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CAMPO ELECTRICO

Este documento presenta el concepto de campo eléctrico producido por cargas estáticas. Introduce la noción de campo como una función que asocia una magnitud física a cada punto en el espacio. Explica que el campo eléctrico es una magnitud vectorial definida como la fuerza eléctrica sobre una carga de prueba dividida por su magnitud, y que su unidad es el newton por coulomb. También describe cómo calcular la intensidad del campo eléctrico producido por una carga puntual en cualquier punto del espacio usando la ley

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Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. CAPITULO II CAMPO ELECTRICO 40
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. 2.1 INTRODUCCIÓN La noción de campo es una idea de amplia importancia en descripción de un conjunto de fenómenos físicos. Un campo es una función o conjunto de funciones que representa por ejemplo a cada componente de un vector, definida en todos los puntos en un espacio dado de coordenadas y que asocia determinada cantidad física a cada punto en el espacio. del espacio existe una temperatura única en un tiempo t, expresada por la función 𝑇( 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), otra magnitud es la densidad de una sustancia fluida 𝜌( 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡). Ambas cantidades forman los llamados campos escalares. Los campos con que se trabajan son múltiples, uno de ellos lo constituye la temperatura, es decir en todo punto �⃗ Además de éstos campos existen los llamados campos vectoriales, es decir magnitudes vectoriales las cuales clase el viento en la atmósfera terrestre. En cada punto de la atmósfera el aire tendrá una velocidad V, cuyas quedan definidas completamente asociándoles un vector único a cada punto del espacio. Son ejemplos de esta componentes son funciones de la posición y del tiempo, esto es 𝑉𝑥 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ; 𝑉𝑦 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) y 𝑉𝑧 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡); . En el caso de que se trate de un campo de fuerzas este viene a ser aquella región del espacio en donde se dejan sentir la fuerza con que la tierra lo atrae. Dicha influencia se conoce como campo gravitacional terrestre ⃗ ( 𝑥, 𝑦, 𝑧). De 𝑔 los efectos de fuerzas a distancia. Así, la influencia gravitatoria sobre el espacio que rodea a la tierra se hace �⃗ visible en cualquiera de sus puntos se sitúa, a modo de detector, una masa de prueba y se mide su peso, es decir un modo análogo en física se introduce la noción de campo eléctrico E(x, y, z), y el de campo magnético �⃗( 𝑥, 𝑦, 𝑧), etc. 𝐵 En este capítulo presentaremos y desarrollaremos el concepto del campo eléctrico que producen cargas estáticas y aprenderemos algunos de los modos en los que nos puede ser útil. Asimismo, se continuará empleando la noción de campo en los capítulos posteriores, porque forma la base de la comprensión de muchos efectos eléctricos y magnéticos. 2.2 INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO. Es sabido que la principal fuente de los campos eléctricos son las distribuciones de cargas eléctricas, positivas o negativas en reposo o con un movimiento muy pequeño situadas en una región del espacio en donde se dejan sentir sus efectos. Por tanto, si en un punto cualquiera del espacio en donde está definido un campo eléctrico se coloca una carga de prueba o carga testigo q0, se observará la aparición de fuerzas eléctricas, es decir la carga de prueba experimentará atracciones o repulsiones. Por ejemplo si consideramos una carga puntual fija +Q, tal como se muestra en la figura 2.1a, ésta producirá un campo en el espacio que lo circunda, ello se ve reflejado cuando colocamos a la carga de prueba q0 en dicho espacio, se observa que ésta última experimenta fuerzas repulsivas radiales. Si ahora remplazamos a la carga +Q por otra negativa –Q, la carga testigo experimentará fuerzas de atracción (véase la figura 2.1b), Por lo tanto, decimos que existe un campo eléctrico en una región del El vector intensidad de campo eléctrico �⃗, en un punto en el espacio caracterizado por las coordenadas (x,y,z,t), espacio si una carga en reposo denominada carga de prueba experimenta una fuerza de origen eléctrico. E está definido como la fuerza eléctrica F�⃗ que actúa sobre una carga de prueba positiva colocada en este punto, dividida por la magnitud de la carga de prueba q0. Esto es   F ( x, y , z ) = E ( x, y , z ) , q0 → 0 (2.1) q0 Debe notarse que �⃗ es el campo externo a q0 – no es el campo producido por q0. Debido a que el campo eléctrico E es la fuerza por unidad de carga de prueba, la unidad de �⃗ en el SI es el newton/coulomb (N/C). Además, debe E �⃗ observarse que la dirección del campo es la misma que el de la fuerza eléctrica ya que asumimos F actúa sobre una carga +q0. Por otro lado, una vez que se conoce la intensidad de campo eléctrico en algún punto, es posible determinar a partir de la ecuación (2.1), la fuerza sobre cualquier partícula cargada, que se coque es ese punto. Esto es   F = qE (2.2) 41
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. (a) (b) Fig. 2.1 (a) Campo eléctrico generado por una carga puntual positiva, (b) Campo eléctrico generado por una carga puntual negativa Al aplicar la ecuación (2.1) debe suponerse que la carga de prueba o testigo debe ser los suficientemente pequeña de tal modo que no perturbe la distribución de carga que produce la intensidad de campo eléctrico. 2.3 INTENSIDAD DE CAMPO ELECTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL muestra en la figura 2.2, y una carga testigo q0 situada en el punto 𝑃( 𝑥, 𝑦, 𝑧) a una distancia r de la carga q. De Consideremos inicialmente el caso de una carga puntual fija +q ubicada en una región del espacio tal como se acuerdo a la ley de Coulomb, la fuerza sobre la carga de prueba es  1 qq0 Fe = ˆ r 4πε o r 2 Donde r, es un vector unitario dirigido desde q hacia q0 � Fig. 2.2 Fuerza eléctrica ejercida por q sobre la carga testigo q0. La intensidad de campo eléctrico en el punto P, debido a la carga q ubicada en el origen de coordenadas es 1 qq0  ˆ r  Fe 4πε o r 2 = = E q0 q0  1 q E= ˆ er (2.3) 4πε 0 r 2 Donde q, es la carga que produce el campo y r, es un vector unitario dirigido desde q hacia la carga q0. Si q es � positiva, el campo está dirigido radialmente hacia afuera (figura 2.3a) mientras que si q es negativa el campo eléctrico está dirigida hacia ella (figura 2.3b). 42
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. Fig. 2.3. Campo eléctrico generado por cargas puntuales: (a) positiva. (b) negativa punto 𝐴( 𝑥, 𝑦, 𝑧), tal como se muestra en la figura 2.4, la intensidad de campo eléctrico en el punto 𝑃 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧), es Si la carga que genera el campo no está en el origen de coordenadas, es decir está ubicada por ejemplo en el  1 q   =E   3 (r0 − rA ) (2.4) 4πε o r0 − rA  1 q   E=  ( AP) (2.5) 4πε o AP 3 Fig. 2.4. Campo eléctrico generado por una carga puntual positiva fija en un punto fuera del origen. Una carga de 4 μC está en el origen. Determine el valor del campo eléctrico en: (a) A(2,0,0) m, (b) B(3,4,0)m y Ejemplo 2.1 (c) en P(2,3,5)m. Solución En la figura se muestra la ubicación de la carga y los puntos correspondientes 43
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. (a) El campo en el punto A esta dado por  q   4.10−6   =E A k= 9.109 = (4,5.103 N / C )i  3  (OA) 3 (2i ) OA 2 (b) El campo eléctrico en B es  q   4.10−6   108 3  144 3  = k  = 9.109 EB  3 (OB) (3= ( i + 4 j) .10 N / C )i + ( .10 N / C ) j OB 53 125 125 (c) El campo eléctrico en el punto P  q   4.10−6    = k  3 (OP) 9.109 2 2 2 3/ 2 (2i + 3 j + 5k ) EP = OP (2 + 3 + 5 )  72  108  180  EP = ( .103 N / C )i + ( .103 N / C ) j + ( .103 N / C )k 38 38 38 Para determinar la intensidad de campo eléctrico debido a un sistema de cargas puntuales 𝑞1 , 𝑞2 ,………, 2.4 INTENSIDAD DE CAMPO ELECTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN DISCRETA DE CARGA. 𝑞 𝑖 ,…. 𝑞 𝑛 , mostrado en la figura 2.5, primero se determina la intensidad de campo eléctrico en el punto P (x,y,z) producido por cada una de las cargas utilizando la ecuación (2,4) o (2.5) y posteriormente se procede a realizar la suma vectorial. En otras palabras el campo eléctrico total debido a un sistema de cargas puntuales es igual al vector resultante de la suma de los vectores intensidad de campo eléctrico de todas las cagas. Este principio de superposición para campos eléctricos matemáticamente se escribe       E = E1 + E2 + ........ + Ei + .... + En = ∑E i (2.6)  1 n q   =E 4πε o ∑ r −r   i =1 3 (r0 − ri ) (2.7) 0 i Fig. 2.5. Campo eléctrico generado por un sistema de cargas puntuales. 44
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. Una carga de 5 μC se coloca en x = 0 y otra de 10 μC es colocada en x = 10 cm. Encuentre el punto o puntos Ejemplo 2.2 Campo eléctrico de una carga puntual en puntos de espacio sobre el eje x donde el campo eléctrico es nulo. ¿Existen otros puntos E = 0?. Solución. En la figura se muestra la ubicación de las cargas en el plano xy. Los campos eléctricos en P son  −6  q1  9 5.10 45.103  = k= 9.10 E1 i = i i (N / C) r12 x2 x2  q  10.10−6  90.103  E2 = 2 (−i ) =9.109 k 2 − i =− i (N / C) r2 (0,1 − x) 2 (0,1 − x) 2 El campo total en el punto P será     45.103 90.103   E = E1 + E2 =  − i  x 2 (0,1 − x) 2  La condición del problema exige que el campo resultante en P deba ser nulo, entonces 45.103 90.103 = x2 (0,1 − x) 2 x 2 + 0, 2 x + 0, 01 = 0 x = +4,14cm Respecto a si existen otros puntos en los cuales el campo eléctrico puede ser cero, la respuesta es NO Ejemplo 2.3. Campo eléctrico de un sistema de cargas puntuales Cuatro cargas del mismo valor están dispuestas en los vértices de un cuadrado de lado L, como se muestra en la figura. Demostrar que el campo eléctrico debido a las cuatro cargas en el punto medio de uno de los lados del cuadrado está dirigido a lo largo de dicho lado hacia la carga negativa y que su valor es. 8kq  5 =E 1 −  L2   25   45
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. Solución. Para demostrar lo solicitado, escojamos el punto P mostrado en la figura y tracemos los campos correspondientes. Los campos eléctrico en el punto P (punto medio del lado son  kq1   kq   E= 1 2 (cos θ i + senθ j=) 2 (cos θ i + senθ j ) r1 r  kq2   kq   E=2 2 (cos θ i − senθ j=) 2 (cos θ i − senθ j ) r2 r  kq  kq  E3 = i =i − 23 − 2 r3 r3  kq  kq  E4 = i =i − 24 − 2 r4 r4 El campo resultante en el punto P será      E = E1 + E2 + E3 + E4  L    2kq kq kq     2kq kq kq   =  2 cos θ − 2 − 2  i + 0 j  E = 2 − − i  r r3 r4   ( L 5 )2 L 5 ( L )2 ( L )2   2  2 2 2    8kq  5   =E  − 1 i L2  25    El modulo del campo será  8kq  5 =E 2  1−  L  25   En la sección anterior se mostró la forma como calcular �⃗, de una carga puntual utilizando la ley de Coulomb, 2.5 INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA. 𝐄 así mismo se obtuvo el campo eléctrico neto debido a un sistema de cargas puntuales utilizando el principio de superposición. Sin embargo, existe un conjunto de problemas en los cuales las cargas están muy cercanas entre sí en comparación con las distancias a los puntos donde se quiere determinar la intensidad de campo eléctrico. En estas situaciones puede considerarse al sistema como un continuo. 46
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. elementos, cada uno de los cuales contiene una pequeña carga ∆𝑞 → 𝑑𝑞, los que se comportan como cargas Para determinar la intensidad de campo erétrico de una distribución continua de carga (barra, disco, esfera, etc.) se aplica el siguiente procedimiento. En primer lugar, se divide a la distribución de carga en pequeños debido a uno de estos elementos en el punto correspondiente 𝑃( 𝑥, 𝑦, 𝑧). Por último se determina la intensidad de puntuales (véase la figura 2.6). A continuación se aplica la ley de Coulomb para calcular el campo eléctrico campo eléctrico total en el punto P sumando (integrando) las contribuciones de todos los elementos de carga. Fig. 2.6. Campo eléctrico debido a un elemento de carga ∆𝐪 en un punto P. Es decir, el campo eléctrico debido al elemento de carga dq está dado por la ley de coulomb la carga puntual  1 dq dE = ˆ r (2.8) 4πε 0 r 2 Donde, r es la distancia de dq al punto P y r el vector unitario correspondiente. Usando el principio de � superposición, el campo eléctrico total es el vector suma (integral) de todas las contribuciones infinitesimales  1 dq E= 4πε 0 ∫ r 2 rˆ (2.9) Si la carga eléctrica es distribuida sobre una línea de longitud l, entonces la densidad de carga λ es 2.5.1 Campo eléctrico de una distribución lineal de carga.   ∆q  dq λ (r ) = = lim   (2.10) ∆L→0 ∆l   dl Donde la dimensión de λ es carga por unidad de longitud (C/m). La carga total es la integra sobre la longitud completa  Q= ∫ λ (r )dl lon (2.11) Fig. 2.7. Campo eléctrico debido a una distribución lineal de carga 47
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. �⃗ carga dq y logitud dl, como se muestra en la figura 2.7 y a continuación se determina el campo dE producido Para determinar el campo eléctrico de la distribución lineal, se divide a la distribución de carga en elementos de por dq en el punto P, esto es   1 dq   1 λ (r )dl  =dE =  3 ( AP )   3 ( AP )  (2.12) 4πε 0 AP 4πε 0 AP El campo total será   1 λ (r )dl   E= 4πε 0 ∫  3 ( AP )  (2.13) l AP 2.5.2 Campo eléctrico de una distribución superficial de carga. densidad de carga superficial σ, dada por En una manera similar, la carga eléctrica puede ser distribuida sobre una superficie de área A con una   ∆q  dq σ (r ) = = lim   (2.14) ∆L → 0 ∆A   dA Donde la dimensión de σ es carga por unidad de área (C/m2). La carga total en la superficie completa es  Q = ∫∫ σ (r )dA (2.15) A Figura 2.8. Campo eléctrico debido a una distribución superficial de carga. �⃗ elementos de carga dq y área dA, como se muestra en la figura 2.8, y a continuación se determina el campo dE Para determinar el campo eléctrico de la distribución superficial, se divide a la distribución de carga en producido por dq en el punto P, es decir   1 dq   1 σ (r )dA  =dE =  3  ( AP)  3 ( AP)  (2.16) 4πε 0 AP 4πε 0 AP El campo total será   1 σ (r )dA   E= 4πε 0 ∫∫  3 ( AP )  (2.17) A AP 48
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. 2.5.3 Campo eléctrico de una distribución volumétrica de carga. en algún punto O. Para lograr este objetico consideremos un pequeño elemento de volumen ∆Vi , el cual contiene una carga ∆𝑞 𝑖 , la distancia entre cargas dentro del volumen elemental ∆𝑉𝑖 es mucho menor que la distancia entre Supongamos que se tiene una distribución volumétrica de carga y se desea obtener el campo eléctrico ∆𝑉𝑖 y P. En el límite cuando ∆𝑉𝑖 llega a ser infinitesimalmente pequeño podemos definir una densidad de carga volumétrica en la forma   ∆q  dq =ρ (r ) = lim   (2.18) ∆Vi → 0 ∆V   dV La dimensión de ρ(r) es carga por unidad de volumen (C/m3). La carga total en la superficie completa es ⃗  Q= ∑ ∆q = ∫∫∫ ρ (r )dV i (2.19) V Figura 2.9. Campo eléctrico debido a una distribución volumétrica de carga �⃗ elementos de carga dq y área dV, como se muestra en la figura 2.9 y a continuación se determina el campo dE Para determinar el campo eléctrico de la distribución superficial, se divide a la distribución de carga en producido por dq en el punto P, es decir   1 dq   1 ρ (r )dV  =dE =  3  ( AP )  3 ( AP )  (2.20) 4πε 0 AP 4πε 0 AP El campo total será   1 ρ (r )dV   E= 4πε 0 ∫∫∫  3 ( AP)  (2.21) V AP Ejemplo 2.4 Campo de una varilla con carga no uniforme en el origen de coordenadas densidad de carga por unidad de longitud que varía como λ ( x ) = λ0 ( x − d ) , donde λ0 es una constante. Determine Una línea de carga de longitud L está ubicada a lo largo del eje x como se muestra en la figura y tiene una d el campo eléctrico en el origen de coordenadas. 49
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. Solución La densidad de carga lineal no es uniforme y está dada por λ= λ0 ( x − d ) . La cantidad de carga contenida en un ( x) d pequeño segmento diferencial de longitud dx, mostrado en la figura es λ0 = λ ( x)dx dq = ( x − d )dx d El campo eléctrico producido por dq en el punto O será λ0  ( x − d )dx dq = k= k d dE ˆ r (−i ) ˆ r2 x2  kλ ( x − d )  dE = − 0 dxi d x2 El campo debido a la varilla completa se obtiene integrando la expresión anterior   k λ L+d ( x − d )  k λ  L + d dx L + d dx   E =∫ ∫ dE = 2 dxi = − d ∫ − 0 − 0 ∫ i d d x d  d x d x2   L+d  kλ  d  kλ   L + d  d  E = ln x +  i = ln  − 0 − 0 + − 1 i d  x d d   d  L+d   kλ   L + d  L  E = − − 0 ln  i d   d  L+d  Una barra no conductora de longitud L con una densidad de carga uniforme λ y una carga total Q está localizada Ejemplo 2.5 Campo de una varilla con carga uniforme en puntos sobre el eje y a lo largo del eje x, como se muestra en la figura. Determine el campo eléctrico en el punto P, localizado a una distancia y del eje que contiene a la barra. 50
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. Solución Dividimos a la varilla en elementos diferenciales dq de longitud dx, ubicados a una distancia x del punto O como se muestra en la figura (b), entonces la carga de dicho elemento es dq λ= → dq = λ dx dx El campo eléctrico producido por el elemento dq en el punto P esta dado por  dq λ dx   dE = k 2 r = k 2 ˆ (− senθ i + cos θ j ) r (x + y2 )   Donde el vector unitario se ha escrito en componentes x e y dado por r = i + cos θ j .El campo total se ˆ − senθ obtiene integrando la ecuación anterior pero en forma de componentes Componente x λ x2 dx λ x2 dx x λ x2 xdx Ex = θ = − 4πε 0 ∫x1 ( x 2 + y 2 ) sen − 4πε 0 ∫x1 ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 = − 4πε 0 ∫x1 ( x 2 + y 2 )3/ 2 Evaluando la integral y remplazando los límites correspondientes se tiene λ  1 1  λ  y y  = Ex  − =   −  4πε 0  x2 + y 2 2 x12 + y 2  4πε 0 y  x2 + y 2 2 x12 + y 2      λ =Ex (cos θ 2 − cos θ1 ) 4πε 0 y Componente y λ x2 dx λ x2 dx y λ x2 ydx =Ey = 4πε 0 ∫x1 ( x 2 + y 2 ) cos θ 4πε 0 = 4πε 0 ∫x1 ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 ∫ x1 ( x + y 2 )3/ 2 2 Evaluando la integral y remplazando los límites correspondientes se tiene λy x dx λy 1 θ λ θ = = = ∫x ( x 2 + y 2 )3/ 2 4πε 0 y 2 ∫θ cos θ dθ 4πε 0 y senθ θ 2 2 2 Ey 4πε 0 1 1 1 λ = Ey ( senθ 2 − senθ1 ) 4πε 0 y 51
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. En el caso de una varilla infinita donde 𝑥1 → −∞ y 𝑥2 → +∞, con 𝑥 𝑖 = 𝑦𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑖 , los ángulos correspondientes son θ1 = −π/2 y θ2 = +π/2. Remplazando estos valores en las ecuaciones de las componentes se tiene Ex = 0 λ  π  π  λ =Ey  sen 2 − sen  − 2   2πε y = 4πε 0 y    0 Ejemplo 2.6 Campo de un arco de circunferencia con carga no uniforme semicírculo es no uniforme y está dada por λ = λ0 cosφ. Determine el campo eléctrico en el centro del Un tubo delgado cargado positivamente tiene la forma de un semicírculo de radio R, como se muestra en la figura. La carga total sobre el semicírculo es Q. sin embargo, la carga por unidad de longitud a lo largo del semicírculo Se divide a la distribución de carga en elementos infinitesimales de carga dq a un ángulo φ, de longitud ds Solución como se muestra en la figura y su carga será = λ (ϕ )ds λ0 cos ϕ ( Rdϕ ) λ0 R cos ϕ dϕ dq = = El campo eléctrico producido por el elemento de carga es  1 dq λ ds λ ( R cos ϕ dϕ ) = dE = ˆ r (− cos ϕ i − senϕ ˆ) ˆ = j (− cos ϕ i − senϕ ˆ) ˆ j 4πε 0 r 2 4πε 0 R 2 4πε 0 R 2 El campo eléctrico debido a la distribución de carga completa se obtiene sumando (integrando) la ecuación anterior.  λ0  π π E =ϕ i + ∫ senϕ cos ϕ dϕ ˆ  − ∫0 cos ϕ d ˆ 0 2 j 4πε R   0   π  π   λ0  1  sen 2ϕ  ˆ sen 2ϕ λ0  π ˆ ˆ = i + 0 ˆ  E = ϕ + −  i+ j −  j 4πε 0 R  2  2 0 2  4πε 0 R  2   0   λ ˆ E= − 0 i 8ε 0 R 52
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. Un anillo no conductor de radio R con una densidad de carga λ y una carga total Q está localizado en el plano Ejemplo 2.7 Campo de un anillo xy, como se muestra en la figura. Determine el campo eléctrico en un punto P, localizado a una distancia z desde el centro del anillo a lo largo del eje de simetría Figura (a) Figura (b) Solución Dividimos al anillo cargado en elementos diferenciales dq de longitud ds = Rdϕ, como se muestra en la figura (b). La carga del elemento es Q dq λ= = ⇒ dq = λ ds = λ d ( Rϕ ) LCir ds dq = λ Rdϕ El campo producido por el elemento diferencial en el punto P será  1 dq 1 λ Rdϕ =dE = ˆ r ˆ r 4πε 0 r 2 4πε 0 r 2 Utilizando los argumentos de simetría observamos que las componentes horizontales se anulan mutuamente. Por lo tanto la única componente que queda es la componente z, esto es 1 λ Rdϕ = dE cos θ dEz = cos θ 4πε 0 r 2 1 λ Rdϕ z λR λ dϕ =dEz = 4πε 0 ( R + z ) R 2 + z 2 4πε 0 ( R + z 2 )3/ 2 2 2 2 El campo eléctrico total es la suma (integral) de la ecuación anterior λ Rz λ Rz ( 2π ) ( 2π Rλ ) z =Ez = = ∫ dϕ 4πε 0 ( R 2 + z 2 )3/ 2 4πε 0 ( R 2 + z 2 )3/ 2 2 3/ 2  4πε 0 ( R + z ) C 2 1 Qz Ez = 4πε 0 ( R + z 2 )3/ 2 2 Donde la carga total es Q = 2πRλ. Analizando la ecuación anterior se ve que si z→0, el campo en el centro del anillo es nulo E0 = 0, además si z >> R, el campo es 53
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. 1 Qz 1 Qz =Ez = 4πε 0  2  R 2   3/ 2 4πε 0 z 3  z  ( z ) + 1     1 Q Ez = 4πε 0 z 2 Resultado que debería esperarse pues si observamos el anillo desde una distancia muy grande el anillo se comporta como una partícula puntual. Ejemplo 2.7 Campo de un disco. Un disco de radio R uniformemente cargado con una carga total Q se encuentra en el plano xy, centrado en el origen de coordenada como se ve en la figura (a). Determine el campo eléctrico en el punto P, a lo largo del eje z y que pasa a través del centro del disco perpendicular al plano. Discutir el caso límite cuando R >> z. Solución Se divide a la distribución de carga en elementos dq en forma de anillos de radio r y espesor dr tal como se muestra en la figura (b), entonces la carga dq está dada por Q dq σ= = → dq =σ dA =σ (2π rdr ) A dA dq = 2πσ rdr El campo producido por el anillo diferencial en el punto P será  1 dq 1 2πσ rdr =dE = ˆ r ˆ r 4πε 0 r 2 4πε 0 r2 Utilizando los argumentos de simetría observamos que las componentes horizontales se anulan mutuamente. Por lo tanto la única componente que queda es la componente z, esto es 1 2πσ rdr = dE cos θ dEz = cos θ 4πε 0 r 2 1 2πσ rdr z 2πσ z rdr =dEz = 4πε 0 (r + z ) r 2 + z 2 2 2 4πε 0 (r + z 2 )3/ 2 2 54
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. El campo eléctrico total es la suma (integral) de la ecuación anterior 2πσ z R rdr 2πσ z (du / 2) πσ z −3/ 2 πσ z u −1/ 2 4πε 0 ∫0 (r 2 + z 2 )3/ 2 4πε 0 ∫ u 3/ 2 4πε 0 ∫ =Ez = = = u du 4πε 0 ( −1/ 2 ) R 2πσ z 1 2πσ z  1 1 = − = −  −  2 4πε 0 r + z 2 2 0 4πε 0  R + z 2 z  σ z z  =Ez  −  2ε 0 z R2 + z 2  Las ecuaciones anteriores pueden escribirse σ  z   1 −  para z >0  2ε 0  R +z  2 2 Ez =  σ  z   2ε  −1 −  para z < 0  0  R +z  2 2 Para determinar el campo para punto muy distantes se hace uso de la serie de Taylor −1/ 2 z  R2   1 R2  1 R2 1− = − 1 + 2  1 = − 1 − 1 2 + ......  ≈ 2 R2 + z 2  z   2 z  2 z σ 1 R 2 σ (π R 2 ) Q =Ez = = 2ε 0 2 z 2 4πε 0 z 2 4πε 0 z 2 Este resultado es idéntico al obtenido para una carga puntual. Por otro lado, podemos evaluar el caso donde R >> 0. Físicamente esto nos daría el campo de un plano infinito- El campo eléctrico es este límite es de la forma σ eˆ para z >0   2ε 0 n  E= − σ e para z < 0 ˆ  2ε 0 n  Ejemplo 2.7 Campo de un cascarón esférico σ en la superficie. Determinar el campo eléctrico en términos de la distancia r desde el centro de la corteza. Una corteza delgada esférica de radio R posee una carga total Q con una densidad superficial uniforme de carga Solución Se divide a la distribución en elementos diferenciales de carga en forma de anillos de radio y, espesor ds y carga dq como se muestra en la figura. 55
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. El elemento diferencial tiene una carga dq dado por = σ dA σ (2π y )( Rdθ ) σ (2π Rsenθ )( Rdθ ) dq = = dq = 2πσ R 2 senθ dθ (a) El campo eléctrico producido por el elemento diferencial dq en el punto P situado a una distancia r del centro del cascarón es  = dE cos α i − dEsenα ˆ dE ˆ j (b) La simetría de la distribución de carga exige que las componentes perpendiculares al eje x se cancelen mutuamente, entonces sólo queda la componente horizontal (radial)  dq = dE cos α i k 2 cos α i dE = ˆ ˆ (c) S Remplazando (a) en (c) se tiene  2πσ R 2 senθ dθ dE = k cos α i ˆ (d) S2 Antes de proceder a integrar la ecuación (d) es necesario eliminar dos de tres variables S, θ, y α. En este caso las variables se remplazan en función de S Aplicando la ley de cosenos en el triángulo OPA S 2 = R 2 + r 2 − 2 Rr cos θ (e) Derivando la expresión (e), tenemos 2 SdS = 2rRsenθ dθ SdS senθ dθ = (f) Una expresión para cosα se obtiene aplicando la ley de cosenos rR R 2 = S 2 + r 2 − 2rS cos α S 2 + r 2 − R2 cos α = (g) 2rS Remplazando el valor de las ecuaciones (e), (f) y (g) en (d), tenemos 56
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C.  2π kσ R 2 ( SdS / rR )  S 2 + r 2 − R 2  dE =  iˆ S2  2rS  (h)  π kσ R  (r − R )  2 2 = 1+ ˆ r2  S2  dE dSi   El campo eléctrico debido a la corteza esférica completa en el punto P se obtiene integrando la ecuación (h) esto es r+R  π kσ R r + R  (r 2 − R 2 )  π kσ ˆ = R S − r − R  i 2 2 E =2 ∫ 1 + dSi   ˆ (i) r r−R  S2  r2  S  r−R Remplazando los límites correspondientes resulta  1 σ (π R 2 ) ˆ 1 Qˆ =E = i i (j) 4πε 0 r 2 4πε 0 r 2 Debido a que el punto P fue escogido arbitrariamente entonces el campo eléctrico de la distribución en cualquier punto del espacio es  1 Q Er = ˆ er (k) 4πε 0 r 2  Donde er es un vector unitario dirigido en dirección radial Para puntos interiores R+r  π kσ R R + r  (r 2 − R 2 )  π kσ R  r 2 − R2  Er = ∫ 1 + dS er =  S − ˆ  er ˆ r2 R−r  S2  r2  S  R−r  Er = 0 (l) Ejemplo 2.8 Fuerza entre varillas cargadas Dos cargas lineales uniformes e iguales de longitud L están situadas sobre el eje x separadas una distancia d d ≫ L, la fuerza tiende al resultado esperado ke (λ L) 2 / d 2 . como indica la figura. (a) ¿Cuál es la fuerza que una carga lineal ejerce sobre la otra?. (b) Demostrar que cuando Solución Para ello dividimos a la primera varilla en elementos de carga 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑥, ubicados a una distancia x del origen Aún cuando este ejemplo puede resolverse directamente mediante la aplicación de la ley de Coulomb a distribuciones continuas de carga. En esta sección se resuelve el problema usando la idea de campo eléctrico. de coordenadas, que tiene un espesor dx, como se muestra en la figura y se evalúa el campo producido por este elemento en un punto arbitrario P de la segunda varilla ubicado a una distancia xP del origen, después se integra esta expresión para determinar el campo resultante en dicho punto. Posteriormente se determina la fuerza 57
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. ejercida por la primera varilla sobre un elemento dq’ = λ’dx’ perteneciente a la segunda varilla y finalmente se procede a la suma (integración) para calcular la fuerza neta. El campo producido por dq en el punto P está dado por  dq λ dx ˆ = k= k dE eˆ i (a) r 2 r ( xP − x ) 2 El campo neto debido a la primera barra en P es la suma o integración de la ecuación (a)  L dx ˆ L = kλ ∫ E = k λ ∫ ( xP − x) −2 dxi i ˆ (b) 0 ( xP − x ) 2 0 Para poder integrar se hace el cambio de variable, u = P − x → du = dx , con lo que se tiene x − L  kλ  kλ  1 1 ˆ −k λ ∫ u −2 dui E= ˆ= i = kλ  i=− ˆ i (c) u xP − x 0  xP − L xP  Del gráfico tenemos que x p = L + d + x ' , valor que al ser remplazado en la ecuación (c), da   1 1 ˆ = kλ  E − i  L + d + x '− L L + d + x '    1 1 ˆ = kλ  E − i (d)  d + x' L + d + x' La fuerza producida por la varilla izquierda sobre el elemento de carga dq´ de longitud dx´ es     1 1  ˆ  1 1  dF ' = λ   k d + x ' L + d + x '  i  (dq ') =− L + d + x '  (λ ' dx ')i E (dq ') = − kλ  ˆ (e)      d + x'  La fuerza resultante se obtiene sumando (integrando) la ecuación (e) es decir.  L  dx ' dx '  = ke λλ ' ∫  F' − i 0  d + x' L + d + x'  = ke λ 2 [ ln( d + x ') − ln( L + d + x ') ] 0 i L F' ˆ  = ke λ 2 [ ln( d + L) − ln( d ) − ln( d + 2 L) + ln( d + L)] i F' ˆ Simplificando obtenemos la fuerza entre varillas, esto es 58
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C.  λ2  (d + L) 2  ˆ F'= 4πε 0  d (d + 2 L)  ln  i Rta.  Parte (b). Para el caso de que 𝑑 ≫ 𝐿, primero se arregla la ecuación anterior esto es    L  2    L 2    d 1 +     1 +   λ2  (d + L) 2  λ2    d   λ2 ln   d  = = F ln  =  4πε ln  4πε 0  d (d + 2 L)    2L   4πε 0   2 L    d  d 1 +    1 + d   0     d      λ2   L  2L  =F  2 ln 1 + d  − ln 1 + d   4πε 0      La función logaritmo se desarrolla en serie, esto es 1 2 1 3 ln (1 ± x ) = x − ± x ± x − ........... 2 3 λ2  2 L  L 2 2L L 2  =F  −   + ....... − + 2   − .... 4πε 0  d d   d d    Tomando solamente los dos primeros términos, la ecuación simplificada para la fuerza es λ 2 L2 F= 4πε 0 d 2 2.6 LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICO Las líneas de fuerza o también conocidas como líneas de campo, son líneas imaginarias que nos permiten visualizar las interacciones eléctricas que experimentan las cargas cuando se encuentran en el interior de un campo eléctrico, permitiendo de este modo una representación grafica del campo eléctrico en el espacio. Michael Faraday (1791-1867) fue uno de los primeros en introducir una forma de visualizar los campos eléctricos en función de lo que llamó líneas de campo o líneas de fuerza, líneas que están relacionadas con el campo de la manera siguiente. especifique la dirección del campo eléctrico �⃗ en ese punto. E 1. Las líneas de campo eléctrico se trazan de tal manera que la tangente a la línea de campo, en cada punto, de campo eléctrico en ese punto. En consecuencia �⃗, es grande cuando las líneas están muy próximas entre E 2. La densidad espacial de las líneas del campo eléctrico en determinado punto es proporcional a la intensidad sí y es pequeña cuando están separadas El patrón de líneas de campo eléctrico puede ser obtenido mediante las consideraciones siguientes. 1. Simetría. Por cada punto sobre la línea de unión de las dos cargas existe un punto equivalente debajo de este. Por tanto, el patrón puede ser simétrico cerca de la línea de unión de las dos cargas. 2. Campo cerca a la carga. Muy cerca de la carga eléctrica, predomina el campo debido a la carga: podría ser semejante al de una carga puntual de valor 𝑄 = ∑ 𝑄 𝑖 . Así, las líneas podrían ser radialmente Entonces, las líneas son radiales y de simetría esférica. 3. Campo lejos de la carga. El patrón de líneas de campo para puntos alejados del sistema de cargas �⃗ Punto nulo. Este es un punto en el cual E = 0, es decir no podrán pasar líneas a través de dicho punto. hacia afuera, al menos que Q = 0. 4. 59
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. En la figura 2.10a, se muestra las líneas de campo para una carga puntual positiva, en ella se ve que las líneas están dirigidas radialmente hacia afuera, mientras que las líneas están dirigidas hacia el interior de la carga puntual negativa (figura 2.10c), en ambos caso observamos que el espaciado de las líneas está relacionado con la intensidad de campo. Es decir a medida que nos alejamos de las cargas el campo se debilita y las líneas se separan (a) (b) (c) Fig. 2.10. (a) líneas de campo eléctrico de una carga puntual positiva, (b) líneas de campo eléctrico de una carga individual negativa. En la figura 2,11a, se muestra las líneas de fuerza para dos cargas puntuales positivas que llevan igual carga q y están separadas por un distancia pequeña. El gráfico indica que en puntos cercanos a las cargas el campo se debe únicamente a la carga sola. Estas líneas también muestran la repulsión. (a) (b) Fig. 2.11. (a) Líneas de campo eléctrico correspondientes a dos cargas puntuales positivas, las flechas se invertirán si son negativas (b) esquema obtenido en el laboratorio usando trozos de hilo en aceite. Los criterios utilizados en los ejemplos para trazar líneas de campo permiten en general graficar las líneas de fuerza para cualquier distribución. Sin embargo, resumimos a continuación algunas propiedades de las líneas de La dirección del vector campo eléctrico �⃗ en un punto dado es tangente a la línea de campo. E campos eléctricos como sigue:   El número de líneas por unidad de área que atraviesa una superficie perpendicular a la dirección de la línea, es proporcional a la magnitud del campo eléctrico en una región dada.  Las líneas de campo comienzan en las cargas positivas (o en el infinito) y terminan en las cargas negativas o en el infinito. 60
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C.  El número de líneas que tienen su origen o terminan en una carga negativa es proporcional a la magnitud de la carga  Dos líneas de fuerza nunca se cruzan. Porque si lo hicieran el campo en un mismo punto tendría dos direcciones diferentes, lo que es imposible. Es importante señalar que las líneas de campo no tienen existencia física real. Estas líneas solo se utilizan para describir cualitativamente el campo eléctrico. Para terminar con el estudio de las líneas de fuerza analicemos el caso de dos partículas de igual magnitud pero de signo opuesto y situadas a una distancia muy pequeña una de la otra. A esta configuración se le da el nombre de dipolo eléctrico. En la figura 2.12a, se muestran sus líneas de campo, esta indica que el número de ellas que nacen en la carga positiva es igual al número de líneas que entra en la carga negativa. Debe observarse además que el campo es más intenso entre las cargas. La figura 2.11b, muestra una fotografía de la determinación experimental del campo eléctrico para un dipolo, aquí una vez más se observa la atracción entre la carga) y la carga positiva. (a) (b) Fig. 2.12. (a) esquema de las líneas de campo eléctrico producidas por un dipolo; líneas de fuerza de dos cargas puntuales (azul negativa y amarilla positiva. Finalmente a modo de aplicación cualitativa discutamos la importancia de los campos eléctricos en el estudio de las interacciones eléctricas. La Figura 2.13a, ilustra la fuerza repulsiva experimentada por dos objetos debido a sus campos eléctricos. El sistema consta de una esfera metálica cargada fija en el espacio (cabeza del generador de Van de Graaff). El otro objeto es una esfera pequeña cargada la cual es libre de moverse (desprecie la acción gravitatoria). Según la ley de coulomb, estas dos cargas, se repelen mutuamente. Es decir la esfera pequeña experimenta una fuerza repulsiva hacia afuera del generador de van de Graaff. (a) (b) Fig. 2.13. (a) Dos cargas del mimo signo que se repelen entre sí debido a la tensión trasmitida por campos eléctricos. (b) Dos cargas de sigo opuesto que se atraen entre sí debido a la tensión transmitida por campos eléctricos. 61
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. Observe que, la animación muestra la existencia de campos eléctricos así como el movimiento de la esfera pequeña. Por otro lado, la figura 2.13b, muestra la interacción entre dos objetos con carga de signos opuestos. De acuerdo con la ley de coulomb los objetos se atraen entre sí y la esfera pequeña siente una fuerza atractiva hacia el generador. El punto de vista de estas dos animaciones es subrayar el hecho de que la fuerza de Coulomb entre dos cargas no es de “acción a distancia”. Por el contrario, la tensión es transmitido mediante “contacto” directo e inmediato del generador de van de Graaff y su medio circundante, a través del campo eléctrico de la carga en el generador de van de Graaff. La tensión es entonces transmitida de un elemento del espacio a un elemento vecino, en una manera continua hasta que es transmitido a la región del espacio contiguo a la esfera pequeña, y por último a la esfera pequeña en sí. Aun cuando las dos esferas pequeñas no están en contacto directo una con otra, ellas están en contacto directo con un medio o mecanismo que existe entre ellas. La fuerza entre la esfera pequeña y el generador de van de Graaff es transmitida (a una velocidad finita) mediante la tensión inducida en el espacio interviniente por su presencia. Para el caso de planos infinitos separados por una distancia muy pequeña los campos eléctricos en las zonas centrales son prácticamente uniformes mientras que en los bordes se presentan distorsiones, como lo muestra la figura 2.14. Fig. 2.14. Campo eléctrico en el interior de dos placas conductoras paralelas 2.7 FUERZA SOBRE UNA PARTÍCULA CARGADA EN UN CAMPO ELECTRICO. Consideremos una carga +q moviéndose entre dos placas paralelas cargadas con carga de signo opuesto, como  se muestra en la figura 2.14. El campo eléctrico entre las placas es E = − E y ˆ , con Ey > 0. (En el capítulo III j demostraremos matemáticamente que el campo eléctrico en la región entre dos placas infinitamente grandes de cargas opuestas es uniforme). La carga experimentará una carga una fuerza de Coulomb descendente, dada por   Fe = qE Fig. 2.15. (a) Movimiento de una carga puntual en interior de un campo eléctrico uniforme. (b) diagrama de cuerpo libre de carga puntual positiva. Tenga en cuenta la distinción entre las cargas que está experimentando una fuerza y las cargas de las placas las cuales son las fuentes del campo eléctrico. Debido a que la carga móvil es también fuente de campos eléctricos,  por la tercera ley de Newton, la carga puntual no puede ejercer una fuerza sobre sí misma. Por tanto, E es el campo que solamente surge debido a las cargas en las placas. 62
