■ u.tiihfU, il Légat von Herrn Professor J. Gr. Stocker. APPLICATION L’ALGÈBRE A LA GÉOMÉTRIE. Le Libraire-Éditeur de cet ouvrage se réserve le droit de le traduire ou de le faire traduire en toutes les langues. Il poursuivra , en vertu des Lois, Décrets et Traités internationaux, toutes contrefaçons, soit du texte, soit des gravures, ou toutes traductions faites au mépris de ses droits. Le dépôt légal de cet ouvrage a été fait à Paris dans le cours du mois d’octobre 1 854 » et toutes les formalités prescrites par les Traités sont remplies dans les divers États avec lesquels la France a conclu des conventions littéraires. Tout exemplaire du présent Ouvrage qui ne porterait pas, comme ci- dessous, les griffes de l’Auteur et de l’Éditeur, sera réputé contrefait. Les mesures nécessaires seront prises pour atteindre, conformément à la loi, lesjfabricants et les débitants de ces exemplaires. r PARIS.—IMPRIMERIE DE MALLET-liACHELIER, Rue du Jardinet, 12 . GEOMETRIE COMPRENANT LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE Par M. BOURDON, Commandeur do la Légion d’honneur, Conseiller honoraire do l'Université .ancien Examinateur d’admission à l'École Polytechnique, et Membre de plusieurs Sociétés savantes. OUVRAGE ADOPTÉ PAR L’UNIVERSITÉ. CIN QUIÈME II II I TI o v, Rédigée conformément aux nouveaux Programmes de l’enseignement dans les Lycées. P&RIS MALLET-BACHELIER, GENDRE ET SUCCESSEUR DE Imprimeur-Libraire DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l’ÉCOLE POLYTECHNIQUE, Quai des Augustins, 55. 1854 . L'Editeur de cet ouvrage se réserve le droit de traduction.) • V AVERTISSEMENT. Cette nouvelle édition diffère assez notablement de la précédente, pour que des explications soient nécessaires sur les changements qu’elle a subis. Mais l’Auteur manque aujourd’hui pour exposer l’ordre d’idées dans lequel il s’est placé en procédant à un travail de révision qui a eu particulièrement pour but de mettre cet ouvrage en rapport avec les Programmes actuels d’enseignement. Obligé de le suppléer, nous devons nous borner à une indication sommaire de ces changements. Les deux Trigonométries, bien que toujours considérées comme faisant partie de I’Application df. l’Algèbre a la Géométrie, ont été supprimées pour faire l’objet d’une publication distincte. Au moyen de cette suppression, l’Auteur a pu, tout en diminuant l’étendue de l’ouvrage, et en ne laissant subsister le petit texte que pour les applications numériques et quelques questions secondaires, compléter des théories importantes, en étendre les applications générales, accorder plus de développement à la méthode de discussion des équations par la séparation des variables, et donner place à la construction de quelques courbes remarquables, telles que le folium de Descartes, la cissoïde de Dioclès et la conchoïde de Nicomède. Une modification essentielle a été apportée dans l’exposé des principales propriétés des trois courbes du second degré. VI avertissement. Un chapitre spécial est consacré à chacune de ces courbes, de manière toutefois à laisser ressortir l’analogie qui existe entre les énoncés et les démonstrations de ces propriétés. Des questions se rapportant à ces courbes considérées ensemble, sont traitées dans un chapitre complémentaire. Enfin un chapitre, qui termine la Géométrie analytique a deux dimensions, comprend, sous le titre général de Complément et Applications de la théorie des courbes du second degré, les questions relatives à la détermination de ces courbes d’après certaines données, la construction des racines des équations du deuxième, troisième et quatrième degré à une seule inconnue, la détermination, par des intersections de courbes, du nombre des racines réelles dans les équations numériques à une inconnue, quelques problèmes sur les beux géométriques, la similitude des courbes du second degré, et leur identité avec les sections coniques et cylindriques. Quant à la Géométrie analytique a trois dimensions, qui compose la seconde section de l’ouvrage, elle n’a subi aucun changement notable. On peut, d’après cette analyse sommaire, apprécier l’importance de ce travail accompli au terme d’une carrière vouée tout entière à l’Enseignement. Appelé à en assurer la publication, puissions-nous avoir rempli convenablement une tâche que nous n’aurions pas entreprise si nous n’avions été soutenu par un sentiment supérieur à celui de notre faiblesse! Henri BOURDON, ancien élève de l’Ecole Polytechnique. VII TABLE DES MATIÈRES. APPLICATION DE L’ALGÈBRE A LA GÉOMÉTRIE. INTRODUCTION. PREMIÈRE MÉTHODE 1)E TRAITER DES QUESTIONS DE GÉOMÉTRIE PAR LE SECOURS DE L’ALGÈBRE. § I. — Notions préliminaires. N**. rages. 1.. . 2. Objet de l’application de l’Algèbre à la Géométrie. i... 2 3 .. . 8. Développement sur quelques exemples. 2... 9 § II. — Construction des expressions algébriques, 9.. . 14. Expressions élémentaires. Autres expressions rationnelles ou irrationnelles du second degré....... 9,.. i5 1 5 .. . 16. Principe de l’homogénéité... . 16...19 17. Scolie général... 19. ..20 § III. — Résolution de diverses questions relatives à la ligne droite et au cercle. 18.. .22. Résolution de deux problèmes... 20.. .25 23 .. .27. Interprétation des résultats négatifs développée sur un troisième problème. 26 ...33 28.. .3.2. Résolution et discussion complète d’un quatrième problème. 33 ...41 33 .. .37. Exprimer la surface d’un triangle en fonction de ses trois côtés. — Même question pour le trapèze. 4 1 * • - 4 ^ 38 .. . 4 1 • Déterminer la relation qui existe entre les trois côtés d’un triangle et le rayon du cercle circonscrit.—Problèmes qui s’en déduisent. 45---52 42. Scolie général.*.. 52 Énoncés de questions à résoudre. 52 .. .53 < VIII TABLE DES MATIÈRES. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. PREMIÈRE SECTION. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A BEUX DIMENSIONS. CHAPITRE PREMIER. DU POINT ET DE LA LIGNE DROITE. — DU CERCLE. — DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES. — RÉSOLUTION DE DIVERSES QUESTIONS, ET PROBLÈME DES TANGENTES. N*’. Pages. 43. Définition delà Géométrie analytique . 54 § I. — Du point et de la ligne droite. 44. Manière de fixer la position d’un point sur un plan. 55... 56 45. •• 47* Équations du point. 56... 58 48.. . 49* Expression de la distance entre deux points donnés. 58... 59 50.. . 55. Équation de la ligne droite ; sa discussion. 60... 67 56.. ; 69. Questions préliminaires sur la ligne droite. 67... 80 § II. — Du cercle. 7.0... 74. Équation du cercle. Des différentes formes que cette équation peut avoir. 80... 83 § HI. — Des lieux géométriques. 75 .. 78. Considérations générales sur les lieux géométriques. 83... 87 79.. « 87. Propositions sur la forme caractéristique de l’équa- tiond’unelignedroite etdel’équation d’un cercle. 87... 98 88.. . 90. Usage des lieux géométriques dans la résolution des problèmes déterminés ou indéterminés. 98... 101 § IV. — Application des théories précédentes à la résolution de diverses qijestions et au problème des tangentes. 91.. . 94. Questions sur la ligne droite : propositions relatives aux triangles.. 102... 107 90.. . 97. Questions sur le cercle : conditions pour que deux circonférences se touchent, se coupent, etc.; faire passer une circonférence par trois points donnés. 107... 114 98.. .100. Problème des tangentes. — Définition générale delà tangente à une courbe. — Moyen analytique de fixer sa position én un point donné d’une courbe quelconque... 114... 117 101. Équation de la tangente au cercle... 117...120 102. Détermination du coefficient d’inclinaison de la tangente à une courbe par la méthode des dérivées.. 120... 121 103. Autre forme de l’équation de la tangente au cercle. 121 io4- ..io5. Sous-tangente; normale et sous-normale. 121...123 j 06... 108. Tangente au cercle menée par un point pris hors de la circonférence. — Construction par les lieux géo- TABLE DES MATIÈRES. IX N ”- Pages, métriques. — Propriété déduite de cette construction. 123...127 109. Problème sur les lieux géométriques. 128... i3o 110. Remarque sur les problèmes indéterminés. i3o... i 3 i CHAPITRE II. TRANSFORMATION DES COORDONNÉES. — NOTIONS SUR LES COURBES DU SECOND DEGRÉ. — RÉDUCTION DE L’ÉQUATION GÉNÉRALE DU SECOND DEGRÉ. § I. — Transformation des coordonnées. ni. Objet de la transformation des coordonnées. 132... 133 112 ..123. Formules pour la transformation des coordonnées, et usage de ces formules. 133... 140 § II. — Notions préliminaires sur les courbes du second degré. 124. ■ • 125. Définition de I’ellipse. — Foyers. — Construction de la courbe par points et d’un mouvement continu. 141 • •. i43 126.. . i3o. Équation de Fellipse. — Centre, axes, sommets de la courbe. 143... 147 131.. . 133. Discussion de l’équation M/ + Nx 5 =P.—Moyen de la ramener à la forme AV î -4-B 3 ;r , = A 3 B 3 ... 147.. .i5o i34* Définition de I’hyperbole. — Foyers. — Construction de la courbe par points. 15o... 151 135.. . 138. Équation de l’hyperbole. — Centre , axes transverse et non transverse, sommets de la courbe. — Hyperbole équilatère. — Lignes de séparation entre les droites passant par le centre, qui rencontrent la courbe et celles qui ne la rencontrent pas..... i 5 i... i 55 139.. . i4o. Discussion de l’équation M y % —Nx 3 =:+:P.— Moyen de la ramener à la forme A 4 y* — B 4 x 3 = zp A 9 B 3 .. 156... 157 i 4 i. Définition de la parabole. — Foyer ; directrice .— Construction de la courbe par.points. 157... 159 142.. . »43. Équation de la’parabole. — Paramètre . 159... 160 144.. . 146. Liaison des trois courbes; rapprochement entre l’ellipse et la parabole; rapprochement entre l’hyperbole et la parabole ; équation propre à représenter les trois courbes. 160... iC3 147.. . 152. Autre manière d’établir la liaison des trois courbes ; ce qu’on appelle directrice pour les trois courbes. — Raison des dénominations attribuées à ces courbes. 163... iCS § III. — Réduction, par la transformation des coordonnées, de l'équation générale du second degré à deux variables. 153.. . 156. On peut toujours faire disparaître le terme en a-/. — Cas où l’équation peut être ramenée à la forme Mt 5 +Nx s =: P. — Calcul des quantités M et N. 168. . . 174 107.. . 158. Cas où l’équation peut être ramenée à la forme Mj 2 + Sx = 0 ou Nx 3 + R y = 0. — Cas particulier du système de deux droites parallèles. 17/j. .. 176 X TABLE DES MATIÈRES. ” ' Pages. 15g.. .161. Caractères analytiques des trois genres de courbes. — Variétés de ces courbes. 17G... 179 162.. . 165 Mode de réduction de l’équation générale pour le cas de B 3 — 4 AC < ou > 0. 179... i83 166. Interprétation du double signe des valeurs de M et de N dans l’équation réduite. i83 167. Mode de réduction de l’équation générale pour le cas de B 3 —4 AC = 0. i 83 ...i 84 168.. . 169. Applications numériques de la méthode de réduction de l’équation générale par la transformation des coordonnées. 184 ■ .. 191 170. Remarque sur la discussion précédente, d’où l’on déduit que le caractère géométrique des courbes représentées parles équations M y- ± N^ 3 = rfc P, y' — ± Qa?, est indépendant de l’inclinaison des axes. 191...194 CHAPITRE III. DE L’ELLIPSE. Propositions préliminaires. 171.. . 172. Caractères analytiques des points pris sur la courbe, au dedans et au dehors de la courbe. 190.. -196 173. Relation entre les carrés des ordonnées des points de la courbe. 196 174.. . 176. Rapport entre l’ordonnée de l’ellipse et celle du cercle décrit sur son grand axe. — Deux moyens de construire la courbe, fondés sur cette propriété. 196...198 176. Quàdrature de l’ellipse. 198...200 § I. — Diamètres dans Vellipse, — Diamètres conjugués. — Cordes supplémentaires ; leurs relations avec les diamètres conjugués. 177. Définition générale d’un diamètre. — Dans l’ellipse, tous les diamètres sont des lignes droites passant par le centre. 200... 202 178.. . 180 Diamètres conjugués. — L’ellipse a une infinité de systèmes de diamètres conjugués, dont un seul rectangulaire, celui des axes principaux. — Propriétés des diamètres conjugués. 202.. .204 181.. . 185 Cordes supplémentaires ; leurs propriétés et leurs relations avec les diamètres conjugués. — Limites de l’angle de deux diamètres conjugués et de deux cordes supplémentaires.. 2o4---209 § II. — De la tangente a l'ellipse et de ses propriétés par rapport aux diamètres et aux rayons vecteurs. ï86... 192. Tangente menée par un point de la courbe. — Sous- tangente. — Normale et sous-normale. — Discussion du coefficient angulaire de la tangente. 209.. .21/1 table des matières. XI P 4 * N os . Pages. 193.. .194* Tangente menée par un point extérieur à la courbe. — Construction par les lieux géométriques. — Propriété déduite de cette construction... 2i4-••217 195. Tangente menée parallèlement à une droite donnée. 217...218 196. De la tangente considérée par rapport aux diamètres conjugués. — Procédé pour mener une tangente, 1 0 par un point donné sur la courbe ; 2 0 parallè- lementà une droite donnée. ... 218.. .219 1 97... 199,. De la tangente par rapport aux rayons vecteurs passant par le point de contact. — Moyen de mener une tangente par un point donné, i° sur la courbe; 2 0 hors de la courbe. 219.. .224 200. Remarque sur les dénominations de foyers et de rayons vecteurs ... 224. -.225 201... 2o3. Conséquences des propriétés de la tangente considérée par rapport aux rayons vecteurs. 225 . .227 § III. — Propriétés de l’ellipse rapportée à des diamètres conjugués. 204 • • • 207. Passer de l’équation de l’ellipse rapportée à ses axes principaux, à l’équation de la même courbe rapportée à des diamètres conjugués; et réciproquement. — Relations entre les axes et les diamètres conjugués. — Propriétés du parallélogramme construit sur un système de diamètres conjugués... 208. Système de diamètres conjugués égaux. — Équation de la courbe rapportée à ce système. 209.. .210. Les-propriétés démontrées indépendamment de l’inclinaison des axes, sont vraies pour un système quelconque de diamètres conjugués. — Relations entre les carrés des ordonnées des points de la courbe; construireda courbe connaissant un système de diamètres]conjugués en grandeur et en direction. 211.. .2i3. De la tangente à l’ellipse rapportée à un système de diamètres conjugués; tangente menée par un point pris sur la courbe; tangente menée par un point extérieur. — Propriété déduite de la construction de cette tangente, et réciproque de cette propriété. 21 4 - Une ellipse étant tracée sur un plan, i° déterminer son centre et ses axes principaux; 2 0 trouver un système de diamètres conjugués faisant entre eux un angle donné. 227...233 g33...234 234...235 235 .. . 238 ' 239 CHAPITRE IV. DE L’iIYPERBOEE. Propositions préliminaires. 2i5.. .217. Analogie entre I’ellipse et Viiyperbole. — Caractères analytiques des points pris sur la courbe, au dedans et au dehors de la courbe.. 240... 241 XII TABLE DES MATIERES. N**. Pages. 218. Relation entre les carrés des ordonnées des .points de la courbe. 24 I *** 2 4 2 219. Rapport entre l’ordonnée d’une hyperbole quelconque et celle de l’hyperbole équilatère . 242 § I. — Diamètres dans Vhyperhole. — Diamètres conjugués. — Cordes supplémentaires ; leurs relations avec les diamètres conjugués. 220. Dans l’hyperbole, tous les diamètres sont des lignes droites passant par le centre. 242.. .243 221.. .223. Diamètres conjugués, — L’hyperbole a une infinité de systèmes de diamètres conjugués dont un seul est rectangulaire, celui des axes principaux. — Propriétés des diamètres conjugués. — Diamètres conjugués transverses et non transverses ; construction des lignes de séparation entre les diamètres transverses et les diamètres non transverses. 243.. .245 224. • .225. Cordes supplémentaires ; leurs propriétés et leurs relations avec les diamètres conjugués. 245.. .247 § II. — De la tangente a Vhyperboie et de ses propriétés par rapport aux diamètres et aux rayons vecteurs. 226...23o. a3i. 232. 233...235. 236. 237. Tangente menée par un point de la courbe. — Sous- tangente. — Normale et sous-normale. — Discussion du coefficient angulaire de la tangente. Tangente menée par un point extérieur.— Propriété déduite de sa construction. — Tangente parallèle à une droite donnée. Delà tangente considérée par rapport aux diamètres conjugués. — Procédé pour mener une tangente i° par un point donné sur la courbe; 2° parallèlement à une droite donnée. e - De la tangente par rapport aux rayons vecteurs passant par le point de contact. — Moyen de mener une tangente par un point donné, i° sur la courbe; 2° hors de la courbe. Remarque sur les dénominations de joyers et de rayons vecteurs . Conséquences des propriétés de la tangente considérée par rapport aux rayons vecteurs. 247-•-25o 25o 25i 25 i ...256 256 256 § III. — Propriétés de Vhyperboie rapportée a des diamètres conjugués. 238...240. 241. 242 Passer de l’équation de l’hyperbole rapportée à ses axes principaux, à l’équation de la même courbe rapportée à des diamètres conjugués; et réciproquement. — Relations entre les axes et les diamètres conjugués. — Propriétés du parallélogramme construit sur un système de diamètres conjugués. Dans une hyperbole qui n’est pas équilatère, il ne peut exister aucun système de diamètres conjugués égaux........ Diverses propriétés de la courbe, indépendantes de 256. .25p 209 T % TABLE DES MATIÈRES. XIII N 0 *- Pages, l’inclinaison des axes. — Tangente à la courbe rapportée à des diamètres conjugués. 259.. .260 § IV. — Des asymptotes de l'hyperbole. 243. Définition générale d’une droite asymptote à une courbe. 2G0 244- • *245. Détermination des asymptotes de l’hyperbole. 260.. .263 246.. . 251. Propriétés de l’hyperbole par rapport à ses asymptotes. 263...268 252.. .254. Equation de l’hyperbole rapportée à ses asymptotes. — Déduire de cette équation les propriétés déjà démontrées. 268...270 255.. .256. Équations d’une sécante et de la tangente à la courbe rapportée à ses asymptotes. — Conséquences déduites de ces équations.•. 270.. .272 257. Construction de l’hyperbole, lorsque l’on connaît les asymptotes et un seul point de la courbe.... 272.. .273 CHAPITRE Y. DE LA PARABOLE. 258. Observation préliminaire sur l’étude des propriétés de la parabole comparée à l’étude des propriétés de l’ellipse et de l’hyperbole. 274 § I. — Propriétés de la parabole rapportée a ses axes principaux . 259. Caractères analytiques des points pris sur la courbe, au dedans et au dehors de la courbe. 274. • .275 260. Rapport des carrés des ordonnées, appelé le paramétre de la courbe. . . 275...276 261 La parabole n’a pas d’asymptotes. 276...277 262. Construction delà courbe, déduite du rapport des carrés des ordonnées. 277 263. Mesure d’un segment parabolique. 277...279 § II. — De la tangente à la parabole et de ses propriétés par rapport au rayon vecteur. 264 • • .266. Tangente et sous-tangente. — Normale et sous-normale. — Discussion du coefficient angulaire de la tangente.. 279.. .282 267.. .268. De la tangente par rapport au rayon vecteur passant par le point de contact. — Moyen de mener une tangente par un point donné, i°-sur la courbe; 2 0 hors de la courbe. 282.. .284 269.. .270. Conséquences de la propriété de la tangente par rapport au rayon vecteur.. 284-. .285 § III, — Diamètres de la parabole . — Axes conjugués. 271. Dans la parabole, tous les diamètres sont des lignes droites parallèles à l’axe principal... 285 272.. .273. Axes conjugués . — Équationdela courbe rapportée à un système d’axes conjugués. — La parabole a une infinité de systèmes d’axes conjugués. — Eva- XIV TABLE DES MATIERES. N 0 ’- Pages, luation géométrique du paramètre de la parabole rapportée à un de ces systèmes. 285...289 274* Rapport des carrés des ordonnées; construire la courbe, connaissant l’angle de deux axes conjugués et le paramètre correspondant. 289 276... 276. De la tangente à la parabole rapportée à un système d'axes conjugués; tangente menée par un point pris sur la courbe; tangente menée par un point extérieur. — Propriété déduite de la construction de cette tangente, et réciproque de cette propriété. 290... 292 CHAPITRE VI. DES COORDONNÉES POLAIRES. 277. 278.. .279. 280.. .281. 282.. .280. 287. Définitions. —* Pôle. — Rayon vecteur. Formules pour la transformation des coordonnées rectilignes en cordonnées polaires, et réciproquement ... Exemples d’équations polaires, et conséquences qui s’en déduisent : équations polaires du cercle et de l’hyperbole, le pôle étant placé au centre. Équations polaires de l’ellipse, de l’hyperbole et de la parabole, un foyer étant pris pour pôle. — Discussion de ces équations. Équation polaire commune aux trois courbes. — Ce qu’on appelle excentricité . 293 294.. .29c 296.. .298 298.. . 3 0 5 3 0 5 .. . 3 0 6 CHAPITRE VIL > .1 QUESTIONS SE RAPPORTANT AUX COURBES DU SECOND DEGRÉ. 288. Étant donnée, dans le cas d’axes rectangulaires , l’équation commune aux trois courbes du second degré, rechercher dans le plan de chaque courbe les points tels que leur distance à un point quelconque de la courbe soit une fonction rationnelle de l’abscisse de ce dernier point. 307... 3 11 289. Déterminer la nature et la position des diamètres dans les trois courbes du second degré. 3 11... 3 1 3 290.. .291. Une droite étant menée à volonté dans le plan d’une courbe du second degré, si, de chacun de ses points, on mène deux tangentes à la courbe, et qu’on joigne les deux points de contact correspon dants, toutes ces lignes concourent en un meme point. — Fixer la position de ce point de concours. 3 i 3 ... 3 1 5 292. Une portion de courbe du second degré étant tracée sur un plan, — i° déterminer sa nature; — 2° achever cette courbe et en déterminer les axes ainsi que les éléments principaux. 3 1 5 ... 3 18 293. Connaissant les longueurs de deux diamètres conjugués d’une ellipse ou d’une hyperbole, et l’angle table des matières. XV N°\ - Pages, qu’ils font entre eux, trouver les longueurs des axes principaux. 3 i8...32o 294 . Réciproquement > étant donnés les axes principaux d’une ellipse ou d’une hyperbole, trouver deux diamètres conjugués faisant entre eux un angle donné... 320.. .322 295. Remarque sur les deux dernières questions. 322... CHAPITRE VIII. DISCUSSION DE L’ÉQUATION GÉNÉRALE DU SECOND DEGRÉ PAR LA SÉPARATION DES VARIABLES. — APPLICATION DE CETTE MÉTHODE DE DISCUSSION A DES ÉQUATIONS DE DEGRÉ SUPÉRIEUR , ET DISCUSSION DE QUELQUES ÉQUATIONS POLAIRES. § I. — Discussion de Véquation générale du second degré par la séparation des variables. 296.. .3oi. Division des courbes du second degré en trois genres. — Variétés de chacun des genres. 323.. .334 302.. .304. Construction d’un système d’axes ou de diamètres conjugués, déduite de la séparation des variables dans l’équation générale du second degré. 334* • -^7 3o5. Remarque sur l’application de cette méthode à la détermination des axes principaux. 337 306.. .307. Construction des asymptotes dans l’hyperbole, déduite de la séparation des variables dans l’équation générale du second degré. — Cas où l’équa- y tion est privée soit de l’un des carrés des variables , soit de tous deux. 337... 3/j3 308. Remarque sur la construction des courbes en général ... 343...344 309. Récapitulation de la discussion de l’équation générale du second degré par la séparation des va- ' riables. 344-• *346 310.. .311. Construction de paraboles données en équations numériques.. 346.. .349 312. Remarque sur la détermination des points limites dans la construction des courbes en général. 349.. .35o 313. Construction d’ellipses données en équations numériques. 35o...354 314. Construction d’hyperboles données en équations numériques. 354••-358 315. Mode de détermination des asymptotes dans les courbes en général, fondé seulement sur la définition de ces sortes de lignes. 358.. .36i §11. — Application de la méthode de discussion par la séparation des variables a des équations de degré supérieur • et discussion de quelques équations polaires. 316. Observations générales sur la construction des courbes. 362.. .363 XVI table des matières. N*\ Pages. 317. Construction de courbes de degré supérieur. — Folium de Descartes. 363.. .372 318. Construction de lignes données en équations polaires . 372...378 CHAPITRE IX. COMPLÉMENT ET APPLICATIONS DE LA THÉORIE GÉNÉRALE DES COURBES DU SECOND DEGRÉ» § ï. — Nombre et nature des conditions servant à la détermination des courbes du second degré. ■— Solutions géométriques pour la construction de ces courbes d’après des concilions données. — Propriété commune aux trois courbes. 319...323. Nombre de conditions nécessaires pour déterminer une courbe du second degré. — Cas où l’on donne le centre ou un système d’axes ou de diamètres conjugués ; moyen assez simple de construire la courbe dans ces derniers cas. 324. • .326. Cas où l’on donne un foyer. —Propriété remarquable du foyer et de la directrice. — Construire une ellipse ou une hyperbole, connaissant un foyer et trois points , ou une parabole, connaissant unfoyer et deux points . 327. La connaissance d’un sommet de la courbe équivaut à deux conditions. 328. Solutions géométriques pour la détermination d’une courbe du second degré, d’après des conditions données : plusieurs questions résolues; énoncés de questions à résoudre. 329. Propriété des transversales, commune aux trois courbes du second degré. v . ..,. 3 79 ... 38/ ( 384.. .386 386.. .387 387.. .390 390.. .395 § H. — C onsb'uction des racines des équations du deuxième, troisième et quatrième degré a une seule inconnue ; trisection de l’angle et duplication du cube, — Détermination, par des intersections de courbes, du nombre des racines réelles dans les équations numériques à une inconnue, — Problèmes sur les lieux géométriques , se rapportant aux courbes du second degré. — De quelques courbes remarquables: cissoïde de Dioclès, conchoïde de Nicomède. 33o. Construction des racines de l’équation du second degré. 3g2...3g5 331.. .339. Construction des racines des équations du troisième et du quatrième degré, — Application à la trisection de l’angle et à la duplication du cube . 3g5. . . 4o5 3/jO.. .343. Détermination, par des intersections de courbes, du nombre des racines réelles dans les équations numériques à une inconnue. 4°^- • -4 11 344 • • * 349. Problèmes sur les lieux géométriques , se rapportant aux courbes du second degré. /jii.. .422 350.. .351. De quelques courbes remarquables : cissoïde de Dioclès; conchoïde de Nicomède. 4^3.. .428 table des MATIÈRES. XVII § lit. — Des courbes du second degré semblables. — Identité des courbes du second degré avec les sections planes d’un cône droit ou d'un cône oblique à base circulaire. — Des sections coniques semblables. — De la section plane dans un cylindre droit ou oblique a base circulaire. N 09 * Pages. 352. Ce qu’on entend par des ellipses et des hyperboles semblables. — Deux ellipses ou deux hyperboles semblables jouissent de toutes les propriétés des figures semblables de la géométrie. 4 2 $.. -43i 353. Deux paraboles quelconques sont toujours des figures semblables. 43s... 433 354. Remarque sur les paramètres dans les courbes en général. 433.., .434 355. L’intersection d’un cône droit ou oblique, à base circulaire, par un plan, donne lieu aux trois courbes du second degré : ou à une de leurs variétés. 4^4* « *43S 356.. .357. Une courbe du second degré étant donnée, on peut toujours la reproduire au moyen de l’intersection d’un plan et d’un cône droit. 438.. .443 358. De la section anti-parallèle ou sous-contraire dans le cône oblique à base circulaire. 443* • *443 359. Manière d’obtenir l’équation la plus générale d’une section plane dans le cône oblique à base circulaire... 443 360. Ce qu’on entend par sections coniques semblables.. 446 3Gi.. .363. De la section plane dans un cylindre droit ou oblique à base circulaire . 446*'*45° SECONDE SECTION. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. CHAPITRE X. DU POINT DE LA LIGNB DROITE ET SU PLÀ$ DANS L*ËSPACE. § F. — Du point et de la ligne droite. 36/j...368. Moyen de fixer analytiquement la position d’un point dans l’espace; ce qu’on entend par équations d’un point. Leur discussion. fi5i .. -455 36g. Expression de la distance entre deux points, dans le cas d’axes rectangulaires ... 435.. -456 370.. .373. Moyen de déterminer la position d’une droite dans l’espace; ce qu’on entend par les équations d’une droite. 456... 439 374 • • • 375. Trouver les équations d’une droite assujettie à remplir certaines conditions. 459...460 Ap. de AL à la G. & XVIII TABLE DES MATIÈRES. W°'. Rages. 3^6. Condition pour que deux droites dans l’espace se rencontrent; trouver les coordonnées de leur point d’intersection. 4^* 377.. .379. Trouver l’angle de deux droites dans l’espace, et ceux qu’une droite forme avec les axes coordonnés.. 4^* • *4^5 38o. Conditions de parallélisme et de perpendicularité de deux droites..... . 4^6 38r. Scolie général, relatif à l’inclinaison des axes...... 467 § II. — De Téquation du plan et de ses combinaisons avec les équations du point et de la ligne dt'oite , 382.. .385. Moyen de fixer analytiquement la position d’un plan dans l’espace; équation du plan; équations de ses traces ; forme symétrique de l’équation du plan.. 4^7 • • *47 2 386.. .388. Faire passer un plan, i°par trois points donnés; — 2 0 par un point et une droite donnés. — Remarque sur les conditions que fournit la seconde question... 47 2 -*477 389.. .392. D’un point donné, abaisser, i° une perpendiculaire sur un plan donné ;—2 0 un plan perpendiculaire à une droite donnée. — Trouver, dans ,1e premier cas, la longueur de la perpendiculaire, et dans le second, la distance du point à la droite. — Conséquence du second problème. . 4?7 • • 393.. .394. Par un point donné dans l’espace, mener un plan parallèle à un autre; conditions de parallèlisme de deux plans. — Distance de deux plans parallèles. 4$ 2 * * -4^4 395, Trouver les équations de l’intersection commune de deux plans. 4&4 396.. .398. Trouver l’angle de deux plans et ceux qu’un plan forme avec les plans coordonnés; condition de perpendicularité de deux plans.. 4^5.•.4^8 399» Trouver l’angle d’une droite et d’un plan. 4^8* * -4^9 400, Plus courte distance de deux droites données par leurs équations. 4^9 401. Scolie général. . 4^9 * CHAPITRE XI. DES SURFACES COURBES, ET EN PARTICULIER DES SURFACES DU SECOND DEGRÉ. 402.. 404. Notions préliminaires sur les surfaces courbes. Comment fixer, en général, la position d’une surface, d’une ligne et d’un point dans l’espace... 49 0, • ^O 2 § I. — Transformation des coordonnées dans Vespace . 4o5. Énoncé général du problème de la transformation des coordonnées dans l’espace. 49$ 4bC. -4°7‘ Passer, i° d’un système de coordonnées quelconques TABLE DES MATIÈRES. XIX N os . à un système de coordonnées parallèles d’origine différente; — 2° d’un système rectangulaire à un système oblique de même origine . 4o8. Expression de la distance entre deux points, dans le cas d’axes obliques . 409.. . 4ii. Passer d’un système rectangulaire à un autre système rectangulaire. — Cas particuliers; formules propres à faire connaître la nature des intersections d’une surface courbe par un plan. § II. — Des différents genres de surfaces. 412.. .415. Équations de la surface spiiÉRiQUEet de son plan tangent. 416.. »4 I 7* Équation générale des surfaces cylindriques. Caractère de ces sortes de surfaces. 418.. .419. Equation générale des surfaces coniques. Caractère de ces sortes de surfaces. 420.. .421. Équation des surfaces conoïdes; cas particulier.... 422.. . 426. Équation générale des surfaces de révolution. Leur caractère. —Cas particuliers : ellipsoïde, hyperbo - loïde , et paraboloïde ; propriété remarquable du paraboloïde de révolution... § III. — Discussion des surfaces du second degré. 427. .432. Formes auxquelles on peut toujours, par une double transformation de coordonnées, ramener l’équation générale du second degré à trois variables. — Exception à cette double transformation. 433. Division des surfaces du second degré en surfaces douées d’un'centre et en surfaces dénuées de centre. — Plans diamétraux.. 434 •. .435. Discussion de l’équation aux ellipsoïdes. — Cas particuliers et variétés de ce genre de surfaces. 436.. .439. Discussion de l’équation aux hyprrboloïdes à deux nappes ou a une nappe. — Cas particulier : sur - face conique; propriété remarquable de cette surface. 44o. • .443* Équation aux deux paraboloïdes elliptique ou hyperbolique. — Cas particulier : paraboloïde de révolution. — Génération de ces deux surfaces. 444- Résumé de la discussion précédente : division des surfaces du second degré en cinq genres. 443. Manière de reconnaître la nature des intersections d’une surface du second degré par un plan. 44<3* -448. Prouver que toute surface du second degré (à l’exception du paraboloïde hyperbolique) donne Heu à deux systèmes de sections circulaires. — Lieu géométrique des centres de toutes ees sections. Pages. /, 9 3.. .495 495 --497 497.. . 5 00 500.. .503 503.. .505 505.. .508 508.. .510 5n...5i4 514 - ■ - 518 518.. .520 5îo. ..523 523.. .527 527.. .531 531.. .53a 532 53a...537 XX TABLE DES MATIERES. N*\ Pages. 4^9.. .45o. Des plans tangents aux surfaces du second degré : équation du plan tangent aux surfaces douées d’un centre; équation du plan tangent aux surfaces dépourvues de centre. — Normale. .. 537 • * • ^4° 45i. Mener un plan tangent par un point pris hors delà surface; propriété de la courbe de contact .. 54o.. .54* 45a...454. Génération de l’hyperboloïde à une nappe et du paraboloïde hyperbolique par le mouvement d’une ligne droite..-. 54 t... 546 Planches I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X. FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES. ERRAT J. Page 182, ligne 6; au lieu de 4 Ac, lises 4 AC. Page 456, ligne 11 en remontant; au lieu de D = a 19 , lises D — yV 3 -t-_r' 4 a' 2 . Page 49^, ligne 12 en remontant; Usez en marge fig. 197. APPLICATION L’ALGEBRE A LA GEOMETRIE INTRODUCTION. PREMIÈRE MÉTHODE DE TRAITER DES QUESTIONS DE GÉOMÉTRIE PAR UE SECOURS DF. l’aLGÈBRE. §1. - NOTIONS PRÉLIMINAIRES. i. On a vu, en Géométrie, que les lignas, les surfaces et les solides peuvent, aussi bien que toutes les autres grandeurs, être exprimés par des nombres; il suffit , en effet, pour cela, de prendre pour unité l’une de ces grandeurs géométriques. C’est ainsi que sJi exprime la diagonale d’un carré dont le côté est égal à i. De même, si 4 et 3 représentent les nombres d’unités linéaires contenues dans les deux côtés d’un rectangle, 4x3 ou exprime le nombre d’unités de superficie contenues dans ce rectangle, ou, en d’autres termes , la surface de ce rectangle. De même encore, 4x3x5, ou 60 , exprime le volume d’un parallélipi- pède dont les trois arêtes contiguës sont représentées par 4, 3 et 5. Généralement, si l’on désigne par a, b, c, les nombres d 'unités linéaires contenues dans les arêtes contiguës d’un parallélipipède, ab , ac, bc exprimeront les aires de trois de ses six faces, et abc son volume. On voit donc que I’Algèbre, dont les méthodes sont applicables à toutes les questions numériques possibles, peut aussi servir à résoudre les questions relatives aux grandeurs que l’on considère en Géométrie. Ap, tU VAl. à lu G. l a IXSTROPtCTIOK. 2. Qu’il s’agisse, par exemple, de détei'miner la lon- *sueur c^’i^ge ligne d’après la connaissance d’une ou de plu- ♦ffti&urs.auti'qp lignes comprises avec la première, dans une même figure: On suppose le problème résolu, et Von tâche, à l’aide de quelques propositions de Géométrie, dont l’existence est déjà établie, et qui ont quelque rapport avec l’énoncé du problème, on tâche, dis-je, d’exprimer par des équations les relations qui existent entre les données (représentées, soit par des lettres, soit par des chiffres) et les inconnues , toujours représentées par des lettres. On résout ces équations, et l'on obtient ainsi les expressions des lignes cherchées au moyen des lignes connues, expressions qu’il faut. ensuite traduire en Géométrie. Si la question proposée est un théorème à démontrer, on traduit algébriquement les relations qui existent entre les déférentes parties de la figure ; ce qui conduit à des équations auxquelles on fait subir diverses transformations, dont la dernière donne lieu au théorème énoncé. En un mot, traduire en Algèbre les questions de Géométrie, et, réciproquement, traduire en Géométrie les résultats obtenus par VAlgèbre, tel est le hut qu’on se pro-» pose en appliquant l’Algèbre a la Géométrie, Développons ces notions générales sur quelques exemples. 3. Proposons-nous d’abord de rechercher les propriétés principales du triangle rectangle et du triangle obli- quangle, en partant de ce seul principe, que deux triangles équiangles ont leurs côtés homologues proportionnels, et sont par conséquent semblables. Soit un triangle BAC rectangle en A ; du point A abaissons AD perpendiculaire sur BC, et posons BC = a, AC—b, AB=c, AD=/i, BD = /n et DC=n. Les deux triangles BAC, ADC sont rectangles, l’un en A, l’autre en D ; de plus, ils ont l’angle C commun ; donc le troisième angle ABC du premier est égal au troisième angle DAC du second, et les deux triangles sont semblables. Il en est de même des triangles BAC, ADB, Ainsi, comparant les côtés homologues et employant les NOTIONS PRÉLIMINAIRES. 3 notations qui viennent d’être établies, on obtient les trois proportions a ; b b : n, a ; c : : c : m, d’où l’on déduit a : c :: 6 : h ; (0 b 1 = an, (2) c 2 = am, (3) bc = ah, égalités auxquelles on peut réunir celle-ci ( 4 ) a = m n, qui existe nécessairement entre les deux segments BD et DC. Ces quatre équations renferment implicitement toutes les propriétés des triangles rectangles ; et il ne s’agit que de les faire ressortir par des transformations convenablement exécutées. i°. Les égalités (i) et (2), ou plutôt les proportions qui y ont conduit, nous apprennent que chaque côté de l f angle droit est moyen proportionnel entre Vhypoténuse entière et le segment adjacent. C’est une des propriétés principales du triangle rectangle. 2 0 . Ajoutons membre à membre les égalités (1) et (2), il vieDt -4- e’ = am an = a (m -+• «), ou, à cause de l’égalité (4), b 1 + c* — a *. Ce qui démontre que, dans tout triangle rectangle , le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés construits sur les deux côtés de l'angle droit. C’est la propriété caractéristique du triangle rectangle. 3 °. Multiplions les mêmes égalités (1) et (2) membre à membre; on obtient b'c 1 = a} mn\ mais l’égalité ( 3 ) donne aussi é’c 1 = a* h'-, U donc a % mn — a} h 1 , 4 INTRODUCTION, et, par conséquent, /( 5 — mn, ou bien m : h ” h : n. Ainsi, la perpendiculaire abaissée du sommet, de b angle droit sur l’hypoténuse est moyenne proportionnelle entre lesdeux segments de l’hypoténuse. 4°. Divisons membre à membre les égalités (i) et (2); il vient b 3 an „ , , — = — > d où o* : c 1 ; : n : m ; c 3 am j’est-à-dire que les carrés construits sur les côtés de Vangle droit sont, entre eux comme les segments de l'hy- potènuse. En un mot, toute transformation exécutée sur les égalités (1), (2), (3) et (4) conduirait à un résultat qui, traduit géométriquement, ne serait autre chose qu’un théorème ou une vérité plus ou moins remarquable. 4. Observons d’ailleurs, en passant, que, comme ces quatre équations renferment six quantités a, b, c, h, m et n, il s’ensuit que, deux quelconques d'entre elles étant données, on peut se proposer de déterminer les quatre autres à l’aide de ces équations. Supposons, par exemple, que connaissant l’hypoténuse BC et la perpendiculaire AD, il s’agisse de déterminer les deux côtés de l’angle droit et les deux segments. Les équations (1), (2) et (4) donnent d’abord, comme on l’a déjà vu, c 1 = a 3 ; mais si l’on double l’égalité (3), on a 2 bc = 2 ah, d’où, en faisant successivement la somme et la différence de ces deux dernières, on déduit ( b 4- c) 2 = a 1 -+- 2 ah, (b — c) 3 = « 3 — 2 ah, et, par conséquent, b + c — \Ja* 4- lak, b — e = ya 3 — 2 ah. NOTIONS PRÉLIMIWA1IÎES. 5 Connaissant la somme b -+- c et la différence b — c des deux côtés b et c, il est facile d’obtenir chacun d eux en particulier. On a, d’après un théorème connu, pour le plus grand côté (qu’on peut toujours supposer exprimé par b), b = - sJà 1 -+■ 2 ah H J a 1 — 2 ah, 2 2 ’ et pour le plus petit, c, c = - i/n’ + în/i-t/o’ — 2 ah- 2 2 ’ Quant aux deux segments m et n , ils sont donnés immédiatement par les équations (i) et (2), puisque b, c et a sont maintenant connus. S. Remarque. — La seconde partie des valeurs de b et de c nous apprend que, pour que le triangle puisse exister avec les données établies, il faut que l’on ait a’^>2flè, ou au moins a’= 2 ah-, d’où l’on tire n ou tout au plus ù<-, 2 h— a . car autrement, les valeurs de b et de c seraient imaginaires. En effet, pour construire un triangle rectangle, connaissant l’hypoténuse et la perpendiculaire abaissée du sommet de l’angle droit, on peut employer le moyeu suivant : Décrivez sur Vhfpotênuse BC comme diamètre une Fig. demi-circonférence ; élevez au point B une perpendiculaire BH égale à la perpendiculaire donnée; menez HL parallèle à BC ; et les deux triangles égaux, ABC, A'BC, satisfont à la question. Or, pour que le problème soit possible, il faut évidemment que BH soit inférieur , ou tout au plus égal à 1 BC. Lorsqu’on a BH = - BC, ou h ■■ -a, le triangle rec- 6 IWTRODl CTIOK. tangle devient isocèle, et les valeurs de b , c se réduisent à 2 3 ce qu’on peut aussi reconnaître d’après la figure. fi. Considérons, en second lieu, un triangle obi.xquajsgle A BC, et proposons-nous d’exprimer l’un des côtés, AB par exemple, au moyen des deux autres, en nous fondant sur la propriété caractéristique du triangle rectangle (n° 3, 2 °). Abaissons du sommet A la perpendiculaire AD (qui peut tomber en dedans ou au dehors du triangle, selon que l’angle C est aigu ou oblus), et conservons d’ailleurs les mêmes notations que précédemment, savoir : BC = «, AG — b , AB == c, AD —h, BD — m, DC = *. Les deux triangles rectangles ADB, ADC donnent les égalités (1) c'=h'-h m\ ( 2 ) 6 1 = A’ n*i auxquelles il faut joindre celle-ci : (3) «= m±n. [Le signe supérieur de l’égalité (3) correspond au cas où l’angle C est aigu, et le signe inférieur , à celui où il est obtus. J Cela posé, retranchons l’égalité ( 2 ) de l’égalité ( 1 ); il vient c’ — b' — m *— d’où (4) c’ — /j 1 ; mais l’égalité (3) donne 1 et, par conséquent, m = a rp n, a’rpzan -+• nK Substituant cette valeur dans l’équation (4), on obtient enfin (5) c’= i'+ d’qzsan, Donc , dans tout triangle obliquangle, le carré d’un côté NOTIONS PRÉLIMINAIRES. y quelconque est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, moins ou plus le double produit de l’un de ces deux côtés par la projection de l’autre sur celui-ci. L’égalité (5) comprend, sous une forme très-concise, les deux théorèmes principaux sur les triangles obli- quangles. 7. Le problème suivant est très-propre à faire ressortir l’utilité de l’Algèbre dans la résolution des questions de Géométrie. On propose de diviser une ligne donnée AB en moyenne Fig. 4- et extrême raison , c’est-à-dire en deux parties, dont l’une soit moyenne proportionnelle entre la droite entière et l’autre partie. Supposons le problème résolu, et soit E un point de AB, déterminé de manière qu’on ait la proportion Posons ab: ae :: ae:eb. AB AE: d’où EB — a — x. a 3 X La proportion devient a \ x x \ a - d’où l’on déduit l’équation X’ = a- — ( qui, étant résolue, donne *=-î ± \J“ De ces deux valeurs fournies par la résolution de l’équation, la première est la seule susceptible de satisfaire à l’énoncé du problème tel qu’il a été établi, car la seconde (qui est négative) a une valeur numérique plus grande que fit; d’où il suit qu’elle ne peut exprimer une partie de la droite donnée a. Nous verrons plus loin (n° 25) pour quelle raison cette valeur se rattache à la première et comment on doit l’interpréter ; occupons-nous donc seulement de la valeur a a \A a 2 T et voyons ce qu’elle signifie en Géométrie. 8 INTRODUCTION. Ce résultat indique évidemment que, pour obtenir la valeur de x en ligne, il faut retrancher la moitié de a de l’expression a* y- Mais, en vertu de la propriété représente principale l’hvpoténuse d’un triangle rectangle dont les deux côtés de l'angle droit sont a et-- ° 2 On est ainsi amené à la construction suivante : Fm. 4- De Vextrémité B de la ligne AB = a, élevez une perpendiculaire BC égale a , et tirez AC; il en résulte “=v/- + f Du point C comme centre, avec le rayon CB = -•> décrivez un arc de cercle, BD, qui coupe AC au point!) ; vous aurez Enfin, rabattez par un arc de cercle AD de A en E; et le point E sera le voint demandé. En effet, on a AE= AD = 11 est à remarquer que cette construction à laquelle on est parvenu, est précisément celle qu’on donne dans les Eléments de Géométrie. Pour l’obtenir par des considérations purement géométriques, il faut une analyse assez délicate; tandis qu’on la trouve facilement à l’aide des symboles de l’Algèbre. C’est ainsi que souvent, en appelant l’Algèbre au secours de la Géométrie, on parvient à résoudre des questions qui, autrement, exigeraient des raisonnements difficiles et compliqués. 8. En réfléchissant sur la manière dont la dernière question vient d’ètre traitée, on voit que la résolution d’un CONSTRUCTION DES EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES. g problème de Géométrie par le secours de l’Algèbre se compose de trois parties principales : i°. Traduire algébriquement l’énoncé du problème, ou le mettre en équation. 2 °. Résoudre l’équation ou les équations, suivant que l’énoncé renferme une ou plusieurs inconnues. 3°. Construire ou évaluer en lignes les expressions algébriques auxquelles on est parvenu. Généralement, on doit y joindre une quatrième partie qui a pour objet la. discussion du problème, ou l’examen de toutes les circonstances qui y sont relatives (voyez le n° S). Or, il en est des problèmes de Géométrie comme des problèmes d’Algèbre, c’est-à-dire qu’il n’existe pas de règles bien fixes pour mettre un problème en équation. Le précepte établi en Algèbre est également applicable (voyez n° 2) aux problèmes de Géométrie ; mais la manière de le mettre en pratique varie suivant les différents problèmes qu’on peut avoir à résoudre. Cependant, nous développerons ultérieurement, à ce sujet, une méthode générale constituant, à proprement parler, la Géométrie analytique. Les équations une fois obtenues, on peut les résoudre d’après les moyens que fournit l’Algèbre en s’attachant à combiner ces équations de la manière la plus convenable pour en tirer le résultat cherché. Quant à la troisième partie, qui a pour objet de construire les expressions algébriques auxquelles on est parvenu, les règles à suivre sont faciles et en petit nombre. C’est donc par le développement de cette troisième partie qu’il convient de commencer. § U. — Construction des expressions algébriques. 9. Nous ne considérerons, dans tout ce qui va suivre, que des expressions rationnelles ou irrationnelles du second degré, c’est-à-dire des résultats provenant d'équations du premier ou du second degré. Les expressions élémentaires, c’est-à-dire les expressions IO INTRODUCTION. à la construction desquelles on peut- ramener toutes les autres, sont au nombre de six, savoir : , , , , ab a 1 x = a — b t- c — a -f- e. . . , x ~—, x = —, c c x~\jab, x — \jtt 3 + b 3 , x — y/a 2 — b 2 (a, b , c, d,... exprimant les nombres d’unités linéaires contenues dans des lignes données). Nous renvoyons, pour la construction de ces expressions, aux Éléments de Géométrie (*). Les expressions x = 2 a, x ='6a, x — 4a,. . . ne sont que des cas particuliers de x ^ ci -f* b ^ c —cl —* Quant aux lignes représentées par les expressions a aa 3 a leur construction se déduit facilement du mode de division d’une droite en 2 , 3 , y,... parties égales. 3 a Ainsi, pour construire la ligne x — —? il suffit de divi- 1 ser a en 7 parties égales et de prendre 3 de ces parties, ou bien de prendre une ligne égale à 3 a, qu’on divise ensuite en 7 parties égales. 10. La construction de l’expression x— V a 2 — b 3 + c' 2 — d 2 — e 3 —. . . se ramène à celle des deux expressions élémentaires x = ^a 3 + b 1 et x — \]a 3 — b 3 . En effet, si l’on pose rn 3 = n 2 4- c 2 4- /’ 4- • • • et n' = b 3 d '-+- e 3 -+- . . ., il en résulte _ x — y !m 7 — m étant nécessairement plus grand que n , pour que l’expression de x soit réelle. (*) Vojet le Cours de Géométrie élémentaire et Y Abrégé de Géométrie do M. Vincent. (Imprimerie de Màllet~Bàchelier,) CONSTRUCTION DES EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES. Il Or, on obtient la ligne représentée par m — y/ a‘ + c 2 f l •+•. . . en construisant d’abord y/a 2 -|-c 2 , ligne qu’on peut désigner par /j, puis sjp* -t-/' 2 , qu’on désigne par q , et ainsi de suite. On obtient de la même manière n = y/è 2 + ^ 2 4 - e 2 -t~... , en sorte qu’il ne s’agit plus que de construire x z=z ^m 2 — n 2 . Donc, etc. 11. Ce mode de construction peut servir à évaluer en lignes les radicaux numériques du second degré. Soit, pour premier exemple, à construire x — sj i5‘ Cette valeur de x peut être mise sous la forme x=y/i6—I ou x=y/(4) 2 —i, et représente, en conséquence, l’un des côtés, b , de l’angle droit d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse est a — 4 i et l’autre côté, c = i. On trouverait de même ^7 = ^4 •+■ 4 — 1 = v/ii = y/ 9 -+-i + i=:y/3 2 -i-i-|-i, y/43 = y/36 + 9 — 1 — i=y/6 2 -t-3 2 — 1 — i. L’artifice consiste à décomposer le nombre soumis au radical en la somme algébrique de plusieurs carrés; ce qui est toujours possible. 12. Nous sommes actuellement en état de construire toute expression algébrique rationnelle ou irrationnelle du second degré, provenant de la mise en équation d’un problème de Géométrie, chacune des lignes qui font partie de l’énoncé, ayant été représentée par une lettre. Commençons par les monômes rationnels . INTRODUCTION. ia Soit proposée l’expression 2 abc x On peut la mettre sous la forme 2 ab c x = —— x — d e ! ab Or, — exprime évidemment une quatrième proportionnelle aux trois lignes d, la et b. Cette ligne étant construite, posons 2 ab il en résulte = «»; X = rn X -> c qui exprime également une quatrième proportionnelle aux trois lignes e , rn , c. Soit encore à construire 2 a 3 i’c Cette expression revient à 2 a' a b b c •r-- rr X-.X- 7 X- 7 X- 3 d d f f g D’abord, ou — exprime une quatrième proportionnelle aux ligues 3 d, aa et a. Posant 2 f/ 3 on a 3 d a b b c rn X -% X -i X -y X — d f J g Or, rn X - représente une quatrième proportionnelle aux nés e Soit lignes d . m et a. fl» X j = fl > a CONSTRUCTION DES EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES. l3 il eu résulte b b c x — ri X X - X— f f s En continuant ainsi, l’on parviendra, à l’aide de cinq quatrièmes proportionnelles, à une dernière ligne qui représentera la valeur proposée. N. B. — Le nombre des quatrièmes proportionnelles est toujours marqué par le degré, ou par la somme des exposants du DÉNOMINATEUR. 13 . Passons aux expressions fractionnaires polynômes. Soit à construire _2 a 3 — 3 a’i + b'c a 2 — 2 ab -+■ b 1 On peut d’abord l’écrire ainsi : a 1 12a — 3 b -h b ! c a ( a -* b + b â) Si, après avoir supprimé le facteur a, commun aux deux termes, on pose il en résulte b'c b 1 -7 = m » ~ Z — n ’ a 1 a _ a (2a — 3 b -h m) a — 2 b n et cette expression représente alors une quatrième proportionnelle aux trois lignes a — 2b n, a et 2a — 3 & + ni. Quant aux deux lignes m et n, on peut les construire facilement, d’après ce qui a été dit plus haut. L’artifice de ces transformations consiste à décomposer l’un des termes, tant du numérateur que du dénominateur, en deux facteurs, l’un du premier degré, l’autre du degré n — 1, 11 étant le degré de ce terme, et à mettre ce dernier facteur en évidence. On a soin d’ailleurs, pour restreindre autant que possible les constructions partielles, de faire en sorte que ce facteur mis en évidence comprenne les lettres qui entrent INTRODUCTION. *4 le plus de fois comme facteurs dans les deux termes de la fraction. On trouvera ainsi que l’expression a*— 2 a 3 b -t- 2 ab % c — b'cd revient a 2 ab' — 3 b 3 — 4 bc l -+- c*d a [m — n + 2 c — p ) 2a — 36 — q ■+• r en mettant le facteur ab 1 en évidence au numérateur , et le facteur ù* en évidence au dénominateur, puis posant _ a 3 _ 2 _ cd 4 e ’ 6 2 ’ 6 ’ P a ’ ^ 6 ’ r T’" Ces dernières expressions étant construites, on en déduit la valeur de x, qui est une quatrième proportionnelle aux trois ligues ia — ‘6 b — q -y- r, a, et m — « + ac — p. On peut remarquer qu’il y a beaucoup d’analogie entre ces transformations et celles qu’on exécute pour rendre les expressions algébriques calculables par logarithmes. 14. Considérons maintenant les expressions radicales du second degré. Soit, premièrement, l’expression x = sjo *— bd. On peut la mettre sous la forme et si l’on pose =v/«(» bd \ a I bd a ligne facile à construire, il en résulte x — \Ja{a — m), expression qui représente une moyenne proportionnelle entre les deux lignes « et a — m. Autrement. — Soit fait n 1 = bd, il vient x = sla ' 1 — n 1 ; d’où l’an voit au’après avoir construit une moyenne propor- CONSTRUCTION DES EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES. l5 tionnelle n entre b et d , il suffit de déterminer l’un des côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle ayant a pour hypoténuse, et n pour autre côté. Soit, en second lieu, la? — 2 b 7 c V 3 6 S Cette expression revient à celle-ci Or, on a a ! — 2 6 J c -t- 3 b 3 b {a — b ) Æ 3 — 2 b*c - 4 - 3 è 5 b (a — b) a — 6 36 ) — , quantité qu’on peut construire aisément, comme on l’a vu au n° 13. Désignant donc cette quantité ou cette ligne par m, on obtient x = expression facile à construire. En général, pour toute expression radicale du second degré, il suffit de mettre en évidence, sous le radical, un des facteurs littéraux qui entrent dans les termes du numérateur, a par exemple ; le second facteur sous le radical est alors une expression rationnelle quon sait construire . Désignant celte expression par une lettre m , on est amené finalement à construire la valeur x = y/a X m. N. B. — Si l’on avait une expression telle que x==a \Jr il faudrait commencer par faire passer le coefficient a sous le radical; ce qui donnerait x = y/ ^ = sja X m, eu posant et construisant «X b INTRODUCTION . l6’ Remarque importante sur /'homogénéité. 15. Dans chacune des expressions algébriques que nous venons de considérer, tous les termes sont de même degré si elles sont entières; et si elles sont fractionnaires : i° tous les termes du numérateur sont de meme degré entre eux, ainsi que tous les termes du dénominateur ; 2 ° le degré du numérateur surpasse celui du dénominateur d’ime unité pour les quantités rationnelles, et de deux unités pour les quanti tés irratio n nettes du second degré. Une expression qui doit représenter une ligne est dite homogène lorsque ces conditions sont remplies; et elles le sont toutes les fois que, dans la traduction algébrique de l’énoncé d’un problème, on a désigné par une lettre chacune des lignes qu’on a du faire entrer dans le calcul. Pour comprendre qu’il en doit être ainsi, il suffit d’observer que, d’une part, les relations employées pour la mise d’un problème en équation, se réduisent toutes à des égalités telles que a c b~7f a 2 ni 6 S n * a 2 =Z> 2 ±e% à 1 = è J -f- c ! ±2i.m, qui se déduisent, soit de la théorie des triangles semblables, soit des propriétés relatives aux triangles rectangles ou obliquaitgles ; et que, dé autre part, les opérations ou transformations If) qu’on peut avoir à exécuter sur ces égalités pour arriver au résultat demandé, conduisent toujours nécessairement à des égalités homogènes, dans le sens attribué, en Algèbre , à cette dénomination. ou a .d — b .c, ou fd.n = b 2 .m , (*) Quand il s’agit d'addition ou de soustraction , les égalités sur lesquelles on opère doivent être non-seulement homogènes , étant considérées séparément, mais encore elles doivent être de même degré entre elles; autrement le résultat de l’addition ou de la soustraction de ces égalités, membre à membre, n’offrirait aucun sens raisonnable . Ainsi, l’on ne pourrait additionner des égalités telles que û = 6-i-c, û*= & 3 -h c*j pas plus qu'en Arithmétique on ne saurait ajouter des quantités d f espèce différente. HOMOGÉNÉITÉ DES EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES. IJ D’après ce qui vient d’être dit, soit, par exemple, B d’où Ax = B, le résultat auquel on est parvenu pour l’une des inconnues, x devant exprimer une ligne. i°. B et A doivent être séparément homogènes ; 2°. Comme x exprime une ligne, il faut que le degré de B surpasse d'une unité celui de A; autrement la seconde égalité ne serait pas homogène. B Ainsi, dans le résultat x = — ; les deux conditions énoncées ci-dessus seront satisfaites. Quant aux radicaux du second degré, qui peuvent être généralement représentés par l’expression (A étant entier et fractionnaire) , comme on en déduit x 2 — A, et que le premier membre, x*, exprime une surface, le second membre A doit exprimer une surface. D’où il suit que si A est fractionnaire, le degré du numérateur doit surpasser de deux unités celui du dénominateur. Mais si, afin de rendre les calculs plus simples, on convient de prendre pour unité l’une des lignes que l’énoncé du problème prescrit de faire entrer dans le calcul, comme les diverses puissances de i sont égales à i, le degré de chacun des termes où cette ligne se trouvait élevée à diverses puissances, doit nécessairement diminuer d 'une ou de plusieurs unités ; et, dans le résultat obtenu pour la valeur de l’inconnue, les conditions de Yhomogénéité doivent, en général , cesser d’exister. Par exemple, lorsque, dans les expressions ab 2 .a 3 b , c a 1 —bd c x 3 rf’/V * a 3 — 2 b*c -t- 3 b 3 Ap. de l'Al, à la G i 8 IMTROmjCTIOH. on suppose b — i , elles se réduisent à c 3 d'f'Y '=\T‘ Cependant, comme la construction de la ligne cherchée dépend de la longueur de chacune des lignes données, et en particulier, de la ligne prise pour unité, il faut préalablement rétablir cette dernière dans l’expression de .%•; ce qui n’offre aucune difficulté, car, en désignant cette ligne par une lettre, m par exemple, il suffit de Vintroduire dans les dif- jérants termes, comme facteur, à une puissance d’un degré tel, que les deux conditions d'homogénéité soient remplies. Ainsi, soit l’expression a i — 2 a -f- 3 bc x — -7-- , i — 2 b 1 -P a qui n’est pas homogène, parce qu’on a supposé l’une des lignes de la question, égale à i. Puisque l’un des termes du numérateur est du troisième degré, et qu’un de ceux du dénominateur est du deuxième degré, tous les autres tenues doivent être respectivement ramenés à ces mêmes degrés. Donc, en désignant par m la ligne prise pour unité, on a a 3 — 2 am 1 - -f- 3 bem x - - ---, am — 2 0’+ né expression qui peut se construire d’après les règles établies précédemment. De même , a — b 1 + c s , . am 3 — b a m’-hc i m x =- devient •———— ; -• à 1 — b-k-d 1 a 1 —èm’+d'S Soit encore x — Chacun des termes, sous le radical, devant être du deuxième , , „ aef aefm ce ccm 1 a* f deere, on transformera — en —7-7-5 -7- en —, — en & ’ bd bd fg Jg d a -^-% et l’expression deviendra dm 1 aejin cerné a'f bd fg dm 1 v 7 aef ce bd + Te’ d ' HOMOGÉNÉITÉ DES EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES. 19 Posant alors aefm ae fm d’où / ae fm bd b X Z’ /T* 1’ ce.m 1 fë ce 7 m* X 1 ? S d’où ?== \ /ce m? h x 7’ a 4 / _ dm 2 a a*f d’où / / ! a x ^’ et construisant p, <7, r, d’après les principes connus, on obtiendra pour x la valeur X — q 2 — r-, expression qui rentre dijiis celle du n° 10. 16. Conséquence. — Dès qu’on applique l’Algèbre à une question de Géométrie, la représentation des lignes par des lettres suppose toujours (n Q l) qu’on ait pris une certaine ligne pour unité; mais il faut distinguer deux cas : Ou le résultat auquel on parvient, pour l’expression de l’inconnue, est homogène ; ou bien , il ne l’est pas. Dans le premier cas, la connaissance de la ligne prise pour unité est indifférente à la construction du résultat. Dans le second, cette ligne est nécessairement une des lignes de l’énoncé, et son introduction dans le résultat est indispensable pour la construction. On est ainsi conduit, en quelque sorte, à considérer deux espèces d ’ unités linéaires : I’une qu’on peut appeler l 'unité implicite; c’est celle que comportent en elles-mêmes les expressions homogènes; I’autre, qui serait alors Y unité explicite ; c’est une des lignes données de la question, et que, pour simplilicer le calcul, on a jugé à propos de faire égale à 1. Son rétablissement dans le résultat final est toujours facile, au moyen des conditions d’homogénéité. La Trigonométrie où, soit en vue de simplifier les calculs, soit afin d’obtenir des formules plus faciles à graver dans la mémoire, on suppose généralement le rayon égal à l’unité, offre des applications nombreuses de ces principes sur Yhomogénéité. 17. Scolie général. — ■ Les diverses propositions que 20 INTRODUCTION. nous avons développées dans ce paragraphe et dans le précédent sont suffisantes pour la construction de tous les problèmes dont les équations*conduisent à des résultats rationnels, ou à des expressions irrationnelles du second degré. Nous ajouterons que, dans chaque problème, il faut tâcher de faire servir la figure de l’énoncé à la construction des résultats; car c’est ordinairement dans la liaison plus ou moins directe entre la construction et la figure, que consiste le plus ou moins d’élégance de la solution du problème par le secours de l’Algèbre. Les problèmes suivants feront ressortir l’importance de cette observation. Nous les proposons comme moyen d’initier les commençants aux méthodes de I’application de l’algèbre a la géométie; nous aurons soin, à cet effet, de faire quelques réflexions sur la manière dont ils auront été résolus. § III. — Résolution de diverses questions relatives A LA LIGNE DROITE ET AU CERCLE. Fig. 5. 18. Premier problème. — Inscrire un carré dans un triangle donné ABC; c’est-à-dire, trouver sur le côté AB un point E tel, que si l’on mène EF parallèle à BC, et EG, FH perpendiculaires sur BC, la figure GEFH soit un carré. Supposons le problème résolu, et abaissons du sommet A la hauteur AD du triangle. 11 est évident que, si le point I où AD rencontre EF, était déterminé de position, il en serait de même de EF, et par conséquent du carré cherché. Posons donc DI = EG — EF = x, et tâchons d’obtenir une équation entre cette ligne x et les lignes connues de la figure qui peuvent nous être utiles. Or, les deux triangles ABC, AEF étant semblables, leurs bases BC , EF sont entre elles comme leurs hauteurs AD, AI; c’est-à-dire qu’on a la proportion bc : ef :: ad : ai. Cela posé, soit BC = a, AD= h ; PROBLEMES SUR LA LIGNE DROITE ET LE CERCLE. 21 comme on a d’ailleurs DI = EF = x , il en résulte AI = /; — x ; d’où, en substituant ces notations dans la proportion ci- dessus, a\x \ \h \ h — x; ce qui donne et, par suite, ah — ax hx , ah a h- h Cette expression représente une quatrième proportionnelle aux trois lignes a h , a et h. Pour la construire, nous ferons usage de l’angle ADX, puisqu’on a déjà AD = h, et que le point I cherché doit être situé sur AD. Portons d’abord BC, ou a, de D en K, e( AD, ou h ? de K. en L -, il en résulte DL ~ a + h, DK = a ; et comme on a déjà DA = h, il s’ensuit que si l’on joint le point L au point A, et qu’on mène Kl parallèle à L A, le point I sera le poin 1 . cherché. En effet, on a la proportion DL : DK ; ; DA : DI, d’où a 4- h \ a ; : h ; DI ; donc ah DI =-= x. a — f- h Le point I étant déterminé, on mène, par ce point, EF parallèle à BC, et EG, FH perpendiculaires à BC -, ce qui donne GEFH pour le carré demandé. 19. Remarque. —Dans l’analyse de ce problème, nous avons eu le soin de n’établir les notations algébriques , qu’a- près avoir reconnu quelles étaient les données absolument nécessaires. Ainsi, il nous a suffi de faire entrer en considération la base et la hauteur du triangle, quoique les deux autres côtés fussent également connus. C’est une attention qu on doit toujours avoir pour éviter les notations inutiles. 22 IflTHODÜCTICm. 6. 20. Deuxième problème. — Étant donnés de position et de grandeur un cercle X et une droite AB, trouver sur la circonférence un point M tel que, si on le joint aux extrémités de la droite AB, et qu’on tire la corde DE, cette corde soit parallèle à AB. (Nous considérons particulièrement ici le cas où la droite AB est extérieure au cercle.) Solution. — Remarquons d’abord que, si le point D était fixé de position sur le cercle, il en serait de même des deux lignes AM, BM, et par conséquent, de la droite DE. La question est donc ramenée à chercher le point D. Or ce point serait connu, si l’on pouvait déterminer la distance, AG, du point A au pied delà perpendiculaire DG abaissée sur AB. A cet effet, du point C, centre du cercle, abaissons la perpendiculaire CF, et posons AB —c a , AF = b, CF = c, CD = r, AG = x , DG = il en résulte GF = DI = b — x , CI = c — y. (L’introduction d’une seconde inconnue, DG ou y, sert ici pour la commodité du calcul.) Ces notations étant convenues, observons d’abord que le triangle rectangle CDI donne Cd’= DlV Cl’, ou bien (i) r' = (b— xy+(c—y) 1 , première équation entre les inconnues .r, y, et les lignes connues b. c, r. Pour en obtenir une seconde , nous considérerons les deux triangles MAB et MDE ; ils sont semblables et donnent la proportion MA ; MD :: AB : DE; d’où l’on déduit ma : ad :: ab : ab — de, ou, multipliant les deux premiers termes par AD, ma x ad : Âd’:: ab : ab —de. Or, le rectangle MAxAD est connu; car si, du point PROBLÈMES SLR LA LIGNE DROITE ET LE CERCLE. 23 A qui est déterminé de position, nous menons la tangehte AL, nous avons, d’après un théorème de Géométrie, MA X AD = Âl’= m 2 (en désignant par ni la nouvelle ligne connue AL). On a d’ailleurs KD—x 7 -\-y 7 , AB — a , DE = 2 DI = 2 ( 4 — x); d’où AB — DE = a — 264-21. Ainsi, la proportion ci-dessus devient ni 1 : x' -+- y 7 : : a : a — 2 b -+• 21; d’où l’on tire (2) m ' 1 (a —2 6 4- 21) (l’-f/ 1 ); telle est la seconde équation du problème. Les équations (1) et (2) , dont la première, développée, devient x 7 -f- y 7 = 2 bx ~h 2 cy — ( b 7 4- e’ — r 7 ), et dont l’autre peut se mettre sous la forme m 7 . ,, i ! 4-^=:-(2i4-a-26), sont susceptibles de simplification. D’abord, les triangles ACF et ACL donnent Ac’ = b 7 +c 7 , AL ou m 2 — AC — LC = b 7 -\-c 7 — r 7 . En second lieu, la quantité — est une troisième proportionnelle qu’on peut supposer construite, et en la désignant par Su, on obtient m 2 1= an. Par suite, les deux équations du problème deviennent (3 ) x‘ 4- y 7 — 2 bx 4- 2 cy — an, (4) x 2 H- y 7 — n ( 2 x 4- a —2 b). Egalant entre elles ces deux valeurs de , on trouve, toute réduction faite, ( 5 ) {b — n)x 4- cy — n (a — b), équation qui n’est que du premier degré en .r, y, cl qui INTRODUCTION. 24 peut remplacer l’équation (3); en sorte que la question est ramenée à éliminer Rentre les deux équations (4) et (5). L’équation en x que l’on obtiendra ainsi, étant résolue, fera connaître la distance AG, et, par suite, la position du point D qui donne celle du point demandé M. Si 1’ on effectue cette élimination, on trouvera pour équation finale en x, [c j -4-(/2 — £> ) 3 ] jc 3 —H 2 « [(» — è) (a — b) — c J ] x — n[{a — ii)c’— n(a — é )’J. Nous 11 ’entrerons pas dans le détail de la résolution de cette équation, parce que le résultat qu’on obtiendrait serait, très-compliqué, et que la construction qu’on déduirait des principes établis précédemment, n’offrirait aucun intérêt (*). 21. Second moyen de résolution du problème proposé. 7- Supposons toujours le problème résolu, et soit D le point à déterminer. Menons en ce point la tangente DK, et par le point A la tangente AL, comme dans l’analyse précédente. Les deux triangles ABM, ADK sont semblables, car ils ont l’angle A commun ; de plus, AKD = KDE, parla propriété des angles alternes internes ; mais KDE et DME sont égaux comme ayant même mesure : ainsi AKD = DME ou AMB. On a donc la proportion AB : ad :: am : AK, d’où l’on tire Soient AB X AK = AD X AM = AL. AB = a , AL ~ m , AK =: x ; » il en résulte , a X x ~ m\ d’où x — — a Après avoir construit séparément (ou si l’on veut, sur la figure même), cette troisième proportionnelle , par Tune des méthodes connues, on la portera de A en K sur A B ; puis, du point K l’on mènera la tangente KD au cercle donné. (*) Nous renvoyons au chapitre premier, pourîa constructionfléométriquo de* équation» (i) et (3). PROBLÈMES SUR LA LIGUE DROITE ET LE CERCLE. 25 Le point D sera le point qui servira à fixer le point M cherché. N. B. —Comme du point K il est toujours possible de mener deux tangentes KD, KD', il s’ensuit que l’on a deux points M et M/qui satisfont à la question. Ainsi, le problème admet, en général, deux solutions. Ce résultat s’accorde avec celui de la première méthode employée pour résoudre le problème, puisqu’on est parvenu à une équation du second degré. 22. Remarque. — La construction de la tangente DK, qui a conduit d’une manière si simple à la résolution du problème, est une de ces idées qui s'offrent rarement à l’esprit de ceux qui n’ont pas déjà une grande habitude. Quel que soit le problème proposé, il est toujours facile de trouver dans la figure que prescrit l’énoncé, et à l’aide de quelques constructions qui se présentent naturellement, un premier mode de résolution, en faisant usage des relations principales de la Géométrie, telles que les propriétés des triangles rectangles, des triangles semblables ou des lignes considérées dans le cercle. Mais la difficulté est de découvrir les constructions susceptibles de conduire à des équations simples et à des résultats élégants. Nous observerons, à ce sujet, qu’un problème de Géométrie est en général moins facile à mettre en équation qu’un problème ordinaire d’Algèbre. Dans celui-ci, il suffit, le plus communément, de traduire, à l’aide des signes algébriques, les conditions explicites de l’énoncé, ou du moins des conditions implicites que l’on déduit aisément des premières. Les données et les inconnues y sont d’ailleurs en évidence; tandis que dans un problème de Géométrie, qui se réduit presque toujours à fixer la position d’un ou de plusieurs points, il faut beaucoup d’attention et de sagacité pour déterminer la nature des relations qui,exprimées algébriquement, peuvent conduire à une construction simple et élégante du problème. Or, de la nature des relations qu’on emploie, dépend celle des données et des inconnues que l’on doit faire entrer en considération. L’habitude etle discernement peuvent seuls apprendre à surmonter ces difficultés. 26 INTRODUCTION. Interprétation des résultats négatifs. Nous allons maintenant nous proposer des problèmes qui donnent lieu à des résultats négatifs pour les expressions des inconnues* Fig. 8. 23. Troisième problème. — Étant donné un triangle ACB, trouver sur le côté AC un point D tel que, si Von mène la droite DE parallèle à AB, cette parallèle soit égale à une ligne donnée m. D’abord, les deux triangles semblables ACB, DCE donnent la proportion AC : ab : : dc : de. Prenons pour inconnue la distance du point fixe A au point D, et posons AB = a, AC = b , AD = x, d’où DC = b — x. La proportion ci-dessus deviendra b : a : : b — x : m , d’où mb — ab — axj donc b (a — m) x = —--- • a On obtiendra facilement cette quatrième proportionnelle en prenant BAC pouf l’angle de construction, puisque l’on a déjà AB — a, AC = b. A partir du point B sur BA, prenez une partie BG égale Am; il en résulte AG — a — m ; menez ensuite GD parallèle à BC ; le point D sera le point demandé. En effet, on a la proportion d’où AB ; AC : : AG . AD, a : b : : a — m : AD : donc A D = —--— = x. a 11 est visible d’ailleurs que, si l’on mène DE parallèle à AB, l’on a DE = GB = m. Discussion du résultat. ■—Tant qu’on aura rn <' a ou AB, INTERPRÉTATION DES RÉSULTATS NÉGATIFS. 27 la valeur de x sera positive, et pourra être construite comme précédemment. Si l’on suppose m — a, la valeur de x se réduit à o, et le point D se confond avec le point A; ce qui doit être, puisque la ligne AB satisfait à la question. Soit maintenant m a ; la valeur de x devient négative, Fig. et, le signe étant mis en évidence, elle prend la forme b [m — a) a Afin d’interpréter ce résultat, il faut, en vertu des principes établis en Algèbre, remonter à l'équation du problème, ou à la proportion b : a : ; b — x : m, et j changer x en — .r ; ce qui donne b a \ \ b x \ m. Or, b — .r, qui exprimait la distance CD, devenant b représente maintenant la somme de deux lignes 5 ce qui ne peut avoir lieu qu’autant que le point cherché se trouve en D' sur le prolongement de CA, c’est-à-dire en sens contraire de celui où il était d’abord placé. Celle modification une fois établie dans la proportion, l’on en déduit 7 7 ,, , blrn — a) ab -f- ax — bm , d ou x — -— ; -- a Pour construire cette expression, il suffit déporter, à partir du point B, la ligne donnée m de B en G', ce qui donne A G’= m — a , puis de mener G'D' parallèle à BC. Le point D' est le point demandé ; c’est-à-dire que D'F/, parallèle à AB , est égale à m , Cela est d’ailleurs évident. 24. Remarque. —La solution négative qu’on a obtenue dans le cas de m ’'> a indique, non pas une rectification à faire dans l’énoncé de la question (car, quelle que soit la grandeur de m, il est toujours possible de placer cette ligne dans l’angle ACB, parallèlement à AB, en prolongeant les deux côtés, si cela est nécessaire), mais bien une différence 28 INTRODUCTION. Fig. 8. de position du point D par rapport au point fixe A, suivant la grandeur de m. Ainsi, lorsque, pour résoudre le problème, on suppose le point D au-dessus du point A, cetle'position est exacte tant que l’on a m a-, et le signe — obtenu dans ce cas, sert à rectifier cette position, en indiquant que la distance du point donné au point inconnu, doit être portée en sens contraire de celui où elle avait été d’abord portée. Cela est si vrai, qu’on peut éviter tout résultat négatif en fixant convenablement un autre point de départ , par exemple en prenant CD au lieu de AD pour inconnue. En effet, soit CD = x l ; les autres notations restant les mêmes, on a 7 ... 177 / mb b ; a .. x ; m , d ou x = — •> a résultat qui est essentiellement positif, quelles que soient les grandeurs relatives de a , b, m. Tant que l’on aura m a. Mais èomme, par la première manière de résoudre la question, on a trouvé _ b {a — m) _ b (m — a) a a il s’ensuit que les deux inconnues x et x’ sont liées entre elles par la relation x'■=: b — x; INTERI'RÉTATION DES RÉSULTATS NÉGATIFS. 29 X étant positif dans le cas de m a. 2o. Reprenons maintenant le problème du n° 7, et tâchons d’en interpréter la solution négative. Il est clair, d’abord, que la première des deux valeurs obtenues est la seule qui puisse satisfaire à la question telle quelle a été énoncée, puisqu’on demande de diviser a en deux parties, etc., et que la valeur absolue de la seconde solution est plus grande que a. Mais on peut modifier l’énoncé ainsi qu’il suit : Étant donnés deux points fixes A. et B, trouver sur la Fig. ligne AB ou sur son prolongement un troisième point tel, que sa distance au point A soit moyenne proportionnelle entre sa distance au point B et la distance des deux points A et B. D’après ce nouvel énoncé, comme il n’y a pas de raison pour supposer le point cherché à gauche plutôt qu’à droite du point A , on commence par le supposer à droite, c’est- à-dire entre A et B. (Il ne peut être en E", car AE // étant plus grand à la fois que AB et BE // , ne saurait être moyen proportionnel entre ces deux lignes.) Soit donc E le point cherché, et posons AE = x , AB = a , d’où BE =z a — x ; on a la proportion d’où et a : x : ; x \ a — x, x 1 = à 1 — ax, a , / a 1 x = _-±v /û *+4- La première valeur est positive et se construit comme il a été dit n° 7. La seconde valeur est négative; et pour la construire, il faut, après avoir déterminé la ligne AC égale à n 2 -)- prolonger AC jusqu’à sa rencontre en IL avec la circonférence déjà décrite, ce qui donne AD' égal à ^-+- y/a 2 4- É, puis rabattre par un arc de cercle, AD' de A en E' à la gauch e du point A (conformément à la remarque du n°24): 3o INTRODUCTION, et la distance AE' devra satisfaire également à la question. Fig. g. En effet, à cause de , a ) a 3 A -ï + y a + 4 ’ on a et T .„, a / a 3 3 a / « 2 BE = “ + ; + V + T = “ + V + 4" -» fa / a 2 V 3 a 2 / a* ae / à 2 -V tf,+ r AB XBE'= —+ ' 2 Donc AE' = AB X BE', ou bien AB : AE' : : AE' : BE'. Ainsi le nouveau problème admet deux solutions. Si l’on demande comment il se fait que ces deux solutions soient comprises dans la même, formule, quoiqu’en mettant le problème en équation, on ait supposé le point cherché, à droite du point A, et non à gauche, voici l’explication qu’on peut en donner : Soit d’abord le point cherché entre A et B; on a la proportion a : x x : a — X, d’où ( l ) x 1 4- ax = a 2 . Puis, supposons-le sur le prolongement, en E' par exemple : comme on a AE' = x, il en résulte BE' = a -+- x, et la proportion devient a : x y. x : a -t~ x; d’où ( 2 ) x 3 — ax=a 3 . Cela posé, si l’on résout l’équation (i) en ne tenant compte que de la valeur qui correspond au signe -f- du radical, on obtient a / a 3 • = -â + \/ 0 l ' H 4 ; IKTERPRÉTATIOK DES RÉSULTATS HÊGATIFS. 3i de même, si l’on résout l’équation ( 2 ) en ne tenant compte que de la valeur qui correspond au signe du radical, il vient x = a 2 a 2 X Or cette valeur est précisément, au signe près, la seconde valeur que donne l’équation ( 1 ) par sa résolution complète. Le signe —, qu’on obtient pour cette seconde valeur, correspond (n° 24) à une rectification, non dans l’énoncé du problème, mais dans la position qui avait été primitivement attribuée au point demandé. On éviterait, comme dans le problème précédent, toute Fig. 9 . solution négative, en prenant pour inconnue la distance du point cherché à un autre point A!, tel que l’on eût a / ci* AA >s+V fl, "*T Ainsi soit, par exemple, AA' — 1 a, et posons A'E = x', d’où AE = x' — 2 a , BE = 3 a — x' ; la proportion indiquée par l’énoncé devient a ; x' — 2 a x' — 2« : 3 a — x' ; ce qui donne ( x' — 2 a ) J = 3 a 2 — ax', et, par suite, _ , 3 a , la a 2 t’ = — ± V / —, - a 2 . 2 y 4 Ces deux valeurs sont essentiellement positives, puisque le radical est numériquement moindre que — • On peut d’ailleurs les mettre sous la forme d’où 32 ISTRODUCTIOK. et., comme on avait trouvé il s’ensuit que x et x' sont liées par la relation x '—2 a-=zx, ou x' =^2a-hx. Seulement, x est positif pour le point E, et négatif pour le point E'. 26. N. B. — L’erreur que l’on commettrait en attribuant au point cherché une position, impossible, se manifeste par une expression imaginaire. Fig. g. Supposons, en effet, que dans ce même problème, au lieu de prendre le point cherché en E ou en E', on le prenne en E", c’est-à-dire à droite des deux points A et B. En posant AE" = x , d’où BE" — x — a , on trouve, par la substitution de ces valeurs dans la proportion AB: AE":: AE" : BE", a : x \ \ x \ x — a, d’où x 1 — ax = — a % , et, par suite, Ce résultat imaginaire tient uniquement à ce que l’on a attribué au point cherché une position absolument impossible; car AE" ne saurait, comme nous l’avons déjà dit, être moyen proportionnel entre AB et BE". 27. Les principes établis (n os 23,24 et 26) peuvent être résumés de la manière suivante : i°. Toutes les fois que, dans la résolution d’un problème de Géométrie par le secours de l’Algèbre, Y inconnue représente la distance d’un pointJïxe à un autre point, comptée sur une droite fixe, et qu’on obtient, pour expression de cette inconnue, des résultats, les uns positifs et les autres négatifs, Si l’on est convenu de porter les valeurs positives dans INTERPRÉTATION DES RÉSULTATS NÉGATIFS. 33 un sens quelconque à partir du point fixe, les ■valeurs négatives doivent être portées en sens contraire du précédent. 2 °. Le moyen de faire disparaître les solutions négatives, est de rapporter le poin t cherché à un autre point fixe, dont la distance au premier point fixe soit assez grande pour qu’on soit assuré, que tous les points susceptibles de satisfaire à l’énoncé se trouvent d’un même côté par rapport à ce second, point ,• et cela est toujours possible, en général, puisque la ligne sur laquelle se comptent ces distances peut être prolongée autant qu’on veut. Les résultats négatifs proviennent uniquement de ce que 1 ’origine des distances a été d’abord choisie dans une position intermédiaire entre les points cherchés; et le signe — indique la différence de position de ces points par rapport au premier point fixe. 3°. Si dans la résolution d’une question (d’un problème ou d’un théorème), on veut faire entrer en considération les distances entre un premier point fixe et d’autres points situés avec celui-ci sur la même ligne, mais dans des sens différents, et qu’o« regarde comme positives les distances comptées dans un sens, on doit regarder comme négatives celles qui sont comptées en sens contraire du précédent. Nous ne donnons point ici de démonstration générale de ces principes; mais dans la suite, nous les verrons se confirmer de plus en plus, et nous en sentirons mieux l’usage et l’importance. Le problème suivant mérite beaucoup d’attention, non- seulement sous le rapport des constructions auxquelles il donne lieu, mais encore et surtout sous le rapport delà discussion. 28. Quatrième problème. — Étant donnés un angle Fio. YAX et un point D dans l'intérieur de cet angle, on propose de mener par ce point une droite LDN, de telle manière que le triangle intercepté ALN soit égal à un carré donné m 2 . Abaissons des points N et D les perpendiculaires NP, DC, et menons DB parallèle à AY. Ap. de VAL a la G . 3 34 INTRODUCTION. Fig, io. Prenons AL pour inconnue, et posons AL=rj, DC = h , A B — ci, d’où BL = x — a. Les deux triangles semblables ALN, BLD donnent donc BL : DG ; AL ; JNPj ou x — a ; h : : x : NP ; NP = l IG. 1 I mais, d’après l’énoncé, on doit avoir AL X NP ALN ou ainsi l’on a pour l’équation du problème, hx x X —, -r = m\ •i\x — a) ou, effectuant les calculs et ordonnant, / h 2 — 2 ani 1 ( i ) x J — 2 — x = Cette équation étant résolue donne «P ’ m -- x = — ir: -p vin -— 2 an. à à Pour que ces valeurs soient réelles, il faut que l’on ait ni 2 2 ah, ou au moins ni 2 = 2 ah. Arrêtons-nous à l’hypothèse ni 2 = 2 ah, d’où x = 2 a. Prenons AG double de AB ou égal à i a, et lirons la droite GDH, qui se trouve divisée, au point D, en deux parties égales.* Nous formons ainsi un triangle AGH dont la surface est égale à 2 ah comme étant quadruple de celle du triangle DBG qui a pour mesure a X -• D’où l’on peut conclure que le triangle AGH correspondant h la valeur de x — an, est le minimum de tous ceux qui peuvent satisfaire à la queslion. Supposons maintenant m 2 ^>2tzA, et tâchons de construire le problème sur la ligure elle-même. Les deux valeurs de x étant mises, à cet effet, sous la PROBLÈMES SCR. LA LIGNE DROITE ET LE CERCLE. 35 forme *=WïC prenons sur AX, AG 2 ÀB = 2 a et AK : 2a j, m 2 T troisième proportionnelle qu’on peut supposer construite séparément; il en résulte G K = AK — AG = — • décrivons sur AK une demi-circonférence, élevons du point G la perpendiculaire GI, et lirons la corde Kl; nous avons Kl = si AK X KG = s/y (x ~ 2 fl) ; rabattons par un arc de cercle Kl de K en L, et de K en L'; les distances AL = AK 4- KL et AL' = AK - KL' sont évidemment les deux valeurs dex. Enfin tirons les droites LDN, L'DN', et nous avons ainsi ALN, AL'N' pour les deux solutions du problème proposé. 29. Première remarque. — Le point L ' qui correspond à la seconde solution , tombe nécessairement entre B et G; car on a d’abord KL' ou Kl > KG ; ,, „ , i, nr nanr „ , . d un autre cote, 1 expression —-— formant les deux premiers termes du carré de —- a , il en résulte d’où 2 am 1 ( m ’ , -JT< T~ a >’ s! nam 1 .m 1 —— ■> ou KL X j t - a > 011 KB. Tft* Dans l’hypothèse de — = 2 a, les triangles ALN, AL'N' se réduisent au triangle unique AHG, puisque alors les deux valeurs de x deviennent égales à 3 . 36 INTRODUCTION. Fig. i 30. Seconde remarque. — La question proposée étant considérée sous le point de vue le plus général, présente quatre solutions, quoique la méthode employée pour la résoudre n’en ait fourni que deux. En effet, outre les deux solutions déjà obtenues, ALN, AL'N', il est visible qu’on peut toujours mener par le point D, deux autres droites DL", DL'", de manière que les triangles AL"N", AL'"N'" soient égaux au carré donné m*. De plus, pour ces deux solutions, le carré peut être aussi petit ou aussi grand qu’on veut. Comment se fait-il que ces deux solutions ne soient pas comprises dans le résultat obtenu? — Nous allons répondre à celte question. En cherchant à mettre le problème en équation, nous avons supposé le poi ut L à la droite du point A ; et les triangles ALN, BLD nous ont donné d’où np : dc :: al : bl, ou np:A::x:x— a-, et, par suite, ou, en simplifiant, (0 i ,x NP = ---, hx x X - = m\ x — a 2 nr 2 am‘ x’ — 2 — x =-;— h h Maintenant, si nous considérons le point L à la gauche du point A, en L" par exemple, les deux triangles AL"N", BL"Ddonnent encore N"p" : dc al": bl". Mais, comme en général une proportion ne doit être établie qu’entre des nombres absolus, et que x est, par sa position, négatif, il s’ensuit que la valeur absolue de AL" doit être exprimée par — x, et celle de BL" par—x-t -a-, ainsi la proportion devient — hx N"P " :h::—x:—x + ai donc N" P" =-— ; — x -h a PROBLÈMES SUR LA LIGNE DROITE ET LE CERCLE. ce qui donne l'équation — lix — x --— X-= m\ — x -+- a 2 ou, réduisant, , . 2 ni 1 2 fini 7 ( 2 ) -r*= —jt 7 m 7 équation qui diffère de (i) par le signe de L’équation (2) étant résolue donne nr . m 1 - - x — - ziz—r v m 2 -t- 2 an. h h De ces deux valeurs, qui sont essentiellement réelles, la première est positive et la seconde est négative. Or, je dis que la valeur positive correspond au triangle AL ,// JV /; . En effet, les deux triangles AL ff, JN w , BL'"D donnent K'"p'": dc :: al'": bl'", ou N'"p : h :: x : a — x-, d’où N'"P'" = hx et, par conséquent, hx x - X - = m a — x 2 équation qui revient à celle-ci, — hx X — = — x + a 2 ce qui fait voir que les solutions AL ,; JN", AL W N W sont comprises dans la même équation. Voici d’ailleurs la construction du résultat m 7 . /ni 7 fin 7 \ Prenez a gauche du point. A une distance AYJ égale à et a droite du meme point, une distance AG = 2 a\ ce qui donne ni 1 GK'= -t- -t- 2 a. n Décrivez sur GK' une demi-circonférence; au point. A Fig, 1 a Fig. 38 ïktrodtjction. élevez la perpendiculaire AI', et tirez la corde K'I'; vous avez KT = V/AK'XGK' = y/j (^ + 2 a y Rabattez ensuite K'I' de K' en L" et de K' en L w ; il en résulte AL" = - AK'- K'L" = - ï - (ÇTT) , A1 '= ~ AK' + K'L'= - £ + y/£ (£ + =»)< iV. B. — Il serait aisé de reconnaître que le point I/" doit tomber entre A. et B. ( Voyez le n° 29. ) On peut comprendre les quatre solutions dans une même formule, en posant l’équation d’où l’on déduit Le signe supérieur de ± — correspondrait alors aux deux solutions ALN, AL'N^ et le signe inférieur, aux solutions AL" A", Al^N'". Ou bien encore, on pourrait multiplier entre eux les deux facteurs 2 7w* 2 am ’ 2 2 am' t x 2 -— x -t-r—• et x 1 H—- — x -,— ; h h h h il en. résulterait l’équation du quatrième degré 4 ; 8 a ni' 4 a-1 h‘ qui comprendrait les quatre solutions. La remarque qui a fait l’objet de ce numéro est une nouvelle confirmation du principe (n° 27) sur les changements de signe des distances comptées en sens contraire les unes des autres. 3). Examinons maintenant les circonstances relatives PROBLÈMES SLR LA LIGNE DROITE ET LE CERCLE. 3p aux diverses positions que le point D est susceptible de prendre par rapport aux deux lignes AX, A Y, en nous bornant à faire connaître les résultats, avec la manière d’y parvenir. Premier cas. — Supposons le point D placé au-dessous Fig. i3. de AX et à la droite de AY, en D'. Cette condition s’exprime en introduisant (n°27) dans le résultat primitif, —h h la place de h , puisque les distances des points D et D' à la ligne AX sont comptées en sens contraire l’une de l’autre; et il vient ou bien jm % ! ni 1 \ Vi(i +îa ) La nature de ce résultat, dont les valeurs sont toujours réelles, prouve que les triangles qui lui correspondent sont placés dans les deux angles YAX, Y'AX'. Deuxième cas. —Le point D peut être placé à la gauclie Fig. i4- de AY, et au-dessus de AX , comme en DA Dans ce cas, il est clair que la distance AB" est comptée en sens contraire de AB; ainsi, il suffit de changer a en — a dans la formule primitive, ce qui donne / ni 2 ( /« 2 \ VT\T + 2a ) Les solutions correspondantes se trouvent encore placées dans les angles YAX, Y'AX'. Troisième cas. —Le point D peut être situé en W dans Fig l’angle X'AY', opposé par le sommet à l’angle XAY. 11 faut alois changer à la fois a et h en — a et — h dans le résultat, qui devient ou bien -F- 2 a i5. x — lit h ~h ~ 2tl et comme ces deux solutions peuvent être imaginaires, elles doivent être toutes les deux placées dans l’angle X'AY'. 4o INTRODUCTION. On pourrait, par des raisonnements analogues à ceux du n° 30, expliquer pourquoi, dans chacun de ces trois cas, on 11 ’obtient que deux solutions, taudis qu’il doit y en avoir quatre quand on considère la question d’une manière générale. Fig, 16. 32. Nous terminerons cette discussion par l’examen de deux cas particuliers. i°. Soit le point D placé sur la ligne AX. Dans ce cas, on a et l’expression h = o, q/u 2 — %ah devient »?’ db A o x =- —, ou x — - et x = —• o o o De ces deux valeurs, la première est infinie, et l’autre se présente sous la forme -• Mais si l’on remonte à l’équation hx 1 — 2 ni 1 x — — 2 elle se réduit, dans l’iiypollièse de h = o, à — 2/7î j x = — mm-, d’où x = a = AD. Connaissant la base AD du triangle cherché, on obtiendra sa hauteur^, d’après la condition x „ 2.w J 2 m 1 y X - = m 1 , d ou y — - — - 2 x a cette hauteur étant trouvée et construite, on la portera sur AH perpendiculaire à AX ; puis ou mènera IiN T/ parallèle à AX, et l’on aura enfin le triangle ADN / pour réponse à la question. Quant à la solution infinie, elle signifie que l’un des triangles de la question a une base infinie et une hauteur nulle, puisque = m 2 donne 2 PROBLÈMES SUR LA LIGNE DROITE ET LE CERCLE. 4 1 c’cst ce que devient la solution ALN de la fig. 11 lorsque le point D, se rapprochant de plus en plus de AX, finit par tomber sur AX. 2°. Soit le point D placé sur AY. Fig. Dans ce cas, on a a — o, et l’expression de x se réduit à ni- , np ,, , 2 ni 2 x = —- rfc —, dou x — — ; — et i=o. h h h D’ailleurs, l’égalité = m 2 donne 2 m 2 ^ x et, par conséquent, , 2 np y —h, y — -y- = co ; c’est-à-dire qu’en prenant sur AX une distance AL égale à -y- i et tirant DL, on aura ALD pour première solution. Quant à la seconde, elle se réduit encore. p — a — 2 , p — b = 5, p — c : il en résulte d’où donc Ainsi ABC = y/i7X2X5 Xio- Appliquons les logarithmes. On a, d’après les Tables de Callet : 0. log 17 = 1,23044892 log 2 = o,3oio3ooo log 5 = 0,69897000 log 10 = 1,00000000 Donc Somme log cl, par conséquent, 3,28044892 S = i, 6 i 52245, S = 4’> 2 8 i j c’est-à-dire que, si l'on a pris le mètie pour unité linéaire , la surface renferme 4i mètres carrés plus 231 millièmes de mètre carré. 36. Discussion .—Pour que la formule (4) donne une valeur réelle, il faut (comme p est essentiellement positif) que les trois autres fadeurs soient positifs à la fois, ou bien qu’il y en ait deux négatifs et un positif. Or, on ne peut avoir en même temps p.— ao, p — b > o, p c > o ; d’où l’on déduit, en remplaçant p par sa valeur et réduisant, b+c^>a, a-t-c^>é, a + bf>c-, c’est-à-dire un quelconque clés côtés moindre que la somme des deux autres. C’est, en effet, la condition nécessaire pour qu’un triangle soit possible quand on donne ses côtés. Si l’une des inégalités précédentes avait lieu dans un ordre inverse, l’expression serait imaginaire. 37. Nous proposerons encore comme application, de Fig. tg. déterminer la surface d’un trapèze ABDC, en fonction des quatre côtés. En posant AB = a , CD = b , AC = c, BD = cf on doit trouver s = b jfZT^ sl{p — a){p — b)(p—a — c){p—a — d). Soit a — o, auquel cas le trapèze se réduit à un triangle; il vient S = s/p [p — b) {p~ c [p — d j, comme au n° 34. 38. Sixième problème. — Déterminer la relation qui existe entre les trois côtés d’un triangle quelconque et le rayon du cercle circonscrit à ce triangle. Avant de passer à la résolution de cette question, nous rappellerons la démonstration du théorème suivant de Géométrie : Dans tout quadrilatère inscrit ABCD, le rectangle des Fig. 20, diagonales est égal à la somme des rectangles des côtés opposés ; c’est-à-dire que l’on a BD X AC = AB X DC -l- AD X BC. Soit menée du point B sur AC la droilcBE, de manière qu ’011 ait l’angle CBE égal à l’angle ABD ; il en résulte nécessairement l’angle DBG égal à l’angle ABE. INTRODUCTION. 46 Fia. 20. Cela fait, les deux triangles BCE, ABD sont semblables, comme ayant deux angles égaux, savoir : CBE = ABD par construction, et BCE = AUB, puisqu’ils sont inscrits et appuyés sur le même arc AB. O11 a donc la proporlion ce • bc :: ad : bd ; d’où l’on déduit (1) CE X BD = BC X AD. Pareillement, les deux triangles ABE, BDC sont semblables, puisque ABE = DBC d’après la construction, et que BAE = BDC comme appuyés sur le même arc BC. On a donc la proporlion ae : ab :: dc : bd ; d’où l’on tire (2) AE X BD = AB X DC. Ajoutant l’une à l’autre les égalités (1) et (2), on obtient (CE -+- AE) BD ou AC X BD = BC X AD -f- AB X DC. C. Q. F. D. Appliquons ce théorème à la question proposée. Fig. 21. Soient ABC le triangle donné, et O le centre du cercle circonscrit. Tirons le diamètre COD et les cordes AD, BD; puis faisons , d’après les notations du n° 33 , BC = «, AC — b, AB = c et OC = r\ il en résulte AD = vV 2 — b \ BD = \! 4 r 2 — a\ puisque les angles CAD, CBD sont droits. Cela posé, on a, en vertu du théorème précédent, AB X CD = CB X AD + AC X BD, ou (A) 2.cr—a\j4 r ‘ — b‘-\-b\j4r'‘ — a 1 . Telle est la relation générale cjui existe entre les côtés d’un triangle et le rayon du cercle circonscrit. Cette formule renfermant quatre quantités a, b, c, r, ou PROBLÈMES SUR LA LIGNE DROITE ET LE CERCLE. 47 peut se proposer d’en déterminer une quelconque au moyen des / rois autres; et cela conduit à différentes questions que nous allons résoudre et discuter. 39 . i°. Etant données dans un cercle dont, le rayon est connu, les cordes de deux arcs , ou demande la corde de la somme de ces deux. arcs. Soient X le cercle donné, AC, CB les cordes aussi don- Fig. 21 nées ; AB sera la corde de la somme des deux arcs. O11 connaît donc dans la formule (A) les quantités a, b , r, et il ne s’agit que d’obtcniV c. Or, celte formule donne immédiatement ( B ) c = — 1/4 r 2 — b 2 -1-yVi r 2 — a 1 . ' 2r 2 r 1 2°. Déterminer la corde du double d’un arc, connaissant la corde de cet arc. Soit fait dans la formule (B), b—a\ alors c exprime Fie. 22 évidemment la corde du double de l’arc sous-tendu par a ou par b ; et il vient (C) c = 7 0 k’— a 2 . 3 °. Réciproquement, déterminer la corde de la moitié d'un arc, connaissant la corde de cet arc. Dans la formule (C), les quantités c et a étant liées entre Fig 22 elles de manière cpie l’une est la corde du double de l’arc sous-tendu par l’autre, il s’ensuit que, réciproquement, la seconde a est la corde de la moitié de l’arc sous-tendu par la première c. Ainsi, tout se redwit à déterminer a en fonction de c, d’après la formule (C). Or, si l’on chasse le dénominateur et qu’on élève les deux membres au carré , il vient c 2 r 2 — ^ a 2 r ‘ — a*, ou, ordonnant, a 1 — 4 a * r ‘ — — r 1 D’Donc a 1 ~ 2 r 2 rt y /4 r 4 — c 2 r ' 1 , ou bien, «’ = r( 2 r±v / 4 '- î — c *)> 48 et, par conséquent (D) INTRODUCTION. FlO. 22. a — \/r (2 rzh y /4 r' 1 —c 2 )- (Nous ne mettons point ici le double signe devant le premier radical, parce que nous n’avons besoin que de la valeur numérique de a.) L’expression de a, qu’on vient d’obtenir, présente deux valeurs essentiellement différentes , et cela doit être. En effet, la corde AB appartient non-seulement à l’are AC B, mais encore à l’arc ADB; ainsi, lorsqu’on demande la corde de la moitié de l’arc sous-tendu par la corde AB, il n’y a pas plus de raison pour trouver AC, corde de la moitié de A CB, que AD, corde de la moitié de ADB. Toutefois, si l’on suppose d’avance que l’arc sous-tendu par la corde donnée AB est moindre qu’une demi-circonférence, il faudra prendre pour a la plus petite des deux valeurs ci-dessus, c’est-à-dire celle qui correspond au signe- inférieur du radical, et l’on aura a = \r(2r— Le contraire aurait lieu si l’arc donné était plus grand qu’une demi-circonférence, et il faudrait prendre pour a. a = \'r(2r-f-v 4 r s — c 3 )- Il est d’ailleurs facile de se convaincre que si AC est exprimé par la première de ces valeurs, AD est représenté par la seconde. En effet, le triangle rectangle CAD donne AD = — AC » mais, par hypothèse, doue AC = 2 r -— — c 5 ; AD = \ 2 r 1 •+■ r yA r 1 — cK 4°. Étant données les cordes de deux arcs , trouver la corde de leur différence. Fio. at. Soient AB = c, AC = & les deux cordes données, et proposous-nous de déterminer CB ou a, qui n'est antre PROBLÈMES SUR LA LIGNE DROITE ET LE CERCLE. 49 chose que la corde de la différence des arcs sous-tendus par c et b. La question est donc ramenée à traiter a comme une inconnue, dans la formule ( A), et à tâcher de l’en dégager. Reprenons cette formule 2 cr~ a y /4 r 2 — ~b~ -+• b y /4 r 2 — a 2 ', et observons que a se trouvant sous le second radical, il faut commencer par faire disparaître ce radical. Or, de cette formule on tire , par la transposition, 2 cr — a y^r 2 — b 2 —b\j4r 2 — a 2 \ d’où, élevant au carré, 4 c 2 r 2 — 4 acr.\J/±r 2 — b 2 -+ 4 r * — a 2 b 2 ~^b 2 r 2 — a 2 b 2 ; ou, réduisant et ordonnant par rapport à a , a 2 — - y /4 r 2 — b 2 .a — b 2 — c 2 . r Cette équation étant résolue donne (E) az= — d4r 2 —y/4r 2 — c 2 . Pour interpréter ce résultat qui comprend deux solutions, Fig. nous remarquerons que les cordes données AB, AC appartiennent chacune à deux arcs, savoir : ACB, ADB, pour la corde AB, et AMC, ADBC, pour la corde AG. Ainsi, lorsqu’on demande la corde de la différence des arcs sous-tendus par AB et par AC, le même calcul doit donner la corde de la différence entre l’un quelconque des arcs ACB, ADB, et l’un quelconque des arcs AMC, ADBC. Or, si sur l’arc ADB on prend une partie AC' égale à AC, et qu’on tire la corde BC ; , on aura i°. ACB — AMC = CNB.. qui correspond à la corde CB; 2 °. ADB — AMC ou ADB — AM' C' = C' DB . C' B ; 3°. ADBC — ACB ou ADBC — AM'C'— CNB = C'DB. . C'B; 4°. ADBC — ADB = CNB ... CB; Ap. de î'Al. à le G. 4 INTRODUCTION • 5o d’où l’on voit que les quatre différences sont égales deux à deux et correspondent aux deux cordes CB , C'B. On voit encore que, si les arcs sous-tendus par les cordes données sont supposés plus petits à la fois, ou plus grands à la fois qu’une demi-circonférence, comme le sont les arcs ACB et AMC, ou ADBC et ADB, la réponse à la question est nécessairement CB ou a — — — b' 1 - — — c 1 ; mais si les deux arcs sous-tendus sont supposés l’un plus petit et l’autre plus grand qu’une demi-circonférence, on a pour réponse C'B ou a — — dir 2 —> b 2 4- — v/4r J — c 2 . 2 r 2 /• Il est à remarquer que cette dernière formule est identique avec la formule (B) qui donne la corde de la somme de deux arcs; et cela doit être, car C'B peut être regardée comme la corde de la somme des arcs sous-tendus par AB et AC'. 40. 5°. Étant donnés les trois côtés a, b, c, d’un triangle, on demande Véxpi'cssion du rayon du cercle circonscrit à ce triangle. La difficulté consiste à dégager r de la formule (A). Or, dans le numéro précédent, on a déjà obtenu, par une première transformation exécutée sur cette formule, l’équation a 2 — - V*4 r* — b 2 . a ~ b 2 — c 2 , r qui revient à r ( a 2 -f- c 2 b 1 ) zzz ac. y /4 r 1 — b 2 . Elevant de nouveau les deux membres de cette équation au carré, on a r 2 (a 2 -^ c 2 —■ b 2 ) 2 — 4 a 2 c 2 r 2 — a 2 b 2 c 2 \ d’où l’on déduit a 2 b 2 c 2 4« 3 c J — c 3 — b*ff PROBLÈMES SUR LA LIGNE DROITE ET LE CERCLE. 5l et, par conséquent, abc r = ._ .-=- y 4 « 2 c 2 — ( a} 4- c 1 — b-) 2 (Le double signe devant le radical serait inutile, puisqu’on ne demande que la valeur numérique du rayon.) Autre expression — La formule (3) du n° 33 donne y/4 a 2 c — (« ! + c 2 — bf — 4 S ; on a donc encore abc r== 4s* c’est-à-dire que le rayon du cercle circonscrit a pour expression le produit des trois côtés du triangle, divisé par le quadruple de sa surface. •41. On peut encore, à cette occasion, se proposer de trouver le rayon du cercle inscrit à un triangle. Soient un triangle donné ABC et O le centre du cercle Fig. inscrit à ce triangle. Tirons les lignes OA, OB, OC, et les rayons OP, OQ, OR, que nous désignerons par r'. On a évidemment, d’après la figure, (a 4 - b 4 - ci r' ABC ou S = ABO -|- ACO 4- BCO = ^. J— ■ a d’où l’on déduit 4 = -- 2 f — a 4- b 4- c Ainsi, le rayon du cercle inscrit à un triangle a pour expression le double de la surface du triangle, divisé par son périmètre. Remarque. — On a vu, en Géométrie, qu’il existe quatre cercles tangents aux trois côtés d’un triangle, supposés prolongés indéfiniment. En désignant par i\ , i\ , i\ les rayons des trois cercles autres que celui qui vient d’être considéré, on a pour les expressions de ces rayons, aS , aS , aS INTRODUCTION. En effet, considérons, par exemple, le cercle dont le centre est en O'; nous trouvons ABC ou S = AO'B + BO'C — AO'C = ; d’où , 2S r ' a + c — b 42. Scolie général. —On a pu remarquer que, dans toutes les questions qui ont été traitées à partir du n° 28, les expressions algébriques ont été constamment homogènes, parce qu’aucune des lignes que l’on a fait entrer dans le calcul n’a été explicitement prise pour unité; ce qui confirme le principe général établi au n° 15, sur l’iio- mogénéité. Les formules où l’on a introduit la lettre S pour désigner la surface d’un triangle, ne font pas exception sous ce rapport; car, pour les rendre homogènes, il suffirait d’y remplacer S, qui n’est qu’une simple notation, par un carré tel que m*. Exercices. Nous croyons devoir terminer cette introduction en proposant quelques Exercices, comme moyen de familiariser les commençants avec la manière d ' appliquer V A gèbre à la Géométrie. Plusieurs questions sont susceptibles d’une solution graphique-, d’autres n’admettent, par leur nature, que des solutions purement numériques ; quelques-unes nécessitent l’emploi des principes de la Trigonométrie. I. Etant donnés dans un triangle rectangle la somme des deux côtés de l’angle droit ainsi que la somme de l’hypoténuse et de la perpendiculaire abaissée du sommet de l’angle droit sur l’hypoténuse: i° calculer les côtés et les angles ; r j.° construire le triangle ; 3° discuter. II. Etant donnés dans un triangle rectangle le périmètre et la perpendiculaire abaissée du sommet de l’angle droit sur l’hypoténuse, construire ce triangle.— Discussion. EXEECICES. 53 III. On donne, dans un triangle quelconque, l’un des côtés , l’angle opposé et la somme ou la différence des deux autres côtés : x° résoudre le triangle •, 2° le construire. IV. Sur une base donnée, construire un triangle dans lequel la somme des côtés soit double de la base, et dont le sommet soit sur une droite donnée de position. V. Déterminer la surface et les côtés d’un triangle, en fonction des trois hauteurs. VI. Diviser un trapèze en deux parties qui soient entre elles dans le rapport de deux lignes m et n , par une droite menée parallèlement aux bases. VII. Partager de même un tronc de cône par un plan parallèle aux bases. VIII. Inscrire dans un triangle quelconque un rectangle d’une surface donnée. — Parmi tous les rectangles inscrits dans un triangle, quel est celui dont la surface est un maximum? IX. Etant données trois circonférences concentriques, trouver le côté du triangle équilatéral dont les sommets seraient sur ces trois circonférences. X. Par un point donné dans l’intérieur 'd’un angle droit, mener une droite telle, que le rectangle de ses deux parties comprises entre le point et les côtés de l’angle soit égal à un carré donné. Généraliser celte question en supposant quelconque l’angle que forment les deux droites qui comprennent le point donné. XI. Etant donné, dans l’intérieur d’un angle droit , un point à égale distance des côtés de cet angle, mener par ce point une droite telle, que la partie comprise entre les deux côtés soit égale à une ligne donnée 2 m. [Ce problème est susceptible d’une solution assez simple quand on prend pour inconnue auxiliaire la distance du point donné au point milieu de la droite demandée.] GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. PREMIÈRE SECTION. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. CHAPITRE PREMIER. § I. Dû POINT ET DE LA LIGNE DROITE. - § II. Du CERCLE. § III. Des lieux géométriques. —§ IV. Application des théories précédentes a la résolution de diverses questions et au problème des tangentes. 43. Définition. — La méthode que nous avons développée dans I’introduction, pour résoudre toute espèce de questions ( théorèmes ou problèmes ) par le secours de l’Algèbre, n’est, à proprement parler, qu’une méthode in directe, puisque les moyens employés sont particuliers à chaque question, et varient avec l’énoncé de chacune d’elles. Il existe une méthode générale, appelée Analyse de Descartes, du noln de l’illustre philosophe qui en a donné la première idée; elle consiste à exprimer par des équations la position respective des points et des lignes droites ou courbes, faisant partie de la figure d’une question proposée, puis à combiner ces équations de manière à atteindre le but indiqué par l’énoncé de la question. A proprement parler, c’est le développement des principes de cette méthode qui constitue la Géométrie analytique telle qu’on l’envisage maintenant. Elle se divise en deux parties distinctes que nous traiterons successivement : Géométrie analytique à deux dimensions, et Géométrie analytique à trois dimensions, suivant que les objets que l’on considère sont situés sur un même plan ou d’une manière quelconque dans l’espace. POSITION D’UN POINT SUR UN PLAN. 55 § I. -Du POINT ET DE LA LIGNE DROITE. Manière de fixer la position d'un point sur un plan. 44. Pour peu qu’on réfléchisse sur la nature des problèmes de Géométrie, on voit que la plupart reviennent, en dernière analyse, à trouver la distance d’un ou de plusieurs points inconnus, à d’autres points ou à des droites fixes et déjà déterminées de position. Si donc on avait un moyen de fixer analytiquement, la position d’un point par rapport à des points ou à des lignes connues de position, on serait en état de résoudre toute espèce de questions géométriques. Soient deux droites rectangulaires, AX, AY, fixes et Fig. 24, données de position sur un plan 5 et soit M un point quelconque dont il s’agit de déterminer la position sur ce plan. Si, de ce point, on abaisse les perpendiculaires MP, MQ, il est visible que le point M sera fixé dès que l’on connaîtra les longueurs des deux côtés contigus AP, AQ du rectangle APMQ , puisque ces côtés sont les distances du point AI aux deux lignes fixes AX et AY. Donc, si l’on mène, à ces distances, deux droites, PAI et QM, respectivement parallèles aux lignes AJa et A^, le point d’intersection de ces deux parallèles seraMe point ' DEMANDÉ. O 11 est convenu de donner le nom d’AXES aux deux lignes fixes AX et AY. La distance AP ou QAI du point M à l’axe AY s’appelle Y abscisse de ce point, et se désigne algébriquement par x. La distance A Q ou PM du même point M à l’axe AX est dite Y ordonnée de ce point, et s’exprime par y. Ces deux distances portent conjointement le nom de coordonnées du point. Les deux axes se distinguent l’un de l’autre par les dénominations d’axe des abscisses ou des x , donnée à la ligne AX sur laquelle se comptent les abscisses, et d’axe des X V. 56 ÉQUATIONS DU POINT. ordonnées ou des y, donnée à la ligne AY sur laquelle se comptent les ordonnées. Enfin, le point A est ce qu’on appelle I’origine des coordonnées, parce que c’est à partir de ce point que se comptent ces distances. 