Cap2

Capítulo 2. Cinemática de la Partícula
2.1 Conceptos Básicos
Partícula o Punto Material
Además del movimiento de traslación, los cuerpos pueden efectuar movimientos de rotación y de
vibración. Cuando se analiza el movimiento de traslación exclusivamente, resulta conveniente introducir
el concepto de partícula, asumiendo que el cuerpo se comportan como un punto, con toda su masa
concentrada en él.
Siempre que sólo interese analizar el movimiento de traslación, se puede asumir, en una primera
aproximación, que el cuerpo en cuestión se comporta como una partícula. De esta forma se centra la
atención en la traslación, y se deja de tomar en cuenta las posibles rotaciones y vibraciones, que
siempre pueden ser analizadas posteriormente. La aproximación será más cercana a la realidad
mientras mayores sean las distancias involucradas en comparación con las dimensiones del objeto en
cuestión.
Vector de posición
El movimiento es relativo. Cuando se menciona que un cuerpo se mueve, hay que especificar con
relación a qué se está moviendo. Usualmente se toma la Tierra como sistema de referencia, pero la
Tierra también se mueve alrededor del Sol, y éste, junto con todo el sistema solar, alrededor del centro de
la galaxia y con relación a otras galaxias, etc.
La posición de una partícula respecto a cualquier sistema de referencia se
especifica mediante el vector de posición    
r = x i + yj + zk
. Conociendo
(x,y,z) se conoce exactamente la posición de la partícula. En lo que sigue
sólo se analizaran problemas en 1 y 2 dimensiones (recta y plano), por lo
que la representación del vector de posición será en el plano xy:
r x i y j
  
= +
Trayectoria y Desplazamiento
Cuando la partícula varía su posición con el transcurso del tiempo, la
curva imaginaria que se obtiene al unir las posiciones sucesivas que va
ocupando la partícula se denomina trayectoria de la misma. En este caso
el vector de posición será función del tiempo, lo que se designa por
r r (t)
 
= . Como r x i yj
  
= + , también se cumplirá que x = x(t) ; y =
y(t).
Supongamos que en un instante t1, medido con reloj, la partícula se
encuentra en la posición P1, con vector de posición 1 r 
. Y que en un

instante posterior se encuentra en P2, asociado a r2
. Se define
el desplazamiento de la partícula en el intervalo de tiempo Dt = t2


– t1 como  D r
= r2
- r1
(ver figura). Se ve fácilmente que,

efectivamente, r2
= 1 r 
 .
+ D r
2.2 Velocidad y Rapidez
Velocidad
P
k
r
j
i
P
y
j
r
i x
P1
D
P2
r
1 r
2 r
Dr. Arnaldo González Arias, Dpto. Física Aplicada,UH arnaldo@fisica.uh.cu parte I, Cap.2, pag. 1

Si la partícula ha realizado un desplazamiento D r 
en el intervalo de tiempo Dt, es posible definir su
velocidad media por la expresión

v =D
r m
t
D

Como Dt es un escalar siempre positivo, la velocidad media siempre tiene la misma dirección y sentido
que el desplazamiento D r 
. La velocidad instantánea (o simplemente, la velocidad) se define como el
límite para cuando Dt ® 0:
r
D
t
lim
t 0
v
D
D ®
=



v dr
dt

=
Cuando Dt tiende a cero, el vector desplazamiento también tiende a cero,
y cada vez la cuerda se acerca más a la tangente a la curva (ver figura).
Como la velocidad tiene la misma dirección que D r
 , también su
dirección se acercará cada vez más a la tangente a la curva. En el límite,
cuando Dt = 0, la dirección de la velocidad coincide con la tangente a la
trayectoria. Es decir, la velocidad instantánea de la partícula siempre es
tangente a la trayectoria.
En coordenadas cartesianas en dos dimensiones, donde r x i y j
v 
D
r
r
  
= + , derivando con respecto al
tiempo se obtiene
  
= +
v vx i vy j
donde vx y vy son las componentes de la velocidad a lo largo de los ejes coordenados: vx = dx/dt, vy =
dy/dt.
Rapidez
Considere un segmento cualquiera de trayectoria recorrida entre los puntos P1 y
P2, y sea D la longitud de ese intervalo. Si la longitud se recorre en el intervalo
Dt = t2 – t1, la rapidez de la partícula se define por la expresión
rapidez =
lim
D
t 0 D
t
D ®

