Bernoulli y ricatti

Bernoulli y ricatti

• 1.
  [ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad1 Ecuaciones Diferenciales Página 1 Ecuación de Bernoulli A la ecuación diferencial ( ) ( ) ndy P x y f x y dx   (1.1) Donde n es un número real cualquiera se le llama ecuación de Bernoulli en honor del matemático suizo Jacobo Bernoulli (1654 - 1705). Para 0n  y 1n  , la sustitución 1 n w y   lleva a la ecuación lineal. Observe que cuando 0n  y 1n  la ecuación (1.1) es lineal.    1 ( ) 1 ( ) dw n P x w n f x dx     (1.2) Ejercicios Resuelva la ecuación de Bernoulli Ejercicio 1 2 4 1 2 3 , (1) 2 dy x xy y y dx    Solución Acomodamos la ecuación diferencial en la forma estándar de una ecuación de Bernoulli 4 2 2 3dy y y dx x x   Identificamos a 2 2 3 ( ) , ( ) y 4p x f x n x x     En consecuencia sabemos que 1 w y  y tenemos
• 2.
  [ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad1 Ecuaciones Diferenciales Página 2     2 2 2 3 1 4 1 4 6 9 dw w dx x x dw w dx x x               El factor integrante de esta ecuación lineal es: 6 6 ln6ln 6 dx xxx e e e x    Por lo tanto 6 6 6 4 2 9 9 d d x w x x w x dx x dx            Por lo tanto integramos ambos lados 6 5 1 69 9 5 5 x w x c w x cx         Como 1 n w y   obtenemos 3 1 6 3 1 9 5 w y x cx y          Sustituimos los valores de la condición inicial para encontrar c     3 1 6 1 1 (1) 1 2 2 1 9 1 1 2 5 9 9 49 49 8 8 5 5 5 5 x y y c c c c                          Por lo tanto tenemos que la solución 3 1 69 49 5 5 y x x     
• 3.
  [ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad1 Ecuaciones Diferenciales Página 3 Ejercicio 2 2 2dy x y xy dx   Solución Por lo tanto acomodándola de acuerdo a la forma estándar de Bernoulli tenemos: 2 2 2 2 dy dy y y x xy y dx dx x x        Identificamos 2 1 1 ( ) , ( ) y 2p x f x n x x      En consecuencia haciendo la sustitución llegaremos a una ecuación lineal de primer orden como se denota a continuación:     2 ln 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 ; ( ) ln 1 dx xx dw w dx x x dw w e e u x x dx x x xw x c con w y w y w y                                Por lo tanto sustituimos el valor de w / ln ln ln x yx x x c x c e xc y y       
• 4.
  [ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad1 Ecuaciones Diferenciales Página 4 Ecuación de Ricatti La ecuación diferencial no lineal 2 ( ) ( ) ( ) dy P x Q x y R x y dx    (1.3) Se llama ecuación de Ricatti. Si 1y es una solución particular conocida de (1.3) entonces las sustituciones 1 1 y dy dy du y y u dx dx dx     Aplicadas estas sustituciones a la ecuación diferencial (1.3) producen la siguiente ecuación diferencial en términos de u :   2 12 du Q y R u Ru dx    (1.4) Como la ecuación (1.4) es una ecuación de Bernoulli con 2n  , puede entonces reducirse a la ecuación lineal siguiente:  12 dw Q y R w R dx     (1.5) Al sustituir 1 w u  Nota. En muchos casos una solución de una ecuación de Ricatti no puede ser expresada en términos de funciones elementales. Ejercicios Resolver las siguientes ecuaciones de Ricatti Ejercicio 1 2 12 , 2 dy y y y dx     
• 5.
  [ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad1 Ecuaciones Diferenciales Página 5 Solución Se identifican que ( ) 2, ( ) 1, ( ) 1P x Q x R x     y después se resuelve la ecuación lineal:   1 2 2 1 1 3 1 dw w dx dw w dx            Resolvemos la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden 3 3 3 3 3 3 3 3 3 dx x x x x x x x e e d d e w e e w dx e dx dx dx e e w c                  Pero con 1 3 3 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 x x x x w u e e u c c u u ce                  Entonces la solución de la ecuación es 3 1 2 2 1 3 x y u y ce       Ejercicio 2 2 2 1 1 2 2 , dy x y y y x dx x    
• 6.
  [ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad1 Ecuaciones Diferenciales Página 6 Solución Se identifican que 2 1 ( ) 2 , ( ) , ( ) 2P x x Q x R x x     y después se resuelve la ecuación lineal:    1 2 2 2 1 4 2 dw x w dx x dw x w dx x                  Resolvemos la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden       2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 ln 2 ln 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x dx x x x x xx x x x x x x e e e e xe d d xe w xe xe w dx xe dx dx dx xe w xe dx                                  Resolvemos la integral 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 x z z z x z x xe dx dz xdx dz xe e dz e c e c                         Por lo tanto 2 2 2 2 2x x wxe e c    
• 7.
  [ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad1 Ecuaciones Diferenciales Página 7 Pero con 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 x x x x w u xe e c u xe u e c               Entonces la solución de la ecuación es 2 2 2 2 2 x x xe y x u y x e c         