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Trabajo Estadísticas I “YV”
(Probabilidad Estadística)
Rodríguez Jeison
C.I: 26-071-954

DEFINICION DE PROBABILIDAD,EXPERIMENTO,EVENTO ESPACIO
MUESTRAL,SUCESOS SIMPLES Y COMPUESTOS.
Experimento
Un experimento, en estadística, es
cualquier proceso que proporciona
datos, numéricos o no numéricos.
Sucesos Simples y compuestos
Suceso Simple es cada uno de los
elementos que forman parte del espacio
muestral. Ejemplo;
Tirando un dado un suceso elemental es
sacar 5.
Suceso compuesto es cualquier
subconjunto del espacio muestral.
Ejemplo;
Tirando un dado un suceso sería que
saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.
La Probabilidad es la mayor o menor
posibilidad de que ocurra un determinado
suceso. En otras palabras, su noción viene de
la necesidad de medir o determinar
cuantitativa mente la certeza o duda de que un
suceso dado ocurra o no.
Ésta establece una relación entre el número
de sucesos favorables y el número total de
sucesos posibles. Por ejemplo, lanzar un
dado, y que salga el número uno (caso
favorable) está en relación a seis casos
posibles (1, 2, 3, 4, 5 y 6); es decir, la
probabilidad es 1/6.
Evento espacio muestral
Un conjunto cuyos elementos representan todos
los posibles resultados de un experimento se llama
espacio muestral y se representa como S. El
espacio muestral de un experimento siempre
existe y no es necesariamente único pues,
dependiendo de nuestra valoración de los
resultados, podemos construir diferentes espacios
muestrales.

ANALISIS DE TECNICA O REGLAS DE CONTEO
Cuando el número de posibles resultados de un experimento es finito, su
espacio muestral es finito y su cardinal es un número natural. Si el experimento
es simple, el espacio muestral es unidimensional, constituido por puntos
muestrales con una sola componente, y el cardinal es simplemente el número
de posibles resultados del experimento, los que se pueden enumerar fácilmente.
Pero si el experimento es combinado, el cardinal puede ser tan grande, que
sería del todo absurdo pretender enumerarlos todos, por ser un proceso lento,
tedioso, costoso y susceptible de errores. Y realmente no es importante poder
enumerarlos, sino saber contarlos.
Cuando se tienen N objetos, al escoger al azar uno o más de ellos, interesa
calcular la probabilidad de cada elección. Escoger al azar un objeto de los N
disponibles, significa que cada uno tiene la misma probabilidad de ser elegido:
P 1/ N.   i  Escoger al azar dos objetos de los N, significa que cada
posible par de objetos, sin considerar el orden, tiene la misma probabilidad
de ser elegido que cualquier otro par; si existen k pares diferentes, entonces
la probabilidad es Y escoger n objetos de los N, significa que cada posible
conjunto de n objetos, sin considerar el orden, tiene la misma probabilidad de ser
elegido que cualquier otra conjunto de n objetos. El análisis combinatorio estudia
los procedimientos y estrategias para contar las posibles agrupaciones de los
elementos de un conjunto, permitiendo determinar el número de posibilidades
lógicas que cabe esperar al realizar algún experimento, sin necesidad de
enumerarlas; es una forma abreviada de contar que se resume en unas cuantas
técnicas basadas en procedimientos y fórmulas recurrentes.

Explicar probabilidades conjuntas, marginales y condicionales

PROBABILIDAD CONDICIONAL
Como su nombre lo indica se trata de determinar la probabilidad de que ocurra un
evento A (aposteriori) dado que ya aconteció un evento B (apriori), y se
representa mediante P(A|B), se lee probabilidad de A dado B o probabilidad de A
condicionada a B.
En la probabilidad condicional, consideramos que de un espacio muestral S se
conoce únicamente el evento B, que constituye un espacio muestral reducido.
Se desea saber la posibilidad de que exista el evento A
BS

Como únicamente conocemos el evento B,
la probabilidad de que exista A está dada
por la posible intersección del evento A con
el evento B.
BS
A
Por lo tanto la expresión para la probabilidad condicional quedaría P(A|
B)=n(A∩B)/n(B), donde n(A∩B) es el número de elementos en la
intersección de A con B y n(B) es el número de elementos en el evento B.
Si el numerador y el denominador se dividen entre n(s) que es el número
de elementos en el espacio muestral y aplicamos el concepto de
probabilidad, tenemos:P(A|B)=[n(A∩B)/n(S)]/[n(B)/n(S)]= P(A∩B)/P(B).
De la última expresión P(A|B)=P(A∩B)/P(B), P(B) es la probabilidad del
evento condición o del evento que se presenta primero .De manera similar
se puede pedir la probabilidad del evento B dado que ya ocurrió el evento
A P(B|A)=P(A∩B)/P(A), ahora P(A) es la probabilidad del evento condición o
del que se presenta primero .