P1 D
Dr P2
De la figura se ve que D y Dr no son iguales sino que, a lo más, D » Dr. Sin embargo, a medida que el
intervalo Dt se hace menor y el punto P2 se acerca a P1, el valor de Dr y el de D irán siendo cada vez
más similares. En el límite para Dt ® 0 el punto P1 y el P2 prácticamente coinciden, y es posible sustituir
uno por el otro. En ese caso d = dr, y queda entonces
lim
D
t 0 D
t
D ®

=
dr
dt
d = 
dt

dr 
= | v |
dt
=
Por tanto, la rapidez de la partícula no es más que el módulo de su velocidad. Resumiendo:

| v |
=
dr
dt
d = 
dt
.
Si se desea calcular la longitud D recorrida a lo largo de la trayectoria, despejando en la expresión
anterior se obtiene d = vdt, por tanto,
t

ò =ò
d vdt
o to


D = ò t
to
vdt
2.3 Aceleración
Sean 1 v 
y 2 v 
las velocidades de una partícula en los instantes t1 y t2, respectivamente. La aceleración
media de la partícula en ese intervalo de tiempo se define por la expresión

a =D
v m
t
D

y se comprueba fácilmente que el vector am, paralelo al vector
Dv, está dirigido siempre hacia la parte cóncava de la
trayectoria (ver figura). La aceleración (instantánea) se define
como el límite de la aceleración media cuando el intervalo Dt
tiende a cero:
v
D
t
lim
t 0
a
D
D ®
=



a dv
dt

=
D
-
t2,
2 v 
m a 
v 
2 v 
1 v 
  
= + , aplicando la
t1,
1 v 
Cuando la velocidad se expresa en función de sus componentes, v v i v j x y
definición anterior, se obtiene
  
= + .
a ax i ay j
ax = dvx/dt, ay = dvy/dt.
N T Componentes Normal y Tangencial 

de la Aceleración
Hasta el momento se ha utilizado para establecer la posición de la partícula un sistema de referencia
ligado a tierra. Consideremos ahora otro sistema de referencia: un sistema de referencia ligado a la
partícula, de manera que se mueve junto con ella a lo largo de la trayectoria.
Los ejes coordenados de este sistema de referencia se toman de forma
que uno de ellos es tangente a la trayectoria en cada instante, y el otro es
perpendicular a esa tangente. Se introducen, además, el vector unitario
tangente (tau) y el vector unitario normal , éste último dirigido
hacia la parte cóncava de la curva. El vector T 
se puede expresar en
función de la velocidad de la partícula, que también es tangente a la
trayectoria, como
 
=
T v
v
Expresando la aceleración en función de T 
:

a dv
d 

= = (vT)
dt
dt
a 
=
T v dT
dt
dv
dt


+
El primer término, dv/dt, es la variación de la rapidez a lo largo de la curva, y tiene la dirección del vector

tangente. Se denomina aceleración tangencial: at = dv/dt . Para analizar el significado de dT dt
,
consideremos que, como T 
es un vector unitario, entonces el producto escalar de él consigo mismo es
igual a la unidad:

 
T × T =1
.
La derivada del producto escalar de vectores sigue las mismas reglas que las derivadas de las funciones

reales. Derivando respecto al tiempo se obtiene 2T × dT =
0
dt

, lo que de acuerdo a las propiedades
analizadas del producto escalar, significa que los vectores T 

y dT dt
son perpendiculares entre sí.

Significa que el vector dT dt
tiene la dirección del vector unitario normal N 
, y por tanto es posible
escribir

dT dt

= | dT dt
|N 
.
Es decir, hasta el momento hemos logrado expresar la aceleración de la siguiente forma:
a 
dv 
T v dT
= N
dt
dt


+

Falta por investigar el significado de | dT dt
| . Si pasamos a la definición de derivada, entonces
tendremos
T
»D
t
 
T
D
t
lim
t 0
dT
dt
D
D
D®
=
Para calcular DT/Dt consideremos la figura siguiente:
El triángulo formado por los dos radios y el
segmento de cuerda de valor vmDt es
semejante al triángulo formado por los
vectores T 
, o T 
y DT 
, por ser
To
» v q T mDt

