2 Ejercicios_Matrices.pdf algebra ingenieria electronica

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  Universidad de Oviedo EPIGijón Dpto. Matemáticas Algebra Lineal Problemas Curso 2018-2019 — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — 2. Matrices, determinantes y sistemas Ejercicio 1 Dadas las matrices: A = 2 1 1 1 0 1 ; B = 1 1 2 5 Calcular, caso de ser posible, A:B y B:A: Solución: A:B no puede realizarse, B:A = 1 1 0 9 2 7 Ejercicio 2 Determinar el rango de la matriz: A = 0 B B @ 1 3 1 0 2 1 1 1 1 11 1 2 1 1 1 3 1 C C A : Solución: rango(A)=3 Ejercicio 3 Calcular, caso de existir, la inversa de: P = 0 @ 1 3 4 2 5 3 1 4 10 1 A : Solución: P 1 = 0 @ 38 14 11 17 6 5 3 1 1 1 A Ejercicio 4 Dada la matriz: A = 0 B B @ 2 4 2 1 4 2 1 2 2 1 2 4 1 2 4 2 1 C C A calcular, caso de ser posible, A2 y A 1 : Solución: A2 = 0 B B @ 25 0 0 0 0 25 0 0 0 0 25 0 0 0 0 25 1 C C A ; A 1 = 1 25 0 B B @ 2 4 2 1 4 2 1 2 2 1 2 4 1 2 4 2 1 C C A
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  Ejercicio 5 Calcularlos valores de x que veri…quen la ecuación jA xIj = 0 y expresar el polinomio p(x) = jA xIj como producto de potencias de binomios de la forma: p(x) = an(x x1)n1 (x x2)n2 (x xk)nk n1 + n2 + + nk = n; ni 1; i = 1; : : : ; k donde x1; x2; : : : ; xk 2 C son las raíces del polinomio, donde A es cualquiera de las siguientes matrices: a) 0 @ 1 0 0 3 1 0 4 2 3 1 A ,b) 0 @ 3 1 0 0 2 0 1 1 3 1 A , c) 0 B B @ 4 5 1 5 1 10 1 10 7 10 3 10 1 10 1 10 3 5 1 C C A , d) 0 @ 4 1 1 2 1 1 1 2 1 1 A , e) 0 B B @ 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 C C A Solución: a) p(x) = ( 1)(x ( 1))(x 1)(x ( 3)); b) p(x) = ( 1)(x 3)2 (x 2); c) p(x) = (x 1)(x 1=2)(x 3=5); d) p(x) = ( 1)x(x 2)2 ; e) p(x) = x2 (x 1)(x 2) Ejercicio 6 Dado el sistema de ecuaciones lineales 2x 3y + 4z = 1 4x + 3y + 3z = 3 Se pide: a) Añadir una ecuación para que el sistema sea incompatible. b) Añadir una ecuación para que el sistema sea compatible indeterminado. c) Añadir una ecuación para que el sistema sea compatible determinado. Solución: a) Basta con añadir una ecuación tal que no aumente el rango de la matriz de coe…cientes, pero si aumente el rango de la matriz ampliada. Por ejemplo, se suman las dos ecuaciones dadas pero se cambia el término independiente resultante: 6x + 7z = 6: b) Se añade una ecuación que no aumente el rango ni de la matriz de coe…cientes ni de la matriz ampliada. Por ejemplo, se suman las dos ecuaciones dadas 6x + 7z = 4: c) Se añade una ecuación que aumente el rango de la matriz de coe…cientes y el de la ampliada para que ambos sean igual a 3. Por ejemplo, 3z = 1: Ejercicio 7 Estudiar el carácter del sistema: 8 < : 4x 3y + 3z = 0 6x + y 9z = 9 2x 5y 6z = 5 y resolverlo, caso de ser compatible. Solución: Sistema compatible determinado x = 1=2; y = 0; z = 2=3 Ejercicio 8 Resolver los siguientes sistemas lineales: 8 > > < > > : 2x 4y = 10 x 3y + t = 4 x z + 2t = 4 3x 4y + 3z t = 11 8 > > < > > : 2x 4y = 8 x 3y + t = 2 x z + 2t = 9 3x 4y + 3z t = 15:
