F '-f M M ti SMK- UM lf* •Ä* i' LNE .<4^. MU tfy c-OTgg %y e>* PC 0.0X6 . ac C[> J).S. CCartt 4,??CÄecemtj^' / CLARISSIMI VIRI D. S> E 3L A C # A ILLE, ACADEMI® REGI® SCIENTIARUM PARISIN®, SUECIC®, BORUSSIC®, HUSSICjB , ET GOETTINGANjS, NEC NON INSTITUTI BONONIENSIS JMBMBRI, AC PROFESSORIS MATHESKOB IN COLLEGIO MAZARINIANO PARISIIS, LECTIONES ELEMENTARES MATHEMATICA, SEU ELEMENTA ALGEBRA, E T GEOMETRI® 2 K LATINUM TRADUCTJB, B T AD EDITIONEM PARISINAM ANNI MDCCLIX . DENUO EXACT® C. §. E S. J. ANNO MDCCLXXIL A BORE ET FAVOR E. ’k.il mm nwMwnnwuBHHNwwiiiiajigwTOsj VIENNA, Typi* JOANNIS THOMiE nob. de TRATTNERN, AUL® TYFOGR. ET BIBLIOF* ANST LECTORI BENEVOLO. mJ&i 2 yÄtÄ *; ® s | V M iri Eruditisstmi D. de la Caille Astronomiae, Physicae & AH Geometriae Lectiones anno 1757. in eorum gratiam, qui J GaUxcam linguam non callent, latine redditas publici juris ^ || '" feci , paucos post menses secutae sunt Elementares Lectiones Opticae ejusdem DocliJ/imi Authoris cum auctario de Micrometro objectivo a R. P. Rogerio Josepho Roscovich S. J. concinnato s addidi etiam altero mox anno Algebrae, & Geometriae Elementa, ex editione Parisina Anni 1756 ; contra ordinem procul dubio, quem in fingulis hisce opusculis tenere oportuerat. Verum quoniam ea potissimum de causa ad versonis laborem animum adjeci, quod nullus esset e latinis scriptoribus, qui Aßronomice (qualis noßro eß tempore J elementa tironum captui accommodata edidisset , mihique pro muneris ratione haec Matheseos pars in privatis meis institutionibus non levi manu pertractanda esset, non mir ederis, Amice Lector ,fi has solas •e Lectionibus elementaribus nostri Authoris in latinum traducendas primum mihi conßituu Atque hinc facium eß, ut Aflronomia ceteris prior e prodo exierit . Quoniam vero ita Lectoribus Clarifstmi Authoris Lectiones probatae sunt, ut non modo in Galliis eae, quot Algebram , & Geometriam complectuntur, anno 17S9- recudi debuerint, sed etiam latinat mece ver- ßonis exemplaria omnia divendita ßrt, novam hanc editionem, non paucis adhibitis mutationibus, ut ad postremam Parißnam f quot quinta jam est ) prorsus esset exacta, adornare necesse fuit. Arithmetices, & Algebrot Lectiones, quas prior Pars exhibet, eo ordine, eaque perspicuitate digessit Author, ut omnino illud assecutus fit, quod suo in Monito animadvertit, ut nempe citra praesens Praeceptoris subsidium eas tiro, quem illis natura instruxit dotibus, quas JVLatheßs per feste in suis cultoribus requirit, animofacile comprehendere possit. Ac ne fortassis hoc rerum tantummodo facilitati quis tribuat, vel e solo Indicis intuitu quisque intelliget, nihil fere eorum omissum esse, quae & usum habeant, & ad elementa revocari posstntj Ut adeo bxc laus vera methodi fit, & ipfi authori debita. L L Quod ad Geometriam , author erusitisiims methodo indivisibilium utitur, Geometris magni Jane nominis probata, qua id procul dubio pr que Geometri# objectum. LaCaille Lett- Elem. A L Notio General. Mathes, 6 . Ut adeo Arithmetica & Geometria universas Mathematicas disciplinas complectatur, eaeque, quibus Astronomia?, Mechanica?, Opticae &c nomina obtigere, nil aliud revera sint, nisi Arithmetica? & Geometri* ad peculiaria objecta applicatio, ad motus puta Astrorum, ad leges impactus, & sequilibrii, ad luminis affectiones &c. Fieri itaque nequit , ut scientiarum istarum quis gnarus evadat, nisi si Arithmeticae, Geo.metria?que notitiam habeat. 7. Matheseos utilitas ad omnem fere humanam cognitionem pertinet, ut verum inter falsumque discrimen statuat; ut veritatum jam repertarum evidentiam pariat, ut detegat novas, ut reliquis scientiis certitudinem plenam, perfectionemque adferat, ad quam ratio humana per se potest pertingere. g. Atque ut ad hanc perfectionem pertingant Mathematici, imprimis definitiones adhibent, seu verborum notionem, rerumque, de quibus iis sermo est, naturam nitide, praeciseque determinant: tum statuunt axiomata, hoc est, principia tam clara, ut eorum evidentia? nemo vel minimum quid dubii cum ratione obmovere postit; quandoque etiam po- fiulata addunt, id est, rem factu tam facilem sibi dari poscunt, ut negari nequeat. Ex hisce principiis, postulafisque Propofitiov.es deducunt, quarum nexum necessarium cum axiomatis luculento ratiocinio, quod demon - strationem appellant, ostendunt. Denique e propositionibus jam demonstratis Corollaria inferunt, quae nihil sunt, quam veritates inde manifeste profluentes, ut non aliis argumentis evinci debemt. Hunc in modum si qua materia pertractetur, Methodus Geometria adhiberi dicitur. 9. Duplex est propositionum genus, alia?» quas Theoremata nuncupant, quaeque magnitudinis proprietates demonstrant; alia?, quas vocant Problemata, vel theorematum ope demonstratum proprietatum applicationem ad usura ostendunt, vel qua ratione nova* detegi possint, docent. 10. Ut seu via ad demonstrationem praeparetur, seu ipsa demonstratio reddatur clarior, non nunquam Confirutyones , Lemmata , & Scholia adhibentur. 11. Est vero constructio partium earum recta coordinatio , quae ad demonstrandum Theorema sunt necessaria?: seu etiam ordo ipse, qui ia Problematis resolutione est tenendus, 12. Lemma est veritas, cujus demonstratio ideo solum praemittitur, uf sequentium propositionum evidentia inde deduci possit. 13. Scholium quandoque est observatio quaepiam rei notatu dignae, quandoque est propositionis ejusdem demonstratio alia ratione inita; Definitiones. S quin etiam totius theoriae in antecedentibus diffusius expositae summaria quaedam repetitio. AXIOMATA PRAECIPUA. 14. I. Totum est majus sua parte. 15. II. Totum est aequale suis partibus simul sumtis. 16. III. Quantitates, quaesunt singulae aequales eidem alteri, sunt aequales inter se. 17. IV. Si quantitates aequales inter se, aequaliter augeantur, vel aequaliter minuantur, etiam auctas, vel imminutae manent aequales. ig. V. Si quantitates inter se aequales augeantur, vel minuantur inaequaliter, fiunt inaequales. 19. VI. Si quantitates inter se inaequales augeantur, vel minuantur aequaliter, semper erunt inaequales. PARS PRIMA ARITHMETICA. De natura Numerorum ; de eorundem formatione , A valore. ÄO. /Quantitas numeris expressa ejusmodi est, quam velut in plures partes aequales divisam plerumque concipimus: & ex partibus istis si quaepiam solitarie spectetur, unitas dicitur. Itaque numerus est collectio unitatum ; & si cui unitati altera adjungatur, earum summa numerum binarium, seu duo t efficiet; si denuo his addatur unitas, numerus tria habebitur, & sic deinceps. 2i. Extensum reipsa partibus infinitis constat, ut numero finito exprimi nequeat, nisi si eas consideremus velut in plures collpctiones minores, numero finitas ac inter se aequales, distributas. Dum igitur numero extensum designamus, indicamus solummodo, in quot ejusmodi aggregata particularia partes omnes divisas concipiamus: & tum quidem unitatis vicem id genus collectio subit, quae ipsa adeo nequaquam est indivisibilis, sed suis etiam partibus constat, quarum respecta numerum constituit. Atque hinc fractiones originem ducunt, 22. Uc numerum quemlibet designare poffimus, decem sequentibus characteribus, live cifris utimur; A L 4 Pars I. Arithmetica. zerus - - .... 0 quinque unum - - - i fex duo - - septem tria - - .... 3 octo - quatuor .... 4 novem * * - $ - - 6 - - ’ 7 3 '9 Itaque dum decem indicare volumus, scribimus io, qusd decadam deno* tat; dum undecim significamus, utimur hac nota n, velat decadis & unitatis signo ; duodecim exprimit iL, sive decas cum duabus unitatibus Ac. Pro centum aihibemus loo,"id est decadum decadem; pro centum o unum, ioi substituimus, seu decadem decadum cum unitate Ac. 23. Ex quo manifestum sit, notas, dum singul* ponuntur, non alium habere valorem, quam superiore tabella expositum; at dum pfures in eandem conjunguntur seriem, eum Cuivis tribuendum elfe, quem locus, quo alias praecedit, sequiterve, exigit. Valor autem localis a dextra sinistram versus computatur, üt nota quaslibet ad dextram contiguae decadem designet, ita quidem ut hoc sese ordine excipiant: numerus simplex, sive unitas , decas, centenarius, millenarius , decas millenariorum , centenarius millenariorum, dedes centena millia , vel milito , decas millionum , centenarius Ac. millionum , bimi Ilio sive billio , decas billionum, centenarius Ac. billiouum, trimillio, aut trillio Ac. 24. Ut ergo numerum secundum valorem suum rite enunciemus, exempli»causa 2639, advertendum est, primam a dextra parte notam 9 effe numerum simplicem novem unitatum; huic contiguam z exprimere tres decades, seu triginta; sequentem 6 valere sex centenarios , vel sexcenta: postremam denique 2 denotare duos millenarios, ant duo millia. Quare si converso ordine itdem valores repetantur, dicendum erit, numerum 2639 fignificare duo millia, sexcenta, triginta A novem. 25. Munus zeri, seu notae o, est, vel ut simpliciter quantitatis nu- mericae carentiam exprimat, seu nihil , eum scilicet nullum alium numerum sibi praefixum habet; vel vero ut, dum locum quempiam occupat, reliquis notis valor localis conservetur. Sic quando ad significandum decem, vel decadem, scribimus 10, unitati zerum adjungimus eum in finem, iit fecundo,' loco constituta intelligatur, in quo decadis valorem habet. Dum ducenta A septem indicamus, utimur notis 207; ut zero inter 2 A 7 interjedto advertatur, primam 2 centenariorum locum tenere. 26. Cum notis numericis magnitudo quaepiam data exhibenda est, yeluti fexaginta tria millia, quadringenta A tria, animadvertendum est, numerum hunc compositum esse e fex millenariorum decadibus, tribm Operationes Arithmeticae. 5 millenariis, quatuor centenariis, yero, seu ti ulla decade, & tribus unitatibus. Hinc primo scribendum est 6, quo sex millenariorum decades indicentur;^ dein ad dextram adjungendum 3 pro tribus millenariis; postea 4 pro centenariis; zerus in loco decadum; tandem 3 pro unitatibus, ut ade* numerus propositus sequente ratione exprimatur 63403. 27. Numerum simplicem, sive unitates etiam, appellabimus deinceps numerum quemlibet, cujas valor decadem non adaequat, hoc est, omnes ab 1 usque ad 9 inclulive. Numeros compostos dicemus omnes, qui pluribus, quam Una nota, constant, sive aio omnes in infinitum. DE OPERATIONIBUS ARITHMETICA. 2g. Quoniam Mathematici quantitatem ea solum ratione spectant, qua augmenti, vel decrementi capax est, sequitur, duplicis generis operatio- w es in numeris pojfe inflituti; alteram scilicet, qua una, pluresve quantitates da• te augentur, quam add itionem appellant, alteram, qua quantitas data alia quantitate pariter data imminuitur , vocaturque Subtractio. Dum operatip in numeris simplicibus instituenda est, nulla opus est regula, utpote cum hosce citra ullum negotium combinemus; at vero si numeri dentur compositi, ad regulas recurrendum est, quibus nempe continetur ars illa efficiendi per partes, ac successive, quod in toto, atque unico mentis actu praestare non possumus, quae ob suam brevitatem ad magna sese non extendit. De Regulis Additionis. 29. Per Additionem plures quantitates datae in unum totum aliquod componuntur, quod etiam Totum seu summa earum magnitudinum dicitur. j 30. I. Dum quantitates datae sunt numeri simplices, regulis non indigemus, ut summam earum repedamus, cum nemini non sit clarum, dudumque notum, verbi gratia si 2 addamus ad 2, totum fore 4; id, quod compendii causa hunc in modum exhibemus 2 -f- 2 = 4 (signum enim -+- denotat plus; ac alterum — exprimit aquale). Pari ratione nemo nescit, 3, 6 , & 3 'simul juncta esse 17, vel 3 - 4 - 6 - 4 - 8 — 17* 31. II. Quod si dentur numeri compositi, uti si quaeratur summa ex 432, & 363 , en r ulam in additione tenendam; scribe numerum alterum vafra alterum ita, ut unitates, infra unitates , decades infra decades, centenarii infra centenarios positi singulas feries verticales constituant : duc lineam transversam, if initio a dextra facio, versusque sinistram progrediendo, collige A 3 6 Pars L Arithmetica. summam imitatum , tum decadm , dein centenariorum £f c. scribe sin- 43* gulas has summas infra lineam sub columna correspondente , ex qua 3£3 scilicet quavis collefta est. Exempli causa in prima columna 795 habentur 24-3 = 5; scribantur inferius 5. In altera sunt 34-6=9; subscribantur 9. In tertia 44-3=7; & positis infra lineam 7 , quaesita summa obtinetur 795. Ratio operationis ex Axiomate II manifesta est, quod scilicet fotum aequale sit suis partibus omnibus simul sumtis. 32. Observa L Quando summa ex una columna colleEla excedit 9, five dum componitur ex decadibus ff unitatibus, solee unitates infra lineam scribenda sunt, numerus vero decadum in sequentem columnam rejiciendus. Sequentia exempla rem illustrabunt. Oporteat addere hofce tres numeros 6078 , 9198. 483 : scribantur igitur juxta regulam alii infra alios, & erit g 4- 8 ----- l6, 6078 4-3 =19; hoc est, summa primae columnae conficit 19, 9198 seu decadem unam cum novem unitatibus. Unde huic uni- 48 A tatum colum nae subscribantur 9, decadis vero ratio in se- *5759 quente habeatur. Quare habebitur 14-7^8, 4-9 = 17,4-8 = 25. Ob rationem jam expositam non nisi 5 scribantur infra secundam columnam, servatis 2 decadibus pro sequente; in qua fiet 2 4- 0= 2,4-1 = 3, 4- 4 = 7, & scribatur sub linea 7. Denique in postrema est 6 4- 9 ----- 15; & quia nulla alia sequitur, utraque nota 15 ponatur. Habebitur summa quaesita I5759. Subjicimus exempli causa additiones alias juxta regulam factas, in quibus tiro exerceri possit. 4950 I 01740 147 40000 _5°5? 270 45 59697 10000 21909 3 12 190 123919 56 1009 200 __?897 760 110793 33. II. Ut sciatur, num quis error in additione commissus sit, repetatur operatio, atque summa colligatur ex singulis columnis ab infima nota sursum ascendendo. Equidem manifestum est, eandem delere prodire, quae invenitur descendendo a suprema ad infimam. 34. III. Si idem numerus sibi ipsi aliquoties addi debeat, uti sexies, octies, vigesies, vel centies &c, tum vero additione compendiaria utendum est, quae Multiplicatio dicitur, a nobis paullo inferius' explicanda. Operationes Arithmrtic-®. 7 De Regulit Subtnclionis. 35. Per subtractionem data quantitas minuitur quantitate alia itidem data: ejus ope cognoscimus, quantum altera major, minorve sit altera, quisve exosjjus majoris sit supra minorem, seu quaenam utriusque sit differentia. 3Ö. In numeris simplicibus subtractio omni caret difficultate. Nemo enim non videt, quod fi 2 ex 5 demantur, 3 superfint , atque ideo 3 sint excessus 5 supra 2, vel etiam differentia inter 2 & 5. Expressio compendiaria hujus operationis «st 5 — 2 = 3 (sigstui* — indicat minus); item 9 — 4 == 5; 8 — 7 = i. 37. In numeris compositis sequens servetur regula: numerus fubtra- hendus altero minor esse debet; scribatur igitur minor infra majorem eodem modo, ac in additione pr&cepimus : tum infra fingulas columnas ponatur excessus unitatum , decadum , centenariorum Ifc numeri superioris supra unitates , decades , centenarios 6 fc numeri inferioris ; habebitur excessus totus , five differentia inter numeros datos. Exemplum. Sit numerus 243 subtrahendus ex 793 : 795 ubi minor subscriptus majori est, siet imprimis5 — 3 = 2: 2 43 poniturque haec nota 2 infra lineam: dein 9 — 4 = 5, & 553 5 priori versus sinistram adjungitur sub secunda columna: denique ob 7 — 2 =5: 5, rursus hoc residuum subscribitur, ut differentia seu residuum totum evadat 552. 38. Ratio est, quod subtractis ex 795 tot unitatibus, tot decadibus, centenariis &c, quot in 243 continentur, neceffe sit, ut numerus unitatum, decadum, centenariorum &c remaneat, qui excessum numeri 795 supra 243 aequet. 39. Observa L Quando in columna quapiam nota inferior major efi superiore , huic (superiori J decas addenda est , atque excessus superioris decade Audtx supra inferiorem subscribendus; ut autem hujus decadis compensatio fiat, nota versus finißram proxima in numero minuendo mulftanda est unitate. Exemplum. Sit numerus 38 ex 64 subtrahendus; postquam juxta regulam descripti sunt, apparet, 4 — 8 sieri non posse; 64 verum 14 — 8—6; quare 6 subjiciatur primae columnae; 6 quoniam decas addita fuit ad 4, in columna altera nequit, ut alias, poni 6 — 3, sed tantum 5 — 3 = 2; subscripto 2, differentia quaesita est 26. Exempla alia 48500 500OQ 56078 489249 402 30000 1003 299999 48098 22002 5507z 189250 Pars I. ArithmEticta. 40. II. Ut conflit, fiibtrdifonern rite ejse peragam, excejsas repertus ad datur numero minori j evidens enim est, summam debere numero majori aequalem fieri. 41. III. Si numerus idem siepius, v. g. sexies, vigesies, centies &c ex eode#i subtrahi debeat, ut inveniatur, quoties major minorem excedat, adhibenda est subtractio compendiaria, quae Diviflo appellatur. DE RELIQUIS ARITHMETICA OPERATIONIBUS. Q uamvis juxta notionem Arithmetices superius allatam ( 28) ea duabus tantummodo operationibus absolvatur; quia tamen plures emergunt casus (quos N. 34, & 41 indicavimus), in quibus nimium longa» evaderent, earum sequentia compendia sunt excogitata. De Multiplicatione. 42. Multiplicationis usus est in reperienda citra longiorem calculum summa alicujus numeri sibi ipsi pluribus vicibus addendi; ita si quis quaerat summam, quas ex 12 novies sumtis oritur, necetse erit, ut effor- met seriem e 12 novies scriptis indeque summam 108 colligat (Zi), nisi multiplicationem adhibeat, qua eandem summam 108 sine ejusmodi ambagibus inveniet. 43. Atque in exemplo proposito numerus 12 Multiplicandus dicitur, 9 multiplicator, & 10$ pro dubium, sive sablum y communi vocabulo tam multiplicandus, quam multiplicator f adores' appellantur. Igitur clarum est, produclum efje jummarn multiplicandi toties sumti , quot multiplicator unitates continet: sive, quod idem, in producto toties contineri multiplicandum, quoties unitas in multiplicatore. 44. Ex multiplicatione ergo haec proportio deducitur: unitas eft ad multiplicandum, ut multiplicator ad prcdubktm. 45. Si loco 12 in una serie no/ies scripti, ponatur 9 duodecies, patet, in utra vis eandem summam 108 debere colligi; atque hinc intelligi- tur, perinde eße, uter e duobus numeris pro multiplicando fumatur , cum altei r femper futurus ßt multiplicator. 46. Pro multiplicatione numerorum simplicium nulla praescribi potest regula, cum quisque videat, factum ex 2 in A ductis elfe 6 , cujus compendiaria significatio est 2 xZ — 6 (signum X enunciatur multipli- satum per, vel duclum in); similiter 3 x 4 ----- ie, 7 X 5 = 35 &c. Quin •pus est producta numerorum simplicium memoria tenere, ut regularum naul- Operationes Arithmetica. 9 multiplicationis usus expeditior sit. Quem in finem paullo majora se* quente tabella subjicimus. ' 3 X 3—9 4 X 3 ---- 12 5 x 3 — 15 6x3 = -3 3 X 4 = 12 4 X 4 ---- 16 5 x 4 = 20 6x4 ----- 24 3 X 5 — 15 4 x 5 = 20 5 x 5 — 25 6x5 = 30 3 X 6 = 18 4 x 6 ----- 24 5 x 6 ----- 30 6x6 — 36 3 X 7 = 21 4 X 7 --- 23 5 x 7 — 35 6x7 — 42 3 X 8 --- 24 4 X 8 = 32 5 x 8 ----- 40 6x8 ----- 43 3 X 9 = 27 4 x 9 = 36 5 x 9 = 45 6x9 ----- 54 7 X 3 = 21 8 x 3 = 24 9 x 3 — 27 .7x4 — 28 8 x 4 ----- 32 9 x 4 — 36 7x5 — 35 8 x 5 = 40 9 x 5 — 45 7x6 ----- 42 8 x 6 = 48 9 X 6 = 54 7x7 — 49 8 x 7 ----- 56 9 x 7 — 63 7x8 --- Z6 8 x 8 ---- 64 9 x 8 = 72 7x9 — 63 8 x 9 = 72 9 x 9 ----- 81 47. Si dentur duo : numeri, v. g. 32 & 24 , ut obtineatur eorum fa> ctum, imprimis alteruter, quem quis multiplicatorem efte velit (plerumque minor assumitur }subscribitur multiplicando, quemcdmodum in additione; in praesente exemplo ponitur 24 sub 32 : tum vero a dextra versus ßniftram progrediendo ponuntur produbh singularum notarum multiplicandi duftarum in singulas notas multiplicatoris infra lineam. Unde subscribuntur imprimis pro - duEla e notis fingulis multiplicandi in unitates multiplicatoris , dicendo exempli causa 2 X 4 = 8> & ponuntur F sub unitatibus utriusque factoris; dein 3X4 = 12, & adjunguntur priori notae sub linea 12 versus sinistram. Dein itidem a dextra versus ßniftram scribuntur produEda singula- 32 rum notarum multiplicandi in decades multiplicatoris y ut si v. g. Judicas : 2x2=4, scribe 4 infra notam 2 multiplicatoris: 128 3x2 = 6, adjunge 6 priori notae 4. Denique summa ho- rum prjjiduBorum colligatur , & habebitur factum totale 76g. ?63 48- Ut operandi methodus rite intelligatur, ita quisque apud fernes ratiocinari potest: evidens est, productum ex 32 in 24 esse aequale (43 ) decadibus & unitatibus numeri 32 toties sumtis , quot in 24 unitates continentur, hoc est sumtis quater (quippe 4 sunt in 24 unitates simplices ), & bis denis vicibus, quia 2 in eodem adsunt praeterea decades. Ergo cum 2 unitates multiplicandi quater acceptae efficiant 8 unitates, has imprimis in loco unitatum subscribere debeo. Deinde 3 decades multiplicandi sumtas quatuor vicibus conficiunt 12 decades: quare prioribus 8 unitatibus versus sinistram 12 adjicienda sunt, ut scilicet locum decadum occupent. La Caille Leid. Eiern. B IO Pars I. Arithmetica. Progrediendum jam ad duas decades multiplicatoris, & cum 2 unitates multiplicandi acceptas bis denis vicibus producant 4 decades, sub secunda versus sinistram columna scribenda sunt 4, seu, quod idem', sub eodem multiplicatoris loco, ex quo praesens ejusdem nota accepta est, cum factum 4 jam decades designet, ideoqus etiam in decadum loco constituendum sit. Denique tres decades multiplicandi bis denis vicibus acceptae efficiunt 6 decades decadum, hoc est 6 centenarios; unde 6 ad- scribi debent ad 4 versus sinistram partem in centenariorum loco: & factum ex 3 decadibus & 2 unitatibus multiplicandi in duas decades multiplicatoris erit sexaginta & quatuor decades, seu sex centenarii, & quafuor decades, Luperest tantum, ut productum istud addatur prius invento, ut obtineatur factum totale ex omnibus, partibus multiplicandi in omnes partes multiplicatoris, 768 scilicet. Exemplum aliud Multiplicationis numerorum paul- lo magis compositorum. Quseritur productum ex 564 in 249: utroque numero secundum praescriptam regulam disposito, multiplicetur primo 564 per 9 unitates multiplicatoris, dicendo 4 X 9 ss 36; ponatur 6 in loco unitatum, & 3 reservetur; 6 y 9 = 54, sed quoniam superfuerunt e priore facto 3, dicatur 54 ■+■ 3 =» 57> & fcri- ducendum. batur 7, 5 in iequentem datiern rejecto; 5x9 = 45» oe 45 *+" 5 —S 0 * quod totum subscribatur, sium nihil supersit in unitates multiplicatoris Sumantur dein 4 multiplicatoris decades, par quas multiplicetur 564; nempe 4 X 4 = 16 ; retenta decade ponatur 6; 6x4--- 24,-4- 1 = 25; reservato 2, & 5 subscripto, est ulterius 4x5 — 20, -f- 2 = 22, quod totum exprimendum est. Denique simili ratione 564 ducatur in 2 centenarios alterius factoris, scilicet 2 X 4 — 8, quod subscribitur loco centenariorum: 6 X 2 a» 12, fervatur 1, & 2 prsefiguntur centenariis; 5x2 = 1 Ö, + I5=iij quo ad sinistram adjecto colligitur sum* ma factorum particularium, eritque factum totale 140436. 49. Observa I. Si vel in uno vel in utroque numero in fine adsint unus, pluresve zeri, operatio contrahitur, solis notis reliquis multiplicatis, factoque totali tot adjectis zeris, quot in utroque simul numero aderant. Exempli causa ut obtineatur factum ex 406000 in 10700, multiplicetur 406 per 107, & summae factorum partialium 4344* adjiciantur in fine 5 zeri; erit productum totale 4344200000. Ratio patebit, si facta, ufftlias, operatione productiore, attendatur, zeros inutiles occurrere. Z64 _249 5076 2256 1128 140436 Operationes Arithmetica. 11 Exempla Multiplicationis 466 IOOOOOV 65464 1002 IOOO 4053 932 , IOOOOOOOOO 19639a 466 32732O 4669^2 261856 265325592 50. II. Num quis inter operandum hallucinatus sit, facile deteget si commutatis numeris, & multiplicatore pro multiplicando affumto operationem repetat: quippe cum idem omnino factum obtinere debeat ( 45 )* De Divisione. 51. Divisio est compendiaria' subtractio, qua, quoties fieri potest, quantitas una ab altera demitur, ut quoties altera contineatur in altera, innotescat. Sic ut sciatur, quoties 4 in 12 Contineantur, methodum nobis hanc ipsa natura commonstrat, ut scilicet 4 ex 12 subducantur: restabunt g: tum si hinc denuo 4 auferamus, 4 relinquuntur; ac denique 4 detractis ex 4, nihil remanet. Ex quo quisque videt, numerum 12 penitus exhauriri , si 4 tribus vicibus demantur, ideoque hunojn illo toties accurate contineri. At enim prolixa nimis haec methodus est, quando numeri majores proponuntur. Ejus compendio itaque, sive divisione 1 , utimur, ut expeditius reperiatur, quoties in una quantitate {quae tum dividendus dicitur) altera (quae divisor vocatur) contineatur. Quotiens , sive quotus appellatur numerus indicans, quoties divisor insit in dividendo. ~ In exemplo adducto dividendus est 12, divisor 4, quotiens Z. 52. Ex his notionibus deducitur I, in dividendo toties contineri diviso - rem, quoties unitas in quotiente reperitur. Quotiens enim exprimit, quot subtractiones faciendae sint, ut dividendus exhauriatur. 53. Hinc semper habetur analogia: unitas est ad quotum , ut divisor ad dividendum. 54. IL Divisorem toties sumtum, quot unitates sunt in quotiente, debere asquare dividendum: (id enim nil aliud est, quam toties restituere divisorem, quoties ablatus est, quo fit, ut dividendus integer reddatur ) seu, quod idem est, saftum ex divisore in quotientem ejse aquale dividendo. 55. Itaque primo, ut examinetur, an quotiens accuratus fit, is multiplicandus est per divisorem , saElum am dividendo conferendum. Quod si enim hoc majus deprehendatur, quam dividendus, quotus justo major acceptus est, & ex opposito. Pars £ Arithmetica. 11 56. Dividendus considerari potest instar producti allcujus ex multiplicatione, cujus factores sint divisor & quotiens. Unde dividendum partiri per divisorem, ut obtineatur quotus, idem est, ac factum aliquod dividere per unum factorem cognitum, ut factor alter reperiatur. Hinc secund-o: dato produfto cf factore ejus altero, ut inveniatur alter fablor, pro* dubium per faftorem datum dividendum est. , III. Operatione superiore effectum esse , ut 12 intres partes as- quales secaretur, quarum quaevis sit 4; sive in partes 4 aequales, quarum quaelibet sit 3. Igitur dum quantitas in partes quotvis distribuenda est, ea per numerumpartiim dividi debet: quotus exprimet magnitudinem partium /in- gularum. 58. Casus I. Quando dividendus b divisor sunt numeri fimplices. Enimvero tum sine artis adminiculo quotiens innotescit. V.g. Nemo est, qui ignoret, 4 in 8 accurate bis contineri, seu quotientem ex 8 P er 4 divisis esse 2, cum sit 2 X 4 — 8- Compendii causa divisio sic exprimitur H ■= 2. Divisor scilicet dividendo interposita linea subscribitur, & enunciatur divisum per. (Alii scribunt 8:4 — 2). Pari modo f = 3, quod scilicet 3 X 3 = 9; & J = 3, ob 3 X 2 = 6. 59. Quando quotiens exaSlus haberi nequit (ut si quis velit 9 per 4 dividere, illico intelligit, 4 in 9 esse plus binis, sed minus tribus vicibus, ideoque quotum verum esse inter 2 L 3), hoc in casu pro quoto sumitur minor eorum numerus , inter quos verus quotus contineri debet , per que eum multiplicatur divisor; faftum ex dividendo subtrahitur, 6? residuum scribitur penes quotum, eique lineola subduffio divisor subscribitur. In priore exemplo in 9 comprehenditur 4 plus binis, sed minus tribus vicibus; unde sumto quoti loco 2, fit 2 X4 — 85 tum 9 — 8=1, & habebitur \ = 2 f, id quod denotat, 9 divisa per 4 dare quotum 2, & praeterea remanere unam unitatem ex 9 in quatuor partes distribuendam. Similiter f = 3-; J- = 2f; f = if. 60. Observa I. Tribus igitur operationibus divisio absolvitur: Primo dividitur dividendus per divisorem, ut habeatur quotiens. Secundo mu 1 - tiplicatur divisor per quotientem , ut obtineatur productum. Tertio hoc productum subtrahitur a dividendo, ut reperiatur refiduum. 61. II. Si divisor major sit dividendo, uti si oporteat 4 per ^ dividere, satis est, si ponatur 7 instar residui divisionis, quo scilicet quotiens designetur. 62. Id genus quotientes, seu divisionum residua, auf universim quasvis expresso divisionis, qua numero alteri interjecta linea alter subjicitur, sraüiones dicuntur, vel numeri fracti. Et ex opposito vocantur integra, vel numeri integri, qui sine ea linea scribuntur. , 63. III. Quantitas quae per alteram exacte, quin quidpiam maneat: residui, dividi potest, dicitur multipla illius, quippe aequalis facto ex quo- Operationes Arithmetica. rZ tienfe divisionis in quantitatem illam ducto. Ita g est multiplum numerorum 4 & 2: item 12 numerorum 6, 4, 3, & 2 : omnis autem numerus est multiplum unitatis; at vero Z non est multiplum de 7, nec de 6, vel 3, similiter 11 nullius unitate majoris est multiplum. 64. IV. Quantitas, cujus altera est multiplum, vocatur aliquota , fi ve pars aliquota illius multipli: sic 4 & 2 sunt aliquot® numeri & 65, V. Numerus, qui nullius alterius, quam unitatis, est multiplus,» dicitur numerus primus. Horum numerorum amplae tabulae apud varios scriptores extant; en eos, qui centenario sunt inferiores: 1» 2, 3, Z, 7. n, 13, 17,19, 23, 29, 31, 37, 41 , 43 , 47 , 33 , 59 » 61, 67, 71, 73. 79, 83, 89, 97- 66 . Casus II. Quando dividendus & divisor sunt numeri compofiti. Proponatur exempli gratia numerus 147475 per 362 dividendus. Videatur primo, in quot notis ex parte sinistra (hic enim semper divisio inchoanda) contineri pojsit divisor ? & quoniam 362 in primis tribus notis 147 dividendi non continentur, sed solum in quatuor 1474» interjecto puncto a reliquis separentur , divisor que iisdem subscribatur, atque adeo prima divisionis pars est, ut 1474 per 362 dividantur. Quoniam vero 1474 simul per 362 dividi nequeunt, dividantur soli centenarii numeri 1474 per centenarios alterius 362, & quaeratur3 in 14 quoties contineantur? & licet plus 4 vicibus 3 in 14 inveniantur, accipiatur tamen 4 pro quotiente, & per eum multiplicetur divisor 362 , factumque 1448 a dividendo 1474 subtrahatur; supererunt 26 ex prima divisionis parte. Huic residuo ad partem dextram adjungatur 7, nota proxima earum numeri propositi, que a primis quatuor separata suerunt: pars altera divisionis erit, ut 267 per 362 dividantur. Unde rursus centenarios numeri 267 per centenarios 362 dividere oportet, quaerendo 3 in 2 quoties reperiantur ? & quia ne semel quidem major in minore continetur, prius invento quoto adjungatur o, ducatur divisor 362 in o, productum quod pariter fit o, subducatur a dividendo, remanent 267,ita pars altera peracta est. Residuo adfiribatur 'nota altera 5, que supererat puncto separata, consißet tertia pars divisionis in eo, ut 2673 per 362 dividantur. Quaeratur igitur 3 in 26 quoties insint ? reperitur novus quotus 8» quo in 362 ducto, obtinetur factum 2896: & quia ab hoc dividendus 2675 exceditur, facile apparet, quotum 8 esse justo majorem: huic igitur deleto alter 7 substituatur, per B 3 1474-75 1448 267 o ~s675 362 *5 34 141 = 407 141 36a *4 Pars I. Arithmetica. quem si multiplicetur 362, productum fit 2534, quo ex 2675 ablato remanent 141. Cum porro nulla supersit nota in dividendo, quae huic residuo adjungi posset, tota divisio absoluta est, quotus inventus 407, residuum 141, quod fractionis in modum e latere quoto adscribitur. 67. Accuratio divisionis exploratur , fi omnia multiplicationum produBa cum ultimo residuo eo ordine , quo inter operandum occurrerunt , in unam summam colligantur. In allato exemplo producta sunt 1448 » o, 2534, residuum ultimum 141: deletis igitur reliquis notis, haec ut suis quaeque locis disposita sunt, addantur, reperitur summa 14747Z aequalis numero ad dividendum proposito. Ex quo constat, divisionem rite factam esse. Quod si enim haec summa inveniretur alia, id certo esset erroris indicio. Ratio est, quod summa productorum singularum notarum quotientis in divisorem , aequalis sit producto quotientis totius in eundem divisorem; hoc vero (54) productum ex quoto in divisorem reddere debeat dividendum. 68. Observa I. Cujusvis partis divisio semper per primam a sinistris divisoris notam instituitur. Itaque si primam hanc notam sequantur duae aliae, non attenditur ad binas dexteriores notas dividendi, sed priores tantum per primam divisoris notam dividuntur. Si haec prima nota divisoris adjunctas habeat tres, quatuor &c. alias , tribus, quatuor , &c. dextimis in dividendo neglectis primae a sinistris per primam divisoris dividuntur. 69. II. Evenit saepe inter dividendum, ut quotiens assumatur vero major, praecipue dum nota primam in divisore sequens paullo major est, uti sunt 6, 7,8 vel 9. 70. III. Quando residuum quodpiam nova dividendi nota auctum membrum minus, quam fit divisor, suppeditat, compendii causa illico quotienti invento adjungi potest o, atque ad membrum dividendum sequens e superioribus nota ad- scribi, ut novo quoto reperiendo locus sit. 71. IV. Ut adhuc magis brevitati consulatur, divisor non sub singulis partibus scribitur, sed idem adhibetur, qui ab initio sub dividendo positus est. Verum attendendum est, ne ordo localis notarum perturbetur. Hoc compendio si utamur, exemplum praecedens hoc ordine disponetur : 14 7 4‘75 362 1448 267 o “2675“ 2Z34 141 407 145 36a Opkrationrs Arithmetica. -5 Addimus huic alia nonnulla: in primo numerus 473&45 per rooi dividendus proponitur; in fecundo 200000 per 191; in tertio 790758 per 354- 4736-45— 1002 701 I 00 Ä 200.000 23 191 ■*“ I °47 790.753 394 4008 900 788 7284 764 2758 7014 1360 2758 2705 '337 & 2004 23 7OI 2007 72. V. Si divisor in fine zeros adjunctos habeat, divisio compendiosior redditur, si tot notae ex parte dextra dividendi resecentur, quot zeri sunt in divisore, peracta vero divisione in reliquis notis, residuo, si quod fuerit, ultimo junguntur notae abscissae dividendi, subscripto ex more divisore. In exemplo fi dividendus sit 238873 per zSoo, dividatur 2388 per 3< 5 ; reperitur quotus S§, & remanent 12: itaque quotiens quaesitus erit 66 \ §-£ 3 - Pariter quotus ex 324755 per 300 divisis est 1082item si 843554 dividantur per 1000, quotus obtinetur 84A-4Z4- , 73. VI. Denique si tam in sine divisoris, quam dividendi adsint zeri, hi i» utroque par! numero deleri possunt, reliquis notis juxta regulas, & quae superius notavimus, divisis: ut si dividendus detur 417000, divisor 2500, opus est tantummodo, ut 4170 per 25 dividatur: erit quotus Sic etiam divisio instituetur in 43495 per 2850, loco 43435000 per 2850000, & reperitur quotus Eodem modo ex divisione 100000 per 1700 quotus est 581-7. Notandum. Qui frequentiore exercitio expositas operationes, atque observationes familiares sibi reddiderit, debitamque animi attentionem adhibuerit, facile intelliget, eas omnes reduci ad operationes articulo 59 praescriptas, nisi quod paullo complicati ores sint. Illud autem, quod ultimo loco observandum diximus, ex natura fractionum decimalium, quas infra tractabimus, petitura est. / DE FRACTIONIBUS. De Fra&mum natura generatim: de earum valore , Ö* comparatione. 74. \ didimus (62) fractiones nil aliud esse, quam quantitates per alias ▼ majores divisas, & plerumque residua divisionum. Sed ut res haec clarius concipiatur, meminisse oportet, quemvis numerum, (20) exprimere, quot quantitas quaepiam partes aequales contineat ejusmodi, quarum quaelibet appellatur unftas: at enim 1 6 Pars I. Arithmetica. nulla reipsa unitas datur, nulla datur pars determinata quantitatis, qua? etiam ipsa ex certo numero partium aequalium ac minorum composita concipi non poffit: harum Tgitur partium singulae, aut aliquot si accipiantur, unitatis illius portionem, siye fractionem constituunt. In exemplo: numerus lOO pedum compqsitus est ex certa quantitate determinata centies accepta, cujus longitudo pes appellatur. Est igitur pes unitas respectu numeri IOO. Quia vero pes in 12 digitos dividitur, quisque digitus est pars duodecima pedis. Et fieri sane potest, ut si spatium aliquod dimetiamur, illud non accurate 100 pedum reperiatur, sed forsan uno, alterove digito majus vel minus. Atque tali casu digitus ille, vel digiti erunt fractio pedis, quae hunc in modum exprimitur &c, hoc est: una ex duodecim partibus pedis, duae ex duodecim partibus pedis &c. 75. Generatim ergo, fi unitas supponatur in certum partium ecqualium numerum divisa, frablio indicat, quod ejusmodi partes accipiantur ; ita fractio -5- significat, ex tribus partibus aequalibus, in quas unitas divisa est , accipi unam; fractio item f denotat, sumi 4 partes ex quinque aequalibus^ in quas unitas tota secta est, &c. Numerus, seu nota superior, numerator fractionis appellatur; inferior denominator , in fractione ultimo loco allata f, numerator est 4, denominator 5. 76. Unde si fractio vera sit, & proprie dicta, debet esse quantitas unitate minor, quippe cum ejus numerator minor sit denominature. Interim occurrunt saepe quantitates fractionum forma expressae, in quibus numerator sit aequalis, vel etiam major denominature, & tum si numerator denominatori aequalis sit, fractio unitati aequatur : etenim cum £ denotet, ex unitate in quatuor partes aequales divisa sumi ejusmodi partes quatuor, evidens est, unitatem integram accipi, atque adeo y ----1. Quando autem numerator denominatorem fupeMt, valor fractionis unitatem excedit. Sic -% = 3 (58)* 77. XJtra fraüio altera major fit , non adeo pronum est advertere, nifi fi vel eundem numeratorem , vel eundem denominatorem utraque habeat. Sic non illico apparet, quaenam e duabus hisce fractionibus^-, f jjnajor sit. At si primo utriusque fit idem numerator, ea major efl , cujus denominator est minor. Ita nempe manifestum est, fractionem | esse hac altera i majorem ; item a \ excedi f &c. Seeimdo. Si idem utriusque fraElionis denominator , major efl , qua majorem habet numeratorem. Nam patet, plus esse y, quam y$ plus item y, quam y. / Operationes in Fractionibus. *7 Valores fractionum communem numeratorem habentium sunt inter se reciproce ut earum denominatores; quibus vero communis denominator est, sunt directe ut earum numeratores. 78. FraEhonis volor non mutatur , ß tam numerator , quam denominator per eandem quantitatem multiplicetur, vel dividatur. Etenim cuivis clarum est, tantum habere illum, qui habet 4» quantum qui habet vel Eodem modo cui sunt -f , nil plus habet, quam cui sint 4, vel 4 &c. Quod si itaque uterque fractionum numerus dividatur per 2, 3, vel per 4, acquiruntur fractiones ejusdem valoris cum 4. Demonstrationen, generalem hujus proprietatis fractionum dabimus, cum de rationibus Geometricis agemus (296). Hinc consequitur, infinitas ejse fraEliones ejusdem valoris, quamvis diverßs terminis exprimantur. DE OPERATIONIBUS ARITHMETICIS UNIVERSIM, qua: in FRACTIONIBUS INSTITUI POSSUNT perationes Arithmeticas in fractionibus duplicis speciei sunt: aliae dicuntur ReduEliones aliae nil disterunt a quatitor regulis jam recensitis. De redu&ione Fra&ionum. 79. Reductio fractionum est quaedam earum transformaiio, quam subeunt, ut ceterae operationes commodius institui poilint. 80. I. Numeros integros reducere ad fraEliones. Primo. Quilibet numerus fractionis instar exhiberi potest, si ei unitas pro denominatore tribuatur. Sic 6 forma fractionis hanetur f. Secundo. Ut autem numerus integer reducatur ad fractionem de- « nominatoris cujus vis dati, multiplicetur per datum denominatorem, productum erit numerator. Sic si 6 reduci debeat ad fractionem, cujuj denominator 7, acquiretur Q’: divisione enim 42 per 7 quotiens 6 iterum restituitur; unde Q 2 & 6 sunt quantitates äquivalentes. Tertio. Ut numerus integer & fractus reducantur ad unicam fractionem , multiplicetur integer per denominatorem fracti* producto addatur numerator fracti; erit summa numerator fractionis quaesita?. Hac ratione 6 \ reducuntur ad fractionem V ; 34 ad La Caille DeEl. Eletn. C i 3 Pars I. Arithmetica. Zi. II. Fractiones plures ai eundem denominator em redivere. Multiplicatur numerator & denominator cujusvis fractionis per denominatores omnium reiiquarum. Ut si § & | reduci debeant ad communem denominatorem, ducatur uterque terminus ft actionis f in 4, habebitur f-; tum etiam alterius tam numerator,quam denominator multiplicetur per 2; siet ferunt- que fractiones reductae f & f. Eodem modo fractiones f-, f, f acquirent eundem de.no minatorem , si primo fractionis f- uterque terminus ducatur in 7 , dein in 4; fiet enim 3x7x4 84 C v ^ ^4 <5o mulcipnuetiis per 3 &4, ut sit -—-—— -. Tandem ducatur 3x4x7 6z 7x3x4 84 in Z itean I- reducitur ::d z\ reduci- 8 5. Dein dispiciendum, an denominator & numerator non possit uterque per eundem aliquem numerum dividi, quin quid remaneat. Quod u fieri polfit, fractio evadet simplicior citra valoris mutationem (78)5 & exprellio eo erit simplicior, quo divisor utriusqae termini major fuerit adhibitus- Reductio ha°c saepe difficilis est, iino etiam fieri nequit. Sat.s plerumque fuerit ejus periculum facere, q.iando id nota? quaedam pro prietares numerorum suadent. Operationes in Fractio mhus. -9 PriiK o. Quivis numerus par eji multiplus binarii , seu per a divisibilia. Quando igitur fractionis termini sunt numeri pares, semper ad eorum dimidia reduci pofiunt. Exempli causa fractio E?ir reducitur ad si, continua per binarium divisione, nempe s=e s rl-f- = -ji — Secundo. Quivis numerus ii: fine habens o, poiefi per 5 b pc 10 di - Vicii Itaque fractio f-g- reducitur ad f. Tertio. Quivis numerus , ultima nota cfi 5, eji multiplus 5. Hinc 'sf potest reduci ad T b. Similiter ex ’ *-f fit Quarto. Quivis numeras, cujus omnes note simplici additione Ir. unam summam colleB.ee cöijntuunt aliquod multiplum tenurii, ipse quoque ternarii alu quod- m.uhifi’mt eji, ideoque per 3 dividi poteji. Unde ftactio | | f sst divist- fcilis per » , & reducitur primo quidem, ad rsif, dein verö ad quia lumina notarum numeratoris est 1$, denomiratoris postea, p eracta pri- n.a divisione, summa numeratoris 96 fit 15, deuominaforis n^denuo 9. 86 . En autem methodum generalem inveniendi communem divisorem maximum duarum quantitatum daraium; Major p_(f minorem dividatur, fisi Jidivisio sii.e residuo seri posiit, ipsa quantitas minor erit divisor qutcjilus. Sed si peracta divisione aliquid remanserit, quantitas dato miner dividatur per hoc residuum: fisi ji secunda heee divisio exacte jieri post, prinus divisionis residuum efi nivifer communis maximus. (jucdji denuo relinquatur quidpiam, primum rejiduum dividatur per fecundum: fisi si non deveniatur ad tertium residuum, secundum eji qiusjitus divisor. ' ■ ’• Universim , illud residuum esi divisor maximus, per quod residuum pnecedens ex aci e dividi potesi: Exemplum. Sit reducenda fractio ad minimos terminos; quod ut fiat, quaerendus est divisor communis maximus numerorum294 &91. Dividatur itaque 254 per 91, remanebunt 21 (ad quotientem non attenditur j; ulterius dividatur 91 per si; repetitur (insuper habito quoto ) residuum 7. Per 7 dividatur primum residuum si, fit quotiens 3, & remanet nihil. Hinc 7 est communis divisor maximus quantitatum 294 &91, fractioque proposita reduci potest adf|, numeratore scilicet, & denominatore per 7 divisis, nec alia fractionis datat ex- preflio simplicior, ejusdemque valoris, haberi potest. Quando fractio ad simpliciorem expreilionem reduci nequit, continuatis divisionibus ad residuum 1 devenitur, cum unitas omnium numerorum sit communis divisor. Ut ratio regulae perspiciatur, advertendum est, quantitates duas nun- * quam poste per eundem numerum ita dividi, ut nihil remaneat, nisi fi fint numeri illius producta; adeo, ut quantitas major sit factum ex eo numero saepius sumte , minor vero factum ex eodem minus saepe accepto. Itaoue fi jam quantitates A&B sint ejusmodi compositae, atque B ex A toties, quoties potest v. g. tribus vicibus subtracta nihil supersit, evidens est, A este compositam ex B ter sumta ; B vero ex B semel accepta, ideoque tali casu B esse communem divisorem maximum quantitatum A&B,. Secundo. Std si subtracta B ex A, quoties fieri potest, m praesente exemplo ter, supersit aliquod residuum C; erit A —C quantitas composita ex B tri. bus vicibus sumta; sive A — U-----z B; consequenter si C quoque certo vicium numero acceptum, v. g. quater adaequet quantitatem B, idem C aliquoties fututum debet etiam A—C aequare. C L Pars I. Arithmetica. so Et reipsa clarum est, st sit & A — C = 3B, fore A — 0 = 3X4 C» atque hinc A = 13 C. Oportet igitur C ex B subtrahere , quoties fieri potest; & fi mitil remaneat, est C factor ille, ex quo quantitates A&B sunt eompoütce. Tertio. Quod ii C ex ß subducto, v. g. quater, quoties nempe fieri potest , adhuc fupersit D, necesse est, utB — I) compoiita sit ex C quater suiu- to, seu Ö —D=aC. Ergo siD aliquoties acceptum, v. g.ter, adaequet C pariter aliquoties acceptum debet aequare tam A, quam B, eritque factor compositarum A&B. Mam habebitur €'=3 D; igitur in aequatione B — O--- 4O liet B —D = 4x3 D ,j& consequenter B —13 D. /Equario porro A — 6---zB, mutabitur in fianc A— 30 = 3x130, & tandem A=42 D. Hic ratiocinandi modus si extendatur ulterius, apparebit liquido, po- siremum residuum, quo aliquoties sumto residuum praecedens accurate exhauritur, esse quantitatem, ex qua duae daiae A&B sunt compositae, & hinc elfe divisorem communem maximum. Illud vero per se etiam patet ($t) f quantitatem unam dividere per alteram esse idem, ac alteram toties auferre ex altera, quoties fieri potest. De Additione Fraftionum. g^. Ut fractiones addi postiut, 1 educuntur prius omnes ad comma nem deuommtorem ; reduciorum numeratores colligantur in unam summum, qu* erit numerator nov£ fraclionis cum deno minator e communi. Exempli, causa , addendae sint fractiones i , reducantur(gi) ad f &f, erit earum summas. Similiter ut addi polluit fractiones y, f, reducem!« sunt ad 45, (81); summa numeratorum esi 46; habebitur igitur rf, ti expressione simpliciore if ’. 88- Si praeterea adliut numeri integri, in unam summam coi ligantur, iisque adjungatur summa fractionum. Sic 4 i *+* De Subtractione. 89. Fractiones, quarum altera ab altera subtrahenda est, reducantur ad communem denominatam»: accipiatur differentia numeratorum pro numeratore novae fra&oms habentis denominatorgm communem. Exevj’U'M. Oporteat { ex \ subtrahere, facta reductione habebuntur fi & ffi (81) quarum differentiam patet elfe ,fi. 90. Si fractionibus praefixi sint numeri integri, ii prius more solito a selb subtrahantur; & residuo ad scribatur differentia fractionnm. Ita si ex 4} subtrahi debeant 3* , obtinetur, seu (85) is- 91. At si contingat, ut fractio subtrahenda major sit alter«, quam quantitas minuenda, adjunctam habet, seu etiam si fractio aAvumero integro auferri debeat, unitas quantitatis minuendae reducatur prius ad fractionem (8°)- Uf li 3s subtrahi debeat ex 64 , quantitas reducatur prius ad 5f, tam fractiones reducantur ad communem denominatorum ct, & Operationes in Fractionibus. 21 1 *; auferatur T \ ex j manebit T r , j auferatur porro 3 e* 5 , supererunt 2 ; ut adeo tota differentia quaesita sit 2/,. Item ut ex 4 subduci poliit fractio f, reducenda sunt 4 ad 3 1 ; hinc ablatis *, residuum est 3 s. Pariter ut subtrahantur -J- ex 2 1 loco % a fiat , invenietur differentia if. Os multiplicatione. 92. Quando duo numeri multiplicandi sunt, quorum vel unu3 f vel uterque fractus est, sequens regula universiin est tenenda: reducatur numerus integer, fi quis adefi, ad formam fraäionis ( 80): fiat nova frdlio, cujus numerator fit facium ex numeratoribus multiplicandi multiplicatoris; denominator vero sablum ex eorundem denominatoribus : reducatur ad expreßt - nem fimplicijjimam. Exemplum sit Quantitas multiplicanda per; scribatur: erit factum: & exprestto ümplicistinia. t i 1 X i 2 f t \ 4 _? V 4- X t A x *JL ( £ «4 4f l v 3J T * 7 L6- S f 3f 3*. 