Análisis cinemático mecanismo biela manivela

Análisis cinemático mecanismo biela manivela

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  Análisis cinemático mecanismobiela manivela – Roberto Sanz Benito Asesorías en Matemáticas, Física e Ingeniería [email protected] www.mastersagan.com ANÁLISIS CINEMÁTICO MECANISMO BIELA-MANIVELA Roberto Sanz Benito Asesorías en Matemáticas, Física e Ingeniería INTRODUCCIÓN La cinemática es la rama de la Mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos desde un punto de vista meramente geométrico, es decir, sin tener en cuenta las fuerzas y/o momentos que lo han producido. Por lo tanto, se trata de establecer las ecuaciones que permiten determinar la posición, velocidad y aceleración de los puntos o partes de cualquier sistema mecánico. Para ello, es preciso establecer previamente un sistema de referencia con respecto al cual se van a determinar las variables citadas. Este simple mecanismo que se representa en la figura 1 es uno de los más extendidos en ingeniería mecánica, puesto que convierte el movimiento de rotación de la manivela en movimiento de traslación del pistón o viceversa. Un ejemplo cotidiano son los motores de combustión interna. ANÁLISIS CINEMÁTICO MÉTODO COORENADAS NATURALES Plantear el análisis cinemático del mecanismo de biela manivela que se representa en la figura 1 empleando el método de las coordenadas naturales. Datos AB= r = 250 mm y BC = L = 800 mm. Figura 1: Mecanismo de biela manivela El origen del sistema de referencia se hará coincidir con el punto A. El eje Ox contiene a los puntos A y C. La coordenada independiente será el ángulo q. Para plantear el problema se utilizará como coordenada dependiente la abscisa x del punto C. Como la distancia entre los puntos B y C debe ser igual a la longitud del segmento BC y las coordenadas de los puntos B y C son:
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  Análisis cinemático mecanismobiela manivela – Roberto Sanz Benito Asesorías en Matemáticas, Física e Ingeniería [email protected] www.mastersagan.com 𝑥 𝐵 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑞, 𝑥 𝐶 = 𝑥, 𝑦 𝐵 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝑞, 𝑦 𝐶 = 0, La ecuación de restricción se expresa de la forma siguiente, 𝐶 = (𝑥 − 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑞)2 + (𝑟𝑠𝑒𝑛𝑞)2 − 𝐿2 = 0 (1) El valor de la coordenada dependiente será, 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑞 + √𝐿2 − (𝑟𝑠𝑒𝑛𝑞)2 Figura 2: Valores de x en metros para un ciclo completo del ángulo q en grados para cada valor de r Derivando, respecto a q la ecuación 1 se tiene; 𝑑𝐶 𝑑𝑞 = 2(𝑥 − 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑞)(𝑣 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑞) + 2𝑟2 𝑠𝑒𝑛𝑞𝑐𝑜𝑠𝑞 = 0 (2) Por lo tanto, 𝑣 = − 𝑥𝑟𝑠𝑒𝑛𝑞 𝑥 − 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑞
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  Análisis cinemático mecanismobiela manivela – Roberto Sanz Benito Asesorías en Matemáticas, Física e Ingeniería [email protected] www.mastersagan.com Figura 3: Valores de v en metros/segundo para un ciclo completo del ángulo q en grados para cada valor de r Derivando respecto a q, la ecuación 2 se tiene, 𝑑2 𝐶 𝑑𝑞2 = 2(𝑥 − 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑞)(𝑎 + 2𝑟𝑐𝑜𝑠𝑞) + 2(𝑣 + 𝑟𝑠𝑖𝑛𝑞)2 + 𝑟2 𝑐𝑜𝑠2𝑞 = 0 (3) De donde, 𝑎 = −𝑟𝑐𝑜𝑠𝑞 − (𝑐 + 𝑟𝑠𝑖𝑛𝑞)2 +𝑟2 𝑐𝑜𝑠2𝑞 𝑏 − 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑞 Figura 4: Valores de a en metros/segundo al cuadrado para un ciclo completo del ángulo q en grados para cada valor de r
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  Análisis cinemático mecanismobiela manivela – Roberto Sanz Benito Asesorías en Matemáticas, Física e Ingeniería [email protected] www.mastersagan.com Figura 5: Evoluciones de las posiciones, velocidades y aceleraciones.
