V —^-2 ....(84) und ....(85) erhalten. Auch die letzteren Resultate (82) bis (85) behalten dann noch Gültigkeit, wenn das Dreieck V6L mit horizontaler, nach oben gekehrter Basis, bei 1) nicht rechtwinklig ist. Außerdem erkennt man sowol für den Fall, wo die horizontale Basis der hier betrachteten Dreiecke nach oben, wie für den, wo jene Basis nach unten gekehrt ist, daß der Angriffspunkt des Druckes auf das Dreieck immer in der geraden Linie liegt, welche die Spitze des Dreieckes mit dem Mittelpunkte der horizontalen Basis verbindet. Denn denkt man sich das ganze Dreieck in lauter horizontale Streifen von unendlich geringer Höhe zerlegt; so wird der Angriffspunkt des Druckes auf einen jeden solchen Streifen, bei der gleichförmigen Vertheilung dieses Druckes über die ganze Länge des Streifens, stets in der Mitte des Letzteren liegen: sämmtliche Mitten der zuletzt erwähnten Streifen liegen aber in der geraden Linie, welche von der Spitze des Dreiecks nach dem Halbirungspunkte der Basis gezogen wird. Die vorstehende Beziehung, verbunden mit den für gefundenen Werthen, kann auf eine leichte Weise zu der genauen Kenntniß der Lage des obigen Angriffspunktes führen, ohne daß man nöthig hat, noch die Werthe für Xz aus der allgemeinen Formel (59) zu entwickeln. §. 20. Druck einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit auf einen vertikalen Kreis. Wenn der in einer vertikalen Wand liegende Kreis um den 56 §. 20. Druck auf einen vertikalen Kreis. Gl. <87) Punkt 6 mit dem Halbmesser ^ beschrieben ist; so sei ox der horizontale Spiegel der Flüssigkeit und die vertikale Are OL gehe durch den Mittelpunkt 0 des Kreises. Setzt man alsdann die Tiefe 06, in welcher der Mittelpunkt unter dem Spiegel der Flüssigkeit liegt, gleich e; so hat man für irgend eine Abszisse 01? — r r' — I* O — o — f/ 7-2 — a? kll — ( 86 ) Außerdem ist ^ und a?2 — -f- folglich nach Gl. (56) -f-n -f-r» V—^ro /l(e-s-f/ , 2-cx2)2—(o—f/21^2. tLr d. i., da allgemein 2'2 ^ nre. LOS —^ ist. (87) V — o«, Aus der Formel (58) folgt für den vertikalen Abstand des Angriffspunktes dieses Druckes von dem Spiegel der Flüssigkeit ^2 — ^ -s- ^-.§,2)« — (o —1/?-—-?)») — ^ Gl. (SO) 21. Drück gegen eine rauhe Fläche. 87 Da nun allgemein — .r'2 -s- uro eos und ure eos gefunden wird; so erhält man oder wenn man für V den Werth aus Gl. (87) substituirt, ( 88 ) Außerdem liegt der Angriffspunkt des Druckes V offenbar in der durch den Mittelpunkt des Kreises gezogenen Vertikalen OL. Für den Fall, daß der höchste Punkt des Kreises im Spiegel der Flüssigkeit läge, daß also o—r- wäre, würde man haben (89) V — und (90) 8. 21. Die vorstehenden Resultate der §§. 13 bis 20 beziehen sich nicht bloß auf den Fall, wo die mit der Flüssigkeit in Berührung befindliche Fläche absolut glatt ist, sondern auch auf den, wo dieselbe die unvollkommen geglättete Oberfläche eines physischen Körpers bildet. Bei den vorstehenden Untersuchungen ist stillschweigend angenommen, daß die Fläche welche den Druck einer Flüssigkeit empfängt und allgemein durch Gleichung (29) dargestellt ist, absolut glatt sei, in welchem Falle sich zwischen ihr und der ebenfalls absolut glatt anzusehenden Begränzungsfläche der Flüssigkeit durchaus keine Wirkung der Reibung äußern konnte und der Druck zwischen Beiden in allen Punkten jener Fläche nach 88 f. 21. Druck auf eine unvollkommen geglättete Fläche. der Normalen gerichtet sein mußte (vergl. Z. 3), eine Voraussetzung, auf welche sich die ersten Betrachtungen des §.13 basiren. Man erkennt übrigens leicht, daß sämmtliche Resultate von 8. 13 bis §. 20 auch dann noch Gültigkeit behalten, wenn sich auf der Fläche ^ lauter ungemein kleine Erhabenheiten und Vertiefungen befinden, welche jedoch so klein sind, daß sie jener Fläche nur die Eigenschaft der Reibung verleihen, ohne auf die Gestalt derselben oder auf die Gleichung (29) einen bemerkbaren Einfluß zu äußern. Denn wenn L6 der Durchschnitt einer solchen unter dem Spiegel einer Flüssigkeit befindlichen Fläche wäre; so sei »Lo irgend Eine der erwähnten Erhabenheiten und ecke Eine der Vertiefungen, welche so klein gedacht werden, daß die Stärke des Druckes der Flüssigkeit in irgend einem Punkte der wellenförmigen Linie »Locke ohne merklichen Fehler gleich dem Drucke angenommen werden kann, welcher in dem pcrpendikular gegenüberliegenden Punkte der gleichmäßig gekrümmten Linie »oe stattfinden würde. Da jetzt alle Theile der wellenförmigen Oberfläche »Locke als absolut glatt angesehen werden müssen; so wird man auf dieselben die Untersuchungen des §s 13 ff. in aller Strenge in Anwendung bringen können, nach welchen die Pressungen der Flüssigkeit auf die Fläche »Locke in Richtungen erfolgen, welche in den verschiedenen Punkten aus jener Fläche normal stehen. Nun hat man gesehen, daß von den drei rechtwinkligen Komponenten des auf die Fläche »Locke ausgeübten Druckes die beiden horizontalen so groß sind, wie der Druck der Flüssigkeit auf die beiden vertikalen Projektionen jener Fläche, und daß die vertikale Komponente gleich dem Gewichte der über «Locke stehenden Flüssigkeitssäule ist. Da aber eine jede Projektion von «Locke gleich der entsprechenden von »oe ist; so folgt, daß ein jeder horizontale Druck auf »Locke sowol der Größe, wie dem Angriffspunkte nach, dem entsprechenden auf »oe gleich sein wird. Außerdem wird die über der Fläche »Locke stehende Flüssigkeitssäule gleich der über »oe stehenden zu nehmen sein, sodaß auch der vertikale Druck auf »Locke sowol der Größe, wie dem Angriffspunkte nach gleich dem auf h. 22. Allgemeine Bedingungen deß Schwimmend. 8!1 ace zu setzen ist. Hiernach wird man denn überhaupt zur Erklärung der Erscheinungen des Druckes einer Flüssigkeit auf die unvollkommen glatte Fläche «backe die Wirkungen jenes Druckes auf die absolut glatte Fläche «oe substituircn können. Gleichgewicht der auf der Oberfläche schwerer »npreßbarer Flüssigkeiten schwimmenden Körper. §. 22. Allgemeine Bedingungen des Schwimmens. Nehmen wir an, irgend ein starrer Körper sei ganz oder zum Theil in eine schwere unprcßbare Flüssigkeit getaucht, welche oben einen freien horizontalen Spiegel bildet, und untersuchen wir die Bedingungen, unter welchen dieser Körper im Zustande des Gleichgewichts verharren wird. Diese Bedingungen werden erfüllt sein, wenn sich alle auf den Körper wirkenden Kräfte gegenseitig Vernichten, wenn sich also die in den Körper wirkende Schwere mit den Pressungen der umgebenden Flüssigkeit in Gleichgewicht zu setzen vermag. Die Wirkung der Schwere auf die verschiedenen Massenteilchen des Körpers setzt sich bekanntlich immer, derselbe mag nun aus einer gleichartigen oder ungleichartigen Materie bestehen, in eine einzige Mittelkraft, nämlich in das Gewicht des Körpers, zusammen. Die Richtung dieser Kraft ist vertikal von oben nach unten gekehrt und geht durch den Schwerpunkt des fraglichen Körpers. Soll also zwischen dem Körper und den Pressungen der umgebenden Flüssigkeit Gleichgewicht stattfinden; so müssen sich auch die letzteren in eine einzige Kraft zusammensetzen lassen, deren Stärke gleich dem Gewichte des Körpers und deren Richtung vertikal von unten nach oben gekehrt ist und ebenfalls durch den Schwerpunkt des schwimmenden Körpers geht. Zur Untersuchung der mittleren Resultante aller auf den Körper ausgeübten Pressungen der Flüssigkeit denken wir uns dieselbe in drei rechtwinklige Komponenten zerlegt, von denen zwei horizontal und die dritte vertikal ist. Aus 8. 13 geht nun sehr leicht hervor, daß eine jede horizontale Komponente gleich null sein müsse. Denn welches auch die besondere Richtung dieser horizontalen Komponente oder die Richtung der auf derselben 60 z. 22. Allgemeine Bedingungen des Schwimmen«. perpendikular stehenden Vertikalebene sei; so gibt es von der ge- sammten unter dem Spiegel der Flüssigkeit befindlichen Oberfläche des Körpers zwei Projektionen, welche der obgenannten Vertikalebene parallel, aber nach direkt entgegengesetzten Seiten gekehrt sind. Durch horizontale Linien, welche in den Umfängen dieser beiden Projektionen auf den entsprechenden Vertikalebenen perpendikular oder zu der in Rede stehenden horizontalen Komponente parallel gezogen sind, bildet sich eine zylindrische Fläche, welche den schwimmenden Körper allgemein in einer Kurve berührt. Durch diese Kurve wird die Oberfläche des Körpers in zwei Theile getheilt, welche den horizontalen Druck der Flüssigkeit von entgegengesetzten Seiten empfangen. Da nun nach §. 13 der horizontale Druck der Flüssigkeit gegen irgend eine Fläche sowol der Größe, wie dem Angriffspunkte nach gleich dem Drucke auf die entsprechende Vertikalprojektion dieser Fläche ist; so folgt daß die beiden vorhin genannten Theile der Oberfläche des schwimmenden Körpers in horizontaler Richtung stets von zwei Kräften gedrückt werden, welche der Größe und dem Angriffspunkte nach einander gleich, der Richtung nach aber direkt entgegengesetzt sind, svdaß sie sich in ihren Wirkungen gegenseitig Vernichten. Ferner erkennt man, daß sich die vertikalen Komponenten der Pressungen der Flüssigkeit gegen die untergetauchten Theile der Oberfläche des Körpers stets zu einer einzigen Kraft zusammensetzen, welche vertikal von unten nach oben wirkt, dem Gewichte der durch den Körper verdrängten Flüssigkeitsmenge gleich ist und durch den Schwerpunkt dieser Flüssigkeitsmenge geht. Denn zwei Elemente L und 6 der unter dem Spiegel der Flüssigkeit liegenden Oberfläche des Körpers, welche einander vertikal gegenüberliegen und dieselbe Ho- rizontalprojektion ^ besitzen, empfangen immer zwei vertikale Pressungen in entgegengesetzten Richtungen, von denen die Eine Pressung gegen das obere Element ^ von oben nach unten gerichtet und gleich dem Gewichte der Flüssigkeitssäule ist, die andre Pressung gegen das untere Element 6 aber von unten nach oben gekehrt und §. 22. Allgemeine Bedingungen deS Schwimmen?. 6l gleich dem Gewichte einer Flüssigkeitssäule -^6 ist, sodaß sich die vertikalen Pressungen der Flüssigkeit gegen die beiden Elemente L und 6 auf eine einzige vertikal von unten nach oben gerichtete Kraft reduziren, deren Betrag dem Gewichte einer Flüssigkeitssäule LO gleich ist. Da sich Dies von jeden zwei vertikal gegenüberliegenden Elementen der Oberfläche des Körpers sagen läßt; so folgt, daß die Gesammtwirkung des Druckes der Flüssigkeit auf den fraglichen Körper in einer vertikalen, von unten nach oben gerichteten Kraft besteht, deren Größe gleich dem Gewichte der von dem Körper verdrängten Flüssigkeitsmenge ist und welche durch den Schwerpunkt dieses Flüssigkeitsquantums geht. Diese Wirkung der Flüssigkeit auf einen darin getauchten Körper nennt man den Auftrieb der Flüssigkeit. Es leuchtet ein, daß es für die vorstehenden Resultate gleichgültig ist, ob der schwimmende Körper ganz von der Flüssigkeit umgeben ist, oder ob ein Theil desselben über die freie horizontale Oberfläche der Flüssigkeit hinausragt. Auch werden dieselben dadurch nicht modifizirt, daß sich etwa auf die freie Oberfläche der Flüssigkeit ein gleichförmig verteilter Druck äußert, da sich die Wirkung dieses Druckes auf je zwei direkt entgegengesetzte Projektionen der Oberfläche des Körpers vernichtet (vergl. §. 16). Wenn ein Theil der Körperoberfläche über die freie Oberfläche der Flüssigkeit hinausragt, so ist es unter den letzteren Umständen nur erforderlich, daß der auf die Oberfläche der Flüssigkeit ausgeübte Druck sich auch gleichförmig und in derselben Stärke über den hervorragenden Theil der Körperoberfläche verbreite und überall normal gegen dieselbe gerichtet sei, wie es sich immer ereignet, wenn der fragliche Druck durch die Spannung einer elastischen Flüssigkeit, z. B. durch die atmosphärische Luft, hervorgebracht wird, in welche der schwimmende Körper sofort eintaucht, sobald ein Theil desselben über - den Spiegel der Flüssigkeit hervortritt. Nach dem Vorstehenden kommen die Bedingungen für das Gleichgewicht eines schwimmenden Körpers auf folgende zurück: 1) daß das Gewicht des Körpers gleich sei dem Gewichte der verdrängten Flüssigkcitsmenge; 2) daß der Schwerpunkt des Körpers und der Schwerpunkt dieser Flüssigkeitsmenge in Ein und derselben Vertikallinie liegen. 62 22. Allgemein« Bedingungen des Schwimmcns. Ist sowol derKörper, wie die Flüssigkeit homogen; so fällt der Schwerpunkt des Körpers mit dem der Flüssigkeitsmenge, deren Raum er einnimmt, immer zusammen, und die Bedingung für das Gleichgewicht besteht alsdann nur darin, daß das Gewicht des Körpers dem Gewichte der verdrängten Flüssigkeitsmenge gleich sei. Die Resultate dieses Paragraphs hätte man auch durch folgende Betrachtung hervorbringen können. Man denke sich in einer ruhenden Flüssigkeit irgend eine auf beliebige Weise be- gränzte Menge, von welcher auch der freie Spiegel der Flüssigkeit ein Theil der Umgränzung sein kann. Da diese Menge selbst schwer und von sonstigen Kräften nicht belebt ist, sich aber doch in Ruhe befindet; so kann dieser Zustand des Gleichgewichtes nur dadurch hervorgebracht werden, daß die Gesammtwir- kung der umgebenden Flüssigkeit eine vertikale, von unten nach oben gerichtete Kraft gleich dem Gewichte der obigen Flüssigkeits- menge ist, deren Richtung durch den Schwerpunkt dieser Menge geht. Will man nun statt der gedachten Flüssigkcitsmenge einen von derselben Umgränzung eingeschlossenen schweren starren Körper substituiren (der sich jedoch, wenn jene Flüssigkeitsmenge zum Theil von dem Spiegel der Flüssigkeit begränzt war, über diesen Theil des Spiegels in willkürlichen Formen erheben kann); so wird nach den Gesetzen der Wechselwirkung die Wirkung zwischen der Oberfläche dieses Körpers und der der umgebenden Flüssigkeit genau dieselbe sein, wie sie früher zwischen der eingeschlossenen Flüssigkeitsmenge und der übrigen Flüssigkeit war, da sich die Wirkung der letzteren durch die fragliche Substitution nicht ändert und der starre Körper im Stande ist, an seiner Oberfläche in normaler Richtung den eben erforderlichen Widerstand zu leisten oder einen gleichen Gegendruck auf die Flüssigkeit auszuüben, und es kommt nur darauf an, daß die Resultante aller in die Theilchen des Körpers wirkenden Kräfte in Größe und Richtung der Resultante gleich sei, welche vorhin aus den inneren Kräften der abgcgränztcn Flüssigkcitsmenge hervorging. Aus dieser Forderung folgt leicht für die Bedingung des Gleichgewichtes des schwimmenden Körpers, wie vorhin, 1) daß sein Gewicht gleich dem der verdrängten Flüssigkeitsmenge sei; 2) daß h. 23. Verhalten eingetauchter Körper. 63 sein Schwerpunkt mit dem Schwerpunkte der verdrängten Flüs- sigkeitsmcnge in derselben Vertikallinie liege. §. 23. Verhalten der in unpreßbare Flüssigkeiten getauchten Körper unter besonderen Umständen. Angenommen, der Körper Lk befinde sich entweder ganz oder zum Theil in eine unpreßbare Flüssigkeit getaucht, 0 sei sein Schwerpunkt und XV sein Gewicht, 0 sei der Schwerpunkt der verdrängten Flüssigkeitsmenge und XV, deren Gewicht. Wenn 6 und v nicht in derselben Vertikalen liegen, also die Kräfte XV und XV, sich nicht direkt entgegengesetzt sind; so wird der Körper, gleichviel ob sein Schwerpunkt 6 in Ruhe bleibe oder sich auf- oder niederbcwege, eine Umdrehungsbewegung um seinen Schwerpunkt 6 annehmen, in Folge welcher der Punkt v zu steigen und sich vertikal über den Punkt 6 zu stellen strebt. Liegen jedoch die beiden Punkte 6 und l) in derselben Vertikalen; so wird eine solche Umdrehungsbewegung nicht eintreten. Der Schwerpunkt 6 des Körpers wird sich nach den allgemeinen Gesetzen der Mechanik *) unter allen Umständen so bewegen, als wenn die ganze Masse des Körpers in ihm konzentrirt und sämmtliche auf den Körper wirkende Kräfte auf ihn angebracht wäre». Da nun auf den Körper weiter keine, als die vertikalen Kräfte XV und XV, wirken; so folgt, 1) wenn XV—XVi ist, daß der Schwerpunkt 6 des Körpers in Ruhe bleiben wird; 2) wenn VV>XV, ist, daß der Schwerpunkt des Körpers in der Flüssigkeit vertikal Herabsinken wird, und da bei einer vollkommen unpreßbaren Flüssigkeit XV^ in jeder Tiefe denselben Werth behalten, also XV stets XV, bleiben wird, daß der Körper erst auf dem festen Boden des Gefäßes zur Ruhe kommen kann; 3) wenn XV gleich dem Gewichte des schwimmenden Körpers sein muß; so hat man die Gleichung o^r(r).ckr—XV oder ro o .... (92) /k k(r).ckr — woraus sich in jedem besonderen Falle der Werth der Einsen-- kung 2 ermitteln läßt. Wenn der Körper gleichartig ist, und man bezeichnet sein ganzes Volum mit L, das Gewicht einer jeden seiner Volumeinheiten mit ro,, ferner das Volum des eingetauchten Theiles mit L; so hat man W—und demnach oder K «>L —«>,X l- .... (93) Diese letztere Gleichung drückt aus, daß für den Fall eines gleichartigen Körpers von demselben durch die Ebene des horizontalen Wasserspiegels ein Stück I'OK abgeschnitten werden müsse, dessen Volum sich zum Volum des ganzen Körpers umgekehrt verhalte, wie das spezifische Gewicht der Körpermasse zu dem spezifischen Gewichte der Flüssigkeit. §. 25. Tiefe der Einsenkung eines nach Art der Pontons gebaueten Körpers. Die Grundfläche 3L dieses Körpers sei ein Rechteck von den Seiten a und b, die Seitenflächen des Körpers, welche von den beiden Seitenlinien a der Grundfläche ausgehen, neigen sich unter dem Winkel « und die von den Linien ö ausgehenden Seitenflächen unter dem Winkel gegen den Horizont. Das Ge- sammtgewicht VV des Körpers nebst seiner Belastung ist so ver- El. (S5> t. 25. Tiefe der Einscnkung einer Pontons. 57 theilt, daß sein Schwerpunkt in einer Vertikalen OX liegt, welche durch den Mittelpunkt (> der horizontalen Grundfläche geht. Unter diesen Umständen ist irgend ein horizontaler Querschnitt 60 des Körpers in dein Abstände 06 —- von der Grundfläche ein Rechteck resp. von den Seiten n^i-2— tan§« und b -j- 2 also von dem Flächeninhalte — tiö 2(»tanA/?-s- btsnA«)r 2- tiiNAtt )- 4r^ trlNA«tsn§/- ' tun»« Hiernach hat man wegen Gl. (92) 2 (a tnn^/S -si 5 tsnA «) r trrn§ « o d. i. a-X-l- (atgNA/S-i-LtsnK«) ^2 tu»^ 4r> _^VV §«tkin^^ / ro' oder taNAtttkMA/? 4 VV --X?— —- 3tr>nK«tgNA/!t «) -j- ^(atsn^/S -s- Ltan^«)X^ 3VV (94) (95) ^s-SaLtsn§atanA/;.2—trmA «tariA/S — o . . Diese kubische Gleichung hat, weil sie von einem u «paaren Grade ist, unter allen Umständen wenigstens Eine reelle «8 i. 2S. Tiefe der Einsenkung eines geraden PriSmaS. Gl. (97) Wurzel. Wenn « und ^ spitze Winkel oder tanZ« und tanZ/S positiv sind; so bietet die vorstehende Gleichung, nur Einen Zeichenwechsel dar; dieselbe enthält alsdann auch nur Eine positive Wurzel, welches dann auch die reelle sein muß. Da nun L jedenfalls nur reell und positiv sein darf; so sieht man, daß unter den vorstehenden Umständen die Gleichung (95) unter den drei möglichen Wurzeln doch nur eine einzige enthalten wird, welche für den wahren Werth von 2 genommen werden kann, während die anderen beiden Wurzeln entweder reell und negativ oder imaginär sind. Solches wird sich übrigens auch dann noch nachweisen lassen, wenn tan§« oder tanZ/r oder diese beiden Größen zusammen negativ sind. Für den Fall, daß zwei gegenüberliegende Seitenwände des Körpers vertikal ständen, daß also z.B./?—90°, also tanZ/r-c» und —^ — — r)^/r(2»-—-) -s-^sreoos e(2i>—ry.ckr h. 27. Tieft der Eiiiftttkung einer Kugel. Gl. das Gewicht einer Volumeinheit der im Gefäße ^0,8 enthaltenen Flüssigkeit, O der tiefste Punkt des Körpers und 02 die durch denselben gelegte Vertikale, k(r) die Größe eines horizontalen Querschnittes des Körpers, 72 §. 28. Einsenkmig eines Körpers in Beziehung Gl, (U>4) welcher in dem vertikalen Abstände - vvm Punkte O genommen ist, L —OL die Tiefe der Einscnkung des Körpers in die Flüssigkeit, deren Spiegel ist, O, der tiefste Punkt des Gefäßes und die durch denselben gelegte Vertikale, kj (-) die Größe eines horizontalen Querschnittes des Gefäßes, welcher in einem vertikalen Abstände - vorn Punkte genommen ist, 0 die Quantität oder das Volum der in dem Gefäße enthaltenen Flüssigkeit, Lj —0,H die Höhe des Spiegels kO dieser Flüssigkeit über dem tiefsten Punkte 0^ des Gefäßes, wenn der Körper 600 nicht in dieselbe getaucht wäre, Lz —0,4 die Höhe des Spiegels über dem Punkte 0,, nachdem der Körper in die Flüssigkeit gesenkt ist, H die Erhebung H4 des Spiegels der Flüssigkeit beim Einsenken des Körpers, H, die vertikale Höhe 0,1? des Punktes O über dem Punkte O,. Wenn kein Körper in die Flüssigkeit eingetaucht wäre; so würde das Volum tz den Raum kOO, einnehmen: man hat 2 . also, da dieser Raum durch^k,(-).ck- dargestellt wird, <- 2 . ....(103) o eine Formel, woraus der Werth von 2, für den Fall gefunden werden kann, daß kein Körper in die Flüssigkeit eingetaucht ist. Die Tiefe L—O L der Einsenkung des Körpers in die Flüssigkeit ergibt sich nach Gl. (92) durch die Formel 2 /k-(r).ck2--n- -(104) o 2 Hierin stellt /r(r).ckr und demnach auch das Volum Gl. (I07> zu dem Gefäße, welches die Flüssigkeit enthält. 73 des eingesenkten Theiles 600 des schwimmenden Körpers dar. Es folgt also, daß der Raum .480, des Gefäßes, welcher die Quantität tz der Flüssigkeit und den eingetauchten Theil des Körpers enthält, — tz ^ sein müsse. Da dieser Raum aber auch durch / 8 ,( 2 ).ckr dargestellt wird; so hat man ltr — (j -s- Aus dieser Formel ist die vertikale Höhe 2z —0,7 des Spiegels der Flüssigkeit über dem tiefsten Punkte des Gefäßes zu bestimmen, nachdem der schwimmende Körper in die Flüssigkeit eingesenkt ist. Die Erhebung 8 — 85 des Spiegels der Flüssigkeit im Gefäße beim Einsenken des Körpers ist hiernach ( 106 ) Wollte man die Höhe ^ oder die Erhebung 8 des Spiegels beim Eintauchen des schwimmenden Körpers nicht mit Hülse der gegebenen Quantität lj der im Gefäße enthaltenen Flüssigkeit, sondern dadurch bestimmen, daß man die Höhe 2>, — 0 ,8 dieser Flüssigkeit im Gefäße vor der Einsenkung des Körpers als gegeben ansähe; so kann Dies durch die Betrachtung gesche- w hen, daß der Raum H.LOk' offenbar gleich 600 d. i. — — sein muß. Hiernach hat man auch oder r,c-).ckr 74 j, 29. Fall, wo der Körper und daS Gefäß Prismen sind. Gl. (ltl) Für den vertikalen Abstand H, der beiden Punkte und O hat man endlich (109) §. 29. Fall, wo sowol das Gefäß, wie der schwimmende Körper gerade und vertikal stehende Prismen sind. Setzt man hier den konstanten horizontalen Querschnitt des Körpers k (r) — und den des Gefäßes k,l>) — so ergibt Gl. (103) 2 . Vj l) also für die Höhe 2, des Spiegels über dem Boden des Gefäßes, wenn kein Körper eingetaucht wäre, . . ( 110 ) Aus Gl. (104) erhält man 2 also für die Tiefe der Einsenkung des schwimmenden Körpers ( 111 ) Aus Gl. (105) folgt 2 , tkr — ^ mithin für die Höhe des Spiegels der Flüssigkeit über dem Boden des Gefäßes, nachdem der Körper eingetaucht ist, Gl. (1l4j j. 3ll. Fall, wo der Körper u. d. Gefäß Paraboloide flnd. 78 Beim Einsenken des Prismas in die Flüssigkeit hebt sich der Spiegel der Letzteren nach Gl. (106), wenn man darin für 2? und ihre Werthe aus Gl. (112) und (110) setzt um . . . . (113) und nach Gl. (109) steht die horizontale Grundfläche des schwimmenden Körpers vom Boden des Gefäßes um „ tz , vv vv - tz >V(^,-4) (HD ^ ^ ^,«o ^ro ab. Z. 30. Fall, wo sowol das Gefäß, wie der schwimmende Körper ein vertikal stehendes Umwälzungspa- raboloid bildet. Stellt man in diesem Falle die erzeugende Parabel für die Oberfläche des Körpers durch a? — f/ und die für die innere Fläche der Gefäßwand durch 2 — r dar; so hat man, da für beide irgend ein horizontaler Querschnitt im Abstände r vom Scheitel ein Kreis vom Halbmesser »st, I (r) — — ir/ir k, (r) — r. und Hiernach ergibt Gl. (103) 2. rckr also für die Höhe des Spiegels der Flüssigkeit über dem tiefsten Punkte des Gefäßes, wenn kein Körper in dieselbe eingetaucht wäre, 76 §. 30. Fall, wo der Körper u. d. 2l^ Paragoloide sind. Gl. (N0) . . . (115) , Nach Gl. (104) hat man also für die Tiefe der Einsenkung des schwimmenden Körpers 2>V Tr/iro Aus Gl. (105) folgt . (116) )V c^r —— tz -j-, ro also für die Höhe des Spiegels der Flüssigkeit über dem tiefsten Punkte des Gefäßes nach der Einsenkung des schwimmenden Körpers .... (117) Bei der Einsenkung des Körpers steigt der Spiegel der Flüssigkeit im Gefäße nach Gl. (106) um .... (118) Wollte man die Höhe Lz oder die Erhebung 8 danach bestimmen, daß man die Höhe 2, des Spiegels der Flüssigkeit im Gefäße vor der Einsenkung des Körpers als bekannt voraussetzte; so hätte man nach Gl. (107) rckr-4-rpi (L^— also 2. -( 119 ) Gl. (122) §31. Gleichgewichtslagen eines schwimmenden Körpers, und nach Gl. (108) oder da II--2z —2, ist, 77 H-v/2i2-l-H-2, -(120) Der vertikale Abstand II, des tiefsten Punktes des schwimmenden Körpers vom tiefsten Punkte des Gesäßes ist nach Gl. (109), wenn man darin für 2z und 2 die Werthe aus Gl. (117) und (116) setzt, 2VV ( 121 ) oder wenn man für 2z und 2 die Werthe aus Gl. (119) und (116) setzt, * V * ' 7r/i,rv v i2VVi ( 122 ) §. 31. Bestimmung der Gleichgewichtslagen eines schwimmenden Körpers. In den früheren Paragraphen, in welchen das Gleichgewicht eines an der Oberfläche einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit schwimmenden Körpers untersucht ist, sind wir immer von der Voraussetzung ausgegangen, daß der Schwerpunkt des Körpers mit dem Schwerpunkte der verdrängten Flüssigkeit in derselben Vertikallinie liegen werde, und haben dann nur noch die Tiefe zu bestimmen gesucht, um welche der Körper in die Flüssigkeit einsinken mußte, um eine gewisse Quantität der Letzteren zu verdrängen, deren Gewicht seinen eigenen Gewichten gleich war. Wäre übrigens die Lage des Körpers in Beziehung zu der horizontalen Oberfläche der Flüssigkeit, in welcher er sich bei vertikaler Einsenkung schwimmend im Gleichgewichte erhalten würde, a priori nicht bekannt; so dient die folgende.Betrachtung dazu, den beiden Forderungen des 8s 22, nach welchen eine bestimmte Menge der Flüssigkeit verdrängt werden und außerdem der Schwerpunkt des Körpers mit dem Schwerpunkte der verdrängten Flüssigkeit in derselben Vertikallinie liegen muß, ein Genüge zu leisten. Es sei ^.OL der schwimmende Körper und v dessen Schwer- 78 ). 31. Bestimmung der Gleichgewichtslagen Punkt, X8 sei der horizontale Spiegel der Flüssigkeit und 8 der Schwerpunkt der verdrängten Flüssigkeitsmenge X 8 O. Der schwimmende Körper sei auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem Ot s bezogen, dessen Anfangspunkt O sei, und von welchem OX und OX die beiden in der seitwärts dargestellten vertikalen Durch- schm'ttsfläche liegenden Aren sind, während die horizontale Are O V in O auf der Ebene XX perpendikular steht. Der Einfachheit wegen nehmen wir an, der untere Theil des Körpers, welcher möglicherweise nur unter den Spiegel der Flüssigkeit zu liegen kommen kann, sei in Beziehung zu der vertikalen Ebene XX symmetrisch, und der Schwerpunkt v des ganzen Körpers liege in jener Ebene, was er jedenfalls thun würde, wenn auch der obere Theil des Körpers in Beziehung zu der Ebene XX symmetrisch wäre, und setzen uns vor, nur solche Gleichgewichtslagen desselben zu betrachten, bei denen die der Are O V parallelen Dimensionen stets horizontal bleiben, oder welche durch eine Drehung des Körpers um irgend eine auf der Ebene XX perpendikular stehende Linie erhalten werden, in welchen Fällen auch der Schwerpunkt 8 der verdrängten Flüssigkeit stets in der Ebene XX verbleiben wird. Demnach sehen wir im Folgenden den Körper X08 mit dem Koordinatensysteme als unverrückbar, die auf XX perpendikular stehende Ebene des Spiegels X8 aber als beweglich, jedoch nur als um eine auf XX perpendikular stehende Linie drehbar Gl. (123> eines schwimmenden Körpers. 79 an, und untersuchen diejenigen Lagen des fraglichen Spiegels, für welche das Gewicht einer Flüssigkeitsmenge X80 gleich dem Gewichte des Körpers ist, und für welche die Verbindungslinie DL des Schwerpunktes des Körpers mit dem Schwerpunkte der verdrängten Flüssigkeit auf X8 perpendikular steht. In allen solchen Lagen kann der Körper auf der Flüssigkeit schwimmen. Nun sei ^ das Gewicht des schwimmenden Körpers, w das Gewicht einer Volumeinheit der Flüssigkeit, X, und X, resp. die unveränderlichen Koordinaten 08 und 8V des Schwerpunktes 0 des Körpers, X und 2 resp. die veränderlichen Koordinaten 0 6 und 68 des Schwerpunktes 8 der verdrängten Flüssigkeitsmenge X80, 2 und r resp. die Koordinaten 06 und 6 8 irgend eines Punktes 8 in der vertikalen Durchschnittsebene X08, N —8(chr) die horizontale Dimension des Körpers auf jeder Seite vom Punkte 6, also 2 z, die ganze horizontale Dimension des Körpers im Punkte 8, r' —/°'(w) die Ordinate 6^l der Linie X08 für die Abszisse 06--2, /"( 2 ) die Ordinate 6K der geraden Linie X8 für dieselbe Abszisse 06 2 z und m, resp. die Abszissen OKI und ox der Durchschnittspunkte 8 und X der geraden Linie X8 mit der Linie X08 (wovon bei der Darstellung in der obigen Figur die Abszisse — ox eine durchaus negative Größe sein wird, wenn man OX als den positiven Theil der Are der -r annimmt), 6 das Volum des eingetauchten Körpertheiles oder der verdrängten Flüssigkeit X80, /r^:06 der veränderliche Abstand des Durchschnittspunktes 6 der beiden geraden Linien X8 und OX vom Punkte O, P der veränderliche Neigungswinkel X68 der Are XO gegen den horizontalen Spiegel X8 der Flüssigkeit. Die erste der beiden Bedingungen für das Gleichgewicht des schwimmenden Körpers, daß nämlich das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit gleich dem Gewichte des Körpers sei, ist ausgedrückt durch die Formel wtz —VV . . ( 123 ) 80 z. 31. Bestimmung der Gleichgewichtslagen Gl. (125) Soll NUN die Linie VL auf XL perpendikular stehen; so ist, wenn man L? parallel zu XO zieht, in dem rechtwinkligen Dreiecke DLL der Winkel VLL-^LOL-y,, ferner L,— L und LL—X— X^: Die zweite Bedingung für das Gleichgewicht des Körpers, daß nämlich die beiden Schwerpunkte v und L in derselben Vertikalen liegen, wird also durch die Gleichung L,—L—(X—-X,) tanK-x ....(124) dargestellt. In den meisten praktischen Fällen wird man durch die geometrische Anschauung der Figuren sowol für das Volum tz des eingetauchten Körpertheiles, wie für die Koordinaten X und 2 des Schwerpunktes desselben leicht auf elementarem Wege Formelausdrücke ableiten können, welche von den Größen L —06 und y,—L.L6L oder von zwei anderen die Lage der Ebene XL bestimmenden Größen abhängen, um alsdann nach vorgängi- ger Substitution derselben in die Gleichungen (123) und (124) die gesuchten Werthe für /r und y> daraus herzustellen. Für Fälle, wo eine elementare Behandelung die nöthigen Ausdrücke für 0, X und L nicht ergeben kann, wo man also zur Anwendung der höheren Analysis schreiten muß, hat man offenbar für das Volum eines elementaren Körpertheiles, welcher in 6 auf der Ebene XL perpendikular steht, also die Länge 2z/ besitzt, und einen rechtwinkligen Querschnitt von den Seiten cka? und ck- hat, 2z/ cka: ckr. also für einen der Ebene XL parallelen Körpertheil von unendlich geringer Stärke, welcher im Abstände 06 —r von O liegt, und in der Ebene XL die Linie 4X zur Höhe hat, und für das ganze zwischen den Punkten X und k liegende Volum XLO (EI. 129) cineS schwimmenden Körpers. 81 In diesem Ausdrucke ist r/— k (.r-,....(126) ....(127) und für 2 " —HX —/'"(>-) hat man, weil XL eine gerade Linie 06 Winkel L68^y> ist, . . (128) Die Werthe für —OX und OIVI erhalt man, indem man die Ausdrücke für 2 ' und 2 " aus den Gleichungen (127) einander gleich setzt und für a- auflöst, also durch die Gleichung /r — s' (2), . . . (129) welche für n zwei reelle Werthe, und zwar bei der Darstellung der obigen Figur einen negativen und einen positiven Werth liefern muß; der negative Werth ist — a?i und der positive — Da das Gewicht des Volums 2z,ck.rckr der verdrängten Flüssigkeit, welches ein in X aus XL perpendikular stehendes Parallelepipedum bildet, gleich 2M»,cka^2 ist; so ist das Moment dieses Gewichtes in Beziehung zur Are OL 2ro i/ck^«(2X X — 2rvL»/cka: ckr und in Beziehung zur Are OX 2wN ck.r ckr X r — 2roz/rck.rck2. Das Moment des Gewichtes von dem Theile der verdrängten Flüssigkeit, dessen Höhe in der Ebene XL gleich .IX ist, beträgt also in Beziehung zur Are OL 2«, T ein und in Beziehung zur Are OX 2 6 82 32. Gleichgewichtslagen eines dreiseitigen >l. (131) Hieraus folgt für das Moment des Gewichtes der ganzen verdrängten Flüssigkeit in Beziehung zur Are OL U" ()X —2w und in Beziehung zur Are ox r/' ^2 ^ ()2 — 2 u > ^ Hieraus folgt X: cr ^2 v" .v, 2 —Ackrckr, G30) (131) in welchen Formeln z,, z,", a:,, Xz dieselben Werthe, wie in dem für () zu substituirenden Ausdrucke (125) haben. 8. 32. Gleichgewichtslagen eines schwimmenden Körpers, welcher sich unten in ein gerades dreiseitiges Prisma endigt, wenn nur Eine Kante unter den Spiegel der Flüssigkeit getaucht ist. In diesem Falle, wo der vertikale Durchschnitt XOK des eingetauchten Körpertheiles ein Dreieck bildet, sei unter Beibe« o ry Gl. (132) Prismas, van welchem Eine Kante eingetaucht ist. 83 Haltung der übrigen Voraussetzungen und Beziehungen des vorhergehenden Paragraphs i die auf der Ebene (^OK perpendikular stehende Länge des Körpers, « — Winkel ^OL, « —OX, §, — OK. Legt man die Are 02 in die Halbirungslinie des Winkels ^OL; so ist zuvörderst der Flächeninhalt des Dreiecks ^.OL — ^8s,8inc», also das Valum der verdrängten Flüssigkeit 0 —SINK, und man hat nach Gl. (123) rv t sin « . . (132) Der Schwerpunkt k der verdrängten Flüssigkeit fällt hier offenbar mit dem Schwerpunkte des Dreiecks H.OL zusammen, derselbe liegt also auf der geraden Linie OK, welche den Punkt O mit der Mitte k der Grundlinie ^8 verbindet, und zwar in einem Abstände OK —KOK. Ist daher kk ein Perpendikel von K auf die Are 02; so ist X--06--KKK und 2-- 6K —KOK. Fällt man nun von und L auf 02 die Perpendikel ^ und LX; so ist LL —s, Oäl—svo8^, OX —s, eos und weil ^.k —KL, ^ck-j-kk-XL-kk, also kk — j (XL— — K(s, —«) 8IN OK—O^-OX—OK, also OK —K(OX-s-Ock) —K(s. -st-^co» und 84 §. 32. Gleichgewichtslagen eines dreiseitigen Prismas, Gl. (137) Demnach hat man X —^ («,—«) 8in 608-^- Zieht man endlich durch den Punkt 4 die Linie 4N parallel zu so ist /^2)N —26L—go und man hat -s-S8Ill «, 8IN XKI lanAP n X0-.10 — «, 008 «008 d. i. Durch Substitution dieser Werthe für X, 2 und tanx go in Gl. (124) erhält man 2,—j(«,-j-«)oo8 oder nach gehöriger Reduktion («,2—§2)—ZX,(«,-s-«)8in —32,(«,— «)008 —0 ...(136) Eine Verbindung dieser Gleichung mit der Gleichung (132) ergibt die korrespondirenden Werthe für « und «,, welche den verschiedenen Gleichgewichtslagen des schwimmenden Körpers entsprechen. Für den Fall, daß der Schwerpunkt v des Körpers in der Halbirungslime 02 des Winkels XOL läge, wo also X,—0 wäre, würde sich die Gleichung (136) auf («/—^) —32, («,-«) 008 — o, d. i. auf (s, —s) (s,'s-«— 32, 008 — 0 (137) vereinfachen. Dieser Gleichung wird zuvörderst durch die Bedingung 85 Gl. (8.1-ss2.XX) _ .<; 8in« ser -s-2 (er — 2 s 008 «)) 3(H)-s-XX) 3fass-(»— 2soo8«)f s (3 rr—4soo8«)8inc- 6 (er — s oo8«) Der Schwerpunkt L" des Dreiecks LXX liegt in der Linie Lk und zwar in einem Abstände k>L"-sodaß man für dessen Abstände vom Punkte O parallel zu den Axen OX und OLresp. 00"^.0X 008 tt l ^ (er — 2 s, 008 «) und 6"L"--XK-f-^(XL-XK)--s8in«-f-^(8,8in«-S8in«)-^(s,-I-2s)8iii« Hat. Hieraus folgt nun, da das Moment des Vierecks sowol in Beziehung zur Are OL, wie in Beziehung zur Are OX gleich der Summe der entsprechenden Momente des Trapezes und des Dreiecks sein muß, 4l«(s, -f-s) — 2s, S 008 ttf 801 «.X — H(s, — s)(er —2soo8ck)8in«.z(er —2s, 608 «) und 2 f« (s, -j-s)— 2s, s 008 ttf 8Mtt.X -f-^(s, —s)(er — 2s 008 tt)8m«.^(s, -f-2s)8in«, mithin nach gehöriger Reduktion ^«2—2ser(s,-s-s)—2s,soo8«)oos« « '---:---ö --^ o tt(§, -s-§) —§ 608 « „_ , . (s, ss-s)ser(s, -s-s)—2s,S008») —ers,s -< Is8in«. er(s,-s-s)— 2s,S008« ' ' ' Endlich ist /.P —AOL —6LR, folglich » —(s, -f-s) 008 « (S, —S)8M« . ( 146 ) Tl. lISO) von welchem zwei Kanten eingetaucht sind. 89 Führt man diese Werthe für X, 2 und tanZP in Gl. (124) ein und reduzirt gehörig; so kommt (§,-§)! s2(L,-^-s)—3av08«)sa(§,-s-§)—2§,«l!08«H-s-a(a^-2s,§) j — 6 s« —(s,-s-§)oo8«1sa(s,-j-8)— 28,svv8^X, ^6(§^ —L)s«(§^-j-§)—2L^«ov8^8in«2, —o .... (147) oder wenn man für den Faktor w(s,-s-«)—2«, §oo8« den Werth 2VV rvtsin« aus Gl. (143), den wir der Kürze wegen mit ^ bezeichnen wollen, und für 8,« den Werth selben Gleichung substituirt, «(s,-s-§)— X 2 608« aus der- (§1—§)j (8, -s-§)(2^608« — a^)-s-«(1—3 008^«)^-i-K^008« ) — 6 sa — (8,-s-§)v08«)XX, —6(§1 — 8)8IN «^2i —o .... (148) Wenn der Schwerpunkt I) des schwimmenden Körpers in der Linie 02 liegt, wenn also X, — v ist; so reduzirt sich die vorstehende Gleichung auf («t—«)j (§, -s-§)(2Xev8« — a')-si»(1—3eo8^«)X-j-a^ev8«j — 6(s,—§)8in«^2, —v ....(149) Dieser und der Gleichung (143) wird zuvörderst durch die Werthe § — §, — 1 2oo8« 2v08« 1/ «2 — 4 ^ 008 a: . . (150) ein Genüge geleistet, worin die Wurzelgröße nur positiv genommen werden darf, weil die Länge der Seite 8 2 des gleichschenkligen Dreiecks 842 darstellt, und « —84e, sowie §,—48 nothwendig kleiner sein muß, als eine solche Seite 82 oder 42. Nachdem man die Gleichung (149) durch den Faktor §, — § dividirt hat, bleibt die Gleichung (§, -s-§) (2^008«—K^)-sa(1—3eo8^«)^-^-a» ov8«—68in«^2, —o. Setzt man nun der Kürze wegen «2 — 2^008« — 8, a(1 — 3vo8^«)^ -s- «boo« « — 68in«^2, — 6; vo i. 33. Gleichgewichtslagen eines Prismas. Gl. 034) so wird die vorstehende und die Gleichung (143) noch durch folgende zwei Werthe für § und s, - V 6 '62 2(«6 — 8^) 82 8 008« '6'2 2(tt6-8^r) 82 8v08« . . . (151) von denen gleichzeitig entweder die oberen oder die unteren Zeichen zu nehmen sind, erfüllt. Die letzteren Werthe für s und s, entsprechen zwei schiefen, einander ähnlichen Lagen des Gleichgewichtes. Man sieht jedoch, daß um dem hier betrachteten Körper die nöthige Schwimmfähigkeit zu ertheilen, es sowol in der ersten, wie in den letzten beiden Lagen erforderlich ist, daß resp. die Ausdrücke unter den Wurzelzeichen in Gl. (150) und in den Gleichungen (151) positiv seien, und daß überhaupt die Werthe von s und nicht negativ werden. Die obigen Formeln gelten auch für den Fall, wo der Winkel H.H4—848—« stumpf wird, der schwimmende Körper also die Form eines Pontons annimmt. Für den Fall, daß « —und der eingetauchte Theil des Körpers ein rechtwinkliges Parallelepipedum ist, werden die letzteren Formeln (150) und (151) unzulänglich. Unter diesen Umständen reduziren sich die Gleichungen (143) und (147 aus 2 VV a(s^Z-§)— m — .... (152) a(«, —«)(2(«,2^§, — 6er(§i—§)(§i §)""o ....(153) Wenn der Schwerpunkt des Körpers in der Are OL liegt, also X, — o ist, vereinfacht sich die letztere Gleichung auf (§l—«)(2(§i2-l-§,§-s-s2)-s-^—6(§i—s)(§,-s-«)Ll-«...'.(154) Die Werthe von § und welche den drei möglichen Gleichgewichtslagen entsprechen, welche also den Gleichungen (152) und (154) ein Genüge leisten, sind für die aufrechte Lage Gl. (156) 34. Stabilität schwimmender Körper. gl VV ^ rv/er 2a (155) und für die beiden schiefen Lagen 3 ^ 2-2 (156) «i 1/l2a2, ä — 3L- —2-r* wobei ebenfalls zu bemerken ist, daß die Ausdrücke unter dem Wurzelzeichen in den Gleichungen (156) positiv sein und überhaupt die Werthe von s und «, aus diesen Gleichungen positiv ausfallen müssen, wenn der Körper im Stande sein soll, auch in den beiden schiefen Lagen zu schwimmen. Stabilität schwimmender Körper, 8. 34. Allgemeine Bedingungen für die Stabilität eines schwimmenden Körpers. — Metazentrum. Wenn den in 8. 22 angegebenen Bedingungen eines an der Oberfläche einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit schwimmenden Körpers ein Genüge geleistet ist; so befindet sich derselbe im Zustande des Gleichgewichtes. Dieses Gleichgewicht ist stabil, sobald der Körper nach irgend einer »»gemein kleinen Verrückung aus seiner Gleichgewichtslage ein Bestreben hat, in diese Lage wieder zurückzukehren. Instabil ist das Gleichgewicht, sobald der Körper bei einer jeden sehr kleinen Verrückung ein Bestreben äußert, sich nur noch mehr von der anfänglichen Gleichgewichtslage zu entfernen. Wäre das Gleichgewicht des schwimmenden Körpers von der Art, daß sich bei sehr kleinen Verrückungen nach gewissen Richtungen Stabilität, bei ähnlichen Verrückungen nach gewissen anderen Richtungen aber Instabilität zeigte; so würde dasselbe in Beziehung auf Stabilität und Instabilität ein gemischtes sein. Es sei die Oberfläche der Flüssigkeit, der schwimmende Körper in der natürlichen Lage des Gleichgewichtes, k der Schwerpunkt der vom Körper verdrängten Flüssigkeit und O der Schwerpunkt des Körpers. Die beiden Punkte k und (- 22 ). 34. Allgemeine Bedingungen für die Stabilität liegen nach Z. 22 nothwendig in derselben Vertikalen NO, und das Gleichgewicht des schwimmenden Körpers besteht darin, daß einer vertikalen von oben nach unten durch den Punkt O wirkenden, dem Gewichte des Körpers gleichen Kraft eine zweite ebenso große durch den Punkt I' von unten nach oben wirkende Kraft entgegen strebt. Angenommen, man ändere die gegenwärtige Lage des schwimmenden Körpers so, daß der Schwerpunkt 6 in und die Linie 1^6 in zu liegen kommen. Nach dieser Verrückung sei k' die Lage des Schwerpunktes der verdrängten Flüssigkeit. Man hat alsdann den schwimmenden Körper als der Wirkung zweier vertikaler Kräfte unterworfen anzusehen, von denen die Eine in dem Punkte O" von oben nach unten wirkt und immer dem Gewichte des Körpers gleich ist, und von denen die andere in dem Punkte k' von unten nach oben wirkt und dem Gewichte der in der neuen Lage verdrängten Flüssigkeit gleich ist. Die Wirkung dieser beiden Kräfte wird immer streben 1) den Schwerpunkt 6' des Körpers vertikal von unten nach oben oder von oben nach unten zu bewegen, jenachdem die verdrängte Flüssigkeitsmenge größer oder kleiner ist, als sie es in der natürlichen Gleichgewichtslage war, 2) den schwimmenden Körper um eine horizontale Are zu drehen, welche durch den Schwerpunkt 6' geht und eliitS schwimmenden Körper». gg auf der Vertikalebene perpendiknlar steht, in welcher die Punkte 0^ und ^ liegen. Betrachten wir die geneigte Ebene, welche diese horizontale Are nebst der Linie iX'O' enthalten würde, und welche auf der Ebene der obigen Figur perpendiknlar sei; so leuchtet ein, daß wenn die Linie wie in der Figur, nach der rechten Seite geneigt ist und der Punkt I?' sich rechts vom Punkte befindet, die dem Gewichte der verdrängten Flüssigkeit gleiche Kraft, welche im Punkte I? von unten nach oben wirkt, die Linie iVO' in die vertikale Lage zurückzuführen streben wird, während diese Kraft, wenn sich der Punkt I' links vom Punkte befände, die Linie iV'O' immer mehr und mehr nach der rechten Seite zu neigen streben würde. Oder denkt man sich durch den Punkt eine Vertikale gelegt, welche die Linie in 6 schneidet; so Wird der Körper seine frühere Lage wieder anzunehmen streben, Wenn sich der Punkt 6 über O' befindet, während der Körper sich immer mehr und mehr nach derselbe» Seite zu neigen streben wird, wenn der Punkt 6 unter 0' fällt. Der Punkt 0 wird nach Bouguer das Matazentrum genannt. Wäre der Schwerpunkt des Körpers, welcher vorhin bei der natürlichen Gleichgewichtslage in 6 angenommen ist, in A, und hätte sich derselbe nach verrückt; so befände sich das Matazentrum 6 unterhalb und der schwimmende Körper würde ein Bestreben haben, sich immer mehr und mehr zu neigen. Käme jedoch der Schwerpunkt k" der verdrängten Flüssigkeit bei dieser Verrückung rechts von §' oder das Metazentrum 0 oberhalb A' zu liegen; so würde der Körper in seine frühere Lage zurückzukehren streben. Setzt man hiernach alles Übrige gleich; so kann durch eine bloße Verlegung des Schwerpunktes des schwimmenden Körpers herbeigeführt werden, daß der Letztere ein Bestreben erhält, in seine natürliche Gleichgewichtslage zurückzukehren, oder sich von ihr zu entfernen. Denkt man sich den schwimmenden Körper aus seiner natürlichen Lage des Gleichgewichtes gebracht und alsdann der Wirkung der gedachten Kräfte überlassen; so sieht man, daß wenn das Metazentrum für alle möglichen Lagen dieses Körpers über seinen Schwerpunkt zu liegen kommt, die Kräfte immer ein Bestreben äußern werden, den Körper in seine natürliche Gleichge- S4 §. 3S. Bewegungen eines anS seiner Gleichgewichtslage Wichtslage zurückzuführen, und daß mithin sein Gleichgewicht stabil sein wird. Liegt dagegen für alle möglichen Lagen des schwimmenden Körpers das Matazentrum unter dem Schwerpunkte; so werden die Kräfte immer streben, den Körper von seiner Gleichgewichtslage mehr und mehr zu entfernen, und das Gleichgewicht wird daher instabil sein. Kann sich das Meta- zentrum für verschiedene Verrückungen des schwimmenden Körpers bald über und bald unter seinem Schwerpunkte befinden; so wird das Gleichgewicht in Beziehung auf Stabilität und Instabilität ein gemischtes sein, dessen Zustand man nicht genau bestimmen kann, ohne die Natur der Bewegungen zu untersuchen, welche der aus seiner Gleichgewichtslage gebrachte Körper annehmen wird. §. 35. Bewegungen eines aus seiner Gleichgewichtslage gebrachten schwimmenden Körpers. Wenn die Verrückung des schwimmenden Körpers sehr klein angenommen wird; so kann man auf eine allgemeine Weise die auf die Figur des Körpers oder auf die Vertheilung der Gewichte, mit denen er belastet ist, bezüglichen Bedingungen ausdrücken, von welchen die Stabilität oder Instabilität seines Gleichgewichtes abhängen. Es wird hierbei von der Bewegung der Flüssigkeit abgesehen, und angenommen, daß dieselbe fortwährend auf den Körper dieselbe Wirkung ausübe, welche stattfinden würde, wenn der Körper in der jedesmaligen Lage unbeweglich wäre. Nach den allgemeinen Prinzipien der Mechanik (vergl. unter Anderem die Zusätze zum zweiten Abschnitte in meiner Übersetzung des Moseleyschen Werkes über die Anwendung der Mechanik aus Jngenieurkunst) kann man immer für sich betrachten 1) die Bewegung des Schwerpunktes des Körpers, welche stattfindet, wie wenn die ganze Masse des Körpers in diesem Punkte vereinigt wäre und alle Kräfte auf denselben angebracht wären; 2) die Umdrehungsbewegung des Körpers um seinen Schwerpunkt, welche in derselben Weise stattfindet, wie wenn dieser Punkt fest wäre. Wenn immer die obere Fläche der Flüssigkeit ist, so sei, wie vorhin, 6 der Schwerpunkt des Körpers im natürlichen Zustande des Gleichgewichtes, die durch diesen Punkt gehende gebrachten schwimmenden Körpers. SS Vertikale, k die Lage des Schwerpunktes der vom Körper verdrängten Flüssigkeit in jener Vertikalen. Es werde der Punkt O zum Anfangspunkte der horizontalen Koordinaten er, ^ und der vertikalen - angenommen, von denen die - von oben nach unten gerechnet werden. Ferner denke man sich den schwimmenden Körper dergestalt verrückt, daß der Schwerpunkt 6 nach niedergesenkt sei, ohne aus der Vertikalen NO zu kommen, daß die Linie lVO in die Lage X'O' und der Punkt L auf dieser Linie in die Lage / gebracht sei, indem der Abstand gleich L6 bleibt. Die Ebene, welche in dem natürlichen Zustande des Gleichgewichtes des Körpers mit XL zusammenfiel, hat sich gesenkt und geneigt, indem sie perpcndiknlar zu X'O' geblieben ist, und ihr Durchschnitt mit der Ebene XV ist jetzt aL, sodaß der Abstand vck gleich 60' genommen werden kann, wenn man eine unendlich kleine Größe des zweiten Grades vernachlässigt. Endlich bezeichne das Volum der von dem Körper in dem natürlichen Zustande des Gleichgewichtes verdrängten Flüssigkeit, X die Fläche des Durchschnittes des horizontalen Spiegels XL 86 §. 3S. Bewegungen eines aus seiner Gleichgewichtslage der Flüssigkeit mit dem Körper, welche bei der sehr geringen Verrückung des Körpers während der ganzen Dauer der Bewegung als konstant angesehen werden kann, /r der Abstand 6k oder 6/ der beiden Schwerpunkte des Körpers und der im natürlichen Zustande des schwimmenden Körpers verdrängten Flüssigkeit (in der Figur ist der Punkt 6 unter k angenommen; läge 6 über k, so müßte in den nachstehenden Formeln das Zeichen von L überall in das entgegengesetzte verwandelt werden), ^ die sehr geringe vertikale Höhe 66' oder vck, um welche der Schwerpunkt 6 unter seine Lage im natürlichen Zustande des Gleichgewichtes gesenkt ist, /?, / die ungemein kleinen Winkel, welche die Linie N6 resp. um die Are der der U und der r beschrieben hat, um aus der Lage N6 in die Lage X'6' zu kommen (die Winkel « und /S werden hier als positiv gerechnet, wenn sie einer Drehung resp. in den Richtungen VL und XL entsprechen, wodurch eine Senkung des Theiles X6V der Ebene der TN herbeigeführt werden würde), W das Gewicht einer Volumeinheit der Flüssigkeit, A die Geschwindigkeit, welche die Schwere den Körpern in der Sekunde mittheilt. Es kommt zuvörderst daraus an, die Kräfte zu bestimmen, von welchen der schwimmende Körper in seiner gegenwärtigen Lage angegriffen wird. Dieselben bestehen offenbar 1) aus dem Gewichte des Körpers, welches dem Gewichte der im natürlichen Zustande des Gleichgewichtes verdrängten Flüssigkeit, also gleich wtz ist, und welches im Punkte 6' von oben nach unten wirkt, 2) aus einer Kraft gleich dem Gewichte der im natürlichen Zustande des Gleichgewichtes verdrängten Flüssigkeit, welches gleichfalls durch ausgedrückt ist und im Punkte von unten nach oben wirkt, 3) in dem Gewichte der zwischen den beiden Ebenen und aö enthaltenen Flüssigkeit, welches ebenfalls von unten nach oben wirkt. Was die horizontalen Pressungen gegen die Oberfläche des Körpers betrifft, so heben sich dieselben nach allen Richtungen hin auf, und man braucht keine Rücksicht darauf zu nehmen. Um die Gleichungen für die Bewegung des Körpers herzu- gebrachten schwimmenden Körpers. S7 stellen, müssen die eben erwähnten Kräfte und ihre Momente in Beziehung zu den Koordinatenaren als Funktionen der Größen L, «, A ausgedrückt werden. Hinsichtlich der Kraft w lj, welche im Punkte /' vertikal von unten nach oben wirkt, so sind ihre Momente in Beziehung zu Zwei Linien, welche parallel zu den Aren der .r und der U durch den Schwerpunkt 6^ gelegt sind, offenbar resp. wtz./rsin« und rvH.äsinff, oder da wegen der Kleinheit der Winkel « und «in« —« und 8,'n^ —gesetzt werden kann, rotzk« und In Betreff des Gewichtes der zwischen den beiden Ebenen und enthaltenen Flüssigkeit bemerkt man, daß wenn man in der Ebene einen Punkt nimmt, dessen horizontale Koordinaten M und N sind, die Länge der Vertikalen von diesem Punkte bis in die Ebene ak, gleich oder — sein wird. Das Gewicht einer Flüssigkeitssäule, welche diese Höhe und den Querschnitt ckn.ckz, hat, wird also sein, während die Momente derselben in Beziehung zu den Aren der a: und U resp. und sind. Hieraus folgt für das Gewicht der zwischen und ak> enthaltenen Flüssigkeit und für die Momente dieses Gewichtes in Beziehung zu zwei Linien, welche parallel zu den Aren der .r und der U durch den Punkt 6^ gelegt sind, resp. a:/? -s- ,/a)z/cknck,/, -s-N/S -j-z,«) n cka: ckz/. worin die Integrale in der ganzen Ausdehnung der Ebene zu nehmen sind. Zur Vereinfachung der vorliegenden Untersuchung nehmen wir nun an, die äußere Form des schwimmenden Körpers sei von der Beschaffenheit, daß derselbe bei der aufrechten Lage so« 7 98 §. 35. Bewegungen eines anS seiner Gleichgewichtslage Gl. (158) wol durch die Ebene XL, wie durch die Ebene VL in zwei symmetrische Hälften zertheilt werden könne, wie Dies bei der Form eines Schiffes hinsichtlich der Einen dieser Ebenen ganz genau, hinsichtlich der anderen aber Näherungsweise stattfindet. Ein jeder zur Ebene XV parallele Querschnitt wird alsdann sowol in Beziehung zu einer mit OX, wie auch in Beziehung zu einer mit OV parallel gezogenen Linie symmetrisch sein. Nun bemerkt man, daß man für eine jede beliebige Form des Körpers haben wird. Unter den oben gemachten Voraussetzungen ist ferner ebenso und auch weil in diesen doppelten Integralen, sowol das Integral wie das Integralwegen der symmetrischen Form der Fläche X zwischen zwei Gränzen genommen werden muß, welche einander gleich und dem Zeichen nach entgegengesetzt sind. Setzt man endlich der Kürze wegen —N, .... (157) —dl; .... (158) so reduzirt sich der obige Ausdruck für das Gewicht der zwischen den Ebenen XL und a- enthaltenen Flüssigkeit aus rvX^, und die Ausdrücke für die Momente dieses Gewichtes in Beziehung zu zwei Aren, welche resp. der Are 6X und 6V parallel sind und durch den Schwerpunkt 6^ gehen, werden resp. Gl. (162) gebrachten schwimmenden Körpers. 99 und «! X /S» Die Größe» ül und X können während der ganzen Dauer der Bewegung als konstant angesehen werden. Aus dem Vorstehenden ersieht man 1) daß wenn man alle Kräfte am Schwerpunkte anbringt, eine vertikale von unten nach oben wirkende Kraft gleich .... (159) zurückbleibt; 2) daß die Momente der Kräfte, welche das System um die zu 6X parallele und um die zu 6V parallele Are in den Richtungen XV und XX zu drehen streben, sodaß dadurch die Winkel « und /S vermindert werden, resp. rv (ü () -s- N) « . . . . (l 60 ) und wf/rtz-s-X)^ .... ( 161 ) sind. Was das Moment der Kräfte betrifft, welche das System um die Are OX zu drehen streben; so ist sein Werth gleich null, da die horizontalen Kräfte sich nach allen Richtungen gegenseitig aufheben. Um hiernach zuvörderst die Gleichung für die Bewegung des Schwerpunktes des schwimmenden Körpers aufzustellen; so nehme man an, der Körper sei in Bewegung, und die Werthe der Größen «, /?, welche in die obigen Formeln eintreten, seien diejenigen, welche am Ende der Zeit t stattfinden. Beachtet man hierbei, daß die Kraft welche den Körper von unten nach oben hebt, in einer Richtung wirkt, welche der Richtung der positiven r gerade entgegengesetzt ist; so hat man für die gesuchte Gleichung oder A ktt' — — _( 162 ) Zu setzen. (Vergl. u. A. die dritte der Formeln (er) ,'n den Zu- 100 38. Bewegungen eines aus seiner Gleichgewichtslage sätzen zum zweiten Abschnitte meiner Übers. des oben erwähnten Moseleyschen Werkes.) Nach den Formeln (b)aufS. 198 dieser Übersetzung hat man zur Bestimmung der Umdrehungsbewegungen des Körpers um seinen Schwerpunkt resp. um Linien, welche den Aren 6X, 6V, 6L parallel sind und durch den Punkt 6^ gehen, )^(La:-Xr), S s s worin m das Volum irgend eines Mafsentheilchens des schwimmenden Körpers an einem Orte bezeichnet, dessen Koordinaten r, 2 sind, während ^ das Gewicht einer Volumeinheit der Körpermasse an diesem Orte und X, V, L die auf das Element m in den Richtungen 6lX, OX, 6L angebrachten Kräfte sind. Hierbei stellen sich die Momente (X?/-—X.r), (L^-Xr), (Vr— als positiv heraus, wenn sie Drehungen um die Aren 6L, 6X, 6X resp. in den Richtungen VX, XL, LV hervorbringen. Dem absoluten Werthe nach hat man hier X(Vr — Lz,) — w(/rtz-ss W «, —Xr) — rv(Ltz-s-X)/? und X(XU-V^)^o; da aber die Kräfte eine Drehung um die Are 6 V in der Richtung LX zu bewirken streben; so hat man das entsprechende Moment negativ zu nehmen. Demnach erhält man statt der obigen drei Gleichungen für die Umdrehungsbewegungcn um den Schwerpunkt L,, m « v-« - 1 - ^ ? alt? Gl. (I6S) gebrachten schwimmenden Körper«, 1k)I Um jetzt die zweiten Differenziale von .r, U, - durch die zweiten Differenziale der Winkel «, A ^ auszudrücken, hat man das auf S. 205 ff. der vorhin erwähnten Übersetzung angegebene Verfahren einzuschlagen. Beachtet man hierbei, daß bei den dortigen Bezeichnungen «, /?, y resp. die Winkelgeschwindigkeiten um die Aren 6L, OX, OX in den Richtungen XL, XL, LX darstellen, während hier ^ die am Ende der Zeit t um die Aren 6X, OX, OL in den Richtungen XL, XL, XX beschriebenen Winkel darstellen; so leuchtet ein, daß zwischen den dortigen und den hier gebrauchten Großen die Beziehungen crckt —ck/?, —ck« stattfinden, sodaß man statt der Gleichungen auf S. 206 hier t/ck — rck/?, ckr—wek/Z-s-Ack«, mithin auch hat. Führt man diese Werthe in die obige Gleichung ein; so kann man der Kürze wegen k, . . . (163) zt m (a^r^) —^cLrckr/ck2(cr^-s-r^) —O, . . . (164) ^ lj -s- IVI) « (167) (168) Wenn man die Werthe von /?, 7 , welche der äußersten Lage O'N' entsprechen, in welche die Linie bei der Ver- rückung des schwimmenden Körpers aus seiner natürlichen Lage des Gleichgewichtes gebracht ist, resp. mit ^ bezeichnet, und annimmt, daß die Geschwindigkeit des Körpers in dieser Lage gleich null sei; so ergibt die Integration der Gleichungen (162) und (166) bis (168) c, vosk^/^ « — «, eo8t 7 — 7l . (172) Bei dieser Integration der beiden Gleichungen (166) und (167) ist vorausgesetzt, daß die Größen (Ltz -s-M) und (Ltz-j-N) wesentlich positiv seien. Wären dieselben negativ, also — (Ltz-s-W und —-(Ltz-s-N) positiv; so würden die Integrale jener beiden Gleichungen Gl. (174) gebrachten schwimmenden Körpers. >03 — Sw(LO-t-M) . . (173) ^- sein, während die Integrale der beiden übrigen Gleichungen (162) und (168) stets durch die Formeln (169) und (172) dargestellt wären. Aus der Gleichung (169) erkennt man, daß der Schwerpunkt des Körpers, nachdem er aus seiner natürlichen Lage 6 des Gleichgewichtes gebracht ist, unter allen Umständen osziüa- torische Bewegungen um jene Lage O in vertikaler Richtung einschlagen wird, derenMittelpunktOund deren Amplitude—2^ ist. Aus den Gleichungen (170) und (171) folgt, daß der Körper auch um die Linie 6X stets in regelmäßige Schwingungen gerathen wird, welche sich als zwei voneinander unabhängige Schwingungen resp. um die horizontalen Aren 6X und 6)7 darstellen, sofern nur eine jede der beiden Größen (Ltz-I-N) und (Ltz-s-X) positiv ist. Wären die eben erwähnten beiden Größen negativ; so zeigen die beiden Gleichungen (173) und (174), daß der Körper alsdann um die Aren 6X und (. V keine Oszillationen vollführen, sondern Bewegungen einschlagen wird, welche ihn nur immer noch mehr von seiner natürlichen Lage des Gleichgewichtes entfernen. Im Falle die Eine jener beiden Größen positiv, die andere dagegen negativ wäre, würde der Körper um die entsprechende der beiden Aren OX oder 6V regelmäßig vözillircn, in Beziehung zur anderen Are würde sich derselbe jedoch immer weiter von der ursprünglichen Lage abwenden. Für den besonderen Fall, wo irgend Eine der beiden in Rede stehenden Größen null wären, würde sich die entsprechende Gleichung (170) oder (171) auf « —«i oder /I —Bi reduziren, sodaß alsdann der Körper kein Bestreben haben würde, sich um die Are VX oder 6X zu drehen. Die Gleichung (172) lehrt endlich, daß der Körper um die vertikale Are 6L nie eine Umdrehungsbewegung annehmen wird. 104 i 36. Stabilität eines schwimmenden Gl. (1761 Aus dem Vorstehenden folgt unzweideutig, daß das Gleichgewicht des schwimmenden Körpers in jeder Richtung stabil sein wird, sobald die beiden Größen (/etj-s-Ll) und GHZ-N) positiv sind, ferner, daß dieses Gleichgewicht nach allen Richtungen instabil sein wird, sobald die eben erwähnten beiden Größen negativ sind, auch, daß das fragliche Gleichgewicht in Beziehung auf Stabilität und Instabilität ein gemischtes sein wird, wenn die Eine jener beiden Größen positiv, die andere aber negativ ist, und endlich, daß der Körper bei jeder kleinen Verrückung im Gleichgewichte bleiben wird, sobald die beiden fraglichen Größen null sind. Aus den Gleichungen (169) bis (171) folgt zugleich, daß bei stabilem Gleichgewichte die Dauer der sehr kleinen Schwingungen, welche der Körper resp. in vertikaler Richtung und um die horizontalen Aren OX und OV vollführt (d. i. die Zeiten, in welchen die Werthe der Größen «, <7 von L,, bis — und umgekehrt variiren) durch die Ausdrücke -r^/_^_, -rv/_^_ ....(175) ^ Arv(/r()-j-IVl) ' ^ A rv (/i (j-j-X) dargestellt sind, worin ?r die Verhältnißzahl 3,141... bezeichnet. Diese Schwingungszeiten sind offenbar denen eines einfachen Pendels gleich, dessen Länge resp. X ' «-(ätz-ssN)' «(Ltz-hX) . . . . ist. Aus der Vergleichung der vorstehenden Werthe (175) für verschiedene Fahrzeuge kann man schließen, ob ihre Bewegungen sanfter oder härter sind. §. 36. Stabilität eines schwimmenden parallele- pipedischen Körpers. Wäre der im vorhergehenden Paragraphe betrachtete Körper ein Parallelepipedum von homogener Masse, dessen rechtwinklige Kanten a, ö, c sind und dessen Gewicht für jede Volumeinheit gleich ist, und will man dessen Stabilität in einer Lage betrachten, in welcher Eine Kante vertikal, die anderen beiden also parallelepipedischen Körpers. ivS horizontal sind; so nehme man an, die Richtungen der Kanten b, e entsprechen resp. den Richtungen der obigen Aren der der und der r. Das Volum der verdrängten Flüssigkeit wird hier — noo — sein. Die Tiefe der Einsenkung des Parallelepipedums beträgt also der Abstand des Schwerpunktes der verdrängten Flüssigkeit von der unteren Basis , während der Abstand des Schwerpunktes des Körpers von derselben Basis gleich ist. Hiernach stehen diese beiden Schwerpunkte um - — ^ ^ ^ voneinander ab. Da aber der Schwerpunkt des schwimmenden Körpers hier, wo ist, über dem Schwerpunkte der verdrängten Flüssigkeit liegt; so Hai man in den früheren Formeln /r negativ zu nehmen, also /r: e rv—rv zu setzen. Ferner hat man nach den Gleichungen (157) und (158) -1-; AI: 2 und folglich 2 2 t ^ z (ro — w') 7 I ö 1^ , t» ^ ^ I 2 ^ tos 3ö. Stabilität eines schwimmenden Hieraus folgt, daß das Gleichgewicht des Körpers nur dann stabil sein kann, wenn die vertikale Kante kleiner ist, als die kleinste der beiden horizontalen Kanten, multiplizirt mit dem Bruche g ^ Wäre z. B. die Dichtigkeit des Körpers halb so groß, als die der Flüssigkeit, also so würde sein, also o77> parallelcpipedischen Körpers. 107 V 2^' r>-— 3o2' . . . . (177) Aus dem ersten der Ausdrücke (176) folgt zugleich, daß in dem letzteren Falle die Dauer der vertikalen Schwingungen gleich der Dauer der Schwingungen eines einfachen Pendels von der Länge ist. Im Allgemeinen werden diese vertikalen Schwingungen, da — c— ^ U) ist, immer den Schwingungen eines einfachen Pendels von der Länge o entsprechen. Wäre die Dichtigkeit des so eben betrachteten parallelepi- pedischen Körpers gleich der der Flüssigkeit selbst, wäre also indem man annimmt, daß die vertikalen Seitenflächen des schwimmenden Körpers über die obere Endfläche hinaus erweitert seien, sodaß bei einem Niedersinken des Körpers die Flüssigkeit nicht von den Seiten auf diese obere Endfläche strömen kann; so würde man lj —a-o, /rtz-s-N — 12 ' ^(ö--j-o-)w. ^ — ab haben. Da hierin die Werthe von und /rtz-s-N stets Positiv sind; so folgt, daß das Gleichgewicht des fraglichen schwimmenden Körpers unter allen Umständen stabil sein wird. Nach den Formeln (175) hat man für die Dauer der Schwin- 108 (. 37. Stabilität Gl. (178) gungen, welche dieser Körper resp. in vertikaler Richtung und um die zu den Kanten a und L parallelen Aren vollführt, Die Schwingungsdauer in vertikaler Richtung entspricht derjenigen eines einfachen Punktes von der Länge der vertikalen Kante o. Nimmt man an, das zuletzt betrachtete Prisma von einer Dichtigkeit, welche gleich der der Flüssigkeit selbst ist, dessen obere Endfläche also bei seiner natürlichen Lage des Gleichgewichtes mit dem Spiegel der Flüssigkeit in derselben Horizontalebene liegen wird, werde nur in vertikaler Richtung aus jener ursprünglichen Gleichgewichtslage gebracht; so kann man sich statt desselben ein gleiches Volum der Flüssigkeit selbst substituirt denken. Die vertikalen oszillatorischen Bewegungen dieses Prismas, welche offenbar von dem horizontalen Querschnitte desselben unabhängig sind, liefern alsdann Näherungsweise das Bild der regelmäßigen Hebungen und Senkungen, welche man bei der Wellenbewegung der unpreßbaren Flüssigkeiten beobachtet. Aus dem Obigen geht hervor, daß die Hebungen und Senkungen des Spiegels einer solchen Flüssigkeit beim Wellenschläge zwar isochron sein werden, daß die Schwingungsdauer aber von der Tiefe der in Bewegung gesetzten Flüssigkeitsmaffe abhängig ist, indem die tiefer gehenden Wellen eine langsamere Oszillationsbewegung annehmen, als die seichteren. 8. 37. Stabilität einer schwimmenden Kugel. Angenommen, der in §. 35 betrachtete schwimmende Körper sei eine Kugel von homogener Masse; ihr Halbmesser sei ^ und das Gewicht einer Volumeinheit derselben gleich der Hälfte des Gewichtes einer Volumeinheit der Flüssigkeit, also gleich so- daß bei der natürlichen Lage des Gleichgewichtes der Mittelpunkt der Kugel im Niveau des Spiegels der Flüssigkeit liegt ist. 109 Ll. (179) einer schwimmenden Kugel. Für das Volum der verdrängten Flüssigkeit wird man haben. Der Schwerpunkt der verdrängten Flüssigkeit liegt hier um unter dem Schwerpunkte des schwimmenden Körpers. Demzufolge hat man zu setzen. Wenn man sich durch den Mittelpunkt der Kugel, welche hier auch deren Schwerpunkt bildet, die beiden horizontalen Aren der -v und der z, gelegt denkt; so hat man nach den Gleichungen (157) und (158) —--- (^— Hiernach ist woraus nach 8. 35 folgt, daß die in ,'Rede stehende Kugel bei jeder Verrückung aus ihrer natürlichen Gleichgewichtslage kein Bestreben äußern wird, sich um die horizontalen Aren zu drehen. Die Oszillationen in vertikaler Richtung haben jedoch nach dem ersten der Ausdrücke (175) eine Dauer gleich was der Schwingungsdauer eines einfachen Pendels von der Länge Ar- entspricht. 110 §. 38. Gestalten der freien Oberfläche III. Das Gleichgewicht einer mit gleichförmiger Geschwindigkeit um eine Are rotirenden, der Gravitation unterworfenen nnpreßbaren Flüssigkeit. 8. 38. Gestalten der freien Oberfläche und der Flächen von gleichem Niveau. Eine gleichartige und unpreßbare flüssige Masse werde mit gleichförmiger Winkelgeschwindigkeit um eine feste Are gedrehet, sodaß die Theilchen der Flüssigkeit in Beziehung zum s Schwerpunkte als im Gleichgewichte angesehen werden können. Außer der durch die Arendrehung ins Leben gerufenen Zentrifugalkraft wirke auf ein jedes Massentheilchen eine Kraft, welche dasselbe gegen einen in der Are eVK liegenden Punkt 6 anzieht, und deren Betrag dem Abstände des Theilchens von diesem Punkte 6 proportional ist. Die Größe der Kraft, mit welcher die in dem Abstände gleich der Längeneinheit von dem Punkte 0 entfernt liegenden Theilchen gegen denselben angezogen werden, sei, auf die Mas- seneinheit bezogen, gleich /, sodaß ^ entweder den Druck dar- und der Flächen von gleichem Niveau. Ill stellt, welche die Massen einheit (nicht Volumeinheit) der Flüssigkeit in jenem Abstände auf eine feste Unterlage ausüben würde, wenn dieselbe nur von dieser Anziehungskraft affizirt wäre, oder auch die Geschwindigkeit, welche diese Anziehungskraft in demselben Abstände den davon ergriffenen Körpern in der Zeiteinheit mittheilen würde (vergl. §. 2). Ist nun v die Winkelgeschwindigkeit, mit welcher sich die stüssige Masse um die Are /rk drehet und HML irgend ein Meridian der Oberfläche dieser Masse; so seien 6N — a: und NlVl —I die rechtwinkligen Koordinaten eines in der Oberfläche liegenden Theilchens und —« sei der Neigungswinkel einer durch IVl an die Kurve gelegten Tangente gegen die Are Zerlegt man die auf das Theilchen M von der Masse M in der Richtung desVcktors N6—M wirkende Anziehungskraft m/Ii — m^j/in ihre Komponenten m/.r und m/'z, in perpendikularer und paralleler Richtung zu IVlN, und beachtet, daß die in der Richtung auf das Theilchen wirkende Zentrifugalkraft gleich m ist; so erhält man für die Komponente aller auf das Theilchen M wirkenden Kräfte in Perpendikularer Richtung zu AIN den Werth und für die Komponente dieser Kräfte parallel zu IVIN den Werth »,/»,— Mr, 2 N — Nach §. 6 ist nun die Gestalt einer Fläche von gleichem Niveau oder auch der freien Oberfläche der Flüssigkeit durch die Bedingung zu bestimmen, daß die Resultanten der auf die Theilchen der Flüssigkeit in einer solchen Fläche wirkenden Kräfte auf dieser Fläche selbst normal stehen. Hieraus folgt, daß die Diagonale eines Rechteckes, dessen Eine Ecke in M liegt und dessen Seiten parallel zu l>i6 und resp. m/a: und m(/— sind, auf der Tangente iVltz ein Perpendikel bilden müsse, oder daß sei. Substituirt man hierin für tanA« den bekannten Werth welcher bei der hier angenommenen Lage des positiven Thej- 112. 38. Gestalten der steten Oberfläche Gl. (I7S) les der Abszissenare negativ zu nehmen ist; so hat man als Dif- ferenzialgleichung der Oberfläche _ck y_ oder /ercter-s- (/ — r)2),,ckA — Hieraus folgt durch Integration -»2) 2,2^, -079) worin 6 eine Konstante bezeichnet, welche durch die Bedingung zu bestimmen ist, daß die gesammte Masse der Flüssigkeit einen gegebenen Raum einnehme. Wenn ist. so milß 6 nothwendig positiv sein, und man sieht, daß die Flüssigkeit alsdann die Gestalt eines Um- wälzungsellipsoides annehmen wird, dessen kleine Are die Umdrehungsare ist. Dieser Fall entspricht der Bildung unseres Erdkörpers, bei welchem die Anziehungskraft mit der ein Atom im Abstände gleich der Längeneinheit vorn Mittelpunkte nach dem Letzteren angezogen wird, bedeutend größer ist, als die in der Längeneinheit von der Umdrehungsare stattfindende Zentrifugalkraft 2 , 2 . Außerdem variirt auch bei unserer Erde die Kraft / sehr nahe in direktem Verhältnisse mit dem Abstände vom Mittelpunkte, wenn sich die Gestalt der ganzen Masse nicht sehr von der Kugelform entfernt; dies Gesetz für die Variation der Kraft / bei der Erde entspricht also auch sehr nahe der bei der vorstehenden Untersuchung gemachten Annahme. Je mehr die Umdrehungsgeschwindigkeit v gesteigert wird, desto mehr nimmt die große Are des Ellipsoides zu und die kleine ab. In dem Augenblicke, wo v? — / würde, zerflösse die ganze Masse in eine unendliche Ebene, welche auf der Umdrehungsare im Mittelpunkte 0 perpendikular stände. Wenn wäre; so würde die obige Gleichung (179) eine Hyperbel darstellen, und die Flüssigkeit müßte ein Umwälzungshyperboloid um die reelle oder imaginäre Are bilden, jenachdem 6 positiv oder negativ wäre. Da sich jedoch schon für «2 —^ die g^ze Flüssigkeit in eine unendliche Ebene ausbreitet; so folgt, daß dieselbe für keine zusammenhängende Masse mehr bilden kann, und nach allen Seiten von der Umdre- 39. Bestimmung des Druckes. 113 hungsare hinweggeschleudert werden würde. Außerdem würde alsdann die vorstehende Rechnung auf einen der Gravitation unterworfenen Körper schon deshalb nicht mehr anwendbar sein, weil sich bei einer so abnormen Abweichung von der Kugelgestalt das angenommene Gesetz für die Veränderlichkeit der Anziehungskraft mit dem Abstände vom Mittelpunkte ganz und gar ändert. Übrigens behält das vorstehende Resultat für den Fall noch Wichtigkeit, daß man sich die Flüssigkeit in feste Wände eingeschlossen denkt, welche ihre äußere Form nicht ändern können. Die Gleichung (179) wird alsdann immer noch die in dieser Flüssigkeit sich bildenden Flächen von gleichem Niveau oder gleichem Drucke darstellen, welche in dem zuletzt betrachteten Falle allerdings hyperbolische Umwälzungsflächen sein können. §. 39. Bestimmung des in irgend einem Punkte der obigen Flüssigkeit herrschenden Druckes. Wenn k irgend ein Punkt im Inneren der vorhin betrachteten elliptischen flüssigen Masse ist, von welcher angenommen wird, daß sie sich nur wenig von der Kugelgestalt entferne; so sei ein durch k und den Mittelpunkt gezogener Vektorra- 114 d. 39. Bestimmung des Druckes Gl. (180> dius 6AI-K, Nk —k ——2 und der Winkel AI6V (welcher die Breite oder Polhöhe des Ortes AI auf der Erdkugel angeben würde) — /?. Die Kraft, mit welcher ein Theilchen von der Masse M, welches in der Linie 6 AI und in einem beliebigen Abstände § von dem Mittelpunkte liegt, nach dem Mittelpunkte angezogen wird, ist m/'y und die Komponente der auf dieses Theilchen wirkenden Zentrifugalkraft in der Richtung 6 AI ist demnach die gesammte in der Richtung AI 6 auf die Masse m wirkende Kraft — nr (>(/'—« ^oos^/l), u,w auf die Maffeneinhcit bezogen — s (/—r^Los^/?). Bezeichnet man die konstante Dichtigkeit oder die in Einer Volumeinheit enthaltenen Masseneinhei- ten mit so ist der Werth der vorstehenden Kraft, auf die Volumeinheit der Flüssigkeit im Punkte k bezogen, gleich Substituirt man diesen Werth für /t/'oos-S' in Gleichung (11), indem man das Integral von AI bis k nimmt und beachtet, daß der Druck p in der freien Oberfläche bei AI gleich o ist; so erhält man für den im Punkte k herrschenden Druck der Flüssigkeit auf die Flächeneinheit T' T' d. i. ^r«o8^) ...(180) Wenn man r —AI? unendlich klein —ck- annimmt; so verschwindet in dem vorstehenden Ausdrucke - gegen 2K, und man erhält für den Druck der Flüssigkeit in der Tiefe rt- unter der Oberfläche bei AI und auf die Flächeneinheit H — ^k(/'— v- ev8-^)ckr. Dieser Druck stellt offenbar, wenn man sich unter der in Rede stehenden flüssigen- Masse den Erdkörpcr denkt, auch das Gewicht einer Flüssigkeitssäule im Punkte AI dar, deren vertikale Höhe nngemein klein — ck- und deren horizontale Basis Gl. (184) in irgend einem Pnnktc. 113 gleich der Flächeneinheit ist. Da in der Volumeinheit ^ solcher Schichten enthalten sind; so folgt, daß das Gewicht der Volum ein hei t der Flüssigkeit im Punkte M der Oberfläche M ^>2 ^>08^/?) .... (181) ist. Da dieses Gewicht auch durch dargestellt wird (K. 2); so hat man auch A — II (/—008 '/?) .... (182) Diese Gleichung zeigt, in welcher Weise die Größe § oder die Geschwindigkeit, welche die Schwere den irdischen Körpern an der Oberfläche der Erde mittheilt, mit der Länge des Halbmessers 6ÜI — k und der geographischen Breite ÜI00-—<3 variirt. Kennt man den Werth von welcher einer gegebenen Breite /S, und dem zugehörigen Halbmesser K, entspricht, sodaß s. -Hi s/-1)^0082/?,) ist; so findet man nach Elimination der Größe / zwischen dieser und der vorhergehenden Gleichung (182) S —(0082/?, — oo8 2/S)^ .... (183) Wenn die Werthe y, und k, für die geographische Breite von ^,—45« bekannt wären; so würde man einfach oo82/?,—o, also haben. Man sieht, daß dieser Werth der Größe A immer noch von dem Halbmesser 6I>I —ü des Punktes !>1 abhängt, für welchen man die Wirkung der Schwerkraft bestimmen will. Da die Ermittelung dieses Werthes von k für eine gegebene Breite einige Umständlichkeit verursacht; so hat Laplace zur Berechnung des Werthes von folgende Nähcrungsformel (1-0,002857 eo82(?) lis tz. 39. Bestimmung des Druckes. Gl. (188) angegeben. EineVergleichung der hieraus sich ergebenden Werthe mit denjenigen, welche sich aus den bekannten, in der 23sten der physikalischen Tabellen von Schubarth zusammengestellten Pendellängen folgern lassen, zeigt, daß der Werth von § im Allgemeinen genauer durch die Formel S —Si (1 —0,0027 oos2/S) .... (185) dargestellt wird. Der Werth von §, für eine Breite von 45» ist 31,2425 Fuß rheinl., sodaß A ^ 31,2425 (1—0,0027 eos 2/S) ist. Wenn man, wie vorhin, den mitkteren Halbmesser bei einer Breite von 45» mit R,, den Halbmesser unter dem Äquator oder bei einer Breite von 0° mit K' und den Halbmesser unter den Polen oder bei einer Breite von 90» mit k" bezeichnet; so ergeben sich aus der Gleichung (180), wenn man darin 2 —k setzt, für den im Mittelpunkte der Erde stattfindenden Druck folgende drei Ausdrücke 9 -- 4 ^ir.'-(/—-) 2 ) oderoder....(186) jenachdem man darin für ^ und k die zusammengehörigen Werthe o und k', 45» und 90» und k" substituirt. Da diese drei Werthe von 7 einander gleich sein müssen; so hat man k'- <7- «2) --- ir.- (/- woraus für das Verhältniß des Halbmessers k" unter den Polen zu dem Halbmesser k' unter dem Äquator ....(187) folgt. Setzt man hierin für / den Werth -(188) welcher sich aus Gl. (182) ergibt, wenn man darin A —-i, « —R,, —45» substituirt; so kommt Wl. (18g) 40. Beziehung zwischen Volum und Spannung. 117 . . (189) IV. Das Gleichgewicht der schweren elastischen Flüssigkeiten. Beziehungen zwischen den anf eine elastische Flüssigkeit wirkenden Kräften, den inneren Pressungen und den Flächen von gleichem Niveau. tz. 40. Allgemeine Beziehung zwischen dem Volum einer gegebenen Quantität einer elastischen Flüssigkeit und der in derselben herrschenden Spannung. — Mariottesches Gesetz. Betrachten wir irgend einen physischen Körper, indem wir von der Wirkung der Schwere auf denselben zuvorderst abstra- hiren; nehmen wir auch an, derselbe sei prismatisch und habe überall einen Querschnitt gleich der Flächeneinheit. Wenn der Körper flüssig ist, hat man sich denselben zwischen festen prismatischen Wänden eingeschlossen zu denken. Dieser Körper befinde sich anfänglich in seinem natürlichen Zustande, in welchem sich die inneren Anziehungs- und Abstoßungskräfte zwischen seinen Massenelementcn ohne Zuthun äußerlich auf den Körper angebrachter Kräfte im Gleichgewichte erhalten, und der Körper kein Bestreben zeigt, seine Form zu ändern. Dieser Körper werde durch eine in der Richtung seiner Längenare angebrachte Kraft zusammengedrückt, sodaß er einen kleineren Raum einnimmt, indem sich seine Länge verkürzt. Es bezeichne 1^ die Länge des Körpers im natürlichen Zustande, I-i die Länge desselben in einem komprimirten Zustande, l-z die Länge desselben in einem anderen komprimirten Zustande, p, die Kraft, welche fähig ist, den Körper bis auf die Länge zu komprimiren, 118 40. Beziehung zwischen dem Volum Gl. (191) die Kraft, welche fähig ist, den Körper bis auf die Länge zu komprimiren, L die Kraft, welche fähig ist, den Körper bis auf seine halbe Länge zu komprimiren. Aus den allgemeinen Gesetzen der Elastizität, wie ich sie im fünften Abschnitte meiner Übersetzung des Moseleyschen Werkes über die mechanischen Prinzipien der Jngenieurwissenschaften näher erläutert habe, folgt, daß die Kraft L, welche man den Ela- stizitätsmodel nennt, eine konstante, von der Länge I, des Stabes im natürlichen Zustande unabhängige Größe ist, und im §. 348 der gedachten Übersetzung findet man, daß ist. Ebenso hat man r, I, — I,, also auch, wenn man für L den vorstehenden Werth substituirt, oder 1^2 I - — 1^1 pl ... ^2 ^ ^1 /-2 ^ ^2 . . (190) Wäre nun L, unendlich groß, während L,, und I,z endliche Größen wären, oder hätte der Körper ein Bestreben, in seinem natürlichen Zustande eine unendlich große Länge anzunehmen, wie es bei gasförmigen Körpern Näherungsweise der Fall ist; so würde der Faktor I. - >2 ^ ^ ^ ^ ' und demnach die Gleichung (190) einfach ?2 . . (191) werden. Hieraus folgt, daß bei einem flüssigen prismatischen Körper Gl. (193) und bei' Spannung elastischer Flüssigkeiten. 119 der vorstehenden Art die gegen seine Endflächen angebrachten Druckkräfte und demnach auch die in seinem Inneren stattfindenden Pressungen auf die Flächeneinheit sich umgekehrt zu einander verhalten, wie die Längen oder wie die Volumen, welche derselbe unter der Wirkung jener Kräfte annimmt. Hätte der Körper nicht ein Bestreben, bei Hinwegnahme aller äußeren Druckkräfte sich ins Unendliche auszudehnen, sondern wäre die Länge H desselben im natürlichen Zustande nur sehr groß im Vergleich zu 1 ^ und 1,2, wie es bei allen gasförmigen Körpern oder elastischen Flüssigkeiten wahrscheinlich der Fall ist; so würde die Formel ( 191 ) nur Näherungsweise Gültigkeit haben, und streng genommen, würde man sich der Formeln ( 190 ) zu bedienen haben. Hätte man in diesem Falle die beiden Längen und I,z und die zugehörigen Druckkräfte und /-2 beobachtet; so würde man daraus auf die Länge I- des Körpers im natürlichen Zustande schließen können, indem 1^ ^ ^ ^2 - .... ( 192 ) ist. Verstehen wir unter einer vollkommenen elastischen Flüssigkeit eine solche, von welcher ein prismatischer Stab im natürlichen Zustande eine unendliche Länge annehmen würde; so hat man für dieselbe nach Gl. ( 191 ) — P2I-2, oder wenn man die korrespondirendcn Werthe der Größen D2 und /-z kennt, und das konstante Produkt 7,, — a setzt, 7-21-2 — 0 oder -iz ^ ^ .... ( 193 ) ^2 Wenn der Querschnitt des bisher betrachteten prismatischen Körpers nicht gerade Eine Flächeneinheit enthielte, sondern allgemein gleich a wäre; so würde man offenbar die obigen Formeln beibehalten können, wenn man unter und 712 die Druckkräfte für jede Flächeneinheit des Querschnittes « oder die inneren Pressungen auf die Flächeneinheit verstände. Wollte man statt der Längen D, und I-z die entsprechenden Volumen Ki und Lz der Flüssigkeit in den beiden Zuständen der Kompression einführen, indem man al-i—k, und «H,-^2, tz. 40. Beziehung zwischen dem Volum Gl. (ISS) also L-lund 1^2 — ^ setzte; so würde man statt der Gleichungen (191) und (193) L und (i95) erhalten, worin wäre. Man findet leicht, daß die vorstehenden beiden Gleichungen für elastische Flüssigkeiten auch dann noch Gültigkeit behalten, wenn ihre Volumen nicht prismatisch, sondern von beliebiger Form sind; denn nimmt man den Querschnitt » des Prismas von der Länge D, ungemein klein an, und beachtet, daß in jedem Punkte des Körpers, weil er eine Flüssigkeit und inponde- rabel ist, derselbe Druck auf die Flächeneinheit herrscht (vergl. die allgemeinen Prinzipien des Gleichgewichtes der Flüssigkeiten, auch Gl. (21), indem darin —o gesetzt wird), so kann man sich denken, dieses Prisma werde der Länge nach in beliebig viele Stücke von ungleicher Länge zerschnitten, und diese Stücke werden parallel zu einander zusammengefügt. Man wird hierdurch im Stande sein, das Volum L, des Prismas von der Länge I/, in jede beliebige Form zu bringen, sodaß die Flüssigkeit stets im Gleichgewichte bleibt und in ihr fortwährend der Druck p, auf die Flächeneinheit herrscht. Ebenso kann das Volum Lz des Prismas von der Länge Dz unter demselben Drucke pz tu jede beliebige Form gebracht werden, und man sieht, daß die Gleichungen (194) und (195) ganz allgemein für vollkommen elastische Flüssigkeiten Geltung behalten, wie auch deren räumliche Formen beschaffen sein mögen. Die Gleichung (194), welche ausdrückt, daß sich die Pressungen einer bestimmten Menge einer elastischen Flüssigkeit auf die Flächeneinheit umgekehrt zu einander verhalten, wie deren Volumen, stellt das bekannte Ma- riottesche Gesetz dar. Wenn st, die Dichtigkeit der gegebenen Quantität der Flüssigkeit bei dem Volum K, und die Dichtigkeit bei dem Vo« Gl. (197») und der Spannung elastischer Flüssigkeiten. 121 lum Lz Wäre; so würde —ztzLz oder ^ —also Wegen Gl. (194) t»2 . . (196) sein, woraus folgt, daß sich die Pressungen oder Spannungen der elastischen Flüssigkeiten wir ihre Nichtigkeiten verhalten. Wenn der Werth des Quotienten — für irgend eine elastische Flüssig- keit bekannt ist und gleich x gesetzt wird; so hat man statt Gl. (186) ^2 — X 2 .... (197) Bezeichnet man das Gewicht Einer Volumeinheit der als schwer gedachten Flüssigkeit beim Drucke p, mit rv, und beim Drucke r >2 mit so folgt aus Gl. (196), weil man bekanntlich — 9 «, und rv 2 —N,k «2 hat, ?2 M2 . . (197°) oder wenn man den Quotienten — — L setzt, z»2 —^r«2 .... (197^) Da nach Gl. (197) auch z »2 —mithin L«> 2 — sein muß, außerdem aber —Al-2 'b; ^ folgt zwischen den beiden Koeffizienten x und L die Beziehung X— §. 41. Allgemeine Beziehung zwischen dem Volum einer gegebenen Quantität einer elastischen Flüssigkeit von bestimmter Spannung und der darin herrschenden Temperatur. — Gay-Lussacsches Gesetz. Wenn eine bestimmte Quantität einer elastischen Flüssigkeit gegeben ist und fortwährend unter demselben Drucke erhalten wird (indem dieselbe z. B. von beweglichen Wänden eingeschlossen ist, gegen welche stets derselbe Druck auf die Flächeneinheit ausgeübt wird); so hat eine Temperaturerhöhung eine Vermeh- 122 tz. 41. Gay-Luffacsches Gesetz. Gl. (1SD rung und eine Temperaturerniedrigung eine Verminderung des Volums der Flüssigkeit zur Folge. Nach den Untersuchungen von Gay-Lussac ist diese Variation des Volums bei gleichen Tempe- raturveränderungeu eine konstante Größe, und zwar beträgt dieselbe für einen jeden Temperaturgrad der hundertteiligen Skale 0,00375 oder genauer nach Nudbergs, Magnus und Negnaults Versuchen mit atmosphärischer Luft 0,00366 von demjenigen Volum, welches die Flüssigkeit unter demselben Drucke bei der Temperatur 0 einnehmen würde. Es wird hierbei vorausgesetzt, daß bei der in Rede stehenden Temperaturveränderung die Flüssigkeit keine Änderung in ihrer physikalischen oder chemischen Konstitution erleide, also innerhalb der Gränzen dieser Temperaturveränderung permanent bleibe. Bezeichnet daher 6 das Volum einer bestimmten Gasmenge bei der Temperatur 0 und unter einem gewissen Drucke, Lj das Volum derselben Gasmenge bei der Temperatur k, und unter demselben Drucke, Lz das Volum derselben Gasmenge bei der Temperatur ^ und unter demselben Drucke; so hat man offenbar 6.--(l-ssO,00366k,)6 ....(198) Ebenso ist 6z --(1-s-0,00366 k,) 6; folglich auch ^ 1-ss 0,00366,2 °' l.-s-0,00366k, . . . (199) 8. 42. Beziehung zwischen dem Volum, der Dichtigkeit, der Spannung und der Temperatur einer elastischen Flüssigkeit. Wenn in einer gegebenen Quantität einer elastischen Flüssigkeit gleichzeitig die Spannung und die Temperatur sich ändert; so sei L das Volum der Flüssigkeit bei der Temperatur o und dem Drucke p, während rv das Gewicht der Volumeinheit in diesem Zustande bezeichnet, Gl. (202> §. 42. Volum. Dichtigkeit und Spannung. 123 X, das Volum derselben bei der Temperatur t, und dem Drucke während w, das Gewicht der Volumeinheit in diesem Zustande bezeichnet, k-r das Volum derselben bei der Temperatur ^ und dem Drucke x> 2 , während u >2 dos Gewicht der Volumeinheit in diesem Zustande bezeichnet. Wenn die Flüssigkeit zuvörderst unter Beibehaltung der Temperatur o vom Drucke p zum Drucke p, überginge und hierbei das Volum X' annähme; so würde man nach dem Mariotteschen Gesetze Gl. (194) haben. Stiege hierauf die Temperatur von o auf t, Grad, ohne daß sich der Druck änderte; so würde man nach dem Gap- Lusfacschen Gesetze (Gl. 198) X, ^X'(1-fi 0,00366t,), d. i. wegen des vorhergehenden Werthes von X' X,^X^(1Z-0,00366 t,) erhalten. Da ferner sowol X«,, wie auch X,rv, das Gewicht der gegebenen Flüssigkeitsmenge darstellt; so hat man X, w, — Xrv, also ro, — d. i. wegen des Werthes von X, aus Gl. ZV, (200) 1 0,00366 t ( 201 ) Ebenso würde man haben Xz--- X-2- (1Z-0,00366 kz). x 1-s-0,00366 t Verbindet man diese beiden Gleichungen mit den Gleichungen (200) und (201); so findet man ^ ^ p, 1Z-0,00366 tz ^ ' P 2 I Z-V,00366 t, ( 202 ) 124 42. Beziehung zwischen dem Bolum, der Dichtigkeit, Gl. (203«) pr 1-s-0,00366 t, ^^-0,00366 t2 .... (203) Nach den letzteren Gleichungen ist auch, wenn man als die gesuchte Größe ansieht, __ X, 1 ff-0,00366 <2 1-1-0,00366^ oder rr>2 1 ff- 0,00366 tz r>2-p» ro, 1 ff-0,00366 t, .... (203°) .... (203») Wenn nach der letzteren Gleichung das Gewicht bekannt ist, welches die Volumeinheit der Flüssigkeit unter dem Drucke x, und bei der Temperatur t, besitzt; so ergibt diese Gleichung den Druck pz, welchen dieselbe Flüssigkeit ausüben wird, wenn das Gewicht ihrer Volumeinheit und ihre Temperatur tz geworden ist. Setzt man den Faktor p, 1-s-0,00366 <2 1-s-0,00366 t, .... (203°) so nimmt die Gl. (203») die einfache Gestalt .... (203-0 an, und nach 8. -40 würde man auch ->2 — 9^2 ....(203«) haben, wenn ,-2 die Dichtigkeit der Flüssigkeit vom Drucke und bei der Temperatur ^ bezeichnet. Was den Werth des Koeffizienten L- aus den beiden vorstehenden Gleichungen, welcher nach Gl. (203°) bei derselben Temperatur tz konstant bleibt, für verschiedene elastische Flüssigkeiten der Wirklichkeit betrifft; so denke man sich, der Druck p,, unter welchem das Gewicht der Volumeinheit der elastischen Flüssigkeit bei der Temperatur t, den Werth rv, besaß, sei durch das Gewicht einer unpreßbaren Flüssigkeitssäule von der vertikalen Höhe /r, gemessen. Beträgt alsdann das Gewicht der Volumeinheit dieser unpreßbaren Flüssigkeit die Größe VV, sodaß also p,—/r,VV ist; so hat man statt Gl. (203°) Gl. (203t) der Spannung und der Temperatur 125 ^ 1-s-0,00366 tz i ' 1 -j-0,00366 . . . . (203t) Wenn das Gewicht der Volumeinheit der elastischen Flüssigkeit unter dem Drucke bei der Temperatur von — o Grad beobachtet ist; so hat man einfacher p, -- p, (1 0,00366 tz) .... (203- ) und ^ (1-1-0,00366tz) .... (203^) oder w L — /r, — (1 u, 0,00366 tz) .... (203-) Wäre die in Rede stehende Flüssigkeit atmosphärische Luft; so weiß man, wenn der Druck p, durch ein Queck- silberbarometer gemessen wird, daß das Verhältniß — des Gewichtes einer Volumeinheit Quecksilber zu dem Gewichte eines gleichen Volums atmosphärischer Luft vom Drucke /rz —2,4215 Fuß (—0,76 Meter) und bei der Temperatur o« gleich 10466 ist. Hieraus folgt nach Gl. (203°) für den Werth des Koeffizienten L bei atmosphärischer Luft von der Temperatur ^ L ^ 25343,5 (1 -f- 0,00366 tz) .... (20N) Bei der Anwendung des vorstehenden Zahlenwerthes auf die Gl. (203-r) oder (203°) ist vorausgesetzt, daß der rheinl. Fuß die Längeneinheit sei, sodaß sich durch diese Gleichungen der Druck auf den rheinl. Quadratsuß ergeben würde. Nachdem man den Werth des Koeffizienten L für atmosphärische Luft erfahren hat, ergibt sich der entsprechende Werth für irgend eine andere elastische Flüssigkeit leicht, sobald man das spezifische Gewicht a dieser letzteren Flüssigkeit in Beziehung zur Luft kennt. Denn betrüge das absolute Gewicht der neuen Flüssigkeit bei demselben Drucke und bei derselben Temperatur tx die Größe so würde man für den dieser Flüssigkeit entsprechenden Koeffizienten L' nach Gl. (203t) §. 43. Bestimmung des Druckes GI. (203Y 126 1,-7 ^ 1-1-0,00366 k, rv' 1-si 0,00366 ti d. i. oder weil das spezifische Gewicht der neuen Flüssigkeit § —ist, -(203^) haben. Aus der letzteren Beziehung erkennt man, daß sich die Werthe des Koeffizienten L für verschiedene elastische Flüssigkeiten umgekehrt wie deren spezifische Gewichte verhalten. §. 43. Bestimmung des Druckes in irgend einem Punkte einer schweren elastischen Flüssigkeit. Auf eine gewisse Quantität einer elastischen Flüssigkeit wirke die Schwere. Es sei der bekannte Druck der Flüssigkeit auf die Flächeneinheit im Punkte H., p der gesuchte Druck der Flüssigkeit auf die Flächeneinheit im Punkte 6, O^.H eine durch gelegte Vertikale, 0 ein gegebener Punkt in dieser Vertikalen unterhalb H., 66 eine Horizontale, Winkel 6^6^/, 06 i» die Dichtigkeit der Flüssigkeit im Punkte N, rv das Gewicht der Volumeinheit der Flüssigkeit in demselben Punkte, A die Geschwindigkeit, welche die Schwere den Körpern in der Zeiteinheit mittheilt, so- daß rv — 7 -A ist, a der sehr kleine Querschnitt einer Rohre, welche man sich gerader Linie von ^ bis 0 gelegt denkt. m Gl. (203) in einer schweren elastischen Flüssigkeit. 127 Mit Bezugnahme auf die Untersuchung des §s 4 hat man hier für das Volum des Elementes der Flüssigkeitsröhre bei N für dessen Masse und für die Wirkung der Schwere in dieses Element — roerck«. Die Richtung der Schwere, welche sich unter dem Winkel 8^6 — 7 gegen neigt, ist vertikal von oben nach unten gekehrt, während die Koordinaten des Punktes iV von unten nach oben gerechnet sind, sodaß die in die Richtung ^6 fallende Komponente der Schwerkraft den Druck auf die oberhalb ^ in der Linie .46 liegenden Punkte nicht vermehrt, sondern vermindert. Demnach hat man in dem vorstehenden Ausdrucke — s statt A zu setzen, wodurch derselbe —AStacks—wird. Statt der allgemeinen Gleichung (11) erhält man hiernach 4 .V p —/I, — 0087 cks, .... (204) oder wenn man dieselbe differenziirt, indem man alle darin vorkommenden veränderlichen Größen auf den Punkt IX bezieht, ck/i— —rvcos/cks. Beachtet man nun, daß nach dem Mariotteschen Gesetze das Gewicht «, einer Volumeinheit der Flüssigkeit im Punkte N von dem daselbst stattfindenden Drucke p nach Gl. (197^) durch die Beziehung ^ — Lrv oder w —.... (205) abhängt, worin /e ein konstanter Faktor ist; so hat man auch oder — Hieraus folgt nach gehöriger Integration zwischen den Gränzen und -r für und o und § für « loKp — IvK,,, — — d. i. 128 r. 43. Bestimmung des Druckes Gl. (207, § 608 ^- worin e die Basis der natürlichen Logarithmen bezeichnet. Setzt man nun soosy — r—-r,; so folgt aus den vorstehenden beiden Gleichungen ? —e (206) (207) Aus der Formel (206) ersieht man, daß der Druck p nur von dem vertikalen Niveauunterschiede - — 2 , der beiden Punkte und 6 abhängig ist, daß derselbe also in allen Punkten einer jeden horizontalen Ebene derselbe ist, oder daß die Flächen von gleichem Niveau auch bei einer schweren elastischen Flüssigkeit Horizontalebenen sind. In der obigen Gleichung (204) stellt offenbar das Glied das Gewicht einer vertikalen Säule der elastischen 0 Flüssigkeit dar, deren Querschnitt die Flächeneinheit, und deren Höhe seo8/ —2 — 2 , —^.8 ist. Jene Gleichung, oder auch die Gleichung (206), drückt daher aus, daß der Druck p auf die Flächeneinheit in einer elastischen Flüssigkeit und im Punkte 6 gleich ist dem Drucke in einem tiefer liegenden Punkte weniger dem Gewichte einer vertikalen Flüssigkeitssäule, deren Querschnitt gleich der Flächeneinheit ist, und welche zwischen den durch ^ und 0 gelegten Horizvntalebenen liegt. Umgekehrt, würde der Druck in dem tiefer liegenden Punkte ^ gleich dem in 6 sein, plus dem Gewichte einer vertikalen Flüssigkeitssäule, welche die Flächeneinheit zum Querschnitte hat und zwischen den durch ^ und 0 gelegten Horizontalebenen liegt. Dieses Resultat ist dem analog, welches in §. 10 für die unelastischen Flüssigkeiten dar- gethan ist. Für das Gewicht W einer vertikalen Flüssigkeitssäule von Gl. (208) in einer schweren elastischen Flüssigkeit. I2S der Höhe r—deren Querschnitt gleich der Flächeneinheit ist, und in deren tiefstem Querschnitte der Druck p, herrscht, hat man übrigens nach den Gleichungen (204) und (206) — p, (1 — 6 L / .... (208) Da bei den meisten gasförmigen Körpern das Gewicht einer Vvlumeinheit an irgend einer Stelle bedeutend geringer ist, als der an dieser Stelle auf die Flächeneinheit stattfindende Druck, svdaß der Faktor L in Gleichung (205) sehr groß ist; so wird in solchen Flüssigkeiten der Druck p, und mithin auch das Gewicht der Vvlumeinheit für nicht sehr bedeutende Höhenunterschiede nur unmerklich variiren. Bei der Bestimmung des Gewichtes einer Flüssigkeitsmenge von nicht sehr großen Dimensionen in vertikaler Richtung, wie sie in der Praxis gewöhnlich vorkommen, wird man daher näherungswcise die Flüssigkeit wie eine in allen Punkten gleichförmige ansehen können, deren Gewicht für jede Vvlumeinheit nach Gl. (205) z» beträgt. Ebenso wird man bei der Ermittelung des Druckes einer elastischen Flüssigkeit auf eine Oberfläche von mäßigen Dimensionen Näherungsweise annehmen können, daß der Druck auf jede Flächeneinheit in normaler Richtung derselbe sei. Wenn man sich einen starren Körper in eine elastische Flüssigkeit getaucht denkt; so findet man durch ähnliche Betrachtungen, wie in §. 22 ff., daß sich sämmtliche Pressungen der Flüssigkeit auf eine einzige vertikale von unten nach oben wirkende Kraft reduziren, welche dem Gewichte der von dem Körper verdrängten Flüssigkeitsmenge gleich ist. Mit dieser Kraft strebt die Flüssigkeit, den Körper zu heben, oder man kann sagen, daß der eingetauchte Körper das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit an seinem eigenen Gewichte verliere. Auf solche Weise erscheinen alle in der atmospärischen Luft befindlichen Körper um das Gewicht der von ihnen verdrängten Luftmenge leichter, als sie wirklich sind. I3U 44. Druck in einem Gemische von Gasen. Gl. (21M 8. 44. Bestimmung des Druckes in irgend einem Punkte eines Gemisches von mehreren schweren elastischen Flüssigkeiten. Wenn in einem Gefäße mehrere schwere elastische Flüssigkeiten, Gase oder Dämpfe, enthalten sind und sich bei überall gleicher Temperatur im Zustande des Gleichgewichtes befinden; so lehren die Untersuchungen der Physiker, daß sich die einzelnen Flüssigkeiten gegenseitig vollkommen durchdringen oder vermischen, als wenn sie einen einzigen gleichartigen Körper bildeten, und daß in diesem Zustande jede Flüssigkeit einen Druck ausübt, welcher dem Drucke gleich ist, den sie ausüben würde, wenn eine ebenso große Menge von ihr das Gefäß allein erfüllte, sodaß der Gesammtdruck in irgend einem Punkte gleich der Summe der einzelnen Pressungen ist, welche die Flüssigkeiten in diesem Punkte ausüben würden, wenn man jede derselben in eben den Raum des Gefäßes einschlösse. Sind also für irgend einen Punkt ?"> oto. die Theile des daselbst herrschenden Gesammt- druckes p, welche von den einzelnen Flüssigkeiten herrühren, rv", rv"' etv. die Gewichte der Volumeinheit der einzelnen Flüssigkeiten in diesem Punkte; so hat man 6to-, worin L', L", L'" eto. konstante Koeffizienten bezeichnen, und es ist —.... ( 209 ) Das Gewicht ro der Volumeinheit des Gemisches wird offenbar die Summe rv'-s-n>"-j-r«'"Z- etc. sein; für die Gleichung p— /c ro wird man also hier, weil p'-ssp"-ss6to.—L'ro'-ssL V-l-etv. ist, L'«,' -ssL" Z- k'" rv'" -sseto. — L (w' -f- w" -s- rv'" Z- eto.) haben, woraus L"w"Z- etc. . . . (2l0) folgt. M. (211) ). 4S. Druck in einer atmosphärischen Luftsäule. IZi Dieser Werth von L ist in die Gleichungen des vorhergehenden Zs zu substituircn, wenn man dieselben auf die gegebene Mischung von Gasen anwenden will. Gl. (207) ergibt r— — oto. rv'-s- rv"-s- rv'"-s ete. Io°- .... ( 211 ) Gleichgewicht einer atmosphärischen Luftsäule. — Barometer- messungen. 8. 45. Allgemeine Gleichung für den in einem Punkte der atmosphärischen Luft stattfindenden Druck. Im Vorstehenden ist angenommen, daß auf alle Massen- theilchen der gegebenen elastischen Flüssigkeit die Schwere mit gleicher Intensität und nach einer unveränderlichen Richtung wirke, und daß außerdem in allen Punkten dieselbe Temperatur herrsche. Bei einer Flüssigkeitsmenge von sehr bedeutenden Dimensionen, wie bei der Atmosphäre unserer Erde, finden sich diese Bedingungen übrigens nicht mehr erfüllt, und es muß bei den Untersuchungen der in bedeutenden vertikalen Abständen herrschenden Pressungen sowol auf die Variation Rücksicht genommen werden, welcher die Intensität der Schwere bei verändertem Abstände von der Oberfläche der Erde unterliegt, wie auch auf die Temperaturunterschiede, welche zwischen den zu betrachtenden Punkten stattfinden. Was die Richtung der Schwere in einer so großen Flüssigkeitsmenge betrifft; so ist dieselbe zwar für alle Massentheilchen nicht parallel, übrigens ist sie überall normal gegen die Oberfläche der auf der Erde befindlichen Meere gerichtet. Die Oberfläche dieser Meere bildet selbst eine Fläche von gleichem Niveau sowol für das unprcßbare Wasser, wie für die elastische Luft, und man sieht leicht, daß die obigen Formeln, wenn man von der Veränderlichkeit der Intensität der Schwere und von dem Einflüsse des Tempcraturwechsels abstrahirt, auch für die verschiedenen Punkte der Erdatmosphäre Gültigkeit behalten würden, sobald man nur die Höhen - überall normal von dem Spiegel der zusammenhängenden Meere aus mißt. 132 §. 4V. Veränderlichkeit der Schwere. Gl. ,212) Um die Formeln zu entwickeln, in welchen die bei der großen Ausdehnung der Atmosphäre wichtigen Variationen der Schwere und der Temperatur gehörig berücksichtigt sind; so hat man nach 8. 43 sür die Differenzialgleichung zwischen dem in irgend einem Punkte stattfindenden Drucke p, dem Gewichte w der Volumeinheit der Flüssigkeit in diesem Punkte und der Höhe r über dem Meeresspiegel (da eo8^ck§ —ckr ist) ck/r — — rock? .... (212) Diese Gleichung ist mit Berücksichtigung der Veränderungen der Schwere, der Temperatur und der Zusammensetzung der atmosphärischen Lust zu integriren. Z. 46. Veränderlichkeit der Schwere. Die Schwere ändert sich mit der geographischen Breite des zu betrachtenden Punktes und mit der Höhe desselben über dem Meeresspiegel. Es sei R der mittlere Halbmesser der Erde — 20283974 Fuß rheinl. (wenn die Länge des mittleren Erdquadranten zu 10000000 Meter angenommen wird), die geographische Breite des Ortes, vom Äquator aus gerechnet, r die Höhe des Ortes über dem Meeresspiegel, die Geschwindigkeit, welche die Schwere den Körpern bei einer Breite von 45« in der Höhe des Meeresspiegels in der Sekunde mittheilt, und welche —31,2425 Fuß ist, § die Geschwindigkeit, welche die Schwere bei der Breite den Körpern mittheilt, welche sich in der Höhe - über dem Meere befinden. Nach §. 39, Gl. 185 ist die Geschwindigkeit, welche die Schwere den Körpern bei einer Breite jS in der Höhe des Meeresspiegels mittheilt, gleich Ai (1 — 0,0027 eo82/?). Außerdem ist bekannt, daß sich die Wirkung der Schwere auf einen Körper, welcher sich außerhalb des Erdballes befindet, im umgekehrten Verhältnisse, wie das Quadrat des Abftandes dieses Körpers vom Mittelpunkte der Erde ändert. Demnach ist G1. (216) r. 47. Veränderlichkeit der Dichtigkeit. >33 der vorstehende Ausdruck noch mit dein Verhältnisse zu multipliziren, um die Geschwindigkeit darzustellen, welche die Schwere den Körpern in der Breite /S bei einer Höhe - über dem Meere in der Sekunde mittheilt. Dies gibt (1 -0,0027 oo8 2/S) In demselben Verhältnisse ändert sich natürlich auch das Gewicht der Körper mit der Breite und der Höhe über der Erdoberfläche, sodaß, wenn w, das Gewicht einer Volumeinheit irgend einer Substanz unter einer Breite von 45" und in der Höhe des Meeresspiegels bezeichnet, während das Gewicht der Volumeinheit unter der Breite und in der Höhe 2 über der Erde darstellt, V(1 - 0,0027 008 2/S) Vti ss- 2/ ist. 8. 47. Veränderlichkeit der Dichtigkeit der atmosphärischen Lust mit dem Drucke, der Temperatur und dem Gehalte an Wasserdampf. Es sei das Gewicht eines Kubikfußes Quecksilber bei der Temperatur 0«, am Meeresspiegel und unter der Breite von 45», in Pfunden, w das Gewicht des Kubikfußes reiner Luft unter denselben Verhältnissen und bei einem Drucke von 0,76 Meter, d. st von 2,4215 Fuß oder 29,0581 Zoll rheinl., also bei einem Drucke von 2,4215.VV Pfund auf den Quadratfuß rheinl. Nach 8. 42, Gl. (201) hat man für das Gewicht eines Kubikfußes atmosphärischer Lust unter derselben Breite von 45», bei dem Drucke p Pfund auf den Quadratfuß und bei der Temperatur r den Werth " 2,4215VV" 1 -st 0,00366k" ' ' ' ' Dieser Ausdruck würde genügen, wenn die atmosphärische 134 h, 48. Gleichung für den i„ einem Punkte Gl. (216) Lust als aus reiner Lust bestehend angesehen werden könnte. Dieselbe ist jedoch säst immer mit Wasserdampf gemischt, welcher einen verschiedenen Grad von Elastizität besitzt und deshalb noch besonders berücksichtigt werden muß. Man weiß, daß bei gleicher Temperatur und gleichem Drucke das spezifische Gewicht des Wafferdampfes 0,624 von dem der Lust beträgt. Betrachten wir also ein Gemisch von Lust und Wasserdampf; so sei p der von der Mischung ausgeübte Druck in Pfunden auf den Quadratfuß, - der Theil dieses Druckes, welchen der Wafferdampf ausübt, also (nach Z. 44) ? —- der Theil dieses Druckes, welchen die reine Lust ausübt, und t die Temperatur des Gemisches. Alsdann wird man für das Gewicht eines Kubikfußes Was- serdamps ^ 2,4215>V' 1 -st 0,00366 t und für das Gewicht eines Kubikfußes reiner Lust p — 1 ^ 2,4215>V' 1-ss 0,00366 t ' also für das Gewicht eines Kubikfußes des Gemisches p-0,376 § 1 ^ 2,4215 VV ' 1 -ss 0,00366 t ' ' ' ' ^ " haben. Wäre dieses Gemisch mit Wasserdampf gesättigt; so würde y der Druck für die Temperatur r in der Tabelle sein, welche die von dem Wasserdampfe bei dem Marimum seiner Dichtigkeit unter verschiedenen Temperaturen erlangte Spannkraft angibt. §. 48. Gleichung für den in einem Punkte der atmosphärischen Luft herrschenden Druck. Die Formel (216) drückt das Gewicht eines Kubikfußes der atmosphärischen Flüssigkeit aus, wenn man dieselbe als ein Gemisch von Luft und Wasserdampf unter der Breite von 45» und Gl. (220) der atmosphärischen Luft herrschenden Druck. 13S in der Höhe des Meeresspiegels betrachtet. Befände man sich aber unter der Breite ^ und in einer Höhe r über dem Meeresspiegel; so hat man für das Gewicht des Kubikfußes der atmosphärischen Flüssigkeit bei dem Drucke ^ und der Temperatur t nach Gl. (214) und (216) den Werth ^ ZM5VV' i^ÖMWt' (1—0,0027oos2/y .... (217) Substituirt man endlich diesen Werth statt w in die allgemeine Gleichung (212); so erhält man, indem man auf beiden Seiten durch p dividirt, V an; so hat man für den Faktor 1—0,376 die Größe 0,00816-si 0,001378« 1 -0,001267 --1-0,001267 - 0,000214 t zu substituiren. Der Bruch 1,0,001267—0,0002141 1-s-0,00366t ist aber, wenn man eine sehr kleine Größe vernachlässigt, nur wenig von 1 -0,001267 1 -s-0,004« verschieden. Hiernach kann die Gleichung (218) durch die folgende ersetzt werden ckp --,(1-0,001267) ?, " 2,42151V 1 (1 0,0027 0082/1) i », 1-H0,004t' (k-s-r)2 .... ( 221 ) Bei der Integration dieser Gleichung betrachten wir die Temperatur t als konstant und nehmen für den Werth dieser Größe das Mittel zwischen den Temperaturent kx und t, welche in den beiden Punkten, deren Höhenunterschied man wissen will, beobachtet sind. Bezeichnet man ferner mit -i und 2 die Höhen dieser beiden Punkte über dem Meeresspiegel und mit und p die in diesen Punkten stattfindenden Pressungen; so hat man. zeichnet, nach gehöriger Integration resp. zwischen den Gränzen p, und für? und den Gränzen 2 , und r für 2 IoZ^—-4 d. i. 4i,--s-I1(2-s-2,)-s-22 Gl. (223, §. 4g. HLHenmeffung durch das Barometer. 137 oder wenn man das durch k? dividirte Glied wegläßt und für ^ wieder seinen Werth substituirt, «(1-0,001267) ' 2,4215 VV Io§^- (1—0,00270082/1) 1 0,002 (6, t)' ^ , 2-f-r, ^ k .... ( 222 ) Der Logarithmus auf der linken Seite ist ein natürlicher, und man muß denselben durch N —2,302585 dividiren, wenn man ihn aus den gewöhnlichen (briggischen) Tafeln nehmen will, svdaß man hat «(1-0,001267) 2,4215.M.VV IoA vulA - (1—0,0027vv82/S)^ 1 st-0,V02(ti-i-0 14 -^ . . (223) 8. 49. Bestimmung des Höhenunterschiedes zweier Örter mit Hülfe des Barometers. Aus der letzteren Gleichung (223) kann der Werth der Höhendifferenz 2 — 2 , als Funktion des Verhältnisses der Pressungen, welche in den beiden beobachteten Punkten stattfinden, abgeleitet werden. Es kommt nur noch darauf an, dieses Verhältniß aus der Beobachtung des Barometers zu bestimmen. Verfolgen wir hierbei den von Navier eingeschlagenen Gang; so seien st, und st die in beiden Punkten beobachteten Barometerhöhen, rr, und u die Temperaturen der Quecksilbersäule, welche gewöhnlich von den oben mit t, und t bezeichneten Temperaturen der Luft abweichen. Da sich das Quecksilber in dem Zwischenraume von 0 bis 100« um 1 55,50' also bei einer Temperaturerhöhung von 1° um und bei einer Temperaturerhöhung von um 5550 ausdehnt; so ist das Gewicht eines Kubikfußes Quecksilber unter der Breite von 45" in der Höhe des Meeresspiegels und 138 z. 49. Höheumefsung Gl. (224) bei der Temperatur u gleich VV 1 -i' oder ziemlich genau 5550 Gewicht wird unter der Breite und in dem Abstände KZ-- vorn Mittelpunkte der Erde >V (1 - 0,0027 eo8 2 M (l - H sein. Hiernach hat man p^/rVVsl—0,0027 eo8 2/?) (l--^ 0 -^) ^ 5550 - (k-st-r)'--» V ^ mithin 1_ 5550 rr Vk-I-rr- p /r 1 5550 oder wenn man mit Vernachlässigung sehr kleiner Größen des zweiten Grades rr, 1 5550 . , rr—rr, . -" — 1 und rr 5550 setzt, 5550 k-s-r (-^^7 ^^^^'k- 5550 -V ^ R (224) also loK ^ ^ 1°^ ^ Z- 1o§ (l 4- ^ZK) 21°A (l -s- Aus der bekannten Formel a? —— ^to. sür IoA(1-st.-r) geht hervor, daß wenn.-r eine sehr kleine Zahl ist, der natürliche Logarithmus von IZ-n sehr nahe gleich n:, und mithin der gemeine Logarithmus gleich 0,434295. rr ist. Da nun ^ZZM und meistens sehr kleine Zahlen sind; so kann man ziemlich genau setzen Gl. (227) mit Hülfe des Barometers. 139 loAvuI« -1«8 vulA ^ -t- 0,434295(^Z -1- 2 —...(225) Substituirt man diesen Werth für loZvnlZ-^ in Gleichung (223), entwickelt den Werth von 2 — 2 , und setzt bei Vernachlässi- 1 gung einer sehr kleinen Größe des zweiten Grades ^ 0 0027vo s2 ^ ^1-j-0,0027oos2fr; so kommt -- -1 -- (^ 0,001267)^ a^0,0027oo82A s1Z-0,002(kss-ti)1X Der Faktor ^ 2"^ 2,302585 bezeichnet, ist ein konstanter Koeffizient, dessen Werth man nach dem bekannten Verhältnisse der Gewichte und r« des Quecksilbers und der atmosphärischen Luft unter der Breite von 45», bei der Temperatur von 0» und unter dem Drucke von 2,4215 Fuß rheinl. oder 0,76 Meter bestimmen kann. Nach den Ver- >V suchen von Biot und Arago hat man — — 10466,8, was für den Werth jenes Koeffizienten 2,4215.N.VV (1-0,001267)«, 58434,2 Fuß . . . (227) ergibt. Der Werth dieses Koeffizienten könnte auch bestimmt werden, indem man die vorstehende Formel auf barometrische Beobachtungen anwendete, welche an Orten gemacht wären, deren Höhenunterschied man durch ein anderes Verfahren schon kennen gelernt hätte, und wirklich hatten auch vor der genauen Ermittelung des Verhältnisses der spezifischen Gewichte der Luft und des Quecksilbers die von Ramond in den Pyrenäen angestellten Beobachtungen für den Werth des fraglichen Koeffizienten die Zahl 58422 Fuß ergeben, welche von der vorhergehenden nur wenig verschieden ist. Man kann also einfach setzen 140 §. 49. Höhenineffuiig durch das Barometer. Gl. (229) r r, — 58422(1-s 0,0027 co«2/?) sl-s-0,002 (tss-k,)) vulZ -t- 0.43429 Z- 2 .... (228) Der Koeffizient 58422 Fuß ist übrigens von einem anderen Koeffizienten 58604 Fuß abgeleitet, welcher durch die Beobachtungen von Ramond unmittelbar bestimmt ist, indem dabei zugleich auf die Abnahme der Schwere in vertikaler Richtung Rücksicht genommen und das in höher gelegenen Orten erhaltene Resultat auf das Niveau des Meeres zurückgeführt ist. Die Substitution der Zahl 58604 für die Zahl 58422 würde also bei diesen Beobachtungen Näherungsweise die sehr kleinen Glieder ersetzen, welche k zum Nenner haben, und welche durch die Betrachtung der Abnahme der Schwere in vertikaler Richtung eingeführt sind. Man kann sich also mit Vortheil der einfacheren Formel ---58604 (1-s-0,0027 eo82/S)sl 0,002 (k^))x vulx 0,00007825 (tt-rr,) . . (229) bedienen, welche den Höhenunterschied in rheinländischen Fußen angibt. Man könnte selbst den Faktor, welcher die Breite /? enthält, auf die Einheit reduziren; es ist aber besser, sich der nachstehenden Tabelle zu bedienen, welche die gemeinen Logarithmen der Produkte von 58604 in die den verschiedenen Breiten entsprechenden Werthe dieses Faktors enthält. Die sehr ausgedehnten Tabellen, welche man aufgestellt hat, um dadurch die Berechnung der Barometerbeobachtungen nach der vorstehenden Formel zu erleichtern, werden hierdurch überflüssig, und es scheint nicht, daß diese Tabellen einen größeren Vortheil darbieten, als die unmittelbare Anwendung der vorstehenden Gleichung (229), indem man sich dabei der gewöhnlichen logarithmischen Tabellen bedient. Es leuchtet ein, daß man in den letzteren Formeln (228) und (229) die Barometerhöhen /«, und /r nach jedem beliebigen Maaße, also auch nach Zollen messen kann, da dieselben nur in dem Quotienten erscheinen. §. so. Beispiele. 141 Breite, vorn Äquator aus gerechnet —/? Gemeine Logarithmen der Zahlen 88604(1-i-0,»027co."2/?) Scxagesimalgradc 0 4,7690983 8 0806 10 0277 18 4,7689415 1 20 8248 ! 28 6802 j 30 5132 38 3280 ! 40 1308 ! 45 4,7679273 50 7235 55 6260 60 3406 65 1729 70 0281 8. 50. Beispiele. Um eine Anwendung der obigen Formel (229) zu zeigen; so sei Breite/?—1045'. Obere Station 4—-1,6" Untere Station 4,—25,3" /r—76,713'" 154,981'" re^10,0» r«i—2S.3° 4-1-ti—23,7 2 (4 —47,4 I -l- 0,002 (r ^ 1,0474 ' u-r«,—-15,3" Logarithmus des Koeffizienten für 0" Breite . . . lox 1,0474. los 154,981 . 2,1902790 — los 76,713 ... - 1,8848723 4,7690983 0,0201126 los ^. 0,3054067 0,00007825 X (-15,3) —0,0011972 0,3042095 Hiervon ist der los 0,4831728—1 Logarithmus der gesuchten Höhe (18723,3') . . . 4,2723837 142 §. 37. Korrektionen bei Ablesung Dieses Beispiel stellt die Berechnung der Höhe des Chim- borayo nach den Beobachtungen von Humboldt dar, und ist Einer von den Fällen, wo die vernachlässigten Glieder am bedeutendsten ausfallen könnten. Unter Beibehaltung dieser Glieder findet Ramond 18728,7' statt 18723,3', ein Unterschied, welcher bei der Größe der berechneten Höhe sehr unbedeutend ist. Es >solgt noch die Berechnung der Höhe des Guanaruato, welche im tX,niuiuir6 clu tjureuu clos lonAitucke8 als Beispiel aufgeführt ist. Breite/?—21". Obere Station k—21,3" Untere Station 28,3" 275,72'" 6,^350,13'" !! !! , —46,6 2 (t —l— ^) 93,2 1-s-0,002 1,0932 u-r«i——4" r Logarithmus des Koeffizienten für 20" Breite . . . los 1,0932 . Io§ 380,13 .... 2,3442293 — Io§ 275,72 . . - 2,4404683 4,7688245 0,0386996 Io§ . 0,1037610 0,00007828 X (-4)— -0,0003130 0,1034480 Hiervon ist der los 0,0147221-1 Logarithmus der gesuchten Höhe (6641,2') .... 3,8222462 8. 57. Korrektionen bei Ablesung der Barometerstände L, und /r wegen der Ausdehnbarkeit der Skale und der Depression der Quecksilbersäule. Die Buchstaben und L in vorstehenden Formeln stellen die auf dem Instrumente abgelesenen Höhen der Quecksilbersäule dar, welche im unteren und oberen Standpunkte dem athmosphä- rischen Drucke das Gleichgewicht hält. Die Angabe dieser Höhen wird aber durch die Ausdehnung der Körper geändert, auf welche der Maaßstab gravirt ist. der Barometerstände. 143 Es sei ö die lineare Ausdehnung dieser Körper für einen Grad des hundertteiligen Thermometers, sodaß die Länge 1 bei der Temperatur 0 zur Länge 1 Z- 4« bei der Temperatur rr wird. Die Höhen L, und ü, welche resp. bei den Temperaturen u? und u beobachtet sind, würden also 4,(1-s-4n,) und /r(1-j-4u) sein, wenn man sie bei der Temperatur 0 beobachtete. Um daher auf diese Abweichung Rücksicht zu nehmen, hat man in der Formel (228) oder (229) oder ziemlich genau ^ sl —4(u—u,)) an die Stelle von zu setzen. Da nun loZ ^-fl —S(rr —u,)) — Io§ -j- Io§ fl — 4 (rr — er,)) ist, und weil S(u —r«i) eine sehr kleine Zahl ist, ziemlich genau 1o§ nut. (1—S (»—rri)) — — ü (rr —»,) und loZ vul§ (1 —S(rr—«,)) — — 0,434295.