^ : V- ' ,• ' “ ' * ’ r ' -1^. «to-V '.''îï-v',' 'S ' - «lâ- y :W^:0^- V*' \Ù : ; ■ VVy ,, s - ;V '„#<*•• "'’*' '■ •* , '-,-V. •' ' Hi : ;■':r\ ' ' ' / r- m ÉLÉMENS D’ALGÈBRE, PAR LÉONARD EULER, TRADUITS DE L’ALLEMAND, avec des notes et des additions. NOUVELLE ÉDITION, REVUE ET CORRIGÉE. TOME SECOND. ANALYSE INDÉTERMINÉE. A PARIS, CourcIer , Imprimeur-Libraire pour les Mathématiques, quai des Augustins , n° 5y; Maire, Libraire, rue Mercière, à Lyon. SEPT. O ,1 À'O T , U U > ! ' a Tn e.-rr.rv: i V; :.tâàtt o3 vr^ mmiip«Piüi TABLE DES MATIÈRES D . Pa S- E la résolution «les équations du premier degre, ’^ut renferment plus d’une inconnue, * II. De la règle qu’on nomme régula cceci, où il s’agit de déterminer, par deux équations, trois ou un plus grand nombre d inconnues, M —-— III. Des équations indéterminées composées , dans lesquelles l’une des inconnues ne passe pas le premier degTe , 3r —— IV. De la manière de rendre rationnelles les quantités sourdes de la forme \/a «+- bx exx, 38 — V. Des cas où la formule a + bx -1- exx ne peut jamais devenir un carré, < 53 — VI. Des cas en nombres entiers, où la formule axx •+■ b devient un carré , 67 —— VII. D’une méthode particulière, par laquelle la formule a/w-f* 1 devient un carré en nombres entiers, 84 •“— VIII. De la manière de rendre rationnelle la formule irrationnelle \/a-+- bx-\~exx + dx i , *03 — IX. De la manière de rendre rationnelle la formule incommensurable \/a -+* bx + cxx-*- dx^ -*-e.T*, —— X. De la méthode de rendre rationnelle la formule irradon- 3 _ - nelle ^a -f- bx -h cxx~+- dx *, XI. De la résolution de la formule axx -4- bxy + cyy en des facteurs, - *4^ - . XII. De la transformation de la formule axx -4* cyy en des carres et en des puissances plus élevées, 158 ‘—”” XIII. De quelques expressions de la forme aa:*, qui ne sont pas des carrés, 17S XIV. Solutions de quelques questions qui appartiennent à cette partie de l’analyse, 189, —- XV. Solutions de quelques questions où l’on demande des cubes, afo. n5 113 ni s t A B L ft- Auditions , r a 6- § I. Sur les fractions continues, — II. Solutions de quelques problèmes curieux et nouveaux d’Arithmétiquc, —- III. Sur la résolution des équations du premier degré à deux inconnues en nombres entiers, __ IV. Méthode generale pour rc'sondre en nombres entiers les équations h deux inconnues, dont l'une ne passe pas le premier degré, . V* Méthode directe et générale pour résoudre les équations du second degré il deux inconnues, en nombres rationnels, Résolution de l’équation stp' ■+• Bq' =3 a* en nombres entiers, . — . VI. Snr les doubles et triples égalités, - - VII. Méthode directe et générale pour résoudre en nombres entiers les équations du second degré il deux inconnues, Résolution de l’équation Cf 1 — ' in f z ■+• Bz' car 1 en nombres entiers, Première méthode, t Seconde méthode, De la manière de trouver toutes les solutions possibles de l’équation Cf' — mfz~Bz‘ = 1 , lorsqu’on en connaît une seule, De la manière de trouver toutes les solutions possibles en nombres entiers des équations du second degré à deux inconnues, __, VIII. Remarques sur les équations de la forme p’ ~ sfq'-\- r, et sur la manière ordinaire de les résoudre eu nombres entiers, -<■— IX. De la manière de trouver des fonctions algébriques de tous les degrés, qui, étant multipliés ensemble, produisent toujours des fonctions semblables. 28* 384 3a3 3 76 383 388 3qo 4o5 41 o 4i5 418 426 436 4Â> 4^j É L É M E N S D’A L G È B R E. SECONDE PARTIE. ANALYSE INDÉTERMINÉE. CHAPITRE PREMIER. De la résolution des Equations du -premier degré t qui renferment plus d'une inconnue . i- On a vu, dans les Élémens d’Àlgèbre, comment une quantité inconnue se détermine par une seule équation, et comment on peut déterminer deux inconnues au moyen de deux «quations, trois inconnues an moyen de trois équations, et ainsi de suite ; ensorte qu’il faut toujours autant d’équations qu’il Y a d inconnues à déterminer , du moins quand la question elle—meme est déterminée. Lors donc que la question ne fournit pas autant d’équations qu’on est obligé d’admettre d’inconnues, il y en a qui restent A a ÉLÉMEHS indéterminées, et qui dépendent de notre volonté; et cela fait qu’on nomme ces sortes de questions des problèmes indéterminés. Ils font le sujet d’une branche particulière de l’Analyse, et on appelle cette partie l’Analyse indéterminée. a. Comme dans ces cas on peut prendre pour une, ou pour plusieurs inconnues, tels nombres qu’on veut, ils admettent aussi plusieurs solutions. Cependant, comme d’un autre côté on ajoute ordinairement la condition que les nombres cherchés doivent être entiers et même positifs, ou du moins rationnels , le nombre de toutes les solutions possibles de ces questions se trouve fort borné par là ; desorte que souvent il n’y en a que très- peu de possibles ; que d’autres fois il y en a une infinité, mais qui ne se présentent pas à l’esprit facilement ; que quelquefois enfin il n’y en a aucune de possible. On peut donc pressentir que cette partie de l’Analyse demande souvent des artifices tout-à-fait particuliers, et qu’elle sert beaucoup à aiguiser l’esprit des commençans, et à leur donner de l’adresse dans le calcul. 3 . Nous commencerons par une des questions les plus faciles , en cherchant deux nombres dont la somme fasse 10. Il sera superflu d’ajouter que ces nombres doivent être entier» et positifs. Indiquons-les par x et y , ensorte qu’il faut que a:-f-y=io, d’où x=io— y, où y n’est déterminé qu’en tant que cette lettre signifie un nombre entier et positif. On pourrait parconséquent lui substituer tous les nombres entiers depuis 1 jusqu’à l’infini ; mais remarquons que x doit pareillement être un nombre positif, et il suit de là que y ne peut être plus grand que 1 o , puisqu’au- trement x deviendrait négatif, et si on rejette aussi la valeur as —o, on ne peut même faire y plus grand que g. Ainsi ce ne sont que les solutions suivantes qui ont lieu. d’algèbre. 3 / v Si ^ = 1 , 2 , 3, 4, 5, 6 , 7 , 8 , g, on a rctzzg, 8 , 7 , 6 , 5 , 4 > ^, 2 > 1 > Or les quatre dernières de ces neuf solutions étant les mêmes que les quatre premières, il est clair que la question n admet au fond que cinq solutions différentes. Que si l’on demandait trois .nombres dont la somme fût 10 , on n’aurait qu’à partager en deux parties l’un des nombres que nous venons dé trouver, et on obtiendrait de cette manière un plus grand nombre de solutions. 4- Comme nous n’appercevons là aucune difficulté, nous passerons à des questions un peu moins faciles. Question première. Il s’agit de partager a5 en deux parties, dont l’une soit divisible par 2 , et dont l’autre soit divisible par 3. Soit l’une des parties cherchées — ax, et l’autre ~ 5y, il faudra que nx -f- 3y = 25 „ et parconséquent que ax— 25 — 3 y. si r on divise par 2 , on a 25 — 3y x =-; 2 d ou nous concluons en premier lieu que 3 y doit etre moindre que 25, et parconséquent y plus petit que 8 . Qu on tire de c ette valeur de x autant d’entiers qu’il est possible, c est-a— dire qu on divise par le dénominateur 2 , on aura *= 1 d'où il suit que- 1 ~y, ou bien y — 1 , doit être divisible a 4 ÉLÉMENS par 2. Ainsi nous ferons y— 1 = 23 , et nous aurons y = zz+i, desorte que a;=i2 — sz — î — z = 11 — 3 z. Or puisque y ne saurait être plus grand que 8, l’on ne peut non plus prendre pour z des nombres qui rendraient a z + i plus grands que 8. Parconséquent il faut que z soit plus petit que 4 , c’est-à-dire que z ne peut être pris plus grand que 3 , et de là résultent les solutions qui suivent : Si on fait z = 0 Z — ri 2 = 2 a = 3 , on a y- 1 y = 3 y— 7, et X=Z n x = 8 x = 5 x ~ 2. Donc les deux parties de 25 qu’on cherchait, sont : i°. 22 + 3 , 2°. 16 + g , 3 °. io + i 5 , 4 °. 4+21: 5 . Question seconde. Partager îoo en deux parties telle» que l’une soit divisible par 7, et l’autre par 11. Soit donc yx la première partie , et 1 ij/ la seconde , ü faudra que ' jx + iiy = 100; et parconséquent que 100— 1 ny q8 + 2—7y — 4y CC — ” -‘ ~ - - 7 7 ou que ;c==1 4 _y 4 . 3 _zi 4 y ; 7 donc il faut que 2 — 4 y , ou 4y — 2, soit divisible par 7 J Or si l’on peut diviser 4 y — 2 par 7, on pourra aussi diviser d’algèbre: par 7 sa moitié oy — 1 -, qu’on fasse donc a y — 1 —•jz, ou ay = 7Z -f* i > x = 14 —_y — 2 z. 011 aura Mais puisque on aura = 72; -f- 1 = 6z -(- z +• 1 > y — 3z + '» et il faudra faire z -f-1 — 2u, ou z — 2ii — 1; cette supposition donne y = 3 z -f- u, et parconséquent on peut prendre pour u tout nombre entier qui ne rend pas x ou y négatifs. Or comme yzx.’ju — 3 et x = 19 — nu,’ la première de ces formules indique que 7 u doit surpasser 3 ; et suivant la seconde, 1111 doit être moindre que 19 , ou u moindre que -f » ainsi u ne peut pas même être — 2 j et puisqu’il est impossible que ce nombre soit 0 , il faut nécessairement que u = î : c’est la seule valeur que cette lettre puisse avoir. Il résulte de là que a; = 8, ety = 4 , et que les deux parties de 100 qu’on cherchait, sont, 1*. 55 , «t 2°. 44. Question troisième. Partager 100 en deux parties , telle» qu en divisant la première par 5, il reste 2, et qu’en divisant la seconde par 7, il reste 4. Puisque la première partie, divisée par 5 , laisse le résidu 2; »ous supposerons qu’elle soit = 5 x -f- 2, et par une raisoa 3 6 ÉLÉMENs semblable, nous ferons la seconde partie, = jy + 4 - Nous avons parconséquent 5x + 7 y + G = ioo, ou 5x = g4 — 7.y = 9°+4—5y—sy; d’où nous tirons * — t8 —y gy —4 5 ' Il suit de là que 4 — ay , ou o.y — 4 > ou bien la moitié y — 2 , doit Être divisible par 5 . Faisons, par cette considération , y — 2 = 5 z, ou = 5 z 2, nous aurons x = 16 — 7Z ; d’où nous concluons que 7s doit être plus petit que iG , et z plus petit que-yi, c’est-à-dire que z ne peut surpasser 2. La question proposée admet parconséquent trois solutions : i°. z = o donne x = 16 et y = 2, d’où résultent les deux parties de 100 qu’on cherchait, 82 + 18. 2 0 . s = i donne x = g et y = 7, et les deux parties en question sont 47 + 53 . 3 °. z — 2 donne x = 2, etjy = 12 , et on a les deux parties 12 + 88. 7. Question quatrième. Deux paysannes ont ensemble lO'o œufs; l’une dit à l’autre : Quand je compte mes œufs par huitaines, il y a un surplus de 7. La seconde répond : Si je compte les miens par dixaines, je trouve le même surplus de 7. On demande combien chacune avait d’œufs? Comme le nombre des œufs de la première paysanne, divisé par 8 , laisse le résidu 7 , et que le nombre des œufs de la seconde , divisé par 1 o, donne le même résidu 7, on exprimera le premier nombre par 8x + 7, et le second par ioy + 7; de cette façon. 8x + îoy + 14— 100, ou 8x=86 — ioy, du 4x = 43 = 4o + 3 —- 4y —• y- 7 d’algèbre. Parconséquent si l’on fait y — 3 = , desorte que y = 4 Z + 3, on aura x — îo — 4 a — 3 — z = 7 — 5z ; d’où il suit que 5z doit être plus petit que y , et z plus petit que 2, c’est-à-dire qu’on n’aura que les deux solutions suivantes : A x°. z = 0 donne x = y, et y — 3 ) ainsi la première paysanne avait 63 œufs, et la seconde en avait 37. 2 0 . z — 1 donne x - == 2, et y = y, donc la première paysanne avait 23 œufs, et la seconde en avait 77. 8. Question cinquième. Une troupe d’hommes et de femmes a dépensé dans une auberge 1000 sous. Les hommes ont payé 19 sous chacun, et les femmes i 3 . Combien y avait-il d’hommes et de femmes ? ' Soit le nombre des hommes = x , et celui des femmes =y, on aura l’équation 192: -f- i 3 y = 1000. Donc i 3 y = 1000 — îgr = 988 -j- 12 — i 3 x — 6x, (.t c . 12 — 6 x et y — 7 S — x H- jç— > d où il suit que 12 — 6x, ou Sx — 12, ou aussi x — 2, la sixième partie de ce nombre, doit être divisible par i 3 . Qu’on fasse donc on aura x — 2 = i 3 z, x — i 3 z -j-2, d ou y—76 — i 3 z — 2 — 62, ou^y~ 74— îgz* ce qui fait voir que z doit être moindre que -f|, et parcon- 4 . ,8 ELEMENS séquent moindre que 4; desorte que les quatre solutions suivantes peuvent avoir lieu. i°. z —o donne x = 2 et Dans ce cps, il y avait 2 hommes et 74 femmes ; ceux-là ont payé 38 sous, et celles-ci 362 sous. 2 0 . zr=i donne le nombre des hommes x =r 1 5 , et celui des femmes y = 55 ; ceux-là ont dépensé 285 sous, et celles-ci 71 5 sous. 3 °. z = 2 donne le nombre des hommes x — 28, et celui des fefnmes y — 36 ; donc ceux-là ont dépensé 532 sous/ et celles-ci 468 sous. 4 °. zr =3 donne x — 41 et y=. 17; ainsi les hommes ont dépensé 779 sous, et les femmes ont dépensé 221 sous. 9, Question sixième. Un fermier achète à-la-fois des chevaux et des boeufs pour la somme de 1770 écus \ il paye 3 i écus pour chaque cheval, et 21 écus pour chaque bœuf. Combien a-t-il acheté de chevaux et de bœufs ? Soit le nombre des chevaux = x, et celui des bœufs ~y‘, il faudra que Six + niy' = 1770, ou que 2iy= 1770 — Zix— 1764 + 6— 21a:— ioar, c’est-à-dire que y — 84 — x 6 — 10a; 21 Donc il faut qu’on puisse diviser 10a: — 6, et aussi la moitié 5 a: — 3 , par 21. Qu’on suppose donc ©n aura 5 a: — 3 — 2iz, 5 a; = 21s + 3 , X —2z. Or, puisque d’algèbre. s 21Z -f- 3 , , 2+3 x =—T - = ^ + -5-» il faudra faire encore a -f. 3 = 5 « -, ' cette supposition donne Z= 5 u- 3 , X—21U-IZ, et 84 - 2 U 4 -|- 12 -lOU'{-G=: 102 - 3 lI/, et il suit de là queu doit être plus grand que o, et cependant plus petit que 4 , ce q u i fournit les trois solutions qui suivent : i°. u=i donne le nombre des chevaux a: = 9, et celui des bœufs^=71; donc les premiers ont coûté 279 écus, et les derniers 1491 écus; en tout 1770 écus. 2°. u = 2 donne cc=3o etj' = 4°’> ainsi les chevaux ont coûté q 3 o écus, et les bœufs ont coûté 840 écus, ce qui fait ensemble 1770 écus. 3 °. u = 3 donne le nombre des chevaux x = 5 i, et celui des bœufs ceux-là ont coûté 1 58 1 écus, et ceux-ci 189 écus; cela fait ensemble 1770 écus. ro. Les questions que nous avons considérées jusqu à présent , conduisent toutes à une équation de la forme ax-\-by=.c, où a, b et c signifient des nombres entiers et positifs, et ou 1 on demande pour x et y pareillement des nombres entiers positifs. Or si b est négatif, et que l’équation ait la forme ^ ax = by -f- c, on a des questions d’une toute autre espèce, et qui admettent une infinité de solutions : nous allons en traiter aussi, avant que de finir ce chapitre. Les plus simples de ces questions sont de la nature de celle- 13 LtÉMENS ci : on cherche deux nombres dont la différence soit 6. Si l’on fait ici le plus petit nombre = x , et le plus grand =y, il faudra que y — x= 6 , et que y = 6 -f- x. Or rien n’empêche maintenant de substituer au lieu de x tous les nombres entiers possibles, et quelque nombre que l’on adopte, y le surpassera toujours de G. Qu’on fasse, par exemple, æ = ïoo, on aura y = 10G ; il est donc clair qu’une infinité de solutions peuvent avoir lieu. il- Viennent ensuite les questions où c=o, c’est-à-dire ou me doit équivaloir à by. Qu’on cherche, par exemple, un nombre qui soit divisible tant par 5 que par 7; si on écrit N pour ce nombre, on aura d’abord N — 5x, puisqu’il faut pouvoir diviser N par 5 ; ensuite on aura aussi •V = 7jy, pareeque le meme nombre doit être divisible par 7 ; on aura parconséquent 5-c = 7y et x — Or comme 7 ne peut se diviser par 5, il faut que y soit divisible par 5; qu’on fasse donc y ~ t on aura x = jz; desorte que le nombre cherché A r = 35s; et comme on peut prendre pour z un nombre entier quelconque , on voit qu’on peut assigner pour N un nombre infini de valeurs - , telles sont : 35, 70, io5, 140, 175, igo, etc. Si on voulait, outre la condition supposée , que le nombre N fût aussi divisible par 9, on aurait d’abord N 35a, et 011 aurait de plus Nzzzyu. De cette manière, 35 z = et et il est clair qu’il faut que z soit divisible par g. Soit donc z = gf; on aurau==35f, et le nombre cherché jV = 3i5î. \ n d'algèbre. 12. La difficulté est plus grande lorsque c n’est pas o; par exemple, lorsqu’il faut que = jy + ^> equatio, laquelle on parvient en cherchant un nombre N te qu on puisse le diviser par 5, et que si on le divise par 7 on obtienne Je résidu 3; car il faut alors que N = 5x, et aussi que + 5, d’où résulte l’équation 5jc = 7y + 3, et parconséquent _7y + 3 _ 5y + «y +_ 3 _ v 4- *-"‘1 5 j-r 5 Qu’on fasse sy -f- 3 = 5a , on aura x ~y + z ■ or ^ cause 2^ + 3 = 5z, ou de ny = 5z 3 , on a 5z — 3 , z 0 y = —~— ou y^=2s-J-—• Qu’on suppose donc encore z — 3 = 211, on aura z = 211 + 3, _y=5u + G et x=_y + z = 7 U + 9- Donc le nombre cherché 2V=35u+45, où on peut substituer au lieu de u non-seulement tous les nombres entiei s po sitifs, mais aussi des nombres négatifs; car, comme il suffit que TV devienne positif, on peut faire u — 1 > ce ( I U ^ ren N = iq. On obtient les autres valeurs, en ajoutant continuellement 35, c’est-à-dire que les nombres cherchés sont. io, 45, 80, n5, i5o, i85, 220, etc. i3. Les solutions de ces sortes de questions dépendent du. rapport des deux nombres par lesquels il s’agit de diviser ■ c’est-à-dire qu’ elles deviennent plus ou moins kmgues, sui- 13 É L É M E N S Tant la nature de ces diviseurs. La question suivante, par exemple, admet une solution très-courte : On cherche un nombre qui, divisé par 6, laisse le résidu a, et qui, divisé par i 3 , donne 3 de résidu. Soit N ce nombre : il faut i°. , que N— 6x-J~ 2, et a°. que 2 V = i 3 y -J- 3 ; parconséquent 6 x-f-a=i 3 y-j- 3 } 6 or=i 3 y-f-i et x— ~ ~^ =aay Qu’on fasse y -j- î — 6z, on aura _y = 6z — î et x = 27 -J- z = i 3 z — a; d’où il suit que le nombre cherché N — 78 z— 10. Donc la question admet les valeurs suivantes: G 8 , 146; 324, 3 o 2 , 38 o, etc. qui forment une progression arithmétique , dont la différence est 78 = 6.13. Il suffit, parconséquent, de connaître une seule de ces valeurs pour trouver facilement toutes les autres. 1 4 - La question suivante fournit un exemple d’une solution plus longue et plus pénible. Question huitième. Trouver un nombre IV qui, étant divisé par 3 g , donne le résidu 16 , et tel aussi que si on le divise par 56 , on trouve le résidu 27. Il faut en premier lieu que A’ = 3 gp + 16, et en second lieu que N = 56 q -{- 27 ; ainsi «t 3g p -j- 16 = 5 6q -j- 27 , ou 3gp = 56g + 1 1 3 56 g+n , 177+11 f=-V-=’ + -%-=’+ r ' en exprimant par r la fraction 1 7 < 7 -Hi 3 9 Ainsi I d’algèbre. i 3 Sgrssirç+u et 9=^—LL =2r + ^—-=2r+*î de façon que J 7 '7 5 r—ti . ' s =■ ——— , oa ijs — or — 11 , d’où provient \ r = iZl+n_5, + îl+n=3, + l; de manière que d ou l’on tire ou 5 t = 2 r 4 " ll > 5 en faisant 5f— il , , t — il . . s =- — zt-j - — 2t-f-u, t —u . u — - et t — au -f- n. Or n’y ayant maintenant plus de fractions, on peut prendre u a volonté, et on n’aura plus qu’à passer, en rétrogradant> par les déterminations suivantes : f = au + il , s = at -f- u — 5 u as, r = 3 s -f- t ■= 17 u -f~ 77, q = ar + f = 3 g u -f- 176 , p = q -f- r = 5 Su -f- 253 , et enfin A r = 3 g. 5 Gu-f-9883. On trouvera la plus petite valeur possible de N, en faisant u= —4; dans cette supposition on a A r = u47- Q ue 9 * l’on fait u~x — 4> °n trouva N = 2184X — 873S -f-g 883 , ou A r = 2184^ -{- 1147- > Ces nombres forment parconséquent une progression arith- l/l ÉLÉMENS métique, dont le premier terme est n/tf, et dont la différence est 2184 ; en voici quelques termes : 11 47 > 3331, 55i5, 769g, g883, etc. j 5. Ajoutons encore quelques autres questions sur lesquelles on puisse s’exercer. Question neuvième. Une compagnie d’hommes et de femmes se trouvent à un pique-nique; chaque homme dépense s5 Jiv. et chaque femme dépense 16 liv., et il se trouve que toutes les femmes ensemble ont payé 1 liv. de plus que les hommes. Combien y avait-il d’hommes et de femmes? Soit le nombre des femmes =p, celui des hommes — q‘, les femmes auront dépensé 1 Sp , et les hommes 25 q ; ainsi et iSp = a 5 q -J- 1, P s5 9 +i gq-J-i 16 H * r 16 q + r. Nous venons de faire r = .99+ 1 16 ainsi - 16 r—t , 7 r—1 9 s = 3 i + u = 7w -f- 3 , r — i -f t = gu -f- 4, q = r + s = i6w + 7, p = q -}- r = 25 n -f- u ; ainsi le nombre des femmes était a5u + n , et celui des hommes était iGu +7 ; et on peut substituer dans ces formules , au lieu, de u, tels nombres entiers qu’on veut. Les résultats les plus petits sont parconséquent ceux qui suivent : „ , f des femmes : r= 11 ,36 , G1, 8G , ni, etc. om re j hommes : = 7 , 23 , 3g , 55, 71 , etc. Suivant la première solution, ou celle qui renferme les plus petits nombres , les femmes ont dépensé 176 liv. et les hommes 175 livres, c’est-à-dire une livre de moins que les femmes. iG. Question dixième. Quelqu’un achète des chevaux et des hœufs il paye 3 i écus par cheval, et 20 écus pour chaque bœuf, ^ ge trouve que les bœufs lui ont coûté sept ecus de plus que ne ] u i on t co ûté les chevaux : combien cet homme a-t-il acheté de bœufs et de chevaux ? Supposons que p soit le nombre des bœufs et q celui des chevaux, il faudra que et aùp — Ziq + q, i. 31 (7 -J- 7 . llo-)-7 P =- -Z=q -)- - -: or» » ' q -h r > de cette manière nous avons aor^uq-t-y, nor—7 et q=z- -é ~ ? -_L u f = r + s; ainsi ns~gr —7, et r —,-— = s ~}~ us+ 7 2 J -f- 7 c’est-à-dire que 9 t = 2s + 7, et 5 — —4t + moyennant quoi 2u — t — 7, et t=2u-j~j. Parconséquent s = 4t-j-u= gu28, r — s -f- f = nu + 35 , <7 = t -f-5 = 2011 - 1 - 63 , nombre des chevaux p—q + r —Ziu + 98, nombre des bœufs. Donc les plus petites valeurs positives de p et de q se trouvent en faisant u = —3 ; celles qui sont plus grandes se suivent en progression arithmétique de la manière qu’on va voir : Nombre des bœufs, Nombre des chevaux, . p — 5 , 36 , 67, 98, 129, 160, 191, 222, a 53 , etc. I \ | q = 3 , 23 , 43 , 63 , 83 , io 3 , ia 3 , i 43 , i 63 , etc. 1 7. Si on considère comment, dans cet exemple, les lettres p et q se déterminent par les lettres suivantes , on remarquera facilement que cette détermination dépend du rapport des nombres 3 i et 20, et en particulier du rapport qu’on découvre en cherchant le plus grand commun diviseur de ces deux nombres. En effet, si on fait cette opération D’ A L g È b R E. *7 3 l f 20 11 l 1 flO 9 11 2 { 9 î / il est clair que les quotiens qu’on obtient se retrouvent dan* la détermination successive des lettres p, q , r, s, etc., et qu’ils sont liés avec la première lettre à droite, pendant que la dernière reste toujours isolée ; on voit de plus que ce n’est que dans la cinquième et dernière équation que se présente le nombre 7, et qu’il est affecté du signe -f-, parreque le rang de cette équation est impair; car si ce nombre avait été pair, °n aurait trouvé — 7. Ce que nous disons deviendra encore plus clair dans la table suivante, dans laquelle on verra d’abord la décomposition des nombres 3 i et 20, et puis la détermination des lettres p, q , r, etc. 3i = t .20 + 11 20 = 1. x 1 + 9 11=1.9-!- 2 9 = 4 - 2 + 1 2 = 2, 1 -j- o On peut représenter de précédent de l’article i4- p — i.q+r q — 1 ,r -j- s r = 1 .s -f- £ s- — 4-t -j- u t = 2.u -J- 7- la même manière l’exemple a. B i8 É h É M E K S 5 G = i .3 g + 17 39 = 2.17+ 5 17 = 3 . 5 + 2 5 = 2.2+ 1 2 = 2. î + o p=i.q-\-r q — a.r + s r = 3 .s + t s =2 .f + u t = 2.u + 1 j 19. Nous sommes donc en état de résoudre de la même manière toutes les questions de cette espèce. En effet, soit donnée l’équation bp = aq + n, où a, b et «signifient des nombres connus. Il ne s’agira ici que de procéder comme si on cherchait le plus grand commun diviseur des nombres a et b , on pourra aussitôt déterminer p et q par les lettres suivantes, comme on va voir : I a = Ab + c b — Bc + d c = Cd + e d=D,+f e — Ef H - S f — Fg + o On fera seulement attention encore, que dans la dernière équation il faut donner à n le signe + , quand le nombre des équations est impair; et qu’au contraire il faut prendre — n , lorsque ce nombre est pair. Yoilà donc comment on peut résoudre avec assez de promptitude les questions dont nous nous occupons dans ce chapitre : nous en donnerons quelques exemples. 20. Question onzième. On cherche un nombre qui, étant divisé par 11 , donne le résidu 3 , et qui étant divisé par 19, donne le résidu 5. Soit N ce nombre cherché : il faudra d’abord que IV = up + 3 , et en second lieu que n = îgq + 5 . Dons on aura p = Aq + r q = Br + i Dt + u Eu + v i'PP= 1.99 + 2 » d’algèbre. équation qui fournit la table suivante : 19 = 1.11 + 8 n = i. 8 -f- 3 8 = 2. 3 4 * a 3 = i. 2 + 1 2 = 2. 1+0 p= 9-f-r q—r+s r =2/+ t s = t -}- u t = 22 -{- 2 , >9 où l’on peut donner à u telle valeur qu'on veut, et déterminer par là successivement, en rétrogradant, les lettres précédentes. On aura t = 2ir -}■ 2 s = t-f-u= 3 u -f- a r = 2s + s = 8 u 4 6 9= r 4- s = 112 4- 8 P— q + r = 192 + 1 4 ; de là résulte le nombre cherché 2 V= 20911-j- 157; donc le plus petit nombre qui puisse exprimer N, ou satisfaire à la question , est 167. si. Question douzième. Trouver un nombre tel qu’en le divisant par li , il reste 3 , et qu’en le divisant par 19, reste 5 ; et de plus, que si on divise ce nombre par 29 , un obtienne le résidu 10. La dernière condition exige que N = 2qp + 10; et comme °n a déjà fait le calcul pour les deux autres, il faut, en conséquence de ce qu’on a trouvé, que N — 20911 4 l $ 7 ' Ainsi 29P4 10 = 2099 + 1 57 , ou 29p — aogq-f* * 47 » d ou résulte le type qui suit : a0 .9 = 7.29-1-6 2 9 = 4- 6 4. 5 6=1. 54-1 5 = 5 . 1 4 " ° p = 79 +r> q = 4r 4- s, r — s + t, s = 5 t — 147, 2 ao Ë L Ê M E N S Et si ‘nous revenons maintenant sur nos pas, nous aurons s~ 5 t — 147 , r~ s + t= Gt— 147, <7 = 4'' + s — agi— 735 , p^=jq-\- r = 2ogt — 6292. Don» N = G061 1 — i 53458 . Le plus petit nombre se trouve en faisant t — 2G, et cetta supposition donne iV=4 12 8. 22. Une remarque cependant qu’il faut faire , c’est que pour qu’une telle équation bp=aq-j-n soit résoluble, il faut que les deux nombres a et b n’aient d’autre commun diviseur que 1 ; car sans cela la question serait impossible, à moins que le nombre n n’eût le même commun diviseur. Si l’on demandait, par exemple , que SP — l5 <7 + 2 1 comme 9 et 1 5 ont le commun diviseur 3 , lequel n’est pas un diviseur de 2, il est impossible de résoudre la question , parceque 9 p —i 5 q pouvant toujours être divisé par 3 , ne peut en aucun cas devenir = 2. Mais si dans cet exemple n était =3, ou n = G, etc.., la question serait possible : il suffirait de diviser auparant par 3 ; car on aurait 3 p = 5 5 > ^ 5 ‘ 6 ’ 7 ’ S ’ 9 ’ 10 > Nombre des} femmes, J 9 = 20,18,16^4,13,10, 8, 6, 4 , 2, 0, Nombre des 1 enfans, J r ~ 10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20; ®t si on omet la première et la dernière, il en restera neuf. 26. Question seconde. Quelqu’un achète 100 pièces de bétail, des porcs, des chèvres et des moutons, pour 100 écus : les porcs lui coûtent 3 J écus la pièce ; les chèvres, 1 -5 écu , e t les moutons, £ écu : combien y avait-il d’animaux de chaque espèce ? Soit le nombre des porcs ~p, celui des chèvres = 9, celui des moutons =,r, on aura les deux équations suivantes ; 1 ' P 9 + r= 100 , 2 0 . 3 jp-j- 159 + ir = ioo; *t cette dernière étant multipliée par G, afin de chasser les tractions, se transforme en cellç-ci : zip -j- 8 q -f- 3 r= 6 00. 4 a 4 Or la première donne É L É M E N S r= 100 — p — q; et si l’on substitue cette valeur pour r dans la seconde, on a Sp + % = 3oo , , ou 5q — 3oo i8p et q Parconséquent il faut que 18 p soit divisible par 5, et renferme 5 comme facteur. Qu’on fasse donc p~ 5s, on aura q=£ o—i 8 i et r=i3s-\~4°> où l’on peut prendre pour s un nombre entier quelconque pourvu qu’il soit tel que q ne devienne pas négatif. Mais cette condition limite la valeur de s à 3, desorte que si on exclut aussi o, il ne peut y avoir que trois solutions du problème ; ce sont les suivantes : 5 , îo, i5 Lorsque s =s on a p = 5 , îo, i5, q — 4%, 5 * 4 , 16 , r = 53, 66 ', 79 . 27 . Lorsqu’on veut soi-même se proposer de tels exemples, il faut faire attention surtout qu’ils soient posibles ; et pour pouvoir en juger, voici ce qu’il faut observer: Soient les deux équations auxquelles nous parvenions jus-; qu’à présent, représentées par i°. x + y + z = a, 2 0 . fx -(- gy -\-hz~b , où f, g et h , ainsi que a et b , sont des nombres donnés : si nous supposons qu’entre les nombres f, g et h, le premier f soit le plus grand, et h le plus petit; connue à cause de x -f- y -f- z = a, d'ugèbie. nous avons fx ffy+f z ~fa, il est clair que fx+fy+fc est plus grand qu efr+gy + hz', parconséquent il faut que fa soit plus grand que b , ou que b soit plus petit que fa, et puisque de plus hx + hy -\-hz — ha, et que hx -f- hy -f- hz est certainement plus petit que fa ■+• gy -j- hz , il faut aussi que ha soit plus petit que b , ou b plus grand que ha. Il suit donc de là que si b n’est pas plus petit que fa , et en même temps plus grand que ha, la question sera impossible. On exprime cette condition aussi en disant que b doit etre contenu entre les limites fa et ha\ et il ffiut de plus faire attention que ce nombre n’approche pas trop de 1 une ou de l’autre limite, parceque cela ferait qu’on ne pourrait pas déterminer les autres lettres. Dans l’exèmple précédent, où et cependant plus petit que 10; et parconséquent la question admet les solutions suivantes : u = 5, 6, 7. B, | 9> X = 10, 13, 14 , ih, 18 , 0 « i! i5, *0, 5, o, ! z== °> 3, 6 , 9. 1 2, 2q. Il se présente quelquefois des questions qui renferment plus de trois inconnues , mais on les résout de la même manière , comme l’exemple suivant le fera voir. Question quatrième. Quelqu’un achète 100 pièces de be- tail pour 100 écus, savoir, des bœufs à 10 écus la pièce, des vaches à 5 écus, des veaux à 3 écus, et des moutons à i écu la pièce ; combien a-t-il acheté de bœufs, de vaches, de veaux et de moutons? Soient le nombre des bœufs — p » celui des vaclies— q , celui des veaux ~ r , et celui des moutons — s ', la première équation est P 4 " q “f~ r -f" A -- 1 co , et ,a Se conde est !op + 5q ar 4- s* = 100 > 0U , en faisant disparaître les fractions, sep 4- 10g -f 4r 4- ^ — 200; 28 É L É M E N S soustrayant la première équation de celle-ci, il reste d’où l’on tire et 1 9 P + 99 + ^ r = 100 > 3 r=ioo — i 9 p — 9 q, r=33-f~5—G p —— 3 q, ou r= 33 —6p— 5 q 1 —P. 3 ’ donc il faut que î— p ou p —1 soit divisible par 3 . Qu’on fasse p —1=3£ : on aura p = 3 t + i , «7 = ?> r = 27 — îgf — 3q; s = 72 + zq -f- 1G£ -, îl suit de là que iq£ -f- 3 q doit être moindre que 27, et que, pourvu que cette condition s’observe, on peut au reste donner à q et à £ telle valeur qu’on veut ; cela posé, nous aurons à considérer les cas suivans : I. Si £ =0 II. Si £ = 1 on a p = 1 on a p = 4 il -q q - q r = 27 — 3 q to 1 00 II s ■= 72 -J- 2 q. s = 88 -f- zq. On ne peut faire £ = 2, parceque r deviendrait négatif. Dans le premier cas, q ne doit pas surpasser 9, et dans le second cas, ce nombre ne doit pas excéder 2; ainsi ce* deux cas donnent les solutions qui suivent : 2 9 d’algèbre. Le premier donne les dix solutions que voici : 1 1. 11. m. IY. Y. YI. Y II. YIII. IX. X S p 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 0 1 2 3 4 5 G 7 8 9 r 27 2 4 21 18 i 5 12 .9 6 3 0 s 72 74 76 78 80 82 84 86 88 9° Le second cas fournit les trois solutions suivantes : 1. II. III. P 4 4 4 <7 0 1 2 r 8 5 2 s 88 9° 9 2 ^oilà donc en tout treize solutions, et elles se réduisent a dix, si on exclut celles qui renferment un zéro. 3o. La méthode ne laisserait pas d’être la même, si, dans a première équation, les lettres étaient multipliées par des nohibres donnés , comme on le verra par l’exemple suivant : Question cinquième. Trouver trois nombres entiers, tels *P>e si on multiplie le premier par 3, le second par 5 et le troisième par 7 , la somme des produits soit 56o, et que si a multiplie le premier par q. le second par a5 et le troisième par /n 1 , ^ j • . ^ 49 > *a somme des produits soit 2900 . *t le premier nombre = x , le second = v, le troisième aura les deux équations, . 3x-f-5y-|-7 Z== 5g 0 . a » i g T _|. a 5y_f_ ( £,j J5;=3 g a0t 3o ÉLÊMENS Si on soustrait de la seconde la première prise trois fois, oit il reste gx -f- 1 5 y — f— 212 = 1680, toy -f- 282; = 1240 ; divisant par 2 , on a d’où l’on tire 5y + = 620, Ainsi z doit être divisible par 5 ; qu’on fasse donc z = 5 u, on aura y=i 24 — i4u. Ces valeurs étant substituées dans la première équation, on a 3x — 55u -f- 620 = 56o , ou 3x 35« — 60 , et x = • — 20 ; c’est pourquoi l’on fera u=3t, et on aura enfin la solution •suivante, x = 35t— 20 , y =124 — 4 2t > et z~i5t, où on peut substituer au lieu de t un nombre entier quelconque, mais tel cependant que t surpasse zéro, et soit moindre que 3; desorte qu’on se trouve borné en effet aux deux solutions suivantes : r x= t 5 , ^ = 82 , z — i5. l x — 5o, y = 4° , * = 3o. î \ D ' A L * 5 B R E. CHAPITRE III. équations indéterminées composées dans lesquelles l'une des inconnues ne passe pas le premier degré. 3 i. INfocs passerons à présent aux équations indéterminées dans lesquelles se trouvent deux quantités inconnues, et où l’une de ces inconnues est multipliée par l’autre , ou élevée à une puissance plus haute que la première, tandis que l’autre inconnue ne s’y trouve cependant encore qu’au premier degré. H est évident que les équations de cette espèce peuvent se re présenter par l’équation générale qui suit : a -f. bx -f- cy + dxx + exy -j-fx 3 4- gxxy + hx* -f- kx 3 y -f- etc. =: o. Comme dans cette équation y ne passe pas le premier degré, Ce tte lettre se détermine facilement-, mais il faut au reste, comme auparavant, que les valeurs tant de x que de^, soient assignées en nombres entiers. bious allons considérer quelques-uns de ces cas, en commençant par les plus faciles. _ ^ a - Question première. Trouver deux nombres tels qne, si on ajoute leur produit à leur somme, on obtienne 7g. Nommons * et y l es deux nombres cherchés -, il faudra que x y -f x -f -y = 79î 32 ainsi et É L É M E N 3 x y+y = 79 — x > y = 7.9 x x-f- î i + 8o x -f- 1 d’on résulte que a: + 1 doit être un diviseur de 8o. Or 8» ayant beaucoup de diviseurs, on aura aussi plusieurs valeurs de x, comme on va voir : Les diviseurs de 8o sont... . 1 a 4 5 8 LO 16 20 4o 8o donc x = 0 i 3 4 7 .9 i5 '.9 3.9 7.9 7.9 3.9 i.9 i5 9 7 4 3 1 0 Mais comme les dernières solutions sont les mêmes que les premières, on n’a réellement que les cinq solutions suivantes : I. II. III. IV. V. 0 1 3 4 7 79 39 .6 i5 i.9 33. De la même manière qu’on pourra résoudre aussi l’équation générale xy + ax + by = c ; car on aura xy -f- by = c — ax, c -f- a r ab -f- c et y = -J+b' = + c’est-à-dire que x -h b doit être un diviseur du nombre ab -f- c -, desorte que chaque diviseur de ce nombre donna une valeur de x. Qu’on fasse donc eb + c x=fg, 08 d'algèbre. 33 on aura . fz . et supposant x + bx=f, ou x—f—b, il est clair que y = — a + g, ou y—g —a, et parconséquent qu’on aura même deux solutions pour chaque maniéré de représenter le nombre ub -f* c par un produit tel que fg, £) e ces d eux solutions, l’une est x—f—b et yz=g — a, ç t l’autre s’obtient en faisant x+b=g t dans lequel cas x = g — b et y —f — a, Si donc on se proposait l’equation xy + 2 x + 3y = 4 2 > on aurait a ~ 2 , b ==■ 3, et c = 4 2 > parconséquent . 4B y=-*+7T 3 - le nombre 48 peut se représenter de plusieurs manières par deux facteurs , comme fg, et dans chacun de ces cas ou aura toujours, soit «oit aussi 2 . x~f —3 et^=g—2, æ = g — 3 et y =/ — a. C 54 KLÉMINS Voici le développement de cet exemple : I. II. m. IV. V. Facteurs. 1 1 . 48 2 . 24 3 . 16 4 - 12 G 8 X y X y X y X y X y Nombres. -2 46 -1 22 0 1 4 1 10 3 6 OU. 45 -1 21 0 i3 1 9 2 5 4 34 - L’équation peut s’exprimer encore plus généralement , en écrivant mxy = ax -}* by -f- c, où (ijijcetm sont des nombres donnés, et où l’on cherche pour k et y des nombres entiers inconnus. Qu’on dégage d’abord y , on aura _ ax -f- c J mx—b ’ et multipliant par m de part et d’autre, on aura mc~]-ab my max 4- me ;-= a ■ mx — b mx — b ’ On a maintenant une fraction dont le numérateur est un nombre connu, et dont le dénominateur doit être un diviseur de ce nombre ; qu’on représente donc le numérateur par un produit de deux facteurs , comme fg, ce qui peut souvent se faire de plusieurs manières , et qu’on voye si un de ces facteurs peut se comparer avec mx — b , de façon que mx — b ~f Or il faut pour cet effet} puisque x que f-\-b soit D’algèbre. divisible par m • et il suit de là que parmi les facteurs de me -f- uè, on ne peut employer que ceux qui sont te s , qu en y ajoutant b , les sommes soient divisibles par m. Nous a ons éclaircir ceci par un exemple. Soit l’équation cm aura 5 xy = 22 -f- 3 y + 18 , ax 4 - 18 îox -f■ 90 y=jï=3 a!i f=-bï=T a 9 6 . Sx —3 ’ il s’agit parconséquent de trouver ceux des diviseurs de q6 , qui ajoutés à 3 , donnent des sommes divisibles par 5 . Or, si 1 on considère tous les diviseurs de 96, qui sont i, a, 3, 4>b,8, ta, 16, 24, 3 a, 48, 96 , on voit facilement qu’il n’y a que ces trois, 2 , 12, 3 a , qui peuvent servir. 1 i°. 5 x — 3=2, on aura 5 y= 5 o, et par- conséquent x=i, et y =10. a 0 . Sx — 3=12, on aura 5 y=io, et par- • conséquent ,r =1 0 , et y — 2. 3 °. Sx — 3 = 32 , on aura 5 y = 5 , et par- conséquent x — 7 , et y — 1 35 . Comme dans cette solution générale on a my — a me mx — b ‘ il sera à propos d’observer que si un nombre compris darta la formule me + ai, a un diviseur de la forme mx- — b , le quotient dans ce cas doit être nécessairement compris dans la formule my — a , et qu’on peut alors représenter le nombre mc-\-ab par un produit tel que (nur — b ) (my — a). Supposons, par exemple, 711 = 12, a = 5 , 6=7 e * C—i5, on aura lay —5 2l5 12a;-— 7 ’ a 56 ÉLÉMENS or les diviseurs de ai 5 sont 1, 5 , 43 > 21 5 ; il faut choisir parmi ceux-là ceux qui sont compris dans la formule 12X— 7, ou qui sont tels qu’en y ajoutant 7, la somme soit divisible par 12 ; mais il n’y a que 5 qui satisfasse à cette condition ; ainsi isx — 7 = 5 et 12y — 5 — 4 ^ 5 ', et de même que la première de ces équations donne x — 1 , on trouve aussi par l’autre y en nombres entiers, »avoiryr=4- Cette propriété est de la plus grande importance relativement à la nature des nombres, et mérite par là qu’on y fasse une attention particulière. 36 . Considérons maintenant aussi une équation de cette espèce xy -}• xx~ 2X + 3 y 2g. Elle nous donne 2X — XX 4-20 .26 - x ~ —3 ou ~y ~ x 1 ainsi x — 3 doit être un diviseur de 26, et dans ce cas, la division étant faite , le quotient sera —y -j- x -f- 1 ; or les diviseurs de 26 étant 1, 2, i 3 , 26, nous aurons donc les solutions suivantes : i°. x — 3 =i, ou t= 4 î d’où y~f-x-f-i=y-{-5=26, et y=21 ; 2°. x■ — 5 = 2 , ou x= 5 ; ainsi j' 4 -x 4 -i ::: ^y-|- 6 =i 3 , et y— 7 , 3 °. x —3=1 3 , ou =16; ainsi_y-f-x-f- i==y—f-17=2, et y= — 15 . Cette dernière valeur étant négative doit être omise, et par la même raison on ne pourra tenir compte du dernier cas, x —3 = 26. 37. Il ne sera pas nécessaire de développer ici un plus grand nombre de ces formules dans lesquelles on ne rencontre D’ALGÈBRE. S 7 que la première puissance de y et la seconde de x% car ces cas ne se présentent que rarement, et peuvent d ailleurs toujours se résoudre par la méthode que nous avons expliquée. Mais lorsque y aussi est élevé à la seconde puissance, ou à un degré encore plus haut, et qu’on veut en déterminer la valeur par les règles données , on parvient à des radicaux qui comprennent des puissances secondes ou encore plus hautes de x , et il s’agit alors de trouver pour x des valeurs telles qu’elles fassent évanouir les signes radicaux ou l’irrationnalité. Or le plus grand art de l’analyse indéterminée , consiste précisément à rendre rationnelles ces formules sourdes ou incommensurables : c'est ce dont nous nous occuperons dans les chapitres snivans. É L É M E N S CHAPITRE IV. De la manière de rendre rationnelles les quantités sourdes de la forme V^ + bx-f-cxx. 38. JLl est donc question présentement de déterminer les valeurs qu’on peut adopter pour x, afin que la formule u-\-bx-^- cxx devienne effectivement un carré , et parcon- séquent qu’on puisse en assigner une racine rationnelle. Or les lettres a, b et c signifient des nombres donnés; c’est de la rature de ces nombres que dépend principalement la détermination de l’inconnue x, et nous remarquerons d’avance que, dans bien des cas, la solution devient impossible. Mais lor3 même qu’elle est possible, il faut du moins se contenter d’abord de pouvoir assigner pour la lettre x des valeurs rationnelles, sans exiger précisément que ces valeurs soient même des nombres entiers; cette condition entraîne des recherches tout-à-fait particulières. 3q. Nous supposons ici, comme on voit, que la formule ne s’étend qu’aux secondes puissances de x-, les degrés plus élevés exigent des méthodes différentes dont nous parlerons plus bas. Nous remarquerons d’abord que si la seconde puissance même ne s’y trouvait pas, et que c fût =o, la question n’aurait aucune difficulté; car si \/ a-\~bx était la formule proposée, et qu’il fallût déterminer x de manière que a-f-bXi fût un carré, on n’aurait qu’à faire a + bxz=yy h d'algèbre. 3 » et Ion obtiendrait aussitôt x—^-g—j or, quelque nombre que 1 on substituât ici au lieu de y, il en résulterait toujours pour x une valeur telle que a-f-bx serait un carre, et parconséquent V^a-f- bx une quantité rationnelle. 4°' Nous commencerons donc parla formule » s c est-à-dire que nous chercherons pour x des valeurs telles, qu’en ajoutant à leurs carrés l’unité, les sommes soient pareillement des carrés; et comme il est clair que ces valeuis de x ne pourront être des nombres entiers, il faudra se contenter de trouver les nombres fractionnaires qui les expriment. 4 1 - Si on voulait, à cause que 1 + xx doit être un carré, supposer î -f- xx —yy , on aurait xx —yy — i et x—Vy y — > ; ainsi il faudrait, afin de trouver x, chercher pour^y des nombres tels que leurs carrés, diminués de l’unité, donnassent aussi des carrés; et parconséquent on retomberait dans une question aussi difficile que la première, et on n’aurait pas fait un pas en avant. Il est cependant certain qu’il y a réellement des fractions dont la substitution pour xx rend î-f-xvn carré ; on peut 8 en convaincre par les cas suivans : i°. Si x = |, on a t -|- xx = ff , parconséquent , \/ r -f- xx = a 0 . i -j-xx devient pareillement un carré ; si x = f, on trouve y/ i -j-xx= §. 3°. Si on fait x = on obtient î -f*xx ~ Ht > dont la racine carrée est —it. Mais il valeurs de espèce. s’agit de faire voir comment on doit trouver ces x f et même tous les nombres possibles de cette 4 4 ° ÉLÉMEHS 42 - H y a deux méthodes pour cela. La première demande 1|u’on fasse )/1 -f- xx — x -f- p ; on a dans cette supposition 1 •+■ xx = xx + a px + pp, où le carré xx se détruit ; desorte qu’on peut exprimer x sans signe radical. Car effaçant de part et d’autre xx dans l’équation précédente, on trouve zpx -J- pp =z 1 d’où x = -- 22 zp quantité dans laquelle on peut substituer à p un nombre quelconque , et même des fractions. Qu’on suppose donc p~—, on aura x 1 mm nn. 2 m n et si on multiplie les deux termes de cette fraction par nn m ou trouve nn — mm x =-. amn 43 . Ainsi, pour que 1 -f- ara; devienne un carré, on peut prendre pour m et n tous les nombres entiers possibles, et trouver de cette manière pour x une infinité de valeurs. Si l’on fait aussi en général •n trouve amn 1 + xx = 1 4. n *— zmmnn-{- m < 4 mmnn ©'ALGÈBRE. Ai ou n 4 -j- amntnn -f- , i -f- XX '" ^mmnn * fraction qui est effectivement un carré, et qui donne ,_ nn -f- mm Nous indiquerons, d’après cette solution, quelques-unes des moindres valeurs de x. Si n = 2 3 3 4 4 5 5 I 5 5 et mm 1 2 1 3 1 2 3 4 on a x = | 1 A A- i » iü a “2*4 Ai 1 ° g. t »o JL i 5 9 _ 4° 44- On voit qu’on a en général 1 (mt—mm) ( amm )* a (nn-f-mm)* 4 (am n)“ e t si on multiplie cette équation par (anwi)*, on trouve ( amn ) a -f- ( nn— mm )“ = ( nn + mm )‘ ; ainsi nous connaissons d’une manière generale deux carres , dont la somme donne un nouveau carré. Cette remarque conduit à la résolution de la question suivante : Trouver deux nombres carrés , dont la somme soit pareil-» lenient un nombre carré. On veut que PP + — rr 1 en n’a donc qu’à faire p~amn et qrsnn— mm, É L Ê M E N S 4* Déplus, comme o 1 ) (nn -f- mm )* — ( 2 mn)* = (ro-mm)*, on peut aussi résoudre la ( question qui suit : Trouver deux carrés dont la différence soit de même un nombre carré. Car si on veut que pp — qq — rr, on n’a qu’à supposer et on aura p =z 777i -f- mm et q = am«, T=7l7l - 771771. \ On pourrait aussi faire p— 7i7i-j- TTiTTi et q = nn —■• mm. et on aurait f = 277171. 45. Nous avons parlé de deux manières de donner à la Formule 1 -f- xx la forme d’un carré ; voici donc l’autre méthode : Qu’on suppose . , . 771X . y 1 »f- XX = 1 -J-, on aura " Ü771X , 771771XX 1 4- xx = 1 H-- ; ' n nn ai l’on soustrait de part et d’autre 1 , ori a n 77ix , rnmxx xx ' 7171 cette équation se divise par x, et parconséquent on a 2m , 771771X . : - - . OU nnx — 277171 -f 771771X , n ' tt» * 1 x «3’où Von tire d’algèbre. 43 X — amn nn —mm Ayant trouvé cette valeur de x, on a j _j_ xx __ j i 4 mmnn _ 4~ zmmnn 4- m* ' n> — 2 mmnn 4- m 4 — ammnn -f- m+ * ce qui est le carré de Or comme il résulte de là n»—7?im ‘équation - {amn Y (nn + mmY 1 ' (nn— mm Y (nn—mm) 1 nous aurons, ainsi que ci-dessus, ( nw—mm t Y + (amn) 1 = (nn -f- mm) 1 , c’est-à-dire les deux mêmes ^carrés dont la somme est pareillement un carré. 46. Le cas que nous venons de développer d’une manière détaillée , nous fournit deux méthodes pour transformer en un carré la formule générale a 4- bx -f- cxx. La première de ces méthodes s’applique à tous les cas où c est un carré ; la seconde se rapporte à ceux où a est un carré ; nous nous arrêterons à l’une et à l’autre supposition. i°. Supposons d’abord que c soit un carré, ou que la formule proposée soit a -J- bx + ffxx ; puisqu’elle doit être un carré, nous ferons V'a + bx + ffxx ~fx + et nous aurons « 7 « /y* r r , amfx , mm a + bx +ffxx = ffxx 4-jj— 4- — > où les termes affectés de xx se détruisent *, desorte que 9,wfx mm nn * \ n 44 ÈLÉMENS si nous multiplions par nn, nous avons nna -f- nnbx — afmnx -f- mm ; nous en concluons mm — nn a nnb —2 mnf’ et en substituant à x cette valeur, nous trouvons \/ a-J- bx -J -ffxx mmf—nnaf m nnb — mnf ■ n mnb — mmf —, nnaf nnb — a mnf Al- Comme nous avons eu pour x une fraction, nous ferons ensorte que p — mm — nna , et q ~ nnb — 2 mnf : ainsi la formule a -4- — fl . ffPP flfl est un carré ; et comme elle est pareillement un carré , si on la multiplie par le carré qq , il s’ensuit que la formule aqq -f- bpq -j-ffpp est aussi un carré, si on suppose p — mm — nna et q == nnb — %mnf. Il est clair qu’il résulte de là une infinité de solutions en nombres entiers, parceque les valeurs des lettres m et n sont arbitraires. 2 °. Le second cas que nous avons à considérer, est celui où a est un carré. Soit donc proposée la formule ff-\-bx -f- cxx, dont il s’agisse de faire un carré. Nous supposerons pour cet effet Vff- 1- bx -f- cxx =/ -f- — D’ALGÈBRE. 45 *t nous aurons ff+bx + cxx—ff mmxx —-- > 7171 les ff se détruisant, on peut diviser les termes restans l >ai x , desorte qu’on obtient b ~f- ex xz —£ 4- Tnmx - = nnb + nnex = a mnf -f mmx , n ntt ou nnex — mmx — amnf —• nnb , û où l’on tire 2 mnf — nnb x *■* ncc — mm 48.Si nous substituons maintenant cette valeur àlaplacedea:, nous avons ,/ g] bx ~ï~ c xx — f 1 mnh _ nnc f+ nimf—mnb _ V u ~r ~r jt~ nnc — mm nnc — mm * et en faisant sc=^, nous pourrons, de la même manière <îue ci-dessus , transformer en carré la formule ffqq -f- bpq "bipp, savoir, en faisant p^zamnf — nnb, et q — nne — mm. 4.9- On doit distinguer principalement ici le cas où a — o, c est-à-dire où il s'agit de faire un carré de la formule bx + exx ; car on n’a qu’à supposer on aura l’équation vi X +• CXX : mx bx -f- ccx ~ mmxx im qui divisée par x et multipliée par un , donne bnn -f- cnnx = mmx , et de là x ■ nnb m7n — cnn /(S fc L É M E N S Qu’on cherche, par exemple, tous les nombres trigonatix gçjç jç qui sont en même temps des carrés, il faudra que —-— et parconséquent aussi 2xr-f-2x, soit un carré. Supposons mrnxx que nn soit ce carre , nous aurons znnx -+■ 2«n = mmx , et i = 27lït mm — 2 nn on peut substituer dans cette valeur, au lieu de m et de tous les nombres possibles ; mais on trouvera pour x ordinairement une fraction ; quelquefois cependant on parviendra aussi à des nombres entiers. Par exemple, si m =3 et n = 2, on trouve x = 8, dont le nombre triangulaire, qui est 3 t>, est en même temps un carré. On peut aussi faire m = 7 et n~ 5 ; dans ce cas x= — 5 o, dont le triangle 1225 est en même temps celui de -f- 4,9 et le carré de 35 . On aurait trouvé le même résultat en faisant n = 7 et m = 10 ; car, dans ce cas, on a pareillement x= 4 $- De même , si m = 17 et n = 12 , on trouve x= 288 , le , . , x (x -f-1 ) a88.289 , . n nombre tngonal en est---=--—-= 1 44 .289 , ce qui est un carré.dont la racine est = 12.17 = 204. 5 o. Nous remarquerons, à l’égard de ce dernier cas, que la formule bx -f- c.xx n’a pu être transformée en un carré par la raison qu’elle avait un facteur, savoir x ; cette observation nous conduit à de nouveaux cas dans lesquels la formule a -f- bx + cxx peut pareillement devenir un carré, lors même que ni a ni c ne sont des carrés. Ces cas sont ceux où a -f- bx -f- cxx peut se décomposer en deux facteurs, et cela arrive lorsque bb — /{ac est un carré. Pour le prouver , nous remarquerons que les facteurs dépendent toujours des racines d’une équation , et qu’ainsi il faut supposer a + bx cxx = c j d’algèbre. 47 cela posé, on a , bx a , cxx =— bx — a, et xx = -> ' ce d ou l’on tire b | / bb a b TT— IX -, -,oui=—- 2C v 4cc c * ac [/ bb —4Ôc 2C et il est clair que si bb — 4 ac es ^ UI1 carre > ce ^ e q ttan ^e devient rationnelle. b-*~ à Soit donc bb — éfle = dd, les racines seront ac “ * c’est-à-dire que x — 2C et parconséquent les diviseurs de la formule a + bx -f- exx sont x + et a: + - ; et si on multiplie ces fac- 2 c 2C teurs l’un par l’autre , on retrouve la même formule, à cela bx près qu’elle est divisée par c ; car le produit est xx -+- " i bb dd . . , ,, , rr •, et puisque dd — bb — 4 oc > on a . bx , bb bb , 4ac . éx a c ” 4cc 4 cc ~ 4 cc c c ce qui étant multiplié par c, donne cxx + bx + a. On ns donc qu’à multiplier l’un des facteurs par c, et on aura la *°rniule en question exprimée par le produit ( CX + !-i) ( Æ '+i + é) ; et on voit que cette solution ne peut manquer d’avoir lieu toutes les fois que bb -f- 4 3 x -1- 6 xx, pour être transformée en un carré : nous avons ici a = 6 , b — i 3 , c = 6 , où ni a ni c n’est nn carré. Qu’ desorte que la formule devient (î — + (2 + Sx) (3 + 4a0 1 et î u 011 Peut maintenant la résoudre par la quatrième règle. Mais, ainsi que nous l’avons insinué, on ne doit pas prétendre que cette décomposition se trouve sur-le-champ; c est pourquoi nous indiquerons encore une voie générale pour reconnaître préalablement si la résolution d’une telle formule est possible ou non ; car il y en a une infinité qui ne peuvent donner des carrés ; de ce nombre est , par exemple , la formule 3 xjc -f- 3 . D’un autre côté, il sufïit de connaître un seul cas où une formule est possible , pour en trouver ensuite facilement toutes les solutions; c’est sur quoi nous allons entrer dans quelque détail. 58. On remarquera, d’après ce que nous venons de dire, que tout l'avantage qu’on peut se promettre dans ces occasions, c’est de déterminer ou de deviner, pour ainsi dire , quelque cas dans lequel une formule telle que a-f-ùx-f- exx, se transforme en un carré ; et la voie qui se présente naturellement pour cela , est de supposer successivement pour x de petits nombres , jusqu’à ce qu’on rencontre un cas qui donne un carré. Or , comme x peut être un nombre rompu, qu on com- t ftience par substituer en général à x «ne fraction - ; et *1 la formule a 4- — + — qui en résulte, est un carré, elle le sera pareillement après avoir été multipliée par uu ; desorte qu’il restera à chercher pour t et pour u des valeurs en nombres entiers , telles que la formule auu -f- btu -J- ctt 3 5 4 t L E M E N S soit un carré. Il est évident qu’après cela la supposition de x — - ne peut manquer de faire trouver la formule a -f- bx -f- exx égale à un carré. Si enfin, quoi qu’on fasse, on ne parvient à aucun cas satisfaisant , on a tout lien de soupçonner qu’il est tout-à-fait impossible de transformer la formule en un carré, ce qui arrive très-fréquemment. 5 g Présentement nous ferons voir que , lorsqu'au contraire on a déterminé un cas satisfaisant, il est facile de trouver tous les autres cas qui donnent pareillement un carré; on remarquera en meme temps que le nombre de ces solutions est toujours infiniment grand. Considérons d’abord la formule a -f- jxx, où a — a, b — o et c — 7 : elle devient évidemment un carré, si l’on suppose x — i ; qu’on fasse donc x= î -f-_y, on aura xx — i -j- 2y -f-J'V, et notre formule devient g + 1 4y + 7JJ, où le premier terme est un carré; ainsi nous supposerons, conformément à la seconde règle, la racine carrée de la nouvelle formule = 3 et nous aurons l’équation 9 + ' 4 y + 7 yy -9 + ~ + ^ 2 -, où nous pouvons effacer g de part et d’autre, et diviser par y\ cela fait, nous aurons 14 lin *+■ 7 nn y — 6mn -f -mmy, donc_y et conséquemment 6mn — i^nn 7nn — mm ’ _fmn— jnn — mm 71m —mm où l’on peut adopter pour m et n telles valeurs qu’on veut. Si on fait m — t et ;i = 1, on a n | ; ou bien aussi, d’algèbre- 55 puisque la seconde puissance de x est seule , x " -f- \ , donc 2 -f- jxx = Si m ~ 3 et n~ î , on a x~— - î , on x — -f* 1 • Maïs si m ~3 et n=s — i, on a x = ij; ce qui donne 3 ~h jxx = 2025 , le carré de s 5 . Supposons aussi 7n = 8 et n= 3 , nous aurons de même — 17 ou X = 17. Mais en faisant m—8 et n = —- 3 , on trouve a: ==271 ; desorte que 2 -f- jxx =z 5 14o8q = 71 7*- So. Examinons à présent la formule 5 xx-f- 3 x-}- 7 , qui devient un carré par la supposition de x = — 1 • Si nous faisons par cette raison x~y — î, notre formule se change en celle-ci : $yy — ioj + 5 + 3 y —3 + 7 5yy— 7 _y + 9 , dont nous supposerons la racine carrée x quemment nous aurons fyy — 7y4-.9 = 9—•^■4 ™y . /i * conse- 777 n» ou 5 /uiy ■ d’où nous tirons jnn ■ Gmn •jnn = — Gm« -f- n»my ; — Smn-f-wtnt , et enfin x: 5 nn — mm 1 , on a x =s — 6 , et parconséquent 5/1/1 — mm Soit m = a et ?i = 5xx -J- 3x 7 = 16g = l 3 \ 4 5S ÉLÉMENS Mais si m = — 2 et «ni, on trouve x~ 18, et 5x.r -}"3x 4- 7 — 1681 = 4i\ ' 6i. Considérons maintenant cette autre formule yxx -}- i5x ■+■ i3, où nous ne pouvons que commencer par la supposition dex = ^; ayant substitué et multiplié par uu , nous avons la formule jtt -J- iStil -{- i3 uu , qui doit être un carré-. Essayons donc de prendre quelques petits nombres pour les Valeurs de t et de u. . Faisons t = î , iz = i, la formule deviendra = 35 , t = 2, u — î,.. 71 , * — u = — 1 ,. 11 , t = 3 , U = J 121, Or 121 étant un carré, on est assuré que la valeur x—3 satisfait; supposons donc x-=y -{- 3, et nous aurons, en substituant dans la formule, jyy -f- 4 2 y + 63 + 1 5_y -)- 4^ -f-13 , ou jyy -f- 5 jy -f- 121 . Soit la racine = n -f. ^ 2 . , nous aurons ou donc Txy+5 7- y+121=1214- — ■ 4- ' J n nii jnny -f- 5 jnn ~ 22min + mmy ; 57 nn — 02 mn 3 6nn — 22mn-4-3mm y ~ — ^ " » et x :— mm — jnn mm —7 nn. Soit, par exemple, m = 3 et nx= 1 , on trouve x = — § t e* formule devient , yxx -f i5x -f- i3 = = (f)*. Soit i n~i, on trouve x = —-si m = 3 et *7 d’algèbre; R——i, on a a: — , et la formule ’jxx -f- i5jc + *3 = 62 . Mais souvent on perd son temps à chercher un cas où la formule proposée puisse devenir un carré. Nous avons déjà dit qu e 3 XX _j_ 2 est une de ces formules intraitables , et on Verra, en lui donnant, d’après la règle , la forme 3» +2 uu, qu’en effet, quelques valeurs que l’on donne à t et à u , cette quantité ne devient jamais un nombre carré. Et comme les formules de cette espèce sont en très-grand nombre, il est important d’assigner quelques caractères auxquels on puisse reconnaître leur impossibilité, afin qu’on soit souvent dispensé ■par là d’un tâtonnement inutile : ce sera la matière du chapitre suivant. 58 É L É M E N S CHAPITRE V. Des cas où la formule a -f- bx -f- cxx ne peut jamais devenir un carre'. 63. OiOMME notre formule générale est de trois termes, nous observerons d’aboi d qu’elle peut toujours etra transformée en «ne autre dans laquelle le terme moyen manque. Cela se fait en supposant x : .y z c - ; cette substitution change notre for- , il • , by—bb , yy-zby-\-bb Aac — bbA-yy mule en celle-ci, a -4- — --/——,ou---ü; z c 4 e 4c 4c et puisqu’elle doit être un carré, qu’on la fasse = —, on aura 4 et parconsequent 4ac — bb -f -yy = czz , yy — czz -f - bb — 4 ac - Lors donc que notre formule sera un carré , cette dernière czz-^-bb — 4ac le sera pareillement; et réciproquement, si celle-ci est un carré, la proposée le sera de même. Parcon- séquent, si on écrit £ à la place de bb — 4 ac i tout se réduira à déterminer si une quantité de la forme czz -)- t peut devenir un carré ou non. Et comme cette formule ne consiste qu’en deux termes, il est certainement beaucoup plus facile par là de juger si elle est possible ou si elle ne l’est pas ; c’est au reste la nature des nombres donnés c et f, qui doit nous guider dans cette recherche. 64- Il est clair que si t = o , la formule czz ne peut devenir un carré que dans le cas où c est un carré ; car le quotient de la division d’un carré par un autre carré, étant pareillement un D* A L G È B R E. 5f) , , czz carre, la quantité czz ne peut être un carre, a moins que — > ou c , n’en soit un. Ainsi quand c n’est pas un carré, la formule czz ne peut en aucune manière devenir un carré ; et au contraire, si c est par soi-meme un carré, czz sera de même carre, quelque nombre que l’on adopte pour z. ^5. Si nous voulons porter un jugement sur d autres cas, ü nous faudra recouvir à ce que nous avons dit plus haut au 6 ujet des différentes espèces de nombres considérés relativement à leur division par d’autres nombres. Nous avons vu , par exemple , que le diviseur 3 donne lieu a trois espèces differentes de nombres • la première comprend les nombres qui sont divisibles par 3 , et.qu’on peut exprimer par la formule 3 n. La seconde espèce comprend les nombres qui, divisés par 3, laissent î de reste , et qui sont contenus dans la formule 3n -f- î. A la troisième espèce appartiennent les nombres dont la division par 3 donne a pour reste, et qui se représentent par l’expression générale 3/i-f-2. Or, puisque tous les nombres sont contenus dans ces trois formules , considévons-en les carrés. D’abord , s’il s agit d un nombre qui soit compris dans la formule 3n, nous voyons que le carré de cette quantité étant gnu, il est divisible non-seulement par 3, mais aussi par g. Que si le nombre donné est compris dans la formule 3n-f- i, on a le carré gnn -j- Gn î , qui, divisé par 3 , donne 3 nn ■+• an avec le résidu î, et qui parconséquent appartient de même a la seconde espèce 3n -J- 1. Enfin, sj le nombre en question est compris dans la formule 3n -f- a , on a à considérer le carré gnn -f- T2n -f- 4', si on le divise par 3, on trouve 3nn + 4 ?1 1 et 1 de reste ; desorte que ce carré appartient, ainsi que le précédent, à l’espèce 3n -f- i. Ço f L t Al E N S Il est clair par-là que les nombres carrés en général ne sont que de deux espèces relativement au diviseur 3; car, ou ils sont divisibles par 3, et dans ce cas ils sont nécessairement aussi divisibles par g ; ou bien ils ne sont point divisibles par 3, et dans ce cas, il y aura toujours î de reste et jamais 2 . Par cette raison aucun nombre contenu dans la formule 3 /i-j-Q, ne peut être un carré. 66 . Il nous est facile , au moyen de ce que nous venons de dire, de faire voir que la formule 3x-c-j- 2 ne peut jamais devenir un carré, quelque nombre entier ou fractionnaire qu’on veuille substituer à x. Car si x est un nombre entier , et qu’on divise la formule 3xx -f- 2 par 3, il reste 2 ; donc elle ne peut être un carré. Ensuite si x est une fraction, nous l’exprime- t ions par-, et nous supposerons qu’elle est déjà réduite à ses moindres termes, et que t et u n’ont d’autre commun diviseur 5tt • que 1 . Afin donc que - 4-2 fût un carré , il faudrait , en uu multipliant par uu , que 3 U -f- 2 uu fût de même un carré ; or c’çst ce qui ne se peut : car le nombre u est ou non divisible par 3 ; s’il l’est, t ne le sera pas, parceque f et u n’ont pas de commun diviseur ; c’est pourquoi, si on fait u = 3 f, comme la formule devient = 3 It -f- 18 ff, on voit bien qu’on ne peut la diviser par 3 qu’une fois et pas davantage , comme il faudrait pouvoir le faire si elle était un carré ; en effet, en divisant d’abord par 3 , on a fi -f- 6ff. Or si d’un côté Sff est divisible par 3, de l’autre tt étant divisé par 3, laisse 1 de reste (*). Supposons à présent que u ne soit pas divisible par 3, et voyons ce qui reste. Puisque le premier terme est divisible par 3, il s’agira uniquement de savoir quel résidu donne le second terme 2 uu. Or uu étant divisé par 3, donne le reste 1 , c’est-à-dire (*) Cela revient ïi dire que si, après avoir divise par 3 la formule 3/r -+- iuu., le reste est zéro ; ainsi qu’il arrive dans l’iiypotlièsc présente, le nombre ne peut plus être que dans lu formule Cjnn ; il faut donc qu’tl soit divisible deuï fois par 3. D’algèbre- bl que c’est un nombre de l’espèce 3n 1 ; ainsi 2 UU est un nombre de l’espèce 6 n -f- 2 , et en le divisant par 3 il laisse a de reste • parconséquent notre formule àlt -J- suu , si on la divi se par 3 , donne le résidu 2 , et n’est certainement pas un nombre carré. 6 7 - On peut démontrer de la même manière, que pareillement la formule 5tt + 5uu ne peut jamais être un carré , n i même aucfne des formules suivantes : 3 tt -f- 8 uu , 3 tt -f -1 mu, ^tt+i4uu, où les nombres 5, 8 , u , 1 4, etc. divisés par 3, donnent 2 pour résidu. Car si l’on suppose que u soit divisible P®r 3 , et que parconséquent t ne le soit pas, et qu on fasse u = 3/, on parviendra toujours à des formules divisibles par 3, mais non pas divisibles par 9 . Et si u n’est pas divisible par 3, et parconséquent que uu soit un nombre de l’espèce 3n -f- I, on aurait le premier terme, 3(£, divisible par 3, tandis que les seconds, 5 uu, 8 uu, 11 uu , etc. auraientles formes i5/t-f-5, a^n + 8 , 33 n-\- n , etc., et laisseraient constamment 2 de reste, quand on les diviserait par 3. 68 . Il est évident que cette remarque s’étend même jusqu’à la formule générale (3n -f- 2 ).un, laquelle en effet ne peut jamais devenir un carré , et pas même en prenant pour n des nombres négatifs. Si on voulait, par exemple, faire n =— 1 , je dis qu’il est impossible que la formule 3 tt—uu puisse devenir un carré ; la chose est claire, si u est divisible par 3 ; et si cela n’est pas, comme dans ce cas uu est un nombre de 1 espèce 3n -f- 1 , notre formule devient 3i£ — 3n — 1 , ce qui, ctant divisé par 3 , donne le résidu — 1 ou -fa, en augmentant de 3. En général, que n soit — — m, on aura la formule — 2 ) uu , qui ne peut jamais devenir un carré. ®9- 3foila jusqu’où nous conduit la considération du diviseur 3; si nous regardons maintenant aussi 4 comme un diviseur , nous voyons qu’un nombre quelconque est toujours compris dans UDe des quatre formules suivantes : i* 4» '» 4* +1 ; 3 a . 4 » -f a ; 4°. 4 « -f- 3, 6a É L É M E N S Le carré de la première espèce de ces nombres, est iGnn, et il est parconséquent divisible par 16. Celui de la seconde espèce 4 n ~ f- i, est iGnn + 8/1 + i ; ainsi en le divisant par 8, il donne i de reste ; desorte qu’il appartient à la formule 8/t + 1. Le carré de la troisième espèce, 4 u + 2, est 1 6/m +1 6/1 +4 ; si on divise par 16 , il restera 4 > donc ce carré est compris dans la formule i6n + 4 - Enfin le carré de la Quatrième espèce 4^ + 3 , étant i6n/i -f- % 4 n + 9, on voit qu’en divisant par 8, il reste 1 . 