5* V x 20 f- Ut regulae veritas pateat, illud revocandam in memorium,quod multiplicare f- per K exempli causa, nil aliud sit, quam y toties accipere, quoties unitas in j continetur (43 ) > jam vero unitas in f non continetur; sed tantum dimidium unitatis reperitur semel in f; igitur etiam tantum dimidia sui parte quantitas f fumi debet, hoc est y x i 93. Coroll.I. Ex fecundo exempio manifestum est, quod, dummtme- rtis integer in fractum, vd vicijjim, duci debet, aut numerator fractionis multiplicandus ftt per integrum, aut denominator per eundem dividendus. Idem enim obtinetur zj se» 'stat 4x7=28, «St scribatur seu I % — 3 , & ponatur I-. Verum per divisionem res non femper potest confici. 94. II. Tironi forsan sequens difRcultas moveri poterit: f solidi 3 denarios valent, & }solidi sunt 6 denarii: quod si jam f-x~eiilciant a sblidi, seu 4 denarios; qui fieri poterit, ut tamen, si 8 denarii multiplicentur per 6 denarios, acquirantur 48 denarii ? Yerura expediemus hoc facile, fi advertamus, quantitatum naturam per multiplicationem mutarit- earum partes elevantur ad quadrata, dum altera in alteram ducitur, seu dum acquirunt dius dimensiones (vid. 13 - 586); trium dimen nonum vero si fiant, elevantur ad cubos(708A Itaque mensura simplex, v. g, certum pedum numerum in-iongitudine continens, non aliam potest ‘habere fractionem, nisi ratione ia digitorum, in quos pes subdividitur. At si mensura dati, pedum numeri in longum, multiplicatur per aliam, quse itidem aliquot pedes vestit in latum habeat, tactum erit superficies certi numeri pedum quadratoium, quorum quivis 144 digitos contineat- Sic hexapeda unius dimensionis 6 tantummodo pedum est; at corpus unius hexapedaeCeum triplex sit corporis dimensio) est 216 pedum cubicorum. Atque ob hanc rationem factum ex* in 7 lolidi est t so LL Pars I. Arithmetica. licii, non simplicis., qui 12 denariis constituatur, sed quem 144 denarii efficiant. Patet autem, f solidi 144 denarios continentis este 43 denarios, sive factum ex ' denariis 8^6. De Divisione. ^ 95. Divisio sractvmum eo omnino modo peragitur, quo multiQ^ plicatio, nili quod divisoris termini inverti debeant, ut numerator nominatoris locum occupet, & viciffim. Exempli causa sit Quantitas dividenda per •, scribatur primo: dein vero^erit quotiens,&expreiUo sinipiicsisima 3 4 r 5 af 2x T - { .% V t « T A r 4 1 f f - 4 ' v 1 s T X T - TT rj 4 . - 5 T • - T X -f- P s i~~? L - X r • s T X f j- !? operationis, & cur v. g. si l dividam in dividendo, quoties unitas in divisore; jam i vero unitas non nisi dimidia fui parte continetur in divisore i ; igitur etiam quoti tantum dimidium debet contineri in dividendo: atqui quantdas, cujus dimidium continetur in altera, est alterius Illius dupla: quare dum | per j dividuntur, quotus eil duplus dividendi J-, hoc est, debet esse f, uve i*. Quin per se manifestum esi, in omnibus allatis exemplis quo- tiente ducto in divisorem obtineri quantitatem dividendam. Ut lf X i seu | x { = 4 • Idem est in ceteris. Observat. Pars numeri fracti, v. g. tres quarta? duarum septimarum, seu de j , dicitur frailio sratlionis. Liquet autem | de j significare, quartam partem quantitatis f esse ter accipiendam. Unde f dividendae sunt per 4, & quotieps ducendus in 3, quo fit , vel Esi autem / s facium ex f in f: ergo primo: valor de fradlione feaW.ord ; acquiritor , fi duce ilice fraftiotiss invicem multiplicentur. Secundo: Idem va- lor efi, feu accipiantur i- de \ feu \ de f (4S)- Wem applicari potest fractionibus, quae ex fractionibus aliis per alias divisis emergunt, rurfus- que per novas fractiones dividuntur in infinitum. DE FRACTIONIBUS DECIMALIBUS. De Natura FraBionum Decimaimn 96. !||j)rsefer jam expositas in Mathesi adhibentur aliae fractiones, quas -II decimales appellant. Harum denominator semper est unitaseum tot adjunctis zeris, quot notis numerator constat; hinc fit, ut denomi- DE Fractionibus Decimalieus. 24 nator ne quidem scribatur, sed numerator tantum hujus generis fractio- Liis interjecta virgula a numeris integris praefixis separetur. Exempli cau- 4 4 sa loco 19 —, scribatur 19,4; 19 exprimitur per 19504; ut scilicet zero ante quaternarium posito intelligatur, denominatorem esse IOO. Eo- 4 dem modo 19-indicantur sequente ratione 19, 004;item 49, 01742 49 1742 ; o, 035: 35 100000 ^ 1000 97. Sunt, qui virgulae loco puncto utantur. Plurimi, cum £ra ctio sine integro indicanda est, ante virgulam vel punctum serum Onstt 35 . 4 tunt, & ut v. g. — —significent, scribunt, 035, vel.035; lOOOO ex 1000 primunt per, 0004 aut . 0004. 98. Hinc autem colligitur, prima post virgulam nota in fractio ne decimali exprimi partes decimas .alteracentesimas, tertia millesimas &e. jZ 1 *7 200 Sic 4, 217 idem est ac 4>4-f--1-— , aut vero 4 H- ‘ 10 100 1000 * 1000 IO 7 , -+• -*+• - -, quod tandem reducitur ad 4-- per »P. 1000 lOOO u H 1000 1 s 00- 99. Ut numerus integer per 10, 100, lOOO,&c. multiplicetur, alia re opus non est, quam ut e parte dextera unus, duo, tres &e. seri adjungantur. Itaque etiam si notis fractionis decimalis versus dexteram unus, duo, tres &c. zeri adseribanfur, tam numerator, quam denominator per 10, 100 ctc. multiplicatur; ac propterea idem manet fractionis v alor (78)- Hunc in modum fractiones o, 1; o, io; O, 1005 O, loocr aequales sunt; uti etiam 4, 7 = 4, 7000 <5;c. Illud etiam facile intelllgitur, quantitatem 4, 7 este majorem, quam 4, 69, aut etiam *7 70 majorem, quam 4, 699999, etenim 4, 7 = 4--;=:4 = 4 700000 . . 69 3^» & 4, 69 = 4 4, 699999: _7 10 699999 100 70 I000000 69 700000 . 699999 , . major; quam — ( 77 );- major, quam-^-£; ,g,lur 100 : est autem ■ 1000000 ■ 100 1000000 1000000 etiam 4, 7 ma j or est, quam 4, 69, vel 4, 699999, aut,denique major, quam 4 cum fractione quotcumque, notarum, quarum prima fit ,minor, quam 7* . ■ 1 . j,7' 100. Porro perspicuum est , 4 , 699999 propius accedere ad aequalitatem cum 4, 7, quam 4, 69, vel 4, 6999; at - 4, 6999 este Vi- Pars I. Arithmetica. 24 ciniorem valori 4 ,^, quam 4 -, 69: nam inter4, 699999&4, 70GOÖO. _ . r 1 ,.p . „ i 3=4, 7non mu- 1OOOOOO discrimen est; cum IOOOO addenda sit, ut 4, 6999 aequet valorem 4, 7000 sive 4, 7; ad 4, 69 vero , ut cum 4, 70, sive 4, 7 sequetur. Est autem (77) -—-longe minor, quam-, &-- ^ IOOOO IOOOO IOOOOOO longe minor, quam n: igitur differentia inter 4, 7, &4, 699999 longe minor est, quam inter 4, 7 & 4. 6999; &4, 6999 longe minus differt a 4, 7, quam 4, 69. Unde evidens est 4, 699999 propius multo accedere ad aequalitatem cum 4, 7,quam 4, 6999: & 4, 6999 propius etiam, quam 4, 69. 101. Ex his autem sequitur I: FraBimem decimalem ejse altera majorem , fi primis utriusque notis exifientibus aqualibus , alias pr at er ea adjunctas habeat , qua non fuit meri ^eri. 102. 11 . Sequitur: Si fraBio decimal is fit p'urium notarum, versus dextram, aliquas fine magno valoris decremento omitti poJ;e. V. g. Sint calculo quovis reperta; 2, 4546 hexapeda?; si dextima iractionis nota deleatur , valor imminuitur —--iiexapedae, quae particula fere dimidiam IOOOO lineam aequat. Si rescindantur duae postremae notae, & relinquatur 2» 45, valor fractionis decrescit—---—, sive fere 4 lineis. IOOOO 103. ITT. In fraclumum decimaliam calculo non adhibendas ejse plures notas , ut v.g. quinque vel fex, uifi opus fuerit magna prorsus accuratione , jed plerumque Jußcere unam, ulteramve , aut summum tres. Nam si v. g. operis struendi rer hexapedam pretium sit 3 librarum , patet-,tmo 46 46 . 'OOOO --hexapedtenegligi polle,cum-sint proxime 3 4 denariorum, ideoque binae notae postremae in fractione 2, 4546 tuto omittentur. At vero si in pretium 10000 librarum pro uria hexapeda conventum effet, valor 6 IOOOO -foret 6 librarum ,& 46 , --— 46 libris, quarum omnino IOOOO ratio habenda est, atque hinc plures notae adhiberi deberent. 104. Verum fi qua nota in fratlione decimali omittuntur , atque prima neglsBamm quinarium excedit, ultima earum , qua retinentur, unitate augenda t /f. In exemplo, si in fractione o, 4864 negligantur binae- posteriores, scribendum est o, 49, non vero o, 48- Etenim o, 49 = O, 49CO (99), & o, 48 — o, qtzoo; jam vero o, 4900 propius accedit ad valerem O, 4^64, quam o, 4800: quare sumenda est quantitas O4 De Fractionibus Decimalibus. *5 tas o, 49 » non autem o, 43. Sic etiam neglectis postremis notis fractionis o, 1954, adhibenda est fractio o, 20, non vero o, 19. At fi habeatur v. g. o, 455, liberum erit vel O, 45, vel o, 46 substituere. 105. Cum fractiones ( 62) plerumque sint residua divisionis, dum scilicet divisor non exacte continetur in dividendo, si lubeat quotienti loco fractionis alterius adjungere decimalem, residuo adjungatur o, & divisio adhibito priore divisore continuetur; nota reperta erit prima fractionis decimatis. Si rursus aliquid supersit, residuum adjuncto o iterum dividatur, quotus erit altera nota decimalis, & sic deinceps repetatur divisio, donec vel nihil remaneat, vel sufficientes notae decimales habeantur. Exemplum. Ex divisione 147475 per 362 invenitur quotiens 407, & residuum 141 ( 66 ): jungatur huic ad dextram O, & dividatur 1410 per 362, invenitur quotus 3 , novum residuum 324; adseripto O dividatur rursus 3240 per 362 , fit quotiens 8, & remanet 344 ; addito O, & iterata divisione reperitur quotus 9 cum residuo 182, quod habitis jam tribus notis decimalibus negligi poterit. Quare quotiens ex 147475 divisis per 362 est 407, 389 106. Eadem Methodo fractio quaevis alia ad decimalem reducitur. Exempli causa detur fractio reducenda \ \ numeratori 3 adjuncto o, dividatur 30 per 4, quotus est 7, & remanent 2; his novo zero adseripto & 20 per 4 divisis alter quotus fit 5, ita ut nihil supersit, adeoque = O, 75. Et reipsa manifestum est, quod cum 25 sint quarta pars centenarii, tres quartae sint 75. 107. Sed plurimae dantur fractiones, quarum exactus valor ,in decimalibus haberi nequit, quotcunque divisiones successivae adhibeantur. Dignoscitur autem hoc ex eo, quod vel in quotorum serie easdem iterum notas, eodemque ordine redeant, vel quod idem post aliquot divisiones semper maneat residuum. Exemplo sit fractio f ad decimalem reducenda, reperietur o, 571428571428571428 6 tc, quin unquam ad divisionem exactam perveniri poffif. Similiter si fiat reductio fractionis -,V, invenitur o, 416666 &c. Quod si contingat, fatis fuerit reliquis neglectis duas aut tres priores notas adhibere. V. g. fumi poterit f = O, 57; & rV — O, 417. ioH- Observa. Notas, quas easdem, eodemque ordine repetitis divisionibus repsriri diximus, non nisi post plurimas alias in serie numeratoris fractionis decimalis redeunt. De Operationibus in Fractionibus Decimalibus. 109. Operationes Arithmeticae in fractionibus decimalibus n^bil diversi habent ab iis, quae in numeris integris instituuntur, nisi quod peracta operatione nonnulla attendenda sint in collatione virgulae numeros integros a notis decimalibus separantis. LaCaille Left.Elem. D 2,6 Pars I. Arithmetica.' iio. I. Si addenda? sitit quantitates 4852 , 79 1 » 4 , 00 745 ? 2,7; O, 0049, scribantur imprimis numeri integri, ut alias fieri solet, secundum vatorem suum localem alii infra alios, ita, ut etiam virgulas in eadem sint serie verticali; dein singulis integris versus dextram adjungatur continuo sua fractio, ut data est, atque omnia in unam summam colli* gantur, ut in subjecto exemplo patet: 4852,791 Nam quantitates istae 4852,79100 4,00745 junt aequales. 4,00745 2,7 2,70000 0,0049 0,00490 4859 * 5033 $ 4859*50335 111. II. In subtractione idem notarum ordo, & regula alias praescripta observanda est. 57 * 48 >i 6,92 4,8274 6,00435 3,842 2,0139 o» 1 7 1,004556 2 > 8 i 35 5-83435 2,837446 II2. III. Multiplicatio decimalium nil differt ab ea, quse in numeris integris fit, neque ratio habetur positionis virgulae, nili postquam producta particularia in unam summam fuerint collecta; tunc enim in pro - duBo totali tot versus dextram separantur nota, quot iecima-es in utroque faSiore fimul fuerint , ita, ut si notae producti totalis non sufficiant, iis tot zeri a sinistra praefigi debeant, quot ad summam illam conficiendam requiruntur, quemadmodum in tertio exemplo videre licet. 43*7 33*23 1 3 12,134 1311 13292 437 99 69 5 $ 8 >i 3323 6646 3323 2.4542 3*7 0*0053 . 4*12 73626 74 122 710 37 0,01320726 148 '15,244 21,32 0,100103 6396 2132 2IZ2 2ri34l9596 40Z,2I282 Regulae veritas ex quarto exemplo elucescet, in quo 3,7 = 3rV (96) = H (80); item 4, 12 — 4rVo — Hly ex iisdem rationibus. Quod si itaque multiplicetur 44 §- per J 4 , productum erit Vm 4 (92), quod reducitur ad 15 ( 84 ) = 15. 244 (96). I13. IV. Divisio decimalium rursus nihil peculiare habet, nisi quod in quotiente reperto tot versus dextram nota interposita virgula separanda sint, De Fractionibus Decimalibus. 27 quot notis sraüio dividendi excedit numerum notarum fraftionis divisoris. Ita in primo exemplo, ubi g, 445 divisa sunt per 3, 22, & ex lege alias praescripta repertus est quotus 26 (66), postrema nota 6 per virgulam separatur, quod nempe in dividendo notae decimales superent unica eas, quae sunt in divisore. 114. At vero si in divisore occurrant plures" notae decimales, quam in dividendo (vide exemplum tertium ), tum dividendi notis decimalibus quotlibet zeri adjici debent, donec numerus earum paullo major evadat , quam in divisore , ut scilicet etiam aliquae decimales in quotiente acquirantur. E X E M P L A. 8 445 3'22 6 44 2 005 1 93 3 73 9'83542 — 2,6-- 0,326 978 55 o 55 4 326 2282 2282 49'r 30, 17 -— s 2, 44 20,074 40 148 89520 80296 92240 "—' 80296 # 11944 o In exemplo altero si quotiens 30, 17 ducatur in divisorem o, 326, factum erit dividendus 9, 83542. In tertio exemplo quatuor zeri dividendo sunt adjecti; & 49, 1ÖOOO per 20, 074 divisis obtinetur quotiens 2,44* Si in ejusmodi divisionibus etiam notarum residuarum rationem habere lubeat, iis zeri adjungi possunt, & iteratis divisionibus novi quotien- tes erui, qui totidem notae decimales erunt; uti in primo exemplo additis ad residuum 73 tribus zeris invenitur quotus 2, 6226, cum novo residuo 228) quod negligi potest. De aliis Fractionum Speciehus . Quoniam in diversis Matheseos partibus , atque universim in commercio, multiplicia sunt mensurarum genera adhibenda, ex earum partibus, in quas nempe dividuntur, totidem diversae fractionum species oriuntur. En vero mensuras, quarum frequentior est usus. 115. Circuli divisio in 360 partes aequales fit, quas gradus appellant: sed gradus iterum in. 60 minuta subdividitur, minutum in 60 minu D L Pars I. Arithmetica.' 28 fa secunda, secundum in 60 tertia &c, ut adeo I gradus, 10 gradus, 20 gradus sint -,4- T r T V, T * 7 V circuli; item 1 minutum, 15 minuta &c sint fr unius gradus; I minutum secundum, 10 secunda &c sin t -y-V, 44 &c unius minuti primi &c. Exprimuntur autem partes dictae hunc in modum i°, io°, 20°; I', 15'; 1", io" &c. Itaque circulus continet 21600', vel 1296000", vel 77760000"' &c; gradus unus est 3600", vel 216000'" &c. Tempus dividitur in dies, dies in 24 partes aequales, sive horas; hora in 60 minuta prima; minutum primum in 60 secunda &c. Temporis spatium, e. g. 10 horae, 17 minuta, 44 secunda, aequale est diei -+- 44 horae -f- 44 minuti, horum expreffio usitata est 10 hor. 17', 44"- Dies igitur continet I44® / , vel §6400", vel ZI840OO"'; hora est 3600", 216000"' &c, unum minutum primum 3600'" &c. Distantiae in terra quidem per hexapedas mensurantur, hexapeda continet 6 pedes, pes 12 digitos, digitus 12 lineas, linea 12 partes tequa- les sive puncta; ut adeo spatium 4 hexapedarum, 2 pedum, 4 digitorum, 6 linearum & 3 punctorum exprimi postit, si scribatur 4 hexapedas -+- % hexapedas H- T \ pedis -t- tt digiti ■+■ T \ linea?. AEquatur itaque hexapeda 72 digitis, vel 864 lineis, Vel 10Z6F punctis; pes aequalis est 144 lineis, vel 1728 punctis, digitus 144 punctis &c. In re pecuniaria apud Gallos poti stimmn occurrunt libra?, solidi & denarii; libra continet 20 solidos; solidus 12 denarios, ut consequenter 19 lib. 15 sol. 10 den. valeant 19 lib. H- jv libr. -+■ sol. Libra ergo Gallica valet 240 denarios. Ponderum ratio initur per libras .- libra appendit 16 uncias; uncia 8 grossos vel drachmas; grossus 72 grana. Hinc pondus 15 lib. 4unc. 7 gross. 60 gran. est idem ac 15 libr. *4- rV libr. -+- y unc. H- ff gross. Pondus ergo unius librae est 128 drachmarum, vel 9216 granorum; uncia aequat 576 grana. 116. Ex his universim colligitur primo: cujusvis mensura partes, qua eodem nomine exprimuntur, esse fraftiones ejusdem denominatoris. Secundo t hunc denominatorem ejse aqualem numero partium aqualium , in quas quantitas, seu mensura , proxime superior dividitur. Sic omnes unciae sunt fractiones, quarum denominator semper est 16; & hic denominator aequalis est numero partium contentarum in libra, quae est quantitas proxime superior uncia. Item digiti sunt fractiones, quarum communis denominator est 12, quippe cum pes, mensura proxime praecedens digitum, in 12 partes aequales dividatur. Idem est in ceteris mensuris. * De Fractionib. DiVersar. Specierum. 29 117. L Ut id genus fractiones addantur, juxta denominationem suam ali* aliis subscribantur; dein initio a dextra parte facto colligatur summa omnium notarum in eadem serie verticali, & siquidem haec excedat denominatorem communem, dividatur per eundem; residuum scribatur infra columnam, & quotiens addatur ad columnam proxime versus sinistram sequentem. 36° 25' 47" 38, 17h. 42' 16" 49 33 28 9 13 25 33 55 31 49 11 23 -7 42 141 3i 4 12 0 0 25 18 25 3i Hexaped. ped. digit. lin. punct. 9 3 11 % 7 100 0 0 0 0 47 5 3 8 0 11 0 IO 8 4 — 168 4 1 6 11 Lib, . unc. gros. gran. Lib. solid. den. 10 15 7 70 323 *7 4 9 IO 4 18 25 11 6 4 7 3 6 40 25 1 8 13 0 55 4 IO 0 68 11 3 39 371 0 6 Divisio summae ex qualibet columna collectas nihil aliud est, quam reductio, de qua quarto loco egimus (84). ii 8 - II* Quando fractionis ejusmodi, subtractio ab altera facienda est, subtrahendae notae scribantur infra minuendae notas ejusdem nominis: tum initium a dextra faciendum, ut alias, illudque praeterea observandum, quod dum nota quaepiam subtrahenda excedit superiorem, a qua auferri deberet, superiori addendus sit ejus denominator, & peracta subtractione quantitas proximo versus sinistram loco sequens unitate sit minuenda. Liquet hoc in altero exemplo subjecto, in quo cum 43 minuta a 19 auferri deberent, additis 60 ad 19 subtrahuntur 43 a 79 minutis, resid o 36 subscripto; sed in loco sequente non amplius 14, sed tantum 13 horae, numeranturT Ratio est, quod ii horas, & 43 minuta auferre ex 14 horis & 19 minutis idem sit, ac II horas cum 43 minutis subtrahere ex 13 horis & 79 minutis. Nempe hic nil fit aliud, quam quod superius (91) faciendum praecepimus. En vero exempla D 3 30 Paus I. Arithmetica. 48° 16' 17" 196. 14h. 19' 40' f 2Z 3 12 3 11 43 30 23 13 ! 5 l7d. I ih. 16 47' 2 5" 36 10 13 18 55 40 3 16 Hexaped. ped. . 5 1 eligit. 25 lin. punct. 100 O O O O 17 4 5 II 8 82 1 6 O 4 Lib. une. gro£ gran. Lib. solid. den. 47 IO 2 55 655 3 4 12 12 5 12 30 O Oj 34 13 5 43' 625 3 4 . 119- Multiplicatio & diviüo fractionum, quae ad hanc classem pertinent, in elementis Mathematicis locum non habent, si eas fractiones demseris, quae in mensuris longitudinum, aut latitudinum occurrunt. Utraque haec operatio prolixa est, & longe diversa ab iis. quae in aliis numeris instituuntur, tum quod partes id genus quantitatum multiplicatarum vel divisarum non maneant mensurae simplices (94 5; cum etiam quod concipi nequeat productum quodpiam e mensuris heterogeneis, uti foret, quod e pondere per orgyas, vel gradus multiplicato oriretur. At vero st hae quantitates solummodo ut numeri spectentur, qui inter se certam rationem habent, per regulas proportionis alii inveniri possunt numeri, quorum ratio sit eadem. Itaque peculiares regulae compendii causa inventae fund, quae singulis fractionum istiusmodi speciebus serviant, pendentes scilicet a proprietatibus numerorum, qui denominatorum vices subeunt. Nos i stili c methodum tantum generalem operationes hasce instituendi indicabimus. 120. III. Primo: Factum binarum fractionum invenitur ope regulae trium ejus terminis hunc in modum dispositis: ut unitas est ad multiplicandum, ita multiplicator ad productum. Unde Secundo quantitates datae ad minimam earum speciem sunt reducendae; v. g. si dentur librae, solidi, & denarii, omnia reduci debent ad denarios; ut etiam ad grana, si agatur de diversis ponderibus, libris, un- Ciis, grossis & granis &c. Res e sequentibus exemplis fiet clarior. Ut multiplicentur 4 lib. 7 sol. 6 den. per 2 lib. 9 sol. 7 den. , haec proportio est facienda: ut 1 lib. est ad 4 lib. 7 sol. 6 den. ita sunt 2 lib 9 sol. 7 den, ad factum quaesitum; omnia igitur prius reduci debent ad denarios: libra una continet 240 denarios; & 4 lib. 7 sol. 6 denarii, sive 87 sol. 6 den. efficiunt 1050 denarios, ut patet, si 87 sol. multiplicentur per 12 ut stant 1044 denarii, 'hisque addantur 6 praeterea denarii. Dein 2 lib- 9 sol. 7 den. simili ratione reducuntur ad 5^5 denarios. Unde termini proportionis sunt 240 : iojo : : 595 : x. Reperitur x = 2 3 cc •+■ 2 id bini occurrunt coefficientes, 3 scilicet, & 2 ; & — 3 cc significat, terminum secundum — cc este in 3 ductum; -+- idd vero exprimit, quantitatem -b- ii bis fumi, sive multiplicatam elfe per 2. 131. Termini, qui nullum coejficientem prafixum habet , coejficiens subintel- ligitur ejse unitas; v. g. aa = 1 aa, 132. Numerus alicui quantitati literali superne adseriptus dicitur illius quantitatis exponens, exempli causa in sl 3 , est 3 exponens, & significat eam literam toties conlequenter positam, quot unitates exponens continet. Nempe sl 3 adhibebatur loco aaa ; & a* b i c 2 pro aaaa bbb cc usurpatur. Quavis Utera , cui nullus exponens aiferiptus est , supponitur habere unitatem pro exponente. In exemplo ab idem est, ac aJb 1 ; item a 3 bcc idem cum a 3 b‘c 2 . Ingens adeo inter exponentem, & coesticientem est dilcrimen; nam 4 a ponitur loco a-t-a-+-a~h a; at vero a 4 substituitur pro aaaa. 133. Termini quantitatis complexae iisdem literis constantes dicuntur fimiles, quamvis eorum coefficientes, & signa diversa sint. Sic quantitas 2 ab -h bd —- 2 bi -t- bdd habet duos terminos similes,-+- bi scilicet, & — ibi. DE OPERATIONIBUS ALGEBRAICIS. perationes, quae in Algebra adhibentur, sunt Reductio, Additio, Subtractio, Multiplicatio, & Divisio. De Reductione. 134. Reductio consistit in debito terminorum quantitatum algebrai- carum ordine, & simplicistima expressione, quorum utrumque ut habeatur, peracta quavis operatione, curandum. 135. Regula I. Termini, S” fingula liter a ejusdem termini , quantum fieri potest, ordinem Alphabeticum sequantur. Hinc quantitas complexa ab -h c — b ■+■ ei -+- db — cba hunc in modum disponenda est: ab — abc — b -h bi ~h c de. 136. Regula II. Termini fimiles , qui in eadem expreffione occurrunt, reducendi sunt ad unicum , vel fi alter elidat alterum , delendi. Haec regula triplicem casum complectitur. I. Ter - < Operationes AlgebraIcje. 3.3 I. Termini fimiles eodem figno affeEii reducuntur ad unicum ejusdem signi , cujus coesficiens aquatur summa coejjicientium omnium eorum terminorum. Sic loco ab-i-ab— cd scribendum est 2 ab’— cd. Quantitas complexa aa -i- sue 4 -zar concinnius exprimitur, si ponatur aa- f- Hüc; pro bb—$bc — bc+bd adhibetur hb —*4 bc-i-bd. 137. II. Si terminis similibus fig;aa contraria fimi praefixa , coejficiens minor a majore subtrahendus ejt,& differentia cum figno majoris adhibenda. Exemplo sit quantitas $ab-h2, abb — ab , quae reducitur ad a ab -+-2 abb. ltemab-i-4ad — add-h asld-t-3 add—-^ad hoc artificio mutatur in aa -b zad-i- 2 add. Sic etiam ex quantitate b d — 2 b d~hb dd — 3 bdd fit — b d — a bdd. 138. HI. Si terminorum similium £? contrario figno ajseftontm coejfu cientes sint gquaks, U termini prorsus omittuntur. Ut si habeatur a a ■+■ 2 ab •— zab-bbb, scribendum est tantummodo aa-hbb / item omnes termini quantitatis bd — bds-hzbd-hib df — 3 bd reducuntur ad 1 bdf. De Additione. 139. Quantitatum algebraicarum additio nil aliud requirit , quam ut omnes continua serie scribantur, proprio cujuslibet figno retento , ac pojtmodum debita rsduftiones fiant. Sic quantitatum ab & bc additio absolvitur scribendo ab-bbc. Summa ex ab-hc&cb — s est/Ji + c+i — c, & facta reductione (138) ab + b. Ex — b & a colligitur a — b. Si ab •— ad -i- $bd & ad — bd addi debeant ad ah — ad-+* dd, scribatur primo a b — a d $b d-h a d — bd-t-ab — ad-bdd; dein reducatur ad 2ab — ad-hzbd-bdd De Subtra&ione. 140. Subtraftio fit , fi cum quantitate , ex qua altera auferri debet , scribatur in eadem serie quantitas subtrahenda , mutato in hac figno -+- in — ,£f vicijfim — in Exempla, b ex a subtracta intelligitur, si scribatur a — b. b~—c aufertur ex fiH-s, si ponatur a-bc — b-be, & reducatur ad a — b-bzc (136). Diitereutia inter ai?— bc-bdd, & ab-babb—dd est ab-b abb<—dd — ab-bhc — dd , quae reducitur ad abb-bbc — 2 dd. 141. Signum — mutatur in 4 - in quantitate subtrahenda, ut debita compensatio fiat. Etenim cum b — d ex a subtrahi debet, & scribitur a — b , justo plus subtrahitur ex a, quandoquidem non integra quantitas b auferri debuit, sed quantitate d imminuta j quare dum pone- JLfl Caille LcEl. Ekm. E Paäs I. Elementa .Algebra 34 batur a—-b , fota quantitate d plus ablatum est , quam oportuit. Ut igitur subtractio aequa sit, quod ultra debitum ablatum est, rursus ut ad differentiam obtentam addatur, est neceffe, hoc est, ut ad a — b quantitas d adjiciatur, scribaturque sl — b-j-d. Res in quantitatibus numericis clarius elucet. Si ex 6 auferenda sint 5 —3, juxta expositam regulam scribendum est 6—5-+- 3, & obtinetur facta reductione differentia 4, quemadmodum hanc ipsam inveniri debere evidens est. At si poneretur 6 s — 3 , ex 6 subtraherentur 8 , quod faciendum haud quaquam erat propositum, quippe cum5—3=3, non nisi L ex 6 subtrahi debent. De Multiplicatione . 142. l)um terminus algebraieus per alterum multiplicandus est, operatio ad quatuor sese extendit, ad signa scilicet, ad coefRcieutes, ad 1 iteras, & ad exponentes. Regula pro signis est, quod productum ex signis iisdem sit semper positivum ; ex contrariis semper negativum. Itaque -HX-+- — + X — == —, -— XHf- = —, & —- X— = Hh Regula pro concientibus , ut alter multiplicetur per alterum. Regula pro literis , ut secundum Alphabeti ordinem alteri altera adjungatur nullo signo interposito . Regula pro exponentibus, ut dum quantitas quapiam liter alis exponente praelita multiplicanda est per eandem itidem exponente asseclam , ea quantitas in produblo tantum semel jcribatur cum exponente aequali summa exponentium utriusque faftoris. ExEMPLA. Si 4,b’c ducendum in —3 dd, erit -f-X— 4x3=12, Vcx ddszzb* cdd, adeoque factura —12 b 2 cdd. Sic quoque si 3 b b multiplicandum per —> b 3 , imprimis fiet -—x — = ■+■, dein 3x1 (quippe (131) quivis terminus alio coesticien- te carens , unitatem habere intelligitur ) = 3 ; bbxb 3 , vel b‘Xb 3 s= , ac productum denique Hh- 3 b s , vel, omiffo signo, 3 b 5 . Eadem operandi ratione reperietur axb = ab — b c 3 X3b dtst — 3 Vc 3 i 3 aaex — 2 bc = — 6 a* bc* ct 3 Xst 4 s=ß 7 - Namsl 3 =sltfsl, & si 4 = a a .a a ; quare a 3 xa i — a aaxaaa a=aaaaaaa-=za 7 . Ex quo regula pro exponentibus allata evidens sit. abcx$a' b 3 cdz=3a 3 b A c’ d. 4 a 1 b 3 x b 3 c d 4 = sZ b 3 ci' Operationes Algebraic^b, 35 143. Multiplicatio polynomiomn fit ut in Arithmetica numerica, sittm prius pro duci a partialia terminorum fingulorum multiplicatoris in terminos singulos multiplicandi quaeruntur juxta regulas modo expositas (142), dein haec in unamjiimmam colliguntur pro facio totali. Illud solutn discriminis esi inter multiplicationem numerorum, & quantitas um pol jnomiarum, qucd non neceffe sit, quemadmodum in numeris, ut terminorum ordo propositus servetur, sed satis sit terminos singulos unius factoris in singulos alterius ducere, ut producta partialia reperiantur. Exempli causa proponatur polynomxum a Hh 3 c — d ducendum in 2 a — d. Terminis utriusquC, ut in Arithmetica (4 j) praeceptum est, dispositis ducatur a in 2 a , & factum 2 a a subscribatur: dein multiplicetur ■+■ 3 c per 2 a , fiet -t- 6 ac ; ac ducto — d in 2 a habetur — i a d. Sumatur jam alter multiplicatoris terminus — d , qui ductus in a eilicit — a d y per ~b Z C multiplicatus dat — 3 cd, ac denique ductus in -— d facit -t-d d. Fadta haec partialia addantur in unam summam, adhibita reductione, habebitur productum totale = zaa~i- 6 ac — za d — 3 £ d d d. Exempla alia a 3 ~ 3 a b* •+- b b aabb — b 3 tfbb — 3 a'>b 6 -t- aab 4 —~a i $ab 7 — b s & s b'— & b^-i-a b*-h$ab 7 — b 5 4 aa — 4 bb aa-+-zac—bc a--b a- -+• a a ac — ab c — an b — 2 ab c+bbc « 3 — aab-t- zaac—§ab c-+-bbc a+$c—d 2 a — d 2 a a-f- 6 sic — 2 ad •—ad — 3 cd ■+~d d zaa-h 6 ac —3 ad —3 cd-t-dd sa—~2b 2 sl*+* 2 b 4aa —4 ab +4 ab — Abb Pars I. Elementa Algebra. Z6 144. Observ. I. Quandoque dum quantitates complexos multiplicandae sunt, ne confusio literarum oriatur, satis est multiplicationem tantum indicare, inter utrumque factiorem (cui linea superscribitur) signoxinterjecto, hunc in modum quod in dicat, a-j-ze—dd debere duci i nbb — 5 dd,-alii omisso signo x singulos factores parentheseos signis inclusos exhibent, ut(d4-3C ■— dd) (bb—add). Alii aliis expressionibus utuntur, quas usus docebit. . 145* H- Demonstratio regula pro stgnis'iata. Demonstrandum est, debere fieri -k- x — — —, & — x — — HK Primo. Dum st per b — c multiplicandum est, & ponitur primo productum ex a in b, nempe ab, manifestum est, productum istud esse justo majus, quandoquidem non integra quantitas h multiplicanda proponitur, sed diminuta quantitate c: igitur in producto ab toties plus aequo continetur quantitas c, quoties in eodem reperitur b / atqui quantitas a exprimit, quoties b contineatur in ab, quare quantitas c toties auferri debet ex producto ab, quot a unitates habet, seu, quod idem est, ex ab subtrahendum cxa seu a c , & hinc factum ex st in b — c est ab —a c. In numeris. Dum multiplicando 5 per 6 —4 ab ioitio ponitur 5x6=30, factum 30 majus est, quam debeat, cum6—4 solummodo 2 valeant: & quidem excessus ille facti inde ortus est, quod numerus 4, quem ex 6 auferri oportuit, quinquies in eo contineatur: ut ergo factum debitum habeatur, ex 30 quinquies auferri debent 4» hoc est 20, residuum 10 erit productum quasfitum. Unde factum ex 5 in 6 —4 hunc in modum exhibendum est 30 — 20. Secundo. Cum a — b in c — d ducitur, patet sane, factum ex ü — tine, nempe ac- — -bc, esse majus, quam oporteat, quod quantitas c imminuta sit quantitate d; quare ex facto illo ac — bc toties subtrahi debet d, quoties in eodem continetur C; jam vero st-—b exprimit quoties c reperiatur in a c — b c, ergo auferenda est quantitas d per a — b multiplicata, hoc est ad — b d. Fit autem subtractio quantitatis ad — bdexac — bc , si scribatur ac — bc —ad-4-bd (140). Unde manifestum fit, in multiplicatione a — b per c — d factum ex — & in — d, debere esse -4 - bd, ut scilicet debita compensatio habeatur. Si literis st, b, c, d substituantur numeri, ut 6, 4, 7, 3, eadem demonstratio locum habet. De Divisione. 146. Divifio algebraica univerßm fit , st infra dividendum dutda linea divisor subscribatur. Sic -Enotat quotienfem ex quantitate a l,b-i~cc per jstr-f-dd divisa. Atque hinc constat, quantitatem alge- braicam alteram per alteram dividere, nihil esse aliud, quam cam solita fractionum forma exhibere. Operationes Algebra-ic.®. 37 Verum cum fractiones semper reducendae sint ad exprestionem simpliclsiimam; quemadmodum in multiplicatione fecimus, ita etiam pro divisione binorum terminorum algebraicorum quatuor peculiares regulas prasscribi poffunt. I. Regula pro signis : quotiens ex duobus terminis eodem signo affe - Siis, semper efi positivus ; ex terminis contraria signa, habentibus semper negativus. II. Regula pro coeficientibus: Si alter per alterum fine residuo dividi potest, uterque omittitur, & in loco majoris substituitur quotiens inventus; fi divifio fine residuo fieri nequit, uterque coejpciens retinetur, ut datus eji, fra- Bionis forma , fi coeßcientes sunt aquales, uter que deletur. III . Regula pro literis: infra liter as dividendi dufta linea, subscribuntur Utera divisoris. IV. Regula pro exponentibus.- fi eadem Utera tam in dividendo, quam in divisore occurrat cum diversis exponentibus, ea illic omittitur, ubi minorem habet exponentem, fiquidem in illo termino nulla adsit alia Utera, ponitur I: in altero vero termino loco exponentis majoris adhibetur exponentium differentia; at fi exponentes aquales fint, liter a in utroque termino omittenda efi, aut deficientibus aliis literis, unitas substituenda. Regula? huic locus est, etiam cum nullus literis exponens ad* scriptus est, quod tunc (13 2) unitatem habere pro exponente intelligantur. Exempla. Si quantitas 4 dividenda per-- zb d 3 e 3 s\erit 2 ac 3 de 3 — = —; & | = 2 ; igitur scribendum — ; per regulam vero pro exponentibus datam apparet, in dividendo omittendum esse d,& in divisore loco d 3 substituendum d 2 vel ddj item in divisore delendum 2 a c 3 e l e 3 , relicto in dividendo vel e e, ut adeo quotiens si — jjdds' Sit dividendus 3 a 3 , divisor — 12 a 4 b 3 ; erit-t- = — , ‘/=4; deletur itaque 3 in dividendo, & loco 12 in divisore adhibetur 4, ut sit a 3 -- ■—— : porro ex regula exponentium quantitati a 3 substitui debet unitas in dividendo, in divisore vero relinqui a T , vel a: quare quotus habetur- 4ao> 1 _ , , . . 3 “bc 1 — 4 bd Eodem modo invenitur —= —• =ss 1: -— ab> $abc 1 zbd a 1 $aab $ab lzabd 4 bd 5 ac S c 9 4 a 3 bbd a 4 abd a ab ; &c, aab Z« 1 — 4 bd i Pars I. Elementa Xlgeer^„ Z8 147- R e gala 3 coefficientium, & exponentium solummodo redu- ctkuiem continent fractionum ad simpliciifimam expresiionem; & ea quidem, quae exponentes concernit, huic innititur rationi, quod cum eadem quantitas in dividendo, & divisore occurrit, quotiens sit I (79), sive quod reduci possit ad Hinc cum ~ sit idem ac ——, liquet (76) elfe -=a 1, vel —; unde substitui potest-, seu — , aaa 1 L 1 xaa aa vel —. Ex quo apparet, per hanc reductionem, literae, quae majorem habuit exponentem, solum differentiam exponentium relinquendam elfe; illi vero, cujus exponens minor erat, elfe 1 subfiituendain. 143. Eadem regulae, sive reductiones locum habent in fractionibus pol/nomiorum, quando una pluresve notae literales in singulis tam dividendi , quam divisoris terminis reperiuntur eaedem. Hac ratione (ix — 2 ab x , 1 — zi reducitur ad -— 7—, deleto scilicet a x in singulis terminis, axbaxx i-+-x & ubi solum erat, unitate surrogata. Similiter 3 " $axx-+-$hbxx Aa’xx-t-iafybx Ax-t-zabb <■ Aabxx —a ab 5 & ~ fi* —r -5 'tern- reducitur aax—~cLibx i—i 2 aabbb4,abb ad-rr abbb &xx —1 abbzb. 149. Polynomiorum divisio eadem omnino est, ac qu» in numeris adhibetur, quamvis in quantitatibus Algebraicis raro succeisum habeat; ejus tamen periculum facere convenit, neque ili ico, quibusdam reductionibus factis, res absoluta putanda est. ipse usus docebit, quan- donam polynomium unum per alterum exacte dividi queat. Interim en exemplum; Quaeratur, utrum aab abbaebbe exacte per abe dividi possit ; disponantur omnia , ut alias; & indagetur, quis ex a a (primo dividendi termino ) pers (primum terminum divisoris) sit quotiens? reperitur a, cum (14) ■— — a; collocetur a in loco quo- aa- • ab •+- ac ■+• bc = a 4- b ab c aabac abbbe ab-t-bc tientis, ac per eundem multiplicato divisore a b s, factum aa -f- ac auferatur ex dividendo ; supererit facta reductione ab b bc. Tum ulterius est —= -b, & — = b 1 adjungatur itaque + b priori quotien- »b Compos, et Resol. Quantitatum. 39 d, & rursus per-f- b multiplicato divisore obtinetur productum ab+-bc, quod e residuo ab-+-bc subtractum nihil relinquit. Colligitur ergo,quo- tientem quaesitum esis a-i-b. DE COMPOSITIONE ET RESOLUTIONE QUANTITATUM uaevis quantitas considerari potest primo , vel ut valerem ali- cujus rei sirfipliciter exhibet; secundo, vel tanquam summa , aut factum ex pluribus aliis ortum; tertio, vel instar differentias aut quo* tientis aliarum. Ita 12 spectari potest, ut simpliciter quascunque res duodecim numero denotat; vel vero ut summa ex aut 2 ■+■ 10, Vel 4+8 Ac, aut etiam ut factum ex A X 4 , vel 2x6 Lc; aut denique velut differentia inter 15 & 3, inter 17 & f &c, vel ut quotiens ex y* vel y &c. Praecipue Matheseos partes sunt, quantitates inter se comparare, componere, & resolvere; sed de comparatione infra agemus. 151. Compositio plurium quantitatum in unam plerumque difficultate caret, cum seu additione, seu multiplicatione peragatur, quas operationes semper exacte fieri poffmit; at vero resolutio non modo difficilis, sed etiam saepe impoflibilis est, praecipue si valor in numeris integris petatur, utpote cum quantitates maxime ope divisionis resolvendae sint, quae raro quotientem exactum exhibet, quin quid praeterea remaneat. 152. Quantitas quaelibet, a, ut simplex, & non composita, spectata, primi gradus esse dicitur, aut potentia prima appellatur At si ea semel in se ipsam ducatur, si bis, ter &c, productum fit secundi, tertii, quarti gradus &c, seu dicitur ea quantitas ad secundam, tertiam,quartam &c. potentiam elevata. Universim productum fit quantitas illius gradus, seu talis potentia, qualem indicat exponens ex multiplicatione ortus. Sic a a, velsl% considerata ut factum ex slXsl, vocatur quantitas secundi gradus, seu secunda potentia quantitatis a. Similiter a\ tanquam productum ex axaxaxa, est quarta potentia ejusdem quantitatis a. 153. Quantitas illa simplex, sive qua; simplicis instar consideratur , atque ad potentiam quandam elevatur , dicitur radix ejus potentia?. In exemplo a est radix tertia potentiae a 3 , radix septima potentiae sl 7 &c. Idem est in numeris; 20736 si spectetur ut quarta potentia numeri iz, viclffim 12, est quarta radix numeri 20736. 40 Pars I. Ejlemunta Algebkjb, IZ 4 > Ex analogia ad dimensiones corporis, solet quoque secunda potentia, ut b 7 , vocari quadratum quantitatis b , tertia cubus ejusdem; alias etiam i ? 4 dicebatur quadrato-quadratum , & b 5 quadrato cubus, b 6 cubo-cubus quantitatis b. Viciflim b est radix quadrata de i; i? vel b % radix cubica de b\ radix quadrato - quadrata de b 4 &c. 155» Compositio & resolutio quantitatum ad haec quatuor revocatur, primo ut ex pluribus fiat una, quod additio & multiplicatio praestat; fecundo ut reperiantur omnes quantitates, quarum multiplum est quantitas data, seu, quod idem, ut inveniantur omnes di visores, quibus scilicet divisio exacta, & sine residuo, quantitatis datae institui potest. Tertio ut quantitas quaevis ad potentiam datam elevetur. Quarto ut extrahatur radix quaelibet ex quantitate data, quae tanquam potentia illius radicis spectatur. Qua ratione omnes quantitatis data divisores reperiantur. 156. I, Si quantitas data est numerus, tentetur ejus divisio successiv« per quosvis numeros primos,donec inveniatur quotien sine residuo; tum is quotiens rutius dividatur,si fieri potest, per aliquem numerum primum, ac iidem numeri iterum adhibeantur dividendo secundo quotienti, donec tandem deveniatur ad quotientem unitate non majorem, sive donec nullus alter reperiatur divisor minor, quam quotiens praecedentis divisionis. Scribantur omnes divisores adhibiti, & multiplicentur imprimis bini quivis, tum terni, quaterni &c, facta cum sin. gulis simplicibus erunt divisores, quos quantitas data habere potest. Exemplum. Quaerantur omnes divisores numeri 6zo. Dividatur primo per 2; quotiens 315 divisionem per 2 non admittit; succedit tamen divisio per 3, & fit quotiens 105, qui item per 3 divisus suppeditat tertium quotum 35; at hic nec per 2 , nec per 3 accurate dividi potest, attamen per 5 , quoto emergente 7. Jam-vero 7 nullum ex praecedentibus divisoribus habet, nec alium unitate majorem, quam 7, ut postremus quotiens jam fit 1. Sunt igitur divisores adhibiti L, 3, 3,5,7, quorum bini quivis inter se multiplicati dant 2x3=6,2x5=10, 2x7=14, 3x3=9,3x5—1 5 , 4X7=1 2 > 5 X 7 = 35 . Facta e ternis sunt 2x3x3=18, 2 X iX>=30, 2X3X7=42. 2X5X7=70, 3X3X5=45, 3X3X7 = 63, 3X5X7 = 105. Facta e quaternis 2x3x3x5 = 90, 2x3x3x7=120, 2x3x5x7=210, 3x3x5x7=315. Denique factum e quinis 2x3.x 3x5 X7 est 630. Ut adeo divisores numeri dati sunt 1, 2, 3, 5, 6, 7» 9, io, 14, 15, 18, 2i, 30, 35, 42, 45, 63, 70, 90, 105, 126, 210, 315, 630, Ratio intellectu facillima est. Cum enim numerus datus aequalis sit facto ex quinque iliis divisoribus LX 3x3 X5X7, manifestum est, in eo contineri accurate omnia facta binorum, ternorum, quaternorum &c eoi undem divisorum, II. Eadem lex in quantitatibus algebraicis tenenda. Detur exempli causa Ibdd-hl^dy cujus divisores inveniendi sint. Dividatur primo per/', quotus primus erit bdd-t-bhd , hic rursus per b divisus, dat quotum alterum dd-hbd, cujus si divisio per b+d fiat, tertius quotus siti/, quo per lernet diviso ad 1 perventum est. Quare divisore? adhibiti sunt />,/>,/>+,/'■+•/a». Et in genere, quantitas elevata-ad fractionem , est radix habens pro exponente fractionis denominatorem potentia illius, [cujus exponens eß ejusdem fro- 1 i * j üionis numerator , v. g. a* = \fa; aJ sss y f aa &c. De Extractione Radicum. 43 i68. III. Ut fiat a m , patet, a- m duci debere in ad adhiberi potest haec expreffio ■|/% S b dd , I /aa — 3 b -t- c aa — ab vel — ; ——2—-, vel- cc dd 3 V°I C-iSZ^-P-y vel cc — dd y \/cc — id (aa-~$b-bc ) 3 denique -———. Extractio radicum e potentiis hunc in mo- ( cc—diy dum indicata nunquam peragi solet, nisi postquam numeri in literarum Algebra icarum locum sunt substituti. 176. Qui frequentiore usu calculum Algebraicum sibi familiarem reddiderit, facile advertet, an polynomium propositum lit potentia perfecta radicis, quam extrahere cupit, atque adeo an ipsa extractio facienda sit, vel satis sit eam indicare., En autem methodum, qua explorari possit, utrum radix quadrata e polynomio dato extrahi queat. 177. Detur polynomium aa ■+■ zax Hh xx; poterit quisque hunc in modum fecum ratiocinari: quoniam quantitas proposita polynomia est, ejus radix plures habet terminos, quam unum. Ponatur esse duo; igitur in polynomio dato contineri debent (163) quadratum termini primi* quadratum secundi, ac factum ex duplo primi in terminum secundum. Et quia' occurrit reipsa quadratum aa, ejus radicem sl (173) assumo pro termino primo quaesito, atque separatim ex dextra parte seri- De Extractione Radicum. 45 bo, ejus vero quadratum aa ex polynomio dato subtraho, remanentibus zax -4- xx. Jam in residuo hoc adesse debet factum ex duplo termini primi a in alterum terminum radicis quaesita;; quare nequit obtineri alter ille terminus, nisi residuum zax aa -+- zax •+■ xx ( a -f- x ) Radix — aa zax ■+• xx zax -— xx — zax — xx za * 4 - x x -b xx per duplum a, sive za, di- ^ vidatur; quandoquidem (56) divisione utendum est ad inveniendum alterum factorem, si alter sit datus. Divido itaque zax -f- xx per za, & quotientem -4- x adjungo priori parti radicis: quod si -f- x sit alter terminus quaesitus, neceffe est, ut factum ex eo in za, una cum ejusdem quadrato , sit »quale residuo zax -f- XX. Unde divisori za adjungo -f- x , totumque za -h x multiplico per hunc secundum terminum x (factum enim aequale esse debebit summae ex producto za in x,& quadrato termini x); obtineo autem productum zax -i- xx, quod cum subtractum a residuo zax -4- xx nihil relinquat, mani- fe^um est, polynomii aa -4- zax - 4 - xx radicem quadratam elfe a-b x, quippe cum per operationes hactenus institutas eadem quantitas resoluta sit in partes, ex quibus composita est. Eadem omnino methodus adhibetur, quando radix quadrata ex numeris extrahenda est; & quoniam singularum operationum rationes jam reddidimus, dum radicem ex aa -4- zax - 4 - xx quaesivimus , solummodo ipsas operationes faciendas in numeris praescribemus. Ac imprimis quidem notae este debent radices quadratas omnium numerorum quadratorum, qui 100 non adaequant, ut hic videre est. Quadrata,,., 1, 4, 9, 16, 25, 3 6, 49, 64. §1, IOO. Radices.«,,,, 1, 2, 3? 4 s 5 * 6, 3, 9- 10. 179. Hinc porro apparet, numerum simplicem non pojse habere quadratum, cujus plures Jint nota, quam dux y quandoquidem IO, qui est, primus numerus eorum, qui e pluribus notis componuntur, quadratum habet IOO, quod est numerus minimus omnium tribus notis constantium. Si eodem modo ad alios numeros transeamus, manifestum quoque erit, numeri 'S duabus notis compositi quadratum non pojje habere plures notas , quam quatuor ; etenim IOO ( qui est minimus eorum, qui tres notas habent) ad quadratum elevatus est ioooo, quo nullus datur numerus minor quinque notis constans. Universim: nullius quadratum plures notas habere poteß, quam fit duplus notarum suarum numerus. 46 Pars I. Elementa AlgebrJe. ) :) 42 1,64 __ 8 . 164 Quaeratur itaque radix quadrata numeri 1764, 1764 qui cum quatuor notis constet, ejus radix duas notas 16 habere debet: separentur igitur binae quaevis notae in- terposita virgula, initio a dextra parte facto; quaeratur in primo a sinistris membro quadratum hunc in modum: radix quadrata de 17, est paullo major, quam 4; collocetur 4 ex latere, & quadratum illius 16 subtra- 0 hatur ex 17; remanet unitas, cui versus dextram adjungatur proxime sequens membrum 64; accipiatur duplum radicis inventae 4, nempe 8, atque notae 6 subscribatur, primae scilicet novi membri; dividatur 16 per 8; erit quotiens 2, qui radici jam inventae adjungatur, fimulque divisori 8; multiplicetur 82 per novam hanc radicis partem 2, & factum 164 auferatur ex residuo 164 ; quoniam nihil remanet, radix quaesita est 42. Si desideretur radix quadrata numeri 389489, secetur interpositis virgulis in tria membra, quibus singulis binae notae respondent, initio a dextris facto: quaeratur radix quadrati primo membro 38 proxime »qualis, quae est 6 , & scribatur e latere, illius vero quadratum subtrahatur a primo membro; manet residuum 2. Adjungatur huic membrum secun- 38 , 94 , 89 >^. 3«_9 6 4 294 122 244 5°-89 12 44 49 76 113 dum 94, & scribatur duplum radicis inventae I z ita, ut 2 sint infra 9: dividatur 29 per 12, & quotus 2 tam divisori 12 , quam radici inventae 6 versus dextram adjungatur : si per 2 multiplicetur I22, & factum 244 auferatur ex 294, habebitur residuum 50, cui tertium conjungatur membrum 89, & u raque nota 62 huc usque reperta consideretur tanquam pars prima radicis binomise; ideoque ejus duplum 124 ita subscribatur residuo priori novo membro aucto, ut nota 4 infra 8 collocetur, primam scilicet notam nov- membri, Diviso 508 per 124, obtinetur quotus 4, qui tam radici inventae, quam divisori versus dextram adscriptus, & in 1244 ductus, suppeditat factum 49?6, quod subtractum ex 5089 relinquit 113. Quoniam nullum restat membrum numeri propositi huic residuo adjungendum, erit radix quadrata verae proxima 624 numeri dati 389489, Hui si IIZ minueretur, foret numerus perfecte quadratus. 180. Quando calculus singularem accurationem non desiderat, residua, qua? peracta, ut modo exposuimus, extractione supersunt, negligi possunt; at si etiam horum rationem habere oporteat, notis integris adjungendae fractiones decimales inveniri debent, toties scilicet notis remanentibus, novi membri instar, adfcriptis binis zeris, quot notarum fractio desideratur, atque extractione continuata: notae enim inde inventae erunt totidem decimales. De Extractione Radicum:. 47 ( Exemplum: addantur superiori residuo 113 duo zeri, & radix r reperta 624 spectetur tanquam pars prima bi- nomia? : adeoque' ejus duplum 1248 scribatur infra 11300 ut 8 respondeat primo zero: dividatur 1130 per 1248, quotus est O, qui adjungatur simul divisori, simul radici inventae ; ducatur quoque in 12480; factum o subtractum ex 11300 relinquit 11300. Novo residuo rursus adjungantur duo zeri, ut altera nota decimalis acquiratur ; radix 6240 iterum pro prima parte radicis binomiae habeatur, & residuo subscribatur ejus duplum 12480 ita, ut O sit infra penultimum zerum residui ; instituta divisione reperitur quotiens 9 priori radici, & ipsi divisori versus] dextram apponendus; 1 & si is ducatur in 124809, atque productum 1123281 ex Ii30000 subtrahatur, remanet 6719. Si radicem 624,09 pro satis accurata habere velim ; negligendum est postremum residuum; at si propius ad radicem veram accedere Iiibeat, rursus duo zeri adscribendi sunt, atque eadem operatio repetenda, donec tot habeantur notae decimales, quot visum fuerit. 