Cap5

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE
HUAMANGA
HUAMANGA
1.1. EJERCICIOS PROPUESTOS:
En las siguientes estructuras con elementos totalmente flexibles, se pide:
a) Seleccionar el sistema de coordenadas Q – q.
b) Obtener el vector de cargas generalizadas mediante trabajos virtuales.
c) Resolver el problema primario.
d) Indicar cuál es el problema complementario.
EJERCICIO N°1
a) Sistema de coordenadas Q – q
 Cálculo de Q1
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
1

HUAMANGA
HUAMANGA
Q1=1∗1=1T
 Cálculo de Q2
Q2=∫
0
4
−1.5 v(x)dx
v( x)=v1φ2( x)=
(1−
3 X2
L2
+
2 X3
L3 )
Q2=∫
0
4
−1.5
(1−
3 X2
L
2
+
2X3
L
3 )dx=−3T
 Cálculo de Q3
2

HUAMANGA
HUAMANGA
Q3=∫
0
4
−1.5v(x)dx
v(x)=θ1φ3(x)=X(1−
X
L )
2
Q3=∫
0
4
−1.5 X(1−
X
L )
2
dx=−2T
 Cálculo de Q4
Q4=0
 Cálculo de Q5
Q5=∫
0
4
−1.5 v1(x)dx+∫
0
4
−2 v2(x)dx
v1(x )=v2φ5(x )=
X
2
L2 (3−
2 X
L )
v2(x)=v1φ2(x )=
(1−
3 X2
L2
+
2 X3
L3 )
Q5=∫
0
4
−1.5
X2
L
2 (3−
2 X
L )dx+∫
0
4
−2
(1−
3 X2
L
2
+
2 X3
L
3 )dx=−7T
3

HUAMANGA
HUAMANGA
 Cálculo de Q6
Q6=∫
0
4
−1.5v1(x)dx+∫
0
4
−2v2(x)dx
v1 (x )=θ2 φ6(x )=−
X
2
L (1−
X
L )
v2(x)=θ1 φ3(x)=X(1−
X
L )
2
Q6=∫
0
4
1.5
X2
L (1−
X
L )dx+∫
0
4
−2 X(1−
X
L )
2
dx=−1T
 Cálculo de Q4
Q7=∫
0
3
−0.5 Xv(x)dx
v( x)=v1φ2( x)=
(1−
3 X2
L2
+
2 X3
L3 )
Q7=∫
0
3
−0.5 X
(1−
3 X2
L
2
+
2 X3
L
3 )dx=−0.67T
 Cálculo de Q8
4

HUAMANGA
HUAMANGA
Q8=∫
0
4
−2v(x )dx
v(x)=v2φ5(x)=
X2
L2 (3−
2 X
L )
Q8=∫
0
4
−2
X2
L2 (3−
2X
L )dx=−4T
 Cálculo de Q9
Q9=∫
0
4
−2v1(x)dx+∫
0
3
−0.5 Xv2(x)dx
v1(x )=θ2 φ6(x )=−
X
2
L (1−
X
L )
v2(x)=θ1 φ3(x)=X(1−
X
L )
2
Q9=∫
0
4
2
X2
L (1−
X
L )dx+∫
0
3
−0.5 X2
(1−
X
L )
2
dx=2. 45T
b)Vector Q
5

HUAMANGA
HUAMANGA
Q=
[
1.00
−3.00
−2.00
0.00
−7.00
−1.00
−0.67
−4.00
2. 45
]c) Problema Primario
 Equilibrio de elementos
 Equilibrio de juntas
6

HUAMANGA
HUAMANGA
R1=1T
R2=−3T
R3=−2T
R4=0
R5=−7T
R6=−1T
R7=−0.67T
R8=−4T
R9=2.45T
d)Problema Complementario
7

HUAMANGA
HUAMANGA
EJERCICIO N° 2
 Cálculo de Q1
Q1=∫
0
4
−Wv(x )dx
v(x)=θ1φ3(x)=X(1−
X
L )
2
Q1=∫
0
4
−WX (1−
X
L )
2
dx=−
4W
3
 Cálculo de Q2
8

HUAMANGA
HUAMANGA
Q2=−Pv(x)
v( x)=v1φ2( x)=
(1−
3 X2
L2
+
2 X3
L3 )
Q2=P
(1−
3 X2
L2
+
2 X3
L3 )=−0.5 P
 Cálculo de Q3
Q3=∫
0
4
−Wv1(x)dx+∫
0
4
−Wv2(x)dx
v1(x )=v2φ5(x )=
X
2
L2 (3−
2 X
L )
v2(x)=v1φ2(x )=
(1−
3 X2
L2
+
2 X3
L3 )
Q3=∫
0
4
−W
X2
L
2 (3−
2 X
L )dx+∫
0
4
−W
(1−
3 X2
L
2
+
2 X3
L
3 )dx=−4 W
 Cálculo de Q4
9