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. De acuerdo con la segunda ley de Newton, una fuerza neta provocara una aceleración en la carga móvil dada por   ∑ F = ma   y  Fe + Fg = y ma   −qEj − mgj ma y ⇒ −(qE + mg= ma y ˆ = ˆ )ˆ j   qE  ay = + g  ˆ − j  m  Si la fuerza gravitacional (peso) de la carga es muy pequeño comparado con la fuerza eléctrica, lo cual es una buena aproximación para el caso de partículas fundamentales como electrones y protones, entonces la ecuación anterior se escribe   qE  ˆ ay = −  j  m  Asumiendo que la partícula está en reposo (v0 = 0) cuando abandona la placa positiva, la velocidad final con la cual impacta en la placa negativa es qE =v = 2 ay y 2 y m Donde y es la distancia entre las placas. La energía cinética con la cual la partícula impacta la placa es 2 1 qE  qE = = EK  2( ) y    y 2 m  m Ejemplo 2.8 Experimento de Millikan Una gota de aceite de radio r = 1,64.10-6 m y densidad de masa ρaceite =851 kg/m3 es dejada caer desde el  reposo y entonces entra dentro de una región donde existe un campo eléctrico externo uniforme E aplicado en dirección descendente. La gota de aceite tiene una carga eléctrica q desconocida (debido a la irradiación por rayos X). La magnitud del campo eléctrico es ajustado hasta que la fuerza gravitacional (peso) de la gota de  aceite es exactamente equilibrado por la fuerza eléctrica qE . Suponga que el equilibrio ocurre cuando el  campo eléctrico es E = (−1,92.105 ˆ) N / C . (a)¿Cuál es la masa de la gota de aceite?, (b)¿Cuál es la carga de la j gota de aceite en unidades de carga del electrón (e)?. Solución Parte (a). Asumiendo que la gota es esférica entonces su masa será 4  = ρ acV ρ ac  π r 3  m = 3  4π = (851kg / m3 )( )(1, 64.10−6 m)3 1,57.10−14 kg m = 3 Parte (b). La gota de aceite estará en equilibrio estático cuando la fuerza gravitacional (peso) balancee   exactamente a la fuerza eléctrica Fe + Fg =Debido a que la fuerza gravitacional está dirigida hacia abajo, la 0. fuerza eléctrica estará dirigida hacia arriba. Utilizando la noción de fuerza, tenemos   mg + qE = mg = y 0⇒ − qE 63
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. Con el campo eléctrico dirigido hacia abajo, concluimos que la carga adquirida por la gota puede ser negativa. Entonces dicha carga será mg 1,57.10−14 kg (9,8m / s 2 ) q= = − − Ey 1,92.105 N / C q = −8, 02.10−19 C Debido a que el electrón tiene una carga e = 1,6.10-19 C, la carga de la gota de aceite en unidades de e es q 8, 02.10−19 C N= = = 5 e 1, 6.10−19 C Esta ecuación indica que la carga está cuantizada y en la gota existen 5 electrones. Ejemplo 2.8 Movimiento de una carga perpendicularmente a un campo eléctrico. Un electrón es lanzado horizontalmente dentro de un campo uniforme producido por dos placas cargadas   opuestamente, como muestra la figura. La partícula tiene una velocidad inicial v = v0i , perpendicular a ˆ E. a) Mientras la partícula este entre las placas, ¿cuál es la fuerza sobre el electrón?. b) ¿Cuál es la aceleración del electrón cuando este entre las placas?. c) Las placas tienen una longitud L1 en la dirección x. ¿Cuál es el tiempo t1 que demora el electrón en abandonar las placas? d) Suponga que el electrón ingresa al campo eléctrico en el tiempo t = 0. ¿Cuál es la velocidad del electrón en f) ¿Cuál es el ángulo θ1 con la horizontal cuando el electrón abandona las placas a t1?. el tiempo t1 cuando abandona las placas?. e) ¿Cuál es el desplazamiento vertical del electrón después de t1 cuando abandona las placas?. g) El electrón golpea la pantalla a una distancia L2 después de abandonar las placas en un tiempo t2. ¿Cuál es el desplazamiento vertical total del electrón desde t = 0, hasta que golpea la pantalla?. Solución (a) Debido a que el electrón tiene una carga negativa, q = - e, la fuerza sobre el electrón es    Fe = = eE = e(− E y ˆ) = y ˆ qE − − j eE j �⃗ Donde el campo eléctrico es escrito E = −Ey⃗, con Ey > 0. La fuerza sobre el electrón está dirigida hacia ȷ arriba. Por lo tanto, la aceleración vertical que le produce la fuerza eléctrica ya que para el caso de los electrones se desprecia el peso, el electrón describe una trayectoria parabólica. (b) La aceleración que actúa sobre el electrón es   qE −e(− E y ˆ) eE y ˆ j = = a = j m m m 64
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. (c) Debido a que en la dirección horizontal no existe aceleración el movimiento en esta dirección es uniforme por tanto se tiene x = v0 x t ⇒ L1 = v0t1 L1 t1 = v0 (d) El movimiento del electrón es parabólico y como tal tiene una velocidad horizontal uniforme v0 mientras que en la dirección vertical la componente y de la velocidad cambia. Por tanto la velocidad con que abandona las placas es ˆ  y  t1 ˆ =v0i +  y   L1  ˆ  eE eE v =vx i + v y ˆ =v0i + a 1 ˆ =v0i +  ˆ j ˆ tj  j ˆ    j  m   m  v0  ˆ  y 1ˆ  eE L = v0i +  v j  mv0  (e) De la figura observamos que el electrón viaja una distancia horizontal L1 en un tiempo t1 y entonces abandona las placas con un desplazamiento vertical dado por 2 1 2 1  eE y   L1  = = y1 a y t1    2 2  m   v0  (f) Cuando el electrón abandona las placas en el tiempo t1, el electrón forma un ánguloθ1 con la horizontal dada por la razón de las componentes de la velocidad en dicho instante. eE y L1 vy mv0 eE y L1 θ tg= = = 2 vx v0 mv0 (g) Después que el electrón abandona las placas éste no recibe la acción de fuerzas por lo tanto describirá una trayectoria recta. El desplazamiento y2 será  eE y L1  eL1 L2 E y = L2tgθ1 L2  = y2 = 2  2  mv0  mv0 Por lo tanto el desplazamiento total será 2 1  eE y   L1  eL1 L2 E y y = y1 + y2 =    + 2 2  m   v0  mv0 eL1 E y  L1  = y 2  + L2  mv0  2  2.8 EL DIPOLO ELECTRICO. El dipolo eléctrico es un sistema formado por dos cargas puntuales iguales en magnitud pero de signo opuesto +q y –q separadas por un distancia muy pequeña 2a en comparación con la distancia de las cargas al punto donde se determina el campo eléctrico. 65
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. (a) (b) Figura 2.16 (a) Esquema de un dipolo eléctrico, (b) Molécula de agua la cual tiene un carácter dipolar. La figura 2.16a, muestra un dipolo eléctrico mientras que la figura 2.16b muestra a una molécula de agua la cual se comporta como un dipolo. La molécula en conjunto es eléctricamente neutra pero sus enlaces químicos ocasionan un desplazamiento de carga dando como resultado una carga neta negativa en un extremo (oxigeno) y una carga neta positiva en el extremo del hidrógeno. Esta característica ocasiona que el agua sea un buen disolvente de sustancias iónicas como la sal (NaCl). Al disolverse en el agua, la sal se disocia en un ión positivo (Na+) y en uno negativo (Cl-) que tienden a ser atraídos a los extremos positivos y negativos de las moléculas del agua, manteniendo los iones en solución. El momento dipolar p es una cantidad vectorial dirigida desde la carga negativa –q a la carga positiva �⃗, 2.8.1 Momento de un dipolo. +q; su magnitud es igual producto de la carga q por la distancia de separación entre cargas 2a. Por tanto el momento dipolar es  p = 2qae p ˆ ˆ Donde e p , es un vector unitario dirigido desde la carga negativa a la positiva. La magnitud del momento dipolar es p = 2qa para q > 0. Para un sistema de carga promedio neutra el cual tiene N dipolos, el vector momento dipolar es definido como  N  p = ∑ qi ri i =1  Donde ri , es el vector de posición de la carga qi. Entre otros ejemplos de dipolos eléctricos incluyen al HCl, CO y otras moléculas polares. En principio pueden considerarse dipolos a las moléculas en las cuales los centros de las cargas positivas y negativas no coinciden. Más adelante demostraremos que cuando se aplica un campo eléctrico externo a moléculas no polarizadas, estas se polarizan bajo la acción de dicho campo. 2.8.2 El campo eléctrico de un dipolo A modo de aplicación en esta sección se procederá a determinar el campo eléctrico de un dipolo en un punto arbitrario tal como se muestra en la figura 2.16a. Aquí las componentes se determinan independientemente, esto es q  cos θ + cos θ −  q  x x  = Ex  2 − 2=   2 − 2 2 3/ 2  4πε 0  r+ r−  4πε 0  ( x + ( y − a ) ) 2 3/ 2 ( x + ( y + a) )  Donde r± = cos θ =) 2 r 2 + a 2  2ra x2 + ( y  a 66
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. Similarmente se determina componente y, es decir q  senθ + senθ −  q  y−a y+a  = Ey  2 − 2=   2 − 2 2 3/ 2  4πε 0  r+ r−  4πε 0  ( x + ( y − a ) ) 2 3/ 2 ( x + ( y + a) )  Para el caso de que r >> a, se puede verificar que las expresiones anteriores se reducen a 3p Ex = senθ cos θ 4πε 0 r 3 p = Ey (3cos 2 θ − 1) 4πε 0 r 3  Donde senθ = x / r y cos θ = y / r . Con 3 pr cos θ = p.r y un poco de algebra se puede demostrar que      1  p 3( p.r )r  E (r ) = − +  4πε 0  r 3 r5  Esta ecuación nos indica que el campo de un dipolo varia con la inversa de de la distancia al cubo (1/r3), a diferencia del campo debido a un dipolo el cual varía con (1/r2). Las líneas de campo de un dipolo eléctrico finito y para un dipolo puntual se muestran en la figura 2.17. Figura 2.17 Líneas de campo eléctrico para: (a) un dipolo finito y (b) un dipolo puntual. 2.8.3 Dipolo en un campo eléctrico. momento dipolar haciendo un ángulo θ con el eje x?. De la figura 2.18 vemos que el vector unitario   ¿Qué sucede cuando colocamos el dipolo en un campo eléctrico uniforme E = Ei con el vector que proporciona la dirección de p es cos θ i + senθ ˆ . �⃗ ˆ j  Entonces el momento dipolar se escribe como p 2qa (cos θ i + senθ ˆ ) = ˆ j Figura 2.18 Dipolo eléctrico en el interior de un campo uniforme. 67
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. Como se ve en la figura 2.18, debido a que cada carga experimenta una fuerza igual pero opuesta al campo, la fuerza neta sobre el dipolo es    Fneta = F+ + F− = 0 Aun cuando la fuerza neta es nula, el campo eléctrico ejerce un torque o momento sobre el dipolo. El momento con respecto al punto medio O es      = r+ xF+ + r− xF− (a cos θ i + asenθ ˆ) x( F+ i ) + (−a cos θ i − asenθ ˆ) x(− F−i ) M = ˆ j ˆ ˆ j ˆ  M = k − aF− senθ k −aF+ senθ ˆ ˆ  M = −2aFsenθ k ˆ ˆ Donde se ha usado F+ = F- = F. La dirección del momento es k , o entrando a la página. El efecto del torque es hacer rotar al dipolo en sentido horario hasta que el dipolo momentáneamente se alinee con el  campo eléctrico E , la magnitud del torque ejercido sobre el dipolo puede ser escrita como = 2= 2a (qE ) senθ M aFsenθ M = pEsenθ Una expresión general para el torque sobre el dipolo es    M = pxE Esto indica que el torque es igual al producto vectorial del momento dipolar por el campo eléctrico. El trabajo hecho por el campo eléctrico para rotar el dipolo en un ángulo dθ, es 2.8.4 Energía potencial de un dipolo eléctrico. dW = θ = θ dθ − Md − pEsen El signo negativo indica que el torque se opone a un incremento en θ. Por lo tanto, la cantidad total de trabajo hecho por el campo eléctrico para rotar al dipolo de un ángulo θ0 a θ es θ − pE ∫ senθ d W = θ = θ0 ) pE (cos θ − cos θ0 El resultado muestra que el campo realiza un trabajo positivo cuando 𝑐𝑜𝑠𝜃 > 𝑐𝑜𝑠𝜃0 . El cambio en la energía potencial del dipolo ∆U, es el negativo del trabajo realizado por el campo, esto es ∆U = − U 0 = pE (cos θ − cos θ 0 ) U − Donde U0 = -pEcosθ0, es la energía potencial en un punto de referencia. Podemos asumir que la energía potencial es nula cuando θ0 = π/2 . Es decir, en la presencia de un campo eléctrico externo el dipolo eléctrico tiene una energía potencial.   U =θ = − pE cos − p.E Un sistema está en equilibrio estable cuando su energía potencial es mínima. Esto ocurre cuando el   momento dipolar p , está alineado paralelamente a E , en este caso U toma un mínimo Umin =-pE. Por   otro lado cuando p y E son anti-paralelos, U = +pE es un máximo y el sistema es estable. 68
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. Si el dipolo está localizado en un campo no uniforme, podría aparecer una fuerza neta sobre el dipolo sumado al torque, y el movimiento resultante podría ser una combinación de aceleración lineal y una  rotación. En la figura 2.19, suponemos que el campo eléctrico E+ en la carga q difiere del campo  eléctrico E− en la carga –q Fig. 2.19 Fuerza sobre un dipolo en un campo no uniforme. Asumiendo que el dipolo es muy pequeño, expandimos el campo alrededor de x:  dE   dE  E+ ( x + a ) ≈ E ( x) + a  ; E− ( x − a ) ≈ E ( x) − a    dx   dx  La fuerza sobre el dipolo llegará a ser     dE    dE   Fe = q ( E+ − E− ) = 2q  ai = p   i  dx   dx  Un ejemplo de una fuerza neta actuando sobre un dipolo es la atracción entre pequeños trozos de papel y un peine, el cual ha sido cargado mediante frotación con el pelo. El papel posee momentos de dipolo inducidos mientras el campo obre el peine es no uniforme debido a su forma irregular (véase la figura 2.20) Fig 2.20 Atracción electrostática entre el peine y un trozo de papel 69
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. PROBLEMA RESUELTOS Problema 01    En el punto definido por el radio vector r0 2i + 3 j = μC, donde i y ˆ son los vectores unitarios de los de un plano x- y se encuentra una carga positiva de 50 ˆ j ejes x e y. Determine el vector de intensidad de campo  E  y su módulo, en el punto con radio vector eléctrico   = 8i + 5 j . Aquí r0 y r se dan metros. r Solución El campo eléctrico de cada carga en el punto P es En la figura se muestra la ubicación de la carga puntual  kq A   kq A y el punto donde se pide hallar la intensidad de campo = EA  =  3 ( AP) 3 (−4i − 3 ˆ) ˆ j eléctrico AP 25  9.109 (5.10−6 ) = EA (−4i − 3 ˆ) ˆ j 125  E A = i − 1080 ˆ −1440 ˆ j  kq   kqB = B3 ( PB ) EB = 3 (5i − 2 ˆ) ˆ j PB 29  9.109 (4.10−6 ) ˆ =EB (5i − 2 ˆ) j 156, 2  = 1152i − 461 ˆ EB ˆ j La intensidad de campo en el punto P es El campo resultante en P será  kQ   kQ    =E   3 (r= − r0 ) (6i − 8 ˆ) ˆ j = 1152i − 461 j EB r − r0 3      6 2 + 82 E = + EB = i − 1541 j EA −288  Su magnitud será 50.109 C ˆ E 9.109 N .m 2 / C 2 ( 3 3 )(6i − 8 ˆ) j 10 m E= 2882 + 15412 = 2480 N / C  = 450(6i − 8 ˆ) N / C E ˆ j  = (2, 7i − 3, 6 ˆ).103 C E ˆ j Problema 03 E = 4,5.103 N / C En los vértices de un cuadrado, cuya diagonal es 2L, se Una carga puntual de 5 μC está localizada en x = 1 m, Problema 02 encuentran las carga puntuales +q y –q, como se y = 3 m y otra de – 4 μC está localizada en x = 2 m, muestra en la figura. Determine el módulo del vector de a intensidad de campo eléctrico en un punto que está a la distancia z y se sitúa simétricamente respecto a los y = -2 m. (a) Determine la magnitud y dirección del vértices del mismo. campo eléctrico en x = -3 m, y = 1 m. (b) Determine la magnitud y la dirección de la fuerza sobre un protón en x = -3 m, y = 0 m. Solución En la figura se muestra la ubicación de las cargas puntuales y el punto donde se pide hallar el campo eléctrico 70
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. Solución dirección horizontal y hacia la izquierda Si las esferas se mantengan en equilibrio cuando θ = 10° llevan cargas de –50 nC y +50 nC. Determine la En la figura se muestra la ubicación de las cargas intensidad de campo eléctrico para que las dos esferas puntuales y el punto donde se pide hallar el campo eléctrico Solución En la figura se muestra el DCL de la carga positiva. Las fuerzas que actúan son: la tensión T, el peso mg la fuerza debido al campo qE y la fuerza de atracción electrostática Fe Los campos producidos por cada carga son  kq A (ai + aj − zk ) ˆ ˆ ˆ kq =EA = (ai + aj − zk ) ˆ ˆ ˆ (a + a + z ) 2 2 2 3/ 2 (2a 2 + z 2 )3/ 2  kqB (ai − aj + zk ) ˆ ˆ ˆ kq =EB = (ai − aj + zk ) ˆ ˆ ˆ (a + a + z ) 2 2 2 3/ 2 (2a + z 2 )3/ 2 2 . La aplicación de las ecuaciones de equilibrio nos da  kqC (ai + aj + zk ) ˆ ˆ ˆ kq =EC = (ai + aj + zk ) ˆ ˆ ˆ (a + a + z ) (2a + z 2 )3/ 2 ∑F =0 2 2 2 3/ 2 2 y  kqD (ai − aj − zk ) ˆ ˆ ˆ kq T cos θ − mg = 0 =ED = (ai − aj − zk ) ˆ ˆ ˆ (a + a + z ) 2 2 2 3/ 2 (2a + z 2 )3/ 2 2 mg T= (a) El campo eléctrico resultante es cos θ      E = E A + EB + EC + ED ∑F x =0  4kqa qE − Tsenθ − Fe = 0 E= ˆ i (2a + z 2 )3/ 2 2 Teniendo en cuenta que 𝑎 = 𝐿√2/2, se tiene kq 2 Tsenθ qE − = (b) r2  4kq ( L 2 / 2) 2kqL 2 ˆ Remplazando (a) en (b), se tiene E = ˆ i i  2( L 2 / 2) 2 + z 2  3/ 2 ( L2 + z 2 )3/ 2   kq 2 θ mgtg= qE −  1 qL 2 (2 Lsenθ ) 2 E = 2πε 0 ( L + z 2 )3/ 2 2 kq 2 = mgtgθ + qE Problema 04 4 L2 sen 2θ Dos pequeñas esferas cada una de 2 gramos de masa mgtgθ kq están suspendidas por cuerdas ligeras de 10 cm de =E + 2 2 longitud. Un campo eléctrico uniforme se aplica en la q 4 L sen θ 71
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. Remplazando los valores del enunciado obtenemos ∑F x =0 2.10−3 (9,8)tg10° 9.109 (50.109 ) 2 FeCosϕ = Tsenθ E + 50.109 4(10.10−2 ) 2 ( sen10°) 2 3 3 qE = T E = 106, 43kN / C 34 5 3 3 q ( 34.105 ) = T 34 5 Problema 05. Una esfera pequeña cargada de 1 gramo de masa está T = 5.105 q (2) suspendido de una cuerda ligera en presencia de un campo eléctrico uniforme como se muestra en la figura. Remplazando la ecuación (2) en (1), resulta  Cuando = (3i + 5 ˆ).105 N / C , la esfera está en E ˆ j 9.105 q = 9,8.10−3 equilibrio cuando θ = 37°, determine: (a) la carga en la esfera y (b) la tensión en el cable. q = 10,8nC T = 5.105 (10,8.10−9 ) T = 5, 4mN Problema 06 Una esferita de masa m y carga q está suspendida de un hilo delgado de longitud L dentro de un condensador plano de láminas horizontales. La intensidad de campo Solución eléctrico es igual a E, las líneas de fuerza están dirigidas hacia abajo como se muestran en la figura, determinar En la figura se muestra el DCL de la carga asumiendo la ecuación de movimiento de m y a partir de ella el que es positiva. Las fuerzas que actúan son: la tensión período de las oscilaciones para pequeños ángulos T, el peso mg y la fuerza debido al campo qE. Solución La aplicación de las ecuaciones de equilibrio nos da En la figura se muestra el DCL de la carga +q. Las fuerzas que actúan son: la tensión T, el peso mg y la ∑F y =0 fuerza debido al campo Fe = qE. T cos θ + Fe senϕ − mg = 0 T cos 37° + qE (5 / 34) = mg 4 1.10−3 ( 9,8 ) T + q ( 34.105 )(5 / 34) = 5 4 9,8.10− T + 5.105 q = 3 (1) 5 Aplicando la segunda ley de Newton en dirección tangencial se tiene 72
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. ∑ F = ma t t En la figura se muestra el DCL del electrón. Las única fuerza que actúa sobre el electrón es la fuerza debida al d 2S campo eléctrico Fe = qE, en el caso de electrones se m = + qE ) senθ −(mg desprecia la fuerza gravitacional (peso). Esta fuerza le dt 2  produce una aceleración a = −eEj , Por lo tanto el ˆ d ( Lθ ) movimiento descrito por el electrón es horizontal m + (mg + qE ) senθ = 0 dt 2 Para ángulos pequeños s𝑒𝑛𝜃 ≈ 𝜃, con lo que la Movimiento horizontal. La velocidad en esta dirección es constante y la posición para cualquier instante es ecuación anterior se escribe x = v0 x t (1) dθ mL + (mg + qE )θ =0 Movimiento vertical. En esta dirección debido a que dt 2 existe aceleración el movimiento es uniformemente  (mg + qE ) θ = variado, siendo sus ecuaciones θ+ 0 mL eE eE v y =y + at =− v0 0 t= t − La ecuación determinada es la ecuación diferencial de m m un MAS, cuya frecuencia es 1 eE 2 y = 0 + v0 y t + at 2 = 0 − y h t 2 m 2π (mg + qE ) ω = = Remplazando valores en la última ecuación se tiene T mL Entonces el período será 1, 6.10−19 (500) 2 = 0, 04 − 0 t 9,1.10−31 1 L 1 L =T = t = 3.10−8 s 2π  qE  2π g efectiva g+   m  La velocidad mínima solicitada será aquella que se le dé al electrón de tal manera que logre abandonar las placas del condensador saliendo por el extremo inferior Donde gef es la llamada gravedad efectiva expresada derecho de la placa entonces se tiene por L g ef= g + qE x = L = v0 x t1 ⇒ L = v0,min t1 ⇒ t1 = m v0,min Problema 07 eE 2 y h0 − = t Un electrón penetra en un condensador plano m paralelamente sus láminas y a una distancia de 4 cm de eE 2 eE 2 la lámina cargada positivamente y cuya longitud es de 0 = h0 − t1 ⇒ h0 = t1 15 cm. ¿Cuánto tiempo demora en caer el electrón en m m 2 dicha lámina, si la intensidad de campo eléctrico en el eE  L  eE condensador es igual a E = 500 V/m?. ¿Cuál es la =h0   ⇒= L v0,min velocidad mínima que debe tener el electrón para que m  v0,min    mh0 éste no llegue a caer sobre la lámina?. Remplazando valores se tiene 1, 6.10−19 (500) = 0,15 v0,min = 5.106 m / s ⇒ v0,min 9,1.10−31 (0, 04) Problema 08 Una esfera conductora muy pequeña suspendida de un hilo aislante es usada para medir la intensidad de campo Solución eléctrico. Cuando le coloca en un campo cuya 73
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. intensidad es E0, se observa que el hilo forma un ángulo de 45°. Calcular la intensidad de campo eléctrico E si el ∑F y =0 sistema (hilo más esfera) se desvía un ángulo de 37°. T1 cos 37° =mg Considere que E0 = 80 N/C. = mg / cos 37° T1 (4) ∑F x =0 = T1sen37° qE (5) Remplazando la ecuación (4) en (5), resulta = mgtg 37° qE (6) Solución Dividiendo las ecuaciones (3) y (6), se tiene En la figura se muestra el DCL de la carga positiva. Las fuerzas que actúan son: la tensión T, el peso mg la y la qE mgtg 37° tg 37° = = ⇒E E0 fuerza debido al campo qE0. qE0 mgtg 45° tg 45° E = 60 N / C Problema 09 Una barra de longitud L tiene una carga total distribuida infinitamente larga de densidad λ C/m, como se muestra uniformemente en su longitud y se encuentra en dirección perpendicular a una carga lineal uniforme e en la figura. El extremo más próximo de la barra a la Aplicando las ecuaciones de equilibrio resulta carga lineal dista de esta la longitud d. determine la fuerza que la carga lineal infinita ejerce sobre la barra ∑F y =0 de longitud L. T cos 45° =mg = mg / cos 45° T (1) ∑F x =0 = Tsen 45° qE0 (2) Solución Remplazando la ecuación (1) en (2), resulta Primero se determina el campo eléctrico producido por = mgtg 45° qE0 (3) la carga lineal in finita en un punto P perteneciente a la barra de longitud L situado a una distancia y, como se muestra en la figura. Par ello dividimos la carga En la figura se muestra el DCL de la carga positiva. Las horizontal en elementos diferenciales dq de longitud dx. fuerzas que actúan son: la tensión T, el peso mg la y la fuerza debido al campo qE0. Entonces se tiene dq = λ dx Aplicando las ecuaciones de equilibrio resulta 74
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. El campo eléctrico producido por dq en P será Problema 10  dq  kdq Un sistema se compone de un anillo de alambre fino de = k  3 AP dE = (− xi + yj ) ˆ ˆ radio R cargado y de un hilo muy largo uniformemente AP ( x + y 2 )3/ 2 2 cargado, dispuesto en el eje del anillo de modo que uno corresponde una carga λ. Determine la fuerza de de sus extremos coincide con el centro de éste. El anillo  k λ xdx ˆ k λ ydx ˆ dE =2 i + 2 − 2 j tiene una carga q. A la unidad de longitud del hilo le (x + y ) 2 3/ ( x + y 2 )3/ 2 interacción entre el anillo y el hilo. Por simetría se anulan las componentes x. Solución  k λ ydx ˆ dE y = − j Primero se determina el campo eléctrico producido por ( x + y 2 )3/ 2 2 el anillo de carga q en un punto P perteneciente al hilo muy largo situado a una distancia z, como se muestra en El campo total se obtiene integrando la ecuación la figura. Para ello dividimos la carga en el anillo en anterior elementos diferenciales dq de longitud ds.  +∞ dx Ey = kλ y ∫ ˆ j −∞ ( x + y 2 )3/ 2 2 Integrando la ecuación anterior se tiene  2k λ ˆ Ey = j y Determinamos ahora la fuerza ejercida por la distribución lineal infinita sobre el elemento de carga dq’ y longitud dy. De acuerdo con la definición de campo eléctrico, tenemos    kλ ˆ  ( dq ') = E y dq '  dF = j La carga del elemento diferencial dq, es  y  q dq q La carga dq’ está dada por λ= = ⇒ dq = dϕ 2π R ds 2π Q dq ' Q λ ' = = ⇒ dq ' = dy El campo eléctrico producido por dq en P (0, 0, z) será L dy L q k ( dϕ ) Remplazando esta cantidad tenemos  dq  2π = k  3 AP dE = (− xi − yj + zk ) ˆ ˆ ˆ AP ( x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2    kλ    Q  ˆ = E y dq '  dF = j   dy  j  kqR cos ϕ dϕ ˆ kqRsenϕ dϕ ˆ dE =2 i − − j+ kqzdϕ ˆ  y  L  k 2π ( R 2 + z 2 )3/ 2π ( R 2 + z 2 )3/ 2 2π ( R 2 + z 2 )3/ 2  k λQ  dy  dF =  ˆ j Debido a que el anillo lleva una distribución de carga L  y  uniforme, entonces la simetría exige que las componentes x e y. Por tanto se tiene Integrando esta cantidad para toda la longitud L se tiene kqzdϕ   k λQ L + d d y k λQ ˆ k dEz = L+d 2π ( R 2 + z 2 )3/ 2 L ∫d y = = F ˆ j ln y d ˆ j L El campo total en el punto P debido al anillo será  k λQ  L + d  F= ln  jˆ  2π  d  kqz kqz 2 3/ 2 ∫0 L = = Ez dϕ k ˆ (ϕ )0π k 2 ˆ 2π ( R + z ) 2 2π ( R + z ) 2 2 3/ 2 75
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C.  kqz Ez = ˆ k (R + z ) 22 3/ 2 Determinamos ahora la fuerza ejercida por el anillo cargado sobre el elemento de carga dq’ y longitud dz. De acuerdo con la definición de campo eléctrico, tenemos    kqz  = Ez (dq ')  2 dF = ˆ k  (dq ')k  (R + z ) 2 3/ 2  La carga dq’ está dada por El campo eléctrico producido por dq en P (0, 0, 2) será dq '  dq  2kx( x 2 + y 2 + 4)3/ 2 dxdy  λ= ⇒ dq ' = λ dz = k  3 AP dE = (− xi − yj + 2k ) ˆ ˆ ˆ dz AP ( x 2 + y 2 + 4)3/ 2  Remplazando esta cantidad tenemos = 2kxdxdy (− xi − yj + 2k ) dE ˆ ˆ ˆ    kqz ˆ El campo total se determina integrando la ecuación = E y dq '  2 dF = k  (λ dz ) anterior  (R + z ) 2 3/ 2   k λ qzdz ˆ E =∫ x 2 dxdyi − ∫ ∫ xydxdy ˆ + ∫ ∫ 2 xdxdyk  2k  − ∫ 2 2 2 2 2 2  ˆ j ˆ dF = 2 k  0 0  0 0 0 0   ( R + z 2 )3/ 2 Evaluando cada una de las integrales y remplazando los Integrando esta cantidad para toda la longitud L se tiene límites correspondientes se tiene ∞  = 2 ( 9.109 ) (− i − 4 ˆ + 8k )  ∞ zdz  1  ˆ 16 ˆ ˆ = kλq∫ = k λ q − ˆ E j F k  k 3 0 (R + z ) 2 2 3/ 2  R2 + z 2  0  E = 96i − 72 ˆ + 144k )109 N / C (− ˆ j ˆ Remplazando los límites correspondientes  qλ F= ˆ k Problema 12 4πε 0 R densidad de carga superficial constante σ. Halle E si se Determine el campo eléctrico en el centro O de un sabe que la carga distribuida es Q = 1μC y R = 10 cm. cascarón semiesférico de radio R cargado con una Problema 11 Una distribución de carga laminar finita de densidad para 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑚 y 0 ≤ 𝑦 ≤ 2𝑚. Determine la σ 2 x( x 2 + y 2 + 4)3/ 2 C / m 2 , yace en el plano z = 0 = magnitud, dirección y sentido de la intensidad de campo eléctrico E en el punto P (0, 0, 2) m. Solución En la figura se representa la distribución de carga. Para 𝑑𝐴 = 𝑑𝑥𝑑𝑦, y carga dq, dada por determinar la intensidad de campo en P dividimos a la distribución de carga en elementos diferenciales de área Solución Para resolver el problema dividimos al cascarón dq= σ dA= 2 x( x 2 + y 2 + 4)3/ 2 dxdy hemisférico en elementos en forma de anillos de radio y, de ancho ds y carga dq tal como se muestra en la figura. 76
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. densidad σ. Si la lámina se encuentra en el plano xy. Determine la intensidad de campo eléctrico en puntos perpendiculares a la lámina. Solución En la figura se muestra la ubicación de la lámina, así como el punto donde se va a determinar el campo eléctrico. Para determinar éste, se divide a la distribución de carga en elementos de carga dq y área dA. La carga del elemento diferencial esta dado por dq σ= ⇒ dq = σ dA = σ (rdrdϕ ) La carga de este elemento diferencial es dA = σ dA σ (2π yds ) σ (2π )( R cos θ )( Rdθ ) dq = = dq = 2πσ R 2 cos θ dθ El campo producido por este anillo en el punto O es  = dEsenθ i − dE cos θ ˆ dE ˆ j La componente en la dirección y se cancelan debido a que la distribución presenta simetría, entonces se tiene  = dEsenθ i dEx = ˆ kdq senθ i ˆ R2  k (2πσ R 2 cos θ dθ ) La intensidad de campo eléctrico producido por el dEx = senθ i ˆ elemento dq en el punto P es R2  dEx = 2πσ k (cos θ senθ dθ )i ˆ  kdq   kσ (rdrdϕ ) =dE  =  3 ( AP) (−rer + zez ) ˆ ˆ AP (r 2 + z 2 )3/ 2 El campo eléctrico total debido al cascarón se obtiene integrando la ecuación anterior esto es  σ r 2 drdϕ σ zrdrdϕ dE = er + − ˆ ˆ ez  π /2 4πε 0 (r + z ) 2 2 3/ 2 4πε 0 (r 2 + z 2 )3/ 2 Ex = 2πσ k ∫ cos θ senθ dθ i ˆ 0 La simetría de la distribución exige que la componente π /2 radial se elimine pues para cada componente existe otra  sen θ2 Ex = 2πσ k ˆ i de un elemento simétrico en el lado opuesto. Por tanto 2  σ zrdrdϕ 0  Q ˆ dE = ˆ ez Ex = i 4πε 0 (r 2 + z 2 )3/ 2 8πε 0 R 2 El campo total debido a la lámina infinita se obtiene Remplazando valores integrando la ecuación anterior, esto es  9.102 (1.10−6 )  σ z 2π ∞ rdrdϕ σ z (2π )   ∞ = = (450.103 i ) N / C Ex ˆ i ˆ =E ∫ϕ ∫r = ˆ ez − 1  ezˆ 2 ( 0,1) 4πε 0 = 0= 0 (r 2 + z 2 )3/ 2 4πε 0  r 2 + z 2  0 2 Remplazando los límites correspondientes se tiene Problema 13  σ E= ˆ ez Una lámina plana infinita lleva una carga 2ε 0 uniformemente distribuida sobre su superficie con una 77
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. La intensidad de campo eléctrico en puntos inferiores  σ2  1 ˆ 3 ˆ será =E2  i− j 2ε 0  2  2    σ E= − ˆ ez 2ε 0 El campo eléctrico resultante en el punto A se obtiene sumando vectorialmente los campos debido a los Como el eje se ha elegido arbitrariamente para planos, esto es cualquier ubicación del plano el campo será    σ σ 1ˆ 3 ˆ  σ E = E1 + E2 = 1 ˆ + 2  i − j j E= ± ˆ en 2ε 0 2ε 0  2  2   2ε 0   σ σ σ 3 Donde en es un vector unitario perpendicular al plano E = 2 i + 1 − 2  ˆ ˆ  2ε j 4ε 0  0 4ε 0   Problema 14 densidad de carga superficial uniforme 𝜎1 = 65𝑛𝐶/𝑚2 . Remplazando los valores de las densidades de cargas Un plano infinito situado en el plano xz posee una dadas se tiene densidad uniforme 𝜎2 = 45𝑛𝐶/𝑚2 , corta al plano xz en Un segundo plano infinito portador de una carga de  45.10−9 ˆ  65.10−9 45.10−9 3  ˆ E= i + − −12  j 4(8,85.10−12 ) −12  2(8,85.10 ) 4(8,85.10 )  el eje z y forma un ángulo de 30° co el plano xz como se  muestra en la figura. Determine la intensidad de campo = (1271i + 1470 ˆ) N / C E ˆ j eléctrico en el plano xy en los puntos (a) A (6, 2, 0) m y (b) B(6, 5, 0)m. está fuera de los planos, esto es encima de σ1. Parte (a) En la figura se muestra la vista de perfil de la ubicación de los planos, en este caso el punto B(6, 5, 0) Solución Parte (a) En la figura se muestra la vista de perfil de la ubicación de los planos, en este caso el punto A(6, 2, 0) está entre los dos planos. Los campos eléctricos son  σ1 σ1 ˆ =E1' = ˆ e1n j 2ε 0 2ε 0 ' σ2 = ' = ˆ E2 E2 e1n (− sen30°i + cos 30° j ) ˆ 2ε 0 ' σ2  1 3 ˆ E2= − i + ˆ j Los campos eléctricos son 2ε 0  2  2    σ1 σ1 ˆ =E1 = ˆ e1n j El campo eléctrico resultante en el punto B se obtiene 2ε 0 2ε 0 sumando vectorialmente los campos debido a los planos, esto es   σ2 = E2= E2 e1n ( sen30°i − cos 30° ˆ) ˆ j 2ε 0   ' σ σ  1ˆ 3 ˆ EB = E1' + E2 = 1 ˆ + 2  − i + j j 2ε 0 2ε 0  2  2   78
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C.   σ σ σ 3ˆ dvz dv  qE ˆ E = i + 1 + 2 − 2 ˆ  j m = (qE − mg )k ⇒ z =  ˆ − g k 4ε 0  2ε 0 4ε 0   dt dt  m  Remplazando el campo eléctrico tenemos Remplazando los valores de las densidades de cargas dadas se tiene  dvz  qσ 0 ˆ =  − g k  45.10−9 ˆ  65.10−9 E = i + − + 45.10−9 3  ˆ dt  2ε 0 m  −12  j 4(8,85.10−12 ) −12  2(8,85.10 ) 4(8,85.10 )  Separando variables e integrando la expresión anterior  E = i + 5874 ˆ) N / C (−1271ˆ j nos da  vz   qσ 0  t ˆ ∫0 =  dvz  2ε 0 m − g  ∫ dtk  0 Problema 15   dr  qσ 0  ˆ Una carga puntual q, con masa m se deja caer = =  vz − g  tk dt  2ε 0 m superficial de densidad uniforme σ0. libremente desde el reposo en un campo gravitacional a  una altura z0 arriba de una lámina horizontal de carga Para determinar la posición en función del tiempo se integra la ecuación de la velocidad b) ¿Para qué valores de σ0 la carga eléctrica a) ¿Cuál es la posición de la carga como una función del tiempo?.   qσ 0  ˆ c) Si σ0 es menor que el valor de la parte (b). ¿En qué =  dr − g  tdtk permanecerá estacionaria.?.  2ε 0 m  t qσ 0  ˆ  tiempo y con qué velocidad la carga llegará a la r  lámina?. ∫r0 = ∫ g−  dr 0   tdtk 2ε 0 m  Solución    qσ 0  t2 ˆ r − r0  = −g k  2ε 0 m 2    qσ 0  t2 ˆ zk = +  z0 k −g k  2ε 0 m 2 1 qσ 0  2 z = − g− z0 t 2 2ε 0 m  Parte (a). Parte (b). En la figura se muestra a la carga y el plano así como el El valor de v0 para el equilibrio se obtiene aplicando la diagrama de cuerpo libre de la carga para cualquier ecuación de equilibrio en dirección vertical, esto es posición z respecto al plano cargado.  Sabeos que el campo eléctrico para un plano infinito ∑F = 0 está dado por Fe = mg ⇒ qE = mg  σ σ  E= ± ˆ en q  0  = mg 2ε 0  2ε 0  Aplicando la segunda ley de newton al movimiento de 2mgε 0 la carga puntual considerada positiva es σ0 = q   ∑ F = ma Parte (c). Para determinar el tiempo con el cual impacta     sobre la placa se hace z = 0 en la ecuación de la W + Fe = maz ⇒ (qE − mg )k = maz ˆ posición, es decir 79
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. 1 qσ 0  2 1 qσ 0  2 Para un anillo con centro en el origen de coordenadas, 0 = z0 −  g −  t → z0 =  g − t el campo que produciría en cualquier punto sobre el eje 2 2ε 0 m  2 2ε 0 m  y sería  kqy t= 2 z0 Ey = ˆ j qσ 0 ( R + y 2 )3/ 2 2 g− 2ε 0 m �⃗ Aplicando esta ecuación para el problema debemos radio R y por tanto producirá un campo diferencial dEy observar que el anillo es un elemento diferencial dq de La velocidad con que llega será dado por 1 qσ 0  2 z0 = at v = g−   2 2ε 0 m   qσ 0  dE y = 2 k (dq )( yD ) ˆ j g−  ( R + yD )3/ 2 2  2ε 0 m  Debido a que la distribución de carga es superficial, el Problema 16 elemento tiene una carga El eje de un tubo hueco de radio R y longitud L está Q Q dq alineado con el eje y, la orilla izquierda del tubo está en = σ = = y = 0, como se muestra en la figura. El tubo tiene una A 2π RL dA carga total Q distribuida uniformemente en su Q Q superficie. Integrando el resultado para una espira = = dq dA (2π Rdy ) (anillo) de carga a lo largo de su propio eje, determine 2π RL 2π RL la intensidad de campo eléctrico a lo largo del eje y, Q dq = dy como función de y. L Al remplazar esta cantidad y usar la geometría se tiene Q   k  dy  ( yP − y ) =dE y = k (dq )( yD ) ˆ j L  ˆ j ( R + yD ) 2 2 3/ 2 ( yP − y ) 2 − R 2  3/ 2    kQ( yP − y )dy dE y = ˆ j 2 3/ 2 Solución L ( yP − y ) − R   2  El campo total debido a la distribución completa se Se divide a la distribución de carga en elementos obtiene integrando la ecuación anterior, esto es diferenciales de carga dq en forma de anillos de radio R y de ancho dy como se muestra en la figura  kQ L ( y − y )dy Ey = L ∫0 ( y −Py)2 − R 2 3/ 2 ˆ j  P  La integral se evalúa haciendo el cambio de variable siguiente u = ( yP − y ) 2 − R 2 du du =yP − y )(− dy ) ⇒ dy = 2( − Se ha demostrado en el problema 10, que el campo 2( yP − y ) eléctrico debido a un anillo en un punto sobre el eje z está dado por Al sustituir estos valores se tiene  kqz  du  Ez = ˆ k ( yP − y )  −  ( R + z 2 )3/ 2  kQ  2( yP − y )   L ∫ 2 Ey = j u 3/ 2 80
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C.  kQ −3/ 2  kQ  u −1/ 2   kQ  1  ˆ 2L ∫ E y = = j = − u duj −  L  u j 2 L  −1/ 2    L  kQ  1  Ey =   ˆj L  ( yP − y ) 2 − R 2 0    kQ  1 1  =Ey  − ˆj L  ( yP − L) − R 2 2 ( yP ) 2 − R 2    El campo producido por el elemento de carga Problema 17 dq1 = λ1dy λ1 = 20 μC/m y λ2 = 35 μC/m, respectivamente. Si la distancia Dos barras de longitudes iguales L = 1,5 m, transportan  kdq k λ dy dE1 = ˆ = ˆ − 2 1 j − 12 j 𝑎 = 0,15 𝑚, mientras que la distancia 𝑏 = 0,25 𝑚. (a) densidades de carga uniformes �⃗ y y Encuentre el campo eléctrico E en el origen del sistema El campo neto será coordenado. (b) Si ahora se coloca una carga puntual Q = 25 μC en dicho origen¿Cuál será la fuerza eléctrica  a+L E1 = −k λ1 ∫ y −2 dy ˆ j sobre la carga puntual ejercida por las distribuciones?. a  1 1 ˆ −k λ2  E2 = − j a a+L   L ˆ E1 = −k λ1  j  a (a + L)  El campo total es     k λ1 L  ˆ  k λ2 L  ˆ E = + E2 = E1 −  j − i  a (a + L)   b(b + L)    9.109 x 20.10−6 x1,5   9.109 x35.10−6 x1,5  ˆ Se determina el campo de cada una individualmente, esto E = ˆ −  − j i es  0,15(1.65)   0, 25(1.75)  Simplificando tenemos  E =3 ˆ − 1080.103 i −1091.10 j ˆ La fuerza sobre la carga Q = 25 μC, será El campo producido por el elemento de carga   Fe = (−1091.103 ˆ − 1080.103 i ) QE = Q j ˆ dq2 = λ2 dx , es  Fe =25.10−6 (−1091.103 ˆ − 1080.103 i ) j ˆ  kdq k λ dx  dE2 =2 i = i − 2 ˆ − 22 ˆ Fe = ˆ − 27i ) N (−27,3 j ˆ x x  Fe = 38,39 N El campo neto será  ˆ −k λ2  1 1 ˆ b+ L −k λ2 ∫ E2 = x −2 dxi = −  i b b b+L   L ˆ E2 = −k λ2  i  b(b + L)  El campo de la varilla vertical es 81
