### 随机信号分析期末考试题解析
#### 第一题
**题目描述：**
假设 \(A\) 和 \(B\) 是两个相互独立的零均值高斯随机过程，且它们的方差相同，均为 \(\sigma^2\)。定义一个随机过程 \(X(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)\)。
**要求：**
1. **求解 \(X(t)\) 的一维概率密度函数 \(f_X(x; t)\)。**
- 解析：
对于 \(X(t)\) 来说，我们可以通过变换的方法来求解其概率密度函数。我们需要找到 \(X(t)\) 的概率分布。由于 \(A\) 和 \(B\) 均为高斯随机变量，可以证明 \(X(t)\) 也是一个高斯随机变量。对于高斯随机变量而言，其概率密度函数由均值和方差决定。
- **均值计算：**
由于 \(A\) 和 \(B\) 的均值为 0，故有：
\[
E[X(t)] = E[A]\cos(\omega t) + E[B]\sin(\omega t) = 0
\]
- **方差计算：**
由于 \(A\) 和 \(B\) 相互独立，所以：
\[
\text{Var}[X(t)] = \text{Var}[A\cos(\omega t)] + \text{Var}[B\sin(\omega t)]
\]
由方差的性质可得：
\[
\text{Var}[X(t)] = \sigma^2\cos^2(\omega t) + \sigma^2\sin^2(\omega t) = \sigma^2
\]
- **概率密度函数：**
因此，\(X(t)\) 的一维概率密度函数为：
\[
f_X(x; t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-0)^2}{2\sigma^2}}
\]
2. **求解 \(X(t)\) 的自相关函数 \(R_X(t, t+\tau)\)。**
- 解析：
自相关函数定义为：
\[
R_X(t, t+\tau) = E[X(t)X(t+\tau)]
\]
利用 \(X(t)\) 的表达式展开后计算可得：
\[
R_X(t, t+\tau) = E[A^2]\cos(\omega t)\cos(\omega (t+\tau)) + E[AB]\sin(\omega t)\cos(\omega (t+\tau)) + E[BA]\cos(\omega t)\sin(\omega (t+\tau)) + E[B^2]\sin(\omega t)\sin(\omega (t+\tau))
\]
由于 \(A\) 和 \(B\) 相互独立且均值为 0，因此：
\[
R_X(t, t+\tau) = \sigma^2\left[\cos(\omega t)\cos(\omega (t+\tau)) + \sin(\omega t)\sin(\omega (t+\tau))\right] = \sigma^2\cos(\omega\tau)
\]
3. **判断 \(X(t)\) 是否是平稳和遍历的过程。**
- 解析：
一个随机过程 \(X(t)\) 被认为是平稳的，如果它的统计特性不随时间变化。由上可知，\(X(t)\) 的均值为 0，自相关函数只依赖于时间差 \(\tau\)，因此 \(X(t)\) 是宽平稳的。
- 平稳性：由上述分析知，\(X(t)\) 为宽平稳过程。
- 遍历性：如果一个随机过程的所有样本路径都具有相同的统计特性，则该过程被认为是遍历的。由于 \(X(t)\) 的概率密度函数与时间无关，且所有样本路径都遵循相同的概率分布，因此 \(X(t)\) 也是遍历的。
#### 第二题
**题目描述：**
假设有一个平稳高斯随机过程 \(X(t)\)，其均值大于 0，且其自相关函数 \(R_X(\tau)\) 表达式为 \(R_X(\tau) = 36 + e^{-3|\tau|}\)。该过程经过一个线性系统的响应为 \(h(t) = e^{-2t}u(t)\)，其中 \(u(t)\) 为单位阶跃函数，输出为 \(Y(t)\)。
**要求：**
1. **求解 \(Y(t)\) 在 \(y=3\) 处的概率分布函数 \(F_Y(y; t)\) 的值。**
- 解析：
对于高斯随机过程通过线性系统的输出 \(Y(t)\) 依然为高斯随机过程。因此，为了求解 \(Y(t)\) 的概率分布函数 \(F_Y(y; t)\)，我们需要先求解 \(Y(t)\) 的均值和方差。
- **均值计算：**
\[
E[Y(t)] = E[X(t)] * h(t) = \mu_X * h(t)
\]
其中 \(\mu_X\) 为 \(X(t)\) 的均值。
- **方差计算：**
\[
\text{Var}[Y(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau)h(t-\tau)R_X(\tau-t')d\tau dt'
\]
将 \(R_X(\tau)\) 的表达式代入，可求得 \(Y(t)\) 的方差。
