| dbo:abstract
|
- في الرياضيات وفي علم الحاسوب، خوارزمية ايجاد جذور دالة (بالإنجليزية: Root-finding algorithm) هي خوارزمية تمكن من ايجاد قيم جذور دالة متصلة. جذر دالة f، مجموعتا انطلاقها ووصولها هما مجموعة الأعداد الحقيقية أو مجموعة الأعداد المركبة، هو عدد x حيث f(x) = 0. (ar)
- En análisis numérico un algoritmo de búsqueda de raíces es un método numérico o algorítmico para encontrar las soluciones aproximadas de una ecuación dada por la expresión f(x) = 0 para una función matemática f dada. A la solución x de la ecuación se le llama raíz o cero de la función. Igualmente, resolver la ecuación f(x) = g(x) es análogo a resolver la ecuación f − g = 0, es decir, encontrar las raíces de la función f - g. Este artículo trata sobre cómo encontrar raíces reales o complejas, aproximadas por números de punto flotante. Los métodos numéricos de resolución de ecuaciones no lineales suelen ser métodos iterativos que producen una sucesión de valores aproximados de la solución, que se espera, que converja a la raíz de la ecuación. Estos métodos van calculando las sucesivas aproximaciones sobre la base de los anteriores, a partir de una o varias aproximaciones iniciales. El comportamiento de los algoritmos de búsqueda de raíces se estudia en análisis numérico. Funcionan mejor cuando se toman en cuenta las características de la función. Para saber que método debemos aplicar, hay que tener en cuenta la capacidad de separar raíces cercanas, confiabilidad en el alcance de soluciones evitando errores numéricos graves y orden de convergencia. (es)
- Un algorithme de recherche d'un zéro d’une fonction est une méthode numérique ou un algorithme de recherche d’une valeur approchée d’un x vérifiant f(x) = 0, pour une fonction donnée f. Ici, x est un nombre réel appelé zéro de f ou lorsque f est polynomiale, racine de f. Lorsque x est un vecteur, les algorithmes pour trouver x tel que f(x) = 0 sont généralement appelés « algorithmes de résolution numérique d'un système d'équations ». Ces algorithmes sont une généralisation des algorithmes de recherche d’un zéro d’une fonction et peuvent s’appliquer à des équations linéaires ou non linéaires. Certains algorithmes de recherche des zéros (comme la méthode de Newton) peuvent être généralisés à la résolution numérique des systèmes d'équations non linéaires. Les algorithmes de recherche des zéros d’une fonction sont étudiés en analyse numérique. (fr)
- In mathematics and computing, a root-finding algorithm is an algorithm for finding zeros, also called "roots", of continuous functions. A zero of a function f, from the real numbers to real numbers or from the complex numbers to the complex numbers, is a number x such that f(x) = 0. As, generally, the zeros of a function cannot be computed exactly nor expressed in closed form, root-finding algorithms provide approximations to zeros, expressed either as floating-point numbers or as small isolating intervals, or disks for complex roots (an interval or disk output being equivalent to an approximate output together with an error bound). Solving an equation f(x) = g(x) is the same as finding the roots of the function h(x) = f(x) – g(x). Thus root-finding algorithms allow solving any