Analizar resultados y elaborar conclusiones

Pert - CPM:
Uno de los primeros casos documentados de la epoca
actual sobre la administración y planificacion de
proyectos se refiere al proyecto de armamentos del
Polaris, empezando 1958. Así surgió el PERT
(Program Evaluation and review Technique: Técnica
de revisión y evaluación de programa). La
metodología desarrollada por la técnica PERT
demostró se de mucha utilidad de tal manera que
comenzó a aplicarse en otros tipos de proyectos y a
generalizarse su uso tanto en el gobierno como en el
sector privado.
Simultaneamente o en la misma epoca, trabajadores
de la Compañía DuPont junto la empresa
constructora de computadora Remington Rand,
desarrolló el método de la ruta crítica (CPM: Critical
Path Method) con el objetivo de controlar el
mantenimiento de proyectos de plantas químicas de
DuPont. El CPM es idéntico al PERT en concepto y
metodología, por lo que es muy probable que ambos
métodos hayan sido desarrollados por las mismas
personas. La principal diferencia entre ellos es que la
forma como se realizan los estimados de tiempo para
las actividades del proyecto son determinísticos con
CPM y probabilísticos con PERT.
INVESTIGACION DE OPERACIONES:INVESTIGACION DE OPERACIONES:
PLANIFICACIÓN DE PROYECTOS

Definición.
La técnica del camino crítico es un proceso
administrativo de planeación o planificación,
programación, ejecución, supervisión y control de las
actividades que componen un proyecto. El proyecto a
desarrollarse tiene limitaciones de tiempo y recurso,
así como consideraciones de costos, por lo que
deberá culminarse dentro de un tiempo crítico y al
menor costo.
Terminología utilizada:
Diagrama de red o PERT. Es una red de círculos
o eventos numerados y conectados con arcos o
flechas, donde se muestran todas las actividades y
eventos que intervienen en un determinado proyecto
expresando además las relaciones de prioridad entre
las actividades en la red.
Actividad. Corresponde a un período de tiempo. Es
un trabajo, acción o operación que se debe realizar
como parte de un proyecto, se representa mediante
una rama o arco de flecha o de red en el diagrama
PERT.

Lista de actividades. Es una lista exhaustiva y
ordenada donde que muestra todas las diferentes
actividades que intervienen en la realización de un
proyecto.
Evento. Corresponde a un momento en el tiempo.
Se identifican al comienzo o a la terminación de una
actividad. Se dice que se realiza un evento, cuando
todas las actividades que llegan a un mismo nodo
han sido terminadas. Se representan con círculos
numerados y forman parte del diagrama de red. En
cada arco de flecha se dibujan al principio y al fin de
las actividades que intervienen en el proyecto.
Arco de flecha o Rama. Son las flechas o arcos
que forman Parte del diagrama de red, significan las
actividades en el proyecto.
Ruta crítica o camino crítico. Un camino es una
serie de actividades sucesivas conectadas, que
conduce del principio del proyecto al final del mismo.
El camino que requiera el mayor trabajo, es decir, el
camino más largo dentro de la red se denomina ruta
crítica o camino crítico de la red del proyecto. El
tiempo requerido para recorrer este camino o ruta
crítica, es el que se necesita o requiere para terminar
el proyecto.

Predecesoras o antecedentes inmediato. Son
las actividades que deben Preceder (estar antes)
inmediatamente a una actividad determinada o dada
en un proyecto.
Actividad ficticia. Actividades imaginarias que
existen dentro del diagrama de red, sólo con la
finalidad de establecer las relaciones de precedencia
que de otra forma no se podrían establecer. A estas
actividades no se les asigna tiempo alguno, es decir
tienen tiempo cero. Las actividades ficticias permiten
dibujar redes con las relaciones de Precedencia
apropiadas, se representa por medio de una línea
punteada.
Holgura o margen. Es el tiempo libre en la red, es
decir, la cantidad de tiempo que se puede retrasar o
demorar una actividad sin afectar la fecha de
terminación del proyecto total.
Distribución beta. Distribución teorica que se
utiliza para la estimación del tiempo esperado de la
actividad en el PERT. La estimación se basa en el
supuesto de que el tiempo de la actividad es una
variable aleatoria con probabilidad que sigue una
distribución beta unimodal.

