Aspectos de logica

Una proposición es verdadera o falsa, no
existe una tercera alternativa; una cosa es o
no es, no existe una tercera alternativa.
Aristóteles / Principio de Tercio Excluido
Fuente:Imagenextraídade
internet

¿ESTO ES LÓGICO O NO LÓGICO ?

¿ESTO ES
LÓGICO O NO
LÓGICO ?

LÓGICA
► Lógica es el conjunto de los métodos y principios usados para
distinguir el razonamiento correcto del incorrecto.
LÓGICA MATEMÁTICA
► La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación
con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos
matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y
computación.

ENUNCIADO
► El ENUNCIADO es una entidad pragmática mínima sujeta a factores
contextuales. Es toda expresión lingüística, que constituye una frase u
oración.
PROPOSICIÓN
► Una proposición es una sentencia (oración) declarativa correctamente
formada que puede ser verdadera o falsa pero no ambas a la vez.
Representa un hecho de la realidad, son proposiciones lógicas las
formulas científicas ya demostradas, leyes o hipótesis científicas
aceptadas.
► No son proposiciones las oraciones interrogativas, exclamativas,
imperativas, las creencias, mitos o leyendas, las metáforas o refranes.

ALGO MÁS SOBRE
PROPOSICIONES► Todas las proposiciones son oraciones, pero no todas las
oraciones son proposiciones: Las oraciones interrogativas, las
exhortativas o imperativas, las desiderativas y las exclamativas o
admirativas no son proposiciones.
1. El cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.
2. ¿Qué es la lógica?
3. Debemos honrar a nuestros héroes.
4. Sea en hora buena.
5. Casi me saco la lotería!
6. Quizá llueva mañana.
7. Valentín es bueno.

Son proposiciones lógicas:
► Las fórmulas científicas ya demostradas. Así como:
► ; a, b  R
► Las leyes o hipótesis científicas aceptadas. Así como:
► “Todo cuerpo ejerce una fuerza de atracción sobre otro”
► Los enunciados cerrados o definidos. Así como:
► +  +  = 180°; si ,  y  = s internos de un mismo triángulo.
► x + y = 50; si x = 10, y = 30
No son proposiciones lógicas:
► Las creencias, mitos o leyendas. Así como:
► “Dios es un ser misericordioso”
► “Manco Cápac y Mama Ocllo fueron enviados por el sol”
► Las metáforas o refranes. Así como:
► “El Perú es un mendigo sentado en un banco de oro”
► “Has el bien, sin mirar a quién”
► Las supersticiones. Así como:
► “Hoy día me irá muy mal por ser Martes 13”
► “Pase por debajo de una escalera”

CLASES DE PROPOSICIONES
► Proposiciones Simples, Atómicas o no Estructurales:
Carecen de conector lógico, no se componen de otras
proposiciones. Las proposiciones atómicas a su vez
pueden ser:
• Predicativas: Cuando se le atribuye alguna cualidad al
sujeto (utiliza el verbo SER en cualquiera de sus tiempos).
Ejemplos:
• Chiclayo es llamada ciudad de la amistad.
• Federico Villarreal fue un matemático lambayecano.

• Relacionales: Cuando se compara un sujeto con otro
mediante una relación que puede ser de orden, tiempo,
espacio, parentesco, acción, etc.
► Ejemplos:
• La selección peruana de vóley jugó un partido intenso
con su similar de Cuba. (Relación de acción)
• Vallejo con Mariátegui fueron literatos
contemporáneos. (Relación de tiempo.)

EJEMPLOS DE PROPOSICIONES
SIMPLES O ATÓMICAS
1. El diagnostico del Doctor es positivo
2. La enfermería tiene un gran campo de
acción
3. Gustavo trabaja como odontólogo
4. Teresa esta en la escuela de Arquitectura

• Proposiciones Compuestas, Moleculares o
Coligativas: Son aquellas que están constituidas por
proposiciones atómicas y se caracterizan porque
poseen enlaces llamados conectores lógicos.
Ejemplo:
► La proposición:
► Voy estudiar estomatología o ingeniería industrial.
► Es una proposición molecular porque se compone
de dos proposiciones atómicas:
► - Voy estudiar estomatología .
► - Voy estudiar ingeniería industrial.
► Estas dos proposiciones atómicas están unidas por el
conector “o” .