70. Nous apprenons par-là, en premier lieu , que tous les nombres carrés pairs sont ou de la forme 16 11, ou de celle-ci i6n + 4 > e t conséquemment que toutes les autres formules paires, savoir 16/1 + 2, 16/1 + 6, 16/1 + 8., 16/1+10, i6n. + 12 , 16/1 +14, ne peuvent jamais donner des nombres carrés. Ensuite, que tous les carrés impairs sont contenus dans la seule formule 8/1 + 1 ; c’est-à-dire que si on les divise par 8 , ils laissent le reste 1. Et il suit de là que tous les autres nombres impairs, qui auront la forme ou de 8n + 3 , ou de 8 /t+ 5 , ou de 8/1 + 7 , ne pourront jamais être des carrés. 71. Ces principes fournissent une nouvelle preuve que la formule 3 tt + 2.1m ne peut être un carré. Car, ou les deux nombres i et a sont impairs , ou l’un est pair et l’autre est impair. Ils ne peuvent être pairs l’un et l’autre, parceque si cela était, ils auraient au moins le commun diviseur 2. Dans le premier cas où U et uu sont compris dans la formule 8» + î , le premier terme 3 tt étant divisé par 8, laisserait le résidu 3, et l’autre terme, 2uu, laisserait 2; ainsi le résidu total serait 5 ; ainsi la formule en question ne peut être un carré. Mais si le second cas a lieu, et que t soit pair et u impair, le premier terme 3 tt sera divisible par 4 1 et le second terme s uu, si on le divise par 4 > laissera 2 de reste; ainsi les deux termes ensemble, divisés par 4 , laissent 2 de reste, et ne d’algèbre. 63 peuvent parconséquent former un carré. Enfin, si on voulait supposer u un nombre pair = a/, et t impair , desorte que *t = 8n~f- j no tre formule se changerait en celle-ci, 24 " +3 + 8 //, qui, divisée par 8 , laisse 3, et ne peut donc être ua carré. ^ e tte démonstration s’étend aussi àla formule 3tt-\-(8n-j-n)uu., Piaillement à celle -ci, ( 8 m -f- 3) tt -f -iuu , et même aussi à celle-ci, ( 8 /n-f 3 ) tt-f ( 8 n-f 2 ) uu j où l’on peut substituera 1n e t à n tous les nombres entiers tant positifs que négatifs. 7 a - Mais allons plus loin, et considérons le diviseur 5, à 1 égard duquel tous les nombres se rangent en cinq classes : i”. 5n ; 2 °. 5/i -f -1 ; 3°. 5/i-f 2 ; 4°- + 3, 5°. 5/i -f 4- Nous remarquerons d’abord que si un nombre est de la première espèce, son carré aura la forme 25 nn , et sera parcoa— séquent divisible non-seulement par 5 , mais aussi par 25. Tout nombre de la seconde classe aura un carré de la forme zbnn -f- ion -f i ; et comme la division par 5 donne le résidu î, ce carré sera compris dans la formule 5/i -f- î. Les nombres de la troisième espèce auront le carré 25/m ~j-2on-f-4 j qui, divisé par 5, donne 4 de reste. Le carré d’un nombre delà quatrième espèce, est 25 nn 4- 3ora -|- g -, si on le divise par 5, il reste 4- Enfin le carré d’un nombre de la cinquième classe, est 2 5/z/z -f 40 /x + 16 ; qu’on divise ce carré par 5, il restera 1 . Lors donc qu’un nombre carré ne peut être divisé par 5, le résidu de la division sera toujours 1 ou 4 , et jamais 2 ou 5; et il s ensuit qu’aucun carré ne peut être contenu dans le* formules 5/i -fa et 5n + 3. 7 ^- Nous partirons de là pour prouver que ni la formule 5tt-f 2 uu, ni celle-ci, 5 ff -f 3uu , ne peuvent être des carrés. Car, ou bien u est divisible par 5, ou il ne l’est pas : dans le premier cas, ces formules seront divisibles par 5 , mais elles ne le seront pas par a5 ; donc elles ne pourront être des carrés. $4 é L É M E N S Si, au contraire, u n’est pas divisible par 5 , uu sera ou 5?t+t ; ou 5n + 4> et dans I® premier de ces cas, la première formule se change en celle-ci, 5 tt -f- îo/t + a , qui, divisée par 5, laisse 2 de reste , et la seconde formule devient 5/t -f- i5«-}- 3, ce qui étant divisé par 5, donne 3 de reste, de- sorte que ni l’une ni l’autre ne peuvent être un carré; quant au cas de u—5n-\~4> première formule devient 5££-f-io« -f- 8, ce qui, divisé par 5, laisse 3 ; et l’autre devient 5 U -J- 1 5 n + 12, ce qui, divisé par 5 , laisse 2 ; ainsi, dans ce cas, les deux formules ne peuvent plus être des carrés. On observera, par un raisonnement semblable, que ni la formule 3 tt -f- (5 n + 2 )uu, ni cette autre , 5tt + (5ra-f-3)ua, ne peuvent devenir des carrés, puisqu’on parvient aux mêmes restes que nous venons de trouver. On pourrait même écrire dans le premier terme 5 mtt au lieu de 5 tt, pourvu que m ne fût pas divisible par 5. 74- De ce que tous les carrés pairs sont compris dans la formule 4 n , et tous les carrés impairs dans la formule 4 ll ~ 1 > et que parconséquent ni 4™ + 2, ni 4 n + 3, ne peuvent devenir des carrés, il s’ensuit que la formule générale (4m-f-3) tt -f- (4n-f 3)uu ne peut jamais etre un carré. Car supposons que t soit pair, tt pourra être divise par 4, et l’autre terme étant divisé par 4, donnera 3 de reste; et si nous supposons les deux nombres £ et u impairs , les restes de tt et de uu seront i , et parconséquent le reste de la formule entière sera a; 1 or il n’est aucun nombre carré qui., divisé par 4, laisse 2 de reste. > Nous remarquerons aussi que tant m que n peuvent même , être pris négativement, ou = o , et qu’il suit de là que les for- ; mules 3 tt + 3 uu et 3 tt — uu ne peuvent pas non plus se trans- ‘ former en des carres. ; 75. De même que nous avons trouvé pour un petit nombre de diviseurs , que quelques espèces de nombres ne peuvent jamais devenir des carres, on pourrait déterminer de pareilles espèces de nombres pour tous les autres diviseurs. Qu’il d'algèbre. 65 . Qu il s’agisse du diviseur 7, on aura à distinguer sept différentes espèces de nombres, dont nous examinerons aussi les carrés. Espèces des Nombres. J Leurs carrés sont de l’espèce i*. 7/7 497777 7 n 2°. 777 + 1 nu -f' ijçi *4" i jn + 1 3 °. 777 + 2 ^jîji 28^1 -f- 4 711 + 4 4 °- 777 + 3 497771 + 42/7 + 9 711 + 2 5 °. 777 + 4 497771 + 56/7 + 16 777 + 2 6°. 7/1 + 5 497777 + 7077 + 25 777 + 4 7 0 . 777 + 6 497777 + 84/t + 36 777 + 1 1 Puis donc que les carrés qui ne sont pas divisibles par 7/ sont tous contenus dans les trois formules 7/1 —|— 1, 777 -)- 2 , 7n + 4 > A est clair que les trois autres formules, 7/1 + 3, 7n -f- 5 et 7/1 -f- 6 , ne s’accordent pas avec la nature des nombres carrés. 76. Pour entrer encore mieux dans le sens de cette conclusion on remarquera que la dernière espèce , 771 -f- 6 , peut aussi s’exprimer par 771 — 1 ; que pareillement la formule 7/1 -J- 5 est la même que jn — 2, et 771 4 , la même que 777 — 3 ; Car, il est évident que les carrés des deux espèces ,771+1 et 7 n — 1, divisés par 7 , donneront le même résidu 1 ; et que les carres des deux espèces, 777 + 2 et 777 —2, doivent se ressembler de la même manière. , 77 - En général donc , quel que soit le diviseur, que nous indiquerons par la lettre d, les différentes espèces de nombres qui en résultent, sont dn dn + i , dn + 2 , dn + 3, etc. d n —- 1 , dn — a , dn — 3 , etc. t L E M E N S es où les carrés de dn -f- i et dn — i , ont cela de commun , qu’étant divisés par d , ils laissent le reste 1 , desorte qu’ils appartiennent à la même formule dn -f- 1 ; de même les carrés des deux espèces dn -f- 2 et dn — 2, appartiennent à la même formule dn- f* 4 - De façon qu’on peut conclure en général que les carrés des deux espèces , dn -f- a et dn — a , étant divisés par d, donnent un même résidu aa, ou celui qui reste, en divisant aa par d. 78. Ces remarques suffisent pour indiquer une infinité de formules, telles que atl-\-buu, qui ne peuvent en aucune manière devenir des carrés. C’est ainsi que le diviseur 7 donne facilement à connaître qu’aucune de ces trois formules, 7 U -f- 3 uu , 7 U -f- 5 uu , 7 U -f- Suu , ne peut devenir un carré ; parceque la division de u par 7 ne donne pour résidu que 1, ou 2 ou 4 i et ejne Perdue de chercher d’autres cas semblables, puis- pourrait que la formule fut impossible. . 1. r° Us apposerons que cette formule devienne un carré. si Ion tait x— r . . , J > et nous indiquerons ce carre par ss . ensorte que ’ °° *jr+b^ ggi WiHMRUiilH! 68 É L É M E N S où f et g sont des nombres connus. Tout se réduit donc à déduire de ce cas d’autres cas semblables ; et cette rechercha est d’autant plus importante, qu’elle est sujette à des difficultés considérables que nous viendrons cependant à bout de surmonter par les artifices que nous allons faire connaître. ( 81. Puisqu’on a déjà trouvé et que d’ailleurs il faut aussi que axx -j- b =yy, soustrayons la première équation de la seconde, et nous en aurons une nouvelle, axx — qff=yy — gg , qui peut se représenter par des facteurs, de la manière suivante : < x +f) ( x—f) — (y-h g) Cy —g), et qui, en multipliant de plus les deux membres par pq , devient ^ apq(x+fXx—f) — pq(y+gXy — g). Si nous décomposons maintenant cette équation, en faisant ap(.*+f)= c i(y+g)> et q(. x —f)=p(y—g)> nous pourrons tirer de ces deux équations des valeurs des deux lettres x et y. La première divisée par q , donne apx + apf y+g = — --• la seconde divisée par p , donne <7 P ’ A r, e È B R E. soustrayant cette dernière égalité de l’autre, on a „ (.app—W> + ( app+qq)f ° pq 2 P1S — C app — q<Ù x + ( a PP + w)f> »qpq _ ("PP + w).f Sÿ ou donc app—q Puisque devant trouver pour x et pour jy des nombres e ntiers, nous sommes parvenus à des résultats fractionnaires, f {uil s agirait de traiter cette nouvelle question, quels di, res on l 3eut substituer à p et à q pour que les fractions notre la * 5Sent ^ q uest l° n qui paraît plus difficile encore que tifîce ^ Ue f t ' rm P'incipale. Mais on peut employer îciunar- nous T”"}" q’ù nous fera parvenir facilement au but ; °us 1 expliq uer _ •-'Oinme tout a ■ . . . « «eut etre exprimé en nombres entiers, faisons PPP + q q a PP—qq ==:rn ) et app—qq 7° pour avoir É L É M E N s x ■=. ng — mf, et y = mg — naf. Or nous ne pouvons pas prendre ici m et n à volonté, puisque ces lettres doivent se déterminer de façon à répondre aux déterminations précédentes; ainsi nous considérerons pour cet effet leurs carrés, et nous verrons que aap^zappqq-fq^ mm = —-- r - 1 — et aap >— 2 appqq-\-q+ nn= 4ppqq aap 4 — zappqq-fq*’ et que parconséquent aap^+o.appqq+q* — 4 a PPqq mm — ann = — - -- — ■■■ ■ ' -i- ' - C ZZ aap »— o.appqq-j-q* _ aap f —2 appqq + çd_ aap 1 —aappqq -f- q* 83. On voit par-là que les deux nombres m et n doivent être tels que mm~ann-\-i. Ainsi, comme a est un nombre connu, il faudra commencer par songer aux moyens de déterminer pour n un nombre entier , tel que ann -j- î devienne un carré, car après cela m sera la racine de ce carré ; et quand on aura déterminé pareillement le nombre y, de manière que aff -}- b devienne un carré, savoir gg , on aura pour x et pour^ les valeurs suivantes en nombres entiers , a: = ng — mf et y = mg — naf, et enfin par-là axx -f- b =yy- 84 . Il est évident qu’ayant une fois trouvé ro et n, on peut écrire à leur place — m et — n, parceque le carré nn ne laisse pas de rester le meme. Mais nous avons fait entendre que pour trouver X et y en nombres entiers, de manière que axx + b ~yy, ï>’ A L G È B R E. il fallait d’abord connaîtra un cas tel que (ff+ b ~Së> lors donc qu’on aura trouvé un semblable cas, il faudra tacber enc ore de connaître, outre le nombre a, des valeurs de m et a i telles que ann -f- 1 mm, et. nous en donnerons la méthode dans la suite. Quand enfin tout cela sera fait, on aura un nouveau cas, savoir, x = ng -f- mf, et y — mg + na f > et après cela, axx -f- b —yy. Mettant ensuite ce nouveau cas à la place du précédent, qu’on avait regardé comme connu ; c’est-à-dire , écrivant ng -f mf au lieu de/, et mg -f- naf au lieu de g, on aura pour x et y de nouvelles valeurs , par lesquelles, si on les substitue à x et à y, on en trouve ensuite d’autres nouvelles , et ainsi de suite aussi loin qu’on voudra • desorte qu’au moyeu d’un seul cas qu’on connaissait d’abord, on en détermine après cela une infinité d’autres. 85. La manière dont nous sommes parvenus à cette solution eta 't assez embarrassée, et paraissait d’abord nous éloigner de notre but, puisqu'elle nous avait conduits à des fractions ^ nrn pl>qné e s qu’un hasard heureux a seul pu réduire ; il sera , nnc * propos d’indiquer une voie plus courte , pour arriver 4 a m. me solution. Puisqu’il faut que axx -f- b z=yy, ct *I Ue 1 on a déjà trouvé off+ b =&?» 4 7a É L é M E N s la première équation nous donne b ~yy — 1 axx , et la seconde donne b =gg — aff\ parconséquent il faut aussi que yy — axx=gg—ajf, et tout se réduit maintenant à déterminer les inconnues x et_y par le moyen des quantités connues y et g. On voit que pour cet effet on pourrait faire simplement x —f et y — g ; mais on reconnaît aussi que cette supposition ne fournirait pas un cas autre que celui qu’on connaissait d’avance. Ainsi nous supposerons qu’on ait déjà trouvé pour n un nombre tel que ann -f- 1 soit un carré, ou bien que ann -f- 1 = mm ; cela posé, nous avons. mm — ann = 1 ; et en multipliant par cette équation la dernière que nous avions ci-dessus, nous trouvons aussi que yy — axx={gg — aff) (mm — ann) — ggmm — affmm — ag*nn -f- aafj'nn. Supposons à présent y=gm + afn , nous aurons, après les réductions, ggmm -f- zafgmn -f- aaffnn — axx~ggmmaffmm ~ a SS nn + aaffnn , d’algèbre. 7 * desorte qu’il reste axx — affmm -f- a gg nn H - aa fg mn > 01 ce tte formule est évidemment un carre, et donne x —fm + gn a 'nsi nous avons trouvé pour x et y les memes formules que C] -dessus. 87. Il sera nécessaire maintenant de rendre cette solution plus claire , en l’appliquant à quelques exemples. Première question. Trouver pour a; toutes les valeurs en ^ombres entiers, telles que üxx —1 devienne un carré, ou qu’on ait zxx — 1 ~yy. Nous avons ici a = a et i = — i, et il se présente aussitôt un cas satisfaisant, qui est celui ou t=i et y = 1. Ce cas connu nous donne f~\ et g = 1 ; or il s’agit de plus de déterminer une valeur de n , telle que ann -f- 1 devienne un carré mm -, et on voit d’abord aussi que ce cas a lieu quand n = 2, et parconséquent m = 3 ; ainsi chaque cas connu pour /et g nous donnant ces nouveaux cas T x=. 5 f+zg, et y =% + 4 /, Nous tirons de la première solution , f '= 1 et g= 1 , les nouvelles solutions 1 suivantes : x — f = 1 y = g ~ 1 5 7 2 .9 4 1 169, etc. 239, etc. 88 . Se laires q\i\ QnC * e c l ues ^ lùn - Trouver tous les nombres triangu- s °ut en même temps des carrés. Soit z la . . . -, . . , zz-fz ‘«cine triangulaire, ce sera le triangle -— qui deyra être en n - > ^ ■ 2 1 tueme temps un carre , et si nous nommons -x ( 74 ÉlÉMIKJ la racine de ce carré, il faudra que zz -f- Z -= XX. 2 Multiplions par 8 , nous aurons 4z.z + 4 Z == 8xr > et ajoutons encore i de chaque côté, pour avoir 4zz -1- 4z -f -1 = ( az -f- î )* = 8xx + 1 • Ainsi la question est de faire ensorte que 8xx -f- t devienne un carré; car si l’on trouve on aura 8xx -f-i ~yy, y = az 4- i, et conséquemment la racine triangulaire cherchée , 2 Or nous avons a — 8 et b = i, et un cas satisfaisant se présente sur-le-champ, savoir f—o et g—1. On voit de plus que 8 nn -f- î = mm , en faisant n= i et m = 3 ; donc x = 3/-(-g et y— 3 g + 8/; et puisque y - 1 nous aurons les solutions suivantes x= f =0 b 204 1189, etc. y = g — 1 3 *7 9.9 5 77 3563, etc. y—i Z — -- — 0 2 ■caiaes 1 8 49 288 1G81 , etc. d’algèbre. 7 $ 8g. Troisième question. Trouver tous les nombres pentu gones, qui sont en même temps des carrés. 3 zz — z ^ ^ Que la racine soit z, le pentagone sera = " c l Lie nous égalerons au carré xx ; ainsi 3zz — z = 2 XX -, multipliant par 12 et ajoutant l’unité, nous avons 36 zz et faisant il faudra que — 122 -J- 1 =24^+ 1 —— 1 )*» 24xx + 1 =yy, y = 62 — et z = .y + 1 6 ‘ Puisqu’ici a = 24 et b = 1, on connaît le cas/"—o et g et comme il faut que z^nn + 1 = mm , on fera n = 1, ce qui donne m — 5 ; ainsi on aura x = 5f + g et y = 5 g + 24/; 1; et non-seulement z =^—^r —, mais aussi s — que l’on peut écrire y = 1 — 6z ; de là résultent enfin les solutions suivantes : 1 — y —parce- x== f =° 1 10 99 q8o etc. y= g =» 5 4s 485 4801 etc. 2 -d , +> , 6 ~ 3 1 as 3 81 Zip etc. a *3 — 8 a4a b — 800, etc. 76 É L É M E N S 90. Quatrième question. Trouver tous les carrés en nombre* entiers, qui, pris sept fois et augmentés de 2 , redeviennent des carrés. On demande parconséquent que 7 XX + 2 =yy, où a = 7 et b = 2 ; et le cas connu , savoir x=i, s’ap- perçoit aussitôt; dtsorte que x=f— 1 , et y — g= 3 . Si l’on considère ensuite l’équation jnn -f- i = mm, on trouve facilement aussi que n~ 3 et m = 8 ; donc x= 8 /+ 3 g- et y — 8 g+zif, et on aura les solutions qui suivent : . • x =f= y = s— 17 271 45 717, etc. 91. Cinquième question. Trouver tous les nombres triangulaires , qui sont en même temps pentagones. Que la racine du triangle soit = p et celle du pentagone — q, il faudra que pp+_p__ 5 qq — q , ou 3 qq — q = pp -f p l qu’on cherche q, on aura d'abord W = 19 + PP + P 3 ’ PP + P A > et de là d’algèbre- 77 Parconséquent il s’agit de faire ensorte que ispp 4- i 2 p + 1 devienne tm carré, et même en nombres entiers, r comme il y a ici un terme moyen isp, on commenceia par aire x— 1 . P —— — —, hypothèse qui donnera 12 pp — 3xx — Gx + 3 et isp — G , parconséquent 1 2 pp + î sp +1 — 3rx 2 > c’est cette dernière quantité présentement qu il est question de transformer en un carré. 1 Si donc on fait t>n aura — a = ■yy> x — 1 ^ i -4- v et g = _2LZ, 0/ a g . ainsi tout dépend de la formule 3xx— 2 ~yy, et on a ici a = 3 et & =— s; et de plus un cas connu x=/=i et y =g= i; enfin dans l’équation mm — 3 nn -)- i , :L=1- N on » donc on trouve, tant pour x et y que pour p et q , les ■'râleurs suivantes : n = i et m = 2 ; D’abord x — 2 /+g, et y = ag -f 3/, 7'~ ensuite x=f— 1 3 11 41 y~g = 1 5 ï.9 7 1 p = 0 1 5 2 C <1 = } 3 1 T 0 3 12 ou q — 0 — 3 a 3 35 92. Jusqu’à présent, quand la formule proposée contenait un second terme, nous étions obligés de le retrancher ; mais cependant il est possible d’appliquer la méthode que nous venons de donner, sans faire disparaître ce second terme ; nous allons encore en expliquer la manière. Soit axx -f- bx -f- c la formule proposée qui doit être un carré, ou =yy, et qu’on connaisse déjà le cas a ff+ b f+ c =gg- Si on soustrait cette équation de la première, on aura a(xx —ff) + b (x—f) —yy—gg, ce qu’on peut exprimer par des facteurs comme il suit : O ~ f)(ax -f af+ b) = {y — g ) (_y -f g). Qu’on multiplie de part et d’autre par pq , on aura Pq(x—f) {ax + af+b)=pq (y —g) ( y+g ), et on décomposera cette équation en ces deux : i°. p(x—f)=ç(y—g); 2°.q(ax + af+b)=p(y +g)- Multipliant maintenant la première par p, et la seconde par q > «t soustrayant le premier produit du second , on obtient {aqq—pp)x-\-{aqq +/?/>)/+ bqq = 2gpq, D’A L g E b R E- 7!) ee qui donne x: *gpq {aqq + PP)f ___^!L aqq — pp aqq — pp aqq pp Mais la première équation est ofv—r r\ ( 9 '-' k; _ ag M__jyi—V 7 fi~ p \aqq-pp «qq-pp a qq—pp) ainsi ®£PP 9 aqq - pp t et £ t nous aurons v.aqq 777 -f- 1 donc m -4~ î = —-—--—>-—-, aqq — pp aqq — pp 2 a — ng—mf— y = mg — rnf — 5; bn, oà les lettres m et n doivent être telles , ainsi qu’auparavant, •lue mm = ann 1 . q3. Les Formules que nous venons de trouver pour x et pour y , sont encore melées avec des fractions , puisqu il r en a dans les termes qui renferment la lettre b-, et cela fait on’e'les ne répondent pas à notre but. Mais il faut remarquer que si de ces valeurs on passe aux suivantes, on trouve constamment fio , ÉLÉMESS des nombres entiers qu’à la vérité on eût trouvés beaucoup plus facilement par le moyen des nombres p et q qua nous avions introduits dès le commencement. En effet, qu’oii prenne p et q , de façon que pp = aqq -f- 1 , on aura aqq —pp = —i , et les fractions disparaîtront. Car alors x — — agpq +/( aqq +■ pp ) + bqq, et yx= —g ( aqq -f-pp) -f- aafpq -f- bpq ; tuais comme dans le ,cas connu a ff+ b f+ c = gg> on ne rencontre que la seconde puissance de g, il est indifc férent quel signe l’on donne à cette lettre ; qu’on écrive donO — g au lieu de -f- g , on aura les formules x—dgpq+f(aqq+pp) +bqq, et y = g ( a W + PP) +*afpq + bpq, et on sera assuré maintenant que axx + bx + c=zyy. Qu’on cherche, par exemple, les nombres hexagones qui sont aussi des carrés. Il faudra que axx — x=yy, où a—a, bxz — i et c~o, et le cas connu sera évidemment x—f—i et y=g= i. De plus , pour que pp = aqq + t , il faut que q = a et pz= 3; ainsi l’on aura x — mg+ 17/— 4, et y — i7g+*4f— 6 , d’où résultent les valeurs qui suivent ; X D’ A L O È B R E. 8l x~j~ i fi5 841 > etc. y=g=i 35 n89, etc. 94 - Arrêtons-nous encore à notre première formule où le second terme manquait, et examinons les cas qui font de la formule axx -f- b un carré en nombres entiers. Soit donc axx -f- b —yy, et il s’agira de remplir deux conditions : 1°. Qu’on connaisse un cas où cette équation ait lieu , et tious supposerons ce cas exprimé par l’équation a ff+ b =SS- B®. Qu’on connaisse des valeurs de m et de n , telles que mm — ami ~j- 1 , ce que nous enseignerons à trouver dans le chapitre suivant. De là résulte un nouveau cas, savoir, x = ng + ™f, et anf, qui conduit ensuite à d’autres cas pareils que nous représenterons de la manière suivante : x : y =/ -g ^ \ C \ D \ E, etc. Q I R I 5 I T, etc. ou — \R = nP + m/l C—n(}+mB\D=nR-*- m C,etc. et p = mg+an/| Q=mP-\-anj4 R=mQ-+-anB\ S *=rnR-hanC, tels qu e axx — 1 =yy- Qu aura d’abord f — 1 et g — 1 ; ensuite mm =s 2 nn + i , et m:=: 3 . Donc, puisque A = ng -f- mf= 5 , les deux premiers termes seront î et 5, et on trouvera tous le* suiyans par la formule E — SD-C- c’est-à-dire que chaque terme pris six fois et diminué du terme précédent, donne le terme suivant. 11 suit de là que les nombres x que nous cherchons , formeront la suite qu’on Voit ici : 1, 5 , 29, 16g, g 85 , 5741 , etc. On peut continuer cette progression aussi loin qu’on voudra, et si l’on voulait y introduire aussi des ternies fractionnaires, on en trouverait une infinité par la méthode que nous avons donnée plus haut. CHAPITRE VII, D'une Méthode particulière par laquelle la formule ann -f-1 devient un carré en nombres entiers . t! 9 G. Ce que nous avons enseigné dans le chapitre précédent, ne peut s’exécuter d’une manière complète, à moins qu’on ne soit en état d’assigner pour un nombre quelconque a un nombre n \ tel que anrc-f-1 devienne un carré, ou qu’on ait ‘ mm — ann -f- i. Si on voulait se contenter de nombres fractionnaires, cette, équation serait facile à résoudre, vu qu’on n’aurait qu’à faire Car, dans cette supposition, on a où l’on peut retrancher i de part et d’autre , et diviser ensuite les autres termes par n , desorte que multipliant de plus par qq, on obtient zpq -f- npp = anqq, et cette équation donnant n = spq fournirait une inE- aqq — pp‘ D* A L G È B R E. flite de valeurs de n. Mais comme n doit être un nombre entier, ce tte méthode n’est d’aucune utilité, et il faut en employer utle autre pour arriver à ce but. 97 - Nous devons commencer par remarquer que si on voulait ann -f i fût un carre en nombres entiers pour une valeur Quelconque de a, ou exigerait une chose qui n est pas toujours Possible. Car d’abord il faut exclure tous les cas ou a serait un nombre Uegatif, ensuite il faut exclure aussi ceux où a serait lui-meme Un carré , parcequ alors ann serait un carré, et qu aucun carré Augmenté de l’unité, ne peut redevenir un carré en nombres entiers. Nous sommes obligés parconséquent de restreindre notre formule aux cas où a n’est ni négatif ni un carré ; mais au reste toutes les fois que a est un nombre positif sans être un carré , il sera possible de trouver pour n un nombre entier tel que ann + i devienne un carré. Quand on aura trouvé une telle valeur, il sera aisé, d’après le chapitre précédent d’en déduire un nombre infini de semblables ; mais il suffit pour notre dessein d’en connaître une seule, et même la plus petite, et c’est ce qu’un savant anglais, nommé Pcll , nous a appris à trouver par une méthode ingénieuse que nous allons expliquer. 98. Cette méthode n’est pas de nature à pouvoir être employée généralement pour un nombre a quelconque ; elle n’est applicable que dans un cas particulier. Ainsi nous commencerons par les cas les plus faciles, et nous chercherons d’abord pour n un nombre tel que 2,nn 4- t soit un carré, ou que \Zznn- f- 1 devienne rationnel. On voit aussitôt que cette racine carrée devient plus grande que n , et cependant plus petite que an. Si donc nous exprimons cette racine par n -f- p , il est sur que p est moindre que n et nous aurons Vann -f- i = 71 -f- p , 5 8S ensuite t L É M E N S 2/m + 1 = nn -)- anp -f- pp ; donc nn = anp -f- pp — i, et n = p -f- \/ 2 pp — 1 • Tout se réduit parconséquent à ce que 2 pp — 1 soit un carré; or ce cas a lieu si p = 1 , et il donne n — 2 et \/2,nn -f- 1 = 3 . Si on n’avait pas fait cette remarque on serait allé plus loin, et puisque \/ 2 pp — 1 ]> p , et parconséquent n^> ap., il aurait fallu Supposer n — zp -f- p ; on aurait donc eu 2 f + P= P+V / spp~ ou p + q— \/ 2 pp — 1, et en carrant, pp + ?pq + qq = app — 1 ; ainsi pp — zpq + qq -f-1, ce qui aurait donné P = <7 + V %qq -f 1 ; desorte qu’il eût fallu que 2 qq-h 1 fût un carré; et comme ce cas a lieu pour q — o, on aurait eu p = i et n = s, comme auparavant. Cet exemple suffit pour donner une idée de la méthode, mais cette idée deviendra encore plus nette par ce qui va suivre. qq. Soit à présent à = 3 , c’est-à-dire qu’il s’agisse de transformer en un carré la formule 3 nn -f- 1; On fera \/3 nn 1 = 7/ -f- p , ce qui donne Znn -f- 1 = nn -f- znp -f -pp, et 2,1m = 2 /ip -f- pp — 1, d’où l’on tire d’algèbre: «7 n _ P-J- V/%?•— a Si Maintenant, puisque {/ 3 pp — 2 surpasse p , et que parcon- saquent n est plus grand que — ou que p, qu’on suppose c , n — p + q, et on aura 2< 7 — p-f- —2, ou p ^-üq=.y^pp — 25 ensuite, en carrant , pp + 4pq + 4qq = 3pp~2; desorte que app = 4 pq + 4<79+2, ou pp — spq + 2 qq + i et p = q+ ÿ'Sqq-j- 1. Or cette formule est semblable à la proposée ; ainsi on peut faire q=o, et on obtient p = 1 et n = 1 ; desorte que 3 nn -{- 1 = 2. too. Soit a = 5 , afin qu’on ait à faire un carré de la formule 57m -j- 1 } dont la racine est plus grande que 2 n ; on supposera l/5nn4.1 ~ et n = 2 p+v /, 5pp —i Or )/bpp— i>2p, d’où résulte n> 4 p; c’est pourquoi 4 88 on fera É1ÉMUIS n = 4p+q , ce qui donne ap + q=[/5pp—i, d’où resuite 4pp + 4p donc 5 nn -j- î = g. loi. Supposons à présent 0 = 6, pour avoir à traiter la formule Sun + î dont la racine est pareillement comprise entre 2 n et 3 n. Nous ferons donc 6nn -f- î == 2 n -f- P > et nqus aurons 6nn-{- î z=4 nn ~h4 n P~ : hpP > ou a nnt=z4 n P~hPP— ml t et de là , V 6pp 2 2 p-hV Spp 2 n=p -{-—- 1 ou n — -J- --; 2 a ainsi n a p. Si, d'après cela, nous faisons ( n=ap + q, nous avons 4p + aq = a p + Vfyp — 2 , ou ap + aq = \Zëpp — a] les carrés sont 4pp + Spq + 4qq = 6pp — 2 ; app = 8 pq + 4qq + 2, et pp = 4pq + 2 ou 3/m — 4 n P ~i~PP — 1 i ce qui donne _sp-f \/ 7 PP— 3 7 t= g • Présentement, puisque » >f p, et parconséquent plus grand que p } qu’on fasse n — p + » on aura __ p + 3 q=V / 7 PP — 3 » et passant aux carrés, PP + fyq + 9 et l’on aura 3 q — y et parconsequent p^>q, ainsi on fera p = q+f, q-j-ar— {/’/qq + z ; de là les carrés qq+4qr+4n = 7qq + a; ensuite 6qq — 4qr + 4 rr —a> on 3qq — aqr -f- arr— t ; et enfin _ r + Virr—3 q- g - On continuera, à cause de q ^>r, en supposant q = r + s , et on aura 2 r -j~3s= \Zjrr — 3 , ensuite 4 rr ~h i 2 rs~f-gssz=yrr— 3, ou 3rr= i 2 rs -j-gss + 3, ou rr=4w-f-3w-j-i, et r — 2 s + ÿyss -f- î. Or cette formule est pareille à la première ; ainsi en faisant s~o > on obtiendra r= i, q — î, p = a et n = 3 ou m =. 8 . Mais ce calcul peut s’abréger considérablement de la manière qui suit, et qu’on peut employer aussi dans d’autres cas. De ce que 7 nn -f- 1 = mm, il suit que m < 3n. Qu’on suppose donc m — 3n — p, on aura 7 /m -f -1 =g 7 m-—■ 6pn-j-pp, ou anrepcfinp —pp -f - ï > d où Ton tire d’algèbre. 9* __ 3 p+ VlPP + 3 . 71 - " » 2 “nsi n <^3p- p ar cette raison on écrira n — 3p —■ a? > **» prenant les carrés, on aura 9PP — mpq-t- 4 ou o,ppz=i2pq — 4 qq+z, et pp =Gpq — zqq + 1 ; d où résulte P —3<7+ Viqq + !• Or on peut d’abord faire ici q~o, et on trouvera p = l ; «=2:3 et m = 8, comme auparavant. io3. Que a = 8, ensorte que 8nn-(- î =mm et m<^3n, il faudra faire m — 5n — p, et on aura 8«rc -j- i = cpin — G np pp , ou nn — ® n P PP^* 1 ’ d’où résulte __ n = 3p -f + i i et cette formule étant déjà semblable àla proposée, ou peut faire p = o, ce qui donne n = i et m — 3 . 104. On procédera toujours de la meme manière pour tout autre nombre a , pourvu qu’il soit positif et non un carr , e 1 on arrivera toujours à la fin à une quantité radicale, comme V at t + 1, qui sera semblable à la première ou à la proposée , et on n’aura alors qu’à supposer t = o ; car l’irrationnalité disparaîtra , et en retournant sur ses pas, on trouvera pour 1 nécessairement une valeur telle que ann -f- 1 soit un carre. On arrive quélquefois assez vite au but, mais souvent au» 9B ÉLÈMENS on est obligé de passer par un assez grand nombre d’opérations ; cela dépend de la nature du nombre a, mais sans qu’on ait des caractères d’après lesquels on puisse estimer le nombre des opérations à faire. Le procédé n’est jamais bien long jusqu’à i3, mais lorsque a= i3, le calcul devient beaucoup plus prolixe, et, par cette raison, il sera bon de développer ici ce cas. io5. Soit donc a = i3, et qu’on doive trouver i3n;i-f- i =mm. Comme mm^>gnn, et parconséquent m >3 n, on supposera m = 3n -f- p, et on aura îonn -j- i —ynn-l-Gnp-î-pp, ou 4 nn ~Snp-j-pp — tet ~ + |/i3 pp—4 . ’ 4 -’ ce qui indique que n > p, et à plus forte raison plus grand que p. Qu’on fasse donc on aura en carrant, ainsi n = p + q, P + 4q— / i3pp — q ; i3pp — 4=zpp + Spq -f i Qqq- 12 PP — o\i 3pp ~ apq4qq ~h 1 1 et g + \/i3qq + 3 ld p> 9_+H 2 —-i ou p>q; on continuera donc par p — q + r, aq -f- 3r= Ÿ'*3qq 3, et on aura ensuite d’algèbre. 93 l 3qq -}-3=4qf<7 + i 2 qr+grr, ou 999 = i 2 gr + grr—3, 3qq = 4qr-\-3rr — 1 , ou ce qui donne r, on fera et on aura et ensuite 9 = r-f- j, r -}- 3s = y' i 3rr — 3 ; i3rr — 3 = rr 4 - Grs 4 - 9 ss, ou isrr = 6 rs 4 - 4* 3 ,' ou d’où l’on tire 4rr = 2 ri -J- 3w + 1 , s +V/ t3w + 4 r 1 Mais r ^ ^ et plus grand que s , soit.donc 4 T — S + et nous aurons 3s + 4ta*\/13« + 4, et i3«4-4 = 9 w + 2 4* t 4' lSlt > ainsi fa z ^ t _(. 1 6« — 4, et ss = 6ts + 4 u — 1 » donc « — 3*4- \/\3it—\. Ici nous ayons «>3*4-3*, ou que 6t; il faudra donc faire * » s zzz 6t -4" u t ainsi 3i + u=—4", et ,i3f*— 1 = 9# + 6f« + «w; fe t É M E N S si adirés cela 4» = 6tu -f- uu -J- 1 ; 3u + y iZuu + 4 , fia enfin * =-^-- , ou t > — et > u. Si donc on fait on aura t — u- f- v, u-f 4 i/=v/ 1 3uu + 4, et i3ua+4 = uu + 8ui/+iGw j donc i2ua = 8ui/-f- i6w—4, ou 3uu = 2 ui/ -{- 4^^ —-î ; enfin v + l/i3i'i'— 3 ^ 4 y . u = -g- ,ohu>|,oub> v. Faisons en conséquence 1 u = v + x, et nous aurons fli' + 3x= \/i3vv — 3, et \Zvv — Z~£,vv -f- 1210 c-f-gxx ou gvv = i 2 vx-f gxx-f-3, ou Zvv — ^vx -j- 3xx -f -1 , 2 x -f- \/ 1 3xx -f- 3 et -g-; t • desorte que v > §x et > x. Supposons donc v = x + y, et nous aurons x + 3^ — \/i5xx-\-3, et i3xx-t-3 = xx + firy-f-9y.y» ou îaxx = 6xy -f. gyy — 3, et facx = 2 xy -f- 3 yy — î ; b’ A t G È B R tt- V -f-y/ iZy #n tire de là et parconséquent x ^>y- Ainsi nous ferons w —y + a > ce qui nous donne 3y+42,—^13)7—4, et 1% — 4 —axy + 2 &y + l6z * » ou ^vy = 24 yz -{- l ^ zz H" 4 '» donc yy — Gyz, -}- ^zz + i, et y — 3z + + 1 » et cette formule étant enfin semblable à la première , o* peut prendre s = o, et remonter de la manière qui suit . SS : y X O 1 y + 2 = V = X -f y = 1i V H - Æ ---- t == u -f v = s — 6 t -f* u “ r — i + f ~ q — r -f- s p =z q + r n — p + q — 1 ®° m =3 n + P = 649 - 11 suit de \à que l 8o est après o le plus petit nombre quon puisse substituer à n, si i3mt + 1 doit devenir un carre. 108 • 0n voit suffisamment par cet exemple, combien ces calculs peuvent devenir prolixes. Lorsqu’il s’agit de nombres plus giands, on est souvent obligé de passer par dix fois plus d’opérations que nous n’en avons eu à faire pour le nombre iû. t * 3 5 33 38 7 l 109 f) 6 É l I M ! s s Comme on ne peut guères prévoir non plus pour quels nombres on doit s’attendre à tant de longueurs , il sera bon de profiter de la peine que d’autres ont prise , et nous joindrons, pour cet effet, à ce chapitre une table où se trouvent les valeurs de m et de n pour tous les nombres a depuis 2 jusqu’à 100, afin que dans les cas qui peuvent se présenter, on puisse en tirer les valeurs de m. et de n, qui répondent à un nombre a donné. 107. Nous remarquerons cependant que, pour de certains nombres, on peut déterminer en général les lettres m et n ; ces cas sont ceux où a n’est que de 1 ou de 2 plus grand ou plus petit qu’un carré ; il vaudra la peine de les développer. xo8. Soit donc a — ee — 2; et puisque nous devons avoir ( ee — 2 ) nn -{- 1 = mm, il est clair que m<^ en ; c’est pourquoi nous ferons m —en — p, et nous aurons (ee — 2) nn + 1 = eenn — zenp-{-pp , ou 2 nn — aenp — pp -f- 1 ; donc n— ep+V/ “ÿp-^PP + * . et il est évident que si on fait p = 1, cette quantité devient rationnelle, et que nous aurons n = e et m = ee — 1. Soit, par exemple, a = 23 , desorte que e~ 5 , nous aurons 23 nn -f- 1 =zmm, si n =5 et m = 24. La raison en est évidente d’ailleurs ; car si dans le cas de a — ee — 2, on fait 71 = e , on a ann -f- 1 = — 2ee -j- 1 , ce qui est le carré de ee — 1. 109. D’À t G È B R È. 97 io

p — 1 > ’oü d’une unité moindre qu Un carré, il faudra que (ee— 1 ) nn-f-1 — tnm. On aura, comme ci—dessus , tn ou égal au carré 2ee— î. Soit, par exemple, a~a4> ou e — 5 , on aura n— îo, èt 24 nn -f-1 — 24° 1 = (49) a (*)• Ho. Supposons à présent a •sz ee -4" 1 > ou q ue a s0 ^ dé * P Us grand qu’un carré, il faudra que (ee -f- î) nn + 1 =mm, <*) Le cette 6up ;sr ra ^‘ ca * s^e'vanonit aussi dans ce cas, si l’on fait p — o, et possibles sa '° n ^ onne incontestablement pour m et n les plus petits nombres a inrt + I Jey 0lr ” ^ 1 et m = e; c’est-à-dire que si e — S, la formula deviem a. carre en faisant n~i > sera m~e — 5. 3 » ÉLÉMEKS et m sera évidemment plus grand que en ; écrivons donc m = en -f- p , et nous aurons (ee-f- 1 ) nn +1 = eenn -f* aenp -f- pp , ou nn~ aenp + pp — i, d’où résulte n = ep + Ÿ' ee PP +PP — t • On peut ici faire p — î , d’où résulte n~ie\ donc m — 2ee -f- 1. C’est aussi ce qui devait arriver, par la raison que a étant — ee-{- î et n = se , on a ann -j- i = 4 e * + 4 ee + 1 > carré de aee +1. Soit, par exemple, a= 17, ensorte que e = 4, on aura 177171 + 1 = mm, •n faisant n = 8 et m = 33 . 1 n. Soit enfin a—ee -f- n, ou de n plus grand qu’un nombre carré , on aura (ee + 2) titi + 1 = 771771, et, comme auparavant, m<^en\ c’est pourquoi on supposera 771 = 671 -f- P , et on aura v. eenn 4 * 21171 -J- 1 — eenn + zenp -f- pp, ou ann = s enp -\-pp — 1, ce qui donne ep -f- l/ eepp zpp d’aigêbre, 99 Qu’on fasse p = t, on trouvera n —e et 7n=ee+i; e t, en effet, puisque ' a — ee -f- 2 et n = e. on a ann + 1 = e 4 ■+• aee -j- 1, c e qui est le carré de ee + 1. Soit, par exemple, a = 11, desorte que e=3, on trouvera nnn -j- 1 = mm, en faisant m = 3 et m = 10. Veut-on supposer a = 83, on aura e = 9 , et 83nn 4. 1 = mm , dans le cas de n = 9 et de m = 8a. s T • J ' •.< table Qui indique pour chaque valeur de a les plus petits nombres ru et n, tels que mmr=ann-f 1 . a n m a 71 m 2 2 3 26 10 5 i 3 1 2 27 5 26 5 4 9 28 24 127 6 2 5 2.9 1820 9801 7 3 8 3 o 2 1 1 8 1 3 3 i 273 l 520 ÎO 6 J 9 32 3 17 1 1 3 10 33 4 23 12 . 2 7 34 6 35 i 3 180 64.9 35 1 6 i4 4 i 5 3 7 12 7 3 i 5 1 4 38 6 3 7 l 7 8 33 3g 4 25 18 4 *7 4 o 3 !.9 !.9 3.9 170 4i 320 204,9 20 2 9 42 2 i 3 21 12 55 43 53 x 3482 22 42 1 97 44 3 o J 99 23 5 24 45 24 161 24 1 5 46 3588 24355 n ' A L G Ê B H B. loi a il 771 a n 771 47 7 48 74 43 o 36.99 48 l 7 75 3 26 5 o 14 99 76 663 o 37799 5i 7 5 o 77 4 0 35 1 5 a .9° 6 49 78 6 53 53 9100 66249 79 9 80 54 66 485 80 1 9 55 12 89 82 18 i 63 5 b‘ 9 i 5 83 9 i 82 5 7 20 i 5 i 84 6 55 58 3574 ig 6 o 3 85 3 ogg 6 28576g 5 9 Go % 53 o 86 1122 io 4 o 5 4 ' 3 i 87 3 28 b‘i 226 i 53 g 8 o i 7663 igo 4 g 88 21 >97 62 8 63 89 53 oop 5 ooooi 63 1 8 9 ° 2 *9 65 l6 12g 9 1 i 65 i 5 7 4 66 8 65 9 a 120 11 5 1 67 5967 48842 93 1260 1 a 1 5 1 68 4 33 94 221064 2143295 % , 9 36 77 7 5 9 5 4 ' 39 70 5c 25 l 96 5 49 71 4i 3 3480 97 6377352 6 a 8 og 633 7a 2 *7 98 10 99 É 267000 2281249 99 Z 10 CHAPITRE VII. De la manière de rendre rationnelle la formule irrationnelle \ u + bx -f- cxx + dx 3 . Ï12. Nous passerons à présent à une formule où x monte à la troisième puissance , après quoi nous élèverons jusqu’à la quatrième puissance de x , quoique ces deux cas se traitent de la même manière. Qu’il s’agisse donc de transformer en un carré la formule a -f- bx ■+■ ex -j- dx *, et de trouver pour x des valeurs en nombres rationnels qui remplissent cette condition. Comme cette recherche est sujette à de bien plus grandes difficultés que les précédentes, il faut aussi plus d’art pour ne trouver même que des valeurs fractionnaires de x, et on est obligé de se contenter de telles valeurs sans prétendre en trouver en nombres entiers. Nous devons remarquer aussi d’avance qu’on ne peut ici donner une solution générale comme dans les cas précédens, et que si que la méthode employée ci-dessus conduisait à un nombre infini de solutions à-la-fois , chaque opération maintenant ne nous fera connaître qu’une seule valeur de x. 11 3 . Comme , en traitant de la formule a + bx -f- cxx , nous avons remarqué un nombre infini de cas où la solution est tout-à-fait impossible, on s’imagine bien que cela a lieu bien plus souvent encore pour la formule présente qui d’ailleurs exige constamment qu’on sache déjà, ou qu’on ait trouvé une solution. Aussi à l’égard de la formule proposée, ne peut- on donner des règles que pour les cas où l’on part d’une so- n* A L G È B K E. 103 Iution connue pour en trouver une nouvelle ; par le moyen de celle-ci, on peut en trouver une autre, et continuer ensuite de la même manière. Mais il n’arrive pas même toujours qu’une solution connue fasse parvenir à une autre ; au contraire il y a bien des cas où il n’y a qu’une seule solution possible, et cette circonstance est d’autant plus remarquable , que dans ceux que nous avons développés précédemment, une seule solution conduisait à une infinité d’autres. 11 4. Nous venons de dire que pour que la formule a -f bx + cxx dx 3 puisse être transformée en un carré , il faut nécessairement présupposer un cas où cette transformation est possible. Or un tel cas s’apperçoit très - clairement, quand le premier terme est lui-même déjà un carré , et que la formule est exprimée ainsi : ff - f- bx -f- cxx -f- dx 3 ; car elle devient évidemment un carré , si x — 0 . Ce sera donc par la considération de cette formule que nous entrerons en matière ; nous tâcherons de voir comment, en partant du cas connu x = o, on peut parvenir à quelqu’autre Valeur de x, et nous emploierons pour cet effet deux méthodes différentes que nous expliquerons successivement : il sera bon de commencer par des cas particuliers. n5. Soit donc proposée la formule î-j- 2 x — xx + x 3 , qui doive devenir un carré. Comme ici le premier terme est un carré, on adoptera pour la racine cherchée une quantité telle que les deux premiers termes s’évanouissent. Soit, pour cet effet, 1 -f- x ta racine dont le carré doit équivaloir à notre formule : on aura 1 -f- 2X — XX -f- x 3 = 1 -f- 2X -f- xx, °ù les deux premiers termes se détruisent, desorte que l’on a l’équation xx — — xx -f- x 3 , ou x 3 = 2XX , 4 10 4 É L É M E N S qui, divisée par xx, donne x~ a \ ainsi la formule devient 1 + 4— 4 + 8=9- De même, pour faire un carré de la formule 4 -f- Sx — 5xx -f- 3x 3 , on supposera d’abord sa racine =s-f -nx, et on déterminera n d’après la condition que les deux premiers termes disparaissent; or on aura 4+ 6ar—5xx +3x s ~4 + 4nx+ ntixx ; donc il faut que 4« —6, et n~l ; de là résulte l’équation — 5xx -f- 3m 3 = | xx, ou 3x 3 =-^xx, qui donne x = ; et c’est cette valeur qui fera de la formule proposée un carré dont la racine sera nG. La seconde méthode consiste à donner à la racine trois termes, comme _/+■ gx -f- hxx , tels que dans l’équation les trois premiers termes s’évanouissent. Soit proposée , par exemple, la formule î — 4x + 6xx— ôx’, «n en supposera la racine = i — ax -f- hxx, et on aura î — 4x -f-Gxx — 5x 3 =i—4^ + 4 r - r “+ %hxx —4/ix 3 -!- hkx* : les deux premiers termes , comme on voit, se détruisent des deux côtés; et pour chasser aussi le troisième, il faudra faire 6 = 2/1 4> et parconséquent h = 1 ; par ce moyen on obtient — 5x 8 = — 4x 3 +x 4 , ou — 5= — 4+x; desorte que x = — 1 . I 1 d’algèbrk. io5 117, C’est donc de ces deux méthodes qu’on peut faire usage, lorsque le premier terme a est un carré. La première se fonde sur ce qu’on exprime la racine par deux termes, cçminxe f-)-px, o ùf est la racine carrée du premier terme, et où p est pris de mauière que le second terme doit pareillement disparaître, ensorte qu’il ne reste qu’à comparer ppxx a Vec le troisième et le quatrième terme de la formule, savoir, cxx -f- dx 3 ; car cette équation alors, pouvant se diviser par x x, donne une nouvelle valeur de x, qui est Dans la seconde on donne trois termes à la racine, c’est- a-dire que si le premier terme a est ~ff, on exprimé la .racine par f-\-px-{- qxx, après quoi on détermine p et q, de façon que les trois premiers termes de la formule s’évanouissent , ce qui se fait de la manière suivante : Puisque ff+bx-{-cxx- f- (Îjç 3 —ff-f-zpfx-J-pfçxx-f-ppxx-j-zpqx 3 -}- qqx*, d faut que b—zfp, d’oùp=A ; de plus que c—sfq+pp, d’où q = *~J P - , a P r ès cela reste l’équation dr 3 = zpqx 3 -f qqx* ; ** comme elle est divisible par x 3 , on en tire r — d ~ a P et par làx=o, ce qui n’est point une nouvelle valeur de x. Que si, d’après la seconde méthode , on voulait faire la racine px qx, ou ff -f- dx 3 —ff-\-sfpx -j- s fqxx -f- ppxx -(- 2 pqx 3 -f- qqx*, on trouverait de plus o — a fp et p = o ; o = s fj-hPP et q= o; et il en résulterait dx 3 = 0, et pareillement x = ot n q. Il ne reste d’autre parti à prendre dans ces cas-là , que de tâcher de trouver quelque valeur de x> telle que la formule devienne un carré; si on y réussit, cette valeur fera trouver ensuite, par le secours de nos deux méthodes, de nouvelles valeurs ; et cette voie est bonne même pour les cas où le premier terme ne serait pas un carré. Que, par exemple, la formule 3 -f-ar’ doive devenir un carré, comme cela arrive quand x = 1 : on fera 37 = 1 +y> et on aura 3 + x 3 =4 + 3 y + 3 yy -f-/, où le premier terme est un carré. Qu’on en suppose done D ALGEBRE, 107 suivant la première méthode, la racine = 2 + py , on aura 4 + 3y + 3yy+y 3 — 4+4py+ ppyy\ et P°ur que le second terme disparaisse, il faudra que 3 =4p, ** parconséquent p=|', ainsi 3 +y=pp et 3=^— donc .7?——?— ce qui est une nouvelle valeur de x. 10 Si on fait de plus, conformément à la seconde méthode, racine = 2 —f- pjy —f- qyy , on a 4+3y+3yy+f—4+4py+4m+PPyy + d’où on chassera le second ternie, en faisant 3 = 4P ou p=z et le quatrième, en faisant 3 = 4q + pp, ou q = —JZ=z *'nsi 1 = apq -f- qqy , d’où l’on tire i— 2 pq 35a 1870 y = ~~> ™ y = 755T , et *=1^ la o. En général, si on a la formule + cxx -f- dv 3 , j* 8u’on sache d’ailleurs qu’elle devient un carré quand x —f, es °rte que a + h f+ c ff+ d P~gS> ° n tara x -f-y , et on aura la nouvelle formule qui suit ; a + bf +by + cff+ aify -f cyy 4- dp + Zdffy -f. 3dfyy + df gS + (b-j- zcf+ 3 dff)y + ( c+ 3 df)yy +dy 3 . Dans cette formule le premier terme est un carré; ainsi on peut y appliquer les deux méthodes précédentes, et elles fourniront de nouvelles valeurs de y , et parconséquent aussi de x, puisque x=.f-\-y. 121. Mais souvent d’une première valeur de x, on ne peut en conclure d’autres, c’est ce qui arrive à l’égard de la formule 1 qui devient un carré quand x=2. Car si, en conséquence de cela, on fait x = 2 -f -y on trouvera la formule i + a^ = g -f- i 2 y + 6yy -\-y*, qui devrait de même pouvoir devenir un carré. Or soit, d’après la première méthode, la racine = 3 -j-py. on aura 9 + 13 J + 6 yy+y> = 9 + 6 # +ppyy, où il faut donc que 12 == 6 p et 6 +y—pp~4, P — et y~—2, ce qui donne a? = o, c’est-à-dire une valeur qui ne conduit à rien de plus. Essayons aussi la seconde méthode, et faisons la racine = 3 -f- py -f- qyy, nous aurons 9 + 1 oy + Gyy+y 3 — 9 + 6 py + 6 qyy + ppyy + apqy 3 -f qqy*> OÙ il faudra d’abord que 12 = 6 p et P — 2 , ensuite quç 109 5 = 8q + pp = 6q + 4> et <7 = $-; 0n aura donc «j e Jà , i=2pq + qqy—$ + ?y\ y = — 3 » et Parconséquent x— — i, et 1 + x 3 ~o; ^ °ù l’on ne peut rien conclure de plus , parceque si on 'Voulait faire x =—1 -f-z, on trouverait la formule 3 z — 3 zz + z 3 , ®n le premier terme s’en va; desorte qu’on ne pourrait faire usage ni de l’une ni de l’autre méthode. On est assez fondé à soupçonner, après ce que nous venons Redire, que la formule î-f-x 3 ne peut devenir un carré que dans les trois cas que voici ; (i°) X= 2 , (2 0 ) x=o, ( 3 °) x — — 1. aïs c’est de quoi on peut se convaincre aussi par d’autres ■valsons, ' a5. Considérons encore, pour nous exercer, la formule ' rà x s i q U ; devient un carré dans les cas suivans : (i°) x = o, ( 2 0 ) x = i, (3°) x~a. _ tl i V ?^° ns si nous parviendrons à trouver d’autres valeurs fouissent de cette propriété. Puis d r 1 aonc que x— 1 est une des valeurs qui satisfont, apposons x~~ , . x =1 -by > ct nous aurons r -f 3x*=4+ 9/ ~h aXX+ 3 /* 1,0 É L É M E N S Que la racine de cette nouvelle formule soit 2 + /jy, en- sorte que 4 + 9 y + axy + = 4 4- 4 py + ppyy, i il faudra que 9 = 4p et p = £, et les autres termes donneront 9+3y=pp=-H et y=—H;' parconséquent x = — , et 1 -f- 3X 3 devient un carré dont la racine est —ou bien aussi -f-££. Si nous voulions à présent continuer, en faisant x= —-i + z, nous ne manquerions pas de trouver de nouvelles valeurs. Appliquons aussi à la même formule la seconde méthode, et supposons la racine = a -\-py + qyy ; cette supposition donne 4+9y+9yy+ 5 y 3 —4+4py+4qyy+ppyy+ ;2 P c iy 3 + c i donc il faudra que .9 — 4 p ou p~l, et S= 4 - 13^> tu et ces valeurs en fourniront de nouvelles, en suivant les voies que nous avons indiquées. la 3. Il faut remarquer cependant que, si on voulait se donner la peine de tirer de nouvelles valeurs des deux qu’a fourni le cas connu x— 1 , on parviendrait à des fractions extrêmement prolixes ; et on a lieu de s’étonner que ce cas, n’ait pas conduit plutôt à cet autre, xzx 2 , qui ne to mbe pas moins évidemment sous les yeux. Et c’est là une imperfection de la méthode dont il est question, et qui est jusqu’à présent la seule qu’on connaisse. On peut partir de la même manière du cas x~ 2 , afin Retrouver d’autres valeurs. Qu’on fasse, pour cet effet, x—a+y, e t ü s’agira de faire un carré de la formule 25 -f- 3£y -f- l 8yy + y 3 ; supposons-en la racine, d'après la première mé- thode, = 5 + py, nous aurons a5 -f 3Gy + 1 8 yy +3y 3 = a5 + îopy +ppyy, parconséquent 36 — iop, ou e ^ a Çant à présent les termes qui se détruisent, et divisant le» Cotres par yy , il en résulte et i8+3y = fl>=:Sÿ, ^conséquent y~—%> et ° u d 8u ;t que î + 3X 3 est un carré dont la racine «st 5 + py = -^ OU +i%. 113 È L ^ M É » S Dans la seconde méthode, il faudrait supposer là racine ■— 5 -f-py -f- qyy > et on aura ît a5-f-3Gy +18yy+3y 3 =25+1 opy +1 oqyy±zpqy 3 +qqy* J +ppyy les second et troisième termes disparaîtraient en faisant 36=iop, ou p = ^-, et 18 = 10 q + pp, d’où q 125 1 OU et alors les deux autres termes, divisés par y 3 , donneraient 3 = npq qqy , ou qqy — 3 — zpq—~^, c’est-à-dire, v — —. 3 a ^ et x y - 13 Ü 3 CL O. 124. Ce calcul ne devient pas moins long et difficile, mémo dans des cas où , en partant d’un autre principe , il est facile de donner une solution générale ; comme, par exemple, quand la formule proposée est 1 — a: — xx + æ 3 , où l’on peut faire généralement xz=nn —1 (*), en donnant à n telle valeur qu’on veut. En effet, soit 71=12, on aura a;~3, et la formule devient = 1—3 — 9-1-27=: 16. Soit ra = 3, on aura x — 8, et la formule devient = 1—8 — 64 + 5i2 = 44i» et ainsi de suite. Mais remarquons que c’est à une circonstance tout-à-fait particulière que nous devons une solution si facile, et cette (*) En effet, par cette hypothèse, la formule devient n’ (n<— 4"’ ■+■ 4) < I U * est le produit de deux carrés, et qui conséquemment donné un carré, quelque nombre qu’on prenne pour n. circonstance d'algèbre- 113 Circonstance s’apperçoit aisément, si on décompose notre formule en facteurs; car on voit aussitôt qu’elle est divisible par J, x < que le quotient sera 1 —xx, qu’il est composé des ac teurs (i -f-x) ( 1 —x) , et qu’enlin notre formule i 1 ~~ ;r — xx-j- x 3 ~(i — x) (î-j-x) ( 1 —x) = (i—x) 5 (i+x) ; 0r ’ Puisqu’elle doit être un carié, et qu’un carré divisé par 11,1 c 3rré, donne un carré pour quotient, il faut aussi que 1 ")'*==: un carré; et réciproquement, si î -f-xestun carré, il faut que (i —x)* (i + x) soit un carré ; on n’a donc qu’à faire 1 -f- x — nn , et on aura sur-le-cliamp i — x — x*-J-x 3 =: n*(n* — 4n a + 4). Si cette circonstance nous eût échappé, il aurait été difficile de déterminer même seulement cinq ou six valeurs de x Par les méthodes précédentes. 125. Il suit donc de là qu’il est bolï pour chaque formule proposée, de la résoudre en facteurs, quand cela est possible. Or nous avons fait voir plus haut comment on s’y prend ; nous avons dit qu’il faut égaler la formule donnée à *ero, et chercher ensuite les racines de cette équation; chacune d’elles , comme x—f, donne un facteur y—x; et cette recherche est d’autant plus aisée , qu’on n’a besoin ici *I Ue des racines rationnelles qui sont toujours des diviseurs do ternie connu, ou du terme qui ne renferme point x. ïa 6. Cette circonstance a lieu aussi dans notre formule gé- ^fale a + bx + cx a -f - dx 3 , quand les deux premiers termes d‘ s Paraissent, auquel cas la formule qui doit devenir un se réduit à cxx -f- dx? ; car il est clair alors qu’en ls ant par le carré xx , il faudra pareillement que c -f- dx so *t un carré ; on n’a donc qu’à supposer c -f- dx = nn , P°ur avoir x = de solutions a. nn — c c d , valeur qui renferme un nombre in- , et même toutes les solutions possibles. H E L E M E N S 127. Si dans l’application de la première des deux méthodes précédentes , on ne voulait pas déterminer la lettre p d’après la condition que le second terme disparût, on parviendrait à une autre formule irrationnelle qu’il s’agirait de rendre rationnelle. Soit, par exemple , jf bx cxx -f- dx 3 la formule proposée , et qu’on en fasse la racine =f -4 px , on aura jf -\-bx-\- cxx -f- dx 3 —jf ofpx + ppxx, où les premiers termes se détruisent ; divisant donc les autres par x, on obtient b + ex -f- dxx = 2 fp -f- ppxx, ce qui est une équation du second degré, qui donne _ pp — c-)-l/p +—zrpp -f- Mfp -f- cc — 4 bd x ~ Vd • Ainsi l’affaire se réduit maintenant à trouver pour p des valeurs telles que la formule p 1 — zepp-f %dfpcc—/fbd devienne un carré. Or comme c’est la quatrième puissance du nombre cherché p qui se présente ici, ce cas appartient au chapitre suivant. D 1 A L G È B R K. 115 CHAPITRE IX. De la manière de rendre rationnelle la formulé incommensurable ya -f- bx-f-exx-f-dx^-j-ex*. 128. JN"ous voici parvenus à des formules où le nombre indéterminé x monte à la quatrième puissance , et c’est par là que nous terminerons nos recherches sur les quantités affectées du signe de la racine carrée, vu qu’on n’a pas été assez loin encore pour pouvoir transformer en carrés des formules compliquées de puissances plus hautes de x. Notre nouvelle formule fournit trois cas à considérer: i<> le premier terme , a, est un carré ; 2 0 , le dernier terme , eod est un carré ; 3 ° et 4 °, le premier terme et le dernier sont l’un et l’autre des carrés. Nous traiterons chacun de ces cas séparément. 12g. i°- Résolution de la formule Vjf-\- bx-\-cxx-f-dx^-j-ex 4 . Comme le premier terme ici est un carré, on pourrait, par la première méthode, supposer la racine =f-i~px, et déterminer p de manière que les deux premiers termes disparussent, et que les autres fussent divisibles par xx ; mais on ne laisserait pas alors de rencontrer encore un terme xx dans l’équation , et la détermination de x dépendrait d’un nouveau signe radical. Ce sera donc à la seconde méthode que nous aurons recours; nous ferons la racine px -f- qxx\ nous déterminerons p et q de façon à faire disparaître les trois premier termes; et divisaut ensuite les autres par x 3 , nous s E L E M E N S ll6 parviendrons à une simple équation du premier degré, qui donnera x dégagé de signes radicaux. i 3 o. Si donc la racine =f -J- px + qxx , et qu’ainsi ff-j-bx-}- cxx -f- dx 3 + ex* —ff -f- 2 fpx -f- 2/qxx -f- ppxx + 2 / oqx 3 +qqx+, les premiers termes disparaissent d’eux - mêmes ; quant aux seconds , on les chassera en faisant b = 2fp, ou P = ^f> et il faudra, pour l’évanouissement des troisièmes, que c = 2 fy+PP, ou q c — PP. cela posé, les autres termes seront divisibles par x 3 , et donneront l’équation d -f- ex = 2 pq -f- qqx, de laquelle on tire x d — 2 pq W — « ’ OU X zpq — d e -<7 ' i 3 i. Or il est facile de voir que cette méthode ne mène à rien, quand le second et le troisième terme manquent dan3 notre formule, c’est-à-dire, lorsque b = c-=z o; car alors d , „ p — o et q = o, parconsequent x = —- , cl ou 1 on ne peut ordinairement rien conclure, parceque ce cas donne évidemment dx 3 + ex* = o , et qu’ainsi notre formule devient égale au carré ff. Mais c’est surtout pour les formules telles que ff -f- ex* que cette méthode n'est d'aucun usage, puisque, dans ce cas, d étant aussi =0, on trouve pareillement x = o, valeur qui ne conduit à rien de plus. Il en est de même, lorsque à=oetd=o, et qu’ainsi la formule est ff-\- cxx -f-ex*; d’algèbre: \ 117 car dans ce cas p=o et <7=^, d’où résulte x = o, comme on le voit aussitôt. 1 3 a. 2°. Résolution de la formule [/a-f-bx-f- cxx -j- dx 3 -f- ggx i . O n pourrait réduire cette formule au cas précédent , en apposant x = - -, car comme il faudrait alors que la formule b y G ~j-È — -I_ i~ — fût un carré , et que dans celle - ci se y yy^y s y* trouve en facteur le carré y \ lorsqu’on l’a multipliée par y*, la question se réduirait à faire un carré de la formule ayt -)- by 3 ~f~ cyy -f- dy 4- gg, qui est tout-à-fait semblable à la précédente écrite en sens inverse. Mais on n’a pas besoin de passer par ce procédé ; on n’a qu’à supposer la racine = gxx + px -)- q , ou dans l’ordre inverse, q -f~px -f- gxx, et on aura ,a -f-bx-f- exx 4- dx 3 -J- ggx^ — qq~ f- 2 pqx -f- zgqxx -f- ppxx + *gpx 3 +ggx> : or les cinquièmes ternies se détruisant ici deux-mêmes, on dé. terminera d’abord p , de manière que les quatrièmes termes Se détruisent pareillement, ce qui arrive pour , à <* = 2gp,oup = — ; * n suite on déterminera aussi q , afin de chasser les troisième*' ter *ues, et on fera pour cet effet . c — pp c=zgq+ pp, ou q— Cela fait > les deux premiers termes fourniront l’équation a -f- bx — qq -f- zpqx , 5 118 d'où l’on tire x 133. Nous retrouverons ici l’inconvénient que nous avions re- marqué ci-dessus, dans le cas où le second et le quatrième terme manquent, c'est-à-dire lorsque b=o et rfc=o; en effet, on trouve alors p — o et q = —, donc x = --— ; or cette ^ ° valeur étant infinie, ne donne rien de plus que la valeur x — o, dans le premier cas; d’où il suit que cette méthode ne peut être employée pour les expressions de la forme a -j- car 1 ggxK 134. 3°. Résolution de la formulé \/ff -j- bx -j- cxx -J- dx i -f-ggar*-. Il est clair qu’on peut employer pour cette formule l’une et l’autre des deux méthodes dont on vient de faire usage ; car d’abord, parceque le premier terme est un carré, on peut prendre pour la racine f-j- px -f- qxx , et faire évanouir les trois premiers termes; ensuite, comme le dernier terme est pareillement un carré, on peut aussi faire la racine ~p -f- px -f- gxx, et chasser les trois derniers termes, au moyen rie quoi on trouvera même deux valeurs de x. Mais on peut traiter aussi cette formule par deux autres méthodes qui leur appartiennent particulièrement. Dans la première , on suppose la racine =f-\- px -f- gxx , et on détermine p de façon que les seconds termes se détruisent ; c’est-à-dire que, comme il faut que ff+bx + cxx + dx 3 -f ggxî =ff+ zfpx -f 2 fgxx + ppxx + zgpx 3 +ggx*, on fait bx=zfp ou P = ^i E L E M E N S 2 P<7- ■qq qq —- ou x —- LJ - b’ b — 2P<7 D'A ! G È B R E. 119 et puisque de cette manière tant les seconds termes que les premiers et les derniers ternies se détruisent, on pourra diviser les autres par xx, et on aura l’équation c + dx — zfg -f pp + 2 gpx, de laquelle on tirera x = c ~ z fg- ■PP zvrp. x _ P P -f «fc — g d—zgp Et on doit surtout remarquer ici que comme, dans la formule, on ne trouve g qu’à la seconde puissance , la racine de ce carré, ou g, peut être prise sous les signes -f- et — > e t qu’il résulte delà encore une autre valeur de x, savoir: c + ofg — PP — zgp—d ou X __pp — rfg- zgp + d c i35. Il existe, ainsi que nous l’avons dit, une autre manière de résoudre cette formule : elle consiste à supposer d’abord, comme ci - dessus, la racine =f-}-px + gxx , et à déterminer ensuite p de manière que ce soient les quatrièmes termes qui se détruisent ; cela se fait en supposant dans l’équation fondamentale , d d — a gP > ou p = ~> car puisque les premiers et les derniers termes disparaissent pareillement, on pourra diviser les autres par x, et il en r ésultera l’équation qui donne b + cx = zfp + zfgx -f ppx, b—zfp. rfs+pp—° De plus, nous avons à remarquer que comme dans la formule, 4 120 É L É M E N S le carré ff se trouve seul, on peut supposer également que sa racine soit — f, et qu’ainsi on aura aussi x== b + 2 fP PP — z fs — c Desorte que cette méthode fournit aussi deux nouvelles valeurs de x, et que parconséquent les méthodes que nous avons employées, donnent en tout six nouvelles valeurs. 1 36 . Mais ici il arrive encore que b et d étant = o, on ne peut trouver pour x aucune valeur qui conduise au but; desorte qu’on ne peut parvenir à résoudre la formule^"-f- cxx ggx^. En effet, si è=o et d=o, on a par l’une etl’autie voic,p=o; et , c — 2 fg ,, la première donnant x= -—^ , et 1 autre x=o, on ne peut être conduit à des conclusions ultérieures. 137. Yoilà donc les trois formules auxquelles on peut appliquer les méthodes que nous avons détaillées jusqu’ici ; et si, dans la proposée, ni l’un ni l’autre terme n'est un carré , il n’y a aucun succès à espérer avant qu’on ait trouvé une valeur de x , telle que la formule devienne un carré. Supposons donc que nous ayons découvert que notre formule devient un carré dans le cas de x—h , ou que a -f- bh -f- chh -f- d]p -f- e/d == kh. Si nous faisons x=h +y . nous aurons une nouvelle formule dans laquelle le premier ternie sera hk, c’est-à-dire un carré, et qui parconséquent retombera dans le premier cas. On peut aussi faire usage de cette transformation , après avoir déterminé par les méthodes précédentes une des valeurs de x, par exemple x = h ; on n’a qu’à faire alors x = h -f- y , et on parvient à uue nouvelle équation sur laquelle on peut opérer de la même manière. Les valeurs dex, qu’on aura trouvées de cette façon, en fourniront de nouvelles; celles-ci encora d’autres, et ainsi de suite. 121 ^'ALGÈBRE. i38. Mais il est surtout à remarquer qu’on ne peut en aucune manière espérer de résoudre les formules où le second et le quatrième terme manquent, avant que d’avoir , pour ainsi dire , trouvé une solution. Nous allons faire connaître le procédé à employer dans ce cas, sur la formule a- f- ex *, qui est une de celles qui se présentent le plus souvent. Supposons donc qu’on ait trouvé une valeur x := //, et qu’on ait a -f- eh* = kk ; s i l’on veut trouver par là d’autres valeurs de .r, on fera x ~ h +y> e t il faudra que la formule suivante , a eh* -f- ^eh 3 y -f- Gehhyy -f ^ehy 3 -f- ey*, Y «oit un carré ; or cette formule revenant à celle-ci, kk -)- ^eh 3 y -(- Sehhyy -f- 4 ehy 3 -f- ey*, a Ppartient à la première de nos trois espèces • ainsi nous ferons sa racine carrée —k-\-py -\-qyy , et la formule elle-même Parconséquent égale au carré kk -f- akpy akqyy -j- ppvy + 2 pqy 3 -f- qqy* , d’où il faudra d’abord chasser le second te vme en déterminant p et q en conséquence, c’est-à-dire en disant 4e/i 3 = 2,1;p , ou p = 2 eh 3 et 6ehh ~ zkq -f- pp , ou _ Sehh — pp Zehhkh — aee/i 6 ehh (3 kk — 2e/d) . ' 2/{ ~ P — P > 0a enfin _ ehh (kk -f- 2 o) 7 P a cause de eW-=.kk—a ; après cela les termes restans, divisés 123 par _y 3 , donneront E L E M E [I 8 d’où l’on tire 4eh + ey = zpq + qqy, 4eh — 2 pq le numérateur de cette fraction peut se mettre sous la forma 4ehk' i — 4ee/i 5 (kk -f- 2 a) Y* ou , à cause de eh) — kk > sous celle-ci, ’ ' 4<’h!à — 4 e k (kk — a) (kk -f- 2 a) _ 4 g k (— a kk -f- 2 a 2 ) 4cieh ( 2 a — kk) là ’ Quant au dénominateur qq — e, il devient e(kk — a) (kk -f- 2 a) 2 — eù 6 e ( 3ak* — 4« 3 ) ea (3k ' — 4 aa ) , — k e ainsi la valeur cherchée sera _ aaeh ( 2 a— kk) k 6 _ 4kkk(za — kk) y k* ae(3k*— 4 aa )‘ ° U y 3k) — 4°u * et parconséquent __h(&akk —fc* — 4 aa ) _ h(k) — Sakk-)-4 aa y X 5/d — 4aa * ° U * 4 aa — 3/d Si donc on substitue cette valeur de x dans la formule c -f- ex) ; elle devient un carré ; et sa racine que nous avions supposé k J- py -f- qyy , aura cette forme , . $k(kk — a) (na — kk) , iGk(kk — a) (kk za) (za — kk)* * T OtM_ I m-4 _ A,7,7ÿi ” ’ * n A L G E B RE. parceque, comme nous avons vu, ia 3 2 eh 3 f = - r , r- ehh (kk-)- aa) : F 3 ’ et y 4 hkk (2a—-kk) 3 A+ — 4 aa i 3 q. Continuons de considérer la formule a + ex* ; et puisque le cas a -f- e/d = kk est connu, regardons-le comme fournissant deux cas dilférens, à cause de x— -f- h et de x~ — h ; •> nous pourrons, par cette raison, transformer notre formule en nne autre de la troisième espèce , dans laquelle le premier et le dernier terme sont des carrés. Cette transformation se fait par un artifice qui est souvent d’une grande utilité, et qui consiste à faire „ *ü+.y) i—1 °n a donc a i cr i — a ( 1 —yY + ehi C 1 +.y ) 4 (i - y y _ fcfc + 4 — 2C 0 y -f- G khyy -f 4(kk — 2 a) y 3 -f kky* (1 -yy Qu’on suppose la racine de cette formule , conformément « ... & -h py — / et = 2 1 k — 4 a t ou or ÉLÉMENS 3 24 ainsi et y (Mfr- ,fi„ l6o**+ ^ kk ’ _— k* — ^akk + Apa ^ kk( akk — 4à) Si nous voulons trouver maintenant x, nous avons d’abord 1 +y = et en second lieu k* — 8 akk + 4 aa kk(akk — 4 a) * _ 5 k* — 4 aa y kk(akk — 4 a)’ ainsi 1 -f-j k* — 8 akk + 4 aa 1 ■—y 5 k* — 4 aa * et parconséquent a: k* — 8 akk + 4 aa l 5 k* — 4 aa valeur qui est la même que celle que nous avons déjà trouvés ci-dessus. i 4 o. Soit, pour appliquer ce résultat à un exemple , la formule ax *—1 qui doive devenir un carré. Nous avons ici a = — 1 et e = 2 ; et le cas connu où la formule est un carré, est celui où x — 1 ; ainsi h = 1 et kk = 1. Donc nous aurons la nouvelle valeur 1+8 + 4 X “ 3 — 4 i3 ou x= +13, parceque la quatrième puissance de x se trouve seule, et de là résulte ax* — 1 = 57121 = (a 3 g) 1 . D’ALGÈBRE. 135 Si nous regardons à présent ceci comme le cas connu , nous avons h = i 3 et k — 23 g, et nous obtenons une nouvelle valeur de x , qui est _ 3262808641 + 456968 + 4 „ __ 3263 a 65 fii 3 * 9788425926 — 4 1 9788425922' 1 _ 42422453969 9788425922" J4i. Nous allons considérer de la même manière la formule u n peu plus générale , a -f- cxx -J- ex* , et nous prendrons pour le cas connu où elle devient un carré, x — h\ de- sorte que cl -)- chh -f- elfi r= kk. Supposons donc, afin de trouver par là d’autres valeurs, <îue x = h -j-y, et notre formule prendra la forme suivante : a chh -f- zchy -f- cyy eM -f- ifiiPy -f- Gehhyy -f- fehy 3 * -f- ey* hk (ac h -f- 4 ^h 3 )y -f- (c —}— Gchh)yy -f- ^ehy 3 -f- ey*. Le premier terme étant un carré, nous supposerons que racine carrée de cette formule, est k + py -f- qyy ; et la formule elle -même devra être égale au carré kk -f- akpy -f- ^hqyy _|_ ppyy -f- 2 pqy 3 -f- qqy^ ; déterminons à présent p 9, afin de faire évanouir les seconds etles troisièmes termes, Uous aurons pour cet effet 2 ch -f- 4eh 3 = 2 kp , p = c . ^~K - * 2 . e - , et c -f- Gehh = 3 kq -f- pp, R _ c - f- Gehh — pp q ~~ Hk 5 ‘maintenant les termes suivans étant divisés par y 3 , se réduisent ou ou laS É1KMESS à l’équation 4eh + ey= 2 pq -f qqy , qui donne enfin — *pq et parconséquent aussi la valeur x~h -f- y , qui fait que la racine carrée de notre formule, est k -j- py -}- qyy. Si après cela nous regardons ce nouveau cas comme le cas donné , nous pourrons trouver un autre nouveau cas, et continuer de la même manière autant. 