Abc de las finanzas 1

ABC DE LAS MATEMATICAS
FINANCIERAS
PARTE 1

Interés Simple
Si un amigo(a) te pide un préstamo de $10.000, podemos decir que el
CAPITAL que has prestado es de $10.000.

Interés Simple
Si tu amigo(a) promete devolverte $11.000 en un mes más, podemos decir
que obtendrás un interés de $1.000.

Interés Simple
Pero además hay otro concepto importante asociado a los dos anteriores.
LA TASA DE INTERÉS, que es el porcentaje que representa el interés sobre el
capital en un periodo determinado.
A este concepto de tasa de interés, también se le denomina RENTABILIDAD en
renta fija.

Interés Simple
En consecuencia, tenemos tres conceptos básicos que serán
permanentemente empleados en operaciones crediticias, Inversiones y
Finanzas en general.
Así abreviaremos :
No confundas interés con tasa de interés. Como
ves son muy diferentes. Cuando ustedes consultan
por rentabilidad, puedes asociarla con el concepto
de TASA DE INTERÉS.

Interés Simple
EJEMPLO : Imagina que vas al banco y ..............

Interés Simple
Veamos ahora si podemos reconocer y aplicar los conceptos revisados.
CC
II
ii

Interés Simple
A continuación veremos como opera el cálculo de intereses…………..
REVISEMOS EL SIGUIENTE GRÁFICO :

Interés Simple
En el interés simple, el
Capital y la Ganancia por el
interés permanece
invariable en el tiempo.

Interés Simple
Analicemos el caso de un Capital de $10.000 colocado a una Tasa de
Interés de 8% anual durante 5 años :
Veamos ahora cómo funciona, en el siguiente gráfico :

Interés Simple
En el ejemplo anterior, notaste que el interés simple era de $800.
Ello es así porque el interés simple es directamente proporcional al Capital,
a la tasa de interés y al número de períodos.
Matemáticamente, ello se expresa de la siguiente forma:
II
CC
ii
nn
I = CI = C xx ii xx nn
Interés SimpleInterés Simple
CapitalCapital
Tasa de interésTasa de interés
PeríodoPeríodo

Interés Simple
El interés Simple posee las siguientes características :
A mayorA mayor
C A P I T A LC A P I T A L
A mayorA mayor
TASA DE INTERÉSTASA DE INTERÉS
A mayorA mayor
N° DE PERÍODOSN° DE PERÍODOS
Mayor INTERÉSMayor INTERÉS

Interés Simple
Ejercicio 1 :
Si depositas en una cuenta de ahorro $100.000 al 6% anual y mantienes
este ahorro durantes 5 años...
¿ Cuánto interés recibirás al final del quinto año, si el interés a recibir es
de tipo “SIMPLE” ?
Seleccionamos la fórmula :Seleccionamos la fórmula :
I = C x i x nI = C x i x n
Reemplazando los valores en la fórmula :Reemplazando los valores en la fórmula :
I = 100.000 x 0.06 x 5I = 100.000 x 0.06 x 5
Efectuando los cálculos se obtiene :Efectuando los cálculos se obtiene :
I = $ 30.000I = $ 30.000
Es necesario precisar que la tasa de interés (i) se expresa
en porcentaje (%) y para usarla en una fórmula, es
necesario expresarla en decimales.
Por Ejemplo :
6% = 0,06 (6 Dividido por 100)

Interés Simple
A modo de práctica, resolvamos los siguientes ejercicios :
¿ Qué capital colocado al 24% anual producirá al cabo de 6 meses $
24.000 de Interés ?
¿ Qué fórmula usaras ?
Verificando fórmula.....Verificando fórmula.....
Correcto, en este caso la incógnita es el Capital, al despejarla
de la fórmula de Interés Simple obtenemos la fórmula
seleccionada.
En este caso “n” = 6 meses o paraEn este caso “n” = 6 meses o para
““homogeneizar”, 0,5 años.homogeneizar”, 0,5 años.
¡Muy bien!¡Muy bien!
$200.000 es el$200.000 es el
CAPITALCAPITAL

Interés Simple
Ejercicio 2 :
Si depositas en una cuenta de ahorro $100.000 al 6% anual y mantienes
este ahorro durantes 5 días...
¿ Cuánto interés recibirás al final del quinto día, si el interés a recibir es
de tipo “SIMPLE” ?
I = C x i x n / 360I = C x i x n / 360
I = 100.000 x 0.06 x 5 / 360I = 100.000 x 0.06 x 5 / 360
I = $ 83,3I = $ 83,3
El interés que obtendría usted es deEl interés que obtendría usted es de
$83$83

Interés Simple
OJO :OJO :
Debemos igualar las unidades de tiempo enDebemos igualar las unidades de tiempo en
que están expresadas la tasa y el período.que están expresadas la tasa y el período.