ö.(u—- 1 ,) ist; so sieht man, daß der Koeffizient von rr—rti in den Formeln (229) und (230) um das Produkt der Zahl S in die Zahl 0,434295 vermindert werden muß, sodaß dieser Koeffizient 0,00007825 - 0,434295 .S wird. Wendet man hierbei bekannte Erfahrungen an; so findet man für den fraglichen Koeffizienten von rr— wenn die Ausdehnung des Maaßstabes als null angenommen wird ......... 0,00007825, bei einem Maaßstabe auf Glas und auf Holz . . 0,00007445, » » » » Kupfer ...... 0,00007009. Eine zweite Rektifikation bei der Bestimmung der wahren Barometerstände ^ und /r wird durch die Kapillardepression der Quecksilbersäule nothwendig gemacht. l44 Z2. Praktische Regeln für das Verfahren Durchmesfer der Röhre. Depression. ^ Linien Linien 0,918 2,092 ! 1,376 1,331 1,835 0,935 2,294 0,691 2,783 0,527 3,212 0,404 3,670 0,314 4,129 0,245 4,588 0,193 5,047 0,161 5,566 0,119 5,964 0,094 6,423 0,073 6,882 0,057 7,341 0,045 7,800 0,034 8,258 0,027 8,717 0,020 9,176 0,016 Man weiß, daß die Quecksilbersäule in den Barometerröhren in Folge der Kapillarität kürzer ist, als sie nach hydrostatischen Gesetzen sein müßte. Die Größe dieser Depression hängt von dem Durchmesser der Röhre ab und man findet ihren Werth in nebenstehender Tabelle. Gewöhnlich vernachlässigt man es, hieraus Rücksicht zu nehmen, weil dieselbe bei beiden Instrumente in gleichem Maaße stattfindet, wenn ihre Röhren denselben Durchmesser haben: da das Resultat aber nicht von der Differenz der Ba- rometcrhöhen, sondern von dem Verhältnisse dieser Höhen zueinander abhängt; so ist es zweckmäßig, darauf Bedacht zu nehmen, besonders wenn der Höhenunterschied nicht sehr beträchtlich ist. §. 52. Praktische Regeln für das bei den barometrischen Höhenmessungen zu beobachtende Verfahren. Die barometrischen Beobachtungen und der Gebrauch der obigen Formel (229) zur Bestimmung des Höhenunterschiedes zweier Punkte über der Oberfläche der Erde erfordern eine große Umsicht. Jene Formel ist auf die Voraussetzung eines Zustandes des Gleichgewichtes und aus eine thermometrische und hygrome- trische Beschaffenheit der Luft gegründet, welche selten in der Atmosphäre stattfinden. Durch die Erfahrung hat man die den Beobachtungen günstigen und ungünstigen Umstände kennen gelernt, und Ramond hat hierüber folgende Regeln aufgestellt: 1) Man kann hoffen, genaue Höhen zu erlangen, wenn man unter Mittag, bei ruhigem Wetter, welches sich nicht sehr der Veränderung zuneigt, beobachtet, indem sich die beiden Barometer auf isolirten Spitzen befinden, oder indem das untere Barometer in mäßigem horizontalen Abstände von dem oberen in einer freien bei barometrischen Hohenmessungen. 14g Ebene aufgestellt ist. In diesem letzteren Falle ist es sogar besser, den Abstand größer anzunehmen, als das Barometer am Fuße der Berge anzubringen, wo der Vortheil der Nähe durch die schädliche Einwirkung der Herabsteigenden Winde überwogen wird. In Ermangelung dieser sehr günstigen Umstände haben die Fehler keine festen Gränzen; sie können nur nach Gutdünken und nachdem Grade des Einflusses berichtigt werden, welchen die Erfahrung des Beobachters den Ursachen, welche sie hervorbringen, zuschreibt. 2) Man bestimmt die Höhen im Allgemeinen zu schwach, wenn die Beobachtung am Morgen oder am Abend gemacht wird; wenn sich das untere Barometer in einer Ebene und das obere in einem engen und tiefen Thale befindet; bei starkem Südwinde; bei stürmischem Wetter. 3) Man bestimmt dagegen die Höhen zu groß, wenn man zwischen Mittag und zwei bis drei Uhr nachmittags beobachtet, besonders im Sommer und wenn die Sonne nicht von Wolken umhüllt ist; wenn sich das obere Barometer auf einer Bergspitze und das untere in einer engen Schlucht befindet; bei starkem Nordwinde, besonders wenn man sich auf einem Berge befindet und der Wind gegen den steilsten Abhang stößt. 4) Endlich kann man versichert sein, daß die Fehler nach allen Seiten groß und veränderlich sein werden, wenn die Höhenunterschiede unbeträchtlich sind, und wenn sich die beiden Barometer in derselbe» Ebene oder in demselben Thale, und noch mehr, wenn sie sich in zwei durch eine Bergkette getrennten Thälern befinden. In solchen Fällen kann der horizontale Abstand nicht klein genug sein, und ungeachtet großer Nähe kann man nur den mittleren Werthen aus einer großen Zahl von Beobachtungen Zutrauen schenken. Die hauptsächlichen Ursachen der Fehler sind die Winde und die Unregelmäßigkeit in der Verbreitung der Temperatur. Wäre die Richtung der Bewegung der Luft horizontal; so scheint es nicht, daß diese Bewegung die Höhe des Barometers ändern kann, vorausgesetzt, daß die Barometerkugel vor dem Winde nicht durch eine Vorrichtung geschützt sei, in Folge deren der Druck vermindert oder vermehrt wird. Streicht der Wind aber in die 52. Praktische Regeln. >4V Höhe oder in die Tiefe; so hält sich das Quecksilber nothwendig resp. niedriger oder höher, als es der Fall sein würde, wenn kein Wind vorhanden wäre, abgesehen von den Unregelmäßigkeiten, welche aus der Art und Weise hervorgehen können, wie die Kugel dem Winde ausgesetzt oder vor demselben geschützt ist. Was die Temperatur betrifft; so sind die Fehler, welche aus der ungleichförmigen Abnahme derselben hervorgehen, vielleicht nicht so groß, als diejenigen, welche daraus entstehen, daß die Bcobacktung des Thermometers, statt die wahre Temperatur der horizontalen Luftschicht, in der man sich befindet, anzugeben, nur eine örtliche Temperatur ergibt, welche zum großen Theil durch die Ausstrahlung des Erdbodens und der umgebenden Körper hervorgebracht wird. Das Thermometer für die Temperatur der Lust muß übrigens in der Höhe des Auges aufgestellt und vor der Sonne nur durch den Stab geschützt sein, an welchem es befestigt ist. Die Gefäßbarometer, deren Niveau vermittelst einer Druckschraube regulirt wird, welche die Oberfläche des Quecksilbers mit einer festen Spitze in Berührung bringt, werden im Allgemeinen für die besten gehalten. Dieselben müssen vertikal gestellt und so wol vor der Sonne, wie vor dem Winde geschützt sein. Es ist von Wichtigkeit, die Temperatur des Quecksilbers genau zu kennen. Ein in der Fassung angebrachtes Thermometer genügt zu diesem Zwecke nicht. Man hat eine andere Vorrichtung vorgeschlagen, welche darin besteht, daß man eine zweite Röhre gleich der des Barometers in der Lust aufhängt, welche verschlossen und mit Quecksilber gefüllt, und in welche das Thermometer getaucht ist. Die Höhenmessungen erfordern durchaus die Zusammenwir- kung zweier Beobachter, welche beide mit ähnlichen und sorgfältig verglichenen Instrumenten versehen sind. Die entsprechenden Beobachtungen in den oberen und unteren Standpunkten müssen gleichzeitig und womöglich zwischen elf Uhr vormittags und Ein Uhr nachmittags angestellt werden. Zweiter Abschnitt. Die Prinzipien der Hydraulik. I. Die Fundamentalgleichungen der Hydraulik. §. 53. Gegenstand der Hydraulik. Die Hydraulik oder Hydromechanik befaßt sich mit der Untersuchung der Bewegungen, welche die Flüssigkeiten unter der Einwirkung bewegender Kräfte unter verschiedenen Umständen annehmen. Sie sucht die Beziehungen auf, welche zwischen der Größe der bewegenden Kräfte Einerseits und den Geschwindigkeiten, Pressungen, Tüchtigkeiten und sonstigen mechanischen Eigenschaften der in Bewegung versetzen Theile der Flüssigkeit andererseits stattfinden. Die Lehre von der Bewegung der unpreßbaren Flüssigkeiten nennt man vorzugsweise Hydraulik, während man die Untersuchungen über die Bewegung der elastischen Flüssigkeiten wol unter dem engeren Namen der Pneumatik begreift. 8. 54. Kurze Wiederholung einiger wichtigen Lehrsätze der Mechanik. Bei den nachfolgenden Untersuchungen wird häufig von einigen der wichtigsten mechanischen Lehrsätze Anwendung gemacht werden, welche sich auf die Bewegung eines Systemes von Körpern beziehen. Um die Hinweisung auf diese allgemeinen Sätze im Texte möglichst abkürzen zu können, möchte es nicht unzweckmäßig sein, dieselben dem Leser mit wenigen Worten ins Gedächtniß zurückzurufen. j43 h. 54. Wiederholung einiger allgemeiner j) Das d'Alembertsche Prinzip. Mehrere Körper seien dergestalt zu einem Systeme untereinander verbunden, daß sich keiner derselben selbstständig bewegen kann, ohne auf die Bewegung der übrigen einen bestimmten Einfluß zu äußern, m, M,, . . . seien die elementaren Massen dieser Körper und k, « die äußeren Kräfte, welche auf dieselben angebracht sind. Da sich kein Körpcrelement dieses Systemes frei bewegen kann, und bei seiner Bewegung stets die Bewegung der übrigen mit affiziren wird; so leuchtet ein, daß Ein Theil der Kräfte I», , l>2 « . - auf die wirkliche Bewegung der Massen m, wi, M2 - - ' verwandt werden und denselben eine solche Bewegung mittheilen wird, als wenn diese Massen ganz frei wären, während der andere Theil jener Kräfte von den Bändern des Systemes aufgenommen und durch deren Widerstandsfähigkeit ebenso vernichtet wird, wie es der Fall sein würde, wenn sich die letzteren Theile der obigen Kräfte an dem gegebenen Systeme im Gleichgewichte befänden. Nimmt man nun an, die Massen m, m,, M2 - - » empfingen eine Bewegung, welche sich in der Zeiteinheit, und zwar in dem Augenblicke, wo man das System betrachtet, resp. um die Größen ^ ... beschleunigte; so würden die zuerst erwähnten Theile der Kräfte k>, k»,, p, ... welche die wirkliche Bewegung der Massen hervorbrächten, m/; "^2 - « - seü'. Diese Theile nennen wir die wirksamen Kräfte des Systemes. Die übrigen Theile der auf das System angebrachten Kräfte, welche durch die Widerstandsfähigkeit der Verknüpfungen der einzelnen Massen vernichtet werden, befinden sich, wie schon erwähnt, mit den Widerständen jener Verknüpfungsbänder im Gleichgewichte. Brächte man also aus das System in den Massen nr, m,, M2 « . » noch Kräfte an, welche den wirksamen Kräften der Größe nach gleich, der Richtung nach aber direkt entgegengesetzt wären, alsoKräfte, welche resp.durch—m,/,, — ausgedrückt wären; so müßten diese nebst den Kräften k, ?z, . . . das System in den Zustand des Gleichgewichtes oder der gleichförmigen Bewegung versetzen. In diesem Satze, wonach zwischen den äußerlich angebrachten Kräften k, k>,, . . . und den in entgegengesetz- Lehrsätze der Mechanik. 149 teil Richtungen genommenen wirksamen Kräften m/', M2/2 . . . unter Berücksichtigung der gegebenen Verknüpfungsweise der einzelnen Theile des Systemes, sowie unter Beachtung der durch diese Verknüpfung hervorgerufenen inneren Wirkungen, Gleichgewicht stattfinden muß, besteht das d'Alem- bertsche Prinzip. Es wird hierbei noch bemerkt, daß sich die inneren Wirkungen zwischen den Bändern des Systemes in den meisten Fällen für sich allein schon im Gleichgewichte halten und dann bei der Anwendung des vorstehenden Prinzipes ganz unberücksichtigt bleiben können. Einer genauen Prüfung in dieser Hinsicht hat man die inneren Kräfte besonders bei Systemen zu unterwerfen, wo die Bänder kompressibel oder elastisch sind. Um die Bedingung, daß an irgend einem Systeme verschiedene Kräfte im Gleichgewichte sein sollen, wie es nach dem d'Alcmbertschen Prinzipe von den äußerlich angebrachten Kräften und den in entgegengesetzter Richtung genommenen wirksamen Kräften gefordert wird, analytisch auszudrücken, kann man sich in vielen Fällen mit Vortheil des folgenden Prinzipes bedienen. 2 ) Das Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten. Dieses Prinzip, durch welches man in den Stand gesetzt wird, die Bedingung auszudrücken, unter welcher gewisse auf ein System angebrachte Kräfte im Gleichgewichte sind, lautet: Wenn mehrere auf ein System angebrachte Kräfte im Gleichgewichte sind, und man nöthigt die Angriffspunkte dieser Kräfte, unendlich kleine Räume zu beschreiben, welche übrigens der gegebenen Verbindungsweise des Systemes entsprechen müssen, nennt ferner das Produkt aus irgend Einer dieser Kräfte in den Weg, welchen ihr Angriffspunkt bei dieser ungemein kleinen Bewegung parallel zu ihrer Richtung beschrieben hat, das virtuelle Moment jener Kraft; so ist die Summe der virtuellen Momente für alle Kräfte gleich null, wobei die Momente derjenigen Kräfte als positiv zu nehmen sind, deren Angriffspunkte sich in direkter Richtung ihrer Wirkungen bewegen, während die Momente der übrigen Kräfte, deren Angriffspunkte sich in entgegengesetzten Richtungen der darauf angebrachten Kräfte bewegen, negativ zu nehmen sind. Bezeichnet man also irgend eine Kraft des Systemes mit p, den wirklichen Weg, welchen ihr Angriffspunkt bei einer sehr 150 ?. 54. Wiederholung einiger allgemeiner Gl. (230i kleinen Bewegung aller Theile des Systemes durchläuft, mit den Neigungswinkel zwischen der Linie und der Richtung der Kraft? mit «; so wird T'oosc« —der Weg sein, welchen der Angriffspunkt von k parallel zu der Richtung dieser Kraft beschreibt. Die Entfernung p —r'oos« nennt man auch die virtuelle Geschwindigkeit der Kraft?, während —Dreos« das virtuelle Moment derselben ist. Nach dem vorstehenden Prinzipe hat man, wenn die Kräfte ? miteinander im Gleichgewichte sein sollen, und die Summe der Werthe von k/- für die verschiedenen auf das System angebrachten Kräfte bezeichnet, — ^?- c:o8 « — o .... (230) Was die Werthe der unendlich kleinen Wege p betrifft, welche die Angriffspunkte der Kräfte ? bei einer sehr kleinen Bewegung des Systemes in parallelen Richtungen zu den Richtungen der zugehörigen Kräfte beschreiben; so sind dieselben zwar insofern willkürlich, wie es willkürlich bleibt, in welcher Weise man alle Theile des Systemes unendlich wenig aus ihrer früheren Lage bringt, übrigens sind fenc Wege der nothwendigen Bedingung unterworfen, daß sie der gegebenen Verbindung der einzelnen Angriffspunkte der Kräfte zu einem Systeme ein Genüge leisten müssen. Diese letztere Bedingung wird man immer leicht berücksichtigen können, sobald das System der mechanischen Verbindung aller seiner Theile nach genau gegeben ist; man wird in einem solchen Falle immer eine analytische Beziehung aufstellen können, welche anzeigt, in welcher Weise der Werth des sehr kleinen Raumes p von dem besonderen Orte des zugehörigen Angriffspunktes im Systeme und von dem Werthe irgend eines anderen als gegeben angenommenen Weges eines anderen Angriffspunktes abhängig ist. Befände sich das ganze System, an welchem sich die Kräfte k im Gleichgewichte erhalten sollen, in einer Bewegung, welcher zufolge der Angriffspunkt einer Kraft k in der Zeiteinheit und in paralleler Richtung zu dieser Kraft den Raum v durchlaufen würde, wenn die Bewegung dieses Punktes plötzlich gleichförmig würde, sodaß also r, die Geschwindigkeit fenes Angriffspunktes in paralleler Richtung zur Kraft k bezeichnete; Gl. (231) Lehrsätze der Mechanik. 13! so würde der unendlich kleine Raum, welchen derselbe Punkt, in dem Zeitelemente eit in der Richtung der Kraft durchliefe, gleich Dett sein. Es fragt sich, ob man diese Größe vckt nicht für die obige virtuelle Geschwindigkeit p des Angriffspunktes der Kraft k substituiren könnte. Man begreift, daß eine Substitution von rckk für p bei allen solchen Systemen zulässig ist, wo die innere mechanische Verknüpfung der einzelnen Theile von der Zeit unabhängig ist, jedoch ganz unzulässig in den Fällen, wo sich die Art der Verbindung der Theile des Systemes mit der Zeit ändert, weil alsdann am Ende der Zeit ckt, in welcher der Raum vckt wirklich beschrieben wird, die Art der Verbindung der Theile des Systemes eine andere geworden ist, als sie im Anfange dieser Zeit war. Mit Ausschluß der zuletzt gedachten Fälle, welche sich übrigens bei den praktischen Aufgaben seltener ereignen, kann man also den analytischen Ausdruck für das Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten in die Form ....( 231 ) bringen. Hierbei ist noch Folgendes zu bemerken: Es gibt Systeme von Körpern, deren Verbindung sich mit der Zeit oder auch mit der besonderen Lage im Raume, insofern diese Lage von der Zeit selbst abhängig ist, ändert, auf welche also die vorstehende Formel nicht ohne Weiteres in Anwendung gebracht werden könnte. Diese Systeme sind aber zuweilen von der Art, daß ihre physische Konstitution eine jede beliebige Formveränderung zuläßt, indem dabei gewisse Kräfte zwischen den Bändern des Systemes auftreten, welche gleichzeitig mit überwunden werden müssen. Bei solchen Systemen wird man also auch eine jede Verrückung, welche dieselben bei einer selbstständigen Bewegung während der sehr kleinen Zeit ckt annehmen, als eine virtuelle Verrückung ansehen können, wenn man dabei nur auf die besonderen Kräfte Rücksicht nimmt, welche sich in Folge einer solchen Bewegung zwischen den Systembändern einstellen. Diese Kräfte sind alsdann mit unter den Kräften ^ zu begreifen. Zu der letzteren Klasse von Körpersystemen gehören alle Verbindungen aus elastischen oder kompressibelen und dehnbaren Substanzen. Dieselben könnten, wenn sie in irgend einer 162 §. 84. Wiederholung einiger allgemeiner Lage wären, zwar nur auf gewisse Weisen so verschoben werden, daß sich dabei keine neuen Kräfte äußerten; brächte man jedoch geeignete Kräfte auf diese Systeme an; so konnte man dieselben in jede beliebige Form bringen, also auch in diejenige Form, welche sie während einer gegebenen Bewegung in der Zeit ckt wirklich annehmen. Unter Berücksichtigung der zuletzt erwähnten, bei einer solchen Verschiebung auftretenden Elastizitätskräfte würde man mithin auch die Formel (231) bei elastischen Systemen in Anwendung bringen können. Handelte es sich nach dem Vorstehenden um eine in Bewegung begriffene unpreßbare oder auch um eine elastische flüssige Masse, an welcher sich gewisse Kräfte ? im Gleichgewichte befinden sollten; so würde man hierauf unbedingt die Formel (231) anwenden können, sobald die Flüssigkeit unpreßbar ist, indem die Verbindungsweise der einzelnen Masscutheilchen unter sich von der Zeit ganz unabhängig ist, und man sehr wohl annehmen kann, daß dieselben durch eine willkürliche Verrückung ihrer Örter in dieselben Lagen gebracht seien, in welche sie durch die Bewegung der ganzen Flüssigkeit während eines Zeitelementes wirklich gelangen. Aber auch wenn die Flüssigkeit elastisch ist, bleibt die Formel (231) anwendbar, sobald man alsdann nur das Gesetz der Elastizität gehörig berüchsichtigt, und die während einer Bewegung durch das Zeitelement ckt auftretenden Wirkungen der Elastizität mit zu den Kräften ? rechnet. 3) Das Prinzip der lebenden Kräfte. Dieses Prinzip dient ebenso, wie das d'Alembertsche Prinzip, dazu, um bei einem in Bewegung begriffenen Systeme, dessen innere Verknüpfung von der Zeit jedoch unabhängig sein muß, eine analytische Beziehung zwischen den auf das System angebrachten Kräften und den Geschwindigkeiten, welche die einzelnen Theile desselben annehmen, auszudrücken. Dasselbe lautet: Wenn die an einem Systeme angebrachten Kräfte nicht im Gleichgewichte sind, und demzufolge eine Bewegung des Systemes bewirkt haben, so ist die gesammte Wirkungsgröße oder die Arbeit aller jener Kräfte innerhalb einer gewissen Zeit gleich der Hälfte der lebenden Kraft, welche sämmtliche Theile des Systemes während derselben Zeit gewonnen haben. Unter der Wirkungsgrvße oder der Arbeit einer Kraft Lehrsätze der Mechanik. I»3 k wird hierbei das Produkt dieser Kraft in den Weg verstanden, welchen der Angriffspunkt derselben in dem gedachten Zeitraume in paralleler Richtung zu der Wirkung der Kraft zurückgelegt hat. Diese Größe ist positiv oder negativ zu nehmen, je- nachdem die Bewegung des Angriffspunktes in direkter oder in gerade entgegengesetzter Richtung der Kraft ? erfolgt. Beschriebe also der gedachte Angriffspunkt der Kraft p eine krummlinige Bahn, indem sich derselbe am Ende der Zeit t in einem Orte befände, dessen Abstand von einem anderen festen, in derselben Bahn liegenden Punkte gleich « wäre, wobei « längs des Kur- venbogens gemessen und eine Funktion von k wäre; so würde der fragliche Punkt während der Zeit ckt um die sehr kleine, als gerade anzusehende Länge cks fortschreiten, und wenn sich die Richtung der Kraft unter dem Winkel y> gegen das ^Kurvenelement cks neigte; so würde ckscosP der von dem Angriffspunkte in paralleler Richtung zur Kraft 1^ beschriebene Raum und?ck«o«8P die Wirkungsgröße oder die Arbeit der Kraft ? während des Zeitelementes ck t, mithin C 08 P die Arbeit derselben Kraft während des Zeitraumes t sein. Die Summe aller dieser Wirkungsgrößen für die verschiedenen auf das System angebrachten Kräfte wird die oben erwähnte gesummte Wirkungsgröße ergeben, welche der Hälfte der in der Zeit t gewonnenen lebenden Kraft des Systemes gleich sein muß. In den vorstehenden Ausdrücken müssen natürlich sämmtliche unter dem Integralzeichen stehenden Größen als Funktionen von t gegeben sein; man erkennt übrigens leicht, daß man den Zustand des Systemes, anstatt zwischen zwei bestimmten Zeitpunkten, auch zwischen zwei bestimmten räumlichen Lagen betrachten kann, wobei die ebenerwähnten Größen Funktionen von « 154 §. 54. Wiederholung einiger allgemeiner Gl. ^232) sein müssen, und man für die gesammte Wirkungsgröße aller Kräfte zwischen den Lagen o und « O erhalten würde. Unter der lebenden Kraft eines Körpers versteht man das Produkt seiner Masse in das Quadrat seiner Geschwindigkeit. Ist daher M die Masse irgend eines Elementes des gegebenen Systemes, ferner V dessen Geschwindigkeit in dem zuerst betrachteten Zustande und v dessen Geschwindigkeit in dem zuletzt betrachteten Zustande; so wird resp. »rV^ und die lebende Kraft dieses Elementes im ersten und letzten Zustande sein. Eine für sämmtliche Massentheilchen des Systemes genommene und resp. durch und dargestellte Summe ergibt hiernach die lebende Kraft des ganzen Systemes im ersten und letzten Zustande, sodaß die in dem gedachten Zeitraume gewonnene lebende Kraft des Systemes ist. Das Prinzip der lebenden Kräfte kann also analytisch durch die Formel 008 P ——^nrV^) .... (232) ausgedrückt werden. Es muß nochmals ausdrücklich erinnert werden, daß das Prinzip der lebenden Kräfte nur für ein solches System von Körpern gültig ist, deren Verbindungsweise von der Zeit unabhängig ist. Dasselbe drückt demnach eine weniger allgemeine Eigenschaft der Bewegung eines Systemes aus, wie das d'Alem- bert'sche Prinzip, und ist überhaupt nur für die Fälle anwendbar, für welche die Formel (231) als zulässig befunden wurde, indem das in Rede stehende Prinzip erst aus der letzteren Formel, in Verbindung mit dem d'Alembertschen Prinzipe, abgeleitet ist. Da unter diese Fälle übrigens auch die weiter oben näher erörterten Fälle mit begriffen werden können, wo der Zustand des Gl. (23g) Lehrsätze der Mechanik. I5S Systemes zwar nicht ganz unabhängig von der Zeit ist, wo man aber die Kräfte kennt, welche sich bei einer jeden beliebigen Formveränderung zwischen den Bändern des Systemes äußern, wie bei Systemen von elastischen Körpern; so folgt, daß das Prinzip der lebenden Kräfte auch auf die letztere Klasse von Systemen ausgedehnt werden könne, wenn man dabei nur die Wirkungsgrößen derjenigen Kräfte gehörig mit in Rechnung zieht, welche sich zwischen den elastischen, kompressibelen oder dehnbaren Bändern des Systemes äußern. ä) Der Carnotsche Lehrsatz und andere aus plötzliche Änderung der Geschwindigkeit Bezug habende Sätze. Wenn sich in irgend einem Systeme von unelastischen Körpern ein plötzlicher Stoß ereignet, in Folge dessen die Geschwindigkeiten gewisser Massenthcile desselben augenblicklich verändert werden; so lehrt der Carnotsche Lehrsatz, daß der durch den Stoß hervorgebrachte Verlust an lebender Kraft des Systemes gleich der lebenden Kraft ist, welche den beim Stoße verlorenen Geschwindigkeiten zukommt. Ist also die Geschwindigkeit eines Theilchens von der Masse ?n vor dem Stoße gleich V und nach dem Stoße in der nämlichen Richtung gleich 7 -, also V — v die durch den Stoß verlorene Geschwindigkeit dieses Theilchens; so wird ?n(V — ri)- die dieser verlorenen Geschwindigkeit entsprechende lebende Kraft sein. Nimmt man diese lebende Kraft für alle Theilchen des Systemes; so spricht der Carnotsche Lehrsatz aus, daß die dadurch erhaltene Summe ^m(V-v)- ....(233) den Verlust an lebender Kraft darstelle, welchen das ganze System durch den Stoß erlitten habe. Bei dieser Darstellung des durch den Stoß zwischen unelastischen Körpern herbeigeführten Verlustes an lebender Kraft durch die Formel (233) ist vorausgesetzt, daß irgend ein Massentheilchen ?rr nur die Größe seiner Geschwindigkeit ändere, aber seine Richtung auch nach dem Stoße ungeändert beibehalte. Ist Dies jedoch nicht der Fall, und bezeichnen resp. 17, V, VV die Komponenten der Geschwindigkeit des Theilchens m parallel zu drei rechtwinkligen Aren vor dem Stoße und resp. rr n w diese Komponen- 156 ). 54. Allgemeine Sätze der Mechanik. Gl. (233») ten nach dem Stoße; so ist der durch den Stoß bedingte Verlust an lebender Kraft gleich —.... ( 233 °) Ein dem Carnotschen Lehrsätze analoger Satz ist der folgende. Beachten wir zuvörderst die Vorgänge, welche bei dem Stoße unelastischer Körper vor sich gehen: Die Oberflächen der Körper, welche vor dem Stoße ganz voneinander getrennt waren, treffen mit gewissen Geschwindigkeiten gegeneinender, drücken sich zusammen, indem sie durch ihren Widerstand einen Theil der lebenden Kraft des Systemes vernichten, verharren alsdann in dem Zustande der größten Kompression, indem sie fortan in der Richtung des Stoßes keine Wirkung mehr gegeneinander ausüben und so gewissermaaßen ein neues System bilden, in welchen zwei oder mehrere Körper des früheren Systemes zu einem einzigen Körper verschmolzen sind. Denken wir uns also ein System von Körpern, zwischen denen plötzlich Kräfte auftauchen, welche die einzelnen Körper oder Körpertheilchen voneinander zu trennen streben und dieselben auseinander schleudern; so leuchtet ein, daß diese Kräfte dem Systeme einen Gewinn an lebender Kraft bringen werden, welcher gleich _(233») ist, worin u v ro die Komponenten der Geschwindigkeit des Theilchens m vor der Wirkung und II V VV diese Komponenten nach der Wirkung der fraglichen Kräfte bezeichnen. Denn man erkennt leicht, daß durch solche Kräfte die Wirkung eines Stoßes, wie er vorhin betrachtet ist, als geradezu aufgehoben betrachtet werden kann. Der durch die Formel 233») dargestellte Gewinn an lebender Kraft tritt auf, sobald sich z. B. in einem Systeme von Körpern eine ErPlosion ereignet, oder auch wenn elastische Körper fest aneinander gedrückt waren und plötzlich frei gelassen werden. Endlich wird noch bemerkt, daß wenn zwischen vollkommen elastischen Körpern ein Stoß erfolgt, dieselben zuvörderst, bis ihre Kompression den höchsten Grad erreicht hat, einen Verlust §. 58. Gleichungen für die Bewegung einer Flüssigkeit. 1S7 an lebender Kreft erleiden, welcher durch die Formel (233") dargestellt ist, darauf aber vom Augenblicke der größten Kompression bis zur Beendigung des Stoßes in Folge der Rückwirkung ihrer elastischen Kräfte wieder einen gleichen durch die Formel (233^) dargestellten Gewinn an lebender Kraft erfahren, wenn man in beiden Formeln mit « v «, die Komponenten der Geschwindigkeit des Theilchens »r im Augenblicke der größten Kompression bezeichnet. Hieraus folgt, daß bei einem Stoße zwischen Vollkommen elastischen Körpern, wenn die Rückwirkung der elastischen Flächen vollständig erfolgt, weder ein Verlust, noch ein Gewinn an lebender Kraft eintritt. §. 55. Allgemeine Gleichungen für die Bewegung einer Flüssigkeit in einem röhrenförmigen Gefäße. Da der allgemeinste Fall der Bewegung irgend einer Flüssigkeit auf Formeln führt, zu deren Behandelung die jetzigen Kräfte der Analysis nicht ausreichen; so hat man sich genöthigt gesehen, behuf Erzielung praktischer Resultate, in die Bewegung der flüssigen Massen gewisse Hypothesen einzuführen, welche geeignet sind, den verwickelten Zusammenhang zwischen den Bewegungen der einzelnen Massenteilchen möglichst zu vereinfachen, ohne dabei von der Wahrheit merklich abzuweichen. Diese Hypothesen bestehen besonders darin, daß man annimmt, die in einem Gefäße sich bewegende Flüssigkeit ergieße sich durch lauter Röhren, deren Querschnitte ungemein klein, wennauch nicht überall einander gleich, seien. In einer jeden solchen Röhre bewege sich die flüssige Masse so, daß alle Theilchen Ein und derselben sehr dünnen Querschicht mit gleicher Geschwindigkeit in der Richtung der Are der Röhre forteilen, sodaß die ganze Querschicht parallel zu sich selbst in der Arenrichtung der Röhre fortrückt, und dabei immer den ganzen Querschnitt der Röhre ausfüllt, indem ihre Dicke parallel zur Are mit diesem Querschnitte und den sonst noch sich ändernden Pressungsverhält- uissen variirt. In der letzteren Annahme, welche von der wahren Bewegung einer flüssigen Masse in einem röhrenförmigen Gefäße um so weniger verschieden sein wird, je kleiner die normalen 158 §. 55. Allgemeine Gleichungen für die Bewegung Querschotte dieses Gefäßes sind, besteht die Hypothese des Parallelismus der Querschichten. Außerdem wird vorausgesetzt, daß die Temperatur der Flüssigkeit in allen Theilen dieselbe sei, und sich mit dem Grade der Expansion oder Kompression, welche die Flüssigkeit im Laufe der Bewegung erfährt, nicht ändere. Betrachten wir jetzt die Bewegung irgend einer flüssigen Masse a-cko in einem röhrenförmigen Gefäße auf welches sich ohne erhebliche Abweichung von der Wahrheit die Hypothese von dem Parallelismus der Querschichten anwenden läßt, unter folgenden Voraussetzungen: 1) Auf die obere Endfläche erwirke in der Richtung e/' für jede Flächeneinheit des Querschnittes er- die Kraft auf die untere Endfläche ock dagegen in entgegengesetzter Richtung /'s die Kraft p" für die Flächeneinheit. Unter diesen Kräften hat man sich in der Regel die Pressungen der äußeren Mittel, z. B. der atmosphärischen Luft zu denken, in welche sich die Flüssigkeit ergießt. Übrigens kann man sich darunter auch andere Druckkräfte, bei einer elastischen Flüssigkeit z. B. unter /»" den Widerstand für jede Flächeneinheit vorstellen, welchen ein in der Richtung der Are 'ssk fortzuschiebender Stempel, wie etwa der Kolben einer Dampfmaschine, leistet. 2) Ferner seien in gewissen festen Punkten des Gefäßes auf die Flüssigkeit Kräfte angebracht, welche der Bewegung direkt entgegenwirken, deren Angriffspunkte sich aber ebenso, wie der Druck p" auf «ck, mit der Flüssigkeit bewegen; jedoch kann die Geschwindigkeit dieser Angriffspunkte in der Richtung der Are e/ von der Geschwindigkeit verschieden sein, welche die in demselben Punkte befindlichen Theilchen der Flüssigkeit besitzen. Irgend Eine dieser Kräfte, unter denen man sich z.B. einer Flüssigkeit in einer engen Röhre. IS9 den Widerstand der Schaufel eines Wasserrades oder einer Turbine denken kann, sei ll. 3) Auf ein jedes Massentheilchen irgend einer normalen Quer- schicht der Flüssigkeit wirke eine stetige Kraft, deren Richtung für alle Theilchen derselben Schicht konstant sei und sich unter dem Winkel S gegen die Are der Röhre neige, und welche im Stande sei, der Materie in der Zeiteinheit die Geschwindigkeit / mitzutheilen. Wenn es sich um die Bewegung einer schweren Flüssigkeit in einer ruhenden Röhre handelte, deren Richtung überall vertikal von oben nach unten gekehrt ist; so würde/°—A—31,2644 Fuß für die Sekunde werden. Handelte es sich um die Bewegung einer solchen Flüssigkeit in einer bewegten Röhre; so müßten bei der Bestimmung des Werthes und der Richtung von / auch diejenigen Kräfte mit berücksichtigt werden, welche durch die Bewegung der ganzen Röhre hervorgerufen würden, z. B. die Zentrifugalkräfte, wenn sich die Röhre, wie bei einem horizontalen Wasserrade, Lm Kreise um sich selbst drehete. 4) Die Form der Röhre llk sei von der Art, daß sich die Größe ihrer Querschnitte im Allgemeinen nur stetig, d. h. dergestalt ändere, daß die Dimensionen einer jeden folgenden sehr dünnen Schicht der Flüssigkeit in normaler Richtung auf der Are der Röhre nur unendlich wenig von den entsprechenden Dimensionen der nächst vorhergehenden Schicht verschieden seien. Jedoch seien mehrere Stellen an der Röhre vorhanden, wie die bei OH, wo sich der Querschnitt plötzlich um eine endliche Größe gegen den früheren vergrößere, und von Oll auf 4L übergehe, was auch eine plötzliche endliche Veränderung der Geschwindigkeit v, der Flüssigkeit in dem Querschnitte Oll zu der Geschwindigkeit in dem Querschnitte -1L zur Folge habe, wie wenn die Flüssigkeitsschicht bei Oll plötzlich einen Stoß erlitte und dadurch von der größeren Geschwindigkeit v, auf die kleinere Geschwindigkeit v? gebracht würde. 3) Die Flüssigkeit erleide auf eine gewisse Strecke an den Wänden der Röhre eine Art von Reibung, welche theils durch die Adhäsion der flüssigen Masse an die starren Gefäßwände, theils dadurch hervorgebracht wird, daß diese Wände nicht ISO tz. SS. Allgemeine Gleichungen für die Bewegung absolut glatt sind und durch die darauf befindlichen Erhabenheiten Störungen in der freien Bewegung der Flüssigkeit oder Verluste an lebender Kraft verursachen. Die Wirkung dieser »»eigentlich mit dem Namen Reibung belegten Kraft, auf die Mafseneinheit der Flüssigkeit bezogen, oder die Geschwindigkeit, welche diese Kraft der Materie in der Zeiteinheit zu ertheilen oder zu rauben fähig ist, wird allgemein eine Funktion von der Geschwindigkeit der Flüssigkeit in jedem besonderen Querschnitte und von den Dimensionen dieses Querschnittes sein, und werde mit I? bezeichnet. Die vorstehend genannten Kräfte 7/, p", k, / und k brauchen nicht nothwendig konstant zu sein, sondern können im Allgemeinen mit der Zeit variiren. Ist das Letztere wirklich der Fall; so sind unter jenen Größen diejenigen Werthe der fraglichen Kräfte zu verstehen, welche gleichzeitig am Ende der Zeit t stattfinden. Außer den im Vorstehenden angeführten Bezeichnungen sei « die Fläche irgend eines normalen Querschnittes «/Z in dem von der Flüssigkeit erfüllten Raume der Röhre, O', O" die veränderlichen Querschnitte crö, cck, in denen sich die obere und untere Fläche der Flüssigkeit am Ende der Zeit t befinden, «2 Zwei unmittelbar aufeinander folgende bestimmte Querschnitte OH und ölL der Röhre, welche sich plötzlich um unendliche Größen ändere, « die Länge des Theiles Ls der Are der Röhre von irgend einem festen Punkte L aus bis zum Querschnitte s', s" die Längen der Theile Le und L/ der Are der Röhre, v die Geschwindigkeit der Flüssigkeit im Querschnitte «/; am Ende der Zeit t, wobei dieselbe positiv gedacht wird, wenn sie in der Richtung er/' erfolgt, einer Flüssigkeit in einer engen Röhre. 161 v" die Geschwindigkeit der Flüssigkeit resp. in den beiden Endflächen «L, ock zu derselben Zeit, «i, vz die Geschwindigkeit der Flüssigkeit resp. in den Querschnitten OH und llL zu derselben Zeit, « die Geschwindigkeit des Angriffspunktes Einer der Kräfte k zu derselben Zeit, /t die Dichtigkeit oder die in der Volumeinheit enthaltene Masse der Flüssigkeit in der Schicht am Ende der Zeit k, Ltz, ^ die Dichtigkeit der Flüssigkeit resp. in den Querschnitten OH und .IL zu derselben Zeit, p der Druck der Flüssigkeit im Querschnitte auf die Flächeneinheit am Ende derselben Zeit t, iVl die Masse der Flüssigkeit, welche sich, vom Ende der Zeit r aus gerechnet, in der Zeiteinheit durch den Querschnitt der Röhre ergießt. Bringen wir auf die in Bewegung begriffene flüssige Masse ttLcke, welcher wir im Allgemeinen die Eigenschaft der Elastizität nach irgend einem Gesetze beilegen, das Prinzip der lebenden Kräfte in Anwendung, was nach dem vorhergehenden Paragraphe zulässig ist, sobal dwir nicht versäumen, die Wirkungen der elastischen Kräfte zwischen den verschiedenen Massentheilchen der Flüssigkeit mit in Rechnung zu ziehen. Zu diesem Ende betrachten wir die Flüssigkeit in ihrem Übergänge aus dem Zustande, in welchem sie sich am Ende der Zeit t befindet, zu dem, in welchem sie sich am Ende der Zeit kss-ckt befinden wird, suchen die Wirkungsgrößen zu bestimmen, welche die auf die Flüssigkeit wirkenden Kräfte während dieser Zeit beschreiben, und setzen dieselben gleich der Hälfte der lebenden Kraft, welche die Flüssigkeit während des Zeitelementes ckr gewonnen hat. Die unter Nr. 1, 2, 3 und 5 vorhin gedachten Kräfte liefern nur während des Zeitelementes ckt folgende Wirkungsgrößen: rrä 1) die auf den obersten Querschnitt 0' wirkende Kraft O'p', deren Angriffspunkt sich mit der Geschwindigkeit v' in direkter Richtung fortbewegt, also in der Zeit ckt den Weg v'ckt zurücklegt, liefert die Wirkungsgröße O'/r'v'ckt. Die auf den untersten Querschnitt O" wirkende Kraft 0"p", deren Angriffspunkt sich mit de^ Geschwindigkeit v" 162 §. SS. Allgemeine Gleichungen für die Bewegung in direkt entgegengesetzter Richtung jener Kraft bewegt, liefert die Wirkungsgröße —0"p"v"ckt. nck 2) Da der Weg, welchen eine jede der Kräfte R in direkt entgegengesetzter Richtung ihrer Wirkung während der Zeit ckt zurückgelegt, gleich «ckt ist; so ist die Wirkungsgröße derselben gleich —kuckt, und die Summe der Wirkungsgrößen aller ähnlichen Kräfte, wenn deren mehrere vorhanden sind, gleich — ^kuckt ——ckk^ku. sä 3) Die Masse einer Querschicht der Flüssigkeit bei von der unendlich geringen Stärke cks oder von dem Volum nick« ist ^mcks; demnach der Betrag der in dieselbe stetig wirkenden Kraft gleich />wck§. Diese Kraft wirkt unter dem Neigungswinkel S- gegen die Are der Röhre bei L. Da sich nun der Mittelpunkt der Schicht «/S mit der Geschwindigkeit v, also in der Zeit ckt um die Länge vckt in der Richtung der Are der Röhre fortbewegt; so folgt, daß der Weg, welchen dieser Punkt oder der Angriffspunkt der Kraft /^mcks während derselben Zeit in paralleler Richtung zu der Wirkung dieser Kraft beschreibt, gleich «cktoosS', also die gesuchte Wirkungsgröße jener Kraft gleich /zlmri oos S'.cksckt ist, daß man also für die Summe der Wirkungsgrößen aller in die flüssige Masse aLcko wirken- -den ähnlichen Kräfte ckt^/'zrvmoosS.cks hat, wobei das Integral, wenn die Röhre plötzliche Absätze, wie bei ckL besitzt, in mehrere zerlegt werden muß, welche sich auf die einzelnen stetig gebildeten Theile der Röhre beziehen, sck 5) Auf die Schicht der Flüssigkeit von der Masse zrwcks wirkt als Reibung die Kraft I>«cks ein, deren Angriffspunkt in der Zeit ckt ebenfalls den Weg vckt, aber in direkt entgegengesetzter Richtung jener Kraft durchläuft, so- daß die für die Reibung in Rechnung zu bringende Wirkungsgröße für die Schicht gleich — kztvicksvckt ist. Für den Gesammtbetrag der Wirkungsgröße der Reibung an allen Querschichten der Flüssigkeit zwischen ab und ock hat man also —ckt kick«. einer Flüssigkeit i» einer engen Röhre. 163 Da die Flüssigkeit im Allgemeinen als elastisch angenommen wird, sodaß sie fähig ist, unter der Einwirkung von Kräften ihre Dichtigkeit nach einem gewissen Gesetze zu ändern; so muß, um das Prinzip der lebenden Kräfte hier in Anwendung bringen zu können, auf sämmtliche innere Kräfte gehörig Rücksicht genommen werden, welche in Folge der elastischen Beschaffenheit der sich bewegenden Masse während der Bewegung durch die Zeit ckt hervorgerufen werden. Zu diesem Ende betrachten wir die in der Richtung der Are der Röhre gegen eine unendlich dünne Querschicht ^860 der Flüssigkeit sich äußernden Pressungen und die von denselben während des Zeitelementes ckt hervorgebrachten Wirkungen. Wäre die Verbindung der Mafsentheilchen der Flüssigkeit untereinander oder die Dichtigkeit von der Zeit t oder auch von dem Drucke welcher selbst eine Funktion von «ist, unabhängig; so würde auf die Wirkung jener inneren Pressungen weiter keine Rücksicht genommen zu werden brauchen, weil alsdann die wirkliche Bewegung der Schicht ^861) während des Zeitelementes ckk, bei welcher dieselbe in die Lage 61)88 kommt, als eine virtuelle Bewegung angesehen werden könnte, und da Dies von der gesammten Flüssigkeit gilt, es genügen würde, bei der Bewegung der ganzen Masse nur die Wirkungsgrößen der obigen äußerlich angebrachten Kräfte zu betrachten. Hiervon überzeugt man sich, wenn man beachtet, daß die Pressung gegen die vordere Fläche « der Schicht ^,861) gleich Mp ist. Diese Fläche ^8 rückt in der Zeit ck« um die Länge ^6—vckk—ck« vorwärts in die Lage 6V, sodaß die Wirkungsgröße der auf ^8 angebrachten Pressung — m/ivckt ist. Die entsprechende Wirkungsgröße der auf die Fläche 61) angebrachten ckfcapvck«) Pressung würde hiernach m/ivckt- ck« — v ck « Z- cksck« sein. Wenn man die Fläche 60 als Hintere Fläche der Schicht ^,860 ansieht, und beachtet, daß der Angriffspunkt der in dieser Fläche gegen die Schicht ^860 wirkenden Pressung sich in entgegengesetzter Richtung der Wirkung dieser Kraft bewegt; so hat man für die Wirkungsgröße derselben §. 53. Allgemeine Gleichungen für die Bewegung ckt->-—cksckt und demnach für die Summe der Wirkungsgrößen der beiden gegen und 6V wirkenden Pres- ck(topv) cksckt. Nimmt man die Summe aller dieser Größen für sämmtliche Schichten der Flüssigkeit zwischen der obersten und untersten Endfläche und O"; so kommt für die Wirkungsgröße aller inneren Pressungen während der Zeit ckt V) Berücksichtigt man, daß für die oberste Endfläche O oder für § —die Größe m/rv —und für die unterste Endfläche 0" oder für « —diese Größe —0"p"v" ist; so erhält man 0"/-" v" — cks — — ckt^ ck(cnpv) — (Op ein Ausdruck, welcher mit der Wirkungsgröße der ZeittZ-ckk ist diese Masse gleich ^-s- c--ck« — llcock -s- a> da sich während der Zeit ckt die Dichtigkeit ^ an jener Stelle um ändert. Während der Zeit ckt tritt nun aber in den obigen Raum die Masse ^c-ivckt ein, und durch die entgegengesetzte Seite tritt gleichzeitig die Masse (srwr> -j- — ^ aus. Nach dem vorhin ausgesprochenen Satze erhält man also nach zuvoriger Division mit cksckt die Gleichung welche man die Gleichung des Zusammenhanges oder der Kontinuität der Flüssigkeit nennt. Die vorstehenden beiden Gleichungen (234) und (235) bilden die Basis der ganzen Hydraulik. Man kann aus derselben nicht nur die meisten Fälle der Bewegung der Flüssigkeiten, sondern auch fast alle Untersuchungen über die hydraulischen Maschinen ableiten. Es wird noch bemerkt, daß die Masse der Flüssigkeit, welche sich während des Zeitraumes 1, vvm Ende der Zeit t aus gerechnet, durch den Querschnitt bewegt, offenbar . . . . (236) 8.56. Bestimmung des hydraulischen Druckes einer in einer Röhre sich bewegenden Flüssigkeit in irgend einem Punkte. Um den Druck p auf die Flächeneinheit zu bestimmen, welcher in irgend einem Querschnitte der vorhin betrachteten Flüssigkeit am Ende der Zeit e herrscht, ein Druck, welcher bei einer bewegten Flüssigkeit der hydraulische Druck zum Unter- i» einer bewegten Flüssigkeit. 173 schiede des im Gleichgewichtszustände herrschenden hydrostatischen Druckes heißt, braucht man offenbar auf den Theil der Flüssigkeit nur dieselben Betrachtungen anzuwenden, welche im vorhergehenden Paragraphe auf die ganze Masse aLckc angewandt sind, und man findet, daß hierzu die Gleichung (234) ohne Weiteres dienen kann, wenn man darin resp. a>, p, v, « an die Stelle von O", setzt. Es versteht sich von selbst, daß in der so veränderten Gleichung in den Ausdrücken Hd» und (v, —nur diejenigen Glieder aufgenommen werden dürfen, welche von Ursachen herrühren, deren Angriffspunkte zwischen den Flächen «b und aO liegen. Im Vorstehenden ist auf die Wirkung der Zentrifugalkraft keine Rücksicht genommen, welche sich auf die Theilchen der Flüssigkeit äußert, sobald Letztere sich in einer gekrümmten Röhre bewegt. Diese Kraft hat keinen Einfluß auf die Bewegung der Flüssigkeit, weil sie überall perpendikular gegen die Are der Röhre gerichtet ist und von der festen Röhrenwand aufgenommen Wird. Aus diesem Grunde ist alle Arbeit oder Wirkungsgröße der Zentrifugalkraft gleich null, und die linke Seite der Gleichung (234) wird nicht davon affizirt. Die in Rede stehende Kraft vermehrt aber den hydraulischen Druck der Flüssigkeit gegen den entgegenstehenden Theil der Gefäßwand um eine Größe, welche folgendermaaßen Näherungsweise bestimmt werden kann. sei ein Querschnitt der Röhre, L sein Mittelpunkt, rO die Richtung des Krümmungshalbmessers der Are der Röhre im Punkte sodaß der Krümmungsmittelpunkt nach der Seite von 0 hin liegt, und es sei die Tangente an den Umfang dieses Quer- 174 §. 58. Hydraulischer Druck. ^ Gl. (23 7> schnittes perpendikular auf rO gezogen. Betrachten wir irgend einen Punkt L in diesem Querschnitte; so leuchtet ein, daß alle in derselben Parallelen LL' mit liegenden Punkte von der Zentrifugalkraft gleich stark gedrückt werden, indem diese Parallele perpendikular auf der Richtung eO jener Kraft steht (vergl. die Prinzipien des ersten Abschnittes). Untersuchen wir daher den Druck auf die Flächeneinheit im Punkte L', indem wir /r'^' —— U, den Krümmungshalbmesser der Are der Röhre gleich -- setzen und die Geschwindigkeit der Theile der Flüssigkeit im ganzen Querschnitte, wie vorhin, gleich v annehmen. Ein Element, welches in der Richtung der Linie y'/r' die Stärke ck^ und in perpendikularer Richtung zu dieser Linie den sehr kleinen Querschnitt er besäße, würde, wenn die Dichtigkeit der Flüssigkeit im Punkte L' gleich zr wäre, die Masse besitzen, und nach bekannten Gesetzen der Mechanik würde der Druck, welchen die Zentrifugalkraft auf diese Masse in der Richtung y'// ausübt, gleich also der Druck, welchen dieselbe Kraft auf eine Masse der Flüssigkeit von der Stärke und von einem Querschnitte gleich der Flächeneinheit im Punkte /«' ausübt, V 2 , gleich sein. Bezeichnen wir den hydraulischen Druck auf die Flächeneinheit, welcher im Punkte L' oder überhaupt im Abstände ^ von der Linie m?r herrscht, mit und den im Abstände U-sickU von derselben Linie herrschenden Druck mit sodaß ck- den Zuwachs darstellt, welchen jener Druck in Folge der Zentrifugalkraft des Elementes von der Stärke erleidet; so hat man —.... ( 237 ) Für unpreßbare Flüssigkeiten hat die Dichtigkeit zr in allen Punkten denselben konstanten Werth. Bei solchen Flüssigkeiten kann man auch annehmen, daß der Druck - im Punkte oder für o gleich dein Drucke p sei, welcher sich aus dem vorigen Paragraphe für den Querschnitt «/) ergeben würde, wenn keine Zentrifugalkraft auf die Flüssigkeit einwirkte. Jntegrirt man daher unter der Voraussetzung solcher Flüssigkeiten die vorste- 175 Gl. (239) h. 57. Bewegung schwerer unpreßbarer Flüssigkeiten. hende Gleichung zwischen den Gränzen o und für z, und den entsprechenden Gränzen p und 7 für so erhält man - — ? Z- ^ ^ U .... (238) Bei elastischen Flüssigkeiten, wo die Dichtigkeit ze allgemein eine Funktion des Druckes - ist, hat man Bei der Integration dieses Ausdruckes könnte man von der Annahme ausgehen, daß der Druck ^ und die Dichtigkeit zr in der Mitte des Querschnittes a/?, also im Punkte e resp. gleich dem Drucke p und der Dichtigkeit ^ wären, welche sich aus dem vorigen Paragraphc für den ganzen Querschnitt bei mangelnder Zentrifugalkraft ergeben würde. Demnach hätte man für derartige Flüssigkeiten, wenn man —z,, setzte, c.-/-z,i) .... (239) n. Die Bewegung der schweren nnpreßbaren Flüssigkeiten. 8 . 57. Transformati on der allgemeinen Gleichungen (234) und (235) für den Fall, daß die in einer engen Röhre sich bewegende Flüssigkeit schwer und unpreß- bar sei. Unter Beibehaltung der in 8.55 eingeführten Bezeichnungen, auf welche wir bei den späteren Untersuchungen im AllgemcinenBezug nehmen werden, sei hier noch sr die Fläche eines bestimmten Querschnittes der Röhre, z.B. des untersten 6 V, r der vertikale Abstand vtz des 176 z. S7. Allgemeine Gleichungen für die Bewegung Mittelpunktes L des Querschnittes von dem festen Punkte L der Are der Röhre, r" die vertikalen Abstände IM und 1 , 1 V der Mittelpunkte der äußeren Endflächen «L und der Flüssigkeit von dem Punkte L am Ende der Zeit t, V die Geschwindigkeit, welche in dem bestimmten Querschnitte sr stattfinden müßte, damit durch diesen Querschnitt dieselbe Quantität der Flüssigkeit gehe, welche in derselben Zeit mit der Geschwindigkeit « durch den Querschnitt « geht, 31,2644 Fuß rheinl. die Beschleunigung der Schwere in der Sekunde, «, — ^9 das Gewicht der Volumeinheit der Flüssigkeit. In den Gleichungen des 8 s 55 wird nun zuvorderst die Dichtigkeit eine für alle Punkte der Flüssigkeit und für alle Zeiten konstante Größe, und man hat ferner w - 7^—0 und - 7 ^ — 0 . Außerdem ist für die stetige auf alle Massenelemente wirkende Kraft der Schwere und da diese Kraft in vertikaler Richtung abwärts wirkt; so hat man vosA — Hierdurch reduzirt sich die Gleichung (234) auf L" O'x'v'—0"p"r,"—Ukrr-s-rv^ ^ ^^^ ^ 2 ^ " Die Gleichung (235) wird )- Gl. (240) schwerer unpreßbarer Flüssigkeiten. 177 ro ck(wv) . -— o, al o auch 9 cks eiO-ir,) —o oder «r> — oonst. Da nun für den untersten Querschnitt K der Röhre « — ^ und v —V ist; so hat man c-ir, —,6V ..... (240) Dividirt man daher die obige Gleichung durch «B — iKV — OV — 0 "r,"—Mi'v^ — M2V2, bemerkt auch dabei, daß in dem Ausdrucke nur die Größe V von der Zeit und nur die Größe c-i von der Bogenlänge « abhängig, daß also ckv K e^V ckv KV cka> ckt cn ckt cks «2 ist; so erhält man ^/"I ,/ ck« /A »' A ckk/ « A Da offenbar und .V" 2" .V* 2 ^ 0 " /"ckw ^ , /1 _ w» ck«^ ^ VO"' O'V ist; so wird die vorstehende Gleichung 12 178 57. Allgemeine Gleichungen. Gl. (242a) L" —p"— ^krr -s- r«> (r" — --) — ^-^1 eis «, /eis w /LL2 LL2X ^ .... (241) Beachtet man nun, daß cks—vck« und auch ct«'—v'etr, also daß ferner nach Gl. (240) O'«'—KV ist; so hat man, wenn man hierin für v' den vorhergehenden Werth substituirt, O'li«' —KVcit ....(242) Verbindet man diese Gleichung mit der Gl. (241); so wird man im Stande sein, die Bewegung der Flüssigkeit genau zu bestimmen. Denn wenn die Figur der Röhre bekannt ist; so sind die L" L" Größen r', r", s", O', O" Funktionen von«'. Die Gleichung (241) ergibt also V als Funktion von Eine Substitution dieses Werthes von V in Gleichung (242) ergibt alsdann die Große §' als Funktion der Zeit r. Statt der Gleichung (242) würde man auch die Gleichung 0"! der Flüssigkeit, welche sich in der Zeit 1, vom Ende der Zeit e aus gerechnet, durch irgend einen Querschnitt der Röhre bewegt, würde nach Gl. (236), da z««v—-^-srv ist, /-t-'r / Veit r sein. Bezeichnet man das Volum dieser Masse mit tz; so hat man offenbar Gl. (243) §. 58. Bewegung einer bestimmten Quantität. 179 t-j-I tz—....(242») e Um den hydraulischen Druck /- zu bestimmen, welcher in irgend einem Querschnitte « herrscht, hat man nach §. 56 in Gleichung (241) offenbar nur co, s, 2 an die Stelle von 0", 2 " zu substituiren, und dieselbe alsdann mit den früheren Gleichungen (241) und (242) in Verbindung zu bringen. Wenn die Bewegung der gegebenen flüssigen Masse von der Art wäre, daß sich die Geschwindigkeit v in irgend einem Querschnitte « der Röhre, oder die Geschwindigkeit V in einem bestimmten Querschnitte LZ mit der Zeit r nicht mehr änderte, sodaß die Bewegung der Flüssigkeit einen gewissen Veharrungszu- stand angenommen hätte; so würde man in obiger Gleichung (241) und in den daraus abgeleiteten Gleichungen ckV — ckk — zu setzen haben, wodurch sich dieselben etwas vereinfachen würden. Bewegung einer schweren unpreßbarcn Flüssigkeit in einer Röhre, deren Querschnitte sich nur allmählig ändern. §. 58. Allgemeine Gleichungen für diesen Fall, wenn sich eine bestimmte Quantität der Flüssigkeit in einer Röhre fortbewegt, ohne aus der Röhre herauszufließen. Wenn auf die Flüssigkeit nur die Schwere wirkt, wenn die Reibung an den Nöhrenwänden vernachlässigt wird, und in der Röhre keine plötzlichen Veränderungen des Querschnittes vorkommen; so vereinfacht sich die Gleichung (241) auf 180 §. 88. Bewegung einer bestimmten Quantität Flüssigkeit. Gl. (247> Mit dieser Gleichung ist die folgende O'ck«' —LLVckt .... (244) oder die Gleichung 0"ä«"--LrVckt (244«) zu verbinden (vergl. 8. 57). Zur Bestimmung des im Querschnitte c-i stattfindenden Druckes p hat man die Gleichung -s rv(r-r') Setzt man der Kürze halber und eliminirt die Größe zwischen den Gleichungen (243) und (245); so erhält man für den Druck p p — p' — (/,' — p") Wenn der auf die Endflächen O und 0" sich äußernde Druck durch den einfachen Druck der atmosphärischen Luft hervorgebracht wird; so hat man diesem Drucke zu setzen. 8. 59. Fall, wo der Querschnitt der Röhre in allen Punkten konstant ist. Gl. (24g) §. S9. Fall, wo der Querschnitt der Röhre konstant ist. 181 Für diesen Fall hat man w--0"-K, —, und die Gleichungen (243) und (244) werden p'- p" w(r"--H ^ ^ («"-«<) ^, — Vck(, woraus durch Elimination von ckr folgt (r" ^ .... (248) s" —ist hier eine konstante Größe, und hängt von dem Volum der Flüssigkeit und von der Größe des Querschnittes der Röhre ab. r/ ist veränderlich und ergibt sich nach der Figur der Röhre als eine Funktion von sodaß durch die vorstehende Gleichung die Geschwindigkeit V als Funktion von gefunden werden kann. Für den hydraulischen Druck /, der Flüssigkeit in irgend einem Punkte hat man hier nach Gl. (247) p-?'- (p'-p")^^-, -i- w ^(-—-') - (r"--')A^-^.... (249) Z. 60. Fall, wo bei konstantem Querschnitte der Röhre die Are derselben eine gerade Linie ist. Wenn unter den übrigen Voraussetzungen des vorstehenden Paragraphs die Are der Röhre eine gerade Linie bildet, welche sich unter dem Winkel y, gegen den Horizont neigt; so wird konstant und — 81 NP, also Gleichung (248) VckV-s(8MP^- Hieraus ergibt sich, wenn man den Werth von für welchen V—o ist, mit 8^ bezeichnet, außerdem die konstante Größe 8 setzt, 182 §. ül. Bewegung einer Flüssigkeit in einer Röhre, Gl. (232) V 2§(8illP -s- («' -80 -(250) und für den hydraulischen Druck erhält man aus Gl. (249), da (r" ——(s —«O sill P — 2 —ist, cp^—p") .... (251) Die Bewegung der Flüssigkeit ist die eines Körpers, welcher der Wirkung einer beschleunigenden Kraft frei nachgibt, die ihm in der Zeiteinheit und in der Richtung der Are der Röhre eine Geschwindigkeit gleich ^(sinP -s- ^ ) mittheilt. Der Druck p verändert sich gleichförmig von dem Einen Ende der Flüssigkeitssäule zum anderen. Wenn p"—ist, wodurch V — s/2A8in P (»'—8') — 2A(r'—2') ...» (252) und p — .... (253) wird, indem man s^inP —und L^singp —^ setzt; so entspricht die Bewegung der Flüssigkeit der gleitenden Bewegung eines schweren Körpers auf einer Ebene, welche sich, wie die Are der Röhre, unter dem Winkel P gegen den Horizont neigt. Der hydraulische Druck ist in diesem Falle in allen Punkten der Flüssigkeit gleich dem atmosphärischen welcher sich auf jede der beiden Endflächen der Flüssigkeit äußert. §. 61. Bewegung einer Flüssigkeit in einer Röhre, wenn der obereSpiegel stets aufkon- stanter Höhe erhalten wird, und die Flüssigkeit sich in der Röhre fortbewegt, ohne aus derselben herauszu- fließen. Wenn der obere Spiegel O der Flüssigkeit stets auf derselben Höhe ^8 gehalten wird, d. h. wenn die bei ^,8 her- absinkenden Schichten sogleich mit derselben Geschwindigkeit durch neue ersetzt werden, Gl. (257) wenn der obere Spiegel auf konstanter Höhe erhalten wird. I8S während die untere Endfläche ock oder 0" der Flüssigkeit in der Röhre fortrückt; so wird O konstant, und man hat außerdem ^ — o, r/ — v. Hiernach ergibt die Gleichung (243) „..SS« o und hiermit würde man die Gleichung (244") oder 0"ck«" —QVckt ....(255) zu verbinden haben. Wenn alsdann statt der Gleichungen (246) § ) «/ tk- . . (256) - gesetzt wird; so hat man zur Bestimmung des hydraulischen Druckes p der Flüssigkeit im Querschnitte « statt der Gl. (247) 7- — — (p^ — p") 1^" §. 62. Ausfluß einer Flüssigkeit aus einer Röhre, wenn der obere Spiegel auf konstanter Höhe erhalten wird. Nehmen wir setzt an, die Flüssigkeit ergieße sich aus dem unteren Querschnitte 6V der Röhre, während die oberen Schichten im Spiegel ^6 so rasch ersetzt werden, wie sie hcrabsinkcn, indem sie dabei die jenen Schichten zukommende Geschwindigkeit erhalten; so hat man O konstant, 0"—^, «^ 0 , §. 62. Ausfluß aus einer engen Röhre. 184 Gl. (262) konstant —8, r/— 0 , konstant — L. Hierdurch wird die Gleichung (243) 8 ^ — p"-siro2 L> ./ a-^2- V 0'^-' und da sowol — o, wie «" — 8 konstant sind; so braucht weder die Gleichung (244), noch die Gleichung (244») weiter zu berücksichtigen. Für den hydraulischen Druck p im Querschnitte cu hat man nach Gl. (247), wenn man setzt, -s-rvl r . . (259) x—^ — N „X roV^r i>l" - 2§ 1.«^ (p< — p^) 0/2 (260) Wenn man der Kürze halber die konstanten Größen setzt; so folgt aus der Gleichung (258) ä.ckV . ( 261 ) ckt - 8st-6V2 . . . . (262) 185 Gl. (264) ?. 6S n. 64. Ausfluß UNS einer engen Rohre. Jetzt hat man bei der Betrachtung des vorliegenden Systemes wesentlich folgende drei Fälle zu unterscheiden: 1) der obere Querschnitt der Röhre ist kleiner, als die Ausflußöffnung 52, und mithin 0 positiv; 2) diese beiden Querschnitte O und Q sind einander gleich, also 6 —o; D der obere Querschnitt O ist größer, als die Ausflußöffnung LL, folglich 6 negativ. s. 63. Fall, wo der obere Querschnitt der Röhre kleiner, als die Ausflußöffnung, oder wo 6 positiv ist. Nimmt man in diesem Falle an, daß für « —o auch die Ausflußgeschwindigkeit V —s sei; so ergibt eine Integration der Gleichung (262) also ....c-6S) Die Geschwindigkeit V wächst mit der Zeit k ungemein rasch, und ist unendlich groß, wenn 1 6v oder . . . . (264) ist. Es würde also nicht möglich sein, den Ausfluß einer Flüssigkeit bei konstantem Oberspiegel aus einer Röhre auf die Dauer zu unterhalten, wenn die Ausflußöffnung größer wäre, als die Fläche des oberen Spiegels. S. 64. Fall, wo der obere Querschnitt der Röhre der Ausflußöffnung gleich, oder wo 6 —o ist. Ist auch in diesem Falle V —o für l — o; so ergibt die Gleichung (262) 186 z. 68. Ausfluß aus einer engen Röhre. Gl.(268) t — ^ V oder (265) 8 M Die Geschwindigkeit wächst in demselben Verhältnisse, wie die Zeit, sodaß es auch in diesem Falle nicht ausführbar sein würde, den stetigen Abfluß der Flüssigkeit unter den gegebenen Bedingungen zu erhalten. Für— p" würde (266) werden. Besäße gleichzeitig die Röhre überall einen konstanten Querschnitt w —so würde (267) werden, und wäre die Röhre ein gerader vertikaler Zylinder, für welchen man 8 — 2 hätte; so würde (268) sein §. 65. Fall, wo der obere Querschnitt der Röhre größer, als die Ausflußöffnung, oder wo 6 negativ ist. Setzt man auch in diesem Falle, welcher in der Praxis allein vorkommt, V —0 für t— 0 ; so folgt aus Gl. (262), wenn man annimmt, 6--1 1/»-ssVI/6 1/» — Vl/o also Gl. (270) §. 83. Ausfluß aus einer engen Röhre. 187 2 »-M, L 6 (269) worin IvA. einen natürlichen Logarithmus und e die Basis 2,718282 ... des natürlichen Logarithmensystemes bezeichnet. Wollte man den obigen Logarithmus aus den gewöhnlichen Tafeln nehmen; so hätte man denselben noch mit der Zahl 2,302585 zu multipliziren. Wenn der obere Querschnitt bedeutend größer ist, als die Ausflußöffnung LL; so wächst die Geschwindigkeit V sehr rasch mit der Zeit: aber nach sehr kurzer Zeit ist der Werth von V nicht merklich von der Gränze verschieden, welcher dieser Werth fortwährend zustrebt. Dieser Gränzenwerth von V ist Abstrahirt man also von den ersten Augenblicken der Bewegung, welche auf den Moment folgen, wo die Ausflußöffnung Q geöffnet wurde, und in welchen sich die Geschwindigkeit V immer Mehr beschleunigt; so kann die Bewegung der Flüssigkeit als gleichförmig angesehen werden, indem die Geschwindigkeit V in der Ausflußöffnung den konstanten Werth aus der letzten Gleichung behält. Bei alle den Fällen, wo es sich um den Ausfluß einer Flüssigkeit aus einer Öffnung LZ handelt, und wo die Flüssigkeit jenseit dieser Öffnung bis auf eine gewisse Entfernung einen zusammenhängenden Strahl bildet, während der Druck p" gegen die Flächeneinheit der Ausflußöffnung durch den Widerstand irgend eines Mediums, wie z. B. der atmosphärischen Luft, in welches sich die Flüssigkeit ergießt, hervorgebracht wird, kann hinsichtlich der Wirkung dieses Druckes die folgende allgemeine Bemerkung gemacht werden. Da der ausfließende Strahl der Flüssigkeit den direkten Zutritt des Mediums zu der Ausflußöffnung Q nicht verstattet; so 188 §. 66. Behm'nmgszustcwd einer aus einer kommt es in Frage, ob die Wirkung der Spannung dieses Mediums gegen die in der Öffnung LL befindlichen Theilchen der Flüssigkeit dieselbe sei, als wenn das Medium freien Zutritt zu jener Öffnung hätte, und gegen dieselbe in ähnlicher Weise drückte, wie Dies ein dagegen angebrachter Stempel thun würde. Um Dies einzusehen, braucht man nur den ganzen auöflie- ßenden Strahl von der Ausflußöffnung LL bis zu den Punkten zu betrachten, wo der Zusammenhang seiner Theilchen aufhört. Wäre dieser Strahl rings herum von einem Medium umgeben, welches in allen Punkten denselben Druck p" auf die Flächeneinheit ausübte; so würden sich sämmtliche Pressungen des Mediums auf die äußere Oberfläche des Strahles im Gleichgewichte erhalten (vergl. die Prinzipien des ersten Abschnittes). Nun ist aber der fragliche Strahl nicht ringsherum von demMedium umgeben, nämlich an der Stelle nicht, wo er an der Ausflußöffnung K haftet, wohin das Medium nicht gelangen kann. Hieraus folgt, daß die auf die übrigen Theile des Strahles wirkenden Pressungen eine Resultante haben, welche gleich dem Drucke ist, den das Medium unmittelbar auf die Öffnung LL auszuüben vermöchte, und deren Richtung auch mit diesem Drucke zusammenfällt. Mit anderen Worten, der ansfließende Strahl wird durch die Pressungen des umgebenden Mediums mit der Kraft Kp" und in normaler Richtung gegen die Ausflußöffnung gedrückt, und bringt hierdurch gegen die in der Öffnung LL befindlichen Theilchen denselben Druck für jede Flächeneinheit hervor, wie wenn das Medium direkten Zutritt zu jenen Theilchen hätte. tz. 66. Beharrungszustand einer aus einer Röhre sich ergießenden Flüssigkeit. Wenn die Bewegung einer Flüssigkeit von der Art ist, daß durch einen jeden Punkt des von derselben eingenommenen Raumes zu jeder Zeit Theilchen der Flüssigkeit von derselben Dichtigkeit, Geschwindigkeit und Richtung hindurchgehen; so sagt man, die Flüssigkeit befinde sich im Beharrungszustande. Der Beharrungszustand einer aus einer Röhre sich ergießenden Flüssigkeit macht es also erforderlich, daß die in den verschiedenen Punkten stattfindende Dichtigkeit von der Zeit nnabhän- Gl. (272> 189 Röhre sich ergießenden Flüssigkeit, gig, daß also ^—o sei, was bei unprcßbaren Flüssigkeiten stets der Fall ist, ferner daß die Geschwindigkeit V von der Zeit unabhängig oder daß sei. Hierausfolgt, daß man die Eigenschaften des Beharrungszustandes einer unpreßbaren Flüssigkeit, welche sich aus einer stets voll erhaltenen Röhre ergießt, wenn man in den Formeln des Zs 62 —o setzt. Dies ergibt nach Gl. (258) p" -s- rvX also . . . . (271) eine Formel, welche mit der im vorigen Paragraph durch eine andere Betrachtung gefundenen Gleichung (270) vollkommen übereinstimmt, wie man wol vorhersehen konnte. Es geht auch aus dieser Formel hervor, daß ein Beharrungszustand nur dann möglich ist, wenn die Ausflußöffnung Q kleiner ist, als der oberste Querschnitt O der Röhre, weil sonst der Werth von V imaginär werden würde. Sind die Pressungen ^ und gegen die äußersten Querschnitte und sr einander gleich, bestehen dieselben z. B. aus dem Drucke der atmosphärischen Luft; so wird * 0-2 Aus dieser Gleichung folgt ^" 2 § 2 § 0 " ' Bezeichnet man nun die Geschwindigkeit der Flüssigkeit Lm GI. (275, ISO §. 60. Beharrungkzustand einer aus einer obersten Querschnitte O wieder mit r/; so hat man VsL- also 2 2 § 2 §- . . (273) woraus folgt, daß die Druckhöhe 2 gleich der der Ausflußgeschwin« digkeit V zukommenden Fallhöhe, weniger der der Geschwindigkeit r/ im obersten Querschnitte zukommenden Fallhöhe ist. Aus Gl. (273) folgt auch für die Ausflußgeschwindigkeit V V — .... (274) Wäre die Ausflußöffnung L im Vergleich zu der Fläche des oberen Spiegels 0^ sehr klein, svdaß man die Große ^ gegen die Einheit vernachlässigen könnte; so würde man einfach ....(275) haben. Aus diesen Formeln sieht man, daß die Bewegung der Flüssigkeit im Beharrungszustande durchaus nicht von der Form der Röhre, sondern nur von dem Unterschiede der Pressungen auf die beiden Endflächen, von dem Verhältnisse des obersten und untersten Querschnittes und von dem vertikalen Abstände 2 dieser beiden Querschnitte abhängt. Im letzteren Falle, wo die äußeren Pressungen gleich, und die Ausflußöffnung LL im Verhältniß zur oberen Spiegelfläche der Flüssigkeit ungemein klein ist, hängt die Geschwindigkeit V nur von dem vertikalen Abstände 2 des Mittelpunktes der Ausflußöffnung von dem Mittelpunkt der oberen Spiegelfläche ab. Dieser Abstand würde für eine im Gleichgewichte befindliche Flüssigkeit die Druckhöhe über dem Mittelpunkte der Ausflußöffnung heißen; man behält diese Benennung auch bei einer in Bewegung begriffenen Flüssigkeit bei. Die nach der Formel (275fl berechnete Geschwindigkeit V nennt man die der Druckhöhe 2 zukommende Ausflußge- schwindigkeit, während 2 die der Ausflußgeschwindigkeit V zukommende Druckhöhe ist. Man erkennt leicht, daß die nach Gl. (275) bestimmte Geschwindigkeit V dieselbe ist, welche ein von der Höhe 2 frei herabfallender schwerer Körper angenommen haben würde, woraus Gl. (280) Röhre sich ergießenden Flüssigkeit. ISl folgt, daß unter den für jene Gleichung bestehenden Bedingungen die im Beharrungszustande aus der Ausstußöffnung tretenden Theilchen der Flüssigkeit dieselbe Geschwindigkeit besitzen, als wenn sie vom oberen Spiegel frei herabgefallen wären. Hierin besteht der von Torricelli zuerst aufgestellte Lehrsatz. Da die Geschwindigkeit V konstant ist; so findet man für das Volum tz der Flüssigkeit, welches sich in jeder Zeiteinheit aus dem Querschnitte K ergießt, oder für die Ausflußmenge der Rohre für die Zeiteinheit cr^KV, ....(276) worin man für V je nach den Umständen den Werth aus Einer der Gleichungen (271), (272) oder (275) zu substituiren hat. Wenn die äußeren Pressungen gleich und die Ausflußöffnung im Verhältniß zum oberen Spiegel der Flüssigkeit sehr klein wäre; so würde man tz —.... (277) haben. Um den hydraulischen Druck? zu bestimmen, welcher während des obigen Beharrungszustandes in irgend einem Querschnitte « der Röhre herrscht; so hat man hierfür nach Gl. (245), da hier r'—« und ^ — o ist, also . (278) oder wenn man für V seinen Werth aus Gl. (271) substituirt, .... (279) sroL-f- (?'—?")) — -1 0 " 1 sr Für den Fall, daß die Pressungen?' und?" einander gleich Wären, würde O" -1 .... ( 280 ) sein. /Z2 — 1 192 z. 68. Behan'ungSzustmid einer mis einer Aus den letzteren Formeln ersieht man, daß der Werth des in irgend einem Querschnitte « der Röhre stattfindenden hydrau- lichen Druckes nicht von der Figur der Röhre, sondern nur von den Verhältnissen und — und von der Tiefe 2 des Querschnittes w unter dem obersten Spiegel der Flüssigkeit abhängt. Dieser Druck ist um die Größe kleiner, als der hydrostatische Druck //-s-rv2, welcher im Querschnitte m herrschen würde, wenn die Flüssigkeit in Ruhe wäre, und man steht, wie sich der Druck gegen die Röhre vermindert, wenn die Ausffußgeschwindigkeit V zunimmt. Bei der Gleichung ( 280 ) haben wir übrigens noch folgende für die Bewegung der Flüssigkeit sehr wichtige Bemerkung zu machen. Man erkennt daraus, daß es möglich ist, daß der Werth des Druckes in irgend einem Querschnitte c„ negativ ausfallen könne. Dies wird sich ereignen, wenn die Größe des in der Tiefe 2 unter dem Oberspiegel liegenden Querschnittes w unter einen gewissen Gränzwerth herabsinkt, oder sobald man hat. Wenn der Druck in irgend einem Querschnitte aber negativ sein sollte; so würde Dies heißen, daß die Röhrenwände in diesem Querschnitte von der Flüssigkeit nicht nach außen gedrückt, sondern nach innen gezogen würden. Eine solche Wirkung vermag eine Flüssigkeit wegen ihrer physischen Konstitution offenbar nicht zu leisten, und es folgt, daß die Flüssigkeit unter den gedachten Umständen entweder den Querschnitt 01 nicht erfüllen, sondern sich an dieser Stelle, auch wol schon etwas früher, von den Röhrenwänden losreißen und im Innern der Röhre einen freien Strahl bilden wird, oder daß, wenn der Querschnitt w wirklich gefüllt bleibt, sich die Flüssigkeit von der Ausflußöffnung LL her aufwärts bis zu einem gewissen Punkte von den Röhrenwänden trennen wird, sodaß sich dadurch die eigentliche Ausflußöffnung verkleinert und auf den Durchschnitt des entstehenden freien Strahles an dieser Stelle reduzirt; denn man erkennt durch Gl. <280») Röhre sich ergießenden Flüssigkeit. 1S3 Gl. (280), daß der Werth von p bei jeder Kleinheit von M doch dadurch positiv erhalten werden kann, daß die Ausflußöffnung klein genug gemacht wird, indem zu diesem Zwecke nur 14 rvX zu sein braucht. In dem letzteren Falle braucht sich die Trennung der Flüssigkeit von den Röhrenwänden nicht gerade bis zum Querschnitte w zu erstrecken. Wenn die Trennung jedoch schon im Querschnitte w stattgefunden hat; so wird eine Vereinigung mit den Röhrenwänden bis zur Ausmündung K, wenigstens in dieser Öffnung L2 selbst nicht wieder stattfinden könyen: denn wenn « schon so klein war, daß dadurch der Werth von ^ aus Gl. (280) negativ wurde; so wird ein noch kleinerer Querschnitt, den doch jedenfalls der getrennte Strahl haben würde, den Werth von p noch eher negativ machen, falls >6 unverändert bliebe. Aus dem Vorstehenden folgt, daß wenn auch die konstante Ansflußgeschwindigkeit V dann schon möglich ist, wenn nur die Ausflußöffnung LZ kleiner ist, als der obere Spiegel O der Flüssigkeit, der Durchfluß durch die Röhre unter der Bedingung, daß die Letztere überall gefüllt sei, doch nur dann erfolgen kann, wenn die verschiedenen Querschnitte der Röhre der Bedingung K2 , V O"/ . . . (280°) folgen oder wenn die Ausflußöffnung der Bedingung 1 . . ( 280 ») ein Genüge leistet. Wäre diese Bedingung nicht erfüllt, und wollte man den Zustand des gleichförmigen Ausflusses der Flüssigkeit unter den gegebenen Umständen bestimmen; so hätte man denjenigen Querschnitt der Röhre zu ermitteln, in welchem sich die Flüssigkeit zuerst von den Wänden trennt. Dieser Querschnitt wäre als- 13 1S4 ?, 68. Beharrungszustand einer aus einer dann als Ausflußöffnung zu betrachten. Bezeichnet man denselben mit ^ und dessen Tiefe unter dem Oberspiegel mit 2^; so ist der Werth desselben an die Bedingung geknüpft, daß es der möglichtiefste sei, für welchen auf die ganze Ausdehnung des vorhergehenden Theiles der Röhre die Ungleichheit 0,2 ) realisirt werde. Wenden wir das letztere Resultat auf ein beständig voll erhaltenes röhrenförmiges Gefäß an, welches sich unten in eine Röhre von konstantem Querschnitte L endigt. Der obere Spiegel ^8—O sei sodaß überhaupt ein Beharrungszustand möglich ist. Um nun zu untersuchen, ob es möglich ist, daß das ganze Röhrenstück 68V6 von Flüssigkeit gefüllt bleibe, oder wenn Dies nicht der Fall, wo die Trennung des Strahles von den Wänden der Röhre stattfinde, wo also die eigentliche Ausflußöffnung ^ liege, haben wir in der Ungleichheit « — >6 zu setzen, wodurch dieselbe l)' S->) wird und nach gehöriger Reduktion -f-«, r—«> 2 ) ^ n 2 — roX) O 2 ergibt. Um dieser Ungleichheit zu genügen, wäre es erforderlich, >a ist, daß -wL eine positive Größe, oder daß für die ganze Ausdehnung des Röhrenstückes 66 sei. Fände diese Ungleichheit nicht für alle Werth der Veränderlichen - für die ganze Ausdehnung des Röhrentheiles 66 statt; Gl. (280°) Röhre sich ergießenden Flüssigkeit. 1SS so würde die Flüssigkeit die Röhre nicht bis zur Mündung Oll ausfüllen können. Da der Werth von --s-r umso kleiner wird, je klei- rv ner r ist; so folgt, daß der obigen Ungleichheit für die ganze Ausdehnung der Röhre genügt wird, sofern nur 2 kleiner ist, als der kleinste für r zu sekende Werth, plus ro Bezeichnet man nun die Tiefe des Querschnittes OK unter dem Spiegel ^6 mit si; so muß sein. Ist Dies nicht der Fall; so reißt sich die Flüssigkeit in einem Querschnitte von den Wänden der Röhre los, dessen Tiefe ^ unter dem Spiegel ^8 durch die Gleichung L' —. . . . ( 280 -) gegeben ist, sodaß die Tiefe des Querschnittes 0 unter OK gleich ist. (Hierbei ist vorausgesetzt, daß die Querschnitte des Theiles ^8K0 des Gefäßes gegen die des Theiles OO bedeutend größer seien, sodaß eine Trennung der Flüssigkeit von den Gefäßwänden oberhalb OK nicht zu erwarten ist.) Befände sich das ganze Gefäß ^8V0 im luftleeren Raume, sodaß der Druck ^ gegen die Endflächen der Flüssigkeit null wäre; so würde ^ —L oder die Tiefe des Querschnittes 0 unter OK gleich null werden. Im luftleeren Raume würde es also nicht möglich sein, eine unpreßbare Flüssigkeit aus einem etwas weiteren Behälter in einer Röhre von konstantem Querschnitte, welche sich senkt, weiterzuleiten, ohne daß sich die Flüssigkeit von den Wänden dieser Röhre losrisse. Liefe die Röhre von OK aus horizontal weiter; so könnte sie überall gefüllt bleiben. Erhöbe sich die Röhre mit ihrer Mündung ÖO über OK; so würde dieselbe ebenfalls von der Flüssigkeit ausgefüllt werden. Im lufterfüllcn Raume, wo der Druckauf den Qua- 196 z. 66. Bkharrungßzustand einer aus einer dratfuß etwa 209t Pfund beträgt, während das Gewicht eines Kubikfußcs Wasser gleich 66 Pfund ist, würde ^- — -^-—31,7 Fuß sein, d. h. in dem Röhrenstücke 66 wäre Wasser nur bis auf eine Tiefe von etwa 31,7 unter dem Querschnitte 66 fortzuleben, wenn dasselbe die Röhre überall erfüllen sollte: senkte sich die Röhre tiefer; so würde -sich das Wasser von den Röh- renwändcn trennen. Diese Tiefe —— 31,7 Fuß entspricht übri- ro gens genau der Höhe einer Wassersäule, welche dem atmosphärischen Drucke das Gleichgewicht zu halten vermag. Aus dem Vorstehenden folgt ferner, daß wenn sich die Röhre 66 auch tiefer herabsenkt, als um die Größe Dies auf die Ausflußmenge keinen Einfluß haben kann, da der in der Tiefe unter dem Spiegel ^,6 liegende Querschnitt 6 der Röhre als eigentliche Auöflußöffnung angesehen werden muß. Die Geschwindigkeit in dieser Öffnung wird nach Gl. (275) (da hier >6 im Vergleich zu O als sehr klein angesehen wird) und daher die Ausflußmenge sein. Eine größere Quantität Flüssigkeit kann aus der Mündung 6 V nicht hcrauSfließen, und wenn sich die Röhre 66 von konstantem Querschnitt noch so tief in vertikaler Richtung herabsenkt. Wollte man eine größere und zwar eine der gesammtcn Druckhöhe X entsprechende Ausflußmenge aus der Mündung L2 erzielen; so müßte man die Röhre nach oben angemessen erweitern. Diese Erweiterung könnte übrigens oberhalb LZ einen konstanten Querschnitt erhalten, welcher nach der Formel (280°) nur ^ ^ ()"/ sein müßte. Gl. (281 > Röhre sich ergiehendeii Flüssigkeit, U>7 8. 67. Beharrungszustand einer aus einer Röhre sich ergießenden Flüssigkeit unter der Bedingung, daß in jeder Zeiteinheit eine bestimmte Quantität der Flüssigkeit in die Röhre geführt werde. Im vorigen Paragraph wurde der Beharrungszustand einer Flüssigkeit unter der Voraussetzung betrachtet, daß die Röhre immer bis zu einem gewissen Querschnitte 0^ oder bis zu einer gewissen Höhe L voll erhalten würde. Hieraus ergab sich denn nach den Gleichungen (271), (272) oder (275) die Ausflußgeschwindigkeit V und nach Gl. (276) die Ausflußmenge tz, welche offenbar gleich der Quantität der Flüssigkeit ist, die in dem obersten Querschnitte 0^ während jeder Zeiteinheit eingeführt werden muß, um den obersten Spiegel auf der Höhe des Querschnittes ()/ zu erhalten. Denken wir uns jetzt, es sei die letztere Quantität tj gegeben, welche während jeder Zeiteinheit in die Röhre gegossen wird, und es solle die Höhe L bestimmt werden, in welcher sich unter diesen Umständen der oberste Spiegel O der Flüssigkeit halten wird. sobald der Beharrungszustand eingetreten ist. Da in diesem Zustande (j auch die Ausflußmenge für jede Zeiteinheit bezeichnet; so hat man oder wenn man für V seinen Werth aus Gl. (271) setzt, . . (281) Wenn die Figur der Röhre gegeben ist; so wird ein jeder Querschnitt der Röhre eine Funktion seiner vertikalen Höhe über der Ausflußöffnung sein. Demnach wird 0^ eine Funktion von 2 sein. Substituirt man diese Funktion für 0*, und löst die vorstehende Gleichung für L auf; so erhält man die gesuchte Höhe, in welcher sich der oberste Spiegel der Flüssigkeit im Bc- harrungszustande erhalten wird. Wäre p'—und die Ausflußöffnung 12 sehr klein gegen olle übrigen Querschnitte der Röhre, sodaß man die Größe ^ <>8, Ausfluß aus einer Röhre, Gl. (28S) IU8 aeaen die Einheit vernachlässigen könnte; so würde man aus Gl. (281) ^ erhalten. 2 §- 0 ' . . . (282) K. 68. Ausfluß einer Flüssigkeit aus einer Röhre, wenn der obere Spiegel allmäh- lig herabsinkt. Wenn die in der Röhre enthaltene Flüssigkeit «LVO aus der unteren öffnung 6v ausfließt, indem sich der obere Spiegel «L allmählig in der Röhre herabsenkt; so hat man O" konstant — §2, «" konstant, konstant; mithin nach Gl. (243) Kv<> -K).... SM Setzt man bei dem hier in Rede stehenden Falle die veränderlichen Größen ke ——8 und kiVl—r"—r/—X, indem man die § und 2 jetzt vom untersten Querschnitte, oder vom Punkte k aus, und nicht, wie früher, vom Punkte I, aus mißt; so wird die vorstehende Gleichung v-(,-KY ..„c-W Da hier — ck8 ist; so hat man wegen Gleichung (244) -(Vck8^22Vckt, -(285) welche mit der Gl. (284) zu verbinden ist. Für den hydraulischen Druck p in irgend einem Querschnitte « der Röhre würde man nach Gl. (247) haben, wenn man abgekürzt Gl. <28S) wenn der Obcrspiegel allmähllg hcrnbsinkt. 1 !)» ,/ 6) / 8 m — N" .... (286) setzt, - (p- - p") ^ -)-w^(X 2 ) 2§ §. 69. Besonderer Fall, wo die Ausflußöffnung 22 ungemein klein ist gegen alle übrigen Querschnitte der Röhre, und wo die Letztere ein vertikal stehendes prismatisches Gefäß bildet. Betrachten wir die im vorhergehenden Paragraph näher bezeichnete Aufgabe unter der Einschränkung, daß die Ausflußvff- nung 22 ungemein klein sei gegen alle übrigen Querschnitte der Röhre; so kann man in Gleichung (284) die in 42? multiplizir- ten Glieder, als sehr kleine Größen, gegen die übrigen vernach- «kV lässigen. Thut man Dies, indem man auch das in 22 — multi- plizirte Glied unterdrückt, da nach Gl. (285) ckt —— ' also 22^^ —ist; so erhält man —2^ V^, mithin V — ^/2.s (2 -s- —- - - - (288) und wenn die Pressungen auf die äußersten Querschnitte einander gleich sind, V ^ ^2^2 .... (289) Die Geschwindigkeit in der Ausflußöffnung ist also für diesen 200 §. 69. Ausfluß aus einem Gefäße, Gl. <290! Fall gleich der der Druckhöhe X zukommenden Ausflußgeschwin- digkcit. Für den Druck ^ in irgend einem Querschnitte der Röhre erhält man unter den gemachten Voraussetzungen wegen Gl. (287) wV2 N 2§ und wenn man darin für V den obigen Werth aus Gl.(288) setzt, ^1—— 2 ) ...«(290) Der Werth des Druckes ist hiernach derselbe, als wenn die Flüssigkeit in Ruhe wäre, ein Resultat, welches nicht befremden darf, wenn man erwägt, daß die Ausflußöffnung O ungemein klein gegen irgend einen anderen Querschnitt der Rohre angenommen ist, woraus hervorgeht, daß die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in jedem anderen Querschnitte « sehr klein ist und fast gleich null angesehen werden kann. Nehmen wir jetzt noch an, daß die Röhre prismatisch sei und vertikal stehe, sodaß ihr Querschnitt « eine konstante Größe O wird und man überall die Buchstaben r und L resp. an die Stelle von « und 8 setzen kann. Aus Gl. (285) folgt alsdann O ckL ttk A V ' oder wenn man für V den Werth aus Gl. (288) substituirt, ckX o ^ ,// Hieraus ergibt sich durch Integration, wenn man den Werth von L für t —0 mit T bezeichnet, t — 0 - M. (284, wenn der Spiegel allnüihlig herabsinkt. 20 l Der Werth von r aus dieser Gleichung stellt die Zeit dar, welche erforderlich ist, damit sich der Spiegel der Flüssigkeit von der Höhe ^ über der Ausflußöffnung bis zur Höhe L Herabsenke. Für L—o ergibt der Ausdruck 20 // — . . (292) die Zeit, in welcher sich das Gefäß ganz leert. Wenn die Pressungen und auf die beiden äußersten Querschnitte einander gleich sind; so hat man für die Zeit t, in welcher sich der Spiegel von der Höhe T bis auf die Höhe 2 herabsenkt, r — 20 .Os/ZA (f// —j/?), . . (293) und für die Zeit 7°, in welcher sich das ganze Gefäß leert, 4 ^ 20 . . . (294) Wäre die Röhre immer bis zur Höhe t voll erhalten; so würde unter den letzteren Voraussetzungen nach den Gleichungen (276) und (275) in jeder Zeiteinheit das Volum ausgeflossen sein. Zum Ausfließen eines der ganzen in der Röhre momentan enthaltenen Flüssigkeit gleichen Volums 0^ würde also bei konstanter Druckhöhe die Zeit LZ V 2 §> erforderlich sein. Aus diesem und aus dem Ausdrucke (294) folgt, daß die Zeit, in welcher sich das eben betrachtete Gefäß für den Fall, wo p' —p" ist, leert, doppelt so groß ist, als die Zeit, in welcher aus dem bis zur Höhe X beständig voll erhaltenen Gefäße ein gleiches Volum der Flüssigkeit herausfließt. 202 70. Fall, wo der Oberspiegel gleichförmig sinkt. Gl. (290) Wenn man den aus Gl. (293) sich ergebenden Werth von in Gl. (289) einführt; so kommt (295) woraus man sieht, daß die Ausflußgeschwindigkeit unter den hierbei gemachten Voraussetzungen eine gleichförmig verzögerte ist. §. 70. Fall, wo die Form der vertikal stehenden Röhre die Bedingung erfüllen soll, daß sich beim Ausflüsse der Flüssigkeit der obere Spiegel in gleichen Zeiten um gleich viel Herabsenke. Dieser Fall kommt bei der Konstruktion der Wasseruhren vor, wo die Ausflußöffnung im Vergleich zu allen übrigen Querschnitten der Röhre, welche in Betracht kommen, ungemein klein ist, und wo die Bedingung gegeben ist, daß sich der obere Spiegel der Flüssigkeit in jeder Zeiteinheit um eine konstante Größe « Herabsenken soll. Da die Senkung des Spiegels in der Zeit rkt gleich «ckt ist, L2 V diese Senkung nach Gl. (285) aber durch oder wenn man für V den Werth I/ 2 A 2 aus Gl. (289) setzt, durch dargestellt wird; so hat man die Bedingungs- gleichung oder woraus ( 296 ) folgt. Gl. (297) §.71. Bewegung in einem Gefäße von beliebiger Gestalt. 2N3 Durch diese Gleichung ist man im Stande, die Größe des Querschnittes O' zu bestimmen, welchen das Gefäß in der Höhe 2 über der Ausflußöffnung haben muß. Wären alle Querschnitte des Gefäßes Kreise, deren veränderlicher Halbmesser ^ sei; so hätte man mithin "och Gl. (296) . . (297) Bewegung einer schweren unpreßbarcn Flüssigkeit in einem Gefäße von beliebiger Gestalt, dessen Querschnitte sich nur allmählig ändern. z. 71. Bewegung einer solchen Flüssigkeit in einem Gefäße mit vertikaler Are, dessen Ausflußöffnung sich nach innen dergestalt erweitert, daß alle Theilchen der Flüssigkeit parallel zur Are austreten können. Wenn die Form des Gefäßes in welchem sich eine Quantität a-cko der Flüssigkeit bewegt, von der vorstehend beschriebenen Beschaffenheit ist; so erkennt man leicht, daß man auf dasselbe ohne erhebliche Fehler die Hypothese des Pa- rallelismus der Querschichten anwenden, also annehmen kann, daß irgend eine horizontale Schicht von dem Querschnitte « und der vertikalen Stärke ckr — vckt während des Zeitelementes ckt in die Lage der nächst folgenden Schicht von dem horizontalen Querschnitte -o-st- ckai und der vertikalen Stärke (v-s-cko) cke rücke, selbst wenn « nicht mehr, wie früher, sehr klein, sondern von beliebiger Größe gedacht wird. Unter diesen Umständen fällt aber der hier zu betrachtende Fall ganz und gar mit denen zusammen, welche in den Paragraphen 58 bis 70 näher erörtert sind, sobald man die Are der dort untersuchten Röhre nur vertikal annimmt, also überall die Größen r, r', r", X,, L' unter Beziehung auf dieselben Querschnitte 204 §. 72. Bewegung in einem Gefäße von beliebiger Gestalt. des Gefäßes, sowie es in jenen Paragraphen erläutert ist, an die Stelle der korrespondirenden Größen s, »',«",8,8' setzt. Sämmtliche Formeln jener Paragraphen behalten für das vorliegende Gefäß unter den verschiedenen dort untersuchten Bedingungen der Bewegung oder des Ausflusses der Flüssigkeit ihre allgemeine Gestalt bei, und führen zu bestimmten Auflösungen, sobald man die Abhängigkeit irgend eines Querschnittes « von der zugehörigen Ordinate 2 kennt. §. 72. Bewegung einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit in einem Gesäße von beliebiger Gestalt, dessen Querschnitte sich allmählig ändern, und dessen Ausflußöffnung nach innen allmählig dergestalt erweitert ist, daß alle Theilchen der Flüssigkeit parallel zur Normalen auf dieser Öffnung austreten können. Auf ein solches Gefäß von der feststehenden allgemeinen Gestalt läßt sich die Hypothese vom Parallelismus der Querschichten nicht ohne Weiteres anwenden. Wenn nun aber auch die Bewegung der Theilchen der Flüssigkeit im Innern des Gefäßes unbekannt ist; so leuchtet doch ein, daß man Näherungsweise annehmen könne, jene Theilchen bewegen sich in Kurven, wie L-k, oder in Kanälen von ungemein kleinem Querschnitte, deren oberes Ende auf dem horizontalen Oberspiegcl und deren unteres Ende auf der Ebene des unteren Querschnittes Ov normal stehe. Kennte man nun die Form dieser Kanäle Lek, sowie die Größen der Querschnitte - für die entsprechende vertikale Ordinate Ltz —r; so würde man auf die Bewegung der Flüssigkeit in einem jeden solchen Kanale die Betrachtungen der Paragraphe 58 bis 70 in Anwendung bringen und durch eine geeignete Zusammensetzung der betreffenden Resultate die wichtigsten Momente der Bewegung der ganzen Flüssigkeit in dem gegebenen Gefäße darstellen können. Da jedoch diese Elemente nicht bekannt sind; so folgt, daß man auf die Auflösung aller derjenigen Fälle bis jetzt verzichten muß, wo es nach jenen Paragraphen auf die fragliche Bekannt- Gl. (299) §. 73. Beharrlicher Ausfluß aus einem beliebigen Gefäße. 205 schüft der gedachten Kanäle ankommt, daß man aber in den übrigen Fällen, welche von der Form dieser Kanäle unabhängig sind, brauchbare Resultate erwarten darf. Der letzteren Fälle sind nur die beiden folgenden. 8. 73. Beharrungszustand einer aus einem beständig voll erhaltenen Gefäße von beliebiger Form und den oben erwähnten Eigenschaften sich ergießenden Flüssigkeit. Bei diesem Zustande der Bewegung einer Flüssigkeit lehrt der Paragraph 66, daß die Ausflußgeschwindigkeit V nicht von der Form der einzelnen Kanäle, sondern bloß von der Druckhöhe 2 über der Ausflußöffnung und von dem Verhältnisse der unteren Querschnitte jener Kanäle zu dem oberen Querschnitte derselben abhängt. Nimmt man daher Näherungsweise an, daß das eben erwähnte Verhältniß gleich dem Verhältnisse der wirklichen Ausflußöffnung 6V —L zu dem oberen Spiegel —0' sei, was gewiß nur sehr wenig von der Wahrheit abweichen wird; so erhält man für die konstante Ausflußgeschwindigkeit nach Gl. (271) . . (298) Auch bei dieser Gleichung kann man bemerken, daß der in Rede stehende Beharrungszustand nur dann stattfinden kann, wenn die Ausflußöffnung LZ kleiner ist, als die Fläche 0' des oberen Spiegels der Flüssigkeit. Wenn die äußeren Pressungen und p" einander gleich sind; so hat man 20 « §. 73. Beharrlicher Ausfluß aus einem beliebigen Gefäße. Gl. (304) Auch aus dieser Gleichung folgt, wie in 8. 66, daß wenn v' die Geschwindigkeit der Schichten im oberen Spiegel der Flüssigkeit bezeichnet, V-r ^,2 2A 2^ .... (300) .... (301) ist. Wenn gleichzeitig, wo ist, die Ausflußöffnung 42 im Vergleich zu dem oberen Spiegel O' der Flüssigkeit so klein wäre, daß man die Größe ^ gegen die Einheit vernachlässigen könnte; so würde man einfach V ----1/ 2-2 .... (302) haben. In diesen Formeln stellt L die Druckhöhe der Flüssigkeit über dem Mittelpunkte der Ausflußöffnung dar. Es wird aber dabei vorausgesetzt, daß die vertikale Dimension dieser Öffnung gegen die Höhe X nur unbedeutend sei. Wäre Dies nicht der Fall; so hat man nach den 8.8. 75 ff. zu verfahren, um denjenigen Werth von L zu bestimmen, welcher der mittleren Ausflußgeschwindigkeit V entspricht. Die Ausflußmenge für die Zeiteinheit ist hier natürlich, ebenso wie in §. 66, tz ^ L2V .... (303) Der hydraulische Druck -- im Punkte e der Flüssigkeit, welcher um 1.0—2 unter dem Spiegel liegt, würde nach Gl. (279) -l-A)-— («,L->-(^—p")^1 - . . . . (304) -- 1 42 ' sein, worin die Größen O^, «,42 die Querschnitte der vorhin erwähnten Kanäle L-k resp. in den Punkten L, r und k be- zeichnen. Nun könnte man wol für die Größe das Verhältniß des oberen Spiegels zur Ausflußöffnung 60 substitui- Gl. (308) §. 74. Veränderlicher Ausfluß aus einem belieb. Gefäße. 207 ren; für das Verhältniß bietet sich jedoch nicht so leicht eine aus den Dimensionen des gegebenen Gefäßes abzuleitende Größe dar. Falls jedoch der Punkt x in einem Theile des Gefäßes läge, welcher auf eine ziemliche Länge prismatisch wäre, sodaß man ohne erheblichen Fehler annehmen könnte, daß sich alle Theilchen der Schicht parallel zur Are dieses Prismas mit derselben Geschwindigkeit bewegten; so würde man näherungs- weise in der vorstehenden Gleichung für O^, «, LZ resp. die Querschnitte «/S, 00 des gegebenen Gefäßes substituiren können. Für würde man in diesein Falle ^ -f- ro: — ro 2 - «... (305) haben, und wenn die Ausflußöffnung LZ gegen den oberen Spie- gel O sehr klein wäre, sodaß ^ — 1 eine sehr große und -eine sehr kleine Zahl würde, und man deshalb das -- 1 4)2 letzte Glied der vorstehenden Gleichung vernachlässigen könnte, selbst wenn das Gefäß in der Nähe von «/; nicht prismatisch wäre, was darauf hinausliefe, daß man die Flüssigkeit im Querschnitte «jZ als ruhend betrachtete; so würde p — -f- .... (306) werden. 8. 74. Ausfluß einer Flüssigkeit aus einem Gefäße von beliebiger Gestalt, wenn der obere Spiegel allmählig herabsinkt, unter der Voraussetzung, daß die Ausflußöffnung LZ gegen alle übrigen Querschnitte der Röhre ungemein klein sei. Ist a, der Spiegel der Flüssigkeit im Anfange der Bewegung und nb derselbe zur Zeit r, und rechnet man auch hier, wie in 8. 69, die Höhe ktz —tN —L, klVI,—L, vom 208 §. 74. Veränderlicher Ausfluß aus einem belieb. Gefäße. Gl. (313) Mittelpunkte der Ausflußöffnung ab; so hat man unter den gemachten Bedingungen nach Gl. (288) und wenn —?i" ist, V ^ 2§L .... (308) Ferner nach Gl. (290) für den hydraulischen Druck im Querschnitte ? —^ff-rv(!L-r), ....(309) wie wenn die Flüssigkeit in diesem Querschnitte in Ruhe wäre. Wäre das Gefäß unter den übrigen gemachten Voraussetzungen bis auf die Stelle unmittelbar bei der Ausflußöffnung prismatisch, und hätte dasselbe in horizontaler Richtung den konstanten Querschnitt O; so würde man auch die Formeln (291) bis (295) darauf anwenden können, und demnach für die Zeit t, während welcher der Spiegel von der Höhe ^ zur Höhe 2 herabsinkt, p' - r>" - M V U) / . (310) erhalten. Die Zeit l', in welcher sich das Gefäß ganz leert, würde Näherungsweise 20 . . . (311) sein. Für p' — p" würden diese Ausdrücke einfach t — 20 und 2s 20 ( 1 /^- 1 /- ) ^ 52 V 2« .... (312) . . . (313) werden, und man kann auch hier schließen, daß die Zeit, in welcher sich das oben betrachtete Gefäß leert, doppelt so groß ist, als Gl. (SIS) §. 7S. Die mittlere Ausflußgcschwiiidigkeit. 209 die Zeit, in welcher sich das eben betrachtete Gefäß leert, doppelt so groß ist, als die Zeit, in welcher aus dem bis zur Höhe L beständig voll erhaltenen Gefäße ein gleiches Volum der Flüssigkeit herausfließt. Die Ausflußgeschwindigkeit V am Ende der Zeit t ist für p" ebenfalls eine gleichförmig verzögerte, nämlich Für das Volum der während der Zeit t ausfließenden Flüssigkeit hat man allgemein L / Vckt oder wenn man hierin für V den Werth aus Gl. (314) substi- tuirt und gehörig integrirt, Mittlere Ansflußgeschwindigkeit und mittlere Druckhöhe einer schweren unpreßbaren Flüsfigkeit, wenn die vertikalen Dimensionen der AuSflustöffnung im Vergleich zu der Drnckhöhe bedeutend find. 8. 75. Allgemeiner Ausdruck für die mittlere Ausflußgeschwindigkeit und die mittlere Druckhöhe. Nach den obigen Formeln hängt die Ausflußgeschwindigkeit V einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit theils von der Figur des Gefäßes und den Querschnitten desselben, theils aber auch von der Druckhöhe k über der Ausflußöffnung Q ab. Ist diese Öffnung horizontal; so wird, da der Oberspiegel der Flüssigkeit im Allgemeinen als horizontal angesehen werden kann, die Druckhöhe über einem jeden Punkte der Ausflußöffnung dieselbe sein, und es würde in Bezug auf die Druckhöhc 2 gleichgültig sein, welche absoluten Dimensionen jene Öffnung besäße. Anders würde sich Dies jedoch herausstellen, wenn die Ausflußöffnung nicht in einer horizontalen, sondern in einer geneigten oder vertikalen Ebene läge. Für diesen Fall leuchtet ein, daß die die oberen Punkte der Ausflußöffnung passirenden Theilchcn der 14 2l0 §. 75. Allgemeiner Ausdruck für die Flüssigkeit schwächer gedrückt werden, und demnach mit geringerer Geschwindigkeit ausströmen, als die durch die unteren Punkte der Ausflußöffnung tretender Theilchen, welche stärker gedrückt werden und mit größerer Geschwindigkeit austreten. Wenn übrigens die größte vertikale Dimension der Ausflußöffnung unbedeutend ist gegen die Tiefe, in welcher sie unter dem Oberspiegel liegt; so wird man ohne merklichen Fehler für die allen Theilen gemeinschaftliche Druckhohe X den vertikalen Abstand des Mittelpunktes der Ausflußöffnung annehmen und hiernach die Geschwindigkeit V als eine allen ausströmenden Theilchcn gemeinschaftliche Größe ansehen können. Ist nun endlich die vertikale Dimension der Ausflußöffnung im Vergleich zu der Tiefe dieser Öffnung unter dem Spiegel der Flüssigkeit so beträchtlich, daß man die vorstehende, eine Abkürzung der Rechnung bezweckende Hypothese nicht ohne großen Fehler gelten lassen kann; so wird man durch die nachstehende Betrachtung in den Stande gesetzt, denjenigen Werth der Ausflußgeschwindigkeit V zu bestimmen, welchen alle ausströmenden Wasser- theilchen gemeinschaftlich besitzen müßten, damit aus der Ausflußöffnung in derselben Zeit eine gleiche Quantität der Flüssigkeit sich ergießen könnte, wie sie es unter den gegebenen Umständen bei der Verschiedenheit der Geschwindigkeit in den einzelnen Punkten der Ausflußöffnung wirklich thut. Diesen Werth von V, den wir im Nachstehenden mit V, bezeichnen wollen, nennt man die mittlere Ausflußgeschwindigkeit in der Öffnung L Die der mittleren Ausflußgeschwindigkeit nach den bekannten Formeln entsprechende Druckhöhe, welche wir mit L, bezeichnen werden, heißt die mittlere Druckhöhe für die Öffnung LZ. Es sei also die Höhe des Oberspiegels der Flüssigkeit, und zwar ist hierfür, falls sich der Spiegel unmittelbar über der Ausflußöffnung etwas senken und keine horizontale Ebene, bilden sollte, die Höhe der am höchsten liegenden Punkte dieses Spiegels zu nehmen; V66H sei die Ausflußöffnung, welche allgemein in einer geneigten Ebene liege. Es bezeichne ferner Gi. mittlere AuSflußgcschwlndigkcit 211 2' und 2" den vertikalen Abstand 8V und 80, in welchem resp. der höchste Punkt I) und der tiefste Punkt 6 der Ausflußöffnung unter dem Spiegel rVK liegt, den vertikalen Abstand 818 irgend einer horizontalen Ordinate 08 der Ausflußöffnung unter demselben Spiegel, A die Länge dieser Ordinate 08, als Funktion des Abstandes 2, V die der Druckhöhe 818 — 2 entsprechende Ausflußgeschwindigkeit, P den Winkel, welchen die auf der Ebene der Ausflußöffnung in der Richtung der ausströmenden Flüssigkeit errichtete Normale mit der positiven Richtung der Schwere, also mit der nach unten verlängerten Vertikalen einschließt, oder auch den Winkel, welchen die Ebene der Ausflußöffnung mit dem Horizonte bildet, V, die mittlere Ausflußgeschwindigkeit, K die Größe der Ausflußöffnung, 8 das Volum der Flüssigkeit, welches sich in der Zeiteinheit aus der Öffnung K ergießen würde, wenn die Geschwindigkeiten aller austretenden Wassertheilchen, obgleich untereinander verschieden, doch von der Zeit plötzlich unabhängig oder konstant würden, 2, die der mittleren Ausflußgeschwindigkeit V, zukommende Druckhöhe. Wenn 08 die vertikale Prosektion eines horizontalen Elementes der Ausflußvffnung von der unendlich geringen vertikalen Höhe ck2 ist, so kann man annehmen, daß in allen Punkten dieses Streifens dieselbe Ausflußgeschwindigkeit V herrscht. Da nun die Oberfläche des gedachten Elementes r/ck2 8IN P ist; so hat man für das Volum der in Zeiteinheit mit der Geschwindigkeit V aus jenem elementaren Streifen der Ausflußöffnung strömenden Flüssigkeit und demnach für das gesammte Volum der in derselben Zeit mit konstanten Geschwindigkeiten aus der ganzen Ausflußöffnung sich ergießenden Flüssigkeit . . . . ( 316 ) 212 §. 75. Mittlere Ausflußgeschwindigkeit. Gl. (319) ein Ausdruck, welcher auch gleich KV, sein muß. Da aber die Größe der Ausflußöffnung ist; so hat man für die mittlere Ausflußgeschwindigkeit K 8MP . . (317) Wenn die Ausflußöffnung sr im Verhältnisse zu dem oberen e>2 Spiegel O' der Flüssigkeit sehr klein ist, sodaß man die in ^ 7 ^ multiplizirten Glieder aus den früheren Gleichungen für den Ausfluß der Flüssigkeiten vernachlässigen kann, und wenn außerdem die äußeren Pressungen auf den Oberspiegel und gegen die Ausflußöffnung gleich sind; so kann man nach §. 73 und 72 allgemein V —und 2---^- setzen, was nach den vorstehenden Gleichungen (316) und (317) (318) L' 2 " K singo ( 319 ) ergibt. M.(32v) §. 76. Mittlere AuSflußgeschw. in einem Paralleltrapez. 213 . V2 D,e der mittleren Geschwindigkeit V, nach der Formel 2— V ^ zukommende mittlere Druckhöhe — ^ würde nach Gleichung (319) sein L, -- 1 (320) Aus den Formeln (319) und (320) sieht man, daß wenn die vertikale Prosektion der Ausflußöffnung gegeben ist, der Neigungswinkel y, der Ebene der Ausflußöffnung gegen den Horizont aus den Werthen für die mittlere Ausflußgeschwin- digkeit und für die mittlere Druckhöhe verschwindet, sodaß die letzteren beiden Größen für alle diejenigen Ausflußöffnungen dieselben sind, deren vertikale Projektion dieselbe ist. Diese Bemerkung bezieht sich jedoch nicht mit auf die Ausflußmenge tz, welche, wie die Formel (318) zeigt, in demselben Maaße von der Neigung der Ebene der Ausflußöffnung abhängt, wie die Größe dieser Öffnung selbst von jener Neigung abhängig ist. 8. 76. Mittlere Ausflußgeschwindigkeit in einer Öffnung, welche ein Paralleltrapez bildet, dessen parallele Seiten horizontal sind. Für diesen Fall, bei welchem, wenn er allgemein gehalten wird, es gleichgültig ist, ob die kleinere parallele Seite der Ausflußöffnung l>crir8 oben liegt, wie in der ersteren der beiden nebenstehenden Figuren, oder ob die größere parallele Seite oben liegt, wie in der zweiten Figur, sei 214 r. 78. Mittlere AuSfluhgeschwiiidigkeit a —ptz die Länge der oberen Seite der Öffnung ö—K8 die Länge der unteren Seite der Öffnung o — v 6 der vertikale Abstand dieser beiden parallelen Seiten, L---8v^zv6 der vertikale Abstand der Punkte der Öffnung, welche in der Mitte von V6 liegen, von dem Oberspiegel der Flüssigkeit. Die Größe der vertikalen Projektion ktzkS oder KsinP ist hier Ferner ist, wenn MI —2 und 68—», gesetzt wird, sowol in ersterer, wie in letzterer Figur A — a -s- (b—n) o 2 ) 6 - und man hat X/—8V— /»—, L" —86 —mithin ^2 ckL. a-s- (ö—a) 6 / 0 oder wenn man den ganzen Ausdruck durch multiplizirt und dividirt, in einem Parallcltrapez. 21S Da /»—LI)-s--^- ist; so folgt, daß /r stets >^-seinwird, oder höchstens —werden kann, wenn Lv—o wäre, d. h. wenn der Spiegel der Flüssigkeit mit der oberen Kante der Ausflußöffnung zusammenfiele. Es wird daher ^ stets ein echter Bruch oder höchstens — 1 sein. In allen Fällen ergibt also eine Entwickelung der Binome (l-l-A) , (l — 2 ^)^ konvergente Reihen, und man erhält, wenn man diese Neihencntwickelung wirklich vornimmt und dabei gleiche und entgegengesetzte Glieder gegeneinander aufhebt, «L)°- ^ -I- Z ^ ff- ^ j Da ^-(ü-a)(l-^)--(a-ff-)^-(S-«)ist; so läßt sich der vorstehende Ausdruck, wenn man alle Glieder vereinigt, welche in (a-s-L) multiplizirt sind, wie auch die, welche in a) multiplizirt sind, und den allen Gliedern gemeinschaftlichen Faktor zweimal absondert, auf die folgende Form bringen: Da nun hier die Größe der vertikalen Projektion der Ausfluß- öffnung sr d. i. srsin P—j(a-j-L)c ist; so hat man nach Gl. (319) 216 76. Mittlere Audstutzgeschw. in einem Paralleltrapez. Gl. (324) für die in der Hffnung >6 stattfindende mittlere Ausflußgeschwindigkeit 2 (ö — «) 1.2-4 /r 1280 (321) Man wird für die Praxis nie nöthig haben, höhere Glieder zu berechnen, als in der vorstehenden Formel aufgenommen sind, selbst dann nicht, wenn 4 den kleinstmöglichen Werth 4—-^-, wodurch -^-—2 wird, annimmt, in welchem Falle der Spiegel der Flüssigkeit mit der oberen Kante der Ausflußvffnung in derselben Höhe liegt. Je größer der Werth von 4 im Vergleich zu o wird, desto mehr kann man von den höheren Potenzen von vernachlässigen. Wenn 4 gleich e oder etwas größer oder kleiner ist; so kann man schon die 3te und 4te Potenz von vernachlässigen und -( 322 ) setzen. Wenn 4>2o ist, kann man ohne erheblichen Fehler das in multiplizirte Glied unterdrücken und Vl —^2s^1-s-^2(a^L) .... (323) Man sieht, daß bei stets wachsendem 4 auch das in multiplizirte Glied immer kleinere Werthe annimmt, welche endlich gegen die Einheit vernachlässigt werden können, sodaß bei sehr großen Druckhöhen (im Vergleich zu der vertikalen Höhe der Ausflußöffnung) die mittlere Ausflußgeschindigkeit V, nahezu V,--1/d (324) Gl. (328) §. 77. Mittlere Ansflußgeschwindigkeit in einem Rechtecke. 217 Wird, sodaß dieselbe alsdann sehr nahe derjenigen Ausflußgeschwindigkeit gleich wird, welche einer Druckhöhe L vom Spiegel der Flüssigkeit bis zur Mitte des vertikalen Abstandes o der beiden horizontalen Seiten der Ausflußöffnung zukommt. 8. 77. Mittlere Ausflußgeschwindigkeit in einer Öffnung, welche ein Rechteck mit zwei horizontal liegenden Seiten bildet. Wenn hier a die horizontale Dimension ktz—R8 der Öffnung, o den vertikalen Abstand 00 der beiden horizontalen Seiten und L den vertikalen Abstand des Mittelpunktes der Ausflußöffnung von dem Spiegel der Flüssigkeit bezeichnet; so erhält man die mittlere Ausflußgeschwindigkeit nach Gl. (321), wenn man darin 5—a setzt, also V, — "2048 (^) ^ «... (325) Für die mittlere Druckhöhe L, V,- ^ 2 § hat man hiernach Man braucht auch hier für die Praxis nie zu höheren Gliedern der Reihe hinaufzusteigen, kann vielmehr das in und das in multiplizirte Glied vernachlässigen, jenachdem die Druckhöhe L über der Mitte der Ausflußöffnung im Vergleich zu v einen größeren Werth erlangt. Die meisten praktischen Fälle sind von der Art, daß L>2a ist und daß man unter dieser Voraussetzung ohne merklichen Fehler V, — >/ setzen kann. Wollte man für den vorliegenden Fall ein ganz strenges Rc- 218 r. 78. Mittlere AuSflußgeschwiudigkeit tu einem Dreiecke. Gl.<327> sultat haben; so ergibt sich aus der ersten Formel des 8ö 76 für L — n, wenn man außerdem setzt, V0--6 —L"-L' /r"2 — . . (326«) . . (326») 8. 78. Mittlere Ausflußgeschwindigkeit in einer Öffnung, welche ein Dreieck mit horizontaler Basis bildet, wenn die Spitze des Dreiecks nach oben und die Basis nach unten gekehrt ist. Wenn die horizontale Basis, e —116 der vertikale Abstand der Spitze des Dreiecks von dessen Basis und /r der vertikale Abstand der Mitte von o —V6 von dem Oberspiegel ^1) der Flüssigkeit ist; so erhält man den Werth der mittleren Ausflußgeschwindigkeit aus Gl. (321), wenn man darin a—o setzt, also .... (327) ein Ausdruck, in welchem die in höhere Potenzen von multi- plizirten Glieder ohne merklichen Fehler dann unterdrückt werden können, wenn L im Vergleich zu c bedeutendere Werthe annimmt. Gl. (328) §. 80. Mittlere AuMißgcschwIndigkelt in einem Kreise. 210 .. §. 79 . Mittlere Ausflußgeschwindigkeit in einer Öffnung, welche ein Dreieck mit horizontaler Basis bildet, wenn die Spitze des Dreiecks nach unten und die Basis nach oben gekehrt ist. Wenn a —die horizontale Basis, den vertikalen Abstand der Spitze des Dreiecks von dessen Basis und /r den vertikalen Abstand der Mitte von e —V6 von dem Oberspiegel ^8 der Flüssigkeit bezeichnet; so ergibt sich die mittlere Ausflußgeschwindigkeit aus Gl. ( 321 ), wenn man darin - — o setzt, d. i. V, 9ß(k ) 64o(/r) — 2048^ ) 6t0 ( 328 ) Von diesem Ausdrucke gilt hinsichtlich der in höhere Potenzen von multiplizirten Glieder Dasselbe, was in den vorhergehenden Paragraphen davon bereits bemerklich gemacht ist. §. 80 . Mittlere Ausflußgeschwindigkeit in einer Öffnung, deren vertikale Projektion ein Kreis ist. Es sei V6O die vertikale kreisförmige Projektion der Ausflußöffnung und es bezeichne ^ den Halbmesser 1*6 des Kreises 866, /r den vertikalen Abstand 88 des Mittelpunktes 8 dieses Kreises von dem oberen Spiegel ^8 der Flüssigkeit, ^—886 den Winkel, welchen irgend ein Halbmesser 86 mit der Linie 88 einschließt, 9—88 den Abstand irgend eines Punktes 8 des Radius 86 vom Mittelpunkte 8, 2—88 den vertikalen Abstand des Punktes 8 vom oberen Spiegel der Flüssigkeit, 22V §. 80. Mittlere AnSflußgeschwIndigkeit in einem Kreise. y> den Neigungswinkel der Ebene der Ausflußöffnung gegen den Horizont (s. 8. 75 ). Betrachten wir denjenigen elementaren Theil der Ausfluß- öffnung, welcher sich bei 8 projizirt und rechts und links von zwei unmittelbar aufeinander folgenden, um die Winkelgröße voneinander abstehenden Halbmessern, wie k6, begränzt ist, nach unten und oben jedoch von zwei um k konzentrischen Kreisbögen eingeschlossen wird, die resp. mit den Halbmessern 9 und y-s-cky beschrieben sind. Die Projektion dieses Elementes ist gleich also die Größe des entsprechenden Elementes der Ausflußöffnung selbst und die Ausflußmenge dafür i» der da ^ 8M y) 8IN P L — — L — 9 oo8^ ist, gleich1-^08^9^9. Die Ausflußmenge der ganzen Öffnung in der Zeiteinheit ist hiernach ^ ^ ^ °08^ . Die Gränzen von 9 sind hierin offenbar 0 und e», die von ch sind 0 und 2 n; wenn man jedoch beachtet, daß dem Elemente 8, gegenüber auf der linken Seite der Vertikalen L6, stets ein ähnlich liegendes sich befindet, für welches der Ausdruck der Ausflußmenge ganz derselbe ist, wie für das Element bei 8; so leuchtet ein, daß man das vorstehende doppelte Integral nur zweifach zu nehmen und die Integration für 1/, nur zwischen den Gränzen v und -r auszuführen braucht. Dies ergibt ^ 1 --^- 008 ch.ck 9 . Da die Größe der Ausflußöffnung ist; so folgt für die mittlere Ausflußgeschwindigkeit Gl. (330, j. 81. Kontraktion beS flüssigen Strahles. 221 ?r 7* V.^/l -008 ch. ck y o o oder wenn man 1 —in die Reihe 1 - ^ ^ 008^—4(^0082 ^ (^^008»^-^(^ ^008^-vtv. entwickelt und alsdann die erste Integration in Beziehung zu s ausführt, 0 ^1-z^008^-^(^)°°008^- ^a(^)^08^-^(O^S8«ch - 6t6.^ Jntegrirt man jetzt in Beziehung zu rj», indem man brach- 7r tet, daß allgemein ^ckrs-eos"^ gleich null, wenn n unpaar, und 0 — 13 5 7 n-1 ^ . . . ——-r, wenn rr paar ist; so ergibt sich für die mittlere Geschwindigkeit V. -ch .... SB, V 2 Für die mittlere Druckhöhe folgt hieraus Ausfluß einer schwere« unpreßbaren Flüssigkeit aus einer Öffnung, welche nach innen nicht dergestalt allmählig erweitert ist, daß sämmtliche Theilchen der Flüssigkeit parallel zu einer gemeinschaftlichen Axe austreten können. — Kontraktion des flüssigen Strahles. 8. 81. Kontraktion des flüssigen Strahles. 222 ?. 81. Kontraktion des flüssigen Strahles. In sämmtlichen bisher erörterten Fällen, wo der Ausfluß einer Flüssigkeit aus einer Öffnung sr eines Gefäßes oder einer Röhre betrachtet wurde, ist angenommen, daß die unmittelbar an die eigentliche Öffnung gränzenden oder dieselbe umschließenden Flächenelemente der Gefäßwände einen zylindrischen Streifen 688'6', wennauch von noch so geringer Höhe 6(7 — 01)', bilden, welcher auf der Ebene 6V der Öffnung sr überall perpendikular stehe, und daß sich von diesem Streifen aus die Gefäßwände 68 und 88 nach innen all- mählig erweitern, sodaß die Flüssigkeit im Stande ist, mit allen ihren Massentheilchen in Ein und derselben auf 68 perpendikularen Richtung 68 aus der Öffnung sr herauszutreten. Wird diesen Bedingungen durch die Gestalt der Gefäßwände in der Nähe der Ausflußoffnung kein Genüge geleistet, wäre z. B. die Öffnung K —68 eine Öffnung in einer ebenen Wand 8k, wie in der nebenstehenden Figur, oder erweiterten sich zwar die Gefäßwände 68 und 88 von derÖffnung K—60 aus nach innen, ohne daß jedoch die Kurven 68 und 88 bei 6 und 0 auf der Ebene der Öffnung 68 perpendikular ständen; so darf man sämmtliche früher entwickelte Formeln über den Ausfluß der Flüssigkeiten nur unter Berücksichtigung der nachfolgenden Eigenschaften des aus- fließenden Strahles in Anwendung bringen. Wenn eine in einem Gefäße enthaltene flüssige Masse aus einer Öffnung K strömt; so werden die den Gefäßwänden zunächst liegenden Theilchen ein Bestreben haben, den Richtungen dieser Wände zu folgen. Je weiter die Theilchen von den Gefäßwänden abstehen, desto schwächer wird dieses Bestreben sein; dessenungeachtet werden dieselben an einer ganz freien Bewegung 81. Kontraktion des flüssigen Strahles. 223 gehindert und gezwungen, den richtenden Einfluß jener Wände bei ihren Bewegungen anzuerkennen. Hierdurch werden die Theilchen der Flüssigkeit Kurven beschreiben, welche sich für die den Gefäßwänden zunächst liegenden Theilchen diesen Wänden möglichst nahe anschließen. In diesen Richtungen werden jene Theilchen denn auch aus der Öffnung 42 heraustreten, und es ist leicht einzusehen, was die Erfahrung genugsam bestätigt, daß bei einer Öffnung 00, wie der seitwärts dargestellten, sämmtliche Theilchen der Flüssigkeit in konvergenten Richtungen aus dem Gefäße treten werden. Dasselbe gilt von den Öffnungen in ebenen Wänden, wie überhaupt von solchen, wobei die nächsten Elemente der umschließenden Gefäßwände auf der Ebene der Ausflußöffnung nicht Perpendikular stehen. Auf solche Öffnungen würde man, selbst wenn die Geschwindigkeit der einzelnen Massentheilchen der Flüssigkeit in der Öffnung 0 V der vorhin berechneten V gleich wäre (was übrigens auch nicht genau der Fall ist) doch nicht die Formel für die Ausflußmenge tz in der Zeiteinheit in Anwendung bringen können, weil die durch die Öffnung 42 austrctenden Theilchen diese Öffnung nicht in Richtungen passiren, welche auf deren Ebene per- Vendikular stehen. Nun lehrt aber die Erfahrung, daß die Konvergenz der durch die Öffnung 42 fließenden Massentheilchen in geringer Entfernung von dieser Öffnung ganz aufhört, und daß der flüssige Strahl in dem Querschnitte eck in Folge der sich gegenseitig modifizirenden Bewegungen der einzelnen Theilchen eine zylindrische Form annimmt, in welcher sich alle Massentheilchen in Ein und derselben auf 00 oder oct perpendikular stehenden Richtung fortbewegen. Die eben betrachtete Erscheinung nennt man die Kontraktion des flüssigen Strahles, und oet ist der Querschnitt ber größten Kontraktion. Da nun die Erfahrung gezeigt hat, daß die im Querschnitte ack der größten Kontraktion stattfindende Geschwindigkeit der Flüssigkeit gleich der ist, welche die betreffenden Formeln ergeben 224 j. 82. Versuche , die Größe der Kontraktion würden, wenn man diesen Querschnitt als die Ausflußöffnung ansähe, und daß die Bewegung sämmtlicher Theilchen der Flüssigkeit in diesem Querschnitte der Are des Strahles daselbst parallel ist; so leuchtet ein, daß man sich auch für diese Fälle der früheren Formeln wird bedienen können, sobald man die Größe und die Lage des Querschnittes c ct der größten Kontraktion kennt. Nehmen wir an, die Fläche des Querschnittes eck der größten Kontraktion verhalte sich zu der Fläche K der Ausflußöffnung 6O, wie m:1 oder es sei Querschnitt cli —mLL; so heißt M der Kontraktionskoeffizient, welcher natürlich für verschiedene Arten von Ausflußöffnungen einen verschiedenen Werth hat. Außerdem werde der für verschiedene Umstände gleichfalls veränderliche Abstand des Querschnittes ock der größten Kontraktion von der Ausflußöffnung 60 mit ^ bezeichnet. Wenn sich die Qffnung sr in einer sehr dünnen ebenen Wand befindet; so nennt man die durch diese Qffnung hervorgebrachte Zusammerziehung des ausfließendenStrahles eine vollkommene Kontraktion. Unvollkommen heißt diese Kontraktion in jedem anderen Falle, wo sich die Wände des Gefäßes von der Ausflußöffnung ab zwar nach innen allmählig erweitern, aber doch keine solche Form annehmen, bei welcher alle Massentheilchen der Flüssigkeit parallel zu einer gemeinschaftlichen Are austreten können und gar keine Kontraktion stattfindet. 8.82. Versuche, die Größe der vollkommenenKon- traktion aus theoretischen Betrachtungen abzuleiten. Es ist schon angeführt, daß die in dem Querschnitte der größten Kontraktion stattfindende Geschwindigkeit der Theilchen der Flüssigkeit, praktischen Untersuchungen zufolge, sehr nahe gleich der ist, welche die früheren Formeln ergeben, wenn man darin den Querschnitt der größten Kontraktion als Ausflußöffnung ansieht. Bezeichnet man diese Geschwindigkeit mit V und beachtet, daß wenn K die Größe der wirklichen Ausflußöffnung ist, die aus theoretischen Betrachtungen abzuleiten. 