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. PROBLEMAS PROPUESTOS 5. En la figura, las tres partículas se encuentran fijas en las posiciones mostradas y tienen las cargas 1. Encuentre las componentes x e y de la intensidad q1 = q2 = +e y q3 = +2e. Si la distancia a = 6 µm. de campo eléctrico producido por las cargas Determine, la magnitud y la dirección del campo puntuales q1 y q2 mostradas en la figura. (a) en el magnético en el punto P debido a las partículas. punto A y (b) en el punto B. 6. Se tiene dos cargas puntuales de +5 μC y –10 μC, que distan en 1 m. (a) Encontrar el módulo y la dirección del campo eléctrico en un punto situado a 0,6 m de la primera carga y a 0,8 m de la segunda. 2. Dos cargas puntuales q1 = - 6 nC y q2 = + 6 nC, (b) Hallar el punto donde el campo eléctrico de están separadas 12 cm, como se muestra en la estas dos cargas es cero. figura. Determine el campo eléctrico en el punto A y en el punto B. 7. Dos carga puntuales iguales y positivas de valor q1 = q2 = 8 nC, están situadas sobre el eje y en los puntos y1 = +4 cm e y2 = -4 cm. (a) ¿Cuál es el valor y dirección del campo eléctrico sobre el eje x en x = 5 cm?. (b) ¿Cuál es la fuerza eléctrica sobre una tercera carga de prueba q0 = 2 nC ubicada en el punto P (3, 4) cm?. 8. Una carga puntual de -5 µC, esta ubicada en el 3. Dos cargas q1 y q2 se mantienen fijas y separadas punto A ( 4, -2) m. Una segunda carga puntual de una distancia de 4,5 cm. Otra carga puntual 12 µC está ubicada en el punto B (1, 2) m. (a) Q = -1,75 µC de 5 gramos de masa se encuentra Determine la magnitud y dirección del campo localizada a 3 cm de cada una de las cargas fijas y eléctrico en P (-1, 0) m. (b) Si en el punto P se es liberada desde el reposo. Si se observa que la coloca un electrón, ¿cuál es la fuerza aceleración de Q es de 324 m/s2 hacia arriba experimentada por dicho electrón? paralela a la línea de unión de las cargas q. Determine q1 y q2. 9. Tres cargas puntuales de -5 µC, +3 µC y +5 µC están localizadas a lo largo del eje x en x = -1 cm, x = 0 cm, y en x = +1 cm, respectivamente. Calcular el campo eléctrico en x = +3 cm y en x = 15 cm. ¿Existe algún punto sobre el eje x en donde la magnitud del campo eléctrico sea cero?. Localizar dicho punto. 10. Una carga q1 = -0,3 µC se encuentra localizada en Se colocan cargas de –2 μC y +4 μC en los vértices el punto A (25, -30, 15) cm, mientras que una segunda carga q2 = 0,5 µC se encuentra ubicada en 4. el punto B (-10, 8, 12) cm. Encuentre la intensidad de un triángulo equilátero de 10 cm de lado. a) de campo eléctrico en: (a) el origen de coordenadas ¿Cuál es la magnitud de la intensidad de campo y (b) P (15, 20, 50) cm. sobre una carga de –2 μC colocada en dicho eléctrico en el tercer vértice?. b) ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fuerza que actuaría 11. Dos cargas de +3 µC están localizadas en (0, 2) m y en (0, -2) m. Otras dos cargas Q están localizadas vértice?. en (4, 2) m y en (4, -2) m. Como se muestra en la 82
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. figura. El campo eléctrico en el origen de electrón es remplazado por un protón con la misma  coordenadas es E = (4.103 i ) N / C . Determine Q. velocidad inicial v0. ¿tocaría el protón una de las placas?. ¿Cuál es la magnitud y dirección de su desplazamiento vertical al salir de la región entre las placas?. (c) Compare las trayectorias descritas por ambas partículas y explique las diferencias. 12. Dos cargas puntuales positivas Q se mantienen fijas sobre el eje x una en x = a y la otra en x = -a. Una 15. Un electrón parte de la posición indicada en la tercera carga puntual q de masa m, está situada figura con una velocidad inicial v0 = 5.106 m/s sobre el eje x tal que x << a . La carga q que puede formando un ángulo de 45° con el eje x. El campo moverse libremente a lo largo del eje x, es liberada. eléctrico tiene la dirección y positiva y su magnitud Encuentre la frecuencia de oscilación de la carga q. es de 3,5 kN/C. ¿Sobre cuál de las placas y en qué (b) Suponga ahora que la carga q está colocada lugar chocará el electrón?. sobre el eje y tal que y << a y que se libera. Si esta carga tiene libertad de moverse en cualquier parte del plano xy, ¿qué le pasará?. Explique su respuesta. 13. Dos cargas están situadas como se muestra en la �⃗ figura. La magnitud de q1 es 3μC, pero su signo y eléctrico neto E en el punto P es enteramente en la 16. Un electrón es lanzado horizontalmente con una valor de la carga q2 no se conocen. El campo velocidad vi = 8.106m/s, dentro de un campo eléctrico uniforme dirigido verticalmente hacia dirección y negativa. (a) Considerando los posibles abajo en el interior de dos placas paralelas, como signos de q1 yq2, hay cuatro posibles diagramas que se muestra en la figura. Las placas se encuentran   separados 2,00 cm y tienen una longitud de podrían representar los campos E1 y E2 4,00 cm. Si el electrón ingresa en el punto medio producidas por q1 y q2. Trace las cuatro posibles entre las placas y abandona las placas justo en el configuraciones del campo eléctrico, (b) Utilizando borde superior de la placa. Determine la magnitud los dibujos del apartado (a) y la dirección del del campo eléctrico. neto �⃗. campo eléctrico neto en P, deduzca los signos de q1 E y q2. (c) Determine la magnitud del campo eléctrico Rta: 4.55 kN/C. 17. Se proyectan varios protones con una velocidad inicial vi = 9,55.103 m/s en una región donde está 14. Un electrón se lanza con una velocidad inicial presente un campo eléctrico uniforme v0 = 4.106 m/s dentro del campo eléctrico entre las  E = (−720 j ˆ) N / C , como se muestra en la figura. placas paralelas de la figura. La dirección del campo es verticalmente hacia abajo y el campo es Los protones deben alcanzar un objetivo que se cero excepto entre las placas. El electrón entra al encuentra a una distancia horizontal de 1,27 mm del campo en un punto situado a la mitad entre las punto por donde los protones atraviesan el plano y placas. (a) Si el electrón apenas pasa la placa entran en el campo eléctrico de la figura. superior al salid del campo, encuentre la magnitud Determine: (a) los dos ángulos de proyección θ que del campo eléctrico. (b) Suponga que en la figura el logren el resultado esperado, (b) el tiempo total de 83
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. vuelo para cada una de las trayectorias. Considere cm. Si se aplica un campo horizontal dirigido hacia que mP = 1,67.10-27 kg y qP =+1,6.10-19 C la izquierda, las esferas se separan de tal manera que los cables forman un ángulo θ = 50°, como se muestra en la figura. (a) ¿Cuál de las esferas tiene carga positiva la derecha o la izquierda?. (b) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico?. 18. Un electrón cuya energía cinética es 2.10-16 J se mueve hacia la derecha a lo largo del eje de un tubo de rayos catódicos como se muestra en la figura. En la región comprendida entre las placas deflectoras  21. Una placa horizontal infinita tiene una densidad de existe un campo eléctrico E = −(2.104 N / C ) ˆ . En j carga uniforme σ = 64,2 µC/m2 . Se coloca una cualquier otro sitio E = 0. (a) ¿A qué distancia del pastilla de 4,75 g de masa, en reposo, a 0,866 m de eje del tubo se encuentra el electrón cuando alcanza la placa. Si la pastilla tiene una carga negativa el extremo de la placa?. (b) ¿Bajo qué ángulo q = - 3,6 µC.. ¿Cuál es su rapidez cuando llega a la respecto al eje se mueve el electrón? Y (c) ¿A qué placa?. Solo tenga en cuenta la interacción distancia del eje se encuentra el electrón cuando electrostática. choca contra la pantalla fluorescente?. 22. Considere el modelo del átomo de hidrógeno en el cual un electrón –e, se encuentra moviéndose en una órbita circular de radio r = 5,29.10-11 m alrededor de de un protón estacionario +e. ¿Cuál será la velocidad lineal del electrón en su órbita. 19. La figura muestra un electrón entrando a un capacitor de placas paralelas con una velocidad v0 = 5,45.106 m/s. El campo eléctrico del capacitor ha desviado al electrón una distancia 0,618 cm en el punto donde el electrón sale del capacitor. Encuentre: (a) la magnitud de la intensidad de campo eléctrico en el capacitor, (b) la magnitud y 23. Un cuerpo de masa m = 3,7 g y carga Q = +44 µC dirección de la velocidad del electrón cuando sale unido mediante una cuerda unida a la pared es del capacitor (c) La energía cinética del electrón en colocada en el interior de un campo eléctrico como el instante que sale del capacitor. Considere que se muestra en la figura. Si el objeto permanece en me = 9,11.10-31 kg; qe = -1,6.10-19 C. equilibrio estático cuando la cuerda se encuentra horizontal. Determine: (a) la magnitud del campo eléctrico y (b) la tensión en el hilo. uniforme λ , a lo largo del eje z. Una partícula de 20. Dos esferas pequeñas de 6,8 mg de masa llevan 24. Se tiene un alambre infinito con densidad de carga cargas de igual magnitud q = 72 nC, pero de signo opuesto. Las esferas están unidas a un mismo punto masa m y carga q se mueve en una circunferencia, en el techo por cuerdas de igual longitud L = 53 en el plano xy, con centro en el alambre. Determine 84
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. la velocidad de la partícula y demuestre que es el origen es -2q y las otras dos cargas están sobre el independiente del radio del círculo. Sólo tenga en eje y en y = a e y = -a valen +q. (a) Determine el cuenta la interacción electrostática entre el alambre campo eléctrico en un punto sobre el eje x a gran y la carga. distancia de manera que x >> a. (b) Determine el campo eléctrico en un punto sobre el eje y a gran 25. Una carga positiva +q puede moverse en una órbita distancia de manera que y >> a. circular con respecto a un alambre infinito negativamente cargado, con densidad lineal de carga –λ. Demuestre que el período de la órbita es proporcional al radio de la misma. Compare este resultado con la dependencia del período de una órbita circular respecto al radio de la misma, para una carga puntual que interactué con otra carga puntual. 26. Una pelota de corcho de 0,40 g de masa se coloca entre dos placas horizontales grandes. La placa de abajo tiene una densidad de carga uniforme de 30. Determine el campo eléctrico debido a una varilla σ1 = 0,8 µC/ m2, mientras que la superior tiene una delgada, infinitamente larga, con una densidad de densidad de carga uniforme σ2 = -0,5 µC/ m2, la carga uniforme λ = 4 µC/m, a una distancia de 70 pelota de corcho que tiene una carga desconocida, cm de la varilla. Suponga que la varilla está se coloca entre las placas, y se observa que flota alineada con el eje y. inmóvil. ¿Cuál es la magnitud y signo de la carga que posee la pelota? 31. Una carga lineal uniforme de densidad λ = 5 nC/m, se distribuye desde x = 0 hasta x = 3m. (a) de −2𝜇𝐶, está colgada de un hilo de 1 m de Determine la carga total. (b) Determine el campo 27. Una pelota de corcho de 5 g de masa, con una carga eléctrico en los puntos A(4, 0) m; B(8, 0) m y en P(0, 3) m. longitud sobre una placa horizontal, uniformemente cargada, con densidad de carga σ = 1 µC/m2. La 32. Una carga positiva Q es distribuida uniformemente pelota se desplaza de la vertical un ángulo pequeño a lo largo de una barra de longitud a. Si se coloca y se le permite oscilar. Demuestre que la pelota una carga puntual negativa –q sobre el eje positivo describe un movimiento armónico simple y calcule de las x, a una distancia x del origen de la frecuencia de oscilación de ese movimiento. coordenadas, como se muestra en la figura. (a) Determine las componentes x e y del campo eléctrico producido por la distribución de carga Q 28. La figura muestra una palanqueta formada por dos en puntos sobre el eje positivo x. (b) calcule las masas idénticas m sujetas a los extremos de una componentes x e y de la fuerza que la distribución barra delgada (sin masa) de longitud a con un de carga Q ejerce sobre –q. pivote en su centro, las masas transportan las cargas +q y –q y el sistema está localizado en un pequeños valores del ángulo θ entre la dirección  campo eléctrico uniforme E . Demostrar que para del dipolo y el campo eléctrico, el sistema ejecutará un MAS y deducir el período de este movimiento. 33. Dos planos cargados verticales e infinitos son paralelos y están separados una distancia d = 2 m. Determinar el campo eléctrico a la izquierda de los plano, a la derecha y entre ambos cuando: (a) Cada uno de los planos posee una densidad de carga uniforme σ = +5 µC/ m2 y (b) El plano izquierdo tiene una carga tiene σ = +4 µC/ m2 y el derecho 29. Un cuadrupolo consta de dos cargas próximas entre σ = -3 µC/ m2. Dibuje las líneas de campo eléctrico sí como se indica en la figura. La carga efectiva en en cada caso. 85
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. 34. Una carga de +8 µC está distribuida en un anillo de 10 cm de radio. Determine la intensidad de campo eléctrico sobre el eje del mismo en: (a) 2,5 cm, (b) 4,6 cm y (c) 5 m, (d) determine el campo eléctrico paralelas al plano yz cada una con una densidad σ, en 5 m con la aproximación de que el anillo es una 42. Dos cargas laminares uniformes e infinitas carga puntual en el origen y comparar este resultado con el obtenido en (c), ¿Cuál es el error se colocan en x = ±1 . Determinar el campo porcentual que se comete al hacer esta eléctrico en todas las regiones. aproximación?. 43. Repita el problema anterior para el caso en el plano 35. Un disco de 5 cm de radio es portador de una en x = -1 m posee una distribución de carga +σ y densidad de carga superficial de σ = +20 µC/m2, el plano en y el plano en x = 1 m posee una Utilizando aproximaciones razonables determine el distribución de carga –σ. campo eléctrico en puntos sobre el eje a distancias de: (a) 0,05 cm, (b) 2 cm, (c) 8 cm y (d) 6 m. 44. Sobre un disco circular de radio R ubicado en el uniforme λ está situada sobre el eje x desde x = -a plano z = 0 se ha distribuido una densidad de carga en el punto (0, φ, h). 36. Una carga lineal finita de densidad de carga lineal no uniforme dada por σ = σ 0 Sen 2ϕ . Determinar E hasta x = +b. Determinar el campo eléctrico en puntos sobre el eje y a una distancia d de la barra. 37. Un sistema está compuesto por una carga lineal 45. Sobre un disco de radio R = 0,5 m ubicado en el infinita de densidad lineal de carga uniforme plano z = 0 se ha distribuido una carga con una λ = - 7 µC/m, es paralela al eje y en x = - 2,5 m. densidad no uniforme tal que su densidad de carga Una carga puntual de 5 µC está localizada en el está dada por σ = (10 −4 / r )C / m 2 . Determine E en punto A(3, 4) m. Determine la intensidad de campo el punto sobre el eje z situado a una distancia de eléctrico en el punto P(2, -3) m. 3 m desde el centro del disco. 38. Un semianillo de radio R = 20 cm tiene una carga 46. Hay una carga en el plano Z = - 3 m en forma de uniforme de q = 0,70 nC, está ubicado en el plano una hoja cuadrada definida por −2 ≤ x ≤ 2m , xy con su centro de curvatura en el origen de −2 ≤ y ≤ 2m , con densidad de carga coordenadas. Determine la intensidad de campo eléctrico en el punto P (0, 0, 20) cm. σ = 2( x + y + 9) nC / m Halle 2 2 3/ 2 2 el campo eléctrico en el origen de coordenadas. 39. En el centro de un anillo fino de radio R, en el cual 47. Un anillo fino aislante de radio R tiene una carga, donde λ0 es una constante positiva y φ es el ángulo está distribuido uniformemente una carga –q, se encuentra una carga puntual +Q. Determine el cuya densidad lineal de carga es λ = λ 0 Cosϕ , módulo del vector intensidad de campo eléctrico en un punto del eje del anillo, distante z de su centro, azimutal. Determine el módulo de la intensidad del si z >> R. campo eléctrico: (a) En el centro del anillo, b) En el eje del anillo en dependencia de la distancia z hasta su centro. 40. Dos planos infinitos de carga son paralelos entre sí y paralelos al plano yz. Uno de ellos a x = - 2 m y su densidad de carga superficial es σ = -3,5 µC/ m2. 48. Una pelota de plástico pequeña de 12, 3 g de masa El otro corresponde a x = + 2 m y tiene una se encuentra unida por una curda larga de 28,6 cm densidad superficial de carga σ = +6 µC/ m2. de longitud a una pared vertical. Si existe un campo Determine el campo eléctrico para (a) x < -2 m, (b) eléctrico horizontal en este ambiente. Cuando la -2 m < x < 2 m y (c) x > 2 m. pelota tiene un exceso de carga de -1.11 µC, se observa que la pelota se encuentra en equilibrio con la cuerda formando un ángulo de 17,4 °, como se carga λ1 y λ2 tienen igual longitud L y están 41. Dos cargas lineales uniformes de densidades de muestra en la figura. Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico que existe en el situadas sobre el eje x separadas una distancia d ambiente. como indica la figura. ¿Cuál es la fuerza que una carga lineal ejerce sobre la otra?. 86
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. uniforme σ. Calcule el campo eléctrico en un punto 49. Se corta un orificio circular de radio R de un plano infinito que lleva una carga por unidad de área 53. Entre dos placas separadas 4 cm existe un campo eléctrico uniforme de magnitud 640 N/C. De a lo largo del eje que pasa por el centro del orificio manera simultánea se libera un protón de la placa y a una distancia H del plano que contiene al disco. positiva y un electrón de la placa negativa. (a) Determine la distancia a la placa positiva en el 50. Una carga lineal uniforme de densidad λ = 1 nC/m momento en que ambos se cruzan. Desprecie la atracción eléctrica existente entre el protón y el está arreglada en la forma de un cuadrado de 2 m electrón). (b) ¿Qué sucedería si? Repita el inciso de lado, como se muestra en la figura. Encuentre la (a) ahora con un ión de sodio (Na+) y con un ión de magnitud de la intensidad de campo eléctrico en el cloro (Cl-). punto P(0, 0, 1)m. 54. Una distribución de carga lineal uniforme, infinita intensidad de campo eléctrico �⃗ en el punto en extensión se encuentra a lo largo del eje z. Si la E densidad de carga es λ = 20 nC/m, determine la P (6, 8, 3) m. 55. Dos cargas lineales idénticas y uniformes de λ = 5 �⃗ Determine el vector campo eléctrico E en el punto nC/m, son paralelas al eje z, en x = 0, y = ± 4 m. P (±4, 0, z). 51. Una carga eléctrica está distribuida a lo largo de cada lado del cuadrado de lado a. Dos lados 56. El plano − x + 3 y − 6 z = contiene una 6m adyacentes tienen una distribución de carga distribución superficial de carga σ = 0,53 nC/m2. positiva con carga total +Q sobre cada uno. (a) Si Encuentre el vector intensidad de campo eléctrico los otros dos lados tienen un distribución de carga en el lado que contiene al origen de coordenadas. negativa con una carga total -Q sobre cada uno. ¿Cuáles son las componentes x e y del campo eléctrico neto en el centro del cuadrado?. (b) 57. La carga positiva Q está distribuida uniformemente Repita el cálculo del apartado (a) considerando que a lo largo del eje de las x desde x = 0, hasta x = a. sobre los cuatro lados del cuadrado ha sido Sobre el eje también existe una carga puntual +q distribuida cargas positivas +Q situada en x = a + r, una distancia r a la derecha del extremo de Q como se ve en la figura. (a) Determine las componentes x e y de la intensidad de campo eléctrico producido por la distribución de carga Q en puntos sobre el eje x < a. (b) Determine la fuerza (magnitud y dirección que la distribución de carga Q ejerce sobre q. (c) Demuestre que si r >> a, la magnitud de la fuerza del inciso (b) es aproximadamente al de una carga puntual Q situada en el origen de coordenadas. 52. El eje de un cilindro sólido de radio R y longitud L está alineado con el eje y, la orilla izquierda del cilindro está en y = 0, como se muestra en la figura. El cilindro tiene una carga total Q distribuida uniformemente en todo su volumen. Integrando el resultado para un disco de carga a lo largo de su propio eje, determine la intensidad de campo eléctrico en el punto P a lo largo del eje del cilindro en función de Q, L, y R 87
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. 58. Un dipolo eléctrico consiste en dos cargas barra y (a) la componente horizontal x de la puntuales q1 = +2e y q2 = -2e donde e es la carga intensidad de campo eléctrico. del electrón, separadas por una distancia d = 10-9 m. Las cargas están localizadas a lo largo del eje y como se ve en la figura. Suponiendo que se aplica un campo eléctrico externo constante  = (3i E ˆ + 3 ˆ) N / C . (a) ¿Cuál es la magnitud y j dirección del momento dipolar. (b) ¿Cuál es la magnitud y dirección del torque sobre el dipolo?. 62. Un disco delgado con un orificio circular en su centro, conocido como corona circular, tiene un carga superficial uniforme σ en su superficie. (a) radio interno R1 y un radio externo R2 como se muestra en la figura. El disco tiene una densidad de �⃗ intensidad de campo eléctrico E en puntos sobre el ¿Cuál es la carga total de la corona?. (b) Halle la eje z. 59. Una carga positiva +Q está distribuida a lo largo del eje x de x = 0 a x = a. La carga negativa –Q está distribuida a lo largo de eje –x de x = 0 a x = - a. hay una carga positiva +q sobre el eje positivo de las y a una distancia y del origen. Determine el campo eléctrico debido a las distribuciones en el punto donde se localiza la carga puntual +q y a partir de él determine la fuerza eléctrica que ejercen las distribuciones sobre la carga puntual. 60. Una carga positiva q = 7,81 pC es distribuida 63. Una varilla delgada es doblada en la forma de un uniformemente sobre una barra no conductora arco de un círculo de radio R = 7,5 cm. El arco que delgada de longitud L = 14,5 cm. Determine: (a) la tiene la forma de ¾ partes de una circunferencia se magnitud y dirección del campo eléctrico encuentra centrado en el origen de coordenadas, producido por la barra en el punto P ubicado a una como muestra la figura. Si sobre la varilla se distancia y = 6 cm en el bisector perpendicular a la distribuye uniformemente una carga Q = 4,7 nC. barra y (b) Si en P se coloca una carga de 2,32 µC. Determine la magnitud y dirección de la intensidad ¿Cuál será la magnitud y dirección de la fuerza de campo eléctrico en el origen de coordenadas. experimentada por ésta última? 64. Una barra delgada de longitud L está situada sobre el eje x con un extremo en x = d y el otro en el extremo en x = d +L. Si sobre la barra lleva una 61. Sobre una barra delgada de longitud L fija a lo densidad de carga no uniforme λ = λ0 x 2 . largo del eje x con uno de sus extremos en el origen Encuentre la intensidad de campo eléctrico en el de coordenadas se ha distribuido una carga con una origen de coordenadas. densidad λ = λ0 x , donde λ0 es una constante. longitud λ es doblada en la forma de un arco de un 65. Una varilla delgada con una carga por unidad de Determine: (a) la componente vertical y de la intensidad de campo eléctrico producido por la 88
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. 2θ0 , simétricamente alrededor del eje x, como �⃗ de carga +σ mientras que el segundo lleva una círculo de radio R. El arco subtiene un ángulo total 69. Encuentre la ecuación para el campo eléctrico entre muestra la figura- ¿Cuál es el campo eléctrico E en densidad de carga uniforme -σ dos discos de carga. El primero lleva una densidad 70. Una línea de carga de longitud 2L y densidad λ1 se el origen O?. carga de longitud L y densidad de carga λ2 se fija sobre el eje x, mientras una segunda línea de encuentra fija sobre el eje y. Encuentre el campo eléctrico en el punto P mostrado en la figura 66. Un disco de radio R está ubicado en el plano yz con superficial no uniforme dada por σ = σ0r, donde σ0 su centro en el origen de coordenadas. Sobre el disco se ha distribuido una carga con una densidad es una constante positiva y r es la distancia medida a partir del centro del disco. Encuentre la intensidad de campo eléctrico a una distancia x desde el centro del disco 71. Sobre una varilla delgada infinita fija sobre el eje x se ha distribuido una carga con una densidad lineal 67. La figura muestra dos anillos concéntricos, de λ = 2 µC/m como se muestra en la figura. Una radios R y R’ = 3 R, que se encuentran fijos en el carga puntual Q = -2 µC se encuentra ubicada en mismo plano. El punto P se encuentra fijo sobre el x = 0 cm, y = -5 cm. Determine la intensidad de eje central Z, a una distancia D = 2 R del centro del campo eléctrico en el punto P (7, 7) cm. anillo. El anillo pequeño tiene una carga +Q distribuida uniformemente. En términos de Q, determine la carga uniformemente distribuida sobre el anillo más grande si el campo eléctrico neto en el punto P es cero?. 72. Encuentre el campo eléctrico en un punto medio P entre una lámina infinita que lleva una densidad de carga superficial σ = 84,5 µC/m2 y una carga puntual q = 5,25 µC como se muestra en el 68. La figura muestra tres arcos circulares centrados diagrama. La distancia d entre la lámina de carga y en el origen de coordenadas. Sobre cada uno de los la carga puntual es 7,55 cm arcos de ha distribuido uniformemente cargas Q = 2 µC. Los radios se expresan en función de R = 10 cm. Determine la magnitud y dirección (respecto al eje x positivo) del campo eléctrico neto en el origen debido a los arcos cargados. 73. Tres láminas infinitas de carga son ubicada en las posiciones mostradas en la figura. La lámina 1 lleva una densidad de carga σ = 1 µC/m2; la lámina 2 una densidad de carga σ = 2 µC/m2; mientras que la lámina 3 lleva una densidad de carga superficial, 89
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. σ = 3 µC/m2. Encuentre la intensidad de campo eléctrico en los puntos indicados con 1, 2, 3 y 4 del diagrama. 78. Encuentre la magnitud y dirección de la intensidad σ uniformemente distribuido sobre su superficie. de campo eléctrico a una distancia z sobre el centro 74. Un anillo de radio R está ubicado en el plano xy de un cuadrado el cual lleva una densidad de carga uniforme dada por λ = λ0 sen ϕ, donde λ0 es una con su centro en el origen de coordenadas. Si sobre constante y φ es el ángulo azimutal, determine la el anillo se ha distribuido una densidad de carga no intensidad de campo eléctrico en un punto P ubicado en el eje del anillo a una distancia H, desde el centro. 75. Encuentre la intensidad de campo eléctrico en el de carga el cual tiene una carga total q = 5,6 μC. El punto medio P entre un disco de carga el cual tiene una densidad de carga σ = 250 µC/m2 y un anillo 79. Dos líneas de carga esencialmente infinitas está en radio del disco es 0,15 m y el radio del anillo es el plano yz y llevan densidades de carga lineales 0,15 m y la distancia de separación entre las uniformes +λ y –λ. Encuentre la ecuación para la distribuciones es 4R intensidad de campo eléctrico en un punto arbitrario P. ¿Cuál podría ser el momento dipolar eléctrico?. 76. Dos anillos circulares de radio R tienen sus centros sobre el eje x separados por una distancia l como se muestra en la figura. Si cada uno lleva una carga Q 80. El objeto curvado tiene una carga Q uniformemente distribuida uniformente en su longitud. Encuentre  distribuido a lo largo de su longitud. El radio de la intensidad de campo E ( x) , en puntos a lo largo curvatura es R. Derive expresiones para las del eje x. componentes del campo eléctrico en un punto P a una distancia a desde el centro a lo largo del eje y. 77. Encuentre el campo eléctrico �⃗ en el origen del E sistema coordenado mostrado debido a dos barras delgadas cargadas de longitud L = 1,5 m. La 81. Con una barra de vidrio delgada se forma un densidad de carga lineal es λ1 = - 25 µC/m, semicírculo de radio R, tal como se muestra en la mientras que λ2 = - 45 µC/m. La distancia a = 0,15 figura. Una carga es distribuida a lo largo de la m, mientras que la distancia b = 0,25 m. varilla en forma no uniforme con una densidad de 90
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. carga dada por λ = λ0senθ, donde λ0 es una distancia z = 2R. Suponga para este apartado que h constante positiva. El punto P es el centro de la = 3R; (c) razona si la condición del apartado (b) se semi-círculo. Encuentre la intensidad de campo cumple en el caso en que los signos de λ1 y λ2 son R = 5 cm y λ0 = 1,0 μC/m. eléctrico en el punto P. Determine la aceleración, distinto. de un electrón localizado en el punto P, asuma que densidad de carga λ, constante están ubicadas en el 85. Dos distribuciones de carga de longitud infinita, de 82. Sobre dos barras de plástico curvadas de radio plano xy paralelas al eje y a una distancia a del r = 8,5 cm ubicadas en el plano xy se han origen. Sobre un hilo recto de longitud L y masa m, distribuidas cargas ± q. El eje x pasa a través de uniforme λ. Determine: (a) El campo eléctrico que situado sobre el eje z tal como se muestra en la ambos extremos y la carga es distribuida figura , se distribuye una carga de densidad lineal uniformemente en ambas barras. Si q = 15 pC. (a) ¿Cuál es la magnitud y la dirección respecto al eje x gráfica, (b) el valor de λ para que el hilo se crean las cargas rectilíneas en los puntos del eje z. del campo eléctrico producido en el punto P (centro Dar su expresión en función de z y dibujar su del círculo)?; y (b) si en el centro del circulo se coloca una carga puntual q0 =+ 2 pC, ¿Cuál será la mantenga en equilibrio fuerza que ejerce la distribución de carga sobre ésta última? 83. En la figura se dispone de una distribución rectilínea de carga positiva de densidad λ = kz, para z > 0 y λ = -βz, para z < 0, siendo β una 86. Un sistema se compone de un disco de radio R constante positiva. Determine el campo eléctrico E cargado con una densidad de carga uniforme σ y de en un punto cualquiera del plano x-y, situado a la una varilla uniformemente cargada con una distancia r del origen densidad de carga λ, de longitud L, dispuesto en el eje del disco de modo que uno de sus extremos coincide con el centro de éste. Determine la fuerza de interacción entre el disco y la varilla. 84. La distribución de carga de la figura está formada por dos hilos conductores circulares de radios R y 2R, cuyas densidades lineales de carga (ambas positivas) son λ1 y λ2, respectivamente. La distancia sobre el eje z que separa a los centros de ambas espiras es h. Se pide: (a) el ampo eléctrico en un punto situado sobre la línea que une los centros, a una distancia z del origen de coordenadas (siendo z≤ h); (b) la relación matemática entre λ1 y λ2 para 87. La figura muestra un dispositivo para controlar la que el campo eléctrico resultante se anule a una trayectoria de las gotas de tinta en un tipo de 91
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. impresora de inyección de tinta. Las gotas son dista de esta la longitud d. Determine: (a) la desviadas por un campo eléctrico uniforme constante a, (b) la fuerza total que la carga lineal generado por dos placas planas cargadas. Una gota infinita ejerce sobre la barra de longitud L. de tinta de masa m = 1.3 10-10 kg y carga eléctrica Q = -1.5 10-13 C entra en la región entre las placas con velocidad de v0 = 18 m/s. La longitud de las placas es L = 2 cm. Suponga que el campo es uniforme y vale E =1.4 106 N/C. Calcular: a) la relación entre la fuerza eléctrica y la fuerza gravitatoria sobre la gota, ¿puede despreciarse ésta última? b) la desviación vertical de la gota al salir del espacio entre las placas. 91. Sobre una barra de plástico doblada en forma de un cuarto de circunferencia ha sido distribuida uniformemente una carga con una densidad lineal λ como se muestra en la figura. Determine la intensidad de campo eléctrico en el centro del arco. 88. Dos placas planas paralelas muy largas tienen densidades de carga por unidad de área de + 2 µC/m2 y - 2 µC/m2, respectivamente. Un pequeño grano de polen de masa m = 200 mg y carga q cuelga de un punto fijo mediante un cable flexible e inextensible como se muestra en la figura. Si el cable forma un ángulo θ = 30° con la vertical. Determine la carga q del grano de polen. 92. La figura muestra dos laminas planas muy grandes cargadas uniformemente con densidades de carga que se muestran en la figura. Determine la intensidad de campo eléctrico en los puntos a y b. 89. Calcular el campo eléctrico creado por una tira indefinida de densidad superficial de carga constante en los puntos del eje Y. 93. En el instante t = 0 un objeto muy pequeño de 0,4 mg de masa y +9 µC de carga está viajando a 125 m/s en la dirección –x. Si la carga se está 90. Sobre la barra de longitud L se ha distribuido una moviendo en el interior de un campo eléctrico carga con una densidad λ ( y ) = ay 2 en donde y es la uniforme de magnitud E = 895 N/C dirigido en la distancia medida desde el punto medio de la barra dirección +y. Depreciando la fuerza gravitacional sobre la partícula. ¿Hasta qué punto se alejará la densidad λ C/m, como se muestra en la figura. El infinita y se encuentra en dirección perpendicular a una carga lineal uniforme e infinitamente larga de partícula desde el origen en t = 7,00 ms?. 94. Una carga puntual q se encuentra cerca de un extremo más próximo de la barra a la carga lineal plano dieléctrico infinito cargado uniformemente 92
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. con una densidad de carga σ como se muestra en la lleva una carga de +2,5 µC distribuida figura. Determine la intensidad de campo eléctrico uniformemente a lo largo de su longitud y la otra en el punto P. lleva una carga de -2,5 µC distribuida uniformemente a lo largo de su longitud, como se muestra en la figura. (a) Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico producido por estos alambres en el punto P el cual está a 60 cm de cada uno de los alambres. (b) Si un electrón es liberado en P ,¿cuál será la fuerza neta ejercida por los alambres sobre el electrón?. 95. En la figura mostrada, una varilla de plástico forma un semicírculo de radio r = 5,00 cm. Si una carga es distribuida uniformemente a lo largo de la barra con +q = +4,5 pC en la mitad superior y –q = - 4,5 pC en la mitad inferior. (a) ¿Cuál es la magnitud y 98. Un protón es lanzado con una velocidad inicial de la dirección respecto al eje x de la intensidad de 150 m/s bajo un ángulo de 60° sobre la horizontal campo eléctrico en el punto P que es el centro del dentro de un campo eléctrico uniforme E = 0,0002 semicírculo?. (b) Si un electrón es colocado en P, N/C entre dos placas paralelas, como se muestra en ¿Cuál será la aceleración que experimenta dicha la figura. Encontrar: (a) el tiempo total que la partícula?. Considere que me = 9,11.10-31 kg y qe = - partícula está en movimiento y (b) su máximo 1,6.10-19 C?. alcance y (c su máxima altura 96. La figura muestra dos anillos no conductores y paralelos, dispuestos de tal manera que sus ejes son 99. Un péndulo cónico de longitud L = 25 cm tiene una coinciden. El anillo A tiene un radio R y sobre él se masa de m = 50 g y una carga q = -6 µC. ha distribuido uniformemente una carga qA el Determine la rapidez angular ω de su movimiento anillo B que tiene el mismo radio R tiene una carga para que la cuerda forme un ángulo θ = 37° con la qB distribuida uniformemente en su longitud. Los vertical. Considere que E = 50 kN/C. anillos se encuentran separados por una distancia 3.00R, como se muestra en la figura. Si el campo eléctrico neto en el punto P a una distancia R del anillo A es cero. ¿Cuál es la razón q1/q2? . 100. Un objeto cargado con q = -2,05 µC unido a una 97. Dos alambres no conductores de 1,2 m de longitud cuerda flexible e inextensible se suspendido en el forman un ángulo recto. Uno de los segmentos 93
Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. espacio comprendido entre dos placas grandes y muestra en la figura. (a) ¿En qué dirección apunta verticales como se muestra en la figura. Si la el campo eléctrico en el centro? y (b) ¿Cuál es la tensión en el cable es de 0, 35 N y el ángulo que la magnitud del campo eléctrico en el centro de la cuerda forma con la vertical es θ = 12°. Determine: circunferencia?. (a) la masa del objeto y (b) la magnitud del campo eléctrico. Rta: 0,035 kg; 3,5.104 N/C 104. Tres cargas puntuales idénticas (q = -10 µC) se colocan a lo largo de una circunferencia de 1,5 m de radio como se muestra en la figura. Determine la intensidad de campo eléctrico en el centro de la circunferencia. 101. La figura (a) muestra una barra no conductora con una carga +Q distribuida uniformemente. La barra forma media circunferencia de radio R y produce un campo eléctrico de magnitud Earc en el centro de curvatura P. Si el arco colapsa para dar una carga punto +Q a una distancia R de P como se muestra en la figura (b) ¿Por qué factor resulta multiplicado el campo eléctrico?. 105. 102. En la figura (a), una partícula de carga +Q produce un campo eléctrico de magnitud Epart en un punto P a una distancia R de la partícula. En la figura (b), la misma cantidad de carga Q es distribuida uniformemente sobre un arco de radio R que subtiene un ángulo La carga distribuida en el θ. arco produce un campo eléctrico de magnitud Earc en el centro de curvatura P. Para qué valor deθ se cumple que Earc = 0,50 E part . 103. Sobre un anillo de radio R se ha distribuido una carga con una densidad λ (θ ) = λ0 senθ , como se 94