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  Análisis cinemático mecanismobiela manivela – Roberto Sanz Benito Asesorías en Matemáticas, Física e Ingeniería [email protected] www.mastersagan.com Para resolver las ecuaciones se utiliza el lenguaje de programación PYTHON. En la figura 6 se incluye el código. import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt #Inicialización de variables r=float(input("Longitud del eslabón impulsor AB en m:")) L=float(input("Longitud de la biela BC en m:")) #Vector de ángulo genera n puntos q=np.linspace(0,360,360) #Límite inferior, límite superior, número de puntos Q = q*np.pi/180 #Conversión de grados a radiantes # Posición del pistón x=r*np.cos(Q)+np.sqrt(L**2-(r*np.sin(Q))**2) #Velocidad del pistón v=-(x*r*np.sin(Q))/(x-r*np.cos(Q)) #Aceleración del pistón a=-r*np.cos(Q)-((v+r*np.sin(Q))**2+r**2*np.cos(2*Q))/(x-r*np.cos(Q)) #Graficación del movimiento plt.subplot(3,1,1) plt.title('Posición Pistón') plt.plot(q, x) #Gráfica ángulo de entrada (Q) distancia (x) plt.grid() #Agregar rejilla a la gráfica plt.ylabel('x [m]') #Etiqueta eje y plt.xticks(np.arange(0, 400, 40)) #Ajuste rango eje x a 40 plt.xlim(0,360) #Ajuste límite de representación 0-360 plt.subplot(3,1,2) plt.title('Velocidad Pistón') plt.plot(q, v) #Gráfica angulo de entrada (Q) ángulo biela (Y) plt.grid() #Agregar rejilla a la gráfica plt.ylabel('v [m/s]') #Etiqueta eje y plt.xticks(np.arange(0, 400, 40)) #Ajuste rango eje x a 40 plt.xlim(0,360) #Ajuste límite de representación 0-360 plt.subplot(3,1,3) plt.title('Aceleración Pistón') plt.plot(q, a) #Gráfica angulo de entrada (Q) ángulo biela (Y) plt.grid() #Agregar rejilla a la gráfica plt.xlabel('Q [grados]') #Etiqueta eje x plt.ylabel('a [a [m2/s]]') #Etiqueta eje y plt.xticks(np.arange(0, 400, 40)) #Ajuste rango eje x a 40 plt.xlim(0,360) #Ajuste límite de representación 0-360 plt.subplots_adjust(hspace=0.5) #Separación entre gráficas plt.show() Figura 6: Código PYTHON.
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  Análisis cinemático mecanismobiela manivela – Roberto Sanz Benito Asesorías en Matemáticas, Física e Ingeniería [email protected] www.mastersagan.com MOVIMIENTO RELATIVO El eje de rotación de la manivela AB es normal al plano del movimiento y pasa por el punto A. Su velocidad angular es 𝑞̇ = 700𝑟. 𝑝. 𝑚 y su aceleración angular 𝑞̈ = 0. El movimiento relativo de la biela BC respecto a la manivela es una rotación cuyo eje es normal al plano del movimiento y pasa por el punto B. El movimiento relativo del pistón respecto a la biela es una rotación cuyo eje es normal al plano del movimiento, mientras que el movimiento absoluto del citado pistón es una traslación paralela a la dirección 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . Figura 7: Esquema del mecanismo biela manivela Determinar: 1. Velocidad del pistón y velocidad angular de la biela BC 2. Aceleración del pistón y aceleración angular de la biela BC 3. Para el caso r = 250mm y L = 400 mm, representar gráficamente los resultados de los apartados previos. Para resolver este problema definimos dos sistemas de referencia: uno fijo, absoluto o global 𝑆 = 𝑂𝑥𝑦𝑧; y otro relativo 𝑆1 = 𝑂𝑥1 𝑦1 𝑧1 , cuyo origen coincide con el punto B de la barra BC y que se comporta como punto fijo respecto de 𝑆1. Los vectores de posición de los punto B y C son, 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑞𝑖 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑞𝑗 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑐𝑖 = (𝑟𝑐𝑜𝑠𝑞 + 𝐿𝑐𝑜𝑠𝛼)𝑖 Luego, 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐿𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖 − 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑞𝑗
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  Análisis cinemático mecanismobiela manivela – Roberto Sanz Benito Asesorías en Matemáticas, Física e Ingeniería [email protected] www.mastersagan.com Obsérvese en la figura 2 que el convenio que se sigue en este texto es definir los ángulos en sentido antihorario empezando en la horizontal y terminando en la barra. Esto tiene la ventaja de no tener que preocuparse del signo de las funciones trigonométricas dependiendo del cuadrante. En todo mecanismo plano se pueden definir ecuaciones de cierre que son ecuaciones vectoriales asociadas a cada lazo cerrado que se puede formar con sus barras o eslabones. En este caso, sólo se puede formar un lazo cerrado cuya ecuación