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23 ángulos y triangulos
Este documento presenta información sobre ángulos y triángulos en geometría. Define los diferentes tipos de ángulos según su medida (agudo, recto, obtuso, etc.) y clasifica ángulos según la suma de sus medidas (complementarios, suplementarios). También explica las propiedades de ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal y las propiedades de los ángulos en triángulos, incluyendo la clasificación de triángulos. Incluye ejemplos ilustrativos para cada tema.
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Se presentan los tipos de ángulos: nulo, agudo, recto, obtuso, extendido y completo. Incluye ejemplos para clasificación.
Se clasifica los ángulos según su posición: consecutivos, adyacentes y opuestos. Se incluyen ejemplos para aplicar esta clasificación.
Definición de ángulos complementarios y suplementarios con ejemplos sobre estos conceptos y sus propiedades.
Estudio sobre ángulos alternos, correspondientes y colaterales formados por líneas paralelas cortadas por una transversal.
Teoremas sobre la suma de ángulos en triángulos interiores y exteriores, con ejemplos para determinar medidas.
Se clasifica triángulos según sus lados y ángulos, con ejemplos y preguntas para determinar sus características.
Teoremas sobre la relación entre lados y ángulos en triángulos, con ejercicios que analizan la construcción de triángulos.
Se proporcionan respuestas a los ejercicios del curso, ofreciendo una referencia rápida para la revisión.
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23 ángulos y triangulos
- 1. C u rs o : Matemática Material N° 12 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 12 UNIDAD: GEOMETRÍA ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS DE ACUERDO A SU MEDIDA Ángulo nulo : Es aquel que mide 0°. Ángulo agudo : Es aquel que mide más de 0° y menos de 90°. Ángulo recto : Es aquel que mide 90°. Ángulo obtuso : Es aquel que mide más de 90° y menos de 180°. Ángulo extendido : Es aquel que mide 180°. Ángulo completo : Es aquel que mide 360°. EJEMPLOS 1. ¿Cuál de las siguientes opciones es siempre verdadera? A) La suma de un ángulo agudo con un ángulo obtuso resulta un ángulo extendido B) La mitad de un ángulo obtuso es un ángulo recto C) La suma de un ángulo obtuso con un ángulo extendido resulta un ángulo completo D) La suma de dos ángulos rectos con un ángulo extendido resulta un ángulo completo E) La suma de dos ángulos agudos resulta un ángulo recto 2. En la figura 1, el ángulo COA es recto. ¿Cuál es la medida del ángulo BOA? A) 18º B) 32º C) 36º D) 54º E) 58º O 2x 3x C B A fig. 1
- 2. 3. En lafigura 2, L es recta y = 54º. Entonces, ¿cuál(es) de las expresiones siguientes 2 es (son) igual(es) al triple de ? I) + II) 2 III) 180 – 2 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III 4. ¿Cuál es la medida del x en la figura 3? A) 110º B) 75º C) 65º D) 60º E) 55º 5. Si es un ángulo agudo, entonces el ángulo COB de la figura 4 es A) agudo B) recto C) obtuso D) extendido E) completo 6. En la figura 5, si + = 250º y + = 270º, entonces – = A) 110º B) 90º C) 70º D) 50º E) 30º fig. 2 L x x 100º 150º fig. 3 fig. 5 3 6 2 O C B A D fig. 4
- 3. CLASIFICACIÓN DE LOSÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN Ángulos consecutivos: Son aquellos que tienen el vértice y un rayo en común. B Ángulos adyacentes o par lineal: Son aquellos que tienen el vértice y un rayo en común y los otros dos rayos sobre una misma recta. Ángulos opuestos por el vértice: Son aquellos que tienen el vértice en común y que los rayos de uno son las prolongaciones de los rayos del otro. y opuestos por el vértice, 3 OBSERVACIONES Bisectriz de un ángulo: Es el rayo que divide al ángulo, en dos ángulos de igual medida (congruentes). Rectas perpendiculares: Son dos rectas que al cortarse forman cuatro ángulos rectos. EJEMPLOS 1. En la figura 1, OC es bisectriz del ángulo DOB. Si DOA = 70º y COA = 56º, entonces ¿cuánto mide el ángulo BOA? A) 42º B) 40º C) 35º D) 28º E) 14º y consecutivos A C O y adyacentes A B C O B A C D O fig. 1 L1 L1 L2 L2