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Concepto del campo eléctrico y su importancia en fenómenos físicos. Introducción a campos escalares y vectoriales.

Definición del campo eléctrico y su intensidad. Relación entre la fuerza y el campo eléctrico en cargas puntuales.

Ejemplos de movimiento de carga testigo en campos generados por cargas puntuales.

Principio de superposición de intensidades de campo eléctrico provenientes de múltiples cargas.

Determinación del campo eléctrico debido a distribuciones continuas como líneas y superficies de carga.

Descripción del dipolo eléctrico y su comportamiento en campos eléctricos. Momentos dipolares.

Cálculo de la fuerza sobre cargas en campos eléctricos. Ejemplos de aplicación.

Leyes fundamentales sobre el comportamiento de los campos eléctricos y la influencia de cargas.

Visualización y propiedades de las líneas de campo eléctrico, incluyendo la interacción entre cargas.

Resolución de problemas prácticos relacionados con campos eléctricos, dipolos y comportamiento de cargas.

Análisis de múltiples formas de carga y su efecto en campos eléctricos.

Cálculo de campos eléctricos generados por distribuciones de carga no uniformes y geometría variable.

Determinación de fuerza y relación con el campo. Análisis para diferentes configuraciones y trayectorias.

El comportamiento de partículas cargadas en campos eléctricos y análisis basado en simulaciones.

Problemas complejos de configuración y cálculo de campos eléctricos en sistemas variados.

Impacto de cargas sobre campos eléctricos y cómo se distribuyen en diferentes escenarios.

Descripción de experimentos prácticos para analizar el comportamiento de campos eléctricos.

Problemas que involucran conceptos de campos eléctricos en diferentes contextos y configuraciones.

Conceptos clave respecto a cargas, campos eléctricos y su relevancia en fenómenos físicos.

