Students of science and engineering are required to study mathematics during their
first years at a university. Traditionally, they concentrate on calculus, linear algebra
and differential equations, but in computer science and engineering, logic, combi-
natorics and discrete mathematics are more appropriate. Logic is particularly im-
portant because it is the mathematical basis of software: it is used to formalize the
semantics of programming languages and the specification of programs, ...
《数学逻辑与计算机科学》第三版是莫迪凯·本-阿里教授的一部经典著作，旨在为计算机科学和工程领域的学生提供对逻辑、组合论和离散数学的深入理解。这些数学分支在现代计算机科学中扮演着核心角色，因为它们是软件基础的数学语言，用于形式化编程语言的语义和程序规范。
逻辑，尤其是布尔逻辑，是计算机科学的基础，它使得我们能够精确地表述和推理计算过程。书中会详细讲解命题逻辑、一阶逻辑以及更高级的逻辑系统，这些系统对于理解和验证程序正确性至关重要。命题逻辑允许我们组合和分析简单的真值陈述，而一阶逻辑则引入了量词（全称量词和存在量词），从而能够表达更复杂的结构和关系。
离散数学，包括图论、集合论和组合优化，是计算机科学中的基础工具。图论研究节点和边的结构，对网络和算法设计有直接影响；集合论是所有数学的基础，提供了定义和操作集合的基本框架；组合优化则涉及在有限集合中寻找最优解的问题，这在计算机科学的算法设计和分析中极其重要。
本教材可能会涵盖以下主题：
1. **布尔代数**：布尔代数是描述开关电路和逻辑运算的基础，与计算机硬件紧密相关。读者将学习布尔运算（如与、或、非）以及布尔函数的简化方法。
2. **命题逻辑**：包括联结词（与、或、蕴含、等价）、否定和蕴涵，以及逻辑推理规则，如蕴含引理和德摩根定律。
3. **一阶逻辑**：扩展命题逻辑的概念，引入量词，使得我们可以表达“所有”和“存在”的概念。此外，还会涉及一阶逻辑的模型理论，包括语义和语法的对应。
4. **证明理论**：如何构造和评估数学证明，包括归纳法、反证法以及直接证明。
5. **集合论**：基本的集合概念，如元素、子集、并集、交集和笛卡尔积，以及集合的幂集和Zermelo-Fraenkel集合论的基本原理。
6. **图论**：图的定义、性质（如度、路径、环和连通性），以及图算法，如最短路径和最小生成树。
7. **组合学**：排列、组合、二项式定理，以及经典的组合问题，如鸽巢原理和容斥原理。
8. **递归理论**和**计算复杂性理论**：可能涉及计算问题的分类（如P类和NP类）以及递归函数和半递归函数的概念。
9. **形式语言和自动机理论**：正则表达式、正规集、有限状态自动机以及上下文无关语言和上下文敏感语言。
10. **类型理论**：作为程序设计语言理论的一部分，类型系统如何确保程序的正确性。
该书的第三版可能还包含了新的发展和应用，比如在模型检查、程序验证、形式化方法和计算逻辑方面的进展。通过阅读这本书，学生不仅能够掌握必要的数学工具，还能提升他们在解决实际计算机科学问题时的抽象思维和问题解决能力。