142. Rendons l’article précédent plus clair, en l’appliquant à la formule î — xx -(- x* : on voit aussitôt que le cas connu est x — 1 et k =z 1. Si nous faisons donc x = 1 -f-^, et la racine carrée de notre formule = i -f- py -j- qyy , il faudra d’abord que p = 1 et ensuite q — 2 ; et ces valeurs donnent y = o et ac — 1 ; or voilà le cas connu , et on n’en a pas trouvé un nouveau ; mais on peut prouver autrement que la formule proposée ne peut devenir un carré que dans les cas de r = o et de x == dn 1. 1 43 . Soit donnée aussi pour exemple la formule. 2 — 3 xx -j- 2X*, où a — 2 , c = — 3 et e = 2. Le cas connu se trouve aisément ; il est x = 1 ; ainsi // = 1 et k = 1. Si donc on fait x — 1 -f-.y, et la racine = 1 -f- py -{- qyy , on a et de là résultent p — 1 et q — 4 , y — o et x = 1; ce qui n’apprend que ce qu’on savait déjà. 144. Autre exemple. Soit la formule 1 -f- 8xx -f- X* , ou tz = 1 , c = 8 et e= 1. Une légère considération suffit pouf remarquer le cas satisfaisant x = 2 ; car, en supposant h = 2 » on trouve k =7 ; ainsi faisant x — 2 ~hy, et la racine = 7 -f py -f- qyy . ou aura P — Si T » q ü 7 a TS7 ' d’où l’on conclut 127 d’algèbre. 1 y~ — Ü7T et * = — et on peut omettre dans ces valeurs le signe moins. Mais observons de plus dans cet exemple, que puisque le dernier terme est déjà un carré, et qu’il doit rester tel dans la nouvelle formule, on peut également appliquer jci le procédé indiqué pour les cas de la troisième espèce. Soit donc, comme auparavant, x=a+y, nous aurons 1 3a -J- 32 y -}- %yy 16 4- 3 ay -f- q4vV -f- ~hy* 49 4- 6 4y + 3ayy -f- 8y 3 -f -y*, expression qu’on peut maintenant transformer en un carré de plusieurs manières. Car d’abord on peut supposer la racine ^ 7 -f- py ~\~yy , parconséquent la formule égale au carré 49 + 1 4py + 1 4yy + ppyy -h %py 3 + J* 5 faire évanouir les Pénultièmes termes par la supposition 2p —8, d’où p = 4 ‘> diviser les autres termes par y , et tirer de l’équation 64 -f- Say = 1 4 p + i 4 y +ppy~M + 5 °y > la valeur y — — 4 et x = — 2, ou x=-f 2; ce qui n'est, à la vérité, que le cas déjà connu. Mais si l’on cherche à déterminer p de façon que les seconds termes disparaissent, on aura i4p = 64, etp = ^; .128 É L É M E N S et les autres termes, divisés par yy , formeront l’équation 1 4 + PP + W= 3a + 8 J» ou i is £ + ¥y = Sz + Sy, d’où l’on tire et parconséquent as > x — — » 0u = -f- - 5 -^ ; / et cette valeur transforme notre formule en un carré dont la racine est De plus, comme —yy n’est pas moins la racine du dernier terme que ne l’est -j-yy, on peut aussi supposer la racine de la formule =7 -f- py — yy, ou la formule même = 4.9 + i 4py — 1 4yy + ppyy '• — z py 3 -h y en fera évanouir les termes pénultièmes, en supposant 8=— 2 p, ou p —— 4 i et divisant les autres par y, on trouvera G4 + 3ay=i4p—i4y-i-ppy = —SS -f 2 y, ce qui donne y —— 4 , c’est-à-dire de nouveau le cas connu. Que si l’on voulait chasser les seconds termes, on aurait S4=i4p, et p=^; parconséquent, en divisant les autres termes par yy , on obtiendrait 32 + 8y = — 14 + pp — apy, ou 32 -f- 8_y = ^ — fyy, d’où l’on tirerait y=-£e t *=* + £, c’est-à-dire les mêmes valeurs que nous avons trouvées ci- dessus. „ D ALGÈBRE. 1 39 i45. On peut procéder de la même manière à l’égard de la formule générale a -f- bx -f- cxx -j- dx 3 + ex*, quand on connaît un cas comme x — h , dans lequel elle devient un carré kk\ la méthode est toujours de supposer ensuite x=h -f-y; en obtient par là une formule d’autant de termes qu’en contient l’autre, dont le premier est kk ; si après cela on exprime la racine par h -f- py -f- qyy , et qu’on détermine p et q de manière que les seconds et les troisièmes termes disparaissent aussi, les deux derniers pouvant être divisés par y 3 , se réduisent à u ne simple équation du premier degré, de laquelle on tire facilement y , et parconséquent aussi la valeur de x. Mais on sera cependant, comme auparavant, obligé d’exclure Un grand nombre de cas que donne cette méthode ; savoir ceux où la valeur qu’on trouve pour x, n’est autre que celle qui était donnée ; ces sortes de cas indiquent ou 'lue la formule est impossible en elle-même , ou qu’il faudrait trouver encore pour x une valeur qui la rendît un carré. t4S. Et voilà jusqu’où on est parvenu jusqu’à présent dans 1® résolution des formules qui sont affectée» du signe de la r acine carrée. On n’a fait encore aucune decouverte pour Ce lles où les quantités qui sont sous le signe, passent lé qua- t’'ènie degré , et lorsqu’il se présente des formules qui ren- er Uient la cinquième puissance, ou une puissance plus haute x , les artifices que nous avons développés ne suffisent pas Peur les résoudre, quand même on aurait un cas donné. four qu’on puisse mieux se convaincre de la vérité de ce ( I l,e nous disons, nous considérerons la formule kk -f- bx -f- ■+■ dx 3 -f- e.r* -yfx 5 , dont le premier terme est déjà un 'j'Rié. Si on voulait, ainsi qu’auparayant, supposer la racine c ctte formule, = h -f- px -(- qxx , et déterminer p et q manière à faire disparaître les seconds et les troisièmes * e uues, il resterait cependant toujours encore trois termes qui, a. I l3o É L É M F N S divisés par x 3 , donneraient une équation du second degré, et on ne pourrait évidemment exprimer x que par une nouvelle quantité irrationnelle. Mais voulût-on supposer la racine =k -j- px -f- qxx + rx 3 , son carré monterait à la sixième puissance ; et quand même on déterminerait p, q et r de façon à faire disparaître les seconds, troisièmes et quatrièmes ternies, il n’en resterait pas moins la quatrième, la cinquième et la sixième puissance ; et en divisant par x on ne laisserait pas d’avoir une équation du second degré, qu’on ne pourrait résoudre sans le secours d'un signe radical. On voit par là qu’en effet nous avons épuisé ce qu’il y avait à dire sur les formules qui doivent être transformées en des carrés, et il ne nous reste qu’à passer aux quantités affectée* du signe de la racine cubique- d’algèbre. 1^1 CHAPITRE X. De la méthode de rendre rationnelle la formule 3 _ irrationnelle \/ a -j- bx + cxx -f- dx s . 147. 0 N cherche donc à présent des valeurs de x, telles que la formule a-\-bx-\~ cxx -J- dx 3 devienne un cube, et qu’on en puisse extraire la racine cubique. Nous préviendrons Aussitôt qu’on ne pourrait espérer aucune solution de cette espèce, si la formule passait le troisième degré; et nous ajouterons que si elle n’était que du second degré, c’est-à-dire que le terme clx 3 disparût, la solution n’en deviendrait cependant pas plus facile. Quant au cas où les deux derniers termes disparaîtraient, et dans lequel ce serait la formule a -f- bx qu’il s’agirait de réduire en cube, on voit assez qu’il ne souffre ^cune difficulté, et qu’on n’a qu’à faire a -j- bx = p 3 , pour trouver sur-le-champ xx= f ' Ç ~ m 148' Nous devons remarquer de nouveau, avant que d’aller plus loin , que lorsque ni le premier ni le dernier terme ne s°nt des cubes, on ne doit pas penser à résoudre la formule, a Bioins qu’on ne connaisse déjà un cas où elle devient un ® u be, soit que ce cas se présente naturellement, soit qu’on ait obligé de le chercher par le tâtonnement. Ainsi nous avons d'abord trois espèces de formules à con- ocrer : ]'u n e a lieu quand le premier terme est un cube; et c °tome alors la formule s’exprime pürf 3 ~j- bx -f- cxx -f- dx 3 , ° n 8 a Pperçoit immédiatement que le cas connu est celui de a l3ü É L Ê M E N S x —o. La seconde espèce comprend la formule n-f- bx -f-cxX -f- g^x*, c’est-à-dire le cas où le dernier terme est un cube. La troisième espèce est composée des deux premières , c’est- à-dire que le premier et le dernier terme sont des cubes. 1 Premier cas. Soit f' -f- bx -f- cxx -f- dxP Informulé proposée qu’il s’agit de transformer en un cube. Supposons que sa racine soit =f-\~px , et parconséquent que Informulé soit égale au cube f 3 -f- 'Sjfpx -f- 3jppxx -f- p^x 3 ; comme les premiers termes disparaissent d’eux-mèmes , nous déterminerons p de façon à faire disparaître aussi les seconds termes, savoir en faisant b = 3ffp, d’où p = présentement les termes restans, étant divisés par xr, donnent c -f- clx — S/pp + p 3 x , et x C — ZfP P p 3 — d ' Si le dernier terme clx 3 ne s’était pas trouvé dans la formule, on aurait pu supposer simplement la racine cubique =f, et on aurait eu f 3 = f 3 4- bx -f- cxx, d’où , , b b + ex ~ o et x =-; mais cette valeur n’aurait pu servir à en faire trouver d autres. i5o. Deuxième cas. Si, en second lieu , l’expression proposée est de cette forme, a-j- bx cxx -f- g^x 3 , on indiquera sa racine cubique par p -f- gx , dont le cube est p' : -|- og/jp.c -f- Zggpx +g 3 x 3 , desorte que les derniers termes se détruisent; maintenant qu’on détermine p de façon qu’aussi le* pénultièmes disparaissent : céla se fera en supposant c~5ggp ou p n’AlC ÈBRE. T$5 et les autres termes donneront ensuite d’où l’on tire a -f- bx = p 3 + ; a — p- 1 JO ——• rr 7 ' * %SPP — b Si le premier terme « avait manqué, on aurait pu se contenter d’exprimer la racine cubique par gx , et on aurait eu bx + cxr+g 3 # 3 , ou o = 6+ car, donc x =— ma,is cette valeur ordinairement ne peut en faire connaître d autres. 15 1 . Troisième cas. Soit enfin la formule/' , +6x+cxx+p :i j: , > dans laquelle le premier et le dernier terme sont des cubes ; d est clair qu’on pourra la traiter comme l’une et comme l’autre des deux espèces précédentes, et que parconséquent °n pourra obtenir deux valeurs de x. Mais outre cela, on peut aussi faire la racine =f-{-gx , P”is égaler la formule au cuhe f 3 + 3/j+r + 5fggxx -f- g’x 3 f ®t parccque les premiers et les derniers termes se détruisent, et que les autres sont divisibles par x , on parviendra à l’é-> fixation fi u * donne b -f ex = 3 ffg + dfggx, 0S= Wfg—c ’ '<■' TU’ q 1 ■ + ‘-ur i !. r.nnr.vo te in■ • , Lorsqu’au contraire la formule proposée n’appartient a a ucun e des trois espèces ci-dessus, on n’a d’autre ressource fi 116 , de chercher une valeur qui change cette formule en un Cu l )e • ensuite ayant trouvé Une telle valeur, par exemple , x ^ ^ i desorte que -i ■ . a + bh -f- ch h + dii‘z=z le j 1 Z4 É L É M E N S on suppose x—h -j-y, et substituant on trouve a bh -f- ly chh -(- zchy -f- cyy dh 3 -f- 3dhhy-f- 3dhyy -f- rfy 3 ft 3 -f- + 2C ^ + 3 dhli}y-{-(c-\- 3dh)yy -f-dy 3 . Cette nouvelle formule appartenant à la première espèce, on sait comment on doit déterminer y , et on trouvera par là une nouvelle valeur de x , qu’on pourra faire servir ensuite à en trouver d’autres. r53. Eclaircissons cette méthode par quelques exemples, et supposons d’abord qu’on demande que la formule î -f-x + xx, qui appartient à la première espèce, devienne un cube. Nous pourrions faire aussitôt la racine cubique = î , et nous trouverions x-f-xx=o, ou x(i-f-x)=o, et parconséquent, • 1 1 > üïbii.: i=o ou x = — i ; mais nous ne pourrions rien conclure de là. Ecrivons donc pour la racine cubique î -\-px, et comme le cube en est î +3px+3ppx a +p f ar 3 , nous aurons î =3p ou p = f ; moyennant quoi les autres termes étant divisés par xX, donnent i=5pp-}-p 3 x, ou x=-—=^“1 ; P- il ■ or p = 5 i ainsi x = 4-=i8,et notre formule est î + 18 * i* *7 -4-324=343, et la racine cubique , 1 -4-pn~7-''Si nous continuons à présent, en faisant x= i8+_y > notre formule prendra la forme 343'~f-3 , /y-f- yy, et il faudrà par la première 1)’ A L G È B R E. •"egle, en supposer la racine cubique=7+/>y ; enla comparant après cela avec le cube 343 + 1 47Py + 2 WW + P 3 .y 3 > nous voyons qu’il faut faire 37=147 p, ou p= 7^7 ", les autres termes donnent en ce cas l'équation i=aipp+p 3 y, d ou nous tirons y— 1 — 2 ipp 33 o. 121. 147_ io 4 q 58 o 5 o 653 ’ Valeur qui peut de la même manière en fournir d’autres. 154. Soit proposé d’égaler à un cube cette autre formule 2 -f xx. Comme on trouve assez aisément le cas æ= 5 , nous ferons aussitôt x — 5 ~hy> et nous aurons 27 + ioy+yy; nous en supposerons la racine cubique =3 -f-py, ainsi la formule même = 27 -f- sjpy + ,9 ppyy + p^y 3 , et nous aurons à faire donc 10 = 27/1, ou p 1 —ç,pp + p*y et x — .9 PP _ P J 385 _ 1000’ 10 » 9 - 9’ 3 7 1000 4G17 1000 ’ par là notre formule devient 2 + xx 2146689 . 1000000 ’ dont la racine cubique ne peut manquer d’être 3 + py = 129 100’ 1 55 . Voyons aussi si cette formule î+x 3 , peut devenir un cube hors des cas évidens x=o, et x= — i. Nous remarquerons d’abord que, quoique cette formule ap- 4 l36 F, L É M F. N S pai tienne à ln troisième espèce, la racine 1 -f-x ne nous est cependant d’aucun usage, parceque son cube i-f-5x+3x* -f-x 5 , étant égalé à la formule, donne 3x -f-3xx = o, ou x(x+x)=:o, c’est-à-dire de nouveau x = o, ou x =—x. Que si nous voulions faire a = —x -f-y, nous aurions à transformer en cube la formule 3y—3yy-f-y J , qui appartient à la seconde espèce ; ainsi supposant sa l'acine cubique = p-f-v, ou la formule même égale au cube p" -f- 3ppy -t~3pyy -f-y 3 , nous aurions — 3 = 3p ou p =^—x, et de là l’équation 3 y ~p 3 + 3ppy ~— i + 3y, qui donne y = i, ou'infini; desoi'te qu’on ne tire encore aucun parti de cette seconde supposition. Il ne faut pas s’en étonner, et c’est en vain qu’on chercherait d’autres valeur» pour x; car il est démontré que la somme de deux cubes, comme t 3 -f-x 3 , ne peut jamais devenir un cube; ainsi, en faisant t= x, il est clair que la formule, x-f-x 3 , ne peut devenir un cube que dans les cas que nous avons examinés. i5S. On trouvera pareillement que la formule , 2 + x 3 , ne peut devenir un cube que dans le cas x — —î. Cette for- S uie appartient à la seconde espèce ; mais on ne peut y ap" iquer la règle donnée pour ce cas, parceque les termes moyens manquent. C’est en supposant x = — i -j-y , ce qui donne î -f-3y— 3yy-f-_y 3 , qu’on peut traiter la formule suivant les trois cas, et qu’on peut se convaincre de la vérité de ce que nous avançons. En effet, si, dans le premier cas, on fait la racine =i-l-y > dont le cube est x -f- 3y -)- 3yy -f-/, on a —3yy — 3yy, ce qui ne peut être vrai D* A L G È B R E. 1~7 que lorsque y — o. Qu’on suppose, d’après le second cas, la racine——i -f -y , ou la formule =—1 + 3y — 3yy , on aura i+3y=—i+3y, et _y = -, Ou une valeur infinie. Le troisième cas enfin exigerait qu’on supposât la racine 1 + J, ce qu’on a déjà fait pour le premier. 157 . Soit proposée aussi la formule o-f-3.r 3 , qui doive devenir un cube : ce cas a lieu premièrement, si y~ —t, tuais on n’en peut rien conclure ; il a pareillement lieu pour x=a. Qu’on suppose, à cause de ce second cas, x = 2 -f -y, on aura la formule 27 -f- 36y + 1 Syy + 3y 3 ; et comme elle est de la première espèce , on fera sa racine =34 ~py > dont le cube est 27 4 - $7py 4 - 9PPyy 4 " P 3 y 3 '> comparant maintenant, on trouve 36 = 2 jp ou p = et de là résulte l'équation i84-3y = et sa racine cubique 3+ry = tt ; et cette solution fournira de nouvelles valeurs, si l’on en desire. 1 58. Considérons encore la formule 4 + ar - r > qui devient un cube dans les deux cas x = 2 et x ==■ 11 . Si nous faisons d’abord x = 2 -\-y , ce sera la formule 8 4-4.y *1".Xy qui devra être un cube dont la racine soit 2 4- i y, ut ce cube étant 84 - \ yy + iï f , nous trouvons i38 É L É M F. N S donc y — 9 et x= n, c’est-à-dire le second cas donné. Si nous supposons à présent x = 11 + y, nous avons i î5 + 22 y -\-yy, ce qui étant égalé au cube de 5 + /iy, ou à 125 + 7$py + 15/i/jyy + py 3 , donne p——, et par là i=i5 pp + py, ou p 3 y =i 1 5pp ■=. — jff; et parconsequent x Puisque x peut également être négatif et positif, supposons 2 -+jiy no tr e formule deviendra, t— ce qui . i-y . (i-y) a doit être un cube; multiplions donc les deux termes par î— y , afin que le dénominateur devienne un cube, et nous aurons 8 — 8y + 8yy — 8y 3 (i -j )3 ; 8 — 8y + 8yy — Bj' 3 , ou, en divisant par 8, que la formule i —y ~hyy — y 3 qu’il s’agira de transformer en un cube. Cette formule se rapportant à toutes les trois espèces, conformons-nous d’abord à la première, en prenant pour racine î — j-y ; le cube en est î— y + ^yy— +y 3 ; ainsi nous avons et ce ne sera plus que le numérateur donc 1 —y=ï—iry> ou 2 7 z 7j ~ 9 y ’> y=T3'> donc i— y=rj> donc x = 11 , comme auparavant. On trouverait le même résultat, en regardant la formule comme de la seconde espèce. T) ’ A I. G i: R R F.. l5<) Enfin , si on voulait s’en tenir à la troisième, et prendre pour racine i —y > dont le cube est 1 — 3 y -f- 3 yy —^y 1 , on aurait — i —3 + 3 y, et_y = i ; d’où x=£, e t par conséquent un résultat qui n’est de nul usage. t 5 g. Mais puisque nous connaissons déjà les deux cas, x=z et x — 11, nous pouvons aussi faire x — — 1 ^ ; car si ___ i +y y^o, 0 n a x — a ; et si y=oo , on a x = -f- 11. q - j | 1 y Soit donc x= --——, et notre formule devient.. 1 +y 4+i±Æy±in.yy > ou ttÉ2L±J2%z ; m Mph nns i + zy+yy > ^ (1+y)' ’ * les deux termes par 1 -j-y, afin que le dénominateur devienne l 'n cube, et ce sera le numérateur 8 -f- 6 oy -f- 177 yy -f- i 25 y' ! qu’il s’agira de transformer en un cube. Si, pour cet effet, nous supposions la racine = 2 -f- 5 y, nous verrions disparaître non-seulement les deux premiers termes, mais aussi les derniers. Ce sera donc à la seconde espèce que nous rapporterons notre formule, en prenant pour racine p-|- 5 y; le cube en est -f-1 5 ppy -f- 75/iyy + 1 a 5 y 3 ; ainsi nous ferons et il en résulte ou 177 = 75/1, ou p : 59 Uo > 8 + Goy = p 3 -f- i 5 ppy, _ 99-1 * __. îPfiai ,, _ i 96AI • lâjy - Tôbaft» er J — 3 6 7Ï7o* d’où l’on pourrait tirer une valeur de x. Mais on peut supposer aussi x = , et dans ce cas notre f„r„,.l« d.vi.o, 4 i—*y+yy ('—y Y desorte qu’en multipliant les deux termes par i— y, on a 8 -f- 28y -f- 8 gyy — i 25 y 3 à transformer en un cube. Si donc l4o É L É M E N S nous supposons, conformément au premier cas, la racîntf = 3 -f- | y, dont le cube est 8 -f- b8j” -f- -f- , non* avons 8 .9 — »a 5 y = ^ + aÿjr, ou s 7 l S IBS „_ 15H_n. • il’ni'i -Il a 7 y T "> y - 371 8 il - 11 , c’est-à-dire une des valeurs déjà connues. Mais considérons plutôt notre formule relativement au troisième cas, et supposons-en la racine =2— 5 y, le cube de c» binôme étant 8 — Goy + i 5 oy_y— i 25 y 3 , nous aurons dono 28 -j-8 et x — » 7 > desorte que notre formule devient = , ou égale au cube de i| 4 . 160. Voilà donc les méthodes dont on est en possession , quant à présent, pour réduire des formules telles que celles que nous avons considérées, soit à un carré, soit à un cube , pourvu que la plus haute puissance, de l’inconnue ne passe pas le quatrième degré dans le premier cas, ni le troisième dans le second cas. On pourrait ajouter encore la question de transformer une formule proposée en un carré-carré, dans le cas où l’inconnue ne passerait pas le second degré. Mais on observera que si line formule, telle que a + bx -(-cxx , doit être un carré- carré , il faut premièrement qu’elle soit un carré, après quoi, il ne restera qu’à faire de la racine de ce carré un nouveau carré, parles règles que nous avons données pour cela. Q l,e -f- 7, par exemple, doive être un bi-carré, on fera d’abo r<| l pn carré, en prenant X = ZHLZ3Î, 0llx= mzm\ m m ■ l/ t l d’algèbre. la formule alors devient égale au carré -- ° Anna a = '4WPP 4- 4.qp* 4 ppqq 7 PP + gq 4 /’W dont il faut transformer la racine spq pareillement en un carré; qu’on multiplie dans ce dessein les deux termes par apq, afin que le dénominateur devenant un carré, on n’ait à traiter que le numérateur s Pq(7pp-{- qq). On rie peut faire un carré de cette formule, qu'après avoir déjà trouvé un cas satisfaisant; ainsi supposant q^=pz, il faudra que la formule zppz ( jpp + ppx,z) = oph (7+zz,), et parconséquent aussi, en divisant par pA, que la formule a «(7 +22) devienne un carré. Le cas connu est ici 2=1, c est pourquoi on fera 2=1 +^, et on aura ( 2 + zy ) (8 + ay + yy ) = 16 + aoy + 6y_y + a y 3 , dont on supposera la racine=4 + |j'; le carré 16 + aoj' + ^yy étant égalé à la formule, donne 6+ny=^; donc y=\ et 2 = |. et la formule S-, donc <7 = 9, p~ 8 et a; = ^, 7 +xx=Wfc. enfin on extrait la racine carrée de cette fraction, on trouve Hfj et tirant encore de celle-ci la racine carrée, on trouve Ta ; donc c’est de — que la formule proposée est le carré-carré. 161, Enfin nous avons à remarquer encore dans ce chapitre, fl" il est des formules dont on peut faire des cubes d’une raa- ni ère tout-à-fait générale ; car si, par exemple , cxx doit être 110 cube, on n'a qu’à faire sa racine = px, et on trouve f. L É M E N T S l4 a cxx — p 3 x 3 , ou c — p 3 x, c’est-à-dire x~— t , ou x = cq 3 , P en écrivant - au lieu de p. <7 r La raison en est évidemment que la formule contient un carré ; c’est pourquoi toutes les formules, comme a (b + ex)*, ou abb -f -zabex + ac'xx, peuvent très-facilement se transformer en cubes. En effet, qu’on en suppose la racine cubique b + cx ~ -, on aura 1 équation ■c»+c qui, divisée par (è+cx)“, donne b-\-cx , aq 3 —b a = - T — ; doux=— ! -, <7 c valeur dans laquelle q est arbitraire. On voit clairement par là combien il est utile de résoudre les formules proposées en leurs facteurs toutes les fois que cela est possible ; c’est donc une matière que nous croyons devoir traiter avec beaucoup d’étendue dans le chapitre suivant. d’algèbre. 143 CHAPITRE III. De la résolution de la formule axx -J- bxj -f- cyy en ses facteurs. lettres a: et y ne signifieront ici que des nombres entiers ; et nous avons vu suffisamment dans ce qui a précédé, et même lorsqu’il fallait se contenter de résultats fractionnaires, que la question peut toujours être ramenée à des nombres entiers. En effet si, par exemple, le nombre cherché x est une fraction, on n’a qu’à faire x = -, et on pourra toujours assigner t et u en nombres entiers ; et comme cette fraction peut se réduire à ses moindres termes, on regardera les nombres t et u comme n’ayant aucun commun diviseur. Supposons donc que, dans la formule présente, x ety> ne soient que des nombres entiers, et tâchons de déterminer les Valeurs à donner à ces lettres, pour que la formule obtienne deux ou plusieurs facteurs ; c’est une recherche préliminaire très-nécessaire, avant que nous puissions faire voir comment cette formule se transforme en un carré, un cube ou une puissance plus élevée. i63. Trois cas se présentent à considérer ici. Le premier a lieu lorsque la formule se décompose réellement en deux facteurs rationnels, ce qui arrive, comme nous l’avons déjà vu plus haut, lorsque bb — 4 ac devient un carré. Le second cas est celui où cqs deux facteurs sont égaux , et où parconséquènt la formule est un carré. 144 É L É M E N $ Enfin le troisième cas se rapporte à la décomposition de la formule en facteurs irrationnels et même imaginaires. Ils seront simplement irrationnels, lorsque bb — 4 ac sera un nombre positif sans être un carré', ils seront imaginaires, si bb — 4 ac est négatif. i6‘4- Si, pour commencer par le premier cas, nous supposons que la formule soit résoluble en deux facteurs rationnels, on pourra lui donner cette forme (Jx -f-gy) (fix-j-ky) , qui rerlferme donc naturellement déjà deux facteurs. Voudra-t-on ensuite qu’elle contienne d’une manière générale un plus grand nombre de facteurs, on n’aura qu’à faire fx -f- gy — pq , et hx -(- ky = rs ; notre formule deviendra deviendra, dans ce cas, égale au produit pqrs •, elle contiendra parconséquent quatre facteurs, et on pourra augmenter ce nombre à volonté. Or de ces deux équations résulte pour x une double valeur, savoir, et x: rs — ky ce qui donne .pq — py ' f hpq — hgy~frs~fhy\ et parconséquent .... jrs — hpq y ~ f^-hg ’ et ar = hpq — grs . fk — kg or si l’on veut que x et y soient exprimés en nombres entiers, il faudra donner aux lettres p, q, ret s des valeurs telles que le numérateur soit réellement divisible par le dénominateur ; ce qui arrive lorsque soit p et r, soit q et s sont divisibles par ce dénominateur. i65. Pour rendre tout cela plus clair, soit donnée la for- mule xx — yy, qui est composée des facteurs (ac-f-y) (x—~y)’ îSi cette formule doit être résolue en un plus grand nombre de facteurs, on fera x -f- y = pq , et x —y — rs , et on aura pq + >' s et r- .pq- ■ rs U ©ALGEBRE. 143 il faudra donc, pour que ces valeurs deviennent des nombres entiers, que les deux nombres pq et rs soient ou tous deux pairs ou tous deux impairs. Soient par exemple P — 7> 9 = 5, r — 3 , s=i : °n aura p <7 = 35, rs — 3 ; donc oc= 19 , y — 16, et de là résulte xx—y y — io 5 . lequel nombre est composé en effet des facteurs 7.5.3.1, de> Sorte que ce cas ne souffre aucune difficulté. 166. Le second en souffre encore moins, savoir celui où la formule renfermant deux facteurs égaux, peut se représenter de cette manière, (Jx -J- gy) 2 , c'est-à-dire par un carré, qui ne peut avoir d’autres facteurs que ceux qui proviennent de la racine fx -f- gy ; car si l’on fait fx + gy — pqr, la formule devient — ppqqrr, et peut avoir parconséquent au-* tant de facteurs que l’on veut. Il faut remarquer de plus que l’un seulement des deux nombres x et y est déterminé, et que l’autre peut se prendre à volonté ; car pqr — gy x — f. , et il est facile de donner à y une valeur telle que la fraction disparaisse. La formule de cette espèce la plus aisée à traiter, est xx ; si l'on fait x=pqr, le carré xx renfermera trois facteurs carrés, savoir pp , qq et rr. 167. On rencontre bien plus de difficultés en traitant le troisième cas, qui est celui dans lequel notre formule ne peut sé décomposer en deux facteurs rationnels ; et il faut ici recourir l4S É L É M E N S à des artifices particuliers, à l’effet de trouver pour# et y desva^ leurs telles que la formule renferme deux ou plusieurs facteurs. Nous rendrons cependant cette recherche moins difficile, en observant que notre formule se transforme facilement en une autre dans laquelle le terme moyen manque; car en effet z — h on n a qu a supposer x suivante : 2a pour avoir la formule zz—2byz+bbyy byz—bby y ; , {/ i ac—bb)yy 4 ^ sa ' U 4a Ainsi nous omettrons le terme moyen , c’est-à-dire que nous considérerons la formule axx-j-cyy, et nous chercherons quelles valeurs on doit doit donner à x et à y, pour qu’elle te décompose en facteurs. On jugera facilement que cela dépend de la nature des nombres a et c ; aussi commencerons - nous par quelques formules déterminées de cette espèce. 168. Soit donc proposée d’abord la formule xx-j-yy, qui comprend tous les nombres qui sont la somme de deux carrés, et dont nous allons mettre les plus petits sous les yeux ; savoir, ceux qui sont compris entre i et 5 o : i, a, 4 , 5 , 8, g, îo, i 3 , 1 6, 17, 18, ao, a 5 , 26, 29, 32 , 34 , 36 , 37, 4 o, 4 i, 45 , 49, 5 o. On voit qu’il se trouve parmi ces nombres quelques nombres premiers qui n’ont point de diviseurs; ce sont ceux-ci : 2, 5 , i 3 , 17, 29, 37, 4 i. Les autres ont des diviseurs, et ils rendent plus claire la question : Quelles valeurs doit-on adopter pour x et y, afin que la formule xx +yy ait des diviseurs ou des facteurs, et qu’elle ait même autant de ces facteurs que l’on voudra? Nous remarquerons de plus qu’on peut faire abstraction des cas où x et y ont un commun diviseur , parce- qu’alors xx-f-yy serait divisible par le même diviseur, et même par son carré : par exemple, si x = 7p et y=jq, 1 4 ? d’algèbre. U. somme des canes, ou 49PP + 4977 = 49(PP + 77 ) » sera divisible non-seulement par 7, mais aussi par 49- C’est Pourquoi nous n’étendrons la question qu’à des formules où * et y n’ont aucun commun diviseur. On voit facilement en quoi consiste la difficulté ; car si d'un côté il est clair que, lorsque les deux nombres x et y 5 ont impairs, la formule rr + vy devient un nombre pair, ®t parconséquent divisible par 2, il est souvent assez difficile de reconnaître si la formule a des diviseurs ou si elle 11 en a pas, lorsque de l’autre côté un des nombres x et y étant pair et l’autre impair, la formule elle-même devient impaire. Nous ne parlons pas du cas où x et y seraient pairs, Patceque nous avons déjà fait sentir que ces nombres ne doi- Vent point avoir de commun diviseur. 169, Que les deux nombres r etj soient donc premiers fi atre eux, et que cependant la formule xx -4* yy doive contenir ^eux ou plusieurs facteurs. La méthode précédente ne peut iquer ici, parceque la formule n’est pas résoluble en facteurs rationnels; mais les facteurs irrationnels qui c °niposent la formule, et qu’on peut représenter par le produit — 1) (a?— y\/ — 1 ), nous rendront le iqêmeser- j! ICe - En effet, on sent bien que si la formule xx -j- yy a des acteurs réels, il faut que ces facteurs irrationnels soient composés d’autres facteurs; parceque s’ils n’avaient pas aussi des Viseurs, leur produit ne pourrait pas non plus en avoir. Dr ^Oftime ces facteurs sont irrationnels , et même imaginaires, et de plus les nombres x et y ne doivent point avoir de ^ooiruun diviseur, ils ne peuvent renfermer des facteurs ra- Onels, et il faut qu’ils soient pareillement irrationnels, et; eiîle imaginaires. faci 70 ' Si r on veut donc que la formule xx -j~yy ait deux oteurs rationnels, il faudra décomposer chacun des deux Moteurs irrationnels en deux autres facteurs ; c’est pourquoi, a 8 appl deux £ L É M E N S »48 supposons d’abord x+y V— 1 = (P + q V— O + O; et puisque V — i peut se prendre aussi bien en moins qu’ert plus, nous aurons en meme temps x—yV— 1 = 0 —qi/—OO—*1/ — x); prenons maintenant le produit de ces deux quantités, et nou* verrons que notre formule * x + yy = (PP + <7<7 ) C ” + « ). c’est-à-dire qu’elle contient les deux facteurs rationnels pp-{-qq et rr+ ss. Il nous reste à présenta déterminer les valeurs de x et dey, qui doivent de meme être rationnelles; or la supposition qu» nous avons faite, donne x +yV — i=pr— qs+psÿ— 1 +qr i/— î, et x — y |/— x =pr— qs — ps[/ — î — qr j/ — î : si nous ajoutons ces formules, nous avons x = pr — qs ; si nous les soustrayons l’une de l’autre , nous trouvons sy j/ — 1=2 ps ]/ — i -f- 2 qr ]/ — i, d’ou y = ps + qr. Il suit parconséquent de là , qu’en faisant x = pr — qs et y =zps -f- qr, notre formule xx -f-yy ne peut manquer d’obtenir deux fac~ teurs, puisqu'on trouve xx +yy~(pp-t-qq)(rr + ss). Que si l’on demandait après cela un plus grand nombre de fac- D'ALGEBRE. 143 tours, on n’aurait qu’à donner de la même manière à p et à 9 des valeurs telles que pp -f- qq eut deux facteurs -, on aurait alors trois facteurs en tout, et ce nombre pourrait être augmenté par la méthode autant qu’on voudrait. 171 . Comme nous n’avons rencontré dans cette solution que les secondes puissances de p, q, r et s , on peut prendre aussi c es lettres en moins; que q, par exemple, soit négatif, on aura x = pr + qs et y = ps — qr ; ïn ais la somme des carrés sera la même qu’auparavant, ce qui n °ns fait voir que quand un nombre est égal à un produit tel que (pp -j- qq ) ( rr -f- ss ) , on peut de deux façons le décomposer en deux carrés ; car nous avons trouvé d’abord x=pr — qs et j = pi + qr , ®t en second lieu , x=pr -f qs et y = ps — qr. Soit, par exemple, p = 3, q — 2 , r = 2 et s = 1 , on aura * e produit j 3 .5 = 65= xx -hyy, eu x = 4 et y = 7'> x = 8 et y — i ; Puisque dans l’un et l’autre cas xx -\-yy~ 65. l’on multiplie plusieurs nombres de cette espèce, on aura a ussi un produit qui pourra être d’un plus grand nombre de %o ns la somme de deux carrés. Qu’on multiplie, par exemple, a>+i‘ = 5, 5 a + 2 a = i3 t 4‘ + i a =»7» ° n trouvera 1 io5, lequel nombre peut se décomposer en deux Car rés de quatre manières, comme on va voir : 2 °...32 a + 9 J ‘> 3°...3i a -j-t2 a ; 4°... 24 e -f s3 s . 3 E L E M E N S l 5 o 172. Parmi les nombres qui sont contenus dans la formula xx-f-^y, se trouvent donc premièrement ceux qui sont, par la multiplication , le produit de deux ou de plusieurs nombres ; en second lieu , ceux qui sont formés différemment. Nous nommerons ces derniers facteurs simples de la formule xx y y > et les premiers facteurs composés. D’après cela, les facteurs simples seront des nombres tels que les suivans : 1, 2, 5 , 9, i 3 , 17, 39, 37, 41, 4 g, etc. et on distinguera dans cette suite deux espèces de nombres ; lesuns sont les nombres premiers, 2, 5 , j. 3 , 17,29,37, 41 » qui n’ont aucun diviseur, et qui tous, excepté le nombre 2 , sont tels que si l’on en ôte 1 , le reste se trouve divisible par 4 \ desorte que tous ces nombres sont contenus dans l’expression 4 n -f- I. La seconde espèce comprend les nombres carrés 9 , 4g, etc., et on remarquera que les racines de ces carrés, savoir, 3,7, etc. ne se trouvent pas dans la suite, et que ces racines sont contenues dans la formule 4 n — l - H est clair d’ailleurs qu’aucun nombre de la forme 4 n — 1 ne peut être la somme de deux carrés ; car puisque ces nombres sont impairs, il faudrait que l’un des deux carrés fût pair, et que l’autre fût impair ; or nous avons vu plus haut que tous les carrés pairs sont divisibles par 4 > et que les carrés impairs sont contenus dans l’expression 4 n + 1 ; si donc on ajoute un carré pair et un carré impair, la somme aura toujours la forme 4 n + 1, et jamais celle - ci 4 n — 1 • Q ue tout nombre premier au reste qui appartient à la formule 4 n -f- 1 , est la somme de deux carrés; c’est une vérité indubitable, mais qu’il n'est pas très- facile de démontrer. 173. Allons plus loin, et considérons la formule xx-^-ayy > à l’effet de voit quelles valeurs il faut donner à x et ày , afin qu’elle ait des facteurs. Comme cette formule s’exprime p ar les facteurs imaginaires (x-f -y\f —2)(x —y — 2), ° n voit, ainsi qu’auparavant, que si elle a des diviseurs, ces fa c " teurs imaginaires doivent pareillement en avoir. Qu’on supp°* e D* A L G È B R E. i5i donc x -f y V— a =(P + <7 V — 2 ) C^-H V — 2 ) > d où résulte x—y V — a — (p — q \/ — 2)(r—s \Z—z), et on aura xx -f- ayy = (pp -f- zqq ) (rr + zss) ; ainsi cette formule a deux facteurs qui ont la même forme. Mais il reste à déterminer les valeurs de x et de y, qui produisent cette transformation ; on considérera , pour y parvenir, que, puisque x-f-y \/— 2 =pr — zqs-\-qr \/ — z-}-ps{/ — 2, que x — y\/ — 2,—pr — a qs — qr — a — ps\/ — a, °n a la somme ct parconséquent sx = zpr — ^qs , x=pr — aqs , et qu’on a de plus la différence ay \/— a = 2 qr \/— 2 -f- zps \/— a ; desorte que y = qr+ps. Lors donc que notre formule xx -f- zyy doit avoir des facteurs, ds seront toujours des nombres de la même espèce que la for- * n 'de, c’est-à-dire que l’un aura la forme pp -f- iqq , et l’autre a forme rr-f- zss, mais x et_y pourront encore se déterminer de deux manières différentes, parceque q peut être égalemen. ne gatif et positif. Ainsi on aura, i°. sta" xz=pr — iqs, y = ps + qr, x = pr-j- aqs , y~ps — qr. 4 l5ü É I. Ê M E N S 174. Cette formule xr + aj/y renferme donc tous les nombres qui résultent de l’addition d’un carré et du double d’un autre carré ; et voici l’énumération de ces nombres poussée jusqu’au nombre 5 o. 1, 2, 3 , 4 ; 8, 9, 11, la, 16, 17, 18, 19, 22, 24, 25 , 27, 52, 33 , 34 , 36 , 38 , 4 1 » 43 , 44 » 4 . 9 » 5 o. Nous diviserons, comme auparavant, ces nombres en simples et composés; les simples, ou ceux qui ne sont pas composés des nombres précédens, sont ceux-ci : î, a, 3, n, 17, 19» 25 , 4 1 > 43 » 4 . 9 » qui tous, excepté les carrés a 5 et 4.9 » sont des nombres premiers ; et il faut remarquer qu’en général, si un nombre est premier et ne se trouve pas dans cette suite, on est sur d’y rencontrer son carré. On peut observer aussi que tous les nombres premiers qui sont contenus dans notre formule, appartiennent soit à l’expression 8/1 + 1 , soit à 8/i + 3 , tandis que tous les autres nombres premiers, savoir ceux qui sont compris dans les formules 8/1+5 et 8/1 + 7, ne peuvent jamais former la somme d’un carré et d’un double carré; il est de plus très-certain que tous les nombres premiers qui sont contenus dans une des premières formules , 8ra+i et 8 n + 3 , sont toujours résolubles en un carré joint au double d’un carré. 175. Passons à l’examen de la formule générale xx + «t l’on remarque encore que les facteurs sont de la même l ' s pèce que la formule. Quant aux valeurs de x et de y, on trouvera facilement x=pr + cqs, y —ps — qr, 0,1 bien aussi x=pr—cqs, y=ps + qr, e t il est aisé d’imaginer comment la formule peut se résoudre Rri un plus grand nombre de facteurs. 176. Il sera facile maintenant de procurer aussi des facteurs ^ la formule xx — cyy ; car d’abord on n’a qu’à écrire — c au lieu de-f-c; mais de plus on peut les trouver immédiatement la manière suivante : comme notre formule équivaut au Produit ( x -f-y \/ c ) ( x — y J/ c ), qu’on fasse et x+y ]/c=(p+q\/c) (r+s ÿc), x—y V c = (p — q {/c) (r — s[/c ), e * °n aura sur-le-champ xx — cyy = (pp — cqq ) (rr — css) ; ! ns °rte que cette formule est, de même que les précédentes , ®§ale à un produit dont les facteurs lui ressemblent par la orme. Pour ce qui regarde les valeurs de x et de y, elles se trouveront pareillement être doubles , c’est - à - dire qu’on a "ra J t». e ta o. x = pr+cqs, y = ps + qr, x-=z pr — cqs , y —ps — qr. si on voulait faire la preuve et voir si on obtiendrait par là ]$4 É !, É M F, K S le produit qu’on a trouvé, on aurait, en essayant les première* valeurs , et ou desorte que xx — pprr + a cpqrs + ccqqss , yy — ppss + zpqrs -f- qqrr, cyy =z cppss -f- 2 cpqrs -f- cqqrr ; xx — cyy = pprr — cppss + ccqqss — ccqqrr, ce qui n’est autre chose que le produit trouvé, ( pp — cqq } ( rr — css ). 177. Jusqu’à présent nous avons considéré le premier terme sans coefHcient ; mais nous allons supposer à présent que ce terme soit pareillement multiplié par une autre lettre, et nous chercherons quels facteurs la formule axx -f- cyy peut acquérir. Il est évident ici que notre formule est égale au produit ( x 1/ a y 1/ — c) (x ]/ a —y' 1/ — c ), et il s’agit par- conséquent de donner de même des facteurs à ces deux facteurs. Or il se présente ici une difficulté ; car si l’on voulait, d’après la méthode précédente, faire x \/ a -j-y y/ — c = (/? y/ a-f-q \/ — c) (ri/a+j y/ —c) =apr~ cqs -j-ps{/ — ac-\-qr (/ — ac, et x y /a — y y/ — c = (p y/ a — q y/ — c) ( r y /a — s y/— c ) = apr — cqs — ps y/ —• ac — qr y/ — ac , 2X y / a = sapr — 2 cqs , zy y/ — c — 2ps y/ — ac -f- 2qr y/— ac ; on aurait et c’est-à-dire, qu’on trouverait tant pour x que pour y valeurs irrationnelles , lesquelles ne peuvent être admises ici* 155 d’algèbre. 178. Mais on éludera cette difficulté, en faisant x Va +y ÿ-~ c — (P V a + <7 V— c ) ( r + * V— ac ) =pr\/a — cqsÿa-^-qr[/ — c-f-aps[/ — c, et x[/a— yV~c — (p\/a — q\/— c) (r — s\/— ac) ^ =pr\/a — cqs \/a — qr[/ —c — aps\/ — c; c ette supposition donnera pour x et y les valeurs rationnelles suivantes : x — pr — cqs, y — qr-j- aps ; p t notre formule , axx -f- cyy, aura les facteurs ( app -f- cqq ) ( ’r + acss ) , dont l’un seulement conserve la forme, l’autre ayant une différente. 173. Il ne laisse pas cependant d’y avoir une grande affinité e ntre ces deux formules, vu que tous les nombres qui sont contenus dans la première formule, multipliés par un nombre compris dans la seconde, retombent dans la première. Nous fl vons déjà vu que deux nombres de la seconde forme xx-\-acyy, ^quelle revient à la formule xx ■+ cyy que nous avons considérée , étant multipliés l’un par l’autre, redonnent un nombre de la même forme. Il ne nous reste donc qu'à examiner à quelle formule apparient le produit de deux nombres de la première espèce, ou de ta forme axx -f- cyy. Multiplions , dans cette vue, les deux formules ( app -f- cqq ) ( arr -f- ess ), qui sont de la première espèce ; il est aisé de v °ir q ue ce produit pourra être transformé comme il suit : ( op r _j_ C q j y _i_ ac ^p S — qr) 1 . Si donc nous supposons ici apr cqs z=z x , et ps — qr =y, So us aurons la formule xx-f-acyy, qui est de la dernière es pece. Il su ij; je là que deux nombres de la première espèce i55 É L É M E N S axx -f- cyy, étant multipliés l’un par l’autre, donnent pour produit un nombre de la seconde espèce. Si nous indiquons les nombres de la première espèce par I, et ceux de la seconde par II, nous pouvons noter les conclusions auxquelles nous venons d'arriver, par I. I donne II ; I. II donne I ; II. II donne II. Et on voit bien clairement ce qui doit résulter de la multiplica- lion de plus de deux de ces nombres ; savoir que I. I. I fait I; que I. I. II fait II; que I. II. II fait I. Enfin que II. II. Il fait II. 180. Soit, pour éclaircir l’article précédent, « — 2 et c = 3, il en résultera deux espèces de nombres, l’une contenue dans la formule axx -p 3yjr, l’autre comprise dans la formule xx -f- Or les nombres de la première poussés jusqu à 5o, sont i°. a, 3, 5, 8, 11, 13,1 4, 18, 20, ai, 27, 39, 3o, 3s , 35, 44, 45, 48, 5o. Et les nombres de la seconde espèce, poussés de même jusqu’au nombre 5o, sont a 0 . 1 , 4 , 6, 71 9 , 10 , i5, 16 , 23, 24, a5, 28, 3i, 33, 36, 4o, 43, 4 q. Si donc nous multiplions maintenant un nombre de la première espèce, par exemple 35, par un nombre de la seconde , supposons par 3i, le produit io85 sera sûrement compris dans la formule axx-f- 3yy - , ou bien on peut trouver pour y nn nombre tel que io85— 3yy soit le double d’un carré, 011 = axx-, or cela arrive d’abord quand _y = 3, dans lequel cas x= a3; en second lieu, quand yz= n , ensorte que x = 1 9 » en troisième lieu, lorsque y — i3 , ce qui donne x = 17 > ei[ enfin, en quatrième lieu , quand y = 19 , d’où résulte x = t- D’A L G È B R E. 157 On peut partager ces deux espèces de nombres, comme les a 'itres, en nombres simples et en nombres composés ; on don- ne ' a ce dernier nom à ceux qui sont composés de deux ou de plusieurs des nombres plus petits de l’une ou de l’autre espèce ; a insi les nombres simples de la première espèce seront ceux-ci : 2 1 3 , 5 , 11,29, et les nombres composés de la même espèce, Ser °nt 8, 12, 14, 18, 20, 21 , 27, 3 o, 32 , 35 , 44 » 48 , 5 o, etc. Les nombres simples de la seconde espèce seront 1,7, 3 i, e t tous les autres de cette espèce seront des nombres com- P°sés-, savoir, 4 » 9 > 10 > 1 ^> 16, 22, 24, 25 , 28, 33 , 36 , 4 o, 42 } 4 9 . CHAPITRE XII. De la Transformation de la formule axx-j-cyy en des carrés et en des puissances plus élevées. r 181. OUS avons déjà vu plus haut qu’il est souvent impossible de réduire à des carrés des nombres de la forme a.rx-\-tyy> mais toutes les fois que cela est possible, on peut transformer cette formule en une autre , dans laquelle a = 1. Par exemple, la formule 2 pp—qq peut devenir un carré, et comme elle peut aussi se représenter par (2p-f-q)*—2 (p-f-i/)"» on n’a qu’à faire *p + q = x, P + q=y, et on parvient à la formule xx — 2 yy, dans laquelle a= l et c= 2. C’est une semblable transformation qui a lieu toutes les fois que de telles formules peuvent devenir des carrés. Ainsi quand il s’agit de transformer la formule axx -f- c yy en i' n carré, ou en une puissance plus haute, mais paire, on peut, sans balancer, supposer a = 1, et regarder les autres cas comme impossibles. 182. Soit donc proposée la formule xx -f- cyy, et qu’il s’agisse d’en faire un carré. Comme elle est composée des facteurs (x-+- y {/ —c) (x— y y —c), il faut que ces facteurs soient ou des carrés ou des carrés multipliés par un même nombre. Car si le produit de deux nombres, par exemple,^, doit etr® un carré, il faut que P — rr , q = ss; c’est-à-dire, que chaque facteur soit de soi-même un carre, d’algèbre. i5 3 eu bien que p=mrr, q = et qu’ainsi ces facteurs soient des carrés multipliés l’un et l’autre par uu même nombre. C’est pourquoi nous ferons x+y]/— c=m(p + qi/~ c)“; '1 s’ensuivra x—yj/—c = m ip — qV—cY, e t nous aurons xx -f- cyy—mm (pp -f- cqqj 1 , c e qui est un carré. Nous avons de plus, pour déterminer * et y, les équations x + V t/— c == mpp + zmpq y /— c— mcqq , et x —y \/— C = mpp — zmpq \/— c — mcqq , lesquelles naturellement x équivaut à la partie rationnelle, ^y mun, il faut supposer m = 1 . Alors , pour faire que * c ~f-cyj' devienne un carré, on se contente de prendre x=pp — tqq,y=npql Ce qui rend la formule égale au carré pp -f- cqq. Qo peut aussi, au lieu de faire x = pp — cqq , lGo ÉLÉMEIU supposer x=cqq—pp, Vu que le carré xx ne laisse pas d’être le même. Les mêmes formules, au reste, ayant été trouvées plus haut par des voies tout-à-fait différentes, il ne peut y avoir de cloute sur la rigueur de la méthode que nous venons d’employer- En effet, si on veut que xx -J- cyy devienne un carré , par l a méthode précédente, on suppose la racine x + —, et on trouve *r + gy = *r + 2E2: + ra f on efface les xx, on divise les autres termes par_y, on multiplie par qq , et on a cqqy — apqx + ppy, ou cwy—ppy~m x > divisant enfin par spq et par y, il en résulte x — c 99— PP y *pq Or a: et j' devant, ainsi que p et q, n’avoir point de divi9 eUf commun, il faut égaler x au numérateur et_y au dénominateur» et on obtient par là les mêmes résultats que nous venons de trouver ; savoir, x — c qq pp , y = zpq. ' ’f t84- Cette solution est bonne, que le nombre c soit positi ou qu’il soit négatif ; mais si de plus ce nombre a lui-mên ie des facteurs, comme si c’était, par exemple, la formul® xx -f- acyy qui dut devenir un carré, on aurait non-seulement la solution précédente, qui donne x = acqq — pp et_y = a pq *, d’algèbre. lb'l Biais encore celle-ci x — cqq — app , y = 2pq : car dans ce dernier cas on a, de même que dans l’autre, xx + acyy = ccç 4 -f- aacppqq -f- aap 4 = (cqq + app ) 1 ; c e qui a lieu aussi quand on prend xz=zapp — cqq, parceque le carré xx reste le même. ' Cette nouvelle solution se trouve aussi par la dernière méthode , de la façon suivante : Qu’on fasse x+y\/—ac=(p 1/ a + q i/— c y, et x —y V — ac = (p V a — q {/— c)*, on aura xx -f- acyy ~ ( app -f- cqq Y, et parconséquent — un carré ; de plus, à cause de X+y V — ac — app -f- 2 pq [/— ac — cqq , et de x— y \/— oc = app— 2 pq \/—ac — cqq, on trouve x — app — cqq , y=zpq. Il est clair aussi que si le nombre ac est résoluble en deux facteurs d’un plus grand nombre de manières, on pourra trouver «tussi un plus grand nombre de solutions. 1 85 . Éclaircissons tout cela au moyen de quelques formules déterminées; et d’abord , si c’est la formule .ex -f -yy qui doit devenir un carré , nous avons ac — 1 ; ainsi x—pp — qq, et y = 9 .pq, u ou resuite xx +.yy — {pp + w )"• Si on veut que xx —yy = un carré ; 2. L É L É M E N S iGa on a ac = — i ; ainsi on prendra x — pp + qq , y — apq, et il résultera de là xx—yy= (pp — qqY. Veut-on que la formule arx-f- zyy = un carré ; on a ce = 2 qu’on prenne donc x=xpp — zqq > oux = zpp — qq ety = zpq et on aura xx + 2 yy=(pp+zqqy, OU xx + zyy = (app + qq) % . Si, en quatrième lieu, on veut que xx — zyy = un carré , « où ac = — a 3 on aura x = pp+zqq, y — zpq\ donc XX — ayy — {.PP — zqq )\ Qu’on veuille enfin que xx -f- = un carré, Qn aura ac = 6, et parconséquent a — 1 , c =6, oua = 2 , c = 3 ; dans le premier cas x=pp — 6qq, ety = apq, B’ Al G É B « E.' l63 desorte que xx + %=r.(pp + 6qq ) a ; dans le second cas d’où résulte x~ipp — oqq, et y = apq ; xx -f- Syy = ( app -f 3 qq ) a . 186. Mais si c’est maintenant la formule axx-f-cyy qu’on doit transformer en un carré; comme nous avons prévenu que cela n’est possible que lorsqu’on connaît déjà un cas dans lequel cette formule devient réellement un carré, nous supposerons que ce cas donné ait lieu pour desorte qu’alors *=/» y —g; a ff + cgg — M ; et nous remarquerons que cette formule peut se transformer e n une autre de la forme tt + acuu > si l’oa fait afx+cgy _gx fy _ h ’ “— Ti * ^r en effet, si °n a ,, _ aaffxx 4- zacfgxy + ccggyy ~ lih _ m xx — *fe x .y +.ffyy uu ~ hîi - tt -f- acuu = ainsi > puisque en a aa ffxx -f- ccggyy acggxx -4- açflÿy h h axx (aff + cgg) + cyy ( aff + cgg ) . hh a ff+ c ES = U -f- acuu = axx -f- cyy ; \ *64 ÉLÉMEN9 or nous avons donné des règles faciles pour transformer en urf carré l’expression U -f- acuu , à laquelle nous venons de réduire la formule proposée axx *f* cyy. 187. Allons à présent plus loin, et voyons comment la formule axx -f- cyy, dan 9 laquelle x et y* sont supposés n’avoir aucun diviseur commun, peut 9e réduire à un cube. Les règle* données plus haut ne suffisent plus, tandis que la méthode que nous avons indiquée en dernier lieu , s’applique ici avec 1® plus grand succès ; et ce qui est surtout digne de remarque , c’est que la formule peut toujours être transformée en un cube, quels que soient les nombres a et c ; ce qui n’avait point lieu pour les carrés, à moins qu’on 11’eùt déjà un cas connu ; et ce qui n’a également pas lieu pour aucune des autres puissances paires; la solution au contraire est toujours possible pour les puissances impaires, telles que la troisième , la cinquième, la septième, etc. 188. Lors donc qu’il s’agira de réduire en cube la formule axx -f- cyy , on supposera d’une manière analogue à celle qu ou a employée x {/a+yl/— c = (p \/a+q \/—c)\ et x\/a — y \/ — c — (p [/ a — q [/ — c) 3 ; le produit ( app -f- cqq )’, qui est un cube , sera égal à la formule axx + cyy. Mais on cherche aussi à déterminer pou 1 x et y des valeurs rationnelles, et heureusement on y réussit* En effet, si l’on prend réellement les deux cubes indiqués, oa a les deux équations x{/a-f-y (/— c—ap’ i/ y ay-' 5 appq\/ —c —Zcpqq \/a — cq"\f—’ c ’ et x 1 /a—yV — c — ap 3 [/a—Zappq /—c—ocppq \Za+cq 3 [/" c > desquelles il suit évidemment que x—cip 3 — 3 cpqq, y = 3 appq — cq\ D’ALGÈBRE. 165 Qu’on cherche , par exemple, deux carrés xx et_yy , dont la somme xx -f- y y fasse un cube. Puisqu’ici °n aura Ce qui donne Maintenant si a = 1 , c = i, x=p* — 3 pqq, y = 3 ppq — q\ xx+yy=(pp + qq) 3 . ° n trouve donc p = 2 , < 7=1 j x = 2 , y — u ; „ xx +yy = ia5 = 5 5 . i8g. Considérons aussi la formule xx -f- ôyy dans le dessein de la faire écale à un cube : comme nous avons pour cet effet a = î , c = 3, n ous trouvons *= p z —spw > et y — —V, d'où résulte xx + 3 yy=(pp + 3 qq ) 3 . ^ette formule se présente assez souvent : c’est une raison pour- etl donner ici du moins les cas les plus faciles. P <7 X y xr -f- 3yy l I 8 C 64= 4 3 2 î 10 .9 343= 7 3 1 2 35 18 2,97 = i3 3 3 1 0 M 1728 = 13 3 1 3 8o 72 21962 = 28 3 3 2 81 3o 9261 = 21 3 2 3 ,54 45 29791 = 3i 3 I ■ l 6 S ÉLÉMENS 190. Sans la condition que les deux nombres x et y ne doivent point avoir de commun diviseur, la question ne serait sujette à aucune difficulté ; car si axx -f- cyy devait être un cube, on n’aurait qu’à faire x = tzz , y = uz , et la formule deviendrait attz -f- cuuzz-, on l’égalerait au cube z 3 . et on trouverait aussitôt z = v 3 (att-f- cuu ) ; parconséquent les valeurs cherchées de x et de_y seraient x = tv 3 ( att -f- cuu ), y = uv 3 (att-\- cuu ) , lesquelles ont, outre le cube v 3 , aussi la quantité att -f- cuu pour commun diviseur; desorte donc que cette solution donne sur-le-champ axx + cyy = v 6 ( att -f- cuu )* ( att -f- cuu ) =: u 6 ( att + curt ) 3 , ce qui est évidemment le cube de v* ( att-}- cuu"). 191. La méthode dont nous avons fait usage en dernier lieu, est d’autant plus remarquable, que c’est par le moyen de quantités irrationnelles et même imaginaires, que nous sommes parvenus à des solutions qui demandaient absolument des nombres rationnels et même entiers. Mais ce qui est encore plus digne d’attention, c’est que , dans le cas où l’irrationna- lité s’évanouit, notre méthode ne peut plus avoir lieu. En effet, lorsque , par exemple , la formule xx -f- cyy doit être un cube, on ne peut qu’en inférer que ses deux facteurs irrationnels, x -j-y \/ — c et x—y \/ — c, doivent pareillement être des cubes, vu que x et y n’ayant point de diviseur commun, ces facteurs ne peuvent pas non plus en avoir- Mais si les radicaux disparaissaient, comme, par exemple , dans le d’algèbre.' *57 le cas de c = —1, ce principe n’aurait plus lieu ; parcequ’il se pourrait très-bien que les deux facteurs , qui seraient alors x et x —y , eussent des diviseurs communs, quand même x et y n’en. 0 uraient pas ; ce qui arriverait, par exemple, si ces deux lettres exprimaient des nombres impairs. Ainsi, lorsque xx—yy doit devenir un cube, il n’est pas nécessaire que tant x -f -y que x —y soient d’eux-mêmes des cubes ; mais on pourra supposer x-\-y = zp 3 , x—y ~ » et la formule xx — yy sera incontestablement un cube puisqu’on la trouvera =8 p 3 q 3 , dont la racine cubique est s pq. On aura de plus x = p 3 -f- zq 3 , y = p 3 — zq 3 . Lorsqu’au contraire la formule axx -f- cyy n’est pas résoluble e » deux facteurs rationnels , on ne pourra trouver d’autres .solutions que celles-qui ont été données. 192. Nous éclaircirons les recherches qui précèdent par quelques questions curieuses. Question première. On demande un carré xx en nombres entiers, et tel qu’en y ajoutant 4 , la somme soit un cube ; le cas a lien pour xx= 121, mais on veut savoir s’il y a d’aatres cas semblables ? Comme 4 est un carré, on cherchera d’abord les cas où *x -f-yy devient un cube; or nous en avons trouvé un qui a Leu, si x =p 3 — 5 pqq , y = 3 ppq — <7 3 - Luis donc que yy — 4 , on a _y = ±3 , et parconséquent 5 ppq — q 3 -j- 2, ou 3 ppq — q 3 ~ —. a : l68 t L É M E N S dans le premier cas on a donc q (3pp—qq) = 2 ; v ainsi q est un diviseur de 2. Cela posé , supposons premièrement q = 1 ; nous aurons 3pp — 1 = 2; donc p = 1, d’où dérivent x = q , xjc = 4. Si nous supposons, en second lieu, q = 2, nous avons 6pp — 8 = zfc 2 ; que si nous admettons le signe -f-, nous trouvons 6pp= 10 , pp=% , d’où résulterait une valeur de p irrationnelle , et qui ne peut avoir lieu ici ; mais si nous considérons le signe —-, nous avons Bpp = G , p = 1 ; donc x = 11. Voilà les seuls cas possibles, et on en conclut que les deux carrés 4 et 121 sont les seuls qui, ajoutés à 4, donnent des cubes. it) 3 . Question deuxième. On cherche en nombres entiers d’autres carrés que a 5 , qui, ajoutés à 2, donnent des cubes. Puis donc que xx -f- 2 doit devenir un cube, et puisque 2 est le double d’un carré, déterminons d’abord les cas où la formule xx-f- oyy devient un cube ; nous ayons pour cet effet, par l’article 188, où a = 1 et c = 2 ; nous avons, dis-je, x — p 3 — Bpqq et y = 3 ppq — 2 q 3 ; il faut donc, à cause de^ = ± 1, que $ppq — zq 3 = q ( 3pp — 2qq ) = ± 1, D’ALGÈBRE. 169 et pareonséquent que q soit un diviseur de 1. Soit donc <7=1, et nous aurons / 3 / 7 /j — 2 = ± 1 ; nous prenons le signe supérieur, nous trouvons 3 pp = 3 , donc p — 1, et x = 5 ; et si nous adoptons l’autre signe, nous parvenons à une valeur de p , qui étant irrationnelle, ne nous est d’aucun usage ; il s’ensuit donc qu’il n’y a pas de carré, hors a 5 , qui ait la propriété desirée. 194. Question troisième. On cherche des carrés qui, mul- hpliés par 5 et ajoutés à 7, produisent des cubes ; ou bien on demande que 5 -c.r-f- 7 soit un cube. Qu’on cherche premièrement les cas où 5 xx-j-yyy devient u n cube-, on trouvera par l’article 188, où a= 5 etc = 7, •lu'il faut, pour cela, que x — 5 p* — 2 ipqq , y=i 5 ppq — 7q 3 -, ^nsi, comme dans notre exemple, y = ± 1, on a l5 m — 7 J1 ( °u résultent, dans l’un et l’autre cas, des valeurs de p qui N s ° n t irrationnelles ; mais il ne faut cependant pas se presser de ^°nclure que la question est impossible, vu que p et q pourraient etre des fractions telles que y = 1, et que x devint un nombre e ntier -, et c'est ce qui arrive réellement ; car si „ P À 3 7 — "â > i7© on trouve E L E M E N * y — i, x = 2 ; mais il est vrai qu'il n’y a pas d’autres fractions qui rendent la solution possible. ig5. Question quatrième. On demande en nombres entiers des carrés dont le double , diminué de 5, soit un cube ; ou bien on veut que 2 xx— 5 soit un cube. Si nous commençons par chercher les cas qui conviennent a la formule 2 xx — 5 yy , nous avons dans le 188 e articl« <2 = 2 , et c = — 5; ainsi x = 2 p 3 -f- î 5pqq , y — Gppq -f- 5 q 3 . Or que y = ± î, et conséquemment Gppq -f 5q 3 — q ( Gpp -f 5qq ) = ± 1 ; et comme cette condition est impossible en nombres entiers et même en fractions , ce cas devient très-remarquable , puisqu'il existe cependant une valeur de x qui satisfait ; savoir x — 4 î en effet , dans ce cas 2 xx — 5 = 27 , ou égal au cube de 3. Il est important de rechercher la raison de cette singularité. iq 6 . Non-seulement il est possible , comme nous l’avon* reconnu, que la formule 2 xx — 5yy soit un cube; mais de plus, la racine de ce cube a la forme 2 pp — Gqq , comme on peut s’en convaincre en faisant x = 4,y=i,etp = a,q=i; ainsi nous connaissons un cas où nxx — 5yy = (2pp~5qq)\ quoique les deux facteurs de 2 xx — 5 >yy , savoir x\/st -f~y V ® ' d’ ALGEBRE. 171 et x \/ a —y Ÿ 5 , qui, suivant notre méthode , devraient etre les cubes de p y/ 2 -|- q y/ 5 , et de p y/ 2 —• q \/ S, ne soient pas des cubes -, car dans notre cas x y /2 +y \/5 = 4l/ 2 + l/î>, au lieu que (p \Za + q V 5 ) 3 = (2 y/2 -f \/ 5 y — 46 Ÿ 2 + 2.9 V /5 ; ce qui n’est nullement identique avec 4 y/ 2 + l/ 5 . Mais il faut remarquer que la formule rr — iom peut devenir î ou — 1 d’une infinité de manières ; par exemple, si r ^ 3 et s = 1, si r = 19 et s ~ 6 j et cette formule multipliée par app — Sqq reproduit un nombre de cette dernière forme, Soit donc ff 10 S8 — 1 > au lieu de supposer, comme nous avons fait ci-dessus, axx — 5 yy = ( 2pp — 5 qq ) 3 , n °us pourrons poser, plus généralement, axx — 5 yy = ( ff — logg) ( app — 5 qq ) 3 ; desorte que prenant les facteurs, nous aurons .t v/a ± jV/ 5 = {f±gÿ 10) (p y/2 it <7 y /5 ) 3 . Or (p\/2‘±.q\/5y=z('2p" , -\-i5pqq')\/2±L(Sppq+5q 3 ')ÿ5’, s *, pour abréger, nous écrivons A\/ 2 B v/ 5 àla place de cette quantité, et que nous multiplions par y’ -f-gl/10, ^°us aurons Af \Za -f- 7?/\/5 +2 Ag \/ 5 + 5 B g v/2 à égaler a * V a -j-y [/ 5 , d’où résulte x = Jf-t- 5 £g,y = Bf+ zAg ; 372 É L É M E N S or, puisqu’il faut que y = ± 1, il n’est pas absolument nécessaire que Sppq + 5 q 3 =: 1 ; au contraire, il suffit que la formule c’est-à-dire que / (%*7 + 5 q % ) + 2g ( 2p 3 + lüpqq) = ± i\ desorte que f et g peuvent avoir plusieurs valeurs. Soit, par exemple , f z= 3 et g = 1 , il faudra qu’on ait ( 18/7x7+ i 5 q 3 + 4 p 3 + 3 opqq )=±i, on bien que 4 p 3 + 1 Sppq + Zopqq + 1 5 q 3 = ± 1. 197. Cette difficulté de déterminer tous les cas possibles de cette espèce , n’a lieu cependant que lorsque dans la formule axx + cyy, le nombre c est négatif ; et la raison en est qu’alors cette formule, ou bien cette autre xx — acyy qui en dépend, peut devenir = 1 ; ce qui n’arrive jamais quand c est un nombre positif, parceque axx + cyy , ou xx + acyy, donne toujours des résultats d’autant plus grands que les valeurs de x ety sont elles-mêmes plus grandes.C’est pourquoi la méthode que nous venons d’expliquer, ne peut s’employer avec avantage que dans les casoùlesdeux nombres a etcont des valeurs positives. 198. Passons maintenant au quatrième degré, et commençons par observer que , si la formule axx + cyy doit devenir un bi-carré, il faut que a = 1 ; car si ce nombre n’était pas un carré, il ne serait pas même possible de transformer la formule en un carré ; et si cela était possible, on pourrait aussi lui donner la forme tt + acuu ; c’est pourquoi nous n’fcten- drons la question qu’à cette dernière formule, qui revient à la précédente xx-\-cyy, dans la supposition de a = 1. Cela posé , il s’agit de voir quelle doit être la nature des valeurs de a: et de y-, pour que la formule xx + cyy devienne un carré-carré. Or comme elle est composée des deux facteurs (x+y'y/—c) ( r —y [/ —c), il faut que chacun de ces facteurs soit aussi un carré-carré de la même espèce ; et oh doit faire D’ALGÈBRE. 173 x +y[/— c=(p + <7V / -*0 4 ) x—yÿ—c=(p—q\/—cy, d’où il résulte que la formule proposée devient égale au bicarré (pp -j- cqq ) 4 . Quant aux valeurs de x et de^, elles se déterminent facilement par le développement qui suit : x, yY — c—p^-i~4p^ c lV' — c — Gcppqq- f- ccq f — 4 c P l f V — ' c > x —y \/—• c—p 4 — 4p*q [/ — c— G cppqq + ccq 4 -f- 4 c P c f Y — c ; donc x = p 4 — Gcppqq -f- ccq 4 , y = 4p*q — 4 C PÇ S > 199. Ainsi, lorsque xx -f- yy doit être un bi-carré, comme ®ctuellement c = 1 , nous avons x = p *—■ 6 ppqq + ql, y = 4 p 3 q — 4 pq 3 ; •nsorte que xx+yy = (pp + qqy. Supposons , par exemple, p r= 2 et q = 1, et nous trouverons d où résulte Si p — 3 et q x— 7 , y ~ a 4> xx -f- yy — 6 û 5 = 5 4 . a, nous obtenons r * e qui donne x= 119 , y = tao, xx+yy=i&. > a °o. Quelle que soit la puissance paire dans laquelle il * a Sisse de transformer la formule axx + cyy, il est toujours *d>solu ni ent nécessaire que cette formule puisse etre réduite a 1,n carré ; mais il suflit pour cet effet qu on connaisse un * eu l cas où cela arrive ; car on pourra ensuite transformer * formule, comme nous avons yu, en une quantité de la forme tt-^-acuu , dans laquelle le premier terme tt n’est multiplié que par i ; desorte qu’on peut la regarder comme étant contenue dans l'expression xx -f- cyy \ et c’est d’une maniéré toujours semblable qu’on peut donner à cette dernière expression la forme d'une sixième puissance ou d’une puissance paire plus haute quelconque. 201 . Cette condition n’est pas requise pour les puissance* impaires ; et quels que soient les nombres a et c , on pourra toujours transformer la formule axx-\-cyy en une puissance impaire quelconque. Qu’on demande, par exemple, la cinquième , on n’aura qu’à faire x V a +y V— c =(pV a + q V— c) 5 , et x \/a—y\/—c = (p \/ a — <7 y — c) 5 > et on obtiendra évidemment axx -f cyy = ( app + cqq ) 5 ; de plus, comme (p y a-\-q {/— c) 5 — aap 3 a -{-Saap^q [/ —c—■ 1 oacp 3 qqy a — icacppq 3 \/— c + 5 ccpql \/ a -j- ccq 5 \/ —c, on trouvera avec la même facilité X—aap 5 —îo acp 3 qq -f- 5ccpql, yz=5aap*q — ioacppq 3 -\-ccq 5 - Si donc on demande que la sommé de deux carrés, ° u xx+yy, soit en même temps une cinquième puissance, ° n aura a = î et c — î ; donc x = p b —iop 3 qq + 5/jqf, y = 5 p^q — îo ppq 3 + q 5 , et en faisant de plus p — 2 et q = î, on trouvera x = 38, y=4i î xx yy = 3i 25 = 5 5 . parconséquent d’algèbre. 