225 Größe des Querschnittes der größten Kontraktion gleich »r K sein wird; so folgt, daß die Ausflußmenge für jede Zeiteinheit durch (j — mK V dargestellt ist. Wenn die Kontraktion vollkommen ist, wenn sich die Ausflußöffnung also in einer dünnen ebenen Wand befindet; so schwankt der Werth des Koeffizienten rn für die meisten in der Praris vorkommenden Fälle wenig um die Zahl 0,61. Man hat auf verschiedene Weise versucht, dieses Resultat durch theoretische Betrachtungen zu erzielen, von denen wir im Nachstehenden einige näher erläutern und hinsichtlich ihrer Haltbarkeit prüfen wollen. Navier*) schlägt folgenden Weg ein. Wenn die Ausflußöffnung horizontal angenommen wird; so sei 51 die vertikale und n die horizontale Projektion der Are dieser Qffnung. Man denke sich durch diese Are eine unendliche Menge Vcrtikalebcnen gelegt; 61) stelle in vertikaler Projektion den Durchschnitt der Ebene der Ausflußöffnung mit Einer dieser Ebenen dar, und erro', einet' in horizontaler Projektion den Theil der Ebene der Ausflußöffnung, welcher zwischen zweien jener sehr benachbarten Ebenen liegt. Man nehme ferner an, die Fläche oo'rrei'ei sei in eine unendliche Anzahl Theile, wie getheilt, deren Flä- *) kivsiim« 8 I»eo 53. 15 226 82. Versuche, die Größe der Kontraktion chen einander gleich seien, und welche als die Durchschnitte von ebenso viel Fäden der Flüssigkeit mit der Ebene der Ausflußöffnung angesehen werden können. Endlich werde zugestanden, daß die einzelnen Richtungen dieser Fäden solche Neigungen haben, daß wenn man zu jeder der Richtungen eine Parallele durch den Punkt N zöge, der vertikale Halbkreis, dessen Mittelpunkt N ist, durch diese Parallelen in lauter gleiche Theile getheilt würde. Bezeichnet man nun mit V die gemeinschaftliche Geschwindigkeit der Fäden in den Punkten, wo sie die Ebene der Ausflußöffnung durchscheiden, und mit rtz den Winkel, welchen die Richtung 0? irgend Eines dieser Fäden mit der Are einschließt; so hat man Voostz- für die Geschwindigkeit des Fadens in perpendikularer Richtung zu der Ebene der Ausflußöffnung. Jetzt sei die Fläche o,, ckw, mco'—ca'; alsdann wird die Menge der Flüssigkeit, welche sich in der Zeiteinheit durch das Flächcnelement — etc-, in perpendikularer Richtung zu der Ausflußöffnung ergießt, Veostz-ckeo sein. Da man nach der angenommenen Hypothese über die Richtung der einzel- - ^ 2 nen Fäden Ok der Flüssigkeit also w — — m'rtz, 2 und daher ckv, —hat; so wird der Ausdruck für die in der Zeiteinheit durch das Element ck« entströmende Flüssigkeits- 2 mengec--'Voo8chckih, und hiernach für die Ausflußmenge des Theiles noc' der ganzen öffnung Da Dies von einem jeden ähnlichen dreieckigen Theile, wie rroc' —c/, der Ausflußöffnung gilt; so erkennt man leicht, daß dasselbe auf die ganze Ausflußöffnung Q Anwendung findet, und daß man daher für die gesuchte Ausflußmenge tz^^-srv^0,637srv setzen könne. aus theoretischen Betrachtungen abzuleiten. 227 So nahe nun auch dieses Resultat mit den Ergebnissen der Praktischen Untersuchungen übereinstimmt; so weit sind doch die dabei gemachten Voraussetzungen von den Vorgängen in der Wirklichkeit verschieden. Es ist eine ganz willkürliche Hypothese, daß die Richtungen der durch die Elemente tretenden Fäden der Flüssigkeit, wenn sie Parallel an den Punkt N getragen werden, lauter gleiche Winkel miteinander einschließen sollen. Es Würde hieraus folgen, daß die längs der Gefäßwände herbei fließenden Theilchen in den Richtungen und I)iV austräten, und daß mithin der ausfließcnde Strahl eine krumme Oberfläche besäße, welche die Gefäßwände rings um die Ansflußvffnung tangirte, was jedoch durch die Erfahrung keinesweges bestätigt wird, indem die Oberfläche dieses Strahles unter scharfen Neigungswinkeln gegen die Gefäßwände aus der Öffnung heraustritt. Ebenso irrig ist die Hypothese, daß die allen Fäden in der Öffnung 6V gemeinschaftliche Geschwindigkeit nach den respektive» Richtungen O? gleich der Geschwindigkeit V sei, welche die Formeln für die jener Öffnung entsprechende Druckhöhe ergeben würden. Diese durch die Formeln zu bestimmende Geschwindigkeit V herrscht, wie schon früher bemerkt, gemachten Erfahrungen zufolge in dem Querschnitte der größten Kontraktion Wirklich. Denkt man sich nun die Flüssigkeit in lauter Fäden Zerlegt; so werden die Querschnitte dieser Fäden von dem Querschnitte der größten Kontraktion an aufwärts immer größer werden, weil die höheren Querschnitte des Strahles immer größer werden. Demzufolge wird die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in allen höheren Querschnitten verhältnißmäßig geringer sein, da durch alle Querschnitte Ein und desselben Fadens in derselben Zeit dieselbe Menge der Flüssigkeit sich bewegen muß. Hieraus folgt, daß die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in den einzelnen Fäden beim Passircn der Öffnung 61) kleiner sein wird, als der aus den Formeln gefundene Werth von V, und zwar ist dieser Unterschied nicht etwa unbedeutend, sondern von sehr bcmcrkens- Werthen Belange, wenn man beachtet, daß der Querschnitt der größten Kontraktion nur etwa 0,61 von der Größe der wirklichen Ausflußöffnung beträgt. Aus dem Vorstehenden folgt, daß das Näherungsweise Zusammentreffen des von Navicr gefundenen theoretischen Resul- 228 i. 82. Versuche, die Größe der Kontraktion tates mit den wirklichen Erscheinungen der Kontraktion rein zufällig ist, und daß man die betreffenden Betrachtungen nicht als eine wissenschaftliche Erläuterung jenes Pänomenens ansehen könne. Der Geh. Oberbaurath Hagen*) hat sich folgender Methode bedient, um daraus das Wesen der Kontraktion des Strahles abzuleit. Derselbe nimmt an, daß in der Ausflußöffnung die Geschwindigkeit der Theilchen der Flüssigkeit nach dem Rande zu wegen des hemmenden Einflusses der Gefäßwände schwächer sei, als in der Mitte dieser Öffnung, wo der Druck noch durch das Zusammentreten der daselbst konvergirenden Fäden der Flüssigkeit vermehrt werde. Es wird ferner vorausgesetzt, daß die Geschwindigkeit der Theilchen der Flüssigkeit, welche unmittelbar den Rand der Ausflußöffnung berühren, gleich null sei, und daß diese Geschwindigkeit nach der Mitte zu proportional mit der Entfernung vom Rande der Öffnung zunehme. Im Querschnitte der größten Kontraktion würden sich diese verschiedenen Geschwindigkeiten ausgeglichen und den Werth von V angenommen haben, welcher sich aus den früheren Formeln hierfür ergibt. Denken wir uns hiernach die Ausflußöffnung sr als kreisförmig vom Halbmesser k, bezeichnen die Geschwindigkeit des Fadens in der Mitte der Ausflußöffnung mit v, die Menge der Flüssigkeit, welche in der Zeiteinheit ausfließt, mit tz, die lebende Kraft derselben mit I-, den Halbmesser des Querschnittes der größten Kontraktion mit und die in diesem Querschnitte stattfindende gemeinschaftliche Geschwindigkeit mit V; so wird die in einem Abstände — y von dem Rande der Ausflußöffnung stattfindende Geschwindigkeit u — v sein. Für einen sehr schmalen Ring von der Breite cky im Abstände y vom Rande der Öffnung hat man also als Ausflußmenge ritz— 27r(IL— y)cky.«-y)^ «cky ') Handbuch der Wasserbaukunst. Erster Theil. S. 192 ff. aus theoretischen Betrachtungen abzuleiten. 229 und als lebende Kraft, wenn ro das Gewicht der Volumeinheit bezeichnet, 2nu) S cir-s) Eine Integration dieser Ausdrücke zwischen den Gränzen o und 8 für § ergibt rrll^v» Nachdem die Ausgleichung der Geschwindigkeiten im Querschnitte der größten Kontraktion erfolgt ist, hat man für diesen Querschnitt (j — «7-2 V, Setzt man diese beiden Werthe für (j und 8 resp. einander gleich; so findet man V —vj/öZ' ,- 2 -^ 0,608682 oder auch, da — K ist, tz —0,6086 LLV. Dieses Resultat stimmt mit den praktischen Erfahrungen noch besser überein, als das vonNavier erhaltene; nichtsdestoweniger beruhet es auf ebenso willkürlichen Voraussetzungen. Die Hypothese, daß die Geschwindigkeit der Theilchen der Flüssigkeit am Rande der Äffnung null sei, wird durch die Erfahrung nicht bestätigt, auch liegt kein innerer Grund vor, warum die Geschwindigkeit von dem Rande nach der Mitte der Qffnung proportional zu der Entfernung von diesem Rande wachsen solle. Denkt man sich die verschiedenen Fäden oder Kanäle, in welchen die Flüssigkeit ausströmt, indem man beachtet, daß die Geschwindigkeiten derselben im Querschnitte der größten Kontraktion sich sämmtlich ausgeglichen haben sollen; so würde aus der vor- 230 j. 82. Versuche, die Größe der Kontraktion stehenden Hypothese folgen, daß sich die Querschnitte der in der Nähe des Randes der Öffnung liegenden Fäden vom Querschnitte der größten Kontraktion an aufwärts vergrößerten, während sich die Querschnitte der in der Nähe der Mitte der Qffnung liegenden Fäden verkleinerten, da die Geschwindigkeit in den ersteren Fäden nach oben abnehmen und in den letzteren nach oben zunehmen müßte. Auch diese Folgerung widerspricht der Erfahrung, wie man sich leicht überzeugen kann, wenn man die ausströmende Flüssigkeit mit leichten sichtbar schwimmenden Körperchen vermischt, welche beim Ausfließen keineswegs die mittleren Richtungen der in feststehender Figur angedeuteten Linien einschlagen werden. Demnach kann auch die nahe Übereinstimmung des Resultates der Hagenschen Betrachtung mit dem wirklichen Effekte der Kontraktion des Strahles nur als ein zufälliges Zusammentreffen angesehen werden, ohne daß durch das geführte Naisonnement der Gegenstand wissenschaftlich aufgeklärt wäre. Nach dem bisher Vorgetragenen hat man also die Kontraktion des Strahles als eine aus dem Wesen der Flüssigkeiten hervorgehende Erscheinung beim Ausflusse derselben aus Gefäßen mit mangelhaft erweiterten Öffnungen anzusehen, welche eine genügende Erklärung aus den dynamischen Prinzipien, die den Bewegungen der Flüssigkeiten zu Grunde liegen, noch nicht gefunden hat. Aus der Natur der Flüssigkeiten, welche wegen der ungemein leichten Verschieblichkeit aller Theile derselben das Bestreben dieser Theile hervorruft, in allen Richtungen gegen die Ausflußöffnung einzudringen, erklärt sich wol die Erscheinung der Kontraktion des ausfließenden Strahles im Allgemeinen, jedoch fehlt noch viel, um daraus die Größe der Kontraktion und die Form des kontrahirtcn Strahles abzuleiten. Zur richtigen Anwendung der früher entwickelten Formeln für den Ausfluß von Flüssigkeiten aus Gefäßen genügt es, wenn man weiß, daß diese Formeln ohne Weiteres benutzt werden können, sobald man den Theil des ausfließenden Strahles von der eigentlichen Öffnung ^ im Gefäße bis zum Querschnitte aus theoretischen Betrachtungen abzuleiten. 231 der größten Kontraktion als mit zum Gefäße gehörig betrachtet, wie wenn die krumme Oberfläche dieses Theiles des Strahles noch einen Theil der Gefäßwand bildete. Der Querschnitt mLZ der größten Kontraktion tritt alsdann in jene Formeln, wie die wahre Ausflußöffnung des Gefäßes ein, während die eigentliche Qffnung LZ des Gefäßes ganz und gar den Charakter einer Ausflußöffnung verliert, und wie ein jeder andere höher liegende Querschnitt des Gefäßes zu behandeln ist. 8. 83. Formeln für den Ausfluß einer Flüssigkeit aus einem Gefäße unter Berücksichtigung der Kontraktion des Strahles. Es sei m der Kontraktionskoeffizient, d. h. das Verhältniß des Querschnittes der größten Kontraktion zu der Fläche der Ausflußöffnung K, ^ der Abstand des Querschnittes der größten Kontraktion von der Ausflußöffnung, go der Winkel, welchen die Are des ausfließenden Strahles mit der abwärts gekehrten Richtung der Schwere in der Ausflußöffnung einschließt (s. 8. 75). Im Übrigen werden die früheren Beziehungen beibehalten. Es ist schon in den vorhergehenden Paragraphen bemerkt, daß wenn auf die Wirkung der Kontraktion des Strahles bei dem Ausflusse einer Flüssigkeit aus einem Gefäße gehörig Rücksicht genommen werden soll, man den Theil des freien Strahles bis zum Querschnitte der größten Kontraktion, als zum Gefäße gehörig, und den letzteren Querschnitt von der Größe als eigentliche Ausflußöffnung zu betrachten habe. Hierdurch würde man nun, wenn L die Druckhöhe vom Spiegel der Flüssigkeit bis zum Mittelpunkte der wahren Qffnung LZ bezeichnete, diese Höhe um -.oosy, vermehren müssen, damit LHeo8yi die Druckhöhe über dem Querschnitte mK der größten Kontraktion darstellte. Dies und die Substitution von mLr für würde in dem Falle, wo es sich um ein beständig voll erhaltenes Gefäß handelte, nach Gl. (298) für die Geschwindigkeit der Flüssigkeit im Querschnitte der größten Kontraktion 232 83. Andfluß einer Flüssigkeit Gl. (335) V 0 '-- ergeben. Wenn sich die Ausflußöffuung in einer vertikalen Wand befindet, wenn also P —ist; so fällt das Glied 2 oo8go ganz weg, und die Druckhöhe L bleibt ungeändcrt. Wenn die Äffnung horizontal ist, wird -.«osP —^ sobald der Strahl vertikal nach unten ausfließt, weil alsdann go—o ist, und es wird ^eosP—— sobald der Strahl vertikal nach oben ausfließt, weil alsdann y, —-r ist. In den allermeisten Fällen, wo die Größe und noch vielmehr die Größe 2eo8go, gegen die Drnckhöhe 2 über der Affnung 62 sehr klein ist, wird man die Veränderung jener Druckhöhe um die Höhe 2co8P ganz unbeachtet lassen können. Wenn die äußeren Pressungen p' und /»" einander gleich sind, wird / 2g> (X> -s- z ev8 Ie I'scoulement cke I'eau. über die Größe der Kontraktion. 23 ? Tafel der Ansflußkoeffizienten für rechtwinklige Öffnungen in dünnen vertikalen Wänden, bei vollständiger Kontraktion und Ausfluß des Wassers in die freie Luft, wenndieDruckhöhenin einem Punkte des Behälters gemessen sind, wo das Wasser vollkommen ruhig ist. Druckhöhe über dem oberen Rande der Öffnung. cr»ß) Werth des Ausflußkoeffizienten « für folgende Hohen der Öffnung-. 0,637- I 0,319- 0.159- 0,096- 0,064- 0,032- 0,000 VMS 0,032 0M8 0,063 0,096 0,127 0 , t 59 0,191 0,223 0,255 0,287 0,319 0,382 0,346 0,510 0,574 0,637 0,797 0,956 1,274 1,593 1,912 2,230 2,549 2,868 3,186 3,505 3,823 4,142 4,461 4,779 5,098 5,417 5,735 6.054 6,372 9,559 » » » 0,572 0,578 0,582 0,585 0,587 0,588 0,589 0,591 0,592 0,593 0,595 0,596 0,597 0,598 0.599 0,600 0,602 0,603 0,604 0,604 0,605 0,605 0,605 0,604 0,604 0,603 0,603 0,602 0,602 0,602 0,601 0,601 0,601 0.601 » » » 0,593 0,596 0,600 0,603 0,605 0,607 0,609 0,610 0,610 0,611 0,612 0,613 0,614 0,615 0,615 0,616 0,616 0,617 0,617 0.617 0,616 0,616 0,615 0,615 0,614 0,614 0,613 0,612 0,611 0,611 0,610 0,609 0,608 0,607 0,603 0,607 0,612 0,615 0,620 0,623 0,625 0,627 0,628 0,629 0,629 0,630 0,630 0,630 0.631 0,630 0,630 0,630 0,629 0,628 0,628 0,627 0,627 0,627 0,626 0,626 0,625 0,624 0,622 0,621 0,620 0,618 0,617 0,615 0,614 0,613 0,606 » 0,630 0,632 0,634 0,638 0,640 0,640 0,640 0,639 0,638 0,637 0,637 0,636 0,635 0,634 0,634 0,633 0,632 0,632 0,631 0,630 0,630 0,629 0,629 0,628 0,628 0,627 0,626 0,624 0,622 0,620 0,618 0,616 0,615 0,613 0,612 0,608 0,660 0,660 0,659 0,659 0,658 0,658 0,657 0,656 0,656 0,655 0,654 0,653 0,651 0,650 0,649 0,648 0,646 0,644 0,642 0,640 0,638 0,637 0,636 0,634 0,633 0,631 0,628 0,625 0,622 0,619 0,617 0.615 0,614 0,612 0,612 0,610 0,705 0,701 0,697 0,694 0,688 0.683 0,679 0,676 0,673 0,670 0,668 0,666 0,663 0,660 0,658 0,657 0,655 0,653 0,650 0,647 0,644 0,642 0,640 0.637 0,635 0,632 0,629 0,626 0,622 0,618 0,615 0,613 0,612 0,612 0,611 0,611 0,609 238 1- 84. Erfahrungen über die Größe. Tafel der Ausflußkoeffizienten für rechtwinklige Öffnungen in dünnen vertikalen Wänden, bei vollständiger Kontraktion und Ausfluß des Wassers in die freie Luft, wenn die Druckl-öhen unmittelbar über der Öffnung gemessen sind. Druckhöhe über dem oberen Rande der Öffnung. (Fuß.) Werth des Ansflnßkocf Höhen der 0,637- I 0,31g- § 0,459- rzienten « Öffnung: für folgende 0,096- 0,064- 0,032- 0,000 0,619 0,667 0,713 0,766 0,78Z 0,795 0,016 0,597 0,630 0,668 0,725 0,750 0,778 0,032 0,595 0,618 0,642 0,687 0,720 0,762 0,048 0,594 0,615 0,639 0,674 0,707 0,745 0,064 0,594 0,614 0,638 0,668 0,697 0.729 0,096 0,593 0,613 0,637 0,659 0,685 0,708 0,127 0,593 0,612 0,636 9,654 0,678 0,695 0,139 0.593 0,612 0,636 0,651 0,672 0,686 0,191 0,594 0,613 0,635 0,647 0,668 0,681 0,223 0,594 0,613 0,635 0,645 0,665 0,677 0,253 0,594 0,613 0,635 0,643 0,662 0,675 0,287 0,595 0,614 0,634 0,641 0,659 0,672 0,319 0,595 0,614 0,634 0,640 0,657 0M9 ! 0,382 0,596 0,614 0,633 0,637 0,655 0,665 j 0,446 0,597 0,614 0,632 0,636 0,653 0,661 ^ 0,310 0,597 0.615 0,631 0,635 0,651 0,659 0,574 0,598 0,615 0,631 0,634 0,650 0,657 0,637 0,599 0,615 0,630 0,633 0,649 0,656 0,797 0,600 0,616 0,630 0,632 0,646 0,653 0,956 0,601 0,616 0,629 0,632 0,644 0,651 1,274 0,602 0,617 0,629 0,631 0,642 0,647 1,593 0,603 0,617 0,628 0,630 0,640 0,645 1,910 0,604 0,617 0,627 0,630 0,638 0.643 2,232 0,604 0,616 0,627 0,629 0,637 0,640 2,549 0,605 0,616 0,627 0,629 0,636 0,637 2,868 0,605 0,615 0,626 0,628 0,634 0,635 <5,180 0,605 0,615 0,626 0,628 0,633 0,632 3,505 0,604 0,614 0,625 0,627 0,631 0,629 3,823 0,604 0,614 0,624 0,626 0,628 0,626 4,142 0,603 0,613 0,622 0,624 0,625 0.622 4,461 0,603 0,612 0,621 0,622 0,622 0,618 4,779 0,602 0,611 0,620 0,620 0,619 0^615 5,098 0,602 0,611 0,618 0,618 0,617 0M3 5,417 0,602 0,610 0,617 0,616 0ZI5 0/i12 5,735 0,601 0,609 0,615 0,615 0F14 0,612 6,054 0,601 0,608 0,614 0,613 0ZI3 0M1 6,372 0,601 0,607 0,614 0,612 0,612 0,611 9,559 0,601 0,603 0,606 0,608 0,610 0,609 Gl. (344) §. 85. Unvollkommene Kontraktion. 289 Für den Gebrauch dieser Tabellen ist noch zu bemerken, daß wenn die Höhe der Öffnung oder wenn die Druckhöhe über dem oberen Rande der Öffnung zwischen die in den Tafeln aufgenommenen Werthe fallen, man für den Koeffizienten « ein proportionales Mittel zwischen den zunächstliegenden der Tafel zu nehmen habe. Überschreitet endlich die Höhe der Öffnung 0,637 Fuß; so nimmt man als Kontraktionskoeffizienten denjenigen, welcher der Öffnung von 0,637 Fuß Höhe entspricht. 8- 85. Verschiedene Fälle der unvollkommenen Kontraktion. Wenn die rechtwinklige Ausflußöffnung an Einer, zwei oder drei Seiten von Wänden eingefaßt ist, welche perpendikular auf der Ebene jener Öffnung stehen (wovon auch die Eine dieser Wände durch den Boden des Gefäßes vertreten werden kann); so wird die Flüssigkeit, wenn diese Wände hinlänglich weit in das Gefäß Hineintreten oder aus demselben Herausragen, längs derselben parallel zu ihren Ebenen austreten, und es wird sich an den Seiten, wo sich jene Wände befinden, keine Kontraktion des Strahles zeigen können, während dieselbe jedoch an den übrigen Seiten der Öffnung stattfindet. Diese unvollständige Kontraktion des Strahles äußert nun zuvörderst einen, wenn auch nicht sehr bedeutenden, Einfluß auf die Ausflußgeschwindigkeit V, welche nach den früheren Formeln bei der Druckhöhe über der Mitte der Öffnung gleich 2^4 sein müßte, wegen jenes Einflusses der unvollständigen Kontraktion aber, sowie wegen des bei sehr niedrigen Druckhöhcn durch die abgekürzte Formel ^2^4 begangenen Fehlers gleich V, — gesetzt wird. Ist nun auch hier m der Koeffizient für die unvollständige Kontraktion, sodaß msr die Fläche des Querschnittes von der größten Kontraktion bezeichnet; so hat man für die wirkliche Ausflußmenge in der Sekunde, wie vorhin (j — mK I/^2A,t — 1/ 2-/«, .... (344) worin « —m?r den Ausflußkoeffizcnten darstellt. Die verschiedenen Werthe dieses Ausflußkoeffizienten « für 240 r. 85. Unvollkommene Kontraktion. Gl. (344) unvollständige Kontraktion kann man nun aus denen für vollständige Kontraktion, welche in den beiden vorhergehenden Tafeln gegeben sind, herleiten, indem man nach Poncelet die Letzteren, wenn die Kontraktion auf 3 Seiten stattfindet, mit 1,035, - - - - 2 - - - 1,072, - - - - 1 - - - 1,125 multiplizirt. Es ist schon früher angeführt, daß wenn die Kontraktion vollkommen sein soll, die Seiten der Ausflußöffnung möglichst weit von den Wänden und ,dem Boden des Gefäßes entfernt sein müssen. Ist Dies nicht der Fall, so wird sich die Kontraktion des austretenden Strahles nicht vollkommen äußern, und der Werth des Ausflußkoeffizientcn « aus den obigen Tabellen wird sich vergrößern. Diese Vergrößerung hängt von dem Verhältnisse H. ab, in welchem die Ausflußöffnung 6V zu dem unmittelbar vorhergehenden Querschnitte 6H des Gefäßes steht. Bezeichnet man nun den Faktor, mit welchem der Werth von « aus den obigen Tabellen multiplizirt werden muß, um den Ausflußkoeffizienten für die in Rede stehende unvollkommene Kontraktion bei verschiedenen Werthen des Verhältnisses ä. zu erhalten, mit so kann man nach den Versuchen von Weisbach*) den Werth von /Z aus nachfolgenden Tabellen bestimmen. 1) Korrektionsfaktor für kreisrunde Öffnungen, wegen unvollkommener Kontraktion. Werth des Verhältnisses -r Korrektionsfaktor 0,05 1,007 0,10 1,014 0,15 I,OL3 0,20 1,034 0,25 1,045 0,30 1,059 0,35 1,075 0,40 ^,45 0,50 >,0921>I,2!l,134 Werth des Verhältnisses 4 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 >1,00 Korrcktions- saktor 1,161 1,189 1,223 1,260 1-303 1,351 1,408 1,471 1,546^1,613 3 Lehrbuch der Ingenieur- und Maschinen-Mechanik. §. 84. Unbollkommenc Kontraktion. 24l 2) Korrektionsfaktor für rechtwinklige Öffnungen, wegen unvollkommener Kontraktion. Werth des Verhältnisses 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 Korrektionsfaktor /? 1,009 1,019 1,030 1,042 1,056 1,071 1,088 1,107 1,128 1,152 Werth des Verhältnisses ^ 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 Korrcktions- faktor /? 1,178 1,208 1,241 1,278 1,319 1,365 1,416 1.473 1,537 1,608 Bei Schützöffnungen in vertikalen Schleusentho- ren, welche, wie die 60 in der seitstehenden Figur, sehr nahe über dem Boden liegen, sodaß an der unteren Kante die Kontraktion nicht vollkommen erfolgen kann, hat man für den Ausflußkoeffizienten « aus Gl. (344) den Werth « — 0,625 in Anwendung zu bringen. Wenn die beiden vertikalen Seiten und die Sohle der Schützöffnung in den Verlängerungen der Scitcnwände und des Bodens des Behälters liegen, und das Schützbrett geneigt ist, wie es nach der seitste- hcndcn Anordnung bei unter- schlächtigen Wasserrädern mit krummen Schaufeln vorkommt, kann man setzen, wenn die Neigung des Schützbrettes 2 Fuß Höhe auf 1 Fuß Ausladung beträgt, « — 0,74, - - « — 0,80. Es muß noch angeführt werden, daß wenn sich in einem 16 242 86. Ausfluß aus Öffnungen, welche in Gerinne münden. Gefäße nahe nebeneinander mehrere Öffnungen befinden, dieselben hinsichtlich des Ausflusses keinen wesentlichen Einfluß aufeinander ausüben, sodaß man für jede derselben eben die Formeln und Koeffizienten iu Anwendung bringen kann, wie wenn dieselbe für sich allein nur vorhanden wäre. Z. 86. Erfahrungen über den Ausfluß des Wassers auS rechtwinklige Öffnungen in dünnen Wänden, wenn sich an diese Öffnungen Gerinne oder Kanäle anschließen, in welchen die Flüssigkeit weiterfließt. Zuweilen sind an derartigen Ausflußöffnungen Gerinne oder Kanäle angebracht, welche oben offen sind, deren Breite der Breite der Öffnung gleich ist und deren Sohle mit dem tiefsten Rande der Öffnung in gleicher Höhe liegt und sich mehr oder weniger stark neigt. Die Gegenwart solcher offenen Gewinne hat auf die Ausflußmenge wenig Einfluß, wenn man dabei die unvollständige Kontraktion nach den Regeln des vorhergehenden Para- graphs berücksichtigt, und wenn die Druckhöhe über der Mitte der Öffnung bei Öffnungen von 0,5 bis 0,6 Fuß Höhe nicht weniger, als 1,5 bis 2 Fuß beträgt, bei Öffnungen von 0,3 Fuß Höhe nicht weniger, als 1 bis 1,25 Fuß beträgt, bei Öffnungen von 0,16 Fuß Höhe nicht weniger, als 0,64 Fuß beträgt. Ist die Druckhöhe jedoch geringer, als im Vorstehenden angegeben; so kann man für die beiden unter Figur (a) und (ö) dargestellten Anordnungen, denen der Grundriß (o) gemeinschaft- §. 87. Einfluß äußerer Widerstände. 243 l>ch angehört, nach Poncelet und Lesbros folgende Werthe des Ausflußkoefsizienten « annehmen, um mittelst desselben nach der Formel (344) die wirkliche Ausflußmenge zu berechnen. Höhe der Öffnung. Druckhöhe über der Mitte der Öffnung. AuSflußkoeffizieut « für die Anordnung faf ^ (5, Fuß. S->ß. l 1,274 0,591 0,580 0,637 <0,765 0,559 0,552 s0,382 0,483 0,482 ,0,510 0,590 0,580 0,319 10,350 0,562 0,560 l 0,287 0,523 0,522 sO,191 0,464 0,463 t 0,637 0,631 0,614 0,615 0,159 <0,350 0,597 j 0,159 0,495 0,493 ! 0,443 <0,127 0,452 0,096 l 0,637 0,632 0,631 ! <0,191 0,627 0,605 i 8. 87. Einfluß der Widerstände, gegen welche der Strahl bei seinem Heraustreten trifft, auf die Ausflußmenge. Wenn man dem ausfließenden Strahle in normaler Richtung eine feste Ebene entgegenhält; so wird die Ausflußmenge vermindert, sobald die Ebene der Öffnung sehr nahe gebracht wird. Nach einem Versuche von Hachette mit einer Öffnung von 0,06 Fuß Durchmesser in einer ebenen Wand wird die Verminderung der Ausflußmenge bemerkbar, wenn der Abstand der Ebene doppelt so groß ist, als der Durchmesser der Öffnung. Ist der Abstand der Ebene ^ des Durchmessers der Öffnung; so vermindert sich die Ausflußmenge etwa in dem Verhältnisse von 3:2. 244 j. 88. Figur eines vertikal nach unten ausst. Strahles. Gl. (346) Figur des aus einem Gefäße in die Luft springenden flüssigen Strahles. 8. 88. Fall, wo der Strahl vertikal nach unten aussließt. Wir betrachten zuvörderst den Fall, wo der Strahl der Flüssigkeit aus einer kreisrunden Öffnung, welche nach innen gehörig erweitert ist, sodaß keine Kontraktion stattfindet, in vertikaler Richtung aus dem Gefäße tritt. Die Bewegung der aus dem Gefäße getretenen Wassertheilchcn, welche nun nicht mehr gezwungen sind, sich gegebenen Wänden anzuschließen, und der Wirkung der Schwere frei folgen können, wird eine gleichförmig beschleunigte sein. Da man auch jetzt immer noch annehmen kann, daß sich die Flüssigkeit in dem freien Strahle in parallelen Querschichten von sehr geringer Stärke bewege, indem sie stets eine zusammenhängende Masse bildet; so folgt, daß die Flächen der tiefer liegenden Querschnitte in demselben Maaße abnehmen, wie sich die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in diesen Querschnitten in Folge der Einwirkung der Schwere vermehrt. Nennt man daher die Fläche der Ausflußöffnung 6V, V die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in dieser Öffnung, wie sie nach den früheren Formeln berechnet ist, « die Fläche irgend eines Querschnittes ofl des Strahles, « die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in diesem Querschnitte, .r den Abstand k/"; so hat man nach den bekannten Gesetzen der durch die Wirkung der Schwere erzeugten geradlinigen Bewegung v —1/ V- ; .... (345) mithin, da --- LZV sein muß, - 42 V (346) 243 Gl. (34g) §. 89. Figur eines bcrt. nach oben anSfl. Strahles. oder auch, wenn man für die Ausflnßgeschwindigkeit V den Werth aus Gl. (302) setzt, v ^ 1/ .... (347) Und ....(348) Wenn die Ausflußöffnung 00 nicht nach innen erweitert ist, sondern sich in einer dünnen ebenen Wand befindet; so tritt die bekannte Kontraktion des Strahles ein. In einem Abstände kk"— (s. 8. 84), wo der Querschnitt O'v' der stärksten Kontraktion liegt, sind die Fäden der Flüssigkeit fast genau der Are 0/ parallel. Die Größe des Querschnittes O'v' ist —worin der Kontraktionskoeffizient m den entsprechenden Werth aus 8. 84 hat. Die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in diesem Querschnitte O'v' ist nach Formel (333) V — 1/ 2§(X-si3). Nach der obigen Gleichung (345) hat man also für die Geschwindigkeit in dem Querschnitte cci, welcher um 0/'—a: von der Ausflußöffnung absteht, wenn man beachtet, daß 0/—.r—ä ist, v — 4/ v'-->-2A'.->! - r) — -si.r) .... (348) und daher für die Größe des Querschnittes ock, da «v—mL)V sein muß, - — m 5) v V v--l-2 X) V . . (349) 8. 89. Fall, wo der Strahl vertikal nach oben aus- fließt. In diesem Falle werden die Querschichten der Flüssigkeit in dein freien Strahle eine gleichförmig verzögerte Bewegung annehmen, sodaß sich die Querschnitte des Strahles nach oben hin vergrößeren. 248 §. 89. Figur eines vert. nach oben ciuSfl. Strahles. Gl. (352) Ist nun die Ausflußöffnung nach innen allmählig erweitert, sodaß keine Kontraktion stattfindet; so wird man die Gleichungen für den vorliegenden Fall aus den Gleichungen (345), (346), (347) und (348) erhalten, indem man darin die Größe k/—w mit entgegengesetztem Zeichen nimmt. Dies gibt, wenn man die Bezeichnungen des vorhergehenden Paragraphs beibehält, v — 1/ — 2AN — 2§(2 — a) 4ZV M: j/ — 2 A -v sr .... (350) .... (351) Aus Gl. (350) folgt, daß der vertikal nach oben springende Strahl die Höhe V2 2-? .... (352) erreichen wird, da für diesen Werth von ^ die Geschwindigkeit v-s wird. Man sieht also, daß sich ein solcher Strahl bis zur Druckhöhe 2 der Flüssigkeit über der Ausflußöffnung oder bis zum Niveau des oberen Spiegels der Flüssigkeit erheben wird. Dieses Resultat setzt jedoch voraus, daß die Umstände von der Art seien, daß man für die Ausflußgeschwindigkeit V Näherungsweise den Werth 2M setzen könne (vergl. §. 73). Wenn sich die Ausflußöffnung in einer dünnen ebenen Wand befindet, sodaß der Strahl mit Kontraktion austritt; so hat man offenbar in den Formeln (348) und (349) w und ^ mit entgegengesetzten Zeichen zu nehmen, indem man auch für die Geschwindigkeit V im Querschnitte der stärksten Kontraktion V —1/2^/.-^) hat, was El. (354) 90. Figur eines horizontal auSfl. Strahles. 247 V--2A (---).) 2§,(X--o) und .... ( 35 .'!) ^ —mLL —- .... (354) ^V2 — 2A V X-.r ergibt. Auch dieser Strahl erhebt sich bis zur Höhe n — L d. i. bis zum Niveau des Oberspiegels der Flüssigkeit. 8. 90. Fall, wo der Strahl in horizontaler Richtung austritt. Wenn der Strahl ohne Kontraktion aus einer nach innen gehörig erweiterten Äffnung 6V einer vertikalen Wand in horizontaler Richtung austritt; so wird seine Are eine parabolische Krümmung annehmen, indem eine jede Querschicht desselben die- senige Parabel durchläuft, welche sie nach den Gesetzen geworfener Körper durchlaufen müßte. Hierbei wird von dem Widerstände der Luft abstrahirt, welcher die Weite dieser Parabel ein wenig zu vermindern strebt. Legt man durch die Mitte 6 der Äffnung 61) resp. die vertikale und horizontale Koordinatenare kX und k V, auf welche die Kurve des Strahles bezogen werden soll, und bezeichnet ein unendlich kleines Kurvenelement der Are des Strahles bei / mit ck«; so hat man für die Geschwindigkeit r, der Flüssigkeit bei / oder in dem Querschnitte « und hierin bezeichnen ^ und ^ resp. die Komponenten der Geschwindigkeit v in vertikaler und in horizontaler Richtung. Da man nun für die wirksame Kraft, welche die wirkliche 248 i. SO. Figur eines horizontal ansfl. Strahles. Gl. (3SS) Bewegung der Theilchen bei / in vertikaler Richtung hervorbringt, indem diese Theilchen ganz frei sind und nur von der Schwere sollizitirt werden, also und hat, 2 v woraus t ——, also A .... (355) folgt, da ferner die horizontale Komponente der Geschwindigkeit v ^L-v . . (356) ist; so folgt zuvörderst aus den beiden Gleichungen (355) und (356) lk.v V , also ! N ^ V -657) oder wenn man V —i/M setzt, A — ^42.a: .... (358) Der Parameter der Parabel, welche der horizontal ausflie- ßende Strahl bildet, ist also gleich dem Vierfachen der Druckhöhe L über der Mitte der Ausflußöffnung. Wenn man die Werthe von ^ und ^ aus den Gleichungen (355) und (356) in den Ausdruck für die Geschwindigkeit « ^ in dem Querschnitte «> des Strahles, dessen Koordinaten -r und z/ sind, substituirt; so erhält man v — 2A(2-z-n); «... (359) Gl. (363) §. 91. Inversion beS Strahles, also für die Größe des Querschnittes m l/V--t-2§a- V L-I-L . ( 360 ) Wenn die Öffnung Ov nicht nach innen erweitert wäre, sondern in einer dünnen vertikalen Wand läge, sodaß der Strahl mit Kontraktion austräte; so würde man zu berücksichtigen haben, daß der Querschnitt m LZ der größten Kontraktion, in welchem die Fäden der Flüssigkeit eine parallele Bewegung annehmen, um die Entfernung z vor der Ausflußöffnung K liegt, und daß die Geschwindigkeit V im Querschnitte der größten Kontraktion ist. Behält man also den Mittelpunkt der Ausflußöffnung LZ als Anfangspunkt der Koordinaten bei; so hat man statt Gl. (357) und (358) zu setzen und statt der Gleichungen (359) und (360) r> —^V^-s-2AN—.... (362) mQV . . . (363) §. 91. Inversion oder Verdrehung des Strahles bei nichtkreisförmigen Öffnungen. Die in §. 88 bis 90 mitgetheilten Bemerkungen gehören auch den Fällen an, wo der flüssige Strahl aus einer Öffnung springt, deren Figur nicht kreisförmig ist. In diesen Fällen beobachtet man jedoch noch eine unter dem Namen der Inversion oder Verdrehung des Strahles bekannte merkwürdige Erscheinung, welche im Allgemeinen darin besteht, daß sich die Figur des Querschnittes des Strahles mit zunehmender Entfernung von der Ausflußöffnung dergestalt verändert, daß die längsten diametralen Dimensionen die kürzesten werden, sodaß jene Figur des Querschnittes bei einer gewissen Entfernung von der Öffnung an denjenigen Stellen, wo früher die Mitten geradliniger Seiten lagen, nunmehr ausspringende Winkel bildet, und umgekehrt. 280 h. 9l. Inversion deS Strahles. Nach einem Versuche von Venturi mit einer rechtwinkligen in den Ecken abgerundeten Öffnung ^ von 18 Linien Länge und einer Breite von etwa 6 Linien ist der Querschnitt des Strahles jenseit der Öffnung zuerst durch L, in einem Abstände von 4 Zoll durch 6, alsdann durch v dargestellt. Nach mehreren Versuchen von verschiedenen Experimentatoren mit einer quadratischen Ausflußöffnung L, deren Seite 0,956 Fuß hielt, ist der Querschnitt des Strahles in einer Entfernung von 0,335 Fuß von der inneren Wand des Gefäßes durch in einer Entfernung von 1,329 Fuß durch O, in einer Entfernung von 1,593 Fuß durch II und in einer Entfernung von 1,854 Fuß durch ^ dargestellt. Die horizontalen und vertikalen Seiten dehnen sich alsdann immer mehr und mehr aus. Nach den Beobachtungen vonPoncelet undLesbros nimmt ein Strahl, welcher in horizontaler Richtung bei einer Druck- höhe von 5,353 Fuß über der Mitte der Öffnung aus einer quadratischen Öffnung von 0,637 Fuß Weite in einer dünnen Wand springt, nach und nach folgende Querschnitte an: den Querschnitt L bei einer Entfernung von 0,020 Fuß - >1 - N - 0 - - 0,478 - - 0,797 - - 1,115 - - 1,434 - 251 z. 92. Ausfluß aus einem Überfalle. Späterhin trennen sich von dem Strahle einzelne Tropfen ab, und zuletzt lös't sich der ganze Strahl in Tropfen auf. Ein aus einer dreieckigen Öffnung p springender Strahl nimmt endlich die Figur tz an, deren Seiten sich mit zunehmender Entfernung von der Öffnung immer weiter ausdehnen. Es muß hier nach bemerkt werden, daß wenn durch die Einsetzung einer Wand an Einer oder mehreren Seiten der Ausflußöffnung, oder weil diese Öffnung unmittelbar an Einer der Seitenwände des Gefäßes liegt, die Kontraktion nicht über den ganzen Umfang des Strahles erfolgen kann, die Richtung der Are des Strahles nicht mehr perpendikular auf der Ebene der Ausflußöffnung bleibt. Der Strahl erweitert sich an derjenigen Seite mehr, an welcher keine Kontraktion stattfindet. Ausfluß einer schwere» unprcßbaren Flüssigkeit aus einem Überfalle. <8. 92. Ausfluß aus einem Überfalle, wenn die Wände desselben nach innen gehörig erweitert und abgerundet sind, sodaß keine Kontraktion stattfindet. Unter einem Überfalle versteht man hier eine rechtwinklige Öffnung, deren obere Seite entweder gar nicht vorhanden ist, oder doch höher liegt, als der Spiegel der Flüssigkeit in dem Gefäße. Beim Ausflusse neigt sich der sonst horizontale Spiegel der Flüssigkeit vor der Öffnung, sodaß die Stärke 6V des Strahles in der Öffnung geringer ist, als die Höhe 6L des Spiegels über dem Boden der Öffnung oder als die eigentliche Druckhöhe. Der vorliegende Fall ist nun von den früheren, wo die Querschnitte der Flüssigkeit durch die unveränderlichen Querschnitte eines Ge- 252 §. 92. Ausfluß a»S einem Überfalle. fäßes gegeben waren, darin unterschieden, daß die Gestalt des ausfließenden Strahles, besonders dessen Stärke in der Ausflußöffnung, unbekannt sind. Es wird zuvörderst angenommen, daß der Überfall, durch welchen sich die Flüssigkeit aus einem bis zur Höhe ^8 beständig voll erhaltenen Gefäße ergießt, unten und seitwärts gehörig erweitert und abgerundet sei, sodaß alle Fäden der Flüssigkeit in parallelen Richtungen, also ohne Kontraktion aus der Öffnung treten. Ferner wird vorausgesetzt, daß die Fläche dieser Öffnung im Verhältnisse zu dem oberen Durchschnitte des Gefäßes sehr klein sei, sodaß die Flüssigkeit in dem Gefäße selbst als still stehend angesehen werden kann. Wäre nun die Höhe 6V des Strahles bekannt; so könnte man die mittlere Ausflußgeschwindigkeit und somit die Ausflußmenge nach den Regeln der §8. 75 ff. ermitteln, da man offenbar annehmen könnte, daß die Geschwindigkeit, welche die Theil- chen in irgend einem Punkte rr der Öffnung besitzen, gleich der der Druckhöhe 8 m zukommenden Ausflußgeschwindigkeit sei. Um jene noch unbekannte Höhe 6V zu bestimmen, geht Navier*) von der Hypothese aus, daß die Summe der lebenden Kräfte, welche die Massentheilchen bei ihrem Durchgänge durch die Öffnung erlangt haben, die größtmögliche sei, und schlägt zur analytischen Darstellung dieser Hypothese den folgenden Gang ein. Es sei a die horizontale Breite des Überfalles, /«' die Höhe 8 V des Spiegels der Flüssigkeit über der oberen Fläche des ausfließenden Strahles, L" die Höhe 86 des Spiegels der Flüssigkeit über dem Boden der Öffnung, V, die mittlere Ausflußgeschwindigkeit nach §. 77. Wegen der allmähligen Erweiterung der Öffnung nach innen kann man annehmen, daß alle Fäden der Flüssigkeit den Querschnitt 60 in perpendikularer Richtung durchschneiden. Da die Geschwindigkeit, welche allen Massentheilchen der Flüssigkeit als gemeinschaftliche beigelegt werden kann, gleich V, ist; so be- *) käüum« äe« lexonü »ue l'-»l>plic»tion ncke ymtie. 62. Gl. (366) §. 92. Ausfluß auS einem Überfülle. 253 trägt die Ausflußmenge für die Zeiteinheit V,»(4"—4^, und die Masse dieses Volums, wenn man das Gewicht der Volumeinheit gleich ro setzt, -^-V, a(4"—4'). Da nun ein jedes Theil- chcn dieser Masse von der Geschwindigkeit V, belebt gedacht wird; so hat man für die lebende Kraft der in der Zeiteinheit aus der Überfallöffnung tretenden Flüssigkeit V,».^ Vla(4»-,?)^--^-V>--a(4"-4'), oder wenn man für V, seinen Werth aus Gl. (326°) substituirt, 8 ^ 27 ^ «(2-) (ä"2 —L'2)^ (4"—4')- ' In diesem Ausdrucke ist 4' die einzige unbestimmte Größe. Setzt man nun, da dieser Ausdruck ein Marimum werden soll, das Differenzial desselben in Beziehung zu 4' gleich null; so erhält man die Gleichung 5 4'2 — § 4" 4'2 4 4"2 v .... (364) Aus dieser Gleichung des dritten Grades ergeben sich für 4^ die drei Werthe 4"2, —1,5247.0,52474"^, also - 4' - - - 4", 2,3246.4", 0,27534". Man erkennt leicht, daß die ersten beiden Werthe durch die Bedingungen der Aufgabe ausgeschlossen sind, und daß man nur 4' — 0,27534" ....(365) zu nehmen habe, sodaß die Höhe 01) des Wasserstrahles in der Öffnung über dem Boden des Überfalles 4"-4'—0,72474" ....(366) ist. Hiernach würde die mittlere Ausflußgeschwindigkeit V, wegen Gl. (326°) /' l-(0,2753)2 ^, ^ 1-0,2753 / Gl. (367) 2S4 §. 92. Ausfluß nutz einem Überfalle, und die Ausflußmenge in der Zeiteinheit tz —Vi«sL" —L') d. i. 2^1-c0,2753)^aL"^0,5704a/r"^d^ - - - - ( 367 ) sein. Mustern wir den Gang der vorstehenden Untersuchung genauer; so finden wir, daß gegen die angenommene Hypothese, daß die lebende Kraft der aus der Öffnung 61) tretenden Flüssigkeit ein Marimum sei, im Allgemeinen nicht viel zu erinnern sein würde, wenn das dadurch erzielte Resultat mit der praktischen Erfahrung nahezu übereinstimmte, weil es einen ziemlichen Grad von Wahrscheinlichkeit für sich hat, daß die frei waltenden Naturkräfte unter allen besonderen Umständen das mit diesen Umständen sich vertragende Marimum der Wirkung oder der lebenden Kraft hervorbringen werden. Diese Hypothese also als richtig angenommen, so fragt es sich, ob das Verfahren, welches Navier behuf analytischer Darstellung derselben eingeschlagen hat, frei von allen Einwürfen sei. Da die Druckhöhe LI) dxr Flüssigkeit über der oberen Seite der Ausflußöffnung im Vergleich zu der vertikalen Höhe dieser Öffnung sehr klein ist, und sogar gleich null sein würde, wenn sich der Spiegel der Flüssigkeit in der Öffnung nicht etwas senkte; so folgt, daß die Ausflußgcschwindigkeit der in verschiedenen Höhen liegenden Theilchen ir der Flüssigkeit je nach diesen Höhen verschieden sein wird, weshalb denn auch im Obigen als Ausflußgeschwindigkeit die nach §. 77 bestimmte mittlere Ausflußgeschwindigkeit V, eingeführt ist. Nun kann man zwar bei der Bestimmung der Ausflußmenge, wo die Fläche der Öffnung mit jener Größe V, zu multipliziern ist, annehmen, daß alle Theilchen der Flüssigkeit in der Öffnung von der mittleren Geschwindigkeit V, beseelt seien, weil der Werth von V, ja gerade aus dieser Bedingung hergeleitet ist (vergl. §. 75); dessenungeachtet bleibt V, aber immer nur eine eingebildete Größe, welche man nicht unter allen Umständen als die allen Theilchen zukommende Ausflußgeschwindigkcit ansehen darf. Namentlich ist Dies bei der Bestimmung der lebenden Kraft der aus der Öffnung tretenden Flüssigkeitsmenge der Fall, wo ein jedes Massentheil- chen mit dem Quadrate seiner Geschwindigkeit multiplizirt werden muß. Hier multiplizirt Navier ohne Weiteres die in der z. 92. Ausfluß uuS cincm Überfalle. 255 Zeiteinheit austretende Masse ^V^er(/r"-L') der Flüssigkeit mit dem Quadrate V,^ der mittleren Ausflußgeschwindigkeit, wie wenn alle Theilchen des Querschnittes 6V dieselbe Geschwindigkeit besäßen. Da Dies offenbar nicht der Fall ist; so wollen wir den wahren Werth der lebenden Kraft der durch die Ausflußöffnung tretenden Flüssigkeit zu bestimmen suchen. Die Geschwindigkeit der Theilchen ir, welche in einer Tiefe unter dem Spiegel .46 der Flüssigkeit liegen, ist bekanntlich P —Diese Geschwindigkeit wird in dem ganzen horizontalen Streifen von der Breite a und der unendlich geringen Höhe «ir herrschen, welcher in derselben Tiefe r unter dem Spiegel liegt. Da nun das aus diesem Streifen in der Zeiteinheit hcrausfließende Volum der Flüssigkeit vacir—a^ 2 ^«ir und dessen Masse ^ a ^ZUcir, mithin dessen lebende Kraft « 2 .-^-ll 1 / 2 ^lir—n( 2 Ar) 2 ckr ist; so hat man für die ge- sammte lebende Kraft der aus der Öffnung 6V in der Zeiteinheit tretenden Flüssigkeit Diese Funktion hat in Beziehung zu der unbestimmten Größe kein eigentliches Marimum; dieselbe ist übrigens am größten, wenn //—o ist. Hieraus folgt, daß die lebende Kraft der aus dem Überfalle sich ergießenden Flüssigkeit am größtmöglichen sein würde, wenn sich der Spiegel .4 8 der Flüssigkeit in der Ausflußöffnung gar nicht senkte, ein Resultat, welches eigentlich a Prior! schon erwartet werden mußte, da es bekannt war, daß die Ausflußgeschwindigkeit tiefer liegender Theilchen von der Ausflußgeschwindigkeit der höher liegenden gar nicht abhängt, sodaß eine Vergrößerung des Querschnittes 6V des ausfließen- dcn Strahles in vertikaler Richtung nothwendig eine Vermehrung der lebenden Kraft der ausfließenden Flüssigkeit zur Folge haben mußte. Da nun die Erfahrung lehrt, daß sich der Spiegel der Flüs- 2S6 §. 93. Erfahrungen über den Ausfluß Gl. (368) sigkeit in der Ausflußöffnung wirklich senkt; so folgt, daß sich die obige Hypothese, wonach die lebende Kraft der Ausflußmenge am möglichgrößten sein soll, auf den Ausfluß aus einer Überfallöffnung durchaus nicht anwenden läßt, und daß es rein zufällig ist, daß Navier durch die irrthümliche Exposition jener f Hypothese durch analytische Formeln auf ein Resultat gekommen ist, welches sich den praktischen Erscheinungen in den gewöhnlichen Fällen ziemlich nahe anzuschließen scheint. Dieses Resultat (367) bleibt hiernach immer nur eine Illusion und ist nicht dazu geeignet, die Vorgänge in der Wirklichkeit, um die es sich hier handelt, zu erklären. An praktischen Erfahrungen über die Größe der Senkung Lv —/r' des Spiegels oder über die Stärke 6 V des Wasserstrahles in der Öffnung, sowie über die Ausflußmenge aus einer nach innen gehörig erweiterten Überfallöffnung, aus welcher der Strahl ohne Kontraktion treten kann, fehlt es bis jetzt noch. 8. 93. Erfahrungen über den Ausfluß des Wassers aus einer Überfallöffnung in einer dünnen vertikalen Wand. Wenn sich die Überfallöffnung in einer dünnen Wand befindet; so senkt sich der horizontale Spiegel vor und in der Öffnung ebenfalls um eine gewisse Tiefe Lv—L'. Außerdem tritt aber noch von den Seiten und vom Boden der Öffnung her Kontraktion des Strahles ein. Bezeichnet man die von dem horizontalen Theile des Spiegels aus gemessene Höhe der Flüssigkeit über dem Boden 6 der Öffnung, also L6 mit /r", während die Breite dieser Öffnung gleich er ist; so kann man die Ausflußmenge (j für die Sekunde nach der Formel H.... (368) berechnen, wenn man nach den Versuchen von Poncelet und Lesbro s dem Ausflußkoeffizienten « für die verschiedenen Werthe von L" folgende Werthe gibt: Werthe von L" Werthe von « 0,032 0,064 0,096 0,127 0,191 0,255 0,319 0,478 0,637 0,701 Fuß. 0,424 0,417 0,412 0,407 0,401 0,397 0,395 0,393 0,390 0,385 aus Nbersallöffnungni. 2S7 Die Öffnungen hatten hierbei immer eine horizontale Breite von « -- 0,637 Fuß. Wenn die Qffnungcn größer sind; so ergeben die Versuche von Eytelwein, Bidone und D'Aubuisson, daß man für den Ausflußkoeffizienten « in der Formel (368) im Durchschnitte den Werth « — 0,41 setzen könne. Wenn sich die Überfallöffnung über die ganze Breite des Behälters erstreckt, sodaß an den Seiten des ausfließenden Strahles keine Kontraktion stattfindet; so kann man im Mittel « — 0,444 annehmen. Wenn jedoch die Breite der in einer dünnen Wand befindlichen Überfallöffnung nicht die ganze Breite des Behälters, wol aber einen ansehnlichen Theil derselben einnimmt, sodaß die Sei- tenkvntraktion des Strahles nur vermindert wird und sich nicht vollkommen äußern kann; so hängt der Ausflußkoeffizient « von dem Verhältnisse ^ der Fläche der Ausflußöffnung zu dem Querschnitte des davorliegenden Behälters ab. Bezeichnet man den Faktor, mit welchem der Ausflußkoeffizient der früher erwähnten Fälle bei vollkommener Kontraktion multiplizirt werden muß, um den Ausflußkoeffizienten für die in Rede stehende unvollkommene Kontraktion zu ergeben, mit /S; so kann man nach den Erfahrungen von Weisbach für /; folgende Werthe setzen. Korrcktionsfaktor für den Ausflußkoeffizienten bei unvollkommener Kontraktion des Strahles in den Ponceletschen Überfallvffnungen. Werth des Verhältnisses ^ 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 Werth des Korrcktionskoef- sizientc» A 1,000 1,000 >,001 1,003 1,007 1,014 1,026 1,044 1,070 1,107 §. 94. Beobachtete Höhe des aus Überfallöffnungen in dünnen Wänden hervortretenden Wasserstrahles. Zuweilen ist man nicht im Stande, die gesammte Druckhöhe KO —des horizontalen Theiles des Spiegels der Flüssigkeit 17 258 r, 94. Hohe des aussuchenden Strahles. über dem Boden der Ausflußöffnung zu messen, und kann nur die Höhe 61) — /»" —L' des austretenden Strahles über jenem Boden abnehmen. Damit es nun möglich sei, aus dieser Höhe L"—L' die Ausflußmenge z» berechnen, muß man das Verhältniß kennen, welches zwischen den Größen 611—/»" und 61) —/»"—/»' oder auch zwischen der gestimmten Druckhöhe 6V —L" und der Senkung LI)—L' besteht, weil man alsdann in den Stand gesetzt wird, aus der gemessenen Höhe 00—/e"—/»' des Strahles in der Ausflußöffnung die Druckhöhe L6 —/»" zu ermitteln und alsdann die Formel (368) für die Ausflußmenge in Anwendung zu bringen. Man hat beobachtet, daß im Allgemeinen das Verhältniß der Senkung des Spiegels in der Überfallöffnung zur Druckhöhc zunimmt, wenn die Druckhöhe selbst abnimmt. Im Nachstehenden ist eine Tabelle der Erfahrungen verschiedener Beobachter über das Verhältniß ^ der gesammten Druckhöhe 00 zu der Höhe 01) des Strahles in der Öffnung mitgetheilt. bezeichnet darin das Verhältniß der horizontalen Breite der Überfallöffnung zu der Breite des davor liegenden Behälters; /»" ist ^00 und /t'--LO, also /»"-/»'-^06. /r /r" L" - ü' z," /»" - Beobachter 0,0543 0,1205 0,1250 0,2080 0,2656 0,2920 0,3750 Suß 0,691 0,574 0,417 0,357 0,230 0,092 0,538 0,280 > 1,250 0,900 0,414 0,322 0,720 0,596 Suß 0,637 0,523 0,376 0,319 0,198 0,072 0,509 0,259 1,219 0,853 0,376 0,282 0,645 0,523 1,085 1,097 1,116 1,120 1,161 1,284 1,060 1,083 1,025 1,055 1,101 1.139 1,116 1.140 0,922 l 0,912 1 0,896 l „ , 0,893 / Lcsbros. 0,861 t 0,779 - 0.043 , 0,923 j Bidone. 0,075 , ^ . 0,948 j Eytelwem. 0,878 j Bidone. 0 877 / Eytelwein. i. 95. Überfälle mit Gerinnen. Für Überfallöffnungen, welche die ganze Breite des Behälters einnehmen, sodaß der austretende Strahl keine Seitenkon- traktion erleidet, kann man im Durchschnitte 1,25 oder nehmen. 8. 95. Erfahrungen über den Ausfluß des Wassers aus einer Überfallöffnung mit einem Gerinne. Wenn sich die Seiten und der Boden der Überfallöffnung in ein wenig geneigtes Gerinne fortsetzen; so kann man sich nach den Versuchen von Poncclet und Lesbros als Ausflußkoeffi- zicnt « für die Formel (368) folgender Werthe bedienen, senach- dcm die Öffnung mit dem Gerinne nach Fig. (w) oder (5) des 8s 86 angeordnet ist. Druckhöhe über der Sohle AuSflußkocffizient « für die Anordnung der Öffnung (a) 0,324 0,313 0,303 0,281 0,259 0,227 0,669 0,319 0,478 0,314 0,319 0,305 0,191 0,283 0,127 0,272 0,096 0,227 8. 96. Ausfluß aus einem mit einer Überfallöffnung versehenen Behälter, welcher sich leert. Wenn der mit einer Überfallöffnung versehene Behälter keinen Zufluß erhält; so wird sich der Spiegel der Flüssigkeit während des Ausfließens der Letzteren allmählig hcrabsenken. Bezeichnen wir mit ^ die Druckhöhe der Flüssigkeit über der Sohle der Überfallöff, nung in dem Augenblicke, wo man anfängt, die Zeit zu zäh- 260 j. 96. Veränderlicher Ausfluß aus einem Überfalle. Gl. (37 l) len (eine Größe, welche in den vorhergehenden Paragraphen mit bezeichnet ist), mit 2 diese Druckhöhe am Ende der Zeit t, mit o die Fläche des horizontalen Querschnittes des Behälters in der Höhe L über der Sohle des Überfalles, mit « die horizontale Breite der Überfallöffnung, mit « den Ausflußkoeffizienten aus Gl. (368), von welchem wir annehmen, daß er während des Sinkens des Spiegels der Flüssigkeit stets konstant bleibe; so hat man für die Ausflußmenge während der sehr kurzen Zeit ckt am Ende an der Zeit t nach Gl. (368) und da diese Größe offenbar gleich — 0ck2 sein muß; so hat man oder mithin « nL. ckt — —OckL 1 OckL. ckt —— 2A 8 * _/ ««V 2-«/ 2 .... (369) Wenn der Behälter prismatisch ist, sodaß dessen horizontaler Querschnitt O eine konstante Größe bildet; so hat man ^ 20 / I_Ix ^ « a2 - ^ / . . (370) In dieser Zeit sinkt der Spiegel der Flüssigkeit von der Hohe T bis zur Höhe L herab. Fgr X>—o würde man die Zeit 1 erhalten, in welcher der Spiegel der Flüssigkeit bis zur Sohle des Überfalles herabsinkt. Diese Zeitgröße ist offenbar unendlich groß, woraus folgt, daß eine unendlich lange s. Y7. Bewegung bei plötzlichen QuerschnittSderSnberungeii. 26 l Zeit dazu gehörte, bis der Spiegel der Flüssigkeit in dem Behälter bis zur Sohle der Überfallöffnung herabsänke oder bis sich ein Gefäß vermittelst eines Überfalles bis zur Tiefe der Sohle dieses Überfalles ausleerte. Bewegung einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit in einem Gefäße, in welchem sich an mehreren Stellen der Querschnitt plötzlich «m eine endliche Größe ändert. §. 97. Bewegung einer Flüssigkeit unter den vorstehenden Voraussetzungen in einer engen Röhre. ^LVO sei eine enge Röhre, in welcher sich mehrere Scheidewände, in der seitstehenden Figur zwei, mit -Öffnungen 08 und 0'8' befinden, von denen die letzteren nach oben gehörig erweitert und abgerundet sind, sodaß die Flüssigkeit ohne Kontraktion durch dieselben treten kann. In dieser Röhre bewegt sich eine gewisse Menge einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit, deren obere Endfläche am Ende der Zeit t aS und deren untere Endfläche zu derselben Zeit ori ist. Beim Passiven der Öffnungen 08 und 0'8' wird die Flüssigkeit gezwunden, plötzlich resp. die Querschnitte und einzunehmen. Behalten wir die in 8. 55 und 57 allgemein eingeführten Bezeichnungen, soweit sie dem gegenwärtigen Falle angehören, bei, sodaß, um dieselben nochmals zu wiederholen, « die Fläche irgend eines normalen Querschnittes «/Z oder oder «"O" des von der Flüssigkeit erfüllten Raumes, O', O" resp. die obere und untere Endfläche aö und ori der Flüssigkeit am Ende der Zeit t, wz resp. die unmittelbar aufeinander folgenden Querschnitte 08 und welche sich plötzlich um endliche Werthe ändern, «4 resp. die in ähnlicher Beziehung stehenden Querschnitte 0'8' und I'L', 262 §. 97. Bewegung einer Flüssigkeit in einer Röhre K die Fläche eines bestimmten Querschnittes der Röhre, z. B. des untersten Ov, « die Bogenlänge der Are der Röhre vom Mittelpunkte L des obersten oder überhaupt eines bestimmten Querschnittes bis zur Mitte des Querschnittes also die Länge des Aren- theiles Lx oder Le' oder Lx", s" die Längen der Theile Le und L/' der Are der Röhre, - den vertikalen Abstand 1,6 oder 1,6' oder 1,6", welcher der Arenlänge.? entspricht, r', r" die vertikalen Abstände 1,18 und ON, welche den Aren- längen und «" entsprechen, v die Geschwindigkeit der Flüssigkeit im Querschnitte m am Ende der Zeit t, die Geschwindigkeiten der Flüssigkeit der beiden Endflächen und O" zu derselben Zeit, vi, vz die Geschwindigkeiten der Flüssigkeit resp. in den Querschnitten 68—w,, und 1L—« 2 , Vg, v« die Geschwindigkeiten der Flüssigkeit resp. in den Querschnitten 6'18— Mz UNd >1'1^— Mz, V die Geschwindigkeit, welche in dem bestimmten Querschnitte LZ stattfinden müßte, damit durch diesen Querschnitt dieselbe Quantität der Flüssigkeit ginge, welche in derselben Zeit mit der Geschwindigkeit v durch den Querschnitt w geht, «i—das Gewicht der Volumeinheit der Flüssigkeit, wenn deren Dichtigkeit bezeichnet und s—31,2644 Fuß ist, p', x>" den Druck auf die Flächeneinheit, welcher von außen resp. gegen die obere und untere Endfläche und 0" der Flüs- keit ausgeübt wird, p den hydraulischen Druck der Flüssigkeit in irgend einem Querschnitte « auf die Flächeneinheit am Ende der Zeit k, 6 das Volum der Flüssigkeit, welches sich, vom Ende der Zeit t aus gerechnet, in der Zeiteinheit durch irgend einen Querschnitt co der Rohre ergießt, darstellt. Auf den vorliegenden Fall ist offenbar die allgemeine Gleichung (241) anzuwenden, indem man aus derselben diejenigen Glieder hinwegläßt, welche sich auf die Wirkung gewisser äußerer Tl, (374) mit plötzlichen Qucrschnittkvcräiidcruiigcn. 36» auf die Flüssigkeit angebrachter Kräfte k und auf den Neibungs- widerstand k der Rohre beziehen. Hiernach hat man also >r" Mit dieser Gleichung ist die folgende LZVcke ....(373) /I ^ -s- w (: oder die Gleichung ....(374) zu verbinden. Der hydraulische Druck /> auf die Flächeneinheit, welcher in irgend einem Querschnitte w der Röhre stattfindet, ergibt sich nach den Prinzipien des §s 56 offenbar folgendermaaßen: 1) wenn der Querschnitt w oberhalb der höchsten Scheidewand, also in liegt, indem man in der Gleichung (372) p, c,; so werden dieselben dem Falle entsprechen, wo die Eine mit plötzlichen QuerschiiittSberändermigen. 265 Scheidewand eben ist. Wäre auch die zweite Scheidewand eben; so würde man in ähnlicher Weise, wenn m, der entsprechende Kontraktionskoeffizient wäre, für «« zu substituiren haben, wodurch das letzte Glied der Gleichung (372) ^ V- ss ^ .^Vl 2 A l-XM,«, «,/ «4/ ^ werden würde. Wenn die plötzliche Veränderung der Geschwindigkeit der Flüssigkeit an einer Stelle der Röhre nicht gerade durch eine eigentliche Scheidewand, sondern in der seitwärts verzeichneten Weise hervorgebracht würde, indem sich die Röhre bei 68 plötzlich bis > 1 L erweiterte, und man annehmen könnte, daß bei dem Austritte der Flüssigkeit aus dem Querschnitte 68 keine Kontraktion stattfände; so würde das betreffende Glied in der Gleichung (372) unverändert beizubehalten sein, indem man 68 — «,, resp. «g —«,, resp. «4 setzte. Kämen statt der eben erwähnten Erweiterungen plötzliche Verengungen nach der seitwärts verzeichneten Art in der Röhre vor; so würde die Flüssigkeit mit Kontraktion in den engeren Theil 6 ^X 8 der Röhre treten. Wäre nun 68 —«,; so wird der Querschnitt der größten Kontraktion y/r —m,«, sein. Aus dem letzteren Querschnitte, in welchem die Fäden der Flüssigkeit einander parallel sind, geht dieselbe plötzlich zu dem Querschnitte 5X über, welcher nahezu — 68 —«, gesetzt werden kann. Man wird demnach die Gl. (372) auch für diesen Fall paffend machen, indem man überall da, wo eine solche Einengung vorkäme, m,«, an die Stelle von «, und «, an die Stelle von «, setzte, wodurch z. B. in jener Gleichung statt der Größe (« _ --V «e. « V- (-i— X«, «2^ Xm, «I «,/ ^-^1 ^ X«,/ 288 §. 98. Gleichförmiger Ausfluß auS einer Röhre und erforderlichen Falls für die Größe die Größe - l)V-V V.cog cn^/ VMg«z° Kg/ Vm, / x«g/ zu setzen wäre. Aus dem Letzteren ersieht man, wie der Fall einer plötzlichen Verengung der Röhre in Folge der Kontraktion des flüssigen Strahles auf den Fall einer plötzlichen Erweiterung zurückgeführt werden kann, daß es also im Allgemeinen, wie in 8. 55 geschehen, nur erforderlich war, die generellen Gleichungen für den Fall einer plötzlichen Erweiterung der Röhre zu entwickeln. Endlich ist noch anzumerken, daß wenn die Bewegung der Flüssigkeit einen Beharrungszustand angenommen hat, in Folge dessen sich die Geschwindigkeit derselben in allen Querschnitten der Röhre mit der Zeit nicht ändert, man in Gl. (372) ckV ckt o zu setzen habe, wodurch das in diese Größe multiplizirte Glied verschwindet. Auf eine ähnliche Weise, wie Dies in den §§. 58 bis 70 mit der Gl. (241) geschehen ist, kann man nun auch für die vier dort namhaft gemachten wesentlich verschiedenen Fälle der Bewegung der Flüssigkeit die Gl. (372) behandeln und daraus die Bedingungen für jene Fälle unter den hier neu hinzugekom- menen Voraussetzungen entwickeln. Im folgenden werden wir uns jedoch nur mit den beiden für die Praxis wichtigen Fällen beschäftigen, wo sich die Flüssigkeit aus dem untersten Querschnitte K der Röhre ergießt, während 1) der obere Spiegel 0' auf konstanter Höhe erhalten wird und die Flüssigkeit sich im Behar- rungözustande befindet, und 2) der obere Spiegel O' allmählig herabsinkt, sodaß die Röhre sich sukzessive leert. §. 98. Gleichförmiger Ausfluß einer Flüssigkeit aus der obigen mit Scheidewänden versehenen Röhre, wenn der Oberspiegel der Flüssigkeit auf konstanter Höhe erhalten wird. Es wird vorausgesetzt, daß die Flüssigkeit aus dem untersten Gl. (378) mit Scheidewänden. 287 Querschnitte der im vorigen Paragraph betrachteten Röhre ent- ströme, während der obere Spiegel auf konstanter Höhe erhalten wird, und daß der Beharrungszustand in der Bewegung der Flüssigkeit eingetreten sei. Demzufolge hat man hier O' konstant, 0"—§>, «'---o, »" konstant —8, o, r" konstant — 2, ^ —o; mithin statt der Gl. (372), wenn man auch noch annimmt, daß die Pressungen p' und p" gegen die Endflächen der Flüssigkeit einander gleich seien, nachdem man auf beiden Seiten mit «, divi- dirt hat, 2A(v v«l « 2 ^ ' v«8 ..(375) Die Gl. (373) oder (374) braucht hier nicht weiter berücksichtigt zu werden, da sowol wie s" konstante Größen sind. Aus der vorstehenden Gleichung folgt für die Ausflußgeschwindigkeit V V--- _ V .... (376) Man sieht, daß in Folge der Zwischenwände und ähnlicher plötzlicher Verengungen die Ausflußgeschwindigkeit vermindert wird. In §. 66 und 65 hat man gesehen, daß der Beharrungszustand der ausströmenden Flüssigkeit, wenn keine Zwischenwände mit Öffnungen vorhanden sind, nur dann stattfinden kann, wenn der obere Querschnitt O' des Gefäßes größer ist, als die untere Ausflußöffnung LZ. In dem gegenwärtigen Falle jedoch, bei der Gegenwart von Scheidewänden, lehrt die Formel (376), daß der Werth von V selbst dann noch möglich bleibt, wenn der obere Querschnitt O um eine gewisse Größe kleiner ist, als die Aus- siußöffnung <6; nur darf der Werth von 0', damit der Nenner 288 r. 88. Gleichförmiger Ausfluß aus einer Röhre Gl. (377) in Gl. (376) positiv bleibe, nicht unter eine gewisse Gränze Herabsinken, und man muß immer . . . (376») haben. Umgekehrt, darf die Ausflußöffnung LZ einen gewissen Werth nicht überschreiten, und es muß stets oder sein. O'V O'V . . (376») Was den Druck p der Flüssigkeit in irgend einem Querschnitte m betrifft; so erhält man nach den Betrachtungen und Vorschriften des vorhergehenden Paragraphs, verbunden mit den im gegenwärtigen Paragraph gemachten Voraussetzungen aus der Gl. (372), 1) wenn der Querschnitt w oberhalb der höchsten Scheidewand, also in liegt, (die Querschnitte und 68 mit eingeschlossen) mithin .... (377) eine Formel, worin V den Werth aus Gl. (376) besitzt; 2) wenn der Querschnitt w zwischen den beiden gegebenen Gl. (381) mit Scheidewänden. 269 Scheidewänden, also in «'/Z' liegt, (die Querschnitte 3L und 6H' mit eingeschlossen) mithin .cs7«, eine Formel, worin V gleichfalls den Werth aus Gl. (376) hat; 3) wenn der Querschnitt w unterhalb sämmtlicher gegebener Scheidewände, also in «"/S" liegt, (die Querschnitte )'L' und 6V mit eingeschlossen) />'—p -s- «ir 2y V v? O'V^ 2A l.v«1 «z/ ^Va»z ^ 2? mithin ^ ^ ' 2o s«^ 0'2 XVI, wz/ va-g M4/ ) .... (379) Auch in dieser Formel hat V den Werth aus Gl. (376).^ Wenn die Ausflußvffnung K im Vergleich zu den Querschnitten w 2 ——I'L' sehr klein ist, sodaß man die Verhältnisse A, ^ gegen die übrigen Glieder vernachlässigen kann; so erhält man nach Gl. (376) für die Aus- flußgcschwindigkeit 2-L (380) ferner für den hydraulischen Druck 1) in einem Querschnitte c-i—«/Z oberhalb der beiden Scheidewände oder zwischen ^1) und OII inkl. -(381) 2) in einem Querschnitte zwischen den beiden Scheidewänden oder zwischen und inkl. 27V j. VV. Gleichförmiger AnSflnh auS einer Röhre Gl. <.38S) .... (Z82) 3) in einem Querschnitte w —«"/)" unterhalb der beiden Scheidewände oder zwischen und 00 inkl. ^ V- s(D^ (E)'-«- (E)'s — E In den letzten drei Gleichungen hat V den Werth aus Gl. (380). K. 99. Gleichförmiger Ausfluß aus einer Röhre mit Scheidewänden und plötzlichen Erweiterungen und Verengungen. Um die in §. 97 gegebenen Andeutungen für den Fall, wo die Röhre ebene Zwischenwände mit Öffnungen, plötzliche Erweiterungen oder Verengungen enthält, an einem Beispiele zu verwirklichen; so nehmen wir unter Beibehaltung der früheren Bezeichnungen an, die Röhre ^LVO enthalte 1) bei eine Zwischenwand mit einer nach oben gehörig erweiterten »Öffnung 08; es sei 08 ——wz; 2) bei eine ebene Zwischenwand mit einer Öffnung 0 8, durch welche die Flüssigkeit mit Kontraktion des Strahles tritt; es sei 0<8'—^ und der Kontraktionskoeffizient — Mz, so- daß der Querschnitt der größten Kontraktion —ist; 3) bei eine Plötzliche Erweiterung; es sei 0"8" — 4) bei 0"^" eine plötzliche Verengung, in welcke die Flüssigkeit mit Kontraktion tritt; es sei (?"8'"---^"L/"—w, und der Querschnitt der größten Kontraktion Nach den Erläuterungen des §s 97 erhält man für die vorstehende Disposition der Röhre statt der Gl. (375) die folgende Gl. (380) mit plötzlichen Qncrschnlttsberändcrungen. 271 ^_^Zx- Mgl 0 z .... (384) V- 5 V "-7 ^ >" 7 > Hieraus folgt für die Ausflußgeschwindigkeit /' 2-L v//. K-V/K ^ Kxr /K V O'V Vc-Ii c»2/ VMzwz W4/ V»L aig/ V Va-,/ .... (385) Der hydraulische Druck p in in irgend einem Querschnitte w ist nach einem dem früheren ganz ähnlichen Verfahren zu bestimmen. Man hat für denselben in einem Querschnitte w oberhalb 61) oder zwischen ^8 und 68 inkl. p —p'-f-w- —V (^ 7 — 077 ), ....(386) -S in einem Querschnitte a, zwischen und inkl. in einem Querschnitte w zwischen 3 und 6"8" inkl. . .. sr-./sr / sr ....(387) .... (388) in einem Querschnitte c» zwischen und §"^" inkl. «,r— ^ X ^ ^ ^ - — V-l- i' ^ - — V-l- sL. - L.V1 (w? kl»2> ' VM 3«3 W4/ tOg-! )' .... (389) und endlich in einem Querschnitte w unterhalb ^"8", oder zwischen und 6V p—V' X fs,-2 v<-, a-z/ ^>/tz3 «<-4/ V"z <"«!/ v "'7 / VW7/ ) .... (390) 272 i- 99. Ausfluß bei plötzlichen Qucrschnittsderänderungen. In den Zwischenräumen, wie zwischen 6 16 und sind für « die Querschnitte des sich immer mehr kontrahirenden Strahles 6 ' 8 '/?§' zu setzen. In den letzteren 5 Gleichungen hat V den Werth aus Gl. (385). Wenn die Ausflußöffnung LL im Vergleich zu den Querschnitten äL—(V, —« 4 , 0 , 4 , )"L"—«s sehr klein ist; so können in den vorstehenden Gleichungen (384) bis (390) die Größen ^ ohne merklichen Fehler unterdrückt werden. Wenn der Werth des Druckes p in irgend einem Querschnitte w negativ ausfallen sollte, ein Ereigniß, welches schon in 8 . 66 näher besprochen ist; so folgt daraus, daß sich die Flüssigkeit unterhalb dieses Querschnittes von den Wänden der Röhre losreißen und dieselbe nicht mehr vollständig erfüllen wird. Wenn ein solches Losreißen vorkommt; so geschieht es gewöhnlich in den Öffnungen oder Querschnitten 68 , 6 " 8 ", §<"/?", welche dann zu klein sind und dem resp. nach Gl. (386), (387), (388) oder (389) zu berechnenden Drucke p, welcher in ihnen herrschen soll, einen negativen Werth geben. Die Flüssigkeit bildet alsdann entweder in den unmittelbar darauf folgenden weiteren Theilen der Röhre einen frei fließenden Strahl, oder wenn diese Theile ganz gefüllt bleiben, trennt sich die Flüssigkeit in der Nähe der Ausflußöffnung in der Röhre, indem sie daselbst eine kleinere Ausflußöffnung bildet. Um für einen solchen Fall den Beharrungszustand der Flüssigkeit zu überblicken, hat man entweder diejenige der Öffnungen 68 , 6 " 8 ", oder überhaupt einen Querschnitt w der Röhre zu ermitteln, welcher der Öffnung 68 möglichst nahe liegt und dabei die Eigenschaft hat, daß wenn er als Ausflußöffnung für den darüber liegenden Theil der Röhre angesehen wird, der Druck in allen höheren Querschnitten positiv bleibe. Hat man diesen Querschnitt gefunden; so braucht man nur den tiefer liegenden Theil der Röhre ganz außer Betracht zu lassen, und nur den oberen zu berücksichtigen, für welchen der erwähnte Querschnitt die Ausflußöffnung bildet. Gl. (3821 §. 100. Ausfluß bei veränderlicher Druckhöhe. 273 8. 100. Ausfluß aus einer Röhre mit Scheidewänden, in welcher der Oberspiegel der Flüssigkeit all- mählig herabsinkt. Wenn die in 8. 97 betrachtete Röhre keinen Zufluß hat, so- daß sich der obere Spiegel O der Flüssigkeit mit der Zeit immer weiter herabsenkt; so wird man die Formel (372) in Verbindung mit der Beziehung (373) gerade so zu behandeln haben, wie Dies in §. 68 mit der Formel (243) geschehen ist. Macht man nun die Voraussetzungen, wie in 8. 69, daß die Ausflußöffnung LL ungemein klein sei gegen alle übrigen Querschnitte der Röhre, durch welche man die Bewegung des Oberspiegels 0^ beobachten will, und daß die Röhre in dem oberen Theile, soweit man die Senkung senes Spiegels zu betrachten beabsichtigt, ein vertikal stehendes Prisma von dem konstanten Querschnitte O sei; so ergibt sich durch ähnliche Betrachtungen, wie in 8. 69, wenn man mit L die Druckhöhe über der Ausfluß- öffnung im Anfange der Zeitrechnung, mit L die Druckhöhe über derselben Öffnung am Ende der Zeit t und mit V die zu dieser Zeit stattfindende Ausflußgcschwindigkeit bezeichnet, daß die letztere Geschwindigkeit gleich der durch Gl. (380) dargestellten, daß also sei. Dieser Formel entspricht die Gl. (289) für den Fall, daß keine Scheidewände in der Röhre vorhanden wären; man erhält die vorstehende Gleichung aus der (289), indem man die dortige Druckhöhc 2 auf reduzirt. Diesemnach erhält man für die Zeit t, während welcher der Spiegel der Flüssigkeit in dem prismatischen oberhalb der Scheidewände belcgenen Theile der Röhre von der Druckhöhe T bis zur Druckhöhe L herabsinkt, nach der korrespondirenden Gl. (293) 20 (1/^ — 1^) ....(392) 18 274 §. 1V1. Ausfluß nuS einem beliebigen Gefäße Gl. (394> §. 101. Ausfluß aus einem mit Zwischenwänden oder sonstigen plötzlichen Erweiterungen oder Verengungen versehenen Gefäße von beliebiger Gestalt. Wenn das Gefäß um eine vertikale Are symmetrisch ist; so leuchtet ein, daß man sämmtliche Formeln der vorhergehenden §§. 97 bis 100 für den Fall des Beharrungszustandes und für den, wo der Oberspiegel allmählig herabsinkt, daraus in Anwendung bringen kann, indem man nur da, wo es erforderlich ist, die Buchstaben «, «" mit r', vertauscht. Es wird dabei jedoch vorausgesetzt, daß die untere Ausmündung des Gefäßes nach innen gehörig erweitert und abgerundet sei, sodaß die Flüssigkeit ohne Kontraktion aus derselben treten könne. Wäre Dies nicht der Fall, und befände sich die Ausflußöffnung 42 in einer dünnen horizontalen Wand; so würde man, wenn m den Kontraktionskoeffizienten und ^ den Abstand des Querschnittes der größten Kontraktion von der Öffnung 42 bezeichnet, überall m42 an die Stelle von 42 und 2,-s-^ an die Stelle von X zu setzen haben. Die letztere Korrektion kann man in den meisten Fällen der Praxis, wo ^ im Vergleich zu L sehr klein ist, unterlassen. Ist das Gefäß jedoch um eine vertikale Are nicht symmetrisch; so würde man zwar aus 8. 98 die Gleichungen (375) und (376) ohne Weiteres beibehalten können; die Formeln (377) bis (379), welche den Druck in irgend einem Querschnitte w darstellen, dürste man jedoch nicht in Anwendung bringen. Nur wenn die Ausflußöffnung 42 im Vergleich zu sämmtlichen Querschnitten des Gefäßes (mit Ausnahme der Öffnungen und wg in den Zwischenwänden) ungemein klein wäre, sodaß man die in multiplizirten Glieder vernachlässigen könnte; würde man nach den Gleichungen (380) bis (383) für die Ausflußgeschwindigkeit V — / 2-L .... (393) für den Druck in einem Punkte oberhalb der beiden Scheidewände p —/i'-j-ror, .... (394) 275 Gl. (ggtz) mit plötzlichen Querschnitts Veränderungen, sür den Druck in einem Punkte zwischen den beiden Scheidewänden "-csssi und für den Druck in einem Punkte unterhalb der beiden Scheidewände annehmen können. Ähnliches gilt von den Formeln des §s 99. Die Formeln des 8s 100 sür den Ausfluß aus einem solchen Gefäße, wenn der Spiegel der Flüssigkeit sich senkt, können beibehalten werden, insofern der obere Theil des Gefäßes, in welchem die Bewegung des Spiegels betrachtet wird, ein vertilgt stehendes Prisma bildet und die sonstigen Bedingungen jenes Paragraphs erfüllt sind. Bei dem zuletzt besprochenen Gefäße wird aber ebenfalls vorausgesetzt, daß die Ausflußöffnung LZ von der Art sei, daß die Wasserfäden in parallelen Richtungen aus derselben treten können. Ist Dies nicht der Fall, und ist die Ausflußöffnung in einer dünnen ebenen Wand angebracht, welche sich im Allgemeinen neigen kann, sodaß die Are des ausfließenden Strahles mit der abwärts gekehrten Richtung der Schwere den Winkel y, bildet; so hat man in allen jenen Formeln »nsr an die Stelle von O und 2->-zco8y, an die Stelle von X zu setzen. Die letztere Korrektion wird in den meisten Fällen, wo gegen X unbedeutend ist, unterbleiben können. Sollte es sich ereignen, daß die Druckhöhe L gegen die vertikale Dimension der Ausflußöffnung K so bedeutend wäre, daß man ohne merklichen Fehler nicht annehmen könnte, daß die Geschwindigkeit in allen Theilen der Ausflußöffnung gleich, und zwar gleich der wäre, welche sich aus der bis zur Mitte der Öffnung genommenen Druckhöhe ergibt; so würde man in die Nothwendigkeit gesetzt werden, die mittlere Ausflußgeschwindigkeit V, zu betrachten. Dieselbe ergibt sich in den vorliegenden Fällen nach den Prinzipien des 8s 75 ff. Die hier für die Ausflußgeschwindigkeit V gefundenen und einer näheren Erläute- 276 §. 102. Verändcrmig der Höhe eines Strahles, welcher rung unterzogenen Formeln unterscheiden sich von denen, auf welche die Prinzipien des §s 75 behuf Bestimmung einer mittleren Ausflußgeschwindigkeit angewandt sind, nur durch einen konstanten Faktor, welchen wir L nennen wollen, sodaß man hier im Allgemeinen ^ V — 2-2 hat, während dort V —gesetzt war. Dieser Faktor ist z. B. aus der Formel (376) aus Gl. (380) ist derselbe und s. f. Hieraus und aus der Formel (317) folgt, daß man für die gegenwärtigen Fälle die mittlere Ausflußgeschwindigkeit für verschiedene Formen der Ausflußöffnung LZ unmittelbar aus den in §. 76 bis 80 entwickelten Formeln ableiten kann, indem man die letzteren mit dem ebcnerwähnten Faktor L multiplizirt. §. 102. Veränderung der Höhe eines aus einem Gesäße mit Zwischenwänden vertikal hervorspringenden Strahles, wenn das Gefäß sich allmählig leert. sei ein Gefäß, welches bei -IL eine horizontale Scheidewand mit der Öffnung titt enthält. Bei 61) befindet sich eine kleine Ausflußöffnung in horizontaler Wand. Das Gefäß hat keinen Zufluß, und während sich die Flüssigkeit aus der Öffnung 6 V ergießt, sinkt der Spiegel «L herab. Es sei 277 G>. (3W) aus ci»cm Gcfätze mit Zwischenwänden hervorspringt. «I die Öffnung OH und der zugehörige Kontraktionskoeffizient, «2 der Querschnitt.7X, K die Ausflußöffnung 6!) und m der zugehörige Kontraktions- koesfizient, ^ die veränderliche Druckhöhe über der Ausflußöffnung zu irgend einer Zeit, 2 die Höhe des ausspringenden Strahles zu derselben Zeit, die Höhe der Scheidewand 7L über der Ausflußöffnung Ov. So lange sich der Spiegel aö der Flüssigkeit oberhalb der Scheidewand 7IL befindet, hat man nach Gl. (380) oder (391) für die Ausflußgeschwindigkeit V- / * VM i M i / Vermöge dieser Geschwindigkeit wird sich der vertikal nach oben ausspringende Strahl auf die Höhe (397) erheben, welche kleiner ist, als die Druckhöhe 2. Sobald nun aber der Spiegel der Flüssigkeit unter die Scheidewand 7L herabgesunkcn ist, wird die Ausflußgeschwindigkeit und demnach (398) die Höhe sein, auf welche sich der Strahl erhebt. Hieraus folgt, daß sich der Strahl in dem Augenblicke, wo der Spiegel der Flüssigkeit unter die Zwischenwand ckL herab- sinkt, Plötzlich bis zur Höhe ON dieser Wand erheben wird, während er kurz vorher auf eine niedrigere Hühe emporstieg, obgleich doch vorher die Druckhvhe L im Gefäße größer war, als setzt. 278 z. 103. Ausfluß aus kurzen Setzt man in Gl. (397) kr—/r; so findet man, daß, solange der Spiegel der Flüssigkeit über der Wand ckL liegt, die Druckhöhe im Gefäße über der Ausflußöffnung den Werth haben muß, damit der Strahl bis zur Höhe ON der Wand ,1L springen kann. Von dem Augenblicke, wo der Spiegel »S diese Höhe L im Gefäße hat, nimmt die Höhe O lX des Strahles fortwährend ab, bis der Spiegel aü aus die Höhe /r der Wand ckL herabgesunken ist. Die Sprunghöhe des Strahles beträgt in diesem Augenblicke nach Gl. (Z97) den Werth L In demselben Augenblicke jedoch sinkt der Spiegel unter die Zwischenwand .1L herab, und der Strahl erhebt sich plötzlich wieder auf die Höhe —/r jener Wand. Mariotte hat das vorstehende Resultat der Theorie als wirkliches Phänomen beobachtet und durch die Übereinstimmung beider eine Bestätigung für die Richtigkeit der jener Theorie zu Grunde gelegten Hypothesen geliefert. Beharrlicher Ausfluß einer Flüssigkeit aus einem mit einer kurzen Ansatzröhre versehenen Gefäße. 8. 103. Formeln für den Ausfluß durch eine zylindrische oder prismatische Ansatzröhre. Wenn das seitwärts dargestellte Gefäß unten mit einer zylindrischen oder überhaupt prismatischen Ansatzröhre Okllio, durch welche die auf konstantem Niveau erhaltene Flüssigkeit ausströmen muß, versehen ist; so wird man die Bedingungen für den Beharrungszustand des Ausflusses nach §. 99 leicht darstellen können. Denn setzt man Gl. (402) prismatischen Ansatzrkhrc». 27S <6 gleich der Öffnung 6 8 oder 00, m gleich dem Kontraktionskoeffizienten für den Durchgang der Flüssigkeit durch die Öffnung 68, also '"8 gleich dem Querschnitte der größten Kontraktion jenseit der Öffnung 08, 8' gleich der Fläche des Spiegels ^8, 2 gleich der Druckhöhe 8k über der Mitte der Ausflußöffnung 6 V und V gleich der Ausflußgeschwindigkeit in der Öffnung 68; so leuchtet ein, daß bei §/r eine plötzliche Veränderung des Querschnittes von §/r auf )X, d. i. von m8 auf 8 stattfindet, daß man also nach Gl. (385), da die Flüssigkeit aus der Röhre 0880, wenn sie lang genug ist, ohne Kontraktion treten wird. V — / , _ . (399) hat. Für den zwischen den Querschnitten ^8 und -4 inkl. herrschenden Druck findet man nach Gl. (386) und für den zwischen den Querschnitten IX und 08 inkl., für welche « konstant —>8 ist, herrschenden Druck nach Gl. (390) —^V^l ——l) ' ' ' ' (401) oder auch, wenn man für V seinen Werth aus Gl. (399) sub- stituirt, p — p' — w (L—r) .... (402) Der hydraulische Druck nimmt von 68 nach ckX ab, und ist in diesem Zwischenraume kleiner, als der äußere Druck p', wofern die Ansatzröhre nicht horizontal ist, in welchem Falle für dieselbe - —2 und der Druck p zwischen 4X und 68 gleich dem äußeren ist: wäre diese Röhre nach oben gekehrt; so würde sogar sein, und alsdann der Druck von 68 nach 4X zunehmen und größer, als der äußere sein. 280 103. Ausfluß aus kurzen Gl. (405») Wenn der Querschnitt >6 der Ansatzröhre im Vergleich zu der Fläche des Spiegels O' sehr klein ist, sodaß man die Glieder »2 in obigen Gleichungen vernachlässigen kann; so ergeben dieselben für die Ausflußgeschwindigkeit V— -1/2AL....(403) ferner für den Druck zwischen den Querschnitten und inkl. _(404) und für den zwischen den Querschnitten und 60 inkl. herrschenden Druck x> —p'— rv(2 —r) .... (405) Wenn man den Druck in dem Theile der Ansatzröhre untersuchen will; so hat man in Gl. (404) für w die Querschnitte des kontrahirten Strahles 6HÜF und für r die Tiefe eines solchen Querschnittes unter dem Spiegel zu sub- stituiren. Setzen wir für die letztere Tiefe in der ganzen Ausdehnung von OH—L bis §/r—rnöL die konstante Größe was wegen des geringen Abstandes dieser beiden Querschnitte von der Wahrheit nicht sehr abweichen wird; so ergibt Gl. (404) für den gedachten Zwischenraum, wenn man gleichzeitig für V den Werth aus Gl. (403) einführt, »,,2 »2 --(405°) und wenn die Röhre horizontal, also L —L ist, p-p -^ .... (405') Für den Druck im Querschnitte 6D —L folgt hieraus , , (l—M)2 prismatischen Ansatzröhren. 281 Woraus man ersieht, daß bei einer horizontalen Ansatzröhre der Druck in der Qffnung 68 stets größer sein wird, als der äußere />'. Dieses findet offenbar auch dann statt, wenn die Röhre ansteigt, also ist. Auch für abfallende Röhren gilt dieser Satz so lange, als 2 den Werth — L nicht überschreitet. Um den Druck im Querschnitte §/r kennen zu lernen, hat man, wenn die Ansatzröhre horizontal ist, in Gl. (405^) zu setzen; Dies gibt p — 2 m (1 —»8 st- (1 — m) Hieraus folgt, daß der Druck im Querschnitte §/r und also auch in den unmittelbar vorhergehenden Querschnitten, wenn die Röhre horizontal ist, stets kleiner ist, als der äußere Druck p. Dasselbe gilt offenbar auch bei sich senkenden Röhren, für welche ist; und für ansteigende Röhren findet Dasselbe statt, so lange L nicht kleiner wird, als — m)^ü. Aus diesem letzteren Resultate, wonach der hydraulische Druck im Innern der Ansatzröhre von dem Querschnitte nach dem Querschnitte 68 bis auf eine gewisse Strecke meistens kleiner ist, als der äußere Druck p, erklärt sich die Erscheinung des Einsaugens von atmosphärischer Luft, welches man beobachtet, sobald man in der Nähe von .yL eine feine Qffnung in die Röhrenwand bohrt. Die wenige durch eine so kleine Qffnung in die Röhre dringende Luft wird durch die Bewegung der Flüssigkeit mit fortgerissen, und hindert den Ausfluß nicht; macht man jene Qffnung jedoch größer, sodaß bedeutendere Quantitäten von Luft eintreten können; so hört Plötzlich der Ausfluß mit gefülltem Rohre auf, der Strahl reißt sich bei von den Röhren- wänden los und ergießt sich frei mit Kontraktion in die Röhre. Aus den vorstehenden Formeln für V geht hervor, daß sich m Folge der Anbringung einer zylindrischen Ansatzröhre an eine Qffnung 68---K eines Gefäßes die Ausflußgeschwindigkeit vermindert und zwar, wenn die Qffnung im Vergleich zu der Fläche 0' des Oberspiegels sehr klein ist, in dem Verhältnisse von 1: "V Da hier aber der Strahl ohne Kontrak- 282 i. 103. Ausfluß aus kurzen tion aus der Röhre tritt, was, wenn die Röhre nicht vorhanden gewesen wäre, wegen der Verkleinerung des Querschnittes durch die Kontraktion eine Verminderung der Ausflußmenge in dem Verhältnisse von 1:m ergeben haben würde; so erkennt man, daß die Ausflußmenge, welche die zylindrische Ansatzröhre liefert, doch größer sein wird, als die, welche eine gleich große Öffnung in einer dünnen Wand bewirkt haben würde. Es gibt übrigens Fälle, wo die Ansatzröhre nicht ihre volle Wirksamkeit äußern kann, indem sich der Strahl bei ckL nicht überall an die Röhremvände anschließt, sondern sich in irgend einem Punkte von den Wänden losreißt. Dieser Punkt kann sogar bis in den Querschnitt flL zurückfallen, in welchem Falle die Ansatzröhre als solche gar nicht wirkt, und die Flüssigkeit sich aus der Öffnung 68 mit Kontraktion ergießt, wie wenn die Röhre 66 gar nicht vorhanden wäre. Um diese Fälle kennen zu lernen, muß zuvörderst bemerkt werden, daß die Ansatzröhre nicht zu kurz sein darf, weil sonst der Strahl mit Kontraktion durch dieselbe springt, ohne ihre Wände zu berühren. Auch wenn man eine solche zu kurze Röhre vor eintretendem Ausflusse der Flüssigkeit vorn verschließt', sodaß die Flüssigkeit Gelegenheit hat, dieselbe zu füllen, wird bei der Eröffnung derselben der kontrahirte Strahl wegen der bedeutend konvergirenden Richtung seiner Fäden doch nicht im Stande sein, sich auf die kurze Entfernung gegen die Umfangswände der Röhre zu legen; derselbe wird die zwischen ihm und den Nöhrenwänden augenblicklich abgesperrte Quantität der Flüssigkeit vermöge der Adhäsion der Massentheilchen unter sich aus der Röhre schleudern; die äußere Luft wird nachdringen und der Strahl wird sich mit Kontraktion aus der Öffnung 68 ergießen, wie wenn keine Ansatzröhre vorhanden wäre. Das Vorstehende wird eintreten, sobald die Länge der Ansatzröhre nur gleich deren Durchmesser oder kleiner ist. Beträgt die Länge derselben jedoch das 2^ bis Zfache ihres Durchmessers; so wird sich die Flüssigkeit von den Nöhrenwänden nicht mehr losreißen und einen unkontrahirten Strahl ausströmen lassen. Untersuchen wir jetzt die Fälle, wo sich die Flüssigkeit von den Nöhrenwänden wegen zu großer Druckhöbe L trennen wird. Gl. (409) prismatischen Ansatzröhren. 283 Man erhält den Werth des Druckes p in dem Querschnitte der größten Kontraktion, wenn man in Gl. (404) c„—mLZ setzt. Dies ergibt, sobald man auch für V den Werth aus Gl. (403) substituirt, und die vertikale Tiefe jenes Querschnittes §4 der größten Kontraktion unter dem Spiegel der Flüssigkeit mit 4 bezeichnet, /) —p'-s-rv4 r»2-j- (1—M)^' Damit dieser Werth von p positiv bleibe (vergl. die ähnlichen Untersuchungen in 8. 66 und die betreffende Bemerkung in §. 99) muß ro4 -j- (I —,») oder sein. Hierbei kann die Ansatzröhre sich senken, sodaß 4X ist, oder ihre Ausmündung kann mit ihrer Einmündung in das Gefäß in derselben Höhe liegen, sodaß 4—L ist. Für den letzteren Fall muß d. i. 2m(l--M) ' M sein. Liegt also die Ausmündung 6V einer sich senkenden oder einer ansteigenden zylindrischen Ansatzröhre tiefer unter dem Oberspiegel als L ——m)-) oder liegt dieselbe für den Fall, daß 6H und 6V in gleichem Niveau sind, oder daß L —4 ist, tiefer, als _ r»2 -s- (1—m)? — 2m(1—m) ' . . . . ( 409 ) 284 ). 103. Ausfluß aus kurzen Gl. (412> so wird sich die Flüssigkeit in den beiden ersteren Fällen in der durch Gl. (408) gegebenen Tiefe von den Nöhrenwänden trennen und die fernere Fortsetzung der Röhre nicht mehr füllen; man wird alsdann auch in der Formel (403) für die Ausflußgeschwindigkeit statt der Größe 2 den Werth aus Gl. (408) zu setzen haben. In dem letzteren Falle, wo die in gleicher Höhe liegenden Öffnungen 08 und Ov eine größere, als die durch Gl. (409) gegebene Druckhöhe über sich haben, wird sich der Strahl schon bei 4L von den Nöhrenwänden losreißen und sich mit Kontraktion in die Ansatzröhre ergießen, sodaß dieselbe alsdann ganz außer Wirksamkeit tritt. Befindet sich das ganze Gefäß mit der Röhre im luftleeren Raume, für welchen man o hat; so folgt aus den Formeln (406) und (407), da m)^ stets <1 ist, weil m<1, daß wenn sich die Ansatzröhre senkt oder horizontal bleibt, dieselbe niemals gefüllt werden kann, und daß sich die Flüssigkeit stets als freier Strahl mit Kontraktion durch die Öffnung 08 ergießen und die Röhre außer Wirksamkeit setzen wird. Dieses Resultat ist im Vakuum der Luftpumpe wirklich beobachtet worden. Nur wenn die Ansatzröhre so weit ansteigt, daß 2 < s»? -s- (1 - .... (410) d. i. für m —0,61. 2<0,52/r .... (411) wird, kann der Ausfluß mit vollem Rohre erfolgen. Steigt die Röhre nicht so weit an; so trennt sich die Flüssigkeit in der Tiefe 2—sm^-j-(1 —m)^)^ — 0,524L von den Nöhrenwänden, und es wäre alsdann der in dieser Tiefe liegende Querschnitt als Ausflußöffnung anzusehen und die Formel (403) für die Ausflußgeschwindigkeit beizubehalten. Im lufterfüllten Raume gelten die früheren Bemerkungen, und da hierfür, wenn die Flüssigkeit aus Wasser besteht, nahezu —31,7 Fuß ist (s tz. 66); so trennt sich für ab- oder aufsteigende Ansatzröhren das Wasser in einer Tiefe 2 --- ^ -l- (1 — m)-f (31,7^-L) Fuß ( 412 ) Gl. (415) prismatischen Ansatzrähre». 285 oder wenn man »» zu 0,61 annimmt, in einer Tiefe 2--0,52(31,7-s-/r)^(16,48-1-0,52/r) Fuß .... (413) Bei einer horizontalen Ansatzröhre würde sich das Wasser als freier Strahl mit Kontraktion durch die Öffnung 6H ergießen, wenn die Druckhöhe mehr, als L^^.31,7 -(414) 2m(1 —»r) d. i. für M — 0,61, mehr als L-K^0,476.3j,7—15,1 Fuß .... (415) betrüge. Eine Vergleichung dieser Resultate mit den in §. 66 für den Fall gefundenen, wo die Röhre 66 mit allmähligcr Erweiterung in das Gefäß einmündet, lehrt, daß wenn es darauf ankommt, eine Ansatzröhre auf eine möglichst große Tiefe von der Flüssigkeit erfüllt und dadurch eine möglichst große Ausflußmenge zu erhalten, man die Verbindung dieser Röhre mit dem Gefäße nach der in §. 66 betrachteten Weise vorrichten müsse. Die vorstehenden Ergebnisse werden übrigens durch die Reibung oder Adhäsion der Flüssigkeit an den Röhrenwänden, deren Wirkung wir weiter unten bei den Nöhrenleitungen kennen lernen werden, etwas modifizirt. Wir betrachten im Nachstehenden besonders die Wirksamkeit kurzer Ansatzröhren, bei denen ei» Losreißen der Flüssigkeit von den Wänden nicht zu befürchten ist, und aus welche auch die Reibung noch keinen merklichen Einfluß ausübt. 8. 104. Erfahrungen über den Ausfluß des Wassers aus kurzen zylindrischen oder prismatischen Ansatzröhren. Aus dem vorhergehenden Paragraphe hat man gesehen, daß sich bei dem Ergüsse einer Flüssigkeit aus einer zylindrischen Ansatzröhre, wenn ihre Länge wenigstens das 2^ bis 3fachc ihres Durchmessers beträgt, die Ausflußgeschwindigkeit V kleiner wird, als sie sein würde, wenn die Röhre nicht vorhanden wäre, daß Gl. (4l8) 28k §. l»4. Erfahrungen über den Ausfluß dagegen die Flüssigkeit ohne Kontraktion aus der Mündung der Röhre tritt. Um die Ausflußmenge tz aus solchen Röhren, deren Querschnitt K im Vergleich zum Oberspiegel O' sehr klein ist, für die Zeiteinheit zu bestimmen, sei der Faktor 7/r . . (416) sodaß die Ausflußgeschwindigkeit nach Gl. (403) V —....(417) ist. Die Ausflußmenge in der Sekunde wird alsdann sein. Da die Ausflußgeschwindigkeit für die Mündung Ov —LL sein würde, wenn bei der Einmündung in die Ansatzröhre nicht die plötzliche Änderung des Querschnittes vorhanden wäre; so kann man den Faktor n hier auch den Geschwindigkeitskoeffizienten (s. 8. 84) nennen, und da LLj/W die der Geschwindigkeit j/entsprechende Ausflußmenge sein würde; so vertritt jener Faktor nach Gl. (418) auch den früher mit « bezeichneten Ausflußkoeffizienten. Für die Fälle, wo der Kontraktionskoeffizient »r bei dem Eintritte des Wassers in die Ansatzröhre im Mittel 0,61 sein würde, ergibt die Formel (416) n — 0,84, während die praktischen Versuche für die entsprechenden Fälle mit Ansatzröhren im Mittel m -- 0,815, also tz 0,815 2 / W ergeben. Nach den mit horizontalen zylindrischen Ansatzröhren, welche das 3fache des Durchmessers zur Länge hatten, bei Druckhöhen von 0,733 bis 1,912 Fuß von Weisbach angestellten Versuchen haben sich im Mittel folgende Werthe für den Koeffizienten n ergeben, Aukfluß aus kurzen prismatischen Aiisatzröhrc». 287 Weite der Röhren. 0,032 0,064 0,096 0,127 Fuß -r ^ 0,843 0,832 0,821 0,810 woraus folgt, daß die Werthe des Koeffizienten rr zunehmen, wenn die Weite der Röhren abnimmt. Für kurze parallelepipedische Ansatzröhren hat Weisbach M Mittel rr—0,819 gefunden. Mit Berücksichtigung des Neibungswiderstandes, welchen die Bewegung des Wassers bei längeren Ansatzröhren an den Röh- renwänden erfährt, gibt Morin die folgende Tabelle der mittleren Werthe des Koeffizienten rr Verhältniß der Länge der Ansatzröhre zu ihrem Durchmesser Werth des Koeffizienten 2 bis 3 0,82 12 0,77 24 0,73 36 0,68 48 0,63 60 0,60 Bei längeren Ansatzröhren wird man sich der weiter unten für Röhrenleitungen zu entwickelnden Resultate zu bedienen haben. Wenn die Ansatzröhre in das Gefäß hineinragt, wie in seit- stehender Figur, und einen auf ihrer Are perpendikular stehenden Rand besitzt, dessen Breite wenigstens ^ von > dem Durchmesser der Röhre beträgt; so än- > dert sich hierdurch der Werth des Koeffizienten I nicht merklich, und dieser Fall entspricht » nahezu demselben, wo der erwähnte Rand in 3 der Erweiterung einer größeren Gefäßwand D läge. Ist ein solcher Rand um die Einmündung in die Röhre aber nicht vorhanden; so würde der Einfluß des Wassers in dieselbe, falls sie so kurz wäre, daß sie nicht vom Wasser ganz erfüllt würde, und das Letztere einen freien Strahl bildete, zu der stärksten Kontraktion, 288 z. 104. Erfahrungen über den Ausfluß aus Ansatzröhren. welche man beobachtet, Veranlassung geben. Man würde alsdann für den Kontraktionskoeffizienten in—0,53 haben. Ist eine solche Röhre jedoch lang genug, daß sie vom Wasser gefüllt wird; so hat man nach den Erfahrungen von Bidone und Weisbach n--0,71 zu setzen. Wenn die Richtung der Are der Ansatzröhre mit der Normalen auf der Gefäßwand nicht zusammenfällt; so ändert sich nach den Versuchen von Weisbach der mittlere Werth des Koeffizienten n in folgender Weise. Winkel, welchen die Are der Röhre mit der Normalen auf der Gefäßwand einschließt. 0« 10° 20° 30° 40° 50° 60° -r ^ 0,815 0,799 0,782 0,764 0,747 0.731 0,719 Bei dem Gebrauche dieser Werthe von rr ist jedoch vorausgesetzt, daß für die Ausflußöffnung LZ in Gl. (418) der normale Querschnitt der Röhre und nicht etwa die Größe des schrägen Durchschnittes derselben mit der Gefäßwand gefetzt werde. Wenn die Kontraktion, mit welcher das Wasser in die Ansatzröhre tritt, vollkommen sein soll, was bei allen vorhergehenden Angaben vorausgesetzt ist; so muß die Einmündung der Röhre möglichst weit von den Seitenwänden des Gefäßes entfernt liegen. Ist Dies nicht der Fall, ist also die Weite des Gefäßes vor der Ansatzröhre nicht sehr viel größer, als die Weite der Röhre selbst, wie Dies in seitstehender Figur dargestellt ist; so vergrößert sich der Werth von 7» und damit der von rr. Nun kann man den neuen Werth von n aus demjenigen, welcher stattfinden würde, wenn das Gefäß vor der Ansatzröhre 1VS. Ausfluß auS konischen AnsatzrLhrcn. 28S Weit genug wäre, erhalten, indem man den letzteren mit einem Korrektionsfaktor /S multiplizirt. Die Größe dieses Faktors /Z hängt nach Versuchen von Weisbach von dem Verhältnisse ^ ab, in welchem der Querschnitt OH der Ansatzröhre zu dem unmittelbar vorhergehenden Querschnitte IM des Gefäßes steht, und man kann sich zur Bestimmung des fragl. Werthes von ^ der nachstehenden von Weisbach gegebenen Tabelle bedienen. Korrektionsfaktor für zylindrische Ansatzröhren, wegen unvollkommener Kontraktion. I Werth des ^Verhältnisses ^ Korrektionsfaktor 0,05 1,006 0,10 1,013 0,15 1,020 0,20 1,027 0,25 1,035 0,30 1,043 0,35 1,052 0,40 1,060 0,45 1,070 0,50 1,080 > Wertb des Verhältnisses ä. Korrektions- 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,80 0,95 1,00 I faktor 1,080 1,102 1,114 1,127 1,138 1,152 1,166 1,181 1,198 1,227^ Für prismatische Ansatzröhren sind die Werthe des Korrektionsfaktors für unvollkommene Kontraktion nahezu dieselben. §. 105. Erfahrungen über den Ausfluß des Wassers aus konischen Ansatzröhren. Man hat auch Versuche über den Ausfluß des Wassers durch kurze Ansatzröhren angestellt, welche eine konische Form besitzen. Wenn diese Röhrenstücke nach der Ausmündung hin konvergent sind, wie in seitstehender Figur; so findet jenseit der Qffnung 60 eine unvollkommene Kontraktion des Strahles statt, deren Koeffizienten wir wieder mit m bezeichnen, sodaß der Querschnitt der größten Kontraktion jenseit der Ausflußöffnung ist. Der Geschwindigkeitskoeffizient sei n, sodaß die Ausflußgeschwindigkeit im Querschnitte rn K der größten Kontraktion V — rr ist. Alsdann wird die Ausflußmenge in der Sekunde iv §. 105. AuSfllltz aus konischen Allsatzrohren. 290 tz —2§2 — «Lr^/2A2 sein, worin das Produkt mir—« den Ausflußkoeffizienten darstellt. Nach den Bersuchen von D'Aubuisson und Castel ist die nachstehende Tabelle der Werthe für die drei Koeffizienten m, n und « aufgestellt. Diese Versuche sind bei 9,559 Fuß Druckhöhe mit konvergenten Ansatzröhren angestellt, welche eine Ausmündung sr von 0,049 Fuß Weite und eine 2,6mal so große Länge, also eine Länge von 0,l27 Fuß hatten. Tabelle der Kontraktions-, Geschwindigkeits- und Ausflußkoeffizienten für den Ausfluß des Wassers durch konisch konvergente Röhren. Konvergenzwinkel. Kontraktions- koeffizient Geschwindig- keitskoeffizient 7» Ausflußkocf- sizient a — 7N?r 0° 0- 1 0,829 0,829 >° 36' 1 0,866 0,866 3° 10' 1 0,895 0,895 4° 10' 1 0,911 0,911 5° 26' 1 0,924 0,924 7" 52' 0,998 0,932 0,930 8° 58' 0,992 0,942 0,934 10° 20' 0,986 0,951 0,938 12° 4' 0.986 0,955 0,942 13° 24' 0,982 0,963 0,946 14° 28' 0,974 0,966 0,941 16° 36' 0,967 0,970 0,938 19° 28' 0,953 0,970 0,924 21» 0' 0,945 0,972 0,919 23° 0' 0,938 0,974 0,914 29° 58' 0,918 0,975 0,895 40° 20' 0,888 0,980 0,870 48° 50' 0,861 0,984 0,847 Man hat auch mit konisch divergenten Ansatzröhren, deren Ausmündung größer ist, als deren Einmündung, erperimentirt. Setzt man bei solchen Röhren in die Formel für die Ausflußmenge tz —«Lr^ 2 s 2 für LZ die Einmündung derRöhre, also den kleinsten Querschnitt derselben oder die in dem eigentlichen Behälter angebrachte Öffnung, an welche die Röhre gesetzt ist; so findet man unter gewissen Umständen, daß der Koeffizient « 1- 106. Ausfluß unter dem Spiegel eines Gefäßes. 281 größer werden kann, als 1. Dieses Resultat kann übrigens nicht im geringsten befremden, da die eben erwähnte Öffnung durchaus nicht die Anöflußöffnung des mit der Röhre vereinigten Gefäßes ist. Als solche kann immer nur die vordere Ausmün- dung, also im vorliegenden Falle der größte Querschnitt der Röhre angesehen werden, und wenn man Dies thut; so findet man, daß « immer kleiner ist, als 1 und daß konisch divergente Ansatzröhren immer eine kleinere Ausflußmenge ergeben, als konisch konvergente Röhren, wenn die Ausmündung oder die wahre Ausflußöffnung und der Divergenz- resp. Konvcrgenzwinkel bei beiden gleich sind. Für gleiche Neigungswinkel wird also der Werth von « bei divergenten Ansatzröhren stets kleiner sein, als bei konvergenten. Versuche von Weisbach mit einem konischen Röhrenstücke, dessen Weite an dem Einen Ende 0,079, an dem anderen Ende 0,103 Fuß, dessen Länge 0,287 Fuß und dessen Konvergenzwinkel 4»50> betrug, haben gelehrt, daß bei Druckhöhen von 0,797 bis 10,514 Fuß der Ausflußkoeffizient « — 0,920 ist, wenn der Ausfluß durch die engere Mündung erfolgt, daß dagegen « — 0,553 «st, wenn der Ausfluß durch die weitere Öffnung stattfindet. Ausflug einer schweren elastischen Flüssigkeit aus einem Gefäße, welches unter dem Spiegel eines mit gleicher Flüssigkeit gefüllten zweiten Gefäßes ausmündet. 8. 106. Beharrlicher Ausfluß aus einem Gefäße, dessen Ausflußöffnung unter dem Spiegel eines zweiten Gefäßes liegt. Ein Gefäß ^1106 (s. die beiden seitstehenden Figuren), dessen Are vertikal ist, werde bis zur Höhe^.k beständig voll erhalten. Die nach innen gehörig erweiterte und abgerundete Ausflußöffnung 6 V dieses Gefäßes, welche einen unkontra- hirten Strahl liefert, mündet unter dem stets auf derselben Höhe bleibenden Spiegel ptz eines zweiten Gefäßes 2S2 Ivk, Ausfluß aus einem Gefäße, dessen Are gleichfalls vertikal steht, aus. Es wird vorläufig angenommen, daß sich die Querschnitte der beiden Gefäße nur allmählig ändern, und es soll hiernach die Ausflußgeschwindigkeit in der Öffnung 6V, sowie die Hydra»« lischen Pressungen in den verschiedenen Querschnitten der Gefäße bestimmt werden. Zu diesem Ende sei O' die Fläche des Spiegels H.8 des oberen Gefäßes, O" die Fläche des Spiegels ktz des unteren Gefäßes (bei der Anordnung in der ersteren Figur natürlich unter Abzug des von dem Gefäße ktjDIk, eingenommenen Raumes) K die Fläche der Ausmündung 60 des oberen Gefäßes, K, die Fläche des Querschnittes ikL des unteren Gefäßes, in welchen die aus 6V tretende Flüssigkeit plötzlich übergeht, w" resp. die Fläche irgend eines horizontalen Querschnittes in dem Gefäße ^806 und «"/?" in dem Gefäße klMl- (bei der Anordnung in der ersteren Figur nach Abzug des von dem oberen Gefäße eingenommenen Raumes), r', r" resp. die Abstände des Querschnittes von ^8 und von ktz, L, 2" resp. die Abstände 8k und 6k der Öffnung 6V von den Spiegeln ^,8 und ktz, V die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in der Qffnung 6V, das Gewicht einer Volumeinheit der Flüssigkeit, p' der atmosphärische Druck auf die Flächeneinheit, welcher sich gegen die Oberflächen .4.8 und ktz äußert, p der hydraulische Druck in dem Querschnitte «P' oder «"/)" auf die Flächeneinheit. Man erkennt leicht, daß sich der hier in Rede stehende Fall nur hinsichtlich seiner Anwendung von den früher behandelten Fällen eines Beharrungszustandes unterscheidet, daß derselbe aber hinsichtlich der analytischen Darstellung der dabei vorkommenden Erscheinungen zu der Klasse der bereits früher, namentlich der unter §. 97 ff. untersuchten Fälle gehört. Dies wird besonders klar, wenn man sich die beiden gegebenen Gefäße als ein einziges 2S3 Gl. (42Ü) welches unter dem Spiegel emeS ander» ausmündet. denkt, welches sich jenseit des Querschnittes 61) nochmals emporhebt, und in welchem die Flüssigkeit gezwungen wird, von dem Querschnitte 61) —>6 plötzlich zu dem Querschnitte 4X —K, überzugehen, was wahrend der Zeiteinheit einen Verlust an leben- d.. «rast gl-i« ursacht (vergl. die hinsichtlich der Wirkung der plötzlichen Geschwindigkeitsänderungen aufgestellten Prinzipien in §. 55, 57 und 97 ). Es gilt also auch hier die Gl. (372), in welcher man für den gegenwärtigen Fall und für die hier gewählte Bezeichnung O' konstant, 0" konstant, o, r" konstant — L6 L, tti—Q, «2 —sr,, n —o, zu substltmren und das in^—— —^ multiplizirte Glied außer Acht zu lassen hat. Hierdurch wird jene Gleichung und es ergibt sich daraus V-- /' 2A(L'-2") V o"- K, (420) Damit dieser Ausdruck von V oder überhaupt der ganze in Rede stehende Beharrungszustand des Ausflusses möglich sei, muß der Nenner unter dem Wurzelzeichen einen positiven Werth haben; es muß also —-l-fl Kasein. Wenn der Spiegel 6 tz — O" des unteren Gefäßes kleiner ist, als der Spiegel —O' des oberen; so findet diese Ungleichheit jedenfalls statt. Dieselbe ist aber unter allen Umständen, welchen Werth O', O" und sr, auch haben mögen, zu rea- iisiren, sobald man es in seiner Gewalt hat, die Öffnung 61)—K klein genug zu machen. Wenn L im Vergleich zu den drei Querschnitten O', 0" und K, ungemein klein ist, so daß man die 294 h. 106. Ausfluß aus einem Gefäße. Gl. (424, Glieder ^ 72 , 0 ^, ^ gegen die Einheit vernachlässigen kann, findet die obige Ungleichheit unter allen Umständen statt. Was den in irgend einem Querschnitte w stattfindenden Druck betrifft; so findet man auf ganz ähnliche Weise, wie in 8 . 98 1 ) für den Druck p in irgend einem Querschnitte des oberen Gefäßes P-p'-ffror' — (421) 2) für den Druck in irgend einem Querschnitte des unteren Gefäßes zwischen 3L und ktz inkl., indem man beachtet, daß die Tiefe von unter dem Spiegel ^8 des oberen Gefäßes —2'—2"-s-r" ist, p—p'-s-«(2'—2"-s-r") eine Gleichung welche sich vermöge der Gl. (419) auch auf p —//-s-rvr' reduziren läßt. Nach den letzten beiden Gleichungen hat man für den Druck im Querschnitte 3L des unteren Gefäßes, wenn man und r"— 2 " setzt, oder auch (424) Die in dem unteren Theile dLüH. des zweiten Gefäßes unterhalb der Öffnung 6 V in Ruhe liegenden Querschichten werden offenbar von dem in dem Querschnitte ckL herrschenden Drucke, plus dem Gewichte einer Flüssigkeitssäule gedrückt, welche die Tiefe, in welcher sie unter der Öffnung 6 V liegen, zur Höhe hat. Man erhält also den in diesen Schichten zwischen 4L und Gl. (430) welches unter dem Spiegel eines andere» ausmündet. 295 herrschenden Druck, wenn man in der zweiten der beiden Gleichungen (424) an die Stelle von setzt, also durch die Formel V- (A-K) .... c«) Wenn die Verbindungsöffnung L der beiden Gefäße im Verhältnisse zu den Querschnitten ^8—0', ktz—O", 3L —Kz ungemein klein ist; so reduziren sich die vorstehenden Gleichungen auf folgende: V — V2s(2>-L"> .... (426) Die Formel (421) für den Druck in irgend einem Querschnitte w' des oberen Gefäßes wird ....(427) Der Druck zwischen den Querschnitten ktz und des unteren Gefäßes ist nach Gl. (422) oder (423) P---p'-s-«>(L'—L"-i-r")- vder «o 2^^ . . (428) Im Querschnitte des unteren Gefäßes ist dieser Druck nach Gl. (424) p-p'-s-wL'-^V- vder x—p'-s-wL" In den Querschnitten unterhalb der Öffnung 60 des zweiten Gefäßes hat man nach Gl. (425) .... (430) Die Resultate der Gleichungen (426) bis (430) können aus 296 r. 107. Fall, wo der Spiegel des ersten Gefäßes Gefäße von ganz beliebiger Gestalt angewandt werden, vorausgesetzt, daß die Öffnung 60 im Vergleich zu den Querschnitten .48, und zu der Weite des zweiten Gefäßes bei 4L sehr klein sei. Die Bestimmung des in irgend einem Punkte der beiden Gefäße herrschenden Druckes nach den Formeln (427) und (428) unterliegt jedoch den in §. 73 erwähnten Einschränkungen. Da der Werth der Geschwindigkeit V nach Gl. (426) und auch nach Gl. (420) eine Funktion des Niveauunterschiedes2—2" der Spiegel 48 und 8(j in den beiden Gefäßen ist, keinesweges aber eine Funktion der Tiefe, in welcher die Öffnung 60 unter dem Einen oder dem anderen Spiegel liegt; so folgt, daß die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in allen Punkten der Öffnung 60 gleich groß sein wird, wie bedeutend auch die vertikalen Dimensionen dieser Öffnung sein mögen. In den Fällen, wo die Ausmündung eines Gefäßes unter dem Spiegel eines zweiten liegt, wird man also niemals nöthig haben, eine mittlere Ausflußgeschwindigkeit nach Anleitung der §. 75 ff. zu ermitteln, selbst wenn die vertikalen Dimensionen jener Öffnung im Verhältniß zu der Tiefe unter dem Einen oder dem anderen Spiegel bedeutend sind. Schließlich muß noch bemerkt werden, daß wenn die Durchflußöffnung 60 nicht dergestalt nach innen erweitert ist, daß die Flüssigkeit ohne Kontraktion durch dieselbe treten kann, eine Kontraktion des Strahles in dem Maaße stattfinden wird, wie Dies geschehen würde, wenn sich die Flüssigkeit in die freie Lust ergösse. Bezeichnet in einem solchen Falle m den Kontraktionskoeffizienten und mLZ die Fläche des Querschnittes der stärksten Kontraktion beim Durchflüsse durch die Öffnung As so wird man in sämmtlichen Formeln des gegenwärtigen Paragraphes mL an die Stelle von LZ zu setzen, auch sich die Öffnung 60 in die Lage des Querschnittes m LZ verlegt zu denken haben. §. 107. Fall, wo der Spiegel des ersten Gefäßes auf konstanter Höhe gehalten wird, während der Spiegel des zweiten Gefäßes sich hebt. Nehmen wir an, der Spiegel 48 des ersteren der beiden vorhin betrachteten Gefäße werde auf konstanter Höhe erhalten, Gl. (432! konstant bleibt, während der im zweiten Gefäße sich hebt- 297 während der Spiegel kH des zweiten Gefäßes sich durch den Eintritt der Flüssigkeit bei 6V allmählig hebt. Zur Vereinfachung der Aufgabe setzen wir voraus, beide Gefäße seien prismatisch, und die Öffnung 6V —sr sei sowol in Vergleich zu dem Querschnitte 0' des ersteren, wie zu dem Querschnitte 0" des letzteren sehr klein. Unter Beibehaltung aller übrigen Bezeichnungen des vorhergehenden Paragraphes sei 2" die veränderliche Höhe des Spiegels ktz im zweiten Gefäße über der Öffnung 60 am Ende der Zeit t und der Werth dieser Höhe in dem Augenblicke, wo man anfängt, die Zeit zu zählen. Da die Öffnung LL gegen O und O" sehr klein sein soll; so kann man hier offenbar für die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in der Öffnung LZ am Ende der Zeit t nach Gl. (426) V -I/2A(L--2") . (431) setzen. Hiermit ist die Gleichung KVckk —0"ckL" ....(432) zu verbinden, welche ausdrückt, daß die in der Zeit ckt aus der Öffnung K tretende Ausflußmenge gleich einem Prisma von dem Querschnitte 0" des zweiten Gefäßes und von der Hohe ckL" ist, um welche sich der Spiegel in diesem Gefäße während der Zeit ckt hebt, eine Gleichung, welche hier statt der Gleichung (242°) steht. Nach Gl. (432) und (431) hat man 0"ckL"^ 0" ckL" «er—^ V 2" ' und wenn man diese Gleichung zwischen den Gränzen o und t für r und den Gränzen und 2" für 2" integrirt, 2S8 §. lv8. Fall, wo der Spiegel des zweiten GesäßeS Gl. (435) d. i. (f/^2'-^" —I/2--2") (433) In der durch diesen Werth von r dargestellten Zeit steigt der Spiegel ktz im zweiten Gefäße von der Höhe k" bis zur Höhe 2" über der Öffnung 6V. Wenn sich der Spiegel ktz im Anfange der Zeit in der Höhe der Öffnung 6V befand, wenn also L"—« ist; so wird 0/ 2- — V' 2'-2") 2 § (434) Für 2"--2^ erhält man hieraus die Zeit welche erforderlich ist, damit der Spiegel ktz bis zur Höhe des Spiegels steige, oder bis sich das zweite Gefäß durch die Öffnung 60 bis zu der Niveauhöhe des ersten Gefäßes fülle, und dieser Werth von 1 ist Eine Vergleichung dieser Formel mit der (294) lehrt, daß zur Füllung des zweiten Gefäßes unter den obigen Umständen bis zur Höhe 2, in welcher das erste Gefäß auf konstanter Höhe erhalten wird, dieselbe Zeit erforderlich ist, als zur Ausleerung dieses Gefäßes durch eine gleiche Öffnung K, wenn sich der Spiegel desselben anfangs auf derselben Höhe 2/ befand. Wenn das zweite Gefäß nicht vorhanden gewesen wäre; so würde in der Zeit 1 aus dem ersten Gefäße eine Flüssigkeitsmenge 1 ? 2 ^ 2 . -- ^ ^ -- 2 0 " 2 ', also das Doppelte von dem Quantum ausgefloffen sein, welches sich unter den gegebenen Umständen wirklich aus demselben ergossen hat. 8. 108. Fall, wo der Spiegel des zweiten Gefäßes auf konstanter Höhe erhalten wird, während der Gl. (439) konstant ist, während der des ersten Gefäßes sich senkt. 299 Spiegel des ersten Gefäßes sich senkt. In diesem Falle, wo beide Gefäße wieder als prismatisch und die Öffnung sz als sehr klein vorausgesetzt wird, ist 2^ die veränderliche Größe, deren Werth für durch ^ bezeichnet werde. Man hat auch hier V — s/ 2 § .... (436) und statt Gl. (432) (437) LVcrk —— O'ckL' Hieraus folgt K V 2- >^2-77^ ' also durch Integration d. i. (438) für die Zeit, während welcher der Spiegel H.L im ersten Gefäße von der Höhe ^ zur Höhe ^ herabsinkt. Setzt man ^—2"; so erhält man für die Zeit 1, während welcher sich der Spiegel ^.8 bis zur Höhe 2" des konstanten Spiegels ktz im zweiten Gefäße herabsenkt, Wäre das erste Gefäß immer bis zur Höhe ^ voll erhalten; so würde nach Gl. (426) in der Zeit 'I das Volum 30» r. 1VS. Fall, wo sich der Spiegel im ersten Gefäße senkt, Gl. <44l> __ 20 _ 7 ^" __ ?Ks/ 2s(^-L"1 -- 1 2§(^-2") -- 20 '(^- 2 "), mithin würde in dieser Zeit das Doppelte von dem Volum ausgeflossen sein, welches unter den gegebenen Umständen bei der Senkung des Spiegels von der Hohe ^ bis zur Höhe 2" des konstanten Spiegels im zweiten Gefäße wirklich ausgeflossen ist. 8. 109. Fall, wo sich der Spiegel im ersten Gefäße senkt, während sich der Spiegel im zweiten Gefäße hebt. Nehmen wir jetzt an, in dem ersten der beiden früher betrachteten prismatischen Gefäße, welche durch die kleine Öffnung 6 V miteinander verbunden sind, stehe zu Anfang der Zeitrechnung der Spiegel auf der Höhe ^ über der Öffnung 6V, und im zweiten Gefäße stehe der Spiegel auf der geringeren Höhe L" über derselben Hffnung. Keines der Gefäße habe Zufluß von oben. Der Spiegel senke sich, und der Spiegel erhebe sich, sodaß der erste am Ende der Zeit t die Höhe 2^ und der zweite am Ende derselben Zeit die Höhe 2" einnehme. Auch für diesen Fall kann man setzen V — 2-(2<-2"), .... (440) und hierzu gesellen sich die Gleichungen 0^2^0"li2" .... (441) Aus der Gleichung —Ock2< — 0" .... (443) „„ 0'(L' -^)-s-0"L" t — o" / Wegen der Gleichungen (440) und (441) ist nun ferner 2-(X--. ckt — — Hieraus folgt, wenn man auch für 2" seinen Werth aus der zweiten der Gleichungen (443) substituirt, 0' ckL' ^ O'VO" ckL' sr>/ 2 F >/ L'-L" ^ LZ ^/ 2 A ' V( 0 --^ 0 ") O^-O"^" und durch Integration, da gleichzeitig t —0 und —^ sein muß, 20Vö^ V (0- -f- 0") —o- ^—0» ^ .... (444) Dieser Ausdruck stellt die Zeit dar, in welcher der Spiegel im ersten Gesäße von der Höhe ^ bis zur Hohe herab- sinkt. Nach den Gleichungen (440) und (441) hat man ferner L2>^2^(2^L") .ckt—0"ckL". Hieraus ergibt sich, wenn man auch für 2/ seinen Werth aus der ersten der beiden Gleichungen (443) substituirt, 0^ ckL" 0^ ckL"_ ^1^2^ ' / 2^ 2" sr s/ 2^ ' (0--t- 0") L" und durch Integration, da gleichzeitig t —t> und L" —L" sein muß, ^ 20'VÖ- K(0^0")V H 0^siO"^"-(O--f-O--)L"s .... (445) 302 j. 110. Ausfluß unter dem Spiegel eines EefäßeS Gl. (447> Durch diesen Ausdruck wird die Zeit dargestellt, welche darüber verfließt, daß sich der Spiegel ktz im zweiten Gefäße von der Höhe L" bis zur Höhe X" erhebt. Die Zeit K, welche die Flüssigkeit gebraucht, um sich in beiden Gefäßen gleich hoch zu stellen, erhält man, wenn man L —L" setzt. Dies ergibt nach Gl. (442) und wenn man diesen Werth für und L" in die obigen Ausdrücke für t einführt, 200 " K(O-s-0") Auch hier erkennt man, daß während der Zeit 1, wo sich die Spiegel beider Gefäße in dasselbe Niveau setzen, nur ein halb so großes Volum Flüssigkeit durch die Öffnung 60 fließt, als sich durch dieselbe ergießen würde, wenn die Spiegel in beiden Gefäßen stets auf den ursprünglichen Höhen erhalten wären. Denn in letzterem Falle würde während der Zeit I' ein Volum gleich 200 " sr(O-f-0")V ^ 200 " O-l-O" ausfliesten; unter den gegebenen Umständen fließt aber nur ein Volum gleich O^4-0"L" OZ-O" OO" (L'-L") OZ-O ocr?-x>o--o (x- aus. §. 110. Beharrlicher Ausfluß aus einem Gefäße, dessen Querschnitte sich an manchen Stellen plötzlich ändern, wenn dasselbe unter dem Spiegel eines zweiten Gefäßes ausmündet. Die in 8. 106 angestellte Untersuchung über den Ausfluß aus einem Gefäße ^81)6, welches unter dem Spiegel eines Gl. (4Z0) bei plötzlichen QuerschnittSberänderungen. 303 mit gleicher Flüssigkeit gefüllten Gefäßes ausmündet, erleidet keine wesentliche Änderung, wenn das erstere Gefäß einzelne Stellen enthält, wo sich sein Querschnitt Plötzlich um endliche Größen ändert, sodaß hier die Flüssigkeit genöthigt wird, ihre Geschwindigkeit augenblicklich zu ändern, was zu Verlusten an lebender Kraft Veranlassung gibt, wie sie in den §§. 97 bis 100 unter verschiedenen Umständen näher betrachtet sind. Wenn in dem oberen Gefäße z. B. die Flüssigkeit gezwungen wird, an irgend einer Stelle Plötzlich aus dem Querschnitte zu dem Querschnitte wz überzugehen, was einen Verlust an lebender Kraft — ^ V- 2// Vc->i Mz/ statt Gl. (419) -2sI.O"2 2 verursacht; so würde man und hieraus . . (448) , /' V« 2-(L'-L") O"- .. (449) erhalten. Wäre die Verbindungsöffnung 42 im Verhältniß zu den Querschnitten O', l»(j-O", 4K—ungemein klein; so würde man sehr nahe / 2s(L'-X"), Q LZ (450) 1 -s- (-—") setzen können. Nehmen wir z. B. an, zwei Gefäße und ktzvv, von denen das Eine bis stets voll erhalten werde und das andere in der Höhe stets überfließt, seien durch die verhältnißmäßig enge Röhre v 6 60 miteinander verbunden. Die Flüssigkeit trete bei 6 mit Kontraktion in 304 IN. Ausfluß, wenn die Öffnung nur zum Theil Gl. (451> die Röhre, und dehne sich daselbst von dem Querschnitte der stärksten Kontraktion plötzlich zum Querschnitte OO—6V der Röhre aus. Da nun 60 oder der Querschnitt der Röhre — K und der entsprechende Kontraktionskoeffizient — m ist; so 2 V hat man v^—w,—und c-^—l), also ^ — . Hierdurch wird Gl. (450), welche die Durchflußgeschwindigkeit durch die Röhre 06 darstellt, V — .... (451) Hierin stellt L — L", wie früher, den Höhenunterschied der beiden Spiegel und ktz dar. Die vorstehende Formel (451) gibt offenbar die Geschwindigkeit an, mit welcher die Flüssigkeit aus dem ersteren Gefäße vermittelst einer Ansatzröhre 06 ausströmen würde, wenn diese Ansatzröhre nicht in die freie Luft, sondern unter dem Spiegel ktj einer unbegränzten Flüssigkeitsmenge ausmündete. Bezeichnet man den obigen Faktor der Formel (451) mit n; so Würde man für die Praxis bei dem Ausflusse einer Flüssigkeit unter den zuletzt erwähnten Bedingungen in Gl. (451) statt n die Werthe substituiren können, welche in §. 104 als Er- fahrungsrcsultate mitgetheilt sind. §. 