EJEMPLOS DE PROPOSICIONES
COMPUESTAS
1. Humberto Acuña es el presidente de la región y Carlos Uriarte
es director regional de salud
2. Luis ayudo en sala de operaciones y fue de gran ayuda
3. Teresa es Ingeniera o Arquitecta
4. Los sistemas electrónicos son reparados o cambiados todos.
5. Hoy entregan el premio nobel de medicina y premian a Sandra
6. Hoy hacen el trasplante y salvan al paciente
7. Si Yolanda dona sus corneas entonces Vanesa podrá ver
8. Si le realizan la diálisis entonces vivirá.
9. Terminaré mis estudios si y sólo si me dedico a ellos.
10. Aprenderé Matemáticas si y sólo si estudio mucho.

¿QUÉ CREES QUE SON?
1. ‘La realidad es duración’ (Bergson).
2. ‘La materia se mueve en un ciclo eterno’ (Engels).
3. ‘Las condiciones de posibilidad de la experiencia en general son al
mismo tiempo las de la posibilidad de los objetos de la experiencia’
(Kant).
4. ‘Considera bien quién eres. Ante todo, un hombre, es decir, un ser para
el que nada existe más importante que su propia capacidad de opción’
(Epicteto).
5. ‘Filosofar (...) es el extraordinario preguntar por lo extra-or-dinario’
(Heidegger).
6. ‘Nunca filósofo alguno ha demostrado algo. Toda pretensión es espuria.
Lo que tengo que decir es simplemente esto: los argumentos filosóficos
no son deductivos, por lo tanto no son rigurosos, por lo que nada
prueban; sin embargo, tienen fuerza’ (F.Waismann).
7. La ciencia y la religión son, ambas, vías respetables para adquirir
creencias respetables, no obstante tratarse de creencias que son
buenas para propósitos muy diferentes (R. Rorty).

CONCLUSIÓN
PROPOSICIÓN
ORACIÓN
ASEVERATIVA
VERDADERA
FALSA
Es una
Puede ser

CONECTIVOS LÓGICOS
► Los conectivos lógicos son, la negación, disyunción, conjunción,
condicional y bicondicional.
► A continuación se da una tabla en la que se da la expresión
gramatical y el nombre del conectivo que representa:
Conectivo Nombre
No Negación
O Disyunción inclusiva
 Disyunción exclusiva
y Conjunción
si…entonces Condicional
Si y sólo si Bicondicional

SIMBOLIZACIÓN DE
PROPOSICIONES
Para simbolizar cualquier proposición es necesario saber como se
simbolizarán las proposiciones simples y los conectivos. A las
proposiciones simples las simbolizaremos con letras del
abecedario:
a, b, c, … , p, q, r
El nombre y símbolo de los conectivos se da en la tabla siguiente:
Conectivo Símbolo Nombre
No ⌐ o  Negación
O V Disyunción inclusiva
O ∆ Disyunción
exclusiva
y ^ Conjunción
si…entonces  Condicional
Si y sólo si  Bicondicional

EJEMPLOS
1. La gripe A(H1N1) es una pandemia
En este ejemplo la proposición simple es: La gripe AH1N1 es una
pandemia, luego podemos proceder de la forma siguiente:
p=La gripe AH1N1 es una pandemia
Y la simbolización para la proposición, al utilizar el símbolo
correspondiente para el conectivo no, es:
⌐p
Es importante tener presente que la negación siempre antecede
a la proposición simple al hacer simbolización.