45. Équations du point. — Le caractère analytique de tout point considéré sur l’axe des y esta? = o, puisque cette équation exprime que la distance du point à cet axe est nulle. De même, le caractère de tout point placé sur l’axe des x est y = o. Donc le système des deux équations x — o, y = o caractérise Y origine A des coordonnées ; car elles n’ont lieu en même temps que pour ce point. En général, les deux équations x = a, y=b, considérées simultanément, caractérisent un point situé à une distance a de l’axe des y, et à une distance b de l’axe des x. En effet, la première appartient à tous les points d’une parallèle à AY, menée à une distance AP = a\ la seconde, «à tous les points d’une parallèle à AX, menée à une distance AQ — b. Donc le système des deux équations appartient au point*d’intersection M, et n’appartient qu’à lui. Elles en sont, pour ainsi dire, la représentation analytique. On les nomme, pour cette raison, les équations du point. 46. Remarque. — On doit toutefois considérer, dans les expressions a et b, non-seulement les valeurs absolues ou numériques des distances du point aux deux axes, mais encore les signes dont elles peuvent être affectées, eu égard à la position du point dans le plan des axes AX et AY. fie. 24 . Car, d’après le principe établi (n°27), si l’on convient de regarder comme positives les distances telles que AP, comptées sur AX et à la droite du point A, on doit regarder comme négatives les distances telles que AP', comptées à la gauche de ce point. De même, si l’on regarde comme équations du point. 5 y positives les distances AQ comptées au-dessus du point A sur AY, on doit regarder comme négatives les distances comptées au-dessous de ce même point. A la vérité, le principe que nous venons de rappeler a été établi pour les distances de points situés de côté etd’autre sur une même droite, par rapport à un point fixe; mais il a lieu également pour des distances de points à des droites fixes. Il suffirait, pour s’en convaincre, de prendre une nouvelle origine et de nouveaux axes parallèles aux premiers, et par rapport auxquels tous les points considérés fussent situés du même côté. D’après cela, si nous mettons en évidence les signes dont a et b peuvent être adectés, nous aurons les quatre systèmes d’équations x — -t-a, x — — a, x =. -t- a, x = — a, y = + b, y = + b, y = — b, y=—b, pour caractériser les quatre positions essentiellement différentes du point, savoir : M, M', M", M"'. On trouvera ainsi : i°. Que le point dont les équations sont Fig. 2 5 x = -t- 1, y — — 3 , est situé dans l’angle Y'AX à une distance AP = 1 de l’axe des y, et à une distance PM — 3 de l’axe des x. 2 0 . Que le point exprimé par Fig. 26 x — o, y = — 2, est situé sur l’axe AY (n° 45 ) à une distance AM'= 2. 3 °. Que le point Fig. 26 x — — 1, y — o, est situé sur l’axe AX vers la gauche de A, à une distance AM = 1. 47 . Nous avons supposé jusqu’à présenties axes perpendiculaires entre eux, parce que c’est la position la plus simple et la plus usitée. Cependant il y a des questions dont la résolution exige que l’on considère des axes faisant entre eux un angle quelconque. 58 EXPRESSION DE LA DISTANCE Fio. 27. Dans ce cas, les coordonnées ne sont plus des perpendiculaires abaissées sur les axes, mais bien des parallèles à ces axes ; c’est-à-dire que les distances AP ou QM, AQ ou PM, se comptent parallèlement aux axes AX, AY. Du reste, tout ce qui a été dit dans l’hypothèse où les axes sont rectangulaires, s’applique également au cas où ils sont OBLIQUES. Expression analytique de la distance entre deux points donnés sur un plan. Fig. 28. 48 . Pour trouver cette expression qui est d’un usage continuel, prenons d’abord les axes rectangulaires. Soient x\ y' les coordonnées d’un premier point M, et x", y 11 les coordonnées d’un second point M'; en sorte que l’on ait pour les équations respectives de ces points qu’on suppose connus de position. Il s’agit d’exprimer la distance MM', que nous appellerons D, en fonction des coordonnées x ! ,y', x" t y". Pour cela, menons les ordonnées MP, M'P' de ces deux points, et tirons M'R parallèle à AX. Le triangle rectangle MRM'donne MM'^MrVSŸR 2 ; mais M R= MP — RP = y> — y", M'R -- PP' = x’ — x" ; donc M, ou D ■‘—{y'~y")‘-y{x’ — x"y-, par suite, D = 4{y’-y"-f + [x'-x i ')\ Cette formule est générale, et convient même au cas où les deux points sont dans une position contraire par rapport à l’un des axes. Il suffit d’y introduire , pour les applications, les changements de signe qui correspondent aux changements de position. X : .y ■ : X y" ENTRE DEUX POINTS DONNÉS. 59 Ainsi, par exemple , pour obtenir la distance de deux Fig. 2 g. points dont l’un, M, est placé dans l’angle YAX, et dont l’autre, M', est placé dans l’angle YAX', il faut changer le signe de x", ce qui donne d = et, en effet, la figure donne, dans ce cas, abstraction faite des signes, MM' 2 =MR 2 + ÎVffR 2 ; puis MR — y’ ~ y", M'R = AP 4- AP' = x' + x" ; donc D=^/(/-/7+(*'+.r'7. Si l’un des points donnés, M' par exemple, est Y origine des coordonnées, comme on a alors x" = o , et y"= o , la formule devient d = v'r ,2 + ■z' î -, ce qui est conforme au résultat que donne le triangle rectangle AMP dans lequel on a AM 2 =: MpV AP 2 . 49. Lorsque les axes sont obliques, la formule est diffé- Fig. 3o. rente. En effet, le triangle MM'Il est obliquangle et donne, en vertu d’une formule trigonométrique connue, MM' 2 = ÜV ÏFR 2 — 2 MR X M'R.cosMRM'. Or, on a MR — y — y", M'R = x’ — x" ; d’ailleurs cos MRM' = — cos MRK — — cos Ô ( Q désignant l’angle MRK qui n’est autre chose que celui des deux axes) ; donc D 2 = (/' — j") 2 + {x' — x") 2 -i- 2 [y' — y") {x' — æ").cosS, d’où D — \J( y' — y ") 2 q- (x’ — x" f -+• 2. (y’ — y") (x' — Y') .cos 0. Ce résultat, plus compliqué que le précédent, fait sentir Y avantage de supposer les axes rectangulaires lorsqu’on doit faire entrer dans les calculs la distance entre deux points donnés , et que le choix des axes est arbitraire. 6o ÉQUATION de la ligne droite. Manière de fixer analytiquement la position d’une droite sur un plan. Fig. 3i 50. Soit une droite LB1Y indéfinie et située à volonté et 32. dans un plan. Prenons dans ce plan deux axes rectangulaires ou obliques, AX, AY, par rapport auxquels la droite soit placée d’une manière quelconque. Menons d’ailleurs de différents points M, M', M ,; , etc., pris sur cette droite, les ordonnées MP, M'P', M"P", etc., et par le point B où la droite rencontre l’axe des y , tirons BH parallèle à AX. Les triangles semblables BQM , BQ’ Al ’, 15Q " M", etc., donnent la suite de rapports égaux MQ _ M'Q' _ M"Q" BQ ~ 1ÏQ 7 ^ BQ" ’ etC ’’ ou bien MP — AB _ M'P' — AB _ M"P" — AB ÂP “ ÂP 7 ~ AP" ’ 6tC ' ’ ce qui pi’ouve que la différence entre l’ordonnée d’un point quelconque de la droiteet Vordonnée quipasseparl’origine, est à l’abscisse du même point, dans un rapport constant. Désignons donc par x etjy les coordonnées d’un point pris au hasard sur la droite, par b la distance AB (appelée Yordonnée à l’origine ), et par a le rapport constant dont nous venons de parler; nous aurons la relation x d’où (i) y Z= ax + b, laquelle sera satisfaite pour tous les points de la droite L'BL, à Y exclusion de tout autre point. Fig. Si. Car soit A un point situé au-dessus ou au-dessous de cette droite. Comme l’ordonnée AP de ce point est plus grande ou plus petite que l’ordonnée MP correspondante à la même abscisse, et que, par hypothèse, on a pour le point M MP =<ï.AP + b, il s’ensuit que A P est plus grand ou plus petit que a. AP-+-Ù. ÉQUATION DE LA LIGNE DROITE. 6'I Ainsi l’on a, pour les coordonnées de ce point, y ^ ax -h b. < On voit donc que la relation (i) caractérise tous les points de la droite, et qu’elle en est, pour ainsi dire, la représentation analytique, en ce sens, que si, au moyen de cette équation, l’on veul retrouver les différents points de la droite, il suffit de donner à x une série de valeurs que l’on porte de A en P, P', P", etc. Menant ensuite par les points P, P', P 4 ', etc., des parallèles à AY, et prenant sur ces parallèles des parties PM, P'M', P^M' 7 , etc., égales aux valeurs dey correspondantes et tirées de l’équation (i), on aura M, Ml, M ff , etc., pour autant de points de la droite. O 11 appelle, pour cette raison, la relation (i) 1 ’équation DE LA DROITE I/BL. Les quantités x et y qui expriment les coordonnées.des différents points de la droite, sont des variables; et les quantités a et b qui, pour la même droite, ne changent pas, sont appelées les constantes de cette équation. 51. Le rapport a est susceptible de deux acceptions différentes, suivant que les axes sont rectangulaires ou obliques. i°. Si les axes sont rectangulaires, le triangle rectangle MBQ donne MO tang MBQ — , ou a _ r , appelons a. l’angle MBQ égal à LCX, et supposons, pour plus de simplicité, le rayon des tables égal à i ; il en résulte a = tanga; ainsi, le rapport constant est égal à la tangente trigono- métrique de l'angle que forme la droite avec l’axe des x. 2 °. Lorsque les axes sont obliques, on a MQ _ sin MB Q _ sin MB Q — , ou a — BM q — sin LBY ’ ou bien, désignant par 0 l’angle YAX, d’où LBY — 9 — a , sin a sin ( 9 — a) Fig. 3i Fig. 3a c’est-à-dire que , dans ce cas , le rapport constant est égal 62 ÉQUATION DE LA LIGNE DROITE. au rapport des sinus des deux angles que la droite forme avec les axes des x et des y. Cette dernière valeur rentre dans la précédente, lorsqu’on suppose 8 — go° ; car on a sin a sin a ——--- =-- = tanga. Sin(90°‘—a J COS a Discussion de Véquation y = ax b. 52. Nous considérerons particulièrement, dans cette discussion, les axes à angle droit, parce que c’est le cas le plus ordinaire. Les constantes aelb , qui sont fixes et déterminées pour tous les points d’une même droite, peuvent, d’après leur nature, passer par tous les états de grandeur, soit positifs, soit négatifs, puisque la première est une tangente trigo- nométrique et que la seconde exprime la distance du point fixe A , à un point placé sur la ligne AY. Ces divers états de grandeur dépendent de Ja position que peut avoir la droite donnée, par rapport aux axes; nous allons examiner ces différentes circonstances. Fig. 33. Traitons , d’abord, le cas où la droite passe par Vorigine. Dans ce cas, on a b = o, et l’équation devient y — ax, d’où - — a-, ce qui montre que Vordonnée d'un point quelconque de la droite est a son abscisse dans un rapport constant. Cette propriété caractérise toutes les droites qui passent par Y origine; car ce point se trouvant sur chacune d’elles, ses coordonnées [x = o , y = o] doivent vérifier leur équation ; ce qui exige que le terme indépendant de x et de y manque dans cette équation. Faisons actuellement tourner la droite autour de l’origine, et voyons ce que devient a dans ce mouvement. D’abord , si la droite est couchée sur AX, l’angle a est nul, et l’on a tanga, ou «=o, 63 ÉQUATION DE LA LIGNE DROITE. ce qui réduit l’équation à y — °i qui n’est autre chose que l’équation de l’axe des x, puisque (n° 45) elle est le caractère de tout point placé sur cet axe. Tant que la droite, en tournant au-dessus de l’axe des x , sera placée dans l’angle YAX, l’angle a sera plus petit que 90 degrés, et tang a ou a sera positif, mais augmentera de plus en plus. Il est d’ailleurs évident, d’après l’équation y = ax , qu’à des abscisses positives AP, ou négatives AP', correspondront des ordonnées MP, M' P' respectivement de même signe qu’elles. Si la droite vient à se confondre avec AY, comme on a alors a = go°, il en résulte a = 00 et — — o ; d’où l’on peut conclure que l’équation, mise sous la forme x - • r, se réduit à x — o, a •* ’ qui est en effet l’équation de l’axe des y (n° 45). Supposons maintenant que la droite soit placée dans l’intérieur de l’angle YAX', comme L"AL'". L’angle a est obtus • donc tanga ou a devient négatif, et diminue de plus en plus, numériquement, à mesure que la droite se rapproche de AX'; et si l’on met le signe de a en évidence, 011 a pour l’équation de la droite L"AL"', y = — ax-, d’où l’on voit qu’à des abscisses positives AP'" correspondent des ordonnées négatives P'" AI'"; et à des abscisses négatives AP" correspondent des ordonnées positives P"M". Ce résultat s’accorde avec la ligure. N. B. ■ —Lorsque les axes sont obliques, le changement p IGl> 3/j, de signe de a correspond au cas où l’angle a ou L'AX devient plus grand que l’angle 9 des deux axes. En effet, dans l’expression a — ledénomina- x sm ( 0 — «) teur sin (9 — a) pour af >9 se change en •— sin (et — ô) , 64 ÉQUATION DE LA LIGNE DROITE, et l’on trouve sin « ^ sin (a — 0) ’ Fig. 33. Revenons aux axes rectangulaires. Si la droite, continuant de tourner, se place sur AX', tanga redevient nul, et l’équation se réduit de nouveau à y — o, ou à l’équation de l’axe des x. La droite passant dans l’angle X'AY', a est > i8o°, mais <[ 25o°$ donc tanga ou a est positif, et l’équation redevient y = ax. Et, en effet, la droite étant prolongée au-dessus de l’axe des x, reprend les positions qu’elle avait prises d’abord dans l’angle YAX. Enfin, lorsque la droite passe dans l’angle Y'AX, auquel cas on a a ]> 270°, niais 36o°, tang a ou a redevient négatif, et l’on retombe sur l’équation y — — ax. Fig. 35. 63. Considérons, maintenant, le cas où la droite passe par un point B de l’axe des y situé au-dessus de l’origine. Dans ce cas, ¥ ordonnée à l’origine, ou b , est positive; et l’on a pour l’équation de la droite y = ax b. La quantité b est essentiellement positive; mais il n’en est pas de même de a. Car si l’on conçoit que la droite tourne autour du point B, comme, dans ce mouvement, elle prendra nécessairement des positions parallèles à toutes celles qu’elle avait prises autour de l’origine, a sera positif ou négatif dans les mêmes circonstances. Il suit de là : i°. Que l’équation y = ax -+■ b convient à toutes les droites, telles que LBL', qui forment, avec l’axe des x, un angle moindre que 90 degrés, ou plus grand que 180 degrés , mais moindre que 270 degrés ; 2 0 . Et que l’équation y ——ax + b convient à toutes les droites , telles que L"BL W , formant avec l’axe des x un ÉQUATION DE LÀ LIGNE DROITE. 65 angle plus grand que 90 degrés et moindre que 180 degrés, ou plus grand que 270 degrés, mais moindre que 36o degrés. Enfin, lorsque la droite est assujettie à passer par un Fig. 35, point B' situé au-dessous de l'origine, b est négatif, et l’équation devient y => + aæ — b pour toutes les droites telles que L'B'L, et y — — ax — b pour toutes les droites telles que L/'B'L/". 54. Examinons, comme cas particuliers, ceux où la droite est parallèle à l’un des axes. i°. Lorsqu’elle est parallèle à l’axe des x, on a évidemment tang «ous = o; d’ailleurs, b est positif ou négatif; ainsi l’équation se réduit à r=±è), résultat qui s’accorde avec ce qui a été dit n os 45 et 46. * 2 0 . Si la droite est parallèle à l’axe des y , tang a doit être infini. Il en est de même de b , qui, exprimant la distance de l’origine au point où la droite rencontre l’axe desjy, devient nécessairement, dans le cas dont il s’agit, plus grand quaucune quantité donnée. Ces deux conditions, introduites dans y = ax H- b , qu’on peut mettre sous la forme 1 b x=-y -, a a la réduisent à co 7 , X ÇQ • 1 Pour interpréter ce résultat, observons qu’afin d’obtenir la droite dans toutes les situations possibles, par rapport aux axes , nous avons supposé ( n° 53 ) que la droite tourne autour du point B regardé comme fixe, Dans cette hypothèse, b a une valeur finie et déterminée, et il est impossible d’en déduire le cas où la droite devient parallèle à AY ■ Ap. de VAl. à la G. 5 66 ÉQUATION DE LA LIGNE DROITE. (On trouve seulement, dans la supposition de a = co , Fioi 35> ou l’équation de l’axe des y.) Pour ce cas particulier, il est nécessaire de changer le centre de mouvement, de la droite, et de prendre, par exemple, le point C où la droite rencontre l’axe des x. Or, si l’on désigne la distance AC par c, ou plutôt par — c , attendu que cette ligne est comptée dans le sens des abscisse» négatives, on a évidemment AB -= tanga, ou et l’équation devient -a-, d’où ■y+ c. Supposons maintenant que la droite, tournant autour du point C, devienne parallèle à AY ; tang a ou a devient infini, et c ne change pas. Donc l’équation se réduit à équation qui représente en effet (n°45) une parallèle à l’axe des y. Le signe de c dépend de la position du point C par rapport à l’origine A ; le point peut être en C ou C’. L’expression de c, ou —offre l’exemple d’une fraction qui reste constante, bien que ses deux termes devien- b nent infinis. C’est ainsi qu’une fraction -, qui se réduit à ^ lorsqu’on suppose a — o, b = o , acquiert dans certains cas une valeur finie et déterminée. 55. Nous ferons observer, en passant, que la relation a = —introduite dans l’équation y = ax + b , a ramène à la forme y = — -x-h b, d’où cy bx ~ bc, QUESTIONS PRÉLIMINAIRES SUR LA LIGNE DROITE. 67 équation qui renferme comme constantes les distances de l’origine A aux points où la droite rencontre les axes. En y faisant x = o , on trouve y = b ; ce sont les coordonnées du point où la droite rencontre l’axe des y. Soit y — o, on obtient x — c; ce sont les coordonnées du point où la même droite rencontre l’axe des x. Il y a quelquefois de l’avantage à employer l’équation de la droite sous la forme cy + bx = bc , ou ^ -+- — = 1, à cause de Yhomogénéité des termes de celle-ci. Cette forme convient encore au cas où les axes sont p IG , 3 2 obliques ; car le triangle BAC donne sin BCA _AB b b sin CBA ’ ° U ° AC — c c Conclusion. —Il résulte de la discussion précédente, que l’équation y = ax -f- b comprend implicitement les équations de la droite considérée dans toutes les situations qu’elle peut avoir par rapport aux axes. Il suffit d’y subtituer pour a et b les valeurs correspondantes à ces diverses situations. Questions préliminaires relatives à la ligne droite. 06. Toutes les fois que la position d’une droite sera donnée par celle du point B où la droite rencontre l’axe des y, et par l’angle qu’elle forme avec l’axe des x , les constantes a et b auront une valeur déterminée. Mais on peut imposer à une droite d’autres conditions, telles, par exemple, que celles de passer par deux points pris à volonté sur un plan; de passer par un point donné et d’être parallèle ou perpendiculaire à une droite déjà connue de position ; de passer par un point et de jaire avec une autre droite un angle donné, etc. Dans ces différents cas, a et b doivent être regardées comme des constantes indéterminées, dont les valeurs dépendent des conditions imposées à la droite. 5 . 68 QUESTIONS PRÉLIMINAIRES SUR LA LIGNE DROITE. La recherche de ces valeurs donne lieu à une série de questions qui servent de base à la Géométrie analytique , et que nous allons développer successivement. 57. Première question. — Trouver l’équation d’une droite assujettie à passer par deux points donnés sur un plan. (Dans cette question, les axes peuvent être pris indifféremment rectangulaires ou obliques.) Fig. 28 Soient M et M 7 deux points fixés sur un plan par leurs et 3o. coordonnées xy' et x",y". L’équation cherchée sera de la forme ( 1 ) y =.ax + b-, a et b étant deux constantes (inconnuespour le moment) qu’il s’agit d’exprimer en fonction de x', y \ x", y ", qui sont supposées connues. Or, puisque chacun des deux points M et M' se trouve sur la droite, leurs coordonnées mises à la place de x et y dans l’équation (1), doivent la vérifier. Ainsi, l’on doit avoir les deux relations ( 2 ) y'=ax’-hb, ( 3 ) y"=ax"+b. Comme ces équations ne contiennent a et b qu’au premier degré, on en tire facilement les valeurs de ces inconnues. D’abord, si l’on soustrait (3) de (2), il vient y' — y"—a(x' — x")-, d’où a =. "yyyj, ' Portant cette valeur dans l’équation (2), on trouve j._ r / r'—r" _ x 'y" - y' x ". et substituant ces valeurs de a et b dans l’équation (1), on obtient (4) y — y —y ■ x - 4 - x y ■ y' x” pour I’équation demandée. Autre méthode. — Retranchons d’abord l’équation (2) QUESTIONS PRÉLIMINAIRES SUR LA LIGNE DROITE. 69 de l’équation (i) ; il vient y— y'= a{x — .r'), équation qui contient encore l’ inconnue mais , en soustrayant (3) de (2) , on obtient y' — y"— a {x' — x"); d’où a = Portant cette valeur de a dans l’équation précédente, on a (5) y — y , = y ^- J ~ r ,(x — x'), équation qui, ne renfermant, plus que les variables nécessaires x , y, et les données x', y 1 , x",y /f , convient encore A LA DROITE CHERCHÉE, L’identité des équations ( 4 ) et (5) peut être établie facilement. En effet, on tire de l’équation (5) , y—y' + y ou réduisant, y —y x'y" y —y ■ y' x" x t „ > La seconde méthode, plus simple et plus élégante que la première, donne lieu à un résultat dont l’emploi dans les calculs est, en général, plus commode. Toutefois, l’équation (4) a l’avantage de laisser en évidence la quantité b , ou Xordonnée à l’origine. 58. Remarque. —L’équation y — y' == a {x — x'), qu’on a d’abord trouvée en employant la seconde méthode, joue un grand rôle dans la Géométrie analytique. Elle offre un caractère particulier : c’est de représenter toutes les droites qui passent par le point particulier [x',y'). En effet, on y est parvenu par la combinaison de l’équation générale y =. ax -t- b , avec la relation particulière y' = ax' + b , qui exprime que le point, (x', y') se trouve sur la droite. D’ailleurs, si l’on y fait à la fois-j" = y', x = x\ elle se qO QUESTIONS PRÉLIMINAIRES SUR LA LIGNE DROITE. réduit à o = o ; ce qui prouve évidemment que la droite passe par le point (x r , y'). Quant à la quantité a qui subsiste encore dans l’équation , c’est une constante indéterminée dont la valeur dépend d’une seconde condition qui peut être imposée à la droite. Dans la question précédente, cette condition consiste à faire passer la droite par un second point (x",y "), ce qui détermine complètement la position de cette droite; et l’on trouve, en effet, 59. Seconde question. — Mener par un point donné une droite parallèle à une autre déjà connue de position. Commençons par établir analytiquement la condition de parallélisme des deux droites. Fig. 36. Soient y = ax + b, y ~ a'x + b' les équations des deux droites BL et DH. Puisque ces droites sont parallèles, les angles a et a' qu’elles forment avec l’axe des x sont égaux. Ainsi, dans le cas d’axes rectangulaires, on a tanga'= tanga, ou bien d — a. Quand les axes sont obliques, on a de même sin a! sin a sin (9 — a') sin (9 — a) ’ et, par conséquent encore, a' — a. Réciproquement, si l’on a la relation a = a', on peut conclure que les deux droites sont parallèles. Il suffit, pour le prouver, de considérer le cas où les axes sont obliques, puisqu’il comprend celui d’axes rectangulaires comme cas particulier. Or, la relation . ^ —- = a, étant développée, donne sin (9 —a) ’ rr 7 a sin 9 cos a — « sin a cos 9 = sin a ; d’où (1 + a cos 9) tang a = a sin 9, questions préliminaires sur la ligne droite. 71 et, par suite, tang a = On obtiendrait de même a sin < 1 -+- a cos ( , a sin 0 tang a' =- - -—• • 0 1 -+■ a' cos0 Mais comme on a, par hypothèse, a — a', il vient tanga = tanga', et, par conséquent, (car il ne peut être ici question que d’angles 180 0 .) Ainsi, les deux droites sont parallèles. La relation a' = a est donc une condition caractéristique du parallélisme de deux droites. 60 . Reprenons maintenant le problème proposé. Soient x', y' les coordonnées du point M par lequel on Fig. 36 veut mener une parallèle DH à une droite donnée BL, L’équation de la droite donnée étant (1) yz=zax-\-b, celle de la droite cherchée sera de la forme ( 2 ) y — a' x -4- b', a! et h' étant deux constantes qu’il s’agit de déterminer. Or, la droite DH devant, par hypothèse, passer par le point M, on a l’équation particulière ( 3 ) y'z==a'x'+b'. Retranchons les équations (2) et ( 3 ) l’une de l’autre, il vient y — y' = a' [x — x r ) [voir le n° 88). D’ailleurs, à cause du parallélisme des deux droites, on a a' — a\ donc, enfin, J Y —y' ~ a(x — x'). Telle est I’équation de la droite cherchée. Cette équation pouvant s’écrire y ~ ax -+- y — a x’ ne diffère de l’équation (1) de la droite donnée que par Vordonnée à l’origine, qui est ici y' — ax'. 72 QUESTIONS PRÉLIMINAIRES SUR LA LIGNE DROITE. 61. Troisième question. — Deux droites étant données, trouver les coordonnées de leur point d’intersection. Ig. 37. Soient y — ax+b, y = a'x + b', les équations des deux droites données BL et DH. Pour fixer la position de leur point de concours, remarquons que, ce point se trouvant à la fois sur les deux droites, ses coordonnées AP, MP doivent vérifier leurs équations , et ne sont, par conséquent, autre chose que les valeurs de x et de y susceptibles de satisfaire simultanément à ces deux équations. Donc, si l’on élimine x et y entre les équations proposées, on aura les coordonnées cherchées. Retranchant d’abord ces deux équations l’une de l’autre, on trouve o = (a — a') x 4- b — b', d’où l’on déduit b’—b et si l’on porte cette valeur dans la première équation, il vient, toute réduction faite, ab’ — ba’ Telles sont les expressions des coordonnées du point M. Discussion, —Soit, comme cas particulier, a’ — a j on trouve pour les expressions des coordonnées, V — b a (b' — b) x — ——, y=z-±— - c’est-à-dire qu’elles deviennent infinies; ce qui doit être, puisque les deux droites sont alors parallèles (n° 59 ). Si l’on a, en même temps, a' — a, b' = b , il vient _o o o’ ^ o’ valeurs indéterminées j et, en effet, dans ce cas, les deux QUESTIONS PRÉLIMINAIRES SUR LA LIGNE DROITE. y3 droites se confondant, se rencontrent en une infinité de points. 62. Quatrième question. — Calculer Vangle, de deux droites données par leurs équations y — ax -+- b, r = a’ x + b’. Les résultats obtenus dans les trois questions précédentes sont indépendants de l’inclinaison des axes; il n’en est pas de même dans celle-ci, et il y a lieu de distinguer deux cas: ou les axes sont rectangulaires, ou ils sont OBLIQUES. Premier cas. — Pour déterminer l’angle EMG des deux Fig. droites, angle, que nous appellerons V, remarquons que le triangle MEG donne EMG = MGX — MEG; ou, si l’on désigne par «, a! les angles que les droites BL et DH forment respectivement avec l’axe des x , d’où (0 V= a' — a, tang V = tang [a! — a) = tang a! — tang a i -t- tang a! tang a Cette formule est vraie, quelle que soit l’inclinaison des axes. Mais comme nous avons supposé les axes rectangulaires, on a tang « = a , tang al — a! ; et la formule (i) devient ( 2 ) tang V ci' — a i -+- aa' Second cas. — Les axes étant obliques , ou a (n° 59) tang a : n sin 0 a' sin 0 —- , tang a.' = ■ i + a cos 0 ‘b _ a! cos 0 ’ d’où, substituant dans la formule (i), a' sin 0 a sin 0 tang V : i a' cos 0 i -t -a cos 0 I -f- , aa' sin 2 0 ( i + a cos 0 ) ( i -t- a' cos 0 j ou, réduisant au même dénominateur, et ayant égard à la 74 QUESTIONS PRÉLIMINAIRES SUR LA LIGNE DROITE. relation sin 2 0 -f- cos 2 Q — i, Ce résultat rentre évidemment dans l’expression ( 2 ), quand on fait G = go°. Fig. 37 . 63. N. B. —Si, au lieu de l’angle EMG, on voulait obtenir son supplémentEMD , il suffirait de changer a'—a en a — a', dans les résultats ( 2 ) et ( 3 ), puisque les tangentes de ces deux angles sont liées par la relation tang EMD = — tang EMG. En général, toutes les fois que l’on a à calculer l’angle de deux droites , il faut préciser quel est celui des deux angles, supplémentaires l’un de l’autre, qu’on veut obtenir. 64. Considérons le cas particulier où les deux droites sont perpendiculaires entre elles. Dans ce cas, on doit avoir V — go°, d’où tang V — 00 ; ce qui donne, les axes étant rectangulaires, a' — a d’où 1 + aa! — o, 1 + aa' et les axes étant obliques, 1 -f- a a' —f— ^ a —t— a ) cos G — o. La relation 1 aa' — o , que nous aurons souvent occasion de rappeler, peut être démontrée directement au moyen de la figure. Fig. 38. En effet, puisque le triangle EMG est rectangle en M, les deux angles MEG, MGE sont compléments l’un de l’autre ; et l’on a tang MGE =: cot MEG = tang MGE, tang MEG donc a ou bien aa' - 1- 1 = o. QUESTIONS PRÉLIMINAIRES SUR LA LIGNE DROITE. ^5 65. Cinquième question. — D’un point donné hors d’une droite, on propose, i° d’abaisser une, perpendiculaire sur cette droite ; 2 ° de trouver la longueur de cette perpendiculaire, c’est-à-dire la distance du point donné à la première droite. (Les axes sont supposés rectangulaires.) Soient BL la droite donnée , MG la droite cherchée, Fig. 3g. perpendiculaire à BL et assujettie à passer par le point M dont nous désignerons les coordonnées par x' et y'. Supposons que l’équation de la droite BL soit (1) y — ax-yb. Puisque la droite MG passe par le point x', y', son équation sera (n° 58) de la forme y — y' — a' (x — x'), a' étant une constante qu’il s’agit de déterminer. Or, puisque les deux droites doivent être perpendiculaires l’une à l’autre, on a (n° 64) la relation ïaa' = o; d’où a' ——-• a Donc l’équation précédente devient ( 2 ) y—y'= — l(x—x'). Telle est I’équation de la perpendiculaire MG; et cette droite est ainsi déterminée de position. Pour résoudre la seconde parue delà question, il s’agit d’obtenir Y expression de la distance du point M au point H ou les deux lignes se rencontrent. On connaît déjà les coordonnées x 1 , y' du point M; si l’on pouvait déterminer celles du point H, il suffirait de substituer ces quatre coordonnées dans l’expression de la distance entre deux poin ts donnés, formule trouvée n° 48, et l’on aurait la valeur de MH. Comme le point H est le point d’intersection de BL et de MG, il faudrait (n°61) éliminer x et y entre les équations (i) et ( 2 ); mais observons que, d’après la formule déjà citée, ce sont moins les coordonnées des deux points M et H, que leurs différences, qu’il est important d’obte- 76 QUESTIONS PRÉLIMINAIRES SUR LA LIGNE DROITE. nir 5 ainsi la question est ramenée à éliminer entre (1) et (2) les quantités x — x 1 , y — y', considérées comme inconnues ,• et les valeurs de ces quantités étant substituées dans l’expression d =v/(>'- *"Y + ( y'—y" ii à la place de x' — x",y' — y", donneront la distance demandée. Afin de mettre en évidence les deux inconnues x — x', y — y\ dans l’équation (1), comme elles le sont dans l’équation (2), nous écrirons la première équation sous la forme (3) y — y'—a[x — x') — y' + ax' + b, qu’on obtient en ajoutant —y aux deux membres, puis en retranchant et ajoutant ax' dans le second membre. Cela fait, retranchons l’équation (2) de l’équation ( 3 ); il vient d’où o = [a 4- (x — x') — y' + ax' + b ; ou réduisant, , y' — ax' — b x—x'— --- , 1 a — a x-x'=^? '- ax '- .ll, a 2 -+- 1 Cette valeur, portée dans l’équation (2), donne a (y' — ax'— b) __ — (y' — ax' — b) a a 2 - 1- 1 a 1 —|— 1 Substituant ces valeurs de a: — x\ y — y\ dans celle de D, et désignant par P la perpendiculaire, 011 trouve = \/" Æ P — b) 2 -y (y' b ) 2 {a 2 + .)> Enfin, mettant en évidence au numérateur le facteur (y' — ax' —ù) 2 , et supprimant le facteur a? + 1, commun aux deux termes, on obtient pour la longueur cherchée de la distance MH , ± [y' — ax' — b) P = QUESTIONS PRÉLIMINAIRES SUR LA LIGNE DROITE. 77 Discussion. — Le double signe ± dont, ce résultat est affecté, a besoin d’être interprété. Si l’on cberche à traduire géométriquement la valeur de Fig. 3g. la quantité y' — ax — b, on voit que y' désignant l’ordonnée MP, ax' + b exprime l’ordonnée NP de BL,qui correspond à l’abscisse x' ou AP; car si l’on fait x = x' dans y = ax + b , on a y ou AP = ax'- f- b. Donc y '— ax '— b représente la distance MN. Or, cette distance peut être (n° 27) positive ou négative, c’est-à-dire ^ o, suivant que le point M est placé au-dessus ou au-dessous de BL. Par exemple, si le point était en M', on aurait M'N'=N'P' —M'P', ou M'N'= «a/4- b — y'. D’un autre côté , demander la distance du point M à la droite BL, c’est en demander la valeur absolue ; d’où il suit que, si le point M est placé au-dessus de la droite BL, auquel cas y' — ax '— b est > o, on doit avoir „ y' — ax' — b p — i_• V«’ 4 -i et si le point M est placé au-dessous, ce qui entraîne la condition y' — ax' — b o, on aura ax' b — y' P = —y - • y a 2 i Chacun de ces deux résultats peut être vérifié par la Géométrie. En effet, MP, MH étant respectivement perpendiculaires à AP, BL, on a angl. NMH = angl. BL'X = a. Or le triangle rectangle IN MH donne MH = MN cos a d’ailleurs MN séc a MN \ji H- tang 2 a. ’’ MN = MP — NP = y' — ax' — b, et tang r?8 QUESTIONS PRÉLIMINAIRES SUR LA LIGNE DROITE, doue MH, ou P = ' — ax' — b y^a 2 -h i Si le point M était placé en M' au-dessous de BL, on aurait ax' + b — y r M'N' ■' 4 - b —y ', d’où P = ■ s/a 1 -h 66. Examinons quelques cas particuliers : i°. Supposons que le point duquel on veut abaisser la perpendiculaire soit I’origine des coordonnées. On a, dans ce cas, x'=o, r'=°» et l’expression devient P = ï résultat positif ou négatif, suivant que le point B est placé au-dessus ou au-dessous de l’origine. Fig. 4i. 2 °. Supposons que la droite donnée passe par l’origine. On a alors b = o; et l’expression se réduit à _ y' — ax’ „ ax’ — y' P =: ■ . - OU P J y la 7 -+- ï yjà 1 -H ï 67. N. B. — Dans la question que nous venons de traiter, nous avons supposé les axes rectangulaires; s’ils étaient obliques, il faudrait, pour la première partie, faire usage (n° 6-4) de la relation ï 4- au' -h (a -h a') cos 0 = o, qui donnerait , (î + a cosO) a’ — — i', a 4 - cos 9 et substituer cette valeur dans l’équation y —y'xxafx — x’). Quant à la seconde partie, après avoir effectué l’élimination de x — x', y — y' entre les équations des deux droites, on porterait ces valeurs dans l’expression générale de D QUESTIONS PRÉLIMINAIRES SUR LA LIGNE DROITE. 79 (n° 49 ) ; et l’on trouverait, tout calcul fait, p_ (y' — ax' — b) sin 9 V« 2 -t- 2 a cos0 + i 68. Sixième question. — Par un point donné hors d’une droite , en mener une seconde gui forme avec la première un angle donné. Les axes étant supposés rectangulaires, appelons x',y f les coordonnées du point, et m la tangente de l’angle donné. L’équation de la droite donnée étant r = « + 4 , celle de la droite cherchée sera de la forme y — y ' = a' ( x — x' ) ; et puisque ces droites doivent former un angle dont la tangente est m, on doit avoir (n° 62 ) a' — a . . a — a' -, = m , ou bien - - = m. i -h aa i aa Ces deux relations peuvent être comprises dans une seule, a'-—a a±m ■ -, = ± m : d où. a' = -: i -H aa i zp ant cé qui donne, pour I’équation de la droite cherchée , y —y' = a nr m i zp am (æ — x 1 ). La question admet donc généralement deux solutions ; et cela est évident, car, de chaque côté de la perpendiculaire abaissée du point donné sur la droite y = ax ■+■ h , on peut mener une droite qui fasse avec celle-ci l’angle donné. Soit cet angle égal à 90 degrés, auquel cas on a il en résulte m = 00 ; d’où a a-yrm 1 zp am m ou — 1 1 y— y' = — *'), équation obtenue (n° 65 ). 8o ÉQUATION DU CERCLE. Nous ne considérons pas le cas où les axes sont obliques, parce que les résultats n’en sont pas assez simples. 69. Scolie général .—Les différentes questions que nous venons de résoudre se reproduiront presque à chaque instant dans tout le cours de la Géométrie analitique. En réfléchissant sur les résultats auxquels on a été conduit par leur résolution, on doit sentir la nécessité d’éviter, autant que possible, le système des axes obliques, pour que les calculs soient plus simples. 11 faut toutefois excepter les cas où l’on n’a à faire entrer en considération que l’équation d’une droite passant par deux points donnés, et la condition de parallélisme de deux droites, les résultats étant alors indépendants de l’inclinaison des axes. • § II. — Du cercle. Manière de fixer analytiquement la position d’un cercle sur un plan. Fig. 42 . 70. Soit un cercle de rayon quelconque r, dont le centre est en O, Traçons dans son plan deux axes rectangulaires AX, AY, et proposons-nous d’en fixer la position par rapport à ces axes. Si l’on désigne par p, q, les coordonnées AB, OB du centre , et par x , y les coordonnées AP, MP d’un point quelconque M de la circonférence, on aura, en vertu de la formule du n° 48, ( 1 ) — ç) J =r=. Cette relation caractérise tous les points de la circonférence, en ce qu’elle est évidemment satisfaite par les coordonnées de chacun d’eux, et qu’elle ne peut l’être que par ces coordonnées. En effet, soit N un point quelconque pris à Y extérieur ou à V ultérieur du cercle; on a, en désignant toujours par x et y les coordonnées de ce point, (x — p)' + [y — g) 1 pour le carré de la distance ON ; mais il est évident que ON est > ou < OM, suivant que ÉQUATION DU CERCLE. 8 l le point est extérieur ou intérieur au cercle, d’où résulte nécessairement (x— p ) 2 + (y — q)*> OU O 2 . Ainsi, l’équation (i) ne saurait être vérifiée pour un point qui ne se trouve pas sur la circonférence. Cette équation est donc I’équation du cercle, en ce sens qu’elle fixe complètement la position de chacun des points de la circonférence. Les constantes qui y entrent, sont les coordonnées du centre et le rayon • et, en effet, un cercle est complètement déterminé avec ces données. 71. L’équation est plus compliquée lorsque les axes sont Fig. obliques ; car, d’après la formule du n° 49, on a (* — p ) s -h (y — q Y -+- 2 ( X — p ) (y — q) cos 6 = r 2 , 9 désignant l’angle des deux axes. 72. L’équation (i) (n° 70) prend une forme plus ou moins simple, suivant les diverses positions du cercle par rapport aux axes. i°. IJ origine des coordonnées peut être placée en un Fig. point A' de la circonférence. Dans ce cas, on a évidemment entre p , q et r, la relation p 2 +-q 2 =r 2 -, mais si l’on développe l’équation (i), elle devient x 2 — 2px -y p 2 + y 2 — 2 qy -+- q 2 = r 2 , ou, supprimant les deux quantités égales p 2 -f- q 2 et r 2 , (2) x 2 — 2px-+-y 2 — 2qy — o. Telle est, dans ce cas, la forme de l’ équation du cercle. Si r on pose y= o dans cette nouvelle équation , il en résulte X 2 — 2 px = O , OU X ( X — 2 p ) = o ; d’où x = o, x = 2 p ; ce qui prouve qu’en effet le point [x — o, y — o j ou Y origine, se trouve placé sur la circonf érence. A/l. d,- r.il, à 1,1 G. 6 82 ÉQUATION DU CERCLE. Remarque. —Comme, à l’hypothèse y= o, correspond encore l’abscisse x = a p, il s’ensuit que la circonférence coupe l’axe des x en un second point C tel, que A’C est double de A'D ou p ; ce qui démontre que la corde A'C est divisée en deux parties égales par la perpendiculaire abaissée du centre sur cette corde. Cette propriété est connue en Géométrie; mais on voit comment on la met en évidence à l’aide de l’équation du cercle. La démonstration s’applique d’ailleurs à une corde quelconque , puisqu’on peut faire varier à volonté la direction de l’axe A'X', pourvu que le second axe A'Y' lui soit mené perpendiculairement. 78. 2 °. \d origine peut être placée à Vextrémité A" d’un diamètre A" G qui serait lui-même l’axe des x. Dans cette nouvelle position des axes, on a p = r et q — o ; ainsi, l’équation (î) devient (x — rY + y- — r% ou réduisant, ( 3 ) y' 1 — 2 r.r — x*. On pourrait déduire celle-ci de l’équation ( 2 ) en y faisant p = r et q = o. L’équation (3) peut servir à démontrer deux autres propriétés du cercle. En effet, d’abord, cette équation peut se mettre sous la forme y* = x (2 r — x) ; mais, d’après la figure, on a r = MR, x — A" R ; d’où ir— x = A"G — A" R = fxR; donc MR=A"RXGR, ou bien A" r : mr :: mr : gr ; c’est-à-dire que la perpendiculaire abaissée d’un point de DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES. 83 ta circonférence sur un diamètre, est, moyenne proportion- nelle entre les deux segments de ce diamètre. La même équation revient encore à y* -t- oc 1 = %r.x\ or, si l’on tire la corde A ff M, on a évidemment J--4-X 2 ou MR +A"R = A"M* Jr=A"G, x = A"R; donc =A"GX A" R, ou bien A" G : A" M :: A"M : A" R ; ce qui prouve que la corde menée par l’une des extrémités d’un diamètre est moyenne proportionnelle entre ce diamètre et le segment adjacent formé par la. perpendiculaire abaissée de Vextrémité de la corde sur ce diamètre. 74. 3°. Enfin , Vorigine des coordonnées peut être placée au centre. Dans ce cas, qui est celui que nous aurons à considérer le plus fréquemment, les coordonnées p et q sont milles. Alors l’équation (i) se réduit à (4) -y 1 =r-. C’est l’équation du cercle rapporté à son centre comme origine, les coordonnées étant rectangulaires. Si les axes étaient obliques, l’équation du cercle serait (n° 71) (5 ) x? -h J *-h 2 xy cos 9 = r*. JV. B. — On parviendrait directement aux équations (4) et (5) par la considération du triangle rectangle OMR de la fig. 4 2, et du triangle obliquangle OMR de la fig. 43, l’origine des coordonnées étant supposée en O. § III. — Des LIEUX GÉOMÉTRIQUES. 75. Avant de pousser plus loin l’étude de la ligne droite et du cercle, il est utile d’entrer dans quelques considérations sur les équations des lignes en général, et sur le parti qu’on peut eu tirer. » INous avons déjà vu que la position d’une droite ou d’un cercle est fixée sur un plan par le moyen d’une équation 6 . 84 DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES, entre les coordonnées x et y de chacun de ses points et un certain nombre de constantes dont la connaissance suffit pour déterminer cette position géométriquement. Supposons actuellement que, x et y désignant toujours les distances d’un point à deux axes rectangulaires ou obliques, la résolution d’une question ait conduit «à une équation générale entre x et y, que nous représenterons par f {x, r) = o. (Le caractère F s’énonce : fonction de). Je dis que, quand on voudra fixer la position du point qui satisfait à l’énoncé de la question, ou dont les coordonnées vérifient l’équation, au lieu d’un point, on en obtiendra une infinité j et la série de ces points formera une ligne qui sera droite ou courbe, suivant la nature et le degré de l’équation. En effet, puisque l’on n’a qu’une seule équation entre les deux quantités x et y, on peut disposer arbitrairement de l’une d’elles (ces quantités sont, pour cette raison, appelées variables), et l’équation donnera les valeurs correspondantes de l’autre variable. Donnons, par exemple, à l’abscisse x la suite des valeurs a, a , a a' v , a v , etc. Si l’équation n’est que du premier degré en y, on en déduira successivement pour les valeurs correspondantes de cette variable, y = b, b’, b", b'", b iv , b v , etc. Fjg. 44- En portant sur AX les valeurs de x, et en menant par les points P, P', P /7 , P w , etc., des parallèles à AY, égales aux valeurs de y , on aura différents points M, M', M", M w , etc., qui satisferont également à la question. Comme rien n’empêche de donner à x des valcure extrêmement peu différentes les unes des autres, et qu’alors les valeurs de y seront elles-mêmes, en général, très-peu. différentes les unes des autres, 011 doit en conclure que les points VI, M/, M", etc., seront très-voisins j et l’on pourra ensuite lier ces points entre eux par une ligne continue DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES. 85 ;\lM / iVl' / 'M w . . ., dont tous les points seront autant de solutions de la question, parce que les points intermédiaires sont censés correspondre aux valeurs de x , y, tirées de l’équation du problème, et comprises entre celles qui ont déjà été construites. Cette ligne sera d’ailleurs d’autant plus rigoureusement déterminée, que les points M , M', M 7/ , etc., seront plus rapprochés les uns des autres. Supposons maintenant que l’équation soit, par rapport à y, d 'un degré supérieur au premier. Comme, dans ce cas, à chaque valeur de x doivent cor- Fig. 45 respondre plusieurs valeurs de y, la ligne est composée de plusieurs branches MM'M". . .NN'JN 7 '. . . RR ' R ". . . . 76. Soit, par exemple, à construire l’équation Fig. 46 p = M. ün en déduit y = ±\j ix-, ce qui prouve, i° qu’à une même valeur de x correspondent deux valeurs de y égales et de signes contraires ,• 2 ° qu’à des valeurs négatives de x ne correspondent que des valeurs imaginaires de c’est-à-dire que la ligne demandée, qui est ici une courbe, ne peut, avoir aucun point situé à la gauche de l’origine, ou de AY. Cela posé, faisons d’abord x — o , il vient y = o ; d’où l’on peut conclure que l’origine des coordonnées appartient à la courbe, ou que la courbe passe par Vorigine. Soit x — \-, il en résulte 7 = ±/î=:±i ,4 à moins de o, r près. Après avoir pris sur AX une distance AP égale à V unité linéaire, si l’on mène par le point P une parallèle à AY, et que l’on prenne au-dessus et au-dessous de AX deux distances PM, PN, égales à i,4,...,M et F seront deux points de la courbe demandée. Faisons encore x = 2 ; d’où y = db 2 . 86 DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES. Ces valeurs étant construites comme les précédentes, donnent M' et N' pour deux nouveaux points. En continuant ainsi de donner à x différentes valeurs, et construisant les valeurs correspondantes de y, on obtiendra une courbe de la forme LAH qui s’étend indéfiniment à la droite de l’axe des y, puisque, tant que x est positif, les valeurs de y sont réelles. Fig. 47. 77 . Prenons, pour second exemple, l'équation y 2 — X'— 4, de laquelle on tire y = ± \Ar 2 -+- 4- On voit, premièrement, qu’à une même valeur de x correspondent deux valeurs dey égales et de signes contraires; secondement , que, quelque valeur positive ou négative que l’on donne à x , on a toujours poury des valeurs réelles. Ainsi l’on est déjà certain que la ligne demandée, qui est encore ici une courbe, s’étend indéfiniment au-dessus et au- dessous de l’axe des x , à droite et à gauche de J’axe des y. Faisons quelques hypothèses : Soit d’abord x =z o; ou tire de l’équation proposée, y — ±fl=± 2. Prenons sur AY deux distances AB, AC , égales à 2 ; les points B et C appartiennent à la courbe. Soit, en second lieu, x — i ; d’où y = i y /5 = db 2,2, à moins de o, 1 près. Si l’on prend sur AX, AP = 1, et qu’on porte sur une parallèle à AY, menée par le point P, deux parties PM, PN égales à 2 ^ > M et N seront deux nouveaux points de la courbe. Soit encore 1 X = 2, ce qui donne y = zt: Vo = ± 2,8, à moins de o, 1 près. En construisant ces valeurs comme les précédentes, on obtiendra les deux points M' et N'; UES LIEUX GÉOMÉTRIQUES. 87 Et ainsi de suite , dans le sens positif de l’axe des x. Actuellement, pour obtenir les points situés à la gauche de AY, observons que, puisqu’à des valeurs de x positives ou négatives, mais numériquement les memes, correspondent les memes valeurs de y , il suffit, après avoir pris des distances A p, A p\ etc., égales à AP, AP', etc., de mener par les points p, p ', etc., des parallèles à AY, et par les points M, M', etc., N, N', etc., des parallèles à AX. Les points m, ni ', etc., n, n\ etc., seront aussi des points de la courbe, qui sera évidemment composée de deux branches distinctes et opposées LBL', MCI IL Ces exemples suffisent pour donner une idée de ces sortes de constructions, sur lesquelles nous reviendrons plus tard avec détail. 78. La ligne représentée par l’équation est appelée le lieu géométrique de cette équation. Réciproquement, une ligne étant tracée sur un plan, si, par un moyen quelconque, fondé sur la définition ou sur une propriété caractéristique de cette ligne, on parvient à une équation qui existe entre les coordonnées x et y de tous ses points, et n’existe pas pour d’autres points, la relation ainsi obtenue est dite I’équation de la ligne. ( Voyez les n os 50, 70.) Nous terminerons les notions générales sur les lieux géométriques par deux propositions qui seront d’un usage continuel, par la suite. 79. Première proposition. — On a vu précédemment que l’équation générale d’une ligne droite est de la forme (i) y — ax + b, les quantités a et b pouvant passer par tous les états de grandeur. Je dis que , réciproquement, toute équation du premier degré entre deux variables x et y, en tant que ces variables expriment des distances à deux droites Jixes, a pour lieu géométrique une ligne droite. En effet, quelle que soit l’équation proposée, on peut 88 DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES. toujours la ramener à la forme ( 2 ) y = mx ■+■ n. Comparons entre elles les équations ( 1 ) et ( 2 ). 31. i°. Si les axes sont rectangulaires, on peut poser a ou tang a = m et b = n. Prenant alors sur AY une distance AB = n , et menant par le point B une droite CBL qui forme avec AX un angle y. dont m soit la tangente trigonométrique, on aura (n°51) pour l’équation de cette droite ainsi fixée de position, y — x tang a -+- n , ou bien y — mx + n. Donc cette dernière équation a pour lieu géométrique une LrGNE DROITE. 32. 2 0 . Si les axes sont obliques, on pose a ou Sin a sin ( 0 — «) = m et b — n. Prenant sur AY une partie AB égale à n, et menant par le point B une droite CBL qui forme avec AX un angle a tel que l’on ait sin ( 0 — a ) on aura (n° 51 ) pour son équation , sin a . . v = x - r -4- n , ou bien y - mx + n . J sin ( 0 — a ) Donc, etc. 11 reste, toutefois, à savoir si l’angle a peut toujours être déterminé d’après la relation sin a .— -- ~ m. sm ( 0 — a) Or. on a reconnu (n° 59) que cette relation donne tanga m sin 0 -t~ m cos 0 1 et l’on sait qu’une tangente peut passer par tous les états de grandeur; ainsi l’angle a est toujours susceptible de détermination. 80. Comme deux points déterminent la position d’une droite, il s’ensuit qu’une équation du premier degré en x DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES. 8() et y étant donnée, il suffira, pour en construire Je lieu géométrique, de tixer la position de deux de ses points. Les plus remarquables sont ceux où la droite rencontre les axes ; et, pour les obtenir, on fait successivement, dans l’équation, y = o , puis x — o j les valeurs obtenues, pour x dans la première hypothèse, et pour y dans la deuxième, représentent, l’une, l’abscisse du point de rencontre avec l’axe des x , l’autre, l’ordonnée du point de rencontre avec l'axe des y. | On a déjà vu (n° 55) que l’introduction de ces deux quantités dans l’équation de la droite, lui donne une forme symétrique.^ 81. Lorsque lequation est de la forme y = mx, comme, en faisant y =. o, on obtient x = o, et réciproquement, La droite passe par l’origine; et pour avoir un second point, il suffit de donner à x une valeur particulière, et de construire la valeur dey correspondante. 82. Applications numériques. — [Les axes sont supposés rectangulaires.] l°. 2 y — 3 x r= I. Pour y = o, on trouve i X ~ 3 ’ et pour x = o, Soit AI = i, et prenons sur AX une distance AC = — puis sur AY, AB — - , nous obtenons CBL pour le lieu géométrique demandé. On peut, à l’une de ces constructions, substituer celle de la tangente de l’angle a. Or, on a , 3 tang <* = --• Fig. 48 90 DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES. Fig. 48 - Soit prise sur AY la distance AB=-î comme ci-dessus, et 2 soit tirée la droite BH parallèle à AX; prenant sur cette droite BD = i, et élevant au point D, DE perpendiculaire à BH, et égale à on aura 3 tangEBD = -» ° 2 et le point E appartiendra à la droite CBL. Veut-on connaître, en degrés, la valeur numérique de l’angle a. lui-même ? Voici comment il faut opérer : On a 1. tanga = io + 1. 3 — 1. 1 — 10,17609125 ; d’où, cherchant dans les Tables sexagésimales la valeur correspondante de l’angle a, a = 56 ° 18' 35 ",8. Fig. 49 - 2 °- 3 y -F 5 x + 4 = °- 4 4 5 Pour/ = o, x= — g. et pour .z=o, y —— tangas — — Après avoir pris sur AX une partie AC' : 4 et sur AY, AB'= — on tire C'B'; et l’on obtient ainsi la droite de- O MANDÉE. Ou bien, en menant B' X' parallèle à AX, et prenant B'D'— — 1, 5 puis devant D'E' perpendiculaire à B'X' et égale à on obtient le point E' pour un antre point de la droite cherchée. Pour calculer l’angle a qui est nécessairement obtus , puisque la tangente est négative, on pose d’où et ou a' = 18o° — a ; , 5 tang a = — tang a = ^ > 1. tanga' =io + 1.5 — 1 . 3 , 1. tanga' = 10,2218488. a' = 5 g" 2' 10", 5 ; a = 120 0 57' 4 g ,, > 5 . Les Tables donnent et, par suite, UES LIEUX GÉOMÉTRIQUES. 91 N. B. — Les constructions précédentes sont toutes applicables au cas où les axes sont obliques. 3 5 Mais alors les quantités — et —— expriment les valeurs du rapport — r --r; et, pour déterminer l'angle a, sin ( 9 — « ) D usage de la formule du n° 89, tang a = m sin 9 1 -f ■ m cos 9 ’ il “faut faire dans laquelle on remplace m par - ou — et sin 9, cos 9 par les sinus et cosinus de l’angle 9 des deux axes, angle supposé connu. 3°. y = x, Fig. 5o. les axes étant supposés quelconques. En faisant successivement x = o, i, 2, 3, etc -5 on trouve pour /, y — o, i, 2 , 3, ^j etc., ce qui démontre, d’abord, que la droite ABB' passe par l'origine, et ensuite qu’elle divise l’angle YAX en deux parties égales. Lorsque les axes sont rectangulaires , l’angle a. est égal à 45 degrés , c’est-à-dire est la moitié de l’angle droit. 83. Remarque importante. —L’équation proposée pourrait être en x ou en y seulement, c’est-à-dire ne renfermer i|u'une seule variable. On peut avoir, par exemple, l’équation Fig. 5i 2 x — 3 = o, d’où x = -• Prenant sur AX, AB = -■> et menant par le point B, BC parallèle à AY, on obtient une droite dont tous les points 3 jouissent exclusivement (n° 45) de la propriété d’avoir - pour abscisse, quel que soit d’ailleurs y. Soit encore Fig. 52 y 2 + y — 2 = 0. Cette équation étant résolue, donne y = 1 et y = — 2. 02 DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES. 52. Si l’on prend sur AY, deux distances, ÀB=i, AB'=— 2 , et qu’on mène GH , parallèles à AX, Vensemble de ces droites constitue le lieu géométrique de l’équation. Généralement, toute équation à une seule variable a pour lieu géométrique une droite ou un système de plusieurs droites parallèles, soit à AX, soit à AY, suivant qu’elle est du premier degré ou d’un degré supérieur en y ou, en x. ,_ 8-4. La question suivante, qui se rattache aux lieux géométriques du premier degré, peut avoir son utilité dans les applications. Trouver l’équation d’une droite assujettie à passer par le point de concours de deux droites données. Soient y = ax 4- b , y = a' x ■+■ b' les équations de ces deux droites. On peut les mettre sous la forme (1) y — ax — b — o, y — a‘ x — b' — o ; et si l’on pose la nouvelle équation (2) [y — ax — b)m-\-y — a'x — b' — o, m étant une indéterminée quelconque, on obtiendra l’équation demandée. D’abord le lieu géométrique de cette équation est une ligne droite, puisqu’elle est du premier degré en x et eny. De plus, elle est satisfaite lorsqu’on pose simultanément y — ax — b — o, y — a! x — b r = o , ou y =2 ax b, J — a ' x - 4 - b ' ; d’où l’on voit (n°61) que les coordonnées du point de concours des deux droites données, la vérifient. D’ailleurs la quantité m est, par hypothèse , une indé- ternnnée qui peut recevoir toutes les valeurs réelles possibles. Ainsi l’équation ( 2 ) peut être considérée comme Y équation générale de toutes les droites passant par le point d’intersection des deux droites données. 80 . Seconde proposition. — O 11 a trouvé (n° 70) pour l’équation générale du cercle rapporté à des axes rectangu- DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES. 93 J. AIRES , (x—p) 2 +(y — q) 2 ~r 2 -, ou développant, (1) x 2 -\-y 2 —2 px — 2 qy + p 1 4 - q 2 —r 2 =o. Réciproquement, toute équation du second degré, de la forme (2) j! 2 H -/ 2 + Aa? + B/4-C = o, c’est-à-dire qui ne renferme pas le rectangle xy des 'variables, et dans laquelle les coefficients des carrés sont égaux à l’unité ou égaux entre eux (parce qu’on peutjtou- jours diviser l’équation par ce coefficient commun), appartient (dans le cas d’axes rectangulaires) à une circonférence de cercle. En effet, comparons l’une à l’autre les équations (1) et ( 2 ), et posons — 1 p — A, — Q.q =B, p 2 + q 2 — 7 - ! =:C; on en déduit A B \f,7 1 ■- c =y A 2 + B 2 4 — c.. Cela posé, traçons deux axes rectangulaires AX, AY, Fig. 53. A et construisons le point O dont les coordonnées soient — — et —?, quantités que nous supposons ici positives. Puis, du point O comme centre , et avec un rayon égal à V 7 A 2 +B -C, décrivons une circonférence de cercle; (die aura nécessairement pour équation {x — p) 2 -y- (y — qf = r 2 -, l, si l’on remplace p, <7, r par leurs valeurs, ou, B 2 4~ -c, ou développant et réduisant, x 2 ■+■ Ax + y 2 + By 4- C = o, résultat identique avec l’équation (2). Donc, etc. 94 DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES. Autre démonstration. — Aj outons aux deux membres de l’é- A 2 B 2 quation (2) la quantité,^- -f- -^1 afin de compléter les carrés .ï' + Aa; et y* + B y 5 il vient A 2 B 2 A 2 + B 2 •£ 2 -+- Ax-t- -y- -f- / 2 +B/-+- ^j- =—| 1 ~ L * B \ 2 A 2 -+- B 2 ,, /-+- r I =— 7 . - c > ou bien ( 3 ) ~ ' ây - 4 équation que l’on peut comparer immédiatement avec {x — pf + (y — q'f = r\ en posant A B P = -? q — - 1 r: 2 2 V A 2 -I- B 2 ■C; d’où il suit que l’équation ( 3 ), et par conséquent l’équation (2) dont ( 3 ) n’est qu’une transformée, représente une circonférence du cercle qui a pour centre le point déterminé par les coordonnées — ^5 — - 1 et pour rayon v/ A 2 -+- B 2 — C. Cette démonstration, plus simple que la première, est moins analytique. Remarque. — Les quantités A , B, C étant quelconques, il peut arriver que l’on ait A 2 + B 2 _ C - o OU O. Dans le premier cas, le rayon r est nul, et la courbe se réduit à son centre, c’est-à-dire à un point. Dans le deuxième, le rayon r est imaginaire, ce qui veut dire qu’il n’y a pas de courbe; et l’on dit alors que le cercle est imaginaire. 86. Applications numériques. — Axes rectangulaires. Soit à construire l’équation 2 x 2 H- 2 j 2 — 3 x + 4 y — i = o ; elle peut d’abord être mise sous la forme , 3 1 /-x + 2 y — —> 2 2 DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES. g5 ou, en ajoutant aux deux membres les carrés de la moitié du 3 - et de la moitié du coefficient 2, c’est-à-dire <-» ' coefficient 9 4- I, ou — 16 10 [y -+- i) J 25 : 16' 33 16' Cela posé, déterminons d’abord le point O qui a ^ pour abscisse Fig. 5/f. et — 1 pour ordonnée. Ensuite, du point O comme centre, et avec un rayon égal à ^^33(011 i,4 à o,i près), décrivons une circonférence; cette courbe sera le lieu géométrique demandé. Soit, maintenant, l’équation x 2 4- y’’’ — 3/4- 21= o, qui peut se mettre sous la forme (x 4- i) 2 4- i3 4' Après avoir fixé la position du point qui a — 1 pour abscisse Fig. 55. et - pour ordonnée, si de ce point O comme centre, avec un rayon égal à — y/TS ou 1,8, on décrit une circonférence, elle sera le lieu géométrique de l’équation proposée. Il faut observer toutefois que, dans cet exemple, comme l’équation est satisfaite simultanément par x — o, / = o, la courbe passe nécessairement par l’origine ; d’où il suit que le rayon se trouve tout construit et est représenté par OA. En effet, on a OA = y/AB 4- BO , ou bien On reconnaîtrait pareillement : i°. Que l’équation i ! 4-/' — 3 a.’ 4- 1 =0 3 représente un cercle dont le centre a pour coordonnées — et o, et qui a pour rayon ^ y/5 ; 96 DES lieux géométriques. 2°. Que l’équation 4 x 1 4 y 1 — H* - 8/+i3 = o représente un point ayant pour coordonnées — et i. Car on peut la transformer en (.r —|) +(r — i)’=o; et cette équation, dont le premier membre est la somme de deux carrés, ne peut être satisfaite qu’en posant ( x ~^j = °> — °» ce qui donne 3 , a: = - et y = i ; 2 3°. Que l’équation a: 2 4- y 2 + 4x — 2JT + 7 = o ne représente rien. On peut, en effet, lui donner la forme (x+2) 2 4-(r — l) 2 =—2, équation dont le premier membre, étant la somme de deux carrés, ne peut être égal à une quantité négative. 87. La proposition que nous avons établie et démontrée au n° 85, suppose que les axes sont rectangulaires. Cherchons maintenant, dans le cas d 'axes obliques , les conditions nécessaires et suffisantes pour que l’équation complète du second degré à deux variables, (1) Ay^-j-Bxy 4- Ca: 2 -+- T)y-h Ex + F = o représente une circonjérence de cercle. On a trouvé (n° 71) pour l’équation la plus générale du cercle, (2) (x — pY+ {y — . de à la G. 7 g8 USAGE DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES. Soit, pour exemple, l’équation numérique 3y 2 — 2 .xy+ 3 x* — f + x — 2 = 0; et supposons la courbe rapportée à un système d 'axes obliques, pour lesquels on ait 1 2 <— COS0 = —d’où sin 0 = 3 V 2 > système qu’il faudrait préalablement construire. Il en résulte 1 X 3 1 ' 8 6x- 9 + iX ” 8 ’ 6 X - 9 — V/64 + 64 3a X 3 + 3 : 1 ,- 5.i . — y 102 — 7 a 77 près, 12 ’ 0 0 Ainsi, dans le système particulier d’axes qui vient d’être défini, l’équation proposée représente un cercle dont le centre a pour coordonnées — g? -f-gj et dont le rayon est g? à moins de g près. N. B. — Dans le cas d’axes rectangulaires ou d’un système d’axes obliques, qui ne satisferait pas à la condition exprimée par cos 0 = — — 1 l’équation proposée représenterait une courbe offrant de l’analogie avec le cercle, ainsi que nous le verrons plus loin. Usage des lieux géométriques. 88. Les notions générales que nous venons d’exposer sur les lieux géométriques étant bien entendues, voyons le parti qu’on peut en tirer dans la résolution des problèmes de Géométrie déterminés ou indéterminés. Considérons d’abord le cas où la question est indètermi- ' née , et supposons que cette question revienne à fixer la position d’un certain point sur le plan d’une figure. En rapportant le point cherché et les autres parties de la figure à deux axes, et désignant les coordonnées de ce point par x et r, on obtiendra par la traduction algébrique de usage des lieux géométriques. 99 l’énoncé, une certaine relation, F (x, y) = o, entre ces coordonnées et les quantités connues, laquelle sera dite I’é- quAtion du problème; puis, si, conformément aux principes établis précédemment, on construit le lieu géométrique de cette équation, la série des points faisant partie de ce lieu géométrique satisfera à l’énoncé de la question; , et les coordonnées de ces points représenteront géométriquement tous les systèmes de valeurs de x et dejr, propres à vérifier l’équation F {x, jr) = 0. 89. INon-seulement les lieux géométriques servent à résoudre les questions indéterminées , mais on peut encore en faire usage dans les problèmes déterminés à deux in- cortnues. Admettons, en effet, que l’énoncé d’une question ait conduit aux deux équations F(^>.r) = °> F'(J r >r) = o, x et y représentant les coordonnées d’un certain point rapporté à deux axes quelconques. On pourrait, d’abord, éliminer x et y entre ces équations, puis construire tous les systèmes de valeurs que l’on obtiendrait ; chacun des points ainsi déterminés satisferait à l’énoncé. Mais, sans effectuer l’élimination qui, le plus souvent, conduit à des résultats compliqués, et n’est d’ailleurs pas toujours facile, on peut fixer la position de ces mêmes points. En effet, l’équation F (x, y) = o, considérée seule, re- Fie. présente une certaine ligne, lieu de tous les points dont les coordonnées vérifient cette équation. Supposons-la construite, et soit LBH ce lieu géométrique. De même, l’équation F' [x, y) = o est celle d’une seconde ligne dont tous les points sont tels, que leurs coordonnées vérifient cette équation ; supposons cette ligne construite par rapport aux mêmes axes que la précédente, et représentée par KCI. 11 est évident que les points M, M', etc., où ces lignes se IOO USAGE DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES. rencontrent, sont ceux qui satisfont à l’énoncé, puisque leurs coordonnées forment des systèmes de valeurs de x et de j, qui vérifient en même temps les deux équations. Ainsi, les points M, M', etc., sont autant de solutions de la question dontces équations sont la traduction algébrique, si toutefois on a eu pour objet de fixer, sur un plan, la position d'un point d’après certaines conditions. Lorsque les inconnues x et r, au lieu d’exprimer des distances de points à des axes fixes , expriment des lignes, les coordonnées des points M, M, etc., représentent les valeurs géométriques de ces lignes. En substituant ainsi les intersections de deux lieux géométriques h l’élimination entre leurs équations, on parvient souvent à des constructions simples et élégantes du problème. La suite de ce chapitre nous en fournira plusieurs exemples. 90 . Nous nous bornerons, pour le moment, à faire l’application de ces principes à un problème traité dans I’in- troduction , et qui a fait l’objet des n os 20 et 21. Fig. 6 et 7. Reprenons , à cet effet, les deux équations obtenues par la première méthode d’application de l’Algèbre à la Géométrie, savoir : (1) (b— xy + (c— yf=r‘, (2) a [x 2 -t-y 2 ) = rri’-fi — 2 i + 21); et observons d’abord que ces équations seraient celles qu’on trouverait en rapportant le point inconnu D à deux axes rectangulaires dont l’un serait AB pris pour axe des#, et l’autre une perpendiculaire élevée au point A. Cela posé, au lieu d’éliminer x et y entre ces équations qui conduisent, ainsi que nous l’avons vu, à des résultats très-compliqués, tâchons de construire les lieux géométriques qu’elles représentent. La première est évidemment celle du cercle donné; car CD ou r étant le rayon , h et c ou AF et CF sont les coordonnées du centre. Quant à la seconde, qui peut se transformer ainsi. , m 2 , ni 1 x-f~ r J — 2 — x ~ m 2 -,— 2 4 . —1 a a USAGE DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES. ÎOI ou bien encore m 2 \ 2 , m ‘ x -- ) + r 2 = -h m 2 — 2 ». — , a j a 2 a elle représente (n° 85) un cercle dont le centre est sur l’axe Fig, des X, AB, en un point K pour lequel on a AK et qui a pour rayon i 1 — 2 b. "=v/ï Or, le triangle rectangle ACL donne AL ou m 2 — AC — CL , m 2 = b 2 c 2 — r 2 : ou bien ainsi l’on a ûl* f D’ailleurs , b -— est égal à KF ; ce qui donne KC = c 2 c i —- r. b -^\. Donc enfin '= \JlSJC — r 2 . Mais si l’on mène du point K les tangentes KD et KD' au cercle donné, on a évidemment KD 2 -. KD' J = KC 2 — r 2 . D’où l’on voit que ces deux tangentes donnent, non-seulement le rayon du second cercle, mais encore les points où les deux circonférences se coupent, c’est-à-dire ceux dont on demandait de fixer la position. 11 est remarquable que la première méthode employée pour résoudre la question, méthode que nous avons appelée indirecte (n°43), conduise, par le secours des lieux géométriques, à la même construction que la méthode générale. Mais il faut un peu de réflexion et d’habitude pour découvrir ce rapprochement. 102 application des théories précédentes § IV. — Application des théories précédentes a la RÉSOLUTION DE DIVERSES QUESTIONS ET AU PROBLÈME '1 DES TANGENTES. Questions sur la ligne droite. Fig. 57 . 91. Première question. — Rechercher par l’analyse les points d’intersection deux à deux des droites menées par les sommets A, B, C d’un triangle, et parles milieux F, E, D des côtés opposés. — Prouver que ces trois médianes se coupent en un même point. Prenons deux axes rectangulaires AX, AY, dont l’un, celui des x , se confonde avec l’un des côtés AB du triangle, Y origine étant d’ailleurs placée au sommet A. La question consiste à former les équations des droites AF, BE, CD, puis (n° 61 ) à éliminer x et y entre ces équations combinées deux à deux. Mais, auparavant, il est nécessaire d’établir les coordonnées des points A,B,C,D,E,F. On a d’abord pour les coordonnées de A , (/ = o, x = o)i soit AB = c ; il en résulte pour celles de B, (/ = o, x = c); posons d’ailleurs pour le point C, (y=y, x=x'). Maintenant, comme D, E, F sont les milieux de AB, AC, CB, on en déduit , GH AG = x' -f c -f- x‘ 2 ce qui donne pour les coordonnées des points F. .. K c H- x' A DES QUESTIONS SUR LA LIGNE DROITE; lo3 Connaissant pour chacune des droites AF, 1>E, CD, les coordonnées de deux de ses points, nous pourrions obtenir son équation en substituant dans la formule (5) du n° 57, à la place de xy 1 , x", y ", les valeurs correspondantes 5 mais il est plus convenable d’opérer de la manière suivante : Comme AF passe par l’origine, son équation est de la forme y— a .r ; ( y? ç -1 gJ \ — 1 —-—j, on a la relation particulière c-+-x \ ,, , y 1 d ou a = —— ainsi lequation de AF est (0 y- c -f- x' La droite BE passant par le point Ë, ou ( o, c), son équation est (n° SB) de la forme y= a' (x — c). Mais, comme cette môme droite passe par le point E 4 ou y à J 1 on a la relation = a - donc l’équation de BE est y ou a' = f (=0 y= -T X - 2 C On trouverait de même pour .CD, y {x — c). (3) y- 2 X — c ) Il reste actuellement à combiner les équations ( 1 ), (ï) et (3). D’abord, on déduit des deux premières, y' y , -■ • x = —- ( X c.l, IO4 APPLICATION DES THÉORIES PRÉCÉDENTES équation qui, étant résolue , donne c + i' Portant cette valeur dans l’équation (i), on trouve Puis, les équations (i) et (3) donnent < ou, résolvant, Y Y -- • x — — - -(21 — c), C -+- X 2x' - C K ' y x = —5—? et par conséquent, y = —• O O D’où l’on voit que les coordonnées du point d’intersection des deux droites AF, BE, sont identiques avec celles du point d’intersection de AF et CD. Ainsi, ces trois droites se coupent en un même point. Si du point O commun à ces trois droites, on abaisse l’ordonnée OP, les deux triangles semblables DCH, DOP donnent i CH OP : CH : : DO : DC; mais on a OP — -y' — —— 5 o Û donc aussi DC DO - -y- Le point O se nomme, en Statique, le centre de gravité du triangle. ig. 58. 92. En réfléchissant sur l’analyse précédente, on reconnaît aisément que les calculs sont les mêmes, quelle que soit l’inclinaison des axes. Ils deviennent beaucoup plus simples lorsqu’en conservant Ali pour axe des ,r, 011 prend pour celui des ordonnées une droite AY parallèle à CD, ce qui est permis, puisque la droite CD est connue de position. Dans ce cas, il est évident que l’abscisse x' du point C est égaleàADou-; d’où c-zx', et les équations (1), (2), (3) deviennent, savoir : A DES QUESTIONS SUR LA LIGNE DROITE. L’équation de la droite AF, 103 celle de la droite BE. y , 2 .]x') ; et celle de la droite CD, Cela posé, combinons cette dernière équation avec la première; il en résulte / X =T En la combinant avec la seconde, on trouve encore y' *= 3" Ainsi, les coordonnées des points d’intersection de CD et de AF, comme de CD et de BE, sont y DG On voit par là combien le choix des axes peut influer sur la simplicité des calculs. 93. Seconde question. — Déterminer les points d’in- Fig. 5g tersection deux à deux des perpendiculaires abaissées des trois sommets du triangle ABC, sur les côtés opposés. — Démontrer que ces perpendiculaires se coupent en un meme point O. On conçoit qu’ici il doit y avoir de l’avantage à supposer les axes rectangulaires , puisqu’il faut faire entrer en considération la relation de perpendicularité de deux droites (■voir le n° 64). Prenons encore pour axe des abscisses la ligne AB, et pour axe des ordonnées la perpendiculaire élevée au sommet A. En désignant toujours par c la distance AB ou l’abscisse du point B, et par x 1 , y' les coordonnées du point C, on a d’abord pour l’équation de CD parallèle à l’axe des y, ( 1 ) X = x'. APPLICATION DES THÉORIES PRÉCÉDENTES 106 Avant de rechercher les équations^ de AF et de BE, nous commencerons par déterminer celles des droites CB, AC, auxquelles elles sont perpendiculaires. Or, la droite CB passant par les deux points [y 1 , x') et (o, c), son équation est (n° 57) Celle de la droite AC qui passe par l’origine et par le point ( xy '), est y y= ~x. X Cela posé, AF passant par l’origine a une équation de la forme y — a' x-, et comme elle est perpendiculaire à CB, on a (n° 64) la relation aa' -J- i = o ayant pour valeur 5 d’où l’on déduit 1 c — x a y' Ainsi l’équation de AF est c — x (2) J La droite BE étant assujettie à pasler par le point B ou (o, c ), on a pour son équation, y~ m’ [x — c); et puisqu’elle est perpendiculaire à AC, on doit avoir la relation mm' -+■ 1 =■ o (^m ayant pour valeur — j ; d’où l’on déduit Donc enfin l’équation de BE est (3) y — — c )- A DES QUESTIONS SUR LE CERCLE. ÏO7 Maintenant, si l’on combine les équations (i) et ( 2 ), on trouve x =: x', y = -—-— • -af • y' Combinant de même les équations ( 1 ) et (3), on obtient , X ' ! , . c — 3? . X — X, Y— - ,{ X - c) = -;-- X‘ • • r ' ; y Donc les coordonnées du point d’intersection des droites CD, AF sont les mêmes que celles du point d’intersection des droites CD, J3E; ainsi ces trois droites se coupent en UN MÊME POINT. 94. JNous indiquerons comme exercice se rattachant aux questions qui viennent d’être traitées, les trois suivantes : *• Démontrer par l’analyse ; t°. Que les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés d'un triangle concourent en un même point; 2 °. Que ce point et les points de rencontre qui se rapportent aux deux premières questions sont tous les trois placés sur une même droite ; 3°. Que les trois bissectrices des angles d'un triangle concourent en un même point. La première et la troisième de ces questions offrent un rapprochement remarquable avec celles du cercle circonscrit et du cercle inscrit au triangle donné. Questions sur le cercle. 95. Première question. — Rechercher par l’analyse les conditions qui expriment que deux circonférences de cercle se coupent, se touchent, ou n'ont aucun point commun. Soient O, CP les centres de deux circonférences de cercle , l'ic.. 60 r i > J leurs rayons, et 00' = d la distance des centres. Prenons pour axe des x la ligne des centres, et pour axe des y la perpendiculaire OY élevée par le point O. Le cercle dont le rayon est /■, étant rapporté à son centre et à deux axes rectangulaires , on a (n° 74) pour l’équation Io8 APPLICATION DES THÉORIES PRÉCÉDENTES de ce cercle, (1) y 2 -)- x 2 = r 2 . Celle du second cercle, dont le centre a pour coordonnées p — d, q — o, est (n° 70 ) (2) y 2 +(x-d) 2 =r' 2 . Cela posé, pour exprimer que les deux circonférences de cercles 5e coupent, et obtenir leurs points d’intersection, il faut (n° 61 ) établir que leurs équations ont lieu en même temps, et éliminer x, y entre ces équations. A cet effet, retranchons l’équation (2) de l’équation (1)5 il vient 2 dx — d 2 — r 2 — d 2 ; d’où l’on tire r* — /-- 1 - d 2 x =---- _ 2 d •f Cette valeur, portée dans l’équation (1), donne y =z ± sfffdr 2 — (r 2 — d 2 -\- d 2 ) 2 . Discussion. —L’inspection seule de ces valeurs prouve d’abord que, dans l’hypothèse où la quantité sous le radical de la valeur de y étant positive, les valeurs d ex, y sont réelles, et où par conséquent les circonférences ont deux points communs, dans cette hypothèse, dis-je, les deux poinls d’intersection ont une même abscisse OP, mais deux ordonnées égales et de signes contraires. Donc, toutes les fois que deux circonférences se coupent, la ligne des centres est perpendiculaire à la corde commune , et la divise en deux parties égales. Maintenant, afin de savoir quand y sera réel ou imaginaire, nous ferons subir à l’expression ci-dessus une transformation . La quantité sous le radical étant la différence de deux carrés, peut être décomposée dans le produit (2 dr -4- r" -+- d 2 — r' 2 ) ( 2 di - r 2 — d 2 -c- r' 2 ); mais chacun des deux facteurs entre parenthèses étant lui- même la différence de deux carrés (r-\-d)‘ — d 2 et r ' 2 —(r—r/) 2 , A DES QUESTIONS SUR. LE CERCLE. lOQ on a pour le premier, et pour le second, (d + r — d) [d — r -t- d). Donc, enfin, la valeur y devient J = [r + d-\-d) [r + d — d) [r-\-d — d) (d-hd —r). Sous cette forme, comme le premier facteur soumis au radical est essentiellement positif, ou voit que y sera réel tant que les trois autres seront positifs, ou l’un deux positif et les deux autres négatifs. Mais cette dernière circonstance ne peut jamais exister, car dès qu’un de ces trois facteurs est négatif, les deux autres sont évidemment positifs. Par exemple, r+d — d d, r + d~y>d, d + df> r; c’est-à-dire chacune des trois quantités, les rayons et la distance des centres, moindre que la somme des deux autres ,• Ou bien, l’un des trois facteurs est négatif et les deux autres positifs; dans ce cas, y est imaginaire et il n’y a pas de point d’intersection : ainsi deux circonférences ni ont I IO APPLICATION DES THÉORIES PRÉCÉDENTES aucun point commun, lorsque l’une des inégalités ci-dessus a lieu dans un ordre inverse. Il peut arriver que l’on ait r -+- d — r' —o, ou r + / — « = o, ou r' + d — r — o ; c’est-à-dire r -+- d — /, ou r - 1 - r' = d, ou / 4 - d = r. Dans ces différents cas, les deux valeurs dey se réduisent à o, et les deux circonférences n’ont plus qu’im point commun, lequel est nécessairement placé sur la ligne des centres, puisque son ordonnée est nulle. Donc, deux circonférences de cercle se touchent toutes les fois que la distance des centres est égale à la somme ou à la différence des rayons. Ces résultats sont conformes aux théorèmes établis en Géométrie sur les intersections et les contacts de deux circonférences. Cas particuliers. — Soit d= o, auquel cas les deux circonférences sont concentriques ; les valeurs de x et de y deviennent r ! — r n / — (r*— r' 2 ) 2 x ~ —- et r=t/ -1-7 o V o expressions de forme infinie. Ce résultat, qui exprime que les deux circonférences ne peuvent alors avoir aucun point commun , offre quelque analogie avec celui qu’on a obtenu au n° 61, dans le cas où deux droites sont parallèles. Si l’on avait en même temps d — o et r~r', les valeurs de a: et dey se réduiraient à o o x=-, y=-, 0 0 signes ordinaires de Y indétermination. En effet, dans ce cas, les deux circonférences se confondent et ont une infinité de points communs. 96. Seconde question. — Faire passer une circonférence de cercle par trois points donnés. Toutes les fois que l’on connaît la position du centre d’un III A DES QUESTIONS SUR LE CERCLE. cercle sur un plan, et la longueur de son rayon, les quantités constantes p, q , r, qui entrent dans l’équation (x — P y + (y — qf =. r\ doivent être regardées comme données à priori; et le cercle est complètement déterminé par cette équation. Mais on peut, comme pour la ligne droite, se proposer de déterminer une circonférence de cercle qui satisfasse à certaines conditions, comme celles de passer par des points donnés, d’être tangente à une ou plusieurs droites, à une ou plusieurs circonféi’ences, etc.: dans ce cas, p , q , r sont des constantes indéterminées dont les valeurs dépendent de ces diverses conditions •, et comme les indéterminées sont au nombre de trois , il s’ensuit que l’on peut imposer à une circonférence trois conditions différentes, celles , par exemple, de passer par trois points donnés. Soient en général (a/, y'), (x !l , y”), [x"', y") trois points donnés sur un plan par rapport à deux axes rectangulaires, et appelons p , q , r les coordonnées du centre et le rayon $ son équation sera de la forme (') { x — pY + {y — q ) 2 — r*, p 1 q 1 r étant des quantités qu’il s’agit de déterminer. Or, puisque chacun des trois points donnés se trouve sur la circonférence, on doit avoir les relations {x' ~pf -+- (/ — qf— r\ [x"— p ) 2 + (/ / — q y= r\ K-/>)’ +(/"- + y » _ y " > _ 2 p ( *' - x" ) — 2 q ( y — y’’ ) = O, ( 3 ) x ' 2 — x'" 2 + y 2 — y s — 2 p ( x' — x "') — 2 q (y — y"') = O, équations du premier degré en p , q , d’où l’on peut tirer facilement les valeurs de ces inconnues-, après quoi, en les substituant dans la première des relations ci-dessus, on obtiendra la valeur correspondante de r. Fig. 6i 112 application des théories précédentes iNous n’entrerons pas dans les détails de ces calculs qui n’offrent aucune difficulté réelle, et qui présenteraient d’ailleurs peu d’intérêt à cause de leur complication; mais nous allons tâcher de traduire en Géométrie les équations ( 2 ) et (3). Chacune de ces équations, considérée seule, étant du premier degré par rapport aux quantités p et q qui expriment les coordonnées d’un point, représente (n° 79) une ligne droite; et si on les construit successivement par rapport aux mêmes axes, le point d’intersection (n° 61 ) de ces lignes sera le centre du cercle demandé. Occupons-nous d’abord de l’équation ( 2 ) ; elle peut être mise sous la forme x'—x" f 1 2 (y-y") ou bien encore ( 4 ) /+r" x'—x" ~ÿ r —~y" ^ p x’-hx" Cela posé, soient M, M', M" les points dont les coordonnées sont (■r', j'), (x". y"), [x m , y'")- L’équation de la droite MM' est (n° 57) ( 5) ^(*-*')• D’un autre côté, les trapèzes MM'P'P, MM'R'R donnent, pour les coordonnées INQ, !NS, du point N, milieu de MM', US = X ’— .~ , NQ ; r ainsi déjà, l’équation (4) est celle d’une droite passant par le point ÏN. En outre, si l’on compare les deux coefficients y—y id—x" 3c ~~ 3c* • et — —j — -y, des équations (5) et (4), on voit qu’ils satisfont à la relation aa 1 - 1- 1 = 0 qui exprime (n° 64) que deux droites sont perpendiculaires entre elles. D’où l’on peut conclure que l’équation (4), qui n’est r A. DES QUESTIONS SDK LE CERCLE. Il3 autre chose que l'équation ( 2 ) transformée, représente la droite élevée par le point N milieu de M.M', perpendiculairement à cette dernière ligne. Ainsi, sa construction est facile. Un reconnaîtra de même que l’équation (3) représente la perpendiculaire élevée au milieu N’ de MM* dont l’équation est y — y y ' x' ■y x" Le centre du cercle cherché se trouve donc déterminé de position ; et la construction que npus venons d’en donner est précisément celle des éléments de Géométrie. 97. On parviendrait à des résultats plus simples en pre- Fig. nant pour origine des coordonnées le point M, et pour axe des abscisses la droite MM', le point M" ayant d’ailleurs une position quelconque. Soient a la distance MM' ou l’abscisse du point M', st' et ê' les coordonnées du point M". On a encore pour l’équation du cercle, (') (x — P y-h (y — 3) a' 2 —2pa'-|-ê ,2 — q — O. Si, maintenant, on construit les lieux géométriques des >. 2 a 2 représente évidemment la perpendiculaire à MX, élevée par le milieu i\ de MM'. Quant à l’équation (3), elle peut être mise sous la forme gM ou bien encore sous celle-ci , g' a' ( a!\ *-* = -v\*'*) et représente la droite élevée par le point X', dont les coor o! O données sont — > -■> perpendiculairement, à la droite MM", dont 1 équation est On reconnaît encore ici l’importance du choix des axes PROBLEME DES TANGENTES. Définition générale de la tangente à une courbe. Moyen analytique de Jixer sa position en un point donné d’une courbe quelconque. 98. Commençons par fixer le véritable sens qu’on doit attacher au mot tangente. On définit, en Géométrie, la tangente au cercle, une droite qui n’a qu’un point commun avec la circonférence; mais il est aisé de voir que cette définition ne convient pas à toutes les courbes. Fig. 63. Soit, en effet, une ligne telle que LiVNKMH. Si, en un point quelconque M, on mène une droite M1N1V, qui semble se trouver, par rapport à la partie KMH, dans la situation d’une tangente telle qu’elle vient d’être définie, cette droite peut être supposée n’avoir qu'un point commun PROBLÈME GÉNÉRAL DES TANGENTES. I l5 avec cette partie de la courbe ; mais prolongée indéfiniment, elle passera par d'autres points N, N', etc., de la courbe. Donc il ne serait pas exact de dire qu’elle n’a qu’un seul point commun avec LiViNKMlI. Il y a plus : une droite située dans le plan d’une courbe peut avoir un seul point commun avec cette courbe sans lui être tangente dans le sens attribué à ce mot. Par exemple, la courbey 2 = 2 .x , dent nous avons indi- Fig. Ifi. quéla construction aun°76, est telle que l’axe -Aj est bien, par rapport à cette courbe, dans la position d'une tangente ,• mais il n’en est pas de même de l’axe des x qui n’a que le point A commun avec elle. La même chose aurait évidemment lieu pour toutes les droites menées parallèlement à AX par les différents poinls M, AI', JN , N', etc. Pour avoir une définition qui puisse s’appliquer à toutes Fig. 64 les courbes, il faut imaginer qu’une droite S s ayant deux points AI, m , communs avec la courbe, tourne autour de l’un de ces points, AI par exemple , de manière à prendre les diverses positions SAI/ns, S'Alm'.ff, §" rii ,, Ms ,, \ ou voit que, dans ce mouvement, le second point commun avec la courbe, qui était placé d’un côté du point Al, en m, m\ se trouve maintenant du côté opposé, en m”• Or, dans le passage de la première position , m, à la troisième, m", il doit nécessairement en exister une, intermédiaire, où le point m vient à se confondre avec le point M ; et c’est dans cette position , représentée par TA! t , que la droite est dite une tangente. On doit donc regarder une tangente à la courbe comme une sécante dont deux des points d'intersection 'viennent à se réunir en un seul. 99. Il n’est pas toujours nécessaire que le mouvement de la droite se fasse autour de l’un des points d’intersection; il peut souvent se faire autour d’un point quelconque. La droite peut même, dans certaines circonstances , se mouvoir parallèlement à elle-même. Reprenons encore la courbe y 2 — 2 j?, d’où y = ±\j%x. Comme, à chaque valeur de .x positive, correspondent b. Fig. 46 Il6 PROBLÈME GÉNÉRAL DES TANGENTES. deux valeurs de y égales et de signes contraires , il s’ensuit que toute parallèle à AY, menée à droite de cet axe, est une sécante qui a deux points communs avec la courbe; mais à mesure que .r diminue, les distances M'N', MN , etc., entre ces points d’intersection, diminuent; et lorsqu’enfin on suppose x = o , auquel cas la valeur de y devient y = zh o , les deux points d’intersection se réunissent au point A, et la droite AY est dite tangente à la courbe. Fig. 4-7- On reconnaîtrait de même que, dans la courbe discutée au n° 77 et ayant pour équation y*— x 2 = 4, d’où, résolvant par rapport à x, on tire x=±\fy 2 — 4, la droite IK., parallèle à AX, et située à la distance y— 2 , est une sécante dont les deux points d’intersection sont venus se réunir au point B. Line courbe étant ordinairement regardée comme un polygone d’une infinité de côtés infiniment petits que l’on nomme les éléments de la courbe, ou comme la trace d’un point qui change à chaque instant de direction , on peut encore dire que la tangente à une courbe est un des éléments de cette courbe, prolongé indéfiniment. C’est ainsi qu’on l’envisage dans la haute analyse ; mais ici nous la considérerons comme une sécante dont deux points d’intersection AVEC LA COURBE SE RÉUNISSENT EN UN SEUL ; et c’est ce caractère que nous allons traduire en analyse. Fig. 64- 100. Prenons une sécante quelconque SM ms à la courbe M'MM" rapportée à des axes rectangulaires ou obliques AX, AY ; et désignons par x', y ', les coordonnées du point M, par x ", y'\ ou x' h , y' -+- k , celles du point m. L’équation de la droite M/n rapportée aux mêmes axes sera -y — y — y' = j t {x — x ')'> le rapport '-p --, ou —, qu’on appelle le coefficient d’inclinaison, ou coefficient angulaire, esl la quantité qui doit fixer complètement la position de la sécante. DE LA TANGENTE AU CERCLE. Iï 7 Concevons maintenant que la droite SM ms tourne autour du point M de manière que le point m se rapproche continuellement du point M; il est clair que, dans le mouvement, h et A diminueront simultanément, et que le rapport y passera d’une manière continue par différents états de grandeur jusqu’à ce que le point m vienne tomber en M, avant que la sécante prenne une position telle que Mm". Lorsque la coïncidence aura lieu, la sécante prendra la position-limite MT 5 et, à ce moment, le rapport atteindra lui- même la limite vers laquelle il aura sans cesse convergé. D’où l’on peut conclure que l’équation de la tangente sera h y - y ' — LIM. — ( X - x ' ) ; c’est-à-dire que le coefficient d’inclinaison dans l’équation de la tangente est lim. : limite que l’on obtiendra d’ailleurs en faisant x" — x', y"=y' dans l’équation de la sécante, après que l’on aura exprimé toutefois que les points \_x', y'], [ x ", y" ] appartiennent à la courbe donnée. C’est dans la détermination de cette limite, pour chaque courbe, que consiste la solution du problème des tangentes. De la tangente au cercle _ Propriétés qui s’y rattachent. 101. Soit d’abord un cercle rapporté à des axes rectangulaires, et à son centre comme origine des coordonnées. On a pour son équation, (i) x* -f- y 2 = r 2 . Une sécante quelconque sera représentée par l’ensemble des trois relations (0 , ï'—y'. y —y = -, i — ; X - X (=) x ' 2 -4 - y ' 2 — (3) x " 2 - t - y " 2 = mais si l’on retranche la seconde de la troisième, on a x" 2 — x' 2 y" 2 — y' 2 — o 118 on bien DE IA TANGENTE Au CERCLE. {x" -t- x') (x" — x') -+- (y"-h y') (y"—/) = o, d’où l’on déduit f-y _ x" + x' x" — x'~ y"-h y et, par suite, le système des trois relations (i), ( 2 ) et (3) peut être remplacé par celui des deux suivantes : x" -+- x' y-y=-yt+ ÿ(*-*)* x'* + y ' 2 — r 2 . Si, maintenant, on veut que x\y' soient les coordonnées du point de contact d’une tangente à la courbe, il suffît (n° 98) d’exprimer que le point \_x",y"~\ vient à se confondre avec le point [x\ y'], c’est-à-dire de poser x"—x', y"z=y'y ce qui donne y" — y h x' et l’équation de la sécante devient alors (4) r — r' = — p( x ~ a/ ^ Telle est l’équation de la tangente au cercle, pourvu que l’on y joigne la relation ( 2 ) qui exprime que le point (x\y') se trouve sur la courbe. 65. Il est aisé de reconnaître à posteriori que l’équation (4) caractérise la tangente au cercle en un point M dont les coordonnées son t x' et y 1 . En effet, tirons le rayon OM dont l’équation, par rapport aux mêmes axes, est y y' d 011 voit que les deux coefficients angulaires f et-, sont liés par la relation a. a' -f- 1 = o. Ainsi, la droite SMT représentée par l’équation (4) est perpendiculaire à l’extrémité du rayon OM ; donc elle est TANGENTE en CC point. Lorsque les axes sont obliques, les calculs nécessaires DE LA TANGENTE AU CERCLE. 11 9 pour la détermination du coefficient angulaire de la tangente sont un peu plus compliqués. L’équation du cercle est alors (,n° 74), Y origine étant toujours placée au centre , x 2 4- y" 1 4- 2 xy cos 9 — o , celle de la sécante conservant la forme s-S = C—K (*-*)■ X — X On a d’ailleurs pour les deux relations qui expriment que les points (x 1 ,y 1 ), ( x ", y") sont sur la courbe, et y' 2 4- a;' 2 H- i xi y' cos 9=o y" 2 + x" 1 4- 2 x"y" cos 9 = o. Retranchant ces deux égalités l’une de l’autre , on trouve y"- — y'* -(- x" 2 — x' 2 4 - 2 cos 9 (x"y" — x 1 y') = o. Mais, pour en déduire le rapport y y - et, par suite, la limite de ce rapport T il est nécessaire de transformer le facteur x”y "— x'y' ; ce qui se fait en lui ajoutant les deux termes, — x"y'-\- x"y', qui se détruisent. Il vient ainsi x" y" — x'y' = x" ( y" —y') + y'{x" — x'), et l’égalité précédente se change en celle-ci, y'" 1 — y‘ ' 2 4- x" 2 — x' 2 4- 2 cos 9 [ x" (y" —y') +f(x"—x')]±! o , d’où, en divisant par x" — x 1 , (y" -y') J —( x "-h ar')4-2COs9 Ix" . -f-/'\ = o, X \ JC — x J équation qui donne r" x" -y ( x" 4 - x' 4- 2 y' c.os 9 ) y" 4- y' 4- 2 x" cos 9 1 et passant à la limite , ce qui revient à poser x" = x' et r" = y\ ou lirn. — = h - y cos I x" — x' h y' 4 - x' cos 9 Donc enfin, on a pour l’équation de la tangente, , x'+y' cos 9 - x' cos 9 O. I 20 DE LA TANGENTE Au CERCLE. en y joignant la relation nécessaire x n + y' 1 -+- 2 x'y' cos 6=o. 102. Remarque importante. En se reportant aux principes de l’Analyse algébrique, on reconnaît que les coejji- 3C X^ j cos 0 dents angulaires, - -,i -- -•> ne sont autre chose & ’ y' y +■ri cos 6 que les quotients de la division de la dérivée prise par rapport à x et en signe contraire, par la dérivée prise par rapport à y, du premier membre de l’équation du cercle, mise préalablement sous la forme x’ 1 -h y 1 — d — o, ou x 2 -I- y 3 -f- 2 xy cos 0 — f — o, après qu’on v a remplacé les coordonnées courantes x et y par les coordonnées x' et y' du point de contact On peut se rendre compte de ce fait d’une manière générale en observant : Que, toutes les fois que l’équation de la courbe est de la forme y =/(•*,b y étant au premier degré, et f(x) exprimant une fonction entière de x , qui, par conséquent, ne peut jamais devenir infinie pour des valeurs finies de x, la limite du rapport k - (h et désignant les accroissements des deux variables x et y ), a pour valeur f ( x) ou la dérivée de f ( x ) ; Et si l’équation de la courbe est de la forme f{x,y) représentant encore une expression rationnelle et entière en x et en y , la limite du rapport ~ est égale à _ f' x ( ,r ’ - r ) ■ f '.y (*> y} j" x (x, y) désignant la fonction dérivée de J ( x,y ), prise par rapport, à x, et,/' r (.r, y) lafonctiori dérivée de f(x, y), prise par rapport à y. Comme l’équation de chacune des courbes dont nous nous occuperons dans les chapitres suivants, rentrera dans 1 1 1 DE LA TANGENTE AU CERCLE. l’une des deux catégories précédentes, nous pourrons, pour obtenir Véquation de la tangente , ou appliquer les raisonnements qui ont été faits pour le cercle, ou faire usage des règles de l’Analyse algébrique, relatives aux dérivées. 103. Autre f orme de l’équation de la tangente. — Reprenons l’équation du cercle rapportée à son centre comme origine et à des axes rectangulaires , ainsi que l’équation de sa tangente, (l) x ‘ -y y 2 = r - Y - y ' — -; (x — y peut, au moyen de la relation x '- -)- y ' 2 = r 2 , On (3) qui est intimement liée avec celle de la taugente, faire subir à cette dernière une simplification. Chassant le dénominateur y'et transposant, on a y y' -t- x x ’ = y ' 2 -t- x ' 2 , ou , à cause de la relation (3), ( 4 ) xx ' + y y ' r équation qui ne diffère de l’équation (x) qu’en ce que les carrés a’ 2 et y 2 sont remplacés par les rectangles xx' et yy' \ ce qui rend l’équation de la tangente facile à retenir. Si l’on fait successivement y — o et x = o , dans l’équa- Fig. 66 tion (4), on obtient et y r 2 Ce sont évidemment Y abscisse OR du point de rencontre de la tangente avec l’axe des x, et Vordonnée OR' de son point de rencontre avec l’axe des y. 104. On nomme sous-tangente dans une courbe, la partie de l’axe des abscisses, comprise entre le pied de Vordonnée du point de contact, et le point où la tangente rencontre cet axe. ba sous-tangen te est geo représentée par PR; Fig. 66 122 DE LA TANGENTE AU CERCLE. et si l’on veut obtenir son expression analytique , comme on a, d’après la figure, PR = OR — OP, il en résulte à cause de la relation (3). On obtient encore Y expression de la sous-tangente en faisant y — o dans l’équation ( 2 ), non simplifiée , de la tangente. Il vient en effet. pour y = o , expression dans laquelle x — x' représente nécessairement Y abscisse OR du point où la tangente rencontre l’axe des x , diminuée de l’abscisse du point de contact, et, par conséquent, la distance PR. C’est même le moyen générai d’obtenir la sous-tangente dans toutes les courbes : Tirez de l'équation non simplifiée de la tangente la valeur de x—x’, qui correspond à y — o ; vous avez ainsi la valeur de la sous-tangente avec le signe qui convient à la position du point R par rapport au pied P de l’ordonnée du point de contact, c’est-à-dire positive ou négative suivant que le point R est situé à droite ou -à gauche du point P. lOo. De la normale. — On appelle normale à une courbe la perpendiculaire menée à la tangente par le point de contact, , et sous-normale la distance du pied de l’ordonnée du point de contact , au point où la normale rencontre l’axe des x. Pour le cercle dont l'équation la plus simple est x 1 -+- y 2 = r 2 , l’équation de la tangente étant y—y— — j, (x — x'), on a nécessairement pour 1 équation delà normale, à rai- DE LA TANGENTE AU CERCLE. 123 son de Ja relation ««'+ i = o, y —/— fr( x ~ x ')> ou, chassant le dénominateur et réduisant, yx' = y' x, équation d’une droite passant par Vorigine (n° 52). Quant à la sous-normale, il faut, pour obtenirson expression, chercher la valeur de a: — x' correspondante à y — o dans l’équation non simplifiée de la normale ; ce qui donne _ ~ _ ' * * — y ~ x ’ expression négative, parce que la distance est, d’après la définition, comme pour la sous-tangente , comptée à partir du pied de l’ordonnée du point de contact. Sa valeur absolue étant la même que cellede l’abscisse du point de contact, il en résulte bien, comme on l’a déjà reconnu, que la normale au cercle passe par l’origine. Tangente au cercle menée par un point pris hors de la circonférence. 106. Proposons-nous maintenant de mener une tangente Fig. au cercle par un point N situé hors de la circonférence ; et désignons par a , 6 les coordonnées du point donné N , en conservant x ', y' pour les coordonnées inconnues du point de contact. Puisque la tangente est assujettie à passer par le point [a, 6], son équation est (n° 58) de là forme (0 7 —ê —a{x — a), a, ou le coefficient angulaire, ayant pour expression—— ; et il s’agit de déterminer x' et y' pour reporter leurs valeurs dans l’expression de a. Or l’équation simplifiée de la tangente étant (n° 103) xx' -+- y y' = on a nécessairement la relation ( 2 ) ax' -F 6 y' = r‘, puisque cette droite doit passer par le point [a, 6 ]. DE LA TANGENTE AL CERCLE. 1 »4 D’ailleurs, le point [x 1 , y' J se trouve sur la courbe ( x* ■+■ y 1 = r 1 ) ; ce qui donne une seconde relation (3) ri' -y /*— r 2 ; les équations ( 2 ) et (3) peuvent donc servir à déterminer les inconnues x' et y'. On tire de la relation ( 2 ) , r 2 — a x ! —g- : d'où, substituant dans la relation (3) et ordonnant par rapport à x\ (a 2 -t-ë 2 )x' 2 — lr-zx' =z r 2 £ 2 — r‘, ou, résolvant et simplifiant, r (ra ifc (5 \/a 2 -+- ë 2 —r 2 ) a , + g, Si l’on remplace x' par sa valeur dans l’expression de y' en x'-, il vient, toute réduction faite, Donc, r(r% Zf.a.fx 1 + ë 2 — r 2 ) a 2 -f- e- ra dz p ^a 2 •+■ ë 2 — r 2 rëqz a V^a 2 -f- ë 2 — r 2 (les deux signes supérieurs se correspondant ainsi que les signes inférieurs). > Fig. 66. Ce résultat prouve, i° que par le point N on peut, en général, mener deux tangentes 2 0 que le problème serait impossible si l’on avait a 2 -f- ê 2 < r 2 , c’est-à-dire ON 2 < r 2 , ou CFN O; donc le point donné ne peut pas être pris à l’intérieur du cercle. L'hypothèse -f- S 3 — ri = o réduirait la valeur de a à et le point donné serait le point de contact lui-mème. Pour fixer géométriquement la position du point (x' , y'), 12 '.) DE LA TANGENTE AL' CERCLE. il faudrait construire les valeurs obtenues pour ces coordonnées 5 mais comme elles sont assez compliquées, on peut avoir recours aux lieux géométriques (n° 89). 107. Premier mode de construction. — Reprenons les Fig. équations 2 ) ax' ëy' = r-, ,3) qui ont servi à déterminer x' et y'. En retranchant la première de la seconde, on obtient > 4 ) — «F +/ 1 — Sy / = o, équation qui peut être substituée à la première ; et si 1 on construit par rapport aux mêmes axes, chacune des équations (3) et (4) considérées comme renfermant deux variables x', y 1 , les points d’intersection des deux lieux géométriques seront les points de contact demandés. D’abord, l’équation (3 ), en tant que x' et_j ' sont ici des variables, représente le cercle déjà construit. Quant à l’équation (4), qui est évidemment comprise dans l’équation générale du n° 8 o, comme elle-peut être mise sous la forme elle représente une circonférence de cercle dont le centre a pour coordonnées -, —, et qui a pour rayon ^ -+- S-. Or, si l’on joint le point O au point donné N, on a d’où OL ou OP 2 a —, 2 S 2 01 = - l/a ! -t-ê 2 . 2 Donc, la circonférence décrite sur OA comme diamètre , est le lieu géométrique de Véquation ( 4 ). Ainsi les points M, M', où les deux circonférences se coupent, sont les points de contact, qu’on joint au point A pour obtenir les tangentes demandées . DE LA TANGENTE AU CERCLE. I 2 6 Il est à remarquer que cette construction est précisément celle qu’on donne dans les Éléments de Géométrie. 68. 108. Second mode de construction. — En opérant directement sur les équations (a) et (3), on est conduit à une propriété très-remarquable. L équation (3) représente toujours le cercle donné. L’équation ( 2 ), étant du premier degré en x', y', représente une ligne droite ; et comme les points où elle doit rencontrer la circonférence ne sont autre chose que les points de contact., il s’ensuit que cette droite peut être considérée comme la ligne de jonction des points de contact. Afin d’en fixer la position , faisons successivement dans l'équation ( 2 ), y' = o , x' — o ; il vient r 2 pour y = o 9 x* = — ; a r 2 pour x'~o, f s= -• Le premier point y 1 — o, x' = — est le point B où la droite rencontre l’axe des x , et il s’obtient par la construction d’une troisième proportionnelle. r 2 Le second point x'=o, y'= g~ est le point G où la droite coupe l’axe des y , et s’obtient par une construction analogue. La droite de jonction des points de contact est donc la ligne BC. Or c’est ici que se présente la propriété que nous avons annoncée : La valeur x' — qui correspond ày' = o, est indépendante de l’ordonnée ê du point N par lequel on veut mener les deux tangentes ; D’où il suit que si, par un autre point quelconque JN 7 de la ligne indéfinie L1NL 7 parallèle à OY, on mène des tan- DE LA TANGENTE AD CEUCLE. I27 gentes au cercle donné, la droite qui joint les deux points de contact rencontre l’axe des x au même point B. Et, en effet, en appelant a et 6'les coordonnées du point IN', on aurait pour l’équation de la droite M 77 M 777 , a x' -+- &y' = /•% qui, pour y' — o, donnerait encore r 2 a/ = - = OB. a Observons d’ailleurs que, l’axe OX étant une droite menée à volonté dans le plan du cercle donné, la droite LL', qui lui est perpendiculaire , peut elle-même être regardée comme tracée d’une manière quelconque dans ce plan, puisqu’on pourrait toujours, après avoir tracé cette dernière ligne arbitrairement , prendre pour axe des a:, la perpendiculaire abaissée du centre sur cette ligne. On arrive ainsi au théorème suivant : Si, des différents points d’une droite quelconque et indéfinie LL', on mène des tangentes à un cercle , toutes les droites qui joignent les points de contact des deux tangentes partant d'un meme point, se réunissent en un même point B, qui se trouve placé sur la perpendiculaire abaissée du centre O sur la droite LL 7 . Le point B est ce qu’on nomme le pôle de la droite LL', qui, à son tour, est appelée la polaire du point B (*). T 2 T N. B. — 11 résulte de l’expression x'=— = r. -> que toutes les fois que la droite LL 7 est extérieure au cercle, auquel cas on a a j> 7’, le point B est intérieur. Si, au contraire, là droite est sécante à la courbe, comme on a alors a < r, d’où — r, le point de concours des a 1 lignes qui joignent les points de contact est extérieur. (* ) On trouve, dans le Traité de Géométrie élémentaire de M. Vincent, un grand nombre de propriétés fort curieuses du pôle et de la polaire d’un cercle donné. PROBLÈME SUR LES LJEUX GÉOMÉTRIQUES. I 9.8 Problème sur les lieux géométriques . 109. Nous terminons ce chapitre par la résolution d’un problème sur les lieux géométriques. Étant donnés deux points A et B, trouver un autre point M tel que, si ou le joint aux points A et B, l'angle AMB formé par ces deux lignes de jonction soit égal à un angle donné A . Prenons pour axes la ligne AB et la perpendiculaire élevée par le point K, milieu de AB. Nommons d’ailleurs 7.x' la distance AB. La droite BM, assujettie à passer par le point B, dont les coordonnées sont y = o, x = x', a pour équation (1) y = a (x — x'). On a de même pour l’équation de la droite AAI, assujettie à passer par le point [y = o, x = — x' ] , ( 2 ) y-, a' (x + x')-, et comme, d’après l’énoncé , ces deux droites doivent lor- mer un angle donné V, les quantités a et. a' sont ( n° fi- ) liées entre elles par la relation (3) a —a' 1 4 - aa' tang V. En donnant à a une valeur arbitraire, ce qui fixerait !a position de la droite BM, on tirerait de l’équation (3 ) une valeur correspondante pour qui déterminerait aussi la position de la droite AM ; et le point d’intersection de ces deux droites serait une réponse à la question qui, par sa nature , est indéterminée, puisque l’on n’a que trois relations entre quatre inconnues x, y, a’el a'. Mais si, entre les équations ( 1 ), ( 2 ) et (3), qui existent en même temps pour un point quelconque AI du lieu géométrique, on élimine a et a', l’équation résultante en x et y sera nécessairement 1 ’ équation du lieu géométrique, puisqu’elle exprimera une relation entre les coordonnées de chacun de ses points. Or, pour effectuer cette élimination, il suffit de rempla- PROBLÈME son LES LIEUX GÉOMÉTRIQUES. 129 cer dans l’équation (3) les quantités a et a' par leurs valeurs tirées des équations (i) et ( 2 ). 11 vient, par la substitution , y y x — x' x x' I -(- ■ y = tangV; d’où, chassant les dénominateurs et réduisant, 2/ (4) y* — tang V y — x ' 2 — o, équation d’une circonférence de cercle (n° 85), dont le centre [p, < 7 ,] , a pour coordonnées (p — °> 1 = y j 1 et qui a pour rayon x' 1 - r =-— ■ J 1 tans 2 V • tang Y y b Mais, comme l’hypothèse y — o, donne d'où o, et qu’ainsi la circonférence se trouve assujettie à passer par les points A et B, il est clair que le cercle sera déterminé i 5 , dès qu’on aura construit sur l’expression f t 7 = tang V qui fixe la position du centre. Pour construire cette expression , faites au point B un angle ABL égal à l’angle donné V,- puis, élevez en ce même point, BO perpendiculaire à BL. Le point O d’intersection avec KY sera le centre du cercle cherché. Car le triangle rectangle OBK donne de' OK = BK X tang OBK = BKX cot ICBL =-—• D tang V Cette construction est précisément celle qu’on donne dans les Éléments de Géométrie, pour décrire sur une droite un segment de cercle capable d'un angle donné. x' Discussion. — Tant que l’angle Y sera aigu, —-—- sera positif ■ et le centre du cercle sera situé au-dessus de AB. Âp. de l'AK à la 0. 9 UES FROISLÈMES INDÉTERMINÉS. i 3 o Fig. 69 . Mais si l’angle Y est obtus, tang V est négatif ) par suite, — —— est aussi négatif, et le centre se trouve placé au- dessous de AB. Soit Y = go°, d’où „ x ' tang V = co et -— = o. e tang V L’équation (4) sc réduit alors à X 1 -+~J ' 2 = x ' 1 et représente une circonférence décrite sur AB comme diamètre. Soit encore V = 0 , d’où tangV = o, les expressions x' x ^ tangV’ tan deviennent infinies ; et le cercle lui-même , d’une grandeur infinie. On doit d’ailleurs observer, dans le cas général, que tous les points de la partie supérieure AMB de la circonférence donnée par l’équation (4), satisfont à l’énoncé, et que, pour la partie inférieure AM'B, ce n’est pas l’angle AM'B, mais son supplément AM'H qui est égal à l’angle donné. On a, en effet, pour cet angle, -ÿ + tang 5 V, d’où Mais AM'H = M'AB + ABM', tang AM'H tangM'ÂB 4 - tang ABM' 1 — tang M'AB. tang ABM'. tang M'AB = — tang GÀX — — a', donc tang AM' H = — n' 4- a 1 + aa' tang ABM' = a -, a — a' 1 aa' Ainsi, c’est bien pour cet angle AM'H que l’équation (3) est satisfaite. 110. Remarque générale sur les problèmes indéterminés. En réfléchissant sur la manière dont la question précédente a été résolue, on voit que, pour obtenir l’équation d’un lieu géométrique , il faut commencer par établir des 1)HS FR0BLÈMES IN DÉTEBMINÉS. I 3 I équations entre les coordonnées x et y d’un quelconque de ses points, et d’autres quantités qui varient aussi avec la position de ce point. Le nombre de ces équations doit être moindre d’une unité que le nombre des variables , y compris x et y ; et ces équations une fois formées, on élimine les variables autres que x et y. L’équation résultante est l’équation demandée, puisqu’elle exprime une relation entre les coordonnées d’un point quelconque du lieu géométrique, et des quantités connues. Mais il importe de choisir convenablement les axes auxquels le lieu géométrique doit être rapporté, afin d’obtenir des constructions simples et faciles. En général, les équations se réduisent, i° à celles de deux lignes droites ou de deux circonférences dont les points d’intersection appartiennent au lieu géométrique cherché, ces équations renfermant, outre les coordonnées x etjy, deux autres quantités qui varient avec la position du point 5 2 0 et à une relation entre ces deux dernières variables, immédiatement fournie par l’énoncé. S’il arrive qu’il y ait trois ou quatre variables à éliminer, on doit avoir alors une ou deux relations de plus. Ces observations trouvent leur application dans la résolution des questions suivantes que nous proposons comme exercices : i°. Etant donnés deux points, trouver le lieu géométrique des points tels, que la somme ou la différence des carrés des distances de chaque point de ce lieu aux deux points donnés soit égale à un carré donné; 2°. Un cercle et un point étant donnés sur un plan, si par ce point on tire autant de droites qu’on voudra , et que par les deux points d’intersection de chaque droite avec la circonférence, on mène des tangentes, 011 demande le lieu géométrique des points de rencontre de ces tangentes considérées deux à deux. îh i3a TRANSFORMATION DES COORDONNÉES. CHAPITRE II. § I. Transformation des coordonnées. — § II. Notions PRÉLIMINAIRES SUR LES COURBES DU SECOND DEGRÉ. - § III. Réduction, par la transformation des coordonnées , de l’équation générale du second degré a DEUX VARIABLES. § I. — Transformation des coordonnées. 