BIENVENIDO
ALAL
INTERÉS COMPUESTOINTERÉS COMPUESTO

Interés Compuesto
El interés simple es necesario de conocer, pero en la práctica se
emplea muy poco. La gran mayoría de los cálculos financieros se basan
en lo que se denomina INTERÉS COMPUESTO.
Al final de cadaAl final de cada
período el capitalperíodo el capital
varía, y porvaría, y por
consiguiente, elconsiguiente, el
interés que seinterés que se
generará serágenerará será
mayor.mayor.

Interés Compuesto
Lo más importante que debes recordar es que para efectuar el cálculo de
cada período, el nuevo capital es = al anterior más el interés ganado en el
período.

Interés Compuesto
Revisemos cuidadosamente el siguiente desarrollo de la fórmula para
interés compuesto :

Interés Compuesto
Revisemos cuidadosamente el siguiente desarrollo de la fórmula para
interés compuesto :
Recuerda que el exponente deRecuerda que el exponente de
(1+i) es igual al número de(1+i) es igual al número de
períodos.períodos.

Interés Compuesto
Un concepto importante que debes recordar,Un concepto importante que debes recordar,
se refiere a lase refiere a la CAPITALIZACIÓNCAPITALIZACIÓN de los intereses,de los intereses,
es decir, cada cuánto tiempo el interés ganadoes decir, cada cuánto tiempo el interés ganado
se agrega al Capital anterior a efectos dese agrega al Capital anterior a efectos de
calcular nuevos intereses.calcular nuevos intereses.
En general laEn general la CAPITALIZACIÓNCAPITALIZACIÓN se efectúa ase efectúa a
Intervalos regulares :Intervalos regulares :
• DiarioDiario
• MensualMensual
• TrimestralTrimestral
• CuatrimestralCuatrimestral
• SemestralSemestral
• AnualAnual

Interés Compuesto
Se dice entonces :Se dice entonces :
que el interés es “CAPITALIZABLE”, o convertibleque el interés es “CAPITALIZABLE”, o convertible
en capital, en consecuencia, también gana interésen capital, en consecuencia, también gana interés
El interés aumenta periódicamente duranteEl interés aumenta periódicamente durante
el tiempo que dura la transacción.el tiempo que dura la transacción.
El capital al final de la transacción se llamaEl capital al final de la transacción se llama MONTOMONTO
COMPUESTOCOMPUESTO y lo designaremosy lo designaremos MCMC..
A la diferencia entre elA la diferencia entre el MONTO COMPUESTOMONTO COMPUESTO y ely el
CAPITAL (C)CAPITAL (C) se le conoce comose le conoce como INTERÉSINTERÉS
COMPUESTOCOMPUESTO y lo designaremos pory lo designaremos por ICIC..
Obtenemos entonces la siguiente fórmula :Obtenemos entonces la siguiente fórmula :
IC = MC – CIC = MC – C
Interés Compuesto = Monto Compuesto - CapitalInterés Compuesto = Monto Compuesto - Capital

Interés Compuesto
De acuerdo a lo que ya hemos revisado respecto a INTERÉS COMPUESTO:
Monto CompuestoMonto Compuesto, al, al
final del periodo “n”final del periodo “n”
estaría dado por :estaría dado por :
MC = C*(1+i)^nMC = C*(1+i)^n
En los problemas deEn los problemas de
Interés Compuesto elInterés Compuesto el
Principio fundamentalPrincipio fundamental
Establece que la TasaEstablece que la Tasa
De Interés y el TiempoDe Interés y el Tiempo
deben estar en la mismadeben estar en la misma
unidad que estableceunidad que establece
la capitalización.la capitalización.
El factorEl factor
(1+i)^n(1+i)^n
Se denomina FACTOR DESe denomina FACTOR DE
CAPITALIZACIÓN COMPUESTOCAPITALIZACIÓN COMPUESTO

Interés Compuesto
Ejercicio 1 :
¿ Cuál es el MONTO COMPUESTO de un CAPITAL de $250.000
depositado a una TASA del 2% mensual durante 8 meses, capitalizable
mensualmente ?
MC = C * (1+i)^nMC = C * (1+i)^n
MC = 250.000 * (1+0.02)^8MC = 250.000 * (1+0.02)^8
MC = $ 292.915MC = $ 292.915
PARE :PARE :
Recuerde respetar las prioridadesRecuerde respetar las prioridades
Operacionales :Operacionales :
1° Resolvemos el paréntesis.1° Resolvemos el paréntesis.
2° Multiplicamos.2° Multiplicamos.