DT
T 
isósceles con ángulo común entre los lados
iguales. Que el ángulo es el mismo en
ambos casos se ve fácilmente
considerando que los vectores unitarios
son perpendiculares a los correspondientes
radios de la circunferencia. Cuando dos
ángulos agudos tienen sus lados
correspondientes perpendiculares entre sí, son iguales.
Analizando entonces la proporcionalidad entre lados homólogos de triángulos semejantes, se cumplirá
que
1
R
T
R
T
m
D
v t
= =
D
T = v
m
D
R
t
D
R
q

-To
Considerando ahora un intervalo Dt tendiendo a cero, la velocidad media vm tenderá al valor de la
velocidad instantánea en un punto, y el cociente DT/Dt se convertirá en la derivada dT/dt. Es decir,
dT/dt = v/R
que es la expresión que deseábamos encontrar. Sustituyendo en la formula de la página anterior, se
llega a:
a 
dv  2 
T v
= N
R
dt
+
donde el término v2/R es la componente normal de la aceleración, o simplemente, aceleración normal. En
resumen, cuando nos referimos a un sistema de referencia que se mueve junto con la partícula a lo largo
de la trayectoria, es posible expresar la aceleración por la expresión

  
= +
a atT anN
at = dv/dt
an = v2/R
 
q t a = a T
Notar que an es siempre positiva, mientras que at puede ser positiva o
negativa, según sea que la partícula vaya aumentando o reduciendo su
velocidad a lo largo de la trayectoria. El vector aceleración siempre
estará dirigido hacia la parte cóncava de la curva. Su dirección puede
obtenerse a partir de las componentes; tanq = an/at .
2. 4 Caso en que ā = 0: Movimiento Rectilíneo Uniforme
A continuación se estudian algunos casos particulares de movimiento, comenzando por el más sencillo
posible.

Si
a dv

= = 0, entonces necesariamente v 
dt
= constante.
Si la velocidad es constante (módulo, dirección, sentido) el
movimiento tiene que ser a lo largo de una recta. Y en ese
caso resulta conveniente escoger el eje x de forma que
coincida con la dirección del movimiento. El vector de
posición de la partícula tendrá la forma .
En la figura, | 1 r 
| = x1; | r2
 
an = anN
a 
1 v(t ) 
2 v(t ) 
 
r = x i
0 x1,t1 x2,t2
2 r
1 r
 | = x2 . Como sólo hay una dirección con dos posibles sentidos, se puede
adoptar el convenio de que los vectores que estén dirigidos hacia la derecha se representen con un signo
(+), mientras que los dirigidos a la izquierda se representen con un signo (-). De esta forma se puede
obviar completamente la representación vectorial, y trabajar sólo con los escalares. Así se obtiene, para la
velocidad media
vm = Dx/Dt
donde Dx = x2 – x1, Dt = t2 – t1 (positiva cuando el movimiento es hacia la derecha, negativa en caso
contrario). Como la velocidad es constante, la velocidad instantánea será igual a la velocidad media en
todo instante, por tanto:
v = Dx/Dt
Esta es la fórmula de la velocidad en el MRU. Tomando t1 = 0 (momento en que se comienza a contar el
tiempo) y despejando Dx en la expresión anterior, se llega a la expresión para el espacio recorrido:
Dx = vt .
Si se desea expresar como varia la abscisa en función del tiempo, sustituyendo Dx en la expresión
anterior, se obtiene

x = xo + vt
donde se ha llamado xo a la posición de la partícula para t = 0. Si
se grafica la velocidad en función del tiempo, se obtiene una recta
paralela el eje de las t. En cambio, la ecuación de la abscisa en
función del tiempo es la ecuación de una recta con intercepto xo y
pendiente v. Ejercicio: Analizar como queda el gráfico cuando xo
es negativo y la velocidad también.
Unidades
En el SI de unidades las longitudes se miden metros (magnitud
patrón) y el tiempo en segundos. Por tanto,
[v] = [L]/[¨t] = m/s
[a] = [v]/[t] = m/s2
x
xo q
(v = tan q)
t
2.5 Movimiento a lo Largo de una Recta con a ¹ 0 (constante). MRUV
Fórmula de la Velocidad en el Mov. Rectilíneo Uniformemente Variado
En este caso la expresión de la aceleración, considerando una sola dimensión queda como a = dv/dt .
Considerando la derivada como un cociente de infinitesimales un instante antes de alcanzar el límite, es
posible trabajar con los diferenciales como si fueran números reales. Por tanto, despejando en la
ecuación anterior,
dv = a dt .
La igualdad debe mantenerse cuando se integra a ambos lados de la expresión, considerando que para
el instante inicial to la velocidad de la partícula tenía el valor to y que la aceleración es constante y se
puede sacar fuera de la integral,
t
ò = ò
dv a dt
t
v
vo o
Integrando ambas expresiones y haciendo to = 0 por conveniencia (instante en que se comienza a contar
el tiempo), se llega a la fórmula de la velocidad en el movimiento rectilíneo uniformemente variado.
v = vo + at (2.5.1)
a v 