Tiempo de Inicio mas Temprano (cercano o
próximo, TIPi): Es el tiempo más temprano o
próximo en que puede comenzar una actividad.
Tiempo de Inicio mas Lejano (o tardío o
remoto, ITij): Es el tiempo más lejano o tardío en que
puede iniciar una actividad sin que se retrase el
proyecto total.
Tiempo de Terminación más Temprano, TTij:
Es el tiempo más cercano en que puede finalizar una
actividad.
Tiempo de Terminación más Lejano o Tardío,
TTTi: Es el tiempo más lejano o tardío en que puede
finalizar una actividad sin que se retrase el proyecto
total.
Tiempo más probable. Es la estimación del tiempo
en que una actividad tiene mayor posibilidad de
realizarse sí se repitiera una y otra vez; dicho de otra
manera, es el tiempo normal que se necesita en
circunstancias ordinarias. Es simbolizado con la letra
m.

Tiempo optimista. Es una estimación del tiempo
mínimo o más corto posible en el cual es probable
que se termine una actividad si todo marcha bien o
de forma ideal. Este tiempo es simbolizado con a.
Tiempo pesimista. Es el tiempo máximo o más
largo posible estimado, en el cual es probable sea
terminada una actividad con el supuesto que
ocurran las condiciones más desfavorables, es
simbolizado con b.
Tiempo esperado para una actividad. Es el
tiempo calculado usando el promedio ponderado o
la media aritmética de (a + b)/2 y 2m. Es decir:
(a+b + 4m)/6.
Tiempo normal. Es el tiempo necesario para
terminar una actividad si esta se realiza en forma
normal. Es el tiempo máximo para terminar una
actividad con el uso mínimo de recurso.
Tiempo acelerado. Tiempo que sería necesario si
no se evita costo alguno con tal de reducir el tiempo
del proyecto. Tiempo mínimo posible para terminar
una actividad con la concentración máxima de
recursos.

Inclusión de tiempos probabilísticos:
Suponemos que el tiempo requerido para realizar una
actividad sigue una distribución beta. La distribución
de tiempo para cualquier actividad se define mediante
tres estimaciones de tiempo:
1) Tiempo estimado más probable: m.
2) Tiempo estimado optimista: a.
3) Tiempo estimado pesimista: b.
En el gráfico a continuación se muestra la forma de la
distribución beta para los tres tiempos estimados.
Tiempo
Optimista (a)
Tiempo mas
Probable (m)
Tiempo
Esperado
Tiempo
Pesimista (b)
0 Tiempo de la Actividad
Distribución Beta sesgada hacia la Derecha

El tiempo más probable (D) es el tiempo requerido
para terminar la actividad bajo condiciones normales.
Los tiempos optimistas y pesimistas proporcionan una
medida de la incertidumbre relacionada con cada
actividad, incluyendo desperfectos en maquinarias y
equipos, disponibilidad de mano de obra, retardo la
entrega de materiales y otros factores no controlables
por los administradores y directores del proyecto.
Para calcular el valor esperado suponemos que el
punto medio (a + b)/2 tiene una ponderación igual a la
mitad de tiempo más probable m, Calculando la media
aritmética de estos dos valores, obtenemos:
Suponiendo igualmente que al menos 90% de
cualquier función densidad de probabilidad está
dentro de tres desviaciones estándares de su media, la
varianza es:
D =
a  b  4m
6
V =
b − a
2
6

El tiempo esperado de finalización de un
proyecto es la suma de todos los tiempos
esperados de las actividades sobre la ruta crítica.
Igualmente si suponemos (quizá no de forma
real o demostrable) que las distribuciones de los
tiempos de las actividades son independientes,
la varianza del proyecto es la suma de las
varianzas de las actividades sobre la ruta crítica.
Todos los cálculos se hacen bajo el supuesto que
los tiempos de las actividades se conocen. A
medida que el proyecto avanza, los tiempos
estimados se utilizan para controlar y evaluar el
progreso del proyecto. Si ocurre algún retardo en
el proyecto, se hacen esfuerzos por lograr que el
proyecto quede de nuevo según lo programado
cambiando la asignación de recursos.

Tiempo Esperado de
Terminación
T0 Tiempo
Distribución del Tiempo de Terminación del Proyecto

Todos los cálculos se hacen bajo el supuesto que
los tiempos de las actividades se conocen. A
medida que el proyecto avanza, los tiempos
estimados se utilizan para controlar y evaluar el
progreso del proyecto. Si ocurre algún retardo en
el proyecto, se hacen esfuerzos por lograr que el
proyecto quede de nuevo según lo programado
cambiando la asignación de recursos.
Si para un camino cualquiera la esperanza y la
varianza son:
E{μi} = ΣDi
var{μi} = ΣVk
k son las actividades sobre la ruta más larga que
lleva a i.