175 CHAPITRE XIII. quelques expressions de la forme ax 4 -f-by 4 , qui ne sont pas réductibles à des carrés. a °a. On s'est donné beaucoup de peine pour trouver deux ^‘-carrés, dont la somme ou la différence fut un carré; mais ^Utilement, et même on est parvenu a la lin à démontrer que *** la formule x 4 , ni la formule x 4 —_y 4 , ne peuvent devenir des carrés, si ce n’est dans les cas évidens où, dans la lumière , x ou y ~ o , et où , dans la seconde, y — o ou La chose est d’autant plus remarquable , qu’on peut trouver, comme on l’a vu , une infinité de solutions, lorsqu’il ^ s 'agit que de simples carrés. a o3. Nous allons donner la démonstration dont nous venons Parler, et afin de procéder par ordre, nous remarquerons ^ V; int toutes choses que les deux nombres x et y peuvent être gardés comme premiers entre eux. En effet, si ces nombres Paient un commun diviseur, comme on pourrait faire x = dp , nos formules deviendraient et df — df ; ® es formules, si elles étaient des carrés, resteraient des carrés ^nt divisées par d i ; donc aussi les formules et p ' 1 —4- Nous commencerons donc par la somme de deuX bi" carrés , savoir par la formule x* + y*, et en considérait x et y comme des nombres qui sont premiers entre eux. Il s’agit de prouver que cette formule ne peut devenir un carré que dans les cas mentionnés ci-dessus : or voici les raisonnemens q ue cette démonstration exige. Nier la proposition, ce serait prétendre qu’il peut y avoir des valeurs de x et de y, telles que x* -f-yd fut un carr»> quelque grandes qu’elles fussent, puisqu’il n’y en a pas de petites. Or on peut faire voir clairement que si x et y avaient de* valeurs satisfaisantes, on pourrait, quelque grandes que fussent ces valeurs, en déduire de moindres pareillement satisfai" santés, tirer de celles-ci des valeurs encore plus petites, et ainsi de suite. Puis donc qu’on ne connaît aucune valeur e 11 petits nombres, excepté les deux cas ci-dessus qui ne mènent pas plus loin, on peut aussi conclure avec assurance qu A n’existe point de valeursde x et deyde la nature, de celles qu on cherche , et pas même dans les plus grands nombres. La pr°" position avancée à l'égard de la différence de deux bi-carres» x* —y*, se démontrera par le même principe, comme on I e verra plus bas. 2o5. Ce sont les points suivans qu’il faut considérer mainte' nant, si on veut se convaincre que x*-j-y* ne peut devenir carré que dans les cas évidens dont nous avons parlé. i°. Puisque nous supposons que x et y sont des nombre* premiers entre eux, c’est-à-dire,'qui n’ont point de comniu 11 diviseur, il faut qu’ils soient ou impairs tous les deux, ou q ue l’un soit pair et que l’autre soit impair. 2 0 . Mais ils ne pourraient être impairs tous deux, parce" que la somme de deux carrés impairs ne peut jamais être u0 carré ; car un carré impair est toujours contenu dans la f° r mule 4n + 1 , et parconséquent la somme de deux carres m 1 pairs aura la forme 4 n -f- 3 > ce qui étant divisible par a, n* 311 D’ A L G E B R E. 1 77 non par 4 , ne peut être un carré (70). Or ce que nous venons de dire doit s’entendre aussi de deux bi-carrés impairs. 3 °. Si donc -j* doit être un carré, il faut qu’un des ternies soit pair, et que l’autre soit impair. Or nous avons vu plus haut que, pour que la somme de deux carrés soit un carré, 11 faut que la racine de l’un puisse être exprimée par pp — qq , celle de l’autre par a pq ; donc il faudrait que et on aurait xx=pp — qq et yy = apq, x*-t-y* = (pp + qq)*. 4 °- Ici parconséquent yy serait pair et xx serait impair ; mais Puisque xx = pp — qq, ’l faut aussi que des deux nombres p et q , l’un soit pair et 1 autre impair. Or le premier p ne peut être pair, parccque s’il 1 était, pp — qq serait un nombre de la forme 4« + 3, et pourrait devenir un carré. Donc il faudrait que p fût lr npair, et que q fût pair, et, en ce cas, il est clair que ces Nombres seront premiers entre eux. 5 °. Pour que pp — qq devienne un carré ou = xx , il faut, c °iftme nous avons vu plus haut, que car p = rr -f- « et q = 2 rs ; 1 en ce cas, XX : (rr — si)“ et x: : rr ■ ■ss. ®°* Or il faut que_y_y soit pareillement un carré; et puisque * 10 ' 18 avions yy—w* 01,8 aurons à présent yy = 4 rs(rr + ss); ‘le ; s °rte q U e cette formule doit être un carré ; donc il faut a. M aussi que rs ( rr + ss ) soit un carré : et remarquons que rets sont des nombres premiers entre eux, de façon que les trois facteurs de cette formule, savoir r, s, et rr-f-ss, n’ont point de commun diviseur. 7 0 . Or, quand un produit de plusieurs facteurs qui n’ont point de diviseur commun, doit être un carré, il faut que chaque facteur soit de lui-même un carré -, ainsi on fera r= tt > et s — uu , et il faudra que + 1x4 = un carré. Si donc x 4 -f- k 4 était un carré, notre formule f 4 -f- zi 4 , qui est pareillement la somme de deux bi-carrés, serait de même un carré. Et il est bon d’observer ici que puisque XX = ( t 4 — zx 4 , yy = fytuu ( t 4 -f- u 4 ) ; les nombres t et u seront évidemment bien plus petits que £ et y t vu que a: et y se déterminent même par les quatrième^ puissances de t et de u, et ne peuvent parconséquent que devenir bien plus grands que ces nombres. 8°. Il suit de là que si on pouvait assigner, quand même ce serait en nombres très-grands, deux bi-carrés, comme x 4 et y 4 , dont la somme fût un carré , on pourrait en déduire une somme de deux bi-carrés beaucoup plus petits , qui serait p a " reillement un carré ; cette nouvelle somme en ferait trouve 4 ensuite une autre de la même nature et encore plus petite, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on parvînt à des nombres très" petits. Or une telle somme, en nombres très-petits, n’étant p a * possible , il s’ensuit évidemment qu’il n’y en a aucune qu ° n puisse exprimer par des nombres très-grands. g 0 . On pourrait objecter, à la vérité, qu’il existe une sonun 0 de l’espèce dont nous parlons , en nombres très-petits, savoit dans le cas dont nous avons fait mention , où l’un des deux bicarrés devient zéro ; mais nous répondons qu’on n’arrivera cei tainement pas à ce cas, en revenant des nombres très-grau D ALGEBRE. 3 7 P *ux plus petits, suivant la méthode indiquée; car si dans la petite somme ou dans la somme réduite &—, on avait ou u — o, on aurait nécessairement yy = o dans la grande somme ; or c’est un cas qui n’entre point ici en considération. a °6. Passons à la seconde proposition, et prouvons aussi *]ue la différence de deux bi-carrés, ou x 4 — y*, ne peut jamais devenir un carré que dans les cas où y = o et y ~ x. l °’ On peut regarder les nombres x et^ comme premiers ^ntreeux, etparconséquent comme étant ou impairs tous les ou l’un pair et l’autre impair. Or comme dans l’un et aatre cas, la différence de deux carrés peut redevenir un Car ré , il faudra considérer ces deux cas séparément. a °- Supposons d’abord les deux nombres x et y impairs, et ^Ue x = p -f- <7, y ~ p — q , d faudra nécessairement que l’un des deux nombres p et q SQl t impair, et que l’autre soit pair. Or nous avons xx ■ doue ■yy = 4 pq, xx + yy : notre formule ■app + 2 qq; «t U xi — J 4 = 4pq ( WP + a <7<7 ) ; second membre devant être un carré, il faut aussi que y ^PP~hzqq) ou npq (ppqq) soit un carré; et puisque Rv facteurs de cette formule n’ont point de commun divi— s eur pareeque si p est pair, q est impair , chacun de ces fac- çj ■ a P, q et pp -f- qq , doit être de soi-même un carré. Afin c an; C ' ^ a ' re ensorte c I ue ^ es deux premiers deviennent des >in !- S ’ ^ u>on sll PP°se a/j = 4rr ou p = 2 rr, et q = ss, s étant te urs "pair, p faudra que le troisième facteur, 4^ "4" ^, sn ‘t Pareil] enient un carré. 3 °- O r , puisque s 4 -f- 4 ^ est la so.nnue de deux carrés, dont l8c Ê L É M E N S le premier, j 4 , est impair , et dont l’autre, 4 ri > est pair* q u ° n fasse la racine du premier ss = tt — uu, où t soit impair et u pair ; et la racine du second, 2 rr — 2 tu , ou rr — u où t et u sont premiers entre eux. 4°. Puis donc que tu — rr doit être un carré, il faut q ue tant t que u soient des carrés. Qu’on suppose donc t = mm , u = 7in, en entendant par m un nombre impair, et par n un norubr* pair. on aura ss — m* — rc 4 ; desorte qu’il faudrait de nouveau qu’une différence de deu* bi-carrés, savoir m 1 — n*, fût un carré. Or il est clair q 1 * 8 ces nombres seraient bien plus petits que x et y, puisqu il* sont moindres que r et s, qui sont eux-mêmes évideniru eIlt plus petits que x et y. Si donc une solution était possible daP 5 de grands nombres, et que x*—y 4 fût un carré, il faudra' 1 qu’il y en eût une aussi qui fût possible pour des nonibr eS beaucoup plus petits ; celle-ci devrait faire parvenir à autre pour des nombres encore plus petits, et ainsi de sui te ‘ 5°. Or les nombres les plus petits, pour lesquels un te t carré peut se trouver, ont lieu dans le cas où un des bi-car* e5 est = o, ou égal à l’autre bi-carré. Dans le premier cas faudrait qu’on eût n : p — o, et enfin ; o, donc u = o, et de même T il > o> X* — y 4 = o, ou x 4 =y i , ce qui est un cas duquel il n’est pas question ici ; que si n - on trouverait t= u, ensuite s = o, g r=o, et enfin aussi# ce qui n’entre point ici en considération. ■ ph P ’ A L G È B R E. l8t 20 7- On pourrait faire ici l’objection que, puisque m est ’nipair et que n est pair, la dernière différence n’est plus semblable à la première, et qu'ainsi on ne peut en tirer des confusions analogues pour des nombres plus petits. Mais il sulTit 'lue la première différence nous ait fait arriver à la seconde , e1: nous allons faire voir que x * —y4 ne peut non plus devenir ^n carré, quand l’un des bi-carrés est pair et que l’autre est Itn pair. l0 - D’abord, si le premier x* était pair, et que y4 fût im- Pair, la chose serait claire d’elle-même, puisqu’on aurait un nombre de la forme 4 /l ~h 3, qui ne peut être un carré. Soit x impair ety pair, il faudra que xx^pp + qq, et y = apq, n où résulte x*—y 4 =p 4 — 2 />w + <7 4 =(pp — qq T, ,°n des deux nombres p et q l’un doit être pair et l’autre ’aipair. n°. Or pp qq = xx J Qe tant être un carré, on a don c p = rr — ss et q — zrs ; M, a * s de là résulte x = rr -f- ss. yy = a (rr — ss) . 2 rs, ou yy = (rr — ss), qui ne peut être un carré, à moins que rs(jr — ss), dont les acteurs sont premiers entre eux, ne soit pareillement un carre. 3°. Qu’on fasse donc r = tt et s ~ uu , on aura le troisième ‘acteur rr — « =x <4 — u4, *l‘u devra de même être un carré ; or comme ce facteur équi- 5 d’algèbre. i83 i®. Il n’est pas possible que la formule a:* + 4y* devienne »m carré; car puisque cette formule est la somme de. deux carrés, il faudrait que xx = pp — qq, zyy — zpq ou yy—pq\ 0r p et q étant des nombres premiers entre eux, il faudrait que 1 un et l’autre fût uu carré. Si donc on fait p = rr , et q = ss, °n aura xx := H — j* ; c’est-à-dire qu’il faudrait que la différence de deux bi-carrés fût un carré , ce qui est impossible. 2°. Il n’est pas possible non plus que la formule X* — 4y* devienne un carré ; car il faudrait dans ce cas que xx = pp-\-qq, et ayy=zpq, 4 Gn qu’on eût xi — 4/ = ipp — qqY> pour que yy—pq , il faut que p et q soient séparément des carrés; et si on fait en conséquence °u a p = rr, q — ss, xx — t 4 -f- s* ; c’est-à-dire qu’il faudrait que la somme de deux bi-carrés pût devenir un carré, ce qui est impossible. 3". Il est impossible aussi que la formule 4 X *—y 1 devienne 1111 carré , parcequ’il faudrait en ce cas nécessairement que y fr*t un nombre pair ; or si l’on fait y — sz, on trouve que 4-X*—. i6s4, et parconséquent aussi la quatrième partie x*—4^» devrait pouvoir se réduire à un carré ; ce que nous venons de ^oir n’être pas possible. 4°. La formule axl -f- sy 4 ne peut pas non plus se trans- 4 lHa F. I. É M E N S vaut à la différence de deux bi-cavrés, qui sont beaucoup moindres que les premiers, la démonstration précédente est pleinement confirmée ; et il est évident que si la différence de deux bi-carrés pouvait devenir égale au carré d’un nombre » quelque grand qu’on veuille le supposer, on pourrait, moyen' liant ce cas connu, parvenir à des différences de plus en plus petites, qui seraient de même réductibles à des carrés, sans cependant retomber dans le* deux cas évidens dont nou* avons parlé au commencement; donc il est impossible que 1* chose 2>uisse avoir lieu meme pour les plus grands nombres. 208. La première partie de la démonstration précédente, relative au cas de x,y, nombres impairs, peut s’abréger de la manière suivante ; si —y* était un carré, il faudrait qu’on eut KX=pp + qq et yy=pp — qq, en entendant par p et q des nombres dont l’un soit pair et l’autre impair*, moyennant cela on aurait xxyy = ^~qi, et il faudrait parconséquent que p* — q t fût un carré ; 01* c’est là une différence de deux bi-carrés dont l’un est pair et dont l'autre est impair ; et il a été prouyé dans la seconde partie de la démonstration, qu’une différence de cette nature ne p eUt devenir un carré. soq. Nous avons donc prouvé ces deux propositions ca P 1 taies, que ni la somme ni la différence de deux bi-carre* ne peut devenir un nombre carré, si ce n’est dans un petit nombre de cas tout-à-fait évidens. des Quelques formules donc qu’on veuille transformer en i carrés, si ces formules demandent qu’on réduise à un carrC ceJ . somme ou la différence de deux bi-carré*, on peut pronon^. que ces formules proposées sont pareillement imp oS ^ C’est ce qui arrive à l’égard de celles que nous allons inm 1 former en un carré ; car, puisqu’il faudrait que ce carré fût pair, et parconséquent zoc* + zy* = fez, oc* -J- y* = zzz , zzz + ax,ry_y =x 4 -f- zxxyy +y* = un carré, ou pareillement on aurait ou zzz — 2 xxyy — x* — axotyy +y* = un carré. Ainsi, comme zzz -f zxxyy et zzz — zxxyy deviendraient séparément des carrés, il faudrait que leur produit 4z *— 4x*y* > aussi bien que le quart de ce produit, ou z* — x*y*, fiit un carré. Mais ce quart est la dilférence de deux bi-carrés, donc, etc. t 5°. Enfin je dis aussi que la formule zx* — zy* ne peut Être un carré ; car les deux nombres x et y ne peuvent être pairs tous deux, puisque s’ils l’étaient, ils auraient un diviseur commun ; ils ne peuvent être non plus l'un pair et l’autre impair» puisqn’autrement une partie de la formule serait divisible p ar 4, et l’autre seulement par deux, et qu’ainsi la formule entière ne serait divisible que par z ; donc il faut que ces nombres x et y soient impairs tous les deux. Or si l’on fait à présent x ~p + ?» et y=p — q, un des nombres p et q sera pair, et l’autre sera impair; et puisque et que et que zx * — a y* = a (.r,r -hyy) (xx — yy ), xx +yy = 2 PP + zqq = z (pp + qq), xx yy — 4pç , notre formule se trouvera exprimée par i Spq (pp + > ^ 0Ilt d’algèbre. i85 la seizième partie, ou pq (pp -}- qq), devra être pareillement un carré. Mais ces facteurs sont premiers entre eux ; ainsi chacun doit de son côté être un carré. Qu’on fasse donc les deux premiers p=z rr et q—ss, et le troisième devenant = r4-|-$4, ce qui ne peut être un carré, prouvera que la formule proposée ne Peut pas non plus devenir un carré. 2io. On peut démontrer de même que la formule 3$ -f- 2 iy4 n e devient jamais un carré ; voici l’ordre de cette démonstration : i °. Le nombre x ne peut être pair, parcequ’il faudrait en Ce cas que y fût impair; et la formule ne serait divisible que Par 2 et non par 4 ; donc x doit être impair. 2°. Qu’on suppose donc la racine carrée de notre formule 5c: xx -f- 22X2! t afin qu’elle devienne impaire , on aura *< + ,,.< = *< + *222l + iWf q qq où les se détruisent; ensorte qu’en divisant les autres termes Par yy et multipliant par qq, on trouve 4pqxx + 4ppyy = aqqyy, ou 4pqxx = aqqyy — /p)yy , d où l’on tire c est-à-dire xx _ qq — 2 pp. ~ÿÿ~ z pq ’ xx = qq — spp, yy-=apq, rçm sont les mêmes formules que nous avons déjà données plus haut. 3°. Ainsi qq — 2 pp devrait être un carré, et c’est ce qui 116 Peut arriver , à moins qu’on ne fasse q = n - -f-2M et p = 2 ï'j, a lin d’avoir xx = (rr — 2 1 SG É L É M E N S or on aurait alors 4 > ' s ( rr + ass)=yy-, et il faudrait qu'aussi le quart rs (rr-f- 2 ss) fût un carré, et parconséquent que r et s fussent chacun en particulier des carrés. Si donc on suppose r — tt et s = uu , on trouvera 1 ® troisième facteur rr + 2 ss— t* + 2 u*, qui devrait être un carré. 4 °. Parconséquent si x ♦ -f- 2 y* était un carré, il faudrait aussi que 1 4 + au* fût un carré ; et comme les nombres t et u seraient beaucoup moindres que x et^, on pourrait parvenir de la même manière à des nombres toujours plus petits. Or il est facile de se convaincre, par quelques essais , que la formule proposée n’est pas un carré de quelque petit nombre ; donc elle ne l’est pas non plus d’un nombre même très- grand. 211. Pour ce qui regarde au contraire la formule x* — sy* » il n’est pas possible de prouver qu’elle ne peut devenir un carre, et on trouve même par un raisonnement semblable au precedent , qu’il y a une infinité de cas où cette formule devient réellement un carré. En effet, que x 4 — ay* doive être un carré, nous venons du voir qu’en faisant xx = pp 2qq et yy = spq, on trouve x* — uyt = (pp — 2 qq )*. Orpp -f- nqq doit donc devenir pareillement un carré, et c est ce qui arrive, lorsque p — rr — 2 ss et q = 2 rs , vu qu’on a dans ce cas , xx = (rr-\- 2«)\ d’algèbre. 1S7 De plus il est à remarquer qu’on pourrait encore prendre p — 2 ss — rr et q = zrs. ^ous examinerons, en particulier, l’un et l’autre de ces deux cas. i°. Soit d’abord on aura p = rr — 2 ss , q — zrs, x = rr-j- et à cause de yy ~ 2 pq, on aura maintenant yy — 4 rs (rr — 2ss) ; desorte que r et s doivent être des carrés. Qu’on fasse donc r == U et s = uu, on trouvera yy = Attuu (£t — un'*). Ainsi _ y = ztu v/f* — 21^ et x = H ~f- > donc , lorsque £* — 2u* est un carré, on trouvera aussi x* — 2y* un carré; mais quoique t et u soient des nombres plus petits que a: et y, on ne peut conclure cependant, de ce qu’on Parvient à une formule semblable en de moindres nombres, que x* — zy* ne puisse devenir un carré’, car x * — 2y* peut devenir un carré, sans qu'on parvienne à la formule i* — 2 u*, ooninie on le verra en considérant le second cas. a 0 . Soit donc p = zss — rr et 7 = zrs, on aura à la vérité, c onime ci-devant, x— rr -j- 2 ss', ^tais on trouvera yy = 2 pq — 4 ™ ( a ss — rr). ^ l’on suppose maintenant r = tt et s =uu, on obtient yy = 4 ttuu ( 2u-t — £* ), t L É M E N S 188 parconséquent y = 2tu\/au* — £* et x = £ 4 -f- 2ti 4 , moyennant quoi il est clair que notre formule x 4 — ny* P ellt devenir aussi un carré , quand la formule 2u 4 — t 4 devient un carré. Or ce cas a lieu évidemment, quand £ = 1 et u = 1 > et nous obtenons par là a: = 3 et_y = 2, et enfin x 4 — 2_y 4 = 81 — 2. )6 — 49- 3 °. Nous avons aussi vu plus haut que 2u 4 — t 4 devient un carré , lorsque u = i 3 et £ = 1, puisqu''alors \/ 2u 4 — f* = 2?g. Si nous substituons donc ces valeurs au lieu de £ et de u,nc)us trouvons un nouveau cas pour notre formule, savoir x = 1 -f-2.i 3 4 = 57123, et_y = 2.i 3 . 23 g = 6214. 4 °. De plus, dès qu’on a trouvé des valeurs de a: et de y > on peut les substituer à t et à u dans les formules du n° 1, et on obtiendra par ce moyen de nouvelles valeurs de x et de y-. Or nous venons de trouver x = 3 et y = 2; faisons donc , dans les formules n° 1, f =3 et w = 2, desorte que \/t* — 2W 1 = 7, et nous aurons les nouvelles valeurs suivantes, x = 8i-f*2.i6 = ii 3 61^ = 2.3.2.7 = 84; ainsi xx = 1276g, et x 4 = i 63 o 4736 i ; de plus yy = yo 56 , et _y 4 = 49787136; donc x 4 — ny* = 63473089 : la racine carrée de ce nombre est 7967, et elle s’accorde p ar " faitement avec la formule adoptée au commencement, pp-t 2 ^ ’ car puisque £ =3 et u = 2 , on a r = 9 et s = 4 ; donc p = ^ 1 — 32 = 4g et <7 = 72, d’où l’on déduit pp -f- 2 qq = a 4 01 -f-io 368 = x a = 12769, _yy=2pq = 7056. CHAPITRE XI Y. Solutions de quelques questions qui appartiennent à cette partie de l'analyse . »>». ou S avons expliqué jusqu’ici les artifices qui se pré- Se ntent dans cette partie de l’analyse, et qui peuvent être nécessaires pour résoudre quelque question que ce soit qui etl dépende ; il nous reste à les mettre dans un plus grand jour, enjoignant ici quelques-unes de ces questions avec leurs blutions. 2 i 3 . Première question. Trouver un nombre tel que si ou y ajoute ou qu’on en retranche l’unité, on obtienne dans l’un e t l’autre cas un nombre carré. Soit le nombre cherché =x, il faut que x •+■ 1 et x — 1 deviennent séparément des carrés. Supposons pour le premier cas x+i—pp, ft °us aurons x = pp — i et x — i — PP — 2, Ce qui devra pareillement' être un carré. Que la racine en soit donc p — q , nous aurons PP — 2 —PP — 2/*/ + qq, et parconséquent P = on obtienne dans l’un et l’autre cas un carré. Il faut, d’après cet énoncé, que les deux formules, x -f- 4 et x -f- 7, deviennent des carrés. Qu'on suppose donc la première x + 4 = pp, on aura x = pp — 4, et la seconde deviendra x + 7 = pp + 3-, or, cette formule devant aussi être un carré, soit sa racine = p -f- q , et on aura PP + 3 = pp + zpq + qq, d °ù l’on tirera ct parconséquent B ALGEBRE. 3 — qq P — - —> g — 2 zqq -f q* 'S' x ~ 499 de plus on prend pour q une fraction j, on trouve pour x la Qs* — 2 arm 4- r* , . ,, ... flle ur - - - - , dans laquelle on peut substituer a r ^rrss a s tous les nombres entiers qu’on veut. Si l'on fait r = i , s=i, ° n trouve , ' x — — 3 ; donc x + 4~ 1 , x + 7 ~ 4- Que si l’on demandait que x fût un nombre positif, on pour- t4 *t faire s = 2 et r = î, e t on aurait Ji Qa près quoi l'on fait °u a x — Si *—T!f> x +4 = -tt , x + 7 = i&- * = 3, r = î, x —L21 ^ Q ô résultent ces deux nombres *+4 = i F> x ~f~ 7 eut-on oue «urp on, ^eut-on que le dernier terme de la formule qui exprime x, r P»sse le moyen, qu’on fasse r = 5, s = i, X -UL X - - ftj | 1 aura ÉLÉMENS I92 et parconséquent x + 4=¥+ et x + 7 =^. 2 x 5 . Troisième question. On cherche une valeur fraction-* maire de x, telle qu’ajoutée à x ou soustraite de 1, elle donne dans l’un et l’autre cas un carré. Puisque ce sont les deux formules 1 4- x et 1 — X doivent devenir des carrés, qu’on suppose la première x + x = pp, on aura x = pp— 1, et la seconde formule 1 — x = 2 — pp. Or, comme cette formule-ci doit devenir un carré, et que nl le premier terme ni le dernier n’est un carré, il faudra tâche 1 " de trouver un cas où la formule devienne un carré ; on ne tai'^ e pas à en appercevoir un, c’est celui de p-= 1. Qu’on fasse donc p = i—q, desorte que x—qq — aq, et on aura 2 — PP= 1 + 27 — qq-, et en supposant la racine = 1 — qr, on aura 1 + 27 — qq — 1 — 2çr + qqrr; ainsi . ar A- st B — q= — Br + qrr-, et q— de là résulte 4r ~ 4r* . (n-j- 1 )*’ x = p’algèbkë. el puisque r est une fraction, qu’on fasse lg3 0Ï1 aura r — -, u _ 4tu? ■ 4t 3 u _ 4 tu i. uu — <0 (tt-4-uu.y [tt-j-uu.y * et il est clair que u doit être plus grand que t. Soit donc, par exemple, • u = 2 , t = i , ° n trouvera Soit °n aura les formules x — ÎA — a5" u — 3, X: *89 i = | 8&r ont toutes deux des carrés. . ISO ' 169 > et . x ~ _i5 •* —ïlni* ax6. Quatrième question. Trouver des nombres x tels que, 80l t qu'on les ajoute à îo, soit qu’on les soustraie de îo, il en “■'suite des carrés. H s’agit donc de transformer en carrés les formulés î o -f- x io — x, et on pourrait le faire par la méthode qu’on vient 'Riployer ; mais nous indiquerons une autre voie pour y Parvenir. On remarquera d’abord que le produit de ces deux tor mules, ou îoo — xx, doit pareillement devenir un carré; ? r s on premier terme étant déjà un carré, il faut en suppoter * racine — 10 — px, d’après quoi on aura îoo — xx =£ îoo — 20 px -f- ppxa r; N 2 . *94 donc É L É M E N S X 20 p ~~PP + i ’ or ce n’sst encore que le produit des deux formules qui devient un carré, et non pas chacune en particulier. Mais pourvu que l’une devienne un carré, l’autre sera nécessairement aussi un carré ; or ,_10 pp + + lO 10 (pp ■+- 2p 4 " 1 ) 10 4 * X —■ — ;- -;-— > PP + 1 PP + 1 ■et puisque pp 4~ 3 p 4" 1 est déjà un carré , tout se réduit à. ce que la fraction ———, ou bien celle-ci * 0 PP ~h _--, PP 4 -i (pp 4 ~ 1 ) soit un carré. Il faut pour cela seulement que îo pp 4 - io soit un carré, et on a de nouveau besoin ici de trouver un cas ou cela ait lieu. On remarquera qu'un tel cas est c’est pourquoi on fera P— 3 ; p = 3 4 ~ q > et on aura îoo -f- 6oq 4 - ioqq. Que la racine de ce carr* soit îo 4- qt, on aura l’équation finale loo 4- Soq 4- loqq = îoo 4- 20 qt 4 - qqtt, qui donne r- 60 — 20f tt - ÎO d’où résulteront ces valeurs de p et de x P = 3 + * Soit t = 5 , on trouvera q = o, p: 20 p 'PP+ »* 3 ; d'algèbre. donc x = S, nos formules io-f-a?=i6, xo—x = 4- Mais si t = 1 , on a fcinsi 9 =— - -.Üi X - a 5 > -Ai • 3 > 0r il est indifférent de faire aussi donc -- Lîl* ■*- — T 25 > lo~f-Xz=-^ et îo — x = £f, I.tp Nantîtes qui sont toutes deux des carrés. a 17. Remarque. Si on voulait généraliser cette question, en ^mandant pour un nombre quelconque a des nombres x, tels qu e a -|~x et a—X fussent séparément des carrés, la solution deviendrait souvent impossible, savoir dans tous les cas où a ae serait pas la somme des deux carrés. Or, nous avons déjà ' U plus haut que depuis î jusqu’à 5 o, ce ne sont que les nombres 5Ul Vans qui sont les sommes de deux carrés, ou qui sont connus dans la formule xx -f- yy : l » 2, 4, 5 , 8, 9, 10, i 3 , 16, 17, 18, 2 ô, 25 , 26 , 29, 32 , 34 , 36 , 37, 40, 41, 45 , 4 g, 5 o. ^*nsi les autres nombres compris entre 1 et 5 o, et qui sont : 3 > 6, 7, 11, 12, 14, i 5 19, 21, 22, 23 , q4, 27, 28, 3 °, 3 i, 33 , 35 , 38 , 3 g, 4a, 43 , 44, 46, 47, 48, n ® Peuvent se décomposer en deux carrés* parconséquent toutes a ig6 é L É M E N S les fois que a serait un de ces derniers nombres , la question serait impossible. La démonstration en est facile. Soit a -(- x = pp et ci — x — qq t l’addition des deux formules donnera aa = pp-j-qq-, donc il faut que 2 a soit la somme de deux carrés ; or, si 2 ^ est une somme de cette espèce , a en sera une semblable ; par - conséquent, lorsque a n’est pas la somme de deux carrés , il sera toujours impossible que a -f- x et a — x soient en même tenip* des carrés. 218 . Comme 3 n'est pas la somme de deux carrés, il suit de ce que nous avons dit, que, si a — 3, la question est im- possible. Mais on pourrait objecter qu’il y a peut-être deux carrés fractionnaires, dont la somme est = 3; nous répondons que cela n’est pas possible non plus ; car si l’on avait 3 = PJ.+IL qq ss’ «t qu’on multipliât par qqss , on obtiendrait Zqqss — ppss + qq>r, où le second membre, somme de deux carrés, serait divisé® par 5; or, nous avons vu plus haut qu’une somme de deux carrés ne peut avoir pour diviseurs que des nombres q u * soient aussi des sommes de cette espèce. Il est vrai que les nombres 9 et 45 sont divisibles par 5, mais ils sont divisibles aussi par 9 , et même chacun des deux carrés qui composent tant l’un que l’autre, est divisible p ar 9* Vu que 9 = 3* -f- 0 % 45 bC +3»; I)’A L G È B R E. 1.97 c e =t donc un cas différent et duquel il n’est pas question ici : sous pouvons donc nous en tenir à cette conclusion, que si un nombre a n’est pas en nombres entiers la somme de deux carrés, il ne le sera pas non plus en fractions. Lorsqu’au contraire le nombre a est en nombres entiers la somme de deux carrés, il peut être d’une infinité de manières la somme de 'leux carrés en nombres fractionnaires ; c’est ce que nous al- lons faire voir. 219. Cinquième question. Décomposer en autant de maires qu’on voudra un nombre, qui est la somme de deux carrés, en une autre somme de deux carrés. Soit ff -f- gg le nombre proposé, et qu’on cherche deux Autres carrés, par exemple xx et j'y, dont la somme xx -f yy *°it égale au nombre ff -f- gg. Il est clair d’abord que si x est ° ü plus grand ou plus petit que/, il faut qu’au contraire y soit ° u plus petit ou plus grand que g. Qu’on fasse donc x=f+pz, y = g — qz , en aura ff + afpz + ppzz + gg — agqz + qqzz —ff+gg, °ù les deux termes ff et gg se détruisent; apres quoi il na le ste que des ternies qui sont divisibles par z. Ainsi on aura- ffp -f- ppz — agq + qq z — o, ou ppz -f- qqz — 2 gq afp * donc 2 gq — afp PP + M ’ ^ où l’on tire pour x et y les valeurs suivantes , — s KPq + /(? y= s- 220. Sixième question. Si a est la somme de deux carres» trouver des nombres x , tels que a -f-x et a — x deviennent des carrés. Soit et qu’on fasse ct= i 3 = 9 -f 4 , i 3 + x=pp, i 3 —x—qq, on aura d’abord par l’addition 2 S~pp -f < 7 9 = ¥’> pp — w—— *= W - 221. Mais afin de résoudre cette question d’une maniera générale , soit a = ec -f- dd, *t désignons l’inconnue parzjalors les formules a-f-z et a —a doivent devenir des carrés. Faisons -, carre de 25 7 e— d ; et on voit qu’en effet de ces deux racines carrées, la Première est = x et la seconde =y. 222. Septième question. On cherche un nombre x tel que , s °it qu’on ajoute 1 à ce nombre même, soit qu’on ajoute 1 à s °a carré xx, on obtienne un carré. 11 s’agit de transformer en carrés les deux formules x -f" 1 Xx + 1. Qu on suppose donc la première x -j- 1 ~PP> et a cause de x = pp — 1, la seconde xx -j- 1 = p 4 — app + 2, devra être un carré. Cette dernière formule est de nature à 116 point admettre de solution, à moins qu’on ne connaisse d avance un cas satisfaisant ; mais un tel cas se présente aus- Sl tôt, c’est celui de p= 1. Soit donc P = 1 + ?> aos É L É M E N S on aura aras + 1 = 1 + 4qq + 4q 3 -f cp , ce qui peut devenir un carré en bien des manières. i°. Qu’on en suppose d’abord la racine = 1 + qq, on aura i + 4<7<7 + W + ou 4 + = 2 d’où q = — % donc P = i et x = — a°. Soit la racine = î — qq, on trouvera 1 4- 4qq + 4q 3 +q* = î — zqq -f q* ; parconséquent q — — l et p = — \ > ce qui donne •TP — — a. — 4 j comme auparavant. 3°. Si l’on fait la racine = i -f- aq 4- qq, afin de retra D cher le premier et les deux derniers termes, on a i -f- 4qq -f- 4q 3 -f q 4 = z + 4q -f- 6 qq -f 4q 3 -f- q 4 r d’où l’on tire q = — a, P = — H donc a? = o. tl 4°. On peut adopter aussi î — 2 q — qq pour la racine, •n a dans ce cas i + 4qq + 4q 3 -h q 4 = i — 4? + zqq + 4 a? +i = ^=(5) , ,« + = On trouvera un plus grand nombre de valeurs pour q, en disant usage d’une de celles qu’on vient de déterminer , par ex eniple , de celle-ci, Car soit à présent °n a <7 = — I ; q= — i + r, p: =s + r; pp—i + r+rr, et p 4 = 7â + àt+ï»'r + 2r 3 + H; ^onc l’expression fjl — £ r — ~rr -j- nr 3 -f H, à laquelle notre f °rmul e se réduit, devra être un carré, et elle devra l’ètre a üssi étant multipliée par 16, dans lequel cas on a «5 — % 4 r Brr -j~ 3 izr 3 -j- i6rb C’est pourquoi faisons à présent : 10 - La racine = 5 + fr dn 4 > r '> ensorte que % 4 r — %rr-\-'ù2r 3 -\- 16’rt=25-f-1 ofri^on-i-ffirdz&fi- 3 -^ 16rL ^ es premiers et les derniers ternies se détruisent, et nous ôte- ÏOtls ûussi les seconds en faisant — 24 = i o/", d’où y =a — -ÿ-; 20 4 É L É M E N S divisant ensuite les termes restans par rr, nous avons — 8 -f 3ar = ±. 4o +ff± Sfr-, et en admettant le signe supérieur, nous trouvons Or, à cause de nous avons donc ainsi r _48 +ff r 32 — 8 /' f = r > r = n **~* rc ~~~~ 5 $ 1 • r ao > - 4,00 > x + i = (UT, 2 ®. Que si nous adoptons le signe inférieur,nous avons — 8 -J- 3nr — — 4° + ff — 8/r, d’où l’on conclut r _ #-5 3 , 3a -f- 8f ’ et conséquemment r = —fi; d’où p — ~, . ce qui conduit à l’équation précédente. 3°. Soit 4rr -f- 4 T — 5 la racine de la formule ; desorte q ue î Sr^-jSzr 3 —8 rr — 24 >'+a 5 =i Gr^-\-32r^±4orr±4or -^- 1 Comme de part et d’antre les deux premiers termes et le der" nier se détruisent, nous aurons ou — 8r — 2 4 — ± 4 0r + tG»' — 4°> — 2 4r — M = ±: 4 or — 4°* D’ALGÈBRE. 2o5 c* 01 n °us admettons le signe supérieur, nous avons parconséquent ~~ 2 4 r — 2 4 = 4 or + 4°> ou o = 64r+64, ou 0 = r+ 1, c’est-à-dire r— — 1 , P — — i'> J/i, . l a connu , et qui se reproduira en faisant usage de l’autre signe. 4 °. Que la racine soit 5 -f -fr -f- grr, et qu'on détermine/ , de façon à faire évanouir les trois premiers termes. Puisque Actuellement a 5 — 2fy- — 8rr + 32 r 3 + i6r* = a 5 + iç fr + îogrr + 2/gr 3 + ggr* +ffrr, ° n aura d’abord etl Suite •24=10/, d’où /= — --8 , ce — %—ff — 344 —173 o = 10g + ff, ou g =-^ = —r— =- L-, o < JJ o vo a 5 o ra 5 9 uand on aura donc substitué et divisé les termes restans par > °u aura 32 + 16r==a/g + ggr, et r = Ot? . . +24.172—32.625 in — -J_H-:- Oti, e numérateur zfg — 3 a devient ici —- STTuS . 1 6.3a.5i_ et j e tÜ • fif = *-i 5TÏ5T- * r== _2iS». ° n en conclut h», „ —_ “£5 r - 1 7 I*a > °yennant quoi on obtient une nouvelle valeur de a; à cause cc -. +/> — 1 . 2 oS É L É M E N S 223 . Huitième question. Trouver un nombre x qui, ajoute à chacun des nombres donnés a, b etc, produise un carré. Puisqu’il faut que les trois formules x -f- a , x ^ b et X Jr c soient des carrés, qu’on fasse la première on aura x + a ~ zz, x = zz — a, et les deux autres formules se changeront en zz -f- b — cl > e *■ zz + c — a ; il faudrait présentement que chacune de celles - ' ci fût un carré ; mais c’est ce qui n’arrive pas généralement, souvent la chose est impossible, et cette possibilité dépend uniquement de la nature des nombres b — a et c — a. C af si, par exemple, on avait c’est-à-dire, b —a- f- i, et c — a — i, il faudrait que zz -f- 1 et zz — 1 fassent des car rés, et q ue " parconséquent fût une fraction; ainsi on ferait z = -,etilf aU drait que les deux formules pp -|- qq et pp — qq fussent d eS carrés, et que parconséquent aussi leur produit p * —• ^ un carré ; or nous avons fait voir plus haut que cela est J» 1 '’ possible. Youlût-on faire c’est-à-dire b — a — 9 . t et c — a=z—~2, b~a~\~ 2 et c. — a — 2. on aurait, en faisant encore J d’algèbre. 207 es deux formules pp -f- 2 qq et pp — 2 qq à transformer en car- parconséquent il faudrait aussi que leur produit/?* — 4 ?* e vmtun carré; or c’est ce que nous ayons de même fait voir * tre impossible. Soit en général a , b—a — m et c — a~n; ,e plus ' ^U(l ra que les formules pp -f- mqq et pp — nqq deviennent * carrés; et nous venons devoir que cela est impossible, lorsque m = -f- 1 et n — — i, que lorsque m — -f- 2 et ^ —2. ^ e la est impossible aussi, lorsque m~ff et n = — ff; Cât* ° n aurait dans ce cas deux formules, dont le produit serait ^ P* — /V, c’est-à-dire la différence de deux bi-carrés, et s s avons qu’une telle différence ne peut jamais devenir un c arré. même, quand m = aff et n = — 2 ff, p^ a f es deux formules pp + zffqq et pp — 2 ffqq qui ne ^ Ve nt devenir toutes les deux des carrés, parcequ’il faudrait f^.^ 6ur produit p*—■ 4 /V pût devenir un carré; or si l’on f 1 % = r, ce produit se change en p* — 4 r S qui est une u l e dont l’impossibilité a été démontrée plus haut. S 1 l'on suppose m — 1 et n = 2, ensorte qu’il s’agisse fera 6 ^ U * re en carr ^ s l es formules pp -f- qq et pp -f- 2 qq ; on pp -] -qq— rr , pp -f 2 2c8 É L É M E N s la première équation donnera pp = rr — qq- et la seconde donnera rr + qq = ss ; donc il faudrait què tant rr — qq que rr -f- qq pût être un carré; or l’impossibilité en est prouvée, puisque le produit de ces formules, ou r *■ — qd, ne peut devenir un carré. Les exemples que nous venons de donner suffisent pour fai re Toir qu’il n’est pas facile de choisir pour m et n les nombre 3 qui rendent la solution possible. L’unique moyen de trouve 1 de telles valeurs de m et de n, c’est de les imaginer, ou bJ e ° de les déterminer par la méthode qui suit. On fait ff+ m gS ~ hh > ff+ n ss On a par la première équation hhsff Tfl ss et par la seconde, : kk: SS ' ^-./J SS . ’ cela posé, on n’a qu’à prendre pour y*, g, h e tk des nomb rc, quelconques à volonté, et on aura des valeurs de m et de 11 > qui rendront la solution possible. Soit par exemple, h — 3 , k~ 5 , f== t et 2 > ° n aur a il est m — a et n — 6 ; et on peut être certain maintenant q u possible de réduire en carrés les formules pp + 2 qq etpp ~t puisque cela arrive quand p = 1 et q = 2. Mais la prêt 111 formule devient en général un carré, si p = rr -f- 2s a 2 rs\ " * 4 d’algèbre. car il en résulte pp + zqq = (rr -f- 2 Js)‘. seconde formule devient alors sog pp + Gqqz=r4 + noms + 4 i4 * e t nous connaissons un cas où elle se transforme en un carré , sa voir le.cas de p = 1 et q = a, qui donne r = 1 et s — 1 , ou en général r — s; desorte que la formule est = 25/. Connais- 5a nt donc ce cas , nous ferons r~s + t\ hypothèse qui donne Tr = ss -f- 2 st + tt, r 4 = s 4 -f- 4s? t -f Gsstt -j- 4 S & + /, n °tre formule deviendra 25/ -f- 44^ 1 ~h sGssti -f- 4 st3 + f* ; et Apposant que sa racine soit 5 ss -\-fst -f- U, nous l’égà'lerons a u carré 25/ -f- 10 fs 3 t -f- 10 ssttffsstt -f- 2 fst 3 -)- au ^loyen de quoi les premiers et les derniers termes se détruiront, disons de plus 4 = 2 /, d'où f= 2 a Gn de chasser les ternies pénultièmes, et nous parviendrons * l’équation «U donc 44s -f n6t = 10 fs + îot +fft = _ s _ 1 2 i _ — , et - — — - 2 4s -f- lut, s = — 1 et t— 2 , ou t = — as, et Parconséquent r — — s et rr — ss, Ce ^ui n’est autre chose que le cas déjà connu. Ainsi déterminons plutôt f, d’après la condition que les se- c °nds termes s’évanouissent : il faudra faire 3. 44 = 10 /, ou / = O ai o E L E M E N S et en divisant ensuite les autres termes par stt, nous auront 26s -j- 4 t = 10s -hjfc c’est-à-dire, ce qui donne t ~ - —s , r = s + t : 10 3 r 3 — s, ou - = —; 10 s 10 ainsi r = 3 , s— 10; moyennant cela nous trouvons p = zss — rr = 191 , q — %rs = Go, et nos formules seront pp -\-aqq = 4368 1 =(209)* , pp -f- 6 qq — 58 o 8 i = " 224. Remarque. On peut trouver de la même manière en- core d’autres nombres pour m et», qui fassent que nos f° r ' mules deviennent des carrés; et il est bon de remarquer que I e rapport de m à n est arbitraire. Soit ce rapport, comme a à. b, et qu’on ait m = az et n=bz, il sera question de savoir comment on doit détenu 1 ' miner z , afin que les deux formules pp + azqq et pp + puissent être transformées en carrés. Nous en indiquerons I e * moyens dans la solution du problème suivant. 225 . Neuvième question. ST a et b sont des nombres donnes> trouver le nombre z, tel que les deux formules pp -j- pp -+■ bzqq deviennent des carrés, et déterminer en iuém e temps les plus petites valeurs possibles de p et de q. Qu’on fasse pp -f- azqq — n et pp - f- bzqq = ss , et qu’on multiplie la première équation par b et la seconde p D’A L G È B R E. f! » la différence des deux produits fournira l’équation 211 a)pp ~ brr parconséquent il faudra que cette formule soit un carré ; or c’est ce qui ar- ïiv e, quand r—s. Qu’on suppose donc, aliu de faire sortir les fractions, r=s-f-(6 — a)t, °a aura pp __ brr — ass _ bss + 26 ( £ — a) st -f- b (b — a)“ tt — ast b — a b a _( b — a) ss + né {b — à) st + b {b — o) a tf b — a — ss -f- 2 bst -\-b(b — a) tt. Qu’on fasse maintenant s + r f. 5)11 aura QiCC SCOC Pp ss "f- —* st -J- tt zzz ss "f- ù.bst -j- b ( b —— a) tt t y yy ° u les ss se détruisent ; desorte que les autres termes étant di- ' ls és par t y et multipliés par yy, donnent ubsyy b (b — û)tyy =z 2 sxy -f tjôx, résulte zsxy — 2 bsyy t _ *xy — abyy b (b — a)yy — s b{b — à)yy — xx' t = axy — obyy, «t s^b(b — a)yy — xx 2 313 t L É M E N S de plut r = 2 (è — a)xy — é(è — a)yy — xx, •et parconséquent p = s -)-ÿt = b(b — n)yy-\-xx —a bxy = (x — by )*— àbyy- Ayant donc trouvé p, r et s, il nous reste à déterminer *■ Soustrayons pour cet effet la première équation pp + azqq = rr pp + biqq = ss, de la seconde le reste sera zqq(b — o) = « — rr = (s -f- r) (s — r). s+r = a(&—a)xy — ùxx, s — r—ab (b — a~)yy— 3 ( & — a)xy, Or et ou s+r=2x((b—d)y —x), et s — r=s(i— ■^yÇby-'^’ ainsi (b — a)zqq = 2 x((£> — a)y — x).n (.b~~a)y(by — ou ou zqq=zax((b — a)y — x) ay (Jy — . x), zqq == 4xy ( (6 — c)y-— x) (èy — x); parconséquent __ 4*y((6 — a)y — x)côy — x) W '■ — “* Tl " .* ■ » 1 11 111T , . ' • 99 11 s’agit donc de prendre pour qq le plus grand carre P ^ lequel le numérateur soit divisible; mais remarquons prei» 1 315 d’algèbre. Ornent que nous avons déjà trouvé P = b {b — a)yy + xx — zbxy = (x — by )* — abyy, qu'ainsi on peut simplifier en faisant ou puisqu alors et ou x — v+by, x — by = v, p = vv — abyy, 4(u + éy).y.v(v + qy) 99 _ 4yy(t> + ay)(v + éy) <79 Moyennant cela on pourra prendre pour v ety des nombres loelconques, et adoptant pour qq le plus grand carré contenu le numérateur, on déterminera facilement la valeur de z ; a Ptè* quoi on reviendra aux équations m—az i n-=.bz, et p = vv — abyy, ** °n obtiendra les formules qu’on cherchait i*. pp + azqq — (vu — abyy )* + ^avy (v + ay) ( v + by), 9 u i est un carré dont la racine est r — — vu — sauy — abyy. 2°. La seconde formule devient PP + 4 bzqq z={vv — aèyy )“ -f- $vy (v4-«y)( t/ +fy) Ce qui est aussi un carré dont la racine s = — vu — abuy — abyy, on peut prendre les valeurs tant de r que de s positives. ^évelopp ons ces résultats dans quelques exemples. 3 21 4 É L É M E N S 226. Exemple premier. Soit a — — 1 et b = -f- 1 , et qu on cherche des nombres/z,, tels que les deux formules pp—~ zl 79 et pp -)- zqq deviennent des carrés; savoir, la première = ,; > et la seconde = ss. Nous avons donc p=vv + yy, et il ne restera , afin de trouver z , qu’à considérer la formule z 4vy (u—y) Q+v) 99 nous donnerons à v et à y différentes valeurs, et nous verrons celles qui en résultent pour z. 1°. 2°. 3 °. 4°- 5 °. 6°. V 2 3 4 5 16 8 y 1 2 ] 4 9 I V -y 1 1 3 1 7 7 v+y 3 5 5 9 25 .9 zqq 4.6 4-3 0 16.i5 9 . 1 fa" . 5 36.25.16.7 16.9.1 4 <79 4 4 16 9.16 36 . 25 .16 16.9 Z 6 3 o i 5 5 7 14 P 5 i 3 J 7 4 1 307 65 Nous sommes en état, moyennant ces valeurs, de résout 1 les formules suivantes, et d'en faire des carrés. On peut transformer en carrés i°. les formules pp ^ et pp + 6t/q : cela se fait en supposant p = 5 eto q — 2 ; cal première devient = 25—24=1, et la seconde =25 + 2 4 t= ^’ 2°. Les deux formules pp — 3oqq et pp-j~3oqq ■ savoir» en faisant i 3 et q— 2 ; car la première devient=1 ^9 = 49 j et l a seconde = 169 -f- 120 = 289. d’algèbre. »i 5 3 °. De même les deux formules pp — i 5 qq ^PP + C;ir si l’on fait p— 17 , q = 4, 0,1 a la première = 289 — 24° = 49 j et seconde = 289 + 240 = 529. 4 °. Les deux formules pp — 5 qq et pp + 5 çq deviennent Pareillement des carrés ; savoir, quand c ar alors p=4i , q = 12; pp — 5(77=1681—720 = 961=31*,: pp + 5 qq =1681 -f 720 = 2401 = 4 g 3 . 5 °. Les deux formules pp — 7 qq etpp + 777 sont des carrés* »i p = 33 7 , q = 120 ; ° ar la première alors est = 11556 g—100800 = 12769 = 113% la seconde est = 1 i 356 g -f-100800 = 21 436 g = 463 *. 8 °. Les formules pp — 1477 et pp -f- 1 4 ( jq deviennent des c arrés dans le cas de alors p = 65 , q = 12 ; ît PP — 1 4qq — 422 5 — 2016 = 2209 = 47’, pp -f- i 4<7<7 = 4225 -f- 2016 = 6241 = 7g*. 227. Exemple second. Lorsque les deux nombres mets 8 ° n t dans le rapport de 1 ; 2 ; c’est-à-dire, que ** gu’ainsi a = 1 , b = 2 , m = z , n = 22 , Sauver pour z des valeurs telles que les formules pp -f- zqq et Pp -f- 2 zqq puissent être transformées eu carrés. 4 aiS EL F- MENS Il serait superflu ici de faire usage des formules generale» que nous avons données plus haut, cet exemple pouvant se réduire immédiatement au précédent. En effet, si pp -f- zqq = rr et pp -J- azqq = ss , on a par la première équation pp—rr—zqq, ce qui étant substitué dans la seconde, donne rr ~f- zqq = ss ; ainsi la question exige que les deux formules rr — et rr + zqq puissent devenir des carrés, et c’est, comme ° n voit, le cas de l’exemple précédent. On aura parconséquen* pour z les valeurs suivantes, 6, 3 o, i 5 , 5 ,7, 14, etc. On peut faire aussi en général une transformation semblable- Car supposons que les deux formules pp -f- mqq et pp -f- ^ puissent devenir des carrés, et faisons pp + mqq — rr , pp -f- nqq = ss ; la première équation donnant PP — rr — mqq, la seconde deviendra ou ss = rr — mqq -j- n qq, rr + (n — m) qq = ss ; si donc les premières formules sont possibles, ces dernière 5 rr — mqq et rr -f- ( n — m) qq le seront de même, et com> ne met n peuvent être mis l’un à la place de l’autre, les formule 3 rr — nqq et rr-f- (m — n) qq seront possibles pareillement, au contraire, si les premières sont impossibles 1 les autres ne seront pas moins. le P ALGEBRE. 217 328. Exemple troisième. Que m soit à n comme 1 5, ou “* e n que ri a — 1 , b\ de, °rte que 771 : = 3; 71 = 3z, et qu’il s’agisse de transformer en carrés les formules pp -}- zqq et: PP + 3 zqq. Puisque a = 1 et b = 3, la question sera possible dans tous les cas où zqq = 4vy O+jO (u+3y), p = vv — ’Syy. et u Usi adoptons pour v et_y les valeurs suivantes : 1°. 2°. 3°. 4°- 5°. V 1 3 4 l6 y 1 2 1 8 9 v+y 2 5 5 9 s5 v+3y 4 9 7 25 43 zqq 16.2 4-,q.3o 4-4-35 4-.q-25.4-2 4.9-16.25.43 qq 16 4-9 4.4 4.4.9.25 4.9.16.25 Z 2 3o 35 2 43 1 p 2 3 i3 1 9 1 i3 nous avons ici deux cas pour z — z, ce qui fait que nous buvons transformer de deux manières les formules pp -f- zqq **Pp + 6qq. première est de faire p=a, q~4> 2l8 élémens et parconséquent aussi P — 1 , Ç = z; car nous avons alors PP + 2 PP + = («40*- Il est difficile de décider si on ne pourrait pas faire aussi > ce qui aurait lieu, quand zqq serait un carré. Mais quant à 1® question, si les deux formules pp -f- qq et pp -f- 3 qq peuvent devenir des carrés, voici le procédé qu’elle exige. 239. Il s’agit de rechercher si on peut transformer en carres» ou non, les formules pp -j- qq et pp f- 3 qq : qu'on suppose pp + qq — n, pp + Zqq — ss, et qu’on considère les points suivans : i°. Les nombres p et q peuvent être regardés comme p re "' miers entre eux ; car s’ils avaient un commun diviseur, les d eU * formules ne laisseraient pas de rester des carrés, après q u 0,1 aurait divisé p et q par ce diviseur. 2 0 . p ne peut être un nombre pair ; car en ce cas q seral * impair, et parconséquent la seconde formule serait un nombre de l’espèce qui ne peut devenir un carré; don cp est nécessairement impair, et pp est un nombre de 1 espece 8/1 1. 3°. Puis donc que p est impair, il faut que, dans la premier® formule, q soit non-seulement pair, mais qu’il soit même 1 D*ALGEBRE. ntq s ible par 4 , afin que qq devienne un nombre de l’espèce 16/1, et 1 Ue PP -f- qq soit de l’espèce 8« -f- 1. 4°■ De plus p ne peut être divisible par 3 ; car si cela était, PP serait divisible par 9, et qq ne le serait pas ; ainsi 3qq 11e Se tait divisible que par 3 et non par 9 ; parconséquent aussi PP + 3 qq ne pourrait être divisé que par 3 et non par 9, et ne Pourrait donc être un carré ; ainsi p ne peut être divisé par 3 , e * PP sera un nombre de l’espèce 3/i —f- 1. Puisque p n’est pas divisible par 3, il faut que q le soit ; Cai ‘ autrement qq serait un nombre de l’espèce 3n + 1 , et Parconséquent pp + qq un nombre de l’espèce 3 n 2 , qui Peut être un carré ; donc q doit pouvoir se diviser par 5. p n’est pas divisible non plus par 5 ; car si cela était, q ^ le serait pas, et qq serait un nombre de l’espèce 5 11 + ï ^ - parconséquent 3qq serait de l’espèce 5n -f- 3 ou U-f- a, et comme pp + 3qq appartiendrait aux mêmes espèces, Ce de formule ne pourrait devenir un carré -, donc il faut néces- S4lr ement que p ne soit pas divisible par 5, et que pp soit un tl °tnbre de l’espèce 5n -J- 1 , ou de l’espèce 5/) -f- 4- Mais puisque p n’est pas divisible par 5 , voyons si q est ^ Vl sible par 5 ou non ; que si q n’était pas divisible par 5 , qq ^ de l’espèce 5 n + a ou 5« + 3 , comme nous avons vu ; p P u *sque pp est 5;i + 1 ou 5n -f- 4, il faudrait que- pp -j- 3 qq 'le même, ou 5n -f- 1 ou 5n -)- 4- »e 6 ». 0 VU on suppose «n aura PP — Sn-lr 1 , qq — 5n + 4, Pari «u Ce qu’autremcn.t pp -f- qq ne pourrait être un carré ; mai» durait alors 3 qq = 5» -f- 2 , pp -f- 3qq — 5n -f- 3, Ce lui ne peut être un carré. 30.0 É L É M E K S Soit en second lieu pp = 5 n -f 4 , on aura dans ce cas donc qq — 5 n + i et 3 qq = 5n -f- 3 ; pp + 3qq = 5n + z, ce qui ne peut être non plus un carré. Il s’ensuit de là que <74 doit être divisible par 5 . 8°. Or q étant divisible d’abord par 4 > ensuite par 3 et e, | troisième lieu aussi par 5 , il faut que ce soit un nombre te que 4- 3 . 5 m, ou que q = Som ; ainsi nos formules deviendraient pp -f- 36 oomm = rr, et pp + 10800771m = ss] cela posé, la première, étant soustraite de la seconde, d° n ' nera 720omm=ss — rr = (s-j-r) (s — r); desorte qu’il faudra que s -f- r et s — r soient des facteurs tj* 7200mm -, et 011 doit faire attention en même temps 4 U faut que s et r soient des nombres impairs, et de plus prenu er ’ entre eux. g°. Soit de plus 7200mm = 4 /g, ou que les facteurs en soient 2 f et 2 g , et qu’on suppose s + r=zf , s — r=zg, on aura ' *=f+g , r== f — g> et il faudra que f et g soient premiers entre eux , et gue soit pair et l’autre impair. Or comme yg= 18007717» > il f aU ^ donc décomposer 1800mm en deux facteurs, dont l’un soit p et l’autre impair, et qui n’aient aucun commun divis eur ‘ 231 D’ A L G È B R E. J o*. II est à remarquer en outre , que puisque rr — pp + qq, 4t îu’ainsi r est un diviseur de pp qq, il faut que r=f~g ,( >it pareillement la somme de deux carrés, et comme ce Nombre est impair, il faut qu’il soit contenu dans la formule 1. ii°. Si nous commençons maintenant par supposer m. = î, 6 °us aurons fg — 1800 = 8.9.25, ** de là résulteront les décompositions suivantes : f= 1800 , g = 1, /=200 , g — 3 , f— 7 3 > g — iï> f— aa 5 , g = 8 . ou «U o u première donne k k r —f — g — 1799 = 4 * + 3 : seconde donne r=/—g = 191 = 4 * + 3 : troisième donne r—f — g~ 47 —4 n 4 * 3 ; la quatrième donne r =.f — g = 2 i 7 = 4 n -”l“ *• ^®8i les trois premières décompositions devront être exclues, l 29S É L É M E N S et il ne nous restera que la quatrième ; nous pouvons en conclure en général, que le plus grand facteur doit être impair, et que le plus petit doit être pair; mais au reste la valeur r= ai 7 ne peut même avoir lieu ici, parceque ce nombre est divisibl 6 par 7 , ce qui n’est pas la somme de deux carrés. ia°. Soit m= 2 , on aura fg = 7200 = 32 . 225 ; c’est pourquoi l’on fera f= 225 , g = 32, ensorte que r =/—£=*9 3 ‘> et ce nombre étant la somme de deux carrés, il vaudra peine de l’essayer. Or comme et que on aura q — 120 , r = i q 3 , pp== rr — qq=:(r+q)(r—q ), r+q = 3i3, r—q=j3\ mais puisque ces facteurs ne sont pas des carrés, on voit b ,erl que pp ne devient pas un carré. On perdrait de même sa p el ° à substituer au lieu de m d’autres nombres, c’est ce que n ° U allons encore faire voir. 200 . Théorème. Il est impossible que les deux forn lU pp -f- qq et pp -f- 3 qq soient l’une et l’autre un carré en ui e temps; desorte que dans les cas où l’une est un carre, 1 sûr que l’autre n’en est pas un. Démonstration. Puisque p est impair et que q est pair, ^ que nous l’avons vu, pp -f- qq ne peut être un carie q lorsque q—ars, p = rr — ss, et pp -J- 3 qq ne peut être un carré, que lorsque q r= a tu , p ~ tt — 3 uu , ou p = 3 au — 1 Or comme dans les deux cas q doit être un double produit, *3 U °n suppose pour l'un et l’autre q =s aabcd, et qu’on fasse pour la première formule r= ab , s = cd, et pour la seconde t = ac , u — bd, ° n aura pour celle-là p = aabb — ccdd, ^ Pour celle-ci p ~ aacc — 3 bbdd, ou p = 3 obdd — aacc e|; c es deux valeurs doivent être égales ; ainsi l’on a 0 aabb — ccdd — aacc — 3 bbdd, u bien aabb — ccdd — Zbbdd — aacc, r| ^° n observera que les nombres a, b, c et d sont générale- ^ nt plus petits que p et q. Il faudra maintenant considérer s que cas séparément : le premier donne On aabb -j- Zbbdd — ccdd -}- aacc, résulte bb ( aa + 5 dd) = cc ( aa 4- dd ) , bb cc aa dd aa -)- Zdd * ^tti thL 0,1 ( î u * doit être un carré. Or le numérateur et le déno- Pn r ^ tCUr ne peuvent avoir ici d’autre commun diviseur que a, c l u ds ont pour différence 2 dd. Si donc 2 était un commun *Yi,. eur > il faudrait que aa -4- dd aa - et — + 3 dd fussent sépa- 2 32 4 É L É M E N S rément des carrés ; mais les nombres a et d sont dans ce cas impairs l’un et l’autre, ainsi leurs carrés sont de la forme 8ra-f-1, . r , aa + 3 dd et la formule ---est comprise dans 1 expression 4 rt + 3 > et ne peut être un carré ; donc a ne peut être un diviseur commun ; le numérateur aa -f- dd et le dénominateur aa -f- 3 dd sont premiers entre eux, et il faut que chacun soit de soi- même un carré. Or ces formules sont semblables aux premières ; et si celles-ci étaient des carrés, il faudrait que des. formules semblables, mais composées des plus petits nombres, fussent aussi des carrés ; ainsi on peut en conclure réciproquement de ce qu’on n’a pas trouvé des carrés dans les petits nombres, qu’il n’y en a point dans les grands. Cette conclusion cependant n’est admissible qu’autant que le second cas aabb — ccdd — Zbbdd — aacc , nous en fournira une pareille. Or cette équation donne 1 aabb + aacc = 3 bbdd -f- ccdd , ou aa ( bb -f- cc ) = dd ( 3bb -J- cc ) , et parconséquent dd bb -f - cc cc - f- bb aa 5bb -f- cc cc -f- 3 bb ' ainsi cette fraction devant être un cairé, la conclusion préce- dente se trouve pleinement confirmée ; car si dans de grand* nombres il y avait des cas où pp -f- qq et pp -f- 3 qq fussent de* carrés, il faudrait que de tels cas existassent aussi pour de* nombres plus petits, et c’est ce qui n’a pas lieu. a3i. Douzième question. Déterminer trois nombres, x,y tels qu’en les multipliant ensemble deux à deux, et ajoutant * au produit, on obtienne chaque fois ua carré ; c’est-à-dire q u 1 D'ALGEBRE. 225 sagit de transformer en carrés les trois formules suivantes i°. xy -f- i ) 2 °. icz + î, 3°, j'z-f- t. Qu’on suppose des deux dernières l’une xz -f- i = pp, yz + i=qq, et 1 autre e t on aura *- ,a première formule se trouve transformée par là en celle-ci, + i , qui doit parconséquent etre un c arré, et qui ne le sera pas moins si on la multiplie par zz ; desorte que la formule (pp — 1 ) (qq — î ) + zz, doit être un carré, ce qu’il est facile d’obtenir. En effet, que la racine en soit = z -f- r, on aura (PP — O ( qq — O = Strz + rr, %• _ (pp — O (> vu que, dans ce cas, la seconde est =xx±$px -f -pp , dont la racine est x zfc p , et la troisième est —yy ± apy -f- pp, dont la racine est y ziz p. Nous ayons parconséquent cette solution très-élégante : xy i=pp, d'où xy — pp — r , qui a eu lieu pour une valeur quelconque de p ; et de plus le troisième nombre se trouve de deux manières , puisqu’on a z = x-f-y-f-2p, ouî = i -\-y — zp . Eclaircissons ces résultats par quelques exemples. i°. Soit p = 3 , on aura et si l’on fait on aura PP — i = 8 , * —s, y—4, z = 12, ou z = o ; ainsi les trois nombres cherchés sont 2 ,4 et 12. ê'a t C Ê B R Éi 2 ®. Soit maintenant si °n trouve p = 4, on a pp — 1 = z5 J x — 5 et y = 3, z = 16 ou a = o ; ^donc les trois nombres cberchés sont 3, 5 et 1 & 3°. Soit p = 5, on aura 227 pp — i = a4; e t si de plus on fait x = 3 et y — 8 °n trouve a — 21, ou bien a = 15 d'où résultent les nombres suivans : 1 ,3 et 8, oü 3, 8 et 21 . a3û. Treizième question. On cherche trois nombres entiers, * ,y et a, tels que si on ajoute à chaque produit de ces nombres multipliés deux à deux, un nombre donné a, on obtienne c haque fois un carré. Puisque les trois formules suivantes doivent être des carrés , xy + a, a 0 , xa -f- a , 3°. yz + a , qu'on suppose la première m qu’on fasse a y + a=pp, z = x+y + ç t °U aura pour la seconde formule xx + xy -j- xq + a — + PPi e t pour la troisième x y +yy +yq + a =yy + qy+ppi elles deviennent toutes deux des carrés, si q = + ap; ainsi a 2 = x -{-y ± a p t a aa8 élImeks c’est-à-dire qu'on peut trouver pour z deux valeurs différentes. a33. Quatorzième question. On demande quatre nombres entiers, x, y, s et v, tels que si on ajoute aux produits de ces nombres pris deux à deux, un nombre donné a, il en résulte des carrés. Il faut donc que les six formules suivantes deviennent de* carrés. x°. xy -j-a, 2 °. xz -f- a, 3°.yz-j- a, 4°. xv -f-a, 5°.yv -f- a, 6". zv -f- a. Qu’on commence par supposer la première xy + a=pp, et qu’on prenne z = x+y + 2 p, la seconde et la troisième formule deviendront des carrés. Si de plus on suppose v — x +y — zp, la quatrième et la cinquième formule deviendront pareille" ment des carrés ; il ne reste donc que la sixième formule qui sera xx + 2 xy+yy — 4PP + a , et qui devra de même de- venir un carré. Or comme pp — xy + a, cette dernière formule devient xx — ary -f -yy — 3a , et par- conséquent il s'agit de transformer en carres les deux formule*' suivantes : i°.xy + a = pp, 2 °. {x —y Y —3 a. Que la racine de la dernière soit (x— y') — q, on aura (x-_y)* — 3a = (x — y)* — Z q (x— y) +qq; ainsi — 3a = — 2 q (x — y) -f- qq, d’algèbre. 329 et x —y- Parconséquent Soit à présent A en résultera qq -f- 3 a 2 9 * x ~y + qq Stz uq «u OU et qq+Za pp=yy+ - a - y + a • P = J' + r, , qq -4-3a aty + rr=U- ^ - y+a, 4qiy + 2 qrr = ( qq -f 3c ) y + zaq, aqrr — aaq=z(qq + 3a')y — 4qjy, zqrr — zaq y qq + 3a — 4V * eù q et r sont arbitraires, pourvu que x et y deviennent des nombres entiers; car puisque p=_y + r, les nombres a et v seront aussi de tels nombres. Le tout dépend principalement de la nature du nombre a, et il est vrai que la condition par laquelle on exige des nombres entiers, pourrait causer quelques difficultés; mais il faut remarquer que la solution est déjà fort restreinte d’un autre côté , parcequ’on a donné aux lettres a et v les valeurs x -f- y dt ap, tandis qu’elles pourraient en avoir évidemment un grand nombre d'autres. Voici donc quelques considérations sur cette question, qui peuvent a Voir leur utilité dans d’autres cas. i°. Lorsque xy -j- a doit être un carré, ou x y — PP — a , d faut toujours que les nombres x et^ aient la forme r— ass ; si donc nous supposons x — bi— acc y y — dd — aee, 3 fi3o É t É M E N S nous trouvons xy= (bd — ace )* — a (be — cc?)% Soit maintenant be — cd = i, nous aurons xy— (bd — ace Y — a, et parconséquent ocy + a = (bd —ace)*. Si de plus nous supposons z =ff~ a gg> et que nous donnions &f et à g des valeurs telles que b ë ~ > dg — ef—±Li, les formules xz -f- a et yz -f- a deviendront pareillement des carrés. Ainsi tout se réduit à donner tant à b, c, d et e qu’à f et à g, des valeurs telles que la propriété que nous avons supposée ait lieu. 3°. Représentons ces trois couples de lettres par les fractions bd f -, -, etelles devront être telles que chaque différence de c e g deux d’entre elles soit exprimée par une fraction, dont le numérateur x. Car puisque b d _ be — de ce ce il faut, ainsi que nous l’avons vu, que ce numérateur soit = ± î. Une de ces fractions au reste est arbitraire, et il e»t facile d’en trouver une autre, de façon que la condition près- çrite ait lieu. Soit, par exemple, la première - = il faudra ç d'algèbre. SOI que la seconde - lui soit à-peu-près égale ; qu'on fasse donc - = -3 , on aura la différence = -g. On peut aussi déterminer cette seconde fraction par le moyen de la première, d’une manière générale ; car puisque il faut que d 3e — ad e 2 e ’ 5e — 2 == 1 , et parconséquent id = 3e — 1 , et d = e -f- e — 1 Ainsi faisant nous aurons e — 1 = m, ou e = 2 m -f- 1 , d om -f- 1 «t notre seconde fraction sera d 3 m -f-i . e 2 m + 1 * C’est de la même manière qu’on pourra déterminer la seconde fraction pour telle première que l’on voudra, comme on le 'oit par les exemples suivans ; i c ~■» 5 S 7 T 8 5 1 1 4 11 8 ! 7 7 d 3m-f-i 5m-f-a 7 m-f -2 8m-f-3 11 m- f-3 1 3 m -f-5 17 m 4- 5 |e 2 m-j-i 3m-f-i 3 m-j-i 5m-f-2 4 m+i 8 m +3 7 m-fa 4°. Quand on a déterminé convenablement les deux fractions — et — - il est facile d’en trouver aussi une troisième ana- C O * 4 2^3 ilÉMEHS logue à celles-là. On n’a qu’à supposer f=b + d, g=c-{-e; desorte que f ^_b + d g c -j- e’ car les deux premières donnant be — cd ~ dz i, f b q= i g on a c cc -f- ce * et en soustrayant de même la seconde de la troisième, on aura f d _ be — cd _ dz 1 g e ee -j- ce ce + ee 5®. Après avoir déterminé de cette manière les trois fractions -, - et £, il est facile de résoudre notre question pour trois nombres x,y et z, en faisant que les trois formules .ry 4 . a, xz-^-a et yz -f- a , deviennent des carrés : on n’a qu’à poser X — bb — acc, y —dd — aee , z — agg. Qu’on prenne, par exemple, dans la table du n° 3, — 3 > d rVnn -■ -i-î • g - =b d’où J -= —, c - ' e delà résultent ces valeurs x = ù5 — $a,y^=4$ — i6a, z=i44~ 4ga, desquelles ont déduit xy -f- a=z i2a5 — 84°« + i44° a — (35 — 12 a) 1 ; d’algèbre. s33 ensuite xz -J- a = 36oo — ü520 a -f- 44 iai = ( 60 — sic ) 0 ; enfin jz -f- a = 705S — 4704a -f- 784»“ = ( 64 — 28a y . 234 . Qu’il s’agisse maintenant de déterminer, conformément a notre question , quatre lettres, x,y , z et v, il faudra joindre One quatrième fraction aux trois précédentes. Soit donc les b d f b -f- d , crois premières - , -, -= ———, et qu on suppose la qua- c e g c -f- e Wènie fraction h d -\-f ad-^-b k e -f -g 2 e -f - c’ de façon qu’elle ait avec la troisième et la seconde le rapport prescrit; si l’on fait après cela *=bb — acc, y~dd — aee, z=ff—agg, v = hh — akk, on aura rempli déjà les conditions suivantes : i°. xy -f- a =un narré , 2 °. xz -j- a = un carré, 3°. yz -f- a = un carré, 4°. yv'-\- a~ un carré, 5°. zv -f- a — un carré ; et il ne reste donc qu’à faire ensorte qu’aussi xv -{- a devienne un carré, ce qui ne résulte pas des suppositions précédentes, parceque la Première fraction n’a pas avec la quatrième le rapport prescrit. Cela nous oblige à conserver dans les trois premières fractions le nombre indéterminé m\ c’est par ce moyen, et en déterminant m , que nous parviendrons à transformer aussi en carré la formule xv -f- a. d°. Qu’on tire donc de notre petite table le premier cas, c * qu’on fasse b _ 3 d _ 3m -f- 1 _ c a ’ e 2 m •+• 1 ’ °n aura f 3m -f- 4 b dm -f- 5 g ~~ 2 m -f- 3 ’ k ~' 4’n -f- 4 * S34 É L É M E N S d’où résultent ces déterminations ar = g— 4 a > v = (6m-f-5) a —- fl (4m-f-4) s î ainsi a'r+a=g(6?7i-f-5) a -4a(6m-)-5) 2 -ga(4m+4) ll +4 Ga (4" l +4)^ ou av-f-a=()(6m-{~5y —fl(288m 3 -f-538m+a43)+4 cr0l (4 ,n ~f-4} îl > de quoi on peut facilement faire un carré , vu que mm se trouve multiplié par un carré ; mais c’est à quoi nous ne non* arrêterons pas. 7 °. On peut aussi indiquer d’une manière plus générale les fractions dont nous avons fait voir qu’on avait besoin ; car soit b _I d _ni — 1 c i l e ~~ n * on aura f _ ni -f- I — i h _ fini -f- I — 2 g n -f- î * k an -f -1 * qu’on suppose dans cette dernière fraction 2 n -j- î = m y elle deviendra = ^ '* parconséquent la première donne X — il - a y et la dernière fournit v ■=. ( Im — a )“ — amm. La question est donc seulement que xv + a devienne un carre. Or à cause de (II— a), mm — 41m -f 4* d’algèbre, a35 on a xv ci ixz (II — ci ) a wni — 4 (II — a) Irn + 411 —3a; e t puis donc que ceci doit être un carré, qu’on en suppose la r acine = ( Il — a) m — p ; le carré de cette quantité étant (II — aY mm —<2 (IF — a) mp-f-pp, on aura — 4(11 — a)Im + 4 I ï — 3a= — 2 (II — a) mp'+pp\ donc Soit °n trouvera pp — 411 + 3a m ~ ru-«)(v-4i)' p — »! -f q » _ 41 g + g? + 3 a m ~ 2 ? ( 1 I— a) * °ù l’on peut adopter pour I et q tels nombre^ que l’on voudra.' Si, par exemple, a = 1 , qu’on fasse I = m = 2 , on aura __ 8 <7 4 - q 6q * et en faisant q — i, on trouvera 2 , de plus 7 n == 2n -j- î ; mais ne nous arrêtons' pas plus long-temps à cette question , et passons à une autre. Quinzième question. On cherche trois nombres x, y et z, Lds que les sommes et les différences de ces nonibres pris deux a deux, soient des carrés. La question exigeant qu’on transforme en carrés les six formules suivantes ; i°. x -f-y, 2 °. X-f-z, 3'\j/-j-*> 4°. te— y, a3S Ê L É M K N S 5 °. x — z, S y —z, on commencera par les trois dernières, et on supposera x—y=PP, x—z = qq, y—z — rr ; les deux dernières fourniront x — qq+z, y = rr + z ; desorte qu’on aura à cause de qq—pp + rr , x —y = qq—rr—pp; ainsi pp -f- rr, ou la somme de deux carrés, doit équivaloir à un carré qq ; or c’est ce qui arrive, quand puisqu’alors p = aaZj, r — aa — bb, q — aa-\- bb. Mais conservons encore les lettres p, q etr, et considérons aussi les trois premières formules, nous aurons x +y=qq + rr+2z, x + z= qq + 2z, y -f- z = rr -J- sa. Soit la première moyennant quoi qq + rr -h sz = tt , a z — tt — qq — rr ; il faudra encore que tt — rr = un carré, tt — qq = un carré, c’est-à-dire f£ — (aa—■££)* = un carré, tt — (cra -f-W) a =un carré, d’algèbre. 237 ou bien nous aurons à traiter lesdeux formules tt—a*— b^zaabb et tt — q 4 — J 4 — 2 aabb ; or comme tant cc -+■ dd + 2cd *î l,e cc + rfrf— zcd sont des carrés, il est aisé de voir que nous atteindrons notre but, en comparant tt—a*—avec cc -f- dd et 2 aabb avec zcd. Supposons dans ce dessein et prenons ou ' cd = aabb =Jfgghhkk, c —ffgg , d = hhkk ; aa —ffhh , bb—ggkk, a—fh, b = gk ; la première équation tt — a* — = cc -j- dû,’ Prendra la forme tt —fW — g ù 4 + saabb == un carré tt -f- ( aa — bb ) a = tt -f- a 4 -f - ^ 4 — 2 aabb = un carré. Nous n’avons à présent, pour arriver à notre but, qu’à coin-* parer de nouveau tt -f- a 4 + é 4 avec cc -f- dd et saabb avec 2 cd. Soit donc , comme .ci-dessus, et nous aurons —ffgg> d = hfikk i a=fh, b=gk, cd — aabb, et il faudra encore que tt +/*A 4 -f- g 4 ù 4 = cc -j- dd =j Rg 4 -f- /dé 4 , d’où résulte tt =/ 4 g 4 —-f- ù 4 ù 4 — gdé — (/ 4 — ft 4 ) (g 4 — /; 4 ). Ainsi tout se réduit à trouver deux différences de deux bi-carres, savoir /" 4 — ft 4 et g 4 —. ù 4 , qui, multipliées l’une par l’autre> produisent un carré. D ALGEBRE. 