HUAMANGA
HUAMANGA
Q4=∫
0
4
−Wv1(x )dx+∫
0
4
−Wv2(x)dx−Pv2(x)
v1(x )=θ2 φ6(x )=−
X
2
L (1−
X
L )
v2(x)=θ1 φ3(x)=X(1−
X
L )
2
Q4=∫
0
4
W
X2
L (1−
X
L )dx+∫
0
4
−WX(1−
X
L )
2
dx−PX(1−
X
L )
2
=−0.38 P
 Cálculo de Q5
Q5=0
 Cálculo de Q6
10

HUAMANGA
HUAMANGA
Q6=∫
0
4
−Wv(x)dx
v(x)=θ2φ6(x)=−
X
2
L (1−
X
L )
Q6=∫
0
4
W
X2
L (1−
X
L )dx=
4W
3
b)Vector Q
Q=
[
−4W /3
−0.5P
−4W
−0.38P
0.00
4W /3
11

HUAMANGA
HUAMANGA
R1=−4W /3
R2=−0.5P
R3=−4W
R4=−0.38P
R5=0
R6=4 W/3
EJERCICIO N° 3
12

HUAMANGA
HUAMANGA
 Cálculo de Q1
Q1=−3Wsen37ºu2(x)−3W cos37ºv2(x )+3Wsen37ºu1(x)−3W cos 37ºv1(x)
13

HUAMANGA
HUAMANGA
u2( x )=u2φ4(x)=
3 X
5 L
v2(x)=v2φ5(x)=−
4 X
2
5 L2 (3−
2 X
L )
u1(x)=u1φ1(x)=
4
5 (1−
X
L )
v1(x )=v1 φ2(x )=
3
5 (1−
3 X2
L2
+
2 X3
L3 )
Q1=−3Wsen37º
3 X
5 L
+3W cos37º
4 X2
5 L2 (3−
2 X
L )+3Wsen37º
4
5 (1−
X
L )−3W cos37º
3
5 (1−
3 X2
L2
+
2 X3
L3 )
Q1=0
 Cálculo de Q2
Q2=−3Wsen37ºu2(x)−3W cos37ºv2(x)+3Wsen37ºu1(x)−3W cos37ºv1(x)
u2( x )=u2φ4(x)=
3 X
5 L
v2(x)=v2φ5(x)=
4 X
2
5 L2 (3−
2 X
L )
u1(x)=u1φ1(x)=−
3
5(1−
X
L )
v1(x )=v1 φ2(x )=
4
5 (1−
3 X2
L2
+
2 X3
L3 )
Q2=−3Wsen37º
3 X
5 L
−3W cos37º
4 X2
5L2 (3−
2X
L )−3Wsen37º
3
5 (1−
X
L )−3W cos37º
4
5 (1−
3 X2
L2
+
2 X3
L3 )
Q2=−3W
 Cálculo de Q3
14

HUAMANGA
HUAMANGA
Q3=−3W cos37ºθ2(x)−3W cos37ºθ1(x)
θ2(x )=θ2 φ6(x )=−
X
2
L (1−
X
L )
θ1(x )=θ1φ3(x)=X(1−
X
L )
2
Q3=3W cos37º
X2
L (1−
X
L )−3W cos37ºX(1−
X
L )
2
Q3=0
b)Vector Q
Q=
[
0.00
−3W
0.00 ]
c) Problema Primario
15

HUAMANGA
HUAMANGA
d) Problema Complementario
EJERCICIO N° 4
16

HUAMANGA
HUAMANGA
42
3
1
5
 Cálculo de Q1
B C
A
2
1 1
1
2
1 1
1
1*
12
12
W L
Q
W L
Q
� �
= -� �
� �
= -
 Cálculo de Q2
17

HUAMANGA
HUAMANGA
B
C
A
B'
2
2
1*0
0
Q
Q
=
=
 Cálculo de Q3
B
C
A
B'
1 1 2 2
3
1 1 2 2
3
1*
2 2
2 2
W L W L
Q
W L W L
Q
� ��
= - +� ��
� ��
� �
= - +� �
� �
 Cálculo de Q4
18

HUAMANGA
HUAMANGA
B
C
A
2 2
1 1 2 2
4
2 2
1 1 2 2
4
1*
12 12
12 12
W L W L
Q
W L W L
Q
� ��
= - +� ��
� ��
� �
= - +� �
� �
 Cálculo de Q5
B
C
A
2
2 2
5
2
2 2
5
1*
12
12
W L
Q
W L
Q
� �
= -� �
� �
= -
b)Vector Q
2
1 1
1 1 2 2
2 2
1 1 2 2
2
2 2
12
0
2 2
12 12
12
W L
W L W L
Q
W L W L
W L
� �
-� �
� �
� �
� �
� �� - +� �� = � �
� �
� ��
- +� ��
� ��
� �
-� �
� �
19