Si μi es la suma de variables aleatorias
independientes, entonces según el teorema del
limite central, es casi normalmente distribuida
con media E{μi}y varianza var{μi}. Ante un
tiempo especificado por el analista TPi, y
sabiendo que μi es el tiempo de ocurrencia más
proximo, podemos calcular la probabilidad:
y Z representa una variable aleatoria normal
estándar con media 0 y varianza 1. En la práctica
se toma el tiempo programado TPi como el
tiempo de terminación más tardío TTTi.
P  TPi = P[
i − E{i}
var{i}

TPi − E{i}
var{i}
] = P{Z  Ki}
Ki =
TPi − E{i}
var {i}

Probabilidad de Terminación del Proyecto antes de una
Fecha Límite PTi
Tiempo T
0
TPi
P  TPi = P{Z  Ki}

Etapas de la Planificación de Proyectos.
La planificación de proyectos comprende cuatro
etapas:
1. Planificación.
a.- Definición del proyecto
b.- Redacción de lista de Actividades
c.- Definición de precedencias para las
actividades.
d.- Elaboración de Matriz de Tiempos.
e.- Listado de recursos necesarios para el
proyecto.
f.- Cálculo de los costo implicados en el
desarrollo del proyecto.
2. Programación.
a.- Elaboración de diagrama de Gantt o red
(pert) de Actividades.
b.- Calculo de las variaciones en los costos y
pendientes
c.- Determinación de las actividades críticas y
de la ruta o camino crítico.
d.- Verificación de las limitaciones de tiempo,
de recursos y económicos
e.- Revisión de las holguras.
f.- Cálculo de las probabilidad de retraso

Etapas de la Planificación de Proyectos.
3. Ejecución.
a.- Aprobación del proyecto
b.- Ordenes de trabajo
4.- Evaluación y Control.
c.- Elaboración de gráficas de control
d.- Redacción de reportes y análisis de los
avances
e.- Toma de decisiones y ajustes
Lista de Actividades
Es la relación de actividades físicas o mentales
que forman procesos interrelacionados en un
proyecto total. En general esta información es
obtenida de las personas que intervendrán en la
ejecución del proyecto, de acuerdo con la
asignación de responsabilidades y
nombramientos realizados en la Definición del
Proyecto.

Las actividades pueden ser físicas o mentales, como
construcciones, tramites, estudios, inspecciones, dibujos,
etc. En términos generales, se considera Actividad a la
serie de operaciones realizadas por una persona o grupo
de personas en forma continua, sin interrupciones, con
tiempos determinados de inicio y fin. Esta lista de
actividades sirve de base para que se elaboren los
presupuestos de ejecución.
Para asignar las precedencias se puede seguir el
siguiente procedimiento.
Se hace un cuestionario a los responsables de los
procesos donde se les pregunta cuales actividades deben
quedar terminadas o completadas en su totalidad para
ejecutar cada una de las que aparecen en la lista. Se pone
especial cuidado en que todas y cada una de las
actividades tenga por lo menos una precedencia,
exceptuando desde luego a las actividades iniciales.
Otra forma sería preguntar a los responsables de la
ejecución, cuales actividades deben hacerse al finalizar
totalmente cada una de las que aparecen en la lista. Se
inicia con la primera actividad, que servirá para indicar
unicamente el punto de partida de las demás. La
información se toma una por una de las actividades
listadas, sin pasar por alto ninguna de ellas.

Construcción de la Red:
Para construir la red o grafo se siguen las
siguientes reglas:
1: Una actividad se representa con una y solamente
una flecha en la red.
2: Entre dos eventos sucesivos: inicial y terminal
solamente hay una actividad.
3: Para que las relaciones de precedencia se
muestren de forma correcta en el grafo, al agregar
una nueva actividad se deben responder las
siguientes preguntas:
¿Que actividades deben terminarse para que la
actividad pueda comenzar?.
¿Que actividades siguen a esta actividad?.
¿Que actividades se realizan de manera simultánea
con esta actividad?.

31
2
A D
B
31
2
D A
B
31
2
D
A
B
31
2
D
A
B
Dos actividades no pueden tener el
mismo nodo inicial y terminal.
Para resolver el caso anterior se
introduce una actividad ficticia D

i j
3 4
1
2
Una actividad parte de un nodo inicial i hacia
un nodo terminal j, se representa solo una
vez en la red.
Una actividad se puede descomponer en
segmentos, cada segmento es una flecha
separada.

A C
B E
D
A
C
B
E
A y B preceden a C, pero E es precedida
solamente por B.
La forma correcta de representación es
incluyendo una actividad ficticia D.

