背包九讲--崔天翼 犇犇 orz

《背包问题九讲》是崔天翼（Tianyi Cui，又称dd_engi）撰写的一篇关于动态规划中背包问题的详细教程。该文首次发表于2007年，后于2011年9月进行了全面修订，现为2.0 alpha1版本，可在GitHub上找到最新的修订历史和版本。文章采用了CC BY-NC-SA协议进行发布，旨在帮助读者深入理解和掌握背包问题的解决策略。 1. **01背包问题**： - 题目：给定一组物品，每种物品都有重量和价值，背包有固定容量，目标是在不超过背包容量的前提下，选择物品以最大化总价值。 - 基本思路：使用动态规划，定义状态dp[i][w]表示前i个物品放入容量为w的背包能得到的最大价值。 - 优化空间复杂度：通常使用滚动数组减少空间需求。 - 初始化细节：dp[0][w] = 0，因为不选任何物品时，价值为0。 - 常数优化：可以预处理物品价值/重量的比例，减少计算次数。 2. **完全背包问题**： - 完全背包允许每种物品可以无限数量地放入背包。 - 基本思路：与01背包类似，但需要考虑物品可无限次选取的情况。 - 简单优化：对于每个物品，可以只遍历比其重量大的容量，减少循环次数。 - 转化01背包：通过引入虚拟物品，将完全背包问题转化为01背包问题求解。 - O(VN)算法：V为物品数量，N为背包容量，通过优化可以达到线性时间复杂度。 3. **多重背包问题**： - 每种物品有有限的数量，可以部分选取。 - 基本算法：与完全背包类似，但需要考虑每种物品的数量限制。 - 转化01背包：使用“贪心+动态规划”的方式，先按每种物品的最大可选数量做贪心处理，再转化为01背包问题。 - O(VN)算法：通过巧妙的数据结构设计和更新策略，可以实现线性时间复杂度。 4. **混合三种背包问题**： - 结合01背包、完全背包和多重背包的特点，解决更复杂的问题。 - 解决方法：根据问题具体要求，灵活运用以上三种背包问题的解决策略，结合情况调整。 5. **二维费用的背包问题**： - 除了物品的重量，还有额外的费用限制。 - 算法：扩展状态空间，考虑同时满足重量和费用限制的背包问题，依然使用动态规划方法。 这篇教程通过逐步讲解和实例分析，系统地介绍了背包问题的各类变体及其解法，是动态规划初学者和进阶者学习背包问题的宝贵资源。通过阅读和实践，读者能够掌握如何应用动态规划解决实际的背包问题，并在此基础上扩展到其他类似的优化问题。