离散数学讲义2的知识点涵盖了命题逻辑的等值演算，它包括命题逻辑基本概念、等值演算、推理理论以及一阶逻辑相关知识。等值演算是离散数学中非常重要的部分，它主要用于命题逻辑和谓词逻辑的等价变换中，以简化和判断逻辑公式的等价性。
在命题逻辑中，等值式是指在所有可能的赋值下都有相同真值的两个命题公式之间的关系。例如，若A和B在所有可能的赋值下都有相同的真值，则称A等值于B，记作A↔B。如果两个命题公式A和B等值，那么A与B的真值表在所有赋值下都相同。
真值表法是判断等值式的一个直观方法，通过列出所有变量组合的真值情况来确定两个命题是否等值。但这种方法在变量多的情况下会变得异常繁琐。因此，为了提高效率，人们总结出一系列基本的等值式，也称为等值式模式，基于这些基本等值式可以推导出新的等值式。
等值式模式包括了多种命题逻辑中的基本规则，比如：
- 幂等律（idempotent laws）：A ↔ A∨A 和 A ↔ A∧A
- 交换律（commutative laws）：A∨B ↔ B∨A 和 A∧B ↔ B∧A
- 结合律（associative laws）：(A∨B)∨C ↔ A∨(B∨C) 和 (A∧B)∧C ↔ A∧(B∧C)
- 分配律（distributive laws）：A∨(B∧C) ↔ (A∨B)∧(A∨C) 和 A∧(B∨C) ↔ (A∧B)∨(A∧C)
- 吸收律（absorption laws）：A∨(A∧B) ↔ A 和 A∧(A∨B) ↔ A
- 双重否定律（double negation law）：¬¬A ↔ A
- 德·摩根律（De Morgan's laws）：¬(A∨B) ↔ ¬A∧¬B 和 ¬(A∧B) ↔ ¬A∨¬B
- 零律（dominance laws）和同一律（identity laws）：例如A∨0 ↔ A 和 A∧1 ↔ A
- 排中律（excluded middle）和矛盾律（contradiction）：A∨¬A ↔ 1 和 A∧¬A ↔ 0
- 蕴涵等值式（conditional as disjunction）：A→B ↔ ¬A∨B
- 假言易位（contrapositive law）：A→B ↔ ¬B→¬A
- 归谬论（reductio ad absurdum）
- 等价否定等值式：A↔B ↔ ¬A↔¬B
等值演算涉及使用上述等值式模式来推导出新的等值式，这在逻辑公式化简、证明逻辑等价性、以及构建逻辑推理系统中非常关键。
在实际应用等值演算时，可以采用两种主要思路：一种是通过列真值表直接验证等值式的正确性；另一种是利用已知的等值式通过替换和化简来推演出新的等值式，这种方法更加快速高效。
置换规则是指如果A↔B，则在含有A的命题公式中可以用B替换A，结果命题公式与原命题公式等值，即A的任何出现都可以被B所替代。这个规则在等值演算中经常被使用，尤其是在处理复杂公式时。
例如，命题公式(p∧q)→r可以通过等值演算化简为¬(p∧q)∨r，然后利用德·摩根律化简为(¬p∨¬q)∨r，再利用结合律化简为¬p∨¬q∨r。在这个过程中，等值演算方法用于不断简化原始的逻辑表达式，并通过已知等值式得到最终形式。
以上知识点构成了离散数学讲义2的主要内容，为学习离散数学、逻辑编程、计算机科学和其它涉及逻辑和形式化推理的学科提供了重要的基础。