Note que t siempre es (+), pero v, vo y a pueden ser positivos o negativos, y que aquí se sigue el mismo
convenio de signos que en el caso del MRU. El vector que apunte a la derecha (sea ó ) será
positivo, y negativo en caso contrario.
Hay cuatro posibilidades que se resumen a continuación:
v a
movimiento acelerado a la derecha (v > 0, a >0) ® ®
movimiento acelerado a la izquierda (v < 0, a < 0) ¬ ¬
movimiento retardado a la derecha (v > 0, a < 0) ® ¬
movimiento retardado a la izquierda (v < 0, a < 0) ¬ ®
vo
q
(a = tan q)
v
t

El gráfico de v en función del tiempo proporciona la ecuación de una recta. En el ejemplo se ha
representado un movimiento retardado hacia la derecha.
Fórmula del Espacio en el MRUV
Para hallar la expresión del espacio recorrido, a partir de la definición de velocidad v = dx/dt es posible
despejar dx:
dx = vdt
Integrando a ambos lados del signo de igualdad, y sustituyendo v = vo + at, se obtiene:
t
ò = ò +
dx (v at)dt = ò + ò
t
o
x
xo o
t
v dt a t dt
t
t
t
o
o o
La integración definida de la expresión anterior, considerando to = 0 como se ha hecho anteriormente,
conduce a:
Dx = vot +  at2 (2.5.2)
Si se prefiere, es posible expresar la abscisa explícitamente en función del tiempo:
x = xo + vot +  at2
Note que estas expresiones proporcionan en realidad la abscisa en un instante determinado, que no
es lo mismo que el espacio total recorrido.
Otras fórmulas de Interés en el MRUV
Si se despeja el tiempo en la fórmula de la velocidad (2.5.1), se sustituye en la fórmula del espacio (2.5.2)
y se simplifican términos, se llega a
v2 = vo
2 + 2aDx (2.5.3)
relación que no depende del tiempo y puede ser de utilidad en muchos casos. Si se sustituye la fórmula
del espacio (2.5.2) en la expresión de la velocidad media vm = Dx/Dt y se simplifican términos, se llega a:
v vo v
m
= + (2.5.4)
2
Finalmente, como Dx también puede escribirse como Dx = vmt, sustituyendo la expresión (4) se llega a
ö
æ +
v o v t (2.5.5)
Dx = ÷ ÷ø
ç çè
2
Note que las ecuaciones (1) a la (5) se derivaron para el caso particular en que la aceleración es
constante y a lo largo de una recta. No se pueden aplicar en ningún otro caso.