EJEMPLO
Ejemplo: Al arrojar dos dados resultan caras iguales, ¿cuál es la
probabilidad de que sumen ocho?
Identificamos los eventos dentro del espacio muestral:
A={caras iguales}={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
B={sumen más de ocho}={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),
(6,6)}
n(A)=6, n(B)=10 y n(A∩B)=2, aplicando la expresión P(B|
A)=n(A∩B)/n(A)=2/6=1/3= 0.333

PROBABILIDAD CONJUNTA
Es la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos.
De la expresión P(B|A)=P(A∩B)/P(A) se pude despejar P(A∩B)=P(A)P(B|A)
expresión llamada Ley de multiplicación de probabilidades.
P(A∩B) recibe el nombre de probabilidad conjunta y corresponde a la
probabilidad de que se presenten resultados comunes a los eventos A y
B.
Ejemplo: Al arrojar una moneda desequilibrada al aire, P(A)=1/3 y
P(S)=2/3, en dos ocasiones, ¿cuál es la probabilidad de que en las dos
ocasiones sea águila.
Auxiliándonos de un diagrama de árbol.
⅓
A
S
A
S
A
S
A
1
S
1
A2
S2
A2
S2
⅓
⅓
⅔
⅔
⅔
P(A1∩A2)=P(A1)P(A2|
A1)=
P(A1∩A2)=1/3(1/3)= 1/9

PROBABILIDAD MARGINAL
Para obtener expresiones útiles en el cálculo de este tipo de
probabilidades, se realizará un ejemplo.
En un taller mecánico tienen un total de 135 desatornilladores, los técnicos
atribuyen a éstos dos características cuando se los piden a sus ayudantes,
su longitud (largo y cortos) y la forma de la punta que embona en los
tornillos (planos o de cruz) de acuerdo a la definición de eventos que
sigue, la distribución es la siguiente:
Eventos Característica
A1 Largo
A2 Corto
B1 Punta plana
B2 Punta de Cruz
Evento A1 A2 Total
B1 40 60 100
B2 15 20 35
Total 55 80 135

Para determinar una probabilidad conjunta, digamos destornilladores
cortos con punta plana, de acuerdo con la tabla, es el cociente
60/135=0.444, que se obtuvo de dividir el número de destornilladores
cortos y que tienen punta plana, en términos de conjuntos,
n(A2∩B1)=n21=60, entre el total de los destornilladores del taller, ns=135
Generalizando se obtiene la probabilidad conjunta de dos eventos con la
expresión siguiente: P(Ai∩Bj)=nij/ns
Donde i=1, 2, 3,…n y j=1, 2, 3,…n
Considérese que únicamente nos interesa conocer la probabilidad de los
eventos Bj, por ejemplo de B1,
P(B1)=(n11+n21)/ns=(40+60)/135=100/135=0.74
Se observa que el subíndice correspondiente al evento B permanece
constante en la suma del numerador n11+n21.Generalizando, la
probabilidad marginal de cualquier evento Bj puede calcularse
P(Bj)= i=1nnij/ns, pero i=1nnij/ns= i=1nP(Ai∩Bj), por lo tantoƩ Ʃ Ʃ
P(Bj)= i=1nP(Ai∩Bj).Ʃ

En otra palabras la probabilidad de un evento Bj es igual a la suma de
probabilidades conjuntas del evento Bj y los eventos Ai, la suma se
realiza sobre los eventos Ai.
También se puede determinar la probabilidad marginal de cualquier
evento Ai: P(Ai)= j=1nP(Ai∩Bj), en este caso la suma se realiza sobreƩ
los eventos Bj.
Se puede demostrar que la suma de probabilidades marginales de los
eventos Ai, o de los eventos Bj, es igual a uno, como se demuestra a
continuación:
P(A1)=55/135=0.4075 y
P(A2)=80/135=0.5925
Por lo tanto i=12P(Ai)=1Ʃ
P(A1)+P(A2)=0.4975+0.5925=1
P(B1)=100/135=0.74 y
P(B2)=35/135=0.26
Por lo tanto i=12P(Ai)=1Ʃ
P(A1)+P(A2)=0.74+0.26=1