HUAMANGA
HUAMANGA
B
W1
C
A
W2R3
R2
R4
R1
R5
Equilibrio de juntas
W1L1/2
(W1L1)^2/12
W1L1/2
(W1L1)^2/12
W2L2/2 W2L2/2
(W2L2)^2/12 (W2L2)^2/12
Junta B
A
B B C
1 1
1
2
1 1 2 2
3
2 2
1 1 2 2
4
2
2 2
5
12
0
2 2
12 12
12
W L
R
R
W L W L
R
W L W L
R
W L
R
= -
=
� �
= - +� �
� �
� �
= - +� �
� �
= -
20

HUAMANGA
HUAMANGA
(W1L1+W2L2)/2
W2L2/2
(W1L1)^2/12
(W1L1)^2/12 - (W1L1)^2/12
(W2L2)^2/12
R1
R3
R2
R5
EJERCICIO N° 5
3
1
2
5
4
76
 Cálculo de Q1
21

HUAMANGA
HUAMANGA
A E
B
C
DB'
1
1
1*1000
1000
Q
Q
=
=
 Cálculo de Q2
( )2
2
1* 6876
6876
Q
Q
= -
= -
 Cálculo de Q3
A E
B
C
D
3
3
1*160
160
Q
Q
=
=
22

HUAMANGA
HUAMANGA
 Cálculo de Q4
A E
B
C
D
C'
( )4
4
tan 0.4
1* 3124 0.4*2000
3924
a
Q
Q
a = =
= - -
= -
 Cálculo de Q5
A E
B
C
D
5
5
1*5460
5460
Q
Q
=
=
 Cálculo de Q6
23

HUAMANGA
HUAMANGA
A E
B
C
D
C'
D'
6
6
2000 3000
5000
Q
Q
= - -
= -
 Cálculo de Q7
A E
B
C
D
7
7
1*5000
5000
Q
Q
=
=
b)Vector Q
1000
6876
160
3924
5460
5000
5000
Q
� �
� �
-� �
� �
� �
= -� �
� �
� �
-� �
� �
� �
24

HUAMANGA
HUAMANGA
A E
B
C
1000 k
1500 k
1000 k-m
1500 k
2500 k
4500 k-m
2000 k
D
3500 k
5000 k-m
3000 k
R2
R3
R1
R4
R5
R6
R7
160
1000
6876
5460
3924
5000
5000
EJERCICIO N° 6
25

HUAMANGA
HUAMANGA
D3
1
2
64
5
9
7
8
b)Problema Primario
A E
B
6000 k
1000 k-m
C
D
B
1000 k/m
R2
R5
R8
R1
R4
R7
R3
R6
R9
26

HUAMANGA
HUAMANGA
B
6000 k
C
198.6
1536
4879.5
198.6
1120.5
384
C
D
2500
2083.41
2083.41
2500
C
D
2500
2083.41
2083.41
2500
5000
5000(2/ 29)
5000(5/ 29)
4879.5
198.6
1536
1120.5
2301.4
1699.41
0
2500
2083.41
Q
� �
� �-� �
� �-
� �
� �
� �= -
� �
-� �
� �
� �
-� �
� �
� �
c) Problema Complementario
1536
4879.5
198.6
1120.5
2301.4
2083.41
2500
EJERCICIO N° 7
27

HUAMANGA
HUAMANGA
31
2
4
 Cálculo de Q1
A D
B
C
A0
I0
B'
3/4
37º
37º
C'
28

HUAMANGA
HUAMANGA
1 1
3
1*(0) 5*( ) : 3.75
4
Q Entonce Q= - = -
 Cálculo de Q2
A D
B
C
B'
1 15*(1) 5*(1) : 10Q Entonce Q= - - = -
 Cálculo de Q3
A D
B
C
5
53º
3 1
25
33.3*(1) 5*( ) 33.3*(1) : 31.25
4
Q Entonce Q= - - = -
 Cálculo de Q4
29

HUAMANGA
HUAMANGA
A D
B
C
37º
3 1
3
3*(1) 5*( ) : 6.75
4
Q Entonce Q= - - = -
b)Vector Q
3.75
10
31.25
6.75
Q
-� �
� �-
� �=
� �-
� �
-� �
A D
C
B
2.5 T/m
3 T
R2
R1
R3
R4
d)Equilibrio de Elementos
30

HUAMANGA
HUAMANGA
10 6
8
3.33
3.33
5
5
e) Problema Complementario
3.33
5T
3T
EJERCICIO N° 8
31

