【正态分布】是概率论和统计学中的一个重要概念，主要描述了大量独立随机变量的累积分布情况。在高中数学的第二章“随机变量及其分布”中，2.4节详细讲解了正态分布，这一分布由两个参数决定，分别是**平均值（均值）μ**和**标准差σ**。平均值μ代表了数据集的中心趋势，而标准差σ则反映了数据的离散程度。
正态分布函数通常表示为**φμ，σ(x)**，其中**φ**是常数，**x**是随机变量，μ是平均值，σ是标准差。此函数形成的图形称为**正态曲线**，它是一个钟形曲线，对称于直线x=μ。正态分布的特性包括：
1. 曲线位于x轴上方且永不与x轴相交。
2. 曲线具有单一峰，对称轴为x=μ。
3. 曲线在μ处达到最大值，高度为1/(σ * √(2π))。
4. 曲线与x轴之间的区域总面积为1。
5. 当σ固定时，μ的变化会沿着x轴平移曲线。
6. σ的大小决定了曲线的形状：σ小，曲线更尖锐，表示数据更集中；σ大，曲线更平坦，表示数据更分散。
正态分布具有几个关键的百分位数，例如：
- P(μ-σ<X≤μ+σ) ≈ 0.6826，即约68.26%的数据落在平均值μ的一个标准差范围内。
- P(μ-2σ<X≤μ+2σ) ≈ 0.9544，这意味着约95.44%的数据落在两个标准差范围内。
- P(μ-3σ<X≤μ+3σ) ≈ 0.9974，大约99.74%的数据在三个标准差内。
在解决实际问题时，可以利用这些特性来估算特定区间内的概率，例如“3σ原则”常常用于评估数据是否异常，因为几乎所有的数据（99.74%）都在均值的三个标准差范围内。
在课堂深度拓展部分，正态曲线的性质被用来求解问题，例如通过曲线的对称性和峰值来确定μ和σ的值。例题1和变式1展示了如何利用正态分布的性质去比较不同正态分布的特性，并解决实际情境下的问题。
正态分布是高中数学中一个核心的概念，它不仅在理论上有重要地位，也在实际应用中广泛使用，比如在质量控制、考试成绩分析等领域。理解并掌握正态分布的特性和计算方法对于学习高级统计学和概率论至关重要。
