最短路径算法—Dijkstra(迪杰斯特拉)算法分析与实现(CC++)

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。 迪杰斯特拉（Dijkstra）算法是一种用于解决单源最短路径问题的算法，由荷兰计算机科学家艾兹格·迪杰斯特拉在1956年提出。它主要用于找到图中一个起点到其他所有点的最短路径。在这个算法中，我们以起点为中心，逐步向外扩展，每次选择当前剩余节点中距离起点最近的节点，将其加入到已知最短路径的集合中，并更新其余节点的最短路径。 Dijkstra算法的核心思想是贪心策略，即每次都选取当前未处理节点中距离起点最近的一个节点，将其最短路径确定下来，并根据这个节点更新与其相邻节点的最短路径。这个过程持续进行，直到所有的节点都被处理，最终得到所有节点到起点的最短路径。 算法的具体步骤如下： 1. 初始化：设置一个空集合S，其中包含起点，所有节点的距离数组dist初始化为无穷大（通常用一个非常大的数值表示），表示未找到路径；prev数组用于记录到达每个节点的前驱节点，以构建最短路径。 2. 迭代过程：在未加入集合S的节点中，选择一个距离起点最近的节点u，将其加入S。然后遍历u的所有邻居v，如果通过u到达v的路径比当前已知的最短路径更短，则更新v的最短路径和前驱节点。 3. 重复步骤2，直到所有节点都被加入集合S，此时dist数组就存储了从起点到所有其他节点的最短路径。 在C/C++中，Dijkstra算法的实现通常涉及一个二维数组c表示图的边权重，以及一维数组dist和prev分别存储最短路径的长度和前驱节点。在上述代码中，可以看到算法的逻辑： - 第14行的Dijkstra函数接收图的节点数n，起点v，距离数组dist，前驱节点数组prev，以及边的权重矩阵c作为参数。 - 初始化阶段（第16-25行），标记所有节点未处理，将起点v的最短路径设为0，其他节点设为无穷大。 - 主循环（第30-55行），每次找出未处理节点中距离最近的节点u，将其加入集合S，并更新其邻居节点的最短路径。 - 可以使用prev数组回溯构建最短路径，如searchPath函数所示（第58-76行）。 Dijkstra算法虽然能确保找到最短路径，但其时间复杂度较高，为O(n^2)，不适合处理大规模图。对于带负权边的图，Dijkstra算法可能无法正确工作，因为负权边可能导致更短的路径在后续迭代中被发现。在这种情况下，可以考虑使用其他算法，如Bellman-Ford算法。