复变函数(14-15)(2)试卷(工本b).pdf

复变函数是一门深入研究复数域中的函数理论的数学学科。试卷中涉及的知识点主要集中在复数的基本性质、复函数的分析性质以及相关的计算题目上。以下是对试卷内容的详细解析： 1. 单项选择题的第一题考察了复数乘积的性质。根据题目给出的信息，当\( n \)为正整数时，\( z^n + \bar{z}^n = 1 \)，要求判断\( \omega = \frac{z^n}{\bar{z}} \)的实部或虚部或幅角。根据复数乘法和共轭性质，\( \omega \)的实部为0，选项A正确。 2. 第二题涉及复数方程表示的曲线类型。方程\( z^3 - 3z + 1 = 0 \)可以通过待定系数法或韦达定理分析，解得的曲线不是椭圆、双曲线或抛物线，而是圆，因为它是三次方程，但没有平方项，所以答案是D。 3. 第三题考察复函数偏导数的计算。对于复函数\( f(z) = u + iv \)，其偏导数满足Cauchy-Riemann方程，所以正确答案是A，即\( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \)且\( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \)。 4. 第四题是关于复积分的计算。根据Cauchy积分公式，围绕单位圆周的积分\( \oint_{|z|=1} \frac{z^2}{1-z} dz \)等于\( 2\pi i \)乘以被积函数在圆内的奇点的Residue，也就是-1，所以积分结果为\( -2\pi i \)，选择B。 5. 第五题考查泰勒展开式的收敛半径。对于函数\( f(z) = \frac{1}{1 - z^2} \)在\( z=1 \)处的泰勒展开，可以识别出这是\( \frac{1}{(1-z)^2} \)的形式，其在\( z=1 \)处的泰勒展开收敛半径为1，选A。 6. 第六题考察函数的奇点类型。本性奇点是指当\( z \)趋向于某点时，函数的幂级数无法收敛。选项A、B、D的函数在\( z=1 \)处都没有本性奇点，只有C选项\( f(z) = \frac{1}{1-e^z} \)在\( z=1 \)处有本性奇点。 填空题部分涉及了复数运算、极限、复函数的特殊值、级数收敛性、洛朗级数等内容，需要对复数的运算法则、极坐标表示、复函数的性质以及级数理论有深入理解。 计算题和应用题部分进一步测试了学生的计算能力和实际应用能力，包括解线性方程组、求复函数的导数、求泰勒展开式、展开为洛朗级数以及计算复积分等。 这些题目综合了复变函数的基础理论与实际应用，旨在检验学生对复变函数的理解程度和问题解决能力。通过解答这些问题，学生能够巩固复变函数的核心概念，并学会如何运用这些知识来解决实际问题。