CAMPO ELECTRICO

  • 1.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. CAPITULO II CAMPO ELECTRICO 40
  • 2.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. 2.1 INTRODUCCIÓN La noción de campo es una idea de amplia importancia en descripción de un conjunto de fenómenos físicos. Un campo es una función o conjunto de funciones que representa por ejemplo a cada componente de un vector, definida en todos los puntos en un espacio dado de coordenadas y que asocia determinada cantidad física a cada punto en el espacio. del espacio existe una temperatura única en un tiempo t, expresada por la función 𝑇( 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), otra magnitud es la densidad de una sustancia fluida 𝜌( 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡). Ambas cantidades forman los llamados campos escalares. Los campos con que se trabajan son múltiples, uno de ellos lo constituye la temperatura, es decir en todo punto �⃗ Además de éstos campos existen los llamados campos vectoriales, es decir magnitudes vectoriales las cuales clase el viento en la atmósfera terrestre. En cada punto de la atmósfera el aire tendrá una velocidad V, cuyas quedan definidas completamente asociándoles un vector único a cada punto del espacio. Son ejemplos de esta componentes son funciones de la posición y del tiempo, esto es 𝑉𝑥 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ; 𝑉𝑦 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) y 𝑉𝑧 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡); . En el caso de que se trate de un campo de fuerzas este viene a ser aquella región del espacio en donde se dejan sentir la fuerza con que la tierra lo atrae. Dicha influencia se conoce como campo gravitacional terrestre ⃗ ( 𝑥, 𝑦, 𝑧). De 𝑔 los efectos de fuerzas a distancia. Así, la influencia gravitatoria sobre el espacio que rodea a la tierra se hace �⃗ visible en cualquiera de sus puntos se sitúa, a modo de detector, una masa de prueba y se mide su peso, es decir un modo análogo en física se introduce la noción de campo eléctrico E(x, y, z), y el de campo magnético �⃗( 𝑥, 𝑦, 𝑧), etc. 𝐵 En este capítulo presentaremos y desarrollaremos el concepto del campo eléctrico que producen cargas estáticas y aprenderemos algunos de los modos en los que nos puede ser útil. Asimismo, se continuará empleando la noción de campo en los capítulos posteriores, porque forma la base de la comprensión de muchos efectos eléctricos y magnéticos. 2.2 INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO. Es sabido que la principal fuente de los campos eléctricos son las distribuciones de cargas eléctricas, positivas o negativas en reposo o con un movimiento muy pequeño situadas en una región del espacio en donde se dejan sentir sus efectos. Por tanto, si en un punto cualquiera del espacio en donde está definido un campo eléctrico se coloca una carga de prueba o carga testigo q0, se observará la aparición de fuerzas eléctricas, es decir la carga de prueba experimentará atracciones o repulsiones. Por ejemplo si consideramos una carga puntual fija +Q, tal como se muestra en la figura 2.1a, ésta producirá un campo en el espacio que lo circunda, ello se ve reflejado cuando colocamos a la carga de prueba q0 en dicho espacio, se observa que ésta última experimenta fuerzas repulsivas radiales. Si ahora remplazamos a la carga +Q por otra negativa –Q, la carga testigo experimentará fuerzas de atracción (véase la figura 2.1b), Por lo tanto, decimos que existe un campo eléctrico en una región del El vector intensidad de campo eléctrico �⃗, en un punto en el espacio caracterizado por las coordenadas (x,y,z,t), espacio si una carga en reposo denominada carga de prueba experimenta una fuerza de origen eléctrico. E está definido como la fuerza eléctrica F�⃗ que actúa sobre una carga de prueba positiva colocada en este punto, dividida por la magnitud de la carga de prueba q0. Esto es   F ( x, y , z ) = E ( x, y , z ) , q0 → 0 (2.1) q0 Debe notarse que �⃗ es el campo externo a q0 – no es el campo producido por q0. Debido a que el campo eléctrico E es la fuerza por unidad de carga de prueba, la unidad de �⃗ en el SI es el newton/coulomb (N/C). Además, debe E �⃗ observarse que la dirección del campo es la misma que el de la fuerza eléctrica ya que asumimos F actúa sobre una carga +q0. Por otro lado, una vez que se conoce la intensidad de campo eléctrico en algún punto, es posible determinar a partir de la ecuación (2.1), la fuerza sobre cualquier partícula cargada, que se coque es ese punto. Esto es   F = qE (2.2) 41
  • 3.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. (a) (b) Fig. 2.1 (a) Campo eléctrico generado por una carga puntual positiva, (b) Campo eléctrico generado por una carga puntual negativa Al aplicar la ecuación (2.1) debe suponerse que la carga de prueba o testigo debe ser los suficientemente pequeña de tal modo que no perturbe la distribución de carga que produce la intensidad de campo eléctrico. 2.3 INTENSIDAD DE CAMPO ELECTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL muestra en la figura 2.2, y una carga testigo q0 situada en el punto 𝑃( 𝑥, 𝑦, 𝑧) a una distancia r de la carga q. De Consideremos inicialmente el caso de una carga puntual fija +q ubicada en una región del espacio tal como se acuerdo a la ley de Coulomb, la fuerza sobre la carga de prueba es  1 qq0 Fe = ˆ r 4πε o r 2 Donde r, es un vector unitario dirigido desde q hacia q0 � Fig. 2.2 Fuerza eléctrica ejercida por q sobre la carga testigo q0. La intensidad de campo eléctrico en el punto P, debido a la carga q ubicada en el origen de coordenadas es 1 qq0  ˆ r  Fe 4πε o r 2 = = E q0 q0  1 q E= ˆ er (2.3) 4πε 0 r 2 Donde q, es la carga que produce el campo y r, es un vector unitario dirigido desde q hacia la carga q0. Si q es � positiva, el campo está dirigido radialmente hacia afuera (figura 2.3a) mientras que si q es negativa el campo eléctrico está dirigida hacia ella (figura 2.3b). 42
  • 4.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. Fig. 2.3. Campo eléctrico generado por cargas puntuales: (a) positiva. (b) negativa punto 𝐴( 𝑥, 𝑦, 𝑧), tal como se muestra en la figura 2.4, la intensidad de campo eléctrico en el punto 𝑃 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧), es Si la carga que genera el campo no está en el origen de coordenadas, es decir está ubicada por ejemplo en el  1 q   =E   3 (r0 − rA ) (2.4) 4πε o r0 − rA  1 q   E=  ( AP) (2.5) 4πε o AP 3 Fig. 2.4. Campo eléctrico generado por una carga puntual positiva fija en un punto fuera del origen. Una carga de 4 μC está en el origen. Determine el valor del campo eléctrico en: (a) A(2,0,0) m, (b) B(3,4,0)m y Ejemplo 2.1 (c) en P(2,3,5)m. Solución En la figura se muestra la ubicación de la carga y los puntos correspondientes 43
  • 5.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. (a) El campo en el punto A esta dado por  q   4.10−6   =E A k= 9.109 = (4,5.103 N / C )i  3  (OA) 3 (2i ) OA 2 (b) El campo eléctrico en B es  q   4.10−6   108 3  144 3  = k  = 9.109 EB  3 (OB) (3= ( i + 4 j) .10 N / C )i + ( .10 N / C ) j OB 53 125 125 (c) El campo eléctrico en el punto P  q   4.10−6    = k  3 (OP) 9.109 2 2 2 3/ 2 (2i + 3 j + 5k ) EP = OP (2 + 3 + 5 )  72  108  180  EP = ( .103 N / C )i + ( .103 N / C ) j + ( .103 N / C )k 38 38 38 Para determinar la intensidad de campo eléctrico debido a un sistema de cargas puntuales 𝑞1 , 𝑞2 ,………, 2.4 INTENSIDAD DE CAMPO ELECTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN DISCRETA DE CARGA. 𝑞 𝑖 ,…. 𝑞 𝑛 , mostrado en la figura 2.5, primero se determina la intensidad de campo eléctrico en el punto P (x,y,z) producido por cada una de las cargas utilizando la ecuación (2,4) o (2.5) y posteriormente se procede a realizar la suma vectorial. En otras palabras el campo eléctrico total debido a un sistema de cargas puntuales es igual al vector resultante de la suma de los vectores intensidad de campo eléctrico de todas las cagas. Este principio de superposición para campos eléctricos matemáticamente se escribe       E = E1 + E2 + ........ + Ei + .... + En = ∑E i (2.6)  1 n q   =E 4πε o ∑ r −r   i =1 3 (r0 − ri ) (2.7) 0 i Fig. 2.5. Campo eléctrico generado por un sistema de cargas puntuales. 44
  • 6.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. Una carga de 5 μC se coloca en x = 0 y otra de 10 μC es colocada en x = 10 cm. Encuentre el punto o puntos Ejemplo 2.2 Campo eléctrico de una carga puntual en puntos de espacio sobre el eje x donde el campo eléctrico es nulo. ¿Existen otros puntos E = 0?. Solución. En la figura se muestra la ubicación de las cargas en el plano xy. Los campos eléctricos en P son  −6  q1  9 5.10 45.103  = k= 9.10 E1 i = i i (N / C) r12 x2 x2  q  10.10−6  90.103  E2 = 2 (−i ) =9.109 k 2 − i =− i (N / C) r2 (0,1 − x) 2 (0,1 − x) 2 El campo total en el punto P será     45.103 90.103   E = E1 + E2 =  − i  x 2 (0,1 − x) 2  La condición del problema exige que el campo resultante en P deba ser nulo, entonces 45.103 90.103 = x2 (0,1 − x) 2 x 2 + 0, 2 x + 0, 01 = 0 x = +4,14cm Respecto a si existen otros puntos en los cuales el campo eléctrico puede ser cero, la respuesta es NO Ejemplo 2.3. Campo eléctrico de un sistema de cargas puntuales Cuatro cargas del mismo valor están dispuestas en los vértices de un cuadrado de lado L, como se muestra en la figura. Demostrar que el campo eléctrico debido a las cuatro cargas en el punto medio de uno de los lados del cuadrado está dirigido a lo largo de dicho lado hacia la carga negativa y que su valor es. 8kq  5 =E 1 −  L2   25   45
  • 7.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. Solución. Para demostrar lo solicitado, escojamos el punto P mostrado en la figura y tracemos los campos correspondientes. Los campos eléctrico en el punto P (punto medio del lado son  kq1   kq   E= 1 2 (cos θ i + senθ j=) 2 (cos θ i + senθ j ) r1 r  kq2   kq   E=2 2 (cos θ i − senθ j=) 2 (cos θ i − senθ j ) r2 r  kq  kq  E3 = i =i − 23 − 2 r3 r3  kq  kq  E4 = i =i − 24 − 2 r4 r4 El campo resultante en el punto P será      E = E1 + E2 + E3 + E4  L    2kq kq kq     2kq kq kq   =  2 cos θ − 2 − 2  i + 0 j  E = 2 − − i  r r3 r4   ( L 5 )2 L 5 ( L )2 ( L )2   2  2 2 2    8kq  5   =E  − 1 i L2  25    El modulo del campo será  8kq  5 =E 2  1−  L  25   En la sección anterior se mostró la forma como calcular �⃗, de una carga puntual utilizando la ley de Coulomb, 2.5 INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA. 𝐄 así mismo se obtuvo el campo eléctrico neto debido a un sistema de cargas puntuales utilizando el principio de superposición. Sin embargo, existe un conjunto de problemas en los cuales las cargas están muy cercanas entre sí en comparación con las distancias a los puntos donde se quiere determinar la intensidad de campo eléctrico. En estas situaciones puede considerarse al sistema como un continuo. 46
  • 8.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. elementos, cada uno de los cuales contiene una pequeña carga ∆𝑞 → 𝑑𝑞, los que se comportan como cargas Para determinar la intensidad de campo erétrico de una distribución continua de carga (barra, disco, esfera, etc.) se aplica el siguiente procedimiento. En primer lugar, se divide a la distribución de carga en pequeños debido a uno de estos elementos en el punto correspondiente 𝑃( 𝑥, 𝑦, 𝑧). Por último se determina la intensidad de puntuales (véase la figura 2.6). A continuación se aplica la ley de Coulomb para calcular el campo eléctrico campo eléctrico total en el punto P sumando (integrando) las contribuciones de todos los elementos de carga. Fig. 2.6. Campo eléctrico debido a un elemento de carga ∆𝐪 en un punto P. Es decir, el campo eléctrico debido al elemento de carga dq está dado por la ley de coulomb la carga puntual  1 dq dE = ˆ r (2.8) 4πε 0 r 2 Donde, r es la distancia de dq al punto P y r el vector unitario correspondiente. Usando el principio de � superposición, el campo eléctrico total es el vector suma (integral) de todas las contribuciones infinitesimales  1 dq E= 4πε 0 ∫ r 2 rˆ (2.9) Si la carga eléctrica es distribuida sobre una línea de longitud l, entonces la densidad de carga λ es 2.5.1 Campo eléctrico de una distribución lineal de carga.   ∆q  dq λ (r ) = = lim   (2.10) ∆L→0 ∆l   dl Donde la dimensión de λ es carga por unidad de longitud (C/m). La carga total es la integra sobre la longitud completa  Q= ∫ λ (r )dl lon (2.11) Fig. 2.7. Campo eléctrico debido a una distribución lineal de carga 47
  • 9.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. �⃗ carga dq y logitud dl, como se muestra en la figura 2.7 y a continuación se determina el campo dE producido Para determinar el campo eléctrico de la distribución lineal, se divide a la distribución de carga en elementos de por dq en el punto P, esto es   1 dq   1 λ (r )dl  =dE =  3 ( AP )   3 ( AP )  (2.12) 4πε 0 AP 4πε 0 AP El campo total será   1 λ (r )dl   E= 4πε 0 ∫  3 ( AP )  (2.13) l AP 2.5.2 Campo eléctrico de una distribución superficial de carga. densidad de carga superficial σ, dada por En una manera similar, la carga eléctrica puede ser distribuida sobre una superficie de área A con una   ∆q  dq σ (r ) = = lim   (2.14) ∆L → 0 ∆A   dA Donde la dimensión de σ es carga por unidad de área (C/m2). La carga total en la superficie completa es  Q = ∫∫ σ (r )dA (2.15) A Figura 2.8. Campo eléctrico debido a una distribución superficial de carga. �⃗ elementos de carga dq y área dA, como se muestra en la figura 2.8, y a continuación se determina el campo dE Para determinar el campo eléctrico de la distribución superficial, se divide a la distribución de carga en producido por dq en el punto P, es decir   1 dq   1 σ (r )dA  =dE =  3  ( AP)  3 ( AP)  (2.16) 4πε 0 AP 4πε 0 AP El campo total será   1 σ (r )dA   E= 4πε 0 ∫∫  3 ( AP )  (2.17) A AP 48
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    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. 2.5.3 Campo eléctrico de una distribución volumétrica de carga. en algún punto O. Para lograr este objetico consideremos un pequeño elemento de volumen ∆Vi , el cual contiene una carga ∆𝑞 𝑖 , la distancia entre cargas dentro del volumen elemental ∆𝑉𝑖 es mucho menor que la distancia entre Supongamos que se tiene una distribución volumétrica de carga y se desea obtener el campo eléctrico ∆𝑉𝑖 y P. En el límite cuando ∆𝑉𝑖 llega a ser infinitesimalmente pequeño podemos definir una densidad de carga volumétrica en la forma   ∆q  dq =ρ (r ) = lim   (2.18) ∆Vi → 0 ∆V   dV La dimensión de ρ(r) es carga por unidad de volumen (C/m3). La carga total en la superficie completa es ⃗  Q= ∑ ∆q = ∫∫∫ ρ (r )dV i (2.19) V Figura 2.9. Campo eléctrico debido a una distribución volumétrica de carga �⃗ elementos de carga dq y área dV, como se muestra en la figura 2.9 y a continuación se determina el campo dE Para determinar el campo eléctrico de la distribución superficial, se divide a la distribución de carga en producido por dq en el punto P, es decir   1 dq   1 ρ (r )dV  =dE =  3  ( AP )  3 ( AP )  (2.20) 4πε 0 AP 4πε 0 AP El campo total será   1 ρ (r )dV   E= 4πε 0 ∫∫∫  3 ( AP)  (2.21) V AP Ejemplo 2.4 Campo de una varilla con carga no uniforme en el origen de coordenadas densidad de carga por unidad de longitud que varía como λ ( x ) = λ0 ( x − d ) , donde λ0 es una constante. Determine Una línea de carga de longitud L está ubicada a lo largo del eje x como se muestra en la figura y tiene una d el campo eléctrico en el origen de coordenadas. 49
  • 11.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. Solución La densidad de carga lineal no es uniforme y está dada por λ= λ0 ( x − d ) . La cantidad de carga contenida en un ( x) d pequeño segmento diferencial de longitud dx, mostrado en la figura es λ0 = λ ( x)dx dq = ( x − d )dx d El campo eléctrico producido por dq en el punto O será λ0  ( x − d )dx dq = k= k d dE ˆ r (−i ) ˆ r2 x2  kλ ( x − d )  dE = − 0 dxi d x2 El campo debido a la varilla completa se obtiene integrando la expresión anterior   k λ L+d ( x − d )  k λ  L + d dx L + d dx   E =∫ ∫ dE = 2 dxi = − d ∫ − 0 − 0 ∫ i d d x d  d x d x2   L+d  kλ  d  kλ   L + d  d  E = ln x +  i = ln  − 0 − 0 + − 1 i d  x d d   d  L+d   kλ   L + d  L  E = − − 0 ln  i d   d  L+d  Una barra no conductora de longitud L con una densidad de carga uniforme λ y una carga total Q está localizada Ejemplo 2.5 Campo de una varilla con carga uniforme en puntos sobre el eje y a lo largo del eje x, como se muestra en la figura. Determine el campo eléctrico en el punto P, localizado a una distancia y del eje que contiene a la barra. 50
  • 12.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. Solución Dividimos a la varilla en elementos diferenciales dq de longitud dx, ubicados a una distancia x del punto O como se muestra en la figura (b), entonces la carga de dicho elemento es dq λ= → dq = λ dx dx El campo eléctrico producido por el elemento dq en el punto P esta dado por  dq λ dx   dE = k 2 r = k 2 ˆ (− senθ i + cos θ j ) r (x + y2 )   Donde el vector unitario se ha escrito en componentes x e y dado por r = i + cos θ j .El campo total se ˆ − senθ obtiene integrando la ecuación anterior pero en forma de componentes Componente x λ x2 dx λ x2 dx x λ x2 xdx Ex = θ = − 4πε 0 ∫x1 ( x 2 + y 2 ) sen − 4πε 0 ∫x1 ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 = − 4πε 0 ∫x1 ( x 2 + y 2 )3/ 2 Evaluando la integral y remplazando los límites correspondientes se tiene λ  1 1  λ  y y  = Ex  − =   −  4πε 0  x2 + y 2 2 x12 + y 2  4πε 0 y  x2 + y 2 2 x12 + y 2      λ =Ex (cos θ 2 − cos θ1 ) 4πε 0 y Componente y λ x2 dx λ x2 dx y λ x2 ydx =Ey = 4πε 0 ∫x1 ( x 2 + y 2 ) cos θ 4πε 0 = 4πε 0 ∫x1 ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 ∫ x1 ( x + y 2 )3/ 2 2 Evaluando la integral y remplazando los límites correspondientes se tiene λy x dx λy 1 θ λ θ = = = ∫x ( x 2 + y 2 )3/ 2 4πε 0 y 2 ∫θ cos θ dθ 4πε 0 y senθ θ 2 2 2 Ey 4πε 0 1 1 1 λ = Ey ( senθ 2 − senθ1 ) 4πε 0 y 51
  • 13.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. En el caso de una varilla infinita donde 𝑥1 → −∞ y 𝑥2 → +∞, con 𝑥 𝑖 = 𝑦𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑖 , los ángulos correspondientes son θ1 = −π/2 y θ2 = +π/2. Remplazando estos valores en las ecuaciones de las componentes se tiene Ex = 0 λ  π  π  λ =Ey  sen 2 − sen  − 2   2πε y = 4πε 0 y    0 Ejemplo 2.6 Campo de un arco de circunferencia con carga no uniforme semicírculo es no uniforme y está dada por λ = λ0 cosφ. Determine el campo eléctrico en el centro del Un tubo delgado cargado positivamente tiene la forma de un semicírculo de radio R, como se muestra en la figura. La carga total sobre el semicírculo es Q. sin embargo, la carga por unidad de longitud a lo largo del semicírculo Se divide a la distribución de carga en elementos infinitesimales de carga dq a un ángulo φ, de longitud ds Solución como se muestra en la figura y su carga será = λ (ϕ )ds λ0 cos ϕ ( Rdϕ ) λ0 R cos ϕ dϕ dq = = El campo eléctrico producido por el elemento de carga es  1 dq λ ds λ ( R cos ϕ dϕ ) = dE = ˆ r (− cos ϕ i − senϕ ˆ) ˆ = j (− cos ϕ i − senϕ ˆ) ˆ j 4πε 0 r 2 4πε 0 R 2 4πε 0 R 2 El campo eléctrico debido a la distribución de carga completa se obtiene sumando (integrando) la ecuación anterior.  λ0  π π E =ϕ i + ∫ senϕ cos ϕ dϕ ˆ  − ∫0 cos ϕ d ˆ 0 2 j 4πε R   0   π  π   λ0  1  sen 2ϕ  ˆ sen 2ϕ λ0  π ˆ ˆ = i + 0 ˆ  E = ϕ + −  i+ j −  j 4πε 0 R  2  2 0 2  4πε 0 R  2   0   λ ˆ E= − 0 i 8ε 0 R 52
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    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. Un anillo no conductor de radio R con una densidad de carga λ y una carga total Q está localizado en el plano Ejemplo 2.7 Campo de un anillo xy, como se muestra en la figura. Determine el campo eléctrico en un punto P, localizado a una distancia z desde el centro del anillo a lo largo del eje de simetría Figura (a) Figura (b) Solución Dividimos al anillo cargado en elementos diferenciales dq de longitud ds = Rdϕ, como se muestra en la figura (b). La carga del elemento es Q dq λ= = ⇒ dq = λ ds = λ d ( Rϕ ) LCir ds dq = λ Rdϕ El campo producido por el elemento diferencial en el punto P será  1 dq 1 λ Rdϕ =dE = ˆ r ˆ r 4πε 0 r 2 4πε 0 r 2 Utilizando los argumentos de simetría observamos que las componentes horizontales se anulan mutuamente. Por lo tanto la única componente que queda es la componente z, esto es 1 λ Rdϕ = dE cos θ dEz = cos θ 4πε 0 r 2 1 λ Rdϕ z λR λ dϕ =dEz = 4πε 0 ( R + z ) R 2 + z 2 4πε 0 ( R + z 2 )3/ 2 2 2 2 El campo eléctrico total es la suma (integral) de la ecuación anterior λ Rz λ Rz ( 2π ) ( 2π Rλ ) z =Ez = = ∫ dϕ 4πε 0 ( R 2 + z 2 )3/ 2 4πε 0 ( R 2 + z 2 )3/ 2 2 3/ 2  4πε 0 ( R + z ) C 2 1 Qz Ez = 4πε 0 ( R + z 2 )3/ 2 2 Donde la carga total es Q = 2πRλ. Analizando la ecuación anterior se ve que si z→0, el campo en el centro del anillo es nulo E0 = 0, además si z >> R, el campo es 53
  • 15.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. 1 Qz 1 Qz =Ez = 4πε 0  2  R 2   3/ 2 4πε 0 z 3  z  ( z ) + 1     1 Q Ez = 4πε 0 z 2 Resultado que debería esperarse pues si observamos el anillo desde una distancia muy grande el anillo se comporta como una partícula puntual. Ejemplo 2.7 Campo de un disco. Un disco de radio R uniformemente cargado con una carga total Q se encuentra en el plano xy, centrado en el origen de coordenada como se ve en la figura (a). Determine el campo eléctrico en el punto P, a lo largo del eje z y que pasa a través del centro del disco perpendicular al plano. Discutir el caso límite cuando R >> z. Solución Se divide a la distribución de carga en elementos dq en forma de anillos de radio r y espesor dr tal como se muestra en la figura (b), entonces la carga dq está dada por Q dq σ= = → dq =σ dA =σ (2π rdr ) A dA dq = 2πσ rdr El campo producido por el anillo diferencial en el punto P será  1 dq 1 2πσ rdr =dE = ˆ r ˆ r 4πε 0 r 2 4πε 0 r2 Utilizando los argumentos de simetría observamos que las componentes horizontales se anulan mutuamente. Por lo tanto la única componente que queda es la componente z, esto es 1 2πσ rdr = dE cos θ dEz = cos θ 4πε 0 r 2 1 2πσ rdr z 2πσ z rdr =dEz = 4πε 0 (r + z ) r 2 + z 2 2 2 4πε 0 (r + z 2 )3/ 2 2 54
  • 16.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. El campo eléctrico total es la suma (integral) de la ecuación anterior 2πσ z R rdr 2πσ z (du / 2) πσ z −3/ 2 πσ z u −1/ 2 4πε 0 ∫0 (r 2 + z 2 )3/ 2 4πε 0 ∫ u 3/ 2 4πε 0 ∫ =Ez = = = u du 4πε 0 ( −1/ 2 ) R 2πσ z 1 2πσ z  1 1 = − = −  −  2 4πε 0 r + z 2 2 0 4πε 0  R + z 2 z  σ z z  =Ez  −  2ε 0 z R2 + z 2  Las ecuaciones anteriores pueden escribirse σ  z   1 −  para z >0  2ε 0  R +z  2 2 Ez =  σ  z   2ε  −1 −  para z < 0  0  R +z  2 2 Para determinar el campo para punto muy distantes se hace uso de la serie de Taylor −1/ 2 z  R2   1 R2  1 R2 1− = − 1 + 2  1 = − 1 − 1 2 + ......  ≈ 2 R2 + z 2  z   2 z  2 z σ 1 R 2 σ (π R 2 ) Q =Ez = = 2ε 0 2 z 2 4πε 0 z 2 4πε 0 z 2 Este resultado es idéntico al obtenido para una carga puntual. Por otro lado, podemos evaluar el caso donde R >> 0. Físicamente esto nos daría el campo de un plano infinito- El campo eléctrico es este límite es de la forma σ eˆ para z >0   2ε 0 n  E= − σ e para z < 0 ˆ  2ε 0 n  Ejemplo 2.7 Campo de un cascarón esférico σ en la superficie. Determinar el campo eléctrico en términos de la distancia r desde el centro de la corteza. Una corteza delgada esférica de radio R posee una carga total Q con una densidad superficial uniforme de carga Solución Se divide a la distribución en elementos diferenciales de carga en forma de anillos de radio y, espesor ds y carga dq como se muestra en la figura. 55
  • 17.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. El elemento diferencial tiene una carga dq dado por = σ dA σ (2π y )( Rdθ ) σ (2π Rsenθ )( Rdθ ) dq = = dq = 2πσ R 2 senθ dθ (a) El campo eléctrico producido por el elemento diferencial dq en el punto P situado a una distancia r del centro del cascarón es  = dE cos α i − dEsenα ˆ dE ˆ j (b) La simetría de la distribución de carga exige que las componentes perpendiculares al eje x se cancelen mutuamente, entonces sólo queda la componente horizontal (radial)  dq = dE cos α i k 2 cos α i dE = ˆ ˆ (c) S Remplazando (a) en (c) se tiene  2πσ R 2 senθ dθ dE = k cos α i ˆ (d) S2 Antes de proceder a integrar la ecuación (d) es necesario eliminar dos de tres variables S, θ, y α. En este caso las variables se remplazan en función de S Aplicando la ley de cosenos en el triángulo OPA S 2 = R 2 + r 2 − 2 Rr cos θ (e) Derivando la expresión (e), tenemos 2 SdS = 2rRsenθ dθ SdS senθ dθ = (f) Una expresión para cosα se obtiene aplicando la ley de cosenos rR R 2 = S 2 + r 2 − 2rS cos α S 2 + r 2 − R2 cos α = (g) 2rS Remplazando el valor de las ecuaciones (e), (f) y (g) en (d), tenemos 56
  • 18.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C.  2π kσ R 2 ( SdS / rR )  S 2 + r 2 − R 2  dE =  iˆ S2  2rS  (h)  π kσ R  (r − R )  2 2 = 1+ ˆ r2  S2  dE dSi   El campo eléctrico debido a la corteza esférica completa en el punto P se obtiene integrando la ecuación (h) esto es r+R  π kσ R r + R  (r 2 − R 2 )  π kσ ˆ = R S − r − R  i 2 2 E =2 ∫ 1 + dSi   ˆ (i) r r−R  S2  r2  S  r−R Remplazando los límites correspondientes resulta  1 σ (π R 2 ) ˆ 1 Qˆ =E = i i (j) 4πε 0 r 2 4πε 0 r 2 Debido a que el punto P fue escogido arbitrariamente entonces el campo eléctrico de la distribución en cualquier punto del espacio es  1 Q Er = ˆ er (k) 4πε 0 r 2  Donde er es un vector unitario dirigido en dirección radial Para puntos interiores R+r  π kσ R R + r  (r 2 − R 2 )  π kσ R  r 2 − R2  Er = ∫ 1 + dS er =  S − ˆ  er ˆ r2 R−r  S2  r2  S  R−r  Er = 0 (l) Ejemplo 2.8 Fuerza entre varillas cargadas Dos cargas lineales uniformes e iguales de longitud L están situadas sobre el eje x separadas una distancia d d ≫ L, la fuerza tiende al resultado esperado ke (λ L) 2 / d 2 . como indica la figura. (a) ¿Cuál es la fuerza que una carga lineal ejerce sobre la otra?. (b) Demostrar que cuando Solución Para ello dividimos a la primera varilla en elementos de carga 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑥, ubicados a una distancia x del origen Aún cuando este ejemplo puede resolverse directamente mediante la aplicación de la ley de Coulomb a distribuciones continuas de carga. En esta sección se resuelve el problema usando la idea de campo eléctrico. de coordenadas, que tiene un espesor dx, como se muestra en la figura y se evalúa el campo producido por este elemento en un punto arbitrario P de la segunda varilla ubicado a una distancia xP del origen, después se integra esta expresión para determinar el campo resultante en dicho punto. Posteriormente se determina la fuerza 57
  • 19.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. ejercida por la primera varilla sobre un elemento dq’ = λ’dx’ perteneciente a la segunda varilla y finalmente se procede a la suma (integración) para calcular la fuerza neta. El campo producido por dq en el punto P está dado por  dq λ dx ˆ = k= k dE eˆ i (a) r 2 r ( xP − x ) 2 El campo neto debido a la primera barra en P es la suma o integración de la ecuación (a)  L dx ˆ L = kλ ∫ E = k λ ∫ ( xP − x) −2 dxi i ˆ (b) 0 ( xP − x ) 2 0 Para poder integrar se hace el cambio de variable, u = P − x → du = dx , con lo que se tiene x − L  kλ  kλ  1 1 ˆ −k λ ∫ u −2 dui E= ˆ= i = kλ  i=− ˆ i (c) u xP − x 0  xP − L xP  Del gráfico tenemos que x p = L + d + x ' , valor que al ser remplazado en la ecuación (c), da   1 1 ˆ = kλ  E − i  L + d + x '− L L + d + x '    1 1 ˆ = kλ  E − i (d)  d + x' L + d + x' La fuerza producida por la varilla izquierda sobre el elemento de carga dq´ de longitud dx´ es     1 1  ˆ  1 1  dF ' = λ   k d + x ' L + d + x '  i  (dq ') =− L + d + x '  (λ ' dx ')i E (dq ') = − kλ  ˆ (e)      d + x'  La fuerza resultante se obtiene sumando (integrando) la ecuación (e) es decir.  L  dx ' dx '  = ke λλ ' ∫  F' − i 0  d + x' L + d + x'  = ke λ 2 [ ln( d + x ') − ln( L + d + x ') ] 0 i L F' ˆ  = ke λ 2 [ ln( d + L) − ln( d ) − ln( d + 2 L) + ln( d + L)] i F' ˆ Simplificando obtenemos la fuerza entre varillas, esto es 58