181. Observa. Quando radix fractionis petitur, ea ex singulis ejus terminis, numeratore scilicet, & denominature, separarim extrahenda est. V. g. |/f = f, cum = item \/\ — |. Verum si ejus termini non sint numeri quadrati, fatis est, toti fractioni signum radicale praefigere, aut etiam fractio reduci poterit ad decimalem, indeque radix eodem modo extrahi, quem adhibendum esse diximus, dum numeri perfecta quadrata non sunt, sed aliquid residui relinquunt. De praecipuis proprietatibus potentiarum in numeris. 182 . Theorem a I. Facium .ex potentia perfecta alicujus numeri in parentiam imperfectam ejusdem gradus,alterius numeri , non potest ejje potentia perfecta illius gradus . Demonst. Si a 3 cubus perfectus, & b cubus imperfectus; erit a 3 b cubus'imperfectus. Etenim si ponatur esse perfectus, ejus radix vera, & sine residuo, fiet ab 3 , quae si dividatur per a, radicem veram cubi c?, habebitur b* vera quoqne radix cubi b, & hinc nequit b esse cubus imperfectus, contra hypothesin. 183. CoRot-L. Nequit fieri, ut numerus quadratus fit duplus, triplus , quintuplus &c alterius numeri quadrati, cum 2, 3, 5 &c sint quadrata imperfecta. Eodent modo numerus cubicus non potefi ejfe duplus , triplus , quadruplus &c alterius numeri 38.94,89^24,0905 &c. 294 122 244 5089 1244 4976 II3OO 12480 O I13OOOO 124809 II2328I 6719OO 1248180 O 67190000 12481805 62409025 4780975 &C. Pars I Elementa Algebra. 48 eubici, quia- 2, Z, 4 &c sunt cubi imperfecti. Et univerfim potenti* perfeci* ftt* queunt esse multipld aliarum ejusdem gradus, niji ea fint potentia perfecta. 184. Theorema II. Numerus per certos immer qs primos divijibilis ad quamcum- que potentiam elevetur, non acquirit numeros primos alios pro divisoribus. Demonst. Manifestum enim est, quod fi v. g. abc non alias admittat numeros primos, quibus exacte dividi possit, quam a,b,c, neque alios fore divisores quadrati aabbcc, vel cubi a*i> 3 c 3 &c, qui sint numeri primi. 185. Coroll. Duo numeri, qui non habent communem divisorem (praeter unitatem, in omnibus numeris integris contentam, de qua sermo non est, cum proprie per eam numerus non dividatur), etiam ad quamcunque potentiam ejusdem nominis elevati non acquirent communem divijorem. Etenim divisores accurati nequeunt esse nisi vel numeri primi, vel primorum multipli; jam vero numeri, qui non habent communem divisorem, nec habent numeros primos pro communibus divisoribus; ergo nec elevati ad eandem quamcunque potentiam acquirunt numeros primos pro divisoribus communibus; multo minus vero eorum multiplos; consequenter nullum. i 8 < 5 . Theorema III. Numeri integri & fracti ad simplici simam expressionem reducti summa, nequit Jieri numerus integer, ad quamcunque potentiam elevetur. Demonst. Fractio ad simplicissimam expressionem reducta est, cujus termini non habent communem divisorem; quod fi jam fractio ejusmodi addatur numero integro, ut summa fiat nova fractio, termini novae fractionis non habebunt communem divisorem; si quis enim esset communis divisor hujus novae fractionis, eius denominator (qui idem est tam ante reductionem, quam postea) debuisset fieri minor, & hinc prior fractio contra hypothesin non fuisset ad simplicisti- mam expressionem reducta; igitur fractionis ex numero integro & fracto ad minimos terminos reducto ortae termini nequeunt communem divisorem habere; adeoque neque si ad quamvis eleventur potentiam. Quoniam itaque nulla fractio reduci potest ad numerum integrum, nisi denominator sit simul divisor communis numeratoris, manifestum est, summam ortam ex integro & fracto ad mini, mos terminos reducto non posse fieri numerum integrum, ad quamcunque potentiam elevetur. 187. Corole, Nullo numero affignabili potest exprimi vera radix alicujus numeri, qui non Jit perfecta potentia ejusdem exponentis cum radice. Nam si numerus, cuiuS radix petitur, fit integer, supponamus ejus radicem veram constare ex integro & fractione.“ igitur fi hr?c radix elevetur ad eandem potentiam, debet is ipse numerus integer obtineri, qui dabatur, quod fieri non posse demonstravimus. Idem est, si supponamus numerum datum, cujus radix petitur, esse fractionem, auttton- stare ex integro & fracto ejusmodi, ur, si ad eundem denominatorem reducti colligas: ur in unam fractionem, non uterque terminus sit potentia perfecta eiusdem gradus cum radice quaesita: potest enim tunc uterque terminas sqparatlw spectari ut numerus integer, cujus radix assignari nequit. a 83 - Expressiones radicales numerorum, qui non sunt perfectae potentiae S 3 vocantur incommensurabilia. Ejus generis sunt \/2, Vz, VZ, V4, Vi & c - De extractione radicis cuMca. 189. Si quis ad naturam polynomiorum ad potentias evectorum animum advertat , eodem modo regulas in extractione radicum cubicarum, immo aliarum etiam, observandas deteget, ut superius fecimus, cum de radice quadrata ageremus. Verum hae regule eo magis femper complicatae erunt, quo altiores fient potentiae. de Extract. Radicis Cdbic.®. 4 ? Proponatur extrahenda radix cubica ex a 1 ■+> 7,579009---— t I33V3,6 o 7537 *So = 8 , 259 + V ( 7 i 579°09 — 0,002349831828824315932711 )=■ 8,259+ VC 7,5766591681711756840684067-8^)---8,259+ s,75257Zr92Z38 = 11,011573190338, habetur radix quaesita. Calculus ad inveniendas ipsas formulas expeditus est, quo tabula facile ultra septimam potentiam extendi potest, seu id fiat per inductionem, juxta legem, quam formulae propositae observant, seu methodo, quam sequens exemplum docebit, uti quis velit. Esto \/ (a?-\-b)~a-\‘d t ubi d denotat fractionem,- erit Igitur a 5 + L— *’ + 5a 4 ^+ i° sl3 =a + l fi' (ailfi) 3 ==l a‘ il 3 a'b' +3 a‘fi"±! I fi' (a -1- fi/— 1 a 4 4 a’fi‘ - 3-6 «‘//'i - 4«'fi* -f- rfi* (a -4~ fi/=r a S rt 5 ^fi 1 +loa , fi‘rtrxoa’fi ! -f -5 a'fi 4 -*-)^ (a H-fi) f =t if + { a‘fi‘ -J-i 5a f fi* nr »0 sl l fi 3 4-1 5-r'fi 4 HH 6a'fi' -J-ifi 4 . &C. &c. Ut formula generalis habeatur pro potentia quavis, invenienda est imprimis lex, quam observant exponentes terminorum se se ordine sequentium; tum etiam illa, qua crescunt vel decrescunt coefficientes. Atque illa quidem, quae ad exponentes pertinet, citra ( dUHcnltatem deprehenditur: sunt enim exponentes numeri naturales ab unitate, qui in quantitate fi crescunt usque ad illum, qui indicat ipsam potentiam; in a vero ab hoc usque ad 1 decrescunt, ut consequenter praecisis coefficientibus lex exponentium sequente serie infinita exhibeatur * w ita* — 1 fi ri- st* —" fi 5 it st“ — 3 b> ■+■ st*— 4 fiflt &c. Lex coefficientium est, quod eorum primus C qui afficit terminum secundum potentis binomiae) fit exponens primi termini seriei quantitatis «divisus per exponentem termini primi seriei fi,- secundus factum exponentium duorum primorum seriei <1 divisum per factum exponentium primorum duorum seriei fi; tertius factum exponentium trium primorum seriei a divisum per factum trium primorum exponentium seriei fi; quartus factum exponentium quatuor primorum seriei «divisum per factum quatuor primorum exponentium seriei fi, & s.c deinceps. V. g. in potentia sexta binae exponentium quantitatum «&fi series sunt. 6, 5, 4 , Z. 2, 1 r » S i 4' 4, 5» 6 <5 6-5 6,54 6.5 4.3 6.5 4.3.2 6.5.4.3 2.! Unde si fiat reducanturque t ' r.2' 1.2.3’ I. 2 . 3 - 4 ’ 1-2.3 4.5' 1.2.345.6' 4 omnia *d expressionem simplicissimam, habebuntur ordine coefficientes sextae potentiae binomii an-fi, primo nempe spectante ad terminum secundum potentiae (primi enim termini coefficiens semper est 1). Hinc autem sequitur, legem m.m coefficientium exhiberi hac serie infinita 1 -, &G. Utraque jam serie inter fs combinata formula gs> 1 . * • 3 • t neralis binomii obtinetur. Eadem formula cuivis polynomie applicari potest, p-bq+r— «f, posito nempe p -3-<7*3-r = a, &s = fi. Imo eadem etiam adhiberi potest extrahendis radicib.s quibuscunque, si exponenti generali « substituatur exponens fractus radicis extrahendae. Denique haec formula illic terminatur semper, ubi in coefficiente est /a mulctatum exponente potentiae quaasitae. Sic in potentia sexta formula desinit in termino septimo, cum in termini octavi coefficiente jam si tm —>6, uti etkun ia omnibus sequentibus, qui propterea omnes evanescunt, utpote ducti in *n —4 S= o. Calculus Radicalium, 5 * Calculus incommensurabilium. Paucae sunt aequationes, in quibus non deveniatur ad quantitates incom- menstirabiles, hoc est, ad radices potentiarum imperfectarum, in quibus tarne* omnes operationes institui debent, quas solutionis aequationum regulae praescribunt. Duplex autem est id genus calculus; alter radicaUum dicitur, dum signum radicale relinquitur terminis praefixum, quorum radices denotantur; alter calculus potentiarum per earum exponentes appellatur, quando loco signo radicalis adhibentur exponentes negativi vel fracti. Calculus potentiarum per earum exponentes. ryz. Qui naturam exponentium potentiarum probe perspectam habuerit , nullam in earum calculo habebit difficultatem. Nam si binae potentiae addendae sint, jungitur altera alteri propriis servatis signis: si subtrahenda sit una ex altera, coefficientium (non vero exponentium) subtrahendae signa mutantur in contraria,- quando multiplicari debent, & si sint termini similes, exponentes adduntur; secus vero multiplicator conjunctit» scribitur cum multiplicando nullo signo interposito. In divisione» si termini sint similes, exponens divisoris subtrahitur ab exponente dividendi; at si termini dissimiles sint, scribuntur forma fractionis. Ut eleventur ad potentiam quamvis datam, vel ut radix data extrahatur, tantum opus est, ut exponens multiplicetur vel per exponentes potentiae, ad quam elevari debet; vel per exponentem fractum radicis, quae petitur. * t i Exempla. Summa estn*+ a m ; differentia a«— a” ; factum a"+»T, «t—t f quotiens a «; potentia p earundem quantitatum est a *• & a n ; radix q sive potentia tandem ai, a^ v . Summa quantitatum a* & i - ™ est u"-f- 1 “”*,- differentia a«-* i-"*; factum a* i cC t*b ~ m , sive cum ; quotiens ob eandem rationem vel a*b w C bime hae expressiones probe notandae sunt ). Si elevandae sint ad pote*- » —« » mn\m, fiet «“*, fc-*“,- si extrahenda radix p, habebitur e? , & k * sive De Calculo RadicaUum. m b? T94. Compendii gratia regularum loco solummodo formulas adferemus, ex quibus id etiam emerget commodi, utrem longe clarius ponant ob oculos, quam praeceptorum utcunque prolixa expositio. Has formulas, qui familiares sibi reddiderit, non modo methodum exercendi calculum facile animo retinebit, sed ei praeterea vel ipsae demonstrationes sponte se se offerent, attentionem nonnullam adhibenti, vel ubi exponentes signis radicalibus substituerit, citra negotium advertet, operationes, quae in radicalibus instituuntur, cum iis consentire, quae ia potentiis per earum exponentes fiunt. Imprimis autem illud observandum est, quod si occurat quantitas incommensurabilis ejusdem, ut quae sub signo radicali continentur, possint accurate dividi per aliquam potentiam ejusdem exponentis cum signo radicali, ea quantitas simpliciore forma exprimi possit, si nempe radix illius divisoris, instar coefficien- tis, praeponatur signo radicali, solo quotiente sub hoc signo relicto. Exempli causa hujus generis expressio est y/a,tb, in qua per quadratum dea dividi possit quantitas contenta sub signo radicalius; quare loco }/ aab scribi potest . G 3 54 Pars I. Elementa Algeerab. ey/b. Eodem modo 1/432 contines quantitatem, quae sine residuo per cubum de 3>nem- pe 27, dividi potest, uti etiam per cubum de 6, sive 216, vel per cubum de 2, sive ?j;nam ~~=i6 t ^~=S4, & ^~ = 2: itaque V432 reduci potest ad quamlibet ex his tribus ejusdem valoris .expreffionibus, 3/16,2 /54, S/2, Sic etiam in y/a S b* quantitas a 5 b* admittit divisionem exactam per quartam potentiam de ah,- 4 4 igitur pro'y^ 5 b* potest substitui ab y/x. Non absimili ratione repetitur ■ /~b i d _ byjbd a\/4$bcc _ 4ac-/gö^uc-/z!-. ^ a Vs 2/16 dg* 4g'y/2dg gy/zdg i p , a IV“* c . 193. Ouantitatum quamvis — ducere in radicate siv ~J, quin radicatis volor mutetur. irc-ra;. a . • . sliTV, . 19 6. Totlere coefficientem -g quantitatis radicatis — F * Formula.. Va 197. Fractionem — sub Jigno radicati — f/jl positam , exhibere forma quantitatis d ha integra. Formula.. .. a bd a 1" cd-'.Kzmjf d ran .-ii ’ bd V * 198, Duo radicalia ~ j, ad eundem exponentem reducere , Formula*. ... b' L' d :V j«* 5 nv /»v — t , q b v z d " -Si plura dentur, reductio in binis quibusvis successive instituitur. 199. Additio radicalium fit,si propriis retentis signis alterum alteri jungatur, At quando signi radicalis exponens communis est, &praterea quantitas^sub signer i si addi deberet —ad — \/~ suf- b z b radicali contenta utrobique eadem, uti ficit coeilicientes addere ,* hinc summa foret pz-i-qy A q% ' b 2co. 'in subtractione radicalium mutatur signum coefficientis quantitatis radicalis subtrahenda“. At fi urriusque radicalis non modo fit idem exponens, sed etiam eadem quantitas sub signo contenta ,-coesticientium differentia accipienda est. t|/ a yi’/~ a q b z Y b qz b Lvl. Radicate multiplicare per radicate } ut m Calculus Radicalium. „ pyr/av . v ~v Fd . . 202 . Radicate dividere per radicale y ut per t, p zjyw Formula, ,, ♦. —V -r- qy b"c* rsz. Radicale quodvis — y i b 55 d c u — elevare ad potentiam quamlibet — d s ■ya* c Formula, .,.. r --Quod si enim loco signi radicalis adhibeantur expo- b n d nentes, formula haec fit-, & radicale datum -A/ --abit in—-, cujus po- b r - d - b' s d r b'A n . v „ a* s c vt v ’ , a*c «x tentia — est——. Si ponatur —«n, formula fit -—nam tunc exponens— x 2 L 1 . * s b n d u' b rs d M qui nihil aliud est, quam n divisum per —, erit idem, ac n divisum per n,quod s cum ad unitatem reducit. Jam vero omnis quantitas, cujus potentiae, vel radicis, exponens est i, est quantitas simplejp V ölX’f 204. Radicem quamlibet —e radicali dato— y —-extrahere. v* S b d Formula,,.. cujus eaclem» ac praecedentis, demonstratio. Postquam juxta formulas hasce operatio quaepiam peracta est, semper reductiones superius praescriptae, si quae locum habeant, adhibendae sunt. ao 5 . Formulae allatae eadem felicitate quantitatibus numericis, aciiteralibus applicantur. Nam primo cum in earum- constructione quantitates forma fractionum adhibitae sint, omnis difficultas sublata est, quam fractiones creare possent. Secundo cum quibusvis numerus integer haberi p effit pro fracto, cujus denominator sit i($o), aeque numerorum integrorum substitutio expedita erit. Tertio si radi- calia data careant coefficiente, subintelligi semper potest coefficiens f. Quarto si dentur quantitates complexae, arbitraria substitutione ad operationes adhiberi possunt incomplexae, itaque formularum applicatio semper carebit difficultate; ut subjecta exempla docebunt. Sit quantitas 4 |/^s —/; multiplicanda per \ Wreducatur utraque ad 3 ad fbrir.am £ sistis, & adhibitis radicalibus N. 201, fiat 4=^ 3 ad 1 , Iss*2, }s=K, 2 *-?£s»a, 3 adszb; tum etiam 1, 2---^, I 56 Pars I. Ejlbmbnta Alge tus./E, • p yfy j=s d\ his substitutis formula articuli citati ^\/ -mutatur itt qxf b v d* aX 4 y—- - - 4 X l \ / L —b x aa+bb 7äd 4 X T sive facta reductione in j ••/=r=. if r— bxaa+bb * 81 3sl(/ 4 X 3 2 Sit 4\/j dividenda per VI? reducantur prius ad has äquivalentes Dein sumantur radicalia num.aoa, & ponatur 4=ssp, i a v d n :y, i=z* 2=r,3=s, 7~ti r . Facta substitutione formula — y ~ «em i: !>*«* abit in hanc »XI y- -— 4X i| / 5’*7* FxlK 1 °XZ ' quae iterum reduci "potest ad 4 & si extrahatur radix quadrata e singulis terminis sub signo radicali contentis, ad 4V V DE AEQUATIONIBUS, SIVE DE ANALYSI. 206. A nalysis est ars resolvendi per calculum Algebraicum proble* JTm. mata, quae de magnitudinibus proponi possunt. 207. Problema proponere nil aliud est, quam petere, ut inveniatur valor unius pluriumve quantitatum incognitarum : existimatur autem hoc fieri non posse, nifi, cum problema proponitur, saltem rationes quaedam incognitarum ad quantitates cognitas dentur, quae propterea data appellantur in problemate. 2O8- Rationes, quas quantitates datae ad incognitas habent, dicuntur conditiones problematis, quoniam ex iis cognoscitur, quibusnam positis conditionibus aequalitas inter nota, & ignota habeatur. 209. Expressio itaque algebraica ejusmodi conditionis vocatur aquatio. 210. Unde sequitur, aequationem esse terminos algehraicos quantitatibus datis, & incognitis constantes, & ex utraque parte signi ss dispositos. 211. Solent autem quantitates datae primis Alphabeti literis denotari : incognitae postremis, velut x, y f z, ut ex primo aspectu nota ab ignotis facile distinguantur. 212. Termini, qui sunt ex sinistra parte figni sss, dicuntur privum membrum aequationis; qui dextram partem occupant, membrum fecundum constituunt. 213. Universim aquatio dicitur primi gradus , in qua quantitas incognita est primi gradus; si haec elevata sit ai secundam potentiam, aequatio vocatur secandi gradus. , ut xx — ax = b ; aayy -+- bz%s= c , &c. sunt aequa- 57 De JüqüAlTignieus. aequationes secundi gradus. Si quantitatis incognitae maxima potentia lit cubus, ut ax 3 — bx = c, aequatio est tertii gradus > idem de aliis gradibus dicendum. 214. Problemasolvebe, est invenire valorem singularum quantitatum incognitarum ,quae continebantur in problemate; seu etiam ostendere, fieri non posse, ut earum valor inveniatur, id quod contingit, dum rationes data? problematis, sive conditiones, contradictionem involvunt. In sequentibus exempla occurrent. 215. Invenitur autem valor quantitatis incognitae , quando ea quantitas sola in alterutro aequationis membro continetur, in altero vero merae quantitates cognitae. 216. Quare, ut quantitates incognita? alicujus problematis reperiart» tur, varia? in aequationibus adhibenda? sunt operationes, prout variae sunt ejusmodi quantitatum allectiones. Operationes porro, quibus utendum est, sunt Transpositio, Di visio,» Multiplicatio, Extractio radicum, & Substitutio; quarum quando quavis opportune adhibenda sit, ut noscas, en regulas! I. Si sit unica quantitas incognita, vel ea in alterutro membro cum aliis cognitis conßituit summam vel differentiam aliquam, ut a ~t- x — b = c, & tum utendum est transpositione. Vel continetur in produtlo quopiam ciim una pluribusve cognitis, ut ax ■+■ bx = cd , & adhibenda est divisio. Vel _ . , ax a H- b reperitur in fractione cum alus cognitis, velut — = cd, aut —-— = c, ac usum habet multiplicatio. Vel denique incognita elevata tfi ad quandam potentiam, ut ax — xx = c, & opus est extractione radicum. II. Si habeantur plures quantitates incognitae, ut problema solvi possit, necesse est, ut etiam plures aequationes idem problema exprimant, in quibus eaedem incognita? reperiantur; uti st ejusdem problematis sint hae duae aequationes x —■ ay = b, & bx •+■ cy = il Et tunc quidem substitutio necessaria est. Itaque in quovis casu accurate dispiciendum erit, cuinam e sequentibus quinque operationibus reipsa locus sit in aequatione proposita ad solvendum, ut valor incognita? quantitatis reperiatur. De Transpositione. 217. transpositione terminus transfertur ex uno membro aequationis in alterum, servata utriusque membri aequalitate. Ut rite fiat, terminus ille in membro , in quo occurrit, deleatur , £? in altero eum figno contrario firibatur. La Caille Leti Elem. H Pars L Elementa Algebra, 58 Exemplum, ut transponatur quantitas ac in aequatione ac •+■ x = b, ea omittenda in membro sinistro; sed in dextro ponenda cum signo contrario, nempe ac, & fiet aequatio x — b — ac. Cum enim membrum ac Hh x aequale sit alteri b, si ab utroque auferatur ac, residua erunt aequalia (17). Habebitur itaque ac H- x — ac s= b — ac, & reductione adhibita x = b — ac. 2i8- Coroll. I. Quilibet igitur terminus per trauspofitionem potest ex negativo fieri positiviis , vicißim. 219. II. Ope transpositionis valor cujuslibet termini exprimi potest, si scilicet ceteris transpositis is solus in altero aequationis membro relinquatur. 220. Observandum autem probe est, aliud nobis esse valorem alicuius termini exprimi; aliud, ejusdem valorem inveniri. Ut valor ali « cujus termini,seu quantitatis literalis, exprimatur, sufficit, si ea reperiatur sola in altero aequationis membro ex quibuscunque membrum alterum quantitatis componatur, seu cognitis, seu incognitis; at ut valor inveniatur, praeterea necesse est, ut membrum alterum nonnisi quantitates cognitas contineat (215). De Divisione .- 221. Per divisionem quantitates cognitae ab incognitis, per quas multiplicatae sunt, liberantur; seu universim factores alicujus producti a se invicem separantur. Hunc in finem igitur omnes utriusque membri aquationis termini per quantitates cognitas, in quas duü& sunt incognita, dividi debent, seu in genere, divisio omnium terminorum instituenda est per eos sakhres, a quibus alii separandi sunt. Aequalitatem inter utrumque aequationis membrum non amitti manifestum est (17). Ut v. g. a quantitate b incognita separetur in aequatione bx —• ac — bd ~ cd, omnia dividantur per b, bx ac bd cd ac , cd nempe — — — = --—; erit per reductionem x — — =d —y. 222. Observa I. Quando eademJlitera in'pluribus terminis quantitatis complexae occurrit, ea cum summa aliarum literarum seu eoefficien- tium, qui reperiuntur in his terminis, tanquam lactor, unicum productum constituit. Sic ax — bx -t- 3* est factum ex a — b Hh 3 in X. Unde si x in aequatione ax — bx H- 3* = d liberari debeat a eoefficien- d tibus, faciendum est x = --Similiter ut in aequatione äX — x ss= b separata habeatur quantitas x, fiat x = ---, quippe cum ax —- x sit productum ex st — 1 & x. De aequationibus. 59 . 22Z. II. Quando eadem litera in singulis aequationis terminis repe- ritur, per eam tota aequatio dividenda est, quae hac ratione simplicior evadet. V. g. ex abb -- bxx = bd fit ab — xx = d. Eodem modo aac aa = aabd division^ per aa reducitur ad e —- i = bd. De Multiplicatione. 224. Multiplicationis usus est, ut aequationes ab occurrentibus fractionibus liberentur. Omnes igitur aquationis termini multiplicantur per fa - üum ex denominatoribus fraclionum, qua tolli debent. AEqualitatem per hanc b operationem non turbari, patet (17). Sic a -+- ^=s ix mutatur in ax bx *+■ ib = dxx, si nempe omnia ducantur in x ; fit enim ax + — se dxx. quae reducitur ad ax - 4 - b = dxx. (I X Item aequatio •+■ -q = abc ■— bcd liberatur a fractionibus, si omnes termini multiplicentur per bx, fit enim 1 =dbbcx—bbcdx, & adhibita reductione ab Hh xx ss abbcx — bbcdx. De extraclione radicum & aequationibus secundi gradus. 225. Quando quantitas incognita aequationis elevata est ad quadratum, ..... I. Animadvertendum est, an nort sit vel multiplicata per aliam, vel cum alia fractionem constituat? Nam liberanda est ab alia quantitate, in primo quidem casu per divisionem; in altero per multiplicationem. II. Attendendum, utrum quadratum Incognitae sit positivum*, an negativum? si negativum sit, per transpositionem fieri debet positivum. Nullum enim quadratum esse potest negativum, cum — xx fit factum ex ■+■ x in — x ; omne autem quadratum sit factum ex eadem quantitate in seipsam ducta; quare radix de — xx nec esset -+- x, nec — x, si foret quadratum quantitatis realis. III. Omnes termini, in quibus reperitur incognita, ad idem membrum aequationis ponendi sunt, reliquis, in quibus ep. non habetur, ad alterum transpositis. IV. Dispiciendum esi, utrum hoc membrum contineat quadratum persectura. Contingit autem hoc tantummodo, quando incognita repentur in unico termino (ati si habeatur xx = a — b); quod si praeter quadratum incognita? adsit unus, pluresve termini, ex multiplicatione incognitae per alias quantitates cognitas orti,( v. g. xx — zax =ai), qua- daatum est incompletum, & propterea compleri debet addendo utrique H 2 I 6o Pars I Elementa Algebra. membro aquationis quadratum dimidia quantitatis cognita, per qum incognita eß multiplicata. , V. Extrahenda est radix quadrat/ex utroqudfcequationis membro , quo facto valor incognitae facile repentur. .f „ . aa —‘XX Jtixemplo sit tequatio —--= 2 a — 0. Primo tollatur fractio; fiet aa — xx = 2 ab — bb. Secundo fiat — xx positivum transpositione, nempe aa = xx 4 - 2 ab br am, ut sit aa — 2 ab - bb. Tertio ponatur xx solum ad unum mem bb = xx. Quarto quia xx solum habetur, quadratum est completum. Quinto extrahatur radix ex utro vis membro ; obtinetur a •— b = x. Detur altera aequatio a 4 a b 2XX gmtae a 2 : erit — 4 - XX b. Liberetur quadratum inco- Transpositione collocetur quadratum Incognitae ad unum membrum, xx = l/b-'ä *= V Extrahatur radix, eritque XX Proponatur solvenda »quatio xx —« ——dd — c. Sublata fractione habetur aslx— xx 4 - 2 dd =2c; & facta transpositione, ut quadratum incognitae fiat positivum, omnesque termini, in quibus incognita continetur, sint in eodem membro aequationis] soli, obtinetur 2 dd — zc — — 2 ax 4- xx. Apparet autem illico, dextrum membrum non esse quadratum perfectum radicis binomiae, cum non adsit, nisi quadratum xx fecundae partis radicis, cum facto ex x in za, ut adeo facile intelligatur, 2« esse duplum primae partis, ipfamque primam partem fore a, cujus quadratum aa desit in hoc aequationis membro. Ut igitur compleatur quadratum, addendum est aa (nempe quadratum dimidii 2a , quae quantitas cognita multiplicat incognitam in termino 2 ax); & ne aequalitas tollatur, idem aa addi quoque debet membro alteri, ut aequatio fiat aa 4 - zdl A —■ zc = aa —>- zax 4 - xx, cujus radices sint [/aa 4 - 2 dd —■ zc . Sit ulterius aequatio 9 dbxx — $bbx s= ad; in hac si liberetur qua- bx d dratum incognitae ope divisionis ab aliis, fit xx — —■ — -7, & addito 0 r $a $b b ... b utrique membro quadrato de (quod est dimidium factoris — , per De AEquationibus, 6r bb quem multiplicata est incognita X in secundo termino), nempe bx bb completur quadratum membri primi xx — — + & extracta radice habetur b __ | / J1j__ 6a X y $6aa $b' Sic quoque aequatio x — xx = a mutatur in -— a = xx completa fit £ — a — xx — x - 4 - ss ( nam —- x habetur pro • I ), extracta radice \/\ — a = X — Si compleatur aequatio xx bb 3 6aa’ — x, quae facto ex x m = ]/^i = aa •+• ax - iaa x =: aa, äbit in hanc xx ax \CL 4 » cujus radix est X aa \aa U-bi = _ [/^aa — 2sl -4- i 226. Observa. Si quantitas incognita aequationis affecta sit signo |/ 7 ut si ponatur a —> J/x = b, ut ab eodem liberetur, necesse est, ut primo transponatur sola ad unum aequationis membrum, dein ut omisso hoc signo, alterum membrum elevetur ad quadratum. Unde in proposito exemplo prius fieri debet a — b = J/x,tum vero aa — : 2 ab *4- bb = x. Eodem modo aequatio ax —J/x = b , ab initio reducenda est ad hanc aaxx — 2ibx -4- bb = x. At si haberetur xx -f- [/x = ö, aequatio evaderet quarti gradus; fieret enim x = bb — zbxx -f* x + . De Subßitutione . 227. Substitutio est ea operatio, qua una, pl ures ve quantitates .incognita? , quae in pluribus ejusdem problematis aequationibus occurrunt, tolluntur. Exempli causa dentur aequationes ax -t- y == b 9 & x Hh by = a, in quarum utra vis du« sunt incognitae x & y, quarum alterutra, v. g. y, tolli potest, si ope transpositionis exprimatur valor quantitatis y t in prima aequatione (219), & ea expressio pro y in secunda substituatur. Transponatur enim in prima aequatione ax , habebitur y =s b t— ax , haec expressio b =s= ax adhibeatur in aequatione altera loco y, & quoniam multiplicata est per b, ducatur pariter b — ax in b; eritque bb — abx = by; unde facta substitutione secunda aequatio abit in hanc x rf - b’b •—abx = a } in qua quantitas)) non amplius reperitur. Si libuisset ex secunda aequatione tollere quantitatem x', ejus expressio in prima aequatione quaeri debuisset, transposita quantitate -t-y, ut nempe fuisset ax sssb — y, dein omnibus terminis per a divisis; tunc H 3 6s Pars I. Elementa Algebra. b y enim exprefllo valoris quantitatis x fuiiTet obtenta, scilicet x ss -- . b y Quod fi jam loco x substituta suisset exprefllo —in aequatione alte- b —y ra, ea abivisset in —-— -t- by = a, in qua deest quantitas x. Dentur tres aequationes, x -hy * 4 - ^ = sl, x -b y — % — b, x —•y ■+■ x s= c i poterunt binae incognitae ex singulis tolli hunc in modum. Accipiatur in prima aequatione valor quantitatis x,', qui erit (217) x = a —y —> 2; substituatur a — y — z i n duabus aliis aequationibus pro x; fient eae a —y — z -by — z =s b, &a —■ y — z —_y -t- ^ = r, seu adhibita reductione, a — zz = b, & a — ry — r, in quibus singulis unica tantum occurrit incognita. Quod fi jam ex prima aequatione tollendae ünty & z, ut sola incognita x remaneat; quaeratur ex aequationi-» bus nunc inventis exprefllo valorisjy, & z; fiet enim transpositione imprimis a — b 2Z, & a —- c = 2y; dein divisione per 2 obtinebitur a — b a — c ■ . —-— ss= L, ac ——— = jy; substituantur hae expressiones xn prima ae- . . a — ea — b quatione pro y & x , acquiretur nova aequatio x Hh ——-1- - — De resolutione Ancdytica "Problematum . L2§. Quando problema solvendum 'proponitur,' ante omnia status quaestionis debita cum attentione expendatur, ut singulae conditiones a lingulis, ut nota ab ignotis rite distinguantur. Dein expressione utendum est generali, & non ad certam magnitudinum speciem restricta, id, quod literis obtinetur, quarum is tantum numerus adhibendus, quem necessitas exigit. Unde quantitates aequales, vel aequalium partes non sunt repraesentandae per literas diversas, sed per easdem omnino, adhibitis solummodo denominatoribus, vel coefficientibus, si neeefle sit. Denique singulae conditiones problemati annexas per singulas aequationes sunt exprimendae. Atque ut solutio completa habeatur, tot necessariae sunt aequationes, quot sunt quantitates incognitae, quarum singularum valor per regulas superiores inveniendus est. Nos rem exemplis non nullis declarabimus. 229. Exemplum L Parens quispiam ii aetatis halet filium, ut fi utri- usque £tas jungatur, annos efficiat 100 y filius autem jo annis parente est junior. Quaeritur Quaestio posita videri potest quatuor quantitates incognitas involvere, cum tamen reipsa tantum duaesint, quas quaerantur. Ubi enim constiterit, quantum pecuniae Petrus habuerit ante lusum , tertia illius pars in lusu amissa jam non poterit ignorari; quare ista quantitatem novam incognitam non constituit. Idem censendum de parte quinta a Joanne perdita. Unde illud hic loci observari meretur..,. 233. Numerum quantitatum incognitarum non dependere a numero quaesitorum in problemate; sed antequam hic jlatuatur, videndum effe, an non solutio Znius quafitisuppeditet etiam solutionem alterius ? De Resolutione Problematum. 6L Quaestio Verbfo expressa. Quaeruntur duae quantitates.... quarum summa sit 36, sire a ,... Et pars tertia primae cum parte quinta secundae efficiat 10, seu b Quaestio algebraice proposita x 4- y = a r Liberetur imprimis aequatio secunda a fractionibus (221), ut fiat 5* 3y — iLd- & si ex prima aequatione accipiatur valor de x = a — y (217),& in aequatione 5* 4 - 3jy = 15& substituatur, habebitur 5« — 5y+3y = 1 5b» reducendo, & transponendo erit zy = 5a — 15b; dividendo denique (221 )j>,= —--, ex qua aequatione solutio problematis habetur. Adhibitis enilft substitutionibus, quas hasc formula poscit, invenitur ^ = 15 lib. Unde Joannes ante lusum habuit 15 lib., quarum 3 perdidit, partem nempe quintam ex 15. Petrus consequenter ante lusum habere debuit 21, cum IA 4- 21 ----- 36 , & 7 perdidisse, quae sunt tertia pars de 21. Quod si quis etiam formulam pro x desideret, sublatas facile reperiet x =s —- 2 Exemplum III. Parens quispiam hunc in modum filios suos h&redesscri‘ lit, ut natu maxime obtingant 1000 floreni cum sexta parte reliqua totius majste ; alteri at at e proxime inferiori tribuantur 2000 floreni cum parte sexta residui, filius tertius 3000 florenos, (f refiduee pecunia partem itidem sextam habeat, 8° sic singulis deinceps totidem obveniant florenorum millia cum sexta residui parte , quotus quisque ordinesuccejserit: natu demum minimo id remaneat, quol fratrum portionibus ablatis superfuerit. .Postquam hcereditas distributa est, constitit, om- nes in partes aquas succejfisie. Qu&ntur, quot suerint filii ? quantum quisque acquisierit'i qu Z r — 173 55 fl -h- 5-v 36 ; 36/ Quoniam autem peracta distributione singulis obtigerunt partes ae- x ce sl •+. cx — =-7--— ; hinc sublatis fra- 36 ctionibus, per transpositionem, & reductionem invenitur 6x = 150a, & utroque membro per 6 divis», x sss 254. Erat itaque tota hcereiitas'25. x 1000, seu 2 5000 flor, portio singulorum 5000 flor, numerus filiorum 5. Exemplum IV. Invenire 'numerum, cujus quadruplum ab ejus quadrati ablatum relinquit 21. iEquatio est xx —. 4# = 21 , seu generice xx — bx — a. Ex iis, quae de extractione radicum diximus, facile; apparet, aequationem hanc, st compleatur, fore arx <—- bx -f- ^bb ~ a~f- {bb, consequenter x — \b — quales, jam habetur aequatio 5’i-h \/a -I- \bb ; & substitutis 4 & 21 pro b 8 z a, x —; a = ^/21 •+■ 4 = J/25; adeoque x — 2 --- 3, A x — 7. 434. Observa I. Problema postremo loco positum, est secundi gradus, cum quantitas incognita elevata sit ad quadratum. Horum autem problematum duplex semper est solutio ; & universim, quodvis problema determinatum tot habet solutiones, quot exponens potentia maxima quantitatis incognita unitates. Et, quod ad problemata secundi gradus, ratio est, quod omne quadratum duas habeat radices; exempli gratia radices quadrati xx sunt x & —< x. Quando in praesente problemata extracta fuit radix, adhiberi etiam potuisset — x *+■ ~b = j/s Hf~ \bb , unde fuisset — x ~h 2 = 5, & X = — 3, quo pacto etiam problemati satis fit, cum quadruplum de — 3, nempe — 12, subtractum ex quadrato de — 3 , seu 9 , relinquat 9 H- 12 = 21. Simili ratione si quaerantur duo numeri, quorum summa sit = 17 sive s, factum autem sas 60 seu b, reperietur x =5, & y = 12, ex aequationibus nempe x a, xy = b; at simul invenietur x = 12 s & y ss 5. Est vero evadens, conditiones problematis impleri» seu fuma- De Resolutione Peoelematum. 67 fur x = 12 &y = 5; seu at = 5, & y = 12; quare sequitur, onmepro- hlema , in a ----- 0 x —• b =3 o x -4- c = o x —- a ----- o x ■+■ b = 9 Sr + c sa O Id genus graduum constructas interim supponimus. Quod si eas attente* consideremus, animadvertemus, hasce necejsarias consecutiones e conßruciione aquationum , qua e facio diversorum vadorum rcatium (non imaginariorum) ejusdem i '.quantitatis incognita oriuntur, deduci. I 3 ^.... .. ä 1 — (a + i + c) + x (ab ■+■ ac ■+• bc ) — abc 3 s ^...... x* — xx (— a-—b — c)-f- x (ab-i-ac Hh &O+ abcssa ^.»...» x* —» xx (a ■+■ b —»e) -f> x (ab —* ac —• bc) -+> abc so .... x» •— xx (a — b — c) -f- x(— ai— -ac+bc'i —>abc s so. s formulas etiam pro omnibus casibus aquationum quarti, quinti &c Paks I; Elementa Algebra so 241. Theorema I. Gradus cujusvis aquationis exprimitur numero v alor um quantitatis incognita. Et quoniam aequatio algebraica est formula continens proprietatem generalem magnitudinis alicujus (231, 232), sequitur, cujusvis aquationis ejje tot radices, quot unitates sunt in numero gradum aquationis definiente. 242. Theorema II. Coefficiens secundi termini aqualis est summa radicum aqua y tionis: coefficiens termini tertii aquatur summa factorum ex binis quibusvis radicibus: coefficiens termini quarti eß summa factorum ex ternis radicibus &C: terminus ultimus eß factum ex omnibus radicibus, vicimus autem hic coefficientem eam quantitatem cognitam, quae signis parenthese os continetur, atque per incognitam cujusvis termini multiplicatur. 243 Theorema III. Quando in aquatione ordinata, b completatermini alterni afficiuntur Jignis contrariis, omnes radices Junt positiva: dum eodem cmnes notatu tur Jigno, radices sunt omnes negativa. Universe tot sunt aquationis radices positiva, quot signorum permutationes occurrunt, ß quisque terminus cum sequente comparetur i b tot radices negativa, quoties idem signum in binis terminis contiguis recurrit. 244. Theorema IV. Quando in aquatione summa radicum fit aqualis 0, aut fi summa radicum positivarum aquatur summa radichm negativarum; secundus terminus debet deficere. Quaecunque enim quantitas ducatur in zerum, semper factum est ss= O. Et uni ver sing/.? in aquatione deficiat aliquis terminus , radices non poffiimt idem cmnes signum habere. Etenim cum coefficiens oriatur ex summa plurium factorum, non aliter fieri potest, ut evanescat, nisi fi per negativa elidantur positiva-, ad hoc autem requiritur, ut quantitates, ex quibus ea facta nascuntur, habeant signa contraria. 245. Theorem a V. In aquatione , cujus secundus-terminus est negativus, summa radicum positivarum excedit summam negativarum; fi secundus terminus fit positivus, summa radicum negativarum excedit summam positivarum. 245. Theorema VI. Si numerus radicum positivarum aquationis eß par, terni- nus ultimus estpyofitivus; fi vero is numerus impar est, terminus ultimus est negativus, b yicijsvn. 247. Theorem a VII. JEquatio, in qua terminus ultimus deesi, est gradus proxime inferioris, quam indicet exponens petentia maxima quantitatis incognita, Tum enim incognita in omnibus terminis reperta opedivisionis (223) tolli potest, quo fiet, ut quisque terminus ad gradum inferiorem deprimatur. Sic aquatio a 3 — «A- -h s)A-=onon est reipsa, nisi secundi gradus, cum singuli ejus termini exacte poffint per a? dividi, & aquatio reduci ad hanc xx — a *--+-£ = 0. 248. Theorema VIII. Si in aquatione pro incognita substituatur aliquis ejus ralor, tota aquatio reducitur ad o. Exempli causa, si in prima formula (240) adhibeatur a 3 , a\ a loco a 3 , x\ x, ea fiet a 3 — aa (a b -i- c) + a Qab -4- ac+hc ) >— abc s= o, & reductione facta habebitur a 5 — a — aab -— aac -+- aab -f- aac -p- the — abc. CoRot.L. Quantitas incognita aquivalct indifferenter singulis aquationis radicibus. Verum itaque alicuius radicis valorein inventum esse,, ex eo cognosci potest,,si fO valore pro quantitate incognita substituto tota aequatio reducitur ad o- De aequationibus habentibus radices imaginarias.. 249. Manifestum est, radices quadratas quantitatis a esse -4- \/a, &— 1 y/d, suarum factum ■+• Qß X — Qa — — s, uti'productum ex Qa x Vß, aut — Qeu De iE^UATlONIBVS OMNIUM GRADUUM, 71 X — \fa est:«--- a. Ob eandem causam radices de-»« debent esse quantitates imaginariae ■+■ y /— a, & —« y '—a, ita, ut factum ex -+• y/— a X — V —a stt---- -4- a, & factum ex 4- yj — a + xV — a, vel — y/ — a X — y/ — a fit = — a. E quo universe intelligitur, factum e quantitatibus imaginariis pojje haberi sub forma quantitatis realis, ac propterea in aquatione composita pojje dari radices imaginarias.. In praesens sermo nobis tantum est de iis quantitatibus imaginariis, quae per radices quadratas quantitatum negativarum exprimuntur, ut quae solae sint, quarum usus est in aequationibus cujus vis. gradus. Jam autem in multiplicatione id genus radicalium signum radicale non tollitur; nisi bime semper ejusmodi in sese ducantur, quae easdem quantitates habent sub signo radicali. Sic — \/ — aX - y/ —> a — — a,- at vero — >/ — -r X — y/— a X — \/— a ---- ay /— a ; & rursus —■ \J — aX —■ y/ — 2 X'— y/ ■—a X —» y/ — a = aa\ sed —- y/ —aX — y/ —• aX — 1/ — a X —> y/ -ra X — -y/ — a = — aa y/ —• a &c. Eodem modo est yja x y/ a X yfb = ay/b; y/a X y/a X y/bX \/b = ab; item y/a X y/a X\/a X y/b x y/b =3 aby/a &c, Itaque patet, factum e ra- dicalibus imaginariis non pojje exhiberi per quantitatem realem , niji ilice numero pari inter fe multiplicata Jbtt. Unde dum in polynomio occurrit terminus, qui sit quantitas radicalis imaginaria, ut k — a ■— y/ — b, signum radicale tolli potest, dummodo polynomium hujusmodi ducatur in alterum, quod ab eo non nisi signo vel — quantitati radicali praefixo differat. Ex hoc vero liquet, non nisi multiplicatione polyno- mii x — a — y/ — b per x —. a -f. y/ — b signum radicale auferri posse existente facto xx — 2 ax -+- aa -f- b; etenim in nullo alio casu facta particularia quantitatis imaginariae in terminos reales sese ob signorum contrarietatem mutuo elidunt. Illud etiam manifestum est, terminum b, qui est factum ex binis radica- libus H -f- y/ '—■ b x — y/ — b, esse in hoc eodem casu necessario positivum. His positis...... > ... 250. Theorema IX. Radices imaginaria, fi qua Junt in. aquatione, fimper fuat mmero pari. 251. Theorema X. Si accipiantur quavis bina radices imaginaria alicujus aequationis , sub Jigno radicali eandem quantitatem habent , nec differunt , nisi Jigno -f. vel —. 252. Theorema XI, Quavis aquatio gradus imparis , saltem unam radicem, realem habet. - 1 ■ 253. Theorema XII. Quavis aquatio gradus paris ordinata, fi ultimum terminum habet negativum, saltem unam radicem realem habet. Nam factum reale radicalium imaginariorum, quae sunt partes duorum polynomiorum in sese invicem de- cterum, non potest esse, nisi quantitas positiva (249). De reductione , & transformatione cejuationum. 254. Ut operationes in aequationibus commodius instituantur, ad Formulas, quantum fieri potest, simplicissimas reducuntur; uti formula prima generalis aequationum tertii gradus (240) reducitur ad sequentem , a’ — : pxx -f- qx —* i' = o, posito scilicet p — a -4- b ■+■ c, q = ab -t- ac •+■ bc, r = abc. Porro facile intelligitur, posse quamvis aequationem datam transformari in aliam ejusdem gradus, in qua quantitas incognita aequationis dat* mutata fit alia Pars I Elementa Algebr^e. 7 - quavis quantitate cognita, hoc est, in qua vel aucta, vel imminuta fit quavis data quantitate vel vero in qua incognita aequationis? datae sit multiplicata, vel divisa quantitate data f; vel denique ad cujus incognitam quantitas incognita aequationis datae habeat rationem datam /ad g, seu dein / sit quantitas cognita aut determinata, seu sit incognita aut indeterminata. Hujusmodi enim ut transformatio fiat, fatis est, fi pro singulis id genus mutationibus ponatur y ■+■ f = x , vel y — / = x, vel yf= x, vel ~ x, vel ^ = x, atque valor aflumtus J g A substituatur. V. g. si fiat y 4 -/= x, loco x* adhibeatur cubus quantitatis y 4- f; loco pxx factum ex p in quadratum de y 4- & pro qx accipiatur q in y 4 - f ductum. Ubi nova aequatio ordinata fuerit, reperietur y 1 4 - yy (3/ — p} + y ( 3 /-* 3 st/ 4 - q) 4 - p — pff 4 - qs — r = o. 2;;. Patet hinc, quod si fuisset positum/= \p, secundus terminus in nova aequatione evanesceret, esset enim 3/— p — o. Haec observatio si applicetur formulis generalibus quascunque aequationes repraesentantibus, sequentem suppeditat regulam: poste ex quavis aquatione tolli fecundum terminum, Ji in aliam tratu- formetur , in qua quantitas incognita augeatur , vel minuatur coefficiente secundi termini aquationis data per exponentem maxima potentia ejusdem incognita diviso , prout Jcili- cet secundus terminus aquationis data vel negativus , vel positivus fuerit. Posset quidem ex eadem observatione inveniri nova aequatio, in qua tertius, quartus, vel quintus &c, terminus deficeret; verum ut reperiretur quantitas incognitae y jungenda, solvi prius deberet alia aequatio secundi, tertii, quarti &c gradus. Etenim ex tertio novae aequationis termino y (zff — 2 pf 4 - q ) valor quantitatis f acquiri nequit, misi aequatio secundi gradus yst —> s pf 4“ q = o solvatur. Quomodo aquationes compoßtce in numeris solvenda. Maxima difficultas, quae in resolutione problematum, quorum aequationes ad sitioris gradus ele vatae sunt, occurrit, est, ut extrahantur radices'sive algebrai- ce, sive in numeris; hoc est, iit inveniantur singuli valores quantitatis incognitae seu per formulam aliquam particularem algebraicam, seu in numeris. Et licet hac in re maxime occupetur Algebra, nobis tamen fusioribus esse non licet, tum quod theoria ex tot inventis praesentem materiam spectantibus sit admodum intricata, tum etiam quod plures excogitatae sint methodi, quam praefixa nobis brevitate complecti possimus. Unde de his alii libri Algebraici consuli poterunt, uti Analysis demonjlrata P. Reynau, Arithmetica universalis Newton! cum. Juo commentario &c. Nobis in praesens fatis fuerit duas afferre methodos, quibus radices aquationum cuiusvis gradus in numeris reperiri possint: prior locum non habet, nisi dum radices reales sunt numeri integri; altera adhibenda est, quando his numeris junctae sunt fractiones. 256. 1 . Methodus. Primo: quarantur omnes divisores ultimi termini aquatio- ids (i z§). Si radices reales sint numeri integri, neceffe est, ut inter hos divisores fint, cum ultimus terminus C242) nihil sit aliud, quam factum ex omnibus radicibus. Et quoniam siibstituto radicis valore pro quantitate incognita tota aquatio reducitur ad o ( 24S ), divisores inventi substituantur successive pro incognita , donec tota aquatio reducatur ad o : erit numerus , cujus substitutione aquatio evasit aqualis o y una e radicibus qua/itis. Proponatur exempli causa 'aequatio x *—> gi 3 4- i$xx — 2;..v 4- 36 *= o. Divisores ultimi termini 36 sunt x, — 1, 2, — s, 3, —■ 3, a, — 4, 6, — 6, 9, -- 9, rr» \ De Resolut. .Equation. in Numeris. 73 9,12, — 12, i§, — iS, 35, — 3< 5 . His numeris aliis post alios substitutis loco x, invenitur radix 2, cum aequatio fiat 16 — S4 - 4 - < 5 a —>48-1-36 = o. Secundo: Dividatur aquatio data, per aquationem simplicem, qua fit ex radiet jam inventa (in praesente exemplo per x —- 2 = o), erit divisio exacta, & quotus aequatio uno gradu inferior. Et in nostro quidem casu habebitur x 3 ■ — 6 x' -4- gr >— 18 = 0. Quaerantur rursus divisores ultimi termini hujus nova? aequationis, qui sunt I, — r, 3, — 3, 6, — 6, 9, — 9, 18, — i8> Substituantur ßwceßve pro quantitate incognita in nova aquatione, donec reducatur ad o (non autem necesse est adhibere eos divisores, quorum substitutione prior aequatio non potuit ad o reduci); reperietur altera radix; apud nos scilicet 6, aequatione abeunte in 216 — 216 - 4-18 — 18 — °- Tertio. JEquatio, qua divisione per primam radicem inventa fuit, dividatur iterum per aquatilem simplicem ex secunda radice ortam; erit divisio exacta, & quotus nova aequatio rursus uno gradu inferior. Hic operandi modus continuetur , donec vel in quoto deveniatur ad aquationem stmplicem, vel saltem secundi gradus , cujus solutio per se Jit facilis. Sic aequatione x J — 6 xx -+-3* — 18 = o per x — 6=0 divisa , re peritur k+ 3 — o, quae est secundi gtadus, cujus radices imaginariae extractu faciles sunt, —■ y/ — 3, & - 4 - \/ — 3. Ex his autem liquet, methodum adhibitam nil aliud este, quam operationes iis contrarias, quibus ostendimus (240) aequationem formari. Eadem applicari potest aequationibus mere Algebraicis, quarum eadem fit forma, ac formularum generalium superius (240) repertarum. 257. If. Methodus. Detur aequatio x 4 -4- ju 3 — 36X' -4- ;x— 116 = 0. P rimo. Substituantur quantitati incognita successive numeri 1, 2, z, 4, &c, donec in quantitate, ad quam aequatio reducitur, mutetur signum: erit radix numerus positivus, minor, quam cujus substitutione signum mutatum est, sed major immediate praecedente. In exemplo proposito fiet. i ... 1 -+- 2 --- 36 - 4-3 — — — 144 2.. .. 16 - 4 - 16 — 144 -4-10 — 1x6 *= — 218 Z.... 8x - 4 - 54 — 324 -f- x 3 — 116 = — 290 4.. .. 256 - 4 - 128 — 376 -4- 20 — xx6 — ■— «88 z ... «25 - 4 - 250 — 900 - 4 - 25 — 116 = — n6 6.. .. 