111. L’une des questions les plus importantes de la géométrie analytique est celle de la transformation des coordonnées. Si l’on jette les yeux sur les équations de la ligne droite et du cercle, et que l’on considère ces lignes dans les diverses situations qu’elles peuvent avoir par rapport à deux axes, on reconnaît qu’une même ligne peut être représentée par une équation plus ou moins simple, selon sa position à l’égard des axes et suivant que les axes eux- mêmes sont rectangulaires ou obliques. Ainsi, l’équation la plus générale de la ligne droite étant y = ax b, celle d’une droite passant par l’origine est ï — ax, a ayant, dans l’une et l’autre de ces équations, une acception différente, selon que les axes sont rectangulaires ou obliques ,• Et l’équation d’une parallèle à l’un des axes est x — a ou y == b. De même, l’équation la plus générale du cercle étant (x — pY+ {y — qY -+- 2 {x — p) [y— q) cos 0 = r 5 , celle du cercle rapporté à deux axes rectangulaires menés par son centre, est On conçoit donc que, lorsqu’une courbe est déjà fixée TRANSFORMATION DES COORDONNÉES. l33 de position sur un plan par le moyen d’une équation, si l’on s’aperçoit que cette courbe est dans une situation plus simple par rapport à deux nouvelles droites que par rapport aux axes primitifs, il est bon, pour faciliter la recherche de ses propriétés, de chercher à déduire l’équation de la courbe rapportée aux nouveaux axes, de l’équation de la même courbe rapportée aux premiers. Tel est le but qu’on se propose dans le problème de la transformation des coordonnées, lequel peut s’énoncer ainsi : Étant donnée Véquation d'une courbe rapportée à deux axes quelconques, trouver l'équation de la même courbe rapportée à deux nouveaux axes. 112. La transformation la plus simple est celle qui a pour objet de passer de l’équation d’une courbe rapportée à un système d’axes rectangulaires ou obliques, à l’équation de la même courbe rapportée à un système d’axes parallèles aux anciens. Soient AX, AY, deux droites par rapport auxquelles Fig. une courbe M'MM" est fixée de position parle moyen de l’équation (1) f[x,y) — o, et A' X', A! Y' deux autres droites respectivement parallèles aux premières. Appelons x\ y' les nouvelles coordonnées d’un point quelconque M de la courbe, n, b les coordonnées de la nouvelle origine A! rapportée aux anciens axes, coordonnées qu’on doit supposer connues. On a évidemment, d’après la figure, les relations AP == AB -+- BP = AB -+- A' P', ou x = a -4- x', PM = PP'-f- P'M = A'B -f- MP', ou y~b + y'; et si l’on substitue ces valeurs de x et de y dans l’équation (i), on aura une nouvelle équation ( 2 ) f(x',y’) = o qui fixera la position de la courbe par rapport aux nouveaux axes. Coin me application de cette première transformation de coor- transformation des coordonnées. I 34 données, prenons l’équation du cercle rapporté à des axes rectangulaires quelconques, savoir (n°70) {x — />)*-}- (y — qY= r\ et posons x — x' + p, j r—y'+q; il vient x'’ + /'= r\ Telle est (n°74) l’équation du cercle rapportée à son centre et h des axes rectangulaires. De même, si l’on pose x=x'-hp — r, y=y'-+-q, l’équation {x -/>)*+ (y — t/Y-r* devient (x' — r y^-y ,2 = r% ou réduisant, y'^—lrx’ — x' 2 (n°75). C’est l’équation du cercle, quand l’origine est placée à l'extrémité (Fun diamètre. 113. Traitons maintenant la question générale, savoir: Passer cTun système de coordonnées obliques à un autre système de même espèce et d'origine différente. Fig. ” 1 . Soient AX, AY les anciens axes, et A 1 X', A' Y' les nouveaux; AP et MP sont les coordonnées, x , y, d’un point quelconque, M, de la courbe rapportée aux premiers axes; A'P' et MP' sont les nouvelles coordonnées, x\ de ce même point. Menons A'X ff et P'H parallèles à AX, puis A' Y" et P K parallèles à AY, en prolongeant A , Y // jusqu’à sa rencontre en 13 avec AX. Faisons d’ailleurs AB “ a , A' B = b, X'A'X":= a , Y'A'X"=a' cl Y" A' X" ou YAX = 6; .•7, b. sont des quantités connues, puisqu’elles ne sont autre chose que les coordonnées de la nouvelle origine, qu’on suppose donnée de position par rapport aux anciens axes; il en est de même des angles a , a', que chacun des nouveaux axes forme avec l’ancien axe des .r, et de l’angle 6. qui est égal à l'angle YAX des anciens axes. transformation des coordonnées. i35 Cela posé, la figure donne évidemment AP ou x — AB 4- BP =:« + A'K + P'H, MP ou ^ = A'B-+-ML=è4-P'K + MH; ainsi, tout se réduit à déterminer A'K, P'K, P'H et MH. Or, on a dans les triangles A'P'K, MP'H, en vertu d’un principe connu de Trigonométrie, i”. A'K: A'P' :: sin A'P'K : sin A'KP'; ou, à cause de A'P'K = P'A' Y"= 6 — x, et à cause de A'KP' = A'LM = 18 o° — MLX" = x 8o°— 0 , x' sin (0 — a ) A' K : x' : : sin ( 9 — a) : sm 9 ; d ou A K =-:—--; ' ' ' cir» Q 2 °. P'K : A'P':: sin P'A'K: sin A'KP'; doit P'K = — sin 9 3°. P'H: MP' : : sin P' MH : sin P' HM ; ou, à cause de P'MH = Y'A' Y" = 0 — et à cause de P'HM — A'LM = t8o°— 0, Y f sin (0 — a'} P'H : r':: sin (9 — a'): sin 9; d’où P'H=-- , J ' ' sin ô 4°. mh : MP' sin MP'H : sin P'HM; d’où MH y' sin a' sin 9 Donc, en portant ces valeurs dans les expressions de x, y, on obtient x' sin (9 — a) + r' sin (9 — a ) -!--L- L + a , sin 9 x' sin a + r' sin a' -r—^- \-b. sin 9. Telles sont les formules les plus générales de la transformation des coordonnées, dont il est facile de déduire les formules particulières correspondant à toutes les positions de la nouvelle origine et aux différentes directions des nouveaux axes par rapport aux anciens, en donnant à a, b, des valeurs convenables, positives ou négatives, et aux angles x , a', toutes les valeurs depuis o° jusqu’à i8o°, sans que a et a' puissent recevoir simultanément la même valeur. Quant à l’angle 0, il est toujours donné à priori, puisque c’est l’angle des anciens axes. Nous nous contenterons d’indiquer ici les cas principaux. *36 TRANSFORMATION DES COORDONNÉES. I-ic. 70. - 114 . Premier cas. — Les deux nouveaux axes sont parallèles aux anciens ,• c’est le cas déjà considéré au n° 112. On a alors a — O et a! — 6 , ce qui donne sin (0 — a) =r sin 0 , sin (0 — a') = o, sin a= o , sin a' = sin 0 ; ainsi les formules se réduisent à x=x'-t-a, y = y'-+-b; résultats conformes à ceux trouvés précédemment. Fig. 72. 115 . Deuxième cas. — On propose de passer d’un système rectangulaire à un système oblique. Dans cette hypothèse, il suffit de faire 0 = 90», d’où sin 0 = 1 , sin(0— a) = cos a et sin(0 — a') = cos a'; et les formulent deviennent ( 3 ) x = x'cosa -y jd cosa' -+- a, y =x' sin a+y'sin a-h b. Fig. 73 . H 6 . Troisième cas. — Passer d’un système rectangulaire à un système aussi rectangulaire : c’est un des cas les plus usités. On a 0 =90°, a' ou Y'A' X" = Y'A' X' -+- X'A' X" = 90° -+- a ; d’où sin 0=i, sin (0 — a) = cos a, sin(0 — a') = sin (90° — 90° — a) = — sin a, sin a' = sin ( go° -+- a ) = cos a ; et l’on obtient pour formules correspondantes, x = x' cos a — y' sin a -f- a, y = x' sin a y J cosa -H b. N. B. — O11 déduit ce dernier cas du deuxième, en y faisant simplement a! = 90°+ a , ce qui donne cosa' =— sin a et sin a' = cosa. TRANSFORMATION DES COORDONNÉES. i3 7 117. Quatrième cas. — Passer d’un système oblique à Fig. -j4- un système rectangulaire. Il suffit de faire dans les formules générales a.' ou Y'A'X" = go° +«; d’où sin a' = cos a, sin ( 0 — a! ) = sin ( 0 — go° — a ) = — sin [go°— (0 — a)] = — cos(0 — a). Ces formules deviennent alors (5) .z'sin(0— a ) r'cos(0 — a) x =--- ‘-r-y- - 2 -' +«. sin 0 x' sin a -f -y' cos a sin 0 + b. 118. Chacun des trois systèmes précédents peut être obtenu Fig. 7 4- directement au moyen de la figure; mais nous nous contenterons de rechercher celui qui correspond au dernier cas. Soient toujours menées par les points A' et P', A'X" et P'H parallèles à AX, puis A' Y" et P' K parallèles à AY. Il résulte de cette construction, AP ou x = AB 4 - A'K — P' H, MP ou y = A'B+P'K+MH. On trouve d’abord, comme dans le problème général, A'K — X ' et P 'K = ^. sin 0 sin 0 D’un autre côté, le triangle MP'H donne i°. P' H : MP' 1 : sin HMP' : sin MHP' ; ou, comme HMP'= Y'A' Y"=Y'A' X'— Y"A' X' = 90° — (0 — a), P' H : y' : : cos (0 — a ) : sin 0 ; d’où P' H — ^ cos -ü) ; v ' sm 0 Mil ; MP' :: sinMP'H ; sin MHP'; 2 ". mais MP' H r= MP' A' — HP' A' == 90° — XA' X" = 90° — a ; ainsi Y ? COS OC MH : y' : : cos a : sin 0 ; d’où MH = - sin 0 Donc enfin _ x' sin ( 0 — a ) — y' cos (0 — a) X -. -;----f- d , sin 0 ’ transformation des coordonnées. i38 Dans le second et le troisième cas, les triangles À'P'K, MHP', sont rectangles, et la détermination des lignes A'K, P'K, P'H et MH, n’en est que plus facile. 119 . Enfin, si, dans les formules générales et dans celles qui en ont été déduites, on suppose a=oetJ = o, on obtiendra de nouvelles formules qui correspondront au cas où l’on veut changer seulement la direction des axes, sans déplacer l'origine. Ainsi, S x z= x' cos a -t- y’ cos a' 1 x = x 1 cos a — y' sin a j y = x' sin a -H y' sin a' \ y ■= x' sin a y' cos a ) 5 sont les formules propres à faire passer d’un système rectangulaire à un autre système oblique ou rectangulaire de meme origine. En général, on distingue deux espèces principales de transformation de coordonnées, le déplacement de l’origine et le changement de direction des axes. Lorsque la question exige cette double transformation, il y a souvent de l’avantage à ne les exécuter que successivement; nous en verrons bientôt des exemples. 120 . Nous terminerons cette théorie générale par l’examen de deux cas particuliers : Fie. 75. i°. On peut demander de passer d'un système oblique YAX à un système rectangulaire XAY', l’origine restant, la même, et l’axe des x restant aussi le même. Dans ce cas, on a a ■=. O , b = O, a = o, a.' — 90°; d’où l’on tire sin a = o, sin a! = 1, sin ( 0 — a ) = sin 0 , sin ( 0 — a' ) = — cos 0 ; et les formules (1) se réduisent à y' x = x' — r'cotQ, et r = —.— =r , cosccO. J J sin 0 y On fait usage de celles-ci lorsqu’une courbe étant rapportée à nn système d’axes obliques, on veut rendre le système rectangulaire. Fig. 76. 2°. On peut, en conservant le même système d’axes, TRANSFORMATION DES COORDONNÉES. exiger que l’axe des y' se confonde avec celui des x, et réciproquement. Dans ce cas, on doit avoir a' = o et a = 0 ; d’où sina = sin0, sina'=o, sin(0 — a)=o, sin (0 — a')=rsin0. On a, en outre, a = o , b = o ; ainsi, les formules (i) se réduisent à x — y ' et y = x' ; ce qui est d’ailleurs évident, car on ne fait ici que changer les dénominations des axes. 121. On tire de là cette conséquence : Lorsque les équations de deux courbes sont telles, que la seconde est composée en y et x comme la première l’est en x et y, les deux courbes sont identiques. Car on passe de l’une à l’autre équation en changeant x en y, et, réciproquement, y en x. Il n’y a réellement, dans ce cas, que la position de la courbe par rapport aux axes qui soit renversée. 122. Première remarque. — Comme, pour une même question, on a souvent besoin d’effectuer successivement plusieurs transformations de coordonnées, nous conviendrons de supprimer les accents dans les seconds membres des formules relatives à ces diverses transformations; c’est- à-dire que nous désignerons toujours par x et y les anciennes et les nouvelles coordonnées, quoique leurs valeurs et leurs positions soient différentes ; mais l’emploi successif des formules suffira pour indiquer que la courbe, étant rapportée à un premier système, se trouve ensuite rapportée à un second, à un troisième, etc., système. Ainsi, pour passer d’un système oblique ou rectangulaire a un système de coordonnées parallèles , nous ferons dans l’équation de la courbe, x — x 4- a et y — y -y b , les x et y du second membre désignant les coordonnées rap- l4o NOTIONS PRÉLIMINAIRES SIÎR LES COURBES DU 2 e DEGRÉ. portées aux nouveaux axes, dont l’origine a d’ailleurs a et b pour ses coordonnées rapportées aux anciens axes. De même, pour passer d’un système rectangulaire à un système oblique de même origine, nous poserons x ■— x cos a -tr y cos a! et y = x sin a 4- y sin a'. Cette convention a pour but de simplifier l’écriture des calculs en évitant la multiplicité des accents. 123. Seconde remarque. — Les quantités a , b, a, ot\ qui entrent dans les formules, sont des constantes dont les valeurs fixent la position de la nouvelle origine et les directions des nouveaux axes par rapport aux anciens dont l’angle est exprimé par 0. Elles doivent être regardées comme connues et données à priori, toutes les fois qu’on veut rapporter la courbe à de nouvelles lignes dont la position par rapport à cette courbe a été reconnue plus simple que celle des anciens axes. Mais il arrive souvent qu’on exécute une transformation de coordonnées, avec le dessein d’introduire un changement déterminé dans Véquation de la courbe, par exemple, pour faire disparaître certains termes. Dans ce cas, a, b, a , a! , sont des constantes, indéterminées pour le moment, que l’on tâche ensuite de calculer de manière qu’il en résulte les simplifications exigées. Quant à l’angle 0, on ne peut pas en disposer, puisque c’est l’angle des deux axes primitifs, lequel est toujours donné à priori. Le nombre des termes à faire disparaître de l’équation, indique le nombre des indéterminées à introduire dans le calcul, et, par suite, le système de formules dont il faut faire usage. Ces remarques s’éclairciront par les applications nombreuses que nous aurons à faire des formules précédentes. § IL — Notions préliminaires sur les courbes nu second DEGRÉ. Afin de présenter la théorie des courbes du second degré d’une manière simple et tout à fait élémentaire, nous commencerons par rechercher les équations de trois courbes NOTIONS SUR L ELLIPSE. i4i dont chacune jouit d’une propriété qui lui est particulière. Nous ferons voir ensuite que ces courbes sont les seules que puisse représenter une équation quelconque du second degré à deux variables. De VEllipse. 124. On demande l'équation d’une courbe telle que, Fig. si Don joint chacun de ses points M à deux points fixes F et F', la somme des distances FM, F'M, soit égale à une ligne donnée 2 A. Cette courbe est ce qu’on nomme une ellipse-, les points F, F', en sont dits les foyers, et l’on appelle rayons 'vecteurs les distances FM, F'M. Nous verrons plus loin la raison de ces dénominations. Pour construire cette courbe d’après sa définition, prenons d’abord le milieu O de la distance FF', et, à partir de ce point , portons la moitié de a A , de O en B, et de O en A ; les points A et B appartiendront à la couibe. U résulte, en effet, de cette construction, OB —OF ou FB = OA — OF' ou F'A, c’est-à-dire FB = F'A ; donc, i°. FB + F'B = F'A-t-F'B = 2 .A, 2 0 . F'A + FA = FB 4- FA = 2 A. Ensuite, si des points F, F', comme centres, avec un rayon égal à A, l’on décrit deux circonférences qui se coupent en C, D, ces deux points d’intersection appartiendront encore à la courbe ; car on aura évidemment FC+F'C = 2A et FD 4- F'D = 2A. Ces points se trouvent d’ailleurs sur la perpendiculaire à la droite AB, élevée du point O. Pour obtenir des points intermédiaires , marquez sur AB et entre les points F, F', un point quelconque L; puis des points F' et F comme centres , et avec des rayons respectivement égaux à AL, LB, décrivez deux circonférences qui se coupent en M, w; vous aurez deux nouveaux points de la courbe. NOTIONS SUR L ELLIPSE. l 42 Fig. 77. En effet, la construction donne ■ i°. F'M +FM = AL+LB = 2A, 2 0 . F'm + Fra = 2A. Ces points sont symétriquement placés par rapport à AB. De même, des points F, F', comme centres, et avec les mêmes rayons AL, LB, décrivez deux circonférences ,• vous obtiendrez encore deux nouveaux points IYF, /«', qui seront, avec les points M, m, dans une position symé- trique par rapport à la ligne CD. Cela est évident. Après avoir ainsi déterminé une série de points suffisamment rapprochés les uns des autres , on pourra les joindre par une ligne continue AC BD A qui sera la courbe demandée. N. B. — Pour que la construction puisse s’effectuer, il faut que la distance des centres FF' soit moindre que la somme des rayons ou 2 A, et en même temps plus grande, que leur différence. Cette dernière condition exige que le point L soit entre F et F'. Car, prenons, par exemple, un point L'qui soit placé entre F et B; on aurait AL' > AF et L'B < FB ; d’où l’on déduirait AL' — L'B > AF — FB ou > AF — F'A ou > FF' ; donc la distance FF' serait moindre que la différence des rayons AL', L'B; et, par suite, les deux circonférences décrites seraient intérieures l’une à l’autre, sans se couper. 125 . On peut construire l’ellipse d’un mouvement continu, ainsi qu’il suit : Fixez aux points F et F', par le moyen de deux épingles , un fil dont la longueur soit égale à 2 A. Faites ensuite glisser un style ou un crayon qui tienne ce fil toujours tendu; et la courbe se trouve tracée quand l'instrument mobile a fait deux demi-révolutions, l’une au-dessus de LF', et l’autre au-dessous. NOTIONS SUR L ELLIPSE. l4^ Si l’ellipse doil être tracée sur le terrain, on se sert d’un cordeau d’une longueur égale à 2A, et de trois piquets dont deux fixent les extrémités du cordeau aux points F, F', et le troisième sert à tracer la courbe, en tenant le cordeau toujours tendu. 126 . L’ellipse étant ainsi déterminée de forme et de po- Fig. 77. sition, recherchons son équation , c’est-à-dire une relation entre les coordonnées de chacun de ses points l’apportés à deux axes fixes. Comme, d’après la construction précédente, la courbe se compose de points symétriquement placés par rapport aux lignes AB, CD, il convient de prendre celles-ci pour axes. Soient OP = x, MP — y, FM = z , F'M = z', FF'=ac, d’où OF = OF' = c. O11 a d’abord, pour les équations des deux circonférences qui ont leurs centres en F, F', et dont la rencontre détermine le point M , (1) y 2 + ( x — c Y = z \ ( 2 ) y 2 -4- (x + c) 2 = z' 2 . En outre, la définition même de la courbe donne l'équation de condition (3) z + z'= 2 A; et si, entre ces trois équations, on élimine z et z', l’équation résultant en x, y, sera (n° 110) l’équation cherchée. Pour y parvenir facilement, ajoutons entre elles et retranchons l’une de l’autre les équations (1) et (2), il vient ( 4 ) o. y* -+- 2 x 1 4 - 2 c 1 — z' 2 z 1 , (5) 4 ex = z' 2 — z 2 ; mais celle-ci revient à (z'-4-z)(z' — z) = 4 c - r > 0,1 2 A(z' — z) — d’où l’on tire , 2 ex i44 Or, on a déjà donc NOTIONS SUR L’ELLIPSE. z' -f- z = 2 A ; ex ex — et z — A-- A A Substituant ces valeurs dans l’équation (4), on trouve y 2 -I- x 1 -+- e 2 = A 2 H-— ) A 2 ou, chassant le dénominateur et ordonnant, A 2 r 2 +(A 2 - C 2 )* 2 = A 2 (A 2 - C 2 ). D’après ce qui a été dit précédemment, on doit avoir FF' ou 2 c 2 A ; donc b} — c 5 est essentiellement positif ) et si l’on pose A 2 — c 1 — B% l’équation prend la forme ( 6 ) A 2 j 1 4 - B 2 x 2 = A 2 B 2 Telle est I’équation la plus simple de l’ellipse. ic. 77 . 127. Cette équation étant résolue par rapport à y, puis par rapport à x, ce qui donne A 2 —* = ± ^v'B 2 -r 2 , i°. On reconnaît que la courbe est symétrique par rapport aux axes OX, OY, puisque chacun d’eux divise en deux parties égales toutes les cordes telles que M m, MM', menées parallèlement à l’autre; 2 °. Comme pour y — o on trouve x =z ± A., et pour x = o f = ±B, il s’ensuit que la courbe rencontre l’axe des x aux points A, B, et 1 axe des y aux points C, D, pour lesquels on a évidemment OC = OD = B = \/ A 2 — c‘ ; 3°. L’hypothèse x=A ou x = — A, réduisant la double valeur de y à une seule, y = zh o, on peut (n°99) en NOTIONS SUR L’ELLIPSE. 14^ conclure que la courbe est tangente en A et B aux deux droites RS, R'S', menées parallèlement à l’axe des y\ De même, y — l] ou y = — B donnant x = rh o, la courbe est tangente en C et Daux deux droites RR', SS' parallèles à l’axe des x. Comme, d’ailleurs, il est visible que, dès qu’on suppose t>A ouy>B, la valeur correspondante de y ou de x est imaginaire , il s’ensuit que la courbe, tangente aux quatre côtés du rectangle RSS'R', est entièrement comprise dans ce rectangle. 128. Si l’on évalue la distance du point O à un point Fig. quelconque (x, y) de la courbe, on a pour expression de cette distance, D = \/ x’-K/’ï ou, mettant poury 2 sa valeur 5. a 2 — x 2 ), A En faisant x = o, on trouve d’abord D = B ou OC. A mesure que a: augmente, la quantité D augmente; et elle acquiert son maximum lorsqu’on donne à x la plus grande valeur possible, qui est x — A ; d’où l’on tire / A 2 — B 2 D — i/B 2 +——-À 2 = A ou OB. Ainsi, la plus petite distance du point O à la courbe, est OC, et la plus grande , OB; en d’autres termes, CD est la plus petite corde qu’on puisse mener par le point O, et AB la plus grande. Cette ligne AB ou a A est non-seulement la plus grande corde passant par le point O, mais encore la plus grande de toutes les cordes de l’ellipse. Car, soit IK une corde quelconque ; si l’on joint le point O aux points I et K, le triangle OIK donne IK < 01 H- OK ; mais on vient de voir que chacune des distances 01, OK, Ap. de VA1. a l(i G. O "n-jb NOTIONS SLR l’elLIPSE. est moindre que OA ou QB ; donc, à plus forte raison, l’on a IR < OB -4- OA , ou < AB. Fig. 77 . 129. Le point O jouit de la propriété de diviser en deux parties égales toutes les cordes qui y passen t. En effet, soit MO m' une quelconque de ces cordes, représentée par l’équation y — ax. Combinons cette équation avec celle de la courbe A 2 B 2 x = A 2 B 2 , en remplaçant dans celle-ci y par sa valeur, ce qui donne il vient (A 2 n 2 -t- B 2 ) x = A 2 B 2 - r _ ±AB ±ABæ l/À 2 a 1 + B 2 ’ J ~ \/A 2 a 2 -t- B 2 Ces valeurs de x et dey qui expriment les coordonnées des points d’intersection, M, m , delà droite avec la courbe étant respectivement égales et de signes contraires, les distances OP, OP 7 et MP, m' P', sont égales. Donc les deux triangles OPM, OP 'm\ sont égaux et donnen t OM = O né. 130. On nomme, en général, centre d’une courbe, un point situé dans le plan de cette courbe, et tel que toutes les cordes menées par ce point y sont divisées en deux parties égales. De cette définition et de la propriété qui vient d’être démontrée, il résulte que le point O est le centre de l’ellipse. Son caractère analytique est que, si des valeurs a:', y’, satisfont à l’équation de la courbe rapportée à son centre comme origine, les valeurs— x', — y ', satisfont également , ou, en d’autres ternies, cpte cette équation ne change pas lorsqu’on y change a: en — x , et y en —y. Les deux lignes 1 A , 2 B, ou AB, CD, ont reçu le nom A’axes principaux. O 11 les appelle encore premier axe et second axe, ou bien, grand axe et petit axe. NOTIONS SUR L ELLIPSE. 147 Les points A, B, sont dits les sommets du premier axe, et les points C, D, les sommets du second axe. L’équation A 2 y 2 B* a ; 2 = A 2 B 2 est l’équation de l’ellipse rapportée à son centre comme origine et à ses axes principaux comme axes des coordonnées. 131 . Supposons que, dans la recherche d’un lieu géométrique rapporté à des axes rectangulaires, on soit parvenu à l’équation M j 2 + Na' ! = P, M, N, P, étant des quantités essentiellement positives. Faisons successivement, dans cette équation, y — o et x = o ; il en résulte pour y = o , et pour x — o Cela posé, soient \/l= A - s/- d’où N l’équation ci-dessus devient, par la substitution, ou, réduisant, A 2 y ' 2 -h B 2 x 2 = A 2 B 2 . D’où l’on voit que l’équation proposée est celle d’une ellipse dont les axes principaux sont 2 ,, y i> y iyi ou, en d’autres termes, sont le double de la valeur de x correspondant à y ~ o, et le double de la valeur de y correspondant à x — o. P Connaissant les deux axes 2 A, 2 B ou 2 M’ pour obtenir les foyers, on a recours à la relation qui donne B 2 = A 2 — c 2 , c — ±^A 2 — B 2 . X 48 NOTIONS SUR l’eLLIPSE. Fig. 78. Soient pris sur deux lignes indéfinies à angle droit, OB = OÀ = A et OC = OD = B; puis du point C comme centre , avec un rayon égal à A, décrivons un arc de cercle qui coupe AB en deux points F, F'; ce seront les foyers. Car on a OF' = OF = VCF — O C = ^A 2 — B 3 Comme, par rapport à l’équation Mj’+ Ni ! = P, 011 a il s’ensuit que P P A ’=S “ b ’=m’ v/s-W- P(M — N) MN N. B. —Puisque, dans toute ellipse, on doit avoir a A > 2 B, il faut supposer Ü>K’ N - S’il en était autrement, c’est-à-dire si l’on avait M<^ N, on changerait (n° 121 ) y en x et x en y. Par là, l’équation deviendrait N/ ! +M x 1 = P, et représenterait encore une ellipse, qui aurait pour premier axe, 2 \J ^, et pour second axe 2 • Avant la transformation des coordonnées, la courbe est dans la position indiquée par la fig. 79 5 mais après , elle prend, par rapport aux nouveaux axes, la position qu’on lui donne ordinairement {fig- 77). 132. Soit, comme cas particulier, M = N; l’équation se réduit alors à P J 5 + æ 2 = —, c’est-à-dire à l’équation d’un cercle ayant v/m i”"' kotions sur l’ellipse. i 49 rayon-, la quantité c, ou , devient nulle ainsi les deux foyers se réunissent au centre. Le cercle peut donc être regardé comme une ellipse dont les deux axes i A, 2 B, sont égaux , et dont les deux foyers viennent à se confondre. 133. Enfin, connue nous aurons souvent besoin de ramener une équation telle que M y* -1- N x 7 — P, à la forme A J y 2 -t-B 2 x 3 = A 2 B% nous indiquerons un procédé simple et facile pour y parvenir. Soient multipliés les deux membres de la première équation par un facteur indéterminé h 5 il vient M hy 1 -f- N hx‘ l = P h. Mais, pour que cette équation ait la forme demandée,, il faut que l’on ait P h = M h X N h = MN. /P ; d’où l’on déduit a = -L. MN Donc il suffit de multiplier les. deux membres de la proposée par le quotient du second membre divisé par le pro,- duit des coefficients de y 2 et de x 2 . Cette multiplication donne et, par suite, A 2 = P N’ P p P 2 N J M MN ’ : A 3 — B 3 = P( M — N) MN Prenons pour exemple l’équation 5/ 2 *+- 3 x 2 = 6. On trouve, en multipliant par „ ou - 1 1 1 5 X 3 5. sy-■+■ ^ .r 2 19 . i5o donc NOTIONS SUR L HYPERBOLE. A =^ 2 , B = ^\/3o, c = ^y/5. O O Soit encore l’équation 3/ 2 + = 5. 5 5 Multipliant par ou —-, on obtient 3x4 ‘2 ’5,5 25 4 3 12 ou (n° 151 , N. B.), changeant y en x et réciproquement, donc 5,5 25 3 ^+^=-; A=iv^5> 3 = 1^5, * = g^5- De VHyperbole. Fig. 8o. 134. On demande l’équation d’une courbe telle que, si l'on joint chacun de ses points M à deux points fixes F, F', la différence des distances F'M, FM, soit égale à une ligne donnée i A. Cette courbe est ce qu’on appelle une hyperbole ; les points F, F', en sont les foyers , et l’on nomme rayons vecteurs les lignes FM, F'M. Commençons par indiquer un moyen de construire cette courbe. Prenez à partir du point O, milieu de FF', deux distances OA, OB, égales AA; les deux points A et B appartiennent à la courbe. En effet, il résulte de cette construction, BF = AF', d’où AF — AF' = AF — BF = 2 A, et BF' — BF = BF' — AF' = a A. Les points A, B, sont nécessairement situés entre F et F' ; car autrement, ce serait la somme des distances de chacun de ces points aux points F et F', et non leur différence qui serait égale à 2 A. Ainsi a A doit être donné moindre que FF'. NOTIONS SUR LHYPERBOLE. Pour obtenir d’autres points de la courbe , marquez sur la ligne OF et à droite du point F, un point quelconque L , puis des points F', F comme centres, avec les rayons AL, BL, décrivez successivement deux circonférences qui se coupent en M, m; vous obtiendrez ainsi deux points de la courbe; car, en joignant le point M, par exemple, aux points F', F, vous avez F'M — MF = AL — BL = 2 A. De même, des points F, F' comme centres, et avec les memes rayons, décrivez encore successivement deux circonférences ; vous aurez deux nouveaux points M', m', qui seront, avec les points M, m, symétriquement placés par rapport à la droite OC perpendiculaire sur AB. Cette construction exige que le point L soit situé à la droite du point F; car s’il était en L', comme on aurait BL' BF, il s’ensuivrait AL' + BL' ou AB + 2 BL' < AB - 4 - 2 BF , ou y B J — A 3 n 3 et, par conséquent, ± AB a y = v'B 3 — A 3 n 3 11 résulte de là que OP= OP', et MP = m' P'; par suite les deux triangles OPM, OP'/«' sont égaux, et l’on a OM = O ni’. Ainsi l’équation A 3 j 3 — B 3 x — — A 3 B 3 NOTIONS SUR L HYPERBOLE. 130 représente uneliyperbole rapportée à son centre comme origine et à ses axes principaux comme axes des coordonnées. 138. Remarque importante .—On voit que les valeurs ? précédentes de x et de y ne sont réelles, c’est-à-dire qu’une droite menée par le centre ne rencontre la courbe qu’autant que l’on a B 2 B ! — A’ a J ]>o, ou —• Si l’on fait JJ B 1 —A î a î =o, d’oit a = dt — ; A les valeurs de x et de y deviennent infinies ; ce qui prouve que les deux droites correspondantes, dont l’une est située au-dessus de l’axe des x, l’autre au-dessous, rencontrent l’hyperbole à une distance infinie. Construisons les deux droites B B y = - x *, qui méritent une attention particulière. Pour cela, soit achevé sur les deux axes AB ou 2 A et Fie. 8o. CD ou 2 B, le rectangle R'RSS'; on a évidemment BR = BS = B ; d’où B B tang BOR = -» tang BOS =--• A A Donc les droites OR, OS, meuées par le point O et par les points R , S, sont les deux droites demandées. Nous verrons dans les chapitres suivants quel parti l’on tire de ces droites dans la théorie de l’hyperbole; nous nous bornons, pour le moment, à les considérer comme deux lignes de séparation des droites passant par le centre, qui rencontrent la courbe d’avec celles qui ne la rencontrent pas, propriété résultant de ce que nous avons dit en commençant ce numéro. Lorsque l’hyperbole est équilatère (n°130), c’est-à-dire lorsque l’on a B = A , les tangentes trigonométfiques des B B angles BOR, BOS, ou - et- 5 se réduisent à 4-i et A A — 1 ; donc ces angles sont chacun de 4o degrés, et les deux droites, OR, OS sont perpendiculaires entre elles. ROTIONS SIR L HYPERBOLE. 139 . Supposons maintenant qu’on ait obtenu pour l’équation d’un lieu géométrique M je 2 — N x 2 = — P, p et multiplions (n° 133 ) les deux membres par il vient Celte nouvelle équation comparée à celle de l’hyperbole, d’où A donc la proposée représente une hyperbole dont le premier axe est 2 y/^5 et le second axe, 2 y/-^* La relation B 2 = e 2 —A 2 donne c = ± + B 2 ; d’où, mettant pour A et B leurs valeurs, 'P(M-f-N) Fig. 81. Pour fixer la position des foyers, connaissant les axes, prenez sur deux droites rectangulaires , puis élevez au point B une perpendiculaire BD égale à 13 , et tirez OD. La circonférence décrite du point O comme centre, avec le rayon OD, coupera AB eu deux points, F, F’, qui seront les points demandés . Car on a \Jh? + B’ N. B. — 11 est remarquable que cette construction donne en même temps la direction OD de l’une des droites limites (n° 138 ) ; quant à la seconde, on l’obtient en prolongeant 1 )B d’une quantité BD' = BD, et tirant OD'. NOTIONS SlIIl LA PARABOLE. i5y 140. Si l’équation était de la forme Mjy 2 —Nx ! = -4- P, on changerait y en x et x en y , ce qui donnerait Njr 2 — Ma ; 2 = — P; et l’équation n’en serait pas moins celle d’une hyperbole, qui aurait pour premier axe , 2 y/j^’ el P our second axe, 2y/-|* Avant la transformation, la courbe a la position indiquée par la fig. 82; mais après, elle reprend la position de la fis - 80 • Multiplions les deux membres de l’équation proposée, P ar ^ ’ U vient P 2 _ P a _P 2 N y M X ~ MN ’ d’où, en posant - = B 2 , — = A 2 , B 2 j 2 — A 2 a ; 2 = A 2 B 2 . Telle est la forme que prend l’équation de l’hyperbole rapportée à son centre et à ses axes principaux lorsque son axe non transverse est pris pour axe des x. On en déduit r = ± g \/^ 2 + B2 ; ce qui prouve qu’à toute valeur de x correspondent des valeurs réelles de y. Pour x=o, l’on a 7 = ±A; et celle valeur est le minimum de toutes celles que peut recevoir y. De la Parabole. 141. Trouver Véquation d’une courbe telle, que la dis- Fig. tance de chacun de ses points M à un point F (appelé foyer ), soit égale à la distance de ce même point M à une droite fixe DD' appelée directrice. Voici d’abord le moyen de construire par points cette courbe connue sous le nom de rar abot.e. KOTIOKS SUR LA PARABOLE. 158 Après avoir abaissé du point F une perpendiculaire sur DD', prenez le milieu A de la distance FG; et le point A appartient à la courbe, puisque les deux distances AF et AG sont égales. Ce point est dit le sommet de la parabole. Pour obtenir d’autres points, élevez en un point quelconque P pris vers la droite de A , une perpendiculaire à GF ; puis du point F comme centre, avec le rayon GP, décrivez uti arc de cercle qui coupe la perpendiculaire en deux points M, m; vous aurez ainsi deux points de la courbe; car il résulte de cette construction, FM == F m = GP = MQ= m 8 . D’où l’on voit que la parabole se compose de deux parties AM' M, Am' m, symétriques par rapport à GX. Elle peut être aussi décrite d’un mouvement continu. Fie. 84. Prenez une équerre dont l’un des côtés de l’angle droit Qft soit assujetti à glisser suivant la direction DD'y fixez aux points F et Y les deux extrémités d’un Jil dont la longueur soit égale au second côté QV de l’équerre y faites ensuite mouvoir cette équerre le long de DD ', en ayan t soin de tenir le Jil tendu au moyen d’un style ou crayon qui s'appuie constamment sur QY. La trace de ce style sera nécessairement une parabole. En effet, pour une position queleonqudiQRV del’équerre, on a FM 4- MV = MQ + MV ; d’où FM = MQ. Lorsque l’équerre est arrivée dans une position Q'R' V', telle que O'Y' passé par le point F, le fil se replie sur lui- même de F en A , et le point A est le sommet de la courbe; car on a FA + AV' = AQ' 4- AV' ; d’où FA = AQ'. Pour tracer la partie inférieure de la courbe, il suffit de renverser la position de l’équerre. JS. B. — Ce procédé ne donne qu’une portion de la courbe; cette portion qui se termine au point V" pour lequel on a FV" = V"Q" = VQ, MOTIONS SIJII LA PARABOLE. ID9 est d’autant plus grande cjue le côté QV de l’équerre a plus de longueur. C’est probablement ce moyen de description qui a fait donner à la droite DD' le nom de directrice. 142. Recherchons actuellement I’équation de la parabole. Nous prendrons pour axe des x la ligne GF, qui divise Fie. la courbe en deux parties égales, et pour origine le point A qui appartient à la courbe. Soient x , y, les coordonnées AP, MP, du point M, z la distance FM, et p la distance FG ; d'où AF = AG = - et GP = - + *. 2 2 La circonférence décrite du point F comme centre avec le rayon FM, a pour équation (1) r >+^.r—^=z’; mais on a l’équation de condition FM = PG, ou ( 2 ) z = ,r —t— - • Eliminant z entre ces deux équations, on trouve pour l’équation de la courbe, j 2 -F (.r — ^ ’ ou, réduisant, ( 3 ) 7 2 = 2 px. Telle est l’équation de la parabole rapportée à ses axes principaux. AX est dit le premier axe principal, et AY le second. On déduit de cette équation , y = ±sjipx-, d’où il suit que la courbe s’étend indéfiniment et la droite de l’axe des y , tant au-dessus qu au-dessous de l’axe des X. Et comme, pour x — o , on a J = ±o, celte courbe est tangente en A à l’axe des y. LIAISON DES TROIS COURBES. 160 143. On nomme paramètre le coefficient de x, 1 c’est-à-dire le double de la distance du foyer à la directrice. Ce paramètre est encore égal à la double ordonnée qui passe par le foyer. Car, d’après la définition de la courbe , on a FN = NH = I G ; ce qu’on vérifie, d’ailleurs, au moyen de l’équation (3), qui, pour x = donne jr 2 = /? 2 , d’où y = ±p. Liaison des trois courbes. 144. Quoique la parabole semble, d’après sa définition, n’avoir aucune analogie avec Y ellipse et Y hyperbole, on peut établir un rapprochement entre la première courbe et les deux autres, au moyen d’une transformation de coordonnées exécutée sur les équations de ces deux dernières. Fig. 77 . Rapprochement entre l’ellipse et la parabole. —Repre* nons l’équation de Vellipse (1) A 1 y 2 + B’i ! = A 2 B 2 , et proposons-nous- de rapporter cette courbe au sommet A comme origine, en conservant la meme direction pour les axes. Pour cela, il faut faire usage des formules (n° 114) x = x a, y — y -y b en y faisant b = o, a — — A; ce qui les réduit à x = x—A, y=y, c’est-à-dire qu’il suffit de remplacer x par x — A dans l'équation ci-dessus, en laissant y tel qu’il est. Il vient, par cette substitution , A 2 y - -y B 2 x 2 — 2 AB 2 x = o ; d’où l’on déduit (2) y 2 = ^ (2 Ax— x 2 ). C’est l’équation de l’ellipse rapportée h son sommet de gauche, pris pour origine. LIAISON DES TROIS COURBES. l6l Cela posé, cette équation peut être mise sous la forme ou bien, en faisant (3) y 2 = 2 px -— x 2 . A Or, si l’on suppose que les deux quantités A et B croissent indéfiniment, de manière cependant que la quantité B 1 p ou — reste constante (cela est permis d’après la relation B 2 — = p, dans laquelle, après avoir pris pour p une valeur A. fixe et déterminée, on peut donner à A différentes valeurs, et calculer ensuite une valeur correspondante pour B), il est clair que, dans cette hypothèse, plus A augmente, plus le terme diminue ; et lorsqu’on suppose A = co , il en résulte ~ — o. A Donc l’équation (3) se réduit alors à y 2 = a px, qui n’est autre chose que l’équation d’une parabole. D’où l’on peut conclure que la parabole est une ellipse dont le grand axe est infini, ou dont le centre est situé à l’infini. 145. Rapprochement entre la parabole et l’hyperbole. Fig. 8 o. 11 faut rapporter cette dernière courbe à son sommet de droite B, ce qui revient (n° 114) à porter x -f- A à la place de x dans l’équation A 2 j 2 — B 2 * 2 = — A 2 B 2 . Elle devient ainsi A 2 y 2 — B 2 x 2 — 2 AB 2 x — o ; d’où i- H- B* ou, en posant, comme pour 1 ellipse, — = p , (2 Ax + x 2 ) ( 4 ) 2 px + A/J. de l Al. à ht (l LIAISON DES TROIS CODRBES. i6a Actuellement, faisons augmenter A et B de manière que p reste constant ; il vient pour A —ce, ~ ~ o, A et l’équation (4) se réduit à y- = %px. Dans ce cas, la seconde branche, le centre et le second sommet, disparaissent, ou sont situés à Y infini. 146. Conclusion importante. — Il résulte de ce qui vient d’être dit, que les trois courbes peuvent être,. en général, représentées par l’équation y‘ = 2 px + qx‘. Lorsque la courbe est une parabole, on a <7 = o; et l’équation se réduit à y* — a px. Si c’est une ellipse, on a 2 P 2B 1 ~ l’origine des coordonnées étant supposée au sommet de gauche. Enfin, dans le cas de Vhyperbole, on a 2 P = 2 B 2 ?!  7 ‘ Par analogie avec la parabole, on nomme paramètre de 2 B 2 . l’ellipse ou de l’hyperbole, la quantité 2 p ou —qui forme le coefficient de a: dans l’équation de la courbe rapportée à l’un de ses sommets. * • , - 4 B J Cette quantité, qui peut etre mise sous la forme ou ? B , n’est aqjpe chose qu’une troisième proportionnelle au premier et au second axe. C’est aussi, comme dans la parabole, le double de l ordonnée qui passe par le foyer. LIAISON DES TROIS COURBES. i63 Car si, dans l’équation de Vellipse (n° 144) B 2 , , r ■- p (2 A.r — x 2 ), on fait x = A ±c (ce qui est l’abscisse de l’un ou de l’autre des foyers), on trouve ■> = ^ (A 2 - c 2 ) = d ou x = ±-. Même résultat pour Y hyperbole. N. B. — Cette dernière propriété peut servir à faire reconnaître la position des foyers. 147. Autre manière d’établir la liaison qui existe Fig. 85. entre les trois courbes. — On demande l’équation d 'une courbe telle, que la distance de chacun de ses points, M, à un point fixe, F, soit avec la distance de ce meme point M à une droite DD' aussi donnée de position, dans un i apport connu, m : i ; en sorte que l’on ait MF : MQ :: T» : i, m désignant un nombre absolu quelconque, , = , ou i. Construction de la courbe d’après cette définition. —Du point F abaissons FG perpendiculaire sur DD', et divisons la distance FG dans le rapport ml i, à partir du point F ; le point A ainsi obtenu appartient nécessairement à la courbe. Pour en obtenir d’autres, marquons un point quelconque P sur la droite indéfinie GFX, et élevons en ce point une perpendiculaire; puis du point F comme centre, avec un rayon égal à m. GP, décrivons un arc de cercle qui coupe la perpendiculaire en M et M' ; ces points appartiendront à la courbe, puisque l’on a par construction FM = GP . m ~ MQ./w ; d’où l’on tire MF : MQ II m l i; et ainsi de suite. Equation de la courbe. — Prenons pour axe des x la droite GFX, par rapport à laquelle la courbe est symétrique, et pour axe des y la perpendiculaire élevée au point A qui, comme nous l’avons vu, est un point de la courbe. i(ï4 io. 85. Soient I.tÀTSON DES TBOTS CO TUBES . > II H » FM = a, AF— «J d’où AG = a — 9 m puisque 1 l’on a AF : AG : : m : i . Cela posé, l’équation delà circonférence qui a son centre en F, et pour rayon, FM ou z , est C) r 3 -t-(x — a)’=z’; de plus, on doit avoir FM : mq ou gp :: m : i, a ou z : x -(- m î ; m d'où (a) t — mx + 3t. Ainsi, , en éliminant z entre ces équations, on obtiendra (nMlO) l'équation demandée. Il vient, toute réduction faite, (3) ,v*+(*—«*’) a 3 —ii(i+«)i = o. 148. Dtsccssios. — L’équation (3) est privée du terme indépendant d’«r et d'y $ et cela doit être, puisque, la courbe passant par l'origine A, il faut que l’équation soit vérifiée par le système [x = o, y = o]. ‘ V.vaminons successivement les circonstances qui correspondent aux trois hypothèses m<^i,m=i,m^>i,en commençant par le cas le plus simple. Soit m = i. L’équation (3) se réduit à = 4 «a-, et est immédiatement comparable avec „ v*=afw- II sntfit de poser > 4 « — ■? le second, - 2 -— dm* — î, et le paramètre, m — i m — i ' ' i a (m ■+■ i). Fig 85. L’hypotlièse x = oc (ou AF), donne d’ailleurs B 2 y = ± a [m 4- i) = ± — ; A ce qui prouve que, comme pour la parabole etl’ ellipse, le point F esl un foyer àc la courbe. La construction des axes et du second foyer s’exécuterait comme pour Y ellipse. Toutefois, il faut observer qu’elle doit s’opérer de droite à gauche par rapport au LIAISON DES TROIS COURBES. point F 5 car si l’on faitjy' — o dans l’équation., il vient 2 a [ 2 a \ -- x -f- x 2 = o, ou x I-1- x = o > m — i \m — i / ce qui donne 2 a x = o et x — -— • m — i On trouve ainsi le centre O', le second sommet IV et le second foyer F". 151. La droite DD 7 porte dans chacune des trois courbes le nom de directrice. Parabole. y 2 = 2 px. Fig. 83 Il suffit, pour obtenir cette directrice, de prendre à la gauche du point A, une distance AG = AF — puis d 'élever au point G une perpendiculaire à l’axe des x. Ellipse. jk 3 = 2 Ax— x 2 ), Fig. 77 l’origine étant supposée (n° 144) en A, et le point fixe en F 7 . Comme on a trouvé (n° 149) B 2 „ A 2 —B 2 c 2 c — = 1 — m 2 , cl ou m 2 = ——— = —■> et m — — > A 2 A 2 A 2 A on voit que le rapport constant m : 1 est représenté géométriquement par celui de OF 7 à OA. D’où il suit (n° 147) que la distance du point A à la directrice est une quatrième proportionnelle aux trois lignes OF 7 ou c, OA ou A, AF 7 ou A — c. Construisant cette ligne exprimée par la quantité A (A — c) -, c et la portant de A en G 7 vers la gauche du point A, on obtiendra le pied de la directrice (qu’on s’est dispensé de tracer sur la figure). On a d’ailleurs, pour la distance OG 7 du centre à la directrice, OG' = OA. + AG 7 A (A — c)_A 2 : — 1 C qui, n’étant autre chose qu’une troisième proportionnelle à c et A, peut être facilement construite. l68 RÉDUCTION, PAR LA TRANSFORMAT. DES COORDONNÉES, Il est en outre évident, à cause de la symétrie de l’ellipse par rapport aux axes principaux, qu’il doit exister deux directrices de part et d’autre du centre, aux distances AG 7 , A J A 2 AG, exprimées par — — et H - Hyperbole. — On parviendrait à des résultats analogues pour cette courbe. Mais il faut remarquer que les pieds des deux directrices doivent être situés entre les deux sommets de l'hyperbole, tandis que, pour l'ellipse, ils sont situés sur les prolongements de AB. 152. — Remarque . On trouve dans les caractères m i, rn = i, m i, la raison des dénominations attribuées aux trois courbes : L’hypothèse m<^ x donne l 'ellipse, ou la courbe par dérfaut. L’hypothèse m — x donne la parabole, ou la courbe par égalité. L’hypothèse m i donne Vhypeibole , ou la courbe par excès. Ces dénominations peuvent encore se déduire de l'équation = 2 ]>X qx 2 , suivant que l’on a -7 o, p étant constant pour les trois hypothèses. § III. — Réduction, par la transformation des coordont NÉES , DE l’ÉQUATION GÉNÉRALE DU SECOND DEGRÉ A DEUX VARIABLES. 153. jNous allons laire voir maintenant que 1’ellipse, I’iiyperbole, et la parabole, telles que nous les avons déli- nies précédemment, sont les seules courbes qui puissent être représentées par l’équation générale du second degré à deux variables A j 2 + B xy -f- C x 2 -t- D/ + E x -(- F = o. Il semble, au premier abord, difficile de concevoir qu’il puisse y avoir identité entre toutes les courbes comprises DE l’éQUATIOJV GÉNÉRALE Dtt SECOND DEGRÉ. 169 dans cette équation et les courbes dont les équations sont de la forme M je 2 -+- N x 1 — P, ou je 2 —Qa:, la première désignant une ellipse ou une hyperbole , suivant que M, N, P, sont positifs à la fois (n° 131), ou bien, que M est positif, N négatif, et P négatif ou positif (n os 139, 140) ; la seconde étant immédiatement comparable à l’équation, y 1 = 2 px , de la parabole. Mais observons que, si dans les deux équations précédentes , on met à la place de x et dey, les valeurs x = x cos a -+- y cos a' a , y = x sin a -H y sin a! -+- b , au moyen desquelles (n° 115) on passe d’un système rectangulaire à un système oblique d’origine différente, l’équation qui en résulte est de même forme que l’équation complète. Or, il est évident que cette transformation de coordonnées n’a pas changé la nature de la courbe; seulement, comme les nouveaux axes se trouvent dans une situation quelconque à l’égard de la courbe, l’équation qui la représente est plus compliquée que lorsque cette courbe est rapportée à ses axes principaux. Voyons donc si, par des transformations de coordonnées, on ne pourrait pas simplifier l’équation la plus générale et la ramener à l’une ou l’autre des deux formes cj- dessus. Telle est la question qu’il s’agit d’examiner. 154. Remarquons, avant tout, que rien n’empêche de supposer que la courbe soit primitivement rapportée à des axes rectangulaires ; car s’il en était autrement, on pourrait (n° 120), en conservant la même origine et le même axe des x , les rendre rectangulaires, et l’équation résultante étant de même forme que la proposée, serait celle sur laquelle on aurait à opérer. Cela posé, reprenons l’équation (■) Ajy 2 + Bxy + Cx 1 + Dje +Ear + F ~ o, tachons d abord défaire disparaître le terme en xy. I70 RÉDUCTION, PAR LA TRANSFORMAT. DES COORDONNÉES, Pour cela, nous aurons recours aux formules x — x cos a — y sin a, y — x sin a 4- y cos a, au moyen desquelles (n° * 119 ) on passe d’un système rectangulaire à un système de même espèce, Y origine restant la meme. L’angle a est ici une indéterminée (n° 123 ) qu’il s’agit de calculer d’après la condition que l’équation transformée soit privée du rectangle xy , c’est-à-dire que le coefficient de ce terme soit nul. En substituant ces valeurs de X et de y dans l’équation (y), ordonnant, et égalant à o le coefficient de xy, on obtient pour Y équation de condition, 2 A sin a cos a 4 - B cos 2 a — B sin 2 a — 2 C sin a cos a = o , et pour Y équation transformée, (2) M y 2 4- Na- 2 4- R y -t- S# 4 ~ F = o, dans laquelle on a fait, pour plus de simplicité, M = A cos 2 a — B sin a cos a 4- C sin 2 a, N = A sin 2 a 4- B sin a cos a 4- C cos 2 a, R = D cos a — E sin a, S =Dsin a 4- E cos a. [La quantité F est la même dans l’équation (2) que dans l’équation (1)]. Mais Yéquation de condition pouvant s’écrire (A — C). 2 sin a. cos a 4- B (cos 2 a — sin 2 a) = o , devient, en vertu de relations trigonométriques connues, (A — C 1 sin 2 a 4- B cos 2 a — o ; d’où l'on déduit B tang 2a = _ r=1: . Or, une tangente pouvant passer par tous les états de grandeur, et môme être infinie, il s’ensuit que l’angle a. est susceptible de détermination, quels que soient les coefficients A, B, C. Donc, il est toujours possible de faire disparaître le terme en xy, tant que A, B, C, D, E. F, ont des valeurs DE l’ÉQUATION GÉNÉRALE DU SECOND DEGRÉ. 1 y 1 Soient AX, AY, les axes primitifs ; pour obtenir les nou- Fig. veaux axes, menons par le point A une droite AL qui formeavec l’axe des x un angle ayant pour tangente , —^ ; ce qui revient à prendre une’partie AG = i, puis à élever une perpendiculaire GH = ——expression que nous supposons, pour fixer les idées, avoir une valeur positive (*). Divisons ensuite cet angle LAX en deux parties égales par la ligne AX' ; cette dernière droite sera le nouvel axe des X , et AY', perpendiculaire à AX', le nouvel axe des y. N. B. — La relation B tarig 2« = - -—y; ? correspondant à deux angles différents, 2 a, 180 0 -+- 2 a, il semble qu’011 puisse prendre à volonté pour notivel axe des x, la bissectrice de l’angle LAX, ou celle de l’angle i8o° + LAX. Mais observons que, les angles, ^LAX et 90° - LAX, ont pour différence 90 degrés ; en sorte que, si l’une de ces droites est prise pour le nouvel axe des x, l’autre doit être prise pour le nouvel axe des y^ et réciproquement. Ainsi, il n’y a réellement qu ’un seul système d’axes rectangulaires par rapport auxquels l’équation de la courbe peut être débarrassée du terme en xy. On convient, d’ailleurs,de prendre pour l’angle 2a le plus petit des deux angles donnés par l’expression de tang 2 a. ISS. Cette première simplification de l’équation géné- (*) Tant que les coefficients A, B, C, D, etc., ne reçoivent aucune valeur particulière, il est impossible de déterminer le signe dont telle ou telle fonction de ccs quantités qu’on suppose réelles.et de signes quelconques , doit être affectée; mais alors il est d’usage de considérer ces fonctions comme positives. Ainsi, qu’il s’agisse de construire l’expression d’une distance à porter sur 1 un des axes, ou sur une parallèle à ces axes, on la porte dans le sens que 1 on est convenu de regarder comme positif\ De même s’il s’agit d’un angle, on le compte de droite à gauche- } et les lignes tngonomciriques sont elles- mêmes considérées comme positives. 172 RÉDUCTION, P Ali LA TRANSFORMAT. DES COORDONNÉES, raie étant opérée, calculons les valeurs de M et de N au moyen de la valeur obtenue pour tang 2 a. On a, d’après des formules trigonométriques connues, 1 . tang 2 a cos 2 a = -.-. t . , sin 2 a = — — » y1 -+- tang 2 2 a y 1 + tang 2 2 a d’où l’on déduit, en remplaçant tang 2a par sa valeur, A—C . —B cos 2 d = - , sin 2 a = —====z • y/(A— C)'+B ! y (A — C) 2 + B 2 D’un autre côté, les équations M = A cos’ a — B sin a cos a + C sin 2 a, N = A sin 2 a -4- B sin a cos a + C cos 2 a, étant d’abord ajoutées entre elles, donnent, d’après la relation cos* a + sin* a = 1, M 4 -N =A+ C. On trouve également, en les soustrayant l’une de l’autre, M — N = (A — C) (cos 2 a — sin 2 a) — B. 2 sin a cos a, ou, à cause décos 2« —cos*a—sin* a, sin2a= 2sinacosa, M — N = (A— C)cos 2a — B sin 2a; et si l’on remplace eos 2 a , sin 2 a, par leurs valeurs , M-N = . l A -- q . ± B l ; \/(A — C) 2 4-B 2 ou, supprimant le facteur \J {A — C)*+B% M — N = y\ A — , N = - i V '( A C) 2 -+- B- (*), d’où , multipliant ces deux équations membre à membre et (*' Ces expressions «le M el «te N , à cause du radical qui y entre, coin- portonl chacune valeurs qu'il sera nécessaire d imerpreler quaud uous en viendrons à des applications numériques. de l’équation générale du second DEGRÉ. 1^3 réduisant, M .n = 4AÇ-.»; = -g^:4jvç, 4 4 Ce dernier résultat prouve, i° que les deux coefficients M et N sont de meme signe ou de signes contraires, suivant que la quantité B 2 — 4 AC est négative ou. positive-, 2 0 que l’un de ces coefficients est nul toutes les fois que l’on a B 2 — 4 AC = o, et ne peut être nul que sous cette condition. N. B. — On ne saurait avoir en même temps M = o, N — o ; car il en résulterait M -t- N = o, M—N —o, et, par conséquent, A+C = o, (A— C ) 2 + B 2 = o. Or, cette dernière condition entraîne les deux suivantes : Il = o, A — C = o ; et celle-ci, combinée avec A 4 - C = o , donne A = o, C — o. Ce serait donc supposer que l’équation primitive ne renfermait aucun des trois termes en y 2 , xy , et a: 2 ; ce qui n’est pas admissible, puisqu’alors l’équation ne serait que du premier degré. 156. Complétons maintenant la réduction de Véquation générale du second degré. L’équation étant déjà débarrassée du terme en xy, essayons, par une translation d’origine, de faire évanouir les termes du premier degré en x et y. Pour cela, faisons (n° 114), dans l’équation ( 2 ) du n" 154, x = x a, y ~y+ ê; et égalons séparément à o les deux coefficients de x et de y qui résultent de cette substitution. On obtient d’abord pour les deux équations de condition , îMi + R = o, 2 N« -t- S = o, M, N, R et S étant des quantités essentiellement réelles , 174 RÉDUCTION, PAR LA TRANSFORMAT. DES COORDONNÉES, et pour Y équation transformée, Mjr s + N* ! + F' = o (en posant F' = Mé> s -+- Nn s -+- RS -f- Sa -+- F). On déduit des deux équations de condition , Or, ces valeurs de « et de S seront toujours réelles et finies tant que 3YI et N seront différents de o, c’est-à-dire (n° 155), tant que l’on aura B 2 —-4AC^o. Fie. 86. On pourra donc, dans ce cas, transporter l’origine en un nouveau point A' ayant pour coordonnées, AC = — CA' = — R aM ’ et pour lequel l’équation de la courbe, rapportée aux axes A / X // , A' Y", parallèles à AX', A Y' sera de la forme Mj i +Næ ! = P (P désignant ce que devient — F' lorsqu’on y a remplacé a et b par leurs valeurs). On pourrait avoir soit R = o, soit S = o, auquel cas b ou a serait nul, et la nouvelle origine serait située sur AX' ou AY'. Aucun de ces coefficients R, S, ne saurait d’ailleurs être infini, d’après leur composition (n° 154). Ainsi, toutes les fois que, dans l’équation complète du second degré, la quantité B ! — 4 AC est différente de o, il est possible de faire disparaître les deux termes en x et en y, et, par conséquent, de ramener l’équation primitive à la forme (3) M/ + Ni ! =P. 157. Supposons actuellement que l’un des deux coefficients M ou N soit nul, ce qui exige (n° 155) que l’on ait entre les coefficients A B, C, de la proposée, la relation B 1 — 4AC= o. DE L’ÉQUATION GÉNÉRALE DU SECOND DEGRÉ. Dans ce cas, l’une des valeurs _ _ _R_ a 2 N ’ 2 M ’ se présente sous la forme de Yinfini; et comme on ne saurait -transporter l’origine à une distance infinie, il est impossible d’exécuter la transformation proposée. Et en effet, admettons, pour fixer les idées, que l'on ait N= o. L’Équation ( 2 ) du n° 154 se réduit à M/ 1 + R/ + Sa;-t-F= o; et si l’on substitue dans cette équation les valeurs i = y —y -+- b , il vient (2MZ>-t-R)_y-|-S;r-|-]VI£’ ! -+-R£-)- S« -f- F = o. Or, le coefficient de x , dans cette équation, étant indépendant des indéterminées a et b, on ne peut disposer de celles-ci de manière à faire disparaître ce terme. Mais voyons si, dans ce cas, il est possible de faire évanouir le terme en j - et la quantité indépendante de x et dey ? Il suffit, pour cela, de poser les équations de condition , 2 Mi + R = o, Mè î -f-Rè-t-Sfl-t-F=:o; d’où l’on déduit . R M -t- R b -+- F * = * =-S-’ ou, mettant dans l’expression, de a, la valeur trouvée pour ù, . R R 2 — 4MF ~ 2M’ a ~ 4 MS De ces deux valeurs, celle de b est nécessairement réelle et finie , puisque (n°155, N. B.) on ne peut avoir M = o en même temps que N = o. Quant à la valeur de a , si le coefficient S n’est pas nul en même temps que N, elle est aussi réelle et finie. Ainsi, lorsque la disparition du terme en xy aura donné lieu à celle du terme en x i , en laissant subsister le terme en x, la transformation précédente pourra s’exécuter, et l’équation de la courbe rapportée aux nouveaux axes, sera ramenée à la forme SI r ! -f- Sx = o, lyS RÉDUCTION, PAR LA TRANSFORMAT. DES COORDONNÉES, ou plutôt à celle-ci, (4) r 2 = Q x , , , 1 V S Q étant égal a — JV. .B. — Si au lieu de N = o, on supposait M = o, H étant différent de zéro, on reconnaîtrait de même que l’équation peut être ramenée à la forme Nj:’+ Rr = o; mais en y changeant y en a: et a: en y, ce qui reviendrait (n° 121) à renverser la position de la courbe par rapport aux axes, on retomberait sur l’équation N-4- Rx = o, ou y 2 = Q.r ^en posant Q = — io. 86. 158. Les deux cas particuliers de N = o, S = o, ou de M = o, R = o, font exception à la transformation précédente, puisqu’alors la valeur de l’une des coordonnées a, b, de la nouvelle origine, se présente sous forme infinie. Mais remarquons que l’équation (a) du n° 154, reçoit alors l une des deux formes M/M- Ry + F = o, Næ’ + Sæ-!-F = o; et comme chacune de ces équations ne renferme qu’une seule variable, elle représente (n°83) un système de deux droites parallèles soit à l’axe AX', soit à l’axe A Y'. 159. En résumant tout ce qui a été dit n os 153 et suivants , on doit regarder comme rigoureusement démontré que toute équation du second degré à deux variables peut, par une double transformation de coordonnées , être ramenée à l’une des deux formes My ! + NæMP, /’ = Qx, excepté dans un cas tout particulier , celui où, par la disparition du terme en xy , le carré et la première puissance d’une même variable disparaissent également. Mais alors l’équation représente, ainsi que nous venons de le voir, un système de deux droites parallèles. On parvient à la première forme d’équation toutes les fois que M et N sont différents de o, c’est-à-dire (n°155) lorsque, dans l’équation primitive, on a B 3 — 4 AC ou o ; de l’équation générale du second degré. 177 et à la seconde forme, toutes les fois que les coefficients A , B, C, sont liés entre eux par la relation B 2 — 4 AC = o. O 11 a vu, d’ailleurs (n os 131,139 et 140), que la courbe est une ellipse ou une hyperbole suivant que M et N sont de meme signe ou de signes contraires, c’est-à-dire (n° 155) suivant que B 2 — 4 AC est négatif ou positif. D’où l’on peut conclure enfin que, dans l’équation générale A y 2 -4- B xy 4- Gx ' 1 4 - Dy -I- E«r 4- F= o, la condition B s — 4 AC o caractérise les ellipses, B 9 — 4 AC ^>0 .les hyperboles , B 9 — 4 AC = o .les PARABOLES. 100. N. B. — La dernière de ces relations donnant B = 2 y/A. y/C, les trois premiers termes A4 2 4- Bx/ -f- Car 2 de l’équation générale peuvent, dans le cas qui s’y rapporte , se mettre sous la forme {y sjk y- x y/C)’ et constituent ainsi un carré parfait. Ce caractère, qui équivaut à la condition B s —4 AC = o, est généralement plus commode dans les applications numériques, pour distinguer la parabole des deux autres courbes. 161. Variétés des trois courbes. —Les trois courbes du second degré que nous venons de reconnaître, sont susceptibles de certaines variétés qui ressortent de la discussion de leurs équations respectives. Considérons d’abord l’équation M / 2 4- N x 2 = P, dans laquelle on peut toujours supposer M positif, puisque s il était négatif, il suffirait de changer les signes des deux membres. A />. de l ’ Al . à la G . I 2 178 RÉDUCTION, PAR LA TRANSFORMAT. DES COORDONNÉES, Il peut se présenter différents cas, par rapport aux signes et aux 'valeurs numériques des autres coefficients. Ellipses . M et N positifs. Soit P positif en même temps que M et N. L’équation My s A-N x 2 = P représente (n° 181) une ellipse qui, dans le cas particulier de M = JN , devient un cercle ( n° 132 ). Le cercle est donc une première variété de l’ellipse. Si l’on a M et N positifs et P négatif, l’équation est évidemment impossible ,• c’est-à-dire qu’à des valeurs de x réelles il 11 e peut correspondre que des valeurs imaginaires pour y , et réciproquement. Donc la courbe est imaginaire, ou, en d’autres termes, l’équation n’a pas de lieu géométrique, ou ne représente rien. Soit P = o. L’équation, se réduisant à M/- ne peut être satisfaite que par le système [x — o, y = o). Donc la courbe se réduit à un point. Ainsi, les variétés de I’ellipse sont : Le cercle, une courbe imaginaire, et un point. Hyperboles .M positif, N négatif. P peut être négatif ou positif Dans le premier cas, l’équation Mj^ 2 — Nx 2 == P représente (n°139) une hyperbole rapportée à son axe transverse comme axe des x ; et dans le second ( n° 140) une hyperbole rapportée à son axe non transverse. Le cas particulier de N négatif et numériquement égal à M, donne Y hyperbole équilatère. Si l’on fait P = o, l’équation se réduit à . M y 1 — Nx ! = o; et l’on en tire Donc, dans ce cas, la courbe dégénère en un système de deux droites qui se coupent. DE L’ÉQUATION GÉNÉRALE DU SECOND DEGRÉ. I79 Ainsi, les variétés de I’hyperbole sont : l’hyperbole èqui- latère, et un système de deux droites qui se coupent. Paraboles. y s = Qx. Il peut arriver que Q soit positif ou négatif. Dans le premier cas, l’équation représente évidemment une parabole dont le paramètre, 2 p, est égal au coefficient Q. Dans le second, comme, en changeant a; en — x, l’équation J 1 — — Qx devient^ 2 = Qx, il s’ensuit quela courbe est encore une parabole; seulement, elle est dirigée daus le sens des x négatifs. Mais en pliant la figure suivant Taxe des y, on remet la courbe dans la situation ordinaire. Le cas dans lequel on suppose (n° 158) N = o, S = o ou bien M = o, R=:o, est regardé comme donnant une variété de la parabole, par la raison que M = o, ou N = o, est le caractère général de cette courbe. Les équations M / 2 -1- Rr -+- F = o, ou Nx’ + Sx + F^o, qui correspondent à ces hypothèses particulières, donnant par leur résolution y = R 7m Wr«-4mf, 2 M ou bien -±-uS’ 2 N 2 N v ■ 4 NF, il en résulte que, suivant que l’on a R 2 —— °) ou < C°> ou bien S 2 — 4^F^o, = 0 , ou <^o, l’équation représente deux droites parallèles, une seule droite, ou deux droites imaginaires. Telles sont les variétés de la parabole. 162. Mode de réduction de Véquation du second degré, qui convient au cas de B s — 4 AC <^ou)>o. — Nous avons vu (n os 154 à 156) comment, par une double transformation de coordonnées, on peut ramener toute équation du l8o RÉDUCTION, PAR LA TRANSFORMAT. DES COORDONNÉES, second degré à deux variables, à la forme M/ 2 -+- N x 2 = P, en tant que, dans l’équation primitive, A y 2 -I- Bx/4- Cx 2 4- Dy 4- Ex 4- F = o, on a B 3 — 4 A C ^ o, ce qui caractérise l’ellipse ou l'hyperbole . Mais, la méthode que nous avons exposée ayant, en général, l’inconvénient d’introduire des quantités irrationnelles àa.ns les coefficients de l’équation transformée [n a \§fy et, par suite, aussi, dans les valeurs des coordonnées a et b de la nouvelle origine, nous allons montrer qu’on peut avec avantage, dans ce cas, intervertir l’ordre des deux transformations. Reprenons, à cet elfet, l’équation (i) A/ 1 4- Bxj 4- Cx 2 4 - Dy 4- Ex -4- F = o ; et tâchons de faire disparaître, d’abord, les termes (dits linéaires ) en x et y, savoir : Dy et Ex. Pour cela, remplaçons x, y , respectivement par ,r 4- «, y 4- b \ il vient A/ 2 4- Bxy + Cx 2 4-(2A^4-Brt4-D)j"4-(2Crt4-Bi4-E)x + Ai 1 4-Ba& 4-C«’ 4-Di 4- En 4 - F = o; et puisqu’on veut que la nouvelle équation soit privée des termes linéaires, il suffit de poser 2 kb 4- B a 4 - D = o , 2 C« 4- B b 4 - E = o , et de déterminer (n° 123) a et b de manière que ces deux équations de condition soient satisfaites. Or, on obtient, par l’élimination de a, b, entre ces équations, 2AE— BD , 2 CD — BE " ~ B 2 — 4 AG ’ B 2 — 4 AC ’ valeurs essentiellement réelles et finies , puisque, par hypothèse, B* — 4 AC est différent de o. D’où l’on peut conclure que cette première transformation est toujours possible, tant que l’on a B 2 — 4 , 'f- < C ou >o. de l’équation générale du second degré. 181 L’équation transformée devient alors ( 2 ) Aj 1 -f B.r/+Cx ! + F' = o, F' ayant pour valeur A b 7 + B ab -f- Ça 5 -+- D b ■+- Ii a -4- F. Cette dernière expression , qui n’est que le résultat de la substitution de a, ù, à la place ^ x , jy, dans le premier membre de la proposée, peut recevoir une forme plus simple, à l’aide des deux équations de condition. En effet, si, après avoir multiplié la première de ces équations par b et la seconde par a , 011 les ajoute l’une à l’autre, il vient 2Aè 3 +2BrtZ> + 2Crt 2 -t-Dè-f-E« = o; d’où l’on déduit ce qui donne , , „ Dè+Ert Ab* ■+■ liab -+- C« =-î F' = F -f D b -f- Ea 163. L’équation ( 2 ) mérite une attention toute particulière. En y posant y — rnx , 011 obtient (A/)i’ + Bra + C)i: I + F' = o , d’où par suite, j '= ± V^ y — ± m y/ — F' A né + Bm + C’ A né + Era + C Ce qui prouve, comme au n° 129, que toute droite menée par la nouvelle origine des coordonnées, et terminée de part et d’autre à la courbe, est divisée par ce point en deux parties égales. Donc (n° 130) ce point est le centre de la courbe ; et l’on dit alors qu’elle est rapportée à son centre comme origine. N. B. — Dans le cas de B 5 — 4 AC == o, les valeurs des coordonnées a et h de la nouvelle origine sont infinies ; et le centre est alors situé à Y infini j résultat conforme à ce que l’on a établi au n° 144. 16 t. La première transformation étant opérée, la se- ï8a RÉDUCTION , PAR LA TRANSFORMAT. DES COORDONNÉES, conde, qui a pour, but de faire disparaître le terme en xj de l’équation ( 2 ), et qui (n° 154) est toujours possible, s’exécute de la manière indiquée dans ce numéro. Les opérations auxquelles donne lieu la double transformation sont donc , suivant la deuxième méthode, qui convient au cas de B 2 — 4 At< o, représentées dans le tableau suivant : K y- -y Bxy -y Cx 2 -y Dy -y Ex -y F = o. 2 AE — BD l0 ' a ~ B 2 — 4AC ’ Première transformée : b = 2 CD — BE B J — 4 AC ’ ky 2 B xy -t- Ci F'=F + F' : D b Ea B 2 °. tang 2 a = — -— > M = ± - ^( A — C)’ B J ï 2 2 v 2^2 ' Résultat fnal : M/’ + Ni’ + Pso, t. . 1./ D b —f- E a . , D désignant ce que devient r ou F H---apres qu on y a remplacé a et b , par les valeurs ci-dessus. La courbe se trouve ainsi rapportée à son centre et à ses axes principaux. 165. Remarque. — La seconde transformation devient inutile lorsque la première, qui correspond au déplacement d'origine , conduit à un résultat de la forme ky ’ + Bxy 4- Ci’ = o. Car cette équation résolue par rapport kj r donne /=i (-B^F=jÂçy expression qui montre : i°. Que, dans le cas de B’ — 4 AC< o, la courbe se réduit à un point qui n’est autre que la seconde origine, puisque alors l’équation n’est satisfaite que pat x = o,j = o; 2°, Et que, dans le cas de B’ — 4 AC > o, de l’équation générale du second degré. l83 la courbe dégénère en un système de deux droites qui se coupent à cette nouvelle origine. 166. Interprétation du double signe des valeurs de M et de N. — Nous avons fait remarquer (n°155, note au bas de la page), que les expressions de M et de N comportent, chacune, deux valeurs. Pour interpréter ces doubles valeurs , rappelons-nous qu’elles ont été déduites de celles-ci : A—C . —B cos la. — — > sm 2 a = —- y/(A —C) 2 + B J V(A— C) ! -(-B 2 Or, comme nous sommes convenus (n° 154, N. B.) de prendre pour l’angle 2 a, le plus petit des angles fournis par la valeur tang 2 a = — -- -j il s’ensuit que sin 2 a est essentiellement positif ,• et dès lors, il peut se présenter deux cas : Ou H est négatif dans l’équation particulière proposée; ou bien B est positif. Dans le premier cas, le signe 4- doit accompagner le radical dans la valeur de sin 2 a ; et, par suite, on a pour les vraies valeurs de M et de N, M = A ~t~~- 4- - v/[ÎT^C)M^B’, 2 2 NI = — ! \f(K — C) 2 +B J . 2 2 Dans le second, au contraire, pour que sin 2 a conserve le signe -4-, il faut que le radical soit affecté du signe —; et les vraies valeurs de M et de N, doivent être M = _ l JtK—Cy+W, 2 2 ' N = —— 4- - s/(A. — CY+ÏÏ. 2 2 v 167. Lorsque l’équation est aux paraboles, c’est-à-dire dans le cas de B 2 — 4 AC = o , il convient de conserver l’ordre primitif des deux transformations , et l’on peut résumer de la manière suivante les résultats auxquels on par*- 184 RÉDUCTION, PAR LA TRANSFORMAT. DES COORDONNÉES, ■vient : B i°. taug 2 « = — ——- , M == -4- ^ s/(A. — C) J + B- j ' si B est négatif, N= - H ~ C — -y/(A — Ci 2 + B ; i 2 2 ' ' ! ou bien, M = ^“^( A_C),+ B’| , si B est positif, N = ±±- + ^ V '(A - C)> -+- B’ \ /'une des deux quantités M ou N étant nécessairement nullej D’où, eu supposant, par exemple, N = o, M/’ 1 -+- B j -h S x -h F = o, première transformée. [L es coefficients R et S sont exprimés (n° 154 ), au moyen des valeurs de cosa et de sin a, déduites de celles de tang 2 a. j , R R 1 — 4 MF 2 “’ * = Mr’ + Sx = o, ou r’= Q x, résultat final, y. B. — Si l’on a S = o, la seconde tranforraation est impossible 5 mais alors la première transformée représente généralement deux droites parallèles au nouvel axe des a r; ees droites pourraient d’ailleurs se réduire à une seule, ou même être imaginaires. , 4pplications numériques. 168. Mode de transformation correspondant a B 1 — 4 AC ^ o. Soit, pour premier exemple, V 5 — 2 xv + 3 ar’+ 2 j- — 4 J — 3 = o; 011 a A = 1, B = — 2, C = 3 , D = 2, E = — 4 1 F — — 3 ; d’où B ! — 4 AC = 4 — 12 = — 8 , Ellipse. Appliquons les formules du n® 16 $ : 2 AF, — BD _ 1 _ 2 CD — BE_ 1 B : — 4 AC ~ 2' — B ’—4 AC ~~ _ 2* t*. n et de l’équation générale du second degré. 180 F = F + T)b -4- Efl = —3 2 ). ■ 2 , 2 d’où Première transformée : y 2 — o.xy -h 3 x 2 — - = o. Soit pris sur AX , AC = — , et soit élevée au point C une per- Fig. 87 . pendiculaire CO = — -5 si l’on mène par le point 0, les deux droites OX', OY' parallèles à AX, AY, la courbe se trouve rapportée à deux nouveaux axes parallèles aux anciens. 2 0 . tang 2a = Comme on a B A — C 2 2 il s’ensuit que AC = -, CO = —-, 2 2 tang AOX' = — 1 ; il suffit donc, après avoir tiré la droite OAL, de diviser l’angle LOX' en deux parties égales par la droite OX", puis d’élever OY" perpendiculaire à OX"; et la courbe se trouve alors rapportée au troisième système d’axes OX", OY". On a d’ailleurs (n° i6G) M = ^-±^ + i^(A —C)*+B>=2 +^ 2 , A. —|— G I r --- ,— N = —- -V^(A-C)* 4 -B> = 2- V / 2 ; ce qui donne la transformée finale, (2 + ^2) y 2 -j- (2 — y/2) x 2 = 9. Pour comparer cette équation à celle-ci, A 2 jr 5 -4- B 2 x 2 — A 2 B 2 , et en déduire les valeurs numériques des axes principaux , 2A, 2. B, il faut ( n° 133) la multiplier par P 9 9 MN ° U 2(2 -4- y/i) ( 2 — ^2) ~ 4 On obtient ainsi : 9(2 H- \/2? , , 9(2 — ^) 81 -4-' + -4- x = 8- ; l 85 RÉDUCTION, TAR LA TRANSFORMAT. DES COORDONNÉES, donc 3 -—= 3 -— A = - y 2 B = ^ V2 — y^a, ou, calculant ces valeurs à o,i près, et doublant, 2 A = 5 , 5 , 2B = 2,2. La courbe est une ellipse telle que DED'E' dont le grand axe est dans le sens de OX". Deuxième exemple. y 7 -f- 2 xy 2 x 7 — 2. x — i = O, A = i , B = -+- 2, C = 2, D=o, E = — a, F d’où B’ — 4 AC = — 4, Ellipse. aAE —BD —4 . o ~ _ » . B 2 — 4 AC —4 _ 2 CD — BE _ -f -4 _ i, F' = F + Première transformée : B 2 — 4 AC —4 D£ + Ert i ■+- - = o ; 2 y 7 -+- 2 xy 2 x 7 = o. La courbe se trouve ainsi rapportée au point [« =i, b = — ij connue nouvelle origine , et à des axes parallèles aux premiers. tang 2 a = — B — 2 ; = ■-= 2 ; A — C — i et puisque B est positif dans l’équation, ' +t , V.A-C).+ B. = ^-^5, M = N = + I y (A _ C ) 2 + B 2 = - -+- - ^ 5 ; ce qui donne, pour la transformée finale, ( ï - .>’+(*-4 \/5) *’=°- Comme dans cette équation les coefficients M et N sont tous les deux positifs , elle ne peut être satisfaite que par x = o, y = °- Donc, F ellipse se réduit à un point qui n’est autre que la seconde origine à laquelle on avait rapporté la courbe. Ce résultat est conforme à la remarque du n° i 6 o, et l’on aurait pu se dispenser d’opérer la seconde transformation. DE l’équation GÉNÉRALE DU SECOND DEGRÉ. 187 Troisième exemple. y 3 -4- 2 xy — 2i’ — 4 y — a? -f- 10 = 0, A = 1, B = + 2, C = — 2, D = — 4 1 E = — 1, F = 10, B 3 —4 AC = 4 + 8 — -+- 12, Hyperbole. 2 AE — BD 1 , 2 CD — BE 3 1°. -;- =—) 0 = -;- = B 3 — 4 AC 2 B 3 —4 AC 2 F' = D b -+- E« 2 = io — Prenant sur AX, AN = - < et élevant NO perpendiculaire à AX Fig. 88. 3 et égale à -> on a le point O pour nouvelle origine, et OX', O Y', pour les nouveaux axes. La première transformée est d’ailleurs y ‘ -+• 2 xy — 2r B tang 2 a : 27 T = °' A —C 3 Prenons sur OX', OR = 1, puis élevons au point R, RS per- 2 pendiculaire à OX' et égale à — - , et tirons la droite SOL; il en 2 résulte tangLOX' = — Donc, si l’on divise l’angle LOX' en deux parties égales, par la droite OX", on a OX", OY" pour le troisième système d’axes. Les quantités M et N sont d’ailleurs, à cause de B positif, M = — - sjT 2 2 C) 3 +B 3 = ■ - y' * 3 , N = ■^(A-C)*-f-B» = -^ + i^3; ce qui donne, pour la transformée finale, après un changement de signe, t/i 3 + 1 y / 1 3 — 1 27 - y % — -- x- — -j-- 2^2 4 Ici, lWe transverse est (n° 140 ) sur OY"; c’est-à-dire que \epremier axe principal est figuré par BB'. On obtiendrait, d’ailleurs, les valeurs numériques des deux axes principaux, en opérant comme il a été dit au n° 159 . 1 88 RÉDUCTION, PAR LA TRANSFORMAT. DES COORDONNÉES, Quatrième exemple. y 2 -4- xy — 2 x 3 — y x — o, A = i, B = 4- i, C = — 2 , D — — i, E = i, F = o, B 2 — 4 AC =-h g, Hyperbole. 2AE —BD i , 2 CD — BE i i°. a = B J —4 AC 3’ b B 3 — 4 AC « + \ _ - r» -J_i_ + ?- = 0 + 2 2 ce qui donne, pour première transformée, y 2 + xy — 2 x 2 — o. B i ■o; 2 °. tang 2 « = A —C 3 et comme B est positif M = ~~~ — ^ ^(A — C) 2 -f- B 2 = — \ — V^Ï-t±+^{A-Cy+B 2 =-^A-^î. On obtient ainsi pour seconde transformée, en changeant les signes, et multipliant par 2 , (V2 + 0 y'—{\fî — i)x 2 —o, équation qui, résolue par rapporta/, devient y- t Aft-« V^+.’ ou, transformant et réduisant, y = dzx{\j 2 — i), et représente, par conséquent, un système de deux droites qui se coupent à la nouvelle origine dont les coordonnées sont a== y On voit encore ici se vérifier la remarque du n° 163; et 1 on serait parvenu au même résultat en traitant directement la première transformée. de l’équation générale du second degré. 189 1 G 9 . Mode de transformation pour le cas de B 2 —4 AC — o. Soit, pour cinquième exemple, y 2 — 4 x ï ■+■ 4 * ! + 2 / — 7 x — 1 = 0, A = 1, B = — 4 , C = 4 , D = 2, E = — 7, F — — I, B 2 — 4 -AC=i 6 —16 = 0, Parabole. Il y a lieu ici d’appliquer les formules du n° 167. B 4 ,o. un ga « = - ï —^ = - 5 , d’où 4 . COS 2 « : g, sm 2 a = + g, et, par suite, +C 0 S 2 a 1 /i—cos 2 a rp . /t sina== \/-£-- 5 cosa^Y/- M = + - V( A - CrV'B 1 = - -P - = 5 , 2 2 ’ x 22 N = — - s/(A — C) 2 -P- B 2 = - — ^ = o, 2 2 y v 22 » i b /■= R = D cosa — E sm a — — yo, o 3 — S = D sin a -+- E cos a — — ^ ^5 ; ce qui donne, pour première transformée, 16 rz 3 5 f + ^-\j 5 .y — ç\[ 5 . X — I = 0 . Pour construire les deux nouveaux axes, prenez sur AX une Fie. 89 distance AC égale à 1 ; élevez au point C une perpendiculaire CO égale à — ~ 5 puis tracez la droite DAB ; vous avez ainsi 3 tang BAX _ 4 Divisez l’angle BAX en deux parties égales, et vous obtenez les axes AX', AY', pour second système de coordonnées. „ , R 8 R 2 —4 MF =“■ * = —ÏM=—SS’é 3 ’ " = —PB - ■ D’où l’on déduit la seconde transformée 3 5 f \[5 , x = o. I90 RÉDUCTION, PA.R LA. TRANSFORMAT. DES COORDONNÉES, Les quantités b = — ^\/ 5 , a = -^5, S = — étant évaluées en décimales à o, i près par exemple, deviennent respectivement b = — 0,7, a — — 2,7, S = — i, 3 . Prenons sur AX’une distance AE = — 2,7; élevant en E, EA' perpendicidaire à AX' et égal à — 0,7, puis, menant A'X", A' Y" parallèles à AX', AY', on aura le système d’axes auxquels est rapportée la parabole , 5 y : — 1,3.x = o, dont le paramètre a pour expression 1, 3 , et qui, par conséquent, peut être facilement construite au moyen des procédés indiqués au n° 141 . On obtient ainsi une courbe telle que MA'X, tangente en A' à l’axe A'Y*. Sixième exemple. r s — ixp-hx'-h 2y — ix — 3 = o, A = 1, B = — 2, C = 1 , D=2, E = — 2, F = — 3 , B 5 —4 AC = 4 — 4 = o, Parabole. B 2 tang 2i=---= = - » cos 2 a = o, sin 2 x = 1, 0 A — C o sin a.= — J2 , cos z = - J2 , 2 2 A -+* C 1 /- M =--h - V(A — C) ! -t- B ; = 1 -t- 1 = 2, 2 2 ' A 4 - C 1 - X =-y A — C 5 -f- B : = 1 — 1=0, 2 2 R = D cos z — Esin*=2\a, S = D sinx -t- E cosx = o; ce qui donne la première transformée ay’ + a^a.y — 3 — o. la valeur obtenue pour tang 2 a étant infinie, indique que le nouvel axe des x, AX', est la bissectrice de l’angle YAX. Quant à la seconde transformation de coordonnées, il n’y a pas lieu(n® 167 , -Y. B.) de l'effectuer, puisque l'equation de la première transformée ne renferme plus que la seule variable y. Cette équation représente un sy stème de deux droites parallèles DE l’ÉQUATION GÉNÉRALE DU SECOND DEGRÉ. 191 au nouvel axe des x ; système que l’on peut construire facilement en résolvant cette équation ; il vient, toute réduction faite, 1 /— 3 r~ y —-s 2 et y = Oll y ~ 0,7 et y = — 2,1, à o,i près. Prenant sur AY' deux distances AB=o,7 et AB'= — 2,1, puis, tirant les droites BC, B'C', parallèles à AX', on obtient le système demandé. Les différents exemples que nous venons de traiter, suffisent pour montrer comment une courbe du second degré exprimée par une équation numérique quelconque, peut, par une double transformation de coordonnées, être rapportée à son centre et à ses axes principaux , si c’est une ellipse ou une hyperbole , et à son axe principal, si c’est une parabole. 170. Remarque générale sur toutes les courbes exprimées par une équation du second degré en x etjy, ces lettres représentant les distances d’un point à des axes fixes et donnés de position sur un plan. Dans la double transformation de coordonnées que nous avons exécutée pour ramener l’équation générale du second degré à deux variables, à l’une ou à l’autre des deux formes My’-t-Nî ! =P, y 7 = Qx, nous sommes partis de la supposition que la courbe était d’abord rapportée à des axes rectangulaires ; et que le troisième système d’axes était lui-même rectangulaire. Les trois classes de courbes du second degré ont été ensuite déterminées d’après des hypothèses faites sur les coefficients M, N, P, Q. Mais si nous supposons qu’une courbe rapportée à des axes obliques, soit exprimée par l’une de ces équations, peut-on ajfirmer que, pour les mêmes hypothèses faites sur les coefficients, la courbe, sous le rapport de la forme, est la meme que dans le cas d’axes rectangulaires? Pour répondre à cette question, il faut remarquer que 192 RÉDUCTION, PAU LA TRANSFORMAT. DES COORDONNÉES, chacune des trois courbes obtenues dans la supposition d’axes rectangulaires offre, dans son cours, un caractère qui lui est propre, et qui peut servir à la distinguer des deux autres. Ainsi, 1 ’ellipse, telle que nous l’avons définie au n° 124, est une courbe rentrante et fermée ou une courbe limitée dans tous les sens. L’ hyperbole (n° 134) est une courbe composée de deux branches distinctes, égales et opposées, qui s’étendent Vune et l’autre indéfiniment. Enfin, la parabole (n° 141) s’étend indéfiniment dans un seul sens: et elle n’a qu’une seule branche. Or, ces trois caractères géométriques se reproduisent également par la discussion des deux équations précédentes, considérées par rapport à des axes obliques. En effet, prenons l’équation M/ 2 + P, et supposons d’abord M, N, positifs (on doit aussi regarder P comme positif; autrement l’équation ne pourrait donner lieu à des valeurs réelles pour x et y ). Cette équation, étant résolue par rapport i\y, donne \/s(s-)< et l’inspection seule de ce résultat démontre qu’à des valeurs de x , soit positives, soit négatives, numériquement /p plus grandes([uc w - , correspondent des valeurs imaginaires pour y. Fig. 91 . Donc, la courbe est limitée dans le sens des x positifs, et dans celui des x négatifs, par deux parallèles à l’axe desy, SS', RR', menées aux distances 0B = + \/?, OB^-y/î. En résolvant l’équation par rapport à x, on reconnaîtrait de même qu’elle est limitée dans les deux sens de l’axe desj, par deux parallèles à l’axe des x , RS, R'S', menées de l’équation générale du second degré. i aux distances 0 C =Viï’ 00 --Vs- La courbe est alors entièrement comprise en dedans du parallélogramme RSS'R', aux côtés duquel elle est tangente en B', C, B, C'. Soient actuellement M positif, N négatif, et P négatif ou positif; ce qui donne (les signes étant mis en évidence), M ÿ 1 — N x 1 = qz P. L’équation résolue par rapport à y devient ou y Dans le premier cas , on voit que, pour des valeurs de x, soit positives, soit négatives, numériquement moindres n aires. -> les valeurs correspondantes de y sont imagi- Mais en donnant à x des valeurs plus grandes que on obtient pour y des valeurs toujours réelles, quelque grande que soit d’ailleurs la valeur de x dans les deux sens. Donc, la courbe n’a aucun point situé entre les parallèles Fig à l’axe des j', BL, B'L', menées aux distances °B = + Y/r OB '=-\/r Mais elle s’étend indéfiniment à droite et à gauche de ces deux parallèles, au -dessus et au-dessous de l’axe des x. Dans le second cas, il est évident que toute valeur donnée à x produira pour y des valeurs toujours réelles. D’ailleurs, si l’on fait x — o, ce qui donne on doit regarder ces valeurs comme les plus petites de celles que peut recevoir y. Donc la courbe n’a aucun point compris entre les parai- Fig Ap. ‘te VAl. à lu G, 194 RÉDUCTION DE l’ÉQUATION GÉNÉRALE DU 2 e DEGRÉ. lèles à l’axe des x, LBK, I/B'K', menées aux distances 08 =+Vh’ 0 “'=-\/r Mais elle s’étend indéfiniment au -dessus et au-dessous de ces parallèles , à droite et à gauche de l’axe des y. Fie. gj. Quant à l’équation y' I = Qx, d’où j = ±V^Q»>ù il est clair qu’elle représente une courbe indéfinie dans le sens des x positifs, si Q est positif, et dans le sens des x négatifs, si Q est négatif. De là on conclut que les équations Nx ! = + P, + / 2 = ±Q.r, représentant des courbes rapportées à des axes obliques, ont, la première, le caractère géométrique d’une ellipse, la seconde, celui d’une hyperbole, et la troisième, celui d’une parabole. Si, maintenant, pour avoir des axes rectan gui aires, on change d’abord (n°12ü) T x en a; — r cot Ô, et y en ~— » J J sm 0 on aura des équations en j-% xy , a: 2 et P ou Q'x, qui pourront ensuite, par une autre transformation de coordonnées ayant pour objet défaire disparaître le terme en xy, être ramenées aux formes tout à fait caractéristiques A’r’+BV^ A ! B’, A ! jr’—B J a.' 2 = qzA ! B% jr J =2 px. Donc enfin, toute équation du second degré h deux variables, rapportée à des axes rectangulaires ou obliques, représente, lorsqu’elle donne lieu à des valeurs réelles, une ellipse ou une hyperbole ou une parabole, telles que nous les avons définies aux n os 124, 134 et 141, ou bien une de leurs variétés , savoir: un cercle, un point, un système de deux droites qui se coupent, un système de deux droites parallèles, ou une seule ligne droite. DE D’ELLIPSE. Ip5 CHAPITRE III. DE L’ELLIPSE. PROPOSITIONS PRÉLIMINAIRES. 171. Caractères analytiques des points pris sur la P JG - courbe, au dedans ou au dehors. — L’équation de l’ellipse, rapportée à son centre et à ses axes principaux, étant (n° 130) A 2 7’ + B 2 a: 2 = A 2 B 2 , on a d’abord, pour chacun de ses points, M, la relation A y + B 2 x 2 — A 2 B 2 = o. Maintenant, si l’on considère un point N intérieur à la courbe, comme l’ordonnée NP de ce point est moindre que l’ordonnée MP correspondante à la même abscisse OP, il s’ensuit que A 2 .NP est moindre que A 2 . MP 5 ainsi l’on a pour le point N, ou tout point intérieur, k ïyï + — A’B 2 < O. Pour un poipt extérieur N', l’ordonnée N'P est plus grande que NP, et l’on a nécessairement A 2 / 2 4 - B 2 # 2 — A 2 B 2 > o. N. B. — Si le point extérieur avait la position N", pour laquelle il n’y a pas d’ordonnée correspondante de la courbe, la même relation n’en subsisterait pas moins ; car Y abscisse de ce point N ;/ étant plus grande que OB, il en résulte B s x 2 )> A 2 B 2 , d’où à fortiori, etc. 172. La définition de l’ellipse (n° 124) fournit d’autres caractères qu’il importe d’établir. Pour tout point M, sur la courbe, on a F' M + FM = 2 A. Pour un point intérieur R, comme F'R + RF est plus i3. tqb UE l’eLI-IFSE ; petit (jue F M + MF, il en résulte F'R -t- FR < a A. Pour un point ex/écù-orR', on a, au contraire, F 7 R 7 +R'F plus grand que F 7 M -+- MF; et, par suite, F'R' H- FR' > 2 A. Fig. q5. 173. On déduit de l’équation A 2 y 2 4 - B*#* = A* B 2 : r 2 __ R 2 (A+ar)(A — x) A 3 Or, x et j étant les coordonnées d’un point quelconque, M, de la courbe, il est évident que A 4- x 7 A — x, expriment les distances AP, BP des sommets A , B, au pied de l’ordonnée MP; ainsi, l’on a MP 7 B 3 - 3 -= —, ou mp :apxPB :: b j :a j ; AP X PB A 3 d’où l’on voit que Le carré d'une ordonnée quelconque de Vellipse est avec le produit des distances du pied de cette ordonnée aux deux sommets, dans un rapport constant; En d’autres termes, les carrés des ordonnées sont respectivement proportionnels aux rectangles des distances des pieds de ces ordonnées aux sommets de la courbe. Si l’on suppose B = A, la relation se réduit à j 3 = A 3 — x* = (A 4- x) (A — x)-, ce qui exprime que Y ordonnée d’un cercle à un diamètre est moyenne proportionnelle entre les segments correspondants du diamètre; propriété connue en Géométrie. La propriété qui vient d’être établie pour l’ellipse, n’est, du reste, qu’un cas particulier d’une autre proposition sur les courbes du second degré rapportées à des axes quelconques, et qui sera démontrée plus tard. Fie. q6. 174. Décrivons sur le grand axe d’une ellipse, comme diamètre, une circonférence de cercle ; on a, pour son équation . y- =r A 3 — x 1 ; CAIIAC.T. DES POINTS DE LA CODRliE ET CONST. PAR POINTS. 1 Cfj celle de l’ellipse rapportée aux mêmes axes, étant B 2 = — ■*’)» il s’ensuit que, si l’on désigne parjy l’ordonnée d’un point quelconque de cette courbe, et par Y l’ordonnée du cercle correspondant à la meme abscisse, on a la relation c’est-à-dire que Y ordonnée de l'ellipse est à celle du cercle décrit sur son grand axe dans le rapport du petit axe au grand axe ; D’où résulte un moyen assez simple de construire l’ellipse par points : Sur les axes AB, CD, décrivez deux circonférences •, lirez le rayon OM, et par le point L où ce rayon coupe la petite circonférence, menez LN parallèle à AB. Le point N où cette parallèle rencontre l’ordonnée du point M, appartient à l’ellipse. En effet, on a , d’après la construction, om : ol : : pm : pn , ou a : b ; : y : pn ; donc Prolongeant ensuite MP d’une quantité Pu égale à PiN, on obtient un second point de la courbe; les points symétriques des deux jiremiers, peuvent être ensuite déterminés comme l’indique la figure. 175. Il existe un autre moyen, fondé sur la meme pro- Fig. 97 priété, pour construire l’ellipse. AB, CD, étant les deux axes, marquez sur CD un point K tel qu’on ait OK — A — B ; prenez ensuite un point quelconque I situé entre O et K; puis, de ce point I comme centre, avec un rayon OK, décrivez- un arc de cercle qui coupe AB en L et en L'; lirez i9 8 DE L ELLIPSE } IL, IL', et prenez sur ces deux lignes prolongées, IM = IM' = A; les points M, M/, appartiennent à la courbe. Car, si l’on mène JH parallèle à AB, et MQ perpendiculaire à IH, les triangles IQM, LPM sont semblables et donnent MI : ML : : MQ : MP; d’où MP = ^ • MQ = | • MQ. Mais on a MQ = y M! — IQ = V MI — OP ; donc, en posant OP = x, on trouve B y ~ MP = — y/ A 2 — x 1 — — • Y'. Même raisonnement à l’égard du point M’ symétrique du point M. Pour obtenir les deux points m , m' symétriques de M, M 7 , il suffirait de prendre sur OC, OP = 01 et d’opérer comme précédemment. Il est évident, d’ailleurs, que, pour que la construction soit possible, le point I doit être placé entre O et K. 176. Mesure de la surface ou quadrature de Yellipse. Le rapport constant —, qui existe entre l’ordonnée de l’ellipse et celle du cercle décrit sur son grand axe, conduit très-simplement à l’expression, soit de la surface entière de l’ellipse, soit de Vaire d’un segment compris entre deux ordonnées parallèles. Fig. 96 . En premier lieu, concevons que l’on ait inscrit au cercle un polygone quelconque dont MM' soit un côté. Des sommets M, M', ... de ce polygone, abaissons des perpendiculaires sur le grand axe, et joignons par des cordes les points N, N',... où ces perpendiculaires coupent l’ellipse; nous formons ainsi un polygone inscrit à cette courbe, et qui a NN' pour un de ses côtés. Cela posé, soient Y, Y', les ordonnées des deux points M, M', et j, celles des points N, N', correspondant aux mêmes abscisses x , x QUADRATURE I)E J.A COURUE. 1 (Jfj Les trapèzes MM' P'P, NN'P'P, donnent Y -4-Y' y ■+■ r' MM'P'P — ^ -(x—x), NN'P'P = ~L . (x' - x)i d’où NIN'P'P _y+r' MM'P'P — Y + Y'’ Or on a / = donc , B v , y — —Y'; ^ par suite, NN'P'P _ B MM'P'P ~ ~K' y + y' B Y + Y' A’ On reconnaîtrait, de la même manière, que chacun des trapèzes dont se compose le polygone inscrit à Yellipse est au trapèze correspondant du cercle, dans le rapport B : A. D’où l’on conclut, en vertu d’un principe connu, que la somme de tous les premiers trapèzes est à celle des seconds, dans ce môme rapport. Ainsi, soient p , P, les deux polygones ; on a P = B P a’ Celte relation, devant subsister quel que soit le nombre des côtés des deux poljgones, est encore vraie pour les polygones limites qui ne sont autres que Yellipse et le cercle. Donc, si l’on désigne par s, S, leurs surfaces, il vient s B S~Â’ ou s B  S; et comme l’aire du cercle a pour expression, tt. A% il en résulte B S ~ 77 À’ 2 À ou bien enfin s = r .. A. B, pour l’expression de la surface d’une ellipse dont les axes principaux sont 2 A , 2 B. Fai second lieu, quant à Yaire d’un segment compris entre deux ordonnées parallèles, il suffirait, pour l’obtenir, 200 DI! L’ELLIPSE} d’appliquer à ce segment et à celui qui lui correspond, dans le cercle, le même raisonnement que celui qui a conduit à l’expression du rapport des deux surfaces entières ; de sorte qu’en appelant s\ S' ces segments, on arriverait à l’égalité d’où l’on déduirait Y aire cherchée au moyen de celle de S' qu’on sait déterminer géométriquement. § I.—Diamètres dans l’ellipse.—Diamètres conjugués. — Cordes supplémentaires ; leurs relations avec les diamètres conjugués. 177. On appelle, en général, diamètre d’une courbe, une ligne (droite ou courbe) qui passe par les milieux de, toutes les cordes parallèles menées sous une direction quelconque. De cette définition il résulte nécessairement que toute courbe a une infinité de diamètres dont la nature dépend de la nature de la courbe elle-même. 1 Mais nous allons démontrer que, dans Y ellipse (et nous ferons voir plus tard qu’il en est de même pour les deux autres courbes du second degré), tous les diamètres sont des lignes droites. Soient, en effet, (1) Ay+ B 2 .r 2 =: A 2 U 2 l’équation de l’ellipse rapportée à son centre et à ses axes, et (2) y = ax b celle d’une droite qui doit rencontrer la courbe. En éliminant x et y entre ces équations , on obtiendra les coordonnées des points d’intersection de la droite avec la courbe. L’élimination dey, par exemple, donne ( 3 ) (A 2 n 2 -|- B 2 ) x ' 1 2 A 2 «è x + A 2 ( è 2 — B 2 ) = o. Fig. 98 . Cda posé, désignons par [.r', y'], \_x", y" j les coordonnées des points M, M', et par X, Y, celles du point milieu JN DIAMETRES DE LA COURBE. 20 l On a (n° 90) X : x Y — , Y= J — ■r 2 2 D’un autre côté, l’équation (3) étant du second degré, donne entre ses racines la relation x'x" A-ab 2 ~ _ A 1 a 1 -H B 2 ’ en sorte que l’on a, pour les coordonnées du point N, ( 4 ) ( 5 ) X A 1 ab  T a 2 H- B 2 ’ Y =aX-h b. Mais des deux quantités a, b , qui fixent la position de la droite MM', l’une, a, est constante pour toutes les positions que peut prendre cette droite parallèlement à elle-même; l’autre, b , varie d’une position à l’autre-, d’où il suit que si, pour une valeur déterminée de a , on donne à b une série de valeurs auxquelles correspondent autant de valeurs de X déduites de l’équation (4), et de Y, tirées de l’équation (5), on obtiendra les coordonnées de la série des points milieux de la corde MM' et de toutes les cordes qui lui sont parallèles. Par conséquent, en éliminant b entre (4) et (5), on parviendra à une équation qui, convenant exclusivement à tous ces points milieux, sera l’équation de leur lieu géométrique. Or, l’équation (5) donne b = Y — aX; d’où, substituant dans l’équation (4) et chassant le dénominateur, ( A 2 a 2 -f- B 2 ) X = — A 1 a (Y — nX), ou réduisant et résolvant par rapport à Y, Y = équation d’une droite passant par Vorigine. Comme d’ailleurs, on est arrivé à cette équation sans donner à la constante a aucune 'valeur particulière, on peut conclure i°. Que, dans l’ellipse, tous les diamètres sont des lignes droites y DE L ellipse: 2 °. Que les diamètres de l’ellipse passent tous parle centre. Ce dernier résultat s’accorde avec la définition du centre (n° 130). ’ig. g8. 178. Diamètres conjugués. — Considérons, avec le diamètre LL' qui, passant par les milieux de la corde MM' et des cordes parallèles à celles-ci, a pour équation , , B 2 ( I ) y — - X K ’ ’ A 2 a le diamètre II' parallèle à ces cordes; l’équation de ce dernier est 2 y — ax. Réciproquement, si l’on considère les cordes parallèles au premier diamètre LL', et qu’on appelle a la quantité — ——5 l’équation du diamètre, lieu géométrique des points A 7 a milieux de ces nouvelles cordes, sera (n°177) expression qui, après que l’on a remplacé a' par sa valeur, se réduit à y = ax, c’est-cà-dire à l’équation même du diamètre II'. D’où résulte nécessairement cette conséquence : Si un diamètre LL' passe par les points milieux d’un système de cordes parallèles à un autre diamètre II', réci- proquement, celui-ci passe par les points milieux de toutes les cordes parallèles au premier. Ces deux diamètres, dont chacun divise en deux parties égales les cordes parallèles à l’autre, sont dits diamètres conjugués. L’ellipse a évidemment une infinité de systèmes de diamètres conjugués, puisqu’il y a une infinité de systèmes de cordes parallèles. 179. Autres conséquences immédiates : . La quantité ayant été représentée par a DIAMETRES CONJUGUÉS. 2o3 produit de a par a' est égal à — — ; en sorte que, si l’on dé- signe par a, a', les angles que forment respectivement avec le grand axe, les deux diamètres conjugués d’un système quelconque, on a, entre les coefficients d’inclinaison de ces diamètres, la relation , B 3 tanga, tanga = —— ; 2 °. Le caractère analytique d’un pareil système, est qu’en y rapportant la courbe, on a une équation de la forme Mjr 2 -+- No : 3 = P. Car cette équation donnant pour une même valeur de x, deux valeurs de y, égales et de signes contraires, ou réciproquement , satisfait à la double condition que chacun des nouveaux axes divise en deux parties égales toutes les cordes de la courbe parallèles à Vautre axe; 3°. Par suite, les axes principaux forment un système de diamètres conjugués. 180. Le système de diamètres conjugués formé par les axes principaux est le seul qui puisse être rectangulaire , tant qu’il s’agit d’une ellipse proprement dite. Car, pour que les deux diamètres soient perpendiculaires l’un à l’autre, il faut (n° 64) qu’entre les angles a, qu’ils font avec l’axe des x, on ait la relation tang a . tang al — — i ; et pour que ces diamètres soient conjugués , on doit avoir, en vertu de la première conséquence (n° 179), , B 3 tang a . tang a = — — ■ Or les demi-axes, A et B, cl’une ellipse étant inégaux, ccs deux relations ne peuvent exister ensemble qu’autant que l’on a à la fois tanga = o, tanga' = oo , ou réciproquement : c’est-à-dire qu’autant que le système des diamètres conjugués est précisément celui des axes principaux. Donc. etc. 1TE L ELLIPSE ; 204 N. B. — Dans le cas de B = A, qui est celui où. l’ellipse devient un cercle , les deux relations n’en font plus qu’une seule ; d’où l’on conclut que, dans le cercle , il existe une infinité de systèmes de diamètres conjugués perpendiculaires entre eux. Cela est, du reste évident; car un diamètre étant tracé à volonté dans le plan du cercle, si l’on élève par le centre une peipendiculaire à ce diamètre, l’équation de la courbe rapportée à ce système d’axes, est toujours y 2 x 2 = r 2 . 181. Cordes supplémentaires. — On nomme ainsi deux droites qui, partant des extrémités d’un diamètre quelconque, se rencontrent sur la courbe. Les angles que ces droites, prises deux à deux, forment avec le grand axe, ont entre eux une relation particulière que nous allons établir. l'ic. gq. Considérons, à cet effet, en premier lieu, les deux cordes AM et BM, menées d’un point quelconque M de la courbe aux extrémités A et B du grand axe. La droite BM passant par le point B, dont les coordonnées sont [jy=o, x=A], a pour équation y = a(x — A); on a de même pour la droite AM, passant par le point A ou [j = °, x — — A], y = a' [x + A). Si l’on désigne par x 1 , y 1 les coordonnées du point M, comme elles doivent vérifier les deux équations précédentes, il en résulte y' —a (x' — A); y'=a'(x' + A); d’où d’où a y x' — A 5 / . x' -+- A ’ et, par suite, j ' 2 x J2 — A 2 ’ D’un autre côté, le point \x',y r j se trouve aussi sur la CORDES SUPPLÉMENTAIRES. 200 courbe ; ce qui donne A 7 y ' 2 B 2 x ' 2 = A 2 B 2 , d’où l’on déduit y " 1 X ' 2 — A 2 B 2 A 2 ’ Égalant entre elles les deux valeurs de y x ' 2 — A 2 on obtient la relation B 2 A 2 ' 182. Soient, en second Heu, deux cordes supplémen- Fig. taires , EM', E'M/ aboutissant aux extrémités d’un diamètre quelconque EE'. Appelons x",y", les coordonnées du point E; celles du pointE' seront (n° 129), — x ", — y" 5 et les équations de deux droites menées des points E, E', à un point quelconque M / de la courbe, seront de la forme y — y" ~ a (x — x") , y +/' = a'(x -+- x"). Comme le point. M' ou [a;', y'] appartient à la fois aux deux droites , on a les relations y'—y" = u(x'—x"), y' + y" = a’ ( x’ + x"), d’où Mais les points M', E, F/, se trouvant aussi sur la courbe, on a également A 2 y 2 + B 2 x ' 2 = A 2 B 2 , A 7 y " 2 + B 2 x " 2 = A 2 B 2 , d’où yt—y't B 2 x ' 2 — x " 2 ~~ —  2 ’ y’ et, en égalant les deux valeurs de ^ même relation que ci-dessus, ■y on arrive a à la B 2 ’ A 2 ' N. B. — Dans le cas de B = A, cette relation devient ao6 de l’ellipse; ce qui prouve que, dans le ceïicle, les cordes supplémentaires sont à angle droit. 183. Les deux relations , B 2 , B 2 tanga.tanga' = — — 15 aa'— — — obtenues aux n os 179 et 182, donnent lieu à un rapprochement utile entre les diamètres conjugués et les cordes supplémentaires. Fie. 98 . Appelons y, y', les angles que forment avec le grand axe de l’ellipse, les cordes supplémentaires MM’, Mm partant des extrémités d’un diamètre quelconque M'm; on a- tangy.tang et comme, pour un système de diamètres conjugués, on a pareillement , B 2 tanga.tanga = — — , il en résulte la nouvelle relation tang 7 . tang 7 ' = tang a. tang a , qui démontre que l’hypothèse y = a , entraîne la condition y' = a'. Cela signifie, en langage ordinaire, que la corde MM' étant supposée parallèle au diamètre II 7 , par exemple, le conjugué de celui-ci est nécessairement parallèle à la corde supplémentaire Mm, et n’est autre que le diamètre LL’, passant par les points milieux de toutes les cordes parallèles à MM'. Cette propriété fournit un moyen simple de construire le diamètre conjugué d’un diamètre donné tel que LL' : Tirez un diamètre quelconque M' m , et par le point m , la corde mM parallèle au diamètre donné LL' ; tracez ensuite la corde supplémentaire M'M, puis le diamètre II' parallèle à cette corde. Vous obtenez ainsi le conjugué du diamètre LL'. N. B. — Il est plus commode, en général, de faire usage, dans cette construction, des cordes supplémentaires qui parlent des extrémités du grand axe. CORDES SUPPLÉMENTAIRES. 10 ~j 184. Proposons nous maintenant de calculer l’angle que forment entre elles deux cordes supplémentaires menées parles extrémités du grand axe. Soient AM, BM, les deux cordes données. Pour résoudre la question proposée, il suffit (n° 02) de calculer l’expression ._ a — a' tang AMB =-- , ° i -f- aa a désignant la tangente de l’angle MBX, ci' celle de MAX. Or, on a trouvé (n° 181), y ce qui donne x’ — A i a y x' A 1 y a — a' _ x' — A x' A i -f- aa! 2 A/ i + T x n — td + y' x' 2 — A 3 Mais, de la relation A 2 y /2 H- B 2 x' 5 = A 2 B d’où, substituant, ! —A 2 B 2 ’ on déduit a A y' 2 AB 2 ■a y B 2 i aa' donc enfin, (i) tang AMB : ■ y (A 2 — B 2 )jr' 2 AB 2 (A 2 — B 2 ) y' L’inspection seule de ce résultat prouve d’abord que, si l’on considère un point quelconque, M, de la courbe, situé au-dessus du grand axe, auquel cas, y' est positif, la tangente de l’angle AMB est négative (car on a toujours A B) ; donc cet angle est nécessairement obtus, ce qui doit être , puisque tous les points de l’ellipse sont intérieurs à la demi-circonférence décrite sur AB comme diamètre. On voit, en outre, que, plus y' est grand, plus la valeur numérique de l’expression (i) est petite-, par suite, plus l’angle est grand. (On sait qu’un angle obtus est d’autant plus grand que sa tangente est numériquement plus petite.) Fig. 20» DE L ELLIPSE ; Le maximum de cet angle correspond au maximum de y', c’est-à-dire à y'= lî. Ce qui donne alors pour l’expression (i) , (2) tang ACB 2AB Les valeurs de a et de a' y' = B, d’où x' — o, B deviennent d’ailleurs, pour B ‘ Fig. 99 . On peut vérifier facilement le résultat ( 2 ) sur la figure. En effet, on a ACB = 2 ACO; d’où tang ACB = tang. 2 ACO = 2 tang. ACO 1 — tang 2 ACO (d’après une formule connue de trigonométrie); mais la figure donne tang ACO = ; donc tang ACB = 2 AB A 2 — B 2 ’ 185. Conséquence importante pour les diamètres conjugués. Le maximum de l’angle de deux cordes supplémentaires partant des extrémités du grand axe est, en même temps, le maximum de l’angle que peuvent former entre eux deux diamètres conjugués d'un meme système. Fig. ioo. Car tout système de diamètres conjugués ,• tel que GG', HH', étant (n° 183) parallèle à un système de cordes supplémentaires AM et BM, l’angle LOI est égal à l’angle AMB. D’ailleurs, l’angle maximum , ACB, a pour supplément, soit l’angle A'CB, soit l’angle CBD formé par les deux cordes supplémentaires qui, partant des extrémités du petit axe, aboutissent à l’une des extrémités du grand axe, TANGENTE MENÉE PAU UN POINT DE LA COURBE. 20q puisque BD est parallèle à AC, à cause de la symétrie de l’ellipse. Doue, dans une ellipse donnée, l’angle de deux diamètres conjugués , s’il est obtus, ne saurait surpasser celui que forment entre elles les cordes supplémentaires menées des extrémités du grand axe à l’une des extrémités du petit axe; et s’il est aigu , il ne saurait être moindre que celui qui est formé par les cordes supplémentaires partant des extrémités du petit axe, et aboutissant à l’une des extrémités du grand axe. JY, B. — Le même maximum et le même minimum conviennent également à l’angle de deux cordes supplémentaires menées des extrémités d’un diamètre quelconque, puisqu’on a démontré (n° 183) que ces cordes peuvent être regardées comme respectivement parallèles à deux diamètres conjugués. § IL — De la tangente a l’ellipse et de ses propriétés PAU RAPPORT AUX DIAMÈTRES ET AUX RAYONS VECTEURS. Tangente menée par un point de la courbe. 186. Afin d’obtenir l’équation de la tangente menée par un point pris su; - l’ellipse, nous emploierons la même méthode que pour le cercle (voyez le n° 101 ). Soient \_x', le point M par lequel on veut mener une Bm. tangente, \_x ", y" j un second point d’une droite passant par le point M, et considérée d’abord comme sécante. L’équation de cette droite est de la forme y—y et il s’agit de déterminer y —y‘ 7f (* — •*')> -y IAM. - X" - X' Or, puisque les deux points ], [x vent sur la courbe, on a les relations " y" ] se trou- -+- B 2 a / 2 = A 2 B 2 , A 2 y " 2 + B 2 .r" : = A 2 B 2 ; d’où l’on déduit, en retranchantla première delà deuxième, A 2 (y" + y' ) (y" — y') -h B 2 (x" -+- x') ( X" — x') = O, Ap. tic VAL à la G. l4 ior 210 DE L ELLIPSE; Fig. ioi et, par suite, y" —y' _ _ B 2 ( x" g- x' ) x" — x'~ A 2 (y" + y' ) Maintenant, pour passer à la limite, il faut supposer x" — x ', y" =y' ; ce qui donne lim. y B’r' A :‘y' Il vient alors pour l’équation de la tangente Mil jp#' (i) r-/= —xïy (* — *')• pourvu qu’on y joigne la relation ( 2 ) A 22 + B 2 x' 2 = A 2 B 2 , qui exprime que le point M ou [.r', y'] appartient à l’ellipse. B 2 x' N. B. — Le coefficient d’inclinaison , — JTy’ 11 'est autre chose (voir le n° 102) que la dérivée du premier membre de l’équation de la courbe, prise par rapport «à x avec un signe contraire, et divisée par la dérivée de ce même premier membre, prise par rapport à y , après que l’on a remplacé x et y par les coordonnées x'et y' du point de contact. 187. On peut donner à l’équation ( 1 ) une forme plus simple, à l’aide de la relation ( 2 ). En effet, si l’on chasse ledénominateur, et que l’on transpose , on a A 2 y y' 4- B 2 xx' = A 2 y' 1 -h B 2 x'\ ou, à cause de la relation ( 2 ), (3) A 2 y y’ + B 2 xx' = A 2 B 2 , résultat remarquable et facile à rappeler au besoin, en ce qu’il suffit, pour l’obtenir, de remplacer dans l’équation de la courbe, les carrés x 2 , y 2 , par les rectangles xx', yy'. 188. Expression de la sous-tangente. — Faisons dans l’équation ( 1 ), y — o; il vient C’est la différence entre l’abscisse OH correspondante à y — o, et l’abscisse OP du point de contact ,• et par conséquent, c’est (n° 104) la valeur de la sous-tangente PP. TANGENTE ET NORMALE. 2 1 I On arriverait au même résultat en faisant y — o dans l’équation (3), ce qui donnerait A 3 x— —== OR, x et en retranchant de cette valeur de x, l’abscisse OP ou x' du point de contact, il viendrait PR = — À 3 — x' % i ou, à cause de la relation (a), PR = A V* B 3 *' ’ A.* - — oc' 2 1 <39. L 'expression -——, obtenue pour la sous-tan - gente, fournit un moyen simple de construire la tangente à l'ellipse en un point M de la courbe. En effet, comme elle est indépendante du second axe 2 B, il s’ensuit que , pour toutes les ellipses ayant même premier axe 2 A, les sous-tangentes qui correspondent à la même abscisse sont égales ; ou, en d’autres termes, si, d’un point P de l’axe des x , on élève une perpendiculaire à cet axe, et que par les points où cette perpendiculaire rencontre les ellipses supposées décrites sur le grand axe AB, on mène des tangentes à ces courbes, elles 'viendront aboutir au même point de l’axe des x. Or, le cercle décrit sur AB comme diamètre peut être considéré comme une de ces ellipses. Donc, pour obtenir la tangente à l’ellipse, en un point M, il suffit de décrire sur AB comme diamètre une demi- circonférence, de mener ensuite au point M', où l’ordonnée PM, prolongée, va rencontrer la demi-circonférence, une tangente à cette courbe ,*et de joindre au point M le point d intersection, R, de cette tangente avec l’axe des x. La droite MR est la tangente demandée. 190. Equation de la normale et expression de la sous- normale. — La normale étant (n° 105) une droite MS menée par le point de contact, [ad, y'] , perpendiculaire- Fic. ioi Fie. ior 2 1 2 DE L ELLIPSE } ment à la langcnte, on a (n° 65) pour son équation ( 4 ) s—y = ^p (* — *')• Soit fait dans cette équation , y — o , il en résulte _ ' — — ]V x ' . c’est (n°105) la valeur de la sous-normale PS. Il est à remarquer que, pour x' positif, les deux expressions de la sous-tangente et de la sous-normale, savoir : PR: A 2 / 2 B 2 .*' PS = — B 2 #' ' A 2 ’ sont, la première, positive, et la seconde, négative; ce qui doit être, puisque les points R et S sont de côtés opposés par rapport au pied P de l’ordonnée du point de contact, et que c’est à partir du point P que l’on compte les distances PR et PS. N. B. — On suppose ici que le point M est situé à la droite de OY ; s’il en était autrement, les conséquences précédentes auraient lieu en sens contraire. Fig. ioi 191. La discussion des valeurs de PR et de PS correspondant aux diverses positions que peut prendre le point de contact , offre quelque intérêt. Considérons d’abord l’expression PR = AV 2 B 2 *' ’ ou plutôt PR = alin de n’avoir que la seule variable x'. Pour x’ = o, on obtient PR = A 2 -==o; et cela doit être, puisque la tangente au point C est évidemment parallèle à l’axe des x. Quand x' augmente depuis o jusqu’à A qui est la plus grande valeur que x' puisse recevoir, l’expression de PR va sans cesse en diminuant ; et le point R se rapproche de plus en plus du point P. Lorsqu’enfin on suppose x' = A., il en résulte PR = o; COEFFICIENT ANGULAIRE DE LA TANGENTE. 