母函数背包逆序数.zip_算法母函数_背包问题母函数解法资源-CSDN下载

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37 浏览量 2022-09-21 00:51:26 上传评论收藏 2KB ZIP 举报

在计算机科学和算法领域，母函数（Generating Function）是一种强大的工具，用于处理组合计数问题。母函数通过将序列的每一项表示为一个幂次的系数，形成一个多项式，以此来解决序列的性质和计算问题。这个压缩包包含三个核心文件：逆序数.cpp、背包.cpp和母函数.cpp，它们分别对应于母函数应用中的逆序数计算、动态规划的背包问题以及母函数的基本操作。我们来讨论母函数的基本概念。母函数是将序列 \( a_0, a_1, a_2, \ldots \) 表示为 \( A(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots \) 的多项式。这种表示方式使得我们可以通过多项式的运算来处理序列的性质，如求和、求乘积等。在解析组合论中，母函数经常被用来解决与计数相关的问题，例如计算特定模式的排列或组合的数量。接下来，我们关注“逆序数”的概念。在数组或序列中，如果一个较大的元素出现在较小元素的前面，我们就称它们构成一个逆序对。逆序数.cpp 文件很可能提供了计算一个数组中逆序对数量的算法。计算逆序数可以使用排序或归并思路，也可以结合母函数来求解，特别是在处理大规模数据时，母函数的优势尤为明显，因为它们可以避免直接计算所有对的比较。再来看“背包”问题，这是动态规划的经典应用场景。背包问题通常涉及在一个容量有限的背包中选择物品，以最大化总价值或总重量。背包.cpp 文件可能包含了多种背包问题的解法，如完全背包、多重背包、0-1背包等。母函数在这里的应用可以将每个物品的价值或重量与多项式对应，然后通过多项式的乘法来找出最优解。母函数.cpp 文件应该是关于如何构建、操作和利用母函数的代码实现。这可能包括如何从序列生成母函数、如何通过母函数进行乘法和除法操作，以及如何从母函数恢复原始序列等基本操作。母函数的乘法操作对应于序列的逐项相加，而除法则可以用于解决递推关系，如斐波那契数列等。这个压缩包提供了母函数在解决逆序数计算和背包问题上的实例，展示了母函数在组合计数和动态规划中的强大能力。学习和理解这些内容对于提升算法分析和解决问题的能力大有裨益，特别是对于那些需要处理大量数据或复杂计数问题的场景。通过深入研究这些代码，我们可以更深入地理解母函数的理论和实践应用，并能够将其应用到更广泛的计算机科学问题中。

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母函数背包逆序数.zip （3个子文件）

逆序数.cpp 1KB

母函数.cpp 510B

背包.cpp 660B

#include<iostream> #include<cstring> #include<string> #include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm> #include<queue> #include<vector> #include<set> #include<map> #include<ctime> #define ll long long int #define eps 0.0000001 #define fo1(s,e) for(ll i=s;i<=e;i++) #define fo2(s,e) for(ll j=s;j<=e;j++) #define mem(a,n) memset(a,n,sizeof(a)) #define mod 1000000007 #define maxn 100005 #define inf 0x3f #define pi acos(-1.0) const ll INF=1e18; using namespace std; ll n,ans[1000005],a[1000005],b[1000005];//利用树状数组求逆序数对 map<ll,ll> index;//离散化映射坐标 ll lowbit(ll x){//获取低位 return x&(-x); } void add(ll x, ll d){//向位置x上加上d while(x<=n){ ans[x]+=d; x+=lowbit(x); } } ll query(ll x){//查询从1到x上的数字和 ll sum=0; while(x>=1){ sum+=ans[x]; x-=lowbit(x); } return sum; } int main() { ios::sync_with_stdio(false); mem(ans,0); cin>>n; fo1(1,n){ cin>>a[i]; b[i]=a[i]; } sort(b+1,b+n+1);//排序 fo1(1,n) index[b[i]]=i;//离散化 // for(auto x=index.begin();x!=index.end();x++) // cout<<x->first<<" "<<x->second<<endl; ll sum1=0; fo1(1,n){//正向插入,计算前面大的数 add(index[a[i]],1); sum1+=query(n)-query(index[a[i]]); } mem(ans,0); ll sum2=0; for(ll i=n;i>=1;i--){//反向插入,计算后面小的数 add(index[a[i]],1); sum2+=query(index[a[i]]-1); } cout<<(sum1+sum2)/2;//逆序数成对出现会统计两次,所以要除2 return 0; }

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