抽象代数期末试卷题目1

在抽象代数的范畴内，期末试卷题目通常涉及多个核心概念和定理的证明，要求学生具备扎实的数学基础和抽象思维能力。本次试卷题目聚焦于群论中的几个重要问题，包括群的子群结构、正规子群的性质、循环群的判定以及商环元素个数的计算。以下将对每个部分的知识点进行详细阐释。 一、群的子群结构的证明问题 题目要求证明群G中两个有限子群H和K的阶数乘积等于它们生成的子群HK的阶数与交集H∩K的阶数的乘积。这涉及到了群论中子集的基本计数定理，即拉格朗日定理的一个应用。学生需要利用拉格朗日定理中关于子群阶数与整个群阶数关系的知识，以及子群交集和并集的元素个数如何计算的原理来完成证明。 二、指数为2的子群的性质 题目指出指数为2的子群一定是正规子群，并要求学生提供证明。所谓指数为2的子群，是指在该子群中的任意元素的阶均为2。在群论中，正规子群是具有特定性质的特殊子群，它在群G中是不变的，即对于任意的g∈G和正规子群N，都有gNg^-1=N。本题要求学生用群论中的概念和定理来证明指数为2的子群具有这样的性质。 三、255阶群的循环性判定 在这一部分，学生需要证明一个阶为255的群一定是循环群。循环群是一种特殊的群，它由一个元素的幂生成。学生需要使用群论中的循环群的定义、结构和性质，结合具体的群操作来完成这一证明。此外，255为素数的乘积，即255=3*5*17，学生还需要利用群论中关于素数阶群循环性的定理进行分析。 四、阶为56或148的群不是单群的证明 在群论中，单群是指没有非平凡正规子群的群。本题要求学生证明阶为56或148的群不是单群。学生需要利用单群的定义、群的阶数与其正规子群的关系，以及相关定理和群的结构特征来证明。56=7*8，而148=2*74，含有素因子，学生需要分别找到这些阶数群的正规子群，从而证明它们不是单群。 五、高斯整环商环的元素个数 最后一部分题目要求计算高斯整环Z[i]中的商环Z[i]/<1+i>的元素个数。高斯整环Z[i]由所有形式为a+bi的复数组成，其中a和b是整数。商环是通过等价类来定义的，其中Z[i]中的元素按照被<1+i>中的元素所除的余数分类。学生需要利用整数模n的环和多项式环中的类似知识，对复数的模运算进行分析，从而计算出商环的元素个数。 本次抽象代数期末试卷题目涵盖了群论中对于子群结构、正规子群、循环群以及商环元素个数的计算等核心概念，考查学生对这些概念的理解和运用能力。学生需要通过逻辑推理、运用定理和公式，以及结构分析等方法来解答题目。