  • 20.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C.  λ2  (d + L) 2  ˆ F'= 4πε 0  d (d + 2 L)  ln  i Rta.  Parte (b). Para el caso de que 𝑑 ≫ 𝐿, primero se arregla la ecuación anterior esto es    L  2    L 2    d 1 +     1 +   λ2  (d + L) 2  λ2    d   λ2 ln   d  = = F ln  =  4πε ln  4πε 0  d (d + 2 L)    2L   4πε 0   2 L    d  d 1 +    1 + d   0     d      λ2   L  2L  =F  2 ln 1 + d  − ln 1 + d   4πε 0      La función logaritmo se desarrolla en serie, esto es 1 2 1 3 ln (1 ± x ) = x − ± x ± x − ........... 2 3 λ2  2 L  L 2 2L L 2  =F  −   + ....... − + 2   − .... 4πε 0  d d   d d    Tomando solamente los dos primeros términos, la ecuación simplificada para la fuerza es λ 2 L2 F= 4πε 0 d 2 2.6 LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICO Las líneas de fuerza o también conocidas como líneas de campo, son líneas imaginarias que nos permiten visualizar las interacciones eléctricas que experimentan las cargas cuando se encuentran en el interior de un campo eléctrico, permitiendo de este modo una representación grafica del campo eléctrico en el espacio. Michael Faraday (1791-1867) fue uno de los primeros en introducir una forma de visualizar los campos eléctricos en función de lo que llamó líneas de campo o líneas de fuerza, líneas que están relacionadas con el campo de la manera siguiente. especifique la dirección del campo eléctrico �⃗ en ese punto. E 1. Las líneas de campo eléctrico se trazan de tal manera que la tangente a la línea de campo, en cada punto, de campo eléctrico en ese punto. En consecuencia �⃗, es grande cuando las líneas están muy próximas entre E 2. La densidad espacial de las líneas del campo eléctrico en determinado punto es proporcional a la intensidad sí y es pequeña cuando están separadas El patrón de líneas de campo eléctrico puede ser obtenido mediante las consideraciones siguientes. 1. Simetría. Por cada punto sobre la línea de unión de las dos cargas existe un punto equivalente debajo de este. Por tanto, el patrón puede ser simétrico cerca de la línea de unión de las dos cargas. 2. Campo cerca a la carga. Muy cerca de la carga eléctrica, predomina el campo debido a la carga: podría ser semejante al de una carga puntual de valor 𝑄 = ∑ 𝑄 𝑖 . Así, las líneas podrían ser radialmente Entonces, las líneas son radiales y de simetría esférica. 3. Campo lejos de la carga. El patrón de líneas de campo para puntos alejados del sistema de cargas �⃗ Punto nulo. Este es un punto en el cual E = 0, es decir no podrán pasar líneas a través de dicho punto. hacia afuera, al menos que Q = 0. 4. 59
  • 21.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. En la figura 2.10a, se muestra las líneas de campo para una carga puntual positiva, en ella se ve que las líneas están dirigidas radialmente hacia afuera, mientras que las líneas están dirigidas hacia el interior de la carga puntual negativa (figura 2.10c), en ambos caso observamos que el espaciado de las líneas está relacionado con la intensidad de campo. Es decir a medida que nos alejamos de las cargas el campo se debilita y las líneas se separan (a) (b) (c) Fig. 2.10. (a) líneas de campo eléctrico de una carga puntual positiva, (b) líneas de campo eléctrico de una carga individual negativa. En la figura 2,11a, se muestra las líneas de fuerza para dos cargas puntuales positivas que llevan igual carga q y están separadas por un distancia pequeña. El gráfico indica que en puntos cercanos a las cargas el campo se debe únicamente a la carga sola. Estas líneas también muestran la repulsión. (a) (b) Fig. 2.11. (a) Líneas de campo eléctrico correspondientes a dos cargas puntuales positivas, las flechas se invertirán si son negativas (b) esquema obtenido en el laboratorio usando trozos de hilo en aceite. Los criterios utilizados en los ejemplos para trazar líneas de campo permiten en general graficar las líneas de fuerza para cualquier distribución. Sin embargo, resumimos a continuación algunas propiedades de las líneas de La dirección del vector campo eléctrico �⃗ en un punto dado es tangente a la línea de campo. E campos eléctricos como sigue:   El número de líneas por unidad de área que atraviesa una superficie perpendicular a la dirección de la línea, es proporcional a la magnitud del campo eléctrico en una región dada.  Las líneas de campo comienzan en las cargas positivas (o en el infinito) y terminan en las cargas negativas o en el infinito. 60
  • 22.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C.  El número de líneas que tienen su origen o terminan en una carga negativa es proporcional a la magnitud de la carga  Dos líneas de fuerza nunca se cruzan. Porque si lo hicieran el campo en un mismo punto tendría dos direcciones diferentes, lo que es imposible. Es importante señalar que las líneas de campo no tienen existencia física real. Estas líneas solo se utilizan para describir cualitativamente el campo eléctrico. Para terminar con el estudio de las líneas de fuerza analicemos el caso de dos partículas de igual magnitud pero de signo opuesto y situadas a una distancia muy pequeña una de la otra. A esta configuración se le da el nombre de dipolo eléctrico. En la figura 2.12a, se muestran sus líneas de campo, esta indica que el número de ellas que nacen en la carga positiva es igual al número de líneas que entra en la carga negativa. Debe observarse además que el campo es más intenso entre las cargas. La figura 2.11b, muestra una fotografía de la determinación experimental del campo eléctrico para un dipolo, aquí una vez más se observa la atracción entre la carga) y la carga positiva. (a) (b) Fig. 2.12. (a) esquema de las líneas de campo eléctrico producidas por un dipolo; líneas de fuerza de dos cargas puntuales (azul negativa y amarilla positiva. Finalmente a modo de aplicación cualitativa discutamos la importancia de los campos eléctricos en el estudio de las interacciones eléctricas. La Figura 2.13a, ilustra la fuerza repulsiva experimentada por dos objetos debido a sus campos eléctricos. El sistema consta de una esfera metálica cargada fija en el espacio (cabeza del generador de Van de Graaff). El otro objeto es una esfera pequeña cargada la cual es libre de moverse (desprecie la acción gravitatoria). Según la ley de coulomb, estas dos cargas, se repelen mutuamente. Es decir la esfera pequeña experimenta una fuerza repulsiva hacia afuera del generador de van de Graaff. (a) (b) Fig. 2.13. (a) Dos cargas del mimo signo que se repelen entre sí debido a la tensión trasmitida por campos eléctricos. (b) Dos cargas de sigo opuesto que se atraen entre sí debido a la tensión transmitida por campos eléctricos. 61
  • 23.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. Observe que, la animación muestra la existencia de campos eléctricos así como el movimiento de la esfera pequeña. Por otro lado, la figura 2.13b, muestra la interacción entre dos objetos con carga de signos opuestos. De acuerdo con la ley de coulomb los objetos se atraen entre sí y la esfera pequeña siente una fuerza atractiva hacia el generador. El punto de vista de estas dos animaciones es subrayar el hecho de que la fuerza de Coulomb entre dos cargas no es de “acción a distancia”. Por el contrario, la tensión es transmitido mediante “contacto” directo e inmediato del generador de van de Graaff y su medio circundante, a través del campo eléctrico de la carga en el generador de van de Graaff. La tensión es entonces transmitida de un elemento del espacio a un elemento vecino, en una manera continua hasta que es transmitido a la región del espacio contiguo a la esfera pequeña, y por último a la esfera pequeña en sí. Aun cuando las dos esferas pequeñas no están en contacto directo una con otra, ellas están en contacto directo con un medio o mecanismo que existe entre ellas. La fuerza entre la esfera pequeña y el generador de van de Graaff es transmitida (a una velocidad finita) mediante la tensión inducida en el espacio interviniente por su presencia. Para el caso de planos infinitos separados por una distancia muy pequeña los campos eléctricos en las zonas centrales son prácticamente uniformes mientras que en los bordes se presentan distorsiones, como lo muestra la figura 2.14. Fig. 2.14. Campo eléctrico en el interior de dos placas conductoras paralelas 2.7 FUERZA SOBRE UNA PARTÍCULA CARGADA EN UN CAMPO ELECTRICO. Consideremos una carga +q moviéndose entre dos placas paralelas cargadas con carga de signo opuesto, como  se muestra en la figura 2.14. El campo eléctrico entre las placas es E = − E y ˆ , con Ey > 0. (En el capítulo III j demostraremos matemáticamente que el campo eléctrico en la región entre dos placas infinitamente grandes de cargas opuestas es uniforme). La carga experimentará una carga una fuerza de Coulomb descendente, dada por   Fe = qE Fig. 2.15. (a) Movimiento de una carga puntual en interior de un campo eléctrico uniforme. (b) diagrama de cuerpo libre de carga puntual positiva. Tenga en cuenta la distinción entre las cargas que está experimentando una fuerza y las cargas de las placas las cuales son las fuentes del campo eléctrico. Debido a que la carga móvil es también fuente de campos eléctricos,  por la tercera ley de Newton, la carga puntual no puede ejercer una fuerza sobre sí misma. Por tanto, E es el campo que solamente surge debido a las cargas en las placas. 62
  • 24.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. De acuerdo con la segunda ley de Newton, una fuerza neta provocara una aceleración en la carga móvil dada por   ∑ F = ma   y  Fe + Fg = y ma   −qEj − mgj ma y ⇒ −(qE + mg= ma y ˆ = ˆ )ˆ j   qE  ay = + g  ˆ − j  m  Si la fuerza gravitacional (peso) de la carga es muy pequeño comparado con la fuerza eléctrica, lo cual es una buena aproximación para el caso de partículas fundamentales como electrones y protones, entonces la ecuación anterior se escribe   qE  ˆ ay = −  j  m  Asumiendo que la partícula está en reposo (v0 = 0) cuando abandona la placa positiva, la velocidad final con la cual impacta en la placa negativa es qE =v = 2 ay y 2 y m Donde y es la distancia entre las placas. La energía cinética con la cual la partícula impacta la placa es 2 1 qE  qE = = EK  2( ) y    y 2 m  m Ejemplo 2.8 Experimento de Millikan Una gota de aceite de radio r = 1,64.10-6 m y densidad de masa ρaceite =851 kg/m3 es dejada caer desde el  reposo y entonces entra dentro de una región donde existe un campo eléctrico externo uniforme E aplicado en dirección descendente. La gota de aceite tiene una carga eléctrica q desconocida (debido a la irradiación por rayos X). La magnitud del campo eléctrico es ajustado hasta que la fuerza gravitacional (peso) de la gota de  aceite es exactamente equilibrado por la fuerza eléctrica qE . Suponga que el equilibrio ocurre cuando el  campo eléctrico es E = (−1,92.105 ˆ) N / C . (a)¿Cuál es la masa de la gota de aceite?, (b)¿Cuál es la carga de la j gota de aceite en unidades de carga del electrón (e)?. Solución Parte (a). Asumiendo que la gota es esférica entonces su masa será 4  = ρ acV ρ ac  π r 3  m = 3  4π = (851kg / m3 )( )(1, 64.10−6 m)3 1,57.10−14 kg m = 3 Parte (b). La gota de aceite estará en equilibrio estático cuando la fuerza gravitacional (peso) balancee   exactamente a la fuerza eléctrica Fe + Fg =Debido a que la fuerza gravitacional está dirigida hacia abajo, la 0. fuerza eléctrica estará dirigida hacia arriba. Utilizando la noción de fuerza, tenemos   mg + qE = mg = y 0⇒ − qE 63
  • 25.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. Con el campo eléctrico dirigido hacia abajo, concluimos que la carga adquirida por la gota puede ser negativa. Entonces dicha carga será mg 1,57.10−14 kg (9,8m / s 2 ) q= = − − Ey 1,92.105 N / C q = −8, 02.10−19 C Debido a que el electrón tiene una carga e = 1,6.10-19 C, la carga de la gota de aceite en unidades de e es q 8, 02.10−19 C N= = = 5 e 1, 6.10−19 C Esta ecuación indica que la carga está cuantizada y en la gota existen 5 electrones. Ejemplo 2.8 Movimiento de una carga perpendicularmente a un campo eléctrico. Un electrón es lanzado horizontalmente dentro de un campo uniforme producido por dos placas cargadas   opuestamente, como muestra la figura. La partícula tiene una velocidad inicial v = v0i , perpendicular a ˆ E. a) Mientras la partícula este entre las placas, ¿cuál es la fuerza sobre el electrón?. b) ¿Cuál es la aceleración del electrón cuando este entre las placas?. c) Las placas tienen una longitud L1 en la dirección x. ¿Cuál es el tiempo t1 que demora el electrón en abandonar las placas? d) Suponga que el electrón ingresa al campo eléctrico en el tiempo t = 0. ¿Cuál es la velocidad del electrón en f) ¿Cuál es el ángulo θ1 con la horizontal cuando el electrón abandona las placas a t1?. el tiempo t1 cuando abandona las placas?. e) ¿Cuál es el desplazamiento vertical del electrón después de t1 cuando abandona las placas?. g) El electrón golpea la pantalla a una distancia L2 después de abandonar las placas en un tiempo t2. ¿Cuál es el desplazamiento vertical total del electrón desde t = 0, hasta que golpea la pantalla?. Solución (a) Debido a que el electrón tiene una carga negativa, q = - e, la fuerza sobre el electrón es    Fe = = eE = e(− E y ˆ) = y ˆ qE − − j eE j �⃗ Donde el campo eléctrico es escrito E = −Ey⃗, con Ey > 0. La fuerza sobre el electrón está dirigida hacia ȷ arriba. Por lo tanto, la aceleración vertical que le produce la fuerza eléctrica ya que para el caso de los electrones se desprecia el peso, el electrón describe una trayectoria parabólica. (b) La aceleración que actúa sobre el electrón es   qE −e(− E y ˆ) eE y ˆ j = = a = j m m m 64
  • 26.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. (c) Debido a que en la dirección horizontal no existe aceleración el movimiento en esta dirección es uniforme por tanto se tiene x = v0 x t ⇒ L1 = v0t1 L1 t1 = v0 (d) El movimiento del electrón es parabólico y como tal tiene una velocidad horizontal uniforme v0 mientras que en la dirección vertical la componente y de la velocidad cambia. Por tanto la velocidad con que abandona las placas es ˆ  y  t1 ˆ =v0i +  y   L1  ˆ  eE eE v =vx i + v y ˆ =v0i + a 1 ˆ =v0i +  ˆ j ˆ tj  j ˆ    j  m   m  v0  ˆ  y 1ˆ  eE L = v0i +  v j  mv0  (e) De la figura observamos que el electrón viaja una distancia horizontal L1 en un tiempo t1 y entonces abandona las placas con un desplazamiento vertical dado por 2 1 2 1  eE y   L1  = = y1 a y t1    2 2  m   v0  (f) Cuando el electrón abandona las placas en el tiempo t1, el electrón forma un ánguloθ1 con la horizontal dada por la razón de las componentes de la velocidad en dicho instante. eE y L1 vy mv0 eE y L1 θ tg= = = 2 vx v0 mv0 (g) Después que el electrón abandona las placas éste no recibe la acción de fuerzas por lo tanto describirá una trayectoria recta. El desplazamiento y2 será  eE y L1  eL1 L2 E y = L2tgθ1 L2  = y2 = 2  2  mv0  mv0 Por lo tanto el desplazamiento total será 2 1  eE y   L1  eL1 L2 E y y = y1 + y2 =    + 2 2  m   v0  mv0 eL1 E y  L1  = y 2  + L2  mv0  2  2.8 EL DIPOLO ELECTRICO. El dipolo eléctrico es un sistema formado por dos cargas puntuales iguales en magnitud pero de signo opuesto +q y –q separadas por un distancia muy pequeña 2a en comparación con la distancia de las cargas al punto donde se determina el campo eléctrico. 65
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    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. (a) (b) Figura 2.16 (a) Esquema de un dipolo eléctrico, (b) Molécula de agua la cual tiene un carácter dipolar. La figura 2.16a, muestra un dipolo eléctrico mientras que la figura 2.16b muestra a una molécula de agua la cual se comporta como un dipolo. La molécula en conjunto es eléctricamente neutra pero sus enlaces químicos ocasionan un desplazamiento de carga dando como resultado una carga neta negativa en un extremo (oxigeno) y una carga neta positiva en el extremo del hidrógeno. Esta característica ocasiona que el agua sea un buen disolvente de sustancias iónicas como la sal (NaCl). Al disolverse en el agua, la sal se disocia en un ión positivo (Na+) y en uno negativo (Cl-) que tienden a ser atraídos a los extremos positivos y negativos de las moléculas del agua, manteniendo los iones en solución. El momento dipolar p es una cantidad vectorial dirigida desde la carga negativa –q a la carga positiva �⃗, 2.8.1 Momento de un dipolo. +q; su magnitud es igual producto de la carga q por la distancia de separación entre cargas 2a. Por tanto el momento dipolar es  p = 2qae p ˆ ˆ Donde e p , es un vector unitario dirigido desde la carga negativa a la positiva. La magnitud del momento dipolar es p = 2qa para q > 0. Para un sistema de carga promedio neutra el cual tiene N dipolos, el vector momento dipolar es definido como  N  p = ∑ qi ri i =1  Donde ri , es el vector de posición de la carga qi. Entre otros ejemplos de dipolos eléctricos incluyen al HCl, CO y otras moléculas polares. En principio pueden considerarse dipolos a las moléculas en las cuales los centros de las cargas positivas y negativas no coinciden. Más adelante demostraremos que cuando se aplica un campo eléctrico externo a moléculas no polarizadas, estas se polarizan bajo la acción de dicho campo. 2.8.2 El campo eléctrico de un dipolo A modo de aplicación en esta sección se procederá a determinar el campo eléctrico de un dipolo en un punto arbitrario tal como se muestra en la figura 2.16a. Aquí las componentes se determinan independientemente, esto es q  cos θ + cos θ −  q  x x  = Ex  2 − 2=   2 − 2 2 3/ 2  4πε 0  r+ r−  4πε 0  ( x + ( y − a ) ) 2 3/ 2 ( x + ( y + a) )  Donde r± = cos θ =) 2 r 2 + a 2  2ra x2 + ( y  a 66
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    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. Similarmente se determina componente y, es decir q  senθ + senθ −  q  y−a y+a  = Ey  2 − 2=   2 − 2 2 3/ 2  4πε 0  r+ r−  4πε 0  ( x + ( y − a ) ) 2 3/ 2 ( x + ( y + a) )  Para el caso de que r >> a, se puede verificar que las expresiones anteriores se reducen a 3p Ex = senθ cos θ 4πε 0 r 3 p = Ey (3cos 2 θ − 1) 4πε 0 r 3  Donde senθ = x / r y cos θ = y / r . Con 3 pr cos θ = p.r y un poco de algebra se puede demostrar que      1  p 3( p.r )r  E (r ) = − +  4πε 0  r 3 r5  Esta ecuación nos indica que el campo de un dipolo varia con la inversa de de la distancia al cubo (1/r3), a diferencia del campo debido a un dipolo el cual varía con (1/r2). Las líneas de campo de un dipolo eléctrico finito y para un dipolo puntual se muestran en la figura 2.17. Figura 2.17 Líneas de campo eléctrico para: (a) un dipolo finito y (b) un dipolo puntual. 2.8.3 Dipolo en un campo eléctrico. momento dipolar haciendo un ángulo θ con el eje x?. De la figura 2.18 vemos que el vector unitario   ¿Qué sucede cuando colocamos el dipolo en un campo eléctrico uniforme E = Ei con el vector que proporciona la dirección de p es cos θ i + senθ ˆ . �⃗ ˆ j  Entonces el momento dipolar se escribe como p 2qa (cos θ i + senθ ˆ ) = ˆ j Figura 2.18 Dipolo eléctrico en el interior de un campo uniforme. 67
  • 29.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. Como se ve en la figura 2.18, debido a que cada carga experimenta una fuerza igual pero opuesta al campo, la fuerza neta sobre el dipolo es    Fneta = F+ + F− = 0 Aun cuando la fuerza neta es nula, el campo eléctrico ejerce un torque o momento sobre el dipolo. El momento con respecto al punto medio O es      = r+ xF+ + r− xF− (a cos θ i + asenθ ˆ) x( F+ i ) + (−a cos θ i − asenθ ˆ) x(− F−i ) M = ˆ j ˆ ˆ j ˆ  M = k − aF− senθ k −aF+ senθ ˆ ˆ  M = −2aFsenθ k ˆ ˆ Donde se ha usado F+ = F- = F. La dirección del momento es k , o entrando a la página. El efecto del torque es hacer rotar al dipolo en sentido horario hasta que el dipolo momentáneamente se alinee con el  campo eléctrico E , la magnitud del torque ejercido sobre el dipolo puede ser escrita como = 2= 2a (qE ) senθ M aFsenθ M = pEsenθ Una expresión general para el torque sobre el dipolo es    M = pxE Esto indica que el torque es igual al producto vectorial del momento dipolar por el campo eléctrico. El trabajo hecho por el campo eléctrico para rotar el dipolo en un ángulo dθ, es 2.8.4 Energía potencial de un dipolo eléctrico. dW = θ = θ dθ − Md − pEsen El signo negativo indica que el torque se opone a un incremento en θ. Por lo tanto, la cantidad total de trabajo hecho por el campo eléctrico para rotar al dipolo de un ángulo θ0 a θ es θ − pE ∫ senθ d W = θ = θ0 ) pE (cos θ − cos θ0 El resultado muestra que el campo realiza un trabajo positivo cuando 𝑐𝑜𝑠𝜃 > 𝑐𝑜𝑠𝜃0 . El cambio en la energía potencial del dipolo ∆U, es el negativo del trabajo realizado por el campo, esto es ∆U = − U 0 = pE (cos θ − cos θ 0 ) U − Donde U0 = -pEcosθ0, es la energía potencial en un punto de referencia. Podemos asumir que la energía potencial es nula cuando θ0 = π/2 . Es decir, en la presencia de un campo eléctrico externo el dipolo eléctrico tiene una energía potencial.   U =θ = − pE cos − p.E Un sistema está en equilibrio estable cuando su energía potencial es mínima. Esto ocurre cuando el   momento dipolar p , está alineado paralelamente a E , en este caso U toma un mínimo Umin =-pE. Por   otro lado cuando p y E son anti-paralelos, U = +pE es un máximo y el sistema es estable. 68
  • 30.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. Si el dipolo está localizado en un campo no uniforme, podría aparecer una fuerza neta sobre el dipolo sumado al torque, y el movimiento resultante podría ser una combinación de aceleración lineal y una  rotación. En la figura 2.19, suponemos que el campo eléctrico E+ en la carga q difiere del campo  eléctrico E− en la carga –q Fig. 2.19 Fuerza sobre un dipolo en un campo no uniforme. Asumiendo que el dipolo es muy pequeño, expandimos el campo alrededor de x:  dE   dE  E+ ( x + a ) ≈ E ( x) + a  ; E− ( x − a ) ≈ E ( x) − a    dx   dx  La fuerza sobre el dipolo llegará a ser     dE    dE   Fe = q ( E+ − E− ) = 2q  ai = p   i  dx   dx  Un ejemplo de una fuerza neta actuando sobre un dipolo es la atracción entre pequeños trozos de papel y un peine, el cual ha sido cargado mediante frotación con el pelo. El papel posee momentos de dipolo inducidos mientras el campo obre el peine es no uniforme debido a su forma irregular (véase la figura 2.20) Fig 2.20 Atracción electrostática entre el peine y un trozo de papel 69
  • 31.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. PROBLEMA RESUELTOS Problema 01    En el punto definido por el radio vector r0 2i + 3 j = μC, donde i y ˆ son los vectores unitarios de los de un plano x- y se encuentra una carga positiva de 50 ˆ j ejes x e y. Determine el vector de intensidad de campo  E  y su módulo, en el punto con radio vector eléctrico   = 8i + 5 j . Aquí r0 y r se dan metros. r Solución El campo eléctrico de cada carga en el punto P es En la figura se muestra la ubicación de la carga puntual  kq A   kq A y el punto donde se pide hallar la intensidad de campo = EA  =  3 ( AP) 3 (−4i − 3 ˆ) ˆ j eléctrico AP 25  9.109 (5.10−6 ) = EA (−4i − 3 ˆ) ˆ j 125  E A = i − 1080 ˆ −1440 ˆ j  kq   kqB = B3 ( PB ) EB = 3 (5i − 2 ˆ) ˆ j PB 29  9.109 (4.10−6 ) ˆ =EB (5i − 2 ˆ) j 156, 2  = 1152i − 461 ˆ EB ˆ j La intensidad de campo en el punto P es El campo resultante en P será  kQ   kQ    =E   3 (r= − r0 ) (6i − 8 ˆ) ˆ j = 1152i − 461 j EB r − r0 3      6 2 + 82 E = + EB = i − 1541 j EA −288  Su magnitud será 50.109 C ˆ E 9.109 N .m 2 / C 2 ( 3 3 )(6i − 8 ˆ) j 10 m E= 2882 + 15412 = 2480 N / C  = 450(6i − 8 ˆ) N / C E ˆ j  = (2, 7i − 3, 6 ˆ).103 C E ˆ j Problema 03 E = 4,5.103 N / C En los vértices de un cuadrado, cuya diagonal es 2L, se Una carga puntual de 5 μC está localizada en x = 1 m, Problema 02 encuentran las carga puntuales +q y –q, como se y = 3 m y otra de – 4 μC está localizada en x = 2 m, muestra en la figura. Determine el módulo del vector de a intensidad de campo eléctrico en un punto que está a la distancia z y se sitúa simétricamente respecto a los y = -2 m. (a) Determine la magnitud y dirección del vértices del mismo. campo eléctrico en x = -3 m, y = 1 m. (b) Determine la magnitud y la dirección de la fuerza sobre un protón en x = -3 m, y = 0 m. Solución En la figura se muestra la ubicación de las cargas puntuales y el punto donde se pide hallar el campo eléctrico 70
  • 32.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. Solución dirección horizontal y hacia la izquierda Si las esferas se mantengan en equilibrio cuando θ = 10° llevan cargas de –50 nC y +50 nC. Determine la En la figura se muestra la ubicación de las cargas intensidad de campo eléctrico para que las dos esferas puntuales y el punto donde se pide hallar el campo eléctrico Solución En la figura se muestra el DCL de la carga positiva. Las fuerzas que actúan son: la tensión T, el peso mg la fuerza debido al campo qE y la fuerza de atracción electrostática Fe Los campos producidos por cada carga son  kq A (ai + aj − zk ) ˆ ˆ ˆ kq =EA = (ai + aj − zk ) ˆ ˆ ˆ (a + a + z ) 2 2 2 3/ 2 (2a 2 + z 2 )3/ 2  kqB (ai − aj + zk ) ˆ ˆ ˆ kq =EB = (ai − aj + zk ) ˆ ˆ ˆ (a + a + z ) 2 2 2 3/ 2 (2a + z 2 )3/ 2 2 . La aplicación de las ecuaciones de equilibrio nos da  kqC (ai + aj + zk ) ˆ ˆ ˆ kq =EC = (ai + aj + zk ) ˆ ˆ ˆ (a + a + z ) (2a + z 2 )3/ 2 ∑F =0 2 2 2 3/ 2 2 y  kqD (ai − aj − zk ) ˆ ˆ ˆ kq T cos θ − mg = 0 =ED = (ai − aj − zk ) ˆ ˆ ˆ (a + a + z ) 2 2 2 3/ 2 (2a + z 2 )3/ 2 2 mg T= (a) El campo eléctrico resultante es cos θ      E = E A + EB + EC + ED ∑F x =0  4kqa qE − Tsenθ − Fe = 0 E= ˆ i (2a + z 2 )3/ 2 2 Teniendo en cuenta que 𝑎 = 𝐿√2/2, se tiene kq 2 Tsenθ qE − = (b) r2  4kq ( L 2 / 2) 2kqL 2 ˆ Remplazando (a) en (b), se tiene E = ˆ i i  2( L 2 / 2) 2 + z 2  3/ 2 ( L2 + z 2 )3/ 2   kq 2 θ mgtg= qE −  1 qL 2 (2 Lsenθ ) 2 E = 2πε 0 ( L + z 2 )3/ 2 2 kq 2 = mgtgθ + qE Problema 04 4 L2 sen 2θ Dos pequeñas esferas cada una de 2 gramos de masa mgtgθ kq están suspendidas por cuerdas ligeras de 10 cm de =E + 2 2 longitud. Un campo eléctrico uniforme se aplica en la q 4 L sen θ 71
  • 33.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. Remplazando los valores del enunciado obtenemos ∑F x =0 2.10−3 (9,8)tg10° 9.109 (50.109 ) 2 FeCosϕ = Tsenθ E + 50.109 4(10.10−2 ) 2 ( sen10°) 2 3 3 qE = T E = 106, 43kN / C 34 5 3 3 q ( 34.105 ) = T 34 5 Problema 05. Una esfera pequeña cargada de 1 gramo de masa está T = 5.105 q (2) suspendido de una cuerda ligera en presencia de un campo eléctrico uniforme como se muestra en la figura. Remplazando la ecuación (2) en (1), resulta  Cuando = (3i + 5 ˆ).105 N / C , la esfera está en E ˆ j 9.105 q = 9,8.10−3 equilibrio cuando θ = 37°, determine: (a) la carga en la esfera y (b) la tensión en el cable. q = 10,8nC T = 5.105 (10,8.10−9 ) T = 5, 4mN Problema 06 Una esferita de masa m y carga q está suspendida de un hilo delgado de longitud L dentro de un condensador plano de láminas horizontales. La intensidad de campo Solución eléctrico es igual a E, las líneas de fuerza están dirigidas hacia abajo como se muestran en la figura, determinar En la figura se muestra el DCL de la carga asumiendo la ecuación de movimiento de m y a partir de ella el que es positiva. Las fuerzas que actúan son: la tensión período de las oscilaciones para pequeños ángulos T, el peso mg y la fuerza debido al campo qE. Solución La aplicación de las ecuaciones de equilibrio nos da En la figura se muestra el DCL de la carga +q. Las fuerzas que actúan son: la tensión T, el peso mg y la ∑F y =0 fuerza debido al campo Fe = qE. T cos θ + Fe senϕ − mg = 0 T cos 37° + qE (5 / 34) = mg 4 1.10−3 ( 9,8 ) T + q ( 34.105 )(5 / 34) = 5 4 9,8.10− T + 5.105 q = 3 (1) 5 Aplicando la segunda ley de Newton en dirección tangencial se tiene 72