- 4. 2. Si enla figura 2, L3 es recta y L1 L2, entonces 2 es 4 A) 48º B) 36º C) 24º D) 20º E) 18º 3. En la figura 3, AB y CD se intersectan en el punto O. ¿Cuánto mide el ángulo x? A) 15º B) 30º C) 45º D) 75º E) 105º A C 4. En la figura 4, los puntos B, O y C son colineales, el BOD = 1 2 COA y OD OA. ¿Cuál es el valor del ángulo AOC? A) 15º B) 30º C) 45º D) 60º E) 75º 5. En la figura 5, si OA OD, BOA = 1 A D 3 COB = 1 2 DOC, entonces el ángulo COA mide A) 9º B) 15º C) 30º D) 45º E) 60º C B fig. 4 O D O C fig. 5 B A fig. 2 L1 L2 4 L3 D B O x 7 5 fig. 3
- 5. CLASIFICACIÓN DE LOSÁNGULOS DE ACUERDO A LA SUMA DE SUS MEDIDAS Ángulos complementarios: Son dos ángulos cuyas medidas suman 90°. Si y son complementarios, es el complemento de y es el complemento de . El complemento de un ángulo x es 90° – x. Ángulos suplementarios: Son dos ángulos cuyas medidas suman 180°. Si y son suplementarios, es el suplemento de y es el suplemento de . El suplemento de un ángulo x es 180° – x. 5 EJEMPLOS 1. El suplemento de 57º es A) 23º B) 33º C) 113º D) 123º E) 133º 2. El complemento de 46º es A) 24º B) 34º C) 44º D) 134º E) 144º 3. El suplemento de un ángulo 3 es 60º. ¿Cuánto mide ? A) 120º B) 80º C) 50º D) 40º E) 20º
- 6. 4. El complementode un ángulo es igual al doble de dicho ángulo. ¿Cuánto mide ? 6 A) 60º B) 45º C) 30º D) 20º E) 15º 5. El suplemento del complemento de 30º – 2 es A) 30º – 2 B) 60º – 2 C) 90º – 2 D) 120º – 2 E) 150º – 2 6. El complemento de (2 – 30º) más el suplemento de ( – 10º) es igual a A) 310º – 3 B) 290º – 3 C) 250º – 3 D) 230º – 3 E) 200º – 3 7. Si el triple del complemento de ( – 30º) es igual al suplemento de ( – 40º), entonces mide A) 25º B) 70º C) 80º D) 100º E) 155º
- 7. PARES DE ÁNGULOSFORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL 7 ÁNGULOS ALTERNOS: 5 Los ángulos alternos entre paralelas tienen la misma medida. ÁNGULOS CORRESPONDIENTES Los ángulos correspondientes entre paralelas tienen la misma medida. ÁNGULOS COLATERALES Los ángulos colaterales entre paralelas suman 180°. EJEMPLOS 1. En la figura 1, L1 // L2. Luego, el valor del x es A) 60º B) 70º C) 80º D) 100º E) 120º 1 3 2 4 6 8 7 L1 L2 L1 // L2 T ALTERNOS EXTERNOS ALTERNOS INTERNOS 1 con 7 2 con 8 3 con 5 4 con 6 1 con 5 2 con 6 3 con 7 4 con 8 COLATERALES EXTERNOS COLATERALES INTERNOS 1 con 8 2 con 7 4 con 5 3 con 6 100º x L1 L2 fig. 1
- 8. 2. Si enla figura 2, BA // CD, entonces ¿cuánto mide ? 8 A) 15º B) 20º C) 25º D) 30º E) 35º D C 3. En la figura 3, el ángulo es el doble del ángulo y L1 es paralela a L2. Entonces, 2 es A) 40º B) 60º C) 75º D) 80º E) 90º 4. En la figura 4, L1 // L2 , L3 // L4 y + = 50º. Entonces, el suplemento de es A) 25º B) 50º C) 90º D) 130º E) 155º 5. Si en la figura 5, L1 // L2, entonces la medida de es A) 22º B) 28º C) 32º D) 38º E) 48º 5 – 70° 3 A B fig. 2 fig. 3 L1 L2 60º fig. 5 L1 L2 + 10º 5 + 2º fig. 4 L1 L2 L3 L4
- 9. 9 ÁNGULOS ENTRIÁNGULOS TEOREMAS La suma de las medidas de los ángulos interiores es igual a 180°. + + = 180º La suma de las medidas de los ángulos exteriores es igual a 360°. C ’ ’ ’ A B La medida de cada ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él. EJEMPLOS 1. En el triángulo BED de la figura 1, el valor del ángulo x es A) 19° B) 23° C) 29° D) 58° E) 116° 46° 18° 2. En el triángulo ABC de la figura 2, ¿cuánto mide el ángulo ABC? A) 100º B) 60º C) 57º D) 45º E) 20º ’ + ’ + ’ = 360º ’ = + ’ = + ’ = + 35° C 5 fig. 2 3 A B fig. 1 C A B D x E L