111. Ausfluß aus einem Gefäße, wenn die Ausflußöffnung nur zum Theil von dem Spiegel eines zweiten Gefäßes bedeckt ist. Wenn die Ausflußöffnung 6V eines in der Höhe ^,6 stets voll erhaltenen Gefäßes nur zum Theil unterhalb des Spiegels eines zweiten Gefäßes läge; so könnte man Näherungsweise die Hffnung 6V als aus zwei Theilen bestehend ansehen, und die Ausflußmengen für diese beiden Theile für sich berechnen. I" dem Theile 6tz, welcher von f. 112. Durchfluß durch zwei offene Gefäße. gos dem Spiegel des unteren Gefäßes ganz bedeckt ist, könnte man die Geschwindigkeit als der Differenz der Höhen ^8 und entsprechend ansehen, und demnach die Letztere nach Anleitung der vorhergehenden Paragraphe berechnen. Der Theil tzv dagegen wäre wie eine Kffnung zu behandeln, durch welche sich die Flüssigkeit in die freie Lust ergießt. Durchfluß einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit durch mehrere oben offene Gefäße. ß. ll?. Allgemeiner Fäll des Durchflusses durch Zwei oben offene Gefäße. Es wird angenommen, zwei oben offene Gefäße kommunizi- ren durch die Äffnung ^ bei fst nungen ^ und am Ende der Zeit r, tz das Volum der Flüssigkeit, welche das obere Gefäß während der Zeiteinheit empfangen würde, wenn der Zufluß am Ende der Zeit t plötzlich gleichförmig würde, sodaß tzckt dieses Volum darstellt, welches das obere Gefäß während des Zeit- elementes ctk am Ende der Zeit wirklich empfängt, eine Größe, welche konstant oder veränderlich sein kann mit der Zeit t. Die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in der Affnung ^ am Ende der Zeit t ist nach Gl. (426) gleich ^ r--), und in der Öffnung LZ" ist dieselbe ^ 2 §X" . Durch den Zufluß tzrkt bei hebt sich der Spiegel und durch den Abfluß 2 A( 2 '- 2 --) bei senkt sich derselbe; die ganze Höhen- variation, welchen dieser Spiegel in der Zeit «kt erleidet, ist aber eine Größe, welche positiv ist, wenn der Spiegel steigt, und negativ, wenn derselbe sinkt. In ähnlicher Weise hebt sich der Spiegel durch den Zufluß L)^tl/' 2 A(^—2") bei und senkt sich durch den Abfluß L2"«tt^2AL" bei O"; demzufolge ändert derselbe in der Zeit ckr seine Höhe um etL", welche Größe positiv oder negativ ist, jenachdem der Spiegel steigt oder sinkt. Nach dem Vorstehenden ergeben sich die beiden Fundamentalgleichungen O'ckL'-tzckt—, .... (452) 2^, .... (453) in welchen die Lösung der Aufgabe enthalten ist. Nimmt man an, daß der Zufluß, welchen das obere Gefäß erhält, gleichförmig, oder daß <4 konstant sei; so ergibt eine Elimination von ckt aus den beiden vorstehenden Gleichungen _0"ckL" KV2s(2'-/.")-v M" . . . . (454) Substituirt man hierin für O und 0" ihre Werthe in ^ und X"; so erhält man eine Beziehung zwischen diesen beiden Gl. (4S7> z. tig. Fall, wo das ödere Gefäß keine Fl. empfängt. 307 Größen, und alsdann vermittelst der beiden vorhergehenden Gleichungen die gesuchten Beziehungen zwischen 2' und e und 2" und t. Diese Gleichung ist übrigens in einem geschlossenen Aus- drucke nicht integrirbar, auch selbst dann nicht, wenn 0^ und 0" Konstanten sind. 8. 113. Fall, wo das obere Gefäß keine Flüssigkeit empfängt, während das untere die Flüssigkeit entläßt. Für diesen Fall ist und die Gl. (454) reduzirt sich auf O'ck/ .'_ 0"ck2" (2' — 2") " 4^-/ 2--L"—.... (4 ) Wenn und 0" konstant sind, wenn also die beiden Gefäße eine prismatische Gestalt haben, und man setzt X/ — x und alsdann n — 1 — U?; so kommt erst o (K V m -4 — ck a: ck — >6") -s- 0"^4 ^ L" und alsdann 20<(sr2 .... (493) 8. 116. Fall, wo der Spiegel des oberen Gefäßes stets auf konstanter Höhe erhalten wird, während das untere Gefäß keine Flüssigkeit entläßt. Für diesen Fall, wo konstant und LL" —v zu setzen ist, fällt die Gl. (452) weg und die Gl. (453) ergibt 0"ckX"—- L"), .... (494) Worin die Höhen und X" auf einen beliebigen festen Punkt, etwa auf den Mittelpunkt der Durchflußöffnung ^ bei (2 zu beziehen sind. Die vorstehende Gleichung stimmt mit den beiden Gleichungen (431) und (432) aus 8. 107, wo bereits der in Rede stehende Fall behandelt ist, vollkommen überein, und liefert demnach die in jenem Paragraphe bereits entwickelten Resultate. 8.117. Durchfluß einer Flüssigkeit durch drei oben offene Gefäße im Beharrungszustande. Es ist leicht, die in 8. 112 entwickelten Prinzipien auch auf den Fall zu übertragen, wo mehr, als zwei Gefäße gegeben sind. Betrachten wir hier noch den Fall, wo sich die Flüssigkeit durch drei Gefäße ergießt, von denen das erste stets bis zur Höhe voll erhalten wird, während das letzte die Flüssigkeit durch die Öffnung bei ksi" entläßt. Die Öffnungen bei <12, 6" und 6"^ seien im Vergleich zu den Querschnitten der Gefäße sehr klein, und die Flüssigkeit befinde sich im Beharrungszustande, in welchem die Spiegel Lk, -1k auf konstanter Höhe verbleiben und die Geschwindigkeiten bei 6" und gleichförmig geworden stnd. Die Höhen der Spiegel Lk und werden alsdann durch 310 §. 117. Durchfluß durch die drei offenen Gefäße. GI. (800) die Bedingung zu bestimmen sein, daß die Ausflußmenge für eine jede der Öffnungen bei (2, 6" und 0"^ dieselbe sei. Bezeichnen daher Q', K", K"/ resp. die Öffnungen 6", 6'", (für welche resp. »r"^" zu setzen ist, wenn die Flüssigkeit mit Kontraktion durch dieselben tritt und die zu» gehörigen Kontraktionskoeffizienten bezeichnen) 2/, L", resp. die vertikalen Höhen der Spiegel H.L, LX, über der letzten Ausflußöffnung bei (7", V^, V", V^" resp. die Geschwindigkeiten der Flüssigkeit in den Öffnungen K", sr^", das sich in der Sekunde durch eine jede dieser Öffnungen er« gießende Volum der Flüssigkeit; so hat man die Bedingungsgleichungen i) — ^V2A(L'- 2")- 1Z"I/2s(L"-L-") — .... (495) Hieraus folgt LZ "^« 2 ^,^, 2 ^,„ 2 ^.^„ 2^„/2 ^ — 0,2 6" ^z,2 ^, 2 ^„ 2 ^, 2 ^,„ r ^„ 2^„,2 _ und man hat ferner . ( 500 ) Gl.(S02) i i8. Durchfluß bei plötzlichen Qucrschnittsvcrändci'Mlgcn. 311 / 1 1 1 §. 118. Durchfluß einer Flüffigkeit durch mehrere oben offene Gefäße, wenn diese Gefäße plötzliche Änderungen des Querschnittes enthalten. Wenn die in den vorhergehenden Paragraphen betrachteten Gefäße Stellen enthalten, wo sich ihr Querschnitt Plötzlich um eine endliche Größe ändert, was z. B. durch Scheidewände mit Öffnungen, durch plötzliche Verengungen oder Erweiterungen hervorgebracht werden kann; so wird, wenn L die Druckhöhe in dem letzten Gefäße über der Ausflußöffnung bezeichnet, nach §. 97 ff., und wenn diese Größe den Höhenunterschied der Spiegel zweier benachbarten Gefäße bezeichnet, nach 8. 106 ff., die Geschwindigkeit resp. in der letzten Ausflußöffnung oder in der Durchfluß- öffnung zwischen den beiden gedachten Gefäßen durch einen Ausdruck von der Form V — dargestellt werden. Wenn die entsprechende Öffnung im Vergleich zu den Querschnitten der beiden benachbarten Gefäße sehr klein ist, und es befindet sich in dem ersteren dieser beiden Gefäße eine Stelle, wo die Flüssigkeit gezwungen wird, plötzlich aus dem Querschnitte w, zu dem Querschnitteüberzugehen; so hat man sowol nach Gl. (376) für den Ausfluß in die freie Lust, wie nach Gl. (450) für den Durchfluß durch eine von Flüssigkeit bedeckte Öffnung der mittleren Gefäße 1 Bezeichnet man den Werth dieses Faktors n für die erste 312 §. 118. Durchfluß durch offene Gefäße mit Gl. (Stil) Öffnung der beiden in §. 112 betrachteten Gefäße mit 7^ und den für die Ausflußöffnung K" mit m"; so verändern sich dadurch die beiden Gleichungen (452) und (453) auf .... (gyZ) ,r^ckk^2M^2") —,r"^"v" b", .... (504) und man sieht, daß man sämmtliche Resultate der §§. 112 bis 116 beibehalten kann, wenn man darin und n">6" resp. an die Stelle von und >6" setzt. Durch eine gleichzeitige Substitution von für L2'" würden auch die Resultate des 8s 117 Gültigkeit behalten. Die beiden Gefäße seien z. B. in der seitstehend verzeichneten Weise angeordnet und durch die Röhre 66^ miteinander verbunden, in welche die Flüssigkeit bei 6 zuvörderst mit Kontraktion eintritt und sich dann plötzlich von dem Querschnitte der größten Kontraktion zu dem Querschnitte der Röhre ausdehnt. Das zweite Gefäß entlasse die Flüssigkeit durch die Öffnung LZ ^ bei 6" mit vollständiger Kontraktion, deren Koeffizient m" sei, der Spiegel in ersterem Gefäße werde auf der konstanten Höhe 2/ über der Ausflußöffnung LZ" erhalten, und der Ausfluß der Flüssigkeit habe den Beharrungszustand angenommen. In diesem Falle, wo für das erstere Gefäß co, — ^ und 1 «2 — ^, also —-— — — — 1 ist, wird w, lün m' (l — m/)" Hiernach hat man in den Formeln des §s 115 zu setzen. «r') ^ an die Stelle von ^ Gl. (508) plötzliche Querschnittsvnanderungen. z>z Ferner ist hier, weil im zweiten Gefäße keine plötzliche Änderung des Querschnittes vorkommt, w"—1; dagegen findet beim Austritte der Flüssigkeit aus der Öffnung Q" vollständige Kontraktion statt, weshalb man überall für LL" Zu substituiren hat. Dies ergibt nach Gl. (490) für die Höhe 2", in welche der Spiegel Lk im zweiten Behälter über dem Mittelpunkte der Öffnung bei 6" sich stellen wird, ferner für den Höhenunterschied 2 — L" der Spiegel -VL und Lk in den beiden Behältern nach Gl. (491) X' - L" ^ . . (506) Nach Gl. (493) hat man für die Ausflußgeschwindigkeit in der Öffnung 22" 2yL' (1 — . . . . (507) und daher für die Ausflußmenge tz—m"2r"V" in der Sekunde cr^»r"sr" 2 §2' (m'- -k-(i-mO^ m"' 22"^ 1 m"-- 22"2 M ^- f -( 1—»?)2 M" 22<2 . . (508) Oszillationen einer Säule von einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit. 8. 119. Oözillationen einer Flüssigkeit, welche in einer aus zwei vertikalen Schenkeln bestehenden Röhre enthalten ist. 814 §.119. OSMationcn einer Flüssigkeitssäule In 8. 109 ist die Bewegung einer gegebenen Menge einer Flüssigkeit in zwei kommunizirenden Gefäßen unter der Voraussetzung betrachtet, daß die Verbindungsöfsnung der beiden Gefäße im Vergleich zu den Querschnitten der Gefäße sehr klein sei. Das Resultat jener Untersuchung war, daß wenn im Anfange der Zeitrechnung der Spiegel in dem Einen Gefäße höher stände, als in dem anderen, jener Spiegel sich senken und dieser sich heben würde, bis am Ende der durch Gl. (447) gegebenen Zeit 1? beide Spiegel sich in einerlei Niveau gesetzt haben würden. In diesem Momente würde alle Bewegung aufhören und die Flüssigkeit in beiden Gefäßen in Ruhe verbleiben, da es nach Gl. (444) z. B. unmöglich sein würde, daß die Höhe ^ des ersten Spiegels kleiner würde, als der durch Gl. (446) gegebene Werth, welcher der Höhe beider Spiegel am Ende der Zeit 1? entspricht. Dieses Resultat setzt jedoch, wie schon erwähnt, bestimmt voraus, daß die Verbindungsöffnung zwischen beiden Gefäßen im Vergleich zu den Querschnitten der beiden Gefäße ungemein klein sei. Anders verhält sich die Sache in dem Falle, wo die ebenerwähnte Öffnung im Vergleich zu den Querschnitten der beiden Gefäße einen bedeutenden Werth hat. Wir wollen diesen Fall im Nachstehenden in seiner einfachsten Gestalt näher betrachten, und annehmen, daß die beiden Gefäße durch die beiden vertikalen Schenkel einer umgebogenen Röhre von konstantem Querschnitte vertreten werden. Die früher betrachtete Durchflußöffnung 6V wird jetzt dem Querschnitte der Röhre oder der beiden Gefäße gleich werden. Es sei nun O der Querschnitt der Röhre, die Höhen der Spiegel ^8 und ktz über einem festen Punkte, z. B. über dem tiefsten Punkte 8 der Are der Röhre, im Anfange der Zeitrechnung, 2/, L" diese Höhen am Ende der Zeit r, V die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in irgend einem der überall gleichen Querschnitte der Röhre am Ende der Zeit t, 8 die Länge ^60 der in der Röhre enthaltenen Flüssigkeit, so" daß 0.8 deren Volum darstellt, Gl. (Sl2) in zwei vertikalen Schenkeln. 315 das Gewicht einer Volumeinheit der Flüssigkeit, der atmosphärische Druck auf die Flächeneinheit der Spiegel ^kundktz. Es gilt ohne Zweifel auch für diesen Fall die Gl. (243). Unter den hier gemachten Voraussetzungen, für welche man p"—o, und L" §" —sich aus jener Gleichung, nachdem man durch «, dividirt hat, und hiermit hat man statt der Gleichungen (244) und (244") die folgenden ->. _(510) zu verbinden, wobei man die Geschwindigkeit V als positiv ansieht, wenn sie in der Richtung erfolgt, und als negativ, wenn sie in entgegengesetzter Richtung stattfindet. Aus den letzteren Gleichungen (511), sowie aus direkter Anschauung der Figur folgt —X"— und hieraus (511) 2"— Da nun nach den Gleichungen (510) auch ckk — ck« ' also ckV —^ — (512) 318 h. 11g. OSzillatiouen einer Flüssigkeitssäule Gl. (SIS) ist; so erhält man aus Gl. (509) auch 8ti-L/-8ck-X" ^ ^ N eik- ^ § cik- . . (513) Substituirt man hierin für 2" seinen Werth aus der zweiten der Gleichungen (511); so kommt nach gehöriger Reduktion ci-L' eii- . . . (514) Multiplizirt man diese Gleichung mit 2eiL', und beobachtet, daß ^ das erste Differenzial von , nämlich — ci(V^) ist; so erhält man ei(V-)^ei ^ ^'ciL' -s- ^ (^-s-L")ciL( Durch Integration folgt hieraus, wenn man berücksichtigt, daß für ^ die Geschwindigkeit V — —^ —0 sein muß, V--- ^ K"-L'-)- ^(L'-i-L")(L'-20 .... (515) Hieraus ergibt sich 2 1 / — 5 " 2 s ^ c" -1- -i- (") oder wenn man Gl. (520) in zwei vertikalen Schenkeln. 317 3 mithin, wenn 6 eine Konstante bezeichnet t^6-z-V 8i»- Da man gleichzeitig 2^—^ und t—o haben muß; so ergibt sich 6----^-folglich . ./8 f . 22'-(L'-s-L") -r l ^ V ^ l.^'o -^ d. i. .... (zig) t— ^/^^ur8L08 Hiernach hat man ^-i(^-i-L")-s-z(L'-L")«-o8tV^; — (517) ferner V--- -(518) Auf ähnlichem Wege findet sich, wenn man hier setzt, ^-l-L"—22" 2^srvvo8 .... (519) 2" --- z a' -t- t") - zck' - k") V08 t ' (520) 3l8 ns. OSMationen in zwei vertikalen Schenkeln. Gl. (522) -(521) Aus Gl. (518) folgt, daß die Geschwindigkeit V für ebenfalls gleich null ist; dieselbe nimmt alsdann mit der Zeit r zu, erreicht ihr Marimum, welches gleich ^(^ —^")^/-^ ist, für i, d.i.für also nach Gl. (517) und (520) für 7V---7"--;(?-^"), nimmt alsdann wieder ab, und wird wiederum gleich null für also nach Gl.(517) für 7/—und nach Gl. (520) für 7"^. Hierauf wird V negativ, bis diese Größe nach einem abermaligen Verlauf der Zeitn^/^- für 7^ — ^ und 7" — ^" wie- der null wird, und alsdann die vorstehenden Stadien aufs neue durchläuft. Aus dem eben Gesagten erkennt man, daß die Flüssigkeit in der Röhre isochrone Schwingungen einschlagen wird, bei welchen sich jeder Spiegel, wie abwechselnd bis zur Höhe des anderen Spiegels ktz niederwärts und dann wieder bis zur früheren Höhe aufwärts bewegt. Die zu einem solchen Hin- oder Hergänge erforderliche Zeit ist -(522) Diese Zeit entspricht der Schwingungsdauer eines einfachen Pendels, welches nur sehr kleine isochrone Oszillationen macht, 8 und dessen Länge — i ist; bemerkenswert dabei ist, daß diese Schwingungszeit 1 von dem anfänglichen Niveauunterschiede der Spiegel und ktz in den beiden Schenkeln Gl. (523) -.120. OSzillationen in einer vertikalen Röhre. 3U» der Röhre ganz unabhängig ist, und nur von der Gesammtlänge der in der Röhre enthaltenen Flüssigkeitssäule abhängt. Der Schwerpunkt der Flüssigkeit beschreibt während der Zeiten -r^/regelmäßigePendclschwingungen im unteren Theile der Röhre um den Punkt 1?, indem er während dieser Zeit von der Höhe ^>2 _ ^"2 28 . . (523) in dem Einen Schenkel herab sinkt und sich in dem anderen Schenkel zu derselben Höhe wieder erhebt. 8. 120. Oszillationen einer Flüssigkeit in einer vertikalen Röhre, welche in ein Gefäß von ungemein großer Oberfläche ausmündet. Betrachten wir jetzt den Fall, wo eine vertikal stehende Röhre LO in ein Gefäß ausmündet, dessen oberer Spiegel ktz eine ungemein große Ausdehnung besitzt, sodaß ein Steigen oder Sinken der Flüssigkeit in der Röhre keinen merklichen Einfluß auf die Senkung oder Erhebung des Spiegels ktz hat, und die Höhe des Letzteren als konstant betrachtet werden kann. Bei der Einmündung der Röhre in die untere Flüssigkeit ist Erstere gehörig erweitert, sodaß sowenig beim Heraus-, wie beim Hineintreten der Flüssigkeit in die Röhre eine plötzliche Änderung des Querschnittes oder der Geschwindigkeit stattfindet. Näherungsweise wird die Bewegung der Flüssigkeit in der obigen Röhre der Bewegung des in einem Gefäßbarometer enthaltenen Quecksilbers entsprechen. Es sei O der konstante Querschnitt der Röhre in dem Theile ^6 oberhalb des Spiegels ktz, ^ die Höhe des Spiegels über dem konstanten Spiegel im Anfange der Zeitrechnung, 2 diese Höhe am Ende der Zeit r. 320 S. 120. Oszlllatloncn in einer vertikalen Röhre. Gl. (S24) V die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in dem Theile ^6 der Röhre am Ende der Zeit r, «,—ztA das Gewicht einer Volumeinheit der Flüssigkeit, der auf den Spiegel wirkende konstante Druck für die Flächeneinheit, p" der auf den Spiegel ktz wirkende ebenfalls konstante Druck für die Flächeneinheit, 8 — ^ ^ ^ die Höhe einer Flüssigkeitssäule über dem Spiegel welche sich bei einem Drucke auf den Spiegel ^6 und bei einem Drucke auf den Spiegel im Zustande der Ruhe erhalten würde. Wenn o und p"— dem mittleren atmosphärischen Drucke von 2091 Pfund auf den Quadratfuß wäre; so würde, wenn die Flüssigkeit aus Quecksilber bestände, wovon ein Kubikfuß «,—896 Pfund wiegt, 2091 8— bgg —2,333 Fuß sein, und wenn die Flüssigkeit aus Wasser bestände, wovon ein Kubikfuß «, — 66 Pfund wiegt, 2091 würde 8--^-^31,682 Fuß sein. Da angenommen wird, daß die Röhre 86 ganz dicht unter dem Spiegel ktz ausmünde, sodaß der Theil des Integrales aus Gl. (243), welcher sich auf das unterhalb ktz liegende Stück der Röhre bezieht, gegen den übrigen auf das Stück H.6 bezüglichen Theil verschwindet, besonders da die Querschnitte des unterhalb k>tz liegenden sehr kurzen Röhrenstückes rasch an Größe zunehmen; so kann man in Gl. (243) r/—2, O- — LL—co — O, .r" 0"— unendlich groß,./^- ^-setzen. Dies ergibt, » » » »»»— ^ wenn man mit «> dwidirt und —-— — U, ' ^ ' L—8— 1 ckV„ V- A cke 2§' außerdem ist nach Gl. (244) . . ( 524 ) Gl. 1 werden kann; so ist «2 unter allen Umständen ein echter Bruch. Entwickelt man daher den Zähler oder (l-s-arO^ nach dem binomischen Lehrsätze in eine unendliche Reihe; so wird dieselbe konvergent sein, und man hat —1 ^ 1 — Beachtet man fetzt, daß allgemein 324 j. 120. OSzillationen in einer vertikalen Röhre. ---l ^_^ ^ 'cir r ckr und demnach —t —1 ^ ^ Z' r"ckr ->-> -1-> oder ^-i -i / /er- ^ » —1 / V 1 — ^ K »>- ^ 1 — -l-1 -1-1 ir i — -1-1 ist; so reduzirt sich der obige Werth von 1, wenn man auf die einzelnen Glieder desselben die vorstehende Reduktionsformel anwendet, indem man darin sukzessive rr—2, 3, 4, 5 . . . setzt, und hierdurch die Integrale der einzelnen Glieder jener Formel /* clr auf solche herabbringt, welche gewisse Vielfache von oder von / sind; so erhält man «X jx 1 — rx -1 V^iXi"^ s ^ l/^i -j-i X s. /ivl , /1.3V 5 4 /1.3.5V 7.9 , . -I s? ^ V^4/ 6.8" V2.4.6- 8.10.12 ^ 1^- '^ 1^2" 4ch"b^6M"^ 8.10.12.14"'^ bto.^. s> Da nun ./X «lr sre eos L, also —1 / ---- sro oos (—1)—aro ev8(-1-1)— sr Xl/1 — -rctr sX 1 — r' und --- jXl — r? , also G1. (S2S) j. 120. OSzillationen in einer vertikalen Röhre. 32S t -«-1 ist; so wird, wenn man wieder a —setzt, ^ s fl_s1 s1.3V5/t-»x4 /I.8.5X2 7.9 ^-8>° 1 ^ V2- 4V 8 - V2.4- 6.8V^ 8.10.12V II - ° Durch diese Formel wird die Zeit ausgedrückt, welche der Spiegel .48 der Flüssigkeitssäule gebraucht, um von seiner größten Höhe T bis zu seiner geringsten Höhe 8—(T—8) —28—§ herabzusinken, oder umgekehrt, von dieser Höhe bis zu jener anzusteigen. Diese Zeit ist abhängig von der ursprünglichen Höhe oder vielmehr von dem Höhenunterschiede k—H, um welche der Spiegel 48 anfänglich höher lag, als der oberste Punkt einer Flüssigkeitssäule von der Höhe 8. Wenn jedoch dieser Höhenunterschied sehr gering, oder wenn ^ nahezu gleich 8 ist, k —8>2 ^ ^ und höhere Potenzen von k-8 sodaß man die in multiplizirten Glieder gegen die Einheit vernachlässigen kann; so wird 4" von jenem Unterschiede unabhängig, und die Zeitdauer derartiger sehr kleiner OSzillationen der Flüssigkeitssäule 40 reduzirt sich auf (529) -- also auf die Schwingungszeit eines einfachen Pendels von der Länge 8, wobei 8 — die Höhe einer gleichartigen Flüs- sigkeitssäule darstellt, welche unter der Wirkung der äußeren Pressungen p' und p" resp. gegen die Spiegel 48 und ktz im Gleichgewichte erhalten wird. 32k z. 121. Allgemeine Betrachtungen über den Von dem Gesammtdrucke, welchen ein Gefäß, in dem stch eine schwere unpreßbare Flüssigkeit bewegt, auszuhalten hat. 8. 121. Allgemeine Betrachtungen über diesen Druck. In den früheren Paragraphen haben wir unter verschiedenen Umständen den hydraulischen Druck p bestimmt, welcher sich in irgend einem Punkte einer in Bewegung begriffenen Flüssigkeit auf die Flächeneinheit äußert. Die Formel (245) und (247) ergibt den allgemeinen Werth dieses Druckes x> in dem Falle, wo sich die Flüssigkeit in einer engen Röhre bewegt, indem die Wirkung der Reibung der Flüssigkeit an den Röhrenwänden (vergl. 8. 55), sowie die Wirkung der Zentrifugalkraft (vergl. 8. 56) außer Acht gelassen wird. Wenn der Punkt der Flüssigkeit, in welchem man jenen Druck bestimmen will, an der Röhrenwand liegt; so erfährt man durch die erwähnte Formel den Druck für die Flächeneinheit, welchen an der fraglichen Stelle die Wand der Röhre in normaler Richtung auszuhalten hat, und es würde, wenn die Gleichung für die Oberfläche dieser Wand gegeben wäre, leicht sein, den Druck zu bestimmen, welcher sich auf irgend ein endliches Stück derselben äußerte. Im Nachstehenden wollen wir jedoch den Gesammtdruck oder die Resultante aller Pressungen betrachten, welchen das Gefäß, in dem sich die Flüssigkeit befindet, zu ertragen hat. Es leuchtet ein, daß eine diesem Gesammtdrucke gleiche und der Richtung nach direkt entgegengesetzte Kraft von außen auf das Gefäß angebracht werden müßte, um das Letztere an dem Orte im Raume, wo es sich eben befindet, im Zustande der Ruhe zu erhalten. Dabei kann es sich ereigenen, daß der fragliche Gesammtdruck nicht in einer einzigen Kraft besteht. Wenn man nämlich alle Pressungen, welche sich auf das Gefäß äußern, in ihre Komponenten parallel zu drei rechtwinklige Aren zerlegt, und von einem jeden dieser drei Systeme von parallelen Kräften die Mittelkraft bestimmt; so ist es möglich, daß sich diese drei partiellen Mittelkräfte nicht in Ein und demselben Punkte durchschneiden, sich also auch nicht zu einer einzigen Resultante zusammensetzen lassen. Immer wird es nach den bekannten Prinzipien der Statik jedoch thunlich sein, jene drei partiellen Mittelkräfte wenigstens in zwei zusammen« Gcsammtdruck einer bewegten Flüssigkeit 327 zusetzen. Wir werden uns bei der nachfolgenden Untersuchung darauf beschränken, die Größe der erwähnten nach drei rechtwinkligen Aren genommenen Mittelkräfte anzugeben. Dabei nehmen wir an, der auf jede Flächeneinheit der oberen und unteren Endfläche der Flüssigkeit sich äußernde Druck sei derselbe, also p'—p", und überhaupt sei das ganze Gefäß von einer elastischen Flüssigkeit, z. B. der Atmosphäre, welche in allen Punkten die Spannkraft p'—besitzt, umgeben. Da alsdann der hydraulische Druck, welcher in jeder der beiden Endflächen der Flüssigkeit herrscht, gleich dem äußeren atmosphärischen ist, und die Festigkeit des Materiales der Gefäßwände in allen übrigen Punkten fähig ist, dem atmosphärischen Drucke, welcher sich überall in normaler Richtung gegen diese Wände von außen äußert, zu widerstehen; so leuchtet zuvorderst ein, daß der Druck der äußeren Luft rings um das Gefäß mit dem hydraulischen Drucke der Flüssigkeit in den beiden Endflächen und mit dem Widerstände der Gefäßwände nach außen vollkommen im Gleichgewichte sein wird, daß also diese Kräfte bei der Ermittelung des Gesammtdruckes, welchen das Gefäß durch die darin befindliche Flüssigkeit zu ertragen hat, ganz vernachlässigt werden können. Um nun der Bestimmung des obigen Gesammtdruckes auf das Gefäß oder der drei Resultanten desselben nach drei rechtwinkligen Aren näher zu treten; so beachte man Folgendes. Wenn in ein Körpertheilchen N gewisse stetige Kräfte wirken, deren Resultante k ist, und es soll dasselbe im Zustande der Ruhe oder in dem einer gleichförmigen geradlinigen Bewegung erhalten werden; so ist es erforderlich, daß auf das Theilchen IVI noch eine andere Kraft tz, welche der ? gleich und direkt entgegengesetzt ist, von außen angebracht werde. Ist nun das Theilchen nicht isolirt im Raume, sondern von anderen Theilchen oder von ^ einer Unterlage umgeben; so ist klar, daß diese Unterlage in der Richtung der Kraft tz dem Theilchen »l mit einer Kraft — ? widerstehen muß, oder daß die in diesem Theilchen wirkenden Kräfte auf die Unterlage einen Druck ausüben, welcher der Kraft k sowol an Größe, wie an Richtung gleich sein wird. Ist die in das Theilchen wirkende Kraft z. B. 328 h. 121, Allgemeine Betrachtungen über den nur die Schwere; so hat die Unterlage in vertikaler Richtung nach unten einen Druck auszuhalten, welcher gleich dem Gewichte des Theilchens ist. Wenn dagegen das Theilchcn AI unter der Einwirkung der Kraft U gezwungen werden soll, sich in irgend einer beliebigen Richtung AI IV mit der veränderlichen Geschwindigkeit r, fortzubewegen; so ist es gleichfalls erforderlich, daß von außen auf das Theilchen eine Kraft tz angebracht werde, welche, wenn sie mit der Kraft k zusammengesetzt wird, eine Resultante k liefert, die im Stande ist, dem Theilchen AI die in Rede stehende Geschwindigkeit in der Richtung AllV mitzutheilen. Wenn aber die Masse des Theilchens AI gleich »r ist; so muß bekanntlich die Kraft, welche demselben die Geschwindigkeit v in direkter Richtung mitzutheilen vermag, gleich m ^ sein, und man sieht, daß die Kraft tz aus der Bedingung zu bestimmen sei, daß die Resultante k von ihr und von der Kraft ? der Größe nach -- in ^ sei und der Richtung nach mit der Linie AIN zusammenfalle. Diese Kraft tz wird alsdann, wie vorhin, den Widerstand darstellen, welchen eine etwaige Unterlage oder die übrigen umgebenden Massentheilchen gegen das Theilchen AI leisten müssen. Stellt man übrigens durch 6, den Druck dar, welchen die auf das Theilchen AI wirkenden Kräfte k> unter den obigen Umständen auf die Unterlage äußern werden; so ist ebenso klar, daß (Z, der Kraft (Z an Größe gleich, an Richtung entgegengesetzt und außerdem die Resultante der Kraft k und der in entgegengesetzter Richtung genommenen Kraftk oder sei. Sind demnach resp. «, /I, ^ die Winkel, welche die Richtung AI AI der Bewegung des Theilchens mit drei rechtwinkligen Aren der .-r, der der - einschließt, ferner z, v die Winkel, welche die Richtung ?AI der Kraft l* mit denselben Aren bildet, und Gl. — l^608st — 608/3,^ (Z, 608^ — 1^ 608V — 608 .... ( 530 ) worin resp. tz^oo 8 y,, tz,oo 8 ^, tz,608)x die Komponenten des Druckes tZ, in der Richtung der drei Aren darstellen. Man erkennt leicht, daß es ganz und gar nicht erforderlich ist, daß der Widerstand tz, welcher sich gegen das Theilchen AI äußern muß, durch eine einzige Kraft hervorgebracht werde. Es kann hierzu ein ganzes System von Kräften konkurriren, welche rings um das Theilchen vertheilt sind; nur ist es nothwendig, daß (j die Resultante dieses ganzen Systemes sei. Diese Bemerkung bezieht sich besonders auf den Fall, wo sich das Theilchen inmitten einer Flüssigkeit befindet, welche rings um dasselbe gewisse Pressungen ausübt. Die Resultante aller dieser Pressungen muß gleich l) sein, oder es wird sich von dem Theilchen AI immer ein Überfluß des Druckes, welcher gleich tz, ist und in der Richtung (j,AI wirkt, fortpflanzen. Nimmt man die Werthe dieses Druckes (j, für alle Massentheilchen einer in einem Gesäße befindlichen Flüssigkeit, und setzt dieselben nach den Prinzipien der Statik zusammen; so erhält man offenbar den Gesammt- druck, welchen das Gefäß von der Flüssigkeit zu ertragen hat. Wenn sich in der Flüssigkeit einige Stellen befänden, wo die Theilchen derselben ihre Geschwindigkeit sowol der Größe, wie der Richtung nach plötzlich um endliche Größen ändern müßten; so kann man den hieraus entspringenden Druck auf das Gefäß folgendermaaßen bestimmen. Angenommen, das Körpertheilchen AI von der Masse »r, welches sich in der Richtung OAI mit der Geschwindigkeit bewegt, werde während der ungemein kleinen Zeit ckk von seiner Richtung abgelenkt und gezwungen, die Richtung AM einzuschlagen, welche sich unter dem Winkel lVAM'-^S gegen die ursprüng- 330 §. 121. Allgemeine Betmchtmigen über den liche neigt, während gleichzeitig seine Geschwindigkeit in «z übergeht. Zur Bestimmung der Kraft (Z, welche im Stande ist, diese plötzliche Veränderung hervorzubringen, bemerkt man, daß das Theilchen M in der Richtung OAliV während der Zeit ckk die Geschwindigkeit v, — «2 «äs A verliert, während dasselbe in dieser Zeit in per- pendikularer Richtung zu OlV die Geschwindigkeit gewinnt. Bezeichnet man nun den Neigungswinkel OMlV mit so leuchtet ein, daß der zuerst erwähnte Verlust an Geschwindigkeit durch die Komponente tzoo8^ und der letztere Gewinn an Geschwindigkeit durch die Komponente tzsi'u-y der Kraft tz hervorgebracht werden muß. Weil ferner jener Verlust an Geschwindigkeit während der sehr kleinen Zeit cke erlangt wird, und angenommen werden kann, daß dieser Verlust gleichförmig mit der Zeit ckt zugenommen habe; so kann man behaupten, die Komponente (jvo8^ müsse eine Kraft sein, welche im Stande ist, der Masse r» während der Zeiteinheit bei stetiger Einwirkung auf dieselbe eine Geschwindigkeit — ^ «2 «os» ^,ch- förmig zu ertheilen. Hiernach hat man nach bekannten Gesetzen der Mechanik lj 008 ^ — M . — « 2 «« 8 ^ und in ähnlicher Weise für die andere Komponente tz8>n^, welche während der sehr kleinen Zeit ckt die Geschwindigkeit also während der Zeiteinheit die Geschwindigkeit mittheilt, Da nun den Widerstand bezeichnet, welchen das Theilchen M in der Richtung erleiden muß, während tj, den Druck darstellt, welchen jenes Theilchen in direkt entgegengesetzt Tl. (532> Gesammtdruck einer bewegten Flüssigkeit. ter Richtung unter den vorstehenden Voraussetzungen ausübt; so hat man auch "I - v-, > tz, 608 ^—M. ^ v, — r>2 008^ V« 8in^ .... (531) tz, 8in^ —M . worin H auf den Winkel 0AI(^ bezeichnet. Man begreift, daß in diesen Formeln für m diejenige Masse zu substituiren ist, welche während der ganzen Zeit ckt der obigen plötzlichen Geschwindigkeitsveränderung ausgesetzt wird. Fände nur eine Veränderung der Geschwindigkeit des Theil- chens AI in der ursprünglichen Richtung seiner Bewegung, und keine Ablenkung von dieser Richtung statt; so hätte man A — o, also einfach v,—V, , vt>8^ — M. —- 8IU^ " 0, woraus ^ — v und -(532) folgt, sodaß sich alsdann bloß ein Druck in der Richtung OiV' gegen die Unterlage äußert. beibehalten, und indem Z. 122. Bestimmung des Ge- sammtdruckes einer inBewegung begriffenen Flüssigkeit gegen eine Rohre von sehr kleinen Querschnitten, in welcher dieselbe enthalten ist. Es sei jetzt ^L06 die in §. 97 bereits betrachtete Röhre, in welcher sich die schwere unpreßbare Flüssigkeitsmenge «deck herabbewegt. Es werden die Bezeichnungen jenes Paragraphs wir die Are LI? der Röhre auf drei 332 r. 122. Gesammtdruck einer bewegten Flüssigkeit rechtwinklige Koordinatenaren beziehen, von denen die der 2 vertikal abwärts gekehrt ist, und die der n und ,, horizontal liegen, und deren gemeinschaftlicher Anfangspunkt 8 ist; so nennen wir außerdem noch «, /3, 7 die Winkel, welche die in irgend einem Punkte r an die Are der Röhre gezogene Tangente resp. mit den Aren der der U und der 2 bildet, H/, 8', 6'; 8", 6" die Winkel, welche die Tangente der Are der Röhre resp. in den Punkten e und / mit denselben Koordinatenaren bildet, Bi, «g, /Sg, 7g die Winkel, welche die Tangente der Are der Röhre resp. in den Querschnitten 68—und 6'8—«g mit jenen Koordinatenaren bildet, a?, U, 2 die Koordinaten des Punktes «, a:', U', 2'; 2", N", 2" resp. die Koordinaten der Punkte e und /'s XL^-"-2', 7- den Krümmungshalbmesser der Are der Röhre im Punkte e, VV das Gewicht der in der Röhre enthaltenen Flüssigkeit, 8, 8, 6 die Komponenten des Gesammtdruckes, welchen die Röhre auszuhalten hat, resp. in parallelen Richtungen zu den Aren der .2, der U und der 2. Fassen wir eine Schicht der Flüssigkeit im Punkte x von der ungemein kleinen Stärke cks —vckk in der Richtung der Röhren- are ins Auge. In die Masse dieser Schicht wirken stetig zwei Kräfte: 1 ) die Schwere in vertikaler Richtung nach unten und 2 ) die Zentrifugalkraft in der Richtung des Krümmungshalbmessers am Punkte e. (Des Einflusses der letzteren Kraft auf den hydraulischen Druck der Flüssigkeit in irgend einem Punkte ist in §. 56 Erwähnung geschehen. Bei den Untersuchungen über den Ausfluß der Flüssigkeit ist diese Kraft nicht weiter in Betracht gezogen, da sie nach der betreffenden Bemerkung in §. 56 hierauf keinen Einfluß hat; bei der nachfolgenden Untersuchung über den Gesammtdruck der Flüssigkeit auf das Gefäß ist die Berücksichtigung der Zentrifugalkraft aber besonders deshalb von Wichtigkeit, weil dieselbe zu einer Vereinfachung der Formeln führt). Da das Volum der fraglichen Schicht m also deren Masse Blocks —-^-c„ck§ ist; so ist der Druck der Schwere auf diese in einer engen Röhre. 333 Schicht, d. h. ihr Gewicht in vertikaler Richtung nach unten Die Komponente dieses Gewichtes in der Richtung der Are derr, sowie die in der Richtung der z, ist gleich null. Der Druck der Zentrifugalkraft auf diese Masse in der Richtung des Krümmungshalbmessers an dem Punkte e ist nach bekannten Gesetzen der Mechanik Bezeichnet man die Winkel, welche der Krümmungshalbmesser r- mit den Aren der der r, und der r einschließt, mit v, indem man denselben in der Richtung von dem Krümmungsmittelpunkte nach dem Punkte « zu nimmt, in welcher Richtung auch die Zentrifugalkraft wirkt; so weiß man aus der Analysis, daß ck («08 «) ck(ov8/Z) ck(ovs^) ist. Hieraus folgt für die Komponenten der auf die Schicht «/S wirkenden Zentrifugalkraft in parallelen Richtungen zu den Aren der der ?/, der r resp. ^c»v^ck(L08tt),-^ MB^ck(008/3), —-^-«-»2^(008)0. A K s Setzt man dem Vorstehenden zufolge in die Gleichungen (530) ckL, ckk, resp. an die Stelle von tzi<:o8P, tzi«v8^, ^vv8^t, koonv und endlich an die Stelle von m; so ergeben dieselben für die Komponenten des Druckes, welchen die elementare Schicht «/l auf das Gefäß fortpflanzt, 334 r. 122. Gesammtdruck einer bewegten Flüssigkeit oiv^ei(eo8/3) t?6 — WKlis cori^es (eos^) Setzt man in dem Differenzialkoeffizienten für v den Werth und beachtet, daß hierin sowol die Geschwindigkeit V, wie auch der Querschnitt «, welchen eine bestimmte Schicht der Flüssigkeit am Ende der Zeit t einnimmt, von der Zeit r abhängig ist, während 42 eine Konstante darstellt; so hat man 42 töV 42 V ck« oder wenn man « erst als eine Funktion von « und alsdann s als eine Funktion von r ansieht, rtv_^ ckV 42 V «t« ct« rtt « ctt «2 eit und wenn man jetzt V —- setzt, 42 ckV 422y2 cr« ctk cit Dieser Werth, in die obigen drei Gleichungen für ckL, rlk, ck6 substituirt, und außerdem v —ferner ckseos« — Lr) tksvos^ — «lU, ctseos^ —«ir gesetzt, gibt «v 42-V2 ck-rZ-—42^V tk(CV8«), eo8« ^ ciV , . «v ^,2^72^61 ^ ^ eos, ro 422 V^ Ä(v08/Z> «, 42-V2 ck(eos^) Gl. (533) in einer engen Röhre. 335 Da 608 « ck(0O8tt) ^ ^ /008«> ist; so kann man diese M V « / Gleichungen auch schreiben A ckt A crt , «> ckV «, ck(x—rvmcrs-sL -7— c/r- y ckt y A V w / S V cn Jntegrirt man diese Gleichungen für die ganze Masse der gegebenen Flüssigkeit, also zwischen den Gränzen, welche den beiden Endpunkten s und des in der Flüssigkeit enthaltenen Theiles der Are der Röhre entsprechen, indem man beachtet, daß das Integral ^«icocks —«>zwischen diesen Gränzen das Ge- wicht VV der gesammten Flüssigkeit darstellt, daß^ — ^ ckV V " ckt ckw - «> — L^x, und md- «/ ckt lich, daß zwischen diesen Gränzen ^ —ist; so erhält man — -sr^x— ^608 X" 008 X' S ckt S > . 0" 0' . k— — —LZ-v- /eo8L" 0088' S ckt S ^ O" 0' 6---VV- — V- /608 6" 008 6' S ckt s ^ 0" 0' . N ....(533) Berücksichtigt man setzt aber noch die Druckkräfte, welche sich wegen der plötzlichen Veränderungen der Geschwindigkeit der Flüssigkeit bei den Übergängen aus dem Querschnitte 68 — «, 336 r. 122. Gesammtdruck einer bewegten Flüssigkeit Gl. (634) in den Querschnitt 4 L—c»2 und aus dem Querschnitte 6'8'—w, in den Querschnitt co^ auf das Gefäß äußern; so geht aus der Formel ( 532 ) hervor, daß diese Ursachen z. B. bei 68 einen Druck in der Richtung der Are der Röhre hervorbringen, welcher gleich ist, oder welcher, wenn man für m die Masse der in der Zeit ckr durch jenen Querschnitt passirenden Flüssigkeit substituirt, und alsdann «i ——, —setzt, gleich ^ LZVckt. Q V2 s S ckt S V ist. Die Komponenten dieses Druckes in den Axen der w, der U und der 2 sind resp. ^6 w, «2/ Richtungen der drei s eos^, Bezeichnet man nun, wenn mehrere plötzliche Erweiterungen des Querschnittes, wie die bei 4 L, vorhanden sind, die Summe der Komponenten der hieraus entspringenden Druckkräfte in den Richtungen der drei Aren mit addirt darauf die entsprechenden Werthe zu den rechten Seiten der Gleichungen ( 533 ); so kommt L-- k — ro „ ckV ^ «, ^.2,72/008^." Lv8^X, -0--)' V O" sr K Z- V-Loo8 s VM, «2- ^ _ro ,, ckV „ «,„2,72/0088" t! 088 'xl S ckk §, V. O" O' -s ...( 534 ) O- vv - 5» — L - eo8(7 x S ' ckt S O " ^ O' - in einer engen Röhre. 337 Die negativen Zeichen der in X und V multiplizirten Glieder dürfen nicht befremden, da dieselben nur andeuten, daß z.B. für eine solche Lage der Are der -r, für welche X — er' positiv ist, wie in der feststehenden Figur, der durch—X dargestellte Druck nicht nach der positiven Seite Ler, sondern nach der direkt entgegengesetzten Seite erL dieser Are gerichtet ist. Hätte man jedoch jener Are die Richtung gegeben; so würde .r" und 2 :' negativ, also auch a?"-a:'—X negativ, und mithin — X positiv sein, sodaß alsdann der hierdurch dargestellte Druck nach der positiven Seite der fraglichen Are gerichtet wäre. 8. 123. Gesammtdruck einer Flüssigkeit gegen eine Rohre, wenn dieLetztere stets voll erhalten wird, und die Flüssigkeit aus derselben entströmt. In diesem Falle sind X, X, 2, O' und O" konstante Größen, und man hat die Ausflußöffnung K an die Stelle von 0" zu setzen. Wenn die Röhre in dem Zustande betrachtet wird, wo der Ausfluß der Flüssigkeit beharrlich, also die Ausflußgeschwindig- ckV keit V konstant geworden ist; so hat man 0 zu setzen, wodurch sich Gleichungen (534) auf 22 338 123. Gesammtdruck einer Flüssigkeit in einer Gl. (538) x— «, ^,2 ^2 / 008^." 608^' xs " A ' V ^ 0/ Z-sr 2-l->608«, ' A VM, kDz/ ' r--- - -^- ^ s V ^ O' / ^ LZV- ^(L. - L-> eos§. A >.w, w,/ 0---VV— — K« V y V sr o /> -s- ^ LZ V- 2? s— - —)vv8),, (535) reduziren. Für die Ausflußgeschwindigkeit V ist hierin der Werth V--- / 2§L _ aus Gl. (376) zu substituiren. Wenn die Röhre keine Zwischenwände oder sonstige plötzliche Erweiterungen oder Einengungen enthält; so hat man einfach L-- 6---VV- ^ i"—k>— - N V ^ 008^ O' / VV8 k x 1 - e»8 0 O' / . . (536) worm V— ^ v/ 1 -^' V 0'2 ist. Wenn die Röhre Lk, deren Are in derselben Vertikalen liegt, von ^ bis 6 horizontal ist und sich im Endpunkte k unter Gl. KU (1 - ov8 o ) .... (537) 6— — ^sLV^8iu^." —— 2«> sLüsiin^" I Wenn der Winkel 90° ist; so reduziren sich diese Formeln auf 340 r. 124. Gesammtdruck einer bewegten Flüssigkeit Gl. (539) L — — 2«,Lr» S o U . (538) Der horizontale Druck in der Richtung L6, sowie der vertikale Druck nach oben ist alsdann gleich dem doppelten Gewichte eine Säule derselben Flüssigkeit, deren Querschnitt gleich dem der Röhre und deren Höhe gleich der Druckhöhe 8 ist. Wenn der Winkel ^"—180° ist, wo die Flüssigkeit parallel zu L6, aber in entgegengesetzter Richtung «»stritt; so werden die Formeln (537) S k —o . . . (539) O-- o sodaß in diesem Falle nur in horizontaler Richtung L6 ein Druck ausgeübt wird, welcher noch einmal so groß ist, als der horizontale Druck in dem vorhin betrachteten Falle. §. 124. Gesammtdruck einer aus einem Gefäße von beliebiger Gestalt entströmenden Flüssigkeit gegen dieses Gefäß. Von einer Flüssigkeit, welche sich aus einem Gefäße von beliebiger Gestalt ergießt, kann man mit einem hohen Grade von Annäherung immer annehmen, daß die Bewegung der ganzen flüssigen Masse in lauter Fäden oder Kanälen von ungemein kleinen Querschnitten vor sich gehe. Die vorhin betrachteten Komponenten des Gesammtdruckes, welchen die Flüssigkeit gegen das Gefäß ausübt, in parallelen Richtungen zu drei rechtwinkligen Aren, werden alsdann die Summe der entsprechenden Pressungen sein, welche die Flüssigkeit in einem jeden einzelnen Faden nach jenen drei Richtungen äußert. Gl. (54 l) in einem beliebigen Gefäße. 341 Da nun die Formeln (533) und (534) von der Gestalt eines solchen Fadens ganz unabhängig sind und nur von den Richtungen und gegenseitigen Abständen der Endeleinente desselben abhängen; so leuchtet ein, daß man dieselben auch auf ein Gefäß von beliebiger Gestalt wird anwenden können, wenn dasselbe nur eine solche Form hat, daß man annehmen kann, sämmtliche Fäden besitzen im Anfangs- und Endpunkte dieselbe Richtung und auch die Abstände X, V, L dieser Punkte seien für alle Fäden gleich. Da in jenen Formeln übrigens die Ausflußgeschwindigkeit V erscheint; so beschränkt sich die Anwendbarkeit derselben noch auf diejenigen in den §§. 71 bis 74 und in 8. 101 näher bezeichneten Fälle, wo man im Stande ist, die Geschwindigkeit V zu bestimmen. Hiernach sind die Formeln (533) und (534) ganz allgemein brauchbar, wenn das Gefäß um eine vertikale Are LL symmetrisch ist, wie in seit- stehender Figur. Nimmt man hierbei an, daß das Gefäß bis zum Spiegel XL stets voll erhalten werde, und daß der Beharrungszustand eingetreten sei; so ergeben etV die Formeln (533), wenn man darin ^ —o, O'^sr, X'^X"—90», L'—L"^90", setzt, L—o, L —o, .... (540) oder da V __ /' 2s« O'r ist, « —VV — 2«>LO'L O'-s-^Z 2-oL O' ^ K . . . (541) Wenn die Ausflußöffnung K gegen die Fläche des oberen Spiegels O' sehr klein ist; so hat man sehr nahe 342 j, 124. Gesammtdruck einer bewegten Flüssigkeit Gl. (5421 ....(542) S In dem letzteren Falle hat also das Gefäß nur einen vertikalen Druck auszuhalten, dessen Betrag gleich dem Gewichte der in dem Gesäße enthaltenen Flüssigkeit, weniger dem doppelten Gewichte einer Flüssigkeitssäule ist, deren Querschnitt der Ausflußöffnung O und deren Höhe der Druckhöhe Lk —L gleichkommt. Enthielte das eben betrachtete Gefäß eine Scheidewand mit horizontaler Öffnung, für welche «,---90°, 90°, 7,-0 wäre; so würden nach den Formeln (534) immer die horizontalen Komponenten L und k des Gesammtdruckes — 0 bleiben, und der Werth des vertikalen Druckes O würde sich um das Glied vermehren. Im Vorstehenden ist vorausgesetzt, daß die Öffnungen A und c», nach oben gehörig erweitert und so abgerundet seien, daß die Flüssigkeit in parallelen Fäden ohne Kontraktion durch dieselben treten könne. Ist Dies nicht der Fall; so hat man mK und statt Q und w, zu substituiren, worin mundm, die entsprechenden Kontraktionskoeffizientcn, also und m,«, die Querschnitte der stärksten Kontraktion unterhalb jener Öffnungen bezeichnen. Hat das Gefäß eine jede andere unregelmäßige Figur, wird dasselbe aber bis zu einer bestimmten Höhe stets voll erhalten, und ist der Beharrungszustand eingetreten; so wird es nach dem Vorhergehenden immer leicht sein, die Formeln (536) oder (535) darauf in Anwendung zn bringen. Im Allgemeinen wird man, da sich der horizontale Oberspiegel vertikal abwärts bewegt, H.'—90°, L'—90«, 6'—0 zu setzen haben, während die Winkel L", 6 " von der besonderen Lage der Ebene der Ausflußöffnung abhängen. Liegt die Ausflußöffnung LZ z. B. in einer vertikalen Wand, sodaß die Flüssigkeit in horizontaler Richtung austritt; so hat man, wenn man diese Richtung zur Are der w annimmt, 0 , L"—90°, 6"—90° zu setzen, und erhält hierdurch aus den Glei- >Gl. (544) In einem beliebigen Gefäße. 343 chungen (536), wenn man auch den Werth von V— / 2s2 v/ 1- O'r berücksichtigt, Ln——KV^- 2«>LZL S o (543) 2«,0'L Wenn die Ausflußöffnung LL im Vergleich zu der Fläche des oberen Spiegels O' ungemein klein ist; so kann man sehr nahe setzen Den horizontalen Druck von der Stärke 2«-KL, welcher in diesem Falle dem doppelten Gewichte einer Flüssigkeitssäule von dem Querschnitte sr und von der Höhe 2 entspricht, und welcher sich in einer dem Ausflüsse direkt entgegengesetzten Richtung äußert, nennt man gewöhnlich die Reaktionskraft der ausströmenden Flüssigkeit. Wenn das Gefäß auf einer Platten horizontalen Unterlage stände, würde diese Reaktionskraft, welche wie eine jede andere bewegende Kraft auf das Gefäß wirkt, eine rück» gängige Bewegung des Letzteren hervorbringen. Ein Gleiches würde geschehen, wenn das Gefäß um eine vertikale Are drehbar wäre, welche nur nicht von der horizontalen Richtung des ausfließenden Flüssigkeitsstrahles durchschnitten würde. Das Gefäß würde sich alsdann um jene Are drehen. Auf diesem Prinzipe beruhen das sogenannte Segnersche Kreiselrad und die horizontal liegenden Reaktionsräder. Wenn die Ausflußvffnung K des eben betrachteten Gefäßes in einer dünnen vertikalen Wand läge; so würde man mL für zu substituiren haben. 344 124. Gesammtdruck in einem beliebigen Gefäße. Gl. (54Ü) Entströmte die Flüssigkeit durch eine horizontale zylindrische Ansatzröhre von dem Querschnitte §3; so würde man die Formeln (535) in Anwendung zu bringen haben, indem man beachtete, daß die Flüssigkeit beim Eintritte in die Röhre plötzlich von dem Querschnitte mLL zu dem Querschnitte « 2 —^ übergehen müßte (vergl. 8. 103). Da die Are der Flüssigkeitsfäden beim Eintritte in die Röhre horizontal ist; so hat man 0 , 90«, —90« zu setzen, wodurch sich die Gleichungen (535), unter Berücksichtigung des entsprechenden Werthes von V, auf 2—— L—- - srV-s2- ^ o--vv-s-- S 0' sr O' 1 O'^ V m (545) und wenn die Ausflußöffnung im Vergleich zu dem Oberspiegel 0' sehr klein ist, auf L-- rv S o—>V —2rvK2 rn(2/n— 1) -f-(1—m)2 ....(546) reduziren. Aus dem vorstehenden Werthe für L erkennt man, daß solange m>0,5 ist, das mit einer Ansatzröhre versehene Gefäß in horizontaler Richtung einen Druck empfängt, welcher der Richtung des Ausflusses der Flüssigkeit direkt entgegengesetzt ist. Wäre jedoch m<0,5, also der Werth von L positiv; so würde sich dieser Druck in direkter Richtung des Ausflusses, also nach vorn, äußern. Die wesentlichsten Resultate des vorstehenden Paragraphs sind durch verschiedene Versuche von Daniel Bernoulli und Brunacei bestätigt worden. §. 123. Flüssigkeit in einem bewegecn esesatzc. 345 Gleichgewicht und Bewegung einer schweren «npreßbaren Flüssigkeit in einem bewegten Gefäße. 8. 125. Gestalt der freien Oberfläche und Druck einer schweren unpreßbarer Flüssigkeit, welche sich in einem Gefäße befindet, das mit veränderlicher Geschwindigkeit in irgend einer geradlinigen Richtung fortbewegt wird. Das Gefäß in welchem sich die schwere flüssige Masse abv6 befindet, werde in der Richtung der geraden Linie NN mit einer Geschwindigkeit fortbewegt, deren Betrag am Ende der Zeit t gleich 17 ist. Auf irgend ein Theilchen 51 dieser Flüssigkeit, dessen Masse »nist, wirkt die Schwere mit der Intensität oder mit dem Drucke in der Richtung die in der Richtung IVM wirksame Kraft, welcher die wirkliche Bewegung dieses Theilchens entspricht, ist aber m Bringt man also auf ein jedes Flüssigkeitstheilchen neben der Wirkung MA der Schwere in der Richtung I>iVl noch eine Kraft nr ^ in einer der früheren direkt entgegengesetzten, also in der ar Richtung an, so muß hierdurch nach dem d'Alembertschen Prinzipe (8. 54) das ganze System in den Zustand des Gleichgewichts übergeführt werden. Die Gestalt des freien Oberspiegels aö, sowie die Gestalten der Flächen von gleichem Niveau bei der obigen Flüssigkeit sind also durch die Bedingung zu bestimmen, daß die Flüssigkeit unter der Wirkung der beiden Kräfte kM—MA und RlVl- oder unter der Wirkung der Resultante aus diesen beiden Kräften, welche auf ein jedes Theilchen von der Masse m wirkt, im Gleichgewichte bleibe. Aus §. 6 folgt nun, daß wenn das eben bezeichnete Gleichgewicht stattfinden solle, der Spiegel ab, sowie alle Flächen von 348 j. 123. Oberfläche und Druck einer Flüssigkeit Gl. (548) gleichem Niveau oder von gleichem Drucke Ebenen bilden müssen, welche auf der Richtung der Resultante von und m^ perpendikular stehen. Um die Richtung dieser Ebenen, wie ab, zu bestimmen, sei der Winkelwelchen die Richtung der Bewegung mit der nach unten verlängerten Vertikalen bildet, gleich und der gesuchte Winkel, welchen die Ebene ab mit dem Horizonte einschließt, gleich ?>; alsdann hat man, wenn man die Resultante der beiden Kräfte MA und m vorläufig mit 6 bezeichnet, 8INP — m ckt sinV, woraus L08P — MA — M 608 ^, und ckl) . „ H 8>N V tanZP — -- . . . . (548) «7 - 008 ^ ar folgt. Hieraus erkennt man, daß die beiden Größen tz und P in Beziehung zur Zeit konstant sein werden, sobald die Geschwindigkeit D gleichförmig veränderlich ist, in welchem Falle man ^ —«onst. hat« In solchen Fällen wird denn auch die Flüssigkeit in Beziehung zum Gefäße stets in derselben Lage bleiben. Die Richtung der sollizitirenden Kraft ist nach §. 6 die auf ab normal stehende Linie tzM, und aus Gl. (547) folgt, daß die Flüssigkeit, wenn sie in Beziehung zu dem Gefäße als ruhend gedacht wird, sich in demselben Falle befindet, als wenn alle ihre Theilchen von einer Kraft belebt wären, die im Stande ist, denselben in der Zeiteinheit nach der Richtung tzU die Geschwindigkeit in einem bewegten Gefäße. 347 »/ 2 ! ckll q. mitzutheilen. Um den Druck x auf die Flächeneinheit zu bestimmen, welcher in irgend einem Punkte m der Flüssigkeit herrscht; so geht aus der Betrachtung des Ks 121 hervor, daß die in Rede stehende Bewegung der einzelnen schweren Theilchen der Flüssigkeit, wie z. B. des bei M, nur dann stattfinden kann, wenn auf ein jedes derselben in der Richtung ml>l ein Widerstand gleich 6 wirkt, woraus folgt, daß dasselbe in der Richtung lZM mit der . auf die darunter Kraft liegenden Theilchen drücken wird. Da die Richtung, sowie die Größe dieser Kraft für alle Theilchen dieselbe ist; so leuchtet ein, daß die Wirkung derselben auf die Flüssigkeit ganz ähnliche Erscheinungen hervorbringen wird, wie die Wirkung der Schwere auf eine ruhende Flüssigkeit, daß man also zur Bestimmung des in der Flüssigkeit herrschenden Druckes die betreffenden Formeln des §s 9 ff. in Anwendung bringen kann, wenn man darin ^ 008 H an die Stelle von s setzt. Wenn ^ die Dichtigkeit der Flüssigkeit und «, das Gewicht der Volumeinheit bezeichnet, sodaß —rv ist; so sind jene Formeln auch brauchbar, wenn man ^ -sM«» für d. i. - Z?) ^" an die Stelle setzt, und außerdem beachtet, daß die Richtung der svllizitirendcn Kraft ist. Läge demnach ein Punkt m in perpendikularer Richtung zu dem Spiegel aö um die Tiefe M-n —L unter der Oberfläche; so würde der daselbst stattfindende hydraulische Druck 348 j. 123. Oberfläche und Druck einer Flüssigkeit M.( 950 ) sein, worin p' den auf den Spiegel ab wirkenden atmosphärischen Druck bezeichnet. Wenn man von m aus ein Perpendikel auf die Richtung der Bewegung fällt, dasselbe bis zum freien Spiegel ab der Flüssigkeit verlängert und seine Länge mn mit b' bezeichnet; so wird /.nmAl —H-s-P—90°, also 90°)---b'sin (H-s-P)—L'(sinV eosP-s-vvsA sin gp)« Da nun nach den obigen Beziehungen VV8Y> — und 8MP — ist; so folgt b' »in also auch nach Gl. (549) p—p'-s-rob'sind' .... (550) Der Gesammtdruck, welchen die ganze im Gefäße enthaltene Flüssigkeit gegen das Gefäß ausübt, wird sich in einer zu tzkl parallelen Richtung äußern und durch den Schwerpunkt der ganzen Masse gehen. Bezeichnet man die Masse der gesamm- ten Flüssigkeit mit IVl und deren Gewicht mit Vsi; so leuchtet ein, daß der eben erwähnte Gesammtdruck Gl. (SSI) in einem bewegten Gefäße. 348 ist. Glitte z. B. das Gefäß H.LV6 auf der absolut glatten Ebene welche sich unter dem Winkel —^ gegen den Horizont neigt, herab; so würde man —— , ck17 , 17—A«8IN^, also ^ —A8INY und außerdem K —90« —haben. Dies ergibt nach Gl. (548) für den Neigungswinkel der freien Oberfläche ab der Flüssigkeit gegen den Horizont P — woraus folgt, daß sich der Spiegel der Flüssigkeit parallel zu der geneigten Ebene stellen wird. Für den hydraulischen Druck p in einem Punkte m der Flüssigkeit, welcher in dem Abstände AI-»-L von dem Spiegel ab liegt, hat man nach Gl. (549) p--:p/-s-«>bL 08 iz. Der Gesammtdruck der Flüssigkeit, welcher sich in normaler Richtung gegen die Ebene L-N äußert, ist nach der Formel (551) VVi) 08 ^, wie Dies auch der Fall sein würde, wenn ein starrer Körper vorn Gewichte VV auf derselben Ebene herabglitte. Würde das Gefäß in horizontaler Richtung mit der Geschwindigkeit 17 fortgetrieben; so hätte man in den früheren Formeln S—90« zu setzen, wodurch sich dieselben auf die folgenden reduzirten »so j. 125. Oberfläche und Druck einer Flüssigkeit p — rvL ^/i oder p —^ -s- ro Aus der letzteren Gleichung erkennt man, daß in diesem Falle der in irgend einem Punkte herrschende hydraulische Druck dem hydrostatischen Drucke entspricht, welcher bei einer vertikalen Tiefe mM —unter der Oberfläche einer ruhenden Flüssigkeit stattfinden würde. Der Gesammtdruck auf das Gefäß in einer auf dem Oberspiegel perpendikular stehenden Richtung würde nach der Formel (551) sein. Wenn das Gefäß mit der Geschwindigkeit l) in vertikaler Richtung aufwärts bewegt wird; so hat man 180 ", mithin tn»kA P — « oder P — o, sodaß alsdann der freie Oberspiegel der Flüssigkeit horizontal bleibt. Der hydraulische Druck in der Tiefe L unter der Oberfläche wird jedoch nach Gl. (549) 1 >' -j- wL ( 1 -j- und man hat für den Gesammtdruck gegen das Gefäß in vertikaler Richtung nach unten 1 S ckt Wäre die Bewegung des Gefäßes vertikal abwärts gerichtet, sodaß S — o wäre; so hätte man ebenfalls tsn§ P — o, also P — o, sodaß auch hier der Spiegel der Flüssigkeit horizontal bliebe. in einem bewegten Gefäße. 351 Der hydraulische Druck in der Tiefe L unter der Oberfläche würde und der Gesammtdruck gegen das Gefäß in vertikaler Richtung abwärts würde . sein. Wenn bei der letzteren Bewegung ^ — s oder 17 — A« -i- eonst. wäre, d. h. wenn das Gefäß mitsammt der Flüssigkeit durch die Wirkung der Schwere frei herabfiele; so würde p — ?? und der Gesammtdruck der Flüssigkeit gegen das Gefäß — o sein, wie man ^ prioli einsehen konnte. Die letzteren vertikalen Bewegungen würden sich herausstellen, wenn das Gefäß vermittelst eines über Rollen geleiteten Fadens mit einem frei herabhängenden schweren Körper verbunden wäre. Unter Vernachlässigung der St'eifig- keit und des Gewichtes des Fadens, sowie der Reibung an den Zapfen der Rollen sei VV, wie vorhin, das Gewicht der im Gefäße enthaltenen Flüssigkeit, das Gewicht dieser Flüssigkeit mitsammt dem Gefäße, IV, das Gewicht des am anderen Ende befestigten Körpers. 17 die Geschwindigkeit des Gefäßes oder des letzteren Körpers am Ende der Zeit t. Die lebende Kraft des ganzen Systemes am Ende der Zeit r ist ^ ^ 2 . ^ hie ^hende Kraft, welche das System 352 z. 125. Oberfläche und Druck einer Flüssigkeit ...... - . ck/IV.-f-VV,^ „„.„IV.-I-VV, inderZettckt gewinnt, 2I7ckI7—^—- - Die während derselben Zeit von der Schwere verrichtete Arbeit ist aber Zi (VVz—W,) Dckr, jenachdem IVz> oder < VV, ist, also die Bewegung des Gefäßes aufwärts oder abwärts erfolgt, da während dieser Zeit ein jedes der beiden Gewichte den Raum IM durchläuft. Nach dem Prinzipe der lebenden Kräfte, 8. 54, hat man also XV -l-VV I7ckI7 N7,)I76t oder . IV^-IV, ltk "VV2Z-W, ' Substituirt man diesen Werth von ^ in die Formel (549), indem man zugleich beachtet, daß gleichzeitig mit dem oberen Zeichen IVz^IV,, ^—180", «os^— — 1 und mit dem unteren Zeichen VVz . 2 VV 2 Ebenso wird der Gesammtdruck gegen das Gefäß in vertikaler Richtung abwärts nach der Formel (551) 2VV2 VV2Z-VV, IV. Wenn VVz -0 ist, also wenn das Gefäß ^,86 frei herabfällt; so ist p —?? und der Gesammtdruck — 0 , ein Resultat, welches vorhin schon erhalten ist. Wenn das Gewicht IV 2 im Vergleich zu IV, ungemein groß ist, sodaß man die letztere Größe gegen die erstere vernachlässigen kann; so hat man p—->'-j-2ro/r und für den Gesammtdruck der Flüssigkeit den Werth 2IV. Das Gefäß bewegt sich alsdann aufwärts, indem es in jeder Sekunde die Geschwindigkeit erlangt. in einem bewegten Gefäße. 353 Da sich auf die Massenteilchen der Gefäßwände, was den Gesammtdruck dieser Wände nach unten betrifft, ganz dieselbe Betrachtung anwenden läßt, wie sie vorhin bei den Massenteilchen der in dem Gefäße enthaltenen Flüssigkeit zur Anwendung gekommen ist; so leuchtet ein, daß die Masse des Gefäßes mitsammt der Flüssigkeit einen Druck gleich 2VV,XV, Wr-f-VV. vertikal nach unten ausüben, daß mithin der Faden, an welchem das Gefäß hängt, mit einer diesem Drucke gleichen Kraft gespannt sein wird. Endlich wird noch bemerkt, daß wenn die geradlinige Bewegung 6 des Gefäßes, in welcher Richtung sie auch erfolge, gleichförmig ist, diese Bewegung weder auf die Gestalt und Richtung der freien Oberfläche, noch auf die inneren Pressungen, noch auf den Gesammtdruck gegen das Gefäß Einfluß hat, indem alsdann ^ —o, folglich tanZ P — o, P — o p — und der Gesammtdruck — VV wird. Dieses Resultat war vorauszusehen, da eine gleichförmige Bewegung eines Körpers durchaus nicht von der Anwesenheit einer fremden bewegenden Kraft zeugt, und einem Zustande des Gleichgewichtes entspricht. §. 126. Ausfluß aus einem Gefäße, welches mit veränderlicher Geschwindigkeit in einer geraden Linie bewegt wird. Nehmen wir an, das im vorhergehendenParagraphe betrachtete Gefäß besitze eine Ausflußöffnung 60, aus welcher die Flüssigkeit entströmen 23 354 h. 126. Ausfluß aus einem bewegten Gesäße. Gl. (SS2) kann. Ist nun ab der nach jenem Paragraphe bestimmte freie Oberspiegel der Flüssigkeit; so hat man gesehen, daß ein jedes Maffen- tbeilchen in einer auf ab perpendikular stehenden Richtung dergestalt drückt, wie wenn es von einer Kraft beseelt wäre, welche im Stande ist, der Materie in der genannten Richtung und in der Zeiteinheit die Geschwindigkeit mitzutheilen. Hiernach würde man die in den früheren Paragraphen dieses Abschnittes über die Bewegung einer Flüssigkeit in einem Gefäße angestellten Betrachtungen, sowie die daraus gefolgerten Resultate auch auf den vorliegenden Fall in Anwendung bringen können, sofern nur die Bewegung des Gefäßes gleichförmig veränderlich, also konstant und mithin auch die Richtung und Stärke der in die Flüssigkeit wirkenden Kraft konstant wäre. Man brauchte sich alsdann nur zu denken, die Schwere, welche bei jenen früheren Untersuchungen als die einzige bewegende Kraft angenommen wurde, ändere ihre Richtung aus der vertikalen in die auf dem Spiegel ab perpendikular stehende Linie und außerdem ihre Intensität § in um, wodurch denn auch das Gewicht «) der Volumeinheit der ziWgk-i« >» «, ^/ l A)' - -A) <->-» überginge. Bezeichnet also L den perpendikularen Abstand Lk des Mittelpunktes r einer sehr kleinen Ausflußöffnung LZ von der Ebene des freien Spiegels ab, dessen Fläche gleich 0' ist; so hat man, wenn das Gefäß stets bis zum Spiegel ab voll erhalten wird, für die konstante Ausflußgeschwindigkeit V, oder wenn der Spiegel ab allmählig herabsinkt, indem das Gefäß sich leert, für die momentane Ausflußgeschwindigkeit V resp. nach den Gleichungen (302) oder (308) S52, §. 128. Ausfluß aus einem bewegten Gefäße. 355 Es versteht sich von selbst, daß dieser Werth von V die relative Geschwindigkeit der ausströmenden Flüssigkeitstheilchen in Beziehung zu dem Gefäße darstellt, sodaß sLV die Ausflußmenge in der Zeiteinheit ist, und daß sich die absolute Geschwindigkeit jener Theilchen in Beziehung zu dem Raume, in welchem sich das Gefäß bewegt, ergibt, wenn man die beiden Geschwindigkeiten 17 und V nach dem Prinzipe des Parallelogrammes der Geschwindigkeiten zusammensetzt. Für ein Gefäß, welches auf einer glatten geneigten Ebene, deren Neigungswinkel gegen den Horizont — ^ist, frei hinabgleitet ^ würde nach dem vorhergehenden Paragraphe ^ —Asiai, und S-^90« — also die Ausflußgeschwindigkeit V — 2§2 co» ^ sein. Wird das Gefäß in vertikaler Richtung auf- oder abwärts bewegt, in welchen Fällen der Spiegel horizontal bleibt; so hat man worin das obere Zeichen für die aufwärts und das untere Zeichen für die abwärts gerichtete Bewegung zu nehmen ist. Bezeichnet auch hier XV, das Gewicht der Flüssigkeit mit dem Gefäße und XV, ein anderes Gewicht, welches mit dem Gefäße durch einen über Rollen geleiteten Faden verbunden ist; so kann die vorstehende Formel für beide Fälle geschrieben werden XV,-s-XV Wenn IV,—o ist, oder wenn das Gefäß frei herabfällt; so ist V —o; es fließt alsdann keine Flüssigkeit aus. Wenn das Gewicht XV, gegen XV, ungemein groß ist, sodaß letzteres gegen ersteres verschwindet; so wird V —V 4A2. Die Ausflußgeschwindigkeit in diesem Falle, wo sich das Gefäß so rasch vertikal aufwärts bewegt, daß dasselbe in der Zeiteinheit die Geschwindigkeit § erlangt, verhält sich zu der Ausflußge- 356 r. 127. Oberfläche und Druck In einem Gefäße, schwindigkeit im Zustande der Ruhe bei gleicher Druckhöhe, wie I /"2 : 1 . Wenn die Bewegung des Gefäßes gleichförmig, also v ist; bleibt der Spiegel horizortal und die Ausflußgeschwindigkeit wie im Zustande der Ruhe. 8. 127. Gestalt der freien Oberfläche und Druck einer Flüssigkeit in einem Gesäße, welches mit gleichförmiger Winkelgeschwindigkeit um eine vertikale Are gediehet wird. Das Gefäß ^800, in welchem sich die Flüssigkeit «OMO befindet, werde mit der gleichförmigen Winkelgeschwindigkeit rr um die vertikale Are Lk herumbe- wegt, und die gesammte Flüssigkeit nehme an dieser Bewegung Theil. Es leuchtet ein, daß sich die Flüssigkeit in dem Gefäße in einem Zustande des Gleichgewichtes befindet, welcher durch die Bedingung zu bestimmen ist, daß auf ein jedes Theilchen M der Flüssigkeit von der Masse m 1) in vertikaler Richtung UM die Schwere wirkt, welche der Materie in der Zeiteinheit die Geschwindigkeit §- mitzutheilen strebt; 2) in horizontaler Richtung KAI die Zentrifugalkraft, welche aus der Bewegung des Theilchens Ml in einem Kreise vom Halbmesser AM hervorgeht. Bezeichnet man diesen Halbmesser AM oder den Abstand des Theilchens von der Nm- drehungsare mit so ist die Geschwindigkeit dieses Theik- chcns in dem Umfange des fraglichen Kreises gleich «?/. Nach bekannten Gesetzen der Mechanik wirkt die Zentrifugalkraft in der Richtung UM mit einer Intensität, welche der Ma- Gl. (SSL) welches um eine vertikale Axe gedrchct wird. 337 terie in der Zeiteinheit die Geschwindigkeit mitzutheilen vermag. Stellt nun UM die"Intensität § der Schwere, UM die Intensität der Zentrifugalkraft und (jM die Resultante Beider dar; so folgt aus 8. 6, daß das fragliche Gleichgewicht nur bestehen kann, wenn die Oberfläche «O-, sowie alle Flächen von gleichem Niveau, in jedem Punkte auf der Richtung tzM normal stehen. Ist daher «6LVV ein vertikaler Durchschnitt der ganzen Masse, eine Tangente im Punkte M an der Kurve «6L und —y,, ferner die von 6 aus in der Vertikalen OL gemessene Abszisse LM des Punktes »I gleich .r, während IMl—i, ist; so muß man, da P ist, . tzk um tUNFP — . oder da tunZP —UM—KM—rr-z, ist, —_Z- haben. Hieraus folgt ,/^r,— -E. und durch Integration, da gleichzeitig 2 — 0 , 0 sein muß, »2 —....(553) Man sieht also, daß die freie Oberfläche und auch jede Fläche von gleichem Niveau ein Umwälzungsparaboloid darstellen wird, dessen in der Vertikalebene liegende erzeugende Parabel a6L den Parameter ^ besitzt und ihren Scheitel o in der Umdrehungsare LU hat. Der in irgend einem Punkte » der Flüssigkeit herrschende Druck P auf die Flächeneinheit findet sich nach Anleitung des 8s 4 leicht, wenn man von 8 die Vertikale 8M — 2 bis zum 388 §. 128. Ausfluß aus einem Gefäße, Gl. (55-1) freien Spiegel «6b zieht, und alsdann die Kraft welche in §. 4 mit / bezeichnet ist, während daselbst auch 188 — 9 war, in ihre Komponenten /cos9 und /sin9 resp. parallel und perpendikular zur Richtung 188 zerlegt und alsdann /eos 9 — 818 — A in Gl. (11) substituirt. Dies ergibt, wenn p' den auf der freien Oberfläche ruhenden atmosphärischen Druck bezeichnet, oder da gleich dem Gewichte «> der Volumeinheit der Flüssigkeit ist, p—p'-sirvr .... (554) Hieraus folgt, daß die im Punkte 8 herrschende Pressung dieselbe ist, welche in einer vollkommen ruhenden Flüssigkeit in der Tiefe 188 —- unter der horizontalen Oberfläche stattfinden würde. Es versteht sich auch hier von selbst, daß wenn vertikal über dem Punkte 8 der Spiegel der Flüssigkeit nicht frei ist, die Höhe - bis zu der erweiterten Oberfläche des Umwälzungspara- boloides zu rechnen ist, wovon der freie Spiegel einen gewissen Theil bildet. Da dem Theilchen N diametral gegenüber ein anderes liegt, auf welches die Zentrifugalkraft mit derselben Stärke und in derselben geraden Linie, nur nach entgegengesetzter Seite wirkt; so folgt, daß wenn das Gesäß in Beziehung zu zwei durch die Are Lk gehenden vertikalen Ebenen symmetrisch ist, die Resultante der aus der Zentrifugalkraft hervorgehenden Pressungen auf die ganze Flüssigkeit — o sein wird, sodaß sich alsdann derGesammt- druck der Flüssigkeit gegen das Gefäß nur in der vertikalen Richtung der Schwere äußert und gleich dem Gewichte VV der ganzen flüssigen Masse ist. 8. 128. Ausfluß einer Flüssigkeit aus einem Gefäße, welches mit gleichförmiger Winkelgeschwindigkeit um eine vertikale Are gedrehet wird. welches um eine vertikale Axe gediehet wird. 3SV « Die enge Röhre ^LI)0, in welcher sich am Ende der Zeit k eine gewisse Quantität Flüssigkeit in der Lage «öeio befindet, werde mit gleichförmiger Winkelgeschwindigkeit » um die vertikale Are I-? gedrehet. Behalten wir ganz die Bezeichnungen des §s 55 und besonders die des §s 57 bei und nennen nur noch N den horizontalen Abstand etz irgend eines Punktes e der Are der Röhre, wo der Querschnitt — w genommen ist, von der Umdrehungsare L,k>, y', z," resp. diese Abstände für die Punkte e und in welcher die Are der Röhre die obere und untere Endfläche der Flüssigkeit durchschneidet. Es ist hierbei gleichgültig, ob die Are der Röhre in einer vertikalen oder in einer anderen Ebene liegt, oder ob dieselbe vielleicht gar eine Linie doppelter Krümmung ist. Mit Bezugnahme auf den vorhergehenden Paragraph, wirkt auf die Materie der bei liegenden sehr dünnen Querschicht der Flüssigkeit die Schwere in der vertikalen Richtung pe mit der Intensität A und die Zentrifugalkraft in der horizontalen Richtung r'L mit der Intensität Bezeichnet man die Resultante -e aus beiden mit / und den Winkel, welchen die Letztere mit der Are der Röhre oder mit deren Tangente im Punkte x einschließt, mit S; so hat man die in die Richtung dieser Tangente fallende Komponente /eosS- in das entsprechende Glied k/tvweosd'tk« der Gleichung (234) einzuführen. Bezeichnet man aber vorläufig den Neigungswinkel der Vertikalen p« gegen die fragliche Tangente mit also den Neigungswinkel der Horizontalen re gegen dieselbe Tangente mit 90»—s'; so ist offenbar (-L)oosö —(px)e08ö'->-(»'k)«'N^', d' i. 380 i. 128. Ausfluß aus einem Gesäße, Gl. (536) Jetzt ist eosS' —^-und sin^'—mithin Durch Substitution dieses Werthes wird das obige Glied, weil auch ^ ist, — rv /vw«kr L' , «^ro Z' , -s- oder da «w konstant —VK ist, ^tVeaLos^cks —VKeo H-"— -1 Hieraus erkennt man leicht, daß die Formeln (241), (243) und die daraus gefolgerten Resultate auch für den gegenwärtigen Fall Gültigkeit behalten, wenn man statt des darin vorkommenden Gliedes ro(r" — r') das Glied W ^(r"—r*)-s- ^ (N"2 — N' 2 )^ einschaltet. Enthielte z. B. die Röhre keine plötzlichen Erweiterungen oder Verengungen, und würde auf die Reibung der Flüssigkeit an den Röhrenwänden keine Rücksicht genommen; so hätte man statt der Gl. (243) p'-r>"-s-«, ^(-»--')-i-^(r,"2-^ --- womit Eine der beiden Gleichungen O'cks' —KVäti 0"ck«"-KVckt) . . . (556) zu verbinden ist. Gl. (SSS) welches um eine vertikale Axe gedrehet wird. 361 Wenn sich die Flüssigkeit aus dem untersten Querschnitte OD der Röhre ergießt, während der obere Spiegel stets auf konstanter Höhe H.K erhalten wird, und wenn der Ausfluß den Zustand der Beharrlichkeit angenommen hat; so ist O' konstant, Os" konstant —8, /-o, konstant --2, »/ konstant —V, U" konstant —V" und ^ — o. Hierdurch wird die vorstehende Gleichung (555) woraus für die Ausflußgeschwindigkeit V, mit welcher die Flüssigkeit aus dem Gesäße strömt, . (557) folgt. Wenn p" ist; so wird V-- / —^^ -Mtz) V 1 —— 0'2 und wenn gleichzeitig die Ausflußöffnung im Vergleich zu dem Oberspiegel O' ungemein klein wäre, V — §H-s-^(V"?-V'-)^ .... (559) Die vorstehenden Werthe der Ausflußgeschwindigkeit V hängen nur von dem vertikalen Abstände 2 der beiden Endpunkte der Röhrenare und von den Abständen V und V" dieser beiden Punkte von der vertikalen Umdrehungsare, sonst aber durchaus nicht von der übrigen Gestalt der Röhre ab. Zst nun ein Gefäß von ganz beliebiger Gestalt, mit 3Ü2 r. 128. Ausfluß aus einem Gefäße, einer im Vergleich zu dem oberen Querschnitte sehr kleinen Ausflußöffnung 6 V, aus welcher sich die im Gefäße befindliche und stets auf der Höhe t^68 erhaltene Flüssigkeit ergießt; so wird, wenn dieses Gefäß mit gleichförmiger Winkelgeschwindigkeit rr um die vertikale Are 88 gedrehet wird, zuvörderst der Spiegel ^68 sehr nahe die Form des im vorigen Paragraph beschriebenen Umwälzungsparaboloids annehmen. Denkt man sich jetzt, die im Beharrungszustande begriffene Flüssigkeit ergieße sich in lauter Fäden von ungemein kleinen Dimensionen; so sei AlN irgend Einer dieser Fäden. Der vertikale Abstand der beiden Endpunkte IVl und N sei - und die horizontalen Abstände dieser beiden Punkte von der Umdrehungsare 88 seien resp. U' und Z"; ferner sei der vertikale Abstand der beiden Punkte 6 und N gleich 2. Nach Gl. (553) hat man hier N"--^(--L) oder mithin auch r,"'- Hiernach wird die Geschwindigkeit der Theilchen des Fadens IVM bei welche nach Gl. (559) sein würde, V — Diese Geschwindigkeit variirt also für die verschiedenen Fäden VIN nur insofern, als für dieselben der unterste Endpunkt N nicht derselbe ist, und nach und nach alle verschiedenen Örter der Ausflußöffnung 6 V annehmen kann. Wenn jedoch diese Öffnung nicht zu nahe unter dem oberen Spiegel der Flüssigkeit I Gl. (380) welches um eine vertikale Axe gcdrehet wird. zgz liegt; so kann man ohne bemerkbaren Fehler für X den vertikalen Abstand des Mittelpunktes von 00 unter dem Punkte O und für den horizontalen Abstand V desselben Mittelpunktes der Umdrehungsare 00 substituiren, und alsdann für die allen Theilchen der Flüssigkeit in der Ausflußöffnung zukommende relative Ausflußgeschwindigkeit ....(560) setzen. Wäre der Oberspiegel des um eine vertikale Are 00 ge- dreheten Gefäßes 000 v nicht frei, sondern das ganze Gefäß gefüllt, indem die Flüssigkeit z. B. aus einem darüber stehenden Behälter in das untere Gefäß geleitet würde; so hätte man offenbar für die Ausflußgeschwindigkeit durch die Hffnung bei 0 die Formel in Anwendung zu bringen, worin L die Tiefe der Öffnung 0 unter dem höchsten Punkte 0 der Umdrehungsare im Gefäße, V den horizontalen Abstand der Öffnung 0 von der letzteren Are, den im Punkte 0 stattfindenden hydraulischen Druck auf die Flächeneinheit und p" den äußeren atmosphärischen Druck, welcher gegen die Ausflußöffnung wirkt, bezeichnet. Setzt man aber die Höhe O O des Spiegels im oberen Behälter über dem Punkte 0 gleich A,, und beachtet, daß auch auf dem Spiegel ^8 der atmosphärische Druck ruhet; so ist p- —also ^-^— — 2,, folglich die relative Ausflußgeschwindigkeit bei 0 -s-....(561) Wenn die Ausflußöffnung 0 bei der letzteren Anordnung gar nicht vorhanden wäre, und man dächte sich ein Umwälzungs- 1 364 j. 12S. Gleichgewicht einer Flüssigkeit in einem Gesäße, Gl. (362) paraboloid konstruirt, dessen Scheitel in L und dessen Are in 80 läge, dessen Gleichung aber nach §. 127 Gl. (553) wäre; so würde nach Gl. (554) den hydraulischen Druck darstellen, welcher in irgend einer vertikalen Tiefe MN—r unter jenem Paraboloide herrscht. Hierin ist ebenfalls der Druck bei L, also —demnach auch p"-i-w(r-I-Li), worin p" den atmosphärischen Druck darstellt. Denkt man sich das ebenerwähnte Paraboloid vertikal in die Höhe gerückt, sodaß sein Scheitel 8 in den horizontalen Spiegel ^8 des oberen Gefäßes in 6 fällt, auch lXAl bis N, verlängert; so ist — IM-j-86—r-s-Li, und wenn man daher iM, mit r, bezeichnet, p—.... (562) §. 129. Gleichgewicht einer Flüssigkeit in einem Gefäße, welches mit gleichförmiger Winkelgeschwindigkeit um eine horizontale Are gediehet wird. Angenommen, das Gefäß in welchem sich die Flüssigkeit befindet, werde mit der gleichförmigen Winkelgeschwindigkeit w um die horizontale Are 6 gediehet. Die Flüssigkeit wird bei dieser Bewegung zwar nicht im vollkommenen Zustande des Gleichgewichtes verharren, und wird nach und nach ihre Lage im Gefäße ändern: allein wenn man von diesen unbedeutenden Seitenschwankungen abstrahirt; so wird man die Gestalt des freien Spiegels «Md in der Lage ^ des Gefäßes sehr nahe durch die Bedingung bestimmen können, daß unter den momentan auf die Flüssigkeit wirkenden Kräften Gleichgewicht bestehe. Ist nun AI irgend ein Theilchen der Flüssigkeit von der Masse m und r- dessen Abstand >10 von der Umdrehungsare 6; so wirkt auf dieses Theilchen 1) in vertikaler Richtung die Schwere mit einer Jntensi- welches um eine horizontale Are gedrehet wird. 385 tät, welche der Materie in der Zeiteinheit die Geschwindigkeit mitzutheilen strebt; 2) in der Richtung 6AI die Zentrifugalkraft, welche der Materie im Punkte AI in der Zeiteinheit die Geschwindigkeit mitzutheilen str^t, indem die absolute Geschwindigkeit des Theilchens AI in der Richtung des Kreisumfanges vom Halbmesser 6N—^ gleich ist. Ist also PAl— liegt, ein Fall, der dann gewöhnlich eintritt, wenn die Flüssigkeit mehr, als die Hälfte des Gefäßes einnimmt. Läge 0" über v, ein Fall, der ebenso möglich ist, und besonders dann eintritt, wenn die Flüssigkeit weniger, als die Hälfte des Gefäßes ausfüllt; so kann für Umdrehungsgeschwindigkeiten, welche > aber sind, die Flüssigkeit nicht bloß zum Theil gegen die obere und zum Theil gegen die untere Seite des Gefäßes gepreßt werden, sondern sie kann auch entweder ganz und gar gegen die obere oder ganz und gar gegen die untere Seite des Gefäßes gedrückt werden. Wäre das Gefäß z. B. ein rechtwinkliges Parallelepipedum von der Breite Lk--:» und der Höhe L, dessen Mittelpunkt 6 um 06 —R von der horizontalen Umdrehungsare absteht und von welchem das »fache seines Volums durch die Flüs- 388 12g. Gleichgew. einer Fl. in e. Gcf., welches um e. hör. Axe gedrehet wird. sigkeit eingenommen wird; so wird der Radius der Zylinderfläche, welche die Flüssigkeit begrän- zen soll, nie kleiner sein können, als weil alsdann der halbkreisförmige Spiegel oder der Flüssigkeit die Seitenwände und kk des Gefäßes berührt. Hiernach findet man leicht, wenn man beachtet, daß die Fläche oder ^a"e"ö"L —mrrö sein muß, 6V< - L'---k Z-^ «Z- (u- b, 60"^R"^K- ^ K- (rr — Ist nunalso so wird die Flüssigkeit unbedingt den unteren Theil des Gefäßes in dessen höchster Lage füllen, wenn u< / -2-- ist, und unbedingt den oberen Theil, wenn Wäre dagegen -^-«-s-7rö<-^-, also K">KZ so wird die Flüssigkeit unbedingt den unteren Theil des Gefäßes in dessen höchster Lage füllen, wenn rr< / - - ist, und unbedingt den oberen Theil, wenn ist. Bei den beiden größeren Werthen von u würde also die Flüssigkeit nicht aus dem Gefäße herausfallen, selbst wenn das Letztere bei Lk gar keinen Boden besäße. Ende des ersten Theile». 6snc! 7si> /Vufl. 1 O c: oa S 14 A « «11 q ! LI ^SS^NL »HZl 342SS ' ». ^ L t' ?" WMW^>Wi 's V: '.! ZÄ"A xH i/.L »v f./ /tz/> Die Prinzipien der Hydrostatik und Hydraulik. Von H. Scheffler. Zweiter Dand. Mit über »00 in den Text eingedruckten Holzschnitten. Braunschweig, Verlag der Hofbuchhandlung von Eduard Lei brock. 1847 . Inhalt -es zweiten Theiles. Messung des Wassers in den Speise- und Vertheilungsbehäl- tern der Wasserleitungen. h- Seite 130. Gewöhnliches Verfahren bei der Messung des Wassers in den Speise- und Verheilungsbehältern. 1 131. Bestimmung des Werthes des Wafferzolles. 3 Bewegung des Wassers in Röhrcnleitungcn. >32. Reibung einer schweren unprcßbaren Flüssigkeit an den Wänden einer engen Röhre. 5 >33. Allgemeine Gleichungen für die beharrliche Bewegung des Wassers in Röhrenleitungcn, unter Berücksichtigung des Widerstandes der Reibung an den Röhrenwänden. 9 134. Fall, wo der untere Behälter nicht vorhanden ist, und die Röhre mit voller Öffnung in die freie Luft ausmündet; und wo außerdem die Röhre sowenig, wie das obere Gefäß, plötzliche Quer- schnittsveränderungen enthält, auch bei der Einmündung in die Röhre keine Kontraktion stattfindet.16 135. Fall, wo unter den übrigen Voraussetzungen des vorhergehenden Pa- ragraphs das Wasser mit Kontraktion in die Röhre tritt . . 21 136. Widerstand, welchen das Wasser bei dem Durchgänge durch Scheidewände, plötzliche Erweiterungen und Verengungen in der Lei- tungßröhre erfährt.25 137. Widerstand, welchen das Wasser bei dem Durchgänge durch Ventile und Hähne in der Leitungsröhre erleidet.. . 31 13dl. Widerstand, welchen das Wasser bei dem Durchgänge durch die in den Röhrenleitungen etwa vorkommenden Kniee erfährt ... 39 139. Widerstand, welchen das Wasser bei dem Durchgänge durch die in den Röhrenleitungen etwa vorkommenden Krümmungen erleidet 42 140. Fall, wo die Leitungsröhre durch ein Mundstück in die freie Lust ausmündet.. 44 141. Fall, wo die Leitungsröhre unter dem Spiegel eines unteren Behälters ausmündet. .47 142. Höhe der springenden Strahlen, welche durch Röhrenleitungen gespeis't werden.48 Bewegung des Wassers in offenen Kanälen und Flußbetten. 143. Bestimmung der Flächen von gleichem Niveau und des hydraulischen Druckes in einem Wasserstrome, welcher mit gleichförmiger Geschwindigkeit in einem Flußbette von konstantem Gefälle herab- gleitet.51 IV H. Seite 144. Allgemeine Gleichung für die beharrliche Bewegung des Wassers in einem offenen Flußbette.58 145. Beharrliche und in allen Punkten gleiche Bewegung eines Wasser- stromes in einem Bette von konstantem Gefälle und konstantem Querprosile. — Natürlicher Zustand des Stromes.65 146. Beharrliche, aber in den verschiedenen Querschnitten ungleiche Bewegung eines Wafferstromes in einem Bette von konstantem Gefalle 67 147. Betrachtungen über die Figur des oberen Spiegels eines Wafferstromes, welche aus den Gleichungen des vorhergehenden Para- graphs folgen.71 148. Anwendung der früheren Formel» auf ein ganz unregelmäßiges Flußbett .86 149. Veränderungen der Geschwindigkeit der Waffertheilchen in den verschiedenen Punkten Ein und desselben Querschnittes .... 87 Wirkung der Stauwerke in einem Wasserstrome. 150. Begriff und Ursache des Staues. gl 151. Stauhöhe unmittelbar vor der Öffnung eines Schützbrettes. — Erster Fall; wenn die Schützöffnung ganz vom Spiegel des Unterwassers bedeckt ist.92 152. Zweiter Fall; wenn die Schützöffnung frei in die atmosphärische Lust ausmündet.9g 153. Dritter Fall; wenn ein Theil der Schützöffnung von dem Spiegel des Unterwassers bedeckt ist .. 97 154. Stauhöhe unmittelbar vor einem Überfalle oder überhaupt vor einem verengte» Querschnitte, welcher nach oben offen ist.99 155. Fall, wo der Querschnitt des Stromes, wie bei Brückenöffnungen, nur von den Seiten eingeengt ist.101 156. Fall, wo der Spiegel des Unterwassers tiefer liegt, als die Sohle des Überfalles.102 Vom Stoße eines isolirten Strahles einer schweren unpreß- baren Flüssigkeit. 157. Allgemeine Betrachtungen über den Stoß eines flüssigen Strahles gegen einen starren Körper.104 158. Stoß eines flüssigen Strahles gegen eine bewegte Fläche, wenn derselbe bei dem Stoße seine ganze relative Geschwindigkeit in Beziehung zur Fläche verliert.111 159. Stoß eines flüssigen Strahles gegen eine bewegte Fläche, durch welche derselbe in einer gewissen Richtung abgelenkt wird, an der Fläche hingleitet und mit seiner relativen Eintrittsgeschwindigkeit auch wieder austritt.HZ 160. Gerader Stoß eines flüssigen Strahles gegen eine um die Axe des Strahles symmetrische Fläche, an welcher derselbe hingleitet und dann wieder abfließt. 115 161. Schiefer Stoß eines flüssigen Strahles gegen eine ebene Fläche, wenn derselbe gezwungen ist, in zwei direkt entgegengesetzten Richtungen abzufließen.117 162. Schiefer Stoß eines flüssigen Strahles gegen eine ebene Fläche, wenn derselbe Freiheit hat, sich nach allen Seiten über die Fläche zu verbreiten und abzufließen.121 V H. Seite VomStoße undWiderstande einer unbestimmt begränzten unpreßbaren Flüssigkeit. 163. Allgemeine Bemerkungen über den Stoß und den Widerstand einer unpreßbaren Flüssigkeit .128 164. Richtung der StromfLden um einen Körper, welcher dem Stoße oder Widerstände einer Flüssigkeit ausgesetzt ist.128 165- Bestimmung des Gesammtstoßes oder Gesammtwiderstandcs einer unbestimmt begränzten Flüssigkeit gegen eine» starren Körper . . 1Z2 166. Gerader Stoß und Widerstand des unbegränzten Wassers gegen dünne ebene Flächen bei geradliniger und gleichförmiger Bewegung . 137 167. Gerader Stoß und Widerstand des unbegränzten Wassers gegen prismatische Körper.138 168. Schiefer Stoß des bewegten Wassers gegen eine dünne ebene Fläche 139 169. Widerstand des ruhenden Wassers gegen eine in schiefer Richtung geradlinig bewegte dünne ebene Fläche.140 170. Widerstand des unbegränzten ruhenden Wassers gegen einen geradlinig bewegten Körper, dessen Wordertheil durch eine krumme konvexe Oberfläche begränzt ist.141 171. Widerstand des ruhenden Wassers gegen eine geradlinig bewegte Kugel.145 172. Widerstand des ruhenden Wassers gegen einen in der Richtung seiner Axe bewegten Kegel.146 173. Widerstand des ruhenden Wassers gegen einen geraden Zylinder mit kreisförmiger Basts, welcher sich perpcndikular zu seiner Axe bewegt .147 174. Widerstand des ruhenden Wassers gegen einen Keil, dessen Schärfe voranschreitct. 148 175. Widerstand des ruhenden Wassers gegen einen geradlinig bewegten Körper, dessen Vordertheil durch eine konkave Umwälzungsfläche begränzt ist.149 176. Widerstand des ruhenden Wassers gegen einen im Kreise gleichförmig herumbewegten Körper.151 177. Widerstand des ruhenden Wassers gegen schwimmende Körper . . 156 178. Widerstand des ruhenden Wassers in einem engen Kanale gegen einen schwimmenden Körper.159 Messung der Ausflußmenge und der Geschwindigkeit des Wassers in offenen Flußbetten. 179. Direkte Messung der Ausflußmenge in einem offenen Flußbette . . 161 180. Geschwindigkeitsmeffungen mittelst Schwimmer.168 181. Geschwindigkeitsmeffungen mittelst Instrumente, an welchen die statische Wirkung des Stoßes der Flüssigkeit zur Anwendung gebracht wird.174 182. Geschwindigkeitsmeffungen vermittelst Instrumente, an welchen die dynamische Wirkung des Stoßes der Flüssigkeit zur Anwendung gebracht wird.Igt IH. Die Bewegung der schweren elastischen Flüssigkeiten. 183. Transformation der allgemeinen Gleichungen (234) und (235) für den Fall, daß die in einer engen Röhre sich bewegend- Flüssigkeit schwer und vollkommen elastisch sei. 1 g 4 VI tz. Seite 184. Allgemeine Gleichungen für die Bewegung einer elastischen Flüssigkeit im Beharrungszustande.189 Bewegung einer schweren elastischen Flüssigkeit aus einem Gefäße, welches keine plötzlichen Querschnittsveränderungen enthält, im Beharrungszustande. 185. Beharrlicher Ausfluß einer elastischen Flüssigkeit aus einer Röhre, welche keine plötzliche Erweiterungen oder Verengungen enthält . 193 186. Ausfluß einer elastischen Flüssigkeit aus einem Gasometer im Beharrungszustande . . . 197 187. Kontraktion des flüssigen elastischen Strahles und Ausfluß aus Öffnungen in dünnen Wänden.199 188. Nähere Betrachtung des beharrlichen Ausflusses einer elastischen Flüssigkeit, wenn der äußere Druck ungemein schwach oder gar gleich null ist.202 Bewegung einer unvollkommen elastischen Flüssigkeit im Beharrungszustande. 189. Gleichung für den beharrlichen Ausfluß einer unvollkommen elastischen Flüssigkeit.206 190. Beziehung zwischen der Ausflußgeschwindigkeit einer unvollkommen elastischen Flüssigkeit und der vertikalen Höhe eines Prismas dieser Flüssigkeit, welches von oben unter dem Drucke erhalten wird.214 191. Muthmaßliche Werthe der Koeffizienten L und e für atmosphärische Luft 218 Erfahrungen und praktische Formeln für den Ausfluß elastischer Flüssigkeiten unter bedeutenden Pressungs-Differenzen. 192. Erfahrungen von Barre de Saint-Venant und Wantzel .... 224 Ausfluß einer schweren vollkommen elastischen Flüssigkeit aus einem Gesäße, welches sich allmählig leert. 193. Gleichungen für den Ausfluß einer elastischen Flüssigkeit durch eine sehr kleine Öffnung aus einem sich leerenden Gefäße .... 227 194. Ausfluß einer elastischen Flüssigkeit aus einem Gefäße, welches sich leert, in ein Gefäß, welches sich füllt.231 Bewegung einer schweren elastischen Flüssigkeit in einem Gefäße, dessen Querschnitt sich an einigen Stellen plötzlich ändert. 195. Beharrlicher Ausfluß aus einem Gefäße, dessen Querschnitt sich an gewissen Stellen plötzlich um eine endliche Größe ändert . . . 233 196. Beharrlicher Ausfluß einer elastischen Flüssigkeit aus einem Gefäße, an welchem die Ausflußöffnung mit einer zylindrischen Ansatzröhre versehen ist ..237 Bewegung der elastischen Flüssigkeit in Röhrenleitungen. 197. Reibung einer elastischen Flüssigkeit an den Wänden einer engen Röhre.- - - 241 198 Gleichungen für die beharrliche Bewegung einer elastischen Flüssigkeit in einer Röhrenlcitung.243 199. Beharrlicher Ausfluß einer elastischen Flüssigkeit aus einer Leitungs- röhre, in weiche die Flüssigkeit mit Kontraktion eintritt ... 249 VII ?. Seite 200. Beharrlicher Ausfluß einer elastischen Flüssigkeit aus einer Röhrcnlei- rung, in welcher sich verschiedene Zwischenwände, Erweiterungen und Verengungen, Ventile und Hähne, Kniee und starke Krümmungen befinden.258 201 Geschwindigkeit des Stempels in der Lriebröhre einer atmosphärischen Eisenbahn.266 Vibration einer elastischen Flüssigkeitsfäule. — Fortpflanzung des Schalles in engen Röhren. 202. Allgemeine Gleichungen fü^ die Geschwindigkeit und Dichtigkeit in den verschiedenen Punkten einer bewegten Luftsäule.... 27t 203. Diskussion der allgemeinen Gleichungen des vorstehenden Paragraphs. — Fortpflanzung der Bewegung. — Koexistenz verschiedener Systeme von Bewegungen.277 204. Gleichungen für die Vibrationen einer Luftsäule.282 205. Diskussion der vorstehenden Gleichungen. — Schallbewegungen in der Luft.290 Vom Stoße und Widerstände einer unbestimmt begränzten elastischen Flüssigkeit. 206. Allgemeine Formeln für den Stoß und Widerstand einer elastischen Flüssigkeit gegen starre Körper.302 Bon der Bewegung geworfener Körper in widerstehenden Mitteln. 207- Geradlinie Bewegung cines freien Körpers in einem widerstehenden Mittel.308 208. Horizontale Bewegung eines geworfenen Körpers in einem widerstehenden Mittel.310 209. Geradlinige Bewegung eines geworfenen Körpers in einem widerstehenden Mittel, wenn die stetig in denselben wirkende Kraft konstant ist.313 210- Krummlinige Bewegung eines in der Luft geworfenen schweren Körpers.319 211. Bewegung einer in der Luft geworfenen dünnen ebenen Scheibe . . 325 212. Vertikale Bewegung eines leichten kugelförmigen Körpers unter Berücksichtigung des Auftriebes der Flüssigkeit.335 213. Vertikale Bewegung cines Körpers in der atmosphärischen Luft unter Berücksichtigung der veränderlichen Dichtigkeit der Letzteren . . 340 214. Modifikation der vertikalen Bewegung eines Körpers in einem bewegten Medium.344 Anhang. 215. Werthe einiger wichtigen Zahlen und Größen, sowie Zusammenstellung der Maaßen und Gewichte verschiedener Länder.350 Druckfehler. Ueberall, wo im gegenwärtigen Werke der Werth der Fallgeschwindigkeit am Ende der ersten Sekunde für Berlin zu § — 31,2644 Fuß rheinländisch angegeben ist, lies A — 31,2649 Fuß, welcher letztere Werth der von Bessel beobachteten Pendellänge von 994,2239 Millimeter genauer entspricht, als der erstere, der bona iülle aus Schubarth's physikalischen Tabellen Nro. 24 entnommen ist. (Vergl. die Tabellen im Anhange dieses Werkes.) Seite 3, Zeile 13 von oben lies daß statt wenn vielmehr. » 31 » 10 » » » oder statt 0 der. » 32 » 16 » » Stellt statt ett stellt. 57 * 6 - ' » den Ufern und dem Boden statt den Ufern dem Boden. » 67 ' 12 » ' » 0,0000221 0,0000221 V v , 189 » 11 unten » unverändert statt verändert. 191 9 statt r-"- 2 . 7 ,, co, co. 8 statt «2 7»2 <»2 218 8 rv, p 2 — statt rvl— «>2 Mz—ro> r> 2 —pl 307 » 8 oben » in Pfunden statt Pfunden. » 311 » 8 . unten - Äv ... Äv In einigen Exemplaren steht die Figur auf Seite 70 auf dem Kopfe, und ist wie die gleiche Figur auf Seite 68 zu nehmen. Messung des Wassers in den Speise- und Vertheilungsbehältern der Wasserleitungen. 8. 130. Gewöhnliches Verfahren bei der Messung des Wassers in den Speise- und Vertheilungsbehältern. Bei den Anlagen, welche zum Zwecke haben, Wasser vermittelst Röhren von Einem Orte nach einem anderen zu leiten, kann man über eine gewisse Quantität Wasser verfügen, welche durch natürliche oder künstliche Zuleitung an den ersten Ort, von wo aus die Fortleitung beginnen soll, geführt wird. Es kommt nun zuvörderst darauf an, die in jedem Augenblicke disponibele Quantität des zu »ertheilenden und fortzuleitenden Wassers, welche sich in der Regel mit der Zeit etwas ändert, genau zu bestimmen, und alsdann auch diese Wassermasse stets nach gewissen festgesetzten Verhältnissen unter beliebige Interessenten der Leitung zu vertheilen. Dies geschieht in der Regel auf folgende Weise. II. 1 2 §, ISO. Messung dctz Wassers in den Bcrtheiluiigsbehältern. Man läßt das disponibele Wasser, welches etwa durch eine Steigeröhrc 6l) auf die Höhe bei I) gehoben werde, in einen sogenannten Speiscbehälter treten, welcher innerhalb der Wand liegt. In diesem Behälter befindet sich eine Scheidewand 88, welche entweder nicht ganz bis auf den Boden reicht, oder doch nahe am Boden Durchflußöffnungen besitzt. Das aus der Röhre bei v mit lebhafter Geschwindigkeit sich vor die Wand 88 ergießende Wasser verliert bei dem Durchgänge durch diese Wand seine Geschwindigkeit zum größten Theil und bildet vor der Wand einen ziemlich ruhigen horizontalen Spiegel. In der Wand sind eine große Anzahl gleicher ÖPiungen in derselben Hohe angebracht, welche beliebig geöffnet oder verschlossen werden können. Von diesen Öffnungen öffnet man gerade so viele, daß der Wasserspiegel vor der Wand eine vorher genau bestimmte Höhe annimmt. Ist Dies geschehen; so ergießt sich aus einer jeden der in Thätigkeit gesetzten Öffnungen in derselben Zeit dieselbe genau bekannte Menge Wasser, welche wir mit tz bezeichnen wollen, und man ist im Stande, zu jeder Zeit aus der Anzahl rr der in Thätigkeit begriffenen Ausflußöffnungen auf die Ergiebigkeit der Speiseröhre 60, welche — ntz sein wird, zu schließen. Es ist gebräuchlich, die eben beschriebenen Öffnungen in dünnen vertikalen Platten anzubringen, denselben eine kreisförmige Gestalt von 1 Zoll Durchmesser zu geben, und den Wafferstand vor der Wand dergestalt zu reguliren, daß der Wasserspiegel den höchsten Punkt einer jeden Öffnung eben berührt. Die in einer gewissen Zeiteinheit aus einer solchen Öffnung unter einer gegebenen Druckhöhe sich ergießende Wassermenge nennt man einen Wasserzoll. Durch die vorstehenden Öffnungen, von denen bald mehr, bald weniger geöffnet werden, sodaß die Höhe des Spiegels vor der Wand stets konstant bleibt, fällt das Wasser aus dem Speisebehälter, welcher zwischen den Wänden und 88 liegt. Auch in dem letzteren Behälter befindet sich eine der 88 ganz ähnliche Zwischenwand KIM, durch welche das Wasser am Boden heraustritt, damit es vor der Wand 8K einen ruhigen horizontalen Spiegel bilden kann. In der Wand 88 befinden sich eine bestimmte Anzahl gleicher und in derselben Höhe liegender Öffnun- i- 131. Werth des WafferzolleS. 3 gen, welche stets sämmtlich geöffnet bleiben. Aus einer jeden dieser Öffnungen ergießt sich alsdann immer derselbe aliquote Theil der ganzen zu vertheilenden Wassermasse, wenn auch dieser Theil mit der Höhe des Spiegels vor der Wand kv von Zeit zu Zeit variirt. Die letzteren Öffnungen führen das Wasser endlich in einen Nebenbehälter, in welchem sich für die verschiedenen Interessenten der Leitung die entsprechenden Abtheilungen befinden, aus denen das Wasser in die für diese Interessenten bestimmten Abfallröhren L, L sich ergießt. Es versteht sich von selbst, wenn das disponibele Wasser nicht nach gewissen geometrischen Verhältnissen unter die Interessenten, sondern dergestalt vertheilt werden soll, wenn vielmehr ein jeder Interessent stets dieselbe Ein für alle Mal bestimmte Quantität Wasser erhalten soll, während das übrige Quantum, welches sich mit der Zeit mehr oder weniger ändert, zu einem besonderen Zwecke abgeführt wird, daß sich alsdann in der Wand LL unmittelbar über der zu dem letzteren Zwecke angelegten Abfallröhre mehrere Ausflußöffnungen befinden müssen, welche geöffnet und verschlossen werden können, damit man vermittelst dieser Öffnungen den Wasserstand auch in dem Vertheilungsbehälter dergestalt reguliren kann, daß derselbe über den Öffnungen der Wand LL stets dieselbe Höhe behält. Sollte das durch die Steigeröhre 6V gehobene Wasser bloß gemessen und weitergeleitet, nicht aber nach gewissen Verhältnissen vertheilt werden; so leuchtet ein, daß der eigentliche Vertheilungsbehälter zwischen den Wänden und LL hinwegfällt. 8. 131. Bestimmung des Werthes des Wasserzolles. Um möglichst genau die Ausflußmenge tz zu bestimmen, welche sich in Einer Sekunde aus einer kreisförmigen, in einer dünnen vertikalen Wand befindlichen Öffnung von Einem Zoll Durchmesser ergießt, wenn der davor stehende Wasserspiegel eben den höchsten Punkt der Öffnung berührt, muß man in der Formel tz — msr v, worin Q die Größe der Öffnung, V die Ausflußgeschwindigkeit 4 h, Werth des Wasserzolles. und m den entsprechenden Kontraktionskoeffizienten bezeichnet, für V den aus Gl. (329) sich ergebenden Werth der mittleren Ausflußgeschwindigkeit substituiren, indem der Näherungswerth von V —worin L die Druckhöhe über der Mitte der Öffnung bezeichnet, in dem vorliegenden Falle sich schon merklich von der Wahrheit entfernen möchte. Außerdem hat man zu beachten, daß bei einer so geringen Druckhöhe die Senkung nicht vernachlässigt werden darf, welche der Wasserspiegel vor der Öffnung erleidet. Da diese Senkung ziemlich nahe 1 Linie beträgt; so leuchtet ein, daß man in der Formel (329), wonach V —^2-/^1 ist, 6 Linien, L—7 Linien, also 1024 ( /r ) 6 —1 anzunehmen hat. Substituirt man diesen Werth für den Quotienten setzt darauf aber, um die Geschwindigkeit V pro Sekunde in F u- 7 ßen auszudrücken ^ —^ Fuß und §—31,2644 Fuß; so kommt — 1,7434 (1 - 0,02296—0,00264 - eto.) ---1,7434.0,9744 --1,6987 Fuß. Da nun <2 —(^) -r —0,005454 Quadratfuß ist; so erhält man für den Werth des Wasserzolles pro Sekunde, wenn man den Kontraktionskoeffizienten m, wie Dies im gegenwärtigen Falle in Frankreich jetzt fast allgemein geschieht, —0,7 setzt, tz -- 0,7.0,005454.1,6987 -- 0,006486 Kubikfuß. In der Minute würde die fragliche Öffnung 0,38916 Kubikfuß, in der Stunde 23,3496 — nahezu 23^ Kubikfuß, und demnach in 24 Stunden 560,39 oder nahezu 560 Kubikfuß Wasser liefern. §. 132. Reibung einer Flüssigkeit an den Röhrcnwändcn. 5 Bewegung des Wassers iu Röhrenleitungen. §. 132. Reibung einer schweren unpreßbaren Flüssigkeit an den Wänden einer engen Röhre. Das Wesentliche einer Röhrenleitung besteht darin, daß das in einem oberen Behälter, dem Speise- oder Sammelbehälter, befindliche Wasser in eine Röhre tritt, deren Querschnitt im Vergleich zu ihrer Länge sehr klein ist, daß das Wasser vermittelst dieser Röhre nach einem mehr oder weniger entlegenen Orte geleitet wird und sich alsdann entweder in die freie Luft oder in einen zweiten Behälter ergießt. Man sieht hieraus, daß die gesammte Anordnung einer Röhrenleitung mit den zugehörigen Behältern hinsichtlich der äußeren Form durchaus Nichts darbietet, was nicht unter der allgemeinsten Gestalt der ln den 88. 71 bis 74, 101, 106 und 110 betrachteten Gefäße von beliebiger Form verstanden wäre, daß man also auch die Resultate jener Paragraphe, welche sich vorzugsweise auf die beharrliche Bewegung der Flüssigkeit beziehen, auch ohne Weiteres auf irgend eine Röhrenleitung würde in Anwendung bringen können, wenn man von dem Reibungswiderstande abstrahiren wollte, welchen das Wasser bei dem Durchgänge durch die Leitungsröhre erleidet. Ferner erkennt man, daß wenn die beiden oben erwähnten Behälter nahezu Gefäße mit einer vertikalen Are sind, durch welche sich das Wasser in parallelen Schichten bewegt, wie es in der Praxis fast immer der Fall ist, man unter derselben Voraussetzung, wie vorhin, auf die ganze Leitung die Formeln des §s 58 und alle hieraus gezogenen Resultate anwenden könnte, wenn man darin die der Gestalt dieser Leitung mit Einschluß der Behälter entsprechenden Substitutionen machte. Da jedoch hier, bei der bedeutenden Länge der Leitungsröhre der Widerstand der Röhrenwände gegen die Flüssigkeit so bedeutend wird, daß er nicht ohne merklichen Fehler vernachlässigt werden darf; so sieht man sich genöthigt, zu den allgemeineren Formeln des 8s 57 zurückzukehren, in welchen das dem eben erwähnten Widerstände entsprechende Glied ebenfalls mit berücksichtigt ist. Man hat diesem Widerstände, welchen die Flüssigkeit bei ihrer Bewegung in einer Röhre erleidet, den Namen Reibung 6 i. 132. Reibung einer Flüssigkeit gegeben; jedoch darf man hierbei nicht an das Phänomen der Reibung zwischen starren Körpern denken. Das letztere, welches daraus entsteht, daß sich die unebenen Oberflächen zwier Körper mit ihren Erhabenheiten gegeneinander stemmen und so der Fortbewegung des Einen auf dem anderen ein Hinderniß entgegensetzen, wirkt auch, wenn beide Körper in Ruhe sind und durch eine Kraft in Bewegung gesetzt werden sollen. Ehe diese Kraft einen gewissen Betrag erreicht hat, bleiben beide Körper in der anfänglichen Lage in Ruhe, und die Bewegung erfolgt erst, wenn die bewegende Kraft die fragliche Gränze überschreitet. Eine solche Erscheinung findet bei der Bewegung einer Flüssigkeit in einem röhrenförmigen Gefäße in irgend einem erheblichen Grade nicht statt. Denn sonst müßte, wenn man sich eine umgebogene Röhre mit zwei vertikalen Schenkeln denkt, in denen die Flüssigkeit gleich hoch steht, in den Einen Schenkel eine bestimmte Quantität der Flüssigkeit hinzugegossen werden können, ehe sich der Spiegel in dem anderen Schenkel höbe, auch müßte diese hinzuzugießende Quantität mit der Länge der Schenkel oder der zu bewegenden Masse zunehmen, was Beides nicht der Fall ist, indem die geringste Erhöhung des Einen Spiegels auch eine Erhebung des anderen Spiegels zur Folge hat, wie hoch auch beide Schenkel sein mögen. Inzwischen bemerkt man bei diesem Experimente, daß bei einer sehr geringen Erhöhung des Einen Spiegels sich zuvörderst die Mitte des anderen Spiegels hebt, und dieser Spiegel eine gewölbte Form annimmt, indem die an der Röhrenwand liegenden Theilchcn an derselben zu haften streben. In einer ähnlichen Lage befinden sich sämmtliche horizontalen Querschichten, in welche man sich die Flüssigkeit zerlegt denken kann. Diese Erscheinung rührt von der Adhäsion her, welche die Flüssigkeit gegen die Substanz der Röhrenwände besitzt. Soll nun eine kontinuirliche Bewegung der Flüssigkeit eintreten; so müssen die vermöge der Adhäsion an den Wänden haftenden Theilchen auf die ganze Länge der Röhre stets von der Stelle der starren Wand, an welcher sie sich eben befinden, losgerissen werden, wozu ein gewisser Kraftaufwand erforderlich ist, der umso mehr wächst, je größer die Geschwindigkeit wird, mit welcher Dies geschehen soll. an den Nöhrenwänden. 7 Vermöge der Kohäsion, welche die Flüssigkeit besitzt, werden sich nun die Theilchen, welche den an die Röhrenwand gränzenden zunächst liegen, ebenfalls nur unter der Wirkung einer gewissen bewegenden Kraft von den Letzteren losmachen und sich mit größerer Geschwindigkeit weiterbewegen, als diese, wozu sie doch wiederum durch die Anhänglichkeit an die der Röhrenare zunächst liegenden Theilchen, welche den geringsten Widerstand erfahren, getrieben werden. Adhäsion an die Nöhrcnwände und Kohäsion der flüssigen Theilchen unter sich sind also die Hauptursachen, welche den Widerstand bedingen, der sich bei der Bewegung einer Flüssigkeit durch ein röhrenförmiges Gefäß äußert. Hierzu kommen übrigens noch, vielleicht als ein nicht unwichtiger Theil jenes Widerstandes, die Verluste an lebender Kraft, welche die in Bewegung begriffene Flüssigkeit durch die kleinen Störungen erleidet, die sich in Folge der Unebenheiten der Röhrenwände bei den diesen Wänden nahe liegenden Theilchen einstellen. Es kommt jetzt darauf an, den Einfluß zu bestimmen, welchen die eben beschriebene Reibung der Flüssigkeit an den Nöhrenwänden auf die Bewegung ausübt. Diese Frage, welche nur durch Versuche entschieden werden kann, ist nur für solche Fälle einer genaueren Untersuchung unterworfen, wo die Röhre überall einen konstanten Querschnitt besitzt. Man hat gefunden, daß die Wirkung der Reibung auf das gestimmte in einer engen Röhre befindliche Wasser bei gleicher Durchflußgeschwindigkcit im geraden Verhältnisse mit der Länge, ferner im umgekehrten Verhältnisse mit der Größe des Querschnittes und im geraden Verhältnisse mit dem inneren Umfange der Röhre variirt. Auf eine jede elementare Schicht der Flüssigkeit von derselben Länge ck« in der Röhre wirkt also die Reibung mit einer Kraft, welche umgekehrt, wie der Querschnitt, und direkt, wie der Umfang des Letzteren variirt, was bei Röhren mit kreisförmigem Querschnitte, wo die Fläche des Letzteren ein Produkt aus der zweiten Potenz des Umfanges in eine konstante Zahl ist, einfach auf eine Variation im umgekehrten Verhältnisse mit dem Umfange oder Durchmesser der Röhre hinausläuft. Ändert sich die Geschwindigkeit des Wassers in der Röhre; so variirt die Wirkung der fraglichen Reibung zuvörderst wie das Quadrat jener Geschwindigkeit, jedoch nicht genau, und 8 j. 132. Reibung einer Flüssigkeit Gl. (565) man muß noch ein Glied hinzufügen, welches ebenfalls von dieser Geschwindigkeit abhängig, aber von verschiedenen Schriftstellern verschieden angenommen ist. Die Kenntniß dieser von einzelnen Schriftstellern aufgestellten Formeln ist darum von Interesse, weil man, wenn es nicht auf eine mathematische Genauigkeit der Rechnung ankommt, die ja doch bei solchen Aufgaben der Praxis nicht erreicht werden kann, sich bald der Einen, bald der anderen bedienen kann, jenachdem die Komposition der Aufgabe diese oder jene als die bequemere erscheinen läßt. In §. 55 und 57 tritt die Reibung als eine Kraft auf, deren Wirkung auf die Masseneinheit der Flüssigkeit gleich k ist, sodaß k auch die Geschwindigkeit darstellt, welche jene Kraft der Materie in der Zeiteinheit mitzutheilen oder zu entziehen fähig ist. Im Allgemeinen kann man nach dem Vorstehenden also setzen k ^ .... (564) V v Hierin bezeichnet die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in der Röhre, den Durchmesser der Röhre, wobei vorausgesetzt ist, daß der Querschnitt O der Röhre kreisförmig sei. Ist Dies nicht der Fall, und stellt ^ den inneren Umfang der Röhre dar; so hat mau . . . (564--) zu setzen, wodurch x--x^v- .... (564») werden würde. Endlich ist x ein Koeffizient, welcher aus einem konstanten und einem von V abhängigen Gliede besteht. Als ersten Näherungswerth für den Koeffizienten x erhält man nach Eytelwein für rheinländisches Maaß und wenn die Flüssigkeit aus Wasser und die Röhre aus Metall besteht, x —0,031, ....(565) welcher bei Geschwindigkeiten zwischen 4 und 2 Fuß in der Sekunde mit ziemlicher Sicherheit zu gebrauchen ist. Gl. (86?) an den Röhrenwänden. S Genauere Resultate erhält man übrigens, wenn man nach Eytelwein 0,022 -l- (566) setzt, eine Formel, welche aus den Versuchen von Dubuat, Bvssut und Couplet abgeleitet ist und bis zu Geschwindigkeiten von 8 Fuß in der Sekunde unbedenklich angewandt werden kann. Nach Weisbach, welcher diese Versuche ebenfalls, außerdem aber noch seine eigenen bei viel größeren Geschwindigkeiten angestellten Versuche zu Grunde gelegt hat, kommt folgender Ausdruck 0,0169 0,0144-f (567) der Wahrheit am nächsten. Man wird sich desselben bei Geschwindigkeiten bis zu 20 Fuß in der Sekunde noch mit großer Sicherheit bedienen können. Um der Berechnung dieses Koeffizienten für verschiedene Werthe von V überhoben zu sein, hat Weisbach folgende kurze Tabelle mitgetheilt Werthe von V in Fußen Werthe von x 0,1 0,0679 0,2 0,0522 0,3 0,0453 0,4 0,0411 0,5 0,0383 0,6 0,0362 0,7 0,0346 0.8 0,0333 0,9 0,0322 V> 1 x >0,0313 1,25 I 1,5 I 2 I 3 I 4 0,0296l0,0282l0,0263>0,0242l0,0229 6 0,0213 8 I 12 I 20 0,0204>0,0I92>0,0182 Die vorstehenden Werthe von x beziehen sich, wie schon erwähnt, auf die Bewegung des Wassers durch metallene Röhren von der gewöhnlichen Qualität. Bei hölzernen Röhren hat man nach Weisbach diese Werthe von x mit 1,75 zu mul- tipliziren. §. 133. Allgemeine Gleichungen für die beharrliche Bewegung des Wassers in Röhrenleitungen, un- 10 i. >33. Allgemeine Gleichungen für die Bewegung ter Berücksichtigung des Widerstandes der Reibung an den Nöhrenwänden. In dem oberen Behälter wird das Wasser auf der konstanten Höhe ab erhalten. Dasselbe ergießt sich aus diesem Behälter durch die Rohre eu/i, welche im Allgemeinen denselben Querschnitt, jedoch auch einige Stellen besitzt, wo das Wasser gezwungen wird, aus einem kleineren Querschnitte plötzlich in einen größeren überzugehen, und welche außerdem nur sehr sanfte Krümmungen besitzt, in den unteren Behälter, in welchem sich ebenfalls ein konstanter Spiegel cck gebildet hat, sodaß die Bewegung des Wassers in allen Theilen der Leitung beharrlich geworden ist. Es sei c-, die Fläche irgend eines normalen Querschnittes der beiden Gefäße oder der Röhre e/i> O', O" resp. die Fläche des oberen und unteren Spiegels ab und eck, LL der konstante Querschnitt der Röhre «i, wz irgend zwei unmittelbar aufeinander folgende Querschnitte der Gefäße oder der Röhre, welche sich plötzlich um endliche Größen ändern, sodaß «2 > ist, r der vertikale Abstand Nn des Mittelpunktes irgend eines Querschnittes « von dem oberen Spiegel ab, L der konstante Höhenunterschied tzk der beiden Spiegel ab und eck. Wenn die Röhre «/ nicht in einen unteren Behälter, sondern in die freie Luft ausmündet; so stellt L die Höhe des Spiegels ab über dem Mittelpunkte der Ausflußöff- nung oder erforderlichenfalls, wenn L im Vergleich zu der vertikalen Dimension dieser Hffnung sehr klein ist, die.mittlere Druckhöhe über der Ausflußöffnung / dar(vergl.8.75), des Wassers in einer Röhrenleitung. 11 V die konstante Geschwindigkeit des Wassers in der Röhre e/', d. h. in dem Theile dieser Röhre, wo der Querschnitt konstant — K ist, t die Länge des Theiles err der Röhre von der oberen Einmündung bis zu irgend einem Querschnitte rr, I- die ganze Länge e/ der Röhre, ^ der Umfang des konstanten Querschnittes sr dieser Röhre, der mittlere Durchmesser der Röhre, dieselbe mag nun einen kreisförmigen oder sonstig geformten Querschnitt haben, ro —das Gewicht der Volumeinheit der Flüssigkeit, wenn p deren Dichtigkeit bezeichnet und A —31,2644 Fuß pro Sekunde ist; man hat für das Gewicht eines Kubiksußes Wasser «, — 66 Pfund, z," der atmospärische Druck auf die Flächeneinheit der beiden Spiegel a- und ock; man hat im Mittel p'—2090 Pfund pro Quadratfuß, der hydraulische Druck in irgend einem Querschnitte « der Behälter oder der Röhre, v das Volum der Flüssigkeit, welches sich in der Zeiteinheit durch die Röhre ergießt, x der im vorhergehenden Paragraph näher bestimmte, auf die Reibung des Wassers an den Wänden der Röhre e/ Bezug habende Koeffizient. Das in Gleichung (241) enthaltene Glied ^oder — / kckt, wenn man t an die Stelle von § setzt, welches den Widerstand der Reibung der ganzen in der Röhre e/ enthaltenen Flüssigkeit darstellt, wird hier, wenn man das Integral für die ganze Länge L, der Röhre nimmt, und dabei beachtet, daß der Werth von k, nämlich die Wirkung der Reibung auf die Mas- seneinheit der bei n befindlichen Flüssigkeit, von dem Orte dieses Punktes ir oder von ganz unabhängig ist, i? /ckr o 12 1- 133- Allgemeine Gleichungen für die Bewegung Gl. (5SS) und wenn man für k seinen Werth aus Gl. (564) substituirt, I. V- Substituirt man diesen Werth in die Gl. (241), indem man gleichzeitig p'—x", 8—o, r"—L, ^ —o setzt und durch w dividirt; so kommt oder Hieraus folgt — / - ^-- (569) V— Der Ausdruck stellt offenbar die Höhe dar, von welcher ein Körper frei herabfallen muß, um die Geschwindigkeit V zu erlangen, welche das Wasser in der Röhre besitzt. Bezeichnen wir dieselbe mit 8; so ist 8 — Analogisch seien v- 2S H ^2§ O'- ^ H ^2§0"^ d. i., wenn man die Koeffizienten 0<2 ^ o »?—8 setzt, 8'-L'8, 8' ^L"8, die Fallhöhen, welche ein Körper durchlaufen muß, um resp. die Gl. (3S9a) deS Wassers in RLHrenleitmigeii. 18 Geschwindigkeit oder zu erlangen, die das Wasser im oberen Spiegel O' und im unteren Spiegel O" besitzt. Setzt man ferner einen Koeffizienten von der Form so sei K-2/ ' 2Ava34. Fall der AuSmündung der Röhre in die freie Lust. 17 Unter dieser Voraussetzung würde denn auch der Druck in irgend einem Punkte des Gefäßes nach Gl. (570) p -j- rv s sein, wobei angenommen ist, daß ein jeder Querschnitt m dieses Gefäßes gegen den Querschnitt ^ der Röhre ungemein groß wäre. Für den Druck in irgend einem Querschnitte der Röhre, z. D. bei », hat man nach Gl. (57l) oder wenn man für V seinen Werth aus Gl. (574) substituirt, P —«) Der Faktor-ist in den meisten Fällen, besonders wenn t von L, nicht sehr verschieden ist, also für die unteren Punkte der Leitungsröhre, nahe — . Unter dieser Vereinfachung erhält man p—p Wenn b der Punkt des oberen Spiegels ist, welcher vertikal über der Einmündung « der Röhre liegt, und man zieht von - nach der Ausmündung / der Röhre die gerade Linie L/; so werden in der Regel die Längen von Sm und S/ sehr nahe gleich den Längen em und e/, d. i. gleich r und L, sein, und man wird haben folglich auchDa nun Nn—r ist; so wird sehr nahe 2 18 i. 134. Fall der AuSmündmig der Röhre nm — r — sein, und der im Punkte n herrschende Druck wird nach Gl. (577) dem hydrostatischen Drucke entsprechen, welcher in der Basis einer Wassersäule von der Höhe rrm stattfindet, auf deren obere Fläche der atmosphärische Druck wirkt. Denkt man sich in irgend einem Punkte rr der Leitungsröhre e/ eine feine Öffnung angebracht, und auf diese Öffnung ein ebenso feines Nöhrchen rrN gesetzt; so wird das Wasser in dem letzteren Nöhrchen bis zur Höhe m steigen. Macht man die Vertikale L8 über dem Punkte L gleich d. h. gleich der Höhe einer Wassersäule von etwa 31,7 Fuß, welche durch den atmosphärischen Druck im Gleichgewichte erhalten wird, und zieht 88 parallel zu so wird der in n herrschende Druck, inkl. des atmosphärischen, gleich dem Gewichte einer Wassersäule von der Höhe mN, sein. Solange nun die Linie nN, oberhalb des Punktes n liegt, wird jener Druck /, positiv sein. Läge jedoch die fragliche Linie unterhalb des entsprechenden Punktes der Röhre, wie Dies z. B. der Fall wäre, wenn die Are der Röhre die Form er/ hätte, wobei sie die Linie 88 irgendwo schneidet; so würde der Druck p negativ werden, indem man alsdann in Gl. (577) p-f-oder r , ^ hat. Da Dies eine Unmöglichkeit in sich schließen würde; so folgt, daß unter solchen Umständen das Wasser die Röhre nicht mehr ganz füllen und sich in dem unteren Theile der Röhre von den Wänden derselben losreißen würde. Um den Punkt A nähe- rungsweise zu bestimmen, in welchem dieses Losreißen erfolgen würde, braucht man offenbar von 8 aus nur eine Tangente 86 an die Are e?/ der Röhre zu legen, und mit dieser Are durch ü die Parallele -«/zu ziehen, welche die Are der Röhre in dem gesuchten Punkte § schneiden wird. Unter diesen Umständen wird Gl. (579) in die freie Luft. 19 man denn die Tiefe des Punktes s unter dem Spiegel erb als gesammte Druckhöhe 2 in die früheren Formeln zü substituiren haben. Solange die Axe e/ der Röhre ganz unterhalb der Linie Lk liegt, wird es nicht zu befürchten sein, daß das Wasser die Ausmündung bei nicht ganz ausfüllte und ein Theil der Druckhöhe LI/ — L nutzlos verloren ginge. Daß aber die Röhre e/ ganz und gar unter der Linie Lk liegt, hängt nicht von der Tiefe des Punktes unter dem Spiegel «b oder von der Druckhöhe L, sondern von der besonderen Form der Kurve 6»/ab, und man wird unter den gemachten Voraussetzungen, auf welche sich die Formel (577) gründet, immer im Stande sein, eine Nöhrenlei- tung in jeder Tiefe mit vollem Strome ausmünden zu lassen, was, wie wir in 8. 66 gesehen haben, nicht möglich ist, sobald die Flüssigkeit keinen Reibungswiderstand bei dem Durchgänge durch die Röhre zu ertragen hat, welcher proportional mit der Länge dieser Röhre wächst. Wenn man für den Koeffizienten x die genauere Form (566) annimmt; so erhält man statt der Gl. (573) die folgende oder und hieraus ergibt sich ,1 -s" 8 y 2 (l)-f-a ill) I) V- -^ Der Druck in irgend einem Punkte des Gefäßes bleibt nach Gl. (575) p — 5? ss-rvr. In irgend einem Querschnitte der Röhre ist der Druck nach der früheren Gleichung 20 t> >34. Fall der AuSmimdnng der Röhre In die freie Lust. M. (580) eine Gleichung, welche sich unter Berücksichtigung der Gl. (578) vorläufig auf -(580) reduzirt. In dieser Gleichung ist für V sein Werth aus Gl. (579) zu substituiren. Wenn man durch die vertikale Tiefe bL, die der Geschwindigkeit V des Wassers in der Röhre zukommende Fallhöhe darstellt, sodaß ist, und man zieht die gerade Linie b,/'; so wird sehr nahe mm,— bk>, (l ——(i —^ sein, vorausgesetzt, daß man sehr nahe —habe. Es ist also auch nm und es folgt, daß der im Punkte n herrschende Druck nach der Formel (580) gleich dem hydrostatischen Drucke ist, welcher einer Druckhöhe irm, entsprechen würde, plus dem atmosphärischen Drucke. Gl. (58l> j. 135. Früherer Fall bei Kontraktion in der Einmündung. 