Explicar eventos mutuamente excluyentes y eventos no incluyentes
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Un evento mutuamente excluyente es uno en el que la aceptación de una
alternativa automáticamente excluye otras posibles alternativas. Un
ejemplo común de esto es lanzar una moneda, ¿la moneda caerá de cara o
cruz?, la cara significa un 50% de probabilidad que esta salga o si cae en
cruz representa al otro 50% de probabilidad de que esta salga; lanzar una
moneda es un evento mutuamente excluyente, ya que es una variable o
alternativa donde el dato a escoger o elegir no pueden ser ambos, es decir,
si son sucesos que no pueden ocurrir a la vez en una misma jugada es
porque la ocurrencia de alguno de ellos excluye la ocurrencia de otros. La
fórmula matemática para determinar la probabilidad de los eventos
mutuamente excluyentes es: Si A y B son evento mutuamente excluyentes,
entonces la probabilidad de que A o B suceda es equivalente a la
probabilidad del evento A más la probabilidad del evento B. EJEMPLOS;
Sacar un 5 y una carta de espadas. Son eventos no excluyentes pues
podemos tomar un 5 de espadas.
Sacar una carta roja y una carta de corazones. Son eventos no excluyentes
pues las cartas de corazones son uno de los palos rojos.
Sacar un 9 y una carta negra. Son eventos no excluyentes
pues podemos tomar el 9 de espadas o el 9 de tréboles.

EVENTOS MUTUAMENTE NO EXCLUYENTES
Los eventos mutuamente excluyentes son aquellos en los que si un evento
sucede significa que el otro no puede ocurrir. Si bien suelen usarse en
teorías científicas, también son parte de las leyes y los negocios. Como
resultado, entender los eventos mutuamente excluyentes puede ser
importante para una variedad de disciplinas.
Fórmula
La fórmula matemática para determinar la probabilidad de los eventos
mutuamente excluyentes es P(A U B) = P(A) + P(B). Dicho en voz alta, la
fórmula es "Si A y B son evento mutuamente excluyentes, entonces la
probabilidad de que A o B suceda es equivalente a la probabilidad del
evento A más la probabilidad del evento B".
Sacar una carta de corazones y una carta de espadas. Son eventos
mutuamente excluyentes, las cartas o son de corazones o son de espadas.
Sacar una carta numerada y una carta de letras. Son eventos mutuamente
excluyentes, las cartas o son numeradas o son cartas con letra.
Sacar una carta de tréboles roja. Son eventos mutuamente excluyentes
pues las cartas de tréboles son exclusivamente negras.
No es posible encontrar una sola carta que haga posible
que los eventos sucedan a la vez.

Explicar las reglas o leyes: multiplicativa, aditiva y de Bayes.
La regla de multiplicación requiere que dos eventos A y B sean independientes.
Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de una no afecta la
probabilidad de ocurrencia del otro.
La regla especial se escribe: P(A y B) = P(A) * P(B).
Existen dos acepciones de esta regla:
1) Si los eventos de independientes:
P(A y B ) = P( A ∩ B ) = P(A)P(B)
2) Si los eventos son dependientes:
Es la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad condicional de B dado A.
P(A y B) = P(A)P(B|A)

EJEMPLOS DE LAS REGLAS O LEYES MULTIPLICATIVAS
Ejemplo:
Si se responden al azar cuatro preguntas con cinco opciones cada una,
¿cuál es la probabilidad de acertar a todas?
La probabilidad de acierto en cada una de las preguntas es 1/5. Por lo
tanto, la probabilidad de acertar en las cuatro es:
P(A)= 1/5 . 1/5 . 1/5 . 1/5 = 1/625
Ejemplo:
Chris posee dos inventarios independientes uno de otro.
La probabilidad de que el inventario A aumente su valor el próximo año
es .5. La probabilidad de que el B aumente el suyo es .7.
¿Cuál es la probabilidad de que ambos aumenten su valor el próximo
año?
P(A y B) = (.5)(.7) = .35
¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno aumente su valor el
próximo año (esto implica que cualquiera de los dos o ambos
aumenten)?
Así, P(al menos uno) = (.5)(.3) + (.5)(.7) + (.7)(.5) = .85.