- **概率分布函数 \(F_Y(y; t)\) 的值：**
由于 \(Y(t)\) 为高斯随机变量，因此其概率分布函数 \(F_Y(y; t)\) 可以根据其均值和方差来确定。在 \(y=3\) 处的值则需具体计算得到。
2. **求解 \(Y(t)\) 的功率谱密度和平均功率。**
- 解析：
功率谱密度 \(S_Y(f)\) 为 \(Y(t)\) 的自相关函数的傅里叶变换，而自相关函数又可以通过 \(X(t)\) 的自相关函数 \(R_X(\tau)\) 和 \(h(t)\) 的卷积来求得。
- **功率谱密度 \(S_Y(f)\)：**
\[
S_Y(f) = |H(f)|^2 S_X(f)
\]
其中 \(S_X(f)\) 为 \(X(t)\) 的功率谱密度，\(H(f)\) 为 \(h(t)\) 的傅里叶变换。
- **平均功率：**
平均功率可以通过功率谱密度在频域上的积分来求得，即：
\[
P_Y = \int_{-\infty}^{+\infty} S_Y(f) df
\]
#### 第三题
**题目描述：**
假设系统为线性系统。
1. **已知输入为高斯白噪声，其功率谱密度 \(S_X(f) = N_0/2\)，求系统的频率响应 \(H(\omega)\) 和冲激响应 \(h(t)\)。**
- 解析：
已知系统的传递函数 \(H(\omega)\) 的表达式为：
\[
H(\omega) = \frac{1}{s^2 + 9s^4 + 17s^2 + 16}
\]
为了求得 \(H(\omega)\)，需要将传递函数转换为频率域的形式：
\[
H(\omega) = \frac{1}{-j\omega + 9(-j\omega)^4 + 17(-j\omega)^2 + 16}
\]
为了求得冲激响应 \(h(t)\)，需要对 \(H(s)\) 进行拉普拉斯反变换，这需要具体的数学方法来进行求解。
- **冲激响应 \(h(t)\)：**
\[
h(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\{H(s)\right\}
\]
2. **已知随机信号 \(X(t)\) 通过线性系统输出为 \(Y(t)\)，互谱密度 \(S_{XY}(f) = 63 + f\)，求 \(X(t)\) 与 \(Y(t)\) 的自相关函数的卷积 \(R_X(\tau) * R_Y(\tau)\)。**
- 解析：
互谱密度 \(S_{XY}(f)\) 定义为 \(X(t)\) 和 \(Y(t)\) 的自相关函数的傅里叶变换的乘积：
\[
S_{XY}(f) = S_X(f)H^*(f) = R_X(\tau) * R_Y(\tau)
\]
要求 \(X(t)\) 与 \(Y(t)\) 的自相关函数的卷积，可以通过求解 \(S_{XY}(f)\) 的傅里叶逆变换来得到：
\[
R_X(\tau) * R_Y(\tau) = \mathcal{F}^{-1}\left\{S_{XY}(f)\right\}
\]
#### 第四题
**题目描述：**
假设 \(X(t)\) 为零均值平稳窄带高斯随机过程，其功率谱密度如图所示，三角形底部宽度为 \(W\)。
**要求：**
1. **求解 \(X(t)\) 的一维概率密度函数 \(f_X(x; t)\)。**
- 解析：
对于窄带高斯随机过程 \(X(t)\)，其一维概率密度函数 \(f_X(x; t)\) 可以通过其功率谱密度和均值来确定。由题意知，\(X(t)\) 的均值为 0，而其功率谱密度的形状和参数决定了 \(f_X(x; t)\) 的具体形式。
2. **将 \(X(t)\) 表示为 \(X(t) = a(t)\cos(\omega_0t) - b(t)\sin(\omega_0t)\)，画出 \(a(t)\) 和 \(b(t)\) 的功率谱密度，以及 \(a(t)\) 和 \(b(t)\) 的互功率谱密度。**
- 解析：
通过将 \(X(t)\) 分解为 \(a(t)\) 和 \(b(t)\) 的线性组合，我们可以求得 \(a(t)\) 和 \(b(t)\) 的功率谱密度和互功率谱密度。这些功率谱密度可以根据 \(X(t)\) 的功率谱密度进行推导。
3. **求解 \(a(t)\) 的自相关函数 \(R_a(\tau)\)，\(b(t)\) 自相关函数 \(R_b(\tau)\)，以及 \(a(t)\) 和 \(b(t)\) 的互自相关函数 \(R_{ab}(\tau)\)。**
- 解析：
通过对 \(a(t)\) 和 \(b(t)\) 的自相关函数和互相关函数的定义进行计算，可以得到这些函数的具体形式。这些函数反映了 \(a(t)\) 和 \(b(t)\) 之间的统计相关性。
4. **已知 \(b(t)\) 的解析过程 \(\hat{b}(t)\)，画出 \(\hat{b}(t)\) 的功率谱密度。**
- 解析：
对于 \(b(t)\) 的解析过程 \(\hat{b}(t)\)，其功率谱密度可以通过对 \(\hat{b}(t)\) 的自相关函数进行傅里叶变换来获得。这个过程涉及到具体的数学运算和公式推导。