2l3 ce qui doit être encore, puisque alors la tangente est perpendiculaire à l’axe des ,r. Passons à l’expression PS = Wx' "a 7 "’ qui, comme on le voit, est de signe coulraire à celui de x'. Pour x' = o, on a PS = o ; ce qui prouve que le point S tombe au centre O de l’ellipse ; et en effet, la normale, au point C , se confond avec le petit axe CO. A mesure que x' augmente, la valeur de PS, toujours négative, augmente mimé/iqiiernent jusqu’à ce qu’enfiu on ait x’ = k, auquel cas , on trouve Cette valeur, abstraction faite du signe, n’est autre que la moitié du paramètre (n°146) et a pour représentation géométrique, Y ordonnée passant par le foyer. Elle est remarquable en ce que , tandis que les sous-tangentes passent par tous les états de grandeur depuis Y infini jusqu’à zéro , les sous-normales croissent numériquement depuis zéro jusqu’à une certaine limite, maximum, qu’elles ne peuvent dépasser. 192. Discussion du coefficient angulaire de la tangente .— Reprenons maintenant le coefficient dlinclinaison B 2 x' et recherchons par quels états de grandeur il est susceptible de passer suivant les diverses positions attribuées au point de contact. En faisant d’abord x' — o, auquel cas le point de contact se trouve en C ou en D, on a, en se reportant à la relation A 2 j /2 -t- R 2 x n = A 2 B 2 , y' ~ ±B, et a =o; c’esl-à-dirc que la tangente aux points C et D est tAralléle au grand axe ; ce qui est conforme aux résultats établis n° 191. Fig. ioi 21 4 de l'ellipse; A mesure que x' augmente, y' diminue, et la valeur de a augmente de plus en plus numériquement . Lorsqu’enfin on suppose x' = A, ce qui donne y' =. o, la valeur de a devient infinie. Donc, au point B, la tangente est perpendiculaire au grand axe. L’abscisse x' passant par tous les états de grandeur depuis o jusqu’à A, on reconnaît facilement que le coefficient d'inclinaison a passe par tous les états de grandeur depuis o jusqu’à — oo , pour tous les points de la courbe situés au- dessus du premier axe, et à la droite du second ,• qu’au contraire, a passe par tous les états de grandeur depuis o jusqu’à -4- oo , pour tous les points placés au-dessous du premier axe, et à la droite du second; en sorte que, pour tous les points situés entre B et D, les angles sont aigus , tandisqu’ilssont obtus pour touslespoints situés entreBetC„ La symétrie de l’ellipse, par rapport à ses axes principaux, prouve d’ailleurs que les mêmes circonstances se reproduiraient pour tous les points situés à la gauche de OY ; seulement les angles seraient aigus pour la partie supérieure AC de la courbe et ils seraient obtus pour la partie inférieure AD. On peut conclure de là que la tangente à l’ellipse prend toutes les inclinaisons possibles par rapport au premier axe. Tangente menée par un point pris hors de la courbe. 193. Soit N un point quelconque par lequel on se propose de mener une tangente à l’ellipse; désignons par a r (3, les coordonnées de ce point, et conservons x' , y' pour celles du point de contact. L’équation de la tangente peut être présentée sous la, forme y — ê — a (x — a), a , ou le coefficient angulaire, ayant pour valeur, ~ ÂV’ et il suffit, pour fixer sa position, d’obtenir les valeurs des inconnues x' et y'. tangente menée par un point extérieur A LA COURBE. 210 Or, si l’on considère l’équation simplifiée de la tangente, savoir (n° 187), A 2 / y' -+- B ' 2 x x' = A 2 B 2 , comme le point [a, ê] appartient à cette droite, on a nécessairement (1) A 2 g /-+- B 2 a x' = A 2 B 2 . D’ailleurs, le point [x', y'] se trouvant sur la courbe, on doit avoir en même temps ( 2 ) A 2 r ' 2 + B 2 x' 2 = A 2 B 2 ; ce qui donne deux équations en x', y\ pour déterminer ces deux inconnues. On trouve, pour résultat de l’élimination, en opérant comme pour le cercle (n° 106), A 2 ( B 2 a ± g ^A 2 g 2 + B 2 a 2 — A 2 B 2 ) ■ r — A 2 g 2 + B 2 a 2 ’ , B 2 ( A 2 6 rn a t/A 2 ê 2 -t- B 2 a 2 — A 2 B 2 ) j _ A 2 § 2 + B 2 a 2 ’ les signes supérieurs se correspondant, ainsi que les sigues inférieurs. Ces valeurs, qui montrent que, généralement, il y a deux droites satisfaisant à la question, donnent, par leur B 2 #' substitution dans l’expression a — -—-, A 2 / — (B 2 adz 6 v/A 2 6 ! 4 - B 2 a 2 — A 2 B 2 ) A 2 ê rp a \/a 2 g 2 •+• B 2 a 2 — A 2 B 2 ou, après que l’on a multiplié haut et bas par A 2 g ± a \/A 2 g 2 + B 2 a 2 — A 2 Bb alin de rendre le dénominateur rationnel, et qu’on a exécuté toutes les simplifications, — ( a g ± y'À 7 ^ 2 + B 2 a' ; —~A 2 B 2 ) a = —-TT-;-—- A 2 — a 2 L’expression de a, pour être réelle, exige que l’on ait A 2 g 2 B 2 a 2 — A 2 B 2 >o, ou = 0 , ce qui prouve-(n° 171) que le point donné [a, ê] doit être ou extérieur à la courbe ou sur la courbe. Fig . i 216 DK l ellipse; Dans le cas où 1 on a A 2 g' -J- B 2 a 2 — A 2 B’=o, les valeurs de x', y', se réduisent au système unique A 2 B 2 a c’est-à-dire que les deux points de contact sont réduits à un seul qui se confond avec le point donné. La valeur de a devient, dans ce cas , B 2 a 194 . Au lieu d’effectuer l’élimination de x', y entre les équations (i) et (2), on peut construire les lieux géométriques quelles expriment, et l’on est alors conduit à des conséquences analogues à celles qui ont été déduites pour le cercle (n° 108 ). D'abord, l’équation (2), en tant que l’on considère x', y' comme des variables, n’est autre que celle de Yellipse déjà construite. En second lieu, pour obtenir la droite exprimée par l’équation (1), il suffit de chercher les points où elle rencontre les deux axes. Pour y' — o, on trouve et pour x' = o, 7 ' = B 2 Y' On a donc à construire deux troisièmes proportionnelles, et à les porter successivement de O en I, et de O en H. Tirant ensuite la droite IH, qui va rencontrer la courbe en M, m, on obtient les points de contact des deux tangentes partant du point N. —5 est indépendante de l'ordonnée € du point donné, il s’ensuit que, pour un tout autre point N' pris sur la perpendiculaire NQ abaissée du TANGENTE PARALLÈLE A UNE DROITE DOHHÉE. 217 point N sur OX, la droite /m'jVPH', cpii doit joindre les deux points de contact correspondants, passera nécessairement par le même point I du grand axe, que la droite IH. D’où l’on peut conclure cette propriété remarquable : Si, des différents points d’une droite perpendiculaire au grand axe d'une ellipse, on mène des tangentes à cette courbe, et que Von trace les droites qui joignent les deux points de contact des tangentes partant d’un même point, toutes ces droites passent par un même point situé sur le grand axe. On donne le nom de pôle au point de concours I, et celui de polaire à la droite donnée LL'. Il résulte d’ailleurs de l’inspection de la valeur x' = A 2 - , a que, si l’abscisse a de la polaire est plus grande que A, c’est-à-dire si la polaire est extérieure à la courbe, le pôle lui est intérieur ■ et vice versâ. JY. B. —La relation y'— B 2 conduit à la même propriété par rapporta l’axe des y, pour toute droite menée perpendiculairement à cet axe. Tangente menée parallèlement à une droite donnée. 195. Soit y = mx l’équation de la droite donnée, que rien n’empêclxe de considérer comme passant par Y origine. La tangente demandée devant être parallèle à cette droite, son coefficient d’inclinaison est m. Appelons toujours x\y\ les coordonnées inconnues du point de contact. Pour déterminer x', y', on a (n° 186) les deux relations B 2 a/ — -—, — A 2 y’- + B 2 x" 1 = A 2 B 2 , A J d’où l’on déduit ,_ A 2 m , B ! ± v / A 2 /« 2 4-"B 2 ’ ^ — v'A’/w’-t- B 2 (le double signe montre qu’il y a deux solutions). 218 de l'ellipse; Substituant ces valeurs dans l’équation simplifiée de la tangente A 2 y y' -f- B 2 xx' — A 2 B 2 , on obtient, toute réduction faite , y -- mx ± fA 2 m 2 -‘r B 2 , pour les équations des deux tangentes parallèles à la droite donnée. Les deux valeurs de y sont toujours réelles; ce qui s’accorde avec la discussion établie au n° 192. Fi o. De la tangente considérée par rapport aux diamètres conjugués. 196. Soient MR une tangente en un point quelconque de l’ellipse, et MM' le diamètre qui passe par le point de contact M. On a trouvé (n° 186) pour le coefficient angulaire de la tangente, B 2 x' D’un autre côté, puisque le diamètre MM 7 , dont l’équation peut être exprimée parj^ = « 7 x, passe par le point [x',y r ], on a la relation .y x Si l’on multiplie les deux expressions de a et de a 7 l’une par l’autre, il vient a. a' = B 5  2 ’ Mais, en désignant par a" la tangente trigonométrique de l’angle que forme avec l’axe des X le diamètre mm 1 conjugué du diamètre MM 7 , on a également (n° 179), B 2 a' a" =- A 2 Les deux égalités précédentes, comparées entre elles, donnent nécessairement a — a" ; ce qui veut dire que la tangente en un point rptclcontpic TANGENTE PAll RAPPORT AUX DIAMÈTRES CONJUGUÉS. 21 9 de Vellipse est parallèle au conjugué du diamètre qui passe par le point de contact. Conséquence. — Si par les extrémités M, M', m , m', de deux diamètres conjugués, on mène quatre tangentes, ces droites forment un parallélogramme circonscrit à l’ellipse, puisque les tangentes menées aux extrémités du diamètre MM' par exemple, sont parallèles au diamètre mm ', et réciproquement. On déduit de là un procédé assez simple pour mener : i° une tangente par un point donné sur la courbe; 2 0 deux tangentes parallèlement à une droite donnée de position. Pour la première construction, déterminez (n° 183) le diamètre conjugué de celui qui passe par le point donné ; puis, menez par ce point une parallèle au diamètre ainsi déterminé. Vous obtenez la tangente demandée. Pour la seconde construction , tracez un diamètre parallèle à la droite donnée, puis , le conjugué de celui-ci ; et, par les deux extrémités de ce conjugué, mettez deux parallèles au premier. Ces deux parallèles satisfont à la question. Angles que la tangente forme avec les rayons vecteurs menés au point de contact. 197. SoientR'MR la tangenteemm point Mou \x',y'], F 10 - 10 4 ~ FM, F'M les rayons vecteurs menés à ce point. Désignons par a le coefficient d’inclinaison de la tangente par rapport à l’axe OX, par a 1 , a", ceux des deux rayons vecteurs, FM, F' M par rapport au même axe, et par V, V', les angles FMR, F'MR. La figure donnant évidemment FMR ou V— MRX — MFX» F'MR ou V'= MRX — MF'X f on a (n° 62) tan g V = a — a' 1 -)- aa' ’ tang V' — 1 4- aa Cela posé, calculons d’abord l’expression de tang V. Le rayon vecteur FM devant passer par le point F, on a 220 DE L ELLIPSE ; l’équalion y = a'(x — c ); et comme il doit aussi passer par le point [.r', j'], il en résulte la relation r'=a'(x' —c); d’où a'= - x — c D’ailleurs on a (n° 180) _ B 2 ad ~ A 2 j' ’ il ne s’agit donc plus que de remplacer a et a par ces valeurs dans tang V. On trouve ainsi : tang V : — B 2 x' a 2 r B’t'r' a 2 y (x' —c) — B 2 æ' 2 +B 2 ex'— A 2 / 2 ( A 2 — \V)x'y'~ Â*ry' ’ expression qui, à cause des deux relations devient d’où A 2 j- ,2 + B 2 a/ 2 = A 2 B 2 , tang V = B 2 ex '— A 2 B 2 c 2 x'y' — A 2 cy A 2 — B 2 =r 2 (il® 120 — K' {ex'— A 2 ) _ ' cy' [ex' — A 2 ) ’ ) , , B 2 (.) , ang v = —• Quant à l’expression de tang V', on peut l’obtenir sans recommencer le même calcul. En effet, comme on a pour le rayon vecteur F' M, y = a"(x+-c), et, par suite, y'= a" (x 1 c), d’où a" =—■- , x -y c il est évident que, si l’on substituait cette valeur de a" dans l’expression posée pour tang F', on obtiendrait un résultat ne différant de celui trouvé pour tang V, que par le changement de signe de c. Par conséquent, (2) tangV'=-~ Les deux expressions de tang V, tang V', étant égales et ■*X*VT" TANGENTE PAR RAPPORT AUX RAYONS VECTEURS. 231 de signes contraires, il s’ensuit que les angles F'MR, FMR, sont SUPPLÉMENTAIRES. Celte propriété remarquable donne lieu à plusieurs propositions. D’abord, on a, suivant la figure et d’après ce qui vient d’être démontré, i°. F'MR + F'MR/= i 8 o°, F' MR -+- FMR = 1 8 o°, d’où F'MR' = FMR; 2 ° d’où Le rayon vecteur F' M étant prolongé en K, F' MR + RMK = 1 8 o°, F' MR + FMR = 1 8 o°, RMK = FMR. Ce qui montre que la tangente forme avec les deux rayons vecteurs, de part et d'autre du point de contact, des angles égaux , Ou bien que la tangente divise en deux parties égales l'angle formé par l'un des rayons vecteurs et le prolongement de l'autre. O De plus, si l’on mène la normale MS, on a ces autres relations F' MS + F' MR' = go°, FM S 4 - FMR = 90° ; d’où, à cause de F' MR/ = FMR, F'MS = FMS; ce qui signifie que la normale divise en deux parties égales Vangle formé par les deux rayons vecteurs. 198. Ces propriétés sont tellement liées entre elles, que, l’une quelconque étant démontrée, les autres s’en déduisent au moyen des principes les plus élémentaires de la géométrie. Ainsi , par exemple, 011 peut prouver directement la dernière propriété, puis en conclure successivement toutes les autres. Reprenons, à cet effet, l’équation de la normale (n° 190), Fig. savoir : A ! y R' .r' (,r x ) 5 io4- y—y 222 Fig. i«4 de l’ellipse; et pour obtenir l’abscisse du point S où celte normale coupe l’axe des x , posons y — o ; il en résulte , Wx' (A 2 — B 2 ).*' c’x' d’où SF / _ c + _ c ( A 2 4- ex' ) A’ , et SF = A 2 ’ c ( A 2 — ex! : A 2 et, par suite, SF' : SF : : A 2 4 - ex' : a 2 — ex'. D’un autre côté, on a (n° 126) pour les expressions des rayons vecteurs F'M , FM, ex' A 2 4- ex' „ A 2 — ex' et FM = -—— ; d’où A A F' M ; FM ; : A 2 4- ex ' : A 2 — ex'. Comparant entre elles les deux proportions, on en déduit la suivante, SF':SF :: f'm:FM, qui prouve, d’après un théorème connu de géométrie, que la normale MS est bissectrice de l’angle FMF. Partant de là et remarquant que l’on a F'MR' 4 - F' MS = qo», SMF 4- FMR = 90 °, 011 parvient à l’égalité précédemment établie, F'MR' = FMR; et ainsi, des autres relations. 199. La propriété de la tangente considérée par rapport aux rayons vecteurs fournit un moyen très-simple de mener une tangente à l’ellipse, i° par un point pris sur la courbe, 2 0 par un point pris hors de la courbe, les deux foyers étant supposés donnés ou déjà déterminés. Fig. 104. Premièrement, soitM un point pris sur la courbe. Tirez les rayons vecteurs FM, F'M, et prolongez celui-ci indéfiniment, en K; prenez sur ce prolongement, MG — MF, et joignez le point F au point G ; puis, abaissez du point M la droite MIR perpendiculaire sur FG. Vous obtenez ainsi la tangente demandée; TANGENTE PAU RAPPORT AUX RAYONS VECTEURS. 223 Car le triangle MFG étant isocèle par construction , il s’ensuit que la droite MIR divise l’angle au sommet, M, en deux parties égales j propriété caractéristique de la tangente à l’ellipse (*). Secondement, soit N un point pris hors de Vellipse. Pour déterminer le point de contact M, il suffirait de fixer la position de la droite F' K. Or, sur cette droite se trouve un point G qui jouit de la propriété d’èlre distant, i° du point F' d'une longueur connue, 2A; 2 0 du point N d’une longueur également connue, NF (puisque la tangente NMR est perpendiculaire sur le milieu de FG) ; d’où résulte la construction suivante : Décrivez des points F 7 , N, comme centres, avec des rayons respectivement égaux à 2 À et à NF, deux arcs de cercle qui se coupent au point G-, tirez F'G qui rencontre la courbe en M; puis joignez le point N au point M. La droite NM est la tangente demandée. Comme, d’ailleurs, les deux arcs ont, généralement, un second point d'intersection, G', il s’ensuit que, si l’on tire F'G' et qu’on joigne le point N au point M' où la droite F'G' rencontre la courbe, on obtiendra la seconde tangente qui peut être menée par le point N. (*) On peut démontrer a priori, et sans se foncier sur cette propriété, que Fig. i o/|_. la droite MR qui divise en deux parties égaies l’angle FMK formé par le rayon vecteur FM et le prolongement MK de l’autre, est tangente à l’ellipse. Il suffit, pour cela, de faire voir que tout point N de cette droite, autre que M, est situé hors de la courbe. Prenant sur MK une distance MG égale à MF, puis, tirant les droites NF', NG, ainsi que FG qui rencontre en I la droite NMR, on a l’inégalité F'N-hNG > F'G; mais comme le triangle MFG est isocèle par construction, la droite NMR est perpendiculaire sur FG et passe par son milieu I; donc elle a tous ses points également distants de F et de G; par suite, NG = NF. D’un autre côté , on a F'G = F'M + MG = F' M h- MF = 2 A ; ainsi, l’inégalité précédente devient F'N H- NF> 2 A; ce qui prouve que le point N est un point extérieur. Cette démonstration synthétique est, comme l’on voit, uniquement fondée sur la définition géométrique de l’ellipse , et sur les caractères des points pris sur la courbe ou hors de la courbe. 324 DE L’ELLIPSE; ig. 104. On doit remarquer ici que, tant que le point N sera extérieur à l’ellipse, la construction donnera toujours lieu à deux solutions ; ou, en d’autres termes, que les circonférences décrites des points F' et N, comme centres, se couperont. Or cela peut se prouver de deux manières : soit en faisant voir cpte la distance des centres est moindre que la somme des rayons, et plus grande que leur différence, soit en établissant que l’une des circonférences décrites a deux points, l’un intérieur, l’autre extérieur à la seconde. Démontrons, par exemple, en appliquant ce dernier moyen, que cire. NF a deux points, l’un intérieur, l’autre extérieure cire. 2 A. En premier lieu , on a évidemment F'F 2 A; d’où il résulte que le point F de cire. NF est intérieur à cire. 2 A. En second lieu, soit prolongé F'N d’une longueur NF ff égale à NF ; comme, par hypothèse, le point N est extérieur à l’ellipse, on a NF'-|-NF]> 2 A., et par suite, NF'-f-NF" ou F'F" 2 A ; d’où il suit que le point F ,; de cire. NF est extérieur e cire. 2 A. Donc, etc. Il est encore à observer que les constructions précédentes sont, comme la démonstration synthétique que nous avons donnée, uniquement fondées sur la définition de l’ellipse et sur les caractères qui (n° 172) distinguent les points pris sur la courbe ou hors de la courbe. Fig. io5. 200. Remarque sur les dénominations de foyers et de r.AYO-NS vecteurs. — On peut, en se fondant sur la loi connue en Physique, de Y égalité des angles (Y incidence et de réflexion pour des rayons de chaleur ou de lumière, émanant d’un point déterminé , rendre raison des dénominations de foyers et de rayons vecteurs, données aux points F, F', et aux lignes FM, F'M. Concevons, en effet, qu’à l’un des foyers F d’une ellipse (considérée comme le double de la génératrice d’une surface de révolution formée par la rotation de AM'MB autour de AB), soit placé un corps chaud ou lumineux dont émanent des rayons de chaleur ou de lumière, se dirigeant sur les points M, M' de l’ellipse, ou de la surface dont la TANGENTE PAR RAPPORT AUX RAYONS VECTEURS. 22.5 demi-courbe est la génératrice. Les rayons FM, FM', formant avec les tangentes à la courbe, menées par ces points, des angles d’incidence FMT, FM' T', doivent, en vertu du principe de Physique, se réfléchir suivant des droites faisant , avec ces mêmes tangentes, des angles de réflexion respectivement égaux aux premiers, Ces droites ne peuvent donc être que MF', M'F', qui font, avec les tangentes, les angles F'Mt, F'MV, égaux aux angles FMT, FM'T'j d’où il suit que, si l’on place un cliarbon ardent au point F, et un corps inflammable au point F', les rayons partis du premier point iront tous sensiblement se concentrer sur ce corps, qui s’enflammera comme si u n foyer de chaleur était placé en ce point F'. Même phénomène se produirait au point F par rapport au point F' où se trouverait placé le corps chaud. Conséquences des propriétés de la tangente considérée par rapport aux rayons vecteurs . 201. Première conséquence. — Si l’on se reporte à la Fig. îo/j- construction du n° 199, qui a pour objet de fixer la position de la tangente en un point quelconque, M , de l’ellipse , on reconnaît que la droite FG est divisée en deux parties égales au point I, et que ce point peut être considéré comme le pied de la perpendiculaire abaissée de l’un des foyers, F, sur la tangente MR. Or, en joignant le point I au centre O delà courbe, on forme un triangle FOI qui, à cause de FI=IG, etde FO^OF', est semblable au triangle FF'G ; et l’on a la proportion F'G : oi :: f'f : of. Mais F ' G = 2 A, F'F = a OF ; donc _ F G 01 =-= A. 2 On trouverait de même, à l’aide d’une construction analogue, servant à déterminer le point I', pied de la perpendiculaire abaissée du point F' sur la tangente, or = A. Ap. de VAl. à la G. 226 de l’ellipse; D’où l'on peut conclure que le lieu géométrique des pieds de toutes les perpendiculaires abaissées des foyers sur les tangentes, est la circonférence décrite sur le grand axe comme diamètre. Fie. 104 . 202. Seconde conséquence. —Soient abaissées des points F et F' les deux perpendiculaires FI, F'I' sur la tangente RR'; on vient de démontrer que les distances 01, OF, sont égales à A. Cela posé, si des points O , F, on mène OL, FI/, parallèles à la tangente , on a , d’après la figure , l'F' = I'L + LF', IF = FL' = I'L — LF' ( LF' étant égal à LL', à cause de OF' = OF) ; d’où l’on déduit FF' X IF —- FL — LF'. Mais les triangles rectangles l'OL, F'OL, dans lesquels 0 1! > et OF' ’ = c ou y/ A 2 — B 2 , donnent - 2 -2 —3 I'L = O 1 < C J i! on obtient donc I'F' X IF = A 2 — OL — c 2 -h 0L*= A 2 — c 2 = B 2 Ainsi, le produit des perpendiculaires abaissées des deux foyers sur une tangente est égal an cabré de la moitié du second axe. ^ 203. Troisième conséquence. — Soit mené le diamètre mm' conjugué de celui qui passe par le point de contact de la tangente RR', et tirons les rayons vecteurs FM, F' AI, ainsi que la ligne 01 qui joint le centre au pied de la perpendiculaire abaissée du foyer F sur la tangente. On a vu (n° 196) que le diamètre mm' est parallèle à la tangente ; d’ailleurs 01 est parallèle à F' M, à cause de la similitude des triangles FOI, FF' G ; donc la figure OIMH est un parallélogramme , et l’on a MH = 01 — A ; ee qui montre que la partie d'un rayon vecteur comprise entre la tangente et le diamètre conjugué de celui PROPR. DE LA COURBE RAPPORTÉE A DES DIAM. CONJUG. 22y qui passe par le point de contact, est égale à la moitié du PREMIER AXE. Toutes ces propriétés , qui ont été facilement déduites de celles de la tangente considérée par rapport aux rayons 'vecteurs, trouvent leur application dans la résolution des problèmes. § III. — Propriétés de l’ellipse rapportée a des DIAMÈTRES CONJUGUÉS. 204. La propriété caractéristique de tout système de diamètres conjugués consistant (n° 178) en ce que chacun d’eux divise en deux parties égales toutes les cordes de la courbe menées parallèlement à l’autre, il en résulte que, si l’on rapporte la courbe à un semblable système, la nouvelle équation ne doit renfermer que les carrés des coordonnées et une quantité toute connue, c’est-à-dire doit être de même forme que celle de la courbe rapportée à ses axes principaux. Nous pourrions donc poser immédiatement, pour l’équation de la courbe rapportée à l’un de ces systèmes, M r 2 + N x 1 = P [ voir le n° 179); et par une transformation analogue à celle du n° 133, nous la ramènerions à celle-ci : A' 2 jr 2 -4- B' 2 x 2 = A' 2 B' 2 . Mais on conçoit que, pour chaque système dont on donne la direction, les constantes A' et B’ qui, comme il est aisé de le voir, représentent les demi-diamètres, doivent avoir avec les demi-axes certaines relations. Or, ce sont ces relations qu’il s’agit maintenant de déterminer. Pour y parvenir d’une manière générale, nous nous proposerons la question suivante : Véquation d'une ellipse rapportée à ses axes principaux étant donnée, rapporter la courbe à un nouveau système tel, que la nouvelle équation conserve la même forme. C’est une simple application de la transformation des coordonnées. i5. DE T-ELUPSE,' Dans l’équalion A 2 y 2 4- B 2 .z 2 = A 2 B 2 substituons à la place de x, r, les valeurs x — x cos n+/ cos a', y = x sin a 4- y sin a', qui (n° 119 ) servent à passer d’un système rectangulaire à un système oblique de même origine. 11 vient, par cette substitution, (A 2 sin 2 a' 4- B 2 cos 2 a') y 2 -+- (A 2 sin 2 a 4 - B 2 cos 2 a.) x* J_ s + 2 ( A 2 " sin a sin a' 4- B 2 cos a cos a' ) xy J Mais, d’après l’énoncé, l’équation ne doit renfermer cpte les carrés des variables et la quautité toute connue; il faut donc que le coefficient de xy soit égal à o ; ce qui donne ( i ) A 2 sin a sin a' 4- B 2 cos a cos a! — o ; et l’équation delà courbe se réduit à (2) (A 2 sin 2 a'-y B 2 cos 2 a')/ 2 + (A 2 sin 2 a 4- B 2 cos 2 a)# 2 = A 2 B 2 - Si l’on divise l’équation (1) par cos a cos a', elle devient A 2 tang a rang a B 2 = o j tanga tanga'-— -- Comme on n’a qu’une seule équation pour déterminer les deux angles a, a', il s’ensuit que le nombre des systèmes de diamètres conjugués est infini. Cette relation est d’ailleurs identique avec celle dn n° 179; et les conséquences qui en ont été déduites se reproduisent également ici. Soit fait successivement dans l’équation ( 2 ) y / = o, x — o t il en résulte A 2 B 2 1 T A 2 sin 2 a 4- B 2 cos 2 a A 2 sin 2 a'4- B 2 cos 2 a' Fis. io3-. Ces expressions représentent les carrés des distances OM, Ont, ou des demi-diamètres conjugués. Donc, en désignant par 2 A', 2 B', les longueurs totales MM', mm', on a les relations A 2 sir.) 2 a 4- B? cos 2 a ’ À 2 sin 2 a' 4- B 2 cos 2 a! rROPR. DE LA COURUE RAPPORTÉE A DES LHAM. CÜKJUG. 2 ig d’où A 2 sin 2 « 4- B 2 cos 2 a A 2 B 2 À ' 2 ’ A 2 sin 2 a' 4- B 2 cos 2 a' A 2 B 2 B' 2 " Substituant ces valeurs dans l’équation j a), on obtient enfin A' 2 + B' 2 x 2 = A' 2 B' 2 , pour l’équation de l’ellipse rapportée à un système quelconque de diamètres conjugués. Comme pour x = ± A' cette équation donne r J = o, et que, de meme, pour y = ± B' on a x 2 = o, on doit conclure que les droites menées par les points M,M', m , m'y parallèlement aux deux diamètres } sont tangentes à la courbe, propriété qui a déjà été reconnue (n° 196). 205. Les expressions de A' 2 et B' 2 peuvent, à l’aide de formules trigonométriques connues, recevoir une forme qui permet d’établir les relations existantes entre deux diamètres conjugués quelconques et les axes principaux. Il suffit, pour cela, d’y remplacer sin 2 a, cos 2 «, sin 2 or. et cos 2 a.' par leurs valeurs en fonction de tang 2 a et lang 2 a'. On trouve, par cette substitution, 40 _ A 2 B 2 (i+tang 2 «) B , t _ A 2 B 2 (i+ tangV ) A 2 tang 2 a 4- B 2 ’ A 2 tang 2 a' 4- B 2 f équations qui, réunies à l’équation de condition, tang a. tang a' = B 2  2 ’ renferment les six quantités A , B, A', B', tanga , tanga', en sorte que, si l’on élimine entre ces équations les quantités tang a, tang oc', on doit nécessairement parvenir à une certaine relation entre les quatre quantités A, B, A', B'. Or, des deux premières équations on déduit . . B 2 (A 2 —A' 2 ) , , B 2 (A 2 —B' 2 ) tang 2 a = —l—- / tang 2 a' — - - v -- ■ b A 2 (A' 2 —B 2 ) 0 d’où : A 2 (B' 2 —B 2 ) ’ B< (A 2 — A' 2 ) (A 2 — B' 2 ) _ A 1 ‘ ( A' 2 — B 2 ) (B' 2 — B 2 ) ’ tang 2 a. tang 2 et! 23o de l’ellipse ; D’un autre côté, la troisième équation donne , B* tang 2 a . tang 2 a = — • On a donc la relation (A 2 — A' 2 ) (A 2 — B' 2 ) _ '(A' 2 —B 2 ) (B' 2 —B 2 ) — ’’ ou, chassant le dénominateur et développant les calculs, A 4 — A 2 A' 2 — A 2 B' 2 -t- A' 2 B' 2 = A' 2 B' 2 — B 2 B' 2 — A' 2 B 2 B 4 . Réduisant et transposant, il vient A 4 — B 4 = A' 2 (A 2 — B 2 ) + B' 2 (A 2 — B 2 ) ; d’où l’on tire, en divisant par A 2 — B 2 , A' 2 +B' 2 =A 2 -4-B 2 , ou 4A' 2 -t-4B ,2 =4A 2 +4B 2 ; ce qui prouve que la somme des carrés de deux diamètres conjugués quelconques est égale à la somme des carrés des axes. 206. Cette propriété peut aussi se démontrer à l’aide de la question inverse de celle du n° 204, et ayant pour objet : Véquation d'une ellipe rapportées à un système de diamètres conjugués étant donnée, trouver l’équation delà courbe rapportée au système de ses axes principaux. Pour résoudre cette question , nous ferons usage des formules x sin ( 9 — a) — y cos (9 — a ) _ x sin « -+- y cos a X sin 9 ’ ^ sin 9 ’ qui servent (n° 117) à passer d’un système oblique à un sys^ tème rectangulaire de même origine. Substituant ces valeurs dans l’équation de la courbe, A' 2 j- 2 + B' 2 x 2 = A' 2 B' 2 , et chassant le dénominateur, on obtient la transformée [ A' s cos ! « -e B'* cos ! (6 — «)]7 2 1 -b [A/ 3 sin 3 a -4- B'* sin* (S — tx.)]x a j = A' 2 B' s sin 3 0. -+- [2 A' 3 sin « cos « — 2 B' 1 sin (0 — a) cos(ô — a)] xy ) Comme le nouveau système d’axes doit jouir de la propriété caractéristique (n° 178) des diamètres conjugués, il faut que le terme en xy disparaisse 5 ce qui exige que l’on ait ( 1 ) A /J sin« cos a — B' 2 sin (9 — a) cos (9 — *) = o, I>R0Pll. DE I.A COURBE RAPPORTÉE A UES 1)1 AM COJNJUG. a3l et alors l’équation (le la courbe se réduit à ( * 2 ) [ A' 2 cos 2 a 4- B' 2 cos 2 (0 — a’!]/ 2 4- [ A' 2 sin 2 a 4- B' 2 sin 2 (0 — a)] a; 2 = A' 2 B' 2 sin 2 ®. Il résulte d’ailleurs de la nature de la transformation, que le système actuel de diamètres conjugués est un système rectang ulaire ; donc ce système est celui des axes principaux, puisqu’on a reconnu (n° 180) que c’est le seul système de diamètres conjugués perpendiculaires entre eux. Ainsi, l’on doit regarder l’équation ( 2 ) comme celle de l'ellipse rapportée à son centre et à ses axes. Cependant, pour qu’on puisse la comparer à l’équation A 2 j 2 + B 2 x 2 == A 2 B 2 , il est nécessaire que le second membre soit le produit des coefficients de y 2 et x 2 . Or, pour la ramener à cet état, on sait (n° 133) qu’il suffit de multiplier les deux membres par un facteur R égal p à , M, N, désignant les coefficients de _y 2 , x 2 , et P la quantité toute connue qui est dans le second membre. Calculons donc cette valeur de R relative à l’équation ( 2 ) ; on a _ A ,J B' 2 sin 2 0 [A' 2 cos 3 a 4- B ,2 cos 2 (0 ■— a) j[A' 2 sin 3 a ■+- B' 2 sin 2 (0 — a) j Effectuant les calculs indiqués au dénominateur, et observant que l’équation de condition ( 1 ), étant élevée au carré, donne A' 4 sin 2 a cos 2 a 4- B' 4 sin 2 (0 — a) cos 2 (0 — a) = 2 A' 2 B' 2 sin a cos a sin ( 0 — a ) cos (0 — a ), on reconnaît que ce dénominateur prend la forme sin 2 a cos 2 (0 — a)4-sin 2 (0 — a) cos 2 a 'I 4- 2 sin a cos( 0 — a)sin(0 — a) cos a J ou A' 2 B' 2 [sin a cos (0 — a) 4- sin(0 — a) cos a] 2 , ou bien enfin A' 2 B' 2 sin 2 (a + 0 — x) — A' 2 B' 2 sin 2 Q A' 3 B' 2 232 DE L’ELLIPSE; Ainsi la valeur de K devient _ A' 2 B' 2 sin? 6 ~ A' 2 B' 2 sin 2 6 — 1 ’ ce qui prouve que l’équation ( 2 ) n’a besoin d’aucune préparation pour être comparée à l’équation A 2 j 2 + B 2 # 2 = A 2 B 2 . On a donc immédiatement les relations suivantes : A' 2 cos 2 a -h B' 2 cos 2 (6 — a) = A 2 , A' 2 sin 2 a -+- B' 2 sin 2 (9 — a) = B 2 , A' 2 B' 2 sin 2 0 = A 2 B 2 - Lçs deux premières relations, ajoutées entre elles, donnent A' 2 -J- B' 2 = A 2 -4- B 2 ; ce qui démontre la propriété énoncée. Quant à la troisième relation , on en tire A'. B', sin 0 = A.B, pu, en remarquant que 0 ou l’angle des deux diamètres conjugués est égal à a .'— a, A' B'. sin ( a' — «) = AB ; d’où 4 A' B' sin (a' — a) = 4 AB , expression qu’on peut traduire, en Géométrie, de la manière suivante : Fig. io3. Soient MM' = 2 A', mm' = 2 B', deux diamètres conjugués par les extrémités desquels on a mené des tangentes qui, comme on l’a vu au n° 196, déterminent un parallélogramme TT ' tt'. Si du point m on abaisse une perpendiculaire ml sur MM', on a évidemment t"V— MM' = 2 A', ml — mm' . sin mm! I — 2 B'. sin (a' — a ) ; d’où surf. TT'«' = 4 A'B' sin ( a' — a) = 4 AB, ce qui prouve que le parallélogramme TT'tt' est équivalent au rectangle des axes principaux. On voit ainsi que l’analyse précédente conduit, non-scu- PR0PR. DE LA COURBE RAPPORTÉE A DES DIAM. CONJUG. 233 lement à la propriété du n° 205, mais encore à celte autre, non moins importante : Tous les parallélogrammes circonscrits à l’ellipse et dont les côtés sont respectivement parallèles à deux dia - mètres conjugués, ont une surface constante et égale au rectangle construit sur les axes, 207. Remarque. —Cette surface constante jouit de la Fig. io3 propriété d’être un minimum parmi celles des différents parallélogrammes qu’on peut, en général, circonscrire à une ellipse donnée. En effet, considérons, par exemple, un parallélogramme UVV'U 7 , dont deux côtés soient les tangentes menées par les extrémités du diamètre mm' et les deux autres côtés soient les tangentes menées par les extrémités d’un diamètre nn' mon conjugué de mm'. On a, pour l’expression de la surface de ce parallélogramme, U' V'X ml = U'V'X2B' sin (a' — a) ; or U'V', parallèle à MM', est évidemment plus grand que ce diamètre MM' ou 2 A 7 , puisque tous les points des lignes UU 7 , W', autres que n , n', sont extérieurs à l’ellipse. Donc on a surf. UVU' V 7 2 A' X 2 B' sin (a' — a) ou > surf. TT 7 tt' . 208. Système de diamètres conjugués égaux. — Parmi Fi&. 100 les systèmes en nombre infini de diamètres conjugués d’une ellipse, il y en a un, different du système des axes principaux, qui mérite une attention particulière; c’est celui des deux diamètres parallèles aux deux cordes menées d’une des extrémités du petit axe aux deux extrémités du grand axe. Les cordes AC, BC étant également inclinées sur ce grand axe AB, il en est de même des diamètres II 7 , LL 7 , qui leur sont parallèles, en sorte que les angles IOB, LOA sont égaux. Il résulte de cette égalité des angles et de la symétrie de la courbe par rapport à ses axes principaux que ces deux diamètres sont égaux ; c’est-à-dire que l’on a B 7 = A' ; DE LELLll'SEI ad 4 et l’équation de l’ellipse rapportée à ce système particulier d’axes obliques se réduit à j 2 -|-æ' 2 = A' 2 , équation identique avec celle du cercle rapporté à son centre comme origine et à des axes rectangulaires. Comme d’ailleurs les angles que deux diamètres conjugués de tout autre système forment avec le grand axe Alî, des deux côtés de CD, sont évidemment inégaux , et que, par suite, ces diamètres sont aussi inégaux, il en résulte que l’équation précédente ne convient absolument quA ce seul système d’axes. Donc, en général, toute équation telle que y 1 -4- x 2 ~ M 2 quand les axes sont obliques, est celle d’une ellipse rapportée à un système de diamètres conjugués égaux. 209. Autres propriétés de l’ellipse rapportée à un sys - tème de diamètres conjugués. — Toutes les propriétés de l’ellipse qui ont été démontrées indépendamment de l'inclinaison des axes, sont également vraies, quand on suppose la courbe rapportée à un système de diamètres conjugués. Ainsi premièrement, son équation , dans ce cas, étant A' 2 / 2 4- B' 2 x 1 = A' 2 B' 2 , ou A' 2 j 2 -+- H'-x 2 — A' 2 IV 2 — o , on a A ,2 y 2 + B' 2 * 2 — A' 2 B' 2 > o , pour caracléi iser les points extérieurs , et A' 2 j 2 4- B' 2 x 2 — A' 2 B' 2 < o , pour caractériser les points intérieurs. Fig. 106 . Secondement, l’équation de la courbe pouvant être mise sous la forme y 2 _ b' 2 (a' + ^ha'-TT)- X 772 ’ ou , en langage géométrique , mT’ _ B' 2 Â7> x F B “ A' 2 ’ TANG. A LA COURBE RAPPORTÉE A DES DIAM. CONJUGUÉS. 235 on en conclut que : Le carré cl’une ordonnée parallèle à l’un des diamètres conjugués est au rectangle des distances des extrémités de. l'autre diamètre au pied de l’ordonnée, dans un rapport constant. 210. Cette dernière propriété, qui correspond à celle du u° 173, montre que la liaison qui existe entre Vordonnée et l’abscisse d’un point quelconque de l’ellipse, est la meme, quel que soit le système de diamètres conjugués auquel la courbe est rapportée. D’où l’on déduit le moyen suivant de construire une ellipse, connaissant un système de diamètres conjugués en grandeur et en direction. Soient OB, OC les demi-diamètres donnés. Fie. 106 Par Je point O tracez OC' perpendiculaire à OB et égal à OC ; puis, sur les deux lignes OB, OC' considérées comme les demi-axes principaux d’une ellipse, décrivez, par l’un des moyens connus, la courbe AC'BD'A 5 élevez aux points P, P', etc., des ordonnées PN, P'N', etc., à cette courbe, et menez les lignes PM, P'M', etc., parallèles à OC et respectivement égales à PN, P'N', etc. Les points M, M', etc., appartiendront à la courbe cherchée, qui sera représentée par ACBDA. Car de la disposition prise pour les axes des coordonnées et de la propriété précédente , il résulte évidemment que, pour les mêmes abscisses, les ordonnées des deux courbes doivent être égales. De la tangente à l’ellipse rapportée à un système de diamètres conjugués. 211. Tangente menée par dm point pris sur la courbe, * 10 • I0 7 et sous-tangente. — On reconnaît facilement que les méthodes établies précédemment pour obtenir l’équation de la tangente à une courbe , sont tout à fait indépendantes de linclinaison des axes. Ainsi, l’équation de la courbe étant A' 2 r 2 + V> r ‘x"- = A ' 2 B' 3 , a36 de l’ellipse 5 on a, pour l’équation de la tangente au point M, ou , , B'»*' J ~ r et pour Vexpression de la sous-tangente , A' 2 ./' 2 A' 2 — x' 2 y O . . . x — x :=: B' 2 x' Quant à l’équation de la normale et à Vexpression de la sous-normale, comme on aurait à faire entrer en considération la condition de perpendicularité dans l’hypothèse d’axes obliques, on arriverait à des résultats complicpiés, tout différents de ceux cpii correspondent aux axes principaux; nous ne nous y arrêterons pas. t 212. Tangente menée par bh point extérieur. — Si l’on propose de mener une tangente par un point donné hors de la courhc, on est conduit à l’une des propriétés les plus remarquables de l’ellipse, dont celle du n° 194 n’est qu’un cas particulier . Fig. 107. Soit, en effet, une droite LL' menée à volonté dans le plan d’une ellipse ; et concevons que par chacun des points, II, H', etc., de cette droite on ait mené deux tangentes à la courbe. Supposons, d’ailleurs, l’ellipse rapportée à un système de diamètres conjugués OX, OY, dont l’un, celui des y , soit parallèle à la droite LL', ce qui est toujours possible. Désignons, en outre, par a , 6, les coordonnées du point 11 par exemple, x ', y' exprimant les coordonnées inconnues du point de contact; et raisonnons comme au n° 194. Pour déterminer x' , y', et obtenir, par suite, la valeur B' 2 x' du coefficient d’inclinaison, — J/T~' d ans l’équation de la tangente, on a les deux relations ( 1 ) A' 2 6j' + B' 2 «x' = A ,2 B' 2 , ( 2 ) A' 2 / 2 + B' 2 ^ ; A /2 B' : Cela posé, au lieu de chercher x', y' par l’élimination, 011 peut construire les lieux géométriques de ces deux équations. Or, l’équation (2) 11’esl autre chose que celle de l’ellipse déjà construite, en tant que x' : y 1 sont des variables. TANG. A LA COURBE RAPPORTÉE A DES DlAM. CONJUGUÉS. 23y Quant à l’équation (i) qui représente une ligne droite, il faut, pour obtenir les points d’intersection de cette droite avec les axes, poser successivement y' = o, x' = o ; et il vient pour y — o... x' = —, X = o. . , B ' 3 et ces troisièmes proportionnelles étant portées, l’une de O en P sur OX , l’autre de O en G sur OY, si l’on tire la droite PG et qu’on la prolonge, de côté et d’autre, jusqu’à sa rencontre avec l’ellipse, aux points M, m . on aura les deux points de contact des tangentes menées du point H. Remarquons maintenant que l’abscisse — du point où cette droite rencontre l’axe des x , est indépendante de l’ordonnée 6 de ce point; d’où il suit que, si l’on considère un second point H', ayant pour coordonnée a , 6', la droite de jonction, M' m', des deux points de contact doit passer par le même point P de l’axe OX. Comme un raisonnement analogue pourrait s’appliquer à un tout autre point pris sur LL', on est en droit de conclure que : Une droite étant tracée arbitrairement dans le plan d’une ellipse , si de chacun de ses points on mène deux tangentes à la courbe, et quon joigne les deux points de contact par une droite, ces droites de jonction (qu’on nomme ordinairement lignes de contact) doivent toutes passer par un même point; lequel se trouve placé sur le diamètre conjugué de celui qui est parallèle à la droite donnée. Le point de concours P est dit le pôle de la droite LL', qui reçoit, par contre, la dénomination de polaire. La propriété du n° 194 n’est, comme nous l’avons déjà dit, qu’un cas particulier de celle-ci; car on avait supposé pour la précédente que la droite tracée sur le plan était perpendiculaire, soit au premier, soit au second axe principal de la courbe. 238 r>E l’ellipse; Fig. io 7. N. B. — Tant que la droite donnée est extérieure h la courbe, auquel cas l’abscisse o, Les deux inégalités sont évidentes pour des points tels que N, N', pour lesquels on a NPMP. Quant au point N", dont l’ordonnée tombe entre les points A cl B, comme on a OP"<^OB ou x A , CARACTÈRES DES POINTS DE LA COURBE. 1 .\I il en résulte A 1 B 5 — B 2 .r 2 > o, d’où, à fortiori, A 2 j 2 — B 2 a: 2 -t- A 2 B 2 > o, 217. La définition de l’hyperbole fournit un autre caractère. Pour tout point sur la courbe, on a (n° 134) Fie F'M — MF =2 A. Soit maintenant un point intérieur R, et joignons-le aux points F', F ; on a F'R = F'M + MR, et RF < MF-f-MR; d’où l’on déduit F 7 R — RF> F'M — MF, et, par suite, F'R — RF>2 A; mais pour un point extérieur en le joignant aux points F', F, et tirant F'M , on a F' R' — R' M < F'M ; d’où F'R'—R'M —MF, ou F'R'— R'F < F'M — MF; donc F'R'— R'F < 2 A. Ce qui démontre que pour tous les points intérieurs , la différence de leurs distances aux deux foyers est plus o r an de que le premier axe, et que pour tous les points extérieurs, celte différence est moindre que le premier axe. 218. De l’équation de l’hyperbole mise sous la forme j 2 _ B 2 _j 2 __ B 2 x 1 —A 2 A 2 * (a:-f-A)(x — A) A 2 * on déduit, comme pour l’ellipse, que Le carré de l’ordonnée est au produit des distances du pied de Vordonnée aux sommets de la courbe dans un rapport constant, celui des carrés du second et du premier axe. La différence à noter, c’est que dans l’ellipse le pied p 1G Ap. de l'Al. h la O. I 6 « 2.4a de l'hyperbole; de l’ordonnée est situé entre les sommets A, B, tandis que dans l’hyperbole il est placé sur le prolongement de AB, soit à droite, soit à gauche. Lorsque pour l’hyperbole, on suppose B = A, ce ’qui donne (n° 136) l’hyperbole équilatère, la relation devient y 2 =[x - f- A ) ( .z — A); ce qui signifie que le carré de l’ordonnée est égal au rectangle des segments du premier axe, compris entre les sommets de la courbe et le pied de l’ordonnée ; propriété analogue à celle du cercle. 219. En comparant l’équation de l’hyperbole équilatère, y 2 = x 2 — A 2 , à celle du cercle décrit sur le premier axe d’une ellipse, savoir (n° 174) j*— A 2 —.* 2 , on reconnaît que l’hyperbole équilatère est à l’hyperbole quelconque ce que le cercle est à l’ellipse. Ainsi l’on démontrerait, comme on l’a fait pour l’ellipse (voyez la fin du n° 176), par rapport au cercle décrit sur le grand axe comme diamètre, que les segments, compris entre deux ordonnées parallèles, d’une hyperbole quelconque et de l’hyperbole équilatère dont les axes principaux sont égaux au premier axe de la première, sont entre eux dans le rapport constant du second axe au premier. Mais, afin de tirer parti de cette relation pour l’évaluation des aires hyperboliques, il faudrait savoir évaluer la surface d’un segment d’hyperbole équilatère. § T. — Diamètres dans l’hyperbole. — Diamètres conjugués. — Cordes supplémentaires; —leurs relations AVEC LES DIAMÈTRES CONJUGUÉS. 220. Tous les diamètres de l’hyperbole sont des lignes droites passant par le centre. Fie. no. Même démonstration et mêmes calculs qu’au n°177, sauf l’échange de B a en — B s ; ce qui conduit, si l’on désigne par a le coefficient d'inclinaison d’une corde quelconque MM' et de toutes les cordes qui lui sont parallèles, à l’équation DIAMÈTRES CONJUGUÉS. B 2 pour représenter le diamètre LL' passant par les milieux de ces cordes. 221. Diamètres conjugués. — Si l’on considère, avec le diamètre LL', un autre diamètre RK' parallèle à la corde MM', et représenté en conséquence par l’équation y — ax, on conclut pareillement, i° que ce dernier passe par les points milieux d’un système de cordes parallèles au premier; 2 0 que, par suite, ces deux diamètres, étant tels que chacun divise en deux parties égales les cordes parallèles à l’autre, sont des diamètres conjugués ; 3° que l’hyperbole a une infinité de systèmes de diamètres conjugués y 4° que les coefficients d’inclinaison de deux diamètres d’un même système, tels que LL' et KK', sont liés par la relation , B 2 tang a tang a' = —^ a et a! étant les angles que ces diamètres forment respectivement avec l’axe des x. 222. On déduit, également, de l’équation de la courbe, — A 2 B 2 , que les axes principaux forment un système de diamètres conjugués. B 2 La relation tang a tanga' — — montre, d’ailleurs, que ce système de diamètres conjugués perpendiculaires, est le seul rectangulaire que puisse avoir l’hyperbole, de quelque nature qu’elle soit, puisqu’en aucun cas on ne saurait avoir B 2  2 — ~~ 1 ' O 11 remarquera seulement que si l’on a B = A, auquel cas l’hyperbole est èquilatère, les angles que font entre eux deux diamètres conjugués quelconques, satisfaisant à la 16. Fig. i a44 «e l’hyperbole; condition tang a tang a! = i, sont complémentaires l’un de l’autre. 223. Nous savons déjà que dans l’hyperbole, les diamètres ne rencontrent pas tous la courbe ; ce qui les a fait distinguer en deux sortes , savoir : diamètres transverses et diamètres non transverses . Nous avons vu, d’ailleurs (n° 138,^1^. 8o), que si l’on forme sur les axes 2 A , 2 B le rectangle RR'SS', et que l’on tire les diagonales RS', SR', ces droites prolongées indéfiniment forment, pour les droites passant par le centre, deux lignes de séparation placées entre celles qui sont susceptibles de rencontrer la courbe et celles qui ne peuvent la rencontrer. Pour construire ces lignes sur la figure actuelle, il suffit d 'élever au point B une perpendiculaire indéfinie, et de porter sur cette perpendiculaire deux distances BR, BS, égales au demi-seconc? axe B, puis de tirer les droites' OR, OS, en les prolongeant indéfiniment; ce qui donne les droites HH', II'. Cela posé, remarquons que, d’après la relation , B ’ tang a. tang a! = — , qui existe entre les directions de deux diamètres conjugués, si l’on suppose . B tang « < -, ce qui donne un diamètre transverse, on a nécessairement B tanga >-• Donc le conjugué du premier diamètre est non transverse. On voit, de plus, que l’angle « augmentant de manière à rester moindre que HOX, l’angle a.' diminue en restant toujours plus grand que HOX. Ces deux diamètres se rapprochent ainsi de plus en plus CORDES SUPPLÉMENTAIRES. 245 de HH', jusqu’à ce qu’enfin on ait a = HOX, d’où il résulte nécessairement <*!= HOX; auquel cas les deux diamètres viennent à se confondre en un seul et avec la droite HH'. N. B. —Nous ajouterons à ce qui vient d’être dit que le premier axe i A est le plus petit de tous les diamètres transverses ; ce qu’on reconnaît en observant que la distance OB est la plus courte ligne qu’on puisse mener du centre à la tangente BBS, et à fortiori à un point quelconque de la courbe. 224. Cordes supplémentaires. —On donne ce nom à deux droites, telles que AM et BM ou AM' et BM', qui, partant des sommets A et B du premier axe, se rencontrent sur la courbe ; plus généralement, à deux droites menées des extrémités d’un diamètre transverse à un point de la courbe. En reprenant , pour l’byperbolc, les mêmes calculs que pour l’ellipse (voir les n os 181, 182), on démontrerait : i°. Que les angles MBX, MAX sont liés entre eux par la relation n, «' exprimant les tangentes trigonoinétriques de ces angles ; 2 °, Que cette même relation existe entre les angles que forment avec le premier axe deux cordes supplémentaires partant des extrémités d’un diamètre transverse quelconque. [Pour l’hyperbole équilatère , le rapport constant — se réduisant à i, il s’ensuit que les cordes supplémentaires forment avec le premier axe des angles compléments l’un de l’autre.] D’un autre côté, on a, pour tout système d c diamètres conjugués, la relation lang a ., lang a = — • Fig. iii. 246 de l’hyperbole; Donc, si l’on suppose tang a = a , c’est-à-dire l’un des diamètres parallèle à l’une des cordes, il en résulte tang a! — a', ou l’autre diamètre parallèle à la seconde corde. De là se déduit, comme pour l’ellipse, un moyen d’obtenir le diamètre conjugué d’un diamètre donné. Soit NK le diamètre donné : tirez la corde AM parallèle à NK, et joignez le point M au point B, puis tracez K'N parallèle à BM. Vous obtenez ainsi le diamètre conjugué de NK. IG. 225. Angle DE DEUX CORDES SUPPLÉMENTAIRES. - Le calcul du n° 184, appliqué à l’hyperbole, donnerait tang AMB 2 AB 2 (A 2 -+- B 2 ) y' 5 or ce résultat démontre que l’angle AMB, ou AM’B, de deux cordes supplémentaires, correspondant à une valeur positive de y\ est toujours aigu, et que y' croissant depuis zéro jusqu’à F infini, cet angle décroit depuis 90 degrés jusqu’à o. B 2 La relation a.a' = — , qui existe entre les directions de A 2 deux cordes supplémentaires par rapport au premier axe, conduit au même résultat. En effet, le produit des deux tangentes a , a' étant positif, ces tangentes sont nécessairement de meme signe ; par suite, les angles correspondants MAX, MBX, ouM’AX, M’BX sont tous les deux aigus, ou tous les deux obtus ; donc leur différence, AMB ou AM'B, est un angle aigu. B B Comme, d’ailleurs, pour a = - , on a aussi a' — - il s’ensuit que les cordes supplémentaires qui correspondent à un point de la courbe situé à l'infini, deviennent parallèles ou font un angle nul. Elles sont parallèles, soit à la droite OH, soit à la droite 01 , suivant la branche de courbe que l’on considère. L’hyperbole étant symétrique par rapport à son premier tangente et normale. Al axe, les mêmes conséquences que ci-dessus ont évidemment lieu pour les parties inférieures des deux branches, c’est- à-dire pour le cas de y' négatif. Enfin, si l’on se reporte à la relation qui lie deux diamètres conjugués et deux cordes supplémentaires , on peut conclure de ce qui vient d’ôtre dit, que l’angle de deux diamètres conjugués d’une hyperbole n'est pas, comme dans l’ellipse, compris entre certaines limites. § 11. — De la tangente a l'hyperbole et de ses i>ro- P1UÉTÉS PAU RAPPORT AUX DIAMÈTRES ET AUX RAYONS VECTEURS. Tangente menée par un point de la courbe. 226. L’équation de l’hyperbole étant A 2 y 2 — — A 2 B 2 , on trouverait pour l’équation delà tangente en un point | x\ y' j de cette courbe ( voyez le u n 186), pourvu qu’on y joigne la relation A 2 y' 2 — B 2 a/ 2 = — A 2 B ! qui exprime que le point [a:', y' J se trouve sur la courbe. L’équation ( 1 ) peut se simplifier au moyen de la relation précédente, et devient ( 2 ) A 2 yy' —B 2 xx' —— A 2 B 2 , résultat qui ne ditïêre de l’équation de l’hyperbole qu’en ce que les rectangles yy ', xx 1 , remplacent les carrés y % .xL 227. Expression de la sous-tangente. —Si dans le- p quation ( 1 ) non simplifiée , on pose y — o, il en résulte , „„ A 2 r' 2 A 2 -*' 2 * — x', OU PR =- —T = - ; - B 2 x x Celte valeur est essentiellement négative pour toute valeur positive de x', puisque l’on a x' f> A ; et cela doit être, d’après la position qu’occupe nécessaire- I 12 248 de l’hyperbole 5 ment par rapport au point P, le point R où la tangente rencontre l’axe des x. Elle devient nulle, lorsqu’on suppose x'— A, ou le point de contact en B. Fig. il?.. 228. Equation de la normale et expression de la sous-normale.— On a, d’après l’équation (i) de la tangente , pour celle de la normale , et en y faisant y = o, on trouve , ^ B»*' x — x ou PS =-> A 2 valeur toujours positive tant que l’abscisse x' du point de contact est elle-même positive. Si l’on fait x' = A, on obtient pour Vexpression de la sous-normale, B 2 A 7 ou la moitié du paramètre (n° 146), c’est-à-dire Vordonnée qui passe par le foyer. Cette valeur est le minimum de celles que puisse avoir la sous-normale dans l’ hyperbole, tandis que pour Y ellipse (n° 191), la même expression était un maximum. 229. Discutons, comme nous l’avons fait pour l’ellipse, le coefficient angulaire de la tangente, B 2 x' Remarquons d’abord que, dans Yhyperbole, x' ety'augmentant et diminuant en même temps, il est impossible de suivre la marche de la valeur de a , considérée dans son expression actuelle, et qu’ainsi il est nécessaire d’éliminer l’une des variables, y' par exemple, à l’aide de la relation A 2 j' 2 — B’x' J ^= — A 2 B\ On trouve TAJVGENTE ET NORMALE. 249 d’où, substituant dans l’expression de a, et réduisant, Cela posé, ne considérons, pour le moment, que le signe supérieur, et faisons croître x' depuis o jusqu’à -+- 00 . Pour x' = A , il vient Fig. a = oo ; ce qui démontre qu’au point R la tangente est perpendiculaire au premier axe. A» A partir de ce point, x' augmentant, —diminue , et le radical augmente en se rapprochant de Y unité, jusqu’à ce qu’enfin on suppose x'= , auquel cas la première valeur de a , actuellement considérée, devient a = + B Â' Si, maintenant, on cherche à quoi se réduit l’abscisse du point où la tangente qui correspond à la valeur positive de a , rencontre l’axe des x, et qu’à cet effet on fasse j = o dans l’équation (2) dun° 226 , on obtient A* valeur qui devient nulle pour x' = 00 . D’où l’on voit que la tangente se confond alors avec la droite HOH' qui a pour équation B y — - x. A Quant à la valeur négative dea, elle devient pour x'= 00 , B et l’on reconnaît que la tangente se confond avec la droite IOP représentée par l’équation B 2JU I)E h HYPERBOLE ; Ainsi, les droites HH', IF, qui, comme nous l’avons déjà vu au n° 223, sont les limites de séparation des diamètres transverses d’avec les diamètres non iransverses, peuvent encore être considérées comme les limites des tangentes. 230. En continuant la discussion de l’expression on voit que le radical étant toujours moindre que i, tant que x' est compris entre A et oo , la valeur positive de a est nécessairement supérieure à ^ ■> limite qu’elle atteint pour x' = oo . Donc l’angle HOX est le minimum des angles aigus que la tangente forme avec le premier axe. t .A 2 Quanta l’abscisse, —■> du point où la tangente, en général, coupe l’axe des x , elle est toujours positive et moindre que A, tant que le point de contact est sur la brandie positive de la courbe; ce qui veut dire que ce point de rencontre est constamment resserré entre le sommet B et le centre O ; il finit par se confondre avec le centre pour x' = oo . A l’égard de la valeur négative de a , comme dans 1’liy- pollièsc x' — oo , elle se réduit à —5, on eu conclut que l’angle IOX est le maximum des angles obtus que la tangente est susceptible de former avec le premier axe. Tangente menée par un point pris hors de la courbe, ou parallèlement, à une droite donnée. 231. Nous renvoyons, pour ces questions et celles qui en dépendent, auxn os 193 et suivants, parce que les raisonnements, les calculs et les résultats ne dillèrent de ceux relatifs à Y ellipse que par le changement de + IF on — et réciproquement. TANGENTE PAll U Al’P 011T AUX DIAMÈTRES CONJUGUÉS. 20 I De la tangente considérée par rapport aux diamètres conjugués. 232. Multiplions entre elles les deux expressions Fig. ii3. B 2 x' , y' dont la première est le coefficient d'inclinaison de la tangente, et la seconde celui du diamètre MM' passant par le point de contact jQ ; il vient , B 2 a .a _ —• A 2 Comparant cette relation avec l’égalité , B 2 tang a. tang a' = — , qui correspond à deux diamètres conjugués (n° 221 ), on a a a' ■=. tang a. tang a' ; et si l’on suppose ' a — tanga, il en résulte nécessairement a' = tanga'. Ce résultat démontre que le diamètre conjugué de celui qui passe parle point de contact, est parallèle à la tangente. D’où l’on tire (comme pour l’ellipse) un moyen de mener une tangente : i° en un point, donné de la courbe; 2 ° parallèlement à une droite quelconque. Voyez, pour la construction, le»n°196, en observant toutefois que, quant au second problème , il ne peut y avoir de solution qu’autant que la droite donnée forme avec le premier axe un angle au moins égal à l’angle TOX, ou un angle au plus égal à l’angle tOX. C’est une conséquence de ce qui a été dit au n° 230. Propriétés de la tangente par l’apport aux rayons vecteurs correspondants. 233. Quoique les calculs soient analogues à ceux qui Fig. i 232 DE l’hyperbole; ont été exécutés pour Y ellipse (n° 197), nous les répéterons parce qu’ils comportent une modification importante. 1 4- Soient MPl la tangente, et FM, F'M les rayons vecteurs qui lui correspondent. Désignons par a, a ', a", les coejficients d’inclinaison de la tangente et des rayons vecteurs, par V, Y', les angles FMR, F'MR. On a, d’après la figure, d’où FMR ou V = MFX — MRX, F' MR ou V' = MRX — MF'X; tangV a — a a — a - i tang V =-j- 14- an ° i + 2A, - il s’ensuit, d’abord, que le point F de cire. NF est extérieur à cire. 2 A. Soit, ensuite, pris sur NF' une partie NF" égale à NF; comme, par hypothèse, le point N est extérieur à la courbe 7 on a (n° 217 ) F'N — NF < 2 A , d’où F'N —NF" ou F'F"< 2 A, Fig. i i Fig. ii 206 de l'hyperbole; en sorte que le point F" de cire. NF est intérieur à cire. 2 A. Donc les deux cercles se coupent. 5. 236. Remarque. —Les dénominations de foyers et de rayons vecteurs se justifieraient, Corinne pour Vellipse, au moyen du principe de Physique sur l’égalité des angles d’incidence et de rêjlexion. Car de l’égalité des angles FAIT et TMF', FAT T' et T'ATF', on conclut celle des angles FAIT et /"Ali, FATT 7 et /ATT, etc.; d’où il suit que des rayons de lumière ou de chaleur émanés du point F, et allant frapper la courbe en des points AI, AT, etc., se réfléchiraient suivant des droites AI/, AT/', etc., qui, prolongées en sens contraire, iraient toutes aboutir au point F. Conséquences des propriétés de la tangente considérée par rapport aux rayons vecteurs. ^ 237. Si des foyers F, F', on abaisse des perpendiculaires FI, F'T, sur la tangente, on ferait voir, comme pour T ellipse (n 03 201 et 202) : i°. Que les distances du centre aux pieds I, I', des perpendiculaires abaissées de chacun des foyers sur la tangente sont égales au demi-premier axe A ; en d’autres termes, que cire. A est le lieu géométrique des pieds de toutes les perpendiculaires abaissées de chacun des foyers sur les tangentes; 2 0 . Que le produit des perpendiculaires FI, F'I' abaissées des deux foyers sur une tangente quelconque AIR, est constant et égal au carré B 2 de la moitié du second axe. § III. — Propriétés de l’hyperbole rapportée a des DIAMÈTRES CONJUGUÉS. 238. En répétant pour Yhyperbole les calculs et les raisonnements qui ont été faits au n° 204 pour Yellipse, ou est conduit aux relations suivantes : (1) A 2 sinasina'—B 2 cos a cos a' = o, d’où , B 2 (2) tang a tanga = — t .«jpS*»'-’" PROPR. DE LA COURBE RAPPORTÉE A DES DIAM. CONJUG. 207 (3) (A 2 sin 2 a' — B 2 cos 2 a' )/ 2 + (A 2 sin ! a — B 2 cos 2 a) ,r 2 = — A 2 B 2 , — A 2 B 2 A 2 sin 2 a — B 2 cos 2 a ’ (4) pour y = o, .r 2 — A 2 B 2 (5) pour x = o B 2 cos 2 a' A 2 sin 2 a! relations qui fournissent le moyen de passer de l’équation de l’hyperbole rapportée à ses axes à celle de la même courbe rapportée à un système de diamètres conjugués. Mais avant de former cette dernière équation , commençons par prouver que les valeurs de x 2 et dey ! , correspondant respectivement aux hypothèses y = o, x = o, sont de signes contraires. Ces valeurs (4) et (5) peuvent, en effet, être mises sous la forme cos 2 a ( A 2 tang 2 a — B 2 ) ’ cos 2 a' ( A 2 tang 2 a! — B 2 ) Or la relation ( 2 ) fait voir que, si l’on a par exemple . B tanga <-, ce qui donne évidemment pour l’expression de x 2 une valeur positive, il faut, par compensation, que l’on ait en même temps tang a' en sorte que la valeur de y" 1 est négative. D’où l’on conclut que, si la valeur de x correspondant à y — o , est réelle, la valeur de y correspondant à x = o , est imaginaire , et réciproquement ; en d’autres termes, que Yun des deux diamètres auxquels la courbe est actuellement rapportée, rencontrant la courbe, ou étant transverse, son conjugué est non transverse; résultat qui s’accorde avec ce que l’on a établi au 11 0 223. Si maintenant on prend le diamètre transverse pour nou~ vel axe des x , et que, par suite, on pose — A 2 B 2 A 2 sin 2 a — B 2 cos 2 a Af>. de VAL à la G. 1 258 uf, l’hyperbole; comme son conjugué est non transverse, il faudra poser - A ’ B2 :_B- A 2 sin 2 a' — B 2 cos 2 A 2 B 2 A 2 sin 2 a' — B 2 cos 2 a’ : A 2 B 2 d’où l’on tire A 2 sin 2 a — B 2 cos 2 a. = , „ — - - g,, et reportant ces valeurs dans la relation (3), on obtient A' 2 j 2 — B' 2 x 2 = — A' 2 B' 2 . Telle est l’équation de Y hyperbole rapportée à l'un de ses systèmes de diamètres conjugués (en nombre infini, d’après la relation unique ( 2 ) qui doit servir à déterminer a et a'). 239. En remplaçant dans les expressions de A' 3 et de B' 3 les sinus et cosinus par leurs valeurs en fonction de la tangente, on parvient aux nouvelles relations A 2 B 2 (1 4 - tang 2 a) A 2 B 2 ( 1 +tang 2 a') n ' -— A' 2 : B 2 — A 2 tang 2 a A 2 tang 2 a'— B 2 et tang 2 a . tang 2 a' = — , qui, par l’élimination de tanga, tanga' ( voyez len° 205), donnent lieu à celle-ci, A' 2 — B' 2 =: A 2 — B 2 ; d’où l’on conclut que dans l’hyperbole, la différence des carrés des demi-diamètres conjugués est égale à la différence des carrés des demi-axes. 240. De même que pour l’ellipse, la résolution du problème inverse de celui du n° 238, et ayant pour objet de remonter de Véquation de F hyperbole rapportée à un système de diamètres conjugués, à F équation de la courbe rapportée à ses axes, conduit à cette même propriété, en même temps qu’à une autre aussi importante. En suivant, pour le détail des calculs, la même marche qu’au n° 206, on arrive aux résultats suivants : A' 2 COS 2 a — B' 2 COS 2 (0 — a ) = A 2 , A' 2 sin 2 a — B' 2 sin 2 (0 — a ) = — B 2 , — A' 2 B' 2 sin 2 0 — — A 2 B 2 . PROMU 1)E LA COURBE RAPPORTÉE A DES DIAM. CONJUG. 20$ L’addition des deux premières relations donne A' 2 — B n — A 2 — B 2 , ou la propriété déjà démontrée ; et la dernière, qui revient à A! B' sin 9 = AB , ou 4 A' B' sin 9=4 AB , » signifie que, comme pour l’ellipse, Le parallélogramme construit sur un système de diamètres conjugués est constant , quel que soit le système, et équivalent au rectangle construit sur les axes. Nous reviendrons sur cette propriété, pour expliquer la disposition de la Jîg. 1 13 , qui s’y rapporte. 241. Remarque. — La relation A' 2 — B' 2 = A 2 — B 2 montre que, si l’on a on a de même A = B. A' R, et que si A est différent de B, on ne peut pas avoir A! égal à B'. D’où l’on conclut que, dans l’hyperbole équilatère, tout système de diamètres conjugués est un système de diamètres égaux j et que dans une hyperbole qui n’est pas équilatère, il ne saurait exister aucun système de diamètres conjugués égaux. Une ellipse, au contraire, admet toujours (n° 208) un système de diamètres conjugués égaux, et n’en admet qu’un seul. 242. Autres propriétés de l’hyperbole rapportée a un SYSTÈME de DIAMÈTRES CONJUGUÉS, ET TANGENTE A LA COURBE. — Comme pour Y ellipse (n° 209), toutes les propriétés de l’hyperbole démontrées indépendamment de Vinclinaison des axes, s’étendent au cas où la courbe est rapportée à un système de diamètres conjugués. C’est ce qu’on peut reconnaître en répétant, notamment pour les propriétés énoncées aux n os 209 et 210, les mêmes raisonnements. 2Ôo de l'hyperbole; De même, l’équation de l’hyperbole rapportée à un système de diamètres conjugués étant A ' 2 y 2 — B ' 2 x 2 = — A ' 2 B' 2 , on trouverait pour l’équation de la tangente menée par un point \x ’, y'J pris sur la courbe, ou, réduisant, A ' 2 y y — B ' 2 X x' = — A ' 2 B ' 2 ; puis , passant à la tangente menée par un point extérieur , on serait conduit à des propriétés analogues à celles qui ont été établies pour Y ellipse ( voyez les n os 212 et 213). § IV. — Des asymptotes de l’hyperbole. 243. Une ligne droite tracée sur le plan d’une courbe est dite asymptote de cette courbe, lorsque celle-ci ou seulement l’une de ses branches s’approche continûment et indéfiniment de cette droite. En termes analytiques, une droite asymptote à une courbe est une ligne telle que, si l’on suppose la droite et la courbe rapportées au même système d’axes , la différence entre leurs ordonnées correspondant h une même abscisse décroît de plus en plus à mesure que l’abscisse augmente, et devient moindre que toute grandeur donnée quand cette abscisse est infinie. De cette double définition il résulte évidemment qu’une courbe, ou une branche de courbe, ne peut avoir éi asymptote qu’autant qu’elle s’étend à Y infini. 244. Afin de reconnaître si I’hypeubole a des asymptotes, nous établirons, en premier lieu, les conditions auxquelles doit satisfaire une droite située dans le plan de la courbe pour la rencontrer à Y infini. A cet effet, il suffit de combiner l’équation (î) A 2 y 2 — B 2 x 2 = — A 2 B 2 avec l’équation générale d’une droite (2) y — dix -f- n, DÉFINITION ET DÉTERMINATION DES ASYMPTOTES. 26 1 puis de déterminer les constantes m et n de manière que les valeurs de x etdej^ qui leur satisfont simultanément, deviennent infinies. O11 trouve, par l’élimination de y, et en ordonnant par rapport à x , ( 3 ) (A 2 ni‘ — B’) x 2 + 2 A 2 mnx + A 5 (B 2 4- n 1 ) = o. Or, pour que les deux valeurs de x, tirées de cette équation, soient infinies, il faut et il suffit, d’après les principes de Y analyse algébrique, que l’on ait les deux relations h? ni 1 —B’ = o, 2A ! .m.« = o; mais la première donnant nécessairement , B m = ±~ ■> A la seconde ne peut être satisfaite que par n ~ o. L’équation ( 2 ) devient alors g (4) y = ±-x. D’où l’on voit que les droites HH 7 , II 7 , qui passent par le Fie. ii3. centre , et dont nous avons (n° 138) appris à fixer la position , jouissent toutes deux, et exclusivement à toute autre droite, de la propriété d’avoir leurs deux points d'intersection avec la courbe situés à une distance infinie de l’origine. La valeur dey qu’on vient d’obtenir, portée dans l’équation ( 1 ) de la courbe, donne (B 2 — B 2 ) x 2 = — A 2 B 2 ; d’où l’on tire pour x, et, par suite, aussi pour j-, des valeurs de la forme M x zn — ? o 1 ce qui vérifie le résultat indiqué. N. B. — Des mêmes principes algébriques il résulte que, si dans l’équation (3) on posait seulement A 2 ni 1 — B 2 ~ o, 2>6’a de l’hyperbole; n ayant d’ailleurs une valeur quelconque différente de zéro, les deux valeurs de x seraient, l’une finie, l’autre infinie. Même résultat pour les valeurs correspondantes dey. 245. En second lieu, comparons l’équation (4), ou avec l’équation de la courbe A ’/ 1 — B 1 *•’ = — A 3 B 3 ; et, pour plus de clarté, désignons par Y l’ordonnée qui entre dans l’équation (4) et correspond à une abscisse x commune aux deux droites et à la courbe ; il vient Y = d'où, en élevant les deux membres au carré, Y 3 = B 3  3 x 3 . D'un autre côté, l'équation de la courbe revient à y B 3 A 3 x 3 — B 3 ; et, si l'on retranche cette dernière équation de la précédente, il en résulte * d'où Y ' 3 — y' = B 3 ; Y-jr B 3 Ÿ~T7 ‘ Or, à mesure que x devient plus grand à partir de x= A, les deux ordonnées Y et y augmentent aussi, et il en est nécessairement de même de leur somme Y -hy; d’où il suit que leur différence! —y décroît de plus en plus, et devient moindre que toute grandeur donnée, lorsque x est infini. Fie. n 3. Doue les deu^'droites HH', II', exprimées par T équation (4), sont, d’après la définition donnée n° 243, des asymptotes <ï Fhrperbole , PROPRIÉTÉS UE LA COURBE PAR RAPPORT A SES ASYMPT. 263 Remarquons, en outre, que l’équation , P. y — ± t x + » > A n étant un nombre quelconque différent de o, représente un système de droites respectivement parallèles aux deux asymptotes qui viennent d’être déterminées. Or, bien que ces droites aient un de leurs points d’intersection avec la courbe, situé à Yinfini, elles ne sauraient être des asymptotes. Car si l’on considère, par exemple, la branche d’hyper- Fig. boleBM/n, Y asymptote OH, et une parallèle quelconque à cette asymptote, il ne peut arriver que deux cas : ou la droite OH et sa parallèle sont situées d’«« même côté par rapport à la courbe, ou bien celle-ci se trouve placée entre les deux droites. Dans le premier cas, il est évident que la perpendiculaire commune à ces droites est la moindre distance qui puisse séparer la branche de la courbe et la parallèle considérée. Dans le second cas, la courbe devant se rapprocher continûment et indéfiniment de son asymptote OH, s’écarte, par cela même, nécessairement, de plus en plus de la parallèle à cette droite. Donc, dans aucun cas, les parallèles aux asymptotes HH', II', ne sauraient être elles-mêmes des asymptotes à la courbe. Comme, d’ailleurs, on a vu que les droites HH', II', et leurs parallèles, sont les seules qui rencontrent la courbe à Yinfini, on peut affirmer que l’hyperbole n’a que deux asymptotes, qui sont les droites HH', II'. Propriétés de l’hyperbole par rapport à ses asymptotes. 246. L’hyperbole jouit, par rapporta ses asymptotes, d’un grand nombre de propriétés dont nous allons exposer les plus importantes. Nous ferons, avant tout, une observation essentielle : Lorsque les axes, 2 A, 2 B, d’une hyperbole sont donnés, DE l'hyperbole; 264 la première chose à faire pour sa construction , c’est de fixer la position des asymptotes d’après le moyen indiqué; au n° 223, parce que, ces lignes une fois tracées, on a déjà le sentiment du cours de chacune des branches de la courbe à partir des deux sommets, en raison de la propriété qu’elles ont de se rapprocher d’une manière continue et indéfinie de leurs asymptotes respectives. Cette observation s’étend à toute espèce de courbe ayant des asymptotes rectilignes ou même curvilignes , ainsi que nous en verrons des exemples dans la suite. 247. Première propriété. — Les asymptotes d’une hyperbole étant construites, les deux parties d'une tangente menée en un point, quelconque de la courbe, et comprises entre les deux asymptotes, sont égales. Fig. 11 G. Soient I1H', IF les asymptotes , TMT / une tangente en un point M. Tirons le diamètre M'OM, et supposons déterminé, d’après le procédé du n°224, son diamètre conjugué YY’’, lequel est, comme on l’a vu ( n° 232 ), parallèle à la tangente ; concevons, en outre, pour le moment, l’hyperbole rapportée au système de diamètres conjugués, XOX', OV. O 11 a pour l’équation de la courbe, A' 3 y 3 — IJ ' 3 x 3 = — A ' 3 B' 3 ; et les asymptotes sont, pour le même système d’axes, représentées par la double équation car, en combinant ces équations entre elles, on trouve A' x = zn. — 1 o valeurs qui conviennent exclusivement (n 0J 24-4 et 243) aux deux asymptotes. Or, si dans la double équation de ces droites on fait x = M = O M , y — i; I!'. il en résulte PROPRIÉTÉS DE LA COURBE PAR RAPPORT A SES ASYMPT. 26o Donc les deux portions de tangente MT, MT' sont égales. De plus, on voit que ces distances MT,MT' sont, chacune, égales à la moitié du diamètre conjugué de celui qui passe par le point de contact. 248. Conséquence. —Les droites TT', tt', étant parai- Fig. 116 lèles, et égales à 2 B', la figure TT't't est un parallélogramme-, et ce parallélogramme, dont les côtés sont respectivement égaux et parallèles aux diamètres conjugués qui joignent leurs points milieux, peut être considéré comme construit sur ces diamètres ; ce qui conduit à la proposition suivante : Tout parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués a ses quatre sommets placés sur les deux asymptotes. Les parallélogrammes ainsi construits sont dits inscrits à l’hyperbole, tandis que dans l 'ellipse les parallélogrammes analogues sont circonscrits à la courbe. 11 résulte d’ailleurs de ce qui a été établi au n° 240 que tous les parallélogrammes inscrits à l’hyperbole sont équivalents au rectangle construit sur les axes. On est maintenant en mesure de comprendre pourquoi, dans la figure 1 13 qui se rapporte à ce n°240, le parallélogramme 4 A' B' et le rectangle 4 AB ont, chacun, leurs sommets situés sur les droites HIT, IT, qui ne sont autres que les asymptotes. N. B. — Il convient encore de remarquer que le diamètre MM' est moindre que toute corde mat' de la courbe, menée parallèlement à ce diamètre; car on a MM' =Tt et T /<«/»'. Nous ferons plus tard l’application de celte remarque. 249. Seconde propriété. — Les deux parties d’une sécante quelconque, comprises entre l’hyperbole et ses asymptotes, sont égales. Soit BIT une droite quelconque qui rencontre la courbe jr IC , , [(3 et les asymptotes aux points S,S',R>B/; il s’agit de prou- 2 6'6 ver que l’on a DE L HYPERBOLE-, RS = R'S'. A cet effet, concevons le diamètre OP passant par le milieu P de la corde SS' ; et au point M, où ce diamètre rencontre la courbe, menons une tangente TMT' Cette tangente étant nécessairement (n° 232) parallèle à SS', et sa partie TT' se trouvant, d'après la première propriété, divisée en deux parties égales au point M par la droite OP, il résulte d’un théorème de Géométrie que la droite RR', base du triangle ROR', est elle-même partagée également au point P. On a ainsi PR= PR'; et comme, par construction, on a d’ailleurs il vient PS = PS', PR — PS ou RS = PR' — PS' ou R' S'. Donc, etc. Cette seconde propriété peut, du reste, se démontrer indépendamment de la première, qui n’en est, «à proprement parler, qu’un cas particulier. En effet, supposons la courbe rapportée à un système de diamètres conjugués, dont l’un, celui des y, soit parallèle à la sécante menée à volonté RR', et dont l’autre passe nécessairement (n°221) par le milieu de la corde SS'. L’équation de l’hyperbole étant A'*j’ — B'’*’ = — A'* B'% celle des asymptotes rapportées aux mêmes axes est y ~ X. Or, si l’on fait a' = OP, il vient d’où il suit que les deux valeurs de y , PR, PR', sont numériquement égales. D’un autre côté, on a par construction PS = PS'. PROPRIÉTÉS DE LA COURBE PAR RAPPORT A SES ASYMPT. Donc RS = R' S'. Si maintenant, au Heu de faire x = OP, on pose x == OM, on trouve y = ±B'; et l’on arrive ainsi à l 'énoncé de la première propriété. 250. Troisième propriété. — Le parallélogramme construit sur un système de coordonnées parallèles aux asymptotes a une surface constante et égale au huitième du rectangle des axes, quel que soit le point de la courbe que l’on considère. Soit M un point quelconque de la courbe ; et soient menées les droites MP,MQ, respectivement parallèles aux asymptotes HH', II '5 je dis que le parallélogramme OPMQ, ainsi formé, a pour expression de sa surface 2AX2B 1 - à - ou — AXB. O 2 En elfet, tirons le demi-diamètre OM et la tangente TMT'. Les deux droites MP, OQ étant parallèles par construction, et le point M étant (n° 247) le milieu de TMT', les points P et Q sont aussi respectivement les milieux de OT' et de OT 5 d’où il suit que le triangle TOT' se compose de quatre triangles équivalents comme ayant meme base et même hauteur. Mais le parallélogramme OPMQ est lui-même composé de deux de ces triangles 5 ainsi déjà il est la moitié du triangle TOT'. Or ce dernier est le quart du parallélogramme qui serait construit sur le système de diamètres conjugués correspondant au point M, et par suite (n° 248) du rectangle des axes principaux. Donc le parallélogramme OPMQ est le huitième de ce rectangle. 251. Conséquence. — Si l’on construit ce rectangle Eee'E', et le losange ACBD, dont la surface en est évi- I 268 de l’hvperbole; Fig. 117. demment la moitié, on remarque que le petit losange OLBL', quart du grand, est, par rapport au point particulier B de la courbe, ce que le parallélogramme OPMQ est par rapport à un point quelconque M 5 en sorte que l’on a, d’après la propriété qui vient d’être démontrée, OPMQ = OLBL' = ^ losange ACBD. Or, si l’on désigne par x et y les coordonnées du point M rapportées aux asymptotes comme nouveaux axes, et par 6 l’angle LIOI 7 de ces asymptotes, on a, d’après les principes trigonométriques, OPMQ = x.j.sin 9; ACBD = c Xc.sin 9 = c’.sin 9, c étant égal à s/ A 8 -+- B*. On est donc conduit à la relation d’ xy sin 9 = ^ c 1 . sin 9 = ^ (A 3 + B 3 ). sin 9, ou xy — A 3 -4-B 3 Fig. L’hyperbole rapportée à ses asymptotes. 252. Le résultat simple et remarquable que nous venons d’obtenir, comme conséquence de la troisième propriété, s’appliquant à tout point de la courbe, n’est autre chose que l ’équation de l’hyperbole rapportée à ses asymptotes. On peut y parvenir directement par une transformation de coordonnées. 11 7- Désignons, à cct effet, par a, a' les angles XOF, HOX, que les asymptotes font avec le premier axe, en prenant OI/ pour nouvel axe des x et 011 pour nouvel axe des y. On a (n° 138) B , B tang a = — — > tang «' = -+- - ; d’où l’on déduit (l’angle a étant négatif), cos a cos a y/ 3 + B 3 A ’ y/A 3 + B 3 B sm a + y/A 3 4- B 3 B y/A 3 + Tî ! ÉQUATION DE LA COURBE RAPPORTÉE A SES ASYMPT. 269 Substituant ces valeurs dans les formules x = x cos a + y cos a', y — x sin a 4- y sin a', qui se rapportent (n° 119) au passage d’un système rectangulaire à un système oblique de même origine, on trouve A - (* + /)> V^A 2 y — —- {x—y), . v/A 2 4- B 3 valeurs qu’il ne s’agit plus que de reporter dans l’équation A 2 / 1 — B 2 x 2 = — A 2 B 2 j et l’on obtient, toute réduction faite, -4x r = -(A 2 +B 2 ); d’où l’on tire xy ■ B 2 pour l’équation de l’hyperbole rapportée à ses asymptotes. Le carré égal à est appelé puissance de l’hyperbole. Si l’on représente ce carré par zn*, l’équation devient xy — ni 1 . 253. La discussion de cette équation montre que les Fig. droites XX', YY' ont bien, suivant la définition donnée au n° 243, le caractère à’asymptotes à la courbe. Car en la résolvant successivement par rapport ày et par rapport à x, on trouve ni m' 1 y ~ — J x = — ; * y d’où l’on voit que x augmentant numériquement dans le sens positif ou dans le sens négatif d’une manière continue depuis zéro jusqu’à Y infini, y diminue d’une manière continue depuis Y infini jusqu’à zéro , et réciproquement. 254. L’équation xy = ni, ayant été obtenue (n° 252), indépendamment des propriétés démontrées dans les numéros précédents, on peut s’en servir pour retrouver quelques-unes de ces propriétés, aussi bien que pour en découvrir de nouvelles. Fig. i Fig. i i 270 de l’hyperbole; Ainsi, si l’on multiplie les deux membres par sin 9, 9 étant l’angle des asymptotes, il vient xy sin 0 = /«* sin 0 . 17 . Or xy sin Q est évidemment l’expression du parallélogramme OPMQ construit sur les coordonnées d’un point quelconque de la courbe rapportée à ses asymptotes ; m i sin 9 est, d’ailleurs, une constante qui ne dépend que des axes principaux et de l’angle 9 des asymptotes. Donc tous les parallélogrammes construits sur des coordonnées parallèles aux asymptotes sont équivalents (voir le n° 250). Pour reproduire la relation OPMQ A. B, il suffirait de remplacer, dans m s sinô, m 5 par sa va- leur --» et de calculer sin 9. 4 On a , en effet, d’où sin 0 = sin 2 HOX =r sin 2 a' ; 2 A.B sin 0 = 2 sin a' cos a' = et effectuant la substitution , B‘ ’ xy sin 0 = OPMQ = = I A .B. J v 4 A 2 -f- B 2 2 8 . 255. Equation de la tangente. — L’hyperbole étant rapportée à ses asymptotes , ou son équation étant de la forme ( 1 ) x y = rn\ on propose de trouver l’équation de la tangente en un point \x', y' J de la courbe. L’équation d’une sécante passant par ce point, et par un autre point [x", y"~\ de la courbe, serait r" — y' y -y = ’ x - _ p x' et y', x " cl y", étant liés par les relations x' y' = TANGENTE A LA COURBE RAPPORTÉE A SES ASYMPT. 2^1 Retranchant la première de la seconde, on a y" x" — y'x' = o, nouvelle relation qui peut être mise sous la forme y"(x"-x') + x'(y"-y') = o, d’où l’on déduit y" — y' _ _ff x" ■—• x' x' pour l’expression du coefficient angulaire de la sécante, dont l’équation devient ( 2 ) y —y — (■* — *')■ Si maintenant on veut exprimer que cette droite devient tangente, il faut faire dans l’équation (2 ),y"=y' (par cela même, x"=x' , d’après la relation y"x" — y' x'= o), et l’on obtient (3) y y' — ~i( x x ') pour Y équation demandée. N. B. — Pour passer de la sécante à la tangente, il suffit de poser y" —y', puisque x" n’entre pas dans l’équation de la sécante. Il résulte, en effet, de l’équation de la courbe, xy ~ m' t , qui ne donne qu’une seule valeur de x correspondant à une valeur dey, et réciproquement, que la condition y"—y', entraîne nécessairement x" = x'. Il n’en est pas de même lorsque la courbe est rapportée à ses axes ou à un système de diamètres conjugués, parce qu alors à chaque valeur dey correspondent deux valeurs de x ; d’où il suit que l’on doit, dans ce cas, introduire les deux conditions à la fois. 256. Conséquences déduites des équations ( 2 ) et (3) ; i°- Si dans l’équation (3) on pose y= o, et qu’on 272 de l’hyperbole; Fie. n8, cherche la valeur de x — x' correspondante, on trouve pour l’ expression de la sous-tangente, du Y? x — x' ou PR = — r = x' ou OP. y D’où l’on voit que la distance OR est double de l’abscisse du point de contact, et que, par suite, en raison du paral- lélisme des droites PM et OY, la tangente TR est divisée en deux parties égales au point de contact M; propriété déjà établie au n° 247. 2 0 . Considérons une sécante quelconque SS', et désignons encore par x\ y' et x",y" les coordonnées des points d’intersection N, N 1 ’ avec la courbe; puis, posons également^ = o dans l’équation ( 2 ), qui représente ainsi celle de cette sécante; il vient x? y f x — x' — —— = x" (à cause de x'y 1 = x"y"), ■ ou, d’après la figure QS'=OQ'; d’où, retranchantdes deux membres la partie cotnmuneQQ', Q' S' = OQ = NQ". Les deux triangles NQ"S, N'Q'S', ayant les angles égaux et un côté égal, Q"N = Q' S', sont égaux et donnent NS =N'S'. Donc les deux parties d’une sécante comprises entre la courbe et les asymptotes sont égales; propriété qui a fait l’objet du n° 249. 257. Cette propriété de la sécante à l’hyperbole fournit un moyen extrêmement simple de construire une hyperbole , connaissant les deux asymptotes et us seul point de la courbe. Fig. 1 ig. Soient HH', II' les deux asymptotes et M un point de la courbe. Menez par ce point des droites en nombre quelconque, qui rencontrent les asymptotes aux points S et s , S' et s , S" et s", S'" et s'"; puis, n partir des points î, s\ s", s"\ etc., C0NST. DE LA COURBE PAR POINTS AU MOYEN DES ASYMPT. 2yd portez des distances sm, s'm', s"m ", s m m w , etc., respectivement égales à SM, S'M, S"M, S"'M, etc. -, vous obtiendrez ainsi autant de points que vous voudrez, m, m\ in ", m '", etc., qui appartiendront à la courbe ; et il ne s’agira plus que de lier ces points entre eux par une ligne continue, en ayant soin toutefois de ne joindre que les points situés dans le même angle HOI' ou IOH'. Rien n’empêche d’ailleurs, lorsque plusieurs points ont été déjà obtenus, de s’en servir pour en déterminer de nouveaux. On peut ensuite trouver par le calcul les axes principaux de la courbe. On obtient d’abord leur direction en divisant les angles Fig. ng HOI' et HOI en deux parties égales par les droites XX et YY'. Pour déterminer leurs grandeurs, on a les relations A 2 B ! tang - 9 dans lesquelles x',y' représentent les coordonnées OP, PM, qui sont connues , et ô l’angle des asymptotes. La seconde relation donne A tan; d’où, substituant dans la première, on tire i + tang 2 - 9 et, par suite, a 2 = 4 x ' y' • cos : 2 cos - Q.\/x'y ■ce qui donne 8 = 2 tang - 9. cos- 9 .\jx'y' ~ 2 sin - 9. \fx' — 9 . cos- 9 .\jx’y' ~ 2 sin - 9. y !x'y'. Ap de l’Al, à la G , DE LA PARABOLE; 3.;4 CHAPITRE V. DE LA PARABOLE. observation préliminaire. 258. L’analogie qui existe entre les équations de Vellipse et de l’hyperbole rapportées à leurs axes principaux devait faire pressentir, ainsi que nous l’avons en effet reconnu, que ces deux courbes jouissent de propriétés presque identiques, sauf certaines modifications dans les énoncés, et à l’exception aussi des propriétés qui, se rapportant aux asymptotes, appartiennent exclusivement à l'hyperbole. Il n’en est pas de même pour la parabole, dont l’équation n’offre qu’une analogie assez éloignée avec celles des deux autres courbes, analogie que l’on reconnaît en transportant l’origine des coordonnées de ces courbes à l’une des extrémités de leur premier axe, et qui a été établie aux n os 144etI45. Ainsi la parabole étant, par sa nature, privée de centre, et n’ayant qu’un seul foyer, on conçoit que toutes les propriétés relatives à ces points doivent donner lieu à des différences notables dans l’étude comparée de cette courbe par rapport aux deux premières. De même, la directrice a pour la parabole une importance qu’elle n’a pas pour l’ellipse et l’hyperbole. § I.—Propriétés de la parabole rapportée a ses axes PRINCIPAUX. 259. Commençons par indiquer les caractères analytiques et géométriques qui distinguent les points pris sur la courbe, . de ceux qui sont placés au dehors ou en dedans. Fig. 120 . i°. Soit y*=ipx l’équation de la parabole MAm. Considérons les trois points N, M, N’ situés sur une même perpendiculaire à l’axe des x , et dont le premier se trouve hors de la courbe, le second sur la courbe, et le troisième en dedans de la courbe. CARACTÈRES DES POINTS DE LA COURBE. 2^5 On a évidemment NP > MP et N' P < MP; donc, puisque pour le point M, MP = 2p.AP, ou y 2 —2 px — o, il s’ensuit qu’on a, pour le point extérieur N, J 2 — 2/)X>o, et pour le point intérieur N, y 2 — 2 px <[[ o. N. B. — Si le point extérieur avait la position N ff , l’abscisse AP " de ce point serait négative, et l’on aurait à fortiori y 2 — 2 px o. 2°. Suivant la définition de la parabole (n° 141), chacun de ses points, M, est à égale distance du foyer F et de la directrice DD'. Mais si l’on considère deux points R et R', l’un au dehors et l’autre en dedans de la courbe, en menant par ces points les droites Q'RM', Q^M^R', parallèles à AX, puis joignant le point F aux points R et M', R' et M", on a : Pour le point R , FR -i- RM' >TM' ou M'Q', d’où l’on tire FR > RQ', et pour le point R', FR' < FM" M" R' ou Q" M" + M" R' ; d’où FR' • • •, i -+- m puis de mener par les points Q', Q w , etc., des parallèles à AX. s s f Au moyen de cette condition, les rapports - > -y > etc, î MESURE d’un SEGMENT PARABOLIQUE. 279 deviennent d’où - = 2 +m, t+ • • • ’ OU r ?=*+’»> s - = 2 + m-, ce qui démontre déjà que le rapport entre la somme des rectangles intérieurs et celle des rectangles extérieurs est égal à la quantité constante 2 -+- m. Maintenant, comme il est évident que, si l’on prend pour m une très-petite fraction, la somme des rectangles intérieurs différera fort peu du demi-segment AMP 5 que la somme des rectangles extérieurs différera aussi fort peu de la figure mixtiligne AMQ, et que ces différences seront d’autant plus petites que la fraction représentée par m aura une moindre valeur, on peut conclure qu’n la limite, c’est-à-dire lorsqu’on supposera m= o, les deux sommes de rectangles se confondront avec les surfaces AMP, AMQ, et que l’on aura ainsi, AMP _ AMQ ~ 2 ’ d’où AMP = 2 AMQ ; APMQ = 3 AMQ, et, par conséquent, AMQ = i APMQ , ou AMP = | APMQ = | x.y. Donc, enfin, la surface du demi-segment parabolique AMP est égale aux deux tiers du rectangle construit sur les coordonnées extrêmes . Il résulte de là qu’un segment parabolique est une surface carrable ■ ce qui n’a lieu ni pour le cercle ni pour l’ellipse, dont les aires sont exprimées en fonction du rapport approché de la circonférence au diamètre. § II. — De la tangente a la parabole et de ses propriétés PAR RAPPORT AU RAVON VECTEUR. 2(34. Equation de la tangente et expression de la sous- tangente. — Afin d’obtenir l’équation de la tangente en 280 DE LA parabole; un point [x' , y'] donné sur In courbe, appliquons, sort la méthode du n° 101 comme pour l’ellipse (n° 186 ),. soit la règle des dérivées (n° 102). Il vient pour le coefficient, d'inclinaison, a = P -„ y et, par suite, pour l’équation cherchée, (0 y — y' = P ÿ{ x — x ') ou, simplifiant a l’aide de la relation y' 2 = 2 pxf (2) yy' — p(x-hx'), équation que l’on peut déduire de celle de la courbe en y changeant y 2 enyy', et 2 px ou p ( x -+- x) en p (x-h x') ; ce qui rend cette équation facile à retenir. 123. Soit faity == o dans l’équation simplifiée (2); il en résulte x -h x' = o; d’où x = — x', ou AR ='— AP. Ainsi, pour mener une tangente à la parabole en un point donné M sur la courbe, il suffit de prendre une distance AR égale à l’abscisse AP de ce point, et de joindre, le point M au point R. Si l’on fait, de même, y = o dans l’équation non simplifiée (1), on trouve r ' 2 x — x' = — ‘— — — 2 x f , P pour Y expression de la sous-tangente PR; Ce qui démontre qu’ abstraction faite du signe, la sous- tangente est double de l’abscisse du point, de contact. Le signe dont cette ligne est affectée convient d’ailleurs à sa position actuelle, puisqu’elle se compte à la gauche du point P. 20a. Kquatiojv de la normale et expression de la sous- L’équation de la tangente étant , P NORMALE. TANGENTE ET NORMALE. 28 l on a, pour celle de la normale au même point, y — f =— J —(x — x')-, et si l’on fait encore dans cette équation, y — o, il vient x — x' ou PS = ~ p. T Donc la sous-normale est constante, quelle que soit la position du point de contact , et égale à la moitié du paramètre. 266. Discussion du coefficient angulaire de la tan- Fig. gente. —Comme dans le coefficient d’inclinaison l’ordonnée y' peut passer par tous les états de grandeur, il s’ensuit que la tangente est susceptible de prendre toutes les situations possibles par rapport au premier axe. Soit y' = « > on trouve a — cc ; c’est-à-dire que la tangente menée par le point A est perpendiculaire à AX. Elle est parallèle à cet axe aux points pour lesquels on a /' = <*>• Si l’on veut connaître en quel point la tangente fait avec le premier axe principal un angle de 45 degrés, ou égal à la moitié d’un angle droit, il suffit de poser —, = 1 ; d'où y' — p, y et, par suite, x ' a p 2 ce qui est (n° 142) la valeur de Y abscisse du foyer; D’où il suit que, dans la parabole, la tangente menée par le point de la courbe dont l’ordonnée passe par le foyer, fait avec l’axe des x un angle de 45 degrés. Ce serait ici, d’après l’ordre que nous avons adopté pour 282 DE LA PARABOLE 5 les deux premières courbes, le lieu de considérer la tangente menée par un point extérieur à la courbe; mais nous déduirons la solution de cette question de la propriété suivante. Propriété de la tangente par rapport au rayon vecteur. Fig. 123 . 267 . Menons le rayon vecteur FM, et calculons l’angle FMR, comme nous l’avons fait pour Vellipse. En désignant par a et a' les tangentes trigonométriques des angles MRX, MFX, on a évidemment a' — a tang FMR ou tang V = ; • Or l’équation du rayon vecteur passant par le point F pour lequel on a est de la forme P y = o et x — — , 2 y- et comme il passe en outre par le point de contact ( xy'), il en résulte y Comme on a d’ailleurs d’, OU a — 2 y 2 X l’expression de tang V devient 2 /' _ P_ y' _ 2 y 11 — apx'p 2 ~ 2 x'y' — py' + 2 py' tang V = 2 x — p I ~h ipy' y' (21/— p) ou bien, à cause de y n — 2 px', 2 px' + p’ 1 _ p[yx' p) _ p tang V ix'y' y-pf y’{ix'-\-p) d’où l’on voit que l’angle FMR est égal à l’angle MRF. Ainsi, la tangente divise en deux parties égales l’angle FMII formé par le rayon vecteur FM et une parallèle à l’axe des x, menée par le point M. TANGENTE PAR RAPPORT AU RAYON VECTEUR. 283 C’est ce qu’on peut encore reconnaître ainsi qu’il suit : On a vu (n° 264) que les distances AR et AP sont égales ,• d’où résulte FR = - AP ; 2 d’un autre côté, DD' étant la directrice, il vient FM = MG = - -H AP; 2 donc angle FMR = angle MRF = angle RMH. 268. Cette propriété fournit le moyen de mener une tangente par un point de la courbe, ou par un point pris hors de la courbe. i°. Pour mener une tangente par le point M, Fig. 123 Tirez la ligne MH parallèle à AX ; joignez le point F au point G, où cette parallèle rencontre la directrice ,• puis abaissez MR perpendiculaire sur FG. Vous aurez la tangente demandée; car, le triangle FMG étant isocèle, la ligne MR divise en deux parties égales l’angle au sommet FMG. On peut reconnaître, à posteriori, que la bissectrice de l’angle FMG n’a que le point M de commun avec la courbe. En effet, soit N un autre point quelconque de cette ligne, et tirons les droites FN et GN, puis abaissons la perpendiculaire NK sur DD'. On a, d’après la construction, NF=NG; mais l’oblique NG est plus grande que la perpendiculaire NK ; donc NF est plus grand que NK, et, par conséquent (n° 259), le point N est situé hors de la courbe. Il est à remarquer que cette construction dépend uniquement de la définition de la parabole. 2 °. Pour mener la tangente par un point N situé hors de la courbe, Décrivez de ce point comme centre, avec un rayon égal à la distance NF, une circonférence de cercle qui coupe la directrice au point G ; menez Gf parallèle à AX. 284 de la parabole; Le point d’intersection M, de cette parallèle avec la courbe, est le point de contact. Car on a, par construction , et d’après la définition de la parabole (n° 141), NG = WF, et MG = MF ; donc la ligne NM est perpendiculaire sur le milieu de la corde FG, et divise l’angle FMG en deux parties égales. La même circonférence rencontre la directrice en un second point G', tel que, si, par ce point, on mène une ligne parallèle à AX , le point où cette parallèle rencontre la courbe est le point de contact de la seconde tangente qu’on peut mener par le point N. Conséquences de la propriété précédente. ic. 123. 269. Première conséquence. —Si l’on suppose un foyer de chaleur placé au point F, tous les rayons qui viennent tomber sur les différents points de la courbe, devant se réfléchir de manière à former un angle de rèjlexion égal à celui d’incidence, prendront nécessairement une direction telle que M/’, parallèle à l’axe principal. Cela explique pourquoi l’on donne à certaines surfaces réfléchissantes la forme parabolique. 270. Seconde conséquence. —On vient de voir que, si l’on joint le point F au point G, la ligne de jonction FG est perpendiculaire sur la tangente, et se trouve divisée en deux parties égales par cette tangente. D’un autre côté, l’axe des y, parallèle à DD', étant mené par le point A milieu de BF, passe nécessairement par le milieu de FG. Donc le pied I de la perpendiculaire abaissée du point F sur la tangente, est situé sur l’axe des y. Ce qui démontre que Si du foyer on abaisse des perpendiculaires sur les tangentes, le lieu géométrique des pieds de toutes ces perpendiculaires n’est autre chose que le second axe de la parabole. DIAMÈTRES DE LA COURBE ET AXES CONJUGUÉS. 285 Cette propriété correspond à celle du n° 201 relative à l’ellipse. § III.—Diamètres de la parabole. — Axes conjugués. 271. En partant de la définition générale du diamètre Fig. 124 . d’une courbe (n° 177), il est facile de reconnaître que, dans la parabole, tous les diamètres sont des droites parallèles à l’axe principal. En efïet, si l’on combine l’équation y 2 = 2 px avec l’équation générale y — ax -+- b d’une corde, telle que MM', et qu’on élimine d’abord l’abscisse x , il vient r— ■ ip r-+- 2 pb a — o. Or, en désignant par x' et y\ x" et y" les coordonnées des points M, M', communs à la courbe et à la corde, puis par X et Y celles du point milieu N, on a (n° 96) x = ^ r ' + ^ r ' , , y = • r ' + r " . 2 ’ 2 ’ d’un autre côté, l’équation ( 1 ) étant du second degré en y, la moitié du coefficient de j, pris en signe contraire, est égal à D’où résulte la relation ( 2 ) Y P a Comme la quantité a est une constante pour toutes les cordes parallèles à MM', il s’ensuit que la valeur de Y est elle-même une constante , quel que soit X. L’équation ( 2 ) est donc celle du lieu géométrique des points milieux de toutes les cordes 5 et l’on voit que ce lieu n’est autre chose qu’une droite parallèle à l’axe principal. 272. Axes conjugués. —De l’équation ( 2 ) on déduit a86 de la parabole; Fig. 124. pour le coefficient dinclinaison de la corde MM 7 par rapport au diamètre LL' ou à l’axe AX, qui lui est parallèle, P a — y’ Y représentant l’ordonnée du point L. Or ce coefficient est aussi (n°264) celui de la tangente ir au même point L. Donc, la tangente en un point de la parabole est parallèle à toutes les cordes par le milieu desquelles passe le diamètre correspondant à cette tangente. On donne le nom d’AXES conjugués au système des deux droites LL', IF, dont le système des axes principaux n’est, en quelque sorte, qu’un cas particulier. De la parabole rapportée à un système d'axes conjugués. Fig. 125 . 273. Il résulte évidemment de ce qui vient d’être dit, que l’équation de la parabole rapportée à un système d’axes conjugués A'X', A'Y', doit être de la forme y’ — kx, k étant une constante, qui dépend de la position du point A' sur la courbe. Afin de déterminer par l’analyse la valeur de cette constante, nous procéderons comme pour Vellipse et l 'hyperbole (n os 204 et 238) ; et nous nous proposerons cette question : Étant donnée l’équation de la parabole rapportée à ses axes principaux , trouver l’équation de la même courbe rapportée à un système quelconque d’ axes conjugués, c’est-à-dire à un système tel, que l’équation conserve la forme qu’elle affecte quand la courbe est rapportée à ses axes principaux. L’équation de la parabole rapportée à ses axes principaux étant ( 1 ) y'=ipx, substituons pour x,y , leurs valeurs x = x cos a y cos a' -t- a, y r= x sin a -+- y sin a! -+- b, PROPR. DE LA COURBE RAPPORTÉE A DES AXES CONJUGUÉS. 287 au moyen desquelles (n° 115) on passe d’un système rectangulaire à un système oblique d'origine différente ; il vient sin 1 a'. y 1 -f- 2 sin a! . sin a.xy sin 2 a.x 1 -4- ( 2 b sin a! — 2 p cos a' )y -4- ( 2 è sin a — ip cos a)x b 1 — 2 pa Cette équation devant se réduire à la forme y' = il faut poser les relations de condition : sin a'. sin a = o, sin 2 1 = 0, b sin a' — p cos a! — o, b 7 — o.pa = o ; et l’équation ( 2 ) devient alors (3) y 1 — sin 1 a' x. Avant d’évaluer géométriquement le coefficient de .r, remarquons d’abord que la seconde relation de condition entraînant nécessairement la première , on n’a réellement que trois équations distinctes pour déterminer les quatre quantités a. , a', a , b. Ainsi le nombre des systèmes d’axes par rapport auxquels l’équation conserve la forme ci-dessus, est infini. La relation sin a = o nous apprend d’ailleurs que le nouvel axe des x, qui, d’après la forme de l’équation (3 ), est un diamètre de la courbe, est parallèle à l’axe principal -, ce qui confirme le résultat énoncé n°271, savoir que, dans la parabole, tous les diamètres sont des parallèles à l’axe principal. En second lieu, la relation b 1 — 2 pa — o étant ce que devient l’équation y 1 — 2 px , ou y 1 — 2 px = o , lorsqu’on y remplace x et y par les coordonnées a et b de la nouvelle origine, on doit conclure que cette origine est placée sur la courbe. 288 DE LA PARABOLE; Fig. i 25. Donnant à a une valeur arbitraire, on tirera de l’équation b 2 — 2 pa = o, la valeur correspondante de b ; et le point A', déterminé par ces valeurs, représentera la nouvelle origine. Enfin, la relation b sin a' — p cos a! — o, donne , P tanga = p expression qui, comparée à la valeur P X trouvée pour le coefficient d’inclinaison de la tangente k la parabole, prouve que le nouvel axe des y est tangent à la coui'be. [Ces résultats s’accordent avec ce qui a été dit au n° 272 sur les axes conjugués.^ Reprenant le coefficient de x dans l’équation (3), on voit que la relation tanga donne cos 2 a et, par conséquent, sin 2 a' ou tang 2 a! cos 2 a! d’où 4a-h ip — 4 Or, si l’on suppose que AQ soit l’abscisse de la nouvelle origine A! rapportée aux anciens axes, et qu’on tire le rayon vecteur FA', on sait (n° 207) que ce rayon vecteur a pour expression Donc PROPR. DE LA COURBE RAPPORTÉE A DES AXES CONJUGUÉS. 289 c’est-à-dire que le coefficient de x dans l’équation (3), ou te paramètre de la parabole rapportée à un système d'axes conjugués, est égal au quadruple de la distance du foyer à la nouvelle origine. Désignant par 2 p ' ce nouveau paramètre, on obtient yl _ 2 p’ X pour l’équation de la parabole rapportée à l’un de ses diamètres. Nous pourrions encore ici, comme nous l’avons fait pour X ellipse et Yhyperbole, nous proposer, réciproquement, de passer de l’équation de la parabole rapportée à un système d'axes conjugués, à celle de la courbe rapportée à ses axes principaux ; mais ce calcul ne conduirait à aucun résultat important. 274 . L’équation d’où l’on tire '-p'*, 2 p’, prouve que, pour un système quelconque d’ axes conjugués, les carrés des ordonnées sont proportionnels aux abscisses correspondantes ; c’est la propriété du n° 260 généralisée, puisque les axes principaux forment un système particulier d’axes conjugués. Cette propriété étant vraie quelle que soit l inclinaison des axes, on peut, par un procédé analogue à celui qui a été employé (n° 210) pour l’ellipse, construire la parabole, connaissant Yangle de deux axes conjugués et le paramètre correspondant. Soient AX, AY les deux axes conjugués donnés. Élevez au point A une perpendiculaire AY' à AX, et Fig. 126 construisez sur AX, AY', considérés comme axes principaux, une parabole ANN' ayant 2 p' pour paramètre; menez ensuite de différents points P, P', etc., des parallèles à AY' et à AY, et prenez des parties PM, P'M', etc., égales à PN, P'N', etc. Les points M, M', etc., appartiendront à la courbe demandée. Ap. dc^l Al. à la G. l 9 DE LA parabole; 290 De la tangente à la parabole rapportée à un système d'axes conjugués. Fig. 125- 275. Tangente menée par en point pris sur la courbe, et sous-tangente. — La solution du problème des tangentes étant indépendante de Vinclinaison des axes, on a pour l’équation de la tangente en un point M, (x\ y'), de la courbe, y— y'=-,(*■ A J X 7 ), Fig. 17 .’]. ou, simplifiant à l’aide de la relation y n = 2 p'x yy'=p' (x + x). Si l’on fait / = o dans cette dernière équation, on trouve x — — x' ou A' R = — A' P. La même hypothèse introduite dans l’équation non simplifiée de la tangente donne , y n , X - X = - — = — 2 X, P pour l’expression de la sous-tangente PR; d’où l’on voit que la sous-tangente est négative et numériquement double de F abscisse du point de contact. Ces résultats sont conformes à ceux du n° 264. Quant à la propriété démontrée n° 265 pour la sous-normale, elle ne saurait exister par rapport à des axes conjugués obliques, puisque le coefficient de x dans l’équation de la normale dépend essentiellement (n° 64) de leur inclinaison . 27 6 . Tangente menée par un point extérieur. — Si l’on propose de mener une tangeçte par un point N ou [a, S] donné hors de la courbe, on a, pour déterminer les coordonnées x',y', du point de contact, les équations y , ' 1 —7p'x' et îy' — p' (a - 4 - x 1 ). Mais au lieu d'effectuer l’élimination, on peut, comme au n° 212, en regardant x’, y' comme des variables, construire les lieux géométriques de ces équations. TANG. A LA COURBE RAPPORTÉE A DES AXES CONJUGUÉS. 291 La première représente évidemment la parabole déjà construite. ^ Quant à la seconde, qui représente une ligne droite, en y faisant successivement y' = o, x' = 0 , on trouve y '~ ir Si l’on porte sur les axes AX, AY, des parties AP, Ail, respectivement égales à — a , ■> et qu’on tire la droite PI1, on a le second lieu géométrique demandé ; ainsi les points M , m , où cette droite de jonction coupe la courbe, sont les points de contact des deux tangentes qui doivent passer par le point IN. Comme le résultat x' — — a correspondant à y' — o ne dépend pas de l’ordonnée ê du point N, il s’ensuit que , si l’on prend un autre point quelconque N' sur une droite LT/ parallèle à l’axe des y , menée par le point ]N , et qu’on lire les deux tangentes N' M', N' ni', la ligne de jonction des nouveaux points de contact , M', m', doit passer par le même point P de l’axe AX. Cette droite LI7 pouvant être considérée comme située à volonté sur le plan de la courbe, on en conclut, comme pour l’ellipse et l'hyperbole (n os 212 et 242), la proposition suivante, dont la réciproque {voyez .le n°213) est également vraie : Une droite étant tracée arbitrairement, dans le plan d’une parabole, si de chacun de ses points on mène deux tangentes à la courbe, et quon joigne les deux points de contact par une droite, ces droites de jonction, appelées lignes de contact, doivent toutes passer par un même point, lequel se trouve placé sur Taxe conjugué de celui qui est parallèle à la droite donnée. Le point de concours P est le pôle de la droite I^L', qui est dite polaire. 11 faut observer toutefois que, si la droite donnée était Fig, une parallèle LI/ à l’axe principal, c’est-à-dire un dia- J 9 - UE LA PARABOLE. 292 Fig. 128. mètre , les lignes de jonction des points de contact M et m, M' et m', etc., ne concourraient plus en tm meme point , mais elles seraient toutes parallèles entre elles; c’est-à-dire qu’alors elles se rencontreraient toutes à l’infini sut Vaxe conjugué de ce diamètre. En elïet, supposons pour un instant la courbe rapportée à ce diamètre et à son axe conjugué AY; comme, pour un point N de la ligne LL', on a « quelconque, mais |3 égal à o, il s’ensuit que les résultats , . />'“ X = — a., y = —-, obtenus ci-dessus et correspondant respectivement à sc réduisent à y’— o, x'—o, a et d’où l’on voit que la ligne de jonction des deux points de contact M et m va rencontrer l’axe des y à Y infini. On arriverait à la même conclusion en remarquant que la ligne de jonction dont l’équation est, généralement, de la forme Pr'=/»'(“ + *')> se réduit, dans l’hypotbèse de |3 = o, à d’où l’on tire /(a + *') = o ; x' ■=. — a, ce qui est l’équation d’une droite parallèle à l'axe des/. « DES COORDONNÉES POLAIRES. 293 CHAPITRE VI. DES COORDONNÉES POLAIRES. Définitions. 277. Jusqu’ici, nous avons supposé une ligne déterminée de position sur un plan, au moyen d’une équation entre deux variables exprimant les distances de chacun de ses points à deux droites fixes, comptées parallèlement à ces droites. Mais il existe un autre moyen de représenter analytiquement les lignes, et ce moyen offre, dans certains cas, des avantages sur le précédent. Pour fixer les idées sur ce nouveau mode, considérons Fig. 129 une courbe roMW, une droite quelconque OB, et un point fixe O sur cette droite. Menons de ce point, nommé pôle, à un point M pris arbitrairement sur la courbe, une droite OM appelée rayon vecteur ; et désignons par p ce rayon vecteur, par çp l’angle qu’il forme avec la droite fixe OB. La courbe sera déterminée si l’on parvient à établir une relation entre p et ) = o, des valeurs correspondantes p ', p", p w , etc., pour p. Formant alors au point O des angles LOB, IV OB, etc., égaux à çp', cp", etc., et portant surOL,OL', etc., des parties égales à p 1 , p", etc., on obtiendra des points M, M', etc., qui appartiendront exclusivement à la courbe. Les variables p et sont ce qu’on appelle des coordonnées polaires; et l’équation /(p>R\ d’où a 7 -{- b 7 — R 2 ]> o, les deux facteurs O'N, 07/ sont de même signe; et en effet, les distances se comptent dans le même sens. Enfin, si l’on mène la tangente O'D, et qu’on tire le rayon AD au point de contact, on a la relation Q'D — AO ' 2 — Âd’= a 7 -h b 7 — R 2 ; et comme déjà , d’après ce qui vient d’être dit, l’expression a* 4- b 1 — R 8 représente le produit O'N X O' n , il en résulte Ô 7 D 5 =0'NxO'« ou O'N ; O'D :: O'D ; O'N. Ainsi, la propriété de la sécante au cercle par rapport à une tangente issue du même point O' se trouve également démontrée. 281. Équation polaire de l’hyperbole. — Soit encore proposé de trouver l’équation polaire de Xhyperbole, en prenant pour pôle le centre de la courbe, et pour droite fixe le premier axe. Il ne s’agit, pour cela, que de substituer les valeurs ( 4 ) .r == p cos , j =r p sin d ou tangip =± A A on voit que les droites menées du point O, de manière à former les angles dont les tangentes trigonométriques sont -t- — et — ^5 sont les lignes de séparation des droites A B passant par le centre qui rencontrent la courbe, de celles qui ne la rencontrent pas [voyez le n° 223). Ces exemples suffisent pour montrer avec quelle facilité les propriétés des courbes se déduisent d’une de leurs équations polaires. Équations polaires des trois courbes du second degré. 282. Pour établir les équations polaires des trois courbes du second degré, il est d’usage de prendre un foyer pour pôle et le premier axe pour droite fixe. Considérons successivement chacune des trois courbes, et, au lieu d’appliquer les formules (n°278) de la transformation des coordonnées, servons-nous des expressions trouvées pour les rayons vecteurs , d’après la définition des courbes. ÉQUATIONS POLAIRES DES TROIS COURBES DU 2 e DEGRÉ. 299 Ellipse. — Soit pris pour pôle le foyer F ; on a obtenu Fig. i3i (n°126), pour l’expression du rayon vecteur FM, FM ou p = A mais la figure donne x ou OP : donc C (c -+- p.COStp) c -t- FP = c -4- p. cos