REGLA ADITIVA
Establece que si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes la probabilidad
de que uno u otro evento ocurra es igual a la suma de sus probabilidades. De lo
anterior se puede deducir que la probabilidad de que ocurra A más la probabilidad
de que no ocurra A debe sumar 1. A esto se le llama la regla del complemento. Esta
regla establece que para determinar la probabilidad de que ocurra un evento se
puede restar de 1 la probabilidad de que no ocurra.
La Regla de la Adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dos
sucesos A y B es igual a: P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son
mutuamente excluyente P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B) si A y B son no
excluyentes Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A P(B) =
probabilidad de ocurrencia del evento B P(A y B) = probabilidad de ocurrencia
simultanea de los eventos A y B .

EJEMPLOS DE LAS REGLAS O LEYES ADITIVA
Ejemplo 1
En una muestra de 500 estudiantes, 320 dijeron tener un estéreo, 175 dijeron
tener una TV y 100 dijeron tener ambos:
Si un estudiante es seleccionado aleatoria mente,¿cuál es la probabilidad de que
tenga sólo un estéreo, sólo una TV y uno de cada uno?
P(S) = 320 /500 = .64.
P(T) = 175 /500 = .35.
P(S y T) = 100 /500 = .20.
Si un estudiante es seleccionado aleatoria mente, ¿cuál es la probabilidad de que
tenga un estéreo o una TV en su habitación?
P(S o T) = P(S) + P(T) – P(S y T) = .64 +.35 – .20 = .79.
Ejemplo 2 : Se tiene una baraja de cartas ( 52 cartas sin jockers), ¿ Cuál es
la probabilidad de sacar una Reina ó un As ?
Sea A = sacar una reina y
Sea B = sacar un as, entonces :
P(A)= 4/52 P(B)= 4/52 , por consiguiente : P (A U B) = 4/52 + 4/52 = 8/52 + 2/13

LA REGLA DE BAYES
La regla de Bayes es un caso especial de la probabilidad condicional que se aplica
cuando se desea calcular la probabilidad condicional de un evento que ocurrió
primero dado lo que ocurrió después. .
La fórmula tiene tres ingredientes, a saber,
-la probabilidad a priori de que suceda algo o, abusando bastante del lenguaje, prior a
secas. Este valor se obtiene típicamente cuantificando nuestros prejuicios aunque en
muchas ocasiones puede estimarse mediante otros métodos.
-la verosimilitud de los datos, esto es, la probabilidad de que se den los datos bajo el
supuesto de que la hipótesis es verdadera.
-la evidencia de los datos o, dicho en otras palabras, la probabilidad de que se hayan
dado los datos que efectivamente se han dado no solo bajo la hipótesis considerada,
sino también sobre cualquier otra. Este valor es normalmente costoso y
difícil de calcular por lo que, aprovechando que es un factor que no
depende de la hipótesis que analizamos, suele omitirse.

Para llegar a establecer tan útil regla vamos a estudiar una proposición previa

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CONCLUSIONES
Con todo lo aprendido, podemos concluir que la estadística es una rama de la matemática
que está no se encuentra muy visible en lo cotidiano pero que en realidad es de mucha
utilidad para interpretar y ver desde un punto de vista muy general datos que se obtienen.
A través de sus gráficas, medidas de tendencia central y de dispersión podemos ver mas
claro y concreto un conjunto de datos que se nos hacen muy complicados, en resumen
son un verdadero método de ayuda para informar.
Dentro de una planificación ambiental los datos estadísticos juegan un papel muy
importante, pues nos van a determinar en primera medida gastos y nos garantizara la
eficiencia.
Para Concluir Puedo decir que este trabajo evidencia todos y cada uno de los temas
vistos dentro del plan semestral del programa ingeniería ambiental; lo aquí presentado
permitió desarrollar el sentido de localización de cada uno de los estudiantes pues fijo
datos reales a temas teóricos.

ALEA, V. et al. (1999) Estadística Aplicada a les Ciències Econòmiques i Socials.
Barcelona: Edicions McGraw-Hill EUB.
CANAVOS, G. (1988) Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y Métodos. México:
McGraw-Hill.
DURA PEIRó, J. M. y LóPEZ CUñAT, J.M. (1992) Fundamentos de Estadística.
Estadística Descriptiva y Modelos Probabilísticos para la Inferencia. Madrid: Ariel Editorial.
ESCUDER, R. y SANTIAGO, J. (1995) Estadística aplicada. Economía y Ciencias
Sociales. Valencia: Tirant lo Blanch.
FERNáNDEZ CUESTA, C., y FUENTES GARCíA, F. (1995) Curso de Estadística
Descriptiva. Teoría y Práctica. Madrid: Ariel.
BIBLIOGRAFIA

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