2üÇ) Considérons pour cet effet la formule m*— fl*, voyons quels Nombres elle fournit, si l’on substitue à ni et à n des nombres formés ) et faisons attention aux carrés qui se trouveront parmi ^es nombres ; la propriété de m .* — n* = (mm -f- nn ) ( mm — nn), n ° us servira à construire pour notre dessein la table qui suit : FABLE des nombres compris dans la formulent —-n*. mm nn mm — 7in mm -f- nn 1 1 4 1 3 5 3.5 9 î 8 10 i6.5 9 4 5 i3 5. i3 ié 1 i5 '7 3.5.17 16 9 7 25 25.7 2Ô 1 24 26 i6.3.i3 û5 9 16 34 16.2.17 49 1 4B 5o 25.16.2.3 49 16 33 65 3.5.11. i3 b'4 1 63 65 9.5.7,i3 8i 49 32 i3o 6'4.5. i3 121 4 117 125 25.9.5.i3 121 9 112 i3o 16.2.5.7. *3 121 49 72 170 144.5.17 1 44 25 u 9 169 169.7.17 169 1 168 170 16.3.5.7.13 169 8i 88 25o 25.16.5.11 225 64- l6l 289 289.7.20 Nous pouvons déjà déduire de là quelques solutions, Eu elTe t, soit k!i = 4, 340 É L É M E N S nous ayons soit de plus i 3.5 ; 6 S = 8 i, hh = 4 9 , nous aurons = 64 . 5 .i 3 ; donc alors U = 64.25.169, d’où t = 5 ao. Or, puisque tt = 2 7 ° 4 oo,/= 3 , g — 9> k = a,h nous aurons a = 21, Z> = 18; ainsi p — 117, q = 765, r = 756; de tout cela résulte ax = U + pp -f- qq = 86 g 5 i 4 * et parconséquent x = 434&$7 >y — x —pp = 4 20 968 , et z — x — qq ——i 5 o 568 ; et ce dernier nombre peut aussi se prendre positif ; la diff e ' rence alors devient la somme, et réciproquement la sonini® devient la différence. Puis donc que les trois nombres cherchés sont : x = 434^7 y = 420988 l *=i 5 o 568 nous avons x + y = 855825 = (925)* x -f- z = 585295 xi ( 78 5 )* y -f- z = 571 53 G = ( 75S )* et de plus x —_y = 13689= (117)* x — z = 284089 = ( 533 )* y — z = 270400 = ( 5 ao ) a . D’algèbre. 244 î-a table que nous avons donnée, ferait trouver encore d autres nombres, en supposant JT= 9 > kk = 4 , gg= 121 j hh = 4 ; bar alors U = i 3 . 5 . 5 .13.9.25 = g . 25 . 25 . i1>9,- t = 3 . 5 . 5 . i 3 = 975. comme „ f— 3 ,gz=u } k = a, A = 2; on a a —fh = 6 , b = gk = 22; Parconséquent P^aa — bbz=- — 44 %> q~aa-\-bb~ 520 , r= 2 ü 5 = 264; de là provient Sx = ttqq =9 5o62 5 -}- 200704 -f- 270400 =1421729, et p p — * — x _ ç -- 1 , et — - 1 . et la question ne roule a zz zz zz zz présent que sur les deux fractions - et •?. Or si nous supposons x__ pp 4 -1 y == . ( i noit • yy_ _ i _ 4qq lü: zz {qq — 1 )*’ Sous cei hypothèses, il ne nous reste à traiter que la pr e " mièré 1 formule ■ > tf !'» 1 ' ■ xx _ yy __ { pp -y 1 Y _( q q -(- 1 y •- 1 ' ss zz~~{pp—iY {qq' 1 -’*) 1 ^{ PP+ 1 1 W+' \. < ,( FP+ l W+ 1 V *^\pp — i^-qq ~ ij ^\pp—i qq—i/ d’algèbre. ** r ta premier facteur est ici = —-Ll «st 243 , le second (pp— 0(w— O -, — — -V, et le produit de ces deux facteurs est = — )S, ( l l — ~~p. On voit que, dans ce produit (PP — 0“(<7<7 ~ 0 “ ' r e dénominateur est déjà un carré, et que le numérateur renferme le carré 4 donc il ne s’agit que de transformer en carré ta formule (ppqq — 1 ) ( qq — pp ), ou bien celle-ci, (Ppqq — 1 ) — 1 ^, et on y parviendra en faisant _iT + gg q _ h]l + kk P ~ z fg ‘ p~ ahk puisque dans ce cas chaque façteur devient séparément un c 4rré. Pour s’en convaincre, on remarquera que __ , f + gg .. hh + kh a Jg ahk que parconséquent le produit de ce s deux fractions doit être Un carré, qu’il doitl'étre aussi étant multiplié par 4f%g-hhkk , Uioyennant quoi il devient = fg (ff -+- gg) hk(hh -f- id<); e Usuite, que cette formule devient tout-à-fait semblable à celle qu’on a trouvée précédemment, si l’on fait . f == a + b , g —a — b, h—c-j-d, k = c — d; Puisqu’alorS on a 2 (a* — £d).2(c* — d*) = 4 ( a * — M) (c* — d*) , te qui a lieu, comme nous avons vu, pour aa — 9, bb ~ 4, cc = 8x , dd = ^> •u a — 3 , é = 2, 0=9 , 7. MA Ainsi É- L É M E K S /= 5, g= i, h— 16 , ft = 3,- d’où résultent ces valeurs i3 <7 260 65 W_ “ 5 1 p ‘§4 ~ TÏÏ ; - le produit de ces deux équations donne 63. i3 i3.i3 „ , ■ i3 w = T6T^-' -- et on en conclut que desorte que nous avons X PP + 1 __ 4 i y __ w + 1 _ r 85 _w Z PP — 1 9 ’ a qq— 1 i 53 ’ puis donc que Ai z 1 85 z H If 1 w i' u 1 53 ’ faisons, à l’effet d’obtenir des poiubri is entiers , îi : « ,bl*b et nous aurons x — — 6.97 , y = = i 85 . ■» ; ,; P < ; Donc enfin les trois nombres carrés' cherchés sont XX =485809 , et, en effet, xx — yy = 45 1 58 /f = ( 672 )* yy = 34225, yy — zz = 10816= (‘To4)’‘ ZZ— 25409, xx — ZZ— 462400= (68°.) *• Il est évident de plus que ces carrés sont beaucoup plus tits que ceux que nous eussions trouvés, en carrant les tto )S nombres x,y et z de la solution précédente. 207. On nous objectera sans doute ici que cette solution n a été trouvée que. par "nu. simple tâtonnement,‘'puisque 1,0114 D’ALCÈBR F.. !> 4 $ a vons fait usage de fa table de l’art. a55. filais nous répondrons que nous ne nous sommes servis de ce moyen, qu’afm de parvenir aux plus petits nombres possibles -, car si on voulait ne pa* avoir égard à la brièveté, il serait facile, moyennant les règles données ci-dessus, de trouver une infinité de solutions. En e lfet, ayant trouvé . * PP 4-1 y __ q q + y z pp — r ’ z qq — î ’ Bous avons réduit la question à celle de transformer en carré le produit ( ppqq — — 1 ^ > si donc nous faisons 2 =: m , d’où q ~ mp , Uotre formule deviendra ( mm/d— î ) ( mm — î ), ce qui est évidemment un carré , quand p- r= r ; mais de plus nous allons Voir que cette valeur nous en fera connaître d’autres , si nous écrivons p — i -J- s ; nous avons, en conséquence de cette Apposition, à transformer la formule (rnm — î ). ( mm —r i-\- 4 mms ~h Bmmss -f- 4 mrns3 ~h mms*) ; e Ue ne sera pas moins un carré, si on la divise par ( mm — i ) a ; Ce tte division nous donne 4mms 6 mm ss 4 mms3 j _j-f- - : -(-- mm — i mm — i mm — î + nvns * mm — î ’ e bsi, pour abréger, nous faisons — " l " L - -, t= a, nous auronsà déduire en carré la formule î -f- 4 as + ^ass -)- 4 dont le carré est î + ?.fs a gss -f- ffss -f- n/g\s 3 -f- ggs*, et qu’on détermine f et g de Manière que les trois premiers termes s’évanouissent, savoir en faisant Ç j /y* /ia ~sf ou f=2a, Ga=2g+ff 0 Ï>g=~~^~ ~pa—aaa,. 3 246 É L É M E N S les deux derniers termes fourniront l’équation .d’où résulte 4 a -j- as = a fg + ggs 4 a — q/ff ___ 4 a : — 1 °- aa -f- 8 a 3 gg — a 4 a * — 1 aa1 + !)àa — a 4 — 12 a -f- 8 aa 4 C 2a — O 4« 3 — i £aa -J- ga — î 4 aa — 8a -f- 1 * si on divise la fraction précédente par a — î. Cette valeur est déjà suffisante pour nous donner une infinité de solutions < parceque le nombre m , dans l'égalité a = -— 1 5 mm —: 1 peut se prendre à volonté : c’est ce qu’il est à propos d’éclaii' c l E par quelques exemples. î*. Soit m = 2 , on aura a = § ; ainsi donc . Enfin P H as > 7 liai» I ' V ■ m 4.:*o X Z fi o o }S 494 . 7 * 2 °. Soit m = 2, on aura » i = 4 . i3 5 — 11 a5 — _£5» • u » parconséquent n — — iU r — »i > —liZ- V - aa 7 x g et on a tout ce qu’il faut pour déterminer les fractions -j- jjj 1 - D’ALGF.BRE. 247 Il ‘est un cas particulier qui mérite que nous y fassions attention; c'est celui où a est un carré, et il a lieu, par exemple, quand m = | ; puisqu’alors a = Si nous faisons encore ici , pour abréger, a — bb, j en sorte que notre formule soit 1 -f- 4 bbs -f- Gbbss + ^bbs 3 + bbs*, ^ous pourrons la comparer avec le carré de 1 -)- vbbs -f bss, c est-à-dire avec 1 -f* 4 bbs -f- 2 bss + 4 b*ss -f- 4^ 3 ^ 3 + bbs* ; e t effaçant de part et d’autre les deux, premiers termes et le dernier» et divisant les autres par ss, nous aurons 6 bb -f- 4 ^bs — 2 Ô + 4 b l + 4 &s > P :r d’où résulte , _ Sbb — o,b — 4M _ ?>b — 1 — ai* 4b 3 — 4bb ■' mbb — 2 b ’ k ou bien cette fraction étant divisible encore par b — 1, nous aurons enfin 1 — 2 b — sbb 1 — 2 bb S 2 b ’ P 2 b ' Rematquons que nous aurions aussi pu adopter 1 -f- o.bs -f- bss pour la racine de notre formule ; le carré du trinôme étant 1 -f- 4 bs + &bss + 4 bbss 4 - 4 bbï 3 + bbs^, nous aurions effacé premier et les deux derniers termes ; et divisant les autres Par s, nous serions parvenus à l’équation 4 bb -J- Gbbs = 4b -f- &bs -f- 4 bbs. ■Mais comme bb;=£ , b—A, t .10. J A • cette équation nous aurait donné s = — 2 parconséquent P<= — PP 4 a 48 É L É M E N S et nous ne pourrions tirer de là aucune conclusion, puisque f devient — o. Pour revenir donc à la solution précédente, qui a donné comme P — 1 — 2 bb b = 5 4> elle nous indique que si m = §, on a parconséquent 1 f P = -b q—mp=z^] 1 I 1 y = Z 433 143 238. Dix-septième question. On cherche trois nombres car< rés, tels que la somme de chaque couple soit un carré. Puisque ce sont les trois formules xx -f- yy , xx -{- zz et yy -|- zz, qu’il s’agit de transformer, divisons-les par zz, afiq d’avoir ces trois autres : o xx , yy , „ rr , 1 • -- h — = un carre, 2 *. -f- t = un carré, ZZ ZZ ZZ S 3°. •S 4 - 1 — un carré. zz Pn satisfait aux deux dernières, en faisant ? _ PP ~ 1 < y _<7? — 1 2 P 2 q * pt la première formule se change en celle-ci, (<7<7 ~ O 4<7<7 : (PP 4PP -f- v " / _ ■ / , qui doit aussi être un carré, si on la niultipl' 6 par 4PP<]<] > c’est-à-dire qu’il faut que qq (pp — 1 T -h PP ( qq — > ) a = un carré ; D’ALGÈBRE. »4,9 Qr c est ce qui ne peut guère s’obtenir, à moins qu’oil ne connaisse d’ailleurs un cas où cette formule devient un carré ; et connue il est difficile de le deviner, il faudra avoir recours 3 d’autres artifices dont nous allons rapporter quelques- uns. i°- Comme la formule en question peut s’exprimer ainsi, 7<7(p-f- 1 )*(/>— i ) 2 +PP ( et y c’est-à-dire q = np -f- 1 ,ou 7 — 1 = 2/?, la formule deviendra ( 2 P + 1 )■ J 0 + 0 “ ip —1 Y+pp • 4 • ip + 1 )’( 4 pp )= un cairCj D'ALGÈBRE. ' 2Ü* * e qu’on peut diviser par (p -f- i )“> moyennant quoi l’on a (ap -f- 1 ) a (p — i ) a + 1 6p4 = un carré, °u aop't — 4p 3 —- 4p 3 — 3pp -f- ap -f- i = un carré ; formule de laquelle on ne peut tirer aucun parti. 3°. Faisons donc plutôt (<7 — 1 ) î = 4(p4-l) a , OU q— I = 2(p+ l), n °us aurons q = 2p-f-3, ou q + t—2p+4 = a(p + 2 ), e t nous obtiendrons, aprèsavoir divisé notre formulepar (p+0\ Oette autre formule : ( ap -f- 3 )“ ( p — î )“ -f- 16 pp(p + 2 ) a ou g — 6p + 53pp -f- 6'8p ;i -f- 20 p* ; que la racine en soit 3 — p *+• gpp, dont le carré est g — Gp + 6gpp + pp — 2 "p 3 -f- ggfP ; les deux premiers termes s’évanouissent, et nous chassons le troisième en faisant 53 = 6g-f-i, ou g—f; a ‘nsi les autres termes se divisent par p et donnent 2 op-f- G8=ggp — zg, ou z§L — &2â p - t uonc 71 *** ~ - ^ Cl ~ ■ * ^«2 P — 3i > V —TT » a u moyen de quoi nous obtenons une nouvelle solution. 4°. Si l’on veut faire ntl <7 — 1=|(P— O, Dn a 7 = 3 p —Î.ou q + i = f p -f- J = * C ap + i ) > B la formule après avoir été divisée par (p — t ) a , devient (^T"0* ^ + 1 )* + rtpp ( 2 P + 1 ; «5a É L É M E N S multipliant par 81, on a .9 (4P — 1 )* (P -h i )* + 64pp (sp -f-1 )*' = 4oop* + 4 yap 3 -j- y 3 pp — S 4 p + g, où le premier et le dernier ternie sont l’un et l’autre des carres* Qu’on suppose donc la racine = 20 pp — gp -f- 3 , dont le carr* est 4 oop 4 — 36 op s + 120 pp -j- Si pp — 54 p -f- 9, on aura 47 ap -j-y 3 = — 36 op -f- 201 ; donc P = rj, 7 ==&—. 5 - t On aurait aussi pu prendre pour racine 20 pp 4- gp — 3 , ce qui est celle de 400 p* -f- 36 op 3 — 120 pp + 81 pp — 54 p 4 " 9 ’ niais en comparant ce carré avec notre formule, on aurait trouvé 47«p -f- 73 = 36 op — 3 g, d’où p = •— 1, valeur qui ne peut nous servir. 5 *. On peut faire aussi que notre formule soit même divisible par les deux carrés (p + î ) a et (p — 1 )* en même temps- Qu’on fasse pour cet effet pr±_, d , où j _ p t+p + t + i __ (p + !)(t + 0 p-H p4-* P + t et a Ir= / ,f —P — * + * _ (/>— 1 )(*— !) p -j- t p+( ' la formule se divisera par (p 4- 1 ) a (p — 1 ) a , et se rédu lia , (pt4 -i) a , ( l + O a (t— O 3 • , „ a r a 4?— -7—-.7- 4 - pp - ; r^-rr—~ i SI on multiplie P a (p 4 - 0 (p + 0 + - * ( p 4* f)*, il faudra , comme auparavant, que la formule pU lsS6 devenir un carré, et on aura (pt 4- O* (p ~f" 0“ 4-pp (* "f" 1 ^ ( t — 1 ) a , ou ttpt 4* at (tl 4- 1 ) P 3 4* zttpp 4- (W 4" 1 ) ^ 4- ( « — 1 ) s pp 4 - 2/ ( où le premier et la o« r D’ALGÈBRE. ûfft *lier termes sont des carrés. Qu'on prenne donc pour racinë *pp + (« + O p — t, ce qui est celle du carré ttp 4 + ut (tt -(- \ ) p 3 — 2 tfpp-j- (W -f- 3 TPP ■— 2l ( tt -f- 1 ) p -f~ tt, °oaura, en comparant, ou ‘ ou a«P + («+i)*P+ («—!)■? + »*(«+ O ™ —- üttp -p ( /£ -f- 1 ) a p —■ 2 t [tt I ) , ■ 4 ttp + — 1 Tp + 4 * ( w ~h 1 ) — °» (tf + 0*p + 4 *(«+ 0 = o, c e st-à-dire, là résulte 4 ’où etl lin aussi — 4 t ;c ■ ti + I — — '' - — 4 t . P tt - f- i ’ — Ztt -f- r t 3 — 3 t P* + 1 - » P + £ : f£—p- 1 ^^ 3 /t "f- i 9 — t 3 _3t"’ et la lettre t est arbitraire. Soit, par exemple, t = 2, on aura tt î — 8 — ii P ~c - > 9 — ~ ' ^insi a; pp— i 2 ~' 2 /J Si de plu* °u a + 80 ' y __ m ~ 1 „ a 27 tczz^^^cii , iî.c ar = 3 .i 3 ’.n ,’_y = 4 : 5 . 5 .i 3 , 44 •» üS4 ÉtÉMESS et les racines des trois carrés cherchés sont a=3.11. i3=4 i 9>y-4-$-d- i3=a34o , z—4-4-5. 1 i=r88ol « On voit qu’elles sont encore plus petites que' celles que nous avons trouvées ci-dçssus, et il en résulte ^ xx +yy ~ 3 3 .i3 3 ( 121 + 36oo) = 5 3 . i3*. 61*, xx-]-zz = il 3 . ( i52i -f- 64 00 ) — 1 i*.8fl*, yy ZZ — 20 3 . (13689+1 g36 ) = 20 3 .1 25 ‘j ■ -f : ) 6°. Une dernière remarque que nous ferons au sujet de cette question, c’est que chaque solution en fournit aisément une nouvelle; car lorsqu’on a trouvé trois valeurs, x=a,y = b, z — c, desorte que ca+Z>è=un carré, aa + cc= un carré, Z>ô + cc=un carre» les trois valeurs suivantes satisferont pareillement, savoir x =. ab , y = bc, z = ac. Il faut que xx + yy=aabb + bbcc= Z>Z> ( aà + cc) = un carré, xx + zz = aabb + aacc =zaa(bb + cc ) r= un carré 1 ” yy + zz = aacc + bbcc — cc (nu + bb) = un carré. '* < Or, comme nous venons de trouver a;=a=3.11. i3, j=è=4-5.9. i3 et z=c=:4■4•^• lI * nous avons d’après la nouvelle solution, x = ab = 3.4-5.9.11.13.13, y = bc = 4-4-4-$- 5.9.ii.i3, z=ac — 3.4-4■ 5- i i.li. i3. sf g g Et toutes ces trois valeurs étant divisibles par 3.4-5 - 11 • 1 * û 55 * D’ALGÈBRE.’ déduisent aux suivantes, x = q. i3, y = 3.4*4-5 , 2 = 4.11; ou ' Æ = 117,^ = 240 , z = 44, *I Ul sont encore moindres que celles qu’a données la solution Précédente, et il en résulte çcx -f- yy = 71289 = 267*, » xx -f- 22= i 56 a 5 = ia 5 3 , yy -f- 22 = 5 g 556 = 244*- a 3 g. f)ix-huilième question. On cherche deux nombres x tels que l’un ajouté au carré de l’autre, produise un c *tré • c’est-à-dire que xx -j-y et yy + x soient des carrés. Si on voulait commencer par supposer en déduire xx +y~pp, y — pp — xx > ^ aurait pour l’autre formule p^ — appxx -f- -f- x = un carré,* *1 il serait difficile de la résoudre. -w 9 u ’on suppose donc en même temps l’une des deux formule» V. xx -f- y = (p — x) 3 = pp — apx -f- xx, ** i autre il yy 4 - x — ( q—yY = qq — aqy +yy, 011 ^tiendra par là les deux' équations suivantes, •V « 1°. y 2 px — pp, 2°. x -f- aqy = qq, ^ 6s quelles on tire aisément aq pp — qq à pq — 1 > y = apqq — pp 4 pq — r y ü!>6 É L É M E N S oùp et q sont indéterminés. (^u’on suppose donc, par éxenïplé/ p=z, g =3, ! on aura les deux nombres cherchés x — g, y- , 3* ' TJ > moyennant quoi «+j' = lïf + is=fîï=(^s T R 9 (*V \1 Ta y \a3 J • et i 5 , >7 + * = TTT *f « Si on faisait P 1 , q~ 5 i on aurait x ~ _ J5. V —.H >*■ — m y — » i » solution qu’on pourrait ne pas admettre, parceque l’un de* nombres cherchés se trouve négatif Mais soit P= i , V- . 3 ’ a i nous aurons d’où nous dérivons x = • XX + 7 = ïfs + T3' — — (££)“ j 77 + * = & + é = - 6 és = (£)*. 240. Dix-neuvième question. Trouver deux nombres dq n } la somme soit un carré, et dont les carrés ajoutés ensefflbl e produisent un bi-carré. Nommons ces nombres x et y ; et puisque xx-f- yy doit de- venir un bi-carré, commençons par en faire un carré, e 11 à 0 P' posant x = pp—qq, y — zpq , au moyen de quoi xx + 7 )' = (pp + qq)\ d’algèbre. 257 Or, pouf que ce carré devienne un bi-carré t il faut que PP + qq soit un carré ; continuons donc en faisant ®fin que p = rr — ss , q — zrs, pp + qq — irr + ssy-, présentement nous avons xx + yy = (rr -f ssY, Ce qui est un bi-carré. Of, suivant ces suppositions, nous ^Yons x = r 4 — Sms -f- s 4 , y = 4 rSji — 4>' s3 > ^ nous reste parconséquent à transformer en un carré la formule x = r 4 -f- 4 r3s — Srrss — 4 rs3 ~b s *• Imaginons que sa racine soit rr -|- sirs -f- ss, ou la formule e gale au carré r 4 -f- 4 r%& -f- Srrss -f- 4 r s 3 + J 4 > nous pourrons effacer de part et d’autre les deux premiers et le dernier terme , 64 diviser les autres par ns; ainsi nous aurons 6r -f- 4 S — — — 4 S > d es orte que' s îar 8 ou i 2 r -j- 8s = o ; : — ir. fc°us pourrions aussi supposer la racine =±rr — a rs + ss, en galant la formule au carré r 4 — 4 r * s + Srrss — 4 rs3 ~h ^ > e c ette manière le premier et les deux derniers termes se dé- ^isant des deux côtés , nous aurions, en divisant par rrs, le» ^tres termes, 4r — 6s = ~- 4r + Ss, ou 8r=i3f; ^conséquent r=3fs} 258 É L É M E N S ainsi dans cette seconde supposition, si T = 3 , S = 2 , nous trouverions x = — HJ, ou une valeur négative. Mais faisons à présent r — fi -f t , nous aurons pour notre formule n" = f ss + 3 sf -j- tt\ r 3 = ^s 3 -f- x'Sst + Donc r 4 = f^s 4 + ^-s 3 f -f- sstt -f- 6si 3 -f-1 4 -f- 4 î 3 s = ^-s 4 + 27s 3 t 4- i8ssi£ -f- 6rrss = — ^-s 4 — i8s 3 t — 6 sstt — 4rs 3 = — 6 s 4 — 4s 3 £ 4 - s 4 = 4 - * 4 ; * donc la formule = -^-s 4 4" 4- Qsstt 4" ios£ 3 4" * 4 - Cette formule doit aussi être un carré, si on la muldp^ 10 par 16, moyennant quoi elle devient s 4 4~ 296s 3 /: 4- 4°^ sstt ' 4 - iSost 3 4 - 16t 4 . Egalons-la au carré de ss 4 " 1 48 s£ — 4 ^' c’est-à-dire à s 4 4* 2g6s 3 t-f- 2i8g6ss£t— n84s£ 3 4* 16^ > n ° uS 'Voyons les deux premiers termes et le dernier se détruire de* vieux côtés, et nous parvenons par là à l’équation 21896s— 11 84 * =; 4 ° 8 s 4 - i6o£, s _ 1344. _ s s s __ _m_ j ÎTÏTÎ -~ - 134» - qui fournit Puis donc D’a L g È b R E. a 5 g que « = 84 , t=i543, ■^ous aurons r = is -f- t = 146g, e tparconséquent x — H — Hrrss -f- s * = 4565486027761 , _y = 4^5 — 4 rj 3 = io 6 i 6522 g 35 ao. 1 a CHAPITRE XV. Solutions de quelques questions où Von demande des cubes. s 4 l • Nous avons traité dans le chapitre précédent quelque* questions où il s’agissait de faire ensorte que certaines formules devinssent des carrés, et elles nous ont donné occasion de développer différens artifices que demande l’application de* règles que nous avions données plus haut. Il nous reste à présent à considérer des questions qui roulent sur 1 ® transformation de certaines formules en cubes ; les solutions qui vont suivre répandront du jour sur les règles que nous avons aussi indiquées plus haut pour les transformations d® cette espèce. , 242. Question première. On demande que la somme de deu* cubes, a? et y 3 , soit un cube. Puisque x 3 -f- y 3 doit être un cube , il faut qu’en divisa 0 * cette formule par le cube y 3 , le quotient soit pareillement u ° cube, ou que ^3 Soit donc x nous aurons — 3 zz -f- 3z = C. Si nous voulions maintenant, en suivant les règles données P^ u haut, supposer ici la racine cubique = a — u, et en comp 4 " d’algèbre. a6i r ant I a formule avec le cube z? — 5 uaa -j- 3 uuz — u 3 , déter- 1111,1 er u de façon que le second terme aussi s’évanouît, nous aurions u— 1 les autres termes formant l’équation 3 z = 3uuz — w 3 = 3z — i ; 5 °us trouverions z = oo , nous ne pourrions rien conclure. Laissons donc plutôt u déterminé > et tirons z de l’équation carrée _ — Zzz + 3z = — 3 uzz + 3 uuz — u 3 , 3uzz — 3a z = 3uuz — 3a — u 3 , eu ^ 3(u—i )aa = 3(uu — i)z — u 3 , , , ^ u 3 ®°us trouverons «u u UU H - 21/ + i ü 3 2 J' 4 3(u-l) u-j- i y/ — n 3 4- 3 um — 3u — 3 _ : à ~ K ia(u—î) ’ la gestion se réduit parconséquent à transformer en carré la Action qui est sous ce signe radical. Multiplions d’abord pour Ce t effet les deux termes par 3 (u— i ), afin que le denomi- **ateur devenant un carré, savoir 36 (u — î )*, nous n ayons à r aiter que le numérateur — 3it* + isu 3 — 18 uu + Comme e dernier terme est un carré , nous supposerons la formule , ^nfoj-mément à la règle, égale au carré de guu -f/u -f 3 , c Çs t-à-dire à ggid 4 - 2 /gu 3 4* % uu - 4" 6 fu 4* 9 > nous ferons 3 262 É L É M E N S disparaître les trois derniers termes, en faisant et o = 6/, ou /= o, 6 g— — 18, ou g = — 3 ; et l’équation qui reste, savoir ~ 3 u + 12 = ggu + afgu = gu, donnera u = 1. Mais cette valeur ne nous apprend encor» rien ; ainsi nous continuerons en écrivant u=i +t; or notre formule devenant, dans ce cas — 12£— 3 t/ ce qui ne peut être un carré , à moins que t ne soit négatif, faisons a uS " sitôt t = — s ; nous avons par ce moyen la formule 1 as — - 5 s*> qui devient un carré dans le cas de s = 1. Mais nous voici a r ' rêtés de nouveau ; car dans l’hypothèse s = 1 , on a t — —■ 1 et u —o, d’où l’on ne peut conclure autre chose, si ce n’est q lie de quelque manière qu’on s’y prenne, on ne trouvera jam alS une valeur qui fasse parvenir au but qu’on se propose ; et 1 ° n peut en inférer déjà avec assez de confiance, qu’il est imp oS ' sible de trouver deux cubes dont la somme soit un cube ; 011 s’en convaincra entièrement par la démonstration suivante. 243 . Théorème. Il n’est pas possible de trouver deux cube 3 dont la somme ou bien la différence soit un cube. Nous commencerons par faire observer que si l’impossibib te dont nous parlons a lieu pour la somme, elle a lieu aussi p° l,r la différence de deux cubes. En effet, s’il est impossible q ue * 3 -hy 3 = *\ il est impossible aussi que z 3 — y 3 = x 3 : or z 3 — y 3 est la différence de deux cubes ; donc, etc . Cela d'algèbre. 263 P°sé, il suffira de démontrer 1’ impossibilité en question , soit la somme seulement, soit de la différence ; or voici la suite *^ es raisonnemens que cette démonstration exige. l0 - On peut regarder les nombres x et^y comme premiers e ntre eux ; car s’ils avaient un commun diviseur, les cubes fraient aussi divisibles par le cube de ce diviseur. Par exemple, faisons x — ici , y — zb, Saurait x 3 -f-j' 3 = 8a 3 -f- 8 b 3 \ ° r si cette formule est un cube, a 3 -J- b 3 en est un aussi. 2°- Puis donc que x et y n’ont point de facteur commun Ce s deux nombres sont ou impairs tous les deux, ou bien l’un es t pair et l’autre est impair. Dans le premier cas, il faudrait 'lue z fût pair, et dans l’autre ce nombre serait impair. Par- c °nséquent de ces trois nombres x, y et z, il y en a toujours ®u qui est pair et deux qui sont impairs ; et il nous suffira 'lune, pour notre démonstration, de considérer le cas où x et y 8 °nt tous deux impairs , pareequ’il est indifférent de prouver 1 impossibilité dont il s’agit pour la somme ou pour la différence , et qu’il arrive seulement que la somme devient la différence , lorsqu’une des racines est négative. 3°. Si donc x et y sont impairs, il est clair que tant leur a °mme que leur différence sera un nombre pair. Soit donc Uous aurons x ~ p q , y = p — q-, où il suit que l’un des deux nombres p et q doit être pair et *I l 'e l’autre doit être impair. Or nous avons x 3 +y 3 — zp 3 + 6pqq = ap (pp +3qq) , Assorte qu’il s’agit de prouver que ce produit zp (pp-f-3^) 4 a64 É L É M K H S ne peut devenir un cube; et si la démonstration devait se rapporter à la différence, on aurait —y = Sppq + ag 3 = aq ( qq -f 3pp ) , formule tout-à-fait la même que la précédente, si on met p et q à la place l’un de l’autre. Parconséquent il suffit, pour notre question , de démontrer l’impossibilité de la formula ap ( pp -f- 3 qq ) , puisqu'il s’ensuivra nécessairement que ni la somme ni la différence de deux cubes, ne peut devenir un cube. 4°. Si donc 2 p {pp 3 qq ) était un cube , ce cube serait pair, et parconséquent divisible par 8 ; donc il faudrait que l a huitième partie de notre formule, ou jp (pp -f-3 qq), fût un nombre entier et outre cela un cube. Or nous savons que l’un des nombres p et q est pair, et l’autre impair ; ainsi pp + 3<7<7 doit être un nombre impair, et comme il n’est point divisible par 4 > jl faut que p le soit, ou que 2 soit un nombre entier. 4 Mais afin que le produit ^ (pp -f- 3 qq ) soit un cube , ^ 4 faut que chacun de ces facteurs, s’ils n’ont point de diviseur commun , soit un cube séparément ; car si un produit de deux facteurs qui sont premiers entre eux, doit être un cube, il faut nécessairement que chacun soit de soi-même un cube; le cas est différent et demande une considération particulière, si ce® facteurs ont un diviseur commun. Ainsi la question est ici savoir si les deux facteurs p et pp -{- 3 qq ne pourraient p a ® avoir un diviseur commun ? Pour y répondre, il faut consi" dérer que si ces facteurs ont un diviseur commun, les nombre* pp et pp 4- 3 qq auront le même diviseur ; qu’aussi la rence de ces nombres, qui est 3 qq , aura le même diviseur commun avec pp , et que , puisque p et q sont premiers entre eux, ces nombres pp et 3 qq ne peuvent avoir d’autre commun diviseur que 3, ce qui a lieu quand p est divisible par 3- D* À L G È B E E. 265 Nous avons parconséquent deux cas à examiner : l’un «st celui où les facteurs p et pp + 3 et on pourrait parvenir de la même manière à des cubes ton' jours plus petits. Or, comme il est très-certain qu’il n’y * point de ces cubes dans les petits nombres, il s’ensuit q 111 n'y en a point non plus dans les plus grands. Cette conclus 1 ^ se confirme par celle que fournit le second cas et qui est même, comme on va voir. "hlfî to°. Second cas. Supposons à présent que p soit divi sl par 3, et que q ne le soit pas, et faisons p = 3r, notre f° r 3 /* j - çÇS mule deviendra —, ($rr-\-3qq ) , ou | r {3rrqq) ; e deux facteurs sont premiers entre eux, vu que 3 rr -f- <7'/ divisible ni par z ni par 3, et que r doit être pair aus 51 d’algèbre. 267 rçue p; c’est pourquoi chacun de ces deux facteurs doit être un c ube en particulier. 1 1 °. Or en transformant le second facteur 5 rr -f- qq ou 77 + 3 /r, nous trouvons de la même manière que ci-dessus q-=zt(tt — 91m) , r = 3 u(t£— i/u); e t il faut remarquer que puisque q était impair, t doit être ici Pareillement un nombre impair, et que u doit être pair. 12°. Mais il faut aussi que d— soit un cube ; ou en multi- 4 pliant par le cube 37, que zr T7- OU O Z U ( £t — uu) — Z U ( £ -f- U ) ( t — li) , soit un cube ; et comme ces trois facteurs sont des nombres premiers entre eux, il faut que chacun par lui-même soit un c ube. Supposons donc il s’ensuivra * + “=/ 3 , t — u = g\ au=/ 3 —g 3 , a est-à-dire que si au était un cube, f 3 — g 3 serait un cube. On aurait parconséquent deux cubes f 3 et g 3 beaucoup plus Petits que les premiers, dont la différence serait un cube, et Par là même on connaîtrait aussi deux cubes dont la somme serait un cube, puisqu’on n’aurait qu’à faire f 3 — g 3 — h 3 pour avoir f 3 — h 3 -f- g 3 , ou un cube égal à la somme de deux aubes. Voilà donc la conclusion précédente pleinement confirmée; c’est-à-dire qu’on ne peut assigner même par les plus grands nombres deux cubes tels que leur somme ou leur différence soit un cube, et cela par la raison qu’on ne ren- aontrc point de cubes de cette espèce dans les plus petits nombres. s68 É L É M E N S 2 44’ Puis donc qu’il est impossible de trouver deux cube* dont la somme ou la différence soit un cube, notre première question tombe d’elle-même ; aussi a-t-on coutume plutôt de commencer dans cette matière par la question de déterminer trois cubes dont la somme fasse un cube ; mais en supposant que deux de ces cubes soient arbitraires, desorte qu’il ne s’agit que de trouver le troisième ; ainsi nous passerons immédiatement à cette question. 245 . Question deuxième. Deux cubes a 3 et 6 S étant donnes, en demande un troisième cube, tel que la somme de ces trois cubes fasse un cube. Il s’agit de transformer en cube la formule a 3 - f- P -l~x 3 ', cela ne peut se faire à moins qu’on ne connaisse d’avance un cas satisfaisant ; mais un cas de cette espèce se présente aussitôt, c’est celui de x = — a ; qu’on fasse donc x —y — a, on aura x 3 —y 3 — 3ayy + 3 aay — a 3 ; c’est parconséquentla formule y* — 3oyy + Zaay -f- b 3 qui doit devenir un cube ; or le premier et le dernier terme étant ici des cubes, on trouve aussitôt deux solutions. 1 °. La première demande qu’on fasse la racine de la formule =y -f- 6 , dont le cube est y 3 + Zbyy -f- ’Sbby -f- b 3 ; on a de cette manière — 3 ay -j- 3 aa ~ 3 by -f- 3 bb ; et parconséquent aa — bb y=-^r+r a — b‘ mais x = — b ; desorte que cette solution ne nous est d’aucu n usage. 2 0 . Mais on peut aussi prendre pour racine b -f -fy, dont 0 cube est f 3 y 3 -+• 3bffyy -f- 3ôèjy -f- P , et déterminer f e façon qu’aussi les troisièmes termes se détruisent, sav<^ r e faisant D’ A b G È B ft E. 269 3 aa — Zbbf, ou /=jg; Car alors on parvient à l’équation y — Sa—fy + 3l>ff=z^ + ~, lui, multipliée par b 6 , devient 5 6 y — 3 ab s — â 6 y 4 - 3 a* è s et donne J 5 a* P -f- 3 ab 6 _ 5 a£ 3 ( a 3 -f Z> 3 ) _ 3 ab 3 ^_ a 6 àO __ a S foi __ * et pûrconséquent x=y — a aàb 3 -f- a* ' b 3 —a? ab 3 a 3 a ‘ é 3 — a 3 ' Ainsi les deux cubes a 3 et b 3 étant donnés, nous connaissons Sussi la racine du troisième cube cherché ; et si nous voulons ’jue cette racine soit positive, nous n’avons qu'à supposer le cube b 3 plus grand que l’autre a 3 : faisons-en l’application à Quelques exemples. 1°. Soient 1 et 8 les deux cubes donnés, ensorte que a = l è = 2 ; la formule 9 -f- x 3 deviendra un cube, si X — J c ur on aura 9 + ** = ^T=(¥) s - 2°. Soient les cubes donnés 8 et 27 , desorte que a — * e t b ~ 3 ■, la formule 35 -}- x 3 sera un cube dans le cas de 1 9 • 3 °. Que 57 et 64 soient les cubes donnés, c’est - à - dire t[ue a = 3 et b =s 4 -, la formule 91 -f- x 3 deviendra un cube, Si l’on voulait déterminer pour deux cubes donnés d’aube* troisièmes cubes, il faudrait poursuivre eu substituant ÉLÉMEN3 ayo -f.v' °r -f- z au lieu de a;, dans la formule a? b* -\r a-' 3 » o 0 — cz J car on parviendrait par ce moyen à une formule semblable a la précédente, et qui fournirait ensuite de nouvelles valeurs de z ; mais on voit assez qu’on s’engagerait dans des calculs très-prolixes. 246. Il se présente au reste dans cette question un cas remarquable , celui où les deux cubes donnés sont égaux, ° u *> , a = b ; car dans ce cas on a x = —=00 ; c’est-à-dire qu 011 o 1 n’a aucune solution ; et voilà la raison pour laquelle on n 3 pu encore résoudre le problème de transformer en cube la formule 2a 3 + x 3 . Soit, par exemple, a = 1, ou que cette formule soit 2 -J-x 3 , on trouvera que quelques formes qo ° n lui donne, ce sera toujours inutilement, et qu’on cherchera en vain une valeur de x qui satisfasse. On conclut de là, avec assez de certitude , qu’il est impossible de trouver un cube égal à la somme d’un cube et d’un double cube, ou bien pair. Or de là il suit a: 3 -f y = zp 3 + Gpqq = ap (pp -f- 3qq ) , x? —y 3 = 6ppq + zq 3 = sq ( 3pp + qq ) , c est-à-dire deux formules tout-à-fait semblables. Parconsé- < î Ue nt il suffira de prouver que la formule zp (pp -j- 3 qq ) ne Peut devenir le double d’un cube, ou que p (pp - f- 3qq ) ne P e ut être un cube. On va voir comment nous nous y prendrons P°ur cette démonstration. ^ l °' Il se présente de nouveau deux cas différens à consi- erer : l’un où les deux facteurs p et pp -f- 3 qq n’ont point de £°Uimun diviseur, et doivent être un cube chacun séparément a utre où ces facteurs ont un diviseur commun, lequel diviseur Ce Pendant, comme nous avons vu, ne peut être autre que 3. a 0 . •ible ®üx, Premier cas. En supposant donc que p ne soit pas divi— P ar 3, et qu’ainsi les deux facteurs soient premiers entre noua réduirons d’abord pp -f- 3 qq en cube, en faisant p = t(tt'—quu) , q~3u(tt —quu); Moyennant cela, il faudra seulement encore que p devienne WJ2 É L É M E N S un cube. Or t n’étant pas divisible par 3, puisqu'autrement p serait aussi divisible par 3, les deux facteurs t et U — $uu sont premiers entre eux, et parconséquent il faut que chacun en particulier soit un cube. 3°. Mais le dernier facteur à son tour a deux facteurs, savoir t-j-3u et t — 3u, qui sont des nombres premiers entre eux, d’abord parceque t n’est pas divisible par 3, et en second lieu, parceque l’un des nombres t et u est pair, tandis qu® l’autre est impair; car si ces nombres étaient impairs tous 1® S deux, il faudrait que non-seulement p , mais aussi que cj fût impair, ce qui ne se peut ; donc il faut que chacun de ces deu* facteurs, t ~f- 3u et t —3 u en particulier soit un cube. 4°. Soit donc t + 3u=f 3 , t —3ii=g 3 , nous aurons at=_P-j-g3. Or t doit être un cube que nous désignerons par A 3 , moyennant quoi il faudrait que f 3 + s 3 = zk 3 ; parconséquènt nous aurions deux cubes beaucoup moindres r savoir/ 3 et g 3 , dont la somme serait le double d’un cube. 5°. Second cas. Supposons à présent p divisible par 3, e£ conséquemment que q ne le soit pas. Si nous faisons p=z3r, notre formule devient 3r ( 9” + 3 0,1 bien PP + 3qq = (jf-\- 5gg) ( tf + 3mO. 4°. Nous tifons de la même manière de l’autre formule ' r := Ai-f 3Au, r~kt — hu.\ ^ °ù résulte l’équation C/*-f3gu) (jf-\-’5gg) (£t-f3uu)=(At-f-3Au)(AA-J-3AA)(££~f-3uu, I 111 j divisée par U -f- Zuu, donne f l {fj-\-Zgg)-j.3gu(Jf-^gg)=ht(hh-\-'5kk)-\-'5ku(Jih-j-'5kk'), <*■ É L É M E N S 27 S ou ft(ff+3gg)— },t ( hh +3M<)=:’3k u 0ih+ , 5kk)—3gu(ff-j-'5gg) > moyennant quoi _ 3h(hh + 3hh)-fyÇ/]r+3g g ) f(ff+ 5 gg ) — li ( hh + 3Wi ) 5°. Chassons encore les fractions, en faisant w =/ (ff+ 3gg) — h( hh + 3/<&), et nous aurons tz=3k(hh + 5kh) — 3g ( ff+3gg), où l’on peut donner telles valeurs qu’on veut aux lettres /, g ' 7i et ù. 6°. Lors donc que nous aurons déterminé par ces quat re nombres les valeurs de l et de u, nous aurons z°, p=ft-j-Zgu, 2 0 . q=gt—fu, 3°. i—ht-j-oku, 4°. r=/f —hu > de là nous parviendrons enfin à la solution de la question x = p + q, y = p — q, z~r — s, v — r-j-s; et cette solution est générale, au point qu’elle renferme touS les cas possibles, vu que dans tout ce calcul on n’a adm 1 * aucune limitation arbitraire. Tout l’artifice consistait à i' en ^ re notre équation divisible par tt -f- 3 uu, moyennant quoi nou* avons pu déterminer les lettres t et u par une équati° n ^ ^ premier degré. On peut faire des applications sans n ° n de nos formules : nous en donnerons une pour eX eill i^ e ' i°. Soit k — o, h = 1, d’algèbre. 277 on aura . < = — %(#+%£)>. ainsi P=~3fg iff+ ) + ¥5 (#+ )—%=—%. et < 7 =— iff+ 5 ggT+L i= = —%(¥+%)> r = —/(//+ %0 + 1 ; Parconséquent x — — 3g — (ff+ ZggY -f/, ^ = — % + (if + %?)* —/> 2 = (3g- — /) (#+ %g) + 1 ; *' = —(%+/) C ff+3gg) + ï- Si outre cela nous supposons /=“') g = + 1 > nous aurons x = — 20, *= 1 7> v = —7, et de là résulte l’équation finale — 20 3 + 1 4 3 + 17 3 = — 7 3 , ou i4 3 + 17 3 + 7 3 = 2o s . 249. Question quatrième. On demande trois nombres qui forcent une progression arithmétique, dontla différence soit 1, et 'l u i soient tels que leurs cubes ajoutés ensemble reproduisent cube. Soit x le nombre ou le tonne moyen, x— 1 sera le plus Petit et x 4-1 le plus grand -, la somme des cubes de ces trois nombres, est 3 x 3 + 6 x — 3 x ( xx -f- 2 ), 3 578 É L É M E N S ■ et elle doit être un cube. Il nous faut ici d’avance un cas ou cette propriété ait lieu, et nous trouvons, après quelques essais, que ce cas est ' x = 4 - Ainsi nous pouvons, d’après les règles établies plu* haut, faire ensorte que et *=4+y> xx = 16 + 8y -\-yy ar 5 = 64 + $y -f- iz yy + y 3 , et moyennant quoi notre formule devient 216 -J- i5oy -f 36yy -f- 3y 3 , où le premier terme est un cube , mais où le dernier lie l’est pas. . Supposons donc la racine == 6 '-f ■ fy, ou la formai 0 = 216 -f- io8^ÿ -f- iSffyy +/ 3 jy 3 , et faisons évanouir les deu* seconds termes, en çcrivant i5o = 108/, ou f = y| ; les autres termes, divisés par j'y, donneront m + Sy=,8ff+fy=& + ^.y, OU 16 3 .36 -f- 18*. 5y = i8“.25 a -f- z5 3 y, ou 18 3 .36 — i8 1 .25 a = 25 3 j'— iS 3 .3y-, donc i8 3 .36—i8 a .25 a i8 a .(i8.36 — a5*) y — 2 5 3 ^3.i8 3 ' F 1 ' 25> + 3.i8 3 ' • ’ ' c’est-à-dire 1 —324.23 —745a. 1871 "=T 1871 ’ y d’algèbre. 2 7 “) donc x — — Comme on pourrait trouver embarrassant de poursuivre cette réduction en cubes, il est bon d’observer que la question peut toujours se réduire à des carrés. En effet, puisque 3 a; ( xx -)- 2 ) doit être un cube, qu’on suppose cette formule = x 3 _y 3 , on aura 3xx + G = xxy*, e t parconséquent 6 36 y J — 3 6 y 3 — 18 Cr le numérateur de cette fraction étant déjà un carré , nous n avons besoin de transformer en carré que le dénominateur 6^—18, ce qui exige aussi qu’on ait trouvé un cas. Considérons pour cet effet que 18 est divisible par g, mais que 6 est seulement divisible par 3 , et qu’ainsi y pourra se diviser par 3 ; si nous faisons donc y = 3z > notre dénominateur deviendra r= 162Z 3 — 18, ce qui étant divisé par g et devenant —2, doit encore être un carré; or c’est ce qui a lieu évidemment dans le cas de z — î. Ainsi nous ferons z—i+v, e t il faudra que 16 -f- 5+ 5 £,vv -f- 18v 3 = un carré ; que la racine en soit 4 +^ v > dont le carré est i 6 + 54 t'+ 2 nrt'v, il faudra que 54+i8v = ^; ou i8v = — ou 2 v = —fi; donc ce qui produit 1 5 . 3 ft > : 1 *f- V 1 7 3 * > 4 s.8o et après cela É L É M E N s, etc. v = Al J — 3a- Reprenons à présent le dénominateur 6y 3 — 18 = 162s 3 — 18 = 9 ( i8z 3 — 2); puisque la racine carrée du facteur 1 8z 3 — 2 est 4 1 * 7 __ 1 P 7 + ~ V — Tïs > celle du dénominateur total est mais la racine du numérateur est 6 ; donc x = i »8 17 aleur tout-à-faît différente de celle que nous avons trouves précédemment'. Il s’ensuit que les racines de nos trois cube 3 cherchés sont i“. x- 2”. x — ÜJS , 5 °. x -f-1 — T 3 T > et la somme des cubes de ces trois nombres sera un cube dont la racine . 0 ’: xv —— ~ * ./ - 10 7* y a ' • 4°3 1 0 7 * a 5 o. Nous terminerons ici ce traité de l’Analyse indéterminée, ayant eu suffisamment occasion dans les questions q l,e nous avons résolues, d’expliquer les principaux artifices qu’on a imaginés jusqu’à présent dans cette partie de l’Analyse. ADDITIONS. T ^Es Géomètres du siècle passé se sont beaucoup occupés ^l’Analyseindéterminée, qu’on appelle vulgairement Analyse Diophante ; mais il n’y a proprement que MM. Jlachet et f'erinat qui aient ajouté quelque chose à ce que Diophante Ul ~même nous a laissé sur cette matière. On doit surtout au premier une Méthode complété pour foudre en nombres entiers tous les problèmes indéterminés ^ premier degré (*) ; le second est l’Auteur de quelques Méthodes pour la résolution des équations indéterminées qui Posent le second degré (**) ; de la Méthode singulière par ^ a quell e on démontre qu’il est impossible que la somme ou la 'liiTérence de deux carrés - carrés , puisse jamais être un carré (***) . la solution d'un grand nombre de problèmes hès-diiliciigg et de plusieurs beaux théorèmes sur les nombres entiers , qu’il a laissés sans démonstration, mais dont la plupart (*) Voyez plus bas le paragraphe III. An reste je ne parle point ici n es indéterminés, sur lesquels les méthodes connuesn’auraient Reprise. de 1 Ttans cette nouvelle édition on a fait quelques changemcns l’analyse du 'j dème premier du paragraphe second, pour la rendre plus directe et plu* ** c *le à su;,,.. de it suivre. S* a8 4 A b d I i i d n s. =ï SUR LES FRACTIONS CONTINUES» PARAGRAPHE PREMIER. i. Comme la théorie des Fractions continues manque dan* les livres ordinaires d’Anthmétique et d’Algèbre, et que p ar cette raison elle doit être peu connue des Géomètres, nou* croyons devoir commencer ces Additions par une expositi 011 abrégée de cette théorie, dont nous aurons souvent lieu de faire l’application dans la suite. On appelle en général fraction continue toute expression de cette forme , ce 4- — , ^0+c y+- ^-f-,etc. où les quantités a, (S, y, «J', etc. et h, c, d, etc. sont de* nombres entiers positifs ou négatifs ; mais nous ne Considéreront ici que les fractions continues dans lesquelle les numérateur»' b, c, d, etc. sont égaux à l’unité, c’est-à-dire celles qui s° Dt de la forme et -f- 0+1 7 + 1 +, etc. ce, 1 8, y, etc. étant d’ailleurs des nombres quelconques entier* positifs ou négatifs; car celles-ci sont, à proprement parler* les seules qui sont d’un grand usage dans l’Analyse, les auti e * n’étant presque que de pure curiosité. a. Milord Brouncker est, je crois, le premier qui air i®a einé les fractions continues : on connaît celle qu’il a trouve -i . , . . - t'aire du pour exprimer le rapport du carre circonscrit, a i a “ cercle, et qui est additions. a 85 1+ l Ma 2 -f- - s5 2i-, 2 + etc. j ais on ignore le chemin qui l’y a conduit. On trouve seu- er| ]ent dans 1 ’Arithmetica infînitorum quelques recherches Ul c e sujet, dans lesquelles TVallis démontre d’une manière assez indirecte, quoique fort ingénieuse, l’identité de l’ex- l lre ssion de Brouncker avec la sienne, qui est, comme l*on Sait ; 57-6-777 ; il y donne aussi la méthode de rédnire en § e néral toutes sortes de fractions continues à des fractions binaires. Au reste, il ne paraît pas que l’iin ou l’autre de Ce f deux grands Géomètres ait connu les principales pro- hlétés et les avantages singuliers des fractions continues ; nous . err °ns ci-après que la découverte en est principalement due a ^ u yghens. j d. Les fractions continues se présentent naturellement toutes fois qu’il s’agit d’exprimer en nombres des quantités frac- tl0 nnaires ou irrationnelles. En effet, supposons qu’on ait à Saluer une quantité quelconque donnée a , qui ne soit pas ^Primable par un nombre entier; la voie la plus simple est coniniencer par chercher le nombre entier qui sera le plus 0Cale de la valeur de a, et qui n’en différera que par une Action moindre que l’unité. Soit ce nombre es, et l’on aura * égal à une fraction plus petite que l’unité ; desorte que sera au contraire un nombre plus grand que l’unité ; 8 °*t donc —î— = b , et comme b doit être un nombre plus gra a ~ A , q ue l’ un [té, on pourra chercher de même le nombre a bei qui approchera le plus de la valeur de b ; et ce nombre nt ftonimé / 3 , on aura de nouveau b —$ égal à une fraction petite que l’unité, et parconséquent ^ ^ sera égal à aae quantité plus grande que l’unité, qu’on pourra désigner c 1 ainsi, pour évaluer c, il n’y a qu’à chercher pareille- Plus a8 G ADDITIONS. nient le nombre entier le plus proche de c, lequel étant désigné par y , on aura c — y égal à une quantité plus petite que l'unité, et parconséquent — 1 sera égal à une quantité d plu* grande que l’unité, et ainsi de suite. Par ce moyen il est clair qu’on doit épuiser peu à peu la valeur de a, et cela de la ma-" nière la plus simple et la plus prompte qu’il est possible, puis' qu’on n’emploie que des nombres entiers dont chacun approche> autant qu’il est possible, de la valeur cherchée. Maintenant, puisque ~=b t on aura 1 j. . .1 a — a — ^, dou a —a- de même, à cause de on aura et à cause de on aura pareillement * = /2 + - c c — y ■ = d, et ainsi de suite ; desorte qu’en substituant successiyenie nt ce> j valeurs, on trouvera — et 4 - ! et i en général, ADDITIONS. 287 *+£ + L 1 ^ '

etc. 11 est bon de remarquer ici que les nombres et, fi, y, etc ., 'lui représentent, comme nous venons de le voir, les valeurs e ntières approchées des quantités a, b, c, etc. peuvent être Pris- chacun de deux manières différentes, puisqu’on peut Prendre également pour la valeur entière approchée d’une Quantité donnée, l’un ou l’autre des nombres entiers, entre ksquels se trouve cette quantité ; il y a cependant une différée essentielle entre ces deux manières de choisir les valeurs approchées par rapport à la fraction continue qui en résulte ; C4r si on prend toujours les valeurs approchées plus petites *l Ue les véritables, les dénominateurs fi, y, «f, etc. seront tous Positifs ; au lieu qu’ils seront tous négatifs, si on prend les va- ®“ r s approchées toutes plus grandes que les véritables, et ils ,er °at en partie positifs et en partie négatifs, si les valeurs ap- P r °chées sont prises tantôt trop petites et tantôt trop grandes. effet, si et est plus petit que a, a — et sera une quantité Positive; donc b sera positive, et fi le sera aussi; au contraire sera négative, si et est plus grand que a; donc b sera ^'Salive , et fi le sera aussi. De même si fi est plus petit que b, $ sera toujours une quantité positive ; donc c le sera aussi, Parconséquent aussi y ; mais si fi est plus grand que b ,b — fi au* UQe quantité négative; desorte que c, et parconséquent ' Sl y, seront négatifs , et ainsi de suite. r este, lorsqu’il s’agit de quantités négatives, j’entends fai ^ Uant *rés plus petites, celles qui, prises positivement, se- ] ent Pl us grandes ; nous aurons cependant quelquefois dans ^ Ulte occas ion de comparer entre elles des quantités purement (j. rapport à leur grandeur absolue; mais nous aurons soin Partir alors qu’i] faudra faire abstraction des signes. 238 - ADDITIONS. Je dois remarquer encore que si, parmi les quantités b, c, d, etc. il s’en trouve une qui soit égale à un nombre entier» alors la fraction continue sera terminée, parce qu’on pourra y conserver cette quantité même; par exemple, si c est un nom' bre entier, la fraction continue qui donne la valeur de a, seia “=*+î+i En effet il est clair qu’il faudrait prendre^ =c, ce ( l lU donnerait 1 t et parconséquent d =*c — y o °° ’ desorte que l’on aurait * = ‘ +ï +j + -L 00 les termes suivans deviennent nuis vis-à-vis de la quantité nie oo ; or £ — °» donc on aura simplement ifté in 1 *” a==£t+ ïI + I. c Ce cas arrivera toutes les fois que la quantité a sera c0lîl mensurable, c’est-à-dire qu’elle sera exprimée par une fr ac ^ lent a 0l -din a ' re rationnelle; mais lorsque a sera une quantité irrationne transcendante, alors la fraction continue ira nécessaire^ 11 l’infini. 4- Supposons que la quantité a soit une fraction —, A et B étant desnombres entiers donnés;il est d’abord evi que le nombre entier «qui approchera le plus de ^-,seial e< ï ADDITIONS. 289 lient de la division de A par B\ ainsi supposant la division faite à la manière ordinaire, et nommant a. le quotient et C 1er * A c j j reste, on aura — <* = —; donc b = pour avoir de 1116 nie la valeur entière approchée |8 de la fraction il n’y a nra qu’à diviser B par C , et prendre pour 0 le quotient de Ce *te division ; alors nommant D le reste, on aura b —/? Q parconséquent c= — -, on continuera donc à diviser C par ® ; et le quotient sera la valeur du nombre y , et ainsi de suite ; d où résulte cette règle fort simple pour réduire les fractions Q| 'dinaires en fractions continues. Divisez d’abord, le numérateur de la fraction proposée par s °n dénominateur, et nommez le quotient a; divisez ensuite le ^nominateur par le reste , et nommez le quotient 0 • divisez a près cela le premier reste par le second reste, et soit Iç quo- tle,l t y; continuez ainsi en divisant toujours l’avant-dernier tes te par le dernier , jusqu à ce qu'on parvienne à une division se fasse sans reste , ce qui doit nécessairement arriver, Risque les restes sont des nombres entiers qui vont en dimi llu m j vous aurez, la fraction continue et _L — i ^ ‘ on divisera 5 par 4 , on aura le quo- tient 1 et le reste î ; enfin, divisant 4 par i , on aura le quotient 4 et le reste nul, desorte que l’opération sera terminée. Rassemblant donc par ordre tous les quotiens trouvés, on aura cette série, î, 4, g, 2, 1, î , 4, d’où l’on formera la fraction continue î io 3 I87 =,+ H + v I+ H 4 6. Comme dans la manière ordinaire de faire les division*'' on prend toujours pour quotient le nombre entier qui est égal ou moindre que la fraction proposée, il s’ensuit que par la ru 6 ' thode précédente on n'aura que des fractions continues don* tous les dénominateurs seront des nombres positifs. Or on peut aussi prendre pour quotient le nombre enti el qui est immédiatement plus grand que la valeur de la fraction » lorsque cette fraction n’est pas réductible à un nombre enti® r ' et pour cela il n’y a qu’à augmenter d’une unité la valeur d a quotient trouvé à la manière ordinaire; alors le reste sera négatif, et le quotient suivant sera nécessairement négatif. Ai rlSl on pourra à volonté rendre les termes de la fraction continu® positifs ou négatifs. Dans 1 exemple precedent, au lieu de prendre 1 'pour 1 ® quotient de no 3 divisé par 887, je puis prendre 2 ; maisj’au- rai I e reste négatif — 671, par lequel il faudra maintenant diviser 887; çn divisera donc 887 par_671 çt l’on aura oU le quotient — 1 et le reste 216 , ou le quotient—- 2 et le reste ~ 455 . Prenons le quotient plus grand — 1, et alors il faudra diviser le reste — 67 1 par le reste ai 6, d’où l’on aura ou le quotient — 3 et le reste — 25 , ou le quotient —4 et rest ® ig3. Je continue la division eu adoptant le quotient pl us ADDITIONS. .agi ' j’aurai à diviser le reste 216 par le reste — a 3 , ce qui nie donnera ou le quotient — 9 et le reste g, ou le quotient 10 et le reste — 14, et ainsi de suite. De cette manière ou aura * ' I 1103 , 1 ' — q + etc. où Von voit que tous les dénominateurs sont négatifs. 7. ôn peut au reste rendre positif chaque dénominateur négatif 3 en changeant le signe du numérateur'; niais il faut alors changer aussi le signe du numérateur suivant ; car il est clair qu’on a -m, ( ±- . 1 1 • • ■ 1 ^_|-! = /*- 1 1 ^ étfci ’ 9 ir -f- etc. Ensuite on pourra, si l’on veut, faire disparaîtie toits les signes — de la fraction continue , et la réduire à' une autre ‘tant tous les termes soient positifs ; car on a en général 1 v -f-, etc. 7 * +, etc. comme on peut s’en convaincre aisément, en réduisant ces 'leux quantités en fractions ordinaires. On pourrait aussi par un moyen semblable introduire des termes négatifs à la place des positifs, car on a ‘ 1 y + etc. r 1 + 1 -f- etc. D’où l'on voit que par ces sortes de transformations on peut quelquefois simplilier Utie fractioncontinue, et la réduire à a aga ADDITIONS, un moindre nombre de termes; ce qui aura lieu toutes les fo'S qu’il y aura des dénominateurs égaux à l’unité positive ou négative. En général il est clair que pour avoir la fraction continue la plus convergente qu’il est possible vers la valeur de la quantité donnée, il faut toujours prendre pour et, y, etc. l eS nombres entiers qui approchent le plus des quantités a, b, c, etc- soit qu’ils soient plus petits ou plus grands que ces quantités ; or il est facile de voir que si, par exemple, on ne prend p a5 pour a le nombre entier qui approche le plus, soit en exce* ou en défaut, de o, le nombre suivant £séra nécessairement égal à l’unité ; en effet la différence entre a et a sera alor* plus grande que j , parconséquent on aura b = —-— plus p e ' G — et tit que a ; donc 9> ne pourra être qu’égal à l’unité. Ainsi toutes les fois que dans une fraction continue on trouvera des dénominateurs égaux à l’unité, ce sera une marque que l’on n’a pas pris les dénominateurs précédens aussi appro- chans qu’il est possible , et que parconséquent la fraction peut se simplifier en augmentant ou en diminuant ces dénominateur 5 d'une unité, ce qu’on pourra exécuter par les formules précédentes, sans être obligé de refaire en entier le calcul. 8. La méthode de l’art. 4 peut servir aussi a réduire en fraction continue toute quantité irrationnelle ou transcendante > pourvu qii’ellesoit auparavant exprimée en décimales; ffi a ' s comme la valeur en décimales ne peut être qu’approchée, et qu’en augmentant d’une unité le dernier caractère, on a deux limites entre lesquelles doit se trouver la vraie valeur de l a quantité proposée, il faudra, pour ne pas sortir de ces limites, faire à la fois le meme calcul sur les deux fractions dont il s ’ a ' git, et n’admettre ensuite dans la fraction continue que I e * quotieits qui résulteront également des deux opérations. Soit, par exemple, proposé d’exprimer par une fraction continue le rapport de la circonférence du. cercle au diamètre- ADDITIONS. 293 Ce rapport exprimé en décimales est, par le calcul de Viete , 3 , i 4 i 5 g 28535 ....; desorte qu’on aura la fraction a réduire en fraction continue parla méthode ci-dessus; or si °a ne prend que la fraction on trouve les quotiens 3 , 7 j i 5 , i, etc. et si on prenait la fraction plus grande °n trouverait les quotiens 3, 7, 16 , etc. desorte que le troisième quotient demeurerait incertain; d’où l’on voit que, pour pouvoir pousser seulement la fraction continue au-delà de * r °is termes, il faudra nécessairement adopter une valeur la périphérie qui ait plus de six caractères. Or si on prend la valeur donnée par Ludolph en trente-cinq ca i'actères, et qui est 3 , i 4 i 5 g, 26535, 89793, 23846, a ®433, 8327g } 50288; et qu’on opère en même temps sur Ce tte fraction et sur la même, en y augmentant le dernier cautère 8 d’une unité, on trouvera cette suite de quotiens, 3 , l 5 , 1, 292, i, r, 1, 2, 1, 3 , 1, i 4 , 2, 1, 1, 2, 2, a > a, 1, 84, 2, 1, i, i 5 , 3 , i 3 , r, 4, 2, 6, 6, 1; de- s °tte que l’on aura Périph. diamètr. : 3 +- , 1 7+!5 + i + 293+7 ,1 ^ r -f etc. Comme il y a ici des dénominateurs égaux à l’unité, on Urr a simplifier la fraction, en y introduisant des ternies né- par les formules de l’art. 7, et l’on trouvera Périph, __ 1 i diamètr. ‘ 7 4 - 1 / ib-; i 294 5 _ l 0,1 bien 3 + ^ Périph. diamètr. = 3 +7 . J_ 7 16 + -^ + 3 + JL 3 ~f" €tC» AUDITIONS. sg4 g. Nous avons montré ailleurs comment on peut appliquer la théorie des fractions continues à la résolution numérique d eS équations, pour laquelle on n’avait encore que des méthodes imparfaites et insuffisantes. ( Voyez, les Mémoires de VAcadémie de Berlin pour les annêès 1*767 ét 1768.) Toute la dilh' culté consiste à pouvoir trouver dans une équation quelconque la valeur entière la plus approchée, soit en excès ou en défaut, de la racine cherchée, et c’est sur quoi nous avons donné I e premier des règles sûres et générales par lesquelles on peut non-seulement reconnaître combien de racines réelles positive 5 ou négatives, égales ou inégales, contient la proposée , mai 5 encore trouver facilement les limites de chacune de ces racines, et même les limites des quantités réelles qui composent les ra" cines imaginaires'.' Supposant donc que x. soit l'inconnue d e l’équation proposée, on cherchera d’abord le nombre entiet qui approchera le plus de la racine cherchée , et nommant ce nombre -a ., il n'y aura qu’à faire, comme on l’a vu dans l’art. i; (je nomme ici x, y , z, etc. ce que j’ai dénota dans l’art, cité par a, b , c, etc.) et substituant cette val ellf à la place de k , on aura, après avoir fait évanouir les frac" tions une équation du même degré en y , qui devra avoir al1 moins une racine positive ou négative plus grande que ruuit e - On cherchera donc de nouveau la valeur entière approchée cette racine, et nommant cette valeur £, on fera ens« lte qu» et y = £ -j—, ce qui donnera de même une équation en aura aussi nécessairement une racine plus, grande que l’unito dont on cherchera pareillement la valeur entière approcha 7 ^ et ainsi de suite. De cette manière , la racine cherchée 5 e tlC>U vera exprimée par la fraction continue -{- etc. ADDITIONS. 2g5 «Jm sera terminée, si la racine est commensurable , mais qui ira Nécessairement à l’infini, si elle est incommensurable. On trouvera dans les Mémoires cités tous les principes et les details nécessaires pour se mettre au fait dé cette méthode et de ses usages, et même différens moyens pour abréger souvent les opérations qu’elle demande ; nous croyons ir avoir presque r,en laissé à desirer sur ce sujet si important. Au reste, pour ce qui regarde les racines des équation» du *econd degré, nous donnerons plus bas, (art. 33 et suiv. ) une Méthode particulière et très - simple pour les convertir en Actions continues. lo. Après avoir expliqué la génération des fractions conti- , nous allons en montrer les usages et les principales propriétés. H est d’abord évident que plus on prend de termes dans une fraction continue, plus on doit approcher de la vraie valeur la quantité qu’on a exprimée par cette fraction; desorte *l Ue si on s’arrête successivement à chaque terme de la frâC- ,lQ n, on aura une suite de quantités qui seront nécessairement c °NVergentes vers la quantité proposée. Ainsi ayant réduit la valeur de a à la fraction continue „ 5 ' + ï + ,«c. n aura les quantités 0 ,. y etc. b le n, en réduisant, eti ±p. ) ‘*2L±jL±y >etc . jS 0y -f- 1 'bu approcheront de plus en plus de la valeur de a. 4 2C|6 A D D I,T 1 O N S. Pour pouvoir mieux juger de la loi et de la convergence de ces quantités, nous remarquerons que parles formules de l’art- o on a a ~ A + \> b:= & + );> c — y + 2 > etc - d’où l’on voit d’abord que a. est la première valeur approche 0 de a ; qu’ensuite si on prend la valeur exacte de a qui est — 1 , et qu’on y substitue pour b sa valeur appprochée $ > on aura cette valeur plus approchée < qu’on aura même une troisième valeur plus approchée de a, en mettant d’abord pour b sa valeur exacte ce qui donne _ -f 1 ) c -f- a. a ~ Hc+x ’ et prenant ensuite pour c la valeur approchée y ; parce moy en la nouvelle valeur approchée de a sera ( + i ) y -f- a h + 1 continuant le même raisonnement, on pourra approcher <3a" yantage, en mettant, dans l’expression de «trouvée ci-dessus > à la place de c sa valeur exacte , ce qui donnera _ ((a,S+ î a ~ (@y+ r)^-4-/3 et prenant ensuite pour d sa valeur approchée d'; desorte q u 011 aura pour la quatrième approximation la quantité (0y + i)* + 0 et ainsi de suite. ADDITIONS. 297 De là il est facile de voir que si par le moyen des nombres *•> y, J', etc. on forme les expressions suivantes, A — A A 1 ~ î B=fiA- fi B'= fi é ~ y B A C'=zy B 1 -f- A 1 Dt=.$C + B D l — £’’ F 1 ’ etC ‘ Si la quantité a est rationnelle, et représentée par une frac- V , . Tl °n quelconque — r , il est évident que cette fraction seratou- )°urs dans la série précédente ; puisque, dans ce cas, la fraction c °ntinue sera terminée, et que la dernière fraction de la série c, ~dessus doit toujours équivaloir à toute la fraction continue. Mais si la quantité a est irrationnelle ou transcendante, alors a fraction continue allant nécessairement à l’infini, on pourra ^ s si pousser à l’infini la série des fractions convergentes. 11 ■ Examinons maintenant la nature de ces fractions; et a bord il est visible que les nombres .<4, B , C, etc. doivent en augmentant, aussi bien que lesnombres A', B 1 , C', etc. !°. si les nombres a, fi, y, etc. sonttous positifs, lesnom- re3 A , B, C , etc. A', B', C‘, etc. seront aussi tous positifs, e f 1 on aura évidemment B>A, C>£, £>>J', C 1 > B', D' > C 1 , etc. a °- Si les nombres a, fi, y, etc. sont tous ou en partie néga- I 298 ADDITIONS, tifs, alors parmi le* nombres A, B, C, etc. et A', B', ^ y en aura de positifs et de négatifs; mais, dans ce cas, on considérera que l’on a en général par les formules précédentes B 1 C , A D ..J? Â- l * + *>B := '>' + £ > C-* + C> etC - d’où l’on voit d’abord que si les nombres «, $ , y , etc. sont difFérens de l’unité, quels que soient d’ailleurs leurs signes, aura nécessairement, en faisant abstraction des signes, ^ A plus grand que l’unité; donc — moindre que l’unité, parcon' C 8 séquent — plus grand que l’unité, et ainsi de suite ; donc plus grand que A, C plus grand que B , etc. Il n’y aura d’exception que lorsque parmi les nombf e * a ., $, y, etc. il s’en trouvera d’égaux à l’unité; supp°" sons, par exemple, que le nombre y soit le premier qui 90lt égal à ± 1 ; on aura d’abord £ plus grand que A, mais C sera moindre que B , s’il arrive que la fraction ^ soit de signe àtf férent de y ; ce qui est clair par l’équation parceque, dans ce cas, y -f- — sera un nombre moindre ^ B _ ran d l’unité ; or je dis qu’alors on aura nécessairement D pl uS ° que B j car puisque y — dz 1 , on aura, (art. 10) , c= * ±1 + 3 ’ doù l’unie > or comme c et d sont des quantités plus grandes q ue _ £ ( art. 3 ) , il est clair que cette équation ne pourra sub 31 ’ ADDITIONS. 2.93 •Hoins que c et d ne soient de même signe ; donc, puisque y et J sont les valeurs entières approchées de c et d, ces nommes y et