1296 - 4 - 432 — 1299 -j- 30 — xi <5 ----- -4- 345 Continetur itaque una e radicibus positivis inter 5 & 6 Secundo. Fractio addenda numero 5, ut obtineatur radix verae proxima, vocetur d; habebitur x = 5 -4- d: ( potuisset etiam poni 6 — u, A x = 6 — Substituatur jam 5 " 4 - d pro x in aequatione data; mutabitur in -4- x 4 = -4- 62; - 4 - 5 ood - 4 - i 50 if -4- 2 odi -4. st -4 2 3 = - 4 - 250 - 4 - 1501/ - 4 - 3od’ - 4 - 2 st 3 6x* = — 900 — 3601/ — 361/* - 4 - 5x = - 4 - 25 - 4 - , 4^ — I r6 = — 116 — nS - 4 - 295 d - 4 - !44 I025, 408484 4 - 384 , 2640001? — 36, 000000 dd 4 - 5 - r — ■+■ 26, 685000 — 1 ^5, 00000 od '— 116 = — 116 4 - o, 623835 — 399 , 7046+51? 4 - x 56 , 9234141?!? En novam aequationem secundi gradus, ex qua eruitur d = o, 001562 ; subducatur hic valor ex 5, 337 » habebitur radix verse multo proprior x = 5.335438. Eadem methodo reperiri possunt radices negativae, substitutis scilicet pro x numeris —■ 1, — 2, — 3, — — 5 &c. Imo etiam quaeri sic possunt radices, qua* sunt merse fractiones, si pro xsurrogentur decimales o, x ; c, 2; o, 3, &c, aut etiam — o, r; •— o, 2; — 0,3 &c. 258- Dum in aequatione radices dantur, quae haud pius unitate inter se differunt, numeri, qui ex substitutione 1, 2, 3 &c oriuntur, plerumque signum non mutant*, at iidem, ubi decreverunt, & mutationi lignorum jam videntur vicini, rursus crescere incipiunt. Uti si in aequatione x- — jsx* —■ 20X 4- 53 — o, substituatur 1, 2, 3. 4, 5, 6 &c, obtingent numeri 4- 32, 4- 13. 2, 4- 5, -+- 23. 4, 77 &c. Hisce in casibus numerus minimus, atque mutationi signi vicinissimus, eum indicat, qui valori vero alicuius radicis esi proximus. In aliato exemplo, 4- 2, qui ex subslitution« 3 obvenit, indicio est, numerum integrum, valori radicis'cuiuspiam vicinissimum, esse 3. Quare, ut antea, is valor accuratius indagatur, adhibita in aequatione quantitate 3 4- fi antecedens prima rationis ejt majus, aquale , vel minus antecedente secunda rationis; etiam consequens prima rationis erit majus , aquale, vel minus consequente secunda. Demonstratio. Pars prima Theorematis ex ipsa notione proportionis evidens est; pars altera non minus erit evidens, si cogitetur, quod (304) antecedens fecundae rationis possit fieri consequens in prima ratione, & vicissim, quin propterea proportio turbetur. 307. Theorema. IV. Si termini duarum, pluriumve proportionum homologi inter se multiplicentur , vel dividantur, etiam fafia, vel quotientes erunt proportionales. Dfmonstratio. Primo. Si duarum proportionum a: a qb: bq & c:cp::d: dp, termini homologi inter se multiplicentur, antecedentes per antecedentes, consequentes per consequentes, manifestum est, facta de Rationibus, Propgrt. et Progressionibus. 8Z ac: acpq::bd:bdpq constituere proportionem, cum idem utriusque rationis iit quotiens p q. Secundo. Si termini proportionis a:aq::b:bq dividantur per ho- „ a aq b bq £ore - .* .• c cp d dp cum rursus in utraque ratione sit quotiens 308. Corollarium. Potentia eadem quantitatum proportionalium smt proportionales , b radices eadem quantitatum proportionalium, sunt proportionales. Exemplum. Detur proportio a:b::c:d. Quadrata, cubi &c. horum terminorum nil aliud sunt, quam facta terminorum homologorum ejusdem proportionis bis, ter &c positae. Quod si jam supponamus, per a,b,c, d designari quatuor potentias ejusdem gradus inter se proportionales, uti quatuor cubos, posito nempe a — r\ bsssS 3 , C — P, d =u\ erit r 3 : s 2 :: t 3 : u 3 , hoc est habebuntur facta proportionalia, terminorum correspondenfium proportionis r :t-.u ter positae, atqui, r, §, t, u f sunt radices cubicae terminorum r 3 , § 3 , t 3 , v?, seu per hypothesin a, b ,c, d: igitur etiam radices cubicae quantitatum proportionalium a, b, c, i sunt proportionales. Idem est de quibusvis aliis radicibus, quas alias constat, non esse nisi potentias exponentis fracti (173). mologos alterius c -.cp::d: dp, eodem modo liquet, 309. Theorema X. Si terminorum eorrespondentium duarum, plu- riumve proportionum summa vel differentia accipiantur, ea proportionales non sunt, nisi Ji primo in proportionibus datis fit idem quotiens ; vel fecundo antecedentes termini proportionis unius sint proportionales cum antecedentibus proportionis alterius y vel ( quod idem efl) consequentes unius Jint in eadem ratione cum consequentibus alterius proportionis. Demonstratio. Ut sumtis summis terminorum corresponden- tium in proportionibus a: aq::b:bq, &c :cp::d: ip, inferri possit, esse a-i-c:aq~i-cp::b-i-d:bq-i-dp , necesse est, ut ostendatur haberi hanc aequationem abq-i-adp~hbcq-i-cdp=:abq-i-bcp-badq-hcdp, sive, ablatis utrinque aequalibus, adp-+-bcqz=adq-+-bcp. Atqui evidens est, inter haec haberi veram aequationem primo , si p = q , cum hoc posito reduci possit ad adp -4- bcp = adp -+- bcp. Secundo fiad = bc: substitutione enim tunc fiet adp -h adq = adp H- adq. Habetur autem ad = bc, quando est a : b : : c: d (301), sive quando est aq : b q :: cp : dp, quia in posteriore hac hypothesi'est adpq =zbcpq, quae aequatio reducitur (223) ad adsxsbc. Eadem demonstrandi ratio applicabitur, si in duabus proportionibus sumantur differentiae terminorum homologorum. Igitur si accipiantur summae differentiae &c. 86 Pars I. Elementa Algebra. 310. Theorema XL Sidetur series terminorum proportionalium > erit summa antecedentium ad summam consequentium , ut eji quodvis antecedens ad suum consequens. Demonstratio. Dentur a\ aq:: b : bq :: c: cq :: d :dq , eris ex- empii causa a~i-b~irC~hdi a q ■+• bq -+- cq-hdq : : b : b q. Etenim consequens primae rationis aq -f- bq -+- cq -4- dq idem esi ac a -+- b -~h c ~h d Xq; est autem evidens, esse a~hb-+-c-i-d: a-t-b~+-c-i-dxq::b :bq. &c. Propietates Progreßionum Geometricarum. 311. Theorema XiL Quavis progressio Geometrica potest ad hanc formulam revocari ~ a. aq.aq'.aqhaqhaq'.aq 5 . &c. Demonstratio. Progressio geometrica & series terminorum, qui alternatim agunt antecedens A consequens ejusdem rationis, five qui semper eundem habent quotjentein (269); atqui talem seriem recte exhiberi per a. aq.aq 2 .aq 3 . as. &c. evidens est, cum quilibet terminus per prcxime anteriorem ex parte sinistra, sive per antecedens suum, divisus det quotienfem eundem q. 312. Scholium. Quoniam exponentes terminorum in progressione sese consequentium evidenter constituunt seriem numerorum naturalium crescentium, & ab o incipientium, liquet porre, ormulam generalem progressionis geometricae posse etiam sic exhiberi ~ as. aq*.aq 7 . aq S . aq 4 &c. Et certe si dividatur aq per aq*, habebitur ^ — 4 ' ° —g (146). Hinc autem infertur esse aq°ss.a , consequenter q c — I. Nam denotat a toties acceptum, quot in q° sunt unitates (43); quod si igitur hoc factum nihilominus manet s —a 9 non potest a nisi semel accipi, atque adeo debet esse q°= 1. Quare universim: potentia exponentis O cujus» vis quantitatis aqualis est unitati y id, quod probe notandum. ZIZ. Theorema X 1 U. Quivis propreßonis Geoir.etrica terminus est aqualis facto ex termino primo du a o in qi.otientem elevatum ad eam potentiam, cujus exponens designat numerum terminorum procedentium. Demonstratio. Patet hoc ex primo progressionis -xp a .aq .aqq.aq*.aq\ ttqKaq 6 &c. intuitu, cum illico appareat, quintum v g. terminum aq* esse fadum primi a in quotientem q elevatum ad quartam potentiam. Formula generalis hujus Theorematis esse pctell m = aq ,: - c , in quam exhibet terminum quaesitum, n vero indicat, quotus is sit in progressione. 314. Corot. l. I Series potentiarum alicujus quantitatis successive crescentium constituit progreßonem Geometricam. Ponatur enim a=i , & g repraesentet quamlibet quantitatem, progressionis formula mutabitur in hanc 1. q‘. quo cafii est exponens - *-B- termini a = o, & terminus reducitur ad b. 333. Problema IX. /uter lunos quosvis terminos progre£ionis Geometrica invenire numerum m mediorum proportionalium. Resolutio. Sit data progressio Geometrica -H- ais . aq { aq *. slg 3 &c: quaeratur numerus m terminorum Arithmetice proportionalium inter binos quosvis exponentes progresiionis Geometricae datae; habebuntur exponentes terminorum mediorum Geometrice proportionalium, qui inter binos prpgrestionis datae terminos quaerebantur (319 ). Exempli causa fi petantur tres termini inter binos quoslibet progressionis datae, fiet -i o ~ 7 ~ ~ ® t T— tj_ j ? 2 &q ,aq T ,aq\.aq* i aq .aq * . stg aq **aq . Lc. De Logarithmus. 93 DE LOGARITHMIS. De Logarithmorum Natura, & Usu. 334. T ogarithmi sunt numeri.certo artificio compositi» qui si alias usi- J—> fatorum loco adhibeantur, omnem multiplicationem in additionem, omnem divisionem in subtractionem mutant. Diximus jam, quamvis progreffionem Geometricam exhiberi posse hac formula -fr aq° .aq T . aq* .aq 3 . aq*. aq 5 . aq 6 . aq 7 .aq 3 . &c, in qua per a & q quosvis numeros designare licet: unde si ponatur st = I, ea mutabitur iu !r q°. q 1 . q'.q 3 .qq 5 . q 6 . q 7 . q 8 .&c. Hinc autem infertur,. . 335. L Factum duorum terminorum quorumvis hujus progressionis habere exponentem aequalem summae exponentium eorum terminorum (142 ). uti factum q 3 X q x — q 7 . Quando igitur queritur, quinam terminus progrejjionis aqueur sablo duorum aliorum , ille sumendus efi, cujus exponens tequalis ejt summa illorum exponentium . 336. II, Quotientem duorum terminorum esse illum, cujus exponens aequatur differentiae exponentium duorum iliorum. V. g. quotus ex q* diviso per q 5 est q 3 , seu q 8 ~ s . Quäre ut habeatur terminus progreßonis aqualis quotienti duorum quorumlibet, quaratur ille, cujus exponens ejt differentia exponentium duorum aliorum. .337. Logarithmus numeri efi exponens potentia-decadis, qua potentia a- qualis ejt illi numero. Itaque posita progressione Geometrica,,, >. iv I0\ 10'. icr . io 3 . 10*. io s . io*. &c. ‘ & substituto valore horum terminorum.,.. -7V I . 10 • IOO. IOOO . 1OOOO, IOOOOO. IOOOCOC . &c • Exponens 0 est Logarithmus unitatis, seu 1; exponens i est Logarithmus numeri 10; exponens 2 Logarithmus numeri 100; exponetis 3 Logarithmus numeri 1000 &c. At quoniam exponentes isti non praebent Logarithtnos, nisi tantum numerorum integrorum in progressione decupla I, IO, ico, IOOO &c, & praeterea necesse est, habere Logarithmus numerorum intermediorum 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9, II, 12, iz, &c; iisdem exponentibus singulis additae sunt 7 notae decimales, quo factum est, ut forma progressionis mutaretur in hanc,... 0,0000000 1,0000000 2,0000000 3,0000000 ~*h IO .10 .10 .10 . &C. Jam vero (319) quamdiu hi exponentes sunt in progreffione Arithmetica, valores decadis elevatae ad eas potentias, quas hi exponentes designant, constituunt progreffionem Geometricam. Quare si iidem expo- Mj 94 Pars L Element a Algebbje. nentes successive crescant una decies Million e lima parte sive ---— ; IOOOOOOO feu, quod idem est, st inter binos quoslibet interserantur 9999999 medii Arithmetice proportionales, nova orietur progressio Geometrica, cujus priores termini sunt.. .. 0,0000000 0,0000001 0,0000002 0,0000003 0,0000004' •vr 10 .10 .10 .10 . 10 . .&C; In hac autem progressione Geometrica terni'ni ab unitate incipientes tardissime crescunt, cum primi valor stt I, & termini post primum decies mjllionesimi valor solummodo IO. Hinc ex decem millionibus terminorum intermediorum erit unus aliquis, qui valeat 2; alius, qui valaat 3; alius rursus, qui valeat 4 &c. Atque hac ratione repertum est, ter* 0,3010300 0,4771213 mini 10 Valoren» esse 2 ; terminum 10 esse — 3; 0,6020600 10 = 4 &c; consequenter etiam exponentes? horum terminorum sunt Logarithmi numerorum 2, 3, 4 &c. 338. His principiis, quorum usus planior redditus est ope regularum, quas elementis altius assurgunt,, nititur calculus tabularum Loga- rithmorum pro numeris ab i usque ad looooo constructarum,, quarum ope etiam Logarithmi pro numeris majoribus inveniri possunt. In his tabulis quandoque majoris accurationis causa Logarithmi habent decem, imrao quindecim notas decimales; plerumque septem, quarum etiam poi stremseduae in usu saepius negliguntur. Tabularum paiiim adhiberi si* litarum initium est. Numeri! Logarithmi 1 0,0000000 L 0,3010300 3 0,4771213 4 0,6020600 5 L01 0,6989700 &c. 339. Hinc porro colligitur primo ,Logarithmos omnium numerorum? infer 1 & 10 incipere a o; Logarithmos eorum, qui sunt inter 10 & IOO, primam notam habere 1; qui vero continentur inter 100 & 1000, eorum Logarithmos habere primam notam 2 &c. Prima haec nota (quae est quantitas integra exponentis) dicitur Charafieristica Logarithmi, quod ea indice intelligatur, quot notis numerus Logarithmo dato respondens eonstet Etenim faciiejpatet, a numero notarum debere, unitate excedi De LoGAÄITHMIS. 95 characteristicam. Sic, ut primum datur Logarithmus 4,8145605, colli get quivis, ei competere numerum e quinque notis compositum, utpote cum characteristica Logarithmi sit 4* 340. Colligitur secundo, facti duorum numerorum (335) Logarith- mum esse summam Logarithmorum utriusque numeri j & Logarithmum quotientis esse differentiam Logarithmorum dividendi & divisoris. Ut itaque multiplicetur numerus 48 per 166, addantur utriusque Logarithmi, nempe 1,6812412, & 2,2201041, summa 3,9013493 , est Logarithmus facti, cui in tabulis respondet numerus 7968 = 48 X 166. Si dividendus sit numerus 7336 per 56, subtrahatur Logarithmus divisoris 1,7481880 a Logarithmo dividendi 3,8654593; ditierentia 2,1172713 est Logarithmus quoti, cui in tabulis convenit numerus 131. Habetur igitur quotus 131 ex divisione 7336 per 56. 341. Colligitur tertio , ut regula trium per Logarithmos fiat, oportere Logarithmos termini fecundi Ö* tertii addere, £? a summa subtrahere Logaritk- rmm termini primi; residuum fore Logarithmum quarti quafiti. Exemplum. Dentur 2843 ; 85 2 9 : : 3*47 '• x - terminus X inveniatur, juxta leges alias pradcriptas (329), debet 3147 multiplicari per 8529, & factum 26340763 dividi per 2843 , tumque habetur quotiens 9441 ss= x. Verum operatio haec longa est, nec errandi caret periculo, nisi magna adhibeatur attentio. Sed si Logarithmus utamur, solum opus est, ut numerorum 8529 & 3147 Logarithmi, scilicet 3,93090 & 3,49790 addantur, & a summa 7,42880 auferatur 3,45378, Logarithmus numeri 2843 » re ’ siduo 3,97502, quod est Logarithmus quaesiti x, in tabulis respondet numerus 9441. 342. Colligitur quarto; ut quantitas quapiam ad certam potentiam elevetur, ejus Logarithmum (ibi ipsi toties addendum esse, quoties illa quantitas per se multiplicari deberet, ut haberetur potentia petita; hoc est, ejus Logarithmum multiplicandum ejfe per exponentem potentia. V. g. ut 8 elevetur ad quartam potentiam, ducatur ejus Logarithmus 0,90309 ist 4, factum 3,61236 est Logarithmus numeri 4096, seu quartae potentiae numeri 8. 343. Colligitur denique: Si Logarithmus quantitatis data dividatur per exponentem radicis extrahenda ex ea quantitate, quotievtemfore Logarhhmum radicis quaßta. Ut extrahatur radix cubica ex 6859, hujus numeri Logarithmus 3,83626 dividatur per 3; quotiens 1,27875 est Logarithmus radicis quaehta, cui respondent in tabulis 19. tz6 Pars I. Elemen. Algebra. JDe usa Tabularum JLoganthnorum prxcipue in Fractionibus* 344« Tabulis Logarithmicis plerumque jungitur instructio, ex qua. lector usum intelligat; ac praeterea nos in presens pauca hac de re ad seremus, illo contenti, si rationem utendi Logarithmus, quando numeri fracti exhibendi sunt, rite exposuerimus: res haec summo cum laboris compendio, ingentique utilitate conjuncta est; sed methodus, qua utemur, raro futis explicate traditur. Imprimis itaque sciendum est, quod si detur Logarithmus alicujus numeri valorem quantitatis ncn accurate exprimentis , ut acquiratur is numerus cum fractione decimal! adjungenda, Characteristica Logarithmi dati tot unitatibus augenda iit, quot nots infractione decimal! desiderantur, & numerus Logarithmo- sic aucto respondens quaerendus; ubi hic repertus est, separemur, versus partem dextram interposita virgula tot notae, quot unitates Logarithmi dati chara» cteristicae flant adjectae, erunt hae nots fractio decimalis quaesita. Quaeratur v. g. numerus accuratior, quam qui respondet Logarithmo 1,7413354 in tabulis:,fu» ir.atur ejus loco Logarithmus 3, 7413364, & quaeratur numerus proxime huic in tabulis respondens, qui est 5512; separatis postremis duabus notis-habetur valor accuratior 55, 12 competens Logarithmo 1, 7413364. Si Characteristi.es ad» ditse fuisient 4 unitates, sive substitutus Logarithmus, 5, 7413364, inventus fuisset valor 55, 1235. Ratio hujus facile intelligitur.. Logarithmus characteristica- augetur una, duabus, tribus &c unitatibus, fit Logarithmus numeri ejusdem per > 10, 100, 1000 &c multiplicati: quod si itaque valor hujus producti dividatur per 10, 100, 1000 &c. (hoc est, st resecentur una, duae, tres &c notae ex parte dextra (72)necesse est, ut habeatur valor numeri quseilti cum fractione de- cimali. Ex eadem ratione manifestum est, quod si inveniendus sit Logarithmus nu» meri habentis annexam fractionem decimalem, quirendus sit Logarithmus competens illi numero ita considerato, quasi una cum notis decimalibus constitueret unicum numerum integrum: tum a Logarithmi reperti characteristica tot auferenda sint unitates, quot notae decimales erant in fractione integro annexa. His positis, cum fractiones proprie dictae-sint quantitates unitate minores (76) , & Logarithmus unitatis sit o (317); sequitur, Logarithmos fractionum debere esse defectivos sive negativos, praefixo eorum Characteasticre signo —; verum quod ad operandi.rationem, hi Logarithmi tractari possunt, ac si essent positivi, supponendo scilicet, characteristicam Logarithmi unitatis esse 10, ioo, vel xoco dic; & facta semel tali suppositione, omnes Logarithmiqui ex operatione quavis in fractionibus institufä prodeunt, respondent fractionibus deci- ,malibus, quarum notas prseccdunt tot zeri demto uno, quot unitatibus ejusmodi. Logarithmorum characteristicse. a 10,100, 1000 &c deficiunt. En.sequentem tabulam! Kumt ri Naturales. 10000.... .. .... 1020 .. ... 100... 10.. i ....... ...... öj I | « « «r,* 0,01 .. 0,001 .. 0,0001 Logarithfii'Tabulares. Logarithmi Hypothetici. -4- 4,0000020...... 14 , 0000000 .. .. io4,coooooO' -4- 3,0000000., .... 13,0000000.. .. io3,coocooo- -4- 2,0000200.. ......12,ooocooa,... 102,0000000 -4- 1,0000000.. .. .. 11,2000000.. .. IOI,©OCOOOO' -4- 0,0000000;...... 10,0000000.... IOO,0001200 — 1,0000000.. ..... 9,0000000.... 99.0000000- —- 2,0000000. 8,0000000.... 98,0200000 —> 3,0000000. 7,0000000,... 97,0000000 ■— 4,0000000.-.,... 6,2000000.... 96,0000000 &c. No» DE LOGARITHMIS. 97 Nos supponemus islhic, charactcrisiicam logarithmi unitatis esse io f id, quod plerumque in calculis sufficit, quando nempe non occurrunt fractiones prorsus exiguae, uti quae partibus centies-milllonefimis forent minores, quarum fortassis ratio habenda esset: tunc enim characteristica logarithmi unitatis fumi deberet— / ico). Hinc quoticscunque post operationem quampiam characterisiica logarithmi excedet io, eum ad numerum integrum pertinere constabit, qui tot notis plus una sit compositus, quot unitates supra io habuerit characterisiica,* & quoties- cunque characterisiica logarithmi a io deficiet, is pertinebit ad fractionem decimalem, cujus notas tot praecedant zeri minus uno, quod unitatibus characterisiica fuerit infra io. 346. I- Quotiescunque logarithmus major subtrahendus esi e minore, ut cum 4 dividi debent per 7, augeatur decade characterisiica logarithmi numeri dividendi; in praesente exemplo loco 0,6020s, qui est logarithmus tabularis numeri 4, sumatur 10,60206, & a logarithmo ita aucto subtrahatur logarithmus tabularis numeri divisoris, hic nempe numeri 7, qui est 0,84510; refiduum 9,75696 erit logarithmus quotientis. Atque hunc in modum fractionum paffim usitatarum logarithmi reperiuntur. 347. II. Ut vero inveniatur valor logarithmi cujusvis in fractionibus decimalibus, is logarithmus quaeratur in tabulis., velut fi ejus characterisiica fo- ret 3, 4, 5 &c, prout scilicet quatuor, quinque, sex &c. notae decimales desiderantur: numero correfpondentj reperto praefigantur tot zeri, quot unitatibus characterisiica logarithmi dati deficit a 9. Exemplum: quaerendus fit velor logarithmi 5,41867, quem pertinere ad fractionem alias constet. Quaeratur idem logarithmus cum characterisiica 3, nempe 3,41867 , inter tabulares: invenietur numerus proxime respondens 2622; & quoniam characterisiica logarithmi dati 5 deficit a 9 quatuor unitatibus, erit fractio quarfita 0,00002622. Eodem modo invenitur, logarithmb 9,45924 conve- • niie fractionem c, 2870; logarithmo 3,48365 competere 0,00000030455, &c, 348. III. Si proponatur fractio multiplicanda per alteram fractionem, earum logarithmi (inventi scilicet per N. 347)adduntur, & a characterisiica summae auferuntur 10,-residuum est logarithmus facti. V. g. Si fracttio T 7 T ducenda in J-rvso utriusque logarithmi 9,76592, & 7,25760 colligantur in unam summam 17,02350, cujus characterisiica si minuatur decade,residuum 7,02350 est logarithmus facti datarum fractionum, nempe0,0010556. Eodem modo si multiplicanda fit fractio 0,0047 P er 0,00005 r, logarithmus illius 7,67210 addatur logarithmo hujus 5,70757,' erit logarithmus facti 3,37967, cui competit fractio 0,0000002397, Cur autem a characterisiica summte logarithmorum subtrahi debeant 10, ratio est, quod fit (44) unitas ad multiplicatorem, ut est multiplicandus ad productum; quando igitur inveniendum est productum duarum fractionum, v. g. facienda est ha:c proportio, 1: : T \ X consequenter fi loga- rithmis utamur, addendi sunt logarithmi terminorum mediorum proportionis (341), & a summa auferendus logarithmus unitatis, qui per hypothefin esi 10. 349. IV. Si fractio per fractionem dividenda fit, characterisiica logarithmi fractionis dividendae augeatur decade, & a summa subtrahatur logarithmus fractionis, per quam divisio facienda; erit residuum logarithmus quotientis. Est enim (53) divisor ad unitatem, ut dividendus ad quotientem. Sic fi oporteat dividere per-ff—^, logarithmus7,25760auferatur a logarithmo 19,76592, erit logarithmus 12,50532 quotientis, cui competit numerus integer 322, scu accuratius 322,35. La Cailie Leti. E lern. N I 98 Pars L Elementa Algebra. 350. V. Quando fractio elevanda est ad potentiam quamvis m, multis plicetur logarithmus fractionis datae per exponentem potentiae m, ctacharacte- ristica facti subtrahatur factum io xm — i. Exempli causa petatur quirita potentia fractionis 0,17; ducatur ejus logarithmus 9,2304489 in 5, & a characteristica facti 45,1522445 auferatur 10x5— 1 =40; residuum 5,1522445 est logarithmus fractionis 0,0001419857, quae est quinta potentia datae 0,17. 351. VI. Ut radix quaevis extrahatur ex fractione data, augeatur characteristica logarithmi fractionis facto ex 10 in exponentem radicis unitate mul ctatum, summa dividatur per exponentem radicis integrum Exemplum. Queratur radix undecima fractionis 0,17; characteristicse ejus logarithmi 9,2304489 addantur 100, sive toxit—1; summa 10,92304489 dividatur per 1 r,- quotiens 9,930444 erit logarithmus fractionis 0,85193 , quae est radix undecima datae 0,17. Similiter, ut inveniatur radix quinta fractionis T ~, ejus logarithmi characteristica 9,76592 augeatur 40, seu facto 10 X 5 —1: summa 49,75592 divisa per 5 dat quotum 9,95318, qui est logarithmus o, 897s , radicis quintae fractionis dat:e T ~. 252. Ut postremarum regularum veritas constet, illud advertendum, quod quantitatem aliquam elevare ad suas potentias ordine sibi succedentes, nihil aliud sit, quam halbe successive proportiones facere 1 : a :: a : a', dein 1 : a::a:j*:a 3 ; tura i:a::a 5 :sP &c. Sic igitur a— 0,17, cujus logarithmus est 9,23045; patet, haberi logarithmum dea*, si fiat9,25045+ 9,23045—10,00000 = 8,64090; item logarithmum de a' tore 9,23045 + 8,64090 — 10,00000 = 7, 59135; logarithmum de a* 9,23045 + 7,69135—10,00000 =5,92180 &c. Ex quo manifestum est, subtrahendum elfe toties logarithmum unitatis, quot unitates demta una habet exponens potentis. Verum illud quoque apparet, hanc regulam locum habere, si numeri integri elevandi sint ad quasvis potentias , dum logarithmus unitatis non supponitur squalis o. Idem ratiocinium applicetur lo- garithmis radicum. Ex omnibus hisce apparet ,characteriflicas effe in tabulis logarithmorum numerorum naturalium notas prorsus inutiles, cum calculatoris sit iis utentis, in singulis, quibus eos adhibet, Qafibus illarum valorem determinare. DE PROPRIETATIBUS MAGNITUDINIS SI SPECTETUR UT INFINITA. 35 Propositio I. Magnitudo efi divisibilis in infinitum . Demonstratio. Magnitudo per naturam suam capax est augmenti & decrementi: igitur etiam aucta, vel diminuta naturam suam retinet, consequenter adhuc incrementi vel decrementi capax est; adeo- que sine sine, seu in infinitum. Exempli causa, series naturalis numerorum 1,2,3, 4 &c. evidenter in infinitum crescit: ad quamcumque enim magnitudinem aliquis hujus seriei terminus perveniret, nondum ultimo vicinior est, id, quod fieri nequit in serie, cujus terminorum numerus lit finitus. Jam vero licet termini infiniti hujus progrestionis numeris,exprimi nequeant; cum tamen maneant magnitudines, quamvis infinita?, non desinunt habere proprietates finitas, quo fit, ut calculo subjici possint, si de Infinito. 99 charactere quopiam, vehit oo, designentur, atque hinc tota numerorum series hunc in modum poterit exhiberi 1.2.3, 4. 5...... co Simili ratione quantitas finita in partes semper minores, & minores dividi potest, donec divisione in infinitum continuata deveniatur ad partem infinite parvam ; ut adeo unitas iii suas partes divisa repraesentari postit hac serie r-4- r- b h • * • * * i- 354. Propositio II. Quantitas, qua in infinitam abiit , non est am- pVus capax augmenti vel decrementi , nisi infiniti. Demonstratio. Si quantitas finita in infinitam abiit; omnia sua incrementa finita possibilia acquisivit; igitur nulla quantitate finita amplius augeri potest. Eodem modo si quantitas abiit in infinite parvam, omnibus decrementis finitis possibilibus jam imminuta est, hinc nulla amplius quantitate finita potest minui. Atqui quantitas, qua? seu in infinite magnam seu in infinite parvam abiit, nihilo minus adhuc est quantitas , atque adeo incrementi & decrementi capax: quare neeesse est, ut hoc incrementum vel decrementum infinitum sit. Sic 00 ztz 1 = 1 Zti= l; sed ce eo = 2 00 ; & i X 3 300 2 a 2 co == 3 3 ^ divis.per^ == &c. 355. Coroll. I. Quantitas finita addita vel fiibtracla a quantitate infinite magna , in calculo negligi potest , b supponi — o. Itaque 00 i: a = co. Idem est censendum de quantitate infinite parva respectu quantitatis finitae; sic A zh i — a. * 356. II. Quantitatum infinitarum dantur infinita species, sive ordines. Nam potest v. g. concipi haec progressio Arithmetica —ico. 2eo. 300 ...... 00 co, cujus ultimus terminus 00 co, seu oo 2 , primum insinities excedit. Jam vero est co 2 -f- co 3 = 2 oo 2 ; & hinc rursus concipere possumus alteram progressionem100 a . 200 2 . zco 2 . 400 2 .. .... oooo', seu oo3 1 culus ultimus terminus est insinities major primo. Simili ratiocinio ex nova — 1 003. aoo 3 . geoj. 4c© 3 ...... 00 co 3 habetur oo 4 , & 00 00 co universim devenietur ad 00 , imo 03 in infinitum. Idem est de quantitatibus infinite parvis: nam potest concipi feries 1 cc' 1 1 2 00 300“ .. .. «Tto , seu , in qua terminus postremus in- finities minor est primo. . Ulterius in serie 2 —. —-— —— . — - — K OO» 2 CO= gOO»-*** 0000» sive , rursus ultimus terminus est insinities minor primo. Et universim potest concipi -^-»imo in infinitum &c. co 00 00 N 2 ICO Pars L Elementa Algebra. 357. Exponentes quantitatum infinitarum exprimunt, cujus ordinis quaeque fit : ut 00, 3=o, quarum exponens est 1, sive co , 300 sint quantitates infinite magnae primi ordinis ; 3 co L , ab ^ sunt magni- 4 d tudines infinitae quarti ordinis. Similiter —^5, sunt quantitates infinite parvae primi ordinis; est infinitesima secundi ordinis, &c. 358. Observa, quantitates infinite parvas exprimi , dum nota infiniti ponitur in denominatore fractionis, cujus numerator est quantitas finita, vel infinita inferioris ordinis. Quoties autem cunque signum infiniti non est in denominatore, denotantur quantitates infinite magnae. 359. IIT. Ordines diversi infinitorum , ut se se consequuntur , conflituunt progressionem Geometricam. Etenim eorum exponentes progrediuntur in serie mtu- rali continua numerorumsic ~ o° 4 - oo 3 . «>'. ao 00 -x> 3 . &c, quoe series eadem, ac oe^oo^aa*.oo , . 1. JL JL. &c. 360. IV. Infinitum ordinis cujuscmque nequit augeri vel minui addi . tione vel jubtrallione numeri finiti infinitorum ordinis inferioris , hoc est, unum, plurave infinita ordinis inferioris sunt = o respectu infiniti ordinis superioris. Itaque =0*ztaeo=co'; similiter -gg 361. V. Siinfinitum multiplicetur vel dividatur per infinitum ,faslwn f vel quotiens est quantitas ejus ordinis, quem indicat exponens fatti , vel quo- tientis. Ut co 300X6 00 — 3 6 co 2 ; hoc est , si infinitum primi ordinis ducatur in infinitum primi ordinis, factum est infinitum fecundi ordinis. co * X 00 = 003; 3 co 4 x 4 05 s = 12 00 9 ; itaque factum duorum infinitorum est infinitum ordinis, quem indicat summa exponentium, co x a = a co: igitur factum ex infinito in infinitum, est infinitum ejusdem ordinis. roX^ = -|| =s 1; est ergo factum ex infinite magno in infinite parvum ejusdem ordinis, quantitas finita. 00 x a a oo > i b X2 6=—503, hoc est, factum ex infinitefiina in 4°=3 L quantitatem finitam j est quantitas infinitesima ejusdem ordinis. Sic quoque in divisione || <=s I; ex divisione infiniti per infinitum ejusdem ordinis, esi quantitas finita. = — ; sive quotiens Db Sbriebus. ioi ---- = oo j si dividatur infinitum per infinitum ordinis inferioris, quotiens est quantitas infinita ordinis inferioris, quem indicat exponentium disterentia. ; quotiens ex divisione infiniti per infinitum ordinis superiori* 03 3. CQ est infinitesima ordinis indicati per exponentium differentiam. Nonnulla notiones de firiebus ; de earum natura » 6? formatione. 362. Series dicitur terminorum sese invicem sequentium collectio, qui ordine continuo juxta certam aliquam legem crescunt vel decrescunt: hujusmodi sunt progressiones Arithmeticae, & Geometricae. 363. Seties finita est, cujus terminorum numerus est limitatus; series infinita vero, quae in infinitum continuari supponitur. 364. Series divergentes appellantur, in quibus termini continuo crescunt; quorum autem termini perpetuo decrelcunt, dicuntur convergentes. Series eo magis divergit, vel convergit, quo terminus quisque immediate praecedente major, vel minor est. 365. Tres praecipuae seriorum classes apud Mathematicos in considerationem veniunt; series numerorum figuratorum , sive diversorum ordinum; series numerorum polygonorum; & series potentiarum. I. Series numerorum figuratorum sic incipiunt. ^^Constantes, seu primi ordinis.. ..I I 1 1 1 i,&c. s ^Naturales, seu secundi ordinis.... ..1 2345 6,&c. •f C Triangulares , seu tertii ordinis. ....... 1 3 6 10 15 41, &c. Pyramidales, seu quarti ordinis........ I 4 10 20 35 56, &c. 3< 56 . Lex, quam observant series numerorum figuratorum, est, quod quivis ordine terminus aequetur summae totidem terminorum seriei praecedentis. Hinc secunda series fit continua additione imitatum ; tertia formatur continua additione terminorum secundae. V. g. i 2 —3; ! + j + 3= 6 ; i -+- 4 -f- 3 -+- 4 = 10; 1 +2 + 3+44-5 == 15,. &c. 367. II. Numeri 'polygoni formantur ex summa numerorum progressionis Arithmeticae ab I incipientes, dicunturque triangulares, quadrangulares, pentagoni, hexagoni &c, prout differentia progressionis Arithmeticae, ex cujus terminorum summa oriuntur, fuerit 1, 2,3, 4, &c. Exemplum N 3 r\ 202 Pars I. Elementa Algebra. Progreßoncs Arithmetic# Numeri polygoni. 1 2 3 4 5 & c * Diff- I...... 2 Z 6 io 15 &c. triangulares. 1 3 5 7 9 Difl'* 2...... I 4 9 16 LA &c. quadrangulares. 1 4 7 IO 13 &c. Diff. 3.1 5 iL 22 35 &c. Pentagoni. I 5 9 13 17 &e. DifF. 4., .... 1 6 15 28 45 &c. Hexagoni. Nomen polygonorum inde sortiti sunt, quod exhibeant numerum punctorum necessariorum, ut in lineis ad polygonorum regularium latera parallelis symmetrice disposita spatium impleant ejusmodi polygoni. 363. III. Series potentiarum sunt illa?, qua? constant quadratis, cubis &c. numerorum 1, 2, 3, 4 &c. ordine naturali crescentium. 369. Praeter expositas numerorum series (quasformulis Algebrai- cis generaliter exhiberi possunt ) saepe alia? quoque occurrunt. V. g. Fractio decimalis, ut 0,3543 nil aliud est, quam series rV ■+- tss- -t- rvW ■+■ r^lo- 0- (98). Si idem numerus successive dividatur per terminos progressionis Arithmeticae, ut J. ■£. f. J &c, constituit seriem, quam progrestionem harmonicam vocant. Quin possunt arbitrarie formari feries compositae ex aliis pluribus, si earum termini correspondentesquacunque operatione Arithmetica combinentur. Talis esset v. g. series f. j. rV* r!~r- -5W, &c, cujus numeratores sunt progressio geometrica in ratione dupla, denominatores vero sunt facta ex terminis seriei numerorum imparium, nempe ex primo & secundo; ex primo, secundo & tertio ; exprimo, secundo, tertio & quarto &c. Jam vero fl lex , juxta quam series aliqua composita est, non per se in oculos incurrit , ea series ita scribenda est , ut lex ex ipsa forma deprehendi postit. Exempli causa, in serie postremo allata, quisque facile videt, numeratores constituere progressionem Geometricam in ratione dupla crescentem ; at qua ratione denominatores formati sint, non ita pronum est deprehendere. Quod si vero eadem exhibeatur sequenti forma ( ubi loco signi X adhi- l <2 A bita sunt puncta, ut saepe in feriebus fieri solet 's — ,-, -- , J 13 5. 7 8 6 ... —--,-, &c. nihil aeque expeditum est, ac legem seriei *• 0 * 5 - 7 1 - 2 ' 5 - 7-9 videre. 370. Saepe quantitates,quas in alias sine residuo resolvi nequeunt, reducuntur ad series infinitas: ejusmodi sunt quotientes quantitatum, quas non sunt multipla divisoris ; item radices omnium potentiarum imperfectarum. Sit exempli causa inveniendus quotiens ex-—; si divi- fio juxta leges alias praescriptas instituatur, reperietur 1 — x' -f- x 4 — x 6 Hh x* &c» Nam si primo fiat i = I; tum 1 X 1 + x i = 1 + DE SeRIEBÜS 103 XX, & subtrahatur hoc factum ex dividendo, relinquitur 1 — I — xx = — xx: est igitur primus quotientis terminus 1. Si ulterius residuum — xx dividatur per 1, alter quotientis terminus fit — xx; &— xxx I -i- x x = — xx — x*, quo subtracto e —. x x , remanet xK Novo hoc residuo iterum per l diviso, fit tertius terminus quotientis ■+> x 4 , & sic deinceps. axx _ , *. it* * a a ax Eadem operandi methodo invenitur ,-— --— r b+x b Ifi ax s '~F &c. ax' aa a a aab aab 2 <- - &c. item- - =---+• —- b 5 x-t-b x x* X 3 371. Detur | /~aa — xx reducenda ad seriem infinitam; ea fiet xx a x* 5 X JX' 8a 3 16a S I2S.J 7 256a* 10242“ Etenim radix quadrata termini primi a a est a; subtracto a a ex quantitate data a a —xx , remanet— xx, quod cum dividi debeat xx x 4 — , cujus quadratum — una 2 a * 4a xx cum facto ejusdem-in 2 st, sive -—XX, si subtrahatur a pri* 2ix 12 &c. per 2 a, erit terminus alter radicis mo residuo — xx, 2 st remanet x 4 4 aa' hoc alterum residuum divisum X X x X , hoc est, per 2 a — —, dat 2 a per duplum radicis adhuc inventae a x' / . xx tertium terminum radicis-~ —, cujus factum in 2st— — (nempe 2slX 4 8 «*" 8st 4 sive’ x 4 4ct’ 8^ x 6 N ) una cum quadrato 64a 6 » subtrahatur ex fecundo residuo- —relinquit—- — --—. 4st * 8« 4 Ö4sl S dem radicem extrahendi methodus si continuetur, reliqui termini obvenient. Esto exempli gratia 2=5, x = 3; erit a a — xx = 25 — 9 = 16, &l/slst—xx = 4=5— -—-—— &c. ' v _JL 10 1000 50000 xjr 'Pariter X/~aa-hxx abiit in seriem s= st ■+•-- -— -f. ia Bat i04 Pars I. Elementa Algebra. 372« Ex his apparet, quod ii semel habentur priores aliquot termini alicujus seriei per resolutionem reperti, non alia re opus fit, quam ut lex progreilionis quaeratur; hac quippe cognita, operosiore resolutione omissa series continuari potest legem illam in terminis reliquis observando, modo sufficiens prius terminorum numerus inventus fuerit, ut lex progressionis non possit esse dubio. Exemplum. Si consideretur series radicis quantitatis aa — xx t reperietur ea aequalis quantitati a plus progressione Geometrica (cujus XX . primus terminus — , & quotiens communis — 1 in qua termini unguli multiplicati sunt per singulos correspondentes seriei — $, — y — tV — rly — y-J-y, &c. Illud igitur solum superest indagandum, ut reperiatur lex horum coefficientium, quae est— i£-3j5 24.6.8 ir.Z.Z7 , &c. Sunt igitur numeratores series naturali« 2.4.6810 & crescens numerorum imparium; &denominatores series naturalis crescens numerorum parium ; in utravis multiplicantur termini duo, tres, qua- tuor &c. simul; tandem fractiones inde ortae reducuntur ad expressionem simplicissimam. De Summatione Serierm, 373. In seriebus quidem omnes operationes Arithmeticae locum habent; at ceteris uti longe utilior, ita etiam difficilior est Summatio , hoc est reductio seriei totius date ad terminorum expressionem finitam , in qua plerumque consistit resolutio problematum , quae series ingrediuntur. Neque illud admodum operosum est, ut complura problemata eo reducantur, ut oporteat summam seriei infinitae invenire, quandoquidem solutio problematis a resolutione aequationis quaestionem continentis dependet. 374. Porro facile infelligitur, quod si series infinita semper di- vergat, ejus summa terminis sinitis nequeat haberi; at vero si conver- -..gat, saepe ejus summa finita est, ut deinceps videbimus. Etsi autem materia praesens sit e praecipuis Analyseos partibus, nobis tamen non licet eam minutim discutere; sed satis erit, si methodum summandi eas series, quarum frequentior est.usus, maxime vero, quae nobis in Geometria erunt necessariae, tradiderimus. 375. Artificium summandi series quasvis in eo est, ut reperiatur methodus summandi paucas quasdam, qua; deinceps formularum instar sint, ad quas aliae, nisi quod obstet, revocari possint, auf vero ut quae illuc reduci per se nequeunt, resolvantur in piures. alias , ad formulas illas De Seriebvs. 105 illas revocabiles, quse proinde', cum singularum lutnm* haberi possint, in unam totalem colligantur. 376. I. Exemplum. Si semel reperta sit formula summandi omnes terminos progressionis Geometricas decrescentis in infinitum, poterunt omnes series fummari, quae resolvuntur in alias, quarum termini constituent progressionem Geometricam decrescentem. _ Sit igitur -It- . ~ progressio infinit», •ujus termini perpetuo decrescunt, crescente denominatore, si q supponatur unitate majus. At si scribatur -ff .^ uti — a habetur series crescens; & si adhibeatur formula s ---( 327 ) , d i . dq i x J * . . m qua« = -57 a = 7-, erit s » -r — r—:» & neglecto termino m- * b bqco b bqco g—i , reductioneque facta , s dq quas consequen- finite parvo , » tuuuiunv^it v. »«vi« , » —— ^ —-, ter erit formula summandi quamvis progreffionem Geometricam in infinitum decrescentem. 377. Sit jam summ anda series fractionum, quarum numeratores sint in progreffione Arithmetica, & denominatores in progressione Geome- . slslH-dstHf-2dst*+-3d trica, nempe —, ——, — ^jjr~ , —— «c. scribatur eadem prius hoc slct isl d d a d d d _ b’ bris* bf + W’H 3 M 3 * if* i? ' Dein facile eruentur sequentes feries, quas omnes sunt progressiones Geometricas. a J a 6 6 69 r - 5 7 - 9 r 1 « &c summa ss» r _ bq bq* bq 3 ’ bq — b d d 'd „ , d i 5 1 a j 1 ,) summa ss 7 bq bq a 9 bq 3 bq >— b d i c d ' Hir» &c summa — -- bq' bq* bq 2 — bq d d S5* &c surarna = /7T fcqi ’ ^ hqi — jjqi' Jam vero patet, summas repertas (demta prima) constituere sequentem progressionem Geometricam -K- j~-, £5-™, & > cu i us La C aii le Leeh Liem. O Pars I. Elementa Algebra. 106 summa eft dq aq a , eo citius converget series a , , , cui si ad datur siimma prima» serie , ,, bq-— zbq -i-b _ r bq — b’ , , aqq — aq-t-dq . . habebitur 7—---- - summa totalis omnium lerierum. oqq — zbq -+- b Unde eadem erit formula generalis fmmanii omnes feries fractionum , is quibus numeratores sunt in progrefßone Arithmetica , & denominatores in pro - greffione Geometrica. 378* Observa, Quodsi feries infinita non possit revocari ad summam terminorum finitorum, illud agendum, ut reducatur ad totalem formam, ut quam citissime convergat; dum enim feries admodum cito convergit, sufficit fummare aliquot e terminis prioribus, reliquis citra errorem fenßbi- lem neglectis. Sit exemplo |/aa 4 - xx, in qua quo quantitas x minor fuerit, quam X X X* X 6 -— 4 - &c, cum numera- za 8^ 16^ tores admodum fiant exigui respectu suorum denominatorum. Ponatur z- 11 I a = 10, & x = 1, erit l/ioi = ioH--- f - 7 -- 7 iv 20 8000 lOOOOOO &c; esi autem’ manifestum, quartum terminum jam essis admodum exiguum, ideoque solos tres primos terminos exhibere radicem numeri 101 399 verse valde vicinam, nempe 10 . 379. Sit jam quaerenda formula pro sum mandis quotcunque potentiis ordine crescentibus seriei numerorum naturalium. Qua? ut reperia- tur, sequenti uti possumus ratiocinio. Quoniam numeri ordine naturali progredientes fern per differunt unitate, si sumantur quotcunque, dicanturque l, m, n, p, q, r, erit r = q 4 - I, q =p-i~ l, p = n = 1, m = l~h l; quod si jam hi termini eleventur ad suas potentias successive altiores, fiet r 1 — 5*4-4 (]S-f-6 q’~ f -4 < 1+1 q*=p'~y-4 p 3 4 - -6 p' 4 - 4 p 4 -i p 4 = n '-h4 h 3 4-6 » 4-4 » 4 -i b 5 ==m' 4 - 4 m 3 4 - 6 m--H 4 *w-fii m*= l‘H-4 P-f-6 /+4 l 4 ~i r 3 = q 3 4 - 3 q' H~ 3 q-i-i q^=p 3 -b 3p’ -f- 3JH-1 p3 s= n 3 4- 3 71 * 4- 3 « 4-1 ts> =fl ! 3 -+- 3 m 5 4- 3 »?Hhl m 8 ss= i 3 4- 3 ? -i- 3 /--HI colligantur singulae potentiae in singulas aequationes facta aequalium substitutione; habebitur r a sss f+ 2(j-M 5 ’ ss= f 4- 2 P -H 1 p 5 = jf -H 2 n -H i = W2 5 -H 2W “H 1 ?» 2 — i J + 2 !+i -H 2 q -H 1 >4- 2p-H I -H 2 R -H 1 -H LM -H 1 1 + 2I+ 1 h- 3 q* 3 q-*- 1 HH 3 P’ -+- 3 p-*-l HH 3 n* -H 3 N-HI -H 3 m’ -H 3 ?» 4 -t 1* -+■ 3 l 5 ~H 3 ‘"t” 3 4-4 q 3 -fi6 q*4-4 q-fil -4-4 p 3 4-6 p a -+-4 p-fi I H-4 b 3 4-6 n 5 -H4 H-fii 4-4»« ? 4-6 m 7 4-4'™~fi 1 / 3 4 ~4 l' 4*4 fifii De S e r i e b v s,. 107 Ago. Ex singulis hisce aequationibus eruuntur singula Theoremata: iSi dentur plures termini numerorum ordine naturali progredientium Imo quadratum ultimi r" eft aequale quadrato primi 2% plus dupla summa q - 4 - p -+- n ■+• m - 4 - 2 omnium terminorum ultimum pr ace dentium, plus 1 + 1 + 1 + 1+1 Jive numero terminorum ultimum praecedentium. Udo. Cubus ultimi termini r s fi aqualis cubo primi b plus tripla summa quadratorum omnium terminorum ultimum praecedentium, plus tripla summa omnium terminorum ultimum praecedentium, plus tot unitatibus, quot termini sunt ante ultimum. Ultio. Potentia quarta termini ultimi r 4 aqualis est potentia quarta termini primi b plus quadrupla simma cuborum omnium terminorum ultimo anteriorum, plus fextupla summa quadratorum eorundem terminorum, plus quadrupla summa terminorum ulumum procedentium, plus tot unitatibus, quot termini Junt ante ultimum,. Similia pro aliis potentiis eadem ratione reperiuntur. 381. Hinc vero deducitur, quod si primus terminus dicatur a, ultii mus w, numerus terminorum ante ultimum fit &> — a; & si porro summa omnium horum terminorum dicatur s; summa quadratorum eorundem/' 3 ; summa cuborum ß m , siet summa omnium terminorum ultimum praecedentium = /■— uj summa quadratorum eorundem terminorum —s — *? i summa cuborum omnium horum terminorum = s 3 — w 3 , &c; & Theorematis primi forma algebraica erit tu' = a' -i- zs — 2«-4" « — a, seu reductione adhibita Etsi plurium serierum summae sint infinitae, atque adeo terminis finitis exhiberi nequeant; in sequentibus tamen apparebit, id non ob- esse, quo minus magnus earum in Geometria sit usus, praecipue dum earum ratio vera cognoscitur. ' Exempli causa constat, Jkmmam quadratorum omnium numerorum naturali serie progredientium esse aqualem tertia parti sabli ex quadrato termini ultimi in numerum terminorum. O x « Pars I. Elementa Algebra?, io8 Etenim si series reipsa infinita sit, ultimus terminus progressionis naturalis est oo, adeoque hoc pro « in formula summ» quadratorum substituto habetur s = ’ f 003 ■+• i 50 * *+• t 20 — i a3 ■+■ 4-0, quae reducitur ad s= os», quod omnes reliqui termini sint insinities minores, quam {°?3, Atqui quadratum ultimi eo 2 ductum in numerum terminorum per hypothesin ov, est «-r, igitur summa omnium quadratorum est pars tertia hujus facti. 384. Simili calculo invenitur, summam infinitorum cuborum numerorum in serie naturali progredientium esse partem quartam sabli ex cubo termini ultimi in terminorum numerum. Facta enim substitutione 00 pro m , formula redit ad hanc ß = 4 -co 4 . Et universim summa infinitarum potentiarum exponentem finitum m habentium ex numeris serie naturali progredientibus est-, facti potenti» 00 m termini ultimi in numerum terxni- m -l- 1 id, quod etiam radi nor um 00, seu s tn -b 1 m ■+• 1 m ~b 1 plicari potest. Nam si v. g- sumantur radices quadratae, erit m = § 44 quare summa -radi- (173), &m-f- 1 cum quadratarum terminorum infinitorum ordine naturali progredientium est aequalis duabus tertiis partibus facti ex radice quadrata termini 1 XL ultimi ducta in terminorum numerum. Est enim hoc est, £00 * X 0». i 6 Pars II. Elemen. Algebra. 109 PARS SECUNDA. ELEMENTA GEOMETRIA 385* eometria est scientia, quas demonstrat proprietates quantitatis VJT continuae, seu extensae. Continui tres tantummodo sunt dimensiones, longitudo, latitudo, profunditas, seu crassitudo. 386. Quamvis nulla detur in rerum natura quantitas continua, quas non habeat omnes hasce tres dimensiones simul; nihilominus quaevis se- paratim, ut a reliquis non dependens; vel etiam binae tantum, quin tertia cogitetur, spectari possunt. Atque hunc in modum expendi potest viae alicujus longitudo, quin latitudo ejus in considerationem veniat; sic attentio figitur in planitie, quin de soli, quo constat, profunditate cogitetur. 487. Dimensio unica separatim considerata, lima appellatur; si duae jungantur, superficies efficitur; tres simul sumtas corpus, seu solidum constituunt. 388- Geometri® praeterea pun&um considerant, velut quantitatem, cujus dimensiones sint infinite parvas, cui propterea nulla extensio finita tribui possit. SECTIO PRIMA. De Lineis . Genesis , & proprietates generales Linearum. 389. T ineam motu puncti generari concipere possumus. Si punctum JL> moveatur, quin in ullam partem deflectat, ejus via est linea retia / sicubi deflectat a via coepta, lineam curvam describit 390. Cogitare licet, lineam a puncta describi progressibus infinite parvis ; jam vero in progressu infinite parvo nullus flexus concipi potest. Unde si hunc in modum genesin line® nobis proponamus, erit linea refla fiuit* feries infinitarum retiarum infinite parvarum, qu&fingulx direEle sint O 3 HO Pars II. Elementa Algebra. pofita fine ullo flexu, fine ulla inclinatione älterm ai alteram; £? linea curvet finita series retiarum infinitarum infinite parvarum, quarum . alia alias positiones habent. 391. Quoniam progressus isti, quibus lineam describi fingimus, sunt infinite parvi, quilibet eorum puncto describenti aequalis censeri potest; hinc ipsa linea instar seriei punctorum erit; ex quibus manifestum fit.... 392. Lineam retiam debere esse brevissimam , qua inter duos terminos duci possit; ideoque eam esse veram mensuram distantia terminorum. 393. II. Linea retia unicam esse speciem; curvarum infinitas. >394. III. Punbla duo positione data sufficere , ut determinetur positio rechn i sed pluribus opus este, quam duobus, ut determinetur positio alicujus curva. Proprietates Linearum rectarum. POSTULATA/ 395. I.. Assumitur, posse in plano duci lineas retias versas omnem partem, nempe in tali superficie, cujus omnia puncta sint aequabilillime disposita, nec ullum infra aliud deprimatur, nec supra aliud emineat. Genesin talis plani Geometricam in sequentibus ostendemus (613 ). 