2. El médico no construye un diagnóstico a partir de una serie
de observaciones
q= El médico construye un diagnóstico a partir de una serie de
observaciones
Luego la simbolización es:
⌐q
3. Teresa es enfermera o Médico
r= Teresa es enfermera s= Teresa es médico
Luego la simbolización es:
r ν s
4. Hoy hacen el transplante y salvan al paciente
j= Hoy hacen el transplante k=hoy salvan al paciente
La simbolización es: j ^ k

5. Si Yolanda es estudiosa entonces pasará el examen
L=Yolanda es estudiosa
M=Yolanda pasará el examen
La simbolización es: L→M
6. Terminaré rápido si y sólo si me doy prisa
p=terminaré rápido q=me doy prisa
La simbolización es: p  q
7. Si 3 es mayor que 2 y 2 es mayor que cero entonces 3 es mayor que cero
a=3 es mayor que 2 b=2 es mayor que cero
c=3 es mayor que cero
La simbolización es: (a ^ b)  c

8. NO OCURRE QUE ALEJANDRA SEA ENFERMERA Y ARQUITECTA
D=ALEJANDRA ES ENFERMERA E=ALEJANDRA ES ARQUITECTA
LA SIMBOLIZACIÓN ES: ⌐ (D ^ E)
Observación. Siempre que aparezca la expresión “no ocurre que” indica que en
la simbolización la negación antecede a los paréntesis y dentro de ellos se debe
incluir la simbolización de la proposición restante.
9. Si estudio mucho y asisto a clases entonces no reprobaré el examen
y pasaré la materia
F=estudio mucho G=asisto a clases
H=reprobaré el examen I=pasaré la materia
La simbolización es: (F^G)  (⌐H ^ I)
Con el fin de ahorrar paréntesis es importante considerar la fuerza o jerarquía de de
los conectivos. A continuación se dan los conectivos de menor a mayor fuerza:
a) ⌐ν b) ν c) ^ d)  e) 
Como se observa el más débil de todos es el conectivo “no” y el más fuerte de ellos es
el conectivo “si y sólo si”.

A partir de la fuerza o predominancia de los conectivos, las
proposiciones se clasifican de la siguiente forma:
►Se les llama negativas a las proposiciones en donde
predomina el conectivo “⌐” “ ᷉ ”
►Se les llama disyuntivas a las proposiciones en donde
predomina el conectivo “ν”
► Se les llama conjuntivas a las proposiciones en donde
predomina el conectivo “^”.
► Se les llama condicionales a las proposiciones en donde
predomina el conectivo “”.
► Se les llama bicondicionales a las proposiciones en
donde predomina el conectivo “”.

I. Indica cuáles de las siguientes expresiones, son
proposiciones o no proposiciones:
1.La guerra y la paz.
2.17x = 2x + 75
3.Chimbote está entre Trujillo y Casma.
4.El hombre es un ser racional.
5.Ella estudia en la Universidad Señor de Sipán.
6.Francisco Bolognesi murió en Arica.
7.Toda enfermera tiene vocación.
8.¿Cuántos años durará mi carrera?
9.¡Hace calor!
10.“Trujillo tierra de la eterna primavera”.

II. Indica si las siguientes expresiones son proposiciones
atómicas o compuestas. Explica ¿Por qué?
1. La tierra es el planeta azul, sin embargo el sol es un astro que tiene
luz propia.
2. Los dragones tenían respiración branquial.
3. Si en el planeta Marte hay atmósfera, entonces la lluvia es oscura.
4. La crisis mundial es un fenómeno económico, sin embargo es
controlable si todos los países desarrollados apoyan a los de
economías débiles.
5. No hay libros en el cajón del estante.
6. El número 11 no es divisible por 2.
7. La cantuta es la flor nacional del Perú, lo mismo que el gallito de las
rocas es el ave representativa del Perú.
8. Dos pares ordenados son iguales sí y solo sí sus elementos
correspondientes son iguales.
9. La luna es una estrella, es una estrella que tiene luz propia.
10.No es verdad que la región Lambayeque está ubicada en el norte
del Perú.

III. Indica el valor de verdad de las siguientes
proposiciones
1. Sipán fue una cultura en la región Lambayeque.
2. SUNARP y SUNAT son instituciones privadas en el Perú.
3. Existe al menos un habitante en la luna.
4. 300 +250 = 750
5. No es cierto que el Amazonas es un río.
6. GPS es un instrumento para la ubicación geográfica.
7. Los administradores llevan los libros contables de una
empresa.
8. Entre dos números racionales, existen infinitos números
racionales.
9. El homicidio es un delito culposo y es penado con cadena
perpetua.
10.El tensiómetro sirve para medir la temperatura corporal.