etc. d’où je conclus qu’on aura en général B A' — AB' = i CB' —BO ——i DO—CD' — î ED' — DE' = — i, etc. Cette propriété est très-remarquable, et donne lieu à plusieui" 5 conséquences importantes. D’abord on voit que les fractions — , , —, etc. doiv^ 1 D O 1 être déjà réduites à leurs moindres termes ; car si, P ar exemple , C et O avaient un commun diviseur autre < I llS l’unité, le nombre entier CB * — BC' serait aussi d 1 ^ 1 sible par ce même diviseur, ce qui ne se peut, à caus e CB' — BC' — — i. Ensuite si on met les équations précédentes sous cette f° r,u0 B A 1 B' A' A'B' C B 1 O B'~ _ OB' D C 1 D' o~ ~ C'D' E D 1 E' D ADDITIONS. Soi *1 est aisé de voir que les différences entre les fractions voisines la série ^, etc. vont continuellement en diraient , desorte que cette série est nécessairement convergente. Or je dis que la différence entre deux fractions consécu- ,lv «s est aussi petite qu’il est possible; ensorte qu’entre ces dénies fractions il ne saurait tomber aucune autre fraction î u elconque, à moins qu’elle n’ait un dénominateur plus grand ^e ceux de ces fractions-là. C I) Car prenons, par exemple, les deux fractions^ et jy i la différence est —^ , et supposons , s'il est possible, ^ H existe une autre fraction — dont la valeur tombe entre 71 Cç lles de ces deux fractions, et dans laquelle le dénomina- n soit moindre que C l ou que D l ; donc puisque — doit i CD e trouver entre — et —- , il faudra que la différence entre C-» U - C . mC l —nC nC — mC‘ h e8t nC> ou nC 1 ■, soit plus petite 1»e r D çïjjt, différence entre yy t et yy > niais il est clair que e ^ e 'là ne saurait être moindre que ; donc, si n <[ D ', 6 Se ra nécessairement plus grande que yyqji '> même la '^ r erice entre — et ~ ne pouvant être plus petite que ! n D 1 sera nécessairement plus grande que yjrfji > si n C, 1 ; eu qu’elle devrait être plus petite. *3. Voyons présentement de combien chaque fraction de 002 ADDITIONS. la série ~, etc. approchera de la valeur de la quantité Pour cela on remarquera que les formules trouvées dans l’art -10 donnent Ab -f- i A'b Bc -y- A Zric-f- A Ci + B C'd+B De 4- C ~D'e+C L et ainsi de suite. i Donc si on veut savoir de combien la fraction ^ , exemple, approche de la quantité , on cherchera la dilïereU ce C , . , Ci B «A entre et p ; en prenant pour a la quantité. ^ ^ ■ j j l > aura C a+B C _ BC'— CB' a T? Qd-{-B l O ~ C'(C'd+B')~~ C‘lC'd+B'Y < à cause de BC 1 — CB 1 î, (art. 12); or comme on pose que «T soit la valeur approchée de d, ensorte que la “U rence entre d et soit moindre^que l’unité, (art. 3,)., ^ eS clair que la valeur de d sera renfermée entre les deux uooj^ bres et C' (D'±Oy.h. ; d’où l’ on P° urra juger de la quantité de l’approximation de la fraction, ADDITIONS. 3o3 5 4- En général on aura A i a== Â^ +  r b B i U ~~B' B'(B‘c + J"i __C i__ a — C^C'tC'd + B') D i a U 1 D'^D'e+C') ainsi de suite. Or si on suppose que les valeurs approchées a, y, etc. soient toujours prises moindres que les véritables, ces nombres •eront tous positifs, aussi bien que les quantités b, c, d, etc. (art. 3) ; donc les nombres A' t B l , C etc. seront aussi tous Positifs ; d’où il s’ensuit que les différences entre la quantité a *t les fractions ^, —, etc. seront alternativement po- “tives et négatives ; c’est-à-dire que ces fractions seront alternativement plus petites et plus grandes que la quantité a. De plus, comme £>0/ c>>, •) on aura ^B^B'c+A^B'y+A'^C, C'd+£'>C'Î+B'>D', et«. et comme t<^+i,c<>-f-i, d< J + i, on aura b < B' + 1 , B'c + A 1 < B' (y + î) + A' < O + B', C'd + 5' < C" O -f- B' < D' + C\ etc. J ‘«sorte qu e le* erreurs qu’ou commettrait en prenant les frac- 5e4 ADDITIONS. ABC , tions — , -p-> ~Æi > etc - P our l a valeur de a, seraient respec- jt x b 1 t-* tivement moindres que 1 A'B 1 ’ B'C 1 * C'D ' 1 i etc. mais plus grandes que C'(D'+C 1 )' et °' d’où l’on voit combien ces erreurs sont petites, et combien elles vont en diminuant d’une fraction à l’autre. Mais il y a plus : puisque les fractions^, , etc. sont alternativement plus petites et plus grandes que la quantité a, il est clair que la valeur de cette quantité se trouvera toujours entre deux fractions consécutives quelconques ; ° r nous avons vu ci-dessus, (art. ia), qu’il est impossible qu’entre deux telles fractions puisse se trouver une autre fraction quelconque qui ait un dénominateur moindre que l’un de ceux de ces deux fractions; d’où l’on peut conclure que chacune des fractions dont il s’agit, exprime la quantité a plu 3 exactement que ne pourrait faire toute autre fraction quelconque , dont le dénominateur serait plus petit que celui de la fraC' C tion suivante ; c’est-à-dire que la fraction — , par exemple > exprimera la valeur de a plus exactement que toute autre £ra c ' tion —, dans laquelle n serait moindre que D. „ i5. Si les valeurs approchées y y etc..sont toutes ou en partie plus grandes que les véritables , alors parmi ces nombre 3 il y en aura nécessairement de négatifs , (art. 5), ce qui ren "" dra aussi négatifs quelques-uns des termes des séries A, ^ > C, etc. A', B 1 , C' , etc. parconséquént les différences entre les fractions > ete.. et la quantité a, ne seront pl us alternativement positives et négatives, comme dans I e cas l’article précédent; desorte que ces fractions n’auront J l’avantage de donner toujours des limites en plus et en ADDITIONS. 3c5 de la quantité a, avantage qui nie paraît d’une très-grande importance , et qui doit parconséquent faire préférer toujours dans la pratique les fractions continues où les dénoihinateurs seront tous positifs. Ainsi nous rie donsidérerons plus dans la suite que des fractions de dette espèce. i6. Considérons donc la série A t > n B'' C_ C" D_ D 1 ’ etc. dans laquelle les.fractions sont alternativement plus petites et plus grandes que la quantité et il est clair qu’on pourra partager cette série en ces deux-ci : ' ... ■ ■ .Va. . A_ £ E_ A" O' E l ‘ B_ Z> F_ B 1 ’ O'’ F 1 ’ donc la première sera composée de fractions toutes plus petites que a, et qui iront en augmentant vers la; quantité a ; donc la seconde sera composée de fractions toutes plus, grandes que a , mais qui iront en diminuant vers cette même quantité. Examinons chacune de ces deux séries en particulier ; dans la Première on aura,( art. îo etju), A C__A _ y O A 1 A' €' £ E' O-E 1 ce,; etc. .ir„ dans la seconde on aura ; f . . B D _ * •. .. a — . •*' - D}~ £ l D'_ ., «V D F - * ’’ • d i F 1 ~ D l E‘ ’ '■* -■■'tosi, ’l " ■' ^ , -:m •'u'-itncVl u r Si les nombres y, à'yt, etc. étaient tous a. Y 5oS ADDITIONS. on pourrait prouver, comme dans l’art. îa, qu’entre deux fractions consécutives quelconques de l’une ou de l’autye des deux séries précédentes, il ne pourrait jamais se trouver aucune autre fraction dont le dénominateur serait moindre que, ceux de ces deux fractions; mais.il n’en sera pas de même, lorsque les nombres y, 3, etc. J 1 à la place de et ainsi de suite. 17 . Supposons, par exemple, que y soit =4, on aura t C = 4B+A, 0=43' + A', et on pourra insérer entre les fractions — et trois fractions intermédiaires qui seront . B “f- -di *4* ^ • 35 4 £' + A" UF+ l’i 3B' + A *' Or il est clair que les dénominateurs de ces fractions formel une suite croissante arithmétiquement depuis A' jusqu’à C' \ et nous allons voir que les fractions elles-mêmes croissent aus £i <-A —“ C~ continuellement depuisjusqu’à -r^, ensorte qu’il serait m al11 " tenant impossible d’insérer dans la série A B +A nB+A 33+ A 4B+A„„<^> A ■’ B' + A'’ 23 ' +A'’ 33' + A'’ 43' + A‘° 6 * aucune fraction dont la valeur tombât entre celles de deux fractions consécutives, et dont le dénominateur se trouvât au £Sl entre ceux des mêmes fractions. Car si on prend le* 1 AUDITIONS cîo/ Pences entre les fractions précédentes, on aura , à cause de B A' — AB X — 1 , B A A 1 B ' A A' A 1 ~ A'{.B'A A 1 ) zB A- A B A A 1 zB'a-A 1 B 1 A A' (B'A-A'’)(zB'AÀ') ZB A A zB A A ZB'A A 1 2 B'A A 1 ~ (zB'AA')(Z£t aA') C ZB A A 1 O ZB'AA' (ZB'AA')#* , A ' B A~ A doù l’on voit d’abord crue les fractions ~-r , etc. A 1 B 1 A-AL 1 Vont en augmentant, puisque leurs différences sont toutes positives; ensuite, comme ces différences sont égales à l’unité divisée parleproduit des deux dénominateurs, on pourra prouver par un raisonnement analogue à celui que nous avons fait dans l’art. 12, qu’il est impossible qu’entre deux fractions consecutives de la série précédente, il puisse tomber une fraction Quelconque —, si le dénominateur n tombe entre les dénomi- 71 dateurs de ces fractions, ou, en général, s’il est plus petit que le pl us grand des deux dénominateurs. De plus, comme les fractions dont nous parlons, sont toutes plus grandes que la vraie valeur de a, et que la fraction — est la plus petite, il est évident que chacune de ces fractions a Pprochera de la quantité a, ensorte que la différence en sera plus petite que celle entre la même fraction et la fraction ■— ; 0r °n trouve 3 3c8 ADDITIONS. A B X A 1 B 1 A'B « B +A • B 1 B 1 -J- A x B‘~ ~ (B' + A') B' -f- ji B 1 2 B' 4- A < B > ' “(a B' + A')B' 3B + A B l 3 B' + A‘ B 1 ~(3B'+A')B' C B 1 C' B ‘ C'B >• Donc, puisque ces différences sont aussi égales ' à l’unit» divisée par le' produit des dénominateurs, on y pourra appli" quer le même raisonnement de l’article 12 , pour prouver qu’aucuue fraction — ne saurait tomber entre une quelconque des fractions A B + A 2 B +A , , . B » TF+2" -b> + A" etc ' et lafractl0n F si le dénominateur n est plus petit que celui de la même frac^ tion; d’où il suit que chacune de ces fractions approche pl®* de la quantité a que ne pburrait faire toute autre fraction plu s petite que a, et qui aurait un dénominateur plus petit, c’est-à' dire, qui serait conçue en termes plus simples. 18 . Nous n’avons considéré dans l’art, prècéd. (}ue les fra c " il en sera de même & ei AC tions Intermédiaires entre — et y-, fractions intermédiaires entre — et —, entre ^ C. 1 b A et —.etc. — O £ 1 ' E l “ C 1 ’ si s, » , etc. sont des nombres plus grands que l’unité. ... , n , , . B D F e tc. On peut aussi appliquer a 1 autre sene —, —, tout ce que nous venons de dire relativement à la pre nlier “’ B ~A' ~B l> £ï' etc ‘ ^ esorte ff ue s * ^ e3 nom bres ' entre — et —, etc. différentes fractions intermédiaires toutes plus grandes que a, mais qui iront-continuellement en diminuant, et qui seront telles qu’elles exprimeront le quantité a plus exactement que ne pourrait faire aucune Uutre fraction plus grande que a, et qui serait conçue en termes plus simples. De plus, si 0 est aussi un nombre, plus, grand que l’unité , °n pourra pareillement placer, avant ]a fraction jr, lqs fractions d -4- 1 zd -f- r 3 A -f- r. ^ .. ,1%A -fl 1 , etc. jusqti’à savoir • B r ’ 2 1 3 ’ ; J ^ 0 ’ B et ces fractions auront les mêmes propriétés" quelles autres fractions intermédiaires. ! . " :!j - De cette manière on aura donc ces deux:suites complètes de fractions convergentes vers la quantité a. Fractions croissantes ,ef> plus petites que a. , ’ ' A B -}-A .zB—-\-A 3^2 -\~.A-. ■ . A' ’ li' + A' ’ zB'+A' ’ 3B‘ + A‘ etC ‘ y B -f- A C D+C'zD+C yJS' +A'’ O’ TB + C'’ 3 D‘ -j- O ’: 3 ■£>' iftiq. * tç ' - •. tP+C E F +E ' , M —■—^r, VT, > etc. etc. etc. ■ ; K I-< + ç ...^.imocèbr-.r Fractions décroissantes et plus 1 grandes q^e-a.^ —^ JT-» , -g « etc - fiA- f-i Æ a€ +B —j J F’ C' + js>’ 5C‘ + /f‘’ JC-M D : D‘ , £‘ 4*'fl 1 /-- - etc ' etc ’ O 3lO ADDITIONS. Si la quantité a est irrationnelle ou transcendante, les deux séries précédentes iront à l’infini, puisque la série des fractions ji B C etC ' < ï ue nous nommerons dans la suite fraction* principales, pour les distinguer des fractions intermédiaires, va d’elle-même à l’infini (art. io). Mais si la quantité a est rationnelle et égale à une fraction V quelconque —-,. nous avons vu dans l’article cité ^ que la série dont il s’dgit sera terminée, et*que la dernière fraction de cette V série sera 14 fraction même -p- x ; donc cette fraction terminera aussi nécessairement une des deux séries ci-dessus, mais l’autre série pourra toujours aller à l’infini. En effet, supposons que soit le dernier dénominateur del a fraction continue ,'alors —; sera la dernière des fractions pi - '' 1 ' cipales, et la série des fractions plus grandes que a sera ter» 11 ' née par çette’même fraction ^ ; or l’autre série des fractio 05 plus petite^ que a, se trouvera naturellement arrêtée à la fr aC ~ tiôn £pjqui précède — ; mais pour la continuer, il n’y a q u a supposer que le dénominateur e qui devrait suivre le ^ er nier dénominateur «f, soit^eo , (art. 3) ; desorte'que la frac tion — qui,'suivrait — , dans la suite des fractions prinCJp 3 " pales, serait 4- o r > co D + C D aoD -f C'~~ D'' -U >■ or parla loi des fractions intermédiaires , il est clair Q u * caU ^. de * =: oo , on pourrra insérer.entre lés (fractions -q, et lù' i additions. 3n «ne ihfiuité de Fractions intermédiaires qui seront D + C siD -f- C 3 P + C V' + OfzJd' + C 1 ’ 3D' -f C' ’ CtC ’ . ï. ' r 'î: ■ Ainsi, dans ce cas, on pourra, après la fraction-^ dans la première suite, placer encore les fractions intermédiaires dont nous parlons, et les continuer à l'infini. . nm 'Problème. ' .Ir • - • ; ^ J. .... [( . ig. |Une fraction exprimée par un grand nombre de chiffres y étant donnée, trouver toutes les fractions en moindres termes, cjui approchent si près cZe la vérité , qu’il soit impossible d’en Approcher davantage sans en employer de plus grandes. Ce problème se résoudra facilement par la théorie que nous venôns d’expliquer. j ; . Omconlmencera par réduire la fraction proposée en fraction continue par la méthode de l’art. 4> en ayant soin de prendfe tontes les valeurs approchées plus petites quelles véritables, pour que les nombre» /S, y,. S, etc. soient tous positifs; ensuite , à l’aide des nombres trouvés a , (Z,y , etc. on formera, »'• jf- d.Jf .. d’après les formules del’art. :io,; .-ÿ- t , etc * dont la dernière Sfera nécessairement la même que la fraction proposée, parcdque, dans ce cas, la]fraction continue est terminée. Cés fractions serbnt alteriiativement pllls petitft et plus grandes quê 'la fraction donnée, et seront successivement conçues en termes plus grands; et de plus elles seront telles que chacune de ces fractions approchera plus de la fraction donnée , que ne pourrait faire toute'autre fraction quelconque qui jetait conçue en termes moins simples.' Ainsi on aura par ce moyen toutes les fractions conçues, en moindres termes que la proposée, ‘qui pourront satisfaire au problème. 4 5ljS ADDITIONS. Que si on veut considérer en particulier les fractions plu» petites et les fractions plus grandes que la proposée , on insérera entre les fractions précédentes autant de fractions intermediaires que l’on-'pourra, et on en formera deux suites de fractions convergentes, les unes toutes plus petites et les autres toutes plus-grand es que la fraction donnée, (art. 1'6','iÿ et 18); chacune de.ces^suites aura en particulier les mêmes propriétés A £ C que la suite des fractions priricipales -ÿ, — , "etc. câfles fractions dans chaque suite., seront successivement conçues en plus grands termes, et chacune d’elles approchera plus de la fraction proposée , que ne pourrait faire aucune autre fraction qui serait pareillement plus pétite ou plus grande que la proposée , mais qui serait conçue en termes plus simples. Au reste ^il jjeut arriver qu’une des fractions intermédiaires d’une série n’appro'chepaê si près de la fraction donnée, qu’une des fractionsdè l’autre série, quoique conçue en termes moins simples que celle-ci; c’est pourquoi il ne convient d'employer ..les. frac tipns intermédiaires', que lorsqu’on veut que les fractions qljfrchées soient Routes plus petites, ou toutes plus grandes que la-fraction doqjiçe. . .. • - • ' Ex E.MP1. F. I.i- i . . r >, . 20. Suivant M. de là Caille, l’année solaire est de 365 > 5 * 48 ' 49 * parconséquent plus longue de 5 R 48' 4 , 9 ” que l’a 11 ' née communejde. 365 1 ; si cette .différence était exactement de G heures, el|^ donner,ait.un-jour ^iu bout de quatre années communes; m,ais si onrveut savoir ^u juste au bout de conib )en d’années.çomni.unes cette différence peut produire un certain nombre de jours, il faut chercher le rapport qu’il y a entre 24* et 5 * 48 /- 49 %^* 9 n trouvepe rapport = ; |||^f,,desorte qu’on peut dire qu’au bout de 8(j4oo années communes > 1 faudrait intercaler .30929, jours pour les réduire à des, années tropiques. . n ■ Or comme le rapport de 86400 à 2092.9 est exprimé en ter ' ADDITIONS. 3l3 mes fort grands, on propose de trouver en des termes plus petits des rapports aussi approchés qu’il est possible de celui-ci. On réduira donc la fraction f£|f§ en fraction continue par la règle donnée dans l’art. 4 , qui est la même que'telle qui sert à trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres donnés : on aura 20020 8G4oo j 8 ? 716 2684 4 = « 20929 18788 2141 . .U?. 7=* 1 :n 1 xy 2684 2141 543 2141 1699 512 3=

2 4,9 6 16 iS=Ç 1 =^ 1 =fi -i5|i5=r à : ,,, o, ■ Connaissant ainsi tous les quotiens et , B, y, etc. on en for- nie ra aisément la série — , eto.> de la manière suivante : ■ u-.. , • 2 jj , an jj r.tc.-. ‘ ■ :jo i5, . g iu<»° f > 20 sa 9 > î . , Ai 7 i ■*> ^ y * y 16 , I, * A lü =M 4 - £££2 1 > Tj. 8 > ,U, > 3 9 i ,t>ob > ü9T> 13 à3 > \ y - : ! I ’ N - •. . • • • J q -j . jjî'’ ' ; : • • • ' • ° u 1 on voit que la dernière fraction est la même que la proposée. • • ■■ ■ !.. : four faciliter la formation :de ces fractions , 'on écrira d'a- °rd, comme je viens de le faire, la suite des quotiens 4,7, 1 , 3l 4 ADDITIONS. cîc. et 1 on placera au-dessous de ces coefficiens les fractions •fj x i x» etc - qui en résultent. La première fraction aura toujours pour numérateur le nombre qui est au-dessus, et pour dénominateur l’unité. La seconde aura pour numérateur lé produit du nombre q iU est au-dessus, par le numérateur de la première , plus 1 unité , et pour dénominateur le nombre même qui est au-dessus. La troisième aura pour numérateur le produit du nombre qui est au-dessus par le numérateur de la seconde, pb 1 * celui de Ta première ; et de mênie pour dénominateur, le prO" duit du nombre qui est au-deèsus par le dénominateur de l a seconde, plus celui de la première. Et en général chaque fraction aura pour numérateur le pro" duit du nombre qui est au-dessus, par le numérateur de l a fraction précédente, plus $elui de l’avant-précédente ; et po ur dénominateur le produit -du même nombre par le dénomin 3 ' teur de la fraction précédente, plus celui de l’avant-préc e ' dente. Ainsi-29 = 7.4 -j- i, 7 = 7, 33 = 1.29 -f- 4 > 8 = 1.7 -b 128 = 3 . 33 -f- 29 , 3 i = 3.8 -f-7, et ainsi de suite; ce e l ' 31 s’accorde avec les formules de l’art. 10. Maintenant on voit par les fractions f, —, etc. / « » l’intercalation d’un jour sur quatre ans sera trop 5 40 4,9 |jg forte, celle de sept joins sur vingt-neuf ans trop faible , de huit jours sur trente-trois ans‘trop forte, et ainsi de Suite» ADDITIONS. 3l5 mais chacune de ces intercalations sera toujours la plus exacts qu’il est possible dans le même espace de temps. Or, si on range dans deux séries particulières les fractions plus petites et les fractions plus grandes que la fraction donnée, on y pourra encore insérer différentes fractions secondaires pour compléter les séries ; et pour cela on suivra le même procédé que ci-dessus, mais en prenant successivement à la place de .chaque nombre de la série supérieure, tous les ^ombres entiers moindres que ce nombre (lorsqu’il y en a). Ainsi , considérant d’abord les fractions croissantes ’ 1 ' 1 . ' i, i, i , i5. ' 1 " ' J Si c «g K 864°° ’ 1 :;| • . il * », 5(9 J . »»S*a> , on voit qu ! à cause que l’unité est au-dessus de la seconde, de la troisième et de la quatrième , : on ne pourra placer aucune fraction intermediaire , ni entre la première et la seconde, ni entre la seconde et la troisième , ni entre la troisième et la quatrième ; mais comme la dernière fraction a au-dessus d’elle le nombre 15, on pourra, entre cette fraction ét la précédente, placer quatorze fractions inteimedi aires , dont les numérateurs formeront la progression arithmétique 2865 -f* 556g, a865 + 3-.556g, 2865 + 3.5569, etc. et dont les dénominateurs formeront la progression arithmétique 694 ~h 1 34.9 > 6 34 ~h 2.1349, hc)4 + 3. i 34.9 > etc - Par ce moyen la suite complète des fractions croissante* sera iijlii >“ià7j t°° *°9»9- üi »8A5 U2S > mîtj r ÜT» T5T> fHH» m, 5 8 5*5 5. 141*4> üâZi yo1 } * ■ 4741 > > 7439 ~) liât 3 fia 7 Q 1 '87«T > go 8 3 1 1 yôbo j .... , 0 Et comme la dernière fraction est la même que la fraction donnée, il est clair que cette série ne peut pas être poussée plus loin. Hé là on voit que si on 11e veut admettre que des intercalations qui pèchent par excès f les plus simples et les plus exac- 3iS additions. tes seront toujours celles d’un jour sur quatre années, ou de huit jours sur trente-trois ans, ou de'trente-neuf sur cçnf soixante-un ans, et ainsi de suite. Considérons maintenant les fractions décroissantes 7» 3 , 16, i, °9 i JS 2_7Ô4 s S sV 7 » 3i J 6^5 ,» 13*9 » et d’abord, à cause du nombre 7 qui est au-dessus de la première fraction, on pourra en placer six autres avant celle-ci, dont les numérateurs formeront la progression arithmétique 4 + i, 2.4+ i , 3-4+1, etc ;. et flont les dénominateurs formeront la progression 1 , a , 3, etc. ; de même, à cause du nombre 7 , on pourra placer entre la première et la seconde fraction deux fractions intermédiaires; et entre la• seconde et la troisième on en pourra placer i5 , à cause du,nombre i 6 qu l est au-dessus de la troisième ; mais entre celle-ci et la dernière °n n’en pourra insérer aucune, parceque le nombre qui se trouve au-dessus de celle-ci, est l’unité. De plus, il faut remarquer que comme la série précédent® n’est pas terminée par la fraction' donnée , on peut encore l a continuer aussi loin que l’on veut, comme nous l’avons fait V^ r dans 1 art. 18 . Ainsi on aura cette série.de £ractîon§ croissant* 6- 5 ,t (| U u 15 49' R»' 95 ' a g 9 ' aào ;,: Bn I 1 1 > 3 » 4 » o > 6» 7 > 15 » 4 ?» TT" - ». 7 0 > 10 9-1 14t|, 18' 933 l°91 ijUB. 1 S 7 7 1 73 g ' 1 899 206 o aqàt r aâ?» 304 > 343 > 38» > 4»l > 74Îô"4 TÜS - > fJ? 7 JL2±3 27Q4 5599 9l 999 l_7Jï36j) 264799 35 1 ' 99 43 759 9 etC- o‘6 » 655 » 1349» oaafg) 43207 » 64136 < S506S » 105934» lesquelles sont toutes plus petites que la fraction proposée». et en approchent plus que toutes les fractions qui seraient cCU1 ' çues en termes moins simples. On peut conclure de là, que si on ne voulait avoir eg arc ^ qu’aux intercalations qui pécheraient par défaut, les plus souples et les plus exactes seraient celles d'un jour sur ciuq a ”®* ou de deux jours sur neuf ans, ou de trois jours sur ans, etc. " , .ij. ADDITIONS. 3l7 Dans le calendrier grégorien on intercale seulement quatre- vingt-dix-sept jours dans quatre cents années. On voit par la table précédente qu’on approcherait beaucoup plus de l’exactitude, en intercalant cent neuf jours en quatre cent cinquante fanées. Mais il faut remarquer que dans la réformation grégorienne ° n s’est servi de la détermination de l’année donnée par Copernic, 1 laquelle est de 365/ 5 k qcf ao H . En employant cet élément, on aurait, au lieu de la fraction H|f§, celle-ciff||£, °u bièn&|f ; d’où l’on trouverait par la méthode précédente, les quotiens 4> 5, 8, 3, et delà ces ftactions principales 4, 8, 5, 3. i 31 J_£9 lio i> y ) 41)131’ 'pu sont, à l’exception des deux premières, assez différentes 'le celles que nous avons trouvées ci-dessus. Cependant on ne trouve pas parmi ces.fractions la fraction adoptée dans le calendrier grégorien; efacette fraction ne peut pas même se trouver parmi les fractions intermédiaires qu’on pourrait insé- *er dans les deux séries f, et 21 } car ü est c i a i r 'lu elle ne pourrait tomber qu’entre ces deux dernières frac- t'ons, entre lesquelles, à cause du nombre 3 qui est au-dessus 'le la fraction f-fv, il peut tomber deux fractions intermédiai- re $, qui seront^ et d’où l’on voit qu’on aurait approché Plus de l’exactitude, si dans la réformation grégorienne on "Vait prescrit de n’intercaler que quatre-vingt-dix jours dans 1 espace de trois cent soixante et onze ans. Si on réduit la fraction à avoir pour numérateur le nombre 864oo, elle deviendra , ce qui supposerait l’année topique de 365/ 5 k ^ 12 ". Dans ce cas, l’interpolation grégorienne serait tout-à-fait exacte; mais comme les observations donnent l’année plus courte 'l® plus de ao", il est clair qu’il faudra nécessairement, au d’un certain espace de temps, introduire une nouvelle 'utercalation. 3 i 8 A B D i î I O S s. Si on voulait s’en tenir à la détermination de M. de 1 * Caille, comme le dénominateur 97 de la fraction se trouve entre les dénominateurs de la cinquième et de la sixième des fractions principales trouvées ci-devant, il s’ensuit, de ce q ue nous avons démontré (art. 14), que la fraction '-$■ a PP r ° - cherait plus de la vérité que la fraction ; au reste, comme les astronomes sont encore partagés sur la véritable longu eur de l’année, nous nous abstiendrons de prononcer sur ce sujet) aussi n’avons-nous eu d’autre objet dans les détails que n ° u3 venons de donner, que de faciliter les moyens de se mettre au fait des fractions continues et de leurs usages; dans cette VU e > nous ajouterons encore l’exemple suivant. Exemple II. 21. Nous avons déjà donné (art. 8) la fraction conti nUe qui exprime le rapport de la circonférence du cercle au d' a mètre, en tant qu’elle résulte de la fraction de Ludalph ; a ' nSl il n’y aura qu’à calculer, de la manière enseignée dans l'eX effl pie précédent, la série des fractions convergentes vers ce niûn ie rapport, laquelle sera 3 , 7, i 5 , 1, 292, i, 1, .1, fl ’ 3 S) 331 355 103993 1 0-1348 £08341. - 3ia689 ’ T > 7 > Aob > ï i ‘3 > ' 331 o a > 33 ai 5 * 6 6 ÎT 7 > 0953» > 9 1, 3 , 1, 14) 2, i i .16 408 417.0 943 34 1 935l 801 43857 l G57Q7Q65 5 tiiy i 3 I lSooiao) 1 7 0303 3 ) 0551058a 1 307461 97 1 , 2 , 2 , 2 , 411 55 7 98 T 1068966806 a54949i 779 61 6795Q454 13.000570) 340*6o73i ’ 8 1 15084.38 > 1 96331 9607 1 ) 84, 2, a 1 0533431 1 1 1 7833 66a1 65.3 1 3587 78 37 76a0.3 0701487059 > 567663097408 » 114003768ao75 l 5 «J>|£ 1, i 5 , 3 , *9BB 4.U854t>77oaÿ53 » i a 6 i « » 1111 » 7 0 1 ADDITIONS. S13 *3, 1, 4 > 6»94 8!»95» 54i’0 45 3o»4(ü >73i>39?9. l itHi T93Ï7 99 l69 684491 > 96a7 687 7£o8üaif38 > ® > £fftîZ A4S5 9a « 888 8 7 ° Sl 74(ia3383i ti 7 ) 6, ‘ : 6, 41ooi°94fi59io6 P a4l s fi 4 98 93 1 a S 1 3 93 04143 13887 6 740 + 971874+0 > 84a + 6gog'74!»65 1 S + +7 > J. 10 7670 407 171 0171588 „ 97 934o5â'a89îTôoov7 ‘ f-es fractions seront donc alternativement plus petites etplus Sondes que la vraie raison de la circonférence au diamètre , c e st-à-dire que la première f sera plus petite, la seconde -—plus § r ande, et ainsi de suite ; et chacune d’elles approchera plus la vérité que ne pourrait faire toute autre fraction qui serait primée eq termes plus simples, ou, en général, qui aurait 11,1 dénominateur moindre que le dénominateur de la fraciion Vivante, desorte que l’on peut assurer que la fraction & apache plus de la vérité que ne peut faire aucune autre fraç- !, io a dont le dénominateur serait moindre que 7, de même la ‘action Rapprochera plus de la vérité que toute autre frac- *‘° ri dont le dénominateur serait moindre que 106, et ainsi autres. Quant à l’erreur de chaque fraction, elle sera toujours moin- re que l’unité divisée par le produit du dénominateur de cette ‘Action par celui de la fraction suivante. Ainsi l’erreur de a fraction f sera moindre que }, celle de la fraction R sera J^oindrg que —■ fe g, et ainsi de suitç. Mais en même temps e treur de chaque fraction sera plus grande que l’unité divisée l' ar le produit du dénominateur de cette fraction, par la somme 6 c e dénominateur, et du dénominateur de la fraction suinte, desorte que l’erreur de la fraction f sera plus grande ^ Ue î ) celle de la fraction R plus grande queyrn-3 , et ainsi suite, ( ar t. 14). Si on voulait maintenant séparer les fractions plus petites 320 ADDITIONS, que le rapport de la circonférence au diamètre , d’avec les plu* grandes, on pourrait, en insérant les fractions intermédiaires convenables, former deux suites de fractions , les unes croissantes et les autres décroissantes vers le vrai rapport dont il s’agit ; on aurait de cette manière Fractions plus petites que . 3 £5 Al 65 M. ül 1 35 1 5 7 1 79 aoi aas a45 ali , i> SI 15/ as> a 9 1 36» 43 > > 5 7 > TT > ~JT 1 73 > *5 ' «gs iLL 111 Ml 10*3 1 3 98 17 33 ai 08 a463 ■ T» 1 99 a ïoQ > ai 97 33 a 1 TXT 1 ~nT > > TÏT 1 etCl Fractions plus grandes que periph» . diam. * 4 7 10 1.1 i fi ï 9 fl* 355 • 1 Q 4-348 7>a> 3 ) b » 6 > 7 > n3> 33*i5 > 3 1 a 6 r 9 n 4 fi J-2& à35 3 a > 3 64.9 1 S S 4 1 9 3 S 1 85563408 165707055 41J.557987 i48 o.5at88 3 e fC. ÏTïtTo 33 > a 7 a35 6 1 5 1 5a7i6i97 > 1310049761 4Ma657o7 > Chaque fraction de la première série approche plus de l a vérité que ne peut faire aucune autre fraction exprimée eI> termes plus simples, et qui pécherait aussi par défaut ; et cl’ 2 ' que fraction de la seconde série approche aussi plus de la v<-“ rité que ne peut faire aucune autre fraction exprimée en te r " mes plus simples et péchant par excès. Au reste ces séries deviendraient fort prolixes, si on voul' llt les pousser aussi loin que nôus avons fait celle des fracti° nS principales donnée ci-dessus. Les bornes de cet Ouvrage ne nous permettent pas de les insérer ici dans toute leur étendu® > mais on peut les trouver au besoin dans le chap. XI de l’Algèb re de Wallis, (Operom Mathemat. vol. II.) X Remarque. 22. La première solution de ce problème a été donne e P ar TFallis, dans un petit Traité qu’il a joint aux Œuvres P oi , À ib D I T I (j N s: 321 tintrnës d'IIorrocius , et on la retrouve dans l’endroit cité de son Algèbre ; mais la méthode de cet auteur est indirecte et fort laborieuse. Celle que nous venons de donner est due à Iluy— S^ens, et on doit la regarder comme une des principales découvertes de ce grand géomètre. La construction de son autoiuatô planétaire paraît en avoir été l’occasion. En effet, il est clair lue pour pouvoir représenter exactement les moiivemens et les Périodes des planètes y il faudrait employer des roues où les nombre» des dents fussent précisément dans les mêmes rapports que les périodes dont il s’agit ; mais comme on ne peut pas multiplier les dents au-delà d’ùne certaine limite dépendante de la grandeur de la roue, et que d’ailleurs les périodes des planètes sont incommensurables, ou du moins ne peuvent être Représentées avec une certaine exactitude que par de très- grands nombres , on est obligé de se contenter d’un à-peu-près, et la difliculté se réduit à trouver des rapports exprimés en plus petits nombres, qui approchent autant qu’il est possible de là vérité , et plus que ne pourraient faire d’autres rapports quelconques qui ne seraient pas conçus en termes plus grands. Ifuyghens résout cette question par le moyen des fractions continues , comme nous l’avons fait ci-dessus ; il donne la manière de former ces fractions par des divisions continuelles , et il démontre ensuite les principales propriéte's des fractions convergentes qui en résultent, sans oublier même les fractions intermédiaires. Voyez , dans ses Opéra posthuma, le traité intitulé : Descriptio automati planetarp. D’autres grands géomètres ont ensuite considéré les fractions Continues d’une manière plus générale. On trouve surtout dans les commentaires de Pétersbourg, (tom. IX et XI des anciens, et tom. IX et XI des nouveaux), des Mémoires de Euler remplis des recherches les plus sages et les plus ingénieuses sur ce sujet; mais la théorie de ces fractions, envisagée du côté arithmétique qui en est le plus intéressant, n’avait Pas encore été, ce me semble, autant cultivée qu’elle le mé-« X a. 322 ADDITIONS) ri tait ; c’est ce qui m’a engagé à en composer ce petit Traite, pour la rendre familière aux géomètres. Voyez aussi les Mémoires de Berlin pour les années 1767 et 1768. Au reste cette théorie est d’un usage très-étendu dans toute l’arithmétique, et il y a peu de problèmes de cette science, au moins parmi ceux pour lesquels les règles ordinaires ne suffisent pas, qui n’en dépendent directement ou indirectement. M. Jean Bernoulli vient d’en faire une application heureuse et utile dans une nouvelle espèce de calcul qu’il a imaginé pour faciliter la construction des tables de parties proportion nelle*- Voyez le tome I de son Recueil pour les astronomes. ADDITIONS. 3a3 PAH A G II A P IIE IL Méthodes pour déterminer les nombres entiers qui donnent les mini ma des formules indéterminées à deux inconnues. IjES questions dont nous allons nous occuper, et pour lesquelles nous allons donner des méthodes directes et générales, sont d’un genre entièrement nouveau dans l’analyse indéterminée. On n'avait point encore appliqué cette analyse aux problèmes de maximis et minimis , nous nous proposons ici de déterminer les minima des fractions rationnelles , entières et homogènes à deux inconnues, lorsque ces inconnues doivent être des nombres entiers- Cette recherche nous conduira encore à la théorie des fractions continues, et servira à donner à cette théorie de nouveaux degrés de perfection. problème I. z5. Etant donnée une quantité positive a, et supposant qü» y et z ne puissent être que des nombres entiers positifs et premiers entre eux , on demande de trouver les valeurs de ces membres qui rendront ta formule y — az un. minimum (abstraction faite du signe) , relativement à tous les nombres plus Petits qu'ou pourrait substituer pour y et z. Soient p et q des nombres entiers et premiers entre euX, qui, étant substitués pour y et z dans la formule y — az , la tendent plus petite que si on y substituait d’autres nombres moindres que p et q. Donc prenant pour r et s des nombres quelconques entiers positifs et premiers entre eux , mais moindres que p et q, il faudra que la valeur de p — aq soitmoin-i ADDITION Si dre que celle de r —as , abstraction faite des signes de ce# quantités, c’est-à-dire, en les prenant l’une et l’autre positivement. Prenons rets tels que l’on ait ps — qr = ot 1 > signe supérieur ayant lieu lorsque p — aq sera positif , et 1 inferieur, lorsque p — aq sera négatif. (Mous verrons, dans u' 1 moment, qu’il e»t toujours possible de trouver des nombres qui satisfassent à cette condition). Je vais prouver que tous les autres nombres moindres que p et q, qu’on substituerait p° ur y et z , rendraient la formule y — az (abstraction faite du signe) plus grande que p — aq et que r — as. En effet, il est clair qu’on peut supposer en général y = pt -j- ru , z = qt-\-su, l et u étant deux inconnues ; or par la résolution de ces équations, on a t== ^Z_r Z qy-p, ps—qr qr—ps donc, à cause de ps — qrz=.z hi, *=— Oj — K), u = ±(qy—pz)\ d’où l’on volt que t et u seront toujours des nombres entier*» puisque p, q , r, s et y , z sont supposés entiers. Donc t et u étant des nombres entiers, et p , q , r , s de* nombres entiers positifs, il est clair que pour que les vale 111 ' 8 de y et z soient moindres que celles de p et q , il faudra nécessairement que les nombres t et u soient des signes différens. Maintenant je remarque que la valeur de r— as sera de différent signe que celle de p — aq ; car faisant p — aq = P, r—as = R, p ,Pr ,R - — a -J-, - — a -j-; ,9 9 * * i on aura ADDITIONS. 3a5 Juais l’ijquatiou donne dono ps — qr = ztz i, E__- 9 «' 9 S P 7?_ K _i _ q s qP 11 Ujj; ’iltlaiiw -ii- i|o y ~az — (p — àq)t -f-(r — as} ù'^Pt ~ f- Ru .. .. 0ï j t et y étant de signes difTérens, aussi feien que P. et 7î\ il es t clair nue Pt et Ru seront des quantités de mêmes signes : j .* „ ..uni )..,iini î »* 5 ■ 9 * v onc puisque t et u sont d ailleurs'des riombres entiers, il est Vlf ible que la valeur de y — nz sera toujours plus grande que ^ et que R, c'est-à-dire que les valeurs-dé p—aq et de r as , abstraction faite des signes. Wais il reste maintenant à savoir si les nombres p q, étant ^°nnés, on peut toujours trouver dés nombres r ët s moindfei H tte ceux-là, et tels que ■ Æ - :i *'i 1,1 • — v t •u - - ps — qrz=±. 1, '.oato.i-' - 5>2G additions les signes ambigus étant à volonté; or, cela suit évidemment de la théorie des fractions continues; niais on peut aussi le démontrer directement et indépendamment de cette théorie. Car la difficulté se réduit à prouver qu’il existe nécessairement un nombre entier positif et moindre que p, lequel étant pris pour r, rendra qr rt 1 divisible par p; or supposons qu’on substitue successivement à la place de r les nombres naturels 1 , 2 , 3, etc- jusqu’à p , et qu’on divise les nombres q dr 1 , sq rt 1 > 3q ± i, etc. pq + i par p, on aura p restes moindres q lie p , qui seront nécessairement tous diîférens les uns des autres; car si, par exemple , mq ± i et nq + i, (m et n étant des nombres entiers différens qui ne surpassent pas p ) , étant di- visés par p , donnaient un même reste , il est clair que leur différence, (m — n)q, devrait être divisible par p ; or c’est c® qui ne se peut, à cause que q est premier avec p, et que ni—' 11 est un nombre moindre que p. Donc puisque tous les restes dont il s’agit, sont des nombres entiers positifs moindres que P et différens entre eux, et que ces restes sont an nombre de P» il est clair qu’il faudra nécessairement que le zéro se trouV e parmi ces restes, et conséquemment qu’il y ait un des norab reâ q zt î , 2 p ± î , 3q rfc i, etc. pq — i, qui soit divisible par p> or il est clair que ce ne peut être le dernier; ainsi il y aura sûrement une valeur de rmoindre que p, laquelle rendra rq ^~ 1 divisible par p ; et il est clair en même temps que le. quoti ent sera moindre que p; donc il y aura toujours une valeur entier® et positive de r moindre que p, et une autre valeur pareil® de j et moindre que q, lesquelles satisferont à l’équation qr ±n s = —~—, ou ps — qr=zdt i, z4- Oa voit par là que les nombres r et s sont parmi le® nombres moindres que p et q, ceux qui rendent la for® 11 y — az la plus petite. Nous dénoterons pour plus de simplicité les nombres r et* A n D I T I 0 N S. 3«7 par p> et q' ; on aura ainsi la condition pq' — qp'=±i\ et les quantités p — aq , p' —• aq' seront les deux minima consécutifs dans la série des valeurs de_y — az, en prenant pour y et z tous les nombres qui ne surpassent pas p et q : ces mi~ nima seront de signes contraires , et le second immédiatement plus grand que le premier. Il est clair qu’on peut trouver de même deux autres nombres p 11 et q" moindres que p 1 et q ', et qui aient avec ceux-ci la même relation que p 1 et q' ont avec p et q. Ainsi, comme P‘ — aq' est de signe contraire à ap — aq , il faudra faire p'q" — q'p 11 — 1 î et la quantité p" — aq" sera de signe contraire à p' — aq ’ et plus grande que celle-ci, mais en même temps elle sera plus petite que toute autre valeur de — az tant que y et z seront moindres que p 1 et q 1 . En continuant le même raisonnement, on trouvera encore des nombres p" 1 , q'" moindres que p 1 *, q" , tels que ^ çiipiii —— +■ j et qui rendront la quantité p m — aq'" du signe contraire à P" — aq" et plus grande que p" — aq", mais moindre que si on prenait pour p'" et q'" d’autres nombres moindres que P" et q" , et ainsi de suite. On aura de cette manière deux suites de nombres entiers décroissans p, p', p", p'" , etc., q, q' , q",q'"> etc, tek que p q' —q p' —±.i px qx, _gi pxx — zp î pu qxxx —.q" pi" — i, etc., 4 528 addition^ et qui donneront la suite des minima. P — «?■ P' — aq\ p" — aq" p 1 " — aq 111 , etc., de la formule^ — az ; ces minima seront successivement de signes différées, et formeront une suite croissante, telle que chaque terme , comme p" — aq 1 ' sera un minimum relativement aux valeurs dej» et z moindres que p' et q'. D’où il s’ensuit que les termes correspondons des deux sériés p , p', p" , etc , q , q', q" , etc., ont des propriétés ana-r logues, et résolvent le problème proposé. Il ne s’agit donc plus que de trouver les deux séries; Pour cela je remarque x°. qu’en ajoutant ensemble le®, équations pq'—qp'=± i, p'q" — q'p" = +iy on a (p-p")q' — (q — q")p' = °, savoir q'(.P-P")==P'(q—q")-, donc puisque cette équation doit subsister en nombres entier », et que p', q' sont premiers entre eux en vertu de l’équatioh pq' — qp'=±.i , il faudra que p — p" soit divisible par p'-, ainsi nommant F le quotient de cette division, on aura P—P"=FP 1 , p=pp'+p"; alors l’équation deviendra pq'=q — q"> ADDITIONS.’ S23 Çe qui donne de même q = p.q' + q". On trouvera de la même manière en ajoutant ensemble le» ^eux équations p'q" — q'p" — ip"q ut — q"p = =£ i, t et faisant des raisonnemens semblables , p' = p* p 11 + p‘", q' =p'q" + q"\ p' étant un nombre entier, et ainsi de suite. Donc la loi des deux séries dont il s’agit, sera P —P P 1 +P" p' — p 1 p» + p m p 11 = p" p'"+p" P ni — ( u ,,, p ,v 4-p v q = p q 1 + q" q‘ = p l q" -j-q 111 q 11 = p” q"'-\-q" q 111 = p m q" 4- q y t etc. les nombres p, p 1 , p n , etc., étant tous entiers positifs, et le* Nombres p, p 1 , p",p'", etc., q, q', q" , q'" , etc., formant deux séries continuellement décroissantes. On voit par cette loi qu’il suffira de connaître les nombre* p, p 1 , p" , etc. , pour pouvoir trouver tous les termes de* deux séries, lorsqu’on en connaîtra les. deux derniers. La substitution des valeurs précédentes donne — aq =p (p 1 — aq' )+p" — aq" — aq' ~P X (p" — aq" ) +p UI — aq"* — aq' 1 = p" (p"‘ — aq"') + p" — aq"' _m7' l ‘=p ,,, (p ,ï — aq" )+p y — qq y , etç. d’où l’on tire V- b* h" _ p — aq aq" — p '* p '— aq' p' — aq' p' — aq' aq'" — p"' ~ p" — aq" ■*" ~p" aq" p" — aq" aq" — p" ~ p>" — a q"‘ + p nl — aq" 1 etc. On a vu plus haut que les quantités p — aq, p' — aq'" — p'" p" — aq" aq" — p" p'" — aq"' aq" — p" p' — aq' aq'" • — p'" p" — aq" aq" — p' f p"' — aq'" 1 x 1 , etc. Il est clair que ces limites suffiront pour déterminer les nonv bres p , p 1 , p" , etc. puisqu’on sait que ces nombres doivent Être tous entiers. Par ce moyen, la détermination de p n e pendra que des quatre termes p', p" , q', q", celle de n& dépendra que de p" , p‘" , q " , q'" , € t ainsi de suite; parcon~ séquent, en connaissant les valeurs de p ', p" t et q', ADDITIONS. trouvera d'abord p , ensuite on aura p et q par Iss formules p pp 1 _j_ p 11 } q = pq* -f- q' 1 données ci-dessus. I^e même-, en connaissant seulement les termes p 11 , p'" 9 11 , q' n , on trouvera d’abord p. 1 par la condition de. «q ,M — p 1 " ^ aq'" — p'_^_ , ensuite on aura p', q 1 par p' _!- p‘>—aq“ ^ p" — aq' les formules p'— p'p" -(- p 111 <7* = p’q 11 + q m ; de là on trouvera p , et enfin p et q, et ainsi de suite. D'où l’on peut conclure qu’il suffira de connaître les deux derniers termes de chacune des deux séries correspondantes p, p', p", P"' , etc. 9 , 9 1 > 9 m . etc . P our pouvoir remonter de là sucessivement à tous les autres termes, et connaître les deux séries entières. Ce problème est donc réduit maintenant à trouver les deux derniers termes de ces séries. Pour cela je remarque que, parleur nature, elles doivent s© terminerl’une et l’autre à zéro ; car les formulesp =/rp‘-j-p", p 1 = p'p" -j- p" 1 , etc., font voir que p est le quotient et p" le reste de la division de p par p 1 ; que p' est le quotient et p 1 " le reste de la division de p" par p 1 , et ainsi de suite, de manière que p", p" 1 , etc. sont les restes que l’on trouve en cherchant le pins grand commun diviseur des deux nombres p et p 1 qui sont supposés premiers entre eux ; parconséquent on doit nécessairement parvenir à un reste nul. On doit dire la même chose des nombres q 11 ,9*", etc. qui ne sont que les dif- férens restes qui résulteraient de la recherche du commun diviseur de q et q‘ Supposons que la série 9, 9 1 , q", etc. se termine avant sa correspondante p, p 1 , p", etc., et soit, par exemple’, q” = 0 ; donc l’équation p 11 Y ï — 9 “y T = qpi sé réduira à 33a additions, d’où , à cause que q 111 et p iy ne peuvent être que desnorob r0 * entiers positifs, il suit que q m = 1, p lv = i ; ainsi les deux quantités p m — aq' 1 ', p" 1 — aq" deviendront p '"— a et î. Mais nous avons vu que çes qoan-« tités doivent être de signes dilFérens , et qu’abstraction faite des signes, la seconde doit être pins grande que la première, ces quantités étant deux termes consécutifs dé la série des minima ; donc il faudra que a — p' 1 ' o et <[ î ; parconsé" quent p'" < a et> a —i. 8 Ainsi p 11 ' sera connu, pareeque devant être un nombre entier, il ne pourra être, que le nombre entier qui tombera entre a et a — i. Donc en général dans le cas dont il s’agit, les deux dernier* termes de la série q , q ', q” , etc. seront î, o ; et les corres- pondans de la sérié p, p', p", etc; seront «, i , en dénotant par a. le nombre entier qui tombe ebfre a et a — I . r ."J ; . ''e Supposons maintenant que çe soit lasçrie p, p*, p v , etc- qui se termine la première, et sqit p lv , par exemple ,== o» alors l'équation ' ... .-i * puyv_ (? uyv =: _- ï ,. devenant p” y v = qri, donnera par la raison que p 1 '" et q ,v doivent être enti. er * positifs, p"' = i, q" , = i ; desorte qu= les deux quantités p H1 — aq 11 ' , p lv —. aq u d ui yent ttre de signe contraire, et la seconde plus grande q ue ^ ADDITIONS. 535 pfemière, deviendront 1 — aq ,u — a -, d’où il suit qu’il faudra que i — aq"‘ o et <[ a ; ce qui donne q in < i, etparcon- sequent q 111 >■ -— i ; c’est-à-dire que q 111 devra être le Nombre entier qui tombera entre - et -— 1 . * a a Donc, en général, dans ce second cas, les derniers termes de la série p , p', p" , etc. seront i , o ) et les correspondans dans la sérié q, q', q" , etc., seront fi , i, en dénotant par fi le Nombre entier qui tombera entre - et - — î. ^ a a On voit par là que le premier cas aura lieu lorsque a est un nombre plus grand que l’unité, et que le second aura lieu lorsque m sera moindre que l’uuité. Connaissant ainsi les deux derniers termes correspondans des sériés p , p', p 11 , etc., q, q 1 , q' 1 , etc., ou pourra, par les formules données plus haut r trouver successivement, en Remontant, tous les termes de ces séries qui résolvent le problème proposé. 25. 11 est plus commode de considérer ces séries à rebours, e u commençant par les derniers termes. Ainsi nous avons deux séries croissantes que nous représenterons pour plus de commodité de cette manière : P° > P' > P 11 > P' n > etc., q °, q 1 , q“, q ul , etc. pour lesquelles nous avons les déterminations suivantes ; Si a > x , P° = i» p‘0>a — i , q°=o, q 1 = 1 , Si « l ~- l 334 ensuite A b b i T I O a s. P“ = y t p l +p°, q" —p' q' +q* p 11 ' = p n p 1 ' -fp l , q 1 " — y" q“ -f- q 1 p " 1 =p. lu p > 11 -f- p 11 , q ,v z=y l>1 g 1,, + q“ etc. etc. et pour la détermination de y', y 1 ', y ul , etc. les conditions /** < y 11 < P‘>* < P° - ac l° ^ «<7 l — P p‘ — «g 1 ^ aq" —p“ ^ p 1 ' — aq 11 ^ VY^UI _ mH* ^ P° ~ a f . « a — i =o; p°= î , p' = o, q° = o, q* = i, / * , <5>3 “ 1>p,,= 1 ' 9,,==/i,î desorte qu'ici p 1 , p" et q 1 , q n seront ce que seraient p° ,p' > q °, q', dans les formules du second cas; et les termes sUi- vans seront parconséquent les mêmes dans les deux cas. On peut donc établir en général, quel que soit le nonib 10 <1, les déterminations suivantes, p° = 1 p* =y P" = /** p* + i p'"=y 11 p" + p« p., == p»llp»i _J_pU q° — o «7 1 q“ =p.* q'"~y ' 1 q" -f- q' q lv —y^q'^+q", etc. etc. Ensuite AUDITIONS. 335 p- O P 1 < jl - 1— —:— aq '— p l ^ a — p. P" < P ul < P" < aq' — P' p "— aq" p "— aq “ aq" 1 — p 111 p" — aq" * etc. le signe < dénote le nombre entier qui est immédiatement Joindre que la valeur de la quantité placée après ce signe. On trouvera ainsi successivement toutes les valeurs de p et 9 qui pourront satisfaire au problème , ces valeurs ne pouvant être que les termes correspondans des deux séries p°, p 1 , p ", P Ul , etc. et q°, q l , q" , q" 1 , etc. s6. Si on fait COROLLAIRE I. aq'—p' aq'—p' p" — aq" ptt— a qxi aq" 1 ~p" l ‘ etc. aura, comme il est facile de le voir, 53 S À b b i t i o n jK ttp<^d, (ix* Z», /n*'<( c, /x ,M <( d, etc. ; dôricies nombt‘è!l y., a', p.", etc. ne seront autres que ceux que nous avon$ désignés pur «, fi, y j etc. dans l’art. 3 , c’est-à-dire que ceS nombres seront les terrhes de la fraction continue qui repré 3 Sente la valeur de a , ensorte que l’on aura ici a = u -|-, i ^ p" -f-, etc fcarconséquent les notnbres p', p ", p ul ; etc. seront les nii- inérateurs, et q', q ", q'", etc. les dénominateurs des frac" tions convergentes vers a , fractions que nous avons désignées ABC ci-devant par etc. (art. 10). Ainsi tout se réduit à convertir la valeur de a en une frac - tion continue dont tous les termes soient positifs, ce quoi* peut exécuter par les méthodes exposées plus haut, pourvu qu’on ait soin de prendre toujours les valeurs approchées en défaut ; ensuite il n’y aura plus qu’à former la suite des frac" lions principales convergentes vers a, et les termes de chacun® de ces fractions donneront des valeurs de p et q , qui résoU" dront le problème proposé; desorte que-ne pourra être qu’un® de ces mêmes fractions. COROLLAIRE II. £27. Il résulte de là Hne nouvelle propriété des fraction* dont nous parlons ; c’est que nommant £ une des fractions prin' cipales convergentes vers a, (pourvu qu’elles soient déduit* d’une fraction continue, dont tous les termes soient positifs)’ la quantité p — aq aura toujours une valeur plus petite/ (abstractionfaite du signe), qu’elle n’aurait, si on y me à la place de p et q d’autres nombres moindres quelconques ADDITIONS. 337 PROBLÈME II. 28. Étant proposée la quantité Ap m -f- Bp m ~ * q -f- Cp m — a q* + etc. -f-Vq®, dans laquelle A, B, C, etc. sont des nommes entiers donnés positifs ou négatifs, et où p et q sont des n ombres indéterminés qu’on suppose devoir être entiers et po~ 5ltl fs; on demande quelles valeurs on doit donner à p etq, Pour que la quantité proposée devienne la plus petite qu’il possible. Soient et, j8, y, etc. les racines réelles, et p. ±. v \/ _1 , — l , etc. les racines imaginaires de l’équation. A>t m +Bx. m etc 4-^=0, aura par la théorie des équations Ap m 4- Bp m ~ • q 4- Cp m ~ *9“ 4- etc. 4 -Vq m —A (.p —*e quelqu'un des facteurs augmente de valeur. Or il est viai— "le que si <*, par exemple, était négatif, le facteur p— etq diminuerait toujours, lorsque p et q décroîtraient; 1a mime 2. Y 338 ADDITIONS, chose arriverait au facteur ( p — pq ) a + * 2 q*, si p était négatif, et ainsi des autres ; d’où il s’ensuit que parmi les facteurs simples réels, il n’y a que ceux où les racines sont positives, qui puissent augmenter de valeur ; et parmi les facteurs doubles imaginaires, il n’y aura que ceux où la partie réelle de la racine imaginaire, sera positive, qui puissent augmenter aussi : de plus il faut remarquer, à l’égard de ces derniers, que pour q ue (p— yqY -f* augmente tandis que p et q diminuent, il f aut nécessairement que la partie (p — pq) 2 augmente, parcequO, l’autre terme v 3 q 2 diminue nécessairement ; desorte que l’augmentation de ce facteur dépendra de celle de p — pq, et ainsi des autres. Donc les valeurs de p et q qui répondent au minimum > doivent être telles que la quantité p — aq augmente, en donnant à p et q des valeurs moindres, et prenant pour a une de* racines réelles positives de l’équation Ax. m -f- ~ 1 -f- Cx m ~ 2 -|- etc. ■+• V — o, ou une des parties réelles positives des racines imaginaires de l a même équation, s’il y en a. Soient r et s deux nombres entiers positifs, moindres que P et q; il faudra donc que r — as soit )>p —aq , (abstraction faite du signe de ces deux quantités). Qu’on suppose, conim e dans l’article a 3 , que ces nombres soient tels que ps — qr = ± i, le signe supérieur ayant lieu, lorsque p — aq est positive; et l’inférieur, lorsque p — aq est négative; ensorte que les deu< quantités p — aq et r — as deviennent de dilférens signes, l’on aura exactement le cas auquel nous avons réduit le l ,r< ^ blême précédent, (art. 24 ), et dont nous ayons déjà donne solution. Donc , (art. aG) , les valeurs p et q devront nécessairement ADDITIONS. 33q se trouver parmi les ternies des fractions principales convergentes versa, c’est-à-dire vers quelqu’une des quantités que Bous avons dit pouvoir être prises pour a. Ainsi il faudra réduire toutes ces quantités en fractions continues, (ce qu’on pourra exécuter facilement par les méthodes enseignées ailleurs) , et en déduire ensuite les fractions convergentes dont d s'agit, après quoi on fera successivement p égal à tous les °uniérateurs de ces fractions, et q égal aux dénominateurs oorrespondans, et celle de ces suppositions qui donnera la Joindre valeur de la fonction proposée, sera nécessairement iü ssi celle qui répondra au minimum cherché. REMARQUE I. 29. Nous avons supposé que les nombres p et q devaient être tous deux positifs ; il est clair que si on les prenait tous deux négatifs, il n’en résulterait aucun changement dans la valeur absolue de la formule proposée ; elle ne ferait que changer de 8 >gne dans le cas où l’exposant m serait impair; et elle demeurait absolument la même, dans le cas où l’exposant m serait Pair; ainsi il n’importe quels signes on donne auxnombresp etq, lorsqu’on les suppose tous deux de mêmes signes. •Mais il n’en sera pas de même, si on donne àp et q des signes ddférens; car alors les termes alternatifs de l’équation proposée, Rangeront de signe, ce qui en fera changer aussi aux racines y, etc. p±v\/ — 1, -rrfcpV/—1, etc. desorte que Ce llesdes quantités a, fi, y, etc. y., v, etc. qui étaient néga- tlVes , et parconséquent inutiles dans le premier cas, devien- ^ont positives dans celui-ci, et devront être employées à la Place des autres. De là je conclus en général que lorsqu’on recherche le mini- ^Urn de la formule proposée sans autre restriction , sinon quep et 9 soient des nombres entiers, il faut prendre successivement P° Ur a toutes les racines réelles a, fi, y, etc. et toutes les a 54<3 ADDITIONS. parties réelles/t*, t, des racines imaginaires de l’équation + + e te. en faisant abstraction des signes de ces quantités ; mais ensuite il faudra donner à p et q les mêmes signes , ou des signes dilfé- rens, suivant que la quantité qu’on aura prise pour a, aura eu originairement le signe positif ou le signe négatif. REMARQUE II. 3o. Lorsque parmi les racines réelles «, /S, y , etc. il y en a de commensurables, alors il est clair que la quantité proposée de-" viendra nulle, en faisant^ égal à une de ces racines ; desorte que, dans ce cas, il n’y aura pas, à proprement parler, de mini' Jnum ; dans tous les autres cas il sera impossible que la quantité dont il s’agit, devienne zéro, tant que p et q seront des nombres entiers; or comme les coefliciens A, B , C, etc. sont aussi des nombres entiers ( hyp. ) , cette quantité sera toujours égale à un nombre entier, et parconséquent elle ne pourra jamais être moindre que l’unité. Donc si on avait à résoudre en nombres entiers l’équation Ap m -f- Bp m ~~ 'q -f. Cp m ~ 3 q* -f- etc. -f- Vq m — zt. i, il faudrait chercher les valeurs de p et q par la méthode du problème précédent, excepté dans les cas où l’équation Ax, m -f BK m ~ ' -f Ck m ~ * + etc. -f- V~ o , aurait des racines ou des diviseurs quelconques commensurables ; car il est visible que la quantité Ap n + Bp m ~'q + Cp m -*q*+ etc. pourrait se décomposer en deux ou plusieurs quantités sem- A D D I T ï O N S. 34l blables de degrés moindres -, desorte qu’il faudrait que chacune ces formules partielles fût égale à l’unité en particulier, ce •l u i donnerait pour le moins deux équations qui serviraient à déterminer p et q. Nous avons déjà donné ailleurs ( Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1768) , une solution de ce dernier problème ; mais celle que nous venons d’indiquer est beaucoup Plus simple et plus directe, quoique toutes les deux dépendent de la même théorie des fractions continues. PROBLÈME III. Si. On demande les valeurs de p et de q, qui rendront Ici Quantité Ap a -J- Bpq -f- Cq’ ta plus petite qu’il est possible , dans l'hypothèse qu’on n’admette pour p et q que des nombres entiers. Ce problème n’est, comme l'on voit, qu’un cas particulier du précédent; mais nous avons cru devoir le traiter à part, Parcequ’il est susceptible d’une solution très-simple et très- fc légante , et que d’ailleurs nous aurons dans la suite oc- c asion d’en faire usage dans la résolution des équations du se- c °nd degré à deux inconnues, en nombres entiers. Suivant la méthode générale il faudra donc commencer par c bercher les racines de l’équation Ax? + Bk -f C— O, ^quelles sont, comme l’on sait, — 7 ?db VjB* — 4 AC) 2 A Or, ï". s i — 4 AC est égal à un nombre carré , les deux Peines seront commensurables, et il n’y aura point de mini- 3 54a ADDITIONS. mum proprement dit, parceque la quantité Ap' -f- Bpq ~h ^ l l pourra devenir nulle. 2 °. Si B 3 — 4 AC n’est pas un carré, alors les deux racines seront irrationnelles ou imaginaires, suivant que B a — 4^ sera >.ou et eB déduire ensuite la série des fractions convergentes, (art. i°) ’ laquelle sera nécessairement terminée; cela fait, on essa>® ra successivement pour pies numérateurs de ces fractions; et pour q les dénominateurs correspondans, en ayant soin de do 11 nerkpet q les mêmes signes ou des signes différens, suiv ant ££ . sera un nombre positif ou négatif. On trouver 3 que' 2 A cette manière les valeurs de pet q , qui peuvent rendre l a ^° r mule proposée un moindre. EXEMPLE. Soit proposée , par exemple , la quantité 4qp a — 238pq -f- aqcq 4 . On aura donc ici A — 4 ^> B — -~ 238 , C = 290; donc ADDITIONS. 343 Z?’-4^C=:- 19 G, e tT | = W=T- Opérant donc sur cette fraction de la manière enseignée dans ' art. 4 5 on trouvera les quotiens 2,2,3, à l’aide desquels on formera ces fractions, (voyez l’art. 20), 2, 2, 3 . . i a 5 ü O > 1 > A ’ 7 ' Desorte que- les nombres à essayer seront 1, 2, 5 , 17 pour P> et o, î, 2, 7, pour q-, or désignant par P la quantité proposée, on trouvera P 1 2 5 >7 9 o 1 2 7 P 4.9 10 5 49 ; d’où l’on voit que la plus petite valeur de P est 5 , laquelle résulte de ces suppositions P — 5 , 9 = 2; a ‘ n si on peut conclure, en général, que la formule proposée ne Pourra jamais devenir plus petite que 5 , tant que p et q seront ( ' es nombres entiers ; desorte que le minimum aura lieu, 'orsque p — 5 et <7 = 2. Second cas lorsque B a — 4AC > 0. Comme dans le cas présent l’équation Ax? -f- Bu -f- C — o a deux racines réelles irrationnelles, il faudra les réduire l’une 4 3 44 ADDITIONS, et l’autre en fractions continues. Cette opération peut se faire avec la plus grande facilité par une méthode particulière que nous avons exposée ailleurs , et que nous croyons devoir rappeler ici, d’autant qu’elle se déduit naturellement des formules de l’article a5, et qu’elle renferme d’ailleurs tous les principes nécessaiies pour la solution complète et générale du problème proposé. Dénotons donc par a la racine qu’on a dessein de convertir en fraction continue, et que nous supposerons toujours positive, et soit en meme temps b l’autre racine, on aura, conU Iie l’on sait, d’où a __ b= VSËL=Aé£l v j * ou bien en faisant, pour abréger, £ a -—4AC=E i a — h = ¥~, où le radical [/E peut être positif ou négatif; il sera positif» lorsque la racine a sera la plus grande des deux, et négatif» lorsque cette racine sera la plus petite ; donc — B+i/E l __ — 8 — \/E a J ’ uA ‘ Maintenant, si on conserve les mêmes dénominations de 1 ar ticle û 5, il n’y aura qu’à substituer à la place de a la val eur précédente , et la difficulté ne consistera qu’à pouvoir deter minerfacilementles valeurs entières approchées p ', p",/* 1 "» etC " Pour faciliter ces déterminations, je multiplie le haut et le bas des fractions p° — q° aq 1 — p l p 11 — aq 1 aq' — p l> p n — aq n, aq ni —p 1 "’ tÎYementpar A(bq' —p'), _ fy"), jÿÿ». etc- respec- —■p I1, )» etc ’ e t comme on a ADDITIONS. 345 A ( p° — aq°) (p° bq 0 ') — A A(aq' — p l ) ( bq 1 — p l ) = Ap i — A — Aabq* = Ap* + Bp'q' + Cq*, ^ ( p 11 — aq n ) (p" — bq") = Ap 3 —A (a -f- è) p"q 11 — Aabq * = Ap*-\-Bp"q"-\-Cq a , etc. A(p* — aq°)(bq' — p')=--p.A—zB—\\/E > A(aq'-p')(p"-bq") = — Ap'p"- f- Aa.p"q'+Abp'q" — Aabq'q" ~—~Ap l p "— Cq'q il — \B {p'q" + q'p") + i \/E(p"q'—q"p"), A (p*‘ — aq ") ( bq " 1 — q '") = — Ap"p l " -j- Aap"'p" 4 - Abp"q'" — Aabq"q"‘ = — Ap"p l "— Cç’Y» — \B(p"q'" -f 9 >y») + lVE(p"'q''-Cq'"p»), ainsi de suite : je fais, pour abréger, F> =A P' —Af + Bp » e si on substitue dans l’expression de Q 11 * pour p"' et q 1 " leur 5 valeurs p" p 11 +p\ et p 1 'q" -j- q 1 , elle se changera e!1 p l, P i, ’i- Q n , et ainsi du reste ; desorte que l’on aura Q' =p P° +Q° Ç» =p' P ■ + Q> Ç'»~p" pu + Q'* Ç lY =p ,,l P‘ I, + Q ,u , etc. Pareillement si on substitue dans l’expression de P 11 les V®" leurs de p" et q", elle deviendra p 3 P 1 -f-2p‘ Q'-f-A ; et on substitue les valeurs de p ui et q 111 dans l'expression P 1 ", elle deviendra p a P ll -|-. 2 p 11 Q n -{-P*, et ainsi de su> te ’ desorte que l’on aura P‘ = p*P° + Z p Q° +C P 11 =p a P l +2 p 1 Ç 1 -f P° P u, = p î P 11 +2 p" Q“ +P 1 P'I r= p"p ,u + 2/* In Q 111 + P", etc. Ainsi on pourra, à l’aide de ces formules , continuer 3 ADDITIONS. 347 2 °ia qu’on voudra les suites des nombres p ., (A, ^ u , etc.; Q°, 9‘» Q“, etc., et P 0 , P 1 , P", etc. qui dépendent, comme l°n voit, mutuellement les uns des autres, sans qu’il soit nécessaire de calculer en même temps les nombres p °, p l , P n > etc. et q °, g', g" , etc. On peut encore trouver les valeurs de P 1 , P", P 111 , etc. p3r des formules plus simples que les precedentes, en remarquant que l’on a — P 1 — ( p' A + k B y— A (\*4 + + O = \B' — AC, V* ~ P 1 P" = (— A E, etc. P 1 pu -E ■i ^ ,E pin ètc. Les nombres /u, ^ f p ' 1 , étant donc trouvés ainsi, on aura (art. 26 ), la fraction continue (A l -f~ P 1 '- etc. Et pour trouver le minimum de la formule Ap 1 -j- Bpq -f- Cq* t 548 ADDITIONS, il n’y aura qu'à calculer les nombres p°, p', p" , p" 1 , etc. e * q a , > etc - (art. a5), et les essayer ensuite à la place de p et q ; mais on peut encore se dispenser de cette opération, en remarquant que les quantités P°, P‘, P", etc- ne sont autre chose que les valeurs de la formule dont il s'agit, lorsqu’on y fait successivement P—P°> P', P' l > etc. et <7'> <7"> etc - Ainsi il n’y aura qu’à voir quel est le plus petit terme de la suite P°, P', P", etc. qu’on aura calculée en même temp 5 que la suite p, p 1 , p 11 , etc. et ce sera le minimum cherche; on trouvera ensuite les valeurs correspondantes de p et q p ai: les formules citées. 3 4- Maintenant je dis qu’en continuantla série P°, P', P 1 ', etc- on doit nécessairement parvenir à deux termes consécutif* de signes difFérens, et qu’alors tous les termes suivans * e ' ront aussi deux à deux de dilférens signes. Car on a, (art. pt®"* cèdent), P 0 —A[p a —‘aq°') (p°— bq 0 ~) , P'=J(p'—aq')(p'—bq'), etc- or de ce qu’on a démontré dans le problème II, il s’ensuit les quantités p a — aq° , p 1 — aq 1 , p n — aq 11 , etc. doivent être 8e signes alternatifs , et aller toujours en diminuant •, donc, i°- s * ^ est une quantité négative, les quantités p° — bq m , p ‘— bq', etc ' *eront toutes positives ; parconséquent les nombres P°, ? ’ P 11 , seront tous de signes alternatifs; a 0 , si & est une quanti® positive, comme les quantités p' — aq 1 , p 11 — aq",etc. et,àp^ uS forte raison, celles-ci, — — a, ~ — a , forment une suit® q l q décroissante à l’infini, on arrivera nécessairement à une de ceS dernières quantités, comme^-, —a qui sera <^a —é,( a ^ straC ^ P' 1 ci tion faite du signe), et alors toutes les suivantes, ^Tv "" ’ ADDITIONS. 34g P" ÿ~~~ a , le seront aussi; desorte que toutes les quantités D m D lv e —b —a, a — b -f- — a > etc. seront nécessaire- ^ent de même signe que la quantité a — b ; parconséquent les Quantités P - fa P - A etc. et celles-ci, p'*' — bq l " , qiu > ^iv P‘* — -bq " 1 , etc. à l’infini, seront toutes de même signe; donc ks nombres P ul , P ,v , etc. seront tous de signes alternatifs. Supposons donc , en général, que l’on soit parvenu à des ter- n 'es de signes alternatifs dans la série P*, P", P 111 , etc. et <îue P* soit le premier de ces termes, ensorte que tous les termes, P\ P * 4 " 1 , p” 4-2 , etc. à l’infini, soient alternativement Positifs et négatifs, je dis qu’aucun d’eux ne pourra être plus S r and que E. Car si, par exemple , les nombres P" 1 , P 1 ”, f >v , etc. sont tous de signes alternatifs, il est clair que les Produits deux à deux, P 1 " P" 1 , P lv P v , etc. seront nécessairement tous négatifs ; mais on a, (art. précéd.). iv V Qa_p>»piv__£ } (P — P" p'—E) etc.; 'W les nombres positifs , — P ’ 11 P lv , — P lv P v , seront tous Moindres que E , ou au moins ils n’excéderont pas E ; desorte comme les nombres P 1 , P 11 , P 111 , etc. sont d’ailleurs tous entiers parleur nature, les nombres P 111 , P 1V , etc. et, en général, les nombres P* , P* 4 ’ 1 , etc. (abstraction faite de e urs signes), ne pourront jamais surpasser le nombre E- H s’ensuit aussi de là que les termes Q ,T , Q v , etc. et, en gérerai, Q , etc., ne pourront jamais être plus grands que [/ E. D’où il est facile de conclure que les deux séries P K , P * 4 " 1 ^ , etc. et y , etc. quoique poussées a l in- ^‘i, ne pourront être composées que d’un certain nombre de 35o ADDITIONS, termes différens, ces termes ne pouvant être, pour la premier® que les nombres naturels jusqu’à E pris positivement ou négativement , et pour la seconde , les nombres naturels jusqu’à V & avec les fractions intermédiaires §, |, etc. pris aussi positivement ou négativement; car il est visible par les formula de l’article précédent, que les nombres Q l , Q 11 , Q'“, etc ' seront toujours entiers, lorsque R sera pair, mais qu’il3 contiendront chacun la fraction ~, lorsque R sera impair. Donc, en continuant les deux séries P 1 , P“, P" 1 , etc. et Q\ Q", Q‘“ , etc. il arrivera nécessairement que deux te J " mes correspondans, comme P* et Q*, reviendront après orl certain intervalle de termes dont le nombre pourra toujo urS être supposé pair ; car, comme il faut que les mêmes ter® eS P^et Q* reviennent en même temps une infinité de fois» a cause que le nombre des termes différens dans l’une et da® l’autre série est limité, et parconséquent aussi le nombre leurs combinaisons différentes, il est clair que si ces deux iet mes revenaient toujours après un intervalle d’un nombre i®P ai de termes, il n’y aurait qu’à considérer leurs retours altère 2 nativement, et alors les intervalles seraient tous composés d ult nombre pair de termes. On aura donc, en dénotant par 2 p, le nombre des tei IIie intermédiaires p^, P=p . ) et ç*+af = ç* et alors tous les termes P*, P* + 1 , etc. Q v , Q ’ et fi’ r , p 1 , p * 2 etc. , reviendront aussi fle chaque intervalle de zp termes. Car il est facile de voit p les formules données dans l’article précédent pour la de x S) 111 etc* mination des nombres/* 1 , [a ", /a 1 ", etc. Q 1 , Q"» V ' et P', P u , P ll> , etc. que dès qu’on aura P* + 2 '=P T ,et + = ADDITIONS. 