21 Setzt man für den Koeffizienten x den Ausdruck (567) von der Form so ergibt sich statt Gl. (573) I. V- oder 2,-L -- (i -j-« v- -f- /Z ^ v2 .... (581) Eine direkte Auflösung dieser Formel für V würde sehr unbequem sein. Kennt man jedoch den Werth von V schon nähe- rungsweisc, was in den meisten Fällen nicht schwierig sein wird, indem man zu diesem Behuf nur erst einmal nach der Näherungs- formel (574) zu rechnen braucht; so kann man den dafür entsprechenden Werth von x aus der in Gl. (132) gegebenen Tabelle entnehmen und darauf die Formel (574) in Anwendung bringen. 8. 135. Fall, wo unter den übrigen Voraussetzungen des vorhergehenden Paragraphs das Wasser mit Kontraktion in die Röhre tritt. Wenn unter denselben vorstehend gemachten Voraussetzungen die Röhre bei o nicht gehörig erweitert ist, sodaß die Flüssigkeit mit Kontraktion, deren Koeffizient m ist, in die Rohre treten muß; so entspricht Dies dem Falle, wo die Flüssigkeit gezwungen wird, aus dem Querschnitte m LZ der größten Kontraktion zu dem Querschnitte LZ der Röhre überzugehen (vergl. 8. 103). Demnach hat man neben den vorstehenden Gliedern noch das aus der plötzlichen Querschnittsveränderung hervorgehende Glied in den Gleichungen des §s 133 zu berücksichtigen und in Gl. (568), (569) und (571) zu setzen. Vwi w,/ ^ 22 ?. 135. Früherer Fall bei Kontraktion Gl. (584)' Dies gibt zuvörderst wenn man der Kürze wegen die Größe —Nl)2 setzt (vergl. wegen der Werthe von rr den §. 104). Hieraus folgt -(583) v . . . . (583) Für den Koeffizienten ?r kann man unter den gegenwärtigen Verhältnissen im Mittel rr — 0,84 und für den Koeffizienten x als ersten Näherungswerth den Ausdruck (565) nehmen. Der vorstehende Werth von rr würde einer Substitution von m—0,61 in die obigen Formeln entsprechen, in welchen die Wirkung der Kontraktion und plötzlichen Ausdehnung beim Eintritte in die Leitungsröhre vermittelst der Koeffizienten m dargestellt wäre. Jener Werth 0,84 für m ist zwar etwas größer, als der in 8. 104 für den Fall einer kurzen Ansatzröhre angegebene mittlere Werth; allein Dies rührt daher, daß selbst bei einer kurzen Ansatzröhre schon einiger Reibungswiderstand an den Nöhrenwän- den stattfindet, welcher im gegenwärtigen Paragraphe besonders gewürdigt ist. Wenn man den Werth von V schon Näherungsweise kennt, kann man für x den entsprechenden Werth aus Gl. (567) oder aus der danach berechneten Tabelle entnehmen. Der Druck, in irgend einem Punkte des oberen Behälters bleibt p —.... (584) Für den Druck in irgend einem Punkte der Leitungsröhre erhält man jedoch nach Gl. (571) Gl. (589) in der Einmündung in die LcitungSröhre. 23 p— «> 2 - oder wenn man für V seinen Werth aus Gl. (583) substituirt, r L . . (585) ein Ausdruck, der ebenfalls wie der bei (576) in den meisten Fällen abgekürzt p —... (586) geschrieben werden kann und zu derselben Betrachtung Veranlassung gibt, wie der Ausdruck (577). Nehmen wir den Koeffizienten x in der genäherteren Form (566) x —« -s- so ergibt sich statt Gl. (582) oder 1^ o 2s . . (587) und hieraus findet man V----_(588) Wenn L, gegen v sehr groß ist, sodaß man das Glied ^ gegen «L, vernachlässigen kann; so wird diese Formel einfach V (589) 24 133. Früherer Fall bei Kontraktion in der Einniünduiig. GI. (581) Für diesen Fall, wo K, sehr groß ist, hängt die Geschwin- digkeit von dem Verhältnisse ab, sodaß wenn die Are der Röhre eine gerade Linie bildet, die Ausflußgeschwindigkeit V dieselbe bleibt, in welchem Punkte die Röhre auch abgeschnitten werde, vorausgesetzt nur, daß darauf die vorstehende Gleichung (589) Anwendung finde, also 1^ gegen v sehr groß sei. Die Ausflußmenge in der Sekunde ist oder wenn der Querschnitt LL kreisförmig ist, Wollte man den Durchmesser 0 der Rohre durch die Bedingung bestimmen, daß in der Sekunde eine gegebene Wassermenge (j ausflösse; so hätte man in den obigen Formeln zu substituiren. Bedient man sich hierzu der ersten Näherungsformel (582) in welcher x entweder den konstanten Werth 0,031 aus Gl. (565) oder, falls die Geschwindigkeit V angenähert bekannt wäre, den entsprechenden Werth aus der Tabelle des Zs 132 hat; so ergibt sich nach gehöriger Reduktion die Gleichung fünften Grades 8Y2 8x1.0- ^ o. (590) welche durch irgend eine Näherungsmethode aufzulösen ist. Wenn die Länge L, gegen den gesuchten Durchmesser sehr groß ist, so- > v daß man die Größe gegen -ei. vernachlässigen kann; so ergibt die vorstehende Formel . . . (591) Die letztere Formel wird in allen Fällen, selbst wenn L. ge« EI. 2 _ 8«I^2/ * oder wenn man die der Geschwindigkeit V entsprechende Fallhöhe 2 ^ mit H und den Koeffizienten mit L, (denUmständen nach, zur Unterscheidung verschiedener Fälle auch mit L', K,,, L") bezeichnet, wie Dies schon in Z. 133 geschehen ist, ein Glied von der Form zu addiren. Da nun für den gegenwärtigen Fall, wo die Röhre mit voller Öffnung in die freie Luft ausmündet, 0"----K ist, und außerdem das in ^ multiplizirte Glied wegen der sehr großen Fläche O' des Spiegels im oberen Behälter als ungemein klein vernachlässigt wird; so hat man allgemein 26 §. >36. Widerstand plötzlicher Erweiterungen Gl. (Sgg«) i .... (593) — (l-j-ZL, -j-x 8 ^ oder auch nach der Bezeichnung des 8s 133 L — 8 -ff LL, -j- L, sodaß die Fallhöhe 8 für die Ausflußgeschwindigkeit V gleich ist der gesammten Druckhvhe L, weniger sämmtlicher Widerstandshöhen, welche sowol aus plötzlichen Querschnittsveränderungen, wie aus dem Reibungswiderstande hervorgehen. Wenn man die Werthe aller Widerstandskoeffizienten L, kennt; so ergibt eine Auflösung der Gl. (593) den Werth der Geschwindigkeit V. Sobald alle diese Koeffizienten, wie auch der Faktor x als von V unabhängig angesehen werden, hat man einfach V — /_-— .... (593--) V l^-LL.-I-x^. Den ersten Widerstand erleidet nun die Flüssigkeit beim Eintritte in die Röhre. Nehmen wir allgemein an, die _Röhrenmündung am oberen Behälter sei noch durch eine dünne Wand verengt, in welcher sich die Öffnung 68 oder mehrere dergleichen Öffnungen, wie in einem Siebe oder Gitter, befinden, und es sei K der Querschnitt der Röhre, LL, die Eintrittsöffnung 68, oder die Summe dieser Öffnungen, wenn die Wand deren mehrere besitzt, und man habe ö —oder ösL; ferner sei m der Kontraktionskoeffizient für den Durchgang des Wassers durch die Öffnung 68, also ---smLZ der Querschnitt der größten Kontraktion unmittelbar hinter der Einmündung in die Röhre. Gl. (SSÜ) und Berengungcn in der LeitungSröhre. 2 ? Wenn man bei der Bestimmung des Kontraktionskoeffizienten «r nach 8.84ff. sehr sorgfältig verfahren und für denselben nicht ohne Weiteres den mittleren Werth 0,6l annehmen, vielmehr denjenigen wählen wollte, welcher den Dimensionen der Öffnung 22, und der entsprechenden Druckhöhe zukäme; so dürfte man unter dieser Druckhöhe offenbar nicht die gesammte Druckhöhe L, sondern nur den Theil dieser Höhe verstehen, welcher die in der Öffnung §2, stattfindende Geschwindigkeit erzeugen vermöchte. Näherungsweise würde man diesen gesuchten Theil der Druckhöhe durch den Ausdruck 2s wenn man hierin zuvörderst für V sowol, wie für einen leicht zu ermittelnden Näherungswerth substituirte. Inzwischen wird ein solches ängstliches Verfahren selten erforderlich sein, und der obige mittlere Werth von m in den meisten Fällen genügen. Nach dem Vorstehenden wird der in die Gl. (593) einzuführende, mit L' zu bezeichnende erste Koeffizient für den beim Eintritte des Wassers in die Röhre stattfindenden Widerstand, da hierbei — s/i—m22, — und roz—4X —22 ist 22 m22, . . .(594) Wenn S--1 oder 6,-22 ist, d. h. wenn die Scheidewand bei der Einmündung in die Röhre gar nicht vorhanden ist; so wird ....(595) V m / und Dies entspricht dem im vorhergehenden Paragraphe betrachteten Falle. Wäre gleichzeitig auch in —1, also beim Eintritte des Wassers in die Röhre keine Kontraktion vorhanden, ein Fall, der sich ereignet, sobald die Röhrenmündung nach vorn gehörig erweitert ist, wie Dies in §. 134 vorausgesetzt worden; so hat man — o, .... (596) und man sieht, daß das Wasser alsdann beim Eintritte in die Röhre keinen Widerstand erfährt. 28 i- l3ö. Widerstand plötzlicher Erweiterungen Gl. (SS8) Befände sich ferner in der Röhre eine plötzliche Erweiterung, d. h. eine Stelle, wo der Querschnitt 68 plötzlich zu dem größeren Querschnitte überginge; so sei K der sonst konstante Querschnitt 68 der Röhre, K, der Querschnitt und man habe S-A oder K, — SK. Der in Gl. (593) wegen des Widerstandes beim Eintritte in die Erweiterung einzuführende Koeffizient L, wird hiernach .--.c-M, Nimmt die Röhre bei 6'8' wieder ihren früheren Querschnitt an; so entsteht durch den Eintritt des Wassers in den Theil jenseit 6'8' ein neuer Verlust an Druckhöhe. Setzt man den Kontraktionskoeffizienten für diesen Eintritt — m, sodaß mK der Querschnitt §'L' der größten Kontraktion dicht hinter 6'8' ist, aus welchem das Wasser wieder zu dem Querschnitte L übergehen muß; so folgt für den entsprechenden Widerstandskoeffizienten, wenn mau denselben mit bezeichnet, -(598) Wenn die eben betrachtete Erweiterung bei und die Verengung auf den früheren Querschnitt bei 6'8' aufeinander folgen, wie Dies in der Figur dargestellt ist; so ist der Koeffizient für den gesammten Widerstand, welchen das Wasser beim Durchgänge durch die erweiterte Partie 66' erleidet, .... (599) Aus dieser Formel ersieht man, daß der durch eine Erweiterung herbeigeführte Verlust an Druckhöhe nicht ins Unendliche wachsen kann, da der Werth von L, nie größer werden Gl. (602) und Verengungen in der LeitnngSröhre. 29 kann, als —1^, wobei s oder der Querschnitt O,—^K unendlich groß sein muß. Kommt in der Röhre eine Verengung vor, wo der regelmäßige Querschnitt der Röhre auf den kleineren Querschnitt OH eingeengt wird; so sei O der sonst konstante Querschnitt der Röhre, K, der Querschnitt 68, und man habe S— oder O, — SO; ferner sei m der Kontraktionskoeffizient für die bei dem Durchgänge des Wassers durch 68 stattfindende Kontraktion. Für den Widerstandskoeffizienten , welcher wegen des bei 68 stattfindenden Widerstandes in die Gl. (593) einzuführen ist, erhält man hiernach L. / O O sr . . (600) Wenn sich die Röhre bei wieder auf ihren früheren Querschnitt O ausdehnt; so erfordert der bei dem Eintritte des Wassers in den größeren Querschnitt entstehende Widerstand einen Koeffizienten L,,, welcher ist. Folgt die Verengung bei 68 und die Erweiterung bei aufeinander, wie in der Figur; so ist der Widerstandskoeffizient für den Durchgang des Wassers durch die verengte Partie 66' (L-i-l-L..)--^(^-l)^(-^-l)' .... (602) Die vorstehende Formel lehrt, daß durch eine Verengung der Röhre die Ausflußgeschwindigkeit bis zu jeder beliebigen Gränze herabgedrückt werden kann, da L, -i-L,, sich immer mehr dein Werthe -» nähert, je kleiner S oder je kleiner der verengte 30 136. Widerstand bei plotzl. Erweiterungen u. Verengungen. Gl. (6Y3) Querschnitt 08 angenommen wird, ein Resultat, welches, wie wir vorhin gesehen, durch eine Erweiterung der Röhre nicht erzielt werden konnte. In den beiden zuletzt betrachteten Fällen der Erweiterung und Verengung einer Röhre kommt es vor, daß das Wasser mit Kontraktion aus einem größeren Querschnitte der Röhre in einen kleineren übergehen muß. Wenn der vorhergehende größere Querschnitt bedeutend größer ist, als der nachfolgende kleinere; so wird die Kontraktion an dieser Stelle nahezu vollkommen und der Kontraktionskoeffizient m im Mittel —0,61 zu setzen sein. Ist der vorhergehende größere Querschnitt jedoch nicht bedeutend größer, als der nachfolgende kleinere; so wird die Kontraktion an dieser Stelle unvollkommen sein, und man würde den obigen Kontraktionskoeffizienten nach den Tabellen des tzs 85 zu korrigiren haben. Die Tabelle am Ende des gegenwärtigen Paragraphs zeigt übrigens, welche Werthe man unter diesen Umständen nach den Versuchen von Weisbach dem Koeffizienten m beizulegen habe. Wenn sich in der Röhre eine dünne Scheidewand befindet, in welcher die öffnung 08 angebracht ist; so wird das Wasser mit mehr oder weniger vollkommener Kontraktion durch dieselbe tre- ten und alsdann aus dem Querschnitte gL der größten Kontraktion Plötzlich in den Querschnitt >IL übergehen. Ist also LL der konstante Querschnitt 4L der Röhre, K, die Assnung OH in der Scheidewand, S—^ oder K, —SK und m der Kontraktionskoeffizient für den Durchgang bei 08; so wird der in Gl. (593) einzuführende Widerstandskoesfizient . . . . (603) sein. Dieser Werth stimmt der Form nach mit dem aus Gl. (594) überein, welcher für den Fall entwickelt wurde, wo das Wasser aus dem oberen Behälter durch eine Scheidewand in die Röhre tritt: da jedoch hier der Querschnitt >6 der Röhre, welcher der j. 137. Widerstand beim Durchgänge durch Ventile rc. 3l Durchflußöffnung 6 kl —>61 unmittelbar hervorgeht, nicht immer sehr groß sein wird, im Vergleich zu der letzteren Öffnung; so wird die hier stattfindende Kontraktion unvollkommen sein, und man wird daher den Werth des Kontraktionskoeffizienten nach dem Werthe des Verhältnisses ^ korrigiren müssen. Nach den von Weisbach angestellten Versuchen kann man sich zu diesem Zwecke unmittelbar der nachstehenden Tabelle bedienen. Kontraktions- und Widerstandskoeffizienten für den Durchgang des Wassers durch eine in einer Leitungsröhre befindliche Verengung 0 der Scheidewand. Werth von 0,1 0,2 0,3 0.4 0,5 0,6 0.7 0,8 0,9 1,0 KontraktivnSkoef- stzient m 0,624 0,632 0,643 0,659 0,68> 0,712 0,755 0,813 0,892 1,000 Widerstandskoef- sijient L, nach den Formeln (WO), (602), (003) 225,9 47,77 17,50 7,801 3,753 1,796 0,797 0,290 0,0600,000 (Auch auf die Formel (598) finden die Werthe dieser Tabelle Anwendung, wenn die Größen in der obersten Horizotal- 1 k> reihe die Werthe des Verhältnisses —darstellen, indem an der dortigen Stelle LZ, > k) ist.) Substituirt man nun von den vorstehenden Widerstandskoeffizienten aus den Formeln (594) bis (603) diejenigen in die Gl. (593) oder (593°); so erhält man die gesuchte Gleichung für die Bewegung des Wassers durch eine Leitungsröhre, welche durch einen oberen Behälter gespeis't wird, und sich in die freie Luft ergießt. §. 137. Widerstand, welchen das Wasser bei dem Durchgänge durch Ventile und Hähne in der Leitungsröhre erleidet. Schieber, Hähne, Klappen und Ventile, welche in den Leitungsröhren angebracht sind, um dadurch den Ausfluß des Was- 32 137. Widerstand beim Durchgänge durch Gl. (604, sers zu reguliren, bilden plötzliche Verengungen, welche im Allgemeinen nach Bedürfniß vergrößert oder verkleinert werden können. Nach dem Durchgänge durch diese Verengungen wird das Wasser gezwungen, den vollen Querschnitt K der Leitungöröhre wiederanzunehmen. Wie unregelmäßig nun auch die Form des durch eine solche Vorrichtung verengten Querschnittes sei, und in welcher Weise auch die Richtung und Bewegung des Wassers bei dem Durchgänge gebrochen werde, man wird sich immer eine einfache Scheidewand, wie sie im vorhergehenden Paragraphe betrachtet ist, denken können, welche eine Durchflußöffnung OH besitzt, und durch ihre Gegenwart dieselbe Wirkung auf die Verzögerung der Ausflußgeschwindigkeit oder auf die Verminderung der Druckhöhe ausübt, wie das in Rede stehende Ventil. ckt stellt demnach sr den konstanten Querschnitt der Röhre und LZ, den mittleren Querschnitt der Durchflußöffnung dar, welche dem Wasser durch das Ventil gelassen wird, und ist ö —^ oder — ä^>, ferner m der Koeffizient für die vollkommene oder unvollkommene Kontraktion, welche das Wasser hinter dem Querschnitte 6H erleidet, also msr, —S-»O—der Querschnitt der größten Kontraktion nach dem Durchgänge des Wassers durch das Ventil, aus welchem Querschnitte das Wasser alsdann plötzlich zu dem Querschnitte K —4L übergehen muß; so wird man den Widerstand des Ventiles gegen die Bewegung des Wassers mit in Rechnung bringen, sobald man in Gl. (593) unter dem Zeichen L einen Widerstandskoeffizienten L, hinzufügt, welcher . . . . (604) ist. Im Allgemeinen wird man die Werthe des Widerstandskoef- sizienten L, für die verschiedenen Arten von Ventilen, sowie für die verschiedenen Stellungen derselben nur aus der Erfahrung Ventile und Hähne in den LeitungSröhren. 33 entlehnen können. Von Weisbach sind hierüber mehrfache Versuche angestellt worden, deren Resultate in den nachstehenden Tabellen enthalten sind. 1) Bei Schiebern oder Schubventilen, wie ^8, welche sowol in Röhren mit rechtwinkligem, wie mit kreisförmigem Querschnitte angebracht werden, kann der Querschnitt der Röhre in normaler Richtung zu der Are bald mehr, bald weniger geschlossen werden. Das Verhältniß ö der Durchgangsöffnung OH —zu dem Querschnitte 6 k — L2 der Röhre ist also veränderlich, und man hat für die verschiedenen Stellungen des Schiebers folgende Tabellen. I. Widcrstandskoeffizienten für den Durchgang des Wassers durch Schieber oder Schubventile in parallelepipe- dischen Röhren. Werth von ^ 1,0 0,0 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,l Widerstandskoeffizient 0,00 0,09 0,30 0,95 2,08 4,02 8,t2 17,8 44,5 193 Widerstandskoeffizienten für den Durchgang des Wassers urch Schieber oder Schubventile in zylindrischen Röhren. Stellhöhe ti ll des Schiebers über dem Boden der Öffnung t 7 N ü S 4 T Z L LZ. Werth von ^ — 1,000 0,948 0,856 0,740 0,609 0,466 0,3t5 0,159 Widerstandskoefsizient 0,00 0,07 0,26 0,81 2,06 5,52 17,0 97,8 34 tz. 137. Widerstand beim Durchgänge durch 2) Bei Hähnen von der seitwärts verzeichneten Form tritt das Wasser aus dem Querschnitte OL —42 der Rohre durch die verengte Hffnung 66—42, zuvörderst in die durchbrochene Öffnung des Hahnes, welche denselben Querschnitt 42, wie die Röhre selbst hat. Nachdem hierdurch die Richtung des Wasserstromes um den Stellwinkel abgelenkt ist, wird derselbe durch die zweite verengte Öffnung 6'6 —42, an der anderen Seite des Hahnes wieder in den Querschnitt 0'L'--42 der Röhre übergeführt. Die Widerstandskoeffizienten für die verschiedenen Stellungen des Hahnes sind in den beiden folgenden Tabellen enthalten. Es muß dabei bemerkt werden, daß die Hähne, mit welchen die Versuche angestellt sind, in parallelepipedischen Röhren die ganze Nöhrenoffnung bei einem Stellwinkel von .406 —66Z<> und in zylindrischen Röhren bei 82^» ganz verschlossen. Hat man es also mit anders konstruirten Hähnen zu thun; so darf man die Resultate aus den nachstehenden Tabellen nicht nach der Größe des Stellwinkels nehmen, sondern muß für jede besondere Stellung das Querschnittsverhältniß S — ermitteln und hiernach den betreffenden Werth des Widerstanvskoeffizienten entnehmen. Um diese Ermittelung vorkommendenfalls möglichst zu erleichtern; so sei für eine parallelepipedische, wie für eine zylindrische Röhre I) der Durchmesser OL des Querschnittes der Röhre in perpen- dikularer Richtung auf der Umdrehungsare des Hahnes, v der Durchmesser 60' des zylindrischen Hahnes, gp irgend ein Stellwinkel ^OL, bei welchem der verengte Querschnitt 06 den Werth 42, annimmt, in Graden, derjenige Werth des Stellwinkels in Graden, bei welchem der ganze Querschnitt 42 der Röhre geschlossen wird. Gl, (608) Ventile und Hähne in den LeitungSrähren. 3S Der Winkel y ergibt sich sowol für parallelepipedische, wie für zylindrische Röhren durch die Beziehung —^ .... ( 605 ) Nachdem hieraus oder durch sonstige direkte Messung der Werth von ^ gesunden ist, findet man für parallelepipedische Röhren das Querschnittsverhältniß ^ bei dem Stellwinkel y> durch die Formel ....( 606 ) Bei zylindrischen Röhren kann man das Querschnittsverhältniß S nach der Näherungssormel ö: K, 180 sr .... ( 607 ) berechnen, worin if, einen Hülfswinkel darstellt, welcher zuvor durch die Gleichung th . v' (^— Werth von 5° 10» 15° 20» 25° 30° 35° ! 0,926 0,850 0,772 0,692 0,613 0,535 0,458 Widerstandskoef- flzient 0,05 0,29 0,75 1,56 3,10 5,47 9,68 Stellwinkel 40» 45» 50« 55« 60° 65° 82z» Werth von L2l 0,385 0,315 0,250 0,l90 0,137 0,091 0 Widcrstandskocf- fizicnt /r, 17,3 31,2 52,6 106 206 486 cv 3) Bei Drehklappcn oder Drosselventilen theilt sich derWafserstrom in zwei Theile, indem er durch den verengten Qucrschitt bei 68 und 6'8' tritt, und alsdann wieder in den konstanten Querschnitt Q der Röhre übergeht. Der ganze verengte Querschnitt K, bei dem Stellwinkel ^68 —y, ist hier die Summe der beiden Theile 08 und 0'8', und man hat für dergleichen Klappen, wenn deren Durchmesser 88' gleich dem Durchmesser der Röhre ist, die aus nachstehenden Tabellen zu entnehmenden Werthe. V. Widerstandskoeffizienten für den Durchgang des Wassers durch Drehklappcn oder Drosselventile in paralle- lepipedischen Röhren. Stellwinkel 5» 10» 15° 20» 25» 30° 35° Werth von S— 0,913 0,826 0,741 0,658 0,577 0,500 0,426 Widerstandskoefsizient L, 0,28 0,45 0,77 1,34 2,16 3,54 5,72 Stellwinkel >x 40° 45« 50° 55° 60° 05° 70» 90« Werth von 3 — ^ 0,357 0,293 0,234 0,181 0,134 0,094 0,060 0 Widerstandskoefsizient 9,27 15,07 24,9 42,7 77,4 158 368 15° 20° 25° 30° 35° 40° 45° 50° 55° 60° 65° 70° Widerstandskoefsizient L, SO 62 42 30 20 14 9,5 6,6 4,6 3,2 2,3 1,7 Wollte man sich der vorstehenden Tabelle zur näherungswei- sen Bestimmung des Widerstandskoeffizienten in Fällen bedienen, wo das Verhältniß der Öffnung 08 zu dem Querschnitte 6 der Röhre ein anderes ist, als das obige von 0,535, bei welchem die Versuche angestellt sind; so bezeichne man die Öffnung 08 in Gl. (610) >38. Widerstand beim Durchgänge durch ein Knie. 30 einem solchen anderen Falle mit LL,,, und das Verhältniß mit ö. Setzt man ferner den Widerstandskoeffizienten für diesen Fall und bei irgend einem Stellwinkel der Ventilklappe gleich L,,; so sei > Für die bei den obigen Versuchen stattgehabten Verhältnisse war nun ö —0,535, und wenn L, den Werth des Widerstands- koeffizientcn für den entsprechenden Stellwinkel P aus der Tabelle VII bezeichnet; so hat man also ' ^0,535. m I 0,535 Setzt man diesen Werth für m in den obigen Ausdruck von L,,; so erhält man als Näherungswerts» 0,535 (1 -s-^L,) S . . (610) §. 138. Widerstand, welchen das Wasser bei dem Durchgänge durch die in den Nvhrenleitungen etwa vorkommenden Kniee erfährt. Wenn die Are der Leitungsröhre eine gebrochene Linie und demnach irgendwo, wie bei L, eine scharfe Ecke bildet; so nennt man die Stelle bei L ein Knie. Der Durchgang des Wassers durch ein solches Knie ist mit einem bedeutenden Verluste an lebender Kraft verbunden, wenn der Winkel VL6 nicht sehr stumpf ist. Wenn sich ein jedes Theilchen der Flüssigkeit in einer zu parallelen gebrochenen Linie fort- 40 § 138. Widerstand beim Durchgänge bewegte; so würde man jenen Verlust folgendermaaßen bestimmen können. In jedem Zeitelemcnte ckt geht eine Schicht der Flüssigkeit, deren Volum KVckt, deren Masse lalso Vckt ist, mit der Geschwindigkeit V plötzlich aus der Richtung in die Richtung L6 über, indem sie sich mit der in diesem Schenkel befindlichen Flüssigkeit vereinigt und mit derselben Geschwindigkeit V in der Richtung L6 weitereilt. Bezeichnet man den Ablenkungswinkel VLO mit z/, zerlegt darauf die Geschwindigkeit der Masse -^-QVckt resp. vor und nach dem Stoße in ihre beiden Komponenten parallel und perpendikular zu derLin>'e.4L; so findet man für die erstere Komponente der Geschwindigkeit vor dem Stoße den Werth V und für die andere Komponente dieser Geschwindigkeit den Werth null, ferner für die erstere Komponente der Geschwindigkeit nach dem Stoße den Werth V 008 ), und für die andere Komponente Vsin^. Da alle übrigen Theile der in der Röhre sich bewegenden Flüssigkeit bei der eben erwähnten plötzlichen Geschwindigkeitsveränderung der Masse «i s srVctt ihre Geschwindigkeiten nicht weiter ändern; so folgt mit Bezugnahme auf den Carnotschen Lehrsatz, §.54, Gl. (233°), und die analogen Betrachtungen des §s 55, daß das ganze System der Flüssigkeit bei jenem Stoße einen Verlust an lebender Kraft gleich -^-KVcktlXV — Veo8^)2-ss(o —Vsin^,)^ s s 2 erleidet. Nach vorgängiger Division mit ckr wäre die Hälfte dieser Größe, also der Ausdruck — V^ii^Q V auf der rechten Seite der allgemeinen Gleichung (234), oder nachdem man noch mit dividirt hat, der Ausdruck — auf der rech- 41 Gl. (VU) durch rin Knie. ten Seite von Gl. (241), oder endlich, nachdem man noch mit «> dividirt hat, der Ausdruck sin^ auf der rechten Seite von Gl. (568) oder (593) hinzuzuaddiren. Schreibt man also 2V- 8IN 481 »^ 2 '2s indem man - 48 !»--^- ^2 V- 2-' setzt; so würde Lz den Widerstandsloesfizienten für die Kniebiegung bei k darstellen. Das vorstehende Resultat gründet sich auf die Annahme, daß sich ein jedes Flüssigkeitstheilchen in einer gebrochenen Linie, wie bewegte. Diese Voraussetzung findet jedoch in der Wirklichkeit nicht statt; vielmehr werden die mittleren Fäden der Flüssigkeit bei L abgerundete Kurven bilden, welche einen geringeren Verlust an lebender Kraft bedingen, als sich vorstehend ergeben hat. Weisbach hat gefunden, daß sich der Widerstandskoeffizient für die Kniebiegung sehr nahe durch die Form Lz --- 0,9457 8in2 2,047 8in« ^ .... (611) darstellen lasse, nach welcher die folgende Tabelle berechnet ist. Den entsprechenden Werth von Lz hat man endlich neben den Werthen der übrigen Widerstandskoesfizienten L, in die Gl. (593) einzuführen. Widerstandskoesfizienten für den Durchgang des Wassers durch ein Knie. Ablenkungswinkel 7 —vvo 20° 40° 60° 80° 90« lOO« 110° 120° 130° 140° Widerstandskoef- sizient Lr 0,046 0,l39 0,364 0,740 0,884 1,260 1,556 1,861 2,158 2,431 42 §. 139. Widerstand bei dem Durchgänge Gl. <«I2> 8. 139. Widerstand, welchen das Wasser bei dem Durchgänge durch die in den Röhrenleitungen etwa vorkommenden Krümmungen erleidet. Wenn die Are der Röhre bei dem Übergänge aus der Einen Richtung ,'n eine andere kO eine Kurve, in der Regel eine Kreislinie Lk bildet; so heißt diese Stelle in der Röhre eine Krümmung. Auch bei demDurchgange durch dergleichen Krümmungen erleidet das Wasser wegen der mit der Richtungsveränderung verbundenen inneren Störungen einen Verlust an lebender Kraft, welcher übrigens bei weitem nicht so groß ist, als der durch ein Knie erzeugte. Setzt man den Theil der gesammten Druckhöhe 2 aus Gl. (593), welcher durch die in Rede stehende Krümmung der Röhre nutzlos verloren geht, gleich /r, und den entsprechenden Widerstandskoeffizienten gleich Lg; so hat man V- Bezeichnet man den Ablenkungs- oder Krümmungswinkel VLO—LOk in Graden wieder mit so wächst nach den Versuchen von Weisbach der Widerstandskoeffizient L, zuvörderst in direktem Verhältnisse mit dem Winkel und man kann daher setzen . ( 612 ) Der Faktor Xg in diesem Ausdrucke ist aber nicht konstant, Gl. (814) durch Krümmungen. 4» sondern hängt von dem Verhältnisse ab, in welchem die Weite v der Röhre zu dem Krümmungshalbmesser 6L—? des Aren- bogens Lk steht. Die hier bestehende Beziehung ist für zylindrische Röhren «,--0,131 -s-0,163 , -(613) und für parallelepipedische Röhren x, - 0,124-1-0,274^) -(614) Nach den letzten beiden Formeln sind die nachstehenden Tabellen berechnet, aus welchen man die in die Formel K» — «s zgo zu substituirenden Werthe von «, unter verschiedenen Verhältnissen der Röhrenweite zum Krümmungshalbmesser entnehmen kann. I. Werthe des Faktors «, für den Widerstand der Krümmungen in zylindrischen Röhren. Werth des BcrhLltniffeS ^ 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 Werth des Faktors x. 0,131 0,138^0,158 0,206 0,294 0,440 0,661 0,977 1,408 II. Werthe des Faktors «, für den Widerstand der Krümmungen in parallelepipedischen Röhren. Werth des v Verhältnisses-^- 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1.2 1.4 1,6 1,8 2,0 Werth des Faktors x. 0,124 0,135 0,180 0,250 0,398 0,643 1,015 1,546 2,271 3,228 44 §. 140. Fall, wo die LeitungSröhrc Gl. (615) 8. 140. Fall, wo die Leitungsröhre durch ein Mundstück in die freie Luft ausmündet. Wenn sich die Leitungsröhre nicht mit voller Qffiiung sondern durch ein Mundstück in die Luft ergießt, dessen Auömündung Ov —O" ist; so hat man in der allgemeinen Gleichung (568) den Koeffizienten welcher sich unter der Annahme von O"—O in Gl. (593) auf 1 reduzirte, unverändert beizubehalten. Es sei aber der Kürze und Analogie mit den Koeffizienten L wegen -(615) Wäre die Röhre am unteren Ende einfach durch eine dünne Wand geschlossen, in der sich die Öffnung 0" befände; so würde man statt 0" überall den Werth m0" des Querschnittes der größten Kontraktion jenseit der Ausmündung zu setzen haben. Die Kontraktion wird jedoch hier nie vollkommen sein können, weshalb man den Kontraktionskoeffizienten m nach §. 85 den Umständen gemäß würde korrigiren müssen. Außerdem hat man unter dem Zeichen ^ in Gl. (569°) für den Eintritt und Durchgang des Wassers durch das fragliche Mundstück den entsprechenden Widerstandskoeffizienten einzuführen, welcher mit L" bezeichnet werde und sich je nach der besonderen Konstruktion des Mundstückes aus den Betrachtungen des 8s 136 ergibt. Der Werth von L" wird null sein, sobald alle in dem Mundstücke vorkommenden Kanten gehörig abgerundet sind. Wenn das Mundstück ^806 sehr lang ist, wie bei Feuerspritzen, oder sehr eng; so darf auch der Widerstand nicht vernachlässigt werden, welchen das Wasser bei dem Durchgänge durch dasselbe in Folge der Reibung erfährt. Wenn ck den Durchmesser, t die Länge des Mundstückes und x" den Koeffizienten für die Reibung nach 8. 132 und 133 bezeichnet; so würde man den aus 8. 136 für L" gefundenen Werth, welcher sich auf die plötz- Gl. (V1SL) mit einem Mundstücke endigt. 45 lichcn Querschnittsveränderungen in dem Mundstücke bezieht, nach der betreffenden Bemerkung des §s 133 noch um das Glied vermehren und für denselben substitm'rcn müssen, worin, wie gewöhnlich, v den Durchmesser der Leitungöröhre darstellt. Aus der Tabelle des §s 132 folgt, daß man bei großen Geschwindigkeiten für den Koeffizienten x" nach der Annahme von Wcisbach füglich den Werth x"—0,016 ....(615») substituiren könne, sodaß der gesammte Widerstandskoeffizicnt für den Durchgang durch das Mundstück ist. Ist also unter Beibehaltung der übrigen Bezeichnungen L' der Widerstandskoeffizient für den Eintritt des Wassers aus dem oberen Behälter in die Leitungsröhre aus Gl. (594) bis (596), L, der Widerstandskoeffizient für den Durchgang des Wassers durch irgend eine in der Röhre befindliche Scheidewand, plötzliche Erweiterung oder Verengung oder durch ein Ventil aus §. 136 und 137, L, der Widerstandskoeffizient für den Durchgang des Wassers durch irgend ein Knie nach §. 138, Lz der Widerstandskveffizient für den Durchgang durch irgend eine Krümmung L" der Widerstandskoeffizicnt für den Eintritt des Wassers in das Mundstück, der Widerstandskoeffizient für die Reibung des Wassers an den Wänden der Leitungsröhre nach 8.132, 46 140. Fall, wo die Röhre durch ein Mundstück endigt. Gl. (Ü17) der Widerstandskoeffizient für die Reibung des Wassers in dem Mundstücke; so wird man nach Gl. (569--) haben, wenn man den Faktor k'—ö?? als ungemein klein vernachlässigt, L--(L''-s-L'-s-L''-s-x^-s-x"^...(616) worin unter die Zeichen L diejenigen Werthe resp. von L,, Lz, k» zu setzen sind, welche sich in einem jeden besonderen Falle einer Röhrenleitung darbieten. Bestände die Röhre aus mehreren Stücken, von denen ein jedes einen anderen konstanten Querschnitt Q besäße; so würde man auch den Reibungskoeffizienten als eine Summe ^x^- von den verschiedenen auf die einzelnen Röhrenstücke Bezug habenden Koeffizienten x -e' ^ * v"v"^ (vergl. §. 133) darstellen und bei der Bestimmung der übrigen Koeffizienten L, etv. auf das verschiedene Röhrenkaliber Rücksicht nehmen müssen. würde hierbei immer die Fallhöhe 8 für diejenige Geschwindigkeit V bezeichnen, welche das Wasser in dem Röhrenstücke vom Querschnitte K besäße. Wenn man die vorstehende Gl. für V auflös't, was unmittelbar in der Form V— - / .(617) geschehen kann, sobald alle Widerstandskoeffizienten von V unabhängig sind (was übrigens für den Reibungskoeffizienten x nur Näherungsweise stattfindet); so erhält man die Geschwindigkeit des Wassers in der Röhre vom Querschnitte sr. Die Ausflußgeschwindigkeit des Wassers aus der äußersten Mündung 0" des Mundstückes ist. 0 ^ hervorspringende Wasserstrahl sich bis zur Höhe ^ ^ erheben, welche der Geschwin- digkeit als Fallhöhe zukommt. Setzen wir diese Sprunghöhe »r V2 <)"^2A ' ( 621 ) GI. (622) welche durch Röhrculcitunge» gespeist werden. 4S so folgt aus Gl. (616) 2 - ^2--s-LL.-s-LLz-s-LL»)» oder da nach Gl. (615) K"— ist, ML'-s-L"-s-x ^-s-x" ^LL.-s-FL, und demnach, wenn man der Kürze wegen den Faktor setzt, L'-s- L»-s- « -s- x" ^ -s-^L. -s-2^ -s-LL, -- II- o»« 1-j-^LL .... (622) Will man sich dieser Formel zur Berechnung der Sprunghöhe H des Strahles bedienen; so setzt Dies voraus, daß alle Widerstandskoeffizientcn L vonV unabhängig seien, daß man also für x einen konstanten Näherungswerth aus §. 132 substituirt habe. Im anderen Falle hat man die Gleichung (616) zuvor für V aufzulösen und alsdann die Sprunghöhe H nach Formel (621) zu ermitteln. Nach den vorstehenden Gleichungen ist auch 0"2 und die Sprunghöhe 8 —oder die der Auöflußgeschwindigkeit zukommende Fallhöhe ist um kleiner, als die disponibele Druckhöhe 2—/y. Dieser Verlust an wirksamer Druckhöhe, welcher in der Figur durch die Höhe y- dargestellt ist, geht aus den verschiedenen Widerständen hervor, welche das Wasser bei seinem Durchgänge durch die Nöh- rcnleitung und das Gefäß erleidet. Derselbe stellt sich in der II. 4 so j. 142. Höhe der springenden Strahlen. 0»2 Form II ^ als die Summe mehrerer Theile der wirksamen Druckhöhe dar, von denen ein jeder Theil die Höhe darstellt, welche der betreffende Widerstand an der gesammten Druck« höhe L schmälert. Setzt man allgemein die Größe U O"- . LZ2 ^ — so hat man für den gesammten Verlust an wirksamer Druckhöhe und « — L — LL für die übrig bleibende Druckhöhe, welche den Ausfluß des Wassers gerade so bewirkt, als wenn sich der Bewegung desselben gar keine Widerstände entgegenstellten. Eine Größe, wie L, nennt man die Widerstandshöhe in Bezug auf die besondere Art des Widerstandes, durch welchen dieselbe erzeugt ist, und für welche L der entsprechende Widerstandskoesfizient ist. Denkt man sich die gesammte Druckhöhe 6,/'—L in zwei Theile —2 —II und —H zerlegt, welche sich verhalten, wie so erhält man in dem ersteren Theile tzg- den Verlust an Druckhöhe oder die gesammte Widerstandshöhe und in dem letzteren Theile die übrig bleibende wirksame Druck- oder Sprunghöhe. Nimmt man ferner die verhältnißmäßigen Theile (worin ü nach und nach die verschiedenen Werthe L', L", etc. erhält) von oder H; so wird allgemein irgend Einer derselben eine Widerstandshöhe darstellen. Die Summe aller dieser Theile ist gleich der Linie tzyl otzxr L—8, und wenn man die letztere Linie nach diesen Theilen durch die Punkte etc. abtheilt; so werden 0-,, -ss-, eto. die verschiedenen Widerstandshöhen darstellen; Gl. (623) j. 143. Flächen von gleichem Niveau in einem Strome. 51 deren Summe 8^ —L —8 ist, und welche durch die einzelnen der Bewegung des Wassers entgegenwirkenden Ursachen herbeigeführt werden. Endlich muß noch bemerkt werden, daß der springende Strahl theils durch den Widerstand der Luft, welche derselbe durch- dringen muß, theils weil die von der Höhe - wieder zurückfallenden Wassertheilchen die Bewegung der aufsteigenden hindern, nicht ganz die vorstehend mit 8 bezeichnete Höhe erreicht. Bezeichnet man die unter diesen Hindernissen wirklich stattfindende Steighöhe des springenden Strahles mit 8,; so kann man nach D'Aubuisson 8,-8 (1—0,003148) _(623) setzen. Wenn der Strahl nicht genau vertikal, sondern etwas schräg gerichtet ist; so hemmen die zurückfallenden Wassertheilchen die aufsteigenden nicht mehr in so bedeutendem Maaße, und die Steighöhe des Strahles vermehrt sich noch etwas über den Werth aus Gl. (623). Bewegung des Wassers in offenen Kanälen und Flußbetten. §. 143. Bestimmung der Flächen von gleichem Niveau und des hydraulischen Druckes in einem Wasser- strome, welcher mit gleichförmiger Geschwindigkeit in einem Flußbette von konstantem Gefalle herabgleitet. Die Bewegung des Wassers oder einer sonstigen schweren unpreßbaren Flüssigkeit in einem offenen Kanale unterscheidet sich von der bisher betrachteten Bewegung derartiger Flüssigkeiten in Gefäßen besonders dadurch, daß hier die Gestalten der Querschnitte, welche die Flüssigkeit nach und nach einnehmen muß, wegen der mit der Are des Kanales parallel laufenden Öffnung des Flußbettes im Voraus nicht bekannt sind. Will man ferner die Hypothese von, Parallelismus der Querschichten auf diese Art der Bewegung anwenden, worin bisher das einzige Mittel bestanden hat, die dabei obwaltenden Erscheinungen in eine mathematische Theorie zu kleiden; so bemerkt man, daß die Richtung dieser Querschichten, welche nothwendig normal 52 143. Flüchen von gleichem Niveau auf der Richtung der Bewegung stehen müssen, nahezu vertikal sein werden, daß sich also in einer jeden solchen Querschicht der hydraulische Druck von Punkt zu Punkt merklich ändern wird. Diese Variation des Druckes innerhalb Ein und desselben Quer- profiles konnte bei der Bewegung in Gefäßen oder Röhren dann vernachlässigt werden, wenn die Richtung des Profiles horizontal oder wenn die Größe des Profiles, absolut genommen, sehr klein war, oder auch dann noch, wenn sich die Flüssigkeit in dem Profile mit so geringer Geschwindigkeit bewegte, daß dieselbe an der fraglichen Stelle des Gefäßes als ruhend gedacht werden konnte. Alle diese Voraussetzungen treffen bei der Bewegung des Wassers in Kanälen in der Regel nicht zu, und da es bei der späteren Entwickelung von Wichtigkeit sein wird, das Gesetz zu kennen, nach welchem der hydrauilsche Druck in einer so bewegten Flüssigkeit vom freien Oberspiegel bis auf den Boden variirt; so wollen wir die hierauf abzweckende Untersuchung vorausschicken. Denken wir uns eine prismatische ringsherum geschlossene Röhre ^LI)6 mit gerader Are und mit beliebigem, aber konstantem Querschnitte L kOü. Diese Röhre sei unter dem Winkel gegen den Horizont geneigt, und eine Quantität Flüssigkeit nüock, deren Endflächen in den Ebenen er- und eck gehalten werden, gleite in derselben herab. Wenn gegen die Endflächen nd und eck derselbe Druck ausgeübt wird, und die Wände der Röhre äußern nicht die mindeste Reibung oder Adhäsion gegen die Flüssigkeit; so wird die ganze Masse «Lock mit gleichförmig beschleunigter Geschwindigkeit ab- und hydraulischer Druck iu einem Wasserstromc. SS wärts gleiten, indem ein jedes Masscntheilchen eine unter dem Winkel ^ gegen den Horizont geneigte gerade Linie beschreibt. Die Flüssigkeit ist in diesem Zustande nicht im Gleichgewichte, weil die Bewegung der einzelnen Theilchen nicht gleichförmig ist. Stellt IM die vertikal gerichtete Wirkung § der Schwere auf irgend ein solches Theilchen AI dar, und zerlegt man diese Kraft parallel und normal zu der Richtung der Bewegung jenes Theilchens in die beiden Komponenten 8AI —§8,»,, und YM—so wird die beschleunigte Bewegung des Theilchens AI durch die stetig wirkende Kraft hervorgebracht. Bringt man also auf dasselbe Theilchen in der seiner Bewegung direkt entgegengesetzten Richtung IM dieselbe Kraft IM—§8iny an; so wird dadurch die Bewegung in den Zustand der Gleichförmigkeit übergeführt, und nach dem d'Alembcrtschen Prinzipe muß Gleichgewicht stattfinden, wenn man sich ein jedes Theilchen, wie AI, von den beiden Kräften IM —A in vertikaler und KAI--in der entgegengesetzten Richtung des Gefäßes belebt denkt. Die Resultante der letzteren beiden Kräfte ist HAI, eine Kraft, welche — Aoos»? ist und auf der Richtung des Ge- fälles perpendikular steht. Da nun die Flüssigkeit unter der Wirkung der Kräfte HAI — ALosy im Gleichgewichte sein muß; so folgt aus den Prinzipien des §s 6, daß sämmtliche Flächen von gleichem Niveau oder in denen derselbe Druck herrscht, Ebenen bilden werden, welche auf der Richtung HAI normal stehen, also unter dem Winkel gegen den Horizont geneigt sind. Ist nun der Druck in der obersten Fläche ne von gleichem Niveau gleich p', und man bezeichnet den normalen Abstand mAl irgend eines Punktes m von dieser obersten Fläche mit /r, auch das Gewicht der Volumeinhcit der Flüssigkeit mit rv; so folgt hier ganz ebenso wie in §. 125 bei dem Falle, wo die Flüssigkeit in einem Gefäße auf einer geneigten Ebene herabglitt, daß der hydraulische Druck p im Punkte m p — Z- roov8 »z sein wird. Wenn man die vertikale Tsese mrr des Punktes m unter der höchsten Fläche von gleichem Niveau mit r bezeichnet; so hat man auch, da ?i —Leo«»- ist, 84 143. Flächen von gleichem Niveau p -s- A) r0V8^ 1). Denkt man sich von IVl die Horizontale Up gezogen; so ist nip—Lcos^. Der in nr herrschende Druck entspricht also dem Gewichte einer Flüssigkeitssäule von der Höhe mp und der Flächeneinheit zur Basis, plus dem im Punkte AI selbst herrschenden Drucke p'. Nimmt man endlich an, der hydraulische Druck in der obersten geneigten Fläche ao von gleichem Niveau sei gleich dem atmosphärischen Drucke; so kann man sich die Wand der Röhre an dieser Stelle ganz Hinwegdenken, also die Röhre in ein offenes Flußbett verwandeln, ohne daß die vorstehenden Gesetze aufhören, Gültigkeit zu behalten. Unter den vorstehenden Voraussetzungen, wo die Flüssigkeit nicht im Gleichgewichte sein konnte, mußte sich ihre Geschwindigkeit mit der Zeit immer mehr und mehr beschleunigen. Nehmen wir jetzt an, die Wände der Röhre üben eine gewisse Reibung oder Adhäsion auf die Flüssigkeit aus, die sich vermöge der Ko- häsion der Flüssigkeit über alle Theilchen derselben verbreite, und welcher zufolge die flüssige Masse nLcko mit einer gleichförmigen Geschwindigkeit in der Röhre herabgleite; so wird die Flüssigkeit gleich von vorn herein unter der Wirkung der auf sie angebrachten Kräfte im Gleichgewichte sein, und man kann zur Bestimmung der Flächen von gleichem Niveau sofort die Prinzipien des §s 6 darauf in Anwendung bringen, sobald man die aus jedes Theilchen wirkenden Kräfte kennt. Diese Kräfte sind aber zuvörderst die Wirkung —§ der Schwere, und außer- GI. (624) und hydraulischer Druck in einem Wasierstrome. S5 dem muß in der Richtung k!Vl eine Kraft wirksam fein, welche im Stande ist, der Komponente 8IV! --ysin», der Schwere das Gleichgewicht zu halten und die beschleunigende Wirkung der Kraft kM in der Richtung »lo zu neutralisiren. Es sind also auch hier, wie vorhin, die beiden Kräfte A und Asini?, unter welchen die Flüssigkeit im Gleichgewichte sein muß. Man hat daher hier dieselben Resultate hinsichtlich der Flächen von gleichem Niveau zu erwarten, wie im vorstehenden Falle. Daraus folgt, daß alle Flächen von gleichem Niveau Ebenen sein werden, welche sich unter dem Winkel ^ gegen den Horizont neigen und dem Gefalle parallel sind, daß man die oberste diesen Ebenen parallele Wand der Röhre entfernen und dafür entweder den leeren oder den lufterfüllten Raum substituiren kann, ohne daß sich der Zustand der Bewegung der Flüssigkeit ändert, und endlich, daß unter Beibehaltung der obigen Bezeichnung p —p' -s- wL 6081 ) > oder > .... (624) p — p'-s-«, r ev8^' den in irgend einem Punkte m stattfindenden hydraulischen Druck darstellt. Damit die vorstehenden Gesetze auf die flüssige Masse abcko Anwendung behalten, ist es nicht nothwendig, daß man sich dieselbe an den Enden durch zwei normale Ebenen aö und eck be- gränzt denkt. Die Figur dieser Endflächen kann ganz beliebig sein, nur ist es erforderlich, daß sich dieselbe nicht im Laufe der Bewegung ändere, wodurch Seitenströmungen entständen und die Theilchen verhindert würden, parallele Wege mit gleichförmiger Geschwindigkeit zu durchlaufen. Man könnte sich daher vorstellen, bei ab und ock seien starre Wände angebracht und durch eine Stange fest miteinander verbunden. Denkt man sich jedoch den Widerstand dieser Wände durch den gleichen Gegendruck zweier bei /raöL und 6cckv befindlichen ähnlichen Flüssigkeitsmassen hervorgebracht; so sieht man, daß alles Vorstehende auch dann noch Gültigkeit behält, wenn die Masse ttbckc der Theil eines größeren Stromes ^KV6 ist. 56 j. 143. Flachen von gleichem Niveau Dem durch die Formel (624) ausgedrückten Resultate widerspricht Navier*), indem er sehr nachdrücklich, wiewol ohne Beweis behauptet, der in irgend einem Punkte m herrschende Druck sei gleich dem, welcher der vertikalen Tiefe mn dieses Punktes unter der freien Oberfläche der Flüssigkeit entspreche, sodaß hiernach p—p'-siror wäre. Die Richtigkeit des vorstehend entwickelten Ergebnisses unterliegt keinem Zweifel. Es scheint, als ob Na vier zu der irrigen Behauptung dadurch gekommen sei, daß er die mit gleichförmiger Geschwindigkeit sich bewegende flüssige Masse zwar richtig wie ein im Geichgewichte befindliches System angesehen, dabei aber unbeachtet gelassen hat, daß dieses System nicht unter der Wirkung der Schwere KAI allein, sondern unter Konkurrenz der in entgegengesetzter Richtung des Gefälles wirkenden Kräfte KAI im Gleichgewichte sich befindet. Die Abweichung des Navierschen Resultates wird augenfällig, wenn man sich die Neigung des Bettes Lv gegen den Horizont sehr groß, fast lothrecht denkt. Alsdann müßte der Druck in irgend einem Punkte m der Flüssigkeit dem unendlich Großen sich nähern, während er doch in der That gleich dem bei AI herrschenden oder gleich dem atmosphärischen zu werden strebt und für ein vertikales Gefälle diesen Werth wirklich erreicht. Wenn einem auf einer geneigten Ebene herabgleitenden schweren Körper AI in entgegengesetzter Richtung seiner Bewegung eine Kraft KAI entgegenwirkt, welche gleich der Komponente 8AI der Schwere in dieser Richtung ist; so wird die Bewegung dadurch gleichförmig und sein Zustand ist der eines Gleichgewichtes, wobei es auf die absolute Geschwindigkeit, mit welcher seine Bewegung eingeleitet ist und fortbesteht, gar nicht ankommt. Deshalb hat die Geschwindigkeit, mit welcher der zuletzt betrachtete Strom aöcko abwärts fließt, auf die Gestalten der Flächen von gleichem Niveau und auf die Stärke des hydraulischen Druckes, welcher sich in irgend einem Punkte m herausstellt, gar keinen Einfluß, ja es ist sogar gleichgültig, ob sich die verschiedenen Fäden desselben, welche sämmtlich eine zu KD parallele Richtung haben, mit derselben oder mit verschiedenen Geschwindigkeiten fortbewegen. ) kösinnv der Schwerpunkte jener beiden Querschnitte von derselben Horizontalebene, 8 und L die Höhen 18 X und mir des Wasserspiegels in den beiden Querschnitten über der Sohle des Bettes, 8z und die Höhen 188 und m?> der Schwerpunkte der beiden Querschnitte über der Sohle des Bettes, ^ und ^ die vom Wasser benetzten Umfänge der beiden Querschnitte, X und M die horizontalen Breiten des Wasserspiegels in den beiden Querschnitten, V und v die mittleren Geschwindigkeiten des Wassers in den beiden Querschnitten K und w, 8 und p die mittleren hydraulischen Pressungen auf die Flächeneinheit, welche in diesen Querschnitten herrschen, » die Länge des Theiles 8m der Are des Stromes zwischen diesen Querschnitten, eine Länge, welche nahezu gleich der von k? ist, 6 die Wassermenge, welche in der Zeiteinheit durch jeden Querschnitt des Stromes geht, § die Geschwindigkeit, welche die Schwere den Körpern in der Zeiteinheit mittheilt, w—z-A das Gewicht der Volumeinheit der Flüssigkeit, wobei zt die Dichtigkeit oder die in der Volumeinheit enthaltene Masse darstellt. Auf die flüssige Masse HINnm wirkt zuvörderst die Schwere und außerdem die durch das Hingleiten längs des Flußbettes hervorgebrachte Reibung oder Adhäsion. Die letztere Kraft ist von ganz ähnlicher Beschaffenheit, wie die in 8. 132 bei der Be- 80 144. Gleichungen für die beharrliche Bewegung Gl. (627) wegung des Wassers in Röhrenleitungen betrachtete Reibung. Fassen wir nämlich irgend eine vertikale Querschicht des Stromes, z. B. die bei mrr ins Auge, deren Querschnitt w, deren benetzter Umfang tz», deren unendlich geringe Stärke und deren Geschwindigkeit v, deren Volum also weis und deren Masse ist; so lehrt die Erfahrung, daß die Wirkung der Reibung auf diese Schicht bei gleichbleibender Geschwindigkeit und Stärke im umgekehrten Verhältnisse mit der Größe des Querschnitts v, und im direkten Verhältnisse mit dem benetzten Umfange tz- variirt. Ändert sich gleichzeitig die Geschwindigkeit v einer solchen Schicht; so variirt jene Wirkung nahezu, wie das Quaörat dieser Geschwindigkeit. Bezeichnet daher, wie früher, k die Wirkung der in Rede stehenden Reibung auf die Massen« einheit der Flüssigkeit, sodaß man unter k auch die Geschwindigkeit verstehen kann, welche diese Reibung der Materie in der Zeiteinheit zu ertheilen oder zu entziehen fähig wäre; so kann man allgemein k — x .... (625) setzen, worin x einen Koeffizienten bezeichnet, welcher aus Versuchen zu bestimmen ist. Man hat gefunden, daß dieser Koeffizient nicht ganz konstant, sondern von der Geschwindigkeit v abhängig ist, indem derselbe ähnlich wie der entsprechende Koeffizient bei Röhrenleitungen aus Gl. (566) die allgemeine Form n — « ss- ^ .... (626) annimmt, worin « und st konstante Größen sind. Nach den Versuchen von Lahmeyer*) an größeren Flüssen, mit welchen die Beobachtungen von Weltmann und Dubuat an größeren und kleineren Kanälen verbunden sind, kann man setzen « — 0,00371, §--0,000691 also x---0,00371 . 0,000691 . . . (627) ') Erfahrungsresultate über die Bewegung des Wassers in Flußbetten und Kanälen. S. 99 Gleichung (12). des Wassers in Flußbetten. «1 Diese Formeln weichen nur unbedeutend von den älteren durch Eytelwein gegebenen Ausdrücken ab, und mögen deshalb für die gegenwärtige Zeit bei praktischen Untersuchungen als Näherungswerthe empfohlen werden. Inzwischen bleiben umfassendere Versuche, durch welche die Art der Funktion >e in ihrer Abhängigkeit von v, sowie die darin einzuführenden konstanten Koeffizienten für möglichst weite Gränzen von v mit größerer Bestimmtheit sich ergeben werden, immer noch sehr wünschenswerth. Lahm eyer glaubt dem Wesen der Funktion x dadurch näher zu treten, daß er dieselbe von dem Wasserstande im Flußbette abhängig macht. Jedoch wählt derselbe zu der hierauf abzwickenden Größe unbegreiflicherweise die Höhe des zeitweiligen Wasser- standes über dem niedrigsten Stande eines gewissen Jahres, nämlich des Jahres 1842, und entwickelt mit Hülfe dieser Größe Formeln, welche sich zwar seinen Beobachtungen etwas näher anschließen, als die vorstehenden, welche aber durchaus keine allgemeine wissenschaftliche Bedeutung haben, da sie lediglich auf die speziellen Flußstrecken Anwendung finden, an welchen Lah- meyer operirt hat, und auch Dies nur unter der Voraussetzung, daß man an diesen Strecken überall und zu jeder Zeit die Höhe des niedrigsten Wasserstandes aus dem Jahre 1842 kenne, um den zeitweiligen Wasserstand darauf beziehen zu können. Außerdem bildet der niedrigste Wasserstand eines bestimmten Jahres für die Bewegung des Wassers in demselben Flußbette zu irgend einer anderen Zeit eine ganz irrelevante Größe, welche mit den hydraulischen Gesetzen jener Bewegung nicht das Mindeste zu schaffen hat, da sie, unbeschadet des augenblicklich herrschenden Zustandes der Flußbewegung, ebenso wol größer, wie kleiner gewesen sein konnte, als sie wirklich war. Nur wenn die geometrische Lage jenes niedrigsten Wafferstandes gegen das Flußprofil gehörig gewürdigt und in den betreffenden Formeln als integri- rendcs Element eingeführt wäre, würden diese auf allgemeine Brauchbarkeit Anspruch machen können; allein dann verschwände der gedachte Wasserstand, als niedrigster eines bestimmten Jahres, gänzlich, und die Formeln würden nur von der geometrischen Lage des zeitweiligen Wasserspiegels gegen das Flußprofil und vielleicht von der Form dieses Profiles selbst abhängig werden. Da in den vorhin mitgetheilten Formeln die Größe § etwa 62 t 144. Gleichungen für die beharrliche Bewegung Gl. (628) nur der 5te Theil von « ist; so wird man in den meisten Fällen, wo die Geschwindigkeit v nur größer, als 1 ist, und wo es nicht auf die größte Schärfe ankommt, das in multiplizirte Glied gegen « vernachlässigen und 0,0038 _(628) setzen können. Dächte man sich den Ausdruck für die Reibung k in die Form k —x'^ v? gebracht; sso müßte x' —8x d. i. Gl. (627) x' — 0,02968 -s- 0,0^5528 Vergleicht man diesen Werth von x' mit dem entsprechenden Werthe von x aus Gl. (566) für Röh- renleitungen, welcher einem ganz ähnlichen Ausdrucke (564^) für k angehört; so findet man, daß der aus (627) abgeleitete Werth von x größer ist, als der Werth aus Gl. (566), daß also der Reibungswiderstand, welchen das Wasser in Flußbetten erleidet, größer ist, als der, welchen dasselbe in einer metallenen Röhren- leitung erfährt, deren Querschnitt und benetzter Umfang gleich dem Querschnitte und benetzten Umfange des Flußbettes ist. Wenn dagegen nach Weisbachs Beobachtung der Reibungswiderstand einer hölzernen Röhre 1,75 mal so groß ist, als der einer metallenen Röhre unter sonst gleichen Verhältnissen; so erkennt man, daß der Reibungswiderstand eines gewöhnlichen Flußbettes oder Kanales kleiner ist, als der einer hölzernen Röhrenleitung, was offenbar nur daran liegen kann, daß bei großen Stromprofilen jener Widerstand etwas schwächer, als der benetzte Umfang wächst, selbst wenn die benetzten Wände immer aus Ein und demselben Materiale bestehen. Da die Bewegung des Stromtheiles wie in parallelen vertikalen Schichten vor sich gehend gedacht wird; so kann man auf denselben ohne Weiteres die Gl. (241) in Anwendung bringen, welche aus ganz ähnlichen Voraussetzungen hergeleitet ist, da es hierbei offenbar ganz gleichgültig ist, ob man sich diese Schichten rings herum von starren Gefäßwänden oder oben von einer Lage atmosphärischer Luft begränzt denkt. Assimilirt man also den vorliegenden Stromtheil der in §. 57 betrachteten in einer Röhre Herabfließenden Flüssigkeitsmenge; so ist der Quer- des WaflerS in Flußbetten. SS schnitt LIN als die obere Endfläche O' und der Querschnitt mrr als die untere Endfläche O" der in jener Röhre fließenden Flüssigkeit anzusehen, und man hat, unter Berücksichtigung der hier gewählten Bezeichnung, in Gl. (241) 0'—LL, 0"—w, p' —k, p"—p, r— 2 " ——r,—L,, — o zu setzen und außerdem das in 2km multiplizirte, wie das inL(^-- multiplizirte Glied, welches letztere aus plötzlichen Querschnittsveränderungen hervorgeht, zu vernachlässigen. Dies gibt k—p-s-«,(r. 0 ist; so erkennt man aus der vorstehenden Gleichung mit Leichtigkeit, daß der Überschuß der lebenden Kraft der unteren Endschicht mrr über die lebende Kraft der oberen Endschicht iVlN oder, was Dasselbe ist, daß die lebende Kraft, welche die ganze Masse bei ihrem Fortschritte um ck« gewinnt, gleich ist der Arbeit der Kräfte ?, p, plus der durch das Gefälle r,—L, entwickelten Arbeit der Schwere, minus der Arbeit, welche auf die Überwindung der Neibungswiderstände verwendet ist. Zur Bestimmung des in dem Querschnitte mrr herrschenden mittleren hydraulischen Druckes auf die Flächeneinheit bemerkt man, daß wenn ^ die vertikale Tiefe irgend eines Punktes unter der Oberfläche beim und ^ den Neigungswinkel des Flußbettes bei m gegen den Horizont bezeichnet, der in dem fraglichen Punkte herrschende Druck nach Gl. (624) -s-wL'cos'^ sein würde, worin den atmosphärischen Druck bezeichnet. Da aber das Gefälle des Flußbettes Ulm überall nur sehr schwach sein soll; so kann man —1 und den fraglichen Druck — setzen. Da nun der vertikale Abstand m,' des Schwerpunktes m des Querschnittes mm von dem freien Spiegel gleich L—L, ist; so hat man für den mittleren in dem Querschnitte mm herrschenden hydraulischen Druck pro Flächeneinheit j. l44. Gleichungen für die beharrliche Bewegung (Gl. 630) P— — K,) und für den entsprechenden Druck im Querschnitte IVlN «,( 8 — 8 ,) Substituirt man diese Werthe für p und k in die vorhergehende Gleichung und beachtet, daß 2 , — 2 —L, und 2z---2 — 8, ist; so kommt Wenn man die vorstehende Gleichung differenziirt, und dabei beachtet, daß 2, 8, V, >6 konstante Größen sind; so kommt oder wenn man für die Wassermenge pro Sekunde tz —cav — KV setzt, cks— ckr ( 630 ) In dieser Gleichung sind im Allgemeinen die Größen m und ih Funktionen von L und § zugleich und r ist eine Funktion von » allein. Nachdem diese Funktionen für einen besonderen Fall gegeben sind, kann vermittelst der vorstehenden Gleichung L als Funktion von « gefunden werden. Wäre das Gefalle, d. h. die gonioMetrische Tangente des Neigungswinkels des Flußbettes gegen den Horizont überall konstant — r'; so hat man Hierdurch wird die obige Gleichung V s w» / V Gl. (632> des WafferS in Flußbetten. 65 und da T die horizontale Breite des Wasserspiegels im Querschnitte mn oder die obere Breite des Querschnittes w darstellt, svdaß ist, x 1 I ck/r oder auch, wenn man « statt H als die Veränderliche betrachten will, 8. 145. Beharrliche und in allen Punkten gleiche Bewegung eines Wasserstromes in einem Bette von konstantem Gefalle und konstantem Querprofile.—Natürlicher Zustand des Stromes. Denken wir uns ein Flußbett mit konstantem Gefälle r und mit einem Querprofile, welches in allen Punkten dieselbe Figur bildet. Auf einen Wasserstrom, welcher sich in diesem Bette bewegt, wird die Gleichung (631) oder (632) anwendbar sein. Aus der letzteren folgt für den Zuwachs, welchen die Größe des Querschnittes « des Stromes in einem beliebigen Punkte bei einem Fortschritte um das Element ck« in der Richtung des Flußbettes erleidet, Wenn der Zähler auf der rechten Seite dieser Gleichung, welcher nur eine Funktion von w ist, für alle Werthe, welche Q, annehmen kann, null wird; so wird das Differenzial rtm ebenfalls für alle Werthe von « gleich null, und mithin der Quer- schitt a, des Stromes eine konstante Größe, welche sich auf die ganze Länge des Stromes nicht ändert. Dieser Fall ist von dem zu unterscheiden, wo der eben gedachte Zähler als Funktion von « gegeben wäre, und man denselben gleich null setzte, um daraus einen Werth für s zu entwickeln, welcher dieser Forderung ein II. 5 S6 j. 143. Beharrliche und überall gleiche Strombewegung. Gl. (kgS) Genüge leistete. Denn alsdann hätte man nicht der Forderung genügt, daß das Differenzial von o, ganz im Allgemeinen, sondern nur für einen gewissen Werth von « gleich null sei, was offenbar nur einem Marimum oder Minimum von M entsprechen würde. Wenn also vermöge der Gestalt des Flußbettes der Gleichung _M3) ein Genüge geleistet wird; so folgt, daß alsdann der Strom auf seine ganze Länge Ein und denselben Querschnitt und mithin auch überall dieselbe Geschwindigkeit besitzen wird. Diesen Anstand wollen wir den natürlichen Zustand des Stromes nennen. Vertauscht man daher für diesen Fall die Größen w und ^ mit den als konstant anzusehenden Größen LZ und so erhält man für die Bedingung, unter welcher der vorstehend bezeichnete natürliche Zustand eines Wasserstromes möglich ist, x r'. oder wenn man für x seinen Werth substituirt und gehörig reduzirt, sr» st tz „ « -—- — —-^ — — —— o ^ S r A r . . . (634) Da der benetzte Umfang V eine Funktion von .6 ist; so gibt diese Gleichung den zwischen dem Gefälle r, der Wassermenge lj und dem konstanten Querschnitte K des Stromes bestehenden Zusammenhang zu erkennen, aus welchem man, wenn je zwei dieser Größen gegeben sind, die dritte berechnen kann. Wenn r und tz gegeben und A gesucht wäre; so wird man die Auflösung der Gl. (634) sehr vereinfachen, wenn man den Koeffizienten st in dem Werthe für x ganz vernachlässigt, und einfach « o? Gl. (03?) i. 140. Beharrliche Strombcwegung. 67 Da (j—L2V ist; so erhält man durch diese Substitution in Gl. (634) für die zwischen den drei Größen r, K und V bestehende Beziehung (636) oder nach Gleichung (635) einfach (637) Bei dem Rechnen nach den vorstehenden Formeln wird es einige Bequemlichkeit mit sich führen, wenn man beachtet, daß bei Zugrundelegung der Werthe für « und /3 aus Gl. (627) 0,0001185, -2----0,0000221, also 0,0000221 0,0001185-j- und wenn man den Werth von O vernachlässigen und für « den Werth aus Gl. (628) substituiren will, daß ^-^-^----0,0001215 S S ist 8. 146. Beharrliche, aber in den verschiedenen Querschnitten ungleiche Bewegung eines Wasserstromes in einem Bette von konstantem Gefälle. Wenn sich die Bedingung (633) nicht erfüllt findet; so wird auch die im vorhergehenden Paragraphe betrachtete in allen Querschnitten gleiche Bewegung der Flüssigkeit nicht stattfinden können. Der Querschnitt und damit die Geschwindigkeit des Stromes werden sich von Punkt zu Punkt der Länge des Flußbettes ändern, wiewol diese Größen, der Voraussetzung gemäß, bei der konstanten Wassermenge des Stromes in jedem bestimmten Punkte des Bettes unveränderlich und von der Zeit unabhängig bleiben, eine Eigenschaft, wodurch die Beharrlichkeit der Strombewe- ( gung charakterisirt wird. 68 ?. 148. Beharrliche Strombewegung Gl. (638) Es wird übrigens, wie im vorhergehenden Paragraphe, angenommen, daß das Bett des Stromes überall ein konstantes Querprofil habe, sodaß die Dimensionen irgend eines Querschnittes c„ des eigentlichen Wasserstromes von der Länge « desselben ganz unabhängig sind. Sieht man daher die Hohe /« des Wasserstandes in irgend einem Querschnitte c-> des Stromes als die unabhängig und « als die davon abhängige Veränderliche an; so erhält man nach Gl. (631) für die Länge § —i>/> des Flußbettes von dem bekannten Querschnitte K bis zu dem gesuchten Querschnitte MN— w .ct/r oder nach Gl. (632), wenn man die Größe des Querschnittes -» als die unabhängig Veränderliche betrachtet, A M . . . . (638) In der letzteren Gleichung ist nach der Voraussetzung die Waffermenge (j pro Sekunde, sowie das Gefalle r eine konstante Größe, der benetzte Umfang sowie die obere Breite n des Wasserspiegels werden bloß Funktionen von w und nicht von ,6, und umgekehrt, verwandelt. » Wenn man in den vorstehenden Gleichungen (641) und (644) statt der Querschnitte >12 und c-, ihre Ausdrücke als Funktionen der Höhen II und /r des Wasserspiegels über dem Flußbette sub- stituirt; so erhält man die Größe s als Funktion dieser Höhen 8 und 8. 147. Betrachtungen über die Figur des oberen Spiegels eines Wasserstromes, welche aus den Gleichungen des vorhergehenden Paragraphs folgen. Die Betrachtung der Figur, welche der obere Spiegel eines Wasserstromes annimmt, ist nicht ohne Interesse. Dieselbe hängt bei einem Strome mit gleichförmigem Gefälle und mit einem Bette, dessen Querschnitt überall dieselbe Figur darbietet, von dem Querschnitte LL, welchen der Strom an einer bestimmten » Stelle innezuhalten gezwungen wird, in einer Weise ab, welche aus der Gl. (641) erkannt werden kann, sobald der gegebene Querschnitt ^ oberhalb der zu betrachtenden Stromstrecke liegt. Befindet sich dagegen der Querschnitt L am unteren Ende der fraglichen Stromstrecke; so stellt Gl. (644) die gesuchte Beziehung dar. Leichter, als durch die obengedachten Gleichungen, 72 r. "7. Figur des Stromspiegels. Gl. (V46) überblickt man jedoch den Zustand des Wasserstromes unter verschiedenen Umständen, wenn man zu den Differenzialgleichungen rekurrirt, aus welchen die Gleichungen (641) und (644) gewonnen sind. Es sei demnach, wie vorhin, und V § r V S alsdann hat man, wenn der gegebene Querschnitt stromaufwärts liegt, nach Gl. (639) ckm — — .... (645) und wenn der Querschnitt ^ stromabwärts liegt, nach Gl. (643) clco — — ^^ rncks .... (646) Untersuchen wir hiernach die Umstände, unter welchen mit einem Fortschritte um die sehr kleine Größe ck« nach der Länge des Flußbettes, und zwar in der Richtung von dem gegebenen Querschnitte ^ her, resp. ein Wachsen oder ein Abnehmen des Querschnittes M des Wasserstromes, mithin ein Steigen oder Sinken des oberen Spiegels in Beziehung zur Grundfläche des Bettes stattfindet. Es ist klar, daß wenn der Werth von ckc-, positiv ist, ein Steigen, und wenn ckco negativ ist, ein Sinken des Spiegels bei dem Fortschritte um ck« eintreten wird. Ob aber ckw positiv oder negativ ist, hängt von den absoluten Werthen ab, welche die als konstant gedachten Größen und L gegeneinander und momentan gegen den Querschnitt annehmen, welcher am Ende der Länge « liegt. Zuvörderst erkennt man nun, daß die Größe ^ den Querschnitt darstellt, welcher der Gl. (635) ein Genüge leisten würde, den Querschnitt also, bei welchem der Strom mit der gegebenen Wassermenge tz und dem konstanten Gefalle r im natürlichen Zustande verharren würde. Hieraus folgt schon im voraus, daß wenn irgendwo der Querschnitt w den Werth ^ erreicht, der §. 147. Figur des Stromspiegcls. 73 Fluß alsdann auf seine fernere Länge diesen Querschnitt unverändert beibehalten wird. Dasselbe ergibt sich aus den Gleichungen (645) und (646), da dieselben für die Voraussetzung co — den Werth ctm —o liefern. Aus den Gleichungen (641) und (644) geht jedoch hervor, daß im Allgemeinen, nämlich immer dann, wenn der Wasserspiegel eine kontinuirliche, nach demselben Gesetze sich verändernde Fläche bildet, der Werth erst in unendlicher Entfernung § vorn gegebenen Querschnitte >6 vollkommen erreicht werden kann, daß also in der Regel der wirkliche Wasserspiegel eine Fläche bilden wird, welche sich dem im natürlichen Zustande bestehenden Wasserspiegel ins Unendliche nähert, ohne denselben jemals ganz zu erreichen. Die Größe 8 ist von nicht geringerer Wichtigkeit, als die Größe Denken wir uns unter derselben auch einen gewissen Querschnitt. Wenn es überhaupt möglich ist, daß der variabele Querschnitt m unter besonderen Umständen den Werth 8 erreicht, was sich aus den Gleichungen (641) oder (644) ergibt, sobald man darin « — 8 setzt und den entsprechenden Werth von s ermittelt; so lehren die Formeln (645) oder (646), daß alsdann der Werth von positiv oder negativ unendlich groß wird. Bei der Annäherung an den Werth 8 wird also der Querschnitt w des Stromes entweder sehr rasch zu- oder abnehmen, und bei der wirklichen Erreichung dieses Werthes einen plötzlichen Sprung machen, bei welchem sich der Spiegel plötzlich um eine endliche Größe hebt oder senkt. Es leuchtet ein, daß unter solchen Umständen die Integrale (641) oder (644) nur bis zu der eben bezeichneten Stelle Gültigkeit haben, wo möglicherweise der Querschnitt 8 erreicht werden kann. Die plötzlichen Erhebungen oder Senkungen des Wasserspiegels beim Durchschreiten des Querschnittes 8 sind unter dem Namen der stehenden Wellen bekannt. Ihre Entfernungen vom gegebenen Querschnitte 42 werden, wie schon erwähnt, gefunden, wenn man in Gl. (641) oder (644) « — 8 setzt. Um die absolute Größe zu bestimmen, welche resp. der größte oder kleinste Querschnitt einer solchen stehenden Welle annimmt, oder die Höhe, um welche sich der Wasserspiegel in der stehenden Welle plötzlich erhebt oder senkt; so betrachte man die Gleichung (645) in der ursprünglichen Form der Gl. (630), indem man 74 147. Figur des Stromspicgels. Gl. (647) t auf der rechten Seite « —also ckw —- v 1 1 —-— Dltv —— — mjHin —»etv und-— A M-- ....(647) setzt. Aus dieser Gleichung erkennt man, daß die bewegende Kraft, welche bei dem Fortschritte irgend einer unendlich dünnen vertikalen Wasserschicht um die Länge cks durch den Fall von der Höhe ckr entwickelt wird, auf folgende drei Wirkungen verwendet wird: 1) um den Reibungswiderstand an den Wänden des Flußbettes auf die Länge cks zu überwinden; 2) um den freien Wasserspiegel um die Hohe ckL zu erheben oder um die fragliche Schicht in vertikaler Richtung nach oben auszudehnen, und 3) um die statthabende Vergrößerung der Geschwindigkeit aller Maffen- theilchen dieser Schicht oder vielmehr der lebenden Kraft dieser Schicht hervorzubringen. Es versteht sich von selbst, daß wenn das Glied ckL negativ ist, sodaß sich der Spiegel auf die Länge 1 ck« nicht hebt, sondern senkt, oder auch, wenn das Glied ^-ck(v^) negativ ist, sodaß sich die Geschwindigkeit der Schicht auf die Länge nicht vermehrt, sondern vermindert, Dies gewisser- maaßen als ein Zuwachs der bewegenden Kraft angesehen werden kann, welcher alsdann mit auf die Überwindung des Nei- bungswiderstandes verwendet wird. Wenn setzt der Querschnitt der in Rede stehenden Schicht gerade den Werth L, also den Werth des Querschnittes unmittelbar vor der stehenden Welle besitzt; so hat man im Vorstehenden gesehen, daß sich alsdann der Spiegel Plötzlich vertikal entweder erhebt oder senkt, sodaß die in L befindliche Schicht, gewissermaa- ßen ohne vorwärts zu schreiten, sich nur in vertikaler Richtung nach oben ausdehnt oder zusammenzieht. Die Größe dieser Ausdehnung oder Zusammenziehung ist offenbar dadurch zu bestimmen, daß man in Gl. (647) sowol das Glied ck-, wie auch das Glied g^ich nM setzt, da diese Glieder nur von dem » Gl. (649) §. 147. Figur des Stromspiegels. 7S eigentlichen Fortschritte der fraglichen Schicht in der Richtung des Flußbettes abhängen. Zu dem fraglichen Zwecke hat man also Äü—— ^-ck(r^) .... (648) zu setzen. Nun sei L der obige Querschnitt des Wasserstromes unmittelbar vor der stehenden Welle, L die Höhe des Wasserspiegels über dem Grunde in diesem Querschnitte, rr die Geschwindigkeit des Wassers in demselben Querschnitte, L' der größte, resp. kleinste Querschnitt in der stehenden Welle, bis zu welchem sich die fragliche Schicht Plötzlich ausdehnt, resp. zusammenzieht, i>' der entsprechende Wasserstand in diesem Querschnitte, «' die Geschwindigkeit des Wassers in dem letzteren Querschnitte. Jntegrirt man die obige Gleichung (648) zwischen den entsprechenden Gränzen L und L' für L, sowie u und rr' für »; so erhält man d'- b ^(u--w'2) .... (649) Da «' eine Funktion von ö' ist; so würde diese Gleichung den gesuchten Werth des Wasserstandes d' im größten, resp. kleinsten Querschnitte der stehenden Welle ergeben. Wäre z. B. das Profil des Flußbettes ein Rechteck von der konstanten Breite so würde man also d. i. L —Ln, L'—L'n, « —u'— L—L atz- (8'2 _ i;2) 2 § 1)2 L '2 ' oder wenn man für seinen Werth L» einführt, 78 r. 147. Figur des Stromspiegels. (L-L)---2^2- haben. Dieser Gleichung wird zuvörderst durch den Werth oder ein Genüge geleistet. Dieser Werth entspricht jedoch dem in Rede stehenden Falle keineswegs, da der Spiegel jedenfalls seine Hohe verändern soll. Dividirt man daher auf beiden Seiten mit dem Faktor 8—8 so kommt 28 '« ' woraus für 8' die beiden Werthe 8'--^(14i3) d. i. entweder 8—6 oder 8'——^. folgt. Man sieht, daß auch von diesen beiden Werthen keiner der Aufgabe ein Genüge leisten kann. Daraus folgt denn, daß die früheren Hypothesen über die Bewegung der Flüssigkeit nach parallelen vertikalen Schichten unter den in §. 144 näher erörterten Verhältnissen durchaus keine Anwendung auf die Bewegung in einer stehenden Welle finden können. Will man jedoch die äußersten Gränzen bezeichnen, um welche sich der Wasserspiegel in einem solchen Wellenberge oder Wellen- thale, welchem der Querschnitt 8 unmittelbar vorhergeht, möglicherweise heben oder senken kann; so beachte man Folgendes. Wenn N die Stelle vor dem Wellenberge oder Wellenthale ist, wo sich der Spiegel der Flüssigkeit aus dem Querschnitte 8 plötzlich vertikal zu erheben oder zu senken strebt; so werden die auf dem Boden bei LI befindlichen Waffertheilchen ein Bestreben haben, in paralleler Richtung zum Bette fortzuschreiten, die an der Oberfläche bei N befindlichen Theilchen werden dagegen ein Bestreben haben, in vertikaler Richtung resp. aufwärts GI. «6S») z. 147. Figur des Stromspiegels. 77 oder abwärts zu steigen, während die zwischen M und IV liegenden Theilchen sich in schrägen Richtungen fortzubewegen streben. Nehmen wir daher nähe- rungsweise an, die ganze Schicht lillV besitze eine mittlere Geschwindigkeit u in der Richtung krr, welche unter einem Winkel von 45» gegen den Horizont geneigt und vor dem Wellenberge nach oben, vor dem Wellenthale dagegen nach unten gekehrt ist. Zerlegt man rr in ihre beiden horizontalen uud vertikalen Komponenten ku, —und —^ 2 ? s» wird ^ 2 —u, sein. Bezeichnet man die Masse der Schicht A1IV mit nr; so wird ihre lebende Kraft, solange sie den Querschnitt UIV —k erfüllt, — 2^,2 sein. Ist ferner rr' die Geschwindigkeit dieser Schicht im höchsten, resp. tiefsten Querschnitte mm —L' des Wellenberges oder Wellenthales, eine Geschwindigkeit, welche natürlich parallel zum Flußbette IVIm gerichtet ist, indem der Spiegel bei n ebenfalls dieser Richtung parallel und alle frühere Geschwindigkeit in vertikaler Richtung darauf verwendet ist, den Spiegel möglichst hoch zu erheben oder möglichst tief zu senken; so wird die lebende Kraft der fraglichen Schicht im Querschnitte L' sein. Substituirt man demzufolge —«,^->-« 2 ^ — 2«,^ für in Gl. (649); so wird dieselbe L'-r.--^(2»,--rt'2) _(650) Da immer in der Zeiteinheit die Waffermenge A sowol durch den Querschnitt L, wie durch den Querschnitt L' gehen muß; so leuchtet ein, daß man ^ und — haben müsse. Führt man diese Werthe ein, indem man gleichzeitig L-ö'— und »2 setzt; so kommt nach gehöriger Reduktion ^ 28'» —4LL'2-s-L» —<>. Diese Gleichung hat die drei Wurzeln 78 147. Figur des Stromspiegels. 8'--1,8558, ---0,5978, ——0,4528, wovon die erstere sich auf den Fall eines Wellenberges, die zweite auf den eines Wellentales bezieht und die letzte, als negative Größe, ganz von der in Rede stehenden Aufgabe ausgeschlossen ist. Man sieht hieraus, daß sich der Wasserspiegel im höchsten Punkte des Wellenberges nicht bis zur doppelten Höhe des Querschnittes 8 erheben, und sich im tiefsten Punkte des Wellentales nicht bis zur halben Höhe des letzteren Querschnittes senken kann. Kehren wir fetzt zu der anfänglich angekündigten Untersuchung der Fälle zurück, in welchen bei einem stetig fortschreitenden Wasserstrome der Spiegel sich allmählig erheben oder senken, wo also der Werth von cka, entweder positiv oder negativ ausfallen wird, wenn man in der Richtung des Flußbettes um das Längenelement ck« fortschreitet. Liegt der konstante Querschnitt Q stromaufwärts, wird also die Länge « mit der Strombewegung gerechnet; so gilt die Formel (645), nämlich — L» rcrcks. Es leuchtet ein, daß ckw positiv sein wird, wenn gleichzeitig ai > und w > 8, wenn und a><^8 ist; ferner daß ck« negativ sein wird, wenn w > ^ und w < 8, wenn und w>8 ist. Es sei demnach in einem Flusse zuvörderst t ^>8 oder nach den Gleichungen (640) -c — > r; (Näherungsweise wird Dies in sehr breiten Flüssen, wo nahezu §. 147. Figur des StromfpIegclS. 79 k a: ist, eintreten, wenn oder 0,0038>r, das Gefälle also möglichst schwach ist). Hat man alsdann gleichzeitig 1) so wird ctc-) positiv sein, 2) und so wird cic-, negativ sein, 3) so wird positiv sein. Ist aber in einem Flusse oder l/- (ist also Näherungsweise in sehr breiten Flüssen 0,0038 < r, das Gefälle also möglichst stark) und gleichzeitig 4) so wird ck« positiv sein, 5) und so wird ctw negativ sein, 6) « < H.; so wird ckw positiv sein. Stellen wir die aus vorstehenden 6 Fällen entspringenden Folgerungen bildlich dar, und zuvörderst in der seitstehenden Figur die aus den ersten 3 Fällen, wo ist. ist die Höhe des Querschnittes ML die des Querschnittes L und AliV die des konstanten Querschnittes 42, welcher auf irgend eine künstliche Weise, etwa dadurch erzeugt wird, daß das Wasser unter einer vertikalen Wand iVO hervorspringt. Ist nun 42 > 2 ^, wie in Fig. (1); so würde sich der Spiegel fortwährend mehr über das Flußbett zu erheben streben. Übrigens muß die Kurve bin in allen Punkten ein Gefälle nach unten haben, und kann niemals nach oben ansteigen; denn setzt man ^ —lt/r und rct«—tkr; so lehrt die Gleichung 80 z. 147. Figur des Stromspiegels. f - Lb rsr, in welcher der Faktor von ckr ein echter Bruch ist, daß das Wachsthum ck/r des Wasserstandes über der Sohle des Flußbettes geringer ist, als der Fall ckr dieser Sohle auf die Länge ck« des Flußbettes. Wäre L; so würde ck/r —ckr, also der Spiegel N» horizontal werden. Bei diesem Falle muß noch bemerkt werden, daß wenn es wirklich durch künstliche Mittel gelungen ist, stromaufwärts einen Querschnitt HIN —42 zu erzeugen und festzuhalten, welcher größer ist, als der natürliche Querschnitt HI^ —es behuf Anwendbarkeit der in Z. 144 entwickelten Theorie immer noch darauf ankommt, sich zu vergewissern, daß die Strombewegung auch im ganzen Verlaufe des Flußbettes in parallelen vertikalen Schichten vor sich gehe. Ist das Letztere nicht zu erreichen, und kann es nicht verhindert werden, daß sich der Spiegel an irgend einer späteren Stelle stärker senke, als das vorstehende Gesetz angibt; so wird Dies zur Folge haben, daß sich die Theilchen der einzelnen Schichten nicht sämmtlich parallel zum Flußbette, sondern zum Theil in geneigten Richtungen nach unten bewegen und demgemäß zu ihrer eigenen Fortbewegung die Entwickelung einer größeren lebenden Kraft erfordern, als bei der parallelen Bewegung erforderlich war. Die auf diese vermehrte lebende Kraft zu verwendende Arbeit wird alsdann nicht mehr disponibel sein, um den Wasserspiegel über das Grundbett zu erheben; der Spiegel wird nach einem anderen, als dem vorstehenden Gesetze sich senken und ein Bestreben haben, den natürlichen Querschnitt anzunehmen. Ist 42 aber >L, wie in Fig. (2); so wird sich der Spiegel erst senken und den Querschnitt L bei ir in einem Punkte erreichen, dessen Abstand von 42 aus Gl. (641) gefunden wird, wenn man darin c->-L setzt; alsdann wird der Spiegel dicht unterhalb n ein Wellenthal bilden, darauf wieder ansteigen und nun, streng genommen, um die Höhe des Querschnittes L fortwährend Wellenbewegungen einschlagen. Liegt jedoch die Höhe des natürlichen Querschnittes ^ niedriger, als die höchste Spitze eines Wellenberges; so wird der Spiegel bei zr in den natürlichen Zu- » k. 147. Figur des StromspIegelS. 81 t l' stand übergehen. Aber auch, wenn Dies nicht der Fall, wenn also bedeutend größer ist, als der größte Querschnitt des Wellenberges, wird die vorhin bezeichnete stetige Wellenbewegung nicht von Bestand sein können, weil die lebende Kraft des auf« und abgeschleuderten Wassers sehr bald durch innere Störungen und durch die Reibung an den Uferwänden vernichtet, und alsdann das Wasser, welches nicht fähig ist, mit einer dem Querschnitte k zukommenden Geschwindigkeit abzufließen, stagniren und das stromaufwärts befindliche Wasser solange hemmen würde, bis dasselbe sich zu dem natürlichen Querschnitte erhoben hätte. In solchen Fällen wird denn in der Regel der Spiegel des Unterwassers bis dicht an die Wand KO herantreten und die Fläche ^.p bilden. Ist wie in Fig. (3); so wird sich der Spiegel erheben, bei n die Höhe des Querschnittes 8 rasch durchschreiten, einen Wellenberg bilden und, ähnlich wie im vorstehend betrachteten Falle, statt der fortwährenden Wellenbewegung um die Höhe L, entweder in der Linie lVrrp den natürlichen Querschnitt ^ erreichen oder denselben schon unmittelbar hinter der Wand NO annehmen. Betrachten wir setzt die letzten 3 Fälle, in welchen ^.<8 ist. Ist hierbei sr>8, wie in Fig. (4); so wird sich der Spiegel Am nach der obigen Theorie fortwährend heben müssen, sa die Linie Nn müßte sogar, da setzt in der Formel lk/r der Faktor von ckr ein unechter Bruch ist, ein verkehrtes Gefälle II. 6 82 r. 147. Figur des StromstilegelS. stromaufwärts annehmen. Bei diesem Falle ist jedoch Dasselbe zu bemerken, wie bei dem aä (1) gedachten Falle. Die Bewegung des Wassers wird nämlich in den meisten Fällen nicht in parallelen Schichten erfolgen, und der Spiegel wird sich auf die natürliche Hohe des Querschnittes ^ Herabsenken. Ist aber wie in Fig. (5); so wird sich der Spiegel fortwährend Herabsenken und sich der Höhe des natürlichen Querschnittes ^ immer mehr nähern, ohne dieselbe, streng genommen, ganz zu erreichen. Ist wie in Fig. (6); so wird sich der Spiegel fortwährend heben und sich ebenfalls der Höhe des natürlichen Querschnittes ^ immer mehr nähern, ohne dieselbe je vollkommen zu erreichen. Die letzten beiden Fälle sind die in der Praxis am meisten vorkommenden, auf welche auch die Gl. (641) die genaueste Anwendung findet. Wenn jetzt der konstante Querschnitt K stromabwärts liegt, sodaß die Länge s der Strombewegung entgegen gerechnet wird; so gilt die Gl. (646), nämlich , «b — . — zz» Hiernach wird ck« positiv sein, wenn und gleichzeitig wenn und c» > i; ist; ferner wird ctw negativ sein, wenn und «>L, wenn « < ^ und «L ist. Es sei daher in einem Flusse zuvörderst oder nach den Gleichungen (640) Näherungsweise wird Dies, wie schon früher bemerkt, in sehr 83 147. Figur des StromspiegklS. breiten Flüssen, wo nahezu ^ — 2 ist, stattfinden, sobald oder 0,0038 > r ist). Hat man alsdann gleichzeitig 1) so wird «icu negativ sein, 2) und «>8; so wird ckm positiv sein, 3) «<8; so wird ckw negativ sein. Ist aber in einem Flusse < 8 oder (d. i. Näherungsweise in sehr breiten Flüssen 0,0038 8; so wird cicu negativ sein, 5) « <8 und so wird clcu positiv sein, 6) a» so wird elcu negativ sein. Um die vorstehenden 6 Fälle durch bildliche Darstellung anschaulicher zu machen; so betrachte man zuvörderst die ersten 3 Fälle, bei welchen ^r>8 ist, und ebenso, wie vorhin, den Querschnitt i88 den Querschnitt 8 und üliV den Querschnitt sr darstellt. Ist alsdann wie in Fig. (l); so würde sich der Spiegel immer mehr senken und ein Bestreben haben, in unendlicher Entfernung die Höhe des natürlichen Querschnittes ^ zu erreichen. Übrigens bemerkt man, daß die Kurve in allen Punkten stromaufwärts ansteigt, also in der Richtung des Stromes ein eigentliches Gefällt besitzt. Denn setzt man —und reis——so folgt aus der Gleichung ik/i «3 — L* cir. Worin «Zr eine durchaus negative Größe ist, deren absoluter Werth ckr' sei, svdaß man 84 i. 147. Figur des Stromstiegels. ct/r — ^ M» — 8^ 8, wie in der obigen Fig. (2); so wird sich der Spiegel erheben und ein Bestreben haben, der Höhe des natürlichen Querschnittes 4 immer näher zu kommen, während derselbe diese Höhe, streng genommen, erst in unendlicher Entfernung erreicht. i- 147. Figur des Stromspiegels. 88 Ist LZ- i. ISO. Begriff und Ursachen des Staue«. Wirkung der Stauwerke in einem Wasserstrome. 8. 150. Begriff und Ursachen des Staues. Mancherlei Bauwerke, welche in dem Bette eines Flusses ausgeführt werden, haben eine Verengung des natürlichen Querschnittes des Stromes und demnach eine vermehrte Geschwindigkeit des Wassers an dieser Stelle zur Folge. Eine solche vermehrte Geschwindigkeit kann aber nur durch eine vermehrte Druck- höhe oberhalb des gedachten Bauwerkes erzeugt werden, und die nächste Folge der gemachten Anlage ist, daß sich der Spiegel stromaufwärts bis zu einer gewissen Höhe und bis auf eine gewisse Entfernung erhebt. Diese Erhebung des Wasserspiegels über den natürlichen Stand nennt man Stau, und die Anlage, welche den Stau verursacht, in Beziehung auf diese Wirkung, ein Stauwerk. Die Entfernung vom Stauwerke, bis auf welche eine wirkliche Aufstauung des Wassers stattfindet, heißt die Stauweite. In den nachfolgenden Paragraphen wollen wir die gewöhnlichsten Ursachen des Staues näher betrachten und den Querschnitt oder die Stauhöhe bestimmen, welche das Wasser unmittelbar vor dem Stauwerke stromaufwärts annehmen wird. Substituirt man alsdann den zuletzt gedachten Querschnitt in die Formel (644) für die Größe K; so wird man vermittelst dieser Formel und unter Beachtung der Erläuterungen des 8s 147 im Stande sein, die Gestalt des Wasserspiegels zu bestimmen, welchen der Strom, dessen Gefalle auf eine geraume Strecke als gleichmäßig gedacht wird, oberhalb des Stauwerkes annimmt. Wäre das Gefalle oder der Querschnitt des Flußbettes ganz unregelmäßig; so müßte man sich zu dem vorstehenden Zwecke der Näherungsformel (652) bedienen. Was die Stauweite betrifft; so geht aus §. 147 hervor, 8 _ daß wenn ^ den natürlichen Querschnitt x/-^- ferner V s r s _ L den Querschnitt urii> g den Querschnitt des Stromes unmittelbar oberhalb des Stauwerkes, welcher letztere also immer sein wird, bezeichnet, die Stauweite unendlich > 92 151. Stauhöhe bor einem Schühbrettc, wenn die groß sein wird, sobald man ^>8 hat, also in der Regel bei Flüssen mit schwachem Gefalle, bei denen das Gefalle r < 0,0038 ist; daß dagegen die Stauweite einen endlichen Werth hat, sobald ^<8 ist, also in der Regel bei Flüssen mit starkem Gefalle, bei denen r>0,0038 ist. Im ersteren Falle nähert sich der Wasserspiegel immer mehr und mehr der Höhe des natürlichen Querschnittes ohne dieselbe, streng genommen, jemals ganz zu erreichen; in dem letzteren Falle wird zuvörderst mit einer plötzlichen Anschwellung die Höhe des Querschnittes 8 in einem Abstände » von dem Stauwerke, welcher aus Gl. (644) zu berechnen ist, durchschritten, und der Wasserspiegel geht alsdann nach einigen Undulationen, welche eine konstante Lage im Strome behalten, in den natürlichen Querschnitt ^ über. 8. 151. Stauhöhe unmittelbar vor der Öffnung eines Schützbrettes. — Erster Fall; wenn die Schützöffnung ganz vomSpiegel des Unterwassers bedeckt ist. sei die Oberfläche des Wasserspiegels eines Stromes im natürlichen Zustande und 8k die Öffnung eines Schützbrettes, welches normal auf die Richtung des Stromes quer durch das Flußbett gesetzt ist. Es kommt darauf an, die Höhezu bestimmen, um welche sich der Spiegel unmittelbar vor dem Schützbrette über den natürlichen Stand erheben wird. Zu diesem Ende bemerke man, daß der Wafferstand unterhalb des Schützbrettes bei der Disposition der obigen Figur, wo das Flußbett oberhalb und unterhalb des Schützbrettes dieselbe gerade Linie bildet, in der Regel sehr bald die Höhe des natürlichen Querschnittes wieder annehmen, ja sogar in vielen Fällen in dieser Höhe bis dicht vor das Schützbrett treten wird. Man wird also annehmen können, daß sich das oberhalb des Schützbrettes befindliche Wasser in einen Behälter ergieße, welcher gleichfalls mit Wasser erfüllt ist und die Ausflußöffnung bis zur Höhe ganz bedeckt. Das Wasser wird sich durch die Öffnung 88 in Fäden ergießen, welche bei mn die Umfangswände des Flußbettes berüh- Schühöffnung ganz vom Unterwasser bedeckt ist. 93 ren und bei dem Durchgänge durch die Öffnung ebenfalls der Richtung des Stromes parallel sind, und zwar wird hierbei der Querschnitt mrr so nahe vor dem Schützbrette liegen, daß sowol der Spiegel auf die Strecke Nrr, wie die Sohle des Flußbettes auf die Strecke Nr» als horizontal angesehen werden können. Man wird hiernach auch die Bewegung des Wassers vor dem Schützbrette dem Falle assimiliren können, in welchem sich eine Flüssigkeit in parallelen Schichten durch ein Gefäß bewegt, dessen oberer Querschnitt mn und dessen unterer Querschnitt kL ist, und bei dem sehr geringen Abstände der beiden Querschnitte mn und kL wird man den Reibungswiderstand vernachlässigen können, welcher die Flüssigkeit an den Uferwänden zwischen jenen beiden Querschnitten erleidet. Nun sei ^ die Fläche des natürlichen Querschnittes des Stromes, K' die Fläche des Querschnittes NN unmittelbar vor dem Schützbrette, K" die Fläche der Schützöffnung I?L, m der Kontraktionskoeffi'zient für den Durchgang des Wassers durch die letztere Qffnung, also mL" der Querschnitt der stärksten Kontraktion hinter der Schützöffnung, 8 die Höhe N^ des natürlichen Querschnittes, 2' der Abstand des Schwerpunkts des Querschnittes NN—ü' von dem Spiegel bei 2" der Abstand des Schwerpunktes der Schützöffnung kL —L" von demselben Spiegel bei lV, L die Höhe NlV des aufgestaueten Wasserspiegels vor dem Schützbrette über der Sohle des Flußbettes, L die durchschnittliche, als konstant angenommene horizontale Breite des Flußbettes, V die mittlere Geschwindigkeit des Stromes in dem natürlichen Querschnitte p' und p" die mittleren hydraulischen Pressungen auf die Flächeneinheit gegen die Querschnitte K' und K", p der atmosphärische Druck auf die Flächeneinheit, «, das Gewicht einer Volumeinheit des Wassers, Y die Wassermenge, welche der Strom in der Zeiteinheit liefert. Betrachtet man nach dem Obigen mnLk als ein Gefäß, in 84 1SI. Stauhöhe bor einem Schühbrette, wenn die Gl. (V6I) welchem horizontal, iM—Q' ist und in welchem sich die Bewegung der Flüssigkeit in dem Beharrungszustande befindet; so hat man in Gl. (241) 1L —O'—K', O" —m12", ^ —o, k—o zu setzen und das in L multipli- zirte Glied zu vernachlässigen. Dies ergibt V-.... MSI Nun ist, wie in 8. 144, wenn p den atmosphärischen Druck auf die Flächeneinheit darstellt, p' —p-s-«>2', und da der Abstand des Schwerpunktes der Äffnung kL von dem Spiegel ^.6 des Unterwassers—L"—(^—8)—8 ist, p"---p-s-w(L"—^-s-8). Setzt man diese Werthe in die vorstehende Gleichung (659); so kommt L—«—-H—(^-^72-^ 72 ) ' - - ' (660) oder auch, wenn man H setzt, —....(661) In diesen letzten beiden Gleichungen ist der Querschnitt 1?—M eine Funktion der Stauhöhe k—M; man wird also, nachdem diese Funktion bekannt ist, Eine dieser Gleichungen für ^ auflösen und den gesuchten Werth dieser letzteren Größe bestimmen können. Ebenso leicht könnte man diese Gleichung für 12' auflösen und somit den Werth des aufgestaueten Querschnittes kllV berechnen. Wenn der Querschnitt des Stromes als rechtwinklig angenommen wird; so hat man 12' und mithin nach Gl. (661) Gl. ( 684 ) SchützSffmmg ganz vom Unterwasser bedeckt tst. SS ^ H —....(662) Diese Gleichung ist vom dritten Grade in Beziehung zu Will man deren Auflösung vermeiden und sich mit einem Näherungswerthe begnügen; so kann man zuvörderst in dem Nenner 2 ?^ statt E die Höhe H—KL des natürlichen Querschnittes oder in Gl. (661) LZ' —^ setzen. Nachdem man hierdurch aus Gl. (662) unmittelbar einen ersten Näherungswerth für ? gefunden hat, ergibt eine Substitution dieses Werthes für ^ in den Nenner einen zweiten genaueren Werth für Wollte man jedoch sofort die kubische Gleichung für ? auflösen; so geschieht Dies am einfachsten in der Form >r - V a- tz- .... (663) Setzt man in dieser Gleichung LL' ; so kann man daraus unmittelbar auf die Größe des Querschnittes LZ'—SM schließen, welchen das aufgestauete Wasser dicht vor dem Schützbrette einnimmt, und welcher für K in Gl. (644) zu substituiren sein würde, wenn man die Gestalt des Wasserspiegels stromaufwärts vom Schützbrette weiter verfolgen wollte. Wenn man sich schon aus andern Gründen veranlaßt gesehen hätte, die aus den früheren Untersuchen, namentlich aus 8.147, bekannte Größe U— oder L»—zu berechnen; so würde sich die vorstehende Glei- s chung behuf Berechnung von >6' auch auf die Form .... (664) bringen lassen, worin ^ den natürlichen Querschnitt -rH darstellt. Für den Kontraktionskoeffizienten m in diesen Gleichungen wird man, wenn die Schützöffnung in einer dünnen Wand liegt, im Durchschnitte den Werth m —0,6 substituiren können. SS r. 152. Stauhöhe, wenn d.SchühLffn. frei in d. Lust ausmündet. Nl.(ÜSS) §. 152. Zweiter Fall; wenn die Schützöffnung frei in die atmosphärische Luft ausmündet. Wenn die Sohle des Flußbettes unterhalb des Schützbrettes nicht eine Verlängerung des Bettes oberhalb des Schützbrettes mit demselben Gefalle bildet, sondern sich plötzlich senkt, sodaß der Spiegel des Unterwassers bei O tiefer steht, als der tiefste Punkt k der Schützöffnung; so gilt auch für diesen Fall die Gl. (659), worin nur für den äußeren Druck p" gegen die Flächeneinheit der Schützöffnung kL der geeignete Werth zu substituiren wäre. Was den letzteren Werth des Druckes p" anlangt; so würde man dafür unter den vorstehenden Umständen den atmosphärischen Druck p zu setzen haben. Dies ergibt statt Gl. (660) ^ 2 § Bezeichnet man mit Hz die Höhe des Schwerpunktes der Schützöffnung kL über der Sohle LI des oberen Flußbettes; so ist 2"^-» 2 , also ä 1 (665) oder auch 2 A Hierin ist wiederum der Querschnitt >6' des Stromes vor dem Schützbrette eine Funktion der Höhe und wenn dieser Querschnitt als rechtwinklig angenommen wird; so hat man Gl.(809) j. 153. Stauhöhe, w.d.Schützöffn.z. Theil v.Untcrwaffcr bedeckt Ist. 97 mithin . ^c^/i_l > ^ 2 2oV,rr^'^ .... (667) Auf diese Gleichung finden dieselben Bemerkungen Anwendung, wie auf Gl. (662). Mit Umgehung der strengen Auflösung derselben, erhält man einen in den meisten Fällen genügenden Näherungswerth, wenn man zuvörderst das Glied — ^ d 1 1 auf der rechten Seite setzt, darauf den Werth von ^ berechnet, diesen Werth alsdann nochmals statt ^ in das Glied 1 auf der rechten Seite substituirt und darauf den Werth von ^ nach Gl. (667) zum zweiten Male ermittelt. Eine genaue Auflösung dieser Gleichung ist übrigens am leichtesten in der Form /ly / 2 s ^«2 . . ( 668 ) zu bewirken. Auch ergibt sich der Werth des Querschnittes LZ'—leicht durch die Gleichung /LV s2a:»2 VLL' - I. U worin L den bekannten Werth hat. . . (669) 8. 153. Dritter Fall; wenn ein.Theil der Schützöffnung von dem Spiegel des Unterwassers bedeckt ist. Wenn sich die Sohle des Flußbettes unterhalb des Schützbrettes dergestalt fortsetzt, daß die Höhe des Spiegels 6 des Unterwassers zwischen dem höchsten und niedrigsten Punkte der Schützöffnung Lk liegt; so wird man zur Bestimmung des äußeren Druckes gegen 7 II. 98 r. 1S3. Stauhöhe, w. d. Schützöffn. z. Theil v, Unterwasser bedeckt ist. Gl. (671) diese Öffnung annehmen können, dieselbe sei durch den Spiegel des Unterwassers in zwei Theile L5 und 5 k getheilt, von welchen der obere Theil k5 das Wasser in die freie Lust ergieße, während im unteren Theile 5 k der Ausfluß unter dem Spiegel O des Unterwassers erfolge. Bezeichneten nun m, k/ resp. die Theile L5 und 5k der Schützoffnung kk—L", ferner o, o' und 6 resp. die Höhen k5, 5k und kk; so würde man unter der Voraussetzung, daß die Schützöffnung rechtwinklig wäre, für den Gesammtdruck auf den Theil L5 —« -,ca, für den Gesammtdruck auf den Theil 5k—«a (p-i-rv also für den Gesammtdruck gegen die ganze Schützöffnung kk— (w-j-a>')-s-w'—p 5Z"-s-«ra,'. demnach für den durchschnittlichen Druck p" für jede Flächeneinheit der Schützöffnung , 6 M -p-s- ro haben. Substituirt man diesen Werth statt p" in die Gl. (659) und setzt auch Hz für L"; so kommt oder t-»- 0-2 ^2 y- , j 26 2§ v'2 cr^/ i 26 " 2 s . . (670) . . (671) eine Gleichung, welche in ähnlicher Weise zu behandeln ist, wie die Gl. (661) oder (666). i. 154. Stauhöhe bor einem Überfalle. 99 §. 154. Stauhöhe unmittelbar vor einem Überfalle oder überhaupt vor einem verengten Querschnitte, welcher nach oben offen ist. Bei der gegenwärtigen Aufgabe betrachten wir zuvörderst den allgemeinsten Fall unter folgenden Annahmen: der natürliche Wasserspiegel werde dadurch in die Höhe getrieben, daß bei 51 eine vertikale Wand quer durch den Strom gesetzt wird, welche Einen oder mehrere oben offene rechtwinklige Ausschnitte enthält, also ebenso viel Überfallöffnungen darbietet, durch welche sich der Strom ergießen muß. Außerdem liege die Höhe ^ des natürlichen Querschnittes oberhalb der Sohle I? der Überfallöffnungen, sodaß man annehmen kann, aus dem Theile oder «rr des Querschnittes ergieße sich das Wasser in die freie Luft, während es durch den Theil in einen bis zur Höhe gefüllten Behälter eintrete. Es sei auch hier ^ die Fläche des natürlichen Querschnittes deö Stromes, LZ' die Fläche des Querschnittes 511^ unmittelbar vor dem Überfalle, K" die Fläche der Überfallöffnung nr der Kontraktionskoeffizient für den Durchgang des Wassers durch die Übcrfallöffnung klV, sodaß die Fläche der stärksten Kontraktion des Strahles dicht hinter dieser Öffnung darstellt, II die Höhe 51^ des natürlichen Querschnittes ^ T die Höhe 51des aufgestaueten Querschnittes vor dem über- falle, 1) die Höhe 511? der Sohle des Überfalles über der Sohle des Flußbettes, 6 die Höhe k5i des Wasserspiegels bei rr über der Sohle I? des Überfalles, «' die Höhe des Spiegels des Unterwassers über der Sohle des Überfalles, L, L" resp. die Abstände der Schwerpunkte der Querschnitte und >6" von der Höhe ^ des Spiegels des Oberwassers, tz. IS4. Stauhöhe vor einem Überfalle. 1N0 Gl. (674) L die durchschnittliche, als konstant angenommene horizontale Breite des Flußbettes, L die gesummte horizontale Breite der Überfallöffnungen, V die mittlere Geschwindigkeit des Stromes in dem natürlichen Querschnitte <2 die Wassermenge, welche der Strom in der Zeiteinheit liefert, und /,'/ die mittleren hydraulischen Pressungen auf die Flächeneinheit gegen die Querschnitte und O", p der atmosphärische Druck gegen die Flächeneinheit, «, das Gewicht einer Volumeinheit des Wassers. Man erkennt ohne Schwierigkeit, daß auch für den gegenwärtigen Fall die allgemeine Gleichung (659) Gültigkeit behält, daß man also --'---"-»-«»"-N-Av-(^ 7 - A) .... c67N hat. Hierin ist zu setzen ferner wie in §. 153, außerdem — p -s- r«, 1 . und sr"—L(^-v), E— Dies ergibt oder da ^V —tj ist, (m-S^-i))2 -(67D ^ ^ § - 1 ) §(,»-- - ' (L - 1 ))- -r' c') ' ' ' ' In dieser Gleichung ist eigentlich .r eine Funktion von ^ welche zuvörderst substituirt werden muß, ehe die Auflösung für T vorgenommen werden kann; jedoch wird man in allen praktischen Fällen s als konstant ansehen und für dieselbe die mittlere Gl. (873) 153. Stauhöhe vor einer Brückenöffnung. 101 horizontale Breite des Stromes substituircn können. Auch wird man die vorstehende Gleichung Näherungsweise dadurch auflösen können, daß man zuvörderst in dem Gliede ^ ^ statt des aufgestaueten Querschnittes —den natürlichen Querschnitt sll substituirt und darauf die Gleichung - c°7S) für (^—v) auflös't. Wenn man nach dieser Auflösung einen noch genaueren Werth für ^ kennen lernen will; so kann man in dem zweiten Gliede auf der linken Seite statt ü den für ^ gefundenen Werth substituiren und alsdann die Gl. (675) noch einmal für (?—v) auflösen. Was den Werth des in den vorstehenden Gleichungen vorkommenden Kontraktivnskocffizienten ,» betrifft; so kann man für denselben, wenn die Seiten und die Sohle der Überfallöffnung durch ziemlich dünne Wände gebildet sind und die Kontraktion rings herum stattfindet, im Durchschnitt m — 0,58 setzen. Erstreckt sich die Sohle k des Überfalles durch die ganze Breite des Stromes, sodaß an den Seiten keine Kontraktion stattfindet und man 5—hat; so kann man im Durchschnitte nr — 0,63 annehmen. Diese Werthe des Koeffizienten nr sind aus der Betrachtung der in §. 93 angegebenen Durchschnittswerthe des dortigen Ausflußkoeffizienten « hergeleitet, welcher der Gl. (368) ein Genüge leistet. §. 155. Fall, wo der Querschnitt des Stromes, wie bei Brückenöffnungen, nur von den Seiten eingeengt ist. Wenn die Sohle k des Überfalles mit der Sohle IN des Flußbettes zusammenfällt, sodaß die Kontraktion auf dem Grunde des Flußbettes unterdrückt wird und nur an den Seiten stattfin- 102 t- 156. Stauhöhe bor einem Überfalle, wenn der Gl. (677) det; so hat man in den Gleichungen des vorhergehenden Para- graphs v —o und —H zu setzen. Hierdurch erhält man aus Gl. (674) -"-cnv Wenn die Seiten der verengten Öffnung bei in dem letzteren Falle durch die Kanten dünner Wände gebildet werden; so kann man in dieser Gleichung im Mittel m — 0,65 nehmen. Bestehen diese Seiten jedoch aus parallelen Wänden, welche auf eine gewisse Strecke in der Richtung des Stromes fortlaufen, wie bei Gerinnen und namentlich bei Öffnungen der Brücken mit massiven Pfeilern; so hat man nach Na vier bei Brückenöffnungen durchschnittlich: wenn sich die Pfeiler in Halbkreisen oder spitzen Winkeln endigen, m —0,95; wenn sie sich in stumpfen Winkeln endigen, m-0,9; wenn sie sich rechtwinklig endigen, bei großen Brückenöffnungen, m — 0,85; in den ungünstigsten Fällen, d. h. bei kleinen Brückenweiten und wenn die Anfänge der Gewölbe in das Wasser tauchen, r» — 0, 7. §. 156. Fall, wo der Spiegel des Unterwassers tiefer liegt, als die Sohle des Überfalles. In diesem Falle, wo der Punkt k höher liegt, als und wo sich der Strom über den Überfall hinweg ungehindert in die freie Luft ergießt, hat man in den Gleichungen des 8s 154 o zu setzen. Dies gibt statt Gl. (674) .-ir-9V 1 _^ A — v)2 ( 677 ) Gl. (679) Spiegel deS Unterwassers unter der Sohle deS Überfalles liegt. 103 und statt Gl. (675) oder auch 0)2 -L1_- AM2-2 — o / 1 ^ »»2K2X 1 X . _ . . (678) auf welche letztere Gleichung hinsichtlich ihrer Auflösung dieselben Bemerkungen zu machen wären, welche bereits bei Gl. (675) angeführt sind. Der Koeffizient m hat auch hier, wie in §. 154 resp. den mittleren Werth 0,58 oder 0,63, jenachdem die Kontraktion an beiden Seiten und auf der Sohle oder nur auf der Sohle des Überfalles stattfindet. Wäre der Querschnitt des Stromes nur von den Seiten her verengt; so müßte, wenn der Spiegel O des Unterwassers tiefer liegen sollte, als die Sohle jenes Querschnittes, bei I>I? Plötzlich ein stärkeres Gefälle in der Sohle des Flußbettes eintreten, was sich auch bei verschiedenen Wasserleitungen vorfindet. Man hätte alsdann neben der Substitution von — o noch v—o zu setzen, wodurch sich die Gl. (674) oder (677) auf oder aus . (679) reduzirt. Der Werth des Koeffizienten m in dieser Gleichung ist, wenn 104 ?. 137. Allgemeine Betrachtungen über den Stoß die Seiten des verengten Querschnittes in dünne Wände einge- schnitten sind, im Mittel r» 0,65, wie schon in §. 155 angegeben. Von» Stoße eines isolirten Strahles einer schweren »npreßbaren Flüssigkeit. §. 157. Allgemeine Betrachtungen über den Stoß eines flüssigen Strahles gegen einen starren Körper. Wir setzen einen flüssigen Strahl voraus, dessen Geschwindigkeit und Richtung in irgend einem Punkte bekannt und auch konstant sind, sodaß derselbe in gleichen Zeiten stets dieselbe Flüssigkeitsmenge liefert. Dieser Strahl trifft gegen die Oberfläche eines starren Körpers und ändert in demselben Augenblicke seine Richtung und seine Geschwindigkeit. Die vorliegende Aufgabe besteht nun darin, die Pressungen zu bestimmen, welche ein solcher kontinuirlicher Strahl in Folge jener Ablenkungen und Geschwindigkeitsveränderungen auf den gestoßenen Körper hervorbringt. Um die Aufgabe möglichst allgemein zu halten, nehmen wir an, die gestoßene Fläche besitze eine gegebene geradlinige und gleichförmige Bewegung, deren Werth gleich null zu setzen ist, sobald diese Fläche ruhet. Für die Praxis sind besonders zwei Fälle des Stoßes eines flüssigen Strahles von Wichtigkeit, auf welche wir die nachfolgenden Untersuchungen beschränken werden, nämlich 1) der Fall, wo die gegen die starre Fläche treffende Flüssigkeit gezwungen wird, ihre ganze relative Geschwindigkeit in Beziehung zu der der Fläche zu verlieren und der Bewegung der letzteren genau zu folgen; 2) der Fall, wo die Flüssigkeit nach ihrem Zusammentreffen mit der Fläche längs derselben ohne Hemmung hingleitet, und die Fläche mit einer relativen Geschwindigkeit verläßt, welche der relativen Eintrittsgeschwindigkeit an Größe gleich ist. In beiden Fällen wird, wie schon erwähnt, allgemein vorausgesetzt, daß sich die gestoßene Fläche in irgend einer geradlini- eines flüssigen Strahles gegen einen starren Körper. 10S gen gleichförmigen Bewegung befinde, welche auch gleich null sein könne. Diese relative Bewegung der Fläche in Beziehung zu der der Flüssigkeit kann jedoch, ohne der Allgemeinheit der Aufgabe Abbruch zu thun, bei den späteren Untersuchungen außer Acht gelassen werden, wenn man dabei Folgendes berücksichtigt. Es sei V die absolute Geschwindigkeit VI>I, mit welcher der flüssige Strahl in der Richtung VK1 gegen die starre Fläche trifft, die absolute Geschwindigkeit mit welcher sich diese Fläche in der Richtung fllll fortbewegt, ^ der Winkel LAIII, welchen die Verlängerung von VU mit der Richtung einschließt, oder welchen die positiven Richtungen der beiden absoluten Geschwindigkeiten V und miteinander bilden, v die relative Geschwindigkeit vfll des eintretenden Strahles in Beziehung zu der der Fläche, P der Winkel /ML oder ViVlv, welchen die positiven Richtungen der Geschwindigkeiten V und v miteinander einschließen, die relative Geschwindigkeit mit welcher die Flüssigkeit die Fläche verläßt, V, die absolute Geschwindigkeit lVV,, mit welcher die Flüssigkeit die Fläche verläßt, ^ der Winkel «ilVrr zwischen den positiven Richtungen der letzteren beiden Geschwindigkeiten. Offenbar wird an dem mechanischen Zustande des ganzen vorliegenden Systemes und an dem Gesetze, welchen die darauf angebrachten Kräfte unterworfen sind, Nichts geändert, wenn man sich denkt, allen Theilen desselben würde Ein und dieselbe einer gemeinschaftlichen Richtung parallele gleichförmige Geschwindigkeit mitgetheilt. Nehmen wir aber an, diese Geschwindigkeit sei der Geschwindigkeit v der starren Fläche an Größe gleich und an Richtung direkt entgegengesetzt; so erhalten wir dadurch ein System, in welchem die Fläche IMN ruhet, wäh- 106 §. 187. Allgemeine Betruchtmigen über den Stoß Gl. (688) rend alle übrigen Theile diejenigen Geschwindigkeiten annehmen, welche man die relativen in Beziehung zu jener Flache nennt. Hieraus folgt, daß die relative Geschwindigkeit v der eintretenden Flüssigkeit durch die Diagonale rM des Parallelogrammes dargestellt wird, welches in obiger Figur über der Geschwindigkeit VM —V der eintretenden Flüssigkeit und der entgegengesetzten Geschwindigkeit DM —v der Fläche entworfen ist. Zur Bestimmung der Größe und der Lage jener relativen Geschwindigkeit findet man hiernach leicht die Beziehungen V — V- — 2 VV co8^ und . Osi'nv 8 IN M —-- v .... (680) . . . (681) Für den Fall, daß sich die starre Fläche in derselben Richtung VM der einfallenden Flüssigkeit bewegt, hat man und v —V—v —v Bewegte sich dagegen die starre Fläche der einfallenden Flüssigkeit direkt entgegen; so hätte man ^-180", also y) — o Befände sich die Fläche im Zustande der Ruhe; so hätte man v—o, also ! .... (684) P — 6) Ist nun Til«, —die relative Geschwindigkeit, mit welcher die Flüssigkeit die Fläche bei IV verläßt, ferner iVre —v die absolute Geschwindigkeit dieser Fläche; so stellt die Diagonale 1XV, des Parallelogrammes v.Nrr die absolute Geschwindigkeit V, dar, welche die Flüssigkeit besitzt, sobald sie die Fläche wieder verlassen hat, und es ergibt sich zur Bestimmung der letzteren absoluten Geschwindigkeit V, — 1/^,r-I-w-s-2v,ve<,H .... (683) * * » « ( 685 ) eines flüssigen Strahles gegen einen starren Körper. 107 Für den ersteren der beiden oben bezeichneten Fälle, welche weiter unten erörtert werden sollen, hat man v,--o also V, —17, und für den zweiten hat man v, — B — V^-j- —2 Vv co«), , also V, —. Aus dem Vorstehenden erkennt man, daß es nur nothwendig sein wird, im Folgenden die beiden Fälle zu betrachten, in welchen stets die starre Fläche als ruhend gedacht wird, während die Flüssigkeit mit der absoluten Geschwindigkeit r>—v!Vl eintritt, und im ersten Falle alle Geschwindigkeit verliert, sodaß —0 ist, und im zweiten Falle mit der Geschwindigkeit «i-v wieder austritt. Falls sich dann die starre Fläche LAIAl ebenfalls bewegen sollte; so stellt « und v, resp. die relative Ein- und Austrittsgeschwindigkeit dar, und man braucht für v nur den Werth aus Gl. (680) zu substituiren, wenn man die Resultate als Funktionen der absoluten Geschwindigkeiten V und 17 darstellen will. Um setzt die Wirkung zu bestimmen, welche sich äußert, wenn irgend eine Masse m, die sich mit der Geschwindigkeit v in der Richtung «AI bewegt, Plötzlich oder in der unendlich kleinen Zeit ckt ihre Richtung und Geschwindigkeit dergestalt ändern soll, daß sie nach dem Stoße in der Richtung AIv, mit der Geschwindigkeit«, fortschreitet; so hat man in 8. 121 gesehen, daß alsdann in dem Punkte AI, wo der Stoß erfolgt, ein Widerstand tz in der Richtung (jAI geleistet werden muß, oder daß die Masse m in direkt entgegengesetzter Richtung tz, AI gegen die feste Widerlage einen Druck tz, ausüben muß, dessen Größe und Richtung durch die Gleichungen (531) dargestellt ist. Der ebenerwähnte und in §. 121 näher erörterte Fall entspricht der vorliegenden Aufgabe umso mehr, se kleiner die Aus- 108 §. 137. Allgemeine Betrachtungen über den Stoß Gl. (686) dehnung der starren Fläche ist, gegen welche der flüssige Strahl trifft, und durch welche derselbe aus seiner früheren Richtung abgelenkt wird, weil alsdann desto eher der Zeitraum, in welchem diese Veränderungen erfolgen, als ungemein klein, und der Ort, in welchem sie sich ereignen, als ein Punkt M angesehen werden kann, und weil außerdem die Wirkung der übrigen auf den Strahl angebrachten Kräfte, z. B. der Schwere, als verschwindend klein gegen die Plötzlich auftretenden Stoßkräfte während der Dauer des Stoßes vernachlässigt werden darf. Ist hiernach v die relative Geschwindigkeit des Strahles in der Richtung «N vor dem Stoße gegen die starre Fläche in Beziehung zu der eigenen Bewegung dieser Fläche, v, die relative Geschwindigkeit desselben in der Richtung nach dem Stoße, K der Winkel viNL, welchen die positive Richtung dieser beiden Geschwindigkeiten miteinander einschließen, tz der stetige Druck, welcher sich in der Richtung tz,AI im Punkte AI gegen die feste Widerlage in Folge des Stoßes äußert, ^ der Winkel LAItz, welchen die positiven Richtungen der relativen Eintrittsgeschwindigkeit v mit der positiven Richtung des Druckes tz einschließt, V die absolute Geschwindigkeit des Strahles vor dem Stoße, welche —v ist, sobald die gestoßene Fläche ruhet, LL der normale Querschnitt des Strahles, «, das Gewicht einer Volumeinheit der Flüssigkeit, § die Geschwindigkeit, welche die Schwere den Körpern in der Zeiteinheit mittheilt; so hat man nach den Gleichungen (531) allgemein tz L 08 ^ — m . V — V, vosA . v,8inV 8M H — m. — — . . ( 686 ) Um die Masse m der Flüssigkeit zu bestimmen, welche in der Zeit ckt gegen die starre Fläche trifft, muß hierbei zuvörderst auf eines flüssigen Strahles gegen einen starren Körper. 108 zwei verschiedene Fälle aufmerksam gemacht werden. Einmal auf den, wo Ein und dieselbe Fläche, welche fortwährend die sukzes- siven Stoße empfängt, mit ihrer absoluten Geschwindigkeit 17 ins Unendliche fortschreitet, und sich demgemäß immer weiter von der Ausflußöffnung des Strahles entfernt, oder sich dieser Öffnung immer mehr nähert; zweitens auf den, wo die starre Fläche fortwährend in demselben Orte des Raumes oder in demselben Abstände von der Ausflußöffnung des Strahles gedacht wird, was natürlich, wenn ihr selbst eine absolute Bewegung zukommen soll, nur dann möglich ist, wenn man das ganze System nur während eines ungemein kurzen Zeitraumes ckt betrachtet und annimmt, daß der Strahl in Jnterwallen von der Dauer ckt immer kleine auf Einen Punkt konzentrirte Quantitäten von der Masse m entsende, oder auch, wenn man sich denkt, die Fläche werde sofort, nachdem sie den Stoß der Masse m empfangen hat, durch eine andere gleiche Fläche ersetzt, welche sich immer wieder in dem anfänglichen Orte des Raumes befindet, wie Dies z. B. nahezu bei den Schaufeln eines Wasserrades stattfindet, welche sukzessive den Stoß des einfallenden Wassers an derselben Stelle empfangen, obgleich sie selbst in Bewegung begriffen sind. Es leuchtet ein, daß der Strahl in der Zeit ckt überhaupt eine Quantität der Flüssigkeit von dem Volum KVckt oder von der Masse liefert. Diese Masse würde, wenn die starre Fläche ganz in Ruhe wäre, während der Zeit clt gegen diese Fläche treffen, sodaß man alsdann m —hätte. Dasselbe würde auch bei einer bewegten Fläche noch stattfinden, wenn man sich denkt, der Strahl lieferte in Intervallen von der Dauer ctr immer eine Masse —-^-KVckt, welche mit Einem Male die Fläche erreichte, wobei man denn das ganze System nur während Eines solchen Intervalles betrachtete, oder auch dann noch, wenn man annähme, die gestoßene Fläche würde augenblicklich, sowie sie sich unmerklich wenig mit der ihr eigenen Geschwindigkeit fortbewegt hätte, durch eine neue gleiche Fläche ersetzt, welche sofort statt der früheren betrachtet würde. Eine solche Annahme entspricht dem zweiten der beiden obigen Fälle, 110 z. 157. Allgemeine Betrachtungen über den Stoß Gl. (88?) für welchen man also ebenfalls — -^-K Vorhat. Hierdurch werden die beiden Gleichungen (686) H ov8 ^LL V (v — v i ov8 S), — ^sLVv, smA« . . ( 687 ) In dem ersten der beiden obigen Fälle jedoch, wo die starre Fläche mit der ihr zukommenden absoluten Geschwindigkeit ins Unendliche fortschreitet und dabei immer dem Stoße Ein und desselben Strahles ausgesetzt ist, nimmt die in dem Zeitraume ckr auf dieselbe treffende flüssige Masse m einen von dem vorstehenden verschiedenen Werth an, der sich durch folgende Betrachtung ergibt, wobei übrigens der Einfachheit wegen die gestoßene Fläche als eine Ebene vorausgesetzt ist. Angenommen, die ebene Fläche LMbl, welche sich mit der Geschwindigkeit (7 in der Richtung IVlk fortbewegt und dem Stoße des Strahles Vül ausgesetzt ist, befinde sich nach Verlauf der Zeit cit in der Lage I/Ll'N', sodaß IVlk —vckt ist. Ist nun der Winkel UNM wie vorhin-)- und der Winkel so istlUIVl' — —Wäre nun die 8Mfi Bewegung des Strahles nicht durch die Fläche aufgehalten worden; so würde sich sein Endpunkt L am Ende derselben Zeit in dem Abstände AlL —Vrtt von M befunden haben. Hieraus folgt, daß nur die der Länge — des Strahles entsprechende flüssige Masse zum Stoße gekommen ist, während die der Länge IVlM--v ckt entsprechende Masse ungehindert geblieben ist und nur die Verlängerung des Strahles VU bildet. Demnach würde man für diesen Fall eines flüssigen Strahles gegen einen starren Körper. IIl A I. «in/; ck in die Gleichungen ( 686 ) zu substituiren haben. Bewegte sich unter solchen Umständen die Fläche mit dem Strahle in derselben Richtung, sodaß man 7 — 0 hätte; so würde m—-^-sL(V-17)ckt S werden, und bewegte sich die Fläche dem Strome direkt entgegen, sodaß man 7 — 180« hätte; so würde m---^LZ(V-s-17)ckr S werden, wobei resp. (V —(7) oder (V-s-17) die relative Geschwindigkeit v des Strahles in Beziehung zu der Fläche darstellen würde. Die letztere Formel würde z. B. dann Anwendung finden, wenn der Strahl absolut in Ruhe, also V—o wäre, und die Fläche sich mit der Geschwindigkeit (7 in der Richtung K 1 V bewegte. Man würde alsdann ebenso M ——^2(7ckt S haben, wie wenn die Fläche ruhete, und der Strahl sich mit der Geschwindigkeit 17 in der Richtung VIVl bewegte. Da übrigens das System in der letzteren Art und Weise, wo sich die den Stoß empfangende Fläche ins Unbestimmte fortbewegt, nur höchst selten eine praktische Bedeutung gewinnen könnte; so werden wir uns im Folgenden vorzugsweise mit dem anderen Systeme beschäftigen, wo die Fläche, wenn sie nicht ruhet, augenblicklich durch eine neue ersetzt wird, sodaß dieselbe, obgleich sie in Bewegung begriffen ist, doch immer nur in Ein und demselben Orte des Raumes betrachtet wird. Auf ein solches System sinken alsdann immer nur die Gleichungen (687) Anwendung. 