diminuant à partir de 90°, cos çp est positif et augmente sans cesse; et, par suite, la quantité A— c cos

4 On sait, en effet, que pour une sécante positive, l'extrémité de l’arc se trouve placée entre le centre et l’extrémité de la ligne, c’est-à-dire sur la sécante elle-même, tandis que, pour une sécante négative, l’extrémité de l’arc tombe sur le prolongement de la ligne et en sens contraire de celui où l’on compte cette sécante. De même, pour les rayons vecteurs positifs, le point correspondant de la courbe se trouve placé sur la direction même du rayon; tandis que, pour les rayons négatifs, le point de la courbe est situé sur le prolongement de ce rayon et en sens contraire de sa direction. i33. 286. Parabole. — Le pôle étant en F, le rayon vecteur FM a (n° 142) , pour expression p = x -h - ; mais on a * ou AP = AF — PF = — p. cos MFP, ou bien, à cause de cos MFP = — cos 0, P X = ' - 1-0 COS t 1 ' ce qui donne ? — ' I — cos ® Discussion. — Pour 9 = 180 0 , on a cos ç = — 1 ; par suite, a = - — FA. r 2 Le sommet A se trouve ainsi déterminé. A mesure que l’angle 9 diminue, depuis 180 jusqu à qo degrés, cos 9 ne cesse pas d’ètre négatif et va toujours eu diminuant numériquement 5 1 — cos 9 va donc sans cesse en diminuant et p augmente continuellement. Quand on suppose 9 = 90°, d'où cos 9=0, la valeur de p devient p = p ~ FA ; c'est (n° 14 . 3 ) l’ordonnée qui passe par le foyer. ÉQUAT. POLAIRE COMM. AUX TROIS COURBES DU 2 e DEGRÉ. 3o5 L’angle çp continuant de diminuer à partir de 90 degrés, cos (f est positif et augmente sans cesse; donc 1—cos© diminue, et, par conséquent, p augmente de plus en plus, jusqu’à ce qu’enfin on arrive à