351 °n aura aussi ensuite v + if . 7T yr 4 - a/> -4- ï_ qW 4- 1 rft 4- 3f> 4- I _ -j a* 4* r ^onc aussi e t ainsi de suite 1t -+-2p-t- I_ + V P = P I Donc si n est un nombre quelconque égal ou plus grand 'lue n-f2mp__pri çTi + sm? __^ (J p+ 2m P—pP ■ Assorte qu’en connaissant les rr -f- 2p premiers termes de chaîne de, ces trois suites, on connaîtra aussi tous les suivans qui ne seront autre chose que les ap derniers termes répétés 4 l’infini dans le même ordre. De tout cela il s’ensuit que pour trouver la plus petite, va- ^ e ur de P — Ap 1 + Bpq -J- Cq 1 , il suffit de pousser les séries P 1 , P“, etc. et Q°, Q', Q n , etc. jusqu’à ce que deux * er mes correspondans, comme P* et Q* reparaissent ensem- après un nombre pair de termes intermédiaires, ensorte < 3 Ue l’on ait p T + et = 4 Ws le plus petit terme de la série P°, P‘, P 11 / etc. P 5 era le minimum cherché. COROLLAIRE I. 35. Si le plus petit terme de la série P°, P*, P 11 , etc. + ap ne se trouve pas avant le terme p v , alors ce terme 352 ADDITIONS, reparaîtra une infinité de fois dans la même suite prolongée s l’infini ; ainsi il y aura alors une infinité de valeurs de p et q qui répondront au minimum, et qu’on pourra trouver toutes par les formules de l’art. z 5 , en continuant la série des nom' bres p . 1 , p 11 , p' 11 , etc. au-delà du terme p**'*'* par la répé" titiondes mêmes termes p**' 1 , p r + 3 , etc. comme on dit plus haut. On peut aussi, dans ce cas, avoir des formules générales qm représentent toutes les valeurs de p et de q dont il s’agit; m ais le détail de la méthode qu’il faut employer pour y parvenir, nous mènerait trop loin ; quant à présent, nous nous conten' terons de renvoyer pour cet objet aux Mémoires de Berl in déjà cités, année 1768, pag. ia 3 et suiv. où l’on trouvera un® théorie générale et nouvelle des fractions continues périodiq ueS ' COROLLAIRE II. 36 . Nous avons démontré dans l’art. 34 , qu’en continu 3 ^ la série P x , P", P ni , etc. on doit trouver des termes con* e cutifs de signes différens. Supposons donc , par exemple , pm et pu so j en t ] es Jeux premiers termes de cette espe 0 ^’ on aura nécessairement les deux quantités p 1 " — bq 11 ' et ? n , — bq" de mêmes signes, à cause que les quantitésp‘“— et p lv — ciq" sont de leur nature de différens signes. O 1 mettant dans les quantités p v — bq y , p VI — bq yl , etc. l eS leurs dep v , p’ 1 , etc. q', q yl , etc. (art. a5), on aura p* — bq y = p" (p>v — bq" ) 4-p m — bq 1 " p yl — bq" = p y (p' ~ bq y ) + p" — bq", etc- D’où, à cause que p", p y , etc. sont des nombres po sltl ’ il est clair que toutes les quantités p y — bq y ,p yl — bq Ÿ ‘> e * C ' lU l’infini, auront les mêmes signes que les quantités p 111 et p" — bq"-, parconséquent tous les termes P" 1 , P" >f ‘ à l’infini, auront alternativement les signes plus et inOi nS ' 553 additions.’ Maintenant on aura par les équations précédentes P- = = p y — bq y p'" — bq' 11 p' y — bq' y 1 < 1 "i 1 p' y — bq' y p y — bq y p y — bq y p y n — bq yn p y — bq y p' n — bq" p" — bq -, etc. — fo » 1 p>v_Jo’ v ° u es quantités <- etc. seront toutes positives. P V P Donc, puisque les nombres p ly , p y , p yl , etc. doivent être tous entiers positifs, ( hyp .), la quantité —~- v devra être . .. , p y ' — bq yy positive et > 1 , de même que les quantités — - - -, P' 11 — bq y ' 1 p ' y — bq" 1 p y —bq y -r-—.etc.;donc les quantités -- —, — -t-.etc. P — bq' 1 ’ H p y — bq y, p y '—bq y ' > 6e ront positives et moindres que l’unité ; desorte que les Nombres p* , p. yl , etc. ne pourront être que les nombres en- tler s qui sont immédiatement moindres que les valeurs de ~-bq yi p yn — bq y " ^ , , v .. nT—r- 2 —, -- r 2 — ) etc. ; quant au nombre p ly . il sera P — bq y ’ p yl — bq y ’ 1 r ’ ^Ussi égal au nombre entier qui est immédiatement moindre la valeur de —- r^-z, toutes les fois qu’on aura... m, , P' y bq 1 bq 111 pZZ~bjpï~> < t • Ainsi on aura p"< p y — bq y D 'v_ A„.v’ < P y ‘< bq' p" — bq y . p'" — bq"' ^ “ yj*v _ ^iv < 1 » ■hq y ’ p y " — bq yn etc. a. Z 554 ADDITIONS, le signe < placé après les nombres//. 1 ", p lv , p? , etc. dénotant, comme plus haut, les nombres entiers qui sont immédiatement au-dessous des quantités qui suivent ce même signe. Or il est facile de transformer, par des réductions setnbla- p y — bq y p y '—bq'' pttxf’ blés à celles de l’art. 33, les quantités etc. en celles-ci, + 1 Vz Q' 1 - i V e p' v — éq lv 1 etc. : de plus, l a piv > py n 111 — hû ln condition de <" 1 peut se réduire à celle- 01 p"— bq ly r — P'“ . aq nl —q 111 . aq' u — p"‘ ^ , - ü 17 < —qr “Tv 1 laquelle , a cause de -a- S ’ piV piv - a gl\ p‘ v - a( jlV aura sûrement lieu lorsqu’on aura — P P donc on aura = ou < î ; . — P’ 11 piv > S1 piv OU < 1 , v <2 ÏVE pv Q y " + i VE pii , etc. En combinant ces formules avec celles de l’art. 33 , q 1111&n . ferment la loi des séries P 1 , P", P"‘, etc. et Q 1 , Ç)“, Q'"> etC '’ on verra aisément que si on suppose donnés deux * erll ^ 3 correspondans de ces deux séries, dont le numéro soit \ grand que 3, on pourra remonter aux termes précéder* 5 l. 1 ^ qu’à P" 1 et Q y , et meme jusqu’aux termes P 1 “ et Q > condition de ou 35S ADDITIONS. et supposons que vr soit > a , c’est-à-dire t = A -f- v ; donc / fl* T)* " + * 1 on pourra d’un côte remonter du terme P au terme P ou P x , et de l’autre, du terme p' rr ~*~ 2f au terme P x + f ou P k + ^\ et comme les termes d’où l’on part de part et d’autre, sont égaux, tous les dérivés seront aussi respective® 6 ®*’ égaux; desorte qu’on aura p\ 4- 2f 4- I _ + I ou même 4-a# n x ,± P -, P — P , SI- =OU e toujours résoluble en nombres entiers. Car, en comparant la formule p 2 — Kq % avec la for® u ^ e générale Ap* -f- Bpq -f- Cq\ on a A— i, .6 = 0, C = — K\ donc ü=6‘-4^c=4/f, \\/E-\/k, (an. 33). Donc ADDITIONS. 35 7 donc P° : ■> Q° :Oi P r, parceque K et p- sont des nombres entiers -, desorte qu’on aura po donc on aura, (art. précéd.) A — O , P^ t:~ : JP° — I j desorte qu’en continuant la série P° , P 1 , P", etc. le terme P° = 1 reviendra nécessairement après un certain intervalle de termes ; parconséquent on pourra toujours trouver une infinité de valeurs de p et de q qui rendent la formule p 1 — Kq J égale à l’unité. COROLLAIRE IV. ( ^8. On peut aussi démontrer cet autre théorème : Que si 1 équation p s — Kq a = db H Vst résoluble en nombres entiers , en supposant K un nombre Positif non carré, et II un nombre positif et moindre que [/K, ^ es nombres p et q doivent être tels que ^ soit une des frac- tl °n principales convergentes vers la valeur de [/ K. Supposons que le signe supérieur doive avoir lieu, ensorte tpie p* — Kq* — II ; 3 558 donc on aura additions. p — qS/K — II p+qV K qu’on cherche deux nombres entiers positifs, r et s, moindres que p et q , et tels que ps — qr—i, ce qui est toujours possible, comme on l’a démontré dans far- ticle 23, et l’on aura q s qs’ donc retranchant cette équation de la précédente, il viendra r _ ./ K — _ E _ L. r(i + vK) «'• desorte qu’on aura p —q V K. H r — j V K =- <7 (ï+^ x ) s II n Or commeet II<^\/K t il est clair que. —-sera < £ ; donc p — q j/A' sera < — ; donc • 2 q , h l+V K sH sera à plus forte raison < \, puisque s ( 1 > de- ADDITIONS. Positivement, sera "■> —, à cause de 1 — tin’ sll 2q' 35 9 >i. Ainsi on aura les deux quantités p — q \/K et r s \/K , °u bien , en faisant a = V A , celles-ci, p oq et r os, lesquelles seront assujéties aux mêmes conditions que nous avons supposées dans l’art. s4> et d ’ où ron tirera des conclu ' sions semblables ; donc , etc. (art 26 ). Si 1 on avait p> — Kq* — — II, alors il faudrait chercher les nombres r et s, tels que ps — qrz =— i, et l’on aurait ces deux équations II q\/K-p = - (**+5) s\JK — r =- domine H < \/K et s < q , il est clair que sll ( VK+P q ) *era < i ; desorte que la quantité s\/K — r sera négative; 0r je dis que cette quantité, prise positivement, sera plus Erande que q[/K — p; pour cela il faut démontrer que 1 / «JJ \ H U ~ f 1- ! - \ ■> — -, ou bien que 1 -—, savoir [/K + ~ ; mais H<^ \/K, VK+t * ’ 3S< ADDITIONS. ( hyp. ) ; donc il suffit de prouver que^]> S , ou bien que p~^>s (/A"; c’est ce qui est évident, à cause que la quantité s\f'K — r étant négative, il faut que r^>s [/K, et, à plus forte raison, p^>s\/K, puisque p > r. Ainsi les deux quantités, p — q \/K et r —s (/A, seront de difïerens signes, et la seconde sera plus grande que la pre- mière , (abstraction faite des signes), comme dans le cas pré- - cèdent ; donc , etc. Donc, lorsqu’on aura à résoudre en nombres entiers un® équation de la forme p^—Kq' — ±II, ou H<]/K , il n’y aura qu’à suivre les mêmes procédés de l’article 33, en faisant A = 1 , B=i o, C = — K; et si dans la série P°, P 1 , P", P etc. P’ r + Îf , on rencontre un terme —±.11, on aura la résolution cherchée, sinon on sera assuré que l’équation proposée n’admet absolument aucune solution en nombres entiers. REMARQUE. 3g. Nous n’avons considéré dans l’art. 33 qu’une des ra- cines de l’équation Av? -f- Bx. -f- C=o, que nous avons supposée positive ; si cette équation a ses deux racines positives, il faudra les prendre successivement pour a, et faire la même opération sur l’une que sur l’autre ; 111313 S1 l’une des deux racines ou toutes deux étaient négatives, alors on les changerait d’abord en positives, en changeant seulement le signe de B, et on opérerait comme ci-dessus ; ma * s ensult0 ADDITIONS. 36t il faudrait prendre les valeurs de p et de q avec des signes dif- férens, c’est-à-dire l’une positivement et l’autre négativement, ! (art. 29). Donc en général on donnera à la valeur de B le signe ambigu ±, de même qu’à {/£ , c’est-à-dire qu’on fera i «t qu’on mettra ± à la place de \/E, et il faudra prendre j c es signes , ensorte que la racine -\b±\\/e c = - - - ^°'t positive, ce qui pourra toujours se faire de deux manières différentes le signe supérieur de B indiquera une racine positive , auquel cas il faudra prendre p et q tous deux de même signes - , au contraire le signe inférieur de B indiquera une racine négative , auquel cas les valeurs de p et q devront être prises de signes différens. 1 / EXEMPLE. 4 °. On demande quels nombres entiers il faudrait prendre pour p et q, afin que la quantité gp* — 118 pq -f- 378q* devînt la plus petite qu'il est possible Comparant cette quantité avec la formule generale du problème III, on aura a onc A = 9, B = — 118, C = 378, £* — 4 AC = 3 i 6 ; rT ' ° ou l’on voit que ce cas se rapporte à celui de l’art. 33 . On 35 s fera donc ADDITIONS. E — 3ï6 , i \ZE= v /79 , où l’on remarquera d’abord que ^79 8 et <7 9 ; desorte que dans les formules dont il ne s’agira que d’avoir la valeur entière approchée, on pourra prendre sur-le-champ àlapl ace du radical \/79 I e nombre 8 ou q, suivant que ce radical se trouvera ajouté ou retranché des autres nombres de la niêu ,e formule. Maintenant on donnera tant à B qu’à \/E le signe arn bigu ± î, et on prendra ensuite ces signes tels que c — ± 5 q — V7 6 9 soit une quantité positive , (art 3q ) ; d'où l’on voit qu’ü & vt toujours prendre le signe supérieur pour le nombre 5 q, et pour le radical ^79 on peut prendre également le sup eiael1 et l’inférieur. Ainsi on fera toujours Q° = -iB, et \/E pourra être pris successivement en plus et en mc» n5 ' Soit donc i°. ÏVE= Vis avec le signe positif, on fera (art. 33), le calcul suiv aIlt ' A D I) I T I 0 N S 564 ADDITIONS. Je m’arrête ici, parceque je vois que Ç r, 1 =Q l , P^ — P 1 , et que la différence entre les deux numéros 1 et 7 est p aire > d’où il s’ensuit que tous les termes suivans seront aussi 1®* mêmes que les précédens ; ainsi on aura Ç Y,, =4, Ç ,1, 'r=— 3 , Q ,x = 7 , etc. 7, P n,, =io, etc> desorte qu’on pourra, si l’on veut, continuer les séries ci- dessus à l’infini, en ne faisant que répéter les mêmes term es - 2 0 . Prenons maintenant le radical [/yy ayec un signe fl e 5 a *’ tif, et le calcul sera comme il suit : ADDITIONS. • 1 «1 1 VI 00 *g • ü •a •g Ta < W CO en 03 CD o ca s# X H < ◄ Tî -j •R < en 03 A V4 1 4v 1 v} i VJ « + en + O) 1 00 + . 1 1 1 « 1 1 - 1 o ^ L 1 en 1 \ cr. < 03 eo va D va CO S 2 va eo va CD va eo 1 II rv» M 1 1 1 1 1 1 i O* w en 03 en V 79 5 GG ADDITIONS. On peut s’arrêter ici, puisque l’on a trouvé Q' x =z Q'", P ix = P" 1 , et que la différence des numéros g et 3 est paire ; car en continuant l«s séries on ne retrouverait plus que les mêmes termes qu’on a déjà trouvés. ». Or, si on considère les valeurs des termes P°,P', P", P'" » etc- trouvées dans les deux cas, on verra que le plus petit do ces termes est égal à — 3 ; dans le premier cas, c’est le ternie P 1,1 auquel répondent les valeurs p" 1 et q'“ ; et dans le second cas, c’est le terme P" 1 auquel répondent les valeurs p" 1 et q ly . D’où il s’ensuit quç la plus petite valeur que puisse recevoir la quantité proposée est — 3 ; et pour avoir les valeurs de p et q qui y répondent, on prendra daps le premier cas les nom' bres p., p.', p.", savoir 7, 1 et x , et l’on en formera les f<" aC ' tions principales convergentes -f, f, ; la troisième fractx° n P ,n sera donc ^777, ensorte que l’on aura p"' = i 5 , q 111 = 2; : c’est-à-dire que les valeurs cherchées seront P- =i 5 , <7 = a. Dans le second cas on prendra les nombres p ., p}, p.", P-' i ’ 1 savoir 5 , x, 1, 3 , lesquels donneront ces fractions h , iï; desorte qp’on aura — 3 9, q ,v = 7; donc P — 3 g, <7 = 7- Les valeurs qu’on vient de trouver pour 7» et <7 dans ^ eca ^^j s minimunr, sont aussi les plus petites qu’il est possible» 1 on pourra, si l’on veut, en trouver successivement d ADDITIONS. 30 j plus grandes; car il est clair que le même terme —3 reviendra toujours au bout de chaque intervalle de six termes ; desorte que dans le premier cas, on aura P‘“ = — 3 , P ' 1 — — 3 , jP* v = — 3 , etc. ®t dans le second , jP ,v = — 3 , P x = — 3 , P xv, =— 3 , etc. Donc, dansle premier cas, on aura pour les valeurs satisfaisantes de p et q, celles-ci, p"‘, q " 1 , p'* , q lx , p xy , q %y , etc. et dans le second cas, celles-ci, p' y , q iy , p* , q* , p xyi , q xvl , etc. Or les valeurs de p, p 1 , p 11 , etc. sont dans le premier cas 7,1, *,5,3,3, 1, 1, 1,5,3,2, 1, 1, î, 5 , 3 , etc. à l’infini, Parceque p' l “=p', p ynl = u", etc. ainsi il n’y aura qu’à former par la méthode de l’art. 20, les fractions 7, 1, 1, 5 , 3 , 2 , î, 1, 1, 5 , 1 8 il M »6 î 815 illl » 3 fii 1 3 a 9 i t 1 > i > a > 11) 35 ) gt ) iifi) 137 > 313 > i7b* y cic. on pourra prendre pour p les numérateurs delà troisième, de la neuvième, etc. et pour q les dénominateurs correspondais, on aura donc p = i 5 , q = 2, ou p = 2361, q = 3 i 3 , ou, etc. Dans le second cas les valeurs de p 1 , p ", p " 1 , etc. se- r °nt 5 , 1,1, 3 , 5 ,i, 1, 1,2, 3 , 5 , 1,1, 1,2, etc.! I^rceqne p"=:p"', p* = p' y , etc. On formera donc ces fractions-ci, "\i,x, 3 , 5 , i, i, 1, 2, 3 , 5 , 6 11 t 9 ao*> a 4.5 45 i 6 P 5 t s < 3 Paa“> 3 a 903 . * * * > a j 7 ; “JT" J 4.4 ï » » > ïTJ ) 33 * > 111 » y 5 jîi > ! 568 additions. et les fractions quatrième, dixième, etc. donneront les va - leurs de p et q , lesquelles seront donc pzx’Sç}, 9 = 7, oup = 6225, q = 1118, etc. De cette manière on pourra donc trouver par ordre toutes les valeurs de p et q , qui rendront la formule proposée ^ — 3 , valeur qui est la plus petite qu’elle puisse recevoir- On pourrait même avoir une formule générale qui renfermât toutes ces valeurs de p et de q ; on la trouvera , si l’on en est curieux, par la méthode que nous avons exposée ailleurs , et dont nous avons parlé plus haut, ( art. 35 ). Nous venons de trouver que le minimum de la quantité proposée, est — 3 , et parconséquent négatif ; or on pourrait proposer de trouver la plus petite valeur positive que l a même quantité puisse recevoir, alors il n'y aurait qu’à examiner les séries P°, P 1 , P n , P 111 , etc. dans les deux cas, et on verrait que le plus petit terme positif est 5 dans les deu* cas ; et comme, dans le premier cas, c’est P lv , et dans le second P " 1 qui est = 5 , les valeurs de p et de q , qui donneront la plus petite valeur positive de la quantité proposée , seront p 1 », q IV , ou p 1 , q* , ou etc. dans le premier cas, etp 111 , 4" ’ ou p 1 *, q ,x , etc. dans le second ; desorte que l’on aura par I e * fractions ci-dessus p— 83 , <7=n, ou p= 13291, <7 = 1762, etc. ou p = il, q= 2, p= i 843 , <7= 33 i, etc. Au reste on ne doit pas oublier de remarquer que les nom bres p, p 1 , p." , etc. trouvés dans les deux cas ci-dessus, ne sont autre chose que les termes des fractions continues, î 111 représentent les deux racines de l’équation gx 2 — 1 i8x -f> 378 = o. è Desorte que ces racines seront f ADDITIONS. 36 9 7 +~ i 1 ~j — . i I+ 5 + - ^ 3 + etc. 5 +î+i . 1+3 + 5+«.c Expressions qu’on pourra continuer à l’infini par la simple répétition des mêmes nombres. Ainsi on voit par là comment on doit s’y prendre pour réduire en fractions continues, les racines de toute équation du second degré. S C O h I E. 41. Euler a donné dans le tome XI des nouveaux Commentaires de PéterSbourg, une méthode analogue à la précédente , quoique déduite de principes un peu dififérens, pour réduire en fraction continue la racine d’un nombre quelconque entier non-carré , et il y a joint une table où les fractions continues sont calculées pour tous les nombres naturels non-carrés jusqu’à 120. Comme cette table peut être utile én différentes occasions, et surtout pour Ja solution des problèmes indéterminés du second degré, comme on le verra plus bas, nous croyons faire plaisir à nos lecteurs de la leur présenter ici ; on remarquera qu’à chaque nombre radical , il répond deux suites de nombres entiers; la supérieure est celle des nombres P* 0 ,— P', P", — P ul , etc. et l’inférieure estcelle des nombres//, //', /*“, /*“’, etc. 2, Aa 37 ° additions; V /2 1111 etc. 1222 etc. t /3 12 12 12 1 etc. 1 121212 etc. t /5 1111 etc. 2 4 4 4 etc. ' 1/6 1212121 etc. 2 2 4 2 4 2 4 etc. Vi 1 3 2 3 1 3 2 5 1 etc. 2 1 1 1 4 1 1 1 4 etc. |/8 1 4 1 4 1 4 1 etc. 2 1 4 1 4 1 4 etc. 10 îiii etc. 3 6 6 6 etc. Vi î 1212121 etc. 3 3 6 3 5 3 6 etc. l/l2 1 3 1 3 1 3 1 etc. 3262626 etc. l/i 3 i 4334 i 4334 i etc. 3 1 1 1 1 6 1 1 1 1 6 etc. V/14 1 5 2 5 1 5 2 5 1 etc. 3 1 2 i 6 1 2 1 6 etc. l/i 5 1616161 etc. 3 1 6 1 6 1 6 etc. i 17 11111 etc. 4 8 8 8 8 etc. V/18 121212121 etc. etc. ^ t / J 9 i 35 a 53 i 35 a 53 i etc. 4 2 1 3 1 2 8 2 1 3 1 2 8 etc. ^ 1/20 1 4 1 4 1 4 1 4 1 etc - 428282828 etc. t/21 i 54345 i 54345 i etc. 41121181 12118 etc. j/22 1 63236 1 6 3236 1 etc. 4 i a 4 a 1 8 1 2 4 2 1 8 etc ADDITIONS. ADDITIONS. 371 1 /û 3 172717271 etc. 4 1 3 1 8 1 3 1 8 etc. 1/2 4 1818181 etc. 4181818 etc. |/a6 1111 etc. 5 10 10 10 etc. y o .? 12 12121 etc. 5 5 10 5 10 5 10 etc. k'28 5323 10 3 a 3 10 etc. 1/29 14354 i 4554 1 etc. 5 2112 10211210 etc. P 3 o i 5 i 5 1 5 1 5 1 etc. 52 102 702 102 10 etc. 1/3 z i 653 2 358 1 6 5 etc. 5 1 1 3 5 3 1 1 101 1 etc. V/ 3 a 1747 1 7 47 1 etc - 5 1 1 1 10 1 1 1 10 etc. 1/33 i 838 i 838 1 etc. 5 1 2 1 10 1 2 1 10 etc. V /34 1929 1929 1 etc. 5 1 4 1 10141 )0 etc ' I i 35 V /3 7 P -38 l/ 3 g l/ 4 o V" 4 l ; [^T 1 10 i 10 1 îo 1 10 etc. 5 1 10 1 10 1 10 1 etc. 11111 etc. 6 12 12 12 12 etc. 1212121 etc. 6 6 12 16 12 6 12 etc. 1 3 1 3 1 3 1 etc. 6 4 13 4 13 4 13 etc - 14 1 4 1 4 1 etc. 6 3 12 3 12 5 12 etc. 1 5 5 1 5 5 1 etc. 622122212 etc. 1616 16 i etc. 6 a 12 2 12 2 13 etc. 2 372 additions; t/43 1763929367 176 etc. 6 1 1 3 1 5 1 3 1 1 1211 etc. t/ 4 - 18574758 1 8 5 etc. 61112111 1211 etc. t/45 1 9 4 5 4 9 i 9 4 5 4 9 1 9 4 etc. 612221 1212 2 21 1212 etc. 1/46 1 10 3 7 6 5 2 5 6 7 3 10 i 10 3 etc. 6 1 3 1 1 26 2 1 1 3 1 12 1 3 etc. VAi 1112 11 111211 1 etc. 6 1 5 1 12 1 5 1 12 etc. V/48 t 12 i 12 1 12 etc. 6 1 12 1 12 1 etc. y/ 5 o 1111 etc. 7 14 J 4 1 4 etc. t/ 5 i 12 12 12 etc. 77 147 i 4 7 etc. \Z 5 a i39493 1 3 9 4 9 3 i 3 etc. 74 1 2 1 4 >44 1 2 1 4 i 44 etc. y 55 1 47 7 4 1 4 7 7 4 1 4 7 etc - 7 3 1 1 3 14 3 1 1 3 i4 3 i etc. V /5 4 159295 159295 1 5 etc. 721612 1421612 14 2 etc. _^ l /55 1 6 5 6 1 6 5 6 16 etc. 7 2 2 2 i4 a 2 2 14 2 etc. _- 1/56 17 17 17 1 etc. 72 14 2 i 4 2 i 4 etc - - 1/57 187378 187 etc. 7 1 1 4 1 1 14 1 1 etc. V /58 i 9 6 7 7 6 9 1 9 6 etc. 7111111 i4 1 1 etc. t/ 5.9 1 10 5 2 5 10 1 10 5 etc. 7 1272 1 i4 12 etc. _- V/60 1 11 4 1 1 1114 etc. 7 12 1 i4 12 etc. _— I/61 1 i 234955943 i 2 1 123 etc. 7 i 43 i 2 2 i 34 1 i 4 14 etc- _ ADDITIONS. 3 7 3 t/62 1 i 3 a i 3 1 i 3 2 etc. 716 1 14 1 6 etc. \/63 1 14 1 14 1 i4 etc. 71 14 i 14 1 etc. V 65 1 1 1 1 etc. 9 16 16 16 etc. V/66 12 12 1 etc. 8 8 16 8 16 etc. t/67 1367929763 1 3 6 etc. 8521171125 16 52 etc. 1/68 1 4 14 1 4 etc. 8 4 164 16 4 etc. vh 1 54 h 3 11 45 1 5 4 etc. 8 .3 3 14 1 3 3 i 633 etc. V70 1695 9 6 1 6 9 etc. 821212 1621 etc. y 71 1751121157 175 etc. 822 17 122 1622 etc. v/72 18 18 18 etc. 82 162 162 etc. v / 7 3 1983389 198 etc. 8 î 1 5 5 1 1 1611 etc. v/74 1107710 1107 etc. 8 111 1 16 il etc. 1/75 111611 1 il 6 etc. 8 1 1 1 16 1 1 etc. t/76 î 1258934398512 1 12 5 etc. 8 1 2 1 1 545 n s 1 16 12 etc. V77 1 i 3 4 7 4 i 3 ii 3 4 etc. 8 1 3 a 3 1 16 1 3 etc. 1/78 1 i 4 $ i/f 1 14 3 etc. 8 1 4 1 1614 etc. V/7.9 1 i 5 2 i 5 1 i 5 2 etc. 8171 16 17 etc. t/80 1 16 i 16 1 16 etc. 8 1 16 1 16 1 etc. .9 5 74 ADDITIONS. l/8a 1111 etc. 9 18 18 18 etc. 1/ 83 12 12 12 etc. 9 9 18 9 18 9 etc. 1/84 3 3 1 3 1 3 etc. 96 18 S 186 etc. V/85 1 4 9 9 4 1 4 9 etc. 9 4 1 t 4 1841 etc. V 86 15107112117105 i 5 io etc. 93 11 18 îi 1 3 18 3 1 etc. V*7 16 16 1 fi etc. 9 3 18 3 18 3 etc. V/88 1 7 9 8 9 7 179 etc. 921119 1821 etc. V' 8 9 1 8 5 5 8 1 8 5 etc. 9 2 3 3 2 1823 etc! V/. 9 ° 19 1 9 i etc. 92 182 18 etc. 1/9 1 1 10 9 3 14 3 9 10 110 9 etc. q i 1 5 1 5 1 1 18 11 etc. 1/9 3 1118747811 1118 etc. g 112421 1 18 11 etc. V g3 11271143411712 1127 etc. 9 11 1 4^4 11 1 18 11 etc. 1/94 1 i 3 t> 5 9 10 3 i 5 2 1 5 3 10 9 5 S 10 1 e fC ' q 1 a 3 i i 5 18 1 5 1 1 32 1 18 — v^ 5 1 14 5 14 1 i 4 etc. 9 12 1 18 1 — t/g6 1 i 5 4 i 5 1 i 5 etc. q 1 3 1 18 1 etc. v /97 î 16 3 11 8 9 9 8 11 3 16 1.16 etc. q 1 5 11111 1 5 1 18 i etc. 1.-98 1 17 a 17 1 17 etc. 9 181 18 1 etc. _ ■" 1/9.9 1 18 1 18 1 etc. q 1 18 1 18 etc. ADDITIONS. Ainsi on aura, par exemple* 3 7 5 V/2=l + 2 2 -f- etc. v'^ + r+i ^ 2 + etc. et ainsi des autres. p* pli Et si on forme les fractions convergentes —, —, '—, ° g 0 9 1 9“' P 111 » etc. d’après chacune de ces fractions continues, on aura (p°)“ —2(9°) a =: i, p“— 29*=—1, p 1 ~-2q 1 =i, etc. et de même, (p°) a —3(9°) a = i , p 1 — .39*=—2, p a — 3 q*=i, etc. etc. PARAGRAPHE III. Sur la résolution des équations du premier degré à deux inconnues en nombres entiers. Addition pour le Chapitre I. ^ 2 . IjoRSQü’on a à résoudre une équation de cette forni® ax — by = c, où a, b, c, sont des nombres entiers donnés , positifs ou ne"* gatifs, et où les deux inconnues x et y doivent être aussi des nombres entiers, il suffit de connaître une seule solution , pouf pouvoir en déduire facilement toutes les autres solution* possibles. En effet, supposons que l’on sache que ces valeurs y=0, satisfont à l’équation proposée, a, et /S étant des nombre* e0r tiers quelconques, on aura donc a« — b(Z = c, et parconséquent ou bien d’où l’on tire ax — by = a* — c (a?— a) — b(y — i 3) = o; x — a, _ b y — « l ADDITIONS. 377 Qu’on réduise la fraction - à ses moindres termes, et sup- * * /j 1 , posons qu’elle se change par-là en celle-ci—, où b 1 et a 1 se- font premiers entre eux, il e6t visible que l’équation x — a b' n e saurait subsister dans la supposition que a:—et, y — i? soient des nombres entiers, à moins que l'on ait X — et = mb l , y — (Z = ma 1 , Di étant un nombre quelconque entier ; desorte que l’on aura en général x = et -f- mZ>‘, y = $ -f- ma 1 m étant un nombre entier indéterminé. Comme on peut prendre m positif ou négatif à volonté, il est facile de voir qu’on pourra toujours déterminer ce nombre Dî , ensorte que la valeur de x ne soit pas plus grande que b' a' jj-, ou que celle de y ne soit pas plus grande que —, ( abstraction faite des signes de ces quantités) ; d’ou il s’ensuit que l’équation proposée,, _ ax — by — c, «st résoluble en nombres entiers, et qu’on y substitue successivement à la place de x tous les nombres entiers tant positifs b 1 — b' ^ue négatifs, renfermés entre ces deux limites —, -, ori fl 2 «D trouvera nécessairement un qui satisfera à cette équation ; «t on trouvera de même une valeur satisfaisante de y parmi nombres entiers positifs ou négatifs, contenus entre les 1 “mites — 2 378 ADDITIONS. Ainsi on pourra par ce moyen trouver une première solu- tion de la proposée, après quoi ou aura toutes les autres formules ci-dessus. 43. Mais si on ne veut pas employer la méthode de tâtonnement que nous venons de proposer, et qui serait souvent tres- laborieuse , on pourra faire usage de celle qui est exposée dans le chap. I du traité précédent, et qui est très-simple et tres- directe, ou bien on pourra s’y prendre de la manière suivante- On remarquera , i°. que si le? nombres a et b ne sont p as premiers entre eux, l’équation ne pourra subsister en nom" bres entiers, à moins que le nombre donné c ne soit divisibl® par la plus grande commune mesure de a et b. Desorte qu en supposant la division faite lorsqu’elle a lieu, et désignant I e ® quotiens para', b ', c 1 , on aura à résoudre l’équation a'x — b'y=zc', où a' et b' seront premiers entre eux. 2 0 . Que si l’on peut trouver des valeurs de p et de q 5 ul satisfassent à l’équation a'p — b'q = ± 1 , on pourra résoudre l’équation précédente ; car il est vis*^® qu’en multipliant ces valeurs par dt c 1 , on aura des valeurs < l ul satisferont à l’équation a'x — b'y = c'\ e’est-à-dire qu’on aura x = ± pc l , j = ± qc'. Or l’équation a'p — b'q = ±z 1 «st toujours résoluble en nombres entiers, comme nous.1 aV ^ démontré dans l’art. a3 ; et pour trouver les plu 3 P etlteS ADDITIONS. %JÇ) leurs de p et de q qui y peuvent satisfaire, il n’y aura qu’à b‘ convertir la fraction — en fraction continue par la méthode «' de l’art. 4, et en déduire ensuite la série des fractions princi- b' pales convergentes vers la même fraction — par les formules de l’art. 10; la dernière de ces fractions sera la fraction même é 1 ... • \ P —, et si on désigne l’avant-dernière par on aura par la loi de ces fractions , (art. 12) , a'p — b'qz=± 1 , le signe supérieur étant pour le cas où le quantième de la fraction - est pair, et l’inférieur pour celui où ce quantième est pair. Ces valeurs de p et de q étant ainsi connues, on aura donc d’abord x = ±pc', y=z±qc', et prenant ensuite ces valeurs pour = 56q+ n ; changeant p en x et f/ en y, on aura donc 3yx — 5 6y =u. Ainsi on fera c=3g, b — 56’, c=n; et comme 56 et 3g sont déjà premiers entre eux, on aura a 1 = 3g, b' = 56, c 1 = 11 . On réduira donc en fraction continue la fraction ~ et pour cela on fera, (comme on l’a déjà pratiqué dans 1 ar ' ticle 20 ), le calcul suivant, 3qI56 i k 1 7 3 2 5 4 2 1 2 2 2 O ADDITIONS. Ensuite, à l’aide des quotiens 1,2, 3 , etc. fractions 1, 2, 3 , 2, 2. i 3 10 a S 5 fi i) a > 7 y iti> 38 1 on formera le» e t la pénultième fraction ~ sera celle que nous ayons désigné® ®n général par desorte qu’on aura p — 23 , q=i6 - , «t comme cette fraction est la quatrième, et parconséquent d’un quantième pair, il faudra prendre le signe supérieur ; *irisi l’on aura en général x = 23 .11 -f- 56 /n, y = 1G. 11 -f- 39m, % pouvant être un nombre quelconque entier , positif ou négatif. REMARQUE. 45 . On doit la première solution de ce problème à Bachet de Meziriac, qui l’a donnée dans la seconde édition de ses Ré- Cr èations mathématiques, intitulées Problèmes p/aisans et décelables, etc. La première édition de cet ouvrage a paru en *Si2, mais la solution dont il s'agit n’y est qu’annoncée, et Ce n’est que dans l’édition de 1624 qu’on la trouve complète. ^ a méthode de Bachet est très-directe et très-ingénieuse, et **6 laisse rien à desirer du côté de l’élégance et de la généralité. Nous saisissons avec plaisir cette occasion de rendre à ce * a Vant auteur la justice qui lui est due sur ce sujet, parceque d°us avons remarqué que les géomètres qui ont traité le même troisième après lui, n’ont jamais fait aucune mention de son travail. Voici en peu de mots à quoi se réduit la méthode de Bachet. ^Près avoir fait voir comment la solution des équations de la 58a forme ADDITIONS. ax — by = c, (a et b étant premiers entre eux) , se réduit à celle de ax — by = ±, 1 , il s’attache à résoudre cette dernière équation, et pour cel* il prescrit de faire entre les nombres a et b la même opération que si on voulait chercher leur plus grand commun diviseur, ( c’est aussi la même que nous avons pratiquée ci-devant); ensuite nommant c, d , e,f, etc. les restes provenant des dif" férentes divisions, et supposant, par exemple, que y soit I e dernier reste qui sera nécessairement égal à l’unité, (à cause que a et b sont premiers entre eux, hyp. ) , il fait, lorsque I e nombre des restes est pair, comme dans ce cas, eddzi K où les coefliciens A, B, C, etc. seront des fonctions rationnelles et entières des nombres a, b, c, etc. Maintenant, puisque y = — on aura aussi p = — qy > desorte qu’en substituant Cette valeur de p, il viendra A — Byq + Cq -f- Dy°q' 1 — Fpq*y* + Fq “ + etc. = o, on l’on voit que tous tes termes sont multipliés par q , à l’eX - ception du premier terme A ; donc il faudra que le nombre -A soit divisible par le nombre q , autrement il serait impossibl® que les nombres q et y pussent être entiers à la fois. On cherchera donc tous les diviseurs du nombre ent< ef connu A, et on prendra successivement chacun dé ces div*' seurs pour q ; on aura par chacune de ces suppositions u ne équation déterminée en x , dont on cherchera par les métho' des connues, les racines rationnelles et entières, s’il y en a > on substituera ensuite ces racines à la place de a;, et on \ eTia Z si les valeurs résultantes de p et de q seront telles q ue q soit un nombre entier. On sera sûr de trouver par ce nioy erl toutes les valeurs entières de x, qui peuvent donner aussi des valeurs entières pour y dans l’équation proposée. De là on voit que le nombre des solutions en nombres en tiers, de ces sortes d’équations, est toujours nécessaireme nt mité ; mais il y a un cas qui doit être excepté, et qui échapl à la méthode précédente. 47» Ce cas est celui où les coefllciens c, g, "> etc ‘ 585 A D i) 1 I I O N S. nuis , ensorte que l’on ait simplement fl -f- bx -f- r£r a + fx 1 + bx* -f- etc. y = -c ; Or voici comment il faudra s’y prendre pour trouver les Valeurs de x qui pourront rendre la quantité a -f- bx -f- dx* -f- fx 1 -f- hx^ -j- etc. divisible par le nombre donné c : je suppose d’abord qu’on ait trouvé un nombre entier n qui satisfasse à cette condition, il est facile de voir que tout nombre de la forme n ± pc y satisfera aussi, étant un nombre quelconque entier; de plus, si n est > |, ( abstraction faite des signes de n et de c ), On pourra toujours déterminer le nombre (a et le signe qui le précède, ensorte que le nombre n rfc/xc devienne a cause que y' et c n’ont d’autre commune mesure que l’un' te > par l’hypothèse. Or si on substitue cette expression de x ^ anS la quantité ay m -f- by m ~~ l x dy m ~ V -j- etc. elle de\i en ^ ra ( a -f- bn -f- dn x -(- fn 3 -f- etc. ~)y m — (b -f- 2dn -f- -f- e tc. ) cy m ~ ’z -f■ (d-j- 3/ii-f- etc. ) cy m ~*z a — etc. et il est clair que cette quantité ne saurait être divisibl e P a ^ c, à moins que le premier terme (a-^-bn-f-dn 1 -f-fd -i~ etc ^y ije le soit , puisque tous les autres termes sout des nml q ADDITIONS. 38 y de c. Donc, comme cet y sont supposés premiers entre eux, H faudra que la quantité a -f- bn -f- dn* -f-/n 3 + etc. soit elle-même divisible par c ; ainsi il n’y aura qu’à chercher par la méthode de l’article précédent, toutes les valeurs de ti qui pourront satisfaire à cette condition, et alors on aura en général x—tiy — ciz, tétant un nombre quelconque entier. Il est bon d’observer que quoique nous ayons supposé que les nombres x et y doivent être premiers entre eux, ainsi que les nombres y et c, notre solution n’en est cependant pas tnoins générale ; car si on voulait que a; et y eussent une commune mesure a., il n’y aurait qu’à mettre *x l et ay', à la place de x ety', et on regarderait ensuite x‘ et y' comme premiers entre eux; de même si y' et c devaient avoir une commune mesure 0 , on pourrait mettre 0y" à la place de y' , ®t il serait permis de regarder _y“ et c comme premiers entra «ux. PARAGRAPHE V. Méthode directe et générale pour trouver les valeurs de x, qui peuvent rendre rationnelles les quantités de la forme |/(a+ bx + cx s ), et pour résoudre en nombres rationnels le s équations indéterminées du second degré deux inconnues, lorsqu'elles admettent des solutions de cette espèce . Addition pour le Chapitre IF". 4 g. Je suppose d’abord que les nombres connus a, 3, c > soient entiers ; s’ils étaient fractionnaires , il n’y aurait qu’à I e1 ’ réduire à un même dénominateur carré, et alors il est clair qu’on pourrait toujours faire abstraction de leur dénominateur > quant au nombre x, on supposera ici qu’il puisse être entier ou fractionnaire, et on verra par la suite comment il faud ra résoudre la question, lorsqu'on ne veut admettre que des u° nl bres entiers. Soit donc l/(a -f-bx-j- ex 2 ) =y, et l’on en tirera aex -f b = 4 c y + £ 2 — 4oc) ; ADDITIONS. 38 g desorte que la difficulté sera réduite à rendre rationnelle la quantité j/(4çy a + i a — 4 ac )• 5o. Supposons donc en général qu’on ait à rendre rationnelle la quantité j/( Ay* -f- B ) , c’est-à-dire, à rendre Ay % -f- B e gal à un carré, A et B étant des nombres entiers donnés po- ‘•tifs ou négatifs, et y un nombre indéterminé qui doit être rationnel. Il est d’abord clair que si l’un des nombres A ou B était ^1, ou égal à un carré quelconque , le problème serait résoluble par les méthodes connues de Diophante , qui sont démaillées dans le chapitre IV ; ainsi nous ferons ici abstraction ces cas, ou plutôt nous tâcherons d’y ramener tous les Autres. De plus, si les nombres A et B étaient divisibles par des Nombres carrés quelconques, on pourrait aussi faire abstraction *le ces diviseurs, c’est.à-dire, les supprimer, en ne prenant Pour A et B que les quotiens qu’on aurait après avoir divisé valeurs données par les plus grands carrés possibles ; ea ®lîet, supposant A — *'A', B = PB', 0,1 aura à rendre carré le nombre A'cûy* -j- B'fi*; donc divi- par (S 2 , et faisant a, y T =y> ^ ® a gira de déterminer l'inconnue y 1 ; ensorte que A'y i -f- B 1 un carré. ^’où il s’ensuit que dès qu’on aura trouvé une valeur de y ^ r °pre à rendre Ay 1 -f- B égal à un carré, en rejetant des V;t Ws données de A et de B les facteurs carrés et 1 et jg» ^ el les pourraient renfermer, il n’y aura qu’à multiplier la A D D I T I O N S. 5i)0 valeur trouvée de y par pour avoir celle qui convient à la quantité proposée. 5i. Considérons donc la formule Ay* -f- B , dans laqi ,e ^ e A et B soient des nombres entiers donnés qui ne soient drvi- sibles par aucun carré; et comme on suppose que y puiss e être une fraction, faisons y~V-, p et q étant des nombres entiers et premiers entre eux, pour que la fraction soit réduite a ses moindres termes ; on aura donc la quantité + B desorte qu’on aura à résoudre l’équation A p* -f- Bq* = z* , en supposant p , q et z des nombres entiers. Or je dis qu’il faudra que q soit premier à A, et que p ^ soit à B ; car si q et A avaient un commun diviseur, d ^ clair que le terme Bq* serait divisible par le carré de ce div 1 : seur ; et que le terme Ap* ne serait divisible que par la p re j mière puissance du même diviseur, à cause que q et p s ° nt premiers entre eux, et que A est supposé ne contenir aucu 11 j facteur carré ; donc le nombre Ap* -f- Bq* ne serait divi slD ! qu’une seule fois par le diviseur commun de q et àeA> P ar , conséquent, il serait impossible que ce nombre fût un carre ’ i On prouvera de même que p et B ne sauraient avoir al,cU1 \ diviseur commun. Résolution de l’équation Ap“ -(- Bq a — z* en nombres enhc ,s ' 5a. Supposons A plus grand que B, on écrira cette éq u tion ainsi, Ap* ‘ — Bq* et on remarquera que comme les nombres p, q être entiers, il faudra que z *—> Bq* 6oit divisible par z doivent ADDITIONS. 3qi Donc, puisque A et q sont premiers entre eux, (art précédent), on fera, suivant la méthode du § IV, art. 48 ci- dessus , z = nq — Aq ', n et q' étant deux nombres entiers indéterminés; ce qui changera la formule z 3 — Bq 2 en celle-ci, ! ( n* — B ) q 1 — znAqq 1 4- A*q *, dans laquelle il faudra que n *— B soit divisible par A , en A prenant pour n un nombre entier non j> —. On essaiera donc pour n tous les nombres entiers qui ne surpassent pas —, et si on n’en trouve aucun qui rende n* — B divisible par A , on en conclura sur-le-champ que l’équation Ap* — 7? — Bq* n’est pas résoluble en nombres entiers, et qu’ainsi la quantité Ay* -f- B ne saurait jamais devenir un carré. Mais si on trouve une ou plusieurs valeurs satisfaisantes de n, on les mettra l’une après l’autre à la place de n, et on poursuivra le calcul comme on va le voir. Je remarquerai seulement encore qu’il serait inutile de don- 'ter aussi à n des valeurs plus grandes que — ; car nommant n J} ,l ", n 111 etc. les valeurs de n moindres que— , qui rendront —B divisible par A, toutes les autres valeurs de n qui Pourront faire le même effet, seront renfermées dans ces formules , n'Aip'A, n"Aip"A, n'"Aip'"A etc. (article 47 du § IV) ; or substituant ces valeurs à la place de n dans la formule ( n" — B ) q* — znAqq' -f- A"q* , c’est - à - dire {nq — Aq')* — Bq", il est clair qu’on aura les mêmes résul- 4 5f)9 ADDITIONS, fats que si on mettait seulement n 1 , n ' 1 , n'" etc. à la place de n, et qu’on ajoutât à q 1 les quantités zqz u'q, zf p 11( ! > rpp in <7 etc. desorte que, comme q 1 est un nombre indéterminé, ces substitutions ne donneraient pas des formules différentes de celles qu’on aura par la]simple substitution des valeurs n 1 , ' n", n 1,1 , etc. 53 . Puis donc que n *— B doit être divisible par A, soit ^ 1 le quotient de cette division, ensorte que J - AA' — n*~B\ et l’équation Ap 2 =-z 1 — Bq* —(n 1 — B)q* — znAqq 1 — A*q *, étant divisée par A , deviendra celle-ci, p* = A'q* — snqq 1 -f- Aq*, où A 1 sera nécessairement moindre que A, à cause que A 1 = n* — B et que B<^A,etn non . Or i°. si A' est un nombre carré, il est clair que cette équation sera résoluble par les méthodes connues, et l’on e ° aura la solution la plus simple qu’il est possible, en faisant <7 l = o, <7=1, p=\/A'. 2°. Si A 1 n’est pas égal à un carré , on verra si ce nombre est moindre que B , ou au moins s’il est divisible par « n nom bre quelconque carré , ensorte que le quotient soit mom que B, abstraction faite des signes ; alors on multiplier 3 l° v ^ e l’équation par A 1 , et l’on aura, à cause de AA' —’ A'p 1 = ( A'q — nq' )* ~ Bq* ; ADDITIONS. 3g 3 desorte qu’il faudra que Bq 1 -f- A'p À soit un carré •, donc divi- *ant par et faisant °n aura à rendre carrée la formule Bÿ 1 -(- C , laquelle est, comme l’on voit, analogue à celle de l'article a. Ainsi, si C contient un facteur carré y *, on pourra le supprimer, en ayant attention de multiplier ensuite par y la valeur qu’on trouvera Pour jd, pour avoir sa véritable valeur; et l’on aura une formule qui sera dans le cas de celle de l’article 5i , mais avec cette différence que les coefftciens B et C de celle-ci seront Moindres que les coelliciens A et B de celle-là. 54. Mais si A' n’est pas moindre que B, nine peut le devenir, en le divisant par le plus grand carré qui le mesure , alors on fera q=vq' + (j n , *t substituant cette valeur dans l'équation, elle deviendra ou et p*—A'q* — 2 n'q"q' A"q* j n' = n — vA 1 , A" — A'v* — 2 nv -f -A — ” A 1 On déterminera, ce qui est toujours possible, le nombre A' e utier v , ensorte que n 1 ne soit pas —, abstraction faite des ^SPes, et alors il est clair que A" deviendra < A ', à cause de A n n 1 — B A 5.94 et de additions. 1 A 1 B = ou <■ A 1 , n = ou <( —. a On fera donc ici le même raisonnement que nous avons fait dans l’article précédent, et si A n est carré, on aura la résolution de l’équation; si A“ n’est pas carré, mais qu’il soit < B ou qu’il le devienne , étant divisé par un carré, on multipliera l’équation par A“, et on aura, en faisant la formule By* -f- C, qui devra être un carré, et dans laquelle les coefliciens B et C, (après avoir supprimé dans C les diviseurs carrés, s’il y en a), seront moindres que ceux de l a formule Ay a -f- B de l’art. 5i. Mais si ces cas n’ont pas lieu, on fera, comme ci-dessus, q' = v'q" -f- g 111 , et l’équation se changera en celle-ci, ou «t 111 1 1 1 1 1 t = A 11 g a — 27i“g I1 g 1 “ -j- A q*, n" = n' — i i'A", A' u = A n V — 2«V -f A 1 — n a — B A n - On prendra donc pour v’ un nombre entier, tel que n ne A 11 1 st soit pas ]> abstraction faite des signes ; et comme Æ ne pas A 11 , (hyp .), il s’ensuit de l’équation A nl n' — B ~ A n ADDITIONS. 3q5 que A ln sera ou bien, à cause que i3 9 est > i3, on fera y = -, P nar avoir — 13 9 p a -f- i3 9 “ = z 2 , équation qu’on écrira ainsi, — i3 9 p a = a 2 — i3q*. On fera, (art. 52), z = nq — 1 3 9 q*, et il faudra prendre pour n un nombre entier non c est-à-dire <70, tel que » a — i3 soit divisible par 1 3g > 1® ADDITIONS. donne 3 97 n *— i 3 = 1668 = i 3 g. 12; desorte qu’en faisant la substitution et divisant ensuite par — i 3 g, on aura l’équation — 12 q* + a.frqq 1 — i 3 gç a . Or, comme — 12 n’est pas un carré, cette équation n'a Pas encore les conditions requises; ainsi, puisque 12 est déjà moindre que i 3 , on multipliera toute l’équation par — 12, et «lie deviendra — i2p a = (— 12 q + 419 )“ — i 3 g a , desorte qu’il faudra que i 3 q a — 12 p* soit un carré, ou bien, en faisant %-~y, que i 3 y* — 12, en soit un aussi. On voit ici qu’il n y aurait qu’à faire y = 1 ; mais comme «e n’est que le hasard qui nous donne cette valeur, nous allons Poursuivre le calcul selon notre méthode , jusqu’à ce que l’on Arrive à une formule qui soit susceptible des méthodes ordinaires. Comme 12 est divisible par 4, je rejette ce diviseur c arré, en me souvenant que je dois ensuite multiplier la valeur de j* 1 par 2 ; j’aurai donc à rendre carrée la formule i 3 y a — 3 , °u bien, en faisant^ ="> ^ on suppose que r et î sont des Nombres entiers premiers entre eux, ensorte que la fraction r ' s soit déjà réduite à ses moindres termes, comme la fraction q\ p 1 , celle-ci i 3 r“ — 3 s a ; soit la racine z' , j’aurai st je ferai i 3 r a = a a -f- 3 s a , 2 1 = ms — i3f*, 3i)8 ADDITIONS. m étant un nombre entier non > , c’est-à-dire e * tel que m % -f- 3 soit divisible par i3; or je trouve m= 6, ce qui donne m* + 3 = 3g = i3.3; donc substituant la valeur de z l et divisant toute l'équation par i3, on aura ?•“ = 3 s* — a .Sss' -f- r3j a . Comme le coefficient 3 de n’est ni carré ni moindre q ue celui de dans l’équation précédente , on fera, (art. 54) > s = jus‘ + s“, et substituant l’on aura la transformée r* = 3Γ - 2 (6 — 3/* ) * 1 '*s 1 + ( 3/4* — a. -f 13) /• ; on déterminera (/. t ensorte que G —3a ne soit pas 2, et ^ est clair qu’il faudra faire y. — 2 , ce qui donne G — 3/-i = o ; et l’équation deviendra laquelle est, comme l’on voit, réduite à l’état demandé, p ll j s '’ que le coefficient du carré de l’une des deux indéterffli Iiee * du second membre est aussi un carré. On fera donc, pour avoir la solution la plus simpl e ( I U est possible, et de là addition*. 3gg mais nous avons vu qu’il faut multiplier la valeur de y 1 par ü ; ainsi on aura y = 1 •> donc, en rétrogradant toujours, on aura jj"— 1 > donc q'=p; donc l’équation donnera donc donc — 12 // =(— i2q +4iq'y — i3q\ (— 129 -f 4 ipY = p*-, — îzq -]-4 l P —P> 0VL mq — 4°P> v _2__ i o . y — p — ■> — s > *Daïs comme il faut diviser la valeur de^ par 2, on aura y=% ; Ce sera le côté de la racine de la formule proposée 7 + i5jc i 3 x“; ainsi faisant cette quantité = on trouvera par ^ résolution de l’équation, d’où On a6x + i5 = dt. x = — $, ou = — aurait pu prendre aussi A **■ l’on aurait eu divisant par a, donc 12<7 + 4 >P = — Pt 19 ,) 7 + i 5 j? + i 3 x* = (&)•, ADDITIONS. 400 on trouvera donc 2(xr -f- i5 = ±:§; X—— -ci, OU =— ; Si on voulait avoir d’autres valeurs de a:, il n’y aurait q u a chercher d’autres solutions de l’équation r 2 = 3 s“ -f- s*, ,a ~ quelle est résoluble en général par les méthodes connues; niais on peut aussi, dés qu’on connaît une seule valeur de x , en de* duire immédiatement toutes les autres valeurs satisfaisantes de x par la méthode expliquée dans le chapitre IV du traite précédent. R E M A R Q'iJ E. 57. Supposons en général que la quantité a + &;c + / devienne égale à un carré g 2 , lorsque x =f, ensorte que 1 0,1 ait 0 + bf+ cf> = g 2 ; donc G=g a — bf— cf 2 ; desorte qu’en substituant cette valeur dans la formule propose 6 » elle deviendra g 2 -f b(x-f)- f-c(x 2 —/ a ). Qu’on prenne g -f- m (x —/) pour la racine de cette er à 07 , pour que la formule proposée devienne un carré; car quel que soit le nombre carré auquel cette formule peut e tre égale, il est visible que la racine de ce nombre pourra toujours être représentée par g -f- m(x — f) , en donnant à m Une valeur convenable. Ainsi quand on aura trouvé par la méthode expliquée ci-dessus une seule valeur satisfaisante de as, il n y aura qu’à la prendre pour f, et la racine du carré qui en résultera, pour g ; l’on aura , par la formule précédente, toutes les autres valeurs possibles de x. Dans l’exemple précédent on a trouvé „ — 1 -, -a- . . y — 3 > *— 3 > Uinsi on fera s» et l’on aura 1 q — 1 Om — 2/71* X 3 ( m 2 — 13 ) ’ c’est l’expression générale des valeurs rationnelles de as, qui Peuvent rendre carrée la quantité 7 -}- i5.r -f- i3as 2 . EXEMPLE IL 58. Soit encore proposé de trouver une valeur rationnelle de y , telle que 23y“ - 1 — 5 soit un carré. Comme 23 et 5' ne sont divisibles par aucun nombre carré , il n’y aura aucune réduction a y faire. Ainsi èn faisant il faudra que la formule 23p* — 5 q 2 devienne un carré «* ; de *°rte qu’on aura l’équation 23p* = »*-{- 5q 2 . a. Ce ADDITIONS. 4 02 On fera donc z = nq — a5(jf', et il faudra prendre pour n un nombre entier non que n a -f- 5 soit divisible par 23. Je trouve n = 8, ce qui donne n 1 -f- 5 = s3.3, et cette valeur de n est la seule qui ait les conditions requis 65. Substituant donc 8q —23 q' à la place de z, divisant toute l’équation par 23, j’aurai celle-ci, p* = 3q* — 2.8 qq' -\-23q* , / dans laquelle on voit que le coefficient 3 est déjà moindre q 116 la valeur de B qui est 5, abstraction faite du signe. Ainsi on multipliera toute l’équation par 3, et l’on aura 3p*~Ç3q — 8 q 1 )* + 5 q*-, ( 7 * 1 desorte qu’en faisant — —y , 1 * il faudra que la formule — 5y* -f- 3 soit un carré ficiens 5 et 3 n’admettent aucune réduction. où les coef' 1 f Soit doncj = -, (r et s sont supposés premiers entre eu*; au lieu que q l et p peuvent ne pas l’être) , et l’on aura à reno carrée la quantité — 5r a -j- 3 s 1 ; desorte qu’en nommant racine z'. on aura 3 a. — 5r* -j-3i“=î 3 , et de là— 5r“ —z* — 3 s*. On prendra donc . 1 z' -=^ms -f- 5 j , et il faudra que m soit un nombre entier non j> f , et ^ — 3 soit divisible par 5; or c’est ce qui est impossible» ADDITIONS. 4°5 ne pourrait prendre que m~ î ou = 2, ce qui donne 7U 1 — 3 = — 2 ou = i. Ainsi on en doit conclure que le problème n ? est pas résoluble, c’est-à-dire qu’il est impossible que la formule soy 1 — 5 puisse jamais devenir égale à un nombre carré, quelque nombre que l’on substitue à la place de^y. COROLLAIRE. 5 g. Si on avait une équation quelconque du second degré a deux inconnues, telle que a bx -f- ty + dx 1 -f- exy -\-fy * = o, et que l’on proposât de trouver des valeurs rationnelles de x et y qui satisfissent à cette équation, on y pourrait parvenir, lorsque cela est possible, par la méthode que nous venons d exposer. En effet, si on tire la valeur dey en x , on aura s fy -f-ex-t-c=v/((c-}-ex) î — 4 f( a ~bbx- 1- d.r 1 )), °u bien en faisant a. = c a — 4 a f> & = ace — 4^f, y~e* — 4 ( tf> sfy + ex + c = \Z(a. -f- -f- yx *) ; 'lasorte que la question sera réduite à trouver des valeurs de * qui rendent rationnel le radical /{a + (ix -f- yx 2 ). REMARQUE. Go. Nous avons déjà traité ce même sujet, mais d’une ma- n 'èr e un peu différente , dans les Mémoires de l’Académie des S ùences de Berlin pour l’année 1767, et nous croyons être les 4c 4 ADDITIONS, premiers qui ayons donné une méthode directe et exempte de tâtonnement pour la solution des problèmes indéterminées du second degré. Le lecteur qui sera curieux d’approfondir cette matière, pourra consulter les Mémoires cités, où il trouvera surtout des remarques nouvelles et importantes sur la recherche des nombres entiers qui, étant pris pour n , peuvent rendre 7i a — B divisible par A, A et B étant des nombres donnes. On trouvera aussi dans les Mémoires pour les années i 77° et suivantes, des recherches sur la forme des diviseurs de* nombres représentés par z 1 — Bq 1 -, desorte que par la forU> e même du nombre A , on pourra juger souvent de l’impossibilité de l’équation Ap 1 = z i — Bq », où Ay 9 -f- B = à un carré, ( art. 5a ). , ADDITIONS. 4o5 PARAGRAPHE VI. Sur les doubles et triples égalités . Ci. INF O U S traiterons ici en peu de mots des doubles et triples égalités, qui sont d’un usage très-fréquent dans l’analyse de Diophante, et pour la solution desquelles ce grand géomètre et ses commentateurs ont cru devoir donner des règles particulières. Lorsqu’on a une formule contenant une ou plusieurs inconnues à égaler à une puissance parfaite, comme à un carré ou à un cube, etc. cela s’appelle, dans l’analyse de Diophante, une égalité simple ; et lorsqu’on a deux formules contenant la niême ou les mêmes inconnues à égaler chacune à des puissances parfaites, cela s’appelle une égalité double, et ainsi de suite. Jusqu’ici on a vu comment il faut résoudre les égalités simples où l'inconnue ne passe pas le second degré, et où la puissance proposée est la seconde, c’^st-à-dire le carré. Voyons donc comment on doit traiter les égalités doubles et triples de la même espèce. 62. Soit d’abord proposée cette égalité doublée , a -f- hx = à un carré c -f- dx =; à un carré , où l’inconnue xne se trouve qu’au premier degré. Faisant a -f bx — t 2 et c + dx= u 2 , et chassant x det 3 4 oS ADDITIONS, ces deux équations, on aura ad — bc =: dt* — bu* ; donc dt 1 — bu* -f- ad — bc, et (dt)* = (ééu 2 -f-(ad — bc) d ; desorte que la difficulté sera réduite à trouver une valeur rationnelle de u, telle que dbu* + ad* — bcd devienne un carré. On résoudra cette égalité simple par la méthode exposée ci- des’Sus, et connaissant ainsi u on aura u* — c X = " d ' Si l’égalité doublée était ax* -j- bx ~ à un carré cx a -f- dx = à un carré, il n’y aurait qu’à faire i x = —, x 1 et multiplier ensuite l'une et l’autre formule par le carré £*> on aurait ces deux autres égalités a -j- bx = à un carré, c + dx = à un carré, qui sont semblables aux précédentes. Ainsi on peut résoudre en général toutes les égalités do«h^ eS où l'inconnue ne passe pas le premier degré , et celles où 1 in connue se trouve dans tous les termes, pourvu qu’elle ne pas le second degré ; mais il n’en est pas de même lorsqu e § des égalités de cette forme, a -{- bx -f- c.v* — à un carra « - f- /Sx -f- yx* = à un carré. ADDITION S. 4°7 Si on résout la première de ces égalités par notre méthode, et qu'on nomme yia valeur de x qui rend a -f- bx -f- ex 2 r=au carré g 1 , on aura en général, (art. 5j), fin* — ogm -f- b cf x 1 ■ — ■ -- ‘ 5 m — c donc substituant cette expression de x, dans l’autre formule « -f- &r-f- yx*, et la multipliant ensuite par (m*— c)“, on aura à résoudre l’égalité = à un carré, hx -f- ky ) on ferait ax -}- by = t*, ex -f- dy = u*, hx -f ~hy — s a , «t chassant x de ces trois équations, on aurait celle-ci, (ak — bh)u* — ( ck — ( 1 / 1 ) 1 * — (ad — ch) s*; desorte qu'en faisant u 4o8 ADDITIONS, la difficulté se réduirait à résoudre l’égalité simple, ak — bh ck —r dh âd -cb z ~ïd=Tb = * un carre > laquelle est, comme l’on voit, dans le cas de notre méthode générale. Ayant trouvé la valeur de z, on aura u = tz, et les deux premières équations donneront d — bz a az 1 — c xz= ^7b t ’ y^Td^Tb^ Mais si la triple égalité proposée ne contenait qu’une seule Variable , on retomberait alors dans une égalité où l’inconnue monterait au quatrième degré. En effet, il est clair que ce cas peut se déduire du précédent, en faisant y = i \ desorte qu’il faudra que l’on ait az 1 — c ad — cb * 1 * et parconséqiient az 1 — ç , —;-r = a un carre. ad — cb Or nommant/ - une des valeurs dez qui peuvent satisfah®** Végalité ci-dessus, et faisant, pour abréger, ADDITIONS, on aura en général, (art. 57), fin* — 2 gm + ef Z - «” m — e Donc, substituant cette valeur de z dans la dernière égalité, e t la multipliant toute par le carré de m 2 — e, on aura celle-ci, a(fm 2 — Qgm+efy — c ( m* — e ) a a un carre, ad — cb ou l’inconnue m monte, comme 1 on voit, au quatrième degré. 4 io ADDITIONS. 3 PARAGRAPHE VIL Méthode directe et générale pour trouver toutes les valeurs dey exprimées en nombres entiers, par lesquelles on peut rendre rationnelles les quantités de la forme. ✓(Aj' + B), A et B étant des nombres entiers donnés ; et pour trouver aussi toutes les solutions possibles en nombres entiers des équations indéterminées du second degré à deux inconnues. Addition pour le Chapitre VI. 6*4- (Quoique par la métaode du § V on puisse trouve' des formules générales qui renferment des valeurs rationnelle 5 de y, propres à rendre Ay * -f- B égal à un carré, cependant ces formes ne sont d’aucun usage, lorsqu’on demande pour des valeurs exprimées en nombres entiers; c’est pourquo' nous sommes obligés de donner ici une méthode partie"" j lière pour résoudre la question dans le cas des nombre’ ; entiers. J Soit donc Ay 1 + B = x ; et comme A et B sont supposés des nombres entiers, et q ue $ ADDITIONS. 4 11 doit être aussi un nombre entier, il est clair que x devra être pareillement entier; desorte qu’on aura à résoudre en nombres entiers l’équation x“ — ey“ = B. Je commence par remarquer ici que si B n'est divisible par auc un nombre carré, il faudra nécessairement que _y soit premier à B ; car supposons, s’il est possible, que y et B aient ÜQ e commune mesure «t, ensorte que 1 y — c/y, B — *B X ; donc on aura or 1 = AeFy 1 — *B l , d où i] s’ensuit qu’il faudra que x 2 soit divisible par ce ; et comme * n’est ni carré ni divisible par aucun carré (ùyp.) , à cause *lue a. est facteur de B , il faudra quex soit divisible par a; disant donc x — ctx , °n aura cfx 1 — <*?Ay 2 -f- “-B' , 011 bien en divisant par <*, «.x? = o-Ay % -f- B 1 ; 11 °ù l’on voit que B 1 devrait encore être divisible par •*, ce est contre l’hypothèse. Ce n’est donc que lorsque B contient des facteurs carrés ^ u e y peut avoir une commune mesure avec B ; et il est facile d e voir par la démonstration précédente, que cette commune lîle sure de y et de B ne peut être que la racine d’un des fac- teu rs carrés de B , et que le nombre x devra avoir la même c °tnmune mesure ; ensorte que toute l’équation sera divisible t‘ ar le carré de ce commun diviseur de x,y et B, ADDITIONS. 4 ia De là je conclus, i°. que si B n'est divisible par aucun carre, y et B seront premiers entre eux. 2 °. Que si B est divisible par un seul carré a*, y pourra être premier à B, ou divisible par a, ce qui fait deux cas qu’il faudra examiner séparément ; dans le premier cas on aura à résoudre l’équation x* — Ay* = B, en supposant y et B premiers entre eux; dans le second, ° B aura à résoudre l’équation x* — Ay* = B ', B 1 étant —~ t t en supposant aussi y et B' premiers entre eu*> mais il faudra ensuite multiplier par a les valeurs qu’on «u ,,a trouvées pour_y et x, à l’effet d’avoir les valeurs convenable a l’équation proposée. 3°. Que si B est divisible par deux différens carrés, a“ et Æ > on aura trois casa considérer; dans le premier, on résou — et si parmi ceux-ci on n’en trouve aucun qui satisfasse, on conclura d’abord qu’il est impossible que?t a — A puisse etre divisible par B, et qu’ainsi l’équation proposée n’est pas resoluble en nombres entiers. Mais si on trouve de cette manière un ou plusieurs nombres satisfaisans, on les prendra l’un après l’autre pour n, ce q lU donnera autant de différentes équations qu’il faudra traite 1 séparément, et dont chacune pourra fournir une ou plusieurs solutions de la question proposée. Quant aux valeurs de n qui surpasseraient celle de B —'y 2 o n en pourra faire abstraction, parce qu’elles ne donneraient point d’équations différentes de celles qui résulteront des va' leurs de n qui ne sont pas >• —, comme nous l’avons déjà mot 1 ' tré dans l’art. 52 . Au reste, comme la condition par laquelle on doit déterminer n est que n 1 — A soit divisible par B , il est clair que chaque valeur de n pourra être également positive ou négative > desorte qu’il suffira d’essayer successivement pour n tous l eS nombres naturels qui ne sont pas plus grands que ~, et prendre ensuite les valeurs satisfaisantes de n tant en P^ uS qu’en moins. Nous avons donné ailleurs des règles pour faciliter l a re cherche des valeurs de n qui peuvent avoir la propriété re ^ quise , et pour trouver ces valeurs à priori dans un 6 ran nombre de cas. Voyez les Mémoires de Berlin pour l an ’ ie 1767, pages 194 * 74 - ADDITIONS. 4 ^ Résolution de lÉquation Cy* — anyz -f- Bz 4 = i en nombres entiers. On peut résoudre cette équation par deux méthodes différentes que nous allons expliquer. PREMIÈRE MÉTHODE. 66. Comme les quantités C,n, B sont supposées des nombres entiers, de même que les indéterminées^ et z, il est viable que la quantité Cy a — snyz -f- sera toujours néces- ! airement égale à des nombres entiers; parconséquent l’unité s «va la plus petite valeur qu’elle puisse recevoir, à moins lu elle ne puisse devenir nulle, ce qui ne peut arriver que Wsque cette quantité peut se décomposer en deux facteurs rationnels ; comme ce cas n’a aucune diflïculté , nous en ferons d’abord abstraction, et la question se réduira à trouver valeurs de y et z, qui rendront la quantité dont il s’agit la Plus petite qu’il est possible ; si le minimum est égal à l’unité, aura la résolution de l'équation proposée, sinon on sera ^suré qu’elle n’admet aucune solution en nombres entiers, ^•nsi le problème présent rentre dans le problème III du § II, est susceptible d’une solution semblable. Or comme l’on a ici (a/i) 1 — 4BC = 4^, (®ït. 65), il faudra disting uer deux cas, suivant que A sera P° 8 itif ou négatif. Premier cas lorsque n a — BC = A < o. 67. Suivant la méthode de l’article 3 a, il faudra réduire en Action continue la fraction — , prise positivement; c’est ce ^ °n exécutera par la règle de l’article 4 ; ensuite on formera P ar les formules de l’article 10 la série des fractions conver- f «(lb' ADDITIONS. gentes vers et il n’y aura plus qu’à essayer successive-* luent les numérateurs de ces fractions pour le nombre y , et les dénominateurs correspondans pour le nombre z ; si la pr°" posée est résoluble en nombres entiers, on trouvera de cette manière les valeurs satisfaisantes de y et z; et réciproquement on sera assuré que la proposée n’admet aucune solution etl nombres entiers, si parmi les nombres qu’on aura essayés, il ne s’en trouve point de satisfaisans. Second cas lorsque n a — BC = A > o. 68. On fera usage ici de la méthode de l’art. 35 et ainsi, à cause de E = 4A } on considérera d’abord la quantité, (article 3g), siiiv- a n ±: l /A C 1 dans laquelle il faudra déterminer les signes tant de la val e,,r ^ de n , que nous avons vu pouvoir être également positiv e négative, que de y A , ensorte qu’elle devienne positive ; efl suite on fera le eàlcul suivant : Ç* = f4 P° +Q°, P' Q" P ‘ +Ç>, P“ Ç ,n = [A u P li -}- Q “, P' n 1 t Q*—A P 1 , 1 -" < etc. etc. etc. ADDITIONS. 4’7 et on continuera seulement ces séries jusqu’à ce que deux terme» correspondais de la première et de la seconde série reparaissent ensemble; alors, si parmi les termes de la seconde série > P', P 1 ', etc. il s'en trouve un égal à l’unité positive, ce terme donnera une solution de l’équation proposée , et les Valeurs de y et z seront les termes correspondans des deux séries P° t P 1 , P n , etc. et Q°, , Q" t calculées par les formules de l'art. 25 ; sinon on en conclura sur le champ que ta proposée n’est pas résoluble en nombres entiers. ( Voyez Exemple de l’article 4 °- ) Troisième cas lorsque A = à un catré. 69. Dans ce cas le nombre \/A deviendra rationnel, et la quantité Cy 2 — 2 nyz -f- Bz % pourra se décomposer en deux tacteurs rationnels. En effet cette quantité n’est autre chose ( Cy — nz. ) 2 — AP que celle-ci, 6 laquelle, en supposant A ~ a 2 , peut se mettre sous cette forme , (Cy±(n + a)z)(Cy±;(7i — a)z) . -, • Or comme n s — a 1 = BC-(n-l-a) (n — a), ^ faudra que lè produit de n -f- a par n — a soit divisible par ^ > et parconséquent que l’un de ces deux nombres n -f-a et j 1 "—a soit divisible par un des facteurs de C, et l’autre par e facteur réciproque; supposons donc C = bc et quen-f- a ^fb, et n — a ~gc,f et b étant des nombres entiers , et la quantité précédente deviendra le produit de ces deux facteulB 'uéaires , cy rh_/z et by ± gz-\ donc , puisque ces deux factura sont égaux à des nombres entiers, il est clair que leur Produit ne saurait être = i, comme l’équation proposée le Viande, à moins que chacun d’eux ne soit en particulier Dd 2. 418 additions. s= dz 1 ; on fera donc cy =3 ± 1, iy drgz = db î, et on déterminera par là les nombres y et z ; si ces nombres se trouvent entiers, on aura la solution de l’équation proposée, sinon elle sera insoluble au moins en nombres entiers. SECONDE MÉTHODE. 70. Qu’on pratique sur la formule Cy * — snyz -f- Ite? de-’ transformations semblables à celles dont nous avons fait usage plus haut, (art. 54 ), et je dis qu’on pourra toujours parven' r à une transformée, telle que L-; — iM'Çÿ + iY'î'* les nombres L, M, N étant des nombres entiers dépends' 1 * des nombres donnés C , B, n , ensorte que l’on ait M 3 — LN = n 1 — CB = A, et que de plus 2 M ne soit pas plus grand, (abstraction fa> te des signes) , que le nombre L , ni que le nombre N : les nom' bres £ et ^ seront aussi des nombres entiers, mais dépenda" 8 des nombres indéterminés y et z. En effet soit, par exemple, C moindre que B, et qu on mette la formule dont il s’agit sous cette forme By — anyy' + Bf, en taisant C — B', z—y-, si an n’est pas plus grand que B\ il est clair que cette formule aura déjà d’elle-même les conditions requises; mais si % n e * plus grand que B 1 , alors on supposera y = my l + y“, *" auditions: et substituant on aura la transformée 4i9 où B'y * — nn'y'y" -f~ B"y 7 , n' = n — mB', 1 zmn -f- B Or, comme le nombre m est indéterminé , on pourra, en le supposant entier, le prendre tel que le nombre n — mB 1 ne soit pas plus grand que {B 1 ; alors an 1 ne surpassera pas B\ Ainsi, si 2 n' ne surpasse pas non plus B n , la transformée précédente sera déjà dans le cas qu’on a en vue ; mais si an' est plus grand que B", on continuera alors à supposer y'—m'y" +/“, ce qui donnera la nouvelle transformée 1)111 11111 fi *,a B y 7, — an"y"y'" B y *, n" — n' — m'B", où 1 1 amn -f- B On déterminera le nombre entier m', ensorte que n 1 — m'B" ne soit pas plus grand que —-, moyennant quoi an 1 ' ne surpassera pas B" ; desorte que l’on aura la transformée cherchée > si 2;i u ne surpasse pas non plus B"', mais si 2 ti“ surpasse B"' t on supposera de nouveau y" = «"y 111 -f- y” , etc. etc. Or il est visible que ces opérations ne peuvent pas aller à l’infini; car puisque 2 n est plus grand que B' et que an' ne l’est pas, il est clair que n' sera moindre que n; de meme an' «st plus grand que B", et au" ne l’est pas ; donc n" sera moin*. a 430 ADDITIONS. die que n', et ainsi de suite ; desorte que lea nombres n, n l , «“ etc. formeront une suite décroissante de nombres entiers, laquelle ne pourra parconséquent pas aller à l’infini. On parviendra donc nécessairement à une formule où le coefficient du terme moyen ne sera pas plus grand que ceux des termes extrêmes, et qui aura d’ailleurs les autres propriétés que nous avons énoncées ci-dessus ; ce qui est évident par la nature même des transformations pratiquées. Pour faciliter la transformation de la formule Cy % — 2 nyz -f- Bz 2 en celle-ci, -f- N'F* , je désigne par D le plus grand des deux coefficiens extrêmes C et B, et par D 1 l'autre coefficient, et, vice versâ-, je désigne par ê la variable dont le carré se trouve multiplié par D 1 et part 1 ’ l’autre variable; ensortequela formule proposée prenne cette forme DP — aniP + où D' soit moindre que D ; ensuite je n’aurai qu’à faire le calcul suivant : mz m ‘ = D 1 ’ n 1 D"‘ i i“ D m > n 1 = n—m D 1 D n z= n u =n l — m' D"D' U = n"‘z=n u — m ,1 Z) ul J L> ,v = ri 1 —A ~W~ i 0 ==w 0* + 8 U n “—A y* —Tri 111 t?