8 . 158. Stoß eines flüssigen Strahles gegen eine bewegte Fläche, wenn derselbe bei dem Stoße seine ganze relative Geschwindigkeit in Beziehung zur Fläche verliert. 112 i. 158. Stoß eines flüssigen Strahles, wenn derselbe Gl. (KW) Unter Beibehaltung sämmtlicher Bezeichungen des vorhergehenden Paragraphs hat man die relative Austrittsgeschwindigkeit des Strahles gleich null, also o zu setzen. Dies ergibt wegen der Gleichungen (687) also (j sm — o, 1 — 0 ^ s ! . . ( 688 ) Die Fläche hat also in der Richtung «IVl der relativen Ein- trittsgeschwindigkeit des Strahles einen Druck H auszuhalten, welcher durch die vorstehende Formel dargestellt ist. Substituirt man darin für v seinen Werth aus Gl. (680); so erhält man den Druck (j als Funktion der absoluten Geschwindigkeiten V des Strahles und 17 der Fläche. Durch Gl. (681) ist alsdann ferner die Richtung zu bestimmen, in welcher sich der Druck äußert. Der vorstehende Fall findet Anwendung bei der Beurtheilung der Wirkung des Stoßes eines flüssigen Strahles gegen die Schaufeln eines vertikalen Wasserrades. Wenn sich hierbei die Schaufel genau in der Richtung des einfallenden Wassers bewegt; so hat man nach Gl. (682) v — V—17 und demnach w .... (689) Wenn die Fläche ruhet, also 17—o und v-i-v ist; so hat man tz^^rV(V—17) s oder auch .... (690) (j — 2rvKH, Gl.(K82«) 158. ftlne relative Geschwindigkeit beibchält. 113 worin U die der Geschwindigkeit V zukommende Fall« oder Druck- höhe darstellt. Dieser in der Richtung des Strahles sich äußernde Druck ist also gleich dem doppelten Gewichte einer Flüssigkeitssäule, deren Querschnitt gleich dem des Strahles und deren Hohe gleich der Druckhvhe ist. 8. 159. Stoß eines flüssigen Strahles gegen eine bewegte Fläche, durch welche derselbe in einer gewissen Richtung abgelenkt wird, an der Fläche hingleitet und mit seiner relativen Eintrittsgeschwindigkeit auch wieder austritt. Der Strahl VAI trete mit der relativen Geschwindigkeit viVl—v gegen die Fläche welche an den Seiten mit Rändern versehen ist, sodaß sich der Strahl nur nach Einer Seite herum biegen kann und bei N mit der relativen Geschwindigkeit v,—v, welche allen austretenden Massen- thcilchen sowol der Größe, wie der Richtung nach gleich sei, wieder austritt. Ist nun der Neigungswinkel zwischen den positiven Richtungen der Geschwindigkeiten v und , wie in §. 157, gleich ferner der Neigungswinkel LMlZ der Geschwindigkeit v gegen die Richtung des Druckes lj, wie vorhin, gleich so hat man nach den Gleichungen (687) ()v08^ — -^-LLVv(1 —vvsd), Hsin ^ — — sr V v 8inO, s woraus und i ^2 Vv ^ 2(1 — cos A) .... (691) .... (692) 1 -- oot ^ (180»-ö) also H —90"—^ . . . . (692«) 114 r. 139. Stoß cincS flüssigen Strahles, Gl. (694) folgt. Aus dem letzteren Werthe des Winkels LMtz —^ ist leicht zu erkennen, daß die Richtung Ntz des Druckes (j genau den Winkel halbirt, welcher zwischen der negativen Richtung der Einen und der positiven Richtung der anderen der beiden Geschwindigkeiten v und v, liegt. Der vorstehende Fall würde eine Anwendung finden auf den Stoß des Wassers gegen die Schaufeln der horizontalen Wasserräder, wenn man diese Schaufeln, wie bei Turbinen, als sehr klein voraussetzt, sodaß die Wirkung der Schwere vernachlässigt werden kann, welche sich beim Fortgleiten des Wassers längs der Schaufeln bemerklich macht. Wenn sich die gestoßene Fläche in der Richtung VM des Strahles bewegt; so hat man v-V—17, und wenn sich diese Fläche in direkt entgegengesetzter Richtung MV bewegt; so hat man v—V-s-17. Für diese beiden Fälle ergibt sich resp. tz ^ KV (V ^ 17) f/M- co«») ....(693) und stellt den Winkel LIVItz dar. Wäre die Fläche in Ruhe, also 17—«; so würde tz V - 1/2 (1 sein. Wenn man in den letzteren Fällen, in welchen die Richtungen von vlVl und V!Vl zusammenfallen, den in der Richtung Atz sich äußernden Druck tz in seine zwei Komponenten k und 8 zerlegt, von welchen die erstere parallel zum Strahle VA und die letztere perpendikular zu dieser Richtung geneigt ist; so heißt 1> der Parallelstoß und 8 der Seitenstoß des Strahles. Da nun für diese Fälle Winkel XAtz —LAtz —^ ist; so hat man —tze 08 ^ und 8 — d. i. unter Berücksichtigung der Werthe für tzev8^ und tz-siny aus den Gleichungen (691) k»---^^V(Vss7(7)(1 -cosö) ) ^ ^ .... (694) 8 —— QV(V7ss17)8mö 1 Gl. (685--) wenn derselbe seine relative Geschwindigkeit beibehielt IIS Wäre das Stück ÜIIV der Fläche IM IV eben, und zerlegte man den Druck tz in zwei Komponenten IV und ü, von welchen die erstere auf der Ebene normal steht, während die letztere zu IVM parallel ist; so nennt man die erstere Komponente den Normalstoß gegen die fragliche Ebene ÜIIV. Da nun der Winkel v, Utz —ist; so hat man IV — tz8M(A-s-^)—(j 008^81» ^. Berücksichtigt man hierbei die Werthe von(Zeo8^ und ()8in^ aus den Gleichungen (691); so kommt IV 42 V(V Isi l))8inö) .... (695) Die zweite Komponente k! des Druckes (Z parallel zur Ebene NKI ist It —0l!O8 (180" — lt —1-) — —, oder hiervon, halbirte; so hätte man schon im voraus übersehen können, daß der Druck IV—8 und der Druck K —p werden mußte. In den letzteren Gleichungen ist resp. das obere Zeichen — oder das untere Zeichen -s- zu nehmen, jenachdem sich die Fläche IMIV mit dem Strahle oder in direkt entgegengesetzter Richtung bewegt. Es ist noch darauf aufmerksam zu machen, daß die Resultate der Formeln (694) genau mit den auf anderem Wege gefundenen Formeln (537) des 8s 123 übereinstimmen. 8. 160. Gerader Stoß eines flüssigen Strahles gegen eine um die Are des Strahles symmetrische Fläche, an welcher derselbe hingleitet und dann wieder abfließt. IMIV sei eine starre Fläche, welche, um die Are UL sym- 116 j. 160. Gerader Stoß eines flüssigen Strahles metrisch ist. Der flüssige Strahl VI>l trifft dieselbe in der Richtung der Are, breitet sich nach allen Seiten ungehindert um die Fläche aus und verläßt dieselbe bei lXLi in Richtungen, welche sämmtlich gegen die Are LIL die Neigung » haben, und mit Geschwindigkeiten V,, welche gleich der relativen Eintrittsgeschwindigkeit « sind. Es wird aber angenommen, daß sich die Fläche selbst, wenn sie überhaupt eine selbstständige Bewegung hat, nur in der Richtung ML oder M V bewege, sodaß man resp. v—V habe. Denkt man sich durch die Are ViVIL eine unendliche Menge von Ebenen gelegt, welche sich sämmtlich unter demselben, aber unendlich kleinen Winkel gegeneinander neigen; so wird dadurch der Strahl VIVl mit seinen Verzweigungen um die Fläche in ebenso viel elementare Strahlen getheilt, deren unendlich geringer Querschnitt gleich « sei. Auf einen jeden dieser elementaren Strahlen kann man ohne Weiteres die Betrachtungen des vorhergehenden Paragraphs in Anwendung bringen. Demnach hat man für den Parallelstoß eines jeden solchen Strahles in der Richtung ViVl nach Gl. (694) wV (V -j- D)(1 —eosll) und für den Seitenstoß § desselben in perpendikularer Richtung zu ViN nach Gl. (695) w V(V-tz lD siii'll. S Nun beachtet man, wenn y die Resultante der vorstehenden beiden Pressungen oder der Gesammtdruck des fraglichen elementaren Strahles gegen die starre Fläche ist, daß die Resultante aller Kräfte - oder auch die Resultante aller Kräfte p und s den Gesammtdruck des Strahles Vi>l gegen die Fläche IMsV darstellen wird. Von den Komponenten s sind aber je zwei einander direkt entgegengesetzt und außerdem gleich; demnach heben sich diese Kräfte Gl. (6W) gegen eine symmetrische Fläche. 117 bei ihrer Zusammensetzung auf, und eS bleibt nur die Summe der nach Ein und derselben Richtung VM wirkenden Komponenten zurück. Diese Summe oder der Parallelstoß des ganzen Strahles VM gegen die gegebene Fläche ist offenbar ....(696) Während der Seitenstoß 8—v ist. Wäre die starre Fläche eine Ebene IMN, gegen welche der Strahl in per- pendikularer Richtung stieße und unter einem rechten Winkel abgelenkt würde; so hätte man 90°, also ....(697) und wenn die Fläche ruhet, 2«,LLkI. S Wäre die starre Fläche nach dem Strahle zu konkav, und würde der Strahl bei seinem Austritte nach entgegengesetzter Seite ausge- führt; so hätte man 180», also ?--^KV(VIpI7); ....(698) mithin für eine ruhende Fläche S 8. 161. Schiefer Stoß eines flüssigen Strahles gegen eine ebene Fläche, wenn derselbe gezwungen ist, in zwei direkt entgegengesetzten Richtungen abzufließen. 1l8 §. 161. Schiefer Stoß eine« in zwei direkt entgegengesetzten Wenn der Strahl V»I unter einem schiefen Winkel VHID—« gegen eine ebene Fläche IMN trifft, welche an den Seiten mit Rändern, wie versehen ist; so wird sich derselbe in zwei Theile HIN und All, theilen, welche in direkt entgegengesetzten Richtungen abfließen. Man erkennt leicht im voraus, daß diese beiden Theile HIN und HIL, ungleiche Querschnitte haben werden. Um dieselben zu bestimmen; so beachte man, daß der Druck des Theiles VHIN in der auf der Fläche DN normal stehenden Ebene VMN liegen wird, und daß ebenso der Druck tzz des Theiles VHII- in derselben normalen Ebene VHID liegen wird. Demnach wird auch die Resultante tj dieser beiden Pressungen oder der Gesammt- druck des ganzen Strahles VHI gegen die Fläche DN in der normalen Ebene DVN liegen. Nun erkennt man ferner, daß eine als absolut glatt gedachte ebene Fläche, wie I-N, nur im Stande ist, einen Druck in normaler Richtung zu empfangen (vergl. 8. 3.) und daraus folgt, daß der Gesammtdruck tj des Strahles VHI auf der Ebene HN nothwendig normal stehen muß. Da diese Ebene mit vorstehenden Rändern, wie I^LN, versehen ist; so wäre zwar in diesem Falle die absolut glatte Oberfläche von DN kein Hinderniß, daß der Druck tz sich unter einem beliebigen Winkel gegen den Einen oder den anderen Rand neigte, weil ja die auf der Oberfläche dieses Randes normal stehende Komponente des Druckes sehr gut von diesem Rande aufgenommen werden könnte; es wäre dann aber wenigstens erforderlich, daß die Richtung von tz in einer auf der geraden Linie I^N pcrpendikular stehenden Ebene läge, sodaß sie nur keine Neigung gegen diese Linie DN besäße. Da wir jedoch bereits gesehen haben, daß der Druck tj auch in der Ebene DVN liegen müsse; so leuchtet ein, daß die fragliche Richtung von (j nur eine Normale auf der Ebene DN bilden könne. Wenn aber die Resultante tz der beiden Kräfte tz, und (-2 auf der Ebene DN normal stehen soll; so folgt, daß wenn N,, Ri und Nz, K 2 die Komponenten von (Z, und tzz resp. normal Gl. (700) Richtungen abfließenden Strahles. 119 und parallel zur Ebene sind, die beiden Komponenten k, und ky einander gleich und direkt entgegengesetzt und daß -s -^2 sein müsse. Nun hat man nach Gl. (695°) für den Theil LIlV, dessen Querschnitt LZ, sei, und für welchen A—« ist, ir, -- vcv ssi wci - «o««), ferner für den Theil flll,, dessen Querschnitt sei, und für welchen 0 —180» —« ist, rr 2^2 V (V Ist w (1-s-evs«). Setzt man diese beiden Werthe für k, und einander gleich, und berücksichtigt dabei die Beziehung LZ, Z-LZ, — L); so kommt (1 Z-c;o8«)>6 LL, — 2 .... (699) _ (1 —008«)^z LLz— 2 woraus folgt, daß eine größere Quantität der Flüssigkeit in der Richtung IVIN unter dem stumpfen Winkel 180» — «, als in der Richtung 511, unter dem spitzen Winkel « abfließen wird. Der normale Stoß des Strahles gegen die Ebene ist nach Gl. (695) für den ersten Theil N,----^LZ,V(V D)«'»« und für den zweiten Theil lVz —mithin im Ganzen N--:-^-^V(V^V)8M« ....(700) Dieser normale Stoß gegen die Ebene bildet hier, da dessen andere Komponente N'—o ist, den Gesammtwerth des Druckes tz des Strahles gegen die Ebene. Zerlegt man denselben in zwei Komponenten ? und 8, von welchen die erstere dem Strahle Parallel ist und die letztere auf dem Strahle perpendikular steht; so erhält man für den Parallelstoß im vorliegenden Falle 12» j. 161. Schiefer Stoß, w. d. Strahl in zwei entg. Richtungen abfl. Gl. (704) k — Nsi'n« —) und für den Seitenstoß / .... (701) 8 —NovStt —-^>!LV(V^(I)8in«oo8tt ! Bei der vorstehenden Untersuchung ist wesentlich vorausgesetzt, daß die Are VIU des Strahles in einer Normalebene auf der Fläche liege, sodaß der Winkel VML> zwischen jener Are und der Richtung des Einen Theiles, in welchem der Strahl abfließt, den Neigungswinkel « der Are VM gegen die Ebene LN bildet. Ist Dies nicht der Fall, bildet also L^VN keine Normalebene auf der ebenen Fläche sodaß also auch nicht den Neigungswinkel des Strahles gegen die Fläche sondern nur gegen den Strahltheil LlL, darstellt; so wird der Gesammtdruck des Strahles nach wie vor in der Ebene liegen (welche jetzt jedoch schief ist) und auf der Linie perpendikular stehen. Sein Werth ist, wenn man A setzt, nach Gl. (700) durch tz —KV (V ^ I))8inS .... (702) dargestellt. Da die Richtung dieses Druckes in einer schiefen Ebene I.VN liegt, deren Neigungswinkel gegen die ebene Fläche 1,1V gleich ch sei; so folgt, daß der Eine Rand welcher jetzt überhaupt nur nöthig ist und welcher als normal auf der Ebene vorausgesetzt wird, einen normalen Druck auszuhalten hat, welcher die zur Ebene parallele Komponente k—tze08ch^:^sLV(V-f-D)8in^L08ch .... (703) des Druckes (j bildet. Der anderen auf der Ebene normal stehenden Komponente N—tzsluch--- -^-QV(V ^ wsinSsinch .... (704) Gl.(707) r. 162. Schiefer Stoß, wenn d. Strahl nach allen Seiten abfl. kann. 121 widersteht dagegen die ebene Fläche selbst in normaler Richtung. Für den Fall, daß der Winkel VML, —s ein rechter wäre, würde der Neigungswinkel ^ der Ebene gegen die Ebene auch den Neigungswinkel « der Are VAl des Strahles gegen die Ebene LN darstellen, und man hätte statt der Gl. (702) bis (704) (j--^rV(VIstv) ....(705) S ....(706) S N-^QV(V^w8^n« .... (707) S K. 162. Schiefer Stoß eines flüssigen Strahles gegen eine ebene Fläche, wenn derselbe Freiheit hat, sich nach allen Seiten über die Fläche zu verbreiten und abzufließen. In dem setzt zu betrachtenden Falle werden sich die Theil- chen der Flüssigkeit nach den unzähligen Richtungen von Radien, deren Mittelpunkt ist, auf der ebenen Fläche fortbewegen. Wenn IMN der Durchschnitt der gegebenen ebenen Fläche mit einer durch die Are VI>1 des Strahles gehenden und auf jener Fläche perpendikular stehenden Ebene ist; so kann man aus der Untersuchung des vorhergehenden Para- graphs schon im Allgemeinen schließen, daß die Flüssigkeitsfäden, welche sich unter dem stum- pfesten hier möglichen Ablenkungswinkel VUN fortbewegen, die stärksten, diejenigen aber, welche sich unter dem spitzesten Winkel VNL. fortbewegen, die schwächsten sein werden, während die perpendikular zu der Linie I.N unter einem rechten Winkel abgelenkten Fäden IUO und Mk einen mittleren Querschnitt haben >22 r. >82. Schiefer Stoß eines flüssigen Strahles, Gl. (708) werden. Wollte man bei der Entwickelung der hier gesuchten Formeln mit mathematischer Schärfe das Gesetz berücksichtigen, welches für die Stärke der um den Punkt IVl abfließenden Masse in den verschiedenen Richtungen besteht; so würde die Untersuchung sehr komplizirt werden. Für die Praxis erhält man jedoch sehr brauchbare Näherungswerthe, wenn man sich denkt, der Strahl Vfll theile sich bei AI in vier Theile, von welchen der erste die Richtung !VM, der zweite die entgegengesetzte Richtung LIL, und die übrigen beiden die auf IM perpendikularen und einander entgegengesetzten Richtungen !>I0 und in der gegebenen Fläche einschlagen. Es seien Ki, Kz, ^4 resp. die Querschnitte der nach MI,, Alk, flio abgelenkten Theile des Strahles V!Vl, dessen gestimmter Querschnitt, wie vorhin, mit IZ bezeichnet werde, tz,, (Z2 resp. die Pressungen derTheile VAM und ViVlI., deren Richtungen in der Normalebene I,VR liegen, sodaß N,, k, die Komponenten von tz, resp. normal zur gestoßenen Fläche und parallel zu N!Vl, ferner Nz, K2 die ähnlichen Komponenten von (jz resp. normal zur gestoßenen Fläche und parallel zu IM sind, 63, 64 resp. die Pressungen derTheile VAI? und VIVIO, deren Richtungen in der schiefen Ebene OVk liegen. Zerlegt man eine jede dieser Pressungen in drei Komponenten resp. normal zur gestoßenen Fläche, parallel zu IM oder OM und parallel zu IM; so seien diese drei Komponenten von tzg gleich Ng, kz, r-g und von 64 gleich r-^. Da die gestoßene Fläche, als absolut glatte Ebene, nur einen Druck in normaler Richtung aufnehmen kann; so folgt zuvörderst, daß das System aller derjenigen Komponenten der Kräfte H4, welche in die Eben eder gestoßenen Fläche fallen, eine Resultante gleich null haben werden. Erwägt man nun, daß die Komponente k, nach der Seite ferner kz, ^ und ^ nach entgegengesetzter Seite IM, während Hg nach der Seite IM und kz nach entgegengesetzter Seite (M wirkt; so müssen vor alle» Dingen die Bedingungen k, — R 2 -s-r s Z" ^4 ( 708 ) Gl. (71 l) wenn derselbe nach allen Seiten abfließen kann. 123 und ....(709 erfüllt werden. Neben diesen beiden Gleichungen eristirt zwischen den vier unbekannten Größen LZi, ^ 2 , ^4 noch die vierte Bedingungsgleichung ^2^-s -^2 ^ ^ ^4 ^ «»..(710) und es bliebe nur noch die vierte anzugeben. Diese bietet sich aus der Natur der Flüssigkeiten am ungezwungensten dar, wenn man annimmt, die der gestoßenen Ebene parallelen Pressungen seien nach allen Richtungen um den Punkt herum einander gleich, also k, — «8 ....(711) Nun hat man, wenn « den Neigungswinkel VLII. des Strahles gegen die gestoßene Ebene bezeichnet, nach den Gleichungen (692), (695) und (695»), sobald man darin « an die Stelle von K setzt, für den Strahltheil VLIN (j, — K z V (V -s- 2(1 — cc>8«), S V(V^(7)8m«, «, ^^sr,V(VIsiw(1-eo8a); ferner für den Strahltheil VKII,, wenn man A—180« —« setzt, 1^2 — "1-(7)>/^ 2(l -s-a»8«), 1^2 — KzV (V D) 8M tt, —-^-sr2V(VssiI7)(1-s-oo8«). Für den Strahltheil VMk, welcher unter einem rechten Winkel, aber in der schiefen Ebene OV? abgelenkt wird, erhält man zuvörderst aus Gl. (692) für 90« 124 i. IK2. Schiefer Stoß eines flüssigen Strahles, Gl. (715) Die Richtung dieses Druckes liegt in der schiefen Ebene OVk und halbirt den rechten Winkel VMk (s. Gl. (692°) und die daran geknüpfte Bemerkung). Demnach sind die Komponenten von tzz resp. parallel zu kU und VLI gleich (jg cos 45» — O ^ und tzg8,n45» —Die erstere stellt die Kraft kz dar, und die zweite ergibt, wenn sie in ihre beiden Komponenten normal zur gestoßenen Fläche und parallel zu L,I>l zerlegt wird, die Kräfte Nz und r-g, sodaß man, weil —« ist, N---^K,V(Vlsi17), ^^ Kg v cv ip v) »in«, Ist 1I)oo8« hat. ^ In ähnlicher Weise hat man für den Strahltheil ViVlO 17)^2, K^--^K.V(V^17), N4----^-^vcv7sii7)8in«, ^ K 4 V (V ^ 17) oos «. Durch diese Ausdrücke werden die obigen vier Bedingungsgleichungen (708) bis (711) zu den folgenden Ki(1 —eos«)—^(1-s-eo8«)-j-(Kg-s-^)oo8« .... (712) ....(713) ^2^-s-"s" »...(714) K,(1—v08«) —K, ....(715) El. (718) wenn derselbe nach allen Selten abfließen kann. I2S Aus diesen vier Gleichungen folgt 1 -j- eos« 2(2—Los«) ' 1 — Zoos« -s-2ov8^« 2(2 —Los«) — 8IN^ « 2(2—ev8cr) . . (716) Welche Werthe aber auch die Querschnitte ^s, annehmen möchten, welche überhaupt zulässige Hypothese man also statt der vierten Bedingungsgleichung (711) oder (715) sub- stituiren wollte, immer ist der aus den vier Kräften (j,, tzz, H», 64 , welche zum mindesten den drei Gleichungen (708) bis (710) unterworfen sein müssen, resultirende Normaldruck N auf die gestoßene Fläche d. i. weil nach den obigen Ausdrücken K 2 ^ ist, N----^-§rV(V^V) 8 'n« ....(717) In paralleler Richtung zur gestoßenen Fläche eristirt nach dem Obigen kein Druck, indem der vorstehende Werth von N den Gesammtdruck des Strahles VIV1 darstellt, und man hat demnach II — «. Zerlegt man diesen Druck in seine beiden Komponenten und 8 resp. parallel und perpendikular zur Are des Strahles V5I; so ergibt sich für den Parallelstoß k — N 8 in « — — LL V (V 17) 8 in^ 0 : K und für den Seitenstoß 8—^eo8«—^ KV(V^V)8iir«eo8«. . . . . ( 718 ) 126 §. 162. Schiefer Stoß eines flüssigen Strahles, Den obigen Werth des Normalstoßes IV aus Gl. (717), welcher zugleich den Gesammtdruck des Strahles VN auf die gestoßene Fläche darstellt, gibt auch Navier*) an. Jedoch ist dessen Ableitung auf irrige Hypothesen gegründet, indem er annimmt, die nach allen Richtungen um den Punkt M sich verbreitenden Fäden der Flüssigkeit haben eine gleiche Stärke; ferner indem er bei der Entwickelung des Werthes von IV nur die Komponente des Stoßes eines jeden Fadens parallel zur Are VIVI berücksichtigt ifnd die übrigen Komponenten ganz vernachlässigt, welcher letztere Umstand zur Folge hat, daß Naviers Werth von IV nicht einmal der ersteren Hypothese entspricht; daher findet Navier denn auch statt des Parallelstoßes k aus Gl. (718) den Werth -^-LV(V isiv). Duchemin**) findet, indem er zwar nicht die Querschnitte aller abgelenkten Fäden als gleich annimmt, aber dennoch irrthüm- liche Prinzipien in die Untersuchung verwebt, für den Normalstoß IV den Werth 2^-^V(Vlsiv) S 8M^tt 1 -j- 8IN^ « ^ welcher sich von dem obigen aus Gl. (717) durch den Faktor unterscheidet. Dabei führt Duchemin an, jener Werth stimme mit denen der Beobachtung von «—90° bis «—45» überein, sei aber für sehr spitze Einfallswinkel bald beträchtlich größer, bald merklich kleiner. Dieser Umstand erklärt sich, wenn man die Formel (717) für die der Wahrheit näher kommende hält, leicht, wenn man beachtet, daß der Faktor ^ - ^'"^ - von « —90« bis « — 45 » den Werth 1 bis 0,942 besitzt, also nur wenig von der Einheit abweicht, während die größten Abweichungen von der Einheit erst bei den kleineren Winkeln eintreten. *) ke'sume ,Ies lexons sur I »xxlicntion äs In meennii;»«. 8econ«Is Partie. No. 162. **) Erperimentaluntersuchungen über die Gesetze des Widerstandes der Flüssigkeiten. Deutsch von Schnuse. tz. 52. wenn derselbe nach allen Seiten abfließen kann. 127 Weisbach*) entwickelt unter Einführung einer etwas willkürlichen Hypothese hinsichtlich der relativen Wirkung der Theile und ViVlO gegen die Theile ViVliV und VlllL, des Strahles, und unter Nichtbeachtung des Umstandes, daß die Ebene OVk, in welcher die ersteren beiden Theile liegen, gegen die Ebene geneigt ist, für iV den Werth 8IU« 1-s-8lN^tt * Welcher von dem obigen und auch von dem des Duchemin abweicht, wogegen der genannte Schriftsteller für den Parallelstoß k denselben Werth findet, welchen Duchemin für den Normal- stoß N angibt. Die in den vorstehenden Paragraphen entwickelten Formeln über den Stoß isolirter Strahlen gegen starre Flächen, wobei vorausgesetzt ist, daß die Ausdehnung dieser Flächen wenigstens so groß sei, daß die Fäden der Flüssigkeit in parallelen Richtungen zu den letzten Elementen der gestoßen Flächen austreten können, jedoch wiederum nicht so groß, daß die Adhäsion der Flüssigkeit an dieselben, sowie das Gewicht der auf den Flächen befindlichen Flüssigkeit einen merklichen Einfluß äußern können, sind durch direkte Versuche, namentlich von Morosi, Bossut, Vince, Langsdorf, Michelotti und Anderen, bestätigt worden. Damit die obigen theoretischen Resultate, besonders die für den geraden Stoß, mit denen der Erfahrung übereinstimmen, muß der Durchmesser der gestoßen Fläche wenigstens 4 mal so groß sein, als der des stoßenden Strahles. Ist die Fläche kleiner; so vermindert sich die Wirkung des Stoßes, weil alsdann die Richtungen, in welchen die Flüssigkeit die Fläche verläßt, der Letzteren nicht parallel werden können. Langsdorf hat gefunden, daß wenn eine ebene Fläche, welche den direkten Stoß eines Strahles empfängt, nur ebenso groß ist, als der Querschnitt des Strahles selbst, der Stoß gegen diese Fläche etwa die Hälfte des durch Gl. (697) gegebenen Werthes beträgt. ) Lehrbuch der Ingenieur- und Maschinen-Mechanik. Erster Theil. Z. 388. 128 §. 16S. Stoß u. Widerstand einer unbestimmt begränzten Flüssigkeit. Dom Stoße und Widerstände einer unbestimmt begränzten unpreßbare« Flüssigkeit. 8. 163. Allgemeine Bemerkungen über den Stoß und den Widerstand einer unpreßbaren Flüssigkeit. Wir betrachten im Nachfolgenden verschiedene Körper, deren Oberflächen entweder ganz oder zum Theil in eine unbestimmt begränzte Masse einer unpreßbaren Flüssigkeit getaucht sind. Wenn der Körper als ruhend und die Flüssigkeit als bewegt gedacht wird; so bezeichnet man die Wirkung der Letzteren auf den Ersteren gewöhnlich mit dem Namen des Stoßes der Flüssigkeit. Wird dagegen die Flüssigkeit als ruhend und der Körper als bewegt angenommen; so heißt die Wirkung der Ersteren ihr Widerstand. Dadurch, daß ein ruhender Körper einer bewegten Flüssigkeit ausgesetzt oder ein Körper in einer ruhenden Flüssigkeit bewegt wird, werden die Massentheilchen der Flüssigkeit gezwungen, sich in Kurven um den Körper zu bewegen. Die solchergestalt sich bildenden krummlinigen Fäden der Flüssigkeit äußeren Pressungen auf den Körper, welche nach den vorhergehenden Untersuchungen über den Stoß isolirter Strahlen würden bestimmt werden können, wenn man deren Richtungen, Geschwindigkeiten und Querschnitte in allen Punkten genau kennte. Die Resultante aller dieser Pressungen auf den Körper bildet das Maaß resp. für den Stoß oder den Widerstand der Flüssigkeit. Wenn der Körper nur zum Theil in die unpreßbare Flüssigkeit eingetaucht ist; so wird der vermehrte hydraulische Druck auf die vordere eingetauchte Fläche des Körpers auch zur Folge haben, daß sich die Flüssigkeit an dieser Fläche über das Niveau der umgebenden Masse erhebt, während der verminderte Druck auf die Hintere Fläche des Körpers eine Senkung des Spiegels der Flüssigkeit an dieser Stelle zur Folge hat. §. 164. Richtung der Stromfäden um einen Körper, welcher dem Stoße oder Widerstände einer Flüssigkeit ausgesetzt ist. Wenn ein starrer Körper dem Stoße eines Flüssigkeitsstro- tz. 184. Richtung der abgelenkten Stromfäden. I2S nies ausgesetzt ist; so wird die Flüssigkeit gezwungen, nach allen Seiten auszuweichen und sich in gekrümmten Fäden um den Körper herum zu bewegen. Für den Fall, daß der Körper ein gerades Prisma bilde, dessen Seitenlinien der Richtung des Stromes parallel seien, hat Duchemin*) folgende Beobachtungen gemacht. Bei einem rechtwinkligen Parallelepipedum, dessen horizontale Breite kleiner ist, als seine vertikale Höhe und welches ganz in die Flüssigkeit getaucht ist, theilt sich die Flüssigkeit an der Vorderfläche in vier Haupttheile, und unmittelbar an dieser Fläche bewegt sich der erste Theil der Stromfäden horizontal nach der Linken, der zweite Theil LÄIV horizontal nach der Rechten, der dritte Theil 6!>lv vertikal abwärts und der vierte Theil vertikal aufwärts. Der Punkt Ll liegt in der Mitte des Rechteckes ^LVO. Die Linien und LMV bilden Kurven, in welchen Strömungen stattfinden. Hierauf nehmen die an der Vorderfläche vorübergegangenen Stromfäden Richtungen an, welche nahezu den Seitenflächen des Prismas parallel sind. An der Hinterfläche treffen diese Fäden wieder zusammen, indem sie Kurven bilden, welche sich in ganz ähnlicher Weise von dem Umfange der Hinterfläche gegen deren Mittelpunkt neigen, wie Dies in obiger Figur dargestellt ist. Jedoch stellen sich hinter dem Körper Wirbel in der Flüssigkeit ein, in Folge deren der gleichmäßige Abfluß der Flüssigkeit erst in einiger Entfernung hinter der Hinterfläche des Körpers sich wiederherstellt. Wenn die horizontale Dimension H.K des Querschnittes eines solchen Parallelepipedums größer ist, als dessen vertikale Dimension; so finden ganz ähnliche Erscheinungen statt, nur treten die beiden stetigen Kurven und LUV an die Stelle der beiden Kurven und OLIV, sodaß die obige Figur immer noch den Hergang der Sache darstellt, wenn man 6^. und VL als die horizontalen Kanten des Querschnittes ansieht. ') Erperimentaluntersuchungen über die Gesetze des Widerstandes der Flüssigkeiten. Deutsch von Schnuse. II. V 13Ü . r. 164. Richtung der abgelenkten Stromfäden. Wenn der Querschnitt ^KV6 ein Quadrat bildet; so ge- hen die Kurven und L!>10 in die geradlinigen Diagonalen des Quadrates über. Wäre der Querschnitt des geraden Prismas ein Kreis; so würden die Fäden unmittelbar an der Vorderfläche in den verschiedenen Richtungen der Radien dieses Kreises abgelenkt werden. Sobald das gerade Prisma nur zum Theil, etwa bis Lk, in die Flüssigkeit getaucht ist; so werden die Fäden der Flüssigkeit vor dem untergetauchten Theile Lkv6 (Fig. 1) der Vorderfläche gerade so abgelenkt, wie Dies nach dem Vorstehenden geschehen würde, wenn L k 06 den Querschnitt eines ganz untergetauchten Prismas darstellte. Hieraus folgt aber, daß derjenige Theil LAIk der abgelenkten Fäden, welcher an der Vorderfläche vertikal aufwärts steigt, sich über das herrschende Niveau Lk der umgebenden Flüssigkeit bis 7HL, nämlich soweit erheben wird, bis die bei der Durchschreitung der Linie Lr stattfindende Geschwindigkeit jener Fäden durch die entgegenwirkende Kraft der Schwere vernichtet ist. Demnach wird z. B. gleich der Höhe sein, welche der in N stattfindenden Geschwindigkeit des Fadens als Fallhöhe zukommt. Ist nun V die Geschwindigkeit des Stromes, in welchen das Prisma getaucht ist, U die dieser Geschwindigkeit zukommende Fallhöhe, v die Geschwindigkeit des mittelsten Fadens Ull im Punkte /r die Erhebung ^8 dieses Fadens über das Niveau Lk der umgebenden Flüssigkeit, Gl. (721) <.164. Richtung der abgelenkten Stromfäden. 131 6 —die halbe Höhe des eingetauchten Theiles Lkvo des Prismas, S die Geschwindigkeit, welche die Schwere den Körpern in der Zeiteinheit mittheilt; so hat man 2 - . . (719) Nach Duchemins Beobachtungen ist aber v — V , .... (720) worin die Größe e nothwendig nach rheinländischen Fußen zu messen ist; mithin hat man wegen Gl. (719) L^^(1-I-1,237.6)--:H(1-i-1,237.e) -(721) für die größte Erhebung der Flüssigkeit an der Vorderfläche des Prismas. Die nach dieser Formel berechneten Resultate stimmen auch mit den Beobachtungen von Dubuat und Bossut sehr nahe überein. Was das Verhalten der Flüssigkeit an der Hinterfläche eines nur zum Theil eingetauchten Prismas betrifft; so stellt sich hier das Niveau der umgebenden Flüssigkeit umso vollkommener her, je länger das Prisma ist. Im Allgemeinen steht jedoch die Flüssigkeit in der vertikalen Mittellinie der Hinterfläche etwas tiefer, als das herrschende Niveau. Für eine ganz dünne rechtwinklige Platte, deren Vorderfläche (Fig. 1) ist, stellt (Fig. 2) die Hinterfläche mit den darin herrschenden vom Umfange nach der Mitte gerichteten Strömungen dar. Die Bewegung der Stromfäden an den Hinterfläche« der Körper ist übrigens bei weitem nicht so regelmäßig, als an den Vorderflächen, und wird durch Wirbel, welche sich hinter dem Körper bilden, bedeutend^ gestört. Die vorstehenden Resultate und Formeln behalten sehr nahe auch dann noch Gültigkeit, wenn der Körper mit der Geschwindigkeit V in einer ruhenden Flüssigkeit bewegt wird. Ist sowol der Körper, wie die Flüssigkeit in Bewegung, so 132 §. 165. Gesammtswß einer Flüssigkeit jedoch, daß Beide sich entweder nach derselben oder nach direkt entgegengesetzten Seiten bewegen; so hat man in den Formeln (720) und (721) statt V den Werth der relativen Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Beziehung zu der des Körpers, oder umgekehrt, zu substituiren. 8- 165. Bestimmung des Gesammtstoßes oder Ge- sammtwiderstandes einer unbestimmt begränzten Flüssigkeit gegen einen starren Körper. Wenn sich ein ruhender Körper in einer bewegten Flüssigkeit befindet; so wird irgend ein von seiner natürlichen Richtung abgelenkter dem Körper nahe liegender Stromfaden die allgemeine Form der Linie Vkvrr annehmen, welche in dem Theile Vö konver, in dem Theile ükvn jedoch konkav gegen den Körper gekrümmt ist, und sich in der Nähe des Punktes rr in eine wirbelnde Bewegung verliert. Die weiter von dem Körper entlegenen Stromfäden werden in ihren unteren Theilen eine regelmäßigere Gestalt annehmen und indem sie bei p in die allgemeine Stromrichtung übergehen, dem Körper wieder eine konvexe Seite zukehren. Kennte man nun die Gestalt der Kurve VLV-r, sowie die Variation, welche der Querschnitt oder die Geschwindigkeit des hierdurch dargestellten Stromfadens von V bis n erleidet, ferner das Gesetz, welchem diese Größen für sämmtliche abgelenkte Stromfäden unterworfen sind, und endlich die Abhängigkeit, in welcher dieselben von der besonderen Gestalt des Körpers und von dem größeren oder kleineren Profile des Stromes stehen; so würde man mit Hülfe der in den 88. 122 und 123 entwickelten Prinzipien im Stande sein, die Wirkungen zu bestimmen, welche ein jeder Stromfaden und somit die ganze Masse der abgelenkten gegen einen starren Körper. 133 Flüssigkeit auf den Körper ausübte. Wenigstens würden hierdurch rationelle Formeln zu erlangen sein, welche nur einer Korrektion durch die Erfahrung bedürften. Es leuchtet nämlich ein, daß wenn ü der Wendepunkt der Kurve VLLvrr ist, der kon- vere Theil VS jenes Stromfadens eine Vermehrung und der konkave Theil ökv er eine Verminderung des hydraulischen Druckes auf den Körper hervorbringen, und daß die Resultante aller dieser Pressungen von sämmtlichen Stromfäden die Größe des auf den Körper ausgeübten Stoßes darstellen wird. Außerdem hätte man hierbei noch die Wirkung der Adhäsion der Flüssigkeit an den Körper zu berücksichtigen, woraus noch eine andere Vermehrung des Druckes in der Richtung V iVl hervorgeht. Leider ist die praktische Beobachtung der hierher gehörigen Phänomene noch nicht so weit gediehen, daß man mit einiger Sicherheit den Zusammenhang der oben erwähnten Größen durchschauen und in der angedeuteten Weise eine umfassende Theorie dieser Erscheinungen begründen könnte. Im Allgemeinen erkennt man, wenn man sein Augenmerk auf die Variation des hydraulischen Druckes von dem Einen Punkte der Oberstäche des Körpers H.L 06 zu dem anderen richtet, daß wenn gar keine Ablenkung der Stromfäden stattfände, der Körper Pressungen erleiden würde, welche denen gleich wären, die er bei derselben Lage in einer ruhenden Flüssigkeit erfahren würde. Vermöge dieser Pressungen würde der Körper durchaus kein Bestreben haben, sich in irgend einer horizontalen Richtung zu bewegen, da sich dieselben, wie man aus der Hydrostatik weiß, in eine einzige vertikal von unten nach oben wirkende, dem Gewichte der durch den Körper verdrängten Flüssigkeit gleiche Kraft zusammensetzen. In Folge der konveren Krümmung der Stromfäden in den Theilen V- und Va wird sich nun aber der hydraulische Druck gegen die Mitte Ll der Vorderfläche vermehren. Von - bis L und a bis wo jene Stromfäden gegen den Körper konkav werden, wird der durch die Ablenkung hervorgebrachte Druck nach außen gerichtet sein, und Dies wird zur Folge haben, daß der hydraulische Druck gegen den Umfang der Vorderfläche abnimmt und kleiner wird, als er in einer ruhenden Flüssigkeit sein würde. Das letztere Resultat ist durch die Beobachtungen von Dubuat und durch die von Duchemin be« 134 165. Gcsaimntstoß einer Flüssigkeit Gl. (722) stätigt worden, obgleich Letzterer durch eine Mißdeutung der Angaben des von ihm gebrauchten Instrumentes einen von dieser Behauptung abweichenden Schluß zieht. Ebenso wird die konkave Krümmung der Stromfäden in den Theilen Lv und ^6 bewirken, daß der hydraulische Druck auf die Seitenflächen Lv und ^6 des Körpers geringer ist, als der hydrostatische Druck. Auch dieses Resultat entspricht den Beobachtungen der beiden eben gedachten Experimentatoren. Endlich leuchtet ein, daß durch eine gleiche Ursache, nämlich wegen der konkaven Krümmung der Theile Iln und 6n der Stromfäden, der hydraulische Druck gegen die Hinterfläche 61) des Körpers kleiner sein wird, als der hydrostatische. Dubuats und Duchemins Versuche liefern auch hierzu eine Bestätigung, wiewol Letzterer durch irrthümliche Folgerungen zu dem Resultate gelangt, daß der hydraulische Druck gegen die Hinterfläche, wie überhaupt rings um den Körper, mit Ausnahme der mittleren Stellen in den Seitenflächen Lv und /rO, den hydrostatischen Druck übertreffe. Wäre hiernach tz der gesammte hydrostatische Druck gegen die vordere und Hintere vertikale Projektion irgend eines dem Stoße eines flüssigen Stromes ausgesetzten Körpers, ferner k" die durch die Ablenkung der Stromfäden bewirkte Vermehrung des Druckes gegen die vordere Projektion, und k" die hierdurch bewirkte Verminderung des Druckes gegen die Hintere Projektion; so hat man tj-s-k' für den Gesammtdruck gegen die vordere und tz—k" für den Gesammtdruck gegen die Hintere Projektion; demnach für die Gesammtwirkung k der Flüssigkeit auf den Körper _( 722 ) Nun sei allgemein V die Geschwindigkeit des Stromes, V-r 8 die dieser Geschwindigkeit zukommende Druckhöhe «, das Gewicht einer Volumeinheit der Flüssigkeit, /r die vertikale Projektion des eingetauchten Körpers auf eine zur Stromrichtung perpendikulare Ebene, m ein aus der Erfahrung abzuleitender Koeffizient für den Gesammtdruck l" auf die vordere Projektion des Körpers, wel- gegen einen starren Körper. 135 cher aus der Ablenkung und aus der Adhäsion der Flüssigkeit hervorgeht, rr ein ähnlicher Koeffizient für die Verminderung I>" des Druckes gegen die Hintere Projektion, k> der Widerstandskoeffizient zur Bestimmung der gesammten Wirkung t> der Flüssigkeit auf den Körper. Wäre die Vorderfläche des vorläufig als prismatisch angenommenen Körpers eine auf der Richtung der Strombewegung perpendikular stehende Ebene, und dächte man sich, diese Ebene würde von einem isolirten Strahle getroffen, dessen Querschnitt — ^ wäre, die Fäden dieses Strahles würden auch sämmtlich parallel zu jener Ebene abgelenkt und verließen dieselbe mit der ursprünglichen Geschwindigkeit V; so weiß man aus §. 160, Gl. (697), daß der durch den Stoß des Strahles in paralleler Richtung zu demselben hervorgebrachte Druck durch die Formel S ausgedrückt werden würde. Von der Wirkung eines solchen isolirten Strahles unterscheidet sich nun zwar die Wirkung einer unbegränzten Flüssigkeit sehr, indem 1) der Querschnitt der durch den Körper abgelenkten Stromfäden viel größer ist, als die Vorderfläche ^ des Körpers; 2) indem die an der Vorderfläche abgelenkten Fäden durchaus nicht eine zu dieser Fläche parallele Richtung annehmen; 3) indem die Geschwindigkeit der abgelenkten Fäden durch die Einwirkung der umgebenden Flüssigkeit und durch die Adhäsion an den Körper nicht in allen Punkten gleich der ursprünglichen Geschwindigkeit V des Stromes ist; dessenungeachtet wird man doch so lange, als eine genauere Theorie die Hand bietet, den vorstehenden Ausdruck bei den durch Versuche darzustellenden empirischen Formeln als Basis benutzen können, indem man bei der wenigstens stattfindenden Analogie der beiden Fälle annimmt, der Stoß einer unbegränzten Flüssigkeit gegen Körper, welche dem gegebenen ähnlich sind, variire wie die Größe der Fläche ^ und wie das Quadrat der Geschwindigkeit V, oder statt dieses Quadrates, wie die Geschwindigkeitshöhe 8. Ist demnach m ein durch Versuche 136 §. 165. Gesammtstoß einer Flüssigkeit Gl. (725) für Körper von verschiedenen Gestalten zu ermittelnder Koeffizient; so kann man setzen k' ——.... (723) Analog dem Vorstehenden kann man zur Bestimmung der durch die Ablenkung der Flüssigkeit hervorgebrachten Verminderung des Druckes gegen die Hinterfläche des Körpers k" —rrrv^.^-—.... (724) setzen. Bezeichnet man nun die Summe M-s-n der vorstehenden beiden Koeffizienten mit 9 ; so erhält man wegen Gl. (722) für den Gesammtstoß der Flüssigkeit gegen den Körper I'^9«)^.^--9«,^» ....(725) Alles in dem gegenwärtigen Paragraphe Vorgetragene behält auch nahezu Gültigkeit für den Fall, wo die Flüssigkeit ruhet und der Körper sich mit der Geschwindigkeit V bewegt, oder auch dann noch, wenn sich sowol die Flüssigkeit, wie der Körper bewegt, und die relative Geschwindigkeit Beider — V ist. Es versteht sich jedoch von selbst, daß in den letzteren beiden Fällen die Koeffizienten rn, rr und 9 nicht genau die früheren Werthe beibehalten werden, sondern aus besondern Beobachtungen für die letzteren Umstände abgeleitet sein müssen. Auch ist für den Fall, wo sich der Körper in der Flüssigkeit bewegt, noch zu bemerken, daß eine gewisse Quantität des Fluidums vermöge seiner Adhäsion an den Körper von Letzterem bei seiner Bewegung mit fortgerissen wird, und solchergestalt ein neues Hinderniß der Bewegung bildet. Das Volum dieser Quantität beträgt bei Kugeln etwa 0,585 bis 0,6 von dem Volum der Kugeln selbst. In den Nachfolgenden Paragraphen werden wir die praktischen Erfahrungen über die Werthe des Widerstandskoeffizienten 9 unter verschiedenen Verhältnissen mittheilen. Zur Bestimmung der Koeffizienten m und aus welchen die durch die Ablenkung der Flüssigkeit hervorgehende Vermeh- 166. Gerader Stoß des WaffcrS gegen ebene Flächen. 1S7 rung und Verminderung des hydrostatischen Druckes resp. gegen die Vorder« und Hinterfläche des Körpers zu erkennen sein würde, gibt es noch keine vollständig besriedigenden Beobachtungen. Du- chemin, indem er den ganzen Unterschied zwischen dem Stoße eines isolirten Strahles gegen eine hinlänglich große ebene Fläche und dem Stoße einer unbegränzten Flüssigkeit gegen die Vorderstäche eines geraden Prismas vernachlässigt, setzt beide Fälle einander gleich und nimmt für solche prismatische Körper ohne weiteres m —2. Dabei hat er ganz unbeachtet gelassen, daß selbst bei einem isolirten Strahle der Werth von »r abnimmt, wenn die Größe der gestoßenen Fläche unter einen gewissen Werth her- absinkt und daß nach der Bemerkung am Ende des 8s 162 m sogar — 1 werden würde, wenn die gestoßene Fläche nicht größer ist, als der Querschnitt des Strahles. Bei Berücksichtigung dieses Umstandes würde mack gewiß der Wahrheit viel näher kommen, wenn man für den Stoß einer unbegränzten Flüssigkeit gegen die Vorderfläche eines Prismas m-1 setzte. Bei der Bestimmung des Koeffizienten rr für den Druck gegen die Hinterfläche findet Duchemin, wie schon früher erwähnt, sogar eine negative Größe, woraus hervorgehen würde, daß an der Hinterfläche keine Verminderung, sondern eine Vermehrung des Druckes stattfände. Dieses Resultat hat seinen Grund in einer unrichtigen Abschätzung der Wirkung eines Wasserstromes auf die Pitotsche Röhre, vermittelst welcher die Beobachtungen angestellt sind (s. §. 181). 8. 166. Gerader Stoß und Widerstand des unbegränzten Wassers gegen dünne ebene Flächen bei geradliniger und gleichförmiger Bewegung. Wenn das Wasser in Bewegung und die Ebene in Ruhe ist; so kann man nach den Beobachtungen von Thibault und Rouse so lange s --1,85 annehmen, bis umfassendere Versuche genauere Werthe dieses Koeffizienten für die verschiedenen Verhältnisse der Dimensionen der Fläche und der Geschwindigkeit des Wasserstromes erkennen lassen. 138 j. 187. Gerader Stoß des Wassers gegen Prismen. Wenn das Wasser in Ruhe und die Ebene in Bewegung ist; so kann man nach den Beobachtungen von Pio- bert, Morin und Didion etwa § — 1,3 bis 1,5 setzen, wobei angenommen ist, daß dieser Koeffizient nicht sehr von demjenigen abweiche, welcher den Widerstand der atmosphärischen Lust unter gleichen Verhältnissen mißt. §. 167. Gerader Stoß und Widerstand des unbe- gränzten Wassers gegen prismatische Körper. Wenn das Wasser in Bewegung und der Körper in Ruhe ist, und man bezeichnet mit t die Länge des Körpers, während wie früher, dessen Querschnitt ist; so hat man nach direkten Messungen von Dubuat für -^-^0, 1, 3, 6, v ^ b —1,865, 1,451, 1,323, 1,360. Da nun Dubuat und auch Duchemin gefunden haben, daß der Stoß auf die Vorderfläche ^ eines prismatischen Körpers von dessen Länge t ziemlich unabhängig ist, während die Größe, um welche sich der Druck gegen die Hinterfläche in Folge der Ablenkung der Flüssigkeit vermindert, mit zunehmender Länge schwächer wird; so folgt aus den vorstehenden Resultaten, daß wenn die Länge eines solchen Prismas seine mittlere Breite um das Dreifache überschreitet, die Adhäsion der Flüssigkeit an die Seitenwände anfängt, vor der zuletzt erwähnten Größe die Oberhand zu gewinnen, in Folge welcher der Gesammtdruck auf das Prisma wieder anfängt zu wachsen. Wenn das Wasser in Ruhe und der Körper in Bewegung ist; so hat man nach Marguerin bei geringen Geschwindigkeiten für Würfel durchschnittlich § ---1,27. Die Versuche von Beaufoy mit rechtwinkligen Prismen von etwa 1 Quadratfuß Querschnitt und 10 Fuß Länge ergeben El. (726) j. 168. Schiefer Stoß des Wassers gegen ebene Flächen. 139 bei Geschwindigkeiten von 12,7 Fuß in der Sekunde 9 — 1,44 - - - 6,4 - - - - y — 1,50 - - - 1,6 - - - - y--1,58 Duchemin hat für die beiden vorstehenden Fälle vermittelst zweier empirischen Formeln, welche er seinen eigenen und den Beobachtungen von Dubuat und Marguerin angepaßt hat, folgende Tabelle berechnet Verhältniß der Werth von 0 Länge des Kör- pers zu seinem für bewegtes für ruhendes Durchmesser. Wasser. Wasser. 0 1,864 1,254 0,5 1,847 1,269 1 1,479 1,282 1,5 1,389 1,295 2 1,342 1,305 2,5 1,323 1,315 z 1,329 1,325 4 1,335 1,342 5 1,359 1,356 6 1,367 1,368 7 1,377 1,379 8 1,387 1,388 wobei nur noch zu bemerken ist, daß die Werthe von 9 aus der dritten Spalte für ruhendes Wasser nach der Formel S-I,SS»(l->-^A) ....c72v berechnet sind, worin 1 die Länge und a den Durchmesser des als Zylinder gedachten Körpers bezeichnet. S. 168. Schiefer Stoß des bewegten Wassers gegen eine dünne ebene Fläche. 8 sei die Größe der gestoßenen schiefen Fläche, und die Rich« tung der in Bewegung begriffenen Flüssigkeit neige sich unter dem Winkel « gegen die Ebene dieser Fläche. Bezeichnet man alsdann mit 9 den Werth 1,864 des Koeffizienten für den Fall eines geraden Stoßes des Wassers gegen die Fläche; so gibt Duchemin 140 j. 169. Widerstand dcS WasscrS gegen eine schief bewegte Ebene. Gl.(728) zur Bestimmung des Stoßes der Flüssigkeit parallel zu dessen Bewegung die Formel 8IN« 608« 6,48 8IN« 608« — 608^«^ ^52 - 608^«^ 28IN^ « 1-j-8in^« 28IN^« 1-s-8in^K .. V 2 y.wLH (727) welche er durch die Versuche von Thibault verifizirt. Der Normalstoß gegen die schiefe Ebene, deren Eine Komponente die vorstehende Kraft ist, wird durch 8IN« 8MK608« 6,48 608^«> 28M« „ ^52-1-j-8in2«^'^2^ (728) dargestellt. Die Werthe des Koeffizienten 8IN« 608« "6M 608^« ^ 28IN« 3,52 / 1 -s-sin^a aus der letzteren Formel für den Normalstoß um welchen sich die Wirkung des schiefen Stoßes von der des geraden in normaler Richtung zur Fläche unterscheidet, sind in der nachfolgenden von Duchemin gegebenen Tabelle enthalten. Einfallswinkel « Werth des obigen Koeffizienten. 90» 1 68 0,9828 59,25 0,9846 44,80 1,0037 30 0,9 l 70 24,25 0,8282 23,75 0,8186 20,29 0,7426 §. 169. Widerstand des ruhenden Wassers gegen eine in schiefer Richtung geradlinig bewegte dünne ebene Fläche. Wenn L wieder die Große der schiefen Fläche und « den Winkel bezeichnet, unter welchem sich die Richtung der Bewegung Tl. (730) j. 170. Widerstand dcSWaffcrS gegen einen konvexen Körper. 141 der Fläche gegen deren Ebene neigt, während 9 den Werth 1,254 des Widerstandskoeffizienten aus der Tabelle des §s 167 für den Fall einer geraden Bewegung der Ebene im Wasser darstellt; so findet Duchemin die Formel 2sin^« l-j-sin^« V? 2811 ^« 1-j-sin^K y.roLH . . (729) mit den Beobachtungen von Bossut, Vince, Hütten und Thi- bault im Einklänge. Es versteht sich hierbei von selbst, daß k den Widerstand des Wassers in einer der Bewegung der schiefen Ebene direkt entgegengesetzten Richtung, also die in diese Richtung fallende Komponente des normalen Widerstandes des Wassers gegen die Fläche darstellt. Dieser Normalwiderstand würde demnach sein. I' 8IN« 2811 »« 1 -j- 8IN? « ^ . . . (730) Für den Koeffizienten 2 sin^ « 1 -s- 8IN^ « aus der Formel (729) für den in paralleler Richtung zur Bewegung geleisteten Widerstand k gibt Duchemin die folgende Tabelle Einfallswinkel a Werth des obigen Koeffizienten. 00» 1 60 0,0846 70 0,9379 60 0,8571 50 0,7395 40 0,5848 30 0,4000 20 0,2095 10 0,0586 8 . 170. Widerstand des unbegränzten ruhenden Wassers gegen einen geradlinig bewegten Körper, dessen Vordertheil durch eine krumme konvere Oberfläche begränzt ist. sei eine ebene Kurve, durch welche das Vordertheil 142 170. Widerstand beS Wassers gegen einen eines Körpers entweder in der Weise erzeugt ist, daß sich diese Kurve um eine in ihrer Ebene liegende Are drehet, oder indem sie sich perpendikular zu ihrer Ebene fortbewegt, sodaß die hierdurch beschriebene Oberfläche entweder zu den Umwälzungsflächen oder zu den zylindrischen Flächen gehört. sei die Richtung, nach welcher der Körper in ruhendem Wasser mit der Geschwindigkeit V bewegt werde, und VL sei der Durchschnitt des größten auf L.4 perpendikular stehenden Querschnittes des Körpers mit der Ebene Es sei unter Beibehaltung der übrigen früheren Bezeichnungen, wenn man zur Bestimmung der Kurve die Linie 6^4 als 4,re der w und 6L als Are der z, annimmt, y, der Neigungswinkel irgend eines Elementes m der Kurve 4^ gegen die Are 40, « die Länge des Bogens 4 m, während a: und A die Koordinaten des Punktes m vom Anfangspunkte 6 aus sind, ^.4 die Größe der Projektion eines sehr kleinen bei m liegenden Elementes der durch die Kurve V4L erzeugten Fläche, auf die Ebene des größten Querschnittes VL, 4 die Größe dieses größten Querschnittes VL selbst, « der Neigungswinkel des bei 4 liegenden Kurvenelementes gegen die Are .4.6, i die größte Länge 48 des Körpers in der Richtung der Bewegung, a der größte Durchmesser VL in der Ebene V48L perpendikular zu 48 und Duchemin findet es durch die Versuche vieler Experimentatoren bestätigt, daß der Widerstand der unbegränzten Flüssigkeit in der der Bewegung des Körpers direkt entgegengesetzten Richtung 48 für irgend ein bei m liegendes Flächenelement des Vordertheiles, dessen Projektion /^4 ist, der Größe (Gl. 732) Körper mit konvexem Vordertheile. 8Ill"lp 81 »^ « proportional sei, und daß man für diesen Widerstand gegen das fragliche Flächenelement setzen könne, worin 9 den Werth des nach Formel (726) berechneten oder aus der dritten Spalte der in §. 167 mitgetheilten Tabelle entnommenen Widcrstandskoeffizienten bezeichnet. Nimmt man die mit ^ bezeichnete Summe des vorstehenden Ausdruckes für das ganze Vordertheil, d. h. für denjenigen Theil der Oberfläche des Körpers, welcher zwischen der Spitze ^ und dem größten auf der Richtung der Bewegung perpendi- kular stehenden Querschnitte VL liegt; so erhält man für den gesammten Widerstand der Flüssigkeit k — X „ .... (731) Zugleich schließt Duchemin aus verschiedenen Beobachtungen, daß die Form des Hintertheileö DLL des Körpers nur einen sehr unbedeutenden Einfluß auf den Werth des vorstehenden Widerstandes habe. Sieht man die Ordinate ^ des Punktes m als die unabhängig Veränderliche und die Länge « des Bogens als eine Funktion von U an; so hat man oder s'my) (ckz,) ÄA 8INP 8Mtt ist der Werth dieses letzteren Ausdruckes von 8MP, wenn man darin N — o setzt. . , Hiernach kann die Formel (731) auch geschrieben werden 2A8IN^tt Wäre die durch die Kurve erzeugte Fläche eine Um- 144 r. 170. Widerstand des Masters gegen konvexe Körper. Gl. (733) wälzungsfläche von der Are ^,6; so würde ein bei m liegendes Element jener Kurve von der Länge ck« bei seiner Umwälzung um die letztere Are eine Zone beschreiben, welche überall dieselbe Neigung gegen die Are hat, und deren Projektion auf die Ebene des Querschnittes ist. Substituirt man diesen Ausdruck für in die obige Gl. (732); so kommt für Körper, deren Vordertheil durch eine Umwälzungsfläche begränzt ist, k — 2^9«, 2ssin^« d. i., wenn man beachtet, daß die durch ^ angedeutete Summe hier von U—o bis 7,-^ zu nehmen ist, T' 2§silr^ « (733) 0 Wäre dagegen die durch die beiden kongruenten Kurven und erzeugte Fläche eine zylindrische Oberfläche, welche dadurch entstanden wäre, daß sich jene Kurven parallel zu einer auf ihrer Ebene perpendikular stehenden Linie fortbewegt hätten; so würde, wenn man die Höhe des Körpers in perpendikularer Richtung zu der Ebene V-VL mit L bezeichnet, irgend ein Element der Kurve von der Länge cks ein Flächenelement beschreiben, dessen Projektion auf die Ebene des Querschnittes ^ — /rckz/ ist. Nimmt man diesen Ausdruck in Berücksichtigung des ähnlich liegenden Elementes der zweiten Kurve doppelt, und substituirt denselben alsdann in Gl. (732); so erhält man für Körper, deren Vordertheil durch eine zylindrische Oberfläche begränzt ist, 2§ 8llt^« ^ 8 ^ k--- 29 «>L Tl. (735) l7l. Widerstand gegen eine Kugel. oder da die durch ^ angedeutete Summe von z,—o bis U—^ genommen werden muß, (734) » 0 §. 171. Widerstand des ruhenden Wassers gegen eine geradlinig bewegte Kugel. In diesem Falle hat man mit Bezugnahme auf die allgemeinen Gleichungen des vorhergehenden Paragraphs für die erzeugende Kurve die Gleichung -s- oder N und daher, weil 7» und für U —o Substituirt man diese Werthe in die allgemeine für Rotationskörper geltende Formel (733); so kommt für den gesuchten Widerstand des ruhenden Wassers gegen eine geradlinig bewegte Kugel (^—N')^U^N ? —Zsrpro 2- oder da die Fläche des größten Querschnittes ^ ist, 2 2 V? II. (735) 10 146 i- 172. Widerstand gegen einen Kegel. Gl. (737) sodaß der Widerstand gegen eine Kugel unter sonst gleichen Um- 2 ständen nur von dem eines Zylinders beträgt, welcher um die Kugel beschrieben ist und sich in der Richtung seiner Are bewegt. Dieses Resultat ist durch die Versuche von Borda, Vince und Hutton bestätigt worden. Da man hier, wo t—a —2r> ist, nach Gl. (726) C--1,28, also0,512 hat; so wird Gl. (735) ?---0,512.«,^^, ....(736) eine Formel, welche mit den Versuchen von Borda und Newton übereinstimmt. §. 172. Widerstand des ruhenden Wassers gegen einen in der Richtung seiner Are bewegten Kegel. In diesem Falle, wobei angenommen ist, daß die Spitze des Kegels voranschreite, wird die Kurve welche die Kegeloberfläche durch Umwälzung um die Are erzeugt, eine Gerade, welche sich unter dem Winkel « gegen /rv neigt und für welche man, da OL —ist, U cta: 1 «tz, tunK«' ci» ctA - —V / 1-j-^— 8M« hat. Hierdurch wird die Gl. (733) für den gesuchten Widerstand k--2ir 910^—81»«/NetA — V? 8M« — yrvä. V- . 8M« . . . (737) Hierin bezeichnet ^ die Grundfläche des Kegels und y den i. 173. Widerstand gegen einen Zylinder. 147 Widerstandskoeffizienten nach Gl. (726), wenn man darin für er den Durchmesser VL der Basis und für § die Höhe ^,6 des Kegels substituirt. Bewegte man unter sonst gleichen Umständen denselben Kegel dergestalt in der Richtung seiner Are, daß die auf dieser Are per« Pendikular stehende Grundfläche voranschritte; so würde nach den Prinzipien des §s 170 . V- der Widerstand sein, welchen die Flüssigkeit dem Kegel entgegensetzte, worin y denselben Werth hätte, wie in Gl. (737). Hieraus folgt, daß sich der zuerst betrachtete Widerstand, welchen der Kegel bei voranschreitender Spitze erfährt, zu dem letzteren Widerstände, welchen der Kegel bei voranschreitender Grundfläche erleidet, wie 8,n«:1 verhält. Dieses Resultat findet sich durch die Beobachtungen von Borda und Hutton bestätigt. 8. 173. Widerstand des ruhenden Wassers gegen einen geraden Zylinder mit kreisförmiger Basis, welcher sich perpendikular zu seiner Are bewegt. Wenn das Vordertheil des ruhenden Wasser erleidet, die F in 8. 170 betrachteten Körpers eine zylindrische Oberfläche ist, welche dadurch entstanden ist, daß sich die beiden kongruenten Kurven und in einer auf ihrer Ebene perpendikular stehenden Richtung fortbewegen; so gilt für den Widerstand, welchen ein solcher Körper bei seiner Bewegung nach im -mel (734). Sind nun und Viertelkreise, deren Mittelpunkte in 0 liegen; so hat man unter Substitution der in §.171 be- reits angegebenen Werthe für ^ und »in« in Gl. (734) als Ausdruck für den gesuchten Widerstand 148 j. 174. Widerstand gegen einen Keil. Gl. (739) oder da k 2^./ ^ ' o /(^ —U^)^ciz, ^ ^(5^-2^)^^-^ , 3,._. N ./ " 8^ ^ 8 mithin / *> 2 - _3 -r »/ 7-s 82 r» — 0,589 7» ist, k --0,589. c«-.27-L^ --0,589.yw.4.^, .... (738) worin ^ die Fläche 2^L des durch die Are des Zylinders gehenden Durchschnittes bezeichnet. Das vorstehende Resultat hat durch einige Versuche von Borda seine Bestätigung gefunden. §. 174. Widerstand des ruhenden Wassers gegen einen Keil, dessen Schärfe voranschreitet. Wenn die Kurven und L.V, durch deren Fortschritt in perpendikularer Richtung zur Ebene das Vordertheil des Körpers beschrieben ist, gerade Linien bilden, welche sich unter dem Winkel « gegen die Linie ^6 neigen; so stellt dieses Vor-- dertheil einen Keil dar, für welchen man nach Gl. (734) und bei gehöriger Substitution des entsprechenden Werthes von 1 ^ — --— aus §. 172 8IN« Vr /* d. i. V2 V? k —2a«l/t7'^—8IN«-- 0«>^ 8IN« 2s ' 2§ ( 739 ) §. I7S. Widerstand gegen Körper mit konkaven Vordertheilen. 14S erhält. Hierin bezeichnet —2L7- die der Schärfe des Keiles gegenüberliegende rechtwinklige Basis desselben, und 9 hat den Werth aus Gl. ( 726 ), wenn man darin für t die Dimension ^8 und für « die Dimension 88 nimmt. Das vorstehende Resultat ist mit den Versuchen von Borda im Einverständnisse. §. 175 . Widerstand des ruhenden Wassers gegen einen geradlinig bewegten Körper, dessen Vordertheil durch eine konkave Umwälzungsfläche begränzt ist. Für einen Körper der vorstehenden Art, wo das Vordertheil 8X8 konkav ist und eine durch die Kurve X8 erzeugte Umwälzungsfläche von der Are X8 bildet, sei X der Anfangspunkt der Koordinatenaren XX und XV, ferner

    -s- V 08 y>) X 13V 175. Widerstand gegen Körper mit konkaven Vordertheilen. Gl. (741) proportional sei, und daß man für diesen elementaren Widerstand (sin P -j- eos go) ^X setzen könne, worin 9 den Werth des WLderstandskoeffizienten aus Gl. (726) hat, wenn man darin t —66 und »—V 6 substituirt. Stellt nun L eine für die ganze Ausdehnung der Fläche vtXL genommene Summe dar; so hat man für den gesummten Widerstand der Flüssigkeit in einer der Bewegung des Körpers direkt entgegengesetzten Richtung ^ (sin P -s- eos P) /X tX k —pro (740) Sieht man bei der Bestimmung der Kurve -XL und der daraus erzeugten Umwälzungsffäche die Ordinate x als die unabhängig veränderliche Größe an; so wird ein jedes Element jener Kurve von der Länge ct« bei seiner Umwälzung um die Are tXL eine Zone beschreiben, deren Projektion auf die Ebene VL ist. Hierdurch geht die obige Gleichung in T' k —2«s«>H— / (siny,-j-ev8P)NckU (741) über. Die Werthe von siny, und eosgp in dieser Gleichung sind bekanntlich 1 SilN W --- —— 1 ch) G) Wäre die Kurve ein mit dem Radius »x beschriebener Kreisbogen; so hätte man GI. (742) l7S. Widerstand gegen im Kreise bewegte Körper. 15l 2 — ck z:_ ?/ , _'s/i', ^ 8IN (p — > oo8P—^-; ^ L mithin nach Gl. (741) T' ^2 _ 2 ^^2s l ^ 7-» —0-,'--7'2)T-s-»-,S ^ ) Setzt man nun den Zentrumswinkel des Bogens oder gleich /Z und berücksichtigt, daß ^- —sin/? und ^ ist; ^'i so reduzirt sich der vorstehende Ausdruck auf k> — V- 2S /I -s- 8IN°/1 — V08° V sin^^Z . . (742) Die Resultate dieser Formel stimmen mit den Versuchen von Dubuat und Thibault überein. Wenn inan in dem vorstehenden Werthe des Widerstandes k alle übrigen Größen als konstant ansieht, und nur den Zentrumswinkel /3 des Bogens variiren läßt; so findet man, daß das Marimum jenes Widerstandes erreicht wird, wenn ^ etwa —60° ist, oder wenn sich die Linien 6^, und OL wie 1:3,464 verhalten. Auch dieses Resultat wird durch die Beobachtungen bestätigt. §. 176. Widerstand des ruhenden Wassers gegen einen im Kreise gleichförmig herumbewegten Körper. Die früheren Formeln für den Widerstand einer ruhenden Flüssigkeit gegen einen darin bewegten Körper beziehen sich immer nur auf den Fall, wo dieser Körper in einer geraden Linie nach der jedesmal näher bezeichneten Richtung mit gleichförmiger 152 ?. 116. Widerstand gegen einen Im Kreise Geschwindigkeit fortschreitet. Geht nun aber diese Bewegung in der Richtung eines Kreisumfanges vor sich, wie wenn der Körper mit dem Mittelpunkte dieses Kreises durch eine starre unbieg- same Linie verbunden wäre, welche um den Mittelpunkt drehbar ist; so stellt sich der in der Tangente des Kreisumfanges wirkende Widerstand der Flüssigkeit wegen der fortwährenden Änderung, welche die Richtungen der abgelenkten Stromfäden erleiden, etwas größer heraus, als bei der geradlinigen Bewegung des Körpers. Um jenen Widerstand zu bestimmen; so sei II ^ die feste Are im Raume, um welche sich der gegebene Körper bewegt, VL6k sei die Projektion des Vor- dertheiles des Körpers auf eine durch die Umdrehungsare 67 gelegte und durch die vorderste Spitze des Körpers gehende Ebene, sei der Mittelpunkt der Projektion VL6k, und wenn man in dieser Figur die Linie NN durch den Punkt ^ parallel zu der Umdrehungsare zieht; so sei L der Schwerpunkt des Theiles Nbror jener Projektion, welcher auf der Seite der Umdrehungsare liegt. Ferner bezeichne ^ die Fläche der Projektion VL6k, V die Geschwindigkeit des Mittelpunktes ^ dieser Projektion in dem Umfange des um 6 mit dem Halbmesser 6^ beschriebenen Kreises, 6^. den Abstand des Mittelpunktes ^ von der Rotationsare, e —den Abstand des Schwerpunktes L der Figur ss!N6k von dem Mittelpunkte « den Durchmesser der Projektion VLOk in dem Falle, wo diese Projektion ein Kreis und der Körper ein Rotationskörper um eine in ^ auf vL6k perpendikular stehende Are ist, « die Neigung des vordersten Elementes der Vorderfläche des Körpers im Punkte ^ gegen die Richtung der Bewegung, also gegen ein in auf der Projektion ÖL6k errichtetes Perpendikel, isz EI. (743) herumbewegtcn Körper. i die Länge des Körpers in der Richtung des eben erwähnten Perpendikels, ^ eine Größe, welche die Dicke der parallel zu der vorderen Fläche des Körpers abgelenkten Wafferfäden darstellt, und oder —»>8in« ist, wenn das Vordertheil des 1 - Körpers eine Umwälzungsfläche bildet, und — wenn Dies nicht der Fall ist, 9 den Widerstandskoeffizienten nach Gl. (726) für ein geradlinig bewegtes Prisma von der Bafis und der Länge ö, k den Widerstand, welchen der Körper erfahren würde, wenn er sich mit der Geschwindigkeit V in tangentialer Richtung zu seiner Bahn geradlinig fortbewegte, ein Widerstand, welcher nach den Formeln der §§. 166 bis 175 zu bestimmen ist, k' den Widerstand, welchen der Körper bei seiner kreisförmigen Bahn wirklich erleidet und welcher, als durch den Mittelpunkt ^ wirkend, gedacht wird. Durch Vergleichung der Beobachtungsresultate vieler Erpe- rimentatoren hat Duchemin gefunden, daß man als empirische Formel, welche übrigens auf eine rationelle Betrachtung der Wirkung der von der ausweichenden Flüssigkeit hervorgebrachten Zentrifugalkraft gegründet ist, 3,2488. S' 9 (/— 6 ) setzen könne. Wäre der in Rede stehende Körper z. B. eine dünne rechtwinklige Platte von den Dimensionen VL—b und LO—e, und läge ihre Oberfläche in einer Ebene, welche durch die Rotationsare R3 ginge; so würde man 4^ ^ ö 1,254 (vergl. 8. 167) und demnach 178. Widerstand gegen einen im Kreise Gl. (745) 154 1,295- ^ 4-°/ ( 744 ) haben, worin außerdem ist. ^> 2 ^ — 1 , 254 «,^.^ Wenn dieselbe dünne ebene Platte eine Neigung gegen die Richtung ihrer Bewegung besäße und zwar so, daß ihre Ebene durch die Linie ^.6 ginge; so werde der Neigungswinkel dieser Ebene gegen die Richtung der Bewegung durch « dargestellt, die Größe der schräg liegenden Platte sei L, also ihre Projektion VLOk' —/r —L8Mtt —Kos!»«, indem ö und o die Dimensionen der schrägen Plattenfläche L darstellen. Hiernach würde man 1 6 — 4 1 1 _ 1 _ ö — i ^. sin « — 1k 8ii^« — i - e «ia» « , §--1,254; mithin k"--k -s-1,295 (745) haben, worin aber nach Gl. (729) ^ 2sin2« ist. Ginge die geneigte Ebene der Platte VL6I' nicht durch die Linie ^.6, sondern durch die mit der Rota- tionsare85 parallele Linie IV1N; so sind die beiden in den seitstehenden Figuren dargestellten Fälle zu unterscheiden, in welchen der Hebelarm 6^ entweder hinter der Platte, wie in Fig. (1),oder vorder Platte, wie in Fig. (2), liegt. —l> ' -f 1,295 1Ü6 z. 177. Widerstand gegen schwimmende Körper. Tl. (748) und endlich nach Gl. (726) für a —? § --1,28 sein. Demnach würde man für den gesuchten Widerstand nach Gl. (743) , 3,2488,- ' oder k"—k 1Z-2,538 haben, worin wegen Gl. (736) k --0,512. ist. Diese Formel schließt sich den Versuchen von Borda ganz gut an. §. 177. Widerstand des ruhenden Wassers gegen schwimmende Körper. Über den Widerstand, welchen das Wasser den auf seiner Oberfläche schwimmenden Körpern bei ihrer Bewegung entgegensetzt, lassen die bis jetzt angestellten Beobachtungen mehr Unsicherheit zurück, als die in den vorstehenden Paragraphen mitgetheilten Erfahrungen über den Widerstand einer nach allen Seiten unbe- gränzten Flüssigkeit gegen einen darin bewegten Körper. Man kann den Inbegriff der aus den jetzt bekannten Versuchen mit schwimmenden Körpern zu ziehenden Lehren etwa in Folgendem zusammenfassen. Wenn man die in den früheren Paragraphen eingeführten Bezeichnungen auf den untergetauchten Theil des schwimmenden Körpers im Zustande der Ruhe anwendet, sodaß also besonders den größten Querschnitt dieses unter dem Wasserspiegel liegenden Theiles in normaler Richtung auf der Bewegung des Körpers bezeichnet; so kann der fragliche Widerstand k nahezu durch Formeln dargestellt werden, welche den für ganz eingetauchte IS7 (7S1) §. 177. Widerstand gegen schwimmende Körper. Körper gegebenen gleich sind, vorausgesetzt, daß die Gestalt des untergetauchten Theiles mit der des zuletzt gedachten Körpers übereinstimme. Jedoch zeigt es sich besonders bei denjenigen Körpern, deren Vordertheile nach vorn schmaler werden, daß dieselben einen etwas geringeren Widerstand erfahren, wenn sie schwimmen, als wenn sie mit gleichem benetzten Querschnitte ganz untergetaucht sind. Für prismatische Körper mit gerader Basis, welche in der Richtung ihrer Are schwimmen, kann man nach Duchemin p —.... (749) setzen, worin § den Werth des Widerstandskoeffizienten aus Gl. (726) oder aus der dritten Spalte der in §. 167 gegebenen Tabelle hat. Wenn ein solcher prismatischer Körper mit einem zylindrischen Vordertheile versehen ist, dessen horizontaler Durchschnitt einen Halbkreis bildet; so kann man statt der Formel (738) nach den Beobachtungen von Bossut die folgende ....(750) annehmen, worin y ebenfalls nach Gl. (726) zu berechnen ist. Hat der prismatische Körper ein keilförmiges Vordertheil, dessen vordere Kante vertikal steht, und bei welchem sich eine jede Seitenfläche unter dem Winkel « gegen die horizontale nach Duchemin statt der .... (751) durch eine geneigte Ebene 80 unterschnitten ist, hat man, wenn sich die Ebene 80 unter einem Winkel von 43« gegen den Horizont neigt, nach Bossuts Beobachtungen Are des Körpers neigt; so hat man Formel (739 die nachstehende V? I» 0,75 in Anwendung zu bringen. Bei einem Vordertheile, welches j. 177. Widerstand gegen schwimmende Körper. Gl. <734) ? —0,55s«)^.^ ....(752) und wenn sich jene Ebene unter einem Winkel von 25« 26' gegen den Horizont neigt, k —0,43sro^. ^ (753) zu setzen. Durch die Anbringung eines keilförmigen Hintertheiles, dessen Länge gleich der doppelten Breite war, an Einen der vorstehend betrachteten Körper vermindert sich der Widerstand k etwa 1 Für Körper, welche die Form der besten auf dem Meere gehenden Fahrzeuge besitzen, hat man nach den Beobachtungen von Bossut und Morin bei mäßigen Geschwindigkeiten bis zu 5 Fuß in der Sekunde den äußerst geringen Werth von ?^0,22u>^ bis 0,27w^ gefunden. Mit zunehmender Geschwindigkeit des Fahrzeuges wächst der Werth des Koeffizienten nach den Beobachtungen von Macneill, Rüssel und Morin in dieser Formel übrigens sehr bedeutend und kann sogar für Geschwindigkeiten von etwa 9 bis 10 Fuß in der Sekunde den doppelten Werth erreichen. Bei noch größeren Geschwindigkeiten nimmt jener Koeffizient jedoch wieder ab und wird am schwächsten für Geschwindigkeiten von etwa 15 Fuß in der Sekunde. Die Ursachen in dieser anscheinend sehr auffallenden Beobachtung liegen darin, daß das in Bewegung begriffene Fahrzeug eine Wellenbewegung in der Oberfläche des Wassers erzeugt, gegen welche das Fahrzeug eine besondere, von seiner absoluten Geschwindigkeit abhängige Lage annimmt, in welcher dasselbe bald mehr, bald weniger dazu geeignet ist, den Wellenberg zu durchschneiden*). *) Mehreres hierüber stehe in der lntroäuctioa ü Ia wecaniljue iackustriells p»r poocelet. dlo. 393 el siiivan». W. (755) 178. Widerstand in engen Kanälen. 159 §. 178. Widerstand des ruhenden Wassers in einem engen Kanale gegen einen schwimmenden Körper. Die Formeln des vorhergehenden Paragraphs für den Widerstand, welchen ein schwimmender Körper durch die Flüssigkeit erleidet, setzen voraus, daß die Oberfläche des Wassers nach allen Richtungen, sowie die Tiefe desselben, unbegränzt oder doch im Vergleich zu den entsprechenden Dimensionen des Körpers sehr groß seien. Ist Dies jedoch nicht der Fall, wie z. B. bei der Bewegung von Fahrzeugen in engen Flüssen oder Kanälen; so nimmt der Widerstand einen etwas größeren Werth an, weil das Wasser alsdann nicht mehr mit derselben Leichtigkeit nach den Seiten und unter den Körper hindurch ausweichen kann. . Nach der Diskussion Dubuats über die Versuche von Bos- sut, d'Alembert und Condorcet kann man sich der Formeln des vorhergehenden Paragraphs solange bedienen, als die obere Breite des Kanales 4,5 mal so groß ist, als die Breite des eingetauchten Theiles des schwimmenden Körpers, und der Querschnitt des Kanales 6,46 mal so groß, als der Querschnitt des oben gedachten Körpertheiles. Für kleinere Dimensionen des Kanales sei der größte Querschnitt des untergetauchten Körperteiles, der benetzte Querschnitt des Kanales, k der Widerstand nach Gl. (749) für einen in einer unbegränz- ten Flüssigkeit schwimmenden geraden prismatischen Körper, k' dieser Widerstand in dem gegebenen engen Kanale, k" dieser Widerstand in dem engen Kanale, sobald der vorstehende Körper mit einem mehr oder weniger zugeschärsten Vorder- und Hintertheile versehen ist, - das Verhältniß des Widerstandes für den mit Vorder- und Hintertheil begabten Körper zu dem Widerstände I? eines umschriebenen geraden Prismas ohne Vorder- und Hintertheil, beide für den Fall eines Flußbettes von unbegränzten Dimensionen. Alsdann kann man mit Dubuat für den Widerstand eines geraden Prismas im engen Kanale 8,46 ,, k — (755) 16U r. 178. Widerstand in engen Kanälen. Gl. (7SK) setzen. Der Faktor von k wird in der That —1, wenn ^.'—6,46^. ist; derselbe wird —2,82, wenn ist oder wenn der schwimmende Körper den ganzen Querschnitt des Kanales anfüllt, in welchem Falle sich vor dem Körper ein Stau bildet, in Folge dessen der Körper gehoben wird und das Wasser unterhalb entweicht. Wenn bei einer geringen Waffertiefe die Breite des Kanales größer ist, als das 4,5 fache der Breite des schwimmenden Körpers; so hat man nach Dubuat in der vorstehenden Formel die Fläche dergestalt anzunehmen, als wenn der Kanal auf die letztere Breite reduzirt wäre. In ähnlicher Weise hat man bei geringer Breite, aber hinlänglicher Tiefe des Kanales, die Letztere auf das 1,5fache der Höhe der größten Einsenkung des schwimmenden Körpers zu reduziren, um danach die Fläche für Formel (755) zu berechnen. Für einen Körper mit Vorder- und Hintertheil hat man in einem engen Kanale nach Dubuat den Widerstand ^1-0,183(1--)(^-l) _(756) Das Verhältniß i in diesem Ausdrucke darf jedoch den Werth 6,46 nicht überschreiten, indem man für solche Fälle immer einfach oder da alsdann auch k—k wird, k" — hat. Bei den Versuchen, auf welche sich die beiden Formeln (755) und (756) gründen, ist der schwimmende Körper vermittelst eines dem Kanale entlang gespannten Seiles gezwungen worden, stets dieselbe Lage gegen die Oberfläche des Wassers beizubehalten, und derselbe ist durchaus verhindert worden, sich nach vorn oder hinten überzuneigen, wie es abwechselnd stattfindet, wenn jener Körper der darauf angebrachten bewegenden Kraft frei folgen kann. Aus diesem Grunde werden die aus jenen Formeln für enge Kanäle sich ergebenden Widerstände etwas größer sein, als diejenigen, welche derselbe schwimmende Körper erfährt, wenn er ohne den beschriebenen Zwang in dem Kanale fortgetrieben wird. i. 17S. Messung der Ausflußmenge in Strömen. 161 Messung der Ausflußmenge und der Geschwindigkeit des Wassers in offenen Flußbetten. 8. 179. Direkte Messung der Ausflußmenge in einem offenen Flußbette. Durch die in den 88. 143 ff. gegebenen Formeln ist man zwar in den Stand gesetzt, sowol die Ausflußmenge für die Zeiteinheit, sowie die Geschwindigkeit des Wassers in den verschiedenen Punkten irgend eines Querschnittes eines offenen Wasserstromes zu berechnen; jedoch setzt Dies voraus, daß man die Figur des benetzten Theiles des Flußbettes, sowie das Gefalle desselben genau kenne. Besäße man die letztere Kenntniß nicht, oder wäre die Gestalt des Flußbettes von der Art, daß man sich von der Anwendung der fraglichen Formeln nur einen geringen Grad von Genauigkeit versprechen könnte, oder hätte man endlich die Absicht, genaue Beobachtungen über die Gesetze der Strombewegung anzustellen, um danach jene Formeln selbst zu prüfen und zu korrigiren; so müßte man direkte Mittel anwenden, um die wirklich stattfindende Ausflußmenge oder die in verschiedenen Punkten herrschende Geschwindigkeit zu bestimmen. Käme es nun zuvörderst darauf an, die von einem Flusse in einer gewissen Zeit, z. B. in der Sekunde, gelieferte Wassermenge unmittelbar zu messen; so würde Dies bei kleineren Gewässern mit einem größeren oder geringeren Grade von Genauigkeit dadurch geschehen können, daß man das Flußbett durch einen Damm oder eine Wand schlösse, in welcher sich eine möglichst kleine Ausflußöffnung befände, auf welche man dann die Formeln für den Ausfluß des Wassers aus Gefäßen in Anwendung bringen könnte. Das Wasser würde sich vor diesem Damme aufstauen, nach Verlauf einiger Zeit eine konstante Druckhöhe vor der Öffnung annehmen und sich im Beharrungszustande aus dieser Öffnung ergießen. Man brauchte alsdann nur die über der Öffnung stattfindende Druckhöhe zu messen und den Kontraktionskoeffizienten für die Ausflußöffnung zu kennen, um vermittelst dieser Größen nach den früheren Formeln die Ausflußmenge der Öffnung, welche auch die des Stromes ist, für die Zeiteinheit zu berechnen. Es leuchtet ein, daß zu diesem Zwecke Überfallvffnungen well. 11 162 179. Messung der Ausflußmenge niger genaue Resultate liefern werden, als Öffnungen in dünnen Wänden, welche möglichst tief unter dem Wasserspiegel liegen, besonders wenn der Fluß nicht so poch aufgestauet werden kann, daß die Geschwindigkeit in dem Querschnitte vor der Qffnung gegen die Ausflußgeschwindigkeit in dieser -Öffnung vernachlässigt werden kann, was offenbar darauf hinausläuft, daß die Fläche der Ausflußöffnung sehr klein sei im Vergleich zu dem aufgestaueten Querschnitte des Stromes. Wäre eine ganz unter dem Spiegel des aufgestaueten Wassers liegende Ausflußöffnung so klein gegen den Querschnitt des Baches, daß man die Flüssigkeit vor der Öffnung als ruhend ansehen könnte, und ergösse sich das Wasser durch diese Öffnung frei in die Luft; so könnte man zur Bestimmung der Ausflußmenge oder der Ausflußgeschwindigkeit in der Öffnung die Resultate der 8s. 84 ff. in Anwendung bringen. Wäre Dies jedoch nicht der Fall; so müßte man dabei die Betrachtungen der 88. 151 ff. zu Rathe ziehen. Um die Unsicherheiten zu vermeiden, welche bei dem vorstehenden Verfahren unter manchen Umständen besonders aus der Ungewißheit über den wahren Werth des Kontraktionskoeffizienten für die Ausflußöffnung hervorgehen, hat de Prony folgendes Mittel zur direkten Messung der Ausflußmenge eines fließenden Gewässers in Vorschlag gebracht. Quer durch das Flußbett wird ein Kasten gebauet, welcher sowol in seiner vorderen, wie in seiner Hinteren Wand eine Öffnung besitzt. Vermöge dieser beiden Öffnungen, von denen in Rücksicht auf Zweckmäßigkeit die erstere möglichst groß, die zweite möglichst klein sei, und von denen die erstere durch ein leicht bewegliches Schütz geöffnet und rasch geschlossen werden kann, ist man im Stande, den ganzen Fluß durch den Kasten zu leiten. Wenn sich solchergestalt der Strom durch den Kasten ergießt, und den Beharrungszustand angenommen hat, was sich an einem in dem Kasten aufgestellten Marqueur erkennen läßt; so wird der Spiegel vor dem Kasten höher stehen, als in dem Kasten, und in dem Kasten höher, als unterhalb desselben, und es wird sich durch die untere Öffnung in der Zeiteinheit dieselbe Wassermasse ergießen, welche der Strom im natürlichen Zustande in derselben Zeit liefert. in offenen Strömen. 163 Kennte man nun die Geschwindigkeit des Wassers in dieser unteren Äffnung; so würde das Produkt aus der Fläche dieser Dffnung in die genannte Geschwindigkeit die gesuchte Ausflußmenge für die Zeiteinheit ergeben. Um aber diese Geschwindigkeit oder gleich direkt die derselben entsprechende Ausflußmenge unabhängig von der Druckhöhe im Kasten, sowie von der Gestalt der Ausflußöffnung und von der darin stattfindenden Kontraktion zu finden; so bemerkt man, daß wenn Plötzlich die vordere Einflußöffnung des Kastens verschlossen würde, das Wasser sich im ersten Augenblicke noch mit derselben Geschwindigkeit durch die untere Ausflußöffnung ergießen und erst allmählig bei dem Herabsinken des Spiegels im Kasten mit geringerer Geschwindigkeit durch dieselbe sich bewegen würde. Hat man nun ein Mittel, das Gesetz zu bestimmen, nach welchem die Geschwindigkeit oder die Ausflußmenge mit der Zeit t variirt, kann man also die in jedem ferneren Augenblicke stattfindende Geschwindigkeit oder Ausflußmenge als eine Funktion von r angeben; so wird man die Ausflußmenge im ersten Augenblicke, wo die vordere Einflußöffnung Plötzlich geschlossen wurde, bestimmen können, indem man in der letzteren Funktion < —o setzt. Das eben erwähnte Gesetz ist folgendermaaßen näherungö- weise zu ermitteln. Man beobachtet unter plötzlicher Schließung der vorderen Einflußöffnung den Stand des Wasserspiegels im Kasten zuvörderst in dem Augenblicke der Schließung, für welchen die Zeit sei, dann am Ende der beliebig anzunehmenden Zeiträume t', t", t'", . . . Da sich der Spiegel in dem Kasten in den meisten Fällen nicht vollkommen horizontal stellen wird; so wird man genöthigt sein, die Beobachtung desselben am Ende jener Zeiträume vermittelst aufgestellter Marqueure gleichzeitig an mehreren Stellen des Kastens vorzunehmen. Durch die beobachteten Höhenunterschiede ist man bei der als bekannt vorausgesetzten Gestalt des Kastens ferner im Stande, die Volumen zu berechnen, welche resp. in den Zeiten t', r", r'", . . . aus dem Kasten geflossen sind. Es wird bei dieser Berechnung natürlich ein großer Nutzen sein, wenn der horizontale Querschnitt des Kastens überall konstant ist. Ist jetzt - das Volum, welches sich während der Zeit r, vorn Augenblicke der Schließung der oberen Einflußöffnung an 184 i. 179. Meffung der Ausflußmenge Gl. (758) gerechnet, aus dem Kasten ergossen hat; so wird - eine Funktion von t sein, welcher man allgemein die Form - —....(757) geben kann, indem man mit 8 , 6 , v . . . noch näher zu bestimmende Konstanten bezeichnet. In dem Zeitelemente ckt am Ende der Zeit « fließt aus dem Kasten das elementare Wasservolum cl-; mithin würde sich in der Zeiteinheit das Volum ^ aus dem Kasten ergießen, wenn der Ausfluß am Ende der Zeit r konstant bliebe. Für dieses Volum hat man nach der obigen Gleichung ^-s-28t-I-36^-1-41)«-'Z- . . . Setzt man in dem letzteren Ausdrucke e-o; so erhält man die Ausflußmenge, welche der Kasten im Anfange der Zeitrechnung, also im Augenblicke der Schließung der vorderen -Öffnung für die Zeiteinheit liefern würde, wenn der Ausfluß von diesem Augenblicke an konstant bliebe, und das hierdurch dargestellte Volum bildet offenbar die Ausflußmenge, welche sich in dem früheren Beharrungszustande in der Zeiteinheit durch den Kasten ergoß oder welche der Strom in der Zeiteinheit liefert. Demnach hat man, wenn man diese Ausflußmenge durch tz bezeichnet, tz --- .... (758) Es kommt jetzt bloß noch darauf an, den ersten Koeffizienten ^ aus der Gleichung (757) zu bestimmen. Dies geschieht nähe- rungsweise, indem man auf der rechten Seite jener Gleichung ebenso viel Glieder beibehält, als man Beobachtungen am Ende der Zeiten t', t", t'" . . . angestellt hat und unter Substitution der zusammengehörigen Werthe von t' und 7 ', r" und 7 ", r'" und 7 '" eto. in die Gleichung (757) die nachstehenden Formeln 7 ' — -s-Lk '2 -j- 6 t" 2 Z- . . . 7 " —4-Ot'"2-I- . . . 7 "'—^t"'4-8t'"2-l-0r'"24- . . . El. (78, > in offenen Ströme». lüg bildet. Da die Zahl dieser Gleichungen alsdann ebenso groß ist, als die Anzahl der unbekannten Großen L, 6 . . .; so wird man die Letzteren und mithin auch die Größe ^ bestimmen können. Angenommen, man hätte nur eine einzige Beobachtung am Ende der Zeit t' vorgenommen; so würde man y-' —^.r'; also _(759) zu setzen haben, wodurch der erste Näherungswerth für die Ausstußmenge tz gegeben wäre. Für zwei Beobachtungen würde man -s-Lt'- also - haben. Für drei Beobachtungen würde sich — ^t' Z-Lt'2 -s-Ot's folglich . v't"^""-(t'"—t")—-"t'-t'"-(t"'—t')4-y'"t'-t"-(t"-t') ^ ^ — t' r" t'" (t'"—r") (?"'—r') (t" — t) .... (76)) ergeben, u. s. f. Je mehr Beobachtungen man angestellt hat, desto genauer wird sich das durch Gl. (757) bezeichnete Gesetz und damit die wahre Ausflußmenge des Stromes darstellen. Wenn die Beobachtungen in gleichen Zeitinterwallen angestellt sind, wodurch das Experiment übrigens häufig etwas erschwert wird, sodaß man t"—2t', t'"—3t', t"—4 t' etc. 16k r. 179. Messung der Ausflußmenge Gl. (7SS) hat; so vereinfachen sich die vorstehenden Formeln dergestalt, daß man für eine einzige Beobachtung, wie vorhin, ....(762) ferner für zwei Beobachtungen ä (2-- - -(763) für drei Beobachtungen 4 -- tz (3y< - 3 ^ ff- ^ -(764) und allgemein für n Beobachtungen - -^1 .... (765) hat. Es leuchtet ein, daß es behuf Anwendung der vorstehenden Methode zur Bestimmung der Ausflußmenge des Kastens für die Zeiteinheit im Augenblicke des Schließens der vorderen Öffnung durchaus nicht darauf ankommt, daß der Spiegel des Unterwassers unterhalb des Kastens während der ganzen Zeit der Beobachtung auf konstanter Höhe erhalten werde. Es ist nur nothwendig, daß sich die Ausflußgeschwindigkeit in der unteren Öffnung des Kastens nach einem stetigen Gesetze mit der Zeit ändere, was dann immer stattfinden wird, wenn nicht zu gewissen in die Beobachtungsreihe fallenden Augenblicken plötzliche Änderungen im ganzen Systeme vor sich gehen, d. h. Änderungen, durch welche in ungemein kleinen Zeiträumen große Unterschiede hervorgebracht werden können. Hiernach könnte man den Bau des obigen Meßkastens dergestalt vornehmen, daß der ganze Strom beim Schließen der oberen Öffnung für die Dauer der Beobachtungen oberhalb des Kastens aufgestauet würde und während dieser Zeit gar keinen Abfluß hätte. Ebenso gut könnte man aber auch den Strom bei der Schließung der gedachten Öffnung durch das Aufziehen anderer Seitenöffnungen um den Kasten herum leiten; nur müßte ?r^ ir(n—1) y" rr(?r-1)(rr-2) 1.2 1.2.3 in offenen Strömen. IV7 man in diesem Falle durch eine angemessene Verlängerung der Seitenwände des Kastens über dessen untere Wandfläche hinaus dafür sorgen, daß der an den Seiten abfließende Strom nicht Plötzlich von außen gegen die untere Ausflußöffnung des Kastens stürzte, und dadurch eine bedeutende Änderung des Ausflußgesetzes hervorbrächte. Derartige plötzliche Störungen durch das Unterwasser, welches die Ausflußöffnung von außen überdeckt, würde man vermeiden, wenn man den Meßkasten durch eine mit der oberen und unteren parallele Wand in zwei Behälter theilte, welche durch eine Öffnung miteinander kommunizirten. Nach eingetretenem Beharrungszustande würde der Spiegel im oberen Behälter höher stehen, als im unteren. Schlösse man nun gleichzeitig die Einflußöffnung in den oberen und die Ausflußöffnung aus dem unteren Behälter, welche beide in diesem Falle möglichst groß sein müssen, während die Durchflußöffnung in der Zwischenwand möglichst klein sein muß; so würde sich der Spiegel im oberen Behälter senken, während sich der im unteren Behälter höbe. Sowol auf die Senkung des Einen, wie auf die Hebung des anderen Spiegels würde man die obigen Formeln in Anwendung bringen können. Man erkennt leicht aus den Schwierigkeiten, mit welchen die Ausführung der im gegenwärtigen Paragraphe beschriebenen Operationen behus Bestimmung der Ausflußmenge eines offenen Stromes verbunden sind, daß sich dieselben nur auf kleinere Gewässer anwenden lassen. Bei größeren Flüssen ist man genöthigt, durch direkte Mittel die Geschwindigkeit zu messen, welche in den verschiedenen Punkren Ein und desselben Querprofiles stattfindet, um alsdann vermittelst der erhaltenen Resultate und des daraus zu erkennenden Gesetzes, sowie vermittelst der gleichfalls aufzunehmenden Form des fraglichen Querschnittes die mittlere Geschwindigkeit zu berechnen, welche in jenem Querschnitte herrscht, woraus sich denn durch Multiplikation mit der Fläche des Querschnittes die gesuchte Ausflußmenge für die Zeiteinheit ergibt. Bei solchen direkten Gcschwindigkeitsmessungen, welche auch oft in anderen Rücksichten, als bloß um daraus die Ausflußmenge zu berechnen, vorgenommen werden müssen, bedient man sich verschiedener Instrumente, welche den allgemeinen Namen der IS8 r I8tt. GkschwindigkcltSmeflllNgcn mittelst Schwimmer. Stromgeschwindigkeitsmesser oder Hydrometer tragen, und von denen die wichtigsten im Nachfolgenden nach den ihnen zu Grunde liegenden Prinzipien betrachtet werden sollen. §.180. Geschwindigkeitsmessungen mittelst Schwimmer. Das einfachste Mittel, die Geschwindigkeit der Wasserfäden an der Oberfläche eines fließenden Gewässers zu messen, besteht darin, daß man irgend einen schwimmenden Körper der Wirkung der Strömung frei überläßt und die Zeit beobachtet, während welcher derselbe eine gewisse Länge durchläuft. Damit der Widerstand der Luft keinen wesentlichen Einfluß auf die Bewegung des schwimmenden Körpers habe, darf derselbe nur so wenig, als es zu seiner Beobachtung eben nothwendig ist, über den Wasserspiegel hervorragen. Außerdem darf seine Ausdehnung nach unten nicht zu bedeutend sein, weil sich die unteren Wasserfäden eines Flusses langsamer bewegen, als die oberen (vergl. 8. 149) und demnach der Körper gleichzeitig von Wafferfäden asfizirt werden würde, welche verschiedene Geschwindigkeiten besäßen. Aus den vorstehenden Gründen wendet man zu diesen Geschwindigkeitsmessungen in der Regel hohle Metallkugeln an, welche mit Schrot so weit belastet werden können, daß nur ein sehr kleiner, eben noch sichtbarer Theil ihrer Oberfläche über dem Wasserspiegel hervorragt. Derartige Kugeln heißen in Beziehung auf den vorliegenden Zweck Schwimmkugeln. Es leuchtet ein, daß schwimmende Körper in kurzer Zeit die Geschwindigkeit des sie umgebenden Wassers annehmen müssen, da dieselben, solange sie sich langsamer bewegen, einen Druck in der Richtung der Bewegung empfangen werden, und im Falle sie sich etwa rascher bewegten, als das Wasser, einen Widerstand in entgegengesetzter Richtung erleiden würden. Auf dasselbe Prinzip gründet sich die Anwendung des von den Schiffern zur Messung der Geschwindigkeit des Schiffes im ruhenden Meereswasser gebrauchten Logs. Dieser Apparat besteht gewöhnlich in einem dreieckigen Brette, an dessen Ecken drei Fäden befestigt sind, welche nahe vor dem Brette in einen einzigen Faden, die Loglinie, zusammenlaufen. Sobald das Log über Bord geworfen und die Linie festgehalten wird, stellt es sich §. 18». GeschwindigkeitSmeffungen mittelst Schwimmer. ISg im Wasser aufrecht und würde, wenn es fortgezogen werden sollte, von dem Wasser den größtmöglichen Widerstand erfahren. Demnach wird dasselbe, wenn an der Linie durchaus keine Kraft wirkt, an derselben Stelle im Wasser verharren, während sich das Schiff fortbewegt. Läßt man also die Loglinie frei nachglei- ten und beobachtet die Zeit, während welcher eine gewisse Länge der Linie über Bord gezogen wird; so kann man aus diesen beiden Größen die Geschwindigkeit des Schiffes, d. h. den von dem Schiffe in der Zeiteinheit zurückgelegten Weg, leicht berechnen. Es bedarf keiner weiteren Auseinandersetzung, wie das Log auch zur Messung der Geschwindigkeit eines Wasserstromes angewandt werden könnte, falls das Ufer des Flusses nicht zugänglich wäre, um längs desselben den Weg zu messen, welchen eine ganz freie Schwimmkugel in einer gewissen Zeit zurücklegen würde. Übrigens muß sowol in diesem, wie in dem vorhergehenden Falle bemerkt werden, daß die Aufrechterhaltung des Logs im Wasser, sowie die Erhaltung einer möglichst geradlinigen Richtung der Loglinie immer eine gewisse Spannung der Letzteren erforderlich macht, welche als Zugkraft auf das schwimmende Brett wirkt und im ersteren Falle verhindert, daß dasselbe vollkommen ruhig an derselben Stelle verharre, und im letzteren Falle, daß dasselbe genau die Geschwindigkeit des Stromes annehme. Man wird bei der Anwendung des Logs immer resp. die Geschwindigkeit des Schiffes oder des Stromes etwas schwächer finden, als sie wirklich ist. Um auf eine der früheren ähnliche Weise die Geschwindig, keit des Wassers in einer gewissen Tiefe unter dessen Oberfläche zu messen, wendet man ein System von zwei Kugeln an, welche durch einen Faden oder durch möglichst dünne gegliederte Stäbe miteinander verbunden sind. Die Eine dieser beiden Kugeln, welche in einer gewissen Tiefe unter dem Spiegel des Flusses schwimmen und die Geschwindigkeit der daselbst befindlichen Stromfäden annehmen soll, ist möglichst groß; die andere dagegen, welche nur an der Oberfläche des Wassers mittreiben soll, um den Apparat überall sichtbar zu machen, ist dagegen so klein, als nur irgend möglich, damit dieselbe von der Geschwindigkeit der oberen Wasserschichten möglichst wenig affizirt wird und auf die Bewegung der unteren Kugel keinen merklichen Einfluß ausübt. Wenn man beide Kugeln durch dünne Drathglieder miteinartder 170 r. 180. Geschwilidigkeitsmessungeil mittelst Schwimmer. verbindet, um sie in einem gewissen vertikalen Abstände voneinander zu erhalten; so geschieht die Gliederung der Verbindungskette nur deshalb, um Gelegenheit zu haben, den fraglichen Abstand nach Umständen größer oder kleiner machen zu können. Die untere Kugel wird mit so viel Schrot gefüllt, daß der ganze Apparat aufrecht schwimmt und von der oberen kleineren Kugel nur ein geringer Theil der,Oberfläche aus dem Wasser hervorragt. Wenn der vorstehende Meßapparat vom Strome fortgetrieben wird; so geschieht Dies mit einer Geschwindigkeit, welche der Geschwindigkeit der in der Tiefe der unteren Kugel befindlichen Stromfäden nahezu gleich ist, und man braucht daher nur, wie vorhin, die Zeit zu beobachten, während welcher eine gewisse Stromstrecke durchlaufen wird, um daraus die Geschwindigkeit des Wassers in der gedachten Tiefe abzuleiten. Nachdem man durch irgend ein Mittel die an der Oberfläche stattfindende Geschwindigkeit des Wassers bereits kennen gelernt hat; so kann man die in einer gewissen Tiefe herrschende Geschwindigkeit auch dadurch bestimmen, daß man in dem zuletzt beschriebenen Systeme der beiden Schwimmkugeln die obere so groß, wie die untere annimmt, und die Geschwindigkeit beobachtet, welche der Apparat im Strome annimmt. Denn es sei V, die Geschwindigkeit des Stromes an der Oberfläche, wo sich die obere Kugel befindet, V 2 die Geschwindigkeit des Stromes in der Tiefe der unteren Kugel, 17 die Geschwindigkeit, welche der Apparat annimmt, ^ die Fläche eines größten Kreises einer jeden Kugel, ro das Gewicht einer Volum- einheit des Wassers, L,, Lz zwei konstante Koeffizienten. Sö leuchtet ein, daß wenn die Bewegung der Kugeln gleichförmig geworden ist, sämmtliche auf dieselben wirkenden Kräfte sich gegenseitig im Gleichgewichte erhalten müssen. Diese Kräfte sind 1) M, (786) §. 186. GeschwindigkcitSmeffnngen mittelst Schwimmer. 171 die vertikal abwärts gerichtete Wirkung der Schwere in die Masse der Kugeln oder das Gewicht des ganzen Apparates, 2) der vertikal aufwärts gerichtete Auftrieb des Wassers, welcher dem vorstehenden Gewichte an Größe gleich ist, 3) der Stoß des schneller fließenden Wassers an der Oberfläche gegen die obere Kugel in horizontaler und direkter Richtung der Bewegung, 4) der Widerstand des langsamer fließenden Wassers gegen die untere Kugel in horizontaler, aber der Bewegung direkt entgegengesetzter Richtung. Da die ersten beiden in entgegengesetzten Richtungen wirkenden Kräfte einander gleich sind; so müssen es auch die letzten beiden Kräfte sein. Für die letzteren Kräfte hat man aber mit Bezugnahme auf die Formel (736) resp. (V, -17)- . , . (17 -— und - Vo)- 2 § - 2 § - indem man beachtet, daß die relative Geschwindigkeit des Wassers in Beziehung zur oberen Kugel V, —17 und die relative Geschwindigkeit der unteren Kugel in Beziehung zu der des Wassers 17 —V, ist. Der Koeffizient L, bezieht sich auf den Stoß des Wassers gegen eine ruhende Kugel und der Koeffizient Lz auf den Widerstand des Wassers gegen eine bewegte Kugel. Der letztere Koeffizient ist nach Gl. (736) gleich 0,512; der erstere wird hiervon etwas verschieden sein, und diese Verschiedenheit wird dadurch noch etwas vergrößert, daß die obere Kugel nicht wie die untere in einer rings herum unbegränzten Flüssigkeit sich befindet. Abstrahirt man jedoch von dem besonders bei schwachen Geschwindigkeiten sehr geringen Unterschiede der beiden Koeffizienten Lz und Lz; so erhält man durch Gleichsetzung der obigen beiden Kräfte (V^-17)-^(17-Vz)- oder 17: 2 (766) Hieraus ergibt sich, daß die Geschwindigkeit 17 des Apparates nahezu das arithmetische Mittel zwischen den beiden Geschwindigkeiten Vi und Vz sein wird. Kennt man also bereits den Werth der Geschwindigkeit V, des Wassers an der Oberfläche und hat man den von 17 durch Beobachtung gefunden; so bestimmt sich die Geschwindigkeit Vz des Wassers in der Tiefe der unteren Kugel durch die Formel 172 j. 180. Geschwindigkeitsmeffungen mittelst Schwimmer. Gl. (767) V2--2I7-V, ....(767) Der Umstand, daß sich die oberen Schichten der Flüssigkeit rascher bewegen, als die unteren, wird zur Folge haben, daß die Mittellinie der beiden Kugeln, sobald sie vom Strome fortgetrieben werden, nicht genau vertikal steht, sondern sich nach vorn überneigt. Die Neigung dieser Linie gegen die Vertikale läßt sich leicht aus der Bedingung ableiten, daß die oben genannten vier Kräfte, welche auf das System der beiden Kugeln wirken, sich im Gleichgewichte erhalten müssen. Denn bezeichnet VV das Gewicht der beiden Kugeln mit der Verbindungskette, dessen Schwerpunkt in L liege, 0 den Abstand Lv der Mittelpunkte der beiden Kugeln, e den Abstand 6L des gemeinschaftlichen Schwerpunktes L von der Mitte der Linie kv, den Neigungswinkel der Linie Lv gegen die Vertikale, k, den Stoß des Wassers gegen die obere Kugel, welcher durch den Mittelpunkt L dieser Kugel gerichtet ist, und k >2 den Widerstand des Wassers gegen die untere Kugel, welcher ebenfalls durch den Mittelpunkt dieser Kugel gerichtet ist; so erkennt man, daß der Auftrieb des Wassers, vermöge dessen der ganze Apparat schwimmend erhalten wird, eine Kraft — VV ist, welche vertikal von unten nach oben durch den Mittelpunkt 6 der Linie Lv wirkt. Nimmt man nun die Momente der obigen vier Kräfte, welche in der Figur nach den Richtungen VVL, W6, wirken, in Beziehung zum Punkte 6, und setzt die Summe derjenigen, welche eine Drehung des Apparates nach der Einen Seite um den Punkt 6 zu bewirken streben, gleich der Summe der übrigen, welche eine Drehung nach der entgegengesetzten Seite zu bewirken streben; so erhält man die Gleichung Gl. (768) ?. 180. GeschwindigkeltSmessungen mittelst Schwimmer. 173 Woraus VVesin)- — kz folgt. Nimmt man hierin M-V.) d. i., weil (Vl"V2> an; so kommt Endlich muß hier noch des sogenannten Schwimmstabes, welcher nach Cabeo, der ihn zuerst anwandte, auch den Namen des Eabeoschen Stabes erhalten hat, gedacht werden. Dieser aus einzelnen hohlen Zylindern, vermittelst welcher eine größere oder geringere Länge dargestellt werden kann, zusammengeschraubte Stab wird in dem unteren Stücke mit Schrot so lange beschwert, bis er ganz in die Flüssigkeit eintaucht und nur mit der obersten Spitze über den Spiegel hervorragt. In diesem Zustande überläßt man denselben dem Strome und beobachtet die Geschwindigkeit, welche er annimmt. Setzt man nun voraus, die von oben nach unten in derselben Vertikalen variirende Geschwindigkeit der Stromfäden nehme gleichförmig mit der Tiefe unter dem Spiegel ab, und der Stoß des bewegten Wassers gegen ein Längenelement des ruhenden Stabes sei unter sonst gleichen Verhältnissen und bei gleichen Geschwindigkeiten gleich dem Widerstände des ruhenden Wassers gegen dasselbe Element im bewegten Zustande; so geht aus der Bedingung, daß sich alle auf den Stab wirkenden Kräfte im Gleichgewichte erhalten müssen, leicht hervor, daß die Geschwindigkeit des Stabes das arithmetische Mittel aus den Geschwindigkeiten sämmtlicher den Stab umgebenden Wassertheilchen sein 174 j. I8l. Gcschwindigkeltsmessungen wird. Der Cabeosche Stab kann demnach unmittelbar dazu dienen, die mittlere Geschwindigkeit zu bestimmen, welche in einem gewissen Theile Ein und derselben Vertikalen herrscht. So einfach die vorstehend beschriebenen Methoden zur Messung der Geschwindigkeit in den verschiedenen Punkten eines Stromes sind; so leiden dieselben doch an einigen wesentlichen Mangeln, wodurch ihnen unter gewissen Umständen die Brauchbarkeit ganz genommen werden kann. Diese Mangel bestehen Einestheils darin, daß man Gelegenheit haben muß, die Bewegung der Schwimmer auf ziemlich lange Strecken zu beobachten, um sowol von der Gleichförmigkeit der ihnen ertheilten Bewegung, wie von der Vermeidung bedeutender Fehler, welche bei der Messung sehr kleiner Zeiträume leicht entstehen, überzeugt zu sein; demnach würden die Schwimmer durchaus nicht anwendbar sein, wenn man die Geschwindigkeit in einem Flußbette oder Gerinne von sehr kleiner Länge bestimmen wollte. Ferner setzt die Anwendung eines Schwimmers voraus, daß die Geschwindigkeit in der Stromlinie, welche derselbe durchläuft, überall dieselbe sei; wo Dies nicht der Fall wäre, würde man durch die Beobachtung des Schwimmers nur ein mittleres Resultat aus den Geschwindigkeiten erhalten, welche auf der ganzen Länge der durchlaufenen Linie stattfinden. Endlich ist der Gebrauch eines Schwimmers noch von einer Unbequemlichkeit begleitet, welche darin besteht, daß derselbe keinen u xriori vorzuschreibenden Weg verfolgt, sondern durch den Strom nach einer Linie fortgetrieben wird, in welcher sich die häufig krummlinigen Stromfäden bewegen und die stärkste Strömung erzeugen. Überhaupt ist es nicht möglich, durch einen Schwimmer eine Geschwindigkeit zu messen, welche in irgend einem bestimmten Punkte des Flußbettes stattfindet. §. 181. Geschwindigkeitsmessungen vermittelst Instrumente, an welchen die statische Wirkung des Stoßes der Flüssigkeit zur Anwendung gebracht wird. Die Instrumente, deren man sich bedient, um die Geschwindigkeit zu bestimmen, welche in einem gegebenen Punkte einer Flüssigkeit stattfindet, gründen sich sämmtlich auf das Prinzip, mittelst Instrumente. NS daß man die an jenem Punkte vorbeistreichenden Flüssigkeitsfäden, auf eine bestimmte Weise von ihrer Richtung ablenkt und danw den mechanischen Effekt beobachtet, welcher durch eine solche Ab-' lenkung hervorgebracht wird. Der letztgedachte Effekt wird mit der Größe der Geschwindigkeit des Stromes in einer gewissen Beziehung stehen, welche, wenn sie bekannt ist, dazu dienen kann, diese Geschwindigkeit zu bestimmen. Der Effekt, welchen die abgelenkten Fäden hervorzubringen vermögen, kann aber auf zweierlei Art gemessen werden: entweder erstens durch die statische Wirkung derselben auf ein in Ruhe befindliches System von Körpern, indem sich hierbei direkt der von der Flüssigkeit ausgeübte Druck oder Widerstand kund gibt, oder zweitens durch die dynamische Wirkung jener Fäden, indem man die Größe der Bewegung beobachtet, welche dadurch einem gewissen Körpersy- stcme mitgetheilt wird. Bei den Instrumenten der ersteren Art setzt man irgend eine ebene oder krumme Oberfläche dem Strome aus, und indem man die durch die Ablenkung der Flüssigkeitsfäden gedrückte Fläche durch ein System von Hebeln, Fäden, Gewichteno der Federn in Ruhe erhält, mißt man den Druck, welchen jene Fläche empfängt. Nachdem dieser Druck bekannt ist, kommt es noch auf die Beziehung an, welche zwischen demselben und der Geschwindigkeit der Flüssigkcitsfädcn vor deren Ablenkung besteht. Da aber die letztere Beziehung theils von der besonderen Form der gestoßenen Fläche, theils von dem absoluten Werthe der Stromgeschwindigkeit auf eine Weise abhängig ist, welche selbst u xriori nicht geschlossen werden kann, sondern durch Versuche ermittelt werden muß; so erkennt man, daß alle jene Instrumente erst dann eine praktische Brauchbarkeit gewinnen, wenn man Gelegenheit gehabt hat, Probeversuche in Strömen von bekannter Geschwindigkeit mit denselben anzustellen oder die erwähnte Beziehung zwischen dem Widerstände der gestoßenen Fläche und der Strom- geschwindigkeit vermittelst anderweitiger Beobachtungsmethoden vorher zu bestimmen. Zu den bcmerkenswerthesten Hydrometern der vorstehenden Art gehören die folgenden. Der Stromquadrant oder das hydrometrische Pendel. Das bei diesem Instrumente in Anwendung gebrachte Prin- 178 181. GeschwindlgkeitSmeffungen zip besteht darin, daß eine Kugel 8, welche spezifisch schwerer ist, als die Flüssigkeit, und vermittelst eines Fadens OK an einem festen Punkte 0 aufgehängt ist, dem Stoße der Flüssigkeit ausgesetzt wird, was zur Folge hat, daß die Richtung des Fadens 68 von der Vertikalen 611 um einen gewissen Winkel 068 abweicht, welcher durch den Quadranten 6V8 gemessen werden kann. Nimmt man nun an, der Werth des Druckes ?, welchen die Kugel in der Richtung 88 der Strombewegung empfängt, sei bekannt; so findet sich die Beziehung zwischen diesem Drucke und dem Winkel 068^-^ folgendermaaßen. Es sei W das Gewicht der Kugel 8, M das Volum derselben, «« das Gewicht einer Volumeinheit der Flüssigkeit, also «,LI der in vertikaler Richtung von unten nach oben wirkende Auftrieb der Flüssigkeit; alsdann ist die Resultante der letzteren beiden vertikalen Kräfte eine in der Richtung VV8 von oben nach unten wirkende Kraft — W—-mN. Diese und die in der Richtung 88 des Stromes wirkende Kraft 8 wird durch die Spannung des Fadens 68 im Gleichgewichte erhalten. Setzt man daher die beiden Kräfte und 8 nach dem Prinzipe des Parallelogrammes der Kräfte zusammen; so muß die Resultante 88 in die Richtung des Fadens 68 fallen, dessen eigenes Gewicht, als sehr unbedeutend gegen das der Kugel, hierbei vernachlässigt wird. Setzt man nun voraus, die Richtung 88 der Strombewegung sei horizontal; so muß man nach dem Vorstehenden offenbar VV-roLI haben. Wenn ^ ein größter Kreis der Kugel, V die Geschwindigkeit des Stromes und L einen aus Versuchen zu bestimmenden Koeffizienten bezeichnet; so kann man nach Gl. (736) V- j. 181. Geschwlndigkeitsmeffungen mittelst Instrumente. 177 setzen, wodurch sich die vorstehende Gleichung nach gehöriger Reduktion in 2 A (VV —«M) tanz y Lro^. . . (769) verwandelt. Da «>, ^ und I>I konstante Größen sind, und auch der Koeffizient L aus dem Werthe von ? ein von der Geschwindigkeit V wenig abhängender Faktor ist; so wird der ganze Werth von .xine unveränderliche Größe sein, welche durch Probeversuche mit dem obigen Instrumente in Strömen von bekannter Geschwindigkeit ermittelt werden kann. Bezeichnet man dieselbe mit x; so hat man einfach V —t.lNAz- .... (770) Es ist leicht zu erkennen, daß der Stromquadrant bei Wasserströmen nur zur Messung der nahe unter der Oberfläche stattfindenden Geschwindigkeiten mit einiger Sicherheit angewandt werden kann, weil bei tieferer Einsenkung der Faden, an welchem die Kugel hängt, zu sehr von dem Drucke des dagegensto- ßenden Wassers affizirt wird, demzufolge in dem eingetauchten Theile eine konkave Kurve bildet, und in dem freien Theile oberhalb des Wasserspiegels eine Richtung angibt, welche von der Richtung des untersten Elementes dieser Kurve umso mehr abweicht, je länger der untergetauchte Theil des Fadens ist. Wir übergehen die Beschreibung einiger anderer wenig gebräuchlichen Hydrometer, durch welche der Stoß des Wassers gegen irgend eine Fläche durch ein System von Rollenleitungen, Hebeln und Gewichten direkt gemessen wird, da diese Instrumente auf große Genauigkeit keinen Anspruch machen können, indem sie neben der Unsicherheit über die Beziehung zwischen dem Drucke p und der Geschwindigkeit V noch eine Anzahl schädlicher Reibungswiderstände einführen, deren Einfluß selbst die Messung des Druckes k unsicher macht. Jedoch müssen wir hier noch eines einfachen Instrumentes erwähnen, welches besonders in Frankreich vielfach in Gebrauch gewesen ist und auch heut zu Tage daselbst zuweilen noch anqe- II. 12 N3 >81- GrschwindigkcitSmefsmigen mittelst Instrumente. wandt wird. Es ist Dies die Pitotsche Röhre. Dieselbe besteht aus einer bloßen unten umgebogenen Röhre Kv, welche an beiden Enden offen ist. Man setzt sie dem Stoße des fließenden Wassers in dem Punkte v, wo man die Geschwindigkeit messen will, dergestalt aus, daß die untere Mündung den Stoß in normaler Richtung empfängt. Wäre das Wasser in Ruhe; so würde dasselbe in dem aufrecht stehenden Schenkel der Röhre das Niveau O bilden, welches mit der horizontalen Ebene des freien Wasserspiegels außerhalb der Röhre zusammenfällt. Sobald der Wasserstrvm aber in einer gegen die untere Mündung v gerichteten Bewegung ist, wird vermöge des Stoßes des Wassers ein vermehrter Druck auf diese Mündung ausgeübt werden, in Folge welches sich das Wasser in dem vertikalen Schenkel der Röhre über das äußere Niveau erhebt und etwa bis L ansteigt. Ist nun V die Geschwindigkeit des Wassers in normaler Richtung gegen die untere Mündung der Röhre bei v, die Fläche dieser Mündung, - die Tiefe des Mittelpunktes dieser Mündung unter dem Wasserspiegel bei O, H die Erhebung 6L des Wassers im oberen Schenkel der Röhre über das Niveau des umgebenden Wassers, rv das Gewicht einer Volumeinheit des Wassers, ? der in Folge des Stoßes des Wassers gegen die untere Mündung ausgeübte Druck; so wird der gcsammte von der äußeren Flüssigkeit gegen die Mündung v der Röhre ausgeübte Druck sein. Der in entgegengesetzter Richtung durch das in der Röhre von 0 bis L enthaltene Wasser gegen dieselbe Mündung ausgeübte Druck ist aber Tl. (771) j. I8l. GcschwiiidigkcitSmcffungen mittelst Instrumente. 179 ro(r-si^) Da diese beiden Pressungen offenbar im Gleichgewichte sein müssen; so hat man oder ....(771) Wäre man nun im Stande, den Stoß ? des Wassers gegen die Mündung bei v als eine Funktion der Geschwindigkeit V des umgebenden Wasserstromes auszudrücken; so würde es vermittelst der vorstehenden Beziehung leicht sein, die Geschwindigkeit V aus einer bloßen Beobachtung der Höhe L, um welche ssch das Wasser in der Röhre über das Niveau des Stromes erhebt, zu berechnen. Leider ist die Bestimmung jener Funktion, wie man aus den §§. 163 ff. ersehen haben wird, a xriori nicht möglich, und kann nur durch vorhergehende Versuche in Gewässern von bekannter Geschwindigkeit aufgefunden werden. Hierbei ist noch zu bemerken, daß diese Funktion keineswegs bloß von der Gestalt der Öffnung bei v, sondern auch sehr wesentlich von der Form des ganzen Nöhrenstückes, welches sich unmittelbar der Mündung anschließt, abhängig ist. Man wird nämlich einen anderen Werth für den Druck U erhalten, jenachdem das umgebogene Röhrencnde bei I) zylindrisch ist, oder sich jenseit der Mündung erweitert oder sich verengt. Die Ursache hiervon ist sehr leicht einzusehen, wenn man erwägt, daß sich der Gesammtdruck k aus den einzelnen Pressungen zusammensetzt, welche die verschiedenen vor der Mündung der Röhre abgelenkten Wasserfäden in Folge ihrer konveren Krümmung gegen diese Mündung ausüben. Da nun diese einzelnen Pressungen von den besonderen Figuren der Kurven der abgelenkten Wasserfäden abhängen, die letzteren Figuren aber durch die eigenthümliche Gestalt des ganzen unteren Nöhrenstückes bedingt sind; so leuchtet ein, daß die Gestalt dieses Nöhrenstückes einen wesentlichen Einfluß auf die Beziehung haben muß, in welcher der Druck k zu der Geschwindigkeit V des Wasserstromes steht. Wollte man den zuletzt erwähnten Einfluß vernachlässigen, was häufig geschehen ist; so würde man finden, daß die Pitotsche 180 j. I8l. GeschwindlgkeitSmcffungen mittelst Instrumente. GI. (772) Röhre ein höchst unvollkommenes und unzuverlässiges Hydrometer wäre. Unter Beachtung jenes Einflusses kann man jedoch dem fraglichen Instrumente seine praktische Brauchbarkeit nicht absprechen, und hat nur dafür zu sorgen, daß durch vorhergehende Versuche die Funktion zwischen und V genügend festgestellt sei. Diese Versuche müssen natürlich mit demselben Instrumente, oder doch mit einem ganz gleich konstruirten, angestellt sein, da sich aus den Beobachtungsresultaten, welche durch den Gebrauch des Einen Instrumentes dieser Art gewonnen sind, kein sicherer Schluß auf die Resultate machen läßt, welches ein anderes Instrument von abweichender Gestalt ergeben würde. Aus den §§. 163 ff. erkennt man, daß die Beziehung zwischen ? und V von der allgemeinen Form p — ö"- 2 s sein wird, worin L einen Koeffizienten bezeichnet, der für jedes Instrument nahezu konstant ist, und für die gewöhnlichen Geschwindigkeiten nur sehr wenig mit dem Werthe von V variirt. Durch die Substitution dieses Werthes für k in Gl. (771) redu- zirt sich dieselbe auf — /« oder Anfangs erweiterte man das untere umgebogene Nöhrenende nach der Mündung zu, sodaß die Öffnung ^ bedeutend größer war, als der Querschnitt des aufsteigenden Schenkels. Später verengte man die Röhre gegen die Ausmündung, weil man fand, daß hierdurch die Schwankungen der Wassersäule 6L vermindert, wurden. Der letztere Zweck wurde schließlich am besten dadurch erreicht, daß man den umgebogenen unteren Theil der Röhre sehr weit machte, denselben ringsum verschloß und in der vordersten Fläche nur eine sehr kleine Hffnung anbrachte. Wollte man Instrumente dieser Art konstruiren, welche bei i. >81. GcschwindigkcitSinessungen mittelst Jnstinmente. 181 nicht zu bedeutenden Abweichungen in den absoluten und relativen Dimensionen ihrer Theile doch nahezu denselben Koeffizienten L besäßen; so würde man Dies gewiß dadurch erreichen, daß man, unbekümmert um die übrige Gestalt der Röhre, normal auf die Mündung eine möglichst große ebene und dünne Platte kO legte und in dieser nur eine sehr kleine Öffnung anbrächte. Eine durchaus auf willkürliche und nicht aus den Prinzipien der Hydraulik hergeleitete Hypothesen begründete Theorie der Pitotschen Röhre gibt Duchemin in seinen Erperimental- untersuchungen über die Gesetze des Widerstandes der Flüssigkeiten. Vermöge dieser Theorie ist derselbe denn auch zu den in 8. 165 bereits namhaft gemachten höchst unwahrscheinlichen Resultaten über den Werth des Druckes gegen die verschiedenen Theile eines in einen unbegränzten Flüssigkeitsstrom getauchten Körpers geführt worden. §. 