背包九讲完整版_背包九讲

### 背包九讲知识点详解 #### 一、01背包问题 **知识点概述**： 01背包问题是最基础的背包问题类型之一，主要关注的是如何从一系列物品中选择部分物品放入容量有限的背包中，使得背包内物品的总价值最大化。此问题的特点在于每种物品仅有唯一的一份。 **基本思路**： - **状态定义**：`f[i][v]` 表示从前 `i` 件物品中挑选若干物品放入容量为 `v` 的背包可以获得的最大价值。 - **状态转移方程**：`f[i][v] = max{f[i-1][v], f[i-1][v-c[i]] + w[i]}`。其中 `c[i]` 和 `w[i]` 分别表示第 `i` 件物品的重量和价值。 **状态转移方程解释**： - 如果不选择第 `i` 件物品，则问题变为前 `i-1` 件物品放入容量为 `v` 的背包中，因此价值为 `f[i-1][v]`。 - 如果选择第 `i` 件物品，则剩余容量为 `v - c[i]`，因此问题变为前 `i-1` 件物品放入容量为 `v - c[i]` 的背包中，此时最大价值为 `f[i-1][v-c[i]] + w[i]`。 **优化空间复杂度**： 原方法的空间复杂度为 `O(N * V)`，可以通过以下方式优化至 `O(V)`： - 使用一个一维数组 `f[0..V]`，在每次循环计算第 `i` 件物品时，从大到小更新 `f[v]` 的值，以确保当前 `f[v]` 值正确反映了 `f[i][v]` 的值。 - 伪代码如下： ```plaintext for i = 1 to N for v = V downto c[i] f[v] = max(f[v], f[v-c[i]] + w[i]) ``` **总结**： - 01背包问题的关键在于理解状态定义和状态转移方程的意义。 - 空间优化方法是通过逆序遍历容量 `v` 来确保正确的状态传递。 - 01背包问题的解决方案可以作为解决其他类型背包问题的基础。 #### 二、完全背包问题 **知识点概述**： 完全背包问题是在01背包的基础上发展起来的，它的特点是每种物品都可以选择任意数量（包括无限多），目标仍然是找到使得背包内物品总价值最大化的方案。 **基本思路**： - **状态定义**：与01背包相同，`f[i][v]` 表示从前 `i` 种物品中挑选若干物品放入容量为 `v` 的背包可以获得的最大价值。 - **初始思路**：考虑每种物品的不同策略，例如对于第 `i` 种物品，可以取0件、1件、2件……等。 - **状态转移方程**：`f[i][v] = max{f[i-1][v-k*c[i]] + k*w[i] | 0 <= k*c[i] <= v}`。但是这种方法的时间复杂度较高。 **优化方法**： - 可以通过优化算法减少不必要的计算。例如，如果两种物品 `i` 和 `j` 满足 `c[i] <= c[j]` 且 `w[i] >= w[j]`，那么可以直接忽略物品 `j`，因为任何情况下选择物品 `i` 总是比选择物品 `j` 更优。 - 为了进一步简化问题，可以采用以下方法进行优化： - 对于每一种物品 `i`，先考虑是否选择一件该物品，然后利用之前计算的结果递归地解决问题。 **总结**： - 完全背包问题与01背包问题的主要区别在于物品的选择次数。 - 状态转移方程相似，但处理方法有所不同，主要是通过优化减少重复计算。 - 在实际应用中，完全背包问题可以通过调整01背包问题的解决方案来解决，关键在于理解状态定义和如何有效地进行状态转移。 无论是01背包问题还是完全背包问题，核心都在于正确理解和应用状态定义与状态转移方程。通过合理的算法设计和优化策略，可以有效地解决这两类问题，并为进一步解决其他类型的背包问题打下坚实的基础。