第1章--绪论.ppt

有限元分析是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域，特别是解决复杂的结构力学、热传导、流体力学等问题。这种方法的核心思想是将连续区域划分为多个互不重叠的子区域，即“有限元”，然后对每个有限元内的偏微分方程进行近似求解，并通过边界条件将所有有限元联立起来，最终得到整个问题的全局解。 在有限元法的产生与基本思想部分，我们可以看到它是为了解决实际物理问题与数学模型之间的转化。例如，一个物理问题可能涉及某个物体在受力下的变形或温度分布，这可以用微分方程来描述。微分方程可以是描述物体内部物理现象的动态规律，而边界条件则规定了物体边缘的约束或外部激励。然而，这些微分方程边值问题往往无法用解析方法得到精确解，尤其是在问题复杂、几何形状不规则时。因此，就需要采用数值方法，如有限元法，来寻求近似解。 有限元分析的过程通常包括以下几个步骤： 1. **模型建立**：将实际问题转化为数学模型，通常是微分方程和边界条件。 2. **离散化**：将连续区域划分为有限个单元，这些单元可以是线性的、二次的或者其他形状的，它们在几何上互不重叠。 3. **元素分析**：对每个有限元内部的微分方程进行近似，通常采用泰勒级数展开或其他插值函数，将连续的微分方程转换为离散的代数方程。 4. **系统求解**：将所有单元的代数方程组合成全局的线性或非线性系统，然后利用数值线性代数的方法求解这个系统。 5. **结果后处理**：解析求解结果，通常包括应力、应变、位移、温度等参数的分布，以及性能评估。 在这个过程中，有限元法与有限差分法（FDM）的区别在于，有限差分法是将连续域离散为网格点，用差分近似微分，适合处理规则网格的问题，而有限元法则更灵活，可以适应任意复杂的几何形状。 有限元法在产品开发中的作用至关重要。在设计阶段，它可以帮助工程师预测产品在各种工况下的行为，比如汽车碰撞的安全性、飞机机翼的气动特性、桥梁的承载能力等。通过对模型的虚拟测试，可以减少物理原型的制作和实验，从而降低成本、缩短研发周期，并提高产品的性能和可靠性。 总结来说，有限元分析是一种强大的数值工具，用于解决工程和科学问题中的偏微分方程。通过将连续区域离散化为有限个元素，它能够提供对复杂问题的近似但准确的解决方案，广泛应用于结构力学、热传导、流体动力学等领域，极大地推动了产品设计和分析的进步。