Cela posé, si, dans cette équation et dans celle de I’hyper- bole (n° 283), c 2 — A 2 p A — C COS q on remplace A 2 — c 2 et c 2 — A 2 par B 2 , il vient, pour l’une Âp. de l ’ Al . à la G . 20 3o 6 et l’autre, DES COOKDOJNKÉES POLAIRES. B 2 B 2 1 C COS f 1 — — COS f A d’où, posant P = e cos ( La quantité e ou ^ (qui exprime, comme on l’a vu au n°15t, le rapport des distances d’un point quelconque de la courbe à l’un des foyers et à la directrice placée du même côté que ce foyer à l’égard du centre), a reçu, dans l 'ellipse et Y hyperbole, le nom d’EXCENTRiciTÉ. Dans la première, on a y/A’-B’. , . e 1 -, d ou e < i ; dans la seconde, v/A 2 -4- B 2 d’oii e ^>i. Quant à la parabole, comme son équation polaire o — - E. - ‘ I — COS cf peut être déduite de la précédente, en faisant e =i, il en résulte que l’équation P a — - 1 i — e cos cf représente à la fois les trois courbes, savoir : Y ellipse, pour e < 1 , Y hyperbole, pour e>ï, et la parabole, pour e = i. JY. B. — Pour que l’excemtjricité e ait une signification dans le cas de la parabole, il faut admettre que c et A deviennent infinis à la fois ; ce qui est vrai (n° 144 ) ; et alors on a GO _ ' co Nous renvoyons au huitième chapitre la discussion de quelques équations particulières de cette espèce. QUESTIONS SE RAPPORTANT AUX COURBES DU 2 e DEGRÉ. 3o7 CHAPITRE VII. QUESTIONS SE RAPPORTANT AUX COURBES DU SECOND ' DEGRÉ Après avoir exposé séparément, dans les précédents chapitres, les propriétés de chacune des trois courbes du second degré, nous nous proposons, particulièrement, dans ce chapitre, de traiter des questions qui se rapportent aux trois courbes considérées ensemble. 288. Première question. —Etant donnée, pour un système d’axes rectangulaires, l’équation (i) y 7 — SLpx qx 7 , qui comprend (n° 146) les trois courbes du second degré, Rechercher, dans le plan de chaque courbe, les points tels que leur distance à un point quelconque de la courbe soit une fonction rationnelle de l’abscisse de ce dernier point. On sait déjà que les foyers jouissent de cette propriété, puisque l’expression de leur distance à tout point de la courbe est ex ex . pour l’ellipse, a + t A et A-. A ex x + A ex et- A . . A . pour l’hyperbole, x + P- 2 . pour la parabole. Il s'agit donc de savoir s’il existe d’autres points qui satis- fassent à la même condition. Désignons par x ', f, les coordonnées du point cherché, x, y représentant d’ailleurs celles d’un point quelconque de la courbe. On a , pour l’expression générale de la distance entre ces deux points, D = \j x' 1 — 2 xx' -t- x ' 2 -+- y 2 — 2 y y' y' 7 , 3o8 QUESTIONS SE RAPPORTANT on, remplaçant y par sa valeur tirée de l’équation ( 1 ), I) := y' x 1 — w'x + i’ + î px •+■ qx 7 — 2/' y/2 px -+- qx 1 -+- y' 7 . Cette expression, présentant deux radicaux qui se recouvrent, restera nécessairement, d’après les principes de l’Algèbre, irrationnelle tant que le petit radical subsistera sous le grand; il faut, par conséquent, que l’on ait 2y' y/2 px -+- qx 1 — o. Mais cette condition doit, suivant l’énoncé, être satisfaite pour toute valeur de la variable#; elle se réduit donc, pour la question qui nous occupe, à la relation y’— o; d'où l’on voit déjà que, s’il existe sur le plan de la courbe des points dont la distance à un quelconque de ses points soit rationnelle en #, ils doivent être placés sur l’axe des x. Dès lors l’expression ci-dessus se réduit à I) = \jx l — 2 x’ X x‘‘ y- 2 px y- qx‘, ou (2) D = y/(i -t- q ) x 1 —2(x' — p)x 4-x' J . Or, il résulte encore des principes de l’analyse algébrique, que la quantité soumise à ce nouveau radical ne peut être un carré qu’autaut que l’on a 4 ( æ '—/>)’= 4 (> + <7)■*'’> 011 (*' — pY = 0 + < 7 ) x ' 3 ’ ou bien, en effectuant les calculs et réduisant, ( 3 ) qx 17 -t- 2 px' — p- — o. Discutons maintenant cette équation de condition en considérant successivement chacune des trois courbes, et commençant par le cas le plus simple, celui de la parabole. On a , dans ce cas ( 11 0 14B), q = o; et l’équation (3) se réduit à d’où P AUX COURBES nu SECOHD DEGRÉ La valeur de D devient d’ailleurs 3 09 D ■V , P P x 2 4- px 4- y — x 4- — • 4 2 D’où il suit que, pour la parabole, il n’existe qu’nn seul point susceptible de satisfaire à l’énoncé de la question ; et ce point n’est autre que le foyer, tel qu’il a été défini au n° 144. Ellipse. — On a (n° 146) B 2 ce qui donne , pour l’équation (3), B» A 2 ’ B 2 — xT‘ 4 - 2 B 2 B' x -= o, ou, simplifiant, donc x ’ 1 — 2 A x' 4 - B 2 = o ; ■' = A ± v/A 2 — B 2 = A ± c. Ainsi, pour l’ellipse, il existe deux points satisfaisant à l’énoncé; et ces points 11 e sont autres que les foyers, tels qu’ils ont été définis au n° 124. Si l’on porte la première valeur de x' dans l’expression ( 2 ) en même temps que celles de p et de q , on trouve, en désignant par D' la distance qui se rapporte au foyer de droite, /a 2 — B 2 7 B 2 \ D'= W ——— x 2 — 2 ( A 4- c — — | *4- (A 4- c) 2 , ou, remplaçant B 2 par A 2 — c 2 , La quantité soumise au radical est évidemment le carré 4e — — ( A 4- c ), ou de A 4- c — — ; et afin de savoir laquelle des deux racines il convient de prendre , pour obtenir, comme cela doit être, une valeur positive de D', il 3lO QUESTIONS SE RAPPORTANT suffit de remarquer que, pour une valeur de x moindre que A , — — (A 4- c) serait négatif. A CJC C’est donc A A- c — — qu’il faut prendre ; et l’on a D'=A + c — ex T' Quant à la seconde valeur x'=A — c, reportée dans l’expression ( 2 ), elle donne D"= \Jjj- + ^-{A — c)x-+(k — cy, d’où l’on tire la racine unique en valeur positive, E 11 faisant la somme des deux distances D'et D", on obtient D'+ D"= 2 A. Cette propriété constitue, comme on l’a vu au n° 124 , la définition géométrique de l’ellipse. Opérant d’une manière analogue pour I’hyperbole , on parviendrait aux résultats suivants : x ' 2 -+- 2 Ax' — B 2 = o, d’où x' = — A ± s/A 2 4 - B 2 = — A db c, ex ex X)'= -(- c — A, D"= — -t- e - 4 - A, A A D"— D'= 2A ; ce dernier résultat n’est autre chose que l’expression de la propriété qui (n° 134) a servi de définition à I’hyperbole. iV. B. — O 11 a supposé, dans l’énoncé de la question qui vient d’ètre traitée, les axes rectangulaires. Il en devait être ainsi ; car, si les axes étaient obliques, l’équation de la courbe conservant la même forme /== 2 px -+- qx*, on aurait (n° 49), pour l'expression de la distance D, D = \^(x — x') 2 -t- (r — r') 2 -t- 2 (x — x’) (y — y’ ) cos 6 • AUX COURBES DU SECOND DEGRÉ. 3ll et le terme 2 xy . cos 0 , ou 2 x sjipx 4- qx 2 .cos 9 qui entrerait alors sous le grand radical, restant irrationnel pour une valeur de x quelconque, la valeur de D ne pourrait généralement se réduire à un e fonction rationnelle de x. 289. Seconde question. — Déterminer la nature et la position des diamètres dans les trois courbes du second degré. [Nous avons déjà résolu cette question séparément pour chaque courbe, en les traitant toutes les trois par une méthode analogue; nous nous proposons maintenant d’arriver au même résultat, en considérant les trois courbes simultanément. \ Rappelons, d’abord, qu’on nomme diamètre d’une courbe, le lieu géométrique des points milieux d’une série de cordes parallèles menées dans une direction quelconque [voyez le n° 177 ). Cela posé, prenons l’équation générale des courbes du second degré, (1) Aj 2 4- Bxy-y Cx 1 y- Dy + Ex 4 - F = o, les axes étant (n°154) rectangulaires ou obliques. Appelons a , b, les coordonnées du point milieu d’une corde quelconque de la courbe, et concevons qu’on transporte Y origine des coordonnées en ce point, sans changer la direction des axes ; il suffit, pour cela (n° 114), de changer dans l’équation (i) x en x 4— a , y en y 4- b ; ce qui donne la transformée (F'=AZj a H-B«&~i-Crt a -f-D&-l-Ea-)-F). D’un autre côté, l’équation de la corde rapportée à ce même point comme origine, est nécessairement de la forme ( 2 ) y = mx ; et, si l’on substitue cette valeur de y dans la transformée, on arrivera à une équation en x qui, étant résolue, donnera 3i2 questions se «Apportant les abscisses des deux points d'intersection de la corde avec la courbe. Opérant cette substitution, l’on obtient ( Am 2 *+- B ni -H C [(2 A A - 4 - B a -t- D) ni -H 2Cfl-+-BA-t-E]x-+-F'=o, équation dont les deux racines doivent être égales et de signes contraires, puisque le point [a, ù], milieu de la corde, est supposé, pour le moment, Y origine des coordonnées. Pour exprimer cette condition analytiquement, il faut et il suffit, d'après les principes de l’Algèbre, que le coefficient de x : dans l’équation ci-dessus, soit égal à o , ce qui donne la relation j 3 ) ( 2 A b -4- B ci D ) ni -f- 2 C a 4- B b E = o. Les deux valeurs de x étant, sous cette condition, égales et de signes contraires, il en est de même de celle de y, en vertu de l’équation ( 2 ). Remarquons maintenant que, pour toute valeur de m déterminée, la relation (3) convient aux coordonnées des points milieux de toutes les cordes parallèles à celle que nous avons considérée en premier lieu, et ne peut convenir qu’à ces points ; d’où il suit qu’elle représente leur lieu géométrique . Comme celte équation (3 ) est du premier degré en a, Z>, on peut déjà conclure que Tous les diamètres des courbes du second degré sont des lignes droites. De plus, cette équation est évidemment satisfaite lorsqu’on y fait en même temps 2 A b -+- B» + D 3 = o, 2 C<7 + B b 4 - E = o. Or, ces deux nouvelles relations sont précisément (n°163) celles qui servent à déterminer le centre de la courbe. Donc tous les diamètres passent, par le centre. Tant que l’on a B 1 — 4AC< ou > 0 , les deux valeurs de a , b, sont réelles et finies ,• elles deviennent infinies pour B 2 — 4AC = o; AXJ X COURBES DU SECOND DEGRÉ. 3 l 3 ce qui revient à dire que dans la parabole tous les diamètres sont parallèles. 290. Troisième question. — Une droite étant menée h volonté dans le plan d'une courbe du second degré, si, de chacun de ses points , on mène deux tangentes à la courbe, et qu’on joigne les deux points de contact correspondants, toutes ces lignes de jonction jouissent de la propriété de concourir en un même point. — Fixer la position de ce point de concours. [Cette propriété n’est autre que celle qui a été déjà établie pour chacune des trois courbes (n os 212, 242 et 276).] Concevons que l’on ait mené d’abord parallèlement à la droite donnée une tangente à la courbe, puis le diamètre passant par le point de contact ; et prenons pour système d’axes ce diamètre et cette tangente, en choisissant le diamètre comme axe des x. L’équation de la courbe rapportée à ce système est nécessairement de la forme (0 y 7 — 2 nx —f- mx % m et n ayant des acceptions déterminées pour chacune des trois courbes. Cela posé, le coefficient d’inclinaison dans l’équation d’une tangente menée par un point quelconque \x\ y'J de la courbe, ayant (n°102) pour expression n + mx’ on a, pour l’équation de cette tangente, ou (2) simplifiant. n-htnx y —y'— —-,— (*-•*'), y y' = n ( x -f- x' ) + mxx'. Maintenant, supposons qu’on veuille mener une tangente par un point [a, (3J pris hors de la courbe et sur la droite donnée. On est conduit, en raisonnant comme aun°193, aux deux relations ëy'= a (a -f- x') -h max', y’’— iiix'-\- mx' 7 , qui peuvent servir à déterminer x' et y'. 314 QUESTIONS SE RAPPORTANT Mais il est plus simple (n° 194) de substituer à l’élimination la construction de ces deux équations, dont la dernière représente la courbe donnée. Pour construire la première, qui est celle de la droite passant par les deux points de contact, il faut faire, dans cette équation, successivement ce qui donne y' — o et no. m a -+- n et na Y‘ Le premier de ces deux résultats, x' = — -, étant < 1 ma -+- n indépendant de l’ordonnée o du point pris à volonté sur la droite donnée, on est en droit de conclure que, quel que soit le point de cette droite par lequel on mène les deux tangentes à la courbe, l’abscisse du point où la ligne de contact rencontre l’axe des x , est constante et a pour expression na m a -H n Donc, toutes les lignes de contact se rencontrent en un meme point, qui est situé sur le diamètre pris pour axe des x. 291. Remarque. —■ Tant qu’il s’agit d’une ellipse , le système d’axes qui a servi pour la démonstration de la proposition peut toujours être employé. Il n’en est pas de même pour les deux autres courbes. Ainsi, pour la parabole, si la droite donnée est un diamètre, on ne peut prendre pour système d’axes un diamètre et une tangente parallèle à cette droite, puisque dans cette courbe tous les diamètres sont parallèles. Mais rien n’empêche alors de choisir la droite donnée pour axe des x , en prenant comme axe des y la tangente au point où elle rencontre la courbe; on a ainsi un système d’axes tout à fait analogue au précédent. Seulement le point de concours est, dans ce cas particulier (n°276), situé à Xinfini; c’est-à-dire que toutes les lignes de jonction des points de contact sont parallèles à la tangente. AUX COURBES DU SECOND DEGRÉ. 3l5 A l'égard de I’hyperbole, il y a lieu de distinguer deux cas : Ou la droite donnée forme avec le premier axe, du côté des x positifs, soit un angle aigu plus grand que celui B dont la tangente trigonométrique a pour expression 4- soit un angle obtus moindre que celui dont cette tangente g est — - ; et alors, comme il est possible (n° 230) de mener une tangente parallèle à la droite donnée, on peut avoir recours au système d’axes indiqué. Ou bien l’angle que la droite donnée forme avec le premier axe, est, suivant qu’il est aigu ou obtus, moindre ou plus grand que ceux qui ont respectivement pour tangentes trigonométriques et alors la construction précédente est impossible. Dans ce cas, c’est le diamètre parallèle à la droite donnée qu’on choisit pour axe des x , en prenant comme axe des y la tangente passant par le point de rencontre du diamètre avec la branche de droite de la courbe. L’équation n’en est pas moins de la forme y^—inx mx % et l’on reconnaît que le point de concours est placé sur le diamètre parallèle à la droite donnée. 292. Quatrième question. — Une portion de courbe du second degré étant tracée sur un plan , — i° déterminer sa nature; — i° achever cette courbe et en déterminer les axes ainsi que les éléments principaux , tels que les sommets, les foyers, etc. Premièrement. ■— Tracez successivement deux systèmes de deux cordes parallèles, et joignez les points milieux de chaque système par une droite 5 vous obtenez ainsi (n° 177) deux diamètres de la courbe. Il peut alors se présenter trois cas : Ou les deux droites de jonction sont parallèles; auquel cas la courbe est nécessairement une parabole. QUESTIONS SE «APPORTANT 3i6 Ou les deux droites se rencontrent en dedans de la courbe, qui est alors une ellipse. Ou bien enfin, ces droites se rencontrent du côté de la convexité de la courbe qui, dans ce cas, ne saurait être qu’une hyperbole. Secondement.— Traitons séparément chacun des trois cas : Fig. 134. Supposons, en premier lieu, que la courbe tracée, MABm, soit une portion de parabole. Soient AX un des diamètres construits, et Mm une des cordes que ce diamètre divise en deux parties égales au point P. Appelons 2 p' le paramètre à ce diamètre pris pour axe des x, la tangente au point A étant l’axe des y. On a l’équation Y 2 2 p'x; d’où — = 2 p, ou, remplaçant y et x par les valeurs particulières MP et AP que donne la figure, , MP 2 D’où l’on voit que le paramètre 2p' au système actuel d’axes conjugués est une troisième proportionnelle aux lignes connues AP et PM, et doit être lui-même regardé comme déterminé. Cela posé, élevons au point A, sur la droite AX, une perpendiculaire AY'; puis concevons que l’on ait construit sur le système d’axes AX, AY' une parabole ayant pour son paramètre principal 2 p' et que l’on ait ainsi obtenu la courbe NAN'. Maintenant, d’un point quelconque X de cette courbe, abaissons la double ordonnée NP / 3 N / , perpendiculaire sur AX; puis, conformément à ce qui a été fait au n° 274 , inclinons cette double ordonnée de manière qu’elle soit parallèle à AY, et prenons sur cette nouvelle ligne deux parties P'M/, P ' m' , égales à P'N, P'N 7 ; les points M' et m' appartiendront à la courbe dont une partie seulement était déjà construite. AUX COURBES DU SECOND DEGRÉ. 3iy Ou voit ainsi qu’au moyen de la courbe auxiliaire, il est possible d’obtenir autant de points que l’on voudra de la courbe principale. Il reste encore à déterminer l 'axe principal et le paramètre à cet axe. Or, si du point M 7 , on abaisse une perpendiculaire sur AX, et que, par le milieu de la corde M'D, on mène la droite BIL parallèlement au diamètre AX, on obtiendra ainsi l 'axe principal. Quant au paramètre, il aura pour expression M'F TT’ ou une troisième proportionnelle à l’abscisse BI et à l’ordonnée M'I. En second lieu, considérons la portion d’ellipse MA'AN ; Fu; et soit O le centre déjà déterminé par la rencontre de deux diamètres, A'X représentant la direction de l’un d’eux. Prenons sur A'X une distance OB' égale à OA'; nous obtenons ainsi la longueur 2 A' d’un diamètre; et si nous menons au point A' la tangente A'Y', qui est parallèle à la corde MN divisée en deux parties égales par ce diamètre, nous aurons pour l’équation de la courbe rapportée au système d’axes A'X, A'Y' [voyez le n° 144), B' 2 Y 2 = JT* k ' x ~ x2 ) ; d’où l’on déduit .b — y ...- 5 \Jx (2 A'— x) ou, remplaçant y et x par les coordonnées particulières MP et A' P, et A' par la longueur OA', OA'. MP B'= ; ... . . > v/A'P(2 0A' —A'P) expression homogène qu’il est facile de construire d’après les moyens connus. [On construit le radical en décrivant sur A'B', comme diamètre, une demi-circonférence, et élevant au point P la perpendiculaire PK ; ce qui réduit la valeur de B' à la quatrième proportionnelle OA'. MP PK J 1 35 3 I 8 QUESTIONS SE 11 APPORT AM T Fig. i35. Connaissant les deux diamètres 2 A', 2 B', on peut avoir recours à la construction indiquée au n° 210 pour obtenir Vellipse entière dont MA'AN n’est qu’une partie. Cette ellipse une fois tracée, on peut en déterminer tous les éléments d’après les moyens exposés aun° 214. En troisième lieu, si la courbe tracée est une portion à’hyperbole, on peut opérer comme pour Yellipse, en rapportant, de même, la courbe à un système d’axes tel, que son équation soit (n°145) de la forme B' 2 , , y 2 — jrA 2 A ' x + *’)> d’où l’on déduit des constructions analogues aux précédentes. Les deux questions suivantes se rapportent spécialement à Y ellipse et à Yhyperbole. 293. Cinquième question. — Connaissant les longueurs 2 A', 2 B' de deux diamètres conjugués d'une ellipse ou d'une hyperbole, et V angle 9 qu’ils font entre eux, trouver les longueurs des axes 2 À, 2 B. Traitons la question pour I’ellipse. On a obtenu (n° 206) les relations (1) A 2 -h B 1 = A 12 -h B' 2 , (2) A.B = A'. B', sin 0 . Si, d’abord, on ajoute, membre à membre, l’équation ( 1 ) et l’équation (2) préalablement doublée, et si, ensuite, 011 retranche de la première la seconde ainsi préparée, il vient (A -i-B) 2 =A' 2 +B' 2 -t-2A'.B'.sin6, (A — B) 2 = A' 2 -)- B' 2 — 2 A'. B', sin6; d’où l’on déduit A + B = v/Â' 2 +B' 2 + 2 A'. B', sin 9 , A — B = v^. , 2 -4-B' 2 — 2A'. B'.siué ; et, par suite, A = — i/A'H- B' 2 + 2 A'. B', sin 9 + - ^A'H-B' 2 — 2 A'. B', sin 9 , 2 ' 2 B = - Ja"‘+ B' 2 + 2 A'. B', sin 9 — - v/a' 2 + B' 2 — 2 A'. B', sin 9 . 2 T 2 AUX COURBES DU SECOND DEGRÉ. 3lÿ Ces valeurs sont toujours réelles ; car de la relation évidente (A'— B') 2 o, on tire A' 2 -H B' 2 > 2 A'B', et, à plus forte raison, A' 2 -t- B' 2 > 2 A'. B', sin 0 . Les quantités A + B, A—A 3 , sont susceptibles d’une construction assez simple, d’où l’on peut ensuite déduire celle des axes 2 A, 2 B. A cet effet, remarquons d’abord que sin 9 peut être remplacé soit par cos (go° — 6 J , soit par — cos (go°- f- 0 ) 5 ce qui donne A -f- B = — sin d’où sin 0 ^ 2 AB = A 2 -h B 2 Afin d’interpréter géométriquement ce résultat, remarquons que de la condition d’égalité 2 AB sin 9 = on déduirait COS 0 =: i / .__ V et, par suite, A 2 -t- B 2 4 A 2 B 2 _ A 2 -+- B 2 ) 2 ~ A 2 — B 2 A 2 -f- B 2 ’ tang 9 = ± 2 AB ' A 2 — B 2 Or, on a vu (n os 184 et 18o) que ces valeurs sont précisément celles qui correspondent au minimum et au maximum des angles que peuvent faire deux diamètres conjugués d’une ellipse, selon que l’angle de ces diamètres est aigu ou obtus. De plus, il résulte de ce qui a été dit mêmes numéros, que Aux COURBES DU SECOND DEGRÉ. 321 les deux angles limites sont représentés ( fig. 100 ) par l’angle CBD et son supplément ACB. C’est donc ainsi qu’il faut entendre la condition trouvée pour que les deux valeurs de A! et de B' soient réelles. Quant à ces valeurs, si l’angle donné 6 est tel que l’on ait 2 AB sin 0 = B 2 ’ elles se réduisent à la valeur A'= B' — i y / 2 .(A 2 -h B 2 ), qui, d’après la relation A' 2 -4-B' 2 = A 2 +B 2 , est bien celle des deux demi-diamètres conjugués égaux (voyez le n° 208). Les deux diamètres étant déterminés en grandeur, pour en obtenir la direction, c’est-à-dire pour trouver l’angle a , que l’un d’eux forme avec le premier axe, il faut recourir à la relation (n° 179) , B 2 tang a. tang a'= — —, qui, à cause de 9 — a'— a, d’où a' — 9 -+- a, devient A 2 tang a tang ( 0 a ) -+- B 2 = o , ou, développant tang (6-1- a), A 2 tang 2 a + (A 2 — B 2 ) tang 0. tang a -+- B 2 = o. Cette équation résolue donne . (A 2 - tang a = — - ■ B 2 ) tang ( 2 A 2 ± ~ sliA 1 — B 2 ) 2 tang 2 0 — 4 A 2 B 2 . Pour que les racines soient réelles, il faut que tang 5 6 soit supérieur ou au moins égal à 4 A 2 B 2 (A 2 - B 2 ) 2 ’ c’est-à-dire que l’angle 6, s’il est aigu, ne soit pas moindre que celui dont la tangente est 2 AB , et s’il est obtus, ne it pas plus grand que celui dont la tangente est — résultat conforme à ce qui vient d’être dit. Ap. de l’A’. à la G. 2» soit 323 QUESTIONS SE RAPPORTANT AUX COURBES DU 2 e DEGRÉ. Si la valeur donnée de l’angle 9 est telle que l’on ait 4a 2 B 2 „ , „ ± 2 AB dou tan S®=X^7B 2 ’ les deux valeurs de tang a deviennent A 2 - L 2 —B 2 ^ /±2AB\_B 2 a ! x ^âwb 2 J — ce qui donne, à cause de la relation tang a. tang a' = B , B tang a = — -1 tang a = -+--■, A A- ou bien les tangentes des angles que forment avec le premier axe, les diamètres parallèles aux cordes supplémentaires BC, AC ( fig . ioo). Si l’on voulait traiter la question pour I’hyperbole, on se servirait des trois relations , , AB , B 2 A' 2 — B 2 =A 2 — B 2 ; A .B = —— tang a tang a' = h- sin G ° A 2 295. Remarque. — Les deux dernières questions sont comprises dans la question générale qu’on peut se proposer de résoudre, pour 1 ’ellipse et I’hyperbole, au moyen des relations obtenues entre les grandeurs et les directions des axes principaux et celles des diamètres conjugués, savoir : i°. Pour Fellipse , A ,2 +B /2 = A 2 -4- B 2 , A'B' sin 9 = AB, B 2 tang a. tang a' = — — i 0 ~ a' — a ; 2 °. Pour I’hyperbole , A' 2 — B' 2 =A 2 — B 2 , A' B' sin 0 — AB, B 2 tang a tang a' == -+- — ? 0 = a' — a. A Ces relations renfermant sept quantités, A, B, A', B', a, a 1 , 9, on peut, étant données trois de ces sept quantités, demander de déterminer les quatre autres. DISCUSS. DE l’ÉQ. GÉN. DU 2 e DEGRÉ PAR LA SÉP. DES VAR. 323 CHAPITRE VIII § I. — Discussion de l’équation générale du second DEGRÉ PAR LA SÉPARATION DES VARIABLES. - § IL APPLICATION DE CETTE MÉTHODE DE DISCUSSION A DES ÉQUATIONS DE DEGRÉ SUPÉRIEUR; ET DISCUSSION DE QUELQUES ÉQUATIONS POLAIRES. Nous nous proposons principalement, dans ce chapitre, de montrer comment, par la résolution des équations du second degré à deux 'variables, c’est-à-dire par la séparation des variables, on peut déterminer la nature, la forme, et même la position, par rapport à des axes quelconques , de la courbe représentée par ces équations. Nous appliquerons, ensuite, la même méthode à des équations de degré supérieur, susceptibles d’être résolues immédiatement par rapport à l’une des variables; et nous terminerons par la discussion de quelques équations polaires. § I. — Discussion de l’équation générale du second degré par la séparation des variables. Division des courbes du second degré en trois genres. 296. L’équation générale (i) Ay 2 -+- B xy + Cæ’-1- Dy + Ex + F = o (dans laquelle on suppose A différent de zéro), étant résolue par rapport à y, donne y = — ± jA- — 4AC)x 3 + 2 (BD — 2 AE)x+n 1 — 4 AF ou, en posant pour plus de simplicité a ’ P D _ B 2 — 4AC ' ~ 4a 2 D 2 — 4AF -7 ~TZ 9 ( 2 ) y = ax -f- b ± \jmx 2 -\- 2 nx p ; 21. 324 DISCUSSION DE l’équation GÉNÉRALE DU 2 e DEGRÉ et l’on voit que chaque valeur de y peut être considérée comme se composant de deux parties, l’une rationnelle en X, Vautre généralement irrationnelle, précédée du signe ou du signe —. Fig. 137 . La partie rationnelle, ax -H b , est évidemment l’ordonnée y' d’une droite y' = ax -+- b , qu’on peut d’abord construire et représenter par une ligne telle que CBL (*), rapportée, ainsi que la courbe, à un système d’axes quelconques, AX, AY. Cette droite étant construite, il est également clair que, pour obtenir les deux points de la courbe qùi correspondent à une abscisse quelconque, x — AP, il suffit de porter sur l’ordonnée PN de la droite, et à partir du point N, deux distances NM, NM', en sens contraire, et égales à la valeur numérique du radical. Les points M et M' ainsi obtenus, sont deux points de la courbe. Comme la même construction peut se répéter pour toute valeur donnée àx,on peut déjà conclure que la droite CBL jouit de la propriété de passer par les milieux d’une série de cordes de la courbe, parallèles à l’axe des y ; donc cette droite est un des diamètres de la courbe (n° 177). Maintenant, il faut examiner sous quelle condition la quantité /ra ! + 2 nx -t-p, soumise au radical, est positive ou négative, ce qui doit déterminer la réalité ou Vimagi- naritè des valeurs de y correspondant à une certaine valeur de x. Or l’Algèbre nous apprend que, dans tout trinôme du second degré en x, le signe que reçoit ce trinôme pour des valeurs particulières de x dépend essentiellement de celui du terme en x 2 . Nous sommes ainsi conduits à examiner les différentes circonstances qui peuvent se présenter suivant que m ou B 1 — 4 AC 4Â 5 •> coefficient de x % ou seulement B ! — 4 AC, est négatif ou positif. ( *) Voir la note du n° au bas de la page 171. PAR LA séparation des variables. 3a5 Mais il est nécessaire aussi de traiter le cas où cette cjuantité est nulle; et c’est par cette hypothèse que nous commencerons, comme donnant lieu à la discussion la plus simple. Première hypothèse , B s — 4 AC = o. 297. L’équation ( 2 ) se réduit, dans cette hypothèse, à -+- b ± \jl nx -t- p, (3) ou \/ 2 ”(" + £) ( 4 ) Soit, d’abord, fait Fui. 137 d’où x = — —: 2 n on exprime par là que le radical est nul, et, par suite, que, pour l’abscisse particulière al» = — — 1 2/2 l’ordonnée de la courbe devient égale à l’ordonnée DE du diamètre; donc E est un point où la courbe rencontre son diamètre. Maintenant il peut se présenter trois cas : la quantité n est positive, négative ou nulle. i°. Si n est positif, l’inspection de l’équation (4) prouve que toute valeur de x, telle que AP, plus grande que — — 1 rend positif le second facteur de la quantité sou- 2/2 1 ^ 1 mise au radical, et donne par conséquent pour jy des valeurs réelles. D’ailleurs, à l’hypothèse 2 n correspond y = ax -(- b zîz o ; d où l’on peut conclure qu’à partir du point E, où la courbe est (n° 98) tangenle*k la droite DE11, celte courbe s’étend indéfiniment tant au-dessus qu’au-dessous de son diamètre, et dans le sens des x positifs. Fie. 137. 326 DISCUSSION DE l’ÉQUATION GÉNÉRALE DU 2 e DEGRÉ Si l’on donnait à x des valeurs plus petites que — la quantité soumise au radical deviendrait négative, et le radical serait imaginaire ; ce qui montre que la courbe ne peut avoir aucun point situé à la gauche de DEH. Cette droite DEH peut donc être considérée comme une limite de la courbe, dans le sens des x négatifs. 2 0 . Si n était négatif, on serait évidemment conduit à des conséquences tout à fait contraires; c’est-à-dire que, dans ce cas, la courbe ne pourrait avoir aucun point situé à droite de DEH; mais elle s’étendrait indéfiniment à la gauche de cette même droite. On voit ainsi que, dans l’un comme dans l’autre cas, la courbe est illimitée dans un seul sens. 3°. Soit n = o; ce qui réduit l’équation (3) à y = ax -F- b dz sfp • 11 y a lieu, dans ce cas, de faire des hypothèses sur la quantité p elle-même, qui peut être positive, nulle ou négative. Si p est positif , les deux valeurs de y sont constamment réelles pour toute valeur donnée à .r; mais comme l’équation est alors du premier degré, elle représente un système de deux droites ; et ces droites sont parallèles, puisque le coefficient de x est le même dans les deux valeurs de y. Si p est nul, le radical disparaît, et l’équation représente une seule droite. Enfin, si p est négatif, le radical est imaginaire, et l’équation ne représente plus rien. D’où l’on voit que le cas de n — o donne, comme variétés de la courbe que nous discutons, un système de deux droites parallèles, ou une seule droite, ou bien, deux droites imaginaires. Deuxième hypothèse, W — 4 AC o. 298. L’équation ( 2 ) peut être mise sous la forme y — ax -f- b zt 2 H ( 5 ) m par la séparation des variables. 3ay et si, pour obtenir le point où l’ordonnée de la courbe se réduit à celle de son diamètre, c’est-à-dire le point de rencontre de ces deux lignes, on pose ( 6 ) —X -h — =0, ' m m il vient 77 . T J -——. x — — — rfc SI ri 1 — ji m • m m Il peut alors se présenter trois cas : les racines de l’équation ( 6 ) sont réelles et inégales, réelles et égales, ou bien, imaginaires. Premier cas. — Désignons par x ', x" les racines qui Fig. i38 sont, en général, de signes quelconques, mais que, pour leur construction, nous supposerons, par exemple, toutes deux positives. Soient AD == x ', AD' = x"\ et menons les droites DG, D'G', parallèles à AY; les points E, E ; seront les points d’intersection de la courbe avec son diamètre BL. I-V, A . 1 • A » 2 n p D un autre cote, le trinôme x 2 -I- x -\ -pouvant, m ni d’après les principes algébriques, être mis sous la forme (x — x') (x — x "), l’équation (5) devient ( 7 ) y = ax -)- b + s/m [x — x')(x — x"). On sait, d’ailleurs, qu’en donnant à x des valeurs comprises entre x' et x", on obtient pour la quantité sous le radical, des résultats d e signes contraires à celui de m qui est ici supposé négatif; donc ces résultats sont positifs, et les valeurs correspondantes de y sont réelles. Au contraire, toute valeur de x , non comprise entre x' et x'\ donnant des résultats de meme signe que m , il ne peut correspondre à ces valeurs de x que des valeurs imaginaires pour y. D’où l’on est en droit de conclure que la courbe est entièrement renfermée entre les parallèles DG, D’G’, qui lui sont tangentes, et qui la limitent tant dans le sens positif que dans le sens négatif de l’axe des x. ' 3a8 DISCUSSION DE l’ÉQUATION GÉNÉRALE DU 2 e DEGRÉ Fig. i38» La variable x ne pouvant recevoir que des valeurs finies, dont la plus grande est AD' et la plus petite AD, il résulte, de l’expression de y en x, que les valeurs de y correspondant à chaque valeur de x doivent être elles-mêmes des quantités finies. Pour obtenir la plus petite et la plus grande valeur de cette seconde variable, il suffirait de résoudre l’équation par rapport à ce qui donnerait un autre diamètre. En cherchant les points d’intersection de la courbe avec ce diamètre, et menant par ces points des parallèles à l’axe des x , on aurait les limites , dans les deux sens des y positifs et négatifs. — (Nous verrons plus loin qu’il existe deux limites plus avantageuses que celles-ci). La courbe est donc limitée dans tous les sens. Deuxième cas. — Si les racines de l’équation (6) sont réelles et égales, on a, entre les coefficients du trinôme du second degré, la relation a 2 — pm — o (*); d’où p — —, et l’on obtient alors la racine unique n x — — — m Appelons x' cette racine; Y équation (7) devient y — ax -|- b ± f m (x — x') 2 , ou y = ax -f- b ± (x — x') \fm. Or, m étant, par hypothèse, négatif, les valeurs de y seront imaginaires tant que l’on donnera à x des valeurs autres que x'. Mais pour x — x' on trouve y = ax'b ; d’où l’on peut conclure que, dans le cas qui nous occupe, (*) La relation n* — pm — o exprimée au moyen des coefficients A, B, C. D, etc., devient (BD — 3 ÂE) ! — (D’ — 4 AF) (B*— 4 AC) = 0, ou, effectuant les calculs et simplifiant, A.E’-f-C D’ + F.B’- BDE - 4 ACF = 0. PAR LA SÉPARATION DES VARIABLES. 329 la courbe se réduit à un point représenté par le système des deux équations x = x', y—ax'-\-b. Troisième cas. — Les racines étant supposées imaginaires, on doit avoir la relation n 2 — prn o, d’où ( p est nécessairement négatif comme m ) ; et. par suite, on a /9 n 1 p n 2 * — > —, ou — = — 1 + k 2 , m m 2 ni m 1 k 1 désignant un nombre essentiellement positif. Dès lors, l’équation (5) devient y- ± s/' 4- A* ou y =: ax -4- b m [ x + + >nk‘ ; et cette expression de y est toujours imaginaire, quelque valeur qu’on donne à x. Ainsi, dans ce cas, il n’y a pas de courbe; en d’autres termes, la courbe est imaginaire. Donc, à l’hypothèse générale W — 4 AC o correspond une courbe limitée datts tous les sens, ayant pour variétés un point et une courbe imaginaire. N. B. — Le cercle ne peut se reconnaître comme variété de cette courbe, par la simple séparation des variables ; il faut avoir recours aux caractères qui ont été établis au n°161. Troisième hypothèse, B 2 — 4 AC > o. 299. Dans cette hypothèse, comme dans la précédente, il y a lieu de distinguer les trois cas qui se présentent, i . ,2 n p suivant que les racines du trinôme x H- x H-sont 1 m m réelles et inégales, nulles ou hien imaginaires. Dans le premier cas, en construisant les deux racines Fxo. i3g AD = x', AD' = x ", puis menant les droites indéfinies DG, D'G', parallèles h AY, on obtient E, E' pour les points où la courbe rencontre son diamètre. 33o DISCUSSION DE l’ÉQUATION GÉNÉRALE DU 2 e DEGRÉ Fig. i3g. L’équation ( 2 ) devient alors , comme précédemment, y—ax -(- b dr \Jm [x — x') [x — x")', et il est facile de reconnaître : i°. Que toute valeur de x, comprise entre x' et x' 1 , rendant la quantité soumise au radical, de signe contraire à celui de m, qui est ici supposé positif, donne lieu à des valeurs imaginaires pour' j-, et qu’ainsi la courbe ne peut avoir aucun point situé entre les deux droites DG et D'G'; 2 0 . Qu’au contraire, pour une valeur quelconque de x , inférieure ou supérieure aux deux racines, les valeurs de y correspondantes sont réelles, et, par suite, qu’à partir des points E, E' où la courbe est (n° 98) tangente aux droites DG, D'G' (puisqu’en faisant x = x', oui = x'\ on trouve y — ax -+- b ± o), la courbe s’étend indéfiniment tant au-dessus qu au-dessous de son diamètre, dans le sens positif, comme dans le sens négatif de l’axe des x. Elle se compose donc de deux branches opposées, ayant pour limites de séparation les droites DG, D'G'. Dans le second cas, celui où l’on a x" — x’, ce qui entraîne la condition n 2 — pm = o (*), l’équation ci-dessus se réduit à y — ax y- b ± (x — x’) y/ m, équation du premier degré représentant un système de deux droites qui se coupent sur le diamètre, au point dont les coordonnées sont x =r x', y= ax'-y b, puisque pour x ~ x' le radical disparaît et que l’ordonnée correspondante de chacune de ces deux droites se réduit à celle du diamètre. (*) La relation n 1 — pm=o devient, comme dans l'hypothèse B ’—ii AC<0 ( voir la note, page 328 ), A. E 5 + C. IU - 1 - l'\ B’ — BUE — /| ACF = 0, par la séparation des variables. 33 l Le troisième cas donne lieu à une circonstance remar- Fia. quable. T . , . „ „ 2 n p , Les racines du trinôme x -f- — x -f- — étant imagi- m m ° naires, on doit avoir la relation d’où ! — prn o, ri 1 prn , (p est nécessairement positif comme m) ; et, par suite, on a k\ m m 2 ou t nt m 2 L’équation ( 2 ) du n° 296 devient alors , comme dans la deuxième hypothèse (n° 298), y — ax H- b dz Mise sous cette forme, elle démontre : i°. Que le radical ne peut jamais être nul, quelque valeur qu’on donne à x 5 ce qui revient à dire que la courbe ne rencontre pas son diamètre BL ; 2 °. Que pour toute valeur de x le radical est réel, et qu’il augmente indéfiniment jusqu’à Y infini, tant dans le sens positif que dans le sens négatif de l’axe des x ^ 3°. Que, pour obtenir le minimum du radical, il faut poser n x H-= o ; m d’où l’on déduit ni et, par suite, y—ax-r b rfc mk' 1 - Les deux quantités et ^ ou peuvent être facilement déterminées dans chaque exemple particulier. Soit AC = — — ; et menons du point C une parallèle Cb à l’axe AY, puis prenons sur cette parallèle, à partir 332 DISCUSSION DE l’ÉQUAXION GÉNÉRALE DU 2 e DEGRÉ iG. i4o. du diamètre, deux distances OH, OH'égales à les points II, II' seront les points de la courbe les plus rapprochés du diamètre BL ; en sorte que, si l’on trace par ces points les droites DG, D’G’, parallèles à ce diamètre, 011 aura deux limites entre lesquelles il ne saurait exister aucun point de la courbe, qui alors s’étend indéfiniment au-dessus et au-dessous de ‘ ces parallèles, tant à droite qu’à gauche de CF, et de plus est tangente à ces memes parallèles, aux points H et H'. Ainsi, pour l’hypothèse de B s — 4^C]> o, ce qui distingue le cas des racines imaginaires de celui des racines réelles et inégales , c’est que dans ce dernier cas la courbe rencontre son diamètre BL, qui est un diamètre transverse, et que dans le premier, le diamètre est non transverse. 300. Remarque. — Dans la discussion précédente, il n’est pas fait mention du cas où l’équation générale serait privée soit de l'un des carrés des variables , soit de tous deux. Il est aisé de voir que ce cas se rapporte à la troisième hypothèse. B s — 4AC o, puisque cette quantité se réduit alors à B s . Examinons les différentes circonstances qui peuvent se présenter : i°. A = o, C étant différent de zéro. Les quantités a, b, /«, n, p ( 11 0 296), se présentant sous forme infinie, le mode de discussion employé n° 299 semble se trouver en défaut. Mais rien n’empêcherait de résoudre l’équation par rapport à,r, et l’on serait conduit à des résultats analogues. Observ ods, du reste, que dans ce cas, la variable y n’entrant dans l’équation qu’au premier degré, toute valeur réelle de x , positive ou négative, donnerait toujours une valeur réelle pour r. Ainsi, la courbe existe et s'étend indéfiniment dans le sens des x positifs et dtms celui des x négatifs. 2 °. C = o, A étant différent de zéro. La discussiou du n° 2911 est directement applicable dans PAU LA SÉPARATION DES VARIABLES. 333 3°. A = O , C = O. Cette circonstance échappe véritablement à la discussion telle que nous l’aVons établie. Mais il faut remarquer qu’alors les deux variables x et y n’entrant qu’au premier degré dans l’équation, quelque valeur que l’on donne à l’une, on aura toujours une valeur réelle pour l’autre. Donc encore, dans ce cas, la courbe s’étend indéfiniment dans tous les sens. 301. Conclusion générale. — Il résulte de toute cette discussion de l’équalion générale du second degré qu’aux trois hypothèses faites sur les coefficients, savoir : B 2 —4ACo, correspondent trois genres de courbes : i°. Des courbes limitées dans tous les sens, ayant pour variétés un point ou bien une courbe imaginaire ; 2 °. Des courbes limitées dans un sens et illimitées dans l’autre, ayant pour variétés deux droites parallèles, une seule droite, ou bien deux droites imaginaires ,• 3°. Des courbes illimitées dans tous les sens, ayant pour variété un système de deux droites qui se coupent. Ces résultats sont d’accord avec ceux que nous avons obtenus en soumettant (n os 153 et suivants) l’équation générale à une double transformation de coordonnées, opération qui nous a conduits aux équations Mj’-f- Nx 2 = -4- P, Mjr 2 —• Nx ! = qr P, Mj 2 = Qi, dont chacune, considérée séparément, représente, ainsi que nous l’avons démontré, des courbes jouissant des mêmes propriétés, quelles que soient les valeurs numériques des coefficients M, N, P, Q. Nous sommes donc en droit de conclure, t° que les trois genres de courbes auxquelles nous sommes arrivés par la, séparation des variables, sont des ellipses, des paraboles ou des hyperboles, telles qu’elles ont été définies géométriquement aux n os 124, 134, 141 ; et 2 ° qu’on peut, dans les applications numériques , afin de faciliter les construc- 334 CONSTR. d’un système d’axes ou de diam. conjugués lions, faire usage de toutes les propriétés que nous avons successivement établies pour chacune de ces courbes. La division des courbes du second degré en trois genres étant ainsi opérée, nous allons voir comment on peut, dans chaque genre, déduire de la séparation des variables quelques lignes remarquables qui servent à déterminer la forme et le cours de la courbe. i°. Construction d'un système d’axes ou de diamètres conjugués. Fig. 137 . 302. Paraboles. —Reprenons l’équation relative à la première hypothèse (n° 297), savoir : y = ax -f- b li: sj 2 rix -+- p ; le radical peut être regardé comme l’ordonnée de la courbe, comptée à partir du diamètre BL ; et si l’on prend ce diamètre comme nouvel axe des x , le conjugué de cet axe est (n° 272) la tangente DEH. Transportant l’origine au point E, dont les coordonnées par rapport aux axes primitifs sont et désignant par u l’ordonnée rapportée aux nouveaux axes, on trouve pour l’équation de la courbe u' 1 = znx. On connaît ainsi le paramètre à ce système d’axes conjugués, a(BD — 2AE) • 2 n ou 4 A 2 qui peut être représenté sur la figure par MN ! W ’ EN, MN étant les coordonnées d’un point quelconque de la courbe rapportée au système d’axes EL, Eli; et, par suite, on est en mesure de construire complètement la courbe d’après le procédé du n° 292. Fig. i38. 303. Ellipses. — Comme la courbe est (n° 298) tangente en E, E', aux deux droites DG, D'G', il s’ensuit que DÉD. DE LA SÉP. DES VAU. DAMS l’ÉQ. GÉN. DU 2 e DEGRÉ 335 EE' représente en grandeur et en direction un diamètre dont le point milieu O est le centre de la courbe. Son conjugué a donc pour direction la droite indéfinie CR menée par ce point parallèlement à A Y ; et il ne reste plus qu’à en trouver la longueur. Or l’abscisse AC du point O, centre de la courbe, a pour expression AD -+- AD' n - o U -, 2 m demi-somme des racines de l’équation 2 n p x 2 H- x H-= o. m m Par conséquent, si l’on remplace x par cette valeur particulière dans l’expression de y correspondante, on trouvera pour la valeur de \jmx* -P- 2 nx 4 - p, la quantité dont le double représente la distance HH' entre les points H et H', où le second diamètre doit rencontrer la courbe, ou, en d’autres termes, la longueur de ce diamètre. Connaissant ainsi deux diamètres conjugués en grandeur et en direction, on pourra construire la courbe comme il a été dit au n° 292. N. B. — Si l’on mène par les points H, H', déterminés comme on vient de le dire, deux parallèles au diamètre EE', la courbe sera inscrite au parallélogramme IKK'I'. Les droites IK, I'K' sont les deux limites dont il est fait mention au n° 298. 304. Hyperboles. — Il faut traiter séparément le cas où Fie. les racines du trinôme mx^ - f- 2 nx -+- p sont réelles et inégales, et celui où ces racines sont imaginaires. Premier cas. — On a vu déjà (n° 299) que EE' représente un diamètre en grandeur et en direction ; d’où il résulte que le point O, milieu de ce diamètre, est le centre de la courbe. 336 C0NSTR. d’un système d’axes ou de diam. conjugués Fig 139 . En raisonnant comme au numéro précédent, on est conduit à faire n abscisse du point O, dans l’expression 2 \jmx 2 -f- 2 nx -H- p ; ce qui donne 2 J P"' y m Mais, comme la droite indéfinie CF est un des diamètres non transverses de la courbe, cette valeur est nécessairement imaginaire et (n° 139) de la forme 2N —1, 1 expression qui, divisée par \J — 1 , donne aN pour la longueur du diamètre conjugué, dont la direction est déjà connue. Si main tenant 011 porte sur la droite CF, et à partir du point O, deux distances OH, OH', égales à N, et qu’on mène par les points H j H' deux parallèles au diamètre EE', on obtiendra un parallélogramme IKK'I', inscrit à Y hyperbole (n° 248). Puis, si l’on joint le point O aux quatre sommets de ce parallélogramme, on aura les asymptotes de la courbe, qui peut d’ailleurs être facilement construite, puisque l’on en connaît deux points E, E' (voirie n°257). Fie, i4o. Second cas. — La courbe étant (n° 299) tangente à DG, D'G', la droite HH'peut être considérée comme une corde de la courbe; et comme elle est la plus petite de toutes celles qu’on peut mener parallèlement à AY, il s’ensuit que cette corde est un diamètre, dont le point milieu 0 est le centre de la courbe. On a donc déjà un premier diamètre en grandeur et en direction. Pour avoir son conjugué , remarquons que l’abscisse du point O est n AC ou-> m quantité déjà construite (n°299) et égale à la demi-somme DÉD. DELA SÉPAR. DES YAR. DANS l’ÉQ. GÉM. DU 2 e DEG. 33y des racines de l’équation 2 n o x 2 H- x H-=. o , m m lesquelles sont, par hypothèse, imaginaires ,• mais si l’on divise, comme dans le premier cas, par y/— 1 la quantité radicale de la forme 2 N \j — i, qu’ensuite on porte, de part et d’autre du point C, deux distances CK, CK', égales à N, et qu’enfîn on mène parles points K, K', des parallèles à AY, on déterminera sur la droite RL, parallèle aux tangentes DG, D'G', deux points I, I'; et la portion de droite II' sera le diamètre non transverse, conjugué de HH'. Les quatre sommets du parallélogramme DGG'D' inscrit à l’hyperbole, étant ainsi obtenus, on passe, comme il vient d’être dit, à la construction des asymptotes, et, par suite, à celle de la courbe. 305 . Remarque générale. —On pourrait également, pour chacun des trois genres de courbes du second degré, appliquer à la détermination des axes principaux le mode de séparation des variables dans l’équation générale en ayant soin, alors, de considérer les courbes comme rapportées, non plus, comme dans la discussion précédente, à des axes quelconques, mais bien à des axes rectangulaires, ce qu’on peut toujours faire (n° 154). Toutefois cette opération présenterait d’assez grandes dilficultés, et il est préférable d’avoir recours à la méthode de réduction pour la transformation des coordonnées (n os 153 et suivants). 2 °. Construction des asymptotes dans l’hyperbole. 306. On a vu (n°257) que lorsque l’on connaît les asymptotes de l’hyperbole et un seul de ses points, la construction de la courbe s’exécute avec la plus grande promptitude. Il est donc important d’obtenir directement ces droites. Reprenons, à cet effet, l’équation générale Ajr’-t- C* 2 -)- Djr + Ex + F = o, que nous supposons satisfaire àla condition B 2 — /\A.C >o. A/>. de l’AI. à la G. 22 338 CONSTRUCTION DES ASYMPTOTES DÉDUITE En conservant les memes notations qu’au n° 296, on peut la mettre sous la forme h rt \j mx 2 -+- 2 nx jj on bien (n° 299), aæ -f b ± le signe supérieur de qz t»A 2 , correspondant au cas où les (leux racines sont réelles et inégales, et le signe inférieur, à celui où elles sont imaginaires . Cela posé, si, dans l’expression (i) de y on fait abstraction du terme qr mk-, elle se réduit h ou équation du premier degré en x et en y, représentant un système de deux lignes droites qui se coupent. Je dis que ce système est précisément celui des asymptotes de la courbe. En effet, remarquons d’abord que l’ordonnée de chacune des deux droites se réduit à l’ordonnée du diamètre r'= ax -+- b , quand on fait n x -4- — o , d’où x = — m m ce qui prouve que les droites appartenant à l’équation ( 2 ) se coupent sur le diamètre, au point qui a pour coordonnées , n - ’i m y' — ax' -t- b. De plus, comme les expressions ( 1 ) et ( 2 ) ont une partie commune, ax -t- ù, et 11 e diffèrent que par les quantités radicales dont le signe est le même pour toutes deux, si l’on pose (3) ( 4 ) DE LA SÉPAR. DES VAR. DANS l’ÉQUAT. GÉN. DU 2' DEG. 33p la différence entre les ordonnées de la courbe et les ordonnées de chaque droite sera exprimée par u ' — a, les deux quantités u et u' étant telles, qu’elles augmentent en môme temps à mesure que x augmente. Ainsi, il s’agit (n° 243 ) d’établir que celte différence peut devenir moindre qu aucune grandeur donnée , et se réduit à o, quand on fait X = oo . Opérons comme au n° 245, et élevons au carré les deux membres des équations (3) et (4) ; il vient d’où l’on déduit dz mk 1 u -« = —-. a -h u Or l’inspection seule de ce résultat fait voir que la différence u '— u diminue sans cesse numériquement, à mesure que x augmente, et devient nul lorsqu’on suppose x infini. Donc l’équation ( 2 ) est bien celle des deux asymptotes. Remarque. — Ce mode de détermination des asymptotes, que nous appliquerons bientôt à des équations de degré supérieur, se traduit en une règle pratique fort simple : Extrayez algébriquement la racine carrée de la quantité soumise au signe radical, dans l’expression générale de Vordonnée y, de la courbe, et négligez le reste de l’opération. La double ordonnée des deux asymptotes est égale à la partie rationnelle de l’y de la courbe, augmentée ou diminuée de la partie entière de la racine carrée. Ainsi, dans l’équation y ~ ax 4 - b ± \f ui.c- -f- 2 nx ■+■ p, comme on trouve pour cette partie entière « \ m + -p, y m 22. 34o CONSTRUCTION DES ASYMPTOTES DÉÛUITE le reste étant p — — > il en résulte pour l’ordonnée des asymptotes yax + b ± ( x sJ m H- - ^ î ou y — ax 4- b ± ( x H-) \hn , résultat obtenu ci-dessus. 307. Cas ou l’équation générale est privée, soit de l’un des carrés des variables, soit de tous deux. — Ces cas méritent une attention particulière. i°. Soit C = o. — L’équation générale devient A y 3 B xy -4- Dr Ea: -+- F = o, d’où r= — B ' g -~ 4 ~ - ± —JWx'A- 2 (BD — 2AK)1p -f- D 2 — 4 AF. * 2 A 2 A T ' ' 1 Extrayant la racine carrée et ne tenant compte que des deux premières parties, on obtient successivement, après toute réduction, y E B’ D A E B’ ce qui prouve que, dans ce cas, l'une des asymptotes est parallèle à Vaxe des x. On peut encore parvenir aux mêmes résultats de la manière suivante : L’équation, résolue par rapport à a', donne A y--+■ D y -+- F Bj-+- E ’ ou, effectuant la division, A AE — BD BDE — A. K’— B 2 . F r— ~B r_) B 2 ' H B 3 (By+Ëj" Premièrement, si l’on fait dans cette expression, _y=±oc, la troisième partie dont elle est composée s’évanouit, et DE LA SÉPAar. DES VAR. DANS l’ÉQUAT. GÉN. DD 2 e DEG. 34l l’abscisse générale de la courbe se réduit à celle de la droite A X =--y + AE — BD B 2 ? qui, jouissant de la propriété d’avoir ses deux points d’intersection avec la courbe situés à l’infini, ne saurait être qu’«rae asymptote (n os 244 et 245). On déduit, en effet, de cette dernière équation, B E D - r= “I* + B~Â ; c’est la seconde des asymptotes trouvées par le premier moyen. Secondement, si l’on pose „ , E B,r E = o, d ou y = — —, les deux premières parties de la valeur de x se réduisent à aAE — BD ’ et la troisième partie devient infinie, puisque son numérateur étant une quantité finie, généralement différente de zéro , sou dénominateur est nul. Donc E r = - B est l’équation d’une droite qui 11 e peut rencontrer la courbe qu’à une distance infinie ; cette droite est, par conséquent, une asymptote : c’est la première obtenue par l’autre méthode. N. B. — Si, avec l’équation t E r = - r on avait, en même temps, la condition BDE — AE 2 — FB 2 = o, ou AE 2 4 - f B 2 — BDE = a, la valeur de x se présenterait sous la forme qu’on peut interpréter en remarquant que cette condition s’obtient 34U CONSTRUCTION DES ASYMPTOTES DÉDUITE comme cas particulier, par l’hypothèse C = o introduite dans la relation A.E 2 -f- C.D’-f- F.IP— BUE — 4 ACF = o , qui correspond ('voir la note au bas de la page 33o), au cas où la courbe se réduit à un système de deux droites. ■j.°. Soit A = o. — Il suffit, pour passer du cas précédent à celui’-ci, de changer y, A, D en x,C, E, et réciproquement. On obtient ainsi _ _ D __ __ B ___ E D X B’ a — C J C + B ; et l’on voit qu’alors l’une des asymptotes est parallèle ci Taxe des y. 3°. Soient à la fois A — o, C — o. — L’équation générale se réduit à B xy 4- Dy -H Ex -)- F = o , d’où, résolvant par rapport à y, et effectuant la division pour rendre le numérateur indépendant de ,r, E DE —BF' y ~ ~ B + B (B® + D}’ résultat d’où l’on déduit, comme dans le premier cas (deuxième moyen), les conséquences suivantes : Premièrement, si l’on fait x = r£ oc , £ la valeur de l’ordonnée y de la courbe se réduit à — — » 13 puisque la seconde des deux parties dont elle se compose devient nulle. Ainsi E r ~ ~~ B est l’équation d’une droite qui rencontre la courbe en deux points situés à Vinfini ^ c’est donc une première asymptote . Secondement, soit posé D Jît -t- D = o, d ou x — — — ; DE JLA SÉCAll. DES VAli. DANS l’ÉQUAT. GÉN. DD 2 e DEG. 343 la valeur de y devient infinie, tant que l’on n’a pas DE — BF = o. L’équation D X B est celle d’une droite qui généralement ne peut rencontrer la courbe qu’à Y infini, et est, par conséquent, une autre asymptote. La condition particulière DE — BE = o, que l’on peut déduire de la relation AE 2 +- F’B 2 — BDE == o, en y posant A — o, signifie encore ici, comme dans le premier cas, que la courbe se réduit à un système de deux droites; ce qui n’infirme pas la conclusion précédente. Donc enfin les équations E D y=--, x = -~ sout celles des asymptotes de l’hyperbole représentée par l’équation Bxy -+- Dy + E.r + F — o. Ces asymptotes sont respectivement parallèles aux axes. On parviendrait au même résultat en faisant disparaître les ternies linéaires en x et y, par une simple translation d’origine, ce qui ramènerait l’équation à la forme xy— k\ que l’on sait être (n° 252) l’équation de l’hyperbole rapportée à ses asymptotes. 308. Remarque. — Ce n’est que sur des exemples numériques , où les véritables signes des coefficients sont connus, qu’il est possible d’entrer dans des détails de discussion propres à donner une idée nette du cours de la courbe, tant par rapport aux axes que par rapport à certaines droites dont on fixe la position, en vue de faciliter 344 RÉCAP. DE LA DISC13SS. DE L ÉQ. GÉN. DU 2 e DEGRÉ la construction de la courbe elle-même et d’en faire con naître toutes les affections. 309. Récapitulation générale. — Avant de passer aux applications numériques, nous croyons utile de faire une récapitulation des principaux caractères servant à distinguer les différents genres et variétés que peut représenter une équation du second degré à deux variables. i u . Paraboles. B 2 — 4AC = o, relation qui (n° 1(50) entraîne la condition que les trois premiers termes, A y 2 -+- B,ry -+- Cx 2 , forment un carré parfait. Variétés. BD — 2 AE = o, I ) 2 — 4 AF )>, = , ou < o T savoir : I D 2 — 4AF > o, D 2 — 4 AF = o, D 2 — 4AF < o, un système de deux droites parallèles ; une seule droite; deux droites imaginaires. Le cas d’im système de deux, droites parallèles est encore caractérisé par une équation de la forme [qy + rx + s) (q'y-h r'x-h s') = o, dans laquelle les coefficients < 7 , r, q’, /■' sont directement proportionnels ; caractère qui résulte de la forme que prennent les deux valeurs de y (n°297), lorsqu’on suppose n ou BD — 2 AE = o. Et en effet, si l’on égale à o chacun des facteurs de l’équa tion précédente, il vient d’où qy -+- rx + ,ç = o, q y 4 - r'x -+- ,v'= o, r s r s :-X-, 7 = - -X - <7 7 7 7 et comme, par hypothèse, 011 a - = il s’ensuit que les droites correspondantes satisfont à la condition àe parallélisme. PAR LA SÉPARATION DES VARIABLES. 345 2°. Ellipses. B 1 — 4 AC o ou négatif ; condition qui exige que A et C soient de même signe. Variétés. A = C, B = o. Le cercle [voir le n° 161), re 3 — pm — o ) un point ou > (n° 298) ou n- — pm o ) une courbe imaginaire. Ces deux dernières relations étant développées [voir la note au bas de la page 328 ), donnent 1 ' = o, un point; une courbe < 0 , . . . imaginaire. Le point et une courbe imaginaire sont aussi, respectivement , caractérisés par des équations de la forme ( 77 -+- rx -+- a) 2 -4- [q'y-\- r'x s'y= o, [qy -f- rx -+- .c ) 3 4 - (77 + r’x + V) 3 -)- Æ 2 = O ( k étant une quantité numérique quelconque). Ces caractères résultent (n° 298) de la double valeur de y correspondant aux cas de deux racines réelles et égales, ou de deux racines imaginaires. La première équation ne peut subsister qu’autant que l’on a, à la fois, qy -y- rx -+- s — o, q'y r ’ x -+- s ' = o ; système de deux équations à deux inconnues , qui représente généralement un point. Quant à la seconde équation, elle ne peut être satisfaite en valeurs réelles d'x et d]y, puisque k est supposé different de o. 3°. Hyperboles. B 3 — t\. AC o, ou positif; A et C sont indifféremment de même signe ou de signes contraires. Variété. — Un système de deux droites qui se coupent; et ce système est caractérisé, soit par la condition n 2 — pm =0 (n° 299), ou développant, A.E 3 + C.D 3 + F.B 3 — BDE —4ACF = o, [voir la note au bas de la page 33o), soit par une équation de la forme 346 CONSTRUCTION DE COURBES DU SECOND DEGRÉ les coefficients q , r, q', r' n’étant pas directement proportionnels. Ce dernier caractère se déduit de la valeur générale de y ( n° 299) , dans le cas où les racines sont réelles et égales. Construction de courbes du second degré données par des équations numériques. Observation préliminaire. — Pour éviter des répétitions inutiles, il nous arrivera, le plus souvent, d’appliquer les principes résultant de la discussion générale, sans entrer dans aucun détail sur les raisonnements-, nous laissons aux lecteurs le soin de les reprendre eux-mêmes sur chaque exemple particulier, jusqu’à ce qu’ils se soient Lien familiarisés avec tous les principes qui ont été développés dans cette discussion. En outre, nous supposerons, pour plus de commodité, les axes rectangulaires , quoique tous les principes de la discussion précédente soient, ainsi que nous l’avons déjà dit, indépendants de l’inclinaison des axes. PARABOLES. 510. Premier exemple : y 1 — 4 x ï -+- 4 -+■ 2 y — 7 x — i = o. On déduit de cette équation , y — ix — i±V^3x+ 2 , Construction du diamètre y' — 2 x — i. — On obtient successivement pour x — o, et pour y' — o, 1 2 Prenant sur les deux axes ÀY, AX, les distances AB = — i, AC —- -1 2 et tirant la droite indéfinie BCE, on a le diamètre cherché. Point d’intersection de la courbe et du diamètre. — II faut poser DÉD. DE LA D1SCUSS. DE l’ÉQ. GÉN. PAR LA SÉP. DES VAR. 347 Soit AG : - -, si l’on mène GG' parallèlement à AY, le point o H sera ce point de rencontre. D’un autre côté, le coefficient de x sous le signe radical de la valeur de y étant positif, il s’ensuit ( n° 297 ) que la courbe s’étend indéfiniment à la droite de GG', tant au-dessus qu’au-des- sous de son diamètre, et est tangente en H à GG'; donc elle affecte la forme et la position indiquées par la figure. On peut, du reste, trouver autant de points de la courbe que l’on voudra, en attribuant à x une série de valeurs, et en construisant les deux valeurs de y correspondantes. Il est d’usage de rechercher, par exemple, les points où la courbe rencontre les axes. Or, pour x = o, l’équation proposée devient /+ 27 — r = o ; d’où y — — et pour j — o, 4 x 2 — 7 x - ou x=r ! et d’où 1 à moins de 5 près, o La double valeur de y est facile à construire. Si l’on prend, à cet effet, d’abord AD = 1, comme on a déjà AB = 1, il s’ensuit que BD= \[z; portant alors BD sur AY, de B en K, et de B en K', on obtient deux points K, K', appartenant à la courbe. Quant aux deux valeurs de x, on prend AI = et AI' = a’ les points I, I' appartiennent encore à la courbe , qui peut ensuite être tracée assez rigoureusement, comme étant assujettie à passer pas les cinq points K, I', H, K', I. Deuxième exemple: Fio. ï 42 . y 2 — o.xy -h x 2 — 4 y - 4 - x 4 *= o ; d’où y — x -y 2. de: x- Construction du diamètre y' — x -I- 2. — On a pour x — 0, y' — 2, 348 CONSTRUCTION DE COURBES DU SECOND DEGRÉ Fig. 142. et pour y' = o, x — — 2. Prenant AB = AC = 2 et tirant CBE, on obtient le diamètre cherché. Point d’intersection de la courbe et du diamètre. — Ce point étant donné par la relation x = o, est situé sur AY ; et comme on a y = 2 ±o, il en résulte que la courbe est tangente en B à cet axe. De plus, comme le coefficient de x est positif sous le radical de la -valeur de y, il s’ensuit que la courbe s’étend indéfiniment à partir du point B et à la droite de AY. En faisant y = o dans l’équation donnée, on trouve x 2 -f- x —f— 4 o ; équation du second degré en x dont les racines sont imaginaires ; ce qui prouve que la courbe ne peut rencontrer l’axe des 2 :. Pour obtenir d’autres points, faisons, par exemple, x = 1 = AP; il vient y — 3 ± y/3 ou r — 3 ± 1,7 à moins de 0,1 près. Comme, d’après les constructions déjà exécutées, on a CP = PQ = 3, il s’ensuit que, si l’on porte 1,7 sur PQ de Q en M et de Q en m, les points M, m, appartiendront à la courbe. Soit encore x = AP' = 3 ; il en résulte j :=: 5± y/ç) = 5 ± 3 ;= P' Q' zt 3. Portant la distance 3 de Q' en M' et de Q' en m', les points M', m' appartiennent à la courbe qui peut maintenant être tracée d’une manière suffisamment rigoureuse. Troisième exemple : y 2 + 6 xy + gi ! — 2 y — — i5 = o ; y =z — 3 Æ + trt:\/i6 = — 3x-t-i±4> d’où DÉD. DE LA DISCUSS. DE l’ÉQ. GÉN. PAU LA SÉP. DES VAR. 34g et, par suite, y — — 3x-+-5, y = — 3x — 3; équations dont l’ensemble représente un système de deux droites parallèles ayant respectivement -f- 5 et — 3 pour ordonnées h l'origine, et — 3 pour coefficient d’inclinaison. On reconnaît ainsi que la proposée peut être mise sous la forme {y + 3 .r — 5)(y + 3x + 3)=o ( voir le n° 309 ) . 311 . Remarque I. — Dans les deux premiers exemples, les droites HG, HE (fig . i4i) et BY, BE (fig . 142) forment nécessairement un système d’axes conjugués ; et comme, pour la première courbe, le paramètre à ce système est , t , B K . 2 que, pour la seconde, il a pour expression BQ ou M'Q ' 2 B » rien n’empêcherait d’appliquer le mode de construction développé au n°292, ainsi que nous l’avons déjà indiqué (n° 302) dans la discussion générale. 312. Remarque II. — Dans chacun de ces exemples, l’équation, résolue par rapport à x, conduirait à un second diamètre que l'on pourrait construire. Egalant à o la quantité soumise au nouveau radical, on en déduirait pour y une valeur qui exprimerait l’ordonnée du point de rencontre de la courbe avec ce diamètre ; et, en menant par l’extrémité de cette ordonnée supposée construite, une parallèle à l’axe des x, on obtiendrait une tangente à la courbe, qui la limiterait dans le sens des y. Le point de contact , qui n’est autre que le point de rencontre de la courbe et du diamètre, est dit un point limite de la courbe. Dans la figure 1 4 1 ce point limite est très-voisin du point K', et dans la figure 142 il est très-rapproché du point m. Ce mode de détermination des points limites dans le sens des axes, susceptible d’être employé toutes les fois qu’il s’agit d’une courbe du second degré, n’est pas toujours possible pour des courbes de degré supérieur. Mais voici un autre moyen applicable dans tous les cas : 35û CONSTRUCTION DE COURBES DU SECOND DEGRÉ Soitf(x, y) = o l’équation proposée. Déterminez le coefficient d’inclinaison de la tangente en un point quelconque x ', y' de la courbe, d’après la règle du n° 102. Egalez à o le numérateur de ce coefficient, ce qui donne une équation en x', y ' qui, combinée par élimination avec l’équation f [x' ,y') = o, fera connaître tous les points de la courbe où la tangente est parallèle à l’axe des x. En égalant à o le dénominateur, on obtiendrait d’une manière analogue les points où la tangente est parallèle à l’axe des y. Nous aurons plus tard l’occasion d’appliquer cette règle. Voici de nouveaux exemples pour la classe des paraboles, sur lesquels on peut s’exercer : r 2 -+- ayx -+- x 2 — 6 y g = o , y 2 — 3 y -+- 5 x — 2 = 0, y- — 4.ry-+- 4-r 2 ■+■ 2 y — 4 X + 4 — 0 ’ y 2 — 2 xy -4- x 2 + 6y — 6x -+- g = o. ECLIPSES. Fig, i43. 515 . Premier exemple : y 2 — 2 xy -t- 2 x 2 — 3 x -f- 2 = o. Cette équation donne y — xz^z\j — x 2 4- 3 x — 2; d’où l’on voit d’abord que le diamètre y’ — x est une droite AB passant par l’origine et faisant avec AX un angle de 45 degrés (moitié de l’angle des axes). \ Si l’on égale à o la quantité soumise au radical, il vient d’où x 2 — 3 x 4- a = o ; x — 1 et x = 2 : et la valeur de y prend la forme y = xdr \j — (x — [) (x — 2). Prenant sur AX les distances AG = i, Ail = 2, et menant DÉD. T)E LA DISCDSS. DE l’éQ. GÉN. PAR LA SÉP. DES VAR. 35 I par les points G, H les parallèles GG', HH' à l’axe des y, on obtient D, E pour les points où la courbe rencontre son diamètre. Maintenant, il résulte de la forme même sous laquelle est mise la quantité soumise au radical, que toute valeur de x inférieure à i ou supérieure à 2 rendrait cette quantité négative, et que, par suite, les valeurs correspondantes de y seraient imaginaires. Il ne peut donc y avoir aucun point de la courbe situé en deçà et au delà des parallèles GG', HH'. Mais toute valeur de x supérieure à i et inférieure à 2 rendant, au contraire, le produit des deux facteurs x — 1 , x — 2 négatif , et, par conséquent, la quantité sous le radical positive, donnera pour y des valeurs réelles. D’où il suit que la courbe est entièrement comprise entre les droites GG', HH' auxquelles elle est d’ailleurs tangente en D, E, et se trouve limitée dans les deux sens des x positifs et des x négatifs. Comme, d’après l’expression générale de y en x, à des valeurs finies de x il ne peut correspondre que des valeurs finies de/, la courbe est aussi limitée dans les deux sens des y positifs et des y négatifs. Ces dernières limites peuvent s’obtenir (n°îi08) en résolvant l’équation proposée par rapport à x. Mais il existe (n° 505 ) d’autres limites plus avantageuses. Puisque DE représente en grandeur et en direction l’un des diamètres de la courbe, le point milieu O de DE en est le centre , et ce centre a pour abscisse 4T AG + AH 3 AI - --= — ■ 2 1 3 Posant x — - dans l’expression de y, ce qui donne A = -±-: d’où y — 2 , y — i, 2 2 et portant sur la parallèle à AY menée par le point O les deux distances IN = 2 , IN' = i, on obtient NN' pour le diamètre conjugué du diamètre DE, et les droites LNM, L'N'BI', parallèles à DE, pour les limites de la courbe dans le sens des y; en sorte que la courbe est entièrement comprise en dedans du parallélogramme LL'M'M, et peut, d’ailleurs, être construite d’après le moyen indiqué au n° 505. 35a CONSTRUCTION DE COURBES DU SECOND DEGRÉ Fig. 144. Deuxième exemple : y 2 — 2 3 :jy + 3 x ! + 2/ — 4 -r — 3 = 0 . On déduit de cette équation y = x — I ± y— 2 3 ; 2 -|- 2 a; -j- 4 - Le diamètre y'~ x — 1 peut être facilement construit et se trouve représenté sur la figure par la droite indéfinie BCK. Points de rencontre de ce diamètre avec la courbe : x 2 —x — 2 = 0: d’où x — 2 et x — — i ; et, par suite — 1 dr y/ — 2(37 + 1 ) ( a: — 2). Prenant sur AX AG = — 1, Al l = 2 ; puis, élevant aux points G, H, des parallèles à AY; et portant sur ces droites des distances GI = — 2, HF = -t- t on obtient I, F pour les points d’intersection cherchés. Ces parallèles sont les limites de la courbe dans les deux sens de l’axe des x. Comme IF représente un diamètre en grandeur et en direction, . le point milieu O est le centre de la courbe; et AR, ou l’abscisse de ce centre, a pour valeur x 1 2 Faisant donc x = - dans l’expression de y, on trouve i±V o ** ’ à moins de o, 1 près 2 2 et si l’on porte 2,1 de O en N et de O en N', on obtient NN' pour le conjugué du diamètre IF, et, par suite, LL'M'M pour le parallélogramme circonscrit à la courbe. Les hypothèses y — o, x — o, faites successivement dans l’équation proposée, donnent : Pour y — o , 3 x 1 — 4 « — 3 = o; d’où DÉD. DE LA DISCÜS. DE l’ÉQ. GÉK. 1>AE LA SÉP. DES VAE. 353 OU x = i ,8, et x — — o,5, à moins de o, i près ; Et pour x = o, jr’+aj—3 = o; d’où Ces dernières valeurs se construisent facilement et donnent D, D' pour les points où la courbe rencontre l’axe desy. De même, si l’on prend AE = i,8, AE' = — o,5, on obtient E, E' pour les points d’intersection de l’axe des x avec la courbe qui se trouve ainsi suffisamment déterminée. Troisième exemple : y 1 -h 2 xy -h 3 x 2 — 4x = o, y = — xdz sj — 2 x{x — 2 ). Le diamètre y'— — x est une droite AB qui divise l’angle XAY' en deux parties égales. On voit, en outre, d’après la quantité soumise au radical, que la courbe passe par l’origine et a pour première limite l’axe des y, auquel elle est tangente en A. De plus, si l’on prend AG = 2 , qu’on mène par le point G la droite GH parallèle à AY, et que l’on porte sur cette droite une distance GI = — 2 , on obtient ainsi le point I pour l’autre extrémité du diamètre, et GH pour la seconde limite dans le sens des x. Le point O, milieu de AI, étant le centre de la courbe et ayant pour abscisse, . „ AG AL! ou-= 1 , 2 ' si l’on fait x = i dans l’expression de y, il vient y == — i±y/ 2 =: — i± AO. Ainsi il suffit de porter OA de O en N, et de 0 en W, pour obtenir le conjugué NN' du diamètre AI, et, par suite , le parallélogramme LL'M'M circonscrit à la courbe. N. B. — Il est à remarquer ici que les deux diamètres conjugués AI et NN' sont égaux et ont pour valeur 2 y/?. ; Ap. de l’Al. à la 0. ?-3 Fig. l45. 354 CONSTRUCTION DE COURBES DU SECOND DEGRÉ Fig. t 45- En posant y = o dans i’équation proposée, on trouve 3 a ? 2 — 4x = o-, 4 x — o, a; = -j-- à d’où Prenant AE = ï, on obtient le second point de rencontre, E, de la courbe avec l’axe des x. Quatrième exemple : y 2 — 4xy -h 5x 2 — 2/4- 5= o, 4 = 2 X 1 ± ( a? — 2 ) y/ — I. -b rincette expression de y prouve que x = 2 est la seule valeur de x à laquelle puisse correspondre une valeur reelle pour y. Donc la courbe se réduit à un point; lequel a pour coordonnées x = 2 , y — 5. Et, en effet, l’équation peut, dans ce cas, se mettre sous la forme (y — si — i ) 2 4 - (x — 2 ) s = o, équation qui ne peut être satisfaite que si l’on pose séparément y — 2 a?— ï — O et x — 2 — 0. Autres exemples relatifs à des ellipses. y 2 -h 2 xy 4- ix 2 — 2 y — 5a? H- I = o, 4 y 2 — 2 xy x 2 — 8/ 4- 4 X “t" 4 — °> 4/ 2 4- 2 a? 2 4- 4 T — k x — 5 — 0, y 2 4 - x 2 — 3 y 4- 2 . x 4“ 1 o , y 2 — 2 xy 4- 2 x 2 — 2 x 4- 4 — °- hyperboi.es. 51 A. Premier exemple : Y 2 — 2 xy — 3 a: 2 —2 y 4- ’J x — 1 = 0 . On tire de cette équation y ■= x + \ ~àz \j 4 x? 5 x 4- 2 . D’abord , la droite CBI, pour laquelle on a AC = — 1 , AB = r, représente le diamètre y'—x + 1 . DÉD. DE LA DISCTJS. DE l’ÉQ. GÉJV. PAll IA SÉP. DES VAR. 355 5 j Ensuite, le trinôme x 1 — y x — égalé à o donne 4 2 5 i ,- racines imaginaires; ce qui prouve que CBI est un diamètre non transverse,; et, comme alors, on peut mettre la valeur de y sous la forme il s’ensuit que toute valeur de x, positive ou négative, donnera constamment pour y des valeurs réelles. Ainsi la courbe s’étend indéfiniment au-dessus et au-dessous du diamètre CBI, et dans les deux sens de l’axe des x. Pour obtenir la plus petite valeur que puisse recevoir le radical, et, par suite, les points de la courbe les plus rapprochés du diamètre , il faut évidemment poser 5 ,, , 5 X -75 = O , (lou x — g- •, O O ce qui réduit le radical à v/ ou ifi- 5 Soit donc prise sur AX une distance AN = et soit élevée du o point N, NO parallèle à AY ; si, sur cette ligne et à partir du point O, on prend OM — OM' - s/'] ~ o,6 à moins de o,i près, les points M, M' seront les points les plus rapprochés du diamètre, de sorte qu’en menant par ces points les parallèles GG', UH' à CBI, on aura deux droites au-dessus et au-dessous desquelles seront situés tous les points de la courbe. Observons maintenant [voyez le n° 504) que MM', étant la plus petite de toutes les cordes de la courbe, menées parallèlement à AY, est un autre diamètre; son point milieu 0 est, par conséquent, le centre de la courbe. On connaît ainsi l’un des diamètres transverses, MM', en grandeur et en direction; et pour avoir en grandeur son conjugué , qui a pour direction CBI } on pourrait avoir recours au procédé du numéro précité. 23 . 356 CONSTRUCTION DE COURBES DU SECOND DEGRÉ Fig. i 46. Mais il est préférable, pour le tracé exact de la courbe, de lîxer la position des asymptotes. Appliquons à l’expression de y la règle du n° 506; il vient ce qui prouve que les asymptotes se rencontrent sur le diamètre, 5 au point O dont l’abscisse est x g » 11 suffit donc d'obtenir un autre point de chacune d’elles. Or, en faisant on trouve premièrej i et, pour la seconde, quantités faciles à construire sur l’axe des y. Ces asymptotes sont représentées par les droites LL', RK', passant respectivement par les points O et R, 0 et R'. La courbe peut ensuite, au moyen des points M, M', être construite d’après le procédé du n° 2S7. Fie. j47 • Deuxième exemple : y 2 — t^xy — 4' r_ t~3 = o. Cette équation donne y = 2 x ± \/4 x' 1 4 x — 3 ; le diamètre est une droite LAL' passant par l’origine et par un point ayant pour coordonnées, x — i = AB, y = 2 = BC. Posant 3 a; 2 + x — - — o, 4 on obtient _i _ 3 2 . ’ 2 Donc-, si l’on prend AD 2 . AD' = DÉD. DE LA DISCUS. DE l’éQ. GÉN. PAR LA SÉP. DES VAll. 357 et que, par les points D, D', on élève des parallèles DG, D'G' à AY, les points M, M', où elles rencontrent le diamètre LL', appartiennent à la courbe qui, d’ailleurs, est tangente aux droites DG, D'G', et s’étend indéfiniment à droite et à gauche de ces deux parallèles, au-dessus et au-dessons de son diamètre. Si l’on extrait (n”508) la racine carrée de la quantité soumise au radical, il vient y — o, x ± (21 +• 1 ), pour l’équation des deux asymptotes, qui se coupent sur le diamètre au point O dont l’abscisse est x — — — = ÀE. 2 En séparant ces deux valeurs de y, on trouve y = 4 + 1 , y ~ g dont la seconde représente une droite 101' parallèle à l’axe des x (résultat conforme à ce qui a été établi au n° 507). Quant à la première valeur, elle donne y = 1 pour x = o -, ce qui prouve que l’asymptote correspondante est une droite KK', passant par le point O et par le point F, pour lequel on a AF = 1 . La courbe peut maintenant, ainsi que nous l’avons dit pour le premier exemple, être facilement construite. On pourrait ici, pour la détermination des asymptotes , appliquer le procédé du n° 507. Résolvant, à cet effet, l’équation proposée par rapport à x, on trouve y 2 + 3 ' X — -y- - 1 4 r + 4 ou, effectuant la division, y 1 4 4 y -h * De cette expression on déduit : i°. Que pour y = ± 00 , l'abscisse de la courbe se confond avec celle de la droite représen- 358 CONSTRUCTION DE COURBES DU SECOND DEGRÉ tée par l’équation y 1 / x = — -y ou 4 4 en sorte que cette équation est (n os 2 Vi et 24S) celle d’une asymptote à la courbe ; f 2 °. Que pour la valeur particulière y = — i, qui donne l’abscisse de la courbe devient infinie , c’est-à-dire que la droite y = — i, parallèle à l’axe des x, est la seconde asymptote de la courbe donnée. 315. Remarque importante. — Le mode particulier de détermination des asymptotes, exposé au n° 307, et dont nous avons fait l’application au second exemple, est fondé sur la propriété démontrée n os 244 et 245, savoir: que, .dans I’iiyperbole , tonte droite qui rencontre la courbe à l’infini est nécessairement une asymptote. Mais cette propriété n’existant pas pour les courbes de degré supérieur, il est indispensable, alors, de rechercher si une droite reconnue pour rencontrer la courbe à l’injini, satisfait, en outre, à la condition essentielle et caractéristique de s’en rapprocher indéfiniment, et autant que l’on veut (n° 243). Avant de passer à ces sortes de courbes, appliquons cette recherche à l’exemple même que nous venons de traiter, en faisant, pour le moment, abstraction de la propriété susmentionnée. Reprenons à cet effet l’équation y 7 — 4 x y — 4 x -i- 3 = °> qui, résolue par rapport à x, a donné x _ Z _ L H _ 1 . ~ 4 4 y + 1 ' les asymptotes déterminées par le mode précédent sont représentées par les équations DÈD. DE LA DISCUS. DE l’éq. GÉN. l'Ail LA SEP. DES VAR. 35g Supposons, en premier lieu, y positif, et prenons la différence entre l’abscisse x de la courbe et l’abscisse x' delà droite 1 ■ 4 4 ’ il vient , i JT - X = -• r + j Faisant d’abord y = o dans cette expression, on trouve x — x' = i ; c’est la distance RS qui sépare les points R , S, où la brandie Fig. de courbe RMm et la droite KK' rencontrent l’axe des x. On voit ensuite que plus y augmente, plus la différence —diminue ; et les points de la courbe se rapprochent sans cesse des points de la droite qui correspondent aux mêmes abscisses; lorsqu’enfin y devient infini, la différence des deux abscisses devient nulle. Ainsi la branche RMm de la courbe a pour asymptote la portion SK de la droite KK'\ Donnons maintenant à y des valeurs négatives, mais comprises entre o et — i. La première partie, — — de l’abscisse x de la courbe, devient négative, en restant toujours, numériquement, plus petite que -• Quant h la seconde partie, elle est constamment positive et plus grande que i. Donc la valeur de x est toujours positive et augmente sans pesse à mesure que y augmente dans le sens négatif A Y', jusqu’à ce qu’enfin on suppose y — — i ; auquel cas x devient égal à l'infini positif. D’où l’on déduit que y=~t '47 est l’équation d’une asymptote à la branche R m 1 de la courbe. 36l) CONSTRUCTION UE COURBES DU SECOND DEGRÉ Fig 147. Continuons de faire croître y dans le sens négatif à partir de —1. Soit fait y = — (1 + â) dans l’expression de x, ce qui donne 1 S 1 * ~~~î~ '' on voit que x est constamment négatif pour toute valeur de y comprise entre —1 et l ’infini négatif E11 posant, par exemple, d = 1 = N 3 V, on a Si, pour le moment r on fait décroître d depuis 1 jusqu’à o, il est visible que la valeur générale de x va en croissant numériquement sans cesser d’ètre négative, et qu’elle croît indéfiniment, devenant égale à Yinfini négatif pour d — o. Donc la courbe remontant vers la droite, X = ~ 1 , s’en rapproche continuellement et autant que l’on veut ; ce qui prouve que cette droite "est asymptote à la branche MVin". Revenant ensuite au point et prenant la difèrence entre l’abscisse générale de la courbe et l’abscisse de la droite 1 S x ~ 2 V dif èrence qui est égale à — on reconnaît qu elle diminue sans cesse et indéliniment à mesure que d augmente, et qu’elle devient o pour d égal à Yinfini. Donc .r = 4 — 4 est l'équation d'une droite asymptote 4 4 à la branche «'M m*. llest ainsi complètement établi que la droite _>■ = — 1 est asymptote aux deux branches Km . n'm*, et que U DÉD. DE LA DISCLFS. DE l’ÉQ. GÉN. PAR LA SÉP. DES VAR. 36 l droite y i * ~ 4 4 est asymptote aux deux branches Mm, n'M'm'". Autres exemples relatifs à l'hyperbole. y 2 — 4 x ï + ?- + 6 y — gx + 2 = o, y 2 — 2 xy — 2 = 0, y 2 — x l x = o, ixy — a; + i = o , j 2 — 2 xy A- 2 y + 4 * — 8 = o. Ce dernier exemple présente une circonstance remarquable lorsqu’on résout l’équation par rapport à la variable x. On trouve ou, effectuant la division, y 7 A- 2 y — 8 2 J — 4 *■> d’où il semblerait résulter que la courbe se réduit à une seule ligne droite. Mais observons que, si la division s’est faite exactement, c’est que le numérateur peut se mettre sous la forme (2 + 2 ) — Ainsi la valeur de x devient (f+ ( 2 r —4) •* = ---—?-: 2 y — d’où, chassant le dénominateur et transposant, ( 2 T — 4 ) (*— ~ — 2) =0, équation qui peut être satisfaite par l’une des deux conditions, 2 y — 4 = o, d’où y — 2 ; y x -2 = 0, d’où y — ix — 4 - Donc, la courbe se réd uit véritablement au système de deux droites dont l’une avait disparu par l’effet de la division. 362 APPL. DE LA MÉTH. DE DISC. PAR LA SEP. DES VAR. § II. — Application de la méthode de discussion par la SÉPARATION DES VARIABLES A DES ÉQUATIONS DE DEGRÉ SUPÉRIEUR - , ET DISCUSSION DE QUELQUES ÉQUATIONS POLAIRES. 316. Observations préliminaires. — i°. Toutes les fois qu’on se propose de déterminer le lieu géométrique d’une équation à deux variables, la détermination des coefficients d’inclinaison des tangentes et celle des asymptotes, si le lieu cherché est susceptible d’en avoir, sont deux questions d’un usage fréquent, parce que ces droites, une fois construites , donnent presque toujours le sentiment de la forme et des diverses circonstances du cours de la courbe qu’on a en vue de déterminer. 2 °. S’il arrive que l’expression de y en x, ou de x en y, renferme un radical du second degré, on est conduit à la construction d’un diamètre, parce qu’il facilite la détermination des différents points de la courbe; il suffit, en effet, pour chaque valeur donnée à l’abscisse, par exemple, de porter sur une parallèle à l’axe des y, de part et d’autre de ce diamètre, une distance égale à la valeur numérique du radical. Les diamètres, comme les asymptotes, peuvent être, d’ailleurs, rectilignes ou curvilignes ; mais dans ce dernier cas, ce sont ordinairement des ligues plus faciles à construire que la courbe elle-même. 3°. Les courbes peuvent jouir de la propriété d’avoir un ou plusieurs centres. F.n donnant (n° 130) la définition du centre, nous avons fait voir que son caractère analytique consiste en ce que la courbe étant rapportée à ce point, comme origine des coordonnées, son équation est telle que, si les quantités -f- x ', -f- y', la vérifient, les memes quantités prises en signe contraire, — x ', — y', la vérifient également; ce qui revient à dire que l’équation reste la même lorsqu’on change -+- x et -f- y en — x et en — y. D’après cela, quand il s'agit d’une courbe de degré pair, A DES ÉQUATIONS DE DEGRÉ SUPÉRIEUR. 363 la somme des exposants des variables dans chaque terme de son équation doit être un nombre pair; et le contraire doit avoir lieu si la courbe est de degré impair. Toutes les fois que celte condition n’est pas remplie, on peut affirmer que le point pris pour origine n’est pas un centre de la courbe. Mais il reste à savoir si la courbe est douée d’un centre ou meme de plusieurs. Voici, à cet effet, le moyen à employer. Remplacez, dans l’équation, x et /par x -+- ae ty-+- b ; puis, déterminez les quantités a , b , de manière à faire disparaître les ternies dont le degré n’est pas de même parité que celui de l’équation (c’est-à-dire de degré pair si l’équation est de degré pair ou vice versâ). Comme il n’y a que deux indéterminées a. et b , on ne peut poser que deux équations de condition; mais si la courbe a réellement un centre, il arrive nécessairement que les valeurs de a , b , ainsi obtenues, font disparaître à la fois tous les termes cjui empêcheraient la condition caractéristique d’être satisfaite. Les deux équations de condition pouvant être de degré supérieur au premier , il s’ensuit que certaines courbes sont susceptibles d’avoir plusieurs centres. Quelquefois même elles en ont une infinité (*), ce qu’on reconnaît au caractère -j obtenu pour les valeurs de a et de b. Enfin, la courbe n’a pas de centre si l’on obtient des valeurs imaginaires ou infinies. Ces notions générales étant établies, nous passons à la discussion d’équations particulières. 517. Premier exemple ? i' 1G (0 y‘ — x*y -1- 2 xy — x i j; + 2 x z— o. Remarquons d’abord que cette équation étant privée du terme (*) Ainsi, par exemple, un système de deux droites pnrnlïèlcs est doué dune infinité de centres, comme on le reconnaît en remontant à la définition géométrique donnée au n° 150 . ’ 364 appl. de la MÉTH. DE DISC, par la sép. des var. i 48 indépendant de x et de y, est satisfaite par x — o, y — o; ainsi Vorigine des coordonnées que nous supposerons, pour plus de simplicité, rectangulaires, est un point de la courbe. On déduit de cette équation ( 2 ) ± ^ \jx '~H 4 7 expression qui se compose de deux parties principales, l’une rationnelle, l’autre irrationnelle et précédée du double signe zfc ; d’où il résulte que l’équation r 2 — 21 — 2 r —- 2 est celte d’un diamètre de la courbe. Ramenons cette équation à la forme ordinaire, et supprimons Vaccent; il vient ( 3 ) X 1 — 2 y — 2 x — 2 = 0; d’où ■t=i± \jly -h 3 , équation d’une parabole ayant elle-même pour diamètre la droite x = 1, e’est-à-dire une parallèle FPF' AY, menée à la distance AP = t de l’origine, et rencontrée par la parabole au point pour lequel on a 3 2 y 4- 3 = o , d’où y — — — = AD ; en sorte que si parle point D on tire la droite DD' qui rencontre FF' en E, la parabole sera tangente en ce point à cette droite. Il est à remarquer ici que les axes étant supposés rectangulaires, les droites FF' et DD' sont les axes principaux de la parabole; le point E en est le sommet. En posant successivement dans l’équation ( 3 ) y = o, x = o, on trouve x=i ±\/3 et y x= — t; ce qui donne trois autres points Q, Q' et B' par lesquels celte courbe auxiliaire doit passer. A LA. CONSTRUCTION DE COURBES DE DEGRÉ SUPÉRIEUR. 365 Elle affecte ainsi la forme RQEB'Q'ft'. Cherchons maintenant quelques points de la courbe qu’il s’agit de construire. D’abord, l’origine A étant un de ces points, si l’on prend, à partir du diamètre, B' H = B'A, le point H lui appartient également; et c’est ce que donne, en effet, l’hypothèse x = o, introduite dans l’équation (i) ; il vient 2/ = o; d’où y —— o et y — — 2. Faisons ensuite y = ° ; on obtient — d j +m=:o; d’où x = o et x — zt — dz i ,4 : ce qui donne, outre l’origine, les points G', G. Soit encore x — i. = AP; le radical de l’expression ( 2 ) devient ± - J 5 — ± 1,1, à moins de o, i près. 2 Portant sur la droite FF', à partir du point E, les deux distances EE', EE", on a deux nouveaux points, E', E", appartenant à la courbe. Soit enfin x = 2 = AP' ; la valeur du radical devient = ± y /5 = ± 2,2 à moins de o, 1 près : ce qui donne les points K et K'. Ces constructions donnent déjà une première idée de la courbe qui se trouve composée de quatre branches s’étendant au-dessus et au-dessous de la parabole-diamètre, et toutes les quatre indéfiniment dans tous les sens, puisque l’expression (2) de j est toujours réelle, quel que soit x. 366 APPL. DE LA MÉTII. DE DISC. PAU LA SÉP. DES VAIt. Fig. j 48 Voyons actuellement si cette courbe a des asymptotes. Le radical + revenant à x* y /1 -f-si l’on négli; la fraction — ? la valeur de r se réduit à x ' ( 4 ) r X 2 - 2X — 2 . X et l’on prouverait, comme on l’a fait au n° 506, que les lieux géométriques exprimés par cette double équation sont des asymptotes à la courbe cherchée. Occupons-nous de leur construction. Supprimant V accent et séparant les deux équations, on trouve, d’abord pour le signe inférieur, y = — x — 1 , puis pour le signe supérieur, y = x 2 — x — I . La première équation représente la droite L'B'BL, pour laquelle on a AB' = — r, AB = — 1 ; et ce qu’il y a de particulier, c’est que celte droite est tangente en B' à la parabole-diamètre. En effet, si l’on applique la méthode des dérivées ( n° 102 ) à l’équation (3J, on trouve pour le coefficient d’inclinaison delà tangente en un point quelconque x', y', _ ix' — 2 , — 2 Or, si l’on pose x' = o, valeur qui correspond au point B' de la parabole, on trouve qui exprime en même temps le coefficient d’inclinaison de la droite . y = — x— i. La seconde équation résolue par rapport à x donne •* = - 2 2 qui représente une autre parabole ayant pour premier axe une A LA CONSTRUCTION DE COURBES DE DEGRÉ SUPÉRIEUR. 3 parallèle NN' à AY, menée à la distance AC = et pour ordonnée de son point d’intersection avec cet axe, en sorte que le second axe est C' IC" D’ailleurs, comme x — o donne y — — i dans l’équation de la première parabole et dans l’équation de la seconde, il s’ensuit qu’elles passent toutes deux par le même point B'. Il est alors facile de reconnaître la position de cette seconde parabole , qui est représentée par la courbe S'B'IVS. Celle-ci es asymptote à la portion U'AE'GKU delà courbe cherchée, etla droite LL' est asymptotes l’autre'portion H' G' HE" K' H". N. B. — Il existe, pour cette seconde partie de la courbe, une espèce à'inflexion au point H qui a pour coordonnées x — o et y — — 2, inflexion qu’il est important de caractériser. Formons, à cet effet, le coefficient général (P inclinaison d’après l’équation (i); on obtient (n° 192 ) et si l’on pose il en résulte 2 x’y' — 2 y' -f- 3 x ,J — 2 2 y' —r'’ + 21' + 2 ’ x' — o, _ — (2 r'+ 2) _ ~ 2 r'-f-2 ~ ce qui prouve que la tangente THT' au point H est parallèle à l’asymptote dont l’équation est y = ~x — i. On justifie ainsi la forme donnée en ce point à la branche II' H II". Quant à la première branche U'AE' GKU , on voit qu’elle doit avoir un point où la tangente est parallèle à V axe des x ; et, pour l’obtenir, il faut égaler à zéro le numérateur de a ; ce qui donne, après la suppression des accents, 2 xy .— 2. y-y 3 x 5 — 2 = 0, équation qu’il suffirait de combiner avec l’équation de la courbe y ’ 1 — x 2 y -y 2 xy — .r 5 -4- 2/+ sx — o. \ 368 APPL. DE LA MÉTH. DE DISC. PAll LA SÉP. DES VAR. Comme y n’entre qu’au premier degré dans la première, l’élimination de cette inconnue est facile, et l’on parvient ainsi à une équation du cinquième degré en x dont le dernier terme, est négatif, et qui a, par conséquent, au moins une racine positive. Nous laissons ce calcul à exécuter. i /(g. Deuxième exemple : (l) x 2 y+ 2 x;y—x 2 -4-y+o. En résolvant cette équation par rapport à x, on a y y — 1 expression qui montre que la courbe est située tout entière au- dessus de l’axe des x, puisque y négatif donne pour x des valeurs imaginaires , Posant x' = - -i-, y — 1 pour avoir un des diamètres, et chassant le dénominateur, puis, supprimant Vaccent, on arrive à l’équation X/ — X -f-o, qui est celle d’une hyperbole équilatère (les axes étant supposés rectangulaires), rapportée à un système de coordonnées parallèles à ses asymptotes (n° 307, 3°), et que l’on pourrait construire facilement. Mais on peut se dispenser d’exécuter cette construction sur la figure, parce que la forme et la position de la courbe se détermineront plus simplement par les considérations suivantes : L’équation résolue par rapport à y donne y- (x + l) 2 ou, si l’on effectue la division , (a) y = v ' ' x -+- ij Cette dernière forme inet immédiatement en évidence deux asymptotes, savoir : y — h et x = — i. Car x étant supposé égal à Xinfini positif ou à Vinfini négatif, A LA CONSTRUCTION DE COURBES DE DEGRÉ SUPÉRIEUR. 36’c) devient nul, et la valeur de y se réduit à x + i y = i. D’un autre côté, si l’on pose x -H-1 = o, d’où x ~ — i, la valeur dey devient infinie ; d’où l’on voit que les droites y— i» x = — i, qui peuvent être représentées par les droites B'BB", CC', respectivement parallèles aux axes AX, A Y, et pour lesquelles on a AB = i, AC = — i, jouissent toutes deux de la propriété de ne pouvoir rencontrer la courbe qu’à Yinfini. Il reste à prouver, conformément à la remarque du n° 51 S, qu’elles satisfont à la condition essentielle de se rapprocher indéfiniment de la courbe. Reprenons, à cet effet, l’équation ( 2 ), et faisons d’abord croître x depuis o jusqu’à + co . Pour x = o, on trouve y= o; ce qu’indique, d’ailleurs, l’équation (1), qui fait voir, en outre, que la courbe est tangente en A à l’axe des x, puisque de cette équation l’on tire , pour y = o , x* — O. Si l’on donne à x des valeurs de plus en plus grandes, -■ ^ diminue de plus en plus, et, par suite, 1- - on y augmente continuellement sans toutefois pouvoir dépasser 1; et, quand on suppose enfin x — co, ■-- devient nul, et r se réduit à Y unité. Donc une des branches de la courbe, en partant de l’origine A, se rapproche sans cesse et autant que l’on veut de la partie BB' de la droite y=zi. Maintenant, faisons croître x dans le sens négatif. Si l’on donne d’abord à x des valeurs comprises depuis o jusqu a — 1 et croissant numériquement, x -t- 1 se rapprochera de plus en plus de o; donc—-— 1 en restant positif, deviendra de x -t- 1 24 A/i. île l’Al. à la (î. 370 applicAt. de la méth. de disctjs. parla séf. des var. i i[cj. plus en plus grand et se rapprochera continuellement de Vinfini; il en sera de même de y, et lorsqu’on supposera x — — i, la valeur de y deviendra infinie ; ce qui prouve qu’t/«e seconde branche de la courbe, partant du point A , va en se rapprochant sans cesse de la droite CC' qu’elle ne peut rencontrer qu’à l'infini. Ces deux branches se réunissant au point A, et devant être tangentes à l’axe des x, constituent ainsi une première partie de la courbe cherchée, partie qui est représentée par la ligne continue D'AD. On démontrerait par des raisonnements tout à fait analogues qu’il existe, à la gauche de CC', une seconde partie de la courbe dont les deux branches réunies en une seule ont pour asymptotes la même droite CC', oux = — i, et la portion BB" de la droite y—i. EGE' figure cette seconde partie de la courbe. i5o. Troisième exemple: (i) jd — 3 axy -f- x 3 = o [Folium de Descartes]. Cette équation ne peut être résolue directement ni par rapport à y, ni par rapport à x ; mais la transformation des coordonnées fournit toujours, pour une équation du troisième degré, un moyen de faire disparaître la troisième puissance de l’une des variables, et permet ainsi d’exprimer celle-ci en une fonction explicite de l’autre. En effet, si en supposant les axes rectangulaires , on a recours aux formules y = x sin x -F y cos a, x = x cos u — y sin x , et qu’on remplace dans l’équation (i) les anciennes coordonnées par leurs valeurs en fonctions des nouvelles, le coefficient dey, par exemple, a pour expression cos 3 x — sin 3 x. Égalant à zéro ce coefficient, et divisant par cos 3 a, on obtient * I r“ tang 3 i=j, d’oîi tang x — i, sin a = cos a = - V 2 ‘ Ces valeurs de sin x , cos x, reportées dans les formules ci- A LA CONSTRUCTION DE COURBES DE DEGRÉ SUPÉRIEUR. 871 dessus, donnent ..o + y), X Parsuite, l’équation (i) devient r — 3 i — jV / 2(^+j) 3 — ~a{^ — (•*■’ ~ j ) 3 = o, ou bien, toute réduction faite, (2) 3 ( 2 x + a \[%) y 2 + 2.r 3 — 3 fl y/2. x’ = 0. Telle est l’équation de la courbe rapportée au nouveau système d’axes AX', A Y', formant avec les premiers des angles de 45 degrés. Cela posé, on déduit de l’équation (2) (3) y- /3 a y/ 2 . x* V 3 (« y/2 • — 2a; 3 ix) et l’on voit déjà que la courbe est symétrique par rapport à l’axe AX', qui peut être considéré comme un diamètre principal. Égalant à zéro le numérateur sous le radical, on tire de l’équation résultante x’=o, et 3a j — /— 1 x ■=. ■—■ V2 = «y/2H— a 2 " 2 y/;. Si donc, après avoir construit sur AD — a, un carré ADEF, ce qui donne AE =. a \j 2, on porte sur AX' une distance AB égale à AE + ^ AE, la courbe sera limitée dans le sens positif par la droite IBI' menée parallè- 3 ci lement a AY', puisque toute valeur de x supérieure à — ^2 donnerait des valeurs imaginaires pour y. 3 ci Mais en attribuant à x des valeurs comprises entre — y/2 et o, on aurait une double valeur réelle pour y ; en sorte que la courbe affecte la forme d’une boucle passant par le point A, origine des coordonnées. D’un autre côté, si l’on pose a \I2 + 2x = o , d’oii x — - a J2, T ' 2 24. 372 APPI.ICAT. DE LA MÉTH. DE DISCL’S. PAR LA SÉP. DES VAR. Fig. i 5 o. et qu’en prenant AG = — - a d 2 = — - AE, 2 2 on mène la droite LGL' parallèle à AY', cette droite est une asymptote. Car, d’abord, elle rencontre la courbe à Vinfini; et de plus, comme on peut mettre l’expression ( 3 ) sous la forme y =± 3 ? o,a va on reconnaît que, si os croît négativement depuis o jusqu’à — — sjz , la quantité soumise au radical croît indéfiniment ; il en est, par suite, de même pour/. Ainsi la portion BMÀ de la courbe se prolonge au delà du point A, en se rapprochant de plus en plus et indéfiniment de la partie GL de la droite LL', tandis que la portion BM'A se prolonge du côté de GL'. La courbe affecte donc enfin la forme CAMBM'AC'. Nous 11e pousserons pas plus loin la discussion des équations de degré supérieur-, elle exigerait, pour être établie complètement, la connaissance de principes qui sont plus particulièrement du ressort de Yanalyse infinitésimale. On peut, du reste, consulter à ce sujet l’ouvrage de Cramer, ayant pour titre : Introduction à l'Analyse des lignes courbes. DISCUSSION DE QUELQUES ÉQUATIONS POLAIRES. Fig. i5i. 318. Premier exemple : p = a .cos . Ce qui démontre que la courbe cherchée est une circonférence de cercle décrite sur OA comme diamètre. Et en effet, si dans l’équation p — a cos f , on remplace p et cos ç par les expressions I - X X dx' 1 -f- y' 1 , et - ou ■> P yx‘-\- y 1 qui (n° 279) servent à transformer une équation polaire en une équation entre coordonnées orthogonales , il vient ou, simplifiant, vW v/x 2 + y % x 7 -t- y 1 — ax = o ; équation d’un cercle rapportée à l’une des extrémités d’un diamètre, comme origine ( voyez le il 0 75). Fie i52. Deuxième exemple : P = bc b sin