equation defined by continuous functions. However, most root-finding algorithms do not guarantee that they will find all the roots; in particular, if such an algorithm does not find any root, that does not mean that no root exists. Most numerical root-finding methods use iteration, producing a sequence of numbers that hopefully converge towards the root as a limit. They require one or more initial guesses of the root as starting values, then each iteration of the algorithm produces a successively more accurate approximation to the root. Since the iteration must be stopped at some point these methods produce an approximation to the root, not an exact solution. Many methods compute subsequent values by evaluating an auxiliary function on the preceding values. The limit is thus a fixed point of the auxiliary function, which is chosen for having the roots of the original equation as fixed points, and for converging rapidly to these fixed points. The behaviour of general root-finding algorithms is studied in numerical analysis. However, for polynomials, root-finding study belongs generally to computer algebra, since algebraic properties of polynomials are fundamental for the most efficient algorithms. The efficiency of an algorithm may depend dramatically on the characteristics of the given functions. For example, many algorithms use the derivative of the input function, while others work on every continuous function. In general, numerical algorithms are not guaranteed to find all the roots of a function, so failing to find a root does not prove that there is no root. However, for polynomials, there are specific algorithms that use algebraic properties for certifying that no root is missed, and locating the roots in separate intervals (or disks for complex roots) that are small enough to ensure the convergence of numerical methods (typically Newton's method) to the unique root so located. (en)
- 求根アルゴリズム（きゅうこんアルゴリズム、英: root-finding algorithm）は、与えられた関数 f について、f(x) = 0を満たす根 x を得るための数値解法、もしくはアルゴリズムである。ここでは、浮動小数点数で近似される実数または複素数の根の計算について述べる。整数根、または解析解の計算は別な問題であり、ここで述べる手法との共通点は少ない（整数根についてはディオファントス方程式を参照のこと）。 f(x) − g(x) = 0の求根は、方程式 f(x) = g(x)を解くことと同値である。ここで、x を方程式の未知数と呼ぶ。逆に、任意の方程式は標準形 f(x) = 0に変換できるので、方程式の求解は関数の求根と同値である。 数値的な求根アルゴリズムでは反復法を用いて、根となる極限（いわゆる極値）に収束する（と期待される）数列を生成する。数列の最初の値を初期値として、古い値と関数 f から逐次新しい値を計算する。 求根アルゴリズムの性質は数値解析で研究されている。与えられた関数の性質を利用できる場合には、効率よく計算することができる。したがって、低次の1変数多項式の実根の計算方法は、一般に必ずしも微分可能でないブラックボックス型関数の複素根の計算方法とは異なる。密集した根の分離、数値誤差を考慮した正確な解の計算、収束率などについても研究されている。 (ja)
- In matematica si presentano spesso problemi che richiedono di calcolare uno zero (o radice) di una funzione di variabile reale . La risoluzione del problema dipende strettamente dalla forma della funzione : ad esempio, se essa è un polinomio o una funzione razionale esistono, per i gradi più bassi (cioè fino al quarto grado o solo in casi particolari di grado maggiore, si veda Teoria di Galois), formule che permettono di determinare in modo preciso tutti gli zeri, senza approssimazioni. In tutti gli altri casi, come ad esempio per una funzione esponenziale o trigonometrica (più in generale trascendente), a parte alcuni casi elementari risolvibili attraverso le