—A D 1 •=7ri , ô , “+ â ' r etc. etc. etc. où il faut bien remarquer que le signe =, qui est misapi'ès l es lettres m, iri , m n etc. n’indique pas une égalité parfa> te ’ niaik seulement une égalité aussi approchée qu’il est possible, ® A n T) I T I 0 N S. 4îH tant que m , m 1 , m" etc. ne sont que des nombres entiers. Je n’ai employé ce signe = que faute d’un autre signe convenable. Ces opérations doivent être continuées jusqu’à ce que dans la série n, n' , n", etc. on trouve un terme comme n qui, (abstraction faite du signe), ne surpasse pas la moitié du terme correspondant D ** delà série/) 1 , D", IV" etc. non plus que la Moitié du terme suivant D f + \ Alors on pourra faire D-=L t ,l f =N,D t+1 =M, Ê'=;Ÿ, â f + , =:Ç ®u bien D =M, ü t+ ' =L, ~l, è t+ 1 = tr. Nous supposerons toujours dans la suite qu’on ait pris pour J/ le plus petit des deux nombres D f , D? 1 71 - I.'équation Cy 1 — anyz -f- Uz 1 — 1 Se i'a donc réduite à celle-ci, v: — 2 -h ait* = i, ofi A’ 1 — LM — A, et où n-Vn’est ni )> /, ni )> M, (abstraction faite des signes). Or M étant le plus petit des deux coef- Hciens L et M, qu’on multiplie toute l’équation par ce coelli- cieut M, et faisant v == MV — N%, *1 est clair quelle se changera en celle-ci, v 2 — A? ■=. M> o 4aa ADDITIONS, dan* laquelle il faudra maintenant distinguer les deux cas de A positif et de A négatif. Soit i°. A négatif et = — a, a étant un nombre positif» l’équation sera donc u 3 + a; 3 = M, Or, comme A ' 3 — LM— A y on aura a ■=. LM — ; N 1 ; d’où l’on voit d’abord que les nombres L et M doivent être de mêmes signes ; d’ailleurs 2 A r ne doit être ni ]> L ni >• M ; don 0 A’» ^ LM J A 3 ne sera pas > —7- ; donc 4 a = ou > \LM\ et puisque M est supposé moindre que L, ou au moins P a * plus grand que L, on aura à plus forte raison a = ou > J.bf 3 ; donc _ M= ou < \ donc On voit par là que l’équation v % -j- a£ 3 = M ne saurait subsister dans l’hypotbèse que v et £ soient dest> olB bres entiers, à moins que l’on ne fasse o, v> = M, ce qui demande que M soit un nombre carré, Supposons donc et l’on aura ADDITIONS. 4a3 donc par l’équation «n aura e t parconséquent l — o, v~±n-, v = MV — N', desorte que Ÿ ne saurait être un nombre entier, comme il le doit, ( hyp . ) à moins que p ne soit égal à l’unité, soit = ±: 1, parconséquent M =z i. De là je tire donc cette conséquence, que l’équation propose ne saurait être résoluble en nombres entiers, à moins que M ne se trouve égala l’unité positive. Si cette condition a lieu , ®lors on fera g = o, Ÿ = ± i, on remontera de ces valeurs à celles de y et s. Cette méthode revient pour le fond au même que celle de ^article 67, mais elle a sur celle-là l’avantage de n’exiger au- c Un tâtonnement. a 0 . Soit maintenant A un nombre positif, on aura A = N*—LM\ „ . , 1 O/ , . ® r comme 2 V a ne peut pas être plus grand que ——, il est clair 1 Ue l’équation ne pourra subsister, à moin3 que — LM ne 8 °it un nombre positif, c’est-à-dire que L et M ne soient de 8l ë 4 ADDITIONS, 4*4 cm M z= ou <( [/A. * Le cas de M = \/A ne peut avoir lieu que lorsque A est un carré ; parconsêquent ce cas est très-facile à résoudre par la méthode donnée phi» haut (art. 69). Reste donc le cas où A n'est pas carré, et dans lequel o n aura nécessairement 1\1 < A , (abstraction faite du signe de M) ; alors l’équation v*—A%* = M sera dans le cas du théorème de l’art. 38 , et se résoudra pat' conséquent par la méthode que nous y avons indiquée. Ainsi il n’y aura qu’à faire le calcul suivant, Ç° =0, Ç’ p° = 1, fi < \/A P' = < Ql pi -^ '■, I n ' 1 > etc. à un terme ^ à l’unité, il n’y aura qu’à calculer parles formules de * rt - a 5 les termes correspondans des deux séries p', p" f 4ûO A 1) D I I I 0 N J. p m , etc. et q', q n , q ui etc. ce seront les valeurs cherchées de t et u. D’où l’on voit que le même calcul qu’on aura fait pour la résolution de l’équation servira aussi pour celle de l’équation P —Au? = 1. Au reste, tant que A ne passe pas 100, on a les plus p e " tites valeurs de f et u toutes calculées dans la table qui est a la En du chap. VII du traité précédent, et dans laquelle l eS nombres a , m, n, sont les mêmes que ceux que nous app e> Ions ici A , t et u. 74. Désignons par l\ u 1 les plus petites valeurs de f, uà an® l’équation t % — Au? = 1 ; et de même que ces valeurs peuvent servir à trouver de no u velles valeurs de_y et z dans l’équation Cy* — ayz -f- Ut? = 1, de même aussi elles pourront servir à trouver de nouvelles va leurs de t et u dans l’équation i' —Au? — 1, aur* qui n’est qu’un cas particulier de celle-là. Pour cela il n / qu’à supposer C= j , n~. o, ce qui donne ~B = A > et prendre, f, u à la place dej', z, et P, u 1 à la pl ace q. Faisant donc ces substitutions dans les expres s > ons o t j ner de'y et z de l’art. 70, et mettant de plus T, B > à l a P : énérale s lace d* 43t additions. * » u, on aura en général t — Tt' + AFu 1 , u^Tu'+Vi', «t pour la détermination de T et F l’équation T 1 — AV' = î, qui est semblable à la proposée. Ainsi, on pourra supposer T = t\ V=u', qui donnera t = t'-\-Au', u= t'u 1 -f- t l u'. Nommant donc t 11 , u" les secondes valeurs de t et u, on aura , ■ t n = t' -j- Au', u 11 = at'u*. Maintenant il est clair qu’on peut prendre ces nouvelles va- e urs t“, u“ à la place des premières t 1 , u 1 ; ainsi l’on aura f = TV + AVu" , u = Tu" + W, 0V1 l’on peut supposer de nouveau T=t\ V=u', Ce qui donnera t — t'V -f- Au'u", u = t l u ' 1 + uH". ■^■‘usi on aura de nouvelles valeurs de t et u , lesquelles seront t lu = t'V + Au'u n = t' (t 3 -f Z Au'), u' ll =zt'u il +u'V =u’( 3V+ a'u'), ^insi de suite. V A D D I T I O K S. 45 a 75. La méthode précédente ne fait trouver que successi- veinent les valeurs t“, t‘“ etc. u", u' 11 etc. : voyons maintenant comment on peut généraliser cette recherche. On a d’abord t=Tt' + AFu 1 , u = Tu' -f Vt '; d’où je tire cette combinaison , t ± u y/A = ( t l dz ( F±: y î donc supposant T=t', V — u', on aura /” dz u' 1 y A = (*' dr u' y Ay. Qu’on mette à présent ces valeurs de t n et u" à la place & celles de t' et u 1 , l’on aura i dz u y A = ( t 1 rfc u* \/A y (T±.F 1 /A ), où faisant de” nouveau ■ f • T—t', u=u‘, ■ ^ et nommant t'“, u u \ les valeurs résultantes de t et u, viendra t ui ah u" 1 yA-=.(t l dz u 1 1 /Ay. on trouvera de même y- t" ±u"' y A = ( t‘ -f-v VAy i - et ainsi de suite. 1 ' Donc, si pour plus de simplicité on nomme maintenant et V les premières et plus petites valeurs de t, u, Q 116 avons nommées ci-dessus t‘, u 1 , on aura en général t dzu y A = (T ±-F /A) m , additions; 43g ►n étant utt nombre quelconque entier positif ; d’où l’on tire , **• cause de l’ambiguite des signes ^ {T+rvAy + v*say a ( 7*+ W A T— ( T 7 — T'ÿay 1 “Tl 72 ’ Quoique ces expressions paraissent sous une forme irrationnelle , cependant il est aisé de voir qu’elles deviendront ta- tionnelles,en développant les puissances de TdL \/A) caron 0, comme l’on sait, {T±.F\/A) m =z T m ±mT m ~'F/A+ T^'V'A Donc t -fm I m 1 ) 'a +, etc; 2.0.4 u — mT m ~'V -f- m ( m —0^77^) AT m-iyi a.o + + etc . 2.O.4 .5 05 l’on pourra prendre pour m des nombres quelconques entiers positifs. . - ^ ; Il est clair qu’en faisant successivement ni = 1, a, 3 , 4 , etc.' °U aura des valeurs de t et de u , qui iront en augmentant. Dr je vais prouver que l’on aura de cette maniàre toutes les fleurs possibles de t et u, pourvu que 'J' et V en soient les Plus petites. Pour cela il suffit de prouver qu’entre les valeurs * et u qui répondent à un nombre quelconque m, et celles ai Ee V 434 ADDITIONS, qui répondraient au nombre suivant m-f-i, il est impossible qu’il se trouve des,valeurs intermédiaires qui puissent satisfaire à l’équation t* — Au 3 = i. Prenons, par exemple, les valeurs I 111 , n 111 , qui résultent de la supposition de m — 3, et les valeurs i lv , u ,v , qui résultent de la supposition m — 4> et soient, s’il est possible , d’autres valeurs intermédiaires 0 et v , qui satisfassent aussi à l’équation i 3 — Au? = i. Puisque l’on a III III IV IV t 3 — Au? — I, P —Au?— I, 0* — Av 3 =l, on aura III III IV IV A — t 3 — A(A — v?), P — l 3 = A{u? — b 3 ), d’où l’on voit que si 0 P“ et <' P v , on aura aussi v )> a 111 et < u'\ De plus on aura aussi ces autres valeurs de t et u, savoir t=er — Avu'\ u = 0u ,v — vt”, qui satisferont à la même équation f* — Au? =r i ; car en les y substituant, on aurait IT IV (flt de même, si on considère la quantité t m u lr — u 111 t ,y elle pourra aussi, à cause de m ni t*—Au.* = i } se mettre sous la forme u ly , u ln t lu 4- «“* VA * w + «" \/ Or il est facile de voir que la quantité précédente doit être plus petite que celle-ci, à cause de ê > t ui et u > u 111 ; donc on aura une valeur de u, qui sera moindre que la quantité t L "u' T —ii ni I lv ; mais cette quantité est égale à F• car m - (T+r\/Ay + ( T-Vs/AY 2 % (T+F[/Ay + (T- -FÿAy fl (T+ F S/A'f — {T — ' # VS/A'Ÿ 2 ÿA » (.T+rs/Ay—(T— ■ fva)\ » a Ÿ A t m u lv — t' T u 111 = (T—WA)KT+ F VAY — {T—WA^i T+Pi/A)* — a ]/A ---- ADDITIONS. 45G de plus iT—rV4)KT+ry/Ay — {T' — AV"? = i, puisque T'-AV'— i, ( hypoth. ) ; donc ( t — v ^) 3 x ( t+ v va y = , et "■ {T — VVAy-\-{T+V]/Af=T—VVA-, desorte que la valeur de Vu" 1 — «"7 1V se réduira à VA __ ^V A Il s’ensuivrait donc de là qu’on aurait une valeur de u V> ce qui est contre l’hypothèse, puisque V est supposé la plus petite valeur possible de u. Donc,il ne saurait y avoir de valeurs de t et u intermédiaires entre celles-ci, t'" , t" 1 et u'“ > il 1 '' . Et comme de raisonnement peut s’appliquer en général a toutes valeurs de t ét"u qui résulteraient des formules ci-dessus , en ÿ faisant m égal à un nombre entier quelconque, ° a en peut conclure qife—cès formules renferment effective® 611 * toutes les valeurs possibles de t et u. Au reste il- est inutile de remarquer que les valeurs de t et de u peuvent être également positives ou négatives ; car cela est visible par l’équation même f — Au % =zi. De la manière de trouver toutes les solutions possibles, cn nombres entiers, des équations indéterminées du secon degré à deux inconnues. 7 S. Les méthodes que nous venons d’exposer sufliseat p our ADDITIONS. £Ï7 la résolution complète des équations de la forma Ay* + B — ; mais il peut arriver qu’on ait à résoudre des équations du second degré d’une forme plus composée ; c’est pourquoi nous croyons devoir montrer comment il faudra s’y prendre. Soit proposée l’équation ■ at* -J- brs -f- es * -J- dr -f- es -\-f= O, où a, b , c , d, e ) f, soient des nombres entiers donnés, et où r et s soient deux inconnues qui doivent être aussi de* nombres entiers. J’aurai d’abord, par la résolution ordinaire , an? + bs -| -d=zÿ ((bs +d)* — i,a (cs a + es-j- d)) } d’où l’on voit que la difficulté se réduit à faire ensorte que — 4 a (+ es -f- d } ... «oit un carré. Supposons pour plus de simplicité — 4ac = A , bd — 2 ae = g, d* — 4 a f — h j et il faudra que As 1 -f- agi + h soit un carré ; supposons ce carré ensorte que l’on ait l’équation -As* + sgi + h —y\ et tirant la valeur de s , on aura As + g = 1/ + Ah)\ 3 438 ADDITIONS. desorte qu’il ne s’agira plus que de rendre carrée la formule Ay'+g-Ah. Donc si on fait encore g'—Ah=B i on aura à rendre rationnel le radical V{Ay' + ny, c’est à quoi on parviendra par les méthodes données. Soit V (Ay + /?)=x, «nsorte que l’équation à résoudre soit A y *-(- B — x*, l’on aura donc A s + g= ± x-, d’ailleurs on a déjà 2 ar -f- bs -f- d — dzy ; ainsi dès qu’on aura trouvé les valeurs de x et y , on aura celles de rets par les deux équations ±; y — d — bs T— - ± -. Or comme r et s doivent être des nombres entiers, il est visible qu’il faudra i°. que x et y soient des nombres entiers aussi ; 2°, que dr x — g soit divisible par A, et qu’ensuite dzy — d — bs le soit par ua. Ainsi, après avoir trouvé toutes Jes valeurs possibles de x et y en nombres entiers, il rester^ ADDITIONS. 4^9 «ncore à trouver parmi ces valeurs , celles qui pourront rendre ret s des nombres entiers. Si A est un nombre négatif ou un nombre positif carré , nous avons vu que le nombre des solutions possibles en nombres entiers est toujours limité ; desorte que, dans ces cas, il n’y aura qu'à essayer successivement pour x et y les valeurs trouvées, et si l’on n’en rencontre aucune qui donne pour r etr des nombres entiers, on en conclura que l’équation proposée n’admet point de solution de cette espèce, La difficulté ne tombe donc que sur le cas où A est-un nombre positif non carré, dans lequel on a vu que le nombre des solutions possibles en entiers, peut être infini; comme l’on aurait dans ce cas un nombre infini de valeurs à essayer, on ne pourrait jamais bien juger de la résolubilité de l’équation proposée , à moins d’avoir une règle qui réduise le tâtonnement entre certaines limites; c’est ce que nous allons rechercher. 77. Puisqu’on a, (art. 65 ) , x — ny — Z?a, et, (art. 72), y~pt — ( Bq — np)u, z=qt-+- (Cp — nq)u, il est facile de voir que les expressions générales de r et s seront de cette forme, _ , en faisant le meme calcul qu’auparavant, mais en prenant A A 2 à la place de A ; or, comme ces valeurs satisfont aussi à l’équation t 2 — Au? = 1, elles seront nécessairement renfermées dans les formules de l’art. 75. Ainsi il y aura nécessairement une valeur de m qui; rendra l’expression de u divisible par A. Qu’on dénote cette valeur de m par (a. , et je dis que si dans, les expressions générales de t et u de l’article cité , on fait TJI—Q.U., la valeur de u sera divisible par A, et celle de t étant divisée par A, donnera i pour reste. Car si on désigne par 7’ 1 et V 1 les valeurs de t et u, ou m—y., et par T 11 etV" celles où 771 = 2,2, on aura (art. 75 )> T'±.V' \/A—{T±.V\/AŸ, T"±V"S/A={T±.V\ > /A')^ donc c T'±.r ■ v-jy — (7'" ±.v" s/a), ç’est-à-dire , en comparant la partie rationnelle du prer» ier piembre avec la rationnelle du second , et l’irrationnelle ADDITIONS. 4^1 l'irrationnelle T"=h + AV\ F"=2T'F 1 ', donc puisque V 1 est divisible par A , V" le sera aussi, e| T n laissera le même reste que laisserait T*\ mais on a T* — AV* — 1 , 1 ( hyp .) , donc T* — 1 doit être divisible par A et même par- 1 J A* } puisque V % Test déjà; donc 7 ,a et parconséquent aussi 7’ 11 étant divisé par A , laissera le reste î. Maintenant je dis que les valeurs de f et u qui répondent à un exposant quelconque m étant divisées par A , laisseront les mêmes restes que les valeurs de t et u, qui répondraient à l’exposant m -f- 2 [a. Car désignant ces dernières par 0 et v ^ on aura t±u\fA=(T± Vs/Af 1 , flrfcu \/A = {T±.V\/Af l ' , *‘ iy '-, donc «=tv \/A-{t±u ÿA)(T±FÿA) v *i mais nous venons de trouver ci-dessus ' T‘ dzV" \ZA = (T±WAyf*-, donc on aura è±v VA=(t±.u\/A)(T 1 ' ±V" {/A}, d’où l’on tire, en faisant la multiplication, et comparant en-, suite les parties rationnelles ensemble et les irrationnelle^ çnsemble, Qz=:tTi l + AuV» , -f- uT l \ ^3 ADDITIONS. Or V " est divisible par A , et T 11 laisse le reste i ; don» A laissera le meme reste que £, et v le même reste que u. Donc, en général, les restes des yaleurs'de t et u répondante» aux exposans m-f-2p, m ~h etc. seront les mêmes que ceux des valeurs qui répondent à l’exposant quelconque m. / De là on peut donc conclure que si l’on veut avoir les res- tes provenans de la division des termes t', t“, t ul etc. et u' , u 11 , u"+ etc. qui répondent à m= 1, a, 3 , etc. par le nom* bre A , il suffira de trouver ces restes jusqu’aux termes , et u inclusivement; car, après ces termes, les mêmes restes reviendront dans le même ordre, et ainsi de suite à l’infini. Quant aux termes et , auxquels on pourra s’arrêter , ce seront ceux dont l’un u 2fl sera exactement divisible par A , et dont l’autre £ 2< “ laissera l’unité pour reste ; ainsi il n’y aura qu’à pousser les divisions jusqu’à ce qu’on parvienne aux restes 1 et o ; alors on sera assuré que les termes suivans redonneront toujours les mêmes restes que l’on a déjà trouvés. On pourrait aussi trouver l’exposant 2ju. à priori) car il n'y aurait qu’à faire le calcul indiqué dans l’art. 71, n° a, premièrement pour le nombre A, et ensuite pour le nombre A A *'* et si on nomme le numéro du terme de la série P x , P" > P 111 etc. qui, dans le premier cas, sera =1, et ? le numéro <1° terme qui sera = 1 dans le second cas, on n’aura qu’à chercher le plus petit multiple de rr et de />, lequel étant divisa par «r, donnera la valeur cherchée de p. Ainsi si l’on a, par exemple, A — S, A = 3 , pn trouvera dans la table de l’art. 4 1 pour le radical P° = î, P' — — 2, P" = i ; donc ir = 2 ; 443 ADDITIONS. ensuite on trouvera dans la même table, pour le radical K( 6 -.9)= V /5 4» P o_, pi__0 pu_J pin—_ 2> PIV—J pv--5^ P"=i; donc p == 6 ; or le plus petit multiple de 3 et. 6 est S, qui étant divisé par a , donne 3 pour quotient, desorte qu’on aura ici p = 3, 2 p = S. Donc, pour avoir dans ce cas tous les restes de la division des ternies t', t", t ul etc. et u' , a 11 , u 1 ” etc. par 3, ilsuf-? Fira de chercher ceux des six premiers ternies de l’une et de l’autre série; car les termes suivans redonneront toujours les mêmes restes, c’est-à-dire que les septièmes termes donneront les mêmes restes que les premiers, les huitièmes les mêmes restes que les seconds, et ainsi de suite à l’inlini. Au reste il peut arriver quelquefois que les termes t* 1 et aient les mêmes propriétés que les termes , c’est-à-dire que u** soit divisible par A , et que t 1 " laisse l’unité pour reste. Dans ces cas on pourra s’arrêter à ces mêmes termes; car les i M -4* I u*f3 w*4-I u4*3 restes des ternies suivans v , t etc. u ,u etc. seront les mêmes que ceux des termes t 1 , t", etc. u 1 , u n , etc, et ainsi des autres. En général nous désignerons par M la plus petite valeur de l’exposantm, qui rendra t — 1 et u divisibles par A. 79 . Supposons maintenant que l’on ait une expression quelconque composée de t et de u et de nombres entiers donnés (le manière quelle représente toujours des nombres entiers, 444 ADDITIONS et qu’il s’agisse de trouver les valeurs qu'il faudrait donner à l’exposant m , pour que cette expression devînt divisible par un nombre quelconque donné A ; il n’y aura qu’à faire suc- cessiveinent m.-=:i, 2, 3, etc. jusqu’à M\ et si aucune de ces suppositions ne rend l’expression proposée divisible par A on en conclura hardiment qu’elle ne peut jamais le devenir, quelques valeurs qu’on donne km. ( Mais si l’on trouve de cette manière une on plusieurs valeurs demqui rendent la proposée divisible par A, alors nommant N chacune de ces valeurs , toutes les valeurs possibles de m qui pourront faire le même effet, seront A’, A r -f- M, N -f- 2M, N -f- 3 M etc. et en général N -f- a M, a étant un nombre entier quelconque. De même, si l’on avait une autre expression composée de même de t , u et de nombres entiers donnés, laquelle dut être en même temps divisible par un autre nombre quelconque donne A*, on chercherait pareillement les valeurs convenables de M et de N, que nous désignerons ici par M 1 et A 1 ’, et toutes les valeurs de l’exposant m qui pourront satisfaire à la condition proposée, seront renfermées dans la formula A^+a'M 1 , étant un nombre quelconque entier. Ainsi n’y aura qu’à chercher les valeurs qu’on doit donner aux noni^ bres entiers A et A 1 , pour que l’on ?it N + kM = A r 1 -f-Ablf, savoir . Ma — Ma 1 = N 1 — A r , équation résoluble par la méthode de l’article 4 2> Il est maintenant aisé de faire l’application de ce que non» venons de dire au cas de l’art. 77 , où les expressions proposées sont de la forme ctt -J- S>u -f- y, ct't -f? @‘u -f• 5/, e * ^ ea diviseurs sont J et à". Il faudra seulement se souvenir de prendre les nombres t ADDITIONS. 445 et u successivement en plus et en moins , pour avoir tous les cas possibles. REMARQUE. 8 c. Si l’équation proposée à résoudre en nombres entier* était de la forme ar 3 -j- a brs -f- cs a = f, on ypourrait appliquer immédiatement la méthode de l’art. 63 ; car i°. il est visible que r et s ne pourraient avoir un commun diviseur, à moins que le nombre/ne fut en même temps divisible par le carré de ce diviseur; desorte qu’on pourra toujours réduire la question au cas où r et s seront premiers entre eux. 3 °. On voit aussi que s et f ne pourraient avoir un commun diviseur, à moins que ce diviseur n'en fdt un aussi du nombre a , en supposant r premier à s ; ainsi on pourra réduire encore la question au cas où s et / seront premier» entre em.-(F'oyez l’art. 64.) Ors étant supposé premier kf, et à r, on pourra faire r — ns — fz, . et il faudra, pour que l’équation soit résoluble en nombres entiers , qu’il y ait une valeur de 11 positive ou négative pas plu» f grande que , laquelle rende la quantité an 1 -f- a bn -f- c divisible par/i Cette valeur étant mise à la place de n } toute l’équation deviendra divisible parjf, et se trouvera réduite au cas de celle de l’art. 65 et suiv. Il est facile de voir que la même méthode peut servir à réduire toute équation de la forme ar " 1 + bf*s -f- cr m - V àf- etc. + ks m =/, b, c etc. étant des nombres entiers donnés, et r et r deus 44'J ADDITIONS; indéterminées qui doivent être aussi des nombres entiers, eti une autre équation semblable , mais dans laquelle le terme tout connu soit l’unité, et alors on y pourra appliquer la méthode générale du § II. (Voy. la remarque de l’art. 3 o.) EXEMPLE I. 81. Soit proposé de rendre rationnelle cette quantité, V ( 3 o + 62$ — 7s a ), en ne prenant pour $ que des nombres entiers ; on aura donc à résoudre cette équation 3 o + 62s — 7 s 1 —y *, laquelle étant multipliée par 7, peut se mettre sous cette forme, 7-3° + (3i )“ — ( 7 S — 3i )* — iy** ou bien en faisant •js — 3 i = x, et transposant x*= 1171 —7y% ou 7y* = 1171. Cette équation est donc maintenant dans le cas de l’art. 64 > desorte qu’on aura ' J = — 7, 5 = 1171; d’où l’on voit d’abord que y et B doivent être premiers entre eux, puisque ce dernier nombre ne renferme aucun facteur carré. On fera, suivant la méthode de l’art. 65 , x = ny — 11712, additions. 447 tet il faudra, pour que l’équation soit résoluble , que l’on puisse trouver pour n un nombre entier positif ou négatif non , c’est-à-dire non > 58 o, tel que n 4 — A ou » 4 -f- 7 soit divisible par B ou par 1171. Je trouve n = i: 3 ai, ce qui donne n* + 7= 1171 X 88; ainsi je substitue dans l’équation précédente rh 3 ui^— 1171* à la place de x , moyennant quoi elle se trouve toute divisible par 1171, et la division faite, elle devient 88y“ q: 64aya -j- 1171Z 4 = 1. • Pour résoudre cette équation, je vais faire usage de la seconde méthode exposée dans l’art. 70, parcequ’elle est en effet plus simple et plus commode que la première. Or comme le coefficient dey' 4 est plus petit que celui de z 4 , j’aurai ici 0=1171, D' = 8 8, n = ± 3 ai ; donc "retenant pour plus de simplicité la lettre y' à la place de 9 , et mettant y 1 à la place de z, je ferai le calcul suivant, où je supposerai d’abord n = 3 ai : 3 a 1 88 ~ 4 , n' = 3 ai — 4.88 = —: — 3 i ___ ii — 3 , n 1 ’ =- 3 l + 3.11 = 2, 2 1 2, n 1,1 =2 — 2.1 — 0 , 3 i“ + 7 H- il +y“> 88 ~ o ill = =*. y=-3y> +y», D i i = ~ = 7, y" = a y Y- + y} T . 443 A t) D 1 T r O N S; v , D' n Puisque rt m = oet parconséquent —— s’arrêtera ici et on fera ^ D'* 6t <— * ort D" 1 = L = 7, 7 i u ' =o = A r > et à cause que Z 3 m est < £) lv . Maintenant je remarque que A étant = — 7 , et parconsé J quent négatif, il faut, pour la résolubilité de l’équation, que l’on ait M= 1 ; c’est ce que l’on vient de trouver; desorté qu’on en peut conclure d’abord que la résolution est possible» On supposera donc \ |=y u = 0, ÿ = y v = ± 13 et l’on aura, par les formules ci-dessus, y* = :± 1, y = qr 3 = z, y = 12 ±; t rp 11 ; les signes ambigus étant à volonté. Donc x = 3 ai y — U71Z = :p: i8j et conséquemment x 4- 3i 18 ou = 4 & = 7 » Or comme on exige que la valeur de s soit égale à un nombre entier, on ne pourra prendre que s — f. Il est remarquable que l’autre valeur de s, savoir y > quor' que fractionnaire , donne néanmoins un nombre entier pourl 3 valeur du radical \/ ( 3 o -f- Gai — 7s 1 ), et le même nombre 11 que donne la valeur s — 7 ; desorte que ces deux val eur * de s seront les racines de l’équation 5 o -f- 62s — 7i a — iai<’ A D D 1 T L O S S. 449 Nous avons supposé ci-dessus n= 52 i; or on peut faire également n= — 321 ; mais il est facile de voir d’avance que tout le changement qui en résultera dans les formules précédentes, c’est que les valeurs de m, m', m n , et de n n 11 , changeront de signe, moyennant quoi les valeurs de y 1 et_y deviendront aussi de différens signes, ce qui ne donnera aucun nouveau résultat, puisque ces valeurs ont déjà d’elles-mêmes le signe ambigu ±. Il en sera de même dans tous les autres cas; desorte qu’on pourra toujours se dispenser de prendre successivement la valeur de n en plus et en moins. La valeur s= 7 que nous venons de trouver, résulte de la valeur de n = dz 321 ; on pourrait trouver d’autres valeurs de s, si on trouvait d’autres valeurs de n qui eussent la condition requise; mais comme le diviseur II = 1171 est un nombre premier, il ne saurait y avoir d’autres valeurs de n de la même qualité, comme nous l’avons démontré ailleurs, ( Mémoires de.Berlin, pour l'année 1767 , page ig4) , d’où il faut conclure que le nombre 7 est le seul qui puisse satisfaire à la question. J’avoue au reste qu’on peut résoudre le problème précédent avec plus de facilité par le simple tâtonnement ; car dès qu’on est parvenu à l’équation ^=1171 — 7y \ il n’y a qu’à essayer pour y tous les nombres dont les carrés multipliés par 7 ne surpassent pas 1171, c’est-à-dire tous les nombres ■< S/—,— < i 5 . Il en est de même de toutes les équations où A est un nombre négatif; car dès qu’on est arrivé à l’équation x*=B + Ay\ où (en faisant A — — a), ** = n — fi j\ Ff 2. 45 o additions. il est clair que les valeurs satisfaisantes de y , s’il y en a, ne pourront se trouver que parmi les nombres < 1/ . Aussi n’ai-je donné des méthodes particulières pour le cas de A négatif, que parceque ces méthodes ont une liaison intime avec celles qui concernent le cas de A positif, et que toutes ces méthodes étant ainsi rapprochées les unes des autres, peuvent se prêter un jour mutuel et acquérir un plus grand degré d’é- vidence. EXEMPLE II. 82. Donnons maintenant quelques exemples pour le cas de A positif, et soit proposé de trouver tous les nombres entiers qu’on pourra prendre pour y , ensorte que la quantité radicale y/( i 3 y 4 + 101 ), devienne rationnelle. On aura ici^ (art. 64) , A = i 3 , B — 101, et l’équation à résoudre en entiers sera x 4 — i 3 y 4 = 101, 1 dans laquelle, à cause que 101 n’est divisible par aucun carré, y sera nécessairement premier à 101. On fera donc, (art. 65 ), x = ny — ioi-s, et il faudra que n 4 — i 3 soit divisible par 101, en prenant n < 5 i. Je trouve n = 35 , ce qui donne n 4 = 1225 , n 4 —i 3 =: 1212 = loi X 12; i ainsi on pourra prendre n = ±; 35 , et substituant, au lieu AUDITIONS. 451 de x, ± 35 )'— îoiz, on aura une équation toute divisible par 101 , qui, la division faite , sera 12y 2 qr joyz + totz 2 = 1. Employons encore, pour résoudre cette équation, la méthode de l’art. 70 ; faisons D' — 12, D — loi j n = ± 35, tnais au lieu de la lettre fl nous conserverons la lettre y, et nous changerons seulement z en y 1 , comme dans l’exemple précédent. Soit, i°. ra = 35 , on fera le calcul suivant: m== ^ = 3 , n'= 35 - 3 ..2=-t, D" ,y= 5 y'+y", m'=ii=3,u"=-i +1 =o,d*= =^=i3,y=/+^. , D 11 D ul Comme n" — o, et consequemmentet < — a ~> ore s’arrêtera ici et l’on aura la transformée Z) 111 y 2 —an'yji 111 -4- D"y u = 1 , ou bien 1 t 111 = 1 . laquelle étant réduite à cette forme 111 y 2 — t 3 y“ =— 1, sera susceptible delà méthode de l’art. 71, n°2; et connue A — i 3 est < 100, on pourra faire usage de la table de l’article 41. Ainsi il »’y aura qu’à voir si dans la série supérieure dis 4 5a additions: nombres qui répondent à \/i3, il se trouve le nombre 1 dans une place paire; car il faut, pour que l’équation précédente •oit résoluble, que dans la série P° , P 1 , P 11 , etc. il se trouve un ternie = — î ; mais on a P°= i, —P‘=4> P n — 3 etc. donc etc. or dans la série î, 4> 3,3,4, i etc. on trouve justement î à la sixième place, ensorte que ■P v = — î ; donc on aura une solution de l’équation proposée, en prenant y 11 = p y , y 1 = q v , les nombres p y , q y étant calculés d’après les formules de l'ai* ticle 25 , en donnant à p ., p 1 , p" etc. les valeurs3, î , î, î , i , 6 etc. qui forment la série inférieure des nombres répon* dansa ^/i3 dans la même table. 1 On aura donc P* — i q° P' = 3 « 7 ‘ P" =p l +P° = 4, q 1 ' p' l, =p' 1 -f- p 1 = 7 q'" p iy =p ul -\-p 11 = n q' y P r =p".+p' ll = 18, q y Donc y» = i8,y> doao y'—y" +y" = 33 , _y = 3y-f-y 1 = 74 . Nous avons supposé ci-dessus 71= 35, mais on pe ilt a ”' w ' prendre n =3 — 35. = o : 1 : 1 ■q" 4 -q l =3 :q'"+q lt =3 : q' y -f- q 111 = 5.’ = 5; 453 additions. Soit donc 2 *. n — — 35 1 on fera c '==r=‘ 3 >/=-/+y'. ainsi on aura les mêmes valeurs de jD" , D U1 et n 11 qu’auparavant , desorte que la transformée en_y" et j ul sera aussi la même. On aura donc aussi y" = ï8, y = 5; donc / _ _y +y " = i3, y = — 2 / +/' =—34: Nous avons donc trouvé deux valeurs de y avec les valeurs correspondantes de y* ou z; et ces valeurs résultent de la supposition de n — + 35 ; or comme on ne peut trouver aucune autre valeur de n qui ait les conditions requises, il s’ensuit que les valeurs précédentes seront les seules valeurs primitives que l'on puisse avoir; mais on pourra ensuite en trouver une infinité de dérivées par la métliode de l’art. 72 . Prenant donc ces valeurs de _y et z pour p et q, on aura en général, ( art. cité ) , y = — C 101 - 2 3 —35-74) u— — 34t + 267 a a = 23t + ( 12.74 — 35.23)u= 23é-J- 83a ou m= —=— 3 , n = — 35 + 3 . 12 1 » m=—<=—1 n "= 1—1=0 —1 * y — — 34( — ( îoi.io — 35.34)w = — 34f— 123a. z— i3 £+(—12.34 + 35.i3)a= i3i + 47 u et il n ’y aura plus qu’à tirer les valsurs de t et it de l’équa- o ADDITIONS tion <“ — i3u a = 1 ; or ces valeurs se trouvent déjà toutes calculées dans la table qui est à la fin du chapitre YII du traité précédent ; on aura donc sur-le-champ t = 649, u = 180 ; desorte que prenant ces valeurs pour T et dans les formules de l’art. 75 , on aura en général (G49 +i 8 o\/i 5 ) w + ( 649—180 V/iS)" 2 (649 + i8oy/i3) M — (649 — 180 y/i5) m U ~ z\/i 5 où l’on pourra donner à m telle valeur qu’on voudra, pourvu qu’on ne prenne que des nombres entiers positifs. Or comme les valeurs de t et u peuvent être prises tant en plus qu’en mains, les valeurs de y qui peuvent satisfaire à la question, seront toutes renfermées dans ces deux formules, y = ± 74* ± 2 6711, = ± 34* ± 1 z 3 u, les signes antbigüs étant à Volonté. Si on fait m — 0, on aura .y = ±74» ou =±34; et cette dernière valeur sera la plus petite,qui puisse résoudre le problème. Nous avons déjà résolu ce même problème dans les Mémoires de Berlin pour l'année 1768, page 240; mais, comme ADDITIONS. 455 nous y avons fait usage d’une méthode un peu différente de la précédente , et qui revient au même pour le fond que la première méthode de l’art. 66 ci-dessus, nous avons cru devoir le redonner ici, pour que la comparaison des résultats qui sont les memes par l’une et l'autre méthode, puisse leur servir de confirmation, s’il en est besoin. EXEMPLE III. 83. Soit proposé encore de trouver dés nombres entiers qui, étant pris pour j', rendent rationnelle la quantité I / (79/+ 1 °0- » On aura donc à résoudre en entiers l’équation —79 y = 101 > dans laquelle y sera premier à toi, puisque ce nombre ne renferme aucun facteur carré» Qu’on suppose donc x — jiy — iotz, et il faudra que n a —79 soit divisible par 101 , en prenant n <. 5i ; on trouve n = 33, ce qui donne n* — i3 = 1010 = 101 X 10 ; ainsi on pourra prendre n—± 53, et ces valeurs seront les seules qui aient la condition requise. Substituant donc :± 33iy — toiz à la place de x , et divi— 4 455 Additions. suit toute l’équation par 101 , on aura cette transformée 10y s qz 66_ya -|- îoiz 2 =' i. On fera donc D l — 10, £>r=ioi, n = ± 53 , et prenant d’abord n en plus , on opérera comme dans l’exemple précédent ; on aura ainsi m=?§= 3 , n'= 33 — 3 . 10 = 3 , D"z=$^=*- 7l y-Zÿ+y". Or comme n* = 3 est déjà <7 — et <"-, il ne sera pas a 2 1 nécessaire d’aller plus loin, ainsi on aura la transformée — 7/ — fy 1 / 1 -f i oy = i, laquelle étant multipliée par — 7, pourra se mettre sous cette forme, ( 7f + 3/ 1 T — 79 f = —7- Puisque donc 7 est<[ 1/79, si cette équation est résoluble, il faudra que le nombre 7 se trouve parmi les termes de la série supérieure des nombres qui répondent à 1/79 dans la tabl e de l’art. 4 1 , et même que ce nombre 7 y occupe une plac® paire, puisqu’il a le signe —. Mais la série dont il s’agit ne renferme que les nombres 1, i 5 , 2, qui reviennent toujours; donc on doit conclure sur-le-champ que la dernière équation n’est pas résoluble, et qu’ainsi la proposée ne l’est pas, au moins d’après la valeur de n = 33 . 11 ne reste donc qu’à essayer l’autre valeur n = — 33, laquelle donnera m=—c— 3 , n'- — 33 -J- 3 .10=— 3 , D" 7, y=— Sy-hP 1 10 ‘ 10 n J 45 7 A D P I T I O N S. desorte qu’on aura cette autre transformée, — 7y' + fy'y" + ïoÿ = i, laquelle se réduit à la forme (7/ - Sy” )* ~ 79Y = ~ 7 y qui est semblable à la précédente. D’où je conclus que l’équation proposée n’admet absolument aucune solution en nombres entiers. REMARQUE. 84. M. Euler , dans un excellent Mémoire imprimé dans le tome IX des nouveaux Commentaires de Pétersbourg , trouve par induction cette règle, pour juger de la résolubilité de toute équation de la forme x 1 — Ay* ■=. B, lorsque B est un nombre premier; c’est que l’équation doit être possible toutes les fois que B sera de la forme 4 An -J- ri, ou 4A11 -f-ri — A ; mais l’exemple précédent met cette règle en défaut; car 101 est un nombre premier de la forme 4 An -f- ri — A, en faisant A = 7 $, n — — 4> r— 38; cependant l’équation ^ — 79^—101 o'admet aucune solution en nombres entiers. Si la règle précédente était vraie, il s’ensuivrait que si l’é* quation a ; 1 — A y* =5 B 458 ADDITIONS, est possible lorsque B a une valeur quelconque b, elle le serait aussi en prenant B = 4 Jn + b, pourvu que B fût un nombre premier. On pourrait limiter cette dernière règle, en exigeant que b fût aussi un nombre premier ; mais avec cette limitation même elle se trouverait démentie par l’exemple précédent ; car on a 101 = 4 An -f- b, en prenant = 79, n =— 2, b = j 33 ; or 733 est un nombre premier de la forme x 1 — 7 $y % > en faisant x = 38 , y — 3 ; cependant 101 n’est pas de la même forme x * — 799?*. ADDITIONS. 45 9 PARAGRAPHE VI. Remarques sur les équations de la forme p 3 = Aq» + i, et sur la manière ordinaire de les résoudre en nombres entiers. 85. J-J A méthode du cliap. YII du traité précédent, pour résoudre les équations de cette espèce, est la même que celle que M. TVallis donne dans son Algèbre, (chap. XCVIII) , et qu’il attribue à Milord Brounker ; on la trouve aussi dans l'Algèbre deM. Ozanam , qui en fait honneur à M. de Fermât. Quoi qu’il en soit de l’inventeur de cette méthode, il est au moins certain que M. de Fermât est l’auteur du problème qui en fait l’objet-, il l’avait proposé comme un défi à tous les géomètres anglais, ainsi qu’on le voit parle comrnercium epistolicum de M. TVallis: c’est ce qui donna occasion à milord Brounker d’inventer la méthode dont nous parlons ; mais il ne paraît pas que cet auteur ait connu toute l’importance du problème qu’il avait résolu ; on ne trouve même rien sur ce sujet dans les écrits qui nous sont restés de M. Fermât , ni dans aucun des ouvrages du siècle passé, où l’on traite de l’analyse indéterminée, Il est bien naturel de croire que M. Fermât, qui s’était principalement occupé de la théorie des nombres entiers, sur lesquels il nous a d’ailleurs laissé de très-beaux théorèmes, avait été conduit au problème dont il s’agit par les recherches ADDITIONS. qu il avait faites Sur la résolution générale des équations de la forme x' = Ay> + B, auxquelles se réduisent toutes les équations du second degré à deux inconnues; cependant ce n’est qu’à M. Euler que nous devons la remarque que ce problème est nécessaire pour trouver toutes les solutions possibles de ces sortes d’équations. (Voyez le chap. VI ci-dessus, le tome VI des anciens Commentaires de Petersbourg , et le tome IX des nouveaux ). La méthode que nous avons suivie pour démontrer cette proposition , est un peu différente de celle de M. Euler , mais aussi est-elle, si je ne me trompe, plus directe et plus générale. Car d'un côté la méthode de M. Euler conduit naturellement à des expressions fractionnaires lorsqu’il s’agit de les éviter ; et de l’autre , on ne voit pas clairement que les suppositions qu’on y fait pour faire disparaître les fractions, soient les seules qui puissent avoir lieu. En effet nous avons fait voir ailleurs qu'il ne suflit pas toujours de trouver une seule solution de l’équation x* = Ay -f- B , pour pouvoir en déduire toutes les autres, à l’aide de I’é— quation f = Aq* - 1 - i ; et qu’il peut y avoir souvent, au moins lorsque B n’est pas un nombre premier , des valeurs de se et y qui ne sauraient etre renfermées dans les expressions générales de M. Euler. ( T r oy. l’art. 45 de mon Mémoire sur les problèmes indéterminés , dans les Mémoires de Berlin, annÿi 1767). Quant à la méthode de résoudre les équations de la p'=Aq' + 1, il nous semble que celle du chap. VII , quelque ingénieuse ADDITIONS. 46l qu’elle soit, est encore assez imparfaite. Car, i°. elle ne fait pas voir que toute équation de ce genre est toujours résoluble en nombres entiers, lorsque a est un nombre positif non carré. 2 0 . Il n’est pas démontré qu’elle doive faire parvenir toujours à la résolution cherchée. M. TVallis a, à la vérité , prétendu prouver la première de ces deux propositions ; mais sa démonstration n’est, si j’ose le dire , qu’une simple pétition de principe. ( Voy . le chap. XCIX de son Algèbre). Je crois donc être le premier qui en ait donné une tout-ù-fait rigoureuse ; elle se trouve dans les Mélangés de Turin, tome IV ; mais elle est très-longue et très-indirecte; celle de l'art. 3j ci-dessus, est tirée des vrais principes de la chose , et ne laisse „ ce me semble, rien à desirer. Cette méthode nous met aussi en état d’apprécier celle du chap. VII, et de reconnaître le9 inconvéniens où l’on pourrait tomber, si on la suivait sans aucune précaution ; c’est ce que nous allons discuter. 86. De ce que nous avons démontré dans le § II, il s’ensuit que les valeurs de p et q qui satisfont à l’équation p' — Acf— 1 , ne peuvent être que les termes de quelqu’une des fraction* principales déduites de la fraction continue qui exprimerait la valeur de {/ A \ desorte que supposant cette fraction continue représentée ainsi, + -m + etc - on aura nécessairement -f* etc. "H t ■Q |*t 3 4 £> D I T I O N S. 45 2 pP étant un ternie quelconque de la série infinie p 1 , p “ , etc. dont le quantième p ne peut se déterminer qu’à posteriori. II faut remarquer que dans cette fraction continue les nombres p, p', p n etc., doivent être tous positifs, quoique nous ayons vu dans l’art. 3 , qu’on peut en général, dans les fractions continues, rendre les dénominatçurs positifs ou négatifs, suivant que l’on prend les valeurs approchées plus petites ou plus grandes que les véritables; mais la méthode du problème I ( art. 23 et suiv. ) , exige absolument que les valeurs approchées p., p', p ", etc., soient toutes prises en défaut. 87. Maintenant, puisque la fraction - est égale à une fraction continue dont les termes sont p, p', p" etc. p? , il est clair , par l’art. 4 , que p sera le quotient de p divisé par q , que p' sera celui de q divisé par le reste, p‘ l celui de ce reste divisé par le second reste , et ainsi de suite ; desorte que nem- mant r, s , t , etc. les restes dont il s’agit, on aura , par la nature de la division, p=pq-\-r, q —p'r -f-s, r — p"s -f t , etc. où le dernier reste sera nécessairement = 0 , et l’avant-dernier = 1 , à cause que p et q sont des nombres premier* entr’eux. Ainsi p sera la valeur entière approchée de -, p' celle de - , p“ celle de - etc., ces valeurs étant toutes r s prises moindres que les véritables, à l’exception de la dernière pP, qui sera exactement égale à la fraction correspondante , à cause que le reste suivant est supposé nul. Or, comme les nombres p, p' y p" , etc., pP, sont le* mêmes pour la fraction continue qui exprime la valeur de , et pour celle qui exprime la valeur de A, on P eut ADDITIONS. 463 prendre, jusqu’au terme pP, R n=Ÿ J > c’est-à-dire, jr“ — Acf — o. . Ainsi on cherchera d’abord la valeur approchée en défaut de ^, c’est-à-dire de j/ A, et ce sera la valeur de p ; ensuite on substituera dans p' — Aq' = o, à la place de p sa valeur pq + r, ce qui donnera — A ) q* -f- a pqr -f- r® = o, «t on cherchera de nouveau la valeur approche en défaut de - , c’est-à-dire de la racine positive de l'équation C t^—A) (j) + ap? + î—o, et l’on aura la valeur de p' On continuera à substituer dans la transformée W — A) q 1 + opqr + t* = o, * la place de q , p 1 r-f- s; on aura une équation dont la racihe f *era on prendra la valeur approchée en défaut de cette r acine, et l’on aura la valeur de p". On substituera p"r -f- f la place de r, etc. Supposons maintenant que tsoit, par exemple, le dernier reste qui doit être nul, s sera l’avant-dernier qui doit = î ; donc si la transformée en r et t de la formule p“— Aq* est 4$4 ADDITIONS. /V + Qst -f- lit *, il faudra qu’en y faisant f = o, sz= 1 elle devienne = 1, pour que l’équation proposée p 4 — Aq* — i ait lieu ; donc P devra être = 1. Ainsi il n’y aura qu’à continuer les opérations et les transformations ci-dessus, jusqu’à ce que l’on parvienne à une transformée où le coefficient du premier terme soit égal à l’unité ; alors on fera dans cette formule la première des deux indéterminées, comme r, égale à 1, et la seconde, comme s, égale à zéro; et en remontant, on aura les valeurs convenables de p et q. On pourrait aussi opérer sur l’équation même P* — Aq*=i, en ayant seulement soin de faire abstraction du terme tout connu 1 , et parconséquent aussi des autres termes tout connus qui peuvent résulter de celui-ci, dans la détermination des valeurs approchées p, p 1 , p -' 1 etc. de - , -, - etc. dans ce cas on essaiera à chaque nouvelle transformation, si l’équation transformée peut subsister en y faisant l’une des deux indéterminées = i et l’autre = o; quand on sera parvenu à une pareille transformée, l'opération sera achevée, et il n’y aura plus qu’à revenir sur ses pas pour avoir les valeurs cher" chées de p et de q. Nous voilà donc conduits à la méthode du chap. VU- ^ examiner cette méthode en elle-même et indépendamment de» principes d’où nous venons delà déduire, il doit paraître assez indifférent de prendre les valeurs approchées de p ., p .', p" etc ‘ plus petites ou plus grandes que les véritables, d’autant q ue * de quelque manière qu’on prenne ces valeurs, celles de r, s > ADDITIONS, 465 t etc. doivent aller également en diminuant jusqu’à zéro, (art. 6 ). Aussi M. Wallis remarque-t-il expressément qu’on peut employer à volonté les limites en plus ou en moins pour les nombres p, p l , p“ etc. et il propose même ce moyen comme propre à abréger souvent le calcul ; c’est aussi ce que M. Euler fait observer dans l’art. 102 et suiv. du chapitre cité; cependant je vais faire voir par un exemple, qu’en s’y prenant de cette manière, on peut risquer de ne jamais parvenir à la solution de l’équation proposée. Prenons l’exemple de l’art. 101 du même chap. où il s’agit de résoudre une équation de cette forme, p* = Gq a + 1, ou bien p a — 6 g“ = 1. On auradonc P = l/Cfy 2 + 0 » et négligeant le terme constant 1, pz=zq\/G-, donc £ = l/ 6 > 2 < 5 ; prenons la limite en moins et faisons p = 2, et ensuite p = aq + ?•; substituant donc cette valeur, on aura donc . —+ 4<7 r“— », 2r-f- (6 r" — 2) q - - -, Gg a. 466 ADDITIONS, ou bien , en rejetant le terme constant — 2 , ar -j- r 1/6 d’ ou q 2 -f V/6 >2<3; r a prenonsde nouveau la limite en moins , et faisons q — la dernière équation deviendra r* — 4rs — 2 s* = i, où l’on voit d’abord qu’on peut supposer s —o, r= î ; ainsi on aura <7 = 2 , p = 5 . Maintenant reprenons la première transformée — aq 1 + 4qr + r* = i, où nous avons vu que ^ >• 2 et < 3, et au lieu de prendre la limite en moins, prenons-la en plus, c’est-à-dire, supposons q — 3r +s, ou bien, puisque s doit être alors une quantité négative, q — 3r — s, on aura la transformée suivante, — 5-f- 8rs — 2 i* — i, laquelle donnera ^4. 5) T ~ ' 5 ADDITIONS, donc négligeant le terme constant 5 , _+ r _4 + V / 6^,^„ --- , 5 Prenons de nouveau la limite en plus , et faisons \ r= as — t, — 6s 1 + 12 st — 5 /“ = î ; 467 on aura donc 6t + \Z(6t a — 6) (3 donc rejetant le ternie — 6 , 6 t+tv 6 s 1/6 *=—; = “ +—>■<“• Qu’on continue à prendre les limites en plus, et qu’on fasse s — at — u, il viendra donc donc — 5+ iat “ — 6u a 1 ; (t _ 6 u -f- i/(6u 3 — 5 ) 5 ; t 6+1/6 > 1 < 2> Faisons donc de même on aura t~2U — X, a u* + 8ux —■ = i 1 donc etc. 3 468 ADDITIONS. Continuant de cette manière à prendre toujours les limite* en plus, on ne trouvera jamais de transformée où le coefficient du premier terme soit égal à l’unité , comme il le faut, pour qu’on puisse trouver une solution de la proposée. La même chose arrivera nécessairement toutes les fois qu’on prendra la première limite en moins, et les suivantes toutes en plus; je pourrais en donner la raison à priori; mais comme le lecteur peut la trouver aisément par les principes de notre théorie, je ne m’y arrêterai pas. Quant à présent il me suffit d’avoir montré la nécessité de traiter ces sortes de problèmes d’une manière plus rigoureuse et plus profonde qu’on ne l’a- vait encore fait. ADDITIONS. 46g i PARAGRAPHE IX. De la manière de trouver des fonctions algébriques de tous les degrés, qui étant multipliées ensemble produisent toujours des fonctions semblables. Addition pour les chapitres XI et XII. 88. Je croîs avoir eu en même temps que M. Euler l’idée de faire servir les facteurs irrationnels et même imaginaires des formules du second degré, à trouver les conditions qui rendent ces formules égales à des carrés ou à des puissances quelconques ; j’ai lu sur ce sujet à l’Académie, en 1768, un Mémoire qui n’a pas été imprimé, mais dont j’ai donné un précis à la fin de mes recherches sur les problèmes indéterminés , qui se trouvent dans le volume pour l’année 1767, lequel a paru en 1769, avant même la traduction allemande de l'Algèbre de M. Euler. J’ai fait voir dans l’endrojt que je viens de citer , comment on peut étendre la même méthode à des formules de degrés plus élevés que le second ; et j’ai par ce moyen donné la solution de quelques équations dont il aurait peut-être été fort difficile de venir à bout par d’autres voies. Je vais maintenant généraliser encore davantage cette méthode, qui me paraît mériter particulièrement l’attention des géomètres par sa nouveauté et par sa singularité. 3 4?0 ADDITIONS. 8q. Soient a et fi les deux racines de l’équation du second degré — as + b = o, et considérons le produit de ces deux facteurs, 0 + «» 0 + 4 », qui sera nécessairement réel ; ce produit sera + O + fi)*y + “■fiy* ; or on a «£ + /S — a, etfi== b, par la nature de l’équation s" — as + b r= o ; donc on aura cette formule du second degré x* + axy + by *, laquelle est composée des deux facteurs x + ay, x + fiy, Maintenant il est visible que si l’on a une formule semblable x a + ax'y 1 + by‘, et qu’on veuille les multiplier l’une par l’autre, il suffira de multiplier ensemble les deux facteurs x + cty , x' + ay>, et les deux x + fiy, x 1 + fiy 1 , ensuite les deux produits l’un par l’adtre. Or le produit de x + ety par x 1 + cty 1 est x.r 1 + et ( xy 1 + y.r 1 ) + et^yy 1 ; mais puisque et est une des racines de l’équation on aura donc s 1 — as + b = o, et “ — an + b = o; et 3 = 0 . 0 . — b\ ADDITIONS. 47 1 donc substituant cette valeur de a 2 dans la formule précédente, elle deviendra xx' — byy 1 + *( yx l + «yy 1 ) ’, desorte qu’en faisant, pour plus de simplicité, X=xx' — b y y 1 , Y =xy‘ -h y* 1 + ayy ', le produit des deux facteurs x -f- *y , a; 1 -f- «y 1 , sera X-f-ctF, et parconséquent de la meme forme que chacun d’eux. On trouvera de meme que le produit des deux autres facteurs, x -y 0y, x 1 + /S y 1 , sera X -f- ; desorte que le produit total sera ( X 4* &Y) ( X -f- £F), savoir X 2 4- aXV 4- bY\ C’est le produit des deux formules semblables, x 2 -f- c.ry 4- by a , a; 2 4" ax 'y' + b y*. Si on voulait avoir le produit de ces trois formules semblables a? 1 -(- axy -f- b y 1 , 1 11 1 x 2 -f" ax y “f” b y *, JI 1111 11 cc 2 4- O.X y il n’y aurait qu’à trouver celui de la formule X* -f* oXY 4- b I * par la dernière i 2 -f ax y -f- by 2 , et il est visible parles formules ci-dessus, qu’en faisant X' — Xx u — bYy", Y 1 = Xy“ 4- Yx" -f- aYy"> . produit cherché serait X 2 4- «xr 4- bY\ 4 4y s additions. On pourra trouver de même le produit de quatre ou d’an plus grand nombre de formules semblables à celle-ci, a-* + axy -f by ', et ces produits seront toujours aussi de la même forme. 90. Si on fait x-x, y ~y , on aura X = x? — by *, Y — axy -f- ay % et parconséquent (x a 4- axy + by'y = X* + aXY+ bY\ Donc, si l’on veut trouver des valeurs rationnelles de A’" et Y , telles que la formule X* -f- aXY -f- 6F a devienne un carré, il n’y aura qu’à donner à A et à Fies valeurs précédentes, et I on aura pour la racine du carré la formule x * 4" axy 4" x et y étant deux indéterminées. Si on fait de plus x 11 = x 1 = x, y" = y 1 = y on aura X'=Xx — bYy, Y‘=Xy+ Yx + aYy, c’est-à-dire en substituant les valeurs précédentes de X et F, X' = x 3 — 3 h 1 y* -f- néy 3 , ï * r= Zx'y -f- 3 axy“ 4- (a* — b )y 3 ; donc (x 4 -f- axy -f by *) 3 = À» + aXY + bY\ Ainsi, si l’on proposait de trouver des valeurs rationnelles de A 1 et F 1 , telles que la formule A a 4 ~ a AF 4 - bY a devînt un cube, il n’y aurait qu’à donner à A et F les valeurs précé- ADDITIONS. JflZ dentes, moyennant quoi on aurait un cube dont la racine serait a' 2 -J- axy -J- by a , x et y étant deux indéterminées. On pourrait résoudre d’une manière semblable les questions où il s’agirait de produire des puissances quatrièmes , cinquièmes etc. ; mais on peut aussi trouver immédiatement des formules générales pour une puissance quelconque m, sans passer par les puissances inférieures. Soit donc proposé de trouver des valeurs rationnelles de X et Y, telles que la formule X 2 -f- aXY -f- bY* devienne une puissance m , c’est-à-dire qu’il s’agisse de résoudre l’équation X* -{- a XY+ bY 1 — Z m . Comme la quantité X 4 + aXY -f- b Y* est formée du produit des deux facteurs X -f etY et X -f- @Y, il faudra , pour que cette quantité devienne une puissance du degré m, que chacun de ses deux facteurs devienne aussi une semblable puissance. Faisons donc d’abord X -f etY = (x -f- «ty) m ; et développant cette puissance par le théorème de Newton, on aura x m -f- 7?ix m ~ ‘y et -f- — -— x m_a y 2 * 4 . m(m — 0(m — 2 ) . -) - i -- x m 3 yV -f- etc. 2 .0 Or, puisque et est une des racines de l’équation s 2 — as -f- b — o, on aura aussi donc a 2 — act-\- b— o ; a* = aa. — b , a? = o * 2 — bet— (a 2 — b) et — ab, = ( a > — b) « 2 — abct = (a 3 — 2 ab) et — a 2 b + b % , 474 ADDITIONS, et ainsi de suite. Ainsi il n’y aura qu’à substituer ces valeurs dans la formule précédente, et elle se trouvera par-là composée de deux parties, l'une toute rationnelle qu’on comparera à X, et l’autre toute multipliée par la racine a, qu’on comparera à aY. Si on fait pour plus de simplicité A' = 1 B' —o A" =r a É" = b A'" — aA" —b A' B'" = aB u — bB' A" = aA'" — b A" B” = aB 1 "— bB » A * =aA" —bA"\ B' =.aB" — bB"', etc. etc. etc. on aura A ~ A 1 A - B' a*=iA 11 a —B ' 1 a 3 = A“ 1 a — B'" a^ = A" a — B'\ etc. Donc substituant ces valeurs, et comparant, on aura X=x m — mx m ~ 1 yB l — ™ ( m -O m(m —» ) (m —2) „ „ -i- ^ - } - x m -y B'“ — etc. 2 » O •vr _ _ , . TTl ( 7)1 ■ 1 Y = mx m ~ y A' -|----x m ~ a y , ’A“ , m(m— i)(m —2) . „ ■+- —j - - x m ~ 3 y 3 A‘ n -f- etc. Or, comme la racine a n’entre point dans les expression» de X et Y, il est clair qu’ayant À'-f aY= (x + Ay) m , ADDITIONS. /fr5 en aura aussi X+É r=(x + %r, donc multipliant ces deux équations l’une par l'autre, on aura X * 4 aXY + bY‘ = (x» + arj + iy*)" 1 , *t parconséquent Z = a; 1 4 axy 4* by*. Ainsi le problème est résolu. Si a était = o, les formules précédentes deviendraient beau- c oup plus simples ; car on aurait A} rrr; i jjxx _q - ■ . Jy ^jx\ —— q ^jfv —— £a jpx — 0 A yil ~ — b 3 etc. - et de même = o, B" = £, B' ll =o,B" z=z— b\ B'— o, B' 1 ' — i 3 etc. donc y—jm m ü.3.4-5 * et ces valeurs satisferont à l’équation Y* 4- £P = (x* 4- by*) m . . 91 . Passons maintenant aux formules de trois dimensions ; Pour cela nous désignerons par a., y les trois racines de Ration du troisième degré, s 3 —C4 S 4 bs — c =0 , 47® ADDITIONS. et nous considérerons ensuite le produit de ces trois facteurs, (x + *y + * 3 z) (x4/2y4/5 a z) (x 4 yy 4> 2 z), lequel sera nécessairement rationnel, comme on va le voir. La multiplication faite, on aura le produit suivant, **+ (* + 0+y)x 3 y + (V + P + y 3 ) x a z +(*/5 + *y+ fiy) xy 3 4 ( 4 ^y 4 4 + y 1 *- 4 xyz 4 ( -j-a u y“ -f- fi‘y‘‘) xz a -f- afiyy 2 4 («*£>' 4 + >- 2 *Æ )y' z ‘ 4 - ( 4 «y/3 + fi y* )_yz a 4 ± 3 ü 3 y'z' ; or par la nature de l’équation on a 44 + $ + > — a, */3 4 “f" ify = &, — c > de plus on trouvera « a 4 ■ fi* -f-y i== («t4*i®"f 4) 1 —-2 (tfj 8 4* et J'4‘$50 =a s — 2 ^> * 2 /3 -f- *“ 3 , 4 - j 8 a <* 4- Æ 2 ^ + y** 4- =( * 4 & + > ) ( ^ 4 £ 3 /) — 3*y = aè — 3c, a 3 fi 3 4 «t *^ 2 4" $ a > 2 == (*Æ "H ^ 4 — 2 (a 4 & + >)*£/ = i 2 — 2 ac > «‘Æj' 4 4 > 2 ^ = (*4/3 4 y)&fiy=ac, î * 1 î qu’on multiplie d’abord x -f- «y + a * z P ar x ' ~f~ 4" «“z 1 , ou aura ce produit partiel xx 1 -|- a. (xy 1 +_yx 1 ) -f- *“ (xz 1 -j- zx* +^y*) + « 3 (.yz*-f-zy>)-f- a'tzz 1 ; or st étant une des racines de l’équation s 3 —* eu* -f- bs — c = o , on aura parconséquent donc et 3 — aa‘ -f~ bet — c — O, «t 3 = a* a — -f- c; «■'izra* 3 — ix*-J- c«t = (a 2 — i)« 2 — (ai—c) a-f‘ ac ; desorte qu’en substituant ces valeurs, et faisant pour abréger == xx 1 — c (yz l -f- zy* ) -f- aezz 1 , ^ — xy 1 -f-jx l — b (yz‘ + zy‘ ) — (ai — c) zz 1 , ■2 = xz 1 -f- zx 1 +_yy‘ -f- a^yz 1 -f- zy 1 )-f- (a 2 — i)zz*, I e produit dont il s’agit deviendra de cette forme , X + ctY-j- “-) (*‘-f yy‘ + )= x+y y -f- y *z • 4?8 ADDITIONS. donc multipliant ces trois équations ensemble, on aura d’un côté le produit des de”'c formules proposées a et de l’autre la formule X* -f — ab) X*Z -f bXY* + {ab — 3c) XYZ + (b‘— 2 ac) XZ‘ + cY 3 + acY“Z + bcYZ‘ + c‘Z 3 , qui sera donc égale au produit demandé , et qui est, comme l’on voit, de la même forme que chacune des deux formule* dont elle est composée. Si on avait une troisième formule telle que celle-ci, x 3 -f- ax*y l ‘ -f- {a — 2 b) a-V 1 -f- bx"y* -j- {ab —3c) x"y"^" -f- ( — 2ac) x"z* -f- cy 3 -f- acy V -J- ity"z a -|- c‘z 3 , et qu’on voulût avoir le produit de cette formule et des deu* précédentes, il est clair qu’il n’y aurait qu’à faire X‘ = Xx" — c ( Yz n + Zy 11 ) + acZz 11 , Y'~Xy n -f-Yx“ — b{Yz" + Zy n ) — {ab — c ) Zz" Z 1 = Xz“ + Zx 11 + Yy" + a {Yz" + Zy 11 ) + (a a — £)Z*“> et l’on aurait pour le produit cherché X J + a XT 1 -f (a 1 — 2 b) bz v + bX' Y % + (ab — 3c) X* Y'Z 1 + (b* — aac) X'Z» + cF 3 -f ccF'Z 1 -f ûtFZ* + c^ 3 ‘ qa. Faisons maintenant --f- — x y y> =y ) z i =:x, nous aurons ^ s X— x* — acyz + ccz a , K = axy — abyz — {ab — c) z 1 , Z = axz -f-y a -f- acyz -f- C a “— ADDITIONS. 479 «t ces valeurs satisferont à l’équation X 3 + aX*Y+ bXY* + c Y a + (a* — o.b) X*Z + (ai—3c) XYZ -f acY'Z + (à 2 — 2 ac) AZ‘ + bcYZ 2 + c 2 Z 3 = V\ en prenant V—x 3 -Y ax*y + iry* + çy 3 + (a* — ai) x“z + (ai—3c) xys _|_ acy'z + ( b* — 2 ac ) xz 2 -f ètyz 2 + c s z 3 ; donc si l’on avait, par exemple , à résoudre une équation de cette forme, X 3 -f aX*Y+ bXY » + cY 3 = V\ a, b , c étant des quantités quelconques données, il n’y aurait *lu’à rendre Z = o, en faisant axs + y* + a «y* + (a 2 — A*) a’ = o , d où l’on tire y 2 -h o.ayz + fa 2 — b) z“ x — — -—-, zz et substituant cette valeur de x dans les expressions précédentes de X, Y et V, on aura des valeurs très-générales de ces quantités , qui satisferont à l’équation proposée. Cette solution mérite d’etre bien remarquée à cause de sa généralité et de la manière dont nous y sommes parvenus, qui * 5 t peut-être l’unique qui puisse y conduire facilement. On aurait de meme la résolution de l’équation * 3 + aX 2 P + (a 1 — ai) X 2 Z' + bX'Y* + ( ab —3c) X'Y'Z' ~h(b i —Qac)X , Z I +cŸ 3 -hacY i Z , + bcY‘Z 1 -j-(fZ 3 =^ 3 t ttl faisant dans les formules ci-dessus . ' ' x u sx 1 = x,y u —y' —y, 2“ = *' = *,* ADDITIONS. 48o et prenant F=x 3 + ax 2 y + (a® — zb ) x“z -f- bxy 1 -f- (ah — 3c) jcy* -j- (b 2 — sac) xz* -f- cy 3 -f- acy 2 z -f- bcyz 2 -f- c 3 z 3 Et on pourrait résoudre aussi successivement les cas où , au lieu de la troisième puissance V 3 , on aurait V*, V 3 etc. ; mais nous allons traiter ces questions d’une manière tout-à-fait générale , comme nous l’avons fait dans l’art, go ci-dessus. g3. Soit donc proposé de résoudre une équation de cette forme , X 3 + aX 2 Y + (a 2 — zb) X 2 Z + bXY 2 -f- ( ab — 3c ) XYZ -h {b 2 — zac) XZ 2 + cY 3 -f acY 2 Z + bcYZ 2 + c 2 Z 3 = V m . Puisque la quantité qui forme le premier membre de cette équation n’est autre chose que le produit de ces trois facteurs, ( X + *Y+ * 2 ZXX + /SY + d 2 Z ) {X + yY -f y 2 Z ), il est clair que pour rendre cette quantité égale à une puissance du degré m, il ne faudra que rendre chacun de ces facteurs en particulier égal à une pareille puissance. Soit donc X -f- et Y -f- a. 2 Z ■=. (x -f- e * ordonnant ensuite, par rapport aux dimensions de et ; x m -f- inx m ~'yct -f- (mx m — ’z + ~—~-- x m ~~ 2 ÿ i 'ï a - k c d i ï i 6 n s: 481 Mais comme dans cette formule on ne voit pas aisément la ioi des termes , nous supposerons en général (x -f uy 4 - ■ a?z) m — P + P'u + P 11 * 1 + P m « 3 -f P 13 ** -fetc. et l’on trouvèra P = x m , _ myP P 1 — x pu _ ( m — 1 ).yP' + imz P 2X * nu. __0 — a)yP n + (2m— 1 )*P\ 3jc ’ p«v (m —5)yP lu -f (am-—a)z,P“ 4 -c . etc. fc est ce qui se démontre facilement par le calcul différentiel. Maintenant on aura, à cause que a. est une des racines dé l’équation, s 3 «— as* -f- bs — c =s à on aura, dis-je, d’où donc a? — au? -\-bu — c = o ; a? = atP — bu -j~ c; = au 3 — bu? -f- eu.—{a? — à) a? — (a£> — c) u -J- ac, fc 5 — (a“ — b~)u 3 — (ab — c) aest = (a 3 — aab -J- c)a» — (.Z' V -f-cA“ l , etc. Z? 1 =i Z?" =o Z?"' = Zr ■B IV =aB"' ~bD n + d3‘ Z? v = aS ,v •— c5" Z? VI = C’ =aC ,v —&C ll, 4*cC u O* =aC' —bC"< -j- cC‘“, etc. •n aura a = A'a? — /?'« -f C 1 * a r= .«#“<4* — B n a. + O a?=A“ I a.*—B u, a.+C ,n cà—A"'cf—B"a. + C'\ etc. Substituant donc ces valeurs dans l’expression de (x -f • ety + u?z') m , elle se trouvera composée de trois parties, 1 uns toute rationnelle, l’autre toute multipliée para, et la troisième toute multipliée par a? ; ainsi il n'y aura qu’à comparer I a ' première à X, la seconde à a,Y, et la troisième à <* a -Z, et I ° n ADDITIONS. 483 aura par ce moyen X — P + P 1 C l -j- P»C n 4- P m C in -f- P ,v C l3 etc. F = _ P'B' — P"B"- — p n, B ul — P”4F V etc> Z — P 1 A' + P ll ^“ + P'"A 1 ' 1 4- P»A' y etc. Ces valeurs satisferont donc à l’équation X -i- &Yx*X = (a: 4- «y + et comme la racine et n’entre point en particulier dans le expressions de X, F et Z, il est clair qu’on pourra changer et en £, ou en)., desorte qu’on aura également . i X + &Y + PZ = (x 4 - |Sy 4 - pz) m , et X + yY 4 - >»Z= (x 4- yy -f->**)». Or multipliant ensemble ces trois équations, il est visible que le premier membre sera le même que celui de l’équation proposée, et que le second sera égal à une puissance m, dont la racine étant nommée p r , on aura ^ — x 3 4- ax l y 4-' ( c? — ab)afz 4- bxy* -J- (ci — oc).rys 4- C b* — 2 ne) xz 1 4- cy 3 4. acy*s 4 - beyz* 4*- cV. Ainsi on aura les valeurs demandées de X, F, Z et V, lesquelles renfermeront trois indéterminées x ,y, z. .94- Si on voulait trouver des formules de quatre dimensions q m e ussent les mêmes propriétés que celles que nous venons d examiner, il faudrait considérer le produit de quatre facteurs de cette forme , x -{- cy 4- «.*21 - f - u 3 t 1 x 4~ iSy 4" 4" " . x+.yy + y*z-hy 3 * ( x 4- ty 4* ^ 4" ^ > ADDITION S.' en supposant que «, £, y, ê' fussent les racines d’une équatioq du quatrième degré , telle que celle-ci, s* — as 3 -f - bs 2 —— es -f- d o \ pu aura ainsi el > , ADDITIONS. 485 qu’ainsi p peut avoir aussi ces quatre valeurs correspondantes, x -j- «y + efz -f- a?t x ■f' £y ■+■ + @ 3 t x+yy + y* z + y s t x -f ty -f -f- Ft, lesquelles ne sont autre chose que les facteurs dont il s’agit d’avoir le produit. Donc, puisque le dernier ternie 7? doit être le produit de toutes les quatre racines, ou valeurs de p , il s’ensuit que cette quantité R sera le produit demandé. Mais en voilà assez sur ce sujet que nous pourrons peut-» être reprendre dans une autre occasion. Je terminerai ici ces Additions que les bornes que je me suis prescrites, ne me permettent pas d’étendre plus loin ; peut-i être même les trouvera-t-on déjà trop longues - , mais les objets que j y a i traités étant d’un genre assez nouveau et peu connu, ) ui cru devoir entrer dans plusieurs détails nécessaires pour se uiettre bien au fait des méthodes que j’ai exppsées et de leurs ^ilférens usages. FIN. 'ÎT'.'’ '■ • I: i '• : ° P' r }? r.-j;n v" jç Jir^s yr • - r 's.'fn-i* -ii; ; ;î> ;>['i;>r^îjtr',T : J.’u ? 'a!;;* m ti’. s^’r. f:lïriT ro •irM' ‘ •! -ç^tiiB °>tn: n'#i> > jy r >. r/ ' ,r i.n Tr 'j'f'f: A, ? y) iVr *>î, - .•*■} q ■; -rji;. r VL) rSfJ ^TltOT" t; arti 911,«siin "J»! tî'.'-. I *; »Vn •'.5" ! ••;. i’ , r.aL.<;i;!m iàb ;.wi a-Ma.;* • * ’ 'Tl •\T‘ .tp pr; 1 :j h{-4 •*■1 1 -r';: *• • ç'" ; rtf :J_ . r • r^gpr-jif :■ V, S ïm. .JY ,vt» *>.'. &T: 7577 ZL\Z l # 03 UJ 3 < è • h- CM Band r> HJ E E 3 7 UJ H - ÜL < I ü ZD qounz H13 WUBRUNNER + CO AARAO Bitte nicht herausnehmen! K'V'Ï w < ^ ’ iVHiy4. mmvM V, r-q.^ V : ..:*r Vit'v »«&« •< ». '• , v W&J* !ÿ V .' #ÿ • ■ - • r'.. ; .4 *^ k < /j"**.,* . .., **•.%*' ■ r #>- Sfis&sî '■t£Æ v< j*-: &*#»■$ ** . ^v' vV^ *•■ 4 1 - i S $• -4. 'HJ ■ÎT; *i-*‘- JT*. v*:S ’v.à'&î: >4 ’» ''V-fe; sïfeé« ^•".3 ïïfj. ?.