182. Geschwindigkeitsmessungen vermittelst Instrumente, an welchen die dynamische Wirkung des Stoßes der Flüssigkeit zur Anwendung gebracht wird. Die zweite Art von Hydrometern, durch welche man im Stande ist, die'Geschwindigkeit eines Flüssigkeitsstromes in einem bestimmten Punkte zu bestimmen, unterscheidet sich von der im vorhergehenden Paragraphe betrachteten Klasse dadurch, daß man die Stoßkraft des Stromes in dem fraglichen Punkte dazu benutzt, um gewisse Körper in eine Bewegung zu setzen, deren Größe leicht beobachtet werden kann. Kennt man nun theils aus der besonderen Konstruktion des Instrumentes, theils aus vorhergehenden Versuchen die Beziehung, welche zwischen der Geschwindigkeit des zuletzt erwähnten Körpers und der Geschwindigkeit des Flüssigkeitsstromes stattfindet; so ist es leicht, aus der Beobachtung der ersteren die letztere zu berechnen. >82 182. GeschwiiidigkcitSmeffimgen mittelst Instrumente. Es ist nicht zu verkennen, daß Hydrometer der vorstehenden Art in Hinsicht auf Genauigkeit der Messung stets den Vorzug vor den im vorigen Paragraphe erwähnten, wobei ein gewisses Körpersystem durch den Stoß der Flüssigkeit im Gleichgewichte erhalten werden sollte, den Vorzug verdienen werden. Denn da es in der Wirklichkeit wol nie einen Strom geben wird, dessen Geschwindigkeit in irgend einem Punkte auf länge Zeit genau dieselbe bleibt; so folgt, daß bei den früheren, auf das Prinzip des statischen Gleichgewichts gegründeten Instrumenten in Folge der Variation der Geschwindigkeit des Stromes eine fortwährende oszillirende Bewegung um die Gleichgewichtslage stattfinden wird, welche nicht verstattet, den wahren Werth des auf das Instrument ausgeübten Druckes mit Sicherheit zu erkennen. Bei den letzteren Instrumenten, wo die Bewegung des Stromes wiederum eine Bewegung hervorbringt, ist Dies ganz anders. Die Geschwindigkeit des bewegten Körpers wird gleichzeitig mit der des Stromes zu- oder abnehmen, und ebenfalls um einen gewissen mittleren Werth schwanken: Da jedoch diese Geschwindigkeit nicht in irgend einem momentanen Zustande, sondern durch den Raum beobachtet wird, welchen irgend ein Punkt des bewegten Körpers in einer gewissen Zeit beschreibt; so erzeugt jenes Schwanken der Geschwindigkeit durchaus nicht die mindeste Schwierigkeit für die Beobachtung, und mit dem Endresultate ist noch der Vortheil verknüpft, daß dasselbe nicht einen augenblicklichen Werth der Stromgeschwindigkeit in einem gewissen Punkte, sondern den während der ganzen Zeit der Beobachtung stattfindenden mittleren Werth der Geschwindigkeit in jenem Punkte angibt. Das zweckmäßigste Instrument, welches nach dem vorstehend angegebenen Prinzipe konstruirt worden, ist der h ydrometrische oder Woltmannsche Flügel. Bei diesem Apparate stößt der Strom der Flüssigkeit gegen ein Flügelrad, welches nach Art der Windmühlenräder eingerichtet ist und an einer beweglichen Are 2 bis 5 Arme mit schräg gestellten ebenen Flächen enthält. Auf der Are dieses Rades sitzt ein Schraubengewinde, das mit seinen Gängen in ein verzahntes Rad greift und bei jeder Umdrehung des Flügelrades das verzahnte Rad um Einen Zahn weiterbringt. Man hat es in seiner Gewalt, den Eingriff der Schraube mit dem verzahnten Rade herzustellen und zu unterbrechen; demnach Tl. (775) 182. Gtschwlndigkcitsmrssiiiigcn mittelst Jiistrumeatc. 183 Wird man im Stande sein, die Anzahl der Umdrehungen zu be- ^ obachten, welche das Flügelrad in Folge des Stoßes der Flüssigkeit in irgend einer beliebigen Zeit vollendet haben wird, und es kommt nur noch auf die Beziehung an, welche zwischen der Anzahl der in der Zeiteinheit erfolgten Umdrehungen des Flügelrades und der Geschwindigkeit des Stromes stattfindet. Bezeichnet V die Geschwindigkeit des Flüssigkeitsstromes, »r die Anzahl der Umdrehungen, welche das Flügelrad in der Zeiteinheit macht, und a, L, «, «k . . . verschiedene aus Versuchen in Strömen von bekannter Geschwindigkeit zu bestimmende konstante Größen; so wird man, wenn es auf keine zu große Genauigkeit ankommt ....(773) > setzen können. Genauere Resultate erhält man, wenn man die fragliche Beziehung zwischen V und m in der Form V — a ürr .... (774) oder noch besser V —.... (775) annimmt. 184 j. 183. Transformation der Gleichungen (234) und (23S) Gl. (776) Lahmeyer*) hat gefunden, daß die genauesten Resultate durch eine Formel von der Form ....(776) erhalten werden. Aus den Formeln (774) bis (776) erkennt man, daß es einen gewissen Werth der Stromgeschwindigkeit V gibt, unter welchen dieselbe nicht Herabsinken darf, wenn der Flügel durch den Stoß der Flüssigkeit überhaupt noch bewegt werden soll. Dieser Werth von V, welcher dem Werthe n —« entspricht, würde nach der Formel (774) oder (775) V — a und nach der Formel (776) sein. Es wird noch bemerkt, daß der in der obigen Figur dargestellte hydrometrische Flügel um eine vertikale Are drehbar und mit einer Fahne versehen ist, welche den Zweck hat, das Instrument im Strome dergestalt zu richten, daß die Flügelwelle mit der Strombewegung genau parallel zu liegen kommt. III. Die Bewegung der schweren klastischen Flüssigkeiten. §. 183. Transformation der allgemeinen Gleichungen (234) und (235) für den Fall, daß die in einer engen Röhre sich bewegende Flüssigkeit schwer und vollkommen elastisch sei. Wir gehen jetzt dazu über, die Bewegungen einer schweren elastischen Flüssigkeit und die damit zunächst zusammenhängenden Erscheinungen zu betrachten. Hierbei setzen wir eine elastische Flüssigkeit voraus, deren Konstitution dem in §. 40 angeführten einfachen Mariotteschen Gesetze unterworfen ist, nach welchem die Spannung einer gewissen Quantität derselben oder der auf die Flächeneinheit bezogene Druck im umgekehrten Verhält- ') Ecfahcungsresultate über die Bewegung des Wassers in Flußbetten und Kanälen. Gl. <780) für elastische Flüssigkeiten. I8S Nisse mit dem Volum variirt, in welches jene Quantität bei einerlei Temperatur gebracht wird. Ist demnach für eine bestimmte elastische Flüssigkeit, welche fortwährend auf derselben Temperatur von r Graden des hun- dertthciligen Thermometers erhalten wird, p der Druck auf die Flächeneinheit, welchen diese Flüssigkeit in irgend einem Punkte ausübt, «, das Gewicht der Volumeinheit dieser Flüssigkeit unter dem Drucke die Dichtigkeit derselben unter demselben Drucke p, S die Beschleunigung der Schwere in der Zeiteinheit, gleich 31,2644 Fuß in der Sekunde, K ein konstanter Koeffizient, dessen Werth von der besonderen Natur der Flüssigkeit abhängt; so hat man nach Gl. (203 — ist, p —.... (778) Was den Werth des Koeffizienten L betrifft; so ist derselbe für atmosphärische Luft nach Gl. (203^) L — 25343 (1 0,00366 r) .... (779) Für irgend eine andere elastische Flüssigkeit, deren spezifisches Gewicht in Beziehung zur Luft — u ist, würde man nach Gl. (203-) L — 25343 (1 -i- 0,00366r) .... (780) haben. Gehen wir jetzt dazu über, die Bewegung zu betrachten, welche eine gewisse Quantität aLckn der in einer engen Röhre enthaltenen schweren elastischen Flüssigkeit unter der Wirkung der darauf angebrachten Kräfte annimmt. Die allgemeinen Betrachtungen und Formeln des §s 55 finden auf diesen Fall unmittelbare Anwendung. Wir setzen nämlich ebenso, wie in je- 188 i- l83. Transformation der Gleichungen (234> und (23S) nem Paragraphe, voraus, daß am Ende der Zeit t auf die fragliche Flüssigkeit folgende Kräfte wirken: 1) auf eine jede Einheit der Endfläche a- in der Richtung e/ der Druck // und auf jede Einheit der Endfläche eck in entgegengesetzter Richtung /e der Druck 2) in gewissen festen Punkten des Gefäßes Kräfte, wie k, welche derBewegungentgegenwir- ken, und deren Angriffspunkte sich mit einer Geschwindigkeit » in der Richtung der Bewegung der Flüssigkeit fortbewegen; 3) auf ein jedes Massentheilchen der Flüssigkeit in vertikaler Richtung abwärts die Schwere, welche im Stande ist, der Materie in der Zeiteinheit die Geschwindigkeit A zu verleihen; 4) gewisse Stoßkräfte, welche dadurch erzeugt werden, daß der Querschnitt der Röhre an gewissen Stellen, wie bei OH, IL,, plötzlich um eine endliche Größe zunimmt; 5) ein Reibungs- oder Adhäsionswiderstand, welchen die Flüssigkeit bei ihrer Bewegung längs der Nöhrenwände erleidet, und dessen Wirkung auf die Masseneinheit in irgend einem Punkte der Röhre gleich k ist. Außerdem behalten wir folgende Bezeichnungen bei: m die Fläche irgend eines normalen Querschnittes der Röhre, O, 0" resp. der Querschnitt a- und ock, «i, «2 zwei unmittelbar aufeinander folgende bestimmte Querschnitte OH und IL der Röhre, welche sich plötzlich um endliche Größen ändern, s die Länge des Theiles Le der Are der Röhre von irgend einem festen Punkte L bis zum Querschnitte c„, «" resp. die Längen der Theile Le und der Are der Röhre, - die vertikale Tiefe 1^0 des Querschnittes w unter dem Punkte L, r" resp. die vertikalen Tiefen IM und I^N der Querschnitte O und 0" unter demselben Punkte, für elastische Flüssigkeiten. 187 v, /e, «>, p resp. die Geschwindigkeit, die Dichtigkeit, das Gewicht der Volumeinheit und der Druck auf die Flächeneinheit für die Flüssigkeit im Querschnitte w am Ende der Zeit r, s?, «/, 7 / resp. die entsprechenden Großen für den Querschnitt O^, v", w", resp. die entsprechenden Großen für den Querschnitt O", pi resp. die entsprechenden Größen für den Querschnitt «i, «z, stz, rvz, z »2 resp. die entsprechenden Größen für den Querschnitt « 2 , Bei einer elastischen Flüssigkeit, von welcher setzt die Rede ist, bildet die Dichtigkeit ^ nicht mehr, wie bei den unpreßbaren Flüssigkeiten, eine für alle Punkte und alle Zeiten konstante Größe, sondern ist im Allgemeinen sowol für die verschiedenen Punkte, wie für die Zeit veränderlich. Durch Gl. (778) ist dieselbe als Funktion der gleichzeitig in demselben Orte stattfindenden Spannung /, gegeben, und man hat demnach auch und ckt ALckt _ 1 ckp ck« A L cks ' Außerdem hat man in der allgemeinen Gleichung (234) für die stetige in alle Massenelemente der Flüssigkeit wirkende Kraft der Schwere und wegen der vertikalen Richtung dieser Kraft <, är «08 v — a« !u substituiren. Hiernach ergibt die fragliche Gl. (234) 188 1.83. Transformation der Gleichungen <234) und (235) Gl. (781) 0>v'- 0"p"«" - Lku-j-^. cks F" L" L" L' L' L" L" Die Gleichung (235) für den Zusammenhang der Flüssigkeit wird hier tk» , tk(pcov) Aus der letzteren Gleichung folgt, wenn man dieselbe mit «ks multiplizirt und für die Gränzen von s —bis «—s" in- tegrirt, ./ " er« , I /'lck(pwv) , « —^.—cks--o, oder weil ist, 5" ^"0"v" »' zr'O'v' ^ cks -f-p"0"v"—— o. Beachtet man diese Beziehung; so vereinfacht sich die obige Gleichung für die Bewegung der Flüssigkeit auf die folgende, L" ( 781 ) Tl. (?82> t. 184. Allgemeine Gleichungen. 18S Neben dieser Gleichung besteht für die ganze Ausdehnung der Flüssigkeit noch die Gleichung ctp cit , rt(pmv) . . (782) Setzt man in Gl. (781) § an die Stelle von s", indem man unter dem Zeichen 2 nur diejenigen Größen einführt, welche über die Länge ex—§—der Röhre von Einfluß auf die Bewegung der Flüssigkeit sind; so wird die entstehende Gleichung, in Verbindung mit Gl. (782) und (781), dazu dienen, um die Spannung /, und die Geschwindigkeit v zu bestimmen, welche in irgend einem Querschnitte w der Röhre stattfinden. Die Auflösung de. vorstehenden Gleichungen in ihrer allgemeinsten Form würde jedoch zu sehr großen Schwierigkeiten führen; demnach begnügen wir uns damit, im Nachstehenden die für die Praxis wichtigsten Fälle unter gewissen vereinfachenden Voraussetzungen zu betrachten. §. 184. Allgemeine Gleichungen für die Bewegung einer elastischen Flüssigkeit im Beharrungszustande. Wenn man annimmt, die Bewegung der Flüssigkeit habe den Beharrungszustand angenommen, ein Zustand, in welchem die Geschwindigkeit und Dichtigkeit in jedem Punkte der Röhre fortwährend verändert bleibt; so leuchtet ein, daß die Größen V, welche resp. die Geschwindigkeit, die Dichtigkeit, das Gewicht der Volumeinheit und die Spannung der Flüssigkeit in irgend einem Querschnitte l die Masse der Flüssigkeit, welche sich in der Zeiteinheit aus der Röhre ergießt, VV das Gewicht dieser Masse, tz" das Volum dieser Masse unter dem im letzten Querschnitte 60 herrschenden Drucke p", das Volum, welches dieselbe Masse unter dem im oberen Querschnitte herrschenden Drucke // annehmen würde. Da das Produkt pwv für alle Querschnitte der Röhre konstant und für den untersten — ist; so hat man pwD —.... (783) Dividirt man durch diese konstante Größe die Gl. (781) und berücksichtigt dabei, daß ^ — o ist; so kommt Kv.-V,) GI. (784) und Weil ferner einer elastischen Flüssigkeit. §" 2 " 1SI /r" L' p' und endlich L" r>" (v"^—«")— —v"), «> oder wegen p"QV und demnach --Av ist, wenn man noch mit §L multiplizirt, und v,—^-, PzK-i st«,, ?-«2 ' Aus dieser Gleichung läßt sich der Werth der Ausflußgeschwindigkeit V leicht finden. Es ist dabei noch darauf aufmerksam zu machen, daß Io§. einen natürlichen Logarithmus darstellt, welcher, wenn er aus den gewöhnlichen Tafeln genommen werden soll, mit 2,3026 zu multipliziren ist, sodaß man 1S2 i. 184. Allgemeine Gleichungen für den BeharrnngSzustand. Gl. (788) 1v§. nat. ^7 — 2,50261o§. vul§. ^ hat. Das Volum der in der Zeiteinheit unter dem Drucke x" aus der Röhre sich ergießenden Flüssigkeit ergibt sich hierauf durch die Formel tz" —KV ....(785) Unter dem in herrschenden Drucke würde diese Ausflußmenge das Volum .... (785») p annehmen. Die Masse dieser Ausflußmenge ist .... (786) und das Gewicht derselben vv- M —.... (787) Setzt man in Gl. (781) « an die Stelle von «" und demgemäß in der ferneren Entwickelung resp. r, w, p an die Stelle von 2/, O", p"; so ergibt sich behuf Bestimmung des in irgend einem Querschnitte c-> herrschenden Druckes p auf die Flächeneinheit statt (784) die Gleichung _/ P"l5r >2-I y2 2^p«/ 2 -i"sr x2 (788) wobei jedoch unter die Zeichen D nur diejenigen Größen gebracht werden dürfen, welche oberhalb des Querschnittes « liegen. Dl.(7gg) §. I8S Ausfluß eines Gases aus einer Röhre. 193 Bewegung einer schweren elastischen Flüssigkeit aus einem Gefäße, welches keine plötzlichen Onerschnittsveränbernngen enthält, im Beharrungszustande. 8. 185. Beharrlicher Ausfluß einer elastischen Flüssigkeit aus einer Röhre, welche keine plötzlichen Erweiterungen oder Verengungen enthält. Wenn die Röhre, durch welche die Flüssigkeit sich ergießt, keine plötzlichen Erweiterungen oder Verengungen besitzt, und keine sonstigen Kräfte auf die Flüssigkeit wirken, als die Schwere und die Pressungen gegen die Endflächen; so reduzirt sich für d^n Beharrungszustand die Gl. (784) auf ,...c7SD Hieraus folgt für die Ausflußgeschwindigkeit / V-- 2s(L-i-L1o§^) ^ '-(MX . (790) Der vertikale Abstand 2 — 1^1? der beiden Endflächen der Röhre, eine Größe, welche durch die Wirkung der Schwere auf die in der Röhre befindliche Flüssigkeit eingeführt ist, wirb in der Regel im Vergleich zu der Größe L1o§^, welche durch den Unterschied der Pressungen gegen die Endflächen eingeführt ist, so klein sein, daß sie vernachlässigt werden kann. (Bei un« preßbaren Flüssigkeiten, wo in der Regel die beiden Pressungen p' und p" einander gleich sind, bildet, umgekehrt, das in L mul- tiplizirte Glied in dem Ausdrucke für V die wichtigste Größe, was darin seinen Grund hat, daß unpreßbare Flüssigkeiten bei gleichen Volumen ungleich schwerer sind, als elastische Flüssigkei- II. 13 j. 18S. Beharrlicher Ausfluß eines GaseS Gl. (7S2) tS4 ten, während die Letzteren trotz ihres geringen Gewichtes doch sehr starke Spannungen hervorbringen können.) Unter der letzteren Voraussetzung würde man einfach V--- . . . . (791) haben. Man sieht, daß die vorstehenden Gleichungen von der Gestalt der Röhre unabhängig sind, und daß dabei nur das Verhältniß der Ausflußöffnung zu der vorderen Öffnung, bei welcher die Flüssigkeit in die Röhre tritt, sowie bei Gl. (789) der vertikale Abstand dieser beiden Öffnungen in Betracht kommt. Wäre die Ausflußöffnung Q im Vergleich zu der oberen Öffnung (U sehr klein, sodaß man die Größe ( ) gegen die Einheit vernachlässigen könnte; so würde man nach Gl. (791) V . . (792) haben. Man erkennt, daß diese Formel auch dann noch anwendbar bleibt, wenn nicht gerade die Ausflußöffnung L viel kleiner ist, als der obere Querschnitt O^, wofern alsdann nur der in diesem Querschnitte herrschende Druck bedeutend größer ist, als der äußere Druck />", da es ja überhaupt hier nur darauf ankommt, daß das Produkt sehr groß sei im Vergleich zu dem Produkte Aus Gl. (791) folgt auch, daß wenn der Druck pi groß genug gedacht wird, der Beharrungszustand beim Ausflusse einer elastischen Flüssigkeit selbst dann noch möglich ist, wenn die Ausflußöffnung LL größer ist, als der oberste Querschnitt 0^, was bei unpreßbaren Flüssigkeiten durchaus nicht stattfinden durfte, wenn ein beharrlicher Ausfluß unterhalten werden sollte (vergl. §. 65 u. 66). Das Volum der Ausflußmenge in der Zeiteinheit unter dem Drucke p" würde nach Gl. (785) M. (787) aus einer engen Röhre. 1SS ....( 793 ) sein, wenn man dabei den Werth der Ausflußgeschwindigkeit aus Gl. (792) zu Grunde legte. Unter dem im oberen Querschnitte herrschenden Drucke würde diese Ausflußmenge das Volum LL ^/2§L1o8 ^7 .... (794) annehmen. Das Gewicht der in Rede stehenden Ausflußmenge ist nach Gl. (787) VV - p" lox -(795) Was den Druck p betrifft, welchen die Flüssigkeit in irgend einem Querschnitte w der Rohre auf die Flächeneinheit ausübt so erhält man aus Gl. (788) Ar-s-AL1oA oder wenn man hierin für V seinen Werth aus Gl. (790) sub- stituirt, (KD'-' (796) Wenn man in dieser Gleichung die Großen - und L gegen die damit verbundenen Glieder vernachlässigt; so kommt 1°^ lvSp// — 1 — 1 . . (797) Für den Fall, wo die Ausflußöffnung 6 im Vergleich zu der Einmündung sehr klein wäre, würde man I9S s. 183. Ausfluß eines GaseS aus einer Röhre. Gl. l?S8) IvL 'Ä' V pw - vp«/ Vr^0-—, , , 2(L"—a-o U - L —^-s-— N - L —^ 3(-r"— U - L —-—-— ^ so hat man nach einer bekannten Formel Näherungsweise - (800> I8L. Ausfluß eines GaseS aus einem Gasometer 197 a:" .... (799) /r" a:" 1 Z' /'I Wäre nun ^ —so würde^ Uck^r —^ ^ — Io§ — sein, und man hätte, wenn man die Differenz.-r"—^ nur in Zwei gleiche Theile theilte oder »r—2 setzte, weil alsdann ist, 1 1 ^ 2 ,, a:" — ^ L'-t-a:" ' 2- 1 a:" — 1 6 x . . (800) 27 ^ Dieser Werth von 1o§ -^- stellt sich als um so genauer heraus, je geringer der Unterschied zwischen den beiden Gränzwer- then und L" ist. 8. 186. Ausfluß einer elastischen Flüssigkeit aus einem Gasometer im Beharrungszustande. Unter Gasometer verstehen wir irgend ein geräumiges Gefäß Lk66v von beliebiger Gestalt, in welchem sich die elastische Flüssigkeit befindet. 6V ist die Ausmündung >6, aus welcher sich die Flüssigkeit ergießt. Es wird vorausgesetzt, daß sich im Gasometer nebst der dazugehörigen Ausflußrohre nirgends plötzliche Erweiterungen oder Verengungen befinden, und daß die Ausflußöffnung 60 nach innen dergestalt erweitert sei, daß die Flüssigkeit in pa- 198 j 188. Ausfluß eines GaseS aus einem Gasometer. rallelen Fäden aus derselben heraustreten könne. Außerdem werde im Gasometer regelmäßig so viel Gas erzeugt, als durch die Öffnung 01) hinaustritt, sodaß der innere Druck im Gasometer stets konstant bleibt und die Bewegung des Gases beharrlich wird. Offenbar kann man sich die Bewegung der Flüssigkeit als in lauter ungemein dünnen Fäden vor sich gehend denken. Der Querschnitt dieser Fäden wird sich von der Ausflußöffnung 0 V aus bis in das Innere des Gasometers allmählig erweitern, und man müßte nicht sowvl das Gesetz für diese Querschnittsveränderung, sondern auch die Gestalt der Are eines jeden solchen Fadens kennen, wenn man die genauen Formeln des vorhergehenden Paragraphs zur Bestimmung der Ausflußgeschwindigkeit und des in jedem Punkte der Flüssigkeit herrschenden Druckes darauf in Anwendung bringen wollte. Nun ist aber leicht zu erkennen, daß wenn die Auöflußvff- nung Ov im Vergleich zu den Querschnitten des eigentlichen Gasometers LdO klein ist, die Bewegung der Flüssigkeit in diesem Raume und in einiger Entfernung von der Einmündung der Ansatzröhre nur sehr schwach sein wird, und behuf Bestimmung des Druckes in den verschiedenen Punkten des Gasometers als im Zustande der Ruhe begriffen angesehen werden kann. Vernachlässigt man alsdann noch die Einwirkung der Schwere aus die im Gasometer enthaltene Masse; so wird man annehmen können, der Druck der elastischen Flüssigkeit im Gasometer auf eine jede Flächeneinheit sei eine konstante Größe Behuf Bestimmung der Ausflußgeschwindigkeit V würde nun die Kenntniß der Gestalt der einzelnen Flüssigkeitsfäden nicht erforderlich sein, wol aber das Verhältniß des obersten Querschnittes, in welchem der Druck herrscht, zum untersten, in der Öffnung Ov liegenden Querschnitte, in welchem der Druck p" herrscht. Jener oberste Querschnitt liegt nun für jeden der genannten Flüssigkeitsfäden irgendwo innerhalb des Gasometers, ohne daß man dessen Stelle und Größe bezeichnen könnte. Trotz dieser Ungewißheit leidet es aber keinen Zweifel, daß wenn die Ausflußöffnung 00 im Vergleich zu den Querschnitten des Gasometerraumes sehr klein ist, auch das ebengenannte Verhältniß der beiden Endflächen eines jeden Flüssigkeitsfadens sehr klein ^1.(803) h. t87. Kontraktion dcS elastischen Strahles. 192 sein wird, und demnach gegen die Einheit vernachlässigt werden kann. Unter der Voraussetzung einer kleinen Ausflußöffnung 6V—K wird man demnach zur Bestimmung der Ausflußgeschwindigkeit V sich der Formel (792) bedienen können, wonach V->/2AL1o^ ....(801) 'st. Nach Gl. (794) ergießt sich in jeder Zeiteinheit aus dem Gasometer eine Ausflußmenge, deren Volum unter dem in jenem Gefäße herrschenden Drucke ....(802) und deren absolutes Gewicht nach Gl. (795) ist. Soll der Ausfluß beharrlich bleiben; so muß, um den Druck p, im Gasometer konstant zu erhalten, entweder in jeder Zeiteinheit eine der vorstehenden Ausflußmenge gleiche Quantität der Flüssigkeit im Gasometer erzeugt werden, oder man muß eine Vorrichtung treffen, bei welcher sich mit der Zeit der Raum des Gasometers dergestalt verkleinert, daß die Spannung des darin befindlichen, an Menge abnehmenden Gases stets denselben Werth behält, was unter Anderem in der bei Gasleitungen üblichen Weise dadurch zu erreichen ist, daß man den Gasometer unten öffnet und auf einer unpreßbaren Flüssigkeit schwimmen läßt, deren Spiegel innerhalb des Gefäßes den fehlenden Boden desselben vertritt und sich von selbst hebt, sowie das Gas entströmt. §. 187. Kontraktion des flüssigen elastischen Strahles und Ausfluß aus Öffnungen in dünnen Wänden. Wenn die Öffnung äZ, aus welcher sich die elastische Flüssigkeit ergießt, nicht dergestalt nach innen erweitert und abgerundet ist, daß die vorderen Elemente ihrer Begränzungsfläche zü 200 j. 187. Kontraktion des elastischen Strahles. Gl. (806) der auf ihrer Ebene errichteten Normalen parallel sind; so wird die Flüssigkeit nicht, wie Dies bisher angenommen ist, in parallelen Fäden heraustreten. Diese Fäden werden vielmehr, ebenso wie bei den unpreßbaren Flüssigkeiten, in konvergenten Richtungen aus der Öffnung strömen und erst in einiger Entfernung eine gemeinsame parallele Richtung annehmen. In dem Punkte, wo Solches erfolgt, ist der Querschnitt des Strahles kleiner, als die Ausflußöffnung und man bezeichnet diese Erscheinung, welche der bei unpreßbaren Flüssigkeiten stattfindenden (vergl. §. 81 ff.) ganz analog ist, ebenfalls mit dem Nameu der Kontraktion des flüssigen Strahles. Wenn m den Kontraktionskoeffizienten oder das Verhältniß des Querschnittes der größten Kontraktion zur Ausfluß- öffnung bezeichnet; so hat man für jenen Querschnitt den Werth mLL. Die Beobachtungen lehren nun, daß die Geschwindigkeit, mit welcher die elastische Flüssigkeit durch diesen Querschnitt der größten Kontraktion strömt, sehr nahe dieselbe ist, welche die früheren Formeln für V ergeben würden, wenn man sich den zwischen der eigentlichen Ausflußöffnung §2 und dem Querschnitte ,nQ der größten Kontraktion liegenden Theil des Strahles als von den Gefäßwänden umschlossen denkt. Demnach würde man nach Gl. (792) für die Geschwindigkeit des Strahles im Querschnitte der größten Kontraktion -(804) haben. Das unter dem Drucke des Gasometers gemessene Volum der Ausflußmenge in der Zeiteinheit würde nach Gl. (802), wenn man darin an die Stelle von LZ setzt, tz'—....(805) sein, während man für das Gewicht dieser Ausflußmenge nach Gl. (803) _ VV - Io§ .... (806) hätte. i. 187. Kontraktion dek elastischen Strahles. 20 l Was den praktischen Werth des Kontraktionskoeffizienten m betrifft; so ist derselbe nicht nur für die verschiedenen elastischen Flüssigkeiten gleich, sondern auch nahezu demjenigen Werthe gleich, Welcher unter denselben Verhältnissen bei unpreßbaren Flüssigkeiten stattfinden würde. Übrigens hängt dieser Werth, wie bei den unpreßbaren Flüssigkeiten, von der besonderen Form der Be- gränzungsflächen der Ausflußöffnung O ab. Er ist am kleinsten, wenn sich die letztere Öffnung in einer dünnen ebenen Wand befindet, in welchem Falle vollständige Kontraktion des Strahles stattfindet. Aus den von Weisbach angestellten Berechnungen der Versuche von Koch geht hervor, daß man bei vollständiger Kontraktion und wenn der Druck im Gasometer den äußeren atmosphärischen Druck um 1 200 bis überschreitet, im Mittel m — 0,58 annehmen könne. Über den Werth des Koeffizienten m bei unvollkommener Kontraktion, welche in den all 8.85 bezeichneten Fällen eintreten würde, hat man noch keine genügenden Versuche angestellt. In Berücksichtigung der nahen Übereinstimmung der Erscheinung der vollkommenen Kontraktion bei unpreßbaren und elastischen Flüssigkeiten wird man jedoch auf eine ebenso nahe Übereinstimmung bei etwaiger unvollkommener Kontraktion schließen und in solchen Fällen den Werth von m nach den Angaben des §s 85 korrigiren können, indem man für die vollkommene Kontraktion bei elastischen Flüssigkeiten den Werth m —0,58 zu Grunde legt. Da der dem letzteren Falle entsprechende Werth von m bei unpreßbaren Flüssigkeiten im Mittel —0,61 war; so wird sich irgend ein Kontraktionskoeffizient, welcher für unpreßbare Flüssigkeiten bekannt ist, behuf seiner Anwendung auf elastische Flüssigkeiten 58 unter gleichen Umständen auf ^ — 0,95 seines früheren Werthes reduziren. 202 j. 188. Ausfluß einer elastischen Flüssigkeit §. 188. Nähere Betrachtung des beharrlichen Ausflusses einer elastischen Flüssigkeit, wenn der äußere Druck p" ungemein schwach oder gar gleich null ist. Der obigen Formeln für den beharrlichen Ausfluß einer elastischen Flüssigkeit aus einer Röhre oder einem Gefäße wird man sich unbedenklich bedienen können, sobald nur der äußere Druck p" irgend einen namhaften Werth in Beziehung zu dem inneren Drucke p, hat und demnach die Dichtigkeit der unter jenem Drucke austretenden Flüssigkeitsschichten von einigem Belange in Vergleich zu der im Gefäße selbst herrschenden Dichtigkeit ist. Im Nachfolgenden wollen wir jedoch den Fall näher ins Auge fassen, wo der äußere Druck p" im Verhältnisse zu dem inneren Drucke sehr klein oder das Verhältniß ^ sehr groß ist, den Fall also, wo die Dichtigkeit der Flüssigkeit bei ihrem Übergänge aus der im Gefäße stattfindenden Spannung zu der Spannung des umgebenden Mittels eine ungemein große Variation erleiden muß. - Betrachten wir daher zuvörderst die Gleichung (792) für die Ausflußgeschwindigkeit und die Formel tz'— Q ^/2 g, L Io§ ^ für das Volum der unter dem inneren Drucke gemessenen Ausflußmengen, indem wir den inneren Druck p' als konstant und von endlichem Werthe, den äußeren Druck p" dagegen als veränderlich annehmen; so leuchtet ein, daß die Geschwindigkeit V stets zunehmen wird, wenn der äußere Druck p" abnimmt, und umgekehrt, indem für x>"—p' der Werth jener Geschwindigkeit — o, füro dagegen jener Werth — ao werden wird. Wie jedoch der Werth der Ausflußmenge tz' mit dem Drucke p" variirt, läßt sich aus der letzteren Gleichung nicht so unmittelbar erkennen, wiewol daraus hervorgeht, daß für x»" —o tz'—o sein wird. Setzt man jedoch, um zu untersuchen, ob die «I. ( 808 ) unter einem sehr schwachen äußeren Drucke. 20S Größe tz' für die Veränderliche p" ein Marimum besitzt, den Differenzialkoeffizienten von tz' in Beziehung zu p" gleich null; so erhält man ( 5 / p" 1 oder ( 5 )° " p" , : - I — 0. Dieser Gleichung kann zuvörderst dadurch ein Genüge geleistet werden, daß />"—o ist. Jedoch erkennt man leicht, daß diese Annahme keinem Marimum, sondern einem Minimum von tz entspricht, und daß man für p" — o tz' — o hat. Außerdem kann aber die vorstehende Beziehung durch den Werth woraus oder .... (807) 0,60653. p' folgt, erfüllt werden, und dieser Werth entspricht einem wirklichen Marimum der Ausflußmenge, deren Volum <)', unter dem inneren Drucke p' gemessen, tz' — K — 0,60653 sr .... (808) ist, während ihr Volum tz", unter dem äußeren Drucke p" gemessen, nach Gl. (793) ....(809) und ihr absolutes Gewicht VV, nach Gl. (795) 204 r. 188. Ausfluß einer klastischen Flüssigkeit Gl. (811> — 0,60653p'K .... (810) ist. Die Geschwindigkeit, mit welcher dieses Marimum der Ausflußmenge entströmt, ist V — .... (811) eine Größe, welche von dem absoluten Werthe der beiden Pressungen unabhängig ist. Man findet dafür, wenn man s—31,2644 Fuß setzt, sür atmosphärische Lust von der Temperatur 15», indem alsdann nach Gl. (779) L -- 25343 (1 -s- 0,00366.15) -- 26744 wird, den Werth von V--914 Fuß. Aus dem Vorstehenden ergibt sich nun, daß wenn der innere Druck p' im Gasometer als eine konstante und der äußere Druck p" als eine veränderliche Größe betrachtet wird, für p"—p' gar kein Ausfluß erfolgt, indem V —o ist, daß dagegen für abnehmende Werthe von p" die Geschwindigkeit V und auch die Ausflußmenge wächst, bis p" den Werth 0,60653.p' erreicht hat, sür welchen bei der Geschwindigkeit von V —914 Fuß in der Sekunde die größte Gasmenge, deren Gewicht durch Gl. (810) gegeben ist, entströmt. Bei fernerer Abnahme von p" nimmt zwar stets die Geschwindigkeit V zu, aber die Ausflußmenge nimmt ab, indem für p" —o die Geschwindigkeit V—n, die Ausflußmenge aber — o wird. Das vorstehende auffallend erscheinende Resultat erklärt sich dadurch, daß die durch den inneren Druck p' repräsentirte bewegende Kraft, solange p" 0,60653 p' ist, zum größeren Theile auf die Überwindung eines starken Gegendruckes von außen, und solange p" <0,60653p' ist, auf die Hervorbringung einer übermäßigen Geschwindigkeit der austretenden Maffentheilchen verwendet werden muß, und demnach in beiden Fällen nicht im Stande ist, in der Zeiteinheit eine so große Masse durch die Ausflußöffnung zu treiben, wie Solches für p" — 0,60653. p' möglich ist. unter einem sehr schwachen äußeren Drucke. 205 Hieraus würde für die Anlegung eines Apparates, durch welchen mittelst eines Gasometers ein beharrlicher Ausfluß einer elastischen Flüssigkeit in möglichst großer Quantität unterhalten werden soll, indem diese Quantität gleichzeitig durch irgend ein Pumpwerk in den Gasometer getrieben wird, wie bei den Gebläsen, die praktische Regel folgen, daß der Druck p' im Gasometer (nach Gl. 807) etwa 1,6487 von dem äußeren Drucke betragen müsse. Bei einer solchen Einrichtung würde eine bestimmte Gasmenge unter dem kleinstmöglichen inneren Drucke zu entlassen, und demnach zur Bewegung des Pumpwerkes die kleinstmögliche Betriebskraft erforderlich sein. Das obige Resultat, wonach bei einem äußeren Drucke von p"—o die Ausflußmenge aus dem Gasometer ebenfalls — o sein würde, drückt eigentlich so viel aus, daß es überhaupt nicht möglich ist, bei einem endlichen Drucke im Gasometer einen beharrlichen Ausfluß in einen Raum zu unterhalten, wo gar kein Druck herrscht. Wäre der innere Rauminhalt des Gasometers eine unveränderliche Größe, so würde es, um bei einem endlichen äußeren Drucke und unter dem inneren Drucke einen beharrlichen Ausfluß zu erhalten, erforderlich sein, daß in jeder Zeiteinheit eine bestimmte Gasmenge in den Gasometer geführt würde, deren Gewicht durch Gl. (795) dargestellt wäre. Sobald man mehr Gas einführte, würde sich der innere Druck p' ebenfalls vermehren und denjenigen Werth annehmen, für welchen das eingeführte Quantum regelmäßig unter dem äußeren Drucke p" ergossen werden könnte. Wäre nun aber dieser äußere Druck — o, in welchem Falle die Ausflußmenge — o sein würde, also überhaupt gar kein Gas in den Gasometer gebracht werden dürfte; so würde bei erfolgender regelmäßiger Einführung von Gas der innere Druck p' im Gasometer unaufhörlich wachsen und einen unendlich großen Werth anzunehmen streben, bei welchem alsdann der beharrliche Ausfluß einer bestimmten Gasmenge unter dem äußeren Drucke — o erfolgen könnte. Bei der Beurtheilung der letzteren Ergebnisse darf man nicht vergessen, daß die Formeln, aus welchen dieselben fließen, auf die Voraussetzung einer vollkommenen elastischen Flüssigkeit gegründet sind. Das charakterische Merkmal einer solchen Flüssigkeit war die Eigenschaft, daß ihre Dichtigkeit stets ihrer 208 i. I8S. Beharrlicher Ausfluß Spannung genau proportional sei, daß also auch diese Dichtigkeit bei einer Spannung — o ebenfalls — o sein würde, oder daß ein endliches Quantum der Flüssigkeit unter einem Drucke ---o einen unendlich großen Raum einnähme. Außerdem war vorausgesetzt, daß die Schichten der Flüssigkeit in dem Momente, wo sie die Ausflußöffnung L Passiren, genau die Spannung des Mediums annehmen, in welches sie sich ergießen. Sollte sich nun herausstellen, daß die elastischen Flüssigkeiten in der Wirklichkeit die eben genannten Voraussetzungen nur bis zu einem gewissen Grade der Genauigkeit bethätigen; so leuchtet ein, daß hierdurch die obigen Resultate eine weiter unten näher anzugebende Abänderung erleiden werden. Man hat Grund genug anzunehmen, daß die physischen elastischen Flüssigkeiten der ersteren unter dem Namen des Mariot- teschen Gesetzes bekannten Eigenschaft nur Näherungsweise entsprechen, wenngleich eine Abweichung davon bei den bisher angestellten direkten Messungen des bei einer gewissen Dichtigkeit herrschenden Druckes nicht bemerkbar geworden ist. Dabei ist jedoch zu erwähnen, daß diese direkten Versuche sich besonders auf die Dichtigkeitsveränderungen bei Spannungen bezogen haben, welche die gewöhnlichen Werthe nach der oberen Seite bedeutend überschreiten, nicht aber auf solche, bei denen die Spannungen möglichst schwach waren. Es ist nach den Formeln (190) des 8s 40 leicht zu erachten, daß wenn die Gase wirklich eine Gränze ihrer Ausdehnung besäßen, wodurch das Mariottesche Gesetz modifizirt werden müßte, solche nicht aus den Beobachtungen bei den stärksten, sondern vielmehr aus denen bei den schwächsten Spannungen zu erkennen sein würde. Bewegung einer unvollkommen elastischen Flüssigkeit im Beharrungszustanbe. 8. 189. Gleichung für den beharrlichen Ausfluß einer unvollkommen elastischen Flüssigkeit. Setzen wir jetzt voraus, die aus einer engen Röhre sich ergießende Flüssigkeit sei unvollkommen elastisch, wie es alle irdischen Gase und Dämpfe sein werden, es gebe also für eine eioer unvollkommenen elastischen Flüssigkeit. 207 bestimmte Menge dieser Flüssigkeit einen gewissen Grad der Ausdehnung, bei welchem die Spannung derselben null sei. Mit Bezugnahme auf die Betrachtungen des §s 40 und die sonstigen in den vorstehenden Paragraphen eingeführten allgemeinen Bezeichnungen sei l- die Länge eines Prismas der Flüssigkeit von Einer Flächeneinheit Querschnitt im natürlichen Zustande, also bei einer Spannung gleich null, wobei vorausgesetzt wird, daß die Wirkung der Schwere in die Massentheilchen der Flüssigkeit durchaus ohne Einfluß auf diese Länge sei, t, die Länge, welche das vorstehende Prisma unter einem Drucke auf die Flächeneinheit annimmt, t die Länge, welche dasselbe Prisma unter dem Drucke zi annimmt. L die Kraft, welche fähig ist, das Prisma von der natürlichen Länge L, auf die halbe Länge zusammenzudrücken, oder der Elastizitätsmodel der Flüssigkeit, >V das Gewicht der Volumeinheit oder der Längeneinheit deS obigen Prismas im natürlichen Zustande unter dem Drucke null, w, das Gewicht der Volumeinheit unter dem Drucke p,, w das Gewicht der Volumeinheit unter dem Drucke p. Nach den Bemerkungen am Ende des §s 40 kann man sich hier, wo es sich um Flüssigkeiten handelt, unter den Längen I-, t,, / der Gasstäbe von Einer Flächeneinheit Querschnitt auch deren Volumen vorstellen, gleichviel welche Form dieselben besitzen mögen. Wegen der Formeln (190) hat man nun Da aber das Gewicht der ganzen in Frage stehenden Flüssigkeitsmasse unter den drei oben genannten Formen den Werth vvl. — ro l /, — r« / hat; so kann man auch setzen s^.-VV- V,o, -VV/' 208 189. Beharrlicher Ausfluß Gl. (817) In diesen Formeln hat man (vergl. §. 40) i.-r, - vv und demnach kann man setzen oder L r.- .... ( 812 ) . . . . (813) .... (814) Wäre nun das Gewicht VV bekannt, welches die Volumeinheit des Gases im natürlichen Zustande, bei dem Drucke null, besitzt, und hätte man das Gewicht rv, der Volumeinheit unter dem Drucke p, beobachtet; so würde nach Gl. (812) auch der Werth des Elastizitätmodels L berechnet werden können, und man erhielte alsdann durch Gl. (814) eine Beziehung, welche zwischen dem Drucke p und dem Gewichte «, der Volumeinheit in irgend einem anderen Zustande der Kompression des Gases stattfindet. Hätte man auch das Gewicht «>2 der Volumeinheit unter einem anderen Drucke beobachtet; so brauchte man das Gewicht vv der Volumeinheit des Gases im natürlichen Zustande gar nicht weiter zu kennen, weil alsdann mithin auch - P.N - vv wz — vv und ^7 — rv, " 2 ?, . (815) r-— p-— . . (816) sein müßte. Stellt zi, die Dichtigkeit des Gases bei dem Drucke p dar; so hat man auch, weil ^ ist, nach Gl. (814) p——L ....(817) Es versteht sich von selbst, daß die vorstehenden Formeln Gl. (82g) einer unvollkommen elastischen Flüssigkeit. 20S nur dann Richtigkeit haben, wenn die Temperatur des Gases stets dieselbe und auch gleich der bleibt, bei welcher die Größen ?2 beobachtet sind. Wäre Dies nicht der Fall, und hätte das Gas unter dem Drucke die Temperatur von r» der hunderttheiligen Skale, während die ebengenannten Hülfs- größen sämmtlich bei der Temperatur null beobachtet wären; so würde man nach dem Gay-Lussacschen Gesetze (§. 41 und 42) und wegen der Gleichungen (813), (814), 817) (1 -s-0,00366 r)UI^ s (1-j-0,00366 r)L (818) (1->-0,00366 r)L vv ro— (1-s-0,00366r)L (819) ^ ci^0,00366r)sx ^ ^ ^ -ss 0,00366r) L zu setzen haben. Schreibt man der Kürze wegen (1-f-0,00366r)L ^- und e^r-VV—(1-s- 0,00366 r) L; so werden die letzten beiden Gleichungen p —xw —o .... (822) p ——6 .... (823) Um nun aus der allgemeinen Gl. (234) und (235), welche sich auf jede Art von Flüssigkeiten bezieht, die Gesetze für die Bewegung einer unvollkommen elastischen Flüssigkeit der vorbe- schriebenen Art abzuleiten, hat man statt der beiden Gleichungen (777) und (778) hier die beiden Gleichungen (822) und (823) zu Grunde zu legen. Um jedoch die Untersuchung nicht zu sehr auszudehnen, wollen wir nur den einfachen Fall des 8s 185 betrachten, wo angenommen ist, daß außer den gegen die Endflächen der Flüssigkeit angebrachten Pressungen und p" für die Flächeneinheit nur die II. 14 210 j. 180. Beharrlicher Ausfluß EI. (824) Schwere auf die Flüssigkeit wirke, daß außerdem der Querschnitt der Röhre sich überall nur allmählig ändere, und daß endlich die Bewegung der Flüssigkeit den Beharrungszustand angenommen habe, für welchen sich die Geschwindigkeit, der Druck und die Dichtigkeit in allen Punkten der Röhre mit der Zeit nicht ändert. Da für diesen Fall zuvörderst wird; so geht die Gl. (234) unter Berücksichtigung der sonstigen in 8. 183 angegebenen Substitutionen über in O'p'v'-O'P'V Die Gleichung (235) wird ck(ztcov) und ergibt demnach ztcav — Lvnst. Da nun der Werth von für die obere Endschicht der Flüssigkeit — zi/O'v' und für die untere Endfläche — z«,"0"v", oder wenn man resp. >6 und V an die Stelle der konstanten Größen O" und v" setzt, —ist; so hat man — zr/O'v' — (824) Dividirt man daher die obige Gleichung durch so kommt O'PP— Kp"V oder da ' ist' u"LZV ^ ^ tt^ ek« 2 st"L)V .V Jetzt ist aber nach Gl. (823) p —AXst—e oder folglich auch p-s-o st--; AX „»d A X A X Demnach wird auch Gl. (824) (p-s-c)wv — (p^e)0^ —(p"-s-c)KV und man hat p'-i-o Vermöge dieser Werthe wird zuvörderst das Glied —p"s2V —p" ^srv <.)(r>"-i-c)' Ferner hat man /e. §L ck--§L ^^ st^ rt« st^ , ^ , st^—st" sr st st p^-s-6 , p" — (^-s-e)(p"-ssc)' . . . (825) 212 189. Beharrlicher Ausfluß Gl. (829) Da nun endlich auch (?'-I-o)0' ist; so reduzirt sich die obige Gleichung für die Bewegung der Flüssigkeit auf p'-s-L p"-s-0 2> l,(p'-i-e)0^ ! . . (826) Hieraus folgt für die Ausflußgeschwindigkeit V unter dem äußeren Drucke p" V 1 s (p"-^ 6)42 1- l.(p'-i-o)0^ . . (827) Wenn man die Größe L gegen die in der Regel bedeutend überwiegende Größe vernachlässigt, und außerdem annimmt, daß die Ausflußöffnung 42 im Vergleich zu dem oberen Querschnitte 0' des Gefäßes sehr klein sei, in welchem Falle die vorstehenden Gleichungen auch dem Ausflusse eines Gases aus der kleinen Öffnung eines Gasometers entsprechen; so erhält man einfach .... (828) Das Volum der unter dem äußeren Drucke gemessenen Ausflußmenge würde hiernach 2^1o§A^ .... (829) sein. Da sich verschiedene Volumen 0' und 0" Ein und derselben Gasmenge umgekehrt wie die Gewichte und «>" ihrer Volumeinheiten verhalten, nach Gl. (822) aber p"-s-o Gl. (832 a) einer unvollkommen elastischen Flüssigkeit. 213 sein würde, worin ^ und p" die den Werthen von und tz", rv" gleichzeitig entsprechenden Spannungen jener Gasmenge bezeichnen; so hat man ^ _ rv^ — p"-s-e und daher auch für das Volum tz' der Ausflußmenge, unter dem inneren Druckedes Gasometers gemessen, ....css») ° p "->-0 Das Gewicht dieser Gasmenge, welches wir jetzt zur Unterscheidung von der in diesem Paragraphe bereits gebrauchten Größe VV mit VV, bezeichnen wollen, würde — d. i. ....(831) sein. Aus den vorstehenden Gleichungen erkennt man nun, daß bei einer unvollkommen elastischen Flüssigkeit für den Fall, wo der äußere Druck p"—« ist, keineswegs die Ausflußgeschwindigkeit unendlich groß und die Ausflußmenge null wird, wie Dies bei vollkommen elastischen Flüssigkeiten würde stattfinden müssen. Man hat vielmehr für diesen Fall V —.... (832) oder wenn man berücksichtigt, daß o in den meisten Fällen der Praxis im Vergleich zu einen sehr großen Werth haben wird, svdaß man den Bruch ^ ^ - oder -ss 1, in welchem eine ziemlich große Zahl werden wird, —setzen kann, V — 2^ x Io§ .... (832") Unter gleichen Vereinfachungen würde für p"—v das unter dem äußeren Drucke null gemessene Volum der Ausflußmenge 214 j. ISO. AuSflußgeschwindigkeit einer Gl. (835) 6" — 2^ x IvA — .... (833) und das unter dem inneren Drucke ^ gemessene Volum dieser Ausflußmenge ....(834) sein, während das Gewicht dieser Menge sich auf ....(835) reduzirte. Dividirt man das letztere Gewicht durch das Volum tz", welches die ausströmende Flüssigkeit unter dem Drucke null annimmt; so erhält man für das Gewicht der Volumeinheit dieser Masse unter dem Drucke null den Werth welcher den Gleichungen (821), wo das letztere Gewicht mit VV bezeichnet war, entspricht. 8. 190. Beziehung zwischen der Ausflußgeschwin- digkeit einer unvollkommen elastischen Flüssigkeit und der vertikalen Höhe eines Prismas dieser Flüssigkeit, welches von oben unter dem Drucke erhalten wird. ^.8 sei die Länge D eines Prismas einer unvollkommen elastischen Flüssigkeit, welche dieselbe annehmen würde, wenn von außen gar kein Druck auf die Flüssigkeit angebracht wäre, und auch die Schwere der einzelnen Maffentheilchen keine Kompression verursachte. Denkt man sich fetzt, in Folge der Wirkung der Schwere werde das vertikal stehende Prisma H.L, dessen Querschnitt eine Flächeneinheit betrage, zusammengedrückt, und diese Kompression werde noch dadurch vermehrt, daß gegen die obere Fläche die Kraft x" wirkt; so sei 6 V die Länge 8, welche jenes Prisma annimmt. Der im untersten Querschnitte 0 herrschende Druck werde mit ^ bezeichnet. unvollkommen elastischen Flüssigkeit. 2iS Um die Länge 61) —8 zu bestimmen, bemerkt man, daß irgend ein Längenelement, wie 8k des natürlichen Prismas bei dem Übergänge zu der Länge 68 des komprimierten Prismas durch die Kraft p" und durch das Gewicht des Theiles ^8 des natürlichen Stabes zusammengedrückt wird. Ist nun unter Beibehaltung der sonstigen Bezeichnungen und Gesetze des vorhergehenden Paragraphs das Gewicht der Volumeinheit des natürlichen Prismas H.8 von der Länge 8 unter dem Drucke null, «," das Gewicht der Volumeinheit in der obersten Endfläche 6 des komprimirten Prismas unter dem Drucke p", n irgend eine Länge ^8 des natürlichen Prismas von oben gerechnet, welche in die Länge — 66 des komprimirten Prismas übergeht, p der in 6 herrschende Druck und «> das Gewicht der Volumeinheit der komprimirten Flüssigkeit in dem Elemente 68—äk,, das Gewicht der Volumeinheit in der untersten Endfläche 0 des komprimirten Prismas von der Länge 68 — 8 unter dem Drucke so hat man nach Gl. (822) p — xw — o oder und für p —<- sc demnach «o p-s-o Da sich nun zwei Volumen 88 —und 68 —cka?. Ein und derselben Flüssigkeitsmenge umgekehrt zueinander verhalten, wie die Gewichte VV und «> ihrer Volumeinheiten; so hat man ckw ro P-4-o 216 §. 1V0, Ausstußgeschwlndigkeit Gl. (83 8> Nun ist aber der in 6 herrschende Druck p gleich dem Gewichte XV.? des Theiles des natürlichen Prismas, plus der in 0 angebrachten Kraft x", d. i. folglich hat man und hieraus folgt 6 ck.r. oder nach gehöriger Integration für die gesuchte Höhe des kom- primirten Prismas 60 p" -j- L Beachtet man, daß das Gewicht des ganzen Prismas, daß also ist; so erhält man einfach II ^ VV . . (836) oder auch weil II — xIvA . . (837) Substituirt man diesen Werth von x Io§ in die Formel (828) für die Ausflußgeschwindigkeit desselben Gases, welches sich aus einem Behälter von dem inneren Drucke ^ in ein Medium vom Drucke ergießt; so kommt V —....(838) Aus dieser Gleichung folgt, daß die in Rede stehende Aus- flußgeschwindigkeit die der Höhe 8 entsprechende Fallgeschwindigkeit ist, daß sich also das ausströmende Gas, wenn der Strahl Gl. (83S-.) einer ulwoUkoniincn elastischen Flüssigkeit. 217 desselben vertikal nach oben gerichtet wäre, in Folge der ihm innewohnenden Geschwindigkeit in dem Medium vom Drucke bis zu der Höhe H erheben würde. Diese Höhe 8 ist gleich der Höhe, welche ein vertikales Prisma des Gases von Einer Flächeneinheit 'Querschnitt und von dem absoluten Gewichte x»" annehmen würde, wenn dasselbe nicht bloß von dem Gewichte seiner eigenen Theile, sondern außerdem noch von der Kraft p" komprimirt wäre. Da die Dichtigkeit des unter diesen Umständen ausströmenden Gases gleich der ist, welche dem äußeren Drucke, p" entspricht, und da das unter diesem Drucke gemessene Volum der Ausflußmenge tz" —LV—2§» ist; so erkennt man ferner, daß der Ausfluß genau in derselben Weise vor sich geht, wie er es bei einer unpreßbaren Flüssigkeit unter der Druckhöhe 8 thun würde, wenn diese Flüssigkeit die Dichtigkeit des Gases unter dem äußeren Drucke p" besäße. Die Resultate dieses Paragraphs erleiden durchaus keine Abänderung, wenn man den äußeren Druck p"—o annimmt. Handelt es sich in diesem Falle um atmosphärische Luft; so würde die Formel . . . ( 839 ) oder sehr nahe 8 — ^ 1o" — — X Ion? — vv ^ 6 ^ o ( 839 °) die Höhe unserer Atmosphäre angeben, wenn ^ den atmosphärischen Druck für die Flächeneinheit auf der Oberfläche der Erde bezeichnete. Die Gleichung V—-/ 2§11 würde alsdann lehren, daß sich die Luft aus einem Behälter, worin der atmosphärische Druck herrschte, mit einer Geschwindigkeit in den leeren Raum ergießen würde, welche der Höhe der Atmosphäre als Fallgeschwindigkeit entspräche. Die ausströmende Luft würde die Dichtigkeit der an der Gränze der Atmosphäre sich aufhaltenden Luftschicht vom Drucke null besitzen, und ihr Strahl würde, wenn man ihn in 2l8 j. lSI. Werthe der Koeffizienten x und o einem Vakuo vertikal aufwärts leitete, bis zu jener Grenze ein- porspringen. Hierbei ist stillschweigend vorausgesetzt, daß die Temperatur und sonstige hygrometrische Beschaffenheit der Atmosphäre von der Oberfläche der Erde bis zur oberen Gränze sich gleich blieben, auch daß die Wirkung der Schwere auf diese Erstreckung keine Modifikationen erlitte, was jedoch in der Wirklichkeit nur Näherungsweise stattfindet. 8. 191. Muthmaaßliche Werthe der Koeffizienten x und o für atmosphärische Luft. Wollte man die Zahlenwerthe der beiden Koeffizienten x und c aus Gl. (822) für irgend eine unvollkommen elastische Flüssigkeit bestimmen; so brauchte man, da nach den Gleichungen (821) (1 -f-0,00366 r)L --^ unl . 6—xW—(1-s-0,00366r)ü ist, nm die Gewichte und der Volumeinheit dieser Flüssigkeit bei der Temperatur null und resp. unter zwei verschiedenen Spannungen zi, und z >2 Zu beobachten. Alsdann würde man nach Gl. (815) für das Gewicht der Volumeinheit bei der Temperatur null und unter dem Drucke null ^ ^ > 1^2 ">2^I und nach Gl. ( 816 ) für den Elastizitätsmodel erhalten. Die bisherigen Beobachtungen der zusammengehörigen Größen «>,, und «> 2 , k >2 für physische Gase und Dämpfe haben jedoch wegen unzulänglicher Genauigkeit der Meßinstrumente und der Beobachtungsmethoden stets das Resultat mithin VV — v, L — o für atmosphärische Luft. 21S geliefert, sodaß man statt der Formel aus §. 189 das einfache Meriottesche Gesetz « —— w oder auch — — ro erhielt, welches sich, wenn die Größen p und «> der Temperatur r entsprechen sollten, mit Hülfe des Gap-Lussacschen Gesetzes in p--(1-^0,00366)^«- verwandelte. Es leuchtet ein, daß wenn die gleichzeitige Beobachtung der korrespondirenden Größen «-„ 11, und «>2, pz dazu dienen sollte, das Elastizitätsgesetz für unvollkommen elastische Flüssigkeiten, also eine Ungleichheit zwischen den Produkten und «'s?, herauszustellen, von den betreffenden Versuchen wenigstens Einer unter einem möglichst kleinen Drucke angestellt werden müßte, bei welchem die Dichtigkeit des Gases nicht so ungemein von der Dichtigkeit desselben im natürlichen Zustande oder unter dem Drucke null abwiche, wie Dies bei den gewöhnlichen und bei den noch stärkeren Pressungen der Fall ist. Denn so lange «-, enorm VV groß gegen VV ist, wird — VV nahezu — und — nahezu ro, — 0, mithin «,,-VV- sein, und Dasselbe wird umso mehr stattfinden, je größer man «vj undwerden läßt. Da nun Beobachtungen unter so kleinen Pressungen, wie es erforderlich sein würde, um mit Zuverlässigkeit auf die Werthe von VV und L zu schließen, bisher in genügender Anzahl nicht angestellt sind; so wird man aus den Daten der bekannten Erfahrungen dieser Art nicht im Stande sein, die zuletzt erwähnten Größen zu berechnen. Ein anderes Mittel zur Bestimmung der fraglichen Größen 220 191. Werthe der Koeffizienten x und c Gl.(841) könnte darin gefunden werden, daß man neben der Ermittelung zweier zusammengehöriger Werthe von und zi, noch die Höhe 8 beobachtete, welche eine bestimmte in Form eines vertikalen Prismas sich ausdehnende Quantität der fraglichen Flüssigkeit annähme, sobald man auf deren obere Endfläche nur einen sehr schwachen Druck —p" für die Flächeneinheit wirken ließe. Wäre die Flüssigkeit z. B. atmosphärische Luft, und kennte man die Höhe 8, bis zu welcher sich die Atmosphäre bei einer durchgängigen Temperatur von 0" über die Erdoberfläche erhöbe; so würde man unter Berücksichtigung des Umstandes, daß der Druck gegen die oberste Luftschicht —wäre, nach Gl. (839) 8 haben, worin die Spannung der Luft in den untersten Schichten bei einem Gewichte «/ der Volumeinheit und bei einer Temperatur von 0« bezeichnete, während VV das Gewicht der Volumeinheit Luft an der Gränze der Atmosphäre unter dem Drucke null darstellte. Setzt man in die vorstehende Formel für L seinen Werth ^ aus Gl. (812); so kommt w — vv 8 —.... (840) Aus dieser Gleichung wäre zuvörderst der Werth von VV abzuleiten. Beachtet man, daß unter den angenommenen Verhältnissen die Größe VV im Vergleich zu jedenfalls sehr klein ist; so kann man in dem Nenner ro^— -VV auf der rechten Seite behuf näherungsweiser Auflösung jener Gleichung die Größe VV vernachlässigen und demnach 8 - setzen, woraus VV . (841) folgt. In dieser Gleichung bezeichnet e—2,71828 die Basis der natürlichen Logarithmen. Gl. (842) für atmosphärische Luft. 221 Nachdem hieraus 4V bekannt ist, findet sich aus der Beziehung 77 - oder sehr nahe . . . (842) der Werth des Elastizitätsmodels L, mit Hülfe dessen die Berechnung der Koeffizienten x und o keine Schwierigkeiten weiter hat. Leider ist bis jetzt die mittlere Höhe H unserer Atmosphäre noch nicht erforscht. Aus den Erscheinungen der Dämmerung zieht Biot*) nur den Schluß, daß dieselbe mindestens 150000 Fuß (47000 Meter) betragen müsse. Bei Zugrundelegung dieses Werthes, und wenn man das Gewicht eines Kubikfußes Luft bei der Temperatur null und bei einem Barometerstände von 2,4215 Fuß (oder 0,76 Meter) zu 0,08586 Pfund annimmt, während man nach Gl. (777) und (779) 25343 rv' setzt, erhält man aus Gl. (841) für das Gewicht eines Kubikfußes Luft an der Gränze der Atmosphäre unter dem Drucke null und bei der Temperatur null 002688«) oder 4V — 0,0002308 Pfund. Hiernach würde also, wenn die angenommene Höhe der Atmosphäre ein Minimum ist, die Dichtigkeit der Luft in den obersten Schichten mindestens 372 mal geringer sein, als in den untersten Schichten auf der Oberfläche der Erde. Nach Gl. (842) würde man für den Elastizitätsmodel der Lust sehr nahe ) 6oniptes rencku» < vv " -- 9427596 Fuß. Dieser Werth von 8 ist —372.8, sodaß sich die Atmosphäre unter den oben ausgesprochenen Bedingungen wenigstens auf das 372 fache ihrer fetzigen Höhe erheben würde. Wäre die Dichtigkeit der Atmosphäre jedoch überall gleich der der untersten Schichten vom Drucke p/; so würde ihre Höhe offenbar nur für atmosphärische Luft. 223 -^-^25343 Fuß, also nur etwa den 6ten Theil ihrer wirklichen Höhe betragen können. Was nun die Ausflußgeschwindigkeit der Luft vom mittleren atmosphärischen Drucke und bei der Temperatur null in den luftleeren Raum betrifft; so würde man nach Gl. (838), wenn man darin H —150000 Fuß setzt, hierfür wenigstens V--3062 Fuß erhalten. Es versteht sich von selbst, daß die mit dieser Geschwindigkeit ausströmende Luft eine Dichtigkeit besitzt, welche der Spannung null entspricht. Wäre man im Stande, die letztere Ausflußgeschwindigkeit V der Luft von mittlerer Spannung in den leeren Raum zu beobachten, und fände der Ausfluß genau nach den vorstehenden Gesetzen statt; so würde Dies zu einem angenäherten Schlüsse auf die Höhe H unserer Atmosphäre berechtigen, da nach den obigen Beziehungen ist. Hierbei würde jedoch vorausgesetzt werden müssen, daß die fragliche Geschwindigkeit in einem Punkte des ausströmenden Strahles gemessen werden könnte, wo die Spannung vollkommen gleich null wäre. Nun lehrt aber die Erfahrung, daß wenn eine physische elastische Flüssigkeit sich aus einem Behälter in einen Raum ergießt, in welchem der Druck x" bedeutend kleiner ist, als der im Behälter selbst herrschende Druck die Schichten der Flüssigkeit in dem Augenblicke, wo sie den Querschnitt der größten Kontraktion dicht hinter der Ausflußöffnung passiren, noch nicht die Spannung z," des äußeren Raumes angenommen haben, daß ein solcher Übergang zur Spannung des äußeren Mediums vielmehr erst in größerer Entfernung von der Ausflußöffnung stattfindet. Es ist Dies die zweite wesentliche Ursache, welche die in §. 188 entwickelten Resultate für den Ausfluß von Gasen unter bedeutenden Pressungsdifferenzen mvdifizirt. In Erwägung des 224 r. IS2. Praktische Formeln für den Ausfluß von Gasen Umstandes, daß bei einem ungehinderten Ausflusse des Gases in einen Raum, welcher selbst von einer elastischen Flüssigkeit erfüllt ist, der Strahl des Ersteren sehr bald hinter dem Querschnitte der größten Kontraktion sich ungemein nach allen Seiten hin ausdehnt, sodaß man nicht im Stande ist, die Größe desjenigen Querschnittes anzugeben, in welchem die Dichtigkeit des Strahles gleich der des umgebenden Mediums wird, erfordert die zuletzt erwähnte Ursache die aufmerksamste Berücksichtigung, und trägt in einem viel größeren Maaße zur Modifikation der Formeln des 8s 188 bei, als die in 8.189 und 190 erläuterte Wirkung der unvollkommenen Elastizität der Gase. Endlich behauptet noch eine dritte Eigenschaft der Gase ihren Einfluß auf die Ausströmung derselben. Es ist Dies die Thatsache, daß bei der Ausdehnung eines Gases stets eine gewisse Menge Wärme gebunden wird oder daß sich hierbei die Temperatur des Gases vermindert, während bei der Kompression eines Gases stets eine gewisse Menge Wärme frei wird oder die Temperatur des Gases sich erhöhet. Durch dieses Naturgesetz wird die Beziehung, welche zwischen der Dichtigkeit und der Spannung eines Gases besteht, eine Funktion, welche sich von Punkt zu Punkt der in Bewegung begriffenen Gasmenge in dem Maaße ändert, wie die Dichtigkeit oder die Temperatur derselben von Punkt zu Punkt variirt. Die Zusammenwirkung aller dieser störenden Ursachen, welche übrigens bloß in dem Falle Berücksichtigung verdienen, wo der Unterschied zwischen dem inneren und äußeren Drucke und p" bedeutend ist, und wo der Ausfluß in ein elastisches Medium erfolgt, benimmt den früheren einfachen Formeln in dem genannten Falle ihre praktische Brauchbarkeit. Wegen der komplizirten Gesetze, welche jenen Störungen zu Grunde liegen, ist man bis jetzt für den fraglichen Fall nur auf einige empirische Formeln verwiesen, welche im Nachstehenden mitgetheilt werden sollen. Erfahrungen und praktische Formeln für den Ausfluß elastischer Flüssigkeiten unter bedeutenden Pressnngsdisferenzen. 8. 192. Erfahrungen von Barr6 de Saint-Venant und Wantzel. Gl. <843») unter bedeutende» PrcssungSdlfferenzen. 22S Mehrere Versuche von Barr« de Saint-Venant und Wantzel*) über den Ausfluß atmosphärischer Luft unter bedeutenden Pressungsdifferenzen haben folgende Resultate geliefert. Unter sonst gleichen Umständen ist die Ausflußmenge aus einem Behälter umso größer, je kleiner der äußere Druck im Vergleich zu dem inneren Drucke ist. Solange der äußere Druck p" nicht den Werth 0,3bis0,4 des inneren Druckes^ überschreitet, bleibt sich die Ausflußmenge ziemlich gleich. Wenn der äußere Druck nachundnach vermehrt wird, vermindert sich die Ausflußmenge anfangs langsam, alsdann rascher, und wird endlich gleich null, sobald der äußere Druck dem inneren gleich kommt. Aus der vorstehenden Beobachtung der beiden genannten Experimentatoren erkennt man, wie die elastischen Flüssigkeiten immerhin eine Neigung besitzten, bei einem gewissen Verhältnisse des äußeren und inneren Druckes, welches in Z. 188 für eine voll- kommen elastische Flüssigkeit zu -^- — 0,6065 angegeben ist, ein Marimum der Ausflußmenge zu bilden, eine Neigung, welche jedoch durch die vorhin angegebenen Ursachen zum Theil neutrali- sirt wird. Da die soeben mitgetheilten Versuche auf die Weise angestellt sind, daß man die Flüssigkeit in eine anfangs luftleere Glocke überströmen ließ, und in bestimmten Zeitintervallen die Erhebung des Druckes in dieser Glocke beobachtete; so muß es bei dem obigen Resultate, wonach die Ausflußmenge für die Werthe von x>"^o bis p"—0,4zi nahezu dieselbe geblieben sein soll, sogar noch zweifelhaft erscheinen, ob innerhalb dieser Werthe nicht ein wirkliches Marimum der Ausflußmenge stattgefunden habe. Für das Volum der Ausflußmenge, welches unter dem Drucke p/ im Gasometer gemessen ist, haben jene Experimentatoren eine empirische Formel aufgestellt, welche sich in die nachstehende Form bringen läßt, cr<-sr. .... (843°) ) 6ompie» renckus 6es «esnee« I'se»3^mie ües 8cience». some kuitieine. 3anvier — luin 1839. p. 294. n. IL 226 t. IS2. Ausfluß bei bedeutender PressungSdiffeicnzen. In dieser Formel haben §, p", sr die bekannten Bedeutungen; L hat den Werth des Koeffizienten aus Gl. (779) für atmosphärische Luft oder aus Gl. (780) für irgend ein anderes Gas, wenn r die Temperatur im Behälter bezeichnet; m, rr und sind drei Zahlengrößen, welche von der Beschaffenheit der Ausflußöffnung LZ abhängen, und man kann setzen für Öffnungen, welche nach innen gehörig erweitert und abgerundet find ............... — 1, K m 1,3, für Öffnungen in dünnen Wänden mit vollkommener Kontraktion des Strahles. ............. m — 0,61, D — 0,58, Bei den Versuchen, auf welche sich die Formel (843°) gründet, hat zwar der innere Druck immer nur den Werth Einer Atmosphäre betragen; man hat jedoch Grund zu glauben, daß N" die Ausflußmenge nur von dem Verhältnisse des äußeren Druckes zum inneren Drucke, und nicht von dem absoluten Werthe dieser Pressungen abhängt. Wenn der innere Druck den äußeren nur unbedeutend übersteigt; so liefert die Formel (843») einen Werth, welcher von dem der Formel (794), resp. (805), nahezu übereinstimmt; und für diese Fälle hat auch die in Z. 187 gemachte Bemerkung ihre Gültigkeit, daß bei vollkommener Kontraktion des Strahles die Ausflußmenge etwa 0,58 oder nach Barre de Saint-Ve- nant 0,61 von der Ausflußmenge aus einer gehörig erweiterten und abgerundeten Öffnung betrage. Bei den stärksten Pressungsdifferenzen hat Letzterer jedoch gefunden, daß die Ausflußmenge für eine Öffnung in dünner Wand 0,9 von der Ausflußmenge einer gehörig erweiterten Öffnung beträgt, ein Resultat, welches ebenfalls durch die obige Formel ausgedrückt wird, indem man für p" —o bei einer gehörig erweiterten Öffnung ^ 0,4348 K und bei einer Öffnung in dünner Wand 1. 193. Ausfluß auS einem Gefäße, welches sich leert. 227 tz'-- LL ^ 0,3861 LL erhält. Für atmosphärische Lust von der Temperatur null würde nach Gl. (779) —25343 sein, und da eine Substitution dieses Werthes in den ersten der beiden vorstehenden Ausdrücke 547L2 ergibt; so folgt, daß wenn atmosphärische Lust aus einer gehörig erweiterten Öffnung LZ in den leeren Raum entströmt, die Ausflußmenge gleich der ist, welche eine Röhre vom Querschnitte L liefern würde, wenn sich darin die Lust von der Spannung ^ des Behälters mit einer Geschwindigkeit von 547 Fuß pro Sekunde fortbewegte. Die beiden vorhin genannten Beobachter haben endlich noch gefunden, daß der Druck iu der Ausflußöffnung nahezu gleich dem des äußeren Mittels ist, solange der Unterschied zwischen dem Drucke außerhalb und innerhalb des Behälters gering ist. Bei großen Pressungsdifferenzen liegt jedoch der Druck in der Aus« flußöffnung zwischen dem inneren und äußeren Drucke und es Z scheint, als ob jener nicht unter den Werth ^ des inneren Druckes herabsänke, wie klein auch der äußere Druck sein möge. Ausfluß eiuer schweren vollkommen elastischen Flüssigkeit aus einem Gefäße, welches sich allmählig leert. 8. 193. Gleichungen für den Ausfluß einer elastischen Flüssigkeit durch eine sehr kleine Qffnung aus einem sich leerenden Gefäße. Wenn in einem Gefäße von beliebiger Gestalt fortwährend ein elastisches Fluidum unter konstantem Drucke erhalten wird, und man öffnet das Gefäß plötzlich; so beginnt der Ausfluß des Gases mit einer Geschwindigkeit gleich null. Diese Geschwindigkeit steigert sich jedoch, ähnlich wie bei unpreßbaren Flüssigkeiten wenn die Ausflußöffnung klein ist, in unglaublich kurzer Zeit dergestalt, daß dieselbe von der durch Gl. (801) gegebenen, dem Beharrungszustande entsprechenden nur unmerklich wenig verschieden ist. 228 j. 193. Ausfluß eines Gasts aus einem Behälter. Tl. (844) Wird nun kein Mittel, sei es durch fortwährende Zuführung von Flüssigkeit in den Behälter oder durch allmählige Verengung des inneren Raumes des Behälters, angewendet, wodurch die Spannung des Gases in diesem Behälter konstant zu erhalten ist; so wird sich diese Spannung bei fortdauerndem Ausflusse vermindern. Unter der Voraussetzung jedoch, daß die Öffnung im Vergleich zu den Querschnitten des Behälters sehr klein sei, wird jene Verminderung des inneren Druckes nur langsam vor sich gehen, und man wird nicht allein ohne erheblichen Fehler annehmen können, daß die Flüssigkeit im Behälter ganz und gar ruhe, sondern auch, daß die Ausflußgeschwindigkeit in jedem Zeitmomente derjenigen Geschwindigkeit gleich sei, welche stattfinden würde, wenn der Ausfluß in jenem Augenblicke unter den alsdann herrschenden Spannungsverhältnissen beharrlich wäre. Nimmt man unter diesen Voraussetzungen und unter Beibehaltung der sonstigen in 8. 186 geltenden Bezeichnungen an, es sei das unveränderliche Volum des Behälters, aus welchem sich das Gas ergießt, ohne daß die ausströmende Flüssigkeit wieder ersetzt wird, I" der Druck im Behälter im Anfange der Zeitrechnung, p/ dagegen dieser Druck am Ende der Zeit t, p" der äußere Druck, welcher als konstant angesehen wird, Q die wirkliche Ausflußvffnung, falls dieselbe nach innen gehörig erweitert und abgerundet ist, sonst aber die Fläche des Querschnittes der stärksten Kontraktion des Strahles (vergl. 8.187); so wird man nach Gl. (801) für die am Ende der Zeit t stattfindende Ausflußgeschwindigkeit V-^2AL1o§^- ....(844) haben. Dauerte diese Geschwindigkeit beharrlich fort; so würde nach Gl. (802) in der Zeiteinheit eine Quantität des Gases ausflie- ßen, deren Volum, unter dem inneren Drucke gemessen, A-sr^/2ALlo§ wäre. Im Zeitelemente ckt wird daher selbst Gl. (84k> welcher sich leert. 224 bei veränderlicher Geschwindigkeit das Volum ausfliesten, sodaß sich das Volum der Flüssigkeit vom Drucke am Ende der Zeit t-s-ckt auf das Volum von dem nämlichen Drucke reduzirte. Dieses Volum nimmt alsdann aber wieder den ganzen Raum -4, des Gefäßes ein, indem dabei seine Spannung ^ ^ A lkt übergeht. Demzufolge hat man oder nach gehöriger Reduktion H"--^-V2sLIo§^ Aus dieser Gleichung ergibt sich ^ckp' . (845) . . (845°) Jntegrirt man zwischen den entsprechenden Gränzen o und r für t sowie k" und für so kommt für die Zeit t, während welcher sich der Druck im Behälter von I" auf vermindert, 2§-L . . (846) Auf die Bestimmung des Integrales auf der rechten Seite dieser Gleichung kann man die in §. 185 bereits gebrauchte Näherungsformel (799) anwenden. Es würde hier nämlich 230 r. 193. Ausfluß aus einem Behälter, welcher sich leert. /2AL 1o§ worin 1oZ. immer einen natürlichen Logarithmus bezeichnet. In dieser Zeit t, während welcher der Druck im Gasometer von dem anfänglichen Werthe k" zum Werthe heruntersinkt, ist die ursprünglich im Gefäße enthaltene Gasmenge um eine Gasmenge vermindert worden, deren Volum, unter dem Drucke I" gemessen, ist. Das Gewicht dieser während der Zeit r ausgeflofsenen Gasmenge ist, da Eine Volumeinheit vom Drucke I" nach Gl. (777) ^ Gewichtseinheiten wiegt, gleich §. 194. Ausfluß aus einem Behälter, welcher sich leert- 231 8. 194. Ausfluß einer elastischen Flüssigkeit aus einem Gefäße, welches sich leert, in ein Gefäß, welches sich füllt. Wenn sich das Gas, welches dem im vorhergehenden Para- graphe betrachteten Behälter entströmt, in ein Gefäß ergießt, welches sich durch diesen Zufluß allmählig füllt; so wird man die allgemeinen Betrachtungen jenes Paragraphs hinsichtlich der Aus« flußgeschwindlgkeit und hinsichtlich der mit der Zeit sich ändernden Prefsungsverhältnifse im ersten Behälter auch auf den gegenwärtigen Fall anwenden können. Man hat jedoch jetzt noch zu beachten, daß der äußere Druck im zweiten Behälter nicht konstant bleibt, sondern sich mit der Zeit ändert. Demnach sei L der Rauminhalt des zweiten Behälters, p" der Druck in diesem Behälter im Anfange der Zeitrechnung, wo im ersten Behälter der Druck 4" herrschte, und p" der Druck im zweiten Behälter am Ende der Zeit t, wo der Druck im ersten Behälter gleich geworden ist. Das Gewicht der gesammten im ersten Behälter enthaltenen Flüssigkeit im ersten Augenblicke der Zeitrechnung beträgt, weil ihre Spannung dann — k" ist, ^>4"—Gleichzeitig ist das Gewicht der im zweiten Behälter enthaltenen Flüssigkeit vom Drucke k" gleich « Die Summe dieser beiden Gewichte oder der ganzen in beiden Gefäßen gegebenen Flüssigkeit ist L Am Ende der Zeit r ist das Gewicht der im ersten Behälter befindlichen Flüssigkeit — und der im zweiten Behälter be- findlichen Flüssigkeit . Die Summe dieser beiden Gewichte ist Z- Dp" L ' Da nun das Gewicht der gesammten Flüssigkeit zu allen 232 j. l 94. Ausfluß aus einem Behälter, welcher sich leert. Gl. <849) Zeiten sich gleich bleibt; so erhält man durch die Gleichsetzung der vorstehenden beiden Summen die Beziehung woraus -^- folgt. Dieser Werth des äußeren Druckes am Ende der Zeit t ist in Gleichung (845») für zu substituiren, wodurch man ckt— .48 ^/2A/c1o§( 8/,^ .4(k" ^)^-8k . . . . (848) erhält. Aus dieser Gleichung findet man endlich für die Zeit t, während welcher der Druck im ersten Gefäße vom Werthe k" bis zum Werthe // herabsinkt, l" (^8 lp' ^ -ff 8?") .... (849) eine Formel, auf welche behuf Ermittelung des Integrales die in §. 185 angegebene Näherungsformel (799) in ähnlicher Weise angewandt werden kann, wie Dies im vorhergehenden Paragraphe bei der Auflösung der Gl. (846) gezeigt ist. Es wird noch bemerkt, daß wenn die Ausflußöffnung nicht nach innen gehörig erweitert und abgerundet ist, sodaß der flüssige Strahl mit Kontraktion austritt, in den Gleichungen dieses und des vorhergehenden Paragraphs statt §2 die Fläche des Querschnittes der stärksten Kontraktion zu setzen ist. i. ISS. Ausfl. aus Gefäßen mit plötzl. QuerschnittSberänderungen. 233 Bewegung einer schweren elastischen Flüssigkeit in einem Gefäße, dessen Querschnitt sich an einigen Stellen plötzlich ändert. §. 195. Beharrlicher Ausfluß aus einem Gefäße, dessen Querschnitt sich an gewissen Stellen plötzlich um eine endliche Größe ändert. In den Fällen, wo der Querschnitt des Gefäßes, aus welchem sich die elastische Flüssigkeit ergießt, plötzliche Veränderungen darbietet, braucht man, ähnlich wie bei den unpreßbaren Flüssigkeiten (8. 97 und 99), nur solche Dispositionen ins Auge zu fassen, wo die Flüssigkeit gezwungen wird, aus einem kleineren Querschnitte plötzlich in einen größeren Querschnitts überzugehen. Dies ist an und für sich klar, sobald sich in dem Gefäße irgendwo eine Scheidewand mit einer nach oben gehörig erweiterten und abgerundeten Durchflußöffnung w, befindet, aus welcher dann die Flüssigkeit unmittelbar in den nächstfolgenden größeren Querschnitt des Gefäßes tritt. Besäße eine solche Scheidewand, wie in der feststehenden Figur, eine Öffnung 68 —durch welche sich das Gas mit Kontraktion ergießen müßte; so wäre der Querschnitt A/r—mw, der stärksten Kontraktion an die Stelle von w, zu setzen, während der nächstfolgende größere Querschnitt stets durch K,? dargestellt würde. Befände sich im Gefäße eine plötzliche Erweiterung; so würde 68 —cu, und.lL —«2 sein. Wäre endlich an irgend einer Stelle eine Verengung vorhanden, wie in der feststehenden Figur; so würde die Flüssigkeit mit Kontraktion durch den Querschnitt 68 —treten und hierauf von dem Querschnitte der stärksten Kontraktion —mm, zu dem größeren Querschnitte —«2 —«i übergehen. Denken wir uns daher eine vollkommen elastische Flüssigkeit, welche in be- 234 §. 195. Ausfluß eines Gases aus einem Gefäße Gl. (851) harrlichem Flusse einem röhrenförmigen Gefäße entströmt, indem sie an irgend einer Stelle plötzlich aus dem Querschnitte 08 in den größeren Querschnitt tritt. Unter Beibehaltung der übrigen früher bereits gebrauchten Bezeichnungen sei der konstante Druck auf die Flächeneinheit im Querschnitte ^8 — 0, p" der Druck im Querschnitte 6V —LZ, in welchem die Ausflußgeschwindigkeit V stattfindet, der Druck im Querschnitte 08 —w,, der Druck im Querschnitte 4L—a,?, p der Druck in irgend einem anderen Querschnitte a- der Röhre 4886 . Nach Gl. (784) hat man hier, wo die durch 8 dargestellten Kräfte nicht vorhanden sind, und die Reibung 8 der Flüssigkeit an den Gefäßwänden gleich null angenommen wird, indem man gleichzeitig das von dem Gewichte des Gases herrührende Glied vernachlässigt, Hieraus folgt für die Ausflußgeschwindigkeit V / 2sLIo§^7- V ^50) oder wenn die Ausflußöffnung L im Vergleich zum Querschnitte ^8—0^ sehr klein ist, was indem Falle immer stattfindet, wenn die Röhre ^886 in einen größeren Gasometer einmündet, in welchem der Druck herrscht, V — 2 (851) Gl. (8S6> mit plötzlicher QuerschnittSberänderungkn. 23S Wenn man nach dieser Formel den Werth von V berechnen wollte; so müßten zuvörderst die Werthe der resp. in 68 und ilL stattfindenden Pressungen und bekannt sein. Diese findet man durch folgende Betrachtung. Um den Druck zu bestimmen, welcher in irgend einem Querschnitte c-, der Röhre ^880 stattfindet, hat man sich der Gleichung (788) zu bedienen, indem man unter das Zeichen 2 nur diejenigen Größen bringt, welche oberhalb des zu betrachtenden Querschnittes « liegen. Demnach hat man für sämmtliche Querschnitte zwischen ^8—0^ und 68—inklusive, unter gehöriger Abkürzung jener Gleichung und Vernachlässigung des Gliedes (852) Ferner hat man für sämmtliche Querschnitte zwischen «z und 68—LZ inklusive Setzt man also in Gl. (852) und gleichzeitig x— ferner in Gl. (853) « —w? und gleichzeitig so werden dieselben und _ p '.6 ' (855) oder wenn man in diese beiden Gleichungen für V seinen Werth aus Gl. (851) substituirt, . . . ( 856 ) und 238 z, 1 SS. AuSfl. aus Gefäßen mit plötzl. QuerschnittSverSnderungen. Gl.(86<1) Ic>x^ . . (857) Aus den letzteren beiden Gleichungen lassen sich nun durch Näherungsformeln die Werthe der beiden Pressungen p, und /,2 ermitteln. Nachdem Dies geschehen ist, ergibt eine Substitution derselben in Gl. (851) den gesuchten Werth für die Ausflußgeschwindigkeit V der Flüssigkeit. Bei der Entwickelung der Formeln (851) bis (857) ist angenommen, daß die Ausflußvffnung 6V —Q im Vergleich zu dem oberen Querschnitte —sehr klein sei. Wäre auch die Durchflußöffnung 68—im Vergleich zu dem Querschnitte 1 1 —wz sehr klein; so würde man das Glied- gegen- vernachlässigen können. Unter solchen Umständen ergäbe die Formel (851) für die Ausflußgeschwindigkeit V 2sL1o8-^-, 1^(^f . (858) Statt der Gleichungen (856) und (857) erhielte man ferner 1o§ und IvA 1 Ivk (859) ( 860 ) Da nach diesen letzteren beiden Gleichungen IvA ?2 1v^ ^- loZ^r El. (861) j. 196 AuSfl. aus Gefäßen mit Ansatzröhren. 237 also auch sein würde; so folgt, daß bei den gemachten Voraussetzungen der Druck und somit die Dichtigkeit der Flüssigkeit bei ihrem Übergänge aus dem Querschnitte 68 in den Querschnitt keine Plötzliche Änderung erleidet, daß die Flüssigkeit vielmehr, ohne ihre Dichtigkeit zu ändern, in den größeren Querschnitt 6L tritt, wie wenn sie sich aus dem vorderen Theile ^886 der Röhre ungehindert in einen Raum älL86 ergösse, in welchem der Druck -> 2 —herrscht. §.196. Beharrlicher Ausfluß einer elastischen Flüssigkeit aus einem Gefäße, an welchem die Ausflußöffnung mit einer zylindrischen Ansatzröhre versehen ist. Die Formeln des vorstehenden Paragraphs finden offenbar auch auf den Fall Anwendung, wo sich eine elastische Flüssigkeit im Beharrungszustande aus einem Gesäße ergießt, welches sich in eine zylindrische Ansatzröhre 6886 endigt. Beim Eintritte in diese Röhre, deren Querschnitt 68 — 68 —öL ist, und welche bei 68 nicht nach innen erweitert und abgerundet sein darf, zieht sich der flüssige Strahl vermöge der Kontraktion bis auf einen Querschnitt von der Größe m LL zusammen, worin M den Kontraktionskoeffizienten bezeichnet. Von diesem Querschnitte geht der Strahl dann plötzlich zumQuerschnitte >L—sr der Ansatzröhre über und entströmt dieser Röhre in parallelen Fäden. Setzt man demnach in Gl. (851) w, — mQ und —LZ; so ergibt sich für die Aussiußgeschwindigkeit (861, V — 238 r. 196. Ausfluß eines Gases aus Gefäßen Gl. (866) Zur Bestimmung der Pressungen x, und pz, welche resp. in den Querschnitten und 4L herrschen, erhält man statt der Gleichungen (856) und (857) die folgenden, >°°5 '»« 5 - . . . (862) . . (863) Die letzte dieser beiden Gleichungen wird durch den Werth -1z — zs" .... (864) erfüllt, woraus folgt, daß der im Querschnitte 4K herrschende Druck gleich dem gegen die Ausflußöffnung 6 V wirkenden Drucke ist. Substituirt man diesen Werth von in die Gleichung (861); so kommt für die Ausflußgeschwindigkeit 2 9 L Io§ . . . . (865) Der hierin noch vorkommende Werth von ist wegen Gl. (826) durch die Beziehung ( 866 ) zu bestimmen, was vermittelst einer angenäherten Auflösung dieser Gleichung in Beziehung zu geschehen kann. Unter der Voraussetzung, daß der im Gasometer herrschende Druck nicht viel größer sei, als der äußere Druck x" gegen die Ausflußöffnung, wird, wenn man mit Navier Gl. M9) mit Anscltzi'öhren. 238 (1 -f- «)^i"l und ! .... (867) setzt, « sowol, wie y, ein kleiner echtig Bruch sein. Die Gleichung (866) wird hierdurch , 1 ^ « 1 _ o^1->-ip rn^(l-I-y))^ ^ i > / l iV oder wenn man Näherungsweise Io§(1fl-«) —« und 1o§(1->-P) — y, setzt, ferner die in P? multiplizirten Glieder vernachlässigt, «—

    abhängig. Für die meisten Fälle der Praxis genügt es jedoch, diesem Koeffizienten nach den Versuchen von Gi- rard und d'Aubuisson bei glatt abgedreheten Metallröhren den konstanten Werth x — 0,02592 .... (873) oder wie Poncelet will, x — 0,0252 .... (873°) oder endlich nach Weisbach als Mittel aus den Versuchen von Girard, d'Aubuisson, Buff und Pecqueur den Werth x — 0,024 .... (874) beizulegen, welcher zugleich auf alle elastischen Flüssigkeiten Anwendung findet und von dem für die Bewegung des Wassers durch Metallröhren in §. 132 angegebenen Werthen wenig verschieden ist. t 198. Bewegung der Gase in Röhrcnleltungen. 243 §. 198. Gleichungen für die beharrliche Bewegung einer elastischen Flüssigkeit in einer Röhrenleitung. Aus einem größeren Behälter ergieße ffch eine elastische Flüssigkeit durch eine Leitungsröhre Lk von konstantem Querschnitte. Wir nehmen zuvörderst an, diese Röhre selbst besitze keine plötzlichen Querschnittsveränderungen, die Flüssigkeit trete ohne Kontraktion bei L aus dem Gasometer in die Röhre und entströme der Letzteren bei k ebenfalls ohne Kontraktion durch eine nach innen gehörig erweiterte und abgerundete Ausflußöffnung. Unter Beibehaltung der frühren allgemeinen Bezeichnungen sei O der konstante Querschnitt der Leitungsröhre Lk', LL die Ausflußöffnung bei k, p' der Druck im Gasometer, p" der äußere Druck gegen die Qffnung K, p, der Druck, welcher in dem nächsten Punkte der Röhre bei « oberhalb der Ausflußöffnung herrscht, woselbst die Röhre den konstanten Querschnitt 0 annimmt, V die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in der Öffnung 5), v die Geschwindigkeit in irgend einem Querschnitte 0 der Röhre bei N, v der Durchmesser des Querschnittes O der Röhre, V — ^ per Umfang desselben, L die Länge LN» der Röhre, t die Länge LN von L bis zu dem Querschnitte bei woselbst der Druck ? und die Geschwindigkeit v herrscht, x der Widerstandskoeffizient für die Reibung aus dem vorhergehenden Paragraphe. Auf die im gegenwärtigen Paragraphe zu betrachtende Bewegung einer elastischen Flüssigkeit im Beharrungszustande findet die allgemeine Gleichung (784) Anwendung. Da hier jedoch keine 244 198. Bewegung der Gase in Röhren. Gl. «87V) Widerstände vorkommen, welche in 8. 183 mit 8 bezeichnet sind, und das Gefäß mit der Röhre keine plötzlichen Querschnittsver« änderungen enthält; so ergibt die zitirte Formel, wenn man darin das von der Wirkung der Schwere herrührende Glied §2, multiplizirte Glied, als ungemein klein sowie das in gegen die übrigen Glieder vernachlässigt, auch für k seinen Werth aus Gl. (872) substituirt, und beachtet, daß das Integral sehen den Gränzen o und l, zu nehmen ist, l. — ....(875) 20 o Ehe aus dieser Gleichung der Werth für die Ausflußgeschwindigkeit V entwickelt werden kann, kommt es darauf an, den Werth des Integrales / v? zu bestimmen. Da man für den Beharrungszustand nachGl.(783) pOv—p">6V, also r> — hat; so kann man zuvörderst (p"srV) setzen. Jetzt nehmen wir mit Navier die von der Wahrheit gewiß nicht sehr abweichende Hypothese an, daß das Quadrat ^ des hydraulischen Druckes zwischen den Querschnitten L und H der Röhre gleichförmig mit dem Abstände vom Punkte L abnehme, sodaß man, da der Druck bei L sehr nahe gleich dem Drucke im Gasometer, also —und der Druck bei 8 gleich 5 >g ist, für den in N herrschenden Druck -i die Bedingungsgleichung —p'r — (^,'2 — j,,2) . . . . (876) 24S Gl. (877) >88. Bewegung der Gase in Röhren, hat. Hierdurch wird / ^ ckk— / i.cp"LrV)' ^Z- ck/ p ' 2__^2 2I.(p"LrV)- p,- Substituirt man diesen Ausdruck in Gl. (875); so kommt , p' ,. P' V« -—^ v(p'^ —?s^)0^ oder - - - S77) In diesem Ausdrucke würde endlich noch der Werth des im Querschnitte M herrschenden Druckes -»g zu bestimmen sein, ehe man sich desselben zur Berechnung der Ausflußgeschwindigkeit V bedienen könnte. Zu diesem Ende hat man aber als Bestimmungsgleichung für den in irgend einem Querschnitte 0 bei N herrschenden Druck ^ nach Gl. (788) / o mithin für den Druck -»z im Querschnitte bei H, für welchen /--I. ist, 0 r. oder wenn man wieder für das Integral ^ir obigen 24« j. 188. Bewegung der Gase in Röhren. Gl.(88l) Werth einführt, und gehörig reduzirt, Eine Verbindung dieser Gleichung mit der Gl. (877) läßt nun sowol den bei D stattfindenden Druck pz, wie auch die Ausflußgeschwindigkeit V erkennen, indem man zuvörderst bei Elimination von V die Gleichung ^ I) (r,'2-p,2)0-^ p» 1-s-2x -» " 2 2 >8 .... (879) erhält, aus welcher sich die Größe /,g ergibt, nach deren Substitution in Gl. (877) man durch die Formel V-- 1-s-2x . (880) den Werth von V berechnen kann. Es ist nicht zu verkennen, daß die strenge Auflösung der Gl. (879) für die Unbekannte pg etwas umständlich ist. Für den Fall, daß die Spannung im Gasometer nur wenig größer ist, als der äußere Druck sodaß man p'^(1-t-«)p" und ?s-(1-I-X)?" (881) setzen kann, worin a und x nur kleine echte Brüche bezeichnen, bietet folgender Weg eine bequemere Methode zur Bestimmung der Größen und V dar. Setzt man nämlich Näherungsweise IoA(1-s-«) —« und IvA(1-six) —x, vernachlässigt Glieder, welche in mehr als Eine Dimension der kleinen Größen « und x multiplizirt sind; so reduzirt sich Gl. (877) auf Gl. (885> >08. Bewegung der Gase in Röhren. 247 V-LZ2 ,o . . . . (882) und die Gl. (878) auf 2AL(« — A) Aus diesen Gleichungen folgt bei Elimination von V und Vernachlässigung der Glieder von zwei und mehr Dimensionen der Größen « und zx mithin wegen der Gleichungen (881) für den im Querschnitte bei 8 herrschenden Druck 8 0 l) r . . . (884) Durch Substitution dieses Werthes von /,g in Gl. (880) ergibt sich die Ausflußgeschwindigkeit V. Nach Gl. (882), worin V «für lo§(1-s-«) d. i. für steht, ist die gedachte Geschwin digkeit unter den gemachten Voraussetzungen, wenn man noch das in multiplizirte Glied auf der rechten Seite gegen die Summe der übrigen vernachlässigt, nicht sehr von dem Werthe 0 O' verschieden. Für den Fall, daß sich die Leitungsrvhre an der Ausmündung bei t nicht weiter verengte, daß also die Ausflußöffnung K gleich dem konstanten Querschnitte O dieser Röhre wäre, würde 248 §. 198. Bewegung der Gase in Röhren. Gl. i887) man in den vorstehenden Gleichungen sL —O und p,--^"zu setzen haben. Demnach erhielte man aus Gl. (877) für die Ausflußgeschwindigkeit V, gleichviel, ob der innere Druck den äußeren Druck um ein Bedeutendes oder Geringes überschritte, / loi 1 -s-2x . . . . ( 886 ) v" Wäre hierbei übrigens nur wenig großer, als ein Fall, auf den man überhaupt die praktische Anwendung der vorstehenden Formeln aus den in K. <91 vorgetragenen Gründen beschränken muß; so würde dieser Ausdruck von V wegen Gl. (885) sehr nahe den Werth . . . . (887) besitzen. Eine Vergleichung dieser Formel mit der für die Bewegung einer unpreßbaren Flüssigkeit unter ähnlichen Umständen geltenden Formel (574) lehrt, daß durch die Anbringung einer Leitungsröhre die Ausflußgeschwindigkeit einer elastischen, wie einer unpreßbaren Flüssigkeit in gleichem Maaße geschwächt wird. Wenn die Leitungsröhre an ihrer Ausmündung durch eine dünne ebene Wand geschlossen wäre, in welcher sich die Ausflußöffnung K befände; so würde die Flüssigkeit mit Kontraktion durch diese Öffnung LZ treten, und dicht hinter derselben den Querschnitt der stärksten Kontraktion annehmen, in welchem sich alle Theilchen nach parallelen Richtungen bewegten. Auf diesen Fall würden demnach die Gleichungen dieses Paragraphs bis zur Gl. (885) Anwendung finden, indem man darin an die Stelle von ^ setzte. Wäre also der innere Druck nur wenig größer, als der äußere Druck p"; so hätte man nach Gl. (885) für die Ausflußgeschwindigkeit in dem Querschnitte der stärksten Kontraktion Gl. (888) §. 199. Bewegung der Gase in Röhren. 249 / 2§L1oA^ . . ( 888 ) Es ist noch zu bemerken, daß bei Röhren, deren Länge L, im Vergleich zu ihrem Durchmesser v ungemein groß ist, das in ^ multiplizirte Glied in den Ausdrücken für V so überwiegend groß gegen die Einheit wird, daß man die Letztere in den betreffenden Nennern vernachlässigen kann. 8. 199. Beharrlicher Ausfluß einer elastischen Flüssigkeit aus einer Leitungsröhre, in welche die Flüssigkeit mit Kontraktion eintritt. Betrachten wir jetzt den Ausfluß einer elastischen Flüssigkeit aus einem mit einer Leitungsröhre verbundenen Apparate, welcher dem im vorhergehenden Paragraphe zu Grunde gelegten in allen übrigen Stücken gleich und nur darin von demselben verschieden ist, daß sich die Flüssigkeit mit Kontraktion aus dem Gasometer in die Leitungsröhre ergießt, mithin von dem Querschnitte cck—mO der stärksten Kontraktion Plötzlich zu dem Querschnitte 4L—0 der Röhre übergeht. Die Diskussion dieses Falles wird alsdann bei einem jeden anderen Falle zur Richtschnur dienen können, wo die Flüssigkeit an irgend einer Stelle der Röhre gezwungen werden sollte, plötzlich ihren Querschnitt zu ändern. Unter Beibehaltung sämmtlicher Bezeichnungen des vorhergehenden Paragraphs sei hier noch m der Kontraktionskoeffizient für den Eintritt der Flüssigkeit aus dem Gasometer in die Leitungsröhre, also mO der Querschnitt cck der stärksten Kontraktion daselbst, p, der in diesem Querschnitte eck herrschende Druck, p, der im Querschnitte 4L herrschende Druck. Bringt man auf den gegenwärtigen Apparat die allgemeine Gl. (784) unter den im vorhergehenden Paragraphe angedeute- 2S0 j. I9S. Bewegung der Gase in Röhren. Gl. (889) ten Vereinfachungen in Anwendung, indem man hier ebenfalls das Glied als ungemein klein gegen die Einheit vernachlässigt, und beachtet, daß hier — m0 und —0 ist; so kommt " 2^/^ ^ > 1-i-( MPzO 0 Setzt man L. (p"L2V)- /"ckt O- ^ p« o p,0- j- und nimmt wiederum an, daß der Werth der Größe von dem Werthe welcher für den Querschnitt äL oder für t —o gilt, bis zu dem Werthewelcher für den Querschnitt HO oder für t —L, gilt, gleichförmig mit dem Abstände —t von dem Querschnitte abnehme; so erhält man ^ 20cp"s2V)2 — 08 , und die obige Gleichung wird Hieraus folgt '(?2^ .... (889) In dieser Formel sind vorerst die Pressungen ps und pg, welche resp. in den Querschnitten ock, )L und klO stattfin- den, zu bestimmen. Unterdrückt man nun in Gl. (788) alle Glieder, welche auf die Reibung der Flüssigkeit an den Wänden der Leitungsröhre und auf die plötzlichen Querschnittsveränderungeu GI. (891) (. 199. Bewegmig der Gase in Röhren. 2S1 Bezug haben; so dient dieselbe dazu, um die Pressungen p darzustellen, welche in den oberhalb cck liegenden Querschnitten des Apparates, inklusive des letzteren Querschnittes, stattfinden. Demnach hat man für den Druckin irgend einem Querschnitte M des kontrahirten Strahles vckcO, wenn man auch das Glied ^ ^hr klein vernachlässigt, Hieraus folgt für den Druck p, im Querschnitte eck—mO, wenn manp, und c--—mO setzt, 2§L 1oA .... (890) Der in irgend einem Querschnitte NiVI des Röhrenstückes herrschende Druck p wird ebenfalls aus Gl. (7W) zu bestimmen sein, wenn man darin das auf die Reibung an den Röh- renwänden bezügliche Integral^kcks bis auf die Länge ckiV—t nimmt, und außerdem diejenigen Glieder beibehält, welche von dem plötzlichen Übergänge der Flüssigkeit von dem Querschnitte eck —mO zu dem Querschnitte O ihren Ursprung verleiten. / p" 22 x ^ Dies gibt unter Vernachlässigung des Gliedes p"2Lxr> p-0- ^ Um hieraus den im Querschnitte ckL herrschenden Druck ^2 zu erhalten, hat man w—O, o zu setzen, wodurch das erste Glied auf der linken Seite verschwindet und man 2§ L 1o§ p' — v-) V-1- ^ ?2 r-zO- . . (891) bekommt. Um jedoch den Werth des Druckes pz im Querschnitte U6 zu bestimmen, hat man co — 0, p — , t — L>zu substituiren, was nach gehöriger Reduktion, da 252 j. IS9. Bewegung der Gase in Röhren. Gl. <89S> - 0-0,2'-?-.') 2sL1o§^- ^3 !V?,o-^^ ?"K ?"sr M?,0 ?zO . . . . (892) ergibt. Vermittelst der vier Gleichungen (889) bis (892) wird man im Stande sein, sowol die drei Pressungen ?z, ?s, wie auch die Ausflußgeschwindigkeit V zu berechnen. Für den Fall, daß der innere Druck im Gasometer den äußeren Druck ?" nur wenig überschreitet, werden in den folgenden Gleichungen (1 -s- «)?"> ?1 -- (1 -s- P)k>" _(893) ?2--(1-i-^)?"l -l-x)?"' die Größen «, go, x kleine echte Brüche sein, und man wird Näherungsweise 1vA(1-s-«)—«, loAsl-s-gp) —go eto. setzen, auch Glieder von zwei und mehr Dimensionen aus diesen Größen vernachlässigen können. Unter solchen Voraussetzungen gehen aber die vier Gleichungen (889) bis (892) in die folgenden über, 2§ktt O- LZ- . . . . (894) 2AL(« — v-sr- 1—2y> 2sL(a—zs-)— v-sr- . . . . ( 896 ) Gl. c8S7, r. IS9. Bewegung der Gase in Röhren. 233 2FL(«—x) .... (897) , . V2»2 Eliminirt man zwischen diesen Gleichungen die Größe , indem man den Werth 2sL»r^(^ ^ derselben aus Gl. (895) in die übrigen substituirt; so kommt m^(«—P) „ 1-2) und unterdrückt alle Glieder, welche in mehr, als Eine Dimension von «, y,, A multiplizirt sind; so ergibt sich «-M-(« -P)-s-- l)'-s-X j, «—^M2(«—P)^1-s-(-^--l) Hieraus folgt 1 2S4 t. ISS. Bewegung der Gase in Röhren. Gl. (VON) «—« O - ,/1 «>, ' und aus den letzteren Gleichungen endlich LL- Vm 0 P — « ' o-, / 1 iV , I. ch — tt. o- . . I. o- , / 1 .V , Li I. X —«. 0^-1 LZ- o- . / 1 , 1^ V v . . (898) (899) (900) Um jetzt die Pressungen p,, pz> p- zu berechnen, braucht man in die Gleichungen p, — p"-j-(p'-p") k>,—?"-!-(?'-P")-A-, ?") ^ , welche sich aus den Gleichungen (893) ergeben, nur die Werthe der Quotienten -^-, —, ^ aus den drei Gleichungen (898) « * « ce ^ ^ Äl. ,902) §. >99. Bewegung der Gase in Röhren. 2S5 X u 2 .7 U H bis (900) zu substituiren. Der in irgend einem Querschnitte N M der Röhre zwischen lL und H 6 herrschende Druck ist hierauf nach der durch Gl. (876) dargestellten Hypothese vermittelst der Formel zu berechnen. Für die Ausflußgeschwindigkeit V erhält man nach Gl. (894), indem man für « den ursprünglichen Werth loZ(1-s-«)—lox ^7 wieder einführt, und die in y>, multiplizirten Glieder auf der rechten Seite gegen die Summe der übrigen Glieder außer Acht läßt, V- 2sL1o§^r -) 0 O- . . (901) Für den Fall, daß sich vorn an der Röhre bei k kein Mundstück befände, und daß sich die Flüssigkeit aus der vollen Affnung O ergösse, würde man sL —0 zu setzen haben, wodurch unter den obigen Voraussetzungen / V — / 2sLIo§^- .... (902) oder wenn man der Kürze wegen 1 m — n 2SS IM. Bewegung der Gase in Röhren. Gl. <902->) V — ir l-s-rr^ v . . . (902°) werden würde. Der Größe m müßte man für die Anwendung in der Praxis den Werth m--0,76 beilegen, und Dies setzt voraus, daß man statt des Kontraktionskoeffizienten m in den obigen Formeln den Werth », ^ 0,54 substituirte. Es muß hierbei darauf aufmerksam gemacht werden, daß der letztere Werth des Kontraktionskoeffizienten m nur in dem eben namhaft gemachten Falle zu gebrauchen sein würde, wo sich die Flüssigkeit aus einem größeren Behälter mit Kontraktion in eine Leitungsröhre ergießt, in der dieselbe alsdann plößlich zu dem Querschnitte der Röhre übergeht. Auf eine reine Kontraktion bei dem Durchgänge durch eine Öffnung in dünner Wand, wobei diese Öffnung die letzte Ausflußöffnung der Flüssigkeit bildete, würde man dagegen nach Z. 187 den Werth », — 0,58 anzuwenden haben. Auch ist noch zu erwähnen, daß der vorstehende Werth 0,76 von rr hier etwas größer angenommen ist, als ihn nach §. 196 die Erfahrungen für kurze Ansatzröhren geliefert haben, und zwar deshalb, weil in dem gegenwärtigen Ausdrucke für V der Widerstand der Reibung an den Röhrenwänden vollständig berücksichtigt ist, was in den Formeln des §s 196 für kurze Ansatzröhren nicht geschieht, obgleich auch dort die Reibung schon einigen Einfluß auf die Bewegung der Flüssigkeit ausübt. Wäre die Röhre vorn durch eine ebene Wand geschlossen, in welcher sich die öffnung LZ befände, sodaß sich die Flüssigkeit mit Kontraktion durch diese Qffnung ergießen müßte; so würde in die Gleichungen dieses Paragraphs bis zur Gl. (901) der Querschnitt der stärksten Kontraktion als eigentliche Ausflußöffnung anzusehen und statt K zu substituircn sein. Hiernach würde man aus Gl. (901) für die im kontrahirten Querschnitte stattfindende Ausflußgeschwindigkeit Gl. («03, r. 1SS. Bewegung der Gase in Röhren. 2S7 I. L» o 02 (903) erhalten, worin nach dem Obigen m —0,52 und m^0,58 zu setzen wäre. Bei Röhren von sehr großer Länge würden in den vorste- henden Formeln für V alle übrigen Glieder gegen das in ^ multiplizirte Glied verschwinden. Zur Bestimmung des unter dem äußeren Drucke p" gemessenen Volums tz", sowie des unter dem inneren Drucke gemessenen Volums (Z/, wie endlich des Gewichtes >V der Ausflußmenge für die Zeiteinheit, dienen immer die allgemeinen Formeln (785), (785«) und (787), wonach man 0' ^ LL V p^rv L hat. In diesen Formeln erhält V je nach den Umständen den Werth aus Gl. (901), (902) oder (903). sr stellt darin die Ausflußöffnung dar, wobei vorausgesetzt ist, daß die Fäden der Flüssigkeit sämmtlich in parallelen Richtungen durch dieselbe treten. Demnach wird man in den vorstehenden Ausdrücken bei Anwendung des Werthes von V aus Gl. (901) L2—42, bei Anwendung des Werthes aus Gl. (902) 42—O, und bei Anwendung des Werthes aus Gl. (903) rr?42 statt 42 zu setzen haben, sodaß in dem letzteren Falle, wo die Flüssigkeit mit Kontraktion aus der Röhre Herausritt, und multi- plizirten Glieder gegen die Summe der übrigen Glieder aus der rechten Seite der Gl. (904) unterdrückt, 1 I., K?V2 2 " l) 02 setzen kann. Wäre nun die ganze Länge L,,.... solcher Röhrenstücke — L>; so würde man für die Wirkung der Reibung der Flüssigkeit an den Wänden dieser sämmtlichen Röhrenstücke Näherungsweise I, K-V? v 02 haben. Durch eine Substitution der vorstehenden abgekürzten Ausdrücke in Gl. (904) wird dieselbe A! .... csosi Wegen einer besseren Übereinstimmung der nachfolgenden Formeln mit den in den §8.133 ff. für die Bewegung einer unpreß- baren Flüssigkeit durch Röhrenleitungen aufgestellten Gleichungen sei 17 diejenige Geschwindigkeit, welche daS elastische Fluidum in dem Querschnitte O der Leitungsröhre an einer Stelle haben müßte, wo der äußere Druck p" herrschte, wenn durch diesen Querschnitt in der Zeiteinheit dieselbe Masse fließen sollte, welche sich in derselben Zeit durch die Ausflußöffnung Q ergießt. Hiernach müßte wegen Gl. (783) -,"017- oder 0I7---LZV sein. Gl. (007) mit plötzlichen Verengungen. 261 Substitlürt man den hieraus folgenden Werth von V—^(1 in Gl. (905); so wird dieselbe . . (906) Man erkennt, daß die rechte Seite dieser Gleichung mit den allgemeinen Formeln für die Druckhohe X genau übereinstimmt, welche in den 88. 136 fs. für die Bewegung des Wassers durch Röhrenleitungen aufgestellt sind, wenn man beachtet, daß dort K den konstanten Querschnitt der Röhre (welcher hier mit O bezeichnet ist) ferner O" die letzte Ausflußöffnung (welche hier mit sr bezeichnet ist) darstellt und daß in 8. 136 zuvörderst angenommen war, daß die Röhre mit voller Öffnung, ohne Mundstück, in die freie Luft ergieße, wodurch das erste Glied in dem Faktor von ^ gleich 1 werden mußte. In Z. 140 ist jedoch die Wirkung eines Mundstückes berücksichtigt, und dadurch das vorstehende Glied ^ eingeführt worden. Nun sei 1) wenn die Leitungsröhre ein kurzes Mundstück besitzt, der Widerstandskoeffizient für dasselbe nach §. 140 .... (907) Bestände dieses Mundstück darin, daß die Ausmündung der Röhre einfach durch eine dünne ebene Wand geschlossen wäre, in welcher sich die Öffnung K befände, svdaß die Flüssigkeit mit Kontraktion durch diese Öffnung träte; so würde man für sr den Querschnitt mK der stärksten Kontraktion, also O? k"— - _ zu setzen haben. Hierin würde m den Werth 0,58 haben, wenn die Kontraktion vollkommen wäre. Bei unvollkommener Kontraktion, wie es hier in der Regel der Fall sein wird, ist jener Werth nach 8. 85 zu korrigiren. 262 j. 200. Bewegung der Gase durch Röhre» Gl. (S08) Wäre gar kein Mundstück vorhanden, und ergösse sich die Flüssigkeit aus der vollen Öffnung O der Röhre; so hätte man K — O, also L" —1 zu setzen. Befinden sich ferner Scheidewände, Verengungen und Erweiterungen in der Röhre; so sind die Wirkungen derselben, wel- / o oV che Glieder von der Form ^-—^ erzeugen, ganz nach 8. 136 zu bestimmen. Es sei demnach mit Bezugnahme auf jenen Paragraph 2) der Widerstandskoeffizient für den Eintritt der Flüssigkeit aus dem Gasometer in die Röhre, wenn die Einmündung allgemein durch eine Öffnung 0, in dünner Wand gebildet ist, sodaß man ^ —S hat, ---csW Wäre die Scheidewand vor der Einmündung in die Leitungsröhre nicht vorhanden, träte aber gleichwol die Flüssigkeit mit vollkommener Kontraktion in die Röhre; so hätte man 0,-0, also S —1 und mithin In diesen Ausdrücken von würde man, da auf die Kontraktion des Strahles plötzliche Ausdehnung desselben folgt, nach §. 198 —0,54 zu nehmen haben. Fände jedoch gar keine Kontraktion beim Eintritte in die Leitungsröhre statt, indem der Anschluß derselben an den Gasometer gehörig abgerundet wäre; so würde Dies einem Falle entsprechen, für welchen man m — 1, also zu setzen hätte. 3) Für eine in der Röhre vorkommende plötzliche Erweiterung vom Querschnitte 0 auf den Querschnitt 0,, hinter Gl. (8,,) mit plötzlichen Verengungen. 263 welcher sich die Röhre dann wiederum auf den konstanten Querschnitt 0 verengt, sei der Widerstandskoeffizient nach Gl. (599) .E) worin ö —^ ist. 4) Für eine plötzliche Verengung vom Querschnitte O auf den Querschnitt O,, hinter welcher sich die Röhre wiederum auf den konstanten Querschnitt O erweitert, sei der Widerstandskoeffizient nach Gl. (602) .- 21 «, worin ebenfalls ö — ^ ist. 5) Für eine dünne Scheidewand, in welcher sich die Öffnung O, befindet, sei der Widerstandskoeffizient nach Gl. (603) -^ 11 ) worin man, wie vorhin, ä—^ hat. In den letzten drei Gleichungen (909), (910), (911) würde man, wenn die Kontraktion an den betreffenden Stellen vollkommen wäre, nach 8. 198 m—0,54 setzen müssen. Da diese Kontraktion aber wegen des nicht sehr großen Querschnittes, welcher der Durchflußöffnung vorhergeht, unvollkommen ist; so hat man den Werth 0,54 nach der in §. 85 angegebenen Tabelle den Umständen angemessen zu korrigiren. 6) Befände sich in der Röhre ein Ventil oder ein Hahn, welcher eine plötzliche Verengung und Erweiterung des flüssigen Strahles herbeiführte; so würde man den dadurch verursachten Widerstand, bis hierüber bestimmtere Versuche angestellt sein werden, nach den Angaben für die Bewegung des Wassers unter- gleichen Umständen, wie sie in §. 137 mitgetheilt sind, schätzen und den betreffenden Widerstandskoeffizienten aus den dortigen Tabellen I bis VII entnehmen können. 284 j. 200. Bewegung der Gase durch Röhren Nach der vorstehenden Bezeichnung würde nun die Gl. (906) werden, worin allgemein einen Widerstandskoeffizienten für den Durchgang durch eine Erweiterung, eine Verengung, eine Scheidewand oder ein Ventil darstellt. Wäre das Mundstück, aus welchem sich die Flüssigkeit ergießt, in Beziehung zu seiner Weite ziemlich lang, und träte die Flüssigkeit wol gar noch mit Kontraktion in dasselbe ein; so würde man dem auf dieses Mundstück bezüglichen Werthe von L" nach 8. 140 noch die Glieder r-" ^ hinzuzufügen haben. 7) Kämen in der Leitungsröhre Kniee vor, in welchen die Are der Röhre eine scharfe Ecke bildete; so würde auch hieraus ein bedeutender Widerstand für die Bewegung der Flüssigkeit sich ergeben. Es läßt sich annehmen, daß die Wirkung dieses Widerstandes unter den hier gemachten Voraussetzungen nicht wesentlich von derjenigen abweiche, welche die Bewegung des Wassers unter gleichen Umständen erleidet, daß man also die praktischen Resultate des §s 138 Näherungsweise auch auf den Fall einer elasti- schen Flüssigkeit anwenden und dem Faktor von in der obi- gen Gleichung für das Vorkommen eines Kniees ein Glied — L, nach Gl. (611) zufügen könne. 8) Ein Gleiches gilt von dem Widerstände, welchen die elastische Flüssigkeit bei dem Durchgänge durch eine gehörig abge- rundeteKrümmung erleiden würde. Für eine jede solche Krüm- ^2 mung würde man nach §. 139 unter den Faktoren von ^ einen Widerstandskoeffizienten —6g einzuführen haben. Unter Berücksichtigung aller dieser verschiedenartigen Widerstände der Bewegung einer elastischen Flüssigkeit durch eine Nöh- renleitung geht endlich die obige Gleichung über in Gl.(Sl7) mit plötzlichen Verengungen. 2KS .... (912) Hieraus folgt / 2AL1o§-^7 v— /_^-.- .... (913) Die Ausflußgeschwindigkeit V der Flüssigkeit im vordersten Querschnitte K des Mundstückes ist bekanntlich ....(914) worin mLZ statt LZ zu setzen wäre, falls sich die Ausflußöffnung sr in einer dünnen Wand befände. Für m würde man den Werth 0,58 haben, sobald diese Kontraktion als eine vollkommene zu betrachten wäre. Da Dies jedoch hier in den wenigsten Fällen möglich sein wird, weil der der eigentlichen Ausflußöffnung >6 vorhergehende Querschnitt der Leitungsrvhre selbst nur klein sein kann; so wird man den Werth m —0,58 nach den Tabellen des 8s 85 angemessen zu korrigiren haben. Das Volum der Ausflußmenge in der Zeiteinheit, unter dem äußeren Drucke //' gemessen, ist offenbar ....(915) Unter dem inneren Drucke des Gasometers gemessen, ist das Volum dieser Ausflußmenge .... (916) und für das Gewicht dieser Ausflußmenge hat man Gl. (787) p"0(7 VV- L . . . (917) Wenn die Pressungen ?? und p" resp. im Gasometer und in dem äußeren Raume, in welchen sich die Flüssigkeit ergießt, durch 2SS s. 201. Geschwindigkeit des Stempels die vertikalen Säulen einer unpreßbarcn Flüssigkeit, z. B. durch Quecksilber, gemessen werden; so sei L' die Barometerhöhe für den inneren Druck p', L" die Barometerhöhe für den äußeren Druck p", H die Manometerhöhe, welche den Unterschied des inneren und äußeren Druckes mißt, sodaß 8—L'—L" ist, VV, das Gewicht der Volumeinheit des Quecksilbers; also 898,75 Pfund pro Kubikfuß bei der Temperatur null oder 895,72 Pfd. pro Kubikfuß bei der Temperatur von 15« 8.-18,75« 6. so hat man p'^L'VV, mithin auch p'-p" —— I1VV,; — ^ — 1 > ^ p" L" Mit Hülfe dieser Formeln kann man die Höhen 8 und L" oder auch ^ und L" anstatt der Pressungen und p" in die obigett Formeln einführen. Wenn der innere Druck wie es in den letzteren Paragraphen gewöhnlich angenommen wurde, nur wenig größer ist, als der äußere Druck p", sodaß in dem Ausdrucke « oder 8^ — 1 -s-« — 1 -s- 11 ^ L" ein kleiner echter Bruch ist; so hat man loZ Ar — 2,30258 loA.vuIZ. ^ sehr nahe — 8.201. Geschwindigkeit des Stempels in der Trieb- röhre einer atmosphärischen Eisenbahn. Die Resultate der letzteren Paragraphe finden eine unmittelbare Anwendung auf die Geschwindigkeit, welche der Stempel in der Triebröhre einer sogenannten atmosphärischen Eisenbahn annehmen wird, sobald man dabei die Wirkungen vernachlässigt, welche aus der Trägheit der in Bewegung gesetzten Körpermassen in einer atmosphärischen Eisenbahn. 267 hervorgehen, und welche dann umso bedeutender sind, je stärker die Geschwindigkeit dieser Bewegung variirt. Setzen wir nun aber voraus, der gedachte Stempel habe sofort beim Eintreten in die Triebröhre diejenige Geschwindigkeit erhalten, welche ihm an dieser Stelle der äußere Druck der atmosphärischen Luft würde mitgetheilt haben, wenn derselbe schon eine längere Zeit hindurch unter den nämlichen Verhältnissen auf den Stempel eingewirkt hätte; so wird die Variation der Geschwindigkeit dieses Stempels, welche alsdann nur noch von der zunehmenden Reibung der eindringenden Luft an den Wänden der Triebröhre und von den etwaigen Veränderungen des Druckes in dem Medium aus der entgegengesetzten Seite des Stempels herrühren kann, gering sein, und man wird unter dieser Voraussetzung umso mehr berechtigt sein, die Wirkung der Trägheit der bewegten Massen außer Acht zu lassen. Demnach sei der atmosphärische Druck außerhalb der Triebröhre, auf die Flächeneinheit, p der Widerstand pro Flächeneinheit des Stempels, welchen die verschiedenen Reibungen an dem fortzuschaffenden Wagenzuge, sowie die Reibung des Stempels an den Röhrenwänden der Bewegung des Letzteren entgegensetzen, - der Druck des in der Röhre auf entgegengesetzter Seite des Stempels befindlichen Mediums, auf die Flächeneinheit am Ende der Zeit t, p"--k>-s-y die Span- ^ nung, welche die Luftschicht unmittelbar vor dem Stempel besitzen muß, um die beiden vorstehenden Widerstände und - zu überwinden, O der Querschnitt der Triebröhre, O der Durchmesser derselben, L, die ganze Länge derselben, n der Abstand ^.6, in welchem sich der Stempel am Ende der Zeit t von der Einmündung in die Triebröhre befindet, V die Geschwindigkeit des Stempels an demselben Orte zu derselben Zeit. Da der in der vorderen Fläche des Stempels herrschende 268 j. 2 ül. Geschwindigkeit des Stempels Gl. (SIS) Druck p" nicht immer von dem äußeren Druckes nur um wenig verschieden sein wird; so darf man sich auch im Allgemeinen der auf diese Annahme gegründeten Näherungsformeln der letzteren Paragraphe nicht bedienen. Im Übrigen sind die Triebröhren der atmosphärischen Eisenbahnen an ihren Einmündungen in der Regel gehörig erweitert und abgerundet, sodaß die Luft ohne Kontraktion in dieselben treten kann. Unter diesen Umständen hat man nach Gl. (886) für die Geschwindigkeit des Stempels im Punkte 0 oder am Ende der Zeit t V — . . . . (918) V/ 1-j-2 Behielte das auf der entgegengesetzten Seite des Stempels, also in dem Theile 6L der Röhre befindliche Medium unter allen Umständen dieselbe konstante Spannung y; so würde in dem vorstehenden Ausdrucke p" — k -s- 2 (919) eine konstante Größe sein, da auch ? eine solche ist. Der Druck - auf der entgegengesetzten Seite des Stempels wird jedoch gewöhnlich mit der Zeit variiren, und zwar sind hierbei zwei Fälle zu unterscheiden: 1) wenn das jenseit des Stempels im Raume 6L befindliche Medium eine für sich abgeschlossene Masse eines elastischen Fludiums ist, welche sich bei der fortschreitenden Bewegung des Stempels weder vermehrt, noch vermindert; 2) wenn die Masse dieses Fludiums mit der Zeit vermindert wird, wie Dies in der Wirklichkeit durch Luftpumpen L geschieht, welche selbst während der Bewegung des Stempels fortwährend wirksam bleiben, um den jenseit des Stempels befindlichen Raum möglichst zu verdünnen. Im ersteren dieser beiden Fälle sei die Spannung des auf der entgegengesetzten Seite des Stempels befindlichen Mediums in dem Augenblicke, wo der Stempel bei ^ in die Röhre tritt, wo dieses Medium also die ganze Röhre ausfüllt. Sobald der Stempel bis 6 vorgerückt sein wird, ist die Masse des gc* in einer atmosphärischen Eisenbahn. 289 dachten Mediums auf den Raum 68 von der Länge 6 — 2 ? reduzier worden. Demnach hat man woraus _6 — L und somit für den am Ende der Zeit t am Stempel zu überwindenden Widerstand folgt. Substituirt man diesen Werth von p" in Gl. (918); so erhält man die Geschwindigkeit des Stempels im Punkte 6 unter den angenommenen Bedingungen als eine Funktion des Abstandes ^6--2?. Wäre dagegen bei k eine Luftpumpe wirksam, welche in jeder Zeiteinheit den gesummten jenseit des Stempels befindlichen Raum um das Volum vergrößerte und dadurch das in 6 K enthaltene Medium entsprechend verdünnte; so hat man für das Volum des jenseit des Stempels am Ende der Zeit t befindlichen Mediums 0(6 —. 2 ?), wobei die Spannung desselben ist. Während nun in dem Zeitelemente ckt der Stempel um 60—«Lr weiterrückt, vermindert sich jenes Volum um Ock 2 ? und vergrößert sich wegen der Luftpumpe 6 um svdaß das Volum jenes Mediums am Ende der Zeit t-s-ckt gleich 0 ( 6 — 2 ?)—OeLr-s-^ckt ist, während dessen Spannung in --s-ck? übergegangen ist. Hiernach hat man aber ^ _ 0(6—2?) — Ock-r-s-l^ckt «/-s-cky? 0(6—2?) ' woraus bei Unterdrückung der unendlich kleinen Glieder des zweiten Grades 270 j. 201. Geschwindigkeit d. Stempels in einer atm. Eisenbahn. Gl. (S21) ^ 1^ — L 0(1^ — 2 ?) . . (921) folgt. In dieser Gleichung sind - und n als Funktionen von t anzusehen. Man hat dieselbe mit Gl. (918) zu verbinden, um von den drei Größen V, t irgend Eine durch irgend eine andere auszudrücken. Dabei hat man nur zu bemerken, daß V — ^ und daß p" —k-s-y', also auch ckp" —ck- ist. Wollte man die weitläuftigen Operationen vermeiden, welche mit der Elimination der Veränderlichen aus den beiden Gleichungen (921) und (918) verbunden sein würden, und sich mit einem Näherungswerthe begnügen; so könnte man, wenn man in Gl. (921) L als die unabhängig Veränderliche ansieht und demgemäß cky cks ,_ ^ I, —L ^ O (l^ — .r) cka: schreibt, hierin für ^ irgend einen leicht zu bestimmenden Mittelwerth der Geschwindigkeit V substituiren. Einen solchen Mittelwerth, welchen wir mit V, bezeichnen wollen, würde man z. B. erhalten, wenn man in Gl. (918) und substi- tuirte. Hierdurch würde aber die vorstehende Bedingungsgleichung - ^ werden, woraus s, oder 108^---(l mithin ov,. ov, (r^) t- ov. 271 Gl. (922> j. 202. Vibrationen einer Luftsäule, folgt. Diesemnach ist l - — / I. X ov. p"^ - (922) ein Werth, welchen man statt p" in Gl. (918) einzuführen hat, um die Geschwindigkeit V zu berechnen, welche der Stempel im Abstände 246—n von der Einmündung in die Triebröhre besitzt. Vibrationen einer elastischen Flüssigkeitssäule. - Fortpflanzung des Schalles in engen Röhren. §. 202. Allgemeine Gleichungen für die Geschwindigkeit und Dichtigkeit in den verschiedenen Punkten einer bewegten Luftsäule. Als eine interessante Anwendung der in §. 55 entwickelten allgemeinen Gleichungen für die Bewegung einer Flüssigkeit wollen wir im Nachstehenden die Vibrationen einer Luftsäule betrachten, welche durch irgend eine Ursache in Bewegung gebracht ist. Um die Untersuchung nicht zu sehr zu verwickeln, nehmen wir an, diese Säule habe eine geradlinige Are und einen konstanten ungemein kleinen Querschnitt. Außerdem vernachlässigen wir die Wirkung der Schwere und eine etwaige Reibung an den Wänden der Röhre, in welcher die Luftmasse vibrirt. Messen wir die Abszissen s ! von irgend einem festen Punkte ^ __ ! der Are jener Röhre; so sei am Ende der Zeit t -r, i) resp. die Dichtigkeit, der Druck und die Geschwindigkeit der Flüssigkeit im Punkte I>I, für welchen —» ist, lt', ^ resp. diese Größen im Punkte 24, für welchen L—s ist, « der konstante Querschnitt der Röhre. Bezieht man die allgemeine Gleichung (234) auf die zwischen ^ und IVl liegende flüssige Masse, für welche man ^ —o und hat; so erhält man unter den oben angegebenen Abkürzungen 272 j. 202. Geschwindigkeit und Dichtigkeit Gi. <926) «PV rüst «pckst «p' v st« v Wenn man diese Gleichung in Beziehung zu « differenziirt und dabei beachtet, daß die Größe welche sich auf den festen Ort bei ^ bezieht, von « unabhängig ist; so ergibt sich nach geschehener Division mit der konstanten Große ««ks Mit dieser Gleichung ist die Bedingungsgleichung (235) für die Kontinuität der Flüssigkeit, welche bei Division mit « «ist ck(stv) oder (924) ergibt, zu verbinden. Substituirt man den hieraus für ^ sich ergebenden Werth — (v ^ s» in Gl. (923), indem man auch das Glied in entwickelt; so reduzirt sich jene erstere Gleichung nach Division mit v auf Nehmen wir die Flüssigkeit als vollkommen elastisch an; s" hat man (926) p—§Lst-a?st, worin x^fach für s/- gesetzt ist. Hierdurch geht Gl. (9251 über in Gl. (929> einer vibrircndcn Luftsäule. 273 (927) Beschränken wir die gegenwärtige Untersuchung auf diejenigen Fälle, wo der partielle Differenzialkveffizient in Beziehung zu s sowol von der Dichtigkeit ze, wie von der Geschwindigkeit r, nur einen geringen Werth hat im Vergleich zu dem partiellen Differenzialkoeffizicnten jener Größen in Beziehung zu t, oder wo sich die Dichtigkeit und Geschwindigkeit weit schwächer bei einem Fortschritte von Punkt zu Punkt der Röhre am Ende einer gewissen Zeit t, als bei einem Fortschritte von Zeitmoment zu Zeitmoment am Ende einer gewissen Abszisse § verändert, wie Dies bei den schallerzeugenden Schwingungen der Luft in der That stattfindet; so kann man mit Mvselep*) aus Gl. (924) das in ^ multiplizirte und aus Gl. (927) das in ^ multi- plizirte Glied resp. gegen das Glied ^ und ^ vernachlässigen, und Dies umso mehr, da jene Glieder noch mit dem ebenfalls kleinen Faktor « behaftet sind. Hierdurch erhält man einfach (928) 1 «t-r_ eiv (929) Um die Integration dieser Gleichungen zu bewirken, schreibe man dieselben ei v cis' dos/-«) c/t Differenziirt man die erste dieser beiden Gleichungen in Beziehung zu r und die zweite in Beziehung zu s; so ergeben dieselben ') ^ tremiss on Iiz'äi-oslalic« »nit K^ j. 203. Diskussion der allgemeinen Gleichungen. 277 kleinen echten Bruch darstellt, wie es bei den Vibrationen einer Luftsäule in der That stattfindet; so kann man Ios^--Io§cl-s-ö) sehr nahe — S und demnach aü—k(»— at)—/(s-s-ar) —.... (936) setzen. 8. 