  • 34.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. ∑ F = ma t t En la figura se muestra el DCL del electrón. Las única fuerza que actúa sobre el electrón es la fuerza debida al d 2S campo eléctrico Fe = qE, en el caso de electrones se m = + qE ) senθ −(mg desprecia la fuerza gravitacional (peso). Esta fuerza le dt 2  produce una aceleración a = −eEj , Por lo tanto el ˆ d ( Lθ ) movimiento descrito por el electrón es horizontal m + (mg + qE ) senθ = 0 dt 2 Para ángulos pequeños s𝑒𝑛𝜃 ≈ 𝜃, con lo que la Movimiento horizontal. La velocidad en esta dirección es constante y la posición para cualquier instante es ecuación anterior se escribe x = v0 x t (1) dθ mL + (mg + qE )θ =0 Movimiento vertical. En esta dirección debido a que dt 2 existe aceleración el movimiento es uniformemente  (mg + qE ) θ = variado, siendo sus ecuaciones θ+ 0 mL eE eE v y =y + at =− v0 0 t= t − La ecuación determinada es la ecuación diferencial de m m un MAS, cuya frecuencia es 1 eE 2 y = 0 + v0 y t + at 2 = 0 − y h t 2 m 2π (mg + qE ) ω = = Remplazando valores en la última ecuación se tiene T mL Entonces el período será 1, 6.10−19 (500) 2 = 0, 04 − 0 t 9,1.10−31 1 L 1 L =T = t = 3.10−8 s 2π  qE  2π g efectiva g+   m  La velocidad mínima solicitada será aquella que se le dé al electrón de tal manera que logre abandonar las placas del condensador saliendo por el extremo inferior Donde gef es la llamada gravedad efectiva expresada derecho de la placa entonces se tiene por L g ef= g + qE x = L = v0 x t1 ⇒ L = v0,min t1 ⇒ t1 = m v0,min Problema 07 eE 2 y h0 − = t Un electrón penetra en un condensador plano m paralelamente sus láminas y a una distancia de 4 cm de eE 2 eE 2 la lámina cargada positivamente y cuya longitud es de 0 = h0 − t1 ⇒ h0 = t1 15 cm. ¿Cuánto tiempo demora en caer el electrón en m m 2 dicha lámina, si la intensidad de campo eléctrico en el eE  L  eE condensador es igual a E = 500 V/m?. ¿Cuál es la =h0   ⇒= L v0,min velocidad mínima que debe tener el electrón para que m  v0,min    mh0 éste no llegue a caer sobre la lámina?. Remplazando valores se tiene 1, 6.10−19 (500) = 0,15 v0,min = 5.106 m / s ⇒ v0,min 9,1.10−31 (0, 04) Problema 08 Una esfera conductora muy pequeña suspendida de un hilo aislante es usada para medir la intensidad de campo Solución eléctrico. Cuando le coloca en un campo cuya 73
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    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. intensidad es E0, se observa que el hilo forma un ángulo de 45°. Calcular la intensidad de campo eléctrico E si el ∑F y =0 sistema (hilo más esfera) se desvía un ángulo de 37°. T1 cos 37° =mg Considere que E0 = 80 N/C. = mg / cos 37° T1 (4) ∑F x =0 = T1sen37° qE (5) Remplazando la ecuación (4) en (5), resulta = mgtg 37° qE (6) Solución Dividiendo las ecuaciones (3) y (6), se tiene En la figura se muestra el DCL de la carga positiva. Las fuerzas que actúan son: la tensión T, el peso mg la y la qE mgtg 37° tg 37° = = ⇒E E0 fuerza debido al campo qE0. qE0 mgtg 45° tg 45° E = 60 N / C Problema 09 Una barra de longitud L tiene una carga total distribuida infinitamente larga de densidad λ C/m, como se muestra uniformemente en su longitud y se encuentra en dirección perpendicular a una carga lineal uniforme e en la figura. El extremo más próximo de la barra a la Aplicando las ecuaciones de equilibrio resulta carga lineal dista de esta la longitud d. determine la fuerza que la carga lineal infinita ejerce sobre la barra ∑F y =0 de longitud L. T cos 45° =mg = mg / cos 45° T (1) ∑F x =0 = Tsen 45° qE0 (2) Solución Remplazando la ecuación (1) en (2), resulta Primero se determina el campo eléctrico producido por = mgtg 45° qE0 (3) la carga lineal in finita en un punto P perteneciente a la barra de longitud L situado a una distancia y, como se muestra en la figura. Par ello dividimos la carga En la figura se muestra el DCL de la carga positiva. Las horizontal en elementos diferenciales dq de longitud dx. fuerzas que actúan son: la tensión T, el peso mg la y la fuerza debido al campo qE0. Entonces se tiene dq = λ dx Aplicando las ecuaciones de equilibrio resulta 74
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    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. El campo eléctrico producido por dq en P será Problema 10  dq  kdq Un sistema se compone de un anillo de alambre fino de = k  3 AP dE = (− xi + yj ) ˆ ˆ radio R cargado y de un hilo muy largo uniformemente AP ( x + y 2 )3/ 2 2 cargado, dispuesto en el eje del anillo de modo que uno corresponde una carga λ. Determine la fuerza de de sus extremos coincide con el centro de éste. El anillo  k λ xdx ˆ k λ ydx ˆ dE =2 i + 2 − 2 j tiene una carga q. A la unidad de longitud del hilo le (x + y ) 2 3/ ( x + y 2 )3/ 2 interacción entre el anillo y el hilo. Por simetría se anulan las componentes x. Solución  k λ ydx ˆ dE y = − j Primero se determina el campo eléctrico producido por ( x + y 2 )3/ 2 2 el anillo de carga q en un punto P perteneciente al hilo muy largo situado a una distancia z, como se muestra en El campo total se obtiene integrando la ecuación la figura. Para ello dividimos la carga en el anillo en anterior elementos diferenciales dq de longitud ds.  +∞ dx Ey = kλ y ∫ ˆ j −∞ ( x + y 2 )3/ 2 2 Integrando la ecuación anterior se tiene  2k λ ˆ Ey = j y Determinamos ahora la fuerza ejercida por la distribución lineal infinita sobre el elemento de carga dq’ y longitud dy. De acuerdo con la definición de campo eléctrico, tenemos    kλ ˆ  ( dq ') = E y dq '  dF = j La carga del elemento diferencial dq, es  y  q dq q La carga dq’ está dada por λ= = ⇒ dq = dϕ 2π R ds 2π Q dq ' Q λ ' = = ⇒ dq ' = dy El campo eléctrico producido por dq en P (0, 0, z) será L dy L q k ( dϕ ) Remplazando esta cantidad tenemos  dq  2π = k  3 AP dE = (− xi − yj + zk ) ˆ ˆ ˆ AP ( x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2    kλ    Q  ˆ = E y dq '  dF = j   dy  j  kqR cos ϕ dϕ ˆ kqRsenϕ dϕ ˆ dE =2 i − − j+ kqzdϕ ˆ  y  L  k 2π ( R 2 + z 2 )3/ 2π ( R 2 + z 2 )3/ 2 2π ( R 2 + z 2 )3/ 2  k λQ  dy  dF =  ˆ j Debido a que el anillo lleva una distribución de carga L  y  uniforme, entonces la simetría exige que las componentes x e y. Por tanto se tiene Integrando esta cantidad para toda la longitud L se tiene kqzdϕ   k λQ L + d d y k λQ ˆ k dEz = L+d 2π ( R 2 + z 2 )3/ 2 L ∫d y = = F ˆ j ln y d ˆ j L El campo total en el punto P debido al anillo será  k λQ  L + d  F= ln  jˆ  2π  d  kqz kqz 2 3/ 2 ∫0 L = = Ez dϕ k ˆ (ϕ )0π k 2 ˆ 2π ( R + z ) 2 2π ( R + z ) 2 2 3/ 2 75
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    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C.  kqz Ez = ˆ k (R + z ) 22 3/ 2 Determinamos ahora la fuerza ejercida por el anillo cargado sobre el elemento de carga dq’ y longitud dz. De acuerdo con la definición de campo eléctrico, tenemos    kqz  = Ez (dq ')  2 dF = ˆ k  (dq ')k  (R + z ) 2 3/ 2  La carga dq’ está dada por El campo eléctrico producido por dq en P (0, 0, 2) será dq '  dq  2kx( x 2 + y 2 + 4)3/ 2 dxdy  λ= ⇒ dq ' = λ dz = k  3 AP dE = (− xi − yj + 2k ) ˆ ˆ ˆ dz AP ( x 2 + y 2 + 4)3/ 2  Remplazando esta cantidad tenemos = 2kxdxdy (− xi − yj + 2k ) dE ˆ ˆ ˆ    kqz ˆ El campo total se determina integrando la ecuación = E y dq '  2 dF = k  (λ dz ) anterior  (R + z ) 2 3/ 2   k λ qzdz ˆ E =∫ x 2 dxdyi − ∫ ∫ xydxdy ˆ + ∫ ∫ 2 xdxdyk  2k  − ∫ 2 2 2 2 2 2  ˆ j ˆ dF = 2 k  0 0  0 0 0 0   ( R + z 2 )3/ 2 Evaluando cada una de las integrales y remplazando los Integrando esta cantidad para toda la longitud L se tiene límites correspondientes se tiene ∞  = 2 ( 9.109 ) (− i − 4 ˆ + 8k )  ∞ zdz  1  ˆ 16 ˆ ˆ = kλq∫ = k λ q − ˆ E j F k  k 3 0 (R + z ) 2 2 3/ 2  R2 + z 2  0  E = 96i − 72 ˆ + 144k )109 N / C (− ˆ j ˆ Remplazando los límites correspondientes  qλ F= ˆ k Problema 12 4πε 0 R densidad de carga superficial constante σ. Halle E si se Determine el campo eléctrico en el centro O de un sabe que la carga distribuida es Q = 1μC y R = 10 cm. cascarón semiesférico de radio R cargado con una Problema 11 Una distribución de carga laminar finita de densidad para 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑚 y 0 ≤ 𝑦 ≤ 2𝑚. Determine la σ 2 x( x 2 + y 2 + 4)3/ 2 C / m 2 , yace en el plano z = 0 = magnitud, dirección y sentido de la intensidad de campo eléctrico E en el punto P (0, 0, 2) m. Solución En la figura se representa la distribución de carga. Para 𝑑𝐴 = 𝑑𝑥𝑑𝑦, y carga dq, dada por determinar la intensidad de campo en P dividimos a la distribución de carga en elementos diferenciales de área Solución Para resolver el problema dividimos al cascarón dq= σ dA= 2 x( x 2 + y 2 + 4)3/ 2 dxdy hemisférico en elementos en forma de anillos de radio y, de ancho ds y carga dq tal como se muestra en la figura. 76
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    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. densidad σ. Si la lámina se encuentra en el plano xy. Determine la intensidad de campo eléctrico en puntos perpendiculares a la lámina. Solución En la figura se muestra la ubicación de la lámina, así como el punto donde se va a determinar el campo eléctrico. Para determinar éste, se divide a la distribución de carga en elementos de carga dq y área dA. La carga del elemento diferencial esta dado por dq σ= ⇒ dq = σ dA = σ (rdrdϕ ) La carga de este elemento diferencial es dA = σ dA σ (2π yds ) σ (2π )( R cos θ )( Rdθ ) dq = = dq = 2πσ R 2 cos θ dθ El campo producido por este anillo en el punto O es  = dEsenθ i − dE cos θ ˆ dE ˆ j La componente en la dirección y se cancelan debido a que la distribución presenta simetría, entonces se tiene  = dEsenθ i dEx = ˆ kdq senθ i ˆ R2  k (2πσ R 2 cos θ dθ ) La intensidad de campo eléctrico producido por el dEx = senθ i ˆ elemento dq en el punto P es R2  dEx = 2πσ k (cos θ senθ dθ )i ˆ  kdq   kσ (rdrdϕ ) =dE  =  3 ( AP) (−rer + zez ) ˆ ˆ AP (r 2 + z 2 )3/ 2 El campo eléctrico total debido al cascarón se obtiene integrando la ecuación anterior esto es  σ r 2 drdϕ σ zrdrdϕ dE = er + − ˆ ˆ ez  π /2 4πε 0 (r + z ) 2 2 3/ 2 4πε 0 (r 2 + z 2 )3/ 2 Ex = 2πσ k ∫ cos θ senθ dθ i ˆ 0 La simetría de la distribución exige que la componente π /2 radial se elimine pues para cada componente existe otra  sen θ2 Ex = 2πσ k ˆ i de un elemento simétrico en el lado opuesto. Por tanto 2  σ zrdrdϕ 0  Q ˆ dE = ˆ ez Ex = i 4πε 0 (r 2 + z 2 )3/ 2 8πε 0 R 2 El campo total debido a la lámina infinita se obtiene Remplazando valores integrando la ecuación anterior, esto es  9.102 (1.10−6 )  σ z 2π ∞ rdrdϕ σ z (2π )   ∞ = = (450.103 i ) N / C Ex ˆ i ˆ =E ∫ϕ ∫r = ˆ ez − 1  ezˆ 2 ( 0,1) 4πε 0 = 0= 0 (r 2 + z 2 )3/ 2 4πε 0  r 2 + z 2  0 2 Remplazando los límites correspondientes se tiene Problema 13  σ E= ˆ ez Una lámina plana infinita lleva una carga 2ε 0 uniformemente distribuida sobre su superficie con una 77
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    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. La intensidad de campo eléctrico en puntos inferiores  σ2  1 ˆ 3 ˆ será =E2  i− j 2ε 0  2  2    σ E= − ˆ ez 2ε 0 El campo eléctrico resultante en el punto A se obtiene sumando vectorialmente los campos debido a los Como el eje se ha elegido arbitrariamente para planos, esto es cualquier ubicación del plano el campo será    σ σ 1ˆ 3 ˆ  σ E = E1 + E2 = 1 ˆ + 2  i − j j E= ± ˆ en 2ε 0 2ε 0  2  2   2ε 0   σ σ σ 3 Donde en es un vector unitario perpendicular al plano E = 2 i + 1 − 2  ˆ ˆ  2ε j 4ε 0  0 4ε 0   Problema 14 densidad de carga superficial uniforme 𝜎1 = 65𝑛𝐶/𝑚2 . Remplazando los valores de las densidades de cargas Un plano infinito situado en el plano xz posee una dadas se tiene densidad uniforme 𝜎2 = 45𝑛𝐶/𝑚2 , corta al plano xz en Un segundo plano infinito portador de una carga de  45.10−9 ˆ  65.10−9 45.10−9 3  ˆ E= i + − −12  j 4(8,85.10−12 ) −12  2(8,85.10 ) 4(8,85.10 )  el eje z y forma un ángulo de 30° co el plano xz como se  muestra en la figura. Determine la intensidad de campo = (1271i + 1470 ˆ) N / C E ˆ j eléctrico en el plano xy en los puntos (a) A (6, 2, 0) m y (b) B(6, 5, 0)m. está fuera de los planos, esto es encima de σ1. Parte (a) En la figura se muestra la vista de perfil de la ubicación de los planos, en este caso el punto B(6, 5, 0) Solución Parte (a) En la figura se muestra la vista de perfil de la ubicación de los planos, en este caso el punto A(6, 2, 0) está entre los dos planos. Los campos eléctricos son  σ1 σ1 ˆ =E1' = ˆ e1n j 2ε 0 2ε 0 ' σ2 = ' = ˆ E2 E2 e1n (− sen30°i + cos 30° j ) ˆ 2ε 0 ' σ2  1 3 ˆ E2= − i + ˆ j Los campos eléctricos son 2ε 0  2  2    σ1 σ1 ˆ =E1 = ˆ e1n j El campo eléctrico resultante en el punto B se obtiene 2ε 0 2ε 0 sumando vectorialmente los campos debido a los planos, esto es   σ2 = E2= E2 e1n ( sen30°i − cos 30° ˆ) ˆ j 2ε 0   ' σ σ  1ˆ 3 ˆ EB = E1' + E2 = 1 ˆ + 2  − i + j j 2ε 0 2ε 0  2  2   78
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    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C.   σ σ σ 3ˆ dvz dv  qE ˆ E = i + 1 + 2 − 2 ˆ  j m = (qE − mg )k ⇒ z =  ˆ − g k 4ε 0  2ε 0 4ε 0   dt dt  m  Remplazando el campo eléctrico tenemos Remplazando los valores de las densidades de cargas dadas se tiene  dvz  qσ 0 ˆ =  − g k  45.10−9 ˆ  65.10−9 E = i + − + 45.10−9 3  ˆ dt  2ε 0 m  −12  j 4(8,85.10−12 ) −12  2(8,85.10 ) 4(8,85.10 )  Separando variables e integrando la expresión anterior  E = i + 5874 ˆ) N / C (−1271ˆ j nos da  vz   qσ 0  t ˆ ∫0 =  dvz  2ε 0 m − g  ∫ dtk  0 Problema 15   dr  qσ 0  ˆ Una carga puntual q, con masa m se deja caer = =  vz − g  tk dt  2ε 0 m superficial de densidad uniforme σ0. libremente desde el reposo en un campo gravitacional a  una altura z0 arriba de una lámina horizontal de carga Para determinar la posición en función del tiempo se integra la ecuación de la velocidad b) ¿Para qué valores de σ0 la carga eléctrica a) ¿Cuál es la posición de la carga como una función del tiempo?.   qσ 0  ˆ c) Si σ0 es menor que el valor de la parte (b). ¿En qué =  dr − g  tdtk permanecerá estacionaria.?.  2ε 0 m  t qσ 0  ˆ  tiempo y con qué velocidad la carga llegará a la r  lámina?. ∫r0 = ∫ g−  dr 0   tdtk 2ε 0 m  Solución    qσ 0  t2 ˆ r − r0  = −g k  2ε 0 m 2    qσ 0  t2 ˆ zk = +  z0 k −g k  2ε 0 m 2 1 qσ 0  2 z = − g− z0 t 2 2ε 0 m  Parte (a). Parte (b). En la figura se muestra a la carga y el plano así como el El valor de v0 para el equilibrio se obtiene aplicando la diagrama de cuerpo libre de la carga para cualquier ecuación de equilibrio en dirección vertical, esto es posición z respecto al plano cargado.  Sabeos que el campo eléctrico para un plano infinito ∑F = 0 está dado por Fe = mg ⇒ qE = mg  σ σ  E= ± ˆ en q  0  = mg 2ε 0  2ε 0  Aplicando la segunda ley de newton al movimiento de 2mgε 0 la carga puntual considerada positiva es σ0 = q   ∑ F = ma Parte (c). Para determinar el tiempo con el cual impacta     sobre la placa se hace z = 0 en la ecuación de la W + Fe = maz ⇒ (qE − mg )k = maz ˆ posición, es decir 79
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    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. 1 qσ 0  2 1 qσ 0  2 Para un anillo con centro en el origen de coordenadas, 0 = z0 −  g −  t → z0 =  g − t el campo que produciría en cualquier punto sobre el eje 2 2ε 0 m  2 2ε 0 m  y sería  kqy t= 2 z0 Ey = ˆ j qσ 0 ( R + y 2 )3/ 2 2 g− 2ε 0 m �⃗ Aplicando esta ecuación para el problema debemos radio R y por tanto producirá un campo diferencial dEy observar que el anillo es un elemento diferencial dq de La velocidad con que llega será dado por 1 qσ 0  2 z0 = at v = g−   2 2ε 0 m   qσ 0  dE y = 2 k (dq )( yD ) ˆ j g−  ( R + yD )3/ 2 2  2ε 0 m  Debido a que la distribución de carga es superficial, el Problema 16 elemento tiene una carga El eje de un tubo hueco de radio R y longitud L está Q Q dq alineado con el eje y, la orilla izquierda del tubo está en = σ = = y = 0, como se muestra en la figura. El tubo tiene una A 2π RL dA carga total Q distribuida uniformemente en su Q Q superficie. Integrando el resultado para una espira = = dq dA (2π Rdy ) (anillo) de carga a lo largo de su propio eje, determine 2π RL 2π RL la intensidad de campo eléctrico a lo largo del eje y, Q dq = dy como función de y. L Al remplazar esta cantidad y usar la geometría se tiene Q   k  dy  ( yP − y ) =dE y = k (dq )( yD ) ˆ j L  ˆ j ( R + yD ) 2 2 3/ 2 ( yP − y ) 2 − R 2  3/ 2    kQ( yP − y )dy dE y = ˆ j 2 3/ 2 Solución L ( yP − y ) − R   2  El campo total debido a la distribución completa se Se divide a la distribución de carga en elementos obtiene integrando la ecuación anterior, esto es diferenciales de carga dq en forma de anillos de radio R y de ancho dy como se muestra en la figura  kQ L ( y − y )dy Ey = L ∫0 ( y −Py)2 − R 2 3/ 2 ˆ j  P  La integral se evalúa haciendo el cambio de variable siguiente u = ( yP − y ) 2 − R 2 du du =yP − y )(− dy ) ⇒ dy = 2( − Se ha demostrado en el problema 10, que el campo 2( yP − y ) eléctrico debido a un anillo en un punto sobre el eje z está dado por Al sustituir estos valores se tiene  kqz  du  Ez = ˆ k ( yP − y )  −  ( R + z 2 )3/ 2  kQ  2( yP − y )   L ∫ 2 Ey = j u 3/ 2 80
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    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C.  kQ −3/ 2  kQ  u −1/ 2   kQ  1  ˆ 2L ∫ E y = = j = − u duj −  L  u j 2 L  −1/ 2    L  kQ  1  Ey =   ˆj L  ( yP − y ) 2 − R 2 0    kQ  1 1  =Ey  − ˆj L  ( yP − L) − R 2 2 ( yP ) 2 − R 2    El campo producido por el elemento de carga Problema 17 dq1 = λ1dy λ1 = 20 μC/m y λ2 = 35 μC/m, respectivamente. Si la distancia Dos barras de longitudes iguales L = 1,5 m, transportan  kdq k λ dy dE1 = ˆ = ˆ − 2 1 j − 12 j 𝑎 = 0,15 𝑚, mientras que la distancia 𝑏 = 0,25 𝑚. (a) densidades de carga uniformes �⃗ y y Encuentre el campo eléctrico E en el origen del sistema El campo neto será coordenado. (b) Si ahora se coloca una carga puntual Q = 25 μC en dicho origen¿Cuál será la fuerza eléctrica  a+L E1 = −k λ1 ∫ y −2 dy ˆ j sobre la carga puntual ejercida por las distribuciones?. a  1 1 ˆ −k λ2  E2 = − j a a+L   L ˆ E1 = −k λ1  j  a (a + L)  El campo total es     k λ1 L  ˆ  k λ2 L  ˆ E = + E2 = E1 −  j − i  a (a + L)   b(b + L)    9.109 x 20.10−6 x1,5   9.109 x35.10−6 x1,5  ˆ Se determina el campo de cada una individualmente, esto E = ˆ −  − j i es  0,15(1.65)   0, 25(1.75)  Simplificando tenemos  E =3 ˆ − 1080.103 i −1091.10 j ˆ La fuerza sobre la carga Q = 25 μC, será El campo producido por el elemento de carga   Fe = (−1091.103 ˆ − 1080.103 i ) QE = Q j ˆ dq2 = λ2 dx , es  Fe =25.10−6 (−1091.103 ˆ − 1080.103 i ) j ˆ  kdq k λ dx  dE2 =2 i = i − 2 ˆ − 22 ˆ Fe = ˆ − 27i ) N (−27,3 j ˆ x x  Fe = 38,39 N El campo neto será  ˆ −k λ2  1 1 ˆ b+ L −k λ2 ∫ E2 = x −2 dxi = −  i b b b+L   L ˆ E2 = −k λ2  i  b(b + L)  El campo de la varilla vertical es 81
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    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. PROBLEMAS PROPUESTOS 5. En la figura, las tres partículas se encuentran fijas en las posiciones mostradas y tienen las cargas 1. Encuentre las componentes x e y de la intensidad q1 = q2 = +e y q3 = +2e. Si la distancia a = 6 µm. de campo eléctrico producido por las cargas Determine, la magnitud y la dirección del campo puntuales q1 y q2 mostradas en la figura. (a) en el magnético en el punto P debido a las partículas. punto A y (b) en el punto B. 6. Se tiene dos cargas puntuales de +5 μC y –10 μC, que distan en 1 m. (a) Encontrar el módulo y la dirección del campo eléctrico en un punto situado a 0,6 m de la primera carga y a 0,8 m de la segunda. 2. Dos cargas puntuales q1 = - 6 nC y q2 = + 6 nC, (b) Hallar el punto donde el campo eléctrico de están separadas 12 cm, como se muestra en la estas dos cargas es cero. figura. Determine el campo eléctrico en el punto A y en el punto B. 7. Dos carga puntuales iguales y positivas de valor q1 = q2 = 8 nC, están situadas sobre el eje y en los puntos y1 = +4 cm e y2 = -4 cm. (a) ¿Cuál es el valor y dirección del campo eléctrico sobre el eje x en x = 5 cm?. (b) ¿Cuál es la fuerza eléctrica sobre una tercera carga de prueba q0 = 2 nC ubicada en el punto P (3, 4) cm?. 8. Una carga puntual de -5 µC, esta ubicada en el 3. Dos cargas q1 y q2 se mantienen fijas y separadas punto A ( 4, -2) m. Una segunda carga puntual de una distancia de 4,5 cm. Otra carga puntual 12 µC está ubicada en el punto B (1, 2) m. (a) Q = -1,75 µC de 5 gramos de masa se encuentra Determine la magnitud y dirección del campo localizada a 3 cm de cada una de las cargas fijas y eléctrico en P (-1, 0) m. (b) Si en el punto P se es liberada desde el reposo. Si se observa que la coloca un electrón, ¿cuál es la fuerza aceleración de Q es de 324 m/s2 hacia arriba experimentada por dicho electrón? paralela a la línea de unión de las cargas q. Determine q1 y q2. 9. Tres cargas puntuales de -5 µC, +3 µC y +5 µC están localizadas a lo largo del eje x en x = -1 cm, x = 0 cm, y en x = +1 cm, respectivamente. Calcular el campo eléctrico en x = +3 cm y en x = 15 cm. ¿Existe algún punto sobre el eje x en donde la magnitud del campo eléctrico sea cero?. Localizar dicho punto. 10. Una carga q1 = -0,3 µC se encuentra localizada en Se colocan cargas de –2 μC y +4 μC en los vértices el punto A (25, -30, 15) cm, mientras que una segunda carga q2 = 0,5 µC se encuentra ubicada en 4. el punto B (-10, 8, 12) cm. Encuentre la intensidad de un triángulo equilátero de 10 cm de lado. a) de campo eléctrico en: (a) el origen de coordenadas ¿Cuál es la magnitud de la intensidad de campo y (b) P (15, 20, 50) cm. sobre una carga de –2 μC colocada en dicho eléctrico en el tercer vértice?. b) ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fuerza que actuaría 11. Dos cargas de +3 µC están localizadas en (0, 2) m y en (0, -2) m. Otras dos cargas Q están localizadas vértice?. en (4, 2) m y en (4, -2) m. Como se muestra en la 82
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    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. figura. El campo eléctrico en el origen de electrón es remplazado por un protón con la misma  coordenadas es E = (4.103 i ) N / C . Determine Q. velocidad inicial v0. ¿tocaría el protón una de las placas?. ¿Cuál es la magnitud y dirección de su desplazamiento vertical al salir de la región entre las placas?. (c) Compare las trayectorias descritas por ambas partículas y explique las diferencias. 12. Dos cargas puntuales positivas Q se mantienen fijas sobre el eje x una en x = a y la otra en x = -a. Una 15. Un electrón parte de la posición indicada en la tercera carga puntual q de masa m, está situada figura con una velocidad inicial v0 = 5.106 m/s sobre el eje x tal que x << a . La carga q que puede formando un ángulo de 45° con el eje x. El campo moverse libremente a lo largo del eje x, es liberada. eléctrico tiene la dirección y positiva y su magnitud Encuentre la frecuencia de oscilación de la carga q. es de 3,5 kN/C. ¿Sobre cuál de las placas y en qué (b) Suponga ahora que la carga q está colocada lugar chocará el electrón?. sobre el eje y tal que y << a y que se libera. Si esta carga tiene libertad de moverse en cualquier parte del plano xy, ¿qué le pasará?. Explique su respuesta. 13. Dos cargas están situadas como se muestra en la �⃗ figura. La magnitud de q1 es 3μC, pero su signo y eléctrico neto E en el punto P es enteramente en la 16. Un electrón es lanzado horizontalmente con una valor de la carga q2 no se conocen. El campo velocidad vi = 8.106m/s, dentro de un campo eléctrico uniforme dirigido verticalmente hacia dirección y negativa. (a) Considerando los posibles abajo en el interior de dos placas paralelas, como signos de q1 yq2, hay cuatro posibles diagramas que se muestra en la figura. Las placas se encuentran   separados 2,00 cm y tienen una longitud de podrían representar los campos E1 y E2 4,00 cm. Si el electrón ingresa en el punto medio producidas por q1 y q2. Trace las cuatro posibles entre las placas y abandona las placas justo en el configuraciones del campo eléctrico, (b) Utilizando borde superior de la placa. Determine la magnitud los dibujos del apartado (a) y la dirección del del campo eléctrico. neto �⃗. campo eléctrico neto en P, deduzca los signos de q1 E y q2. (c) Determine la magnitud del campo eléctrico Rta: 4.55 kN/C. 17. Se proyectan varios protones con una velocidad inicial vi = 9,55.103 m/s en una región donde está 14. Un electrón se lanza con una velocidad inicial presente un campo eléctrico uniforme v0 = 4.106 m/s dentro del campo eléctrico entre las  E = (−720 j ˆ) N / C , como se muestra en la figura. placas paralelas de la figura. La dirección del campo es verticalmente hacia abajo y el campo es Los protones deben alcanzar un objetivo que se cero excepto entre las placas. El electrón entra al encuentra a una distancia horizontal de 1,27 mm del campo en un punto situado a la mitad entre las punto por donde los protones atraviesan el plano y placas. (a) Si el electrón apenas pasa la placa entran en el campo eléctrico de la figura. superior al salid del campo, encuentre la magnitud Determine: (a) los dos ángulos de proyección θ que del campo eléctrico. (b) Suponga que en la figura el logren el resultado esperado, (b) el tiempo total de 83
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    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. vuelo para cada una de las trayectorias. Considere cm. Si se aplica un campo horizontal dirigido hacia que mP = 1,67.10-27 kg y qP =+1,6.10-19 C la izquierda, las esferas se separan de tal manera que los cables forman un ángulo θ = 50°, como se muestra en la figura. (a) ¿Cuál de las esferas tiene carga positiva la derecha o la izquierda?. (b) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico?. 18. Un electrón cuya energía cinética es 2.10-16 J se mueve hacia la derecha a lo largo del eje de un tubo de rayos catódicos como se muestra en la figura. En la región comprendida entre las placas deflectoras  21. Una placa horizontal infinita tiene una densidad de existe un campo eléctrico E = −(2.104 N / C ) ˆ . En j carga uniforme σ = 64,2 µC/m2 . Se coloca una cualquier otro sitio E = 0. (a) ¿A qué distancia del pastilla de 4,75 g de masa, en reposo, a 0,866 m de eje del tubo se encuentra el electrón cuando alcanza la placa. Si la pastilla tiene una carga negativa el extremo de la placa?. (b) ¿Bajo qué ángulo q = - 3,6 µC.. ¿Cuál es su rapidez cuando llega a la respecto al eje se mueve el electrón? Y (c) ¿A qué placa?. Solo tenga en cuenta la interacción distancia del eje se encuentra el electrón cuando electrostática. choca contra la pantalla fluorescente?. 22. Considere el modelo del átomo de hidrógeno en el cual un electrón –e, se encuentra moviéndose en una órbita circular de radio r = 5,29.10-11 m alrededor de de un protón estacionario +e. ¿Cuál será la velocidad lineal del electrón en su órbita. 19. La figura muestra un electrón entrando a un capacitor de placas paralelas con una velocidad v0 = 5,45.106 m/s. El campo eléctrico del capacitor ha desviado al electrón una distancia 0,618 cm en el punto donde el electrón sale del capacitor. Encuentre: (a) la magnitud de la intensidad de campo eléctrico en el capacitor, (b) la magnitud y 23. Un cuerpo de masa m = 3,7 g y carga Q = +44 µC dirección de la velocidad del electrón cuando sale unido mediante una cuerda unida a la pared es del capacitor (c) La energía cinética del electrón en colocada en el interior de un campo eléctrico como el instante que sale del capacitor. Considere que se muestra en la figura. Si el objeto permanece en me = 9,11.10-31 kg; qe = -1,6.10-19 C. equilibrio estático cuando la cuerda se encuentra horizontal. Determine: (a) la magnitud del campo eléctrico y (b) la tensión en el hilo. uniforme λ , a lo largo del eje z. Una partícula de 20. Dos esferas pequeñas de 6,8 mg de masa llevan 24. Se tiene un alambre infinito con densidad de carga cargas de igual magnitud q = 72 nC, pero de signo opuesto. Las esferas están unidas a un mismo punto masa m y carga q se mueve en una circunferencia, en el techo por cuerdas de igual longitud L = 53 en el plano xy, con centro en el alambre. Determine 84
