中心极限定理的证明，简单明了

中心极限定理是概率论中的一个核心定理，它揭示了独立同分布随机变量序列的平均值分布趋于正态分布的现象。这个定理在统计学、金融学、工程学等多个领域有着广泛的应用，因为它能够帮助我们理解和预测大量独立随机事件的结果。 我们要明确中心极限定理的基本形式。设有一组独立同分布的随机变量X1, X2, ..., Xn，它们的均值为μ，方差为σ²。中心极限定理表明，随着n趋向于无穷大，这组随机变量的样本均值的标准化版本Zn会趋向于标准正态分布。具体表达为： Zn = (Σi=1^n Xi - nμ) / (√nσ) 这里的Zn是一个标准化变量，它的均值为0，方差为1。Zn的分布函数的极限是标准正态分布函数Φ(x)，其密度函数为： Φ(x) = 1 / √2π * ∫_{-∞}^{x} e^(-z^2/2) dz 证明中心极限定理的一个方法是通过矩母函数（Moment Generating Function, MGF）。矩母函数M_Y(t)是随机变量Y的期望值E[e^(tY)]，它可以提供随机变量的所有矩的信息。对于独立同分布的随机变量，样本均值的矩母函数可以分解为单个随机变量的矩母函数的乘积。 在我们的证明中，首先将X_i替换为Y_i = Xi - μ，使得Y_i的均值为0，这样我们就可以简化问题。然后定义W_n = Σi=1^n Y_i / (√nσ) = Zn，所以W_n的矩母函数M_W_n(s)与Zn的分布有关。 利用矩母函数的性质，我们可以对M_Y(sσ√n)进行二阶泰勒展开，得到： M_Y(sσ√n) = 1 + s²/2n + o(s²σ²n) 这里的o表示高阶无穷小，表示当n趋向于无穷大时，o(s²σ²n)的相对量级小于s²σ²n。 接下来，我们将上述泰勒展开代入到M_W_n(s)的计算中，得到： M_W_n(s) = E[exp{sσ√nΣi=1^nY_i}] = ∏i=1^n E[exp{sσY_i}] = ∏i=1^n [1 + s²σ²/2n + o(s²σ²n)] 当n趋向于无穷大时，由于每一项都包含1 + o(1/n)，整个乘积的极限可以用limn→∞(1 + cn)^n = e^c来处理，这里c = s²σ²/2。因此，我们有： limn→∞ M_W_n(s) = limn→∞ [1 + s²/2n + o(s²σ²n)]^n = e^(s²/2) 这就是我们想要的结果，因为e^(s²/2)是标准正态分布的矩母函数。根据矩母函数的一一对应关系，我们可以得出Zn的分布函数的极限是标准正态分布函数。 总结来说，中心极限定理的证明依赖于独立同分布随机变量的矩母函数的性质和泰勒展开，结合极限定理，最终得出样本均值Zn的分布函数趋于标准正态分布。这个结果对于理解和应用统计推断、假设检验以及估计理论等具有深远的意义。