396. II. Assumitur quoque, fieri poste, ut linea reda finit# in plano descripta medium pandum determinetur. Qua ratione id Geometrice praestetur, paullo post docebimus (445). De proprietatibus Linearum rcclarurn ex positione unius rejpe&u, alterius. Z 97 - Concipiatur recta immota AB (quam fixam AB appellabo) I descripta in plano immobili (Fig. i); concipiatur etiam altera recta (quam dicam mobilem AB ) priori aequalis, itaque supra priorem posita , ut eandem cum illa lineam efficiat. Sit punctum E medium hujus lineae, circa quod ita circumagi cogitetur recta mobilis AB, ut pars ejus EA descripta in eodem plano via AORB, persecte congruat cum parte fixae EB, dum interea pars altera mobilis EB percursa via BVZA exacte coincidit «um parte fixa? AE. His ita peractis linea mobilis descripsit figuram, cujus partibus variae datae sunt denominationes, quas in promptu habere oportet. A98- Definitiones I. Figura tota a recta mobili descripta circu- his vocatur; linea curva ARBYA figuram claudens, circumserentia circuli appellatur; & punctum E, circa quod ea circumferentia descripta est* centrum. SecT. I. Propriet. Minear. Rectarum. iii 399. II. Partes quaevis determinatae circumferentiae, ut NA, ANO, ORT, &c dicuntur circus circuli. 400. III. Linea EA, quae motu suo circa E circulum describit; est radius circuli; & universim radii sunt omnes rectae ex centro circuli usque ad circumferentiam ductae, velut EO, ER, EX, &c. 401. Coroll. Hinc sequitur, omnes radios ejusdem circuli , vel ecqualium circulorum , ejje aquales inter fe: unde etiam circulum sic definire licet, quod sit figura unica linea curva terminata, cujus omnia puncta aequaliter distant ab uno aliquo puncto intra figuram posito, quod centrum appellatur. 402. IV. Recta AB, quae per centrum ducta circulum' in duas partes aequales dividit, dicitur diameter circuli , uti etiam omnes lineae rectae diametri sunt, quae per centrum transeunt, & utrinque in peripheria terminantur, ut OM*PX, RZ, &c. 403. Circumserentia cujusvis circuli in 360 partes aequales dividitur, quae gradus dicuntur; (T15) gradus quilibet subdividitur in 60 partes aequales, quae mimta appellantur; & quodvis minutum in'6© fecunda, quodvis secundum in 60 tertia &c. Verum harum partium magnitudo absoluta non consideratur, uti mensuram usitatarum alias, veluti ponderum, pedum &c; sed sunt quantitates proportionales magnitudini circuli sui; adeo, ut gradus unus circuli majoris possit esse major gradu uno minoris" circuli. 404. Sed consideremus paullum ea, quae accidunt per motum lineas illi mobili; & clarum quidem est I, quod antequam ea moveri inciperet, fixam nuspiam secuerit, nullam ad eam habuerit inclinationem; sed quod omnia ejus puncta exacte posita fuerint supra omnia puncta corre- spondentia fixa?. 405. II. Quod linea mobilis non potuerit circa punctum E converti, nisi omnia ejus puncta eodem tempore fuerint mota, idemque omnium numerus progressuum momentaneorum fuerit. 406. III. Quod quamprimum motus coepit, omnia lineas mobilis puncta separata fuerint utraque ex parte a punctis correspondentibus fixae, eorumque distantia tanto fuerit major, quantum qubdvis remotius erat a puncto E, quod utrique lineae commune fuit. Hinc igitur linea mobilis secuit fixam in puncto E, & partes ejus inclinatae sunt ad partes fixae. V. g. dum situs lineae mobilis er,at NET, nullam cum fixa amplius habuit partem communem, praeter solum punctum E: punctum N longe magis distabat a puncto A, quam quodvis inter N & E, velut n, a quovis alio fixae inter A, & E, uti d, licet totidem fuerint progressus mo« mentanei puncti w, ut ex a in n perveniret, quot fuerunt puncti N, ut ex A in N transferretur. Idem est de puncto T respectu puncti B. Secuit igitur linea NET fixam in E, & ejus partes N£, ET inclinat« fuerunt 112 . Pars II. Elementa Algebra. «td partes fixas EA, EB. Notio igitur inclinationis duarum rectarum includit simul notionem earum intersectionis aut actualis, aut possibilis, siquidem producantur. 407. Recta inclinata ad alteram, aut secans alteram rectam, vel ei in extremo suo puncto occurrens, aut insistens, facit cum ea angulum ad punctum occursus; uti NE, AE angulum ad E efficiunt. 408- Angulus exprimit, quantum una linea ab altera, cui una ex parte occurrit, recedat: ut angulus tanto sit major, quanto magis eae lineas a sese recedunt. 409. Evidens porro est, mensuram Jiujus linearum recessus esse numerum progressuum, quo quodvis lineas mobilis punctum a puncto cor- respondente lineas fixae remotum est: si enim punctum A lineas mobilis bis tot progressus habuit, ut ex A veniret in P, ac habueris, ut ex A transiret in N, liquet sane, punctum A in P translatum duMo magis recessisse a linea fixa, quam cum in N esset, ideoque angulum AEP esse duplum, anguli A EN. Pariter est'manifestum, totidem suisse progressus puncti a line* mobilis usque in p vel n, ac fuerint puncti A usque in P, vel N J atque hinc esse duplo plures progressus ejusdem puncti a usque in p, quam usque in 11; lineamque EP duplo magis recedere a linea AE, quam lineam EN. Hinc autem eruitur,. .. 410. Theorema k. Mensura anguli reclilinei est arcus circuli cujusvis interceptus inter lineas angulum comprehendentes, cujus centrum est in vertice anguli. Sic cum dicimus, angulum esse 20 graduum, fignificamus, anguli mensuram esse arcum circuli 20 graduum. 411. Theorema II. Omnes anguli,quos metiuntur arcus ejusdem numeri graduum, sunt inter se aquales; & vicissim omnes arcus ex vertice descripti , 6? ab eodem vel aqualibus angulis intercepti , eundem numerum graduum habent. 412. Theorema III. Data magnitudine anguli , datur arcus ex anguli vertice descriptus, & inter ejus crura interceptus ; & vicissim: dato numerer graduum arcus ex anguli vertice tamquam centro descripti , ejus lateribus com- prehenfi, datur magnitudo anguli. 413- Sed resumamus paullo attentius motum illum circularem lineas mobilis circa fixam: apparebit sane, eam lineam obtinere successive omnes omnino positiones possibiles respectu fix*; adeoque cum eadem facere successive omnes angulos / quotquot esse possunt. Quamdiu linea mobilis vergit versus partem AE, a qua primo recessit, quam versus partem oppositam fixas EB, omnes anguli, ut AEN, AEO &c, qui ea ex parte fiunt, sunt acuti. 414. Quando linea mobilis acquirit situm PE, quo nec magis versus AE, quam versus EB inclinatur, anguli sunt recti, AEP, PEB. 415. Rfc- Sect. I, Propriet. Linear. Rectarum. i 13 415. Recta cum altera recta faciens angulum rectum, eidem est /ier> peiidicidaris, uti PE rectis AE, & EB f sive etiam toti AB: & viciflim rs- ctss EA, EB, vel tota AB, sunt perpendiculares ad EP. 416. Anguli AEQ, AER &c hisque similes, dicuntur obtufi, quan- do linea mobilis jam magis inclinatur versus partem fixae EB, quam versus AE, a qua digressa est. Haec omnia locum habent in linea mobili EB, alterum semicirculum BVZA describente. 417. Theorema IV. Quivis angulus acutus minor est qiiow reflo vfl obtuso; quivis reflus minor est quovis obtuso. 418. Theorema V. Angulorum acutorum , & obtusorum infinita sunt species , anguli refli mica. 419. Theorema VI. Jnguli reEli sunt omnes inter se aquales; utpo- te qui comprehenduntur a duabus rectis, quas in concursu suo non magis in unam, quam in alteram partem propendent. 420. Coroll. I. Mensura duorum angulorum re florum est semicircunt - serentia circuli / ideo que mensura unius reEli est arcus 90 graduum. 421. Coroll. II. Anguli acuti mensura est arcus minor 90 gradibus; sed anguli obtufi mensura est arcus 90 gradibus major (417). 422. Theorema VII. Per idem in eadem recla punflum non potest in eodem plano nfi unica perpendicularis duci. Unicus enim locus esse potest, in quo recta mobilis non magis inclinetur versus partem fixa? EA, quam versus EB. 423. Theorema VIII. Tota circuli circumferentia quatuor angulos re* flos tantummodo metitur ; tota enim circumserentia APBXA exhauritur ab arcubus metientibus rectos AEP, PEB, BEX, XEA; seu quater 9O 0 accurate efficiunt 360°. 424. Coroll. Igitur summa cmnium angulorum, qui postunt ad ideni punflum E fieri, non potest excedere 360°, seu quatuor reflos. 425. Theorema IX. Refla quavis CE incidens in aliam reflant AB, facit cum eadem duos angulos AEO, OEB, quorum summa est iZo°, seu duo refli. Arcus enim AMO, ORB, metientes eos angulos, efficiunt fimul lemiperipheriam circuli AORB. 426. Coroll. Quotcunque rectae FE, NE, OE, PE, quales; puncta intersectionum G, L, aequaliter distant a punctis E & I, hoc est, GI = IL, & GE = LE. Ut hujus rei veritas evidens fiat, concipiatur in figura secunda pars sinistra ita imponi parti dextrae, ut tota figura secundum longitudinem perpendicularis EP velut complicata sit: tunc enim fieri necesse est, ut AE cadat supra EB, IC supra ID, arcus AN supra aequalem BR, & NP supra PR: quare radius NE exacte congruet cum radio ER, & punctum G cum puncto L; consequenter GE = LE, & GI = IL. 437. Theorema II. Perpendicularis EI ex quovis punüo E ad retiam CD dubia est omnium linearum breviffima, qua ex'eodem punblo ad eandem re- Bam duci poffunt. Et vicissim, fi recia EI est breviffima omnium , qua ex pun- Bo E ad retiam datam CD duci poffunt, est perpendicularis ad eandem. Quod si enim aliquam inclinationem haberet, posset duci perpendicularis, quae foret brevior. 438. Coroll. Per perpendicularem itaque reBe metimur distantiam pun- , Linea. Sect. I. Prorriet. Linear. Rectarum. irf 439. Theorema III. Ex punflo quovis E extra reflam CD dato, nonnisi unica perpendicularis ad eam reflam duci potefl. Non enim datur nisi unicum punctum I in recta, quod puncto E sit viciniffimum; & nonnisi unicus situs lineae mobilis, in quo non magis versus unam, qiiam versus alteram partem inclinetur. ' 440. Theorema IV. Refla quavis EI est perpendicularis ai alteram CD, fi duo ejus punfla, v. g. E, I, aequaliter distant a duobus punflis G, L alterius utrinque acceptis , hoc est, si EG — EL, & 1 G = IL; tunc enim evidens est, ea duo puncta E & I non magis versus G, quam versus L vergere; & quoniam ad determinandum situm rectas duo puncta sufficiunt (394), tota recta EI non versus G magis inclinatus, quam versus L. 441. Theorema V. Si duo punfla G & L reflae aequaliter dißent a punflo ejusdem I, in quo ab altera secatur perpendiculariter , omnia punfla perpendicularis EI aequaliter distant a punflis G & L. Quod si enim in perpendiculari daretur punctum aliqüod, quod inaequalem haberet distantiam a punctis G & L, ipsa perpendicularis in eo puncto magis inclinaretur versus partem distantiae minoris, ideoque nec foret perpendicularis. His proprietatibus rite intellectis, facilis erit sequentium problematum resolutio. 442. Problema I. Per datum punflum C (Fig. 3 ) extra reflam da - Fig- % tam AB ducere parallelam. Resolutio. Circino ad arbitrium aperto, & imo crure fixo in C, describatur altero arcus quivis EK; dein posito altero crure in E describatur eadem apertura arcus CF, occurrens recta? AB in F: accipiatur circino arcus CF, & transferatur in arcum EK ex E in I; ducatur per datum punctum C, & per inventum I recta CID: erit haec ad AC parallela. Dkmonst. Nam si| ducatur recta CE, ob arcus EI, CF «quales erunt anguli CEF, ECI aequales ( 411); igitur recta EC secat rectas AB, CD ita, ut anguli alterni interni sint aequales; ergo (434) rectae CD, AB sunt parallelae. 443. Problema II. Ex dato in refla CD (Fig. 4 ) punflo I erigere Fig- 4 perpendicularem. I Resol. Accipiantur circino in recta CD puncta H & K ad arbitrium, utrinque a dato I aequaliter distantia; ex punctis H & K tanquatn centris describantur eadem (majore tamen, quam IH) circini apertura duo arcus OER, AEB sese intersecantes in E; ducatur EI, erit ea ad CD perpendicularis. Demonst. Nam evidens est, si ducantur radii HE, KE, eos fore aequales, quod eadem fuerit apertura circini', dum arcus descripti sunt; praeterea ex constructione est HI = IK; ergo EI est recta, cujus duo P 3 318 Pars II Elementa Geometri;®. puncta E, I aequaliter distant a duobus punctis H, K rectae CD : quRte (440) EI est ad CD perpendicularis. Fig. 5 444. Problema Ili. Ex dato extra redam CD (Fig. 5) punfio E, demittere ad eandem perpendicularem EG. Resolutio. Fixo circini crure uno in dato puncto E, notentur altero duo alia H &K in recta CD, qua- aequaliter distent ab E: tum centris H & K describantur duo arcus arbitraria, sed eadem circini apertura, qui se intersecent in G ; conjungatur denique G cum puncto dato E recta EG. Demonst. Ductis radi-» HG, KG, item HE, KE, eodem modo, quo superius (443) patet, puncta G, E aequaliter distare a punctis K,H rectae datae CD, ideoque ad hanc eiTe GE perpendicularem. Fig. 6 445. Problema IV. Redam datam HK( Fig. 6 ) secare in duas partes aquales HI, 1K. Resol. Ex extremis punctis H & K tanquam centris describantur eadem circini apertura utrinque bini arcus sese intersecant« in G, & E: conjungantur intersectionum puncta recta EG, qua? datam HK dividet bifariam in I. Demonst. Est enim manifestum, puncta E & G este «qualiter dissita ab extremis datae HK, adeoque (441) etiam reliqua omnia hujus rectae EG puncta «qualiter distare ab iisdem extremis, consequenter etiam punctum 1. - DE NONNULLiS PROPRIETATIBUS LINEARUM RECTARUM respectu CIRCULI. Fig. 2.7 446. T) ecta FM (Fig. L vel 7) utrinque in circumferentia circuli ter- XV minata, dicitur chorda, vel subtensa. Sic dicimus, arcus FPM chordam, vel subtensam esse FM; item chorda 1 K (Fig. 7) subtendit arcum IPK, hoc est, terminatur ad extrema arcus IPK puncta. 447. Portio circuli intra arcum & ejus chordam comprehensa, veTufc FPONF (Fig.%), dicitur Jegmentum circuli; & portio PEO, vel .AEF* inter arcum & duos radios contenta, vocatur sedor circuli. 44g. Theorema t Reda EP ex centro circuli E ad chordam FM perpendicularis , dividit chordam bifariam. Demonst. Quoniam recta EP ex centro circuli ducitur, ejus punctum E «qualiter distat ab extremis chord« F & M; & quoniam praeterea est ad chordam perpendicularis, omnia ejus puncta (441) ab iisdem extremis F, M. «qualiter distant; est igitur etiam punctum I tantundem remotum ab F, quantum ab M, adeoque FI as Ibi. I Sect. I Propriet. Linear. Rbötaäüm. 119 449. Theorema II. E converso refla quavis EP transiens p'er ceu-, irum circuli , £? chordam bifariam secans , eß ad chordam perpendicularis. Demonst. Quoniam EP secat chordam in duas partes aequales, habet aliquod punctum I aequaliter ab extremis chordae F & M remotum ; & quia praeterea transit per centrum E, habet etiam alterum punctum E aequaliter ab iisdem extremis remotum; igitur EP est recta, cujus duo puncta I & E easdem habent distantias a duobus punctis chordae FM* nempe F & M; igitur EP est ad EM perpendicularis (440). 450. Theorema III. Item si refla EP secat chordam FM bifariam perpendiculariter, ea transit per centrum circuli. ' Demonstratio. Cum enim EP secet chordam bifariam, habet aliquod punctum I, aequaliter ab extremis F, M chordae FM distans; & quia praeterea est ad chordam perpendicularis, omnia ejus puncta trans* eunt per puncta aequaliter ab iisdem extremis distantia (441); atqui centrum E est unum e punctis aequaliter distantibus ab extremis chordae F & M C401); est igitur centrum ex illis punctis, per quae transit perpendicularis EP. 451. Hypothesis. Si supponatur chorda FM ita moveri per circumferentiam sui circuli, ut ejus extrema puncta F, M semper sint in circumserentia, imo haec chorda ubique subtendet arcum aequalem; zdo habebit ubique eandem a centro distantiam. Etenim spectato hoc motu concipere licet, totam figuram FEM ( Fig. 2) circa centrum E moveri, ut radii EF, EM semper sequantur chordam FM; atque hinc angulus Fig. 2 FEM idem semper manebit, ejusque mensura arcus aequalis cum arcu FPM. Eodem modo evidens est, lineam EI perpetuo manere eandem , dum motus hic peragitur. Unde sequitur. ♦ ... 452. THEOREMA IV. In eodem t vel aqualibus circulis chorda aquales . subtendunt arcus aquales ; chorda ve r o inaquales subtendunt etiam arcus inaqua - les. Item chorda aquales in eodem vel aqualibus circulis a centro aqualiter di - stant; chorda inaquales inaqualiter. Chorda enim aequalis in peripheria circuli circumlata semper congruit cum chordis aequalibus, irnmo nec potest cum inaequalibus congruere. 453. Theorema V. In eodem, vel aqualibus circulis fi arcus sunt majores, a majoribus; fi minores , a minoribus chordis subtenduntur , 6 ? chorda minores magis, majores minus distant a centro . Et vicistim chorda , qua magis distant a centro, minores sunt ; qua minus, majores item fi chorda sunt majores,.etiam arcus subtensi, sunt majores , 6 ? ex opposito. 454 Theorema VI. Si refla EP (Fig. 2) per ctntrum E dufla bi - secat chordam FM, etiam arcum FPM, quem chorda subtendit , bisecat t b an- gulum FEM, quem is arcus metitur. •120 Pars II. Elementa Geometri^. Demonstratio. Etenim ha?c recta est ad chordam perpendicularis ( 449 ) & omnia ejus puncta aequaliter distant ab extremis chordae F, & M; igitur etiam punctum P aequaliter distat ab F & M. Et hinc si ducantur PM, PF, erunt eae chordae aequales, & consequenter (452 ) arcus PRM --- PNF, angulusque FEM sectus est in partes aequales radio EP. 455. Theorema VTI. Chorda FM diametro AB parallela abscindit utrinque arcus aquales AF, BM. Demonst. Si ex centro E erigatur ad AB perpendicularis EP, eadem erit perpendicularis ad chordam FM ( 4 ZA ), consequenter (448) secabit chordam bifariam, eritque arcus ANP = PRB, FNP ss MRP ; & hinc (17) ablatis aequalibus FNP, MRP ab aequalibus ANP, BRP, remanebunt arcus aequales AF, BM. Fig.7.8 456. Coroll. I. Dua parallela CD, GH (Fig. 7 & 8 jin peripherici circuli intercipiunt arcus aquales FI, KM. Ducta enim per centrum E diametro AB ad GH, CD parallela, habetur AF = BM, & Al = BK: igitur (Fig. 7) AI — AF = KB — BM, vel Fl = KM; & (Fig. 8) AI -F AF = KB -f- BM, seu Fl — KM. 457. Coroll. II. Si supponatur recta GH (Fig. 7) ita recedere a centro, ut sibi ipsi, vel rectae CD, semper maneat parallela, donec acquirat situm gh, in quo circumferentiam circuli solummodo tangat in P, neque intra circulum sit amplius, nisi parte infinite parva, evidens est, adhuc fore PM — PF. Quo enim recta GH longius a centro recedit, eo puncta I, K (in quibus secat peripheriam,) propius ad se accedunt, & tandem coincidunt cum P, in quo tum ea recta peripheriam circuli tangis. 458. Recta quas ita occurrit circulo, ut quomodocunque producta eum nufpiam secet, nec intra peripheriam ingrediatur, dicitur tangens y & punctum, in quo circulum tangit, dicitur punflum contaflus. 459. Theorema VIII. Radius EP ad punflum contaflus P duflus 9 eß tangenti gh perpendicularis. Demonst. Quoniam recta gh ita transit per punctum P, ut circulum nullibi secet, radius EP metitur minimam distantiam hujus lineae g> centro E; igitur (437) est ad eandem perpendicularis. 460. Coroll. Refla, qute circulum tangit, eum tangit in unico punflo. Nam ex centro E non nisi unica perpendicularis (439) ad gh demitti potest. 461. Theorema IX. E converso refla gh ad extremitatem P radio EP perpendicularis , tangit circulum in hoc unico punflo P. Demonstratio. Cum E P ponatur ad gh perpendicularis, hic radius metitur minimam distantiam centri E a recta gh ; igitur omnia reliqua puncta hujus rectae majorem habent distantiam a centro, quam P; con- Sect. I. Proprietates Lineakum Rectarum. 121 «oiisequenter sunt extra circulum. & solum punctum P est in ejus circumstantia. 462. Conoi L. I. Expedite itaque duci post tangens circuli in dat • purEo P, si nempe ducatur ex centro per datum punctum P recta EPN, & ad hanc perpendicularis in P, nempe gh. 463. Coroll. II. Et hinc unica tantum potest duci tangens ad idem punEtum circumferentia (422), seu, quod idem est, fi per punctum contaftus ducatur alia reEla , ea vel congruet cum tangente , vel secabit circulum. Itaque nulla alia recta inter circumferentiam, & tangentem transire potest. 464. Scholium. Solebant veteres Geometrae tanquam paradoxum de- * monstrare, quod quamvis nulla linea recta inter tangentem & circuli peripheriam transire postit, quin eam secet, nihilo minus tamen, infiniti possent adseribi circuli CFig. 31.) quos omnes tangerent eadem recta in E, quin vel hanc vel alter alterius p;» , £ circumferentiam secarent. Etenim punctum contactus E spectari potest tanquam extremum infinitorum radiorum CE»FE,BE,DE &c., qui omnes sunt perpendiculares adAE. Verum hoc quomodo intelligendum fit, en paucis. Cum circulus fit ( 542) polygonum infinitorum laterum infinite parvorum, omnes circuli sunt polygona similia, & ejusdejp speciei, quorum illud majus est, cujus latera infinite parva majora sunt lateribus infinite parvis alterius,- quemadmodum e duobus hexagonis regularibus illud majus est, cujus latera majota sunt lateribus alterius, & ex opposito. Est autem tangens circuli, immo curvae cujuscun- que, nihil aliud, quam productio finita lateris infinite parvi curvae: ex quo porro sequitur,fi latus ejusmodi infinite parvum curvae spectetur ut punctum, (391); ‘proprietatem, communem omnibus curvarum quarumlibet tangentibus ejfe, ut curvam non niß in pvnclo tangant. His politis,dum per punctum E describuntur quotcunque circuli, latus infinite parvum E fit iis omnibus commune, seu omnium horum circulorum latera infinite parva cum Ecoincidunt, quemadmodum in Fig. 32, si latus KEL hexagoni utrinque producatur, fieri potest latus commune plurium hexagonorum majo- pirum regularium: sic quoque in Fig. 31. punctum E commune omnibus circulis, est £ ' ' latus infinite parvum, quod eo semper fit majus, quo majore radio per illud circulus describitur; interim tamen in se manet punctum, cum semper maneat infinite parvum, quamdiu radius circuli non fit infinite magnus. 465. Theorema X. AngulusBAD (Fig. y.)ad punitum cordatius ^ A inter tangentem BA, 6? chordam AY) comprehenjus , habet menstiram dimi - * dium arcum AFD, quem chorda AD subtendit. Demonstratio. Ductis enim per centrum C diametro EG ad AD parallela, & diametro Fst ad eandem chordam AD perpendiculari, nec non radio CA ad punctum contactus, prtet, angulos (459) BAC, & FCG esse rectos, quorum consequenter communis mensura est arcu« FG. Pariter manifestum est, angulo BAD ad rectum deesse angulum DAC, vel huic aequalem ACG (433); est autem mensura anguli ACG arcus AG; quare mensurae anguli BAD, quo minus sit arcus FG, de- est arcus idem AG: est igitur anguli BAD arcus AF, dimidius arcus AI D (454), mensura. Ea Caille EeEl. Elem , q 12 * Pars II, Elementa Geometri^. Eadem omnino demonstratione, modo pro B & F substituantur literae b &/, ostenditur, mensuram anguli & AD esse f A/D. Fio-, is. 466. Theorema XI. Angulus CAD (Fig. 10.) ai peripheriamcirculi habet mensuram dimidium arcus CD, quem ejus crura AC, AD intercipiunt. Demonstratio. Ducatur per verticem anguli A tangens EB (462) erit summa trium angulorum BAC + CAD + DAE = igo' (462) — i AC 4- f CD 4 - § DA: est vero mensura anguli B AC = $ AC, & mensura auguliEAD— \ AD; igitur anguli CAD mensura esse debet dimidius arcus residuus CD. 467. Corollarium I. Angulus DEC ad centrum circuli est duplus anguli DAC ad circumferentiam , b eidem arcui infistentis. 468- Corollarium II. Si angulus ad peripheriam est reftus, ejus basis est circuli diameter , C? latera angulum rechtm comprehendentia subtendunt Jimul circumferentiam. Si angulus est acutus , chorda, cui infistit, subtendit arcum minorem semicirculo , ipse vero exijlit in segmento semicirculo majore . Et angulus obtusus itidem insistit chorda minori , quam fit diameter , 6? exijlit in segmento semicirculo minore. « 469. Corollarium III. Omnes anguli FXM, FPM, FRM Fig. tz. &c. (Fig. 8 ) Pii sunt in eodem segmento , &f quorum latera terminantur ad eadem circumserenti) ducantur recta DA, AD ad extrema tateris cujusvis AB, erit angulus ADB re- ciis his comprehensus major angulo BCA lateri AB opposito. Demonstratio. Nam fi triangulum ABC inscribatur circulo, manifestum est, mensuram anguli ACB esse dimidium arcum a chorda BA slibtensum (466), cum angulus BDA habeat mensuram, prater eundem dimidium arcum , etiam dimidium illius, qui a lateribus B D, AD productis intercipitur ( 470 ). 494. Theorema V. In quovis triangulo summa duorum quorumvis laterum major est latere tertio. Demonstratio. Recta AB (Fig. 16.) est via brevi.sima ex Fig. is, A in B (39a ); itaque via ex A per C in B est via longior ; atqui Q 3 126 Paks II. Elementa Geometrie. via ex A per C in B continet accurate duo latera AC, Cß ; ergo summa laterum AC, CB major est latere tertio AB. 496. Theorema VI. In mni triangulo latus majus opponitur angulo majori , latus minus angulo minori; & vicissim : angulus cui opponitur latus majus, major efl ; 6? cui opponitur latus minus, efl minor. Quod si enim triangulo circumscribatur circulus» mensura anguli majoris erit arcus major, & (45d) arcu $ major subtendetur ä chorda majore; & e converso. 496. Coroll. Si supponatur angulus quivis in triangulo successive augeri, manente longitudine laterum angulum illum comprehendentium eadem; etiam latus angulo crescenti oppositum crescet y & ex opposito, decrescente angulo , .latus oppsi wn decrescet. 497. Theorema VII. Perpendicularis ex angulo trianguli ad hajln demiffa cadit intra triangulum , fi uterque angulus ad bafin fit acutus ; at fi unus fit obtusus , perpendicularis cadit extra triangulum in bafin produci am. jig. '2. Demonstratio. Si in triangulo GEK (Fig. 2.) anguli KGE, EKG sint acuti, dico perpendicularem EI cadere intra K & G. Quod st enim caderet extra , v. g. si poneretur EL perpendicularis, triangulum EKL foret rectangulum ad L, & angulus EKL foret obtusus ( complementum enim anguli acuti ad duos rectos esi obtusus), quod fieri nequit (489). Itaque perpendiculum ex angulo GEK demiilum non poteil nisi intra G & K cadere. Dico 3*, si in triangulo FEH sit angulus obtusus ad H, perpendicularem ex angulo acuto FEH in latus oppositum FH ductam cadere versus I in hoc latus productum. Ponatur enim ea perpendicularis eile EG; erit in triangulo EGH angulus IIGE rectus, & EHG obtusus, quod absurdum est» Unde perpendicularis non potest nisi versus angulum obtuso deinceps politum ad I cadere. 49g. Theorema VIII. In triangulo aquilatero omnes anguli furit inter se aopiales, ff singuli 6o°. Et vicissim fi tres anguli fint inter je aquales , & singuli 60% triangulum est aquilaterum. Nam si triangulum aequi- laterum concipiatur inscriptum circulo, tria latera aequalia sunt tres chordae aequales, quae arcus itidem aequales subtendunt, quorum dimidii scilicet metiuntur tres angulos aequales, & singuli sunt pars tertia 180 graduum &c. 499. Theorem a IX. In triangulo isosceli anguli aqualibus lateribus oppositi sunt aquales , & vicissim, fi in triangulo duo anguli sunt inter se aquales , triangulum est isosceles- . Etenim in hoc triangulum intelligatur circulo inscriptum, latera aequales angulos comprehendentia abscindent «reus aequales; & e converso arcus aequales subtendentur a chordis aequa- »ibus (45®}* Sect. 1 . »E Comparatione Triangulorum 127 50a CorolL. Si in triangulo isoscelli ex angulo E (Fig. 2.) aequalibus lateribus EO, EL comprehenso demittatur ad latus oppositum GL perpendicularis EI, ea secabit hoc latus in partes aequales 01 , IL; quoniam scilicet laterum GE, LE eadem est inclinatio (436). 501. Theorema X. Quodvis triangulum circulo circumscribi potest: se« fidem significat) cuivis triangulo potest circulus inscribi. Demonstratio. Bisecentur quivis duo anguli trianguli, velut B & A trianguli ABC (Fig- IL); rectae eos angulos di secantes BD, AD. sibi alicubi oc- Eig- II* current in D. Dico jam, perpendicula ex hoc puncto in tria latera demissa DG* DF, DE esse aequalia inter se, consequenter este radios ejusdem circuli tria latera trianguli in punctis G, F, E tangentis (451). Nam triangula rectangula GBD, BDE sunt aequalia, ob angulos ad B aequales, & latus BDpommune;igitur GD = DE. Ex eadem ratione aequalia stint triangula rectangula DEA, DF A, L DE -»-DF; consequepter GD = DE = DF. ^ 502. Corolc. Tres recta:, qua tres angulos in triangulo dividunt bifariam, ßse in eodem puncto intra triangulum secant. Manifestum enim est, quod si angulus C dividatur per rectam in duas partes aequales, ea recta transeat per punctum D. De Comparatione Triangulorum. 503. Duplici ratione Geometrae triangula, omnesque figuras reliquas , inter se comparant; primo quidem , dum situm laterum & magnitudinem angulorum figurarum conferunt; secundo dum ipsa figurarum spatia comparant. Verum altera haec comparationis ratio pertinet ad ea, quae de superficiebus dicenda sunt. Unde prima solummodo hic nobis exponenda est. Triangula aqualia inter se dicuntur illa, quorum omnes anguli & latera aequalia sunt, singula singulis. 504. Triangula pmilia sive aqutangula sunt, quorum anguli, singuli singulis, sunt aequales. Sic triangula ABC, DEF (Fig. 16.) simi-Fig. H. lia sunt, quoniam angulus A = E, angulus B = D, & angulus C = F. 505. Dum figurarum fit comparatio, partes homologa dicuntur magnitudines ejusdem denominationis. Ut in duobus triangulis similibus latus maximum unius est homologum lateri maximo alterius, medium medio &c. , 506. Theorema I. Triangula , quorum omnia latera homologa a- qualia sunt , sunt aqualia inter Je. Demonstratio. Dico esse triangulum ABC (Fig. 13.) aequa- Fig. 13. le triangulo abc, si AB = ab, AC =: df, BC = k. Describantur ex punctis A & B tanquam centris arcus FCG, DCE se intersecantes in vertice C, intelligatur dein triangulum abe impositum triangulo ABC, ut ob AB --- ab, punctum a cadat in A, & b in B: 128 Pars II. Elementa Geometrie., quia ac = AC, latus ac terminabitur alicubi in arcu FCGj ob eandem causam latus bc = BC, alicubi occurret arcui DCE: & quoniam latera 0 .C, bc junguntur ad idem punctum c, utrumque necesse est, ut occurrat sectioni arcuum communi in C. Hinc aC congruet cum AC : & bc cum BC, consequenter totum triangulum abc toti ABC,, eruntque triangula inter se aequalia. 507. Theorema II. Triangula , qua habent omnes angulos aquales t singulos singulis, 6? unum latus homologum aquale, sunt aqualia. Demonstratio. Si angulus A =sa, B =sb, C=c(Fig. 13.), & AB = ab , dico totum triangulum ABC esse aquale triangulo abc . Ponatur latus ab supra latus AB, ut punctum a cadat in A, & b in B; evidens est, ob angulum A = A, & b=sB, etiam latus a c debere cadere in AC, & bc in BC, ideoque latera ac, bc debere concurrere in eodem puncto , in quo concurrunt latera AC, BC, hoc est, punctum c cadere in punctum C, & triangulum abc exacte congruere triangulo ABC. sog. Theorema III. 6? in triangulis duo latera sint aqualia duobus homologis , b anguli his lateribus comprehenfi aquales, tota triangula simt aqualia. Demonstratio. Si latus AC= ac, &AB=s ab, angulusque A = &i dico, triangulum ABC aequari triangulo abc. Imponatur ab lateri AB, & ac lateri AC; congruent haec latera, ob angulum A — A. Et quia AC = slc, & AB — ab, etiam punctum c cadet in C, & punctum b in B; igitur bc, distantia punctorum b & c, erit aequalis, & congruet distantiae BC punctorum B & C. Quare totum triangulum abc exacte congruet triangulo ABC. 509. Theorema IV. Si sint duo triangula similia Ö* inaqmlia , 6f unius angulus ponatur supra angulum aqualem alterius, lateraque primi eum angulum comprehendentia supra latera homologa alterius, erit latus tertium primi parallelum lateri tertio fecundi . Demonstratio. Si angulus D (Fig. 16.) imponatur angulo i6. aequali B, & latus DF sibi homologo BC, & latus DE lateri alteri ho- / mologo T3A, erit FE, seu fe parallelum ad AC. Cum enim triangula similia sint, erit angulus fe B = CAB, igitur se (434) est parallela ad AC. Quod si angulus F fuisset impositus sibi aequali C, latus DE fuisset parallelum lateri AB ; uti etiam FD lateri BC, si angulus E fuit fet positus supra «qualem A. 510. Theorema V. E converso si ex quovis punclo f ad arbitrium afsumto in latere trianguli, ducatur refta fe parallela baß AC, triangula Bse, BCA sunt similia , cum nempe anguli Bse , BCA,. & Bes, BAC «quales sint (4Z3). De: Sect. I. Proerietatbs Generales Polygonorum. 129 De Polygonis aliis. 511. Tria sunt polygonorum genera, irregularium, Jymmetrico• rum, & regularium. Polygona irregularia sunt, quorum latera & anguli non sunt aequales, (Fig. 20, 22, 23). Fig. eo. AIS. Polygona symmetrica dicuntur, quae lateribus & »quali- **• 2 3 - faus, & parallelis constant (vide Fig. 17, ig, 19, 21,- 24, 25, 27). Fig. 17. Hinc necejfe eß, ut numerus laterum fit par. &c * 513. Polygona regularia sunt, quorum omnes anguli, & omnia latera sunt inter se aequalia, & similiter posita (vide Fig. 26, 27, 28)- 2 reliqua per se patent. 538. Problema. II. Polygono regulari dato circulum inscribere. Resolutio. E centro per n. Zzr^nvento demittatur ad unum latus perpendicularis; erit ea radius circuli inscribendi (535). 539. Problema. III. Circulo dato polygonum regulare quodvis inscribere. Resolutio Generalis. Dividantur 360° per numerum laterum polygoni inscribendi : in circumferentia circuli accipiatur arcus,cujus numerus graduum aequalis sit quotienti reperto; erit ejus chorda latus polygoni (332); hoc itaque applicetur, quoties fieri potest, circumferentias; habebitur polygonum inscriptum, ut petebatur. Exemplum. Sit inscribendum pentagonum: erit = 72“ Accipiatur itaque ope semicirculi in suos gradus divisi, vel similis instrumenti probe elaborati, arcus 72 0 in circulo dato, ejus chorda in reliquam circumferentiam transferatur. 540. ObsERV. Htec resolutio non semper est Geometrica; attamen in praxi adhiberi plerumque solet. Per Geometriam elementarem circulo inscribi solummodo possunt triangulum aquilaterum, quadratum, pentagonum, pentedecagonum, & omnia ea, quorum numerus laterum crescit in progressione Geometrica rationis duplae, cujus progressionis termini primi sunt numeri laterum polygonorum istorum, qux nominavimus. Sic ratione trianguli aequilateri inscribi possunt polygona regularia s, i2, 24, 48 &c. laterum; ratione pentagoni etiam polygona 10,20,40,80, J34 Pars II. Elementa Geometri.®. 80, &c. laterum,- ratione pentedecagoni illa, quae habent 30,60,120, 240. &c> latera. Reliqua,ut heptagonum, enneagonum, hcndecagonum &c, inscribi nequeunt Geometrice, nisi per resolutionem aequatäohum'singijlis propriarum), verum quae ad gradus altiores ascendunt. $41. Problema IV. Circulo dato polygonum quodvis regulare circumscribere. Resolutio Generalis. Dividantur 360° per duplum nume- 28. rum laterum polygoni circumscribendi; accipiatur arcus FG (Fig sg.), qui tot sit graduum, quot in quotiente sunt inventi, ducanturque per ejus extrema F, G radius CF, & recta indefinita CB: ex F, extremo radii, excitetur perpendicularis AFB occurrens rectae CB in B: transferatur FB in FA, erit AB latus polygoni quaesiti. Reliqua latera vel eadem methodo inveniri poliunt; vel vero poterit radio CB describi circulus BAHED, & in ejus peripheriatn chorda AB transferri: habebitur polygonum BAHED huic circulo inscriptum, fimulque circulo dato circumscriptum. Demonstratio. Facile enim apparet, hae constructione siert tot tangentes aequales, •& in punctis contactus bifariam divisas, quot sunt latera polygoni petiti. proprietates Circuli.. 542. Theorema I. Circulus eß polygonum inßnitorum laterum infinite parvorum. Demonstratio. Nam evidens est,polygonum eo proprius accedere ad circulum inscriptum , vel circumscriptum , quo major est laterum numerus: itaque si reipsa ejus latera eilen t infinita, nihil differet a circulo, atque hic pro polygono citra*ullum errorem substitui posset.Unde supponi potest, circulum nihil aliud esse, quam polygonum infinitorum laterum. At si polygonum circulo inscriptum , vel circumicriptum sit, quo magis augetur numerus laterum, eo magis lasera decrescere est necefTe; igitur si latera infinita sint, singula infinite parva esse debent. 09. 543 - Sit circulus DEB (Fig 29.), cujus diameter-GB producatur usque in A; supponatur recta AB ita moveri circa punctum fixum A , ut alterum ejus extremum utrinque describat arcus BNO, BML, dum ipsa interim AB excurrit per totum spatium circula DBE «on tentum. Hoc posito, manifestum est, quod dum recta AB successive tot radiorum vices agit, quot sint puncta in arcubus BO, BL, omnes hi radii secentur inaequaliter tam a circumferentia cava DY 1 BKZE, quant a parte ejus convexa DSQE, ut hinc deducantur universirn... Sbct. I. Proprietates Circuli *35 544. Theorema II. Si reche quodvis ex eodem extra circuli circumferentiam, punSlo A diiEhz terminentur in ejus parte concava, velut AB, BI, AY, AD, AK, AZ, AE. . . . Primo. Maxima est, quae per centrum transit , ut AB. Secundo. Reliquarum eae Junt minores , quae magis recedunt a tranfiun- ie per centrum; £? quarum ab hac distantia: aquales Junt , eae itidem sunt ecquales. Tertio. Minime junt utrinque tangentes AD, AE. Quarto. Nequeunt ejfe plures inter fe aquales, quambince; quae scilicet utrinque ad aequalem a centro distantiam ducuntur; nam utrinque aequaliter decrescunt. Ex opposito generale est... , 545. Problema 111. Retiarum quotlibet , AD, AS, AH, AG, AF, AQ, AE ex eodem extra peripheriam puuclo ad partem convexam terminatarum . Primo. Minima est , quae produSta transit per centrum. Secundo. Reliquarum ilice majores Junt, quae produchx magis recedunt a tranfiunte per centrum ; if quae ab hac aequaliter dijlant , aquales sunt. Tertio. Maximae Junt , quae utrinque circulum tangunt. Quarto. Non nisi bina pojfuut inter Je aequales ejje. Quamvis haec omnia fatis manife,sta sint, si centro A, radio AG describatur arcus TGP; nihilominus sequente ratione possunt accurate demonstrari. Ducantur ex centro C ad omnia puncta, in quibus hae lineae occurrunt circumferentiae, rectae. Ut demonstretur Theorema II. lineae AB, AI, AY, AD, AK, AZ, AE considerentur singulae tan- quam latus tertium trianguli, quod manentibus reliquis lateribus constantibus, semper debet decrescere, dum angulos ei oppositus decrescit (4p6) sic ABC spectari potest tanquam triangulum , cujus latera sint AC, CB, & AB, angulus vero ACB infinite obtusus, & anguli GAB, CBA infinite parvi : hinc AB erit maxima, quae extrema puncta laterum constantium CA , CB jungere possit. At vero in triangulo ACI, cujus latera constantia AC, CI aequalia sunt lateribus prioris trianguli AC, CB, angulus ACI, illis lateribus comprehensus, minor est angulo ACB; igitur etiam latus oppositum AI minus esse debet, quam AB, &c. Quod si denique sit BI ---- BK , hoc est, si rectae Ai, AK inaequalibus distantiis ab illa, quae per centrum transit, peripheriae occurrant, erunt AI, AK inter se aequales, ob triangula ACI, ACK, aequalia. Idem est de reliquis. Eodem modo, ut demonstretur, Theorema III. consideran dae sunt rectae AH, AC, AS, AD, AF, AQ, AE, quae singula» sunt latera opposita angulo constantibus lateribus comprehenso, & qua? Pars II. Elementa Geometriae. rz6 consequenter crescente eo angulo etiam ipsae crescere debent ^4.96). Nani ACG spectari potest ut triangulum , cujus angulus ACG fit infinite parvus, latera AC, CG constantia: hinc AG erit minima, quae extrema laterum constantium A & G jungere possit. Sed in triangulo ACH, angulus ACH jam est major, qui nempe lateribus aequalibus AC, CH comprehenditur , idcoque latus ei oppositum AH majus esse debet, quam AG. Quod si angulus ACF = ACH, hoc est, si rectae AH, AF aequaliter utrinque distent ab AG , quae producta transit per centrum; ut superius, ostenditur, esse AF — AH. Fig. 30. 546. Si recta indefinita ACB (Fig. 30.) moveatur circa punctum quodpiam intra peripheriam circuli GOBLG, sed extra centrum C, as- sunitum , velut A, semper secabitur inaequaliter a circumferentia circuli, eritque,. .. Theorema IV. Reflarum quotvis e punflo intra circuli circumferentiam 6f extra centrumsumto duplarum usque ad circumferentiam .... Primo. Maxima qua per centrum transit , velut AB. Secundo. Reliquarum eat sunt minores , quae longius diflant a tranfeun- te per centrum y £? qua ab ea diflant aqualiter , Jimt aquales inter fe y quarum dua tantum ejje possunt. Tertio. Brev'Jjima est, qua per centrum transeunti , jacet ai alteram partem in direflum , ut AG. Quarto. Si dua inter se aquales producantur etiam ultra punchim usque ad circumferentiam, conjiituunt chordas aquales / nempe ob aequalem earum a centro distantiam, etiam partes productae Aquantur. Haec omnia per se manifesta sunt, si radio AG describatur circulus GPT,licebit tamen eadem demonstrare ratiocinio prorsus simili illi, quo prius usi fumus, ductis nempe radiis CN, CX, CO, CQ &c , & rectis ex A usque ad peripheriam circuli GOBLG pertingentibus consideratis tanquam lateribus oppositis angulo intra latera constantia totidem triangulorum comprehenso, nempe intra AC, & radium. Ut enim propius, vel remotius ab ea, quae per centrum transit, peripheriae occurrunt, ita majori vel minori opponuntur angulo, ideoque & ipsae majores, vel minores sunt; & quae aequaliter utrinque discedunt, aequales sint oportet, cum angulis aequalibus opponantur. Z47. Corollarium. Punflum, ex quo tres refla aquales ai circumferentiam circuli duci possunt, centrum eft. 548. Theorema V. Duo circuli, five aquales, five inaquales ,non rdsi in duobus punflis fe possunt secare. Demonstratio. Nam si se possent in tribus punctis secare, ductis ex centro unius circuli ad ei tria interfectionum puncta rectis hae Sect. I. Proprietates Circuli. -37 hae forent radii illius circuli, adeoque inter se aequales. Unde daretur aliquod punctum extra centrum alterius circuli, ex quo possent tres rectae aequales ad circumferentiam duci, quod absurdum est (544). 549. Coroll. I. Si duo circuli habeant tria punbla communia, etiam commune centrum habent , congruunt. 550. Coroll. II. Circulorum , quibus unum , vel duo tantum communia sunt punEla , nequit idem ejse centrum , sive circuli sunt eccentricj. 551. Theorem a, VI. Chorda se extra centrum secantes , non pojjunt se mutuo Jecare bifariam. Demonstratio. Nam si hoc ponatur, erit recta ex centro ad communem earum intersectionem ducta utrique perpendicularis, c,m utramque secet bifariam (449); atqui hoc manifeste absurdum est, cum anguius, quem facit recta ex centro ducta cum dimidia chorda altera, sit pars anguli, quem facit eadem ex centro ducta cum altera dimidia chorda. 552. Coroll. Si igitur duae chordae se mutuo secent bifariam, earum intersectio est centrum., & ipsae sunt circuli diametri. 553. Theorema VII. Lr duo circuli se tangant, recia per eorum centra dubia tranßt per punblam contablus. Demonstratio. Tangant primo se circuli externe (Fig. 29. ).Fig. 29. Via ex centro A ad centrum C brevissima est per punctum contactus G; nam haec solummodo aequatur summae radiorum AG + GC; & cuivis alteri addendum praeterea est spatium inter utriusque circuli circumferentiam interceptum. Tangant ado se interne ( Fig. 30. ). Cum punctum G fit utrique circulo commune, via brevissima ex A (centro circuli minoris ) ad punctum G est recta minima, quae ex hoc puncto A ad circuli GOBLG majoris circumferentiam potest duci; est autem (546) minima illa, quae jacet in directum cum trauseunte per centrum C; igitur recta e puncto A (centro circuli minoris) ad punctum G contactus ducta transit simul per centrum C circuli majoris GOB LG. 554, Problema. Ex dato extra circulum punclo A ( Fig. 33. ) Fig. 33. ducere tangentem. Resolutio. Ducatur ex puncto A ad centrum circuli dati C recta AC , super qua tanquam diametro ex medio ejus puncto G describatur semicirculus AEC, & per punctum E, in quo is secat circulum datum, ducatur recta AEL: erit bvc tangens quaesita. Demonstratio. Quod si enim ducatur radius CE, erit angulus AEC rectus (468), & Hinc AE ad radii GE extremum E perpendicularis, & consequenter circuli tangens (462). Observa. Facile apparet, hujus problematis esse duplicem solutionem: poterat enim semicirculus AEC describi ex altera parte versus H, illucque etiam tangens duci. La Cailie Lebl. Elem. S 138 Pars II. Elementa Geometrie. De Lineis Proportionalibus. 555, HypothesIS. Si duae rectae AB, AC ( Fig. 34.) ad quemvis angulum junctae secentur per quotcunque parallelas inter se, & aequidistantes DH, EI, FK, GL&c,...... Primo. Sunt omnes partes AH, HI, IK, KL &c. linea AC inter fe aquales; uti IS om)ies partes AD, DE, EF, &c. lima AB inter se -e- quantur. Nam si ex quovis puncto, in quo parallelae secant rectas AB, AC, demittantur perpendiculares AV, Divi, EM, item AV, HQ» IR &c, facile ost nditur, triangula rectangula ADV, DEM, ENF &c. inter se se aequalia esse (507), cum ob aequales parallelarum distan« tias, perpendiculares illae omnes aequales sint, & anguli ad interfectionem puncta cum linea AB pariter aequentur , nemo e ADV, DEM, EFN &c. Ex eadem causa triangula rectangula AHV, HQI, IRR Hc. sunt aequalia : igitur etiam eorum hypoteuuse AD, DE, EF&c, nec non AH, HI, IK &c. sunt aequales inter se. Secundo. Quivis numerus partium reHa AC eß ai numerum partium refta AB interceptarum inter easdem parallelas, ut eß alius quilibet numerus partium retia AC ad numerum partium re^la AB rursus inter easdem parallelas interceptarum. Etenim cum sit AD = DE = EF &c ; & AH = HI== IK, &c, evidens est, esse AD : DE : : AH : HI, ufpote cum quotiens rationis sit l. Est igitur (304) AD : AH : : DE : : HI. Similiter est DE : EF : : HI : IK, seu jetiam DE : HI :: EF: IK; consequenter AD : AH : : DE : HI : : EF : IK; & eodem modo patet esse FG : KL : : GB : LC. Hinc autem infertur (310), quod etiam sit AB (summa omnium antecedentium) ad AC ( summam omnium consequentium ), ut est AD ad AH, sive ut alia pars quaevis rectae AB ad partem correspondentem rectae AC, seu (297) ut q 10 t- cunque partes rectae AB ad totidem partes rectae AC. Atqui numerus partium idem in rectis AB, AC abscinditur per binas quasvis parallelas; ergo est quivis numerus partium rectae AB ad numerum partium rectae AC, quae inter easdem parallelas intercipiuntur, ut alter quilibet numerus partium rectae AB ad numerum partium rectae AC itidem inter' easdem parallelas interceptarum. 556. Theouema I. Fundamentale. In triangulis similibus latera homologa sunt proportionalia. Demonstratur. Quoniam triangulo simili imposito alteri, latus tertium sit tertio parallelum (509); si supponamus per totum spatium 16. ABC (Fig. 16.) duci rectas ad AC parallelas, & infinite propinquas, erit se una ex his parallelis, & lateribus AB, CB idem accidet, quod in Fig. 34 rectis AB, AC. Habebitur itaque BA : BC : : Be : Bs, Sect. I. de Lineis Proportionalibus. 