正态分布，也被称为高斯分布，是概率论与统计学中的一个重要概念，特别是在高三数学的概率与统计课程中。它是一种连续型随机变量的概率分布，以其对称性和钟形曲线而闻名，中心位于平均值（均值）μ，并且由标准差σ控制其扩散程度。
标准正态分布是正态分布的一种特殊情况，其中均值μ=0，标准差σ=1。其概率密度函数（PDF）可以表示为f(x) = (1/√2π) * e^(-x²/2)，对应的曲线称为标准正态曲线。这条曲线是对称的，峰值位于x=0处，两侧对称下降，形成一个完美的钟形曲线。
正态分布表提供了在特定值x0处的累积分布函数（CDF）值，即概率密度小于或等于x0的值的概率，记为Φ(x0) = P(x ≤ x0)。根据对称性，有以下性质：
1. Φ(-x0) = 1 - Φ(x0)
2. 对于任何区间(x1, x2)，正态分布取值在该区间内的概率为P(x1 < x < x2) = Φ(x2) - Φ(x1)
在处理正态分布问题时，常常需要将非标准正态分布转换为标准正态分布，这可以通过标准化公式完成：Z = (X - μ) / σ，其中Z是标准正态变量，X是原始正态变量。这样，我们可以利用标准正态分布表来求解概率。
例如，如果X ~ N(0, 1)，我们可以计算P(-2.32 < X < 1.2)，解这个问题时，我们使用上述性质和标准正态分布表，找到Φ(1.2)和Φ(-2.32)的值，然后相减得到概率。
对于更复杂的例子，例如具有均值μ和标准差σ的正态分布，我们同样需要将其标准化，然后使用标准正态分布表来求解。例如，若X ~ N(μ, σ²)，求P(X < 3)，我们首先标准化X，然后查找标准正态分布表得到概率。
在实际应用中，正态分布广泛应用于各种领域，如质量控制、考试成绩分析等。例如，假设高中二年级的数学成绩Z服从均值7，标准差10的正态分布。如果想知道在100名学生中，一名得分80分的学生的排名，我们需要找出得分低于80分的学生比例，这可以通过标准化并查询标准正态分布表得出。同样，如果及格线设为60分，有101名学生及格，我们可以找出第20名学生的分数，这也涉及到正态分布的概率计算。
正态分布是理解和应用概率统计的关键概念之一，它的理论和计算方法对于解决许多实际问题至关重要，尤其是在教育评估、科学研究和工程实践中。通过学习和掌握正态分布，我们可以更好地理解和预测数据的分布规律，从而进行有效的数据分析和决策。
