复变函数(15-16-2-B)(2)试卷(工本B).pdf

复变函数是一门深入研究复数域中函数性质与分析理论的数学学科。这份试卷针对的是南京工程学院2015-2016学年第二学期的复变函数课程，采用闭卷考试形式，主要考察学生对复变函数基本概念、性质、级数和积分的理解及应用。 一、单项选择题 1. 题目中给出函数f(z) = z^2 + 4，要求计算f(0)，由于f(z)在z=0处的值就是将z=0代入函数，即f(0) = 0^2 + 4 = 4。答案是D. 0。 2. 方程4 = z^3 + z^2 + z表示的曲线可以通过解复数方程得到，但这里不涉及具体解法，一般可以通过比较系数判断，此方程对应的曲线既不是圆也不是抛物线，而是双曲线。答案是B. 双曲线。 3. 对于函数f(z) = z^2，根据复变函数的解析性，若函数在其定义域内处处可微，则该函数处处解析。答案是A. 处处解析。 4. 题目中的积分是围绕正向椭圆14122yx进行的，这是Cauchy积分公式的一个应用，根据公式，当路径围成的是一个简单闭合曲线且被积函数在曲线内部解析时，积分结果为0。答案是C. 0。 5. 幂级数的收敛半径可以通过Cauchy-Hadamard公式计算，但对于题目中的幂级数∑(n=0)∞(z^n)/n!，这是一个著名的e^z函数，其收敛半径是无穷大。答案是A. 1。 6. z = 0对于函数21ezz  来说，是函数的本性奇点，因为当z趋近于0时，函数的值趋向于无穷大。答案是A. 本性奇点。 二、填空题 这部分题目需要根据复变函数的性质和计算法则来解答，例如计算复数、求导、积分等。这里不再一一详述解题过程。 三、计算题 1. 解复数方程i3i1ziz通常需要将复数表示为代数形式，然后解方程。 2. 函数在复平面内处处解析意味着它必须在每个点都可微，并且满足Cauchy-Riemann方程。 3. 求泰勒展开式通常需要用到泰勒级数的公式。 4. 在指定圆环域内展开为洛朗级数需要分析函数在该区域的性质。 5. 圆周上的积分可以利用极坐标变换和 residue 定理来计算。 四、应用题 调和函数是指满足拉普拉斯方程的实变量函数，即∇²u = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0。要找到v(x, y)，使得f(z) = u(x, y) + iv(x, y)成为解析函数，需要u和v满足Cauchy-Riemann方程，并且f(0) = 0来确定v(0, 0)的值。 以上是对试卷部分内容的解析，涉及到的知识点包括复变函数的解析性、级数的收敛性、奇点的分类、复数运算、Cauchy积分公式、泰勒级数与洛朗级数的展开以及调和函数的概念。这些内容构成了复变函数课程的核心部分，是理解和应用复变函数理论的基础。