Interés Compuesto
Ejercicio 2 :
Un CAPITAL de $200.000, colocados a una TASA DE INTERÉS COMPUESTO
del 3,5%, capitalizable mensualmente, se convirtió en un MONTO COMPUESTO
de $ 237.537 ¿Cuánto TIEMPO duró la operación?
N = Log MC – Log C / Log (1+i)N = Log MC – Log C / Log (1+i)
N = Log 237.537 – Log 200.000N = Log 237.537 – Log 200.000
/ Log 1,035/ Log 1,035
N = 5,375731267 – 5,301029996N = 5,375731267 – 5,301029996
/ 0,01494035/ 0,01494035 = 4,999969739 = 5= 4,999969739 = 5

Interés Compuesto
Ejercicio 3 :
Un CAPITAL de $200.000, colocados durante 5 MESES en un banco, se convirtió
en un MONTO COMPUESTO de $ 237.537, capitalizable mensualmente. ¿Cuál
es la TASA DE INTERÉS de la operación?
i = (MC / C ) ^ 1/n - 1i = (MC / C ) ^ 1/n - 1
i = ((237.537 / 200.000) ^ (1/5)) - 1i = ((237.537 / 200.000) ^ (1/5)) - 1
i = 1,187685 ^ 1/5 - 1i = 1,187685 ^ 1/5 - 1
i = 1,034999772 – 1 = 0,0349998 = 0,035i = 1,034999772 – 1 = 0,0349998 = 0,035
Entonces la TASA DE INTERÉS fue de un 3,5 %Entonces la TASA DE INTERÉS fue de un 3,5 %
mensual.mensual.

Interés Compuesto
Ejercicio 4 :
¿ Cuánto CAPITAL depositó una persona, a una TASA DE INTERÉS del 12%
anual, si al cabo de 2 AÑOS tiene un MONTO COMPUESTO de $ 250.000,
capitalizable anualmente ?.
C = MC / (1 + i)^nC = MC / (1 + i)^n
C = 250.000 / (1 + 0,12)^2C = 250.000 / (1 + 0,12)^2
C = 250.000 / 1,2544C = 250.000 / 1,2544 = $ 199.298= $ 199.298
Entonces el CAPITAL DEPOSITADÓ fue deEntonces el CAPITAL DEPOSITADÓ fue de
$ 199.298$ 199.298

Inflación y tasas de interés
Aumento sostenido en el nivel general de precios.
Normalmente medido a través del cambio en el IPC
Inflación:
En presencia de inflación (π) , la capacidad de compra o poder
adquisitivo de un monto de dinero es mayor hoy que en un año
más.
$100 $100
Si π = 25%
Periodo 0
(Año 0)
Periodo 1
(Año 1)

La ecuación que relaciona las tasas nominal y real, es conocida en
la literatura con el nombre de igualdad de Fischer:
Donde i = tasa de interés nominal
r = tasa de interés real
π = Tasa de inflación
( ) ( ) ( )ri ++=+ 1*11 π
AB
La tasa de interés (conocida como tasa nominal) deberá
incorporar:
A. La rentabilidad exigida para hacer indiferente un monto ahora o
en el futuro (valor dinero en el tiempo) (tasa real)
B. Diferencial que cubra la inflación y mantenga el poder
adquisitivo (tasa inflación)
...continuación...

RESUMEN:
2 conceptos: * Costo de oportunidad (tasa interés real)
* Poder adquisitivo (inflación)
Paso 1: Valora costo de oportunidad, tasa de interés de 10%
Paso 2: Valora costo de oportunidad y además;
Mantiene poder adquisitivo, inflación de 25%
$1100 $1375
Año 1 Año 1
Si π = 25%
$1000 $1100
Año 0 Año 1
Si r = 10%
...continuación...

Si tengo $ 500 y un banco me ofrece una tasa de interés
nominal anual del 37,5% y me encuentro en una economía
donde la inflación es del 25% anual.
¿ Cuál es la tasa real correspondiente ?
¿ cuánto es mi capital nominal al final del año ?
Ejemplo:
...continuación...