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  Solución: Ambos soncompatibles determinados. La solución del primer sistema es: x = 1; y = 2; z = 1; t = 3, y la solución del segundo es: x = 0; y = 2; z = 1; t = 4 Ejercicio 9 Resolver los siguientes sistemas lineales: 8 < : x 2y + z = 7 2x 5y + 2z = 6 3x + 2y z = 1 8 < : x + 3y z + t = 1 2x + y + 2z = 7 y t = 0 mediante el método de Gauss. Solución: El primer sistema es compatible determinado y su solución es: x = 2; y = 8; z = 21; y el segundo sistema es compatible indeterminado y su solución es: x = 3; y = 1; z = ; t = 1; con 2 R Ejercicio 10 Estudiar el sistema: 8 < : ( + 3)x y + z = 0 5x + ( 3)y + z = 0 6x 6y + ( + 4)z = 0 según los valores del parámetro real . Resolverlo cuando sea compatible indeterminado. Solución: Si 6= 2; 2; 4 el sistema es compatible determinado. En otro caso es compatible indeterminado: a) si = 2; las soluciones son x = ; y = , z = 0 con 2 R b) si = 2; las soluciones son x = 0; y = , z = con 2 R c) si = 4; las soluciones son x = 1 2 ; y = 1 2 , z = con 2 R Ejercicio 11 Determinar los coe…cientes de un polinomio p(x) de grado 3, cuya grá…ca pasa por los puntos ( 1; 0), (1; 4), (2; 3) y (3; 16). Solución: p(x) = 2x3 5x2 + 7 Ejercicio 12 Dada la matriz A = 1 2 2 0 . Determinar el conjunto de matrices de M2(R) que conmutan con ella. Solución: A = 2 2 con ; 2 R Ejercicio 13 Se tiene tres lingotes de 100g, cuya composición, en gramos, es la dada en la tabla siguiente: Oro Plata Cobre Lingote 1 20 30 50 Lingote 2 30 40 30 Lingote 3 40 50 10 ¿ qué peso habrá de tomarse de cada uno de los tres lingotes para formar uno nuevo que contenga 42g de oro, 57g de plata y 51g de cobre? Solución: Lingote 1: 30 + z; Lingote 2: 120 - 2z; Lingote 3: z 2 [10; 60]
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  Ejercicio 14 Unacompañia aeronáutica dispone de 10 aviones destinados a vuelos chárter para directivos de grandes empresas y equipod deportivos. Los aviones son de tres tipos: el modelo A es un reactor con capacidad para 30 pasajeros y cuya tripulación está for- mada por 3 pilotos; el modelo B es un turbohélice bimotor con capacidad para 20 pasajeros y su tripulación la forman 2 pilotos; el modelo C es una pequeña avioneta-taxi con capacidad para 4 pasajeros y un piloto. Ayer, por la mañana, despegaron todos los aviones comple- tos. En ellos iban 140 pasajeros y 17 pilotos. ¿ Cuántos aviones de cada modelo tiene la compañia? Solución: No de aviones del modelo A: 2; del modelo B: 3 y del modelo C: 5 Ejercicio 15 Una empresa ha comprado una partida de material, para la elaboración de sus productos, que se compone de hierro, acero y zinc por importe de 50000e (sin impuestos). El valor del zinc es de 6000e menos que el del hierro y el acero conjuntamente. Teniendo en cuenta que el hierro se paga con un recargo del 6% de IVA, el acero un 12% y el zinc un 30% y la factura total con impuestos es 59240e, calcular la cantidad invertida en cada metal. Solución: Se invierten 12000e en Hierro, 16000e en Acero y 22000e en Zinc. Ejercicio 16 Una empresa minera tiene tres minas con los siguientes porcentajes de composiciones de mena: Níquel (Ni) % Cobre (Cu) % Hierro (Fe) % Mina A 1 2 3 Mina B 2 5 7 Mina C 1 3 1 ¿ Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro? Solución: Se utilizan 200 toneladas de la Mina A, 100 toneladas de la Mina B y 300 toneladas de la Mina C.