139 seu substitutis pro Be & B/squalibus DE» DF, erit AB : BC :: DE : DF. Si angulus E suisset impositus homologo A,latus FD fuisset parallelum lateri BC; & hinc AB:ED:: AC:EF. Et li denique positus fuisset angulus F supra aequalem C, fuisset AC : EF :: BC:FD. 537. Scholium. Illud quoque manifestum est (333 ) , partes Ar, C f eile proportionales lateribus BA, BC. Unde ess etiam Ae:Cf: : BA : CB :: DE : DF. 338- Theorema II. Si in duobus triangulis ßnt tria latera tribus homologis proportionalia, anguli lateribus proportionalibus oppoßti aquales sunt Ö“ triangula Jimilia. Demonstratio. Si (Fig. 16.) sit AC : BC : : FE : FD ; & AC: AB : :FE : ED, dico triangulorum ABC, DEF angulos singulos singulis aequales esse. Nam constructo super EF triangulo FEG , in quo sit GEF bs BAC, & GFE = BCA, est (556) AC : BC :: FE : FG; sed ponebatur AC : BC : : FE : FD; igitur est FE : FG : : FE ;ED, consequenter (30 6) FD =rFG. Eodem modo ob triangula ABC, FEG similia, est (336) AC: AB : : FE:EG; & per hypothesin AC:AB:: EF : ED; ergo FE:EG::FE:ED, hoc est (306) EG —ED; & hinc in triangulis FED, FEG anguli lunt aequales, ipsaque triangula tota aequalia (306) ob latus EF commune : quoniam igitur anguli trianguli FEG ex constructione aequales sunt angulis trianguli ABC, etiam aequales erunt anguli trianguli DEF. 559. Theorema 111. »SI in triangulis duo latera aqualem angulum tcmprehe ndehtiaßnt porportionalia , etiam reliqui duo anguli sunt aquales. Demonstratio. Sit in triangulis ABC, DEF, angulus B = D, & DE : DF : •' BA:BC, dico, reliquos angulos E & F aequari reliquis A & C. In latere AB accipiatur B e = DE, & ducatur ex e parallela ef ad AC: erunt in triangulis ABC, eBf omnes anguli aequales, cum ob parallelam ef sit /eB ---- A, e sii = C ; & angulus B communis; est igitur (33b) B e : B f : : BA : BC; sed est etiam per hy- pothesin DE : DF : : AB : BC ; consequenter B e : B f :: DE : DF, atqui B e = DE ex constructione; ergo (306) B f = DF; habent itaque ( 5 08) triangula Bf/', DEF aequalia omnes angulos aequales; & quoniam anguli trianguli ABC aequales suntr angulis trianguli Bef t aequabuntur etiam angulis trianguli DET. 500. Theorema IV. ReEla AD (Fig. 37.), qua angulum BAC Fig. 37. trianguli secat bifariam , secat etium baßn oppositam mpurtes ED, DC la- itrtbus adjacentibus BA, AC proportionales, hoc est, erit BD : DC ; ; AB : AC. 14 ° Pars lf. Elementa Geometria. Demonstratio. Producatur latus AC indefinite, & ducatur ex B recta BE parallela ad AD : erunt triangula BCE, DAC similia (510); consequenter (557) DB : DC :: AE: AC. Sed ob parallelas, angulus AEB ----- DAC ----- DAB --- ABE; igitur (499) triangu- . Ium BAE est isosceles, & AE =: AB; & hinc substituto AB pro AE, erit BD: DC:: AB: AC. j?ig, 561. Theorema V. Si ex angulo reBo E trianguli reBangnli CEL (Fig. 35.) demittatur in hypotenusam CL perpendicularis £ 0 ; Primo , ea dividet triangulum in duo triangula COE, OEL tum inter se , tum toti CEL similia: Serando , perpendicularis EO erit media proportionalis inter segmenta Hypotenuse CO, OL. Tertio , quodvis latus trianguli CEL angulum reBum comprehendens erit medium proportionale inter hypotenusam, (f ejus se • gmentum adjacens illi lateri. Demonstratio. Illud imprimis evidens est, quod utrumvis triangulum COE, OEL simile sit toti CEL , cum praeter rectum detur in utrovis angulus communis triangulo CEL: sunt igitur similia inter se; & hinc. In triangulo CEO est latus minimum CO ad medium EO, ut In triangulo EOL latus minimum EO ad medium LO, sive — CO . EO . LO. In triangulo CEO est latus minimum CO ad suam hypotenusam CE, ut in triangulo CEL latus minimum CE ad suam hypotenusam CL, seu ~ CO. CE. CL. In triangulo EOL est latus medium OL ad suam hypotenusam LE, ut in triangulo CEL latus medium EL ad suam hypotenusam CL, vel ~ OL . LE. CL. 562. Coroll. I. Summa quadratorum laterum angulum reBum comprehendentium in triangulo reblangulo eji aqualis quadrato hypotemfa. Cum enim sit ~ CO . CE . CL, habetur (316) CE 2 ---- CO X CL. Eodem modo quia —- OL . LE . LC, est LE 2 — OLxCL: consequenter CE* 4- LE 2 = CO x CL + OL x CL = ( CO + OL) x CL = CLxCL — CL 5 .. 563. Coroll. II. Quia CE 2 +LE 2 ----- CL 5 , est quoque (217) CE 5 = CL 2 — LE 2 ; & LE 2 --- CL 2 — CE 2 : hoc est, quadratum lateris unius angulum reBum comprehendentis in triangulo reBangulo efi aquale excesui quadrati hypotenusa supra quadratum lateris alterius . 564. Cor oli.. III. Diagonalis quadrati eß incommensurabilis cum latere ejusdem. Cum enim haec diagonalis sit hypotenusa trianguli rectanguli, cujus duo latera inter se aequantur, ejus quadratum sequatur summae quadratorum laterum, hoc est duplo quadrato lateris unius, Jam vero (183) radix quadrata numeri, qui sit alterius duplum quadratum, in numeris exprimi nequit - igitur si quadratum lateris exprimatur in numeris, in iis quadratum hypotenusae exprimi no» potest, & viciiSm. Sect. I. vE Lineis Proportionalibus. 141 565. Theorema VI. Perpendicularis EO (Fig. 41.) ex quovis Fig. *1, circumferentia puntlo ad diametrum circuli CL dutla , est media proportionalis inter segmenta diametri CO, QL, seu ( quod idem est) ejus quadratum est aquale satio CO x OL. Demonstratio. Ducantur enim ex eodem puncto E ad extre. ma diametri rectae EC, EL , fiet (468) triangulum CEL rectangulum ad E; quare (561) 4 r CO.OE.OL, sive (316) EO* = COxOL. 5 66. Theorema VII. Si daß chorda BA, DC ('Fig. Z8-) fi in circulo Fig. zg> interficent, earum figmenta sunt reciproce proportionalia. Demonstratio. Ducantur DA, BC, erunt triangula BEC, DEA similia, ob angulos ad E, ad verticem oppositos, aequales, & praeterea angulum C = A, utpote eidem arcui DB insistenti, nec non B---D insistenti eidem arcui AC; est igitur AE: DE:: EC: EB. 567. Theorema VIII. Siduaretta EB, EC(Fig. 39.) ex Fig. 39. eodem punSlo extra circulum ducantur usque ad ejus peripheriam cavam , partes earum extra circulum a pituSlo illo , b circuli circumferentia intercepte, sunt reciproce totis proportionales; hoc est, EA :ED: : EC:EB. Demonstratio. Ductis chordis AC * DB facile apparet trian* gula EBD, ECA este similia, cum angulus ad E sit utrique communis, anguli B&C vero eidem arcui AD insistant. Igitur est (556)EA: ED : : EC:EB. 568. Theorema IX. Si ex eodem extra circulum punSlo E (Fig. 39.) ducantur dua retice , quarum altera EB circulum ficet , altera Ed eundem tangat , erit tangens media proportionalis inter totam secantem , Sf ejus partem extra circulum , nempe inter EB, £? EA; seu -ff- EB.Ed.EA. Demonstratio. Ducantur d A, dB, erunt triangula Ed B, EdA similia , cum ad E sit utrique communis, & EBd = Ai E, quod nempe utrumque metiatur dimidius arcus Ad (466 & 463); igitur etiam dAE = EdB , & consequenter (Zz6) EB: Ed:: Ed : EA. 569. Theorema X. Si du & (579) omnes dimensiones homologae sunt in figuris similibus tum inter se, tum cum aliis proportionales, consequens est, ut araae omnium triangulorum homologorum duarum figurarum similium sint in ratione quadratorum dimensionum homologarum quarumvis earundem figurarum, adeoque ut sint inter se proportionales. Hoc posito, manifestum est, superficiem primae figurae este ad superficiem secundae, ut est summa arearum triangulorum, ad qu« figura prima reducitur, ad summam arearum triangulorum, ad quae reducitur secunda figura; ac propterea(3to) ut est area unius cujuslibet trianguli figurae pri- i50 Paks II. Elementa Geometrie. inss ad aream trianguli homologi secundae ; aut denique ut est quadratum dimensionis cujusyis figurae primae ad quadratum dimensionis homologae in figura altera. 6og. Coroll. I. Area circulorum sunt inter Je ut quadrata radiorum , vel diametrorum. 609. Coroll. II. Dum itaque servata figurae similitudine area polygoni augenda vel minuenda est, sequens ineunda est proportio : ut area polygoni dati efi ai aream polygoni quaesiti ; ita efl quadratum lateris cujusvis polygoni dati ad quadratum lateris homologi polygoni qiiaeflti. Hac ratione reperientur singula latera. At vero si jam per expositam analogiam latus unum repertum est, quodvis alterum ex sequente invenietur: ut latus polygoni dati efl ai homologum per primam analogiam inventum, ita ejl quoivis aliud latus polygoni dati ad homologum polygoni quaflti. V. g. oporteat construere parallelogrammum A simile dato B, ut area A sit ad aream B ut 3 ad 1, sive tripla. Sit parallelogrammi dati B latus majus 6 pedum, minus 4 pedum. Fiat: ut r est ad Z, ita sunt 36(quadratum lateris 6 pedum) ad 108, quadratum lateris majoris parallelogrammi A, cujus radix proxime est 10, 392 pedum. Dein fiat, ut 6 ad 10) 392, ita sunt 4 ad 6 , 928 pedes, quod erit latus minus parallelogrammi A. Unde lateri majori 10 pedes, 4 digiti, 8 lineae tribuendae sunt, & minori 6 pedes, 11 digiti, i-j lineae, ut parallelogrammi A area sit tripla areae parallelogrammi dati B. 610. Theorema XII. Si trium polygonorum similium dimensiones qiuevis homologte ejusmodi Jint 7 ut sumtte pro lateribus consitv.ant triangulum reSangulum ; area illius polygoni , cujus dimenso es hypoteimfa trianguli , aqualis ejl summte arearum reliquorum duorum ps area utriusvis polygoni , cujus dimensio es latus circa anguium rectum , aquatur differentia arearum polygoni , cujus dimensio es hypotenisa , b alterius , cujus dimensio ejl alterum latus circa angulum rectum. Demonstratio. Nam areae trium ejusmodi polygonorum sunt infer se ut quadrata trium laterum trianguli rectianguli ; est autem quadratum bypotenu- sae (562) aequale summae quadratorum laterum circa angulum rectum: & quadratum lateris unius circa angulum rectum est aequale differentiae quadrati hypote- nusae, & quadrati alterius lateris ; igitur idem est de areis horum polygonorum dicendum. Scholium. Eruitur hinc expedita methodus geometrica construendi polygona, quae sint datorum duorum similium summa, vel differentia. Si petatur polygonum aequale summae, latera homologa datorum quaelibet constituantur ad angulum rectum; hypotenusa extrema eorum jungens erit latus homologum polygoni quaesiti. Si desideretur polygonum aequale differentiae datorum , super latere quovis majoris tamquam diametro describatur semicirculus, & ex altero diametri hujus extremo transferatur in peripheriam latus homologum alterius polygoni minoris; tum punctum peripheriae, in quod cadit, conjungatur cum extremo altero diametri; erit recta haec latus homologum polygoni petiti. Sect. II. Observationes in Quadrat, Circuli. ist Nonnulla Observationes in quadratarum Circuli. 6ir. Quamvis per superiores propositiones nota sit ratio circumferentiae , & areae unius circuli ad circumferentiam vel aream alterius ia eorum radiis vel diametris, non tamen adhuc ratio diametri circuli ai suam circumferentiam exacta determinari potuit, ita, ut data in numeris diametro, exhiberi etiam circumferentia in numeris accuratis queat: unde neque vera magnitudo areae habetur, quae nempe est (602) factam ex semidiametro in semicircumferentiam. Atque hoc intelligi debet, dum dicitur, quadraturam circuli nondum ejfe inventam. ( Usurpatur artem vox quadratura , quod quadratum (Zd6) sit communis mensura su- perficierum). 61 j. Summorum Mathematicorum conatus eo tandem recidit, ut demonstraretur, fieri non posse, ut certis quibusdam methodis quadratura haec reperiatur, attamen facile esse propius semper, propiusque in infinitum accedere ; & sane accuratio, quam obtinuimus jafti , plus- quam sufficiens est applicationi Geometriae, etiam dum exactitudine summa opus est; ut Geometrae peritiores quadraturam absolutam circuli inter ea referant, quorum pretium sit sola pulchritudo & raritas, ideoque operam suam rerum magis utilium inventioni impendant : atque id e» magis, quod admodum certum habeant, quod si ratio vera diametri circuli ad suam circumferentiam numeris exprimi posset, ii numeri adeo forent magni, ut in calculis eorum usus esse non posset, ac proptereain praxi semper recurrendum esset ad eos, quos nunc ignorata illa quadratura adhibemus. Verum qui rerum Mathematicarum non nisi superficiariam cognitionem habent, plerumque magna cum confidentia celebratissimi hujus Problematis solutionem aggrediuntur, licet saepe ne quidem quaestionis naturam fatis perspectam habeant; nec desunt etiam, qui sibi persuadeant, se eam invenisse. 614. Plures repertae sunt methodi absolute quadrandi spatia nonnulla arcubus circulorum, vel arcubus & lineis rectis comprehensa. Exempli causa e veteribus Geometris Graecis Hippocrates Chius ostendit, quod Ji super lateribus b hypotenufa trianguli reclangidi describantur semicirculi ( velut in Fig. 45. N. 1.) rq» bina spatia curvilima AECGA, CFBHC ' Jimul fumta aquentur area; trianguli re 3 .au- J4. guli ACB. Haec spatia curviiinea dicuntur Imulae Hippocratis, Demonstratio. Cum areas circulorum sint inter se, ut quadrata eorum diametrorum (60 $), summae arearum sunt inter se ut summae quadratorum diametrorum; est autem (5^2) quadratum diametri AB aequale summae quadratorum diametrorum AC, BC; igitur area semicirculi ACHB aequatur summae arearum semicirculorum AEC, CFB: quare si a semicirculo ACHB auferantur partes Pars II. Elementa Geometrie. 152 ACG, & CBH communes semicirculis AEC, CFB; manebunt lunulae AEG GA-fr-CFBHC aequales areae trianguli ACB. .‘'i triangulum rectangulum foret isosceles , demissa in hypotenuftm perpendicularis divideret illud in triangula aequalia, quorum utrumvis esset aequale Aiae lunulae. Variae aliae partes circuli quadrabiles inveniri possunt in Monumentis Academiae Regiae Scientiarum ad An. 1701. pag. 17, & ah. 1703. pag. st. Fig. 45 - Videatur etiam in Fig- 45-N. s spatium CDHAIBKC , quatuor circuli quadran- Num. 2. »ibns terminatum, & quadrato CDaB aequale. 615. Ratio diametri ad peripheriam circuli proxime determina* ri potest vel mechanice, conserendo v. g. cum diametro longitudinem fili circumferentiae exacte undique circumplicati; vel geometrice, calculan' do perimetrum & dimensiones polygoni regularis magno laterum numero constantis. Atque hunc in modum Archimedes rationem propinquam diametri ad circumferentiam reperit 7 ad 22; alii statuerunt eam 1 ad 3, 14159265, & si porro 127 notae decimales jungantur, approximatioest prope incredibilis. Metius eandem determinat 113 ad 355, qua* in numeris parvis omnium est accuratiflima. 616. Data itaque diametro circuli,ejus circumferentia e sequente proportione quaerenda est: ut 113 ai 355, ita efi diameter circuli data ai ejus circumferentiam. Si praeterea desideretur circuli area, ejus semi- diameter (602) data ducatur in semicircumferentiam methodo exposita inventam. Proprietates Planorum , sive fuperficierum Planarum Supposuimus hucusque, omnes lineas, & figuras, esse in plano litas ^ & spatia ab iis comprehensa describi motu punctorum vel linearum in plano, cujusmodi dari Q595) posse, postulavimus; nunc jam genesin & modum, quo geometrice planum deducitur , ostendemus. 617. Hypothesis. Concipiatur recta AB libere in aere posita, Fig. 46 cwi altera indefinita ED sit perpendicularis (Fig. 46.); cogitetur recta AB circa fe ipsam alicujus axis instar moveri, quin situm suum mutet: patet manifeste, a recta altera ED debere describi superficiem planam CCCDDD ; atque hanc superficiem fore ad rectam AB perpendicularem. Est igitur planum ejusmodi superficies , ut ab omnibus punclis linea re- K«e super ea post#, 6f utcumque converse, semper tangatur . 618- Si recta? lineae non insisterent altera alteri perpendiculari- ter, figura descripta plana non esset. Exempli gratia si recta MN (Fig. 54.) circa fe ipsam volvatur, eique juncta sit altera MB sub angulo ad M acuto NMB. facile intelligitur, a recta MB describi debere super- Fig. 54 - Sect. II. Proprietates Planorum, *53 superficiem retundam, in apicem ex una parte coeuntem, extrorfum convexam , & intus cavam ; cui sane recta non ita imponi potest, ut in quovis situ omnia ejus puncta hanc superficiem contingant. 619. Theorema L Reda plano imposita nequit pars esse in plano, pars supra, vel infi'a illud, 620. Coroll. I. Si duo punda reda ßnt in plano, tota reda in eo efi. 621. Corol. II. Nequit pars una plani A congruere cum plano B, pars altera ejje supra vel infra illud. Alias etiam recta posita in plano A pollet habere partem in plano B, partem supra vel infra planum B, quod est absurdum. 622. Theorema II. Tria punda non in eadem reda posta situm, seu positionem plani determinant. Demonstratio. Concipiatur planum aliquod poni supra quot- cunque puncta in directum jacentia: facile concipitur, luxe puncta, si immobilia sint, fore fulcrum aliquod , circa quod, tanquam axem, planum libere converti postit. At si cogitetur planum imponi tribus punctis non in eadem linea recta sitis, ea erunt fulcrum, circa quod planum nequit rotari, sed quo in situ constante retinetur. Igitur tria puncta non in directum posita, situm, seu positionem plani determinans. 623. Coroll. Per quodvis triangulum determinatur planum, ejusdem positio. 62 4. Theorema III. Reda ad planum perpendicularis, efi etiam perpendicularis ad omnes redas in eodem plano sitas , tf per pundum , in quo insijiit plano , transeuntes. Sic AE est perpendicularis omnibus rectis CED, CED &c. (Fig. 46). Fig. 45 625. Theorema IV. Dua reda eidem plano perpendiculariter , vel sub aqua 1 ibus angulis versus eandem partem insistentes, sunt inter se paral- h'ia , & vic jjim. 626 . Theorema V. Dua reda se intersecantes sunt in eodem plano , seu poteß semper concipi planum , in quo utraque sita sit. Dbmostratio. Nam praeter punctum intersectionis potest in utraque assumi unum punctum ad arbitrium, quae consequenter erunt tria puncta non in directum jacentia, per quae consequenter (622) positio plani determinetur, in quo utri usque lineae bina puncta existunt: sunt igitur (620) totae >'n eodem plano. 628. Theorema VI. Si dua reda in eodem plano existentes sicen- tur a tertia , extra commune earum pundum interfedionis, si quod habent, etiam tertia erit in eodem plano j quippe cum duo ejus puncta, in quibus duas illas secat, in eodem plano sint. La Cuille Led. Elem. U ‘54 Pars II. Elementa Geometrie. 628- Theorema VII. Tria punCla non in eadem recta sita non poßunt ejse duobus diversis planis communia. Demonstratio. Tria puncta non in eadem recta posita litum plani determinant. Quod si jam tria ejusmodi puncta diversis duobus planis possent esse communia, spatium a rectis hasc puncta conjungentibus comprehensum esset commune duobus planis: unde alterum haberet partem congruentem cum altero, partem vel supra, rei infra alterum» qufed est absurdum (621). 629. Coroll. Interfi'äio duorum '.planorum debet effe linea recta. Nam intersectio debet esse linea, cujus omnia puncta sint utrique plan® communia. 630. Hypothesis. Concipiatur planum quoddam immobile A, cui alterum planum B rectis terminatum, (nempe polygonum quodvis) superponatur. Quoniam plana omni profunditate carent, unicum planum constituent. Cogitetur jam planum B circa aliquod latus suum, tanquam circa.axem semper cum plano A congruentem, converti, manifestum est primo, quam primum hic motus incipit, praeter latus, circa quod planum B convertitur, nihil manere hisce planis commune. Sscun- do , planum B successive transire per omnes gradus inclinationis cum plano A , si tamdiu rotetur, donec ex altera parte rursus contingat planum A. Tertio , planum B fore tunc perpendiculare ad planum A, quando neutrafh in partem magis inclinatur. Quarto , diverlas inclinationes metiendas esse per numerum progressum momentaneorum cujus vis puncti plani B a puncto cor respondente plani A. Haec itaque mensura erit arcus circuli, cujus centrum est in recta, circa quam planum B movetur: & quoniam centrum debet esse in eodem plano cum circulo,centrum hujus arcus debet esse in recta suo motu planum ab arcu terminatum generante. Atqui recta (613) nisi sit perpendicularis ad illam, circa quam velut axem convertitur, nequit generare planum: ergo centrum arcus inclinationem planorum meti entis efi in perpendiculari ex quovis arcus punito ad planorum interfectionem duita Si itaque describatur semicirculus, cujus centrum sit in linea utrique plano communi, & cujus planum sit ad eorum communem interfectionem perpendiculare, ejus gradus metientur inclinationes quaslibet plani mobilis cuin immobili. Illud etiam facile intelligitur, quod si a plano mobili B lecare- tur planum immobile A, & circa communem intersectionem planum mobile converteretur, pars plani mobilis ultra immobile existens eodem tempore conficeret suum semicirculum, easdemque successive acquireret inclinationes ex parte opposita , quas pars cis planum immobile haberet. Sect. II. Proprietates Planorum. *55 Sequitur hinc, eadem convenire duobus planis ad sese inclinatis, quae competunt lineis rectis sub quovis angulo concurrentibus. Unde. ..».. 631. Theorema VIII. Si planum insfiat alteri plano, facit duos angulos deinceps positos retlos, vel quorum summa aquetur duobus retiis. 632. Theorema IX. «Ä duo plana se secent , anguli ad verticem e ppostti sunt aquales. 633. Theorema X. Summa quotcunque angulorum a planis ß in eadem reda intersecantibus comprehensorum est 360 graduum. 634. Theorema XI. Ex eodem plani pundo unica perpendicularis ad planum pote fi erigi; &P ex eodem extra planum pundo unica perpendicularis ad planum potefi demitti. 635. Theorema XII. Difiantia pundi a plano efi perpendicularis ab uno pundo in planum dubia. 636. Theorema XIII. Si planum secet duo vel plura plana parallela inter se, sunt anguli alterni externi , item alterni interni inter se aquales ; t?f anguli interni ad eandem partem sunt alter laterius complementum ad duos redos uti etiam externi ad eandem partem. Et e converso. 637. Theorema XIV. Si planum secet duo vel plura plana inter se parallela , etiam linea intersedionum sunt inter se parallela. Nisi enim lineae intersectionum essent parallelae, productae alicubi possent sibi occurrere; igitur etiam ipsa plana, in quibus existunt,alicubi possent concurrere, consequenter contra hypothesin non essent parallela. TERTIA SECTIO De Solidis. 6ZF. /f~^orpus , sive Solidum dicitur quaelibet quantitas continua,vel ex- tensio trium dimensionum, nempe in longum, latum, & profundum. Plerumque solida duobus modis considerantur: Primo. Ut genita motu planorum, quemadmodum planum u£ genitum motu line* rectae; & ipsa linea ut producta motu puncti. Hunc in modum si concipiamus solidum, illud nil aliud est, quam spatium occupatum a vestigiis plani, seu potius, nil $iliud,quam collectio planorum profunditatis infinite parvae, quorum numerus U % Pars II. Elementa Geometrie». -Z6 infinitus aequalis est numero punctorum lineae, quae viam a- plano soli* dum generante descriptam metitur. Singula ejusmodi plana dicuntur elementa solidi. 639. Generantur solida sive per motum rectilineum plani sibi ipsi \ semper paralleli; sive per motum circularem, dum figura rectiiinea circa lineam immobilem rotatur, quae axis solidi vocatur. ^ 640. II. Possunt etiam solida concipi tanquam composita ex aliis solidis sive similibus, sive di/similibus, invicem conjunctis, quorum binae dimensiones ut infinite parvae considerantur. Atque hujusmodi solida minima dicuntur itidem elementa illius , quod componunt. 641. Solida superfidebus planis terminata, vocabulo generali pa- lyedra appellantur, atque nomina peculiai*iatct raedri, pentaedri , hexaeiri &c, a numero planorum, 4, 5, 6 &c, quibus clauduntur, sortiuntur. Polyeira regularia sunt, quorum anguli omnes sequantur, & plana sunt polygona regularia & aequalia ejusdem speciei. 642. Si cogitetur planum per solidum transiens, illudque in duaa partes secans, figura, quam in superficie solidi planum occursu suo ef- format, dicitur/ectio solidi: nec dubium est, hanc tectionem esse polygonum tot laterum, quod planis superficiei solidi planum seccans occurrit. GENESIS, ET PROPRIETATES SOLIDORUM, QU.E FIUNT MOTU RECTILINEO. jjig, 643. I ITT YPOTstEslS. Sit figura quaevis plana ABCDE ( Fig. 47 - 48- JLJl vel 48.) primo super alio plano posita; dein secundum longitudinem rectae MN ita moveatur usque in FGHIK, ut sibi ipsi semper maneat parallela: haec figura motu suo generat solidum, (Juod prisma dicitur. Hic motus perpendiculariter, evidens est primo , a lateribus AB, BC, CD describi Parallelogramm» ABGF, BGHG, CD 1 H &c. Secuit-' do. omnia vestigia plani generantis, sive prismatis elementa, & utram- que balin, esse polygona ajqualia, & similiter posita. Unde universim.. Prisma est corpus basibus aqualibus B parallelis, ac lateribus paraU lelogrammis terminatum. 644. Prisma vel est reff um, vel obliquum , prout recta M NV juxta quam polygonum generans movetur, vel perpendicularis, vel obliqua fuerit ad basin prismatis. K SECT. III. de SeLIDIs. 157 645. Recta PQ (Fig. 48. ), vel Pq (Fig. 47.), quaj per me- Fig. 48. dium omnium solidi elementorum transit, dicitur axis prismatis, estque 47 - parallela & aequalibus singulis lateribus AF, BG, CH &c, cum sit via centri polygoni prisma generantis. 646. Perpendicularis PQ (Fig. 47.) ex quovis basis unius pun-Fig. 47. cto in planum basis alterius, etiam productae, si necelTe lis,demifla, est altitudo prismatis. 647. Coroll. L Altitudo prismatis recti est aequalis ejus axi; altitudo vero prismatis obliqui eo minor est axe , quo major est solidi ad planum baseos inclinatio. 648- Coroll. II. Altitudo solidi cujusvis elementis parallelis constantis exprimit numerum elementorum. Exprimit enim distantiam planorum extremorum solidi: jam vero inter haec plana extrema nequeunt plura este elementa, quam sint puncta in linea distantium eorum metiente: igitur si elementa sint plana parallela, eorum numerum exprimit altitudo solidi. 649. Prismatum diversae sunt denominationes, ut diversae sunt species polygonorum generantium. Si hoc polygonum sit triangulum, prisma appellatur triangulare y si polygonum sit quadrilaterum, prisma fit quadrangulare , si pentagonum sit polygonum generans, etiam prisma est pentagonum &c; si polygonum sit circulus, atque linea, cujus directionem in motu sequitur, ad ejus planum perpendicularis, prisma genitum cylinder reftus vocatur (vide Fig. 49). Fig. 4 S-- 650. Si polygonum prisma generans sit parallelogrammum, prisma gentium dicitur pardllelepipedum / si parallelogrammum simul sit re- ctangulum, atque prisma rectum, vocatur parallelepipedum reftangulum (vide Fig. 50). Si polygonum generans sit quadratum, prisma, ii re- Fig. 50. ctum sit, habeatque axem lateri quadrati illius aequalem, cubus, vel he- xaedrum regulare est (vide Fig. 51). , Fig. 5 1 - 651. II. HypotiiEsis. Sit figura quasvis plana ABCDE (Fig. Fig. 52, 52. & 54 ), ctuse prius super alio plano sita, dein moveatur recta quavis 5 Z- MN (ad planum figurae perpendiculari, vel inclinata), ita ut post singulos progressus in ea recta momentaneos omnia figurae latera decrescant in progressione Arithmetica: v. g. ut‘primo motu momentaneo peracto quodvis latus minuatur £ fuse longitudinis, post alterum progressum infinite parvum rursus singula latera amittant i primae longitudinis &c, itaque deinceps, ut cum figura adM pervenerit, ejus latera evaserint infinite parva, neque amplius a puncto differat : solidum per figuram hunc in modum decrescentem genitum, Pyramis dicitur. Punctum M est ejus vertex, & polygonum ABCDE bafis. U 3 158 Paks 11. Eli.iubjnta Ceometrij«. Liquet autem in hac genesi pyramidis, a singulis lateribus figura 1 generantis AB, BC, CD describi triangula ABM, BCM, CBM&c, spatio nempe trianguli ab infinitis parallelis occupato, quae in progressione Arithmetica a Zero ( qui verticem repraesentat ) usque ad basin crescunt. 552. Unde primo universim pyramis efisolidum , cujus baßs eß polygonum , fi? plana lateralia triangula. 653. Secundo. Recta MN a vertice M ad punctum baseos medium N ducta, dicitur axis Pyramidis; ejus altitudo est perpendicularis 52. MN (Fig. 52.), vel M n (Fig. 53.), aequalis, vel minor axe, ut pyramis vel recta, vel inclinata est. 654. Pyramidis nomina sunt varia, ut polygona eam generantia varia sunt. Si polygonum est triangulum , etiam pyramis est triangularis j si triangulum hoc est tequilaterum, & praeter axem perpendicularem, etiam plana lateralia sunt triangula aequilatera, pyramis est re- gularis, sive tetraedrum regulare. Si polygonum est quadrilaterum, fit pyramis quadrangularis , sive quatuor planis lateralibus terminata: si illud est pentagonum, pyramis quoque pentagona est &c. Si denique planum generans est circulus, axisque ad ejus planum perpendicularis, conus re - cius nascitur. Si axis esset inclinatus ad hoc planum, concides diceretur. 655. Si in genesi exposita pyramidis concipiatur motus polygoni generantis sisti, antequam ejus latera evanescant, pyramis, vel conus 55. genitus, dicitur pyramis, vel conus truncatus ( vide Fig. 55-): htec enim solida spectari possunt instar pyramidum, vel conorum, quorum pars plano parallelo ad basin abscissa sit, Ve genes & -proprietatibus Solidorum , quee fiunt motu Circulari. 656. Primo. Duplici modo genesis cylindri recti per motum circularem concipi potest, nempe si imprimis cogitetur rectangulum MAB 4 % N (Fig. 49-) circa latus suum MN immotum (quod dein axis cylindri erit) rotari; deinde si bini circuli CA, DB, quorum centra M&N sint in eadem recta ad plana eorum normali, supponantur immobiles, atque recta AB per eorum circumferentiam moveri. 657. Potest denique cylinder considerari velut compositus e fasce prismatum rectorum, seque altorum, infinite parvarum, & aequalium basium, quse exacte occupent areas circulorum aequalium, quorum prismatum numerus consequenter aequet numerum punctorum, superficiem circulorum constituentium. 6)8- Secundo. Conus rectus motu circulari generari potest,si prt- 54* mo triangulum rectangulum MNB (Fig. 54.) rotetur circa unum latus MN angulum rectum comprehendens, quod axis Coni erit; hypotenusa de- Sect. III. de Solidis. 159 scribet ejus superficiem, & latus alterum circa angulum rectum NB erit radius baseos. Secundo , Si rectae MN circulo BD in centro perpendicula riter insistenti jungatur ad extremum punctum M recta MB, ejusque extremum B perpetuo in peripheria circuli incedat, dum ipsa circa rectam MN rotatur. E quo intelligitur, puncla omnia perimetrum baseos coni retli constituentia a vertice M aequaliter distare. 659. Conus truncatus generatur, si trapezium ABND (Fig, 55.), p- cujus duo latera AB, ND sint inaequalia, & ad latus AN perpendicula- ' ria, circa idem latus AN rotari cogitetur. 660. Tertio. Si semicirculus circa suam diametrum revolvatur, solidum inde genitum globus , vel sphaera appellatur. Ejl itaque sphaera solidum , cujus superficiei omnia puntla ab aliquo intra illud sito aequaliter distant , dicitur que punclum illud centrum. 661. Si concipiantur ad singula puncta P, P &e. (Fig. 69.) dia- Fig, 5j, metri circuli genitoris erectae perpendiculares, atque in circumferentia terminatae, MP, MP &c, evidens est, semicirculo SMr circa suam diametrum S§ revoluto, eas rectas fore radios tot circulorum, quot inter puncta S & s exiliere possunt, qui adeo pro cylindris infinite parvae & aequalis altitudinis haberi postint, sphaeraeque elementis, diametris basium eorum in ratione chordarum, Mm, M m, quae parallelae intra circulum duci possunt, crescentibus & decrescentibus. At si semicirculus genitor spectetur ut dimidium polygoni regula- pig. ris (Fig. 58.) infinitorum laterum, ex cujus singulis angulis ad diametrum dL demissas sint perpendiculares DT, EX, GC, &c, patet, binas quasque ejusmodi perpendiculares vicinas constituere trapezia dFDT, TDEX, XEGC &e, atque revolutione semicirculi circa diametrum d L ab his trapeziis totidem conos truncatos efformari OFDB, B OEA, AE GP &c. Hinc potest etiam, hac facta hypothesi, sphaera concipi tan- quam composita ex conis truncatis infinitis, diversae, attamen infinite parvae altitudinis Quod si denique cogitentur intra semicirculum genitorem tot descripti semicirculi concentrici, quot puncta sunt in radio; manifestum est, semicirculo genitore circa diametrum revoluto, debere ab omnibus semicirculis concentricis describi totidem superficies sphaericas concentricas, posseque ideo sphaeram spectari ut compositam ex infinitis lupersicie- bus, sive sphaeris cavis, craflitiei infinite parvae & aequalis; quarum alia femper aliam intra se concludat. 662. Axis sphaerae potest dici quaevis recta per ejus centrum trat*- siens, & utrinque in superficie (terminata. 663. Omnes igitur sphaerae axes inter se aequales sunt , cura singuli aequentur summae duorum radiorum. löse Pars 11. Elementa Geometriae. 664. Cum sphaera ea, qua diximus, ratione generetur, clarum est, quemvis ejus axem posse haberi pro axe semicirculi genitoris: quod nempe summa iit ejus figuras regularitas & uniformitas. 665. Sequitur hinc Primo: quomodocunque spharaper planum fecetur , ejusscelionem semper fore circulum. Quod fi enim per centrum sphaerae concipiatur transire axis ad sectionis planum perpendicularis, idem considerari potest ut diameter circuli genitoris (664) , ideo que planum secans cum occurrat diametro perpendiculariter, non aliter transibit per sphaeram, quam ut congruat cum aliquo ejus elemento, qua? omni sunt circuli (66 k). 666. Secundo. Sediones spharce per planum quodlibet fore circulos eo majores , quo planum propius ad centrum transit , & viciffim; atque adeo fe- fiionem maximam eam ese , qim per ipsum fphara centrum transit. Etenim sectionum harum diametri iunt chordae, quae eo majores sunt, quo sunt propiores centro (453) 5 maxima autem omnium est ipsa diameter. 667. Tertio. Ob hanc causam circulum maximum Jphara dici illum, qui cum ipia sphaera commune habet centrum; alium vero vocari circii’ Ium minorem sphxrce, cujus planum per centrum sphaeras non transit. 668- Quarto. Denique considerari posse sphaeram tanquam constantem infinitis pyramidibus infinite parvis, quarum bases sint ipsa superficiei sphaerae puncta, apices vero omnium in centro concurrant. Quin ob regularem sphaerae figuram supponi potest, omnia superficiei puncta, quae pyramidum bases sunt, esse polygona regularia infinite parva, & aequalia inter se; ideoque concipi possunt vel ut triangula trquilafera, vel ut quadrata, vel ut hexagona, cum tres ist* species polygonorum regularium solae sint ejusmodi, ut quotcunque eorum possint habere latera communia, simulque totum spatium explere. De Polyedris, eorumque Comparatione. 66g. Singulus solidus dicitur angulus, qui oritur junctis verticibus plurium angulorum planorum, ad se se invicem inclinatorum, ac propter ea junctis binorum quorumvis lateribus in unum apicem excurrentium. Hujusmodi sunt apices pyramidum, anguli prismatum &c. Anguli solidi aequales sunt, qui a totidem planis, quorum homologi aequales sunt, & eodem modo positi, comprehenduntur. Pro mensura anguli solidi adhibenda est sphaera, uti circulus adhibetur ad metiendos angulos planos. Unde vertex anguli solidi concipiendus est tanquam in centro sphaerae arbitrarii radii constitutus: erit quivis angulus planus solidum componens in plano alicujus circuli maximi sphaerae (667) atque mensuram habebit ejus circuli maximi arcum inter SecT. III. DE PoLTEDRIS. 161 plani anguli crura interceptum, cujus arcus chorda est basis anguli plani ; ut proinde mensura anguli solidi sit summa graduum contentorum iit arcubus ab ejusmodi chordis subtensis. Quoniam cuivis angulo plano solidum componenti latus unum commune esse debet cum angulo plano contiguo, clarum est, arcus circulorum maximorum angulos planos metientes asque debere inter se conjungi, ac eorundem chordas, quas proinde polygonum quoddam sua perimetro comprehensum efficient, quod sit instar basis anguli solidi. 670. The ' rREM a I. Saltem tribus opus efl angulis planis , ut efibr- tnetur solidus. Etenim simpliciffimum polygonorum, quod basis esse possit anguli solidi, est triangulum. 671. Theorema II. Maximus angulorum planorum solidum com- m ponentium debet ejje minor jumma reliquorum. Nam si aequalis foret summa? reliquorum, arcus sphasrae, qui eum metitur, aequaretur summas arcuum, qui omnes reliquos metiuntur, ac propterea fieri non posset, ut arcus ceteri extremis suis juncti pertingerent ad extrema puncta arcus angulum maximum metientis, nisi si cum eodem congruerent, ideoque hi arcus omnes, eorumque chordae, in eodem existerent plano, id, quod mensurae anguli solidi repugnat. Magis adhuc absurdum foret, si poneretur angulus planorum maximus excedere summam reliquorum; quippe cum in hac hypothesi arcus se se suis extremis complecti haud possent. 672. Theorema III. Summa omnium angulorum planorum solidum componentium minor ejt 360. gradibus , saltem si angulus solidus non fiat angulis partim procurrentibus , partim regredientibus. Etenim si summa esset 360. graduum, concipi non posset, qui arcuum sphaerae angulos planos metiendum extrema inter sejungantur, nisi constituerent exacte circumferentiam circuli maximi; & tum juncti omnium vertices forent sane in eodem plano, & nequaquam angulum solidum efficerent: aut vero si ita iidem anguli plani alter ad alterum inclinarentur, ut tum ipsi, tum eorum chordas angulos partim procurrentes, partim regredientes constituerent. Quod si summa angulorum planorum excederet 360 gradus, evidens est, futurum, ut anguli partim procurrentes, partim regredientes orirentur. 673. Theorema IV. Si duo anguli solidi A , a, constantes singuli tribus planis , habeant duos planos B, D aquales duobus b, d, (fin- Jja Cailk Elem. X i6r Pars II. Elementa Geometriae. gulos singulis ), ac cequaliter inter se inclinatos , etiam anguli solidi aquales erunt. DExWOnstratio. Sumtis enim lateribus omnibus angulorum planorum aequalibus (uti dum, angulo solido in centro sphaerae posito, ad superficiem usque pertingunt ), manifestum est, ob aequalitatem inclinationis, & ipsorum duorum angelorum planorum cum aliis duobus, quod anguli plani B, D (secluso interim tertio) eliciant angulum quen- dam cavum, qui accurate intra se recipiat similem ex planis b & d factum , cum omnia aequalia ponantur. Itaque cavos hosce angulos claudere nequeunt, nisi aequales duo anguli plani: e quo liquet (669), ipsos angulos solidos A, sl aequari. 674. SCHOLluM. Eadem methodo demonstrari potest, quod si duo anguli solidi constant 4 planis z quorum 3 utrinque, singuli lingulis, aequales sint, aequaliterque inclinati, etiam quartus quarto, & solidus solido sit aequalis. Idem est, si solidi efficiantur 5, 6 &c planis. 675. Theorema V. Ad constituendum polyeirum saltem quatuor plana necejsaria sunt. Nam ut angulus unus solidus polyedri habeatur, jam tria plana requiruntur (670); tria autem plana ita conjuncta cavitatem anguli non possunt obtegere ; igitur saltem unum praeterea addi debet, ut spatium undique claudatur, atque polyedrum tres dimensiones habeat. 676. Theorema VI. Polyedrum nequit pauciores , quam quatuor, angulos habere. Etenim spatium vacuum a tribus planis angulum unum solidum comprehendentibus relictum figuram saltem trium angulorum habet: jam vero hi anguli claudi non possunt, nisi fiant tres anguli solidi (482) : quare polyedrum minimum quatuor habere debet angulos solidos. 677. Theorema VII. Quinque tantum ejfe possunt polyedra regularia, nempe tria, quorum plana sunt triangula aquilatera; unum , cujus plana sunt quadrata ; Ö unum , cujus plana sunt pentagona regularia. Quoniam (672) saltem tribus planis opus est ad angulum solidum constituendum; & (672) angulus solidus fieri nequit ex planis, qui sinuil ZSo gra-. duum lint; manifestum est, quinque tantum modis fieri poste, ut anguu plani polygonorum regularium angulum solidum constituant: Primo enim cum angulus trianguli aequilateri sit So graduum, tres eorum juncti faciunt unum solidum 180 graduum; consequenter e quatuor triangulis sequilateris fieri potest tetrae- drum. Secundo: Quatuor anguli trianguli aequilateri conficiunt 240 gradus ; hinc constituere possunt unum solidum totidem graduum, & octo triangula ejusmodi conjuncta comprehendent corpus regulare, octoedrum. Tertio: Quinque att- Sect. III. de Comparatione Solidorum. 163 guli trianguli sequilateri possunt efficere solidum zoo°, & consequenter si 20 ejusmodi triangula conjungantur, fiet solidum viginti planoVuffi, sive icosaedrum. At si sex anguli plani trianguli aequilateri jungantur, jam habentur 360', unde ex iis solidus fieri non potest. Quarto: Angulus quadrati est 90% & tres simul constituunt solidum 27 0 °: quare e sex quadratis potest fieri polyedrum fex planorum , hoc est, hexaedrum-, verum cum quatuor anguli quadrati jam 360' efficiant , nullus solidus inde alius componi potest. Quinto: Angulus pentagoni regularis est iog°; tres juncti proinde efficiunt solidum 324*: &.hinc e duodecim pentagonis fit solidum duodecim planorum, vel dodecaedrum; si quatuor pentagoni anguli conjungantur, jam 432 0 habentur, plures, quam ut solidus ex iis fieri queat. Denique cum angulus hexagoni regularis fit 120% tres simul 360' constituunt, ut adeo angulus solidus ex iis haberi non possit, neque ex pluribus hexagonis polyedrum regularemulto minus anguli aliorum polygonorum regularium, velut heptagoni , oSogoni &c. in angulum solidum conjungi possunt. Quare non nisi quinque expositae corporum regularium species dantur. Tironi Jute legenti ad manum sint polygona regularia aqualia , e charta firmiore, aliisre planis excija , ut ipsam polyedrorum confractionem firnul tentare paßt, De Comparatione Solidorum. 678- Solida similia sunt, quorum anguli homologi aequantur, & plana sunt figurae similes, quae proinde resolvi possunt (575) in triangula similia, omnesque dimensiones homologas proportionales habent. 679. Coroll. Polyedra regularia ejusdem speciei , corsequenter b sphara , sunt solida similia. 680. Ut solidorum similitudo rite intellfgatur, concipienda sunt tanquam composita ex totidem planis similibus, similiterque positis, ita ut totum discrimen in eo tantummodo sit, quod singula plana elementaria solidi majoris habeant majorem superficiem & profunditatem , quam plana homologa solidi minoris, interim eadem sit ratio inter plana quaevis homologa. V. g. duae sphaerae sunt solida similia, primo , quia utraque componitur e planis circularibus, quae sunt figurae similes,cum sint polygona symmetrica, & regularia (542), & ejusdem numeri infiniti laterum. Secundo , quia haec plana in utraque sphaera sunt similiter posita, nempe omnia p rpendiculariter ad axem per eorum centra transeuntem, servantque inter se eum ordinem, ut diametri sint in ratione omnium chordarum, quae parallelae in circulo duci possunt. Tertio totidem sunt hujusmodi plana in una, quot in altera sphaera, quia in omnibus circulis est idem numerus laterum infinite parvorum ideoque etiam idem numerus chordarum, quae nempe omnes angulos , fk latera similiter, & ad eandem ab axe utrinque distantiam posita, jungere possunt. 6Zi. Discrimen inter majorem, & minorem sphaeram consistit primo in eo, quod diameter cujusvis plani elementaris sphaerae majoris ma- 164 Pars IL Elementa Geometria. jor fit ( & quidem. In ratione constante ) diametro plani elementar!» homologi sphaeras minoris. Secundo quod cum latera planorum elementarium sphaerae majoris, licet infinite parva, sint tamen majora lateribus planorum elementarium sphaerae minoris ; chordae, quae haec latera aequaliter ab axe utrinque distantia jungunt, in planis sphaerae majoris minus sint vicinae altera alteri, quam in planis sphaerae minoris s consequenter profunditas planorum, quam chordarum distantia metitur, major sit in sphaera majore, quam in minore. 6Z2. E notione, quam de duobus solidis similibus attulimus, evidenter consequitur, nullum ejfe punSlum in superficie unius solidi , quod in superficie homologa alterius non habeat sibi corresponiens , fimiliter pofitum ; quinimo nequidem intra solidum alterum dari punclum , cui similiter pofitum , Ü“ correspondens non fit intra alterum. Constant enim haec solida eodem elementorum numero, quorum bina quaevis correspondentia in utroque solido sunt figurae similes, & similiter positae,quae & ipsae constant punctis similiter positis. f>83- Theorema I. Si reda trans solidum quodvis dufta PQ P5g # (Fig. 57.) in duobus quibuslibet punclis P, Q planorum KC, EG termine- Fig. 56. tur, & 1 ducatur in solido simili altera re-da p q (Fig. Z6.) pandis similiter postis p, q terminata; erunt h & inter denfitatem. Soliditas est spatium universi, quod corporis superficies complectitur; massa est quantitas absoluta materio?, qua constat; densitas est ratio voluminis ad massam, ut corpus eo censeatur densius, quo plus materia? sub minore volumine, sive spatio,continet. 707. Volumen spatii, seu soliditas corporis, sequalis est summae elementorum, e quibus componitur. Elementa autem corporis sunt ipsa j'olida, sed profunditatis infinite parva?, qua? adeo superficierum instar considerari possunt. Si corpus hunc in modum spectetur, erit ejus soliditas summa superficierum, quemadmodum superficies est summa linearum, ut linea summa punctorum. 70g. Si de solidis eodem modo rafiocincmur, quo de superficie- bus ("587 dt seqq.) apparebit primo, cubos esse mensuras communes soliditatum, sive voluminum. Exempli causa solidum 100 pedum debet occupare spatium, quod exacte repleri possit per centum cubos, quorum singuli sint unius pedis. Secundo, numerum partium mensura solulce, five trium dimensionum , ese tertiam potentiam numeri partium mensura ejusdem nominis simplicis , five unias dimensionis in longum. Itaque pes solidus continet 1728 cubos, singulos unius digiti’ constat enim duodecim seriebtjs, seu stratis, quorum singulorum altitudo est unius digiti, & basis unius pedis, sive 144 digitorum. Eodem modo hercapeda solida continet 216 pedes cubicos. 709. Theorem a I. Soliditas prismatis o* cylindri aqualis efi fafto ex altitudine in superficiem baseos. Demonstratio Quoniam prisma (&hinc etiam Cylinder) tot constat polygonis basi aequalibus, quot sunt puncta in perpendiculari distantiam basis superioris ab inferiore metientc; sequitur, ut habeatur soliditas, debere toties sibi ipsi addi superficiem polygoni generantis, quot sunt puncta in illa perpendiculari, hoc est, debere superficiem basis duci in prismatis, vd cylindri altitudinem. Idem est, seu prismata & cylindri sint obliqui, seu recti. La Caills LeSl. E'em. Y Pars H. Elementa Geometria, ip 7 10. Theorema IL Soliditas pyramidis , vel corti cujus cunque, aqualis efi tertia parti producli ex superficie baseos in altitudinem. Demonstratio. Pyramis composita est ex infinitis polygonis, seu superficiebus similibus, quarum latera crescunt uniformiter quantitate a vertice usque ad bafin, sive in ratione numerorum I. S. Z. 4.5, 6. 7, &c. Sunt autem (6vZ) superficies similes ut quadrata laterum homologorum: unde si superficies primi elemc-nti in vertice ipso statuatur = I, erit superficies secundi = 4, tertii =9, &c, ultimi denique, sive ipsius baseos pyramidis =s oo 1 . Et quoniam soliditas pyramidis aequatur summae omnium elementorum, evidens est, eam aequari summa* quadratorum numerorum naturalium seriei infinita* I. 4. 9. 16. 00 2 . Porro (383) summa quadratorum numerorum naturalium est pars tertia facti ex quadrato ultimo in numerum quadratorum; ergo soliditas pyramidis est aequalis tertiae parti facti ex superficie baseos in elementorum numerum, hoc est, in altitudinem (64A). Idem est de cono. 711. Coroll. eft tertia pars prismati ejusdem bafis altitudinis. Quare' e massa prismatis essormari possaGt tres pyramides ejusdem baseos, & altitudinis cum prismate. 712. Theorem a 111. Soliditas sphara aqualis efi duabus partibus tertiis sasiii ex axe in aream circuli maximi. Demonstratio. Cum sphaera componatur (661) ex tot sphae- ris cavis, sive superficiebus sphsericis, quarum altera alteram includit, quot sunt puncta in radio; ejus soliditas aequalis est summae omnium harum superficierum; jam vero radii earundem superficierum constituunt seriem infinitam numerorum 1. 2. A. 4 - Z- .. äc ; & superficies ipsas (609) progrediuntur in serie 1, 4, 9, 16, 25 &c,.,, igitur soliditas sphaerae habetur per summam infinitorum quadratorum numerorum naturalium , quae (383) sequatur parti tertia* facti ex quadrato ultimo ducto in numerum quadratorum : estque adeo soliditas Jphara pars tertia fa- cti e superficie extima sphara s in ejus semidiametrum £ d; seu = j xsx§d. Jam vero (698) superficies extima sphaerae aequatur quadruplo superficiei p circuli maximi, seu s = 4p. Ünde soliditas sphaera? est J x 4 pX| i = s pi. 713. Coroll. »St igitur in cylindro s cujus diameter basis fit aqualis axi J cogitentur inscripta sphara, & conus reSlus, horum corporum soliditates inter se comparata erunt ut 1 , J, J, sive ut 3,2, 1. 