vectorial asociada es 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ y que de su componente y nos permite determinar el valor del ángulo α como, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑞 + 𝐿𝑠𝑒𝑛𝛼 = 0 → 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (− 𝑟 𝐿 𝑠𝑒𝑛𝑞) Siendo el ángulo 𝑞 = 𝑞̇ 𝑡 La velocidad absoluta del punto C (pistón) se determina como, 𝑣 𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝑣 𝐶 𝑖 = 𝑣 𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝜔 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (4) Siendo, 𝑣 𝐵⃗⃗⃗⃗ = 𝑞̇ 𝑘⃗ × 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟𝑞̇(−𝑠𝑒𝑛𝑞𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝑞𝑗) Y, 𝜔 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼̇ 𝑘⃗ , la velocidad angular de la barra BC, quedando, 𝑣 𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝑣 𝐶 𝑖 = (𝑟𝛼̇ 𝑠𝑒𝑛𝑞 − 𝑟𝑞̇ 𝑠𝑒𝑛𝑞)𝑖 + (𝑟𝑞̇ 𝑐𝑜𝑠𝑞 + 𝐿𝛼̇ 𝑐𝑜𝑠𝛼)𝑗⃗⃗⃗ (5) La ecuación vectorial 5 se puede escribir como el siguiente sistema, ( 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑞 −1 −𝐿𝑐𝑜𝑠𝛼 0 ) ( 𝛼̇ 𝑣 𝐶 ) = ( 𝑟𝑞̇ 𝑠𝑒𝑛𝑞 𝑟𝑞̇ 𝑐𝑜𝑠𝑞 ) (6) Soluciones, 𝛼̇ = − 𝑟𝑞̇ 𝑐𝑜𝑠𝑞 𝐿𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑣 𝐶 = −𝑟𝑞̇ 𝑠𝑒𝑛𝑞 ( 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑞 𝐿𝑐𝑜𝑠𝛼 + 1) (7)
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  Análisis cinemático mecanismobiela manivela – Roberto Sanz Benito Asesorías en Matemáticas, Física e Ingeniería [email protected] www.mastersagan.com Figura 8: Valores de v en metros/segundos para un ciclo completo del ángulo q en grados para cada valor de r Figura 9: Valores de 𝛼̇ en radianes/segundo para un ciclo completo del ángulo q en grados para cada valor de r
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  Análisis cinemático mecanismobiela manivela – Roberto Sanz Benito Asesorías en Matemáticas, Física e Ingeniería [email protected] www.mastersagan.com Para obtener la aceleración absoluta del punto C, derivamos respecto del tiempo 𝑣 𝐶⃗⃗⃗⃗ , 𝑎 𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝑣 𝐶̇⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 𝐶 𝑖 = 𝑎 𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝛼 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝜔 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × (𝜔 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ), (8) Donde, 𝛼 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼̈ 𝑘⃗ , es la aceleración angular de la barra BC. A continuación pasamos a determinar cada uno de los sumandos 8: 𝑎 𝐵⃗⃗⃗⃗ = 𝑣 𝐵̇⃗⃗⃗⃗ = 𝑞̈ 𝑘⃗ × 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑞̇ 𝑘⃗ × (𝑞̇ 𝑘⃗ × 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) = −𝑟𝑞̇2 𝑐𝑜𝑠𝑞𝑖 − 𝑟𝑞̇2 𝑠𝑒𝑛𝑞𝑗 Donde se ha tenido en cuenta que 𝑞̈ = 0 𝛼 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟𝛼̈ 𝑠𝑒𝑛𝑞𝑖 + 𝐿𝛼̈ 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑗 𝜔 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × (𝜔 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) = −𝐿𝛼̇2 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖 + 𝑟𝛼̇2 𝑠𝑒𝑛𝑞𝑗 Por lo tanto, la aceleración del punto C (pistón) queda, 𝑎 𝐶 𝑖 = (−𝑟𝑞̇2 𝑐𝑜𝑠𝑞 − 𝐿𝛼̇2 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑟𝛼̈ 𝑠𝑒𝑛𝑞)𝑖 + (−𝑟𝑞̇2 𝑠𝑒𝑛𝑞 + 𝑟𝛼̇ 𝑠𝑒𝑛𝑞 + 𝐿𝛼̈ 𝑐𝑜𝑠𝛼)𝑗 (10) Ecuación vectorial que, como en el caso de la velocidad, nos permite formar el siguiente sistema de ecuaciones, ( 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑞 −1 𝐿𝑐𝑜𝑠𝛼 0 ) ( 𝛼̈ 𝑎 𝐶 ) = ( 𝑟𝑞̇2 𝑐𝑜𝑠𝑞 + 𝐿𝛼̇2 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑟𝑞̇2 𝑠𝑒𝑛𝑞 − 𝑟𝛼̇2 𝑠𝑒𝑛𝑞 ) (11) Con soluciones, 𝛼̈ = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑞 𝐿𝑐𝑜𝑠𝛼 (𝑞̇2 − 𝛼̇2 ) 𝑎 𝐶 = 𝑟2 𝑠𝑒𝑛2 𝑞 𝐿𝑐𝑜𝑠𝛼 (𝑞̇2 − 𝛼̇2) − 𝑟𝑞̇2 𝑐𝑜𝑠𝑞 − 𝐿𝛼̇2 𝑐𝑜𝑠𝛼 (12)
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  Análisis cinemático mecanismobiela manivela – Roberto Sanz Benito Asesorías en Matemáticas, Física e Ingeniería [email protected] www.mastersagan.com Figura 10: Valores de 𝛼̈ en radianes/segundo al cuadrado para un ciclo completo del ángulo q en grados para cada valor de r Figura 11: Valores de a en metros/segundo al cuadrado para un ciclo completo del ángulo q en grados para cada valor de r
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  Análisis cinemático mecanismobiela manivela – Roberto Sanz Benito Asesorías en Matemáticas, Física e Ingeniería [email protected] www.mastersagan.com Figura 12: Evoluciones de las velocidades y aceleraciones.
