计算机组成原理中的运算方法和运算器是理解计算机系统核心功能的关键部分。这一章主要探讨了数据的表示方式、运算规则以及这些运算在硬件层面的实现。以下是对这些内容的详细阐述：
1. **数据的表示法**：在计算机中，数据可以是数值或字符。数值的表示通常分为整数和小数，而字符则通过特定的编码如ASCII或Unicode来表示。数据的运算法则包括加法、减法、乘法和除法，这些运算对于计算机执行算术和逻辑操作至关重要。
2. **数的表示**：在二进制系统中，正负数的表示方式称为机器数。机器数的最高位（MSB）用来表示符号，0代表正数，1代表负数。例如，二进制数01011表示十进制的+5，而11011则表示-5。无符号数只表示数值，不包含符号信息。
3. **进制转换**：为了在不同进制之间转换，我们使用特定的方法。例如，将十进制数20.59375转换为二进制是10100.10011，而二进制的100.11011转换为十进制则是4.84375。此外，二进制可以转换为八进制（如1101.10101转换为15.52）和十六进制（如1101.10101转换为0d.a8）。
4. **机器数与真值**：机器数是数在计算机内部的二进制形式，而真值是实际表示的数值，包括符号和绝对值。例如，机器数01011对应的真值是+5，机器数11011对应的是-5。
5. **无符号数与符号数**：无符号数仅表示正数，而符号数使用一个额外的位来表示正负。在加法运算中，符号位的处理是个挑战。例如，两个正数相加，符号位保持不变；正负数相加时，和的符号取决于绝对值较大的数；而两个负数相加会引发符号位的冲突。
6. **原码、反码和补码**：为了解决负数运算的问题，引入了原码、反码和补码的概念。原码直接表示数值，包括符号位；反码是原码的非数值部分取反，正数不变；补码是在反码基础上加1，它使得负数的加减运算可以直接进行位运算。例如，-5的原码是1011，反码是1100，补码是1101，这样在二进制下，-5加5可以直接进行位运算得到0，因为1101加1011等于10000，进位后最高位溢出，只保留低四位，即0。
7. **定点数和浮点数**：定点数的数值位固定，分为整数和小数两种，它们在原码、反码和补码表示中都有明确的规定。浮点数则包含一个指数和尾数，用于表示更大范围和精度的数值。
8. **运算器的电路实现**：在硬件层面，加法器、减法器、乘法器和除法器是实现这些运算的基本电路单元。例如，加法器可以基于半加器和全加器构造，通过逐位加法并处理进位来完成两个数的加法运算。
总结起来，这一章深入讨论了计算机如何存储和处理数据，以及如何通过特定的编码和运算规则实现复杂的计算。这些知识对于理解计算机硬件和软件设计的基础至关重要。