) ex -b bj — bc-, MP = bc b sin (p -H c cos

, exprimées (n°278) en coordonnées polaires, il vient bc r b sin

= 90°, sin y = 1 ; p = ^ = OC, tiers de OA ; i 35 °, sin

= 270°— ij/, d’où sin — — cos ip', A LA CONSTHX'CT. T)E LIGNES DONNÉES EN ÉQUAT. POLAIRES 3JJ die se change en celle-ci , i p =-p I - 2 COS y qui (n°287) n’est autre que l’équation d’une hyperbole dont l’un des foyers est pris pour pôle; le demi-paramètre est p — i— OA, et Vexcentricité est e = 2 . Pour retrouver l’équation de la courbe en coordonnées orthogonales, il suffit (n° 279) de poser P = V^ 2 + sin

ce qui donne puis(n° 140) en multipliant par 1 33 < 3 ; et l’on trouve enfin 2 7 ' Sous cette forme, on reconnaît : i°. Que l’hyperbole est rapportée à son axe transverse comme axe des/; 2 °. Qu’ellea son centre au point O' dontl’ordonnée est- ou 00'; 3 3°. Que le demi-axe transverse ou A = ^ et que le demi-axe non transverse ou B 3 1 / 3 * On déduit de là : Pour le demi-paramètre, Fig. i 53. 378 CONSTRCCT. DE LIGNES DONNÉES EN ÉQUATIONS POLAIRES. et pour le coefficient d’inclinaison des asymptôles par rapport à l’axe AY, Désignant cette inclinaison par a, et l’angle complementaire para', on a tang a. = db y/3 cos a _ —é-JL- \/3 +1 et, par suite, sin a' = dr -• 2 1 —•> 2 En conséquence, si l’on mène par le point O' deux droites qui fassent, avec Y axe polaire primitif OA , les angles dont le sinus soit égal à ±-5 on obtiendra les deux asymptotes, auxquelles les droites II', KK' qu’onavait trouvées dans la discussion de l’équation polaire, sont parallèles. Tous ces résultats sont en parfaite concordance. Les exemples de discussion que nous venons de traiter, ne peuvent donner qu’une idée très-imparfaite de la méthode de discussion des équations polaires en général, parce que la détermination de certains points et de certaines droites remarquables exige souvent la recherche des dérivées de différents ordres Aes fonctions circulaires, questiou qui dépend plus particulièrement de ce que i’011 nomme l’analyse infinitésimale ou transcendante mais ces exemples suffisent pour mettre au fait de la marche à suivre, tant qu’il 11e s’agit que de courbes du second degré. C0NDIT. POUR IA DÉTERMINÂT. DES COURBES DU 2° DEGRÉ. 379 CHAPITRE IX. COMPLÉMENT ET APPLICATIONS DE LA THÉORIE GÉNÉRALE DES COURRES DU SECOND DEGRÉ. § I. — Nombre et nature des conditions servant a la DÉTERMINATION DES COURBES DU SECOND DEGRÉ. -SOLUTIONS GÉOMÉTRIQUES POUR LA CONSTRUCTION DE CES COURBES D’APRÈS DES CONDITIONS DONNÉES. -PROPRIÉTÉ COMMUNE AUX TROIS COURBES. 319. On a vu (n os ü6 et 96) que l’on peut se proposer de déterminer une ligne droite ou un cercle d’après certaines conditions dont le nombre est fixé. La même nature de question s’applicpie aux trois courbes du second degré $ les coefficients de leurs équations doivent alors être regardés comme des constantes indéterminées dont les valeurs dépendent des conditions imposées à la courbe. Or, en divisant l’équation générale de ces courbes par le terme indépendant des variables, on la ramène à la forme (i) riy-- 1- bxy -f- rx 2 + dy -+- ex + i = o. Cette équation renfermant cinq coefficients, il s’ensuit qu’on peut, généralement, assujettir la courbe à cinq conditions différentes ; et ces conditions exprimées algébriquement servent à déterminer les coefficients a , b , c , d, e. Soit, par exemple, proposé d e, faire passer une courbe du second degré par cinq points. Appelons \_.rJ, y'], [.r", j"], \x'\ y" r \, [x iv , / lv j, [x v , y Y ~J les coordonnées de ces points. En substituant successivement dans l’équation (i) chacun de ces cinq systèmes, on obtiendra cinq équations du premier degré en -a, b, c, d , e, lesquelles, étant résolues, donneront les valeurs de ces coefficients ; et en rapportant ces valeurs dans l’équation (i), on aura celle de la courbe assujettie à passer par les cinq points donnés. Cette courbe sera d’ailleurs une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant cjue l’on aura (n os 159 et 301) 38o NOMBRE ET NATURE DES CONDITIONS en Ire les coefficients a, b, c , des trois premiers termes , b ' 1 — 4«c<°, b ' 1 —4 ac~^>o, b 2 —■ Ijac — o. Il pourra même se faire que la courbe se réduise à l’une des variétés ; c’est ce qui arriverait, par exemple, dans le cas où, sur les cinq points, on en donnerait trois en ligne droite. L’équation du lieu géométrique passant par les cinq points, ne saurait appartenir , alors, qu’à une droite, ou à un système de deux droites. Car la combinaison des équations d’une courbe du second degré et d’une ligne droite, donnant lieu à une équation de second degré, il s’ensuit que ces deux lignes ne peuvent avoir, au plus, que deux points communs. O 11 observera encore que, si la courbe cherchée doit être une parabole, quatre points suffisent pour la déterminer; puisqu’on a déjà entre les coefficients de l’équation la relation particulière b* — 4 ac = o. Toutefois, comme cette équation est du second degré, tandis que les autres sont du premier degré, on devra généralement obtenir deux paraboles pour réponse à la question. d20. Au lieu de donner des points de la courbe, on peut supposer connues de position des droites auxquelles la courbe soit assujettie à être tangente. Si, par exemple, on veut que la courbe soit tangente à une droite y = mx + n , m et n étant des quantités connues, il suffit de combiner cette équation avec l’équation (i), et, après avoir formé une équation du second degré en x, d’écrire (n os 98 et 101) que les deux racines de cette équation sont égales. On obtient ainsi une relation entre les indéterminées a , b , c, d, e, et les quantités connues m, n. Même raisonnement pouruneseconde, unetroisième, etc., droite à laquelle la courbe devrait être tangente. La connaissance d’une asymptote équivaut à celle d une tangente et de son point de contact, puisque (n° 244) les POUR LA DÉTERMINATION DES COURBES DU 2 e DEGRÉ. 38 1 asymptotes sont des tangentes à l’infini. Ainsi, il suffit de trois autres conditions pour déterminer la courbe. 321. Si la courbe doit ’ avoir un centre, et que l’on donne la position de ce point, trois autres conditions sont encore suffisantes pour la détermination de la courbe. En effet, comme rien n’empêche de prendre ce point pour origine, l’équation est alors (n° 102 ) de la forme ay ' 1 bxy + ex 1 + i = o, et ne renferme que trois coefficients à déterminer ; ainsi la connaissance du centre équivaut à deux conditions différentes. 11 est vrai que, dans ce cas, la courbe ne peut être qu’une ellipse ou une hyperbole, ou (n° 158) un système de deux droites parallèles. 322. Lorsque, pour une ellipse ou une hyperbole, on donne de position soit le système des axes principaux, soit un système de diamètres conjugués, il suffit de deux autres conditions pour déterminer la courbe. Car ces courbes, rapportées à l’un ou à l’autre de ces systèmes, sont représentées par les équations A s j ! ± B 1 x* = ± A ! B 2 , ou AV±B' , * , = ±A' ! B' 1 , dans lesquelles A et B ou A 1 et B’ sont les deux seules constantes à déterminer. Quant à la parabole, si l’on donne les axes principaux ou un système d 'axes conjugués, il ne faut plus qu’u/ie seule condition pour la déterminer, puisqu’il entre une seule constante, p ou p\ dans les équations y' 1 z=:Q.px, ou Y^—lp’æ, qui représentent la courbe rapportée à l’un de ces systèmes. 323. Ces principes étant bien établis, nous allons faire connaître un moyen plus simple que celui qui a été exposé (n os 274, 210 et 242) pour construire : i°. Une parabole, connaissant un système d’izxeA conjugués et le paramètre à ce système 5 2 0 . Une ellipse ou une hyperbole , étant donné de position et de grandeur un système de diamètres conjugués. 382 NOMBRE ET NATURE DES CONDITIONS • i54- Premièrement. — Soient AX, ÀY un système d’axes conjugués, 2 p' le paramètre à ce système. Prenons sur AY et au-dessous du point A une distance AD égale à 2 //, et menons par le point D une droite DL parallèle à AX; puis tirons par le point A une droite quelconque AH. Les équations de la parabole, de la droite AH, et de la parallèle DL, sont f-=z%p'x, y=ax, y = —ip'. Or la combinaison des deux dernières équations donne, pour les coordonnées du point E où la droite AH rencontre la ligne DL, y — — 2p', ,r = — ^- = DE. D’un autre coté, en combinant la première et la seconde équation, on trouve pour les coordonnées des deux points d’intersection A et M, de AII avec la courbe, „ 2»' 2;/ i°. x = o, y = o : 2°. x = ——, y = — = MP; à ’ a d’où l’on voit que les distances DE , et MP ou AG, sont égales. Cette propriété étant vraie pour toutes les droites menées par le point A, on en déduit le moyen suivant de construire la courbe : Prenez sur A Y, et au-dessous du point A, AD = 2 p',ct menez I)L parallèle à AX ; lirez ensuite des droites indéfinies A11, AIL, etc . ; portez les distances DE, DE / , etc., de A en G, G', etc., et par ces derniers points tracez GK, G'K', parallèles à AX. Les points M, AL, etc., où les droites AII et GK, AH'et G'K', etc., se rencontrent, appartiennent nécessairement à la courbe. i 55 . Secondement..— Considérons Lellipse. Soient OB : A', OC = IL deux demi-diamètres conjugués, AY la tangente au point A, DL une parallèle à AX, tour LA détermination des COURBES DU 2 e DEGRÉ. 383 menée à une distance AD 2 B ' 3 ■ -JT'- qui représente le paramètre au système donné. Tirons d’ailleurs deux cordes supplémentaires quelconques AM, BM. Les équations de ces deux droites et de la parallèle DL sont / f A /\ 2B ' 2 y=ax, j = jr = - les quantités a, a' étant (n os 182 et 209) liées entre elles par la relation B' 2 aa — — Or la combinaison de la première et de la troisième équation donne pour les coordonnées du point E, 2 B' 1 ■ y== À 7 "’ 2 B' 2 * = — — = DE. A! a D’un autre côté, si l’on fait x = o dans la seconde équation, il vient pour l'ordonnée du point G où la droite BM rencontre AY, y — — 2k’a', B ' 2 ou, à cause de la relation aa' =--, A' 2 y- 2 B' 2 d’où résulte A’a AG = DE AG; [ Il est à remarquer que cette propriété renferme implicitement celle de la parabole, puisque, si l’on suppose le grand axe infini , la droite BM devient une parallèle à AX.] De là on déduit la construction suivante : ■4près avoir tracé par l’une des extrémités du diamètre AB une parallèle à l’autre diamètre OC, prenez sur cette parallèle AY, et au-dessous du point A, une distance AD égalé à ———, puis menez DL parallèle à AB; tirez ensuite des droites indéfinies AH, AH', etc.; portez les distances DE, DE', etc., de A en G, G', etc., et joignez ces derniers points avec le point B. NOMBRE ET NATURE DES CONDITIONS 384 Fio. i55. Les points M, M', etc., où les droites AH et BG, AH' et BG / , etc., se rencontrent, appartiennent nécessairement à la courbe. On procéderait d’une manière tout à fait analogue pour Ihyperbole. 324. La question résolue et discutée n 09 147 et suivants pour établir la liaison qui existe entre les trois courbes du second degré, et qui nous a conduits (n° 131 ) à la détermination de la droite appelée directrice, fournit encore d’autres conditions d’après lesquelles on peut déterminer et, par suite, construire ces courbes. C’est ce que montre la propriété suivante : Fig. i 56. Soient MNAM'. .. une courbe du second degré, DD' la directrice qu’on suppose donnée de position, et F un foyer. Considérons deux points, M, N, de la courbe, tirons les droites MN, FM, FN, en prolongeant MN jusqu’à sa rencontre en R avec la directrice, et joignons FR. Je dis que la droite FR divise en deux parties égales l'angle NFm formé par le rayon -vecteur F N et le prolongement Fm de l'autre rayon vecteur FM. En effet, menons du point N la droite NI parallèle à FM, et abaissons les perpendiculaires MP, NQ sur la directrice. On a, d’après la propriété caractéristique de la directrice (n°151), mf:mp: : nf:nq, ou (0 mf : nf :: mp : nq; mais les triangles semblables RPM, RQN et RFM, RIN, donnent mp : NQ : : RM : RN , rm : rn : : mf : n i ; d’où ( a ) mp : nq :: mf : Ni; donc, à cause du rapport commun aux proportions (i) et ( 2 ), mf : nf :: MF : NI; et, par conséquent NF = NI. POUR LA DÉTERMIN. DES COURBES DU 2 e DEGRÉ. 385 Le triangle NIF étant isocèle, il s’ensuit que les angles NFI et NIF ou IF m sont égaux. Donc, etc. 325. De cette propriété il résulte qu’une courbe du se- Fig. eond degré est déterminée , lorsqu’on donne an foyer et trois points de la courbe• ; ce qui revient à dire que la connaissance de Vun des foyers équivaut à deux conditions différentes. En effet, soient M, N , P, trois points donnés par lesquels on veut faire passer une courbe du second degré, et F un foyer de cette courbe : x°. Si l’on tire les lignes MN, MF m , FN, et qu’on mène la bissectrice FR de l’angle NFz?i , le point R où les deux droites MN, FR se rencontrent, est nécessairement un premier point de la directrice; 2 °. En exécutant une construction analogue par rapport à l’un des deux mêmes points N ou M et au troisième point P, on détermine un second point S de cette directrice, qui est alors la droite DSRD'. Maintenant, si du point F on abaisse FB perpendiculaire sur RS, on a la direction du premier axe. Menant ensuite de l’un des points donnés, N par exemple, NQ perpendiculaire à RS, on obtient N F NQ pour le rapport constant qui doit exister entre la distance d’un point quelconque de la courbe au foyer, et sa distance à la directrice. Dès lors on peut facilement (n os 147 et suivants) déterminer les grandeurs des axes. Suivant que le rapport N F ! NQ est reconnu inférieur, supérieur , ou égal à l’unité, la courbe est, comme on l’a vu, une ellipse, une hyperbole ou une parabole. Dans la fg. 157,1a courbe est une parabole, puisque l’on a NF = NQ. 326. N. B. — Lorsqu’on exige d’avance que la courbe Fig soit une parabole, il suffit de donner deux points de la courbe avec le foyer ; et, dans ce cas, voici comment on détermine la directrice : Af). de l’Al. à la G a5 386 CONDIT. POUB. LA DÉTEEMIN. DES COUEBES DU 2 e DEGEÉ. Fig. i58. Soient M et N les deux points donnés, F le foyer. Après avoir déterminé le point R, comme précédemment, on décrit de l’un des points donnés, M par exemple, comme centre, et avec le rayon MF une circonférence; puis, du point R, on mène une tangente RT à cette circonférence. La tangente ainsi tracée n’est autre chose que la directrice ; car, de la définition de la parabole (n°141), il résulte que sa directrice est tangente à toutes les circonférences décrites des différents points de la courbe, comme centres, et avec des rayons égaux aux rayons vecteurs correspondants. Puisque par le point R on peut, en général, mener deux tangentes à la circonférence, il s’ensuit qu’on obtient par ce moyen deux directrices, et par conséquent deux paraboles ; l’une est M'ANM, qui a pour directrice RT, et pour premier axe BX ; l’autre est nNuMm', dont la directrice est RT', et le premier axe B'X'. La question n’aurait qu’une seule solution si la circonférence passait par le point R; et il n’y aurait aucune solution si le point R se trouvait en dedans de la circonférence. 327. Enfin, la connaissance d'un sommet de la courbe équivaut, en général, à deux conditions. Car supposons, pour un instant, que l’on donne les deux sommets du premier axe, par exemple, d’une ellipse ou d’une hyperbole, et un point de la courbe. En joignant ces sommets par une droite, on aura le premier axe en grandeur et en direction , ainsi que le centre de la courbe. Dès lors, si dans l’équation A 2 / 2 ± B 2 x 2 = ± A 2 B 2 on substitue les coordonnées x' , j' du point donné, rapportées au premier axe et au second qui est lui-même connu de direction, il viendra A ! / 2 ± B 2 a/ 2 =: ± A 2 B 2 , équation dans laquelle 3a quantité B, étant seule inconnue, peut être facilement construite. SOLUT. GÉOM. POUR LA UÉTERM. D’UNE COURBE DU 3 e UEG. 887 La connaissance des deux sommets et d’un seul point de la courbe suffit donc pour la déterminer; et comme, d’ailleurs, ces sommets sont symétriquement placés sur la courbe, un seul doit être compté pour deux conditions. Solutions géométriques pour la détermination d'une courbe du second degrés d’après des conditions données. 328. La détermination d’une courbe du second degré, d’après certaines conditions, est, en général, un problème assez difficile à résoudre par l’analyse, à cause de l’embarras qu’on éprouve souvent dans le choix des axes. Aussi s’est-on attaché principalement à en rechercher des solutions purement géométriques , en se fondant toutefois sur les propriétés connues des trois courbes. Les questions suivantes ont pour objet de mettre au courant de ces sortes de constructions. Première question. — Trois droites et un point étant donnés sur un plan, trouver une courbe du second degré tangente à ces trois droites, et qui ait pour fover le point donné. Soient M/w, N n, P p les droites données, et F le foyer de la Fig. i5g. courbe cherchée. On a vu (n os 20i et 257) que, dans Vellipse et dans P hyperbole, les pieds des perpendiculaires abaissées d’un foyer sur les tangentes ont pour lieu géométrique la circonférence de cercle décrite sur le premier axe comme diamètre, et (n° 270) que, dans la parabole, ces mêmes pieds se trouvent sur le second axe. Cela posé, abaissez du point F les trois perpendiculaires FG, FH, FK. Il peut arriver deux cas : ou les trois points G, H et K forment un triangle, ou bien ils sont en ligne droite. Dans le premier cas , joignez ces points deux à deux, puis élevez, par les milieux des lignes de jonction, des perpendiculaires LO, 10; elles se rencontrent en un point O, qui est le centre de la courbe. Tirez ensuite OF, et prenez sur cette droite deux parties OB, OA, égales à OG (distance du centre au pied de la perpendiculaire abaissée du point F sur M ni ) ; vous obtenez AB pour le premier axe ; et la courbe est une ellipse ou une hyperbole, suivant que le point B se trouve placé sur le prolongement de OF, ou entre les points O et F. Dans la fig, i5g la courbe est une ellipse, et le second axe 25 . 388 SOLUTIONS GÉOMÉTRIQUES POUR LA DÉTERMINATION CD s’obtient (n° 151} en décrivant du point F comme centre, et avec le rayon OB, un arc de cercle. Si la courbe était une hyperbole, le centre de l’arc de cercle serait en B (n° 158), et OF serait le rayon de cet arc. Fie. 160 . Dans le second cas, c’est-à-dire lorsque les trois points G, H, K sont en ligne droite, cette ligne KHGY représente le second axe de la courbe, qui est alors une parabole; et pour avoir le premier axe, il suffit d’abaisser AFX perpendiculaire .far K Y. Le quadruple de AF représente d’ailleurs (n° 275) le paramètre; ainsi la courbe peut être construite facilement. N. B. — Lorsqu’on sait d’avance que la courbe cherchée doit être une parabole, il suffit de connaître deux tangentes et le foyer, puisque le second axe est (n° 270) déterminé par les pieds des perpendiculaires abaissées du foyer sur ces tangentes; et, en effet, nous savons déjà que quatre conditions suffisent pour la parabole, et que la connaissance du foyer compte (n° 523) pour deux conditions. Deuxième question. — On demande de construire une ellipse, connaissant le centre, la longueur de son grand axe , une tangente et son point de contact. Fig. i6i. Soient O le centre donné, A le demi-axe de la courbe, Tfla tangente et M son point de contact. Du point O comme centre , avec le rayon A, décrivez une circonférence qui coupe généralement Tien deux points R, R'; puis élevez en ces points les perpendiculaires RS, R' S'à cette tangente ; elles passent nécessairement (n° 201 ) par les foyers de la courbe. Tirez ensuite la ligne OR, et par le point de contact M tracez MN parallèle, à OR ; il résulte de ce qui a été dit n° 205, que MIS passe par le second foyer. Donc le point F', où R'S' et MN se rencontrent, n’est autre que le second foyer. Menez enfin la ligne F r O qui rencontre RS en un point F; et vous obtenez ainsi le premier foyer. Les points A et B, où F'F rencontre la circonférence décrite, sont d’ailleurs les sommets de la courbe qui est alors complètement déterminée. N. B. — Si le point de contact était placé sur la tangente Tt, en un point M' tel que la droite M'N', parallèle à OR , rencontrât R'S' au point f situé hors de la circonférence décrite avec le rayon A, la courbe, au lieu d’être une ellipse, serait une hyperbole dont le premier axe aurait pour direction f O, et pour som- t d’üJNE COURBE DI! 3° DEGRÉ ü’APRÈS DES COKD. ROSSÉES. 389 mets a, b. Les foyers seraient les points f',f, où la ligne y'O rencontre R'S' et RS prolongés. On voit donc que, bien qu’on ait demande un d'ellipse, il peut arriver que la construction conduise à une hyperbole. Troisième question. — Construire une hyperbole, connaissant l’un des foyers, une asymptote, et la longueur du premier axe ou le rapport des axes. Soient F le foyer donné, LL' l’une des asymptotes, et A la Ion- Fig. 162. gtieur du premier axe, ou rn le rapport B ; A. Abaissez du point F une perpendiculaire sur LL' ; le pied R de cette perpendiculaire est à une distance du centre de la courbe, égale à A (n° 257), puisque l’asymptote LL' peut être considérée comme une tangente. Ainsi, en supposant que A soit connu , prenez à partir du point R sur LL', une distance RO égale à A; et le point O est le centre de la courbe. Menant ensuite OF, vous obtenez la direction du premier axe : portant OR de O en A et B, puis OF de O en F', vous avez les deux t sommets de la courbe, ainsi que les deux foyers. Tracez enfin KK', de manière que l’angle FOK. soit égal à l’angle LOF ; vous obtenez la seconde asymptote. jg N. B. — Lorsque, au lieu de A, on donne le rapport m ou — > A la tangente trigonométrique de l’angle FOR est connue; ainsi la direction de la ligne FO peut être facilement déterminée. Quant aux grandeurs des demi-axes , elles sont évidemment représentées par OR et RF. On a d’abord OR = A, comme on l’a vu tout à l’heure; et RF = B, d’après la relation OF =ic= B’, qui donne nécessairement B s = c a — A 2 = RF . Quatrième question. — Étant donnés une asymptote, deux points, et le rapport des axes d'une hyperbole, construire la courbe. Soient LL', M, M', l’asymptote et les deux points donnés, m le Fie. i63. B rapport — que 1 on suppose connu. Menez la droite MM' qui va rencontrer LL' en R, puis, à partir du point M', prenez une distance M'R' égale à MR; le point R' appartient à la seconde asymptote (n° 249). 3go PROPRIÉTÉ COMMUNE Fig. i 63. Comme le rapport—? ou m, est donné, faites en un point quelconque I de LL' un angle LIG dont la tangente trigonomê- trique soit égale à m, puis un angle HIL, double de LIG. Tracez enfin par le point R r la droite KK/ parallèle à IH, et vous avez ainsi la seconde asymptote. La courbe peut donc être tracée facilement d’après la méthode du n° 257. N. B. —Si, au lieu du rapport des axes, on donnait la position d’un troisième point, en joignant ce point avec l’un des deux points déjà donnés, on obtiendrait un nouveau point de la seconde asymptote, dont la direction serait alors déterminée. Voici les énoncés de nouvelles questions sur lesquelles on peut s’exercer. 1 °. Construire une paraboleconnaissant le foyer, un point et une tangente. 2 °. Construire une ellipse, connaissant deux tangentes, le centre et la longueur du premier axe (la courbe peut être une hyperbole). 3°. Construire une hyperbole , connaissant une asymptote , un foyer et une tangente. .Propriété commune aux trois courbes. Fig. i 64- 329. Nous complétons ces considérations par la démonstration d’une propriété qui appartient aux trois courbes du second degré, et dont les géomètres ont tiré parti pour con- struire ces courbes d’après certaines données. Reprenons l’équation (1) Ay 1 Bxy-i- C.r 2 -|- Dj 4- JLx F = o, que nous supposons représenter une des trois courbes, rapportée à un système rectangulaire ou oblique, AX, AY. Cette équation peut être mise sous la forme , x ■ Br + D C ( , E F\ (2) ' + -ir^+Â^+c* H “c) = 0 - Soit fait d’abord y — o , pour obtenir les points où la courbe rencontre l’axe des m; il en résulte E F Æ 2 + c ,r + c~ 0 ’ ( 3 ) AUX TROIS COURBES DU SECOND DEGRÉ. 3g I équation dont les racines ne sont autre cliose que les abscisses des points demandés. Si ces racines sont imaginaires, c’est un indice que la courbe n’a aucun point commun avec l’axe des x ; et si elles sont égales , la courbe est (n° 98) tangente à cet axe. Mais admettons qu’elles soient réelles et inégales ; et désignons par x ', x ", ces deux racines, représentées sur la figure par AB, AC. E F Le trinôme x 2 -+- A x + - revient à {x •— x 1 ) (x — x "). L Ci Pour exprimer ce produit géométriquement, observons que AP représentant une abscisse quelconque, et AB, AC les abscisses x', x", on a nécessairement [x — x') (x — x") = PB X PC. D’un autre côté, le dernier terme de l’équation ( 2 ), ou - (x — x') (x — x"), est égal au produit des deux racines de cette équation résolue par rapport à y, et ces racines sont représentées par PM et P m. On a donc la relation C C PîlXPffl = 7 (x — x')(x—x") — - X PB X PC; A A d’où l’on déduit PM X P» _ C PB X PC “ À' Pour d’autres abscisses AP', AP", etc., on aurait égale- men t P' M' X P' m' _ C P" M" X V"m" _ C PB X P'C A’ P"BXP"C et, par conséquent, PM XPm__ P'M' X P 'm' _ P" M" X P " m" _ PB X PC — P'B X P'C — P"B X P"C Ce qui démontre que, dans toute courbe du second degré, sti l’on considère une sécante quelconque AX, puis une série d’autres sécantes parallèles entre elles et menées sous une direction tout à fait arbitraire, les rectangles des parties de ces parallèles, comprises entre leurs points de rencontre 3y2 CONSTRUCTION DES racines Fig . 164 . avec la première sécante et leurs points (Tintersection avec la courbe, sont aux rectangles des parties de la première, sécante, comprises entre les pieds des parallèles et les points où celte sécante rencontre la courbe, dans un rapport constant. Il est aisé de reconnaître que cette propriété, dite propriété de transversales , comprend implicitement celles qui ont été démontrées dans les précédents chapitres (n os 2ü9, 242 et 274). En effet, si, la première sécante étant un diamètre quelconque, les autres sécantes sont parallèles au conjugué de ce diamètre, il en résulte PM - P m, P'M'= P'm', etc., et la relation ci-dessus devient P' M' P" M" PB x PC P'B X P'C P" B X P"C On fait usage de cette propriété, pour faire passer une courbe du second degré par cinq points donnés ; mais les détails qu’exige cette construction, nous entraîneraient beaucoup trop loin. JNous renvoyons, pour ces sortes de constructions, au Traité des sections coniques, par le Marquis de Lhôpital. § 11. - CONSTRUCTION DES RAC1JVES DES ÉQUATIONS DU SECOND, TROISIÈME ET QUATRIÈME DEGRÉ A UNE SEULE INCONNUE ; PROBLÈMES DE LA TRISECTION DE I.’ANGLE ET DE LA DUPLICATION DU CUBE. - DÉTERMINATION, PAR DES INTERSECTIONS DE COURBES, DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES DANS LES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES A UNE SEULE inconnue. — Problèmes sur les lieux géométriques, SE RAPPORTANT AUX COURBES DU SECOND DEGRÉ. - De QUELQUES COURBES REMARQUABLES, SAVOIR : CISSOÏDE DE Dioclès, conchoïde de JNico.mède. Equation du second degré. 330. En résolvant l’équation ( I ) X 7 -f- px — If , on parvient, en général, à une expression composée de deux parties, l’une rationnelle et l’autre irrationnelle du second dk l’équation du second degré a UNE INCONNUE. 3f)3 degré. Or, on a vu dans I’Introduction les moyens de construire ces sortes d’expressions. Mais la Géométrie élémentaire fournit des méthodes pour construire les racines de l’équation proposée, sans qu’il soit nécessaire delà résoudre. D’abord si p et q sont deux droites données à priori, x désignant aussi une ligne , l’équation (i) n’est pas homogène; pour la rendre telle, il faut (n° 15), en supposant que r représente la ligne prise pour unité, la rétablir dans cette équation, ce qui donne .r 3 -)- px = q.r; et si l’on met les signes en évidence, l’équation prend définitivement la forme (2 ) x‘ ± px — ± P [À'désignant ici une moyenne proportionnelle entre ret la valeur absolue de q~\. Cela posé, i° soit à construire les racines de l’équation ( 3 ) x' 1 + px = -+- k Sur une droite indéfinie, prenons une distance AB égale Fig. i 65 à p; et sur cette ligne comme diamètre, décrivons une circonférence de cercle 5 élevons au point A une perpendiculaire AC égale à À , et tirons la droite CD passant par le centre O du cercle. Les deux racines demandées seront représentées par CK et par — CD (la racine négative étant la plus grande en valeur absolue}. E 11 effet, par construction. AC est une tangente, et CD une sécante au cercle; donc, en vertu d’un théorème connu de Géométrie, CE X CD = 1c = P. Mais CD étant égal à CE -H p , l’égalité devient CE (CE +p) = P; d’où l’on voit déjà que l’équation ( 3 ), qui revient à x [x -h p) — P, est satisfaite par x ~ CE. 3C)4 CONSTR. DES HAC. DE l’ÉQ. DD 2 e DEGR. A UNE INCONNUE. Fig. i 65. Comme on a pareillement CE = CD — p, ou — CE = — CD -+- p, l’égalité prend la forme (_CD+/>).(—CD) = ** ; ce qui prouve que l’équation (3), ou (x + p) x = A 2 , est encore satisfaite par x — — CD. Donc CE et — CD sont les deux racines de l’équation (3). 2°. L’équation x 1 — px = k 2 , ne différant dé celle-ci que par le signe de x, on en déduit que ses racines sont CD et — CE (la plus grande racine est ici la racine positive). 3°. Passons à l’équation x 8 — px — — A 8 , que l’on peut mettre sous la forme (4) x{p — x) = P. Fig. 166. Pour obtenir ses racines, décrivons sur la droite AB = p-, considérée comme diamètre, une demi-circonférence; élevons en A la droite AC perpendiculaire à AB et égale à A; puis menons CL parallèle à AB ; et de chacun des deux points D, où CL rencontre la demi-circonférence, abaissons DG perpendiculaire sur AB. Les deux racines demandées seront AG et GB. Car on a, d’après un théorème de Géométrie, AG X GB = DG 2 = AC 2 = k\ Mais GB = AB — AG — p — AG, AG — p — GB ; d’où, substituant dans l’égalité précédente , AG (p — AG) — A 2 , GB (p — GB) == A 2 ; et si l’on compare chacune de ces nouvelles égalités à l’équation (4), on peut conclure cjue celle-ci est satisfaite, soit par x = AG, soit par x = GB. Ainsi AG et GB sont les racines demandées. N, B. — Pour que ces deux racines soient susceptibles CONSTR. DES RAC. DES ÉQ. DD 3 e ET DU 4” DEGR. A UNE INC. 3g5 de détermination, il faut que la parallèle CL puisse rencontrer la demi-circonférence ; ce qui exige que k soit tout au plus égal à 01 ou ^ On sait, en effet, que c’est la condition de réalité des racines dans l’expression 4°. Quant à l’équation a’ 2 -f- px = — k*, ses deux racines sont essentiellement négatives , et sont représentées par — AG, et — GB, puisque cette équation ne diffère de l’équation (4) que par le signe de x. Tous les cas relatifs à l’équation x- ± px = rfc À-’ se trouvent ainsi traités. Lorsque les coefficients de l’équation du second degré sont des nombres particuliers, il n’y a rien à changer au mode de construction des racines; seulement, il faut se reporter à ce qui a été dit au n° 11 concernant les radicaux numériques . Équations du troisième et du quatrième degré. 331. On vient de voir que la ligne droite et le cercle suffisent à la construction des racines d’une équation du second degré à une seule inconnue; mais il n’en est pas de même pour les équations du troisième ou du quatrième degré : il faut avoir recours tà la construction de deux courbes du second degré dont l’une au moins soit différente du cercle. Le principe fondamental de ces sortes de constructions consiste à regarder l’équation proposée comme le résultat, de l'élimination entre deux équations à deux inconnues dont Vune, supposée l'inconnue primitive, est prise pour abscisse, et l’autre pour ordonnée. En construisant successivement et sur les memes axes les lieux géométriques de ces équations, on reconnaît que les courbes se rencontrent en un ou plusieurs points dont les abscisses représentent les racines réelles de l’équation proposée. 3g6 CONSTRUCTION DES RACINES 332. Développons ce principe sur l’équation du quatrième degré (0 x' •+- ax'° -+- bx- -4- ex + d == o, à la construction de laquelle on peut ensuite ramener facilement celle d’une équation du troisième degré. Nous supposerons d’ailleurs que les coefficients a, b, c, d sont indifféremment des lignes données à priori, ou des nombres. —[Dans le premier cas, il faudrait (n° 15) commencer par rétablir l’homogénéité.J Cela posé, faisons dans l’équation (i) ( 2 ) x 1 — 7 ; elle devient ( 3 ) r 2 -t- axy -1- by ■+■ ex -+- d = o ; et comme l’équation ( 1 ) résulte évidemment de l’élimination de y entre les équations ( 2 ) et (3), il s’ensuit qu’elle renferme toutes les valeurs de x propres à vérifier les équations ( 2 ) et (3), en même temps que certaines valeurs dey ; donc, si par un moyen quelconque, on peut obtenir les systèmes de valeurs de x et dey communs aux équations ( 2 ) et (3), en ne tenant compte que de celles de x, on aura les racines de l’équation ( 1 ). Fie. 167 . Or, l’équation ( 2 ) étant construite par rapport à des axes qu’on peut supposer, pour plus de simplicité, rectangulaires., représente une parabole dont le premier axe est dirigé suivant l’axe des y , l’origine étant le sommet de la courbe, et qui a 1 pour paramètre. Cette courbe est facile à construire. L’équation (3), étant construite sur les memes axes, a pour lieu géométrique une hyperbole dont l’une des asymptotes est parallèle à l’axe des x (n° 307, i°). Ces deux courbes se coupent généralement en quatre points (puisque Véquation finale ( 1 ) est du quatrième degré), dont les coordonnées jouissent exclusivement de la propriété de satisfaire en môme temps à leurs équations. Ainsi les abscisses de ces points sont les racines demandées. DES ÉQUAT. DU 3 C ET DU 4° DEG11É A UNE INCONNUE. 3^7 N. B. — Le nombre des racines réelles de l’équation (i) est égal au nombre des points d’intersection. 333. On peut, au moyen de quelques artifices de calcul, remplacer l’équation (3) par une autre plus facile à construire, même par celle d’une circonférence de cercle. Pour cela, il faut supposer que l’équation (i) ait été préalablement, débarrassée de son second terme ; ce qui est toujours possible d’après la théorie des équations. Supposons donc l’équation ramenée à la forme (i) . x ( px*-+-qx + r=z o, et faisons , comme précédemment, (a) **=J, l’équation (i) devient (3) y 2 -hpy + qx 4- r — o. On remarque d’abord que, par ces premières opérations, les lieux géométriques sont deux paraboles dont la seconde a pour axes principaux deux parallèles aux axes coordonnés. Une simple translation d’origine suffirait pour la ramener à la forme y 1 — kx. Mais si l’on ajoute les deux équations (a) et (3), on obtient la nouvelle équation (4) x 2 4- y 2 + (p — i)y-t- q* 4- r = o, qui (n° 8o) représente une circonférence de cercle ayant pour coordonnées du centre et pour rayon D’où l’on voit que la construction des racines de toute équation du quatrième degré peut toujours être ramenée à celle d'une parabole et d’un cercle . 334. Considérons maintenant l’équation du troisième degré. (*) x 3 4- ax 2 4- bx ■+• c = o. 3g8 PROBLÈME DÉ LA TRISECTION DE L’ANGLE. Si l’on pose ( 2 ) ^ — il en résulte (3) xy-y ay-y bx-y c = o, équation d’une hyperbole dont les asymptotes sont (n° 307, 3°) parallèles aux axes coordonnés, et qui par une simple translation d’origine peut être ramenée à la forme xy — m 2 . Mais si l’on veut la remplacer par une circonférence de cercle, on doit commencer par faire évanouir le second terme de l’équation ( 1 ), ce qui donne x % -y px -y q ~ o, puis introduire le facteur x dans cette nouvelle équation; on obtient ainsi X* ■+■ px 2 qxr= o, équation qui n’est plus qu’un cas particulier de l’équation du quatrième degré, et sur laquelle, par conséquent,, on peut opérer de la même manière. N. B. — 11 est important de remarquer que l’introduction du facteur x dans l’équation , donne lieu à une racine x — o, qui est étrangère à la question primitive, et qu’on doit supprimer au résultat. Nous aurons bientôt occasion de faire plusieurs applications numériques des principes précédents ; nous nous bornerons, pour le moment, à résoudre deux questions connues des anciens et ayant pour objet, i° de diviser un angle ou Y arc qui lui sert de mesure, en trois parties égales 2 0 de construire un cube double d’un cube donné. Problème de la trisection de l’angle. 335. Un arc quelconque AB, de circonférence de cercle, étant donné, on propose de le diviser en trois parties égales. Nous pouvons supposer, pour ne pas trop compliquer la figure de construction, que l’arc à diviser ait été décrit avec un rayon /', égal à celui des Tables; car, s’il appartenait PROBLÈME DE LA TRISECTION DE l’ANGLE. 399 à une circonférence quelconque ayant pour rayon R, il suffirait de rendre les deux circonférences concentriques ; et alors les droites qui, partant du centre, diviseraient l’arc décrit avec le rayon /’en trois parties égales, diviseraient aussi, prolongées si cela était nécessaire, en trois parties égales l’arc décrit avec le rayon R. Cela posé, on a, en Trigonométrie, pour déterminer le sinus du tiers d’un arc en fonction du sinus de cet arc, la formule 4 sin 3 ^ a — 3 sin 4 a 4- sin a = o, 6 5 ou, si l’on pose sin|-a = Æ, sin a — BP = s, et qu’on rétablisse l’homogénéité, (i) 4 a; 3 —3 r 2 x -+■ r*.s = o. Soit fait alors (a) x* = r.y ; il en résulte (3) 4 x y —3ra + r.i = o, Menons, par le centre O du cercle donné, deux droites rectangulaires dont l’une, OX , passe par l’extrémité A de l’arc AI3. L’équation ( 2 ) représente une parabole dont l 'axe principal est dirigé suivant OY, et dont le paramètre est égal à cette courbe est donc facile à tracer, et elle est figurée par la ligne LOL' tangente en O à l’axe des x. [Pour en déterminer plusieurs points, il suffirait de poser successivement J = o, f — r, y — ir,..., S ce qui donnerait x = ±o, x—’àzr, x = ±ry / 2 ,..., r désignant le rayon des Tables OA, puis de construire ces systèmes de valeurs.] Quant à l’équation (3), en la résolvant par rapport à y, PROBLÈME DE LA TRISECTION DE l’ANC,LE. 4oo on trouve 3 rx — r.s 3 r r.s ^ 4 4 *’ et d’après ce qui a été dit au n° 307, la courbe, qui est une hyperbole, a pour asymptotes les droites 3 r x = o et y — y~ ? 4 c’est-à-dire l’axe des y et une parallèle FEF' à l’axe des .r, menée à la distance 3 /- 3 OE=- 7 - = t OD. 4 4 Comme d’ailleurs la courbe passe par le point G pour lequel on a, d’après l’équation (3), s BP T= o, x — 3~X~° C ’ on peut la construire au moyen du procédé établi n° 237 ; ce qui donne les deux branches nrn'mn', n n m"n ! ". La première de ces branches rencontre la parabole LOI/, en deux points m , m'-^ la seconde en un seul point m /; ; et ces points sont tels, qu’en abaissant mp, m'p 1 , rn"p" perpendiculaires àOX, on a O p, O/V, O p", pour les trois racines de l’équation (i). Cela posé, ces valeurs, dont l’une O p " est négative, exprimant des sinus, il faut les porter sur OY, de O en R, R', R", mener ensuite RM, R'M', parallèles à OX; et l’on obtient enfin AM, AM", — AM // pour représenter les valeurs des arcs a tt — a tt + a 3 ’ 3 ~ ’ 3 ’ que l’on sait être les trois valeurs du -tiers d’un arc dont on donne le sinus. Nous pourrions, comme au n° 33-4, substituer à l'hyperbole une circonférence de cercle qui serait différente de celle déjà tracée; mais nous préférons faire connaître un autre moyen de résoudre le problème, qui a l’avantage de PROBLÈME DE LA TRISECTION DE l’âNGLE. /jOI faire servir le cercle donné, comme un des lieux géométriques. 336. Autre mode de solution. — Soient toujours AB F ou a l’arc qu’il s’agit de diviser en trois parties égales et qu’on suppose décrit avec le rayon r égal à celui des Tables, AM le tiers de cet arc, supposé connu pour le moment. Faisons d’ailleurs OP ou cos« = c, BP ou sina = ,?, OQ = ,z, MQ=y- On a, pour première relation, (i) y 3 + x 2 = / ,J . Maintenant, si l’on prolonge MQ jusqu’à sa rencontre en N avec la circonférence, que par le point N on mène AR parallèle à OX, jusqu’à sa rencontre en R avec BP prolongé, on obtient ainsi un triangle BAR semblable au triangle OMQ (car ils ont leurs côtés perpendiculaires) ; et il en résulte la proportion oq : qm : •. br : rn? Mais , par construction , BR = s y, RN = PQ — x — r ; donc cette proportion devient x ' y y. s y- y x ■— c; d’où l’on déduit la seconda relation (a) y 2 — x 1 4- sy -f- ex — o, équation qui, combinée avec (i), donnerait par l’élimination de x la valeur de y ou de sin à Mais au lieu d’effectuer cette élimination, on peut construire les lieux géomélrû/ues qu’elles représentent. Or le lieu de l’équation (i) est le cercle donné lui- même. Quant à l’équation ( 2 ), elle représente évidemment une hyperbole éqüilatère dont les deux axes sont parallèles aux axes coordonnés. Pour en obtenir la position, résolvons cette équation par .4p. de VAL à le G . 3 6 402 PROBLÈME DE LA TRISECTION DE L ANGLE. Fig. 168 . rapport à y ; il vient Soit pris sur OY une distance OE = BP s _ 2 2 ’ la ligne GG' parallèle à OX est un diamètre de la courbe, et par conséquent un des axes cherchés. On sait d’ailleurs (n° 304) que la moitié du coefficient de x sous le radical, pris en signe contraire, ou -j n’est autre chose que l’abscisse du centre ,• donc la ligne HH' menée par le pointV, milieu de OP, et parallèlement à OY, représente l’autre axe. Maintenant, puisque l’hyperbole est équilatère, il s’ensuit que les asymptotes divisent en deux parties égales les angles droits HIG', HIG. Ainsi ces droites sont KK', LL'. Enfin, il résulte de l’inspection de l’équation ( 2 ) que la courbe passe par l’origine, et peut facilement être construite. On obtient ainsi les deux branches MHM', B' H' M". Ces branches rencontrent la circonférence de cercle en trois points, M, M', M", puis, en un quatrième, B', point où le sinus BP, prolongé, coupe lui-même la circonférence. Discussion. — La position des trois premiers points s’explique facilement. On a AB . a MQ sin - = SII1-; 2 °. Si l’on prend d’où il en résulte M'Q'=sin^I-^ 3°. En prenant ABC = “ 1 o CM': AB 3 sin tv 2ir T ABDC' d’où PROBLÈME DE LA TRISECTION DE L’ANGLE. 4°3 C'M"=Î, on en déduit M Q = sm ^ + 3) = sm (* + —3— ) = - sxn J • Quant au quatrième point B' dont les coordonnées sont X=C, JZ= — S, si l’on substitue ces valeurs dans les équations (1) et (2), on obtient c 2 + s 2 — r 2 , s 2 — c 2 — j 2 -f- c 2 = o ; ce qui prouve que ce point doit, en effet, appartenir aux deux courbes. Les équations (1) et (2), ajoutées entre elles, donnent 2 J 2 4- SJ + CX =z l' 2 , et, par suite, r 2 — 2 j 2 — sj d’où, substituant cette valeur dans l’équation (1), 4 L 4 + 4 S J 3 — 3 r 2 y 2 — 2/ 2 j/+ r 2 * 2 — O, équation dont le premier membre est divisible par y ■+■ s, et donne pour quotient — 3r 2 / + t‘s — o. Or cette dernière relation est identique (au caractère de l’inconnue près) avec l’équation (1) du numéro précédent; mais on voit en même temps que, d’après la seconde méthode, 011 a établi deux équations en x et y, plus générales que ne le comporte la question proposée, puisqu’en éliminant x on parvient à l’équation relative a celte question , mais embarrassée d’un facteur étranger. 337 . Remarque. — C’est ainsi qu’on doit interpréter cette circonstance, que la détermination des racines d une équation à une seule inconnue, par des intersections de courbes, donne lieu quelquefois à un plus grand nombre de points communs aux deux courbes> que la question n’admet de solutions réelles. Les coordonnées de ces points vérifient les deux équations à deux inconnues; mais leurs abscisses peuvent ne pas vérifier la proposée. 26. 4o 4 PROBLÈME DE LA DUPLICATION DU CUBE. Problème de la duplication du cube. 338. Le côté d'un cube étant donné, trouver le côté d’un autre cube double du premier. Soient a le côté du premier cube, x le côté du second, on a l’équation x % — 2 a z = o, qui, multipliée par x , donne (1) x* — 2 a 3 x — o. Posons (2) x 2 =ay, il en résulte (3) y — 2 ax; et la question se trouve ainsi ramenée à la construction de deux paraboles. Mais si l’on ajoute les équations (2) et (3) membre à membre, il vient pour nouvelle équation, (4) y 2 + x’ 1 — ay —2ax = o, qui peut remplacer indifféremment l’une d’elles, la première par exemple. tic. 16g. Or l’équation (3) représente une parabole ayant son premier axe dirigé suivant AX, et pour paramètre 2 a. Le foyer est en F, milieu de AB — a. Soit LAL' cette courbe construite d’après les procédés connus. L’équation (4) est celle d’un cercle passant par l’origine, et dont le centre a pour coordonnées (n° 85) . _ a AB x = u = AB, et y = — = BO. 2 2 En décrivant, du point O comme centre et avec la distance OA pour rayon , une circonférence, on obtient le second lieu géométrique. Il est visible que les deux courbes ne peuvent se rencontrer qu’en un seul point M (l’origine doit être rejetée comme provenant de l’introduction du facteur x dans l’équation NOMBRE UES XtAc. RÉELLES DANS LES ÊQUAT. NLMÉR. 4°^ primitive) ; et si du point M on abaisse MP perpendiculaire sur AX, l’abscisse AP sera le côté cherché. 339. Remarque. — Le problème de la duplication du cube n’est qu’un cas particulier de celui-ci : Trouver deux droites moyennes proportionnelles entre deux droites données a, b. Appelons x et y les deux lignes demandées, on doit avoir, d’après l’énoncé, la progression par quotient H a : x ; y : b, ou plutôt, , a : x \ : x : y, x’.y \ \y \ b\ ce qui donne les deux équations ( 1 ) X 2 — ny, ( 2 ) y 2 = bx; d’où, en éliminant l’une des inconnues, y, x' — a 2 bx = o, et supposant b = 2 a, x' — 2 a 3 a: = 0 , ou x 3 =a a 3 . La résolution du problème général se réduit d’ailleurs à la construction des deux paraboles , x 2 =.ay, y 2 — bx, ou bien de l’une d’elles et du cercle y 2 x 2 — ay — bx — o, ce qui rentre dans les constructions précédentes. . Détermination, par des intersections de courbes, du nombre des racines réelles dans les équations numériques à une seule inconnue. 340. La construction de deux lieux géométriques sur les mêmes axes, ayant fait connaître les longueurs des abscisses de leurs points d’intersection, si, pour chaque abscisse, on cherche ensuite, d’après la règle que doune la Géométrie, le rapport numérique de cette longueur à la ligne prise pour unité, on obtient ainsi des valeurs plus ou moins approchées des racines réelles que renferme l’équation résul- l\0 6 DÉTERMINATION , PÀR DES INTERSECTIONS DE COURBES , tant de l’élimination de y entre les équations des deux lieux géométriques. Mais ce mode d’approximation est loin de valoir, sous le rapport de la rigueur, les métliodes connues de Y analyse algébrique. Il n’en est pas de meme quand il ne s’agit que de fixer le nombre des racines réelles. On sait que cette recherche exige, soit la formation de Y équation aux carrés des différences, soit l’application du théorème de Sturm; or les calculs dans lesquels on se trouve alors entraîné, sont souvent fort laborieux et même impraticables par leur longueur; tandis que, le plus communément, on arrive très-vile au but par la considération des lieux géométriques. Donnons quelques exemples. 54i. Premier exemple. —Soit l’équation (1) x 3 — 6 x — 7=0. La substitution des nombres o, 1,2, 3 , etc., — 1, — 2, etc., dans cette équation ne donnant lieu qu’à un seul changement de signe, il faudrait avoir recours soit à Xéquation aux différences, soit à l’application du théorème de Sturm. Faisons usage des lieux géométriques. Soit posé dans l’équation (1) (2) x t = *y, il en résulte ( 3 ) 2 xy — 6 x — 7=0; et si l’on construit les équations (2) et ( 3 ) sur les mêmes axes, les abscisses des points d’intersection de leurs lieux géométriques seront les racines de l’équation (1). Or le premier lieu est une parabole LAI/ ayant son axe principal dirigé suivant AY, son sommet en A , et 2 pour paramètre. Le second est une hyperbole dont les asymptotes ont pour équations, y = 3 et x ~ o [car l’équation ( 3 ) revient à ■ 7 PD «OMBRE DES RAC. RÉELLES DAMS LES ÉQUAT. NDMÉR. 4°7 D’ailleurs, la courbe doit passer par le point C pour lequel on a elle est donc facile à construire (n° 2157 ). Les deux courbes étant tracées, on reconnaît qu’elles ne se rencontrent qu’en un seul point M dont l ’abscisse est comprise entre 2 et 3 (et, en effet, ces deux nombres substitués dans l’équation (1) donnent des résultats de signes contraires). Ainsi l’équation (1) ne peut avoir qu 'une racine réelle. N. £. — Comme les branches négatives des deux courbes sont assez rapprochées l’une de l’autre dans le voisinage des points correspondants à y = 1, on pourrait penser qu’il y a de ce côté quelque point d’intersection. Pour s’en assurer, soit posé y = 1 = AS dans les équations (2) et ( 3 ); il vient, pour la première, x = ±\[2—±i4- ■ •> et, pour la seconde, X = ~ 1,75 ’ ce qui fait voir que le point N de l’hyperbole est extérieur à la parabole. Deuxième exemple. — Soit l’équation (1) x 4 — 2X 2 -\-8 x — 3 =o, pour laquelle la substitution des nombres 0,1, 2, etc., —1, — 2, etc., ne donne que deux changements de signe. Posons (2) x' = y, il en résulte y 2 — 2 y -\- 8x — 3 = o; d’où, en ajoutant ces deux équations, ( 3 ) •r’-t-jr 2 — 3 y -h 8x — 3 = o. Les équations ( 2 ) et ( 3 ) correspondent : t°. A la parabole LAL' dont 1 est le paramètre ; 2 0 . A une circonférence de cercle, GMM'G', dont le centre 0 a pour coordonnées 3 x = AB = — 4 , y=OB = - 5 Fig. 171 4 2 ’ et reportant ces valeurs de x\ y' dans la seconde, py l p \ — = p[x-\ --î ou a.mr = ‘3.m 2 x + p: m \ 2 mrj ou bien encore y = mx + C’est la forme qu’on peut donner à l’équation d’une tangente à la parabole , quand on donne son coefficient d’inclinaison, ou qu’elle doit être parallèle h une ligne donnée. (Voir, à ce sujet, ce qui a été dit pour l’ellipse, au n° 195. ) Cela posé, revenons à la question, et appelons m, m ', les coefficients des deux tangentes; les équations de ces droites sont (i) y=mx-+--^-i 2 m (a) y ~ m'x H- P 2 m' Soit d’ailleurs V l’angle donné qu’elles doivent former entre elles; on a (n° 62) pour relation entre les quantités tangV, m, m', (3) tang V m — m' - i H- m . m et l’élimination de m , m', entre ces trois équations, conduira à une équation en a?, y, qui sera l’équation du lieu géométrique cherché. L’équation (i), ordonnée par rapport à nd, devient y p m 2 -- m H-= o x 2 Æ et a pour racines les deux valeurs de m , m ', à cause de la symétrie des équations (i) et ( 2 ). On en déduit m =z î— ± — 4/v 2 — 2 px ; 2 æ ix 4l6 PROBLÈMES SUR LES LIEUX GÉOMÉTRIQUES, par suite, Z. + -L&= 2. X 2, X ' 2 /AT, IX 9,X 9.px-, d’où - y/F 2/>.r, »?.;« '=—• Portant ces valeurs dans la relation. (3), on obtient tang V. (i +JL'j=ly/jr' — zpx, ou, chassant le radical et ordonnant, n 2 j- 2 — x- tang 2 V — p ( 2 -f- tang 2 V) . x — ~ tang 2 V = o. Telle est l’équation du lieu géométrique demandé. Ce lieu est une hyperbole dont les axes principaux sont parallèles aux axes primitifs, puisque l’équation est privée du terme en xy\ le centre de la courbe est d’ailleurs placé sur l’axe des x, le terme en y manquant. Nous n’insisterons pas sur la construction de cette courbe ; ce qui n’offrirait aucun intérêt. Mais nous chercherons ce que devient l’équation lorsqu’on suppose les deux tangentes à angle droit. Pour cela, il faut diviser tous les termes de cette équation par tang 5 V, ce qui donne y 2 tang 2 V x 2 — 2 p ■ oç tang 2 V équation qui, pour tang V infini, se réduit à ■ x' 1 — px — l — = o ; d’où | x -f- — ) = o , par suite, P. ce qui fait voir (n° 151) que le lieu géométrique est, dans ce cas, la directrice de la parabole. La directrice de la parabole jouit donc de cette propriété SE RAPPORTANT AUX COURBES DU SECOND DEGRÉ. 4 1 7 remarquable, que, si, de chacun de ses points, on mène deux tangentes à la courbe, ces droites sont perpendiculaires entre elles; ce qu'il serait d'ailleurs facile de démontrer géométriquement. N. B. — Si l’on voulait résoudre la question qui a fait l’objet de ce numéro, pour les deux autres courbes du second degré, on arriverait à une équation du quatrième degré, en x et. y; c’est-à-dire que le lieu géométrique serait une courbe du quatrième degré. * On peut se proposer cette question comme exercice de calcul. 347. Troisième problème. — Par un point quelconque pris sur le plan d'une parabole, on propose de mener une normale à la courbe. Ce problème offre un véritable intérêt sous le rapport de la discussion des résultats. Soient «, o les coordonnées d’un point quelconque situé sur le plan de la parabole y 2 = 2 px ; l’équation d’une droite assujettie à passer par le point [«, S] est de la forme y — 6 = /«(x — «); et si l’on veut que cette droite soit perpendiculaire à la tangente ayant x',y’ pour coordonnées du point de contact, il faut (n os 64 et 264) que 1’ on ait la relation ce qui donne pour l’équation de la normale correspondant à ce point, (1) y —S =—^-{x — a), Y' étant une inconnue qu’il s’agit de trouver. On a, pour cela, les deux relations ( 2 ) y ,2 = 2 px', (3) • y' — S- - f j{x'— a), 27 Af>, de VAl, à la O. 4l8 PROBLÈMES SUR LES LIEUX GÉOMÉTRIQUES, dont la première exprime que le point \_x', y'] se trouve sur la courbe, et la seconde, que la normale doit passer par ce même point. On déduit de l’équation (a), 2 P d’où, substituant dans l’équation (3) et ordonnant par rapport à y , ( 4 ) y n +zp(p — 2S/’ = 0, équation qui, résolue, ferait connaître y’, dont il suffirait de porter ensuite les valeurs dans l’équation, (i) pour obtenir la normale demandée. Comme l’équation (4) est du troisième degré, on est en droit de conclure qu’en général, par un point donné de position dans le plan d'une parabole , on peut mener trois normales à cette courbe. Cette équation ne pouvant être résolue immédiatement et sans que l’on donne h p, a, 6 , des valeurs numériques particulières, rien n’empècbe, pour fixer la positioii de chaque point de contact, de substituer à sa résolution la construction des équations ( 2 ) et (3) dont elle est Yéquation finale. Or la courbe qui correspond à ( 2 ) est la parabole déjà tracée. L’équation ( 3 ) ramenée à la forme y' x’ -+- {p—■ et) y'— 6p = o, d’e y' = o + 6 P + p — “ représente (n°307) une hyperbole ayant pour asymptotes y' = o, ou l’axe des x , et x' ■+■ p U — o, ou x'—v. — p, c’est-à-dire une parallèle à l’axe des y , menée à la distance a — p, de l’origine. Cette courbe passant d’ailleurs par le point pourrait (n° 257) être facilement construite. / se rapportant Aux courbes du second degré. 4^ 348. Discussion cle Véquation (4). — L’Algèbre nous apprend que, dans toute équation du troisième degré ramenée à la forme x 3 + px + q = o, c’est-à-dire privée du second terme, suivant que l’on a q 2 p 3 4 + ^< o ’ = 0 ’>°’ les trois racines sont réelles et inégales , ou deux des racines sont réelles et égales à la moitié de la troisième prise en signe contraire, ou bien une seule des racines est réelle. Cela posé, considérons une parabole quelconque LAL' Fio. 1 73- représentée par l’équation y 2 ~ 2 px. Soit F le foyer; et prenons une distance AO = 2 AF = p. Pour que le problème proposé admette trois solutions, c’est-à-dire pour que l’équation (4) y' 3 -)- 2 p (p — a )x’ — 2 ëp 2 = O , ait ses trois racines réelles, il faut, d’après ce qui vient d’être dit, que l’on ait ê 2 p 1 -+- (p — a) 3 5 0, ou, supprimant le facteur p 3 , (5) pë S + — ou bien, g (6) pë 2 -1-( p — œ) 3 =0. Or ces deux conditions exigent, en premier lieu, p étant par sa nature un nombre absolu, que l’abscisse a soit plus grande que p, ou au moins égale à p. Si l’on fait a. — p = AO dans l’équation (4), elle se réduit à y ' 3 — 2 èp 2 — o, équation du troisième degré à deux termes, qui, comme l’on sait, ne peut avoir qu’une seule racine réelle ,. Donc, en second lieu , on ne saurait mener du point O qu une seule normale, laquelle passe d’ailleurs par l’ori- 27. 420 PROBLÈMES SUR LES LIEUX GÉOMÉTRIQUES, gine; car, en posant a — p dans la relation (6), on trouve 6 = o. Je dis actuellement que les coordonnées S et a pouvant être considérées comme deux .variables dont les valeurs changent avec la position donnée au point par lequel on veut mener une normale, si l’on construit le lieu exprimé par l’équation (6), ou ë 2 ='-—(a — p) 3 > 27 P ce lieu sera une limite de séparation entre les points par chacun desquels on peut mener trois normales, et les points par lesquels on ne peut en mener qu’une seule. En effet, il est évident que si, pour une ordonnée de ce lieu géométrique supposé construit, on a g p& — — (« —pY = o, pour une ordonnée & plus grande que ë, et correspondant à la même valeur de «, on doit avoir P*'- _8 27 (“ — pY>o, ce qui est la condition d’une seule normale; qu’au contraire , pour une ordonnée S" moindre que ë et correspondant à la même abscisse, on doit avoir 27 (« — PÏ <«, condition relative à l’existence de trois normales passant par le point donné. 11 résulte d’ailleurs des principes rappelés au commencement de cette discussion, que, pour chacun des points de la ligne à construire, deux des trois normales doivent se confondre ; en sorte qu’à proprement parler, il ne peut exister que deux normales passant par ce point. Construisons donc ce lieu géométrique. Pour simplifier, remplaçons les variables 6, « par y, x, ce qui donne yl — 8 27 P (* — pfi SE rapportant aux courbes du second degré. 421 puis transportons l’origine au point O, eu posant x — x p' y il vient la nouvelle équation 1 ~ 2 1P ’ et I on voit immédiatement que le lieu géométrique est une courbe qui s’étend indéfiniment dans le sens des x positifs, à partir de la nouvelle origine O, et symétriquement au- dessus et au-dessous de l’axe des x. Les points les plus remarquables de cette courbe sont ceux où elle rencontre la parabole ; et pour les trouver, il suffit, après avoir posé x — x p dans l’équation de la parabole, pour que les deux courbes aient la même origine, de combiner entre elles les deux équations Fie. 13 3. r 5 = 2 p( x +p)> et r 2; 8 ■ x 3 . 2 7 P En égalant les deux valeurs dey*, et ordonna ît, on arrive à l’équation 8 x 3 — 54 p 3 x — 54 p 3 — o, qui est homogène, et qu’on peut rendre numérique en y substituant px au lieu de a:; ce qui donne 8 x 3 — 54 x — 54 = o. L’application de la méthode des racines commensurables fait reconnaître facilement que l’équation est satisfaite par x — 3. Donc et, par suite, X = 3 p, r — ± 2 p y/ 2 , sont les coordonnées des points où les deux courbes se rencontrent. Prenons, à partir du point O, 00 = 3/1 = 3 AO, et élevons CD perpendiculaire à AX; la courbe cherchée doit passer par les points D, D'. 42 2 PROBL.SUR LES LIEUX GÉOM., SE RAP. AüXCOURB. DU 2 e DEG. Fig 173 , Pour nous en former une idée plus nette, déterminons le coefficient d'inclinaison de la tangente. La règle du n° 102 donne qu’il faut tâcher d’exprimer en x’ seulement. Or, de la relation on déduit ce qui donne, après la suppression du facteur x'. ^x\ commun aux deux termes, a k étant une constante qu’il est inutile de calculer, pour le but que nous nous proposons. Soit fait maintenant sc? = o, valeur correspondante à l’origine O : il en résulte ce qui prouve que la tangente à l’origine se confond avec l’axe des abscisses. Delà on peut conclure que la courbe a la forme IOP, présentant sa convexité vers le côté positif de l’axe des x. 349. Remarque. — La courbe qui vient d’être construite est du genre de celles qu’on désigne ordinairement sous le nom de cissoïdes. Leur caractère principal est d’être symétrique par rapport à une certaine droite, tangente au point qui lui sert, en quelque sorte, de point de départ, et de s’étendre indéfiniment au-dessus ou au-dessous de la droite dans un meme sens. Quelquefois les cissoïdes ont une asymptote ; telle est la cissoïdc de Dioclks , courbe susceptible d’une définition rigoureuse et très-simple. CISSOÏDE DE DIOCLÈS. 4a3 De quelques courbes remarquables. 350. Cissoïdé de Dioclès. —Un cercle étant décrit sur ï'io. 174 une droite AB comme diamètre, et une droite indéfinie BI étant menée perpendiculairement à AB, par l’une des extrémités de ce diamètre, .si de Vnuire extrémité A on mène une sécante quelconque AL rencontrant la circonférence et la perpendiculaire en deux points C, D, que sur cette sécante on prenne AM = CD, on demande la ligne engendrée par le point M dans toutes les situations que peut prendre la sécante. Prenons pour axes le diamètre AB et la perpendiculaire élevée au point A. Soient d’ailleurs AB = 2 r, AP = a, MP = S. La condition à exprimer analytiquement est, d’après l’énoncé, AM = CD = AD — AG. On a d’abord (1) AM = ^+a ! ; d’un autre côté, l’équation du cercle, rapportée au sommet A comme origine, est (n° 73) ( 2 ) y* =. 2 rx — x 5 , celle de la sécante AL, (3) y — mx, et celle de la perpendiculaire BI, ( 4 ) X=2f. Si 1’ on combine successivement l’équation (3) avec cette dernière et avec l’équation ( 2 ), on obtiendra les valeurs des coordonnées des points D, C; d’où il sera facile de conclure les valeurs de AD, AC, et par suite celle de AD— AC. Or les équations (4) et (3) donnent x = 2 r, r — 2 mr, d’où AD = 2 1 ; Fig. i 4 2 4 CISSOÏDE DE DIOCLÈS. ?4- et les équations ( 2 ) et (3), 2 rnr 2 r d’où m 3 +1 AC — 2 r \Jn Par conséquent, AD — AC = 2 r^œ ! +i 2 nvr y/m'-t- 1 y'Vw’ -t- i Observons maintenant que , d’après le triangle rectangle AMP, on a tangMAP ou m=.- e ce qui donne, toute réduction faite, pour la valeur de AD —AC, AD — AC : 2 S 3 r a 3 Il ne reste plus qu’à remplacer AM et AD — AC par leurs valeurs dans l’équation de condition, et l’on trouve - 2 S 3 r sj § 3 + - «y/g’A-a’ ou , chassant le dénominateur, et résolvant par rapport à 0 , g’: 2 r — a ou bien, en remplaçant S et , y — — a. Les deux premières valeurs b et —b donnent les points C et G : ce qui doit être; mais la troisième, qui semble donner le point A pour un point de la courbe, a besoin d’ètre interprétée. ür il résulte de la définition que la branche inférieure peut avoir son point de départ entre les points B et A, en C', ou sur le prolongement de BA, ou bien se confondre avec le point A , suivant que l’on a ba, b = a. CONCHOÏDE DE WICOMÈDE. 4 2 7 Dans le second cas , il est visible que la courbe doit avoir Fio. une espèce de boucle, analogue à celle du folium de Descautes (n° 317, 3 e exemple). Quant au troisième cas, puisque pour x = o on a Fig. y = — b, y = — ces deux valeurs deviennent identiques quand on suppose les deux distances a et b égales entre elles, et l’on a alors le point A pour point de départ de la seconde branche. Voilà pourquoi y = — a peut être admis comme solution : elle n’est véritablement étrangère que dans les deux autres hypothèses : b a. L’équation polaire delà courbe est assez remarquable par sa simplicité. Prenons le point A pour pôle et la droite AK pour axe Fig. polaire. Le triangle rectangle ABD donne AB = AD. cos BAD, ou a = AD. cos f ; d’où AD =—-, et AM = AD b cos

tome l, pages 254 et suivantes, expose un moyen de construire cette courbe d’un mouvement continu, et en fait connaître l’application à la construction des deux problèmes delà trisection de l'angle , et de la duplication du cube . (Voir les n 0# 35 l> et suivants. ) DES COURBES DU SECOND DEGRÉ SEMBLABLES. 4 2 9 Cette dénomination vient de ce que les deux courbes jouissent alors des mêmes propriétés que les figures semblables considérées en géométrie, ainsi que nous allons le démontrer. Ellipses. — Pour faciliter le développement des diverses propositions, nous supposerons les courbes placées l’une sur l’autre de manière qu’elles soient concentriques, et que leurs axes aient la même direction. Soient donc deux ellipses pour lesquelles OA, O a, désignent les moitiés des grands axes, et OC, O c les moitiés des seconds. i°. Si l’on tire les cordes AC, ac , elles seront nécessairement parallèles, et l’on aura la suite de rapports égaux (t) AC : ac \ ; A : a \ : B : b. 2 °. Considérons une ligne quelconque OL menée par le centre, et appelons D,<7, les demi-diamètres OM, O rn ; Y, X, les coordonnées du point M ; y, jc, celles du point m. Puisque les trois points O, m, M sont en ligne droite, on a la nouvelle suite de rapports égaux Y:jr::x:*::D :d-, et comme les points M, m appartiennent aux deux courbes, on a aussi les deux relations Y,= ^ (A ’~ X2) ’ J" =?(**-*’)’ j î ' \ i B b a ou, a cause de - = - > A a Y» : y 5 : : a 2 — X 1 : a 1 — Y J : r 2 :: X ! :x 2 ; X 2 :x 2 :: a J —X’:a s — a 2 X 2 = A’x 2 , x : x : : a : a. Mais on a déjà donc ce qui donne par suite, Par conséquent ( 2 ) A; a ::X:x::Y: r ;:D:rf. Fig. 178. 43o DE§ COURBES DU SECOND DEGRÉ SEMBLABLES. Fig. i 78 . 3°. Soient F et f les foyers de droite dans les deux courbes, et désignons par C, c les distances OF, O J ; puis menons les rayons vecteurs FM = R, fm = r. Les relations C 2 = A 2 — B 2 , c 2 = « 2 — b\ reviennent à C 2 = A 2 d’où l’on déduit, à cause de - = -> A a . c : c : ; A t a ; et les triangles OMF, O mf, qui sont alors nécessairement semblables, donnent aussi (3) FM;y/« ou R : r : ; C : c ; : A : a. 4°. Aux points M, /«, menons les tangentes MR, ni ces tangentes sont parallèles, car leurs coefficients d’inclinaison , B 2 X b 7 x a 2 y’ sont égaux en vertu des relations précédemment établies, B _b X_x  — a’ Y~ÿ i d’où l’on voit que les distances OR, O/’, et, par suite, les sous-tangentes et les sous-normales qui correspondent aux points M, m sont aussi dans le rapport (4) D;d ou A: o. 5°. Puisque les tangentes MR, mr sont parallèles, il s’ensuit que les deux diamètres conjugués des diamètres OM, O/n, doivent avoir une meme direction. Soient donc ON, On ces deux diamètres; comme, en vertu de ce qui a été dit plus haut, on a on : o n : : a : «, et que, d’ailleurs, om: 0 m : : a : a, il en résulte (5) OM:Ow :: 0 N: 0 n, ou a': b' b'. DES COURBES DU SECOND DEGRÉ SEMBLABLES. 43I A' et B', a' et b', désignant respectivement deux demi-diamètres conjugués pour chaque ellipse. 6°. Enfin tirons une autre droite quelconque OU qui rencontre les deux courbes aux points M’, m', et menons les cordes MM', mm 1 . Les triangles OMM', Omm' sont semblables comme ayant un angle égal, O, compris entre côtés proportionnels, et donnent, par conséquent, MM ''.mm'\\ A : a. Concevons maintenant qu’on ait inscrit aux ellipses deux polygones dont les sommets soient deux à deux en ligne droite avec le centre; il suit de ce qu’on vient de dire, que ces polygones ont leurs côtés parallèles et respectivement proportionnels ; donc ils sont semblables. Ainsi les contours de ces polygones sont proportionnels aux demi-axes des deux ellipses, et leurs surfaces sont entre elles comme les carrés de ces demi-axes. Ces deux résultats étant vrais quel que soit le nombre des côtés des polygones, le sont encore à la limite. Donc les contours E, e. des deux ellipses sont entre eux dans le rapport des deux axes, et leurs surfaces S et a dans le rapport des carrés de ces mêmes lignes ; c’est-à-dire que l’on a (6) e : e : : a : a, S:.s::A 2 :a J . On pourrait multiplier indéfiniment les conséquences qui résultent de la proportionnalité des axes ; mais celles qui viennent d’être développées suffisent pour établir que ces ellipses ont tous leurs éléments homologues proportionnels à ces axes s’ils sont linéaires, ou dans le même rapport que les carrés des axes s’ils sont superficiels. Les mêmes propriétés s’appliquent à I’hyïeubole et se démontreraient de la même manière. Mais on voit, en outre, immédiatement, i° que deux hyperboles semblables dont les axes ont la même direction, ont aussi les mêmes asymptotes ,• 2 ° que deux hyperboles équdatères sont toujours semblables, puisque les rapports B b . , ' , - sont identiques et égaux a i. 432 DES COURBES DU SECOND DEGRÉ SEMBLABLES. 353 . Deux paraboles quelconques sont toujours des figures semblables, parce.qu’ainsi que nous allons le faire voir, leurs éléments homologues sont proportionnels, et dans le rapport des paramètres si ces éléments sont linéaires, ou dans le rapport des carrés de ces paramètres s’il s’agit de surfaces. La proposition est déjà évidente pour les distances des foyers et des directrices aux sommets respectifs des deux paraboles, puisque 2 P, 2 p, désignant les paramètres, les expressions de ces distances sont ^P, ^p. Fig. 179. Pour mieux la faire ressortir à l’égard des autres éléments, concevons que les deux courbes soient placées l’une sur l’autre, de manière à avoir meme sommet A et même axe principal AX. Soient F, fies deux foyers pour lesquels on a (1) af : a/ : : P : p. Cela posé, tirons une droite quelconque AL, qui rencontre les courbes en M, m; abaissons les ordonnées MP = "Y, mp—y , qui correspondent aux abscisses AP=X, A p — x; et menons les rayons vecteurs MF — R, rnf =■ r. Les triangles AMP, Amp sont semblables et donnent (2) am : Am :: Y ’.y x : x; mais les équations des deux courbes, Y ! = 2 P.X, y^—ip.x, reviennent à Y_2P y _2 p x~T’ x~y ; d’où l’on conclut, à cause de la relation (2), 2 P 2/? P Y — — ■ —1 par suite, — — — = y y p y x x On a donc aussi (3) AM ; a w : : Y : / : : x ; x ; : p : /?. De cette dernière suite et de la proportion (1) on déduit am : Am : : af : a f\ DES COURBES DU SECOND DEGRÉ SEMBLABLES. 433 ainsi les deux triangles AMF, A mf sont eux-mêmes semblables et donnent (4) am : Am :: mf : /«/:: af : a/:: p : P . Les sous-tangentes étant (n° 264) doubles des abscisses des points de contact M, m , sont aussi dans le rapport des paramètres. Ce même rapport existe évidemmeut pour les sous-not'- males dont les expressions sont (n° 265) respectivement P et p. Enfin si, comme on l’a fait pour l’ellipse (n° 352, 6°), on mène une seconde sécante quelconque AL', et qu’on tire les cordes MM', mm ', elles sont nécessairement parallèles, et l’on arrivera à la conséquence que les aires des surfaces comprises entre les droites AM, A m et les portions de courbes correspondantes, sont proportionnelles aux carrés des paramètres. La proposition est donc complètement démontrée. 354. Remarque sur les paramètres dans les courbes en général. —On se rend compte de la propriété dont jouissent les paraboles d’être toutes semblables, par cette considération qu’il n’entre dans leur équation simplifiée qu’une seule constante nommée paramètre. Dans l’ellipse et l’hyperbole dont les équations simplifiées renferment deux constantes A, B, il est nécessaire, pour que les courbes de même genre soient semblables, que ces constantes soient proportionnelles. Ce n’est que par analogie avec la parabole qu’on a désigné sous le nom de paramètre dans l’ellipse et l’hyperbole la quantité ; mais dans les questions de haute analyse, on est généralement convenu d’appeler paramètre les constantes dont nous venons de parler, en tant que leur connaissance est nécessaire et suffisante pour que la courbe soit complètement déterminée. Il ne suffit pas que les longueurs de deux diamètres conjugués d’une ellipse, par exemple, soient connues pour que la t\p Ûr 1 VAL il Ll G, 2S 434 IDENTITÉ DES COURBES DU SECOND DEGRÉ courbe puisse être tracée ; il faut encore donner l’angle qu’ils font entre eux. Ainsi ces longueurs ne peuvent être considérées comme des paramètres qu’autant que l’on y joint une troisième donnée. Il en serait de même si l’on donnait le paramètre 2 p' pour un système ftaxes conjugués dans une parabole sans donner en même temps l'angle de ces deux axes. Identité des courbes du second degré avec les sections planes d'un cône droit ou d'un cône oblique à base circulaire. 3 o 5 . L’intersection d’un cône droit ou oblique, à base circulaire, par un plan, donne lieu aux trois courbes du second degré, ou à une de leurs variétés, suivant la position du plan, et ce sont'/ej seules lignes qu’on puisse- obtenir; ce qui a fait donner à ces courbes le nom de sections coniques. Fie. 180. Soient d’abord SADBE un cône droit, SC son axe, CD le rayon de la base, LL'-la trace du plan d’intersection (appelé plan sécant ) sur celui de la base, et OMO'M' la courbe d’intersection dont il s’agit de trouver la nature. Cherchons l’équation de cette ligne. A cet effet, abaissons, du centre C de la base, CG perpendiculaire sur LL'; puis, par CG et SC, conduisons un nouveau plan, dit plan principal (on donne ce nom à tout plan passant par l’axe du cône) ; son intersection avec le plan sécant est une droite GOX perpendiculaire à LL', en vertu d’un théorème connu de Géométrie. C’est cette droite OX que nous prendrons pour axe des x ; et celui des y sera OY, ou la perpendiculaire élevée par le point O à GX dans le plan de la courbe (la ligne OY est alors parallèle à LL'). Si, par un point quelconque P de OX, on conçoit un plan parallèle à la base, la Géométrie nous apprend que son intersection avec le cône est un cercle. Ce même plan coupe le plan principal suivant IH parallèle à AB, le plan sécant suivant une droite MPM' parallèle à LL', et par ET DES SECTIONS CONIQUES i 455 conséquent à O Y 5 en sorte que MPM ' est à la fois perpendiculaire sur GX et sur IH. Cela posé, faisons OP = x, MP —y, SO = a, angSOX—a, angASB ou OSO'==ê, d’où ASG=i@; Comme MP, ordonnée de la courbe, est en même temps une ordonnée du cercle, on a, d’après un théorème de Géométrie , ( 1 ) y» = IPX PH; et la question est ramenée à exprimer IP, PH en fonction de x et des données 6 , a et a. Or le triangle OPI donne IP : OP :: sin IOP ! sin OIP, ou, à cause de sinlOP — sinSOX = sin a, et de d’où sin OIP — sin SIH = cos ASC = cos - 6, 2 IP x " sin a ; cos— ë ; 2 ’ x sin a IP =-* 1 „ COS — 5 2 Afin d’obtenir PII, cherchons d’abord la valeur de 00' et de PO'. On a, d’après le triangle SOO', 00': SO sinOSO': sinOO'S, ou 00'; ù :: sinê : sin(a-+ê); d’où 00 ' = a sine 1 par suite, PO' : sin (a g) Mais le triangle PO'II donne a sin 6 sin (a 6) x. c’est-à-dire PH : PO' :: sinPO'II : sin PII 0', PII : —r——rr — x : : sin ( a -j- 6 ) : cos - g ; sin ( a g) \ ‘ ■ 2 ’ 28. 436 Fie 180. donc IDENTITÉ DES COURBES DU SECOND DEGRÉ PH _ a sin 6 — x sin ( a + ë ) cos - S 2 Substituant les valeurs de IP et de PH dans l’équation (i), on obtient enfin x sin a a sin S — .r sin ( aë ) X = - X- - —--5 COS — ë COS - ë 2 2 OU ( 2 ) [a.sina.sinë .x — sin a sin (a -+- ë) x 2 ] cos 3 - ê 2 pour l’équation générale des sections coniques. Cette équation étant du second degré, il s’ensuit que toutes les sections coniques t sont des courbes du second degré. Discussion. — Si l’on compare l’équation (a) à l’équation commune aux trois courbes du second degré (n° 146), y 2 = ipx ~f- qx 2 , après y avoir remplacé sin ë par sa valeur 2 sin ^ ë cos - ë, on arrive aux deux relations i . sin a. sin (a -+- ë) a sin a. tang - ë = p, -!-' — — q. cos 3 — ë 2 Or cos 2 -ë est essentiellement positif, et sin a peut, comme nous allons le voir, être lui-même supposé, positif ; en sorte que le signe du coefficient de.x l2 , et, par suite, le genre de la courbe, ne dépend que du signe de sin (a -J- 6); d’où il résulte que cette courbe est une ellipse, une parabole ou une hyperbole , suivant que l’on a sin (a-h ê) positif, nul ou négatif, on bien, a + S< l8o°, a + e=i8o°, « + e>i8o°. ET DES SECTIONS CONIQUES. Traduisons ces résultats géométriquement, : i°. La condition a 4- S i8o° signifie que la droite OX, intersection du plan sécant et du plan principal, rencontre les deux génératrices opposées, SA , SB, d’un même côté du sommet S ; et l’on obtient alors, une courbe rentrante et fermée, OMO'M/O : c’est une ellipse qui devient un cercle, lorsque le plan sécant a une position parallèle au plan de la base. 2°. Poser - Fig. i8i. a -+- g = l8o°, c'est dire que la droite OX est parallèle à la génératrice SB ; donc le plan sécant est lui-même parallèle à cette génératrice, ou ne la rencontre qu’à l’ infini, auquel cas on a une courbe indéfinie dans le sens OX : c’est une parabole FOE, la trace du plan sécant étant LEGFIA 3°. Enfin l’hypothèse Fig. 182. a-|- ê>i8o° correspond au cas où la droite OX va rencontrer la génératrice SB sur son prolongement en O'5 c’est-à-dire qu’alors le plan sécant coupe les deux nappes de la surface conique, et détermine une courbe composée de deux branches indéfinies et opposées l’une à l’autre : c’est une hyperbole ayant 00’ pour premier axe. Quant aux variétés des trois genres de courbes du second Eic. 180, degré, on les obtient successivement en supposant que le I ® 1 » I ^ 2- plan sécant passant parla génératrice SA , et ayant d’abord pour trace sur le plan de la base la tangente au point A menée à cette base, tourne autour du point O, de manière que l’angle SOX prenne toutes les valeurs possibles depuis zéro jusqu’à 180 degrés. Si ce plan venait à continuer son mouvement autour du point O, et dans le même sens, il reprendrait évidemment les mêmes positions qu’auparavant et, par suite, reproduirait les différentes courbes déjà obtenues. Ce nouveau mouvement devient donc inutile, et par conséquent sina peut toujours être considéré comme positif , ainsi que nous l’avons énoncé en commençant la discussion. 437 Fio. 180. 438 IDENTITÉ DES COURBES DU SECOND DEGRÉ Fig. 180, Jusqu’à présent nous avons supposé que le plan sécant 181, 182. était assujetti, dans son mouvement, à passer par un point déterminé O de la génératrice SA; mais rien n’empêche qu’il l’exécute autour du sommet S. Dans ce cas, on voit encore facilement que la courbe d’intersection se réduira à un point , tant que le plan restera dans Y intérieur de l’angle BSA' ; qu’elle se réduira à une seule droite , lorsque le plan conduit suivant SB, sera extérieur, à la fois, aux deux angles BSA' et BSA , et qu’elle se transformera en un système de deux droites qui se coupent {deuxgénératrices du cône), quand le plan se trouvera dans Y intérieur de l’angle BSA. On voit ainsi que le point,, une seule droite , ou deux droites qui se coupent, font partie des sections du cône par un plan. C’est ce qu’on peut reconnaître également au moyen de l’équation (2) en y faisant a ou SO = o. Elle se réduit, dans cette hypothèse, à sina.sinfa -f- 6) V 2 -- - --- /F* ■2 équation qui, pour a -+- 6 180 0 , est de la forme r 2 -I- hx 2 o ( /■ étant positif), et qui ne peut être, satisfaite que par y=o, x — o-, pour a -t- 6 = 180 0 , elle devient jr 2 = a, d’où y —o-, enfin, pour a H- S )> 1 8o°, elle prend la forme r 2 = X\r 2 ou (X étant encore positif), et représente un système de deux droites qui se coupent. JY. IJ , — Le système de deux droites parallèles qui , comme on l’a vu aux n os 161 et 297, est un cas particulier de la parabole, semble faire exception tant qu’il s’agit d’un cône proprement dit ; mais nous reviendrons bientôt sur ce cas particulier. 356. Pour compléter la démonstration de Yidentité des ET DES SECTIONS CONIQUES. 4^9 courbes du second degré et des sections coniques, il nous reste encore à faire voir qu’une courbe du second degré étant donnée à priori, il est toujours possible de la reproduire au moyen de Y intersection d’un plan et d’un cône droit. A cet effet, reprenons les deux relations établies dans la discussion précédente, a sina.tang- sin a .sin (a + l -P, -;- c h cos 2 - f 2 et tâchons de déterminer a et oc, connaissant p , q et S. Comme la seconde de ces relations ne renferme que l’inconnue a, elle peut servir à la déterminer5 après quoi, la première fera connaître l’inconnue a en valeur réelle, si la quantité a. est susceptible elle-même d’une valeur réelle. Nous n’avons donc à nous occuper que de la résolution , par rapport à ce, de la seconde relation, qui revient d’ailleurs à celle-ci : (0 sina.sin(a-f- 8 ■ (7C0S 2 - f 1 2 Pour déterminer l’angle a d’après cette équation, il faut faire subir à celle-ci une transformation. La Trigonométrie donne la formule . 1 , 7 , . 1 . 7 , cos b — cos a sin - [a — è).sin-(« + b) =---, et, si l’on pose a — b— 2 a, a -f- b = 2 a-h 26 , d’où l’on déduit en ajoutant, puis en soustrayant, 11 2 et —f— 6 , b 8 , la formule ci-dessus devient . , cosë— cos( 2 a -4- 61 sma.sin a +5) =-;-- : ...... 2 par suite, on a la nouvelle équation cos 6 — cos(2a-t-6î 1 . --- = — q cos 2 - 6 ; 2 2 ce qui donne enfin ( 2 ) cos ( 2 a -p- 8 ) — cos 8 -f- 2 q cos 2 - S : ' 2 44° IDENTITÉ DES COURBES DU SECOND DEGRÉ c’est cette dernière équation qui doit servir à faire connaître a. Elle donne d’abord immédiatement l’angle 2 oc -(- 6, puisque 6 et q sont connus; retranchant 6, puis divisant par 2 , on obtiendra finalement la valeur de a. Mais pour que l’angle 2 a: H- 6 (et par conséquent a) soit susceptible d’une détermination réelle, il faut que le cosinus de cet angle, ou sa valeur cos 6 4- 2 q cos 2 ^ ë, ne soit ni supérieur ni inférieur à ses deux limites + i et — i ; c’est-à-dire que l’on doit avoir cos ë -+- 2 q cos 2 — § < i et — i. 2 — = Analysons chacune des deux inégalités, en leur faisant subir une nouvelle transformation. On connaît la formule cos ë = cos 2 - ê — sin 2 -6 = 2 cos 2 - ê — i : 2 2 2 de là on déduit, pour la première inégalité, 2 COS 2 — ë — I 4- 2 q COS 2 - ë I : 2 1 2 ^ ou (i+ < 7 )cos 2 -ë<;i, —-—-5 cos 2 - 6 2 ou bien, remplaçant —-—- par sa valeur i tang 2 - ê, COS 2 — ë 2 2 (3) «/< tang 2 -^. La seconde inégalité devient, par la même substitution, ET DES SECTIONS CONIQUES. 44 « ou bien, divisant par cos 2 ^ 6, (4) H-< 7 >o. Cela posé, considérons successivement chacune des trois courbes. Pour la parabole, on a q = o ; les inégalités (3) et (4) se réduisant alors à o < tangué, i>o, sont évidemment satisfaites d’elles-mêmes. Ainsi une parabole et un cône droit étant donnés, il est toujours possible de trouver un plan dont l’intersection avec le cône produise la courbe donnée. S’il s’agit d’une ellipse, comme q est négatif, l’inégalité (3) est satisfaite. On a d’ailleurs (n°146) B 2 ■7 = -^ d’où i + y = i — - = — — ■- , (A étant > B). Il en est donc de même de l’inégalité (4). Ainsi, une ellipse et un cône étant donnés, il est toujours possible de trouver un plan qui coupe le cône suivant la courbe donnée. Quant à I’hyperbole, comme q est positif t l’inégalité (4) est satisfaite d’elle-même. B 2 Mais l’autre devenant, par la substitution de -+--r, à la i A 2 place de q , B 2 i „ - est indépendant de la distance a du plan sécant B au sommet du cône, ce qui prouve que - est constant pour toutes les hyperboles dont il est ici question. L’un de ces plans passant par l’axe lui-même, détermine sur la surface conique deux génératrices dont l’aiigle est égal à celui des asymptotes. Maintenant, considérons djv second système de plans parallèles entre eux, mais non parallèles à l’axe, et tel qu’il donne encore lieu à des hyperboles. L’angle des asymptotes de ces hyperboles est aussi constant et égal à l’angle des deux génératrices déterminées par celui des plans de ce système, qui passe par le sommet du cône. Or ce nouvel angle est nécessairement moindre que celui dont le plan contient l’axe; car dans Y angle trihdre formé par l’axe et les deux génératrices dont nous venons de parler, l-’angle de celles-ci est moindre que Ja somme des angles qu’elles forment avec l’axe, somme qui est égale à S ou à Y angle au sommet du cône. D’où l’on voit que le maximum jles angles que forment '' T ' ET DES SECTIONS CONIQUES. 443 entre elles les asymptotes de toutes les hyperboles qu’on peut obtenir sur la surface d’un cône droit, est Vangle de deux génératrices opposées , ou l 'angle au sommet du cône, et qu’ainsi il n’est pas possible de placer sur un cône droit une hyperbole dont les asymptotes font un angle plus grand que l'angle au sommet de ce cône. 358. De la section antiparallèle ou sous-contraire DANS LE CÔNE OBLIQUE A BASE CIRCULAIRE.-- L’inlCr&CC- tion d’un cône oblique h base circulaire par un plan, donne également lieu aux trois courbes du second degré; mais elle offre une particularité, c’est que l’on peut obtenir un cercle au moyen de deux systèmes différents de plans parallèles : ce qui n’est pas possible dans le cône droit. Pour faire ressortir immédiatement celte propriété, il est d’abord indispensable de prendre le plan sécant dans une position spéciale que nous allons déterminer. Du sommet S abaissons SR perpendiculaire sur la base; Fig. i83. et par SC, SR conduisons un plan (appelé plan principal ) qui coupe celui de la base suivant la droite indéfinie GCB représentant la projection de l’axe sur la base. Elevons ensuite en un point quelconque G de GCB, et dans le plan de la base, la droite LL/ perpendiculaire à GC; c’est cette droite LL’ qu’il faut prendre pour la trace du plan sécant. L’intersection de ce plan avec le plan principal est une droite quelconque GOX; et la courbe OMO' M' produite par ce même plan sur la surface conique est celle dont il s’agit de former l’équation. Prenons OX pour l’axe des abscisses, et pour axe des y la droite OY parallèle à LL'; puis, par un point quelconque P de OX, conduisons un plan parallèle .à la base, ce qui détermine une circonférence de cercle dont le diamètre est IH, et l’intersection avec le plan sécant une droite MPM / , parallèle à OY et à LL', et par conséquent perpendiculaire à la fois à 1H et tà OX (puisque LL' est en même temps perpendiculaire à GC et à GX, d’après les principes de Géométrie). 444 IDENTITÉ DES COURBES DU SECOND DEGRÉ Kio. i 83 . Puis, posons OP = x, MP = y, SO = «, angSOO'=a, angOSO' ou ASB = ê, angSAB = 7. MP ôtant une ordonnée du cercle, on a d’abord 7*= IPX PH, et il faut calculer IP et PH. En opérant comme au n° 355 , on obtient successivement „„ x sin a IP = —-, siD y 00 ' = tl si 11 ë sin (a -+- 6) ' PO' = a sin 6 sin (a -P 6) et, par suite, PII a sin 6 — x sin (a -t- ë)_ sin (6-+-7) ’ d’où, substituant dans l’expression de j’, a sin a. sin 6 sin a sinfa + 6) „ J sinysin(ê + 7) sin7 sin (6 + 7) Comme il résulte des constructions indiquées ci-dessus, que les axes auxquels la courbe est actuellement rapportée sont rectangulaires, il s'ensuit (n° 85 ) qu’elle deviendra une circonférence de cercle si l’on fait en sorte que le coefficient de .r*. qui est ici précédé du sigue—, soit égal à l’unité. Or 011 arrive à ce résultat, soit en posant x = 7 , soit en posant x = 180* — (6 -h 7). Car la première hypothèse donne sin -I- €) = sin '6 -t- 7 ), d’où sin a sin (a -+- €'_ sin7 sin (S -h 7) ’ la seconde donne sin« = sir. -t- 7}, puis 7=180* — d'où SÙJ7 = su v a ET DES SECTIONS CONIQUES» 445 et, par suite, sin (ê + 7) X sin a ■ 6 ). sin 7 en sorte qu’il ne reste plus qu’à traduire sur la figure ces deux conditions a = 7, a=i8o°—(6 + 7). La première, qui revient à SOO' = SAB, indique que le plan sécant doit être parallèle au plan de la base. La seconde exprime que l’angle SOO' doit être égal à l’angle SBA, puisque SBA — 180°— (o y). Cette autre section circulaire porte le nom de section antiparallèle ou sous-contraire. On fait usage de cette propriété dans la construction des mappemondes. 359 . Pour obtenir l’équation la plus générale d’une Fie. 18/f. section faite par un plan dans le cône oblique à base circulaire, on opère de la manière suivante : Soit LL' la trace du plan sécant sur celui de la base. Abaissez du centre G de la base une perpendiculaire CG sur LL'; puis conduisez suivant l’axe SC et la perpendiculaire CG un plan qui coupe la surface conique suivant deux droites SA', SB'; concevez ensuite par LL' un plan quelconque dont l’intersection avec le plan A'SB' est une droite GOX, et qui détermine, comme précédemment, une courbe telle que OMO'M'. En prenant pour axes les droites OX et OY parallèle à LL', et conservant les mêmes notations que précédemment, on parvient à une équation tout à fait identique; mais il y a cette différence, c’est que l’ordonnée MP du cercle 1 M 1 I est bien perpendiculaire au diamètre 111, mais 11e l’est pas à l’axe 00 '; en sorte que la courbe OMO'M' se trouve rapportée à un système à’axes conjugués dont l’origine est placée à l’une des extrémités d’un diamètre. Quoi qu’il en soit, il n’en est pas moins démontré que riuterseclion du cône oblique à base circulaire par un plan donne également lieu aux trois courbes du second, degré. » 446 DES SECTIONS CONIQUES SEMBLABLES. Des sections coniques semblables. 360. On appelle sections coniques semblables toutes les courbes que l’on obtient en coupant un cône par une série de plans parallèles entre eux. La considération de ces sortes de sections est une suite naturelle de la remarque du n° 357. En effet, s’il s’agit d ’ellipses ou d’tiYPERBOLES, comme dans l’équation générale des sections coniques (n° 335), le coefficient de x 2 a (n° 146) pour expression _ + A 1 ’ on voit que, pour un même système de plans parallèles, le rapport B est constant , et que, par suite, les courbes correspondantes ont leurs axes proportionnels ; ce qui (n° 352) constitue la définition des ellipses ou des hyperboles semblables . Quant à la parabole , comme on ne peut l’obtenir qu’eu coupant le cône par des plans parallèles à l'une des génératrices, il s’ensuit que toutes les sections paraboliques, dans un cône donné, sont semblables ; ce qui confirme la proposition précédemment établie (n° 353), que toutes les paraboles sont semblables . Mais ce qu’il importe de remarquer, c’est qu’en général on ne saurai t obtenir des ellipses ou des hyperboles semblables que parles sections planes faites dans des cônes semblables, c’est-à-dire dans des cônes engendrés par des triangles rectangles semblables ou ayant même angle au sommet ,• tandis que toutes les paraboles auxquelles donnent lieu les intersections planes des cônes ayant des angles au sommet différents, sont nécessairement des courbes semblables. De la section plane dans un cylindre droit ou oblique à base circulaire. 361. Recherchons maintenant ce que donne l’intersection d’un cylindre par un plan. DES SECTIONS CYLINDRIQUES. 44? Nous considérerons d’abord un cylindre oblique et un plan tout à fait arbitraire. Soit un cylindre ayant pour plan principal le parallélo- Fig. i85. gramme ABB'A' ; ce plan est déterminé par l’axe CC' et la projection de l’axe sur le plan de la base; d’où il résulte qu’il est perpendiculaire à cette base. Désignons par LL' la trace d’un plan quelconque sur la base, et abaissons du point C une perpendiculaire CG sur LL' ; puis conduisons un plan selon CG et CC' : ce nouveau • plan détermine sur le cylindre une section abb' a', et sur le plan sécant une certaine droite GOO'X que nous prendrons pour axe des x \ l’axe des y sera une droite OY parallèle à LL'. Par un point quelconque P de OX, concevons une section parallèle à Ja base, et par conséquent circulaire; le plan de cette section coupera ab b'a' suivant une droite IPH parallèle à GC. Posons enfin OP = x, MP=.r, ang«'OX = a, angO«C = y, et appelons 2/’le diamètre de la base. Puisque MP, ligne commune au plan de la section circulaire et de la section dont.nous cherchons l’équation , est parallèle à OY et à LL', et que, par construction, LL' est perpendiculaire à CG, il s’ensuit que MP est aussi perpendiculaire au diamètre IH de la section circulaire, et peut être considérée comme une ordonnée à ce diamètre; et l’on a MP 2 = IP x PH. Mais le triangle OIP donne IP : OP :: sinlOP : sinOlP, ou IP ; x :: sina : siny; donc _ oc sin a siny ’ PH = IH — IP =27 — siny et, par suite, 448 DES SECTIONS CYLINDRIQUES. Fig. i 85 . d’où, en substituant dans la relation ci-dessus, ou bien, 0) x sin a / sin a. \ r 2 = -:- I 2 r — X - - 1 > sin 7 \ sin 7/ 2 r sin a ÿ 1 — — : - x sin 7 sm ! « —- x 1 , sin 2 7 équation dans laquelle le coefficient de x 2 est essentiellement négatif. Donc la courbe d’intersection est toujours une ellipse. Fig. i86. Si maintenant on considère un cylindre droit, on a sin 7 = i j et Inéquation (i) devient (2) jr 2 = 21 sina.x— x 2 sin 2 a; résultat qu’on peut obtenir directement. Comparons l’équation (2) à celle de l’ellipse rapportée à l’un de ses sommets et à son grand axe comme axe des ,r, savoir (n° 144 ) : y 3 = il vient les deux relations B* . B 2 . — =r.sinx, — ='Sin 2 a, A ■ A 2 d’où l’on déduit, en divisant la première par la deuxième, r . A = -— , et, par suite, B = r; smx ce qu’il est facile de vérifier au moyen de la figure. En effet, soient (XL le grand axe et 00' le petit axe ; si, par le point O, on mène OR parallèle à ÀB, et que des points o, o' , on abaisse les perpendiculaires ok, o'k' sur le plan de la base', on a premièrement OK = 00'. cos 0' OR = 00'. sin « ; d’où 00'= 2 A — -rj*"' Slll K En second lieu, la droite 00' étant parallèle à OY et a LF/, est parallèle au plan de la base, et se projette dans sa véritable grandeur suivant le diamètre /i/d; d’où résulte 00 — 2 B = 2 r, ou B = r. DES SECTIONS CYLINDRIQUES. 419 362 . Première remarque. — Si, comme pour le cône Fie. droit, on conçoit que le plan sécant tourne autour du point O, supposé fixe, de manière à former tous les angles possibles depuis o jusqu’à 180degrés, il est visible que, tant que le plan rencontrera la génératrice opposée à AA', on obtiendra une courbe rentrante et fermée qui, ainsi qu’on vient de le prouver, est une ellipse. Mais, dans les deux cas particuliers de a = o, « = i8o°, ce qui donne sin a. = o, l’équation se réduisant à y* = o représente une seule ligne droite ou une variété de la parabole, qui n’est elle-même autre chose (n° 144 ) qu’une ellipse infiniment allongée ou dont le grand axe est infini. Il y a plus : si l’on imagine que le plan sécant, mené suivant la génératrice AA', se meuve parallèlement à lui-même et à AA', et de manière que sa distance à cette droite soit inférieure au diamètre AB de la base, il est évident que l’intersection de ce plan avec la surface cylindrique sera un système de deux droites parallèles ,• résultat que ne semble pas comporter l’équation (2). Mais 011 va voir que, par une simple transformation de coordonnées, 011 peut faire en sorte que l’équation de la section cylindrique comprenne ce système comme cas particulier. Pour cela, il suffit de transporter l’origine des coordonnées au point G, en posant x = x — OG dans l’équation (2) : ce qui exige qu’on évalue d’abord la distance OG. Or, si l’on désigne par a la longueur CG qui exprime la distance du centre de la base à la trace du plan sécant sur cette base, on a , „ „ AG a — r AG = a — r, d ou OG = -— „ - = — : . sinGOA sin a 186. a — r\ sm-a | x - ; —— )•> Pa r suite, l’équation (2) devient , • ( a — y — 2 r sin a I ,r- : — \ sin ou développant, .r’—2 r sin a.a; —2 r(a —/•)—sin ! a. r 2 -+-2 (a — r ) sin a. v —( a —/■)*. Ap. du î'.if, à ta G, 2Q 450 DES SECTIONS CYLINDRIQUES. Soit fait maintenant a = o ; on trouve — 2 7 - {a — r) — (a — rf, ou réduisant, r s = —K —^); d’où y = ± yV 2 — a 2 . Ce résultat prouve évidemment que, tant que l’on aura a /•, la section cylindrique sera un système de deux droites parallèles ; pour a = r, on a y — o, ou une seule droite ; et pour a r, un système de deux droites imaginaires. ‘ Le cylindre pouvant être considéré comme un cône dont l’angle au sommet S devient nul, il en résulte que ces trois variétés sont implicitement comprises dans les sections coniques : ce qu’on aurait pu reconnaître directement par une transformation de coordonnées , exécutées sur l’équation ( 2 ) du n° 355. 363. Seconde remarque. ■ — Le cylindre oblique , comme le cône oblique, donne lieu à deux systèmes de sections circulaires ; il suffirait, pour le démontrer, d’opérer comme on l’a fait au n° 358 : mais nous ne croyons pas devoir insister sur ce point. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 4% 1 SECONDE SECTION. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. CHAPITRE X. DU POINT, DE LA LIGNE DROITE ET DU PLAN DANS L’ESPACE. § I er . - Du POINT ET DE LA LIGNE DROITE. Équations du point. 364. De même qu’un point est déterminé de position sur un plan par le moyen de ses distances à deux droites menées à volonté dans ce plan, de môme sa position est fixée dans l’espace, dès que l’on connaît ses distances à trois plans. Soient trois plans YAZ, XAZ, XAY, que nous suppo- Fie. serons d’abord perpendiculaires entre eux, et qui se coupent suivant trois droites AZ, AY, AX, dont chacune est nécessairement perpendiculaire aux deux autres. Appelons a , b , c les distances d’un point de l’espace à ces trois plans, distances qui sont censées connues; je dis que le point est complètement déterminé de position, en admettant toutefois qu’on sache aussi d’avance que ce point se trouve situé, par exemple, dans l’intérieur de l’angle trièdre AXYZ. En effet, prenons sur les trois droites AX, A Y, AZ des distances AB, AC, AD, respectivement égales à a, h , c; et menons par les points B, C, D des plans parallèles aux plans donnés. D’abord, puisque les deux premiers plans parallèles ont leurs points respectivement placés aux distances a, &, des plans YAZ, XAZ, il s’ensuit que tous les points de M /», intersection commune de ces plans parallèles, 2 9 * 45a ÉQUATIONS DU POINT DANS l’eSPACE. Fig 187. jouissent, exclusivement à tout autre point, de la propriété d’être à ces mêmes distances de YAZ et de XAZ. Donc déjà le point cherché se trouve sur cette ligne. D’un autre côté, le point doit aussi être situé quelque part sur le troisième plan parallèle, puisque les points de ce plan sont, à l’exclusion de tout autre point, à la distance AD = c, du plan XAY. Donc enfin le point cherché n’est autre chose que le point M où le troisième plan parallèle coupe l’intersection commune des deux premiers, et sa position est tout à fait déterminée. Nous conviendrons de désigner par x les distances au plan YAZ comptées sur AX, par y les distances au plan XAZ comptées sur AY, et par z les distances au plan XAY comptées sur AZ, en sorte que les droites AX, AY, AZ, intersections des trois plans deux à deux, seront les axes des x, des y et des z. On les appelle conjointement axes coordonnés , et les distances dont nous venons de parler sont dites les coordonnées du point. Toutes ces dénominations sont analogues à celles que nous avons employées dans la Géométrie a deux dimensions. Nous nommerons aussi plan des_yz, le plan YAZ perpendiculaire à l’axe des x \ plan des xz, le plan X AZ perpendiculaire à l’axe desjq et plan des xy, le plan XAY perpendiculaire à l’axe des z. Ce dernier plan est ordinairement représenté dans une position horizontale , et les deux autres dans une position 'verticale. Il résulte de ce qui vient d’être établi, que les équations x — y = b, z — c ( a , ù, c, étant des quantités connues) suffisent pour fixer la position du point dans l’espace ; elles sont, pour celle raison, nommées les équations du point. On doit remarquer toutefois que, comme les trois plans coordonnés, étant prolongés indéfiniment, déterminent huit angles tricdres, savoir, quatre formés au-dessus du plan des xy et quatre au-dessous de ce même plan , il fau £ équations ou point dans l’espace. 453 encore exprimer par l’analyse dans lequel de ces huit angles le point se trouve situé. Il suffit, pour cela, d’étendre aux distances à des plans les principes qui ont été établis (n° 27) pour les distances à des points ou à des droites; c’est-à-dire que, si Von regarde comme positives les distances comptées sur AX, dans un certain sens AX par rapport au point À, on doit regarder comme négatives les distances comptées en sens contraire , c’est-à-dire dans le sens AX'. Même raisonnement pour les deux autres coordonnées. On doit donc distinguer (n° 46) dans les quantités a., b . c non seulement les valeurs numériques de ces quantités, mais encore les signes dont elles sont atïëctées, eu égard aux diverses situations que le point peut avoir dans les angles trièdres formés par les trois plans coordonnés. D’après ce principe, on a , pour exprimer complètement la position d’un point dans l’espace, les huit combinaisons suivantes : x= + a,y= + b,z = -\-c, point situé dans l’angle AXYZ, x= — a, y — -H b, z = —(— c, . AX'YZ, x = ■+■ a, y — — b, z — + c .,. AXY' Z, . x — + a,y=:-{-b,z =— c, . AXYZ', x = — a, y = — b, z — -+- c, . AX'Y'Z, x = —-a, y = + b, z:= — c, . AX'YZ', x = + a,y = — b,z = — c, . AXY'Z', x~ — a, y = — b y z — — c, .AX'Y'Z'; ce qui donne deux systèmes dans lesquels les signes des trois coordonnées sont les mêmes, trois qui ont un signe négatif et les deux autres positifs, et trois pour lesquels un signe est positif et les deux autres négatifs. 365. Le point peut, d’ailleurs, se trouver dans des positions particulières. Par exemple, pour exprimer qu’un point est situé dans le plan des xj, il faut écrire que sa distance z a ce plan est nulle - et l’on aura pour les équations de ce point, x=a, y—b, z = o; 454 ÉQUATIONS DU POINT DANS l’eSPACE. De même, un point placé sur l’axe des x , pour lequel les distances aux plans des xz et des xy sont nulles à la fois, aura pour équations, x — a, y=o, z— o; et ainsi des autres points placés, soit sur les plans, soit sur les axes coordonnés. Fig. 187. 366. Première remarque. — Les plans parallèles aux trois plans coordonnés, et qui ont servi à fixer la position du point M, déterminent avec ceux-ci un parallélipipède rectangle, dont les douze arêtes, égales quatre à quatre, ne sont autre chose que les trois coordonnées x,y, z du pointM. D’un autre côté, on, sait que les pieds ni, m 1 , m", des perpendiculaires abaissées sur les plans coordonnés, sont, en terme de Géométrie descriptive, les projections du point M sur ces trois plans. D’après cela , si l’on suppose que x = a, y — b, z = c soient les équations du point M , on a pour les coordonnées du point m, les équations x = a, y —b-, pour celles du point m', x =r a, z = c-, ce qui donne pour celles du point m ", y = b, z = c. D’où l’on voit que les projections du point M sur Jeux des plans coordonnés étant connues, la troisième projection en est une conséquence. 367. Seconde remarque. — On peut expliquer pourquoi , dans la Géométrie descriptive, il suffit de deux plans de projection pour fixer la position d’un point, tandis que dans la Géométrie analytique il faut trois plans coordonnés. La connaissance des projections d’un point sur un plan horizontal et sur un plan vertical est en effet suffisante DISTANCE ENTRE DEUX POINTS DONNÉS. 455 pour les constructions graphiques ; mais si l’on veut fixer analytiquement la position de chacune de ces projections , par exemple des points irt, m', il faut, premièrement , tracer dans le plan horizontal [xy) deux axes rectangulaires AX, AY; secondement, tracer dans le plan vertical (xz) deux axes AX, AZ, en prenant, pour plus de simplicité, pour axe commun l’intersection des deux plans de projection. Or il est évident que les deux axes AY, AZ, déterminent un troisième plan rectangulaire avec les deux autres. Ainsi, géométriquement deux plans suffisent, mais analytiquement il en faut trois. 368. Lorsque les plans coordonnés ne sont pas rectan- F 10, gulaires, auquel cas les axes AX, A Y, AZ font entre eux des angles quelconques et sont dits des axes obliques, les équations d’un point M sont encore x=za, y — b, z = c. Mais alors a,b,c expriment des distances comptées parallèlement à ces axes ; et les projections du point M s’obtiennent par les lignes Mut, M/n', M m", respectivement parallèles à AZ, AY, AX. Du reste, tout ce qui a été dit dans les précédents numéros est applicable au cas où les axes sont obliques. Expression de la distance entre deux points. 369. La recherche de cette expression est, comme celle Fig. relative à deux points donnés sur un plan (n° 48), une question essentielle. Soient x', y 1 , z' les coordonnées d’un premier point M, x", y", z" celles d’un second point N, rapportées d’abord à trois axes rectan gui aires AX, AY, AZ. Si F on abaisse des points M et N les perpendiculaires Mut, Nu sur le plan des xy, puis des points ut, u les perpendiculaires 77/P, 7tQ sur l’axe des x, il résulte de la remarque (n° 366) que l’on a AP = a/, Mm = z', et AQ = x", «Q = y", N« = z". Tirons ensuite mu, ce qui détermine un trapèze MN/t/u; 456 ÉQUATIONS DE LA LIGNE DROITE DANS l’esPACE. Fig. 189, et menons dans le plan de ce trapèze NH parallèle à nm, puis, sur le plan de xy, n L parallèle à .AX. Cela fait, les triangles rectangles MXH et m «Ldonnent MN = NH H- MH = mn -+- MH y et mn = n L + m L = PQ ni L 5 d’où l’on déduit MN=.PQ + «ÏlV MH 3 . Mais on a évidemment PQ =r J-' — x", mL =/-/', MH = z' — s"; d’où PQ =(*'_*")>, Mh’= (z'- z")’; donc enfin mtTou d’=(^' — x"y + (y—yy-p (z'—z")% et, par conséquent, d = ~ x" y + (/ - y"y + (z r - z" y. Telle est l’expression générale de la distance de deux points en fonction des coordonnées de ces points rapportés à des axes rectangulaires. Nous verrons plus loin quelle est l’expression de cette distance lorsque les axes sont obliques. N. B. — Cas particulier. —Si l’on suppose l’un des deux points à Yorigine, la valeur de D devient D= \Jx"-P y"-P z'\ Équations de la ligne droite. 370. Lorsque des points sont en ligne droite dans l’espace, on sait que leurs projections sur un même plan sont aussi en ligne droite; et cette seconde droite est dite la projection de la première sur ce plan. On sait encore que les projections d’une droite sur deux plans suffisent pour déterminer sa position; d’où il suit qu’une droite serait fixée analytiquement si l’on connaissait les équations de ses projections sur deux des trois plans coordonnés. Ordinairement, on considère les projections de la droite ÉQUATIONS DF. LA LIGNE DROITE DANS L ESPACE. 437 sur les plans des xz et des yz ; et comme ces deux plans ont pour axe commun AZ, c’est cette ligne qui, dans chacun des plans, est regardée comme l’axe des abscisses; AX est alors l’axe des ordonnées sur le plan des xz, et AY l’axe des ordonnées sur le plan des yz. Ainsi, soient MN une droite quelconque dans l’espace, Fig mn, m'n' ses projections sur les plans des xz et desjpz; nous présenterons les équations de ces deux projections sous la forme ( 1 ) x = az + a, ( 2 ) y = bz 4- 6 ; a, b sont des constantes qui (n° 51 ) désignent les tangentes des angles que forment mn, m'n' avec l’axe des z ; et «, 6 expriment les distances de l’origine aux points où ces droites renconti’ent l’axe des x et l’axe des y. 371. Il est à remarquer que l’équation x — az -)- a exprime non-seulement une relation entre les x. et les z de tous les points de la droite mn, mais encore une relation entre les x et les z de tous les points du plan mraNM imaginé par mn, perpendiculairement au plan des xz ; car, pour tout point M de la perpendiculaire «M à ce plan, les coordonnées x et z sont (n° 306) représentées par mP, AP, qui appartiennent aussi à la droite mn. Pareillement, l’équation y = bz 6, convient non-seulement à tous les points de la projection m'n', mais encore à tous ceux du plan m'u'NM mené perpendiculairement au plan des yz par la droite m'n'. Donc le système de ces deux équations existe pour tous les points de la droite MN, intersection des plans perpendiculaires, et n’existe que pour ces points. Ces équations sont, en ce sens, les équations de la droite elle-même , quoique, d’abord, nous ne les ayons établies que comme celles des deux projections. Il résulte debà évidemmentquel’éliminationdelavariable 458 ÉQUATIONS DE LA LIGNE DROITE DANS L’ESPACE. Fie. 190. z entre les deux équations donne lieu à une troisième équation en x et y, qui représente la projection m" n" de la droite sur le plan des xy ; ou plus généralement, cette équation appartient à tous les points du plan MIN n"m" mené par la droite MN perpendiculairement au plan des xy. 372 . Cas particuliers . — Lorsque la droite passe par l’origine, ilenestde même de ses projections ; ainsi (n° 370 ) les distances a, 6 sont milles, et les équations de la droite se réduisent à x=iaz, y — bz. Il peut arriver que la droite soit située dans l’un des plans coordonnés, par exemple dans le plan des xz. On a alors , pour tous les points de cette droite, y~ o , et les équations deviennent x ~ az a., y ~ o ; c’est-.à-dire que, dans ce cas, on doit avoir b = o et 6 = o : ce qui est évident d’ailleurs, d’après la figure, puisque la projection de la droite sur le plan desj'z se confond avec l’axe des z. Même raisonnement par rapport aux deux autres plans coordonnés. 373 . Tant que les constantes «, Z>, «, 6 sont données h priori , la droite est complètement déterminée déposition. Pour en obtenir les différents points, il suffit de donner, dans les deux équations x = az - t-a, y—bz- f-ê, à la variable z par exemple, une valeur particulière z': ce qui entraîné pour chacune des deux autres, x et j', une valeur correspondante, savoir : x' = az' -P a, y' = bz' + 6. Fig. 190. Prenant alors sur AX une distance AP = x 1 , 011 mène P m" parallèle à AY et égale à y'\ puis au point m" on conçoit une perpendiculaire au plan des xy qui soit égale h z', QUESTIONS PRÉLIMINAIRES SUR LA LIGNE DROITE. . 4^9 et le point M ainsi déterminé appartient à la droite. On obtiendrait de la même manière tous les autres points. Mais on peut se proposer de déterminer les constantes a , b , a, 6, d’après certaines conditions ; ce qui donne lieu à une série de problèmes en trois dimensions, analogues à ceux que nous a présentés la ligne droite considérée sur un plan. Questions préliminaires relatives à la ligne droite. 374. Première question. — Trouver les équations d’une droite assujettie à passer par deux points donnés. Appelons x', y\ z’ les coordonnées du premier point, x 11 , y n , z" celles du second point. Les équations de la droite cherchée seront d’abord de la forme (1) x — az a., ( 2 ) ' y—b z-t-ë, n, b, a, ê étant des quantités inconnues pour le moment. Or les points (x', y', z '), [x", y ", z”) appartenant à la droite, leurs coordonnées doivent vérifier les équations ( 1 ) et ( 2 ), et l’on a les quatre relations (3) x’ = az’ + a, (4) y’—bz'-y- g, (5) X - CIZ —GC , (6) y”= bz"+ ê. En appliquant à ces six équations la méthode du n° 57, on trouve successivement d’oti x — x’=a(z — z'), x' — x"—a{yl —z"), y—y=b{z — z'), y’ — y"— b (z' — z"); et, par conséquent, y — y .y —y Ces deux dernières équations, qui ne renferment plus 46*0 QUESTIONS PRÉLIMINAIRES que les variables x, y, z, et les quantités connues ai', y', z', x", y ", z", sont les équations cherchées. JY. B. .— Quant aux équations x — x'—a (z — z'), y—y'=b(z — z'), obtenues dans le cours du calcul, elles caractérisent une ligne droite passant par le point [x ! ,y', z'), puisqu’elles sont satisfaites par les hypothèses X = x', jr=f, Z — z!. Les quantités a, h, se déterminent ensuite au moyen d’une seconde condition que l’on peut imposer à la droite; dans le problème précédent, cette condition consiste à faire passer la droite par un second point. 375. Deuxième question. — Par un point donné hors d’une droite, mener une parallèle à cette droite. Désignons par x', y ', z', les coordonnées du point donné; et soient x = az -|- a, y — bz + S les équations de la droite aussi donnée. Celles de la droite cherchée sont (n° 37L) de la forme x — x' ~ a' ( z — z' ), r-y=b'(z-z'), a 1 , //, étant des quantités qu’il s’agit de déterminer. Or, puisque les droites sont parallèles, les plans qui les projettent respectivement sur les deux plans des xz et des yz doivent être parallèles; donc les intersections de ces plans parallèles avec les plans coordonnés, c’est-à-dire les projections des deux droites, sont elles-mêmes parallèles. Ainsi l’on a nécessairement (n° 59) les relations a' — a, b' = b ; ce qui donne finalement pour les équations de la droite cherchée , — x'=a(z — z'), y-y=b( z—z'). X Sim LA LIGNE DROITE. 4*51 376. Troisième question. —Deux droites étant données par leurs équations, exprimer par Vanalyse que ces droites se rencontrent, et trouver, dans ce cas, les coordonnées de leur point d’intersection. Soient (i) x—az + a., ( 2 ) y = èz-)-g, et (3) x = a'z-ha!, (4) y—b'z + %, les équations des deux droites. Si elles se coupent, les coordonnées de leur point d'intersection doivent vérifier à la fois les quatre équations ci- dessus : ainsi ces coordonnées ne sont autre chose que les valeurs de x, y , z, propres à satisfaire en même temps à ces équations-, et comme on a trois inconnues à éliminer entre quatre équations, on doit nécessairement parvenir à une relation entre les constantes a, b, a, o, a 1 , b', a!, S'. Les équations (i) et (3), ( 2 ) et (4), retranchées successivement l’une de l’autre, donnent o — (a — d’où ex !— a') z 4 - a — a', z = - a — 1 II O b’) z- h g — g', d’où g'— z== b- Or ces deux valeurs de z doivent être égales; on a donc ou bien (5) —(g'_ ê) (a - a') = o. Telle est la relation qui doit exister entre les constantes, pour que les deux droites se coupent. En supposant que cette relation soit satisfaite, on obtient pour les coordonnées du point d’intersection , b —b’ et y: b&— S b' b — b' Soit, comme cas particulier, a — a!, b = b ce qui signifie (n° 375) que les deux droites sont parallèles ; l’équation (5 ) est satisfaite, et les valeurs de x, y, z , se réduisent à la forme — > résultat analogue à celui du n° 61. o 462 QUESTIONS PRÉLIMINAIRES 377. Quatrième question. — Deux droites étant données par leurs équations, déterminer Vangle qu'elles forment entre elles. Soient x—az- (-a, y — bz - (-ê, et x — a'z ■+• a', y = b'z les équations des deux droites. Il peut se présenter deux circonstances : ou les droites se coupent, auquel cas l’équation de condition du numéro précédent est satisfaite ; ou bien, elles ne se rencontrent pas. Dans l’un et l’autre cas, si d’un point quelconque de l’espace on conçoit deux autres droites respectivement parallèles aux droites données, c’est l’angle formé par ces parallèles qu’il s’agit de déterminer. Fig. igi. Pour plus de simplicité, nous prendrons le point dont nous venons de parler, à l’origine même des coordonnées. Soient donc AL, AL' des parallèles aux deux droites, on a (n os 372, 37o) pour leurs équations, (1) x — az , y=bz, et (2) x—a'z, y — b'z. Pour obtenir l’angle LAL', prenons sur les côtés de cet angle deux parties AM, AM', égales à 15 puis joignons les points M et M', dont nous désignerons d’ailleurs les coordonnées par x ', j - ', z', etx", y", z". Cela posé, en appelant Dla distance MM', on a (n° 369), pour l’expression de cette distance, D’ = (x' - x”Y + (y -y" y + (*' - z " y, ou développant, et observant que les coordonnées du point M et celles du point M'sont liées (n° 369, JY.B.) par les relations (3) x ' 2 + y ,% -\- z ' 7 = 1, (4) x ’’ 2 +y" i -1- z" 2 = 1, D J = 2 — 2 ( x'x" -4- y'y” -+- z'z" ). SUR LA LIGUE DROITE. 4^3 D’un autre côté, le triangle AMM' donne, d’après un principe de trigonométrie, cosMAM' ou cosV = AM 2 + AM' 2 — MM' 2 2AM X AM' ou, mettant pour D 2 sa valeur dans cette expression, (5) cos V = x'x" + y'y" 4- z'z". Donc tout se réduit à obtenir les coordonnées ,r', y', z', et x", y", z ", en fonction des constantes a, b, a', b'. Or le point (x', y', z ') se trouvant sur la droite AL, ses coordonnées doivent vérifier les équations (i) ; ainsi l’on a les deux relations x' = az', y' — bz', qui, jointes à la relation (3 ) x’ 2 -yy 2 4 - z' 2 — i, suffisent pour déterminer les trois quantités x', y\ z'. Portons dans cette dernière relation les valeurs dex' et de y' tirées des deux premières ; il vient [a 2 4 - b 2 + i) z' 2 = i, d’où z' = - — 1 ; . (Nous supposons ici les équations résolues par rapport à z , parce que les deux traces doivent passer par un point D, dont le z (ou p ) est commun aux seconds membres de ces équations.) Cela posé, considérons la trace DC dans une situation quelconque, D'C' par exemple; on a nécessairement (n° 37o), pour les équations de cette droite parallèle à DC, (3 ) x = a, 3 = ny ■+■ § ; ÉQUATION DU PLAN. 469 ÿ ., 0 sont des quantités constantes pour tous les points d’une même position D’C’ de la génératrice, mais variables d’une position à une autre D^C". Il nous reste encore à exprimer que la génératrice rencontre dans toutes ses positions la trace DB ; et, pour cela, il faut (n° 376) écrire en analyse que les équations ( 1 ) et (3) ont lieu en môme temps 5 ce qui donnera une relation entre les indéterminées a , 6 et les quantités connues m, n , p. Combinons donc ensemble ces quatre équations. La seconde*des équations (3) devient, à cause delà première des équations (x), Z= g. Portant les deux valeurs x = a, zz= g dans la seconde des équations ( 1 ), on obtient pour la relation demandée, ( 4 ) è ~ ma p. Observons actuellement que, pour chaque position dé la générati'ice, les équations (3) et l'équation (4) doivent être satisfaites simultanément; donc, si l’on élimine entre ces équations les indéterminées a, S, l’équation résultante en .r,jq z, et les quantités connues, appartiendra aussi à tous les points du plan. Or les équations (3) donnant a — x, g — z — ny, l’équation ( 4 ) devient z — ny = mx -f- p, ou bien, (5) z = mx H- ny -}- p. Telle est, en général, l’équation qui exprime la position d’un plan dans l’espace, et qui en est, pour ainsi dire, la représentation analytique. Pour faire concevoir comment cette équation représente chacun des points de la surface plane, supposons qu’on ait pris pour les variables x , y, un système de valeurs x = Ad', y = d'e' ; 47« ÉQUATION DU PLAN. Fig. 192. si du point c' on élève c'E' perpendiculaire au plan des xy, et égale à la valeur correspondante de z, tirée de l’équation (5), le point E', ainsi déterminé, appartiendra au plan, et ne peut appartenir qu’à lui. Même raisonnement pour d’autres valeurs attribuées à x et à y. N, B. — De tons les moyens qu’on emploie ordinairement pour trouver l’équation du plan, nous avons préféré le précédent, d’abord parce qu’il a l’avantage d’être indépendant de l’inclinaison des axes coordonnés, et ensuite parce qu’il s’applique à la recherche des équations d’autres surfaces dont la génération offre de l’analogie avec celle du plan. Nous en verrons des exemples par la suite. 383. Les constantes m,n, p, qui entrent dans l’équation du plan, sont faciles à définir. Ainsi les quantités m et n lie sont autre chose que les tangentes des angles que forment les traces DB, DC, avec les axes des x et des y. Quant à la quantité p, on l’appelle le z à l’origine : c’est la distance de Vorigine au point oh le plan rencontre l'axe des z. Lorsque le plan passe par l’origine, on a P = o, et l’équation se réduit à z = mx 4- ny ; équation qui est, en cflei, vérifiée par x = o,y = 0 , z — 0 . 381. Je dis que, réciproquement, toute équation du premier degré à trois variables , A® + B/ -+- C z 4- D = o, appartient à un plan. En effet, on en déduit Or, si l’on considère deux droites dont les équations soient, pour la première, y— o 471 ÉQUATION DU PLAN. et pour la seconde, x — o, z B C D y- on peut regarder ces droites comme les traces d’un plan sur ceux des xz et des yz ; et si l’on cherche l’équation de ce plan d’après la méthode du n° 382, on trouvera nécessai- rement A B D ' c’ ou bien, (0 Ax-i-By -t- Cz + D = o. Donc, réciproquement, etc. N. B. — Quoique l’équation z — mx + ny + p ne renferme que trois constantes, tandis que l’équation (i) en renferme quatre, elle n’en est pas moins aussi générale que celle-ci, dont le premier membre peut toujours être divisé par l’un de ses coefficients. Mais nous considérerons presque toujours l’équation du plan sous la forme (i), parce qu’elle est plus symétrique, et qu’en outre, lorsqu’on aura à déterminer un plan d’après certaines conditions, comme l’équation (i) renfermera une constante arbitraire de plus que l’équation z — mx + ny -f- p , on en profitera pour introduire certaines simplifications dans les calculs. Cette remarque est très-utile. Faisons successivement x— o,y — o, z ~ o, dans l’équation Ax + B y + Cz 4- D = o; il en résulte, pour x = o, B y + Cz + D = o, poury = o, A x —(— C z — I) —. o, et pour z — o, Aæ-f B y -(- D = o ; ■ ■ '«SiikHil 47a QUESTIONS PRÉLIMINAIRES, ce sont les équations des traces du plan sur les trois plans des yz , des xz et des xy. En posant à la fois X — o, y = o, on obtient D ce qui donne les coordonnées du point où le plan rencontre l’axe des z. O 11 aurait de même D d’où y — B ’ D y — o, z = o, d’où pour les coordonnées des points où le plan rencontre l’axe des y et l’axe des x. 385. On peut faire entrer dans l’équation du plan les distances de l’origine à ces trois points d’intersection; et l’équation prend alors une forme très-élégante. Posons, en effet, AB = — 2- = q, AG A. D il en résulte D s d’où, substituant dans l’équation du plan et réduisant, rs.x + qs.y + qr.z = qrs-, équation analogue à celle qui a été obtenue pour la ligne droite (n° 55), ainsi que pour les équations de l’ellipse et de l’hyperbole, rapportées à leurs axes. Elle ne renferme, comme l’équation z — mx ny -j- p , que trois constantes, mais elle est plus symétrique. Questions préliminaires relatives à la ligne droite et au plan . 386. Nous allons maintenant nous occuper delà résolution d’une série de questions relatives au point, à la ligne droite et au plan, qui, avec celles que nous avons déjà traitées (n os 374 et suivants), constituent ce qu’on appelle les préliminaires de la Géométrie analytique à trois dimensions. SUlt LA LIGUE DROITE ET LE ELAN. 47 3 Première question. — Faire passer un plan par trois points donnés. Désignons par (,r', y'\ z '), (x ,, ,y tl , z"), (x' ,, ,y" l ,z" / ) les coordonnées des trois points, et par j i j A x —{— B y —}— C z —f- D — o , l’équation du plan cherché ; A, B, C, D, sont des constantes qu’il s’agit de déterminer. Puisque le plan est assujetti à passer par les trois points, son équation doit être vérifiée, ^lorsqu’on y remplace successivement x , j, z , par les coordonnées de chacun de ces points ; ainsi l’on a les trois relations kx' H- B y' + Cz' -f- D = o, A x" B y" -+- Cz" + D = o, Ax'" -+- B y"’ + C z'" 4- D = o, qui peuvent être transformées de la manière suivante : D* + D C A B — x A - y" A -z D D J D -z'" D D J D En appliquant à ces relations les formules pour la résolution des équations du premier degré à trois inconnues, et observant que le coefficientD étant tout à fait arbitraire, on peut l’égaler à la quantité qui sert de dénominateur commun aux trois expressionsde^ ? 5.? on trouve, tout calcul fait, r D D D ’ D;— x'd'f'A- z'x"y"’ — y'x" z"’ + y'z" x"’— z'y" x m , A = — /' z'" + z"y’" — z!y"’ -+- y' z’" — y’ z" -+- z'y" , B = — x' z m + ai' z" — z' x" -+- x" z'" — z" x"'+ z' x '", C = — x'y" + x 'y'"—x"y J "A- f x" —y'x'"+y" x"'. Il ne s’agirait plus maintenant que de substituer ces valeurs dans l’équation (i), et l’on aurait l’équation demandée. Soit , comme cas particulier, à faire passer un plan par les trois Fig. 192 points B, C, D, pour lesquels on a les relations d —P, y = 0, z’ — 0, x" = 0, f— q, z"— 0, x'"=. 0 , y= 0, z m = r. 474 QUESTIONS PRÉLIMINAIRES Les valeurs précédentes des coefficients D, A, B, C se réduisent à D =p.q.r, A = — qr, B = — pr, C = —pq; et l’équation devient qr.x + pr.y -f- pq .z=pqr, comme au numéro précédent. 387. Seconde question. — Faire passer un plan par un point et une droite dormes. Soient x'\y', z' les coordonnées du point, ( i ) x = az q- a, y — bz q- 8 les' équations de la droite : celle du plan cherché sera de la forme (a) Axq- By -t- Cz q- D ~ o. Comme ce plan doit passer par le point (x', y', z '), on a pour première relation, (3) Atf'+B/'+Cz'-f-D^ro; d’où, retranchant les équations ( 2 ) et (3) l’une de l’autre, (4) A(æ — x') q-B (/— y') + C (z — z') = o. C’est la forme caractéristique de l’équation d’un plan passant par un point donné ; nous aurons souvent occasion d’en faire usage. Maintenant, il faut exprimer par l’analyse que la droite donnée se trouve tout entière dans le plan cherché; et, pour cela, il suffît d’écrire que les coordonnées x,y, z , de tous les points de la droite vérifient l’équation du plan. Or, en substituant pour x et y leurs valeurs tirées des équations ( 1 ), dans l’équation ( 2 ), il vient A(«z-|-a) + B(ôz-t-6)-t-Cz-t-D = 0 ; ou bien, effectuant les calculs et ordonnant par rapport à z , (A a q- B b -H C ) z q- A x q— B 6 q- D o . Or cette équation doit se vérifier indépendamment de toute valeur particulière attribuée àz; ainsi chacune des quantités A ci q- B b q- C, A a q- B $ q- D, Sun LA LIGNE DROITE ET LE PLAN. 47^ doit être nulle séparément ; et l’on a les deux nouvelles relations (5) ka + Bi + C = o, (6) Aa+Bg+D = 0, pour exprimer que la droite est comprise tout entière dans le plan. En soustrayant la dernière de ces relations de l’équation (3), on obtient ( 7 ) ' A(x '— a)-f-B(y'— g) + Cz'= o, équation qui ne renferme plus D, et qu’on peut substituer à l’équation ( 6 ). La question se réduit donc à trouver les valeurs de A, B, C, ou plutôt des rapports à l’aide des deux relations (j Ci A B , + + o, A . , . B ■ . -(.*/— a) -t --{y — g) + z'=o. Or on trouve par l’élimination , A_ y' — g — bz’ l0 ‘ * c — b[x' — a) — a (y — g) ’ B (x' —a — az') 2 °' C = b{x' — a) —a (y 1 —P)' ' et comme on peut disposer arbitrairement de l’un des trois coefficients A , B, C , il n’y a qu’à poser C = b [x’ — a) — a [y' — g), ce qui donne A =y —g— bz', et- B = — ( x' —a— az')-, d’où, substituant dans l’équation ( 4 ), (y — g — bz') (x — x') — (x'—x~ az') (y — y') + [b (,r'— a) — a [y 1 — g)] (z — z'.) = o. Telle est l’équation du plan demandé. 388. Remarque .—Dans la question précédente, nous avons établi deux relations A a —f— B b C o, À y. -t— B g D o , 476 QUESTIONS PRÉLIMINAIRES qui méritent quelque attention , parce qu’elles sont fréquemment employées dans la Géométrie analytique à trois dimensions. Reprenons les équations de la droite et du plan, x~az-ha, y = bz -+ S , Aæ -p B/ - 4 - Cz -t- D = o, et proposons-nous de déterminer le point où la droite rencontre le plan. Comme on a trois équations entre x, j, z, il suffit dé remplacer dans la troisième., x et y par leurs valeurs tirées des deux premières. Il vient, par celte substitution, ( A a -P B b —}- C) z -P À a —P B S -P D ~zz o j d’où ( Aa ~P BS -P D j Aa + Bi + C"’ et, par suite, a (Aa -p Bë -P D j A a -p B h -p 0 ou bien, a(An-pBè-pC) — «(Aa-pBë-pD) A a -p B b — P C puis, y = S ■ b (Aa -p BS -p D) A ci -p B b -p C ou bien, r = S ( A ci -p B b -p C) — b (Aa -p B S -p D ) An+Bi+C Cela posé, si l’on veut exprimer que la droite et le plan sont parallèles, il faut écrire que les valeurs de x,y, z, correspondant au point d’intersection, sont infinies; ce qui se fait en posant A ci -p B b — P C "xz. o , car ces valeurs deviennent alors (Aa-pBS-PD) _ «(Aa -pB§ +D) o b (Aa -p BS -P D ) Si, au lieu de la condition A « -p B b -p C ~ o, o SUR LA LIGNE DROITE ET LE PLAN. 477 on établit la suivante, Aa + BS + D= o, les valeurs de x,y, z se réduisent à z~ o, x = a, y = ê. Or il est aisé de reconnaître que le point correspondant à ce système de coordonnées est celui où la droite rencontre le plan des xy ; car si l’on pose, dans les équations de la droite, 2 = 0 , il en résulte, x = a, y = S. Supposons maintenant qu’on ait à la fois Aa + Bè + C = o, Aa + Bê + D = o; les valeurs de x, y, z se réduisent à la forme signe de l’indétermination ; ce qui prouve qu’alors la droite se trouve tout entière dans le plan. On peut conclure de là que, des deux relations ci-dessus, la première exprime seulement que la droite et le plan sont parallèles ; la seconde, que le plan passe par un point déterminé de la droite (celui où la droite perce le plan des xy)', et que, toutes les deux conjointement, expriment que la- droite et le plan se confondent. •189. Troisième question.— Un plan et un point hors de ce plan étant donnés , on demande, i° cl’abaisser du point une perpendiculaire sur le plan ,• 2 ° de trouver la longueur de cette perpendiculaire , c’est-à-dire la distance du poin t au plan donné. Soient x', y', z les coordonnées de ce point, et (') Ax+B/ + Cz+D = o 1 équation d’un plan supposé connu de position. Les équations de la droite cherchée seront (n° 374) de la forme ( 2 ) x — x' = a(z — z), y — y' = b {z — z') ; a, h étant deux constantes qu’il s’agit de déterminer. 47§ QUESTIONS PRÉLIMINAIRES Pour cela , nous rappellerons un des principes de la Géo- métrie descriptive, lequel consiste en ce que, si une droite est perpendiculaire à un plan dans l’espace, la projection de la droite sur un des plans coordonnés est perpendiculaire à la trace du. plan donné sur le même plan coordonné. Cela posé, si, pour obtenir les traces du plan donné, on fait successivement y = oetx=o dans l’équation ( 1 ), il vient A x -P* C z —P D o, B^' '“P G “P P o, que l’on peut mettre sous la forme (3) C  ■D Â’ y — D B ' Or, puisque les droites exprimées par les équations (a) doivent être respectivement perpendiculaires aux droites exprimées par les équations (3), il faut (n° 64) que l’on ait entre les coefficients de z les relations a X C - +I = 0 ; d’où A a C ’ ou bien, A = ùC, et b X G ~B +I = 0 ; d’où *=?, ou bien, B = bC. C Substituant ces valeurs de a, b , dans les équations ( 2 ), on obtient pour les équations de la perpendiculaire, (4) X — x' = ^(z — z'), y— y z=?(z— z'). Actuellement, pour résoudre la seconde partie du problème proposé, observons que, d’après l’expression (n° 369), qui donne la distance entre deux points, il suffit de déterminer les valeurs de x — x', y— -y, z — z', SUR LA LIGNE DROITE ET LE PLAN. 479 propres à satisfaire eu même temps aux équations (i) et (4), et de substituer ensuite ces valeurs dans l’expression de la distance (puisque, par cette élimination, on obtiendra nécessairement les différences entre les coordonnées du point où la perpendiculaire rencontre le plan et celles du point donné). A cet effet, nous ferons subir à l’équation (i) la transformation suivante : ajoutons au premier membre la quantité — kx '— B y' —Cz' -+• Ax' + B y' Cz', qui est identiquement nulle, et posons (5) kx' -y- Bjr' 4- Cz'-t- D = D'; il vient, A {x - f] + B (y —y') + c (z — z') + D'= o. Or, si l’on met dans cette équation, à la place de / — y’, leurs valeurs (4), on trouve ( A 2 -i- B* -P C 2 ) (z-z')k- D'C = o; X — X d’où z — z' = ■ et, par conséquent, x — x’ = y-y' — - D'C A 2 + B 2 + C 2 D'A A 2 + B 2 + C 2 D'B A 2 + B 2 + C 2 Mais en appelant P la perpendiculaire demandée, on a (n° 369) P: donc y/ (x — x ') 3 -(- ( y — y'Y-b- (z — z' D' A^'+By+Cz'-hD y/A 2 + B 2 h- C 2 y/A 2 ■+- B 2 + C 2 {Voyez ce qui a été dit n° 65 sur le double signe dont le radical est affecté.) 390. Cas particuliers. — i°. Le point donné peut être 1 origine même des coordonnées. Dans ce cas, on a x'=o, y'~ o, z' — o, 48o QUESTIONS PRÉLIMINAIRES et l’expression de la perpendiculaire se réduit à P = D \/A 2 B 2 -f- C 2 Le pied de, la perpendiculaire ; données _ AD _ X ~ A 2 -f- B 2 -f- C 2 ’ ’ y . ~~ ' d’ailleurs pour coor- BD A 2 +B 2 + C 2 _ CD Z— ~ A 2 +B 2 +C 2 ' 2 °, Si le point donné se trouve sur le plan, ses coordonnées doivent vérifier l’équation du plan; c’est-à-dire que l’on a Aa/-f- By'-h Cz' + D = o, d’où P — o. 391. Quatrième question. — Réciproquement, un point et une droite étant donnés dans l'espace, mener par le point un plan perpendiculaire à la droite, et trouver la longueur de la distance du point à la droite. Soient (1) x — az- f-oc, y = bz-i-S, les équations de la droite donnée, et x',y', z' les coordonnées du point. L’équation du plan cherché sera (n° 387) de la forme (2) A {x — x') + B (y — y') + C (z — z') — o. Or, par hypothèse, la droite et le plan sont perpendiculaires entre eux; on a donc (n° 389) entre les coefficients A, B, C et a, b, les relations A — <2 C, B = iC; d’où, substituant dans l’équation ( 2 ) et divisant par C, ( 3 ) a (x — x' ) b [y — j') z — z'~o. C’est l’équation du plan cherché. Maintenant, pour obtenir la distance du point {x' ,y' ,z') au point où le plan rencontre la droite, il suffit de chercher les valeurs de .r— x', y — y\ z — z', propres à satisfaire en même temps aux équations ( 1 ) et (3), puis de porter ces valeurs dans l’expression générale de la distance entre deux points donnés. SUR LA LIGNE DROITE ET LE PLAW. 481 Afin d’effectuer cette élimination, nous mettrons les équations (i) sous la forme l X — x' = a (z — z') 4 - a — x 4 - az', ^ \ y — y'—b{z — z')-\-% — y'-ybz. (Cette transformation est analogue à celle du n° 65.) Cela posé, si l’on substitue pour x — x', y — y', leurs valeurs dans l’équation (3), il vient [a 2 + è 2 4 ~i) (z — z') 4 - n'a. — x'~+- az') 4 - b (6 — y'-h èz') = o; d’où • _ , a {x 1 — a) 4- b ( y' — ë ) 4 - z' ^ N , a 2 4- è 2 4- i « 2 4-è 2 4-t Z ’ en posant, pour simplifier, (5) N = a (a/— a) + b (y' — ê) 4 - z'. Portons cette valeur de z — z' dans les équations (4) ; il vient pour valeurs correspondantes de x — x ', y — y', N a a 2 4- è 2 4- i Na — az' 4- a ■ y —y a 2 4- 6 2 4- i N b a 2 4- b 2 4 - i N b 1 4- b 2 4- i - 1 — (x' — a), — bz' 4- 6 — y' 4- bz' -(/-§)■ Faisant la somme des carrés des valeurs de x — x', y — y', z — z', et observant, i°que les premières parties N 2 élevées au carré donnent pour somme, —— j- -; 2 ° que la somme des doubles produits se réduit, d’après la rela- lion (5), à • 2 —frï on trouve enfin pour l’expression la plus simple de la distance du point à la droite donnée, :) 2 + (j'—6) 2 4-s' : N 2 a 2 4- è 2 4- i 392. Conséquence. — Si l’on joint le point ( xy', z') au point où la droite est rencontrée par le plan qui lui est perpendiculaire, point dont nous désignerons, pour le Ap. de VAl. à la G. 3l 482 QUESTIONS PRÉLIMINAIRES moment, les coordonnées par x u ,y", z", il est évident que cette droite de jonction est perpendiculaire sur la droite donnée. Or les équations de cette droite sont (n° 374) de la forme / f \ f -(z — 2 '), y— y’ , x — x y — y -, et les rapports ——— 7 ? ^—= 4-5 ne sont autre chose que les rapports des valeurs de x — x', y — y', z — z', trouvées dans le numéro précédent. Donc, en effectuant cette substitution , l’on obtiendrait les équations de la perpendiculaire abaissée d’un point sur une droite dans l’espace: question dont nous avons annoncé une solution à la fin du n° 380. Nous n’achèverons pas ce calcul, qui n’offre aucune difficulté et qui conduit d’ailleurs à des résultats peu élégants. 393. Cinquième question. — Par un point donné dans l’espace, mener un plan parallèle à un autre. Avant de résoudre ce problème, nous commencerons par établir les conditions analytiques qui expriment que deux plans sont parallèles. Soient kx B y 4- C z 4 —D := o, k'x + B 'y 4- C'z 4- D' = o, les équations de deux plans donnés dans l’espace. Si ces plans sont parallèles, leurs traces sur le plan des xz et sur celui des_y,z doivent être aussi parallèles. Or (n° 384, JY. B.) les équations de ces traces sont A# 4- Cz 4- D = o, B/ + Cz + D = o, pour le premier plan, k'x 4- C'z 4- D'= o, B'y 4 - C'z 4 -D'= o, pour le second; et pour qu’elles soient respectivement parallèles, il faut (n° 375) que l’on ait B_ff c C 7 et C c r ’ d’où l’on déduit encore A A'- SUR LA LIGNE DROITE ET LE PLAN. 483 Désignons actuellement par x', y\ z' les coordonnées du point donné. L’équation du premier plan étant A x -f- By + Cz + D = o, celle du second, qui est assujetti à passer par le point (x' : y', z') , sera de la forme A'{x — x') + B' (/ — /) + C' (z — z') — o; mais, par hypothèse, les deux plans doivent être parallèles on a donc A' C' A c’ B' _ C'~ B A’ ' -5 dou Portant ces valeurs de A', B'dans l’équation précédente, et divisant par C/, on obtient pour l’équation demandée, A [x — x') -+- B (/ — y') + C (z — z') — o, équation dont les trois premiers coefficients sont les mêmes que ceux de l’équation du plan donné ; il n’y a que le z de l’origine, c’est-à-dire le premier terme indépendant des variables, qui soit différent. Si le point par lequel on veut faire passer le plan parallèle, est l’origine meme des cordonnées , on a x' = o, • y' — o, z' = o j et l’équation ci-dessus se réduit à Ax -f- Bj -H Cz = o.. .. ( Voyez le n° 585.) 394. Distance de deux plans parallèles. — Lorsque les équations de deux plans parallèles sont données, savoir : Ax + B/ + C z + D = o, Aæ + Bj + Cî + D'^o, on peut demander Y expression analytique de leur distance. Pour l’obtenir, abaissons de l’origine des coordonnées une droite perpendiculaire à l’un : elle est nécessairement perpendiculaire à l’autre-, et l’on a (n° 390), pour la distance de l’origine à chacun de ces plans, .■ " , " • VA 2 + B 2 + C 2 VA 2 + B 2 + C 2 484 QUESTIONS PRÉLIMINAIRES ce qui donne (P, désignant la distance demandée), D'—D P.= —==• + B 2 -t- C J La quantité D'— D exprime une différence ou une 1 somme, suivant que les deux plans sont situés d’tm mémo côté, ou de côtés différents par rapport à l’origine. Comme d’ailleurs le radical est toujours affecté du double signe, on doit le prendre, avec le signe ■+■ ou le signe —, selon que D'— D est une quantité positive ou négative. 395 . Sixième question. — Trouver les équations de Tintersection commune de deux plans. Soient (i) hx + By -f- Cz + D = o, ( 2 ) A'x + B'y -f- C'z -f- D' = o les équations des deux plans donnés. Nous observerons d’abord que cette intersection est tout aussi bien déterminée par les équations des deux plans donnés que par celles de ses projections, qui ne sont d’ailleurs elles-mêmes (n° 371 ) que les équations de deux plans perpendiculaires, l’un au plan des xz , et l’autre au plan des yz. Mais on peut avoir besoin, pour certains problèmes , de connaître les équations des projections. Or, si l’on élimine y entre les équations (i) et (2), l’équation résultante enoretz appartiendra tà un plan perpendiculaire au plan des xz , et passant par la droite 5 donc elle sera l’équation de la projection de la droite sur le plan des xz. Même raisonnement pour la projection sur le plan des y z. En effectuant ces calculs, 011 trouve, i°. Pour la projection sur le plan des xz , (AB' — BA') x 4- (CB' — BC') z DB' — BD' = o ; 2°. Pour la projection sur le plan des jz , (AB' — BA') y + (AC' — CA' ) z + AD' — DA' — o. L’élimination de z donnerait également l’équation de la projection sur le plan des xy. SUR LA LIGNE DROITE ET LE PLAN. 485 396. Septième question. — Deux plans étant donnés dans l’espace, trouver l'angle qu’ils forment entre eux. Le moyen qui se présente au premier abord, pour résoudre cette question, consisterait à rechercher, i° les équations des projections de l’intersection commune des deux plans ; 2 ° l’équation d’un plan perpendiculaire à cette intersection; 3 ° celles des traces de ce plan sur les deux plans donnés; 4° enfin, l’angle formé par ces traces. Mais on juge aisément que ces calculs, tous exécutables d’après les principes établis précédemment, seraient assez laborieux. Voici un autre moyen plus simple et plus élégant. Supposons que les droites OB, OC représentent dans Fig. 193 l’espace les intersections des deux plans donnés avec un troisième qui leur soit perpendiculaire. Si du point O l’on élève OB', OC', respectivement perpendiculaires aux deux plans, il est clair que ces droites seront situées dans le troisième plan BOC dont nous venons de parler. Or, puisque les angles BOB', COC' sont égaux comme droits, il en résulte nécessairement B'OC'= BOC ; c’est- à-dire que l’angle formé par deux droites menées en un point de l'intersection commune de deux plans, perpendiculairement ■ à ces deux plans , est égal à l’angle que ces plans font entre eux. Cela posé, soient kx -H By -+- Cz + D = o , A'.r + B ’y -+- C'z + D' — o les équations des deux plans. Celles des deux droites qui leur sont respectivement perpendiculaires, de quelque manière que ces droites soient d’ailleurs situées dans l’espace, seront de la forme et x az + a , y — bz - 1- ê, x = a'z + a, y — b' z + é', a, b, a', b' ayant (n° 389) pour valeurs, a A C ’ b B C A' C 7 ’ b' B' G’’ et a' 486 QUESTIONS préliminaires Or on a trouvé (n° 377) pour l’angle de deux droites, aa' + bb' 4- i cosV = .. — • y/(« 2 -1- b 2 -t- i) (a! 2 4 - b' 2 H- i) Donc, en remplaçant a, a', b , b' par leurs valeurs, on obtient, toute réduction faite, AA' + BB' + CC' cosV = . ■ . . . - . . ? V (A. 2 4- B 2 -KO 2 ) (A' 2 + B' 2 4- C' 2 ) expression indépendante de D, D'; ce qui doit être, car tous les plans parallèles aux deux plans donnés forment entre eux le même angle que ceux-ci. Le radical que renferme celte expression, rend indéterminé le signe de cosV, parce qu’en elïet les deux plans font entre eux deux angles, l’un aigu et l’autre obtus; cette indétermination cesse dès que l’on sait d’avance de quelle espèce est l’angle cherché. Examinons quelques cas particuliers. 397. Si les deux plans sont perpendiculaires entre eux, on doit avoir cosV = o ; ce qui donne AA'.4- BB' 4- CC'= o, pour la condition de perpendicularité de deux plans. Supposons les deux plans parallèles entre eux, auquel cas on a cosV = i ; si l’on égale à l’unité le second membre de la formule ci-dessus, et qu’on développe les calculs, on trouve, toute réduction faite, (AB' — B A') 2 + (AC' — CA') 2 4- (BC' — CB') 2 = o, égalité qui ne peut être vérifiée qu’autant que l’on a séparément AB' — BA'=o, AC' — CA' = o, BC'— CB'=o; d’où A___ A' A _ A/ Jl JT Y"”"!} 7 ’ ’C" - C 7 ’ C ~~C'' Ce sont les conditions déjà obtenues n° 393. 398. Angles d'un plan avec les plans coordonnés. — Faisons maintenant coïncider l’un des deux plans avec chacun des trois plans coordonnés. On obtiendra ainsi les cosinus des angles qu’il forme avec chacun d’eux. SUR LA LIGNE DROITE ET LE PLAN. 487 Supposons, par exemple, qué le second plan soit le plan des xy. Comme l’équation A' x + B'jr -+- C' z + D' = o se réduit alors à z = o, il faut que l’on ait A' = o, B' = 0 , D'= o; et la valeur de cosV devient c. (1) COS (xy) t/A 2 -+ B 2 + C 2 [cos(.ry), cos(xz), cos(yz) sont des notations que nous adopterons pour désigner les cosinus des angles qu’un plan forme avec les plans coordonnés ]. Par un raisonnement analogue, on obtiendrait pour les angles que le premier plan forme avec les deux autres plans coordonnés B ( 2 ) cos(xz) = ■ V'A 2 (3) cos (jfz ) = • -B 2 A V A 2 4- B 2 ••!- C 2 Si l’on ajoute entre elles les équations ( 1 ), ( 2 ), (3), après les avoir élevées au carré, on trouve cos ! (xy) + cos ’ 2 (xz) + cos 2 (/z) = 1 ; relation analogue à celle qui a été trouvée (n° 379) entre les cosinusdes angles qu’une droite forme avec les trois axes. Désignons par cos(a:yy, cos (xz)\ cos(yz)' les cosinus des angles qu’un second plan, dans l’espace forme avec les trois plans coordonnés ; on aurait également C' , .. B' COS (xy)' = , ■ - . — ? cos (xz)' = .. = y/ 4' 2 + B' 2 H- C' 2 y/A' 2 + B' 2 - , v 'A' cos(jrz) : ■ C' 2 y/A ' 2 4- B ' 2 + C ' 2 En multipliant ces trois expressions respectivement par celles de cos (xy ), cos ( xz ), cos (yz ), et ayant égard à la valeur de cosV, on a cette nouvelle relation , cos(^r). cos(,zy cos(xz). cosj^z)'-)- cos(jz). cos(yz)'’= cosV. 488 QUESTIONS PRÉLIMINAIRES Enfin, si les deux plans sont perpendiculaires entre eux, on doit avoir cos(xy). cos(xj)' cos(.zz). cos(xz)' -j- cos(jz). cos(yz)' = o. Tous ces l’ésultats nous serviront dans le problème général de la transformation des coordonnées en trois dimensions. 399. Huitième question. — Trouver Vangle d'une droite et d’un plan dans l'espace. Si 2) = 0, qui résulte de l’élimination de x entre les équations (i) et ( 2 ), caractérise tous les points d’une surface cylindrique dont les arêtes sont perpendiculaires au plan des yz , et cpii a pour base la courbe représentée par l’équation (4)- Il suit de là que le système des équations (a) et (4), lequel peut remplacer celui des équations ( 1 ) et ( 2 ), appartient à tous les points qui se trouvent h la fois sur les deux surfaces cylindriques, et, par conséquent, à leur intersection commune qui, en général, est une ligne courbe. Donc aussi le lieu des points dont les coordonnées satisfont en même temps aux équations ( 1 ) et ( 2 ), est une ligne : ce qui exige que les lieux géométriques de ces équations soient des surfaces, et non des solides , comme on pourrait d’abord se l’imaginer. On doit remarquer cependant que, si l’équation ( 1 ), outre les variables x, y, z, renfermait une ou plusieurs indéterminées, cette équation fournirait autant de-surfaces différentes que l’on pourrait donner de valeurs aux indéterminées, en sorte que, dans ce cas, le lieu géométrique serait l’assemblage d’une infinité de surfaces ou de couches infiniment minces, qui formeraient alors, à proprement parler, un solide. 492 NOTIONS PRÉLIMINAIRES S TJ II LES SURFACES COURBES. •403. Supposons actuellement que l’on ait trois équations, F(^,r,z)=o, F' l>, /, z) = o, F" (x, y, z) = o, existant en même temps pour différents points. Comme les deux premières équations caractérisent tous les points de la ligne d’intersection des surfaces exprimées par ces équations, que la première et la troisième caractérisent la ligne d’intersection des surfaces qui leur appartiennent, il s’ensuit que les trois équations conviennent aux points où ces lignes se rencontrent, c’est-à-dire à ceux qui se trouvent à la fois sur les trois surfaces, et l’on obtiendra les coordonnées de ces points en éliminant x, y, s, entre les équations proposées. Le nombre des points communs est égal au nombre des systèmes de valeurs réelles de x, y, z , propres à vérifier ces équations simultanément. 404. On peut conclure des considérations précédentes, i°. Qu’une seule équation entre trois variables x, y, z détermine analytiquement une surface; 2 °. Que le système de deux équations eux, y, z, caractérise une ligne courbe désignée ordinairement sous le nom de courbe à double courbure (comme tenant de la nature de l’une et l’autre surface représentées par les deux équations) ; celte même courbe est encore déterminée par les équations de deux de ses projections : ce sont (n° 402) les équations qu’on obtient en éliminant successivement x et y entre les équations proposées ; 3°. Que le système de trois équations en x, y, z fixe la position d’un certain nombre de points dans l’espace; en sorte qu’il n’est pas toujours nécessaire de se donner explicitement les coordonnées de ces points,. mais bien les équations de trois surfaces sur lesquelles ils se trouvent placés. Ces premières notions étant établies, nous allons nous occuper de la résolution d’un problème analogue à celui par lequel nous avons fait précéder la théorie des courbes du second degré : c’est celui de la transformation des coordonnées en trois dimensions. TRANSFORMATION DES COORDONNÉES DANS l’espace. 4 ç )3 § I er —Transformation des coordonnées dans l’espace. 405. Etant donnée l’équation d’une surface rapportée à des axes quelconques, trouver T équation de la même surface rapportée à de nouveaux axes. La méthode consiste, comme on l’a vu au n° 111, à exprimer les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles, puis à substituer les valeurs ainsi obtenues dans l’équation donnée. Nous ne traiterons point ici la question la plus générale, parce que les formules en sont peu usitées, et nous nous bornerons à considérer les cas suivants : 406. Premier cas. —Passer d’un système de coordonnées rectangulaires ou obliques à un système de coordonnées parallèles d’origine différente. Soient AX, AY, AZ, les axes primitifs; A’X', A'Y', A'ZI, Fio. les nouveaux que nous supposons parallèles aux premiers, et prolongés jusqu’à leur rencontre avec les plans des yz, xz, xy , en B, C, D; les parties A'B, A'C, A'D, représentent les coordonnées de la nouvelle origine A' rapportée aux anciens axes. Si d’un point quelconque M de la surface, nous menons les coordonnées MP, MQ, MR , ces droites perceront les plans y'z , x'zf, x'f aux points P', Q', R’, et l’on aura MP=æ, MQ MR == z, puis MP' = x', MQ'=j', MR'= 2 ', e P'P = A , B = «, Q'Q=A , C = à, R'R = A'D = c; ce qui donne, par conséquent, les relations x = x' H- a, y = y' -|- b, z — z'-y-c. Telles sont les formules au moyen desquelles on passe d’un système quelconque de coordonnées à un système parallèle. Les signes des quantités a, b, c, font connaître (n° 364) dans lequel des huit angles trièdres formés par les trois axes primitifs se trouve la nouvelle origine. N. B. — Dans tout ce qui va suivre, nous supposeron s 4g4 TRANSFORMATION DES COORDONNÉES DANS l’eSPACE. que l’origine reste la même, parce que, si elle était différente , on commencerait par transporter les axes parallèlement à eux-mêmes d’après les formules ci-dessus, et l’on changerait ensuite la direction des axes autour de la nouvelle origine. 407. Second cas. — Passer d’un système rectangulaire à un système oblique de même origine. La méthode que nous emploierons pour obtenir les formules relatives à ce nouveau cas , est fondée sur la proposition suivante : Fio. iq5. Soient LL', KK', deux droites indéfinies situées ou non situées dans un même plan. Abaissons de deux points- A, B de la première droite des lignes A a, B b, perpendiculaires sur la seconde : la partie ab de cette seconde droite est dite la projection de AB sur KK'. Cela posé, je dis qtte l’on a ci b — AB cos<>, v désignant l’angle que les deux droites LL', KK' font entre elles. En effet, soient menées par les points A, B, deux plans MN, PQ , perpendiculaires «à KK'; ces plans contiennent les deux perpendiculaires An, B h, déjà abaissées. Du point A tirons ensuite AI, perpendiculaire sur le plan PQ, et joignons le point B avec le point I où cette perpendiculaire rencontre PQ; le triangle AIB est rectangle en I, et donne AI = AB.cosBAI. Mais AI = ab , comme parties de parallèles comprises entre plans parallèles; d’ailleurs l’angle BAI n’est autre chose que l’angle des deux droites LL', KK'. Donc enfin ab = AB cosr; c’est-à-dire que la projection d’une droite sur une autre est égale au produit de la droite multipliée par le cosinus de l’angle quelle Jorme avec sa projection. Fig, iq6. Appliquons ce résultat à la question proposée. Soient AX, AY, AZ, trois axes rectangulaires ; AX', Aï , AZ', trois axes obliques. Menons d’un point quelconque M de la surface les an- TRANSFORMATION DES COORDONNÉES DANS l’eSPACE. 4çp cienncs coordonnées MP, PQ, AQ, et les nouvelles MP', P'Q', AQ', puis par les points M, P', Q', concevons trois plans perpendiculaires à AX. Il est évident que le plan mené par le point M coupe AX au point Q, puisqu’il se confond avec le plan MPQ. Quant aux deux autres, soient p', q' leurs points de rencontre avec AX. Il résulte de cette construction que la distance AQ ou X, se compose de trois parties A q', q'p'jp'Q, que l’on peut regarder comme les projections respectives des coordonnées AQ', P'Q', MP', ou x\ y'i z> i sur l’ axe des x - Donc, en convenant (voyez le n°398) de désigner par [x\ x), (y', x), (z 1 , x) les angles que les nouveaux axes forment avec l’ancien axe desx, on aura, d’après le théorème précédent, (1) x = x' cos(j:', x) -4- y' cos [y' } x) z' cos(z', x). Concevons actuellement qu’on ait projeté de la même manière les coordonnées x', y 1 , z ', sur chacun des deux axes des y et des z , et employons des notations analogues aux précédentes ; on obtiendra également ( 2 ) y — x' cos(x', y)-h y'cos {y', y)-h z'cos(z', y), (3) z = x’ cos(x', z) -H y' cos {y', z) -t- z' cos(z', z). Les neuf constantes qui entrent dans ces trois formules, sont d’ailleurs liées entre elles (n° 379) par les relations : 1 cos 2 (a:', x) 4- cos 2 (x', jr)-4- cos 2 (.r', z) = i, cos 2 (/',a?) + cos 2 (/,/) -4-eos 2 (/, z) = r, cos 2 (z', x) -4- cos 2 (z', y) + eos 2 (z', z) = i. 408. Comme application immédiate des formules qui viennent d’être obtenues, proposons-nous de trouver Yexpression de la distance entre deux points, M, M', rapportés à des axes obliques. Afin d’éviter toute confusion dans les notations, nous conviendrons, pour la résolution de cette question, d’appeler x, y, z, x', y, z' , etc., les coordonnées de points rapportés à un système d’axes rectangulaires, et X, Y, Z, X', Y', Z', etc., les coordonnées des mêmes points rapportés à des axes obliques. Les formules précédentes deviennent alors ' x = X cos(X, x) Y cos(Y, x) + Z cos (Z, x), y = Xcos (X,y) -h Ycos(Y,j) - 4 -Zcos(Z z = X cos (X, z) -f- Y cos (Y, z) 4- Zcos(Z, z), 4 ç )6 transformation des coordonnées dans i.’espace. eos 2 (X, x) 4- cos 2 (X, y) 4- cos 2 (X, z) = i, cos 2 (Y, x) + cos 2 (Y, /) 4- cos 2 (Y, z) = i, cos 2 (Z, x) + cos 2 (Z, y) 4- cos 2 (Z, z) —1. Cela posé, on a trouvé (n° 5 G 9 ), pour le carré D 2 de la distance entre deux points-rapportés à des axes rectangulaires , D 2 = (x' - x" y + ( yy« Y 4- ( *' ■- z'Y- -, et tout se réduit à y remplacer x',y’, z', x",y", z" par leurs valeurs en fonction des nouvelles coordonnées X', Y', Z', X", Y", Z". Or, d’après les notations convenues, on a nécessairement x'— x"— (X'—X") cos ■; X, x) 4- (Y'—Y") cos (Y, x) 4 - (Z'— Z 77 ) cos (Z, x), y' — y"— (X'—X' 7 ) cos (X, y) 4 - (Y 7 —Y") cos (Y, y) 4-(Z 7 — Z 77 ) cos (Z, y), z' — z” = (X 7 — X' 7 ) cos (X, z) + (Y 7 - Y") cos ( Y, z) 4-(Z 7 — Z") cos (Z, z), expressions qu’il faut élever au carré pour faire ensuite la somme de ces carrés. En exécutant cette double opération, il est facile de reconnaître que le résultat doit se composer de deux parties principales : i° de la somme des carrés (X 7 —X 77 ) 2 , (Y 7 —Y 77 ) 2 , (Z 7 -Z 77 ) 2 , ayant respectivement pour multiplicateur la somme des carrés des cosinus des angles que forme chacun des nouveaux axes avec les trois axes primitifs, laquelle dernière somme est égale à 1, d’après les trois dernières des relations ci-dessus ; ce qui réduit la première somme à (X 7 —X 77 ) 2 4 - (Y 7 — Y") 2 4- (Z 7 — Z 77 ) 2 ; 2 0 de la somme des doubles produits 2 (X 7 — X 77 ) (Y 7 —Y 77 ), 2 (X 7 —X 77 ) (Z 7 — Z 77 ), 2 (Y 7 —Y 77 ) (Z 7 — Z 77 ), ayant respectivement pour multiplicateurs la somme des produits deux à deux des cosinus des angles que forment d'abord les nouveaux axes des x et des y avec les trois axes primitifs, puis les nouveaux axes des x et des z avec les mêmes axes, et enfin les nouveaux axes des y et des z avec les mêmes axes. Or, en vertu de ce qui a été dit au n° 59 G, les trois multiplita- teurs dont nous venons de parler ont respectivement pour valeurs cos (X, Y), cos (X, Z), cos ( Y, Z) ; TRANSFORMATION DES COORDONNÉES DANS i/eSPACE. 497 donc enfin, D 2 = (X'— X'7-f- ( Y'—Y")’ + (Z'— Z'7 -+- 2 (X'— X")(Y' —Y") cos (X, Y) + a(X'—X")(Z' — Z")cos(X,Z) -+- 2 (Y' — Y") (Z'— Z") cos (Y, Z). Telle est l’expression la plus générale de la distance entre deux points. C’est en même temps l’expression de la diagonale d'un parallélipipède oblique. 409. Troisième cas. — Passer d’un système rectangulaire à un autre système rectangulaire de même origine. Les formules sont les mêmes que dans le cas du n° 407 ; mais il faut joindre aux relations déjà établies entre les cosinus, celles qui expriment (n os 378 et 380) que les nouveaux axes sont perpendiculaires deux à deux y ce qui donne, cos(x' ,x) cos(j', x)+cos(.z',/)cos(jr , ,.}')-!-cos(.r', z)cos(jr', z)—o, cos (a/, x ) cos (z', a;)+cos (a/, y) cos (z',/)+cos (a/, z) cos(z', z)=:o, cos(j', x)cos(z',x}-i-cos{y',f) cos [z',y)+c.os(y', z)cos (z', z)=o. On voit donc que les constantes qui entrent dans les formules relatives au cas actuel, sont liées entre elles par six relations différentes; d’où il suit que de ccs neuf c osi- nus, il n’y en a que trois dont on puisse disposer arbitrairement. Il existe, en effet,, d’autres formules propres à faire passer d’un système rectangulaire à un autre de même espèce, et dans lesquelles on ne fait entrer en considération que trois constantes , savoir : i°. L’angle que la trace du plan des x' y' sur le plan des xy forme avec l’ancien axe des x ; 2 °. L’angle que font entre eux le plan des x'y' et celui des xy, 3°. Enfin l’angle que fait l’axe des a;'avec la trace dont nous venons de parler. Il est aisé de reconnaître que ces données suffisent pour fixer la position des trois nouveaux axes, par rapport aux anciens; mais ees formules étant très-compliquées et peu Ap. l'A !. n ht G. 3a 498 transformation des coordonnées dans l’espace. symétriques, nous renvoyons, pour leur détermination, au tome II, n° I er , de la Correspondance de l’École Polytechnique , ouvrage dans lequel nous avons puisé également la métliode suivie dans les deux derniers cas de la transformation des coordonnées. Cas particuliers du précédent. Fig. 198 - 410. Premièrement. —On peut, en conservant l’un des anciens axes, celui des z , par exemple, changer la direction des deux autres axes dans le plan des xy. Dans ce cas, on a évidemment cos(y', x) = cos[qo° H- (x', x)] ~ — sin (x', x), cos(z', x) = o, cos(x',y) = sin(x',x), cos [y', y) = cos(x', x), cos(z',y) = o, cos(x', z) = o, cos(j', z)=o, cos(z', z)=i; ce qui donne, pour les formules correspondantes, x = x' cos(x / , x) — j y' sin (x', x), y = xi sin(x', x) + y' cos(x', x), z = z'. N. B. — Les deux premières sont identiques avec celles du u° 119, parce qu’en effet tout se réduit à une simple transformation de coordonnées en deux dimensions. 411. Secondement. — On verra plus loin que la discussion d’une surface est fondée principalement sur la détermination de ses intersections par des plans menés sous différentes inclinaisons. Or l’élimination d’une variable, z par exemple, entre l’équation de la surface et celle du plan donne lieu à une équation qui représente (n° 402) la projection de la courbe d’intersection sur le plan des xy, mais qui, en général, n’apprend rien sur la nature de cette courbe \ et il serait important de pouvoir déduire de Véquation proposée une équation de la courbe elle-même rapportée à des coordonnées prises dans son plan. Tel est le cas particulier de la transformation des coordonnées, que nous avons à traiter. TRANSFORMATION DES COORDONNÉES DANS l’espace. 499 Remarquons d’abord que le plan sécant, qu’on peut sup- Fig. igq poser, pour le moment, passant par l’origine A , est complètement déterminé par sa trace AX' sur le plan des xy, et par l’angle qu’il forme avec celui-ci. On obtient cet angle en concevant au point A deux droites AL, AY'., perpendiculaires à la trace AX', l’une située dans le plan des xy, l’autre dans le plan sécant. Soit posé X'AX = ? et LAY' = 0, M étant un point quelconque de la courbe d’intersection, abaissons MN perpendiculaire sur le plan des xy, et tirons NP parallèlement à l’axe AY; AP, PN, NM sont les X, y, z du point M. Prenant ensuite les deitx droites AX', AY' pour nouveau système d’axes, menons MP' parallèlement à AY', on a AP' = x', MP'=y'. Comme les coordonnées x, y, z du point M sont déjà liées entre elles par l’équation de la surface Y{x,y, z) = o, il s’ensuit que si, par un moyen quelconque, on parvient à exprimer x, y, z, en fonction des quantités x', y', f et 6, et qu’on substitue ces valeurs dans l’équation de la surface, on aura l’équation demandée. A cet effet, traçons P' N, et menons P' I parallèle à AY, NK parallèle à AX. Les triangles rectangles P'MN, P'NK, P'AI donnent successivement MN = MP', sin MP'N, c’est-à-dire z — y' .sin 9; P'N =r MP'. cosMP'N, ou P'N=r/.cos0; NIC = IP = P'N.sinICP'N = /'co39.sin ? (car les angles KP'N, X'AX sont égaux comme ayant leurs côtés respectivement perpendiculaires); P' IC = P' N cosICP' N — y' cos 0, cos & ; AI = AP'. cos P' AI r- ,r' cos ® ; P'I — AP'. sin P'AI =s x' sin ep. 3a. 500 DES DIFFÉRENTS GENRES DE SURFACES; 199 . Par suite, NP = IK = P'I—P'K, ou j = x'sin

