基于Python的梯度下降法实现

梯度下降法 基于Python的梯度下降法实现基于Python的梯度下降法实现基于Python的梯度下降法实现基于Python的梯度下降法实现 基于Python的梯度下降法实现基于Python的梯度下降法实现 基于Python的梯度下降法实现 基于Python的梯度下降法实现基于Python的梯度下降法实现基于Python的梯度下降法实现基于Python的梯度下降法实现 基于Python的梯度下降法实现 基于Python的梯度下降法实现 基于Python的梯度下降法实现 梯度下降法是一种优化算法，常用于机器学习和深度学习中的参数更新，目的是找到目标函数的局部最小值。在Python中实现梯度下降法，我们可以借助NumPy库来处理数值计算。以下是对给定代码的详细解读： 1. **梯度的概念**： 梯度是函数在某一点处的导数向量，表示函数在该点沿各个方向的变化率。对于多维函数，梯度是一个向量，其方向指向函数增长最快的方向，大小是最大增长率。 2. **数值梯度（Numerical Gradient）**： 代码中定义了`_numerical_gradient_no_batch`函数，它通过差分法近似计算单个自变量的梯度。具体做法是沿着每个维度微小地改变输入值（这里使用的是`h=1e-4`），计算前后两次函数值的变化，然后除以步长`h`得到近似梯度。这个过程在`numerical_gradient`函数中被扩展到处理多维输入的情况。 3. **梯度下降算法**： `gradient_descent`函数实现了基本的梯度下降算法。它接受以下几个参数： - `f`: 需要优化的目标函数。 - `init_x`: 初始化的自变量值。 - `lr`: 学习率，决定了每一步迭代时参数更新的幅度。 - `step_num`: 迭代次数，决定算法执行多久。 在每次迭代中，算法计算当前点的梯度，然后用学习率乘以梯度进行反向更新，即`x = x - lr * grad`。同时，`a`和`b`数组记录了每一步迭代后自变量的值，以便于可视化过程。 4. **目标函数**： 示例中使用了简单的二次函数`function_2(x) = sum(x^2)`，这是一个向量x的平方和，其梯度为2x。在二维空间中，这代表一个抛物面，最小值位于原点(0, 0)。 5. **运行结果**： 当运行`gradient_descent`函数时，它将显示迭代过程中自变量`x`的轨迹，以及最终到达的点。由于使用了随机初始化的自变量`[-3.0, 4.0]`，并以一定的学习率`lr=0.3`进行100次迭代，结果会显示一个接近抛物面最低点的过程。 这段Python代码展示了如何利用数值梯度近似计算梯度，并应用梯度下降法寻找二次函数的最小值。虽然实际应用中通常使用符号梯度（自动微分）以提高效率和精度，但这个例子很好地解释了梯度下降的基本原理和实现方式。