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    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. la velocidad de la partícula y demuestre que es el origen es -2q y las otras dos cargas están sobre el independiente del radio del círculo. Sólo tenga en eje y en y = a e y = -a valen +q. (a) Determine el cuenta la interacción electrostática entre el alambre campo eléctrico en un punto sobre el eje x a gran y la carga. distancia de manera que x >> a. (b) Determine el campo eléctrico en un punto sobre el eje y a gran 25. Una carga positiva +q puede moverse en una órbita distancia de manera que y >> a. circular con respecto a un alambre infinito negativamente cargado, con densidad lineal de carga –λ. Demuestre que el período de la órbita es proporcional al radio de la misma. Compare este resultado con la dependencia del período de una órbita circular respecto al radio de la misma, para una carga puntual que interactué con otra carga puntual. 26. Una pelota de corcho de 0,40 g de masa se coloca entre dos placas horizontales grandes. La placa de abajo tiene una densidad de carga uniforme de 30. Determine el campo eléctrico debido a una varilla σ1 = 0,8 µC/ m2, mientras que la superior tiene una delgada, infinitamente larga, con una densidad de densidad de carga uniforme σ2 = -0,5 µC/ m2, la carga uniforme λ = 4 µC/m, a una distancia de 70 pelota de corcho que tiene una carga desconocida, cm de la varilla. Suponga que la varilla está se coloca entre las placas, y se observa que flota alineada con el eje y. inmóvil. ¿Cuál es la magnitud y signo de la carga que posee la pelota? 31. Una carga lineal uniforme de densidad λ = 5 nC/m, se distribuye desde x = 0 hasta x = 3m. (a) de −2𝜇𝐶, está colgada de un hilo de 1 m de Determine la carga total. (b) Determine el campo 27. Una pelota de corcho de 5 g de masa, con una carga eléctrico en los puntos A(4, 0) m; B(8, 0) m y en P(0, 3) m. longitud sobre una placa horizontal, uniformemente cargada, con densidad de carga σ = 1 µC/m2. La 32. Una carga positiva Q es distribuida uniformemente pelota se desplaza de la vertical un ángulo pequeño a lo largo de una barra de longitud a. Si se coloca y se le permite oscilar. Demuestre que la pelota una carga puntual negativa –q sobre el eje positivo describe un movimiento armónico simple y calcule de las x, a una distancia x del origen de la frecuencia de oscilación de ese movimiento. coordenadas, como se muestra en la figura. (a) Determine las componentes x e y del campo eléctrico producido por la distribución de carga Q 28. La figura muestra una palanqueta formada por dos en puntos sobre el eje positivo x. (b) calcule las masas idénticas m sujetas a los extremos de una componentes x e y de la fuerza que la distribución barra delgada (sin masa) de longitud a con un de carga Q ejerce sobre –q. pivote en su centro, las masas transportan las cargas +q y –q y el sistema está localizado en un pequeños valores del ángulo θ entre la dirección  campo eléctrico uniforme E . Demostrar que para del dipolo y el campo eléctrico, el sistema ejecutará un MAS y deducir el período de este movimiento. 33. Dos planos cargados verticales e infinitos son paralelos y están separados una distancia d = 2 m. Determinar el campo eléctrico a la izquierda de los plano, a la derecha y entre ambos cuando: (a) Cada uno de los planos posee una densidad de carga uniforme σ = +5 µC/ m2 y (b) El plano izquierdo tiene una carga tiene σ = +4 µC/ m2 y el derecho 29. Un cuadrupolo consta de dos cargas próximas entre σ = -3 µC/ m2. Dibuje las líneas de campo eléctrico sí como se indica en la figura. La carga efectiva en en cada caso. 85
  • 47.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. 34. Una carga de +8 µC está distribuida en un anillo de 10 cm de radio. Determine la intensidad de campo eléctrico sobre el eje del mismo en: (a) 2,5 cm, (b) 4,6 cm y (c) 5 m, (d) determine el campo eléctrico paralelas al plano yz cada una con una densidad σ, en 5 m con la aproximación de que el anillo es una 42. Dos cargas laminares uniformes e infinitas carga puntual en el origen y comparar este resultado con el obtenido en (c), ¿Cuál es el error se colocan en x = ±1 . Determinar el campo porcentual que se comete al hacer esta eléctrico en todas las regiones. aproximación?. 43. Repita el problema anterior para el caso en el plano 35. Un disco de 5 cm de radio es portador de una en x = -1 m posee una distribución de carga +σ y densidad de carga superficial de σ = +20 µC/m2, el plano en y el plano en x = 1 m posee una Utilizando aproximaciones razonables determine el distribución de carga –σ. campo eléctrico en puntos sobre el eje a distancias de: (a) 0,05 cm, (b) 2 cm, (c) 8 cm y (d) 6 m. 44. Sobre un disco circular de radio R ubicado en el uniforme λ está situada sobre el eje x desde x = -a plano z = 0 se ha distribuido una densidad de carga en el punto (0, φ, h). 36. Una carga lineal finita de densidad de carga lineal no uniforme dada por σ = σ 0 Sen 2ϕ . Determinar E hasta x = +b. Determinar el campo eléctrico en puntos sobre el eje y a una distancia d de la barra. 37. Un sistema está compuesto por una carga lineal 45. Sobre un disco de radio R = 0,5 m ubicado en el infinita de densidad lineal de carga uniforme plano z = 0 se ha distribuido una carga con una λ = - 7 µC/m, es paralela al eje y en x = - 2,5 m. densidad no uniforme tal que su densidad de carga Una carga puntual de 5 µC está localizada en el está dada por σ = (10 −4 / r )C / m 2 . Determine E en punto A(3, 4) m. Determine la intensidad de campo el punto sobre el eje z situado a una distancia de eléctrico en el punto P(2, -3) m. 3 m desde el centro del disco. 38. Un semianillo de radio R = 20 cm tiene una carga 46. Hay una carga en el plano Z = - 3 m en forma de uniforme de q = 0,70 nC, está ubicado en el plano una hoja cuadrada definida por −2 ≤ x ≤ 2m , xy con su centro de curvatura en el origen de −2 ≤ y ≤ 2m , con densidad de carga coordenadas. Determine la intensidad de campo eléctrico en el punto P (0, 0, 20) cm. σ = 2( x + y + 9) nC / m Halle 2 2 3/ 2 2 el campo eléctrico en el origen de coordenadas. 39. En el centro de un anillo fino de radio R, en el cual 47. Un anillo fino aislante de radio R tiene una carga, donde λ0 es una constante positiva y φ es el ángulo está distribuido uniformemente una carga –q, se encuentra una carga puntual +Q. Determine el cuya densidad lineal de carga es λ = λ 0 Cosϕ , módulo del vector intensidad de campo eléctrico en un punto del eje del anillo, distante z de su centro, azimutal. Determine el módulo de la intensidad del si z >> R. campo eléctrico: (a) En el centro del anillo, b) En el eje del anillo en dependencia de la distancia z hasta su centro. 40. Dos planos infinitos de carga son paralelos entre sí y paralelos al plano yz. Uno de ellos a x = - 2 m y su densidad de carga superficial es σ = -3,5 µC/ m2. 48. Una pelota de plástico pequeña de 12, 3 g de masa El otro corresponde a x = + 2 m y tiene una se encuentra unida por una curda larga de 28,6 cm densidad superficial de carga σ = +6 µC/ m2. de longitud a una pared vertical. Si existe un campo Determine el campo eléctrico para (a) x < -2 m, (b) eléctrico horizontal en este ambiente. Cuando la -2 m < x < 2 m y (c) x > 2 m. pelota tiene un exceso de carga de -1.11 µC, se observa que la pelota se encuentra en equilibrio con la cuerda formando un ángulo de 17,4 °, como se carga λ1 y λ2 tienen igual longitud L y están 41. Dos cargas lineales uniformes de densidades de muestra en la figura. Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico que existe en el situadas sobre el eje x separadas una distancia d ambiente. como indica la figura. ¿Cuál es la fuerza que una carga lineal ejerce sobre la otra?. 86
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    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. uniforme σ. Calcule el campo eléctrico en un punto 49. Se corta un orificio circular de radio R de un plano infinito que lleva una carga por unidad de área 53. Entre dos placas separadas 4 cm existe un campo eléctrico uniforme de magnitud 640 N/C. De a lo largo del eje que pasa por el centro del orificio manera simultánea se libera un protón de la placa y a una distancia H del plano que contiene al disco. positiva y un electrón de la placa negativa. (a) Determine la distancia a la placa positiva en el 50. Una carga lineal uniforme de densidad λ = 1 nC/m momento en que ambos se cruzan. Desprecie la atracción eléctrica existente entre el protón y el está arreglada en la forma de un cuadrado de 2 m electrón). (b) ¿Qué sucedería si? Repita el inciso de lado, como se muestra en la figura. Encuentre la (a) ahora con un ión de sodio (Na+) y con un ión de magnitud de la intensidad de campo eléctrico en el cloro (Cl-). punto P(0, 0, 1)m. 54. Una distribución de carga lineal uniforme, infinita intensidad de campo eléctrico �⃗ en el punto en extensión se encuentra a lo largo del eje z. Si la E densidad de carga es λ = 20 nC/m, determine la P (6, 8, 3) m. 55. Dos cargas lineales idénticas y uniformes de λ = 5 �⃗ Determine el vector campo eléctrico E en el punto nC/m, son paralelas al eje z, en x = 0, y = ± 4 m. P (±4, 0, z). 51. Una carga eléctrica está distribuida a lo largo de cada lado del cuadrado de lado a. Dos lados 56. El plano − x + 3 y − 6 z = contiene una 6m adyacentes tienen una distribución de carga distribución superficial de carga σ = 0,53 nC/m2. positiva con carga total +Q sobre cada uno. (a) Si Encuentre el vector intensidad de campo eléctrico los otros dos lados tienen un distribución de carga en el lado que contiene al origen de coordenadas. negativa con una carga total -Q sobre cada uno. ¿Cuáles son las componentes x e y del campo eléctrico neto en el centro del cuadrado?. (b) 57. La carga positiva Q está distribuida uniformemente Repita el cálculo del apartado (a) considerando que a lo largo del eje de las x desde x = 0, hasta x = a. sobre los cuatro lados del cuadrado ha sido Sobre el eje también existe una carga puntual +q distribuida cargas positivas +Q situada en x = a + r, una distancia r a la derecha del extremo de Q como se ve en la figura. (a) Determine las componentes x e y de la intensidad de campo eléctrico producido por la distribución de carga Q en puntos sobre el eje x < a. (b) Determine la fuerza (magnitud y dirección que la distribución de carga Q ejerce sobre q. (c) Demuestre que si r >> a, la magnitud de la fuerza del inciso (b) es aproximadamente al de una carga puntual Q situada en el origen de coordenadas. 52. El eje de un cilindro sólido de radio R y longitud L está alineado con el eje y, la orilla izquierda del cilindro está en y = 0, como se muestra en la figura. El cilindro tiene una carga total Q distribuida uniformemente en todo su volumen. Integrando el resultado para un disco de carga a lo largo de su propio eje, determine la intensidad de campo eléctrico en el punto P a lo largo del eje del cilindro en función de Q, L, y R 87
  • 49.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. 58. Un dipolo eléctrico consiste en dos cargas barra y (a) la componente horizontal x de la puntuales q1 = +2e y q2 = -2e donde e es la carga intensidad de campo eléctrico. del electrón, separadas por una distancia d = 10-9 m. Las cargas están localizadas a lo largo del eje y como se ve en la figura. Suponiendo que se aplica un campo eléctrico externo constante  = (3i E ˆ + 3 ˆ) N / C . (a) ¿Cuál es la magnitud y j dirección del momento dipolar. (b) ¿Cuál es la magnitud y dirección del torque sobre el dipolo?. 62. Un disco delgado con un orificio circular en su centro, conocido como corona circular, tiene un carga superficial uniforme σ en su superficie. (a) radio interno R1 y un radio externo R2 como se muestra en la figura. El disco tiene una densidad de �⃗ intensidad de campo eléctrico E en puntos sobre el ¿Cuál es la carga total de la corona?. (b) Halle la eje z. 59. Una carga positiva +Q está distribuida a lo largo del eje x de x = 0 a x = a. La carga negativa –Q está distribuida a lo largo de eje –x de x = 0 a x = - a. hay una carga positiva +q sobre el eje positivo de las y a una distancia y del origen. Determine el campo eléctrico debido a las distribuciones en el punto donde se localiza la carga puntual +q y a partir de él determine la fuerza eléctrica que ejercen las distribuciones sobre la carga puntual. 60. Una carga positiva q = 7,81 pC es distribuida 63. Una varilla delgada es doblada en la forma de un uniformemente sobre una barra no conductora arco de un círculo de radio R = 7,5 cm. El arco que delgada de longitud L = 14,5 cm. Determine: (a) la tiene la forma de ¾ partes de una circunferencia se magnitud y dirección del campo eléctrico encuentra centrado en el origen de coordenadas, producido por la barra en el punto P ubicado a una como muestra la figura. Si sobre la varilla se distancia y = 6 cm en el bisector perpendicular a la distribuye uniformemente una carga Q = 4,7 nC. barra y (b) Si en P se coloca una carga de 2,32 µC. Determine la magnitud y dirección de la intensidad ¿Cuál será la magnitud y dirección de la fuerza de campo eléctrico en el origen de coordenadas. experimentada por ésta última? 64. Una barra delgada de longitud L está situada sobre el eje x con un extremo en x = d y el otro en el extremo en x = d +L. Si sobre la barra lleva una 61. Sobre una barra delgada de longitud L fija a lo densidad de carga no uniforme λ = λ0 x 2 . largo del eje x con uno de sus extremos en el origen Encuentre la intensidad de campo eléctrico en el de coordenadas se ha distribuido una carga con una origen de coordenadas. densidad λ = λ0 x , donde λ0 es una constante. longitud λ es doblada en la forma de un arco de un 65. Una varilla delgada con una carga por unidad de Determine: (a) la componente vertical y de la intensidad de campo eléctrico producido por la 88
  • 50.
    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. 2θ0 , simétricamente alrededor del eje x, como �⃗ de carga +σ mientras que el segundo lleva una círculo de radio R. El arco subtiene un ángulo total 69. Encuentre la ecuación para el campo eléctrico entre muestra la figura- ¿Cuál es el campo eléctrico E en densidad de carga uniforme -σ dos discos de carga. El primero lleva una densidad 70. Una línea de carga de longitud 2L y densidad λ1 se el origen O?. carga de longitud L y densidad de carga λ2 se fija sobre el eje x, mientras una segunda línea de encuentra fija sobre el eje y. Encuentre el campo eléctrico en el punto P mostrado en la figura 66. Un disco de radio R está ubicado en el plano yz con superficial no uniforme dada por σ = σ0r, donde σ0 su centro en el origen de coordenadas. Sobre el disco se ha distribuido una carga con una densidad es una constante positiva y r es la distancia medida a partir del centro del disco. Encuentre la intensidad de campo eléctrico a una distancia x desde el centro del disco 71. Sobre una varilla delgada infinita fija sobre el eje x se ha distribuido una carga con una densidad lineal 67. La figura muestra dos anillos concéntricos, de λ = 2 µC/m como se muestra en la figura. Una radios R y R’ = 3 R, que se encuentran fijos en el carga puntual Q = -2 µC se encuentra ubicada en mismo plano. El punto P se encuentra fijo sobre el x = 0 cm, y = -5 cm. Determine la intensidad de eje central Z, a una distancia D = 2 R del centro del campo eléctrico en el punto P (7, 7) cm. anillo. El anillo pequeño tiene una carga +Q distribuida uniformemente. En términos de Q, determine la carga uniformemente distribuida sobre el anillo más grande si el campo eléctrico neto en el punto P es cero?. 72. Encuentre el campo eléctrico en un punto medio P entre una lámina infinita que lleva una densidad de carga superficial σ = 84,5 µC/m2 y una carga puntual q = 5,25 µC como se muestra en el 68. La figura muestra tres arcos circulares centrados diagrama. La distancia d entre la lámina de carga y en el origen de coordenadas. Sobre cada uno de los la carga puntual es 7,55 cm arcos de ha distribuido uniformemente cargas Q = 2 µC. Los radios se expresan en función de R = 10 cm. Determine la magnitud y dirección (respecto al eje x positivo) del campo eléctrico neto en el origen debido a los arcos cargados. 73. Tres láminas infinitas de carga son ubicada en las posiciones mostradas en la figura. La lámina 1 lleva una densidad de carga σ = 1 µC/m2; la lámina 2 una densidad de carga σ = 2 µC/m2; mientras que la lámina 3 lleva una densidad de carga superficial, 89
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    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. σ = 3 µC/m2. Encuentre la intensidad de campo eléctrico en los puntos indicados con 1, 2, 3 y 4 del diagrama. 78. Encuentre la magnitud y dirección de la intensidad σ uniformemente distribuido sobre su superficie. de campo eléctrico a una distancia z sobre el centro 74. Un anillo de radio R está ubicado en el plano xy de un cuadrado el cual lleva una densidad de carga uniforme dada por λ = λ0 sen ϕ, donde λ0 es una con su centro en el origen de coordenadas. Si sobre constante y φ es el ángulo azimutal, determine la el anillo se ha distribuido una densidad de carga no intensidad de campo eléctrico en un punto P ubicado en el eje del anillo a una distancia H, desde el centro. 75. Encuentre la intensidad de campo eléctrico en el de carga el cual tiene una carga total q = 5,6 μC. El punto medio P entre un disco de carga el cual tiene una densidad de carga σ = 250 µC/m2 y un anillo 79. Dos líneas de carga esencialmente infinitas está en radio del disco es 0,15 m y el radio del anillo es el plano yz y llevan densidades de carga lineales 0,15 m y la distancia de separación entre las uniformes +λ y –λ. Encuentre la ecuación para la distribuciones es 4R intensidad de campo eléctrico en un punto arbitrario P. ¿Cuál podría ser el momento dipolar eléctrico?. 76. Dos anillos circulares de radio R tienen sus centros sobre el eje x separados por una distancia l como se muestra en la figura. Si cada uno lleva una carga Q 80. El objeto curvado tiene una carga Q uniformemente distribuida uniformente en su longitud. Encuentre  distribuido a lo largo de su longitud. El radio de la intensidad de campo E ( x) , en puntos a lo largo curvatura es R. Derive expresiones para las del eje x. componentes del campo eléctrico en un punto P a una distancia a desde el centro a lo largo del eje y. 77. Encuentre el campo eléctrico �⃗ en el origen del E sistema coordenado mostrado debido a dos barras delgadas cargadas de longitud L = 1,5 m. La 81. Con una barra de vidrio delgada se forma un densidad de carga lineal es λ1 = - 25 µC/m, semicírculo de radio R, tal como se muestra en la mientras que λ2 = - 45 µC/m. La distancia a = 0,15 figura. Una carga es distribuida a lo largo de la m, mientras que la distancia b = 0,25 m. varilla en forma no uniforme con una densidad de 90
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    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. carga dada por λ = λ0senθ, donde λ0 es una distancia z = 2R. Suponga para este apartado que h constante positiva. El punto P es el centro de la = 3R; (c) razona si la condición del apartado (b) se semi-círculo. Encuentre la intensidad de campo cumple en el caso en que los signos de λ1 y λ2 son R = 5 cm y λ0 = 1,0 μC/m. eléctrico en el punto P. Determine la aceleración, distinto. de un electrón localizado en el punto P, asuma que densidad de carga λ, constante están ubicadas en el 85. Dos distribuciones de carga de longitud infinita, de 82. Sobre dos barras de plástico curvadas de radio plano xy paralelas al eje y a una distancia a del r = 8,5 cm ubicadas en el plano xy se han origen. Sobre un hilo recto de longitud L y masa m, distribuidas cargas ± q. El eje x pasa a través de uniforme λ. Determine: (a) El campo eléctrico que situado sobre el eje z tal como se muestra en la ambos extremos y la carga es distribuida figura , se distribuye una carga de densidad lineal uniformemente en ambas barras. Si q = 15 pC. (a) ¿Cuál es la magnitud y la dirección respecto al eje x gráfica, (b) el valor de λ para que el hilo se crean las cargas rectilíneas en los puntos del eje z. del campo eléctrico producido en el punto P (centro Dar su expresión en función de z y dibujar su del círculo)?; y (b) si en el centro del circulo se coloca una carga puntual q0 =+ 2 pC, ¿Cuál será la mantenga en equilibrio fuerza que ejerce la distribución de carga sobre ésta última? 83. En la figura se dispone de una distribución rectilínea de carga positiva de densidad λ = kz, para z > 0 y λ = -βz, para z < 0, siendo β una 86. Un sistema se compone de un disco de radio R constante positiva. Determine el campo eléctrico E cargado con una densidad de carga uniforme σ y de en un punto cualquiera del plano x-y, situado a la una varilla uniformemente cargada con una distancia r del origen densidad de carga λ, de longitud L, dispuesto en el eje del disco de modo que uno de sus extremos coincide con el centro de éste. Determine la fuerza de interacción entre el disco y la varilla. 84. La distribución de carga de la figura está formada por dos hilos conductores circulares de radios R y 2R, cuyas densidades lineales de carga (ambas positivas) son λ1 y λ2, respectivamente. La distancia sobre el eje z que separa a los centros de ambas espiras es h. Se pide: (a) el ampo eléctrico en un punto situado sobre la línea que une los centros, a una distancia z del origen de coordenadas (siendo z≤ h); (b) la relación matemática entre λ1 y λ2 para 87. La figura muestra un dispositivo para controlar la que el campo eléctrico resultante se anule a una trayectoria de las gotas de tinta en un tipo de 91
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    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. impresora de inyección de tinta. Las gotas son dista de esta la longitud d. Determine: (a) la desviadas por un campo eléctrico uniforme constante a, (b) la fuerza total que la carga lineal generado por dos placas planas cargadas. Una gota infinita ejerce sobre la barra de longitud L. de tinta de masa m = 1.3 10-10 kg y carga eléctrica Q = -1.5 10-13 C entra en la región entre las placas con velocidad de v0 = 18 m/s. La longitud de las placas es L = 2 cm. Suponga que el campo es uniforme y vale E =1.4 106 N/C. Calcular: a) la relación entre la fuerza eléctrica y la fuerza gravitatoria sobre la gota, ¿puede despreciarse ésta última? b) la desviación vertical de la gota al salir del espacio entre las placas. 91. Sobre una barra de plástico doblada en forma de un cuarto de circunferencia ha sido distribuida uniformemente una carga con una densidad lineal λ como se muestra en la figura. Determine la intensidad de campo eléctrico en el centro del arco. 88. Dos placas planas paralelas muy largas tienen densidades de carga por unidad de área de + 2 µC/m2 y - 2 µC/m2, respectivamente. Un pequeño grano de polen de masa m = 200 mg y carga q cuelga de un punto fijo mediante un cable flexible e inextensible como se muestra en la figura. Si el cable forma un ángulo θ = 30° con la vertical. Determine la carga q del grano de polen. 92. La figura muestra dos laminas planas muy grandes cargadas uniformemente con densidades de carga que se muestran en la figura. Determine la intensidad de campo eléctrico en los puntos a y b. 89. Calcular el campo eléctrico creado por una tira indefinida de densidad superficial de carga constante en los puntos del eje Y. 93. En el instante t = 0 un objeto muy pequeño de 0,4 mg de masa y +9 µC de carga está viajando a 125 m/s en la dirección –x. Si la carga se está 90. Sobre la barra de longitud L se ha distribuido una moviendo en el interior de un campo eléctrico carga con una densidad λ ( y ) = ay 2 en donde y es la uniforme de magnitud E = 895 N/C dirigido en la distancia medida desde el punto medio de la barra dirección +y. Depreciando la fuerza gravitacional sobre la partícula. ¿Hasta qué punto se alejará la densidad λ C/m, como se muestra en la figura. El infinita y se encuentra en dirección perpendicular a una carga lineal uniforme e infinitamente larga de partícula desde el origen en t = 7,00 ms?. 94. Una carga puntual q se encuentra cerca de un extremo más próximo de la barra a la carga lineal plano dieléctrico infinito cargado uniformemente 92
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    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. con una densidad de carga σ como se muestra en la lleva una carga de +2,5 µC distribuida figura. Determine la intensidad de campo eléctrico uniformemente a lo largo de su longitud y la otra en el punto P. lleva una carga de -2,5 µC distribuida uniformemente a lo largo de su longitud, como se muestra en la figura. (a) Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico producido por estos alambres en el punto P el cual está a 60 cm de cada uno de los alambres. (b) Si un electrón es liberado en P ,¿cuál será la fuerza neta ejercida por los alambres sobre el electrón?. 95. En la figura mostrada, una varilla de plástico forma un semicírculo de radio r = 5,00 cm. Si una carga es distribuida uniformemente a lo largo de la barra con +q = +4,5 pC en la mitad superior y –q = - 4,5 pC en la mitad inferior. (a) ¿Cuál es la magnitud y 98. Un protón es lanzado con una velocidad inicial de la dirección respecto al eje x de la intensidad de 150 m/s bajo un ángulo de 60° sobre la horizontal campo eléctrico en el punto P que es el centro del dentro de un campo eléctrico uniforme E = 0,0002 semicírculo?. (b) Si un electrón es colocado en P, N/C entre dos placas paralelas, como se muestra en ¿Cuál será la aceleración que experimenta dicha la figura. Encontrar: (a) el tiempo total que la partícula?. Considere que me = 9,11.10-31 kg y qe = - partícula está en movimiento y (b) su máximo 1,6.10-19 C?. alcance y (c su máxima altura 96. La figura muestra dos anillos no conductores y paralelos, dispuestos de tal manera que sus ejes son 99. Un péndulo cónico de longitud L = 25 cm tiene una coinciden. El anillo A tiene un radio R y sobre él se masa de m = 50 g y una carga q = -6 µC. ha distribuido uniformemente una carga qA el Determine la rapidez angular ω de su movimiento anillo B que tiene el mismo radio R tiene una carga para que la cuerda forme un ángulo θ = 37° con la qB distribuida uniformemente en su longitud. Los vertical. Considere que E = 50 kN/C. anillos se encuentran separados por una distancia 3.00R, como se muestra en la figura. Si el campo eléctrico neto en el punto P a una distancia R del anillo A es cero. ¿Cuál es la razón q1/q2? . 100. Un objeto cargado con q = -2,05 µC unido a una 97. Dos alambres no conductores de 1,2 m de longitud cuerda flexible e inextensible se suspendido en el forman un ángulo recto. Uno de los segmentos 93
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    Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C. espacio comprendido entre dos placas grandes y muestra en la figura. (a) ¿En qué dirección apunta verticales como se muestra en la figura. Si la el campo eléctrico en el centro? y (b) ¿Cuál es la tensión en el cable es de 0, 35 N y el ángulo que la magnitud del campo eléctrico en el centro de la cuerda forma con la vertical es θ = 12°. Determine: circunferencia?. (a) la masa del objeto y (b) la magnitud del campo eléctrico. Rta: 0,035 kg; 3,5.104 N/C 104. Tres cargas puntuales idénticas (q = -10 µC) se colocan a lo largo de una circunferencia de 1,5 m de radio como se muestra en la figura. Determine la intensidad de campo eléctrico en el centro de la circunferencia. 101. La figura (a) muestra una barra no conductora con una carga +Q distribuida uniformemente. La barra forma media circunferencia de radio R y produce un campo eléctrico de magnitud Earc en el centro de curvatura P. Si el arco colapsa para dar una carga punto +Q a una distancia R de P como se muestra en la figura (b) ¿Por qué factor resulta multiplicado el campo eléctrico?. 105. 102. En la figura (a), una partícula de carga +Q produce un campo eléctrico de magnitud Epart en un punto P a una distancia R de la partícula. En la figura (b), la misma cantidad de carga Q es distribuida uniformemente sobre un arco de radio R que subtiene un ángulo La carga distribuida en el θ. arco produce un campo eléctrico de magnitud Earc en el centro de curvatura P. Para qué valor deθ se cumple que Earc = 0,50 E part . 103. Sobre un anillo de radio R se ha distribuido una carga con una densidad λ (θ ) = λ0 senθ , como se 94