无限冲激响应(IIR)数字滤波器的设计

### 无限冲激响应(IIR)数字滤波器的设计 #### 实验背景及目标 本实验旨在通过实际操作，帮助学生深入理解无限冲激响应（Infinite Impulse Response，简称IIR）数字滤波器的设计原理及方法。具体而言，通过本次实验，学生将能够掌握两种常用的设计方法——双线性变换法和脉冲响应不变法，并能够运用这些方法来设计满足特定频率特性的IIR数字滤波器。 #### 实验原理详解 ##### IIR滤波器系统函数概述 IIR数字滤波器的系统函数通常表示为\[H(z)\]的形式，它是一个关于\(z\)的有理分式，即： \[ H(z) = \frac{b_0 + b_1z^{-1} + b_2z^{-2} + \ldots + b_Mz^{-M}}{a_0 + a_1z^{-1} + a_2z^{-2} + \ldots + a_Nz^{-N}} \] 其中，\(b_i\)和\(a_i\)分别是分子和分母多项式的系数，\(M\)和\(N\)分别是分子和分母多项式的最高阶次。设计IIR滤波器的目标就是确定这些系数，使得滤波器满足给定的频率特性要求。 ##### 脉冲响应不变法 **定义与原理**：脉冲响应不变法的基本思想是让数字滤波器的单位脉冲响应序列\(h(n)\)精确等于模拟滤波器的冲激响应\(h_a(t)\)的采样值，即： \[ h(n) = h_a(nT) \] 其中，\(T\)为采样间隔。这种方法通过保持时间域内的响应特性不变来设计数字滤波器。 **优点与局限性**：脉冲响应不变法能够较好地保持模拟滤波器的时间响应特性，但它的主要局限性在于可能会导致频谱混叠现象，特别是在高频部分。 ##### 双线性变换法 **定义与原理**：双线性变换法是一种从频域响应出发的设计方法，其目的是使数字滤波器的频域响应尽可能接近模拟滤波器的频域响应。该方法通过两次映射过程，首先将S平面压缩到S1平面的一个有限带宽区间内，再将这一区间映射到Z平面的单位圆上，从而避免了频谱混叠的问题。 **映射关系**：双线性变换法的关键在于S平面到Z平面的映射关系，具体为： \[ s = \frac{2}{T}\frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}} \] 其中，\(s\)和\(z\)分别是模拟域和数字域中的复数变量。 **频率预畸变**：由于双线性变换法中的映射是非线性的，这会导致模拟频率和数字频率之间存在一定的畸变。为了保证滤波器在指定频率点处的性能，需要在设计过程中对频率进行预畸变处理，以确保边界频率点的准确匹配。 #### 设计步骤 1. **确定数字滤波器的技术指标**：包括通带频率、阻带频率、通带最大衰减和阻带最小衰减等。 2. **转换为模拟滤波器的指标**：根据双线性变换法或脉冲响应不变法的特性，将数字滤波器的指标转换为相应的模拟滤波器指标。 3. **选择并设计模拟滤波器**：根据转换后的指标，选择适当的模拟滤波器类型（如巴特沃斯滤波器），并设计其系统函数。 4. **转换为数字滤波器**：通过双线性变换法或脉冲响应不变法，将模拟滤波器转换为满足原始技术指标的数字滤波器。 5. **验证设计结果**：使用MATLAB或其他工具软件，对设计出的数字滤波器进行频响分析，验证其是否满足预定的技术指标。 #### 实验内容示例 1. **设计巴特沃斯型数字低通滤波器**：给定通带数字截止频率、通带内最大衰减、阻带数字截止频率以及阻带内最小衰减等参数，设计一个满足要求的巴特沃斯型数字低通滤波器。 2. **设计数字高通滤波器**：同样基于巴特沃斯型滤波器，设计一个满足特定通带截止频率、通带衰减、阻带截止频率以及阻带衰减要求的数字高通滤波器。 #### 思考题解析 1. **频率预畸变的原因**：在双线性变换中进行频率预畸变是为了修正由于非线性映射引起的模拟频率与数字频率之间的畸变，确保数字滤波器在指定频率点处的性能与设计目标一致。 2. **归一化的作用**：在模拟滤波器设计中进行归一化是为了简化设计过程。通过将滤波器的截止频率设置为1（或其它参考值），可以使设计更加通用且易于实现。一旦设计完成，再通过反归一化过程将其转换回原始频率。 #### 实验报告要求 1. **实验目的简述**：实验的主要目标是理解和掌握IIR数字滤波器的设计原理，特别是双线性变换法和脉冲响应不变法的应用。 2. **实验步骤**：详细介绍实验中使用的具体步骤，包括设计参数的选择、MATLAB代码的编写等。 3. **结果分析**：对实验结果进行详细的分析，包括频响曲线、幅值响应、相位响应等关键指标。 4. **结论与讨论**：总结实验中遇到的问题及解决方案，对未来可能的研究方向提出建议。