### 信号与系统中的连续傅里叶变换及其对偶关系
在信号处理和通信理论领域，傅里叶变换作为一种强大的工具被广泛应用于分析信号的频谱特性。本篇将详细介绍表6.3中所列出的一些常用的连续傅里叶变换对及其对偶关系，并探讨连续傅里叶变换的基本性质。
#### 连续傅里叶变换对
连续傅里叶变换（Continuous-Time Fourier Transform, CTFT）是一种将连续时间信号转换为频率域表示的方法。对于一个绝对可积的连续时间信号\( x(t) \)，其连续傅里叶变换定义为：
\[
X(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt
\]
而逆变换则将频率域信号转换回时间域表示，定义为：
\[
x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega
\]
#### 对偶关系
对偶性是连续傅里叶变换的一个重要特性，它表明如果有一个时间函数与其对应的傅里叶变换，则存在另一个函数与其傅里叶变换是对偶关系的。具体而言，如果\( x(t) \)的傅里叶变换为\( X(j\omega) \)，那么\( X(t) \)的傅里叶变换为\( 2\pi x(-\omega) \)。
接下来，我们将详细讨论表6.3中列出的连续傅里叶变换对及其对偶关系：
1. **线性**：如果两个信号分别是\( x_1(t) \)和\( x_2(t) \)，它们的傅里叶变换分别为\( X_1(j\omega) \)和\( X_2(j\omega) \)，那么任意常数\( a \)和\( b \)组合的信号\( ax_1(t) + bx_2(t) \)的傅里叶变换将是\( aX_1(j\omega) + bX_2(j\omega) \)。
2. **尺度比例变换**：如果一个信号\( x(t) \)的傅里叶变换为\( X(j\omega) \)，那么该信号经过尺度比例变换\( x(at) \)的傅里叶变换为\( \frac{1}{|a|}X(\frac{j\omega}{a}) \)。
3. **对偶性**：正如前面提到的，如果\( x(t) \)的傅里叶变换为\( X(j\omega) \)，则\( X(t) \)的傅里叶变换为\( 2\pi x(-\omega) \)。
4. **时移与频移**：对于时移信号\( x(t-t_0) \)，其傅里叶变换为\( X(j\omega)e^{-j\omega t_0} \)；而对于频移信号\( e^{j\omega_0 t}x(t) \)，其傅里叶变换为\( X(j(\omega - \omega_0)) \)。
5. **时域微分与频域微分**：时域信号\( x(t) \)的微分\( \frac{dx(t)}{dt} \)的傅里叶变换为\( j\omega X(j\omega) \)；类似地，频域信号\( X(j\omega) \)的微分\( j\omega X(j\omega) \)的傅里叶逆变换为\( \frac{dx(t)}{dt} \)。
6. **时域积分与频域积分**：时域信号\( x(t) \)的积分\( \int_{-\infty}^{t} x(\tau)d\tau \)的傅里叶变换为\( \frac{1}{j\omega}X(j\omega) \)；频域信号\( X(j\omega) \)的积分\( \frac{1}{j\omega}X(j\omega) \)的傅里叶逆变换为\( \int_{-\infty}^{t} x(\tau)d\tau \)。
7. **时域卷积与频域卷积**：两个信号\( x_1(t) \)和\( x_2(t) \)的时域卷积\( (x_1 * x_2)(t) \)的傅里叶变换等于这两个信号的傅里叶变换的乘积\( X_1(j\omega)X_2(j\omega) \)；同样地，两个信号的傅里叶变换的卷积\( (X_1 * X_2)(j\omega) \)的傅里叶逆变换等于这两个信号的时域乘积\( x_1(t)x_2(t) \)。
8. **对称性**：如果信号\( x(t) \)是实函数，则其傅里叶变换\( X(j\omega) \)满足共轭对称性，即\( X^*(-j\omega) = X(j\omega) \)。
9. **希尔伯特变换**：希尔伯特变换是一种特殊变换，用于计算信号的解析信号，它将实信号转换为其复数表示形式。若\( x(t) \)的希尔伯特变换为\( \hat{x}(t) \)，则其傅里叶变换满足\( \hat{X}(j\omega) = -j\text{sgn}(\omega)X(j\omega) \)。
10. **时域抽样与频域抽样**：时域抽样信号\( x_s(t) = x(t)\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(t-kT) \)的傅里叶变换为\( \frac{1}{T}X\left(j\frac{\omega}{T}\right) \)；频域抽样信号\( X_s(j\omega) = X(j\omega)\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-k\Omega) \)的傅里叶逆变换为\( x(t) \)的周期延拓。
11. **帕什瓦尔公式**：此公式提供了一种计算信号能量的方法。对于绝对平方可积的信号\( x(t) \)，其能量可以用时域或频域两种方式来表示，即\( E_x = \int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|X(j\omega)|^2d\omega \)。
通过以上对连续傅里叶变换及其对偶关系的深入探讨，我们可以更全面地理解信号处理中的基本概念和技术，为后续的理论研究和实际应用奠定坚实的基础。