203. Diskussion der allgemeinen Gleichungen des vorstehenden Paragraphs. — Fortpflanzung der Bewegung. — Koexistenz verschiedener Systeme von Bewegungen. An die Gleichungen (932) und (936) knüpfen sich folgende Betrachtungen. Die Difserenzialgleichungen (928) und (929), welche die allgemeinsten Bedingungen für die veränderliche Bewegung einer elastischen Flüssigkeitssäule unter den gemachten Voraussetzungen enthalten, werden erfüllt, wenn man der Geschwindigkeit v nur den ersten Theil der Gleichung (932) als Werth beilegt, indem man also v--k(s — al) .... (937) setzt. Wäre die Funktion k, welche sonst einen ganz beliebigen Typus haben kann, von der Art, daß man r(o) —o hätte; so würde nach Gl. (936) gleichzeitig «S^x(L —ak) — v .... (938) sein. Die Formel (937) gibt den Werth der Geschwindigkeit v an, welche ein Mafsentheilchen im Abstände § vom Anfangspunkte der Abszissen am Ende der Zeit < besitzt. Da §—at—a(t-sr) ist, worin r einen beliebigen Zeitabschnitt, vom Ende der Zeit e an gerechnet, bezeichnen soll; so hat man auch v — kss-s-ar — tt(tZ-r)). Da dieser Werth von v mit dem aus Gl. (937) vollkommen übereinstimmt; so ersieht man, daß dieselbe Geschwindigkeit v, welche am Ende der Zeit k im Abstände « stattfindet, am Ende 278 2Ü3. Diskussion der allgemeinen Gleichungen Gl. (S39) der Zeit t-j-r im Abstände «Z-ar stattfinden wird, daß also irgend ein augenblicklicher Zustand der Bewegung der ganzen Luftsäule in der Zeit r um den Raum «er oder in der Zeiteinheit um den Raum « fortrückt. Diese Erscheinung nennt man die Fortpflanzung der Bewegung. So willkürlich nun auch die Konstitution der Funktion I? sein mag, die Größe der Fortpflanzung der Bewegung in der Zeiteinheit beträgt immer die konstante Größe a. Nach Gl. (926) hat man » — .... (939) Wenn M das Gewicht einer Volumeinheit der als schwer gedachten Flüssigkeit und den Druck derselben auf die Flächeneinheit bezeichnet; so hat man bekanntlich —Lro. Denkt man sich eine vertikale Säule derselben Flüssigkeit, deren Querschnitt gleich der Flächeneinheit ist; so stellt auch das Gewicht dieser ganzen Säule dar; L ist mithin gleich der Höhe, welche jene Säule einnehmen würde, wenn sie überall dieselbe Dichtigkeit besäße, oder wenn sie durch die Wirkung der Schwere in ihren unteren Theilen nicht komprimirt würde. Bei atmosphärischer Luft an der Oberfläche der Erde würde also L die Höhe bezeichnen, welche die Atmosphäre einnehmen müßte, wenn sie überall die Dichtigkeit der unteren Schichten besäße und dabei die hier herrschende Spannung darbieten sollte. Nach der vorstehenden Gleichung (939) würde demnach die Fortpflanzungsgeschwindigkeit » gleich der Geschwindigkeit sein, welche ein Körper durch den freien Fall von der Hälfte der Höhe L annehmen würde. Setzt man nach Gl. (779) bei einer Temperatur der Luft von 16» Celsius L—25343 (1Z-0,00366.16)-26827 Fuß; so wird « ——916 Fuß. Diese Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Bewegung, welche, wie wir weiter unten sehen werden, auch der Schallgeschwindigkeit entspricht, ist bei den in der Wirklichkeit angestellten Versuchen von Arago und Humboldt unter der nämlichen mittleren Temperatur der Luft von 16» zu 1086 Fuß gefunden worden. Der zwischen dieser Zahl und dem obigen Werthe von » übe»' VibrationSbcweguugen. 279 bestehende Unterschied hat seine vernehmlichste Ursache wol in dem Umstände, daß bei einer plötzlichen Verdichtung eines elastischen Fluidums, wie sie^bei der Schallbewegung stattfindet, stets eine gewisse Menge Wärme frei wird, welche bei einer später erfolgenden Verdünnung, wodurch Wärme gebunden wird, nicht in dem Maaße und so rasch wieder absorbirt wird, daß sich dadurch nicht das Verhältniß zwischen dem Drucke /, und der Dichtigkeit änderte und im Durchschnitte für den Koeffizienten L einen etwas größeren Werth lieferte, als vorhin angenommen ist. Man erkennt allgemein, daß alle Ursachen, welche den Werth des Koeffizienten L- vergrößern oder verkleinern, auch die Fortpflanzungsgeschwindigkeit a in dem Verhältnisse der Quadratwurzel aus L resp. vergrößern oder verkleinern, sodaß in den spezifisch leichteren Flüssigkeiten, für welche L nach Gl. (780) größer wird, auch jene Geschwindigkeit sich vermehrt, und umgekehrt. In Ein und derselben Flüssigkeit ist übrigens die Fortpflanzungsgeschwindigkeit « von dem Werthe der mittleren Dichtigkeit ganz unabhängig, sodaß sich z. B. der Schall in den oberen Regionen unserer Atmosphäre, wo die Lust dünner ist, ebenso rasch fortpflanzen würde, wie in den unteren, vorausgesetzt, daß überall der Quotient den konstanten Werth L - habe. Setzt man in der Gl. (937) statt der Funktion k eine beliebige Menge willkürlich zusammengesetzter Funktionen der Größe l>—a t); so stellt eine jede dieser Funktionen ein besonderes System von partiellen Bewegungen dar, von welchen die wirkliche Geschwindigkeit v irgend eines Masscntheilchens die mittlere Resultante ist. Alle diese Systeme durchdringen sich, ohne von einander gestört zu werden, indem sich ein jedes derselben mit derselben Geschwindigkeit » fortpflanzt, alswenn die übrigen Systeme gar nicht vorhanden wären. Enthielte die Funktion k in Gl. (937) ein konstantes Glied 6, welches offenbar — k(o) sein müßte; so würde Dies dem Falle entsprechen, wo die ganze Luftsäule neben der übrigen relv- tiven Bewegung ihrer Theile eine gleichförmige Geschwindigkeit 0 in der Richtung der Are der Röhre besäße. Dieser Zustand würde einen Luftstrom darstellen, dessen Bewegung in der posi- 280 h.203. Diskussion der allgemeinen Gleichungen tiven Richtung der Abszissen stattfände, wenn 6 positiv wäre, und in direkt entgegengesetzter Richtung, wenn 6 negativ wäre. In beiden Fällen würde die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der durch k dargestellten Bewegung die nämliche sein, und man erkennt, wie sich der Schall in der Luft gegen einen Windstrich ebenso rasch und in derselben Art fortpflanzt, wie mit dem Winde. Die Erfahrung lehrt sogar, daß das Letztere selbst dann noch nä- herungsweise stattfindet, wenn die Lustmasse, welche der Schall durchdringt, in irgend einer beliebigen Bewegung begriffen ist. Wir dürfen dieses Resultat jedoch nicht aus der Formel (937) schließen, weil dieselbe nach dem vorhergehenden Paragraphe auf die besondere Voraussetzung gegründet ist, daß die Veränderlichkeit der Bewegung und Dichtigkeit der einzelnen Lufttheilchen beim Fortschritte vom Anfangspunkte der räumlichen Abszissen weit geringer sei, als beim Fortschritte vom Anfangspunkte der Zeit, sodaß man ^ und ^ resp. gegen ^ und ^ vernachlässigen konnte. ^ Betrachten wir jetzt die Gl. (938), welche, wenn k(o) —o ^st, oder wenn die Funktion k(s —«Y kein konstantes Glied ent- . hält, ö — « — b(5 — n<) ist; so sehen wir, daß sich die Dichtigkeit in den verschiedenen Punkten der Flüssigkeit in der positiven Richtung der Are der Röhre gerade so mit der Zeit fortpflanzt, wie Dies die Geschwindigkeit v thut, und daß der Grad der Verdichtung oder Verdünnung in irgend einem Punkte der daselbst herrschenden Geschwindigkeit proportional sein wird. Wenn r> positiv ist, ist es auch ö, und wenn v negativ ist, ist auch ö negativ. Hieraus folgt, daß wenn die Geschwindigkeit v eines Lusttheilchens nach der positiven Seite der Are der Röhre gerichtet ist, in dem Orte dieses Theilchens eine Verdichtung der Luft, und wenn die Geschwindigkeit v nach direkt entgegengesetzter Seite der Are der Röhre gerichtet ist, daselbst eine Verdünnung der Luft stattfindet, wobei diejenige Dichtigkeit der Luft als die mittlere angesehen ist, welche im Anfangspunkte der Abszissen und im Anfangspunkte der Zeit stattfand. Die letzteren Beziehungen zwischen der Dich- Gl. ( 841 ) über Vibrationsbewcgungcn. 281 tigkeit und der Geschwindigkeit haben- übrigens nur unter der Voraussetzung Gültigkeit, daß die Fortpflanzung der Bewegung in der positiven Richtung der Abszissen stattfinde, für welchen Zustand nur allein die Formeln (937) und (938) gelten. Nehmen wir jetzt an, der Zustand der Bewegung der Luftsäule sei von der Art, daß die Geschwindigkeit v nur durch den zweiten Theil der rechten Seite von Gl. (932) ausgedrückt werde, daß man also v--/-(«-s-ak) .... (940) und demnach (wenn die Funktion / kein konstantes Glied enthält oder /(«)-o ist) wegen Gl. (936) aS — —/(§-s-at) — — v ....(941) habe. Schlägt man bei der Diskussion dieser Gleichungen einen ähnlichen Gang ein, wie vorhin bei den Gleichungen (937) und (938); so leuchtet ein, da sZ-at —«rZ-er(t-s-r) ist, daß der Werth von r> aus Gl. (940) auch v —— err -s- a(43) §. 204.- Vibrationen einer Luftsäule. 283 Zu der vorstehenden Bedingung fügen wir noch die folgende, daß nämlich am Ende einer gewissen Zeit, z. B. für t—o, die Geschwindigkeit sämmtlicher Theilchen der Flüssigkeit gleich null sei. Es versteht sich jedoch von selbst, daß zu dieser Zeit nicht etwa auch der Druck oder die Dichtigkeit in allen Punkten der Röhre gleich groß sei, weil sonst die Flüssigkeit in einem Zustande des Gleichgewichtes sich befinden und überall keine Bewegung annehmen würde. Vielmehr wird vorausgesetzt, daß in jenem Augenblicke, wo die Geschwindigkeit aller Massentheilchen momentan null sein soll, in den verschiedenen Punkten beliebige, aber nicht überall dieselben, Dichtigkeiten herrschen. Einen solchen Zustand würde man z. B. erhalten, wenn man sich denkt, die Rohre stehe vertikal, und die darin enthaltene elastische Flüssigkeit sei schwer. Wenn sich Alles im Gleichgewichte befindet, werden die unteren Schichten stärker komprimirt sein, als die oberen, und die Geschwindigkeit aller Massentheilchen ist null. Denkt man sich nun, die gcsammte in der vertikalen Röhre enthaltene Flüssigkeit werde plötzlich der Eigenschaft der Schwere beraubt, sodaß nunmehr keine weiteren Kräfte auf die Theilchen wirken, als die inneren Spannungen; so tritt augenblicklich Bestreben zur Bewegung ein, und mau hat einen Zustand, welcher den obigen Bedingungen vollkommen entspricht. Legen wir nun für den Ausdruck der Geschwindigkeit v, welche die Lufttheilchen im Abstände § von dem Einen Endpunkte ^ der Röhre am Ende der Zeit e besitzen, die allgemeine Formel (931) zu Grunde, indem wir V —.... (942) setzen. Bezeichnet man die Länge -4.K der Röhre mit I,; so muß zu allen Zeiten, also für alle Werthe von t, die Geschwindigkeit v svwol für § —o, wie für « —D, null sein, d. h. man muß haben -s- LLe-" — o .... (943) »WMMIMINli 284 §. 204. Vibrationen einer Luftsäule. Gl> (S4S) und —o .... (944) Setzt man in der letzteren Gleichung e-->«l.-<-o — und s-». (946) tz. 204. Vibrationen einer Luftsäule. 28S — LV8M(L —at)-j-8in»r(L—at).^ -^1 — Lvsms.oosmert -f- 8 inr-rs.«in?nat ->-(8MM«.eo8mat —oosms.sinmay^^l, — ev8m(«-i-aY-j-8inm(s-4-ay.V ^ — eo8?ns.oo8mert—'8inmL.8inMrrt ->-(8inms.co8mak-f-L08m«.8iii?»aYx^ — 1 setzt. Jetzt ist leicht zu erkennen, daß ein jedes einzelne Glied auf der rechten Seite der beiden vorstehenden Ausdrücke, wenn es noch mit irgend einem willkürlichen konstanten Faktor multiplizirt wird, für sich allein im Stande ist, der ursprünglichen Differen- zialgleichung (930), deren allgemeines Integral die Form (942) hat, ein Genüge zu leisten. Denn ein jedes der fraglichen Glieder ist das Produkt eines Sinus oder Kosinus von m« in den Sinus oder Kosinus von mak. Da aber allgemein 1 ^ 8MN — ^ (6--»"-I — , vv8X — i (e* -s- «-*''->) ist; so hat man z. B. 1 — 1 „ «V8M§. L08»rat — ^(«""»'-l -f-s--»'»'-»).— 2 2 , 6"><- ein Ausdruck, welcher noch mit einem willkürlichen Faktormultiplizirt werden kann und gleichwol der Form des allgemeinen Integrals (942) entspricht. Hiernach kann man anstatt der Gl. (942) auch setzen r, — L^8inm§.8i'n»rat -j- ^L8inrrs.ov8»at "s-^6ev8p«.8inpat-s-^I)eo8y«.oc>89at, .... (946) worin sowol L, 6, v, wie m, n, p, - ganz willkürliche Grö» ßen bezeichnen, welche nur in Beziehung zu » und t konstant fein müssen. 286 r. 204. Vibrationen einer Luftsäule. Gl. (948) Da der Werth der Geschwindigkeit v zu allen Zeiten für o ebenfalls gleich null werden muß, die in sinm« oder 8in?r.e multiplizirten Glieder aber für s —o sämmtlich verschwinden, während die in eospL und eo8^s multiplizirten Glieder Funktionen von t bleiben; so hat man zuvorderst die letzteren Glieder sämmtlich zu unterdrücken, wodurch v — ^^sinms.si'nmat -s- ^Lsinrrs.ovsrrat wird. Soll nun auch für s —D die Geschwindigkeit v den Werth null annehmen; so hat man r»^,—r-r und nl,—oder m —^ und rr —^ zu setzen, worin r und / eine jede beliebige ganze positive oder negative Zahl, einschließlich der Null, darstellt. Nach dem Vorstehenden wird also den beiden Bedingungen, daß sowol für s —o, wie für « —der Werth der Geschwindigkeit v zu allen Zeiten — o sei, durch die allgemeine Gleichung . r'-r» . r'-rat , . /-r« /-rat 8M—^-r Ir8111^-608^— .... (947) ein Genüge geleistet. Hierbei ist noch ganz unbestimmt gelassen, welches die Geschwindigkeit r, in den verschiedenen übrigen Punkten der Luftsäule zu irgend einer bestimmten Zeit, z. B. für t —o sei. Den Werth der Dichtigkeit welcher am Ende der Zeit t in einem Abstände « von dem vordersten Endpunkte der Röhre herrscht, findet man, wie in §. 201, indem man den vorstehenden Ausdruck von v in Beziehung zu t differenziirt, den partiellen Differenzialkoeffizienten ^ in Gl. (928) substituirt und alsdann gehörig integrirt. Dies ergibt statt der Gl. (933) aloZ^a — VV8 1608 -^ L 6081 8IN -f- 0, .... (948) worin 0 eine von s und t unabhänge Größe darstellt, deren Werth sich folgendermaaßen findet. Wenn man sich die in der obigen Röhre eingeschlossene Lust Gl. (949) r. 204. Vibrationen einer Luftsäule. 287 im Zustande des Gleichgewichtes denkt, bei welchem der Druck, und mithin auch die Dichtigkeit, in allen Punkten Ein und denselben Werth hat; so sei die mittlere Dichtigkeit für diesen Zustand des Gleichgewichtes —Die Masse der gesammten in der Röhre enthaltenen Luft wird hiernach, da der Querschnitt der Röhre — u- ist, sein. Sobald sich die Luftsäule aber in der vorhin betrachteten Bewegung befindet, wird die Masse eines Volumelementes von der Länge cks im Abstände s von der vorderen Endfläche der Röhre zu irgend einer Zeit Mstck« sein, und man hat daher für die Masse «1^, der gesammten Flüssigkeit am Ende derselben Zeit woraus die Gleichung o . . (949) folgt. Beachtet man, daß die Variation, welche die Dichtigkeit ^ in den verschiedenen Punkten der Röhre und zu den verschiedenen Zeiten erleidet, im Vergleich zu der mittleren Dichtigkeit /il, nur eine sehr kleine Größe ist; so hat man, wenn man ^--(l-s-S)^, setzt, worin S einen kleinen echten Bruch darstellen wird. lok-L- oder Io§^---1o§(l-s-S) sehr nahe — S. Substituirt man in diese Gleichung für loZst seinen Werth aus Gl. (948); so kommt - 1 rrrs rrrttt 1 /rr« . -rrat , 6 , ^ 008 -- LLv08^- 8W -l- -lo^l. Nach Gl. (949) ist aber auch, wenn man auf beiden Seiten 288 §. 204. Vibrationen einer Luftsäule. Gl. (9SI> mit der konstanten Größe Lt, dividirt, und —1-j-ö seht, l. ^ /(l-t-ö)cts —I^Z- /ö.cts, mithin /ö.cks —o. Führt man in die letztere Gleichung für ö den vorhergehenden Werth ein, und Lntegrirt in Beziehung zu « zwischen den Gränzen von s—o bis «—10; so verschwinden die Integrale sämmtlicher in ^ und L multiplizirten Glieder und man erhält woraus 6 — «Io§ ^, folgt. Eine Substitution dieses Werthes von 6 in Gl. (948) ergibt für die Dichtigkeit Lt oder für die Verdichtung, resp. Verdünnung ö der Flüssigkeit im Abstände § und am Ende der Zeit r die Formel r'srat alOA 688 608 ^ 811 ?- Jn den beiden Gleichungen (947) und (950) werden die Koeffizienten ^ und L, sowie die Werthe der Zahlen r und / aus den Bedingungen zu bestimmen sein, daß der Zustand der Flüssigkeitssäule am Ende irgend einer gewissen Zeit, z. B. für r—o ein gegebener sei. Bezeichnete man hiernach die Geschwindigkeit, welche in irgend einem Punkte der Röhre im Anfange der Zeitrechnung bestehen sollte, und welche demnach nur eine Funktion von « sein würde, mit V—?>(«); so müßte man wegen Gl. (947) V — y, («) ^ HD «in .... (951) haben. Würde in ähnlicher Weise die Verdichtung oder Verdünnung, welche in irgend einem Punkte der Röhre im Anfange der Zeit bestehen sollte, und welche ebenfalls nur eine Funktion von « sein könnte, mit —4>(«) bezeichnet; so müßte wegen Gl. (950) Tl.<956) 204. Vibrationen einer Luftsäule. — a(§) — . ( 952 ) sein. Sollte der im Eingänge dieses Paragraphs angekündigte besondere Fall eintreten, für welchen die Geschwindigkeit V im Anfange der Zeitrechnung überall — o wäre; so würde man, da für t—o die in 8,'n^^^ multiplizirten Glieder aus Gl. (947) von selbst verschwinden, alle übrigen mit dem Faktor L behafteten Glieder zu unterdrücken haben, weil die letzteren für t--o allgemein nicht gleich null werden können. Demnach erhält man für den fraglichen einfachen Fall 8>N . . (953) aö — st» (954) Die in diesen beiden Gleichungen vorkommenden Faktoren sind für die verschiedenen unter dem Zeichen ^ zu denkenden Glieder vollkommen willkürlich; ebenso ist es mit den Zahlen r, welche jedoch aus dem Bereiche der positiven oder negativen ganzen Zahlen gewählt werden müssen. Sobald übrigens die Dichtigkeit —tzi(s) gegeben ist, welche für t-o in den verschiedenen Punkten der Röhre herrscht, ergeben sich die Werthe der Großen -V und r aus der Bedingungsgleichung (952). Da allgemein 8 INT 8 MA fov 8 (-r — U) — 008 (n -f- vos Loo» U — fvv 8 o — N) Z- «08 (a?—N)) ist; so kann man die beiden Gleichungen (953) und (954) auch in die Form ^-(« — at) — vo8 (s-j-«t)^ aü — ^L^ov8 ^(«—at)Z-eo8^ (s-f-at)^ 290 205. Schalibewegungeu in der Luft. Gl. (938) bringen, in welcher sie den allgemeinen Formen der Gleichungen (932) und (933) entsprechen. §. 205. Diskussion der vorstehenden Gleichungen. — Schallbewegungen in der Luft. Unter der Voraussetzung, das die Geschwindigkeit der vibri- rendcn Luftsäule welche in einer an beiden Enden verschlossenen Röhre enthalten ist, im Anfange der Zeitrechnung überall gleich null sei, wird der Zustand der Bewegung und der wechselnden Dichtigkeit in dieser Säule durch die beiden allgemeinen Gleichungen . . r'-rs V — ^^8IN 8i" , , .... (957) « 0 — .X es« — r'TrK t .... (958) »IMlIIIIIIINIIIIIIIIIIIII»»»»»»»»»! dargestellt. Welches nun auch die Werthe der Größen und r in den verschiedenen unter dem Zeichen ^ enthaltenen Gliedern sein mögen; so geht aus diesen Gleichungen doch folgendes hervor. Substituirt man in Gl. (957) für t und —s für «; so erhält man für die Geschwindigkeit v', welche im Abstände .VO'—1^—s vom vorderen Endpunkte oder im Abstände 80—L vom Hinteren Endpunkte der Röhre nach Verlauf des Zeitintcr- valles — eintritt, ^ ^ > -X, I- . 7k« Msti s -s-mzt, 008 — m/t, s-s- — ^8IN^. Für die letztere der beiden vorhin genannten Massen hat man ähnlich 204 t 205. Schallbewegungen in der Lust. Gl. «S84> « §'-j- o worin jedoch für ö der Werth aus Gl. (96 l) für r ö — — ^ vos ^ zu substituiren ist. Dies gibt a ' also , ^ -r§ - , ^ I, . ^§' «ze, § — «Lt, — / vos — § — ttsr,- 81 » --7- Lt ^ tt 7k Setzt man die vorstehenden beiden Ausdrücke für die fraglichen Massen einander gleich; so kommt nach gehöriger Reduktion a-r. , ^ . -r§' , . rr§> ^- (§ — §) — l 81 » i- -f- 81 » Substituirt man hierin §'—§—27 und bezeichnet den Abstand des Mittelpunktes der Exkursion.-r vom vorderen Endpunkte der Rohre, d. i. den Abstand - ^ ^ mit 8; so verwandelt sich die vorstehende Gleichung nach gehöriger Vereinfachung in 81» 8^.008 .... (963) woraus der Werth der Exkursion .r als Funktion von 8 gefunden werden kann. Diese Exkursion der Lufttheilchen ist null für 8—o und für 8—1,, also an den Endpunkten der Röhre, und dieselbe ist am stärksten für 8 — oder in der Mitte der Röhre. Der letztere Werth von n würde aus der Gleichung "(n)^^oos(n) ....(964) zu ermitteln sein. Da 2 in der Regel eine sehr kleine Größe in Beziehung zu L,, und außerdem in den meisten Fällen Gl. (»66) ). 2Ü3. Schallbewcgmigcn in der Lust. 293 sein wird; so wird man sehr nahe oos — 1 und demnach sehr nahe ....(965) mithin _(966) «ir haben. Die Große welche nach einer früheren Bemerkung die Geschwindigkeit der Lufttheilchen in der Mitte der Röhre zur Zeit t —oder in der Mitte der halben Schwingungsdauer der Luftsäule darstellt, kann also nach Gl. (965) auch durch die Er- kursionsweite der letzteren Theilchen bestimmt werden. Wenn man sich denkt, an die vorhin betrachtete bei ^ und L verschlossene Röhre schließen sich noch mehrere ebenso ein- M!MI»I» .»IUIIIIIII.. . gerichtete gleiche Röhren L0, 6V etv. an, und in einer jeden befinde sich eine Luftsäule in einem Schwingungszustande, welcher, von einem gemeinschaftlichen Endpunkte zweier ««gränzenden Röhren, z. B. von L aus gesehen, der nämliche ist, indem also für bei ^ in der ersten Röhre die stärkste Verdichtung, bei I! in der ersten und zweiten Röhre die stärkste Verdünnung, bei 0 in der zweiten und dritten Röhre wieder die stärkste Verdichtung stattfinde und s. f.; so würde man, weil die Theilchen bei L, 0,0... stets in Ruhe sind, und die Wände bei!), 6 . . . von beiden Seiten stets denselben Druck in entgegengesetzten Richtungen empfangen, diese Zwischenwände ganz entfernen können, ohne daß die in der ganzen Röhre enthaltene Luft aufhörte, in der früheren Weise zu oszilliren. Wäre —L6 —60 ... —6, ferner die Länge der ganzen Röhre .41) —6,—r6, worin r die Anzahl jener einzelnen Theile, also eine ganze Zahl bezeichnet; so erkennt man sehr leicht, daß der zuletzt erwähnte Fall durch die Formeln (960) 288 §. 205. Schallbewegmigen in der Lust. Gl.(86») und (961) dargestellt wird, sobald man darin 0 —^ setzt, also durch die Formeln . . r'srs . P — H. 8M --— 8IN r'rrat . . . . (967) aö —^eos rrr s 008 errat . . (968) welche ebenfalls den allgemeinen Gleichungen (957) und (958) angehören. Alles was bei der Diskussion der Gleichungen (960) und (961) von den Zuständen der dortigen Luftsäule in den verschiedenen Punkten und zu den verschiedenen Zeiten gesagt ist, gilt auch hier von den einzelnen Luftsäulen LO, Ol)..., wenn man dieselben gleichzeitig in den Richtungen ^k, OK, 00 . . . betrachtet. Man hat nämlich für die Zeit, während welcher die stärksten Verdichtungen bei .4, 0 zu stärksten Verdünnungen und die stärksten Verdünnungen bei L, v zu stärksten Verdichtungen werden, den Werth 1 ^ 0 0 1 2 a r a und für eine ganze Schwingungsdauer, während welcher in jedem Punkte der Rohre genau wieder derselbe Zustand der Bewegung und Dichtigkeit eintritt, 20 — 20, a r'a . . (969) Die Länge .40—HD—20——^ oder der Abstand zwischen irgend zwei nächsten Querschichten der Röhre, in welchen genau derselbe Schwingungszustand herrscht, heißt eine Wellenlänge, während die in einer solchen Länge enthaltene flüssige Masse in dem Zustande der obigen Vibrationsbewegung eine Welle ge- r. 208. Schallbcwegmigcii in der Luft. 297 nannt wird. Die Punkte H., L, 6, v, . . . in denen die Dich« tigkeit der Flüssigkeit periodisch abwechselnd ihr Marimum und Minimum erreicht, und in welchen die Geschwindigkeit derTheil- chen fortwährend null ist, heißen Knoten. Die in den Mitten zwischen den Knoten liegenden Punkte 6, o . . ., wo die Dichtigkeit fortwährend gleich der mittleren ist und wo stets die größte Geschwindigkeit herrscht, sodaß die hier befindlichen Theilchen bei einer jeden Schwingung die größte Amplitude beschreiben, tragen den Namen Bäuche. Zu allen Zeiten, ehe in irgend einem Knotenpunkte die größte Verdichtung erreicht ist, bewegen sich die Lufttheilchen der angrän- zenden halben Wellen von beiden Seiten gegen diesen Punkt. Nachdem jedoch das Marimum der Verdichtung eingetreten ist, bewegen sich die Theilchen bis zum Augenblicke der größten Verdünnung nach beiden Seiten von dem fraglichen Knotenpunkte hinweg. In der Mitte der Zeit, während welcher in irgend einem Knotenpunkte die größte Verdichtung mit der größten Verdünnung wechselt, und umgekehrt, also zweimal während einer jeden ganzen Oszillation herrscht in der ganzen Röhre die mittlere Dichtigkeit, vorausgesetzt, daß der Bewegungszustand der Flüssigkeit durch die Gleichungen (967) und (968) dargestellt sei. Wellenspsteme, wie die durch die ebengenannten Gleichungen dargestellten, können sich gleichzeitig mehrere in derselben Röhre gegenseitig durchdrungen. Ein solcher Zustand gehört dem allgemeinen Falle der Gleichungen (957) und (958) an. Wenn wir uns statt der Hinteren Endfläche v der obigen Röhre das elastische Trommelfell eines menschlichen Ohres sub- stituirt denken; so wird dasselbe in Folge der periodisch wiederkehrenden Verdichtungen und Verdünnungen in eine entsprechende vibrirende Bewegung versetzt, deren Perioden mit denen der schwingenden Luftsäule harmoniren. Durch eine solche Erschütterung des Trommelfelles entsteht bei uns die Empfindung des Schalles, welche Ton heißt, wenn die Affektion in regelmäßigen Vibrationen besteht. Die akustische Höhe oder Tiefe des Tones ist durch die raschere oder langsamere Aufeinanderfolge der Vibrationen, also durch kleinere oder größere Schwingungsdauer der einzelnen Luftwellen gegeben. Da diese Schwingungsdauer 298 z. 2US. Schallbewegungen in der Luft. 1—^ —mit der Länge 21, der Wellen in direktem geometrischen Verhältnisse steht; so folgt, daß Ein und demselben Tone stets eine Luftwelle von derselben Länge entspricht, und daß die längeren Wellen tiefere Töne und die kürzeren Wellen höhere Töne erzeugen. Die Stärke oder Intensität des Tones ist von dem Grade der Verdichtung und Verdünnung (s— welche abwechselnd in jedem Knotenpunkte stattfindet, oder auch von der Größe der Schwingungsamplitude der einzelnen Luft- theilchen abhängig, und wird demnach durch die Länge der Welle oder durch deren Schwingungsdauer nicht bedingt. Der Klang eines Tones, welcher bei Tönen von derselben Höhe doch sehr verschieden sein kann, wird jedenfalls durch die besondere Art und Weise hervorgebracht, wie die Dichtigkeit der Luft im Punkte O mit der Zeit variirt, wenn dieselbe während einer jeden Oszilla- tion von der größen Verdünnung bis zur größten Verdichtung, und umgekehrt, übergeht. Man sollte zwar glauben, daß das Gesetz, nach welchem diese Dichtigkeit im Punkte I) mit der Zeit variirt, für jeden einfachen Ton von derselben Höhe und Stärke, welchen die in der Röhre enthaltene Luft überhaupt hervorzubringen vermag, stets dasselbe wäre, indem man nach Gl. (968) für L—H, -f- ^ 008 hat, worin «, I,, unveränderliche Größen sind, die ganze Zahl r durch die Höhe des Tones und die Größe .4. durch die Stärke des Tones gegeben sind, und worin das obere Zeichen zu nehmen ist, sobald r paar, und das untere Zeichen, sobald r unpaar ist, sodaß also in der vorstehenden Relation zwischen S und r gar keine Größen mehr willkürlich bleiben, welche von besonderen Umständen abhängig sein könnten. Allein man hat zu erwägen, daß die Gleichungen (967) und (968), sowie die beiden Gleichungen (953) und (954), von welchen jene nur einen speziellen Fall darstellen, aus den allgemeinen Gleichungen (947) und (950) unter der besonderen und ausdrücklichen Bedingung abgeleitet sind, daß die Geschwindigkeit der Lufttheilchen in einem gewissen Augenblicke, nämlich im Anfange einer jeden halben Schwingung, r. 205. Schallbewcgungei, in der Luft. 29g in allen Punkten der Röhre gleich null sei, sodaß mithin alle Lufttheilchen die Endpunkte ihrer Exkursionen zu derselben Zeit erreichen. Eine solche Bedingung kann offenbar nur unter gewissen Voraussetzungen erfüllt werden, und wird in der Wirklichkeit unzählige Abweichungen erfahren, welche eben zu der Verschiedenheit des Klanges irgend eines Tones von derselben Höhe Veranlassung geben. Da nun durch das regelmäßige Anschlagen von Luftwellen alle umgebenden starren und tropfbar flüssigen Körper in eine entsprechende Vibrationsbewegung versetzt werden, welche wiederum von der Form und dem Stoffe dieser Körper in einer gewissen Weise abhängig ist, und da ein derartiger Eingriff der Vibrationen der umgebenden Körper auch auf die Bewegung jener Luftwellen einen rückwirkenden Einfluß ausübt; so wird es erklärlich, wie ein Ton, welcher von der schwingenden Lust in der Röhre erzeugt wird, obgleich derselbe Ein und demselben mechanischen Agens seine Entstehung verdankt, doch wegen des Stoffes, aus welchem die Röhrenwände bestehen, oder wegen der Form des Querschnittes dieser Röhre einen verschiedenen Klang annehmen kann. Wenn die Luft in einer an beiden Enden verschlossenen Röhre von der Länge I., in regelmäßige Schwingungen versetzt wird, was z. B. dadurch geschehen könnte, daß man in irgend einem Punkte » einen Körper vibriren ließe, dessen ganze Schwingungen (bestehend aus einem Hin- und einem Hergänge) die Dauer — besäßen; so leuchtet ein, daß die Endpunkte der Röhre wegen der festen Wände, woselbst die Geschwindigkeit stets gleich null sein muß, nur Knotenpunkte in der Wellenbewegung der Luft sein können, daß also in dem vorstehenden Werthe von r die Größe r nur eine ganze Zahl sein darf. Der tiefste Ton, welchen eine solche Röhre anzugeben vermag, oder ihr Grundton, ist also der, für welchen r—l ist, und Dies entspricht offenbar einem Tone, dessen Wellenlänge 2 mal so lang ist, 300 r. LOS. ' Schallbewegungen in der Luft. als die Röhre selbst, da man für die fragliche Wellenlänge immer -^-4 hat. In der obigen Figur würde Dies der Fall sein, wenn^k die ganze Röhre wäre, wobei ^6-2^8 die Wellenlänge darstellte. In derselben Röhre können aber noch alle diejenigen Töne erzeugt werden, welche man für r—2, 3,4,5... erhält, deren Wellenlängen 2 2 2 also resp. den Werth 1, von der Länge der Röhre selbst haben. Diese Töne sind die sukzessiv aufeinander folgenden höheren Oktaven des obigen Grundtones; ihre Schwingungs- l 1 1 1 zeiten sind resp. i, . von der des Grundtones. Bei der Erzeugung dieser höheren Töne bilden sich in der Röhre sogenannte stehende Wellen mit den Knotenpunkten L, 6 ... und den Bäuchen a, ö, o . . . Wäre die Röhre nur an dem Einen Ende, z. B. bei verschlossen und am andern Ende ganz offen, wie Dies bei den Orgelpfeifen der Fall ist; so müßte jener vorderste Endpunkt jedenfalls einen Knotenpunkt in der Wellenbewegung der darin enthaltenen Luft erzeugen. Die Erfahrung lehrt ferner, daß sich an dem offenen Ende der Röhre, welches natürlich in einen lufter- füllten Raum ausmünden muß, stets ein Bauch erzeugt. Hiernach könnte also bei der Wellenbewegung der obigen Figur, ^.6 . . . die Länge der eben in Rede gebrachten Rohre darstellen. Der tiefste Ton, welchen eine solche Röhre zu erzeugen vermöchte, würde der von der Wellenlänge ^6 sein, welche 4 mal so groß ist, als die Länge n-o der Röhre selbst. Die nächst höheren Töne, welche dieselbe Röhre hervorzubringen vermöchte, würden diejenigen sein, deren Wellenlängen 4 4 4 — -H-, von der Länge der Röhre betrüge, was einleuchtet, wenn man sich die Röhre resp. durch . . . dargestellt denkt. In den letzteren Fällen bilden sich ebenfalls stehende Wellen in der Röhre, deren Knoten L, 6 und deren Bäuche «, ö sind. Wäre die Röhre an beiden Enden offen; so bildeten sich/ wie schon erwähnt, an beiden Enden der Röhre Bäuche. Man kann sich also eine solche Röhre nach der obigen Figur durch 205. Schallbewegungen in der Lust. 301 ae. . . dargestellt denken, und es leuchtet ein, daß der tiefste Ton derselben derjenige ist, dessen Wellenlänge das Doppelte von der Länge der Röhre selbst beträgt, während die Wellen der nächst 2 2 2 höheren Töne 1, i- i . . - so lang sind, als jene Röhre. Hieraus folgt, daß eine an beiden Enden offene Röhre dieselben Töne gibt, wie eine an beiden Enden verschlossene Röhre von derselben Länge. Was endlich die Fortpflanzung der Schallvibrationen von dem Einen Punkte einer in Schwingungen versetzten Luftsäule zu einem anderen Punkte dieser Säule anlangt; so bemerkt man zu- !>>>!W»»>i»III»III»III»II»III»II»»!!VUU»>!IIIIIII»IIII»I! vörderst, daß wenn irgendwo in der obigen Röhre der erste Impuls zur Bewegung der Flüssigkeit gegeben ist, was etwa dadurch geschehen kann, daß bei ^ die Luft Plötzlich bis zu einem gewissen Grade verdichtet wird; so Pflanzt sich nach K. 202 diese Dichtigkeit mit der Geschwindigkeit a —durch die Röhre fort, und erzeugt nach Verlauf der ersten Zeiteinheit in einem Abstände — a einen ähnlichen Impuls zur Bewegung, resp. zum Schalle. Durch irgend eine Länge Pflanzt sich also der erste Impuls zur Schallbewegung in der Zeit fort, welches der Dauer einer halben Schallschwingung entspricht, wenn L, die Länge der halben Wette darstellt. Folgt nun nach der Zeit ^auf die erstere Verdichtung bei ^ eine entsprechende Verdünnung; so pflanzt sich auch diese mit der nämlichen Geschwindigkeit durch die Röhre fort, indem sie das durch die erste Verdichtung ins Leben gerufene System von Bewegungen in einer aus dem Früheren klar gewordenen Weise durchdringt und die Veranlassung gibt, daß sich in den Punkten L, 0, v . . ., welche sämmtlich um die Länge L, voneinander abstehen, abwechselnd Verdichtungen und Verdünnungen einstellen. Wird die Ursache zu den regelmäßigen Verdichtungen und Verdünnungen bei durch 302 r. 20k. Stoß und Widerstand ein äußerliches Agens unterhalten; so kommt die ganze Luftsäule, so lang sie auch sei, allmählig in allen Punkten in die vorhin betrachtete Wellenbewegung und erzeugt in jedem ihrer Punkte einen Schall, dessen Intensität überall die nämliche ist und so lange konstant bleibt, als das genannte Agens eine konstante Wirksamkeit ausübt. Hört das Letztere jedoch auf zu wirken; so geht die Luftsäule, besonders vermöge der Unvollkommenheit der ihr innewohnenden Reaktionskräfte, sehr bald in den Zustand der Ruhe über, und der Schall erlischt. Da man gefunden hat, daß die Geschwindigkeit er des Schalles in der Lust bei 16« Wärme von dem theoretischen Resultate —916Fuß in der Wirklichkeit etwas abweicht, und —1086 Fuß ist; während übrigens unter allen Umständen der Schall in dem Zeitraume einer halben Wellenschwingung um die halbe Wellenlänge fortschreitet; so hat man in sämmtlichen Formeln der vorstehenden Paragraph? für er den letzteren Werth zu substitui- ren, wenn es sich um eine Anwendung derselben auf die Schallbewegung in atmosphärischer Lust von 16« Wärme handelt. Es versteht sich von selbst, daß die obigen Resultate in ihrer Strenge nur auf die Bewegungen einer elastischen Flüssigkeit in einer engen Röhre von konstantem Querschnitte Anwendung finden, und daß dieselben bei analogen Bewegungen in Flüssigkeitsmassen von zwei oder mehreren Dimensionen gewisse Modifikationen erleiden, deren Diskussion hier zu weit führen würde. Dom Stoße und Widerstände einer unbestimmt begränztcn elastischen Flüssigkeit. §. 206. Allgemeine Formeln für den Stoß und Widerstand einer elastischen Flüssigkeit gegen starre Körper. Viele Beobachtungen haben gelehrt, daß die Wirkung des Stoßes einer weit begränzten und in Bewegung begriffenen elastischen Flüssigkeit gegen einen ruhenden Körper ebenso wol, wie die Wirkung des Widerstandes einer solchen in Ruhe befindlichen Flüssigkeit gegen einen darin bewegten Körper unter sonst gleichen Umständen durch ähnliche Formeln dargestellt wer. elastischer Flüssigkeiten. 303 den kann, wie sie in den 88 . 165 bis 176 für den Stoß und Widerstand einer unpreßbaren Flüssigkeit mitgetheilt sind. Nach den Ermittelungen von Duchemin*), welche unter Zugrundelegung bekannter Versuche von Borda, Newton, Desaguil- lers, Prony, Hutton, Thibault und Smeaton vorgenommen sind, sind sämmtliche in den eben genannten Paragraphen enthaltenen Formeln direkt auf den Stoß und Widerstand der Luft anwendbar, sobald die Art der Bewegung und die Form des gestoßenen oder bewegten Körpers den dortigen Annahmen entspricht, ja sogar die dort angegebenen Zahlenwerthe des Wider- standskoefft'zientcn 9 behalten je nach den besonderen Umständen auch für atmosphärische Lust Gültigkeit. Jedoch hat man hinsichtlich der Größe welche das Gewicht der Volumeinheit der Flüssigkeit in jenen Formeln darstellte, folgende Korrektion vorzunehmen. Da es sich hier um eine elastische Flüssigkeit handelt; so leuchtet ein, daß deren Dichtigkeit oder auch das Gewicht einer Volumeinheit derselben, nicht überall konstant sein kann, sobald das Gleichgewicht derselben durch die Dazwischenkunft eines gestoßenen oder stoßenden starren Körpers gestört wird. Die Größe A, muß aber das Gewicht der Volumeinheit in denjenigen Theilen der Flüssigkeit darstellen, welche mit der gestoßenen Fläche des Körpers in unmittelbarer Berührung sind, und es ist leicht zu erachten, daß dieses Gewicht von der Geschwindigkeit V, mit welcher die Flüssigkeit gegen den Körper trifft, oder mit welcher sich der Letztere in der Flüssigkeit bewegt, auf irgend eine Weise abhängig ist. Solange die Geschwindigkeit V gering ist, wird auch die Dichtigkeit der Flüssigkeit vor dem Körper nur wenig von derjenigen Dichtigkeit abweichen, welche die Flüssigkeir im Zustande der Ruhe unter dem obwaltenden Barometer- und Thermometer- stande besitzen würde, und man könnte für dergleichen schwache Geschwindigkeiten der Größe immer die für den Ruhezustand geltenden Werth beilegen. Bei zunehmender Geschwindigkeit wächst die Dichtigkeit der ') Erperimentaluntersuchungen über die Gesetze des Widerstandes der Flüssigkeiten. Deutsch von Schnuse. tz. 105 ff. 304 t. 208. Stoß und Widerstand Gl. «97l) Flüssigkeit vor dem Körper oder der Werth von und zwar findet Duchemin dieses Wachsthum besonders abhängig von der Geschwindigkeit, mit welcher die vor dem Körper komprimirte Luft in den hinter dem Körper entstehenden verdünnten Raum überströmt. Sobald die Geschwindigkeit V so groß wird, daß sich hinter dem Körper ein ganz luftleerer Raum von einiger Bedeutung bildet, was in der Luft von gewöhnlicher Beschaffenheit an der Oberfläche der Erde bei einer Geschwindigkeit von V —1323 Fuß in der Sekunde erfolgt, behält die vorhin erwähnte relative Geschwindigkeit, mit welcher die Luft vor dem Körper entweicht, nahezu denselben Werth, und die Größe «> variirt fortan mit der Geschwindigkeit V nur so unbedeutend, daß sie für alle größeren Geschwindigkeiten, als 1323 Fuß in der Sekunde, als konstant angesehen werden kann. Ist nun das Gewicht der Volumeinheit der Luft im Zustande der Ruhe bei der herrschenden Temperatur und dem stattfindenden Drucke, V die Geschwindigkeit des gegen den Körper stoßenden Luftstromes oder die Geschwindigkeit des in ruhender Luft bewegten Körpers, während «, das Gewicht der Volumeinheit der dicht vor dem Körper kom- primirten Lust darstellt, eine Größe, welche in die Formeln der 88. 165 bis 176 zu substituiren sein würde; so hat man nach Duchemin (970) zu setzen, solange V < 1323 Fuß xro Sekunde bleibt. Wäre dagegen V> 1323 Fuß; so hätte man immer . . . . (971) zu nehmen. Nach der Formel (970) leuchtet auch ein, daß für sehr schwache Geschwindigkeiten sehr nahe ist. ro — w' elastischer Flüssigkeiten. 305 Der obige Gränzwerth von 1323 Fuß für die Geschwindig« keit V, von welcher an aufwärts die Größe w nahezu konstant bleibt, stellt übrigens die Geschwindigkeit dar, mit welcher die Luft in den leeren Raum entströmen würde, wenn sie unpreß- bar wäre und sich mit gleichförmiger Dichtigkeit über die Ausflußöffnung bis zu einer Höhe erhöbe, welche im Stande wäre, vor jener Öffnung einen Druck gleich dem atmosphärischen zu erzeugen. Es kommt hierbei nichts darauf an, daß Duchemin annimmt, die eben genannte Geschwindigkeit sei dieselbe, mit welcher sich die Lust vom atmosphärischen Drucke in den leeren Raum ergießen würde. Diese Annahme ist zwar irrig, da man in 8. 192 gesehen hat, daß die Geschwindigkeit der Lust bei dem Überströmen in den leeren Raum an solchen Stellen des Gefäßes, wo ihre Dichtigkeit gleich der vom atmosphärischen Drucke wäre, nur 547 Fuß in der Sekunde beträgt; allein Dies hindert nicht, daß der obige Werth von 1323 Fuß, welcher die Ausflußgeschwindigkeit der als unpreßbar gedachten Luft darstellt, dazu geeignet sei, den durch mehrfache Erfahrungen bestätigten Formeln der §8. 165 bis 176, nachdem sie durch den Werth von w resp. aus Gl. (970) oder (971) korrigirt sind, ein Genüge zu leisten. Ist hiernach p' der hydrostatische Druck der zu betrachtenden elastischen Flüssigkeit im Zustande der Ruhe auf die Flächeneinheit und L der von der Temperatur r und dem spezifischen Gewichte «r der Flüssigkeit abhängige Koeffizient aus Gl. (780), wonach wegen Gl. (777) , p' —L«,' wäre; so hat man für die vertikale Höhe einer gleichartigen Flüssigkeitssäule, deren Dichtigkeit überall gleich der in den untersten Schichten herrschenden wäre, und demnach für die Ausflußgeschwindigkeit, welche der Druckhöhe H—L bei einer unpreßbaren Flüssigkeit zukommen würde, Für vollkommen trockene Luft würde nach Gleichung (779) II. 2« h. 20V. Stoß imd Widerstand Gl. (V73) 306 L —253-43(1 st-0,00366r) sein. Da jedoch die atmosphärische Luft bei ihrer gewöhnlichen Beschaffenheit immer mit etwas Wasserdampf gemischt ist, wodurch ihr spezifisches Gewicht vermindert und ihr Bestreben, bei einer Temperaturerhöhung sich auszudehnen, vermehrt wird; so kann man, wenn es sich um eine Anwendung der obigen Formeln auf die äußere Luft handelt, annehme», daß Lust von 18« Wärme 850 mal leichter sei, als Wasser von der größten Dichtigkeit, und demnach k --26I l2 (l -s- 0,004r) .... (972) setzen. Dieser Werth von L ist es, durch welchen man bei einer Temperatur von 18« ^ 2A/:— 1323 Fuß erhält. Wollte man also sehr streng verfahren; so müßte man statt der Gl. (970) -...(973) annehmen, was besonders dann nothwendig wäre, wenn es sich um Luft oder eine andere elastische Flüssigkeit handelte, deren Temperatur bedeutend von 18« und deren spezifisches Gewicht bedeutend von der Luft in ihrem gewöhnlichen hygroskopischen Zustande abwiche. Was den Werth des Gewichtes rv' der elastischen Flüssigkeit im Ruhezustände, unter dem Drucke und bei der herrschenden Temperatur r betrifft; so hat man immer Wollte man die Größe durch die Beobachtung der Höhe L' eines Queckfilberbarometers bestimmen; so hat man, wenn ^ das Gewicht einer Bolumeinheit Quecksilber darstellt, Da das spezifische Gewicht des Quecksilbers sehr nahe — 13,6 ist; so hat man für das Gewicht eines Kubikfußeö Quecksilber Gl. ^974) elastischer Flüssigkeiten. 307 vv--13,6.66--897,6 Pfund, und demnach für irgend ein Gas «,'---897,6.-^. Für atmosphärische Luft von der gewöhnlichen Feuchtigkeit würde man, wenn man den Werth von /- aus Gl. (972) einführt, , p' ^ - " "" 261I2(l"ssl)Mrs ^ 29,091 (Iff-0,004r)'- habe, eine Formel, worin L' in Fußen ausgedrückt sein muß und Pfunden gefunden wird. Bei dem mittleren Barometerstände von // —2,4215 Fuß (—0,76 Meter) und bei einer mittleren Temperatur von r—18» erhält man hiernach für das Gewicht eines KubikfußeS atmosphärischer Luft von der gewöhnlichen Feuchtigkeit «>'--0,07765 Pfund, während das Gewicht eines KubikfußeS ganz trockener Luft von der Temperatur null unter dem nämlichen Drucke in Z. 191 zu 0,08586 Pfund angegeben wurde. Endlich findet auch hier die in §. 165 gemachte Bemerkung statt, daß hinter den in einer Flüssigkeit sich bewegenden Körpern eine gewisse Menge dieser Flüssigkeit, welche von der besonderen Form des Körpers abhängt, mit fortgerissen wird. Bei kugelförmigen Körpern ist das Volum dieser Masse etwa —0,6 von dem Volum des Körpers selbst. Sobald also die Bewegung eines Körpers in der Luft zu betrachten wäre, müßte auf die gleichzeitige Fortschaffung der gedachten Luftmasse mit Rücksicht genommen werden. Es leuchtet jedoch ein, daß dieser Umstand nur bei sehr leichten Körpern, z. B. bei Ballons, von Belang sein könnte, wo die Masse der mit fortgerissenen Luft im Vergleich zu der Masse des Körpers selbst einen erheblichen Werth hätte, daß derselbe jedoch füglich vernachlässigt werden dürfte, wenn der Körper ein großes spezifisches Gewicht besäße, wie Dies z. B. bei massiven Metallkugeln der Fall ist. 308 207. Geradlinige Bewegung eines KLrperS Von der Bewegung geworfener Körper in widerstehende» Mitteln. 8. 207. Geradlinige Bewegung eines freien Körpers in einem widerstehenden Mittel. Nehmen wir an, ein Körper bewege sich in geradliniger Richtung fort, indem er von einer stetigen Kraft, die übrigens auch gleich null sein kann, getrieben werde, und dabei fortwährend den Widerstand des umgebenden elastischen Mittels zu ertragen habe. Die Form des Körpers sei von der Art, daß die mittlere Resultante des letzteren Widerstandes genau in die Richtung der Bewegung falle und außerdem durch denselben Punkt gehe, durch welchen die den Körper stetig svllizitirende Kraft wirkt. Es bezeichne VV das Gewicht des Körpers, k die stetig auf denselben in der Richtung der Bewegung wirkende Kraft am Ende der Zeit t, (Z den Widerstand des Mittels in einer der Bewegung des Körpers direkt entgegengesetzten Richtung, « den Abstand des Körpers von irgend einem festen Anfangspunkte seiner Bahn am Ende der Zeit k, v die Geschwindigkeit des Körpers zu derselben Zeit, A die Beschleunigung der Schwere für die Zeiteinheit, gleich 31,2644 Fuß in der Sekunde. Nach dem d'Alembertschen Prinzipe muß Gleichgewicht stattfinden zwischen den auf den Körper angebrachten Kräften und den in entgegengesetzten Richtungen genommenen wirksamen Kräften zu irgend einer Zeit. Em Ende der Zeit t ist nun auf den Körper angebracht 1) die Kraftwelche entweder in direkter oder in entgegengesetzter Richtung der Bewegung des Körpers wirkt, 2) der Widerstand y des umgebenden Mittels in einer der Bewegung direkt entgegengesetzten Richtung. Die wirksame Kraft des Körpers am Ende der Zeit r ist vv „ vv —. ^ ^' dm Masse des Körpers darstellt. Diese Kraft ist nach der Seite der Bewegung gerichtet; eine ihr gleiche und ent- Gl. (977) in einem widerstehenden Mittel. gegengesetzte Kraft muß demnach eine der Bewegung direkt entgegenlaufende Richtung haben. Soll nun nach dem d'Alembertschen Prinzipe Gleichgewicht zwischen den Kräften p, tz und der in entgegengesetzter Richtung genommenen wirksamen Kraft ^ stattfinden; so hat man, da diese Kräfte sämmtlich in einer geraden Linie liegen. -s- l) —1* — o wenn die Kraft ? in direkter Richtung der Bewegung wirkt, und vv tkv . . . (976) wenn k in einer der Bewegung des Körpers direkt entgegengesetzten Richtung wirkt. Nach dem vorhergehenden Paragraphe ist der Widerstand tz eine Funktion der Geschwindigkeit » des Körpers von der allgemeinen Form (j —a(l-s-/Zv)v^, worin a und /; konstante, nur von der Form des Körpers und der Natur des umgebenden Mittels abhängige Größen sind. Wäre der bewegte Körper z. B. eine Kugel und das Medium atmosphärische Luft; so würde man nach Gl. (736) und (973) tz--0,512 haben, worin ^ die Fläche eines größten Kreises der Kugel, «>' das Gewicht einer Volumeinheit der Luft (etwa 0,07765 Pfund pro Kubikfuß) und d eine Geschwindigkeit von durchschnittlich 1323 Fuß pro Sekunde darstellte, sodaß in Gl. (977) 0,512 wäre. 3l0 j. 208. Horizontale Bewegung Gl. l«8A Ist außerdem die in den Körper stetig einwirkende Kraft konstant; so wird k als eine von t und r> unabhängige Große zu betrachten sein, und die Gleichungen (975) und (976) werden vermöge der Gl. (977) w 4 ) -s-tt(1-s-/Sv)v2-t-k—0 .... (978) Es folgt hieraus . . . . (979) und da —v, mithin eks-vekt ist, VV vekv A cr(1->-^v)V^ . . (980) In diesen Gleichungen ist von dem Doppelzeichen isi das obere — zu nehmen, wenn die Kraft ? in direkter Richtung der Bewegung wirkt, und das unter -s-, wenn ? in einer der Bewegung direkt entgegengesetzten Richtung wirkt. 8. 208. Horizontale Bewegung eines geworfenen Körpers in einem widerstehenden Mittel. Wenn der Körper in horizontaler Richtung mit einer anfänglichen Geschwindigkeit V fortgeschleudert wird, ohne daß im Verlauf seiner Bewegung irgend eine andere Kraft auf ihn einwirkte, als der Widerstand (j der äußeren Lust, wobei natürlich vorausgesetzt werden müßte, daß er sich auf einer absolut glatten Ebene hinbewegte, welche durchaus keine Reibung gegen die Oberfläche des Körpers äußerte; so würde man in den Formeln des vorhergehenden Paragraphs k —o zu setzen haben. Hierdurch gehen die Gleichungen (979) und (980) über in «S (1 -s-ftv)r)2 . . . . (981) «s (l-i-ftv)v ( 982 ) Gl. lS84> cincs geworfene» Körpers. 31 l Die Größe (1-st/Zo), worin st eine sehr kleine Zahl, nämlich für gewöhnliche atmosphärische Lust die Zahl ^^ 2 Z dargestellt, variirt mit der Geschwindigkeit v nur sehr schwach; demnach wird man aus den vorstehenden Formeln immer sehr brauchbare Nähcrungswerthe erhalten, wenn man für (1-j-st«) einen durchschnittlichen Werth einführt, welcher während der ganzen Dauer der Bewegung innerhalb einer beliebigen Zeit e als konstant angesehen werden kann. Ein solcher durchschnittlicher Werth für (l-ststv) ist das arithmetische Mittel zwischen dem Werthe (1-ststV), welchen jene Größe für t—o besitzt, und zwischen dem Werthe (1->-stv), welchen jene Größe am Ende der Zeit k besitzt. Demnach kann man als Durchjchnitt für (1-s-stv) in die Formeln (981) und (982) substituiren und diesen Werth bei der Integration jener Formeln als Konstante behandeln. Dies ergibt vv s — VV / 7 . .... (983) V vv IvL — .... (984) Durch diese beiden Gleichungen ist die Bewegung des Körpers vollkommen bestimmt; man erhält aus der ersteren die Zeit k und aus der letzteren den Raum §, am Ende welcher irgend eine Geschwindigkeit r> herrscht. In der letzteren Gleichung be- 312 r. 208. Horiz. Bew. eines geworfenen Körpers. Gl. (V871 deutet IvA einen natürlichen Logarithmus, und man hat, wenn man sich der gewöhnlichen Logarithmen bedienen wollte, IvA. nut. rr — 2,30258 IoA. vul§. n. Man erkennt aus diesen Gleichungen, daß die Geschwindigkeit v mit der Zeit t immer mehr und mehr abnimmt und sich dem Werthe null nähert, welchen dieselbe jedoch erst am Ende einer unendlich langen Zeit und in einem unendlich großen Abstände vom Ausgangspunkte erreichen würde. Die aus Gl. (984) gezogenen Resultate stimmen nach D lieh ein in mit den Versuchen von Hut ton über horizontal abgeschossene Metallkugeln sehr gut überein. Wenn man die Größe -s--^-(V-s-v)^, welche mit V und v nur schwach varr'irt und nach 8. 206, streng genommen, stets zwischen 1 und 2 liegen soll, der Kürze wegen mit L bezeichnet und bei der nachstehenden Betrachtung als Konstante behandelt; so ergibt eine Elimination von » zwischen den beiden Gleichungen (983) und (984) Solange k ungemein klein, und mithin ein sehr kleiner echter Bruch ist, hat man nahezu t und mithin nach der vorstehenden Gleichung nahezu « —Vt .... (986) Wenn jedoch r sehr groß ist, sodaß man die Einheit gegen die Größe vernachlässigen kann, hat man sehr nahe -(987) ttAL ^ VV für ganz außerordentlich große Werthe von r, für welche man in dem Ausdrucke das erste Glied Gl.(888) Bew. eines gew. Körpers, wenn d. stetig wirk. Kraft konstant ist. 313 gegen das zweite übersehen kann, nahezu «Ak lox.k . . (988) Aus der Betrachtung der beiden Gleichungen (986) und (988) folgt: Wenn zwei Körper !>1 und welche beide genau dieselbe Form haben, sodaß der Widerstand der Luft für beide derselbe ist, ein verschiedenes spezifisches Gewicht besitzet, sodaß das Gewicht VL des ersteren kleiner, als das des zweiten ist, und man wirft beide in horizontaler Richtung fort, den ersteren, leichteren, mit einer größeren, den zweiten, schwereren, mit einer kleineren anfänglichen Geschwindigkeit V; so wird anfangs der erste Körper dem zweiten voraneilen; nach Verlauf einer gewissen Zeit überholt jedoch der zweite Körper den ersten und eilt diesem fortan stets voraus, wie groß auch die anfängliche Geschwindigkeit des ersten Körpers gewesen und wie wenig auch der zweite Körper schwerer sein möge, als der erste. Hieraus erkennt man, daß wenn aus einer Flinte mit einer sehr starken Pulverladung zuvörderst eine hohle Papierkugel und dann einmal mit einer äußerst schwachen Ladung eine Bleikugel von demselben Durchmesser geschossen würde, die erstere zwar mit einer ungleich größeren Geschwindigkeit fortgeschleudert werden und demnach in den ersten Stadien der Bewegung der Bleikugel vvreilen würde, in den späteren Stadien aber jedenfalls hinter der Bleikugel zurückbleiben müßte. Es wird hierbei natürlich davon abgesehen, daß beide Kugeln, nachdem sie die Flinte verlassen haben, vermöge ihrer Schwere allmählig zu Boden gezogen werden. 8. 209. Geradlinige Bewegung eines geworfenen Körpers in einem widerstehenden Mittel, wenn die stetig in denselben wirkende Kraft konstant ist. Sobald in den mit der Anfangsgeschwindigkeit V fortgestoßenen und geradlinig sich weiterbewegenden Körper eine stetige Kraft ? einwirkt, welche zu allen Zeiten den nämlichen Werth hat; so wird k> in den Gleichungen (979) und (980) eine konstante Größe sein. 314 h. 20V. Geradlinige Bewegung eines Körpers. Gl. (VVI) Betrachten wir zuvörderst den Fall, wo die Kraft C der Bewegung des Körpers direkt entgegen wirkt, wo also in jenen Gleichungen p zu nehmen ist. Außerdem werde, wie im vorhergehenden Paragraph, für der mittlere Werth ....( 989 ) substituirt, welcher bei den Integrationen zwischen den Gränzen von t—« und v —V bis t—e und v—v als Konstante behandelt wird. Alsdann erhält man aus den genannten Gleichungen V Eine gehörig ausgeführte Integration dieser beiden Gleichungen ergibt t ——. , (99g) . . ( 991 ) Man erkennt aus diesen Gleichungen, daß die Geschwindigkeit v mit der Zeit r und mit der Entfernung s abnimmt, und daß dieselbe nach Verlauf einer gewissen Zeit 1 und am Ende eines gewissen Raumes 8 gleich null wird. Die Werthe von 1 und 8, welche dem Punkte entsprechen, wo der Körper zur Ruhe kommt, und wo die Gültigkeit der vorstehenden beiden Formeln aufhört, sind, wenn der entsprechende Werth von k mit bezeichnet wird. GI.(SS5> wenn eine stetige Kraft In denselben wirkt. 315 . (99B -cs-A Wenn der hier betrachtete Körper auf einer horizontalen Ebene fortgeschleudert wird; so stellt? die Reibung dar, welche der Körper auf dieser Ebene erfährt, und welche als eine von der Geschwindigkeit des Körpers unabhängige Krast angesehen wird. Würde der Körper auf einer geneigten Ebene bergan geworfen; so stellt ? die Summe aus der Reibung, welche der Körper auf dieser Ebene erleidet und derKomponente des Gewichtes VV des Körpers, parallel zur Ebene, dar. Bewegte sich der Körper auf einer geneigten Ebene abwärts; so würde ? die Differenz zwischen der Komponente des Gewichtes VV parallel zur Ebene sein; damit aber die vorstehenden Formeln auf diesen Fall Anwendung finden könnten, müßte nothwendig die gedachte Differenz positiv oder die Reibung größer sein, als die fragliche Komponente des Gewichtes W. Die obigen Gleichungen stellen auch die Gesetze für die Bewegung eines schweren Körpers dar, welcher vertikal aufwärts geworfen wird; man hat alsdann ? —W. Die Höhe 8, bis zu welcher sich ein mit der Geschwindigkeit V in der Luft vertikal aufwärts geworfener Körper erhebt, ist sonach .css« Wäre V sehr groß oder das Gewicht des Körpers sehr klein, sodaß die Einheit gegen die Größe ^ V? verschwände; so würde nahezu werden. Wäre jedoch V sehr klein oder das Gewicht VV des Körpers sehr groß, sodaß ^ V? ein kleiner echter Bruch würde und man 316 209. Geradlinige Bewegung eines Körpers, Gl. (998> Näherungsweise — V? setzen könnte; so hätte man nahezu ein Werth, welcher der Höhe entspricht, bis zu der sich der Körper im luftleeren Raume genau erheben würde. Betrachten wir setzt den zweiten Fall, wo die konstante Kraft 8 in der direkten Richtung der Bewegung des Körpers wirkt, wo also in den Gleichungen (979) und (980) — 8 zu nehmen ist; so erhält man unter der nämlichen Voraussetzung, wie vorhin, daß die Größe 8 für die Dauer irgend einer Zeit r den konstanten Werth aus Gl. (989) habe, V § 8 / «8 V Hieraus ergibt sich nach gehöriger Integration ) . . . . (997) a8V»-8 a8v^ — 8 (998) Die vorstehenden Formeln finden Anwendung auf den Fall, wo ein Körper auf einer geneigten Ebene hinabgleitet, wen» die Differenz zwischen der Komponente des Gewichtes VV parallel zur Ebene und der auf dieser Ebene stattfindenden Reibung, wenn eine stetige Kraft in denselben wirkt. 3l7 eine Differenz, welche hier durch k dargestellt werden würde, Positiv ist, oder wenn die Intensität der auf den Körper wirkenden Schwere die Reibung aus der geneigten Ebene überwiegt. Ferner gelten diese Gleichungen für den freien vertikalen Fall der schweren Körper in der Richtung von oben nach unten, wobei dann ? einfach — VV wird. Man hat hierbei zwei besondere Umstände zu unterscheiden: erstens, wenn Vv/^ < 1 oder V < r/-!^- V VV V „ VV ist. Alsdann muß nothwendig auch stets oderrX^ bleiben, damit der Logarithmus in Gl. (997) und (998) nicht imaginär werde. Die Geschwindigkeit v wächst unter diesen Umständen mit der Zeit t, jedoch nicht ins Unendliche, sondern strebt einem Gränzwerthe entgegen, welcher durch ....(999) v ai; dargestellt ist, und welcher durchaus nicht bei dem freien Falle eines Körpers in der Luft überschritten werden kann. Zweitens, wenn ist; so muß aus den nämlichen Gründen, wie vorhin, auch stets bleiben. Die Geschwindigkeit v des Körpers nimmt alsdann mit der Zeit k ununterbrochen ab, ohne jedoch jemals unter den Gränz- werth aus Gl. (999) herabzusinken. Wäre die Anfangsgeschwindigkeit V des fallenden Körpers gleich null; so hätte man 318 ). 20S. Gcradl. Bew. bei einer konstanten Kraft. Gl. (1002, v<--VK/ vv , 1 ) . . . ( 1001 ) worin 8—1-s--^-v wäre. Die vorstehenden beiden Formeln finden sich nach Duchemin in Übereinstimmung mit den Beobachtungen von Newton, De- saguillers und Pronp über den vertikalen Fall leichter und schwererer Kugeln in der Luft. Um die Geschwindigkeit zu bestimmen, welche ein mit der Geschwindigkeit V vertikal aufwärts geworfener Körper in dem Augenblicke besitzt, wo er bei seinem Rückfalle in dem Ausgangspunkte wiederum anlangt, hat man den Werth von 8 aus Gl. (994) statt s in Gl. (1001) zu substituiren und diese Gleichung alsdann für v aufzulösen. Sieht man hierbei 8 als eine Konstante an, in deren Ausdrucke man für v allenfalls den Werth V substituiren könnte, sodaß 8—8' —1würde; so ergibt sich V . . . . ( 1002 ) Wenn V sehr klein oder VV sehr groß ist, wird v nahezu — V. Ist dagegen V sehr groß oder VV sehr klein; so wird nahezu also nahezu gleich dem Gränzwerthe, welchem die Geschwindigkeit eines in der Luft vertikal herabfallenden Körpers cntgcgeu- strebt. j. 210. Krumml. Bewegung eines geworfenen Körpers. 3IS 8- 210. Krummlinige Bewegung eines in der Luft geworfenen schweren Körpers. Der in den früheren Paragraphen betrachtete Körper werde mit einer gewissen anfänglichen Geschwindigkeit in der Richtung .^X, welche mit dem Horizonte XX einen beliebigen Winkel XXX einschließe, fortgeschleudert, und nehme in Folge der Einwirkung der Schwere und des Widerstandes der Luft die Bahn XAIVL an. Wir setzen hierbei einen Körper von solcher Form voraus, daß er in allen Lagen denselben Widerstand der Luft zu ertragen fähig sei, was, streng genommen, nur bei der Kugelgestalt möglich ist. Da die Wurflinie in den meisten Fällen der Wirklichkeit in allen Punkten nur eine sehr schwache Krümmung besitzt; so können wir auch annehmen, daß der Widerstand der Luft gegen den Körper in tangentialer Richtung zu der Bahn des Letzteren eben derselbe sei, welcher stattfinden würde, wenn sich der Körper geradlinig mit der nämlichen Geschwindigkeit in der Richtung der Tangente fortbewegte. Nun sei 6 die anfängliche Geschwindigkeit des Körpers im Ausgangspunkte X nach der Richtung XX, 17 und V die Komponenten dieser Geschwindigkeit resp. in horizontaler Richtung XX und in vertikaler Richtung XX, u und v die ähnlichen Komponenten der Geschwindigkeit a des Körpers am Ende der Zeit t, wo sich derselbe im Punkte KI befinde, und - die horizontale und vertikale Ordinate XI, und des Punktes I>I, wobei die positiven vertikalen Ordinaten in der Richtung XX von unten nach oben gerechnet werden, P der Neigungswinkel der Tangente an die Wurflinie bei IVI gegen die Horizontale XX. Am Ende der Zeit t wirkt auf den Körper die Schwere in vertikaler Richtung abwärts mit der Kraft W. Ferner der Wi- 32« i. 21«. Krummlinige Bewegung eines geworfenen Gl. (I««4l Verstand der Luft in tangentialer Richtung an die Wurflinie und nach einer der Bewegung des Körpers direkt entgegengesetzten Seite mit einer Kraft akc?, worin K —(1-j-/1c) ist; die horizontale Komponente dieses Widerstandes ist oder —akcrr, da man oeosgo—w hat; die vertikale Komponente ist oder — «Lov, da man csiny, —v hat, und letztere wirkt von oben nach unten, solange der Körper im Steigen begriffen ist, und von unten nach oben, sobald der Körper herab- sinkt. Die wirksame Kraft des Körpers am Ende der Zeit t ist — die horizontale Komponente hiervon hat den Werth — ^ w 4 ) und die vertikale Komponente den Werth . Nach dem d'Alembertschen Prinzipe hat man also folgende beide Gleichungen .... ( 1003 ) A ar _( 1004 ) In der letzteren dieser beiden Gleichungen ist das Zeichen -ff zu nehmen, solange der Körper ansteigt, und das Zeichen —, solange derselbe herabfällt. In diesen Gleichungen ist und demnach auch ü — 1 -s- ^ Bei strenger Berücksichtigung dieser Werthe von o und U würde die Integration der obigen Gleichungen sehr schwierig werden und zu überaus unbequemen Formeln führen. Demnach muß man zur Erzielung praktischer Näherungsformeln seine Zuflucht zu einigen Vereinfachungen nehmen, welche dazu beitragen können, die angedeuteten Schwierigkeiten zu beseitigen, ohne dadurch das Resultat wesentlich von der Wahrheit zu verrücken. Zu diesem Zwecke beschränken wir die gegenwärtige Untersuchung auf kugelförmige Körper von bedeutendem spezifischen Gewichte, bei welchen also der Widerstand der Luft für die ge* Gl. (I0V6) Körpers In der Lust. 321 wöhnlichen Geschwindigkeiten nicht zu überwiegend ist gegen die übrigen darauf wirkenden Kräfte. In den genannten Fällen wird die Wurflinie ^1)8 sich nicht sehr weit von einer Parabel entfernen, welche der Körper genau beschreiben würde, wenn kein widerstehendes Mittel vorhanden wäre. Ist 0 der höchste Punkt der Wurflinie; so wird der Winkel 1)^.6—« sehr nahe gleich dem Winkel sein, welchen die Sehne tlv mit dem Horizonte in der fraglichen Parabel bilden würde; man hätte also Näherungsweise V- 2s V ts»8 « — - od — " 217 ' .... (1005) A V? V da die Höhe 6V und — die dem höchsten Punkte 0 ent- sprechende Abszisse sein würde, wenn sich der Körper im luftleeren Raume bewegte. In den Gleichungen (1003) und (1004) hat man V08 ödere—zu setzen. Sieht man nun hierin den Winkel y, als konstant an, indem man dafür als mittleren Werth den Winkel D/rX-« substituirt, also in Gl. (1003) 8--1 —w_— V-rW-t-V- ev8« " 217 VV8« « —1 /31/417^ V- 217 und in Gl. (1004) II. . . ( 1006 ) 21 322 j. 210 Krummlinige Bewegung eines geworfenen Gl. V ei« . . . . (1009) Wenn in der letzteren dieser beiden Gleichungen das untere Zeichen — genommen wird; so gelten dieselben als Näherungsformeln auch für den absteigenden Theil VL der Wurflinie, da der Winkel VLX unter den gemachten Voraussetzungen sehr nahe — VXD —« ist. Im übrigen kann man den Werth des Winkels VL^, wie aus Nachstehendem hervorgehen wird, noch etwas genauer bestimmen, was besonders dann anzurathen sein würde, wenn der tiefste zu bestimmende Punkt L im absteigenden Schenkel der Kurve hoher oder tiefer liegt, als die durch X gezogene Horizontale XX. Behandelt man nun Gl. (1008) wie Gl. (981), und Gl. (1009) wie die ähnliche Gleichung des ersten Falles in §. 209, indem man die Größe L für irgend einen Zeitraum t immer als konstant ansieht und demnach für Gl. (1008) M^-rr) 2ev8« und für Gl. (1009) (V-l-v) 28IN« setzt, ferner die Beziehungen ^ —rr und ^ —r> berücksichtigt; so ergeben sich für den ansteigenden Theil XI) der Wurflinie die Gleichungen Wo08« / 1 . . . . ( 1010 ) Gl. (INI3) Körpers in der Lust. 323 eos < . . . ( 1011 ) s ^ ai; ^ ^ ^ VVsitt« sre,gnAv^/-5^-^ >v SINK/ . . . . ( 1012 ) V« -I- 1 ^ >v 8M « 8IN « 8IN« . . . (1013) Aus diesen Gleichungen erhält man die Größen u, v, 2 -, r, welche Ein und demselben Zeitmomente entsprechen; die Kenntniß der zusammengehörigen Koordinaten a? und - Ein und desselben Punktes ssl der Wurflinie führt aber zu der Konstruktion dieser Linie selbst. Man könnte die Gleichung der fraglichen Kurve unmittelbar herstellen, wenn man die beiden Werthe von r aus den Gleichungen (1010) und (1012) einander gleich setzte und dann für er den aus Gl. (1011) sich ergebenden Werth in a? und für v den aus Gl. (1013) sich ergebenden Werth in r substituirte. Setzt man in Gl. (1013) v —o; so ergibt der entsprechende Werth von - die Höhe Ov, bis zu welcher sich der Körper über den Horizont erhebt. Aus Gl. (1012) erhält man für v —o die Zeit t, während welcher der Punkt I) erreicht wird. Dieser Werth von t, in Gl. (1010) substituirt, läßt die Geschwindigkeit rr erkennen, welche im Punkte v in horizontaler Richtung stattfindet. Setzt man den letzteren Werth von rr in Gl. (1011); so ergibt sich die horizontale Abszisse ^,0 des höchsten Punktes I) der Wurflinie. Bezeichnen wir den solchergestalt aus Gl. (1010) gefundenen Werth für die im höchsten Punkte v der Wurflinie herrschende Geschwindigkeit mit (I,; so reduzirt sich die Bestimmung des absteigenden Theiles VL der Wurflinie auf die Bestimmung der Kurve, welche derselbe Körper beschreiben würde, wenn er mit einer horizontalen Anfangsgeschwindigkeit -I), fortgestoßen würde. Rechnen wir demnach vom Punkte v aus die horizontalen 324 i. 210. Wnrfiinie in dcr Lust. Gl. (1010) pers betrachtet werden soll, resp. mit VL6 mit «, sodaß man Abszissen wie vorhin, in der Richtung VX,, die vertikalen Ordinate» r aber in der Richtung VL, von oben nach unten. Bezeichnen wir ferner die Koordinaten L6 und v 0 des tiefsten Punktes L, bis zu welchem die Bewegung des Kör- X und L und den Winkel ^ —tNNFK hat. Setzt man alsdann in Gl. (1008) § L--1 und in Gl. (1009) L ---1 ö-(D, u) 2v08tt ^ § 281»« v. indem man gleichzeitig in der letzteren Gleichung das untere Zeichen — gelten läßt; so erhält man, da fetzt auch wieder ^ —w und ^ —„ ist, aus der ersteren, nne vorhin, t — Wov8« / 1 XV V 08 « .... (1014) .... (1015) und aus der letzteren, wie im zweiten Falle des §s 209 für V-o, XV8IH« aL 1o§ ( ) .... ( 1016 ) Gl. (1018) j. 211. Wurslinie einer Scheibe. 325 ( VVsin« 1 ) . . (1017) Diese vier Gleichungen bestimmen den absteigenden Theil OK der Wurflinie in ähnlicher Weise, wie die vier Gleichungen (1010) bis (1013) den aufsteigenden Theil ^v. .Würde der Körper mit der horizontalen Anfangsgeschwindigkeit O, im leeren Raume geworfen; so bildete die Kurve vk eine Parabel, deren Gleichung wäre. Nimmt man nun zur Näherungsweisen Bestimmung des in den letzteren Gleichungen vorkommenden Winkels VL6 —« an, der Punkt L liege in der eben gedachten Parabel; so würde man, wenn VO—L und OK —X gesetzt wird, haben. §. 211. Bewegung einer in der Luft geworfenen dünnen ebenen Scheibe. In den vorstehenden Paragraphen haben wir die Bewegung eines schweren Körpers betrachtet, welcher seiner Form zufolge die Eigenschaft besaß, daß die Gesammtwirkung des widerstehenden Mittels gegen die Oberfläche dieses Körpers sich in eine Resultante zusammensetzte, welche nicht bloß zu allen Zeiten durch den Schwerpunkt des Körpers ging, sondern auch stets nach direkt entgegengesetzter Seite der Bewegung des Körpers gerichtet war. Im Nachfolgenden wollen wir einen Körper von solcher Form voraussetzen, daß die Resultante der Widerstände des umgebenden Mediums zwar ebenfalls stets durch dessen Schwerpunkt geht, aber nicht mit der Richtung der Bewegung dieses Körpers zusammenfällt. Der einfachste hierher gehörige Fall, auf welchen die Unter« 326 j. 2ll. Wurfliliie einer Scheibe. Gi. (IOIS, suchung auch beschränkt bleiben soll, ist der, wo der bewegte Körper in einer dünnen ebenen Scheibe besteht, welche nach einer beliebigen Richtung (M hin geworfen wird und dabei gleichzeitig der Einwirkung der Schwere und dem Widerstände der umgebenden Luft ausgesetzt ist. Der letztere Widerstand bildet alsdann immer eine Kraft tz, welche in normaler Richtung Y6 gegen die Vorderfläche der Scheibe gerichtet ist. Ihr Ausdruck ist nach Gl. (730) und §. 206 ^ 28INW . 28,'nw 1-s-8IN^P 2A 1-s-8lN^P 2y worin die Größe der Fläche y, den Neigungswinkel der Richtung der Bewegung gegen die Ebene H.K zu irgend einer Zeit, o die Geschwindigkeit der Scheibe zu derselben Zeit in der Richtung ro' das Gewicht der Volumeinheit der äußeren Luft nach §. 206, den Koeffizienten aus Gl. (973) und y den Widerstandskoeffizienten 1,254 nach 8. 169 darstellt. Setzt man der Kürze wegen so wird der vorstehende Ausdruck 2 8>'n P cr-- 1 -s- 8in^ P a(1 . . (1019) Gl. (1021) t. 211. Wurfllnie einer Scheibe. 327 Außerdem wirkt auf die gegebene Scheibe die Schwere mit der Intensität des Gewichtes dieser Scheibe in vertikaler Richtung >V6 abwärts. Um die Bewegung dieser Scheibe zu bestimmen, sei dieKoor- dinatenebene der diejenige Vertikalebene, welche zugleich durch die Normale 6tz der Ebene ^8 geht, und es werde der Einfachheit wegen angenommen, die Richtung 614 der anfänglichen Geschwindigkeit der Scheibe liege ebenfalls in dieser Vertikalebene. Die Normale 6X sei die Are der und die Durchschnittslinie 62 der eben gedachten Vertikalebene mit der Ebene der Scheibe ^8 sei die Are der r. Da die auf die Scheibe wirkenden Kräfte XV und tz zu jeder Zeit durch den Schwerpunkt 6 derselben gehen; so folgt, daß keine Umdrehungsbewegung der Scheibe um ihren Schwerpunkt stattfinden kann, daß mithin diese Scheibe zu allen Zeiten ihrer ursprünglichen Lage parallel bleiben wird. Bezeichnet demnach den konstanten Neigungswinkel ^68 der Vertikalen gegen die Scheibenfläche, «, V die Komponenten der Geschwindigkeit o der Scheibe resp. in parallelen Richtungen zu 6X und 62 am Ende irgend einer Zeit t, 6, V die anfänglichen Werthe dieser Komponenten für t—o, wofür auch o — 6 sei, y>i den anfänglichen Werth 8614 des Winkels -8in^«)' L —1-s (17-s-».), 28111« und eine Integration der Gleichungen (1022) und (1023) ergibt aus der ersteren /av -s-i vv 8IN^ W8IN)> VV8IN^ W8in)> ^ IV 8 M^ . ( 1027 ) (1026) m. (iaso) i. 211. Wurflinic einer Scheibe. 32S und aus der letzteren (v—V) AC 08 >- (1028) . . . (1029) In den letzten beiden Gleichungen gelten die oberen Zeichen —, solange die Scheibe in paralleler Richtung zur Linie 6L sich erhebt, ctlso bis zum Punkte 0, und die unteren Zeichen -s-, sobald die Scheibe vom Punkte v an in Beziehung zur Linie OL herabsinkt, wobei dann gleichzeitig die positiven - in einer der früheren direkt entgegengesetzten Richtung VL, gemessen werden müssen. Aus Gl. (1026) ergeben sich ähnliche Konsequenzen, wie aus Gl. (997). Wenn so wird « stets wachsen, aber nie den Werth überschreiten. Wenn dagegen VV sin^-. so wird u stets abnehmen, aber nie unter jenen Werth hcrabsinken. Demnach bleibt w und ebenso ^ stets positiv, und die Scheibe dringt in normaler Richtung 6X zu ihrer Ebene immer weiter vor. Aus den Gleichungen (1028) und (1029) kann man entnehmen, daß wenn V in Beziehung zur Linie 6L nach oben gerichtet ist, was geschieht, sobald spitz ist, die Scheibe mit abnehmender Geschwindigkeit parallel zu OL sich erheben wird, bis v —o ist. Solches geschieht in der Zeit V A 008 ^ und bei der Höhe §. 2ll. Wurflinie einer Scheibe. Gl. (1032) 330 2 A« 08 ^ . . ( 1031 ) Substrtuirt man den vorstehenden Werth von r in Gl. (1026); so ergibt eine Auflösung derselben für » den Werth der Geschwindigkeit rr—D,, mit welcher sich die Scheibe im Punkte v bloß in normaler Richtung VX, zu ihrer Ebene fortbewegt. Der eben genannte Werth von rr—17, in Gl. (1027) gesetzt, ergibt endlich die Abszisse X—6L für den Punkt v. Man bemerkt, daß behuf Ausführung der vorstehenden Rechnungen die Größen /'und k, welche von dem Winkel « abhängig sind, gegeben sein müßten. Kennte man die Lage des Punktes v durch dessen Koordinaten X und 2; so würde der Winkel 1162 —6VL als mittlerer Werth für « angenommen werden können, und man fände alsdann den Werth von « aus der Beziehung X 2 2^Xvo8^ . . . (1032) Leider ist der Werth von X a xriori nicht genau zu ermitteln, und man wird daher, um für X einen angenäherten Werth zu erhalten, mittelst welches die vorstehende Gleichung für « aufgelöst werden kann, vorläufig in den Gleichungen (1026) und (1027), sowie in den Ausdrücken (1024) und (1025) statt des Winkels « den Werth L OX—P, für den Anfangspunkt der Bewegung einführen müssen, um alsdann durch das vorhin angegebene Rechnungsverfahren zu einem Näherungswerthe von X für Gl. (1032) zu gelangen. Der hierdurch erhaltene Werth von « bestimmt alsdann die Größen / und L und somit die Gleichungen (1026) und (1027) genauer. Wenn die Komponente V der anfänglichen Geschwindigkeit nach unten gerichtet ist, oder auch wenn dieselbe gleich null ist, wie Letzteres bei der Bewegung der Scheibe vom Punkte I) aus sich ereignet; so gilt in den beiden Gleichungen (1028) und (1029) das untere Zeichen -j-, die Ordinate« - werden in der Richtung V2 von oben nach unten gerechnet, und man erkennt, daß die Geschwindigkeit « in dieser Richtung unaufhörlich wächst und jede Gränze überschreitet, während die Geschwindigkeit » in normaler Richtung zur Scheibe dem vorhin angedeuteten Gesetze Gl. (1033) 21 l. Wurflliiie einer Scheibe. 331 gehorcht und sich unablässig dem Gränzwerthe nähert. Was für einen solchen Fall oder für den absteigenden Theil vk der Wurslinie die Bestimmung eines mittleren Werthes « für den Winkel P betrifft, unter welchem sich die Richtung der Bewegung gegen die Ebene der Scheibe neigt; so sei 0L —L die Tiefe in paralleler Richtung zur Are V2,, bis zu welcher die Wurflinie beobachtet werden soll, während Lk —X die Abszisse des tiefsten Punktes k' sei. Beachtet man fetzt, daß die Kurve vk sich immer mehr dem Parallelismus mit der Are V2, zu nähern strebt, daß also für einen Punkt k, welcher sehr tief unter v läge, y> nahezu—«sein würde; so kann man, wenn der ursprüngliche Werth von y> im Punkte v mit bezeichnet wird, zuvörderst in den Gleichungen (1026) und (1027) « —^ einführen. Nach Gl. (1029) würde man für den tiefsten Punkt k v — cos ^ haben. Dieser Werth von v, in Gl. (1028) gesetzt, ergibt die Zeit t, während welcher der Punkt k erreicht wird. Substituirt man den letzteren Werth von t in Gl. (1026); so findet sich der zugehörige von rr, und dieser liefert bei seiner Einführung in Gl. (1027) die Abszisse --X-Lk. Betrachtet man hierauf den Winkel kvL, als einen für die Praxis genügenden Näherungswerth für den Winkel «; so hat man tsnA« —.... (1033) Nachdem diese Gleichung für « aufgelös't ist, können die Formeln (1026) und (1027) durch Berichtigung der Ausdrücke für und L mittelst des neuen Werthes von « korrigirt werden. Aus den Formeln dieses Paragraphs erkennt man, daß sich die in der Richtung 6X geworfene Scheibe sehr wol über das horizontale Niveau des Ausgangspunktes 0 erheben kann, selbst wenn die Linie 6X eine Neigung nach unten besitzt. Es kommt 332 §. 21 l. Wurflinie einer Scheibe. hierbei nur darauf an, daß die anfängliche Wurfgeschwindigkeit stark genug sei. Nachdem die Scheibe bei v in Beziehung zur Are 62 ihren höchsten Punkt erreicht hat, sinkt sie in einer Kurve vk herab, deren Richtung immer mehr der Are 26 parallel zu werden strebt. Obwol sich die tieferen Punkte 6, k dieses Schenkels immer weiter von der Are 20 oder V2, entfernen; so leuchtet doch ein, daß der Abstand 66 des Punktes 6, welcher mit 6 in derselben Horizontalebene liegt, von diesem letzteren Punkte kleiner sein kann, als der Abstand des höchsten Punktes der Kurve von der durch 6 gelegten Vertikalen 6k, sodaß die Scheibe ge- wifsermaaßen gegen ihren Ausgangspunkt O zurückzufallen scheint« Ja bei genügsamer Verlängerung der Kurve vk wird man sogar Punkte erhalten, welche links von der durch 6 gezogenen Vertikalen liegen. Setzt man in den Gleichungen (1026) bis (1029), indem man in den letzten beiden das untere Zeichen nimmt, 6 —o und V—o; so erhält man die Gleichungen für den Fall, wo die Scheibe XL, aus dem Zustande der Ruhe heraustretend, in der Lust herabfällt. Es wird dadurch eine Kurve Ok dargestellt, welche ganz auf der linken Seite der durch 6 gezogenen Vertikalen 6 k liegt. Wenn die aus der Vorderfläche der Scheibe errichtete Normale 6X nach oben ansteigt, und nicht, wie in den früheren Figuren, eine Neigung nach unten besitzt; so erhält man leicht statt der Gleichungen (1022) und (1023) die folgenden Gl. (IV3S) 'i. 2tI. Wurflinie einer Scheibe. ^ ^ -l-VVsin?-- o, A ttL VV eiv , - -^ 7 - "b vv L08V — 0, s at - (1035) ( 1034 ) welche sich bloß darin von den früheren unterscheiden, daß sin^ das entgegengesetzte Zeichen erhalten hat. In der letzteren Gleichung gilt das obere Zeichen -I-, solange die Scheibe in Bezie« hung zur Are 62 ansteigt, oder solange die Richtung 61V der Bewegung mit 62 einen spitzen Winkel 261V-^y> einschließt; dagegen gilt das untere Zeichen — für denjenigen Theil der Wurflinie, in welchem die Scheibe in Beziehung zu derselben Are 62 herabsinkt, wobei stets die dem Punkte X zugekehrte Seite der Scheibe die vordere sein muß, welche den Widerstand der Luft empfängt. In dem letzteren Falle sind dann auch die positiven Ordinate« r in der Richtung 26 zu rechnen. Die Integrale der vorstehenden Gleichungen, welche die Wurflinie 6vk darstellen und hinsichtlich der Näherungsweisen Bestimmung des Winkels « in den Ausdrücken und L ähnlich zu behandeln sind, wie die Integrale (1026) bis (1029), sind ASM)' . . . . (1036) 2A/ak VV sin^ (v—V) (1038) §008^ (V--V-) (1039) * ^ 2 A 008 ?' Aus Gl. (1036) geht hervor, daß die Komponente u der Geschwindigkeit e in normaler Richtung zur Scheibe am Ende einer gewissen Zeit durchaus gleich null werden muß. In diesem Momente wird die Tangente der Wurflinie, wie bei v, der Are 62 parallel sein. 334 i. 211. Wurflinie einer Scheibe. Ist nun gleichzeitig /.D6N<90«, sodaß in den Gleichungen (1038) und (1039) das obere Zeichen — gilt; so wird auch v am Ende einer gewissen Zeit gleich null werden. Wo Solches sich ereignet, muß die Wurflinie der Are on parallel sein. Würde nun eher rr —o, als « —o; so würde die Scheibe offenbar die Linie OVLk in der obigen Figur beschreiben, welche von 0 bis v durch die vorstehenden Gleichungen, von v an aber, weil alsdann die entgegengesetzte Seite den Widerstand der Luft empfängt, durch die Gleichungen (1026) bis (1029) dargestellt wird. Hätte man dagegen eher « —o, als —o; so würde die Scheibe die Linie OLVD in der nebenstehenden Figur beschreiben, welche von 6 bis L durch die Gleichungen (1036), (1037) die Gleichungen (1038) oberen Zeichen, von L bis v durch die Gleichungen (1036), (1037) und die Gleichungen (1038) und (1039) mit dem unteren Zeichen, von v bis k jedoch durch die Gleichungen (1026) bis (1029) dargestellt wird. Wenn der Winkel DON stumpf ist, sodaß in den Gleichungen (1038) und (1039) das untere Zeichen gilt; so kann r, nicht gleich null werden, sondern wächst unaufhörlich, während gleichwol rr bei v gleich null wird. Die Wurflinie bildet demnach eine Kurve von der Form OVI?, bei welcher jedoch der Theil vk durch die Gleichungen (1026) bis (1029) dargestellt wird. i. 212. Vertikale Bewegung eines sehr leichten Körpers. 333 §. 212. Vertikale Bewegung eines leichten kugelförmigen Körpers unter Berücksichtigung des Auftriebes der Flüssigkeit. Aus dem ersten Abschnitte, in welchem die Prinzipien der Hydrostatik vorgetragen sind, (§. 22 und 43), ist bekannt, daß sich die Pressungen einer schweren Flüssigkeit gegen einen von derselben umschlossenen Körper zu einer vertikalen von unten nach oben wirkenden Kraft zusammensetzen, deren Stärke gleich dem Gewichte der von dem Körper verdrängten Flüssigkeitsmenge ist. Diese Kraft nennt man den Auftrieb der Flüssigkeit. Es leuchtet ein, daß wenn man bei der Betrachtung der Bewegung eines Körpers in einer Flüssigkeit streng verfahren will, man den Austrieb der Flüssigkeit mit in Rechnung bringen muß. Ist jedoch das spezifische Gewicht des Körpers in Beziehung zu dem der Flüssigkeit sehr groß; so wird der Austrieb der Letzteren nur einen unbedeutenden Einfluß auf die Bewegung des Körpers äußern, und man wird denselben, wie Dies in den früheren Paragraphen geschehen ist, vernachlässigen dürfen. Im Nachfolgenden wollen wir jedoch einen spezifisch leichten Körper voraussetzen, gegen dessen Gewicht der Austrieb der Flüssigkeit nicht vernachlässigt werden darf. Außerdem ist in 8.206 darauf aufmerksam gemacht, daß sich bei der Bewegung eines Körpers in einer Flüssigkeit stets eine gewisse Quantität der Letzteren an den Ersteren hänge und bei dessen Bewegung mit fortgerissen werde. Auch diese Erscheinung, welche bei einem spezifisch sehr schweren Körper von gringem Belange ist, äußert einen merklichen Einfluß bei sehr leichten Körpern. Außer den in 8. 207 ff. angenommenen Bezeichnungen sei noch L das Volum des vertikal bewegten und als kugelförmig angenommenen Körpers. Da das Gewicht der Volumeinheit der Flüssigkeit — ist; so hat man für den vertikal aufwärts wirkenden Auftrieb der Flüssigkeit gegen den Körper den Werth w'L. Außerdem hängt sich an den kugelförmigen Körper eine Quantität der Flüssigkeit, deren Volum nach §. 206 etwa -0,6 k, deren Gewicht also — 0,6«>'L ist. Der Auftrieb der umgebenden Flüssigkeit gegen dieses an den Körper sich hängende Fluidum 338 r. 212. Vertikale Bewegung eines sehr leichten Körpers. ist dessen eigenem Gewichte gleich, also — 0,6«>'k. Es folgt auch, daß das Gewicht der ganzen fortbewegten Masse, welches aus dem Körper und der mit fortgerissenen Flüssigkeit besteht, — VV-l-0,6«,'L ist, und daß man daher für diese Masse selbst XVZ-0,6«,'L den Ausdruck Die auf den Körper stetig einwirkende Kraft k ist hier die Resultante aus den Gewichten des Körpers und der sich anhängenden Flüssigkeit, sowie aus dem Auftriebe der umgebenden Flüssigkeit gegen diese beiden Massen; es ist also k-s-0,6 «,'L - L—0,6«,'L—>V—«>'L. Betrachten wir nun zuvörderst den Fall, wo der Körper mit der anfänglichen Geschwindigkeit V vertikal aufwärts geworfen wird. Unter der Voraussetzung, daß das Gewicht VV des Körpers größer sei, als der gegen denselben wirkende Auftrieb «,'L der umgebenden Flüssigkeit, daß also k — VV — w'L eine positive Größe darstelle, welche einer der Bewegung des Körpers direkt entgegenwirkenden Kraft entspricht, hat man die Gleichungen (979) und (980) in Anwendung zu bringen, indem man darin VV-s-0,6«,'L für VV, ferner VV-ro'X für l> substituirt, und in dem Doppelzeichen ^ das untere Zeichen -s- nimmt. Dies ergibt VV-s-0,6«,'«. S 'a(1-f-/rv)v-Z-VV—w'L ' Vsi-s-0,6ro'K _ vckv _ § ' a(1->-/!«) Behandelt man fetzt den Faktor ebenso, wie Dies in den §§. 208, 209 ff. geschehen ist, indem man demselben^ für eine beliebige Zeitdauer r den bei der Integration als konstant anzusehenden mittleren Werth L---1Z-§-(V-l-v) gibt; so kommt, ähnlich wie in 8. 209, Gl. (1043) r. 212. Vertikale Bewegung eines sehr leichten Körpers. 337 VVZ-0,6w'L §(VV — rv' X) - kli-<;tAii8v>V--^>-(1040) V vv—w'K/ (arvtanZV^^ ^ VV -s- 0,6 2-aI VV—ro'L aLV^-s-VV-rv'k «I!v^ -j- VV — ro'X Aus diesen Gleichungen folgt, daß der Körper in einer gewissen Zeit 1?, welche den Werth VV-s-0,6«>'k A(VV — w'L) VV-ro'L hat, zur Ruhe kommt, indem derselbe in diesem Augenblicke bis zu einer vertikalen Höhe VV VV—«,'k angestiegen sein wird. Zn den beiden letzteren Gleichungen (1042) und (1043) hat die Größe I)' den Werth 1 -s- V. Untersuchen wir nunmehr den zweiten Fall, wo der Körper vertikal abwärts geworfen wird, indem wir gleichfalls voraussetzen, daß VV>-«>'L, also? —VV—«,'k. positiv sei; so hat man offenbar in den beiden Gleichungen (979) und (980) für VV und k dieselben Substitutionen vorzunehmen, wie im Vorstehenden geschehen ist: da jedoch setzt die Kraft ? in direkter Richtung der Bewegung des Körpers wirkt; so ist von dem Doppelzeichen Isi jener Gleichungen das obere Zeichen — beizubehalten. Hiernach erhält man VV-s-0,6«,'L »(lZ-/3v)r)2 — (VV —ro'L) * . VV-i-0,6«-'L ^-? — a(1-s-/)v)r>2—(VV—«,'X) Eine Integration dieser Gleichungen, wie sie an ähnlichen Gleichungen in 8.209 bereits ausgeführt ist, liefert die Resultate II. 22 338 j. 212. Vertikale Bewegung eines sehr leichten Körpers. Gl. (1048) VV-si0,6w'K vv —w'X ? Vv^x-'/ .(1044) XVZ-0,6w'K , «KV-—(VV—ro'L) XV-s-0,6r«'L , «KV--(VV —ro'L) 2 -erk ^«L«r-(XV-M'L) Aus diesen Gleichungen erkennt man leicht, daß sich die Geschwindigkeit r> des Körpers, welches auch die Anfangsgeschwindigkeit V gewesen sein möge, immer mehr und mehr einem Gränz- werthe nähert, welcher durch XV —-o'k dargestellt ist. Wofern der zuletzt betrachtete Körper bei seiner vertikal abwärts gerichteten Bewegung aus dem Zustande der Ruhe allmäh- lig in Bewegung übergegangen wäre, würde man in den Gleichungen (1044) und (1045) nur V —« zu setzen haben, wodurch sich dieselben auf VV-s-0,6«,'L 2 A (XV — rv' lit) vv — rv'L XV-s-0,6«,'L. ^ 2y(VV-«,'L) -- ,XVZ-0,6^L X-__ -2y(VV-«,'L) -> ^ ) . (1048) 2 reduziren, indem man darin L — hat. Im Vorstehenden ist ausdrücklich angenommen, daß das Gewicht XV des Körpers größer sei, als der Auftrieb «,'L des umgebenden Mediums, und nur unter dieser Bedingung entsprechen die entwickelten Formeln der Bewegung des Körpers in den näher bezeichneten Umständen. Wäre dagegen der Körper so Gl, (I04S) ' r. 212. Vertikale Bewegung eines sehr leichten Körpers. 339 leicht, daß der Austrieb w'X das Gewicht VV jenes Körpers überschritte; so würde der absolute Werth der auf den Körper stetig wirkenden Kraft 1- ^ w'L - sein, und die Richtung'dieser Kraft würde in die direkte Richtung der Bewegung fallen, sobald der Körper vertikal aufwärts stiege, und in die direkt entgegengesetzte Richtung jener Bewegung, sobald der Körper vertikal abwärts fiele. Hiernach würde die Bewegung des vertikal aufwärts steigenden Körpers durch die Gleichungen (1044), (1045) und (1046) dargestellt werden, sobald man darin rv'L—Wan die Stelle von VV—w'L setzte. Wäre für diesen Fall die Anfangsgeschwindigkeit V gleich null; so würden die Gleichungen (1047) und (1048) gelten, sobald man ebenfalls w'L —VV für VV —w'L substituirte. Man erkennt, daß alsdann der Körper aus dem Zustande der Ruhe mit einer beschleunigten Geschwindigkeit aufwärts steigen wird, indem sich derselbe der Gränzgeschwindigkeit ....(1049) ins Unendliche nähert. Ein solcher Fall würde z. B. der aufsteigenden Bewegung einer Gasblase in einer unpreßbaren Flüssigkeit entsprechen, wenn man mit w' das Gewicht der Volumeinheit dieser unpreßbaren Flüssigkeit bezeichnete, und die Größe U konstant — 1 setzte (vergl. §. 206). Auch die aufsteigende Bewegung eines Ballons in der Luft würde durch die letzteren Gleichungen dargestellt werden, sobald man hierbei von dem Umstände abstrahirte, daß die Lust in den höheren Regionen dünner wird, also, streng genommen, auf bedeutende Höhen die Größe w' nicht als eine Konstante angesehen werden dürste. Für einen vertikal abwärts geworfenen leichten Körper der vorstehenden Art würden dagegen die Gleichungen (1040) und (1041) das Gesetz der Bewegung ausdrücken, sobald man darin «,'L—4V für 4V —«,'L einführt. Ein solcher Körper wird mit verzögerter Geschwindigkeit abwärts sinken und am 340 r. 213. Vertikale Bewegung unter Berücksichtigung Ende der durch Gl. (1042) dargestellten Zelt 1 in einer durch Gl. (1043) gegebenen Tiefe 8 zur Ruhe komme», um sich alsdann vermöge des überwiegenden Auftriebes der umgebenden Flüssigkeit nach den Gleichungen (1047) und (1048) wieder aufwärts zu bewegen. 8. 213. Vertikale Bewegung eines Körpers in der atmosphärischen Luft unter Berücksichtigung der veränderlichen Dichtigkeit der Letzteren. Wenn ein in der atmosphärischen Luft sich bewegender Körper sehr bedeutende vertikale Höhen durchläuft; so ist es erforderlich, auf die Variationen Rücksicht zu nehmen, welche die Dichtigkeit der Luft in den verschiedenen Abständen von der Oberfläche der Erde erleidet. Wir setzen voraus, die Temperatur und hygroskopische Beschaffenheit der Luft sei in allen Punkten dieselbe; außerdem sei die atmosphärische Flüssigkeit vollkommen elastisch, sodaß die Gleichungen des 8s 43 darauf Anwendung finden. Wenn wir im Nachstehenden die Untersuchung auf die vertikal aufwärts gerichtete Bewegung eines sehr leichten kugelförmigen Körpers beschränken, welcher anfangs in Ruhe war und durch den überwiegenden Auftrieb der Luft emporgehoben wird, wie Dies bei einem Ballon stattfindet; so sei das Gewicht der Volumeinheit der Luft im Anfangspunkte der Bewegung, p' der daselbst herrschende atmosphärische Druck auf die Flächeneinheit, ro das Gewicht der Volumeinheit der Luft in der Höhe § über dem Anfangspunkte, welche der Ballon in der Zeit t erreicht, p der daselbst herrschende atmosphärische Druck, L der konstante Koeffizient aus Gl. (972), mit Hülfe dessen man p —L«, hat. Nach Gl. (206) hat man, da hier die vertikalen Höhen § von dem Punkte aus gemessen werden, für welchen und »v —ist, Gl. (IOSI) der verändersiche» Dichtigkeit der Lust. 341 worin 6 die Basis des natürliche» Logarithniensystemes darstellt. Setzt man hierin —L«, und // —Lw'; so erhält man . . . . (1050) Am Ende einer beliebigen Zeit t wirkt auf den im Steigen begriffenen Ballon außer dem Widerstände der Lust noch der Austrieb wX derselben vertikal aufwärts und das Gewicht des Ballons vertikal abwärts. Man hat also in der Gl. (980) k> —wX—zu setzen. Außerdem hat man statt >V in jener Gleichung die Summe >V-s-0,6wX zu substituiren, indem man das Gewicht 0,6wX der Lustmasse mit berücksichtigt, welche sich bei der Bewegung des Ballons an denselben hängt. Auch ist von dem Doppelzeichen ^ nur das obere — beizubehalten, solange der Ballon im Aufsteigen begriffen ist, und demnach die Kraft ? —wX—in direkter Richtung der Bewegung des Körpers wirkt. Endlich darf man nicht unbeachtet lassen, daß der Ausdruck für den Widerstand () der Lust, nach Gl. (977) in dem Faktor welcher bei kugelförmigen Körpern —0,512^^ ist, die veränderliche Große «, enthält. Setzen wir demnach 0,512^- — «, mithin « — «rv; vernachlässigen wir ferner in der Größe L —1-s-/Zv das Glied Ov, welches bei den mäßigen Geschwindigkeiten eines Ballons sehr klein ausfallen.wird, gegen die Einheit, indem wir (Z —av? — annehmen; so ergibt die Gl. (980) — — VV-s-0,6«,X s _vckv —roX-s-V^ . . (1051) Ehe wir zur weiteren Behandelung dieser Gleichung schreiten, bemerken wir noch, daß sich der Ballon mit beschleunigter Geschwindigkeit vom Boden erheben wird, solange die Resultante der von unten nach oben auf ihn wirkenden Kräfte, nämlich 342 t- 2l3. Vertikale Bewegung unter Berücksichtigung Gl. llOS2l wK—VV —positiv ist. Befände sich der Ballon gleich von vorn herein in einer Höhe über dem Erdboden, für welche roL, — >V —o oder wäre; so würde derselbe kein Bestreben zur Bewegung haben, und in Ruhe bleiben. Diese letztere Höhe wird gefunden, wenn man in Gl. (1050) setzt, und dieselbe für « auflös't. Man erhält hierdurch ....(1052) Da jedoch der Ballon diese Höhe erst im Laufe seiner Bewegung, also mit einer gewissen Geschwindigkeit erreicht; so wird bei der Durchschreitung dieser Höhe nicht bloß die Kraft roX— — o, sondern auch noch der Widerstand der Luft von oben nach unten auf ihn einwirken, und derselbe wird daher schon mit abnehmender Geschwindigkeit die obige Höhe « passircn, indem das Marimum seiner Geschwindigkeit unterhalb der Höhe « liegt. Gleichwol erhellet, daß der Ballon jene Höhe bis zu einem gewissen Punkte überschreiten, heirauf zurücksinken und alsdann fortwährend in immer enger werdenden Exkursionen um die gedachte Höhe oszilliren wird. Wir wollen die aufsteigende Bewegung des Ballons nur bis zu dem eben besprochenen Höhenpunkte betrachten. Setzen wir dabei voraus, daß die Geschwindigkeit v des Ballons zu allen Zeiten nur mäßig sei; so wird der Widerstand «rvv^ der Luft gegen das Gewicht der von dem Ballon verdrängten Luft gering sein. Da außerdem die Geschwindigkeit v sehr bald einen mittleren Werth anzunehmen strebt, und alsdann bei fortschreitender Bewegung des Ballons nur wenig variirt; so wird man in der Größe «rvv- — rvL —(««^ — k)rv des Nenners auf der rechten Seite von Gl. (1051) bei der späteren Integration ohne merklichen Fehler, besonders wenn man die Bewegung des Ballons in den größeren Höhen betrachtet, das Glied als Konstante behandeln können, indem man demselben denjenigen Werth gibt, welchen dasselbe im Endpunkte der Zeit t besitzt. (In den Gl. (I05-i> der veränderlichen Dichtigkeit der Luft. 343 unteren Stadien der Bewegung würde man mit größerer Annä- 1 herung für «v? den mittleren Werth einführen können.) Hierdurch wird Gl. (1051) nach gehöriger Reduktion A s(er^ — K)ro -f" cks — vekv. Da nach der Beziehung (1050) rv also wenn man § als Funktion von «, ansieht, , , ekro as— — L — «o ist; so ergibt eine Substitution dieses Werthes von in die vorhergehende Gleichung , yL's(av^—X)ro-j-VV) ckro . . (1053) Um diese Gleichung zwischen den korrespondirenden Gränzen o und r, für v, sowie und «, für zu integriren, kann man dieselbe zuvörderst in die Form bringen. Zerlegt man hierauf die gebrochene Funktion unter dem Integralzeichen auf der rechten Seite in die Glieder 0^6L «? 0,6L . ^ ' und führt alsdann die Integration aus; so ergibt sich nach gehöriger Reduktion 1,6L-«v-,^ 0,6«>'L-f-W 0,6L o§ o,6«,L-f-W 344 214. Modifikation der Bewegung eines Körpers Gl. IL, welche wir mit e bezeichnen wollen, eine vertikale Komponente — v in der Achtung -Vk und eine horizontale Komponente — k7, — u in der Richtung besitzt. Nehmen wir jetzt an, der Widerstand der bewegten Luft auf den in der Richtung AliV bewegten Körper äußere sich ebenso, wie der Widerstand der ruhenden Luft gegen denselben in der Richtung KIL mit der Geschwindigkeit o bewegten Körper sich äußern würde; so hat man für den gedachten Widerstand tz in der Richtung den Ausdruck cr—«8^, 346 j. 214. Modifikation der Bewegung eines Körpers Ei. (I058> worin L —ist. Die vertikale Komponente dieses Wider« standes ist, wenn man —y> setzt, — «Leasings oder akcv, da man csingo-v hat, und die horizontale Komponente desselben Widerstandes ist «LcoosP — »Lo((7, —u), da man ovosgp^II,—u hat. Will man die Bewegung des Körpers nur auf eine solche Länge betrachten, wo sich die Richtung seiner Bahn noch nicht erheblich von der vertikalen Richtung entfernt; so kann man in den vorstehenden beiden Komponenten des Widerstandes tz für o die Größe » setzen, sodaß man für die vertikale Komponente von (j den Ausdruck und für die horizontale Komponente den Ausdruck aLv(I7,—rr) erhält. Hierdurch ergeben sich vermittelst des d'Alembertschen Prinzipes folgende beide Gleichungen -(1055) — ^-s-aLr)((7,-_(1056) S ckt In der ersteren Gleichung ist das obere Zeichen -s- zu nehmen, wenn der Körper vertikal aufwärts geworfen wird, und das untere Zeichen —, wenn der Körper abwärts fällt, wie in der obigen Figur. Wenn der Körper mit der Anfangsgeschwindigkeit V vertikal aufwärts geworfen wird; so ergibt eine Auflösung der Gl. (1055) ein ähnliches Resultat, wie bereits durch Gl. (1012) und (1013 dargestellt ist. Man hat nämlich t —LrotWZr)^/^) .... (1057) s V »k ^ w Vv ^ worin k — 1 (V -s- v) zu nehmen ist, und die vertikale Ordinate - von unten nach oben gerechnet wird. Gl. (lOKI) in einem bewegten Medium. 347 Fällt der Körper mit der Anfangsgeschwindigkeit null vertikal herab; so ergibt eine Auflößsung der Gl. (1055) ein ähnliches Resultat, wie die Gleichungen (1016) und (1017), indem man hat 2^ V (1059) (1060) worin 6 —i ist, und die vertikale Ordinate - von oben nach unten gerechnet wird. Zur Bestimmung der horizontalen Komponente rr der Geschwindigkeit o des Körpers am Ende der Zeit t hat man für den Einen oder anderen der beiden eben betrachteten Fälle, wenn man aus den Gleichungen (1055) und (1056) die Größe ckt eliminirt, Hieraus folgt durch Integration, wenn für t —o, u — 17 und r> — V war, mithin I),—17 17.—r- und hieraus / V --^1 v- -1-1 u —17 (1061) 348 i. 214. Modifikation der Bewegung eines Körpers Gl. (1066) Bei der aufwärts gerichteten Bewegung des Körpers, für welche Gl. (1057) und (1058) gilt, würde man, wenn 17—o wäre, «--17, -D, M V-4-I .... (1062) vv -j- 1 haben. In dem Augenblicke, wo dieser Körper seine größte Höhe erreicht, wo man also v—« hat, würde seine horizontale Geschwindigkeit u--17,-17, ^/^v-Z-1 -(1063) sein. Dies geschieht nach Gl. (1058) in der Höhe VV , /ak (1064) 2ttAk Bewegte sich der Körper abwärts, indem die vertikale Komponente seiner Anfangsgeschwindigkeit gleich null, die horizontale Komponente derselben aber —17 wäre, ein Zustand, für welchen auch die Gleichungen (1059) und (1060) gelten; so würde man nach Gl. (1061) 17,—I) «^17, haben. «14 „ . (1065) Sollte diese absteigende Bewegung des Körpers diejenige sein, welche derselbe annehmen würde, wenn er zuvor vertikal emporgeschleudert wäre und die durch Gl. (1064) dargestellte Höhe erreicht hätte; so müßte man in die vorstehende Gl. (1065) statt 17 den Werth von « aus Gl.(1063) substituiren, wodurch man u--17,-17, erhielte. ^ ....(1066) 1 vv' Gl. (1067) in einem bewegten Medium. 34S Ginge jedoch der Körper aus dem Zustande der vollkommenen Ruhe in die abwärts gerichtete Bewegung über; so hätte man I) — o und demnach rr .... (1067) In den Gleichungen (1061) bis (1067) ist die Komponente u als eine Funktion der Komponente r gegeben. Vermittelst der Gl. (1057) oder (1059) kann man also auch die Zeit t berechnen, für welche gleichzeitig die horizontale Komponente u stattfindet. Lös't man die eben genannten beiden Gleichungen für v auf; so findet man auch v als Funktion von k, und wenn man diesen Werth von v in Gl. (1061) ff. substituirt; so kommt auch » als Funktion von t. Um die horizontale Abszisse r zu bestimmen, welche den Abstand des Körpers von der durch den Nullpunkt gelegten Vertikalen am Ende der Zeit k mißt; so hat man wegen der Beziehung rr — oder rka? —rrekt r ckt, eine Gleichung, auf welche die in 8. 185 mitgetheile Näherungsformel (799) angewandt werden kann, da man nach dem Vorstehenden ,'m Stande ist, für beliebige Werthe von k den Werth der horizontalen Seitengeschwindigkeit u zu ermitteln. 330 Anhang. 8. 215. Werthe einiger wichtigen Zahlen und Größen, sowie Zusammenstellung der Maaßen und Gewichte verschiedener Länder. I. Tabelle einiger in den Rechnungen häufig vorkommender Zahlen. Zahlwcrth GemeiilerLogarithmui X'. 1,4142136 0,1505150 1 1/2 . 0,7071068 0,8494850—1 7r . 3,1415927 0,4971498727 IoK.nsl.7r . 1,1447299 0,0587030 I 0,3183099 0,5028501273-1 7l2. 9,8696044 0,9942997454 1 0,1013212 0,0057002546-1 ^/-r. 1,7724538 0,2485749363 1 Gärige des Bogens von 1 ", besten Halbmesser — 1 ist, Länge des Bogens von 1', 0,5641896 0,7514250637—1 0,017453293 0,2418774-2 dessen Halbmesser — 1 ist, Lange des Bogens von I", 0,000290888 0,4637261-4 dessen Halbmesser — I ist, Anzahl der Grade eines Bogens, dessen Länge gleich 0,000004848 0,6855748—6 dem Halbmesser 1 ist, Basis e der natürlichen Lo- 57,295780 1,7581226 garithmen. Ic>2- vuls. er — los?, vuls. e 2,7182818 0,4342945 X IvK. nst. er — .... 0,4342V45 lox. nst. er -- IvK. nst. 10. IvK. nst. er — lox. nst. 10 2,3025851 0,3622157 X IvK. vulK, er — ... . S für Berlin unter 52" 3G 16" nördlicher Breite in 2,3025851 > 0 K. vul§. er rheinländischen Fußen . . 31,2649 1,4950568 5,59150 0,7475284 7,90758 0,8980434 1 A 0,0319848 0,5049432-2 1 1/s . 0,178843 0,2524716-1 ^1 1/2S. S? . 0,126461 0,1019566-1 977,493 2,9901136 1 0,00102303 0,0098864—3 II. Ausdehnung des Wassers, des Quecksilbers und der Luft bei verschiedenen Temperaturen. Wisse». — Das Wasser besitzt seine größte Dichtigkeit bei einer mittleren Temperatur von 4«6 —3,2«k. (Hall- ström, Despretz.) 1 Volum von 4" 6. wird zu 1,00010825 Volumen von 0« (Hallström.) 1 Volmn von 4«0. wird zu 1,00152Volumen von 18,75«0. — 15°R. (Despretz.) 1 Volum von 4» 6. wird zu 1,04315 Volumen von 100« 0. — 80«ki. (Despretz.) 1 Volum von 0« wird zu 0,99989176 Volumen von 4« 6. (Hallström.) 1 Volum von 0» wird zu 1,00141160Volumen von 18,75«6. — 15«R. (Hallström, Despretz.) 1 Volum von 0» wird zu 1,04303709 Volumen von 100« 6. — 80"k. (Hallström, Despretz.) Quecksilber. — 1 Volum von 0« wird zu (10,00018018018.0 Volumen von t« 6. (Dulong und Petit.) 1 Volum von 0« wird zu (1-j-0,000225225.0 Volumen von t« k. (Dulong und Petit.) 1 Volum von 0« wird zu 1,018018018 Volumen von 100° 6. — 80«Ii. (Dulong und Petit.) Luft. — Bei einem Barometerstände von 0,76 Meter oder 2,421511 Fuß rheinl. 1 Volum von 0« wird zu (1-s-0,003665.0 Volumen von k° 0. (Magnus, Regnault.) 1 Volum von 0« wird zu (1-ss 0,00458125.0 Volumen von t« k. (Magnus, Regnault.) 1 Volum von 0° wird zu 1,3665 Volumen von 100« 6. — 80«k. (Magnus, Regnault.) Wenn das spezifische Gewicht des Wassers im luftleeren Raume bei 0« gleich 1 gesetzt wird; so ist das spezifische Gewicht des Quecksilbers im luftleeren Raume und bei 0« gleich 13,598207, (Biot.) das spezifische Gewicht der Luft unter einem Barometerstände von 0,76 Meter oder 2,421511 Fuß rheinl. unv bei 0» gleich 0,0012991719. (Biot.) Nach den vorstehenden Beobachtungen ist die folgende Tabelle berechnet worden. ov 2 V 00 o r>- ZssD so ^ D rs D uo or v- O c^> >74 ^ ^ ov cv ov sr sr sr <74 or or o o o ^o 04 l 74 so o s o or D -v- cs co ^ sr ^o ov s^r cv or eo M ov V V V ^ ^ V so O ^kr ov co DO-^ss-Vt-t-oo 04 ^ O sr ^ or ^rs so so so ov D d» D s s r^ r>- cv ov ^o iO> v- «74 S) SO SO so t- 353 III. Ltergleichnng der Maaßen und Gewichte verschiedener Länder, nebst Angabe der Werthe für die Fallgeschwindigkeit A am Ende der ersten Sekunde, welche der geographischen Lage der Hauptstädte dieser Länder entspricht. Bei der Berechnung der nachstehenden Tabellen sind folgende Data zu Grunde gelegt. Frankreich. — Zufolge einer gesetzlichen Bestimmung soll die Länge des französischen Meters den lOOOOOOOten Theil des Erdquadranten für den Meridian von Paris betragen, dessen Länge auf 30784438,8 Pariser Fuß des älteren Maaßes nach der Toise äu ?«rou festgestellt ist, sodaß also 1 Meter --- 3,07844388 Pariser Fuß oder — 443,29591872 Pariser Linien ist. Ein Gramme soll das Gewicht eines Kubikdezi- meters reinen Wassers im Zustande seiner größten Dichtigkeit (etwa bei 4" 0. —3,2" k.) und im luftleeren Raume sein, sodaß also 1 Kilogramme den lOOOsten Theil von dem Gewichte eines Kubikmeters Wasser ausmacht. 1 altes Pariser Pfund hält 489,50585 Gramme. Preuße«. — 1 preußischer oder rheinländischer Fuß soll genau — 139,13 Pariser Linien sein. 1 preußisches oder kölnisches Pfund soll das Gewicht des 66sten Theiles eines Kubikfußcs Wasser bei 15" k. oder 18,75" 6. im luftleeren Raume sein. Demnach ist 1 preußisches Pfund —0,467711012733 Kilogramme. Schweiz. — 1 neuer schweizerischer Fuß soll — 0,3 Meter und 1 neues schweizerisches Pfund —0,5 Kilogramme sein. Braunschweig. — 1 Fuß soll —126,5 Pariser Linien und das Pfund soll dem preußischen oder kölnischen gleich sein. Hessen-Darmstadt. — 1 Fuß soll — 0,25 Meter und 1 Pfund -- 0,5 Kilogramme sein. Sachsen. — Nach einer bevorstehenden neuen Maaß- und Gewichtsordnung soll 1 Fuß --0,3 Meter und 1 Pfund — 0,5 Kilogramme werden. H. 23 354 Hannover. — 1 Fuß soll 11^ Duodezimalzoll des englischen Fußes halten, und das Pfund soll dem preußischen gleich sein. Baden. — 1 Fuß soll — 0,3 Meter und 1 Pfund — 0,5 Kilogramme sein. Hessen-Kassel. — 1 Fuß soll 11 Duodezimal des preußischen Fußes halten, und das Pfund soll gleich dem preußischen Pfunde sein. England. — Die Jard von 3 Fußen soll — 405,3425 Pariser Linien, also 1 Fuß —135,114166667 Pariser Linien sein. 1 Pfund Vvoirlluxois - Gewicht hält 453,5976 Gramme. Baiern. — 1 Fuß soll — 129,38 Pariser Linien und 1 Pfund — 0,56 Kilogramme sein. Rußland. — 1 Fuß soll dem englischen gleich sein. 1 Pfund soll das Gewicht von 25,018935 Kubikzoll Wasser bei 13 ^o ü. —16§"6. im luftleeren Raume sein, sodaß also 1 russisches Pfund — 409,496 Gramme oder — 0,875532 preußische Pfund ist. Württemberg. — 1 Fuß soll —127 Pariser Linien sein. Das Pfund soll dem alten kölnischen Pfunde gleich sein und hält demnach 467,728 Gramme. Österreich. — 102764 Wiener Fuß sollen — 100000 Pariser Fuß sein, sodaß 1 Wiener Fuß 140,12689 Pariser Linien hält. 1 Pfund soll — 560,012 Gramme sein. Die Werthe der Fallgeschwindigkeit A am Ende der ersten Sekunde für die Örter Berlin, London, Paris und Petersburg sind nach folgenden beobachteten Pendellängen berechnet worden: für Berlin .... 994,2239 Millimeter (Nessel) - London.... 994,1234 - (Kater) - Paris..... 993,8606 - (Sabine, Kater) » Petersburg . 994,9100 - (Lütke). Für die übrigen weiter unten folgenden Örter sind die entsprechenden Fallgeschwindigkeiten nach Pendellängen berechnet, welche zuvor durch Interpolation aus der in Gehlers Physikalischem Wörterbuche, Band VII, S. 380 und auch inSchubarths Physikalischen Tabellen S. 32 mitgetheilten Tabelle gewonnen sind. M2^^220^S2vV2V^Lc^^- cv ^2 cs 20i»-^2V2v«)d-Sr2V'*'' 2V^ -^-> w o 2v V-. ^ >V rs ^ rs s^«^rs^s^c«^s2 cc> ss 20 s ^ <2> o ' sr-^s-^-orszrses sr «V u!) >^l74^^r^.^rrs'7<2ü'4S 2v -^r ^ w rs 2v rs «V sr cn »n ^r or ^ o^r ^ <74 2V 2V 2V 07> c^o-^r-^-''7<-ü° « «> ! Z ' .8 L- II y Uߧ ^ Z L S U, L X ^ § S V 4 ^ >b L «s §X S ^ 8 ^ 0 tts Q M t-SS D t-es d» ^ »s ^ ^ ^2 es es es es es es ^ sr 22 es s sr 22 2 ^ N D 02 ss sr 22 s ss ss 22 cs es sr es^es^sr es u2 es s es ^ D ^ sr T TT'^^s^or^esiT-^^res'S' s 5 ^ es es es es es es es es es es es sr es es es 8 §BZ§Z§ 22 ZZ es es es es es es es es es es es SS es es es ^ ^ 8 ^ ^ ^ or W »s es es es ss 2v ^ s ss ss 8 § Z Z § ^ es Z sr es es sr r-^^s es ^ ^ Ls eZ 8 ^ sr ^ ss sr es sr ^sSu 2 ^^ 2 u 2 ^^« ^ ^ es es ^ sr es es O es är sr ^ ^ w SS cv 2 V ^ ^ ^2 ^ M^^wsrcvsr-^-Ds» es 2 veses^es§r ^^^2 cvM-^ov^Lvs-^ooes r^^r>»r^^-^,sLVsrsr sss-^—SS 0 SS.D 022 SS es s sr s ss es 2 8 8 § « « S ^ - »S ^2 es es »s oo ss sr sr es es 22 t— ^ sr ^ sr ss u2 es ^ ss es ^ SS 22 essr-^esesesr^-^^es »S-ssres 2 v ^ 22 ^-^-^vssr^es^ essr^ses^esssr^ses »et«ss»s^^^sssrr^-es s.s^sr s SS »s es sr sr es U 2 ^ 22 Ä 8 SS es^s s ss 'S* ZL E> » » 8 » » » » <-» 8 > -?'S 8 L r: -- K 6 Q v o; ?- « ! rk 8 — L« Z 8 Ü-Z Z^Z L ^ --L Z-tzSL^ L ^ ^ »2 O M . 2 S rs. 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L ' d «2 ^L> ^ T rr^-» S ^ - SI ^ 8 Z« §8 3S8 IV» Verfahren behuf Reduktion einer Formel, welche für Maaßeinheiten des Landes X aufgestellt ist, in eine Formel, welche alsdann in entsprechender Weise für die Maaßeinheiten eines anderen Landes V gültig wird. In der Formel k (er, b, c, . . .) — G (ck, 6, /, . . .) .... (1068) seien a, b, o, . . ., ck, e, /, . . . die veränderlichen Größen, von denen ausdrücklich bestimmt ist, daß sie durch die Maaßeinheiten eines gewissen Landes X gemessen werden sollen, k und G stellen beliebige Funktionen dar, in welchen neben den genannten veränderlichen Größen noch andere als konstant anzusehende Zahlen vorkommen, deren Werthe in der Regel von dem Maaßspsteme des Landes X abhängen. Es kommt darauf an, die vorstehende Gleichung dergestalt umzuformen, oder unter Beibehaltung ihrer allgemeinen Gestalt die darin vorkommenden konstanten Zahlen dergestalt zu bestimmen, daß die Größen «, b, c, . . ., ck, e, /",... nunmehr nach den Maaßeinheiten eines anderen Landes V gemessen werden können. Ist nun von dem Maaße der Größe a 1 Einheit des Landes V — er Einheiten des Landes X, -St - - - -ei - - r : - i - - . -—F -ei - - - - - /I - - - - U. s. W. und ergibt eine Messung der Größen K, b, o, . . . ck, 6, /", . . . durch Einheiten des Landes V die Werthe a', b', e', . . . ck', /"...; so hat man Einheiten des Landes V — ««' oder a Einheiten des Landes X b' o' ck' e' Z' - —/1b' oder b « — oder o - — öck' oder ck , oder e - -- y,/' oder Z 1 > u. s. w. Substituirt man demnach in der obigen Gleichung die Größen ««', OL', es', y,/'', ... für a, ö, o, . . ., ck, e, so ergibt sich die neue Formel r (««', /lö', 70 ', . . .) — kk', cp/', . . .), .... (1069) welche nunmehr für die Maaßen des Landes V gültig ist, sodaß die Größen 0 ', . . ., ck', e', nach den Maaßeinheiten des letzteren Landes gemessen werden müssen. Eine gehörige Verschmelzung der Koeffizienten «, /S, S, e, .. . mit den übrigen Konstanten der fraglichen Formel läßt die Veränderungen erkennen, welche diese Konstanten durch die beabsichtigte Reduktion erleiden. Nach Gl. (636) und (627) hat man z. B. für Preußisches Maaß 0.00371 „2 , 0,000691 „ ^ r'K S V ^ v worin die Größen V, wie auch die Größe §, nach preußischen Fußen, und LL nach preußischen Quadratfußen zu messen ist, während das Gefalle r durch eine absolute Zahl dargestellt wird. Wollte man diese Formel so verwandeln, daß V, P, A nach braunschweigischen Fußen und LZ nach braunschweigischen Qua- dratfußcn gemessen würde; so hätte man 1 braunschweigischen Fuß —« — 0,909222 preußische Fuß, 1 braunschw. Quadratfuß — «^ — 826684 preuß. Quadratfuß. Demnach wegen Gl. (1069) 0,00371 ^ 7,2 , 0,000691 «.§' ^ «.§>' «^ oder nach gehöriger Vereinfachung 0,00371 ,„2 , 0,000691,,.^ r'Q' S' ^ KA' V d. i., weil « — 0,909222 ist, 0,0037 1 ^,2 , 0,000760 S' ^ ^ ^ , 36 « worin jetzt die Größen V, V, 42' nach braunschweigischen Maaßen zu messen sind, und worin auch, wenn die Versuche nach dieser Formel in Braunschweig selbst angestellt werden sollten, für die Fallgeschwindigkeit am Ende der ersten Sekunde derjenige Werth zu substituiren sein würde, welcher der geographischen Lage von Braunschweig entspricht. Wenn die Formel, auf welche man das vorstehende Reduktionsverfahren anwenden will, nicht allgemein gefaßt ist, sondern den Werth einer gewissen Größe nur für einen speziellen, genau bestimmten Fall angibt, wenn dieselbe z. B. das Gewicht Eines preußischen Kubikfußes von irgend einer Substanz darstellte; so würde man dafür Sorge tragen müssen, die gegebene Formel zuvörderst in ihre allgemeine Gestalt zu bringen, in welcher dieselbe das Gewicht eines beliebigen Volums der fraglichen Substanz ausdrückte. Denn sonst würde die reduzirte Formel immer nur das Gewicht desselben preußischen Kubikfußes, ausgedrückt in Gewichtseinheiten eines andern, z. B. des braunschweigischen Landes darstellen, manwürdeaber nicht dasGewicht eines braunschweigischen Kubikfußes in braunschweigischen Gewichtseinheiten erhalten. Das Letztere kann nur in der eben bezeichneten Weise geleistet werden, indem man die ursprüngliche Formel zuerst verallgemeinert und in eine solche Form bringt, in welcher dieselbe nicht bloß das Gewicht eines preußischen Kubikfußes, sondern einer jeden beliebigen Menge, mithin auch eines braunschweigischen Kubikfußes der fraglichen Substanz darzustellen fähig ist. Wie sich z. B. aus den Gleichungen des §s 42 leicht ergibt, ist das Gewicht eines preußischen Kubikfußes atmosphärischer Luft von der Temperatur t» 0. und bei einem Barometerstände von L Fuß, wenn das Gewicht eines Kubikfußes Quecksilber von 0 Grad in preußischen Pfunden mit VV bezeichnet wird, VVL 25343,5(1 -s- 0,00366 t) oder da VV —898,748 Pfund ist, 0,0354627 (^o,00366t) Bezeichnet man jetzt das Gewicht irgend einer Menge von » Kubikfußen derartiger Luft mit «>; so hat man »61 Will man diese Formel für braunschweigische Maaße und Gewichte umformen, auch die Temperatur t nach Graden der Reaumürschen Skale messen; so hat man 1 braunschweiger Fuß —« — 0,909222 preußische Fuß, 1 - Kubikfuß ---«»— 0,751639 preußische Kubikfuß, 1 - Pfund — B —1 preußisches Pfund, 1 Grad Reaumür — ^ —j Grad Celsius. Dies ergibt nach Anleitung der Formel (1069) für den gegenwärtigen Fall oder nach gehöriger Vereinfachung . 0,0354627 ^ -^0,00366 .7 t')'" ' d. i., wenn man für «, und)-die obigenZahlenwerthe einführt, — 0,0242354 ^ ^0,00458 t') ' worin fetzt die Großen L', a', w' in braunschweigischen Maaßen und t' nach Graden der Neaumürschen Skale zu messen sind. Für a' — 1 ergibt diese Formel als Gewicht Eines braunschw. Kubik- fußeö Luft von t'o k. und bei einem Barometerstände von L' braunschw. Fußen den Werth 0,0242354 o i si ^ o0458t') braunschw. Pfund. Das vorstehende Reduktionsverfahren, nach welchem die Formel (1069) aus der Formel (1068) hervorgeht, gründet sich auf die ausdrückliche Voraussetzung, daß sowol in der zu reduziren- den, wie in der reduzirten Formel die mit denselben Buchstaben a und tt', b und b', c und 0 ' etc. bezeichneten Größen in der Wirklichkeit genau dieselben seien und nur in beiden Formeln durch 382 verschiedene Maaßeinheiten gemessen seien, sodaß also immer die durch « Einheiten des Landes X gemessene Größe identisch ist mit der durch «' Einheiten des Landes V gemessenen Größe, oder daß « Einheiten des Landes X dem wirklichen Werthe nach gleich «' Einheiten des Landes V sind. Der letzteren Bedingung würde aber offenbar kein Genüge geleistet werden, wenn er in Formel (1068) eine andere Größe darstellen sollte, als a' in Formel (1069), wie sich Dies z. B. ereignete, wenn a in preußischen Pfunden das Gewicht eines preußischen Kubikfußes irgend einer Substanz und dagegen a' in braunschweigischen Pfunden das Gewicht des braunschwei« zischen Kubikfußes derselben Substanz zu bezeichnen hätte; denn das Gewicht eines preuß. und eines braunschw. Kubikfußes sind zwei ganz verschiedene Größen, und wenn man nach den obigen Regeln die für preußische Maaße gültige Formel (1068) in die für braunschweigische Maaße gültige Formel (1069) redu- zirt hätte; so würde in der letzteren die Größe a' stets das nach braunschweigischen Pfunden ausgedrückte Gewicht eines preußischen Kubikfußes bedeuten. Hielte man es jedoch für wün- schenswerth, statt a' eine Größe einzuführen, welche in braunschweigischen Pfunden das Gewicht eines braunschweigischen Kubikfußes darstellte; so würde eine Elimination von a' vermittelst der zwischen a' und chMn«ch^krurn<1 chv«. '«-«'L ,'V? ,'m n!'iM MchAtz'^^chlM«*^ »r. tzü-L rim /Hr^clsDrG siL ,«478^ VM tzstzuijiöuL sri!» jchiairG »IdinirKruH v)MW "V/ «Z^G s-6 nM E-Z ^ .4^-n^ nTÜrLs-rirk r»M,drE -ZÄ S7/1 n^Osti^ nsGHtz>7N^nuL7ä m sch^c-: ,N)-j7SR jrßüp^ms -zä r;Wksu2 ssßrk^Z»önL NLiksrKkrmchjünvrÄ SMr jchim 7 s/ 4 orHa «r ritüch ^ zirnchuz u »r. > 4 ffrS« «»? .Ds M -r? "-L ' ^ 'D. s«tz 'r^rW rr/ ': .- .. - . - !) 8 ,S? 87 L r?u!/ d^gu^iöllA n^ch'siMqrMmtnrÄ srn'kD hL-l ?i.n nnltim m,Äni ,ßuF 'A rros zclnvh7xj?-sty7»T mms »4 Oi» .^l ncur ^ ^ ' 14;^ t---'n klNM . M- 8 Nmch!»um 4 ^ c> -> « W v) I— ce < i o w w < »s )>si4»««iiq!S »>0SÄr, r W Litts niolit kssLusnskimsn!