- 10. 3. En eltriángulo ABC de la figura 3, el valor de x + y es 10 A) 58º B) 122º C) 160º D) 180º E) 238º 4. En el GHI de la figura 4, la medida del x es A) 45° B) 75° C) 135° D) 150° E) 210° C x fig. 3 150° G 5. El valor de en el DEF de la figura 5, con G perteneciente a DE, es A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70° F fig. 5 6. Si en la figura 6, L1 // L2, y AC EB , entonces el valor de x es A) 40º B) 70º C) 90º D) 100º E) 110º A 58º y B 4 D E G E L1 x + 40º 20º C A B L2 fig. 4 fig. 6 x 2x – 15º H I
- 11. 11 CLASIFICACIÓN DELOS TRIÁNGULOS OBSERVACIÓN: En un triángulo isósceles no equilátero al lado distinto se le llama base y al ángulo distinto se le llama ángulo del vértice. EJEMPLOS 1. Según sus lados y según sus ángulos el triángulo ABC de la figura 1, es A) escaleno y acutángulo B) escaleno y rectángulo C) isósceles y acutángulo D) isósceles y obtusángulo E) isósceles y rectángulo C fig. 1 2. En la figura 2, el ABC es equilátero y el BDC es rectángulo isósceles. ¿Cuál es la medida del x? A) 45º B) 60º C) 75º D) 105º E) 135º 3. En el ABC de la figura 3, AC = BC. ¿Cuál es la medida del x? A) 30º B) 60º C) 75º D) 80º E) 150º Según sus lados Según sus ángulos interiores Escaleno: Tiene sus tres lados de distinta medida. Isósceles: Tiene dos lados de igual medida. Equilátero: Tiene sus tres lados de igual medida. Acutángulo: Tiene sus tres ángulos agudos. Rectángulo: Tiene un ángulo recto. Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso. 4x 30º x A B C x D A B fig. 2 fig. 3 150º B x A C
- 12. 4. En eltriángulo ABC de la figura 4, AC = CD = DB. Si D AB, entonces ¿cuál es la 12 medida del x? A) 35º B) 40º C) 60º D) 70º E) 110º 5. En la figura 5, el DEF es equilátero y el ABC es isósceles de base AB . Si el ACB = 40º y DE // AB , entonces la medida del ángulo x es A) 40º B) 50º C) 60º D) 70º E) 80º A F B 6. En la figura 6, el ABC es isósceles de base AC y el BDC es rectángulo isósceles. Si ABC : CBD = 2 : 3, entonces el ACD mide A) 30º B) 45º C) 75º D) 120º E) 160º 7. En la figura 7, el ABC es equilátero. Si DB AC , entonces el ángulo x mide A) 60º B) 75º C) 90º D) 100º E) 120º x D E C fig. 5 x A C B D 35º fig. 4 A C x fig. 7 E D B D C A B fig. 6
- 13. OTROS TEOREMAS REFERENTESA UN TRIÁNGULO CUALQUIERA En todo triángulo, la medida de cada lado es menor que la suma de las medidas de los otros dos y mayor que la diferencia (positiva) de las medidas de los otros dos. lc – bl < a < b + c lc – al < b < a + c la – bl < c < a + b C b a En todo triángulo, a mayor ángulo se opone mayor lado y viceversa. 13 EJERCICIOS 1. ¿Cuál de las siguientes desigualdades incluye las posibles medidas del lado AB del triángulo ABC de la figura 1? A) 4 < x < 6 B) 1 < x < 6 C) 3 < x < 4 D) 3 < x < 7 E) 1 < x < 7 A B 2. En el triángulo DEF de la figura 2, el orden creciente de las medidas de los lados es A) d, e, f B) f, e, d C) d, f, e D) f, d, e E) e, d, f A c B > si y sólo si a > b F 40º d D E fig. 2 60º e f C 3 4 fig. 1 x
- 14. 3. En eltriángulo PQR de la figura 3, el orden decreciente de las medidas de los ángulos 14 interiores es A) , , B) , , C) , , D) , , E) , , R 5 4. ¿Cuántos triángulos se pueden construir con dos trazos que miden 3 cm y 7 cm, si el tercer lado debe medir un número entero de centímetros? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 5. En el ABC de la figura 4, el orden creciente de las medidas de los lados es A) c, b, a B) a, c, b C) a, b, c D) c, a, b E) b, c, a C b a c 6. En el triángulo ABC de la figura 5, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) CD es mayor que DB . II) El ángulo ACD mide 70º. III) AB mide lo mismo que BC . A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III P Q fig. 3 8 6 100º 70º A B fig. 4 C 70º A B fig. 5 100º 60º D
- 15. RESPUESTAS Págs. 12 3 4 5 6 7 1 y 2 D D C E B D 3 y 4 A B D D E 5 y 6 D C D C D A B 7 y 8 C E D E D 9 y 10 C B E B A B 11 y 12 D C C D B D B 13 y 14 E A B C A B 15 DMTRMA12 Ejemplos Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://www.pedrodevaldivia.cl/