高等数学是数学的基础课程，主要探讨函数的极限、连续性、微积分等概念。同济大学的高等数学第六PPT课件深入浅出地讲解了这些核心知识点，特别是无穷小和无穷大及其与函数极限的关系。
我们要明确无穷小的概念。在数学中，无穷小是指随着自变量变化趋于无穷时，其值趋于零的量。它是一种特殊的变量，不能与数值上非常小的常数混淆。例如，当x接近某个值时，函数f(x) = (x - 1)/x的值会趋近于0，这里的(f(x))就是无穷小。值得注意的是，零是唯一可以作为无穷小的数，因为任何非零数除以无穷大仍然是非零数。
无穷大则表示一个变量的绝对值无限增大。它可以是正无穷大或负无穷大，但都不是具体的数值，而是表示一种趋势。例如，当x趋向于正无穷时，函数g(x) = x^2的值会无限增大，此时g(x)就是无穷大。尽管无穷大是无界的，但它并不意味着变量本身的数值，而是其变化的趋势。
无穷小与函数极限有着密切的联系。一方面，证明一个函数的极限，可以通过分析其对应的无穷小来实现。如果一个量随着自变量的变化趋于零，那么这个量就可以被看作是无穷小，而函数的极限就是这个无穷小的极限。另一方面，无穷小的引入有助于简化复杂的极限问题，将一般极限问题转化为研究无穷小的形式，这使得求解过程更为直观和便捷。
此外，无穷小和无穷大之间存在着一定的关系。根据定理2，如果一个量是无穷小，那么它的倒数就是无穷大。换句话说，无穷小和无穷大在某种程度上是互逆的概念。这意味着讨论无穷大的问题，往往可以转换为讨论无穷小的问题，这极大地扩展了我们处理数学问题的工具箱。
在实际应用中，必须注意区分无穷小和无穷大与实际的数的区别，以及它们与无界变量的关系。无界变量不一定是无穷大，例如，函数h(x) = 1/x在x接近0时是无界的，但并不是无穷大，因为它既不会趋于无穷大也不会趋于无穷小。
通过课件中的思考题和练习题，学生可以巩固对这些概念的理解，并提升解决问题的能力。填充练习和解答提供了实用的训练机会，帮助学生掌握如何在实际问题中运用无穷小和无穷大的理论。
总结来说，同济大学的高等数学第六PPT课件详尽地阐述了无穷小和无穷大这两个核心概念，以及它们与函数极限的关系。这些内容对于理解微积分的基本原理至关重要，也是进一步学习复杂数学和解决实际问题的基础。通过深入学习和反复实践，学生可以扎实地掌握这些知识，从而在数学的道路上更进一步。