2.6 Caída Libre de los Cuerpos
Resultados Experimentales
Cuando es posible despreciar la resistencia del aire, todos los cuerpos caen verticalmente hacia la tierra
con la misma aceleración, de aproximadamente g = 9.8 m/s2. Esto se puede comprobar fácilmente en
experimentos de cátedra, donde una pluma y una esfera pequeña de acero caen al unísono en un tubo al
que se le ha extraído el aire previamente.
Los ejes de la gráfica adjunta representan la distancia al punto inicial y el
tiempo transcurrido desde que se deja caer un objeto cerca de la superficie
terrestre. La gravedad acelera el objeto, que sólo cae unos 20 metros en los
primeros dos segundos, pero casi 60 metros en los dos segundos
siguientes. También se encuentra en la práctica que g disminuye a medida
que aumenta la altura sobre la tierra (se analizará mas adelante) y que,
además, varía con la latitud geográfica:
Lugar g(cm/s2)
La Habana (23o N) 978.2
Washington (47oN) 980.7
Alaska (64o N) 982.2
Como el movimiento de caída libre es con
aceleración constante y a lo largo de una recta,
se regirá por las mismas expresiones que el
MRUV. Lo único que varía es el sistema de
0 v+
referencia, que ahora se encuentra vertical
(equivale a rotar 90o a la izquierda el sistema de
referencia que se utiliza para el movimiento en el
eje x. El convenio de signos se mantiene).
Con este convenio de signos, las ecuaciones de la caída libre toman la forma siguiente:
v = vo – gt
Dy = vot -  gt2
v2 = vo
2 – 2gDy
+
-
a = -g
v+
v-
v-
Notar que, al igual que el movimiento analizado en el eje x, la variable y representa la abscisa en un
instante determinado, y no el espacio recorrido por la partícula. Usualmente el cero del sistema de
referencia se toma de forma que coincida con la superficie de la tierra, pero es posible colocarlo en
cualquier otro lugar.
2.7 Movimiento de Proyectiles
Proyectil
Un proyectil es cualquier objeto que se mueve bajo la acción exclusiva de la gravedad y de la resistencia
del aire, después que se le aplica un impulso inicial. En lo sigue no tomaremos en cuenta la resistencia
del aire (aproximación válida cuando la distancia a recorrer por el proyectil no es muy grande).
Cuando se analiza la variación de la posición (y = y(x)) se comprueba que cualquier proyectil describe

una trayectoria característica (aproximadamente parabólica) representada esquemáticamente en la
figura.
El movimiento del proyectil se caracteriza por una serie de parámetros:

v o
y
o v 
g 
v 
xq h o
: velocidad inicial
x
qo : ángulo de lanzamiento o ángulo inicial (note que el ángulo que forma la velocidad con la horizontal
varía a medida que el proyectil avanza)
ym : altura máxima que alcanza el proyectil
xh: alcance horizontal (distancia recorrida a lo largo del eje x)
tv : tiempo de vuelo (tiempo que el proyectil está en el aire)
Es posible encontrar relaciones entre todas estas magnitudes; por ejemplo, el alcance horizontal como
función de la velocidad inicial y el ángulo de disparo. La posición del proyectil quedará determinada
completamente en cada instante si se conoce su ley del movimiento, es decir, si se conoce la
 
dependencia r = r (t)
.
  
= + , donde x = x(t) , y = y(t).
Como estamos en un movimiento en dos dimensiones, entonces r x i yj
Si se conoce el vector de posición en cada instante, entonces se puede conocer también la velocidad en

v dr
cada instante, puesto que

= . Para calcular y(t) y x(t) analicemos la componente del movimiento
dt
en cada eje por separado.
Movimiento en el Eje X
La única aceleración actuando es la de la gravedad, que no tiene componente en el eje x. Por tanto, el
movimiento en el eje x es con velocidad constante, a lo largo de una recta. Las expresiones a utilizar
son las mismas del Movimiento Rectilíneo y Uniforme, tomando la proyección o componente de la
velocidad inicial a lo largo del eje x:
vx = vocosqo
Dx = vocosqot
Movimiento en el Eje Y
La componente de la velocidad inicial en eje y es: voy = vosenqo . Y se ve fácilmente que las expresiones
serán las mismas que las de caída Libre (movimiento en el eje y con aceleración de la gravedad).
vy = vosenqo – gt
Dy = vosenqot - gt2
Tiempo de vuelo
Cuando no hay fricción se comprueba fácilmente que el proyectil tarda el mismo intervalo de tiempo en
llegar hasta su altura máxima que el que tarda en regresar posteriormente hasta el suelo. Por tanto, es
posible escribir
tv = 2t’
donde t’ es el tiempo que tarda en llegar a la altura máxima. El tiempo t’ se puede calcular considerando