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  Análisis cinemático mecanismobiela manivela – Roberto Sanz Benito Asesorías en Matemáticas, Física e Ingeniería [email protected] www.mastersagan.com import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt #Inicialización de variables r=float(input("Longitud del eslabón impulsor AB en m:")) L=float(input("Longitud de la biela BC en m:")) wq=float(input("Velocidad angular del eslabón impulsor en rpm:")) wq=wq*2*np.pi/60 #Convertimos rpm a radianes #Vector de ángulo genera n puntos q=np.linspace(0,360,360) #Límite inferior, límite superior, número de puntos Q=q*np.pi/180 #Conversión de grados a radiantes alfa=np.arcsin((-r/L)*np.sin(Q)) #Ángulo de la biela BC # Velocidad del punto C (Pistón) v=-r*wq*np.sin(Q)*(r*np.cos(Q)/(L*np.cos(alfa))+1) # Velocidad angular de la biela BC alfap=-r*wq*np.cos(Q)/(L*np.cos(alfa)) # Aceleración del punto C (Pistón) a=((r**2)*(np.sin(Q)**2)*(wq**2-alfap**2))/(L*np.cos(alfa))- (r*wq**2)*np.cos(Q)-(L*alfap**2)*np.cos(alfa) # Aceleración angular de la biela BC alfapp=r*np.sin(Q)*(wq**2-alfap**2)/(L*np.cos(alfa)) #Graficación del movimiento plt.subplot(4,1,1) plt.title('Velocidad Pistón') plt.plot(q, v) plt.grid() #Agregar rejilla a la gráfica plt.ylabel('v [m/s]') #Etiqueta eje y plt.xticks(np.arange(0, 400, 40)) #Ajuste rango eje x a 40 plt.xlim(0,360) #Ajuste límite de representación 0-360 plt.subplot(4,1,2) plt.title('Velocidad Angular Biela') plt.plot(q, alfap) plt.grid() #Agregar rejilla a la gráfica plt.ylabel('q^ [rad/s]') #Etiqueta eje y) plt.xticks(np.arange(0, 400, 40)) #Ajuste rango eje x a 40 plt.xlim(0,360) #Ajuste límite de representación 0-360 plt.subplot(4,1,3) plt.title('Aceleración Pistón') plt.plot(q, a) plt.grid() #Agregar rejilla a la gráfica plt.ylabel('a [m/s2]') #Etiqueta eje y plt.xticks(np.arange(0, 400, 40)) #Ajuste rango eje x a 40 plt.xlim(0,360) #Ajuste límite de representación 0-360 plt.subplot(4,1,4) plt.title('Aceleración Angular Biela') plt.plot(q, alfapp) plt.grid() #Agregar rejilla a la gráfica plt.xlabel('Q [grados]') #Etiqueta eje x plt.ylabel('q^^ [rad/s2]') #Etiqueta eje y plt.xticks(np.arange(0, 400, 40)) #Ajuste rango eje x a 40 plt.xlim(0,360) #Ajuste límite de representación 0-360 plt.subplots_adjust(hspace=1) #Separación entre gráficas plt.show() Figura 13: Código PYTHON
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  Análisis cinemático mecanismobiela manivela – Roberto Sanz Benito Asesorías en Matemáticas, Física e Ingeniería [email protected] www.mastersagan.com SIMULACIÓN Finalmente se realiza una simulación dinámica del mecanismo con la aplicación libre de diseño FreeCAD. Figura 14: Secuencia de la simulación del ciclo completo del ángulo q
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