definizioni, ma anche per un polinomio di grado maggiore di 4, non esistono metodi algebrici per ricavare con esattezza i valori degli zeri. Di questi casi si occupa la presente voce. Per questo tipo di problema si preferisce parlare di algoritmi per la soluzione di equazioni, sottintendendo che questi metodi possono applicarsi sia ad equazioni lineari che ad . Taluni algoritmi per il calcolo di uno zero di una funzione reale possono essere direttamente generalizzati per risolvere equazioni non lineari. Definendo il problema con un'equazione della forma , dove il parametro della funzione è un vettore -dimensionale (vedi funzione vettoriale), il problema si generalizza con la ricerca di un vettore -dimensionale che sia soluzione della suddetta equazione. (it)
- 수학 및 컴퓨팅에서 특히 수치해석학에서 근 찾기 알고리즘은 다항식 또는 연립방정식 또는 고차방정식의 해를 찾는 알고리즘이다. 이러한 알고리즘을 통해 얻을수있는 해는 다항식이나 방정식의 실제적인 해의 근사값이며 이를 근사해라고 한다. 실수에서 실수로 또는 복소수에서 복소수로의 함수 f의 근, 즉 f(x) = 0이되는 해에 근사한 값이다. 일반적으로 고차방정식의 근은 정확하게 계산될 수 없으므로 폐구간에서 근 찾기 알고리즘은 부동소수점 수 또는 좁혀진 구간에서 표현된 해로서 오차 추정이 가능한 근사해를 제공하는 유용한 방법이다. (ko)
- Численное решение уравнений и их систем состоит в приближённом определении корней уравнения или системы уравнений и применяется в случаях, когда точный метод решения неизвестен или трудоёмок. (ru)
- Um algoritmo para encontrar raízes é um método numérico para encontrar um valor de x tal que f(x) = 0, para uma dada função f. Tal x é chamado de raiz da função f.Este artigo está voltado para encontrar raízes escalares, reais ou complexas, aproximadas por números de ponto flutuante. Encontrar raízes inteiras ou raízes algébricas exatas são problemas distintos, cujos algoritmos têm pouco em comum com aqueles discutidos aqui. Encontrar uma raiz de f(x) − g(x) = 0 é o mesmo que resolver a equação f(x) = g(x). Aqui, x é chamada de desconhecida na equação. Por outro lado, qualquer equação pode tomar a forma canônica f(x) = 0. Então resolver uma equação é a mesma coisa que encontrar uma raiz de uma função. Métodos para encontrar as raízes numéricas utilizam iteração, produzindo uma sequência de números que esperamos que converjam no sentido de um limite (o chamado "ponto fixo"), que é uma raiz. Os primeiros valores desta série são estimativas. O método calcula os valores subsequentes com base nos antigos e na função f em estudo. O comportamento de algoritmos para encontrar raízes é estudado em análise numérica. Algoritmos funcionam melhor quando eles se utilizam características conhecidas da função dada. Então, um algoritmo para encontrar raízes reais isoladas de um polinômio de baixo grau em uma variável podem ter pouca semelhança com um algoritmo para as raízes complexas de uma função de "caixa-preta", que nem sequer é conhecido por ser diferenciável. Os pontos de discussão a respeito do método variam e incluem capacidade de separar as raízes próximas, robustez em conseguir respostas confiáveis apesar de erros numéricos inevitáveis, e taxa de convergência. (pt)