que, al alcanzar la altura máxima el proyectil invierte su recorrido en el eje y, y por tanto, en ese instante,
vy = 0. De manera que, haciendo vy = 0 en la expresión correspondiente:
0 = vosenqo –gt’
t ' vosen o
g
q
=
y como el tiempo de vuelo es el doble de este valor,
t 2t ' 2v sen
o o
v
g
q
= =
Alcance horizontal
Si se sustituye en la expresión de Dx(t) el tiempo que el proyectil está en el aire (tv), obtendremos su
máximo alcance. Sustituyendo:
Dx = vocosqo 2
vosenqo
g
Considerando que 2senqocosqo = sen(2qo), xo = 0, agrupando y simplificando se obtiene:
xh =
2
o q
v sen2 o
g
Alcance Máximo
Dada una velocidad inicial vo, el ángulo inicial que proporciona el máximo alcance del proyectil se obtiene
imponiendo la condición de extremo relativo en la expresión anterior, ya que en ese caso xh depende de
qo exclusivamente.
dx o
v cos(2 ).2
h = q
q
g
d
2
o
o
Igualando a cero esta expresión (condición de extremo relativo) se obtiene que la derivada será cero si
cos(2qo) = 0, o lo que es igual, si 2qo = p/2. De aquí se obtiene
qo(máx) = p/4 (45o).
que puede comprobarse corresponde a un máximo de la función xh = xh(qo).
Ecuación de la trayectoria
Eliminando el tiempo en las expresiones para Dx y Dy, haciendo xo = yo = 0, es posible demostrar que la
ecuación de la trayectoria sigue una dependencia parabólica (ejercicio).
Un cañón es una pieza que dispara proyectiles por un tubo largo (el cañón propiamente dicho) a alta velocidad y
con una trayectoria baja y rasa; el proyectil lleva por lo general una carga que explota al producirse el impacto con
el blanco. El ánima (interior) del cañón puede estar acanalada en espiral, en cuyo caso es un ánima rayada, lo
que mejora la estabilidad del proyectil en vuelo y hace más precisa su trayectoria. Algunos cañones utilizan una
munición capaz de penetrar objetivos blindados.
Gracias a los recientes avances de las computadoras llevadas a bordo y de los instrumentos de localización, los
cañones y lanzacohetes modernos se pueden desplazar con autonomía por el campo de batalla, deteniéndose
para disparar y trasladándose después con rapidez a una nueva posición de fuego.

Algunos cañones y lanzadores modernos pueden disparar una munición denominada ‘inteligente’: son proyectiles
y cargas que pueden localizar y alcanzar blancos fijos o móviles mediante refinados sensores y rastreadores. Ese
tipo de munición recibe también el nombre de ‘dispara y olvida’ porque su trayectoria no tiene que ser corregida
en vuelo.
r r 

2. 8 Movimiento Relativo
Cuando un objeto cae de un móvil (autobús, tren) la
descripción del movimiento que proporciona un observador
observador en el
en el móvil usualmente difiere de la descripción que ofrece un
móvil (caída libre)
observador en tierra. Un observador en una de las ventanas
del móvil verá que el objeto se aleja de sí en línea recta hacia
observador en
la tierra, mientras que el observador en tierra verá que sigue
tierra (proyectil)
al móvil en su movimiento, describiendo una parábola.
Interesa, por tanto, encontrar la relación que hay entre el movimiento visto por ambos observadores. Con
este fin, considere una partícula en movimiento y dos sistemas de referencia, uno fijo a tierra (xy) y otro
ligado a un móvil (x’y’) que se mueve con velocidad constante respecto al sistema fijo.
Los vectores y ’ son los vectores de posición de la partícula P respecto a cada sistema de
referencia. El vector ru es el vector de posición del sistema móvil respecto al sistema fijo. Según las
reglas de la suma de vectores, r r r '
  
= m+ . Como la partícula está en movimiento, y el sistema móvil
suponemos que se mueve con velocidad constante, los tres vectores están variando continuamente su
posición con el transcurso del tiempo.
Derivando en la expresión anterior con respecto al tiempo, se obtiene:
  
=m+
v v'
donde:
v 
: velocidad de la partícula respecto al sistema fijo
v 
’: velocidad de la partícula respecto al sistema móvil
m 
: velocidad del sistema móvil respecto al sistema fijo
Se acostumbra representar la expresión anterior despejando ' v 
:
= -m  
v' v
P
 
ry’
r ' x’
sistema móvil
x
y
sistema fijo

rm
Ejemplo: Un auto se mueve a 10 m/s. Comienza a llover sin viento, cayendo las gotas con velocidad
constante de 5 m/s. ¿Con qué Angulo chocan las gotas de lluvia el parabrisas lateral?
Datos:
Auto (sistema móvil): m = 10 m/s
Lluvia (partícula respecto a tierra): v = 5 m/s
Lluvia respecto al sistema móvil (v’) ?

lluvia (v)
v ' = v - m   
tan q = m/v = 10/5 = 2
q = arctan(2)
q » 63o con la vertical
auto (m)
v 
-m 
q

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