石子合并问题 用动态规划方法

### 石子合并问题与动态规划 #### 一、问题背景及定义 在计算机科学领域，特别是算法设计中，石子合并问题是常见的一个问题。该问题通常可以这样描述：假设有一行排布的N个石子，每个石子有一个特定的分数。玩家的目标是通过两两合并石子来获得最大的总分数。每次合并时，将相邻的两个石子合并为一个新的石子，并且新石子的分数等于两个被合并石子的分数之和。最终，所有石子都会被合并成一个石子。 #### 二、问题分析 在解决这个问题的过程中，我们需要考虑如何有效地找出最优解。直观上，我们可能会想到一个穷举法：尝试所有可能的合并顺序，然后从中选择最优解。然而，这种方法的时间复杂度非常高，随着石子数量的增加，计算量呈指数级增长，无法在合理时间内解决问题。 #### 三、动态规划方法 为了解决这个问题，我们可以采用动态规划的方法。动态规划是一种通过把原问题分解为相互重叠的子问题的方式求解复杂问题的方法。对于石子合并问题，我们可以将其分解为多个子问题：即每次考虑合并两个石子后的最大得分情况。通过这种方式，我们可以有效地避免重复计算，并利用已经计算过的子问题结果来求解更大的问题。 #### 四、具体实现步骤 1. **初始化**：首先定义一个二维数组`f`，其中`f[i][j]`表示从第`i`个石子到第`j`个石子进行合并时的最大得分。 2. **递推公式**：对于任意的`i <= j`，我们需要找到一个`k`（`i <= k < j`），使得`f[i][j] = max(f[i][k] + f[k+1][j] + sum(i, j))`。这里`sum(i, j)`表示从第`i`个石子到第`j`个石子的所有石子的分数之和。 3. **边界条件**：当`i == j`时，`f[i][j] = 0`；当`j - i == 1`时，`f[i][j] = a[i] + a[j]`，其中`a[i]`和`a[j]`分别表示第`i`个和第`j`个石子的分数。 4. **最终结果**：我们需要遍历所有的`f[i][n]`（其中`n`是石子总数），找到其中的最大值作为最终答案。 #### 五、代码分析 给定的部分代码实现了上述动态规划的解决方案： ```cpp #include<iostream> #include<stdlib.h> using namespace std; const int n = 5; // 定义石子的数量 int main() { int n, i, j, k, p, sum = 0, m, max = 0, *a, **f, t; cout << "请输入石子的数量:"; cin >> n; a = new int[2 * n]; // 初始化石子数组 a[0] = 0; cout << "输入每个石子的分值" << endl; for (i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i]; // 输入每个石子的分值 for (t = 1; t < n; t++) { a[n + t] = a[t]; // 复制数组 } for (t = 1; t < 2 * n; t++) f = new int*[n + 1]; // 动态分配二维数组空间 for (int i = 0; i <= n; i++) { f[i] = new int[n + 1]; // 为每个行分配空间 } for (i = 0; i <= n; i++) { // 初始化二维数组 for (j = 0; j <= n; j++) { f[i][j] = 0; } } for (i = 1; i <= n; i++) { // 设置初始值 f[i][1] = 0; } for (j = 2; j <= n; j++) { // 动态规划递推 for (i = 1; i <= n; i++) { max = 0; for (k = 1; k <= j - 1; k++) { m = f[i][k] + f[(i + k - 1) % n + 1][j - k]; if (max < m) { max = m; } } sum = 0; for (p = i; p <= i + j - 1; p++) { // 计算子区间内的石子总分 sum += a[p]; } f[i][j] = sum + max; } } max = f[1][n]; // 最终答案 for (i = 1; i <= n; i++) { if (max < f[i][n]) { max = f[i][n]; } } cout << "最大得分为" << max; system("PAUSE"); return 0; } ``` #### 六、总结 通过动态规划的方法，我们可以有效地解决石子合并问题。这种方法不仅解决了问题，而且具有较高的效率。通过递推关系，我们能够避免重复计算，从而大大提高了算法的执行速度。此外，动态规划还可以应用于其他许多优化问题中，例如背包问题、最长公共子序列等问题，因此具有非常广泛的应用前景。