Cálculo de la Ruta Crítica:
Se hace en dos etapas:
La primera etapa comprende los cálculos hacia
adelante, comenzando en el nodo de inicio y moviéndose
hasta el nodo final. En cada nodo se calcula el tiempo de
inicio más próximo (TIPi).
Si i = 0 entonces estamos en el nodo inicial y TIP0 = 0. Si Dij
es la duración de la actividad que parte de i y termina en j,
los cálculos hacia adelante se obtienen utilizando la fórmula:
Para todas las actividades (i, j) en la red.
La segunda etapa comprende los cálculos hacia atrás,
comenzando en el nodo terminal o final y moviéndose hasta
el nodo inicial. En cada nodo se calcula el tiempo de
terminación más tardío (TTTj).
Si j = n entonces estamos en el nodo terminal y TTTn = TIPn
para comenzar los cálculos hacia atrás. Si Dij es la duración
de la actividad que parte de i y termina en j, los cálculos
hacia atrás se obtienen utilizando la fórmula:
Para todas las actividades (i, j) en la red.
TIP j = máx
i
{TIPi  Dij }
TTT i = mín
j
{TTT j − Dij }

Una actividad será crítica y formará parte de la
ruta crítica si cumple las siguientes condiciones:
TIPi = TTTj
TIPj = TTTi
TIPj – TIPi = TTTj – TTT j = Dij
Las actividades críticas se distinguen en la red
con un color diferente:
0
0/0
1
5/5
2
17/17
3
14/23
4
23/29
5
29/29
6
40/40
A(5d 0)
B(12d0)
C (6d 0)
D (12d 0)
E (9d 0)
F (6d 0)
G (11d 0)
H (12d 0)

Cálculo de las Holguras.
Primero necesitamos calcular el tiempo de inicio más
tardío (IT) y el tiempo de terminación más próximo (TT),
lo cual hacemos con las siguientes fórmulas:
ITij = TTT j – Dij
TTij = TIP i + Dij
La holgura total HT para la actividad (i, j) es la diferencia
entre el máximo tiempo disponible para realizar la
actividad y su duración.
HTij = TTT j – TIP i – Dij = TTT j – TTij = ITij –
TIP i
La holgura libre HL para la actividad (i, j) es el exceso de
tiempo disponible sobre su duración, y parte de suponer
que todas las actividades inician tan pronto como sea
posible.
HLij = TIP j – TIP i – Dij
Las actividades críticas tienen tanto holgura total como
holgura libre igual a cero. Una actividad no crítica puede
tener holgura libre igual a cero.

Más Próximo Más Tardío
Inicio Terminación Inicio Terminación
Actividad Duración Holgura Total Holgura Libre
Dij
1 2 3 4 5 6 7 8
A
B
C
.
.
.
.
.
.
(i, j) TIPi TTij ITij TTTj HTij HLij
Zn
TABLA PARA EL PROGRAMA DE
TIEMPO QUE PERMITIRÁ
CALCULAR LA RUTA CRÍTICA

Costos:
Al introducir costos en la planificación de
proyectos debemos tener en cuenta que solamente
trabajaremos con los costos directos, ya que los
efectos de los costos indirectos se incluirán
solamente al final del análisis. La duración de una
actividad puede disminuirse aumentando los
recursos que se le asignan, con el consiguiente
aumento en los costos. Según se muestra en el
dibujo mediante la linea con pendiente creciente
desde la duración normal hasta la duración
mínima (si esto no se cumple el análisis no es
valido).

PENDIENTE DE COSTO:
0
Tiempo
Costo
Punto
Normal
Punto de
Duración Mínima
Dc Dn
Cn
Cc

La ruta crítica se calcula con la duración normal
de las actividades, es decir menor costo, y se
calcula el costo correspondiente a este programa.
Luego se considera una reducción en la duración
del proyecto, tomando en cuenta únicamente las
actividades críticas. Se hace el análisis tomando
aquella actividad crítica con pendiente de costo
más pequeña, y se recorta tanto como sea posible.
Esto da lugar, quizá a otra ruta crítica, con un
costo más alto. El procedimiento se repite hasta
que todas las actividades críticas estén en su
duración mínima.
El resultado final es una curva de costo para los
diferentes programas con sus correspondientes
costos, como al aumentar la duración del proyecto
aumentan los costos indirectos debemos
considerar el costo total que es la suma de los
costos indirectos mas los directos. El programa
óptimo es aquel con costo total mínimo.
Pendientede Costo =
Cc − Cn
Dn − Dc

DETERMINACIÓN DEL PROGRAMA DE
COSTO MÍNIMO.
Costo
Directo
Programa de
Costo Mínimo
0
Tiempo
Costo
Programa
Normal
Costo
Indirecto
Costo
Total
Programa de
Duración Mínima

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