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- In mathematics, especially in the area of mathematical analysis known as dynamical systems theory, a linear flow on the torus is a flow on the n-dimensional torus which is represented by the following differential equations with respect to the standard angular coordinates (θ1, θ2, ..., θn): The solution of these equations can explicitly be expressed as If we represent the torus as we see that a starting point is moved by the flow in the direction ω = (ω1, ω2, ..., ωn) at constant speed and when it reaches the border of the unitary n-cube it jumps to the opposite face of the cube. For a linear flow on the torus either all orbits are periodic or all orbits are dense on a subset of the n-torus which is a k-torus. When the components of ω are rationally independent all the orbits are dense on the whole space. This can be easily seen in the two dimensional case: if the two components of ω are rationally independent then the Poincaré section of the flow on an edge of the unit square is an irrational rotation on a circle and therefore its orbits are dense on the circle, as a consequence the orbits of the flow must be dense on the torus. (en)
- 数学の、特に力学系理論として知られる解析学の分野において、n-次元トーラス 上の線型フロー（せんけいフロー、英: linear flow）とは、標準的な角度座標 (θ1, θ2, ..., θn) に関する次の微分方程式によって表現されるフローのことを言う： この方程式の解は次の様に陽的に表現される： トーラスを Rn/Zn と表すなら、始点はフローによって ω=(ω1, ω2, ..., ωn) の方向に一定速度で移動されることが分かる。またそのフローがユニタリ n-立方体の境界に到達した場合は、その反対側の面に移動される。 トーラス上の線型フローに対して、すべての軌道は周期的であるか、n-次元トーラスの部分集合で k-次元トーラスであるようなものの上で稠密である。ω の成分が有理独立であるなら、すべての軌道は全空間で稠密である。これは二次元の場合には簡単に分かる：すなわち、ω の二つの成分が有理独立であるなら、単位正方形の辺上でのフローのポアンカレ切断面は、円上の無理回転であり、したがってその軌道は円上で稠密で、結果としてトーラス上で稠密となる。 (ja)
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- 数学の、特に力学系理論として知られる解析学の分野において、n-次元トーラス 上の線型フロー（せんけいフロー、英: linear flow）とは、標準的な角度座標 (θ1, θ2, ..., θn) に関する次の微分方程式によって表現されるフローのことを言う： この方程式の解は次の様に陽的に表現される： トーラスを Rn/Zn と表すなら、始点はフローによって ω=(ω1, ω2, ..., ωn) の方向に一定速度で移動されることが分かる。またそのフローがユニタリ n-立方体の境界に到達した場合は、その反対側の面に移動される。 トーラス上の線型フローに対して、すべての軌道は周期的であるか、n-次元トーラスの部分集合で k-次元トーラスであるようなものの上で稠密である。ω の成分が有理独立であるなら、すべての軌道は全空間で稠密である。これは二次元の場合には簡単に分かる：すなわち、ω の二つの成分が有理独立であるなら、単位正方形の辺上でのフローのポアンカレ切断面は、円上の無理回転であり、したがってその軌道は円上で稠密で、結果としてトーラス上で稠密となる。 (ja)
- In mathematics, especially in the area of mathematical analysis known as dynamical systems theory, a linear flow on the torus is a flow on the n-dimensional torus which is represented by the following differential equations with respect to the standard angular coordinates (θ1, θ2, ..., θn): The solution of these equations can explicitly be expressed as If we represent the torus as we see that a starting point is moved by the flow in the direction ω = (ω1, ω2, ..., ωn) at constant speed and when it reaches the border of the unitary n-cube it jumps to the opposite face of the cube. (en)
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- Linear flow on the torus (en)
- トーラス上の線型フロー (ja)
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