et 0 relatifs au plan sécant sont donnés à priori; mais on peut aussi les déduire de l’équation même du plan Az4 -B^ + C2 + D = o. On a, çn effet (n° 398), n A cos 9 = - - ■ ■ - — ; VA J -+- B ! 4- C J quant à l’angle ip, comme Péquation de la trace sur le plan des xy est Az+B/ + D=o, il en résulte • r== — B X ~B’ d ° U tan SŸ = ~ b‘ N. B. — Si le plan sécant ne passait pas par l’origine, il suffirait d’augmenter les seconds membres des formules ci-dessus, respectivement des coordonnées a, i, c, de la nouvelle origine, en vertu de ce qui a été dit au n° 406. La même remarque s’applique à toutes les transformations des coordonnées, exécutées dans les numéros précédents. Passons à l’étude des différents genres de surfaces. S H. — Des DIFFÉRENTS GENRES DE SURFACES. Quoique nous ayons pour principal but, dans ce chapitre, d’exposer la théorie des surfaces du second degré, nous croyons devoir donner quelques notions sur certaines surfaces auxquelles on est souvent conduit par la SURFACES SRHÉRIQUES. 5 ol résolution de problèmes indéterminés en trois dimensions, parce que, dans la discussion même de l’équation générale du second degré, nous retrouverons les caractères qui appartiennent aux surfaces que nous allons faire connaître. De la surface sphérique et de son plan tangent. 412. Une surface sphérique étant celle dont tous les points sont également éloignés d’un même point nommé centre de la surface, si l’on désigne par x , y, z les coordonnées d’un quelconque de ses points, par a, ë, y, celles de son centre, et par ;■ son rayon, on a nécessairement (n os 369et 408) pour l’équation de cette surface, (1) (x — a) 2 (y — <ôy + (z — y) 2 = r\ lorsque les axes sont rectangulaires, et , . ( (*•—«)’ + (/—ê) 2 + (z— 7 ) 2 -|-2(a;— a) {y— 6).cos(x,y) (2) l ( + 2 (x—a) (z—7) COS (5, z) +2 (y —6) (z—7) cos (y, z) = r% lorsque les axes sont obliques, La forme compliquée de cette dernière équation en permet rarement l’usage. La sphère étant rapportée à son centre comme origine, et les axes étant rectangulaires, son équation devient ( 3 ) x 1 -f- y 2 + z 5 = r 3 ; et c’est principalement dans ce cas qu’on l’emploie. 413. L’équation ( 1 ) étant développée, prend la forme æ 2 4-y 2 -f- 2 ! + Ai + B y -+- Cz -f- D = o. Réciproquement , toute équation de cette forme caractérise une surface sphérique, dont le centre a pour coordonnées A B C 2 5 2 ’ 2 ’ et qui a pour rayon Nous renvoyons pour la démonstration de cette réciproque à celle qui a été donnée au n° 85 pour le cercle, comme étant, en tous points, semblable. 5o2 des différents genres de surfaces; 414. Pour déterminer la nature de l’intersection d’une sphère par un plan, il suffit de remplacer dans l’équation de la sphère x 2 + y 2 + z 2 = r 2 , x,y, z , par leurs valeurs tirées des formules du n° 411, x = x' cos y , z ) o, F (x, j j z) — o, celles de la courbe qui sert de directrice. Puisque la génératrice, dans son mouvement, ne doit pas 5o4 DES différents genres de surfaces; cesser d’être parallèle à elle-même, il s’ensuit (n° 375) que les quantités a , b restent les mêmes pour toutes les positions de la génératrice ; mais les quantités a, 6, qui (n° 388) expriment les x et lesjy du point où la génératrice rencontre le plan des xy, sont constantes pour tous les points d’une même position de la génératrice , et varient lorsque le point passe d’une génératrice à une autre. Il doit donc nécessairement exister une certaine relation entre ces quantités a, 6, ou leurs égales x — az , y — bz , puisqu’elles sont constantes ensemble et variables ensemble. Afin de parvenir à cette relation, remarquons que la génératrice devant, dans toutes ses positions, rencontrer la courbe qui sert de directrice, les équations de cette courbe et celles de la génératrice doivent exister simultanément pour tous les points d’intersection ; et comme elles sont au nombre de quatre, si l’on élimine les coordonnées x, y, z , on parviendra à une équation entre a, 6, et des quantités connues, qui ne sera autre chose que la relation cherchée. Cette relation, que nous pouvons représenter en général, par /(«» 6) =o, ou ê =/(*), devient, lorsqu’on y remplace oc, S par leurs valeurs x — az ,y — b z, f [x — az, y — bz) = o, ou y — bz ~f [x — az). Pour fixer les idées, proposons-nous, par exemple, de trouver l’équation du cylindre oblique à base circulaire. Soient (i) x i -\-y’‘=.r‘ et z = o les équations du cercle qui doit servir de directrice, et que nous supposons, pour plus de simplicité, placé dans le plan des xy, le centre étant d’ailleurs situé ci l’origine. Les équations générales de la génératrice sont toujours ( 2 ) x — az^=. a, y — bz= g. Or, pour exprimer que la génératrice, dans toutes ses positions, rencontre le cercle, il faut combiner entre elles les quatre équations (i) et (2). SURFACES CONIQUES. 5o5 D’abord, l’hypothèse z — o, introduite dans les équations ( 2 ), donne x — a , y m S ; d’où, substituant ces valeurs dans la première des équations (t), (3) a’+6 J =r’; c’est la relation qui lie entre elles les quantités a, 6. Si, maintenant, on reporte à la place de a, f>, leurs valeurs x — az, y —fiz, dans (3), il vient (x — «z) 2 + (y — bzY—r' 1 pour l’équation du cylindre oblique à base circulaire. 417. Ilestfaciledereconnaîlre,«/to.stm‘on', quel’équation y — bz = f (x — az) appartient à une surface composée d’une infinité de lignes droites parallèles entre elles ; ce qui caractérise la surface cylindrique. Prenons, pour plus de généralité , une équation de la forme ( 1 ) Mat+N/+Pz = F ( A .r -4- B/ 4- C z ), et dont l’équation y — bz =f{x — az), n’est qu’un cas particulier. Si l’on coupe la surface par une suite de plans parallèles entre eux , et ayant pour équations Ax + Bj+ Cz = D, D', D", D'",. .., l’équation ( 1 ) devient, pour chacune des valeurs D,D', GtC M * -f- Ny H- P z = Q, Q', Q", Q'", les lettres Q, Q', etc., désignant des quantités indépendantes de a?, y , z. Ainsi les lignes d’intersection se trouvent sur une autre suite de plans parallèles entre eux , et sont, par conséquent, des droites parallèles entre elles. Des surfaces coniques. 418. On donne cette dénomination à to”te surface engendrée par le mouvement d'une droite qui passe constamment par un point, donné (qu’on nomme centre de la surface) et assujettie à glisser le long d'une courbe aussi 5o6 DES DIFFÉRENTS GENRES DE SURFACES ] donnée de position dans l'espace ,• cette courbe s’appelle directrice, et la droite mobile est dite la génératrice. Soient x',y, z', les coordonnées du centre de la surface, et ( 1 ) F{x, y, z)==o, F'(x, y, z) = o les équations de la directrice. Celles de la génératrice sont (n° 374) de la forme ( 2 ) x — x' = a{z — z'), y — y’= b (z — z'). Observons maintenant que , pour toute surface conique, lorsque le point a:, y, z, change de position, sans quitter la même génératrice, les quantités a et b , ou leurs égales x — x’ y —y’ -_, - -, Z - Z Z — z sont constantes; mais elles varient toutes deux si le'point passe d’une génératrice à une autre. Donc ces quantités, qui sont constantes et variables ensemble , dépendent, d’une certaine manière, l’une de l’autre. Pour obtenir cette relation, il suffit de combiner entre elles les équations ( 1 ) et ( 2 ), qui, étant au nombre de quatre, donnent lieu, par l’élimination de x,y, z , à une équation de condition entre a et b. Substituant dans celte équation, pour ces dernières quan • lités, leurs valeurs , r — x’ y ~ y' on obtient enfin pour l’équation de la surface conique, N. J>. — Si l’origine des coordonnées est au centre de la surface, auquel cas on a x' = o, y' — o, z' = o, l’équation se réduit à Prenons, par exemple, le cône oblique à base circulaire, et supposons que, la base étant située dans le plan des xy, le centre SURFACES CONIQUES. 5oy de la base soit à l’origine , auquel cas on a, pour les équations de la directrice, x 2 -4- y 2 — r 2 , z = o. Gombinons-les avec les équations de la génératrice, x — x' = a (z — z' ), y — y' — b [z — z'). L’hypothèse z = o, introduite dans celles-ci, donne x — x' — ctz', y = y ' -— bz' ; d’où, substituant dans la première équation, ( x '— ctz') 2 - f- [y '-— bz') 2 — r 2 ; c’est l’équation de condition qui doit exister entre les quantités o, b, en même temps que les équations de la génératrice. Substituant pour a, b, leurs valeurs —-on obtient z — z z — z [x' (z — z') — z'(x — /)]’+ [/'(z — z') — z'(y — y')] 2 — r 2 (z — z') 2 , ou réduisant, {x' z — z' x) 2 + {y' z — z! y) 1 — r 2 (z — z') 2 pour l’équation demandée. Dans le cas du cône droit, c’est-à-dire lorsque le centre du cône est situé sur l’axe des z, on a à la fois td=o, y'~ o ; et l’équation précédente se réduit à z' 2 x 2 -\- z' 2 y 2 = r 2 (z — z') 2 . On pourrait, en faisant usage des formules du n° 411, obtenir les différents genres d’intersection de la surface conique par un plan; mais nous ne nous arrêterons pas à cette discussion, qui a déjà été traitée dans le dernier chapitre de la Géométrie analytique à deux dimensions. 419. Réciproquement j toute équation à trois variables, de la forme * y ( x 'y y'i z ' désignant les coordonnées d’un point fixe dans l’espace), caractérise une surface conique. En effet, coupons la surface par une suite de plans qui 5o8 DES DIFFÉRENTS GENRES DE SURFACES; aient pour équations, k" tf y . . . , comme l’équation (i) devient alors y — y l, y—y i', y—y ■ l" ■ C y , les lignes d’intersection de la surface par les plans correspondant à la première série d’équations se trouveront également situées dans les plans exprimés par la seconde série ; d’où il suit que toutes ces intersections sont des lignes droites. D’ailleurs, un système quelconque de deux équations de la première et de la seconde série, X ■ Z - - X ~7 y—y ■i, par exemple, représente une droite passant par le point qui a pour coordonnées x' : y r , z', On peut donc regarder la surface comme composée d’une infinité de lignes droites qui, toutes, passent par ce même point. Des surfaces conoïdes. 420. On appelle ainsi toute surface engendrée par le mouvement d'une droite qui, sans cesser d'être parallèle à un plan donné, glisse à la fois le long d’une droite fixe de position dans l'espace et appelée première directrice, puis le long d’une courbe aussi donnée , et appelée seconde DIRECTRICE. Pour faire concevoir une semblable génération, supposons que l’on ait mené dans l’espace une infinité de plans parallèles au plan donné; chacun d’eux coupe la droite fixe en un point, et la courbe en un ou plusieurs points. En joignant ces derniers points avec celui de la droite fixe , et répétant cette même opération pour tous les plans parallèles, on obtient une infinité de droites dont l’ensemble constitue la surface- conoïde. La dénomination de ces sortes de surfaces vient de l’ana- surfaces comoïdes. 5 og logie qu’elles ont avec les surfaces coniques. Le centre ou le sommet du cône se trouve ici remplacé par la première directrice. Passons à la recherche de leur équation. Pour plus de simplicité, nous prendrons pour axe des z \f première directrice , pour plan des xy celui auquel la génératrice ou la droite mobile doit être constamment parallèle. Les axes des x et des seront d’ailleurs deux droites menées à volonté dans le plan dont nous venons de parler, et par le point de rencontre de ce plan avec la droite prise pour axe des z. On voit, d’après cette construction, que la surface se trouve, en général, rapportée à des axes obliques. Cela posé, soient (1) • ' ; F {x,y, z) = o, F'(x,y,z) — o, les équations de la courbe prise pour seconde directrice. Celles de la droite mobile , considérée dans une position quelconque, seront de la forme (2) y — mx, z=t n, puisque sa distance au plan des xy, comptée suivant l’axe des z , doit être constante , et que sa projection sur le plan des xy passe nécessairement par Vorigine. Or il est évident que, pour tous les points d’une certaine position de la génératrice , les quantités m et n , ou leurs valeurs-et z. restent les mêmes: mais elles varient x ' d’une position à une autre. Ces quantités étant constantes ensemble et variables ensemble , sont fonction l’une de l’autre. Ainsi, est la forme générale de l’équation des surfaces conoïdes. Pour déterminer la nature de cette fonction, dans chaque cas particulier, il faut éliminer x, y, z entre les équations (1) et (2) qui doivent exister simultanément pour chaque point de la surface 5 ce qui donne lieu à une certaine relation entre m , n. Si l’on remplace ensuite dans cette relation m et n par leurs valeurs ^ et z , on obtient l’équation demandée. 510 DES DIFFÉRENTS GENRES DE SURFACES; Fie. 200 . 421. Comme application, supposons qite la seconde directrice soit aussi une ligne droite, et afin d’arriver à une équation d’une forme très-simple, prenons un système d’axes tout particulier. Soient CC', DD' les deux directrices. Imaginons par la première un plan parallèle à la seconde, et prenons ce plan pour celui des yz. L’un des plans auxquels la génératrice doit être parallèle, rencontrant les directrices en A et B, par exemple, rien n’empêche de prendre pour axe des x la ligne AB, représentant une des positions de la génératrice. Ce même plan coupe celui dont nous avons parlé d’abord, suivant une certaine droite qui sera l’axe des y ; on conservera d’ailleurs, comme dans la formation de l’équation générale de ces sortes de surfaces, la première directrice pour axe des z. Cela posé, d’après la situation des deux directrices par rapport aux plans coordonnés, on a, pour les équations de la seconde DD', (î) x = a, y = bz, et pour celles de la génératrice, comme au n°420, ( 2 ) y = mx , z = «; et il ne s’agit que d’éliminer x, y, z entre ces quatre équations. On arrive ainsi à l’équation de condition ma = bn ; y d’où, en rem plaçant m et n par — etz, bxz — ay— o. Telle est l’équation de la surface engendrée. Soit fait, dans cette équation, y = o ; il en résulte bxz — o, d’où x o ou z = o. Le premier système [y — o, x = o] représente l’axe des z, et le second [/ = 0 , z = o] celui des x\ ce qui doit être, puisque chacun de ces axes appartient à la surface, d’après sa génération. Nous aurons occasion de revenir sur cette sorte de surfaces, qu’on trouve dans la Géométrie de Legendre sous la dénomination de quadrilatère gauche , et qu’on désigne également sous le nom de plan gauche. SURFACES DE RÉVOLUTION. 5 I I Des surfaces de révolution. 422. On nomme ainsi toute surface engendrée parla révolution d'une ligne ( droite ou courbe ), dite la génératrice , autour d'une droite fixe qu’on appelle Taxe de révolution, de manière que chacun des points de la génératrice décrive une circonférence de cercle dont le plan est perpendiculaire à l’axe , et le centre est situé sur cet axe. Pour obtenir l'équation de lasurface, remarquons d’abord que l’une quelconque des circonférences dont elle se compose d’après la définition , peut toujours être exprimée analytiquement (n° 414) par le système de deux équations dont l’une est celle d’un plan perpendiculaire à l’axe, l’autre est l’équation d’une surface sphérique ayant son centre placé sur l’axe. Soient donc x — a = a (z — y), y — ê=é(z — y) les équations de l’axe (a, 6, y désignant les coordonnées d’un point pris à volonté sur l’axe) ; celles du plan et de la sphère seront (n° 389) (1) ax + b y -f ■ z = k et (n° 412) ( 2 ) (x — a -Y+(j r —ê) J +(z — yY=r\ Les quantités k et 7'% qui entrent dans ces équations, sont des quantités constantes ensemble pour tous les points d’une même circonférence, et variables ensemble lorsque le point de la surface de révolution passe d’une circonférence à une autre -, ainsi elles sont fonction l’une de l’autre, et l’on a (3) (x — a) 2 4- (y — ë) 2 + (z — 7 ) 2 == F (ax -h by -h z), pour l’équation générale des surfaces de révolution. La nature de la fonction désignée par le caractère F dépend essentiellement de la nature de la génératrice, et se détermine facilement dès que l’on connaît les équations de celte génératrice. 5l2 des différents genres DF, surfaces; Soient en effet .(4) f{x,y,z) = o, f'(x,y,z) = o ces équations. Comme la circonférence représentée par le système des équations (i) et ( 2 ) est engendrée par l’un des points de la génératrice, il faut exprimer que celle-ci, dans sa première position, et la circonférence, ont un point commun ; ce qui se fait par l’élimination de x , y, z entre leurs équations qui sont au nombre de quatre. On est ainsi conduit à une relation entre /' 2 et h, dans laquelle il suffit de remplacer ces quantités par leurs valeurs (x — — ë) 2 -f-(z— y) 2 et ax -|- by -f- z. 423. On suppose souvent, pour plus de simplicité, que l ‘axe de révolution se confond avec l’un des axes coordonnés, celui des z par exemple. Dans ce cas, l’une quelconque des circonférences placées sur la surface se trouvant dans un plan parallèle au plan des xj, et ayant son centre sur l’axe des z , peut être représentée par les équations z = k, x 1 •+ y 2 = r\ dont la première exprime un plan horizontal, et la seconde, la surface d’un cylindre droit dont l’axe se confond avec l’axe des z. On a donc, quelle que soit la génératrice de la surface, (5) x 2 +y 2 = F (z), ■ ou z F (ar + y 2 ), pour l’équation de cette surface. On trouverait de même x 2 +z 2 =F (y), ou y = F (x--+- z 2 ), y 2 4 - z 2 =: F {x ), ou x= F (y 2 + z 2 ), pour les équations des surfaces de révolution qui auraient pour axe celui des y ou celui des x 424. Soit proposé, pour première application, de trouver la surface engendrée par la révolution d’une droite quelconque autour de l'axe des z. Si, en vue de simplifier les calculs , on prend pour axe des x la SURFACES DE RÉVOLUTION. 5ï3 droite sur laquelle est située la plus courte distance entre la génératrice et l’axe des z, auquel cas la génératrice est nécessairement parallèle au plan des yz, les équations de cette génératrice sont alors •v:=M, j = Celles de la circonférence étant d’ailleurs, comme on l’a vu au numéro précédent, z~k, x 2 -t~y 2 =r 2 , l’élimination de x, y, z donne lieu à la relation M 2 + N 2 /?- s = r 2 ; d’où, en remplaçant r 2 et k par leurs valeurs x 2 -+-y 2 et z, x 2 +j ! = M 2 -(-N 2 z 2 , ou bien x 2 + y 2 — N 2 z 2 = M 2 . Telle est l’équation de la surface engendrée. 425. En second lieu, soit prise une ellipse pour génératrice, et supposons que son centre soit à l’origine , et le grand axe sur l’axe des z.j Les équations de la génératrice sont alors x=o, A 2 j 2 + BV = A 2 B 2 ; et en les combinant avec celles de la circonférence z = k, x 2 + y 2 = r 2 , . on arrive à Xéquation de condition A 2 r 2 + B 2 A- 2 = A 2 B 2 : d’où, remplaçant r 2 et k par leurs valeurs, A 2 (a,' 2 + y 2 ) -h B 2 z 2 — A 2 B 2 . La surface ainsi obtenue est celle de Fellipsoïde de révolution. Prenons maintenant pour génératrices les hyperboles ayant pour équations x = o, A 2 y 2 — B 2 z 2 = — A 2 B 2 , x — o, A 2 y 2 — B 2 z 2 = A 2 B 2 . (L’axe transverse est, dans le premier cas, sur l’axe des z, et dans le second , sur l’axe des y, le centre étant d’ailleurs à l’origine. ) On obtient, pour les équations des deux surfaces, A 2 (a: 2 + y 2 ) — B 2 z 2 — — A 2 B 2 , A 2 {x 2 -h y 2 ) — B 2 z 2 = A 2 B 2 . Ap. de VAl. a la G. 33 514- DISCUSSION DES SURFACES DU SECOND DEGRÉ; La première équation est celle de I’hyperboloïde à deux nappes; la seconde, celle de I’hyperboloïde à une seule nappe. Il est remarquable que la dernière équation est identique , sauf les notations relatives aux constantes, avec celle de la surface obtenue par la révolution d’une ligne droite. 426. Considérons enfin une parabole ayant pour équations X — O, = 2 / 32 . Leur combinaison avec les équations z = k, x 2 -+-y 2 =z r 1 , donne lieu à la relation 2 ,pk — r 2 , par suite, à l’équation x 2 -f- y 2 = 2/32 : c’est celle de la surface d’un paraboloïde de révolution autour de l’axe des z. Cette surface jouit d’une propriété fort curieuse. Si on la coupe par un plan quelconque z~ kx -yBy C, on obtient, pour l’équation de la projection sur le plan desxy, x 2 y 2 zp(Ax + By + C), équation que l’on a vu (n°8i>) être celle d’un cercle. Ainsi, quelle que soit la courbe à’intersection d’unparaboloïde de révolution par un plan, la projection de cette courbe sur un autre plan perpendiculaire à l’axe est constamment une circonférence de cercle, excepté toutefois le cas où le plan sécant est parallèle h l’axe; car on obtient alors pour intersection une ligne droite. Nous reviendrons sur les diverses surfaces de révolution dont nous venons de former les équations. § III. — Discussion des surfaces du second degré. 427. Les bornes que nous sommes obligé de mettre à cet ouvrage ne nous permettant pas de donner ici une théorie complète des surfaces du second degré, nous nous attacherons surtout à faire ressortir les circonstances relatives a leur classification, ainsi que les propriétés qui résultent immédiatement des équations les plus simples auxquelles il est toujours possible de ramener une équation quelconque du second degré à trois variables. Nous suivrons d’ailleurs, surfaces cylindriques dû second degré. 5i6 pour la discussion de cette équation, une marche analogue à celle que nous avons employée, dans le deuxième chapitre, pour l’équation à deux variables. L’équation la plus générale des surfaces du second degré étant ^ A z- H- A'j 2 + A".r 2 4- B yz 4- B'xz 4- B" xy 4- C z 4- C'y 4" C"x 4- D on peut d’abord (n° 154) , par une première transformation de coordonnées , faire évanouir les trois rectangles yz, xz, xy, c’est-à-dire ramener l’équation à la forme (2) Mz 2 4- M> 2 4 - Bl'V-f- Na 4 - N'j + N"* 4 - D = o. ( Voyez, pour cet objet, le deuxième volume de la Correspondance de VEcole Polytechnique, 3 e numéro, ouvrage dans lequel j’ai consigné la démonstration complète de cette proposition, ainsi qu’une Note assez étendue sur les surfaces de révolution du second degré.) Il résulte de cette proposition, que les surfaces représentées par l’équation ( 2 ) sont identiques avec celles que comprend l’équation ( 1 ). \ oyons actuellement si , au moyen d’une translation d'origine, nous ne pourrions pas (n° 156) faire disparaître les termes linéaires en x, y, z. Or, en substituant les formules x — x-p a, y — y -y b , z — z + c dans cette équation , et en égalant à o les coefficients de X, y , z , on obtient les équations de condition 2M"« -t-N"=o, 2M'è4-N'=o, 2Me4-N = o; d’où l’on déduit N" N' N 2M 7 ’ C ~~ 2M - Tant que la disparition des trois rectangles ne donne lieu à la disparition d’aucun des trois carrés, les quantités M, M/, Ai " sont différentes de o, et la nouvelle transformation est possible : en d’autres termes, lequadon peut être ramenée à la forme (3) M z 2 4- M'y 2 4- Bl'V 4- P = o 33. t 5l6 SURFACES CYLINDRIQUES DU SECOND DEGRÉ. (P ayant pour valeur Mc 2 + M 'b"- + MV 4- Ne 4- N 'b + N"« 4- P). 428. Si l’on suppose que l’un des carrés s’évanouisse en même temps que les rectangles, que l’on ait, par exemple, M" = o, la transformation précédente ne peut être exécutée, puis- qu’alors a devient infini. Dans ce cas, l’équation étant de la forme Ma 2 -+- M > 2 +Nz + N'/ 4- N"* 4- D = o , on peut tâcher de faire disparaître les termes en z et en j, ainsi que la quantité qui en est indépendante. On obtient, en effet, par la substitution des formules x = x + a , y — y 4 - b, z — z + c, et en égalant à o le coefficient de z , celui dey, et la quantité indépendante de x, y, z , 2 Mc 4 -N = o, 2 M'i 4 -N' = o, Mc 2 4- M'£ 2 4- Ne 4- N'è 4- N"« 4- D = o ; ce qui donne N , N' C ~ 2 M 5 h ~ 2M'* (Mc 2 4 - M'è 2 4- Ne 4 - N 'b + D) N" ■> valeurs réelles et finies tant que jV 7 n’est pas nul; et l’équation se réduit à celle-ci : (4) Mz 2 4-M’jr 2 4 - N "a: = o. 429. Lorsque l’on a en même temps M" = o, N" = o , la dernière transformation est impossible, puisque a est encore infini; mais dans ce cas particulier l’équation ( 2 ) devenant Mz 2 4- M 'y' 1 4 - Nz 4- N 'y 4- D =: o , ne renferme plus que deux variables, et représente évidemment (n° 402) une surface cylindrique dont les génératrices sont perpendiculaires au plan desjyz, et qui a pour base, soit une ellipse, soit une hyperbole , suivant que, SURFACES CYLINDRIQUES DU SECOND DEGRÉ. 5 IJ dans l’équation ci-dessus, les coefficients M, M', sont de même signe ou de signe contraire. 430. Supposons encore que deux des. carrés, y 2 et x*, aient disparu en même temps (pie les trois rectangles, c’est- à-dire que, par la première transformation des coordonnées, l’équation ait été réduite à la forme Mz 2 4- Ns 4- N'/ 4- N".r + D = o ; on pourrait, dans ce cas, chercher à opérer l’évanouissement de quelques termes; mais cela est inutile pour la détermination de la surface représentée par cette équation. En effet, posons successivement z^k, z ~ k', z=k",..., ce qui revient à couper la surface par une suite de plans parallèles au plan des xy ; l’équation devient, pour ces différentes hypothèses, Ny + N'hs = l , Ny + N"tf=i/, iiy + r* = L". d’où il suit que les intersections de la surface par des plans horizontaux sont des droites parallèles entre elles. Ainsi (n° 417) la surface est encore de la nature des surfaces cylindriques ; et, si l’on veut connaître une directrice de cette surface, il suffit de poser y == o, par exemple, dans son équation. Il vient, par cette hypothèse, Ma’ Nz N".r -+- D = o, équation qui exprime une parabole située dans le plan des xz. Donc, enfin , la surface n’est autre chose qu'une surface cylindrique à base parabolique. 431. En réfléchissant sur la discussion précédente, on doit conclure que toutes les surfaces du second degré se trouvent implicitement renfermées dans les deux classes d’équations Mî’ 4- My s + M'V -t- P = o , M z 2 4 - M'y* 4 - N"* = o , à l’exception de celles qui correspondent aux équations M z’ 4 - My 2 4- Na 4- Ny 4- D = o, Mz 2 4 - Nz 4 - Ny 4- N"x 4 - D = o , 5 I 8 SURF. DU 2° DEGRÉ A CENTRE OU DÉNUÉES DE CENTRE, et que nous avons reconnu appartenir à des surfaces cylindriques à base elliptique, hyperbolique , ou parabolique. 432. N. B. — Il est bien entendu que nous comprenons dans ces trois variétés générales celles qui (n os 16l et 309) correspondent aux 'variétés de l’ellipse, de l’hyperbole et de la parabole. Ainsi lorsque l’ellipse se réduit à un cercle ou à un point , la surface cylindrique devient un cylindre à base circulaire , ou une seule droite. Si l’hyperbole dégénère en un système de deux droites qui se coupent, la surface cylindrique s (^réduit à un système de deux plans qui se coupent. Enfin, quand la parabole se réduit à deux droites parallèles ou à une seule droite, la surface cylindrique devient un système de deux plans parallèles ou un plan unique. 433. Avant de passer à la discussion de chacune des équations (i) Mî ! + M'y4MV + P = o, ( 2 ) M z 2 4- M'y 2 -+- W'x = o, nous ferons quelques observations générales sur la nature des-surfaces qu’elles représentent, et sur les systèmes d’axes ou de plans coordonnés auxquels les surfaces sont actuellement rapportées. Premièrement, l’équation (i) , ne renfermant plus les termes du premier degré en x ,y, z , reste la même lorsqu’on y change -hy, -f -z en — x, —y ,— z ; ce qui prouve que toute droite menée par la nouvelle origine et terminée de part et d’autre par la surface, est divisée en deux parties égales en ce point. Donc (n°130) toutes les surfaces comprises dans l’équation (i) ont un centre, qui n’est autre chose que l’origine actuelle des coordonnées. Remarquons d’ailleurs que l’équation pourrait renfermer les rectangles des variables ainsi que les carrés, sans que la surface cessât d’avoir mi centre, et d’être rapportée à ce centre comme origine, puisque la condition caractéristique du centre serait encore remplie. On pourrait ET PLANS DIAMÉTRAUX. 5ig même supposer la surface rapportée à des axes obliques menés par cette origine. Ainsi, dans le cas d’axes quelconques, une équation telle que A z 2 -h A 'y 2 -f- ké'x 1 + B yz + B'xz + B "xy -f- D = o , dont plusieurs coefficients peuvent être nuis, représente une surface qui a un centre, et ce centre est l’origine. Secondement, on appelle plan diamétral d’une surface, un plan qui divise en deux parties égales toutes les cordes de la surface parallèles entre elles et menées sous une direction quelconque. Or, d’après la forme de l’équation (i) qui, étant résolue successivement par rapport à chacune des variables, donne deux valeurs égales et de signes contraires pour cette variable, il est évident que chacun des trois plans coordonnés divise en deux parties égales toutes les cordes menées parallèlement à l’intersection commune des deux autres. Donc ces trois plans sont des plans diamétraux ; de plus, on peut les regarder comme formant un système de plans diamétraux conjugués perpendiculaires entre eux, conformément à la définition donnée (n° 178) d’un système de deux diamètres conjugués. Troisièmement. — Considérons l’équation (2) : Puisque le troisième terme change de signe lorsqu’on remplace -hx, -f-y, -+- z, par — x , — y , — z, il s’ensuit que l’origine actuelle des coordonnées n’est pas un centre. On a vu d’ailleurs (n° 428) que, dès qu’un des carrés manque en même temps que les rectangles, il est impossible de faire disparaître à la fois les trois termes du premier degré 5 donc les surfaces représentées par l’équation ( 2 ) sont des surfaces dépourvues de centre. Observons encore que, des trois plans coordonnés, deux seulement, les plans des xy et des xz , peuvent être regardés comme des plans diamétraux, puisque le premier divise en deux parties égales toutes les cordes parallèles à l’axe des z , et le second toutes les cordes parallèles à l’axe des y. Concluons de ce qui vient d’être dit, que les surfaces du second degré se partagent en deux classes distinctes, savoir : 520 DES SURFACES DU 2 e DEGRÉ DOUÉES d’un CENTRE; les surfaces qui ont un centre , et les surfaces dépourvues de centre. Surfaces douées d'un centre. 434. Discutons l’équation Mz 2 + M'jr 2 + M'V -f- P = o. Afin de déterminer les différents genres de surfaces représentées par cette équation, nous ferons successivement (n° 411) x = const., y — const., z = const. ; ce qui reviendra à couper la surface par des plans respectivement parallèles à chacun des trois plans coordonnés ; mais on sait (n° 161) que la nature de ces intersections dépend surtout des signes dont les coefficients M, M 7 , M" sont affectés; ainsi nous sommes conduits à faire les hypothèses suivantes : i°. M, M', M", positifs à la fois ; Ellipsoïdes. Dans cette hypothèse générale, le dernier terme P peut être lui-même négatif nul, ou positif. Soit d’abord P négatif, et mettons le signe en évidence; l’équation devient ( 2 ) Mz 2 + M'y 2 + M'V = P. Cela posé, faisons successivement dans cette équation, x = a., y=z g, z = y; il en résulte Mz 2 4- M'j 2 = P — M'V, Mz 2 -+- M'V 2 = P — M'S 2 , M'jr 2 -+- M'V 2 = P — M 7 2 ; d’où l’on voit que les intersections de la surface par des plans parallèles aux trois plans coordonnés sont des ellipses qui deviennent imaginaires lorsqu’on suppose c’est-à-dire «, 6, y positifs ou négatifs, mais numériquement plus grands que \Æ’ v^’ \/s ELLIPSOÏDES. 521 Ces mêmes ellipses se réduisent à un point, pour les hypothèses K=± \/âF’ 6=± Vîr puisque alors les équations des intersections se réduisent à M z 2 + M'j 2 o, ï\Iz 2 -j- M'V= o, M'jk 2 + o. La surface que nous considérons est donc limitée dams TOUS LES SENS. De plus, elle est inscrite au parallélipipède qui a pour faces les plans x =± \/ w ’ ^ =± \/m 7 ’ 3=± V s* La nature des intersections de cette surface avec les plans parallèles aux trois plans coordonnés lui a fait donner le llOm d’ELLIPSOÏDE. Pour déterminer les trois sections principales, en d’au- Fig, 201 très termes, les traces de la surface sur les plans coordonnés, il suffit de poser successivement. X — 0, y — 0, z = 0; ce qui donne Ma 1 + M 'y 1 = P, MzM- M'V = --p, M 'y 1 + M "x 1 = P. Quant aux points d’intersection avec les axes, on obtient pour /“TT* y = 0, z = o, M";r 2 —P; d’où ' = ± \ /s»> x = 0, z — 0, M'y 1 — P ; d’où /b x — 0, y = 0, M z 5 = P ; d’où * =± \ /l Les lignes aa '=Vï” bb '= 3 \/ 'T - W’ CC' = 2 \ A sont ce qu’on appelle les axes principaux de la surface r et leur introduction dans l’équation lui donne une forme symétrique et analogue à celle de l’équation de l’ellipse rapportée à son centre et à ses axes. 522 DES SURFACES DU 2 e DEGRÉ DOUÉES d’üH CENTRE; Posons en effet il en résulte 2C = 2 M d’où, substituant dans l’équation ( 2 ), et chassant les dénominateurs, (3) A 2 B 2 z 2 + A 2 C 2 / 2 + B 2 C 2 x 1 = A 2 B 2 C 2 . 435. Cas particuliers de l’ellipsoïde : Supposons deux quelconques des trois coefficients M , M', M" égaux entre eux, M = M' par exemple, ce qui donne C = B ; l’équation devient A 2 B 2 z 2 + A 2 B 2 y 2 + B 4 .r 2 = A 2 B', ou, divisant par B 2 , A 2 z 2 + A 2 y 2 + B 2 .z 2 = A 2 B 2 . Cette équation, qu’on peut mettre sous la forme z 2 + y 2 = ^- a (A 2 — X 7 ), ou 7 2 + z 2 = F (x), caractérise (n° 423) une surface de révolution autour e l’axe des x\ car en faisant x = const., on obtient y 2 -f- z 2 = const. ; ce qui prouve que toute section faite perpendiculairement à l’axe des x est une circonférence de cercle. Les deux hypothèses successives y= o, z = o, donnent A 2 z 2 -I- B 2 x 1 = A 2 B 2 , A 2 j 2 -}- B ! ^ 2 = A 2 B 2 . Ce sont les équations de la génératrice considérée dans deux de ses positions, savoir : dans le plan des xz et dans le plan des xj. Si l’on avait M — M", ou M 1 — M 77 , on reconnaîtrait de môme que la surface serait de révolution autour de l’axe des y, ou bien autour de l’axe des z. Supposons maintenant M = M' = M", d’où C = B = A ; l’équation se réduit à z 2 -|- y 2 + x 1 — A 2 , HYPERBOLOÏDES A DEUX NAPPES. 023 et représente une surface sphérique dont le centre est à l’origine des coordonnées. Les coefficients M, M', étant toujours positifs et quelconques, égaux ou inégaux, on peut avoir P — o, ou P positif. Dans le premier cas, l’équation devient Mi’ 4 - M'y 2 4 - M* x\= o, et n’admet qu’un système unique de valeurs réelles, savoir, x = o, y — o, z = o ; donc la surface se réduit à un point. Dans le-second, l’équation M z 2 4 - M'y 2 4- M" x 2 4- P = o n’admet aucun système de valeurs réelles. Ainsi la surface est imaginaire. Concluons de là , qu’à l’hypotlièse générale M, M', M" positifs à la fois correspond un seul genre de surfaces, I’ellipsoïde, comprenant comme variétés Y ellipsoïde de révolution, la sphère, un point et une surface imaginaire. 2°. M, M'positifs et M " négatif ; Hyperboloïdes. [Il sera tout à fait inutile de considérer le cas où deux des coefficients M, M', M" sont négatifs , puisqu’en changeant les signes de tous les termes de l’équation, on retombe sur le cas où deux de ces coefficients sont itositifs. ] 43G. Supposons d’abord M, M', P j) osilifs et M" négatif. L’équation (i) du n° 434 devient, après qu’on a mis les signes en évidence, ( 2 ) Mz 2 + M'y 2 — M"ar 2 = — P. Or, si l’on fait successivement x = a., -y — ë, z = 7 , il vient pour (3) x — a.. . M z 2 4- M'j 2 = M" a 2 — P, (4) y~ S. . .Mz 2 — M" x 2 — — ( M' ë 2 4- P), (5) z = 7 . . . M' 7 2 — M" x 2 = — ( M 7 2 4 - P )• Les équations (4) et (5) prouvent que toute section faite dans la surface parallèlement au plan desxz, ou au plan D24 des SURFACES DU 2 e DEGRÉ DOUÉES d’un CENTRE; des xy, est une hyperbole dont l’axe transverse est dirigé suivant une parallèle à l’axe des x. îc. 202. Quant à l’équation (3), elle représente évidemment une ellipse réelle, tant que l’on donne à a. une valeur positive ou négative, numériquement plus grande que \Jw ; ce qui veut dire que, si aux deux distances 0 A =V/ïr on imagine deux plans parallèles au. plan des yz , la surface n’a aucun point compris entre ces plans; mais elle s’étend indéfiniment à droite et à gauche de ces deux plans , dans le sens des x positifs et dans le sens des x négatifs; d’où l’on peut conclure que cette surface se compose de deux parties distinctes, égales et opposées. On l’appelle pour cette raison, et à cause de la nature de ses intersections par des plans parallèles à deux des plans coordonnés , hyperboloïde à deux nappes. Les trois sections principales s’obtiennent en faisant successivement dans l’équation (2), o, X — o, z — o ; ce qui donne Mz ! -4- M'/ 2 = — P, Mz s — = — p, MV — M" a; 2 = — P. La première section est imaginaire; mais les deux autres sont des hyperboles MAM' et mAlm ', NAN' et nA'n', rapportées à l’axe des x comme axe transverse. Soit posé 2B= Vff’ 2 c =Vh 1 il en résulte M" = P T 2 ’ d’où, substituant dans l’équation (2) et réduisant, A 2 B 2 z 2 + A 2 C 2 y 2 — B 2 G 2 x 1 = — A 2 IP C 2 . Des trois lignes 2 A , 2B, 2C, appelées les axes principaux delà surface, la première seulement a ses deux extrémités HYPERBOLOÏDES A UNE NAPPE. 525 A, A' placées sur la surface. Quant aux deux autres, ou convient de les représenter sur la figure par deux distances BB', CC', comptées sur les axes desj" et des z\ mais les points B, IV, C, C', n’appartiennent pas à la surface, comme dans l’ellipsoïde. En un mot, l’hyperboloïde à deux nappes a un seul axe transverse et deux autres non transverses. 437. Soient actuellement M et M’ positifs, M " et P négatifs. L’équation ( 1 ) devient Mz 2 + M’y 1 - M" .r 2 = ■+- P ; et l’on en déduit successivement pour x = a. . .Mz 2 + M'jr 2 = M'' a 2 + P, y =■ g. . .Mz 2 — Wx 1 = - M' ë 2 -+- P, z = y. . .M '/ 2 — M"x' = — My 2 + P. La première équation représente une ellipse toujours réelle, quel que soit a; et les deux autres, des hyperboles rapportées à l’axe des x , comme axe transverse ou non transverse , suivant que l’on a M' v> I’ OU ■<£• On voit donc que, dans le cas actuel, il n’existe aucune discontinuité dans la surface qui, pour cette raison, porte le nom d’nYPERBOLOÏDE à une nappe. Les hypothèses successives Oc. 2o3 X — o, y — o, z — o, donnent Mz 2 -h M'y 2 —P, Mz 2 — M" x- — P, M'y 2 — M" x 1 = P. L 'ellipse représentée par la première équation est la plus petite de toutes celles qu’on obtient en coupant la surface par des plans parallèles au plan des yz. Les deux autres équations expriment des hyperboles situées, l’une dans le plan des xz, l’autre dans le plan des xy, et ayant pour axe non transverse l’axe des x. Cela suffit pour donner une idée assez exacte de la surface dont deux axes principaux sont transverses, et le troisième est non transverse. 520 DES SURFACES DU 2 e DEGRÉ DOUÉES d’uN CENTRE. En posant “‘“Vîp’ on trouve p M"= -, A 2 M 7 P P B 2 ’ “ C 2 ’ d’où, substituant dans l’équation de la surface, on déduit A 2 B 2 z 2 + A 2 C 2 ^ 2 — B 2 C 2 æ 2 =+ A 2 B 2 C 2 . 438. Cas particuliers des deux hyperboloïdes : i°. Soit M = M 7 , d’où C = B, les équations des deux surfaces se rédui sent à A 2 z 2 + A 2 f — B 2 -z 2 = — A 2 B 2 , A 2 z 2 4- A 2 / 2 — B 2 a: 2 = -f- A 2 B 2 ; ce qui donne z 2 -f- y* = F (a?). Donc les deux hyperboloïdes deviennent des surfaces de révolution autour de l’axe des x (voyez le n° 423). 2 °. Soient M, M' positifs , !YI " négatif et P égal à o. L’équation devient Mz 2 + M 7 / 2 — M"a 2 = o; d’où l’on déduit ou bien, f M" x' 1 M z 2 "M 7 '? M 7 ’ l=F[- Z \ Z c’est (n° 419) l’équation d’une surface conique dont centre se trouve placé à l’origine. 459. Remarque. — Cette surface, comparée aux deux hyperboloïdes, jouit d’une propriété curieuse, qui consiste en ce que scs génératrices se confondent avec les asymptotes des hyperboles résultant de l’intersection des trois surfaces par un plan mené a volonté suivant l’axe des z , ce qui lui a fait donner la dénomination de cône asymptotique aux deux hyperboloïdes. Il suflirait, pour démontrer-cette propriété, de substituer dans les équations M z 2 + M'J - 2 — M" a- 2 = rp P, Mz 2 + M 7 jr 2 — M"a; 2 — o, les valeurs de x, y , z en x', y 1 , tirées des formules du n" 411, qui, dans le cas actuel, à cause de 0 — go", cFoù sin9 = i, cos0 = o, DES SURFACES DU 2 e DEGRÉ DÉNUÉES DE CENTRE. 527 se réduisent à z=y', y — x' cos+M"* , + P = o, ( 2 ) Mz ! + M'y 1 H- N"x = o, à la place de eu, y, z, leurs valeurs tirées des formules du n° 411, savoir : x — x' costp -+- y' cos9 sin

y' + Ex' + F = o, qu’il s’agit ensuite de discuter pour chaque genre de surface. 446. Sections circulaires. — Nous nous bornerons à faire usage de ces formules pour démontrer une propriété très-remarquable, consistant en ce que toute surface du second degré (le pararoloïde hyperbolique excepté) donne lieu à deux systèmes de sections circulaires : propriété dont celles qui ont été établies aux n os 358 et 363 pour le cône et le cylindre obliques 3 à base circulaire, ne sont que des cas particuliers. On sait déjà (n° 85) que l’équation (3) ne peut représenter un cercle, les axes étant rectangulaires, qu’autant que SECTIONS CIRCULAIRES. (5) M' sin 2 y 4- M" cos 2 tp. 533 l’on a entre les trois coefficients A, 15, C, les deux relations B=o, A = C, qui, exprimées en fonction des quantités M, M', M",

i 4- tang 2

et /M' — M" ^0 = +^/^—^.. Discutons ces valeurs de tangîf et de tangô, qui peuvent être réelles ou imaginaires , suivant les liypotbèses faites sur les coefficients M, M', M". DES SECTIONS CIRCULAIRES 534 Or, si l’on multiplie entre elles les quantités sous le radical, M" — M M" — M' M' —M" ' M — M' ’ M ~ M" ’ M — M' ’ il vient pour produit, (M' — M") ! (M — M') 2 ’ ' résultat essentiellement positif; ce qui démontre d’abord que Y une de ces trois quantités, au moins, est positive; mais je dis que si la première, par exemple, est positive , les deux autres sont négatives. M" — M En effet, pour que —-— soit positif , il faut que M!' — M et M — M' soient de meme signe , c’est-à-dire que l’on ait en même temps M" — M ou o, M — M' > ou < o; d’où, ajoutant ces deux inégalités, membre à membre, M" —M'> ou <0. On voit donc que M' 7 — M 7 et M — M" sont de signes con- . . M" —M' trairés ; ainsi —-— est négatif. Pareillement, M'—M" et M— M' sont de signes contraires; ainsi M'— M'< m 7 est négatif. On démontrerait de la même manière que, si la seconde ou la troisième était positive, les deux autres seraient négatives. Concluons de là que, sur les trois systèmes , h cos9 — o, tang

— o, tang0 = cc, ou Le second est évidemment imaginaire. Quant aux deux autres, ils sont identiques, et signifient qu’il n’y a qu’un plan perpendiculaire à Vaxe des x qui puisse produire une circonférence de cercle. 447. Les conséquences précédentes souffrent quelques modifications pour les deux paraholoïdes. En effet on a, pour ces deux surfaces, M" = o, par suite, les relations B = o , A = C, deviennent cos0 sintf.costp = o, M sin 2 0 = M' (sin 2

M'. M = M', • ce qui est (n°44'l) le cas du paraboloïde de révolution (elliptique) , il en résulte cos 0 = 0 , et sini}) = ±i, par suite, cos = o ; ou bien cos y = o, et sin 0 = ± i, par suite, cos0 = o : d’où l’on voit que ces deux systèmes rentrent l’un dans l’autre, et cela signifie que le plan sécant est perpendiculaire à l’axe des x. 448. Piemarques. — 1 °. Les conditions Ë = o, A — C,ne déterminant que les angles 0 , , et non les coordonnées a i & > c i il.s’ensuit que, pour toute surface du second degré, autre que le paraboloïde hyperbolique, il doit exister deux systèmes de plans parallèles entre eux et en nombre infini, qui donnent des sections circulaires . Toutefois, si la surface est de révolution, les deux systèmes se réduisent à un seul. plajns tangents axjx surfaces du 2 e degré. 537 2 °. On peut alors demander le lieu des centres de toutes les sections pour chaque système. Pour résoudre cette question, remarquons que rien n’empêche, pour chaque section obtenue, de disposer des indéterminées, a, b , c, de manière que l’origine des coordonnées soit placée au centre de la section : ce qui exige (n° 316) que, dans la transformée (3 ) du n° 445, les coefficients D, E soient nuis. La question se réduit donc à former ces coefficients et à les égaler à zéro. On trouve ainsi, pour les surfaces correspondant à Ms 2 + M'j 2 + M"x 2 + P = o, 2 M r sin 0 — 2 M' b cos 0 cos

s + M V + P = o l’équation générale des surfaces qui ont un centre, et appelons x', y', z' les coordonnées du point par lequel on veut mener un plan tangent à la surface; on a déjà la relation ( 2 ) Mz' 2 + M'/' 2 + M'V 2 4- P = o. Maintenant, si par ce point on imagine successivement deux plans parallèles au plan des xz et au plan des yz , on aura pour les équations des intersections de la surface par ces deux plans, y — y 1 , M z 2 4 M V M'/' 2 -+- P o, x = x’, M z 2 -+- M'/ 2 -f- M'V 2 -+- P = o; et pour les équations des tangentes à ces sections, au point x\ z ' oyez le n° 187 ), ( 3 ) y — y ', M zz' 4 - Mf'xx' + M' 4' 2 + P — o, (4) x = x', Mzz' + M ’yy’ 4- M'V 2 + P = o. Or le plan tangent doit, en vertu de ce qui a été dit ci-dessus, passer par ces deux tangentes : ainsi la question est ramenée à trouver l’équation d’un plan passant par deux droites dont les équations sont données. D’abord, comme le plan doit passer par le point od, y', z! , son équation est de la forme (5) A [x — x’) 4- B (y — y) 4- C (z — z') = o. Il suffit maintenant d’exprimer que ce plan, qui renferme déjà un point commun aux deux droites, est parallèle à chacune d’elles. On a pour cela (n° 388), les deux conditions A ci —f- B b 4" C — o, Ac/'-f-Bè'+C = o; mais les équations (3) et (4) peuvent se mettre sous la AUX surfaces du second degré. forme Mz' M'V (M '/■ x=z0.z-+-x', y ce qui donne M'V Mz' y = o.z + y, (M'V 2 4-PI m y M y Mz' b = o; o, Mz' A X — M 3' d’où A — MV MY +l -°’ Mz' ■ BX — Mz' m y + ~ 0 ’ d’où B = m y r Mz' 53 9 M'V' “ M par suite les deux relations de condition deviennent Substituant ces valeurs dans l’équation (5), on obtient ( 6 ) Mz' (z — z') -+- M'/' [y — y') M'V (x — x') = o , ou, développant et ayant égard à la relation ( 2 ), ( 7 ) M zz' -f- M'jrjr' 4- Wxx’ + P = o, équation qui ne diffère de l’équation de la surface, qu’en ce que les carrés z î , y 2 , x 2 sont remplacés par les rectangles zz', xx 1 . 450. Passons aux surfaces dépourvues de centre. L’équation générale des paraboloïdes étant ( 1 ) M z 2 4- M'y 4- 2l\"x = o (on verra bientôt pourquoi l’on pose ici le coefficient de x égal à 2 ]\ t// ) , on a pour le point de la surface dont les coordonnées sont x', y 1 , z', ( 2 ) M z' 2 4- M'y 2 4- 2 NV = o . Les équations des intersections de la surface par deux plans parallèles aux plans des xz et des yz , passant par le point (x 1 , y', z') , sont y __ y ^ M s 2 4- 2 NV 4- M'y 2 = o , x = x', M z 2 4- M'y 4 - 2 NV — o ; et celles des tangentes à ces courbes, menées par le même point, sont (n os 264 et 187) y = y, M zz’ 4- N" ( x 4- x' ) 4- M'y J = o, x = x', M zz' 4- M'yy' 4-2NV=:o. Maintenant, le plan tangent devant passer par le point 54 ° PLANS TANGENTS AUX SURFACES DU 2 e DEGRÉ. x ', y, z', son équation est de la forme (3) A (x — x') + B (y — j')-+-C (z — z') — o; les relations qui expriment que ce plan est parallèle aux deux droites, étant toujours A ci — 1— B b -j— C o j A ci' -f- B b r H— C ~ — ; o , on a évidemment ici MV ; b = o; a' — o, ¥ = ■ M z' N" ’ M'/ ce qui donne pour les deux relations de condition AX — Mz' RI z' „ „ , N" ^+0=0, . r ÆortffajJC 0 n ,J . Jilrts. /3(Z£Æ&/j-OS', . GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS Ifipliinho/i t/e /é/lh/ebri- a la Géométrie,par J50UJUKMV /'Intu/u' Il. ÿ .S y «' i> 'K p p 1 P 1 p x Ma/'e/ -J/ac/c/ier: fi///<■/// J’ierro/i, /mp>. /• Vont/atteon ,u. 2*itrts GEOMETRIE AXAiA'TlOUK A DEUX DIM EXS ION S. lppf/ea(ion /, llrr a fa (téomrfm*,par HOl HI)() -V . • 73(7t'iïof/< v, <’ef/7/v//\. J’iorron. /m/>- r ifonffaucon ,J .Jiins. I GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS 'Ipphai/ion i/e /- !(. /■ .¥on//d/tc<>n,*j . 2*ar'ïs. (TEOMETUIE AXAJATJ(JUE A DEUX DIMENSIONS vp. r. Jfcnt/ti. cWtti'ut'. GEOMETRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS t/e /'-//t/èZ/'e <7 /f /’eome/rte, />' o Ttr b' / •?/ p&y îy /Jutes jv Juiffet ■ 7Jec/ictû‘/\ èfti/i . f/ysAcaüo/t t/e /sf/,/('/>/-r // /,/ ù’etune/r/e, y*//- BOl KDO-N GEOMETRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. Manche .V /m/>. l^l •-Q : -o ex» c-» o £ e 3 — Z H* Cx* X) < jpi ^' . ° ■ * SO - ^AÛ °§ ■ no :■ - oo --ri o 'c'OOO JÛ ° OC^ oo fr'O 000.000 KSooo ~ oo ; o o xxrrr ce £ \ \ "'Ht-. M o MIO ! I q ! e M^i-snZ H13 l»S«15« ( .ttî® s*S!iS wmmmmmmmm immmi '.(vywiîinm ï&ggKWiï !«IïLJ,k ■'•«<«ii»itj»Uîriii