定积分应用题附答案.doc

定积分应用题附答案.doc 本文档主要讲解了定积分在各种应用场景中的使用方法，通过多种典型问题的解决，展示了定积分在解决实际问题中的重要作用。 知识点1：曲线所围成的平面图形的面积计算 在计算曲线所围成的平面图形的面积时，我们可以使用定积分的方法。例如，计算抛物线 y2 = 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。我们需要确定积分变量为 y，然后解方程组，得到抛物线与直线的交点为〔，1〕和(2,-2)。接着，我们可以在区间［－2，1］上，任取一小区间[y, y+dy]，对应的窄条面积近似于高为［(１－y〕-y2 ］，底为 dy 的矩形面积，从而得到面积元素dA = [(１－y)- y2 ]dy。我们可以通过积分计算出所求图形的面积。 知识点2：抛物线与直线围成的图形的面积计算 在计算抛物线与直线围成的图形的面积时，我们可以使用定积分的方法。例如，计算抛物线 y = - x2+4x - 3 及其在点〔0，- 3〕和〔3，0〕处的切线所围成的图形的面积。我们需要确定抛物线在点〔0，- 3〕处的切线方程为 y = 4x – 3 ；在点〔3，0〕处的切线方程为 y = - 2x + 6 ；然后，我们可以计算出两切线的交点坐标为〔 3，3 〕，从而得到面积 A =。 知识点3：摆线所围成的图形的面积计算 在计算摆线所围成的图形的面积时，我们可以使用定积分的方法。例如，计算由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱〔〕与横轴所围成的图形的面积。我们可以通过积分计算出所求图形的面积。 知识点4：旋转体积的计算 在计算旋转体积时，我们可以使用定积分的方法。例如，计算由摆线 x = a (t – sint ) , y = a ( 1- cost) 的一拱〔〕，直线 y = 0 所围成的图形分别绕 X 轴、Y 轴旋转而成的旋转体的体积。我们可以通过积分计算出所求旋转体的体积。 知识点5：圆盘绕 Y 轴旋转而成的旋转体的体积计算 在计算圆盘绕 Y 轴旋转而成的旋转体的体积时，我们可以使用定积分的方法。我们可以通过积分计算出所求旋转体的体积。 知识点6：抛物线与圆的交点坐标计算 在计算抛物线与圆的交点坐标时，我们可以使用定积分的方法。例如，计算 x2 + y 2 = 2 和 y = x2所围成的图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积。我们可以通过积分计算出所求旋转体的体积。 知识点7：常数 a , b 的值确定 在确定常数 a , b 的值时，我们可以使用定积分的方法。例如，计算抛物线 C：y = a – bx2 ( a > 0 , b > 0 )，试确定常数 a , b 的值，使得 C 与直线 y = x + 1 相切，且 C 与 X 轴所围图形绕 Y 轴旋转所得旋转体的体积到达最大。我们可以通过积分计算出所求常数 a , b 的值。 本文档详细讲解了定积分在解决实际问题中的应用，展示了定积分在计算曲线所围成的平面图形的面积、抛物线与直线围成的图形的面积、摆线所围成的图形的面积、旋转体积的计算等方面的重要作用。