【函数与方程的重点：二分法】
二分法是一种在数学中寻找函数零点的数值方法，尤其在处理方程求解时极为有效。它主要用于解决那些不能直接解析求解或者复杂到无法准确求解的方程。二分法的基本思想是利用函数的连续性和零点的存在性定理来逐步缩小零点所在的区间，直到达到预设的精度要求。
我们需要理解函数的零点是如何定义的。如果函数y=f(x)在某个实数x处的值等于零，即f(x)=0，那么我们称x为该函数的零点。换句话说，零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数图像与x轴交点的横坐标。
例如，在给定的练习中，我们可以通过解方程或画出函数图像来找到函数的零点。例如函数f(x)=2x-4的零点可以通过解方程2x-4=0得到，解得x=2。对于其他函数如f(x)=x^2-4x+3，可以通过因式分解或使用求根公式找到零点x=1和x=3。
当我们要寻找函数的变号零点时，即函数值在某区间两端异号的零点，可以应用零点存在性定理。如果函数y=f(x)在闭区间[a, b]上连续，并且f(a)·f(b)<0，那么根据中间值定理，f(x)在区间[a, b]上至少有一个零点，即至少有一个x0使得f(x0)=0。
二分法的操作流程如下：
1. **零点存在性定理**：确认函数在给定区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，证明存在零点。
2. **区间选择**：选取初始区间[a, b]，其中f(a)和f(b)的符号相反。
3. **中点计算**：计算中点x_m = (a + b) / 2，然后计算f(x_m)。
4. **区间划分**：根据f(x_m)的符号，将区间分为[f(a), x_m]和[x_m, f(b)]两部分。如果f(x_m)与f(a)同号，则舍弃包含a的区间；反之，舍弃包含b的区间。
5. **重复步骤3和4**：不断重复以上过程，每次将当前区间一分为二，直到区间长度小于预设的精度要求。
以例1为例，求解f(x)=x^3-3x^2+2x-6在区间[0, 4]内的变号零点。我们发现f(0)=-6<0，f(4)=18>0，满足零点存在性定理。然后，通过计算中点f(2)=-6<0，我们可以确定零点在[2, 4]区间内。继续进行二分，直到找到零点x2=3，即f(3)=0。
例2展示了更精确的求解过程，寻找函数f(x)=x^3+x^2-2x-2的一个正数零点，误差不超过0.1。通过反复二分，最终确定了x3=1.438作为零点的近似值，满足精度要求。
练习中的问题1考察了零点存在性定理的应用，而问题2则是关于如何判断变号零点所在的区间。
总结来说，二分法是一种实用的数值方法，适用于找出函数的变号零点，它依赖于函数的连续性和零点存在性定理，通过不断缩小区间来逼近零点。在实际操作中，需注意选择适当的初始区间，以及在满足精度要求后停止迭代。
