计算机视觉：一种现代方法（习题答案）

### 计算机视觉：一种现代方法（习题答案） #### 第一章 摄像机 ##### 问题 1.1 **题目**: 推导位于针孔前方距离为 \(f'\) 的虚拟图像的透视投影方程。 **解答**: 我们再次写出向量表达式 \(\overrightarrow{OP'} = \lambda\overrightarrow{OP}\)，但这次我们将 \(z' = -f'\) 加入到公式中（因为图像平面位于针孔前方，因此深度为负值）。透视投影方程变为： \[ \begin{cases} x' = -\frac{f'}{z}x \\ y' = -\frac{f'}{z}y \end{cases} \] 需要注意的是，在这种情况下，放大率是正的，因为 \(z\) 总是负值。 --- ##### 问题 1.2 **题目**: 几何证明两个平行线在某个平面 \(\Pi\) 上的投影似乎会聚到由图像平面与通过针孔且平行于 \(\Pi\) 的平面相交形成的地平线 \(H\) 上。 **解答**: 假设存在两条平行线 \(\Delta_1\) 和 \(\Delta_2\) 位于平面 \(\Pi\) 内，并定义 \(\Delta_0\) 为穿过针孔且平行于 \(\Delta_1\) 和 \(\Delta_2\) 的直线。直线 \(\Delta_0\) 和 \(\Delta_1\) 定义了平面 \(\Pi_1\)，而 \(\Delta_0\) 和 \(\Delta_2\) 定义了另一个平面 \(\Pi_2\)。显然，\(\Delta_1\) 和 \(\Delta_2\) 投影到线段 \(\delta_1\) 和 \(\delta_2\) 上，这些线段位于 \(\Pi_1\) 和 \(\Pi_2\) 与图像平面 \(\Pi'\) 相交的地方。这两条线在点 \(p_0\) 处相交，其中 \(p_0\) 是 \(\Delta_0\) 与 \(\Pi'\) 的交点。这个点是与 \(\Delta_0\) 平行的一组线的消逝点，该组线的任何一条线看起来都收敛于该点。（即使是不在 \(\Pi\) 平面内的与 \(\Delta_0\) 平行的线也是如此。） 现在考虑平面 \(\Pi\) 中的另外两条平行线 \(\Delta'_1\) 和 \(\Delta'_2\)，并如前所述定义相应的直线 \(\Delta'_0\) 和消逝点 \(p'_0\)。直线 \(\Delta_0\) 和 \(\Delta'_0\) 位于一个平行于 \(\Pi\) 的平面内，该平面与图像平面沿直线 \(H\) 相交，这条直线通过 \(p_0\) 和 \(p'_0\)。这是所谓的“地平线”，任何两条在 \(\Pi\) 平面上的平行线似乎都在这条线上相交。它们之所以看起来在这里汇合，是因为图像平面上的任何点如果位于地平线之上，则对应于从针孔发出并远离 \(\Pi\) 的射线。地平线上的点对应于与 \(\Pi\) 平行的射线以及位于无限远处的平面 \(\Pi\) 中的点。 --- ##### 问题 1.3 **题目**: 使用透视投影方程 (1.1) 代数证明相同的结论。可以假设平面 \(\Pi\) 与图像平面垂直。 **解答**: 设平面 \(\Pi\) 由方程 \(y = c\) 定义，并考虑该平面中的一条直线 \(\Delta\)，其方程为 \(ax + bz = d\)。根据方程 (1.1)，该直线上的一点投影到图像点上，定义为： \[ \begin{cases} x' = \frac{f'}{z}x = \frac{f'(d-bz)}{az} \\ y' = \frac{f'}{z}y = \frac{f'c}{z} \end{cases} \] 接下来，我们来分析上述解题过程中的关键概念： 1. **透视投影**：透视投影是一种将三维空间中的物体映射到二维平面上的方法，通常用于模拟人眼或相机对场景的观察。在这个过程中，物体的大小随着距离的增加而减小，从而产生了远近感。本题中的推导展示了如何计算位于针孔前方的虚拟图像的透视投影方程，其中 \(f'\) 表示针孔到虚拟图像平面的距离。 2. **平行线的汇合**：在透视投影中，平行线似乎会在某个点（称为消逝点）汇合。这是因为透视投影模拟了观察者的眼睛或相机的位置，导致远处的平行线看起来逐渐靠近直至相交。这种现象在绘画、摄影和计算机图形学中非常常见，有助于创造真实的空间感。 3. **地平线的概念**：在透视投影中，地平线是指与观察者的视线平行的所有直线汇聚在一起形成的线。它代表了观察者眼睛的高度，并且所有的消逝点都位于地平线上。在本题中，通过针孔的平行线和图像平面之间的交点定义了地平线的位置。 4. **数学推导**：通过对几何图形进行数学建模，可以更精确地理解和预测透视投影的行为。例如，在第 1.3 题中，通过将平面和直线方程与透视投影方程相结合，我们可以证明平行线的汇合点确实位于地平线上。 5. **平面与针孔的关系**：在计算机视觉中，针孔模型是一种简单而有效的表示摄像机成像原理的方法。针孔模型中的图像平面、针孔和物体之间的相对位置决定了图像的最终效果。通过理解这些元素之间的关系，我们可以更好地控制和解释图像的形成过程。 通过以上几个问题的解答，我们不仅解决了具体的数学问题，还深入了解了计算机视觉中的透视投影原理及其背后的几何意义。这些问题对于学习计算机视觉基础非常重要，有助于学生建立坚实的理论基础，进而应用到实际的计算机视觉项目中去。