数学建模——层次分析法

层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种在决策过程中处理复杂、多目标问题的系统分析方法，尤其在数学建模中被广泛应用。它通过将决策问题分解成多个层次，包括目标层、准则层和方案层，帮助决策者在考虑多个相互关联的因素时做出更为理性的选择。 在实例中，层次分析法被用来解决购物、旅游、择业和科研课题选择等问题。这些决策通常涉及多个方面，如质量、价格、实用性、环境、个人兴趣等，而层次分析法能有效地量化和比较这些因素。 1. 层次结构模型的建立： - 目标层：定义决策的最终目标，如合理使用企业利润。 - 准则层：列出影响目标的中级决策因素，如调动职工积极性、提高企业技术水平、改善职工生活。 - 方案层：具体的行动或决策选项，如发奖金、扩建福利设施、引进新设备。 2. 对比矩阵的构造： - 判断矩阵用于比较准则层和目标层，以及准则层内部各因素的重要性。使用1-9比较尺度，其中1表示同等重要，9表示绝对重要，其他数字表示介于两者之间。 - 矩阵的元素必须满足一致性，即如果A>B且B>C，则A>C。 3. 权重向量的确定： - 和法：归一化后的向量和的平均值。 - 求根法：各列向量的几何平均后归一化。 - 特征根法：最常用，通过求解矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，得到权重。 4. 层次单排序与一致性检验： - 计算矩阵的最大特征值λmax和对应特征向量，向量的分量即为单排序的权重。 - 一致性检验：计算一致性指标CI和随机一致性比率CR，若CR小于给定阈值（通常为0.1），则认为判断矩阵具有良好的一致性。 通过以上步骤，层次分析法可以帮助决策者系统地比较不同因素，从而得出最佳决策。在实际应用中，需要多次调整判断矩阵以达到满意的一致性，确保决策的合理性。这种方法尤其适用于那些难以量化但对决策影响重大的主观因素。