HUAMANGA
HUAMANGA
A0
I = œ
E GF
B C
A
D
1000 k
1500 k
2500 k-m
3000 k-m
2000 k
I0
A = œ
I0
A = œ
I0
A = œ
I0
A = œ
A0
I = œ
1 2
43
 Cálculo de Q1
32

HUAMANGA
HUAMANGA
E GF
B C
A
D
B'
Q1=1000Kg
 Cálculo de Q2
E GF
B C
A
D
C'
Q2=0
 Cálculo de Q3
33

HUAMANGA
HUAMANGA
E GF
B C
A
D
A'
Q3=1500Kg
 Cálculo de Q4
E GF
B C
A
D D'
Q4=−3000 Kg
b)Vector Q
Q=
[
1000
0.00
1500
−3000
34

HUAMANGA
HUAMANGA
E GF
B C
A
D
1000 k
1500 k
2500 k-m
3000 k-m
2000 k
R4
R1 R2
R3
E GF
B C
A
D
v
N2
N1
N1
N3
N3
B C
N2
u u'
u+u'
5
u+u'
5
N5
N5
N4
N4
v'
35

HUAMANGA
HUAMANGA
B
u+u'
5
N1
N21000 Kg R1
u
Junta B
C
N3
2500 Kg-m
N4
N2
u'
u+u'
5
Junta C
R2
A
v
N4
v+v'5
A1500 k
3000 k-m
R4
R3
Junta A
D
N5
v'
v+v'5
2000 k
Junta D
Q=
[
1000
0.00
1500
−3000
]
36

HUAMANGA
HUAMANGA
1000 Kg
1500 Kg
3000 Kg-m
EJERCICIO N° 9
1000
k
1000 k
2000 k
A0
A0
A0
A0
A0A0
A0
A B
C D E
e) Sistema de coordenadas Q – q
37

HUAMANGA
HUAMANGA
1
2
3 4
5
 Cálculo de Q1
A B
C D E
A'
Q1=1000*cos 45º
Q1=707.11Kg
 Cálculo de Q2
38

HUAMANGA
HUAMANGA
A B
C D E
A'
Q2=1000∗sen45º
Q2=707.11 Kg
 Cálculo de Q3
A B
C D EC'
Q3=2000 Kg
 Cálculo de Q4
39

HUAMANGA
HUAMANGA
A B
C D ED'
Q4=0

Cálculo de Q5
A B
C D
E
D'
Q5=−1000 Kg
f) Vector Q
Q=
[
707.11
707.11
2000
0.00
−1000
]
40

HUAMANGA
HUAMANGA
g)Problema Primario
1000
k
1000 k
2000 k
A
B
C
D
E
R2
R1
R3
R5
R4
A
C
A
DC
D
D
A
E
B
A B
D E
u
u'
q q'
p
p'
r r'
x y'
y
x'
v'v
p+p'
5
q+q'
5
v+v'
5
p+p'
5
q+q'
5
v+v'
5
r+r'
5
r+r'
5
41

HUAMANGA
HUAMANGA
A
B
E
B
D
u
q
p
r
x
y'
p+p'
5
q+q'
5
r+r'
5
2000 k
u
p
p+p'
5
1000 kq
q+q'
5
v
v+v'
5
r
r+r'
5
v
v+v'
5
xy'
Junta A Junta B
Junta C
Junta D
Junta E
Q=
[
707.11
707.11
2000
0.00
−1000
]h)Problema Complementario
2000 Kg
700.11 Kg
700.11 Kg
1000 Kg
EJERCICIO N° 10
42

HUAMANGA
HUAMANGA
G H I
A
B
C
D
F
I0
A = œ
I0
A = œ
I0
A = œ
I0
A = œ
I0
A = œ
I0
A = œ
I0
A = œ
I0
A = œ
I0
A = œ
I0
A = œ
E
W
W1
21
43
5 7
8
6
Problema Primario
43

HUAMANGA
HUAMANGA
G H I
A
B
C
D
F
E
W1
R2
R1
R4
R3
R5
R6
R7
R8
W
A
B
VA
W1
MA
VB
MB
C
1
VB
MB
MC
[ ]
2
1
4
.
12
AM W=
;
[ ]
2
1
4
.
12
BM W= -
[ ]
2
1
6
.
12
BM W=
;
[ ]
2
1
6
.
12
CM W= -
F
A
B
D
C
E
NA
ND
NB
NE
NC
NF
44

HUAMANGA
HUAMANGA
W W
VD
MD
VE
ME
VF
MF
VE
ME
[ ]
2
4
.
12
DM W=
;
[ ]
2
4
.
12
EM W= -
[ ]
2
6
.
12
EM W=
;
[ ]
2
6
.
12
FM W= -
A VA
MA
R4
R3
NA
CVC
MC
R8
NC
R6
NB
VB
MB VB
MB
45

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