714. ScHOLluM. Ut soliditas aliorum corporum, velut polye- drorum irregularium, obtineatur, ea reducenda sunt ad prismata, vel pyramides ; quemadmodum ad obtinendam superficiem figurarum irregularium., eae, (603J resolvi debent in triangula. Investiganda dein soli- Sect. III. i>ß Mensvra Soliditatis. 171 ditas singulorum prisinatum vel pyramidum; summa omnium erit soliditas polyedri. At vero si polyedrum sit exiguum, & admodum irregulare r ut fi quaeratur soliditas lapidis adhuc impoliti, vel operis aenei anaglyphi &c, res melius mechanice sequentem in modum praestatur. Ponatur corpus, cujus volumen petitur, intra vas cavum,cujus figura facile mensurari potest, uti sunt cylindrica, vel prismatica rectangularia: impleatur vas aqua, aliove fluido,quod nec damnum afferre polfit corpori, nec ab eo facile imbibi: extracto dein corpore e vase, mensuretur exacte volumen partis aqua vacuae, quod quam proxime aequale erit volumini corporis. De Comparatione. Soliditatum in solidis. 715. Praecedente articulo patuit, soliditatem corporum esse factum ex super freie quapiam in axem aliquem, vel altitudinem ducta; & quoniam omnis superficies (607) est aequalis facto ex duabus dimensionibus, consequens est, omnem soliditatem esse factum ex tribus dimensionibus. Unde.... 716. Theorema L Soliditates duorum solidorum quorumvissmt inter se in ratione composita trium dimenßonum ejusdem nominis. 717. Theorema II. Soliditates duorum solidorum ßnüllum sunt inter fe in ratione triplicata , seu ut cubi , dimensionum quarumvis homologarum. Demonstratio. Solida similia habent omnes suas dimensiones homologas proportionales (636); igitur eorum soliditates sunt facta trium quantitatum proportionalium , ac propferea (291 & 298) sunt in ratione triplicata binarum quarumlibet homologarum. 718- CoPvOLL. I. Spheerte Junt in ratione triplicata diametrorum , vel radiorum. Quare si sphaerae A diameter sit dupla, tripla,quadrupla, &c, diametri alterius sphaerae B; erit ejus superficies quadrupla no- vencupla, sedecupla &c. superficiei sphaerae B; & soliditas sphaerae A erit ad soliditatem sphaera B ut 8, 27, 64 &c. ad I. Et vas» cuju£ dimen- siones sunt duplae, triplae, quadruplae &c. dimensionum alterius, erit octies, vicies septies , sexagesies quater &c. capacius altero. 719. Cqroil. II. Ut construatur solidum alteri simile, sed quod habeat volumen duplum, triplum &c. alterius: necefle est, ut sin- 3 » gulae ejus dimensiones sint ad singulas alterius, ut y/ L, ^3 Ac.ad 1. 17a Trigonometria. 59 - TRIGONO METRIA. 720. FTTlrigonomefria eft ars calculum Arithmeticum ad Geometrum JL applicandi. Eadem est scientia summe necessaria, ut a Theoria ad praxin transeatur. Nomen inde sortita est, quod doceat singulas trianguli partes calculare, cum re ipsa omnes figuras metiamur per triangula, in qua? resolvuntur. 721. Trianguli sex sunt partes, tres nempe anguli, totidemque latera. Illud igitur Trigonometria agit, ut suppeditet regulas solvendi in omni casu hoc problema: datis magnitudine tribus partibus ex fex, quibus triangulum conflat , invenire quamvis ex reliquis tribus.' 722. Regula? porro in eo consistunt, ut tres partes data? ordinentur in primos tres terminos proportionis, sive analogia, cujus quartus sit pars quaesita. Verum quia latera trianguli non sunt simpliciter proportionalia cum angulis, quorum mensurae sunt arcus circuli; neces* se fuit, ut angulis, sive arcubus eos metientibus, substituerentur alia? lineae rectae, qua? arcus eos representarent, & simul lateribus trianguli essent proportionales. Recta? ha? nomine Sinuum, Tangentium &e. censentur totiusque Trigonometria? artificium eo reducitur, ut proprietates earum perspiciantur, pervideanturque casus, quibus seu has, seu illas angulorum loco adhibere oporteat, ut analogia termino ignoto re periendo opportuna habeatur. 723. Sit angulus quivis ACB (Fig. 59.): ex vertice C, radio arbitrariae longitudinis describatur circulus AHctG: producatur AC in s, atque ex C erigatur perpendicularis CH. Evidens est, angulum BCH, sive arcum BH, esse complementum ad rectum anguli ACB, seu arcus AB, imo esse etiam complementum anguli BCst, vel arcus BHst; angulum vero BCst, seu ejus arcum Bst esse complementum ad duos rectos anguli ACB, vel ejus arcus AB. Et vicilsim BA esse complementum ad rectum arcus HB, & complementum ad duos rectos arcus sB. 724. Perpendicularis BD ex extremo puncto radii B ad alterum AC demissa, dicitur finus arcus AB, vel anguli ACB. Perpendicularis AE erecta in extremo puncto radii CA usque ad occursum radii alterius CB producti, esi tangens ejusdem arcus AB; recta vero CE ejus secans. appellatur. Pars radii AD inter arcum & ejus sinum intercepta, vocatur sinus versus arcus AB. Perpendicularis B 1 est finus complementi arcus AB; & perpendicularis HK est tangens complementi ejusdem ; CK fe- cms complementi HI finus verfiis complementi arcus AB. Principia Construendi Tabulas. 173 Compendii causa loco sinus complementi, tangens complementi &c dicitur cofims , cotangens , cqfecans, cofinus versus. Ex eadem causa deinceps ad indicandum radium, scribemus R; Jiti loco sinus; kMg pro tangens; coj vel cofin, pro cosinus, cot, vel ca- tang pro cotangens : fiu v. pro sinus versus. Secantibus autem, & sinu verso in calculo Trigonometrien non utemur. 725. Ex datis definitionibus sequitur primo, finus tf cofinus, tun- gentes tf cotangentes &c. angulorum obtusorum , ut aCB, esse eosdem ac angulorum acutorum deinceps positorum, vel complementorum ai duos reEios. Nam perpendicularis ex extremo a vel B radiorum angulum obtusum comprehendentium demissa necessario cadit in radium alterum versus illud extremum productum, uti patet in perpendicularibus BD,sli. Eodem modo tangens ejusmodi anguli alia esse nequit, quam ae> jam vero ob triangula aequalia aCd,BCD; item C ae, CAE, estad = BD,sl£ = AE; & cum arcus BH sit Complementum tam arcus LB, quam arcus AB, manifeitum est, BI esse cosinum arcus slB, & HK esse cotangentem. 726. Secundo. Sequitur, sinum alicujus arcus AB, esse dimidiam chordam arcus BAG, dupli arcus AB (448)- 727. Tertio. Maximum omnium sinuum esse sinum anguli reEli HCA, Quippe qui ipse est radius. Unde etiam finus totus dicitur. 728. Quarto. Sinus crescere , ut crescunt anguli a o° usque ai 90*; inde vero a 90° usque ad 180° rursus eodem ordine decrescere. 729. Quinto. Sinum arcus 30° aquari dimidio radio. Nam radius est chorda arcus 60° (533) ;& sinus est dimidia chorda arcus dupli (726). Itaque latus oppositum angulo 30° in triangulo reclangulo , est dimidium Hypotenuse. Nam si angulus ACB sit 30% erit GB=s=BC, & BD = 4 BG. 730. Sexto. Crescentibus angulis a o" usque ad 90° crescere etiam tangentes , tf secantes ita, ut tangens, ac secans anguli 90° fit infinita y nequit enim radius CH, si HCA sit rectus, concurrere cum tangente AE, hili si utraque linea producatur in infinitum. 731. Septimo. Tangentem anguli 45 0 esse aqualem radio. Nam si angulus ACB ponatur 45% triangulum rectangulum CAE est isosceles, & AE = AC. 732. 0 Elavo. Sinum versum AD arcus AB minoris 90% esse aqualem differentia cosinus CD = BI, a radio CA; ejusdem arcus cofinum versum HI este aqualem differentia sinus CI = BD a radio CH, tf sinum versum complementi ad duos reElos Da, effs aqualem summa ex radio tf cofim. 733. Nono. Ob similitudinem triangulorum CDB, CAE,CIB, CHK, elfe CA : CD (vel BI) ; : AE : BD; hoc est R : cofin : : TßIGONoMETRiA. *74 tang : sin. Deinde CH : CI ( vel BD) : : HK: IB; sive R : fin : : eotang : costn. Denique AE : CA; : CH J( vel CA) : HK, feu -fr tan & R. eotang. Ex his analogiis sequentes derivantur formulae, ut sinus tangentibus &c, & viciisim, substitui possint. Ponatur R = I , erit cos 734. Sin --- eosx tang = —. cot sin 735. Cos — sin x cot ---- —. tang sin 1 736. Tang = — = —. cofin cotang cos 1 737. Cot = — = —. sin tang 738- Cot A X tang A = 1 = ros B xtang B. 739. Ut sinus, tangentes &c. arcubus, feu angulis triangulorum substitui possent, neeesse fuit, ut conderentur tabula?, quae valorem sinuum , tangentium, cotangentium omnium angulorum acutorum ( qui enim ad obtusos pertinent, ex complementis ad duos rectos habentur) omnium graduum & minutorum jam calculo accurato determinatum exhiberent. Id genus tabulae plerumque nomine tabularum finuum habentur, supponiturque in iis radius circuli quemvis angulum metientis esse = 1; & valor sinuum, tangentium, cosinuum & cotangentium singulis gradibus & minutis e regione in fractionibus decimalibus apponitur. En autem compendiariam expositionem principiorum, ex quibus hae tabulae seu constructae sunt, seu construi potuerunt. Principia conftrucHonis Tabularum sinuum. 740. Theorema L Dato pro quovis arcu AB (Fig. 59 ) uno ex his quatuor: fimt, cqfirtu, fim verso , cofinu verso, ex reliquis tribus quodvis datur. Etenim apparet esse (563) CD =s\/ (CB*— BD a ), seu cofin S= (RR— fin). Item DA = CA — CD, hoc est fin versi zs R — eqfin. Item HI----CH — CI» feu cofin vers =R — sin, &c. Fig- 59- Principia Construendi Tabulas. -75 741. TheoRsma II. Calculatis iis, qua pertinent ai arcum quemvis , reperiri ex iisdem possunt omnia , qua fpeftant ad ejusdem arcus dimidium vel duplum. Nam primo ducta chorda BA (Fig. 60.), & ex C de- Fig, So. missa in eam perpendiculari CE, ob datas BD , DA» habetur (364) BA = \/ BD 2 -f-DA% & hinc FA; seu sin f =4 Dein CF = j/CA 3 — AF 1 ; consequenter cofin 4 — J/RR— sin 2 i. Secundo, si detur arcus AE, triangula FCA, DBA similia dant hanc analogiam CA: CF:: AB: BD, seu R: cos Arcus :: 2 sin Arcus: sin Arcus dupli. 752. Theorema. III. Datis finubus BD, KL arcuum AB,KB, datur etiam sinus KM summa arcuum (Fig. 61.) vel differentia (Fig. 62.). Fig. 61. Cum dentur sinus, dantur etiam Cosinus CD , CL (740). Est autem ^S* CB : CL : : BD : LP ( seu OM); igitur OM = Jm AB x co/KBj & r ob triangula similia KOL, OLQ, CMQ, CBD (Fig. 6l.); item pj» KOL, KMQ, CQL, CBD (Fig. 62.), est in triangulis KOL, CBD Fig. SA (Fig. 6i. & 62.) CB: CD : : KL : KO; hinc KO ---sin KB xco/AB: quare posito R sss i, est KM, seu sin (BK;jl AB) =s sin BK X cojm AB zhsin AB x cos KB, 743. Theorema IV. Summa ex sinu KM (Fig. 6z.) arcus KA Fig. minoris 30 gradibus , £f saBo e x \/ 3 in KI sinum differentia arcus KA a 30 gradibus, ejl aqualis sinui FN arcus FA, qui tantundem excedit 30 gradus , quantum arcus KA ab iis deficit. Sit arcus AB = 30 gradibus, & BF sss BK; ob triangula re- ctangula SIF, SGQ similia, est angulus IFS = GQS= BCA =30”; unde cum KFS ----30°, est (729) GK----4 FK — 1 K---FI. Est autem FK a — GK* sss FG 3 , seu 4lK a — IK a ---- FG 3 : ergo 3 IK 3 , seu IK 3 X 3 — FG a ; & extracta radice, IK X \/ 3 = FG, adeoque IKxv/3 -FKM---FN. 744. Theorema V. Summa ex Sinu FT, arcus HF minoris60 gradibus if Jhu FI, differentia arcus HF a 6o° aqualis est sinui KO, arcus HK, qui tantum excedit 6o °, quantum arcus HF ab iis deficit. (Quoniam Fls=GK (743)» 6st FT-f*GK = KO. Sic exempli gratia est sin 55'*+* sin sss sin 65°. 754. Ope horum Theorematum omnes sinus reperiri possunt. Cognito enim sinu arcus 30° (729), I>er Theorem. I & XI habentur o O sinus 15% 7*-, , & nc deinceps accipiendo medietatem prsece- dentium uSque ad duodecimam divisionem , ex qua obtinetur sinus Trigonometria. 176 52// 44/// 3|/W, qui citra errorem sensibilem pro ipso arcu Woeri potest; & quia sinus, qui ab arcubus non differunt, sunt iisdem proportionales, fieri potest h«c analogia: ut hic arcus est ad suum sinum, ita arcus iV est ad sinum suum. Hoc habito datur (741) sinus arcus 2/, tum (742) 3 / , 4/ &c, usque ad 30°. Inde porro (743) a 30° usque ad 6 o° omnes reperiuntur; & tandem (744) a 6 o° usque ad 90°. Habitis sinubus , tangentes ope alicujus formulae articuli superioris pariter inveniuntur. Principia Theories Calculi Trigonometrie!. 746. Theorema L In omni triangulo fimis angulorum sunt ut latera oppoßta. Demonstratio. Si triangulum circulo inscribatur, singula latera sunt chordae arcuum duplorum eorum, qui angulos oppositos metiuntur (4 66): est igitur cujusvis lateris dimidium (726) sinus anguli oppositi; & cum dimidia sint ut tota (297) ; quod vis latus est ut sinus anguli oppositi. 747. C0R0LL. I. Cum sinus anguli recti sit ipse radius (727)♦ & latus recto oppositum sit hypotenusa (48 Z), est in omni triangpdo reclungulo radius ad hypotenufam , ut /mus unius ex angulis acutis ai Ibtus eidem angulo ■ oppositum. 748- CorolL. II. In triangulo rectangulo sinus unius anguli ex acutis est cosinus alterius: igitur est semper (746) sinus unius ex angulis acutis ad suum cosinum, ut latus oppositum illi angulo ad latus alterum. Est autem (73z) sinus ad cosinum, ut tangens ad radium; ergo in triangulo recl angulo est tangens unius ex acutis ad radium, ut est latus ei angulo oppositum ad latus alterum . 749. Coroll. III. Datis tribus angulis trianguli, solum datur ratio laterum, non autem magnitudo eorum absoluta. Etenim nihil aliud ex angulorum magnitudine infirri potest, nisi quod latera iis opposita sint in ratione eorundem sinuum; neque magnitudo laterum determinari potest, cum possint infinita triangula inaequalia construi, qua? omnia sint inter se similia: atque adeo angulos homologos «quales habeant, Fig. 64. 750. Theorema II. In quovis triangulo ABC (Fig. 64.) est: ut latus maximum AC ad summam laterum reliquorum AB -+- BO, ita est eorundem differentia AB — BC , ad differentiam segmentorum lateris maximi A£, CE , qua fiunt a perpendiculari ex angulo maximo B in latus maximum AC demffa. De- TßlGONOMETRlA. , 177 Demonstratio. Etenim si ex angulo B fanquam centro intervallo lateris minimi BC describatur circulus GCD, & producatur AB in G; patet, esse AG sss Aß Hh BC, item AP = AB — BC : & quoniam (448) CE — ED, est EA — CE sss AD. Est autem (564) AC: AG :: AP : AD. 751. Theorema 1 IL In omni triangulo reclilineo ABC (Fig. 64.) Fig. €4. eß summa laterum duorum quorumvis AB H- BC, ad eorum differentiam AB— BC, ut tangens semifummt angulorum A & C, iis lateribus oppositorum , ad tangentem eorundem angulorum Jemidiffer entiee. Demonstratio. Sit angulorum A & C semisumma ---- P, eorum semidifferentia ---- Q ; erit angulus major C — P-t- y ( 232); & minor A — P — Q, His positis est (746 ) AB : BC : :ßn C : ßn A : : fin P -+- Q : ßn P — Q; seu ( 74 s ) : : ßn P xcoßn Q -f- cqfin P -+- fin Q : ßn P x coßn Q — cosin P x ßn Q. Igitur AB x ßn P x coßn Q — AB X coßn P x ßn Q = BC X ßn P x coßn Q-hBC X coßn P X ßn Q. Seu AB — BC X ßn p X coßn Q — AB -+- BC X coßn P X ßn Q; & si utrumque membrum aequationis dividatur per coßn P x coßn Q, fiatque reductio, erit AB — BC X —- ^ as --- ßfj O ßn coßn P AB -f- BC x est autem (7,36) = taug ; unde fiet AB — BC X tang P — AB -+> BC X tang Q , consequenter habetur * (302) AB + BC : AB —- BC : : tang P : tang Q : : tang 732. SciroLiuM. Hac analogia ad alias duas sequentes reduci potest.: Ut eji latus minus BC, ad latus majus AB, ita ejt radius ad tangentem anguli, a quo 45 0 subtrahantur. Dein: ut est radius ad tangentem anguli residui; ita est tangens semisummee angulorum AS C, ad tangentem eorundem semidifferentiot. Demonstratio. Producta AB, fiat PT = BP = BC, & PM s=BA; eritTM = BA— BC. Fiat quoque angulus NBT=;45', & e punctis T, M demittantur in BN perpendiculares TK, MN; jungatur denique KP. Patet, triangula BKP, BKT, BNM e sie rectangu- la isoscelia, & similia; ideoque BK = KT, BP = KP =.PT = BC, & BN = NM. Est igitur in triangulo PKM (748) PK ( vel BC): PM ( vel AB ) : : R : tang PKM. Ab hoc angulo subtractis 43', manet TKM = KMN. Porro (748) est R: tang KMN :: MN ( velBN): La Caille Liti. Elan, Z TälüONoMEXRiA. r?8 KN :: BM (vel AB+BC): TM (vel AB — BC) :: tang A+C A—G (75i> Usus Theoria preecedentis in Calculis Trigonometricis. 753. In calculis trigonometricis nonnisi logarithmi sinuum, co- sinuura, tangendum, cotangentium, ac numerorum naturalium, magnitudinem absolutam laterum exhibentium, usurpantur. Unda; tabulas adhiberi solitae exhibent imprimis logarithmos sinuum, cosinuum &c, dein separatim tabulam logarithmorum numerorum naturalium ab 1 usque ad IOCOO , vel 20000, qui, quod ad usum, plerumque sufficiunt. 754. In tabulis sinuum supponitur radius, seu sinus totus = 10000000000, ita, ut characteristica logarithmi radii sit 10. Ex quo sequitur primo, quod , dum logarithmus radii addi debet alteri logarithmo , sufficiat , alterius logarithmi charafteristica praßgere x, si ea minor fit decale, ut plerumque minor ejt; aut vero, fi decadem excedat , vel Quare perpendicularibus MT, MR, distantias datas metientibus, substitui poterant parallel® MV, MP, & situs puncti M ex his conditionibus determinari, ut fit infra AS, ad sinistram rect® SF, atque parallel® ex eoad AS&SFduct® sint altera— NP, altera — MV. Quod si enim accipiatur in SP infra AS pars SP — MV, & per P agatur parallela ad AS, nempe GH, solum opus est/ut in eam transferatur exP recta = PM, eritque punctum M exacte determinatum, uti prius. 767. Plerumque curva in plano descripta consideratur ut series vestigio rum progressuum momentaneorum, qu® reliquit punctum mobile in plano fluens; atque ut natura & proprietates curv® constitui possint, neceffeest, ut ea series Fig. 68. sit series punctorum M. M fFig- 68 ) eodem semper modo determinato respectu rectarum AS, SP in eodem plano diversum situm habentium, sitque functio quaeris determinata rect® MP, ad similem functionem rect® correspondentis SP in •Notiones Praiviab de Curvis; 183 ratione constante: atque hinc punctum M curvam describens fecundum certam legem moveri perpetuo debet, quam observet in angulis infinite parvis suorum flexuum. AEquatio Algebraica, quae exprimit hanc legem, seu rationem constaa. tem functionis rectae cujusvis MI’ ad functionem correspondentis rectae SP, dicitur aquatio ad curvam; recta, ad quam terminantur omnes parallelae,dicitur linta abfdjjarum, ut pote cum abjciße vocentur partes SP, SP &c. hujus lineae, qua? inter punctum determinatum Sfquod origo abscijjarum appellatur), per quod trans c recta AS, & parallelas ad AS, nempe A1P (quse dicuntur ordinato:, vel ordinatim applicata) intercipiuntur. Ex quo deducitur, quod si semel sciatur abscissarum origo, & positio unius ex ordinatis, rectae AS nullus amplius fit usus. 768- Ut haec exemplo illustrentur, supponamus esse § MS(Eig.69) se- Pig. micirculum, cujus diameter s S. Notum est (565), quod si e puncto quovis M ad diametrum demittatur perpendicularis MP, semper fit MP*=SP x Ps. Igitur sum- ta Ss pro linea abscissarum, & puncto S pro earundem origine, aequatio ad circulum debet exprimere, quadratum cujusvis ordinatae MP esse aequale facto ex abscissa SP in partem residuam diametri P§. Unde posito Ssa=a MP=y, SP = x (nam illud observandum, ordinatas curvarum plerumque vocari y, & abscissas x; ita, ut in familiari sermone x & y adhibeatur, cum abscissas, &'ordinatas curvae alicujus significare volumus ) erit Ps = ,i — x; hinc yy —ax — xx aequatio ad circulum, quoniam in ea exprimitur constans aequalitas ejusdem functionis ordinat* (nempe quadrati)ad eandem functionem abscissae (scilicet producti ex ea in residuam partem diametri). 769. Ex his manifestum est, ordinatas curvae, & correspondentes abscissas debere esse quantitates indeterminatas, seu variabiles,sed quarum una ex altera deduci potllt, facta semel suppositione certae magnitudinis alterutrius, atque ex quantitatibus determinatis, sive conjlamibus, quae in aequatione continentur; unde nec difficile erit ipsam curvam describere. Exempli causa, in aequatione ad circulum est a quantitas constans, seu in variabilis; unde si sumatur 0=10 & in 5 s fiant quotcunque abscissae SP ( quae majoris commoditatis causa plerumque accipiuntur in progreffione Arithmetica,ut intervalla PP sint aequalia); ut si SP sive x ponatur successive = o, 1, 2, 3,4,5,6, 7, 8, 9,10; ex aequatione yy = ax~ xx, reperientur ordinatae correspondentes o, 3,4 \/ 21,^24,5,>/24,^21 430- si itaque e punctisP erigantur totidem perpendiculares ad St & fiant aequales’ 3' 4> y/ 21 &c, habebuntur tot puncta M, per quae descripta curva erit circulus eo accuratior, quo ordinatae MP fuerint aliis aliae propiores. Et quoniam aeauatio yy=sax — xx habet etiam radices negativas — 3>—4, — — y/ 24, & c ' totidem, ac positivas 3,4, V21, ^24 &c; patet, quod fi productis rectis MP ad partem alteram rectae Ss (765) accipiantur totidem, & aequales P m, habeatur circulus integer SMm. Illud quoque intelligitur, quod si SP accepta fuisset major, quam Ss sive x—a, correspondens ordinata facta fuislet quantitas imaginaria, seu impossibilia: etenim hoc posito fuisset ax — xx quantitas negativa, adeoque ejus radix quadrata impossibilis (242). Quarenecesse est, ut semicirculus absolute terminetur in 5, nec potest ejus ramus SMM ulterius descendere. 770. Vicissira, cum omnes solutiones possibiles problematis indeterminati (235) contineantur in-aequatione , in qua du® quantitates sunt incognitae poni potest, omnes valores possibiles unius ex incognitis exhiberi per seriem abscissarum alicujus curv®, & valores alterius incognitae correspondentes per ordinatas ad eandem curvam, ita, ut quodvis curv® punctum habeat suam ordinatam 6 abscissam, qu® accuratam solutionem problematis indeterminati pr®beat quod ea aequatione exprimitur, 1 ’ 1 184 Tkactatus de Sectionibus Conicis. 771. Varii gradus aequationum opportuni sunt ad varia generas ordines linearum constituendos ,• uti & diversae combinationes functionum quantitatum incognitarum, quae in aequatione certi gradus occurrunt, serviunt ad secernendas lineas in diversas species, comprehensas sub eo genere, quod gradus aequationis indicat. Numerus harum combinationum possibilium, atque inter se reapse diversarum , determinat numerum specierum. Sic linea primi generis vel primi ordinis dicuntur, quarum aequationes sunt primi gradus; lineae fecundi generis, vel fecundi ordinis , quarum aequatio est secundi gradus, & sic deinceps. Linea primi generis est sola recta, secundi generis lineae sunt tantum quatuor sectiones conicae; tertii generis sunt 7a , & adhuc plures quarti MF; hyperbola, si MG > MG MG 1 MF; parabola , si MG —MF,- circulus si ^ ^ recta, si — gg- In prae* sens priores tres rationes tantum considerabimus, ex quibus habentur curvae, proprie jecliones conica dictae. 782. Recta AF per focum F ad directricem AG perpendicularis ducta est sectionis axis principalis. Punctum hujus S inter F & A situm, ita ut sit SA ad SF in ratione constante sectionis, esi vertexficlionis, origo , vel extremum axis principalis. 781- Igitur feclio conica est ellipfis , hyperbola , vel parabola, aut ejus vertex propior , remotior, vel in eadem distantia a foco fuerit, ac a direclrice. 784. Si datis directrice, positione, foco, ac vertice 8, oporteat quot* cunque sectionis puncta invenire, ac ipsam curvam describere, erigatur ex vertice 8 ad axem perpendicularis SI? == SFducatur indefinita ABD , & erectis quotlibet ad axem perpendicularibus PD, PD, PD, atque etiam, si lubet ex altera verticis parte, accipiantur in iisdem puncta M, M ea lege, ut semper sit FM = PD,- transferantur quoque PM in productas ad alteram partem axis, ut sit quaevis PM = Pm,- denique curva per puncta M, M , m,m transiens erit sectio conica quaesita. Etenim si ex quovis ejus puncto ducatur ad directricem perpendicularis MG, erit, ob triangula similia ASB, APD, DP (seu FM): PA (seu MG):: SB (vel SF):SA. Et quia puncta m , m sunt in iisdem rectis, atque ad easdem ab axe distantias cum punctis M, M; quod dicitur de ramo curvaeSMM,idem dicendum est de altero Smm , priori aequali & simili, qui propterea easdem habet proprietates. Ex allata constructione facile sequentes proprietates deducuntur. 785-I* In parabola angulus S AB ejl 45",- in ellipji minor,major in hyperbola .* De Sect. Con. in Plano ad Axem Relatis. 187 7*6. II. Quamdiu rectse FP minores sunt, quam rectae P D ,semper puncta M determinari possunt: etenim rectae PD debent esse aequales rectis FM (784); & rectae F M sunt hypotenusae triangulorum rectangulorum FMP, consequenter majores rectis F P. Unde si aliqua FP fiat aequalis correspondenti suae PD, punctum M necessario cadet in punctum P axeos; at fi FP evadat major correspondente PD, punctum M determinari nequit. Hoc posito.... In ellipsi (Fig 70.) rectae AP crescunt magis,quam correspondentes Pig. 7 °* PD, quia AS>SB (784): igitur rectae FP, quae sunt ultra focum F respectu verticis 8, debent primo quidem aequare; dein vero etiam excedere sibi correspondentes P D. Sit F P" = P /// D " ;jam punctum M'" cadet in axem , ibique curvam terminabit. Quod si enim acciperetur aliqua P D ultra P'" D'", seu etiam inter A & SB,eanimi> brevis foret, quam ut posset determinari punctum M ejusmodi,ut sit FM = PD. Est ergo ellipfis curva , cuju ? rami SMM, Sinm ab initio ab axe ex utraque parte discedunt, dein ad eundem revertuntur, ac se in s con- jungut, ita , ut axis ejus principalis terminetur in hoc punclo s, quod est alter elli- pjeos vertex. 787 In hyperbola (Fig. 71.) cum sit AS/m (494), e quo manifestum est, esse punctum A extra curvam (795); & in hyperbola (Fig. 77), fi foret A/— A m 5= fm (795 ) ut ejus natura poscit, siquidem punctum A ad eam pertineat,- esset simul Af= Am-hfm (545), quod est absurdum. Igitur prater M nullum est punctum in recta TM, quod sit in curva. 806. Scjiolium. Praecedens solutio applicari quoque potest parabolae, si per datum punctum M (Fig. 78) ducatur recta MF, & altera Mm axi parallela, quae proinde censetur ex altero foco infinite distante venire, & dividatur angulus F M m bifariam. * * Si detur punctum extra ficlibnem conicam, ac petatur, ut inde ducatur tangens sequens rejolutio adhiberi poterit: Ji sectio Jit varabola , sumto centro in puncto dato, b radio aquali ejusdem puncti dißantia a foco, describatur arcus, qui directricem, intcrficet: Ji ex hoc puncto intersectionis ducatur parallela ad axem , ea in parabola determinabit punctum , in quo recta e puncto dato ducta parabolam tangit. De- monflratio patebit figuram conßruenti, Ji ex dato puncto ducantur ad focum, & ad punctum intersectionis arcus cum directrice radii , atque hoc idem interfectionis punctum cum foco conjungatur , focusque cum puncto contactus. 2do Si JeciioJh ellipfis , describatur arcus e puncto dato , tanquam centro , radio aquali difiantia ejusdem a foco viciniore ;tum alter arcus e foco remotiore, & radio aquali Aa - Fig. 71. Fig. 75 L77. Fig. 78. % 190 Tractatus oe Sectionibus Conicis: 807. Coroll. I. Angulus b M f ad punctum contactus ( Fig. 7§, 78 ) , in-, ter tangentem Mb , 0 rectam M f tendentem ad alterutrum focum, femper est sequatis angulo FMT inter eandem tangentem, 0 rectam MF ad alterum focum ductam. In hyperbola (Fig. 77) est &M/=frMF, quod eodem redit. 808. Coroll. II. Chorda F m per tangentem femper bifariam in partes KF & Kra, & ad angulos rectos secatur. 809. Observa. Deinceps femper appellabimus abscissam ordinatae ad axem, vel generaliter ad diametrum, distantiam punctorum extremorum diametri ab eo puncto, in quo ei ordinata etiam si opus est, productae, occurrit,itaque ellipsis, circulus, hyperbola femper habent duas abscissas singulis ordinatis respondentes. Sed quoniam eadem litera x diverste abscissae exprimi nequeunt, femper vocabimus x, & abscissam, illam partem diametri, quae inter ordinatam, & punctum diametri determinatum,nempe originem abscisiariim, comprehenditur. 8 io. Problrma II. Invenire sequationem , qu£ exprimat rationem functionum ordinatarum ad functiones juarum abjcijfarum, earum origine in vertice diametri fumta. Pip. Resolutio. Sit in ellipsi (Fig. 7s) Si=aa, L/ = 2/>; SF, seu sf ‘ * 5 z=c; S P= x , PM=y-‘ erit P 2— x, P C — a — x, PF — x —c, C F =a— c, F /= a a — 2 c, & P/'=2a — c — x. Jam in triangulo F/C est (562) F/*= F'C’ + /C*, seu aa = aa — 2 a c -+- c c -4- b b ; atque hinccc=2ac — bb. His positis in trianguloFM/habetur (7Z0) /M + MF (aa):F f(za — 2c)-.\ /P—PF(2a — u): /M — M F—2 a— -zx — 2 *S’ tur ( 2 3 2 s=a—n + a: + c—— =A--t-c — —• Est autem in triangulo rectangulo PMF, 2 C V X 2 C C X C C X X PM’=FM' — P F', seu yy = xx-hzcx + cc —■ — —---j- a a aa c y x ■' ■ 2 cryy r z' v v XX + 2CX — cc, & facta reductione, yy = 4 cx~ -:- 1 - Cl d CL ■** substituto 2 ac — bb pro cc, ac reductione adhibita, tandem habetur yy=> 2 bbx bb xx a aa p:» _ 7 Pro hyperbola (Fig. 77) positis eodem modo Ss=za, Ll=zb; SF velsf=c, SI > =x, &PMa=y, est Ps = za-hx, PC=!i + i, PF— axi majori , qui priorem arcum interfecet. Quod Ji focus remotior conjungatur recta cum punäo interfectionis arcuum, ea secabit ellipfin in .puncto, ad quod ex dato ducenda est tangens. Demonßratio ex ipsa conjlrustione facile intelligetur. 3Ü0 Si denique sectio Jit hyperbola, eadem fere manet constructio ; nempe e puncto dato tanquam centro describitur arcus,cujus radius Jit sequatis dijiantise puncti dati a foco viciniore hyperbolanm oppositarum ,• tum afflanto pro centro foco altero, 0 radio jequali axi transverso prior arcus intersecaturper punctum intet sectionis agitur recta e foco poßeriore , producenda, donec, occurrat hyperboles , ac determinet ejus punctum, ad quod e puncto dato ducenda eß tangens. Illud tamen ißhic observandum, cum arcus tam fise, tjuam direclricem parabolse bis intersecare possint , tangentes posse duas duci , ni/i Ji punctum datum Jit in centro hy - perbolarum; tunc enim utraque tangens fiet ajymptotns : Ji detur in asymptoto, altera tangens duci poterit • altera cum asymptoto congruet. Ceterum methodus, quam pro elliofi pr£ scripsimus , etiam sufficit pro circulo , dum nempe dßantia focorutn in ellipji evanescit. De Sect. Con. in Plano ad Axem Relatis. 191 x — c, P/=*-4-2 a + c, CF vel S/ = c-f-c (koo). Est igitur in triangulo rectangulo SCI , Sl' = CP-4-SC', sive aa-4-2 ac-i-ccbb- 4 -aa, adeoque cc s=bb —2 ac. Sumatur dein M$& = MF, & transferatur ex M in partem alte* ram ordinatse MP, fiet P^ = PF, & in triangulo ; est, p=4c. 81: puncta concursus T omnium tangentium hyperbola cum axe principali , femper cadere intra verticem & centrum. 2 do •' per centrum hyperbola duci poste ex utraque axis parte rectam , qua ramum utrumque hyperbola in distantia infinita tangat. 830. Coroll. IV. Quia CP±PT=CT; est€T= — -'9 haec aequatio suppeditat analogiam alsi x: a:: a : C T. Ergo C P, C S, C T sunt in proportione continua, ex qua facile est reperire in axe principali punctum T, per quod transire debet tangens sectionis in puncto dato M. 831. Problema VII. Invenire aquationem ad perpendicularem SB e* vertice S usque ad tangentem T M. Resolutio. Ob triangula TPM, TSB similia, esi T P ( -—— J* TS :PM: SB; sive , quia denominator in prima ratione aZsZx est idem , 2 a xlsZ .* Ar:#* : :PM: SB; seu denique (296) zctZslx: at: PM: S B; & singulis terminis ad quadratum elevatis, substitutoque pro PM* ejus valore , „ 2 abbx Z+Z bbx x __ T . __ (8i2) , qaa zf. -p- xx: a a:: -- : SB*. Igitur SB* = 2 abbx^_bbxx 4 aa. a a , vel sumto \ ap pro bb ( 820 ) , S B a aap . Iqax-t-xx' * ' 1 '' 4slu_(_4ix + » 832. Coroll. I. In parabola est8B —^PM---^y,-nam quiaa = habetur S B* = =) t p yy,- & S B = \y. 833. Coroll. II. Posita in hyperbola x = co , formula prior pro SB* reducitur ad hancSB ! = - — b b : consequenter SB = &. Unde si fiant SB, & 8/3 (Fig. 74) aequalis axi dimidio conjugato, ducanturque per centrum C Fig 74. rectae f/3, b B, erunt hae kyperbolarum MS/n, 0.?o asymptoti. 834. Problema VIII, Invenire aquationem Normalis NM. Resolutio. In triangulo NPM habetur NM’ = PM‘ + PN‘. Igitur ____ B.a 3 bbx^Zaabbxx-\-aab 4 zp:2ab‘ > x-i-b‘ , xx FJJvr =--— —y-z -; si in hac aequatione adhibeatur va- ^aapxzpiz ap xx + aapp ^.Zapp x-hpp x x 4 aa lor parametri, est N M’; 835. Coroll. I. In parabola, in qua a — , habetur NM*=pj; "+■ iP P’ 836. Coroll. II. Posita x = o in formula secunda, ea reducitur ad NM*=J-pp, ideoque NM = {-p. Quod si ponatur x= a in formula prima, habetur pro ellipsi M N = b. Quod ostendit, i m0 , in omni sectione conica normalem saltem aquari semiparametro, Jive ordinata per focum transeunti. Etenim sum* JLa Cdille Ltcl. Elem. B b 194 T.R.Ä ffTATUS DH SECTIONIBUS ConICIS. to M adeo vicino vertici 8, ut abscissa correspondens ordinat* MP fiat in fi. nite parva, seu evanescat, erit normalis — i^,in ellipfi normalem non pojje ejje majorem Jemiaxe minore. 837- Problema IX. Invenire cequaticnem reche S N, jeu difiantiee verticis S a puncto N, in quo normalis occurrit axi. Resolutio. SN^-S P + PN- ~ h ■^bbx-haax __ ap+px-h lax & aa in parabola SN = ip + ^. 838. Coroll* Posita x = o, fit SN = £p,- & quia a & p sunt positi- V* & constantes in formulis pro parabola & byperbola > patet, crescentibus a.-, crescere etiam in his duabus sectionibus SN. Hinc porro evidens fit, normalem femper cadere ultra focum respeclu verticis , b nunquam intra verticem (A focum viciniorem. 839. Problema X Invenire expressionem analyticam tangentis T M. Resolutio. PM’ + PT* = TM*i igitur aa 4 aax x^. 4ax*-j- x 4 4 aa xx sive TM' 'pxzf: ax 3 -f-x x aazfZsax -t-xx a a _f_ 2ax 3 -i-x x 9 parabola TM , =px + 4xv = 4ASxSP-i-4SP*. Fig. 7S. 840. Problema XI. Invenire aquationem ellipfeos Ö hyperbole ad axes zy?. relatarum , abscissis a centro computatis ( Fig. 75 & 77). Resolutio. Servatis omnibus denominationibus, ut in prioribus problematis, praeterquam quod CP ponenda fit = x, atque hinc 8 P abscissa prior rtaZpA- , &iP = a-p* , fit (820) yyt dnaaZf.xx::bb:aa::p:2a. Erit itaque *quatio sectionum ambarum, si referantur ad axes, yy = ±bbzjz \y b x x u x x ; & si eaedem referantur ad parametrum, yy—'^r\ap ^.——» 841. Coroll. I. Ad ellipsin. Quia ordinata MH ad axem minorem Fig. 76. ellipfeos (Fig. 76) =CP—x, & CH=PM=y, habentur abscissae LH = b — y, &H l~b+y: ideoque LHxHisW— yy. Jam vero *quatioyy = bbx x bb -- resolvitur in analogiam sequentem xxibb—yy ::aa:bb. Sunt igitur quadrata ordinatarum ad axem minorem , ad facla ex abfcißis correfpondentibus; ut ejl quadratum axis majoris , ad quadratum axis minoris. Hinc autem fi fiat 2 b. 2 a. accipiaturque q pro parametro axis minoris, substituta ea in q , sive q praecedente analogia, erit xx:bb — yy-.:q:zb; hoc est, quadrata ordinatarum ad axem minorem, sunt ad facta ex suis abscissis, ut parameter axis minoris,ad eundem axem minorem. Et universim quadrata ordinatarum ad axem minoremsunt inter se, ut facla ex earum abfcißis. 842. Coroll. II. Ordinatce ad axem minerem ellipfeos easdem omnino proprietates habent , quas ordinatce ad axem majorem. * 843. Coroll. III. Si vel super majore axe ellipfeos Ss, vel super Fig. 8i. minore, tanquam diametro describatur circulus SNsQ (Fig. 81), ducanturque NP, np ordinat* ad eam diametrum, earum quadrata sunt inter se (768) ut facta abscissarum sPxPS, & spx p 8. Sunt autem etiam quadrata ordinatarum MP, mp in eadem ratione,-igitur quadrata ordinatarum circuli sunt ut quadrata ordinatarum correspondentium ellipfeos, consequenter etiam ipsae ordinas* circuli sunt inter se, ut ordinat* ellipfeos, sive e* ordinat* sunt ut OC, sive C S, ad L C, hoc est, ut axis , super quo circulus descriptus ejl , ad axem alterum. nequit esse eadem. Namsi aequatio ad hyperbolam yy =— bb + De Sect. Con. in Plano ad Axem Relatis. 195 844. Obsbrva I. Ratio ordinatarum ad axem secundum hyperbolae aa tur in analogiam, fit x x:yy + bbi-.aa:bb, ubi terminus fecundus yy-h bb est summa quadratorum rectarum CH & CL (Fig. 77.) non autem factum ex ab- scissis H L & H/, quod ob H L =;y ■— b, & Hle=y-\-b ,foret yy—bb. Verum independenter ab hac analogia habetur formula generalis 'xx=aa pro ellipsi aeqiie, ac hyperbola ad axem secundum relatis, & abscissis a centro computatis, posita ordinata = x, & abscifla =y. 845, II. Ad normam hujus solutionis potest etiam inveniri aequatio abscissis a foco computatis, imo a puncto quovis in axe accepto. 84 < 5 . CoROLL.IV. Si ex aequationibus praesentis problematis instituatur calculus triangulorum, quae Problematis V, VI, VII: VIII, IX, & X. b b x p x adhibita sunt, reperientur sequentes formulae: PN= — — PT aaZ+lxx a a , aaZJZax ~s'a i bbJjl2d i bbx'sz2abbx , IjjZbbx*_ • 5 S 1 —.— J ~ "" n j w-D ^ x x x a 4 — 2 a ax x ^tla s pqZ2a 4 px'±2aapx 3 ZiZapx* . _ ft: a* b b Zf. a abbx x-b-b* xx a* -i-bbx _ zhaaaqpAav-f-pr . aa 4 — 4aaxx-i-2x* 2a 3 p_|_2a pxx-y-ppxx 4 a 3 xx vel M T a 6 — 2a*x x-i- a a x 4 ~h- a abb x x r 4 MT’= ---—- aaxx -4- a ax^fizaa p xx~±_p x* 2 axx 847. Coroll. V. Quia c in nulla formula praecedentium problematum reperitur , sequitur, quod eaedem formulae jeque applicari possint axi secundo el- lipseos, & hyperbolae, atque proprietates inde pendentes exprimant, modo mutationes debitae in literis observentur. 848. Coroll. VI. Cum magnitudo axis secundi L l hyperbolarum oppositarum MSra, O so (Fig. 74). determinetur translata CF , vel C/ex pun- pjg. 7^ cto Sin L &/; & asymptotorum situs (833), fi fiant SB ,Sß aequales rectis CL, vel C/, consequens est, ut sumtis C , Cfi aequalibus rectis LS, Is, ductae bß, B6° transeant per L & / , sintque L b, L/?; item /B, It aequales rectae Cr, vel CS. Unde punctis «I>,

C Q* (««); und Dß Section. Con. a d Diametros Relatis. 1 97 S6o. Coroll. III. In hyperbola habetur aaxbb:: CS’4 -CQ* (sive CP 1 ) (**)■* NQ‘ = ;LCM*=CP--f-PMv quare CM.'=xx-lb+ bb xx -i aa aa & CN‘ = CQ‘-4-NQ\ Unde C N* = jp* — cl a + ; & CN 1 — CM‘=bb aa — aa. Hoc est, differentia quadratorum duarum diametrorum conjugatarum in hyperbola eß conflans , 86 1. Theorema III. Quadratum ordinat£ IH intra sectionem ad diametrum quamvis M O, eß ad factum ex abscisis correfpondentibus MHxHO, ut eß quadratum fimidiametri conjugat £ CN' ,ad quadratum femidiametri alterius CM’ ,ad quam HI ordinatur; sive I H*: M H X H O :: C N*: C M\ Demonstratio. Ducta ad axem Ss ordinata I G, & ex H perpendi, cidaribus HR, HK, fiat GK, sive H R = r, CK=r, CM = d; erit GS = & s G = a qp- -f-f. Jam quia triangula CPM, C H K similia sunt, est imprimis CP(m) : CM (ii)::CK (i); CH = — ; igitur MH = ~f~d2fr — L HO = i/-f: adeoque MHxHOssitdifqi ——-• Deinde est CP xx xx (x') \ PM(y):: CK(i) ; KH (vel RG) = ^- Et ob triangulorum TPM, HIR similitudinem» pariter habetur T P ^ . a ^ : P M (y ) : : H R % IG ^Cni. + RG)'=^ + ~g rrxxyy artyy Est autem (840) sPxPS(dtaa-f-^^)*‘ ^ GxGS (irtlhaa-j-. X X rrzsztt):: PM* Cyy') :IG’; si ex hac analogia repertus valor quadrati IG* comparetur eum valore ejusdem superius invento; habetur aequatio irtyy-fzaayy^ZrryyljZttyy rrxxyy J 2 rtyy {t Vy -I- . , - - —-—-- =3 - 1 ■ " ■ — - -— “1“ T- - -j- -:- , —H- n q ~j~ x x (~t~~ a a _)— x xy szzaa-^—xx xx aa 11 ex qua deducetur HR 1 , sive rr = au — xx-j-tt - jfff' **oc posito, dic« esse MHxHO C zh.dd : C M* (d d):: H xx+tt— ^' CQ 1 nam facta extremorum, & mediorum sunt aequalia. De- nique in triangulis similibus HIR, CNQ, habetur HR‘; C Q*:: IH 1 : C N*; hinc M H x H O: C M*:! I H 1 : C N*, vel I H 1 : MHxHO:: CN 1 : CM*. 862. Coroll. Quoniam ordinatae ad quamvis diametrum ellipseos nequeunt cadere extra sectionem , hoc theorema de quacunque diametro ellipseos verum est. Et univerfim apparet, proprietatesaxium omnium fictionum ronicarum, non pendentes a focis , convenire etiam diametris conjugatis. Illud solum est discriminis, quoa ordinatae ad axes sint iisdem perpendiculares,ordinatae autem ad diametros sint oblique ad easdem. Itaque ducta exi ordinata Ih ad diametrum DN, prorsus (841) ut superius, ostendetur , esse in ellipsi iA’iDAxANnC M*: C D*, & in hyperbola (844) I A'; Ci‘ + CD‘::CM‘: CD 1 , adeo, ut eaedem aequationes adhiberi possint pro diametris, quae adhibentur pro axibus conjugatis, eruntque earum parametri terti» proportionales ad easdem, prorsus ut N. 817. Verum Bb g Tractatus de Sectionibus Conicis. 198 Fig. 78. parameter alicujus diametri parabolae, v. g. Als (Fig. 78) semper est quadru- m 1J 1 m 4>, nA 1\ (T «m a ui m 1 —]«.. .m m a Tl IF J !. o_ . t — ^ U . 1 « a _ __ .. ^ u _ H pium distantiae Al/n, originis diametri AI, a directriceAm, vel a foco parabolae. Nam ( 839 ) M T* = 4 A Sx S P -+-4 S P*; quod si jam per verticem 8 ducatur SO ordinata ad diametrum AI/, erit SO=MT, & ejus abscissa MO = ST = SP (828). Sed quoniam ordinatarum ad diametros sunt eaedem proprietates, ac ordinatarum ad axem, est SO' = MOxj) (819). Porro 4 A8xSP + 4SP*=-SPxp, seu omnibus perSP divisis, 4 A S -4- 4 8 P —p& 4AS + 4 5 P=4 A P = 4 AI m = 4 M P; igitur p = 4 At/72=4 AI F. 8(53. Theorema IV. Si ab extremo M diametri cujusvis CM ('Fig. 79» 6 gc) demittatur ad eius conjugatam perpendicularis AIR , eß AIR: CL :: C S: CD. Demonstratio. Per NN. 859 & 860 est CD' + C AI* = b -+~ a a. bbx x b b xx\aax x-yz Est vero CAP = xxztlbb ^ —; ergo CD* = De- a a a a mittatur e centro C perpendicularis ad tangentem CI, & producatur CL, donec tangenti occurrat in X; triangula similia CIX, AINP suppeditabunt hanc analogiam: CI (vel ATR): C X:: MP (vel C V): N AI; & hinc AI Rx N AI ssCXxCV. Atqui (830, & 847) C XxC V=CL%- ergo etiam AIRxN AI 'b 4 x x u 4 b b ”1 ' aabb x x' CL*(M) :: CL = CL‘; consequenter N AI* CbbjtMR' -• Quare MR‘xCD* = aabb = CS'xCL', bbx x ;+T.a 4 _4_ aax x atque ideo AIR*: C L*:: C S": CD*, & AIR: CL: :C S: CD. 864. Coroll. Area parallelogrammi super semidiametris conjugatis CAT,CD descripti aequalis est rectangulo super semiaxibus conjugatis CS,CL; illius enim mensura est CD XAIR,- & hujus CSxCL. Idem est de diametris & axibus conjugatis integris. Igitur area parallelogrammi super Diametris conjugatis quibuscunque conßructi, aqualis est area rectanguli, cujus latera sunt axes, adeoqut etiam aqualis alterius parallelogrammi arete, cujus latera sunt alne quavis diametri conjugans. Proprietates hyperbolae ad ajymptotos relatae. 865. Dum asymptotos g 8 , Z>B, determinavimus (Fig. 74) fumsimus JPig. 74. SB, Sß aequales semiaxi secundo CL ( 833 )hinc autem sequitur, angulum afymptotorum ß CB debere ejje acutum, reclum , vel obtusum, ut semiaxis primus C 8 fuerit major, aqualis, vel minor, quam semiaxis conjugatus CL. Nam angulus SCB, illius dimidius, est minor, aequalis, vel major 45”, prout S B est min-or, aequalis, vel major, quam CS. 866. Cum diagonales SL, Cß rectanguli C L ß S, cujus latera sunt se- miaxes, sint inter se aequales, atque se mutuo in Y bisecent, est SY = C Y,& C Y* vel SY , = iCS*-4-J-CL*s=Jsta + t&&. 867. Si angulus afymptotorum sit rectus,hyperbola dicitur aequilatera. Unde patet imo, parametrum hyperbola: aquilatera ejje aqualem utrivis axi , qui tum inter se aquantur , 2do, in eadem hypothesi abscissis a vertice computatis, aquationem hyperbola ad axem relata S aquilatera ejje yy=2ax+xx; & abscissis a centro computatis, yy=>«— aa-^-xx, ob a=b , & p=eza = ib , qui valores nempe substituendi sunt in aequationibus hyperbolae ad axes relatae. 3 tio , cum aequationes ad circulum sintyy = 2 ax — xx, ==aa — x x, prout abscissae vel a vertice, vel a centro computantur, circulum ejje id respectu hyperbola aquilatera , quod eß ellipfis respectu alterius hyperbola axium inaqualium. Propriet. Hyperbole ad Asymptot. Relata. 199 §68. Theorema V. Si ordinata ad axem principalem quavis PM producatur vtrinque, donec occurrat ajymptotis in A & a, erit A M X M a = C L*, sive AM: CL::CL: Mi Demonstratio. Ex aequatione yy bb xx - bb( 840) habetur bb , aa v ' . bbxx fbx 's fbx 's sive CL*=-}’P=( -—y ) x (-1 -y )• aa \.a _/ \*.a J gula CSL, CAP similia sunt, estCS: CL::CP: P A— Quia autem trian- b x igitur AM= a ■ — —y, & M a~^+y; adeoque AMxMa = CL‘. 869. Coroll. Eodem modo est IVxI«=CL*= AMxMa=ii9ix mA-biuxiV. 870. Theorema VI. Si ex punclo quovis hyperboles M ducatur usque ai ajymptoium proximam CA retia MR parallela ajymptoto alteri CB, erit MRxRC = CP = SY';>£ MR: S Y::SY: R C. Demonstratio. Ducatur MX ad A C parallela, ut fit MX = RC. Ob triangula M A R , SßY similia, est MR: SY:; M A: Sß (vel CL). Est autem (d68) M A- CL::CL: M a; & quia triangula SßY, MaX similia sunt, Sß-- M a::ßY (vel SY): MX (vel RC); igitur etiam MR : SY S Y: RC. 871. Coroll. I. Quaevis recta, velutMR e puncto quolibet hyperbolae ad asyniptoturn C A ducta, & parallela alteri asymptoto considerari potest instar ordinatae, cujus abscissa fit pars asymptoti CA. Cum enim asymptotus CB sit tangens hyperbolae, ejus positio determinat situm ordinatarum (772), & origo abscissarum erit C, velut CR est abscissa ordinatae MR. Quod si itaque ponatur CR=*v, MR=y, CY vel SY=rf, habebitur xy *= dd, vel xy = -\aa-\-^bb, aquatio hyperbola ad asymptot os relata. 872. Coroll. ii. Si producatur M R usque ad hyperbolam conjugatam d LD, fiet DR = RM. Nam DRxCR = CY*=MRxCR. 873. Theorema VII. Si ducatur recla quavis F E per hyperbolam (Fig. 85) partes EO, FI inter asymptotos b curvam intercepta , sunt inter fi aquales. Demonstratio. Per puncta G & I ducantur ad axem perpendiculares DT, BQ ; erit (869) DRxRT, seu GTxGD = BIxIQ ; igitur IQ: GT::GD: BI; & quia D T, B Q sunt parallel®, triangula GTE, EIQ sunt similia, uti etiam FBI, FGD; quare habetur GD: BI.-:GF; IF. Et IQ: TG::IE: G E. Ergo GF: IF::IE: GE; &GF--IF: IF::IE—GE - G E: hoc est IG: IF:; IG: G E, consequenter I F= G E. 874. Coroll. I. Deducitur hinc methodus describendi hyperbolam intra duas asymptotos datas, quae transeat per punctum datum I Etenim si per hoc punctum I ducantur quotcunque rect® AP, BQ, FE &c, fiantque PH — AI, QK = BI, GE —FI &c, erunt puncta H, K, G &c in hyperbola. Quodsi dein unum ex his inventis assumatur loco dati I, ejus ope alia methodo eadem reperiri possunt. * * (JuodJi non detur punctum perimetri, fid focus hyperbola F (qui necejjario e(l ia recla angulum asymptotorum bificante, dejeribatur centro C hyperbola , Qfiu qsym- ptotorum intersectione ), radio aquali dijlantia foci ab eodem centro , arcus occurrens ajymptoto in G ( Fig. 98 e punclo occursus demittatur in axem jam positione datum perpendiculum G S , quod verticem principalem determinabit (13 & 833)- Habito vertice (.punclo nempe perimetri') cetera fiant methodo prascripta, Fig. 85. Fig. 98. 200 Thactatus de Sectionibus Conicis. 87Z. Coroll. II. Si sumatur aliquod punctum I extra, vel intra hy. perbolam jam descriptam RSH, poterit describi alia intra easdem asymptotos, quae cum priore RSH non nisi in distantia infinita concurrat. 87S. Corot. i.. III. Tangens hyperbole fe utrinque ad afymptotos terminata in puncto contactus t bifariam dividitur. Etenim si recta F E secet hyperbolam in punctis infinite propinquis, puncta G & I congruent cum puncto contactus, ideoque non minus erit FI=GE. Fig. 74. 877. Coroll. IV. Tangens hyperboles eg ad afymptotos terminata (Fig. 74) aqualis ejl diametro D N conjugata diametri M O perpunctum contactus M transeuntis , quod nempe in parallelogrammo DMgQ sit M^ = DC=Mf. Etenim ducta ex M recta MD asymptoto CB parallela, erit (872) MR=RDj & ob triangula «MR, e Cg similia, est rR.---R.C- Triangula ergo rRIVI, DRC inter se aequalia sunt (508); & hinc DC, & «M squales & parallelae. Igitur extremitas D rects MD cadit in hyperbolae DL d punctum illud, per quod diameter DN, conjugata diametri MO, transit. 878. Theorema. VIII. Si e duobus punctis quibuscunque hyperbola I 0 R Jlg. 85. (Fig. Zy ') ducantur parallela IA , RX, 0 * IE, RY, bina binis , quarum priores terminentur ad afymptotum vicinam , pofieriores ad alteram , erit IAxlE = RXxRY. Demonstratio. Ductis perl& R perpendicularibus ad axem ,& utrinque ad asymptotos. terminatis B Q , D T, habentur triangula similia BI A, DRX; item IQE, TRY: quare est IB: IA:: DR: RX; & IQ: I E::RT: RY; & hinc compositis rationibus IBxIQ: UxlE::DRxRT: RXxRY. Est vero BIx !Q = DRxRT ( 869 ); ergo etiam IAXIE = RXxIIY. 879. Coroll. I. Ductis per hyperbolam duabus parallelis quibuscunque FE, ZY, utrinque ad asymptotos terminatis, semper habetur FIxIE = ZRxRY. 880. Coroll. II. Si altera e parallelis hyperbolam tangat in t, fiet /? —FIxIE Lc. Varia Problemata de Sectionibus Conicis. 