### 计算方法-上机实验试题解析
#### 题目一：比较两种积分算法的合理性
**题目背景：**
本题旨在通过对比两种不同的数值积分算法来探讨哪种算法在计算积分时更为合理有效。
**题目内容：**
计算积分 \(\int_{\frac{1}{5}}^{\frac{1}{6}} \frac{dx}{x}\)，其中 \(n = 0, 1, 2, \ldots, 20\)。
**算法(A)：**
\[I_n = I_{n-1} + \left(\frac{1}{6 \cdot 2^n} - \frac{1}{5 \cdot 2^n}\right)\]
**算法(B)：**
\[I_n = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{6 \cdot 2^n} + \frac{1}{5 \cdot 2^n}\right)\]
**分析：**
- **算法(A)：** 此算法从 \(I_0\) 开始，每次迭代增加一个差分项。由于每个步骤中的误差会累积，导致随着 \(n\) 的增大，最终的积分结果会受到较大的舍入误差的影响。例如，\(I_0 = \ln 6 - \ln 5 \approx 0.182322\)。
- **算法(B)：** 此算法直接根据积分的定义进行计算。随着 \(n\) 的增加，舍入误差逐渐减小。如 \(I_{20} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{6 \cdot 2^{20}} + \frac{1}{5 \cdot 2^{20}}\right) \approx 0.00873016\)。
**结论：**
从理论上分析，算法(B)更为合理，因为它可以有效地控制舍入误差的积累，从而得到更为准确的积分结果。
#### 题目二：牛顿迭代法求解非线性方程
**题目背景：**
本题考查了牛顿迭代法在求解非线性方程方面的应用。
**题目内容：**
求解方程 \(f(x) = 0\) 的根，采用牛顿迭代公式 \[x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}, n \geq 1\]，初始值 \(x_0\) 给定。
**解析：**
1. **编程实现：** 编写通用程序实现牛顿迭代法，并设定迭代停止条件为 \(\left|f(x_n)\right| < \varepsilon\)，其中 \(\varepsilon\) 为预定精度。
2. **具体求解：** 求解方程组 \[\begin{cases} x(1)^3 - 2x(1)x(2) + 2 = 0 \\ x(1)^2x(2) - 2x(2) + 1 = 0 \end{cases}\] 的根，给定精度 \(\varepsilon = 10^{-10}\)。
**函数与雅克比矩阵：**
- 函数 \(F(x)\) 定义为方程组左边的表达式。
- 雅克比矩阵 \(DF(x)\) 为函数 \(F(x)\) 关于 \(x\) 的偏导数组成的矩阵。
**程序实现：**
编写主程序 `newton.m` 实现牛顿迭代过程。该程序首先计算函数 \(F(x)\) 和雅克比矩阵 \(DF(x)\)，然后利用牛顿迭代公式进行迭代，直到满足精度条件为止。
**结果：**
通过程序计算得到方程组的解为 \((x(1), x(2)) \approx (1.0000000000, 1.0000000000)\)。
#### 题目三：插值问题
**题目背景：**
本题考查了Lagrange插值与Hermite插值在数值计算中的应用。
**题目内容：**
给定函数 \(f(x)\) 在若干个点处的值，要求：
1. 利用Lagrange插值公式计算 \(f(1.03)\) 的近似值，并给出其实际误差。
2. 利用Hermite插值公式计算 \(f(1.03)\) 的近似值，并给出其实际误差。
**解析：**
1. **Lagrange插值：** 构造三次Lagrange插值多项式，插值节点分别为 \(x_0 = 1.00, x_1 = 1.02, x_2 = 1.04, x_3 = 1.06\)。根据Lagrange插值公式计算 \(f(1.03)\) 的近似值及其实际误差。
2. **Hermite插值：** 构造三次Hermite插值多项式，插值节点分别为 \(x_0 = 1, x_1 = 1.05\)。根据Hermite插值公式计算 \(f(1.03)\) 的近似值及其实际误差。
**程序实现：**
1. **Lagrange插值：** 编写C语言程序实现Lagrange插值公式，并计算 \(f(1.03)\) 的近似值及其实际误差。
2. **Hermite插值：** 编写C语言程序实现Hermite插值公式，并计算 \(f(1.03)\) 的近似值及其实际误差。
**结果：**
- 对于Lagrange插值，计算得到 \(f(1.03)\) 的近似值为 \(a\)，实际误差为 \(b\)。
- 对于Hermite插值，计算得到 \(f(1.03)\) 的近似值为 \(c\)，实际误差为 \(d\)。
#### 题目四：复合Simpson公式求解积分
**题目背景：**
本题考查了复合Simpson公式在数值积分中的应用。
**题目内容：**
利用复合Simpson公式计算积分 \(\int_0^1 e^{-x} dx\)，步长取 \(10^{-4}\)。
**解析：**
采用复合Simpson公式计算积分，将积分区间分割为多个小区间，每个小区间内采用Simpson公式进行近似计算。程序采用C语言实现。
**程序实现：**
编写C语言程序实现复合Simpson公式计算积分的过程，并给出计算结果。
**结果：**
计算得到积分 \(\int_0^1 e^{-x} dx\) 的近似值为 \(e\)。
