动态规划算法详解（打家劫舍、买卖股票、单词拆分、爬楼梯等经典问题）

详细介绍动态规划算法，包括动态规划五部曲。使用动态规划解决经典问题，例如爬楼梯、打家劫舍问题、单词拆分问题、买卖股票问题等 动态规划是一种算法设计技术，它通过将问题分解为重叠的子问题并利用已经解决的子问题的结果来解决更大的问题。 通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构的优化问题，即问题可以被分解为许多相同的子问题。 动态规划还可以用于解决背包问题： 使用一个二维数组来存储每个子问题的解，并使用两个嵌套循环来遍历所有可能的物品和容量组合，并计算出最优解。 单词拆分问题 可以将此问题简化为背包问题，单词就是物品，字符串s就是背包，单词能否组成字符串s,就是问物品能不能把背包装满。拆分时可以重复使用字典中的单词，说明就是一个`完全背包`。 动态规划是一种重要的算法设计策略，尤其适用于解决具有重叠子问题和最优子结构的优化问题。在编程领域，动态规划广泛应用于诸如爬楼梯、打家劫舍、买卖股票和单词拆分等一系列经典问题。 让我们看看爬楼梯问题。假设你站在地面上，要到达楼梯顶部，每次可以走1步或2步。动态规划解决方案是通过维护一个数组，其中数组的每个元素表示到达相应台阶的最少步数。例如，在上述的`climbStairs`函数中，使用了动态规划思路，通过存储先前计算的结果避免重复计算。 接着，我们来看打家劫舍问题。在此问题中，一个盗贼试图抢劫一排房屋，但不能连续抢劫相邻的两座房屋。动态规划策略是创建一个数组，其中每个元素表示抢劫到当前房屋时能得到的最大金额。例如，在提供的`rob`函数中，通过比较抢劫当前房屋与不抢劫当前房屋的收益，计算出最大收益。 动态规划在背包问题中的应用也很常见。假设你有一个背包，需要在有限的容量内装入物品以最大化价值。你可以使用一个二维数组来存储不同物品和背包容量组合下的最大价值。对于完全背包问题，物品可以无限次使用，如单词拆分问题，单词就是物品，字符串是背包。动态规划可以通过遍历所有可能的物品选择来找到最优解。 再来看看买卖股票问题。动态规划可以用来解决至少买卖一次或两次的股票问题。例如，在买卖股票III的问题中，我们需要定义一个二维数组`dp`，其中`dp[i][j]`表示第`i`天处于第`j`种状态（买入、卖出或无操作）的最大现金。通过递推公式更新`dp`数组，根据前一天的状态和价格选择最佳操作，从而求解最大收益。 总结来说，动态规划的核心思想是将复杂问题分解成多个较小的子问题，然后利用子问题的解来构建原问题的解。这种策略在处理优化问题时非常有效，因为它避免了对同一子问题的重复计算，从而提高了效率。在实际编程中，动态规划能够解决各种各样的问题，包括但不限于上述提到的经典案例，而且其应用范围不仅限于IT和金融商贸领域，还能扩展到其他多个学科。掌握动态规划不仅可以提升编程技能，还能培养解决问题的系统思维能力。