- 在數學和電腦運算中，對於一個已知的從實數集合映射到實數集合，或者從複數集合映射到複數集合的連續函數，搜索變量使得（此時，變量稱為的根、的零點）的算法，稱為求根算法。在許多情況下，函數的零點無法被準確計算出，也無法被解析解表示；是故，求根算法在實數集合下只提供一個以浮點數表示的近似解，或者一個足夠小的解的存在區間，在複數集合下只提供一個複根的圓盤（輸出一個區間或一個圓盤等價於輸出一個根的近似值及其誤差上限）。 解方程與求的根是等價的。因此求根算法可以求解任何以連續函數定義的方程。然而，許多情況下，求根算法只能找到方程的某些根，而不能保證所有根都能找到；特別指出，算法未找到根，並不代表方程確實無根。 大多數的數值求根算法都使用疊代法，生成一個以方程的根為極限的收斂數列。它們需要一个或多个根作为疊代的初期值，嗣後每次疊代都生成一個逐步逼近根的值。由於疊代法必須在有限步內終止於某個點，這些方法都只能提供一個根的近似值，而不能提供一個精確解。许多方法是通過代入上一個疊代值來計算一個輔助方程，從而得出下一個疊代值的。此處所指的輔助方程是指為了使源方程的根是一個定點並使疊代值能更快地收斂到這些定點而設計的一個方程，因此疊代值的極限是這個輔助方程的一個定點。 求根算法的性能是數值分析的研究範疇。一种算法的效率可能大幅度取決於已知點的性質。例如，一部分算法都使用輸入函數的導數（此要求函數不但連續，而且可導），而其他算法則能用於任何一個連續函數。在一般情况下，數值算法不能保證找到一個函數的所有根，因此算法未能找到根並不能證明方程無根。然而，對於多項式，存在特定的使用代數學性質以定位根的所在區間（或複根所在的圓盤）的算法，這個區間（或圓盤）足夠小以能保證數值算法（例如牛頓法）能收斂到唯一被定位的根。 (zh)
- Задача знаходження коренів нелінійних рівнянь одна з найважливіших для практики задач математики. Дійсне рівняння з однією дійсною змінною можна записати у вигляді , де - певна функція. Значення змінної x, що задовольняють цьому рівнянню називаються його коренями. Корені рівнянь не часто можна знайти точно. Здебільшого на практиці задача зводиться до приблизного знаходження кореня, тобто виділення такого достатньо вузького інтервалу , про який можна сказати, що корінь рівняння належить цьому інтервалу. Доволі часто, особливо при якісному аналізі задачі, важливо встановити простий факт існування кореня. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- في الرياضيات وفي علم الحاسوب، خوارزمية ايجاد جذور دالة (بالإنجليزية: Root-finding algorithm) هي خوارزمية تمكن من ايجاد قيم جذور دالة متصلة. جذر دالة f، مجموعتا انطلاقها ووصولها هما مجموعة الأعداد الحقيقية أو مجموعة الأعداد المركبة، هو عدد x حيث f(x) = 0. (ar)
- 求根アルゴリズム（きゅうこんアルゴリズム、英: root-finding algorithm）は、与えられた関数 f について、f(x) = 0を満たす根 x を得るための数値解法、もしくはアルゴリズムである。ここでは、浮動小数点数で近似される実数または複素数の根の計算について述べる。整数根、または解析解の計算は別な問題であり、ここで述べる手法との共通点は少ない（整数根についてはディオファントス方程式を参照のこと）。 f(x) − g(x) = 0の求根は、方程式 f(x) = g(x)を解くことと同値である。ここで、x を方程式の未知数と呼ぶ。逆に、任意の方程式は標準形 f(x) = 0に変換できるので、方程式の求解は関数の求根と同値である。 数値的な求根アルゴリズムでは反復法を用いて、根となる極限（いわゆる極値）に収束する（と期待される）数列を生成する。数列の最初の値を初期値として、古い値と関数 f から逐次新しい値を計算する。 求根アルゴリズムの性質は数値解析で研究されている。与えられた関数の性質を利用できる場合には、効率よく計算することができる。したがって、低次の1変数多項式の実根の計算方法は、一般に必ずしも微分可能でないブラックボックス型関数の複素根の計算方法とは異なる。密集した根の分離、数値誤差を考慮した正確な解の計算、収束率などについても研究されている。 (ja)
- 수학 및 컴퓨팅에서 특히 수치해석학에서 근 찾기 알고리즘은 다항식 또는 연립방정식 또는 고차방정식의 해를 찾는 알고리즘이다. 이러한 알고리즘을 통해 얻을수있는 해는 다항식이나 방정식의 실제적인 해의 근사값이며 이를 근사해라고 한다. 실수에서 실수로 또는 복소수에서 복소수로의 함수 f의 근, 즉 f(x) = 0이되는 해에 근사한 값이다. 일반적으로 고차방정식의 근은 정확하게 계산될 수 없으므로 폐구간에서 근 찾기 알고리즘은 부동소수점 수 또는 좁혀진 구간에서 표현된 해로서 오차 추정이 가능한 근사해를 제공하는 유용한 방법이다. (ko)
- Численное решение уравнений и их систем состоит в приближённом определении корней уравнения или системы уравнений и применяется в случаях, когда точный метод решения неизвестен или трудоёмок. (ru)
- En análisis numérico un algoritmo de búsqueda de raíces es un método numérico o algorítmico para encontrar las soluciones aproximadas de una ecuación dada por la expresión f(x) = 0 para una función matemática f dada. A la solución x de la ecuación se le llama raíz o cero de la función. Igualmente, resolver la ecuación f(x) = g(x) es análogo a resolver la ecuación f − g = 0, es decir, encontrar las raíces de la función f - g. Este artículo trata sobre cómo encontrar raíces reales o complejas, aproximadas por números de punto flotante. (es)
