Fisher线性判别

Fisher线性判别分析（Fisher's Linear Discriminant Analysis, LDA）是一种经典的数据降维和分类方法，尤其在模式识别和机器学习领域中广泛应用。它的主要目标是找到一个线性变换，使得数据在新的低维度空间中，类间的区分度最大化，同时保持类内的紧密性。 ### 一、基本思想 Fisher线性判别分析的核心是寻找一个投影向量**W**，它将原始高维数据映射到一维空间。在这个一维空间中，同类别样本尽量聚集，不同类别样本尽量分离。这一过程可以有效地降低复杂性，便于后续的分类任务。此外，还会确定一个阈值**y0**，用于决定样本属于哪个类别。 ### 二、算法原理与流程 1. **W的确定** - **样本类内离散度矩阵**：计算每个类别的样本内部的离散程度，反映类内数据的分散情况。 - **总类内离散度矩阵**：所有类别的样本类内离散度之和，代表所有样本的总体离散度。 - **样本类间离散度矩阵**：衡量不同类别样本之间的平均距离，反映类间差异。 Fisher准则函数要求最大化类间离散度与类内离散度的比值，即最大分离度。通过求解梯度等于零的条件，可以找到最优的投影向量**W**。 2. **阈值的确定** 阈值**y0**的确定通常基于训练数据集，确保投影后的两类样本能被清晰地划分。具体方法因应用场景而异，可能包括平均值、中位数等。 3. **决策规则** 对于新的样本**x**，通过计算**y = W^T·x**，并与阈值**y0**比较。如果**y > y0**，则样本归属第一类（例如，**w1**）；反之，归属第二类（例如，**w2**）。 ### 三、流程概述 - **数据预处理**：对原始数据进行方差标准化（归一化处理），确保各特征在同一尺度上。 - **计算均值向量**：分别计算每个类别的样本均值向量。 - **计算离散度**：计算类内离散度矩阵和总类内离散度矩阵。 - **求解投影向量**：利用优化算法，如梯度上升或拉格朗日乘子法，求解使得Fisher准则函数最大的**W**。 - **确定阈值**：依据特定方法确定分类阈值**y0**。 - **测试数据处理**：对测试数据进行同样的归一化处理。 - **分类**：应用投影向量**W**和阈值**y0**，对测试数据进行分类。 ### 四、实验要求与分析 在实际的实验中，你需要选择适当的训练和测试数据集进行操作。通过对数据进行LDA处理，观察并分析结果，包括但不限于： - 分类准确率：评估模型分类效果的关键指标。 - 数据分布变化：查看降维后的数据分布，确认是否达到预期的类间分离和类内凝聚。 - 稳定性：考察模型对数据微小变动的敏感性。 - 实际应用：考虑该方法在具体领域的适用性和潜在局限性。 通过实验，你可以深入理解Fisher线性判别分析的工作机制，以及如何调整参数以优化分类性能。同时，分析实验过程中遇到的问题，提出解决方案，并总结实验结论，有助于提升对LDA理论和实践的理解。