TABLAS DE VERDAD, TAUTOLOGÍAS Y
CONTRADICCIONES
A toda proposición “A” se le asocia un valor de verdad, siendo este verdadera o
falsa, lo cual se representa como:
Valor de verdad de A = V(A) = V = verdadero
Valor de verdad de A = V(A) = F = falso
también se acostumbre representarlo por:
V(A) = 1 = verdadero o V(A) = 0 = falso
Es importante considerar que en la proposición condicional
A B , la A es el antecedente y B es el consecuente.

TABLA DE VERDAD DE LA PROPOSICIÓN NEGATIVA ⌐A.
o
La negación, puede traducirse como:
No es cierto que ... Nadie que sea ... Jamás...
Es falso que... No es el caso que ... Es inconcebible que...
Nunca ... No es verdad que Es imposible que...
No ocurre que... Es absurdo que Es erróneo que ...
Es mentira que ... No acaece que... De ningún modo ...
No es el caso que... Es inadmisible que... Es incierto que...
Es refutable que... Es falaz que... En modo alguno...

Tabla de verdad de la proposición disyuntiva inclusiva A ν B .
o
A menos que 0 en todo caso
Excepto que 0 también
Salvo que 0 incluso
A no ser que 0 bien
Y bien o también Al menos uno de los dos .... o ....
0 sino Alternativamente
Otras formas de conexión que nos indican una disyunción inclusiva son:

A B A ∆ B
V V F
V F V
F V V
F F F
Tabla de verdad de la proposición disyuntiva exclusiva A Δ B .
A B A ∆ B
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
o
O...O... ... no equivale a ...
0 bien ... o bien ... No es cierto que...equivale a...
No es equivalente ... con ... 0 solo .... o solo ....
....a menos que solamente... ...salvo que únicamente...
....excepto que sólo.... ....o bien necesariamente....
....o exclusivamente.... ....no es idéntico a....
....no es lo mismo que... Salvo que .... o ....
Alguna formas de conectivos a emplear son:

Tabla de verdad de la proposición conjuntiva A ^ B .
o
En nuestro lenguaje podemos emplear:
Pero Aún cuando No obstante
Sin embargo Al igual que Aunque
Además Tanto …. como …. Más aún
A la vez Siempre ambos…. con….. También
Incluso No sólo….sino también…. Es compatible con
Así como A pesar de Así mismo
Del mismo modo ….con …. los dos a la vez De la misma forma que

Tabla de verdad de la proposición condicional A  B .
o
La manera de expresar la condicional en el orden antecedente-consecuente
("p → q" Implicación directa), son las siguientes:
Si p, entonces q p por tanto q
Siempre que p entonces q p por consiguiente q
p es suficiente para q p por ende q
p implica q p por conclusión qi
Ya que p bien se ve que q Dado que p por eso q
En cuanto p por tanto q Porque p por eso q
Puede también expresarse en el orden consecuente-antecedente o Implicación
Inversa ("q ← p"): q si p q es implicada para p q de modo que p
q siempre que p q cada vez que p q puesto que p
q es necesario para p q en vista que p q porque p
Sólo si p, q Sólo cuando p, q Solamente porque p, q
q dado que p q ya que p q cada vez que p
q a condición de que p q dado que p q se concluye de p
q supone que p q sigue de p Únicamente si p, q

32
o
Tabla de verdad de la proposición bicondicional AB .
Observemos que el número de renglones de una tabla de verdad es 2n en donde n es
el número de proposiciones simples que aparecen en la proposición compuesta.
...siempre y cuando... Es suficiente para que suficiente sea
...es equivalente a... Es condición necesaria y suficiente para
...es lo mismo que... ...por lo cual y según lo cual...
...cuando y sólo cuando... ...cada vez que y sólo si...
Si y sólo si p, q ...si de la forma...
...siempre que y sólo cuando... .. .implica y está implicado por...
...es idéntico a... Siempre que ... y siempre que ...
También se suele emplear expresiones como:

Los signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves) se usan en lógica
cuando se trata de obtener esquemas lógicos más complejos con el fin de
evitar la ambigüedad en las formulas.
Por ejemplo: p ν q ^ r es ambigua, pero asociando sus términos (p ν q) ^ r
deja de ser ambigua y tiene sentido.
La otra finalidad de los signos de agrupación es darle mayor jerarquía a los
conectivos.
USO DE LOS SIGNOS DE
AGRUPACIÓN

Definición 1. Una proposición compuesta es una Tautología si al
construir su tabla de verdad el resultado en cada renglón es verdadero
independientemente de los valores de verdad que tomen las
proposiciones simples que intervienen.
Definición 2. Una proposición compuesta es una Contradicción si al
construir su tabla de verdad el resultado en cada renglón es falso
independientemente de los valores de verdad que tomen las
proposiciones simples que intervienen.
Definición 3. Una proposición compuesta es una Contingencia si al
construir su tabla de verdad no resulta tautología ni contradicción.
ESQUEMAS MOLECULARES
Es la combinación de variables y conectivos lógicos asociados con signos
de agrupación. Los cuales se verifican con las tablas de verdad.
En cada esquema molecular sólo uno de los conectivos es el de mayor
jerarquía y es el que le da nombre a dicho esquema.

EJEMPLOS
CONSTRUIR LA TABLA DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS
QUE SE DAN E INDICAR SI SE TRATA DE UNA TAUTOLOGÍA,
CONTRADICCIÓN O CONTINGENCIA.
1. ⌐A ν B
A B ⌐A B ⌐AνB
1 1 0 1 1
1 0 0 0 0
0 1 1 1 1
0 0 1 0 1
Es una proposición disyuntiva en la que intervienen 2 proposiciones
simples, luego la tabla está formada por cuatro renglones.
Por lo tanto es una contingencia

[( A B) ^ ⌐B ] ⌐A
Por lo tanto es una Tautología
A B [(AB) ^ ⌐B]  ⌐A
1 1 1 0 0 1 0
1 0 0 0 1 1 0
0 1 1 0 0 1 1
0 0 1 1 1 1 1
Es una proposición condicional y su tabla es la siguiente

      pqpqp p q
V V V V F F F F F F V V
V F V V V F F F F V V V
F V F F F F V F F F V F
F F F V V V V F V V F F
1 3 2 5 4 R 9 6 8 7
Por lo tanto es una Contradicción
Es una proposición disyuntiva exclusiva en la que
intervienen 2 proposiciones simples, luego la tabla
está formada así

EJERCICIOS
Verificar el valor de los siguientes esquemas moleculares usando tablas:
a) ((( p  q) ^ r) ν (r ^ p))
b) ((p  (q ν r)) ^ ((p  r) ^ p)  q));
c) ((⌐(p ^ q)  r) ν p)
d) (⌐((⌐(p)  q) ν r));
e) (⌐(p ν q)  (⌐(p) ^ ⌐(q)))
Formalizar el siguiente argumento y encuentre el valor de verdad: Me
gusta el helado de fresa, pero también el de limón. Si hay sólo helado de
chocolate lo comeré, a pesar de que no me guste. Por tanto, no comeré
helado de fresa.
Para formalizar el razonamiento dado, definimos las proposiciones atómicas p = me gusta el
helado de fresa, q = me gusta el helado de limón, r = hay sólo helado de chocolate, s = comeré
helado de chocolate, t = me gusta el helado de chocolate, u = comeré helado de fresa. La
formalización se escribe, como: [ p ^ q ^ (r  s) ^ ⌐ t ] ⌐ u

SI LA PROPOSICIÓN:
[P ( Q R)]   (S  Q) , ES FALSA. DETERMINE LOS
VALORES DE VERDAD DE “P”, “Q”, “R” Y “S”
[p  (q r)]  (s  q)
F
V
F
V
[ V V
V
( V F )
EJEMPLO:
Por lo tanto los valores de las proposiciones son:
p = V q = F r = V s = V
V ]
 [ ]

F

Aspectos de logica

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