88 1. Problema I. Data portionis sectionis conica determinare speciem, & positionem axium. Resolutio. Ducantur binae quaevis parallelae, terminatae utrinque ad sectionem, & per utriusque punctum bisectionis ducatur recta, qus erit una e diametris. Tum ducantur rursus aliae duae parallelae ad priores obliquae, & per puncta bisectionis nova diameter. Si haec ad priorem diametrum fuerit parallela , sectio est parabola: si eam secuerit extra curvam, vel ex parte convexitatis, sectio est hyperbola; st tandem diametri sibi occurrant intra curvam, vel ex parte cavitatis, sectio est ellipsis; & punctum interfectionis diametrorum semper est centrum. Quare st e centro hunc in modum reperto describatur circulus, qui in duobus punctis occurrat portioni datae sectionis, recta ex centro per punctum medium inter illa, in quibus circulus sectioni conicae occurrit,ducta, erit axis. Si sectio fit parabola, ducatur ad diametrum quamlibet perpendicularis, & utrinque ad curvam terminata bisecetur, & ad punctum bisectionis ducta perpendicularis erit axis parabolae. * 882 . * Hac resolutio supponit tantam sectionis portionem dari , ut vel circulus , qui describitur reperto centro, vel perpendicularis ad diametrum, Jisectio Jit parabola, possit eidem occurrere ex altera axis inveniendi parte , adeoque supponit in ramo dato contineri verticem axis. Quod Ji non Jit, in parabola quidem habita semel ordinata diametri , S abjcijjix , facile reperiri poteft par amet er diametri (862) , adeoque ejusdem diame~ Varia Problemata de Sect. Con. aoi 882. Problema II. Per data tria puncta M, m, 0 y non in directum jacentia , circa focum datum F (Fig. 73) describere sectionem conicam, e jusque spe- Fig. 7Z. eiem 0 axes determinare. Resolutio. Ductis Mm, rnp , fiat FM: Fm::ME: mE; & F m : ... « . . T , F m X M m Fp::mU: ^H; sive, quod idem est, accipiatur m E --- — g j V j > & «H== F m x mja , ^ puncta E & H hoc modo determir.ata agatur recta indefinita F p — F m E H, quae erit sectionis directrix. Nam demissis ad e3m’perpendicularibus MG, mg, py, ob triangula gm E, G ME similia , habetur M G : mg :: ME: m E: : FM: F m. Similiter erit mg: p 0 * — 2 RMx CD Jive C M’ + CD 1 +2RM’xCD = (* 4- >’ / , & ^M’+CD’-f. 2 R IVI xCD=x+ p. Datur ergo summa semiaxium , 0 praterea summa eorum quadratorum, Jive etiam J (_x‘-+y ‘) , hoc eß, in triangulo quopiam rectangulo summa cathetorum una cum hypotenufa, quibus'datis invenitur quavis cathetus: igi- tilf' habebitur x , Jive semiaxis major. Quod Ji -jam centro reperto, radio aquali semiaxi majori fiant in tangente ( qua parallela ad diametrum conjugatam per verticem alterius duci potest) dua interfectiones, 0 inde ad centrum ducantur recta, iisque ex puncto contactus parallela, qua occurrant perpendiculis ex punctis interjectionum in tangente erectis , erunt puncta concursus foci ellipfeos , quibus cum centro conjunctis habetur etiam Jitus axis. Confractionis demonstratio expedita est. Per N. 805. (Fig. 99) est tam FQ, Eig. 99. quam f R aqualis axi S s 0 F N M , item /P M = 90-’, nec non F N — N R, /P=P Q, CF = C f; hinc RF:NF =/F: CF = 2: r = R/: N C; igitur N C=JR/=CS. Idem est de PC. Quare st fuerint NC, PC aquales semiaxi SC, perpendicula NF, P f ad tangentem concurricnt in focis F S f cum M F , M/, quarum illa ad P C , hac ad N C parallela. In hyperbola reperta, diametro conjugata alterius ( 862 ) ad afimptas ordinatas parallela, ex sequentibus (Mz, 884) prompta solutio datur,nempe repertis afymptoiis, reBa earum angulum bijecans Jitum axis prabet. Tum ducla tangente per diametri extremum, habetur ejus concursus cum axe, nec non ad axem demisso perpendiculo tx eodem puncto contactus , seu 01 dinata ad axem, habetur distantiastrdinata a centro, Jive (Fig. 77). kdbentur CT, CP, inter quas cum CSstt media continuo proportionalis (830) , invenitur edam vertex, 0 magnitudo semiaxis transverjis C S. La Caille Lefl. Elem. Cc 202 Tractatus de Sectionibus Conicis. Fig. ad directricem, ea erit axis sectionis; & si praeterea fiat MG: FM::AS FÄXFM „ „ FAXFM S F :: A s : s F ; seu si sumatur SF = FM + öM’ &Fs: G M — F M -habebuntur quoque vertices S, s axeos. 88Z- Problema III. Datis duabus diametris conjugatis MO, DN hy- 74 . p n 'boi£ ( Fig. 74 ) invenire ejus afymptotos. I. Resolutio. Per extremum punctum M diametri primae MO ducatur parallela «g ad ejus conjugatam DN, sistque M^ = Mf=CD vel CN; erunt puncta g & e in afymptotis. 884. II- Resolutio. Recta fiM extrema diametrorum jungens bise- cetur in R; erit recta per centrum C & R ducta una ex afymptotis; altera habebitur , si ex centro agatur ad D M parallela. 885. Scholium. E converso datis afymptotis , £? puncto hyperbole M, reperiuntur bina diametri conjugatis, si ducatur recta indefinita MD, asymptoto CB parallela, & fiat DR = MR, nam MC, DC erunt semidiametri conjugata. Vel vero si per M ducatur tangens exad afymptotos terminata, St per C agatur CD parallela & aequalis rectae Mf vel Mg. 886. Problema IV. Invenire radium curvaturis sectionis coniae in quovis Fig-79-8o. puncto M (Fig. 79 & 80 ). Resolutio. Ductis per punctum M datum diametro M O, item ejus conjugata DN, nec non axibus Ss, Ll, supponatur punctum K acceptum in M Ö , esis in circumferentia circuli per tria puncta sectionis infinite propinqua m, M, p transeuntis; erit (Z66) p HxHm = MHxHK, vel mH*=MHx HK. Est autem (820) mH-: M H x HO :: C D*: C M*; igitur MHxHK: MHXHO::C D*: CM*; sive HK: HO : : CD*: CM*; & quoniam MH est infinite parva etiam respectu mH, habetur MK: MO (seu aCM) ::CD‘: C M’; ergo M K = 2 C D* CM ' Ponatur jam diameter circuli oscultatoris curvae in m, M, p este MA, & ducatur chorda AK, erit triangulum AKM re- ctangulum ad K, & simile triangule MCR rectangulo ad R, cum MA sit normalis ad arcum mp, vel ejus tangentem MX, consequenter etiam normalis ad diametrum conjugatam N D. Est itaque MRiMCuMK s vel —— > • 2 CD f ♦ C D* MA= -- ’ & hinc ~ MA=—hoc est I" radius amatum sectionis co- M R M R niiis in quovis puncto dato M eß isqualis quadrato semidiametri conjugatis ad illam , qua per punctum datum transit, diviso per perpendicularem e punüo dato ad diametrum conjugatam demissam. Sed quoniam (863) MR-----———.erit {MA= ölUcS 9 hoc est II* radius curvaturis fiaionis coniae in quovis puncto dato M eß aqualis cubo semidiametri conjugata ad eam, qua per punclum datum transit , diviso per facium ex semiaxibus. 887 - Demistis e foco F , & centro C perpendiculis CI, F G ad tan- ‘ctionisin M,habetur f86z)MR°.- CS*;:CL* (velMRx MN):CD* CD* .. . _. CS'xMN gentem sectionis C^xMN. j amvero q U ijijj[Ac:~i erit etiam f MA= MR 1 MR 2CL MR* 2 vJL# Est autem parameter p axis S s, aequalis — - ^ , & i P = ~cs i ^ tur is* GS« t^ % &MR-=LE£££ ; un- aMN +MJN* CL'ssMRxMN, consequenter M R - M» •• Varia Problemata de Sect. Con. de facta substitutione fiet |MA = 4 MN j _ M N J ~ ipp ; hoc est, IIP radius curvatu- ?? rx fictionis coniae in quovis puncto dato M ejl aqualis cubo normalis diviso per quartam partem quadrati parametri axis principalis. In parabola formula ad radium curvaturae est "^ - • 1 2 p p Nam ( 8ZZ) NlVl'---px-s- ipp, hinc 4 N 1 VP —4px -4-pp , & 4 NM* = (4 px-+-ppy v / Cp x ~*~iPP)- Quod si jam quantitas sub signo radicali \/ ( px -4-^pp^ ducatur in 4, quin mutetur valor 09 . 0 » habebitur y/ ( px+ipp) = iv / ( 4px-+-pp); consequenter 4 N M 3 = (4/;x+pp) » V (4P*-t-pp)t& 4 NM 3 C4P x-Hpp) V (.4px-4-pp) T ... , .. c „ --—--—-- In ali is sectionibus formulae obveniunt pp 2 pp multo magis complicatae. 888. Problema V. Sectiones Conicas quadrare. Fig 78. Resolutio pro parabola. Detur quadrandum spatium S11MP (fig. 78), origine abscissarum statuta in vertice S. Habetur PM= y~\t px. Ponatur p — 1, erit>' = v /; *» sive y = x T . Quare ut habeatur summa ordinatarum i_ i_ r. x inter S & PM, alia re opus non est, quam ut summetur series i*.s\3 2 , 4 T - I —t- ili 1 A a 1 y 2 X i. A ^ 2 * x x / x 3 = 5 1 . . .x 1 hujus autem summa est (384) m" ~J~ 3 3 v ( 194 ) | x y/ x, seu, ob y = y/ x , — -f- xp. Ergo spatium parabolicum SMP ejl aquale duabus tertiis facti ex abjcijja in ordinatam , sive area? paralielogrammi SPML. 889. Coroll. I. Si ducatur recta SM, segmentum parabolicum SMn est =| xy. Etenim ejus area aequatur areae SPM« minus area trianguli rectan- guli S P M, hoc est=f xy — 3 xy = |. xy. 890. Coroll. II. Area segmenti SM» aequalis est dimidiae areae tri- linei M11SL. Nam hoc spatium externum aequale est |xr. 891. Coroll. III. Si punctum P cadat in focum, erit x=|p, & y «= \p, quare tunc f x y = ~x *} px { p~ T s p p. Hoc.est,area parabolica erit ^ quadrati parametri. 892. Resolutio pro ellipsi. Absciflis a centro computatis aequatio aabb—bbx x bb b ad eliipsin est vv—-, sive vv =— xCaa — xxj; hinc v=*-— r a a aa ^ a Fig. 81. Xy/aa — xx. Quare quaevis ordinata, quae inter CL&PM (fig. 80 duci b ' b potest, erit(779)— Xa — 5 x* seu b bx* bx e xx b x 4 b x “ -^ _ _ _ ys _ _, a 2 a a $a 3 a 1 6a 5 5 b a. 8 , &c. Unde fi haec series toties summetur, ■ — X 1 &c; a 128 a 7 2aa S-; 4 i 6 a s 128 a 8 quot inter CLP este postunt abscistae, habebitur summa omnium ordinatarum, seu area CLMP. Quod si itaque pro omnibus absciflis fumatur series infinita 1. 2. 3. 4. 5.... x, liquet i m( >, summam omnium terminorum primorum serie/> — XX — - &c. toties sumptae, quot sunt abscissae,-haberi, si accipiatur bxx, 2aa bxx sive b x. z&o, Summam omnium terminorum secundorum — esse aequalem 2 aa b ducto in summam omnium quadratorum terminorum seriei infinitae 1. 2. 2 aa C C 2 / 204 Tbactatus de Sectionibus Conicis. x, quae est (A8Z) hinc summa terminorum secundorum fiet 3 - 4 - 5 - — -—- 3 tio > summam omnium terminorum tertiorum — — aequari facto ex — ti (l CL O i4 *■ in summam omnium potentiarum quartarum terminorum seriei i. 2. 3. 4 5 . x, quae est (;8Z) — —; igitur summa terminorum tertiorum ----- b x s l) x ( —p Eodem modo invenitur summa omnium terminorum quartorum-- aequalis--— X — — —-- ; summa terminorum quintorum = — --» iöu‘ 7 itaa S 3 1152 a» X^ \) X^ &d ut adeo spatium CLMP habeatur per seriem infinitam bx~— - S aa 40 a 4 bx r Sbx* 7 b x ' 1 2 lbx' i — 7771 ?-i — ~ZC~T~T. —-- > &c, cuius fummatio in terminis fini- 1x2 a“ 1152a a 28x6 a" 13312 a“ tis adhuc reperiri non potuit; unde quadratura absoluta ellipseos est inter incognita- 893. Coroll. I. Si liat x = a, facta substitutione habetur ab — — xk a b — ji^ab , &c pro spatio quadrantis ellipses C L MS. Et si a & b supponantur axes integri, eadem feries exhibet totam aream eiiipseos. 894 - Coroll. II.» Si ponatur a~b, ellipsis abit m circulum, & series prior in sequentem aa — |aa— J^aa — T }^aa, &c, quae propterea dat spatium quadrantis circuli, aut etiam circuli integri, si supponatur tota diameter = a. 895. Coroll. III. Hinc palet, aream ellipticam esse ad aream circuli descripti stiper axe majore, ut ab — £ a b —> feab, &c ad aa —j.ii —a a &c, hoc est, ut ah ad aa, seu ut b: a, vei ut axis minor ad axem majorem. Et si circulus describatur super axe minore, erit ejus arca ad aream ellipticam,ut axis minor ad majorem. 896- Eodem modo portio C P N O circuli efi ad portionem C P M L ellipseos, ut axis major ad minorem , sive ut a ad b. Etenim ilia exhibetur per seriem ax — —-&c; haec per b x -—- &c. Idem est de areis P N S, 6 aa 40a 4 * 6 aa 40a 4 PMS. Haec omnia fatis manifesta sunt; cum id genus areae circulares nil aliud sint, quam summae ordinatarum, quarum singulae ( 844) sunt ad lingulas corre- spondentes in ellipsi (fic quarum summae sunt itidem areae ellipticae}, ut est axis major ad minorem. 897. Coroll. IV. Si e punclo quovis A accepto in axe ellipseos circulo inscripta r, vel circumscriptis ducantur ad extrema ordinatis communis PN reche AM, A N , area secloris circularis S A N, efi ad aream fecloris elliptici S A M , ut axis , super quo descriptus efi circulus , ad axem alterum. Nam area circularis SPN est ad aream ellipticam S MP in dicta ratione, ut ostensum est; & area trianguli PAN est ad aream trianguli P A M, ejusdem basis PA,utPN ad PM (595), vel (S43) ut CO ad CL, hoc est, ut axis, qui est diameter circuli, ad axem alterum,- quare (394) etiam areae totas S A N , SAM sunt in ratione eadem. 898. Coroll. V. Area ellipfis aqualis efi area circuli , cujus diameter efi media proportionalis inter axes ellipseos. Vocetur diameter circuli d; erit t/ &c ( 370). Et summa terminorum quorumlibet hujus seriei aa -+• | — — &c, & sum- toties acceptas, quot sunt termini in serie infinita 1. 2. 3. 4. x ,dabit se- . „ . aax aaxx aax 3 aax* nem infinitam—-—- H-----h &c aequalem ares ARMZ. b 2 bb 3 b 3 4 b* Et eo citius haec series converget, quo fuerit x minor, quam b. 901. C0R.0LL. Si ponatur b==a, hoc est, si origo abscissarum statuatur inY, erit spatium SYAZ — ax — \xx-4-i—- * a pto a— 1 , fiet = x —- x x x ■+■ \ -x* — \x*-4- §ic. 902. Scholium I. Sit CY=i, & abscissae CR, C A , Ct, in progressione Geometrica; CA=/, Ar —eri tf—b-i-x, & Ct=/+^ ideo* que b: b -+- *-•:/:/-+■ %; consequenter js — y- Unde manifestum est, aream X - SC* X* RMZA aequalem seriei --—I—:-■ - -f- &c, essa etiam aequalem areas AZkt, b 2 b* 3 b 3 4 b* pro qua est series &C. Igitur areee hyperbolicts, quarum + _V _V / 2 / 3fi 4f* bases sunt differenda abscisarum in progressione Geometrica sumptarum , sunt inter se aquales. Hinc porro apparet, quod si C Y, CR, CA,Cf sint abscissae ejusmodi, ut repraesentent seriem quantitatum progressionis Geometricae -'.f- q°.q l q'.q 3 , cum areae super basibus YR, Y A , A t sint aequales; areae super basibus Y R, Y A, Yi, sint inter se, ut numeri r, 2, 3. Sunt igitur areae istae ut exponen- tes quantitatum CR, C A , Ci , consequenter (337) ut iogarithmi earuudem. Quare Iogarithmi ope arearum hyperbolicarum inveniri pojjunt , b vici [sim , Cc Z. Tractatus de Sectionibus Conicis. 206 HOZ. Scholium II. Si desideretur area comprehensa afymptoto CB, & parte asymptoti alterius CR, ordinata MR, & ramo infinito MSz, ob a a = *y ( 871 ), si ponatur a (seu CY) = i, erit y ----- — x~ l ( iS8). Est au* x—' 1 ‘ + * * X* I tem ( 384) summa omnium x~~‘ aequalis — — = — = —• Cum igitur quotiens ex 1 divisa Aer o sit infinitus, etiam spatium illud infinitum est. Luperest jam, ut videamus, quomodo curvae, quas adhuc consideravimus, e sectione coni oriantur, seu sint reipsa fecliones coniae. 904. Conus rectus non nisi quatuor sequentibus modis per planum aliquod in duas partes secari potest. 1 °. Vel planum secans erit basi coni parallelum; & tunc manifestum est, curvam, quse terminat planum utriusque partis sectae, fore circulum, quippe cum sit illud planum elementum coni. 82. 905. IF. Vel planum Sp (Fig. 8a) erit parallelum alicui lateri coni AB, hoc est, laciet cum plano BC baseos angulum SpC,ilii aequalem,quem facit latus coni; & tunc curva indefinita «M SMm sectionem terminans ( cono enim in infinitum producto, planum eodem semper modo illum secaret, est parabola. o« 906. IIP. Vel planum Sp (Fig. 83) nec basi, nec lateri coni paral- ^ lelum, erit magis inclinatum ad planum baseos CB,quam coni latera; & tunc patet, utrinque coni latera per hoc planum secari, sectionemque terminari curva finita , in seipsam redeunte, quse erit ellipjis. 84. 907. IV“. Vel denique planum secans Sp (Fig. 84) erit minus inclinatum ad basin coni, quam ejus latera ;& tunc manifestum est, ab eo non posse omnia utrinque latera coni secari; ideoque curva sectionem terminans mMSM erit indefinita. Si porro ad verticem Coni A constituatur alter conus similis, planumque secans producatur, etiam hunc conum ad s eodem modo secabit. Haec sectio erit hyperbola, & si utraque sumatur , habebuntur hyperbole oppojint. 908- Illud autem per se liquet,quod si planum secans sit ad bafin coni perpendiculare, sectiones futurse sint hyperbola?; at si transiret simul per verticem, & axem coni, sectiones hyperbolicae abire deberent in triangula recti- linea isoscelis, & similia. g2. 909. Demonstratio pro Parabola. Sit (fig. 82) aliquod planum basi parallelum,- ejus sectio erit circulus EMD, cum sit unum ex elementis coni. Jam vero cum circuli EMD, BitCa curva secentur in MM, & praeterea a plano triangulari ABC (quod ad bafin perpendiculare per axem coni transire concipitur) in ED, & BC; evidens est, MM, mm, esse inter se parallelas, uti & diametrum E D ad diametrum BC,- & quia per hypofhesin planum ABC est perpendiculare ad planum secans, erit mm perpendicularis ad BC, ideoque etiam MM ad ED. Praeterea cum diametri ED, BC ab axe sectionis Sp intersecentur in P ctp, hic axis (623 ) debet esse in plano eodem cum diainetris, vel in plano trianguli ABC. Sunt igitui MM, mm etiam ad Sp perpendiculares; & hinc prn, P M sunt ordinante communes tam circulorum BisC, E M D, quam curva? mSm. Est autem (562) pm' = BpXpC ;& P M’ *=E PxP D; ergo p m' : P M a ::BpXp C: EPxPD. Sed quoniam A B & Sp sunt parallelae, est E P — B p, igitur etiam (296) pm‘: PM*::pC: P D; & ob triangula SPD, Sp C similia , habetur p C : P D.-: S p: 8 P , ergo p m' : PM*::Sp; SP. Unde patet, curvam mSm esse ejusmodi, ut sint quadrata, ordinatarum inter se, ut earum abscissae; quare (821) est parabola. Varia Problemata de Sect. Conicis. 910. Demonstratio pro Ellipsi (Fig. Zz). Ductis duobus planis ad pi», gr. basin coni parallelis, habentur duo circuli EmF, GMH, qui planum curvae 6 secant, & eodem modo, ac superius, ostendetur, mp, MP esse ordinatas communes circuli ac curvae sectionis, atque ex natura circulorum haberi mp ': MP*:: EpxpF: GPxPH. Et quoniam triangula S P H, S p F; sEp, iGP similia sunt, erit etiam p F: PH::Sp: PS; &E p: GP :.-sp: jP, Quare (307) EpXpF: GPxPH: spXSp: s PxSP; & consequenter pm': PM*::s pX Sp: s PxSP. Est ergo sectio sMS ejus naturae, ut quadrata ordinatarum sint inter se, ut facta abscissarum,id est,( 820) ellipsis. Eadem foret demonstratio, si solidum ABC esset cylinder rectus. yir. Demonstratio pro Hyperbola (Fig. 84)- Quia in circulis Fig. 84 . E M D, BmC habetur p m ': P M*:: B px p C: E P X P D ,■ & in triangulis D P S, CpS; item psB, PsE similibus, est p C •• PD:.-pS: PS; & p B: PE ::ps: s F, consequenter etiam compositis rationibus pCxpB: PDXPE : -.pSxps: PSxsP, erit quoque pm': BM.':: pSxsp : PSxsP, quae est proprietas hyperbolae ( 820). 912. Coroll. Evidens est, quod si ducatur per verticem coni planum parallelum ad planum sectionis, hoc planum, dum sectio est parabola, conum tangat; dum vero sectio est ellipsis,-totum sit extra conum ;& denique dum sectio est hyperbola, etiam ipsum transeat per conum. Quod si praeterea sint duo plana utrinque conum tangentia in rectis,per quas transit planum per verticem coni ad planum hyperbolae parallele ductum, erunt intersectiones horum planorum cum plano hyperbolae producto, afymptoti hyperbolae. Nam quia ab his planis omnia elementa coni tanguntur in punctis existentibus in plano parallelo ad planum hyperbolae, ea nequeunt in ullo alio puncto ab iisdem planis contingi; adeoque neque ea plana possunt uspiam occurrere hyperbolae, cujus omnia puncta sunt in plano parallelo ad illud, iy quo sunt puncta, ia quibus conus a duobus planis contingitur. dsr •'o 0* 7^ Calculus Infinitesimale. tot PRINCIPIA CALCULI INFI'NITESIMALIS -IZ. /“Auasvis magnitudo spectari potest, velut perducta ad eum statum, in quo est, per continua incrementa, atque licet etiam semper concipere aliquam quantitatem generatricem illorum incrementorum, quae agat per gradus infinite parvos, & aequales, atque constante aliqua lege determinatos. Gradus isti differentia dicuntur, seu differentulia illius magnitudinis, & calculus vocatur infiniteßmalis , in quo ejusmodi gradus infinite parvi adhibentur , seu ad inveniendas , seu demonstrandas proprietates magnitudinis. 914. Quantitas constans appellatur quaelibet, quae ad statum aliquem fixum pervenisse concipitur,- variabilis illa est, quae ut actualis incrementi vel decrementi mutationi subjecta consideratur. Sic in circulo dato diameter est quantitas constans, chorda variabilis. Quantitates constantes plerumque prioribus Alphabeti literis denotantur, variabiles posterioribus. 91-,. Differentiale quantitatis variabilis littera d indicari solet; sic adx exprimit factum quantitatis constantis a in incrementum infinite parvum variabilis x , ut proinde haec littera d munere quantitatis algebraicae non fungatur,- sed tantummodo nota sit quantitatis infinite parva-, cui praefigitur. 916. Dum in calculo infinitesimal! solummodo exprefliones incrementi infinite parvi unius, pluriumve variabilium adhibentur, calculus differendalis appellatur,- at dum per hujusmodkinfinite parvorum expressiones, ac proprietates quantitatum iis affectarum, quaritur valor finitus variabilium, seu, quod idem est, dum incrementum finitum ex omnibus gradibus infinite parvis ortum quaritur, calculus dicitur integratis. Unde aquationem , sive formulam aliquam differentiare , est quarere expressionem algebraicam quantitatum , qua gradum infinite parvum incrementi variabilium constituunt, qua in aquatione, seu formula data , occurrunt; integrare autem aquationem , Jive formulam differentialem, est quarere, quanam ea formula fuerit ante differentiationem; seu quanam sit summa omnium incrementorum, quorum in formula differentia 11 pro singulis variabilibus tantum unicus gradus infinite parvus exhibetur. 917. Hinc autem consequitur, quod si detur lex, juxta quam quantitas aliqua generatur, facile fit omnium variabilium, qua eam ingrediuntur, deferentialia reperire, ideoque calculus differendalis omni difficultate caret; at ex opposito datis solis differentialibus non aque pronum est feperire legem, juxta quam quantitas producitur; unde in calculo integral! non exigua occurrunt difficultates. 918. Quod isthic de incrementis dictum est, aque de decrementis in- telligi debet, cum utrorumque expressiones algebraicae solis signis + & —- differant. DE CALCULO DIFFERENTIAL!. Formula deferentiales. T ota ars differentiandi quantitates algebraicas in eo versatur, ut si qua proponatur , ei rite una sequentium formularum applicetur. 919. I. Differendare a x. Formula , a d x. Dk. FoRMULAJ DIFFERENTIALE?. 209 Demonstratio. Evidens est (Fig. £6), si parallelogrammi lateris x;»-, variabilis AD incrementum ft DF, alterum vero latus BD maneat constans, incrementum parallelogrammi CD = «, fore parallelogiammum ET> = axdx. 936. Coroll. Differentiale igitur quantitatis <.? * 4-/>_y -— ci estdd.v -f -bdy — cdx. Etsi disierentietur ab-ybb — cy, siet — cdy. Pariter duxe- rentiale quantitatis aa — bc% obtinetur — bcd•%. 921.ll. Differentiate xy. Formula, xdy-E ydx. Demonstratio. In ( Fig. 87) apparet, per incrementa laterum dx Fig. 8 ?* & dy, rectangulum CD augeri tribus rectangulis infinite parvis, nempe xdy, ydx, & dx dy. Postremum ex his negligendum est, cum sit (361) quantitas infinite parva secundi ordinis- Igitur incrementum infinite parvum rectanguli xy, esi x dy-\-y dx. 923. Observa. Si crescente altera, altera variabilium decrescat (vide fig. 88) differentiale decrescentis fit negativum. Sic habetur hic yd a- — xdy. Fig. gg. 933. Coroll. I. Differentiale dexy^, si supponantur omnes variabiles crescere, est yxdx -4- x xdy-y- xyd^. Sit enim xy—p, consequenter xyx — pZt & dp = ydx-j~x dy. Est autem diiierentiaie de px (911 ) —pd% -4 -%dp; & substituto xy pro p, ac xdy-y-ydx pro dp, habetur xyd^-f- yxdx -t- a 7 dy. Eodem modo differentia quantitatis uxyx est x y id n -j- uyidx -4- u xx dy -h uxyd%. 924. Coroll- II. Differentiale de axy est ax dy-y- aydx. Ponatur enim ax—p, ideoque a xy~py ; & dp = adx. Jam vero diiierentiaie dc py est pdy-Evdp; igitur facta substitutione habetur axdy-y- a ydx. 925. Coroll. III- Differentiale quantitatis xx est x dx-Exdx-t-2xdx. Differentiale cubi x 3 = 3 a’ dx; potentiae quartae x 4 = 4 v 3 dx; & universim diffe- _ • „ 7H rentiale de x m -4— mx m * dx. Sic pariter differentiale de ^ x m , sive x n est — x K dx. De — seu x m est —m x m 'dx. Si differentictur \/ (ap-ppp) 1 X M _ vdx-brdv + sydv r 1 /• ~~'d~ , - — mdx fiet———- >7— —^-; si- sive x * ,obtinetur -■; nt enim 2 + )’>•; imprimis ■ m \/x m n^x m -+-» Ijl —vi_•» ,_.w,_n dx — — x ' ; d x. Est autem x ~ ~~ = n (168 ); igitur m "■x -4-', habebitur ax m dx. &c. X d x = - . y 926. III. Differentiare — Formula a a n \/ **'■+•* dy. V x Si differentietur m -4- J Demonstratio. Nam in fig. 91 manifestum esi, esse dy : d : <2:1. Dig. 9 T ,._ . a v , axdy — aydx 927. I\ . Differentiare —• Formula,- x x \ ^ ^ v x ,✓ — - J — ay-hady, facta reductione, & omiffo infinitesiinaii fecundi La Caille Lttcl. Elem. D d 210 Calculos Infinitesimal«; ordinis, habetur — a dy, sive *d ^~^=sady. ayttx. hinc d (D ady x adyx axdy—aydx xdy XX XX $ 28 . Coroll. I. Differentiale de — est^-^- y yy 929, Corole. II. Differentiale de — ----- — — * * * 930. Observa I. Quoniam infinitorum sunt diversi ordines se se in progressione Geometrica excipientes ( 359) ;erndem sufficiunt formulae ad eorum calculos, modo diversi ordines infinite parvorum designentur per exponentes notae infinitesinialis d. Exempli causa ddx, sit quantitas infinite parva secundi ordinis , seu —• Infinitesimale altiorum, quam secundi ordinis, raro adhibentur. Quae sunt primi ordinis, dicuntur differentia prima; quae secundi, differentia secunda &C ; sunt nempe different ialia differentia!ium. 931. Itaque differentia secunda quantitatis ax, eff addx; dd (*>’) “ * ddy ~hy ddx-j- 2 dx dy ; dd sxx) = 2dx x-j-2xddx (observandum hic, dxx vel dx 1 idem esse, ac dxdx ; ddQx* 1 ') = (mm—m) x*‘ a d *‘ •+■ m x m ~' S d d x. Sitenim x m ~~' =3v,erit dy— Qn — r) x m ~~ % d x (925). Sit porro dx = %. His positis erit differentia prima de (quam invenimus mx m ~'' d x~) =*mx-%, Est autem differentiale de myx — !n X^y~^ m _ydx , sive substituendo valores repertos, m x dxxQm —i)*” 1 ' d x-y-mY. x n 'xddx. Differentia se- , , a 2ady' — ayddy „ eunda de — est----—-,&c* y y l 932. Observa II. Dum differentiatus aliquod differentiale, plerumque fit, ut differentia prima alicuius variabilis sit constans, vel saltem instar constantis consideretur. In exemplo, si facta differentiat.ione aequationis ad aliquam curvam quaeratur per differentias secundas incrementum inaequale ordinatarum, supponi debet, differentias primas abscissarum, seu dx , esse constantes, hoc esi, quaerendum est incrementum inaequale ordinatarum respondens incremento aequali abscissarum. Sic differentia secunda de^---, posita dx constante, est -Z Zstl Eodem modo differentia de mx m ~~‘ dx = dy , sumpta dy pro dx constante, est ( m m — m) x m ~' t dx*-t-m x m ~~' ddx=so. De Usu Calculi Differentiatis. 933, Calculus differentialis fere omnibus curvarum symptomatis investigandis sufficit; sed ut problemata Physico-Mathemattca accuratius solvantur, calculus integralis adhibetur. Nobis fatis est in praesens afferre exempla pauca usus calculi differentialis in curvarum theoria, adhibitis regulis maxime generalibus , quae, quantum ad lineas primi, & secundi ordinis, neque ulli exceptioni sunt obnoxia», neque difficultati in applicatione subjectae. Nihil speciati m afferemus de cautelis neceffariis, dum ad curvas aliorum generum transferuntur. Haec enim si exequi liberet, integer de calculo differentiali Tractatus formandus eilet. Usus Calc. Different, in Tangekt. 211 Usus Calculi Differentialis in tangentium , Jubiangentium , normalium , 0 suhncrmalium invejligationc. 934. Ut ad punctum curvx datum ducatur tangens, necesse est, ut in axe, diametro, aliave recta posuione data, determinetur praeterea aiiquod punctum, per quod tangens transire debet, ut ex utroque eo puncto situs tangentis habeatur; aut vero reperiendum est aliud quoddam punctum,per quod transeat normalis ad curvam in puncto dato, ut dein ad ipsam normalem in puncto dato erigatur perpendicularis. Sit (Fig. 93 & 94) SR tangens curva? in ipso axis vel diametri ver- Fig.93.94. tice, sit MP ordinata ad datum punctum M; pm altera ordinata infinite propinqua, & ad tangentem terminata. Ducatur per M ad diametrum vel axem parallela Rr, uti etiam MN ad curvam, vel tangentem perpendicularis; ex triangulo infinitesimal! rM m, in quo r M = dx ,r m=:dy } habebuntur sequentes formulae. 935. PT=-^* Nam rmuMuMP: PT. dy 936. $T Etenim ST — PT — PS; &PS=*= dy ay 937 • SB: ydx—xdy : — - Nempe PT: TS:.-PM:SB ; velMr: mi- TS : SB. Sed quas his subjicimus, eae non competunt nisi punctis curvarum ad axes relatis ( Fig- 94 ). 938. Mmc^C^+ih^live si dicatur M«i = ds ,ds=\t (dy°-i-dx*). 939- P N = ~^* Quippe rMnsr ;;PM: P N. 940. T M = iy ~ hdx ^ = yp. Etenim r m : M m :: P MTM. dy dy __ V (dx'-i-dy'') (ydx — xdy) 941. 1 Ii =--- -j—j -—-—. Cumiitrffi:M;«::SB:Til. x \/ (u’y'-f-dx'') 942. MB= —-^--- Quia M r ; M m :: S P: M B> yV (dy-hdx’) _ S4Z- MN= - -. Ex analogia Mr: Mm::PM: MN. rr-», rtdy'+dx') __ 944. TN= -——— Est namque TN = TP + PN. dydx 945- Usus harum formularum generalium in eo consistit, ut sumtis aquationis ad curvam aliquam differentiis ita inter se combinentur dx & dy, ut obtineatur »quatio, cujus alterum membrum sic una e formulis praecedentibus, alterum contineat tantum quantitates finitas. Detur exempli causa »quatio ad parabolam yy = x (posita parametro «i). JEquatio differentialis est 2 y dy—dx, ideoque s y= & avv «= - dy ydx r V xdx „ . . - live ob x—yy, 2x = — Hujus aequationis membrum secundum est formula subtangentis PT; est ergo in parabola PTs-=2#, ut Atpra (82S) reper- Dd 2 F«g- 94- 212 Calculus Infini tesimaLIs. _v d v __ dx P N. tum est. Similiter ob 2 ydy — dx, habetur y dy=\ dx, & -l Unde in parabola subnormalis aequatur semiparametro, prorsus ut supra (823 ). 945. Sit aequatio ad ellipsin aa yy= 2a bbx — bbxx (810); fi diffe- rentietur, fiet zaayy'dy=2abbdx- — 2bbxdx;&ü omnia dividamur per 2, ac ducantur aayy ydx in v, obtinetur aayvdy—abbydx — bbxydx; & hinc -r-r—— — --7— — ■ y ' xxx x xi a /, — £ l, x dy PT, Substituatur pro aayy ejus valor ex prima aequatione, & reducatur, ha- bebiturPT =-, ut N. 825. a — x Q. — ot Eadem ratione invenietur ST=-,uti N. 828; nempe fi in aequa- a —■ x none Zax—xx a — x enim formula ad S T xcfy ——, e membro priore subtrahatur x\ e posteriore i est ydx — xd\' ' (93«> d v Eadem methodus adhibenda in reliquis linearum ad punctum contactus relatarum valoribus determinandis, non modo in sectionibus conicis, fei etiam aliis curvis. Ejusdem calculi usus in radio curvaturce inveniendo . E pluribus methodis hanc in rem aptis, sequentem exempli loco ad- feremus. P>Z. 9d- 947. Sit (fig. 95) curva quasvis SMK, cujus axis SN; quaeratur ejus curvatura in M, live in arcu infinite parvo Mm. Concipiatur circulus centro C descriptus per tria arcus M;n puncta transire; erit MC vel m C radius curvatur® quaesitus. Ducantur ordinat® MI 1 , mp, & normalis ad M, MN, ac subnormalis P N. His positis, est Mm, vel ds, — Qdy'-$-dx' ), vds vdv „ \'dv MN = --—& PN= —ut superius vidimus. Quare SN = r-l-'' dx y)- Unde formula generalis abit in hanc-- (4yy+pp') — \/ (4 yy+pp)= membrum esto, fractio tollitur, eritque o=^ 2 dy'- 4 r 2 yddy ; hinc — 2 yddy ( 4 y>'- 4 -p/Q\/ Uyy-hpp% 2 PP 2dy 3 : p quae exhibet radium curvaturae in quovis puncto parabolae. Si loco 4 Vy adhibeatur 4 p x, obtinetur formula N. 887- Usus Calculi differentialis in repericndis Maximis & Minimis. 049. Si ea sit lex, juxta quam quantitas aliqua producitur, ut exigat, quantitatem illam, vel ejusdem functionem quampiam, usque ad certum terminum crescere, dein rursus decrescere; quaeri potest, quis ejus fit valor, cum maxima fuerit; vel quis fit ille terminus, ad quem cum pertingit,maxima evadit? Vel vero si lex productionis postulet, ut quantitas usque ad certum terminum decrescat, sed ultra eum rursus crescat; itidem quaestio elfe potest, quis fuetit valor, dum erat minima,- vel ubinam sit terminus , in quo minima luerat? Atque haec dum fiunt, dicuntur maxima vel minima quaeri; methodus autem, qua tum utimur, appellatur methodus de Maximis 0 Minimis. 950. Illud imprimis manifestum est, quod ineo termino, in quo quantitas evasit maxima, ejus incrementum fuerit nullum; uti & quod illic, ubi facta est minima, decrementum ejus nullum fuerit. Hinc sequitur, quod facta differentiatione quantitatis, de qua agitur, ejus variabilis differentiale ponendum fit = 0, quae usque ad certum limitem crescit, dein decrescit, vel ex opposito. Quod si hac methodo aequatio differentialis reducatur ad terminos finitos, maximum, vel minimum exhibebit, quod quaerebatur. 951. Exemplum. In ellipsi ordinatae ad axem majorem crescunt, tum iterum decrescunt. Si itaque desideretur punctum axis, in quo ordinata sit maxima, differentietur aequatio ad ellipfin C810) a ayy =.2abl> x — bbxx, quae erit 2 aay dy=z zabhclx —2 bbxdx: posita rfy = o, primum aequationis membrum evanescit, & manet 0 = 2 abbdx — 2 bbxdx, vel vero a.bbxdxsstidbbdx, quae squaetio reducetur ad a = x Ex quo patet punctum axis, in quo ordinata est maxima, este centrum ellipseos. Ut autem ipsa maximae ordinatae valor re- periatur, in aequatione ad ellipfin substituatujr a pro. x eruetur y = 1 >, Itaque Ordinata maxima est semiaxis minor. Dd B Calculus Infinitesimalis. 214 952. Quoniam methodus de maximis & minimis permagni momenti efr, ejus conceptus, quantum fieri potest, distinctus formari debet, maxime fi non aliqua aequatio proponatur, sed formula alia quaevis quantitatis variabilis. Id ut asteq namur , a Humemus curvam quampiam, qua omnes possibiles valores quantitatis variabilis a repraesentet, qua? quantitas mutetur lege per formulam algebraicam expressa. Sit igitur ea lex o, 1125 a 4 — o, 725 a 3 4-o, 9375 xx -4~o, 87,5 a?, fecundum quam x variat, & supponamus, hanc legem esse primum membrum aequationis ad aliquam curvam Geometricam, cujus alterum membrum sit y ; erit itaque o, 1125 a- 4 — c, 725 a 3 4-o, 9375 aa-4-o, 875 Ut jam curva describi possit, ponatur successve a = o, a = i, a=2, a 5= 3, &c, atque his valoribus in aequatione substitutis, invenientur etiam valores correspondentes y , quemadmodum in tabella adjuncta videre licet. Eig. 97. x y Ducatur recta indefinita P E (fig. 97) 1 qu® funia- fiu absei [i m seu ordinata tur pro linea abscissarum; & puncto S ad arbitrium o............ 0 pro origine abscissarum statuto accipiantur inde r.1 , 2 partes aequales ad A, E, D, E &c. Ex his eri- 2. 1 , 5 ganfur perpendiculares A«, Bb , C c , J)J &c, Z............ o , 6 quas fiant ordine sequaies ordinatis descriptis in ta- 4 .0,9 bella, scilicet Aa = r, 2; Bb=i, 5. Cc — o, 5 . 7 , 5 6 , ctc. Denique ducatur curva per omnia puncta 6 . 28 , 2 hoc modo determinata S, a, b, c , &c. His ita 7-..- 73 , 5 peractis.... ctc. &c. Ex ipso curvae intuitu patet, ordinatas ab initio crescere usque ad r; dein decrescere usque ad t, tum vero versus e citissime augeri. Illud praeterea manifestum est, curvam illic, ubi ordinata est maxima, axi obvertere cavitatem; ubi vero minimum datur, convexitatem. Quaeri igitur potest imprimis punctum R, cui respondet maximum Rr, tum ipsi valor maximi , R r ,• deinde punctum T, cui convenit minimum T t, ac ipsa hujus minimi quantitas. 953. In hunc finem differentietur aequatio ad curvam, quae fiet o, 44 x* dx —2, 175 a* 1/ a•+■ 1, 875 xdx-hc, 875 dx — dy; facta dy — o, cste- risque terminis per dx divisis, esto, 45 a 3 — 2, 175 a 5 4-1, S75 »' + o, 875 s=b, cujus aequationis tres radices sunt a = i, 6925; a— 3, 472; a =—3, 89r. Si hi valores successive- in aequatione prima substituantur pro a, reperie- turp=i, 578; y — 0,342; 0,675. Quare fi accipiatur SR =1,6925, & Rr = 1, 578 , habetur & locus, & magnitudo maximi quaesiti. Et fi postea fiat ST =3, 472, acTr = o, 342, determinabit prior locum , posterior valo- rem minimi. 954. Quod ad radicem negativam a*= — 3 , 891, ac correspordentem ordinatam o, 675, res ita sumenda est, ut intelligatur SP<=37, £91 accipi ex parte sinistra puncti S, ilticque erigi Pp = o, 675 ; pertinebit p ad curvae portionem versus sinistram sitam, quae descripta fuisset, factis abscissis a= — i, a = —2, a=s— 3 &c. Est itaque p locus maximi; vel minimi , in ea curvae portione. 955- Si aequatio ad Maximum vel Minimum habeat omnes radices imaginarias, id indicio, nullum dari in quantitate proposita maximum, nullum minimum. 956. Obser-va I- Quoniam differentiae dx sumuntur in eadem recta, correspondentes dy non possunt terminari ad curvam, & simul esse in eadem con- Reg. Et usus Calculi tnTEURAlis. 2iA flante ratione cum dx. Id enim si esset, ipsas ordinatae, utpote summae antecedentium, forent ad abscissas, tanquam summas consequentium, in eadem ratione conflante (310),neque ad aliam,quam ad rectam terminari possent, qualis esset hypotenusa trianguli rectanguli ( vide Fig. 96). E quo deducitur, in curva ra- big. y6. tioam dy ai dx simper variari debere; & quia dx sumuntur in eadem recta, res ipsa suadet, ut supponantur conflantes, quo facilius cum dy , perpetuo variabilibus , conferri possint, 957. OnssRv a II. Ex natura maximi vel minimi in curva Geometrica exhibiti, tangentes in punctis r, t debent fieri cum linea SÖ parallel®, cum. in hisce punctis punctum curvam describens ejusmodi habeat directionem, ut neque ab axe discedat, neque ad eum accedat Quare illic subtangentes sinnt infinita?, normales ®q«ales ordinatis rR, ?T, & subnormales =0. Hinein** xima- & minima reperiri possunt per formulas differentialeS ad tangentes. Apparet item, in ipso transitu per maximum vel minimum subtangentem, & subnorma- lem acquirere situm oppositum illi, quem ante eum transitum habebant; quin ex hac ipsa mutatione decidi potefi, utrum valor ex applicatione regulae generalis pro maximis, & minimis obtentus pertineat ad maximum vel ad minimum.. Ex _ ipso enim figurae 97 intuitu patet, quod fi expressio subtangentis evadat negati- 97 va ex positiva, valor calculo repertus contineat maximum. Quod si subtangens c negativa debeat transire in positivam, valor inventus exhibet minimum. 95$. Ossrrva III. Contingere potefl, ut dy, dum ex crescente incipit decrescere, in ipso hoc transitu fiat respectu dx infinitum. Ut ne enim aliunde, quam e sectionibus Conicis e? amplum adducamus, si consideretur motus puncti quatuor hyperbolas conjugatas describentis (qu* ( 850) in s: unam verius curvam, spatium undique claudentem, constituunt) manifestum est, hoc punctum per totam rami longitudinem moveri in extremo ordinatae y, ab ips® vertice initium ducendo,cuius ordinata? differentiae dy perpetuo crescunt, usque dum hic ramus in infinita distantia conjungitur alteri conjugat® hyperbolae; atque dum punctum a ramo priore transit in novum, neceffe est, ut dy sit infinitum respectu dx; verum in regressu per novum hunc ramum usque ad verticem, iterum decrescit, ac sic deinceps. Infertur autem etiam hinc, non semper ponendum esse dy = o, ut habeatur maximum yel minimum. Atque si posito dy — o, nihil ex aequatione seu pro maximo , seu pro minimo elici possit, id ipsum obtineri, si fiat dy— 00. De regulis , & usu Calculi Integralis, Cum Calculus integralis majoribus implicetur difficultatibus, quam ut accurate isthic exponi poffit, ea solum, qu® & prima, & facilia sunt, delilabimus, unoque ac altero exemplo minus intricato ejus quandam imaginem primis solummodo ductibus delineabimus. 959. Litera/( prima scilicet vocis summte) integrationis nota adhibetur; v. g.sadx indicat, quantitatem adx debere integrari. 9 x 3 3 x 3 «st exacta parabolae quadratura ( 888). 966. Ex aequatione ad ellipsin superius (892) jam invenimus y = ~ \/ (aa — jear); & quia \/ (_aa — a:a:) est quantitas incommensurabilis,• sublato signo radicali reduci potest ad seriem infinitam, ut jalh vidimus (371 )• Ha- .... b i x X AT 4 bebitur itaque y = — \ a - « c 2 a 8 a' lx s 5 bx s x 16 a s 5 * 128 st' 7’ &c 1 a a' DX* 8^ 1 6a s bx' dx 128 u s bx* dx &c. Si haec feries ducatur in dx, obtinetur ydx = bdx — bx* dx 5 bx* dx 2 a 1 8 a- ticum erit bx- 16 a" bx 3 12 3a s b x 7 , &c* Et si porro integretur , spatium ellip- r 6 bx’ -- —--- Lc, prorsus, ut superius N. 892. 6a‘ 40 a 4 112 a‘ 1152a*’ ’ r l 967. Circuli, & hyperbolae quadratura eodem calculo reperiuntur. 9d8.,Quod ad quadraturas superficierum curvarum solidorum, quae rotatione curvae circa axem suum generantur, facile est, eas sequente methodo reperire. . Evidens est, a quovis latere infinite parvo curvae generatricis rotatione fieri conum rectum truncatum infinite parvae altitudinis, qui fit elementum solidi inde geniti. Est aurem superficies coni truncati ( 69 6) aequalis facto ex longitudine hujus lateris \/ Qdx' -+■ dy*) ducta in circumferentiam, quam describit punctum medium ejusdem lateris, hoc est,in circumferentiam descriptam ab extremo puncto ordinatae y. Si igitur fiat, ut radius quivis r est ad suam circumferentiam c , ita ordinata y est ad y •> circumferentiam ab extremo ordinatae descriptam, erit superficies elementi unius solidi yf ( dx 1 -f~dy*) x —9 ct / cy r — V (dx' -i-dy'j erit formula integrationis, ex qua tota superficies curva solidi habebitur. 9^9. Si exempli causa, parabola circa axem suum agatur, habetur adx=r2ydy; aa r r L ^ ctady' -y- yyydy' \ cydy\> ( a.ji-\-j,yy') dy ’-+■ 4 yydy aa 7 j r* ■J • Ut jam hsec expressio reducatur ad aliam, cui regulisintegrationis applicari possit, ponatur y' (aa-i-4yy)— V hinc a a4y y& %y dy — 2%d%; denique y dy s= —His substitutis obtinetur II ildSiX±iZLl = c Sdl ar 4ar cujus integrale est rursus restituendo valorem de x, tandem est 4 - - V ^ ^ aa cx 3 _ cX’Z 12 ar 12 ar 9 &. 12 ar 970. Ut autem sciatur, utrum valori reperto a’>qua constans addenda, vel demenda fit, videndum est, an posita y= o, tota formula fiat — o. Ete- La Caille Left. Eiern. E s 418 Calculus Infinitesimalis. nim solum verticis punctum est, ubi solidum superficiem finitam non habet aac •, Facta igitury=o,manet igitur h$c quantitas constans subtrahenda est, c Qaa + 4yy') V (aa-Myy) aac ut verus valor quaesitus sit -■ - . . ---- <— -= ^ 12 ar 12» c C ac- 4 - 4yy) y/ (a a +4yy )— a t c 12 ar Usus Calculi integralis in reclificatione curvarum. 97*. Rectificatio curvarum, dum ad axem referuntur, fit integratione formulae ds = y/ (dy'-i-dx'}. Neque necesse plura in hanc rem exempla congerere, cum paucae admodum sint curvae ex illis, quarum major est usus, qua» perfecte rectificari posilnt. 972 . Superius vidimus (948),in parabola esse >/ Qdy' + dx') ==dy »/ ( p p _i_ 4 y V ) --- =ss (posita p = i) dy-J (i+4yy\ Si quantitas radicalis P y/ (i -t-4yy) resolvatur in seriem (371), habetur r-f-2y*— ay 4 -j-4y*—ioy*. &c: unde \/ QdyT + dx ') — dy i/ (1 -4- 4y) = dy-^-2y'dy — 2y*dy-b4y‘ dy — iby'rfy, &c, cujus integrale ex regula generali esty-hfy 3 — fy 5 -i-2y r — ^f-y 9 &c, quod dat longitudinem rectae, inde a vertice usque ad ordinatam y parabola complicatae. 973. Si radius circuli ponatur =1, ejus aequatio estyy = 2*=*.r,- ydy y'dy' consequenter 2ydy=Q,dx — 2 xdx; hinc dx = - •>&dx'=- ——~;7~ 1 | —— x * “ "r x x vel —■ yy = — 2 x + x x), dx'—^- —— , ct proinde sive (ob yy = 2x y' dy' •XX. -yy d x' -4- dy'~ y'dy * -+- dy' t—yy —y' dy' -t- dy', seu facta reductione ad eundem denominatorum, dy' ; quare erit \/ Qdy'+ dx'~) ■■ 1 —yy r—yy * ; ' ' ' V(i—y>0 . ( r—yy)—Atqui ope formulae N. 964 ( 1—yy ) —i reducitur ad lenem i-t-iy-t-ly^ + T-^-f-TVs-y 8 « &c; igitur y/ Qdx' + dy *) — dy-p^yjcky-t- fy*dy-f- -riy'dy-f-^y'rfy &c : Et si integretur, erity + |y 3 -{-soy S -J- ■rHy 7 -f- rrfl-y’ &c, quae series etiam hac forma concinniore exhiberi potest -y 5 i -3 y* -4- r-Z.Z •y 7 + r- 3 - 5 - 7 y*, &c. 2.3' 2.4.5-' 2.4.6. 7" ' 2.4. 6. 8- 9- 674. Ordinata circuli est sinus arcus inter originem abscissarum, & ipsam ordinatam intercepti. Quare ope hujus seriei inveniri potest longitudo arcus, cujus sinus datur, eoque citius feries converget,quo fuerit pauciorum graduum arcus, cui sinus datus competit. Hoc modo expedite calculari potest arcus 30 graduum, cuius sinus =0,5 ; & si is multiplicetur per 6, habebitur tota circumferentia , adeoque ratio diametri ad peripheriam. Exempli causa, fiet series o, 5 - 4 - 0,020833 +0,002344 + 0,000349- 4 - 0,000059;cujus summa est o, 523585; 6 factum per 6=3, 14151, fere ut supra (615). Accuratior erit, fi summen« tur plures termini, atque fractiones decimales accipiantur plurium notarum. Usus Calculi Integralis in cubandis solidis , 975> Solidum cubatur, sive corporis soliditas habetur, dum expreflio differentialis alicujus elementi, e quibus corpus constat, integratur. Exempli ca'Uih , dum solidum rotatione alicujus curvae circa axem suum generatur, quodvie Reg. et Usus Calculi Integrale. L19 «lementum est conus rectus truncatus.cujus soliditas aequatur facto ex ejus axe dx in superficiem circuli, quem describit ordinata y transiens per medium punctum lateris infinite parvi, quo superficies illius coni generatur. Jam vero c y (968) circumferenda circuli ab ordinata y descripti est — , ejusque area (602) ~~ x y> Unde formula generalis cubationis elementi alicujus solidi revolutione geniti est ■2—-, & formula integrationis, quae praebet ipsum solidum 2r f'c A. 1 * d X /———,in qua valor de y* substituendus est, erutus ex aequatione ad curvam. 975. Hoc modo, si radius circuli genitoris sphaerae sit = r , ejus aequatio est yy=i2r.x — xx; hoc valore in formula adhibito obtinetur cxdx — C X x d X CX^ —cujus integrale ,\c xx — — exhibet soliditatem segmenti sphaerae radii r, cujus altitudo est x. Etsi porro fiat x= 2 r , soliditas sphaerae integrae obtine- tut = *crr----= |crr = |X2rxfcr,- id est, soliditas , 3 3 sphaerae aequatur duabus tertiis facti ex area circuli maximi in axem. Usus Calculi Iniegralis in Methodo inversa Tangentium. 977- Methodus inversa tangentium appellatur ea, qua ex data formula analytica tangenti, subtangentis, normalis, vel subnormalis quaeritur natura, & aequatio curvae. Pariter dicuntur ad methodum inversam tangendum pertinere illa problemata, in quibus ex rectificatione, vel quadratura analytice expressa aequatio ad curvam quaeritur, &c. Quando igitur datur expressio algebraica alicujus lineae, quae ad tangentem refertur, ea fieri debet membrum aequationis cum formula differentiali lineae ejusdem nominis e N. 93,5 & seqq. Et si quidem aequatio integrari postit, habebitur aequatio quaesita ad curvam. > 978- Exemplum. Quaeritur, quae fit curva, cujus subtangens ^ ? a Est igitur (935) ^-=^, seu aydx—yydy, vel adx = ydy ; Facta integratione habetur ax=Xyy, seu 2 ax=yy, aequatio ad parabolam, cujus pa- rameter 2 a. 979. Quaeritur, quae sit curva, cujus subnormalis est a — Per N. y dy 939.habetur• = a—* , siye ydy = adx — xdx. Et integrando iyy = &x — ne\ yy=zax—xx , quae est aquatio ad circulum. 980. Quaeratur curva, cujus subnormalis est constans, sive ----- r ? Erit y dy = vel ydy=dx; au t±yy=?x, teu yy = 2x, quae aequatio pertinet ad parabolam, cujus parameter =2. 98r. Observa. In Geometria calculus disserentialis & integralis etiam applicatur ad quantitates algebraicas tractandas, quae habent exponentes variabiles, velut x* &c, uti edam ad aequationes curvarum ejusmodi terminos involventes, quorum exponentes sint mutabiles. Id genus curvae cxponentiales appellantur, atque ipse calculus, quo tractantur, calculus exponentialis. Verum iuhsec omnia fingillatim si exponere vellemus, longe ultra limites huic operi £xqs nos provehi necesse foret. i-*"*« I Tah I ■ A: . a y Ö - B JtJO. E C H- G- E B A HIK ElyMiST i. i # f l I I Caille*. 4iitlheT7taf. TahJU. B Ö- E F G- L F.fJ lU-2. Mz- F.4S.jy. 2 F. 46 ". i Fj 6 \ r >-\ IC 'X E "X bTC Cailk ... Alathemair . 1 \ ’ FI' fio. j r^NJo II PDA. M L K jsr m' jy\. & >3 F \B A i - F. 84-. CcUUe, yf'tatfi^.TTva.trr 7ab.m T&Z. r,.gs.-x. .A B.B CTD NEM 'i4sfl i*^ j*-•***&«#* E WK w 3_ MSM MK», d DOM ZLÄ^; y, y/ a&: \ "^V ! 'JÄÄfeTj*' ■Mm& #Wtoj'.HWt