Si: ( 1 + i ) = ( 1 +π ) * ( 1 + r )
Donde π=0,25 y i =0,375
Entonces: (1+0,375) = (1+0,25)*(1+r)
(1+r) = 1,1
r = 10%
Si el capital inicial es C0 = $ 500
Entonces: C1 = C0*(1+i)
= 500*(1,375)
C1= $ 687,5
...continuación...

Corresponde a la rentabilidad que un agente
económico exigirá por no hacer uso del dinero
en el periodo 0 y posponerlo a un periodo futuro
 Sacrificar consumo hoy debe compensarse en el futuro.
 Un monto hoy puede al menos ser invertido en el banco
ganando una rentabilidad.
La tasa de interés (r) es la variable requerida para
determinar la equivalencia de un monto de dinero en dos
periodos distintos de tiempo
La sociedad es un participante más que también tiene
preferencia intertemporal entre consumo e inversión
presente y futura.
Valor del dinero en el tiempo

Periodo 0
(Año 0)
$1.000 $1.100
Si r = 10%
Periodo 1
(Año 1)
Valor del dinero en el tiempo ...continuación...
Ejemplo
Un individuo obtiene hoy un ingreso (Y0) de $1.000 por una sola vez
y decide no consumir nada hoy. Tiene la opción de poner el dinero
en el banco.
a) ¿Cuál será el valor de ese monto dentro de un año si la tasa
rentabilidad o de interés (r) que puede obtener en el banco es de
10% ?
1.000 * (0,1) = 100 (rentabilidad)
100 + 1000 = 1.100 (valor dentro de un año)

Valor del dinero en el tiempo ...continuación
Si :
 Sólo hay sólo 2 periodos
 Ingreso sólo hoy (Y0=1.000)
 Puede consumir hoy o en un año
(C0, C1)
 Rentabilidad exigida por no
consumir hoy: r=10%
b) ¿ Cuál sería el monto final disponible para consumir dentro de un
año si consume $200 hoy ?
Si C0=200,
C1=(1000-200)*1,1= 880
Entonces
C1 = (Y0 – C0)*(1+r) 0
200
400
600
800
1.000
1.200
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1.000
Periodo 0
Periodo1
(200, 880)
(500, 550)
(800, 220)
1.100
Consumo total= 200 + 880 = 1.080

Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
( )( )( ) ( )3
1111* rVArrrVAVF +=+++=
0 3
VF
Año:
VA
1 2
Si son 3 periodos
Caso General: ( )n
rVAVF += 1*
VALOR
FUTURO
( )rVAVF += 1*
0 1
VFVA
Año:
Sólo 1 periodo
Donde:
r = tasa de interés

( ) ( ) ( ) ( )3
11*1*1 r
VF
rrr
VF
VA
+
=
+++
=
0 3
VF
Año:
VA
1 2
Caso 3 periodos
Caso General:
( )n
r
VF
VA
+
=
1
VALOR
ACTUAL
...continuación...
( )r
VF
VA
+
=
1
0 1
VFVA
Año:
Caso 1 periodo
Donde:
r = tasa de interés

Ejemplos VF y
VA:
a) Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%.
¿Cuál será su valor al final del tercer año?
Año 0: 1.000
Año 1: 1.000 * (1+0,12) = 1.120
Año 2: 1.120 * (1+0,12) = 1.254
Año 3: 1.254 * (1+0,12) = 1.405
VF= 1.000 * (1+0,12)3
= 1.000 * 1,4049 = 1.405
Alternativamente:
...continuación...

Ejemplos VF y
VA:
b) Si en cuatro años más necesito tener $ 3.300 y la tasa de
interés anual es de 15%.
¿Cuál es el monto que requiero depositar hoy para lograr la meta?
Año 4: 3.300
Año 3: 3.300 / (1+0,15) = 2.869,6
Año 2: 2.869,6 / (1+0,15) = 2.495,3
Año 1: 2.495,3 / (1+0,15) = 2.169,8
Año 0: 2.169,8 / (1+0,15) = 1.886,8
VA= 3.300 / (1+0,15)4
= 3.300 / 1,749 = 1.886,8
Alternativamente:
...continuación

Ejemplos VF y
VA:
Caso especial
c) Si los $1.000 de hoy equivalen a $1.643 al final del año 3.
¿Cuál será la tasa de interés anual relevante?
...continuación
VF= 1.000 * (1+r)3
= 1.643
(1+r)3
= 1,64
(1+r) = (1,64)1/3
1+r = 1,18
r = 0,18

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