- Un algorithme de recherche d'un zéro d’une fonction est une méthode numérique ou un algorithme de recherche d’une valeur approchée d’un x vérifiant f(x) = 0, pour une fonction donnée f. Ici, x est un nombre réel appelé zéro de f ou lorsque f est polynomiale, racine de f. Les algorithmes de recherche des zéros d’une fonction sont étudiés en analyse numérique. (fr)
- In mathematics and computing, a root-finding algorithm is an algorithm for finding zeros, also called "roots", of continuous functions. A zero of a function f, from the real numbers to real numbers or from the complex numbers to the complex numbers, is a number x such that f(x) = 0. As, generally, the zeros of a function cannot be computed exactly nor expressed in closed form, root-finding algorithms provide approximations to zeros, expressed either as floating-point numbers or as small isolating intervals, or disks for complex roots (an interval or disk output being equivalent to an approximate output together with an error bound). (en)
- In matematica si presentano spesso problemi che richiedono di calcolare uno zero (o radice) di una funzione di variabile reale . La risoluzione del problema dipende strettamente dalla forma della funzione : ad esempio, se essa è un polinomio o una funzione razionale esistono, per i gradi più bassi (cioè fino al quarto grado o solo in casi particolari di grado maggiore, si veda Teoria di Galois), formule che permettono di determinare in modo preciso tutti gli zeri, senza approssimazioni. In tutti gli altri casi, come ad esempio per una funzione esponenziale o trigonometrica (più in generale trascendente), a parte alcuni casi elementari risolvibili attraverso le definizioni, ma anche per un polinomio di grado maggiore di 4, non esistono metodi algebrici per ricavare con esattezza i valori de (it)
- Um algoritmo para encontrar raízes é um método numérico para encontrar um valor de x tal que f(x) = 0, para uma dada função f. Tal x é chamado de raiz da função f.Este artigo está voltado para encontrar raízes escalares, reais ou complexas, aproximadas por números de ponto flutuante. Encontrar raízes inteiras ou raízes algébricas exatas são problemas distintos, cujos algoritmos têm pouco em comum com aqueles discutidos aqui. (pt)
- Задача знаходження коренів нелінійних рівнянь одна з найважливіших для практики задач математики. Дійсне рівняння з однією дійсною змінною можна записати у вигляді , де - певна функція. Значення змінної x, що задовольняють цьому рівнянню називаються його коренями. Корені рівнянь не часто можна знайти точно. Здебільшого на практиці задача зводиться до приблизного знаходження кореня, тобто виділення такого достатньо вузького інтервалу , про який можна сказати, що корінь рівняння належить цьому інтервалу. (uk)
- 在數學和電腦運算中，對於一個已知的從實數集合映射到實數集合，或者從複數集合映射到複數集合的連續函數，搜索變量使得（此時，變量稱為的根、的零點）的算法，稱為求根算法。在許多情況下，函數的零點無法被準確計算出，也無法被解析解表示；是故，求根算法在實數集合下只提供一個以浮點數表示的近似解，或者一個足夠小的解的存在區間，在複數集合下只提供一個複根的圓盤（輸出一個區間或一個圓盤等價於輸出一個根的近似值及其誤差上限）。 解方程與求的根是等價的。因此求根算法可以求解任何以連續函數定義的方程。然而，許多情況下，求根算法只能找到方程的某些根，而不能保證所有根都能找到；特別指出，算法未找到根，並不代表方程確實無根。 大多數的數值求根算法都使用疊代法，生成一個以方程的根為極限的收斂數列。它們需要一个或多个根作为疊代的初期值，嗣後每次疊代都生成一個逐步逼近根的值。由於疊代法必須在有限步內終止於某個點，這些方法都只能提供一個根的近似值，而不能提供一個精確解。许多方法是通過代入上一個疊代值來計算一個輔助方程，從而得出下一個疊代值的。此處所指的輔助方程是指為了使源方程的根是一個定點並使疊代值能更快地收斂到這些定點而設計的一個方程，因此疊代值的極限是這個輔助方程的一個定點。 (zh)
|
